авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и наук

и РФ

Научно-исследовательский

Иркутский государственный технический университет

На правах рукописи

Ипполитов Александр Александрович

Применение динамических стохастических

моделей в системах оценивания относительных

отклонений частот водородных стандартов

Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель, кандидат технических наук, доцент Ю.П. Хрусталёв Иркутск - 2014 Содержание Содержание........................................................................................................................................ Введение............................................................................................................................................. 1. Групповые эталоны времени и частоты.................................................................................... 1.1. Структура группового эталона времени и частоты........................................................... 1.2. Измерения, выполняемые в эталоне времени и частоты.................................................. 1.3. Эталоны времени и частоты как недоопределённые системы......................................... 1.4. Выводы.................................................................................................................................. 2. Оценивание в эталонах времени и частоты. Использование моделей временных рядов.... 2.1. Модели динамических систем. Оценивание состояния................................................... 2.2. Использование прогнозирующих моделей. Анализ погрешностей МНК-оценок и оценок, основанных на прогнозах............................................................................................. 2.3. Построение субоптимального фильтра Калмана.............................................................. 2.4. Модели авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРСС).

Построение моделей АРСС по результатам косвенных измерений....................................... 2.5. Построение оценок состояния эталона при наличии детерминированных трендов..... 2.6. Выводы.................................................................................................................................. 3. Программный комплекс оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений.

................................................................................................ 3.1. Архитектура приложения и применяемые технологии.................................................... 3.2. Особенности реализации..................................................................................................... 3.3. Результаты............................................................................................................................. 3.4. Выводы.................................................................................................................................. 4. Моделирование процессов оценивания состояния эталона.................................................... 4.1. Структура специализированной системы моделирования............................................... 4.2. Моделирование процесса оценивания линейных трендов............................................. 4.3. Моделирование процесса структурной идентификации моделей АРСС в системах с неполной матрицей наблюдений............................................................................................. 4.4. Моделирование процесса идентификации моделей и оценивания вектора состояния системы....................................................................................................................................... 4.5. Выводы................................................................................................................................ 5. Использование динамических стохастических моделей для оценивания состояния вторичного эталона ВЭТ1-5......................................................................................................... 5.1. Удаление трендов из реальных рядов наблюдений........................................................ 5.2. Структурная идентификация моделей водородных генераторов частоты................... 5.3. Оценивание вектора состояния эталона времени и частоты.......................................... 5.4. Выводы................................................................................................................................ Заключение..................................................................................................................................... Список литературы........................................................................................................................ Приложения................................................................................................................................... Введение Актуальность темы. Развитие науки и техники, в последние десятилетия выражающееся, прежде всего, в значительном прогрессе радиоэлектроники и вычислительной техники, сопровождается быстрым проникновением новых технологий и устройств во все сферы человеческой жизни. Всё возрастающая сложность технических систем, применяемых в них методов обработки и преобразования информации, растущие взрывообразно объём и сложность взаимодействий между ними, глубина интеграции техники в окружающий мир требует увеличения точности и оперативности выполнения измерений различных видов. Особенно быстрое развитие в последние годы получает электроника. Это сопровождается резким снижением габаритов и стоимости электронных устройств, повышением их распространённости и доступности, уменьшением времени протекания процессов в схемах, ростом тактовых частот, скоростей передачи данных, многократным увеличением числа различных каналов взаимодействия устройств между собой и с внешним миром.

Произошли революционные изменения в сфере вычислительной техники, приведшие к появлению огромного числа мобильных устройств и сложнейших распределённых вычислительных систем и сетей, охвативших многие сферы человеческой жизни и функционирующих в реальном масштабе времени. Рост вычислительных возможностей и снижение стоимости вычислительной техники обеспечили её массовое распространение и внедрение, позволившее избавить человека от выполнения множества рутинных операций, в том числе, операций обработки и передачи данных, управления различными объектами, открывая невиданные ранее возможности автоматизации. Однако рост количества обрабатываемой информации подразумевает и рост количества выполняемых измерений, поскольку перед тем, как обрабатывать информацию, её необходимо сначала получить из окружающей среды. Очевидно, что измерения должны выполняться с определённой точностью и надёжностью, тем более высокими, чем более сложные и ответственные решения принимаются на их основе (в том числе, и различными автоматическими системами). С другой стороны, распространение распределённых вычислительных комплексов, сетей передачи данных, позволяющих обмениваться информацией на больших расстояниях множеству технических объектов (и людей, взаимодействующих с ними) требует точной синхронизации этих технических объектов в метрологическом отношении, в особенности – синхронизации системного времени [59, 60, 80, 85]. Таким образом, задача обеспечения единства измерений в настоящее время является весьма актуальной. Всё это предъявляет новые, существенно более жёсткие требования к точности выполняемых радиотехнических измерений, в том числе, измерений времени и частоты.

Для решения задачи обеспечения единства время-частотных измерений на территории Российской Федерации функционирует Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли (ГСВЧ РФ).

ГСВЧ обеспечивает воспроизведение и хранение единиц времени и частоты и доведение их до потребителей. Достигнутая точность хранения единиц времени и частоты превышает таковую для прочих физических величин. ГСВЧ включает в себя Государственный эталон единиц времени и частоты и вторичные эталоны, а также средства доведения точностных характеристик Государственного эталона до потребителей. Государственный первичный эталон ГЭТ1-2012 обеспечивает воспроизведение единицы времени (и частоты) с неисключённой систематической погрешностью, не превышающей 5·10-16.

Требования различных отраслей хозяйства, связанные, в частности, с развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС, требуют дальнейшего улучшения характеристик как Государственного эталона, так и вторичных эталонов в отношении точности и оперативности поступления время-частотной информации (снижения сроков доведения до потребителей).

Повышение точности хранения единиц времени и частоты может быть достигнуто как созданием новых аппаратных средств эталонов, так и совершенствованием математического обеспечения существующих эталонов, развитием методик обработки поступающих от аппаратуры данных, разработкой соответствующего программного обеспечения. Если первое направление развития сопряжёно с существенными материальными затратами (предполагая, в свою очередь, значительное улучшение метрологических характеристик), то второе – позволяет достигнуть определённого (не столь масштабного) прироста характеристик, требуя сравнительно небольших капиталовложений. Повышение оперативности передачи информации может быть достигнуто, прежде всего, увеличением степени автоматизации процедур обработки информации, выполняемых в ходе “ведения” эталонов.

Подход к повышению точности воспроизведения и хранения единиц времени и частоты, связанный с развитием алгоритмов обработки измерительной информации, чаще всего приводит к решениям, основанным на статистических методах обработки информации, что подразумевает анализ больших массивов однотипных данных, который может быть наиболее эффективно выполнен на ЭВМ различных типов.

Основное влияние на точность хранения единиц времени и частоты в эталоне оказывает его подсистема воспроизведения и хранения физических единиц. Измерительная информация, получаемая в этой системе, представляет собой разности частот хранителей (высокостабильных генераторов периодических сигналов), входящих в состав эталона. На практике чаще говорят об относительных отклонениях частот от приписанных (номинальных) значений. Задача обработки этой информации заключается в том, чтобы по имеющимся разностным рядам наблюдений определить относительные отклонения частот каждого генератора от номинального значения, на основании которых формируются поправки к показаниям часов эталона.

Поскольку число взаимных измерений, выполняемых внутри эталона на каждом цикле, меньше количества его элементов, относительные отклонения частот которых требуется определить, речь идёт о недоопределённой системе, или системе с неполной матрицей наблюдений. В силу недостатка информации в таких системах речь может идти лишь о получении оптимальных в заданном смысле оценок искомой величины. Системы с неполной матрицей наблюдений представляют собой особый класс систем, обладающих своей спецификой, которая проявляется, в частности, в возникновении определённых трудностей даже при использовании применительно к ним хорошо проработанных и изученных в других ситуациях математических методов. Особенно остро эти сложности проявляются тогда, когда требуется свести вмешательство оператора в функционирование системы к минимуму.

Исследования по тематикам, связанным с построением шкал времени на основании измерений, выполняемых над группой высокостабильных генераторов, входящих в эталон, имели место и ранее [37, 38, 39, 40, 48, 57, 64, 66, 67, 91, 94, 98-100 и мн. др.], однако они, безусловно, не привели к разрешению всех проблем, возникающих в связи с указанной задачей.

