авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД На правах рукописи Степанов Родион ...»

-- [ Страница 2 ] --

Однородная турбулентность Рассмотрим турбулентные пульсации, отличающиеся по своим свой ствам от однородных, изотропных и зеркально-симметричных, как ре зультат действия сила Кариолиса, определяемой, и градиента средне го поля скорости, задаваемого выражением ( ) = /, или ( ) =. Для удобства раскладывается на симметричную и антисимметричную части. Симметричная часть является тензором ско рости деформации, определяемая как = 1 ( / + / ).

и описывающая деформирующее движение в окрестности рассмат риваемой точки. Благодаря условию несжимаемости · = 0 спра ведливо = 0. Антисимметричная часть определяется выражени ем = / ) и описывает твердотельное вращение 2 ( / в окрестности рассматриваемой точки. Антисимметричная часть также может быть представлена как = 1 с использованием вектора =.

Для определения структуры = используются соображения симметрии уравнений (1.4) и (2.6), которые определяются полями и. Если эти уравнения удовлетворяются полями,,, и, то они также должны быть удовлетворены другими полями,,, и, полученными из начальных вращением относительно некото рой оси, проходящей, например, относительно точки = 0. Аналогично уравнения должны быть удовлетворены полями,,, и, полученными из начальных в результате отражения относительно неко торой плоскости, содержащей, например, точку = 0. Эти два свойства инвариантности подобным образом применимы ко все последующим вы кладкам, в особенности к уравнениям, описывающих поведение и.

Инвариантность к вращению приводит к выводу, что тензоры и, возникающие в (2.3),,,, и могут содержать только элементы изотропных единичных векторов и, векторов и и тензо ра. Отметим, что сила, которая создает однородную изотропную турбулентность не может вводить другой независимой изотропной ве личины. При рассмотрении инвариантности к отражению часто исполь зуются понятия о полярных (,, и ), и ( и ) аксиальных векторных полях. В отличии от полярных векторов аксиальные вектора меняют направление при отражении системы координат. В дальнейшем будут использоваться термины «реальный» и «псевдо» скаляр, вектор или тензор для полярных и аксиальных величин, соответственно. Тогда и должны быть псевдотензорами, что означает, и – псев довеличины, а и - реальные.

Рассмотрим сначала и. Упомянутые конструкционные элементы,,, и не позволяют построить псевдотензор второго ранга или реальный вектор. Это означает, что (2.7) = 0, = 0.

Для величин, и обнаруживается семь ненулевых независи мых комбинаций, линейных по, и. Соответствующие выражения имеют вид = (0) + (), = () + ( ), (2.8) = () ( + ) 1 ( ) + ( + ) + () ( + ), где (0), (), (), · · · – коэффициенты, определяемые полем, но неза висящие от, и. В силу условия · = 0 слагаемое в, содержащее, не может давать вклада и поэтому в дальнейшем бу дет опущено.

Как следствие (2.7) и (2.8) можно получить = (0) () ( ) (2.9) ( () + ( ) ) ( ) (() + ( ) ) ()() () () ()(), ^ где () – тензор третье ранга, определяемый как = +.

^ ^ Величины, подобные (0), (), · · · (), в дальнейшем будут называться транспортными или эффективными коэффициентами.

Слагаемые (0) и () в (2.9) в условиях турбулентности описыва ют эффективную диффузию, которая отличается от исходной омической диффузии в проводящей жидкости. Благодаря слагаемому (0), полная диффузия становится равной + (0), а слагаемое () делает ее анизо тропной. Слагаемых () и ( ) также могут рассматриваться как диф фузионные, но они дают кососимметричную составляющую диффузии.

В контексте динамо-процессов эффект, описываемый слагаемым (), на зывается « –эффект». Было показано, что этот эффект совместно с дифференциальным вращением ( зависит от ) может приводить к возникновению динамо-процесса [36–39]. Слагаемое ( ) описывает так называемый « –эффект», аналогичный –эффекту, и изуча ется сравнительно недавно [32]. Он может наблюдаться и в отсутствии силы Кориолиса как следствие сдвига поля скорости.

Неоднородная турбулентность В реальных экспериментах условие однородности зачастую наруша ется вблизи стенок, ограничивающих течение жидкости. Поэтому осо бый интерес представляет возможность принять в рассмотрение вектор в направлении градиента интенсивности турбулентности, задаваемый выражением 2 = 2, где – амплитуда турбулентных пульсаций.

Тогда необходимо дополнить (2.9) соответствующими слагаемыми. Для простоты предложим, что влияние мало и ограничимся рассмотрением вклада первого порядка по. В результате, получаем () () = 1 ( · ) + 2 ( + ) ( ) ( ) +1 ( · ) + 2 ( + ) (2.10) +() ( + ) = (0) + () + ( ) + (), а (2.8) остается без изменений.

Соответственно, имеет вид () () = 1 ( · ) 2 (( · ) + ( · )) ( ) ( ) 1 ( · ) 2 (( · ) + ( · ) ) () (, ) ^ (2.11) ( (0) + () + ( ) + () ) (0) () ( ) ( () + ( ) ) ( ) (() + ( ) ) ()() () () ()(), ^ где (, ) – симметричный тензор, определяемый выражением = ^ ^ ( + ).

2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы Базовые соотношения и предположения () Детальное определение требует нахождения коэффициентов 1, () 2, · · ·, () в зависимости от интенсивности и других параметров тур булентного течения. Для вычисления этих коэффициентов рассмотрим уравнение индукции (1.4) и уравнение движения в форме (2.6) в ранее описанной подвижной системе отсчета. Из уравнения (1.4) и его средне полевой версии (2.1), а также из (2.6) и соответствующего осредненного выражения можно получить уравнения, описывающие эволюцию маг нитных и кинетических пульсаций, в следующем виде 2 = ( + + ( ) ) · = 2 = 1 2 (2.12) ( · ) ( · ) (( · )) + · = 0, где ( ) = и (( · )) = ( · ) ( · ).

Для вычисления в выделенной точке = 0 в движущейся системы отсчета необходимо рассмотреть малую окрестность вокруг этой точки.

Используя ранее высказанное предположение о слабой вариации полей и в пространстве и времени, примем, что (2.13) = +, =, и, и являются константами, удовлетворяющими условию = = 0.

Также мы ограничимся вычислениями при условии слабого влияния силы Кориолиса и сдвига поля скорости среднего течения на и. В этом случае можно рассмотреть разложение = (0) + (1) + · · ·, (2.14) = (0) + (1) + · · ·, где (0) и (0) не зависят от, и, а (1) и (1) – слагаемые первого порядка относительно этих величин и так далее. Тогда можно использо вать соответствующее разложение в виде = (0) + (1) + · · · (2.15) (0) = (00), (1) = (10) + (01), · · · () = () ().

В силу сделанных предположений ограничимся случаем, в котором яв ляется линейной функцией, и, так что в разложении остаются только слагаемые (0) и (1).

Предположение о малости и является базовым для построения корреляционного приближения второго порядка (SOCA), которое наибо лее часто используется для вычисления транспортных коэффициентов в контексте теории динамо. Применяя это условие из (2.12) получим (0) 2 (0) = 1 (0) +(((0) · )(0) ) + (0) · (0) = (1) 2 (1) = 1 (1) ( · )(0) ((0) · ) 2 (0) (2.16) · (1) = (0) 2 (0) = ((0) ) · (0) = (1) 2 (1) = ((1) + (0) ) · (1) = 0.

Поле (0) считается заданным при нулевой силе Кориолиса и нулевом сдвиге поля скорости. При выводе (2.16) предполагалось, что сила не зависит от, и, и значит не имеет другого вклада, кроме как (0). Следуя традиционному пути SOCA, пульсациями ((0) (0) ) пренебрегаем в сравнении с (0). В том же духе пренебрегаем слага емым (((0) · )(1) ) + (((1) · )(0) ) в сравнении с ( · )(0) + ((0) · ) 2 (0) и слагаемым ((0) (1) ) + ((1) (0) ) в сравнении с (1) + (1) (0). Эти допущения проверяются в каждом конкретном случае их применения.

В рамках SOCA условие того, что не имеет вкладов независимых от, удовлетворяется автоматически. Также по определению исключа ется любое влияние МГД-турбулентности. В пределе малых магнитных пульсаций турбулентность остается чисто гидродинамической.

Представление Фурье Предстоящие вычисления выполняются в фурье-пространстве. Пре образование Фурье определим в виде ^ (, ) exp(i( · )) d3 d, (2.17) (, ) = где интегрирование проводится по всем и.

Рассмотрим двухточечный корреляционный тензор двух вектор ных полей и в следующей форме (2.18) (1, 1 ;

2, 2 ) = (1, 1 ) (2, 2 ).

Здесь и далее обозначение используется в том же смысле, что и.

Следуя [40], рассмотрим как функцию переменных = 1 = (1 + 2 )/2, (2.19) = 1 = (1 + 2 )/2, и запишем (2.20) (, ;

, ) = ( + /2, + /2) ( /2, /2).

В результате имеем (1, 1 ;

2, 2 ) (2.21) ^ (1, 1 ) (1, 1 ) = ^ exp(i(1 · 1 + 2 · 2 1 1 2 2 )) d3 1 d1 d3 2 d2.

В дополнении к (2.19) введем определения = (1 2 )/ = 1 + 2, (2.22) = (1 2 )/ = 1 + 2, и получаем (2.23) (, ;

, ) (, ;

, ) exp i( · )d3 d = вместе с (, ;

, ) (2.24) ^ ( + /2, + /2) = ( + /2, + /2) ^ exp(i( · )) d3 d.

Для последующих вычислений (2.20) определим (, ;

, ) = ( + /2, + /2) ( /2, /2) (2.25) (, ;

, ) = ( + /2, + /2) ( /2, /2), и обозначим аналогично соответствующие величины и. Про () должим эти определения для случая, где заменяется на, а или () () () () () () на или, и используем обозначения,, и.

(00) (00) Для корреляционных тензоров фоновой турбулентности и ис (0) (0) пользуем упрощенные обозначения и. Поскольку справедливо · (0) = 0, получаем i i (0) (0) (0) (0) (2.26) =, =.

2 Если как в (2.26) и являются аргументами, то должно пониматься как /.

Предварительные вычисления Возвращаясь к, отметим сначала, что (, ) = (, ;

0, 0) (, ;

, ) d3 d. (2.27) = Следующая задача состоит в выражении через корреляционный тен (0) (1) (0) зор. Для этого дифференциальные уравнения (2.16) для, и (1) подвергаются преобразованию Фурье, что дает алгебраические урав (1) (0) (1) нения для, ^ и ^. В дополнение, применяя оператор () = ^ / 2, получаем (1) (0) = (, )( ^ ^ (0) ^ (0) (0) + ( + 2 2 ) + ) ^ ^ (0) ^(0) = (, )(i( · )^(0) (0) ) ^ ^ (1) (1) ^ = (, )(i( · )^ (2.28) (1) ^(0) ^ ^(0) + ) (1) ^ + (0) (1) (0) (1) = = ^ = ^ = ^ ^ с обозначениями величин, и, которые определяются выражени ями 1 (, ) =, (, ) = 2 i i ( · ) (2.29) () = 2.

