авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

На правах рукописи

Степанов Родион

Александрович

ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ

ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Научный консультант

Пермь 2009 Содержание Введение 6 1 Кинематическая генерация магнитного поля средним по током 16 1.1 Уравнения магнитной гидродинамики............ 17 1.2 Винтовое динамо в реальных условиях........... 21 1.2.1 Двухмерная постановка задачи............ 1.2.2 Результаты численного решения........... 1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле скорости. 1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии.. 1.4 Винтовое динамо в торе.................... 1.4.1 Постановка задачи и метод решения......... 1.4.2 Результаты....................... 1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса.......... 1.5.1 Математическая постановка.............. 1.5.2 Результаты расчетов.................. 1.6 Выводы по главе........................ 2 Турбулентная электродвижущая сила 2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винтовом потоке. 2.1.1 Структура средней электродвижущей силы... 2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы... 2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо........ 2.2.1 Оценка эффектов турбулентности.......... 2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации.... 2.3 Выводы по главе........................ 3 Мелкомасштабное динамо 3.1 Каскадные модели МГД-турбулентности.......... 3.2 МГД-турбулентность при малых значениях магнитного чис ла Прандтля.......................... 3.3 Нелокальные взаимодействия в МГД-турбулентности... 3.3.1 Построение модели................... 3.3.2 Потоки энергии..................... 3.4 Сценарий насыщения турбулентного динамо........ 3.5 МГД-турбулентность в условия высокой перекрестной спи ральности..........................

.. 3.5.1 Феноменологические представления......... 3.5.2 Каскадная модель МГД-турбулентности с новым опре делением спиральности................ 3.5.3 Численные результаты................. 3.6 Каскад гидродинамической спиральности.......... 3.6.1 Феноменология..................... 3.6.2 Численные эксперименты............... 3.7 Каскад магнитной энергии под действием эффекта Холла 3.8 Оптимизация процедуры численного решения....... 3.9 Выводы............................. 4 Комбинированные модели астрофизического динамо 4.1 2 –динамо............................ 4.1.1 Сопряжение крупномасштабных и мелкомасштаб ных переменных.................... 4.1.2 Результаты численного решения........... 4.1.3 Нелинейная стабилизация динамо.......... 4.1.4 Роль магнитной составляющей в -эффект..... 4.1.5 2 -динамо при малых числах Рейнольдса...... 4.2 -динамо........................... 4.2.1 Сопряжение средних и турбулентных полей..... 4.2.2 Проблема алайнмента................. 4.2.3 Численные результаты................. 4.3 Выводы............................. 5 Интерпретация данных радионаблюдений 5.1 Анализ анизотропных структур............... 5.1.1 Анизотропный корреляционный вейвлет-анализ.. 5.1.2 Спиральные рукава в распределениях пыли, газа и магнитного поля в галактике M51.......... 5.2 Вейвлет-томография...................... 5.2.1 Дифференцирующий вейвлет............. 5.2.2 Mетоды численного дифференцирования...... 5.2.3 Галактическое магнитное поле............ 5.3 Статистический метод обнаружения магнитной спирально сти в межзвездной среде.................... 5.3.1 Модель межзвездной среды.............. 5.3.2 Корреляционный анализ................ 5.4 Выводы............................. 6 Экспериментальные исследования элементов динамо-цикла 6.1 Адвективное вращение внешнего магнитного поля..... 6.1.1 Экспериментальная установка и измерения..... 6.2 -эффект............................ 6.2.1 Тороидальное наложенное поле............ 6.3 -эффект............................ 6.3.1 Анализ результатов.................. 6.4 Выводы............................. Заключение Список использованных источников Введение Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизиче ских объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свой ственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остает ся важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью маг нитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью маг нитногидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводя щей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает за дачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в разви тии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послу жило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэд лер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описы валась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные тур булентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый -эффект – механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулентности. В последние десятиле тия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей примене ния теории среднего поля для решения определенного круга актуальных проблем.

На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние па раметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критиче ских характеристик в значительной степени зависит от всех деталей за дачи. Наиболее актуальна эта проблема при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.

Генерация магнитного поля за счет -эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также вли яют в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения преобладающего механизма необходим анализ всех даже самых экзоти ческих возможностей. При равных вкладах двух механизмов генерации в динамо-процесс они могут приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда доминирующим может стать изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру маг нитного поля.

Использование результатов теории среднего поля при построении ди намо-моделей разнообразных космических объектов требует соответству ющих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характери стики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представ ления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным ин тегралом движения – магнитной спиральностью, делает процессы пе реноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложны ми для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД турбулентности является актуальной задачей.

По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Воз никшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации маг нитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов.

Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздей ствия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким об разом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адек ватную математическую модель динамо-процесса.

Использование теоретических результатов для объяснения характе ра и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объек тах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Од нако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитно го поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количе ственных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет вы бор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и под ходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.

Цель работы состоит в формировании самосогласованных представ лений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы – построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.

Задачи диссертационной работы состоят в:

а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в сред нем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в торо идальном канале, от проводимости окружающей среды и простран ственно-временных характеристик среднего поля скорости;

б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной элек тродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости;

в) исследовании характера совместного действия генерационных меха низмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентно сти;

г) развитии аппарата каскадных моделей МГД-турбулентности с це лью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнит ных полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаи модействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомас штабного динамо;

д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштаб ных полей;

е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей;

ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных ис следований элементов динамо, компьютерной обработке проведен ных измерений и их физической оценке;

Методы исследований. Основу используемых математических моде лей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелко масштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитно го поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Тур булентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка.

Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных по лей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" – законов сохранения для МГД-системы. Динамика мелко масштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с ис пользованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставлен ных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выпол нены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным ма тематическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлет преобразовании.

Научная новизна заключается в следующем:

а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию;

б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности;

в) впервые показан характер изменения критического значение маг нитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур раз личных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандт ля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо;

г) построена новая комбинированная модель 2 - и -динамо, описы вающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелко масштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гид родинамики;

д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных;

е) впервые получены экспериментальные результаты генерации маг нитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, со гласующиеся с положениями теории среднего поля;

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обес печена строгой математической постановкой задач, применением мате матически обоснованных методов решения, проверкой численных алго ритмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом те стовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими ав торами.

Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к опи санию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомас штабной среде. Предложенные методы моделирования динамо-процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в торо идальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интер претаций могут применяться для анализа хаотического поведения раз личных систем. По данным самого крупного международного каталога научных публикаций "Web of Science" опубликованные результаты дис сертационной работы имеют более 130 цитирований.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 28 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 – в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные резуль таты диссертации изложены в работах [1-29], список которых приведен в конце автореферата.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conference" (2004, 2007, 2009);

"Оптические методы измерения потоков" (2009);

"Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres" (2009);

"Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009);

"Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механи ке (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разра боткой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки эксперименталь ных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Личный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработ ка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непо средственном участии поставлены задачи диссертации, определены ме тоды решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавтор стве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор при нимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Связь исследований с научными программами. Работы по тематике дис сертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01-96482-р урал-а, 03-02-04031-ННИО-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ-а, 07-01 96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и раз вития (грант молодым ученым №Y2-P-09-02), Программы поддержки мо лодых ученых (грант Президента РФ MK-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содер жит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 стра ниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссы лок внутри основного текста. Первая глава диссертации содержит ре шения ряда задач составляющих теоретическую основу планируемого динамо-эксперимента. Во второй главе проводится построение турбу лентной электродвижущей силы возникающей в винтовом потоке при наличие фоновой неоднородной турбулентности. В третьей главе иссле дуются свойства МГД-турбулентности. Для описания процессов гене рации и переноса мелкомасштабного магнитного поля мелкомасштаб ной турбулентностью используется каскадные модели МГД-турбулент ности. Четвертая глава просвещена разработке комбинированных моде лей динамо, состоящих из уравнений среднего поля, каскадных урав нений МГД-турбулентности и соотношений, определяющих сопряжение крупно и мелкомасштабных полей. Пятая глава содержит описание пред ложенных методов обработки и интерпретации наблюдений космических магнитных полей. Шестая глава содержит обсуждение эксперименталь ных результатов, направленных на прямое измерение средней турбулент ной электродвижущей силы и индукционных механизмов динамо-цикла.

