авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

СИТКИН

ЕВГЕНИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

УПРОЩЕННО-КОГНИТИВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

СТЕРЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

13.00.02- теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор Атанасян С.Л.

Москва 2013 Оглавление Введение………………………………………………………………… …... ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы обучения геометрии, направленного на самостоятельную познавательную деятельность учащихся…………………………………………………………………………... 1.1 Этапы развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении геометрии в отечественной и зарубежной педагогике.................................................................................................................. Методики, ориентированные на самостоятельную познавательную 1. деятельность учащихся…………………………………………………………..... 1.3 Особенности когнитивного развития школьников и психология развития их математических способностей в условиях самостоятельной деятельности……………………………………………………………………….. Выводы по первой главе……………………………………………………. ГЛАВА 2. Научно-методические основы разработки упрощенно когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов и объемов тел ……………………………………………………………… Отбор предметного содержания для выработки упрощенно 2. когнитивных приемов решения задач по темам школьного курса стереометрии «Вычисление расстояний и углов в пространстве»……………………………... Отбор предметного содержания для выработки упрощенно 2. когнитивных приемов изложения теоретического материала по разделу «Объемы тел»……………………………………………………………………… 2.3 Вычисление расстояний и углов в пространстве на основе упрощенно-когнитивных аналитических приемов…. ………………………...... Упрощенно-когнитивные приемы вычисления объемов основных 2. геометрических тел, изучаемых в школе………………………………………… Выводы по второй главе……………………………………………………. ГЛАВА 3.

Использование упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения в рамках самостоятельной деятельности учащихся………………… Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при 3. изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов в тесном сотрудничестве с учителем………………………………………………………... Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при 3. изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов, предусматривающая консультирующую роль учителя…………………………. Экспериментальное подтверждение эффективности использования 3. упрощенно-когнитивных приемов для развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении стереометрии………………………………………….. Выводы по третьей главе………………………………………………….. Заключение………………………………………………………………... Библиография…………………………………………………………….. Приложение……………………………………………………………….. Введение Актуальность исследования. За последнее время произошли изменения в школьном образовании, требующие новых методик преподавания предметов.

Это обусловлено в основном тем, что в России ввели стандарт второго поколе ния, основанный на компетентностном подходе к результату обучения, кото рый, в первую очередь, предполагает развитие самостоятельности учащихся как при освоении предметного содержания, так и при оценке собственной деятель ности. При этом самостоятельность понимается не только как черта характера, но и как способ деятельности. Поэтому школа должна развить у будущих выпу скников навыки самостоятельной познавательной деятельности для получения и совершенствования знаний на всем жизненном пути.

Самостоятельная деятельность формируется и развивается посредством решения различного рода задач, в том числе и математических. Задачи по сте реометрии, не входившие в 70-90 годы прошлого столетия в систему итоговой аттестации, с введением ЕГЭ вошли в группу заданий, предназначенных для проверки знаний всех выпускников школ.

В успешном решении стереометрических задач заинтересованы не только учащиеся математических классов, но и учащиеся классов универсального профиля, так как они еще недостаточно твердо определились с выбором про фессии и большая их часть проявляет значительный интерес к изучению пред мета. Но, если первая категория школьников еще до прихода в старшие классы, жестко ориентирована на углубленное изучение геометрии и в силу развитых математических навыков имеет опыт самостоятельной познавательной деятель ности, то учащиеся универсального профиля при изучении такого сложного предмета, как стереометрия, опираются в значительной мере на поддержку со стороны учителя.

Проблеме обучения школьников стереометрии посвящены исследования таких специалистов в этой области предмета, как Э.Г. Готман, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, А.Н. Смоляков, И.Ф. Шарыгин и другие. Однако, несмотря на пристальное внимание к практике преподавания геометрии в школе, стереометрические задачи, как показывают опросы уча щихся, учителей и результаты ЕГЭ, остаются для большинства старшеклассни ков наиболее сложными.

Особую значимость упомянутые авторы уделяли такой деятельности учащихся, как решение задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов основных тел, изучаемых в школе:

1. Задачи на вычисление расстояний и углов представляют обширную группу, объединенную единой тематикой, которые и в отдельности могут яв ляться элементами заданий более сложного содержания, охватывающими зна чительную часть стереометрического материала.

2. Раздел «Объемы» является завершающим в курсе школьной стереомет рии. При его изучении старшеклассники сталкиваются со значительными труд ностями при выводе формул для вычисления объемов основных тел, которые преодолеваются с помощью аппарата математического анализа. И, несмотря на то, что изложением раздела занимались такие видные математики и педагоги, как Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, все равно использова ние сложного математического понятия (определенный интеграл) не позволяет многим учащимся освоить логически четкую теорию построения объемов, и им достаточно трудно подвести итоги обучения по предмету.

Самостоятельную деятельность обучающихся также возможно направить на изучение указанной области стереометрии. Решение практических и теоре тических задач по этим разделам обеспечит им активное развитие собственной познавательной и математической деятельности.

Сложность заключается в том, что приемы решения задач, рассмотренные как указанными выше специалистами, так и такими авторами пособий по сте реометрии, как С.Л. Атанасян, Г.Д. Глейзер, В.А Гусев, В.А. Далингер, А.В.

Погорелов, Н.Х. Розов и др., требуют от учащихся или развитых пространст венных представлений и широкого применения планиметрических фактов, или опираются на аппарат векторной алгебры, в многообразии методов которого обучаемые зачастую теряются, не могут рационально подойти к решению за дач, накопить опыт и обобщить материал. Именно это и не позволяет большин ству учащихся универсального профиля стать активными субъектами учения (обучения в самостоятельной познавательной деятельности), хотя в этих клас сах школьники способны под руководством учителя решать даже такие слож ные задачи стереометрии, как, например, вычисление расстояния между скре щивающимися прямыми, но в самостоятельной деятельности мысли о заведомо сложных решениях останавливают старшеклассников на очень простых упраж нениях.

Опыт обучения в старшей школе и мнение самих учащихся показывают, что для привлечения их к активной учебной деятельности, в том числе к само стоятельному освоению материала, учащимся недостает приемов решения за дач, основанных на малом, но содержательном и доступном понятийном ап парате, применение которого позволит обучающимся самостоятельно вклю читься в изучение предмета и приобрести готовность к самостоятельному поис ку решений этих задач иными приемами, требующими развитых пространст венных представлений и применения теорем планиметрии. Выделяя эти прие мы из других, предварительно можно употребить к ним термин упрощенные.

Таким образом, сложились определенные предпосылки для научно методической разработки упрощённых приемов, формирующих в процессе са мостоятельной познавательной деятельности готовность учащихся к усвоению более глубоких знаний и навыков, и они могли бы лечь в основу формирования простых алгоритмов решения стереометрических задач.

На сновании вышесказанного можно выделить противоречие между су ществующей потребностью вовлечения школьников в самостоятельную позна вательную деятельность при обучении математике, с одной стороны, и, с дру гой стороны, отсутствием в методике преподавания стереометрии приемов ре шения задач, формирующих готовность большей части учащихся универсаль ного профиля к самостоятельному изучению стереометрического материала (в рамках разделов) более сложного содержания, базирующегося на пространст венных представлениях и планиметрических фактах.

