авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи Березин Евгений Николаевич Численное ...»

-- [ Страница 2 ] --

Отметим, что величина заплеска на правую стенку бассейна оказывается больше, чем при отсутствии тела. Кроме того, величина максимального за плеска на правой стенке тела может превосходить величину заплеска на левой стенке тела (рис. 2.2.12а), что не наблюдается при расположении тела далеко от правой стенки бассейна. Кривые на рисунке 2.2.12а приведены для следу ющих параметров: A=0.3, h=0.3, a=8.

В зазоре между правой стенкой тела и правой стенкой бассейна происходит колебание жидкости с большой амплитудой. При этом величина минимального уровня жидкости опускается значительно ниже, чем без тела. Величины ми нимального уровня Yrmin на правой стенке тела приведены на рисунке 2.2.11.

Для различных значений амплитуды A набегающей волны, ширины тела a и зазора h получены таблицы (табл. 2.2.3-2.2.4) изменения параметров Yl, Yr, Yrmin, Psl, Psr. В таблицах (табл. 2.2.3-2.2.4) ячейки с прочерком означают, что расчет при соответствующих значениях параметров не был проведен до конца. В процессе взаимодействия уединенной волны с препятствием, за телом возникают деформации свободной границы, при колебаниях столба жидкости или имело место осушение нижней границы тела.

Режимы деформации свободной границы ”опрокидывание волн” При взаимодействии уединенной волны с частично погруженным в жид кость телом наблюдались волновые режимы ”опрокидывания волн”. Примеры таких режимов показаны на рисунке (2.2.13)-(2.2.14). На рисунке 2.2.13а,б показаны профили свободной границы, когда тело расположено далеко от правой стенки бассейна. Так, при отражении основной набегающей волны от лицевой грани тела имеют место колебания жидкости большой амплиту ды на левой стенке тела. В данном случае дальнейшие движение жидкости можно охарактеризовать, как ”опрокидывание волны” (рис. 2.2.13а,б) назад в противоположном направлении относительно движения набегающей волны, в начальный момент времени t = 0. На рисунке 2.2.14а,б показан случай, ко гда тело расположено вблизи правой стенки. Деформации свободной границы были установлены при колебаниях столба жидкости большой амплитуды (рис.

2.2.14б). Увеличение амплитуды набегающей волны и зазора способствуют возникновению данных волновых эффектов.

Y t=13. t=0. -0. - t=13. X X -10 0 10 20 30 3.5 4 4.5 а) б) Рис. 2.2.13. Режим ”опрокидывания волны” при A = 0.4, a = 1, h = 0.4.

Y t=30. t=0. 0. 0. 0. t=30. X X -10 0 10 14.6 14.8 а) б) Рис. 2.2.14. Режим ”опрокидывания волны” при A = 0.4, a = 1, h = 0.3.

Таблица 2.2.1. Влияние параметров a, A на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела, максимального заплеска Yr на правую стенку тела, амплитуды отраженной волны ao, амплитуды прошедшей волны ap и динамической нагрузки Ps волнового давления на левой и правой стенке тела Psl Psr aA Yl Yr ao ap 0.1 1.501E-001 9.189E-002 2.853E-002 8.947E-002 4.295E-002 2.404E- 0.2 3.456E-001 1.627E-001 6.720E-002 1.591E-001 1.037E-001 3.676E- 1 0.3 5.611E-001 2.189E-001 1.167E-001 2.150E-001 1.744E-001 4.608E- 0.4 8.211E-001 2.630E-001 - - 2.577E-001 5.208E- 0.5 1.139E+000 3.003E-001 - - 3.548E-001 5.539E- 0.1 1.644E-001 7.967E-002 4.277E-002 7.866E-002 5.049E-002 2.201E- 0.2 3.703E-001 1.362E-001 9.655E-002 1.356E-001 1.222E-001 3.480E- 2 0.3 5.919E-001 1.791E-001 1.488E-001 1.805E-001 1.999E-001 4.329E- 0.4 8.552E-001 2.157E-001 - - 2.873E-001 4.88E- 0.5 1.177E+000 2.458E-001 - - 3.888E-001 5.216E- 0.1 1.805E-001 6.231E-002 6.008E-002 6.207E-002 5.885E-002 1.781E- 0.2 3.954E-001 1.023E-001 1.300E-001 1.028E-001 1.405E-001 2.806E- 4 0.3 6.216E-001 1.325E-001 1.963E-001 1.

336E-001 2.249E-001 3.601E- 0.4 8.873E-001 1.583E-001 2.612E-001 1.596E-001 3.18E-001 4.129E- 0.5 1.210E+000 1.798E-001 - - 4.201E-001 4.473E- 0.1 1.945E-001 4.331E-002 7.654E-002 4.357E-002 6.629E-002 1.269E- 0.2 4.155E-001 6.847E-002 1.594E-001 6.934E-002 1.555E-001 1.970E- 8 0.3 6.444E-001 8.934E-002 2.362E-001 8.947E-002 2.440E-001 2.503E- 0.4 9.113E-001 1.035E-001 3.117E-001 1.050E-001 3.441E-001 2.857E- 0.5 1.251E+000 1.135E-001 3.917E-001 1.150E-001 4.441E-001 3.057E- Таблица 2.2.2. Влияние параметров h, A на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела, максимального заплеска Yr на правую стенку тела, амплитуды отраженной волны ao, амплитуды прошедшей волны ap и динамической нагрузки Ps волнового давления на левой и правой стенке тела Psl Psr h A Yl Yr ao ap 0.1 1.577E-001 8.516E-002 3.626E-002 8.366E-002 4.225E-002 2.081E- 0.2 3.591E-001 1.479E-001 8.445E-002 1.469E-001 1.048E-001 3.482E- 0.5 0.3 5.781E-001 1.957E-001 1.402E-001 1.954E-001 1.798E-001 4.479E- 0.4 8.408E-001 2.365E-001 - - 2.682E-001 5.249E- 0.5 1.161E+000 2.706E-001 - - 3.746E-001 5.845E- 0.1 1.723E-001 7.197E-002 5.087E-002 7.113E-002 5.979E-002 2.181E- 0.2 3.831E-001 1.207E-001 1.126E-001 1.207E-001 1.374E-001 3.228E- 0.3 0.3 6.071E-001 1.575E-001 1.721E-001 1.586E-001 2.223E-001 3.870E- 0.4 8.716E-001 1.889E-001 2.359E-001 1.917E-001 3.209E-001 4.285E- 0.5 1.194E+000 2.149E-001 - - 4.396E-001 4.462E- 0.1 1.951E-001 4.256E-002 7.703E-002 4.305E-002 8.586E-002 1.299E- 0.2 4.163E-001 6.719E-002 1.552E-001 6.863E-002 1.801E-001 1.511E- 0.1 0.3 6.454E-001 8.562E-002 2.352E-001 8.896E-002 2.809E-001 1.686E- 0.4 9.123E-001 1.014E-001 3.129E-001 1.053E-001 3.933E-001 1.704E- 0.5 1.235E+000 1.146E-001 3.927E-001 1.185E-001 5.263E-001 1.512E- Таблица 2.2.3. Влияние параметров a, A на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела, максимального заплеска Yr на правую стенку тела, минимального уровня жидко сти Yrmin и динамической нагрузки Ps волнового давления на левой и правой стенке тела Yrmin Psl Psr aA Yl Yr 0.1 2.048E-001 2.685E-001 -1.145E-001 7.889E-002 1.126E- 0.2 4.004E-001 5.158E-001 -3.085E-001 1.477E-001 2.673E- 1 0.3 6.258E-001 7.121E-001 -4.618E-001 2.285E-001 3.957E- 0.4 8.917E-001 8.821E-001 -5.894E-001 3.338E-001 5.049E- 0.5 1.222E+000 1.021E+000 - 4.514E-001 5.992E- 0.1 2.060E-001 2.765E-001 -1.093E-001 7.82E-002 1.192E- 0.2 4.052E-001 5.141E-001 -3.001E-001 1.506E-001 2.557E- 2 0.3 6.352E-001 6.953E-001 -4.393E-001 2.371E-001 3.756E- 0.4 9.033E-001 8.499E-001 -5.443E-001 3.472E-001 4.822E- 0.5 1.234E+000 9.759E-001 -6.2E-001 4.691E-001 5.712E- 0.1 2.088E-001 2.786E-001 -1.082E-001 7.876E-002 1.239E- 0.2 4.102E-001 4.861E-001 -2.887E-001 1.597E-001 2.510E- 4 0.3 6.473E-001 6.381E-001 -3.985E-001 2.479E-001 3.641E- 0.4 9.166E-001 7.657E-001 -4.939E-001 3.615E-001 4.633E- 0.5 1.247E+000 8.684E-001 -5.639E-001 4.864E-001 5.441E- 0.1 2.087E-001 2.529E-001 -1.092E-001 8.017E-002 1.142E- 0.2 4.200E-001 4.048E-001 -2.373E-001 1.678E-001 2.093E- 8 0.3 6.584E-001 5.126E-001 -3.272E-001 2.596E-001 2.887E- 0.4 9.257E-001 6.011E-001 -4.003E-001 3.745E-001 3.611E- 0.5 1.262E+000 6.712E-001 -4.571E-001 5.158E-001 4.232E- Таблица 2.2.4. Влияние параметров h, A на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела, максимального заплеска Yr на правую стенку тела, минимального уровня жидко сти Yrmin и динамической нагрузки Ps волнового давления на левой и правой стенке тела Yrmin Psl Psr h A Yl Yr 0.1 1.946E-001 2.685E-001 -1.132E-001 6.576E-002 9.198E- 0.2 4.011E-001 5.178E-001 -3.213E-001 1.382E-001 2.157E- 0.5 0.3 6.241E-001 7.155E-001 -4.646E-001 2.146E-001 3.339E- 0.4 8.894E-001 8.870E-001 - 3.065E-001 4.4701E- 0.5 1.218E+000 1.027E+000 - 4.181E-001 5.519E- 0.1 1.961E-001 2.765E-001 -1.093E-001 6.82E-002 9.243E- 0.2 4.082E-001 5.140E-001 -3.009E-001 1.506E-001 2.057E- 0.3 0.3 6.352E-001 6.952E-001 -4.393E-001 2.371E-001 3.156E- 0.4 9.033E-001 8.499E-001 -5.443E-001 3.472E-001 4.242E- 0.5 1.234E+000 9.759E-001 -6.2001E-001 4.691E-001 5.212E- 0.1 2.024E-001 2.704E-001 -1.107E-001 7.523E-002 8.443E- 0.2 4.248E-001 4.511E-001 -2.616E-001 1.648E-001 1.904E- 0.1 0.3 6.574E-001 5.810E-001 -3.672E-001 2.690E-001 2.855E- 0.4 9.288E-001 6.887E-001 -4.541E-001 4.0004E-001 3.712E- 0.5 1.262E+000 7.741E-001 -5.208E-001 5.408E-001 4.5202E- §3 Численное моделирование взаимодействия солитона с подводным препятствием В настоящем параграфе представлены результаты расчетов волнового дви жения идеальной однородной несжимаемой жидкости при взаимодействии уединенной волны с телом прямоугольного сечения, расположенным на дне.

