авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД На правах рукописи Степанов Родион ...»

-- [ Страница 4 ] --

стом его магнитной спиральности и одновременным накоплением отри цательной магнитной спиральности в турбулентных пульсациях. Однако система быстро справляется с этими всплесками спиральности, избегая тем самым «катастрофического подавления». Объясняется это тем, что магнитная составляющая -эффекта, которая в большей степени зависит от уровня магнитной спиральности, меняет знак -эффекта. Это приво дит к кратковременным инверсиям полоидального поля, а при достаточ ной длительности инверсии и к изменению знака тороидального магнит ного поля (см. рис. 4.11в, где показана эволюция структуры поля попе рек диска на интервале времени 100 350). Явление "неудавшейся" инверсии в геомагнетизме называется джерком геомагнитного поля и играет важную роль в объяснении геофизических явлений (см., напри мер, [165]). В геомагнитизме "неудачу" такого типа объясняют проникно вением магнитного поля в твердое ядро, имеющее диффузионное время, большее, чем время магнитной конвекции в основном объеме, и, соответ ственно, тормозящее быстрые переполюсовки поля. Примечательно, что предлагаемая модель позволяет получить подобный эффект, не прибе (а) (б) 10 0. 0. 0.1 0. H E 0. 0. 0. 0. 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 t t (в) B Br B 100 150 200 250 300 t Рисунок 4.11: (а) и (б) То же, что на рис. 4.10, но для полной модели (работают -эффекта обе составляющие и контролируется сохранение магнитной спирально сти). (в) Эволюция полоидального (светлая линия) и тороидального (черная линия) = 0.

магнитного поля в центральной галактической плоскости гая к влиянию граничных условий. Отметим, что в процессе генерации также наблюдаются периоды спада (например, при 320 380 на рис. 4.11а), но этот спад не связан с какой-либо особенностью в поведе нии магнитной спиральности (рис. 4.11б).

Особенности эволюции структуры компонент магнитного поля попе рек диска иллюстрирует рис. 4.12. Можно видеть, что полоидальное поле характеризуется не только высокочастотными пульсациями во времени, но и значительно более выраженной мелкомасштабной пространствен ной структурой (в сравнении с тороидальным полем). При этом в эпоху наибольшей активности полоидальное поле сосредоточено вблизи цен Рисунок 4.12: Изменение профилей крупномасштабного магнитного поля (торои () () дальное - внизу, полоидальное - вверху) со временем.

тральной плоскости галактики, а к окончанию цикла активности уходит на периферию, напоминая знаменитые баттерфляй-диаграммы для сол нечной активности (в случае Солнца динамо-волна возникает в средних широтах и распространяется к экватору).

4.3 Выводы Построена комбинированная модель динамо, объединяющая описание эволюции крупномасштабной и мелкомасштабной составляющей магнит ного поля. На основе законов сохранения предложена схема сопряжения уравнения динамо среднего поля с каскадными моделями мелкомасштаб ной МГД-турбулентности. В качества основных факторов выделены тур булентный -эффект и турбулентная магнитная диффузия, определяе мые по спектральному распределению кинетической и магнитной энер гии.

Комбинированная модель 2 -динамо позволила в деталях исследовать динамический режим подавления -эффекта крупномасштабным маг нитным полем, возникающим в процессе генерации. Показано, что соот ношения между крупномасштабной и мелкомасштабной энергией сильно зависит от параметров, определяющих степень разделения масштабов и спиральности поля скорости. Определен характер состояния равнорас пределения кинетической и магнитной энергий при различных значени ях магнитного числа Прандтля.

Проблема перераспределения магнитной спиральности между крупно и мелкомасштабным полем изучена на примере комбинированной модели -динамо в галактическом диске. Показана роль отдельных механиз мов взаимодействия среднего поля и турбулентности. Магнитная состав ляющая -эффекта может действовать как самостоятельный механизм генерации, а так же механизм, обеспечивающий подавления полного эффекта. Найдены режимы генерации, в которых накопление крупно масштабной магнитной спиральности приводит к продолжительным спа дам крупномасштабного магнитного поля. Показано, что предложенная модель не только воспроизводит основные режимы генерации галактиче ского магнитного поля, но и дает реалистическую структуру компонент магнитного поля поперек диска.

Глава Интерпретация данных радионаблюдений Теоретические результаты моделирования механизмов генерации и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объектах мо гут быть проверены или дополнены при наличие достоверных наблю дательных данных. Проблема заключается в том, что прямое измере ние космических магнитных полей в большинстве случаев невозможно.

Данные существующих косвенных методов наблюдения требуют интер претаций. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитного поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количественных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет выбор данных и техники обра ботки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных на блюдений.

Основные метод анализа, развиваемые в данной работе, основаны на вейвлет-преобразовании, которое зарекомендовало себя как удобный ин струмент, охватывающее весь спектр проблем, включающих распознава ние образов, масштабный и корреляционный анализ. Вейвлеты на дан ный момент являются одним из самых удобных методов анализа много мерных полей путем разделения пространственных структур с различ ными размерами.

5.1 Анализ анизотропных структур 5.1.1 Анизотропный корреляционный вейвлет-анализ При изучении многих физических явлений возникает вопрос о степе ни корреляции тех или иных полей. В случае действительных двумерных полей (изображений) (x) и (x) вводится кросс-корреляционная функ ция (5.1) ( (x) )((x + l) )x, (l) = lim где x = (, ), -область интегрирования, а черта над переменной обо значает ее среднее значение.

На вычислении кросскорреляционной функции (5.1) двух последова тельных изображений поля частиц примеси в движущейся среде основа ны, например, различные алгоритмы восстановления поля скорости (ме тоды PIV - Particle Image Velocimetry [166]). Изображения разбиваются на области, в каждой из которых определяется смещение l, обеспечи вающее максимум функции (5.1). Делением смещения на задержку по времени между соответствующими снимками получают значения векто ра скорости в плоскости изображения.

В задачах сравнения (идентификации) двух изображений интерес пред ставляет максимальное значение функции, а не смещение, на котором этот максимум наблюдается (во многих случаях изображения совмеща ются по каким-либо признакам до вычисления корреляции и тогда мак симум функции достигается вблизи точки (l = 0). Тогда можно говорить лишь о корреляционной длине l, при которой корреляция существенно падает. При сравнении дискретных цифровых полей используют пото чечный (или попиксельный) коэффициент корреляции ( )( ) (5.2) = ( ).

)2 ( )2 1/ ( Точность оценки коэффициента корреляции определяется при этом ко личеством независимых точек, использованных при вычислении, и уровнем корреляции [167]:

1 (5.3) =.

Определенный таким образом коэффициент корреляции (5.2) является интегральной характеристикой, содержащей в себе информацию о сте пени скоррелированности всех масштабов, присутствующих в рассмат риваемых полях. Можно привести множество примеров, когда рассмат риваемые поля включают структуры различных масштабов и одни мас штабы могут определяться общими механизмами и быть строго скорре лированными, в то время как структуры других масштабов могут быть совершенно независимы.

Для помасштабного анализа степени корреляции пространственных полей в работе [168], посвященной анализу мелкомасштабной структуры изображений внешних галактик в различных диапазонах радио- и опти ческого излучения, был предложен метод вейвлетных кросскорреляций.

Вейвлет-представление функций позволяет сохранить информацию как о спектральном составе исходного поля, так и о локализации структур в физическом пространстве. Вычисляя последовательно кросскорреля ционные коэффициенты для вейвлет-разложений заданного масштаба, можно получить помасштабную характеристику степени коррелирован ности рассматриваемых полей.

В работе [168] анализ двумерных полей проводился с помощью изо тропных вейвлетов. В данной работе предлагается обобщение этого ме тода на случай полей, обладающих анизотропной структурой. Использо вание анизотропных вейвлетов приводит к появлению дополнительного параметра, характеризующего ориентацию структур, и соответствующе му усложнению как вычисляемых вейвлет-разложений, так и получае мых на их основе корреляционных характеристик.

Вейвлет-анализ двумерных полей Вейвлет-образ двумерной функции (x), для которой существует пре образование Фурье + + ^ (x)kx x, (5.4) (k) = определим как + + ( ) x x (x ) * x. (5.5) (, x) = где (x) - вещественная или комплексная функция, называемая ана лизирующим вейвлетом, - параметр, имеющий размерность длины и характеризующий масштаб, а знак соответствует комплексному сопря * жению. Вейвлет представляет собой осциллирующую функцию, среднее значение которой равно нулю, локализованную как в физическом про странстве, так и в пространстве Фурье. Преобразование (5.5) единствен но и обратимо, то есть функция (, ) может быть восстановлена по имеющемуся вейвлет-образу + + + ( ) x x 1 (5.6) (x) = (, x ) x, если существует конечная величина + + ^ |(k)| (5.7) = 2 k.

|k| Подробное изложение вейвлет-анализа одномерных сигналов можно найти, например, в книгах [169,170], основы вейвлет-анализа одномерных и двумерных функций приведены в книге [125].

Определение (5.5) справедливо для изотропных (осесимметричных) вейвлетов = (), = 2 + 2. Выбор анализирующего вейвлета () зависит от целей анализа. Для определения области локализации структур в пространстве требуются функции с хорошим пространствен ным разрешением, а при построение спектральных характеристик пред почтительными становятся функции с выраженной локализацией в про странстве Фурье. В рассматриваемых ниже примерах будут использова ны два вида действительных функций. Это двумерный вариант Мекси канской шляпы (MH –Mexican Hat) () = (2 2 ) (5.8) /, и функция, определяемая в пространстве Фурье как [171] cos2 ( log ) |k| :

2 ^ (5.9) (k) = |k|, |k| 4.

