авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД На правах рукописи Степанов Родион ...»

-- [ Страница 3 ] --

3.5.1 Феноменологические представления Рассмотрим МГД-турбулентность с магнитным числом Прандтля по рядка единицы. На интегральном масштабе действуют внешние силы, удельная мощность которых равна. Эти же силы вносят в турбулент ный поток определенную удельную перекрестную спиральность и не вносят магнитной спиральности. Считаем, что в инерционном интервале выполняется равнораспределение кинетической (2 ) и магнитной энер гии 2. Обозначим среднюю энергию пульсаций заданного масштаба как. Тогда предположение о равнораспределении можно записать в виде: 2 2. В пределах инерционного интервала поток энергии на любом масштабе постоянен и равен скорости диссипации энергии (удельной мощности внешних сил) (3.50) =, где - характерное время обмена, которое в теории однородной тур булентности принимается равным времени оборота вихря /.

В случае некоррелированных пульсаций скорости и магнитного поля = / = / = 0, откуда следует, что перекрестная спираль ность = 0. Эту оценку можно принять для МГД-турбулентности, в которой доминируют нелинейные взаимодействия, а не волны Альфвена.

Основная идея дальнейших рассуждений состоит в том, что вносимая в поток перекрестная спиральность замедляет обмен энергией между движениями различного масштаба (увеличивает время обмена) (3.51) = =, а коэффициент замедления связан с уровнем корреляции пульсаций скорости и магнитного поля на данном масштабе. Гипотеза (3.51) при водит к оценке энергии пульсаций на масштабе вида (3.52) 2 ( )2/3.

При этом коэффициент замедления фактически определяет отклонение от закона Колмогорова "5/3" (3.53), а формула (3.52) при = 1 совпадает с законом Колмогорова - Обухова 2 ()2/3.

Замедление процессов переноса должно приводить к росту энергии турбулентного движения (в сравнении с некоррелированной турбулент ностью при той же мощности источника). Применение оценки (3.52) к энергонесущему масштабу =, для которого, дает (3.54) ( )2/3.

Простейшее предположение о виде состоит в том, что на масштабах действия внешних сил блокировка каскада связана с ростом величины (1 /), являющейся мерой некоррелированности возмущений, вноси мых внешними силами. Учитывая квадратичность слагаемых, описы вающих процессы спектрального переноса, можно предположить (1 /)2, что дает оценку средней энергии стационарно возбуждаемой турбулентности ()2/ (3.55).

(1 /)4/ Таким образом, перекрестная спиральность препятствует каскадному пе реносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. Это накоп ление происходит до тех пор, пока интенсификация вихрей не компенси рует убывающую эффективность нелинейных взаимодействий.

Полагая, что внешние силы вносят в турбулентность перекрестную спиральность, удельный поток которой равен, для стационарного со стояния следует принять и гипотезу о постоянстве потока перекрестной спиральности по спектру, которая дает (3.56) =, () () () причем время обмена перекрестной спиральностью =, вообще говоря, может не совпадать со временем обмена энергией.

Пусть есть коэффициент корреляции пульсаций скорости и маг нитного поля на масштабе (3.57) =.

2 где угловые скобки означают осреднение по времени, а есть пере крестная спиральность на данном масштабе. Таким образом, и подстановка в (3.56) дает () (3.58) 3.

Сравнивая это выражение с (3.52), можно связать коэффициент корреля ции с характеристиками скорости обмена на соответствующем масштабе () (3.59).

Если замедление обмена спиральностью и обмена энергией зависят от () масштаба одинаковым образом, т.е., то корреляция скорости и магнитного поля не должна зависеть от масштаба (и наоборот - неза висимость корреляции от масштаба означает одинаковую зависимость () коэффициентов и от масштаба).

В сильно коррелированной турбулентности соотношение времен об мена и оборота вихря, которое должно быть очень большим на энерго несущем масштабе, будет уменьшаться с уменьшением масштаба, при ближаясь к единице на диссипативном масштабе. Если в инерционном интервале коэффициент замедления зависит от масштаба по степенному закону ( ) (3.60), то коррекция спектрального распределения энергии пульсаций однознач но связана с показателем (3.61) 2 2/3 2/3(1+).

3.5.2 Каскадная модель МГД-турбулентности с новым опре делением спиральности Модель [73] унаследовала основной недостаток каскадных моделей, связанный со способом описания спиральности (в этих моделях спираль ность разного знака приписывается оболочкам с четными или нечетными номерам ). В данной работе использована новая модель, которая полу чена обобщением на случай МГД-модели, предложенной в работе [63] для спиральной турбулентности. Уравнения каскадной модели имеют стан дартную структуру (3.1), (3.2), но квадратичная форма имеет вид * * (, ) = 2 (+1 +1 + +1 +1 ) * 1 + (2 1 + +1 +1 +1 +1 ) * * (3.62) +1 1 + 1 1 2 (+1 + +1 ) * +(2 +1 + 1 1 1 1 ), где звезда означает сопряжение, а верхние индексы, - действительную и мнимую части. В отсутствие диссипации сохраняются полная энергия (| |2 + | |2 )/2, перекрестная спиральность = ( + * = )/2 и магнитная спиральность = (( )2 )/2. Отли * 1 * чительной особенностью модели является возможность появления спи ральности любого знака в любом интервале волновых чисел. Силы действует только в двух старших ярусах (наибольших масштабах), обес печивая подкачку кинетической энергии, перекрестной спиральности и нулевую подкачку магнитной спиральности.

3.5.3 Численные результаты Рассмотрим МГД-турбулентность, в которой интегральная перекрест ная спиральность существенно отличаются от 0. Пусть в системе действу ет вынуждающая сила, вносящая в поток, помимо энергии, перекрест ную спиральность. Во всех расчетах число Рейнольдса и магнитное число Рейнольдса Re = Rm = 106, ширина спектральных оболочек = 1.618, = 1. Время измеряется в безразмерных единицах, равных времени обо рота вихря на максимальном масштабе.

На рис. 3.21б показаны значения средней по времени общей энергии системы, полученные при различных значениях / и хорошо согласу ющиеся с оценкой (3.55), которой на рисунке соответствует сплошная линия. На рис. 3.21а показано, как изменяется общая энергия системы ( + )/2 со временем при различном уровне подкачки пе 2 = рекрестной спиральности. При = 0 время выхода на квазистационар составляет несколько оборотов вихря, а при = 0.6 – превышает сто безразмерных единиц времени. При этом меняется как среднее значение энергии, так и характер ее колебаний.

Накопление энергии сопровождается и накоплением перекрестной спи ральности. На рис. 3.21в показаны средние значения интегрального ко эффициента корреляции = / как функции уровня вно симой в поток перекрестной спиральности. При низком уровне вносимой перекрестной спиральности (/ 1) турбулентный поток накаплива ет ее – интегральный коэффициент корреляции существенно превосходит отношение вносимой спиральности к вносимой энергии. Таким образом, эта тенденция свойственна не только альфвеновской турбулентности [66], но и изотропной ("колмогоровской") МГД-турбулентности. При больших значениях / коэффициент стремится к единице.

Рисунок 3.22а показывает, как меняются спектры энергии с ростом уровня вносимой в поток перекрестной спиральности. Приведены значе 2/ ния энергии каждого масштаба, скомпенсированные на величину. В таком представлении спектру 5/3 соответствует горизонтальная линия.

Видно, что при = 0, в спектре есть участок с колмогоровским спек тром, а с ростом растет как энергия каждого масштаба, так и наклон спектра.

Интересно проследить непосредственно за изменением времен обмена.

На рис. 3.22б показано время оборота вихря и времена обмена энергией и спиральностью, вычисленные для каждой оболочки для случая высоко го уровня перекрестной спиральности (/ = 0.6). Показательно, что на интегральном масштабе время обмена превышает время оборота вихря почти на два порядка. Эта разница убывает с ростом волнового числа (a) (б) 0. 0. E E 0 200 400 0.0 0.5 1. t (в) E 0.0 0.5 1. = 0 = 0. Рисунок 3.21: (а) Эволюция энергии: при – толстая линия, – серая = 0. линия, – тонкая линия. (б) Зависимость средней энергии стационарно воз /: точки буждаемой МГД-турбулентности от вносимой перекрестной спиральности - результаты счета, линия - результаты оценки (3.57). (в) Зависимость среднего уров = / ня корреляции от уровня вносимой перекрестной спиральности /.

(а) (б) t 10 E = t =0. H =0. n t n E 0. 0. 1 10 100 1000 1 10 100 1000 k k n n Рисунок 3.22: а) Скомпенсированные спектры энергии. (б) Времена оборота вихря и / = 0.6.

времена обмена для случая Вертикальная линия соответствует границе инерционного интервала.

и сходит на нет в диссипативном интервале. В инерционном интерва ле поток энергии постоянен, и время обмена однозначно определяется энергией пульсаций данного масштаба, т.е. 2. Это означает, что степенной закон для совпадает с наклоном для энергии пульса ций. В случае, представленном на рис. 3.22б,, а распределе 0.89±0. ние энергии в инерционном интервале следует закону 0.88±0. (прямая на рис. 3.22а). Неожиданный результат состоит в том, что сте пенной закон для времени обмена сохраняется и в диссипативном ин тервале (рис. 3.22б). Время обмена спиральностью ведет себя подобно времени обмена энергией, но всегда несколько меньше.

Отметим, что для того, чтобы исследовать развитую турбулентность при высоком уровне перекрестной спиральности необходимы длительные временные реализации. Это обусловлено долгим выходом турбулентно сти на стационарный режим и наличием колебаний с большим периодом.