Вычисление (0) Рассмотрим в величины и при = 0 и = 0. Опущенные аргументы и будут означать использование = 0 и = 0. Как ранее уже отмечалось, при сделанных допущениях содержит только слагаемые (0) и (1), входящие в разложение (2.15). По построению ве (0) (0) личина (0) и соответствующие вклады и в и не зависят (0) от, и. В первую очередь рассмотрим составляющую в.

(0) Возьмем (, ) при произвольных и, а затем найдем предел 0 и положим = 0. Введем обозначения [ (, )]+ = ( + /2, + /2) (2.30) [ (, )] = ( + /2, + /2), где обозначает произвольную функцию. Тогда получаем (0) (0) [^ ]+ (, ) = (0) ^ (0) (2.31) [i (0) )] ^ ( ^ exp(i(( · ) )) d3 d d3 d.

(0) Для простоты записи опустим аргументы и у функций и.

^ Для вычисления этого и подобных интегралов два соотношения пред ставляют особый интерес. Введем обозначения (, ) 1 [ ]+ = ( + )[ (, )]+ (, ) 1 (2.32) ] = ( [ )[ (, )] и 1 ( )[ (, )]+ = 1 (2.33) ( + )[ (, )] = 0.

На основе правила интегрирования по частям находим (, ) [ (, )]+ [(, )] [ ] exp(i(( · ) )) d3 d d3 d (, ) (2.34) = [ (, )]+ [ ] [(, )] exp(i(( · ) )) d3 d d3 d + () и аналогичное соотношение с заменой [· · ·]+ на [· · ·] и наоборот.

Используя (2.31) и (2.34), получаем (0) (0) {i [ ] [^ ]+ [^(0) ] (, ) = (0) (0) ([] [^ ]+ [^ ] (0) (2.35) ( )] [^ ]+ [^(0) ] )} [ exp(i(( · ) )) d3 d d3 d + ().

В заключении имеем (0) (, ) (0) = i (2.36) [ ] [^ ]+ [^(0) ] exp(i(( · ) )) d3 d d3 d + () и (0) (, ) (0) (0) = ([] [^ ]+ [^ ] (0) (2.37) ( )] [^ ]+ [^(0) ] ) [ exp(i(( · ) )) d3 d d3 d + ().

В силу предположения слабой вариации средних величин в окрестно сти можно разложить [ ], входящее в (2.36), в ряд по и оставить слагаемые только первого порядка, положив при этом = 0. Слагаемое первого порядка содержит под интегралами множители, которые со ответствуют применению оператора i к функциям, определяемым этими интегралами без. Выполняя предельный переход 0 и (0) (0) 0, записывая для простоты вместо (0, 0) и вспоминая опре (0) деление (,,, ), в результате находим (0) ( * (i ) (2.38) = (0) * ( · )) d3 d, где * означает комплексное сопряжение (, ), что эквивалентно (, ).

Отметим, что * зависит только от, которое есть модуль. Для функ (0) (0) ций такого типа используем обозначение = /. Также и (0) (0) сокращения для (0, 0,, ) и ( (, 0,, ))=0, соответственно.

(0) Стартуя с (2.37), для (, ) можно провести аналогичные вычис ления. Однако, поскольку связана с производными от, [] и [( )/ ] заменяются их значениями при = 0 и = 0, что озна (0) чает игнорирование производных от. Таким образом, приходим к выражению (0) (0) (0) ( * + * ) d d. (2.39) = (0) Слагаемые пропорциональные в не входят, в силу условия · = 0. Результаты (2.38) и (2.39) согласуются с известными соотношениями теории среднего поля, полученными, например, в [20].

Вычисление (1) (1) (1) Рассмотрим (1) и соответствующие вклады и в и. (1) состоит из трех слагаемых. Первое линейно и однородно по, а второе и (1) третье линейно и однородно по и, соответственно. Аналогично (1) и содержат три группы слагаемых, которые линейны и однородны по (1) (1), или. Соответствующие вклады в и обозначаются как () ( ) () () ( ) (),,,, и. Вычисление этих величин проводится (0) (0) аналогичным способом, как это было сделано для и. Чтобы по (0) лученный результат не выглядил слишком громоздко, разделим на симметричную и антисимметричную часть (0) () () () () () () (2.40) = = +, =, и используем то, что симметричная часть четна по, а антисимметрич ная – нечетна () () (, ) = (, ) () () (2.41) (, ) = (, ).

Это справедливо для любой однородной турбулентности, а также и для неоднородной турбулентности в форме, которая будет рассмотрена поз же.

() () Результат вычисления и имеет следующий вид ( · ) () () { * ( * ) = ( · ) () * ( + * )( ( 2 2 ( · )) ( · ) () () (2.42) + 2 ( · ) 2 ) +( * ( * ) * ( + * )) ( · ) () ( · ) } d3 d ( · ) * () () () { ( + * )( ) = 2 () + * * (2.43) () * ( * ) } d d.

(0) (0) (0) (0) Как и ранее, и означают (0, 0,, ) и ( (, 0,, ))=0, соответственно. Аналогично, является сокращением (, ), а * – (0) () обозначает комплексное сопряжение. Так же, как и с, вклад в отсутствует.

( ) () ( ) Выражения общего вида также были получены для,, и имеют вид i { ( ) () () * ( + * ) + 2 * * = 2 } () * d3 d (2.44) + ( · ) { 1 ( () () () * + + 4 + 4 ( · ) ( · ) () () () 2 2 ( · ) + 4 ( · ) +2 2 ( · ) ) ( () () () () ** 2 + ( + 2 ) ( · ) () () () 2 2 2 ( · ) + 4 ( · ) ( · ) ( · ) ( · ) ) () () () 2 + 4 2 2 2 ( · ) () () [ * * ( * * ) ] ( · )( 2 * } () () () * ) + ( + ( ) ( · ))( ) d3 d { () () () * ( + * ) ( 2 2 ) + * * = i 1 * 2 } () () * * * * d3 d + ( + ( ) + ( ) ) 2 { 1 * ( * )( 2 2 ) (2.45) () 2 + 2 * ( + * ) ( 2 + 2 2 4 ( · )) () + ( * * ( * * ) ) ( 2 2 )( · ) () * } () () * ( ) ( · ) d3 d { ( ) () () * ( * )( ) = ( · ) () () () () 2 * ( ) * * ( ( ) () () () () 2( 2 ( ) 2 ( )))) ( · ) () () () * ( * ) (2.46) ( ) * 2 } () () () () * ( ) d3 d ( ) + ( ) { () () * ( 2 2 ) + * * ( = () () 2 2 ) * ( * ) ( 2 2 ) () () + * 2 + ( * + ( * * ) ) (2.47) 1 } () () * ) d3 d.

( ) ( 2 Результаты для со специальным видом корреляционного тензора поля скорости (0) Зададим корреляционный тензор (,,, ) в виде, в котором он отличается от однородной, изотропной и зеркально симметричной тур булентности наличием статистически постоянного градиента интенсив ности пульсаций. Это можно сделать следующим способом:

(0) (2.48) (,,, ) i = ( () + 2 ( )) (,,, ), 2 где () = ( / 2 ), а (,,, ) – результат фурье-преобразования величины ( + /2, + /2) · ( /2, /2) по переменным и, (,,, ) exp(i( · )) d3 d (2.49) = ( + /2, + /2) · ( /2, /2).

Обоснованность такого определение подробно обсуждается в [28]. Ука жем лишь на то, что (2.48) удовлетворяет ранее рассмотренным соотно шениям (2.26) и (2.41). Забегая вперед, отметим, что (,,, ) может быть факторизовано так, что первый множитель (0) зависит от круп номасштабных координаты и времени, а второй – от и. Тогда можно определить через соотношение (2.50) (,,, ) = (,,, ) 2 и интерпретировать как (0) /(0).

(0) () () Определим теперь,, · · ·, которые заданы выражениями (2.38), (2.39), (2.42), (2.43) и (2.44) - (2.47) при использовании вида (2.48) (0) для. Для проведения необходимых преобразований использовались соотношения 2 ()d3 (2.51) ()d = ( + + ) 4 ()d3, ()d = где функция зависит только от. Интегрирование выполняется по всем.

() Коэффициенты (0), (0), 1, · · · (), обозначенные в общем как, имеют следующий вид (, ) (, ) 2 d d, (2.52) = =0 = () где для соответствующих коэффициентов (0), (0), 1, · · · () опре деляется выражениями 2 (0) = (0) = 3 ( 2 )2 + 4 (( 2 )2 + 3 2 ) 2( 2 )2 4 ( ) () 1 = + 15 (( 2 )2 + 2 ) (( 2 )2 + 2 )2 (( 2 )2 + 2 )2 (( 2 )2 + 2 ) 2 4 (3( 2 )2 2 ) (3( 2 )2 5 2 ) 1 ( ) () 2 = 15 (( 2 )2 + 2 ) (( 2 )2 + 2 )2 (( 2 )2 + 2 )2 (( 2 )2 + 2 ) (2.53) () = () = 3 (( 2 )2 + 2 ) (( 2 )2 + 2 ) (11( 2 )2 5 2 ) () =, 15 (( 2 )2 + 2 )2 (( 2 )2 + 2 ) ( ( ) 1 = (1/120) 4 3 (20 ) + 42 (113 + 32 + 10 2 33 ) +(134 + 883 202 2 + 20 3 + 54 ) 4 4(2 11) ) 5 8 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) ( ( ) 2 = (1/240) 4 3 (20 13) + 42 (33 112 + 10 2 + 213 ) (314 243 1402 2 20 3 + 154 ) ) +4(14 + 3 10 ) 25 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) 2 2 6 ( ( ) = (1/48) 4 4 + 42 (23 + 22 + 33 ) +(74 + 163 + 282 2 54 ) ) +4(4 + 2 3 ) 7 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) 2 2 6 ( ) = (1/12)(2 2 ) (2 + 2 ) ( ( ) = (1/30) 4 2 2 (232 122 ) ) (12 + 5 ) 5 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) 2 2 4 ( (2.54) () = (1/120) 34 3 (4 + 3) 42 (33 52 2 2 + 33 ) +(114 403 122 2 4 3 54 ) 4 28 ) +5 8 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) ( = (1/120) 34 3 (16 3) + 42 (103 + 20 2 + 33 ) () +(94 + 643 + 522 2 + 32 3 + 54 ) ) +4(10 + 6 + 5 ) + 15 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) 2 2 ( () = (1/60) 4 3 (10 3) + 22 (3 52 + 8 2 33 ) (74 + 162 2 6 3 54 ) 4 2(52 + 52 ) ) +5 8 (2 + 2 )3 (2 + 2 ) ( = (1/30) 4 3 (10 + 3) + 22 (3 + 52 + 8 2 + 33 ) () +(74 + 162 2 + 6 3 54 ) 4 + 2(52 52 ) ) 5 (2 + 2 )3 (2 + 2 )2, где обозначает 2, а – 2. Отметим, что не только (0), (0) не зависят от, но так же и ( ). Если для (0) и (0) эта независимость вполне естественна, то для ( ) этот результат является неожиданным.

