авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН

УПРАВЛЕНИЕ

БОЛЬШИМИ

СИСТЕМАМИ

Выпуск 18 СБОРНИК

ТРУДОВ

ISSN 1819-2467

Регистрационный номер Эл №ФС77-27285 от 22.02.2007

Москва – 2007

www.mtas.ru

ИНТЕРНЕТ-сайт теории управления

организационными системами

Целью сайта является предоставление специалистам по тео рии и практике управления организационными системами (уче ным, преподавателям, аспирантам, студентам, а также реаль ным управленцам) доступа к ресурсам, отражающим современное состояние теории и возможности обмена идеями и результатами.

На сайте имеются разделы:

Теория – с обзором теории управления организационными системами, глоссарием, инфор мацией для аспирантов;

Практика – с обзором результа тов внедрения механизмов управления в реальных органи зациях;

Библиография – около публикаций по теории управле ния, снабжена классификатором и аннотациями;

Электронная библиотека – более 400 полнотекстовых монографий, статей и учебных пособий;

а также многое другое.

На сайте работает форум, на котором можно обсудить вопро сы, относящиеся к математике, экономике, управлению органи зациями, узнать новости теории управления и ознакомиться с планируемыми конференциями и семинарами.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Волгоградский научно- Липецкий научно образовательный центр образовательный центр проблем управления проблем управления (ВолГУ) (ЛГТУ) Воронежский научно- Самарский научно образовательный центр образовательный центр проблем управления проблем управления (ВГАСУ) (СГАУ) УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ СБОРНИК ТРУДОВ Выпуск Москва – УДК 519 ISSN 1819- ББК 32. У Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 18. М.: ИПУ РАН, 2007. – 159 с.

Дата опубликования: 10.10. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ Главный редактор: д.т.н. Д.А. Новиков Ответственный секретарь: к.т.н. М.В. Губко д-ра техн. наук: С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, В.Г. Засканов, Л.А. Кузнецов, А.К. Погодаев;

д-ра физ.-мат. наук: А.А. Воронин, П.А. Головинский, А.Г. Лосев, А.Г. Чхартишвили;

д-ра экон. наук: В.Д. Богатырев, Р.М. Нижегородцев.

Адрес редакции: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 65.

Сборник является одним из печатных органов сети науч но-образовательных центров проблем управления, созданной ИПУ РАН и рядом ведущих ВУЗов России: ВолГУ, ВГАСУ, ЛГТУ и СГАУ (подробнее см. http://www.mtas.ru/noc/).

В сборнике представлены статьи ученых, специализи рующихся в области разработки и внедрения математических моделей и методов управления сложными социально-эконо мическими и организационно-техническими системами.

На сайте www.mtas.ru доступны электронные версии этого и всех предыдущих выпусков сборника.

C 2006 года сборник зарегистрирован как электронное научное издание (ЭНИ) за номером № 0420600023. Публика ция в ЭНИ учитывается при защите диссертации при указа нии номера ЭНИ и идентификационного номера публикации, присваиваемых НТЦ «Информрегистр» (www.inforeg.ru).

ИПУ РАН, СОДЕРЖАНИЕ Беленький С.Л.

Разработка методики решения кадровых вопросов на основе теории полезности........................................ Блюмин С.Л., Миловидов С.П.

Явное выражение псевдообратной лапласиана дву дольного графа................................................................ Головинский П.А.

Инновационное управление системами с неограни ченной конкуренцией....................................................... Долгов А. И., Короченцев Д. А.

Один из методов сравнительной оценки эффектив ности решения при четких и нечетких исходных данных.............................................................................. Мирецкий И.Ю.

Оптимизация работы системы последовательного типа.................................................................................. Новиков Д.А.

Модели формирования и функционирования неодно родных команд................................................................. Томилин А.А.

Использование окрестностно-временного моделиро вания в задачах формирования организационных структур.......................................................................... Турганбаев Е.М., Козлова М.В.

Кластеризация регионов Казахстана с учетом факторов экономического роста.................................. Харитонов В.А., Винокур И.Р., Белых А.А.

Функциональные возможности механизмов ком плексного оценивания с топологической интерпре тацией матриц свертки................................................ Шиян А.А.

Теоретико-игровая модель для управления эффек тивностью взаимодействия "преподаватель – ВУЗ". РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ КАДРОВЫХ ВОПРОСОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ Беленький С.Л.

(Университет прикладных наук, Дюссельдорф) stanbel@gmx.net Статья посвящена разработке модели управления персоналом на предприятии, позволяющей предвидеть развитие характе ристики соответствия занимаемой должности в зависимости от изменения профессиональной компетентности и конъюнк туры рынка. Отправной точкой служат, дополненные собст венными соображениями, принципы математической теории полезности и последние разработки в области теории адап тивной полезности. Методика позволяет принимать матема тически обоснованные управленческие кадровые решения.

Ключевые слова: управление персоналом, теория вероятно стей, статистика, теория полезности.

Введение Планирование рабочей силы должно представлять собой систематический и интегрированный процесс, который имеет своим результатом четкие директивы для организаций, позво ляющий им иметь в своем штате достаточное количество на дежных сотрудников, обладающих всеми необходимыми навы ками, чтобы успешно реагировать на настоящие и будущие изменения конъюнктуры.

Таким образом, актуальность избранной темы определяется необходимостью исследования методических подходов к анали зу именно микроструктуры рынков труда, а также разработки механизмов проведения исследований конкретных предприятий на предмет перспективности принятия на работу, продолжения сотрудничества или увольнения отдельных работников. Эти темы и определили цель настоящего исследования. В соответст вии с этой целью были поставлены следующие основные зада чи:

o исследовать существующие качественные показатели оценки состояния субъектов рынка труда, обосновать воз можность их применения в соответствующих условиях предприятия;

o определить характер, классифицировать и оценить воз можность оценки профессиональной пригодности сотруд ников в свете актуальной кадровой политики;

o разработать модель прогнозирования ситуации на пред приятии, позволяющую предвидеть изменение профес сиональных характеристик персонала и принимать обос нованные управленческие решения.

Предметом исследования является система методов выра ботки и оценки рыночно ориентированной кадровой стратегии многопрофильных производственных предприятий или органи заций сферы услуг, обладающих таким широким ассортиментом и достаточно большим количеством сотрудников, чтобы иметь возможность использования аппарата статистики и современных достижений теории вероятностей.

1. Описание проблемы Задачу планирования рабочей силы можно интерпретиро вать как дискретно-временной марковский процесс решений на непрерывном пространстве. Переменный вектор случайных состояний представляет собой количество сотрудников на раз личных отрезках кривой опыта. Такой подход позволит отразить вероятностный характер объекта исследования и выяснить оптимальные структурные характеристики кадровой политики.

В начальном периоде работы сотрудника обработать полу ченные показатели статистически наиболее трудно как раз из-за его короткой временной протяженности. Проще говоря, человек не успевает совершить много однотипных ошибок в течение одного-двух дней, а принятие далеко идущих кадровых решений после такого короткого испытательного срока было бы неос мотрительным.

С другой стороны, чем быстрее станет видно, что сотрудник не соответствует занимаемой должности, тем скорее можно сде лать соответствующие организационные выводы и тем самым избежать ещё больше потерь: ущерба репутации компании, срыва контрактных обязательств и дестабилизации внутрифир менного климата.

Таким образом, становится ясно, что эффективное планиро вание персонала невозможно без разработки адекватной модели случайных изменений в составе и профессиональной пригодно сти персонала.

Остановимся подробнее на последней переменной. В тече ние каждого последующего периода работы сотрудник может улучшить свои знания о предмете выполняемой работы. Следуя дискретной концепции, введём уровни i = 1, 2,..., m. Эти уровни могут объединить в себе накопленные знания, способности гибко реагировать и уместно их применять, быстроту исполне ния задания. Более подробная детализация слишком усложнит моделирование на этом этапе.

Описанная динамика развития имеет своим противником противоположную тенденцию. Вспомним, например, сферу ме дицинского обслуживания. С течением времени виды заболева ний, причины их вызывающие, их симптомы могут существенно и не всегда предсказуемо изменяться. Несчастные случаи, на протяжении многих лет ограничивающиеся сердечными при ступами, пищевыми отравлениями и дорожными происшест виями, подверженные лишь сезонным колебаниям, типа роста обморожений и переломов в зимний сезон или количества ядо витых укусов в летний, могут быть неожиданно прерваны тех ногенной или природной катастрофой, имеющей длительные последствия (пример – авария на ЧАЭС в 1986 году). В такой обстановке большинство накопленных знаний окажутся беспо лезными или даже вредными из-за слишком стереотипного мышления. Суммируя, можно сказать, что долгое время работы не означает автоматического повышения надёжности сотрудника.

2. Построение модели С первого взгляда может показаться, что известное распре деление Вейбулла (Барзилович и др. [1]) способно достаточно точно смоделировать описанные процессы изменения уровня надёжности или профессиональной компетентности на протя жении всего периода сотрудничества, но можно предположить, что этим вся проблема не будет решена.

Здесь хотелось бы остановиться на очень важном отличи тельном моменте. Подход к оценке надёжности, разработанный для деталей машин, электронных элементов, программного обе спечения и других технических систем и агрегатов, лишь весьма ограниченно может быть применим к персоналу предприятия.

Можно заметить, что большинство предлагаемых до сих пор методик оценки индивидуальной надёжности были основа ны на прямом переносе технических идей в область управления персоналом. Это недопустимо не только с этической точки зрения, но и по причине отсутствия независимости между дей ствиями сотрудников.

