авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Министерство образования и науки РФ Научно-исследовательский Иркутский государственный технический университет ...»

-- [ Страница 3 ] --

удаление трендов определение структуры моделей оценивание состояния восстановление трендов Y t y1 t y N t y N 1 t y 2 t … Сравнение Рис. 4.1 – Структурная схема системы моделирования На практике, в данной работе элементы системы моделирования были интегрально реализованы в составе программного комплекса для оценивания состояния эталонов времени и частоты. Генерация рядов выполняется одним из модулей программного комплекса, в таком случае вместо использования в качестве входных данных файла с готовой измерительной информацией, используется файл конфигурации блока генерации рядов. Анализ результатов выполнялся как внутри программного комплекса его собственными средствами (в особенности, на этапе отладки), так и сторонними приложениями (такими, как ППП StatSoft Statistica).

В последующих разделах будет подробно рассмотрен процесс и результаты моделирования различных этапов функционирования предлагаемого алгоритма оценивания состояния.

4.2. Моделирование процесса оценивания линейных трендов Первым этапом в обработке поступающих разностных рядов является выявление детерминированных трендов в них, определение их характеристик и исключение влияния трендов из рядов наблюдений.

Как уже говорилось ранее, возможны различные подходы к обработке данных, содержащих детерминированную составляющую. При выбранном подходе, основанном на подгонке соответствующих моделей (линейных или более сложных) и последующем удалении трендов из рядов наблюдений, могут возникать следующие ситуации:

Коэффициенты моделей тренда bi j известны заранее (например, 1.

предварительно оценены по рядам внешних сличений эталона с вышестоящим, либо оценены по наблюдениям за более ранний период).

b1,i 0, Отсутствует наклон в одном из рядов сличений i:

2. z следовательно, можно предполагать отсутствие тренда опорного генератора и отсутствие тренда соответствующего генератора (ввиду маловероятности другой ситуации, ведущей к совпадению трендов b1 bi1 0 ).

3. Какая-либо априорная информация о тренде отсутствует, все ряды наблюдений имеют наклон. Погрешность оценивания тренда в этом случае может быть велика, поскольку система является недоопределённой.

Будем использовать при машинных экспериментах следующую общую методику. Сгенерируем ряды “наблюдений” по некоторым заданным моделям АРСС (наложив на них псевдослучайный шум). Количество исходных рядов в эксперименте – 4, количество полученных из них разностных рядов – 3, длина рядов – 300. Параметры моделей приведены в Таблице 1. Остальные параметры указываются дополнительно.

Очевидно, что в случае, когда коэффициенты угла наклона известны заранее и точно, будет получено точное соответствие истинного тренда его линейной модели, что было подтверждено моделированием (см. рис. 4.2) – ряды оценок и исходные ряды практически совпали. Параметры тренда приведены ниже:

0 0 0 b1 20 b2 10 b3 5 b4 1 1 1 b1 0.1 b2 0.2 b3 0.3 b4 0. Рис. 4.2 – Сопоставление исходных рядов и рядов оценок состояния опорного генератора при точном задании угла наклона тренда (фрагмент рядов длиной 40) При внесении “погрешности” в “априорные сведения” о тренде, возникнет объяснимая погрешность, нарастающая с ростом времени t.

Например, для опорного генератора вместо истинных значений b1 0.1 и 0 1 b1 20 были заданы значения b1 0.12 и b1 18. Возникающее при этом нарастающее расхождение наглядно видно из рис. 4.3. Особенно важно здесь то, что расхождение нарастает с течением времени, т.е. такая погрешность без дополнительных мер не только не будет скомпенсирована, но даже не стабилизируется.

Второй случай, когда из отсутствия наклона в одном из рядов наблюдений делается вывод об отсутствии тренда у соответствующего генератора, а также у опорного генератора (после чего исходя из этих соображений коэффициенты угла наклона остальных генераторов непосредственным образом вычисляются из оставшихся разностных рядов), достаточно очевиден в случае моделирования и должен быть исследован на реальных данных.

Рис. 4.3 – Сопоставление исходного ряда (сплошная линия) и ряда уточнённых оценок (пунктирная линия) при внесённом намеренно расхождении угла наклона тренда и уровня постоянной составляющей (для опорного элемента) Проиллюстрируем последний, третий вариант (при котором информация о тренде отсутствует, и нет оснований делать какие-либо предположения о нём) следующим машинным экспериментом. Воспользуемся ранее описанной методикой, параметры моделей для которой приведены в Таблице 1. Наложим на них линейные тренды с заданными коэффициентами наклона, после чего осуществим минимизацию суммы квадратов отклонений разностных рядов от соответствующих разностей трендов. Результат существенным образом зависит от выбранных начальных приближений, поэтому были опробованы различные их значения.

В Таблице 2 сопоставляются истинные значения и значения оценок трендов при различных начальных приближениях. На рис. 4.4-4.7 показаны в графической форме результаты моделирования для некоторых наиболее характерных случаев. Рис. 4.4 (соответствует случаю №1 в Таблице 2) показывает результат при случае, когда начальные приближения взяты с большим удалением в сторону от истинных коэффициентов угла наклона. Как видно, при этом сохраняется угол между соответствующими рядами первого и второго генераторов, однако углы наклона относительно осей координат оказываются очень далеки от истинных. Та же ситуация складывается на рис.

4.7 (соответствует случаю №6 Таблицы 2) – “пучок” рядов оценок оказывается как бы повёрнут вокруг начала координат относительно исходных рядов на некоторый одинаковый угол. На рис. 4.5 (соответствует случаю №2 Таблицы 2) начальные приближения взяты весьма близкими к истинным значениям, т.е.

моделируется уточнение коэффициента угла наклона линейного тренда (например, в случае, когда его значение известно приближённо из рядов внешних сличений эталона). В этом практически значимом случае процедура сходится к истинным значениям. На рис. 4.6 (соответствует случаю № Таблицы 2) показана ситуация, при которой начальные приближения взяты нулевыми, т.е. весьма далёкими от истинных значений, однако они n удовлетворяют условию 0. В этом случае оценки коэффициентов угла b i i наклона также оказываются весьма близки к истинным значениям.

Таблица Номер ряда 1 2 3 Порядок Исходный: p1=0 p2=0 p3=3 p4= авторегрессии 1=0. Коэффициенты 1=0. Исходные: - - 2=-0. авторегрессии 2=-0. 3=-0. Порядок Исходный: q1=1 q2=2 q3=0 q4= скользящего среднего Коэффициенты 1=0. скользящего Исходные: 1=0.35 - 2=-0. среднего 3 0. 1 0.01 2 0.02 4 0. с.к.о. псевдослучайного шума Рис. 4.4 – Взаимное положение исходных рядов (сплошная – генератор 1, пунктир – генератор 2) и рядов оценок (точки – генератор 1, штрих-пунктир – генератор 2) для случая №1.

Рис. 4.5 – Взаимное положение исходных рядов (точки – генератор 1, сплошная – генератор 2) и рядов оценок (ромбы – генератор 1, треугольники – генератор 2) для случая №2. Фрагмент из 50 точек.

Рис. 4.6 – Взаимное положение исходных рядов (сплошная – генератор 1, мелкий пунктир – генератор 2, точки – генератор 3, длинный пунктир – генератор 4) и рядов оценок (круги – генератор 1, квадраты – генератор 2, ромбы – генератор 3, треугольники – генератор 4) для случая №5. Фрагмент из 50 точек.

Рис. 4.6 – Взаимное положение исходных рядов (сплошная – генератор 1, мелкий пунктир – генератор 2, точки – генератор 3, крупный пунктир – генератор 4) и рядов оценок (круги – генератор 1, квадраты – генератор 2, ромбы – генератор 3, треугольники – генератор 4) для случая №6. Фрагмент из 50 точек.

Таблица Реальные Начальные Полученные Реальные Начальные Полученные № № значения приближения оценки наклона значения приближения оценки наклона 0.1 0.11 0. 0.1 0 -0. 0.25 0.24 0. 0.25 0 0.0749 -0.1 -0.09 -0. 0.1 0 -0. -0.25 -0.26 -0. 0.25 0 0. 0.1 0.1 0. 0.1 0.09 0. 0.25 0.25 0. 0.25 0.26 0. -0.1 -0.1 -0. 0.1 0.11 0. -0.1 -0.1 -0. 0.25 0.24 0. 0.1 0.11 0.1125 0.01 0.01 0. 0.25 0.26 0.2625 0.025 0.025 0. 3 0.1 0.11 0.1124 -0.01 -0.01 -0. 0.25 0.27 0.2624 -0.025 -0.025 -0. 0.1 0.1 0.0999 0.01 0.01 0. 0.25 0.25 0.2499 0.025 0.025 0. 0.1 0.1 0.0999 -0.01 -0.01 -0. 0.25 0.25 0.2500 -0.025 -0.025 -0. 0 0 -2. 0.1 0 0. 0.01 0.01 0. 0.25 0 0. 0.025 0.025 0. -0.1 0 -0. -0.01 -0.01 -0. -0.25 0 0. -0.025 -0.025 -0. 0.1 0.1 0. -0.025 -0.025 -0. 0.25 0.1 0. -0.1 0.1 0. -0.25 0.1 -0. Как видно из результатов моделирования, сведённых в таблицу, в случае нулевых начальных приближений (т.е. при отсутствии каких-либо априорных n b сведений о тренде) при выполнении условия 0, полученные оценки i i коэффициента угла наклона весьма близки к исходным значениям. При невыполнении данного условия оценки существенно расходятся с истинными значениями коэффициентов угла наклона, если только начальные приближения не выбраны достаточно близкими к истинным значениям при условии n b нач 0, т.е. если не имеется достаточно точных априорных сведений о bi i i тренде. Таким образом, можно сделать вывод о том, что для достаточно точного определения и исключения тренда требуется наличие начальных оценок коэффициентов угла наклона тренда, или, хотя бы, начальной оценки наклона тренда опорного генератора.

