авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова УПРАВЛЕНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ...»

-- [ Страница 2 ] --

5. Перспективы Сходство полученных результатов с другими выводами теории контрактов [6-9] позволяет выдви нуть следующую гипотезу. Не является ли стратегия центра, приводящая к одинаковым значениям целевой функции агента, оптимальной, как это имеет место в детерминированных системах, если не для произвольных агентов, то хотя бы для «обобщенно-простых» агентов с функцией распределения резуль тата вида G ( z, y ) при z y F ( z, y) =, 1 при z y где, G(z, y) – некоторое распределение условной вероятности реализации результата z при выборе дейст вия y, причем выбор действия y2 стохастически доминирует выбор меньшего действия y1, то есть G(z, y1)G(z, y2). «Обобщенно-простой» агент есть обобщение простого, но его анализ пока не проводился.

Полученные параметрические зависимости оптимальных функций стимулирования от реализуемого ими действия очень удобны при решении синтеза задачи стимулирования нескольких агентов при усло вии ограничений на ожидаемое стимулирование, а также при решении задачи стимулирования с ограни ченными рисками, например, рисками невыполнения плана или риска превышения лимита по зарплате и т. д.

6. Резюме В работе решена задача стимулирования (2) для базовой модели теории контрактов в частном слу чае «простого» агента (3).

Показано, что, для не склонного к риску агента, функция стимулирования, реализующая действие y* с минимальными затратами, имеет вид (7). Для склонного к риску агента вид этой функции, описы ваемой формулой (17), принципиально иной.

Литература БУРКОВ В.Н., ЕНАЛЕЕВ А.К., НОВИКОВ Д.А. Вероятностная задача стимулирования // А 1.

и Т. 1993. № 12.

БУРКОВ В.Н., НОВИКОВ Д.А. Оптимальные механизмы стимулирования в активных 2.

системах с вероятностной неопределенностью. II // А и Т. 1995. № 10, С 121-126.

КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.

3.

М.: Наука, 1989.

НОВИКОВ Д.А. Стимулирование в вероятностных активных системах: роль неопределен 4.

ности. // А и Т. 1997. № 8, С. 168-177.

НОВИКОВ Д.А., ПЕТРАКОВ С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИНТЕГ, 1999. – 5.

с.

6. GROSSMAN S. An introduction to theory of rational expectation under asymmetric information // Review of Economic Studies. 1981. Vol. 48. №3 P. 541-560.

GROSSMAN S., HART O. Implicit contracts under asymmetric information // Quarterly J. оf 7.

Economics. 1982. №1. P. 110-124.

HART O. HOLMSTROM B. Theory of Contracts // Advances in economical theory. 5th world 8.

congress. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. P. 71-155.

9. ROGERSON W. The first order approach to principal-agent problem // Econometrica. 1985. Vol.

53. №3. P. 1353-1368.

Губко М.В., Спрысков Д.С. Учет кооперативных взаимодействий в механиз мах планирования Введение В теории активных систем было исследовано большое количество механизмов управления социаль но-экономическими системами. При исследовании их свойств, за редкими исключениями, считалось, что активные элементы (АЭ) не могут действовать совместно, а играют лишь «сами за себя». Тем не менее, на практике совместные (или, иначе говоря, кооперативные) действия АЭ, выражающиеся в виде создания различного рода коалиций, достаточно распространены. Таким образом, назрела необходи мость исследования влияния кооперативных возможностей АЭ на результаты управления. Основными вопросами подобного исследования можно назвать следующее:

1) Как изменится игровое равновесие при добавлении в игровую модель возможности кооператив ных взаимодействий (как изменятся стратегии игроков и их полезности)?

2) Как при этом изменится эффективность управления?

3) Как создать механизм управления, учитывающий возможность кооперативных действий АЭ?

В данной статье излагаются результаты исследования механизмов планирования с точки зрения кооперативных действий АЭ на примере задач распределения ресурса и активной экспертизы.

1. Игровая модель кооперативных взаимодействий В качестве игровой модели кооперативных взаимодействий была принята модель описания игры в форме характеристической функции, используемая теорией кооперативных игр [1].

В теории кооперативных игр разделяют игры с нетрансферабельной полезностью (НТП-игры), в которых запрещена передача полезности между игроками, и игры с трансферабельной полезностью (ТП-игры), в которых такая передача разрешена. В практике управления возможны обе эти ситуации, поэтому необходимо использовать результаты, полученные как для ТП-игр [2], так и для НТП-игр [2].

Тем не менее, поскольку в данной статье анализируются в основном ТП-игры, приведем только опреде ление характеристической функции ТП-игр.

О п р е д е л е н и е 1 : Характеристической функцией игры n лиц называется вещественнозначная функ ция v(T), определенная на подмножествах TN={1…n}, такая, что v()=0.

Игра полностью описывается множеством игроков N и характеристической функцией v.

Содержательно характеристическая функция определяет полезность, получаемую коалицией T (ес ли в процессе игры такая коалиция образовалась) при рациональных действиях ее участников. Что считать рациональными действиями игроков, определяется используемым в задаче принципом рацио нального поведения.

Ниже для построения характеристической функции игры будут использоваться принцип максималь ного гарантированного результата и принцип равновесия Нэша. Подробное рассмотрение методики построения характеристической функции по нормальной форме игры можно найти в [2].

2. C-ядро, как концепция решения игры Среди концепций решения, используемых теорией кооперативных игр, одним из наиболее распро страненных является C-ядро [1]. Анализ C-ядра особенно важен, если мы хотим определить условия, при которых в игре возможна полная кооперация игроков, то есть образование коалиции N, состоящей из всех игроков.

С-ядро определяется, как множество таких распределений полезности v(N) максимальной коалиции N между всеми игроками, при которых любая потенциальная коалиция TN не может гарантировать своим участникам более выгодного для всех них распределения полезности v(T), которую коалиция T могла бы получить, отделившись от максимальной коалиции N.

Достоинством C-ядра, как концепции решения является его простота и содержательность. Среди недостатков можно назвать то, что непустое C-ядро существует не для всех игр, и в случае его пустоты неясно, каким образом игроки должны себя вести.

Тем не менее, при непустом С-ядре, рациональные игроки должны образовывать максимальную коалицию, поскольку только коалиция N может дать им доход, не доминируемый никакой другой коа лицией. С точки зрения управления системой такое поведение очень важно, поскольку только в этом случае активную систему можно представить, как единый организм, деятельность которого направлена на достижение одной цели. Этой целью является максимизация суммарной полезности системы. Во многих механизмах управления, часть которых будет рассмотрена ниже, это и есть одна из целей цен тра. Среди прочих целей центра можно назвать [3] выполнение активными элементами плана, сообще ние элементами достоверной информации и т.д. Влияние кооперативных взаимодействий на достижение этих целей необходимо анализировать в каждом конкретном случае.

С точки зрения анализа управляемости системы важны не столько конкретные распределения коа лиционной полезности (дележи), принадлежащие C-ядру, сколько сам факт его пустоты или непустоты.

Введем некоторые определения.

О п р е д е л е н и е 2 : Собственной называется любая коалиция, отличная от максимальной коалиции N. Множество собственных коалиций обозначим через D.

О п р е д е л е н и е 3 : Сбалансированным покрытием множества игроков N называется отображение : D[0, 1] такое, что T = 1 для произвольного игрока i.

(1) T : T D, iT Теорема Бондаревой [2] ( критерий непустоты ядра):

C-ядро игры (v, N) не пусто тогда и только тогда, когда для любого сбалансированного покрытия выполняется T v(T ) v( N ).

(2) T D Используя введенные понятия, приступим к рассмотрению конкретных механизмов планирования.

3. Задача распределения ресурса Это одна из наиболее часто возникающих задач планирования. Распределение сырья между подраз делениями производственного объединения, распределение финансирования между филиалами корпо рации и многое другое – это все примеры задач распределения ресурса. Задачей центра в таких задачах обычно считается максимизация суммарной полезности (например, прибыли) системы в целом, поэтому анализ условий реализуемости максимальной коалиции особенно важен в данном случае.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [4] Центр должен распределить некоторое количество ресурса R между n АЭ. Для этого он собирает от них заявки si[0, R] на ресурс, то есть количество ресурса, которое i-тый АЭ хотел бы получить, и на основе этих заявок выдает i-му АЭ ресурс в объеме xi=i(s1,…,sn), определяемом механизмом планирова ния. Целевая функция АЭ fi= fi(xi) зависит от количества xi получаемого им ресурса. Рассматривались только вогнутые однопиковые целевые функции. Точки максимума этих функций обозначаются ri.

Каждый игрок знает свою функцию полезности и функции полезности всех прочих игроков. Центр знает только общий вид функций полезности, то есть то, что они вогнутые и однопиковые.

Механизм распределения ресурса обычно считается монотонным относительно заявок и непре рывным. При фиксированном механизме распределения центр не является одним из игроков, так как его воздействие фиксировано и известно игрокам.

Обычно предполагается, что сумма точек пика ri больше имеющегося у центра количества ресурса, то есть имеется дефицит. Понятно, что при этом одновременно все АЭ не могут получить ресурс в желаемом объеме. Игроки начинают манипулировать своими заявками, чтобы увеличить количество получаемого ими ресурса. Некоалиционное рассмотрение [4] показывает, что по результатам игры игроков можно разбить на две группы – «диктаторов» и «не диктаторов». Диктаторы получают ресурс в необходимом им объеме, «не диктаторы» получают меньше, чем им хотелось бы. «Не диктаторы» дела ют максимальные заявки, чтобы получить максимально возможное для них количество ресурса, дикта торы же делают такие заявки, чтобы получить ровно оптимальное для них количество ri.

3.2. ТРАНСФЕРАБЕЛЬНОСТЬ РЕСУРСА И ПОЛЕЗНОСТИ Любое рассмотрение кооперативных взаимодействий игроков должно включать возможность совме стного выбора ими стратегий (заявок на ресурс), заключения соглашений о заявках.