Чтобы подойти к решению этой непростой задачи, возьмем для начала за основу проверенный временем байесовский под ход [2, 3] и добавим к нему модельное предположение о дискре тизации компетентности работника по уровням. Уровни профес сиональной подготовленности можно упорядочить в порядке возрастания, при этом поставив им в соответствие соответст вующие уровни предполагаемой надежности работника.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСОБОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ Обратимся для начала к критерию максимума ожидаемой полезности, так как он имеет наибольшее распространение при решении задач принятия решений вообще и в случае определе ния кадровой политики может быть даже определяющим. Мат рица (таблица) полезности содержит полезности (доходы), выраженные в терминах денег. Однако ожидаемые денежные значения не всегда являются наилучшим критерием в задачах принятия решений.

Значение денег есть вещь индивидуальная. Оно изменяется в различных ситуациях и для различных лиц, принимающих решение. В общем, полезность денег не является линейной функцией от количества денег. В каждой ситуации система поддержки принятия кадровых решений должна располагать информацией о полезности денег для лица, принимающего решение, и выбирать такую линию управления персоналом, которая соответствует максимальной ожидаемой полезности в большей мере, чем наибольшему ожидаемому денежному зна чению прибыли.

Найм нового сотрудника, как правило, означает повышен ный риск для фирмы. Некоторые управленцы даже осуществля ют страховые выплаты в форме гонорара посредникам или, так называемым, рекрутерским фирмам для того, чтобы избежать возможности финансовых потерь в результате нежелательных событий. Однако полезности различных событий не могут быть пропорциональны их денежным последствиям. Если потери относительно большие, менеджер предпочитает осуществить соответствующую выплату. Если субъект считает, что потери незначительные, то маловероятно, что он будет осуществлять соответствующую выплату.

Субъекты различаются в их отношении к риску, и эти раз личия влияют на их выбор. Поэтому они должны принимать одинаковые решения относительно воспринимаемого риска в аналогичных ситуациях. Это не означает, что субъекты оцени вают одинаково количество риска в аналогичных ситуациях.

Более того, из-за финансовой стабильности некоторого субъек та, два субъекта в одной и той же ситуации могут реагировать различно, но их поведение должно быть рационально.

Ожидаемое денежное вознаграждение, соответствующее различным решениям, может быть неприемлемым по следую щим двум важным причинам:

1. Денежная единица, например, 100 руб., не всегда точно выражает персональное значение последствия. Это выражение того, что движет некоторых управленцев нанимать нового со трудника за 100 руб. в час.

2. Ожидаемые денежные значения могут не совсем адекват но отражать нежелание рисковать. Например, предположим, что имеется выбор между получением 10 руб. за ничегонеделание и решением о принятии на работу нового сотрудника. Результат найма, для начала (!), предположим равновероятно позитивным или негативным в широком смысле этого слова.

Если сотрудник оказался работоспособным и компетент ным, то фирма получает 1000 руб. прибыли. Однако если со трудник несостоятелен, фирма теряет 950 руб. Первая альтерна тива имеет ожидаемое вознаграждение 10 руб., вторая – 0,51000 + 0,5 (–950) = 25 руб. Очевидно, что второй выбор был бы более предпочтительным, если бы критерием был бы ожи даемое денежное вознаграждение. В то же время, менеджер может предпочесть гарантированные 10 руб., чтобы избежать риска потери 950 руб.

Вспомним известный Санкт-Петербургский парадокс Бер нулли. Парадокс состоит в следующем: симметричную монету, вероятности выпадения орла и решки которой равны 1/2, броса ют до тех пор, пока не появится орел. Игрок получает 2m руб., если первое выпадение орла произойдет на m-ом испытании.

Вероятность этого события равна вероятности последовательно го выпадения решек в первых m – 1 испытаниях и появления орла на m-ом испытании, которая равна (1/2)m.

Таким образом, игрок может получить 2 руб. с вероятно стью 1/2, 4 руб. с вероятностью 1/4, 8 руб. с вероятностью 1/8 и т.д. Следовательно, среднее (ожидаемое) значение выигрыша равно 2 1/ 2 + 4 1/ 4 +... = 1 + 1 +..., и эта сумма бесконечна.

Отсюда следует, что за участие в этой игре можно заплатить какую угодно сумму.

Однако никто не будет в этом случае руководствоваться средним денежным выигрышем. Бернулли в свое время предло жил считать не действительную денежную стоимость исходов, а внутреннюю стоимость их денежных значений. Разумно пред положить, что для многих субъектов, внутренняя стоимость денег увеличивается с ростом суммы денег, но в уменьшающей ся степени. Такой функцией, например, является логарифм. Так, если полезность n руб. равна lg n, то среднее значение полезно сти равно 1/2lg 2 + 1/4lg 4 + …, что является конечным числом.

Почему же некоторые люди все-таки устраиваются на рабо ту, а некоторые нет? Процесс принятия решений включает среди прочих психологические и экономические факторы. Концепция полезности – это попытка измерить полезность денег для лица, принимающего решение. Она позволяет объяснить, почему, например, некоторые нанимают специалиста за 10 000 руб., в надежде, что сотрудник принесет прибыль на 1 миллион рублей.

Для таких людей 1 000 000 10 000 руб. меньше, чем 1 000 руб. Для этих людей шанс «выиграть» 1 000 000 руб. значит больше, чем 10 000 руб., чтобы «играть». Поэтому для того, чтобы принять осознанное решение, учитывающее отношение лица, принимающего решение, к риску, нужно перевести де нежную матрицу доходов в матрицу полезностей. Главный вопрос: как измерить функцию полезности для конкретного лица, принимающего решение?

Рассмотрим ещё один пример задачи принятия решений от носительно вопросов кадровой политики. Для начала выясним, что может означать «полезность 12»? Назначим 100 единиц полезности и ноль единиц полезности наибольшим и наимень шим доходом, выраженным в рублях, соответственно в таблице доходов. Для числового аспекта рассматриваемого примера, мы назначим 100 единиц значению 15, и 0 – значению 2. Предполо жим, что у ЛПР (лица принимающего решения) есть выбор между следующими сценариями:

1) Получить 12 руб. за ничегонеделание, то есть без увольне ний и без принятия на работу, называемые «определенный эквивалент». Разница между определенным эквивалентом лица, принимающего решение, и ожидаемого денежного значения называется платой за риск.

2) Принять следующую кадровую стратегию (наняв того или иного сотрудника): получить прибыль 15 руб. с вероятно стью p, или получить прибыль 2 руб. с вероятностью (1 – p), где p – некоторое число от 0 до 1.

Изменяя значение p и повторяя аналогичный вопрос, най дется значение p, при котором ЛПР не может выбрать из двух сценариев один из-за их «одинаковости» с его точки зрения.

Примем p = 0,58. Теперь полезность за 12 руб. равна 0,58100 + (1 – 0,58)0 = 58. Повторяя эту процедуру для всех элементов таблицы доходов, получим матрицу полезностей.

2.2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ АДАПТИВНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ Когда архитектор строит дом, то постройке фундамента должно быть уделено наибольшее внимание. Следуя этому образу действий, я предлагаю подробнее рассмотреть этап решений о найме персонала. Это довольно специфичная область принятия решений, связанная с риском, вызванным неточностью оценки потенциала отдельных работников. Многие руководите ли кадров с успехом решают вопрос нахождения нужного ра ботника в нужное время, но для большего количества их коллег это продолжает оставаться проблемой. После того, как работник зачислен в штат, необходимо попытаться спрогнозировать дальнейшую трудоотдачу, намерения остаться на занимаемом посту, карьерные устремления и многие другие факторы моти вации.

Автор предлагает построить модель принятия решений о найме на основе последних разработок в области теории адап тивной полезности (ТАП). Теория адаптивной полезности для последовательного принятия решений в условиях неопределен ности подразумевает обобщение стандартного байесовского подхода, разрешающего начальную неопределенность полезно сти и задающего предпочтения обучения.

ТАП–методы предполагают, что стратегия принятия опти мальных решений отличается от той, которая основана только на окончательной оценке полезности. Существует несколько вариантов, как выяснить предпочтения лица, получающего информацию о перспективном сотруднике. Теория адаптивной полезности может быть с успехом применена к вопросам кадро вой политики и предложена к использованию в тех случаях, когда предположения о функции полезности достаточно четко обозначены.

Идеи, предложенные Байесом, дополненные гипотезой ожидаемой полезности Бернулли, могут служить неплохим базисом для принятия решений в ситуациях, связанных с неоп ределенностью. В процессе последовательного принятия реше ний специалист, управляющий кадрами, может пользоваться наблюдениями показанных за всё прошедшее время трудовых результатов для того, чтобы скорректировать собственные предположения о будущих успехах работника, сохранении или изменении наметившейся тенденции.

Традиционно предполагается, что лицо, принимающее ре шения, в состоянии полностью определить свою функцию по лезности для всех возможных последствий реализации решений, даже для тех решений, которые ЛПР до этого никогда не при нимал. Таким образом, если распределение возможных послед ствий для всех существующих вариантов решений неизвестно, классическая байесовская теория не позволяет ЛПР извлечь «исторические» уроки.

Теория адаптивной полезности, как показывает Де Гроот (De Groot) [4], обобщает классическую теорию принятия реше ний Байеса, допуская то, что ЛПР не может полностью количе ственно определить свои предпочтения. Основываясь на сооб ражениях о параметрической форме функции полезности, предполагается, что получение опыта происходит тем же путем, что и тот, который позволяет ЛПР корректировать свои предпо ложения о значениях параметров распределения последствий решений. Иначе говоря, ЛПР может актуализировать свои пред положения о неизвестных значениях параметров в результате наблюдения и, тем самым, получения данных о результатах решения.