Результаты проведённого моделирования процедуры оценивания и исключения трендов позволяют сделать вывод о том, что предлагаемая методика исключения трендов из рядов взаимных измерений в системах с неполной матрицей наблюдений работоспособна. Она, при соблюдении ряда условий, позволяет с приемлемой точностью моделировать тренд ряда (как при наличии априорной информации о тренде, так и без неё) и удалять его, а затем – восстанавливать тренд после построения оценок стохастической составляющей. Следует, однако, отметить, что явления, связанные с детерминированными составляющими в реальных системах могут быть сложнее, чем это предполагается при моделировании, вследствие чего потребовалось проведение дополнительных исследований с использованием реальных данных.

4.3. Моделирование процесса структурной идентификации моделей АРСС в системах с неполной матрицей наблюдений Ранее были рассмотрены различные подходы к решению задачи структурной идентификации моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего в недоопределённых системах. В частности, был предложен подход, основанный на последовательном наращивании сложности структуры моделей (с последующим выбором оптимальной), а также подход, основанный на построении рядов предварительных, “грубых” оценок относительных отклонений частот и использование их с целью построения ЧАКФ и АКФ, применяемых для определения количества включаемых в модель АРСС членов авторегрессии и скользящего среднего. Для выбора наиболее оптимального способа проводилось моделирование функционирования данных алгоритмов.

Как подчёркивалось ранее, модель не должна быть слишком сложной, поскольку чрезмерное увеличение количества включенных в её состав членов не оправдано ни с точки зрения точности, ни с точки зрения производительности. Так, при подгонке моделей размерности от (0,0,0) до (4,0,4) к рядам, сгенерированным по моделям с размерностью (1,0,0) введение в модель 1-3 членов скользящего среднего в ряде случаев отрицательно сказывалось на значении функционала I (2.22). Иными словами, точность прогнозов, построенных с помощью этих моделей, снижалась, при одновременном росте объёма выполненных вычислений. Таким образом, нельзя сделать вывод о безоговорочной полезности наращивания порядка моделей даже в гипотетических условиях неограниченных вычислительных ресурсов.

В первую очередь, был рассмотрен подход, основанный на последовательном переборе возможных вариантов структуры с выбором наилучшего в том или ином смысле варианта. Основной проблемой этого метода является разработка адекватного критерия выбора оптимальной модели из множества перебираемых. При этом следует учитывать, что исходные ряды могут наилучшим образом описываться и моделями АРСС различной структуры, однако индивидуальный перебор вариантов структур для каждого ряда является чрезмерно трудоёмким, в связи с чем, на практике речь идёт о некоторой компромиссной структуре, наиболее хорошо подходящей ко всем поступившим рядам наблюдений в их совокупности.

В качестве варианта такого критерия был рассмотрен собственно функционал I (2.22). Поставленный эксперимент показал его непригодность в таком качестве. Наблюдалась тенденция к уменьшению значения функционала с ростом количества членов без учёта сложности модели. Так, для случая двух разностных рядов (длиной 300), сгенерированных моделями АРСС порядка (1,0,0) “наилучшей” моделью была признана самая сложная (4,0,4), а модель структуры (1,0,0), которая была бы оптимальна в данном случае, оказалась лишь на семнадцатом месте. Требовалось непосредственно учесть при вычислении критерия вычислительную сложность модели, т.е. количество включенных в неё членов.

В качестве альтернативного критерия выбора наилучшей модели было рассмотрено выражение I2 (2.62), включающее в числителе выражение I, а в знаменателе – число степеней свободы и вводящее некоторый “штраф” за сложность модели. Данный критерий применялся к ранее рассматривавшимся разностным рядам, построенным на основе моделей АРПСС (1,0,0). В результате в числе “наилучших” оказались модели с менее сложной структурой (4-6 членов вместо 5-8, что обусловлено исключением из их состава членов скользящего среднего), однако представляющаяся наиболее эффективной модель (1,0,0) находилась на 6-й позиции. Таким образом, критерий I 2 также приводил к выбору чрезмерно сложных структур моделей. В результате был I 3 (2.63), отличающийся от I 2 увеличенным на предложен критерий коэффициент k штрафом за усложнение модели.

I Критерий применялся к случаю двух разностных рядов, сгенерированных по моделям АРПСС структуры (1,0,0), при различных значениях k. Ожидаемый результат для множества исследуемых моделей был получен при k=3. Как видно из графика на рис. 4.7 (вертикальная ось показывает изменение функционала, левая – количество включенных членов скользящего среднего, правая – авторегрессии) и Таблицы 3, по этому критерию наилучшей признана модель с 1 членом авторегрессии без членов скользящего среднего, т.е. модель (1,0,0), что и требовалось. Следующие за ней две модели (1,0,1) и (2,0,1) также достаточно эффективны, наиболее сложные же модели оказываются в числе наихудших. Фрагменты рядов оценок и исходных значений для опорного элемента при структуре (1,0,0) приведены на рис. 4.8.

Для 5 исходных рядов (4 разностных), сгенерированных на основе разнородных моделей (1,0,0), (2,0,0), (3,0,0) также был получен удовлетворительный результат (см. Таблицу 4): наилучшими признаны модели (3,0,1) и (3,0,2). Сходные результаты были получены и для других комбинаций исходных рядов, других их параметров, а также для рядов, включающих от до 600 членов.

Рис. 4.7 – Значения функционала I 3 в зависимости от структуры модели при исходных процессах одинаковых порядков Рис. 4.8 – Ряды исходных значений (круги), оценок среднего (квадраты) и уточнённых оценок (ромбы) для опорного генератора. Фрагменты из значений Таблица I3 I I I № АР СС № АР СС 14 3 0 0,017386 15, 1 1 0 0,016843 14, 2 1 1 0,017058 14,89219 15 3 2 0,017407 14, 3 2 1 0,017072 14,75078 16 3 4 0,017412 14, 4 4 1 0,017182 14,53642 17 4 0 0,017422 14, 5 1 4 0,017192 14,54520 18 3 3 0,017436 14, 6 2 0 0,017211 15,02530 19 4 3 0,017524 14, 7 3 1 0,017227 14,72980 20 4 4 0,017610 14, 8 2 2 0,017237 14,73830 21 0 4 0,018528 15, 9 2 4 0,017240 14,43000 22 0 3 0,018752 16, 10 1 3 0,017274 14,76928 23 0 2 0,019423 16, 11 1 2 0,017289 14,93842 24 0 1 0,021135 18, 12 2 3 0,017317 14,65081 25 0 0 0,031094 27, 13 4 2 0,017354 14, Таблица I3 I I I № АР СС № АР СС 1 3 1 0,023562 33,57681 14 2 2 0,024130 34, 2 3 2 0,023588 33,25919 15 4 4 0,024218 33, 3 4 2 0,023733 33,10848 16 1 4 0,025412 35, 4 2 1 0,023736 34,18021 17 1 3 0,025817 36, 5 3 0 0,023746 34,19527 18 1 2 0,026265 37, 6 2 0 0,023750 34,55734 19 1 0 0,027002 39, 7 4 1 0,023824 33,59219 20 1 1 0,027627 40, 8 3 3 0,023889 33,32595 21 0 4 0,027894 39, 9 4 3 0,023951 33,05368 22 0 3 0,028915 41, 10 3 4 0,024008 33,13180 23 0 2 0,029986 43, 11 2 3 0,024061 33,92677 24 0 1 0,035955 52, 12 4 0 0,024062 34,28841 25 0 0 0,048046 71, 13 2 4 0,024123 33, Таким образом, критерий I 3 пригоден для практического использования при определении структуры модели методом перебора для рядов, исследуемых в данной работе. Однако он не является универсальным, т.к. значение k определено эмпирическим путём - посредством проведения экспериментов на ограниченном множестве синтетических рядов, и для других случаев (рядов, имеющих другие характеристики породивших их процессов) наилучшее значение k может оказаться другим.

В принципе, возможно разработать и иные, более сложные и учитывающие дополнительные факторы критерии выбора наилучших моделей, однако из уже проведённого моделирования можно сделать вывод о том, что применение подобной методики хотя и возможно, но имеет целый ряд ограничений. В частности, это достаточно большие затраты вычислительных ресурсов (которые станут особенно велики в случае раздельной идентификации порядков моделей) и неоднозначность самих критериев выбора. Существенным положительным моментом является возможность полностью автоматического выполнения данной процедуры. Проблема затрат вычислительных ресурсов может быть отчасти решена оптимизацией процедуры за счёт использования ненулевых начальных приближений в процедуре оптимизации (полученных, например, в результате оптимизации для предыдущей структуры, либо через раздельную подгонку моделей к рядам оценок, полученных по методу среднего арифметического).

Далее был исследован альтернативный подход, основанный на процедуре Бокса-Дженкинса (адаптированной для случая систем с неполной матрицей наблюдений). Предлагаемая методика структурной идентификации моделей АРСС основывается на использовании в качестве исходных рядов “грубых оценок” (под “грубыми” далее будем понимать МНК-оценки, вычисленные только по результатам измерений на каждом такте). По некоторым заданным (см. Таблицу 5) моделям АРСС генерировались синтетические ряды наблюдений длиной 300 значений в количестве четырёх. Затем строились ряды “грубых” оценок, после чего путём анализа их автокорреляционных (АКФ) и частных автокорреляционных (ЧАКФ) функций (рис. 4.9-4.14) определялись порядки моделей. Параметры моделей и полученные оценки параметров процессов АР и СС приведены в Таблице 5.