Глава Кинематическая генерация магнитного поля средним потоком Крупномасштабная составляющая поля скорости является в большин стве случаев необходимым элементом механизма генерации магнитного поля. При достаточной электрической проводимости среды даже лами нарное специально организованное течение способно дать эффект ди намо. Начиная с того момента, как Лармором [1] была выдвинута кон цепция объяснения магнетизма Земли и Солнца, начался поиск таких специальных течений. В первую очередь заслуживали внимания модели динамо, которые могли бы быть применимы для объяснения глобальных магнитных полей астрофизических объектов или воспроизведены в ла бораторном эксперименте. В реальности жидкие среды обладают такой проводимость, что эффект динамо может ожидаться только в интенсив ных турбулентных потоках. Тем не менее средняя составляющая такого течения может приводит к генерации магнитного поля.

Динамо Пономаренко [2] послужило прототипом динамо-экспериментов в Риге [3] и в Перми [4, 5]. В своей задаче Пономаренко рассматривал винтовое движение бесконечно длинного цилиндра в неподвижной про водящей среде. При достижении определенной интенсивности движения на поверхности цилиндра возбуждалась бегущая динамо-волна. Привле кательной особенностью данного типа динамо являлось то, что он харак теризуется низким порогом генерации. Данная глава содержит решения ряда задач, составляющих теоретическую основу динамо-эксперимента, предложенного в [4]. Идея эксперимента заключается в создании вин тового течения жидкого натрия в замкнутом тороидальном канале, ко торое обеспечит возбуждение магнитного поля. Необходимая интенсив ность потока получается за счет резкого торможения предварительно раскрученного канала. Винтовая структура навязывается в результате прохождения натрия под действием сил инерции через жестко установ ленные внутри канала диверторы (см. рис. 1.1а). Для эксперименталь ной реализации вопрос о величине порога возникновения эффекта имеет принципиальное значение. Количественные оценки критических пара метров, которые можно найти из точного решения задачи Пономоренко (динамо-прототип), не применимы в силу существенных отличий в усло виях эксперимента, а именно в электрических и магнитных свойствах окружающей среды и в характере винтового потока. Оценка порога ге нерации в реальных условиях, поиск путей оптимизации параметров экс периментальной установки требует построения адекватной математиче ской модели и её численного исследования.

1.1 Уравнения магнитной гидродинамики Движение проводящей сплошной среды в магнитном поле приводит к индукции электрических токов. С одной стороны, сила, действующая со стороны магнитного поля на эти токи, может существенно изменить (а) (б) I r Na r II Рисунок 1.1: (a) Схема экспериментальной установки. (б) Сечение канала. Канал 0 заполнен жидким натрием с электрической проводимостью fl, твердая стенка 0 1 sh.

канала (II) (медь или алюминий) имеет проводимость Окружающая электрически непроводящая среда (I).

характер движения среды. С другой стороны, сами токи создают магнит ные поля. В результате возникает сложный нелинейный процесс взаимо действия гидродинамических и магнитных явлений, который описыва ется в рамках раздела электродинамики сплошных сред [6] — магнитной гидродинамики (МГД).

Уравнения магнитной гидродинамики включают в себя уравнения движения жидкости и уравнения индукции магнитного поля. Движение несжимаемой изотермической жидкости описывается уравнением Навье Стокса с учетом пондеромоторной силы, действующей со стороны маг нитного поля U + U · U = 1 ( + j B) + U + F, (1.1) · U = 0, где U – поле скорости, – давление, j – плотность электрического то ка, B – вектор магнитной индукции, – плотность, – динамическая вязкость жидкости, F – внешняя сила.

Уравнения Максвелла в нерелятивистском приближении (пренебрега ется током смещения) дополненные законом Ома с учетом силы Лоренца (1.2) E = B, B = 0 j, (1.3) j = (E + U B), · B = 0, можно преобразовать в уравнение индукции магнитного поля в движу щейся среде (1.4) B = (U B) + B, где = (0 )1 – магнитная вязкость, E – напряженность электриче ского поля, и – магнитная проницаемость и электрическая проводи мость среды. Уравнения МГД в отсутствии внешних сил можно удобно записать в симметричной форме [ ] U + U · U = (0 )1 (B)B ( 2 ) + U, 2 (1.5) B + U · B = B · U + B.

Следующий шаг заключается в введении безразмерных величин. Про ведем обезразмеривание уравнений (1.5), выбрав за единицы измерения длины, скорости, времени, давления и индукции магнитного поля вели чины,, /, 2 и (0 )1/2 соответственно:

U + U · U B · B = ( + 2 /2) + Re1 U, (1.6) B + U · B B · U = Rm1 B, (1.7) (1.8) · U = 0, (1.9) · B = 0.

Здесь Re = / – гидродинамическое число Рейнольдса, а Rm = / – магнитное числом Рейнольдса. Эти два параметра связаны магнитным числом Прандтля Pm = Rm/Re = /.

Физический смысл влияния движения среды на магнитное поле со стоит в адвективном переносе и растяжении магнитных силовых линий, описываемых вторым и третьим слагаемыми левой части (1.7), соот ветственно. В свою очередь магнитное поле воздействует на движение посредством магнитного давления и вызванных натяжением магнитных силовых линий напряжений [7], которые представлены в (1.6) добавкой к гидродинамическому давлению и третьим слагаемым в левой части, соответственно. Магнитное число Рейнольдса Rm характеризует отно шение индукционных механизмов к диссипационным. Эффект динамо может рассматриваться как неустойчивость тривиального решения для магнитного поля при заданном поле скорости, которая возникает при достижении некоторого критического значения магнитного числа Рей нольдса Rm*. При Rm Rm* начинается экспоненциальный рост B до тех пор, пока пондермоторная сила не станет достаточно большой, чтобы снизить интенсивность течения или изменить его структуру. Это приве дет к снижению Rm или росту Rm* и, как следствие, к остановке роста B – переходу от линейного режима к нелинейному режиму эволюции МГД-системы. В задачах о нахождении порога генерации, как прави ло, используется кинематическое приближение, в котором поле скорости считает заданным.

Для решения МГД-задач практическую значимость имеет введение векторного потенциала магнитного поля A такого, что A = B.

Условие соленоидальности (1.9) удовлетворяется автоматически. Тогда B можно выразить через A и переписать уравнение индукции (1.4) в виде (1.10) A = U B + (A · A), где – скалярный электрический потенциал. Магнитное и электрическое поля инвариантны по отношению к преобразованию A = A +, (1.11) =. (1.12) Калибровка = d приводит к = 0 и, как следствие, последнее слагаемое в (1.10) может быть опущено. На практике в случае однород ной проводимости можно принять · A =, что дает существенно упрощенный вид уравнения индукции (1.13) A = U ( A) + A.

К преимуществам такой записи следует отнести отсутствие градиентов поля скорости. Это позволяет рассматривать негладкие поля U.

1.2 Винтовое динамо в реальных условиях К основным отличительным факторам экспериментальной реализа ции винтового динамо в реальных условиях следует отнести следующее:

Стенки канала имеют отличную электрическую проводимость и маг нитную проницаемость. Окружающая среда представляет собой ди электрик.

Структура среднего винтового течения в канале будет существенно отличаться от твердотельного вращения. Условие прилипания на стенке приведет к формированию гладкого турбулентного профиля.

В силу характера проведения эксперимента поле скорости будет неоднородным и нестационарным.

Задача состояла в расчете порога генерации магнитного поля винто выми потоками проводящей жидкости в цилиндрическом канале. На эта пе моделирования необходимо было выполнить оригинальные расчеты, обосновывающие предложенную схему эксперимента и необходимые для оптимизации конструкции экспериментальной динамо-установки. При этом следовало учитывать ограничения, накладываемые прочностными свой ствами устройства. Задача решалась в несколько этапов, на каждом из которых принимались некоторые допущения с целью отдельного деталь ного изучения вышеперечисленных фактора.

Ранее влияние проводящей стенки на винтовое динамо рассматрива лось в [8]. Задача о винтовом динамо с гладким профилем рассчитыва лось в [9, 10]. Нелинейная задача о винтовом динамо была рассмотрена в [11], где было показано, что насыщение генерации происходит за счет изменения профиля скорости под воздействие магнитного поля.

Математическая модель, позволяющая определить порог генерации магнитного поля, строилась в рамках кинематического приближения маг нитной гидродинамики, где магнитное поле B(x, ) в электрически про водящей жидкости подчиняется уравнению индукции (1.7), записанному с учетом неоднородной проводимости и магнитной проницаемости в виде (1.14) B = [(U + Up ) B B], где Up = ln - эффективная скорость парамагнитной «накачки».