Прочие кооперативные взаимодействия в этой задаче можно разбить на два следующих типа:

• Перераспределение игроками полученного от центра ресурса.

• Передача игроками друг другу полезности (например, денег).

В зависимости от того, в каких сочетаниях разрешены эти взаимодействия, можно выделить четыре класса моделей.

1) Нетрансферабельный ресурс, нетрансферабельная полезность. То есть, возможны только договоры и обмен информацией.

2) Трансферабельный ресурс, нетрансферабельная полезность. Игроки могут перераспределять ресурс, но не полезность. Это, например, случай, когда ресурс – это деньги, а полезность – сделанная работа, как в задаче финансирования филиалов.

3) Нетрансферабельный ресурс, трансферабельная полезность. Ресурс игроки передавать не могут, но могут брать взятки за изменение своей заявки.

4) Трансферабельный ресурс, трансферабельная полезность. Возможны как обмены ресурсом, так и полезностью, совместное принятие решений, взятки, совместное производство и купля-продажа ре сурса за деньги.

Первый и второй классы моделей относятся к классу НТП-игр, третий и четвертый классы моделей – к классу ТП-игр.

Для класса моделей 1 довольно легко показать, что, независимо от наличия соглашений между иг роками, отклонения от некооперативного равновесия невыгодны, т.к. равновесие Нэша является одно временно и сильным равновесием Нэша [2] этой игры.

Для класса 2 легко показать, что при наличии некоторых отношений между игроками, не охваты ваемых моделью (симпатии, антипатии), возможно изменение равновесия. При этом диктаторы повы шают свои заявки на ресурс, а полученные излишки ресурса распределяют между игроками, которым они симпатизируют. Более точно понять, кому пойдет ресурс, невозможно, так как (в рамках модели) при таких действиях диктаторов их полезность не изменяется. В равновесии все заявки равны R и смысл сообщения заявок полностью пропадает. Если мы считаем, что для изменения заявки игроком необхо димо, чтобы в новом равновесии его полезность стала строго больше, чем в старом, то равновесие этой игры совпадает с некооперативным. Класс 3 пока почти не исследован.

В четвертом классе моделей налицо практически неограниченные возможности для сотрудничест ва, поэтому следует ожидать значительных изменений в поведении игроков. Ниже проводится подроб ное исследование именно этого класса моделей.

3.3. ПОСТРОЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Для произвольной коалиции TN обозначим xT := xi = i – получаемое коалицией количество ресурса iT iT rT := ri – оптимальное для коалиции количество ресурса iT Z ( xT, T ) := { yT ( xT ) = ( yiT ) iT : yiT = xT } – множество возможных распределений ресурса xT между iT участниками коалиции.

Для rN будем использовать также обозначение := rN.

f (y (3) fT ( xT ) = max ( xT )) – целевая функция коалиции, как функция получаемого ею ресурса.

i iT yT iT Коалиция максимизирует суммарную полезность распределением полученного ресурса xT между своими участниками. При этом максимум этой функции достигается при xT=rT, когда все члены суммы (3) одно временно достигают своего максимума. При xTrT целевая функция монотонно возрастает, при xTrT – монотонно убывает.

Таким образом, для определения характеристической функции необходимо определить количество ресурса xT, получаемого коалицией T в равновесии. Игроки имеют полную информацию о функциях полезности друг друга, поэтому логично рассматривать равновесие Нэша в качестве решения игры. Для построения xT воспользуемся методом анализа множеств диктаторства [5].

При построении характеристической функции коалиции T считается, что все остальные игроки объ единились в коалицию N\T. Тогда равновесие Нэша в игре коалиций T и N\T будет равновесием Нэша игры двух лиц с векторными стратегиями. Перейдем от векторных стратегий коалиций к скалярным, воспользовавшись непрерывностью и монотонностью механизма распределения.

Пусть некоторая векторная заявка sT коалиции T при фиксированной заявке sN\T дает суммарное зна чение ресурса коалиции T xT = xi = i ( sT, s N \T ).

iT iT Тогда, по лемме о непрерывности, для коалиции T существует такая допустимая скалярная заявка uT(xT) что, если все участники коалиции заявят uT(xT), то коалиция получит столько же, сколько и при исходных заявках. Для доказательства положим сначала uT=0. При этом, по свойствам монотонных механизмов, ресурс в распоряжении коалиции T не больше, чем при произвольной векторной заявке.

Затем положим uT=R (при этом ресурс не меньше, чем при произвольной векторной заявке) и заметим, что рост заявки uT от 0 до R приводит к непрерывному росту xT(uT, sN\T).

Рис. 1.

При этом коалиция N\T не заинтересована в изменении своих заявок, так как получаемое ими коли чество ресурса не меняется. Аналогично и их заявки можно заменить единой заявкой uN\T. Таким обра зом, равновесие Нэша для этой игры будет совпадать с равновесием Нэша игры двух лиц со скалярными стратегиями uT, uN\T и целевыми функциями fT и fN\T. На рис.1 приведено рассмотрение множеств дикта торства для двух игроков. По осям откладывается ресурс, получаемый коалициями T и N\T в зависимо сти от их заявок. Точки x(0, 0), x(0, R), x(R, 0), x(R, R) представляют собой ресурс, получаемый коали циями при их заявках (0, 0), (0, R) и т.д. Так как механизм сбалансирован, эти точки (как и остальные точки отображения множества заявок игроков на множество получаемых ими ресурсов), лежат на пря мой xT+xN\T = R. Кроме того, из монотонности механизма следует, что точка x(0, R) лежит левее и выше точки x(0, 0), а x(R, 0) – правее и ниже. Соответственно точка x(R, R) лежит на прямой между точками x(0, R) и x(R,0). На этой же плоскости отложим точку r=(rT, rN\T) максимума целевых функций коалиций.

Так как их сумма превышает имеющееся количество ресурса R (дефицит), эта точка лежит правее и выше прямой xT+xN\T=R. Можно показать [5], что если эта точка лежит в области (a, m), то равновесные заявки игроков будут (0, R), и распределение ресурса будет x(0, R). В области (m, a) наоборот, равновес ные заявки будут (R, 0), а распределение ресурса – x(R, 0). Если r лежит в области (m, c), то игрок N\T будет диктатором и получит ресурс в необходимом ему объеме, тогда как игрок T в равновесии будет сообщать максимальную заявку. В области же (c, m) наоборот, игрок T будет диктатором, а N\T будет сообщать максимальную заявку. В области (m, m) равновесные заявки обоих игроков максимальны, и распределение ресурса между ними будет x(R, R).

Для фиксированного построим все сочетания оптимальных точек предпочтений игроков. Все они лежат на прямой rT+rN\T=, которая проходит последовательно через все описанные зоны. Для любой ее точки известны количества ресурса, получаемые коалициями в равновесии. График зависимости xT, от точки пика rT коалиции приведен на рис.2. Теперь мы можем пользоваться зависимостью xT = xT (rT, T ) для произвольной коалиции T.

Рис. 2.

Подставляя полученную зависимость в (3), получаем характеристическую функцию коалиции T в зависимости от ее состава и положения оптимальной точки rT ее целевой функции.

(4) v(T ) = f i ( yiT ), где yT = arg max f i ( ziT ( xT (rT, T ))).

z T Z ( rT,T ) iT iT 3.4. ОБЩИЙ ВИД ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕПУСТОГО C-ЯДРА При некооперативном рассмотрении этой задачи [4] для предсказания стратегий игроков не нужно знать точного вида их целевых функций, достаточно знать их точки пика ri. Чтобы в кооперативной модели определить случаи, когда C-ядро не пусто, уже необходимо знание точного вида целевых функ ций. Однако на практике определение точного вида целевых функций часто невозможно, поэтому инте ресным представляется получение достаточных условий непустоты C-ядра, основанных на анализе только точек пика игроков. Докажем вспомогательную лемму.

Л е м м а 1 : Для любого сбалансированного покрытия и произвольных величин {Ai: iN} справедливо равенство T Ai = Ai.

(5) T D iT i N Д о к а з а т е л ь с т в о : Порядок суммирования в (5) можно изменить, суммируя сначала коалициям, содержащим некоторого игрока i, а затем по всем игрокам из N.

A = A = A T i T i i T T D iT iN T :iT iN T :iT По формуле (1), = 1 для всех i. Следовательно T T :iT A = A = A.

T i i T i T D iT i N T :iT i N x (rT, T ) R, то C-ядро не пусто.

Теорема 1: Если для любого сбалансированного покрытия TT T D Доказательство: Подставляя в (2) выражение (4) имеем:

T f i ( yiT ) f i ( yiN ).

(6) T D iT iN Заменим местами порядок суммирования:

T f i ( yiT ) f i ( yiN ).

(7) iN T :iT i N Для любой вогнутой функции fi справедливо свойство [6].

xk (k = 1...M ), k 0 : k = 1 f ( xk ) f ( k xk ) k k k k По формуле (1), в качестве коэффициентов этой взвешенной суммы можно взять элементы сбалан сированного покрытия и сделать верхнюю оценку левой части (7):

T f i ( yiT ) f i ( T yiT ).

(8) iN T :iT i N T :iT Если обозначить Y := yiT, Y := Yi, то достаточное условие непустоты ядра запишется как i T T :iT i N (9) f (Y ) f ( y ).

i i i iN iN iN Заметим, что, по определению yT, y (10) Y = yiT = = x (rT, T ).

T T iT TT i N T :iT T D iT T D То есть в левой части неравенства (9) стоит, по сути, выигрыш максимальной коалиции N при неко тором распределении между ее участниками ресурса Y. В правой части стоит выигрыш максимальной коалиции N при оптимальном распределении между ее участниками ресурса R. В условиях дефицита большее количество ресурса в распоряжении максимальной коалиции дает большую полезность. Значит, если Y R, то, даже если распределение Yi является оптимальным распределением ресурса между f i (Yi ) участниками максимальной коалиции, все равно будет выполняться f i ( yiN ). Значит, i N i N искомое достаточное условие непустоты ядра запишется, как Y R, то есть (11) T xT (rT, T ) R для любого сбалансированного покрытия.