Таблица Номер ряда 1 2 3 p1=0 p2=0 p3=3 p4= Исходный порядок авторегрессии p1=0 p2=0 p3=3 p4= Полученный порядок авторегрессии 1=0. 1=0. 2=-0. Коэффициенты авторегрессии - 2=-0. 3=-0. q1=1 q2=2 q3=0 q4= Исходный порядок скользящего среднего q1=1 q2=1 q3=0 q4= Полученный порядок скользящего среднего 1=0. 1=0.35 - Коэффициенты скользящего среднего 2=-0. 1 0.01 2 0.02 3 0.01 4 0. с.к.о. псевдослучайного шума Рис. 4.9 – Выборочные АКФ и ЧАКФ исходного ряда № Как можно увидеть из визуального сравнения автокореллограмм исходных рядов и рядов оценок среднего арифметического, картина поведения функции для оценок в целом сходна с таковой для исходного ряда, однако некоторым образом “смазана”. Тем не менее, при известном уровне подготовки исследователя, структурная идентификация может быть с успехом проведена и по таким АКФ и ЧАКФ. Конечно, этот процесс во многом носит субъективный характер – как и вся методика Бокса-Дженкинса в целом (так, даже в приведённом примере для исходного ряда № 1 структура может быть идентифицирована неоднозначно).

Рис. 4.10 – Выборочные АКФ и ЧАКФ ряда грубых оценок для ряда № Рис. 4.11 – Выборочные АКФ и ЧАКФ исходного ряда № Рис. 4.12 – Выборочные АКФ и ЧАКФ ряда грубых оценок № Рис. 4.13 – Выборочные АКФ и ЧАКФ исходного ряда № Рис. 4.14 – Выборочные АКФ и ЧАКФ ряда грубых оценок № Анализируя АКФ и ЧАКФ, для ряда № 1 можно предположить структуры с p=1;

q=0, либо p=0;

q=1. Был выбран вариант (0,0,1). Важно отметить, что неоднозначной является и картина поведения АКФ/ЧАКФ исходного ряда.

Для ряда № 2 является предпочтительной модель размерности (1,0,0), как альтернативную можно рассмотреть и (0,0,1). Меньшее число членов, чем в исходной модели, здесь может быть объяснено относительной малостью соответствующего коэффициента исходного ряда. АКФ и ЧАКФ двух последних рядов дают однозначную картину: для ряда № 3 выбрана структура модели (3,0,0);

для ряда № 4 - (2,0,0).

В результате выполненных процедур структуры предлагаемых моделей мало отличаются (см. Таблицу 5) от исходных (и даже при рассмотрении альтернативных моделей это не ведёт к усложнению модели – а лишь к смене типа процесса).

На основании данных результатов, выполнялась процедура оценивания.

График, сопоставляющий 50 значений исходных рядов “грубых” оценок и рядов уточнённых оценок для опорного “генератора”, построенных с использование результатов структурной идентификации по предложенной методике (рис. 4.15), наглядно иллюстрирует тот факт, что уточнённые оценки лежат ближе к значениям, составляющим исходный ряд, чем “грубые” оценки.

Рис. 4.15 – Сопоставление исходного ряда (круги, сплошная линия), ряда оценок среднего (квадраты, пунктирная линия) и ряда уточнённых оценок (ромбы, точечная линия) для опорного элемента В числовом выражении, для данного примера сумма квадратов отклонений оценки опорного генератора от истинного значения составляет 1, для предварительных оценок и 1,06 для уточнённых (улучшение составило 12%).

По результатам проведённого моделирования работы алгоритма можно сделать вывод о том, что разработанная методика построения моделей АРСС по измерительной информации, полученной от недоопределённых систем работоспособна. Тот факт, что идентификация порядка моделей предложенным способом приводит к неоднозначным и во многом – субъективным оценкам, не является препятствием для её применения, поскольку данная неоднозначность и субъективность структурной идентификации является неотъемлемой особенностью методики Бокса-Дженкинса, и одним из наиболее существенных её “узких мест”. Даже при наличии исходных рядов, а не их грубых оценок её решение является творческой задачей, требующей от исследователя сравнительно высокой квалификации и с большим трудом поддающейся алгоритмизации (в особенности, для моделей порядков выше 1 и смешанных моделей). Существенным положительным моментом предложенного подхода является достаточно высокая точность идентификации, малые затраты вычислительных ресурсов, возможность применения всего наработанного математического аппарата, связанного с методикой Бокса-Дженкинса.

Отрицательной стороной является необходимость выполнения её в интерактивном режиме, с участием достаточно квалифицированного оператора.

Этот недостаток может быть устранён с использованием имеющихся многочисленных наработок по автоматизации процедуры Бокса-Дженкинса.

Подводя итог, следует сделать вывод о том, что обе предложенные методики структурной идентификации моделей авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (основанная на переборе моделей и на использовании МНК-оценок) работоспособны и могут быть применены на практике. Методики имеют свои наборы достоинств и недостатков, ограничений в применении и не являются взаимоисключающими. Тем не менее, в дальнейшем приоритет отдаётся методике, основанной на использовании рядов предварительных оценок, построенных по методу среднего арифметического, ввиду того, что она обеспечивает более высокую точность идентификации при меньшем объёме вычислений, и потенциально также может быть автоматизирована. Перспективность данной методики особенно высока по той причине, что она позволяет распространить сферу применимости методики Бокса-Дженкинса на рассматриваемый класс систем, адаптировать к нему наработанные ранее для иных разновидностей систем подходы, методы и приёмы моделирования.

4.4. Моделирование процесса идентификации моделей и оценивания вектора состояния системы Разработанная в результате выполненных исследований методика обработки данных основывается на совместном выполнении процедур идентификации моделей и оценивания вектора состояния системы. При этом оценка состояния системы получается на последнем этапе процедуры вычисления оптимальных параметров моделей. Таким образом, процедура идентификации моделей и построения оценок образуют в совокупности единую процедуру оценивания состояния и моделируются совместно.

С целью непосредственного сравнения оценок с исходными данными, методика оценивания была проверена на примере обработки синтезированных данных без трендов. Для этого генерировались ряды наблюдений объёмом значений (количество исходных рядов – 4, разностных - 3) по некоторым заданным моделям АРСС (наложив на них псевдослучайный шум). Затем при известных порядках (проблема определения порядков процессов была отдельно рассмотрена ранее) авторегрессии (АР - p) и скользящего среднего (СС - q), выполнялась процедура подгонки моделей и построения оценок исходных рядов. Параметры моделей и полученные оценки параметров процессов АР и СС приведены в Таблице 6.

Как можно увидеть из указанной таблицы, оценки коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего при заданных порядках процессов достаточно близки к истинным.

На рисунках 4.16 и 4.17 сопоставляются отрезки исходных (“истинных”) рядов и рядов оценок длиной 70 элементов для “генераторов” № 1 и № 4.

Описанный эксперимент подтверждает сходимость процесса подгонки параметров минимизацией функционала I к истинным значениям параметров при известной структуре моделей, т.е. при точно заданных порядках АР и СС (p и q).

Таблица Номер ряда 1 2 3 Порядок p1=0 p2=0 p3=3 p4= авторегрессии Исходные:

Исходные:

1=0. 1=0. 2=-0. 2=-0. 3=-0. Коэффициенты - авторегрессии Полученные:

Полученные:

1=0. 1=0. 2=-0. 2=-0. 3=-0. Порядок скользящего q1=1 q2=2 q3=0 q4= среднего Исходные:

Исходный:

1=0. 1=0. Коэффициенты 2=-0. скользящего - Полученные:

среднего Полученный:

1=0. 1=0. 2=-0. с.к.о.

3 0. 1 0.01 2 0.02 4 0. псевдослучайного шума Рис. 4.16 – Исходный ряд значений №1 (сплошная линия) и ряд оценок (пунктир) Рис. 4.17 – Исходный ряд значений №4 (сплошная линия) и ряд оценок (пунктир) Показав работоспособность алгоритма оценивания состояния в отдельности, продемонстрируем реализацию методики ещё одним экспериментом, проследив целиком процедуру построения моделей для случая, когда порядки моделей заранее не известны (структурную и параметрическую идентификацию). Были сгенерированы 5 исходных рядов (5 “генераторов”) объёмом 300 значений без постоянной составляющей, из них получены разностных ряда. Требовалось построить оценки исходных рядов по разностным рядам без использования процедуры компенсации трендов.

Параметры авторегрессионных моделей, использованных для генерации рядов, приведены в Таблице 7.

Таблица Номер ряда 1 2 3 4 p1=0 p2=3 p3=0 p4=2 p5= Порядок авторегрессии 1=-0. 1=-0. Коэффициенты 2=0. - - 2=0. авторегрессии 3=-0. Порядок скользящего q1=1 q2=0 q3=2 q4=0 q5= среднего 1=-0. 1=0. Коэффициенты 1=0.35 2=0. - 2=0. скользящего среднего 3=0. с.к.о. псевдослучайного 3 0.01 4 0.02 5 0. 1 0.01 2 0. шума Полученные временные ряды оценок среднего были использованы для построения автокоррелограмм и частных автокоррелограмм (для рядов № 1, 4 и 5 приведены на рис. 4.18-4.20, для ряда № 2 – на рис. 4.22). Анализ указанных автокоррелограмм позволил сделать следующие выводы о структуре моделей.

Для ряда опорного генератора № 1 можно предположить как модель структуры (1,0,0), так и модель (0,0,1), наиболее предпочтительным выглядит первый вариант (хотя исходная модель имеет структуру (0,0,1)).

Для ряда № 2 следует предпочесть модель (3,0,0): хотя можно предположить и вариант (0,0,3), однако ЧАКФ после задержки 3 спадает существенно быстрее, чем АКФ. Исходная модель имеет порядок (3,0,0), что соответствует оценке.

