авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Березин Евгений Николаевич

Численное

моделирование задач идеальной несжимаемой жидкости со

свободными границами методом граничных элементов

05.13.18 — «Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.–мат. наук, профессор К.Е. Афанасьев Кемерово — 2006 Оглавление Стр.

Введение Глава 1. Математические и вычислительные алгоритмы §1 Общая постановка задач........................ 1.1 Уравнение неразрывности...................... 1.2 Уравнения движения......................... 1.3 Постановка нестационарной задачи................. §2 Метод граничных элементов...................... 2.1 Вычисление интегралов....................... 2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений...... 2.3 Алгоритм движения по времени................... §3 Кинематические и динамические характеристики.......... 3.1 Вычисление компонент вектора скорости.............. 3.2 Вычисление гидродинамических характеристик.......... Глава 2. Взаимодействие поверхностных волн с препятствием §1 Тестирование вычислительных алгоритмов.............. 1.1 Тестирование МГЭ методом пробных функций.......... 1.2 Нестационарное движение уединенной волны по бассейну с ров ным дном................................ 1.3 Накат солитона на вертикальную стенку.............. 1.4 Движение уединенной волны над прямоугольным выступом... §2 Взаимодействие поверхностных волн с частично погруженным в жидкость телом............................. 2.1 Постановка задачи.......................... 2.2 Численные результаты........................ §3 Численное моделирование взаимодействия солитона с подводным препятствием............................... 3.1 Постановка задачи.......................... 3.2 Численные результаты........................ Глава 3. Численное моделирование генерации поверхностных волн движе нием оползня §1 Схема модельной области и механизмы движения оползня.

.... 1.1 Постановка задачи.......................... 1.2 Схемы движения оползня...................... §2 Численные результаты......................... Глава 4. Информационные технологии в численных расчетах §1 Реализация параллельного метода граничных элементов...... 1.1 Эффективность и ускорение..................... 1.2 Схема последовательного алгоритма метода граничных элемен тов и его распараллеливание..................... 1.3 Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса............. 1.4 Тестирование параллельного алгоритма.............. §2 Информационная система сопровождения численного эксперимента 2.1 Структура информационной системы................ 2.2 Интерфейс обмена данными..................... 2.3 Логическая схема базы данных................... 2.4 Хранилище данных.......................... 2.5 Оболочка информационной системы................ Литература................................... Приложение Введение Диссертационная работа посвящена исследованию двумерных течений идеальной однородной несжимаемой жидкости с поверхностными гравита ционными волнами методом граничных элементов, и вопросам эффективного использования современных вычислительных технологий и методов парал лельного программирования.

В современной науке широко используется методология математического моделирования [76]. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и в исследовании современными вы числительными средствами математических моделей. Этот метод сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента.

Работа с моделью объекта дает возможность, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение. Широкое применение вычислительно го эксперимента с математическими моделями объектов позволяет, опираясь на современные вычислительные методы и технические ресурсы, подробно и глубоко изучать объекты в достаточно полном объеме, что недоступно анали тическим подходам.

Широкий круг проблем, стоящих перед современной наукой и техникой, связан с решением уравнений механики жидкости. Большинство течений жид кости имеет природное (океаны, моря, ветер) и техногенное происхождение (самолеты, машины, биоинженерия). Существует потребность в моделирова нии проблем течения жидкостей, с целью лучшего понимания сложных яв лений и повышения качества технологий. Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленные техниче ские приложения, такие как физическая океанология, гидротехника, кораб лестроение и других. Эти задачи традиционно считаются непростыми, по скольку к нелинейности краевой задачи добавляется еще и дополнительная сложность, связанная с определением заранее неизвестной формы свободной границы. Примерами таких течений являются: нестационарное движение волн над неровным дном, выход волн на мелководье, эволюция свободной поверх ности под действием силы тяжести, движение тел в жидкости, взаимодействие поверхностных волн с препятствиями, распространение волн цунами и т.д.

Учет подобных явлений усложняет математическую постановку задач и по рождает самостоятельные проблемы при их решении. Однако и в этом случае основу задачи составляют классические уравнения механики жидкости.

Фактически единственным эффективным способом решения сложных си стем нелинейных дифференциальных уравнений, являются численные мето ды, реализуемые на быстродействующих вычислительных машинах. То есть, на основе математической модели при помощи непосредственного численного решения соответствующих уравнений количественно определяется поведение течений жидкости в тех или иных условиях.

В отличие от аналитических [73] и инженерных [78, 79] методов, где за частую для каждой задачи разрабатываются свои самостоятельные приемы решения, численные методы отличаются большой универсальностью и при менимы для исследования широкого класса явлений.

Среди множества численных методов, применяемых для решения задач потенциальных течений со свободными границами, широкое развитие полу чил метод граничных элементов (МГЭ). Он составил удачную конкуренцию таким популярным среди исследователей методам, как метод конечных раз ностей (МКР) [77] или метод конечных элементов (МКЭ) [56, 86, 87]. При влекательность МГЭ обусловлена, прежде всего тем, что в МКР, как и МКЭ, требуется разбиение всей области течения, в то время как в МГЭ дискретиза ции подвергается лишь граница области. Для реализации такой возможности в МГЭ требуется переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям связывающим неизвестные функции на границе области.

Полный обзор технологии метода граничных элементов можно найти в монографиях П. Бенерджи, Р. Баттерфилда [28] и К. Бреббии, Ж. Теллеса, Л.

Вроубела [27].

Обзор состояния проблемы и методы решения различных задач идеаль ной жидкости со свободными границами изложены в монографиях М.И. Гу ревича [43], О.М. Киселева, Л.М. Котляра [53]. Теории волновых движений жидкости посвящена монография Л.Н. Сретенского [80]. В этих работах ис пользуются, в основном, аналитические методы, которые применимы лишь для ограниченного круга задач.

Если жидкость весомая, а на свободной границе присутствуют сильно нелинейные деформации, то применение аналитических методов практически невозможно. В этом случае используются различные модификации численно – аналитических методов (эти направления нашли развитие в работах В.П. Жит никова [47–49], Д.В.;

Маклакова [61–65];

Р.А. Рузиева, Г.С. Хакимзянова [74]).

Решению задач в точной постановке, выяснению особенностей и разра ботке методов исследования посвящена монография А.М. Лаврентьева, Б.В.

Шабата [57].

Многие из задач течения идеальной однородной несжимаемой жидкости описываются уравнением Лапласа с нелинейными условиями на свободной поверхности. Значительное место в этих задачах занимает волновая темати ка. В литературе приводится немалое количество примеров уединенных волн (солитонов). Отметим некоторые из них, полученные аналитически по раз личным линейным и приближенным нелинейным теориям с помощью чис ленного анализа точных и приближенных нелинейных уравнений: Д.В. Ма клаков [63,64], Б.Е. Протопопов [72], Препринт по ред. Ю.И. Шокина [92], M.

Tanaka [131], Ан.Г. Марчук, Л.Б. Чубаров, Ю.И. Шокин [60], E.A. Karabut [115];

а также путем моделирования волн различными подвижками боковых стенок, дна, или с помощью создания локального возвышения уровня жидкости: А.М.

Франк [98], найденные в эксперименте: С.В. Манойлин [59], В.И. Букреев, Н.П. Туранов [30]. Обзор методов численного решения стационарных и неста ционарных задач со свободными границами приведен в работе И.В. Стуро вой [84].

Подход к численному решению задачи о течении идеальной несжимае мой жидкости с поверхностными волнами в каналах со сложным очертанием берегов методом конечных-разностей рассматривается в работах [22, 101]. В статье [102] предложен итерационный алгоритм расчета на криволинейных адаптивных сетках стационарных течений жидкости с поверхностными грави тационными волнами в речных руслах с островами в рамках модели мелкой воды с учетом неровности дна. Обзор работ, посвященных разработке конечно разностных методов на адаптивных сетках [58] для расчета течений идеальной жидкости со свободной границей в рамках нелинейных моделей мелкой воды и модели потенциальных течений дан в работе Г.С. Хакимзянова [99].

Исследование задач взаимодействия поверхностных волн с препятствиями является одним из наиболее интересных приложений нелинейной гидродина мики в связи с важностью вопросов по определению воздействия этих волн на гидротехнические сооружения (плавучие доки, волноломы, платформы и т.д.) [114, 116] и акватории портов.

Вопросам взаимодействия поверхностных волн c препятствиями посвяще но множество теоретических и экспериментальных работ: взаимодействию с вертикальной стенкой [72, 108, 111, 117, 122, 130], с подводным препятствием (ступенька, выступ, полуцилиндр): теоретические и экспериментальные иссле дования [128], численное моделирование выполнено в [31–33, 74, 92, 97, 104, 107,109,118,126]. В работе [128] – использовалась неявная конечно разностная схема для нелинейно-дисперсионной модели мелкой воды, в [97] – дискретная модель несжимаемой жидкости, в [74, 92, 104, 126] – модель потенциальных течений, в [31, 32] – одномерная модель мелкой воды.

В работе [33] в рамках одномерных моделей мелкой воды второго при ближения разработан метод расчета транскритических течений над неровным дном, позволяющий учесть опрокидывание волн и возникновение приповерх ностного турбулентного слоя. Для нелинейно дисперсионных моделей мелкой воды в работе [109] рассматривается решение задачи о движении уединенной волны в канале с криволинейным дном. Обсуждаются результаты сравнитель ного анализа основных свойств волны и применимость моделей Перегрина, Железняка-Пелиновского, Ким-Рейд-Витакера, Федотовой-Пашкова и класси ческих уравнений линейной и нелинейной теории мелкой воды.