Результаты проводимых по данной тематике работ за рубежом, в частности, в США (David W. Allan, Donald B. Percival, J.A. Barnes, Lee A. Breakiron и мн. др.) не могут быть непосредственно применены к ГСВЧ РФ, поскольку отечественные эталоны строятся на хранителях частоты иных типов и имеют иную структуру. В имевших место ранее отечественных работах проблема построения оценок относительных отклонений частот водородных стандартов, составляющих эталон, решается, в частности, посредством усреднения, либо путём использования стохастических прогнозирующих моделей – моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). В работах, связанных с использованием моделей АРПСС не были решены или были решены не в полном объёме многие частные задачи, относящиеся к процессу идентификации моделей, такие, как определение структуры моделей АРПСС (без привлечения дополнительной информации), построение моделей АРПСС в случае наличия линейных трендов хранителей, скачков частоты и др.

Настоящая работа направлена на исследование вопросов обработки измерительной информации, поступающей от групповых эталонов времени частоты;

повышение точности оценивания относительных отклонений частот генераторов;

выработку методики идентификации авторегрессионных прогнозирующих моделей водородных стандартов частоты по результатам выполняемых в эталоне взаимных измерений без привлечения дополнительной информации;

разработку программного обеспечения, реализующего созданные алгоритмы.

Целью работы являлось снижение погрешности оценивания относительных отклонений частот водородных стандартов путём разработки нового алгоритма оценивания относительных отклонений частот по результатам взаимных измерений, основанного на применении динамических стохастических моделей в качестве дополнительного канала наблюдений в недоопределённых линейных системах.

Достижение указанной цели предполагало решение следующих задач:

разработка методики определения относительных отклонений частот групповых эталонов по результатам взаимных измерений, превосходящей по точности применяемые в настоящее время алгоритмы;

разработка методик структурной идентификации моделей временных рядов элементов групповых эталонов, снижающих зависимость от использования дополнительной информации и неформализуемых процедур, допускающих высокую степень автоматизации и применимых при наличии в рядах детерминированных составляющих;

разработка методики параметрической идентификации моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) в системах с неполной матрицей наблюдений;

создание алгоритма оценивания относительных отклонений частот элементов групповых эталонов на основе моделей АРПСС, допускающего его использования при наличии в рядах измерений линейных трендов;

исследование работоспособности и эффективности созданных алгоритмов методами математического моделирования;

создание программного комплекса, реализующего предложенные алгоритмы идентификации систем с неполной матрицей наблюдения и оценивания их вектора состояния.

Методы исследования. Теоретические и экспериментальыне исследования базировались на использовании методов математической статистики, теории вероятностей, методов оценивания состояния объектов по результатам измерений, анализа временных рядов, вычислительной математики, численных методов поиска экстремума функции многих переменных.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

разработаны методики идентификации структуры моделей авторегрессии – скользящего среднего (АРСС) по результатам наблюдений, выполняемых в линейных недоопределённых системах: методика, основанная на использование рядов предварительных МНК-оценок в качестве исходных данных, и методика, основанная на процедуре последовательного наращивания порядков моделей, проведён анализ трудоёмкости предложенных процедур;

предложен алгоритм параметрической идентификации моделей АРСС в недоопределённых системах, основанный на минимизации квадрата погрешности прогноза и позволяющий находить оценки коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего для каждого из элементов эталона;

разработана процедура вычисления начальных приближений оценок параметров моделей АРСС в недоопределённых системах на основе рядов предварительных МНК-оценок, позволяющая существенным образом ускорить сходимость алгоритма градиентного спуска при минимизации квадрата погрешности прогноза;

разработан алгоритм оценивания состояния эталонов времени и частоты при наличии трендов в рядах относительных отклонений частоты, выполнена оценка точности предложенного алгоритма методами математического моделирования, показано, что данный алгоритм превосходит по точности используемые алгоритмы, основанные на оценках среднего арифметического;

показано, что предложенный алгоритм является алгоритмом субоптимальной фильтрации, основанным на использовании принципов декомпозиции фильтра и понижения размерности;

создан программный комплекс, реализующий разработанные методики и алгоритмы, предоставляющий возможности выполнения моделирования и обработки реальных данных, предусматривающий широкие возможности использования его в составе разнородной программной инфраструктуры различных подразделений ГСВЧ РФ.

Практическая ценность. Разработанный в диссертации программный комплекс позволяет получать оценки относительных отклонений частоты водородных генераторов, входящих в эталон времени и частоты, в режиме накопления данных, а также в темпе поступления результатов измерений, получаемых на суточных интервалах. Предлагаемая методика оценивания вектора состояния водородных стандартов позволяет построить на основе рядов взаимных измерений разностей частот автономную шкалу времени вторичного эталона. Реализованная в программном комплексе методика структурной идентификации моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего в системах с неполной матрицей наблюдений позволяет использовать для автоматизации процедуры идентификации таких моделей все ранее имевшиеся наработки, относящиеся к решению этой задачи для определённых систем. Такая методика построения моделей АРСС позволяет отказаться от привлечения к построению моделей дополнительной, “внешней” по отношению к процессу получения оценок информации (сведений о техническом устройстве генераторов и пр.), а также различных неформализуемых процедур. Таким образом, достигается повышение степени автоматизации процесса “ведения” эталона и построения автономных шкал времени. Улучшение точности получаемых оценок в сравнении с МНК-оценками позволяет снизить вносимую погрешность (до 8-9% на реальных данных и до 40% по результатам моделирования), достигнув тем самым роста метрологических характеристик эталона.

Практическая реализация работы.

Созданный программный комплекс используется при формировании шкалы времени вторичного эталона времени и частоты ВЭТ1-5, действующего на базе Восточно-Сибирского филиала ВНИИФТРИ, что подтверждается Актом о внедрении (см. Приложение).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

XV Байкальской Всероссийской конференции “Информационные и математические технологии в науке и управлении” (доклад “Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений”) – Иркутск, 2010;

IV Всероссийской конференции “Винеровские чтения” (доклад “Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре”) – Иркутск, 2011;

Конкурсе научно-инновационных проектов Всероссийского Фестиваля Науки – Иркутск, 2011 г.

Публикации. По результатам настоящей диссертации опубликовано научных работ, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ:

I. Ипполитов А.А., Хрусталёв Ю.П. Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений. // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Труды XV Байкальской Всероссийской конференции “Информационные и математические технологии в науке и управлении”. Часть I. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2010. – с. 174-182.

II. Ипполитов А.А. Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре. // Винеровские чтения / Труды IV Всероссийской конференции. Часть 1. – Иркутск: ИрГТУ, 2011. – с.136-141.

III. Хрусталёв Ю.П., Акулов В.М., Ипполитов А.А., Курышева Л.Н.

Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты. // Вестник ИрГТУ – 2012.-№7. – Иркутск: ИрГТУ, 2012. – с.22-28.

IV. Ю.П. Хрусталёв, В.М. Акулов, А.А. Ипполитов, Л.Н. Курышева.

Повышение точности оценивания относительных отклонений частоты группового эталона // Современные технологии. Системный анализ.

Моделирование. 2012. №1(2013). С. 148-153.

V. Ю.П. Хрусталёв, А.А. Ипполитов. Построение динамических стохастических моделей, используемых при решении задач оценивания состояния групповых эталонов // Современные технологии. Системный анализ.

Моделирование. 2012. №1(2013). С. 48-54.

VI. Ипполитов А.А. Программный комплекс для оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений. // Вестник ИрГТУ – 2013.-№3. – Иркутск: ИрГТУ, 2013. – с.24-31.

VII. Ипполитов А.А., Хрусталёв Ю.П. Программный комплекс для оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений эталона (версия 1.0). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012617062 от 7 августа 2012 года.

Объём и структура диссертации. Диссертационная работа содержит страниц текста, 49 рисунков, 13 таблиц и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы из 104 названий.

1. Групповые эталоны времени и частоты как недоопределённые системы 1.1. Структура, принцип действия и основные задачи группового эталона времени и частоты Метрология - наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности [62, 63, 90]. Целью метрологии является, в сущности, удовлетворение потребности различных отраслей хозяйства в воспроизводимых эталонах тех или иных физических величин. Метрология строится на распознавании и использовании таких физических явлений, которые мало зависят от плохо контролируемых возмущающих причин. Для измерений времени и частоты в настоящий момент в качестве такого явления применяются атомные переходы. За единство время частотных измерений на территории РФ отвечает Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли (ГСВЧ РФ) [1], объединяющая в себе целый ряд организаций различной ведомственной принадлежности, ведущих работы по хранению, воспроизведению и распространению единиц времени и частоты. Деятельность ГСВЧ опирается на использование эталонной базы [63], включающей в себя Государственный эталон времени и частоты и вторичные эталоны [2], размещённые на базе ряда научных учреждений в различных регионах страны.

Эталоном называется средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и (или) хранение единицы физической величины с целью передачи ее размера нижестоящим по поверочной схеме средствам измерений [41]. Для повышения точности и надежности хранения единиц создаются групповые эталоны, объединяющие в себя несколько стандартов [96, 97].