T D К сожалению, большинство используемых механизмов распределения ресурса не гарантирует не пустоты C-ядра для произвольных профилей точек максимума r=(ri)iN полезности игроков, то есть, возможны такие профили, при которых условие (11) нарушается. Чтобы быть уверенным в том, что такие профили игроков возникнуть не могут, центр должен иметь некоторую дополнительную инфор мацию о диапазонах точек пика игроков. Например, центр может иметь информацию о том, что точки пика ri принадлежат некоторым подмножествам Pi действительной оси.

При определенных ограничениях на эти множества центр может гарантировать, что C-ядро всегда не пусто.

3.5. ПРИМЕРЫ КОНКРЕТИЗАЦИИ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ Рассмотрим некоторые частные случаи подобных ограничений, которые гарантируют не пустое C ядро.

Теорема 2: если для всех коалиций T оптимальная точка r коалиций T и N\T, лежит в (m, m) (см. рис.2) то C-ядро игры не пусто.

Доказательство: если точка пика коалиций T и N\T, лежит в области (m, m), то равновесные заявки всех игроков равны R. Игроки при этом получают ресурс xi = i ( R,..., R ). Следовательно, условие непустоты C-ядра (11) запишется в виде T i ( R,..., R) R.

(12) T D iT Положим Ai := i ( R,..., R ), тогда, по лемме 1, перепишем (12) как ( R,..., R) R.

(13) i i N Но в левой части (13) стоит общее количество распределяемого ресурса при заявках игроков si=R. Так как механизм сбалансирован, это количество равно R, неравенство (13), таким образом, обращается в тождество и C-ядро не пусто.

Условие этой теоремы выполняется, например, если все точки пика riR/N. При этом Pi=[R/N, +).

Теорема 3: если есть такой игрок k, что для всех коалиций T, содержащих его, оптимальная точка r функций полезности коалиций T и N\T лежит в области (m, c) (см. рис. 2), а для остальных коалиций – в области (c, m) то C-ядро не пусто.

Доказательство: Разобьем множество D собственных коалиций на два подмножества:

DI = {T : (rT, rN \T ) (c, m)}, DII = {T : (rT, rN \T ) (m, c)} По условию теоремы, D=DIDII. Из рис.2 следует, что если некоторая коалиция TDI, то N\TDII.

Коалиции TDI – диктаторские, то есть xT = rT. Следовательно, xN\T = R-rT.

Условие непустоты ядра (11) в данном случае запишется как T rT + T ( R rN \ T ) R. Так как rN \T = rT, имеем (14) T D I T D II ( R + rT ) = r+ ( R rN \ T ) = r+ TT T TT T T D I T D II T D I T D II.

= r + (R ) TT T T D T D II r =. По определению теоремы, коалиции TDII и только они содер По лемме 1 для Ai=ri, TT T D жат игрока k. Тогда условие TDII можно переписать как T:kT. Но, по определению сбалансированного T = 1. Значит, покрытия, для любого k имеем T : k T r + (R ) = + R = R.

TT T T D T D II Для класса механизмов распределения, таких, что заявка si=0 гарантирует игроку i получение ре сурса xi=0, предположения, необходимые для выполнения условий теоремы 3 выглядят так:

Pi = [0, R / N ] для i k, Pk = [ R / N,+).

3.6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Множество всех точек пика игроков (или, иначе, множество профилей точек пика) r=(r1, …, rn)Rn+ можно разбить на множество C точек, где C-ядро не пусто и множество C\R+ точек пика r, таких, что можно подобрать некоторые вогнутые функции полезности с пиками в ri, что C-ядро получившейся игры будет пусто. Можно показать, что для монотонного непрерывного механизма всегда можно подоб рать профиль функций полезности АЭ, при котором C-ядро будет пусто. Это значит, что множество C\R+ содержит хотя бы один элемент. Множество C полностью определяется неравенством (11). Чтобы определить, пусто ли C-ядро для некоторого профиля r, необходимо подставить этот профиль в (11) и максимизировать левую часть по сбалансированным покрытиям. Это задача линейного программиро вания с ограничениями (1). Если искомый максимум меньше, чем распределяемое количество ресурса R, то профиль r принадлежит C.

Эта процедура, тем не менее, может оказаться довольно сложной из-за большой размерности задачи оптимизации. Поэтому интересными представляются результаты, подобные теоремам 2 и 3, которые дают простые условия, «вырезающие» некоторые подмножества множества C. Аналогично этим теоре мам, могут быть получены многие другие следствия теоремы 1 для различных предположений инфор мированности центра, для механизмов распределения, обладающих различными свойствами (например, анонимностью). Все они дают условия, при которых центр может, не задумываясь о конкретном виде функций полезности и, имея лишь некоторые предположения относительно точек пика целевых функ ций АЭ, с уверенностью ожидать, что C-ядро игры не пусто.

Следующим этапом подобных исследований мог бы быть синтез механизмов, гарантирующих не пустоту C-ядра для произвольных профилей точек пика игроков. Как отмечено выше, этот механизм должен быть либо разрывным, либо не монотонным. Пока единственный пример такого механизма – это «механизм авторитарного распределения», где вне зависимости от заявок каждому АЭ дается фиксиро ванное количество ресурса xi. Он представляет собой предельный случай для нестрого монотонных механизмов, в котором промежутков строгого возрастания количества получаемого ресурса в зависимо сти от заявки нет вообще.

4. Задача активной экспертизы Другой, не менее важной задачей планирования является задача активной экспертизы. Зада чей центра здесь является получение информации о каком-нибудь объекте, например, об эффек тивности функционирования предприятия или об оценке эффективности инвестиций. При этом центр либо не является специалистом в данной области своих интересов, либо считает более целе сообразным, в частности, более дешевым, прибегать к оценкам экспертов. При этом каждый эксперт являются активным, и его целевая функция достигает своего максимума в случае, если итоговая оценка, определяемая центром на основании обработки сообщений всех экспертов, сов падает с оценкой данного эксперта. Таким образом, возникает проблема искажения информации экспертами.

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть имеется Центр – организатор экспертизы и n активных элементов – экспертов. Оцениваемый экспертами параметр находится в интервале [d, D]. Истинное значение параметра для эксперта i равно ri.

Эксперт сообщает центру оценку si данного параметра, на основании которой, используя механизм () принятия решений s, (где s = (s1, s2,..., sn ) – вектор заявок), центр определяет итоговую оценку x* = (s ). Рассматриваются только непрерывные, монотонные механизмы принятия решений, удовле творяющие принципу единогласия [3]. Частным случаем подобного механизма может, например, яв ( ) s, при ляться механизм среднего арифметического (s ) = n n si или линейный механизм s = n ii i =1 i = котором мнения экспертов взвешены с коэффициентами i.

Примем, что функции полезности экспертов вогнутые однопиковые, причем максимум достигается при равенстве итоговой оценки истинному мнению эксперта, то есть это функции вида:

( ) ( ) f i (ri, x *) = f i ri x *, причем arg max f ri, x* = ri.

x* В равновесии Нэша часть экспертов сообщают оценку d, часть – оценку D, при этом может сущест вовать «диктатор», заявка которого sd совпадает с итоговой оценкой x*.

Основным результатом теории активной экспертизы является Т е о р е м а [ 3 ] : Для любой процедуры экспертизы существует эквивалентная ей процедура открыто го управления. При этом итоговая оценка строится по формуле (15) x* = max min (rk,Wk 1 ) k где Wk = d, d,...d, D, D,...D, k = 0, n, W0 = D, Wn = d.

1 24 1 4 34 nk k 4.2 ПОСТРОЕНИЕ ХАРАКТЕРЕСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ С-ЯДРА Если эксперты априори не знают предпочтений друг друга и имеют возможность сделать заявку лишь один раз, принцип максимального гарантированного результата будет более предпочтительной концепцией решения, чем равновесие Нэша. В то же время логично предположить, что коалиция знает предпочтения всех ее членов. В этих предположениях характеристические функции коалиций T и N\T определяется как:

f (s, s, ri ), n (16) V (T ) = max min T NT i s NT sT iT (17) V ( N \ T ) = max min f (s, s N \T, ri ), i T s NT s NT i N \ T где s T – вектор заявок коалиции T, s NT – вектор заявок игроков, не вошедших в коалицию T.

Аналогично процедуре, использованной при построении характеристической функции для задачи распределения ресурса, можно от векторных заявок s T и s NT перейти к единым заявкам sT и s NT, сведя задачу n переменных к задаче двух переменных.

Тогда характеристическая функция коалиции T запишется как f i (sT, s NT, ri ), (18) V (T ) = max min s NT sT iT В качестве простого примера можно рассмотреть экспертизу трех игроков с функциями полезности () f i = ( x * ri ), где 0 ri 1, а в качестве механизма определения итоговой оценки s взять среднее арифметическое.

Решив задачу (18), мы для каждой коалиции T можем найти характеристические функции. Вообще же зависимость характеристической функции от истинных значений параметров ri экспертов, вошедших в коалицию, имеет довольно сложную структуру.

Наличие пустого или непустого C-ядра зависит от вида характеристических функций и в общем случае довольно трудоемко. Однако относительно существования C-ядра можно сделать вывод: полная коалиция в задаче активной экспертизы выгодна экспертам в том случае, если значения их истинных оценок ri лежат близко к границам оцениваемого параметра, то есть близко к d или D.

Для нашего примера в случае если 0 r1, r2, r3 1 / 3 или 2 / 3 r1, r2, r3 1, то C-ядро не пусто.

