авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ Выпуск 18 СБОРНИК ...»

-- [ Страница 2 ] --

2) Для широкого класса функций, описывающих зависи мость эффективности решения от величины ошибки интеграль ного показателя, на основе которого это решения принимается, переход от использования четких, но недостоверных к нечетким, но достоверным значениям показателя обеспечивает прирост эффективности решения на 10-30%.

Литература 1. АЛТУНИН А.Е., СЕМУХИН М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. – Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. – 352 с.

2. ВЕНТЦЕЛЬ Е. С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 5-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 576 с.

3. ДЮБУА Д., ПРАД А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике.- М: Радио и связь.

1990. – 288 с.

4. ОРЛОВСКИЙ С. А. Проблемы принятия решений при нечет кой информации.- М.: Наука, 1981. – 206 с.

ОПТИМИЗАЦИЯ РАБОТЫ СИСТЕМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ТИПА Мирецкий И.Ю.

(Волжский гуманитарный институт (филиал) Волгоградского государственного университета, Волжский) miretsky@vgi.volsu.ru Рассматривается конвейерная задача теории расписаний. На множестве перестановочных расписаний вводится метрика.

Вводятся понятия s-окрестности и s-оптимальности расписа ния. Разработан подход к построению расписаний, оптималь ных в s-окрестности. Подход основан на проведении преобра зований расписания. Определены условия эффективности ком позиций преобразований.

Ключевые слова: конвейерная задача, расписание, поиск в локальной окрестности Введение При планировании работы ряда дискретных систем эффек тивными оказываются модели и методы теории расписаний.

Частным случаем общей задачи теории расписаний является конвейерная задача Fm | perm | Cmax, или задача об оптимальном перестановочном расписании [1]. Ее решают с целью оптимиза ции функционирования систем последовательной обработки (конвейерных систем).

Задача Fm | perm | Cmax NP-трудна [4]. Для ее решения пред лагались различные эвристики [5]. Их сравнительный анализ показывает, что метод поиска в локальной окрестности позволя ет довольно быстро находить приемлемые по качеству решения [2]. Традиционно при реализации метода локального поиска используются техники одиночной вставки, транспозиций и блочного перемещения работ. Окрестность расписания опреде ляется возможными вставками, транспозициями и блочными перемещениями. В настоящей работе предлагается окрестность рассматривать более широко. Для формального описания окре стности на множестве перестановочных расписаний вводится метрика;

для отыскания приближенно-оптимальных расписаний предлагается использовать направленный поиск. Введение мет рики позволяет при решении задачи рассматривать различные по мощности окрестности (s-окрестности), что, в свою очередь, дает возможность строить приближенно оптимальные расписа ния различного качества (s-оптимальные расписания) посредст вом эффективных (полиномиально сложных) алгоритмов.

1. Формализация задачи Рассмотрим задачу Fm | perm | Cmax об оптимальном пере становочном расписании, состоящую в минимизации длитель ности производственного цикла в системе конвейерного типа.

Система состоит из m последовательно работающих машин М1,..., Мm, на которых требуется выполнить n заданий-работ t1,..., tn. Работа tj, j = 1, n, состоит из m операций O1j,..., Omj, при чем каждая операция Oij выполняется соответствующей маши ной Мi, i = 1, m, за время aij. Очередность выполнения работ на всех машинах одна и та же. Требуется определить оптимальную последовательность обработки (расписание) работ, для которой общее время выполнения всех работ на всех машинах (длина расписания Cmax, или просто С) минимально.

Пусть Pn множество всех перестановок из n элементов 1, 2,..., n;

p(r) – r-й элемент перестановки p Pn. Перестановке p соответствует расписание p(p) = (tp(1),..., tp(n)) P. Если p(r) = k, то работа tk в расписании p(p) занимает r-е место. Известно, что r i a1, p ( s ), a s, p (1), r = 1, n, Cp(1)(p, i) = i = 1, m, Cp(r)(p, 1) = s =1 s = Cp(r)(p, i) = max{Cp(r)(p, i – 1), Cp(r–1)(p, i)} + ai, p(r), i = 2, m, r = 2, n.

Здесь Cp(r)(p, i) – момент завершения выполнения i-й опера ции работы, занимающей в расписании p(p) r-е место. Длина расписания p(p) есть C(p) = Cp(n)(p, m). Задача состоит в нахож дении расписания popt: С(p opt ) = min С(p ).

p P Работу tj, j = 1, n, будем описывать вектором Aj = [a1j,..., amj]T, а расписание p(p) – матрицей времен выполнения работ A(p(p)) = [Ap(1),..., Ap(n)].

Задача сводится к нахождению экстремальной перестанов ки столбцов в матрице A(p).

Рассмотрим путь S в матрице A = [aij]mn – последователь ность из (n + m – 1) клеток (i, j) матрицы A, начинающуюся клеткой (1, 1), заканчивающуюся клеткой (m, n), и такую, что каждая клетка (i, j) (кроме последней) предшествует одной из клеток (i + 1, j) или (i, j + 1). Примем обозначение: abScd – сег мент пути S 11Smn в матрице A = [aij]mn;

клетка (a, b) матрицы – первый элемент сегмента, (c, d) – последний.

Длина расписания p есть ai, p ( r ), C (p ) = max k 1,K,q }( i, p ( r ) )S { k где {S1,..., Sq} – множество всех путей в матрице A(p). Путь Su называется критическим, если ai, p ( r ) = C(p).

( i, p ( r ) )Su Множество всех критических путей в матрице A(p) обозна чим M;

IM = {u | u {1,..., q}, Su M}.

2. Окрестность расписания и субоптимальные решения Пусть p(p) – произвольное расписание с матрицей времен выполнения работ A(p) = [Ap(1),..., Ap(n)]. Зададим над p оператор преобразования Wk,l, k, l {1,..., n} [2], который переносит рабо ту tp(k) на позицию l и выполняет преобразование расписания p(p) в расписание p1 = Wk,l(p), такое, что:

1) A(p1) = [Ap(1), Ap(2),..., Ap(k–1), Ap(k+1),..., Ap(l), Ap(k), Ap(l+1),..., Ap(n)] при k l, 2) A(p1) = [Ap(1), Ap(2),..., Ap(l–1), Ap(k), Ap(l),..., Ap(k–1), Ap(k+1),..., Ap(n)] при k l, 3) A(p1) A(p) при k = l (пустой оператор).

Композиция операторов преобразования (композиция пре образований) W ks -1, l s -1 (W ks - 2, l s - 2... (W k1, l1 (W k, l ( ( p ))))... ) есть последовательность W k, l ( ), W k1, l1 ( 1 ),..., W k s - 2, l s - 2 ( s - 2 ), W k s -1, l s -1 ( s -1 ) преобразований, где 1 1 ( p1 ) = W k, l ( ) P, 2 2 ( p2 ) = W k1, l1 (1 ) P и т. д. Расписание s ( ps ) = W k s -1, l s -1 (W k s - 2, l s - 2 K (W k1, l1 (W k, l ( ))) K ) P однозначно определяется расписанием p и набором индексов k, l и kj, lj, где j = 1, s - 1.

Расписание pj, j {1,..., s – 1}, называется потомком ис ходного расписания p.

Число непустых операторов преобразования, входящих в композицию, называется длиной композиции.

Множество расписаний класса P замкнуто относительно оператора Wk,l.

Пусть p, p1 P – два произвольных расписания для систе мы заданий {t1,..., tn}, а W(p, p1) – множество всех композиций, переводящих расписание p в p1 (W(p, p1) ). Обозначим через ir длину r-й композиции множества W(p, p1) и образуем множе ство I = {i1,..., ir,...}. Из множества W(p, p1) выделим компози цию минимальной длины s = min ir. Верно неравенство ir I 0 s n – 1, причем s = 0 в том и только в том случае, когда p p1.

Введем функцию r(p, p1):

r(p, p1) = s ( = min ir ).

ir I Нетрудно убедиться в том, что функция r(p, p1) обладает следующими свойствами:

1) p, p1 P: r(p, p1) 0;

2) r(p, p1) = 0 p = p1;

3) p, p1 P: r(p, p1) = r(p1, p);

4) p, p1, p2 P: r(p, p1) + r(p1, p2) r(p, p2).

Таким образом, функция r(p, p1) определяет метрику на множе стве P перестановочных расписаний. Используя функцию r(p, p1), введем понятие s-окрестности расписания.

s-окрестностью расписания p называется множество Ps(p) = {pr | pr P, r(p, p1) s}.

Множество Ps(p) состоит из всех расписаний, которые мож но получить из p s-кратным применением оператора преобразо вания k,l.

~ Расписание называется оптимальным в окрестности Ps(p) относительно критерия Cmax, если оно принадлежит этой окрест ~ ности и Cmax( ) Cmax(pr) для любого расписания pr из этой окрестности.

Расписание * называется s-локально оптимальным, или просто s-оптимальным, относительно критерия Cmax, если оно оптимально (относительно Cmax) в своей s-окрестности Ps( * ):

Cmax( * ) Cmax(pr), "(pr) Ps( * ).

Субоптимальным называется любое s-оптимальное распи сание.

s-оптимальное расписание является s1-оптимальным при любом s1 s. Оптимальное решение является s-оптимальным при любом s. Субоптимальное решение тем точнее (ближе к оптимальному), чем больше значение s;

(n – 1)-оптимальное расписание является безусловно оптимальным.

3. Построение субоптимальных расписаний ru, r S ru, r, образован В матрице A(p(p)) рассмотрим сегмент ный при пересечении пути Su с r-м столбцом Ap(r), r = 1, n :

S r u, r, ru r u.

ru, r (1) S u 1rS mr = Пусть p1(p1) = Wk,l(p(p)). Разобьем путь Su на три сегмента:

ku, k S 1 = 11S k u, k \ {( k u, k )}, S 2 = ku, k Sk u, k, S 3 = S mn \ {( k u, k )}.