Эталоны времени и частоты являются характерными представителями групповых эталонов физических единиц. Они включают в себя группу (в иностранной литературе широко распространён термин “ансамбль”) хранителей - стандартов частоты. Непосредственные измерения хранимой величины в силу технических причин не осуществимы, возможны только “сличения” частот стандартов, входящих в состав эталона, называемые взаимными измерениями. В качестве стандартов частоты используются высокостабильные квантовые генераторы, основанные на явлениях атомного уровня, обладающих высокой степенью постоянства.

Первый цезиевый стандарт частоты начал действовать на регулярной основе в Великобритании в 1955 году. К этому моменту исследования атомных стандартов позволили впервые превзойти точность воспроизведения единиц, достижимую в результате использования измерений, основанных на движении небесных тел. К 1967 году стало возможным принятие определения атомной секунды для замены ранее использовавшегося астрономического определения [81]. Существование адекватной атомной шкалы времени для применения в мировом масштабе было признано на 14 Генеральной конференции по мерам и весам в 1971 году [3]. С тех пор происходило активно развитие атомных стандартов частоты различных типов, сопровождавшееся улучшением их метрологических и эксплуатационных характеристик (подробнее см. [65]).

Явление, принятое за эталон частоты, должно быть определено так, чтобы его длительность могла рассматриваться как идеальная константа. Чем меньший период имеет периодическое явление, на основе которого воспроизводится единица времени, тем на большем числе периодов возможно усреднение, и тем выше обеспечиваемая им точность. С другой стороны, точность тем выше, чем стабильнее сам период (меньше его подверженность случайным возмущениям). Ранее использовались механические маятники, затем – астрономические наблюдения. В настоящее время секунда определена как длительность 9192631770 периодов излучения атома цезия-133 при переходе между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома в покое. Тесно связанной с единицей времени на сегодня является также единица длины – метр, определённый как - длина пути, проходимого в вакууме светом за 1/299792458 доли секунды. Прогресс в развитии хранителей единиц времени и частоты схематично представлен на рис. 1.1 [3]. Как можно увидеть из рисунка, значительный прогресс в этой области был достигнут в последнее столетие, с момента широкого развития электронных хранителей (кварцевых и атомных), тогда как развитие механических часов по понятным причинам долгое время не позволяло достигнуть сопоставимых результатов.

В отечественной практике в качестве хранителей применяются водородные стандарты частоты, тогда как за рубежом более распространены цезиевые хранители. Это связано с исторически сложившимися большими успехами в развитии водородных стандартов в РФ (в сравнении с цезиевыми хранителями), а также с особенностями структуры самих эталонов и ГСВЧ в целом. Краткий обзор принципа работы водородных стандартов дан в [55], обзор современного состояния и тенденций приведён в [42]. Для начальной привязки водородных стандартов используются цезиевые реперы частоты (в том числе, фонтанного типа [56, 75]).

Расхождение в Время в годах, необходимое для получения расхождения в секундах за одни сутки секунду 10-12 10-9 Атомные часы 10- Кварцевые часы -3 Неравномерность вращения Земли 10- Механические часы 10- 2000 (годы) 1400 1600 Рис. 1.1 – Сопоставление нестабильности различных хранителей времени Государственный эталон единицы времени - секунды, единицы частоты Герца и национальной шкалы времени (ГЭВЧ) был создан во ВНИИФТРИ (Всесоюзный, ныне – Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений) в 1967 г., затем вводились в эксплуатацию вторичные эталоны в различных регионах страны. Рост требований к точности ГЭВЧ со стороны потребителей в народном хозяйстве, науке и обороне страны (особенно проявившийся после принятия решения об ускоренном развитии системы ГЛОНАСС [72,76]) привел к необходимости вести непрерывно продолжающиеся и по сей день разработки новой, более точной аппаратуры для ГЭВЧ, а также – для вторичных эталонов [45, 46].

Обобщённая структурная схема эталона времени приведена на рис. 1.2 [44].

Вторичные эталоны в сравнении с Государственным обладают сокращённым набором технических средств (не имеют цезиевых реперов, некоторых средств сличения, содержат меньшее число генераторов и др.). В отличие от западных стран, в ГСВЧ РФ не применяются цезиевые хранители частоты, тогда как, к примеру, в USNO (США) ранее использовался ансамбль из 44 коммерческих цезиевых стандартов [49], позднее их количество довели до 50 и дополнили водородными стандартами [50], в настоящее время количество цезиевых хранителей достигло 82, водородных – 31 [60]. Большое количество хранителей позволяет получать несмещённую оценку вектора состояния в таком эталоне простым усреднением. Эталоны других национальных лабораторий содержат значительно меньшее количество хранителей, так, ГЭВЧ РФ включает в себя водородных водородных стандартов частоты [60] и цезиевые реперы разных типов, вторичные эталоны содержат по 4-6 водородных стандартов.

Кроме аппаратуры, входящей в подсистему воспроизведения и хранения единиц, эталоны времени и частоты включают подсистему внешних сличений.

Подсистемы внешних сличений обеспечивает доведение точностных характеристик Государственного эталона до потребителей. Для решения этой задачи создана сеть вторичных эталонов [3] и система передачи размеров единиц времени и частоты и шкалы времени первичного эталона UTC (SU) рабочим эталонам и рабочим средствам измерений. Передача осуществляется по цепочке: ГЭВЧ – эталон-копия – вторичные эталоны – рабочие эталоны на объектах [4].

Ранее для распространения время-частотной информации применялись мощные наземные радиопередатчики [79, 80] (наряду с возимыми стандартами частоты, кабельными линиями и т.п. [102-104]). В настоящее время всё большее значение приобретают глобальные навигационные системы (ГНСС) – GPS/Navstar и ГЛОНАСС [46, 47]. Спутники орбитальной группировки ГНСС оснащены малогабаритными бортовыми стандартами частоты и одной из функций системы является передача размера единиц времени и частоты потребителям.

На сегодняшний день весьма актуальной для ГСВЧ является проблема объединения локальных групповых эталонов в территориально распределённый групповой эталон, включающий в себя в качестве элементов локальные групповые эталоны, расположенные в различных регионах страны.

Решение данной проблемы может быть достигнуто путём использования в качестве каналов сличения ГНСС, однако здесь возникает целый ряд проблем, связанных, прежде всего, с необходимостью учёта относительно высокой погрешности самих каналов сличения.

Одним из вторичных эталонов является эталон ВЭТ1-5, действующий на базе ВСФ ВНИИФТРИ в г. Иркутске. История развития Иркутской службы времени берет свое начало с 1948 года, когда при астрономической лаборатории была создана служба атомного времени и была организована передача эталонных сигналов времени и частоты для обеспечения единства измерения в восточных регионах страны.

1 2 2 2 3 3 3 3 3 5 7 8 10 11 12 13 Рис. 1.2 Обобщённая структурная схема эталона времени и частоты 1 - цезиевые реперы частоты;

2 - водородные реперы частоты;

3 - водородные хранители частоты и шкал времени;

4 - цезиевый хранитель шкал времени;

5 система формирования рабочей шкалы времени;

6 - радиооптический частотный мост;

7 - аппаратура измерения интервалов времени;

8 аппаратура измерения частот;

9 - управляющая ЭВМ;

10 - приёмно регистрирующий комплекс системы внешних сличений;

11 - аппаратура сличения шкал времени через метеорные следы;

12 - аппаратура сличения шкал времени через навигационные станции;

13 - перевозимые квантовые часы;

14 перевозимый лазер;

15 - системы обеспечения эталона.

Вторичный эталон ВЭТ1-5 является средством высокоточного хранения размеров единиц времени и частоты, а также шкалы времени UTC(SU) первичного эталона с суммарной погрешностью, не превышающей 2 10 по частоте и ±80 нс по шкале времени. Эталон применяется для передачи размеров единиц времени и частоты и шкалы времени первичного эталона UTC(SU) рабочим эталонам и рабочим средствам измерений, прежде всего, восточных регионов России. ВЭТ1-5 является одним из элементов группового эталона ГСВЧ, хранители времени и частоты которого используются при формировании групповой шкалы системы ГСВЧ. Ведение вторичного эталона в системе ГСВЧ осуществляется на базе сложных технических и структурно взаимосвязанных аппаратно-программных комплексов.

Основной составляющей частью вторичного эталона ВЭТ1-5 является аппаратура хранения размеров единиц частоты и времени, на момент выполнения настоящей работы включающая шесть водородных стандартов частоты и времени типов: Ч1-75А (четыре прибора) [69], Ч1-70М (один прибор), Ч1-70 (один прибор) с системами автоматической настройки резонаторов. Лучшие приборы комплекса характеризуются суточной нестабильностью менее 1 10 15.