Эти неизвестные параметры могут принимать различные формы. Особо интересные примеры включают вектора весов полезностей или меры склонности к риску. Получение опыта (обучение) может быть результатом наблюдения за рекламой и объявлениями о найме, что означает независимость полученных данных от действий самого ЛПР.

Например, Дж. Бергер (J. O. Berger) в работе [2], обсуж дающей оценку полезностей, пишет, что лицу, принимающему решения, требуется бесконечное количество времени и неогра ниченно точные способности, чтобы рассчитать полный пере чень оценок. Общеизвестно, что обычные процедуры оценок в большой степени зависят от методики и подвержены влиянию смещения или несостоятельности. Для последовательных про блем, в которых размерность пространства результатов значи тельно возрастает, оценка субъективной полезности часто прак тически невозможна, в отличие от большинства тривиальных проблем.

Исходя из того, что все требуемые субъективные компонен ты невозможно определить абсолютно точно, приходится искать возможности решения проблемы в направлении теорий, позво ляющих использование неточных предположений или неполных спецификаций целей. Один из таких методов – это параметриче ская модель полезности. Предположим, что ЛПР имеет намере ние построить логарифмическую функцию полезности парамет ра благосостояния w, u(w) = log (aw + b), где параметры a и b – это специфические постоянные, которые ЛПР должен опреде лить. Разница заключается в том, что хотя любая такая аппрок симация никогда не будет точной, исследователю достаточно определить постоянные a и b, не углубляясь в непосредственное определение полезности для всех возможных уровней w.

Вернемся к функции полезности u(w) = log(aw + b). Следуя классической теории построения модели, было бы необходимо вначале задать значение постоянных a и b. После того, как это будет сделано, аналитики могут предположить, что такая функ ция представляет собой корректную модель предпочтения, и, следовательно, разрешается использования классической тео рии. С другой стороны, ТАП утверждает, что значения, присво енные a и b, являются только догадками и дополнительная информация, становящаяся доступной в промежутках между решениями, достаточно уместна при актуализации предположе ний, лежащих в основе оценивания этих констант.

Параметрическая функция полезности для вознаграждения r в лучшем случае записывается в виде u (r q ) = g (r, q ), где g – это любая функция, а q – совокупность параметров. Примени тельно к сфере трудовых ресурсов, это могут быть профессио нальные качества конкретной кандидатуры. Такая запись пока зывает, если предположить корректность построенной модели, что актуальная полезность получения вознаграждения r стано вится известной, если нам известны значения q. Предполагая логарифмическую модель полезности определенного уровня благосостояния, знание q = (a, b) позволяет ЛПР определить количество полезности при определенном уровне благосостоя ния w (здесь параметры a и b моделируют склонность к риску).

Проблема заключается в том, что хотя и значение q пред полагается постоянным, лицо, принимающее решение, не обяза тельно всегда знает это точное значение, и вынуждено основы ваться на догадках. Лицо, принимающее решение, имеет возможность предварительно оценить ожидаемое текущее зна чение полезности, которое затем, с помощью ТАП, может быть актуализировано методами "байесовского" обучения.

ТАП сводится к классическому решению в случае одного периода. Однако, в последовательной проблеме, когда дополни тельная информация поступает в промежутках между периода ми, необходимо учитывать возможность обучения на основе информации, и таким образом перехода к следующим периодам решений с повышенным уровнем знаний о значениях парамет ров модели.

Лицо, принимающее решение, может иметь намерение мак симизировать ожидаемое значение функции полезности или целый ряд значений вознаграждения в случае ситуации последо вательных решений. Это значит, что функция полезности при обретает периодический характер. Если получаемая информация пригодна для актуализации предположений об уровнях полезно сти, зависящих от действий ЛПР, тогда он может посчитать полезным выбрать такие решения, которые, хотя и не обеспечи вают наибольшую немедленную прибыль, но обладают большей информативностью и помогают повышению производительно сти труда в долгосрочном периоде.

Рассмотрим пример планирования медицинского коллекти ва. Обсудим процедуру отбора претендентов. Обозначим двух перспективных кандидатов, как доктор А и доктор В. Предпо ложим, что менеджер по персоналу никогда до этого не нанимал доктора В и может только догадываться об уровне его профес сиональной пригодности и трудоспособности по сравнению с доктором А. Консервативная теория предполагает в этом случае отдачу предпочтения доктору А. Следовательно, так как доктор В не будет нанят, никакой информации о его способностях не будет получено. Таким образом, "близорукая" теория оконча тельно рекомендует выбор доктора А для включения его в со став бригады скорой помощи. И такой процесс будет повторять ся в каждом следующем периоде.

В другом случае, если администрация решит действовать, думая о будущем, то она может быть приятно удивлена работо способностью доктора В и, может быть, даже отдаст предпочте ние ему. Такая альтернатива связана с определенным риском возможной потери некоторого количества полезности, которая будет заметна на начальном этапе (или впоследствии). С другой стороны, большее количество полезности также может быть выиграно в первом или последующих периодах.

Первый пример можно формализовать следующим спосо бом. В случае решений, принимаемых в течении n периодов, решения о найме доктора А или доктора В (соответственно d A или d B ), означают получение определенного количества пользы от работы доктора A или B соответственно. В классической теории полезность обозначается, как u c, такая теория не пред полагает получение опыта от присвоения предпочтений. Это говорит нам о том, что в результате найма доктора А мы полу чим полезность равную 1, в то время, как найм доктора В прине сет нам полезность q 1. Таким образом, мы имеем, что u c (B) = q 1 = u c (A). Исходя из того, что такая проблема принадлежит к области принятия решений в условиях неопреде ленности, но результаты принятия решений можно предсказать с уверенностью, рекомендуется принимать решение dA на каж дом периоде времени.

В ТАП предлагается обозначить полезность через u a. Кро ме того, допускается неуверенность ЛПР относительно значений полезности. В частности, можно записать, что u a (B) = q, где q неизвестно и E[q ] = q 1. Можно предположить, что если ЛПР примет решение d B, то тогда он получит дополнительное коли чество информации z. Такая информация может иметь различ ные формы. В рамках обсуждаемого примера достаточно пред положить, что z может иметь значение для актуализации оценки q. В таком случае получается так, что даже для двух периодов предпочтительнее выбрать dB в первом периоде. Это можно видеть, рассмотрев наибольшее значение прихода ожидаемой полезности на протяжении двух периодов, сравнивая два случая, когда первым принято решение dA, или первым принято реше ние dB:

dA в первом периоде { } E[u a ( A)] + max E[u a ( A)], E[u a ( B)] = 1 + max{, E[q ]} = dB в первом периоде E[u a ( B)] + max { E[u a ( A) / z ], E[u a ( B) / z ]} f ( z )dz = = E[q ] + max {1, E[q / z ]} f ( z )dz ТАП опирается на знание субъективных предположений ЛПР и величины горизонта планирования. Для сценария "доктор А против доктора В" используется частный случай функции полезности, основанный на количестве знаний о трудоспособно сти доктора В и числе периодов, заключенных в расстояние до горизонта планирования. Эти факторы оказывают решающее влияние на решение о том, стоит ли попробовать нанять доктора В в первом периоде.

Рассматривая сценарий "доктор А против доктора В" на протяжении двух периодов, зададим для примера начальные предположения о q следующим образом: P(q = 1,5) = 0,4 и P(q = 0,5) = 0,6, что значит E[q ] = 0,9 1. Предположим, что получение данных z снимет всяческую неопределенность со значений q. То есть принятие на работу доктора В даст полное представление о его трудоспособности.

1+ dA d 1 + E [q ] dB E [q ] + d1 dA d E [q ] + E [q z = 1.5] dB z E [q ] + dA d E [q ] + E [q z = 0.5] dB Рис.1: Дерево решений для двухпериодной задачи.

Предположим, что z принимает следующие значения:

z = 1,5, если мы точно знаем, что q = 1,5, и z = 0,5, если мы можем с уверенностью сказать, что q = 0,5. Тогда, используя методику Байеса, находим, что z распределяется, как P(z = 1,5) = 0,4 и P(z = 0,5) = 0,6. Можно продемонстрировать, что в случае двух периодов лучшей стратегией ЛПР будет при нять решение в первом периоде. Дерево решений, иллюстри рующее эту проблему, представлено на рис. 1.

Если мы попробуем поменять начальные условия таким об разом, что предположения о q будут иметь значения P(q = 1,5) = 0,2 и P(q = 0,5) = 0,8 (т.е. E[q ] = 0,55), получается, что для двухпериодной проблемы оптимально выбрать решение dA в обоих периодах. С другой стороны, решение dB может быть оптимальным в первом периоде, если горизонт планирования будет достаточно расширен. Принятие решения dA всё же будет оптимально в первом периоде, если информация z будет полу чена вне зависимости от того, какое конкретно из решений будет принято.

Вообще говоря, любая полученная управляющим кадрами информация имеет неотрицательное значение. Можно сказать, что разница в получении предполагаемого количества полезно сти, возникающая при принятии решений, используя информа цию, и без таковой будет уменьшаться вместе с ростом числа пройденных периодов, по причине уменьшения числа возмож ностей воспользоваться полученной информацией.

Можно предложить гипотезу о том, что проблема последо вательного принятия решений зависит от продолжительности исследуемых процессов и величины начальной неопределенно сти. Следовательно, оптимальной стратегией является принятие решений в момент наличия наибольшего количества информа ции. Другими словами, запаздывание с принятием решения может привести к потере актуальной полезности, несмотря на значительное возрастание количества знаний, полученных за последующие периоды. Нельзя не упомянуть влияние внешней среды, которая обуславливает постоянную изменчивость окру жающих условий. Иногда возникает ситуация, в которой стано вится оптимальным выбрать решение, приводящее к более значительному уменьшению неопределенности.