0 :

Эта функция является хорошим компромиссом, обеспечивая относитель но хорошее разрешение по обе стороны от преобразования Фурье и будет обозначаться как PH (от английского Pet Hat - любимая шляпа).

В вейвлет-представлении распределение энергии пульсаций по мас штабам характеризуется интегральным вейвлет-спектром, + + (5.10) | (, x)|2 x, () = который связан со спектром Фурье формулой + + 1 ^ ^ (5.11) | (k)|2 |(k)|2 k.

() = Последнее соотношение показывает, что вейвлет-спектр есть по сути сгла женная версия спектра Фурье.

В задачах, связанных с выделением ориентированных структур раз личного масштаба, может быть полезным анизотропное вейвлет-преобра зование. Использование анизотропных функций приводит к появлению дополнительного параметра, отвечающего за ориентацию вейвлета. При этом вейвлет-преобразование двумерной функции приводит к четырех мерному набору вейвлет-коэффициентов (две координаты, масштаб и угол) + + ( ) x x (x ) *, x. (5.12) (,, x) = 3/2 Интегральный вейвлет-спектр (5.10) становится в этом случае функцией двух переменных, масштаба и угла, + + (5.13) | (,, x)|2 x.

(, ) = Появление дополнительного параметра значительно расширяет и на бор функций, которые могут использоваться в качестве анализирующе го вейвлета. Оставляя в стороне вопрос о выборе оптимальной функ ции для анизотропного вейвлет-разложения, отметим лишь, что в этом случае появляется дополнительный критерий, характеризующий угловое разрешение анизотропного вейвлета, т.е. чувствительность к направле нию структур. В данной работе во всех вычислениях в качестве анали зирующего вейвлета будет использована комплексная функция, которая представляет собой одномерный вейвлет Морле, вписанный в осесиммет ричное гауссово окно, (фрагмент плоской волны, выделенный с помощью осесимметричной функции Гаусса) (2 + 2 ) (5.14) (x, ) = 2( cos + sin ).

Масштаб определяется длиной плоской волны (показатель первой экспо ненты), а параметр во второй экспоненте задает размер окна (число осцилляций). С ростом улучшается спектральное разрешение вейвлета.

Выбор конкретного значения зависит от структуры анализируемого по ля и целей анализа. В большинстве вычислений использовалось значение = 1. В случае анализа изображений с четко выделенной периодической структурой имеет смысл использовать 1.

Вейвлетная кросскорреляция – изотропные поля Вейвлет-представление анализируемых полей позволяет сравнивать структуру полей и для каждого масштаба по отдельности. Коэффи циент корреляции вейвлет-разложений, полученных с помощью изотроп ных вейвлетов, можно определить для каждого заданного масштаба в виде:

(, x)* (, x)x (5.15) () =.

[ () ()]1/ A1 A2 A Рисунок 5.1: Тест A: статистически изотропные поля. Исходное случайное поле (A1) / = 0.5 / = и его зашумленные копии. Отношение шум/сигнал (A2) и (A3).

Верхний индекс означает, что используется изотропное разложение.

Погрешность вычисления вейвлетной кросскорреляции (ВВК) можно оце нить используя формулу (5.3), связав количество независимых точек с анализируемым масштабом и размером изображения как = (/)2.

В качестве примера рассмотрим корреляцию ряда изотропных полей (тест А, рис. 5.1). Поле A1 есть искусственно сгенерированное, случай ное, статистически изотропное поле, среднеквадратичное значение для которого равно. Второе поле получается из первого путем наложения на него белого шума с заданным среднеквадратичным значением. На рис. 5.1 показаны два примера для различных отношений шум/сигнал.

При / = 0 имеем два идентичных поля. Поточечная кросскорреля ция таких полей равна единице. По мере роста отношения шум/сигнал значение коэффициента поточечной кросскорреляции монотонно пада ет (рис. 5.2,а). Заметное снижение уровня корреляции начинается при / 0.5, а при / 1 коэффициент корреляции снижается до 0.5. Таким образом, белый шум достаточно быстро разрушает ин тегральную корреляцию. Однако понятно, что энергонесущие масштабы не должны потерять признаки корреляции, потерянные в общем шуме.

На рис. 5.2b представлены ВКК, вычисленные для различных зна (a) (b) 1. 1. 0. 0. 0. 0. r 0. I N/s=0. r 0. N/s=0. N/s= 0. 0.2 N/s= 0. 0. 0 1 2 0.01 0. N/S a Рисунок 5.2: Тест А : a - зависимость поточечной кросскорреляции от отношения шум/сигнал;

b - ВКК для различного уровня шума.

чений уровня шума во втором поле. Для расчета ВКК использовались разложения, полученные при помощи вейвлета PH. Из графика видно, что даже достаточно высокий уровень шума (нижняя кривая соответ ствует сигналу, в котором нескоррелированный шум поля A2 в три ра за превышает уровень сигнала) не разрушает корреляцию на основном (энергонесущем) масштабе, который выделен на рисунке вертикальной линией. Видно, что на остальных масштабах уровень корреляции при этом значительно уменьшается.

Использование анизотропного вейвлет-представления становится це лесообразным при анализе полей, в которых необходимо идентифициро вать анизотропные структуры различного масштаба. В соответствии с формулой (5.12) результат такого разложения зависит от четырех пара метров. Очевидно, что прямое обобщение формулы (5.15) на случай ани зотропного вейвлет-разложения приводит к двухпараметрической ВКК вида (,, x)* (,, x)x (5.16) (, ) =.

[ (, ) (, )]1/ Использование такой ВКК на практике в большинстве случаев малоин формативно. Требуется более простая характеристика степени коррели рованности полей. Выбор конкретной характеристики зависит от вида изучаемых структур и целей анализа. Далее рассмотрим только два ти па задач – задачу об определении корреляции направлений ориентации вытянутых структур одного масштаба и задачу об определении сдвига фаз скоррелированных волновых пакетов. В обоих случаях используется анализирующий вейвлет вида (5.14).

Сначала рассмотрим одиночную вытянутую структуру на фоне белого шума (тест B, рис. 5.3а). На втором изображении (поле B2) присутствует такая же структура, локализованная в той же точке, что и в поле B1, но повернутая на некоторый угол. Поточечная корреляция таких полей быстро падает даже при низком уровне шума (рис. 5.3b).

Для интерпретации ВКК необходимо знать спектральный состав ана лизируемых полей, так как кросскорреляция имеет смысл только на энергонесущих масштабах. Интегральный вейвлет-спектр (, ) поля В1 изображен на рис. 5.4a. Суммирование по одной из переменных (мас штабу или углу) дает одномерные проекции – обычный энергетический спектр (рис. 5.4b) и угловой спектр (рис. 5.4с). Энергетический спектр () указывает только на то, что основная энергия сосредоточена в мелких масштабах ( 0.01). Угловой спектр показывает, что имеется выделенное направление под углом = 30 градусов. Совместный анализ этих двух спектров может привести к ложному выводу о том, что именно мелкомасштабные структуры имеют выраженную анизотропию. Реаль ную картину дает только двухмерный спектр (, ), на котором виден отчетливый след анизотропной структуры при угле 30 градусов и масштабах 0.05. Этот спектр указывает и на то, что мелкомасштаб ные структуры изотропны (равномерная темная полоса в нижней части поля).

(a) (b) 1. 0.8 0. 0. 0. r 0. 0. 0. 0 20 40 60 Рисунок 5.3: Тест B : a - исходное поле B1;

b - поточечная корреляция в зависимости от угла поворота структуры на поле B2 для различного уровня шума (отношение амплитуды шума к амплитуде сигнала - 0.01, 0.5, 1).

(a) (b) (c) 0. 0. 0.12 0. a 0. M(a) M( 0. 0. 0. 0 30 60 90 120 0 50 100 0. a (, );

();

().

Рисунок 5.4: Тест B. Анизотропные вейвлет-спектры: a - b- c Выше было показано, что изотропная ВКК достаточно устойчива к шуму и позволяет оценить для изотропных полей уровень корреляции на основном (энергонесущем) масштабе. В рассматриваемом случае изо тропная ВКК хорошо идентифицирует коррелированность двух изобра жений только при 0 (см. рис. 5.5,a). В изотропном вейвлет-спектре основной вклад от вытянутой структуры приходится на масштаб, соот ветствующий ее поперечному размеру (в случае поля В это 0.06).

Видно, что представленные изотропные ВКК для всех = 0 прибли жаются к единице только на существенно больших масштабах (порядка длины структуры).

Введем одномерные анизотропные ВКК. Рассматривая задачу оценки (a) (b) (c) 1.0 1. 1. 0. 0.5 0.5 0. A I r2A r 0. r a -0. 0.0 0. 0.01 0.1 0. a a -1. :

Рисунок 5.5: Тест B. Вейвлетные кросскорреляции для различных углов изотроп 1 ная (a) и анизотропные (b) и (c).

степени совпадения положения структур вне зависимости от их ориен тации, ВКК для дискретно заданных полей можно определить как ( ) (5.17) 1 () =, |2 | | | где (5.18) (, x) = max{| (,, x)|} есть максимальное значение вейвлет-коэффициента для заданного мас штаба и положения, а есть значение угла,при котором этот максимум достигается.

Если же интерес представляет именно степень корреляции направле ний ориентации структур, то оценить корреляцию двух изображений и можно следующим образом:

( cos 2( )) (5.19) 2 () =.

|2 | | | В этом случае учитывается не только максимальное значение вейвлет коэффициента для заданной точки, но и ориентация вейвлета, при кото рой оно получено. Так как направление ориентации структуры опреде ляется с точностью до, то абсолютное значение разности углов будет лежать в интервале от 0 до /2. Множитель 2 растягивает этот диапа C1 C2 C ).