Исследуется влияние ширины и высоты тела, а также амплитуды волны на ос новные характеристики возникающего течения жидкости. Проводится анализ кинематических и динамических характеристик волны, при ее движении над подводным препятствием расположенным на горизонтальном дне. Изучается изменение динамической нагрузки при взаимодействии поверхностных волн с твердыми границами. Постановка задачи была взята из работы М.Г. Хажоян, Г.С. Хакимзянова [103], где данная задача исследуется с помощью конечно разностных методов расчета на адаптивных сетках.

3.1 Постановка задачи В расчетной области D (рис. 2.3.1), ограничен ной поверхностями C1 и 1, 2, решается уравнение Лапласа = 0, x(x, y) D. (2.6) Границы C1 является свободной поверхностью жидкости, 1 - твердые гра ницы бассейна, 2 - твердые границы тела. На твердых границах выставляется условие непротекания = 0, x(x, y) 1, 2. (2.7) n На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое усло вия dx =, x(x, y) C1, (2.8) dt d | |2 + y = 0, x(x, y) C1, (2.9) dt В начальный момент времени t = 0 граница C1 соответствует уединенной волне, на которой распределение потенциала задается из решения нелинейной стационарной задачи [19]. Краевая задача (2.6)-(2.9) для потенциала скоро стей записана в безразмерном виде (1.14), где в качестве характерных величин выбираются ускорение свободного падения g и глубина бассейна H. Все гео метрические размеры и обозначения показаны на рис. 2.3.1.

Y g= A C X H=1 D xl xr 1 a b h 1 2 - Рис. 2.3.1. Схема расчетной области 3.2 Численные результаты Ниже приведены результаты численного моделирования трансформации уединенной волны при ее движении в бас сейне постоянной глубины H = 1 над препятствием в виде одиночного высту па прямоугольного сечения, расположенным на дне (рис. 2.3.1). Варьируемыми параметрами задачи выбирались величины: A - амплитуда волны, h - высота выступа, a = xr xl -протяженность выступа, где xl и xr - абсциссы левой и правой вертикальных стенок выступа, b - расстояние между правой стенкой выступа при (x = xr ) и правой границей бассейна.

Группа численных расчетов выполнялась для диапазона варьируемых па раметров A [0.1 : 0.5], h [0.1 : 0.9], a [2 : 20] для случая когда: 1.) выступ расположен далеко от правой стенки бассейна, где b изменялось 50 b 65 и 2.) выступ расположен вблизи правой стенки бассейна, расстояние между пра вой стенкой выступа и правой границей бассейна было постоянным и равно b = 0.5.

На рисунках 2.3.2а,б показаны формы свободной границы для первого слу чая. Рисунки 2.3.2в,г соответствуют второму случаю. Расчеты распространения уединенной волны над выступом прямоугольного сечения показали, что узкий и низкий выступ слабо влияет на набегающую волну. За прошедшей волной формируется одна волна небольшой амплитуды (рис. 2.3.2а). Если протяжен ность или высота препятствия возрастает, то прошедшая волна распадается на ряд волн большой амплитуды. После взаимодействия волны с препятствием за первой отраженной волной образуется вторая волна в виде впадины (рис.

2.3.2б). Образование двух волн показано в работе [103]. Если тело находится вблизи правой стенки бассейна, то за основной отразившейся волной обра зуется вторая волна малой амплитуды (рис. 2.3.2в). С ростом протяженности или высоты уступа картина течения становиться сложнее. При взаимодействии уединенной волны с правой стенкой бассейна, за основной отраженной волной образуется цуг волн большой амплитуды (рис. 2.3.2г).

t=0.0 t=0. t=51. t=61.954 X X -30 0 30 60 -20 -10 0 10 а) в) a = 2, h = 0. t=0. t=0. t=53.954 t=109.567 X X -30 0 30 60 -60 -40 -20 0 б) г) a = 15, h = 0. Рис. 2.3.2. Формы свободной поверхности: A = 0. Выступ расположен далеко от правой стенки бассейна Численные рас четы проводились для области D [40, 70]. Вершина волны для всех расче тов находилась при t = 0 в точке x = 15. Ширина выступа a изменялась в пределах 2 а 20. Левая граница выступа при (x = xl ) для всех расчетов находилась в точке x = 0. На свободной границе C1 (рис. 2.3.1) задавалось от 500 до 800 узлов.

Для различных значений амплитуды A распространяющейся волны изу чалось влияние ширины a и высоты h выступа на величину максимального заплеска Ymax на правую стенку бассейна (рис. 2.3.3), амплитуды прошедшей волны ap (табл. 2.3.1), амплитуды отраженной волны ao (табл. 2.3.2) и дина мической нагрузки Ps на левой и правой стенках выступа (рис. 2.3.6а), а так же на правой стенке бассейна (рис. 2.3.6б).

На рисунках (2.3.3а)-(2.3.5а), линии обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4 со ответствуют ширине выступа a = 5, a = 10, a = 15, a = 20. Значение h было равно 0.4. На рисунках (2.3.3б)-(2.3.5б), представлены зависимости для трех значений h при фиксированной ширине выступа a = 2. Цифры 1, 2, соответствуют значению высоты выступа h = 0.2, h = 0.4, h = 0.6.

Анализ численных результатов показал, что при увеличении протяженно сти a и высоты h выступа величины заплеска на правой стенке бассейна, ам плитуда прошедшей волны (рис. 2.3.5) убывают, а амплитуда отраженной вол ны возрастает (рис. 2.3.4). При уменьшении протяженности и высота выступа амплитуда прошедшей волны ap может принимать значение больше начальной амплитуды (2.3.1).

На рисунке 2.3.6а изображены хронограммы изменения нагрузки на левой (линии с маркерами) и правой границе препятствия. Пунктирные линии (рис.

2.3.6а,б, рис. 2.3.7) соответствуют следующим параметрам: A = 0.3, h = 0.2, a = 2. Сплошные линии (рис. 2.3.6а,б, рис. 2.3.7) получены для A = 0.3, h = 0.4, a = 15. Значение нагрузки на левой и правой границе (рис. 2.3.6а) при разных параметрах принимают близкие значения. Это можно объяснить Ymax Ymax 0.9 2 1. 0.6 0. 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0. а) б) Рис. 2.3.3. Максимальный заплеск Ymax на правую стенку бассейна ao ao 0. 0. 0. 0.02 0. 2 0.015 A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0. а) б) Рис. 2.3.4. Амплитуды отраженной волны ao ap ap 0.4 0.5 1 1 0. 0. 0. 0. 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0. а) б) Рис. 2.3.5. Амплитуды прошедшей волны ap тем, что в момент взаимодействия проходящей волны с лицевой границей те ла нагрузка на ней достигает максимального значения, затем при дальнейшем движении волны над верхней границей препятствия, значение максимальной нагрузки принимает постоянное значение до момента времени (рис. 2.3.6б), пока волна не достигнет тыльной границы препятствия. При дальнейшем дви жении волны нагрузка на верхней границе препятствия убывает, в то время как на правой границе препятствия нагрузка возрастает и принимает максималь ное значение равное максимальному значению нагрузки на верхней границе выступа.

Ps Ps 0.14 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0. 0. T T 0 10 20 30 40 0 20 40 а) б) Рис. 2.3.6. Хронограммы динамической нагрузки (а) – на левой и правой стенках выступа;

(б) – на верхней границе препятствия.

При этом, величина нагрузки на правой стенке бассейна (рис. 2.3.7) умень шается, причем высота и протяженность выступа способствуют этому. При амплитудах A 0.3 расчетные хронограммы имеют два локальных максиму ма. Это явление можно объяснить следствием действия сил инерции. Кроме того, первый максимум имеет большее значение, чем второй.

Ps 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. T 50 60 70 Рис. 2.3.7. Хронограммы динамической нагрузки на правой стенке бассейна.

Для различных значений амплитуды A набегающей волны, протяженности a и высоты h выступа получены таблицы (табл. 2.3.1-2.3.2) изменения ампли туды прошедшей и отраженной волны. В таблицах (табл. 2.3.1-2.3.2) ячейки с прочерком означают, что расчет при соответствующих значениях параметров не был проведен до конца, так как в момент взаимодействия поверхностных волн с препятствием наблюдались сильно нелинейные деформации свободной границы.

Выступ расположен вблизи правой вертикальной стенки бассейна Далее представлены численные расчеты численного моделирования транс формации уединенной волны при ее отражении от правой стенки бассейна, в случае когда выступ расположен вблизи правой стенки бассейна.

Численные расчеты проводились для области D [50, 20]. Расстояние b между правой стенкой выступа и правой стенкой бассейна было постоянным и равно b = 0.5. Вершина волны для всех расчетов находится при t = 0 в точке x = 15. Ширина выступа a изменялась в пределах 2 а 20. На свободной границе C1 (рис. 2.3.1) задавалось от 550 до 800 узлов.

Для различных значений амплитуды A распространяющейся волны изу чалось влияние ширины a и высоты h выступа на величину максимального заплеска Ymax на правую стенку бассейна (рис. 2.3.8), амплитуды первой (табл.

2.3.4), основной (табл. 2.3.3) отраженной волны ao и динамической нагрузки Ps на правой стенке бассейна (рис. 2.3.9).

Ymax Ymax 2. 2 1 1. 43 1.5 0.5 0. A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0. а) б) Рис. 2.3.8. Максимальный заплеск Ymax на правую стенку бассейна Ps Ps 0.8 2 0.6 0. 0. 0. 0. 0.2 A A 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0. а) б) Рис. 2.3.9. Максимальное значение динамической нагрузки Ps на правой стенке бассейна На рисунках (2.3.8а)-(2.3.9а), линии обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4 со ответствуют ширине выступа a = 5, a = 10, a = 15, a = 20. Значение h было равно 0.4. На рисунках (2.3.8б)-(2.3.9б), представлены зависимости для трех значений h и фиксированной ширине выступа a = 2. Цифры 1, 2, соответствуют значению высоты выступа h = 0.2, h = 0.4, h = 0.6.

Анализ результатов показывает, что картина течения становиться более сложной при наличии выступа вблизи правой стенки бассейна. При возраста нии протяженности a и высоты h выступа величины заплеска (рис. 2.3.10а) и динамическая нагрузка на правой границе бассейна (рис. 2.3.10б) возрастают.