Необходимость устранения указанного противоречия свидетельствует об актуальности темы исследования, определяет проблему, цель, задачи и гипо тезу исследования.

Проблема исследования – какими и насколько упрощенными должны быть приемы решения стереометрических задач, чтобы они позволили учащим ся универсального профиля не только их применять, но и стимулировали бы их к активной самостоятельной познавательной деятельности при обучении мате матике, приобретению и закреплению знаний, предусмотренных стандартами.

Объект исследования – процесс обучения старшеклассников стереомет рии в классах универсального профиля.

Предмет исследования – вовлечение учащихся универсального профиля в самостоятельную познавательную и математическую деятельность в процессе изучения стереометрии посредством применения упрощенных приемов реше ния задач.

Цель исследования – разработать упрощенные приемы и методику по их применению, способствующую вовлечению учащихся в рамках школьного кур са стереометрии в самостоятельную познавательную деятельность по вычисле нию расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел.

Гипотеза исследования состоит в том, что использование школьниками при обучении стереометрии упрощенных приемов и развитие посредством их самостоятельной познавательной деятельности позволит учащимся:

- эффективно решать задачи различной степени сложности на вычисление расстояний, углов и объемов тел;

накопить универсальный опыт решения таких задач и сформировать готовность к усвоению знаний более сложного характе ра;

- по собственной инициативе перейти к поиску решений задач, основан ных на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- учиться подбирать к задачам различной сложности наиболее оптималь ные для себя способы решений (опирающиеся на упрощенные приемы, про странственные представления и теоремы планиметрии и др.).

Предмет, цель и гипотеза исследования определили постановку и реше ние следующих задач:

1. Проанализировать опыт развития самостоятельной деятельности уча щихся при обучении геометрии в России и за рубежом;

2. Выявить методики, стимулирующие самостоятельную познавательную деятельность старшеклассников и отобрать из них ту, которая более соответст вует достижению цели вовлечения всех учащихся универсального профиля в самостоятельный познавательный процесс для работы в группе;

выделить зна чимые с точки зрения нашего исследования особенности развития школьников, необходимые им при освоении больших потоков информации;

3. Исследовать и описать компоненты математической деятельности уча щихся универсального профиля и определить требования к упрощенным прие мам с учетом формирования и развития данных компонентов в условиях само стоятельной деятельности;

4. Отобрать предметное содержание по тематике вычисления расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел, изучаемых в школе, на основе которого можно увидеть простые и общие алгоритмы;

5. Разработать для учащихся упрощенные приемы по вычислению рас стояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел.

Описать опирающиеся на эти приемы алгоритмы решения задач;

6. Разработать методику по применению упрощенных приемов к реше нию задач стереометрии, способствующую развитию самостоятельной познава тельной деятельности учащихся;

7. Экспериментально подтвердить на практике эффективность использо вания упрощенных приемов при обучении стереометрии.

Методологическую и теоретическую основу диссертационного иссле дования составили психологические, педагогические и методико математические исследования, связанные с рассматриваемой проблемой, в ча стности:

- теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.С.

Гончаров, В,А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, С.И. Шапиро, И.С. Якиманская, и др.);

- педагогические основы теории самостоятельной деятельности (В.П.

Беспалько, Ф. Кайзер,,О.Е. Лебедев, Е.В. Чуб, и др.) - теория обучения математической деятельности (В.А.Гусев, В.А. Далин гер, А.Н. Острогорский, Д. Пойя, А. Пуанкаре, и др.) - теория обучения решению стереометрических задач (С.Л. Атанасян, Э.Г.

Готман, В.А. Далингер, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, И.Ф. Шарыгин и др.) Для решения поставленных задач использовались следующие методы ис следования: анализ психолого-педагогической, математической и методиче ской литературы по проблеме исследования;

анализ программ по геометрии для общеобразовательных классов, государственных стандартов общего среднего образования, учебных пособий и дидактический материалов по стереометрии;

беседы с учителями и учащимися;

педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертации и статистическая обработка его результатов.

Научная новизна:

1. Определены требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач;

2. Разработаны и теоретически обоснованы упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии на нахождение расстояний и углов между плоскостями и прямыми в пространстве и выводу формул для вычисления объ емов основных тел, изучаемых в школьном курсе стереометрии;

3. Доказана эффективность применения упрощенно-когнитивных прие мов при обучении стереометрии и развития через них у различных по способ ностям к математике школьников как пространственных представлений, так и самостоятельной познавательной деятельности.

Теоретическая значимость состоит в том, что алгоритмы решения за дач, используемые в курсах аналитической геометрии высшей школы, упроще ны и адаптированы для школьников;

разработана методика применения упро щенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, уг лов в пространстве и вывод формул для объемов тел.

Практическая значимость:

1. Разработаны методические рекомендации по применению упрощенно когнитивных приемов и решения к задачам повышенной сложности по курсу стереометрии с применением упрощенно-когнитивных приемов;

2. Отобраны приемы решения задач, опирающиеся на пространственные представления и теоремы планиметрии, являющиеся руководством для обу чающих с целью привлечения к самостоятельной познавательной деятельности разных по способностям к математике учащихся универсального профиля.

Применение упрощенно-когнитивных приемов по выводу формул для вычисления объемов основных тел обеспечивает полное изложение теории объемов в школьном курсе стереометрии и при этом значительно сокращает время изложения. Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереомет рии применимы для обучения школьников различного профиля.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Упрощенно-когнитивные приемы и построенные на их основе простые алгоритмы решения задач дают школьникам возможность одновременного применения алгоритмов к задачам различной сложности и тематики в процессе самостоятельной познавательной деятельности, что приводит к развитию навы ков дифференцирования, обобщения и более глубокому изучению материала;

2. Разработанная методика реализации упрощенно-когнитивных приемов способствует:

- повышению эффективности обучения стереометрии и стимулирует как готовность, так и переход учащихся к поиску решений задач иными приемами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- переносу навыков обобщения, приобретенных при решении задач на основе упрощенных приемов, на решения, связанные с пространственными представлениями и планиметрическими фактами.

Достоверность результатов исследования и обоснованность выводов обусловлены опорой на теоретические разработки в области психологии, педа гогики, методики преподавания математики, а также проведением педагогиче ского эксперимента.

Организация и этапы исследования. Исследование проводилось в пе риод с 2008 по 2013 г. и состояло из трех этапов.

На первом этапе исследования (2008-2009 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследова ния, проводились беседы с учителями школы. Анализировались: заинтересо ванность учащихся, их устные ответы, умение применять знания к задачам раз личной степени сложности по разделам, связанным с вычислением расстояний и углов в пространстве, с вычислением объемов тел. Это позволило определить цель и задачи исследования.