В матрице A(p1) выделим путь S u* = S 1* S 2* S 3*, такой, что 1) S 1* = S 1, S 2* = S 2, S 3* = S 3, если k = l, 2) S1* = S1, S2* = S2, S3* = {(s, r) | r l, (s, r + 1) S3 \ {ku, k + 1}} {(lu, l)} {(s, r) | r l, (s, r) S3}, если k l 3) S2* = S2, S3* = S3, S1* = {(s, r) | r l, (s, r) S1} {( l u, l )} {(s, r) | r l, (s, r – 1) S1 \ { k u, k + 1 }}, если k l.

Путь Su* в матрице A(p1) называется образом пути Su в мат рице A(p) при преобразовании Wk,l(p).

Определим меру эффективности преобразования Wk,l(p):

k,l(p) = max{C(p) – C(Wk,l(p)), 0}.

Преобразование Wk,l(p) называется эффективным, если k,l(p) 0, и неэффективным, если k,l(p) = 0. Аналогичным образом определяется эффективность композиции преобразова ний.

При анализе эффективности преобразований удобен аппа рат образов путей. Это становится очевидным, если учесть возможность сопоставления длины C(p) расписания p и оценки (снизу) длины C(p1) его расписания-потомка p1.

Для пути Su и индексов k, l {1,..., n} определим k u - ( a i, p ( k ) - a i, p ( k +1) ) + ( a k u, p ( k ) - a l u, p ( k ) ), k l ;

i = k u (2) k, l ( ) = k u u (a i =+1 i, p ( k ) - a i, p ( k -1) ) + ( a k u, p ( k ) - a l u, p ( k ) ), k l.

ku Лемма 1. Справедливы неравенства k,l(p) min max{ k,l ( ), 0}, k, l {1,..., n}. u u IM u Из леммы 1 следует, что величину k,l ( ), u IM, можно рассматривать как прогноз (оценку) эффективности преобразо вания Wk,l(p). Лемма используется для элиминации неэффектив ных преобразований.

Теорема 1. Для того чтобы расписание p было 1-опти мальным, достаточно, чтобы для каждой пары (k, l), u k, l {1,..., n}, существовало u IM такое, что k,l ( ) 0.

Для получения s-оптимальных расписаний используются эффективные преобразования и композиции преобразований.

Ключевым при этом является вопрос оценивания длины распи сания (3) s ( ps ) = W k s -1, l s -1 (W k s - 2, l s - 2 K (W k1, l1 (W k, l ( ))) K ) Ps(p) по исходному расписанию p при произвольных значениях ин дексов преобразований k, l, kj, lj {1,..., n}, j = 1, s - 1, то есть вопрос оценки эффективности композиции. Ставится и решается задача: определить значения параметров k, l, kj, lj, при которых композиция эффективна.

Прежде чем перейти к решению поставленной задачи и формулированию соответствующих утверждений, выполним вспомогательные построения и сделаем ряд замечаний.

Рассмотрим сначала исходное расписание p(p). Для всех r = 1, n и произвольного пути Su в матрице A(p(p)) в соответст вии с (1) определим значения ru, r u и образуем множества (4) H(Su, p) = {p(r) | ru = r u, 1 r n}, V(Su, p) = {1,..., n} \ H(Su, p).

Перейдем теперь к расписанию ps(ps) (см. формулу (3)). За метим, что для его получения необходимо построить s – 1 про Доказательства формальных результатов приведены в приложении.

межуточных расписаний-потомков p 1 ( p1 ) = W k, l (p ), p 2 ( p2 ) = W k1, l 1 (p 1 ),..., (5) p s -1 ( ps -1 ) = W ks - 2, ls - 2 (p s -2 ).

Композиции, в которых многократно выполняется перенос одной и той же работы, не рассматриваются: будем считать, что (6) p(k) pi(ki), i = 1, s - 1, pi(ki) pj(kj), i, j = 1, s - 1, i j.

Наконец, в матрицах A(p1), A(p2),..., A(ps-1), соответствую щих расписаниям-потомкам (5), выделим пути: Su * – образ пути i Su в матрице A(p1), Su * – путь в матрице A(pi), являющийся образом пути S u-1 в матрице A(pi-1), i = 2, s.

i * Лемма 2. Пусть p p(p), Su – путь в матрице A(p), |H(Su, p)| s. Пусть ps(ps) определяется (3) и (7) p(k) H(Su, p), pi(ki) H( Su *,pi), i Тогда:

1) существует, по крайней мере, (|H(Su, p)| – s) 0 индексов v из множества {1,..., n}, таких, что d vu,* (p s ) = d vu,w (p ), причем )) w )) между парами (v, w) и ( v, w) можно установить соответствие;

2) множество H(Su, p) инвариантно относительно преобра зований Wk,l(p), p(k) V(Su, p).

Лемма показывает согласованность оценок. А именно, оценки d kui* li (p i ) эффективности преобразований расписаний, потомков pi, i = 1, s - 1, содержатся в системе оценок d ku, l (p ) (2), построенной для исходного расписания p. В то же время, пары индексов преобразований (k, l) и (ki, li), i = 1, s - 1, однозначно определяют расписание (композицию) (3). Поэтому при выпол нении условий (6) и (7) появляется возможность оценки длины расписания-потомка ps по исходному расписанию p. Однако невыясненным пока остается способ конструирования эффек тивной композиции – вторая (и главная) часть проблемы синтеза s-оптимальных расписаний: какие работы и на какие позиции следует перенести в расписании p для уменьшения его длины.

Перейдем к обсуждению этого вопроса.

Пусть в расписании p(p) определены s работ с индексами ) ) ) p( k0 ), p( k1 ),..., p( k s-1 ), позиции которых следует изменить на )) ) l0, l1,..., l s -1 соответственно. Эти работы и позиции могут быть выделены, например, в результате анализа системы оценок (2), в предположении, что проведение комплекса преобразований W k, l) (p ), i = 0, s - 1, приведет к расписанию, длина которого ) i i меньше длины C(p) исходного. Суммарная эффективность W ) ) (p ), i = 0, s - 1, оценивается как преобразований k i, li ) s -1 u d (p) = i =0 d k), l) (p ).

i i Рассмотрим задачу, обратную той, что решалась в лемме 2:

определить композиции W k s -1, l s -1 (W k s - 2, l s - 2 K (W k1, l1 (W k0, l0 (p ))) K ) и преобразования, их составляющие, для которых справедлива ) оценка d (p). Задача не является тривиальной, поскольку нельзя применить s операторов W ki,li (p ), i = 0, s - 1, к одному и тому же расписанию p. При решении этой задачи используется свойство инвариантности множества H(Su, p).

Можно показать, что любая композиция вида (3), удовле творяющая условиям (6) и (7), может быть описана последова тельностью из s преобразований Wk,l(p) самого расписания p.

Представим эту последовательность в виде схемы (p ).

(8) W k l) k l) ) ) ) ) ( 0, 0 ), ( 1, 1 ),..., ( k s -1, l s -1 ) )) В записи (8) пары индексов ( ki, li ), i = 0, s - 1, определяют преобразования W ( ), ) ) (p ), которые необходимо провести.

kl i i Запись (8) является схемой проведения преобразований. С по мощью этой схемы описывается семейство композиций, в кото ) ром каждая композиция имеет оценку эффективности d (p).

Несложно установить состав этого семейства и указать способ ) доопределения схемы (8) на случай, когда среди индексов ki ) существуют такие, что p( ki ) V(Su, p). После доопределения любую композицию из s преобразований, а значит, и любое расписание из окрестности Ps(p), можно описать схемой (8).

Семейство расписаний, соответствующих схеме (8) при фикси )) рованном наборе ki, li, i = 0, s - 1, обозначается Ps(p):

Ps(p) = W ( k), l) ), ( k), l) ),..., ( k, l) ) (p ) Ps(p).

) s -1 s - 0 0 1 Образуем множества { } + H u = ( k, l ) | p ( k ) H ( S u, p ), l {1,..., n}, d ku, l (p ) 0, = {( k, l ) | p ( k ) H ( S ( p ) 0 },, p ), l {1,..., n}, d ku, l Hu u Vu = { ( k, l ) | p( k ) V ( S u, p ), l {1,..., n}}.

+ Очевидно |H u H u Vu | = n 2, так что пара индексов (k, l) любого преобразования Wk,l(p) принадлежит одному из трех + описанных множеств. Пары индексов (k, l) из множества H u определяют преобразования с «хорошим» прогнозом, а пары из множества H u – преобразования с «плохим» прогнозом.

Механизм построения эффективной композиции указывает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть H – произвольное подмножество множе ства {(k, l) | k {1,..., n}, l {1,..., n}}, |H| = s 1. Для того чтобы расписание ps Ps(p) = W ( k), l) ), ( k), l) ),..., ( k, l) ) (p ), где ) s -1 s - 00 )) ( ki, li ) H, i = 0, s - 1, обладало свойством C(ps) C(p), необхо димо, чтобы для каждого u IM(p) выполнялось либо 1) H Vu = и ) ) d k), l) (p ) + ) ) d k), l) (p ) 0, u u i i i i + ( ki, li )H H u ( ki, li )H H u либо 2) H Vu.

Доказательство теоремы опирается на лемму 2 и приведено в [2].

Следствие теоремы 2. Пусть )) - 1) $u IM(p): |H u | s, 2) " i = 0, s - 1 : ( ki, li ) H u.

Тогда "ps Ps(p) = W ( ), ) ), ( ), ) ),..., ( ), ) ) (p ) : C(ps) C(p).

kl kl k l s -1 s - 0 0 1 Следствие теоремы 2 элиминирует неэффективные композиции.

На базе приведенных теоретических положений могут быть построены эффективные алгоритмы синтеза субоптимальных расписаний. Лемма 2, а также теорема 2 и ее следствие позво ляют строить алгоритмы локального поиска без «слепого» блу ждания по окрестности. Фактически они обеспечивают возмож ность проведения направленного поиска в схемах последовательного улучшения. Описание 1-оптимальных алго ритмов решения задачи Беллмана–Джонсона (в том числе, алгоритма градиентного типа) приведено в работе [3].

s-оптимальные (s 1) алгоритмы позволяют получать прибли жения более высокого качества. Однако их требования к вычис лительным ресурсам более серьезны, в силу чего s-оптимальные алгоритмы резонно адаптировать к имеющимся ресурсам (на страивать параметр s).