Для модели плоских потенциальных течений идеальной несжимаемой жид кости со свободной границей в работах [100,103] методом конечных разностей предложен подход к решению задачи о взаимодействии солитона с подводным или частично погруженным препятствием.

В полной нелинейной постановке изучены различные режимы обтекания подводных препятствий, например, обтекание полуцилиндра [3,4,19], взаимо действие уединенной волны с вертикальной и наклонной стенкой [18, 21, 81], взаимодействие уединенной волны с частично или полностью погруженным в жидкость препятствием [8, 9].

В диссертационной работе проводятся исследования о генерации поверх ностных волн (цунами) движением оползня. Многообразие причин, порожда ющих волны цунами, обилие факторов, определяющих характер их трансфор мации при распространении по океану и в береговой зоне, выделяют феномен цунами и обуславливают необходимость комплексного подхода к его изуче нию.

Основные направления исследований, сформулированы в работах Е.Ф. Са варенского [75], развитые затем в трудах С. С. Войта [35], А.С. Алексеева [2], Ю. И. Шокина [60, 92]. Обзор посвященный проблеме цунами дан в работе Л.А. Островского и Е.Н. Пелиновского [69], Н.А. Щетникова [94].

В работах [113, 132] показано, что для изучения закономерностей волно образования необходимо исследовать зависимость характеристик процесса от основных параметров задачи: длины и ширины оползня, глубины его заглуб ления и закона его движения. Такой подход при соответствующей параметри зации представляет адекватную схематическую картину реальных оползневых процессов в широком диапазоне изменения определяющих характеристик.

В статьях [46, 90] исследовалась возможность использования приближен ных математических моделей гидродинамики для моделирования механизма движения оползня, при этом анализировалась необходимость учета вертикаль ной структуры течения. Было показано, что для детального и качественного описания явлений в обширных водоемах следует использовать модели волно вой гидродинамики, хорошо описывающие дисперсию и отражающие неод нородность процесса в вертикальном направлении. Для полной модели, в ра ботах [46, 132, 133] получены результаты наиболее близкие к лабораторным экспериментам.

В работе [93] выполнен комплекс многопараметрических расчетов с помо щью иерархии моделей волновой гидродинамики, учитывающих изменение во времени донной поверхности: линейные и нелинейные модели мелкой воды, слабо нелинейные дисперсионные модели, полученные в [45] и совпадающие в случае ровного дна с моделями Мея – Меоте и Перегрина [123,127], упрощен ные варианты модели Грина – Нагди [112] и Нвогу [125], одно -двухслойные нелинейно-дисперсионные модели (НЛД) Лью – Линетта [120], а также пол ная модель течения течения идеальной жидкости [100]. Более полное описание моделей приведено в работе [91].

Появление быстродействующих ЭВМ и создание вычислительных мето дов внесло новую струю в исследования задач со свободными границами, которые требует для своего решения значительных вычислительных ресурсов.

Повышенные требования к производительности и памяти обусловлены слож ными нелинейными моделями среды, описываемыми большим числом урав нений, пространственным характером задачи и нестационарностью протекаю щих процессов [18,37,129]. Многим из них требуется высокое быстродействие, а также необходима обработка и хранение большого объема информации, что предъявляет повышенные требования к вычислительным системам.

В 70-80-х годах в России велись исследования, направленные на созда ние параллельных вычислительных систем. Примерами таких систем являют ся PHOENIX [1], ПС-2000 [71], а так же многопроцессорные вычислитель ные комплексы Эльбрус [55]. Принципы, заложенные в основу структурной организации упомянутых машин, находят свое применение и в настоящие время. Одновременно с разработкой параллельных вычислительных систем учеными велись работы по распараллеливанию алгоритмов сложных задач, например, [34,38] посвященные общим вопросам распараллеливания алгорит мов, [41, 68] – распараллеливанию численных методов линейной алгебры. В работах [51, 70, 95] – рассматриваются проблемы численного решения крае вых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Одно из наиболее интересных направлений развития современной вычис лительной техники на сегодняшний день представляют многопроцессорные вычислительные системы [20, 38, 105].

Вычислительные системы (кластеры) представляют собой мультикомпью теры, состоящие из множества отдельных компьютеров или рабочих станций общего назначения (узлов), связанных между собой единой коммуникацион ной системой. Каждый узел имеет свою локальную оперативную память (об щей физической оперативной памяти для узлов не существует). Для вычис лительных кластеров используются стандартные для рабочих станций опера ционные системы, чаще всего, свободно распространяемые - Linux/FreeBSD, вместе со специальными средствами поддержки параллельного программиро вания и распределения нагрузки. Программирование, выполняется на основе модели передачи сообщений (MPI) [85]. Привлекательность использования вычислительных кластеров для решения задач со свободными границами рас сматриваются в работах [5, 6, 20, 83].

Численный решение задач гидродинамики не ограничивается только при менением современных вычислительных технологий и методов параллельного программирования. Большую важность при численном моделировании прини мает корректность и простота ввода начальных данных задачи, а также обра ботка результатов численного расчета [14, 15].

Поэтому актуальной задачей является разработка полнофункциональной информационной системы [12], с возможностью автоматизированной подго товки данных для численного эксперимента, хранения и систематизации, как полученных результатов, так и самих постановок задач, входных данных для каждого из расчетов и необходимых алгоритмов.

Основу численного эксперимента составляет триада модель - алгоритм программа [76].

• На первом этапе вычислительного эксперимента строится модель иссле дуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства.

• Второй этап связан с выбором вычислительного алгоритма для реализа ции модели на компьютере.

• На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере.

Опираясь на триаду модель - алгоритм - программа, исследователь полу чает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных задач.

В настоящие время существует ряд пакетов прикладных программ (ППП) предназначенных для решения научных, инженерных и прикладных задач.

Описание некоторых пакетов можно найти в работах [36, 40]. Среди систем автоматизирующих полный цикл решения некоторой задачи можно выделить:

• ANSYS (http://www.ansys.com) – предназначенный для исследования: за дач статического и динамического анализа конструкций с учетом геомет рической и физической нелинейности;

задач ползучести и пластичности;

задач линейной и нелинейной устойчивости конструкций;

стационарных и нестационарных задач теплофизики с учетом фазового перехода;

задач гидро-газодинамики;

электромагнитных полей (в т.ч. высокочастотный анализ);

задач акустики;

связанных задач (например, взаимодействие жидкости с конструкцией), • BEASY (http://www.beasy.com). Пакет состоит из четырех основных мо дулей: Mechanical Design - предназначен для решения задач механики;

Fatigue and Crack Growth - анализ усталости материалов и процесса об разования трещин;

Acoustic Design - решение задач акустики;

Corrosion and Cathodic Protection - задачи коррозии и защиты от коррозии.

О предмете и содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка ли тературы.

Диссертация посвящена численному исследованию двумерных нестацио нарных задач потенциальных течений идеальной однородной несжимаемой жидкости со свободными границами с использованием новых информацион ных технологий. Рассматриваются традиционные для этой области исследова ния:

1. взаимодействие уединенной волны с частично или полностью погружен ным в жидкость препятствием прямоугольного сечения, 2. генерация поверхностных волн движением оползня, в зависимости от типа движения и геометрических параметров, 3. применение современных информационных технологий для разработки инструментария автоматизации численного эксперимента и средств хра нения информации.

Решение задач со свободными границами в полной нелинейной постановке выполнялось численным методом граничных элементов.

Цель диссертации заключается в решении двумерных нелинейных задач гидродинамики идеальной однородной жидкости со свободными границами, а также построение эффективного параллельного численного алгоритма мето да граничных элементов, и автоматизации обработки результатов численных расчетов.

Содержание работы Первая глава посвящена некоторым аспектам использования МГЭ для решения нелинейных задач движения жидкости со свободными границами.

В первом параграфе приводятся постановка плоской нестационарной зада чи идеальной однородной несжимаемой жидкости со свободными границами.

Второй параграф посвящен краткому описанию метода граничных эле ментов основанном на третьей формуле Грина. Рассматриваются вопросы све дения исходной дифференциальной задачи к интегральным соотношениям, заданным на границе области, вычисления полученных интегралов и постро ения матриц.

В третьем параграфе приводятся формулы высокого порядка точности для дифференцирования функций, заданных на границе области. Рассматри вается алгоритм решения нестационарной задачи, и алгоритм автоматического выбора шага по времени. Для движения по времени и выбор шага по времени используется метод Эйлера. Данный алгоритм движения по времени впервые был предложен А.М. Лаврентьевым и Б.В. Шабатом [57] и хорошо зареко мендовал себя при решении задач со свободными границами [3, 7–9, 54, 106].

Тестовые расчеты, представленные в первом параграфе второй главы, демон стрируют достаточную точность используемого метода расчета для моделиро вания нестационарных волновых задач.

Приводятся алгоритмы вычисления гидродинамических и энергетических характеристик - давления, массы кинетической и потенциальной энергии.

Во второй главе в полной нелинейной постановке приводится решение двумерных нелинейных задач гидродинамики идеальной однородной несжи маемой жидкости со свободными границами, на примере которых демонстри руется эффективность алгоритмов и методов.