Непустота C-ядра в этом случае вытекает из того факта, что эксперты не могут своей игрой полно стью застраховаться от наихудшей для них игры противников. Так, при 0 r1, r2, r3 1 / 3 коалиция первого и второго игроков даже при заявке s1 = s2 = 0 может гарантировать себе лишь x* =, что боль ше, чем r1 и r2, то есть полностью не страхуются от «плохой» для них игры третьего.

Объединение в максимальную коалицию будет не выгодным для экспертов (C-ядро пусто), в слу чае, если а) в некооперативной игре существует диктатор б) в некооперативной игре есть эксперт или коалиция экспертов, способных полностью застраховаться от неблагоприятной игры противников.

В случае а) диктатор в некооперативной игре достигает максимума своей функции полезности (на помним, что в этом случае x* = rd ), в то время, как выигрыш максимальной коалиции будет строго меньше (мы исключаем случай, когда i : ri = r ), то есть объединение в коалицию не выгодно диктато ру.

В случае б) игроку или коалиции, гарантирующей себе максимум функции полезности в коопера тивной игре (назовем его субдиктатор), не выгодно вступать в коалицию по тем же причинам, что и в случае а).

Для нашего примера в случае, если i : 1 / 3 ri 2 / 3 - то C-ядро пусто. Необходимо отметить, что в данном примере диктатором является игрок с истинной оценкой rd = arg max min(rk,Wk 1 ), а субдик k татором – игрок для которого 1 / 3 ri 2 / 3.

В остальных случаях C-ядро может быть как пустым, так и не пустым. Пустота или непустота C ядра определяется видом функций полезности экспертов и механизма определения итоговой оценки () s.

Для нашего примера, в случае, если 0 r1, r2 1 / 3, r3 2 / 3 или 0 r1 1 / 3, r2, r3 2 / 3, C-ядро может быть как пустым, так и не пустым.

4.3. МЕХАНИЗМЫ ОТКРЫТОГО УПРАВЛЕНИЯ Важной задачей теории активных систем является нахождение механизмов открытого управления, то есть таких механизмов, когда активные элементы заинтересованы в сообщении достоверной инфор мации о себе, причем искомый механизм должен учитывать не только индивидуальные действия экс пертов, но и возможность их кооперативного взаимодействия.

Для начала выясним, будет ли механизм открытого управления для случая некооперативного взаи модействия учитывать возможность объединения экспертов. Экспертам известно, что центр руково дствуется механизмом (15), однако, принимая во внимание возможность кооперативного взаимодейст вия, эксперты входящие в коалицию Т будут сообщать вместо своего истинного мнения ri, некую заявку ri', максимизмрующую полезность коалиции Т, то есть механизм определения итоговой оценки перепи шется как:

(19) x* = max min (rk ',Wk 1 ) k где ri' = ri, если iT и ri' = arg max VT (x * (r i ')) ri ' К сожалению, устойчивость механизма активной экспертизы относительно кооперативного взаимо действия экспертов, проявляется лишь для очень узкого класса функций полезности. Например, можно сделать следующее утверждение:

В случае если функции полезности экспертов квадратичные: f i ( x*, ri ) = (x * ri ), и в некоопера тивной игре существовал диктатор с истинным мнением Wn-1rdW1, либо C-ядро пусто, либо оно вырождено (т.е. состоит из единственной точки, дающей экспертам ту же полезность, что и при некоо перативной игре).

Действительно, если существует диктатор, то для некооперативной игры x*=rd. и полезность дикта тора fd= Если мы теперь предположим существование ядра, то максимум характеристической функции мак n ri (очевидно, что эксперты могут добиться симальной коалиции N будет достигаться при ~* = x n i = 1n такой итоговой оценки, если все подадут заявку s N = ri ). Выигрыш максимальной коалиции в этом n i = случае будет равен 1 n n (20) VN = ri rj j =1 n i = Теперь рассмотрим коалицию N-1 эксперта без диктатора. Очевидно, что максимум характеристи ri, и при этом значение ческой функции VN-1 для этой коалиции будет достигаться при ~* = x n 1 id характеристической функции равно:

1 (21) VN 1 = ri rj.

jd n 1 jd Эксперты, входящие в коалицию N-1 могут гарантировать себе достижение этой оценки, если все ri.

сообщат заявку s N 1 = n 1 id n x x VN 1, откуда сле = VN, По свойствам C-ядра, дележ должен удовлетворять условию: l l l =1 ld дует, что xd VN VN 1.

Следовательно 1 1 n n xd VN VN 1 = ri rj + ri rj = jd n 1 jd j =1 n i =1 1 ri (n 1)rj 0, = jd n(n 1) то есть мы получаем, что диктатор при дележе получит не больше, чем в некооперативной игре.

1n ri (n 1)rj 0 ri rd, диктатор получает строго меньше, чем в не В том случае, если n i = jd кооперативной игре.

1n 1n ri (n 1)rj = 0 ri = rd, если C-ядро не пусто, то x = x* = ri, что * В случае, если n i =1 n i = jd совпадает с некооперативным случаем. Это означает, что если C-ядро и не пусто, то оно вырожденно и состоит лишь из одной точки – точки значений некооперативных функций полезности.

Получаем тогда, что в случае, если функции полезности экспертов квадратичные:

()( ) * * f i x, ri = x riи в некооперативной игре существовал диктатор с истинным мнением Wn-1rdW1, экспертам не выгодно объединяться в коалиции, а выгодно играть индивидуально, а значит механизм (15) остается механизмом открытого управления.

К сожалению, во множестве других случаев корпоративного взаимодействия экспертов, C-ядро не пусто и экспертам выгодно объединяться в коалиции. Так, например, легко проверить, что ядро сущест вует в случае экспертизы трех экспертов с функциями полезности.

f1 = ( x * 0.1), f 2 = ( x * 0.4), f 3 = 100( x * 0.9 ). Действительно, в этом случае третьему 2 2 игроку выгодно подкупать первого и второго игроков с тем, чтобы они сообщили заявки, близкие к его истинному мнению.

4.4 ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Полученные результаты показывают, что в большинстве случаев рассмотрения кооперативного взаимодействия экспертов, C-ядро не пусто, то есть эксперты сочтут для себя выгодным объединяться в коалиции. В отличие от задачи распределения ресурса, где объединение игроков в коалиции шло на пользу Центру, приводя к увеличению эффективности функционирования активных элементов, в задаче активной экспертизы, возможность объединения в коалиции является для Центра вредом, способствуя искажению экспертами информации об своих истинных мнениях. Более того, имеющийся механизм (15) перестает быть механизмом открытого управления, так как экспертам в случае возможности коопера тивного взаимодействия становится невыгодно сообщать свои истинные мнения. Перспективным явля ется построение механизма открытого управления, который бы учитывал возможность кооперативного взаимодействия.

5. Резюме Обоснована необходимость рассмотрения кооперативных взаимодействий в задачах управления ак тивными системами. Для задач планирования предложена схема анализа кооперативных взаимодейст вий. Показана сфера применимости для анализа задач планирования C-ядра, как концепции решения кооперативной игры. Предложенная схема исследования реализована для задач распределения ресурса и активной экспертизы.

Для распределения ресурса исследованы различные модели взаимодействий АЭ. Для трансфера бельных полезности и ресурса доказано достаточное условие непустоты C-ядра и предложены его след ствия для различных вариантов информированности центра. Перспективным представляется синтез механизмов распределения ресурса, гарантирующих непустое C-ядро, а также рассмотрение других концепций решения, помимо C-ядра.

Для задачи активной экспертизы построена характеристическая функция. Исследованы условия не пустоты C-ядра на примере частного случая трех экспертов. Проведено обсуждение возможности по строения неманипулируемого прямого механизма экспертизы с учетом кооперативных возможностей экспертов.

Литература ОУЭН Г. Теория игр. М.: Мир, 1971. – 230 с.

1.

ПЕТРОСЯН Л.А., ЗЕНКЕВИЧ Н.А., СЕМИНА Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. – 304 с.

2.

НОВИКОВ Д.А., ПЕТРАКОВ С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИНТЕГ, 1999. – 108 с.

3.

БУРКОВ В.Н., КОНДРАТЬЕВ В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.:

4.

Наука, 1981. – 384 с.

5. ПЕТРАКОВ С.Н. Неманипулируемость механизмов планирования и множества диктаторства. / Теория активных систем. Труды Юбилейной международной научно-практической конференции. М.:

СИНТЕГ, 1999. – 320 с.

6. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:

Наука, 1989. – 624 с.

Гуреев А.Б., Кочиева Т.Б., Ледвинов В.П. Использование механизмов стимули рования для увеличения объема продаж в торговых компаниях Введение В теории активных систем [1-4] накоплен богатый опыт как теоретического исследования и разра ботки математических моделей механизмов стимулирования в активных (организационных) системах (АС), так и их практического внедрения. В настоящей работе рассматривается задача синтеза системы мотивации (материального поощрения) для сотрудников торговых компаний (менеджеров по прода жам), которая побуждала бы их увеличивать объемы продаж в интересах компании в целом.

1. Описание модели Представим торговую компанию в виде двухуровневой активной системы [3], на вернем уровне ие рархии которой находится управляющий орган – центр, а на нижнем уровне – менеджеры по продажам – активные элементы (АЭ).

Рассмотрим случай одноэлементной АС с одним видом товара. Предположим, что действием АЭ является выбор неотрицательного числа y 0, содержательно интерпретируемого как объем продаж.

Пусть емкость конкурентного рынка не ограничена. Обозначим: P0 – фиксированная цена закупки, P1 – фиксированная цена продажи, c0 – постоянные издержки (включая амортизацию оборудования, наклад ные и пр. расходы), c0(y) – переменные издержки, - ставка налога с прибыли, - суммарные начисле ния на оплату труда. Тогда доход компании равен P1y, валовая прибыль - (P1 – P0) y, а чистая прибыль равна: H(y) = {(P1 – P0) y – с0 – c0(y)}(1-).