Область генерации представляет собой замкнутый тороидальный канал, имеющий в сечении окружность (рис. 1.1б). Важными геометрически ми параметрами являются радиус трубы 0, толщина стенки = 1 0.

К физическим параметрам относятся электрические проводимости fl и относительные магнитные проницаемости fl жидкости, а параметры стенки sh и sh, соответственно. Винтовое течение характеризуется соот ношением интенсивности продольной и угловой скорости. Именно эти па раметры системы определяют условия возникновения динамо-эффекта.

Криволинейностью канала можно пренебречь в случае «тонкого» тора, т.е. отношение 0 к внешнему радиусу тора много меньше единицы [12].

1.2.1 Двухмерная постановка задачи Рассмотрим эволюцию магнитного поля в винтовом потоке внутри бесконечного цилиндрического канала со стенкой конечной толщины, окруженной диэлектрической средой. Будем использовать цилиндриче ские координаты (,, ) и представим осесимметричное винтовое те чение в виде U() = [0, (), ()]. Различие магнитной диффузии и проницаемости в жидкости и стенке описывается двумя способами. Пер вый заключается в введении ступенчатых функций = () и = ().

Второй состоит в наложении условий непрерывности на границе раздела тангенциальной компоненты напряженности электрического поля и маг нитного поля H = B/(0 ) и непрерывности нормальной компоненты электрического тока и магнитной индукции.

Решение кинематического динамо может быть представлено в виде суперпозиции отдельных мод с экспоненциальной скоростью роста. Так как коэффициенты уравнения (1.14) зависят только от, можно искать решение в форме бегущей волны (1.15) B(,,, ) = b()+(+), где является собственным значением, в общем случае комплексным.

Действительная часть определяет затухание B ( 0) или рост ( 0). Для заданной моды можно определить критическое значе ние числа Рейнольдса Rm*, при котором меняет знак. Минимальное значение дает порог генерации Rm*.

Подставляя (1.15) в уравнение индукции(1.14), получаем [ ] ( ) ( ) ^ (1.16) = 2, + Rm ( + ) + p [ ] ( ) (p ) ^ + Rm + ( + ) + = + 2 + ( ) ( ) (1.17) +, где p = ln / и 2 + ( ) 1 ^ (1.18) – оператор лаплассиановского типа. Уравнения (1.16) и (1.17) записаны в безразмерной форме: единица пространства – 0, единица скорости – продольная скорость ( = 0), магнитная вязкость () измеряется в единицах fl, время – в 0 /fl. Тогда магнитное число Рейнольдса вводит ся как (1.19) Rm 0 fl fl 0 =.

fl Соответственно, вводится относительная магнитная вязкость стенки sh = fl fl /sh sh.

В уравнения (1.16) и (1.17) продольная компонента поля не входит, так как, зная и из условия соленоидальности (1.9), можно получить (1.20) ( ) = (отметим, что = 0 для растущих мод).

В непроводящей среде 1 электрический ток равен нулю B = 0 и поэтому B может быть выражено через скалярный потенциал (,,, ), (1.21) B =.

Соленоидальность B дает уравнение для потенциала 1 2 ( ) 1 (1.22) + 2 2+ =0, и ввиду симметрии задачи решение для (,,, ) может быть записано в форме (1.23) (,,, ) = ()+(+).

Уравнения (1.22) и (1.23) приводят к ( ) + (1.24) + = 0.

Решение (1.24), ограниченное при, имеет вид (1.25) () = (||).

Граничное условие при = 1 получается из условия непрерывности, /(0 sh ) и /(0 sh ). Уравнения (1.15), (1.21), (1.23) и (1.25) вместе дают уравнения ||1 (||1 ) (1 ) (1.26) =, (1 ) 0 sh (||1 ) (1 ) (1.27) =, (1 ) где () ()/, () – модифицированная функция Бесселя второго рода. Исключение (1 ) из уравнений (1.20) и (1.27) в конечном счете дает 2 ( ) 1 (1 ) (1.28) = (1 ) + + (1 ).

Внутренние граничные условия следуют из условия регулярности b при = 0 и записываются в виде (0) = (0) = 0, || = 1, for (1.29) || = 1.

(0) = (0) = 0, for Система (1.16), (1.17) вместе с граничными условиями (1.26), (1.28) и (1.29) определяет несамосопряженную задачу на собственные значения.

Динамо-процесс возникает при 0. Для численного нахождения соб ственных чисел и мод уравнения записывались в конечных разностях с использованием 200–800 узлов сетки. Собственные значения полученной матрицы находились с использованием QR-алгоритма.

Радиальный профиль продольной скорости параметризовывался семейством функций cosh() cosh(/0 ) (1.30) () =, cosh() а угловая скорость вводиться как () (1.31) () =, где, и – свободные параметры. отвечает за гладкость профиля и позволяет варьировать его от ламинарного пуазейлевского ( 0) до твердотельного ( ). Экспериментально измеренный турбулентный профиль соответствует 18 [5].

1.2.2 Результаты численного решения Рисунок 1.2 показывает результаты расчетов зависимости критиче ского магнитного числа Рейнольдса для четырех значений толщины про водящей стенки трубы. Напомним, что толщина стенки выражена в еди ницах внутреннего радиуса трубы, то есть значение = 1 соответствует трубе, у которой толщина стенки равна внутреннему радиусу. Все кри вые на рисунке 1.2 соответствуют случаю, когда проводимость стенки равна проводимости жидкости (sh = 1). Результаты указывают на ка чественное отличие зависимостей порога возбуждения от вида профиля Rm 0 5 10 15 20 25 -профилей Рисунок 1.2: Нейтральные кривые для семейства скорости (1.30) при = 0 = 0.1 = 0. различной толщине стенки: (треугольники), (ромбы), (звезды), = 1, = 1, sh = 1.

= 1(квадраты). Все кривые даны при скорости при различной толщине проводящей стенки. При отсутствии проводящего слоя ( = 0) или наличии тонкой стенки ( = 0.1) рост па раметра сопровождается монотонным ростом критического значения Rm*. При достаточно толстой проводящей стенке (на рисунке показан случай = 1) тенденция меняется на противоположную: теперь по мере приближения профиля скорости к твердотельному порог генерации мо нотонно снижается. На промежуточных значениях толщины стенки воз никают кривые с минимумом. Так, для приведенного на графике случая = 0.3 минимальное значение Rm* наблюдается при 5.

На рисунках 1.3 и 1.4 показана зависимость порога генерации от тол щины стенки при различной ее электрической проводимости. Все кри вые вычислены для одинакового профиля скорости ( = 18 - сплошные линии). Для фиксированных значений толщины стенки рассчитывалась зависимость критического магнитного числа Рейнольдса от проводимо сти. При толстой стенке = 0.3 относительная проводимость должна быть не менее 1.5. С позиции эксперимента желательно обеспечить низ кое критическое число Рейнольдса (менее 30) при минимальной толщине (а) (б) 110. 38. 25 19 13 7 21.2 22. 1 0.1 0.3 0.5 0.7 0. 0.1 0.3 0.5 0.7 0. d / r d / r Rm* Рисунок 1.3: Зависимость критического числа Рейнольдса от параметра и тол Rm* (, ).

щины стенки Графики показывают изолинии для двух значений прово = 1, = 1.

sh = fl sh = 5fl.

димости стенки: a) и b) Расчет производился для стенки. Одним из приемлемых вариантов представляется стенка толщи ной = 0.15. В этом случае относительная проводимость должна быть порядка 5, что соответствует проводимости медной стенки при исполь зовании в качестве рабочей жидкости натрия. Однако здесь необходимо отметить важный факт, заключающийся в том, что использование тол стой стенки гораздо предпочтительнее, чем тонкой. Это обосновываться существующей неопределенностью в толщине турбулентного погранслоя, т.е параметре. Как мы видели из рис. 1.2, именно при толстой стенке критическое магнитное число Рейнольдса менее всего подвержено нега тивному изменению при вариации.

Критическое магнитное число Рейнольдса может быть снижено за счет увеличения магнитной проницаемости среды. Для изменения fl мо гут быть использованы ферромагнитные частички [13]. При предельно допустимой концентрации они повышают магнитную проницаемость в 2 раза. Зависимость этого фактора на Rm* показана на рис. 1.5а. Вид но, что Rm* может быть снижено в 1.5 раза. Изменение sh в тысячи 60 sh Rm 1. 40 1. 2. 10% 15% 20% 25% 30% 35% d % Рисунок 1.4: Зависимость порога генерации магнитного поля от толщины стенки при различной ее относительной электрической проводимости. Толщина стенки выраже 0.