Следующим шагом является конкретизация коэффициентов (0), (0), () () 1, 2, · · · (), описываемых выражениями (2.52) и (2.53) с помощью параметризации статистических свойств турбулентности. Допустим, что для вынужденной фоновой турбулентности справедливо ( + /2, + /2) · ( /2, /2) (2.55) = 2 (, ) exp(2 /22 /| |).

Множитель 2, используемый вместо (0), имеет смысл интенсивно сти турбулентных пульсаций в отсутствие силы Кориолиса и среднего течения. Их статистические свойства характеризуются корреляционной длиной и корреляционным временем. Далее предполагается, что и не зависят от и. В силу (2.49) соотношение (2.55) эквивалентно 2 3 ( )2 exp(( )2 /2) (2.56) = 2 (, ).

1 + ( ) 3 (2)5/ В последующих выкладках будут использоваться следующие безраз мерные комплексы (2.57) = 2 /, = 2 / Pm = / = /.

Величина есть отношение характерного времени магнитной диффузии к корреляционному времени и будет использоваться для рассмотрения предельных случаев низкой проводимости 0 и высокой проводимо сти. Аналогично, предельные значения величины будут соот ветствовать ситуации с высокой проводимостью, если 0, и низкой, если. Будем использовать магнитной число Рейнольдса Rm, и гидродинамические число Рейнольдса Re и число Струхаля St, опреде ленные через параметры турбулентности следующим образом:

(2.58) Rm =, Re =, St =, где = 2. Для реалистичных течений St близко к единице, а значит и близки к Rm и Re соответственно.

Транспортные коэффициенты, входящие в (2.11), могут быть пред ставлены в виде, удобном для использования в задачах динамо в усло виях низкой проводимости, например в условия лабораторного экспери мента () () = (4/45) Rm2 2 1 (Pm, ) () () = (2/15) Rm2 2 2 (Pm, ) ( ) ( ) = (19/360) Rm2 2 1 (Pm, ) ( ) ( ) = (7/720) Rm2 2 2 (Pm, ) (2.59) () = (7/120) Rm2 2 () (Pm, ) Rm2 (0) () (0) = = ( /36 2) Rm2 2 () (Pm, ) () ( ) = (1/144) Rm2 2 ( ) (Pm, ) () = (13/120) Rm2 2 () (Pm, ) (0) = (1/9)Rm2 (0) () () = (7/90) Rm2 2 () (Pm, ) () = ( /36 2) Rm2 2 () (Pm, ) (2.60) ( ) = (1/36) Rm2 2 ( ) () () = ( /18 2) Rm2 2 () (Pm, ) ( ) = (1/90) Rm2 2 ( ) (Pm, ) () = (13/90) Rm2 2 () (Pm, ).

() () Функции 1, 1, · · · () определены таким образом, что стремятся к единице при 0 и Pm = 1. В соответствии с (2.52) и (2.53) спра ведливо (0) = (0) и () = (). На рис. 2.1 показана зависимость () () функций 1, 1, · · · () от Pm и.

() () · · · () 1 Рисунок 2.1: Зависимость абсолютных значений коэффициентов,, Pm Pm. Pm от и для различных значений Для всех значений коэффициенты по.

ложительны при малых Смены знака выражается в резкой смене монотонности изменения кривых.

Для астрофизический приложений особый интерес представляет пре дел высокой проводимости. Для этого случая модифицированные выражения для коэффициентов имеют вид () () = (4/45) 2 2 1 (, ) () () = (1/90)(22 5) 2 2 2 (, ) ( ) ( ) = (1/72)( 1) 2 2 1 (, ) ( ) ( ) = (1/144)(11 + ) 2 2 2 (, ) () = (1/360)(29 5) 2 2 () (, ) (2.61) (0) = (1/6) 2 (0) () () = (1/18)(2 ) 2 2 () (, ) ( ) = (1/144)(13 + )) 2 2 ( ) (, ) () = (1/72)(7 ) 2 2 () (, ) (0) = (1/3) 2 (0) () () = (7/90) 2 2 () (, ) () = (1/18)(2 ) 2 2 () (, ) ( ) = (1/12) 2 2 ( ) () (2.62) () = (1/9)(2 ) 2 2 () (, ) ( ) = (1/6) 2 2 ( ) (, ) () = (23/90) 2 2 () (, ), () () где = 2( 2 0 exp(2 )) 1.31. Функции 1, 1, · · · () определены так, что их значения для = 1 стремятся к единице при. Отметим, что 2 2 = 2 2, а в соответствии с (2.52) и (2.53), () () справедливо (0) = (0) и () = (). Вид функций 1, 1, · · · () показан на рис. 2.2.

() () ··· 1 Рисунок 2.2: Зависимость абсолютных значений коэффициентов,, ()..

от и Для всех коэффициенты положительны при больших значениях Полученные результаты воспроизводят ранее известные составляю щие в условиях однородной турбулентности и общего вращения [19,25– 27, 41, 42]. Рассмотрение произвольного значительно расширяет на бор турбулентных эффектов. Даже в отсутствии общего вращения имеют место слагаемые пропорциональные, которые могут приводить в дей ствие -эффект [29,30]. Роль этого эффекта остается под вопросом, так как найденная в диссертационной работе количественная оценка не совпадает с ранее полученными результатами в работах [28, 32]. В этих работах используется -приближение, которое работает в другом диапа зоне управляющих параметров, что, по всей видимости, объясняет воз никающее различие. Новым результатом является вклад неоднородной турбулентности (слагаемые пропорциональные ). В сочетании со сдви гом поля скорости градиент турбулентных пульсаций может приводить к возникновению -эффекта. Такая возможность исследуется экспери ментально в разделе 6.2.

2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо В главе 1 получен рад решений задачи о винтовом динамо, возникаю щее в результате винтового потока в проводящей среды. Его реализация в динамо-эксперименте потребует Re 105, а, следовательно, течение жидкости будет существенно турбулентным. Действие турбулентности на динамо происходит в двух направлениях. Во-первых, она влияет на профиль среднего течения, а во-вторых, вызывает действие мелкомас штабных индукционных эффектов. В особенности эффективная турбу лентная диффузия может заметно поднять порог генерации. В силу вин тового характера среднего течения можно ожидать действие -эффекта наряду с прочими эффектами. Их влияние может сводится к подавлению или усилению процессов генерации. Оценка влияния турбулентности на винтовое динамо является необходимым этапом подготовки, проведения и анализа результатов планируемого эксперимента. Кроме того, интерес для астрофизических приложений представляет рассмотрение и других ситуаций, которые могут возникнуть при генерации магнитных полей в космических объектах, где средний поток и турбулентные пульсации являются неотъемлемыми составляющими механизмов динамо.

Эволюцию магнитного поля в турбулентном потоке будем рассматри вать в раках подхода теории среднего поля. Уравнение индукции сред него поля (2.1) включает в явном виде эффективную электродвижущую силу, описывающую влияние турбулентности. Ее структура была по лучена в разделе 2.1 в общем виде. Конкретизируем выражение (2.9).

Для этого рассмотрим аппроксимацию поля скорости винтового потока, использованного для решения задач в разделе 1.2. В цилиндрической системе координат (,, ) поле скорости имеет вид (2.63) = (0, (), ()), = ().

Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой = 0. В этой движу щейся системе отсчета поле скорости будет иметь вид (2.64) = (0, (() (0 )), () (0 )).

В вращающейся системе отсчета возникает сила Кориолиса, которая определяется угловой скоростью, задаваемой выражением (2.65) ^ = (0 ), где – единичный вектор в направлении.

^ Следуя (2.64), получим и в специальном виде. Ненулевыми ком понентами являются = d /d и = d/d, а имеет d/d и = = d /d. Так как обычно неод = = 2 нородность турбулентности проявляется вблизи стенок, примем, что – радиальный вектор. В этом случае тензор имеет специфическую () ( ) структуру. Слагаемые 1 и 1 исчезают. В цилиндрической системе координат имеет вид 0 1 = 1 0 2 0 d d 1 ( ) ( ) () () ) () ) 1 = (2, 2 = (2 + 2, d d 2 (2.66) где и определены во вращающейся системе отсчета. Все диаго нальные элементы равны нулю, а значит магнитное поле в направле нии не создает электродвижущей силы в направлении или.

В рамках планируемого динамо-эксперимента были проведены иссле дования на модели, но существенно меньшего размера, чем динамо-установки.

Наблюдения за возникающими потоками в торе с водой в качестве рабо чей жидкости показали существование интенсивных спиральных мелко масштабных структур [33]. Это дает основание рассматривать возмож ность экспериментальной реализации –эффекта. Полный –эффекта должен создавать электродвижущую силу в направлении наложенно го магнитного поля. Однако проведенный анализ не предсказывает проявления этого эффекта. Существование спирального течения еще не гарантирует возникновение полного –эффекта [43]. Результаты экспе риментальной работы, изложенной в разделе 6.2, также подтверждают () () · · ·, () Таблица 2.1: Численные значения коэффициентов,, для различных Pm.

значений и 101 102 103 104 105 105 105 Pm 0.02 0.02 0.02 0.02 0.002 0.02 0.2 0. 0. () 0.0792 0.689 3.47 7.5 8.84 0.982 9.01 87.1 9. () -0.104 -0.654 -1.98 -2.35 -2.2 -0.195 -2.18 -22.5 -2. ( ) 0.0439 0.38 1.82 3.76 4.38 0.46 4.46 43.6 4. ( ) -0.0094 -0.139 -0.57 -0.972 -1.07 -0.092 -1.08 -10.9 -1. () -0.0437 -0.171 -0.374 -0.191 -0.048 -0.015 -0.027 -0.266 -0. (0) 0.0546 0.0546 0.0546 0.0546 0.0546 0.049 0.0546 0.0555 0. () -0.004 -0.028 -0.067 -0.089 -0.093 -0.066 -0.093 -0.105 -0. ( ) -0.0086 -0.0541 -0.409 -1.12 -1.39 -0.165 -1.42 -13.5 -1. () -0.0888 -0.766 -3.09 -5.44 -6.05 -0.629 -6.13 -60.3 -6. (0) 0.109 0.109 0.109 0.109 0.109 0.0979 0.109 0.111 0. () 0.059 0.558 2.03 3.09 3.25 0.293 3.27 33.1 3. () -0.004 -0.028 -0.067 -0.089 -0.093 -0.066 -0.093 -0.105 -0. ( ) 0.0214 0.0214 0.0214 0.0214 0.0214 0.0125 0.0214 0.0255 0. () 0.0072 0.098 0.268 0.364 0.382 0.24 0.386 0.25 0. ( ) -0.0052 0.0468 0.14 0.19 0.202 0.13 0.204 0.236 0. () 0.114 0.631 2.13 3.21 3.38 0.373 3.39 33.2 3. эти выводы.