В заключение отметим, что задача Fm | perm | Cmax – не единственная, где можно использовать представленный подход к получению приближенно оптимальных решений. Аналоги приведенных лемм и теорем можно получить для задач с дирек тивными сроками, с повторным обслуживанием и др. Введенные в работе определение s-окрестности и понятие s-оптимальности допускают широкое использование и применимы к решению класса задач, которые можно поставить на множестве переста новок.

Приложение Доказательство леммы 1.

1. При k = l, очевидно, k,l(p) = d ku,l (p ) = 0.

2. Пусть k l. Выберем произвольно u IM и рассмотрим критический путь Su матрицы A(p) = [Ap(1), …, Ap(n)]. Разобьем S mn \ ( k u, k ).

ku, k 11 ku, k путь Su на сегменты S k u, k \ ( k u, k ), Sk u, k и Длина расписания p есть ku ai, p ( k ) + C (p ) = ai, p ( j ) + ai, p ( j ).

( i,p ( j ) )11 S k ( i,p ( j ) ) u k,k i =k u \ ( k u,k ) S mn \ ( k u, k ),k u Рассмотрим расписание p1(p1)= k,l(p), k l. В матрице A(p1) выделим путь Su*, являющийся образом пути Su. Имеем:

ai, p1 ( j ) = ai, p ( j ), ( i,p1 ( j ) ) S k, k \ ( k u,k ) ( i,p ( j ) ) S k, k \ ( k u,k ) 11 * u u ku ku ai, p ( k ) = ai, p ( k +1), ai, p1 ( j ) = ( i,p1 ( j ) )k u, k S k i=k u i=k u * u,k ai, p1 ( j ) = ai, p ( j ) - ak u, p ( k +1) + al u, p ( k ).

( i,p1 ( j ) ) u ( i,p ( j ) ) u k,k k,k * S mn \ ( k u, k ) S mn \ ( k u, k ) В левых частях равенств суммирование выполняется вдоль сегментов пути Su*. Учитывая, что в матрице A(p1) путь Su* не обязательно является критическим, получаем:

ai, p1 ( j ) = C (p 1 ) ai, p ( j ) + ( i,p1 ( j ) )S u * ( i,p ( j ) ) S k, k \ ( k u,k ) u ku ai, p ( k +1) + + ai, p ( j ) - a k u, p ( k +1) + al u, p ( k ).

( i,p ( j ) ) u k,k i =k u S mn \ ( k u, k ) Оценим теперь величину k,l(p).

def D k,l (p ) = max{C (p ) - C (p 1 ),0} ku ku max ai, p ( k ) - ai, p ( k +1) - a k u, p ( k +1) + al u, p ( k ), 0 = i =k u i=k u k u -1 k u - = max ai, p ( k ) + ak u, p ( k ) - ai, p ( k +1) + al u, p ( k ), 0 = i=k u i = k u )( ) k u -1 ( = max ai, p ( k ) - ai, p ( k +1) + a k u, p ( k ) - al u, p ( k ), 0 = max{d ku,l (p ), 0}.

i=k u Неравенство D k,l (p ) max{d ku,l (p ), 0} верно при всех u IM, откуда следует справедливость леммы для случая k l.

3. Доказательство для случая k l проводится аналогично. · Доказательство теоремы 1.

Если выполняется "k, l {1, …, n} $u IM: d ku,l (p ) 0, то, в силу леммы 1, не существует ни одного эффективного преобразования k,l(p) расписания p. Следовательно, расписание p является 1-оптимальным. · Доказательство леммы 2.

Образуем множество L(Su, p) = {i | i = ru, 1 r n} {1}.

1. Пусть s = 1.

Из определений оператора преобразования и образа пути при учете того, что p(k) H(Su, p), следует: L(Su, p) = L( S u*, p1), H(Su, p) = H( S u*, p1). Покажем:

"(v, w): p1(v) H(Su, p) \{p(k)}, w {1, …, n} ) )) ) $ ( v, w ) : p( v ) H(Su, p) \{p(k)}, w {1, …, n}: d vu,* (p 1 ) = d vu,w (p ).

)) w Для всех пар индексов (k, l), удовлетворяющих условиям p(k) H(Su, p), l {1, …, n}, оценка d ku, l (p ) имеет вид a k u, p ( k ) - al u, p ( k ), k l ;

d ku, l (p ) = a k u, p ( k ) - al u, p ( k ), k l.

Так как p(k) H(Su, p), то p1(v) H( S u*, p1) при всех v, при которых выполнено условие p1(v) H(Su, p) \{p(k)}. Поэтому при любом w {1, …, n} имеет место:

a v, p1 ( v ) - a wu *, p1 ( v ), v w;

d vu,* (p 1 ) = u* w a vu*, p1 ( v ) - a wu*, p1 ( v ), v w.

) ) Заметим: w u*, wu* L( S u*, p1). Определим v из условия p(v ) = ) = p1 ( v ). Так как p (v ) H(Su, p), то при любом t {1, …, n} ) av u, p ( v ) - at u, p ( v ), v t;

a v u*, p1 ( v ) - at u, p1 ( v ), v t;

) ) ) d v, t (p ) = u = ) ) a v, p ( v ) - at, p ( v ), v t a vu*, p1 ( v ) - atu, p1 ( v ), v t, u ) ) ) u причем t u, tu L( S u, p). В силу того, что L(Su, p) = L( S u*, p1), ) всегда можно подобрать такое значение w {1, …, n}, чтобы выполнялось d vu,*w (p 1 ) = d vu, w (p ).

)) 2. Пусть s 1 и (9) p(k) pi(ki), i = 1, s - 1, pi(ki) pj(kj), i, j = 1, s - 1, i j.

Положим p pi-1, p1 pi, i = 2, 3, …, s. Из п. 1 следует L( S u*, pi-1) = L( S u*, pi), H( S u-1, pi-1) = H( S u*, pi), то есть i -1 i i i * (10) L(Su, p) = L( S u*, pi), H(Su, p) = H( S u*, pi), i = 1, s.

i i Учитывая равенства (10) и рассуждая, как в п. 1, заключаем, { что для каждого элемента d vu,* (p i ) множеств d vu,* (p i ) | w w } pi ( v ) H ( S u*, p i ) \ { p ( k ), p1 ( k1 ), K, pi -1 ( ki -1 )}, w {1, K, n}, i = i { = 1, 2, …, s, найдется равный ему элемент d vu,w (p ) d x, y (p ) | u )) p( x ) H( Su, p ) \ { p(k ), p1 ( k1 ), K, pi -1 ( ki -1 )}, y {1, K, n}} ( v опре ) ) ) деляется из условия p( v ) = pi ( v ), w – так же, как в п. 1).

Если условие (9) не выполняется, то |{p(k), p1(k1), …, ps-1(ks-1)}| s, и все сказанное сохраняет силу. · Литература 1. КОНВЕЙ Р.В., МАКСВЕЛЛ В.Л., МИЛЛЕР Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975. – 360 с.

2. МИРЕЦКИЙ И. Ю., ЩЕРБАКОВ М. А. Матричные модели и методы в теории расписаний: Монография. – Пенза: Изд. во Пенз. гос. ун-та, 2003. – 260 с.

3. МИРЕЦКИЙ И. Ю. Синтез оптимальных расписаний для систем последовательного типа // Известия РАН. Теория и системы управления, 2002. № 1. С. 77–85.

4. GAREY М. R., JOHNSON R. S., SETHI RAVI. The Complexity of Flow-Shop and Job-Shop Problem // Math. Oper. Res. 1976.

№ 2. Pp. 117–129.

5. TAILLARD E. Some Efficient Heuristic Methods for the Flow Shop Sequencing Problem // European J. Operational Research.

1990. Vol. 47. № 1. Pp. 65–74.

МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ КОМАНД Новиков Д.А.

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) novikov@ipu.ru Рассмотрены модели распределения функций и объемов работ между членами команды, в том числе – в условиях их нетривиальной взаимной информированности.

Ключевые слова: команда, распределение ресурса, непол ная информированность.

1. Введение В менеджменте, управлении проектами и других разделах прикладной теории управления организационными системами все большее внимание уделяется командной деятельности пер сонала организации. Под командой понимается коллектив (объ единение людей, осуществляющих совместную деятельность и обладающих общими интересами), способный достигать цели автономно и согласованно, при минимальных управляющих воздействиях [13]. При этом автономность и слаженность со вместной деятельности членов команды обеспечивается тем, что их действия согласованы с иерархией взаимных представлений друг о друге (см. «рефлексивные» модели в [10, 15, 16]).

Выделяют однородные и неоднородные (по ролям и функ циям членов, их профессиям) команды. Примером однородной команды является рабочая бригада (бригада электриков, бригада каменщиков и т.д.), примером неоднородной команды – ком плексная бригада.

Процесс формирования команды включает формирование ее состава, распределение функций (ролей) и распределение объемов работ. Перечисленные три задачи взаимосвязаны и решаются «циклически» (см. рис. 1) – ведь для того, чтобы формировать состав команды, нужно знать, какие функции будет выполнять тот или иной агент, включаемый в команду;

а для оптимального распределения функций нужно знать, какой объем работ целесообразно выполнять данному агенту в рамках той или иной функции.

Задачи распределения объемов работ традиционно сводят ся, как правило, к тем или иным оптимизационным задачам, решаемым в рамках математической экономики (см. [6] и ниже), задачи распределения функций – к разновидностям транспорт ной задачи (см. [2] и ниже), задачи формирования состава – к задачам дискретной оптимизации [7].

Формирование состава команды Распределение функций Распределение объемов работ Рис. 1. Взаимосвязь задач формирования состава команд, распределения функций и распределения объемов работ В настоящей работе основной акцент делается на свойствах оптимальных решений задач распределения функций и объемов работ между членами команды. Исследуются условия стабиль ности функционирования команды в условиях неполной инфор мированности. Обсуждается взаимосвязь между параметрами задачи распределения функций и видом оптимальной организа ционной структуры.