Рис. 4.18 – Выборочные АКФ и ЧАКФ предварительных оценок ряда № Рис. 4.19 – Выборочные АКФ и ЧАКФ предварительных оценок ряда № Рис. 4.20 – АКФ и ЧАКФ предварительных оценок ряда № Для ряда № 3 была выбрана модель (0,0,1), поскольку, несмотря на “смазанную” АКФ – ЧАКФ спадает медленнее. Исходная модель – (0,0,2). Для ряда № 4 была выбрана модель порядка (2,0,0), в точности соответствующая исходной модели. Картина АКФ и ЧАКФ данного ряда были достаточно однозначными.

АКФ и ЧАКФ ряда 5 показали сравнительно нечёткую картину, можно предположить модели (3,0,0), (0,0,2), (0,0,3) - по соображениям экономичности был выбран второй вариант. Исходная модель имеет порядок (3,0,0), однако в ней 3=0.07, т.е. достаточно мало, что соответствующим образом сказывается на АКФ.

Таким образом, в результате оценивания порядка процессов получены следующие результаты (в скобках – исходные порядки):

p1=1 (0) p2=3 (3) p3=0 (0) p4=2 (2) p5=0 (0) q1=0 (1) q2=0 (0) q3=1 (2) q4=0 (0) q5=2 (3) Можно увидеть, что имеются расхождения с порядками исходных моделей, которые не превышают единицы, причём в сторону упрощения модели. Тем не менее, что в ряде случаев наблюдается и превышение оценкой порядка модели, породившей исходный ряд. Исключением является первый ряд, где в результате оценивания принята модель, содержащая другой тип процесса (авторегрессию вместо скользящего среднего), хотя порядок остался по-прежнему равен единице. Это может быть объяснено там, что, в принципе, модели АР и СС являются взаимозаменяемыми (в теоретическом случае – при бесконечном числе включенных членов), а также наличием случайных факторов (псевдослучайного нормально распределённого шума). Также свои погрешности вносит и методика оценивания.

В результате, ещё раз подтверждается вывод, сделанный в соответствующем разделе настоящей работы: идентификация порядка моделей предлагаемым способом является неоднозначным и отчасти – субъективным процессом, однако это является неотъемлемой особенностью методики Бокса Дженкинса и не исключается даже при наличии реальных исходных рядов.

Визуальное сравнение выборочных АКФ и ЧАКФ исходных рядов и рядов грубых оценок для ряда 2 (рис. 4.21, 4.22) наглядно показывает, что АКФ и ЧАКФ отличаются в основном размахом значений, но не их знаком или соотношением этих размахов в пределах функции. Таким образом, можно сделать вывод о том, что характер АКФ/ЧАКФ исходного ряда и ряда оценок среднего сходным образом отражают характерные особенности поведения рядов, хотя АКФ и ЧАКФ ряда оценок, безусловно, являются более “смазанными”.

Рис. 4.21 – Выборочные АКФ для исходного ряда и ряда грубых оценок Рис. 4.22 – Выборочные ЧАКФ для исходного ряда и ряда грубых оценок На практике, однако, возникают ситуации, когда АКФ/ЧАКФ для исходного ряда и для ряда оценок отличаются более существенным образом, однако указанная тенденция в этих случаях сохраняется – поскольку для идентификации структуры по методике Бокса-Дженкинса в большей степени важны характерные признаки поведения функции и “общая картина”, нежели числовые характеристики.

Наглядной характеристикой качества оценок является сумма квадратов отклонений оценок от истинных значений ряда. В числовом выражении, сумма квадратов отклонений оценок от истинных значений для опорного генератора для оценок, полученных с использованием моделей АРСС существенно меньше, чем для оценок среднего: 1,035 против 1,754 (т.е. приблизительно на 41%). Данный результат можно считать весьма значительным улучшением.

Приведённые графики (рис. 4.23, 4.24) также показывают, что в большинстве случаев оценка с использованием моделей АРСС оказывается существенно ближе к истиному значению, чем оценка с использованием среднего арифметического.

Распределение вероятностей для ряда погрешностей (разности исходного ряда и ряда оценок АРСС) было подвергнуто проверке на соответствие теоретическому нормальному распределению.

Рис. 4.23 – График исходных рядов, рядов грубых и уточнённых оценок (ряд № 1, наблюдения 100-150). Круги – исходные значения, квадраты – оценки среднего, кресты – оценки с использованием моделей АРСС.

Рис. 4.24 – График исходных рядов, рядов грубых и уточнённых оценок (ряд № 3, наблюдения 100-150). Круги – исходные значения, квадраты – оценки среднего, кресты – оценки с использованием моделей АРСС.

Применение критерия 2 при уровне значимости 0,025 однозначно указывает на нормальность распределения [33]. Визуально распределение погрешностей весьма близко к нормальному, что хорошо видно из рисунка (рис. 4.25). Таким образом, следует сделать вывод о том, что распределение остатков прогнозов является нормальным, что, в свою очередь, свидетельствует об обусловленности данных погрешностей прогноза преимущественно непрогнозируемыми случайными факторами (псевдослучайным нормально распределённым шумом). Следует отметить, что при том же уровне значимости сделать вывод о нормальности ряда остатков для “грубых” оценок нельзя, его можно сделать при уровне значимости 0,1. Визуально соответствующее распределение также отличается от нормального более существенно.

Рис. 4.25 – Сопоставление теоретического нормального распределения и выборочных плотностей вероятности для погрешностей оценок ряда 1.

Подводя итоги проведённых машинных экспериментов, можно сделать вывод о том, что математическое моделирование процесса оценивания состояния, включающего в себя также процесс структурной и параметрической идентификации моделей АРСС показывает состоятельность предлагаемой методики. Способ идентификации структуры авторегрессионных моделей в отсутствие исходных рядов измерений удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям, а построенные оценки относительных отклонений частот являются существенно (до 41%) более точными, чем МНК-оценки (оценки по среднему арифметическому).

4.5. Выводы В настоящей главе были рассмотрены способ и результаты моделирования процесса оценивания состояния в недоопределённых системах.

Ввиду невозможности проведения ряда исследований на реальных объектах рассматриваемого типа, потребовалось создание системы моделирования и выполнение целого ряда машинных экспериментов с использованием синтетических данных – данных, сгенерированных математической моделью реального объекта. Проведённые эксперименты с использованием математических моделей показали, что предлагаемая методика работоспособна во всех её аспектах. В данной главе были рассмотрены следующие вопросы:

Построение системы моделирования для исследования процесса оценивания состояния систем с неполной матрицей наблюдений. Были проанализированы проблемы, возникающие при исследовании таких недоопределённых систем, как эталоны времени и частоты. На основании этого были сформулированы задачи моделирования, требования к моделям. Выбран класс моделей и структура для построения системы моделирования. Результатом стало создание специализированной системы моделирования, реализованной в составе разработанного программного комплекса.

Моделирование процесса оценивания содержащихся в рядах наблюдений линейных трендов применительно к эталонам времени и частоты.

Промоделирован ряд случаев, возникающих при оценивании трендов.

Моделирование показало, что предлагаемая процедура исключения трендов работоспособна, однако для точного исключения трендов из разностных рядов необходимо иметь ту или иную априорную информацию об этих трендах, в противном случае велика вероятность возникновения больших нарастающих с течением времени погрешностей.

Моделирование процесса структурной идентификации моделей АРСС.

Были рассмотрены два альтернативных подхода к определению структуры моделей АРСС в недоопределённых системах: подход, основанный на переборе ограниченного количества вариантов моделей и подход, основанный на использовании рядов предварительных оценок.

Оба подхода показали свою состоятельность, оба они имеют свои достоинства и недостатки, ограничения в применении. Первый подход является полностью автоматическим, однако требует больших затрат вычислительных ресурсов и сталкивается с проблемой разработки универсального для всего множества временных рядов критерия выбора наилучшей модели. Второй подход не имеет данных недостатков, однако требует участия достаточно квалифицированного оператора и подразумевает некоторую неоднозначность результатов. Существенным его положительным моментом является возможность использования всех теоретических и практических наработок, связанных с методикой Бокса Дженкинса, существующих в настоящее время. В связи с этим, сделан вывод о том, что более перспективной является методика, основанная на использовании рядов предварительных оценок.

Моделирование процесса идентификации моделей АРСС и оценивания состояния эталона. Основная часть процедуры оценивания, опирающаяся на процедуры идентификации структуры и оценивания параметров трендов, является наиболее критичной с точки зрения получения конечного результата. Моделирование показало работоспособность и эффективность предложенной методики. Сумма квадратов отклонений оценок от истинных значений в случае предлагаемой методики оценивания, основанной на использовании прогнозирующих моделей временных рядов, оказывается приблизительно на 40% ниже, чем для оценок, построенных по методу среднего арифметического. Ряды остатков имеют нормальное распределение, что говорит об обусловленности имеющихся расхождений только случайными факторами, которые не могут быть учтены моделями АРСС.

5. Использование динамических стохастических моделей для оценивания состояния вторичного эталона ВЭТ1- 5.1. Удаление трендов из реальных рядов наблюдений После того, как предлагаемая методика обработки результатов измерений была испытана посредством проведения имитационного моделирования и показала свою работоспособность, следовало проверить её практическую применимость на реальном техническом объекте - вторичном эталоне времени и частоты ВЭТ1-5, функционирующем на базе Восточно-Сибирского филиала ВНИИФТРИ (г. Иркутск).

Была выполнена обработка данных, полученных на суточных интервалах за 3 месяца (с ноября 2011 года по январь 2012 года включительно) [36].

Рассматривались данные, полученные в результате функционирования пяти водородных стандартов частоты и образующие четыре ряда взаимных измерений: ВС226-ВС225, ВС226-ВС227, ВС226-ВС228, ВС226-ВС221. Кроме того, рассматривались данные, полученные через систему внешних сличений эталона – т.е. результаты сличений с Государственным эталоном за тот же период. В отсутствие какой-либо возможности выяснить истинное значение оцениваемых величин, результаты внешних сличений могут рассматриваться как ряды некоторых “эталонных” их значений, сравнение с которыми может быть использовано для сравнительной характеристики тех и ли иных способов построения оценок. Однако при этом следует принимать во внимание то, что сама система внешних сличений тоже вносит свои погрешности, обусловленные спецификой применяемых каналов (ГНСС), аппаратуры и методики измерений.