2.2.1 Оценка эффектов турбулентности Сделаем несколько оценок турбулентных эффектов, ожидаемых в пла нируемом динамо-эксперименте в тороидальном канале, которые были определены в форме (2.11) турбулентной электродвижущей силой, со отношениями (2.59) и (2.60), а также численными значениями, приведен ными в таб. 2.2. Жидкий натрий характеризуется = 0.1м2 /с и Pm = 105. Для оценки типичного значения средней скорости используем = 50м/с. Параметры турбулентной составляющей можно оценить как = 1м/с, = 0.01 м и = 0.05 с. Это дает = 0.1 и = 0.02. Далее || оценивается величиной 1/, где = 0.12м – радиус сечения канала. Ана логично ||, | | и || оцениваются величиной /, а пространственные производные – величиной /. Вклад –эффекта интерпретируется как эффективная магнитная диффузия, которая складывается с омиче ской диффузией, и которая в теории среднего поля определяется в об щем случае тензором ij = (+ (0) ) + (). Тогда относительное зна чение (0) -эффекта есть (0) / = (0) 103. Соответствующий вклад () -эффекта оценивается как () / = () ( /) ( /)2 1.3· 102.

Сравнение действия -эффекта более естественно проводить с адвек тивным переносом магнитного поля средним потоком. Тогда относи тельный вклад (0) -эффекта оценивается как (0) / = (0) (/ ) 105. Аналогично для (), ( ) и () -эффектов соответствующие отно шения () /2, ( ) /2 и () /2 не превышают 4 · 104.

Оценку, и -эффектов можно провести по отношению к. Ха () () ( ) рактерные отношения есть 1 /2, 2 /2, 1 /2, · · ·, () /2, · · ·, () () () /2, · · ·. Тогда значения 1 /2, 2 /2, · · · () /2 не превышают () ( ) 6·104. Вклад 1 и 1 -эффектов равен нулю по определению, так как перпендикулярно к и. Далее справедливо ( ) /2 () / 7 · 106 и максимум среди (), · · · () /2 не превышает порядка 2 · 104.

Таким образом, можно заключить, что вклад в индукционные про цессы будет достаточно мал. Сложно ожидать, что турбулентность спо собна повлиять на характер винтового динамо, предполагаемого полу чить в эксперименте с жидким натрием.

2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации Рассмотрим численное решение задачи о винтовом динамо с учетом влияния турбулентности. Основной интерес представляет характер из менения порога генерации под воздействием того или иного турбулент ного эффекта или группы эффектов. Обезразмерим уравнение индукции среднего поля (2.1), используя соотношения (2.67) 2 = 2, = 0, = 0, где 0, 0 и 2 – характерные значения, и 2 при = 0, а, и – безразмерные функции от. Возьмем в качестве единицы длины, а 2 / – единицы времени. Тогда безразмерная форма (2.2) имеет вид ( +0 ( ()+ () ))2 = 0, · = (2.68) с параметрами (2.69) = ( /)2.

= 2 2 + 0 /, 2 0 = 0 /, и (2.70) = (0, (), ) = (0) (0) (2.71) ^ () = 2 ( + ) ^ ^ ( ) () ) ( ( + ) ( + )) ( 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ( () + ( ( ) () ) ( + )) () ( (( ) + ( ) ) ^ ^ + (( ) + ( ) )) ^ ^ ^ ^ ^ ( () + ( ) ( )) ( ) (2.72) (a) (б) 52. 50 0. 0. 47. RU RU 0. 115 0. 42. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Ru Ru * 0 = 1 : = 0, = 1, Рисунок 2.3: Зависимость от при и различных (а) (б) = 0.15, sh = 5, = 18.

^ ^ ^ +( () ( ) ( )) ()() + () ( (()() ()() (()() ()() )^ ) ^ ^ (()() (()() ()() ) ()() )) ^ ^ ^ (2.73) = 1/ 1 + 2, = / 1 + 2, = 0 /0.

, и – единичные вектора в направлении, и. Постановка гранич ^^ ^ ных условий, определение профиля скорости и метод решения полностью идентичны тем, которые использовались в разделе 1.2. Все вычисления проводятся при = 105 и = 0.02.

Рассмотрим сначала случай, наиболее приближенный к условиям экс перимента с = 1. Результаты, представленные на рис. 2.3 показывают, что учет турбулентности увеличивает порог генерации. Для наиболее ре алистичных параметров стенки = 0.15, sh = 0.5 и = 18, принимая оценку 0 порядка 101 и 102, можно сделать вывод, что уве * личится не более чем на 0.5%. Из данных, приведенных в таб. 2.2, видно, что влияние турбулентности заметно растет с ростом.

Ряд расчетов был выполнен с целью оценить характер влияния от дельно каждого турбулентного эффекта. Для этого использовались толь ко определенные слагаемые, а остальные принимались равными нулю.

(a) (б) 37. 32. 30 RU RU 27. 25 22. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Ru0 Ru * Рисунок 2.4: Зависимость от для случаев, когда учитываются только сла -эффекта -эффекта гаемые (а) или только слагаемые (б) при различных (см.

= 1, = 0.15, sh = 5, = 18.

значения на рис. 2.3). Остальные параметры () Влияние -эффекта, который в нашем случае состоит только из 2, ( ) и () -эффектов на винтовое динамо зависит от принципиаль ным образом. В случае = 1 он работает против винтового динамо. В тоже время, как показано на рис. 2.4a, при более реалистичном профиле с = 18 турбулентность усиливает генерацию.

Рассмотрим далее -эффекты. Во всех исследованных случаях они препятствуют работе винтового динамо. Характер влияния -эффектов проиллюстрирован на рис. 2.4б при = 18.

Переходя к -эффектам, отметим снова, что (0) -эффект может рас сматриваться как добавка омической диффузии, что означает возрас тание порога генерации. () -эффект делает магнитную диффузию ани зотропной. Во всех случаях с = 1 и более () -эффект преобладал над (0) -эффектом и приводит к снижению порога генерации. Это может быть связано с тем, что магнитная вязкость, будучи тензорной величи ной, имеет элементы с отрицательным знаком. Результаты, полученные при = 18, представлены на рис. 2.5а.

В оставшейся части анализ () и ( ) -эффектов, а также () (a) (б) 25 RU RU 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Ru0 Ru * Рисунок 2.5: Зависимость от для случаев, когда учитываются только слага –эффекта –эффекта емые (а) или только (б) при различных (см. значения на = 1, = 0.15, sh = 5, = 18.

рис. 2.3). Остальные параметры (a) (б) RU RU 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Ru0 Ru * Рисунок 2.6: Зависимость от для случаев, когда учитываются только слага () () –ффектов -эффекта емые (а) или и (б) при различных (см. значения на = 1, = 0.15, sh = 5, = 18.

рис. 2.3). Остальные параметры эффекта показал, что они усиливают динамо-процесс. В то время как ( ) и () -эффекты или все вместе взятые -эффекты затрудняют ге нерацию магнитного поля. В подтверждение вышесказанного некоторые результаты представлены на рис. 2.5б и рис. 2.6а.

Комбинация ( ) и ( ) -эффектов в отличии от () и () -эффектов, как показано на рис. 2.7a, приводит к росту порога генерации. В контек сте недавно предложенного и интенсивно обсуждаемого -динамо [32, 44] была рассмотрена комбинация ( ), ( ), () и () –эффектов.

(a) (б) 52. 47. RU RU 42. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0. Ru Ru * Рисунок 2.7: Зависимость от для случаев, когда учитываются только слага ( ) ( ) -эффектов () ( ), ( ), () () -эффектов емые и (а) или и и (б) при (см. значения на рис. 2.3). Остальные параметры = 1, = 0.15, sh = 5, различных = 18.

Результаты расчетов, показанные на рис. 2.7б, означают, что винтовое динамо не согласуется с –динамо и порог генерации растет. Оче видно, что ( ) и () -эффекты оказывают сильное противодействие () и ( ) -эффектам.

2.3 Выводы по главе Предложен новый систематический подход нахождения турбулентных эффектов в рамках теории среднего поля в корреляционном приближе нии второго порядка. Получена полная структура турбулентной электро движущей силы в условиях общего вращения, произвольного градиента среднего поля скорости и интенсивности турбулентных пульсаций.

Получены новые турбулентные эффекты генерации в составе -эффекта, возникающие при наличии градиента среднего поля скорости. Также уточнены ранее известные составляющие турбулентной электродвижу щей силы. Предложена параметризация транспортных коэффициентов, позволяющая определять их числовые значения в пределах высокой и низкой проводимости турбулентного потока.

Проведена оценка турбулентных эффектов в условиях планируемо го динамо-эксперимента в тороидальном канале. Исследован характер влияния турбулентности на процесс винтового динамо. Показана разно направленность действия отдельных групп турбулентных эффектов.

Глава Мелкомасштабное динамо Существующие в природе магнитогидродинамические системы, такие как жидкие ядра планет, конвективные зоны звезд, межзвездная среда галактик, характеризуются гигантскими значениями гидродинамическо го и магнитного чисел Рейнольдса. В этой ситуации всегда есть диапазон масштабов, в котором индукционные эффекты движения проводящей среды свободны от влияния магнитной диффузии. Как следствие, маг нитное поле может экспоненциально расти в этих масштабах вплоть до уровня энергии, на котором кинетические и магнитные поля находят ся в нелинейном динамическом взаимодействии. Безусловно, такие поля будут иметь турбулентный характер.

В предыдущих главах были рассмотрены модели крупномасштабно го динамо, где принималась во внимание только крупномасштабная со ставляющая турбулентного потока, способная генерировать крупномас штабное магнитное поле. Далее в рамках теории среднего поля был учтен вклад турбулентной составляющей поля скорости в крупномас штабное динамо. При больших магнитных числах Рейнольдса условия возникновения магнитного поля выполняется в широком диапазоне мас штабов. Для адекватного описания не только момента возникновения Rm=UL/ +1 Межзвездная 10 среда Конвективная + 10 зона Солнца Аккреционные диски + +3 - =1 Pm Жидкое ядро - 10 Юпитера 103 Жидкое ядро Земли Прямое численное Установки моделирование с жидким натрием 1 Re=UL/ 1 103 106 109 1012 Рисунок 3.1: Положение различных МГД-систем на плоскости управляющих пара Re Rm.

метров и динамо-эффекта, но последующей стадии установления необходимо ре шение нелинейной задачи, включающей рассмотрение динамику мелко масштабного поля.