Для того, чтобы набрать статистику, необходимы временные реализации не менее тысячи единиц времени. Провести расчет на таких временах при помощи прямого численного счета невозможно.

3.6 Каскад гидродинамической спиральности Интерес к спиральной турбулентности впервые возник именно в кон тексте проблемы генерации магнитных полей потоками проводящей жид кости. Спиральность (точнее, плотность спиральности) определяется как интеграл от скалярного произведения скорости и завихренности и явля ется интегралом движения в трехмерной гидродинамике несжимаемой жидкости. Концепция спиральной турбулентности широко используется в астрофизической и, в меньшей степени, в геофизической гидродина мике, хотя вопрос о влиянии спиральности на динамику турбулентного потока не нашел однозначного ответа до сих пор.

Спиральность, определяемая выражением (3.7), является интегра лом движения с произвольным знаком, и для спектральной плотности спиральности () можно указать только ограничение сверху (3.63) |()| (), где ()- спектральная плотность энергии пульсаций скорости, - вол новое число. Именно поэтому второй интеграл движения не приводит к столь жестким последствиям, как в двухмерной турбулентности, в ко торой две сохраняемые положительно определенные величины (энергия и энстрофия) могут переноситься только к противоположным концам спектра. Условие (3.63) оставляет возможность двух сценариев поведе ния спиральности и ее влияния на динамику трехмерного турбулентного потока [115]. Во-первых, можно предположить, что реализуется прямой каскад спиральности к малым масштабам, сопровождающийся обрат ным каскадом энергии. До настоящего времени этот сценарий не полу чил какого-либо подтверждения. Во-вторых, не исключен одновремен ный перенос энергии и спиральности к малым масштабам, при котором спиральность переносится подобно пассивной примеси. Последний сцена рий подтверждают проведенные численные эксперименты [116], а также некоторые экспериментальные исследования [117].

Согласно колмогоровской концепции развитой турбулентности, стати стические свойства однородной изотропной, стационарно возбуждаемой турбулентности в инерционном интервале полностью определяются ско ростью диссипации энергии, которая равна удельной мощности внеш них сил. В спиральной турбулентности появляется второй важный па раметр – скорость диссипации спиральности, которая равна притоку спиральности от внешних источников за единицу времени на единицу массы жидкости. Однако вопрос о влиянии спиральности на каскад еще далеко не ясен. В [118] было высказано предположение, что диссипация спиральности происходит на масштабе, большем масштаба диссипации энергии, то есть инерционный интервал переноса спиральности короче, чем инерционный интервал переноса энергии. В [119] наоборот утвержда ется, что постоянный поток спиральности устанавливается вдоль всего инерционного интервала, а спектральная плотность спиральности следу ет при этом закону () 5/3. Последнее означает, что спиральность переносится по спектру как пассивная примесь. В [120] предлагается из вестное отклонение от колмогоровского закона «-5/3» отнести не на счет перемежаемости, а на счет влияния спиральности, что приводит к за кону () 0.63 0.03 1.7. В [121] высказано предположение о том, что процессы переноса спиральности могут стать существенными как раз на малых масштабах и приводить к появлению в спектре энергии ин тервала () 4/3, примыкающего к диссипативному интервалу. Ре зультаты прямого численного моделирования спиральной турбулентно сти приведены в [119,121], однако диапазон достигнутых значений числа Рейнольдса не позволил получить инерционный интервал, достаточный для уверенной интерпретации результатов.

Каскадные модели могут быть использованы, чтобы прояснить си туацию. Однако модели типа GOY имеют принципиальный недостаток, связанный с тем, что спиральность в них строго пропорциональна энер гии оболочки, а ее знак определяется четностью номера оболочки. Та ким образом, получается нефизическая ситуация, когда наличие энергии пульсаций в некотором диапазоне длин волн обязательно подразумевает наличие спиральности предписанного знака. Появление заметной сред ней спиральности приводит к тому, что спектр энергии принимает харак терный пилообразный вид, и рост спиральности приводит к блокировке механизма каскадного переноса. Модель GOY использовалась для моде лирования спиральной турбулентности (например, в [118]), но, в отличие от метода DNS [119], дала значительно более однородный спектральный поток спиральности, чем энергии. Попытка построить модель для опи сания каскадных процессов в спиральной турбулентности предпринята в [122], где для каждой оболочки была введена вторая переменная, опи сывающая энергию пульсаций с противоположной по знаку спирально сти. Как следствие это привело к неоднозначности построенной модели.

Эта неоднозначность, в конечном счете, не позволила получить убеди тельный результат.

В разделе 3.5.2 была рассмотрена модель, лишенная вышеуказанных недостатков. В частном случае 0 она может быть использована для исследования каскада гидродинамической спиральности. Внешние силы = exp( ) поддерживают приток энергии и спиральности на интегральном масштабе турбулентности. Силы действуют только в наи больших масштабах (оболочки = 0 и 1) и обеспечивают фиксирован ный приток в систему энергии и спиральности ( и, соответственно).

Амплитуды сил равны 0 = 1 sin(1 +1 )+ cos(1 1 ) (3.64) 1 = 0 sin(0 +0 )+ cos(0 0 ), = 0 cos(1 1 ) sin(0 + 0 ) 1 cos(0 0 ) sin(1 + 1 ) а фазы 1 и 2 принимают случайные значения, которые изменяются че рез заданный интервал времени, имеющий смысл корреляционного вре мени для внешней случайной силы, = exp( ). Важнейшие ха рактеристики инерционного интервала – спектральные потоки энергии и спиральности на заданном масштабе – в терминах каскадной модели определяются формулами * * = { 1 + ( )2 (+1 +1 ) + ( [ ) ] * * [ 2 ( 2 +1 + (+1 )2 ( ) } ) ] * * = { 2 1 + ( )2 (+1 + +1 ) + ( [ ) ] * * [ 2 ( 2 +1 + (+1 )2 ( + ) } ) ] Рассматривается вынужденная турбулентность, поддерживаемая си лой вида (3.64) с фиксированной мощностью (=1) и различным уров нем вносимой в поток спиральности 0 1. Расчеты проводятся для значений числа Рейнольдса в интервале 103 Re 106. Относи тельно низкие для каскадных моделей числа Рейнольдса обусловлены желанием исследовать ситуацию, доступную DNS. Наиболее детальному DNS спиральной турбулентности, представленному в [116], в рассматри ваемой модели соответствует значение Re = 3 · 103. За критерий соот ветствия принимается длина инерционного интервала, определяемая по постоянству спектрального потока энергии. Ширина оболочки во всех вычислениях принималась = 1.618.

3.6.1 Феноменология Основные споры вызывает вопрос о протяженности и структуре инер ционного интервала переноса спиральности. В [118] была высказана ги потеза о том, что диссипация спиральности начинается на масштабе, отличном от колмогоровского масштаба диссипации энергии ( 3 /)1/4. Последний можно получить из предположения о том, что ско рость диссипации энергии на любом масштабе оценивается как 2 /2, а при = она становится равной подводимой мощности. В [118] бы ло сделано предположение, что для скорости диссипации спиральности по аналогии можно принять (3.65) 2 3, где - характерная завихренность на данном масштабе, и что дол жен существовать масштаб, на котором эта величина станет равной подводимой спиральности )1/ 2 ( 3/7 3/7 2/ 3,. В последней формуле использована колмогоровская оценка ()1/3.

Основной вывод [118] состоял в том, что отношение двух диссипативных масштабов растет с увеличением Re (падением вязкости) как (3.66) 9/28.

Альтернативная точка зрения состоит в том, что диссипация энер гии и спиральности происходит на одних и тех же масштабах [116, 119].

Положение о совпадении диссипативных масштабов принима ется как постулат и предполагается, что во всем инерционном интервале должны установиться спектральные распределения энергии и спираль ности, близкие (с точностью до поправок, обусловленных перемежаемо стью) к закону «-5/3»

() 2/3 5/3, () 1/3 5/3. (3.67) Этот вывод был подкреплен в [116] результатами DNS для относи тельно небольших значений Re. Что касается вывода (3.66) о диссипа ции спиральности в развитой турбулентности на значительно больших масштабах, чем энергия, то он держится на неверной оценке (3.65), ко торая не учитывает тот факт, что диссипацию спиральности (как и саму спиральность) нельзя оценивать по произведению характерных значений скорости и завихренности. Спиральность обеспечивает только коррели рованность поля скорости и завихренности, а оценка (3.65) дает конеч ную скорость диссипации спиральности и в неспиральной турбулентно сти. Вместо (3.65) следует записать (3.68) =, 2 1/ 2 ( ) где – коэффициент корреляции пульсаций скорости и завихренно сти на соответствующем масштабе. Использование вместо (3.65) оценки (3.68) приводит к тому, что диссипативный масштаб спиральности зави сит от коэффициента корреляции, который сам зависит от масштаба )3/ ( 2/ Следует отметить, что сосуществование спектров (3.67) подразумева ет линейную зависимость коэффициента корреляции от масштаба (3.69), которая на масштабе диссипации ( ) дает выражение (3.70) 3/4.

5/ Формула (3.70) согласуется с оценкой из асимптотической модели сред него угла между векторами скорости и завихренности на диссипативном масштабе [123].