на в процентах от радиуса (а) (б) Rm Rm 15 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 20 40 60 80 µfl µsh = Рисунок 1.5: Зависимости порога генерации магнитного поля при от маг fl нитной проницаемости: а) жидкости при различной относительной электриче sh = 1, sh = 2, ской проводимости стенки (треугольники – квадраты – звездочки – sh = 4), = 0.3, б) оболочки sh при различной ее толщине (треугольники – = 0.15, = 0.3), sh = 1.

квадраты – раз возможно при использовании ферромагнитных материалов для изго товления оболочки. Однако сильное увеличение sh не дает адекватного снижения Rm* (см. рис. 1.5б). При sh 10 эффект применения ферро магнетика практически исчезает. Более того, ферромагнитная оболочка делает совершенно невозможными измерения вне канала, что существен но снижает привлекательность этой идеи.

Прототипом исследуемого процесса является динамо Пономаренко.

Оно дает Rm* = 17.7 при = 0.77. При таком угле закрутки, как 5.3 4.6 3.9 3.2 2.5 1.8 1.1 0.4 0.3 0. 0. k 1. 1. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9. = 0.3, sh = 2.5.

Рисунок 1.6: Зависимости скорости роста от и = 1.3, течение будет очень быстро затухать. В предыдущих вычисле ниях использовалось = 1, что соответствовало углу разворота лопаток дивертора под 45 градусов. При этом продольное волновое число = дает наибольшую скорость роста. На рис. 1.6 изображена зависимость от и. Видно, что уменьшение ведет к снижению скорости роста.

1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле скорости В случае нестационарного и неоднородного поля скорости решение в виде бегущей волны (1.15) неприменимо. Поэтому будем искать решение уравнения индукции (1.14) в полной трехмерной нестационарной поста новке, записанное через векторный потенциал A в виде A (1.32) = (U + Up )B + 2A (0 ) · A.

Уравнение (1.32) соответствует калибровке, в которой A и скалярный электрический потенциал связаны соотношением (1.33) 0 · A + = 0, (а) (б) t=0. U t=0. r0 down t=0. r0 up 80 120 600 t=0. t=0. U, r0 [m/s] [s1] Rm 40 40 0 0 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2. t [s] z [m] Рисунок 1.7: Изменение структуры поля скорости со временем. (a) Зависимость от (сплошная линия) и азимутальные скорости времени продольной скорости на оси во входящем и исходящем потоке (прерывистая и прерывистая с пунктиром линии, (=0) от соответственно). (б) Зависимость угловая скорость для разных моментов b = 0. времени. Время торможения с одним дивертором.

где постоянный параметр 0 является произвольным и выбирается для удобства равным магнитной диффузии жидкости fl.

Основной проблемой точного воспроизведения экспериментальных усло вий является параметризация пространственно-временной зависимости поля скорости. Для радиальных профилей и используются соотно шения (1.30) и (1.31). Основу для математического описания зависимости от времени и продольной координаты составляют результаты экспери мента [5]. Совместно с упрощенной гидродинамической моделью удалось построить параметризацию поля скорости, показанную на рис. 1.7. Мак симум интенсивности продольной компоненты скорости получается в мо мент полной остановки тора. Завихренность, которая генерируется ди вертором, устанавливается неоднородно вдоль канала. Лишь к моменту времени = 0.16 возникает однородное распределение.

Для простоты численных расчетов радиальный профиль магнитной диффузии () сглаживается так, что распределение имеет вид пред ставленный на рис. 1.8. Используя результаты оптимизации электриче ских свойств оболочки, принимем отношение sh /fl равным 0.2. Цилиндр погружается в область с большей магнитной диффузией, что модели рует непроводящую среду =. Проводимость окружающей среды ext = 5 fl соответствует приемлемым параметрам численного решения и дает достаточную точность аппроксимации вакуумных граничных усло вий, аналитическая постановка которых была выполнена в разделе 1.2.1.

Постановка граничных условий в задачах динамо представляет собой собственную отдельную проблему. В общем случае можно утверждать только, что вдали от источников электрического тока магнитное поле затухает, т.е. B 0 на бесконечности. На практике граничные условия ставятся на границе расчётной области, достаточно удалённой от источ ников магнитного поля. На ней можно использовать условие перпенди кулярности B к границе, что соответствует условиям на нормальную и касательную к границе составляющую A (1.34) = 0, = 0, где / означает производную по нормали. Условия (1.34) позволяют аппроксимировать раздел между проводником и вакуумом, где справед ливо условие непротекания электрического тока через границу. По оси вдоль цилиндра задаются периодические граничные условия. С началь ными условиями дело обстоит проще. Поскольку заранее пространствен ная структура критического возмущения неизвестна, начальное распре деление должно содержать весь спектр возмущений. Случайное равно мерное распределение хорошо подходит для этой цели.

Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схе мы Рунге-Кутта-Фельтберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го поряд ка точности с адаптивным выбором шага [14]. Пространственные произ водные аппроксимированы центральными разностями 6-го порядка точ ности. Для того чтобы обойти особенности решения на оси цилиндра, мы используем декартову систему координат. Для задания граничных условий применялись три ряда фиктивных узлов, что позволило при менять однотипные шаблоны конечных разностей для всех внутренних узлов сетки без потери точности аппроксимации. В расчётах использо вались сетки с разрешением до 60 60 120 узлов. Разрешение сетки по пространству было = = 0.011, = 0.024. Точность вычис лительной схемы определялась сравнением с точным решением динамо Пономаренко. Численно определенные параметры генерируемой динамо волны отличались от точных не более, чем на 2%. Эффективным инстру ментом для решения трехмерных задач подобного масштаба являются многопроцессорные вычислительные комплексы. Численная схема была адаптирована для выполнения параллельных вычислений с использова нием библиотеки MPI. При запуске задачи на 16 вычислительных ядрах, эффективность использования кластера составляла порядка 75%, что со ответствует ускорению в 12 раз по сравнению со временем вычисления на одном процессоре.

1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии Все расчеты проводились при заданных геометрических параметрах цилиндра: радиус канала 0 = 0.12 м, длина цилиндра = 2.5 м (соот ветствует радиусу тора 0.4 м), внешний радиус оболочки 1 = 0.16 м, начальная угловая скорость (перед торможением) 0 = 310 с1, коэффи циенты магнитной диффузии sh = 0.016 м2 /с, ext = 0.4 м2 /с. Варьиро / 0.00 0.05 0.10 0.15 0. r [m] Рисунок 1.8: Радиальный профиль магнитной диффузии, используемый в численных 0 = 0.011 м.

расчетах с разрешением Область соответствует жидкости;

0 1 определяет оболочку, и представляет среду с низкой проводимо стью, аппроксимирующую изолятор снаружи канала.

вался коэффициент магнитной диффузии жидкости fl и время торможе ния. Основной характеристикой эффективности работы динамо рас сматривался общий коэффициент роста, который может быть определен как max rms () max rms () (1.35) net max,.

rms (0) min rms () На рис. 1.9a показана временная зависимость средне квадратичного значения магнитного поля в расчете Run 1 в сравнении с «оптимисти ческим» и «пессимистическим» режимом: «пессимистический» режим получен путем использования входящего потока из дивертора для всех, в то время как «оптимистический» соответствует исходящему пото ку принятому для всему каналу. Для 0 b = 0.1 с, начальное поле затухает в виде простой крупномасштабной структуры. В течении временного интервала 0.1 с 0.2 с, результирующая моде перестраи вается в моду с волновыми числами = 1 и = 3, которая достаточно быстро нарастает. Соответствующие значения для запуска Run 1 таковы:

net = 87, max = 4.4103 (см. таблицу 1.1).

Эволюция пространственной структуры магнитного поля показана на (а) (б) Run 1 Run 1b optimistic 104 zdependent pessimistic Brms(t)/Brms(0) Brms(t)/Brms(0) 102 100 optimistic 102 102 zdependent pessimistic 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1. t [s] t [s] Рисунок 1.9: Зависимость среднеквадратичное значение магнитного поля от време ни. Для сравнения приводятся решения для независящей от скорости, соответству ющих «оптимистическиому» и «пессимистический» режимам. a) Run 1, случайное = 3.