Другими важными аппаратно-программными комплексами, составляющими вторичный эталон времени и частоты, являются:

система внутренних сличений эталона;

система внешних сличений эталона;

программные средства систем внутренних и внешних сличений;

система формирования сигналов физических шкал времени;

алгоритмы и программные средства, используемые для формирования аналитических и физических шкал времени эталона;

система буферизации и размножения сигналов времени и частоты;

аппаратура и программные средства системы информационного обмена в рамках локальной вычислительной сети, а также внешний FTP-сервер;

комплекс системы жизнеобеспечения эталона.

Выполнение совокупности работ по ведению службы времени и частоты вторичного эталона обеспечивает:

Хранение размеров единиц времени и частоты и шкалы координированного времени UTC(Im) вторичного эталона ВЭТ1-5, согласованных с размерами единиц времени и частоты и со шкалой времени UTC(SU) первичного эталона с суммарной погрешность не более 1 10 14. Среднесуточная разность шкал времени [UTC(SU) - UTC(Im)] не превышает 20 нс.

Формирование автономной (атомной) системы TA(Im) с нестабильностью хранения размеров единиц частоты и времени не более 1 1014.

Формирование и хранение рабочей шкалы времени Т(Im.РЧ) со среднесуточной разностью шкал времени [UTC(Im) – Т(Im.РЧ)], не превышающей 20 нс.

Проведение регулярных сравнений размеров единиц времени и частоты, хранимых вторичным эталоном, и шкалы времени UTC(Im) с размерами единиц, воспроизводимых ГЭВЧ, и шкалой времени UTC(SU).

Определение относительно шкалы UTC(Im) временного положения шкал времени, передаваемых навигационными системами GPS/ГЛОНАСС, со случайной погрешностью менее 5 нс.

Оперативную передачу в Главный метрологический центр (ГМЦ) ГСВЧ и потребителям метрологической информации об эталоне и результатах контроля передач эталонных сигналов частоты и времени.

Основные сведения о назначении различных шкал времени приведены в [61].

Метрологические параметры эталона оцениваются по результатам регулярных сличений шкал времени UTC(SU) и UTC(Im) по каналам связи, основанным на приемах сигналов ГНСС GPS/ГЛОНАСС.

Важным направлением в развитии ГСВЧ является развёртывание на базе пунктов ГСВЧ системы мониторинга координатно-временных полей ГНСС [47, 54, 71, 76, 101], включающей создание и развитие системы сбора и передачи данных в центр обработки и управления ГЛОНАСС. При вторичном эталоне времени и частоты ВЭТ1-5 независимая служба мониторинга частотно временных полей ГНСС существует с 1980 года. Развитие этого направления происходит в тесной взаимосвязи с выполнением работ по повышению точности согласования размеров единиц времени и частоты и шкалы времени системы UTC(Им) с размерами единиц и шкалой времени системы UTC(SU) первичного эталона.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что задачи воспроизведения, хранения и передачи единиц времени и частоты являются весьма нетривиальными, а эталоны времени и частоты – представляют собой сложнейшие высокоточные технические объекты (и являются в настоящее время одними из сложнейших эталонов физических величин). Несмотря на достигнутый в последнее столетие существенный прогресс в решении данных проблем, перед ГСВЧ РФ на сегодняшний день стоит целый ряд новых задач, связанных, прежде всего, с развитием отечественной ГНСС ГЛОНАСС.

Следствием этого является высокая актуальность исследований в областях, прямо или косвенно связанных с повышением точности и оперативности воспроизведения, хранения и передачи единиц времени и частоты.

1.2. Измерения, выполняемые в эталоне времени и частоты Эталон времени и частоты представляет собой сложный комплекс технических средств, включающий в себя измерительную систему и объединённые ею хранители частоты – высокостабильные водородные генераторы синусоидальных колебаний. Под стабильностью генератора понимается степень постоянства его частоты при непрерывной работе в течение определённого отрезка времени. Нестабильность частоты связана со случайными флуктуациями частоты и фазы [92, 93]. Если пренебречь амплитудным шумом, то для описания выходного сигнала генератора можно использовать упрощённую модель вида [5, 87] U t U 0 sin 2f 0 t t. (1.1) Мгновенное значение частоты равно при этом 1 d t 1d f t 2f 0 t t f 0. (1.2) 2 dt 2 dt Введя обозначение 1 d t f t (1.3) 2 dt соотношение (1.2) можно записать в виде f t f 0 f t (1.4) f t описывает процесс частотного шума и является Величина случайной. К хранителям частоты предъявляется требование f f 0, т.е.

требуется, чтобы шум частоты был много меньше номинального её значения.

Чтобы отклонение частоты от её номинального значения не зависело от величины этого значения, вводят безразмерную величину, называемую мгновенным относительным отклонением частоты [6].

f t y t (1.5) f Величина y t остаётся постоянной при умножении и делении частоты f (при отсутствии шумов в умножителях и делителях), чем обусловлено удобство её использования при обработке измерительной информации.

f t Случайная составляющая отклонения частоты обусловлена действием на сами генераторы и их вспомогательные цепи шумов различного рода. При известном характере шумов в частотной области, возможно сконструировать фильтр с оптимальными характеристиками для их подавления.

Подходы, связанные с описания стабильности частоты в частотной области используются в основном разработчиками генераторов (обзор некоторых подходов содержится в [51-53]). В практике специалистов, занимающихся проблемами хранения и точного измерения времени чаще используются показатели нестабильности частоты (и вообще анализ измерительной информации) во временной области.

Среди всех предлагаемых подходов к оценке нестабильности наиболее интересным представляется предложение рассматривать нестабильность как показатель непредсказуемости частоты [7, 8]). Такой подход обладает рядом преимуществ, главное из которых состоит в возможности рассматривать комплекс из высокостабильного генератора и прогнозирующего устройства как единое целое и повышать стабильность частоты не только путём улучшения технических характеристик генераторов, но и путём повышения точности прогнозов значения частоты генератора.

Для формирования шкалы времени необходимо иметь часы, т.е. источник периодических сигналов, обладающий высокой стабильностью частоты, и устройство для подсчёта числа периодов. Наличие частотного и фазового шума в выходном сигнале генератора, описываемом выражением (1.1), приводит к ошибкам в показаниях часов. Эти ошибки могут быть скомпенсированы введением соответствующих поправок. Уменьшение интервала времени, за который вычисляется поправка, а также экстраполяция поправки – одни из наиболее сложных задач, связанных с формированием шкалы времени. Для их решения применяются математические модели, описывающие разности показания реальных часов с идеальными, т.е. с т.н. “истинным временем”.

Применение более сложных моделей открывает возможность получения более точных поправок и формирования более равномерных шкал времени (понятие равномерности шкалы эквивалентно понятию стабильности частоты генератора, существует ряд характеристик стабильности [6,7,83,84,86,88,89]).

Процесс изменения частоты генератора периодических сигналов можно аппроксимировать некоторой детерминированной функцией времени с наложенной на неё случайной составляющей. В простейшем случае детерминированная составляющая описывается линейной функцией времени.

Это соответствует наличию линейного дрейфа частоты генераторов, обусловленного, например, эффектами старения [42, 95].

Показания часов представляют собой целое число периодов сигнала, снимаемое с выходов генератора, подсчитанное с момента t0 и фазу сигнала в момент t. Фазу сигнала, выраженную в единицах времени называют фазовым временем. Она определяется соотношением:

t (1.6) 2f Эта же величина определяет ошибку в показаниях часов, вызванную отклонением частоты генератора от номинального значения. Справедливо соотношение d t y t, (1.7) dt где y t - мгновенное относительное отклонение частоты.

Понятие фазового времени и возникновение ошибки в показаниях часов иллюстрируется рис. 1.3. Синусоидальный сигнал 1 имеет частоту f 0 (ей соответствует период T0 ). Синусоидальный сигнал 2 имеет частоту f1 1 f 0. Предположим, что показания часов считываются в некоторый T момент времени t, когда фаза сигнала, снимаемого с задающего генератора, равняется. Показания часов, частота генератора которых равна f (“идеальных” часов), выраженное в угловых единицах в этот момент было бы равно:

T0 t 2 0 (1.8) t T0 T Рис. 1.3 – Возникновение ошибки в показаниях часов при отклонении частоты генератора от номинального значения Ошибка в показаниях часов в момент t равна (в угловых единицах):

0 1 (1.9) t T Отсюда получим ошибку в единицах времени (“фазовое время”), что и даёт в результате выражение (1.6) T0 t t.