3.6.2 Численные эксперименты Выполненные в рамках каскадной модели (3.62) расчеты показали, что для всех рассмотренных чисел Рейнольдса масштабы, до которых доходят потоки энергии и спиральности, действительно близки, то есть [124]. Инерционный интервал (см. рис. 3.23), определяемый по постоянству потока энергии, начинает формироваться при Re = 103 и распространяется приблизительно на три декады при Re = 106. Кривые для потока спиральности качественно повторяют вид кривых для потока энергии, но получение гладкой кривой для потока спиральности требует осреднения по значительно большим интервалам времени. Если глад кий поток энергии получается при осреднении решений на интервалах времени в несколько десятков единиц безразмерного времени, то потоки спиральности, показанные на рис. 3.23б, потребовали интегрирования на Рисунок 3.23: Спектральный поток энергии (а) и спектральный поток спирально = = 1) сти (б) в вынужденной турбулентности ( для различных значений числа Re = 3 · 103, = 3 · 104, Re = 3 · 105.

Рейнольдса: 1 – 2 –Re 3– интервале 102 103 для Re = 3 · 103 и 103 104 для Re = 3 · 105.

Осредненные по времени распределения энергии и спиральности, по лученные при численном интегрировании каскадных уравнений для раз личных значений числа Рейнольдса, показаны на рис. 3.24. Первый гра фик (рис. 3.24а) получен для случая Re = 3 · 103. Как отмечалось выше, этот случай наиболее близко соответствует расчетам [116] и действитель но дает пропорциональные распределения энергии и спиральности в ин тервале 2 10. Наклон спектра при этом несколько превышает обычные для развитой турбулентности значения (-1.77 вместо принято го -1.71), что можно отнести на счет недостаточно высокого числа Рей нольдса. В расчетах рассматривалась и инфракрасная часть спектра, Рисунок 3.24: Распределение средних значений энергии и модуля спиральности в = 3 · 103 = 3 · = = 1) вынужденной турбулентности ( для (а) и (б).

() 5/3, ().

Линия 3 соответствует спектру 4 то есть присутствовали масштабы, большие масштаба действия внешних сил ( 1). В этих масштабах наблюдается равнораспределение энергии оболочек (, то есть () 1 ), но спиральность в большие масштабы передается значительно менее эффективно, давая распреде ление (что соответствует закону () ).

При увеличении Re спектральное распределение энергии демонстри рует все более выраженный инерционный интервал с законом () 1.71 (см. рис. 3.24б). Важно отметить, что в этом интервале спираль ность достаточно точно следует закону «-5/3» при всех трех числах Рей нольдса, в то время как наклон спектра энергии меняется. Это подтвер ждает, что спиральность ведет себя как пассивная примесь, поскольку известно, что для пассивных скалярных примесей спектральная плот Рисунок 3.25: Разделенные потоки спиральности (а) и соответствующие времена об, = 3 · 105 : +,.

мена (б) для 1- 2- 3- Для сравнения на (а) линиями, +, показаны спектральные потоки энергии: 4 - 5-- 6 -. Прямые линии на (б) 7/3.

5/3, соответствуют степенным законам: 10 - 11 ность интенсивности пульсаций значительно лучше следует степенным законам, получаемым из анализа размерности, чем спектральная плот ность энергии пульсаций скорости [125]. На меньших масштабах (боль ших ) распределение средней спиральности становится все более «шум ным», и дает гладкие зависимости только при очень больших временах осреднения (распределение спиральности на рис. 3.24б получено путем усреднения по 50 реализациям, каждая длиной 104 безразмерных единиц времени).

Продемонстрировать особенности спектрального переноса в спираль ной турбулентности позволяет разложение энергии на составляющие, связанные с определенным знаком спиральности. Каскадные перемен ные дают возможность провести это разложение в полном соответствии с тем, как это делается для полных уравнений гидродинамики, сохра няя при этом все свойства симметрии. По аналогии с [119] в терминах каскадных переменных можно ввести определения ( * ) + = =, = = + 4, из которых следует + + n = n = +,.

Спектральные потоки энергии и спиральности также разделяются на две части (± и ± для потоков и спиральности). В [119] было показано, n n что потоки положительной + и отрицательной компонент спирально сти нарастают с увеличением волнового числа. Сохраняемая величина – их разность (полный поток), постоянна во всем инерционном интерва ле.

Разделение потоков энергии ± и спиральности ± (см. рис. 3.25а) показывает, что основной поток энергии приходится в данном случае на долю +, поведение которого мало отличается от поведения полно го потока. Поток спиральности + также доминирует на больших мас штабах, но интервал, в котором раздельные потоки + и постоянны, оказывается существенно короче инерционного интервала. Видно, что на масштабах 80 800 постоянный поток спиральности сохраняет ся на фоне быстро растущих по модулю отрицательных потоков + и. Вывод о том, что при впрыске положительной спиральности в инер ционном интервале будет доминировать поток от положительных мод к отрицательным и основная диссипация на малых масштабах должна происходить именно в отрицательных модах, был сделан в [119].

Приведенные на рис. 3.24 спектральные распределения спиральности подтверждают тенденцию к смене знака в диссипативных масштабах.

Важно подчеркнуть, что в мелкомасштабной части инерционного интер вала суммарный положительный поток спиральности определяется до минирующим инверсным потоком отрицательной спиральности. На раз личную динамику потока спиральности в больших и малых масштабах указывает и рис. 3.25б, где показаны характерные времена обмена спи ральностью, определяемые для общего и раздельных потоков как ± ± =, = ±.

2/ Поскольку спиральность следует степенному закону,а суммарный поток спиральности постоянен, то и время обмена следует этому же степенному закону во всем инерционном интервале. Для раз дельных потоков времена имеют два выраженных интервала с раз ± личным поведением, границей раздела между которыми служит точка смены знака соответствующего потока (поток отрицательной спираль ности меняет знак раньше, чем положительной). Слева от этой грани цы, то есть в крупномасштабной части инерционного интервала, времена обмена постепенно нарастают (эффективность обмена падает), причем, так как доминирует прямой поток положительной спирально + сти. В мелкомасштабной части инерционного интервала времена и + 7/ сближаются и быстро уменьшаются с масштабом. Последнее ± можно интерпретировать как обратный поток генерируемой в диссипа тивном масштабе отрицательной спиральности, интенсивность которого падает с ростом масштаба.

Рисунок 3.26 подтверждает вывод относительной зависимости коэф Рисунок 3.26: Коэффициент корреляции пульсаций скорости и завихренности, вы () 1, (), численный для каждого масштаба. 1 - 2- 3 – результаты расчета.

фициента корреляции от масштаба. Видно, что во всем инерционном ин тервале коэффициент корреляции действительно падает по закону, близ кому к (3.69).

3.7 Каскад магнитной энергии под действием эф фекта Холла В проводящей среде с сильным магнитным полем, например в ак креационных дисках [126], в белых карликах [127] или в нейтронный звездах ( [128], огромную роль начинает играть эффект Холла. Эффект Холла состоит в дрейфе электронов перпендикулярно электрическому и магнитному полям. В результате дрейфа электронов, электрическое со противление плазмы (ионизированный газ) становится анизотропным и описывается тензорами. Компоненты этого тензора зависят от величины магнитного поля. В результате эволюция магнитного поля происходит нелинейным образом и заметно отличается от простейшего экспоненци ального закона, которым, в частности, характеризуется распад основных гармоник в однородной проводящей среде [6]. Благодаря эффекту Хол ла, различные моды магнитного поля связаны и между ними происходит перераспределение энергии. Это перераспределение энергии носит коле бательный характер, поэтому магнитное поле вне звезд так же колеблет ся [129]. В сильно намагниченных нейтронных звездах эти нелинейные магнитогидродинамические эффекты могут играть существенную роль.

Поведение магнитного поля описывается уравнением = RH 1 [( ) ], (3.71) где RH = 0 / — параметр Холла, 0 — характерное крупномасштаб ное магнитное поле, а — уровень магнитного поля, при котором на чинает работать холловский дрейф. Обычно = * /, где есть элементарный заряд, *, — масса и время релаксации электрона маг нитное поля В результате нелинейной эволюции поле имеет довольно сложную структуру: крупномасштабное магнитное поле (сопоставимое с размерами проводящего тела) разбивается на более мелкие магнитные поля [130, 131]. Данные магнитные поля в свою очередь, разбиваются на ещё более мелкие и так далее, до тех пор, пока электрические то ки и связанные с ними магнитные поля не диссипируют под действием сопротивления среды. Причём взаимодействуют магнитные поля срав нимых размеров (если размеры не сопоставимы, то маленькие магнит ные поля просто переносятся крупными магнитными полями без обмена энергией между ними). Таким образом, существует крупномасштабное поле, где может происходить подкачка энергии, и мелкомасштабное по ле, где происходит диссипация энергии магнитного поля, и между ними существует интервал масштабов, где работает нелинейность (т.е. эффект Холла) [132]. Чем сильнее влияние эффекта Холла, тем больше диапазон 7/ E( k) 102 k Рисунок 3.27: Спектр энергии полоидального и тороидального магнитного поля при RH = 104.

масштабов от макромасштаба до диссипативного масштаба. При такой эволюции можно ожидать характерный для развитой турбулентности каскад энергии и существование инерционных интервалов.

В диссертационной работе рассмотрено влияние холловских токов на эволюцию сильного магнитного поля в проводящей среде, в частности в нейтронных звездах. Для исследования влияния эффекта Холла по строена каскадная модель, совместно для полоидальной и тороидальной составляющих магнитного поля ( ) ( + 1) + RH 2 2 = +2 +1 +1 1 + + 3 1 ( ) ( + 1) 2 +2 +1 +1 1 +, 3 1 ( ) ( + 1) + RH 2 = +2 +1 +1 1 + + 3 1 ( ) ( + 1) 2 +2 +1 +1 1 +.