Ps Y 0. 1 0. 0. 0.5 0. 0. 0 T T 0 10 20 30 40 0 10 20 30 а) б) Рис. 2.3.10. Хронограммы (а) – максимального заплеска и (б) – динамической нагрузки на правой стенке бассейна.

На рисунках 2.3.10а,б приведены хронограммы изменения максимально го заплеска (рис. 2.3.10а) и хронограммы динамической нагрузки на правой стенке бассейна (рис. 2.3.10б). Кривые показаны для следующих параметров:

A = 0.3, h = 0.2, a = 5 (пунктирная линия) и A = 0.3, h = 0.4, a = 15 (сплош ная линия). Для хронограмм изменения динамической нагрузки наблюдается наличие двух максимумов (рис. 2.3.10б). Это можно объяснить как силами инерции, так и тем, что в зазоре между правой стенкой выступа и правой стенкой бассейна происходит колебание столба жидкости, при этом возникает зона максимального гидростатического давления.

По результатам численных расчетов были составлены таблицы амплитуды первой и второй (табл. 2.3.4) отраженной волны для варьируемых параметров.

Если высота или протяженность выступа увеличивается, то значение первой отраженной амплитуды ao возрастает (табл. 2.3.4), а амплитуда основной отра женной волны (табл. 2.3.3) убывает. В таблицах, ячейки с прочерком означают, что расчет при соответствующих значениях параметров не был проведен до конца.

Режимы деформации свободной границы ”опрокидывание волн” При распространении уединенной волны над выступом прямоугольного сечения расположенного на дне, имеют место сильно нелинейные эффекты, классифицируемые как ”опрокидывание волн”. Примеры таких режимов по казаны на рисунке (2.3.11)-(2.3.12).

Y Y t=[12.154;

14.254] t=[13.354;

16.407] 0. -0.5 -1 X X 2 3 4 3 4 5 а) б) Рис. 2.3.11. Режим ”опрокидывания волны” при A = 0.5: (а) – a = 2, h = 0.8;

(б) – a = 10, h = 0.6.

Y Y t=[22.35;

23.405] t=[28.41;

30.18] 0. 0. 0. 0. -0. -0. -1 X X -0. 15 16 17 18.5 19 19.5 а) б) Рис. 2.3.12. Режим ”опрокидывания волны” при (a) – A = 0.4, a = 2, h = 0.7;

(б) – A = 0.5, a = 2, h = 0.9.

Такие нелинейные эффекты возникают, если протяженность, высота вы ступа и амплитуда набегающей волны возрастают. Для случая, когда тело расположено далеко от правой границы бассейна, волна опрокидывается впе ред по направлению движения (рис. 2.3.11а,б). Если тело расположено вблизи правой границы бассейна волна опрокидывается вперед (рис. 2.3.12б) и назад во время отката основной волны от правой стенки бассейна, но в противо положном направлении относительно движения в начальный момент времени t = 0 уединенной волны (рис. 2.3.12а).

Таблица 2.3.1. Влияние параметров A, h и a на амплитуду прошедшей волны ap h A a=5 a = 10 a = 15 a = 0.104 0.10925 0.11028 0.11148 0. 0.207 0.21884 0.21956 0.22154 0. 0.2 0.302 0.32210 0.32211 0.32275 0. 0.401 0.42888 0.42727 0.42577 0. 0.498 0.53611 0.53254 – – 0.104 0.10920 0.11015 0.11128 0. 0.207 0.21694 0.21687 0.21554 0. 0.4 0.302 0.31630 0.30957 0.30205 – 0.401 0.41750 – – – 0.498 – – – – 0.104 0.10772 0.11001 0.11116 0. 0.207 0.20967 0.20063 – – 0.6 0.302 – – – – 0.401 – – – – 0.498 – – – – Таблица 2.3.2. Влияние параметров A, h и a на амплитуду отраженной волны ao h A a=5 a = 10 a = 15 a = 0.104 0.00532 0.00552 0.00569 0. 0.207 0.00920 0.00945 0.00978 0. 0.2 0.302 0.01191 0.01222 0.01265 0. 0.401 0.01402 0.01437 0.01488 0. 0.498 0.01552 0.01591 – – 0.104 0.01208 0.01224 0.01249 0. 0.207 0.02077 0.02110 0.02155 0. 0.4 0.302 0.02712 0.02747 0.02801 – 0.401 0.03208 – – – 0.498 – – – – 0.104 0.02110 0.02128 0.02157 0. 0.207 0.03648 0.03668 – – 0.6 0.302 – – – – 0.401 – – – – 0.498 – – – – Таблица 2.3.3. Влияние параметров A, h и a на амплитуду основной отраженной волны ao h A a=5 a = 10 a = 15 a = 0.104 0.11028 0.11233 0.11406 0. 0.207 0.22000 0.22418 0.22478 0. 0.2 0.302 0.31995 0.32452 0.32906 0. 0.401 0.42400 0.42900 0.43468 0. 0.498 0.53058 – – 0.104 0.11015 0.11211 0.11350 0. 0.207 0.21254 0.21574 0.21594 0. 0.4 0.302 0.29295 0.29495 0.29669 0. 0.401 0.36454 – – – 0.498 – – – Таблица 2.3.4. Влияние параметров A, h и a на амплитуду первой отраженной волны ao h A a = 10 a = 15 a = 0.104 0,0052 0,0052 0, 0.207 0,0091 0,0092 0, 0.2 0.302 0,0120 0,0121 0, 0.401 0,0141 0,0142 0, 0.498 – – – 0.104 0,0119 0,0120 0, 0.207 0,0206 0,0208 0, 0.4 0.302 0,0260 0,0263 0, 0.401 – – – 0.498 – – – Выводы Сформулируем основные результаты:

1. Проведено тестирование численного методов описанных в первой главе диссертации и показана эффективность рассмотренных алгоритмов для решения нелинейных задач динамики идеальной жидкости со свободны ми границами;

2. При решении задачи о набегании уединенной волны на тело прямо угольного сечения, частично погруженное в жидкость установлена зави симость для различных значений амплитуды A набегающей волны влия ние ширины a и заглубления h препятствия на величину максимального заплеска Yl на левую стенку тела, максимального заплеска Yr на правую стенку тела и динамическую нагрузку Ps создаваемую жидкостью на твердых границах тела;

3. Выполнен анализ кинематических и динамических характеристик уеди ненной волны, при ее движении над подводным препятствием в виде одиночного выступа, расположенного на горизонтальном дне. Исследо вано влияние изменения значений максимального заплеска Ymax, ампли туды прошедшей волны ap, амплитуды отраженной волны ao и динами ческой нагрузки Ps в зависимости от ширины и высоты препятствия;

4. Установлено, что при изменении варьируемых параметров задачи на по верхности жидкости возникают режимы опрокидывания волн;

Глава Численное моделирование генерации поверхностных волн движением оползня В данной главе рассматриваются основные результаты исследования гене рации поверхностных волн движением оползня. Для изучения закономерно стей волнообразования исследуется зависимость характеристик процесса от основных параметров задачи: длины и ширины оползня, глубины его заглуб ления и закона его движения.

§1 Схема модельной области и механизмы движения оползня Генерация волн цунами движением оползня с помощью различных матема тических моделей является актуальной задачей. Следует отметить работы по исследованию различных моделей движения оползней и работы по совмест ному лабораторному и вычислительному моделированию рассматриваемых волновых процессов [46, 90]. Эти исследования показали, что самые общие характеристики изучаемых волновых режимов могут быть определены с по мощью простейших моделей теории мелкой воды [91]. Это касается волн, распространяющихся в сторону в сторону берега, противоположную направ лению движения оползня. Однако, волны распространяющиеся в открытую зону, попутном оползню направлении, требуют для своего воспроизведения учета вертикальных процессов. Этот подтверждается близостью результатов, полученных с помощью полной гидродинамической модели, и эксперимен тальных данных [91].

1.1 Постановка задачи В расчетной области D (рис. 3.1.1), ограничен ной поверхностями C, 1 и 2, решается уравнение Лапласа = 0, x(x, y) D. (3.1) Границы C – свободная граница жидкости, 1 – твердые границы бассейна, 2 – граница положения оползня. На границе 1 выставляется условие непро текания = 0, x(x, y) 1. (3.2) n На границе оползня = U n, x(x, y) 2. (3.3) n На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия dx =, x(x, y) C, (3.4) dt d | |2 + y = 0, x(x, y) C. (3.5) dt Краевая задача (3.1)-(3.5) для потенциала скоростей записана в безразмерном виде, где в качестве характерных величин выбираются ускорение свободного падения g и глубина бассейна H. Все геометрические размеры и обозначения показаны на рис. 3.1.1.

Y xl xc xr C d h D b 2 H -1 X 0 1 Рис. 3.1.1. Схема расчетной области В начальный момент времени t = 0 точка уреза совпадает с началом де картовой системы координат xOy. Граница 2 образует с горизонтом угол и переходит в ровное дно 1. На границе 2 расположен оползень [93, 121], который задается функцией h(x, t) A·B h(x, t) = x tan h, (3.6) C ·D где x xl (t) x xr (t) A = 1 + tanh, B = 1 tanh S S bcos bcos C = 1 + tanh, D = 1 tanh.

2S 2S Здесь h – максимальная высота оползня, S = cos /2 – параметр, харак теризующий крутизну поверхности оползня, величины xl и xr определяются формулами xl = xc (t) b cos /2, xr = xc (t) + b cos /2.

Величина b равна расстоянию между точками перегиба кривой, описываю щей границу оползня, xc (t) – координата точки максимальной толщины тела.

Величина d характеризует заглубление тела до начала движения.

1.2 Схемы движения оползня При моделировании рассматривают два вида оползней, называемые слайдами и слампами [133]. Оползень вида (слайд) можно определить как тонкий слой грунта. В работах [132, 133] описан следу ющий закон движения слайда t s(t) = s0 ln cosh, (3.7) t где характерные время и расстояние вычисляются следующим образом s0 u2 /a0, t0 ut /a0, t0 ut /a0.

t При данных допущениях уравнение (3.8) обеспечивает хорошую аппрокси мацию начального разгона тела, поле чего движение становиться равномерным и продолжается до окончания расчета или остановки оползня.

a0 t s(t) = (3.8) При естественных физических условиях начальное ускорение и скорость мож но определить в виде a0 = 0.3gsin(), ut = 1.16 bgsin().