Проведя такую оценку, мы можем отобрать наиболее на дёжных и профессиональных членов команды. Но на этом зада чи по управлению персоналом, к сожалению не исчерпываются.

Условия интересующего нас процесса есть вещь в высшей степени нестационарная и развивающаяся.

Уровень профессиональной надёжности может спонтанно уменьшаться из-за забывания, опережения прогрессом науки и техники знаний, полученных сотрудником ранее, климатических и природных перемен. Возникает необходимость ответить на эти требования времени путём посещения курсов повышения квалификации, тренингов, семинаров и пр. Этот род деятельно сти не только полезен, но и затратен. Лицо принимающее кадро вые решения должно хорошо представлять баланс возможных выгод и сумму денежных затрат, потерь трудового времени и перепланирования договорных обязательств.

Принципиально, существует три альтернативы: переподго товить сотрудника, оставить всё без изменений, уволить с зани маемой должности. Последствия такого решения имеют боль шое значение не только для клиентов, которые в медицинском примере могут рисковать здоровьем.

В модели следует учесть не только количественные, но и функциональные характеристики: правила оценки производи тельности и надёжности, функции роста/падения знаний во времени. И те, и другие характеристики могут существенно различаться между отдельными работниками. Нембхард (Nemb hard) [5] провел имитационное моделирование, чтобы выявить роль персональных характеристик обучаемости и забывания для производительного труда рабочих на сборочной линии. Иссле дователи выяснили факторы наибольшей значимости путём многочисленных испытаний.

В своей работе [5] Нембхард предлагает эвристический подход для назначений сотрудников на основе индивидуальной обучаемости. Подразумевается назначение быстро обучаемых сотрудников на краткосрочные задачи и медленно обучаемых на долгосрочные проекты. Производительность труда выясняется в той же эвристической манере, путём произвольного назначения работников на различные посты и последующего «бенчмаркин га», т.е. выделения из многих факторов тех, которые имеют значимость для модели.

Предлагаемые способы могут быть привлекательны с точки зрения простоты управленческих решений и малости затрат на их выработку. Негативной стороной является недооценка полу чения опыта на рабочем месте, возможные несовпадение спо собностей сотрудника и специфики должности на ответствен ном участке и, следовательно, урон надёжности фирмы в целом.

Зачастую, отсутствует возможность исправить последствия подобных кадровых решений (особенно в медицинской облас ти). Предложение исследователей, определять уровень профес сионализма путём метода последовательных проб и ошибок, выглядит, например, для клиентов службы скорой помощи весьма угрожающе. Поэтому, не упуская из виду главной зада чи-повышения надёжности предприятия, на первый план выхо дит превентивное прогнозирование надёжности отдельного работника путём оценки развития его профессионализма.

Автор предлагает построение модели на основе идеи о том, что после того, как сотрудник назначен в какое то подразделе ние фирмы оценка его уровня знаний должна производится не только в соответствии с прогнозируемой функцией опыта, но и в соответствии с общими показателями подразделения. Оконча тельное решение о кадровых назначениях должны приниматься только после актуализации оценок за некоторый, необходимый для достоверного прогноза, период наблюдения.

Эффективная модель должна иметь многоступенчатую, многопериодическую структуру, охватывающую весь горизонт планирования. Необходимо комплексно рассматривать взаимо действия в рабочей группе. Выбор распределения вероятности (см. [6]) для отдельного сотрудника содержит большую долю субъективности оценивающего эксперта и неточности вследст вие непредсказуемости изменений окружающей среды.

Для того чтобы повысить качество прогноза и упростить вычисления, предлагается иерархическая схема генерирования экспертных оценок распределения. На первом этапе генериру ются параметры распределения фирмы, затем для подразделе ния и потом для каждого работника отдельно. Смысл такой процедуры в том, что фирма имеет дело с выполняемыми зада чами, как правило, уже долгое время и в любом случае чаще, чем новый сотрудник. Соответственно, фирме намного удобнее определить точки отсчёта, стандарты качества и динамику на основе многолетнего опыта.

3. Выводы Целью проведенной исследовательской работы явилось ис следование теоретических и методических основ формирования стратегии управления персоналом и разработка практических рекомендаций по ее оценке и выбору. В соответствии с постав ленной целью в работе решены следующие задачи:

o разработан способ определения и оценки эффективности сотрудничества с отдельным работником;

o разработан метод выбора альтернативы персональной стратегии в зависимости от сценария динамики внешней среды и ситуации в трудовом коллективе на базе методов вероятностного прогнозирования и статистического ана лиза.

Разработанная в исследовании методика позволяет прово дить комплексный анализ состояния рынков персонала на уров не сегментов, коллективов и отдельных работников. Получен ные результаты легко адаптируемы и могут быть включены в систему стратегического управления предприятиями различных организационно – правовых форм и направлений хозяйственной деятельности (выпуск продукции, выполнение работ, предостав ление услуг).

Литература 1. БАРЗИЛОВИЧ Е.Ю., БЕЛЯЕВ Ю.К., КАШТАНОВ В.А.

Вопросы математической теории надежности / Под ред.

Б.В. Гнеденко. – М.: Радио и связь 1983. – 376 с.

2. BERGER J.O., Statistical Decision Theory and Bayesian Analy sis (2nd edition), Springer, New York, 1984.

3. BERNARD, J.M. and SMITH, A.F.M. Bayesian theory. Chich ester: Wiley, 1993.

4. DE GROOT M. H. Optimal Statistical Decisions: Wiley, 2004.

5. NEMBHARD D.A., Heuristic approach for assigning workers to tasks based on individual learning rates. International Jour nal of Production Research 39 (9), 2001.

6. WALLEY P. A bounded derivative model for prior ignorance about a real-valued parameter. Scandinavian Journal of Statis tics, 1997, 24, pp. 463-483.

ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ПСЕВДООБРАТНОЙ ЛАПЛАСИАНА ДВУДОЛЬНОГО ГРАФА Блюмин С.Л., Миловидов С.П.

(Липецкий государственный технический университет, Липецк) slb@stu.lipetsk.ru Получено явное выражение псевдообратной лапласиана полно го невзвешенного двудольного графа, опирающееся на получен ное ранее явное выражение псевдообратной матрицы инци дентности такого графа и отличающееся от известных методов псевдообращения лапласиана, использующих собст венные или сингулярные числа и векторы.

Ключевые слова: двудольный граф, матрицы смежности, валентностей, инцидентности, сопротивлений, лапласиан, псевдообратная.

Введение Графы как математические модели пространственной структуры больших дискретных распределенных систем широ ко используются в самых разнообразных областях, например, в теории управления организационными (активными) системами [5], в проблематике (пассивных) многоагентных систем [10] и др.;

в частности, двудольные графы моделируют транспортные [1, 4] и электроэнергетические [3, 6, 8, 9] системы, используют ся в математической физике и химии [6, 8] и др. Графы пред ставляются характеризующими их матрицами смежности А, валентностей V, инцидентности В и лапласианами L, связанны ми соотношениями [7] L = V – A = BBT.

В ряде упомянутых приложений используются псевдооб ратные [2] некоторых из указанных матриц. Так, в [4] путём систематического использования формулы Клайна псевдообра щения блочных матриц [2] получено, явное выражение псевдо обратной В+ матрицы инцидентности В полного невзвешенного двудольного графа как матрицы условий транспортной задачи (см. также [1, 2]). В [6, 8] использовано основанное на диаго нальном разложении [2] лапласиана L представление его псев дообратной L+, а в [9] предложен основанный на соотношении L = V – A и SVD-разложении [2] лапласиана L двудольного графа алгоритм вычисления его псевдообратной L+. Результаты [6, 8, 9] приводят к выражениям, содержащим собственные или сингулярные числа и векторы лапласиана.

Цель данной работы: опираясь на явное выражение В+, со отношение L = BBT и некоторые свойства псевдообратных, получить явное выражение L+.

1. Некоторые матричные соотношения Пусть v = k + m вершин и r = km ребер полного невзве шенного двудольного графа занумерованы так, что его матрицы имеют следующую блочную структуру:

0 k k J k m T А= =A, J m k 0 m m m I k k 0 k m = VT, V= k I m m 0 m k m I k k - J k m T L= =L, - J m k k I m m - I k k - I k k... - I k k B=.

J m2 k... J mk (1) () (m) J m k Здесь 0 = [0] и J = [1] – матрицы соответствующих размеров, состоящие из нулей и единиц, I – единичные матрицы соответ ствующих порядков;

J mik, i = 1,..., m, – матрицы, i-я строка которых состоит из еди () m J mk = J mk.

(i) ниц, а остальные элементы – нули, так что i = Далее также используются матрицы:

= ( J mik ) T, i-й столбец которых состоит из единиц, а (i ) () J k m m J k m = J k m ;

(i) остальные элементы – нули, так что i = Pk = PkT = k ( J k - v I k ), так что Pk2 = k 2 ( v 2 I k - (v + m ) J k ) (здесь и далее квадратные матрицы снабжаются одним нижним индексом), Pk r J k m = - r 2 J k m, r J mk Pk = - r 2 J mk ;

Qk()m = m (v J k()m - J k m ), Qmik = (Qk( )m ) T, i i () i так что Q(i) = r J k m, i =1 Qmk = r J mk, m m (i) i =1 k m m Qmk Qk m = r m (v 2 I m - (v + k) J m ).