3 1 В работе исследовались взаимодействия полоидального и тороидаль ного магнитных полей и возможность каскада энергии. При этом на на чальной стадии эволюции реализуется спектральный закон распределе ния энергии «-7/3» (см. рис. 3.27).

Было получено, что поведение полоидальной и тороидальной состав 0. 0. 0. 0. / 0. E 0. 0. 0. 0. 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 t t RH = Рисунок 3.28: Эволюция магнитной энергии при свободном вырождении для 105 :, слева – полная энергия справа – скорость диссипации. Сплошная линия по казывает результат с учетом эффекта Холла, пунктирная линия – только с учетом омической диффузии.

ляющих магнитного поля носит осцилляционный характер. Все моды как тороидального, так и полоидального поля совершают колебания. По лоидальное поле неустойчиво. Малое возмущение полоидального поля, при наличии сильного тороидального поля, приводит к генерации полои дального поля до величин, сравнимых с тороидальным полем. Благодаря влиянию эффекта Холла, скорость диссипации больше, чем при обычной омической диссипации (см. рис. 3.28. Однако в ходе дальнейшей эволю ции, скорость диссипации уменьшается и выходит на уровень омической.

3.8 Оптимизация процедуры численного решения Рассмотрим в общем виде систему ОДУ, описывающих изменение переменных динамической системы c линейным трением (3.72) () = ( (), ) (), = 1,, где – коэффициент вязкости с слагаемым линейного трения, а функционал, определяющий все остальные механизмы, например источ ник, обмен и т.д. К такому виду вязкости сводятся диссипативные слага емые в виде лапласиана континуальных уравнений в частных производ ных, спроектированные в пространство Фурье. Методы интегрирования системы (3.72) хорошо известны. Самый простейший из них метод Эй лера. Большая точность и устойчивость счета достигается при исполь зовании популярного метода Рунге-Кутта или разновидностей метода предиктор-корректор. Все методы различаются критерием, ограничива ющим сверху шаг интегрирования и гарантирующим устойчивый счет с заданной точностью. Учитывая только вязкое слагаемое, из общих со ображений можно получить необходимое условие (3.73) 1, справедливое для любого метода. В свою очередь, вид ( (), ) также может влиять на выбор, но эти условия могут быть учтены в отдельно сти. Конечно, это ограничение (3.73) для большинства методов является очень слабым, но в нашем случае для простоты изложения может быть принято в качестве общего. В каскадных моделях = 2, что приведет к разнице коэффициентов диффузии, к примеру для = 20 и = 2, на 6 порядков. Тогда при выборе шага по времени по наибольшему зна чению уравнения с малыми значениями будут интегрироваться с избыточно мелким шагом. Такие системы уравнений называются жест кими.

Нарушение (3.73) может приводить не только к потере точности, но и к артефактному поведению системы, например к эффекту отрицатель ной вязкости. В каскадных моделях ( (), ) сохраняет энергию ве личины и условия консервативности играют принципиальную роль.

Поэтому изменение энергии за счет вязкого слагаемого должно быть все гда равным нулю. Этого можно добиться, используя метод разделения по физическим процессам. Этот подход заключается в том, что расчет од ного временного шага производится в два этапа. Сначала некий метод применяется к (3.72) без вязкого слагаемого, а затем полученные значе ния умножаются на exp, что соответствует точному решению урав нения в отсутствие ( (), ). Таким образом, проблема отрицательной вязкости снимается полностью при любом. Однако расплатой за это является снижение порядка аппроксимации уравнений. Независимо от того, с какой точностью были выполнены вычисления на первом этапе, общий порядок аппроксимация системы (3.72) в этом случае остается первым по шагу.

Точное решение для диссипации можно использовать, если прове сти предварительную замену переменного. Введем вместо () функции (), связанные следующим соотношением () = () exp. (3.74) Выполняя такую подстановку в (3.72), получаем систему уравнений (3.75) () = ( (), ), где ( (), ) = ( () exp, ) exp. Полагаем, что в начальный момент времени 0 решения равны (0 ) = (0 ). Далее проводим вы числение одного временного шага системе (3.75) с использованием некоторого общеизвестного метода. В результате находим (0 + ).

Затем выполняя обратное преобразование (3.74), окончательно имеем (0 + ) = (0 + ) exp. (3.76) Такими итерациями выполняется интегрирование ОДУ (3.72) на всем временном интервале.

Реализация данного подхода на практике может вызвать определен ные трудности. Они связаны с тем, что при численной реализации мно жители exp и exp при больших значения не будут компенсиро ваться должным образом из-за ограниченной разрядности числа в ком пьютерном представлении. Покажем, как можно обойти эту проблему, на примере распространенного метода Рунге-Кутта 4-го порядка (см. [133], таб. 20.8-1а). Главная задача устранить из расчетной схемы все множите ли с положительной степенью экспоненты. Это можно сделать, если при выполнении итерационный шагов метода интегрирования использовать выражение (3.76). Тогда расчетная схема примет вид = ( (0 ), 0 ), = ( (0 ) exp /2 + exp /2 /2, 0 + /2), 2 = ( (0 ) exp /2 + /2, 0 + /2), (3.77) 3 = ( (0 ) exp + exp /2, 0 + ), 4 (0 + ) = (0 ) exp +( exp +2 exp / 1 + 2 exp /2 + )/6 + (5 ). (3.78) 3 С точки зрения вычислительных затрат, такая модификация незначи тельно увеличивает число операций, если предварительно вычислить exp и exp /2, которые не меняются в течение всего счета. Хорошо видно, что в случае малости ( (), ) решение стремится к аналити ческому виду (0 + ) = (0 ) exp, где может быть любым.

Рассмотрим остаточный член аппроксимации системы (3.3) без ис пользования замены (3.74) (3.79) (5 ) 5 5, +1 = 1 1 = Log dt2 / dt 10 12 14 16 n n Рисунок 3.29: Отношение временных шагов с использованием подстановки и без нее для различных масштабов, вычисленное для стационарного состояния.

где – постоянные коэффициенты разложения. Самыми опасными сла гаемыми в области являются те, у которых старше степень.

Использование предложенного алгоритма дает остаточный член следу ющего вида:

(3.80) (5 ) 5 5, +1 = 2 2 = где – коэффициенты разложения, получающиеся в целом на два по рядка меньше, чем. Отношение слагаемых со старшей степенью в (3.79) и (3.80) 2 5 (3.81) ( )=, 1 дает отношение шагов по времени, обеспечивающих равную величину остаточного члена, т.е. точность. На рис. 3.29 показано, как быстро рас тет это отношение в зависимости от номера при Re = 105. В этом слу чае конец инерционного интервала и начало диссипативного находятся около = log2 Re3/4 13. Видно, что метод дает большой выигрыш в шаге интегрирования при расчете диссипативного интервала. Тестовые расчеты показывают, что для Re = 105 обеспечение устойчивого счета с равной точность получается при 1 = 106, а 2 = 104. Использова ние процедуры адаптивного выбора шага снижает это отличие, так как в установившемся режиме всплески не так часты и не достигают особо малых масштабов, нежели во время установления [134]. Однако и в этом случае отношение шагов в среднем отличается на порядок.

3.9 Выводы Проведено численное исследование свойств развитой МГД-турбу-/лент /ности с использованием аппарата каскадных моделей. Диапазон значе ний управляющих параметров, гидродинамического и магнитного числа Рейнольдса практически не ограничен. Это позволяет получать широкие инерционные интервалы с действительно постоянными спектральными потоками энергий и спиральности, что недоступно для методов прямо го численного моделирования. Полученные результаты подкрепляются предлагаемыми феноменологическими соотношениями и ранее извест ными закономерностями для МГД-турбулентности. Продемонстрировано успешное применение аппарата каскадных моделей в специальных част ных задачах МГД. Получено описание каскадных процессов спирально сти в чистой гидродинамике, для чего было необходимо решить проблему определения спиральности в каскадной модели. Каскад магнитной энер гии в результате эффекта Холла был изучен при помощи специально разработанной каскадной модели.

Большое внимание было уделено условиям турбулентности, когда маг нитное число Прандтля много меньше единицы. Численно было опре делено критическое значение магнитного числа Рейнольдса, обеспечи вающего генерацию магнитного в условия развитой гидродинамической турбулентности. Численный анализ с использованием каскадной модели МГД-турбулентности показал, что рост порога генерации наблюдается лишь в интервале значений от 0.01 до 1. При меньших значениях Pm критическое значение магнитного числа Рейнольдса выходит на стаци онарное значение. Показана возможность установления двух инерцион ных интервалов в энергетическом спектре. Как было обнаружено, они всегда разделяются в районе диссипативного масштаба магнитного по ля, где наблюдается более крутой спектр.

Участие магнитного поля в турбулентной динамике потока проводя щей жидкости может приводить к нелокальному (в спектральном про странстве) обмену кинетических и магнитных мод. Простым примером этого могут служить волны Альфвена. Однако даже в однородном и изотропном случае при больших значениях магнитного числа Прандтля можно ожидать проявления нелокальных взаимодействий. Для решения проблемы была предложена новая нелокальная каскадная модель МГД турбулентности. Численные расчеты при магнитных числах Прандтля больше единицы показали принципиальную роль нелокальных взаимо действий в каскадном процессе магнитной энергии к масштабам меньше вязкого масштаба. Экспериментально наблюдаемый спектральный закон распределения энергии в больших масштабах можно получить с помо щью каскадных моделей только с учетом нелокальных взаимодействий.

Предложен новый подход к определению интенсивности парного об мена энергиями между кинетическими и магнитными модами. Выраже ния сформулированы в терминах каскадных переменных, однако могут быть обобщены для МГД. Соответствующие расчеты показали существо вание нелокального обмена, обеспечивающего обратный каскад энергии (-эффект).