2. Модель неоднородной команды В неоднородных командах члены команды выполняют раз личные функции, причем каждый член команды в общем случае характеризуется определенными эффективностями реализации тех или иных функций. Рассмотрим команду N = {, 2,..., n}, состоящую из n агентов. Предположим, что успешная деятель ность команды требует осуществления множества M = {, 2,..., m} различных функций. Обозначим через ri j эффективность выполнения i-ым агентом j-ой функции (приме ром является производительность труда), i N, j M. Для простоты будем считать, что эффективности принимают значе ния от нуля до единицы.

Матрица r = || ri j || характеризует потенциальные возможно сти команды по выполнению заданного набора функций.

Введем такие числовые (но интерпретируемые с известной долей условности) показатели команды, вычисляемые на осно вании матрицы r, как:

- профессионализм i-го агента – среднее значение эффектив ности выполнения им различных функций:

1m (1) ri = ri j, i N;

m j = - профессионализм команды – средняя эффективность вы полнения командой различных функций:

1nm j ri ;

(2) r = mn i =1 j = - средняя квалификация команды по каждой из функций:

1n (3) H j = ri j, j M;

n i = - неоднородность квалификаций i-го агента – стандартное от клонение его эффективностей выполнения различных функций:

1mj (ri - ri ) 2, (4) d i = iN ;

m - 1 j = - неоднородность команды – нормированное значение суммы различий эффективностей агентов:

1 nm | ri j - rkj | ;

(5) d = 2mn (n - 1) i,k =1 j = - «специализированность» команды, характеризующая нали чие в ней для каждой функции агентов, специализирующихся именно на реализации данной функции. Данный показатель определим как отношение числа членов команды, выполняю щих при оптимальном распределении функций (в рамках, на пример, транспортной задачи) какие-либо функции, к общему числу членов команды n.

Отметим, что все интерпретации (1)-(5) эффективностей достаточно условны и могут быть применимы к тем или иным практическим задачам только в случае линейных «производст венных функций» (функций выпуска или функций затрат) при отсутствии ограничений на объемы выполняемых агентами работ.

Приведем пример, иллюстрирующий, с одной стороны, ин формативность, а с другой стороны – условность введенных показателей.

Пример 1. Рассмотрим несколько команд, состоящих из трех агентов, выполняющих три различные функции – см. таб лицу 1.

Таблица 1. Характеристики команд в примере Hj № п/п ri di r d q r 1 111 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1/3 1/3 1/3 1/2 1 0 0 3 1 1 r1= 0 0 0 0 1/3 1/3 1/3 1/ r2=r3= 0 0 Первая команда обладает высокой (даже избыточной) ква лификацией и низкой неоднородностью. Вторая команда обла дает меньшей средней квалификацией, большей неоднородно стью, но такой же «специализированностью» (условно можно считать, что в ней отсутствует избыточность квалификаций).

Наконец, третья команда, хотя и обладает такой же средней квалификацией, что и вторая команда, но в ней низок уровень «специализированности» (эффективности двух членов команды равны нулю).

Завершив рассмотрение примера, исследуем последова тельно (в порядке усложнения) несколько моделей.

3. Фиксированы объемы работ, любой агент может выполнять любое количество работ Рассмотрим задачу оптимального распределения заданного вектора объемов работ R = (R1, R2, …, Rm), между агентами, имеющими аддитивные функции затрат типа обобщенных функ ций Кобба-Дугласа:

xij ci(xi, ri) = ri jj ( j ), i N, ri jM где j() – возрастающая выпуклая гладкая функция, равная нулю в нуле. Отметим, что затраты агента не дополнительны – выполнение некоторого объема одной функции никак не сказы вается на затратах на выполнение других функций. Предполо жим, что любой агент может выполнить любой неотрицатель ный объем работ каждого вида (ограниченность «производ ственных» возможностей агентов в модели учитывается ростом предельных издержек с увеличением объемов работ). Тогда, решая методом множителей Лагранжа следующую задачу:

n m xij rijj ( r j ) ® {min}, j x ij (6) i =1 n=1 i xij = R j, j M, i = получим оптимальное распределение объемов работ между агентами:

Rj (7) x ij ( r, R) = ri j *, i N, j M.

nHj Суммарные затраты агентов (команды в целом) по выпол нению вектора R объемов работ равны:

Rj (8) C1(r, R) = n H jj ( ).

nHj jM Проанализируем выражения (7) и (8).

Во-первых, силу специфики выбранного вида функций за трат команда может рассматриваться как единое целое – один xj агент с функцией затрат c(x) = nH jj ( ) и с вектором nH j jM типов, компоненты которого пропорциональны средней эффек тивности команды по выполнению соответствующего вида работ. Из данного свойства оптимального решения вытекает важный содержательный вывод – в рассматриваемом случае при фиксированных средних квалификациях (3) команды не важно, какими конкретными квалификациями обладает тот или иной агент (то есть, характеристики (1), (2) и (4) не столь существен ны). Другими словами, при фиксированной (для каждой из функций) суммарной квалификации две команды – одна, в которой один агент имеет высокую квалификацию, а остальные – нулевую, и вторая, в которой все агенты обладают одинако выми квалификациями – равноценны с точки зрения минималь ных суммарных затрат.

Необходимо подчеркнуть, что данный вывод справедлив в предположении, что не рассматриваются затраты на привлече ние и удержание агентов в команде, а эти затраты для каждого агента, очевидно, тем выше, чем выше его квалификация (1) – см. ниже обсуждение проблем формирования неоднородных команд.

Во-вторых, затраты (8) команды, естественно, монотонны по объемам выполняемых работ. Кроме того, в силу выпуклости функции j() они убывают с ростом средней квалификации (3) команды по любой из функций.

В-третьих, можно ставить и решать задачу нахождения оп тимального (в смысле минимума затрат (8)) распределения квалификаций агентов, например, при заданной средней квали фикации команды (2):

Rj (9) H jj ( ) ® min, nHj { H j 0} jM H j = r.

(10) m jM Решение задачи (9)-(10) имеет вид:

Rj (11) Hj = m r, j M.

Rk k M Содержательно выражение (11) означает, что при фиксиро ванной средней квалификации оптимальна та команда, в кото рой выше квалификация агентов, выполняющих (при оптималь ном распределении функций) наибольший объем работ.

Другими словами, чем больше предстоящий объем работ того или иного вида, тем выше должна быть квалификация занятых на этих работах членов команды.

Сформулируем сделанные выводы в виде следующего ут верждения.

Утверждение 1. При условии, что в неоднородной команде фиксированы объемы работ, а любой агент может выполнять любое количество различных работ:

а) оптимальное распределение объемов работ между аген тами определяется выражением (7);

б) при фиксированной (для каждой из функций) суммарной квалификации распределение агентов по квалификациям несу щественно;

в) при фиксированной средней квалификации оптимальна команда с квалификациями агентов, удовлетворяющих выраже нию (11).

Имея решение (7)-(8) задачи об оптимальном распределе нии работ в неоднородной команде, можно решать и задачу формирования ее состава. Пусть при фиксированном множестве претендентов известны затраты S(r) на привлечение и удержа ние состава команды квалификации r. Тогда можно формулиро вать в той или иной постановке задачу нахождения состава, минимизирующего сумму затрат S(r) + C1(r, R) на формирова ние и функционирование команды, которой предстоит реализо вывать объем работ R.

Выше предполагалось, что при фиксированных объемах ра бот (функций) каждый агент мог реализовывать одновременно несколько функций. Иногда (в силу технологических ограниче ний или существующих затрат на координацию деятельности агентов [11, 13]) требуется, чтобы разделение функций между агентами было более жестким, например, можно потребовать, чтобы каждый агент выполнял не более одной работы, и наобо рот – чтобы одну работу выполнял только один агент (то есть, решать задачу о назначении). Рассмотрим соответствующую модель.

4. Фиксированы объемы работ, любой агент может выполнять только одну работу Предположим, что число агентов равно числу функций:

Rj n = m. Обозначим sij = ci(Rj, ri) = ri jj ( j ), i N, j M. Тогда ri задача оптимального распределения функций будет описывать ся выражениями:

n n xij sij ® (12) min { xij{0;

1}} i =1 j = n xij (13) = 1, i = 1, n, j = n xij (14) = 1, j = 1, n.

i = Методы решения задачи о назначении (12)-(14) хорошо из вестны. Содержательной интерпретацией этой задачи в терми нах менеджмента является нахождение оптимальной матрицы ответственности.

Вспомним теперь, что мы исследуем команды, которые ха рактеризуются автономностью деятельности агентов. Послед няя, в том числе, подразумевает, что члены команды могут самостоятельно принимать решения о том, какие работы и в каких объемах им выполнять. Если интересы всех членов ко манды едины и заключаются в минимизации их суммарных затрат, то при условии, что все параметры являются общим знанием [15], каждый из агентов может решить задачу (6) или задачу (12)-(14) и выбрать оптимальные действия.

Однако может оказаться, что каждый из членов команды преследует собственные интересы. Как же будет функциониро вать команда в этом случае, и как добиться слаженной и эффек тивной (в смысле минимума суммарных затрат) работы ее чле нов? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую модель, в которой уже появляются элементы управления, характерного для иерархических организационных систем [11].

Перенумеруем агентов таким образом, чтобы оптимальным решением задачи о назначении (12)-(14) было диагональное назначение (xii = 1, xij = 0, j i, i, j N).

Пусть за выполнение j-ой функции установлено вознаграж дение qj, j M. Выигрыш i-го агента описывается разностью между вознаграждением за выполнение выбранной им функции j и затратами на выполнение этой функции: qi – cii, i, j N.

Спрашивается, каковы должны быть размеры вознаграждений, чтобы выборы агентов соответствовали оптимальному решению задачи о назначении. Для ответа на этот вопрос воспользуемся полученными в [14] результатами решения задачи синтеза оп тимальных нормативных ранговых систем стимулирования.

Для того чтобы i-му агенту было выгодно выбирать именно i-ю функцию, необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

(15) qi – sii qj – sij, i, j N.