На втором этапе (2009-2011 гг.) проводилось психологическое тестиро вание и анкетирование, в ходе которого выяснилось, что учащиеся на началь ном этапе готовы воспринимать основы координатно-векторного метода при изучении стереометрии. Были выявлены методические проблемы, возникающие в процессе преподавания стереометрии, что стало в дальнейшем основой для разработки системы задач для учащихся универсального профиля, соответст вующих банков рисунков и стереометрических моделей, теоретического мате риала. Были разработаны упрощенно-когнитивные приемы, построенные на них простые алгоритмы решения стереометрических задач, методика их приме нения, а также проведена апробация при организации самостоятельной позна вательной деятельности слабых по способностям к математике учащихся уни версального профиля.

На третьем этапе (2011-2013 гг.) проводился формирующий экспери мент с целью подтверждения выдвинутой гипотезы. Велась работа над текстом диссертационного исследования.

В качестве экспериментальной базы были выбраны ГОУ СОШ №498 и ГОУ ЦО №1874 г. Москвы.

Апробация и внедрение. Основные положения исследования обсужда лись в ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Москов ский институт открытого образования». На кафедре алгебры, геометрии и ме тодики их преподавания ГБОУ ВПО г. Москвы «Московский городской педа гогический университет», на Всероссийской научной конференции «Школьное математическое образование: традиции и инновации» (Ульяновск, 2010), Меж дународной научно-практической конференции «Математика и ее приложения.

Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, 2011), Второй рос сийской школе-конференции с международным участием «Математика, ин форматика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010). Результаты ис следования внедрены в учебный процесс ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования».

Структура и объем работы. Диссертационное исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 183 наименований, содер жит 1 приложение.

Работа объемом 186 страниц, содержит 53 рисунка, 11 таб лиц, 4 схемы.

ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы обучения геометрии, направленного на самостоятельную познавательную деятельность учащихся Этапы развития самостоятельной познавательной деятельности 1. учащихся при обучении геометрии в отечественной и зарубежной педагогике Воспитание творческой личности, с учетом образовательных стандартов второго поколения, является приоритетным направлением образования.

Организация процесса обучения, основанного на реализации стандартов второго поколения [156], опирается на:

- самостоятельную познавательную деятельность учащегося;

- активность обучающегося при изучении нового материала;

- максимальный учет индивидуальных особенностей личности;

- широту полученных знаний.

Учащиеся должны самостоятельно находить и обосновывать собственные решения, выдвигать нестандартные идеи, уметь адаптироваться в меняющихся ситуациях;

уметь гибко применять полученные навыки не только предметного, но и социального характера. Самостоятельная деятельность формируется и раз вивается посредством решения различного рода задач, в том числе и геометри ческих.

Начиная со второй половины 19 века, с момента издания в 1884 г. мето дического труда по преподаванию геометрии А.Н. Острогорского - «Материалы по методике геометрии» [108], который рассматривался, исходя из современ ных представлений, как учебник по общей методике преподавания геометрии [94], стало уделяться внимание к становлению самостоятельной деятельности учащихся. В своем труде А.Н. Острогорский показал, что обучение учеников доказательствам утверждений на основе пространственных представлений при водит их к усвоению только готовых фактов. Развитию у ученика самостоя тельной умственной деятельности на начальном этапе может служить аналити ческий метод как более доступный, с последующим переходом к изучению геометрических объектов синтетическим методом (методом, основанном на пространственных представлениях). Наш опыт преподавания стереометрии подтверждает мнение российского ученого, и мы согласны с авторами пособия [94], которые утверждают, что А.Н. Острогорский фактически стал основопо ложником проблемного метода в изучении геометрии.

В конце 19 - начале 20 века развивается международное движение за ре форму математического образования. Известный немецкий математик и педа гог Ф. Клейн настаивал, что психологические соображения должны играть су щественно руководящую роль в методике преподавания математики [66]. В те чение определенного времени положения, высказанные Клейном, находили свое отражение и в российской педагогике. Одним из важнейших результатов развития методики преподавания геометрии в России начала 20 века является активизация деятельности учащихся на соответствующих ступенях образования и существенное повышение внимания к их самостоятельной деятельности при изучении геометрии, широкое использование аналитического метода в изложе нии геометрии [94].

Идеология Российских образовательных программ по математике 1919 1921 гг. также предполагала развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Важнейшим положением программы являлось признание необходимости ак тивной познавательной деятельности учащихся. Данная декларация, по мнению авторов [94], могла способствовать более раннему развитию советской методи ки познавательного обучения, но это направление не получило своего отраже ния в педагогическом сообществе по ряду причин, связанных с общей неразбе рихой на начальном этапе организации системы образования.

В образовательных программах по математике 1925-1926 гг. самостоя тельная познавательная деятельность учащихся явно не просматривалась, и к 1933г. преподавание геометрии было жестко ориентировано на передачу учите лем готовой информации, что сводило к минимуму самостоятельную познава тельную деятельность учащихся [94]. Возникновение советской педагогической психологии в 20-30 гг., связанное с деятельностью Л.С. Выготского, исследова ния и результаты по психологии мышления могли повлиять на развитие само стоятельной познавательной деятельности учащихся, но постановление ВКПб от 1936г. «О педагогических извращениях в системе Наркомпроса», поставили исследования Л.С. Выготского и его учеников под запрет.

Послевоенные образовательные программы вплоть до 1958г. предусмат ривали преподавание синтетического курса геометрии в информационной мо дели обучения и развитие логического мышления. Принятый в 1958г. закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы образо вания» предполагал улучшение методов преподавания, повышение интереса учащихся, активность, самостоятельность, но фактически данная концепция не нашла своего применения в полной мере. Наше дальнейшее исследование ана лиза пособия [94] и учебно-методического материала, на который они ссыла лись [4, 26, 15, 114] и др., позволило сделать следующий вывод: основными це лями преподавания геометрии вплоть до конца 20 столетия являлись формиро вание у школьников геометрических знаний и умений, а так же развитие логи ческого мышления. Во всем многообразии учебников, задачников и методиче ских пособий, появлявшихся в то время по школьной геометрии, решалась только проблема содержания геометрического образования, но не проблема ме тодов обучения. Самостоятельная познавательная деятельность учащихся сво дилась к решению разнообразных задач, что у большинства школьников фор мировало лишь мышление по готовым образцам. Перерождение ученика из пассивного субъекта учебного процесса в активный субъект началось лишь 90-е годы. В то время ярчайший школьный геометр И.Ф. Шарыгин разработал сис тему «опорных» задач по геометрии, обобщающих весь планиметрический ма териал. Задачи были рассчитаны на самостоятельный анализ и закрепление учащимися курса планиметрии 9-11 кл. [168]. Нами был сделан вывод, что дан ная система задач, по своей сути, была первой разработкой, в большей степени ориентированной на самостоятельную деятельность массового школьника, так как задачи в этой системе значительно упрощены, обобщают весь курс школь ной планиметрии и мотивируют учащихся на более глубокое изучение предме та, вовлекая их в самостоятельный познавательный процесс.