Исследован линейный режим экспоненциального роста энергии маг нитного поля и последующий нелинейный режим насыщения процесса генерации при малых и больших значения магнитного числа Прандт ля. Для численного моделирования использовалась нелокальная модель МГД-турбулентности. В обоих случаях насыщение наступает сначала в мелких масштабах, а затем в крупных, аналогично обратному каскаду.

Полученные решения хорошо совпадают с предлагаемыми аналитиче скими соотношениями, полученными из феноменологического описания процесса.

Изучено влияние перекрестной спиральности на статистические свойства МГД-турбулентности. Показано, что вносимая в поток пере крестная спиральность приводит к снижению эффективности каскадных процессов и накоплению корреляций пульсаций поля скорости и маг нитного поля. Степень корреляции пульсаций поля скорости и магнит ного поля в МГД-турбулентности выше вносимой в поток корреляции.

Проведены оценки, на основе которых показано, что наличие в МГД турбулентности ненулевого уровня перекрестной спиральности приводит к накоплению энергии в МГД-течении. За счет этого накопления изменя ется характерное время выхода на стационар и изменяется наклон спек тра. Уровень корреляций пульсаций в потоке также зависит от уровня вносимой в поток перекрестной спиральности.

Рассмотрена возможность снижения временных затрат при интегри ровании системы ОДУ, содержащей слагаемые типа вязкого трения. Идея метода состоит в применении подстановки, исключающей из уравнения диссипативное слагаемое. Предложена конкретная реализация этого ал горитма для метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Приводится оценка, даю щая отношение шагов по времени с использованием и без использования предлагаемой техники. Эффективность описанного алгоритма показана на примере расчетов каскадных моделей турбулентности. Для задач та кого типа шаг интегрирования увеличивается на порядки.

Глава Комбинированные модели астрофизического динамо Уже является общепринятым, что магнитные поля астрофизических объектов возникают в результате действия гидродинамического динамо, работающего в потоках проводящей среды. Эти потоки характеризуют ся огромными значениями управляющих параметров, так что, несмот ря на значительный прогресс развития компьютерной техники, мето ды прямого численного моделирования не позволяют решить задачу в полной мере. Модели астрофизического динамо требуют учета всех ме ханизмов генерации, динамического описания эволюции крупно- и мел комасштабных полей. Некоторые вычислительные эксперименты МГД турбулентности с высоким разрешением (до 10243 узлов сетки) дают до статочное описание мелкомасштабного поля [112,135], но теряют особен ности крупномасштабного динамо. Более того, даже сама идентифика ция крупномасштабных структур в сравнении с наблюдательными дан ными представляет собой сложную задачу [136].

Подходы, основанные на теории среднего поля, лишь частично реша ют проблему (обзор таких моделей хорошо представлен в [137,138]), и не дают достаточного описания эволюции мелкомасштабного поля, которая обычно заменяется некоторой параметризацией турбулентности.

Однако в последнее время появился подход, который позволяет, как кажется, существенно изменить ситуацию к лучшему [139,140]. Конечно, речь по-прежнему не идет о воспроизведении явления во всей полноте.

Идея подхода состоит в том, что из огромного числа степеней свободы, которые формально необходимы для описания мелкомасштабного поля, реальный интерес представляет лишь относительно небольшое число пе ременных, описывающих поведение усредненных характеристик мелко масштабных полей. Для их описания можно использовать каскадные мо дели турбулентности, которые заменяют сложные уравнения в частных производных относительно простой системой обыкновенных дифферен циальных уравнений, доступной для численного исследования при ре альных значениях характерных чисел. Принципы построения этой си стемы основаны на выполнении каскадной моделью законов сохранения, справедливых для полных уравнений. Для описания крупномасштабных переменных предлагается сохранить обычные осредненные уравнения (уравнения среднего поля), а входящие в них турбулентные коэффици енты переноса определять по каскадным переменным.

Особый интерес представляет для теории динамо определение меха низмов насыщения генерации. Общепринятые представления об этом за ключаются в подавлении -эффекта. В качестве самого простого подхода можно используют алгебраическую связь между управляющим парамет ром динамо и величиной крупномасштабного магнитного поля [141]. Бо лее сложные формы алгебраической связи рассматриваются в [142, 143].

Формулировка механизма подавления может быть выполнена с помо щью динамической связи между магнитной спиральностью, -эффектом и магнитным полем [100, 144–146]. Законы сохранения могут также слу жить основой для построения определяющих соотношений обратной свя зи. Закон сохранения магнитной спиральности использовался для этих целей в [147–149].

Другим спорным вопросом теории динамо является роль магнитно го числа Прандтля. Результаты прямого численного моделирования по казывают, что порог генерации быстро растет при ламинарных режи мах течения и затем в турбулентном режиме остается при Pm const [90, 150, 151] или Rm* const [86, 152]. Вопрос о динамо при малых Pm остается открытым поскольку максимально достижимые значения Re 103 не дают достаточного разделения диссипативных масштабов кинетической и магнитной энергий. Этого можно добиться, используя маломодовые модели турбулентности, такие как модель Казанцева [153] или каскадные модели [154].

4.1 2–динамо Проведем построение комбинированной модели динамо на основе про стейшей, так называемой модели «2 –динамо» теории среднего поля. В этой модели рассматриваются тороидальная и полоидальная компонен ты поля, которые генерируются одна из другой за счет единственно го механизма – -эффекта мелкомасштабной турбулентности. Более то го, предполагается, что доминирует только одна пространственная мо да магнитного поля, имеющая наибольшую скорость роста в процессе генерации [155]. Тогда эволюция в терминах полоидальной и торо идальной составляющей магнитного поля описывается следующими уравнениями в безразмерной форме (4.1) =, (4.2) =.

Здесь интегральный масштаб турбулентности используется в качестве единиц длинны, время измеряется в характерных турбулентных време нах. = (/) – отнормированное волновое число, где есть характер ный размер всей системы. Параметр 1 может использоваться для управления разделением масштабов, которое необходимо для построе ния астрофизических моделей динамо [156]. Коэффициент описывает способность спиральной мелкомасштабной турбулентности генерировать крупномасштабное поле, а коэффициент есть эффективная магнитная диффузия турбулентного потока.

Теория среднего поля дает оценку для через энергию турбулентных пульсаций = 2 /3, а для через спиральность турбулентности = u · ( u) в виде = /3, где – «время памяти». Выбор величины не имеет строгого определения. Оценкой может служить время оборота вихря на основном масштабе турбулентности или его кор реляционное время. Простейшее соотношение в духе оценок на основе пути смешивания вида = / ( есть среднеквадратическая скорость турбулентных пульсаций) достаточна в большинстве астрофизических приложений, но игнорирует спектральные свойства полей.

Более точная параметризация транспортных коэффициентов может быть получена в результате вычислений в рамках теории среднего поля.

Тогда и определяется вкладом всего спектрального диапазона (4.3) = ()(), (4.4) () ().

= Здесь () – спектральная плотность энергии, а () – спектральная плотность спиральности, = (). Естественная оценка для () – это время оборота вихря соответствующего масштаба.

Уравнения (4.1), (4.2) дают экспоненциальный рост магнитного поля за счет индукционных эффектов, описываемых слагаемым, преоб ладающим над слагаемым. Насыщение генерации в случае посто янных и невозможно. Для получения реалистичной модели необхо дима модификация коэффициента, который подавляется в процессе нарастания магнитного поля. Основная идея такого подавления заклю чается в том, что возникающая сила Лоренца со стороны магнитного поля ослабляет интенсивность турбулентности. Альтернативное понима ние насыщения динамо основывается на рассмотрении влияние мелко масштабного магнитного поля. Магнитное поле, генерируемое динамо механизмами, так же, как и поле скорости, возникает с нарушением зеркальной симметрии. Степень магнитной зеркальной антисимметрии описывается токовой спиральностью = b · j. Магнитный вклад в -эффект оценивается как дополнение в гидродинамическому вкла ду [157] (4.5) = +.

Такая форма принималась во внимание в ряде работ [142, 144, 147–149], где получалось, что нарастающий с обратным знаком -эффект компен сирует. В результате рост магнитного поля прекращается при том же уровне пульсаций поля скорости. Эта схема получила подтверждение в прямых расчетах турбулентной электродвижущей силы в условиях МГД турбулентности [145].

(a) (b) 0. 0. 20 0. u c 0. 0. 0. 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 t t Рисунок 4.1: Эволюция гидродинамической спиральности (a) и нормированной токовой спиральности (b).

* Для описания эволюции мелкомасштабных полей используется кас кадная модель МГД-турбулентности [73], которая описывается уравне ниями (3.1)-(3.3). Силы и (сила, действующая в уравнение для ) включают несколько слагаемых (4.6) = + +, (4.7) = +.

Слагаемые и описывают внешние источники энергии. В задачах динамо обычно источником является кинетическая энергия движения среды, так что 0. Действие силы происходит в двух наиболь ших оболочках = 0 и = 1 и задается в виде комплексных величин с постоянным модулем и случайно меняющейся фазой каждые еди ниц времени ( может интерпретироваться как корреляционное время).

Слагаемые и описывают реакцию крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные переменные.

Рисунок 4.1 показывает типичную эволюцию со временем гидроди намической спиральности и нормированной токовой спиральности = /( )1/2 при Re = Rm = 106. Отметим что, обе характери * стики демонстрируют интенсивные хаотические колебания, в то время helicity u j 0.1 0.05 0 0.05 0. C Рисунок 4.2: Средняя гидродинамическая спиральность (черные точки) и, средняя токовая спиральность (серые) в зависимости от параметра кото рый управляет степенью зеркальной антисимметрии в каскадных моделях.