(i) (i) i = 2. Явное выражение псевдообратной лапласиана Явное выражение матрицы L+ можно получить, используя формулу Клайна псевдообращения блочных матриц [2]. Менее громоздким является его получение с использованием найден ного в [4] явного выражения матрицы Pk Qk m (1) (2) Pk Qk m 1..

B+ =, vr..

..

(m) Pk Qk m из которого, в силу свойств псевдообратных [2], следует L+ = ( B B T ) + = ( B T ) + B + = ( B + ) T B + = Pk Qk m (1) (2) Pk Qk m Pk... Pk 1..

1 Pk = = v r Qm1)k Qm2 k... Qmk v r.

( () (m).

..

(m) Pk Qk m Pk ( i =1 Qk m ) m m Pk2 (i) = 2 2.

v r ( Qmk ) Pk i =1 Qmk Qk(i)m m m (i) (i) i = С учетом вышеуказанных соотношений между фигури рующими здесь матрицами явное выражение псевдообратной лапласиана может быть записано в виде 1 r k (v 2 I k - (v + m) J k ) + L = 2 v r - r 2 J mk - r 2 J k m.

r m (v I m - (v + k) J m ) Непосредственно проверяются соотношения Мура Пенроуза [2], определяющие псевдообратную матрицу:

L L+ = ( L L+ ) T = L+ L = ( L+ L) T = m Ik - J k m + L = = k Im - J m k 1 v I k - J k - J k m = I -vJ ;

= v - J m k v Im - Jm L ( L+ L) = m Ik - J k m 1 v I k - J k - J k m =L;

= k I m v - J m k v Im - Jm - J m k 1 v I k - J k - J k m + + ( L+ L) L+ = L = L.

v - J m k v Im - Jm Заключение В качестве одного из приложений можно получить явное выражение матрицы сопротивлений R [6, 8, 9] рассмотренного графа, элементы которой определяются по формулам rij = ( L+ )ii + ( L+ ) jj - ( L+ ) ij - ( L+ ) ji, i j, rii = 0, i = 1,..., v, так что R симметрична и имеет нулевую диагональ.

Из выражения для L+ следует, что - для 1 i, j k : rij = ;

m - для k + 1 i, j m : rij = ;

k v - 11 - для 1 i k, k + 1 j m : rij = +- =, k m k m r так что v - 2 m (J k - I k ) J k m r R=.

v -1 ( J m - I m ) J mk r k Предложенные в [6] явные детерминантные формулы для вычисления элементов rij матрицы сопротивлений произвольно го графа, rij = det L(i, j ) / det L(i ), где подматрицы L(i) получены из L вычеркиванием i-х строки и столбца, а L(i, j) – i-х и j-х строк и столбцов, согласуются с указанными выше для случая полного невзвешенного двудоль ного графа.

Литература 1. БЛЮМИН С.Л., МИЛОВИДОВ С.П. Обратные задачи динамики и динамические транспортные задачи // Изв.

АН СССР. Техн. кибернет. 1987. № 5. С. 209 (М.:

ВИНИТИ, 1985. № 7527-В85 Деп. – 56 с.).

2. БЛЮМИН С.Л., МИЛОВИДОВ С.П. Псевдообращение.

Воронеж: ВПИ-ЛПИ, 1990. – 72 с.

3. ВЕРЕНИКОВ В.А. Электрические системы. Матема тические задачи электроэнергетики. М.: ВШ, 1981. – 288 с.

4. МИЛОВИДОВ С.П. Псевдообращение матрицы условий транспортной задачи. М.: ВИНИТИ, 1982. № 6027- Деп. – 25 с.

5. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. М.: МПСИ, 2005. – 584 с.

6. BAPAT R. Resistance distance in graphs. Math. Stud. 1999.

№ 68. – Рp. 87-98.

7. GODSIL C., ROYLE G. Algebraic Graph Theory. NY:

Springer, 2001. – P. 8. GUTMAN I., XIAO W. Generalized inverse of the Lapla cian matrix and some applications. Bull. Acad. Serbe. 2004.

T. 129, № 29. – S. 15-23.

9. HO N., VAN DOOREN P. On the pseudo-inverse of the Laplacian of a bipartite graph. Appl. Math. Lett. 2005.

Vol.18, No 8. – Pp. 917-922.

10. OLFATI-SABER R., FAX A., MURREY R. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems. Proc. IEEE.

2007. Vol. 95, No 1. – Pp. 1-17.

ИННОВАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ КОНКУРЕНЦИЕЙ Головинский П.А.

(Воронежский государственный архитектурно строительный университет, Воронеж) golovinski@mail15.com Рассмотрены модели конкуренции, приводящие к перераспере делению ресурсов. Проведен анализ как системы с конечным числом конкурирующих элементов, так и непрерывного преде ла, соответствующего очень большому числу элементов. Во всех случаях происходит концентрация ресурсов у одного эле мента за конечное время независимо от исходного распределе ния. Использование инноваций создает новые элементы, не находящиеся в конкуренции с уже имеющимися. Это позволя ет им эффективно и независимо развиваться до стадии уста новления развитой конкуренции, при которой начинается взаимное поглощение.

Ключевые слова: ресурсы, конкуренция, модель, кинетиче ское уравнение, инновации.

Введение Конкуренция двух видов является хорошо известной зада чей, которая подробно изучена в модели Лотка-Вольтерра сис темы «хищник-жертва». В экономике подобная модель Гудвина описывает классовую борьбу рабочих и капиталистов в виде системы двух дифференциальных уравнений для доли затрат на оплату труда и коэффициента занятости [2]. Известно как суще ствование колебательных режимов в этих моделях, так и их структурная неустойчивость [1]. В то же время представляет интерес исследование конкуренции некоторой совокупности элементов одного вида, для которых способность к конкурен ции является не одинаковой, а как-либо распределена по множе ству элементов. Мы будем иметь в виду, например, конкурен цию между фирмами малого бизнеса одного профиля или между несколькими государствами, но у модели могут быть и другие применения, которые мы обсудим позднее.

Целью нашей работы является изучение некоторых воз можных сценариев перераспределения ресурсов как в чисто распределительных системах, так и в развивающихся системах с асимметрией производства и потребления и возможности изме нять эти сценарии путем изменения параметров элементов системы. На основе этого можно будет сделать определенные заключения о возможностях управления ресурсами в системах из конкурирующих элементов.

1. Основная модель Занумеруем конкурирующие n элементов системы индек сом i. Конкуренцию мы понимаем как борьбу за ресурсы того или иного вида: финансовые, сырьевые или какие-либо иные в зависимости от типов рассматриваемых систем. Пусть все эле менты системы однотипны и все они конкурируют индивиду ально за одни и те же ресурсы. Долю ресурсов, находящихся в распоряжении i-го элемента системы в момент времени t, мы обозначим wi (t ), а всю совокупность таких параметров будем описывать в виде вектора-столбца w = t (w1, w2,K wn ). Каждый из элементов системы обладает некоторой способностью захва тывать ресурсы в единицу времени, которую мы будем характе ризовать коэффициентом f i, а также противоположной способ ностью терять ресурсы в единицу времени, которую мы определим как g i. Тогда скорость изменения доли ресурсов у i -го элемента системы можно записать как dwi = wi f i g i w j -wi g i f i w j, i, j = 1,2,K n.

(1) dt j i j i В силу симметрии условие j i можно опустить, поскольку соответствующие члены, учитывающие формально взаимодей ствие элемента системы с самим собой, сокращаются. С учетом этого уравнение (1) можно записать в более компактном виде dwi = wi f i ( w, g ) - wi g i ( w, f ), (2) dt где ( w, g ) = g i w j, j i (3) ( w, f ) = f i w j j i – соответствующие скалярные произведения.

Записанная система уравнений характеризует только воз можности элементов системы в борьбе за ресурсы, которые всегда каким-либо образом распределены, оставляя в стороне вопрос о происхождении самих ресурсов. Здесь не учитывается возможность появления нового ресурса в каком-то из элементов системы, не связанного с перераспределением ресурсов между элементами системы, а возникшего, например, в результате производственной деятельности, обнаружения нового месторо ждения полезных ископаемых или технологического открытия.

Если же таковой новый ресурс, связанный с деятельностью элементов системы появляется, то в правую часть уравнения (2) следует добавить слагаемое hi wi, что приведет как к суммарно му росту всех ресурсов, так и к изменению динамики перерас пределения ресурсов. Добавленное слагаемое описывает как производство ресурсов при положительном знаке константы скорости hi, так и их усиленное потребление без воспроизвод ства при отрицательном знаке этой константы. При hi 0 пол ный ресурс остается неизменным с течением времени. Действи тельно, просуммируем обе части уравнения (2) по индексу i.

Обозначая W = wi, получим i dW = ( w, f )(w, g ) - ( w, g )(w, f ) 0, (4) dt то есть можно считать (5) W = const = 1.

При hi 0 скорость изменения совокупного ресурса составит dW = ( w, h).

(6) dt Отметим, что возможны как системы, развивающиеся с расши ренным воспроизводством ресурсов, так и деградирующие системы с уменьшающимися ресурсами, а также ансамбли, состоящие из смеси разных элементов.


По всей видимости, почти распределительные системы то же вполне возможны, например, в том случае, когда источником богатства является природная рента. При этом речь не идет, по сути, не о создании богатства, а его распределении.

Мы проследим возможную динамику перераспределения ресурсов в нескольких различных случаях, и начнем с распреде лительной модели, в которой hi = 0.