Рисунок 5.6: Тест С: шум и анизотропные структуры двух масштабов ( и С – структуры локализованы и ориентированы произвольно, локализованы также /4 /3, произвольно, но направлены в диапазоне углов от до С2 – все структуры /2, локализованы в тех же точках что и на С1, но повернуты на а направление неизменно, С3 – все структуры локализованы в тех же точках что и на С2, направ /6.

ление структур совпадает, а структуры повернуты на зон до, приводя к тому, что взаимно-перпендикулярной ориентации структур соответствует значение 2 = 1.

Анизотропные ВКК вида (5.17) и (5.19), вычисленные для теста В при различных значениях угла, показаны на рис. 5.5(b,c). Обе анизотроп ные ВКК значительно четче, чем изотропная (рис. 5.5a), отделяют масштабы структуры от области малых масштабов, на которых домини рует случайный шум. Видно, что 2 для этого (безусловно простого) слу чая позволяет оценить и угол между направлениями структур на двух изображениях (по значениям 2 на больших масштабах). Отметим, что на практике имеет смысл рассматривать совместно обе ВКК, а также вейвлет-спектры, поскольку они несут независимую информацию. Так, в случае наличия в изображениях большого числа структур, повернутых на произвольные углы, 2 даст значение, близкое нулю, в то время как 1 даст оценку степени корреляции положений этих структур.

Следующий тест С (рис. 5.6) касается полей, содержащих анизотроп (a) (b) (c) 0. 0. 0. 0. a 0. M( ) M(a) 0. 0. 0. 0 30 60 90 120 0 50 100 0.1 0. a (, );

();

().

Рисунок 5.7: Тест С. Анизотропные вейвлет-спектры: a - b- c 1. (a) (b) (c) 1. 1. I r 0. 0. 0. A r 0. C1-C 0. A r C1-C a C2-C3 -0. 0. 0. 0.01 0. 0. a a -1. Рисунок 5.8: Тест С. Вейвлетные кросскорреляции: изотропная (a) и анизотропные 1 (b) и (c).

ные структуры двух масштабов. Причем поле С2 получено из поля С путем разворота больших структур () на угол /2, а поле С3 получено из поля С2 путем поворота структур меньшего масштаба () на угол /6.

Коэффициенты поточечной кросскорреляции равны 0.48 (С1-С2), 0. (С2-С3), 0.21 (С1-С3). Вейвлет-спектры поля С1 показаны на рис. 5.7.

Энергетический спектр указывает на доминирование крупномасштабных структур. Это подтверждает и двумерный спектр. При этом в мелко масштабной части существует выделенное направление, в то время как крупномасштабные структуры распределены по углу более или менее равномерно.

На рис. 5.8 для каждой пары полей С1, С2 и С3 показаны изотропная и анизотропные ВКК. Изотропная ВКК хорошо выделяет пару изобра жений, на которых мелкие структуры сохранили свое положение (С1 С2) - им соответствует выраженный пик на малых масштабах. Наиболее понятный для интерпретации результат дает анизотропная ВВК вида (5.19). Для пары С1 и С2 (структуры сонаправлены, а - перпенди кулярны) 2 достигает больших значений (0.7) на масштабе структур и больших по модулю отрицательных значений на масштабе структур. В случае сонаправленных крупномасштабных (С2-C3) структур 2 на масштабе порядка - приближается к 1, а мелкомасштабные структуры, которые в данном случае направлены под углом /6, также обнаружи вают корреляцию, но меньшую, чем в случае сонаправленных структур.

В качестве примера задач другого типа рассмотрим поле, содержащее области с фрагментами плоских волн с произвольным направлением вол нового вектора в каждой области (Тест D1). Поле D2 содержит аналогич ные фрагменты плоских волн, но сдвинутые по фазе (такого рода пары изображений могут возникать, например, при регистрации поляризован ного излучения). Изображения (рис. 5.9) включают 4 волновых пакета, которые одинаково расположены и ориентированы на обоих полях, но имеют сдвиг фаз /2 для каждого пакета. Несмотря на то, что сигна лы безусловно скоррелированы между собой, коэффициент поточечной корреляции в пределах погрешности равен 0 (очевидно, что поточеч ная корреляция для двух плоских волн со сдвигом фаз = /2 равна нулю). Такой же результат даст и изотропная ВКК. В случае простой структуры изображения (однородная плоская волна) задача легко реша ется путем вычисления обычной кросскорреляционной функции (5.1), но в рассматриваемом примере среднее по всему полю значение кросскорре ляционной функции (5.1) также будет равно нулю для любого сдвига l.

D1 D Рисунок 5.9: Тест D 1. (a) (b) 1. 0. 1. 0. |rA| 0. 0. 0. 0. 0. a 0. -0. 0. a 3.

Рисунок 5.10: Тест D. Модуль (a) и фаза (b) анизотропной ВКК вида Результат расчета изотропной ВКК с использованием вейвлета PH подтверждает, что изотропная ВКК не различает пары волн, сдвинутых на четверть длины волны, и парой случайных полей. Коэффициенты изотропной ВКК во всем диапазоне масштабов по модулю меньше 0.1.

Поскольку основной интерес представляет нахождение сдвига фаз, то представляется целесообразным ввести комплексную ВКК вида ( (, )* (, ) cos 2( ) (5.20) 3 () =.

| |2 | | Из рис. 5.10 видно, что на малых масштабах, где все определяется только нескоррелированным шумом, 3 близко к нулю, на масштабах порядка масштаба структуры |3 | 1, а сдвиг фаз /2.

5.1.2 Спиральные рукава в распределениях пыли, газа и маг нитного поля в галактике M Диски галактик в большинстве случаев демонстрируют спиральную структуру в распределении звезд, газа, пыли и магнитного поля. Спи ральные рукава наблюдаются как по интенсивности синхротронного ра дио излучения, так и по ориентации плоскости поляризации, связанной с крупномасштабным магнитным полем [172]. Сравнение положения и ориентации различных спиральных компонент межзвездной среды мо жет дать важную информацию об физической связи газа, пыли и маг нитного поля в галактиках.

С использование анизотропных вейвлетов была разработана техника изолирования вытянутой структуры в галактических изображениях, та ких как спиральные рукава. Тестированию этой методики было уделено значительное внимание. На рис. 5.11 показан тестовый сигнал и резуль тат определения углов закрутки спиралей.

Рисунок 5.11: Анализ тестового сигнала, состоящего из регулярных спиральных структур и шума в виде ярких точечных источников (слева). Вариация угла за крутки спиралей по азимуту (справа).

Галактика M51 хорошо видна. Имеется много данных в различных Рисунок 5.12: Наблюдательные данные галактики M51. Карты распределений: (a) эмиссия CO [173], (b) интенсивность полного радиоизлучения, (c) инфракрасное из 15мкм лучение [174], (d) линейно поляризованное излучение с ориентацией регуляр ного магнитного поля.

диапазонах длин волн (см. рис. 5.12). Излучения линии CO наблюдает ся на длине волны = 2.6мкм [173]. Это распределение является луч шим следом распределения молекулярного газа в галактиках. Полное и линейно поляризованное радиоизлучение наблюдается на длине волны = 6.2мкм. Оно возникает в основном за счет синхротронного излуче ния и отражает напряженность и направление регулярного магнитного поля. На длине волны = 15мкм наблюдается излучение космической пыли (рис. 5.12 обозначено как ISO), которое отражает процессы звездо образования и оборота материи. Все распределения имеют спиральную структуру, но отличаются в деталях. Необходимо выделить регулярную спиральную структуру каждой компоненты, что позволит установить их взаимосвязь.

Результаты обработки указывают на наличие систематического сдви ги между рукавами, инфракрасного и радиоизлучения протяженно стью несколько кпс, а также вариации угла закрутки спирали порядка нескольких десятков градусов. На рис. 5.13 показано положение рука вов различных компонент в галактической плоскости. Обнаруживаются два типа рукавов поляризованного излучения: один расположен там же, где и рукав, с углом спирали близким к направлению магнитного поля, второй не всегда совпадает с рукавом и имеет угол закрутки спирали, отличный от направления магнитного поля. Смещения между положениями регулярного магнитного поля, плотного газа и разогретой пылью сравнимы с предсказаниями теории образования звезд. На месте расположения рукавов СО ориентация регулярного магнитного поля сов падает с углом закрутки спирали, но за пределами газовых облаков ори ентация регулярного магнитного поля меняется значительно. Подробное Рисунок 5.13: Положение рукавов различных компонент в плоскости галактики М51.

6cm, ISO - 15m инфракрасное I6 и PI6 — полное и поляризованное радиоизлучение излучение.

изложение методики и результатов анализа представлено в работе [175].

5.2 Вейвлет-томография 5.2.1 Дифференцирующий вейвлет Задача о численном дифференцировании функции, известной при ближенно, является классическим примером некорректно поставленной задачи, приводящей к неустойчивости решения [176]. Для обеспечения устойчивости по Тихонову точное решение заменяют приближенным, ко торое управляется параметром регуляризации и стремится к точному при отсутствии погрешности измерений (подробнее о различных вариан тах стабилизации решения см. в [176–178]). На практике регуляризация обычно сводится либо к сглаживанию исходных данных в физическом пространстве, либо к подавлению высоких частот в спектре измерен ных данных. При этом оптимальная ширина сглаживающего окна или соответствующая ему полоса пропускания фильтра связывается с ожи даемым уровнем шума.

Представляется целесообразным сформулировать задачу регуляриза ции операции дифференцирования зашумленных данных на языке вейв лет-представления сигналов, которое позволяет естественным образом совместить преимущества работы в физическом пространстве и простран стве Фурье. Вейвлет-анализ, превратившийся за последнее десятилетие в хорошо развитый раздел функционального анализа (см., например [170]), показал свою эффективность в задачах, связанных с обработкой всевозможных многомасштабных сигналов и полей.