как среднее значение остается достаточно близким к нулю. Среднее зна чение составляет порядка 0.1, а = 0.4 на показанном вре * менном отрезке. Если рассмотреть более длительный промежуток вре мени, то среднее значение становится несколько ближе к нулю, но все же остается отрицательным. Этот факт отражает неустранимый недостаток каскадных моделей данного типа, в которых нарушается баланс между четными и нечетными оболочками.

Принято считать, что развитая турбулентность остается зеркально симметричной до тех пор, пока некоторая внешняя сила не приведет к нарушению этого свойства. В большинстве астрофизических ситуаций это вызывается вращением. В рамках каскадной модели источником спи ральности может служить сила, вносящая дисбаланс между четными и нечетными оболочками, определённая следующим образом + |+1 | | | (4.8) = (1), | | где перераспределение энергии между соседними оболочками осуществ ляется сохранением полной энергии. Параметр устанавливает степень зеркальной антисимметрии. Рисунок 4.2 показывает, что в широком диапазоне. Большие значения (|| 0.1) нарушают каскадные процессы и характер мелкомасштабных движений сильно от личается от колмогоровской турбулентности. Среднее значение токовой спиральности, показанное на рис. 4.2, обеспечивает магнитный вклад в -эффект. Отметим, что даже превосходит, несмотря на то что сила не оказывает прямого действия на перемен ные.

4.1.1 Сопряжение крупномасштабных и мелкомасштабных пе ременных Рассматриваемая модель основывается на комбинации уравнений (4.1), (4.2) для крупномасштабных переменных и каскадных уравнений (3.1) (3.3). Коэффициенты и могут быть определены через мелкомасштаб ные переменные:

1 (4.9) = = (1) | |2, 3 1 (4.10) = = (1) | |2, 3 | |2 + Rm1, (4.11) = где Rm1 описывает омическую диффузию, а корреляционное время = ( )1.

Слагаемые силы и в каскадных уравнениях определяются с уче том закона сохранения энергии. Генерируемая энергия в крупном мас штабе за счет должна быть вычтена из энергии пульсаций соответ ствующего масштаба. Скорость изменения крупномасштабной энергии = | |2 + | |2, генерируемой за счет -эффекта создаваемого обо лочкой есть * * (4.12) = 2 ( ), * * (4.13) = 2 ( ).

Также крупномасштабное поле теряет магнитную энергию за счет эф фективной магнитной диффузии (-эффект). Этот отток энергии оце нивается как (4.14) =.

Обмен энергией между крупномасштабными и мелкомасштабными пе ременными должен сохранять магнитную и перекрестную спиральность мелкомасштабного поля. Этого можно добиться, использую следующий вид силы обратного действия со стороны крупномасштабного поля (4.15) =*, * (4.16) =*, * ( ++1 +1 ), четное + (4.17) = ( +1 1 ), нечетное + Таким образом, комбинированная модель определяется системой ОДУ каскадных уравнений (3.1), (3.2), уравнениями среднего поля для ве дущих мод 2 -динамо (4.1), (4.2), определяющими соотношениями для транспортных коэффициентов (4.26),(4.27),(4.11) и соотношениями, вхо дящими в определение сил (4.6),(4.7). В пределе 0 (нет подкачки энергии) и Re, Rm (нет диссипации) модель сохраняет полную энергию = + +.

4.1.2 Результаты численного решения Численный анализ модели проводится при фиксированных парамет рах = ( 5 + 1)/2, = 1,..., 30, Re = Rm = 106, = 0.01 и наборе 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0.1 EB Eu Eb 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 t t t Рисунок 4.3: Зависимость от времени энергии крупномасштабного поля (тол стая черная), энергии мелкомасштабного магнитного поля (тонкая светлая) и энергии кинетического поля (тонкая темная) показана для различных значений = 0, 0.04, 0.16 = 1/2, 1/8, 1/ (изменяется по вертикали сверху вниз) и (изме =. = 0.

няется по горизонтали слева на право).

значений для управляющих параметров: = 0, ±0.01, ±0.02, ±0.04, ±0.08, ±016, ±0.32 и = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32.

В первую очередь рассматривается действие только гидродинамиче ской части -эффекта. Ясного понимания физики и однозначного опре деления магнитной части -эффекта еще не достигнуто [145], поэтому целесообразно исследовать их роль отдельно. Типичные временные за висимости энергии мелкомасштабного кинетического и магнитного поля, а также крупномасштабного магнитного поля показаны на рис. 4.3. Результаты даны для возрастающего вклада спиральной силы при трех значениях.

Общим для всех расчетов является быстрый рост (несколько оборо тов вихря на турбулентном масштабе) до уровня равнораспределения с кинетическим полем, в то время как растет заметно медленнее.

Скорость роста и уровень насыщения существенно зависят от интенсив ности спиральной подкачки и параметра. Критическое значение, которое определяет порог генерации, снижается при меньших значениях. Причина этого состоит в том, что генерационное слагаемое крупно масштабного поля пропорционально, а диссипативное.

Как уже отмечалось, при = 0 получается не равное нулю.

Поэтому при достаточно малых значениях динамо работает. С этим связано отсутствие симметрии результатов. Однако это вызвано лишь особенностями определения спиральности в каскадных моделях. Так при = 0.03 достигается 0 и действие динамо симметрично отно сительно этого значения. В отличие от кинематических моделей ди намо без учета динамики мелкомасштабных полей, где порог генерации определяется строгой границей устойчивости, в комбинированной моде ли наблюдается нерегулярный рост. В определенном диапазоне парамет ров крупномасштабное поле демонстрирует промежуточное поведение между генерацией и диссипацией. При этом характерные времена спадов и подъемов существенно превышают характерные времена турбулентно сти.

Уменьшение приводит к более эффективной генерации при лю бых, но значительно большим характерным временам эволюции круп номасштабного поля. Изменение энергии со временем становится более гладким, что вполне согласуется с ожиданиями в рамках двухмасштаб ного подхода. При больших (близких к единице) среднее магнитное поля насыщается на меньших уровнях энергии, а его характерное вре мя изменения становится сравнимым с временем турбулентности. В этом случае концепция среднего поля не применима. Значение 0.3 мож но определить как верхнюю границу. На практике для галактической турбулентности 0.1.

Увеличение соответствует усилению подкачки спиральности и уси лению -эффекта. Для больших и малых энергия крупномасштаб ного поля может даже превосходить энергию турбулентности, ответствен ной за генерацию (см. нижний ряд временных зависимостей на рис. 4.3).

Это состояние рассматривается как суперравнораспределение.

4.1.3 Нелинейная стабилизация динамо Результаты, представленные на рис. 4.3, позволяют заключить, что если динамо начинает работать, то крупномасштабное магнитное поле стабилизируется на некотором уровне при любых значениях параметров и. Причиной этого можно считать разложенный механизм подав ления генерации, который основывается на законе сохранения энергии.

Целесообразно изучить этот механизм детально, так как в рамках обыч ного подхода теории среднего поля, где есть постоянная средняя по реализациям величина, это сделать невозможно. В предлагаемой комби нированной модели используется некоторое текущее значение, которое позволяет получить динамическую стабилизацию.

Рассмотрим кросс-корреляционную функцию крупномасштабной мас штабной энергии и () ( + ) (4.18) ( ) =, ( ( )2 () ( )2 ())1/ где (.) означает отклонение от среднего значения. Значение кросс-корре ляции рассчитывалось с использованием очень длинных временных ря 0. 0. 0. 0.1 kL 1 0.15 kL 1 0. 150 100 50 0 50 100 ( ) Рисунок 4.4: Кросс-корреляционная функция крупномасштабной магнитной = 0.08;

= 1/2 = 1/ энергии для значений параметров (сплошная) и (пунктир).

дов (порядка 20000 оборотов вихря). Рисунок 4.4 показывает ( ) для = 0.08 и двух значений = 1/2 и = 1/16. Значение кросс корреляция в основном положительно при 0 и отрицательно при 0. При очень больших значениях | | корреляция приближается к нулю. При сравнительно больших значениях связь крупно- и мелко масштабных переменных становится более жесткой, максимум величины корреляции (или антикорреляции) больше, а интервал, где корреляция отлична от шума, более узким.

Для отрицательных (когда следует ) отрицательное приво дит к генерации за относительно короткое характерное время. Ми нимум наблюдается при сдвиге = 2.5 при = 1/2 и = 7. при = 1/16. Для положительных ( следует за ) обратное дей ствие значительно медленнее 10 150 при = 1/16. Это означает, что производит положительное, которое противодействует динамо.

При = 1/2 время положительной реакции значительно короче 5).

Однако структура кросс-корреляционной функция в обоих случаях схо жа. Следует еще раз отметить тот факт, что по определению (4.26) знак противоположен значению гидродинамической спиральности, так что положительному соответствует производство отрицательного.

Из полученных результатов следует вывод, что общепринятая алгеб раическая связь неадекватно описывает реальный физический процесс.

В действительности имеется запаздывание, которое определяется тур булентными временами. Предложенная комбинированная модель может использоваться для оценки этих временных сдвигов и улучшения аст рофизических моделей динамо, анализируемых методами прямого чис ленного моделирования. Задержки аналогичной природы наблюдались в попытках прямого численного моделирования задач и о динамо в галак тическом диске [136].