Анализ развития западноевропейской модели обучения геометрии позво лил установить, что Европейская школа в 18-19 веках преследовала цель пере дачи знаний и умений строить рассуждения по образцу, но в конце 19 века во Франции стали приоритетными развивающие цели, направленные на становле ние у учащихся созидательных способностей, что предполагало меньшее вме шательство педагога в учебный процесс. После Первой мировой войны фран цузская школа продолжила развитие методической идеи, целью которой была мотивация учащихся на самостоятельную деятельность. Педагогам рекомендо валось серией наводящих вопросов подводить учеников к самостоятельному решению проблемы. Но в Германии, начиная с 20-ых годов, процесс развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении геометрии проходил быстрее и на более высоком качественном уровне.

Это произошло благодаря идеям Ф. Клейна о включении в школьный курс геометрии всего, что доступно пониманию учащихся на определенном этапе обучения и дальнейшего смещения центра тяжести от количества дейст вий по образцу (шаблонного знания) до развития самостоятельного математи ческого мышления. Данные идеи предполагают сокращение материала, изучае мого непосредственно под руководством учителя. [94]. Вторая мировая война прервала процесс реформации школьного математического образования в Ев ропе, но на Женевской международной конференции по математическому об разованию в 1956 г. были сформулированы основные положения реформы [32], в числе которых были:

- соотнесение преподавания математики с новейшими достижениями в области педагогики, психологии;

- побуждение учащихся к активному изучению математики, вовлечение их в самостоятельную деятельность.

На конференции отмечалась роль математики в развитии свойств лично сти, необходимых в научной и практической деятельности, формировании зна ний, необходимых для изучения других предметов. Данные требования как нельзя лучше отвечают стандартам второго поколения, введенным в настоящее время в России.

На третьем международном конгрессе в 1977 г. [90] были подведены ито ги реформирования школьного математического образования и окончательно признана необходимость активной самостоятельной деятельности при изучении предмета. Именно тогда в Германии стала развиваться и внедряться в школьное обучение технология «Методика профессионального обучения, ориентирован ного на действия». К ней относятся: методика изучения частного случая, мето дика дидактических задач, методика направляющего текста [Ф. Кайзер, К.

Роттлуфф, 48]. Данные методики основаны на компетентностном подходе к об разованию, который можно сформулировать как «совокупность общих целей образования, отбора его содержания, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов при активном участии школьников» [80].

Причем данная технология применима для развития самостоятельной деятель ности учащихся в составе группы. В настоящее время методики широко апро бируются и внедряются в Российское образование.

Исследование опыта преподавания школьной геометрии показало эффек тивность следующего варианта развития самостоятельной деятельности уча щихся при изучении стереометрии:

- применение учащимися на раннем этапе деятельности основ аналитиче ской геометрии [А.Н. Острогорский];

- включение в изучение максимально возможной стереометрической те матики, доступной пониманию школьников на определенном этапе обучения, [Ф. Клейн] и дальнейшее смещение центра тяжести от количества действий «по образцу» к их качеству, подразумевающее развитие самостоятельного мышле ния;

-в качестве опоры преподавания рассмотреть одну из методик, ориенти рованных на активное действие обучаемых, положительно зарекомендовавших себя в Европе и в настоящее время активно апробируемых и используемых в России.

В успешном решении стереометрических задач заинтересованы не только учащиеся математических классов, но и учащиеся классов универсального профиля, так как они еще не достаточно твердо определились с выбором про фессии и большая их часть проявляет значительный интерес к изучению пред мета. Но, если первая категория школьников еще до прихода в старшие классы жестко ориентирована на углубленное изучение геометрии и в силу развитых математических навыков имеет опыт самостоятельной познавательной деятель ности, то учащиеся универсального профиля при изучении такого сложного предмета, как стереометрия, опираются в значительной мере на поддержку со стороны учителя. Мы решили опираться в исследовании именно на эту катего рию школьников, причем на одиннадцатые классы, так как в начале программы числится раздел «Метод координат», являющийся основой аналитической гео метрии. В предыдущем классе эти учащиеся в разной степени приобрели опыт решения несложных стереометрических задач, опираясь при этом на простран ственные представления. В самостоятельной деятельности им предстоит раз вить и закрепить уже полученные навыки.

1.2 Методики, ориентированные на самостоятельную познавательную деятельность учащихся Развитию компетенций, направленных на самостоятельное получение знаний, во многом способствовала ситуация в Германии, где данный подход впервые стал активно применяться в 70-годы в сфере бизнеса. В российском образовании эта концепция уже в 21 веке стала занимать лидирующую пози цию. Данные методики, ориентированные на активное действие обучаемых, в педагогическом сообществе получили широкое распространение под видом так называемых «немецких» методик. Обучение российских педагогов на террито рии Сибирского региона провел доктор Г. Райер вначале 21 столетия и в на стоящее время апробация данных методик проходит на территории Новосибир ской области при Институте повышения квалификации учителей [34].

Анализ пособия Е.В. Чуба [164] «Компетентностный подход в образова нии. Современные технологии профессионального обучения, ориентированного на действие», позволил установить, что в Германии педагогический процесс осуществляется по трем методикам, ориентированным на самостоятельное дей ствие обучаемого: методика изучения частного случая, методика дидактиче ских задач и методика направляющего текста.

Методика решения дидактических задач Цель методики - научить учащихся самостоятельно планировать собст венную деятельность по выходу из конкретной учебной ситуации.

Особенностью методики является то, что учителем выдается только одно конкретное задание, но его решение должно сопровождаться овладением не скольких теоретических и практических компонентов. Для успешного построе ния дидактического задания необходимо наличие таких обязательных дидакти ческих компонентов, как: информационные листы, листы планирования, этало ны листов планирования, тестовые задания, эталоны выполнения тестовых за даний.

Методика направляющего текста Цель методики - на основе усвоенной базы знаний самостоятельно орга низовать собственную учебную деятельность учащихся.

Особенность методики заключается в том, что каждый обучающийся может работать в своем собственном индивидуальном темпе, опираясь на пред ложенные педагогом дидактические рекомендации - направляющий текст.

Направляющий текст - это открытое учебное задание (алгоритмизирован ный вариант организации процесса обучения на занятии). Направляющими тек стами являются: направляющие алгоритмизированные предложения, направ ляющие вопросы, рабочий план, бланки для контроля.

Методика исследования частного случая Цель данной методики - подготовить обучающихся к самостоятельной деятельности через задания, которые учат их принимать решение в ситуациях, связанных с профессиональной деятельностью.

Особенность методики - данная методика является наиболее сложной в методическом плане. Учебное задание скрыто в предлагаемой проблемной си туации частного случая. Сложность для обучающего разработать такую ситуа цию, а для обучающегося - выявить проблему, скрывающуюся за предлагаемым частным случаем, и отсутствием похожих примеров ее решения.

Нами сделан вывод, исходя из особенностей методики исследования ча стного случая, что она более подходит для обучения старших возрастных групп при овладении профессиональной деятельностью. Методика дидактиче ских задач и методика направляющего текста могут быть использованы в шко ле на учебных занятиях всех видов и быть результативными на уроках закреп ления и совершенствования знаний. Мы склоняемся больше в пользу методики направляющего текста, так как из ее целей и особенностей вытекает, что:

- направляющий текст представляет собой алгоритмизированное руково дство для решения задач, что актуально в нашем исследовании, поскольку в школьный курс стереометрии входят основы аналитической геометрии. Для развития у ученика самостоятельной умственной деятельности на начальном этапе может служить более доступный аналитический метод [108];

- на основе усвоенной базы знаний учащийся может самостоятельно ор ганизовать собственную учебную деятельность;

- каждый обучающийся может работать в своем собственном индивиду альном темпе, что наиболее подходит для разноуровневого (по математическим способностям) состава учащихся универсального профиля.