Первые попытки использования аппарата вейвлет-анализа при нахож дении производной зашумленных данных были выполнены в работах [179–182]. В данной работе методика вейвлет-дифференцирования опи сывается в рамках общей проблемы без привязки к специфике сигнала.

При этом проводится систематическое сравнение вейвлет-регуляризации в задаче дифференцирования зашумленных сигналов с другими общеиз вестными подходами. Эффективность использования демонстрируется на конкретных примерах.

5.2.2 Mетоды численного дифференцирования Пусть функция () имеет первую производную (), так что (5.21) () = (), и определена на наборе точек с точностью до некоторой случайной ошибки (5.22) = ( ) +.

Производная () выражается через () () (5.23) () = и в простейшем случае может быть приближенно вычислена как (5.24) =, где = 1.

В условиях шума формула (5.24) может стать неустойчивой. Прини мая для случайной ошибки оценку ||, можно записать ( ) (1 ) (5.25) | | + 2/.

При 0 первое слагаемое в правой части (5.25) стремится к (), а второе может быть сколь угодно большим. Так, в частности, если функ ция задана на конечном интервале, то увеличение числа точек приводит к увеличению второго слагаемого в (5.25).

Дифференцирование в физическом пространстве В теории обобщенных функций [183] вводится -функция, задаваемая неявно как 0+ (5.26) ()() = ()() = (0), где () - гладкая функция.

Известно, что -функция дифференцируема. Ее первая производная, обозначаемая и называемая "дублет", обладает свойством 0+ ( )( ). (5.27) ( )( ) = () = Отметим, что функция нечетна и сосредоточена в бесконечно ма лой окрестности точки =. Функцию называют иногда бесконечно малым диполем.

Дифференцирование в пространстве Фурье По теореме о производной [184] дифференцирование в физическом пространстве сводится к умножению в частотном пространстве. Фурье образы функций и связаны соотношением ^ (5.28) () = (), ^ ^ где () - результат преобразования Фурье ^ (). (5.29) () = ^ Таким образом, находя Фурье-образ сигнала (), умножая его в ча стотном пространстве на и выполняя обратное преобразование Фурье, можно найти производную ():

( ) 1 (5.30).

() = () 2 Отметим, что фильтр имеет импульсную характеристику. То есть (). (5.31) = Принципиальное отличие алгоритма (5.30) от прямого дифференциро вания в физическом пространстве заключается в том, что при вычисле нии преобразования Фурье используется информация о сигнале во всех точках числовой оси, в то время как дифференцирование является по определению операцией локальной.

Дифференцирование с использованием вейвлет-преобразования С точки зрения локальности, метод дифференцирования на основе вейвлет-анализа занимает промежуточное положение между дифферен цированием в физическом пространстве и в пространстве Фурье. Вейвлет образ исходной функции () есть ( ) * (5.32), { } = (), где в качестве анализирующего вейвлета () используется комплексная или действительная функция, локализованная как в физическом про странстве, так и в пространстве Фурье, а параметры и определяют, соответственно, масштаб и положении функции, =.

( ) Записывая аналогичным образом вейвлет-образ функции () и про водя дифференцирование по частям, легко получить *, () * (5.33), {} = =, ()() ().

Таким образом, выполнив вейвлет-разложение функции () по семей, () ству, и выполнив затем обратное вейвлет-преобразование с по мощью вейвлет-семейства, (), можно получить искомую функцию ():

( ) 1 * () (), (5.34) () =, (), 0+ где - анализирующий вейвлет, - синтезирующий вейвлет, и - кон станта, определяемая выражением ^ |()||()| 1 ^ 1 ^ (5.35) |()|2.

= = || 2 Выбор пары и (для анализа и синтеза соответственно) из условия () (5.36) () =, предполагает, что производная от существует и является вейвлетом.

Например, пара функций = (1 2 ) exp(2 /2) и = exp(2 /2) удовлетворяет условию (5.36). В принципе, любой вейвлет, имеющий первую производную, можно использовать в качестве. На практике, выбор кон кретной пары вейвлетов осуществляется с учетом специфики постановки задачи.

В качестве предельного случая можно использовать пару функций = и =. Подставляя в уравнение (5.34) и рассматривая -функцию как сингулярный вейвлет [170], получаем ( )( ). (5.37) ( )( ) = () = Рассмотренные выше алгоритмы не являются устойчивыми и для ис пользования на практике требуют регуляризации.

Приближенное вычисление производной в физическом пространстве Для практического использования необходимо провести регуляриза цию уравнения свертки (5.27). Свертка с аппроксимирующей дублет функцией, ширина которой управляется параметром регуляризации, дает приближенное значение производной. Обобщенная функция ап проксимируется регулярной нечетной функцией с нулевым средним зна чением, область локализации которой определяется ожидаемым уровнем шума. Простейшей аппроксимацией дублета на дискретном множестве является вычисление разности в соседних точках. Устойчивость можно обеспечить, увеличив расстояние между точками, в которых вычисляет ся разность. Такой метод известен со времен Ньютона [176].

Одним из практических методов оценки производной в физическом пространстве является свертка измеренного сигнала со сглаживающим окном [177, 185] с последующим вычислением производной в виде конеч ной разности (5.24). Сглаженный сигнал находится по формуле ( ) ( ), (5.38) где - сглаживающее окно, ширина которого управляется регуляризи рующим параметром.

Применяемое на практике усреднение по соседним точкам эквива лентно сглаживанию прямоугольным окном. Численная оценка погреш ности вычисления производной в физическом пространстве (при исполь зовании различных сглаживающих окон) будет дана ниже.

Приближенное вычисление производной в пространстве Фурье Как альтернативу свертке со сглаживающим окном в физическом про странстве рассмотрим умножение на фильтр низких частот (ФНЧ) в ча стотной области. Идеальный ФНЧ отсекает все частоты, выше 0 ().

Сигнал, пропущенный через идеальный ФНЧ, не будет иметь высоких частот, то есть будет сглаженным. После выполнения обратного преоб разования Фурье дифференцирование производится методом конечной разности.

Можно объединить в частотной области обе операции - обеспечения устойчивости путем подавления высоких частот и вычисления производ ной путем умножения на. Алгоритм (5.30) в условиях шума является неустойчивым, так как умножение на приводит к неограниченному усилению высоких частот. Для обеспечения устойчивости используется ФНЧ с шириной полосы пропускания, управляемой регуляризирующим параметром (при 0 полоса пропускания стремится к бесконечности и приближенное решение стремится к точному). Форма фильтра может выбираться достаточно произвольно, исходя из специфики задачи. Ниже будут рассмотрены два фильтра: дифференцирующий фильтр, представ ляющий собой произведение и идеального ФНЧ, и дифференцирую щий гауссов фильтр - произведение и гауссова фильтра.

Вейвлет-регуляризация При использовании вейвлет-алгоритма вместо свертки сигнала с дуб летом выполняется анализ с использованием вейвлета и последующий синтез с использованием вейвлета. Интегрирование по на этапе син теза на практике осуществляется в конечных пределах от до.

В случае высокочастотного шума выбор необходимо связать с ожи даемым уровнем шума. В простейшем случае пределы интегрирования по выбираются на основании интегральных критериев и не учитывают поведение функции и особенности шума в различные моменты време ни. Преимущество вычисления с помощью вейвлетов состоит в том, что легко реализовать локальную регуляризацию, когда пределы интегриро вания адаптируются под локальные свойства вейвлет-спектра, т.е.

зависит от.

Примеры Выбор оптимального способа дифференцирования зависит, безуслов но, от вида сигнала и характеристик шума. Мы ограничимся рассмот рением двух характерных примеров. Первый пример представляет сиг нал, основная энергия которого сосредоточена в высокочастотной части спектра (периоды характерных колебаний существенно меньше длины интервала, на котором задан сигнал). В этом случае можно считать, что сигнал задан на неограниченном отрезке или является периодическим, что позволяет избежать проблем, связанных с границами области опре деления. В качестве второго примера выбрана кусочно-гладкая функция.

Первый пример представляет собой заданный на интервале от 0 до 1 с шагом 0.001 осциллирующий сигнал, модулированный по частоте и 0. 0.02 0. 0. fn fn 1. 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 xn xn 80 65 2a 2a 5 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 b b (вверху) и соответ Рисунок 5.14: Модельные сигналы с аддитивным белым шумом (внизу).

ствующие вейвлет-образы амплитуде, искомая производная которого определяется по формуле (5.39) () = sin(2(10 + 10))(1 1/2 cos(6)).

Производная второго модельного сигнала определяется выражением { 2, (5.40) () =.

1, Второй сигнал более гладкий и не имеет высокочастотной составля ющей за исключением области разрыва производной. Этот сигнал задан только в интервале от -1 до 1 и ограниченность области определения оказывает прямое влияние на дифференцирование. Для каждого из мо дельных сигналов были сформированы наборы точек по формуле (5.41) = () + (), где () - белый шум с уровнем * 100% от среднего абсолютного зна чения функции.

Метод Минимальное значение Пример 1 Пример Прямоугольное окно 0.42 0. Гауссово окно 0.31 0. Фурье (ФНЧ)+кон.разн. 0.16 0. Фурье гаусс + кон.разн. 0.16 0. Дифференцирующий фильтр 0.18 0. Диф.гаусс фильтр 0.3 0. Вейвлет-регуляризация (Морле) 0.15 0. = (20 * + ) Вейвлет 0.12 Таблица 5.1: Сравнение эффективности фильтрации шума при вычислении произ водной.