2 2f Для формирования шкалы времени необходимо выбрать начало отсчёта, подсчитать количество периодов гармонического колебания, укладывающихся от момента начала отсчёта до текущего момента времени t, определить фазу сигнала (фазовое время) и поправку к показаниям часов. Неучтённая погрешность измерения возникает из-за погрешности определения среднего относительного отклонения частоты yi и ошибок при идентификации сбоев часов. В дальнейшем для краткости величина будет обозначаться yi термином “отклонение частоты”. Задача идентификации сбоев часов носит диагностический характер и может решаться на основе сопоставления результатов измерений, полученных в подсистеме сличения частот и в подсистеме измерений временных интервалов, поэтому на первом плане оказывается проблема определения отклонения частоты задающего генератора часов от её номинального (паспортного) значения.

Водородные генераторы, входящие в состав вторичных эталонов времени и частоты могут сличаться с цезиевым репером посредством перевозимых квантовых часов и через спутниковые каналы [4]. Сличения с цезиевым репером носят характер абсолютных измерений. В интервалах между абсолютными измерениями значения частот определяются путём взаимных измерений между водородными генераторами.

В процессе взаимных измерений определяются относительные разности частот опорного и j-го генератора на момент времени ti, являющийся серединой цикла сличений. Введём следующие обозначения:

z j - измеренная разность частот опорного и j-го генераторов;

yi - относительное отклонение частоты i-го генератора от частоты, приписанной эталону по результатам абсолютных измерений;

y1 - относительное отклонение частоты опорного генератора.

Совокупность z j образует вектор измерений, а yi - вектор состояния эталона. Задача определения относительных отклонений частоты заключается в решении относительно вектора Y уравнения Z Z Y 0. (1.10) Данное уравнение может быть однозначно разрешено только при одинаковой размерности векторов Z и Y, чего в описываемой схеме измерений не обеспечивается, поскольку размерность вектора измерений меньше размерности вектора состояния. В этом случае возможно лишь отыскать оптимальную в некотором заданном смысле оценку вектора состояния Y. Таким образом, речь идёт о задаче оценивания состояния недоопределённой системы.

1.3. Эталоны времени и частоты как недоопределённые системы В процессе функционирования групповых эталонов единицы физических величин, воспроизводимые отдельными хранителями эталона (меры, стандарты и т.д.), периодически сравниваются между собой. В результате таких процедур, называемых «взаимными измерениями» (также применяется понятие «внутренние сличения») эталона, получается измерительная информация, на основе которой определяются оценки действительных значений физических величин, воспроизводимых эталонами. Характерной особенностью такой схемы выполнения наблюдений является неполная система наблюдений. При наличии в составе эталона N мер, ранг матрицы наблюдений равен (N-1), поскольку физически измеримыми являются только разности величин, воспроизводимых опорным и i-м элементами, если в качестве основной применяется схема сличения «каждый с опорным». Применение схемы сличения «каждый с каждым» ничего по существу не меняет, т.к. при этом ранг матрицы наблюдений не увеличивается. Схема измерений, выполняемых в таких эталонах, приведена на рис. 1.4.

y z y … yN zN- Рис. 1.4 – Структурная схема измерений Следствием вышеописанной схемы выполнения измерений является то, что в процессе обработки измерительной информации в эталонах возникает самостоятельная задача оценивания состояния эталона, решение которой с учётом вышеуказанных обстоятельств является в известной степени нетривиальным.

Если пренебречь шумами измерительной системы, (что вполне допустимо для измерений, выполняемых на суточных интервалах), то для нахождения вектора состояния эталона достаточно получить оценку состояния опорного элемента (на рис. 1.4 это первый элемент). Оценки других составляющих вектора состояния найдутся непосредственно из результатов измерений, выполненных на k-м такте. Наиболее сложной задачей, таким образом, остаётся оценивание состояния опорного элемента группового эталона.

Существует большой класс систем, у которых количество произведенных измерений не равно количеству оцениваемых параметров. Такие системы являются несовместными. Можно выделить два типа несовместных систем – переопределенные и недоопределенные. Задачи, связанные с обработкой массивов измерительной информации, часто заключаются в оценке состояния таких систем. Наибольшую сложность из этих двух случаев представляет оценивание состояния недоопределённых систем, что непосредственно связано с недостатком измерительной информации.

Уравнения движения и измерений в линейных динамических системах можно записать в общепринятой обобщённой матричной форме [9]:

Yk 1 Yk Ak, (1.11) Z k Yk Vk, (1.12) где Yk – вектор состояний системы в момент k;

– матрица перехода;

– матрица коэффициентов усиления шумов;

Ak – вектор шумов;

Zk – вектор измерений;

Vk – вектор шумов измерений;

H – матрица измерений.

В случае, когда в уравнении (1.12) размерность вектора Z меньше размерности вектора Y, речь идёт о системе с неполной матрицей наблюдений (недоопределённой системе). В таких системах число измерений меньше числа оцениваемых параметров, следовательно, наблюдается недостаток измерительной информации, что влечёт за собой невозможность получения из уравнения (1.12) единственного решения: в случае отсутствия шумов измерения, т.е. при V=0, имеет место линейная система, в которой ранг матрицы меньше размерности вектора Z. Такие системы либо имеют бесконечное число решений, либо не имеют их вовсе.

В случае, когда имеется бесконечное число решений, необходимо выделить из множества имеющихся решений “нужное”, наложив на него те или иные дополнительные ограничения. Для этого требуется использовать дополнительную информацию о системе: либо накладывая какие-либо ограничения на вектор решения Y (например, в том случае, когда из физических соображений известен диапазон возможных значений), либо учитывая прогнозы данного вектора, а, следовательно, и прогнозы вектора наблюдений Z, вычисленные с учётом динамики системы. В первом случае можно искать вектор решения системы, имеющий минимальную норму [10] (находится ближе всего к нулевому вектору). Тогда оценка вектора Y может быть получена с помощью псевдообратной матрицы. Для групповых эталонов, решение задачи таким способом приводит к алгоритму среднего арифметического (или взвешенного среднего) и имеет ряд недостатков, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Во втором случае можно использовать прогнозы вектора состояния Y, вычисляемые на основе той или иной модели, например моделей соответствующего временного ряда, характерным примером которых являются модели авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).

Использование адекватных математических моделей позволяет представить состояние процесса как сумму двух составляющих: прогноза вектора состояния процесса и случайной составляющей (ошибки прогноза). В идеале, для правильно построенных моделей ошибки прогнозов некоррелированы и имеют нулевое математическое ожидание.

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов для нахождения оценок вектора состояния недоопределённой системы.

Вектор измерений Z (Y ) связан с вектором состояния Y линейной зависимостью Z H Y. (1.13) Для определённости предположим, что опорным является первый элемент. Матрица измерений H размерности ( N 1) N тогда имеет вид (используются измерения за один такт):

1 1 0... 1 0 1... H (1.14)...............

1 0 0... При этом функционал I, который необходимо минимизировать, имеет вид:

Z HY Z HY.

2 T IY (1.15) Оптимальная оценка Y, полученная по методу наименьших квадратов, должна удовлетворять требованию I * min I I |Y Y *, (1.16) где I - оптимальное значение функционала I Необходимым для отыскания I * условием является выполнение условия экстремума I 2 H T ( Z HY * ) 0. (1.17) Y|Y Y * I Достаточным условием минимума является положительная определенность матрицы I 2H T H. (1.18) Y Y Y Y * Если матрица, представленная выражением (1.18), положительно определена, то условие минимума I выполняется. Тогда оптимальная оценка Y* находится из решения уравнения (1.17) Y * ( H T H ) 1 H T Z (1.19) Оценка, полученная по методу взвешенных наименьших квадратов, является обобщением результатов (1.19) и имеет вид Y * ( H T R 1 H ) 1 H T R 1 Z, (1.20) где R – весовая матрица.


Если в качестве весовой матрицы применять ковариационную матрицу вектора невязки, то с помощью соотношения (1.20) можно получать оценки вектора состояния даже в случае неравноточных коррелированных измерений.

При этом не требуется предварительного преобразования вектора измерений Z с целью получения независимых равноточных измерений. Эта операция автоматически выполняется при использовании формулы (1.20).