Обобщение теории турбулентности Колмогорова на случай магнитной гидродинамики позволяет качественно прояснить ситуацию, но оставля ет массу нерешенных вопросов. Возможности численного моделирова ния претерпевают бурный рост в последнее время, но как можно видеть на рис. 3.1, охватываемые значения управляющих параметров еще да леки от соответствующих реальным МГД-системам. Выход возможен, если кардинально снизить число степеней свободы, приняв ряд предпо ложений и приближений относительно спектральных и пространствен ных свойств исследуемых полей. Исходя из подобной логики был пред ложен подход каскадных моделей турбулентности, который был успешно применен для чистой гидродинамики. В процессе бурного развития в по следние десятилетия аппарат каскадных моделей был обобщен на случай магнитной гидродинамики. В данной главе диссертации каскадные моде ли применяются и развиваются для решения ряда актуальных проблем динамо при больших числах Re и Rm.

3.1 Каскадные модели МГД-турбулентности Основная идея каскадных моделей турбулентности состоит в постро ении цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений, описываю щих процессы спектрального переноса энергии в развитой турбулент ности. В случае МГД-турбулентности задача состоит в том, чтобы со хранить для каждого интервала волновых чисел |k| +1, где =, только пару комплексных переменных и, характеризу ющих пульсации скорости и магнитного поля в сферической оболочке (подобласти спектрального пространства). Затем записать для этих пе ременных систему, сохраняющую базовые свойства исходных уравнений магнитной гидродинамики, а именно тип нелинейности и законы сохра нения, которым исходные уравнения удовлетворяют в пределе больших чисел Рейнольдса (как гидродинамического, так и магнитного).

Пионерские каскадные модели гидродинамики были разработаны в 70-х [45–49] с целью воспроизвести основные особенности турбулентно сти с применением динамических систем малой размерности. Эти модели описывали локальное взаимодействие двух соседних оболочек [48] или трех ближайших оболочек, как в модели, называемой GOY [47, 50]. По следний тип взаимодействия был интенсивно исследован и использован для обнаружения аноманльного скейлинга структурных функций, ха рактеризующего перемежаемую динамику каскадных процессов [51–54].

Совершенствование этих моделей привело в появлению, так называемой модели Sabra [55–57], и еще более усложненной модели, использующей вейвлет-преобразование Benzi96. Модели GOY и Sabra применялись в условиях конвекции [58] и вращения [59,60]. Спектральная редукция мо дели GOY, как оказалось, дает самые ранние модели [48], что показало согласованность в базовых свойствах моделей различного типа [61].

Попытки построения каскадных моделей гидродинамической турбу лентности, учитывающих нелокальные взаимодействия мод, предприни мались одновременно с развитием локальных моделей [62]. Уравнения Навье-Стокса проектировались на вейвлет-базис, и далее число пере менных уменьшалось на основе некоторых допущений статистического характера. В этой модели любая оболочка могла взаимодействовать в любой другой. В последствии эта модель была пересмотрена, физически проинтерпретирована и использована [63–65].

Обобщение на случай МГД-турбулентности выполнено как для кас кадных моделей, использующих простейший вид взаимодействия оболо чек [66–69], так и моделей типа GOY [70–73]. Уравнения, описывающие каскадную модель, могут быть представлены в следующем общем виде (0 ) = ( (,, ) (,, )) Re1 +, (3.1) = ( (,, ) (,, )) Rm1, (3.2) где билинейная форма наиболее распространенной модели [73] имеет вид * * * * * * (3.3) (,, ) = 1 +1 +2 + 2 1 +1 + 3 2 и воспроизводит нелинейные взаимодействия, описывающие обмен энер гиями с соседними оболочками 2, 1, + 1 и + 2. Для пол ноты постановки следует добавить 2 = 1 = +1 = +2 = 0 и 2 = 1 = +1 = +2 = 0. Слагаемое моделирует внешнюю си лу, поддерживающую турбулентность. Коэффициенты и, = 1, 2, определяются с использованием законов сохранения МГД-уравнений. В случае отсутствия внешних сил, источников магнитного поля и дисси пации МГД-система сохраняет полную энергию, перекрестную спи ральность и магнитную спиральность, которые определяются интегралами по объему · + · (3.4) = d, (3.5) · d, = (3.6) · A d.

= В случае чистой гидродинамики = 0 сохраняется гидродинамическая спиральность (3.7) = ·, d.

Аналогичные выраженния в терминах каскадных переменных имеют вид (3.8) (| |2 + | |2 ), = 2 = 1 * * (3.9) = ( + ), 2 = (3.10) (1) | |2 /.

= 2 = С нормировкой 1 = 1 получается 2 = (1 )2, 3 = 3, 1 = 2 = 3 = ((1 + ))1. В частном случае чистой гидродинамики ( = 0) модель сохраняет гидродинамическую спиральность (3.11) (1) | |2.

= 2 = Плата за простоту этих моделей – полное отсутствие в них инфор мации о пространственном распределении характеристик турбулентного потока, что ограничивает область их применения задачами, в которых допустимо применение концепции однородной (или локально-однородной) турбулентности.

3.2 МГД-турбулентность при малых значениях маг нитного числа Прандтля Проблема действия динамо при малых Pm обозначилась в результатах прямого численного моделирования (DNS), проведенного на сетках высо кого разрешения [35, 74–79]. Расчеты, в которых определялось критиче ское значение Rm при различных значениях Re, показали быстрый рост порога генерации с уменьшением Pm. Минимально достигнутое значение было порядка 102. Ранее даже выдвигалась гипотеза о невозможности динамо при малых Pm [80]. Однако это не подкрепляется результатами успешно проведенных динамо-экспериментов [3, 81–83], где Pm 106.

Несогласие может объяснятся различием свойств турбулентного поля, роль которого до сих пор полностью не ясна [84–87]. Тем не менее для новых планируемых экспериментов [5, 88, 89] эта проблема остается ак туальной.

Достоверность результатов (DNS) при больших Re вызывает сомне ния, так как требуются сетки действительно очень высокого разреше ния для адекватного описания феномена [90]. Использование каскадных моделей не имеет ограничения по значениям Re и Rm, что позволяет рассмотреть практически любой интересующий диапазон параметров.

С помощью каскадной модели [73] было показано, что мелкомасштаб ной динамо работает при очень малых значениях Pm [91]. Это факт опровергает гипотезу, выдвинутую в [80]. В настоящий момент подход каскадных моделей является наиболее адекватным для детального опи сания спектральных свойств развитой однородной и изотропной МГД турбулентности.

Управляющими параметрами задачи являются Re, Rm и интенсив ность подкачки кинетической энергии, которая вносится силой, дей ствующей в масштабе. Выбор конкретного вида этой силы влияет на поведение системы. В работе [92] было показано, что долговременная эволюция системы приходит к суперкоррелированному состоянию кине тического и магнитного поля, в котором останавливается спектральный поток. Обойти эту проблему можно, если использовать силу с постоян ной амплитудой и случайно меняющейся фазой. В среднем такая сила обеспечивает приток энергии и нулевой приток перекрестной спирально сти.

На рис. 3.2 показаны спектры кинетической (черные точки) и маг нитной энергии (серые точки) в некоторые последовательные моменты времени при Re = 109 и Rm = 106 (Pm = 103 ). В начальные момен ты времени магнитное поле слабое, и спектр кинетической энергии опи сывается 2/3, что соответствует колмогоровскому закону спектраль ной плотности энергии 5/3 для развитой однородной изотропной тур булентности. Когда Rm достаточно большое, магнитное поле начинает расти (рис. 3.2a). Максимум поля наблюдается в масштабах, где тур 0 2 log10 Eu log10 Eu 4 6 (a) (b) 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 k log10 k 0 2 2 log10 Eu log10 E 4 6 (c) (d) 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 k log10 k Рисунок 3.2: Спектры кинетической (черные точки) и магнитной энергии (серые = 4, точки) в некоторые последовательные моменты времени (от (a) до (d)).

Re = 109 Rm = 106.

и 0 0 2 2 23 23 log10 E log10 E log10 E 4 1 4 1 6 6 8 8 (a) 4 (b)4 (c) 0 2 6 8 0 2 6 8 0 2 6 log10 k log10 k log10 k Рисунок 3.3: Спектры кинетической (черные точки) и магнитной энергии (серые 101, Re = 109 102, 100.

Pm = точки) при и (a) (b) (c) булентность обеспечивает максимальную скорость роста. При Pm минимальный масштаб вихрей, обеспечивающих действие динамо, соот ветствует масштабу омической диффузии.

После экспоненциального роста магнитное поле достигает уровня ки нетической энергии (рис. 3.2b). К этому времени обратного действия магнитного поля на кинетическое поле не наблюдается. Динамический баланс в некотором диапазоне масштабов показан на рис. 3.2с. Пол ное равнораспределения устанавливается, когда магнитная энергия в са мом крупном масштабе достигает уровня кинетической (см. рис. 3.2d).

Неожиданной особенность полученного распределения является измене ние спектрально закона от -2/3 до -1 в диапазоне. Также стоит отметить, что вязкий масштаб ( – масштаб диссипации кинетической энергии) увеличивается. Это может объясняться тем, что часть вкачи ваемой в систему энергии диссипирует через магнитного поле и, как ре зультат, уменьшается спектральный поток энергии к мелким масштабам.

Отклонение от колмогоровских «-5/3» проявляется при других значени ях Pm (см. рис. 3.3). Наклон спектра получается даже еще круче при Pm = 1.

Рисунок 3.4 показывает зависимость порога генерации Rm* от Pm1.

С ростом Pm1 до значений 102 порог генерации тоже растет в согласии 37. 32. Rm 27. 4 5 0 2 3 log10 Pm Pm Rm = 4.

Рисунок 3.4: Dynamo threshold versus for с результатами, полученными в DNS [74–79]. Однако затем, начиная со значений Pm1 102, величина Rm* выходит на постоянное значение.

Для каждого значения Pm показаны «усы», соответствующие стандарт ному отклонению вариаций Rm* из-за стохастического характера мелко масштабного динамо.

3.3 Нелокальные взаимодействия в МГД-турбулент ности Нелокальные взаимодействия играют важную роль в условия внеш него наложенного магнитного поля, которое приводит к образованию волн Альфвена [93–95]. Эта проблема рассматривалась с использовани ем каскадной модели с дополнительными слагаемыми, имитирующими внешнее магнитное поле [69]. Однако позднее было показано, что име ет место и другой важный тип нелокальных взаимодействий, отличный от альфвеновских, который исключает предложенный спектральный за кон 3/2 [96]. Нелокальные взаимодействия должны возникать и в про цессе динамо, где магнитное поле генерируется турбулентным потоком, вместо того, чтобы быть приложенным извне. Например, при больших Pm ожидается, что спектр магнитной энергии имеет максимум в мас штабах, меньших вязкого масштаба [97–99]. Это является прямым ука занием на важность нелокального потока энергии. В присутствии спи ральности рассматриваются два возможных механизма генерации маг нитного поля в звездах и ядрах планет: локальный обратный каскад [100] или нелокальный поток энергии от мелких масштабов к крупным, который предсказывается теорией среднего поля [20]. Доминирующий механизм не ясен. Важность нелокальных взаимодействий показана с применением DNS как для гидродинамической [101], так и для МГД турбулентности [102, 103]. Однако из-за узкого диапазона масштабов, доступных для моделирования, «нелокальность» изученных взаимодей ствий остается спорной.