Перечисленные особенности методики направляющего текста совпадают с принципами проведения заключительного тура международной математиче ской олимпиады «Турнир городов». Эта олимпиада стала развиваться в Совет ском Союзе с начала 80-ых годов прошлого столетия благодаря А.Н. Комогоро ву и Н.Н. Константинову [150].

На заключительном туре учащиеся получают методические разработки. В них описаны начала решений сложных математических проблем, в которых школьники должны продвинуться без учета фиксации времени. Вначале проис ходит обучение, затем самостоятельное решение проблемы, и по результатам работы выявляются лучшие команды и школьники. Российские педагоги опре делили принципы проведения заключительного тура независимо от немецких источников, и данные выводы также говорят в пользу выбранной нами методи ки.

Анализируя деятельность российских педагогов А.Н. Острогорского и И.Ф Шарыгина, можно сказать, что их идеи и разработки [168] тоже являлись своего рода направляющими текстами, мотивирующими учащихся на само стоятельную познавательную деятельность.

Изучим подробнее методику направляющего текста непосредственно на примере ее первоисточника, пособии Ф. Кайзер, Х. Камински «Методика препо давания экономики в школе.»[62, 183].

История Метод направляющего текста сложился не сразу и впервые стал приме няться с 1971 г. как дополнение к существовавшему в Германии проектному методу, целью которого была подготовка специалистов на предприятиях.

В конце 80-ых г.г. на сталелитейных предприятиях Германии стала при меняться усложненная структура направляющих текстов, не связанная с про ектными работами: в содержание текстов вошли характерные вопросы, соз дающие возможности получения новой информации и набор знаний для само контроля. Именно на этих предприятиях Германии стала вестись целенаправ ленная работа, направленная на самостоятельное обнаружение и выравнивание недостатков знаний учащихся, работающих над общей проблемой в составе группы. Под выравниванием недостатков знаний здесь подразумевается не до ведение всех учащихся до одного определенного уровня знаний и умений, а стремление к достижению своего личного максимума каждым участником об разовательного процесса. Тогда немецкими педагогами было установлено, что методика направляющего текста способствует приобретению ключевых компе тенций профессиональной деятельности персонала.

Этапы работы с направляющими текстами Направляющие тексты являются центральным учебным средством, вы полняющие в процессе обучения функции управления по выполнению по ставленной задачи и интегрируются в данный процесс на раннем этапе. Дан ная технология содержит шесть этапов в педагогическом процессе. Таблица 1.

содержит основные характеристики этапов.

Наименование Содержание этапа Особенности этапа этапа Педагог должен оградить Этап получе- Содержательный компонент:

обучаемых от информации, информация о поставленной ния информа тормозящей их работоспо задаче и цель обучения, алго ции собность. Направляющий ритмизированный направ текст должен быть интере ляющий текст для развития сен, доступен всем обу самостоятельной деятельно чающимся и служить даль сти.

нейшему совершенствова компонент: нию в области полученных Методический содержит информацию о по- знаний.

следовательности дальней ших действий.

Состоит в составлении рабочего В процессе мысленной Этап планиро плана самостоятельной деятель- подготовки у учащихся вания ности по решению поставленной развивается не только задачи группой учащихся. Уча- способность к планиро щиеся в рамках рабочей группы ванию и прогнозирова создают многовариантные подхо- нию, но и ориентир для ды к выполнению задачи. самостоятельной дея тельности. Учитывая, что планирование может ока заться нерациональным, учащиеся обдумывают различные модификации своего плана.

На этом этапе сравниваются рабо- Особое значение на этом Этап принятия чие планы по самостоятельному этапе приобретает беседа с решения решению поставленной проблемы учителем. Стимулируется и принимается всеми членами ра- дискуссия среди учащих бочей группы решение в пользу ся, во время которой вы предполагаемого оптимального является неверные пути планирования. Материалы, пре- решения, устраняются не доставленные в направляющем ясности. Учителю не ре тексте, являются базой для приня- комендуется давать рабо тия решения. тать учащимся по принци пу проб и ошибок, огла шать без комментариев собственные рабочие пла ны.

Опираясь на предыдущую подго- В связи с тем, что в группе Этап осущест товку, учащиеся приступают к разрабатывались альтерна вления приобретению знаний, придержи- тивные планы выполнения ваясь плана, в пользу которого задания, отклонения от принято решение. Обучающийся плана являются нормой, но на этом этапе контролирует вы- они должны быть выявлены полнение плана. и разумно объяснены.

Этап контроля. Под контролем в данной методике Время для самоконтроля не подразумевается самоконтроль при определяется методикой помощи бланков для контроля. Са направляющего текста, по моконтроль служит диагностикой этому учащиеся могут в пробелов в знаниях обучающихся.

рамках группы самостоя Он фиксируется в письменном виде тельно определить время параллельно с проведением работы.

проверки. Преподаватель дополняет самоконтроль своей проверкой, но само критичный контроль самих учащихся ставится методи кой на первый план.

Делаются выводы по результатам Метод направляющего тек Этап подведе контроля. ста не предусматривает вы ния итогов ставления оценок за дос тигнутые результаты. На этом этапе обучающий предлагает учащимся само стоятельно выявить ошибки для избежания их в буду щем.

Таблица1. Шесть этапов методики направляющего текста Эти этапы деятельности являются типичными для данной технологии, однако отклонения возможны в зависимости от области применения.

Методичекое обеспечение направляющего текста Направляющие тексты являются письменным руководством, определяю щим этапы учебного процесса, где главная роль в управлении отведена уча щимся. В качестве направляющих текстов рассматриваются: направляющие предложения, направляющие вопросы, рабочий план, бланки для контроля.

Самоуправление процессами обучения и метод направляющего текста В успешном осуществлении метода направляющего текста значитель ную роль играет идея самоуправления, причем эффективность процесса обуче ния будет достигаться тогда, когда учитель становиться консультантом. Обуче ние при этом не должно регламентироваться педагогом и сосредотачиваться на нем, а развивать те компетенции, которые помогают в возрастающей мере са мостоятельно приобретать знания. Основной предпосылкой к осуществлению самоуправляющихся учебных процессов является не управляющая, а поддер живающая роль учителя, который не ограничивает масштаб возможных дейст вий учащихся. При возникновении трудностей в освоении материала поддер живающей функцией может являться беседа. Мы соглашаемся с авторами дан ной методики [62, 183] в том, что самоуправляющие учебные процессы выде ляют индивидуальность каждого ученика. Каждый из них может самостоятель но и относительно независимо от других членов рабочей группы определять темп и стиль обучения в соответствии со своими личными возможностями.