Вопросам взаимодействия солитонов с препятствиями посвящено боль шое количество теоретических и экспериментальных работ в связи с важно стью вопросов по определению воздействия этих волн на гидротехнические сооружения и акватории портов. При проведении экспериментов возникают существенные трудности, связанные с тем, что волнопродуктор создает волну с дисперсионным хвостом из волн малой амплитуды, для удаления которых приходится использовать специальные волногасители, которые вместе с гаше нием дисперсионного хвоста могут изменить амплитуду и форму основной (рабочей волны). Кроме того, регистрация проистекающих процессов требует специальной аппаратуры и является задачей сложной и дорогостоящей. По этому разработка и тестирование численных алгоритмов для решения задач взаимодействия солитонов с препятствиями является актуальной задачей.

Задачи о взаимодействии уединенной волны с частично или полностью погруженным в жидкость телом выполнены в рамках договоров ИВТ СО РАН и совместной лабораторией Кемеровского государственного университета ИВТ СО РАН.

В первом параграфе на ряде тестовых задач демонстрируется эффектив ность применения методов граничных элементов для решения задач движения идеальной несжимаемой жидкости.

Рассматриваются следующие задачи:

• тестирование методом пробных функций;

• распространение уединенной волны по бассейну с ровным дном;

• взаимодействие уединенной волны с вертикальной твердой преградой;

• взаимодействие уединенной волны с подводной ступенькой.

Точность аппроксимации интегральных уравнений демонстрируется при по мощи теста предложенного Петровым А.Г. и Смоляниным В.Г. в работе [66].

Здесь найденные значения искомой функции сравниваются с известным ана литическим решением. Показывается сходимость решения к точному при уве личении количества точек разбиения.

Хорошим критерием проверки качества численного метода является зада ча о движении уединенной волны по ровному дну, поскольку известно, что во все время движения волна должна сохранять свои основные характеристи ки: амплитуду, скорость, массу. Сохранение характеристик уединенной волны зависит не только от точности численного метода, но и от качества началь ного приближения. В случае задания начальной формы волны из известных приближений (Бусинеска-Лейтона, Овсянникова и т.п.) во время ее движе ния образуется заметный диспергирующий волновой цуг волн малой ампли туды [3, 18, 72]. Эти волны,оказывают влияние на характеристики основной волны (амплитуду, скорость волны, массу и т.д.). Для уменьшения таких эф фектов, начальное приближение уединенной волны выбирается из численного решения стационарной задачи [18, 19, 82].

На примере задачи о взаимодействии уединенной волны с вертикальной твердой преградой и с подводной ступенькой демонстрируется эффективность применения прямого метода Эйлера с автоматическим выбором шага по вре мени для решения нестационарной задачи.

Во втором параграфе представлены результаты расчетов движение жид кости при набегании уединенной волны на тело прямоугольного сечения, ча стично погруженного в жидкость. В работе Г.С. Хакимзянова, Ю.И. Шокина, В.Б. Барахнина, Н.Ю. Шокиной [100] данная задача исследовалась с помощью конечно - разностных методов расчета на адаптивных сетках.

В данной работе моделирование осуществлялось методом граничных эле ментов и модели потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости.

Исследовано влияние ширины и заглубления тела, а также амплитуды набе гающей волны на высоту заплеска, волновую картину перед телом и за ним, динамическую нагрузку на тело.

В третьем параграфе представлены результаты исследования трансфор мации волн, распространяющихся над препятствием, используется метод гра ничных элементов и модели потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости. Постановка задачи о распространении солитона над выступом рас положенным на дне была взята из работы М.Г. Хажоян, Г.С. Хакимзянова [103], где показано, что для изучения закономерностей волнообразования необходи мо исследовать зависимость характеристик процесса от основных параметров задачи: протяженности, высоты и амплитуды набегающей волны.

Проводиться анализ численных результатов, при движении солитона над подводным препятствием прямоугольного сечения, расположенного на гори зонтальном дне. Изучается изменение динамической нагрузки при взаимо действии жидкости с твердыми границами. Исследуется влияние основных параметров на характеристики течения.

В третьей главе рассматриваются результаты исследования генерации по верхностных волн движением оползня. Задача о генерации поверхностных волн движением оползня выполнена в рамках интеграционного проекта фун даментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006-2008) по теме ”Численное моделирование неста ционарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом”.

Первый параграф содержит постановку задачи о генерации поверхностных волн цунами движением оползня. Рассматриваются разные законы движения оползня [91] называемые слайдами и слампами [133].

Во втором параграфе рассматривается решение задачи о генерации по верхностных волн движением оползня. Приводятся результаты сравнения зна чений мареограмм изменения уровня свободной поверхности полученные с помощью алгоритмов, основанных на иерархии моделей волновой гидроди намики, включающей уравнения теории мелкой воды в приближениях, учи тывающих нелинейные и дисперсионные эффекты [91], и полные уравнения гидродинамики идеальной жидкости [100] решенные с помощью конечно разностных методов расчета на адаптивных сетках..

Четвертая глава посвящена обсуждению ряда вопросов построения эф фективных алгоритмов ускорения и автоматизации решения задач со сво бодными границами. Получено свидетельство об официальной регистрации программы ”Пакет прикладных программ для задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами (AKORD)” для ЭВМ №2002611284 от июля 2002г. (РОСПАТЕНТ).

В первом параграфе рассматриваются обсуждаются вопросы геометриче ской декомпозиции расчетной области и балансировки нагрузки процессоров, способы распределения данных по процессорам, а также особенности парал лельной реализации метода граничных элементов, применяемого для решения задач со свободными границами. Приводятся результаты тестирования парал лельного алгоритма метода граничных элементов на кластере Кемеровского государственного университета и Института вычислительных технологий СО РАН.

Во втором параграфе приводится описание проблемно – ориентированной оболочки предназначенной для информационной поддержки всех основных этапов численного эксперимента, начиная с постановки, и заканчивая графиче ским анализом полученных результатов. Приводятся форматы файлов обмена данными между приложениями системы. Рассматриваются вопросы создания удаленной базы данных расчетов необходимой для хранения представляющей интерес информации.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Решение нестационарных задач волновой гидродинамики при взаимо действии нелинейных поверхностных волн с препятствиями, частично или полностью погруженными в жидкость. Установлено влияние ампли туды волны A, высоты (или зазора) h и протяженности a препятствия на следующие характеристики: максимальный заплеск, амплитуда прошед шей волны ap, амплитуда отраженной волны ao и нагрузки на твердых границах Ps. Для различных значений амплитуды A набегающей волны, протяженности препятствия a и высоты (или зазора) h получены табли цы изменения параметров максимального заплеска, амплитуды прошед шей ao и отраженной волны ap, а также изменения динамической на грузки Ps. Выявлены эффекты сильной деформации свободной границы ”опрокидывание волн” в зависимости от геометрических характеристик препятствия.

2. Решение нестационарной задачи о генерации волн цунами движением оползня для разных законов движения и его геометрических параметров.

Получены волновые режимы в зависимости от начального залегания d, толщины h, протяженности b и законов движения оползня. Установлено, что изменение геометрических параметров и схемы движения оползня, приводит к разным картинам формирования цуга волн различной ампли туды, движущихся к берегу и от него. Выявлены эффекты деформации свободной границы ”опрокидывание волн” в зависимости от геометри ческих характеристик оползня.

3. Параллельная реализация метода граничных элементов, применяемого для решения задач механики жидкости.

4. Проблемно – ориентированная оболочка для информационной поддерж ки вычислительного эксперимента для задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами.

Результаты работы по мере их получения докладывались и обсуждались на V Сибирской школе-семинаре ”Математические проблемы механики сплош ных сред” (Новосибирск, 2001г.), Международной конференции молодых уче ных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), IV Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красно ярск, 2003г.), V Международной конференции молодых ученых по математиче скому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004г.), I региональной научно-практической конференции ”Информационные недра Кузбасса” (Кемерово 2001г.), II региональной научно-практической конферен ции ”Информационные недра Кузбасса” (Кемерово 2003г.), III региональной научно-практической конференции ”Информационные недра Кузбасса” (Ке мерово 2004г.), Международной конференции ”High Speed Hydrodynamics” (Чебоксары 2004г.), VI Всероссийской конференции молодых ученых по ма тематическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Кемерово 2005г.), IX Международной летней научной школе ”Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование” (Ке мерово 2006г.), на научном семинаре ”Численные методы решения задач меха ники сплошной среды” Кемеровского университета (Кемерово, 2000-2006гг.).

По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикации, в знаменателе – объ ем, принадлежащий автору) 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления кандидатской диссертации (1,6/1,2 печ. л.), 9 – в трудах между народных и всероссийских конференций (3,3/1,6 печ. л.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8–11, 14, 15, 23–26, 106]. При выполне нии работ [14, 15], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, автор диссертации принимал участие в разработке и реа лизации проблемно-ориентированной оболочки, интерфейса обмена данными и базы данных расчетов. В соавторстве с научным руководителем [8–11, 106] автору диссертации принадлежит участие в постановке задачи, исследование численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Автором выполнена про граммная реализация численных алгоритмов, проведены расчеты тестовых задач и значительный цикл вычислительных экспериментов.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю - док тору физико-математических наук, профессору К.Е. Афанасьеву за постоянное внимание, творческие идеи и огромную помощь при выполнении работы.

Глава Математические и вычислительные алгоритмы §1 Общая постановка задач Пусть D R2 - фиксированная область 1.1 Уравнение неразрывности с границей, занятая однородной несжимаемой жидкостью. В этом случае плотность жидкости во всей области D постоянна.