начальное поле. б) Run 1b, начальная мода с Таблица 1.1: Параметры запусков и результаты, полученные в разделе 1.3.1. Коэф net max фициент усиления и задаются выражением (1.35).

fl (м /с) b net max Расчет начал. поле (с) 4. 0.08 0.1 Run 1 случ.

1.2103 2. 0.08 = 3 0. Run 1b 6.8104 1. 0.04 0. Run 2 случ.

1. 0.08 0.2 Run 3 случ.

3. 0.04 0.2 Run 4 случ.

Рисунок 1.10: Структура магнитного поля в различные моменты времени для запус 0.0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4 и 0.5 s;

ка Run 1. Слева направо, соответствует временам b = 0.1 с. Изоповерхности представляют собой постоянные уров время торможения ни магнитного поля. Две спирали соответствуют противоположному направлению 0 0).

продольной компоненты магнитного поля ( и Линии визуализируют силовые линии. Дивертор расположен внизу, и в его направление движется общий поток.

рисунке 1.10, где изоповерхности магнитного поля |B| даны для восьми различных моментов времени. Отметим, что начальная мода = 1, = 0, затухающая медленнее остальных, трансформируется в моду с = 1 и = 3.

Данные моды в различными волновыми числами развиваются прак тически независимо друг от друга (хотя некоторая связь все же присут ствует, так как течение зависит от ). Это означает, что поле с = 2, которое выделяется при = 0.15 не является хорошим затравочным по лем для последующей, наиболее быстро растущей моды = 3. Это особо важное замечание для выбора конфигурации затравочного поля в пла нируемом эксперименте. Для последующего анализа этой проблемы на рис. 1.9b показаны кривые роста для расчета Run 1b, начальные условия в котором взяты из расчета Run 1 в момент времени = 1.5 с. В начале до момента = 0.15 с поле затухает, поскольку течение не является вин товым во всем канале. После = 0.15 с мода = 3 начинает расти до уровня 2.1104 (максимальное усиление) и дает общее коэффициент ро ста 1.2103. Таким образом, выбор начального магнитного поля может существенно влиять на фактор усиления поля в процессе генерации.

Увеличение магнитной проницаемости и медленное торможение тора Для парамагнитных или ферромагнитных жидкостей (1.36) fl =, 0 fl fl что дает возможность увеличить Rm за счет увеличения r. Как уже отмечалось, этого можно добиться путем добавления ферромагнитных частиц [13].

Для оценки последствий увеличения Rm были проведены расчеты Run Brms(t)/Brms(0) optimistic 102 zdependent pessimistic 0 1 2 3 t [s] Рисунок 1.11: Зависимость среднеквадратичного значение магнитного поля от вре мени для расчета Run 2. Для сравнения приводятся решения для независящей от скорости, соответствующие «оптимистическиому» и «пессимистический» режимам.

Run 2 с fl = 2 (при этом sh и ext зафиксировано с прежними зна чениями). Рисунок 1.11 показывает, что общий коэффициент роста уве личивается на три порядка. Основной эффект состоит не в том, что уве личивается скорость роста, а в том, что уменьшается скорость затухания начального поля и, как результат, течение является надкритическим бо лее длительное время.

Для оценки эффекта динамо при медленном торможении были про ведены расчеты с b = 0.2 с. Результат представлен на рис. 1.12a для fl = 1 (Run 3) и на рис. 1.12b для fl = 2 (Run 4). В случае жидкого натрия без добавления ферромагнитных частичек максимальный рост ограничивается уровнем порядка 100 и общим коэффициентом роста 1, т.е. в конце эксперимента магнитная энергия будет меньше, чем та, что была в начале. Только с увеличением магнитной проницаемости r = рост поля стал сравнимый с тем, что было получено в Run 1, но заметно ниже, чем в результатах расчета Run 2. Таким образом, время торможе ния играет решающую роль и существенно влияет на время существова ния надкритического течения. В таких условия может быть поставлена Run 3 Run optimistic 104 zdependent pessimistic Brms(t)/Brms(0) Brms(t)/Brms(0) 102 100 optimistic 102 102 zdependent pessimistic 0.0 0.5 1.0 1.5 0 1 2 3 t [s] t [s] Рисунок 1.12: Аналогично рис. 1.9, но для других параметров. a) Подобно Run 1, b = 0. но время торможения (Run 3). b) Подобно Run 2, но время торможения b = 0.2 (Run 4).


задача об управлении интенсивностью торможения, с тем чтобы опти мально расходовать запасенную кинетическую энергию на поддержание надкритичности и не допущения избыточной диссипации в момент пол ной остановки канала.

1.4 Винтовое динамо в торе Исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в тороидальном канале показали, что в пределе тонкого тора задача сво дится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре [12].

В толстом торе становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонности нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая сим метрию генерируемого магнитного поля. Влияние этих факторов на по рог генерации предлагается исследовать в постановке, максимально при ближенной к классической задачи Пономаренко о динамо при винтовом движении цилиндра в бесконечной проводящей среде. Отличие состоит z r R rc Рисунок 1.13: Угловой сектор тора и система координат.

лишь в том, что цилиндр заменяется тором. Необходимость описания сложной криволинейной поверхности требует большого разрешение рас четной сетки. Влияние границ приводит к большим размерам расчетной области.

1.4.1 Постановка задачи и метод решения Рассмотрим тор конечной проводимости, находящийся в бесконечной среде с такими же свойствами. Тор характеризуется внешним радиусом – расстоянием от внешней оси тора до внутренней оси (пунктирная линия на рис. 1.13) – и внутренним – радиусом кругового сечения в вертикальной плоскости. Для описания поля скорости в торе использует ся тороидально-цилиндрическая система координат {,, }, показанная на рис. 1.13. Прототипом поля скорости является винтовое движение, при котором среда движется вдоль внутренней оси тора и вращается во круг неё. Поле скорости должно удовлетворять условию несжимаемости и задаётся следующим способом:

{ } (1.37) U= 0,,, ( cos ) 1 + 2 1 + где = / – безразмерный параметр кривизны, а – параметр, харак теризующий степень закрученности поля скорости. Множитель 1 + нормирует поле скорости так, чтобы скорость на границе канала ( = 1) была порядка.

При заданных управляющих параметрах задачи Rm, и уравне ние индукции (1.13) решалось численно двумя способами. В первом под ходе тор погружался в прямоугольную сеточную область со сторонами (рис. 1.14а). Размер обрасти выбирался из тех соображений, что граница не должна оказывать влияния на полученное решение. Это достигалось выбором = 2( + 4) и = 8. Такой подход является до статочно эффективным при умеренных значениях, соответствующих толстому тору. Однако при 1 тор становится тонким и слишком про тяжённым в пространстве, так что большинство узлов сетки попадает в область, где нет генерации. К тому же количество узлов, необходимое для сохранения разрешения внутри канала, растет как 2. Второй под ход заключался в переходе к расчётной области вокруг тора, заданной в цилиндрической системе координат (рис. 1.14б). В случае нахождения решения, периодического вдоль канала, расчётная область представляла собой угловой сектор. Подобный выбор сетки и системы координат поз воляет избежать сложностей поиска решения на внешней и внутренней оси тора.

1.4.2 Результаты Решение такой задачи находится численно с использованием раннее разработанного пакета программ, реализующего сеточный численный алгоритм, адаптированный для параллельных вычислительный систем (а) (б) Рисунок 1.14: Схема расчетных областей для толстого и тонкого тора.

[15]. Метод разделения на подобласть используется для распределения вычислений между процессорами. Обмен данными в перекрытиях этих подобластей может приводит к существенным временным потерям [16].

На рис. 1.15 показан зависимость времени вычисления по отношению к теоретическому пределу от числа использованных процессоров. Стан дартная схема, при которой обмен выполняется после полного заверше ния шага численного метода, приводит к снижению полезной загрузки на 70% при использовании 256 процессоров. Если на каждом шаге по времени разбить вычисления значений переменных на два этапа: расчет во внутренних и граничных узлах, то можно совместить передачу пере крытий с расчетом во внутренних узлах. Это дает многократное ускоре нии счета при большом числе используемых процессорах (см. пунктир на рис. 1.15). Показанное сравнение проведено на сетке 643 узлов.

Винтовое динамо представляет собой гармоническую волну, бегущую вдоль канала и вращающуюся вокруг него. Динамо-волна характеризу ется волновым числом, инкрементом роста и фазовой скоростью /.