В первую очередь была проверена практическая применимость предлагаемой методики удаления трендов. Измерения, выполненные относительно опорного генератора ВС226 были представлены четырьмя временными рядами:

ВС226-ВС225 (ряд №1);

ВС226-ВС227 (ряд №2);

ВС226-ВС228 (ряд №3);

ВС226-ВС221 (ряд №4);

Рассмотрим графики исходных рядов взаимных измерений (рис. 5.1).

x10- ряд № ряд № ряд № ряд № (сут) Рис. 5.1 – Ряды взаимных измерений эталона Как можно увидеть из графика, один из рядов измерений (ряд №2, ВС226-ВС227) содержит квадратичный тренд. Это связано с тем, что соответствующий генератор на момент выполнения наблюдений находился в стадии ввода в эксплуатацию, и не вошёл в штатный режим функционирования.

Ввиду наличия квадратичного тренда одного из генераторов (что расходится с предположением о линейности всех трендов, исходя из которых разработана программа оценивания), анализ и исключение детерминированной составляющей выполнялся в интерактивном режиме, с помощью ППП StatSoft Statistica, стохастическая же составляющая оценивалась с помощью разработанного программного комплекса. При исключении из рассмотрения ряда с квадратичным трендом, можно выполнить вычисления полностью автоматически, используя только программный комплекс.

Видно, что ряды взаимных измерений №1 (ВС226-ВС225) и №4 (ВС226 ВС221) имеют слабовыраженный наклон, что позволяет сделать предположение об отсутствии в этих рядах линейного тренда. Ряд №3 (ВС226 ВС228) имеет заметный наклон, следовательно, он содержит линейный тренд.

Как было отмечено ранее, тренд ряда взаимных измерений складывается из тренда опорного генератора и тренда генератора, в отношении которого производится измерение:

yi yiтр yiсл, zi ziтр ziсл z i y1 yi, z i y1тр y1сл yiтр yiсл y1тр yiтр y1сл yiсл (5.1) z iтр zi z iсл y1тр yiтр y1сл yiсл z iсл y1тр yiтр Таким образом, разностный ряд может не иметь наклона только при равенстве углов наклона для рядов, на основании которых он получен.

Поскольку это весьма маловероятно при b11 bi1 0 ввиду минимизации физических взаимосвязей между хранителями техническими мерами, в таком случае следует предполагать, что b11 bi1 0.

Ввиду предполагаемого отсутствия наклона в двух рядах измерений из четырёх, в данном случае можно рассмотреть два подхода к идентификации детерминированной составляющей:

1. Проверить гипотезы об отсутствии тренда в рядах №1 (ВС226-ВС225) и №4 (ВС226-ВС221), в случае состоятельности гипотезы хотя бы для одного из рядов – предположить отсутствие тренда у опорного генератора – а, следовательно, и у генератора, с которым выполняется измерение, после чего непосредственно получить информацию о трендах остальных генераторов.

2. Использовать априорную оценку тренда опорного генератора, полученную из рядов внешних сличений эталона. Оценка может быть построена по различному количеству начальных точек ряда.

Была произведена обработка данных обоими способами, после чего полученные результаты сравнивались между собой. Сначала рассмотрим первый подход.

К рядам наблюдений №1 и №4 подгонялись линейные функции и проверялись гипотезы об отсутствии в них линейных трендов. Для ряда № получен коэффициент b1=0.079 при вероятности ошибки p=0.003, для ряда № получен коэффициент b1=0.070 при вероятности ошибки p=0.0006. Таким образом, в принципе, принять гипотезу об отсутствии линейного тренда ни в случай ряда №1, ни в случае ряда №4 нельзя. Однако малые коэффициенты угла наклона позволяют в целях сравнения методик сделать допущение об отсутствии тренда. Сделаем такое допущение для ряда №1, ввиду наибольшего значения p. В таком случае b11 b2 0, детерминированная составляющая для указанных рядов сводится к постоянной (получена по начальной внешней привязке эталона в момент времени t=0): y1тр b10 69,9 и y 2 b2 31, тр (может быть вычислено и непосредственно).

Подогнав линейные модели z iтр bz1,i t bz0,i к разностным рядам №3 и 4, а также квадратичную функцию z 2тр bz1, 2 t bz2, 2 bz0, 2 к разностному ряду №2, получили:

z 2 -0,03327 (t-35,384 ) 2 151, z 3 -2,7407 t 78, z 4 0,069636 t 121, Используя данные модели, построим ряды оценок детерминированной составляющей каждого разностного ряда в моменты времени t.

Имея информацию о детерминированной составляющей ряда частот опорного генератора и детерминированной составляющей разностных рядов, путём вычитания получаем детерминированные составляющие частот для прочих генераторов (за исключением ВС225, имеющего только постоянную составляющую).

yiтр y1тр ziтр (5.2) Имея, таким образом, полную информацию о детерминированных составляющих как разностных, так и исходных рядов, удаляем тренды из рядов измерений, получая стохастические составляющие разностных рядов:

z iсл z i z iтр (5.3) Таким образом, получены ряды значений, лежащих в окрестности нуля.

Эти ряды подаются на вход алгоритма оценивания. Блок оценки трендов при этом не используется (он мог бы быть задействован в случае исключения из рассмотрения генератора ВС227, тренд которого представляет собой квадратичную функцию, не предусмотренную на момент проведения исследований функциональностью приложения).

Далее продемонстрируем альтернативный подход, основанный на оценивании угла наклона тренда ряда опорного генератора b11 по рядам внешних сличений эталона. Такая оценка может строиться как по всему ряду, так и по его части. Имея ряды наблюдений за период 3 месяца, попытаемся оценить тренд, используя первые 1/3, 2/3 ряда, а также весь ряд, то есть 30, 60 и 90 наблюдений. На первом этапе, используя ряд внешних сличений ВС226 SU, найдём оценку коэффициента угла наклона опорного генератора b11. Для этого подгоним модели вида y1тр b11t b10 к соответствующим фрагментам рядов. Получим модели:

30 значений: y1тр 0,271046 t 69, 60 значений: y1тр -0,03905 t 74, 90 значений: y1тр 0,006369 t 69, Используем данные модели для построения оценок детерминированной составляющей для опорного генератора. Далее построим модели постоянных составляющих всех остальных рядов путём минимизации выражения K zi y1тр yiтр, (5.4) где yiтр bi1t bi В случае генератора ВС227 модель имеет вид:

yiтр bi1 t bi2 bi Для каждого случая в результате получено 4 модели.

Далее, используя эти модели, удаляем тренды из рядов наблюдений:

z iсл zi y1тр yiтр (5.5) Полученные ряды наблюдений, не содержащие детерминированной составляющей, подавались на вход алгоритма оценивания. В дальнейшем обработка данных производилась в описанной ранее последовательности, включающей в себя определение структуры моделей, их подгонку и построение оценок. Подробные сведения об этих этапах приводятся в последующих разделах.

По результатам произведённых вычислений были подсчитаны интегральные характеристики для оценок (см. Таблицу 12) и проведено сравнение полученных результатов. При сравнении исходили из того, что “истинными” значениями считаются результаты внешних сличений с Государственным эталоном (как наиболее достоверные имеющиеся сведения об исходных рядах). “Лучшим” считался результат, при котором отклонение от рядов внешних сличений минимально, т.е. минимально среднее отклонение и сумма квадратов отклонений. Как можно увидеть из таблицы, наилучший результат с этой точки зрения получен для случая, когда тренд опорного генератора оценивался по 60 точкам. Модели детерминированных составляющих генераторов (ВС226, ВС225, ВС227, ВС228, ВС221 - для ряда ВС227 подгонялась квадратичная функция) для этого случая имеют вид:

y1тр -0,03905 t 74, y 2тр (t ) 42,23188 - 0,11779 t y3тр (t ) -78,2389 0,0333 t - 34, y 4тр (t ) -1,33149 2,70163 t t 1,2,, y5тр (t ) -46,9604 - 0,1084 t Наихудший результат получен для оценки тренда по 30 точкам. Это связано с особенностью исходных данных, заключающейся в том, что начальный отрезок ряда имеет угол наклона, существенно отличающийся от угла наклона остальной части ряда, что влечёт за собой значительное расхождение по мере роста t (см. рис. 5.2).

x10- Рис. 5.2 – Линейная функция тренда, подогнанная по 30 точкам и ряд сличений значений ВС226-SU (круги) x10- (сут) Рис. 5.3 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС x10- (сут) Рис. 5.4 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС Для случая оценивания по 60 точкам сравним между собой ряды внешних сличений эталона, а также ряды “грубых” и уточнённых оценок частот на примере опорного хранителя ВС226 (рис. 5.3), а также хранителей ВС227 (рис.

5.4) и ВС228 (рис. 5.5). Соответствующие ряды наблюдений и оценок приведены в Приложении 1.

Таблица Отклонения оценки от ряда внешних Способ оценки сличений (опорный генератор) Способ оценки № случайной Сумма с.к.о.