Запишем (15) в виде (16) qj – qi aij, i, j N, где aij = cij – cii, i, j N. Обозначим суммарное вознаграждение агентов n qi, (17) J = i = где вектор q удовлетворяет (16).

Тогда задача заключается в выборе неотрицательных возна граждений, минимизирующих выражение (17) при условии (16).

Введем в рассмотрение n-вершинный граф Ga, веса дуг в котором определяются ||ai||. Задача минимизации (17) при усло вии (16) является задачей о минимальных неотрицательных потенциалах вершин графа Ga, для существования решения которой необходимо и достаточно отсутствия контуров отрица тельной длины [1].

Рассмотрим задачу о назначении (12)-(14), в которой sij = cij, i N, j M.

Утверждение 2. Для того чтобы в оптимальном решении за дачи о назначении xii = 1, xij = 0, j i, i, j N, необходимо и достаточно, чтобы граф Ga не имел контуров отрицательной длины.

Из теории графов известно [1], что в оптимальном решении задачи о назначении минимальна не только сумма потенциалов вершин графа Ga (суммарные затраты на вознаграждение членов команды), но и минимальны все потенциалы вершин (индивиду альные вознаграждения).

Имея результат утверждения 2, можно предложить алго ритм вычисления минимальных потенциалов. Поставим в соот ветствие ограничениям двойственные переменные uj и vi, i, j N. Ограничения двойственной задачи имеют вид:

(18) uj – vi aij, i, j N.

Заметим, что, так как xii = 1, i N, то ui – ni = aii = 0, а зна чит ui = ni = qi. Используя этот факт, определим следующий алгоритм:

Шаг 0. uj = cjj, j N.

Шаг 1. vi: = max {uj – aij}, i N.

jN Шаг 2. uj: = max {vi + aij}, j N.

jN Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма ко нечное число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптималь ное решение:

(19) qi = ui = vi, i N.

Приведенный выше алгоритм позволяет решать задачу по иска минимальных потенциалов графа Ga, удовлетворяющих условию (16), то есть побуждающих членов команды выбрать оптимальные действия.

Обозначим C2(r, R) – значение целевой функции в опти мальном решении задачи о назначении. Легко видеть, что (20) " r 0, " R 0 C2(r, R) C1(r, R), то есть суммарные затраты команды на выполнение фиксиро ванного набора работ в случае фиксации «ролей» членов коман ды не выше, чем в случае, когда каждый член команды может выполнять несколько функций одновременно. Это свойство оптимальных решений имеет прозрачную содержательную интерпретацию в терминах свойств организационных структур [13]. Сделаем маленькое отступление, проясняющее связь меж ду свойствами оптимальных решений задач распределения функций и типами организационных структур.

5. Оргструктуры и задачи распределения функций Для большинства современных организаций актуальна про блема поиска рационального баланса между функциональной и проектной структурой. Под функциональной структурой в об щем случае понимается линейная (древовидная) структура, в ко торой подразделения выделяются по тому или иному признаку (на различных уровнях иерархии признаки могут быть различ ны): функциональному, территориальному, продуктовому и т.д.

Линейная структура, порождаемая функциональной спе циализацией, оказывается эффективной при процессном функ ционировании, то есть в условиях относительного постоянства набора реализуемых системой функций. При проектной струк туре участники системы «привязаны» не к функциям, а к проек там, которые могут сменять друг друга во времени (см. подроб ное обсуждение свойств линейных, матричных и сетевых струк тур в [12]). «Гибридом» функциональной и проектной структур является матричная структура, в которой каждый исполнитель в общем случае подчинен одновременно нескольким руководите лям, например, некоторому функциональному руководителю и руководителю определенного проекта.

Качественно, рассмотренные выше задачи распределения функций в неоднородной команде соответствуют определению структуры взаимосвязей между агентами и руководителями – центрами (когда центр «отвечает» за некоторый проект – рабо ту). В общем случае каждый агент оказывается связанным с каждым центром, так как первый выполняет в оптимальном распределении работ работы нескольких (быть может, даже всех) видов. Можно условно считать, что подобным связям соответствует матричная структура управления, эффективность которой зависит от объемов работ и типов агентов и равна C1(r, R). Такую задачу можно условно назвать задачей синтеза оптимальной матричной структуры.

Альтернативой является использование функциональной структуры, в которой каждый агент закреплен за одним и только одним центром (проектом или типом работ). Для того чтобы найти оптимальную функциональную структуру, следует ре шить задачу назначения исполнителей. Тогда C2(r, R) – мини мальные суммарные затраты в этом случае.

Из выражения (20) следует, что в рамках рассматриваемых моделей затраты оптимальной функциональной структуры всегда не меньше, чем затраты оптимальной матричной струк туры. Поясним последнее утверждение. Функциональная струк тура, как известно, требует минимальных затрат на управление (собственное функционирование). Но она приводит к неэффек тивному распределению работ между агентами. С другой сторо ны, матричная структура приводит к более эффективному рас пределению работ, но требует больших затрат на управление, которые выше не учитывались. Поэтому при решении вопроса о выборе структуры (или переходе от одной структуры к другой) следует принимать во внимание оба фактора: затраты на управ ление и эффективность выполнения работ.

6. Неполная информированность Выше предполагалось, что все параметры модели являются общим знанием среди агентов. Если члены неоднородной ко манды имеют нетривиальные взаимные представления относи тельно типов друг друга, то динамика их взаимных представле ний (процесс формирования команды) и условия устойчивого функционирования команды (стабильность информационного равновесия [16]) могут быть описаны по аналогии с тем, как это делалось в [10, 16] для случая однородной команды. Поэтому рассмотрим более подробно ситуацию, когда различаются пред ставления агентов об объёмах работ, которые предстоит выпол нить команде.

Неполная информированность относительно объемов работ. Возможны ситуации, когда либо агенты не полностью информированы относительно объемов работ, которые необхо димо выполнять команде, либо эти объемы меняются во време ни. Исследуем сначала первый вариант.

Предположим, что типы агентов являются общим знанием, и имеет место рефлексия первого ранга [15] относительно объе мов работ – i-ый агент обладает структурой информированности j j Ii = { Rik }k N, j M, где Rik – представления i-го агента о том, каков объем j-ой работы с точки зрения k-го агента, i N.

В силу выражения (7) с точки зрения i-го агента k-ый агент должен выбрать действие Rj (21) xikj = rk j ik j, i, k N, j M.

* nH Тогда оптимальным (в силу, опять же, выражения (7)) для i-го агента является выбор действия (22) xij ( I i ) = Ri j – xikj, i N, j M.

* * k i Дальше возможны различные варианты, в зависимости от того, что наблюдает каждый агент. Если каждый агент наблюда ет только свое действие, то условие стабильности (совпадения (7) и (22)) примет вид:

(23) rkj ( Ri j - Rik ) = 0, i N, j M.

j k N Из (23) видно, что в случае двух агентов ложных равнове сий [16] возникнуть не может.

Если каждый агент наблюдает выборы всех агентов (ситуа ция, наверное, типичная для команд), то условие стабильности (дополнительно к (23) нужно потребовать, чтобы выборы реаль ных и соответствующих фантомных (представлениях реальных агентов о своих оппонентах [15]) агентов совпадали, то есть * * xikj = xkj, i, k N, j M) примет вид:

(24) Rik = Ri j, i, k N, j M, j то есть, наблюдаемость всех действий исключает ложные рав новесия. Итак, мы обосновали справедливость следующего утверждения.

Утверждение 3. Если типы агентов являются общим знани ем, и имеет место рефлексия первого ранга относительно объе мов работ, то:

а) если каждый агент наблюдает только свои действия, то усло вие стабильности имеет вид (23);

б) если каждый агент наблюдает действия всех агентов, то ложных равновесий не возникает.

Неоднородная команда в нестационарной внешней среде (динамика объемов работ). Выше рассмотрена модель форми рования и функционирования неоднородной команды в услови ях, когда набор функций и объемы работ были фиксированы.

Исследуем теперь деятельность команды в изменяющихся внешних условиях, когда требования к ее результатам (а, следо вательно, и функциям, и объемам работ) меняются во времени.

В частности, попытаемся ответить на распространенный на практике вопрос – какая команда лучше (и в каких условиях):

содержащая набор «узких профессионалов», специализирую щихся каждый в определенной области, или «универсалов», которые могут выполнять любые функции, пусть даже хуже профессионалов в соответствующей области? То есть, каково «оптимальное» соотношение между средней квалификацией, однородностью и «специализированностью» команды?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим две команды – одну, в которой уровень специализации (неоднородность квалифика ций) высок, и вторую, в которой квалификации агентов одина ковы.

Предположим, что число работ равно числу агентов (m = n), а типы агентов принадлежат отрезку [0;

1].

Первая команда. Предположим, что в первой команде для каждой работы существует единственный агент, который умеет эту работу хорошо выполнять, но кроме нее он не может делать ничего (см. также второй пункт примера 1), то есть:

(25) rii = 1, i N, ri j = 0, j i.

Вычислим для такой команды величины (1)-(4):

(26) ri = 1/n, r = 1/n, Hi = 1/n, di = 1/ n, i N.

Неоднородность квалификаций в первой команде макси мальна. Затраты такой команды равны (27) 1C2(R) = j ( Ri ).

iN Рассмотрим теперь вторую команду, в которой тот же сред ний уровень профессионализма (3), но квалификации агентов одинаковы. Это предположение обосновано тем, что таким образом можно попытаться «уравнять» средние затраты на привлечение и удержание членов первой и второй команды.

Вторая команда. Предположим, что во второй команде ква лификации агентов одинаковы (см. также первый пункт примера 1), то есть:

(25) ri j = 1/n, i, j N.

Вычислим для такой команды величины (1)-(4):

(26) ri = 1/n, r = 1/n, Hi = 1/n, di = 0, i N.

Неоднородность квалификаций во второй команде равна нулю. Затраты такой команды равны j (nR ).

(27) 2C2(R) = i n iN В силу выпуклости функции j() имеем:

(28) " R 0 2C2(R) 1C2(R), то есть при одной и той же средней квалификации команды более выгодно иметь «узких» специалистов, покрывающих весь спектр решаемых командой задач, чем специалистов «широкой»

(но более низкой) квалификации. Например, при j(z) = z2 затра ты второй команды в n раз выше затрат первой команды.