Полученные распределения представлены на рис. 5.14. Уровень шума составлял 30% для первого сигнала (рис. 5.14, слева) и 10% для кусочно гладкого примера (рис. 5.14, справа). В высокочастотной части соответ ствующих вейвлет-образов (рис. 5.14, внизу) наблюдаются нерегулярные структуры, вызванные добавлением шума.

Массивы значений использовались для вычисления производной различными алгоритмами и сравнения с аналитическими значениями производной ( ). Среднеквадратичная ошибка (СКО) дифференциро вания определялась по формуле [177] ( )) ( (5.42) =, ( ) где ( ) - значения производной модельного сигнала в точках, результат численного дифференцирования.

В данной работе сравнивались следующие алгоритмы:

Прямоугольное окно в физическом пространстве + конечная раз ность. Сигнал усреднялся по соседним точкам и затем применялся ме 1.4 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. a a 0.8 0. 0. 0. 0. 0. 0.4 0. 0. 0. 0. 25 30 35 40 45 50 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Рисунок 5.15: Зависимость среднеквадратичной ошибки дифференцирования (при мер 1 - слева, пример 2 - справа) от ширины окна в физическом пространстве: пря (вверху);

в частотном пространстве:

моугольное окно - линия, гауссово окно - точки (внизу).

прямоугольный ФНЧ - точки, вейвлет-дифференцирование - линия тод конечной разности для оценки производной. Оптимальное значение ширины окна, минимизирующее, определялось путем варьирования количества точек, по которым проводится усреднение, и последующим сравнением с аналитическим решением. Оптимальное значение шири ны окна имеет значение 0.018 для первого сигнала и 0.14 - для второго сигнала. Минимальные значения приведены в таб. 5.1. Графически зависимость от ширины окна показана на рис. 5.15.

Гауссово окно в физическом пространстве + конечная разность. Ана логичным образом определось оптимальное значение ширины гауссова окна (на уровне половины от максимального значения). Оптимальное значение ширины окна равно 0.011 для первого сигнала и 0.31 - для вто рого сигнала. Минимальные значения - в таб. 5.1. Сравнивая графики зависимости от ширины окна (рис. 5.15), можно видеть, что гауссово окно дает более точное восстановление производной, чем прямоугольное.

ФНЧ в частотном пространстве + конечная разность. Оптималь ное значение частоты отсечки 0, минимизирующее, определялось сле дующим образом: вычислялось FFT сигнала, отбрасыались коэффициен ты ряда Фурье, соответствующие частотам 0, а затем выполнялось обратное FFT и применялся метод конечной разности. Зависимость от 0 представлена на рис. 5.15. Графически зависимость от 0 показана на рис. 5.15. Минимальное значение, достигаемое при использовании идеального фильтра низких частот, - в таб. 5.1.

Гауссов фильтр в частотном пространстве + конечная разность.

Фильтр получается заменой прямоугольного ФНЧ на гауссов. Зависи мость от ширины фильтра в частотном пространстве находилась сле дующим образом: вычислялось FFT сигнала, умножались коэффициен ты ряда Фурье на гауссов фильтр, а затем выполнялось обратное FFT и применялся метод конечной разности. Оптимальное значение шири ны фильтра равно 32 для первого примера и 1 - для второго примера.

Минимальные значение - в Таблице 5.1.

Дифференцирующий фильтр в частотном пространстве. Умноже ние идеального ФНЧ на дает фильтр специальной формы, осуществ ляющий в частотной области вычисление производной одновременно со сглаживанием. Такой фильтр, а также его ближайшие родственники, ис пользуются в томографии для вычисления обратного преобразования Радона [177, 186]. Оптимальное значение частоты отсечки 0 равно для первого примера и 8 - для второго примера. Минимальные значение - в Таблице 5.1.

Дифференцирующий гауссов фильтр в частотном пространстве. Мо дифицируем предыдущий фильтр, заменив идеальный ФНЧ на гауссов фильтр. Умножив в частотном пространстве гауссов фильтр на, по лучим фильтр exp( 2 ), импульсная характеристика которого равна первой производной от гауссова окна. Варьируя ширину фильтра в ча стотной области, найдем значение параметра масштаба, минимизирую щее. Оптимальное значение ширины фильтра равно 37 для первого примера и 10 - для второго примера. Минимальные значения пред ставлены в Таблице 5.1.

Вейвлет Морле в физическом пространстве. Разложим сигнал по масштабам, используя производную от вейвлета Морле в качестве ана лизирующего вейвлета. Диапазон масштабов зададим от 0.1 до 0.006, за пределами которого сигнал практически отсутствует. Затем для каж дого масштаба вычислим свертку полученных вейвлет-коэффициентов с вейвлетом Морле и проинтегрируем по масштабам от = 0.1 до. Варьируя, найдем соответствующие значения. Зависимость от (переведенного в частотный аналог по формуле = 1/(2 )) представлена на рис. 5.15. Оптимальное значение = 35 для первого примера и 7 - для второго примера. Минимальное значение - в Табли це 5.1. Анализ вейвлет-образа квазигармонического сигнала (рис. 5.14, слева) показывает, что существенная часть информации сосредоточена в трех компактных областях, расположенных вдоль наклонной прямой.

Это дает возможность задать минимальный масштаб в виде функции = (10 * + )1. Тогда перебор значений дополнительно мини мизирует. В этом случае для значения = 42 получается результат = 0.12, что заметно лучше, чем результат, полученный с использова нием преобразования Фурье. Для кусочно-гладкого сигнала (Пример 2) дополнительная оптимизация не проводилась, так как его вейвлет-образ (рис. 5.14, справа) существенно искажен влиянием шума.

На рис. 5.16 представлены графики аналитических производных мо дельных сигналов и результаты численного дифференцирования мето дом на основе вейвлета Морле при оптимальном значении (без ис пользования дополнительной оптимизации). Вейвлет-образы производ ных сигналов, приведенные на рис. 5.16, внизу, показывают распределе ния спектральных свойств в заданных интервалах.

Обсуждение Алгоритм c использованием вейвлет-преобразования позволяет про водить устойчивое дифференцирование в условиях шума. Локальность базисных функций позволяет более точно учитывать свойства сигнала по сравнению с методами фильтрации в частотном пространстве. Особый 1. 0. g x, gn 0. g x,gn 0 0. 0. 1. 1. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 x x 80 65 2a 2a 5 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.5 0 0.5 b b Рисунок 5.16: Производные модельных сигналов, вычисленные аналитические - ли нии;

численная оценка с использованием вейвлета Морле при оптимальном значении (вверху). Вейвлет-образы производных модельных сигналов (внизу).

- точки интерес предложенные методы могут представлять при решении обрат ных задач (в медицине, астрономии, гидродинамике и т.д.). Например, интегральное уравнение Абеля, к которому сводится задача осесиммет ричной томографии, имеет решение [186] 1 () (5.43) () =, 2 где () - измеренные с некоторой погрешностью проекционные данные.

В общем случае решение двумерной задачи томографии сводится к обратному преобразованию Радона, которое также может быть выраже но через первую производную измеренного сигнала [177] 1 (, ) (5.44) (, ) = 2, sin + cos 2 где (, ) - измеренные с некоторой погрешностью проекционные дан ные.

В работе [187] приведен ряд примеров, показывающих, что метод поз воляет эффективно подавить шумы, возникающие в спектре из-за про белов, и повысить точность восстановления спектра исходного сигнала.

Этот алгоритм легко переносится и на рассмариваемую задачу о вычис лении производной и состоит в этом случае в следующем. На первом ша ге с помощью метода «дырявых» вейвлетов вычисляется вейвлет-образ, исходной функции (), а на втором шаге - по формуле (5.34) вос станавливается искомая производная () = (). При этом на втором шаге используются полные вейвлет-функции ().

5.2.3 Галактическое магнитное поле

Работа направлена на решение фундаментальной проблемы опреде ления крупномасштабной структуры магнитного поля нашей Галактики по данным астрофизических наблюдений. Наиболее достоверным инди катором магнитного поля в межзвездной среде является фарадеевская мера вращения поляризованного излучения некоторого радиоисточника внутри Галактики или за ее пределами. Фарадеевская мера RM дает интегральную оценку магнитного поля вдоль луча, направленного на радиоисточник, и определяется выражением [156] (5.45) RM = B s, где B – магнитное поле, – плотность свободных электронов, – рас стояние до источника поляризованного излучения, в направлении луча зрения s. Существует два типа источников: внегалактические (излуче ние проходит через всё магнитное поле нашей Галактики и расстояние до источника не играет роли, = ) и внутригалактические (как пра вило, это пульсары, при рассмотрении которых учёт расстояния просто необходим). Обработка данных только внегалактических источников не позволяет полностью определить структуру галактического магнитного поля, так как реально для анализа имеется лишь двумерная проекция на сфере [188]. В свою очередь наблюдательные данные фарадеевских мер пульсаров весьма немногочисленны, а их распределение по галак тическому диску крайне неравномерно. Основную новизну исследова ния представляет собой идея развития и применения метода совместного анализа данных. Восстановление структуры трехмерного поля по таким проекционным данным представляет собой очень сложную задачу, раз решаемую только до определенной степени. Процедура восстановления подинтегральной функции в выражении (5.45) отягощена рядом условий.

Функция RM дискретна и известна только в точках расположения ис точников или на границе галактического диска. Источники разбросаны существенно нерегулярно по диску, а их низкая плотность распределения не позволяет провести простое осреднение. Данные сильно зашумлены как за счет ошибок измерений, так и наличием сильной турбулентной составляющей магнитного поля. Таким образом, было необходимо раз работать подход, так или иначе преодолевающий эти проблемы и поз воляющий восстанавливать трехмерное поле по имеющимся на данный момент наблюдательным данным.