Кроме того мы соглашаемся с авторами и в том, что отказ от форм обучения в пользу самоуправляющего учебного процесса оберегает слабых учеников от беспокоящего чувства неудач, а более сильным ученикам представляет быстрое продвижение вперед. Эти же черты самоуправляющих процессов подчеркивали руководители сталелитейных немецких компаний Кох/Зелька и организатор процесса обучения на АО Форд в Кельне Роттлуфф [62].

Исследование методики направляющего текста как средства развития тех компетенций учащихся, которые помогают в возрастающей мере самостоятель но приобретать новые знания по стереометрии и формировать собственное мышление, позволило сделать следующие выводы:

- под основным направляющим текстом в содержательном компоненте будет пониматься та информация, представленная учителем, которая обеспечит необходимую базу знаний учащимся для организации самостоятельной дея тельности;

- в ходе усвоения предоставляемой учителем информации должны проис ходить качественные сдвиги как на уровне развития самостоятельно й деятель ности, так и на уровне овладения математическим материалом (переход от ко личества действий «по образцу» к их качеству, подразумевающий развитие са мостоятельного математического мышления).

Учащимся одиннадцатых классов в самостоятельной познавательной дея тельности предстоит переработать объемный материал, вначале средствами аналитической геометрии, а затем заново переосмыслить знания, связанные с пространственными представлениями и теоремами планиметрии, практически по всему курсу стереометрии. Для этого им надо преподнести информацию та ким образом, чтобы они не потеряли интерес к учению.

Так как исследованием процессов переработки и хранения больших пото ков информации занимается когнитивная психология, то в третьем параграфе рассмотрены особенности когнитивного развития и психология математиче ских способностей школьников с целью выработки требований к поставляемой учащимся информации.

1.3 Особенности когнитивного развития школьников и психология развития их математических способностей в условиях самостоятельной деятельности Отечественными психологами давно выявлены закономерности между развитием детей и их воспитанием и обучением. Представляя механизм разви тия, С.Л. Рубинштейн подчеркивал, что дети «развиваются, воспитываясь и обучаясь, а не развиваются и воспитываются, и обучаются [128, 38, стр. 70].

Это значит, что воспитание и обучение включаются в процесс развития ребен ка, а не надстраиваются над ним». Необходимо руководство собственной по знавательной деятельностью ребенка, чтобы обучение и воспитание достигали развивающего эффекта [40, стр. 70]. Еще ранее Л.С. Выготский выдвинул идею об определяющей роли обучения в психическом развитии, когда раскрывал влияние обучения на развитие с помощью введенного им понятия зона бли жайшего развития, которое рассмотрено далее в нашем исследовании.

Рассмотрим, как подходят к этому вопросу психологи, изучающие поня тие когнитивности.

В работе М.А. Холодной [160, стр. 244] понятие когнитивный трактуется следующим образом: «Когнитивный - имеющий отношение к психическим ме ханизмам переработки информации на разных уровнях познавательного отра жения (как преобразуется информация в условиях ее восприятия, как организу ется хранение информации в долговременной семантической памяти, как стро ятся дедуктивные умозаключения и т.д.)».

Исследуя природу интеллекта в своей работе «Психология интеллекта:

парадоксы исследования» [160, стр. 197], автор замечает, что раскрывается он через процедуры его приобретения и в современной школе учитель должен реализовывать функцию проектирования процесса интеллектуального развития учащихся.

Разрабатывая специальную обучающую программу под названием "Инст рументальное обогащение" [160, стр. 187], М.А. Холодная считает, что учащий ся должен приобрести вначале когнитивный опыт, который формируется при прохождении следующих фаз:

1) мотивировка – «создание условий для осознания учащимися необхо димости нового способа описания своего предыдущего опыта» (в нашем иссле довании опыта решения несложных стереометрических задач с опорой на про странственные представления);

2) категоризация – «введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания» (в нашем исследовании - применение учащимися основ анали тической геометрии на раннем этапе деятельности);

3) обогащение – «накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содер жания» (в нашем исследовании обобщение понятий методами аналитической геометрии).

Затем метакогнитивный опыт [160, стр. 189], отвечающий за «психиче ские механизмы, обеспечивающие управление собственной интеллектуальной деятельностью (в том числе непроизвольный и произвольный интеллектуаль ный контроль» (в нашем исследовании накопление и обобщении опыта реше ний стереометрических задач более сложного содержания методами, основан ными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии и кон троль за собственной деятельностью).

В своей работе М.А. Холодная обращается к понятию зона ближайшего развития, выдвинутому Л.С. Выготским, когда рассматривает процесс обуче ния школьников на начальном этапе. И Л.С. Выготский, и современный иссле дователь В.С. Гончаров рассматривают «когнитивное развитие как аспект об щего психического развития ребенка, связанный с изменением его когнитивных компетенций» [40, стр. 6]. В нашем исследовании мы понимаем когнитивные компетенции как формы организации личностью своего интеллектуального опыта, регулирующие ее познавательную активность при изучении стереомет рии. При этом основным познавательным процессом во время самостоятельной деятельности является мыслительный процесс, и он должен претерпевать каче ственные изменения, переходя от простой к более сложной когнитивной компе тенции [40, стр. 6].

Когнитивное развитие разделяется на два вида: актуальное и зона бли жайшего развития (Л.С. Выготский). Актуальное развитие характеризуется уже сформированными когнитивными компетенциями и позволяет школьникам самостоятельно выполнять действия по решению задач. При создании первона чальной информации по стереометрии можно взять за основу зону ближайшего развития как вид когнитивного развития. Оно характеризуется еще не вполне сформированными когнитивными компетенциями и не позволяет обучаемым с самого начала самостоятельно выполнять действия при решении стереометри ческих задач, представляющих из математических задач наибольшую труд ность. На начальном этапе, по утверждению Л.С. Выготского, «школьнику не обходимо сотрудничество со взрослым и центральным моментом в обучения должна быть возможность подниматься в сотрудничестве на более высокую интеллектуальную ступень с помощью подражания [33, стр. 250].», а в нашем исследовании - с помощью решения задач «по образцу». Поэтому зоной бли жайшего развития, должна быть область доступных ребенку переходов к ак туальному развитию [33, стр. 250]». Под этой областью доступных переходов мы понимаем упрощенные приемы решения задач по стереометрии, рассчитан ные на всех обучаемых универсального профиля, которые педагог должен по казать учащимся на раннем этапе получения информации в методике направ ляющего текста и которые должны формировать у учащихся максимальную го товность к переходу когнитивных компетенций на более высокий уровень.


Сравнивая исследования Л.С. Выготского, М.А. Холодной и В.С. Гонча рова, можно сказать, что прохождение учащимися фазы «мотивировка» полно стью лежит в зоне ближайшего развития, фазы «категоризация» как в зоне ближайшего развития, так и в области актуального когнитивного развития, так как новая информация, предоставленная учителем, должна обеспечивать пере ход, фазы «обогащение» - только в области актуального развития.