Скорость изменения массы жидкости в области D, обусловленная движе нием жидкости через границу со скоростью, равна n · ds, где n - вектор единичной внешней нормали к элементу поверхности ds.

Скорость изменения массы жидкости в области D определяется формулой dV, t D где dV - элемент объема.

Приравнивая выписанные выражения для скоростей изменения массы жид кости, приходим к уравнению неразрывности n · ds = dV. (1.1) t D Применяя к преобразованию интеграла по границе формулу Гаусса, при ведем уравнение (1.1) к виду + · dV = 0. (1.2) t D Поскольку уравнение (1.2) справедливо и для любой части области D, то имеет место уравнение неразрывности, которое в дифференциальной форме имеет вид:

+ · () = 0. (1.3) t Если ввести в рассмотрение материальную производную d = +·, (1.4) dt t то уравнение (1.3) можно преобразовать к виду d + · = 0. (1.5) dt Для однородной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью урав нение (1.3) сводится к соотношению · = 0. (1.6) 1.2 Уравнения движения Рассмотрим идеальную однородную несжи маемую жидкость, находящуюся в однородном поле сил тяжести. Пред положим, что течение является потенциальным, т.е. для вектора скорости = (x, t) существует функция (x, t) такая, что = grad. Здесь x = x(x, y) - радиус-вектор точки области течения D. Тогда из (1.6) получаем, что для потенциального течения однородной несжимаемой жидкости внутри и на гра нице области (D = D) справедливо уравнение Лапласа (x, t) = 0, x D. (1.7) Если движение происходит под действием сил тяжести, направленных про тивоположно оси y, то давление P, плотность и потенциал скорости удовлетворяют уравнению движения, записанному в форме интеграла Коши Лагранжа 1 P + | |2 + gy + = c(t), (1.8) t 2 где g - ускорение свободного падения, c(t) - функция от времени, равная значению левой части уравнения (1.8) в некоторой точке пространства. Если на бесконечности жидкость покоится и давление на уровне y = 0 равно нулю, то c(t) = 0.

Если применить соотношение (1.4) для функции, то уравнение (1.8) пе репишется в виде d 1 P | |2 + gy + = c(t). (1.9) dt 2 1.3 Постановка нестационарной задачи Для решения дифференци ального уравнения (1.9) относительно и давления P необходимо задавать искомые функции в некоторый момент времени (начальные условия) и удо влетворять определенным условиям на границе области (граничные условия).

Граничные условия задаются либо в виде условия Дирихле (потенциал скоро сти принимает заданные значения на границе области), либо в виде условия Неймана (задается нормальная производная от потенциала скорости).

Приведем пример постановки нестационарной задачи движения жидкости в бассейне конечной глубины. Рассмотрим движение идеальной однородной несжимаемой жидкости под действием силы тяжести в области D, ограничен ной свободной поверхностью 1 и твердой границей 2 (рис. 1.1.1). В этом случае потенциал поля скоростей, зависящий от времени (x, t), удовлетворя ет уравнению Лапласа вида:

2 H Рис. 1.1.1. Схема области течения (x, t) = 0, x D. (1.10) На твердых границах выполняются условия непротекания:

= 0, x 2. (1.11) n На свободной поверхности должны выполняться кинематическое dx =, x 1, (1.12) dt и динамическое условия d 1 P | |2 + gy + = c(t), x 1. (1.13) dt 2 Здесь с(t) – функция от времени, равная значению левой части в некоторой точке пространства. Если жидкость на бесконечности покоится и давление на уровне y = 0 равно нулю, то с(t) = 0. Из решения нелинейной стационарной задачи в качестве начальных условий задается начальное положение свободной границы 1 в момент времени t = 0 и распределение потенциала на ней.

Постановка нелинейной стационарной задачи и ее решение рассмотрены в работах К.Е. Афанасьева, С.В. Стуколова [3, 18, 81].

Для удобства численной реализации задача приводится к безразмерному виду. В качестве характерных размерных величин выбираются ускорение сво бодного падения g и глубина бассейна H. Безразмерные переменные x, y, t и C, записываются следующим образом:

g C C= x = x/H, y = y/H, t=t, = F, (1.14) H gH где C – скорость волны и F – число Фруда. При этом краевая задача (1.10) (1.12) остается без изменений, а уравнение (1.13) принимает вид:

d | |2 + y = 0, x 1. (1.15) dt Тильда над безразмерными переменными в формуле (1.15) и далее опускает ся. Требуется определить положение свободной поверхности и распределение поля скоростей на ней в последующие моменты времени. Компоненты вектора скорости определяются по формулам:

Vx =, Vy =. (1.16) x y §2 Метод граничных элементов Одним из современных методов решения задач теории потенциала являет ся метод граничных элементов (МГЭ) [3,7,87], получивший широкое развитие.

Привлекательность данного метода обусловлена тем, что дискретизации под вергается лишь граница области.

Суть метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области D, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения, и затем отыскании численного решения этого уравнения.

Если требуется найти значения потенциала во внутренних точках области, то их можно вычислить, используя известные решения на границе. В результате пространственная размерность задачи снижается на единицу, и понижаются требования к гладкости функции.

Свести задачу для дифференциального уравнения эллиптического типа к граничному интегральному уравнению можно различными способами, напри мер, используя представление гармонической функции через потенциал про стого или двойного слоя. В результате получается уравнение Фредгольма пер вого или второго рода относительно неизвестных значений функции или ее нормальной производной на границе области.

Поскольку потенциал течения идеальной несжимаемой жидкости является гармонической функцией, можно воспользоваться известной из теории гармо нических функций, функцией Грина [27, 28] G (, x) = ln (r), (1.17) где r - расстояние между точками и x.

Тогда, используя третью формулу Грина, можно записать следующее инте гральное уравнение:

G (, x) (x) () () + (x) d(x) = G (, x) d(x), (1.18) n (x) n (x) где (x) = 1 2 - граница области D, (x) - гармоническая функция, n(x) - внешняя по отношению к области D единичная нормаль к поверхности (x). Параметр () определяется следующим образом: ()=1 для внутренней точки, ()=0.5 для точки на гладкой границе, ()=/2 для угловой точки границы ( - телесный угол, под которым видна поверхность из точки ).

В этом случае задача сводится к нахождению потенциала и нормаль ной производной /n, удовлетворяющим в области D уравнению (1.18) и одному из краевых условий на границе области:

1) условию Дирихле = (x), x, 2) условию Неймана = vn (x), x, n 3) смешанным условиям = (x), x 1, = vn (x), x 2, n где = 1 2.

Для численного решения интегральному уравнению (1.18) можно придать дискретную форму. Граница заданной области разбивается на N граничных элементов j в пределах которых функции и /n изменяются линейно.

Точки, в которых рассматриваются значения неизвестной функции, называ ются узлами и располагаются либо в середине элементов для так называемых постоянных элементов, либо на стыке элементов в случае линейных элементов (рис. 1.2.1а). В работе используются линейные элементы.

Введем локальную систему координат ориентированную вдоль элемента 2s (рис. 1.2.1б) и безразмерную координату, такую, что = 1 [1, 1], где Lj Lj - длина j-го элемента с узлами (xj, yj ) и (xj+1, yj+1 ), s (0, Lj ) - текущая координата или (x xj )2 + (y yj )2, x s= L /q /q 1 = 1 = x, а) б) Рис. 1.2.1. а) линейный элемент, б) система координат для локального элемента Локальные интерполирующие функции на элементе могут быть представ лены в виде:

1 N1 = (1 ), N2 = (1 + ), (1.19) 2 Введем обозначения:

G(, x) (x) = G(, x), q =, q=, n(x) n(x) тогда неизвестные функции и q на каждом j-м элементе можно записать в виде:

() = N1 j1 + N2 j, q() = N1 qj1 + N2 qj, (1.20) а интегральное уравнение (1.18) перепишется для каждого i-го узла в дискрет ной форме:

N N q d, i i + q d = i = 1..N. (1.21) j=1 j= j j В интегральном соотношении (1.21) запишем каждое слагаемое с учетом линейности выбранных элементов (1.20) в следующем виде:

q d = (j1 N1 + j N2 )q d = j1 N1 q d + j N2 q d, j j j j q d = (qj1 N1 + qj N2 ) d = qj1 N1 d + qj N2 d.

j j j j Введем обозначения:

h1 = q N1 d, h2 = q N2 d ij ij j j N1 d, N2 d.

gij = gij = j j Тогда полная система уравнений для всех узлов запишется в виде:

N N Hij j d = Gij qj d, (1.22) j=1 j= j j где h2 + h1, i = j;

ij1 ij Hij = i + h2 + h1, i = j ij1 ij 2 Gij = gij1 + gij.

или в матричной форме H = BQ. (1.23) Используя заданные граничные условия и перенося неизвестные величины в левую часть, а известные - в правую, приведем матричную форму (1.23) к системе линейных алгебраических уравнений:

AX = F, (1.24) где A - полностью заполненная матрица размерности N N, X - вектор неизвестных значений функций и /n на границе, F - вектор правой части.

Из решения системы (1.24) находятся неизвестные значения и /n.

Значение функции в произвольной внутренней точке области (в этом случае i = 1) определяется с помощью соотношения N N i = Gij qj Hij j, i = 1..N. (1.25) j=1 j= Выражение (1.25) дает связь в интегральной форме между i-й внутренней точкой и значениями и /n на границе.