Комбинирование данных было выполнено за счет введения расстоя ния между источниками не в килопарсеках, а в единицах дисперсионной меры, определяемой выражением [189] (5.46) 2 s, RM = В качестве модельного распределения использовалась базовая мода, Рисунок 5.17: Совместное распределение данных фарадеевских мер вращения пуль саров (радиоисточники внутри Галактики) и внегалактических источников радиоиз лучения с использованием “оптической толщины” (вид с торца галактического диска RM вверху, вид в плоскости внизу). Источники с отрицательными обозначены пу RM.


стыми кругами, с положительные — заполненными. Размер отражает величину предложенная в работе [190]. На рисунке 5.11 хорошо видно, как внега лактические источники покрывают поверхность эффективного галакти ческого диска, а пульсары заполняют его. Это даёт бесспорные преиму щества при дальнейшей обработке.

В дальнейшем представлялось целесообразным отдельно сформулиро вать задачу регуляризации операции дифференцирования зашумлённых данных на языке вейвлет-представления сигналов, которое позволяет естественным образом совместить преимущества работы в физическом пространстве и пространстве Фурье. Алгоритм дифференцирования с использованием вейвлет-преобразования, предложенный в разделе 5.2.1, может быть применен для обработки данных распределенных в объеме.

Принимая по внимание специфику анализируемых данных – спираль ных структур векторного поля, предлагается два дополнительных шага по улучшению метода. Во-первых, следует использовать анизотропные вейвлеты, которые обсуждались в разделе 5.2.1 и применялись для ана лиза спиральных структур внешних галактик. Будем использовать трех мерный «Texan» вейвлет, задаваемый выражением (5.47) (r =,,, ) = (1 2 ){2 + 2 /2 + 2 }, где – аспектное отношение анизотропии. Во-вторых, можно вектор ное представление вейвлета позволяет формулу вейвлет-преобразования (5.5) сделать структурно похожей на (5.45). Предлагается следующая ре ализация данного шага (5.48) (r,, ) = {0, cos, sin }(r, ), где – угол между направлением и плоскость галактики.

Предлагаемый метод восстановления структуры магнитного поля по данным RM тестируется на модельных распределениях. Тестовый (а) (б) 2. 2. RM 0. 394. kpc kpc 2. 2. 0.988266 449. 7.5 7. 10 10 5 0 5 10 10 5 0 5 kpc kpc Рисунок 5.18: Тестовое распределение составляющей магнитного поля вдоль луча RM зрения (а) и соответствуете распределение (б).

сигнал представляет собой фрагменты трех спиральных рукавов, про ходящих в окрестности Солнца, расположенном в начале координат (см.

рис. 5.18). Восстановление тестового сигнала заданного на реальном рас пределении источников показано на рис. 5.19. Можно видеть, что по ле восстанавливается только в некоторой окрестности Солнца. При ис пользовании изотропного вейвлета полученное поле имеет клочковатую структуру и вытянутые рукава практически не просматриваются (см.

рис. 5.19а). Анизотропный вейвлет позволяет устранить этот недоста ток (см. рис. 5.19б). Применение векторной формы вейвлета позволя ет перейти от восстановления компоненты магнитного поля вдоль луча зрения к восстановлению азимутальной компоненты вдоль спирального рукава. В результате, пропадает разрыв в области, где магнитное поле перпендикулярно направлению наблюдения и структура поля становит ся непрерывной.

В обработку были включены практически все данные RM, которые можно найти в опубликованных каталогах. На настоящий момент это по рядка 1000 источников. В результате обработки удалось получить устой чивые к ошибкам измерений данные относительно глобальной структуры (а) (б) (в) Рисунок 5.19: Восстановление тестового распределения с использованием изотропно го вейвлета (а), анизотропного вейвлета (б) или анизотропного вейвлета в векторной форме (в).

Рисунок 5.20: Результат восстановления крупномасштабных структур магнитного поля в галактической плоскости.

магнитного поля Галактики, что впервые позволило сделать ряд суще ственных выводов: оценить параметры спиральной структуры крупно масштабного магнитного поля, определить направление магнитного поля в спиральных рукавах, выявить наличие сдвига между рукавами ионизи рованного газа и магнитными рукавами. На рис. 5.13 показан пример вос становления структуры крупномасштабного магнитного поля в плоско сти галактического диска, получаемые в результате вейвлет-обработки.

Линиями изображены оптические спиральные рукава. Хорошо видно, как магнитные рукава отклоняются от оптических. Область, где данных недостаточно для получения устойчивых результатов остается белой.

Задача восстановления магнитных полей внешних галактик решается с применением подгонки некоторой малопараметрической модели. Это вполне оправдано, если учесть, что в перспективе строительства радио телескопа нового поколения SKA (Square Kilometre Array) число наблю даемых радиоисточников существенно вырастет. В связи с этим откры ваются возможности наблюдения за магнитными полями очень далеких галактик. Проделанная работа состояла в том, чтобы при заданном набо ре данных фарадеевской меры вращения для некоторой галактики опре делить точность определения типа симметрии магнитного поля и его интенсивности. Это позволяет оценить минимальное число источников для надежного определения параметров галактического магнитного по ля. Для решения задачи разработана математическая модель галактиче ского магнитного поля, имеющего различную азимутальную симметрию ( осесимметричную, бисимметричную и т.д.) регулярной составляющей в ионизированном галактическом диске и турбулентную составляющую, распределенную по колмогоровскому закону. Достоверность определения параметров магнитного поля при заданном числе источников рассчиты вается с использованием -квадрат критерия. Получилось, что необхо димое число источников сильно расчет в случае высокой интенсивности турбулентности и сильном наклоне галактического диска к лучу наблю дения.

5.3 Статистический метод обнаружения магнитной спиральности в межзвездной среде Как уже отмечалось, в последнее время выделяется особая роль маг нитной спиральности в процессах генерации и эволюции космических магнитных полей [191]. Полная спиральность системы является интегра лом движения и сохраняется в бездиссипативном пределе. Результаты теоретических и численных работ показывают, что магнитная спираль ность может накапливаться в системе и приводить к подавлению меха низмов генерации [192]. Это поставило под вопрос саму возможность тур булентного динамо и потребовало построения адекватной модели, опи сывающей динамику. Модель динамо в галактическом диске была дополнена уравнениями, описывающими выброс магнитной спирально сти, что позволило преодолеть процессы катастрофического подавления динамо-процессов [193]. Так, в [194] рассматривались механизмы динамо Солнца и было показано, что учет спиральности мелкомасштабных маг нитных полей имеет решающее значение в ограничении роста энергии генерируемого крупномасштабного магнитного поля. Используя резуль таты [193], автор работы [195] доказывает необходимость корональных выбросов для генерации сильного крупномасштабного магнитного поля Солнца.

Развитие моделей, описывающих эволюцию магнитной спиральности, требует понимания нелинейных процессов в многомасштабных системах, а также представления о распределении магнитной энергии и спираль ности по спектру, степени неоднородности и анизотропности распреде ления по пространству. Представляется крайне важным иметь фактиче ский материал, подтверждающий как само присутствие спиральности, так и ее взаимосвязь с другими компонентами среды. Наблюдения спи ральности в конвективной зоне Солнца указывают на существование зависимости между интенсивностью токовой спиральности и динамо процессами [196]. Изучение МГД-турбулентности в лабораторных усло виях крайне затруднительно (для обзора см. [197]). Единичные успешные эксперименты, направленные на измерение турбулентных магнитных по лей [198], существенно отличаются по характерным параметрам, преж де всего по величине магнитного числа Рейнольдса. Анализ астрофи зических наблюдений остается наиболее перспективным направлением исследований в данном вопросе. В современных астрофизических иссле дованиях нет единого подхода к определению спиральности межзвезд ных магнитных полей. В работе [199] доказывается, что магнитную спи ральность можно определить по флуктуациям реликтового излучения. В некоторых случаях [200] сведения о спиральности можно почерпнуть из свойств космических лучей, если источник их известен. Авторами отме чается, что их подходы требуют наличия высокоточных наблюдательных данных, которые на данный момент практически отсутствуют, - поэтому применение на практике этих подходов ограничено. Новое поколение ра диотелескопов (SKA и LOFAR) открывает широкие возможности [201], так как в скором времени будут доступны новые данные о космическом магнетизме, обладающие высокой точностью и разрешением. Магнит ные поля в межзвездной среде являются наиболее подходящим объектом для определения свойств МГД-турбулентности. Благодаря относительно большим масштабам, можно пренебречь вкладом регулярных магнитных полей, звезд и планет и считать, что сплошная электропроводящая меж звездная среда находится в состоянии турбулентного движения, возбуж даемого взрывами сверхновых [156]. Другая значительная особенность межзвездной среды заключается в ее "прозрачности", т.е. распределе ние источников радиоизлучения по глубине позволяет проводить анализ во всех трех измерениях. Цель работы состоит в том, чтобы показать возможность обнаружения магнитной спиральности в ионизированной межзвездной плазме путем статистической обработки радиополяризаци онных наблюдений. Предлагается рассмотреть модельные распределения магнитного поля с заданными свойствами и установить связь уровня магнитной спиральности со степенью корреляции между фарадеевской мерой вращения и степенью поляризации радиоизлучения.

5.3.1 Модель межзвездной среды Область моделирования представляет собой куб со сторонами. Пусть координаты, определяют плоскость наблюдения, направление оси соответствует лучу зрения, направленному от наблюдателя. Для гене рации искусственных распределений поляризованного радиоизлучения необходимо задаться некоторыми распределениями составляющих меж звездной среды: магнитным полем B, плотностью релятивистских и тепловых электронов. Индикатором магнитного поля в межзвездной среде является синхротронное излучение, возникающее в результате дви жения релятивистских электронов в магнитном поле.