2. Дискретная распределительная модель При рассмотрении динамики системы особый интерес все гда представляет анализ возможности существования в ней устойчивых состояний. Предположим, что для системы (2) такое состояние возможно. Тогда dwi / dt = 0, и f i ( w, f ) =, "i.

(7) g i ( w, g ) Поскольку правая часть равенства (7) не зависит от индекса i, то f i = Cg i, то есть способность элемента системы захватывать ресурсы пропорциональна его способности их терять, что пред ставляется маловероятным, уникальным случаем. В силу этого, в общем случае устойчивое состояние в чисто распределитель ной модели невозможно.

Рассмотрим типичные особенности динамики распредели тельной модели для системы, имеющей всего два элемента, перераспределяющих между собой ресурсы. Система уравнений в этом случае имеет вид dw = w1 f1 w2 g 2 - w1 g1 w2 f 2 = w1 w2 ( f1 g 2 - g1 f 2 ), dt (8) dw = w2 f 2 w1 g1 - w2 g 2 w1 f1 = w1 w2 ( f 2 g1 - g 2 f1 ).

dt Обозначим константу f1 g 2 - f 2 g1 = a, тогда вместо (8) имеем систему уравнений dw = aw1 w2, dt (9) dw = -aw1 w2.

dt Пусть для определенности a 0. В силу симметрии системы (9) это означает лишь последовательность нумерации элементов системы. Поскольку в силу нормировки w1 + w2 = 1, то dw = aw1 (1 - w1 ).

(10) dt Начальное условие для уравнения (10) определяется начальным распределением ресурсов w1 (0) = n 1. Уравнение (10) является частным случаем уравнения Фишера-Прая, описывающего процесс вытеснения старой технологии новой [3,4]. Решение уравнения (10) имеет простой вид 1 (11) w1 (t ) = 1 -,A= - 1.

1 -n at 1 + Ae На больших временах w1 (t ) ® 1, то есть со временем ресурсы полностью переходят к первому элементу. Рис. 1 демонстрирует пример такого поведения.

Мы видим, что система, в которой имеется всего два эле мента, неустойчива, что, в конечном счете, приводит к концент Рис. 1. Перераспределение ресурсов при чистой конкуренции двух элементов рации всех ресурсов у наиболее сильного элемента независимо от начального распределения ресурсов.

3. Непрерывная модель В данном разделе мы остановимся на ситуации, когда сис тема содержит столь большое число однородных элементов, что распределение ресурсов по элементам можно считать непрерыв ным. В этом случае суммирование по индексу i можно заменить на интегрирование по некоторому непрерывному параметру t.

Разумно предположить, что достаточно общей является ситуа ция, когда элемент, имеющий большее значение коэффициента f1, имеет меньшее значение коэффициента g i и наоборот.

Упорядочим ряд f i в порядке возрастания. Тогда коэффициен ты g i с той же последовательностью нумерации образуют убывающую последовательность. Соответственно, при переходе к непрерывным распределениям мы получим две монотонные функции: монотонно растущую функцию f (t ) и монотонно убывающую функцию g (t ). Конечно, такое формальное упоря дочение может исказить смысловое содержание модели, распо ложив рядом достаточно разнородные в других отношениях элементы. Однако данная модель различает элементы по их способности к конкуренции, поэтому такое упорядочение оп равдано и резко сужает множество рассматриваемых функций.

Пусть текущий результат борьбы за ресурсы в сообществе описывается функцией распределения W (t,t ) по параметру t, а t – текущее время. Функция распределения меняется с течением времени за счет взаимодействия элементов. С учетом парных взаимодействий кинетическое уравнение для функции распре деления (2) приобретает вид W (t, t ) = f (t )W (t, t ) W (t, t 1 ) g (t 1 )dt 1 t (12) - f (t )W (t, t ) W (t, t 1 ) g (t 1 )dt.1.

Уравнение (12) является нелинейным интегро дифференциальным кинетическим уравнением. Если проинтег рировать обе части уравнения (12) по значениям параметра t, то получим W = 0, (13) t где W = W dt = const. Это означает, что нормировка распреде ления остается постоянной во времени и ее можно принять равной единице. Таким образом, модель описывает перераспре деление ресурсов внутри сообщества, в то время как полный ресурс остается неизменным.

Для удобства дальнейших вычислений сместим начало от счета переменной t, и изменим ее масштаб так, чтобы интервал ее изменений стал симметричным: t [-1,1]. Выберем в качест ве функций, характеризующих интенсивность захвата и потерь ресурсов, линейные зависимости. Переопределим также мас штаб времени так, чтобы учесть интенсивность процесса, опре деляемую постоянным множителем в правой части уравнения.

Тогда вместо уравнения (12) получим уравнение W (t, t ) = W (t, t )[t - W (t, t 1 )t 1 dt 1 ].

(14) t - Будем искать решение уравнения (14), удовлетворяющее на чальному условию W (0,t ) = 1 / 2, то есть равномерному началь ному распределению ресурсов. В силу положительности функ ции W (t,t ) возможна эквивалентная запись уравнения (14) в виде ln W (t,t ) = t - W (t,t 1 )t 1 dt 1.

(15) t - Правая часть уравнения (15) содержит два члена, один из которых зависит только от t, а второй только от t. С учетом этого решение уравнения (15) имеет вид ln W (t,t ) = tt + ln F (t ), (16) где F (t ) – неизвестная функция времени. Из условия нормиров ки функции распределения на единицу получим te tt (17) W (t, t ) =.

2 sinh t График решения представлен на рис.2. Прямой подстановкой также можно убедиться, что получено верное решение.

Из решения и его графического представления с оче видностью следует концентрация ресурсов с ростом времени в окрестности точки t = 1. Прямые численные расчеты подтвер ждают подобное поведение и для других конкретных зависимо стей в функциях, описывающих конкуренцию.

Рис. 2. Динамика перераспределения ресурсов с линейными конкурентными характеристиками 4. Инновационные механизмы Наличие подобной динамики означает вырождение любой системы с простой неограниченной конкуренцией с течением времени, когда «в живых» останется только один элемент сис темы. Скажем, с точки зрения конкуренции фирм, производя щих однотипную продукцию, это означает победу в конечном итоге одной сверхбольшой компании. Подобные процессы действительно постоянно происходят в мировой экономике, и для их корректировки в различных странах служит антимоно польное законодательство. Такой характер регулирования кон куренции является по сути внеэкономическим и, в определенной мере, силовым по отношению к самопроизвольным механизмам рынка. В связи с этим представляют интерес модели с регули руемыми функциями конкуренции, а также модели, учитываю щие дополнительные механизмы, отсутствующие в модели чистой конкуренции. Это позволяет ставить вопрос об управле нии динамикой конкуренции.

Если законодательно менять время от времени условия, в которых происходит конкуренция, то такие меры будут препят ствует накоплению ресурсов в одних руках. Поэтому так назы ваемая «нестабильность законодательства», кроме известных негативных последствий, может нести в себе и функцию огра ничения темпов роста концентрации капитала. Однако при этом все равно условия конкуренции остаются достаточно постоян ными на протяжении длительных периодов времени, позволяю щим в ряде случаев произойти процессам концентрации ресур сов. Другим способом поддержания конкурентной среды является поощрение постоянного возникновения новых конку рентоспособных компаний. Возникновение таких компаний в той же среде, что и уже имеющиеся, является практически бесперспективным, поскольку по описанным выше причинам они, скорее всего, исчезнут вскоре после своего появления. На самом деле этот процесс постоянно идет в мировой экономике в виде постоянного создания и достаточно быстрого исчезновения большого числа малых фирм, которые являются своеобразным «кормом» для крупных корпораций. Другой формой борьбы за существование на рынке является создание фирм, предлагаю щих товары и услуги отсутствующие в данный момент на рын ке. Таким образом, речь идет об инновационном бизнесе, кото рый не будет встречать конкуренции со стороны других произ водителей на начальном этапе своего развития, пока вновь не возникнет конкурентная среда. Отсюда видны преимущества инновационного механизма развития экономики с точки зрения поддержания динамического равновесия в рыночной системе, поскольку он позволяет добиться хороших экономических результатов новым экономическим субъектам, в то время как борьба в имеющихся секторах для новых фирм обречена на поражение.

Заключение Результаты изучения модели перераспределения ресурсов при неограниченной конкуренции показывают, что система является абсолютно неустойчивой и в ней происходит неогра ниченная концентрация ресурсов. Найденное аналитическое решение в предельном случае модели с непрерывным распреде лением ресурсов по элементам системы показывает характер ную динамику перераспределения ресурсов в больших системах.

В приложении к конкуренции на рынке модель позволяет сде лать вывод о монополизации рынка при отсутствии противодей ствующих механизмов. Проведенный анализ механизмов проти водействия монополизации ресурсов показывает, что одним из эффективных методов поддержания динамического равновесия может служить политика инновационного протекционизма.

Литература 1. АРНОЛЬД В.И. Жесткие и мягкие математические моде ли. М: Изд-во МЦНМО, 2004. – 32 с.

2. ЗАНГ В.-Б. Синергетическая экономика. М.: Мир, 1999. – 335 с.

3. ЭБЕЛИНГ В., ЭНГЕЛЬ А., ФАЙСТЕЛЬ Р. Физика процес сов эволюции. М.: УРСС, 2001. – С. 137.

4. FISHER J.C., PRY H.R. Practical Applications of Technologi cal Forecasting in Industries. (Ed.: Cetron V.J.) John Wiley & Suns, Inc., New York, 1971.


ОДИН ИЗ МЕТОДОВ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ ПРИ ЧЕТКИХ И НЕЧЕТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ Долгов А. И., Короченцев Д. А.