2.1 Вычисление интегралов Диагональные элементы матриц G и H представляют собой сингулярные интегралы, поскольку r 0 при i = j. Для нахождения можно воспользоваться приемом, предложенным в работе [27].

Если предположить, что на всей границе задан постоянный потенциал поля скоростей = const, то поток q на границе будет равен нулю. Тогда система (1.23) принимает вид:

H = 0. (1.26) Отсюда следует, что сумма элементов каждой строки матрицы H равна нулю. Тогда по известным недиагональным элементам матрицы H легко по лучить значения диагональных элементов:

N Hij = Hij, i = 1..N. (1.27) i=j,i=j Диагональные элементы матрицы G вычисляются аналитически:

1 3 Gij = Li1 ( lnLi1 ) + Li ( lnLi ), (1.28) 4 2 где Li, Li1 - длины элементов включающих i-ый узел.

Для вычисления остальных элементов матриц G и H необходимо привести их к более удобному виду, для чего применяя (1.20) перейдем к интегрирова нию по отрезку [-1;

1]. В результате получим:

1 Dj1 (1 + ) Dj (1 ) Hij = h2 + h1 = d d.

ij1 ij 2 16 rij1 16 rij 1 Таким образом Hij = I1 + I2 :

1 Dj1 d Dj d I1 = 2, 16 rij1 16 rij 1 1 Dj1 d Dj d I2 = + 2, 16 rij1 16 rij 1 Dj = (xj + xj+1 2xi )(yj+1 yj ) (yj + yj+1 2yi )(xj+1 xj ), (xj + xj+1 2xi + (xj+1 xj ))2 + (yj + yj+1 2yi + (yj+1 yj ))2.

rij = Аналогично преобразуются интегралы Gij :

1 Lj1 Lj 2 1 2 Gij = gij1 + gij = (1 + )lnrij1 d (1 )lnrij d 16 1 или Gij = I3 + I4, где 1 Lj1 Lj 2 I3 = lnrij1 d lnrij d, 16 1 1 Lj1 Lj 2 I4 = lnrij1 d + lnrij d.

16 1 Интегралы I1, I2, I3, I4 могут быть вычислены численно с помощью стан дартных квадратурных формул Гаусса вида:

1 n f ()d f (i )i, (1.29) i= где i - координата i-ой точки интегрирования, i - весовой коэффициент, n общее число точек интегрирования.

2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений Решение краевых задач численными методами сопряжено с решением систем линейных алгебраических уравнений. В методе граничных элементов результирующая система алгебраических уравнений будет зависеть от свойств интегральных уравнений, записанных для каждого узла на границе области.

В случае задачи Неймана, исходный эллиптический дифференциальный оператор сводится к интегральному уравнению Фредгольма II рода. Следо вательно, полученная в результате применения метода граничных элементов матрица системы линейных алгебраических уравнений обладает хорошими свойствами и может быть решена прямым или итерационным методом [29].

Если требуется решить задачу Дирихле или смешанную краевую задачу, то в результате получается граничное интегральное уравнение Фредгольма I рода, которое является некорректным по Адамару. Задача считается корректной по Адамару, если выполняются условия существования решения, его единствен ности и условие, что малым ошибкам исходных данных соответствуют малые ошибки решения (условие устойчивости решения). В данном случае, реше ние задачи может терять устойчивость вследствии плохой обусловленности результирующей СЛАУ при достаточно большом числе элементов. Поэтому, для численного решения таких уравнений должны использоваться методы ре гуляризации некорректных задач. В качестве одного из таких подходов можно привести регуляризующий алгоритм А.Н. Тихонова [88], который основан на переходе к вспомогательному уравнению Фредгольма II рода (уравнению Эй лера для сглаживающего функционала). Такой алгоритм обеспечивает устой чивость численного решения к погрешностям входной информации, но являет ся алгоритмически значительно более сложным при программной реализации.

Однако если линейное интегральное уравнение Фредгольма I рода имеет логарифмическую особенность в ядре, то есть возможность решить его напря мую, сведением к системе линейных алгебраических уравнений, не применяя какой-либо регуляризирующий алгоритм. Квадратурные формулы для реше ния уравнений Фредгольма I рода с ядрами типа функций Грина порождают саморегуляризирующие алгоритмы, в которых параметром регуляризации яв ляется шаг квадратурной формулы [39].

Очень важным критерием определения вырожденности матрицы A явля ется число обусловленности cond(A) = A · A1, которое выполняет роль коэффициента увеличения относительной погрешности решения СЛАУ [52].

В задаче решения системы линейных уравнений если cond(A) 10q, а м машинная точность, то метод исключения Гаусса дает решение с d q пра вильными машинными знаками [96]. В нашем случае число обусловленности имеет вполне приемлемую величину (не более 2 103 ), что при большом числе доступных машинных разрядов (не менее 16) позволяет достичь приемле мой точности решения. В работах [13, 16] при расчете тестовых задач были использованы как точные методы решения СЛАУ (метод Гаусса с выбором главного элемента), так и итерационные (метод Гаусса-Зейделя, метод нели нейной регуляризации (В.Н.Трушникова)). Наиболее же приемлемым оказался метод Гаусса с выбором главного элемента.

В данной работе для определения числа обусловленности применяется ал горитм, изложенный в монографии [52, 96]. Из работы [52] взяты программы DECOMP и SOLVE, осуществляющие декомпозицию матрицы А и ее решение прямым методом Гаусса с выбором главного элемента [77].

2.3 Алгоритм движения по времени В работе М.А. Лаврентьева и Б.В.

Шабата [57] предложен метод решения нестационарных задач, идея которого состоит в разбиении общей нелинейной задачи на последовательность линей ных задач теории потенциала в каждый временной промежуток. Такая ме тодика хорошо зарекомендовала себя и при решении задач со свободными границами [4, 8, 9, 12].

Пусть в некоторый момент времени tk задано положение свободной грани цы 1 и распределение потенциала k на ней. Необходимо решить уравнение Лапласа (1.10) с условием k на 1 и условием (1.11) на 2. Новое положение свободной границы и распределение потенциала на ней для момента времени tk + можно вычислить, используя условия (1.12) и (1.15), дискретный аналог которых расписывается по схеме Эйлера следующим образом:


xk+1 = xk + ( )k, (1.30) k+1 = k + (0, 5 ( )k y k ), k = 0, 1, 2..., (1.31) где xk, k - значения функций на k-м шаге по времени. В результате на каждом шаге по времени tk решается смешанная краевая задача для уравнения Лапласа (1.10) с граничными условиями (1.11) и (1.30)-(1.31).

Выбор шага по времени Условия (1.30) и (1.31) представляют метод Эйлера первого порядка точно сти. Во многих случаях точность метода Эйлера бывает недостаточной, поэто му необходимо проводить интегрирование уравнений (1.12) и (1.15) по схемам более высокого порядка точности или использовать различные модификации неявных методов.

В работе используется методика предложенная К.Е. Афанасьевым [3]. Дан ная методика и обоснованность ее применения подробно описывается в ра ботах [12, 18]. Предложенный алгоритм позволяет выбирать шаг по времени автоматически, исходя из следующих условий:

1. любая частица жидкости за временной шаг не может переместиться на расстояние больше заданного;

2. узлы любого элемента не могут изменять ориентацию относительно друг друга (исключается самопересечение границы области).

Введем величину по следующему правилу Smin = 1, Smax где Smax - длина максимального граничного элемента свободной границы, Smin - длина минимального элемента, - некоторый коэффициент из промежутка 0 1. Величина будет характеризовать некоторую относительную меру дискретизации границы расчетной области.

Первое условие приводит к следующему ограничению шага по времени R 1, V где R - заданное максимальное перемещение частиц за один временной шаг, V - модуль максимальной скорости частиц.

Второе условие приводит к следующему ограничению Smin 2.

V Окончательно, шаг по времени будет - = min(1, 2 ).

При численных расчетах целесообразно задавать нижнюю границу времен ного шага min. Кроме того, задается ограничение на максимальный времен ной шаг max. Это значение используется в качестве начального шага и служит ограничителем при увеличении шага по времени. Увеличение шага выполня ется принудительно в случае, если за n шагов не изменялось. В расчетах увеличение шага производилось в полтора раза, а n равнялось 50, max =0,01, min =0,0001.

Предложенная методика выбора шага по времени проверялась на нелиней ной задаче Рэлея о схлопывании сферической газовой полости в безграничной жидкости, для которой известно аналитическое решение [3, 12, 17].

§3 Кинематические и динамические характеристики 3.1 Вычисление компонент вектора скорости В данной работе, для вычисления компонент вектора скорости в точке (x, y) использовались следующие формулы:

x y y x = +, =, (1.32) x s s n s y s s n s где s - единичный вектор касательной, n - единичный вектор внешней нормали.

Для вычисления узловых значений компонент вектора скорости можно ис пользовать подход, предложенный в работе [119] и в дальнейшем развитый в работах [3, 124]. Суть его состоит в следующем: построим отображение эле мента границы области на пространство номеров узлов (числовую ось), как показано на (рис. 1.3.1).

Y n S X j 1 2 n Рис. 1.3.1. Отображение свободной границы на числовую ось Поскольку из МГЭ построенного на основе третьей формулы Грина нам известны функции = (x, t), = q(x, t), x = x(t), y = y(t) n или с учетом указанного отображения:

= (j, t), = q(j, t), x = x(j), y = y(j) n Поскольку для вычисления компонент вектора скорости по формулам (1.32) необходимо вычислить s (x, t).