На первом этапе работы рассчитывалось трехмерное распределение однородного и изотропного магнитного поля. Задаваемыми управляю щими параметрами модели были спектральный закон распределения маг нитной энергии, энергонесущий масштаб турбулентности и уровень магнитной спиральности. Также полученное магнитное поле должно быть соленоидальным, т.е. · B = 0. Указанным требованиям удобнее все ^ го удовлетворить, используя фурье-представление магнитного поля B, выраженное через векторный потенциал A c ^ ^ ^ (5.49) |k|/21, B(k) = k A(k), A(k) = |k c| где k – волновой вектор, c = a + b – случайный комплексный вектор, распределение которого задает уровень магнитной спиральности. Если случайные векторы a и b имеют равномерное распределение, то среднее значение спиральности будет близко к нулю. Если же выбирать толь ко те пары векторов, которые дают один и тот же знак k · (a b), то будет положительно либо отрицательно, соответственно. Экстремальный уровень магнитной спиральности при заданной магнитной энергии будет получаться, если ka (5.50) b=± |a|.

|k a| Число турбулентных ячеек в одном измерении определяется выражени ем = [0 ], где 0 = 1 - длина волнового вектора, до которого маг нитная энергия равна нулю. Начиная с 0, спектр энергии подчиняется Колмогоровскому закону = 5/3.

Следующий этап решения задачи заключается в вычислении искус ственных карт наблюдений поляризованного радиоизлучения. Интенсив ность синхротронного излучения определяется выражением (5.51) (, ) = (,, ), где (,, ) - плотность синхротронного излучения. При некоторых упро щенных представлениях об спектральном распределении можно счи тать ( + ). Синхротронное излучение изначально имеет неко 2 торую степень поляризации, при этом угол поляризации определяет ся перпендикулярным направлением к B в плоскости (, ). Начальный угол поляризации в точке излучения (,, ) определяется выражением (5.52) 0 (,, ) = arctan( / ) + /2.

При прохождении синхротронного излучения через плазму с магнитным полем плоскость поляризации поворачивается в результате эффекта Фа радея. Таким образом, угол поляризации излучения в некоторой точке с учетом фарадеевского вращения задается в виде (5.53) (,, ) = 0 (,, ) + 2 RM(,, ), где - длина волны наблюдаемого радиоизлучения, а RM - мера фа радеевского вращения, которая определяется интегралом с переменным верхним пределом (,, ). (5.54) RM(,, ) = Отметим, что фарадеевское вращение плоскости поляризации зависит от составляющей магнитного поля вдоль луча зрения, в то время как интенсивность и начальный угол определяются перпендикулярной ком понентой. Наблюдаемые параметры Стокса и можно использовать для определения комплексной интенсивности поляризованного излуче ния = +, которая задается в виде (5.55) (,, ) exp {2(,, )}.

(, ) = В результате наложения волн с различными углами поляризации про исходит деполяризация так, что наблюдаемая степень поляризации = | |/ изменяется в пределах от 0 до. Деполяризация может быть обу словлена не только физическими причинами, но и конечными размерами диаграммы направленности луча радиотелескопа. В данной работе ин струментальные особенности не рассматриваются.

Физический размер расчетной области = 0.5 кпк (1 килопарсек 3 · 1019 м), что соответствует полутолщине диска нашей Галактики.

Числовая константа в (5.54) = 0.81 при измерении в метрах, в парсеках, а в см3. Типичными значениями для межзвездной среды принимаются величина магнитной индукции = 1 мкГс, а для плотно сти электронов = 1 см3. На рис. 5.21 показан характерный вид рас четных распределений фарадеевской меры и степени поляризации для длин волн излучения 0.05 м, 0.2 м. Эти распределения радиоданных со держат информацию о всех компонентах магнитного поля. Изменение a b c Рисунок 5.21: Радиокарты. Распределения представлены в плоскости наблюдения (, ): RM(,, = ), (a) распределение фарадеевской меры вращения (b) степень = 0.05 м = 0.2 м поляризации при и (c) при. Разрешение изображений 256х точек. Черный цвет соответствует минимальному значению, а белый – максималь ному.

деталей распределения при больших объясняется деполяризацией за счет эффекта Фарадея. На рис. 5.21c в областях, соответствующих наибольшим значениям фарадеевской меры, можно видеть образование тонких черных структур, характерных для реальных астрофизических наблюдений. Анализ этих структур, называемых "каналами", позволяет судить о некоторых свойствах межзвездной турбулентности [202]. Отме ченное возникновение каналов отражает в определенной степени факт реалистичности выбранной модели межзвездной среды.

5.3.2 Корреляционный анализ На рис. 5.22 представлены функции распределения вероятностей зна чений RM для трех уровней магнитной спиральности. Эти распределе ния имеют симметричный вид и достаточно точно описываются нормаль ным законом. Отличие распределений настолько незначительно, что не может использоваться для диагностики спиральности.

Ситуация принципиально меняется при рассмотрении условных ве H 0. H H 0. 5 10 PDF 1 5 1 600 400 200 0 200 400 RM, rad m Рисунок 5.22: Функция распределения плотности вероятностей меры фарадеевского вращения для различных значений магнитной спиральности.

a b c 0.8 0.8 0. 0.6 0.6 0. 0.4 0.4 0. p p p 0.2 0.2 0. 0.0 0.0 0. 400 200 0 200 400 400 200 0 200 400 400 200 0 200 2 RM, rad m RM, rad m RM, rad m RM и для трех уровней Рисунок 5.23: Распределение совместной вероятности пары магнитной спиральности: (a) положительный, (b) нулевой, (c) отрицательный.

роятностей. Плотность распределения совместной вероятности значений RM и в зависимости от знака магнитной спиральности показана на рис. 5.3.2. Магнитная спиральность приводит к нарушению симметрии функции распределения. При 0 (рис. 5.3.2a) низкая степень по ляризации наиболее вероятно соответствует отрицательным значениям RM, а при 0 (рис. 5.3.2c) – положительным. Количественная оценка выявленной статистической особенности может быть получена с помощью коэффициента корреляции (5.56) =, ( 2 2 )(2 2 ) 8 Hmax H Hmin PDF 0.4 0.2 0.0 0.2 0. C = 0. Рисунок 5.24: Плотность распределения вероятностей значений при для трех уровней спиральности.

где среднее значение берется в плоскости наблюдения (, ) при =.

Многократным расчетом реализаций случайных магнитных полей, с за данным уровнем магнитной спиральности, определялась функция рас пределения вероятностей значений. Для построения результатов, по казанных на рис. 5.3.2, использовалось 300 реализаций, соответственно каждому значению магнитной спиральности. Видно, что области вероят ных значений, соответствующих различным значениям, практиче ски не пересекаются, что позволяет достаточно точно идентифицировать знак магнитной спиральности. Как уже отмечалось ранее, основной при чиной, связывающей RM и, может являться эффект деполяризации, вызываемый фарадеевским вращением. Это подтверждает полученная зависимость среднего значения корреляции от длины волны (см.

рис. 5.3.2). На длинах волн меньше 6 см фарадеевская деполяризация настолько слаба, что практически равна нулю. Наиболее удачной при заданных параметрах модели межзвездной среды является 15 см, где наблюдается экстремум. Также исследовалась зависимость от числа турбулентных ячеек вдоль луча наблюдения. Проведенные рас четы показывают, что значение резко уменьшается с ростом числа Hmax 0. H H 0.2 Hmin 0. C 0. 0. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0. Рисунок 5.25: Математическое ожидание значений корреляции в зависимости от длины волны для различных уровней магнитной спиральности.

0. 0. 0. 0. C 0. 0. 0. 0. 0 5 10 15 N Рисунок 5.26: Математическое ожидание значений в зависимости от числа турбу = 0. лентных ячеек вдоль луча наблюдения при м.

турбулентных ячеек (см. рис. 5.3.2).

Результаты математического моделирования показывают, что магнит ная спиральность вызывает корреляцию степени поляризации и меры фарадеевского вращения. При этом максимальное значение корреляции порядка 0.4 достигается на определенной длине волны. Оптимальная для наблюдений длина волны будет зависеть от параметров межзвездной сре ды: масштабов области, величины магнитной индукции, плотности тепловых электронов. Однако было установлено, что для максималь ного эффекта межзвездная среда должна обеспечивать характерное фа радеевское вращение, поворот плоскости поляризации на угол 2. Тогда соотношение (5.57) RM 2 2 может использоваться в качестве критерия выбора длины наблюдения. Падение корреляции с ростом числа турбулентных ячеек вдоль лу ча зрения означает, что предлагаемая методика диагностики магнитной спиральности крайне чувствительна к крупномасштабной компоненте магнитного поля. Шум, возникающий в процессе проведения радиопо ляризационных измерений, скорее всего также приведет к снижению до стоверности определения спиральности. Такое влияние может быть оце нено в рамках предлагаемой модели, уже имея в распоряжении реальные данные с известным отношением сигнал-шум и другими особенностями.

5.4 Выводы Анализ тестовых распределений показывает высокую эффективность применения вейвлетных корреляций в задачах различной степени слож ности. Залогом такого успеха является возможность разложения исход ных сигналов по различным структурным компонентам и проведения после этого корреляционного анализа этих компонент. Вейвлеты пред ставляют широкий выбор цели, на которую может быть направлен срав нительный анализ и, соответственно, выбор параметров селекции состав ляющих сигнала. На тестовых примерах было продемонстрировано, как поля, будучи, в целом, совершенно нескоррелированными поточечно, мо гут оказаться подобными при соответствующем разложении.