4.1.4 Роль магнитной составляющей в -эффект Для определения роли магнитного -эффекта проведены расчеты с учетом только его магнитной составляющей, т.е. = ( 0). Ри сунок 4.5 показывает временную зависимость кинетической и маг нитной энергии мелкомасштабного поля и энергии крупномасштаб ного магнитного поля и аналогичных значениях, использованных для рис. 4.3. В целом, характер эволюции похож на генерацию за счет только гидродинамического -эффекта. Можно отметить, что при ма лых значениях генерация более эффективна под действием (срав.

верхний ряд рис. 4.3 и рис. 4.5). Обратная ситуация при больших (ниж ний ряд рис. 4.3 и рис. 4.5), когда магнитный -эффект менее эффекти вен, так как получается более слабое крупномасштабное магнитной поле.

Рассмотренный случай, будучи достаточно искусственным, тем не менее позволяет подтвердить ранее выдвинутое предположение о возможности 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0.1 EB Eu Eb 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 t t t Рисунок 4.5: Зависимость от времени энергии крупномасштабного поля (тол стая черная), энергии мелкомасштабного магнитного поля (тонкая светлая) и энергии кинетического поля (тонкая темная) показана для различных значений = 0, 0.04, 0.16 = 1/2, 1/8, 1/ (изменяется по вертикали сверху вниз) и (изме =. = 0.

няется по горизонтали слева на право).

10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0.1 EB Eu Eb 0.01 0.01 0. 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 t t t Рисунок 4.6: Временные ряды, аналогичные рядам, показанным на рис. 4.3 и рис. 4.5, = + ).

-эффекта но для полного ( действия динамо только за счет магнитного -эффекта [158, 159].

Следующим логическим шагом является рассмотрение случая полно го -эффекта ( = + ). Соответствующие результаты показаны на рис. 4.6. Качественное сравнение результатов на рисунках 4.3, 4. и 4.6 позволяет сделать вывод, что характер генерации не зависит от выбора составляющих -эффекта. К количественным отличиям следует отнести более быстрый рост магнитного поля при использовании полно го -эффекта. Похожий результат был получен в [160] для -динамо.

Также необходимо отметить, что проведенный последовательный анализ не отражает следов предсказываемого «катастрофического» подавления -эффекта.

(a) (б) 1 energy energy 2 10 Eu Eu EB EB 4 Eb Eb 10 8 6 4 2 8 6 4 10 10 10 10 1 10 10 10 10 Pm Pm Рисунок 4.7: Среднее значение турбулентной кинетической энергии (пустые квад раты), турбулентной магнитной энергии (заполненные ромбы) и крупномасштабной Pm. Re = 106, = 0.08, = 1/16.

магнитной энергии (крестики) в зависимости от -эффект ( = + ), (б) только гидродинамическая часть ( = ).

(a) полный 4.1.5 -динамо при малых числах Рейнольдса Вышеприведенные результаты касались случая Pm = 1. Как уже ра нее отмечалось, Pm в различных физических ситуациях может суще ственно отличаться от единицы (см. рис. 3.1). Лабораторные экспери менты вынуждены ограничиваться Pm 105, а для крупных астро физических объектов характерны Pm = 106. Поэтому зависимость Pm представляет особый интерес. Этому вопросу уже было уделено внима ние в расчетах турбулентной электродвижущей силы (раздел 2.1) и моде лировании мелкомасштабного динамо (раздел 3.1). Что касается случая Pm 1 общепринято полагать его в целом близким случаю Pm = 1, в то время как динамо при Pm 1 является предметом интенсивного исследования. [86, 154, 161]. Дело в том, что при Pm 1 существует два инерционных интервала. В первом интервале имеется спектральный поток кинетической и магнитной энергии, а во втором только кинетиче ской.

Расчеты комбинированной модели проведены для магнитных чисел Прандтля от 108 до 102 и фиксированных параметров Re = 106, = 0.08 и = 1/16. На рис. 4.7a показаны средние значения энергий, и в зависимости от Pm. Характерные временные ряды и спектры для типичных значений Pm показаны на рис. 4.8.

Изменение и проявляют характерную плавную зависимость от Pm, в то время как слабо зависит от Pm. Можно видеть, что мелко масштабное динамо не работает при Pm 104 (см. спектры на рис. 4. правую нижнюю панель), в то время как крупномасштабное действует при Pm 107. Отметим, что наиболее эффективная генерация наблю дается в диапазоне 107 Pm 104, где глобальное магнитное поле превосходит уровень равнораспределения. Очевидно, что в этом диапа зоне работает только гидродинамическая часть -эффекта. Несмотря на то что мелкомасштабное динамо не действует в этом диапазоне, мелко масштабные пульсации имеют место, так как часть крупномасштабной энергии магнитного поля переносится в мелкий масштаб за счет турбу лентной диффузии. Однако не достаточно сильно, чтобы дать вклад в -эффекта.

Снижение of наблюдается при Pm 104, поскольку магнитная часть -эффекта становится сравнимой с гидродинамической частью. Из этого следует, что магнитная часть -эффекта противодействует гидро динамической части. Это может рассматриваться как один механизмов подавления генерации. Чтобы убедиться, на рис. 4.7б показана анало гичная зависимость от Pm, но с учетом только. Здесь видно, что монотонно достигает равнораспределения с.

10 10 1 1 energy 0.1 0.1 0. EB Eu 0.01 0.01 0. Eb 0.001 0.001 0. 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 t t t 1 1 Eb Eu 10 2 10 2 10 energy EB 10 4 10 4 10 10 6 10 6 10 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 1 10 2 10 3 10 4 10 1 10 1 10 1 k k k,, Рисунок 4.8: Зависимость энергий от времени (верхний ряд) и спектры Pm = 3·103, 105, 3· мелкомасштабных полей (нижний ряд) при трех значениях Re = 106.

(слева на право).

4.2 -динамо Конкретная разработка искомого сопряжения зависит от специфики рассматриваемой задачи, однако ряд возникающих при этом проблем но сит общий характер. До сих пор последовательное сопряжение уравне ний среднего поля и каскадной модели удавалось выполнить только для сравнительно простой модели 2 -динамо, в которых часть законов со хранения не играла существенной роли. А именно по определению круп номасштабное поле имело равную нулю магнитную спиральность, а сле довательно обмен с мелкомасштабным полем был невозможен.

Проблему сопряжения в полной постановке в физически значимой за даче о генерации крупномасштабного магнитного поля в тонком диффе ренциально вращающемся диске со спиральной турбулентностью хорошо проводящей жидкости (т.н. локальная задача дискового динамо). Эта за дача интересна в контексте изучения происхождения и эволюции круп номасштабных магнитных полей спиральных галактик [156]. Эта модель интересна, потому что при эволюции крупномасштабного магнитного по ля меняется не только его энергия, но и магнитная спиральность.

Для описания эволюции среднего магнитного поля в турбулентной проводящей среде используются уравнение индукции среднего поля (2.1) с учетом только - и -эффектов (4.19) ( ) () 2 = 0, · = 0.

Рассмотрим тонкий турбулизованный диск полутолщиной, вращаю щийся с угловой скоростью, направленной вдоль оси цилиндрической системы координат (,, ). Будем искать осесимметричное магнитное поле, так что условие = 0 позволяет вместо полей, ввести од ну величину – азимутальную компоненту векторного потенциала (где = ):

= 1 ( ). (4.20) =, Обозначим (), (), тогда безразмерные уравнения сред него осесимметричного поля, записанные для заданной точки, прини мают вид:

= +, (4.21) = +.

Здесь время измеряется в единицах времени оборота вихрей энергоне сущего масштаба, = /, а – типичная турбулентная скорость в этом масштабе. Типичное значение = 107 лет 3 · 1014 c. Магнит ный потенциал измеряется в единицах, где - полутолщина диска.

Коэффициент измеряется в единицах, а - в единицах. Ко ордината измеряется в единицах, так что 1 1. Наличие в задаче двух характерных масштабов приводит к появлению дополни тельного параметра = /;

для спиральных галактик типичное зна чение = 1/5. Безразмерная величина = / является мерой дифференциальности вращения. Обычно = 0.2, = 20 км сек кпс1, = 0.1 кпс (килопарсек – астрономическая единица длины, кпс 3 · 1019 м), = 10 км/сек. Здесь используется вместо динамо числа = 3 / 2 = 9 (/ ), удобное в кинематической тео рии динамо. Для численных оценок можно положить / = 0.04 0.1, так что = (10 25). В этих единицах возраст Вселенной состав ляет 1010 лет/ = 103. В уравнении (4.21) пренебрегается слагаемым, т.к. в тонком диске,, а в уравнении (4.21) опус кается член ( ), т.е. предполагается, что /. Величину можно найти из условия соленоидальности поля. Распределение спи ральности по диску обычно принимается в виде () = 0 sin [156].

К уравнениям генерации необходимо добавить граничные условия (4.22) (±1) = 0, (±1) = 0, которые являются следствием вакуумного приближения за пределами галактического диска. Поскольку () - антисимметричная функция, ре шение уравнений (4.21) можно разложить на четные (квадрупольные) и нечетные (дипольные) моды с тем, чтобы ограничиться рассмотрением половины диска 0 1. Далее будем обсуждать лишь квадрупольные решения, для которых справедливо граничное условие (4.23) (0) = 0, (0) = 0.

Система линейных дифференциальных уравнений (4.21) с граничными условиями (4.22),(4.23) и некоторыми начальными условиями определяет характер эволюции крупномасштабного магнитного поля.

Для описания процессов генерации и переноса магнитного поля мел комасштабной турбулентностью ниже используется каскадная модель, предложенная в [73].