Матрица H T H в (1.19) всегда неотрицательно определенная. Однако условие минимума функционала I требует ее положительной определенности, то есть она должна быть невырожденной. В рассматриваемом случае недоопределённых систем это не так. Определитель матрицы H T H равен нулю, ( H T H ) 1 не следовательно, обратной матрицы существует. Поэтому непосредственно использовать формулу (1.19) для нахождения оценки вектора Y нельзя. В случае, когда обратной матрицы ( H T H ) 1 не существует, оценку вектора Y получают с помощью псевдообратной матрицы H. Псевдообратная матрица, или обобщенная обратная матрица, обладает свойствами обратной матрицы и совпадает с ней, когда последняя существует. Если же обратной матрицы не существует, то решение уравнения (1.13), отвечающее требованию минимизации нормы вектора невязки, принимает вид Y * H Z (1.21) В общем случае, матрица измерений H имеет размерность ( N 1) n N, где n - количество интервалов, в течение которых выполнялись измерения, N число элементов в эталоне. Если для получения оценок вектора Y используются только результаты измерений, выполненных на данном цикле (что является наиболее практически значимым случаем), то есть n=1, то ранг матрицы H равен (N1). Если ранг матрицы совпадает с ее размерностью, то есть матрица имеет максимальный ранг, как это происходит при рассматриваемой схеме измерений, псевдообратная матрица имеет вид [11] H H T ( HH T ) 1. (1.22) С учетом (1.14) получаем:

1 1 1... ( N 1) 1 1... 1 H 1 (1.23) ( N 1) 1... N 1... ( N 1) 1 Из (1.21) и (1.22) следует, что оценка определяемого значения для опорного элемента находится как среднее значение результатов измерений, выполненных на данном такте:

N z y1 (1.24) j N j Таким образом, применение метода наименьших квадратов (МНК) к задаче определения состояния опорного элемента приводит к алгоритму усреднения результатов измерений (или к алгоритму взвешенного среднего при использовании весов, не равных 1 ). Состояние j-го элемента может быть n найдено также из соотношений (1.21) и (1.23), однако проще воспользоваться непосредственно результатом измерения z j и полученной оценкой состояния опорного элемента y y j y1 z j y j ( y1 y1 ) (1.25) При этом погрешность определения состояния элементов, входящих в систему, равна погрешности оценки состояния опорного элемента.

Использование выражения (1.24) для вычисления оценки относительного отклонения опорного элемента приводит к алгоритму простого усреднения.

Подробный анализ погрешностей, возникающих при таком подходе, приводится в соответствующем разделе. Следует сказать, что погрешность оценивания будет тем меньше, чем ближе сумма истинных значений на данном такте к нулю. Такое требование является весьма жёстким, поскольку в полной мере может быть обеспечено лишь наращиванием количества высокостабильных генераторов, включенных в эталон, т.е. дорогостоящими аппаратными средствами.

Повысить точность оценивания можно за счет использования в процессе обработки большего числа измерений, то есть учитывать не только результаты текущего цикла, но и предшествующих. При этом применение формулы (1.20) связано с ростом размерности обращаемых матриц по мере увеличения числа циклов. Кроме того, проблема нахождения корреляционной матрицы R порождает такие трудности, преодоление которых требует решения более сложных задач, нежели исходная, то есть задача нахождения оценки вектора состояния. Возникают и технические ограничения, не позволяющие применить такой подход.

Выход из сложившейся ситуации заключается в использовании динамических методов оценивания вектора состояния. Рассмотренные выше методы соответствуют статической обработке информации, когда считается, что все результаты измерений поступают для обработки одновременно. При динамической обработке предыстория исследуемых процессов описывается их математическими моделями. Использование адекватных математических моделей позволяет представить состояние процесса как сумму двух составляющих: прогноза вектора состояния процесса и случайной составляющей (ошибки прогноза). Для правильно построенных моделей ошибки прогнозов некоррелированы и имеют нулевое математическое ожидание.

Снижение погрешности в таком случае может достигаться как улучшением качества прогнозирующих моделей, так и повышением предсказуемости поведения самих прогнозируемых объектов (водородных хранителей частоты). Как известно [7, 8], стабильность частоты может определяться степенью её предсказуемости, и если возможно описать сколь угодно сложные колебания частот генераторов адекватными моделями, то можно считать, что частота на выходе этих генераторов стабильна.

Подход, основанный на использовании прогнозирования в процедуре оценивания состояния недоопределённых систем ведёт к смягчению требований, накладываемых на поступающую измерительную информацию.

Погрешность оценивания в этом случае зависит от качества прогнозов, то есть от адекватности математических моделей элементов системы. Это, в свою очередь, открывает перспективу улучшения характеристик (точности получаемых оценок) процедуры статистическими методами – т.е. чисто алгоритмическими мерами. Таким образом, возможно повысить метрологические характеристики групповых эталонов физических величин, являющихся системами с неполной матрицей наблюдений, не прибегая к весьма дорогостоящим техническим мерам.

1.4. Выводы Метрология отвечает за обеспечение единства измерений в различных отраслях хозяйства. Её деятельность опирается на использование различных технических средств измерения, важнейшее место среди которых занимают эталоны физических величин. За единство измерений времени и частоты на территории РФ отвечает Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли, чья деятельность опирается на эталонную базу, включающую Государственный эталон и ряд вторичных эталонов.

Эталоны времени и частоты представляют собой сложные аппаратно программные комплексы, включающие в себя высокостабильные генераторы гармонических колебаний (в количестве нескольких единиц), объединённые измерительной системой. В этой системе регулярно производятся измерения, имеющие характер косвенных. По существу, выполняются взаимные измерения, в ходе которых относительные отклонения частот выбранного в опорным хранителя сличаются с таковыми для всех прочих генераторов.

Количество таких наблюдений меньше количества генераторов, т.е. имеет место недоопределённая система. Вычислить состояние такой системы точно невозможно, возможно лишь найти его оптимальную в заданном смысле оценку. Таким образом, возникает задача оценивания состояния системы с неполной матрицей наблюдения – эталона времени и частоты.

Оценки состояния могут быть построены с использованием метода наименьших квадратов, сводящегося к алгоритму усреднения. Вместе с тем, МНК-оценки обладают целым рядом существенных для данного случая недостатков. Использование оценок, построенных на основе прогнозирующих моделей, позволяет улучшить точность оценивания и таким образом снизить нестабильность хранимой величины путём дальнейшего улучшения качества моделей и достоверности получаемых на их основе прогнозов.

2. Оценивание в эталонах времени и частоты. Использование динамических стохастических моделей 2.1. Модели динамических систем. Оценивание состояния Математическая модель является научно обоснованной схематизацией действительного поведения объекта (системы) в форме, которая даёт возможность производить вычисления, необходимые для достижения поставленной цели исследования, проводимого в отношении этого объекта [43].

Исследование динамических систем сводится к изучению их математических моделей.

Под системой принято понимать множество элементов, объединённое в единое целое совокупностью взаимосвязей. Система выделяется из окружающей её действительности в соответствии с некоторой определённой целью, либо создаётся (конструируется) из отдельных элементов для достижения той или иной цели. Суммарная эффективность системы (например, группового эталона) в смысле цели её существования превосходит эффективность простой суммы её элементов (отдельных хранителей).

Система обладает некоторым набором входов (входных величин) и выходов (выходных значений). Под состоянием системы в математическом смысле понимается значение вектора параметров, с помощью которого устанавливается функциональное соответствие между входом и выходом системы. Система, в которой однозначно определено понятие состояния как совокупность значений некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени, называется динамической системой. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы.

Одними из основных задач, встречающихся в различных отраслях науки и техники, связанных с управлением теми или иными объектами, обработкой измерений, являются задача оценивания и задача идентификации систем.


Задача оценивания состояния заключается в нахождении наилучшей оценки состояния системы при известной математической модели этой системы.

Задача идентификации систем состоит в определении структуры и параметров систем по выполняемым над ними наблюдениям, т.е. в построении математической модели системы. С практической точки зрения, речь идёт об определении типа, структуры и параметров модели, описывающей систему.

Очевидно, что для решения задачи оценивания требуется сначала идентифицировать систему. К различным вариантам постановки этих задач приводят статистические методы обработки информации.

В настоящей работе рассматриваются линейные динамические объекты.

В общем случае уравнение линейного динамического объекта может быть представлено в виде линейного разностного уравнения [12]:

N N N y t am y t m bm u t m d m t m, (2.1) m 1 m 0 m где t=0,1,2,… - дискретное время, a, b, d – коэффициенты, y(t) – выходы объекта, u(t) – входы объекта, (t) – воздействующие на объект шумы.

Объекты, соответствующие уравнениям вида [12]:

N y t am y t m t, (2.2) m называются авторегрессионными и находят широкое применение при исследовании временных рядов.

Объекты, соответствующие уравнениям вида [12]:

N y t d m t m, (2.3) m соответствуют операции скользящего среднего.

Основными этапами идентификации являются структурная идентификация и параметрическая идентификация [35]. Структурная идентификация позволяет получить уравнение динамики, а параметрическая идентификация осуществляется с целью определения неизвестных параметров при известной структуре модели, т.е. соответствующих коэффициентов при членах уравнения. Осуществляется она с помощью алгоритмов идентификации параметров, зависящих от типа системы.