тренда Среднее составляющей квадратов отклонен отклонение отклонений ия Предположение Среднее 2738,7 1,70 5, об отсутствии арифметическое 1 тренда опорного Модели АРПСС 2499,4 1,67 5, генератора Оценка тренда Среднее 17655,4 -9,94 10, опорного арифметическое генератора по 2 ряду внешних Модели АРПСС 17444,6 -9,97 10, сличений, точек Оценка тренда Среднее 2314,8 -0,89 5, опорного арифметическое генератора по 3 ряду внешних Модели АРПСС 2112,2 -0,82 4, сличений, точек Оценка тренда Среднее 2779,04 1,50 5, опорного арифметическое генератора по 4 ряду внешних Модели АРПСС 2588,33 1,55 5, сличений, полный ряд x10- (сут) Рис. 5.5 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС228 (фрагмент) На рис. 5.6 представлены ряды результатов взаимных измерений после удаления из них детерминированных трендов, отсутствие которых хорошо определяется визуально. Подробное сравнение результатов вычислений для случаев допущения об отсутствии тренда опорного генератора и привлечения к оценке тренда внешних сличений эталона проводится в следующем разделе.

x10- ряд № ряд № ряд № ряд № (сут) Рис. 5.6 – Ряды взаимных измерений водородных стандартов после удаления детерминированных составляющих:

1 – ВС226, 2 – ВС225, 3 – ВС227, 4 – ВС228, 5 – ВС Проведённые эксперименты показали, что предлагаемая методика исключения трендов позволяет достаточно успешно оценивать и удалять детерминированные составляющие (причём не только линейные, но и квадратичные) из реальных рядов взаимных измерений.

Вместе с тем, существует ряд ограничений, связанных как с необходимостью привлечения данных внешних сличений (или иных априорных сведений о начальном угле наклона тренда), так и с очень сильной зависимостью конечных результатов всей процедуры оценивания состояния эталона от точности оценивания тренда на начальном её этапе. Недостатком является необходимость, в общем случае, производить оценивание в интерактивном режиме ввиду необходимости определения порядков моделей, которыми описывается тренд и др. Требуется развитие программного комплекса в части автоматизации оценивания трендов (в т.ч. для трендов порядков выше первого), а также – изучение дополнительных возможностей представления трендов, в частности, кусочно-линейными функциями (что может быть особенно полезно при реализации алгоритма оценивания состояния в динамическом режиме).


5.2. Структурная идентификация моделей водородных генераторов частоты Методика структурной идентификации моделей авторегрессии – скользящего среднего (АРСС) проверялась на тех же самых трёхмесячных данных вторичного эталона ВЭТ1-5 ВСФ ВНИИФТРИ, которые использовались для проверки процедуры оценивания и исключения трендов. На вход процедуры структурной идентификации подавались данные, полученные на выходе процедуры оценивания трендов, т.е. ряды взаимных измерений, в которых предварительно было устранено влияние детерминированных трендов, как это было описано выше. Полученные в результате этого данные (см. рис.

5.6) использовались для построения рядов грубых оценок.

В результате работы программы были получены временные ряды “грубых” оценок значений частот (оценок среднего), по которым строились выборочные АКФ и ЧАКФ (рис. 5.7-5.10).

Полученные автокоррелограммы были проанализированы. ЧАКФ ряда №1 (ВС226) обрывается после второй задержки, АКФ при этом затухает медленно, что приводит к модели вида (2,0,0).

Рис. 5.7 – Выборочные АКФ и ЧАКФ оценок ряда 1 (ВС226) по среднему арифметическому ЧАКФ ряда №2 (ВС225) резко обрывается после первой задержки, в то время, как АКФ образует затухающую синусоиду, выбрана модель структуры (1,0,0). ЧАКФ ряда №3 (ВС227) также обрывается после первой задержки, АКФ её спадает медленно, выбрана аналогичная модель вида (1,0,0). Очень похожими являются ЧАКФ и АКФ ряда №4 (ВС228): ЧАКФ претерпевает обрыв после первой задержки, АКФ при этом спадает гораздо медленнее, затухая к 6-й задержке, что также приводит к модели структуры (1,0,0).

Рис. 5.8 – Выборочные АКФ и ЧАКФ оценок ряда 2 (ВС225) по среднему арифметическому Рис. 5.9 – Выборочные АКФ и ЧАКФ оценок ряда 3 (ВС227) по среднему арифметическому Рис. 5.10 – Выборочные АКФ и ЧАКФ оценок ряда 5 (ВС221) по среднему арифметическому ЧАКФ и АКФ ряда №5 (ВС221) демонстрируют не столь однозначную картину. И та, и другая функция являются в некоторой мере “смазанными”, имеющими небольшой спад после первой задержки. Можно предположить как структуру (1,0,0), так и (0,0,1). При этом ЧАКФ всё же спадает несколько более резко, в то время, как АКФ уменьшается более плавно на протяжении первых трёх задержек. Ввиду более выраженного спада ЧАКФ, авторегрессионный характер процесса следует считать более вероятным, и следует остановиться также на структуре вида (1,0,0).

В результате, были определены порядки моделей АРСС:

p1=2 p2=1 p3=1 p4=1 p5= q1=0 q2=0 q3=0 q4=0 q5= Таким образом, анализ АКФ и ЧАКФ показал, что процессы, порождающие данные ряды, имеют автокорреляционный характер: ЧАКФ всех рядов претерпевает обрыв, тогда как АКФ медленно затухает. В результате, все модели являются моделями авторегрессии 1-2 порядков. Используя полученные структуры моделей, были построены ряды уточнённых оценок.

Следует особенно отметить, что при анализе реальных временных рядов оценивание по предложенной методике дало даже лучшие результаты, чем при анализе синтетических данных: АКФ и ЧАКФ реальных генераторов являются гораздо более “чёткими”, функции имеют гораздо более резкие спады, чем соответствующие функции “искусственных” (и искусственно усложнённых) моделей, использовавшихся для первоначальной отработки алгоритма.

В контексте проверки работоспособности предложенного подхода к структурной идентификации моделей АРСС было также проведено сравнение выборочных АКФ и ЧАКФ рядов внешних сличений (по которым, с известной долей осторожности, можно судить об истинных значениях рядов) и рядов “грубых” оценок. Как и предполагалось, коррелограммы показали достаточно высокую степень сходства, несмотря на имеющиеся частные различия (в размахе значений, динамике затухания функций и т.п.), демонстрируемая ими картина вела к сходным структурам моделей, за исключением генератора ВС221, у которого порядок процесса увеличился на 1 (2,0,0).

Таким образом, испытание алгоритма на реальных данных, равно как и его моделирование с использованием искусственно сгенерированных “наблюдений”, показало состоятельность разработанной методики построения моделей АРСС в отсутствие исходных рядов наблюдений. Ещё раз подтверждается вывод о том, что результаты структурной идентификации моделей АРСС предложенным способом могут быть неоднозначны и отчасти – субъективны, однако указанная неоднозначность и субъективность процедуры идентификации является неотъемлемой особенностью самой методики Бокса Дженкинса.

5.3. Оценивание вектора состояния эталона времени и частоты В предыдущих разделах были продемонстрированы на практическом примере такие этапы получения оценок состояния вторичного эталона времени и частоты ВЭТ1-5, как исключение детерминированных трендов из рядов наблюдений (взаимных измерений) и структурная идентификация моделей АРСС, описывающих динамику элементов системы – водородных генераторов.

В результате были получены ряды измерений, очищенных от детерминированных составляющих, информация о порядках моделей АРСС, а также ряды грубых оценок состояния. Всё это составляет необходимый набор данных для выполнения собственно процедуры оценивания и дальнейшего сравнения результатов.

Методика получения оценок состояния систем с неполной матрицей наблюдений проверялась на тех же трёхмесячных данных вторичного эталона ВЭТ1-5 ВСФ ВНИИФТРИ, что и описанные ранее методики исключения детерминированных трендов и структурной идентификации моделей АРСС, использовались полученные на выходе этих процедур данные.

В результате выполнения процедуры компенсации детерминированных трендов (в наиболее эффективном варианте с использованием 60 первых значений рядов внешних сличений для оценивания угла наклона тренда), были получены ряды значений, лежащих в окрестности нуля (см. рис. 5.6). Эти ряды непосредственно являются входной информацией для алгоритма оценивания. В процессе работы программы на этапе структурной идентификации были получены временные ряды “грубых” оценок значений частот (оценок среднего), по которым строились выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции (рис. 5.7-5.10). Из анализа АКФ и ЧАКФ был сделан вывод о том, что процессы, порождающие данные ряды, являются автокорреляционными и имеют порядки 1-2: (2,0,0);

(1,0,0);

(1,0,0);

(1,0,0);

(1,0,0). Используя модели с выбранной структурой, были построены уточнённые оценки (рис. 5.11).

Оценки строились как с использованием нулевых начальных приближений коэффициентов в моделях АРСС, так и с использованием в качестве начальных приближений результатов подгонки моделей к рядам “грубых” оценок. Результаты в обоих случаях оказались полностью идентичны, однако суммарное время вычислений в случае использования начальных приближений, полученных через грубые оценки, было существенно ниже (1, секунды против 4,08 секунды, при этом время, затраченное собственно на процедуру оценивания снизилось ориентировочно в 10 раз).

x10- ряд № ряд № ряд № ряд №4 ряд № (сут) Рис. 5.11 – Ряды уточнённых оценок частот генераторов (без трендов):

1 – ВС226, 2 – ВС225, 3 – ВС227, 4 – ВС228, 5 – ВС Для получения окончательного результата, требуется наложить на ряды оценок ранее удалённые детерминированные тренды, т.е. выполнить последовательное суммирование результатов оценивания со значением функции тренда в момент времени t:

yi y iтр y iсл (5.6) Рассмотрим ряды для случая обработки данных без привлечения данных внешних сличений. Приводятся для сравнения между собой ряды внешних сличений эталона, а также ряды “грубых” и уточнённых оценок частот на примере опорного хранителя ВС226 (рис. 5.12), а также хранителей ВС227 (рис.