Существует несколько показателей когнитивного развития. А.К. Маркова обобщила исследования и составила перечень, включающий 22 показателя [89, с. 12-14]. Но мы рассматривали модифицированный перечень В.С. Гончарова [40, стр. 9] и отобрали из него те показатели, уже характеризующие готовность учащихся при изучении стереометрии перейти к самостоятельным формам мышления и, которые мы сможем пронаблюдать в условиях школы:

Показатели когнитивного развития как естественного процесса:

- «мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация, сравнение, классификация (Н.А. Менчинская);

- качества ума: самостоятельность, глубина, критичность (З.И. Калмыко ва);

- обобщенный перенос усвоенных знаний на новый материал по собст венной инициативе, применение мыслительных операций в новых условиях (Е.Н. Кабанова-Меллер) - обратимость интеллектуальных операций (Ж. Пиаже);

- интеллектуальная инициатива как поиск нового за пределами требуемо го (Д.Б. Богоявленская).

Показатели когнитивного развития как результата проектирования:

- анализирующее наблюдение, отвлеченное мышление, практические действия (Л.В. Занков);

- теоретическое мышление: содержательное обобщение, рефлексия, умственное планирование (В.В. Давыдов)».

Отечественными психологами Л.С. Выготским, А.Н. Леонтьевым и С.Л.

Рубинштейном «не отождествлялись процессы обучения и когнитивного разви тия [40, стр. 67]». В их теории усвоение материала должно сопровождаться ов ладением формами психической деятельности, что приводит к развитию уча щихся.

Таким образом, упрощенные приемы должны позволить учащимся проще накопить когнитивный опыт решением стереометрических задач, дифференци ровать и обобщить его методами аналитической геометрии. Учитывая выше сказанное, для еще большего выделения от других приемов, решено назвать их упрощенно-когнитивными.

Исследуем понятие интеллектуальной деятельности, являющейся средст вом формирования и развития математических способностей обучающихся, чтобы окончательно сформулировать требования к упрощенно-когнитивным приемам и результатам математической деятельности, ожидаемым от учащихся с разными способностями к математике.

Понятие математических способностей психологи трактуют в двух аспек тах: творческие и учебные [75]. Нас интересуют учебные способности, т.е. спо собности к быстрому и успешному овладению знаниями, умениями и навыками в области школьной математики, и конкретно, стереометрии. В Исследованиях В.А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» [75] речь идет о способностях, связанных с самостоятельным овладением математи кой в условиях школьного обучения. Причем автор исследования утвердитель но отвечает на вопрос, что способности к усвоению математики считаются про явлением математических способностей и особенно глубокое самостоятельное изучение предмета является предпосылкой развития способностей к творческой математической деятельности. Из данного утверждения следует, что две трак товки аспекта не носят различия абсолютного характера. Психологи, анализи руя навыки, умения и способности, анализируют тем самым деятельность уча щихся, что способствует выявлению психологических особенностей, благопри ятствующих обучению. Выявлено, что некоторые психологические особенно сти: способность обобщения, способность к пространственным представлени ям, способность к абстрактному мышлению - столь необходимые для успешно го освоения стереометрии, - не являются непременными условиями эффектив ной деятельности, а одними из условий. Вот какие условия, описанные здесь, выдвигаются автором исследования в качестве непременных для большинства учащихся школ универсального профиля [75]:

1. Положительное отношение к математике;

2. Трудолюбие, целеустремленность, организованность, самостоятель ность, настойчивость и чувство удовлетворения, радость творчества и откры тия;

3. Наличия во время осуществления деятельности благоприятных психи ческих состояний;

4. Наличия определенного набора знаний и навыков и умений в соответ ствующей области предмета;

5. Индивидуальные психологические особенности в умственной сфере.

Для успешного осуществления математической деятельности необходима совокупность качеств, где психологические особенности входят лишь в пятую группу. Сам собой напрашивается вывод, что в самостоятельной деятельности, в самоуправляемом процессе обучения, школьники имеют предпосылки для ус пешного творческого познания стереометрии при наличии совокупности упо мянутых качеств. Ненавязчивость предмета и особенность методики направ ляющего текста - индивидуальный выбор темпа изучения предметного мате риала, неограниченность во времени для самоконтроля - обеспечивают уча щимся условия 1, 2, 3. Учитывая, что алгоритмичность в решении математиче ских задач обеспечивает более быстрое усвоение предмета учащимся универ сального профиля, упрощенно-когнитивные приемы в сочетании с методикой обеспечат условия 2, 4, выдвинутые В.А. Крутецким. Конечно, многие решения не подчиняются алгоритмам, тем более в геометрии, но и в геометрии они име ют некое место и могут послужить базой необходимых знаний и умений для поиска «решений не подходящих под стандартное правило, что является суще ственной особенностью математического мышления» А.Н. Колмогоров [67, стр. 9]. Рассмотрим те компоненты в схеме 1, выделенные психологами [79, 75, 178], которые характеризуют математические способности обучающихся и ко торые возможно развить как в зоне ближайшего развития, так и в актуальном когнитивном развития.

Эти компоненты рассматривается исследователями [6, 172, 127] даже не как математические способности, а более как готовность к собственной дея тельности. Мы это учтем, чтобы избежать ошибок в методических разработках упрощенно-когнитивных приемов и развитии указанных компонентов. Рас смотрим три группы учащихся и их восприятие математического аппарата, на которые В.А. Крутецкий и его сотрудники разбили основной состав испытуе мых при проведении исследований: способные, среднеспособные и малоспо собные учащиеся.

Схема 1. Компоненты математической деятельности К способным были отнесены учащиеся, быстро и легко усваивающие ма тематический материал, мыслящие творчески и нестандартно. К учащимся средних способностей были отнесены те школьники, которым требуется боль ше времени для усвоения математического материала, чем учащимся первой группы. «Их знания носят скорее подражательный, чем творческий характер»

[165]. К малоспособным были отнесены те учащиеся, которые с трудом пони мают объяснения учителя, не могут решать задачи, сколь-нибудь выходящие за пределы алгоритмов, и нуждаются в дополнительных занятиях.

Особенности получения информации различными категориями учащихся 1) Установлено, что всем учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка воспринимаемого материала, но способные ученики выделяют раз личные элементы в структуре изучаемого материала, дают им различную оцен ку, синтезируют, отыскивают математические отношения и зависимости. На это же указывал и С.Л. Рубинштейн: «синтезом является всякое соотнесение, сопоставление, установление связи» [126, стр. 35]. Можно сказать, что данная группа учащихся воспринимает не единичные элементы, а «смысловые матема тические структуры», но при этом выделяет эти элементы как часть целого.

Учащиеся со средними способностями воспринимают отдельные математиче ские элементы - потеря одного такого элемента означает потерю части смысло вой математической конструкции, и для ее восстановления им необходимо предлагать задачу для связывания элементов. В процессе синтеза эта цель дос тигается. У неспособных учащихся связи устанавливаются с трудом и только с помощью извне.

2) Следующим важным компонентом, характеризующим мышление спо собных и среднеспособных детей, является свернутость процесса рассужде ния. Ориентировочная деятельность в этом случае носит одномоментный ха рактер, поскольку она настолько ограничена во времени, что учащиеся не раз деляют отдельных процессов решения задач. Единственным отличием между данными категориями школьников является временной интервал: у учащихся средних способностей этот процесс протекает дольше. Причем способность свертывания процесса, как отмечают Выготский, Богоявленский, Менчинская [23, стр. 90-91], появляется на определенных этапах математической деятельно сти в результате действия упражнений. Малоспособные учащиеся также отме чены данной характеристикой, но проявляется она лишь после долгих упраж нений на простейших задачах.