Очевидно, что при указанном отображении будем иметь:

s x x s y y s = /, = /, = /, (1.33) s j j s j j s j j где 2 s x y = +.

j j j Остается определить значения /j, x/j, и y/j. Так как j - это номер точки на числовой оси, то мы имеем дело с дифференцированием указанных функций на равномерной сетке, с шагом h = 1. Для численного дифференци рования функций воспользуемся формулами 5-го порядка точности [29]:

f0 = 12 (25f0 + 48f1 36f2 + 16f3 3f4 ), f1 = 12 (3f0 10f1 + 18f2 6f3 + f4 ), 1 (1.34) f2 = 12 (f0 8f1 + 8f3 f4 ), f3 = 12 (f0 + 6f1 18f2 + 10f3 + 3f4 ), f4 = 12 (3f0 16f1 + 36f2 48f3 + 25f4 ).

Здесь fi (i = 0,.., 4) - известные значения функции в узлах границы области D, fi (i = 0,.., 4) - значения первой производной функции в соответствующих узлах. Используя (1.34), нетрудно получить дискретные значения для выраже ний, описываемых формулами (1.33).

3.2 Вычисление гидродинамических характеристик Вычисление давления При решении нестационарных задач о колебании жидкости, и в особенно сти при взаимодействии волн с различными преградами, очень важной явля ется задача определения давления P и динамической нагрузки Ps на преграду и донные сооружения.

Для вычисления давления необходимо решить дополнительную краевую задачу:

t = 0, xD (1.35) t = | |2 y, x 1 (1.36) t = 0, x 2, (1.37) n где t =.

t Применяя метод граничных элементов для решения системы уравнения (1.35), c граничными условиями (1.36)-(1.37) находим t на границе 1, 2 и 3. После этого давление вычисляется по формуле:

| |2 + y).

P (x) = (t + (1.38) Вычисление нагрузки По строительным нормам и правилам (СНИП 2.06.04-82*) [78], действую щим Российской Федерации, распространяющимся на речные и морские гид ротехнические сооружения, основным параметром при проектировании гидро технического сооружения служат внешние нагрузки, создаваемые волнением поверхности воды. В соответствии с пунктом 1.13 СНиП 2.06.04-82*, опре деление нагрузок на вертикальную стену от воздействия разбивающихся и прибойных волн при надлежащем обосновании допускается производить ди намическими методами, учитывающими импульсы давления и инерционные силы. Горизонтальную линейную нагрузку от прибойных волн необходимо принимать по площади эпюры бокового волнового давления. На рисунке 1.3. представлена графическая схема расчета волнового давления предложенная в работе [114].

Нагрузка Ps вычисляется по следующей формуле b Ps = Pw d, (1.39) a где Pw = P P0 – волновое давление, P - распределение давления на каждом шаге по времени, P0 - распределение давления в начальный момент времени t = 0.

C1(t1) C1(t0) C1(t2) P(t2) P(t0) P(t1) Рис. 1.3.2. Схема расчета волнового давления Вычисление энергетических характеристик Проверка закона сохранения полной энергии E = Ek + Ep служит для контроля консервативности применяемых численных методов. Кинетическая Ek и потенциальная Ep энергии на каждом шаге по времени вычисляются по следующим формулам:

b Ng 1 Ek = ds = (2i fi + i fi+1 + i+1 fi + 2i+1 fi+1 )Li, (1.40) 2 n 12 i= a b Ng 1 2 2 Ep = y dx = (yi + yi yi+1 + yi+1 )(xi xi+1 ). (1.41) 2 6 i= a Здесь a и b - абсциссы точек пересечения границы 1 с 2 (рис. 1.1.1), Li длина i-го элемента, Ng - количество узлов на свободной границе 1.

Вычисление массы Хорошим контролем точности метода для задач со свободными границами является закон сохранения массы, который в плоском случае равносилен зако ну сохранения площади фигуры совпадающей с областью течения D. Площадь M области течения можно вычислить по формуле:

M= ( ydx xdy) = + N ((yi + yi+1 )(xi xi+1 ) (xi + xi+1 )(yi yi+1 )), (1.42) 4 i= где N - число узлов на границе = 1 2.

Глава Взаимодействие поверхностных волн с препятствием В данной главе приводится описание решения ряда тестовых и практиче ских задач гидродинамики идеальной однородной несжимаемой жидкости с поверхностными гравитационными волнами в областях со сложной формой границ.

§1 Тестирование вычислительных алгоритмов 1.1 Тестирование МГЭ методом пробных функций Точность ап проксимации в плоском случае граничного интегрального уравнения (1.18) демонстрируется при помощи теста предложенного в работе А.Г. Петрова, В.Г. Смолянина [66]. Требуется найти решение уравнения Лапласа в области D = {0 x 2;

1 y 0, 5sin(x)}. На дне и вертикальных стенках зада (x,y) ется условие непротекания: = 0, а на верхней границе задается условие n вида: (x, y) = cos(x)cosh(y + 1), правая часть в котором является гармони (x,y) ческой функцией. Численные значения нормальной производной n = n, сравниваются с точным решением A.

n cos(x) A (x, y) = (0, 5sin(x)cosh(y + 1) sin(y + 1)) n 1 + 0, 25cos2 (x) Данный тест можно интерпретировать как расчет на одном временном шаге задачи о движении жидкости в прямоугольном бассейне. Аналитические выражения для компонент вектора скорости имеют следующий вид:

VxA = = sin(x)cosh(y + 1), VyA = = cos(x)sinh(y + 1).

x y Относительная погрешность точного и численного значений исследуемых max|f A f | где f - численное, f A - аналитическое функций имеет вид (f ) = max|f A |, значение функции. В таблице 2.1.1 приведены погрешности нормальной про Таблица 2.1.1. Погрешности основных характеристик волны.

N/Ng (n ) (Vx ) (Vy ) K(A) 100/43 6.83E-03 2.27E-03 8.55E-03 200/87 4.54E-03 1.11E-03 6.00E-03 400/175 2.51E-03 6.26E-04 3.73E-03 800/351 1.21E-03 6.90E-04 2.24E-03 1500/659 5.90E-04 8.17E-04 1.44E-03 изводной потенциала и компонент Vx, Vy вектора скорости. В пятой колонке приводятся числа обусловленности K(A) матрицы A системы линейных ал гебраических уравнений (1.24). Значения приведены в зависимости от дис кретизации области (N - число узлов на всей границе, Ng - число узлов на свободной границе области).

1.2 Нестационарное движение уединенной волны по бассейну с ров ным дном Известно, что уединенная волна в процессе своего движения должна сохранять свою амплитуду, скорость, форму и полную энергию. В слу чае задания начальных параметров уединенной волны с помощью известных аналитических приближений: Буссинеска - Лейтона [124], Л.В. Овсяннико ва [67], Б.Е. Протопопова [72] и др., при ее движении по ровному дну нару шается начальная геометрия волны, изменяется амплитуда и образуется дис пергирующий «хвост» - цуг волн малой амплитуды. Для уменьшения данных побочных эффектов используется наиболее точное приближение уединенной волны, которое получено численно на основе решения полных нелинейных стационарных уравнений. Алгоритм построения стационарных уединенных волн, на основе метода граничных элементов и идеи Л.Г. Гузевского [42] о выделении двух решений, реализован в работах К.Е. Афанасьева, С.В. Сту колова [3, 18, 81]. Из решения нелинейной стационарной задачи определяется точная форма уединенной волны и распределение на ней потенциала, для дальнейшего использования в решении нестационарных задач идеальной од нородной несжимаемой жидкости со свободными границами.


В данном тесте выполнялись расчеты по распространению волны ампли туды А = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 по бассейну с ровным дном. В качестве характерных безразмерных параметров выбиралась глубина канала Н = 1 и ускорение силы тяжести g = 1. Шаг по времени подбирался автоматически.

Для расчета была взята область D = {15 x 75;

1 y y0 }, где функ ция y0 = y0 (x, t) задает форму уединенной волны. Вершина волны при t = находилась в точке x = 5, y = 0.5. Расчеты проводились до момента безраз мерного времени t = 50, когда вершина волны перешла в точку с абсциссой x = 56. К этому моменту времени волна прошла путь равный 5.5 длин волны.

Длина волны l определяется величиной отрезка по оси x, на котором выполня ется условие y(t) 0.01A(t) [72]. Шаг по времени выбирался автоматически по методике предложенной К.Е. Афанасьевым [3].

Y t= - - t=49. X -6 0 20 40 Рис. 2.1.1. Движение солитона по ровному дну В таблице 2.1.2 приводится изменение амплитуды, массы и полной энергии на длину пробега волны в зависимости от количества точек разбиения области (N - число узлов на всей границе, Ng - число узлов на свободной границе области). Видно, что рост погрешности основных характеристик волны имеет линейный характер.

Таблица 2.1.2. Погрешности основных характеристик волны.

N/Ng (A) (M ) (E) 310/151 3.30 % 0.55 % 0.78 % 514/301 1.98 % 0.47 % 1.00 % 718/451 1.56 % 0.46 % 1.10 % 922/601 1.49 % 0.48 % 1.12 % 1126/751 1.35 % 0.50 % 1.17 % 1330/901 1.38 % 0.52 % 1.18 % Отметим, отсутствие диспергирующего хвоста из волн малой амплитуды позади основной волны объясняется достаточно точным заданием начальной формы уединенной волны и распределение потенциала на ней, полученным на основе численного решения стационарной нелинейной задачи.