Для задачи Пономаренко, где рассматривается винтовое движение бес конечного цилиндра, для заданного параметра закрутки существует 1. 0. 0. 0. t1 n tn 0. 0. 0. 0. 1 2 5 10 20 50 100 n Рисунок 1.15: Эффективность использования многопроцессорного вычислителя ( – время вычислений на процессорах): несовмещенный обмен – сплошная, совмещен ный – пунктир.

свое критическое значение магнитного числа Рейнольдса Rm*, которо му соответствует единственное критическое значение волнового числа *. Так, например, для случая = 1 и Rm* 19 генерируется волна * 0, 56. В случае тора решение должно быть периодическим по, следовательно, вдоль тора должно укладываться целое число волн, т.е.

спектр волновых чисел в торе является дискретным. Это означает, что при фиксированном возможна генерация динамо-волн только с волно выми числами = /, где – натуральные числа. Поскольку данная последовательность может не включать в себя *, критической оказыва ется динамо-волна с другим волновым числом, что приводит к нетриви альной зависимости Rm* (). На рис. 1.16 показаны результаты расчёта, полученные для цилиндрической области с периодическими граничными условиями (в этом случае определяет длину цилиндра). Толстая линия показывает порог генерации, изломы линии соответствуют смене числа *.

В надкритической области Rm Rm* волна c заданным доминиру ет только в ограниченном диапазоне магнитных чисел Рейнольдса. Пунк для = Рисунок 1.16: Области существования динамо-волн с различным числом (решение для цилиндра с периодическими граничными условиями). Толстой линией = выделен порог генерации. Тонкой линией показан порог генерации для случая 1.3.

тирные линии на рис. 1.16 разделяют область параметров на подобласти, где доминирует волна с указанной модой. Полученные результаты по казывают, что порог генерации особенно чувствителен к значению в случае толстого тора (малые ). Однако при экспериментальной реали зации выбор в большей степени обусловлен конструктивными особен ностями установки. Изменения положения максимумов и минимумом на критической кривой можно добиться, варьируя степень закрученности винтового движения. На рис. 1.16 тонкой линией показана зависимость Rm* () для = 1.3. Видно, что в этом случае в интервале 2 порог генерации существенно ниже, чем при = 1. В эксперименте можно изменить за счет увеличения или уменьшения наклона лопаток дивертора, который задает вращение потока.

На порог генерации влияет не только дискретность спектра, но и кри Рисунок 1.17: Зависимость порога генерации от кривизны. Кружками показаны ре зультаты моделирования в тонком торе, квадратами - в толстом торе. Линия соот ветствует результатам для цилиндра с условием периодичности.

визна тора. Это влияние иллюстрирует рис. 1.17, на котором полученная выше в цилиндрической постановке нейтральная кривая показана вме сте с результатами расчета тороидальной задачи для случая толстого (рис. 1.14а) и тонкого (рис. 1.14б) тора. Полученные критические значе ния Rm* () существенно отходят от нейтральной кривой для цилиндра.

Расхождение тем сильнее, чем больше кривизна тора (меньше ). Значе ния, при которых происходит смена числа для доминирующей волны, смещаются к меньшим значениям по сравнению с тонким тором. Резуль таты расчетов в приближении тонкого тора согласуются с результатами расчетов в толстом торе для 4.

Детального рассмотрения заслуживает пространственная структура генерируемых мод. При небольшой надкритичности в толстом торе (ма лые ) возбуждается волна с = 1. На рис. 1.18 показана структура магнитного поля для случая Rm = 28, = 2 и = 1: объемные изопо верхности магнитного поля (слева) и распределение магнитного поля в вертикальном сечении (справа). Изоповерхности представляют собой две трубки, внутри которых магнитная энергия достигнет максимума. От личие между ними состоит в том, что составляющая магнитного поля имеет в них противоположные направления. Это хорошо видно на рас пределении магнитного поля в вертикальном сечении, где направление в плоскости показано стрелками, а цвет отображает перпендикулярную компоненту (белый цвет - максимум, черный - минимум). Две окружно сти соответствуют границе тора. Как и для динамо в цилиндре, макси мум поля наблюдается на границе тора, где сдвиг скорости максимален.

Однако в толстом торе появляется горизонтальное магнитное поле, не затухающее при приближении к его внешней оси. Напряженность поля на оси достаточно велика и составляет 35% от максимального по всему объему значения. Если для тонкого тора, как и для цилиндра, характер ным масштабом магнитного поля является диаметр сечения, то для моды = 1 в толстом торе масштаб поля становится порядка максимального геометрического размера тора ( 2 ). Крупномасштабное поле возни кает в результате того, что диаметрально противоположные части тора генерируют магнитные поля, согласованные по пространственной струк туре. Отметим, что такая особенность может наблюдаться только для = 1, так как из соображений симметрии для всех прочих значений, включая = 0 (осесимметричный случай), горизонтальная компонента поля на оси должна быть равна нулю.

При увеличении Rm в толстом торе, как и в цилиндре, лидирующей Rm = 28, = 2.

Рисунок 1.18: Магнитное поле в торе Rm = 38, = 2.

Рисунок 1.19: Магнитное поле в торе модой становится динамо волна с = 2. Порог генерации этой моды показан на рис. 1.17 пустыми квадратами – видно, что он существенно выше, чем полученный для цилиндрической задачи. Структура магнит ного поля для этого случая показана на рис. 1.19. Изоповерхности пе реплетаются более сложным образом, а магнитное поле вблизи внешней оси затухает.


Рисунок 1.20 показывает эволюцию структуры магнитного поля при увеличении параметра (тор становится тоньше). Магнитное число Рей нольдса имеет значение Rm = 38 (как и на рис. 1.19), но = 3. Лиди рующей модой становится мода = 3. Распределение поля в вертикаль Rm = 38, = 3.

Рисунок 1.20: Магнитное поле в торе ном сечении свидетельствует о том, что поле практически не достигает внешней оси тора, то есть поле перестает испытывать влияние диамет рально противоположной части тора, хотя фактор кривизны остается существенным до 4.

1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса Использования диверторов в значительной степени тормозят поток и ограничивают время наблюдения динамо-эффекта. Представляет ин терес рассмотрение вопроса о возможности динамо-процесса в течении, созданном в канале, который имеет форму листа Мёбиуса. Предпола гается, что полученное значение Rm будет достаточно малым, что поз волит реализовать такой вид динамо в рамках планируемого динамо эксперимента в тороидальном канале [5]. Винтовой характер движения проводящей жидкости в канале с переменным сечением будет навязы ваться формой самого канала, а не диверторами. Данная геометрия ра нее в МГД-задачах не рассматривалась, за исключением работы [17], где рассчитывался электрический ток, протекающий по листу Мёбиуса.

= 1/2) Рисунок 1.21: Канал в форме листа Мёбиуса ( с эллиптическим сечением / = 4, / = 2. Координатные линии и соответствуют линиям тока. Вставка при. = 1.

демонстрирует определение координат и Поверхность построена при 1.5.1 Математическая постановка Семейство поверхностей, подобных листу Мёбиуса, обычно парамет ризуется в декартовых координатах следующим образом:

(, ) = ( + cos ) cos, (1.38) (, ) = ( + cos ) sin, 0 2, ||, (, ) = sin, где – внешний радиус листа, – полуширина листа, - число пол ных оборотов листа вокруг себя. Лист Мёбиуса соответствует = 1/2.

Поверхность получается односторонней или двухсторонней соответствен но при нечетном или четном значении 2. Переменные и могут рас сматриваться как криволинейные переменные вдоль канала. С увели чением поверхность поворачивается по часовой стрелке при 0 и против при 0.

Трехмерный объект, воспроизводящий канал в форме листа Мёбиуса с эллиптическим сечением, показан на рисунке 1.21 и задается выраже ниями = [ + ( cos cos sin sin )] cos, 2 0. 1 0. 0. 0. 0. 0 0. 1. 0. 0. 0. 1 0. 2 6 5 4 3 2 2 3 4 5 0 = 1 = 0 = Рисунок 1.22: Поле скорости (1.40) при в сечении (справа) и (слева). Меридиональное течение (, ) показано векторами, а угловая скорость отображается изолиниями.

(1.39) = [ + ( cos cos sin sin )] sin, = ( cos sin + sin cos ), где 0 2, 0 2 и /, а и – полуоси эллип тического сечения. Данная поверхность получается в результате одно временного вращения эллипса вокруг собственного центра и вокруг оси, находящейся на расстоянии от центра эллипса. За один полный оборот вокруг оси, эллипс делает оборотов вокруг своего центра.