3.3.1 Построение модели Определим нелинейный член каскадной модели (3.1)-(3.2), описываю щий нелокальные взаимодействия, в виде суммы * * [1 + ++1 + 2 +1 + (,, ) = = (3.12) 3 1 1 ].

Выбор величины 1 достаточно произвольный. В разделе 3.3.1 будет показано, что = (1 + 5)/2 (золотое сечение) является минимальным значением, соответствующим минимальному числу локальных взаимо действий. При больших значениях получаемое распределение энергии по спектру становится более грубым и менее точным. Также было показано, что только при золотом сечении сохраняется квазимомент [55, 57].

При = 1 и 0 получается модель гидродинамической турбу лентности Sabra [55]. Нелокальные взаимодействия описываются слагае мыми при 2. Форма (3.12) включает в себя все возможные взаимо действия трех различных оболочек (триады). Законы сохранения позво ляют найти и :

(1) +1 (1) 1 = + +1 = = + (3.13) 1 = (1)+1 3 = 1.

2 = Коэффициент является свободным параметром, зависящим только от, который выбирается в виде = 1 /(+1). Множитель 1/(+1) используется с целью получить модель Sabra при = 1 и =.

Анализ возможных взаимодействии Модель описывает только триады определенного типа. Например, не содержит слагаемых, включающих + и + + 2. Причина та кого ограничения состоит в том, что пространство масштабов разбито с логарифмическим шагом, который удовлетворяет условию (3.14) 2 + 1.


Для определения допустимых триад рассмотрим три волновых вектора k, k ), удовлетворяющих условию (k1, 2 k + k + k = 0. (3.15) 1 2 Пусть k и k принадлежат оболочке и. Тогда справедливо 1 (3.16) 0 1 |k1 | 0, 0 1 |k2 | 0.

Из (3.15) получаем (3.17) 0 |1 1 | |k3 | 0 ( + ).

NZ NZN LZN n 1 NNNNNL ZZL n ZZZZZZ Z n 1 NNNNL Z ZL L ZN N ZN N ZN N ZN N ZN n 1nn, Рисунок 3.5: Вероятность взаимодействия трех мод, принадлежащих оболочкам.

и Белые квадраты обозначают невзаимодействующие оболочки.

k Теперь используя (3.14) и (3.17), можно показать, что принадлежит оболочке в зависимости следующим образом:

3 1 + 1 = + 1 + = 2 2 + 1 = + 2 + = 1 + 1 + 3 1 + = + 2.

(3.18) Это хорошо проиллюстрировано на рис. 3.5, где на плоскости (, ) светлыми квадратами отмечены недопустимые триады (,, ). Внедиа гональные локальные взаимодействия в модели GOY обозначены "L", нелокальные внедиагональные – обозначены "N" и диагональные взаи модействия, входящие в модель [62], обозначены "Z".

Свободный параметр соответствует интенсивности нелокальных вза имодействий. Определение в общем случае представляется сложной задачей. Оценку нелокальности нелинейного члена можно провести для k случая чистой гидродинамики. Рассмотрим случайные вектора из обо k лочки, и из оболочки. Тогда можно вычислить вероятность того, k что = (k1 +k2 ) будет принадлежать оболочке. Это дает вес взаимо k,k иk действия трех мод относительно остальных взаимодействий.

1 2 Эта вероятность показана рис. 3.5 оттенками серого (белый цвет – отсут ствие взаимодействия). Вдоль направлений и вероятность падает по закону 7/2 для "L" и "N" слагаемых и по закону 5/2 – для "Z" сла 7/ гаемых. Чтобы в (3.12) слагаемые 2 и 3 изменялись как, необходимо взять = 5/2. Тем не менее этот параметр в расчетах оставлен свободным с целью оценить влияние нелокальных взаимодей ствий на результаты.

Перенос энергии Принципиально важным для изучения нелокальных взаимодействия представляется определение спектральных потоков энергии между мас штабами. В общем случае МГД попытка вывода соответствующих соот ношений была выполнена в [104], но завершилась неоднозначным резуль татом. В терминах каскадных моделей удается провести стройное и од нозначное построение. Введем интенсивность переноса (, ) энергии поля оболочки в энергию поля оболочки. Такой обмен энерги ей возможен только как результат взаимодействия с третьей оболочкой.

Это может быть произвольная энергия поля в оболочке, отличной от и. Обозначим ( | | ) как интенсивность переноса энергии в в результате взаимодействия с в качестве посредника, тогда имеет место связь (3.19) (, ) = ( | | ).

=, Из формы нелинейного члена (3.12) можно видеть, что для пары (, ) лишь некоторые могут посредниками. Возможные триады показаны схематически на рис. 3.6. Поэтому (, ) принимает следующий вид (a) (b) (c) 1 = ± 1, (,, ) Рисунок 3.6: Три типа возможных триад : (a) и (b) + 1 = ± 1, = ± 1 1. =, и (c) и Среди этих случаев триады с ( = = ) or исключаются.

for ( |+1 | ) + ( |1 | ), for = ( |+1 | ) + 2 ( | | ), (, ) =.

for = + ( | | ) + 1 ( | | ), + for + ( | | ) + ( | | ), +1 (3.20) Теперь необходимо определить ( | | ) для любых, и. Для этого (3.1) и (3.2) удобно переписать в общей форме (3.21) (, ) +, 2 =, где (, ) – симметричная билинейная форма, имеющая вид (3.22) (, ) = (,, +) + (,, +) (3.23) (, ) = (,, ) + (,, ) (3.24) (, ) = (,, +) + (,, ) (3.25) (, ) = (,, ) + (,, +).

(,, ) определяется по виду возможных триад для 2 и = для 1 и = + * (,, ) = 2.

для + 1 и = + 1 * (3.26) Отметим, что (,, ) связана с (,, ) соотношением (3.27) (,, ) = (,, ).

, Для структуризации обмена энергиями внутри триад (,, ) вве дем (, | ), которая есть перенос энергии от пары (, ) в.

Это естественным образом задается выражением (, | ) = { * (, )}. (3.28) Так как симметричная, имеем (3.29) (, | ) = (, | ).

Закон сохранения энергии для любой взаимодействующей (,, ) выражается в равенстве (3.30) (, | ) + (, | ) + (, | ) = 0.

.

Будем искать ( | | ) в виде линейной комбинации (, | ), (, | ) и (, | ). Исходя из физического смысла ( | | ), можно записать следующие условия симметрии:

(3.31) ( | | ) = ( | | ) (3.32) (, | ) = ( | | ) + ( | | ).

Первое условие (3.31) означает, что перенос из в и из в через одного и того же посредника отличается только знаком. Другим способом это выражается в виде (3.33) (, ) = (, ).

Комбинируя (3.29),(3.30), (3.31) и (3.32), приходим к заключительному выражению для (3.34) ( | | ) = [(, | ) (, | )].

Далее можно показать, что выполняются условия баланса энергии в обо лочке (3.35) () + () () = [ (, ) + (, )] (3.36) () + () = [ (, ) + (, )], где кинетическая и магнитная скорости диссипации в определены как (3.37) () = | |2, () = | | и 1 * * (3.38) () = ( + ).

3.3.2 Потоки энергии Определим поток энергии () как интенсивность перехода энер гии поля в оболочках в энергию поля в оболочках.

Тогда имеем (3.39) () = (||) = (3.40) = (, ).

= Потоки () и () совпадают соответственно с { * (,, )} = и { * (,, )}. Для () и () таких аналогичных = соответствий нет.

Эти потоки удовлетворяют условиям баланса энергии ( ) () + () () + () + () = 0 (3.41) = ( ) () + () + () + () = 0. (3.42) = В статистически стационарном случае справедливо () + () + () + () = ( () + () + ()).

= (3.43) Для изучения важности нелокальных взаимодействий в сравнении с локальными будем рассматривать только локальную часть потоков (3.39), которая определяется через (±2|±1|), (±1|1|) и (±1|±2|). Нелокальная часть потока тогда будет равна полному потоку за вычетом локальной составляющей.

Спектры при свободном вырождении В первую очередь рассматривается случай свободного вырождения из состояния развитой турбулентности (максимум энергии при =1) с маг нитным полем и без него. Результаты показаны на рис. 3.7 для Re = и различных значений b Pm. Спектр кинетической и магнитной энер гии показан черными и красными точками соответственно в различные моменты времени = 1, 2, 10, 100, 200. Точки в самый поздний момент времени = 200 самые темные и маленькие.

Можно видеть, что изменение не меняет наклон спектра в инерци онном интервале ни кинетической, ни магнитной энергии. Это наклон со ответствует колмогоровскому закону 5/3, отмеченному прямыми лини ями на рис. 3.7. Однако существенно влияет на наклон спектра в круп ных масштабах. В таблице 3.3.2 приведены значения наклонов спектра = -2.5 -1.5 -1 -0. Kinetic slope 10 5 3 2 Magnetic slope 12 7 5 4 Таблица 3.1: Наклоны спектров кинетической и магнитной энергии в крупномас.

штабной части диапазона масштабов для различных значений кинетической и магнитной энергии, которые также отмечены соответ ствующими прямыми. Отметим, что разность между наклонами всегда равна 2.

В теории гидродинамической турбулентности предсказывается закон в крупномасштабной части спектра [105]. Это соответствует спектрам, полученным при = 5/2. Это значение получено с помощью оценки вероятностей взаимодействующих триад (рис. 3.5). Если к этому доба вить тот факт, что из нелокальной модели [62] следует то же значение, то можно сделать заключение о достаточной согласованности получен ных результатов. Наклоны спектров для локальных моделей типа GOY и Sabra ( = ) намного круче. Эта принципиальная разница результа тов между локальной и нелокальной моделью отражает важность учета нелокальных взаимодействий.

Вынужденная турбулентность Рассмотрим МГД-турбулентность в квазистационарном состоянии, под держиваемом крупномасштабной силой, вносящей кинетическую энер гию. На рис. 3.8 показаны кинетические и магнитные для трех значений Pm. На каждой панели кривые приведены для различных значений.

В кинематическом режиме (верхний ряд) пренебрегается силой Лорен ца, описываемой слагаемым (,, ). Тогда магнитное поле растет = = 2.5 = 1.5 = 1 = 0. -2 -2 -2 -2 - -4 -4 -4 -4 - -6 -6 -6 -6 - различных значений -8 -8 -8 -8 - - 10 - 10 - 10 - 10 - Pm = и 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -, -2 -2 -2 -2 - -4 -4 -4 -4 - -6 -6 -6 -6 - -8 -8 -8 -8 - - 10 - 10 - 10 - 10 - = 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 - -2 -2 -2 -2 - -4 -4 -4 -4 - -6 -6 -6 -6 - указанных по бокам.