(Ростовский Военный Институт Ракетных Войск) den_dd_80@mail.ru В терминах вариационного исчисления описан метод сравни тельной оценки прогнозируемой эффективности решения с использованием четких, но недостоверных данных об обста новке (без получения дополнительной информации) и с исполь зованием нечетких, но достоверных данных (с получением дополнительной информации). Показано, что переход от чет ких, но недостоверных к нечетким, но достоверным данным приводит к приросту прогнозируемой эффективности решения на 10-30%.

Ключевые слова: четкие данные, нечеткие данные, эффек тивность решения.

Введение При всем обилии научных работ [1, 3, 4], посвященных принятию управленческих решений в условиях нечетких дан ных, вопросы оценки эффективности получаемых решений практически не проработаны, в связи с чем исследование таких вопросов представляет актуальное научное направление. В первую очередь требуется сравнение эффективности решений при четких, но недостоверных исходных данных и нечетких, но достоверных исходных данных.

Под эффективностью решения понимается степень выпол нения поставленной задачи, оцениваемая с учетом ресурсных (временных, материальных и др.) затрат.

Результаты анализа процессов выработки и реализации ре шений при различных видах исходных данных приводят к вы воду о том, что общая модель сравнительной оценки эффектив ности решения при четких и нечетких исходных данных должна включать следующие частные модели:

1) модель исходных данных, используемых при принятии решения;

2) модель оценки эффективности решения при использова нии четких, но недостоверных значений показателей;

3) модель получения дополнительной информации;

4) модель снижения эффективности решения за счет ре сурсных затрат на получение дополнительной информа ции;

5) модель оценки эффективности решения при использова нии нечетких, но достоверных значений показателей;

6) модель сравнительной оценки эффективности решений при использовании четких, но недостоверных и нечет ких, но достоверных значений показателей.

Частные модели 1 и 2 в совокупности описывают эффек тивность решения при использовании четких, но недостоверных значений показателей.

Частные модели 1, 3, 4 и 5 в совокупности описывают эф фективность решения при использовании нечетких, но досто верных значений показателей 1. Модель исходных данных, используемых для принятия решения Будем исходить из того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), получает информацию об обстановке, необходимую для принятия решения, в виде предъявляемого ему значения инте грального показателя, формируемого на основе некоторого множества частных показателей, представляющих исходные данные об обстановке.

Для любого из показателей, используемых при принятии решения, будем рассматривать три вида значений:

· истинное значение;

· четкое, но недостоверное значение;

· нечеткое, но достоверное значение.

Под истинным значением показателя понимается его значе ние, соответствующее объективной реальности.

При сборе информации сведения об истинном значении по казателей обычно представляются субъективно в виде четких, но недостоверных значений либо нечетких, но достоверных значений.

Будем в дальнейшем считать, что нечеткие, но достоверные значения показателя С представляются в виде нечетких нор ~ мально-распределенных чисел С p,i вида:

(x - C p,i ) ~ exp - (1) C p,i = 2s i s i 2p ~ где: С p,i – нечеткое нормально-распределенное число, опреде ляемое при i -ом получении информации об исходных данных;

C p,i – среднее значение нечеткого нормально-распределенного ~ числа С p,i ;

s i – величина, характеризующая степень размытости нечеткого ~ нормально-распределенного числа С p,i.

Значение нечеткого показателя является достоверным в том смысле, что величина C принадлежит интервалу размытости, определяемого значением 3s i, т. е.

C p,i - 3s i C C p,i + 3s i.

В общем случае представления нечеткого нормально ~ распределенного числа С p,i имеет место абсолютная ошибка DCабс.i определения среднего значения C p,i относительно ис тинного значения C, такая что DCабс.i = C p,i - C (рис. 1).

DCабс.i С p,i - 3s i С p,i + 3s i x C C p,i ~ Рис. 1 Нечеткое нормально-распределенное число С p,i В дальнейшем будем рассматривать относительные ошибки DCабс.i DCi =, полагая, что DCi [-1,1] (ошибками, превышаю C щими истинное значение величины C, как весьма маловероят ными пренебрегаем), при этом за 0 принимается отсутствие ошибки, за 1 принимается величина ошибки, равная значению самого числа C.

Ошибка определения значения интегрального показателя зависит от ошибок определения значений исходных данных, на основе которых рассчитывается этот показатель. При этом ошибка интегрального показателя оказывает значительное влияние на эффективность принимаемого решения, в отличие от ошибок в значениях исходных данных, каждое из которых обычно не оказывает существенного влияния на эффективность решения.

Альтернативными по отношению к нечетким, но достовер ным данным являются четкие, но недостоверные данные, чаще всего используемые на практике [1]. Четкое, но недостоверное значение показателя С получается, когда при сборе и анализе информации сознательно (или бессознательно) игнорируется неполная достоверность данных, проявляющаяся в наличии относительной ошибки DC, при этом в качестве значения для показателя C используют величину, соответствующую средне му прогнозируемому значению.

2. Модель оценки эффективности решения при использовании четких, но недостоверных значений показателей Естественно исходить из того, что эффективность решения, принимаемого на основе интегрального показателя, должна описываться функциями, монотонно убывающими с увеличени ем ошибки определения значения показателя относительно его истинного значения. Если рассматривать функции с нормиро ванными значениями от 0 до 1 (при этом значение эффективно сти, равное 1 соответствует отсутствию ошибки, а минимальное значение эффективности соответствует максимальной ошибке), то практически всеохватывающее их множество может быть представлено семейством функций 9 DC K эфф (2) Эч (DC ) = g + exp - (1 - g ), где Эч (DC ) – эффективность решения при наличии ошибки DC без проведения мероприятий по дополнительному сбору инфор мации;

K эфф – коэффициент кривизны выбираемой функции, ха рактеризующей эффективность при использовании четких, но недостоверных значений интегрального показателя;

g – минимальное рассматриваемое значение эффективно сти решения, соответствующее максимально возможной рас сматриваемой относительной ошибке интегрального показателя.

Исследуемые области определения и значений функций эффективности решения в случае использования четкого, но недостоверного значения интегрального показателя, ограничи ваемые функциями с максимальными и минимальными значе ниями K эфф и g, содержат достаточно большое множество функций различной кривизны с возможными различными ми нимальными значениями, что иллюстрируется рис. 2.

Эч ( DC ) Исследуемая область определения функций Эч ( DC ) ( -1 DC 1) g = max;

K = max эфф 0. Исследуемая 0.6 область значений функций Эч ( DC) 0. 0.2 g g = min;

K эфф = min DC 0 D C max = 0.2 0.4 0.6 0. Рис. 2 Исследуемые области определения и значений функций Эч (DC ) Если в дальнейшем считать, что ошибка, заключающаяся в отклонении интегрального показателя от его истинного значе ния как в отрицательную, так и в положительную стороны, влияет на эффективность решения одинаково, то, откладывая на оси абсцисс абсолютное значение относительной ошибки DC, можно сократить вдвое исследуемую область определения функций эффективности ( -1 DC 1 ) (см. рис. 2.).

Руководствуясь здравым смыслом, для используемых в рас сматриваемой частной модели значений коэффициентов выбе рем следующие конкретные интервалы:

1) 1 K эфф 20. Различным значениям K эфф соответствуют различные рассматриваемые функции. Нижнее значение K эфф = 1 соответствует вогнутой функции Эч (DC ), когда отно сительная ошибка DС определения истинного значения показа теля С в области её малых значений оказывает наиболее суще ственное влияние на эффективность принимаемого решения.

Верхнее значение K эфф = 20 соответствует выпуклой функции Эч (DC ), для которой ошибка DС определения истинного зна чения показателя С в области её малых значений не оказывает существенного влияния на эффективность принимаемого реше ния.

2) 0 g 0.3. Выбранный интервал соответствует функци ям Эч (DC ), на которые относительная ошибка определения значения показателя в области её больших значений оказывает сильное влияние. Выбор значения g = 0 соответствует функци ям с максимальным влиянием ошибки в области больших значе ний на эффективность решения. Увеличение коэффициента g выше значения 0.3 соответствует ослаблению влияния ошибки интегрального показателя на эффективность решения, а значе ние g = 1 – отсутствию такого влияния.

3. Модель получения дополнительной информации Рассмотрим значение показателя Ci с истинным значением C и относительной ошибкой DCi (см. рис. 3, верхний график).

Для уменьшения ошибки DCi проводятся мероприятия по получению дополнительной информации, например путем доразведки, и после реализации мероприятий используется для принятия решения уточненное значение C p,i +1 рассматриваемо го показателя (см. рис. 3, средний график).

Результатом проведения мероприятий по получению до полнительной информации в зависимости от затрачиваемых ресурсов будут все более уточняемые нормально ~ распределенные числа Ci p j (при j = 1, …, n) (см. рис. 3, нижний + график). В дальнейшем предполагается, что за счет проведения мероприятий по сбору дополнительной информации величина интервала размытости bi изменяется пропорционально умень шению ошибки (см. рис. 3), т. е.

C p,i + j - DCi + j bi =.

C p,i - DCi bi + j D Ci bi x С p,i - 3s i С p,i + 3s i C C p,i DCi + x bi + С p,i +1 - 3s i +1 C C p,i +1 С p,i +1 + 3s i + · · · ··· DCn x bn - 3s n C C p,n С p, n + 3s n С p,n Рис. 3 Модель получения дополнительной информации 4. Модель снижения эффективности решения за счет ресурсных затрат на получение дополнительной информации Получение дополнительной информации с целью уточнения значения рассматриваемого интегрального показателя требует затрат ресурсов (временных, людских, финансовых и т.д.), что приводит к снижению эффективности решения.