На основе анизотропного двухмерного вейвлет-преобразования раз работан метод распознавания спиральных структур. Методика позволя ет определить положение, амплитуду и угол анизотропии выделенной структуры. Методика была применена к распределению углекислого га за 2, инфракрасного и радиоизлучения галактики М51, обладающей ярко выраженной спиральной структурой. Было обнаружено два типа рука вов поляризованного излучения: один расположен там же, где и рукав 2, с углом спирали, близким к направлению магнитного поля, второй не всегда совпадает с рукавом и имеет угол закрутки спирали, отлич ный от направления магнитного поля.

Проведен сравнительный анализ различных алгоритмов приближен ного вычисления производной функции, заданной неточно. Предложен алгоритм дифференцирования с использованием вейвлет-преобразования.

Проведена численная оценка погрешности вычислений различных алго ритмов на модельных примерах.

Разработан метод восстановления структур галактического магнитно го поля по совместному анализу каталогов фарадеевских мер вращения пульсаров и внегалактичеких источников. В результате обработки уда лось общедоступных данных получить устойчивые к ошибкам измерений данные относительно глобальной структуры магнитного поля Галакти ки, что впервые позволило сделать ряд существенных выводов: оценить параметры спиральной структуры крупномасштабного магнитного по ля, определить направление магнитного поля в спиральных рукавах, вы явить наличие сдвига между рукавами ионизированного газа и магнит ными рукавами.

Предложено решение обратной задачи определения спиральных свойств турбулентного магнитного поля по наблюдаемым интегральным харак теристикам. Впервые предлагается принципиальное решение проблемы, устанавливающее связь между величиной магнитной спиральности и уров нем коррелированности меры фарадеевского вращения со степенью по ляризации синхротронного излучения. Эффект деполяризации играет решающую роль и позволяет проводить диагностику магнитной спираль ности в определенном диапазоне длины волны наблюдаемого радиоиз лучения. Показано, что предлагаемый метод наиболее чувствителен к крупномасштабной составляющей магнитного поля.

Глава Экспериментальные исследования элементов динамо-цикла Динамо-механизм самовозбуждения магнитных полей рассматрива ется как наиболее важный источник формирования магнитных полей в астрофизических и планетарных системах. После успешных экспери ментов, проведенных в Риге [3] и Карлсруэ [82], исследование динамо стало доступным для экспериментального изучения. Следующим шагом в развитии представлений о механизмах генерации является расширение набора специфических особенностей динамо-активности, которые подда ются экспериментальной проверке. Естественной частью этих исследова ний является подробное изучение индукционных эффектов в подкрити ческих режимов.

Систематические усилия для понимание индукционных эффектов в подкритичных режимах течений фон Кармана между двумя, вращаю щимися в противоположные стороны дисками в экспериментах с гал лием [203, 204] и натрием [205, 206] были предприняты в рамках динамо проекта, реализуемого во Франции. Одно- или двухвихревое течение воз буждалось в цилиндрической трубе с наложенным магнитным полем.

Были обнаружены несколько эффектов, обусловленных действием ди намо. В частности, было обнаружено скручивание магнитных петель, известное как эффект Паркера и отвечающее за связь между тороидаль ным и полоидальным магнитными полями в солнечном динамо. Однако течение фон Кармана достаточно сложное. Встречные винтовые потоки в условиях сильно неоднородной турбулентности создают поля, меха низмы генерации которых трудно идентифицировать. Исследование от дельных индукционных эффектов представляется важной задачей для развития теории динамо. Содержание данной главы посвящено резуль татам экспериментов, направленных на прямое измерение ламинарных и турбулентных элементов динамо-цикла.

Серия экспериментов является частью экспериментального проекта по изучению нестационарного МГД-динамо, который реализуется в Ин ституте механики сплошных сред УрО РАН (Пермь, Россия) [5, 18]. Ос новной целью проекта является получение динамо-эффекта в нестаци онарном винтовом течении. Физические основы этого проекта подробно изложены в главе 1. Новая экспериментальная схема обладает рядом пре имуществ по сравнению с оригинальной идеей. В частности, тесты про водились в замкнутом канале с ограниченным объемом натрия, избавляя конструкцию от использования сальников. В эксперименте используется двигатель малой мощности, потому что энергия потока накапливается в течении достаточно длительного и медленного процесса раскрутки. Та ким образом, экспериментальная схема позволяет реализовать набор ре жимов, которые принципиально интересны в плане понимания динамо проблемы. Эксперименты на водном аналоге [4,5] показали, что вариации в режиме торможения и наборе диверторов обеспечивают целый набор различных винтовых течений.

В рамках проекта было запланировано создание уменьшенной модели заполняемого галлием. Эксперимент на этой модели (который интересен сам по себе) может рассматриваться как промежуточная стадия между экспериментами с водой и натрием. Проводимость галлия заметно ни же, чем у натрия, поэтому проблема самовозбуждения динамо стоит под вопросом. Основной интерес в данной задаче – это изучение эффектов адвекции наложенного магнитного поля и создание турбулентной элек тродвижущей силы.

6.1 Адвективное вращение внешнего магнитного по ля Подкритичные индукционные эффекты (так же как и надкритич ные) являются предметом обширных теоретических исследований. Од нако есть лишь несколько, относящихся к данной проблеме эксперимен тальных работ, описанных в литературе. Основное внимание в этих работ сконцентрировано на различных инженерных проблемах, возникающих при разработке технических устройств. Среди этих работ есть и заслу живающие особого внимания [207]. В этой работе проводилось исследо вание индукционных эффектов в медной ленте, двигающейся в зазоре электромагнита. Индуцированная компонента поперечного магнитного поля наблюдалась при Rm = 4.95 и Rm = 8.61. Магнитное поле под полюсами становилось неоднородным, возрастающим по направлению от входа к выходу в направлении движения. Эти результаты находятся в качественном согласии с теоретическими предсказаниями и являют ся исключительно важными для понимания поведения магнитного поля.

(а) (b) 5 4 Sf Rr Zz Рисунок 6.1: Экспериментальная установка. a - схема установки, b - фотография: 1 тороидальный канал, 2 - дивертер с направлением вращения по часовой или против часовой стрелки, 3 - магнит, 4 - датчик магнитного поля, 5 - стальной кожух, 6 = электромотор, 7 - тормоз, 8 - электромагниты. соответствует центру магнита.

– ось вращения.

Однако эта работа обеспечивает лишь грубое приближение для случая с винтовым течением жидкого металла, потому что в ней рассматривает ся течение скорее твердого, чем жидкого тела, которое вдобавок имеет простой тип движения, лишенный вращения.

6.1.1 Экспериментальная установка и измерения Некоторые технические характеристики, касающиеся галлиевой уста новки и их сравнение с параметрами планируемой установки на жидом натрии и водного аналога [208] даны в таб. 6.1. Галлиевая установка (см. рис. 6.1) состоит из тороидального канала (1) сделанного из диэлек трика (текстолит), в котором два дивертора (2) могут быть зафикси рованы друг напротив друга. Канал закреплен на горизонтальной оси, приводимой во вращение электромотором (6). Автомобильная тормозная дисковая система (7) расположена на этой же оси. Тормоз и тормозные колодки управляются при помощи электромагнитов (8).

Скорость вращения канала для большей части экспериментов состав ляла 45 Гц, что позволяло избежать механических резонансов и совпа дений с частотой электрического напряжения (50 Гц). Для сравнения были проведены несколько измерений на 25 Гц (они будут отдельно опи саны ниже). Скорость вращения и время торможения поддерживались постоянными с помощью электромеханической системы контроля. От клонения угловой скорости не превышали 0.5 Гц. Время торможения составляло 0.077 ± 0.005с для 45 Гц и 0.043 ± 0.005с для 25 Гц.

Магнитное поле было наложено при помощи постоянного магнита (3) с полюсами 63 20мм и расстоянием между ними 65 мм. Значение маг нитного поля между полюсами составляло около 150 Гс. Датчик с чув ствительностью 0.03 В/Гс и измерительным диапазоном ±80Гс использо вался для измерения интенсивности наведенного магнитного поля вдоль центральной линии всего канала (рис. 6.2). Как было обнаружено, это поле практически перпендикулярно к оси канала.

Измерения переменного индуцированного магнитного поля произво дились при помощи 3 датчиков, типа Axis FluxGate Magnetometer System, с чувствительностью 4 В/Гс в диапазоне ±0.75 Гс (датчик (4) на рис. 6.1).

Постоянное внешнее магнитное поле в точке измерения было скомпенси ровано. Компенсационная система позволяла проводить измерения сиг налов вплоть до частоты в 2 кГц. Система сбора данных была скомпо нована на основе платы с 16-одиночными (или 8-дифференциальными) каналами и 12-битным 330 кГц A/D конвертером.

Сенсор (4) расположен на внутренней поверхности стального кожуха (5). Его положение определялось в цилиндрических координатах (,, ), Вода Ga Na, м 0.154 0.0875 0. 0, м 0.04 0.0225 0. Масса канала, кг 24.5 15.3 Масса жидкости, кг 4.86 5.58 Момент инерции (жидкость, кг м ) 0.15 0.045 0. Момент инерции (канал) 0.132 Частота вращения, Гц 30 50 Максимальная линейная скорость, м/с 29 27 1.2 · 106 1.4 · 106 Число Рейнольдса Re 5 · 105 5 · 105 4 · Эффективное число Рейнольдса Re Эффективное магнитное число Рейнольдса Rm - 1.5 Минимальное время торможения, с 0.18 0.05 0. 17.3 · 103 6.6 · 103 Энергия вращения, Дж 8.7 · 104 1.3 · 105 Энергия диссипации, Вт Температура, C 20 20 Таблица 6.1: Сравнение параметров галлиевой установки, водного аналога и разра ботанной натриевой установки.

B Br B, G Bz 225 270 315 0 45 90 135, degree Рисунок 6.2: Зависимость распределение внешнего магнитного поля вдоль централь : ной линии канала от - треугольники, - квадраты, - звездочки.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.