5.13) и ВС228 (рис. 5.14).

x10- (сут) Рис. 5.12 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС x10- (сут) Рис. 5.13 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС x10- (сут) Рис. 5.14 – Сопоставление рядов внешних сличений (круги), уточнённых оценок (квадраты) и оценок среднего (ромбы) для генератора ВС Для случая оценивания тренда с привлечением информации о внешних сличениях рассматривался вариант с оцениванием по 60 первым точкам выборки (показавшим наилучший результат). Приводятся графики, сопоставляющие между собой ряды внешних сличений эталона, а также ряды “грубых” и уточнённых оценок относительных отклонений частот на примере опорного хранителя ВС226 (рис. 5.3), а также хранителей ВС227 (рис. 5.4) и ВС228 (рис. 5.5).

Из графического представления видно, что отличия рядов оценок от рядов внешних сличений в обоих случаях существенно больше, чем рядов оценок друг от друга. Тем не менее, в обоих случаях уточнённые оценки чаще всего лежат несколько ближе к рядам сличений, чем “грубые” оценки, хотя это наблюдается не на всех участках ряда. Можно также сделать вывод о недостаточной точности оценивания тренда в случае его оценивания без использования внешних сличений, что особенно хорошо заметно в первой половине соответствующих графиков (рис. 5.12-5.14).

Таблица Отклонения оценки от ряда внешних Способ оценки Способ оценки сличений (опорный генератор) № случайной тренда Сумма квадратов Среднее с.к.о.

составляющей отклонений отклонение отклонения Предположение Среднее 2738,7 1,70 5, об отсутствии арифметическое 1 тренда 2499,4 1,67 5, опорного Модели АРПСС генератора Оценка тренда Среднее 2314,8 -0,89 5, опорного арифметическое генератора по 2 ряду внешних 2112,2 -0,82 4, Модели АРПСС сличений, точек В качестве интегральных характеристик, как и ранее, используем сумму квадратов отклонений оценки от ряда внешних сличений, а также среднее арифметическое и с.к.о. данных отклонений (см. Таблицы 12 и 13). Сравнение соответствующих значений показывает большую близость большинства оценок, построенных с использованием моделей АРСС к значениям, полученным путём внешних сличений, в сравнении с оценками среднего (МНК-оценками).


Безусловно, во всех случаях не обеспечивается полное совпадение оценок с рядами внешних сличений. Это говорит о том, что имеющиеся отклонения обусловлены преимущественно факторами, которые не прогнозируются применяемыми моделями и, по крайней мере, в их контексте, являются случайными (т.е. обусловлены шумами). Кроме того, следует обратить внимание на то, что внешние сличения эталона (в особенности, по каналам ГНСС), строго говоря, не могут в полной мере считаться “истинными” значениями. Кроме неизбежных погрешностей оценивания состояния Государственного эталона, они содержат в себе также и погрешности, вносимые самой системой сличения. Вопрос влияния указанных факторов требует дополнительного исследования. Следует отметить, что проблема снижения влияния погрешностей каналов сличения на результаты производимых через них сличений на сегодня является очень актуальной для ГСВЧ, поскольку её решение ведёт к возможности построения групповых эталонов на базе отдельных территориально-разнесённых локальных групповых эталонов и такие исследования ведутся рядом специалистов.

Обобщая полученные результаты, характеризуем количественно эффект от применения прогнозирующих моделей в процессе оценивания состояния эталона. В наилучшем случае (оценка тренда через внешние сличения по значениям) в сравнении с использованием в том же случае МНК-оценок достигнуто (для опорного генератора): снижение суммы квадратов отклонений от рядов внешних сличений около 9%, среднего значения отклонения – около 8%, с.к.о – около 4.5%, что может быть признано достаточно существенным улучшением, с учётом достижения данного результата исключительно программными средствами.

Следует ещё раз отметить, что на результаты оценивания оказывает очень существенное влияние точность определения характеристик тренда. При этом решение данной задачи в настоящее время может быть выполнено только в интерактивном режиме (с той или иной долей участия человека), по крайней мере, требуется сделать предположения о порядке моделей, которыми описывается детерминированная составляющая каждого ряда. Целесообразно использование для решения этой задачи информации, полученной при выполнении внешних сличений эталона, поскольку решение её без таких сведений накладывает существенные ограничения на данные, невыполнение которых приводит к весьма значительным погрешностям. Кроме того, как чрезмерное уменьшение, так и увеличение выборки, по которой оценивается тренд, может отрицательно сказываться на итоговых результатах оценивания, поэтому встаёт проблема определения “разумного” в данных условиях размера выборки. Возможно, продуктивным с точки зрения решения данной проблемы может оказаться рассмотрение тренда как кусочно-линейной функции.

В заключение можно сделать вывод о том, что предложенная методика оценивания состояния систем с неполной матрицей наблюдений на основе использования моделей АРПСС работоспособна и может быть применена на практике для решения задачи оценивания отклонений частот водородных стандартов по данным внутренних сличений в процессе функционирования Государственной службы времени, частоты и определения параметров вращения Земли, что было показано на примере обработки данных вторичного эталона. Предложенный способ идентификации структуры авторегрессионных моделей в отсутствие исходных рядов измерений удовлетворяет предъявляемым к нему требованиям, а построенные оценки относительных отклонений частот являются более точными, чем МНК-оценки (оценки по среднему арифметическому). Тем не менее, выявляется ряд проблем, связанных с оценкой детерминированных составляющих рядов наблюдений в условиях недоопределённых систем, которые способны влиять на точность оценивания и требуют дополнительного изучения.

5.4. Выводы В настоящей главе был рассмотрен пример практического применения предложенной методики оценивания вектора состояния систем с неполной матрицей наблюдений для обработки данных вторичного эталона времени и частоты ВЭТ1-5 ВСФ ВНИИФТРИ, полученных на суточных интервалах за три месяца. Исходные данные были представлены разностными рядами относительных отклонений частот, содержащими детерминированные тренды.

Были продемонстрированы следующие этапы обработки данных:

Определение порядков детерминированных трендов, их оценивание и исключение из рядов взаимных измерений различными способами. В результате было показано, что наилучшие результат был получен при использовании для оценивания коэффициентов моделей тренда данных внешних сличений эталона в объёме 2/3 общей длины ряда, однако возможно и построение автономной шкалы времени в отсутствие данных внешних сличений – тогда точность оценок оказывается ниже.

Определение порядков моделей авторегрессии – скользящего среднего, используемых для описания динамики водородных стандартов частоты.

Было продемонстрировано использование подхода, основанного на структурной идентификации моделей АРСС с использованием вместо исходных рядов оценок среднего арифметического. Модели рассмотренных реальных водородных стандартов частоты являются авторегрессионными порядков 1-2. Подход показал свою состоятельность, при этом сложность задачи для случая реальных данных оказалась даже ниже, чем для использованных в процессе моделирования искусственно сгенерированных данных.

Подгонка моделей АРСС и собственно построение оценок состояния системы с неполной матрицей наблюдений. Были получены ряды оценок относительных отклонений частот водородных стандартов частоты, на которые затем был наложен оцененный ранее детерминированный тренд.

Построенные ряды сравнивались с рядами внешних сличений эталона и рядами “грубых” оценок. Сравнение показало, что уточнённые оценки, построенные с использованием моделей АРСС, оказываются ближе к рядам внешних сличений (до 8-9%), что говорит об эффективности предлагаемой методики в сравнении с МНК-оценками.

Таким образом, результаты данной главы говорят о применимости результатов настоящей диссертационной работы для обработки реальных данных, получаемых в процессе “ведения” эталонов времени и частоты.

Заключение В соответствии с целями исследования, в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработана методика определения относительных отклонений частот групповых эталонов по результатам взаимных измерений, превосходящая по точности применяемый в настоящее время алгоритм, позволяющая получать оценки в режиме реального времени. Показано, что данная методика представляет собой субоптимальный фильтр Калмана.

2. Разработана и проверена на реальных данных методика структурной идентификации моделей авторегрессии – скользящего среднего (АРСС) по результатам косвенных измерений, основанная на использовании рядов предварительных оценок. Рассмотрена и проверена средствами математического моделирования альтернативная методика структурной идентификации моделей АРСС, основанная на последовательном наращивании порядка моделей. Оценена трудоёмкость такой процедуры.

3. Предложен критерий оптимальности, позволяющий выполнять параметрическую идентификацию моделей АРСС при отсутствии исходных временных рядов, а также основанный на его использовании алгоритм.

4. Разработан и проверен на реальных данных алгоритм оценивания вектора состояния эталона времени и частоты при наличии линейных трендов в рядах измерений, основанный на применении моделей АРСС.

5. Произведена оценка точности предложенных алгоритмов методами математического моделирования, для чего создана специализированная система моделирования.

6. Создан и внедрён специализированный программный комплекс, на практике реализующий предложенную методику оценивания вектора состояния эталонов времени и частоты.

В результате произведённых испытаний алгоритма было установлено, что сумма квадратов отклонений от истинных значений рядов для оценок АРСС оказывается существенно меньше, чем для МНК-оценок, полученных по методу среднего арифметического: 1,035 против 1,754 (т.е. приблизительно на 41%). При работе с реальными данными, в наилучшем случае в сравнении с использованием в том же случае оценок среднего достигнуто (для опорного генератора): снижение суммы квадратов отклонений от рядов внешних сличений около 9%, среднего значения отклонения – около 8%, с.к.о – около 4.5%. Это может быть признано достаточно существенным улучшением, с учётом достижения данного результата исключительно программными средствами, т.е. с минимальными финансовыми затратами.

Разработанная методика может быть внедрена в той или иной мере на любом из эталонов ГСВЧ. Кроме того, она может быть распространена на решение и иных подобных задач, связанных как с групповыми эталонами иных типов (например, эталонами единицы электродвижущей силы), так и с иными техническими системами, в которых возникает задача оценивания текущей координаты объекта по результатам взаимных измерений. Созданный программный продукт спроектирован и реализован таким образом, что его (целиком или в объёме отдельных компонентов) можно внедрить в информационную инфраструктуру практически любого подразделения ГСВЧ, или использовать автономно в исследовательских целях.