Функцию, описывающую снижение эффективности реше ния за счет ресурсных затрат на получение дополнительной информации, вполне естественно выбирать из семейства функ ций, монотонно-возрастающих с затратами на уменьшение ошибки. Далее исследуется семейство функций, описываемых соотношением K п.эфф K п.эфф (3) Эси (DC ) = -, DC DCисх.

где: Эси (DС ) – оценка снижения эффективности решения за счет ресурсных затрат на получение дополнительной информа ции;

K п.эфф – коэффициент, определяющий кривизну выбирае мой функции снижения эффективности решения за счет ресурс ных затрат на получение дополнительной информации;

DCисх. – значение рассматриваемой относительной ошибки, уменьшаемое за счет получения дополнительной информации до значения DC DCисх..

В ресурсных затратах, определяющих эффективность реше ния, доля затрат на сбор информации обычно оказывается суще ственно меньше затрат на то, ради чего осуществляется сбор информации. К тому же, на момент признания необходимости получения дополнительной информации система сбора инфор мации уже создала инфраструктуру, соответствующую рассмат риваемой обстановке, т.е. часть ресурсных затрат на получение новой информации не требуется в качестве дополнительных. В соответствии с этим, введем ограничения на ресурсные затраты, обусловленные сбором дополнительной информации.

Рассмотрим уменьшение относительной ошибки от значе ния, равного 1, до значения 1 3, характеризующего ту часть области значений выбранной функции эффективности Эч (DC ) Эч (1 3), которая является предпочтительной. Будем исходить из того, что понижение эффективности решения за счет ресурсных затрат на получение дополнительной информа ции при рассматриваемом уменьшении ошибки пропорциональ но величине Эч (1 3), т.е. равно a Эч (1 3).

С учетом таких допущений значение коэффициента K п.эфф может быть определено исходя из следующего соотношения 9 0.333K эфф K п.эфф K п.эфф = a Эч ( ) = a g + exp - (1 - g ) DС DCисх. DС = 1 3 Произведя преобразования и упрощения, приходим к соотноше нию 9 0.333K эфф g + exp - (1 - g ) K п.эфф = a Многие эксперты считают, что можно принять a = 0.1 с учетом того, что уменьшение a приводит к улучшению полу чаемых оценок. Впрочем, анализ, далее производимый для a = 0.1, не исключает возможности исследований при значени ях a 0.1.

Графически область значений функций Эси (DC ) при значе ниях K min K эфф K max и 0.5 DCисх. 1 представлена на рис. 4.

при этом область определения функции Эси (DC ), как и ранее, -1 DC 1.

Эси ( DС ) 0. Исследуемая область значений 0. функций Эси ( DС ) 0. a = 0.1;

DCисх. = 1;

K эфф = K max a = 0.1;

DCисх. = 0.5;

K эфф = K min 0. DC 0 max DCисх. = 0.2 0.4 0.6 0. Рис. 4 Исследуемая область значений функций Эси ( DC ) 5. Модель оценки эффективности решения при использовании нечетких, но достоверных значений показателей Функция эффективности решения при использовании не четких, но достоверных значений показателей может быть определена как разница между эффективностью решения при использовании четких, но недостоверных значений показателей и функцией, описывающей снижение эффективности решения за счет ресурсных затрат на получение дополнительной информа ции. Каждая получаемая таким образом функция является моно тонной, имеющей точку экстремума, а семейство исследуемых функций может быть описано с помощью функционала Энч (DC ) = Эч (DС ) - Эси (DС ) = (4) K п.эфф K п.эфф 9 DC K эфф g + exp - (1 - g ) - - DC DCисх.

Фактически функционал Энч (DC ) представляет собой функцию, аргументами которой являются функции Эч (DC ) и Эси (DC ). Точки экстремумов семейства исследуемых функций Энч (DC ) представляет собой значения функции, называемой в вариационном исчислении экстремалью функционала.

Графически области значений семейства функций Энч (DC ) при 1 K эфф 20 и 0 g 0.3 представлены рис. 5 (область Эч (DC ) Эси (DC ), как и ранее, определения функций и -1 DC 1 ).

Энч ( DC ) g = max;

K эфф = max 0. Исследуемая область значений 0.6 функций Энч ( DC ) 0. 0. g = min;

K эфф = min DC 0 DC DC max = 0.6 DCопт.2 0. 0.2 0. опт. Рис. 5 Исследуемая область значений функций Энч (DC ) Анализ соотношения (4), описывающего функцию Энч (DC ), показывает, что получение выражения для экстремали и для экстремумов исследуемых функций аналитическими методами не представляется возможным, поэтому прибегнем к методам дискретных вычислений. Для нахождения точки экс тремума воспользуемся функцией Maximize (f(x),x), встроенной в пакет MathCAD 11. Выражение для нахождения точки экстре мума при конкретном значении коэффициента K эфф может быть представлено в виде:

DC = 0. Maximize (Энч (DC ), DC ) DCi = DCопт.i В этом выражении DC представляет собой точку начально го приближения. Ниже в качестве примера представлен фраг мент программы с использованием функции Maximize (f(x),x), определяющей частные значения DCопт.1 и DCопт.2 точек экс тремума при конкретных значениях K эфф и g (см. рис. 5).

K эфф = 1 g = 0 K эфф = 20 g = DC = 0.1 DC = 0. Maximize (Энч (DC ), DC ) Maximize (Энч (DC ), DC ) DCопт.1 = 0.057 DCопт.2 = 0. 6. Модель сравнительной оценки эффективности решений при переходе от четких, но недостоверных к нечетким, но достоверным значениям показателей Формульное соотношение, определяющее прирост эффек тивности решения при переходе от четких, но недостоверных к нечетким, но достоверным значениям показателей с конкретной относительной ошибкой DCi имеет следующий вид:

K g + exp - ( i ) 9 DC Kэфф K (1 - g ) - п.эфф - п.эфф DЭDCi = DCi DCисх.i (5) 9 ( DCисх.i ) Kэфф - g + exp - (1 - g ) 100% Подставляя в выражение (5) вместо значения DCi ранее по лученное значение DCопт.,i, получим выражение вида:

g + exp - 9 ( DCопт.,i ) K K эфф K (1 - g ) - п.эфф - п.эфф DЭDCопт.,i = DCопт.,i DCисх.i 9 ( DCисх.i ) K эфф - g + exp - (1 - g ) 100% При расчете прироста эффективности следует отметить, что различные значения ошибок, влияющих на эффективность решения, в реальной жизни возникают с различной частотой.

Так, например, максимальная ошибка, значение которой прини мается равным единице, возникает крайне редко, тогда как ошибки с меньшими значениями встречаются чаще. Поэтому для описания плотности распределения ошибок, учитываемых в модели, воспользуемся нормальным законом [2] с плотностью распределения вида (DCисх. - mDCисх. ) exp - (6) f (DCисх. ) = 2s DCисх.

s DCисх. 2p где s DCисх. – среднеквадратическое отклонение ошибки DCисх. ;

mDCисх. – математическое ожидание ошибки DCисх..

Ошибки, рассматриваемые в модели, находятся в интервале -1 DС 1, поэтому единица может быть принята за 3s DCисх., т.е. s DCисх. = 1 3, а значение математического ожидания принято равным нулю. Так как нормальное распределение является симметричным, для удобства дальнейших исследований ограни чимся рассмотрением только «правой части» закона распределе ния величины ошибок, что графически иллюстрируется рис. 6.

f ( DCисх. ) 0. 0. 0. 0. DCисх.

0 0.2 0.4 0.6 0. 3s ( DCисх. ) Рис. 6 Кривая распределения ошибок Средний прирост эффективности при переходе от четких, но недостоверных к нечетким, но достоверным значениям пока зателей, определяемый на ограниченном интервале распределе ния ошибок (DCопт. DCисх. 1), может быть записан следую щим выражением:

n DЭDC f (DCисх.i ) опт.,i i = (7) DЭcp. =, n f (DCисх.i ) i = где n - шаг дискретизации.

Результаты исследований зависимости среднего прироста эффективности при различных значениях K эфф и g представле ны в таблице 1.

Таблица 1. Результаты исследований зависимости среднего прироста эффективности D ср.

K эфф 1 5 9 11 19 29.54 15.56 13.16 12.95 13.56 13. g = % % % % % % 22.72 14.09 12.06 11.89 12.47 12. g = 0. % % % % % % 16.14 10.94 10.81 11.36 11. g = 0.2 12.6% % % % % % 11.06 11.09 10. g = 0.3 9.78% 9.7% 10.3% % % % Из анализа таблицы 1 следует, что эффективность решения при переходе от четких, но недостоверных к нечетким, но дос товерным значениям показателей повышается на 10-30%. Полу чение прироста эффективности 30% возможно в случае, когда относительная ошибка рассматриваемого показателя оказывает значительное влияние на эффективность решения (при K эфф = 1, g = 0). С уменьшением влияния ошибки показателя на эффективность решения прирост эффективности решения сни жается, и в конечном итоге становится равным 10% (при K эфф = 20, g = 0.3). Снижение прироста эффективности обуслов лено тем, что при уменьшении влияния ошибки показателя на эффективность решения затраты на получение его уточненных значений за счет сбора дополнительной информации возраста ют.

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1) Сравнительная оценка эффективности решения при ис пользовании четких, но недостоверных и нечетких, но досто верных данных об обстановке осуществима на основе построе ния модели в терминах вариационного исчисления, описывающей эффективность решения без получения дополни тельной информации и понижение эффективности за счет ре сурсных затрат на получение дополнительной информации.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.