Второй вид оползня (сламп) продвигаются на угол по дуге окружности радиуса R. Полагая значение малым, а R относительно большим, эту дугу вследствие ее малой кривизны можно приблизить отрезком прямой. Тогда, закон движения можно аппроксимировать формулой (3.9), где s0 = 0.5R, t0 = 1.84 R/g, время движения t0.

t s(t) = s0 1 cos (3.9) t Для изучения волновых процессов в работе рассматриваются различные законы движения оползня (рис. 3.1.2) обсуждаемые в работе [91] :

1. слайд 1 (cд1) - разгон, равномерное движение, остановка, покой;

2. слайд 2 (cд2) - разгон, равномерное движение, торможение, покой;

3. слайд 3 (сд3) - разгон, равномерное движение;

4. сламп 1 (сп1) - разгон, торможение, покой;

5. сламп 2 (сп2) - разгон, торможение, покой.

Рис. 3.1.2. Законы движения оползня.

Тип движения ”слайд1” состоит из этапов:

at 1. равноускоренное движение по закону xc (t) = xc0 + до момента вре мени t1 ;

2. равномерное движение по закону xc (t) = xc0 +u(tt1 )+ a(t21 ) до момента времени tстоп ;

a(t1 ) 3. остановка по закону xc (t) = xc0 + u(tстоп t1 ) + 2.

Тип движения ”слайд 2” состоит из этапов:

at 1. разгона xc (t) = xc0 + до момента времени t1 ;

a(t1 ) 2. равномерного движения xc (t) = xc0 + u(t t1 ) + до t2 ;

a(t1 )2 a(tt2 ) 3. торможения xc (t) = xc0 + u(t t1 ) + до tстоп ;

2 a(t1 )2 a(tстоп t2 ) 4. окончательной остановки xc (t) = xc0 + u(tстоп t1 ) +.

2 Тип движения ”слайд 3” состоит из этапов:

at 1. разгон xc (t) = xc0 + до t1 ;

2. равномерное движение xc (t) = xc0 +u(tt1 )+ a(t21 ) до окончания расчета tконец.

Для типа движения ”слайд” приняты следующие значения параметров: a = 0.3 sin(), u = 1.16 sin().

Тип движения ”сламп 1” включает следующие шаги:

1. разгон xc (t) = xc0 + s0 (1 cos tt ) до момента времени tстоп = · tsl ;

sl 2. покой xc (t) = xc0 + 2s0.

R Здесь s0 = 0.5R, tsl = 1.84 g, R = 2, = 0.35. Тип движения оползня ”сламп 2” отличается только значением R = 26.9.

§2 Численные результаты Для исследования волновых режимов, порожденных различными законами движения оползня (рис. 3.1.2), была проведена серия вычислительных экспе риментов в полной нелинейной постановке. При проведении расчетов выпол нялось сравнение с результатами полученными по нелинейно-дисперсионным (НЛД) моделям: Мея-Меоте, Перегрина, Грина-Нагди, одно-двухслойной мо дели Лью-Линета и модели теории мелкой воды. Численные результаты для иерархии моделей волновой гидродинамики были предоставлены сотрудника ми Института вычислительных технологий СО РАН [46, 90, 91, 93].

Расчеты проводились в области с координатами x0 = 1.0 и xn = 41.0. Рас чет проводился до времени t = 50. Для изучения волновой картины были уста новлены семь мареографов с координатами: xM 0 = xc0 1, xM 1 = xc0 = 2.38, xM i = xM i1 + 2, i = 2..6. Для моделирования движения оползня используют ся следующие значения параметров: h = 0.05, b = 1.0, H = 2.3, xc = 2.38, = 6.

На рисунках (3.2.1)-(3.2.2) приведены графики мареограмм, рассчитанные для первого и седьмого мареографа. Сравнение выполнялось для закона дви жения оползня типа ”слайд 1” и ”сламп 1” соответственно. Результаты приво дятся для первого (рис. 3.2.1,3.2.2а), второго (рис. 3.2.1,3.2.2б) и седьмого (рис.

3.2.1,3.2.2в) мареографа. Первый мареограф фиксирует волну, распространяю щуюся к берегу, а седьмой в открытую часть расчетной области D. Из рисунков видно, для закона движения ”слайд 1” первый мареограф фиксирует волну в виде впадины, что характеризует начало движения оползня. Затем следует по логая волна повышения, связанная с этапом равномерного движения оползня.

Далее, формируются волны порожденные остановкой оползня и отражением волн от левой береговой стенки (рис. 3.2.1а). Эти эффекты подтверждаются мареограммами второго мареографа (рис. 3.2.1б), в котором ”волна остановки” и ”волна отражения” полностью разделены.

Y Y Y 0. 0. 0. 0. 0 -0. -0. -0. T T T -0. 0 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а б в Рис. 3.2.1. Результаты, рассчитанные с использованием всех моделей для движения оползня ”слайд 1”: (а) первый и (б) второй мареограф соответственно. На рисунке (в) изображены результаты, рассчитанные в седьмом мареографе по полной модели (пунктирная), линейной (маркеры) и нелинейной теории мелкой воды.

Для варианта движения оползня ”сламп 1” (рис. 3.2.2а,б) видно, отсутствие этапов равномерного движения и резкой остановки, что приводит к отсутствию волн ”равномерного движения” и ”остановки”.

Y Y Y 0. 0. -0. -0. -0.005 -0. T T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а б в Рис. 3.2.2. Результаты, рассчитанные с использованием всех моделей для движения оползня ”сламп 1”: (а) первый и (б) второй мареограф соответственно. На рисунке (в) изображены результаты, рассчитанные в седьмом мареографе по полной модели (пунктирная), линейной (маркеры) и нелинейной теории мелкой воды.

Анализ мареограмм показывает (рис. 3.2.1 и 3.2.2), что в прибрежной зоне, характер поведения различных математических моделей совпадает, за исклю чением волн "остановки"и "отражения". Отличие мареограмм, наблюдается для седьмого мареографа (рис. 3.2.1в), где волна распространяется в попут ном оползню направлении. Сюда первой приходит волна повышения, за ней следует волна понижения, связанная с прохождением тыловой зоны оползня (как для движения ”слайд 1”, так и для движения ”сламп 1”). Затем в седьмой мареограф приходит (для движения ”слайд 1”) вторая волна понижения со ответствующая ”равномерному движению и остановки оползня” (рис. 3.2.1в).

В случае движения ”сламп 1” таких эффекты отсутствуют. Видно, что для полной модели, в седьмом мареографе (рис. 3.2.1в, 3.2.2в) видны осцилляции, связанные с нелинейными эффектами.

На рисунке 3.2.3 приводятся результаты сравнения мареограмм получен ные по полной модели в седьмом мареографе с результатами, рассчитанным по НЛД моделям с линейными дисперсионными членами [91]. Видно, учет линейной дисперсии в НЛД моделях, приводит к существенному усложнению волнового режима при одновременном сохранении базовых характеристик.

Отметим близость результатов к полной модели, полученных по моделям Пе регрина и Грина-Нагди. Результаты для слабо-нелинейных моделей и моделей теории мелкой воды получены З.И. Федотовой [90, 91] Y Y 0.01 0. -0. -0. -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а) б) Y Y 0.01 0. 0 -0.01 -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 в) г) Рис. 3.2.3. Результаты, рассчитанные для оползня, движущегося по закону ”слайд 1” в седьмом мареографе по НЛД моделям (жирные линии) с линейной дисперсией. (а)– Модель Мея-Меоте, (б)– упрощенная модель Нвогу, (в)– модель Перегрина, (г)– модель Грина-Нагди.

Для сравнения приведены результаты, рассчитанные с использованием полной модели (тонкие линии).

Следующим этапом является сравнение полной модели с НЛД моделями с нелинейной дисперсией. Результаты для двухслойной модели Лью-Линетта были предоставлены С.А. Бейзель [91]. Для этого рассмотрим результаты, полученные по НЛД моделям с нелинейной дисперсией в сравнении с резуль татами, полученными с помощью полной модели (рис. 3.2.4).

Y Y 0.01 0. -0. -0. T T -0. 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а) б) Рис. 3.2.4. Результаты, рассчитанные для оползня, движущегося по закону ”слайд 1” в седьмом мареографе по НЛД моделям (жирные линии) с нелинейной дисперсией и модели нелинейной мелкой воды. (а)– однослойная модель Лью-Линетта, (б)– двухслойная модель Лью-Линетта. Для сравнения приведены результаты, рассчитанные с использованием полной модели (тонкие линии).

Из рисунков видно, что мареограммы для полной модели и одно– двухслойная модели Лью-Линетта, достаточно хорошо совпадают. Однако, су щественно отличаются в моделировании диспергирующего следа. Отметим, что наилучшая близость результатов получена для полной модели и двухслой ной модели Лью-Линетта (рис. 3.2.4б).

Для сравнения полной и двухслойной модели Лью-Линетта была проведена серия численных расчетов для разных углов (рис. 3.1.1). Угол выбирался = 6, = 9, = 12, = 15.

Закон движения ”слайд 3” задавался следующим образом: s(t) = a0 t2 / до момента времени t1, s(t) = u(t t1 ) + a0 t2 /2, где a0 = 0.3gsin(), u = 1.16 bgsin(), где s(t)– путь, который оползень прошёл по склону: xc (t) = xc0 +s(t) cos. Когда глубина (при невозмущенной жидкости) над центром тела xc достигает значения 1.44, оползень останавливается. Выбирались следующие значения параметров: h = 0.05, b = 1.0, H = 2.3, g = 1.0. Начальное а б Y Y 0.01 0. 0.005 0. 0 -0.005 -0. -0.01 -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 = Y Y 0. 0. -0. T T -0. 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 = Y Y 0.01 0. 0.005 0. 0 -0.005 -0. -0.01 -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 = Y Y 0. 0. 0. 0 -0. -0.01 -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 = Рис. 3.2.5. Результаты, рассчитанные для оползня, движущегося по закону ”слайд 3” по НЛД моделям с нелинейной дисперсией в (а) первом и (б) седьмой мареографе: двухслойная модель Лью-Линетта (жирная линия). Для сравнения приведены результаты, рассчитанные с использованием полной модели (тонкие линии).

заглубление оползня d для разных углов было одинаковым. При этом время движения оползня уменьшалось.

= 6 : xc0 = 5.2, t1 11.96, tстоп 30.0;

= 9 : xc0 = 3.47, t1 9.77, tстоп 18.0;

= 12 : xc0 = 2.59, t1 8.48, tстоп 12.8;

= 15 : xc0 = 2.05, t1 7.6, tстоп 10.0.