Необходимо подчеркнуть, что вывод о выгодности узкой специализации сделан в предположении, что набор и объем работ, выполняемых командой, фиксирован, и, кроме того, каждый агент может выполнить любой объем работ (данное предположение является существенным, так как в задачах (6) и (16)-(17) считалось, что агенты способны выполнить любой объем работ). Если учесть динамику и считать, что в различные моменты времени команде приходится выполнять различные виды и объемы работ, то в зависимости от свойств «потока»

работ может оказаться более выгодным включать в состав ко манды специалистов-универсалов, умеющих одинаково хорошо выполнять разнообразные функции.

Выдвинутое предположение вполне соответствует как прак тическому опыту, накопленному в менеджменте (см. [8] и обзор в [5]), так и теоретическим моделям – см. [9, 11, 12], в которых показано, что в стационарных условиях оптимальны линейные иерархические организационные структуры с высоким уровнем специализации, а в условиях изменяющейся внешней среды эффективными оказываются матричные или сетевые структуры (см. также примеры в [4]). Модели, описывающие оптимальное сочетание «профессионалов» и «универсалов», также рассмат ривались в [17].

Косвенным подтверждением является результат, установ ленный выражением (11), в соответствии с которым в непре рывной модели квалификация агентов должна быть пропорцио нальна объему работ. Другими словами, если известно, что команде предстоит выполнять, в основном, работу одного вида, то включаемые в ее состав агенты должны уметь эффективно выполнять именно эту работу. Если же объемы работ различно го вида примерно одинаковы, то и средняя квалификация ко манды должна быть примерно одной и той же для всех видов работ.

Подводя итог краткому обсуждению взаимосвязи между уровнем специализации и видом организационной структуры, отметим, что эффективность той или иной структуры в динами ке может оцениваться как сумма (или математическое ожида ние, если характеристики потока не известны) затрат на реали зацию всего набора работ за рассматриваемый период времени.


Сделанный выше вывод о том, что матричная структура харак теризуется не большими суммарными затратами агентов, чем линейная, в динамике также остается в силе. Следует при этом отметить, что нами не учитывались затраты на изменение орг структуры, ведь использование оптимальной матричной струк туры требует для каждого нового «пакета работ» использовать соответствующую оптимальную структуру. Некоторые модели, учитывающие затраты на «перестроение» оргструктур, исследо вались в [3].

Литература 1. БУРКОВ В.Н., ГОРГИДЗЕ И.А., ЛОВЕЦКИЙ С.Е. При кладные задачи теории графов. Тбилиси: Мецниереба, 1974.

2. ВАГНЕР Г. Основы исследования операций. – М.: Мир, 1972.

3. ВОРОНИН А.А., МИШИН С.П. Оптимальные иерархиче ские структуры. М.: ИПУ РАН, 2003.

4. ГЛАМАЗДИН Е.С., НОВИКОВ Д.А., ЦВЕТКОВ А.В.

Механизмы управления корпоративными программами:

информационные системы и математические модели. М.:

Спутник, 2003.

5. ГУБКО М.В. Математические модели оптимизации ие рархических структур. М.: ЛЕНАНД, 2006.

6. ИНТРИЛЛИГАТОР М. Математические методы оптими зации и экономическая теория. – М.: Прогресс, 1975.

7. КАРАВАЕВ А.П. Модели и методы управления составом активных систем. М.: ИПУ РАН, 2003.

8. МИНЦБЕРГ Г. Структура в кулаке: создание эффектив ной организации. М.: Питер, 2001.

9. МИШИН С.П. Оптимальные иерархии управления в эконо мических системах. М.: ПМСОФТ, 2004.

10. НОВИКОВ Д.А. Институциональное управление организа ционными системами. М.: ИПУ РАН, 2003.

11. НОВИКОВ Д.А. Механизмы функционирования многоуров невых организационных систем. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999.

12. НОВИКОВ Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. М.: ИПУ РАН, 2003.

13. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. 2-е изд. М.: Физматлит, 2007.

14. НОВИКОВ Д.А., ЦВЕТКОВ А.В. Механизмы стимулиро вания в многоэлементных организационных системах. М.:

Апостроф, 2000.

15. НОВИКОВ Д.А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Рефлексивные игры. М.: Синтег, 2003.

16. ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Теоретико-игровые модели инфор мационного управления. М.: ПМСОФТ, 2004.

17. GARICANO L., HUBBARD T. Hierarchies, specialization and the utilization of knowledge: theory and evidence from the legal services industry. – Cambridge: National Bureau of Economic Research. Working Paper 10432, 2004.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТНО-ВРЕМЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ФОРМИРОВАНИЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР Томилин А.А.

(Липецкий государственный технический университет) alext@lipetsk.ru Рассматриваются проблемы формирования организационной структуры при помощи дискретных симметричных линейных окрестностно-временных моделей. Предложен подход к опре делению структуры организации на основе решения задачи смешанного оптимального управления и в соответствии с принятым механизмом стимулирования. Приведены практиче ские результаты апробации подхода на примере конкретного предприятия.

Ключевые слова: окрестностно-временные модели, органи зационные системы, формирование организационной струк туры, оптимальное смешанное управление, механизм стиму лирования.

Введение При решении задач управления в социальных и экономиче ских системах возникают проблемы математического моделиро вания организационных систем, формирования оптимальных иерархических организационных структур (ОС) [3, 4], разработ ки эффективных численных методов и алгоритмов идентифика ции и оптимального управления, их реализации в виде ком плексов проблемно-ориентированных программ, применения в реальных организационных системах с целью повышения эф фективности их функционирования.

Анализ литературных источников, посвященных исследо ванию формальных моделей формирования ОС и управлению на их основе, позволяет отметить следующее:

на текущий момент отсутствует единый подход к форми рованию ОС при помощи формальных моделей;

при моделировании ОС не используется математическое описание системы как совокупности входов, состояний, выходов;

отсутствует учет наличия технологических взаимодейст вий и взаимосвязей между исполнителями в структуре мо дели;

чтобы упростить поставленную задачу, делаются важные предположения, сужающие область применимости моде лей на практике;

не учитывается информация об особенностях деятельно сти организаций и предметной области, в которой они функционируют.

Среди важных факторов в организационных системах вы деляются наличие отношений непосредственного подчинения и взаимосвязей на уровне исполнителей, возникающих при об служивании технологических процессов. Эти особенности связывают их с окрестностными системами [1, 5], для которых существует достаточно развитый математический аппарат и примеры применения в других предметных областях. Однако в современной теории окрестностных систем не учитывается ряд особенностей, возникающих при решении задачи построения ОС, а именно, ограничения на переменные, различная размер ность векторов сигналов, динамика во времени в явном виде.

Таким образом, актуальной является задача разработки и применения аппарата формирования ОС, основанного на созда нии окрестностно-временных моделей (ОВМ) рассматриваемых систем, учета взаимосвязей этапов решения задачи организаци онного дизайна и специфики предприятия.

1. Цель работы и постановка задачи Цель работы состоит в построении окрестностно временных моделей организационных систем, методов и алго ритмов идентификации и оптимального управления, комплекса программ на их основе, позволяющих эффективно решать зада чи формирования организационных структур, апробации на практике разработанных механизмов на примере конкретного предприятия.

Для достижения указанной цели были поставлены и реше ны следующие задачи:

– анализ современных математических методов формирова ния иерархических ОС;

– построение линейных ОВМ для получения оптимальных вариантов ОС;

– разработка структуры базы данных информационной сис темы для работы с ОВМ;

– системный анализ проблематики обслуживания процесса оказания транспортных услуг и разработка модели техно логии взаимодействия персонала автотранспортного пред приятия;

– модификация алгоритмов параметрической идентифика ции, оптимального смешанного управления для окрестно стно-временных систем с целью учета ограничений на пе ременные;

– определение наилучшего варианта в соответствии с при нятым механизмом стимулирования;

– разработка программного комплекса, который предназна чен для моделирования систем при помощи ОВМ.

Постановка задачи формирования ОС выглядит следующим образом. Задано конечное множество всех сотрудников органи зации V, множество допустимых ОС W W(V ) и функция затрат ОС на стимулирование C : W ® [0, +). Необходимо найти допустимую ОС с минимальными затратами, для которой построен алгоритм оптимального смешанного управления по различным критериям оптимальности в зависимости от извест ных фактических параметров технологических процессов.

Среди особенностей подхода к решению указанной задачи можно отметить, что:

1. Функционирование организации описывается линейной ОВМ, построенной с учетом технологических процессов на предприятии.

2. Эффективность деятельности предприятия определяется при помощи решения задачи оптимального смешанного управ ления.

3. Задача определения минимальной стоимости ОС решает ся на основе результатов предыдущего пункта и в соответствии с принятыми механизмами стимулирования.

2. Описание ОВМ организации Одним из ключевых факторов, влияющих на вид ОС, явля ются особенности технологии функционирования организации, поэтому построение модели требуется начать именно с опреде ления способов взаимодействия при обслуживании основных производственных процессов.

В качестве используемой технологии функционального мо делирования процессов в работе была выбрана технология IDEF0, отличающаяся эффективностью и удобством в практике применения [6]. Полученные результаты, приведенные на ри сунках 1-3, содержат серию диаграмм, разбивающих сложный объект на составные части, которые представлены в виде бло ков.

Нас будут интересовать процессы, характеристики выпол нения которых можно оценить с помощью численных показате лей, их количество и взаимосвязи между исполнителями. Таким образом, размерность векторов входов и состояний узла испол нителя будет определятся количеством измеряемых характери стик обслуживаемых им процессов.

Рис. 1. Декомпозиция первого уровня основного процесса Рис. 2. Декомпозиция процесса «Формирование заявок, нарядов и ПЛ»

Рис.3. Декомпозиция процесса «Регистрация показателей и контроль состояния ТС»

Для изображения ОС в виде окрестностно-временной сис темы сопоставим каждому процессу его исполнителя, учтем последовательность выполнения процессов взаимосвязями между исполнителями, отобразим отношения непосредственно го подчинения связями между исполнителями и менеджерами, группой менеджеров и менеджером более высокого уровня.