-8 -8 -8 -8 - = - 10 - 10 - 10 - 10 - 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 - -2 -2 -2 -2 - -4 -4 -4 -4 - -6 -6 -6 -6 - -8 -8 -8 -8 - - 10 - 10 - 10 - 10 - = 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 -2 -4 - Рисунок 3.7: Спектры при свободном вырождении турбулентности для log10 log10 log10 log10 log Re = и экспоненциально во всех масштабах. Поэтому спектры отнормированы на максимальное значение (). В динамическом режиме генерации (нижний ряд) сила Лоренца приводит к статистически стационарным спектрам кинетической и магнитной энергии.

В динамическом и кинематическом режиме при Pm 1 спектры практически не зависят от. Незначительное влияние нелокальных эф фектов на спектр магнитной энергии наблюдается при Pm = 103. Прин ципиальное значение нелокальных эффектов проявляется при Pm 1, особенно для магнитного поля в масштабах и 1. В ки нематическом режиме максимум магнитной энергии находится в значи 3/ тельно меньших масштабах, когда 1. Чтобы объяснить это, отметим, что масштаб, в котором генерация наиболее эффективна, со ответствует масштабу с наибольшим градиентом поля скорости. В инер 2/ ционном интервале градиент поля скорости меняется как, и будет иметь максимум в масштабе. Поэтому нелокальные вза имодействия, обеспечивающие каскад магнитного поля к мелким мас штабам, будут вовлекать. Нелокальное слагаемое, включающее и генерирующее магнитную энергию () при, будет включать также ±1. Соответствующее нелокальное слагаемое в (3.2) имеет вид 1 1 ) и меняется как. Поэто * * ( 2 +1 + 1 3 1+ му при + 1 0 нелокальное слагаемое будет давать максимальный эффект на мелких масштабах.


МГД-потоки энергии Рассмотрим режим насыщенного динамо при = 5/2, Re = 108 и нескольких значений Pm = 103, 1 и 104. Соответствующие спектры ки нетической и магнитной энергии показаны в верхнем ряду рис. 3.9. Все Pm = 103 Pm = Pm = 0 0 Kinematic 2 2 4 4 log10 E log10 E log10 E 2.5 2.5 2. 1.5 1.5 1. 6 6 1 1 8 8 0.5 0.5 0. 10 10 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 k log10 k log10 k 0 0 Dynamic 2 2 4 4 log10 E log10 E log10 E 2.5 2.5 2. 1.5 1.5 1. 6 6 1 1 8 8 0.5 0.5 0. 10 10 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 k log10 k log10 k Рисунок 3.8: Спектры кинетической (черные кривые) и магнитной энергии для трех Pm = 103 ;

1;

105 ) Pm, значений (слева направо и нескольких значений которые указаны на рисунке. Верхний ряд соответствует кинетическому режиму генерации, а нижний – динамическому.

спектры имеют колмогоровкий закон изменения энергии в инерционном интервале 5/3. Для Pm = 103 можно четко определить диссипатив ный масштаб магнитной энергии, который много меньше, чем вязкий масштаб. Однако в случае Pm = 104 различие диссипативных масшта бов провести затруднительно.

Полная и нелокальная часть потоков показана в среднем ряду рис. 3.9.

Нелокальная часть () получается всегда меньше, чем (), что указывает на преобладание локального механизма передачи энергии. Важ ность нелокальной части () по отношению к локальной зависит от Pm.

На рис. 3.10 отношение ()/ () показано для трех зна чений Pm. Для Pm = 103 это отношение порядка 20%. Для Pm = 1 и масштабов меньше 106 это отношение достигает 50%. Наконец, для Pm = 104 имеется смена знака при и отношение становится -100% в Pm = 103 Pm = Pm = 0 0 Spectra 2 2 log10 E log10 E log10 E 4 4 6 6 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 log10 k log10 k log10 k 0.7 0.7 0. 0.6 0. 0. Fluxes log10 F, log10 D log10 F, log10 D log10 F, log10 D 0.5 0. 0. 0.4 0. 0. 0.3 0. 0. 0.2 0. 0. 0.1 0. 0. 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 k log10 k log10 k Non-local fluxes 0. 0.12 0. 0.08 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0. 0.02 0. 0. 0. 0 2 4 6 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 log10 log = 5/2.

Pm Рисунок 3.9: Спектры, полные и нелокальные потоки энергии для и Кинетический (магнитный) спектр соответствует черным (красным) точкам. Потоки () и () представлены синими и зелеными точками. Красные точки соответ ()+ (), а черные – ()+ ()+ ()+ (). Синие, крас ствуют =0 (), =0 () и =0 ( () + ()), ные и черные линии отображают соответственно.

мелких масштабах. Это являет наглядной демонстрацией нелокальных взаимодействии.

На рисунках 3.11, 3.12 и 3.13 показан парный обмен энергиями при Pm = 103, 1 и 105. На каждом рисунке значения =, 5/2, 3/2, и 1/2 меняются по колонкам слева направо. А ряды панелей, начи ная со второго по четвертый, соответствуют обмену (, ), (, ), (, ) и (, ). Обмен показан в зависимости от log10 для трех значений оболочки, которые обозначены пунктиком на верхнем ря ду и точками на нижеследующих рядах. Все (, ) отнормированы 0. L NL 0. 2 4 6 log k ()/ () Pm Рисунок 3.10: Отношение для = (точки), (кресты) и (треугольники).

на максимальное абсолютное значение, приведенное на каждой панели отдельно. Показаны средние значения обменов со стандартными откло нениями. Это дает оценку надежности результатов. Локальный обмен доминирует, какие бы значения Pm и не рассматривались. Однако эти результаты дают основу для более детального анализа структуры нело кальных взаимодействий.

Перегруппировка результатов, показанная на рис. 3.14, позволяет вы делить типичные формы нелокальных обменов. При Pm = 103 оболоч ка, обозначенная черной точкой, находится в инерционном интерва ле кинетической энергии и в диссипативном масштабе магнитного поля.

Можно видеть, что | | | |, что значит доминирование прямого локального каскада кинетической энергии над прочими видами взаимо действия. Отметим, что обмен, в основном локален и отрицателен.

Это значит, что энергия передается локально от к. При стрем лении к нулю, кривая протягивается к все более крупным мас штабам. Хотя обмен и слабый (не более 20%), он достигает масштабов более крупных на три порядка и является очевидным доказательством нелокального обратного переноса мелкомасштабной кинетической энер = = 2.5 = 1.5 = 1 = 0. 0 0 0 0 104 ).

2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 Spectra 10 10 10 10 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.059 0.054 0.059 0.031 0. 0.5 0.086 0.5 0.074 0.5 0.049 0.5 0.035 0.5 0. 0.000024 0.017 0.000032 0.000018 2.8 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 Пояснения смотри в тексте.

0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.14 0.16 0.17 0.19 0. 0.5 0.00015 0.5 0.00013 0.5 0.00016 0.5 0.00064 0.5 0. 29 15 14 12 1.3 10 3.4 10 4.7 10 3.6 10 1.3 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.18 0.17 0.15 0.14 0. 0.5 0.000084 0.5 0.00014 0.5 0.00026 0.5 0.00099 0.5 0. Рисунок 3.11: Спектры и парный обмен энергиями для 30 15 13 11 1.1 10 6.6 10 2. 10 2.1 10 4. (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.025 0.026 0.031 0.014 0. 0.5 0.00007 0.5 0.00006 0.5 0.000036 0.5 0.00015 0.5 0. 31 15 14 12 9.6 10 1.6 10 5.8 10 2.6 10 4.3 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 log10 log10 log10 log Pm = 103 (Re = 107, Rm = = = 2.5 = 1.5 = 1 = 0. 0 0 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 Spectra 10 10 10 10 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.11 0.066 0.074 0.041 0. 0.5 0.044 0.5 0.065 0.5 0.048 0.5 0.04 0.5 0. 0.00034 0.00023 0.00011 0.000042 0. Пояснения смотри в тексте.

(, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.18 0.17 0.2 0.16 0. 0.5 0.19 0.5 0.17 0.5 0.19 0.5 0.19 0.5 0. 0.00026 0.00018 0.00011 0.000077 0. (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.2 0.16 0.17 0.14 0. 0.5 0.17 0.5 0.21 0.5 0.19 0.5 0.18 0.5 0. Рисунок 3.12: Спектры и парный обмен энергиями для 0.00032 0.00021 0.00013 0.000079 0. (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.022 0.021 0.019 0.025 0. 0.5 0.023 0.5 0.021 0.5 0.023 0.5 0.016 0.5 0. 0.00017 0.00011 0.000054 0.000021 0. (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 log10 log10 log10 log Pm = 1(Re = Rm = 107 ).

= = 2.5 = 1.5 = 1 = 0. 0 0 0 0 2 2 2 2 1011 ).

4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 Spectra 10 10 10 10 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.093 0.096 0.062 0.072 0. 0.5 0.000029 0.5 0.000031 0.5 0.000031 0.5 0.000032 0.5 0. 20 16 11 10 2.2 10 5.7 10 4.7 10 2. 10 3. (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 Пояснения смотри в тексте.

0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.14 0.2 0.16 0.16 0. 0.5 0.0025 0.5 0.0037 0.5 0.0065 0.5 0.0054 0.5 0. 14 11 6 0. 4.3 10 6.9 10 3.9 10 7.6 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.14 0.15 0.17 0.14 0. 0.5 0.00068 0.5 0.0029 0.5 0.0074 0.5 0.0086 0.5 0. 14 Рисунок 3.13: Спектры и парный обмен энергиями для 0.000011 0.000063 0. 4.8 10 1.6 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0. 0 0 0 0 0.021 0.017 0.016 0.052 0. 0.5 0.00046 0.5 0.00043 0.5 0.0014 0.5 0.0013 0.5 0. 14 11 6 0. 4.1 10 1.5 10 5.1 10 8.5 (, ) 1 1 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 log10 log10 log10 log Pm = 105 (Re = 106, Rm = Pm = 103 Pm = Pm = 1 1 () 0.5 0.5 0. 0 0 0.086 0.044 0. 0.074 0.065 0. 0.5 0.5 0. 0.049 0.048 0. 0.035 0.04 0. 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 () 0.5 0.5 0. 0 0 0.00015 0.19 0. 0.00013 0.17 0. 0.5 0.5 0. 0.00016 0.19 0. 0.00064 0.19 0. 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 () 0.5 0.5 0. 0 0 0.000084 0.17 0. 0.00014 0.21 0. 0.5 0.5 0. 0.00026 0.19 0. 0.00099 0.18 0. 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 1 1 () 0.5 0.5 0. 0 0 0.00007 0.023 0. 0.00006 0.021 0. 0.5 0.5 0. 0.000036 0.023 0. 0.00015 0.016 0. 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 log10 log10 log (, );

(, );

(, );

(, ) для, Рисунок 3.14: Парный обмен энергиями = (зеленый), 5/2 (пурпурный), 3/2 (голубой) обозначенной четной точкой.

и (красный).

гии в крупномасштабную энергию магнитного поля. Это можно четко интерпретировать, как -эффект в контексте теории среднего поля. Пе ренос, хотя и оказывает самое слабое воздействие, но он отражает существование нелокального прямого каскада магнитной энергии.