Видно, что модели достаточно хорошо совпадают в прибрежной зоне при = 6. Однако, в открытой зоне (рис. 3.2.5б) хорошо видно различие в мо делировании диспергирующего следа, при чем для двухслойной модели Лью Линетта видно увеличение амплитуды. Отметим, что с увеличением угла в первом мареографе (рис. 3.2.5а) наблюдаются различия в поведения ма реограмм, после остановки оползня. Для полной модели можно наблюдается затухание волновых процессов, а для модели Лью-Линетта увеличения ам плитуды. Анализ мареограмм показывает (рис. 3.2.5), что в прибрежной зоне для = 6 в первый мареограф приходит волна понижения, а за ней следует пологая волна повышения связанная с равномерным движением (закон дви жения ”слайд 3”). В случае = 15 в первый мареограф приходит волна в виде впадины, а затем волна повышения соответствующая резкой остановки оползня. Картины волнообразований при разных углах показаны на рисунке 3.2.6. Наглядно видно важность влияния изменения углов на картину течения.

Видно, что с увеличением угла формируется ряд волн достаточно большой амплитуды.

Рассмотрим подробно различные законы движения оползня. Для этого ис следуем мареограммы, рассчитанные по полной модели для первого и седьмо го мареографа (3.2.7). Выполним сравнение разных типов движения с законом движения ”слайд 1” (тонкая линия).

Y Y t=50.0 t=50. 0.6 0. 0.4 0. 0.2 0. t=0.0 t=0. X X 0 10 20 30 40 10 20 30 а) б) Y Y t=50.0 t=50. 0. 0. 0. 0. 0. 0. t=0.0 t=0. X X 0 10 20 30 40 10 20 30 в) г) Рис. 3.2.6. Формы свободной поверхности, для закона движения ”слайд 3”: (а) – = 6, (б) – = 9, (в) – = 12, (г) – = 15.

При сравнении мареограмм, соответствующих движениям ”слайд 1” и ”слайд 2”, в первом мареографе хорошо видно формирование пологой волны, соответствующая ”равномерному движению”, сопровождаемая волной ”тор можения”, распространяющиеся в сторону берега, и волны ”остановки”, пока занные мареографах. Отметим, что для движения ”слайд 2” этап равномерного движения укорочен и вместо резкой остановки имеет место плавное тормо жение. Для варианта движения ”слайд 3”, мареограммы не содержат таких эффектов, так как в этом движении нет торможения и остановки.

Движение типа ”сламп 1” характеризуется уменьшением волны пришед шей в седьмой мареограф и практически отсутствием амплитуд следующего за ней цуга волн. Эти эффекты объясняются уменьшением длительности этапа разгона. Для движения типа ”сламп 2” видно распространение к берегу волны понижения а затем формирование пологой волны возвышения, соответствую щая длительному переходом от разгона к остановке оползня.

Из рисунков 3.2.8 видно, что в случае кратковременного движения ”сламп 1” (рис. 3.2.8а) формирование волн большой амплитуды не наблюдается, как а б Y Y 0.02 0. 0.01 0. 0 -0.01 -0. T T -0.020 -0. 10 20 30 40 50 10 20 30 40 ”слайд 2” Y Y 0.02 0. 0.01 0. 0 -0.01 -0. T T -0.020 -0. 10 20 30 40 50 10 20 30 40 ”слайд 3” Y Y 0.02 0. 0.01 0. 0 -0.01 -0. T T -0.020 -0. 10 20 30 40 50 10 20 30 40 ”сламп 1” Y Y 0. 0. 0. 0. -0.01 -0. T T -0.020 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 ”сламп 2” Рис. 3.2.7. Мареограммы, рассчитанные в (а) первом и (б) седьмом мареографе для различных типов движений оползня.

в случае закона движения ”сламп 2” (рис. 3.2.8б). Отметим, что изменение схемы движения приводит к формированию ряда волн различной амплитуды, движущихся к берегу и от него.

Y Y t=50.0 t=50. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2 0. t=0.0 t=0. X X 0 10 20 30 40 10 20 30 а) б) Рис. 3.2.8. Формы свободной поверхности, генерируемые оползнем, движущимся по различным законам движения: (а) – ”сламп 1” и (б) – ”сламп 2”.

Для изучения влияния основных параметров задачи: толщины h, дли ны b, заглубления d оползня и угла на характеристики волновых режимов, была проведена серия численных расчетов. Расчеты проводились в полной нелинейной постановке методом граничных элементов.

На рисунках (3.2.9а)-(3.2.9г) показано изменение мареограмм в первом (рис. 3.2.9а,в) и седьмом (рис. 3.2.9б,г) мареографе для толщин оползня h = 0.01 (штриховая линия), h = 0.05 (сплошная линия). Моделирова ние движения оползня выполнялось для законов движения ”слайд 1” (рис.

3.2.9а,б) и ”сламп 1” (рис. 3.2.9в,г). Анализ мареограмм показывает, что при увеличении толщины оползня, видно явное преобладание нелинейных эффек тов, что приводит к различию поведения мареограмм. Так для мареографов расположенных как в прибрежной зоне так и в открытой зоне можно видеть увеличение амплитуды мареограмм. Начальное положение центра масс ополз ня xc = 2.38.

На рисунках 3.2.10 приведены мареограммы для протяженности оползня b = 1 (линии без маркеров), b = 3 (линии с маркерами). Сплошные линии (рис. 3.2.10) соответствуют первому, а пунктирные четвертому мареографу.

Начальное положение оползня равно xc = 4.38, толщина h = 0.05. Угол Y Y 0.005 0. 0 -0.005 -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а) б) ”слайд 1” Y Y 0. -0. -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 в) г) ”сламп 1” Рис. 3.2.9. Зависимость от толщины оползня при начальном положении xc = 2.38: h = 0. (штриховая линия), h = 0.05.

наклона границы 2 (рис. 3.1.1) был равен = 6 (рис. 3.2.10а,в), = (3.2.10б,г). Установлено, что увеличение протяженности оползня приводит к усложнению волновой картины и росту амплитуды, при этом возможно прояв ление нелинейных эффектов, классифицируемых как обрушение волны. Ана лиз мареограмм (закон движения ”слайд 1”) показывает различие в поведении полной модели при увеличении угла. В случае = 6 (рис. 3.2.10а) ”волна остановки” и ”волна отражения” полностью разделены, что подтверждается мареограммами четвертого мареографа. Для = 10 таких эффектов не на блюдается (рис. 3.2.10б).

Изменение начального заглубления (рис. 3.2.11) с xc = 2.38 до xc = 4. (пунктирные линии) приводит к уменьшению амплитуды мареограмм в при брежной и открытой зоне области D. Мареограммы получены для закона движения ”слайд 1” в первом (рис. 3.2.11а,в) и седьмом (рис. 3.2.11б,г) ма реографах. Видно, что увеличение угла, при начальном заглублении центра Y Y 0. 0. -0. -0. -0. -0. -0. -0. T T -0. -0. 10 20 30 40 50 10 20 30 40 а) б) ”слайд 1” Y Y 0. 0. 0 -0. -0. -0. T T 10 20 30 40 10 20 30 40 в) г) ”сламп 1” Рис. 3.2.10. Зависимость от длины оползня в первом и четвертом (пунктирные линии) мареографе: b = 1, b = 3 (маркеры), xc = 4.38, толщина h = 0.05.

масс оползня xc = 4.38 влияете на волновую картину в прибрежной зоне (рис.

3.2.11в). Здесь уже не наблюдается формирования пологой волны (рис. 3.2.11а) соответствующей равномерному движению.

Y Y 0. 0. -0. -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а) б) = При проведении расчетов по полной гидродинамической модели выпол нялось сравнение мареограмм, с результатами полученными Г.С. Хакимзяно вым [91] с помощью метода конечных разностей (МКР) на адаптивных сетках в полной нелинейной постановке. Вывод конечно – разностных уравнений осу Y Y 0. 0. -0. -0. T T -0.01 10 20 30 40 50 10 20 30 40 в) г) = Рис. 3.2.11. Зависимость от заглубления центра масс оползня: xc = 2.38 и xc = 4. (маркеры), b = 1, толщина h = 0.05.

ществлялся на основе аппроксимации уравнений, записанных в подвижной криволинейной системе координат. В расчетах использовались простейшие сетки, адаптирующиеся лишь к границам области, в том числе и к подвижным.

Для моделирования движения траекторий частиц (точек) свободной границы применялся метод Эйлера. Использовался пошаговый численный алгоритм, в котором на каждом слое по времени сначала на основе динамического усло вия вычислялись новые значения потенциала на свободной границе, которые использовались затем в качестве граничного условия Дирихле для расчета потенциала внутри области, удовлетворяющего конечно-разностному анало гу уравнения Лапласа. С использованием полученных значений потенциала определялось новое положение свободной границы для данного временного слоя и строилась сетка для следующего слоя.

Для разных толщин оползня было проведено сравнение мареограмм (рис.

3.2.12) полученных с помощью метода граничных элементов (МГЭ – сплошная линия) и метода конечных разностей (МКР – пунктирная линия). Мареограм мы показаны для второго (3.2.12а) и седьмого (3.2.12б) мареографа при следу ющих параметрах: h = 0.05, xc = 2.38, = 6, b = 1. Расчеты проводились в полной нелинейной постановке для законов движения ”слайд 1”, ”сламп 1”, ”сламп 2”. Время расчета равнялось t = 50.0. Видно, что в прибрежной зоне (3.2.12а) методы дают близкие результаты. Однако, для МГЭ волна понижения Y Y 0.005 0. 0. -0.005 -0. -0. T T 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 а) б) ”слайд 1” Y Y 0.01 0. 0 -0.01 -0. T T 10 20 30 40 50 10 20 30 40 а) б) ”сламп 1” Y Y 0. 0. 0. -0.01 -0. T T 10 20 30 40 50 10 20 30 40 а) б) ”сламп 2” Рис. 3.2.12. Мареограммы, рассчитанные по полной модели МГЭ и МКР во (а) втором (б) седьмом мареографе.

больше, чем для МКР. В седьмом мареографе методы показывают достаточно близкие результаты до момента остановки оползня t = 30.0 и различаются в поведении ”хвоста” мареограмм (3.2.12б), для закона движения ”слайд 1” и ”сламп 2”. Здесь видно, что для метода граничных элементов амплитуда мареограмм увеличивается. Для закона движения ”сламп 1” в седьмом ма реографе явного различия результатов не наблюдается. Это можно объяснить тем, время движения оползня укорочено и на свободной границе не возникает сильных волнений жидкости.

При моделировании генерации поверхностных волн в полной нелинейной постановке методом граничных элементов, выявлены режимы деформации свободной границы (рис. 3.2.13). Такие режимы можно охарактеризовать как ”опрокидывание волны” [3, 18]. В случае значительной деформации свобод ной границы возможен перехлест узлов, что приводит к прерыванию числен ного расчета. В методе конечных разностей таких эффектов не наблюдалось.