Самостоятельную ценность представляют результаты, связанные с применением моделей АРПСС к системам с неполной матрицей наблюдений.

Ввиду того, что модели данного класса в настоящее время распространены достаточно широко в целом ряде отраслей, в том числе и не связанных с техникой (таких, как эконометрика), разработка подходов, позволяющих строить такие модели по результатам косвенных наблюдений, без исходных временных рядов, открывает новые перспективы их использования. Таким образом, можно предположить, что полученные в ходе выполнения настоящей работы результаты могут быть применены и за пределами той специфической проблематики, которой ограничивалось данное исследование.

Список литературы 1. Постановление Правительства Российской Федерации от 23 марта 2001 г.

№ 225 "Об утверждении Положения о Государственной службе времени, частоты и определения параметров вращения Земли".

2. Приказ Ростехрегулирования от 06.02.2007 № 324 "Об утверждении организационной структуры Государственной службы времени, частоты и определения параметров вращения Земли Российской Федерации".

3. К. Одуан, Б. Гино. Измерение времени. Основы GPS. – М: Техносфера, 2002, 400 с.

4. ГОСТ 8.129-99. Государственная система обеспечения единства измерений. Государственная поверочная схема для средств измерений времени и частоты. М.: ИПК Издательство стандартов, 1999.

5. ГОСТ 8.567-99. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерение времени и частоты. Термины и определения. М.:

ИПК Издательство стандартов, 2000.

6. J. Rutman, F. L. Walls. Characterization of Frequency Stability in Precision Frequency Sources. Proc. IEEE, 1991, Vol. 79.

7. J. Rutman. Characterization of phase and frequency instabilities in precision frequency sources;

fteen years of progress. Proc. IEEE, 1978, vol. 66, pp.

1048-1174.

8. D. Percival, "Prediction Error Analysis of Atomic Frequency Standards," Proc.

31st Annual Symposium on Frequency Control, 1977, pp. 319-326.

9. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под общ.ред. К.Т. Леондеса и др. – М.: Мир, 1980. – 407 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966. – 576 с.

11. Ли.Р Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. – М.: Наука, 1966. – 176 с.

12. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. – М.: Наука.

Физматлит, 1995. – 336 с.

13. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерения. Изд. – М.: Либроком, 2011. – 416с.

14. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.

Вып. I. – М.: Мир, 1974. – 406 с.

15. Хрусталёв Ю.П., Спиридонова Е.В. Алгоритмы обработки измерительной информации, получаемой в процессе хранения единиц времени и частоты. – Техника средств связи. Серия “Радиотехнические измерения”, М., 1986, вып. O, с. 58-72.

16. Хрусталёв Ю.П. Построение динамических стохастических моделей систем с неполной матрицей наблюдений. // Вестник ИрГТУ – 2010.-№6.

– с.15-20.

17. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. Пер. с нем. – М.:

Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1982. – 198 с.

18. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.

пособие.— 2-е изд., исправл. и дополн.— М.: Физматлит, 2002. – 496с.

19. Graup D. Identification of time-series by ARMA-methods. – In.: Modelling and simulations, 1974, u5, part 2, pp 1013-1019.

20. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. – М.: Наука, 1971. – 424 с.

21. Хрусталёв Ю.П. Статическая и динамическая обработка данных, получаемых в процессе ведения эталонов времени частоты // Измерительная техника – 2004.-№6. – с.20.

22. Chatfield C. The Analysis of Time Series: An Introduction (5th edition).

London: Chapman & Hall, 1996 – 304 p.

23. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. – М.: Инфра-М, 2003. – 544с.

24. Хрусталёв Ю.П., Овечкина А.А., Щербаков Е.В. Построение моделей многомерных временных рядов по результатам наблюдений в динамических системах. // Методы исследований и моделирования технических, социальных и природных систем: сб.науч.тр. – Новосибирск: Наука, 2003. – с. 293-307.

25. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ/ Н. Дрейпер, Г. Смит М.: Финансы и статистика. Вып 1, 1986. – 366c.

26. Дж. Бендат. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ./ Дж.

Бендат, А. Пирсол – М: Мир, 1989. – 540с.

27. Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 1.

Теория вероятностей и прикладная статистика. / С. А. Айвазян, В. С.

Мхитарян – М.: Юнити-Дана, 2001. – 656с.

28. Холзнер С. Perl: специальный справочник/ С. Холзнер. – СПб: Питер, 2000. – 496 с.

29. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование/ Д.

Химмельблау М.: Мир, 1975. – 535c.

30. Кашьяп P.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. – М.: Наука, 1983. – 384 с.

31. Ипполитов А.А., Хрусталёв Ю.П. Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений. // Информационные и математические технологии в науке и управлении / Труды XV Байкальской Всероссийской конференции “Информационные и математические технологии в науке и управлении”. Часть I. – Иркутск:

ИСЭМ СО РАН, 2010. – с. 174-182.

32. Ипполитов А.А. Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре. // Винеровские чтения / Труды IV Всероссийской конференции. Часть 1. – Иркутск: ИрГТУ, 2011. – с. 136 141.

33. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648с.

34. Советов Б.Я. Моделирование систем/ Б.Я. Советов, С.А. Яковлев – М.:

Высш. шк., 1998. – 319с.

35. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электро энергетических систем/ А.З. Гамм – М.: Наука, 1976. – 220с.

36. Хрусталёв Ю.П., Акулов В.М., Ипполитов А.А., Курышева Л.Н.

Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты. // Вестник ИрГТУ – 2012.-№7. – Иркутск: ИрГТУ, 2012. – с.22-28.

37. Безуглов Д.А. Математический аппарат повышения метрологической автономности в системе единства измерений./ Д.А Безуглов П.М.

Поморцев. // Журнал «Радиоэлектроника» - 2002. - №1. – С. 23-28.

38. L.A. Breakiron. A Kalman filter for atomic clocks and time scales. – 33rd Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Systems and Planning Meeting, 2001. pp. 431-442.

39. L.A. Breakiron. Timescale algorithms combining cesium clocks and hydrogen masers. In Proceedings of the 23rd Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Applications and Planning Meeting, 3-5 December 1991, Pasadena, California, USA (NASA Conference Publication 3159), pp. 297-305.

40. C. Greenhall. Kalman plus weights: A time scale algorithm. In Proc. 33rd Annu. Precise Time and Time Interval Meeting, 2001, pp. 445–454.

41. РМГ 29-99 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. М: ИПК Издательство стандартов, 2000.

42. Васильев В.И., Демидов Н.А. Водородные стандарты частоты и времени.

Современное состояние и тенденции развития // Электроника: НТБ. – 2008, № 4, с.92-96.

43. Брандин В. Н., Разоренов Г. Н. Определение траекторий космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1978. - 216 с.

44. Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. – М.: Машиностроение. Измерения, контроль, испытания и диагностика.

Т.III-7 / В.В. Клюев, Ф.Р. Соснин, В.Н.Филинов и др.;

Под общ. ред. В.В.

Клюева. – 464с..

45. Time and Frequency activity at the IMVP FGUP "VNIIFTRI", CCTF 17th meeting working documents, CCTF/06-11, 2006. [Электронный ресурс].

URL: http://www.bipm.org/cc/CCTF/Allowed/17/CCTF_060812.pdf (дата обращения: 19.11.2013).

46. VNIIFTRI report on activities, CCTF 19th meeting working documents, CCTF/12-02, 2012. [Электронный ресурс]. URL:

http://www.bipm.org/cc/CCTF/Allowed/19/CCTF_12-02-VNIIFTRI.pdf (дата обращения: 19.11.2013).

47. V. Krutikov, V. Kostromin, N. Koshelyaevsky. The National Time and Frequency Service of the Russian Federation. 35th Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Meeting, 2004. – 49 p. [Электронный ресурс]. URL:

http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA427779 (дата обращения:

20.11.2013).

48. J. A. Davis, C. A. Greenhall, P. W. Stacey. A Kalman Filter Clock Algorithm For Use In The Presence Of Flicker Frequency Modulation Noise. 35th Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Meeting, 2004. – 16 p. [Электронный ресурс]. URL: http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA427980 (дата обращения: 27.11.2013).

49. Lee A. Breakiron. The effects of data processing and environmental conditions on the accuracy of the USNO timescale. 20th Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Meeting, 1988. – 15 p. [Электронный ресурс]. URL:

http://tycho.usno.navy.mil/ptti/1988papers/Vol%2020_20.pdf (дата обращения: 27.11.2013).

50. USNO report on activities. CCTF 19th meeting working documents, CCTF/12 06, 2012. [Электронный ресурс]. URL:

http://www.bipm.org/cc/CCTF/Allowed/19/CCTF_12-06-USNO_Report.pdf (дата обращения: 27.11.2013).

51. D. B. Percival. Stochastic Models and Statistical Analysis for Clock Noise.

2003. [Электронный ресурс]. URL:

http://faculty.washington.edu/dbp/PDFFILES/tech-report-02-03.pdf (дата обращения: 27.11.2013).

52. D. B. Percival. Spectral Analysis of Clock Noise: A Primer. Metrologia, 2006.

40 с. [Электронный ресурс]. URL: http://faculty.washington.edu/dbp/ PDFFILES/primer-sa-clock.pdf (дата обращения: 27.11.2013).

53. D. B. Percival. Characterization of Frequency Stability: Frequency Domain Estimation of Stability Measures. - Proceedings of the IEEE, 1991, 79, no. 7, pp. 961-72.

54. Ипатов А.В., Варганов М.Е. Комплекс средств фундаментального координатно-временного обеспечения ГНС ГЛОНАСС. СПб:

Всероссийская конференция Электроника и микроэлектроника СВЧ, 2013. 5 с. [Электронный ресурс]. URL: http://mwelectronics.ru/ 2013/Plenary/03_IpatovAV_Kompleks_sredstv_fundamental`nogo.pdf (дата обращения: 28.11.2013).



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.