Для Pm = 1 оболочка находится в пределах обоих инерционных интервалов кинетического и магнитного поля. Можно видеть, что пере носы энергии | | и | | преобладают над остальными и являются в основном локальными. В дополнение отметим, что более детальное рас смотрение показывает перенос от к при через один порядок масштабов. Этот наблюдение согласуется с результатами пря мого численного моделирования МГД-турбулентности [106].

Для Pm = 105 масштаб оболочки, будучи меньше вязкого масшта ба, принадлежит инерционному масштабу магнитной энергии. Можно видеть, что кинетическая энергии в основном переносится из магнитной энергии | | | |. Этот перенос преимущественно локальный.

Кривая показывает ясное проявление нелокального переноса. Это подкрепляет идею о том, что кинетическая энергия в масштабах мак симального сдвига скорости является источником для магнитного поля в мелких масштабах. Однако вместо накопления там, эта энергия ло кально переносится обратно в кинетическое поле (см. на рис. 3.14).

Эта энергия тут же диссипирует вследствие вязкости. Такой характер взаимодействия объясняет, почему спектр магнитной энергии не имеет максимум в мелких масштабах в динамическом режиме (см. рис. 3.8).

Это не совпадает с результатами, полученными в [97–99], где магнитная энергия всегда имеет максимум в мелких масштабах при больших Pm.

Это различие можно отнести к тому, что каскадная модель подразуме вает изотропность полей на всех масштабах в то время, как результа ты [98, 99] основываются на сильной анизотропии в мелких масштабах.

В заключение отметим, что при Pm = 1 и Pm = 105 перенос мо жет рассматривать как обратный нелокальный каскад, хотя он и много слабее, чем.

Рисунки 3.15, 3.16 и 3.17 качественно иллюстрируют полученные ре зультаты.

Pm Рисунок 3.15: Иллюстрация переноса энергии при для локального (ввер ху) и нелокального (внизу) случая. Толщина стрелок отражает относительную силу переноса.

Pm = 1.

Рисунок 3.16: Аналогично рис. 3.15, но для Pm 1.

Рисунок 3.17: Аналогично рис. 3.15, но для 3.4 Сценарий насыщения турбулентного динамо Целью данного раздела является изучение транзитного режима тур булентного динамо, а именно процесса насыщения генерации. Этот ре жим возникает после окончания экспоненциального кинематического ро ста магнитного моля, когда уровень магнитной энергии начинает прибли жаться к уровню кинетической энергии. При этом возникает обратное действие магнитного поля на поле скорости, что и вызывает подавление механизмов генерации и остановку роста магнитного поля. Этот нестаци онарный режим может наблюдаться только при наличии выраженного инерционного интервала поля скорости. По этой причине он ранее никем не исследовался. Для исследования поставленной задачи будет использо вать нелокальную каскадную модель, сформулированную в разделе 3.3.

При малых значениях Pm наиболее быстрорастущая мода магнитного поля лежит в инерционном интервале кинетического поля. Это можно получить из феноменологического рассмотрения уравнения индукции, упрощенно записанного при заданном волновом числе (3.44) () = ()() 2 (), которое дает выражение для скорости роста (3.45) () = () 2.

Предполагая Колмогоровский закон для инерционного интервала () = 1/3 1/3, получим () = 1/3 2/3 2. В линейном режиме магнит ное поле растет экспоненциально по всему спектру с = max ().

Максимум (3.45) возникает при = 33/4 1/4 3/4, что соответствует = 2/(3 3)1/2 1/2.

Результаты численного решения системы (3.1), (3.2) представлены на рисунке 3.18. Во всех расчетах использовалось Re = 107 и Rm = 104, за исключением рис. 3.18b. Спектры кинетической и магнитной энергии по казаны в различные моменты времени (рис. 3.18а). Магнитная энергия имеет максимум на масштабе, там, где это предсказывается фено менологически. Скорость роста, показанная на рис. 3.18b, согласуется с ожидаемым и остается постоянной в течение кинематического ре жима (см. рис. 3.18d при 2).

Насыщение генерации наступает после окончания кинематического режима. Это соответствует моменту времени, когда магнитная энергия в масштабе становится сравнимой с кинетической, т.е. ( ) ( ). Затем, благодаря силе Лоренца, магнитная энергия насыщается на этом масштабе и скорость роста становится равной нулю. В это время скорость роста магнитного поля в более крупных масштабах (меньших волновых числах, чем /) становится наибольшей. Тогда поле при 1 100. (a) (b) 50. 10. u k 2, b k 10 5. 1. 0. 10 g y g 10 6 5 4 0.001 0.01 0. 104 1 100 10 10 k 1 (c) 0. 0. (d) 0. u k 2, b k bn t 0. 6 10 104 105 1 10 100 1000 2 3 4 5 6 t k 50. (e) (f ) 20 10. 5. n t k 5   ©   1. 2 0. 0. 2 3 4 5 6 7 1 10 100 t k Pm 1. На (a) и (c) показаны |(, )| Рисунок 3.18: Генерация магнитного поля при |(, )| (черная кривая) и (красная кривая) в различные моменты времени (смеща |(, )| ясь со временем снизу вверх). На (c) показано изменение со временем для.

различных Более толстые и темные линии соответствуют большим масштабам ). Скорость роста магнитной энергии (, ) построена относительно (меньшим на на (f ). На (b) скорость роста в кинематическом режиме показана (e) и относительно = 107, 105, 103 ).

относительно для различных (Re / продолжает расти с новой скоростью роста ( /) до тех пор, пока ( /) достигнет уровня насыщения ( /) ( /), и так далее максимальная скорость роста будет меняться в соответствии с законом (3.45). Этот механизм насыщения будет работать до тех пор, пока магнитное поле при самом малом волновом числе не насытится и равнораспределение кинетической и магнитной энергии не наступит во всех масштабах. Такой сценарий качественно проиллюстрирован пересе чением мод на рис. 3.18d, где показана эволюция магнитного поля при различных. На рис. 3.18e показано, что не смотря на то, что со време нем скорость роста падает, она остается практически постоянной слева от масштаба насыщения.

Интересная особенность процесса насыщения отражена на рис. 3.18c.

Подкачиваемая кинетическая энергия на пути от крупного масшта ба к вязкому масштабу частично рассеивается через магнитное поле на магнитном диффузионном масштабе. Как прямое следствие это го, наблюдается сдвиг вязкого масштаба к большим значениям. На рис. 3.18f показана характерная эволюция скорости роста (, )/(, ) в различных масштабах. Для построения феноменологического описа ния предлагается механизм, схематически проиллюстрированный на рис.

3.19.

В момент времени магнитное поле при волновом числе достигает насыщения на уровне (, ) = (). Пусть поле в левой части спектра описывается законом, что дает ( +, ) = (, )(1 + /). Тогда для + магнитное поле на масштабе + растет экспонен циально по закону ( +, ) = ( +, ) exp(( + ) · ( )). В момент времени = + оно достигнет насыщения на уровне ( + b(k+dk, t+dt) b(k, t) ~ k -1/ ~ka b(k+dk, t) k+dk k Рисунок 3.19: Помасштабный схема насыщения.

, + ) = ( + ). Принимая для Колмогоровской турбулентности ( + ) = ()(1 + /)1/3 и предполагая 2 + 2 1, имеем в результате () (3.46) / =.

( + 1/3) Из (3.45) при в приближении, что () (/ )2/3, полу чаем (3.47) 5/3.

= 2/ ( + 1/3) Определяя 0 как момент начала процесса насыщения( = ), нахо дим, что текущий масштаб, на котором наступает насыщение при удовлетворяет )3/ ( () (3.48) ( 0 ) = 1+.

(1 + 3) Тогда текущая скорость роста определяется выражением 1 () = + (3.49) ( 0 ).

(1 + 3) Эта зависимость, полученная в нелинейном режиме генерации, была со поставлена с результатами численного моделирования с использованием (a) (б) 0. 1. 0. 0. 0. 0. t t 0. 0. 0. 0.1 0. 0. 0. 0. 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6. 1 2 3 4 5 t t Рисунок 3.20: Обратная скорость роста магнитного поля в зависимости от вре Pm = 103 Pm = 104.

= 1) мени в наибольшем масштабе ( при (a) и (б) каскадной модели. Для расчета использовалось 2, которое было по лучено в работе [107]. На рисунке 3.20a (2)1 построена относительно времени. Подставляя все количественные параметры задачи в (3.49), по лучается хорошее соответствие в интервале 9 11 для Pm = и в интервале 4 5.5 для Pm = 104. Насыщение при Pm происходит по аналогичному сценарию [108].

3.5 МГД-турбулентность в условия высокой перекрест ной спиральности Представление о развитой турбулентности как о случайном процес се позволяет рассчитывать на то, что при отсутствии особых причин развитая МГД-турбулентность должна характеризоваться низким уров нем перекрестной спиральности. Именно такая ситуация обычно и рас сматривается. Интерес к перекрестной спиральности возник после то го, как высококоррелированные пульсации скорости и магнитного поля были обнаружены в солнечном ветре [109]. Анализ эволюции энергии и спиральности в свободно вырождающейся МГД-турбулентности показал, что спиральность затухает медленнее энергии и, следовательно, степень коррелированности полей U и B, определяемая коэффициентом корре ляции = /, при свободном вырождении со временем может рас ти [110].

Сама по себе МГД-турбулентность дает возможность различных сце нариев развития. Спецификой гидродинамики проводящей жидкости яв ляется возможность возникновения волн Альфвена, предположение о ре шающей роли которых в турбулентном каскаде приводит к спектрально му закону Ирошникова-Крейчнана () () 3/2 [93,95]. В [111] в расчетах на сетке 5123 было показано, что в некоррелированной тур булентности в отсутствие внешнего поля спектр Крейчнана-Ирошникова не возникает, а в инерционном интервале реализуется турбулентность со спектром, близким к () () 5/3. В [112] сетка была расши рена до 10243 и рассмотрена как турбулентность с наложенным внеш ним полем, так и без него. Для МГД турбулентности без внешнего по ля подтвержден закон "5/3", а во внешнем поле выявлена существен ная анизотропия, при которой поперечные пульсации следуют закону Ирошникова-Крейчнана.

Вопрос о влиянии перекрестной спиральности на вынужденную МГД турбулентность рассматривался в [113] только в контексте альфвеновско го сценария (т.е. турбулентности, которая в отсутствие источника пере крестной спиральности дает спектр "3/2"). На основе квазинормаль ного замыкания было показано, что система стремится к стационарному состоянию, в котором коэффициент корреляции оказывается существен но выше, чем отношение мощности источников спиральности и энергии.

Спектр энергии при этом становится круче. Чтобы ответить на выше поставленные вопросы, необходимо исследовать спектральные свойства развитой изотропной (не альфвеновской) МГД-турбулентности, стацио нарно возбуждаемой внешней силой, которая наряду с энергией вносит в поток и перекрестную спиральность [114].



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.