Если (y) – величина вознаграждения АЭ, а R(y) – величина единого фонда потребления и накопле ния, то имеет место следующее балансовое условие:

(1) {(P1 – P0) y – с0 – c0(y)} (1 - ) = (y) (1 + ) + R(y).

Предположим, что цель центра (компании в целом) заключается в максимизации величины R(y).

Управляющим воздействием центра является система стимулирования (зависимости вознаграждения АЭ от его действия), на которую наложим требование монотонности.

Обозначим целевую функцию центра (y*, ). Если при заданной системе стимулирования АЭ вы бирает действие, которое максимизирует разность f(y, ) = (y) – c(y) между стимулированием (y) и затратами c(y) АЭ по выбору этого действия, то задачу управления (задачу стимулирования) можно записать в следующем виде:

(2) (y*, ) = {(P1 – P0) y* – с0 – c0(y*)}(1 - ) - (y*) (1 + ) max, ( ) (3) y Arg max f(y, ).

* y 2. Решение задачи стимулирования Для решения задачи (2)-(3) необходимо ввести определенные предположения относительно пере менных издержек центра и функции затрат активного элемента:

А.1. c0(y) – монотонно возрастающая гладкая функция, такая, что c0(0) = 0, y’ 0: c0(y) – вогнутая функция при y y’ и выпуклая при y y’.

А.2. c(y) – монотонно возрастающая выпуклая гладкая функция, c(0) = cmin 0.

Предположим, что центру неизвестна достоверно функция затрат АЭ, но ему известно, что y A c-(y) c(y) c+(y), где функции c-(y) и c+(y), определяющие границы диапазона возможных значений затрат АЭ, удовлетворяют предположению А.2.

Известно [3, 4], что в рамках введенных предположений в детерминированной АС (в условиях пол ной информированности) оптимальной является система стимулирования К-типа, которая в точности равна затратам АЭ: K(y) = c(y). Поэтому задача (2)-(3) сводится к задаче оптимального согласованного планирования, то есть к задаче поиска действия АЭ y* A, реализация которого наиболее выгодна для центра (4) y* Arg max {(P1 – P0) x – с0 – c0(x)}(1 - ) - c(x) (1 + ).

x Обозначим характерные точки функции чистой прибыли (далее просто «прибыли») центра сле дующим образом: y1 = min {y 0 | H(y) = 0}, y2 = arg max H(y), y3 = max {y 0 | H(y) = 0}. Очевидно, y что в рамках введенных предположений выполнено: y1 y2 y3, y’ y2.

Добавим к ограничениям задачи (2)-(3) условия индивидуальной рациональности:

(5) f(y*, ) 0, (y*, ) 0.

Тогда из (2)-(5) следует, что центру выгодно побуждать АЭ выбрать одно из действий y из отрезка [y1;

y2] при условии, что (y) (1-) c(y) (1+). Обозначим характерные точки целевой функции центра:

(y, c-(y)), y + = arg (y, c+(y)).

* * max max y = arg { y 0 | H ( y )(1 )c ( y )(1+ )} { y 0 | H ( y )(1 )c ( y )(1+ )} В рамках введенных предположений выполнено:

(5) y1 y + y y2 y3.

* * Таким образом, центру заведомо невыгоден выбор АЭ действий, не принадлежащих отрезку [ y + ;

y ]. Поэтому рассмотрим следующую систему стимулирования *, график которой приведен на * * рисунке 1. При действии АЭ, меньшем y +, *(y) = cmin, то есть АЭ получает минимальное вознагражде * ние cmin (увеличение вознаграждения по сравнению с этой величиной не имеет смысла), при y [ y + ;

y ] активному элементу гарантированно компенсируются затраты, то есть *(y) = c+(y), а при y * * y *(y) = c+( y ), то есть выбор больших действий не поощряется, но условие монотонности выпол * * * нено. Легко видеть, что при c(y) c+(y), y* = y, то есть данная система мотивации стимулирует рост объемов продаж.

Содержательно, активному элементу гарантируется минимальное вознаграждение cmin, независимо * от его действий (см. рисунок 1). Если объем продаж превышает величину y +, то АЭ получает за это * премию (c+( y + ) - сmin). При дальнейшем росте объема продаж вознаграждение возрастает, причем не медленнее, чем растут затраты (побуждение к увеличению объема продаж). При превышении объемом * продаж величины y вознаграждение остается постоянным (так как затраты АЭ при этом возрастают, * то выбор действий, превышающих y для него невыгоден).

c+(y) *(y) * c+( y ) * c+( y + ) сmin y * * 0 y+ y Рис.1. Система стимулирования *.

Предложенная система стимулирования *, несмотря на то, что доказать ее оптимальность для об щего случая пока не удалось, обладает следующими положительными качествами. Во-первых, она учитывает специфику торговой компании (см. выражение (1) и предположения А.1 и А.2), во-вторых, она является минимальной (с точки зрения затрат центра на стимулирование) системой стимулирования, которая одновременно гарантированно реализует выгодные для центра действия и (если реальная функ ция затрат АЭ оказывается меньше максимальной) побуждает АЭ выбирать максимальные действия, то есть делает выгодным увеличение объема продаж.

Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрена задача синтеза системы стимулирования, побуж дающей работников торговых компаний к увеличению объемов продаж. Следует отметить, что предло женная система стимулирования, учитывающая специфику торговых компаний, внедрена на практике. В то же время, она носит во многом эмпирический характер, хотя и обосновывалась исходя из теоретиче ских соображений.

Поэтому среди перспективных направлений будущих исследований в данной области целесообраз но выделить: полное аналитическое решение соответствующей задачи синтеза оптимальной функции стимулирования, в том числе – и для многоэлементных АС, изучение устойчивости этого решения по параметрам модели (в частности – функциям затрат активных элементов), анализ сравнительной эффек тивности персонифицированных и унифицированных систем индивидуального и коллективного стиму лирования из рассматриваемого класса в многоэлементных активных системах.

Литература БУРКОВ В.Н., НОВИКОВ Д.А. Как управлять проектами. М.: Синтег, 1997. - 188 с.

1.

НОВИКОВ Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд 2.

"Проблемы управления", 1999. - 150 с.

3. НОВИКОВ Д.А., ПЕТРАКОВ С.Н. Курс теории активных систем. М.: Синтег, 1999. – 108 с.

4. НОВИКОВ Д.А. Стимулирование в социально-экономических системах (базовые математические модели). М.: ИПУ РАН, 1998. - 216 с.

Дранко О.И., Кислицына Ю.Ю. Многоуровневая модель финансового прогно зирования деятельности предприятия Введение В последние годы Россия живет в условиях перехода к рыночным взаимоотношениям, изменений на товарных рынках, финансовых рынках. Многие промышленные предприятия нашей страны оказались в непростой финансовой ситуации. В этих условиях управление финансами оказывается важнейшей составляющей деятельности предприятия. Каждому предприятию необходимо просчитывать свои действия. Чрезвычайно важно не только отслеживать финансовую ситуацию на сегодня, но и пони мать что будет завтра;

наряду с этим важно уметь отвечать на вопрос: «А что будет, если..?»

Ответы на эти вопросы могут быть получены при помощи имитационных моделей финансового прогнозирования. В условиях ожесточившейся конкуренции все больше и больше предприятий и ком паний обращают свой взор в сторону наукоемких методов борьбы с конкурентами, в числе которых финансовое прогнозирование является, пожалуй, одним из важных, но пока не получившим широкого применения в России.

В данной работе рассматривается имитационная модель финансового прогнозирования, позво ляющая формировать прогноз финансовой отчетности и анализировать последствия принятия управлен ческих решений.

1. Математическая модель Исходными данными для моделирования являются основные финансовые документы предприятия (баланс, отчет о финансовых результатах), а также статистическая отчетность за последние n периодов.

В общем виде логика модели может быть представлена в виде следующей блок- схемы:

Бухгалтерский баланс (форма 1), Отчет о прибылях и убытках (форма 2), Форма 5-з (за несколько периодов) Агрегированный баланс Укрупненный отчет о финансовых результатах Расчет коэффициентов: удельных затрат, оборачиваемости оборотных активов и оборачиваемости кредиторской задолженности Введение управляющих воздействий Прогноз объема продаж Прогноз коэффициентов: удельных затрат, оборачиваемо сти оборотных активов и оборачиваемости кредиторской задолженности Прогноз финансовой отчетности Удовлетворителен ли полученный прогноз?

Да Нет Необходимо введение Нет необходимости управляющих воздей внесения корректи ствий ровок Формирование пакета Выход необходимых мер (управление) Возможно построение комплекса иерархических моделей различной глубины. Рассмотрим логику модели более подробно на примере модели минимальной сложности, которая включает в себя 15 пока зателей.

Используемые сокращения:

Т – продолжительность отчетного периода в днях;

ОП – объем продаж;

А – активы предприятия;

ВА – внеоборотные активы;

ОА – оборотные активы;

П – пассивы;

СК – собственный капитал;

З – займы;

КЗ – кредиторская задолженность;

уд_з – удельные затраты;

k_ОА – коэффициент оборачиваемости оборотных активов;

k_КЗ – коэффициент оборачиваемости кредиторской задолженности;

– ставка налогообложения;

kн НП – нераспределенная прибыль;

ПДФ – потребность в дополнительном финансировании.

Величины в прогнозируемом периоде помечены верхним индексом "F" Так, пусть имеется необходимая отчетность за последние n периодов. Необходимо получить про гноз финансовой отчетности предприятия, полагая, что оно намерено увеличить объем продаж до ОПF.

ОПF является экзогенной переменной – его значение определяется вне модели (исходя из существующих тенденций развития предприятия, основываясь на маркетинговых исследованиях, экспертных оценках и т.д.). При этом предполагается сохранение сложившихся хозяйственно-экономических тенденций разви тия предприятия.


Основное балансовое уравнение предприятия (активы равны пассивам) имеет вид ВА + ОА = СК + З + К.