Различие результатов между методами, при моделировании таких волновых режимов, можно объяснить выбором метода движения частиц на свободной границе.

Данный режим можно разделить на следующие этапы: первой формирует ся волна понижения, за ней образуется волна повышения, которая движется за тыльной стороной оползня. В вершине этой волны формируется волновой сгу сток. Дальнейшие движение волны можно классифицировать, как скользящий бурун (рис. 3.2.13а,б). Отметим, что изменение схемы движения существенно влияет на возникновение режимов обрушения. Например, для закона ”сламп 1” таких эффектов не наблюдается. Это можно объяснить кратковременным перемещением оползня, что характерно для данного закона движения.

Y Y 0.4 0. 0. 0. -0. -0. -0. X X 4.5 5 5.5 5.2 5.4 5.6 5. а) б) Рис. 3.2.13. Режимы обрушения волн для закона движения ”слайд 1”: (а) – h = 0.1, xc = 2.38, = 6, b = 1;

(б) – h = 0.2, xc = 3.38, = 10, b = Выводы Сформулируем основные результаты:

1. В полной нелинейной постановке методом граничных элементов прове дена группа численных экспериментов в задаче о генерации поверхност ных волн движением опоплзня.

2. Результаты полученные по полной модели методом граничных элементов сравнивались с разными приближенными нелинейно-дисперсионными моделями и моделями теории мелкой воды. Установлено, что при моде лировании начальных стадий волновых процессов полная модель наи лучшим образом согласуется с двухслойной модель Лью - Линетта.

3. Проведено сравнение мареограмм полученных методом граничных эле ментов и методом конечных разностей в полной нелинейной постановке, для разных законов движения оползня. Выявлено, что методы дают близ кие результаты в прибрежной зоне, а в мористой наблюдается расхожде ние результатов в ”хвосте” мареограмм. Методом граничных элементов установлены деформации свободной границы ”обрушения волны”, чего не наблюдается для метода конечных разностей.

4. Исследованы волновые режимы в зависимости от начального залегания d, толщины h, протяженности b и законов движения оползня. Как по казали исследования, изменения геометрических параметров и схемы движения, может привести к разным картинам формирования ряда волн различной амплитуды, движущихся к берегу и от него.

Глава Информационные технологии в численных расчетах В настоящей главе обсуждаются вопросы связанные с решением задач идеальной однородной несжимаемой жидкости параллельным методом гра ничных элементов, на кластере из ЭВМ с распределенной памятью. Приво дится описание проблемно-ориентированной оболочки, предназначенной для информационной поддержки вычислительного эксперимента решения задач со свободными границами.

§1 Реализация параллельного метода граничных элементов Решение задачи на многопроцессорных вычислительных системах связа но с возможностью создания программы, выполняющей несколько подзадач одновременно и независимо друг от друга (параллельно) с последующим об меном информацией между ними. Технически это достигается за счет объеди нения нескольких процессоров, работающих над общей или распределенной памятью. На практике переход от однопроцессорной конфигурации к много процессорной системе из p процессоров не приводит к сокращению времени счета в p раз. Вследствие разделения ресурсов, добавление нового процессора может вызывать замедление работы остальных процессоров и снижение про изводительности. Решение задачи в параллельном режиме требует правильно го выбора модели распараллеливания программного кода, тесно связанной с аппаратными и системными средствами параллельной обработки данных.


Подход к численному решению задач механики жидкости при помощи современных вычислительных технологий и методов параллельного програм мирования основан на геометрической декомпозиции расчетной области на подобласти, количество которых равняется числу процессоров, расчете каж дым процессором своей подобласти и обмене данными между ними на каждом шаге по времени.

1.1 Эффективность и ускорение Ускорением параллельного алгоритма Sp называют отношение времени выполнения алгоритма на одном процессоре ко времени выполнения алгоритма на системе из Р процессоров:

Sp = T1 /Tp. (4.1) Эффективностью параллельного алгоритма Ер называют отношение его уско рения к числу процессоров, на котором это ускорение получено:

Sp Ep =. (4.2) p Очевидно, что в теории наилучшие значения Sp и Ер будут равны, со ответственно, Р и 1. На практике иногда встречаются ситуации, когда при распараллеливании какого-либо алгоритма Sp P, а Ep 1. Как правило, это говорит о выборе неоптимального последовательного алгоритма или его неэффективной программной реализации. В случае исключения возможности таких эффектов на системе из Р процессоров ту или иную задачу нельзя ре шить в Р раз быстрее, чем на однопроцессорной системе. Это объясняется следующими факторами:

• практически никакой параллельный алгоритм не позволяет на всех своих этапах эффективно использовать все процессоры системы;

• в любом параллельном алгоритме есть дополнительные затраты времени на обмен данными между процессорами;

• параллельный алгоритм всегда содержит некоторое количество дополни тельных действий, связанных с управлением параллельной программой и синхронизацией ее частей.

Согласно закону Амдаля [18, 38], в общем виде ускорение, достигаемое на Р процессорах, может быть записано следующим образом:

W ·t Sp = =, (4.3) + Wnp Wck + ·t p p W – общее число операций в задаче, Wnp – число операций, которые мож но выполнять параллельно, Wck – число скалярных (нераспараллеливаемых) операций, t время выполнения одной операции и доля операций алгоритма, выполняемых в последовательном режиме.

Формула (4.3) не отражает потерь времени на межпроцессорный обмен со общениями. Эти потери могут существенно повлиять на значение ускорения, в том числе и сильно уменьшить. Перепишем (4.3) c учетом коммуникационных затрат. Так как учет эффекта кэша в некоторой степени затруднителен в связи с тем, что в реальных задачах при больших объемах данных влиянием кэша можно пренебречь, тогда получим сетевой закон Амдала:

T Sp =, (4.4) + T1 + td P где T1 – время выполнения алгоритма на одном процессоре, td – общее вре мя подготовки данных (синхронизация частей, обмен сообщениями между процессорами и т.д.), – доля операций алгоритма, выполняемых в последо вательном режиме.

1.2 Схема последовательного алгоритма метода граничных элемен тов и его распараллеливание В основе разработанного параллельного ал горитма для многопроцессорных систем с распределенной памятью лежит изложенный в первой главе последовательный алгоритм метода граничных элементов.

Для нестационарных задач со свободными границами характерен следую щий алгоритм расчета, блок-схема которого приведена на рисунке 4.1.1.

В начальный момент времени известна геометрия границы расчетной об ласти и граничные условия. Далее на каждом шаге по времени производиться вычисление интегралов, подстановка граничных условий, формирование си стемы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и решение СЛАУ методом Гаусса с выбором ведущего элемента. Вычисляется шаг по времени, находится Рис. 4.1.1. Блок-схема алгоритма расчета новое положение свободной границы и находится новое распределение значе ний граничных условий. В ходе расчета результаты записываются в файл для дальнейшей обработки или возобновления расчета.

Ввод данных Для выполнения расчета необходимы следующие граничные и начальные данные:

1. xi, yi, i = 1, n - узловые координаты точек на границе области;

2. Codei, i = 1, n - тип граничных условий в i-ом узле, если Codei = 0, то в узле задана функция потенциала, если Codei = 1 - функция нормальной производной /n;

3. Ui, Bi, i = 1, n - заданное значение функции и /n соответственно в i-ом узле.

Распараллеливание этого блока не требуется, так как ввод всех необходи мых начальных и граничных данных происходит во время расчета лишь один раз. Для избежания межпроцессорных пересылок считывание данных целесо образно осуществить на каждом процессоре вычислительного комплекса.

Вычисление интегралов и решение СЛАУ На этом шаге алгоритма формируется СЛАУ матрица A размерностью N N и вектор правой части F (1.24). Следует привести некоторые сооб ражения: каждая строка результирующей матрицы A строится независимо от других, следовательно, степень параллелизма данного блока алгоритма макси мальна и равна n. Далее, на этом же этапе следует позаботиться о цикличном слоистом распределении колонок матрицы A по процессорам для ее дальней шего решения.

Так как во втором блоке алгоритма распределение матрицы A по процессо рам было колоночное, то для LU - факторизации целесообразно использовать колоночно-ориентированный алгоритм, приведенный далее.

Построение результирующей функции Если алгоритм решения получившейся в результате LU - факторизации системы уравнений распараллелен, то результат решения распределен по про цессорам, если нет – то он собран на одном процессоре. Обозначим вектор решения через Ci, i = 1, n. Суть построения результирующей функции заклю чается в следующем: если в i-м узле задан потенциал, то есть Codei = 0, то значение вектора решения Ci равно результирующей функции Bi = Сi ;

если в i-м узле задана функция нормальной производной, то есть Codei = 1, то значение вектора решения Ci равно результирующей функции Ui = Сi ;

Вычисление скоростей На этом шаге алгоритма по известным узловым координатам xi, yi, i = 1, n и найденным функциям Ui, Bi вычисляются узловые компоненты вектора скорости V xi, V yi. Степень параллелизма этого блока тоже максимальна и равна n. При распараллеливании следует учесть, что массивы xi, yi, i = 1, n уже имеются на каждом процессоре.

Выбор шага по времени для нестационарной задачи Сшивка решений, полученных различными процессами, приводит к требо ванию равенства используемых ими временных шагов, а выбор минимально го временного шага - к необходимости обмена данными между процессами.

Способ выбора временного шага влияет на производительность, особенно при большом числе процессоров и существенных задержках при передаче данных.

Для его определения необходимы следующие величины: Smax - длина мак симального граничного элемента свободной границы, Smin - длина минималь ного элемента, Vmax - модуль максимальной скорости частиц. Каждый процес сор вычисляет временной шаг, исходя из условий предложенных в работе К.Е.

Афанасьева [3, 12].

Перестроение свободной границы В случае нестационарной задачи новое положение свободной грани цы и распределение потенциала на ней находится по схеме Эйлера.

Для реализации этого блока алгоритма необходимы следующие данные:

xi, yi, V xi, V yi, Rewi, i = 1, n. Так как в результате предыдущих пунктов алго ритма все массивы, кроме V xi, V yi, целиком хранятся на каждом процессоре, то распараллеливание этого блока обусловлено хранением V xi, V yi на процес сорах. Степень параллелизма этого блока тоже максимальна и равна n.

Если было выполнение распараллеливание этого блока, то для перехода на новую операцию необходимо разослать на все процессора следующие данные:

xi, yi, Ui, Bi, i = 1, n - новое положение свободной границы, распределение потенциала и нормальной производной на ней.

Проверка условия завершения решения задачи В случае нестационарной задачи условием останова вычислительного про цесса может служить ограничение по времени, проверка которого может быть проведена на любом процессоре.