1.3 Накат солитона на вертикальную стенку Данный тест пред ставляет собой взаимодействие уединенной волны амплитуды A = 0.2;

0.3;

0.4;

0.5;

0.6 с вертикальной стенкой имеющей абсциссу x = 5. Для расчета была взята область D = {15 x 5;

1 y y0 }. На границе области было задано 552 узла, из них 251 на свободной поверхности. Осталь ные параметры были взяты из предшествующего теста. Численные результаты сравнивались с результатами полученными С.В. Стуколовым с помощью ком плексного метода граничных элементов (КМГЭ) [18].

На рисунке 2.1.2а приведены профили свободной поверхности при накате солитона амплитуды А = 0.4 на вертикальную стенку для нескольких момен тов безразмерного времени. При t = 0.0, ymax = 0.4 - первоначальная форма КМГЭ солитона;

t = 8.91, ymax = 0.946 и ymax = 0.945 - форма свободной поверхно КМГЭ сти в момент максимального заплеска;

t = 19.12, ymax = 0.393 и ymax = 0. - амплитуда восстановленного солитона, вершина которого находится в точке с абсциссой x = 7.5.

t=0. t=0. t=21. t=18. X X -15 -10 -5 0 5 -10 -5 0 а) б) Рис. 2.1.2. Расчет по накату солитона амплитуды (a) - A = 0.4 и (б) - A = 0.6 на вертикальную стенку.

На рисунке 2.1.2б приведены профили свободной поверхности при накате солитона амплитуды А = 0.6 на вертикальную стенку для нескольких момен тов безразмерного времени. При t = 0.0, ymax = 0.6 - первоначальная форма КМГЭ солитона;

t = 8.72, ymax = 1.748 и ymax = 1.747 - форма свободной поверхно КМГЭ сти в момент максимального заплеска;

t = 18.98, ymax = 0.547 и ymax = 0. - амплитуда восстановленного солитона, вершина которого находится в точке с абсциссой x = 8.

Анализ численных результатов позволяет утверждать, что отражение волны от вертикальной стенки приводит к изменению амплитуды волны и формиро ванию хвоста из вторичных волн малой амплитуды, что находится в полном соответствии с результатами численных исследований [72].

E, Ek, Ep E, Ek, Ep T=8.72 E=Ek+Ep E=Ek+Ep 0. 0. 0. 0. 0.3 Ek Ek 0. 0.2 Ep Ep 0. 0. T T 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 18 а) б) Рис. 2.1.3. Энергетические характеристики для амплитуды волны (a) - A = 0.4 и (б) - A = 0.6.

На рисунке 2.1.3а,б представлены зависимости кинетической, потенциаль ной и полной энергий в зависимости от времени. Видно, что максимум по тенциальной энергии и максимальный заплеск на стенку смещены по времени друг относительно друга (рис. 2.1.3б), где показано изменение энергий при на кате относительно высокой волны А = 0.6. Эта временная несогласованность может служить объяснением фазового сдвига набегающей и отраженной волн.

В таблице 2.1.3 приведено сравнение с результатами расчетов из работы Б.Е. Протопопова [72];

J.W. Kim, K.J. Bai, R.C. Ertekin, W.C. Webster [117].

Теоретические результаты получены по формуле [130] 1 max(x, t) = 2A + A2 + A3. (2.1) 2 Для расчета была выбрана область D = {35 x 35;

1 y y0 }.

В начальный момент времени t = 0.0 вершина волны находилась в точке x = 0. На границе области было задано 540 узлов, из них 301 на свободной поверхности. Из приведенных результатов видно совпадение результатов во Таблица 2.1.3. Максимальный заплеск.

A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0. Теория 0.206 0.426 0.665 0.928 1.22 1. МГЭ 0.206 0.426 0.663 0.925 1.25 1. Протопопов 0.205 0.424 0.660 0.922 1.22 1. Kim&Bai&Ertekin 0.206 0.424 0.660 0.924 1.24 1. втором и третьем знаке. Когда амплитуда волны A 0.4 значения для метода граничных элементов возрастают, но разница с теоретическими результатами находится в пределах 1%. Когда амплитуда волны A 0.4, то разница равна 10%. Это видно для амлитуды A = 0.6. Сравнение результатов c численными результатами других авторов показывает, достаточно высокую точность метода граничных элементов.

Кроме кинематических особенностей возникающих течений интерес пред ставляет задача определения динамического воздействия волн на вертикаль ную стенку. На рисунке 2.1.4 для волн различных амплитуд показаны хроно граммы волнового давления в точке стенки, совпадающей с начальным урезом жидкости. Кривые на рисунке 2.1.4 обозначенные цифрами 1,2,3,4,5 соответ ствуют амплитуде волны A = 0.2, A = 0.3, A = 0.4, A = 0.5, A = 0. соответственно.

P 0. 0.8 0.7 0. 0. 0. 0. 0. 0. T 04 6 8 10 Рис. 2.1.4. Хронограммы волнового давления Маркерами на график нанесены результаты расчетов для волн амплитуды A = 0.4 и A = 0.5 из работы [92]. При амплитудах A 0.3 расчетные хро нограммы имеют два локальных максимума. Это явление можно объяснить следствием действия сил инерции. Кроме того, первый максимум имеет боль шее значение, чем второй, при этом момент максимального заплеска волны на стенку не совпадает с моментами локальных максимумов давления. Эти особенности при накате солитонов на вертикальную стенку подтверждаются экспериментами полученными С.В. Манойлиным [59].

1.4 Движение уединенной волны над прямоугольным выступом От носительно этой задачи имеются результаты теоретических и эксперимен тальных исследований(Seabra-Santos, Temperville, Losada, Vidal, Medina [128];

Ю.И. Шокин, Р. А. Рузиев, Г. С. Хакимзянов [74, 92, 104];

Л.Б. Чубаров, З.И.

Федотова [109];

А.М. Франк [97]).

Для исследования был выбран солитон амплитуды A = 0.18. В начальный момент времени t = 0 гребень волны имел абсциссу x = 12.5, уступ распо лагался в точке x = 25, бассейн имел длину L = 90. Глубина канала H = 1, высота уступа равнялась H/2. Геометрия области течения представлена на рисунке 2.1.5. Расчеты проводились с различным числом узлов. На границе задавалось 396 узлов, из них 300 на свободной поверхности.

Рис. 2.1.5. Схема расчетной области.

Расчеты, представленные на рисунке 2.1.6а показывают начальную фазу наката волны на уступ и формирование двойного горба. На данном рисунке приведена кривая 3, на которой передний фронт падающей волны имеет лег кую выпуклость. Эта выпуклость зарождается в момент подхода переднего фронта к границе уступа и движется против движения солитона, т.е. как бы перекатывается по нему, в результате чего формируется отходящая от солитона первая волна, так называемый дисперсионный след.

а) б) в) Рис. 2.1.6. Движение солитона над уступом.

При дальнейшем движении волны по каналу (рис. 2.1.6б) ее форма транс формируется, солитон увеличивается по амплитуде, и от него отходит четко сформировавшийся второй солитон (рис. 2.1.6б кривая 16), бегущий вслед за первым и отстающий от него в силу меньшей амплитуды, а следовательно, и скорости. На рисунке 2.1.6в приведено сравнение с результатами расчетов из работы [74] - пунктирная кривая;

результаты эксперимента из работы [128] кривая отмечена окружностями. Данное сравнение показывает качественное совпадение результатов и высокую точность применяемого метода.

§2 Взаимодействие поверхностных волн с частично погруженным в жид кость телом В настоящем параграфе представлены результаты численных расчетов вза имодействия поверхностных волн с частично погруженным в идеальную од нородную несжимаемую жидкость телом прямоугольного сечения. Постанов ка задачи была взята из монографии Г.С. Хакимзянова, Ю.И. Шокина, В.Б.

Барахнина, Н.Ю. Шокиной [100], где авторами проводится исследование вли яния варьируемых параметров на величину заплесков, амплитуду отражен ной и прошедшей волны, с помощью конечно - разностных методов расчета на адаптивных сетках. В данной работе, рассматривается течение идеальной однородной несжимаемой жидкости. Задача решается в полной нелинейной постановке методом граничных элементов. Исследуется влияние ширины и заглубления тела, а также амплитуды волны на волновые режимы.

2.1 Постановка задачи В расчетной области D (рис. 2.2.1), ограничен ной поверхностями C1, C2 и 1, 2, решается уравнение Лапласа = 0, x(x, y) D. (2.2) Границы C1, C2 являются свободными поверхностями жидкости, 1 твердые границы бассейна, 2 твердые границы погруженного тела. На твердых гра ницах выставляется условие непротекания = 0, x(x, y) 1, 2. (2.3) n На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия dx =, x(x, y) C1, C2, (2.4) dt d | |2 + y = 0, x(x, y) C1, C2, (2.5) dt В начальный момент времени t = 0 граница C1 соответствует уединенной волне, на которой распределение потенциала задается из решения нелинейной стационарной задачи [19]. Краевая задача (2.2)-(2.5) для потенциала скоро стей записана в безразмерном виде (1.14), где в качестве характерных величин выбираются ускорение свободного падения g и глубина бассейна H. Все гео метрические размеры и обозначения показаны на рис. 2.3.1.