Это соотношение является своего рода инвариантом финансовой отчетности и остается верным для любого момента времени.

Введем теперь коэффициенты, связывающие объем продаж и себестоимость реализованной про дукции, оборотные активы, кредиторскую задолженность, – коэффициенты прогнозирования:

уд_з = С / ОП, k_ОА = (ОА / ОП) * Т, k_кз = (КЗ / ОП) * Т.

Данные переменные имеют простой содержательный смысл, понятны как экономистам-теоретикам, так и экономистам-практикам: значение коэффициента оборачиваемости оборотных активов соответст вует среднему времени операционно-технологического цикла, т.е. времени от покупки сырья и материа лов до оплаты готовой продукции;

значение коэффициента оборачиваемости кредиторской задолженно сти – среднему времени задержки оплаты кредиторской задолженности. Кроме того, в терминах удельных затрат и сроков оборачиваемости можно формулировать целевые установки для предприятия, то есть подходить к формированию, а затем и принятию решений. Именно поэтому модель строится на базе этих переменных.

Определим прогнозные значения статей финансовой отчетности в следующем периоде, используя прогнозное значение объема продаж ОПF.

Анализ зависимости коэффициентов прогнозирования от времени для многих предприятий показы вает, что с приемлемой точностью она может быть описана линейным временным трендом вида k_пр= a + b* t.

По исходным данным (k_пр 1,t1), …, (k_пр n,tn) оцениваем значения параметров a и b методом наи меньших квадратов. Полученное уравнение регрессии может быть использовано для получения прогно за значения коэффициента прогнозирования в (n+1) периоде:

k_пр F = a + b* t n + 1.

Произведя необходимые вычисления, получаем прогноз значения удельных затрат, оборачиваемо сти оборотных активов и оборачиваемости кредиторской задолженности в (n+1) периоде: уд_зF, k_ОА F, k_КЗ F.

Прогноз значений себестоимости, оборотных активов, кредиторской задолженности есть СF = (уд_зF * ОП F)/ Т, ОАF = (k_ОАF * ОП F)/ Т, КЗF = (k_КЗF. * ОП F)/ Т.

На данном этапе предполагаем, что изменение ОП не требует увеличения внеоборотных активов, так что можно считать ВАF = ВАn.

Это предположение оказывается верным для большинства российских предприятий, т.к. ситуация неполной загрузки мощностей является для них весьма типичной;

если же это не так, на этапе управле ния возможно введение соответствующих корректировок.

Полагая, что новых заимствований в прогнозном периоде не будет, имеем ЗF = Зn.

Прогнозируемая нераспределенная прибыль есть НПF = (ОП F – СF) * (1 – kн).

Значение собственного капитала в прогнозируемом периоде будет СКF = СКn + НПF.

Тогда, АF = ВАF + ОАF, ПF = СКF + КЗF + ЗF.

Таким образом, определены прогнозные значения статей финансовой отчетности.

2. Проверка прогнозного варианта на реализуемость Основное балансовое уравнение предприятия (А = П) должно оставаться верным и для прогнозного периода. Но возможна ситуация, когда активы и пассивы предприятия оказываются несбалансирован ными. Разность между активами и пассивами предприятия называется Потребностью в дополнительном финансировании:

ПДФF = АF – ПF.

Потребность в дополнительном финансировании выступает в качестве критерия достижимости за данного желаемого уровня объема продаж. Если АF= П F, то план по заданному объему продаж оказы вается реализуем. Но, как правило, рост оборотных активов, обусловленный ростом объема продаж, оказывается неподкрепленным в достаточном объеме источниками финансирования, что делает план по выпуску желаемого объема продаж нереализуемым. Поэтому возникает потребность в дополнительном финансировании оборотных средств: ПДФF 0. Следовательно, необходимо выработать финансовые и управленческие решения, исполнение которых привело бы к балансировке активов и пассивов при достижении желаемого объема продаж. На данном этапе у предприятия существуют следующие воз можности:

1) задействовать внешние источники финансирования – использование кредитов или эмиссия акций;

2) задействовать внутренние резервы предприятия путем внутренних изменений на предпри ятии:

а) сокращение удельных затрат, б) ускорение операционно-технологического цикла.

В рамках данной модели эти изменения описываются уменьшением коэффициента удельных затрат и уменьшением коэффициента оборачиваемости оборотных активов соответственно.

За счет сокращения удельных затрат увеличивается нераспределенная прибыль, т.е. появляется до полнительный источник финансирования;

за счет ускорения операционно-технологического цикла уменьшается потребность в оборотном капитале. (На практике именно сокращение сроков оборачивае мости оборотных активов является важнейшим фактором высвобождения финансовых средств.) В качестве возможности балансировки активов и пассивов может рассматриваться и такая «нехо рошая», но широко распространенная в нынешней российской действительности мера, как задержка платежей, т.е. по сути, неплатежи. В рамках данной модели задержка платежей описывается увеличени ем коэффициента оборачиваемости кредиторской задолженности.

Таким образом, все эти изменения можно рассматривать как внутренние инвестиции.

3. Введение управленческих воздействий. Сценарии В рамках данной модели можно получить количественную оценку «внутренних резервов» предпри ятия путем введения управления. Для каждого коэффициента прогнозирования k_прогн, где k_прогн = уд_з;

k_ОА;

k_кз, возможно введение корректирующих (управляющих) воздействий:

k_прогн FNEW = k_прогн F + u_ k_прогн, скорректированное значение коэффициента прогнозирования будет равно сумме исходного прогнозного значения и экспертной оценки возможного изменения коэффициента прогнозирования. Тогда будет скорректировано значение соответствующих статей баланса и отчета о прибылях и убытках. Таким образом, получаем новый скорректированный прогноз, учитывающий введение управляющих воздейст вий.

На этапе введения управления целесообразно использовать модель 2-го уровня (она содержит около 80 показателей), которая позволяет провести более тщательный анализ. В ней, в частности, вместо агре гированного коэффициента удельных затрат используется группа коэффициентов: удельные материаль ные затраты, удельные затраты по оплате труда, по социальному обеспечению, по налогам, по аморти зации;

вместо агрегированного коэффициента оборачиваемости оборотных активов – следующая группа коэффициентов: оборачиваемость сырья и материалов, оборачиваемость незавершенного производства, оборачиваемость готовой продукции, оборачиваемость НДС, оборачиваемость дебиторской задолжен ности, оборачиваемость денежных средств;

вместо агрегированного коэффициента оборачиваемости кредиторской задолженности – оборачиваемость кредиторской задолженности перед поставщиками и подрядчиками, оборачиваемость кредиторской задолженности по оплате труда, оборачиваемость креди торской задолженности по социальному обеспечению, оборачиваемость кредиторской задолженности перед бюджетом.

Для выработки необходимых финансовых и управленческих решений мер целесообразно рассмотреть ряд возможных сценариев:

1. Сокращение затрат – Уменьшение коэффициентов удельных затрат.

2. Ускорение оборачиваемости оборотных активов – Уменьшение оборачиваемости оборотных ак тивов (как правило, самый хороший способ, если, конечно, он реализуем на практике).

3. Задержка платежей (Неплатежи) – Увеличение оборачиваемости текущих пассивов (вынужден ный способ).

4. Высвобождение внеоборотных активов, привлечение кредитов и собственного капитала – Кор ректировка соответствующих статей.

5. Смешанный сценарий В каждом из этих сценариев предлагается воздействовать на конкретную группу показателей и/или статей. Таким образом, рассмотрев различные варианты управления, можно выбрать воздействия, наи более действенные на данном конкретном предприятии.

В рамках модели можно не только получить количественную оценку «внутренних резервов» пред приятия путем введения управляющих воздействий, но и определить приоритетные направления внут ренних изменений. Это можно сделать при помощи анализа чувствительности. Под анализом чувст вительности понимается следующее: последовательно исследуется влияние единичного изменения значения каждого коэффициента прогнозирования (удельные затраты, коэффициенты оборачиваемо сти оборотных активов и кредиторской задолженности) на Потребность в дополнительном финанси ровании. В результате такого анализа можно выбрать наиболее значимые коэффициенты (изменения которых приводят к наибольшему по абсолютной величине уменьшению ПДФ).

Таким образом, пользователь модели может определить те коэффициенты, на которые наиболее целесообразно воздействовать для получения наилучших результатов на данном конкретном предпри ятии.

4. Интервальное оценивание прогноза В литературе в основном описаны подходы, предполагающие точечную (детерминистическую) оценку показателей без оценки их достоверности. Но в случае прогнозирования экономических показа телей важно не столько собственно прогнозное значение, сколько некий доверительный интервал, в который с заданной вероятностью попадает значение этого показателя. Рассмотрим интервальное оце нивание прогноза.

Для коэффициентов прогнозирования и тех статей, прогнозы которых строились на базе линейной регрессии, доверительный интервал для индивидуальных значений строился по стандартной техноло гии:

() x'f 2 доверит. интервал = прогноз ± t s 1 + +, () n x'i 2 где t – статистика Стьюдента, s – стандартное отклонение, xi’ – отклонение каждого значения xi среднего, xf’ – отклонение значения xf, используемого для прогнозирования, от среднего, n – число пе риодов. Для оценки интервалов для остальных статей использовались формулы для определения по грешностей в косвенных измерениях.


Рассмотрим это на примере реально действующего предприятия – машиностроительного завода. В таблице 1 приведена динамика изменения коэффициента оборачиваемости оборотных активов.

Таблица 1.