Переменные (,, ) задают правостороннюю, неортогональную, криво линейную систему координат, где - азимутальный угол (tan = /), - полярный угол в эллиптической плоскости и - аналог безразмер ного радиус-вектора (см. вставку на рис. 1.21). Плоскость (, ) всегда перпендикулярна плоскости (, ).

Соленоидальное поле скорости, касательное к поверхности канала, вводится в виде 0 r (1.40) U=, =, где = (,, ), = (0, 0, 0 /) - контрвариантные компоненты скоро сти в криволинейной системе координат = (,, ), - в декартовой системе координат, 0 = const и = + ( cos cos sin sin ) есть расстояние текущей точки до оси. Предполагается, что среда сна ружи канала покоится (U = 0). Течение в канале имеет положительную спиральность U · U 0. Поле скорости (1.40) строго соленоидально, так как · U = ||1/2 (||1/2 ), где = det ( ) = ()2 ( - мет рический тензор) и в силу · U = (0 ) 0. Нормальная скорость на поверхности канала всегда равна нулю, так как по построению линии тока есть координатные линии = const, = const, а поверхность кана ла есть координатная поверхность = const. Течение в сечении канала, показанное на рис. 1.22, имеет постоянную азимутальную скорость, так что 1.

Определение порога генерации сводится к поиску при заданных па раметрах канала минимального значения магнитного числа Рейнольдса, определенного по самой малой оси эллипса, которое обеспечивает экспо ненциально растущее решение уравнения индукции (1.13). Это уравне ние дополняется ранее обсужденной постановкой начальных и гранич ных условий и решается численно.

1.5.2 Результаты расчетов Варианты проведенных расчетов и их результаты приведены в таб. 1.2.

Частота осцилляции доминирующей динамо-волны указана в безраз мерных единицах /2. Последняя колонка иллюстрирует геометрию се чения канала, показанную при = 0 и расположении оси слева. Прове денные вычисления подтверждают возможность динамо в предложенной геометрии течения. Поскольку максимальный сдвиг скорости возникает на границе канала, напряженность магнитного поля также имеет мак симум в этой же области. Изоповерхности энергии магнитного поля образуют связанные спиральные трубки, изображенные на рис. 1.23. По Таблица 1.2: Параметры и результаты проведенных расчетов.

/ Rm* = Расчет сечение при 1 4 2 1/2 1/2 105 3. 2 4 2 1 1/1 25 1. 3 4 2 3/2 1/1 16 0.5 2 4 6 8 4 2 2 2/1 19 1. 4 2 2 1/2 1/2 88 5. 11 2 2 3/2 1/1 17 0.5 2 4 6 9 6 2 3/2 1/1 19 0.5 2 4 6 5 4 4 1/2 1/2 55 1. 10 4 4 3/2 1/1 16 0.3 2 4 6 6 2 1 3/2 1/1 20 1.1 2 4 6 7 4 1 3/2 1/1 24 0.9 2 4 6 своей сути найденные решения схожи со структурой магнитного поля, генерируемой динамо Пономаренко, где доминирующая мода имеет ази мутальное волновое число = 1. Однако лидирующая мода в нашем случае при = 1/2 имеет симметрию, соответствующую = 2, т.е.

в каждом сечении = const имеется четыре экстремума (две пары с противоположным направлением по оси, см. рис. 1.23a).

Симметрия доминирующей моды может быть объяснена по аналогии с динамо Пономаренко. Для этого мы введем локальные цилиндрические координаты (,, ) с осью, параллельной оси канала ( = 0). Эти переменные соответствуют криволинейным координатам следующим об разом:,,. В кинематическом динамо Пономаренко с U = (0,, ) наиболее быстро растущая мода B exp ( + ) имеет / /. По аналогии можно ожидать / / для динамо в канале в форме листа Мёбиуса, где и - компоненты ли нейной и азимутальной скорости вдоль продольной оси канал = 0 и есть волновое число по переменной. Отметим, что поле скорости в эл липтическом канале зависит от, а магнитное поле не пропорционально. Если сечение канала делает полных оборотов в то время, как меняет на 2, то получается 2/c = 2/ и период сечения канала вокруг продольной оси канала c = /. Применяя c в качестве ха рактерного значения, получаем / /. 2-периодичность поля B по координате дает = /, где целое число. В результате приходим к связи волновых чисел (1.41) = [], где квадратные скобки означают целую часть числа. В случае канала, имеющего форму листа Мёбиуса ( = 1/2), получаем = 2 и = z 6 4 2 0 2 4 (а) x z 6 4 2 0 2 4 (б) x z 6 4 2 0 2 4 (в) x 2, Рисунок 1.23: Слева показаны изоповерхности энергии магнитного поля где равно 1/3 от максимального значения для растущего магнитного поля, генерируемо го при параметрах задачи (а) вар. 1, (б) вар. 3 и (в) вар. 8 из таблицы 1.2. В трубках с разными оттенками основное направление магнитного поля противоположно, т.е.

0 0. = 0, или Справа показано магнитное поля в сечении со стрелоч ками для и и полутонами для (положительное направление соответствует темному оттенку).

в соответствии с численными результатами. Из таблицы 1.2 можно ви деть, что (1.41) выполняется для всех динамо мод, найденных при боль ших значениях. Канал, соответствующий решению, показанному на рис. 1.23a, делает полуоборот, = 1/2, а силовые линии могут замкнуть ся только после полного оборота. Поэтому B имеет периодичность 4 по и, соответственно, симметрию = 2. Как следует из (1.41), = 1 при = 1, если = 3/2. Эта мода показана на рис. 1.23b и примечательна тем, что магнитные линии и изоповерхности 2 делают полный оборот на 2 в то время, как сам канал вращается на 3. Это означает, что маг нитные линии сдвигаются в направлении при увеличении. Для моды, показанной на рис. 1.23c, вращение канала и магнитных линий совпадает и равно 4.

Численно исследовался целый ряд геометрий канала, параметры ко торых представлены в таб. 1.2. Варианты 1–3 и 8 имеют одинаковую геометрию, но отличаются числом полных оборотов. Каналы, подоб ные листу Мёбиуса (варианты 1, 4, а так же 5), генерируют моду = 2, как отмечалось выше, в то время как при = 1 (вар. 2) и = 3/ (варианты 3, 6, 7, 9, 10 и 11) получается = 1. Минимальное значение Rm* порядка 16 получается в вариантах 3, 10 и 11, благодаря тому что отношение / близко к оптимальному для винтового течения. В ва риантах 1 и 4 каналы имеют аналогичную геометрию сечения, но Вар.

4 характеризуется меньшим значением радиуса. Это усиливает дина мо, давая Rm* 88, которое меньше чем в Вар. 1. Более вытянутые сечения канала (варианты 5 и 10), которые проходят вплотную от оси, дают еще более низкий порог генерации. Канал с меньшим / имеет меньшее значение Rm*, очевидно, благодаря более сильному сдвигу по ля скорости в области, где сечения с противонаправленными скоростями близки друг к другу.

Динамо в тороидальном канале (варианты 6 и 7) дает порог генера ции на 25–50% больше, чем в близком по параметрам Вар. 3. С эллип тическим сечением большее отношение /, как в Вар. 7, по-видимому мешает динамо процессу. В вариантах 3 и 9 значение Rm* получается меньше, возможно, благодаря тому, что канал достигает меньшего рас стояния до оси. Другая возможная причина состоит в тот, что площадь сечения в вариантах 3 и 9 больше и эффективное число Рейнольдса для этих каналов будет больше. Течение с = 3/2 дает меньшее значения Rm*, даже чем динамо Пономаренко (стоит отметить, однако, что здесь Rm обезразмерено на наименьшую размерность канала).

Подобно динамо Пономаренко, во всех рассмотренных вариантах ге нерируется осциллирующее магнитное поле, т.е динамо волна, бегущая в и -направлениях. Изоповерхности 2 вращаются в том же направ лении, что и течение (рис. 1.23), так что токовая спиральность B · B имеет тот же знак, что и спиральность течения U · U в областях, где есть сильное магнитное поле. Частота осцилляций дана в таб. 1.2. Для сравнения, частота наиболее быстровозбуждаемых мод динамо Понома ренко равна 0.41. Отметим, что частоты для мод с минимальными Rm* близки к этому значению.