Настраиваемая модель, используемая при идентификации, вырабатывает y t на основе совокупности наблюдаемых прогнозирующую величину входных воздействий и выходных величин, такая модель называется прогнозирующей. Чем ближе параметры модели к реальному объекту – тем точнее прогноз. Близость настраиваемой модели к объекту характеризуется математическим ожиданием квадрата невязки:

M 2 t M y t y t (2.4) В случае, когда выполняется соотношение M t 0 (2.5) (результаты являются несмещёнными), мерой близости будет дисперсия невязки. Под оптимальной моделью понимается такая, для которой M 2 t достигает минимально возможного значения при определённых значениях её параметров.

Введя соответствующие обозначения, уравнение движения линейных динамических систем можно записать в общепринятой обобщённой матричной форме [9]:

Yk 1 Yk Ak, (2.6) где Yk – вектор состояний системы в момент k;

– матрица перехода;

– матрица коэффициентов усиления шумов;

Ak – вектор шумов.

Вектор измерений, выполненных в момент k имеет вид Z k Yk Vk, (2.7) где Zk – вектор измерений;

Vk – вектор шумов измерений;

H – матрица измерений.

Структурная схема [58, 68] такой системы имеет вид (рис. 2.1) Vk Ak Yk+1 Yk Uk Zk Задержка k Hk k Рис. 2.1 – Обобщённая структурная схема линейной динамической системы Линейные динамические системы вида (2.6), (2.7) встречаются при решении различных технических и научных задач наиболее часто. В настоящей работе эталоны времени и частоты рассматриваются именно в качестве таких систем.

В обобщённом случае идентификации модели на очередном шаге ко входам объекта и настраиваемой модели прикладывается (см. рис. 2.2 [12]) одно и то же внешнее воздействие U(n). Реальный объект возмущается также некоторой случайной ненаблюдаемой помехой (n). Выходная величина объекта Y(n) зависит как от внешнего воздействия и помехи, так и от C.

неизвестного истинного вектора параметров Выходная величина настраиваемой модели Y n зависит от вектора настраиваемых параметров C, который корректируется в результате действия алгоритма, анализирующего вектор наблюдений Z(n). Разность выходных величин идентифицируемого объекта и его модели образует “невязку” :

Z n, C Y n Y n (2.8) Невязка поступает на вход функционального преобразователя F.

Соответствие настраиваемой модели объекту, т.е. качество идентификации, оценивается некоторым критерием качества идентификации:

I C M F Z n, C, где F – функция потерь, M – математическое ожидание.

(n) Y(n) Объект C IC (n) F() M{F()} Y n Модель C U(n) C Алгоритм Z(n) Наблюдения Рис. 2.2 - Блок-схема процесса идентификации Улучшение качества идентификации может достигаться как изменением структуры модели, так и настройкой её параметров. Критерий качества идентификации в большинстве случаев выбирается квадратичным – в виде среднего значения квадрата невязки F 2. Минимизация такого критерия соответствует методу наименьших квадратов (МНК). Популярность квадратичного критерия точности идентификации обусловлена возможностью получения теоретически точного результата: можно показать, что оптимальное решение удовлетворяет условию оптимальности при любых чётных (в наиболее простом случае - квадратичных) функциях потерь.

Как говорилось ранее, статистическая обработка экспериментальных данных может рассматриваться как задача оценивания состояния, сущность которой состоит в следующем. Фактическое состояние любой реальной системы может быть в полной мере описано лишь бесконечным (или практически бесконечным) числом параметров. В распоряжении исследователя при этом имеется лишь конечное число независимых измерений, искажённых неизбежными погрешностями. Вследствие этого точное определение состояния реальной системы по результатам измерений практически невозможно.

Возможно лишь получение некоторой его оценки, при этом реальная система заменяется на свою математическую модель, включающую конечное число параметров. Задача обработки данных, получаемых в процессе функционирования групповых эталонов, заключается в получении оценок вектора состояния эталона по результатам выполняемых между его элементами взаимных измерений.

Применительно к задаче оценивания, система также описывается конечным числом параметров, совокупность которых называется вектором состояния Y, а количество m – размерностью модели. Применительно к эталонам времени и частоты в качестве вектора состояния можно рассматривать значения относительных отклонений частоты каждой из мер (хранителей) от приписанного ей значения.

Для определения вектора Y используются результаты измерения некоторого количества величин N, совокупность которых называется вектором измерений Z, или выборкой.

Зависимость вектора измерений от действительного вектора состояния для выбранной модели описывается некоторой зависимостью:

Z H Y. (2.9) Данное уравнение называется уравнением измерений. По характеру связи измеряемых параметров с параметрами внутреннего состояния объекта такие уравнения можно разделить на непосредственные и косвенные, соответственно, можно вести речь о прямых и косвенных измерениях.

В действительности, зависимость (2.9) относится к модели системы, а наблюдения производятся над реальной системой. Вектор погрешностей модели (методических погрешностей) обозначим 1, 2, N, а истинные значения векторов Z и Y – обозначим Zи и Zи, тогда [13,77]:

Z И H YИ (2.10) ~ Пусть Z - значение вектора Z, полученное в результате измерений. Тогда:

~ Z ZИ, (2.11) где 1, 2, N - вектор погрешностей измерений. Отсюда:

~ Z H YИ (2.12) Точные значения векторов погрешностей модели и погрешностей измерения остаются неизвестными, их обычно рассматривают как случайные векторы с некоторыми вероятностными характеристиками. При этом зависимость (2.12) заменяется системой условных уравнений:

~ H Y Z, (2.13) представляющей собой систему из n уравнений относительно m неизвестных y1, y2, ym. Система условных уравнений является неточной и из неё нельзя получить истинное значение Yи вектора состояния, может быть найдена лишь некоторая оценка Y этого вектора. Она должна по возможности быть близка к Yи. Задача оценивания состояния, таким образом, сводится к отысканию алгоритма вида [13]:

~ (2.14) Y Z позволяющего находить оценку состояния объекта Y по измеренному ~ значению Z. Такой алгоритм называется алгоритмом фильтрации, поскольку его задачей является уменьшение влияния на результат (фильтрация) методической погрешности и погрешности измерения. Задача построения алгоритма фильтрации является неоднозначной.

Полученная оценка Y чаще всего не удовлетворяет системе условных уравнений (2.13), зависимость приобретает при этом вид ~ Z H Y, (2.15) где 1, 2, N - вектор невязок.

Задача нахождения оценок вектора состояния такой системы заключается в нахождении несмещённых оценок вектора Y для моментов t=0, 1, 2,…n, имеющих минимальные дисперсии. Если шумы, возбуждающие систему, белые гауссовы, то задача может быть сведена к минимизации функционала [11] 2 n 1 1 Z t 1 HYt I Y0 Y0 At (2.16) Q 2n t 0 P 1 R 1 n где Yj – вектор состояния системы в момент времени j, Yt 1 – оценка вектора Y на момент времени t+1, вычисленная с учетом n n имеющихся наблюдений, Ak – вектор шумов, H – матрица измерений, Zt+1 – вектор измерений системы в момент времени t+1, P – ковариационная матрица вектора состояния, R – ковариационная матрица шумов измерений, Q – ковариационная матрица шумов, возбуждающих систему, X R 1 X T R 1 X – обобщенная норма вектора X.

Решение поставленной задачи получено Калманом в виде набора рекуррентных уравнений (называемого дискретным фильтром Калмана), о котором пойдёт речь в соответствующем разделе.

В заключение следует сделать вывод о том, что использование математических моделей является на сегодняшний день важнейшим методом исследования тех или иных систем, в особенности - таких сложных, как эталоны времени и частоты. Обработка статистических данных, к которым относятся разнообразные физические измерения, зачастую требуют решения задачи оценивания состояния системы, что, в свою очередь, невозможно без решения задач идентификации моделей. Таким образом, дальнейшее рассмотрение поставленной проблемы будет вестись с точки зрения решения задач идентификации и оценивания состояния применительно к эталонам времени и частоты.

2.2. Использование прогнозирующих моделей. Анализ погрешностей МНК-оценок и оценок, основанных на прогнозах Ранее был рассмотрен подход к задаче оценивания вектора состояния эталонов времени и частоты, основанный на методе простого усреднения, проанализированы его недостатки. Также был предложен поход к решению этой проблемы, основанный на использовании в качестве дополнительного канала наблюдения некоторой модели динамики системы, описывающей предысторию её движения и позволяющий строить прогноз состояния на каждом следующем шаге. Требуется построить процедуру оценивания состояния и провести сравнение оценок, полученных каждым из методов.