факт факт факт факт факт факт факт факт 1.01.9 1.04.9 1.07.9 1.10.9 1.01.9 1.04.9 1.07.9 1.10. дата 6 6 6 6 7 7 7 k_ОА 69 104 117 134 104 119 116 (дни) Результаты, полученные при ретроспективном анализе, представлены на графике (прогноз строился на основе данных n – 1 периода, и затем полученные прогнозные значения сравнивались с фактическими значениями n-го периода). На нем приведена фактическая динамика изменения коэффициента оборачи ваемости оборотных активов, полученный линейный временной тренд, которым в рамках модели опи сывается зависимость данного коэффициента от времени и 70% доверительная зона для индивидуаль Коэффициент оборачиваемости оборотных активов дни янв.96 апр.96 июл.96 окт.96 янв.97 апр.97 июл.97 окт. фактические значения линейный временной тренд верхняя граница 70% доверительной зоны для инд. значений нижняя граница 70% доверительной зоны для индивидуальных значений ных предсказанных значений коэффициента.

Как видно из графика, вне доверительной зоны лежит одно фактическое значение коэффициента. В рамках данной модели получено прогнозное значение изменения коэффициента оборачиваемости обо ротных активов в III квартале 1997 года, равное 132 дням, фактическое же значение коэффициента – дней. То есть относительное отклонение прогнозного значения от фактического составило 4%. При этом с 70% вероятностью значение коэффициента оборачиваемости оборотных активов в III кв. 1997 года лежит в диапазоне от 105 до 158 дней.

При формальном оценивании доверительные интервалы получаются достаточно широкими (± 1020%). При неформальном, качественном осмысливании результатов прогноза, по опыту практиче ского консультирования, фактически наблюдаемые отклонения прогнозных показателей выглядят не значительным, и предлагаемый способ прогнозирования вполне применим для рассмотрения рабочих сценариев.

5. К вопросу о практической применимости Полезность и ценность любой модели определяется не только стройностью теории, полученными в результате анализа качественными выводами, но и адекватностью модели реальности, возможностью и целесообразностью ее практического применения. Поэтому важно понять, насколько хорошо модель описывает действительность, насколько точным получается прогноз финансовой отчетности, каковы границы применимости моделей. В данных исследованиях оценка точности производилась путем ретро спективного анализа: прогноз строился на основе данных (n – 1) периода, и затем полученные прогноз ные значения сравнивались с фактическими значениями n периода;

ОП и эндогенные переменные опре делялись, исходя из предположения сохранения сложившихся хозяйственно-экономических тенденций.

Проведенные исследования позволяют предполагать, что для оценки прогнозных значений основ ных статей баланса и отчета о прибылях и убытках следует применять более простую и менее трудоем кую модель минимальной сложности – применение более детальной модели (модели 2-го уровня, вклю чающей в себя 80 показателей) не приводит к значительному улучшению точности. Но для более тщательного анализа на этапе введения управленческих воздействий целесообразно использовать мо дель 2-го уровня.

Приведем некоторые результаты практических исследований (см. таблицу 2) Сравнивались полученные значения себестоимости, оборотных активов и кредиторской задолжен ности: при использовании модели минимальной сложности прогнозировались непосредственно указан ные статьи, в модели 2-го уровня прогноз себестоимости, оборотных активов и кредиторской задолжен ности определялся как сумма прогнозов соответствующих подстатей.

Краткая характеристика исследуемых предприятий Предприятие 1 – машиностроительный завод, стабильное, «работающее» предприятие.

Предприятие 2 – представитель пищевой промышленности, характеризуется быстрым ростом продаж.

Таблица Результаты сравнения точности прогнозов, полученных при использовании модели минимальной слож ности и модели 2 уровня факт (руб) прогноз (млн. руб) отклонение модель модель модель модель миним. миним. 2-го 2-го сложн. уровня сложн. уровня Предприятие Объем продаж 70 696 759 72,7 2,9% Себестоимость 66 503 250 70,9 71,1 6,7% 6,9% Обор. активы 108 667 752 106,7 106,3 -1,8% -2,2% Кредит_задолж 98 580 977 95,6 93,2 -3,6% -5,5% Предприятие Объем продаж 105 563 55,0 -47,9% Себестоимость 82 445 51,7 52,4 -37,2% -36,4% Обор. активы 99 593 56,1 55,5 -43,7% -44,2% Кредит_задолж 34 290 42,7 43,7 24,8% 27,5% Как видно из вышеприведенных данных, прогнозы, полученные с использованием модели мини мальной сложности и модели 2-го уровня, оказываются близки.

Значительные отклонения прогнозных значений от фактических для 2-го предприятия в значитель ной степени обусловлены неточностью определения ОП на период упреждения. При исследованиях будущее значение ОП определялось, исходя из сложившихся тенденций, что не учитывало резкого роста производства, спровоцированного послекризисной кампанией по поддержке отечественного производи теля. Кроме того, в n-ом периоде предприятием был взят долгосрочный заем, что позволило заметно сократить текущую задолженность. Это определило значительное отклонение прогнозного значения КЗ от фактического.

Заключение Представленная в работе модель строится на базе прогнозирования финансовых коэффициентов.

Эти коэффициенты являются характеристиками финансово-экономического состояния предприятия.

Руководство предприятия может прямо или косвенно влиять на них. Предлагаемые в рамках модели механизмы управленческих воздействий имеют ясный экономический смысл. Это позволяет использо вать ее в качестве удобного инструмента для оценивания последствий различных финансовых и управ ленческих решений, и подходить к формированию необходимого пакета мер.

Рассмотренная модель позволяет сделать ряд важных выводов. Выше было показано, что рост про даж приводит к возникновению потребности в дополнительных денежных средствах займах. Таким образом, получено модельное обоснование необходимости инвестиций. И фраза "Нужны инвестиции" должна восприниматься не просто как лозунг, а как действительно обоснованная необходимость для предприятия. Кроме того, модель объясняет еще одну экономическую реалию – инфляция ведет к воз никновению неплатежей. Действительно, в условиях инфляции инфляционный рост продаж ведет к инфляционному росту активов. Возникает необходимость в пассивах. Но порождаемой инфляцией прибыли оказывается недостаточно. В отсутствие источников внешнего финансирования это приводит к неуправляемому росту кредиторской задолженности, т.е. к ситуации неплатежей.

Литература 1. БРЕЙЛИ Р., МАЙЕРС С. Принципы корпоративных финансов. Пер. с англ. – “Олимп-Бизнес”, 2. ДРЕЙПЕР Н., СМИТ Г. Прикладной регрессионный анализ. – М: Финансы и статистика, 1986.

3. Финансовый менеджмент. Компьютерный практикум, под ред. В.В. Ковалева, В.А. Ирикова. – Финансы и статистика, 1998.

4. BRIGHAM E.F., GAPENSKI L.C. Financial Management. – The Dryden Press, 1994.

5. CARLETON W.T., McINNES J.M. Theory, Models and Implementation in Financial Management // Management Science, 1982. – № 28. – P. 957–978.

6. КLOEK Т. Loss development forecasting models: an econometrician’s view // Insurance: Mathematics and Economics, 1999. – Volume 23. – Issue 3. – P. 251–261.

Искаков М.Б.О моделировании банков с разным периодом функционирова ния Введение Статья посвящена одному из новых приложений ТАС – применению моделей и методов теории к описанию банковской сферы и решению возникающих там задач. На сегодняшний день в банковской практике применяются различные математические методы [1,3,4,5]. Наиболее часто решаемая задача – составление оптимального портфеля активов, то есть распределение ресурсов по различным статьям (без учета активности систем), с различными ограничениями, сводящаяся к задачам линейного программи рования. При определении банковской стратегии часто встают вопросы прогнозирования, которые разрешаются различными методами, часто при помощи анализа временных рядов, построения трендов и корреляционных зависимостей. Существует разработанная система моделей финансовых операций в условиях неопределенности, оценки рисков и способов их уменьшения, опирающаяся на теорию вероят ностей, случайных процессов и математическую статистику [4].

Почти во всех случаях активность субъектов, с которыми сталкивается банк в ходе своей деятель ности, специально не учитывается, они рассматриваются как внешняя среда с некоторым сложным вероятностным поведением. Рассмотрение активности участников производится лишь при решении некоторых задач, которые по отношению к банковской деятельности являются частными специфиче скими операциями (модели торгов, модели финансового рынка [4], и другие).

При анализе деятельности банков с позиций ТАС очевидно, что они в своей работе сталкиваются с множеством различных субъектов, большей частью им не подчиненных: вкладчиками, заемщиками, конкурирующими банками, собственными отделами и филиалами. От их активного поведения, согласо ванности действий и интересов, всецело зависит успех деятельности банка. Из всего разнообразия ак тивных систем для построения модели были выбраны взаимоотношения двух банков и вкладчиков.

Банки конкурируют друг с другом за привлечение денег вкладчиков в течение нескольких периодов функционирования. Исходной моделью для описания этой ситуации была взята динамическая задача, описанная в [2].

1. Постановка задачи для случая постоянных ресурсов Имеются два банка, привлекающие средства вкладчиков под процент и размещающие их под процент µ, получающие прибыль от их разницы. Банки функционируют в течение промежутка времени, состоящего из Т малых периодов. Один из них определяет процент 1(t) на каждый малый период t=1,...,Т ("первый" банк), другой – на весь длинный период 2 ("второй" банк). Проценты, под которые размещаются средства, не зависят от воли банков и изменяются во времени µ1(t), µ2(t), соответственно для первого и второго банков, t – номер малого периода.

Ограничения: 1(t), 2 0 0, µ1(t)–1(t) µ01 0, µ2(t)–2 µ02 0, то есть имеются минимальные уровни доходности для всех участников. При первом рассмотрении положим эти уровни равными нулю.

Имеется множество вкладчиков j=1,...,N, xi – сумма в распоряжении j-го вкладчика, xj=X – общая сумма вкладов. Вкладчик выбирает, в какой из двух банков положить свои деньги.

Целевая функция первого банка:

T T (1+µ1(i)) (µ1(t) – 1(t)) (1) C1 = Х1 ( t =1 i = t + где µ1(t) – параметр внешней среды, известный банку, 1(t) – определяется им самим, Х1 – та сумма средств, которую ему удастся привлечь.