Предложенная геометрия течения для возникновения динамо эффек та имеет ряд привлекательных особенностей с точки зрения лаборатор ной реализации. Наиболее подходящим был бы тороидальный канал, ис пользуемый в планируемом динамо-эксперименте [5, 18], в котором в ре зультате резкой остановки возникает инерционное течение жидкого на трия, а для создания винтового характера движения внутри канала уста навливаются диверторы. Форма канала в виде листа Мёбуса могла бы быть реализована путем установки в тороидальный канал вставки соот ветствующего профиля. Для сравнения каналов с круговым и эллипти ческим сечением необходимо перенормировать Rm, умножая его на /.

Тогда, эффективно для Вар. 3 получим Rm* = 32, что дает большее значение, чем Rm* = 20 для Вар. 6 (динамо в торе). Однако поддержи вать винтовое течение в тороидальном канале сложнее. Локально уста новленные диверторы создают неоднородное течение. Среднее значение начинает возникать только после остановки канала и растет заметно медленнее, чем, и, как результат, достигает максимума существенно позже. Закрученный канал сам действует в роли дивертора. Винтовое те чение нарастает однородно по всему каналу и будет затухать медленнее в виду отсутствия диверторов, создающих сильное лобовое сопротивле ние. Поэтому можно ожидать, что течение с эллиптическим сечением станет суперкритическим раньше и будет оставаться таковым дольше, в сравнение с течением, создаваемым диверторами в канале с круговым се чением. Более того такой дизайн экспериментальной установки позволит оптимизировать режим торможения с цель продлить время существова ния суперкритического режима и тем самым добиться большего коэф фициента усиления. Так же очевидно, что в отсутствии дивертов течение будет существенно менее турбулезованным и будет затухать медленнее.

1.6 Выводы по главе Полученные результаты подтверждают оценки, что планируемый ди намо эксперимент в Перми может быть осуществлен и ожидаемый ко эффициент роста может составить 103 или больше. Тонкая проводящая оболочка играет ключевую роль в процессе генерации и ее влияние тща тельно изучено. Короткая остановка модели необходима для реализации динамо и планируемое время торможения b = 0.1 с будет достаточным.

Увеличение магнитной проницаемости добавлением ферромагнитных частиц в жидкий натрий может повысить коэффициент усиления. Это особенно критично при медленном торможении b = 0.2 c, увеличение r необходимо, чтобы получить заметное усиление поля.

Конечный коэффициент усиления зависит от конфигурации началь ного магнитного поля и максимален при наличии определенного нало женного поля. Например, фоновое земное магнитное поле является пло хим выбором, так оно более или менее однородно и содержит только моды с = 0, = ±1 и = 1, = 0, в то время как хорошее на чальное магнитное поле должно содержать максимальную магнитную энергию в оптимальной для динамо моде = 1, = 3. Постоянные магниты, расположенных вдоль канала, способны создать требуемое за травочное поле, но необходимо, чтобы индуцированные токи проникали во внутреннюю область.

Прямые численные исследования генерации магнитного поля при вин товом движении в торе подтвердили, что в пределе тонкого тора при 4 задача сводится к хорошо изученному случаю винтового дина мо в цилиндре. В толстом торе (малые ) становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, при водящая к немонотонному виду нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая симметрии генерируемого магнитного поля.

Принципиально новое для винтовых динамо решение появляется в толстом торе при генерации моды = 1. В этом случае возникает «гло бальное» магнитное поле, не затухающее на внешней оси тора и имеющее масштаб максимального геометрического размера тора. Важным пред ставляется вывод о возможности понижения порога генерации магнит ного поля в толстом торе путем изменения параметра закрутки потока.

Течение в замкнутом канала, закрученном в форме листа Мёбиуса, может служить модель для динамо процесса. Механизмы генерации в этом случае аналогичны механизмам винтового динамо. Отмечен ряд достоинств предлагаемой геометрии, которые могут быть использованы в лабораторном эксперименте.

Глава Турбулентная электродвижущая сила Теория среднего поля для турбулентной среды следует из электро динамики, описываемой уравнениями Максвелла. Турбулентность про является в качестве эффективной электродвижущей силы, входящей в закон Ома и, как следствие, в уравнение индукции магнитного поля. Эта сила, называемая турбулентной, является принципиальным объектом ис следований в теории космических магнитных полей и теории динамо во всех ее приложениях. Расчеты турбулентной электродвижущей силы были выполнены в серии работ [19–26] при различных формах задания турбулентности, а также при предположении отсутствия среднего дви жения или же твердотельного вращения. В некоторых случаях эффект среднего движения принимался во внимание [27, 28]. Попытки построе ния общих выражений для электродвижущей силы были предприняты в работах [19]. Применение этих выражений, однако, требует дополни тельного изучения. При этом наиболее свежие результаты работ [29–31] и [32] не находятся в убедительном согласии. По этой причине представ ляется значимым получит согласованное описание турбулентной элек тродвижущей силы в условиях общего вращения турбулентного пото ка и существования неоднородного среднего движения. Первоочеред ной причиной, стимулирующей рассмотрение этой проблемы, является необходимость оценки эффекта турбулентности в планируемом динамо эксперименте в тороидальном канале [4, 5, 33, 34]. Более того, эта задача представляет большой интерес в контексте астрофизических приложе ний. Например, вопрос о возможности действия -динамо [32, 35] до сих пор не получил однозначного ответа.

2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винто вом потоке Для описания эволюции магнитного поля используется уравнение ин дукции (1.4). Аналогично базовой идее теории турбулентности, в элек тродинамике среднего поля также вводятся и, являющиеся сред ними полями по пространственным или временным масштабам, которые больше масштабов турбулентности. Величины и будем рас сматривать как флуктуации и обозначим и, соответственно. Далее применяем правила осреднения Рейнольдса к уравнению (1.4) и получа ем уравнение индукции среднего поля (2.1) ( + ) 2 = 0, · = 0, где – средняя электродвижущая сила, вызванная пульсациями маг нитного поля и поля скорости, (2.2) =.

2.1.1 Структура средней электродвижущей силы Уравнение для, которое может быть получено из (1.4) и (2.1) (см. ни же), позволяет сделать вывод, что может рассматриваться как функ ция, и. Именно определение зависимости от средних полей и статистических свойств турбулентности представляет основную задачу теории среднего поля в электродинамике. В заданной точке простран ства и времени зависит не только от самих значений, и, но и от их поведении в некоторой окрестности. Далее делается предположение о том, что медленно меняется в окрестности этой точки, так что линейно зависит от компонент и его пространственных производных.

Таким образом, может быть представлена в форме (2.3) = + /, где тензоры и есть средние величины, зависящие от и. Раз ложенное на симметричные и кососимметричные части выражение (2.3) эквивалентно записи в векторном виде [22, 28] = (2.4) ( ) ( ) ()(), где и – симметричные тензоры второго ранга, и – векторы, – тензор третьего ранга зависят только от и. Далее ()() является () симметричной частью тензора градиента, т.е. () = 2 ( / + / ). Обозначение типа используется в смысле свертки ( ) =, а ()(), в свою очередь, означает ( ()() ) = () ().

Слагаемое с в (2.4) описывает –эффект, который в общем случае является анизотропным, а слагаемое с соответствует эффективному переносу за счет турбулентности. Слагаемые с и могут интер претироваться как эффекты турбулентной диффузии, которые в общем случае также анизотропны. Слагаемое с не имеет особо выделенной роли, но необходимо для полноты разложения.

Величины,,, и связаны с и следующим образом 1 = ( + ), = 2 1 (2.5) = ( ), = ( + ), 4 = ( + ).

Переход в движущуюся систему отсчета Общее вращение среды можем учесть, переходя во вращающуюся си стему отсчета, введением силы Кориолиса в уравнение движения (1.1).

Пренебрегая обратным воздействием магнитного поля на движение сре ды, изменение несжимаемой жидкости будем описывать уравнениями + · = 1 + U 2 + (2.6) · = 0, где – угловая скорость вращения, а – сила, поддерживающая тур булентность.

Турбулентная электродвижущая сила рассматривается в некоторой выделенной точке. Полагая среднее поле скорости независящим от вре мени, перейдем в систему отсчета, в которой = 0 в этой точке. Так же примем, что в окрестности выделенной точки поле меняется мед ленно и может быть записано в виде =, где – константы, а (1, 2, 3 ) – декартовы координаты во вращающейся системе отсчета с началом координат в выделенной точке.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.