Функционирование организации с учетом технологических процессов на предприятии описывается линейной ОВМ:

W[a, a ' ]x[a ', t + 1] + W[a, a '' ]x[a '', t ] = (1) a 'Ox[a,t +1] a ''Ox[a,t ], X[a, b ]v[b, t ] = bOv[a,t ] где v[a, t ] R m, x[a, t ] R n – вход и состояние в узле а в момент времени t (параметры m и n в общем случае могут быть различ ными для каждого вектора сигнала);

X[ a, a ] R cm, W[a, a ] R cn – постоянные матрицы-параметры в узле системы а для рассматриваемого узла окрестности a (компонент с одинаков для всех матриц-параметров узла и его окрестности, но может быть различным для каждого из узлов);


Ov [ a, t ], Ox [a, t ] – окрестности узла а по входу и состоянию в момент времени t ( Ov [ a, t ] Ox [ a, t ] "a A );

a, a ', a '', b A, A = {a1, K, a N } – множество значений аргумен та системы (1), где |A|=N.

3. Особенности схемы управления Решающим условием, определяющим пригодность ОС для эффективного функционирования предприятия, является реше ние задачи оптимального управления, дающее требуемые значе ния состояний в зависимости от заданных сигналов модели.

Будем рассматривать два случая: по неизвестным перемен ным присутствуют значения плановых показателей (при этом решается задача оптимального смешанного управления) или план заранее неизвестен (решается задача смешанного управле ния). При этом схема управления имеет вид, изображенный на рис. 4. Множество допустимых ОС определяется на основе мнений экспертов о наиболее приемлемых вариантах ОС с минимальными затратами.

x v W[a,a ']x[a ',t +1] + W[a,a ' ]x[a ',t] = X[a, b ]v[b,t] bOv[at] a 'Ox[at, +1] a'Ox[at],, | Ex - f | ® min x | x | ® min Gx h Рис.4. Общая структурная схема управления %%% % % %%% % % На рис. 4 E (W, X, x(t + 1), x(t ), v(t )) и f (W, X, x(t + 1), x(t ), v(t )) – матрица коэффициентов и вектор-столбец, полученные после приведения матричного уравнения AX=BV к виду Ex = f, волной обозначены известные элементы соответствующих компонентов ОВМ, x* – плановые показатели для неизвестных компонентов сигналов.

4. Механизм стимулирования Для поиска ОС с минимальными затратами используется механизм стимулирования, учитывающий объем проведенных работ. При этом стимулирование строится таким образом. Центр согласно сложности и важности работы предлагает агенту функ цию стимулирования следующего типа: фиксированная ставка за объем работы, не превышающий план (заранее заявленный объем работ) и премия согласно реально выполненному объему работ.

Полагается, что функция затрат зависит от показателей за груженности персонала, полученных в результате применения алгоритма управления для возможных вариантов ОС. Критерий минимальности затрат, определяющий оптимальную ОС в смысле затрат на стимулирование сотрудников, имеет вид:

N (2) C ( H ) = N is i ® min, i = 2 s iA a i ( xi - xi ) + s i, a i =, при xiA xi xiB, A A где s i = A 3 xi s A, при 0 x x A ;

i i i – размер затрат ОС на стимулирование i-того сотрудника;

N – общее количество узлов;

Ni – число сотрудников в i-том узле модели;

xiA, xi, xiB, s iA – плановая, фактическая, предельная нагрузка и базовая ставка оплаты i-того сотрудника соответст венно;

H – множество допустимых вариантов ОС.

5. Практическая апробация подхода Рассмотрим применение описанного подхода на примере автотранспортного управления (АТУ) ОАО "НЛМК". Отметим, что работа рассматриваемого предприятия имеет свою специфи ку, которая оказывает влияние на структуру организации. Среди особенностей АТУ ОАО «НЛМК» выделим ориентированность его деятельности на обслуживание потребностей металлургиче ского производства, которое характеризуется непрерывностью цикла производимых работ и, как следствие, необходимостью в обеспечении бесперебойности осуществления технологических процессов. Примем во внимание, что на предприятии существу ет информационная система по учету работы автотранспорта, являющаяся поставщиком массивов данных, пригодных для анализа и оценки степени занятости персонала, обслуживающе го транспортные процессы.

Построим для существующей организационной структуры дискретную симметричную линейную ОВМ. Чтобы чрезмерно не усложнять модель, примем ряд допущений. Объединим в один узел исполнителей, выполняющих схожие работы и зани мающих одну должность. Учтем только те узлы, которые нахо дятся в тесной взаимосвязи в процессе осуществления деятель ности по обслуживанию автотранспортного процесса, горизонтальные (технологические) и вертикальные (админист ративные) связи между сотрудниками рассматриваемой органи зации. Значения параметров узлов ОВМ, используемые при построении модели и решении задачи формирования оптималь ной ОС, приведены в таблицах 1 и 2. Задача параметрической идентификации решалась на основании данных, полученных при помощи отражения результатов выполнения технологиче ских процессов, описание которых приведено на рисунках 1-3, в информационной системе "Учет работы автотранспорта", экс плуатируемой в автотранспортном управлении. При этом струк тура, схема модели организации и технологических процессов во взаимосвязи, описание параметров базовой ОВМ АТУ соот ветствуют работе [2].

Таблица 1. Параметры узлов исполнителей И1 И2 И3 И4 И5 И mi 2,9 1,6 5,5 1 1,4 0, Ni 2 16 1 2 12 i Nv 2 2 0 2 0 i Nx 2 3 2 1 1 A x 577,5 465 446,2 121 257 i B x 866,25 697,5 669,3 181,5 385,5 i ai 0,0067 0,008 0,038 0,011 0,0436 0, Таблица 2. Параметры узлов менеджеров М1 М2 М3 М mi 19,8 6,6 6,6 6, Ni 1 1 1 i Nv 0 0 0 i Nx 1 1 1 A x 2560,5 1688,7 155 350, i B x 3840,8 2533,05 232,5 526, i ai 0,0052 0,0026 0,0284 0, i i Параметры N v, N x определяют количество компонент входов и состояний в i-том узле для исходной ОВМ, mi показы вает, во сколько раз отличается базовая ставка узла И4 от базо вой ставки сотрудников i-того узла модели. Предполагается, что базовая ставка узла И4 s И 4 = 1, тогда mi = s iA " i = 1, N.

A Тенденции развития предприятия приводят к постоянному изменению количества выполняемых им функций, влияющих на состав и структуру организации.

В ходе внедрения информационной системы по учету рабо ты автотранспорта появилась потребность в обслуживании следующих технологических процессов:

регистрация факта проведения технических обслуживаний (П9);

оформление актов о снятии остатков и переливов топлива (П10).

Для определения структуры с минимальными затратами на стимулирование были выбраны варианты:

1. Поручить выполнение этих процессов узлу И3.

2. Поручить выполнение этих процессов узлу И5.

3. Распределить полномочия: П9 обслуживает узел И3, П – узел И5.

4. Распределить полномочия: П9 обслуживает узел И5, П – узел И3.

5. Поручить выполнение этих процессов новому узлу И6, который находится в подчинении М4.

Для каждого варианта строились симметричные ОВМ, ре шалась задача смешанного и оптимального смешанного управ ления для выявления фактической работы, выполненной персо налом. На основании данных о размере стимулирования (таблицы 1 и 2) проводились вычисления стоимости ОС в каж дом конкретном случае. Результаты проведенных расчетов, которые содержатся в таблицах 3 и 4, позволяют выбрать наи лучшую модель в смысле минимальных затрат на стимулирова ние сотрудников ОС. Жирным цветом выделены минимальные значения затрат ОС для каждой из решенных управленческих задач. Полученные результаты позволяют говорить о выгодно сти распределения полномочий по обслуживанию указанных процессов согласно 3-его варианта (П9 обслуживает узел И3, П10 – узел И5).

Таблица 3. Результаты проведенных расчетов в случае смешан ного управления Смешанное управление № варианта Код 1 2 3 4 проц.

К1 93,45 93,91 95,13 92,89 99, К3 691,55 722,79 677,22 732,74 732, К5 929,11 932,75 910,18 944,24 944, К7 223,54 217,74 227,26 234,97 226, К11 683,95 655,32 648,24 641,09 676, К12 6873,48 6990,8 7118,54 6784,66 6781, К14 17,97 18,47 17,86 18,99 18, К16 1789,521 1699,141 1748,211 1732,591 1781, К18 355,974 375,884 358,784 356,484 364, К19 2740,565 2691,975 2599,185 2653,715 2631, К20 16,1 15,82 15,9 16,69 16, К21 12,63 12,64 12,08 12,68 12, С(H) 96,738 96,646 96,48 97, 95, Таблица 4. Результаты проведенных расчетов в случае оптимального смешанного управления Оптимальное смешанное управление № варианта Код 1 2 3 4 проц.

К1 90,73 95,92 94,59 94,52 91, К3 692,88 700,49 675,65 687,36 688, К5 911,84 887,49 913,32 920,01 881, К7 223,67 226,78 216,74 225,05 222, К11 637,49 628,25 648,31 619,41 635, К12 6543,42 6745,99 6839,38 6807,22 6437, К14 18,34 18,39 18,34 17,85 17, К16 1715,52 1709,87 1737,56 1686,37 1723, К18 359,55 360,7 349,97 355,09 354, К19 2582,01 2585,53 2560,03 2576,18 2605, К20 15,58 15,94 15,71 16,28 15, К21 12,11 12 11,64 12,18 11, С(H) 95,728 95,779 95,611 96, 95, Заключение В настоящей работе отражены некоторые вопросы, касаю щиеся формирования оптимальной ОС при помощи ОВМ. Прак тическая ценность разработанных подходов заключается в том, что их применение позволяет получать информацию, необходи мую для принятия управленческих решений по повышению эффективности функционирования предприятия в производст венных условиях.