Y g= C1 C A xl xr X a b D H= h - Рис. 2.2.1. Схема расчетной области 2.2 Численные результаты Расчеты о волновом движении идеальной несжимаемой жидкости в бассейне постоянной глубины H = 1, возникаю щем в результате взаимодействия уединенной волны на частично погружен ное закрепленное тело прямоугольного сечения (рис. 2.2.1), проводились для следующих варьируемых параметров: A - амплитуда волны, h - расстояние от дна до препятствия (зазор), a = xr xl - протяженность тела, где xl и xr - абсциссы левой и правой вертикальных стенок тела, b - расстояние между правой стенкой тела при (x = xr ) и правой границей бассейна.

Группа численных расчетов выполнялась для диапазона варьируемых па раметров A [0.1 : 0.5], h [0.1 : 0.7], a [1 : 8] для случая когда: 1.) тело расположено далеко от правой стенки бассейна, где b изменялось 22 b и 2.) тело расположено вблизи правой стенки бассейна, расстояние между правой стенкой тела и правой границей бассейна было постоянным и равно b = 0.5.

На рисунках (2.2.2а-г) показаны линии направления течения идеальной однородной несжимаемой жидкости в момент наката волны на левую стенку тела (рис. 2.2.2а,в) и в момент отражения (рис. 2.2.2б,г). Отметим, что в момент отражения волны от левой стенки тела, направление течения жидкости все еще устремлено за тело (рис.2.2.2г), где формируется прошедшая волна (рис.

2.2.2б).

Y Y t=12. t=8.963875 0. 0. -0. -0. X X -10 0 10 20 -5 0 5 10 a) б) Y Y t=8.963875 t=13. 1 - -1 X X -5 0 5 0 5 10 в) г) Рис. 2.2.2. Направление течения: (а),(б) – A = 0.4, a = 2, h = 0.3;

(в),(г) – A = 0.3, a = 8, h = 0.4.

Формы свободной поверхности при взаимодействии уединенной волны с телом расположенным далеко от правой стенки бассейна показаны на рисунке 2.2.3а,в. На рисунках 2.2.3б,г показаны формы свободной поверхности, когда тело расположено вблизи правой вертикальной стенки бассейна.

При уменьшении протяженности тела a и увеличении зазора h за основной отразившейся волной формируется ряд вторичных волн (рис. 2.2.3а,б). Если протяженность тела a возрастает, а величина зазора h уменьшается, то образо вание вторичных волн за основной отразившейся волной от левой стенки тела незначительно (рис. 2.2.3в,г).

Очевидно, что на амплитуду основной волны отраженной от левой стенки тела и формирование вторичных волн влияет не только изменение протяжен ности тела a и величины зазора h, но и прошедшая волна, отразившаяся от правой стенки тела в первом случае (рис. 2.2.3а,в). Во втором случае (рис.

2.2.3б,г), здесь несомненно оказывает влияние правая стенка бассейна и нали чие тела вблизи стенки, что усложняет волновую картину течения жидкости.

t=0.0 t=0. t=22.245 t=37. X X -10 0 10 20 30 -10 0 а) б) h = 0.4, a = t=0. t=0. t=37. t=24. X X -10 0 10 20 30 -10 0 в) г) h = 0.4, a = 8 h = 0.1, a = Рис. 2.2.3. Формы свободной поверхности при взаимодействии уединенной волны амплитуды A = 0.3 с частично погруженным телом.

Тело расположено далеко от правой стенки бассейна Расчеты проводи лись для области D [30, 30]. Вершина волны в начальный момент времени t = 0 находилась в точке x = 10. На свободной границе C1 и C2 (рис. 2.2.1) задавалось количество узлов с 250 до 400 и с 100 до 200 узлов соответственно.

Для различных значений амплитуды A набегающей волны изучалось влия ние ширины тела a и расстояния от дна до препятствия (зазора) h на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела (рис. 2.2.4), максимального заплеска Yr на правую стенку тела (рис. 2.2.5), амплитуды отраженной волны ao (рис. 2.2.6), амплитуды прошедшей волны ap (рис. 2.2.7) и динамической нагрузки Ps волнового давления (1.3.2) на левой и правой стенках тела. В ле вой части этих рисунков линии обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4 соответствуют ширине тела a = 1, a = 2, a = 4, a = 8. Значение h было равно 0.4. На правых рисунках представлены зависимости для трех значений h и фиксированной ширине тела a = 2. Цифры 1, 2, 3 соответствуют значению расстояния от дна бассейна до нижней границы тела h = 0.5, h = 0.3, h = 0.1.

Yl Yl 1. 1. 3 0. 0. 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.4. Максимальный заплеск Yl на левую стенку тела Yr Yr 0. 0. 0. 0. 3 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.5. Максимальный заплеск Yr на правую стенку тела ao ao 0. 0. 0. 0. 4 3 0. 0. 2 0.1 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.6. Амплитуды отраженной волны ao Численные расчеты показали, что при увеличении ширины тела и умень шении расстояния h величины заплесков на левой стенке тела, амплитуда отраженной волны и динамическая нагрузка на левой стенке тела (рис. 2.2.8б ap ap 0.2 0. 2 0. 0.15 3 0. 0. 4 0. 0.05 A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.7. Амплитуды прошедшей волны ap – линии с маркерами) возрастают, а заплески на правой стенке тела, ампли туда прошедшей волны и динамическая нагрузка на правой стенке тела (рис.

2.2.8б) убывают. На рисунке 2.2.8б показаны хронограммы динамической на грузки для следующих параметров: A = 0.3, h = 0.4, a = 2 (пунктирные линии) и A = 0.3, h = 0.1, a = 8 (сплошные линии).

Так, при a = 8 и h = 0.1 волна за телом практически не формируется, а происходит незначительный подъем уровня жидкости на всем протяжении от тела до правой стенки бассейна (рис. 2.2.8а). Кривые на рисунке 2.2.8а при ведены для следующих параметров: A = 0.3, h = 0.1, a = 8. При возрастании протяженности тела a и уменьшении зазора h, амплитуда отраженной волны (рис. 2.2.6) может превысить амплитуду прошедшей волны (рис. 2.2.7).

Y Ps 0. 0. 0. 0. 0.2 0. T T 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 а) б) Рис. 2.2.8. Хронограммы (а) - максимального заплеска на левой (пунктирная линия) и правой стенках тела;

(б) - нагрузки на левой (линии с маркерами) и правой стенках тела.

Для различных значений амплитуды A набегающей волны, ширины тела a и зазора h получены таблицы (табл. 2.2.1-2.2.2) изменения параметров Yl, Yr, ao, ap, Psl, Psr. В таблицах (табл. 2.2.1-2.2.2) ячейки с прочерком означают, что расчет при соответствующих значениях параметров не был проведен до конца, так как в момент взаимодействия поверхностных волн с препятствием наблю дались сильно нелинейные деформации свободной границы. Такие эффекты были зафиксированы, когда за основной отразившейся волной формировался цуг вторичных волн.

Тело расположено вблизи правой вертикальной стенки бассейна Рас четы проводились для области D [15, 15]. Вершина волны в начальный момент времени t = 0 находилась в точке x = 5. Расстояние b от правой стенки тела при (x = xr ) было равно 0.5. На свободной границе C1 и C2 (рис.

2.2.1) задавалось количество узлов с 250 до 450 и с 5 до 10 узлов соответ ственно.

При различных значениях амплитуды A набегающей волны изучалось вли яние ширины тела a и расстояния от дна до препятствия h на величину макси мального заплеска Yl на левую стенку тела (рис. 2.2.9), максимального заплеска Yr на правую стенку тела (рис. 2.2.10) и динамической нагрузки Ps волнового давления (1.3.2) на левой и правой стенках тела. В левой части этих рисунков линии обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4 соответствуют ширине тела a = 1, a = 2, a = 4, a = 8. Значение h было равно 0.3. На правых рисунках представ лены зависимости для трех значений h и фиксированной ширине тела a = 2.

Цифры 1, 2, 3 соответствуют h = 0.5, h = 0.3, h = 0.1.

Анализ результатов показывает, что картина течения становиться более сложной при наличии тела вблизи правой стенки. При возрастании протя женности тела a и уменьшении зазора h величины заплеска на левой стенке тела, амплитуда отраженной волны, минимальный уровень жидкости и ди намическая нагрузка на левой стенке тела возрастают (рис. 2.2.12б – линии с маркерами), а заплеск на правой стенке тела и динамическая нагрузка на правой стенке тела убывают (рис. 2.2.12б).

На рисунке 2.2.12б показаны хронограммы динамической нагрузки для Yl Yl 1. 1. 43 3 0. 0. 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.9. Максимальный заплеск Yl на левую стенку тела Yr Yr 1 0. 3 0. 4 0. 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. 2.2.10. Максимальный заплеск Yr на правую стенку тела Ymin Ymin r r -0. -0. -0. -0. 1 A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0. Рис. 2.2.11. Минимальный уровень жидкости Yrmin на правой стенке тела Ps Y 0. 0. 0. 0. T T -0. 10 20 30 10 20 30 а) б) Рис. 2.2.12. Хронограммы (а) - максимального заплеска на левой (пунктирная линия) и правой стенках тела;

(б) - нагрузки на левой (линии с маркерами) и правой и стенках тела.

следующих параметров: A=0.3, h=0.4, a=2 (пунктирные линии) и A=0.3, h=0.1, a=8 (сплошные линии).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.