Целевая функция второго банка:

T T (1+µ1(i)) (µ2(t) – 2)) (2) C1 = Х2 ( t =1 i =t + где µ2(t) – параметр внешней среды, 2 – определяется банком, Х2 – сумма привлеченных средств.

Целевая функция вкладчика:

T T (1+1(i)) 1(t) + (1 - I) ((1+2)T-t – 1)) (3) C3 = xi (I t =1 i =t + где вкладчику известны 1(t), 2, а сам он определяет I{0,1} (выбирает между двумя банками). Пред полагается, что первый банк определяет свою политику 1(t) заранее на все малые периоды и сообщает ее вкладчикам.

T T Коэффициенты (1+1(i)) в целевых функциях означают, что в соответствии с (1+µ1(i)), i = t +1 i = t + принципом сложных процентов доход, полученный в каком либо малом периоде, снова вкладывается до конца большого периода, и на него тоже начисляются проценты.

Требуется найти стратегии участников 1(t), 2, I, и значения их целевых функций.

Кроме основной, центральной постановки задачи рассматриваются несколько ее модификаций:

1. Как изменится решение задачи, если разрешить вкладчику снять вклад досрочно (с различными штрафными санкциями).

2. Исследовать случай, когда µ известны не точно, а как интервал, в который они попадают µmin µ µmax.

3. Исследовать поведение решения в зависимости от значений уровней 0, µ01, µ02, при первом рас смотрении их можно положить равными нулю, а после общий случай.

4. Если второму банку предложить в качестве альтернативной стратегии возможность полностью перейти на условия функционирования первого банка с разделением всего объема привлекае мых средств без конкуренции, например, пополам, при каких условиях это ему выгодно?

5. В основной постановке задачи предполагается, что первый банк и вкладчик при определении своей стратегии максимизируют свою целевую функцию на всем длинном периоде времени.

Как изменится ситуация, если они будут руководствоваться результатами только текущего ма лого периода?

2. Решение задачи для случая постоянных ресурсов Если допустить, что µ1(t)=µ2(t)=µ(t), то второй банк может конкурировать с первым только в тех периодах, в которых µ(t)=µmin, c нулевой прибылью при стратегии 2=µmin. Но естественней предполо жить, что долгосрочные вложения должны приносить более высокие проценты, чем краткосрочные, т.е.

µ2(t)µ1(t).

Так как вклады у нас в модели все одинаковые и условия для них равные, то переливаться из банка в банк они будут все вместе, и тот из банков, который предложит вкладчику наилучшие условия, станет монополистом по привлечению средств. Посмотрим, какой процент должен предложить второй банк, чтобы перехватить все вклады.

Если вкладчик не может изъять вклад в любой момент (основной случай), то для процента, выпла чиваемого вкладчику банком с неизменной политикой, привлекающим вклад на Т периодов, чтобы не допустить отлива вкладов, должно выполняться условие:

T (4) (1 + 2)T (1+µ1(i)) i = T (1 + µ (i)) (5) 2 = –1+ T i = где - малая величина.

(Вообще, постоянный сложный процент эквивалентный переменному, будет средним геометриче ским.) Условие (5) всегда дает преимущество второму банку.

Если допустить возможность досрочного изъятия вклада без штрафа, то (6) 2 = maxt(µ1(t)) + Условие (6) можно ослабить, если в определяемую политику банка заложить не постоянную, а пе ременную = 2(t).

(6) дает преимущество второму банку, если T (7) (1+ maxt(µ1(t))) T (1+µ2(i)) i = В противном случае, если считать, что отлив вкладов, уже вложенных в долговременные активы, приносит банку неприемлемый убыток, преимущество имеет первый банк.

Пусть вкладчик может изъять свои средства с долгосрочного счета, но после этого не может их об ратно вложить под те же проценты, тогда T (8) j = 1...T: (1 + 2)T–j+1 (1+µ1(i)) i= j T (1 + µ (i )) – 1 + (9) 2 = maxj=1...T T i = В этом выражении уровень 2 больше, чем в (6), но меньше, чем в (5);

при возрастающем µ1(i) он эквивалентен (6), а при убывающем – (5).

Если же вкладчик может изъять свои средства, лишь потеряв при этом все проценты, то T (10) j = 1...T: (1 + 2)T (1+µ1(i)) i = что эквивалентно (5) для случая полной предсказуемости.

2.2. СЛУЧАЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Если µ известно не точно, то можно сделать оценки µmin µ µmax, и (по методу гарантированного результата) оценивать µ1(t) по максимуму, а µ2(t) по минимуму. Так как ошибка при определении µ1(t) может обойтись дороже, чем в случае с µ2(t), то банковская ставка 2 в (6) определяется из максимума, а при определенном проценте по вкладам наихудшим случаем становится реализация минимальных зна чений µ. При этом, чем больше неопределенность, чем шире разброс между максимумом и минимумом, тем большую выгоду имеет первый банк.

Пусть µ1(t) – уровень, реализующийся в действительности, µ1~(t) – прогнозная оценка, µ1(t) + 1 = k(t) (µ1 (t) + 1), где k(t) – поправочный коэффициент. Тогда для удержания вкладов при растущем по време ~ ни k(t) должно выполняться (в случае, когда изъятие средств возможно только с потерей процентов):

T T (1+ µ1 (t)) (1+ µ1~(t)) k(j) ~ (11) j=1...T:

i= j i = T (1+ µ1~(t)) k(j)T–j+ (12) i = Если в j-м периоде произошло резкое непредвиденное колебание k(j), то по этой формуле можно оценить, произойдет ли отлив вкладов. Можно брать оценку kmax вместо µmax.

При убывающем k(t) для сохранения доходности банка должно выполняться T T (1+ µ1~(t)) (1+ µ2~(t)) k(t) (13) i =1 i = Здесь k(t) оценивается по минимуму.

В случае, когда реальные µ(t) выходят за пределы оценок, то в контракте с вкладчиком (депозитном договоре) можно предусмотреть пересмотр договора при таких обстоятельствах (условный вклад).

2.3. СЛУЧАЙ ВОЗМОЖНОСТИ РАЗДЕЛА ВКЛАДОВ Теперь допустим, что второй банк может либо стать монополистом, либо предложить вкладчику те же условия, что и первый и разделить с ним общую сумму вкладов пополам. Определим, при каких условиях это ему выгодно. В первом ("монополистическом") случае прибыль второго банка составит:

T T T (1 + µ ( j)) – 1)) (14) Х ( (1+µ1(i)) (µ2(t) – ( T j = t =1 i =t + (смотри формулу целевой функции и (5)), во втором (раздел вкладов):

T T (1+µ1(i)) µ1(t)) (15) Х/2 ( t =1 i =t + Сравнивая два варианта, выбираем наилучший. Т.е. здесь мы сравниваем с одной стороны разность между доходностью долгосрочных вложений и среднегеометрической доходностью краткосрочных, с другой – долю (половину) доходности краткосрочных вложений.

2.4. РАССМОТРЕНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ УРОВНЕЙ Теперь рассмотрим ограничения 0, µ – µ0, где 0 – минимальный процент, под который вкладчик соглашается давать средства, µ0 – доля средств, необходимая для поддержания инфраструкту ры банка. Если обозначить µ*(t)=µ(t)–µ0–0, *(t)=(t)–0, то задача сводится к предыдущей, с той особенностью, что соотношение между µ1*(t) и µ2*(t) может оказаться не в пользу второго банка. По смотрим, когда это происходит.

Естественно, что µ02 µ01. Чтобы второй банк мог стать монополистом по привлечению вкладов, должно выполняться условие:

T (1+ µ1*(t)) (16) (1+2*)T t = При этом второй банк не должен быть убыточным:

T (1+ µ2*(t) – 2*) (17) t = Из двух предыдущих равенств:

T T (1 + µ ( j )) (1+ µ2*(t) – (18) + 1) T t =1 j = То есть, в случае учета банковских затрат, для сохранения монопольного преимущества второго банка по привлечению средств необходимо и достаточно, чтобы после вычета из доходности долгосроч ных вложений среднего геометрического коротких вложений, остаток оставался положительным. Дока жем это. Если последнее неравенство выполняется, то банк может подобрать ставку 2*, обеспечиваю щую ему монопольное положение (необходимость). Если допустить, что оно не выполняется, то банк не может предложить ставку 2* достаточно высокую, чтобы сохранить монополию и при этом не стать убыточным на всем длинном периоде (достаточность).

Более сильное, но более простое условие: µ1*(t) - µ2*(t) µ0, для всех t.

2.5. СЛУЧАЙ «БЛИЗОРУКОЙ» ПОЛИТИКИ ПЕРВОГО БАНКА И ВКЛАДЧИКА Рассмотрим еще один вариант: пусть первый банк и вкладчик не заглядывают далеко вперед, а строят свою политику на один малый период, но µ1(t) известны для всех предстоящих t.

Тогда целевая функция для первого банка будет:

(19) C1 = Х1 (µ1(t) - 1(t)) для вкладчика:

(20) C3 = xi (I 1(t) + (1 - I) 2 ) для второго банка останется прежней.

Найдем стратегию "монополиста" для второго банка в этом случае. Граница снизу для 2 : (1+2)T 1+µ1(t) для всех t=1,...,T, (21) 2 maxt ( t 1 + µ 1 ( t ) – 1) Граница сверху задается:

T (22) (1+µ1(t)–2) t = Искомая ставка будет соответствовать нижней границе, если выполняется условие верхней (если не выполняется, то второй банк теряет свою монополию).

В этом варианте существенным является поведение µ1(t), µ2(t) по времени (стабильное, растет, убы вает).

Если µ1(t) стабильно, то значение целевой функции второго банка останется таким же, как и в слу чае длительной стратегии первого банка и вкладчика.

Если µ(t) растет, например, в геометрической прогрессии: µ1(t+1)=(1+k)µ1(t), тогда 2 = min {µ1(1),k}, то есть ситуация для второго банка существенно более выгодная (как и вообще в случае µ1(t) µ1(1)).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.