1.3 Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса Одним из самых тру доемких для вычисления блоков (табл. 4.1.2) является решение системы ли нейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраи ческих уравнений Ax = b (4.5) с невырожденной матрицей A размером N N. Наиболее известной формой гауссова исключения является та, в которой система (4.5) приводится к верхне треугольному виду путем вычитания одних уравнений, умноженных на подхо дящие числа, из других уравнений, полученная треугольная система решается с помощью обратной подстановки. Математически все это эквивалентно тому, что вначале строится разложение A = LU, где L - нижнетреугольная матрица, с единицами на главной диагонали, а U - верхнетреугольная матрица. Затем решаются треугольные системы:

Ly = b, U x = y. (4.6) Процесс их решения называется прямой и обратной подстановками. Рас смотрим сначала LU – разложение, занимающее большую часть времени всего процесса решения СЛАУ. Псевдокод cтолбцово-ориентированного разложения можно представить следующим образом:

For k=1 do n- For s=k+1 do n lsk = ask /akk For j=k+1 do n For i=k+1 do n aij = aij lik akj Предположим вначале, что мы располагаем вычислительной системой с локальной памятью и числом процессоров p = n. Пусть i-я строка матрицы A хранится в процессоре i. Тогда один из возможных вариантов организа ции LU -разложения заключается в следующем: на первом шаге первая строка рассылается всем процессорам, после чего вычисления ai li1 =, aij = aij li1 · a1j, j = 2,..., n a могут выполняться параллельно процессорами p2,....,pn. На втором шаге вто рая строка приведенной матрицы рассылается из процессора p2 процессорам p3,..., pn, a затем проводятся параллельные вычисления и т.д. Алгоритм пер вых четырех шагов приведен ниже.

1. P1 (a1,j, j = 1, n) Pk, k = 2, p.

ak 2. lk1 = a11, akj = akj lk1 · a1j, j = 2,..., n на Pk, k = 2, p.


3. P2 (a2,j, j = 2, n) Pk, k = 3, p.

ak 4. lk2 = a22, akj = akj lk2 · a2j, j = 3,..., n на Pk, k = 3, p.

Отметим два главных недостатка этого подхода: значительный объем обме на данными между процессорами и уменьшение числа активных процессоров на 1 через каждый шаг.

Альтернативой хранению по строкам является вариант, в котором i-й стол бец матрицы А хранится в процессоре i. В этом случае на первом шаге все множители li1 вычисляются в процессоре 1 и рассылаются остальным процес сорам. Затем процессорами 2,..., n параллельно производятся модификации aij = aij li1 · a1j, j = 2,..., n.

Вычислив множители li1, процессор 1 прекращает работу;

вообще, с каж дым шагом число простаивающих процессоров увеличивается на единицу.

Возникает та же, что и в строчно-ориентированном алгоритме, проблема ба лансировки нагрузки.

Слоистая схема хранения В ситуации, когда p n, проблема балансировки нагрузки в известной степени смягчается. Предположим, что n = kp и применяется хранение по строкам. Поместим первые k строк матрицы А в память процессора 1, следу ющие k строк в память процессора 2 и т. д. Этот способ хранения назовем блочной схемой. Снова первая строка рассылается из процессора 1 остальным процессорам, а затем выполняются необходимые вычисления, однако теперь это делается блоками по k наборов операций в каждом процессоре. Как и прежде, в ходе приведения все большее число процессоров становятся без действующими, однако отношение общего времени вычислений к времени обменов и времени простоев является возрастающей функцией от k.

Более привлекательна схема хранения, в которой строки, распределенные циклически по процессорам. Такой способ хранения называется циклической слоистой схемой. Строки матрицы 1, p + 1, 2р + 1,... помещаются в процессор 1, строки 2, p + 2, 2p + 2,... в процессор 2 и т.д. Особенностью этого алго ритма является то, что как при прямом, так и при обратном ходе компьютеры являются более равномерно загруженными. Значит, и вычислительная нагрузка распределяется по компьютерам более равномерно. Например, первый процес сор, завершив обработку своих строк при прямом ходе, ожидает, пока другие процессоры обработают только по одной, оставшейся у них не обработанной строке, а не полностью обработают полосы. Неравномерность сходного типа может возникнуть в случае, когда n не кратно числу процессоров.

Этот же принцип можно использовать при хранении по столбцам: теперь столбцы 1, р + 1,..., (k 1)p + 1 закреплены за процессором 1, столбцы 2, р + 2,..., (k 1)p + 2 за процессором 2 и т.д.

Решение треугольных систем После выполнения LU - разложения нужно решать треугольные системы уравнений. Рассмотрим только верхнетреугольную систему U x = с. Основ ными методами снова будут обсуждавшиеся ранее столбцовый алгоритм и алгоритм скалярных произведений.

Псевдокод решения верхнетреугольной системы уравнений для столбцово ориентированного алгоритма можно представить следующим образом:

For j=n step --1 do хj = cj /ujj For i=1 do j-- ci = ci xj uij Если считать, что матрица U является результатом ранее выполненного LU - разложения, то способ распределения (хранения) матрицы U уже предопре делен схемой хранения, использовавшейся при разложении. Например, если использовалась строчная циклическая слоистая схема распределения при раз ложении, то точно таким же образом построчно будет распределена и матрица U. Предположим, что и правая часть системы распределена послойно по про цессорам. Тогда одна из возможных реализаций строчно-ориентированного алгоритма выглядит так:

cn 1. xn = unn, на Pp.

2. Pp (xn ) Pk, k = 1, p 1.

3. ci+k1 = ci+k1 ui+k1,n xn, i = 1, n 1, p на Pk, k = 1, p.

cn 4. xn1 = un1,n1, на Pp1.

5. Pp1 (xn1 ) Pk, k = 1, p 2 и p.

6. ci+k1 = ci+k1 ui+k1,n1 xn1, i = 1, n 2, p на Pk, k = 1, p.

На первом шаге cn и unn хранятся на последнем процессоре, где вычис ляется значение xn, на втором шаге оно пересылается на все процессоры, на третьем шаге все процессоры пересчитывают хранящиеся на нем компоненты правой части, затем в процессоре, содержащем (n 1)-ю строку, вычисля ется xn1 и т.д. В результате повторения этого процесса вычисляется xn2, xn3... x1. Для реализации как строчно-, так и столбцово-ориентированных алгоритмов присущи следующие недостатки: на каждом шаге для вычисления последующего элемента вектора неизвестных необходима пересылка данных, на заключительных шагах все большее число процессоров простаивает.

Если учесть, что на реализацию LU - разложения приходится 2 n3 2 n арифметических операций, а на решение треугольной системы - 2n2 операций и при недостаточно высокой скорости передачи данных, то алгоритм решения верхнетреугольной системы уравнений целесообразнее не распараллеливать.

В таблице 4.1.1 приведены временные затраты на LU-разложение и реше ние верхнетреугольной системы уравнений. Из данной таблицы видно, что решение верхнетреугольной системы уравнений занимает много меньше 1% от общего времени решения СЛАУ и его алгоритм вполне можно не распарал леливать.

Таблица 4.1.1. Тестирование решения СЛАУ Размерность Время на Время на решение верхнетреуголь (N ) LU-разложение ной системы уравнений 1000 62,54 0, 2000 494,95 0, 1.4 Тестирование параллельного алгоритма С целью проверки эф фективности и ускорения параллельного алгоритма метода граничных элемен тов для решения двумерных задач идеальной однородной несжимаемой жид кости была проведена серия экспериментов на кластере кафедры ЮНЕСКО Кемеровского государственного университета (КемГУ) и Института вычисли тельных технологий СО РАН (ИВТ СО РАН). В качестве теста была выбрана задача о генерации поверхностных волн движением оползня. Исследование производительности и эффективности программного кода выполнялось в за висимости от размерности задачи и числа процессоров. Описание алгоритмов и их реализация на параллельных системах приведена в работе [18].

Первая серия экспериментов была проведена на кластере КемГУ со следу ющими характеристиками:

Состав кластера • 8-мь персональных компьютеров;

• сеть Fast Ethernet.

Характеристики каждого компьютера • процессор Intel Pentium-III с тактовой частотой 667Mhz;

• 64 мегабайт ОЗУ;

• жесткий диск емкостью 20GB;

• 512 килобайт КЭШ.

Коммуникационная сеть Fast Ethernet • пиковая пропускная способность - 100 Mбайт/с;

• коммутатор, полный дуплекс.

Программное обеспечение:

• ОС Linux на основе дистрибутива Red Hat Linux 8;

• компилятор Intel C/C++,FORTRAN версии 8.1;

• отладчик Gnu debugger 6.4;

• MPI MPICH версии 1.2.5.

Вторая серия экспериментов была проведена на кластере ИВТ СО РАН:

Параметры оборудования вычислительного кластера ИВТ СО РАН:

• 4 вычислительных узла: 2-х процессорный узел на материнской плате Intel SE7501CW2 с процессорами Intel Xeon 3 GHz, 2GB ОЗУ и жестким диском емкостью 40GB;

• 1 управляющий узел: 2-х процессорный узел на материнской плате Intel SE7501WV2 с процессорами Intel Xeon 3 GHz, 2GB ОЗУ и жестким диском емкостью 146GB на шине SCSI;

• узлы соединены GigE сетью на основе коммутатора 3Com 3C • Работа вычислительного кластера поддерживается источником беспере бойного питания APC Smart UPS на 3000 ВА.

Программное обеспечение:

• управление очередью задач осуществляется посредством ПО SUN Grid Engine 5.3.;

• ОС Linux на основе дистрибутива Red Hat Linux 9;

• компилятор Intel C/C++ версии 8.1;

• отладчик Gnu debugger 6.4;

• MPI MPICH версии 1.2.7;

• библиотека FFTW (Fastest Fourier Transform in the West) версии 2.1.5.

Серия численных экспериментов проводилась для разного количества уз лов на границе расчетной области (от 400 до 1600 с шагом 300) и разного коли чества процессоров задействованных в расчете (2,4,8). Программа запускалась несколько раз (3-5), для каждого запуска считалось среднее время выполнения одной итерации метода, затем выбиралось среднее, наименьшее и наибольшее время из всех запусков.

В таблице 4.1.2 приведены временные затраты в секундах на реализацию каждого блока последовательного алгоритма при выполнении одного времен ного шага. Видно, что из всех блоков алгоритма наиболее затратными по Таблица 4.1.2. Временные затраты на реализацию блока программы Размерность задачи Вычисление интегралов Решение СЛАУ 400 1.0 2. 700 4.0 10. 1000 6.0 26. 1300 10.0 57. времени являются блок вычисления интегралов и блок решения СЛАУ.