4.2.1 Сопряжение средних и турбулентных полей Считается [157], что коэффициент можно рассматривать как сумму двух составляющих. Первая составляющая в уравнениях среднего поля обычно оценивается с использованием спиральности мелкомасштабного поля следующим образом:

(4.24) v rot v.

Вторая компонента связана с токовой спиральностью (4.25) j rot j.

Эти оценки содержат множитель, который имеет размерность времени.

Предполагая, что определяется временем оборота вихря соответствую щего масштаба, можно вычислить по характеристикам мелкомасштаб ной турбулентности следующим образом:

(4.26) (1) | |, (1) | | = = (4.27) (1) | |.

= Тогда полный -эффект определяется как (4.28) = ( + ) sin().

Диффузия крупномасштабного магнитного поля описывается коэф фициентом, который может быть оценен как (4.29) 2.

В терминах каскадных переменных это соответствует выражению 1 (4.30) | | +, = где = 1/Rm - омическая диффузия. Соотношения (4.26), (4.27) и (4.30) справедливы при Pm 1, однако при больших значениях Re и Rm это условие не существенно, так как влияние турбулентности в основном определяется длинноволновой частью спектра, а вклад мелкомасштаб ной части спектра в диффузию среднего поля незначителен.

Уравнения (4.26), (4.27) и (4.30) задают влияние мелкомасштабного поля на генерацию крупномасштабного. Для определения обратной свя зи используем закон сохранения полной энергии и магнитной диффузии в бездиссипативном пределе.

Изменение характеристик крупномасштабного магнитного поля за счет действия -эффекта, обусловленного мелкомасштабной турбулентностью масштаба (яруса), определяется следующим образом:

= ( ), 0 (4.31) [ ( ) ( )2 )2 ], = [ 2 2 ].

= определяет прирост магнитной энергии за счет гидродинамическо го -эффекта, - за счет магнитного -эффекта, а дает прирост магнитной спиральности за счет -эффекта. Приращения сохраняемых величин (4.31) в крупномасштабном поле должны быть скомпенсирова ны их эквивалентной убылью в мелкомасштабной турбулентности, что обеспечивают силы вида =* * ( + 1 + + 1 ) для четных (4.32) =, ( + 1)(* * ) ( + 1 1 ) для нечетных.

= ( + 1)(* * ) При этом изменение перекрестной спиральности мелкомасштабной тур булентности равно нулю. Заметим, что дифференциальное вращение в моделях -динамо рассматривается как неисчерпаемый источник энер гии и спиральности.

4.2.2 Проблема алайнмента Обратим внимание на то, что в выражениях для сил (4.32) присут ствует характерный знаменатель * *, отражающий тот факт, что уравнения магнитной гидродинамики описывают специальное состояние в виде альфвеновской волны, в которой магнитное поле параллельно по лю скорости (алайнмент). Для этого состояния отказывают представле ния о турбулентной диффузии и -эффекте (коллинеарность векторов пульсаций скорости и поля дает ( ) = 0 ) и перестают дей ствовать соотношения (4.24), (4.25), (4.29). Опыт исследования каскад ных моделей показывает [162], что для очень больших времен они могут описывать переход всей системы в альфвеновское состояние. Мы инте ресуемся случаем, когда система существует умеренное время, так что в целом она далека от состояния алайнмента, однако оно может проис ходить локально в данный момент в данном ярусе каскадной модели. В этом случае выражения для сил (4.32) обращаются в бесконечность.

В принципе, соотношения (4.24), (4.25), (4.29) должны быть перера ботаны так, чтобы они учитывали случай алайнмента. Для этого доста точно, например, заменить соотношение (4.29) на (4.33) 2 (1 2 ), где - коэффициент корреляции между магнитным полем и полем ско рости. Очевидно, что такое радикальное предложение требует более ши рокого обоснования.

В расчетах был использован более консервативный путь, состоящий в том, чтобы просто пропускать те шаги временной эволюции системы в тех масштабах, на которых возникает явление алайнмента, поскольку в этих масштабах все равно отсутствует генерация магнитного поля. При этом, поскольку вычисления проводились в терминах конечных прира щений, явные выражения для сил (4.32) не выписывались, а расчет вы полнялся с помощью следующего алгоритма.

Пусть в данной оболочке - поле, энергию которого нужно изменить, а - вспомогательное поле, с помощью которого вычисляется перекрест ная спиральность, 1 - новое значение величины, а = 1 * * - изменение энергии за шаг по времени. Тогда, во-первых, мы прове ряем отсутствие алайнмента в данном ярусе как условие неотрицатель ности величины = 42 *, (4.34) где = ( * * )/2. Если эта величина положительна, то ( * + * ) + 2 sign (4.35) 1 =.

2 * Если же 0, то данный шаг в данном ярусе вовсе выпадает из про цесса. Изменение магнитной спиральности осуществлялось посредством перераспределения энергии между двумя соседними оболочками с чет ным и нечетным номером. Таким образом, интегрирование полной си стемы уравнений, проводилось в два этапа. На первом этапе решались уравнения (3.1)-(3.3) без учета взаимодействия между крупно- и мелко масштабными переменными, т.е. при = = 0. На втором этапе по каждой паре оболочек определялись текущие значения, и соответ ствующие им приращения (4.31). Если требуемый обмен был возможен с соблюдением всех законов сохранения, то изменения и рассчиты вались по формулам (4.34) и (4.35), а соответствующие приращения и - по уравнениям (4.21).

4.2.3 Численные результаты Уравнения (4.21) для двух компонент крупномасштабного поля () и () решались методом конечных разностей 2-го порядка точности. Ин тегрирование по времени на первом этапе выполнялось методом Рунге Кутты 4-го порядка. Начальные условия принимались в виде (0, ) = 105 sin( ), (4.36) (0, ) = 0, соответствующем наличию слабого затравочного полоидального поля.

Все результаты приводятся для фиксированных значений параметров и. Влияние этих параметров на характер генерации крупномасштаб ного поля представляется понятным как по опыту решения различных численных моделей динамо [163], так и по результатам исследования смешанной модели 2 -динамо [164]. Для динамо-числа принято значение = 0.3, обеспечивающее устойчивый режим генерации, а = 0.2, что соответствует типичному соотношению масштабов в дисковых галакти ках. Во всех расчетах использовались числа Рейнольдса Re = Rm = 106, 0. E Er 0.001 E E 0 100 200 300 400 500 t Рисунок 4.9: Эволюция энергии тороидального (толстая линия) и полоидального (пунктир) магнитного поля в турбулентном галактическом диске (энергия турбулент ных пульсаций показана тонкой черной линией). Из расчета исключены магнитный -эффект и контроль за балансом магнитной спиральности.

параметр Кориолиса = 0.1, а внешняя сила, действующая в первых двух оболочках, имела постоянную амплитуду, равную 10, и случайную фазу, которая менялась каждые 0.01 единиц времени. Каскадная модель содержала 40 ярусов, а случайные начальные значения, подчиня лись Колмогоровскому спектру для развитой турбулентности.

Возможности предложенной модели проиллюстрируем результатами трех численных экспериментов, в которых будем последовательно вво дить новые механизмы, отвечающие за взаимодействие крупномасштаб ного магнитного поля с мелкомасштабной турбулентностью. В первом эксперименте, результаты которого показаны на рис. 4.9, в расчет при нимался только гидродинамический -эффект ( 0), и не учитывался баланс магнитной спиральности (в формулах (4.32) полагали 0). В этом случае экспоненциальный рост крупномасштабного поля выходит на насыщение при 150. Тороидальное поле непосредственно генери руется за счет очень сильного и стабильного механизма дифференциаль ного вращения, и его энергия существенно превосходит энергию полои дального поля, а в ее изменениях отсутствуют быстрые вариации, обу словленные в полоидальном поле сильными флуктуациями турбулент ности.

Во втором примере (рис. 4.10) по-прежнему учитывается только гид родинамический -эффект, но строго контролируется баланс магнитной спиральности при взаимодействии турбулентности и крупномасштабно го магнитного поля. В этом случае преобладание тороидального поля над полоидальным не столь выражено, а процесс генерации в целом ста новится менее устойчивым. На рис. 4.10б показано поведение магнит ной спиральности крупномасштабного и мелкомасштабного полей. Вид но, что турбулентность, генерируя спиральное крупномасштабное поле, получает взамен магнитную спиральность противоположного знака, ко торая оседает в длинноволновой части спектра (магнитная спиральность не может переноситься в мелкие масштабы, где эффективна диссипа ция). Накопления магнитной спиральности в крупномасштабном поле не происходит благодаря диффузии, а накапливающаяся магнитная спи ральность мелкомасштабного (турбулентного) магнитного поля может приводить в конце концов к полной блокировке крупномасштабного ди намо. Такую блокировку динамо называют "катастрофическим" подав лением (квенчингом). Такого состояние наблюдается в нашей модели на интервале времени 450 550.

В последнем численном эксперименте решались полные уравнения мо дели, то есть учитывались обе составляющие -эффекта (гидродинами ческая и магнитная), и контролировался баланс энергии и магнитной спиральности. Результаты расчета показаны на рис. 4.11. Магнитный эффект существенно меняет динамику процесса. Периоды наиболее ак тивной генерации крупномасштабного поля также сопровождаются ро (а) (б) 0. 0. 0. HB 0. 1.0 Hb H E 1. 0. 2. 2. 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 t t Рисунок 4.10: Эволюция энергии (обозначения, как и на рис. 4.9) при строгом балансе магнитной спиральности (а). Вариации магнитной спиральности мелкомасштабного (черная линия) и крупномасштабного (штриховая линия) полей (б).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.