Во многих технических системах (к числу которых относятся эталоны времени и частоты) их динамика может быть описана рекуррентными уравнениями вида yk 1 y k 1 2 y k 2... p y k p 1ak 1... q ak q, (2.17) которые с точностью до знаков при коэффициентах i, j совпадают с уравнениями авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) [14].

Переход от уравнения (2.17) к стандартному каноническому виду yk * yk 1 gAk (2.18) z k h* yk для системы с одним входом и одним выходом может быть выполнен с помощью стандартного преобразования [11].

0 0 I h ;

* * (2.19) 0 p p 0 0 1 0 3 ;

g 2 1 p1 p2 p3 1 p В случае, когда в уравнении (2.18) размерность вектора Z меньше размерности вектора Y, речь идёт о системе с неполной матрицей наблюдений, то есть системе, в которой число измерений меньше числа оцениваемых параметров. Недостаток измерительной информации влечёт за собой невозможность получения из уравнения (2.18) единственного решения.

Для получения единственного решения требуется привлечь дополнительную информацию, либо в форме дополнительных ограничений, налагаемых на решение, либо путём учёта прогнозов вектора состояния, вычисленных с учётом динамики системы. В первом случае можно искать вектор решения системы, имеющий минимальную норму [10]. Тогда оценка вектора Y может быть получена с помощью псевдообратной матрицы. Во втором случае можно использовать прогнозы вектора состояния Y, вычисляемые на основе уравнения (2.17).

Использование прогнозов относительных отклонений частоты, полученных на предыдущих тактах обработки, приводит к следующей формуле для оценки относительного отклонения частоты опорного элемента [15] N N yоп g i [ y оп yi yi (1)] g i [ zi yi (1)] (2.20) i 1 i y i (1) – прогноз, вычисленный на предыдущем такте, где g i - вес i-го хранителя.

Оценки для остальных элементов вычисляются как:

(2.21) y j y1 z j Для получения прогнозов можно использовать различные классы математических моделей. Например, полиномиальные модели, экспоненциальные модели и др. Применительно к эталонам времени и частоты, одним из наиболее удобных способов представляется использование уравнений авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС), так как этот класс моделей специально предназначен для анализа временных рядов, которые естественным образом и формирует эталон. В этом случае, прогноз на каждом шаге вычисляется с использованием выражения (2.17), то есть на основе моделей АРСС. Возникает задача “подгонки” (параметрической идентификации) моделей. Она может быть разрешена путём минимизации функционала вида [16]:

n N I zt,i yt,1 yt,i (2.22) t 1 i По существу, минимизируется квадрат погрешности прогноза, т.е.

изменение вектора настраиваемых параметров ведётся на основе анализа расхождения вновь поступившего реального измерения с прогнозом данного измерения, построенным на предыдущем шаге.

Таким образом, строится итеративный алгоритм, тесно объединяющий в себе процедуру идентификации моделей АРПСС и процедуру оценивания состояния. По существу, оценки строятся с использованием идентифицированных моделей, а для дальнейшей параметрической идентификации моделей (уточнения параметров, “подгонки” моделей) используются результаты оценивания.

В качестве альтернативного способа построения оценок ранее был предложен алгоритм среднего арифметического (либо взвешенного среднего при различных весах) вида:

1 N y оп z j (2.23) N j В этом случае для оценивания состояния остальных элементов эталона также используется выражение (2.21).

Проведём сравнение погрешностей для обоих подходов к оцениванию.

Погрешность при подходе, основанном на методе среднего арифметического равна [15]:

1N 1N 1N zi yоп ( yоп yi ) yi (2.24) 1 yоп yоп yоп N i 1 N i 1 N i Для алгоритма взвешенного среднего справедливо соотношение N g y. (2.25) 2 i i N i В выражениях (2.24) и (2.25) в число измерений добавлена фиктивная величина yоп yоп 0, поэтому суммирование ведется по N членам, а не по N-1.

Из выражений (2.24), (2.25) следует, что погрешности оценивания 1 и 2 будут тем меньше, чем ближе сумма истинных значений оцениваемой величины на каждом такте к нулю. Вполне очевидно, что это условие является весьма жёстким, поскольку предъявляет достаточно высокие требования к измерительной системе в целом. Обеспечить его выполнение с достаточной степенью вероятности при малом числе элементов (стандартов) в эталоне не представляется возможным, существенно увеличить же количество элементов в системе (до величин, необходимых для надёжного функционирования закона больших чисел) не позволяют экономические соображения.

Погрешность оценивания при использовании подхода, основанного на применении прогнозирующих моделей равняется N 3 g i [ yi yi (1)].

(2.26) i Обеспечить равенство нулю ошибки оценивания состояния элементов системы при использовании прогнозов гораздо проще. Условие несмещённости зависит здесь не от величины относительных отклонений элементов, а от того, насколько точно можно эти отклонения прогнозировать, т.е. от качества моделей, описывающих процесс изменения частот в каждой из мер, входящих в эталон. Таким образом, ошибка зависит от точности прогноза и будет равна нулю, если все прогнозы будут вполне точны. Конечно, на практике это труднодостижимо, однако само по себе такое требование является гораздо более мягким, чем требование, обеспечивающее равенство нулю погрешности для МНК-оценок. Качество прогнозирования можно повысить как использованием новых, более сложных моделей, так и совершенствованием аппаратных средств, ведущим к росту предсказуемости поведения частоты. И то, и другое решение ведёт к снижению степени непредсказуемости колебаний частоты и, таким образом, к увеличению точности получаемых оценок.

2.3. Построение субоптимального фильтра Калмана Обсуждаемая в настоящей работе проблема может рассматриваться как задача непрерывного определения состояния системы по результатам выполняемых последовательно наблюдений. Поскольку наблюдения всегда сопровождаются случайными погрешностями, то следует говорить не об определении состояния системы, а о его оценивании путём статистической обработки результатов наблюдений. По существу, речь идёт о процедуре динамической фильтрации.

Любой фильтр предназначен для исключения шума, т.е. для выделения полезного выходного сигнала из поступающего входного, искажённого шумом.

Можно считать, что фильтр оценивает сигнал. Кроме того, в некоторых случаях требуется непрерывно оценивать те или иные неизвестные параметры системы.

При этом вектор состояния системы расширяют за счёт включения в него неизвестных параметров в качестве дополнительных элементов.

~ Пусть вектор Z может быть представлен в виде совокупности векторов ~ ~~ ~ Z Z 0,Z1, Z n, (2.27) ~ ~ где Z 0 включает в себя всю априорную информацию, а Z t (t=1,2,…,n) содержит последовательно поступающую апостериорную информацию. При ~ этом каждому вектору Z t соответствует момент времени t, в который он поступил. Обозначим через ~ ~~ ~ Z t1 Z 0,Z1, Z t 1 (2.28) вектор, содержащий всю информацию, поступившую до момента t. Ему соответствует оценка ~ Yt 1 Z t1. (2.29) К следующему моменту времени t+1 будет иметься информация, составляющая вектор ~ ~~ Z t Z t1,Z t, (2.30) по которому может быть найдена оценка ~ Yt Z t. (2.31) Такой алгоритм соответствует статической обработке, или обработке с накоплением данных и называется алгоритмом совместной обработки.

В целом ряде случаев представляется возможным заменить алгоритм совместной обработки (2.31) рекуррентным алгоритмом вида ~ Yt Yt 1, Z t, (2.32) в правую часть которого входит не весь вектор накопленных измерений, а ~ лишь вектор Z t поступивших последними в момент времени t измерений.

Влияние же поступивших ранее измерений учитывается оценкой Yt 1.

Такой процесс получения последовательно уточняемых оценок называется рекуррентной фильтрацией и соответствует динамической обработке информации, или обработке в темпе поступления информации.

Процедура оценивания в этом случае распадается на ряд повторяющихся однотипных вычислений по формулам (2.32), отпадает необходимость в накоплении и хранении большого объема предшествующей измерительной информации.

В случае оценивания состояния систем с неполной матрицей измерений посредством рекуррентного алгоритма, требуется найти несмещенные оценки вектора Y, обладающие минимальными дисперсиями. Если шумы измерений и шумы, возбуждающие систему – белые гауссовы, то решение сводится к минимизации функционала (2.16).

Решение поставленной задачи было получено Калманом в 1960 г. в виде системы рекуррентных уравнений [11, 17, 58, 74, 78 и др.] Yk / k ФYk 1/ k Pk / k H T R 1[ Z k HФYk 1 / k 1 ], Pk / k 1 ФPk 1 / k 1ФT ГQГ T, (2.33) Pk / k Pk / k 1 Pk / k 1 H T [ HPk / k 1 H T P]1 HPk / k 1.

где P – ковариационная матрица вектора состояния;

R – ковариационная матрица шумов измерений;

Q – ковариационная матрица шумов, возбуждающих систему;



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.