В таблице 4.1.3 приведены значения временных затрат на реализацию од ного шага по времени решения задачи о генерации поверхностных волн дви жением оползня на 2, 4 и 8 процессорах соответственно. Из таблицы видно, что при увеличении размерности задачи N время выполнения алгоритма на двух и четырех процессорах значительно увеличивается, что говорит о необ ходимости использования большего количества процессоров.

Таблица 4.1.3. Временные затраты на реализацию одного временного шага КемГУ ИВТ СО РАН N 2 4 8 2 4 400 1.0294 0.9427 1.0631 0.2152 0.2808 0. 700 4.0587 3.1010 2.9414 0.8256 0.6128 0. 1000 10.1185 7.1709 6.2155 2.2360 1.4797 1. 1300 21.5993 13.6901 11.1241 4.6265 2.9007 2. 1600 38.0553 23.5927 16.3035 8.3150 5.0353 4. В таблицах (4.1.4-4.1.5) приведены результаты ускорения и эффективности параллельного алгоритма метода граничных элементов при его использовании на 2, 4 и 8 процессорах для решения нестационарной задачи со свободными границами.

Таблица 4.1.4. Ускорение параллельного алгоритма КемГУ ИВТ СО РАН N 2 4 8 2 4 400 1.0819 1.1814 1.0475 1.0929 0.8167 0. 700 1.3440 1.7591 1.8546 1.5141 2.0399 1. 1000 1.4688 2.0725 2.3911 1.7486 2.6424 2. 1300 1.4617 2.3062 2.8382 1.9258 3.0716 3. 1600 1.5321 2.4713 3.5763 1.9386 3.2013 3. Для количества узлов на границе области N = 1600 и 8 процессоров (табл.

4.1.4) получено ускорение Sp в 3.5 раза. На двух процессорах в 1.5 раза (Кем ГУ) и в 1.9 раза (ИВТ СО РАН). Установлено, что для размерности задачи N 700 лучшее ускорение может быть получено на двух и четырех про Таблица 4.1.5. Эффективность параллельного алгоритма КемГУ ИВТ СО РАН N 2 4 8 2 4 400 0.5409 0.2953 0.1309 0.5464 0.2041 0. 700 0.6720 0.4397 0.2318 0.7570 0.5099 0. 1000 0.7344 0.5181 0.2988 0.8743 0.6606 0. 1300 0.7308 0.5765 0.3547 0.9629 0.7679 0. 1600 0.7660 0.6178 0.4470 0.9693 0.8003 0. цессора. Анализ результатов показывает не целесообразность использования большого количества процессоров для количества узлов N 700 на границе расчетной области (табл. 4.1.4 цифры выделенные жирным). Лучшая эффек тивность Ep (табл. 4.1.5) была получена на двух и четырех процессорах и равнялась 70-60% (КемГУ) и 80-90% (ИВТ СО РАН).

Видно, что кластер КемГУ состоящий из стационарных компьютеров поз воляет получать такие же хорошие показатели ускорения и эффективности, как на высокопроизводительном кластере ИВТ СО РАН. Это служит подтвер ждением того, что при программировании не была нарушена степень парал лелизма алгоритмов.

§2 Информационная система сопровождения численного эксперимента 2.1 Структура информационной системы Проблемам проведения численных расчетов при решении сложных задач гидродинамики с использо ванием высокопроизводительных ресурсов уделяется большое внимание, по тому что вычислительный эксперимент на основе различных математических моделей представляет практический интерес, так как с его помощью можно достаточно в полной мере исследовать, протекающие физические процессы при решении поставленной задачи.

В настоящее время перед пользователем остро стоит следующие проблемы:

• наиболее эффективного использования технических средств для своей работы;

• систематизации и хранения уже полученных результатов в ходе прове дения вычислений;

• использования вычислительных ресурсов или внешней памяти более мощных вычислительных систем, которые в настоящее время становятся все доступнее для широкого круга вычислителей.

В Кемеровском государственном университете разрабатывается информа ционная система ”AKORD”, которая содержит в своем составе необходимые компоненты для информационной поддержки численного эксперимента.

В настоящей главе приводится описание построения проблемно - ориен тированной оболочки прототипа информационной системы (ИС) ”AKORD” [12, 14, 15] обладающая основными функциональными возможностями. Обо лочка ИС ”AKORD” обеспечивает автоматизацию всех этапов подготовки дан ных для решения задачи, обработку полученных результатов, систематизиро вать и осуществлять быстрый поиск необходимых данных.

ИС ”AKORD” состоит из нескольких основных приложений, реализую щих все основные этапы численного решения задач, начиная с постановки и заканчивая графическим анализом полученных результатов (рис. 4.2.1):

1. препроцессор - программный компонент, с помощью которого готовятся входные данные для численного эксперимента;

2. решатель - программный компонент, позволяет численно решать задачи, опираясь на данные, подготовленные препроцессором;

3. постпроцессор - программный компонент, направленный на графическое отображение полученных после работы решателя результатов;

4. оболочка - программный компонент, объединяющий различные про граммные компоненты (препроцессор, решатель, постпроцессор и тд.) и необходимые данные в единый комплекс.

Рис. 4.2.1. Общая схема пакета Каждый компонент ИС ”AKORD” может функционировать как отдель ная программная единица, которая напрямую получает необходимые данные, обрабатывает их и выдает результаты в соответствии с единым интерфейсом обмена данных, разработанным для совместимости приложений в составе ИС.

2.2 Интерфейс обмена данными Под набором данных используемых ИС ”AKORD” понимается совокупность всех необходимых данных, обеспе чивающих в полном объеме исследование конкретной задачи. Все данные используемые компонентами информационной системы подчиняются четко определенной схеме (рис. 4.2.2), которая является связующим звеном между компонентами системы.

Рис. 4.2.2. Схема численного эксперимента В соответствии с принятой базовой схемой расчета пользователь может:

• сформировать постановку задачи (тип задачи, название задачи и ее опи сание);

• разбить границу плоской или осесимметричной области на граничные элементы;

• задать необходимые физические, временные и вспомогательные пара метры, используемые в дальнейшем решателем;

• вычислить искомое решение на границе исследуемой области;

• получить результаты в форме готовой для последующей обработки;

• провести тестовый расчет для сравнения результатов;

• получить графическое представление решения и провести качественный анализ результатов вычислений;

• получить, сохранить во внешней памяти или вывести в виде твердой ко пии графические и текстовые отчеты на основе полученных результатов.

Вся исходная информация содержится в текстовых файлах, для которых разработана специальная структура хранения данных. Эта структура состоит из следующих разделов:

• определение секции данных;

• значения данных;

• описание данных.

Все данные в файлах сгрупированы в секции. Каждая секция определяется конструкцией вида: [ ИМЯ_СЕКЦИИ ]. Существует стандартный набор сек ций, который обрабатывается приложениями системы определенным образом, и специальная секция [OTHER], параметры которой могут быть произволь ными и определяются пользователем самостоятельно.

Ниже приводится краткие пояснения по содержанию файлов для каждого из существующих в системе приложений. Примеры файлов можно найти в приложении.

Файл начальных данных. Результатом работы препроцессора является тек стовый файл, в котором данные по логическим признакам сгруппированы в следующие секции.

• [MAIN] - секция общих параметров.

• [TIME] - секция временных параметров.

• [DOMAIN] - секция параметров, характеризующих область решения.

• [PHYSICAL] - секция физических параметров.

• [NODES] - секция параметров описывающих свойства граничных узлов.

• [INTERNAL] - секция параметров, описывающих внутренние узлы обла сти.

• [REGION] - секция параметров, описывающих границы подобластей.

• [SPECIAL] - секция, в которой описаны граничные условия специального типа.

• [OTHER] - секция, содержащие дополнительные параметры, обрабатыва емые решателем. Эта секция параметров не обязательна и присутствует лишь для повышения гибкости системы по обмену данными.

Пример текстового файла для препроцессора приведен в приложении.

Файл результатов расчета. Основным набором данных для постпроцес сора являются данные типа временного слоя. Временной слой - это набор данных, состоящий из координат точек, к которым привязан набор парамет ров либо индивидуальных для каждой точки, либо общих для всего набора данных. Временной слой всегда привязан к некоторому моменту времени.

Текстовый файл для набора данных типа временного слоя состоит из за головка, набора секций, в которых приводятся все параметры задачи и самих данных. Заголовок файла данных содержит две строки. Первая должна содер жать одно ключевое слово: [TEXT_DATA_FILE].

По этому признаку постпроцессор определяет, что файл является файлом постпроцессора. Следующая строка должна содержать конструкцию:

[DATA_FORMAT] TEXT_ITERATION_DATA_COL или [DATA_FORMAT] TEXT_ITERATION_DATA_ROW.

Здесь [DATA_FORMAT] ключевое слово, а TEXT_ITERATION_DATA_COL или TEXT_ITERATION_DATA_ROW указывает на то, как данные хранятся в текстовом файле (по столбцам или по строкам).

Далее следуют секции, описывающие параметры задачи. Каждая секция на чинается с идентификатора, затем идут строки, содержащие данные в этой сек ции. Закрывается секция строкой из единственного ключевого слова [END].

Первая секция [GLOBAL_DATA_DEF] описывает имена глобальных пара метров, общие для каждой точки во временном слое. Каждая строка секции задает один параметр по следующему формату: NAME=Название параметра, где NAME ключевое слово. Если название параметра не содержит пробелов, то двойные кавычки могут быть опущены. Следует отметить, что время как глобальный параметр явно не описывается, но подразумевается и его значение стоит перед значениями всех остальных глобальных параметров.

Следующая секция [LOCAL_DATA_DEF] описывает имена параметров каждой точки временного слоя, такие как координаты, компоненты вектора скорости и т.д. По структуре она аналогична предыдущей секции.

Секция [DATA_PARAM] описывает параметры данных. Секция состоит из двух строк, каждая из которых содержит одно число: первое - количество временных слоев, а второе - количество точек в каждой слое.

Секция определения многосвязных областей [REGION_DEF]. Количество областей равно числу строк в данной секции. В каждой строке указывается номер точки, с которой начинается область. Заканчивается область точкой с номером, указанной в следующей строке в качестве начальной для следующей области. Если в расчете используется односвязная область, то данная секция содержит всего одну строку: [REGION_DEF] 0 [END].

Данные типа временного слоя оформлены в виде блоков. Блок начинается с ключевого слова [ITERATION], затем идет значение времени и значения глобальных параметров. Со следующей строки начинаются собственно данные для точек временного слоя.

Пример текстового файла для постпроцессора приведен в приложении.

2.3 Логическая схема базы данных Набор данных связанный с ис следуемой задачей поддерживается на рабочей станции пользователя, а при необходимости могут быть размещены в удаленной базе данных расчетов предназначенной формировать, редактировать, длительное время хранить и использовать необходимые для проведения исследований численные расчеты.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.