При использовании предложенных математических моде лей и методов в АТУ ОАО «НЛМК» появилась возможность для решения следующих задач: перераспределение нагрузки между сотрудниками структурных подразделений, выявление необхо димости внесения изменений в состав и структуру, анализ раз личных вариантов принятия управленческих решений по ОС, информационное обеспечение моделей для принятия управлен ческих решений.

Литература 1. БЛЮМИН С.Л., ШМЫРИН A.M. Окрестностные систе мы. Липецк: Липецкий эколого-гуманитарный институт, 2005. – 132 с.

2. БЛЮМИН С.Л., ТОМИЛИН А.А. Методика моделирования организационной структуры при помощи симметричных окрестностных моделей // Управление большими система ми / Сборник трудов. Выпуск 17. М.: ИПУ РАН, 2007. С.29 39.

3. ГУБКО М.П. Математические модели оптимизации ие рархических структур. М.: ЛЕНАНД, 2006. – 264 с.

4. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. М.: Московский психолого-социальный инсти тут, 2005. – 584 с.

5. ТОМИЛИН А.А. Построение симметричной окрестност ной модели выпуска транспортных средств на линию // Системы управления и информационные технологии. 2006.

№1.2(23). С. 291-293.

6. ТОМИЛИН А.А. Применение IDEF-моделирования при проектировании информационной системы для учета ра боты автотранспортного управления крупного промыш ленного предприятия // Экология ЦЧО РФ. 2005.№2 (15). С.

48-54.

КЛАСТЕРИЗАЦИЯ РЕГИОНОВ КАЗАХСТАНА С УЧЕТОМ ФАКТОРОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА Турганбаев Е.М., Козлова М.В.

(Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д. Серикбаева, г.Усть-Каменогорск, Республика Казахстан) ETurganbaev@ektu.kz, Mara_Koz@mail.ru Рассмотрены теоретические основы экономического роста, выявлены ключевые показатели оценки экономического разви тия регионов. Проведен кластерный анализ регионов Казахста на, согласно набору факторов экономического роста. По ито гам анализа предложена классификация регионов республики.

Ключевые слова: экономический рост, кластерный анализ, регионы Казахстана, факторы роста.

Введение Развитие регионов Казахстана является приоритетной зада чей республиканского значения. Стратегия регионального разви тия неоднородна по отношению к различным регионам. Это обусловлено существенными различиями регионов в обеспечен ности ресурсами, структуре их хозяйства, достигнутом уровне развития различных сфер экономики, условиях вхождения в рыночную экономику, темпах трансформации форм собственно сти, в целом конкурентными преимуществами, определяемыми природно-климатическими, демографическими, производствен ными, географическими факторами.

На сегодняшний день в Казахстане сложилась вертикально интегрированная (централизованная) модель экономической организации территорий, для которой характерно доминирование одной или нескольких крупных массовых промышленных произ водств, объединенных в корпоративные структуры, являющихся главными работодателями, основным источником пополнения местных бюджетов и ключевым фактором формирования инфра структурного хозяйства в регионах. Такая модель преимущест венно формируется в странах с монопрофильной экономикой.

Для Казахстана же в современных условиях более перспективной становится сетевая модель территориально-экономической орга низации, характеризующаяся гибкой специализацией и способно стью к инновациям, базирующейся на мобилизации ресурсов всей сети за счет кластерного развития.

Стратегией территориального развития Республики Казах стан до 2015 года, утвержденной Указом Президента РК № 167 от 28 августа 2006 года [11], в качестве эффективного метода терри ториально-экономической организации и инструмента повыше ния конкурентоспособности регионов страны выдвигается имен но кластерный подход. В Стратегии акцент делается на создание региональных кластеров, представляющих собой объединение регионов с похожим социально-экономическим положением [7], с целью вовлечения регионов в систему мировых и региональных рынков товаров, финансов, трудовых ресурсов, технологий и информации, что и определяет их конкурентоспособность.

Опыт развитых европейских и азиатских стран также под тверждает многофункциональную роль кластерного подхода в обеспечении условий формирования и реализации конкурентных преимуществ регионов.

Ввиду того, что современное развитие Казахстана имеет от четливо выраженный региональный контекст, возникает необхо димость проведения группировки регионов республики по степе ни схожести в экономическом развитии с целью выработки действенной политики, направленной на сглаживание различий в их развитии в и использования полученных результатов в рамках разработки мероприятий реализации Стратегии территориального развития РК до 2015 года.

1. Теоретические и эмпирические основы анализа Теории экономического роста – отправная точка для опре деления факторов, которые могли бы быть экономически суще ственными для регионального роста. Существует множество теорий экономического развития. Различаясь в базовых, фунда ментальных подходах, они предлагают различные поведенче ские гипотезы, используют разные понятия и категории, различ ным образом объясняют процесс развития, и дают различные руководящие указания.

Современные теории экономического роста сформирова лись на основе двух источников: неоклассической теории, ухо дящей своими корнями к теоретическим взглядам Ж.Б. Сэя и получившей законченное выражение в работах американского экономиста Дж.Б. Кларка (1847-1938), и кейнсианской теории макроэкономического равновесия.

Основоположником теории полюсов роста («точек роста») является Франсуа Перру [13]. В теоретической модели Ф. Перру отрасли промышленности являются первичной единицей анали за, они рассматриваются как нечто существующее в абстракт ном экономическом пространстве. В соответствии с ней полюс роста – это набор развивающихся и расширяющихся отраслей (видов деятельности), территориально размещенных в промыш ленной зоне и способных вызвать дальнейшее развитие эконо мической деятельности по всему региону своего влияния. Поня тию «экономическое развитие» дается следующее определение:

это структурное изменение, вызванное ростом новых, «увле кающих» отраслей. Данные отрасли содержат в себе движущую силу экономического развития. Эти отрасли – полюса роста, которые сперва инициируют, а затем распространяют развитие на окружающее пространство. Сильная сторона теории полюсов роста в том, что она получила признание в качестве основной теории инициации и распространения развития. В ее основе лежит эффект доминирования, открытый Франсуа Перру (Fran ois Perroux's domination effect). Созвучными теории полюсов роста являются работы Гуннара Мюрдаля (Gunnar Myrdal) и Альберта Хиршмана (Albert Hirschman).

Практическое применение данная теория нашла в разра ботке стратегий центров экономического роста. Хотя видение, выработанное в теории Перу, полезно, она не смогла занять позицию главной теории экономического развития и подвер глась критике, в первую очередь, со стороны неоклассиков.

В центре неоклассического направления стоит идея опти мальности рыночной системы, рассматриваемой как совершен ный саморегулирующийся механизм, позволяющий наилучшим образом использовать все производственные факторы не только отдельному экономическому субъекту, но и экономике в целом.

Наиболее известны факторная модель Кобба-Дугласа и простая односекторная модель экономической динамики Р.

Солоу.

Факторная модель Кобба-Дугласа [5] показывает взаимо действие и взаимозаменяемость труда и капитала. Один и тот же объем прироста национального продукта может быть получен в результате либо увеличения капиталовложений, либо расшире ния использования труда.

В последующих многочисленных исследованиях экономи стов (Э. Денисона, Р. Солоу) модель Кобба-Дугласа была моди фицирована и развита путем ввода других факторов роста:

возраста основного капитала, масштаба производства, квалифи кации работников, продолжительности рабочей недели и т.д.

Значительный вклад в развитие теории экономического роста внес Р. Солоу [6]. Им были разработаны две модели:

модель факторного анализа источников экономического роста и модель, раскрывающая взаимосвязь сбережений, накопления капитала и экономического роста. Основой первой модели явилась производственная функция Кобба-Дугласа. Она была модифицирована путем ввода еще одного фактора уровня раз вития технологий. Солоу доказал, что прирост выпуска продук ции пропорционально зависит от прироста технологий, прирос та основного капитала и прироста вложенного труда.

Другая модель Солоу показывает взаимосвязь между сбе режениями, накоплением капитала и экономическим ростом.

Модель доказывает, что в краткосрочном периоде ускорение экономического роста зависит от нормы накопления капитала, т.е. рост в долгосрочном периоде возможен, прежде всего, за счет технологического развития.

Центральная проблема макроэкономики для кейнсианской теории факторы, определяющие уровень и динамику националь ного дохода, его распределение. Эти факторы рассматриваются с позиции реализации в условиях формирования эффективного спроса. Кейнс сосредоточил усилия на изучении составных частей спроса, т.е. потребления и накопления, а также факторов, от которых зависит движение этих составных частей и спроса в целом. Согласно Кейнсу, равенство сбережений и инвестиций одно из непременных условий устойчивого экономического роста. Если сбережения превышают инвестиции, то образуются излишние запасы, не полностью используется оборудование, увеличивается безработица. Если же инвестиционный спрос опережает размеры сбережений, то это ведет к «перегреву»

экономики, подстегивает инвестиционный рост цен.

В послевоенный период наибольшую известность в эконо мической литературе Запада получили неокейнсианские модели экономического роста, выдвинутые английским экономистом Р.

Харродом и американскими экономистами Е. Домаром и Э.

Хансеном.

Экономическая теория Харрода, дополненная Домаром, анализирует не момент нарушения равновесия в экономике и восстановления его (статическое равновесие Кейнса), а длитель ный период устойчивого экономического роста (динамическое равновесие), теоретически обосновывая устойчивые темпы роста рыночной экономики [3].

Устойчивый темп роста производства, который обеспечи вается всем приростом населения (это один фактор экономиче ского роста) и всеми возможностями увеличения производи тельности труда (это второй фактор роста), Харрод называет естественным темпом роста. Третьим фактором роста Харрод считает размеры накопленного капитала.

Экономический кризис 1973-1975 гг. способствовал форми рованию нового течения посткейнсианства, признанным лидером которого является представительница английской кембриджской школы Дж. Робинсон. Оригинальность посткейнсианства как самостоятельного течения наиболее отчетливо проявилась в разработке теории экономического роста и распределения про дукта, в основу которой положена идея, что темпы роста общест венного продукта зависят от распределения национального дохо да, которое, в свою очередь, является функцией накопления капитала.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.