Особенности переработки информации различными категориями учащихся 1) Способность к обобщению. Способность к обобщению полученной ин формации имеет двойственный характер: увидеть в частном известное общее и увидеть в единичном случае неизвестное общее. И то и другое характеризует способных и среднеспособных к математике школьников. Способные ученики самостоятельно и быстро, нередко мгновенно, находят за частными математи ческими деталями скрытую в них общность и по новому видят частные детали, но школьникам средних способностей необходимо время для анализа инфор мации с целью ее обобщения и подсказки учителя. Малоспособным ученикам следует подбирать простые задачи и тренировать их на материале, охватываю щем все возможные случаи, чтобы им была доступна хоть какая-то степень обобщения.


2) Гибкость мыслительных процессов. Нами подмечено, что способных учащихся характеризует радость от решения одной задачи различными спосо бами, причем не обязательно оригинальными. Кроме того, они всегда ощущают потребность в поиске решений разными способами. В этот момент они обоб щают материал и по-новому, видят частные детали математического аппарата.

Это наблюдение нашло отражение в исследованиях В.А. Крутецкого. Им было доказано, что данная категория учащихся легко переключается на новый способ действия [75, стр. 301], переходя от одной умственной операции к другой.

Справедливо замечание В.А. Крутецкого и о том, что экономичное решение удерживает данную категорию учащихся от поиска новых решений, тогда как неэкономичное решение не оказывает на них сковывающего влияния. Средние учащиеся уже труднее переключаются на другой способ решения, так как прежнее решение их несколько сковывает. В данный момент обучающий дол жен оказать на них положительное психологическое воздействие. У неспособ ных учащихся найденное решение вообще отрезает возможность переключения на другой ход мысли. Их отличает инертность и устойчивый, стереотипный ха рактер действий.

3) Обратимость мыслительных процессов. Исследования психологов по казали, что при установлении прямых связей могут устанавливаться и обрат ные. Сильные учащиеся достаточно быстро устанавливают взаимообратные связи. После специальных упражнений, направленных на формирование пря мых связей, средние учащиеся со временем переходят и к обратным связям, но им требуется больше времени, чем более способным школьникам. У слабых учащихся формирование прямых и обратных связей происходит с большим трудом, с большим временным интервалом, причем обратная задача является для них отдельной, не связанной с прямой.

Особенности хранения математической информации Профессиональным математикам, а тем более школьникам, вовсе не обяза тельно иметь феноменальную память. Об этом говорил и А. Пуанкаре [122] и русский математик Д. Мордухай-Болтовский [99, стр. 525]. Суть математиче ской памяти заключается в запоминании обобщений, схем рассуждений и дей ствий. Исследования Коваля [статья А.А. Смирнова, 147] показали, что спо собные учащиеся имеют слабую память на числа, так как для поиска способа решения трудных задач числа не имеют особого значения. Зато математическая память способных учащихся избирательна, не загружает мозг избыточной ин формацией, что позволяет ее дольше хранить и применять (Брунер Дж.[30, стр.

26]). Средние учащиеся лучше запоминают конкретные данные, чем особенно сти задач. Как правило, при этом их память перегружена, так как они имеют одни и те же установки на запоминание существенного и несущественного.

Малоспособные учащиеся плохо запоминают схемы рассуждений, им необхо димо много усилий и времени для запоминания доказательств и выводов фор мул. Таким образом, без постоянного повторения решения одних и тех же задач формулировки теорем и формулы быстро забываются.

Способность к пространственным представлениям В своем исследовании В.А Крутецкий [75] изучал возможности простран ственных представлений способных и среднеспособных учащихся, на основе им же разработанной типологии (применительно к этим учащимся) умственных способностей в области математики. При этом В.А Крутецкий опирался на те интеллектуальные качества, которые способствовали успешной математиче ской деятельности. Были установлены следующие типы ума: аналитический или абстрактно-математический, геометрический или образно-математический, гармонический (абстрактная и образная модификация). Первые два типа были признаны несколько ограниченными, так как присущие им особенности обес печивают успешную деятельность лишь в конкретных областях математики. В числе испытуемых, способных школьников, гармоническим складом ума обла дала большая часть (23чел. из 34 чел.). Это позволило нам рассмотреть гармо нический тип подробнее, так как и в настоящем исследовании на протяжении всей деятельности было существенное преобладание числа обучающихся гар монического типа. Также при поиске или конструировании упрощенно когнитивных приемов целесообразнее опираться на этот тип учащихся, так как в общем процессе самопознания им может быть отведена роль корректоров знаний менее способных товарищей.

Для данного типа характерно относительное сбалансирование хорошо развитых аналитических и геометрических компонентов при ведущей роли первых. Школьники гармонического типа изобретательны в геометрической интерпретации отношений и зависимостей. Они успешно справляются с про стыми задачами на пространственное представление и осуществляют одновре менно аналитический и образно-геометрический подход к решению многих за дач. Что касается малоспособных учащихся, то они вообще не опираются при решении задач на наглядные схемы.

Анализ исследований Якиманской И.С. [176] в области психологии по развитию пространственного мышления позволил убедиться в правильности выбора математической основы для упрощенно-когнитивных приемов. И ран нее утверждение А.Н. Острогорского, и наше предположение о том, что уча щиеся лучше воспринимают пространственные объекты, если воспринимают эти объекты не абстрактно, а с привязкой к системе координат, получило под тверждение в трудах И.С. Якиманской. По ее утверждению, пространственное мышление возникает в недрах практической потребности ориентации на мест ности, а в ходе развития оно выделяется в самостоятельный вид интеллектуаль ной деятельности. В вышеназванном исследовании показано, что для развития пространственного мышления необходима система отсчета, та как ее измене ние нередко влечет за собой перестройку всей системы пространственных со отношений;

что произвольная смена точек системы отсчета приводит к дина мизму восприятия образов и данная особенность является специфической осо бенностью пространственного мышления, которая определяет основное на правление его формирования в процессе обучения. Нами было подмечено, что введение пространственной системы координат на ранних этапах изучения сте реометрии (в качестве пропедевтики) психологически подготавливает учащих ся к восприятию предмета, а также благотворно влияет на формирование про странственных представлений.

Известный исследователь в области психологии С.Л. Рубинштейн [126] писал: «Процесс мышления – это, прежде всего, анализирование и синтезиро вание того, что выделяется анализом». Взаимодействие этих процессов есть внутренние закономерности мышления. Учитывая данную трактовку, мы еще раз утвердились во мнении, что необходимо направлять учащихся к самостоя тельной деятельности через познание наиболее упрощенных, алгоритмизиро ванных приемов решения задач, названных нами упрощенно-когнитивными, овладев которыми, они смогут избавиться от чувства тревожности, возникаю щего из-за нерешенной задачи и осуществить поиск иных приемов решения, развивающих пространственные представления.

Все вышесказанное позволило обозначить следующие требования к уп рощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач:

- они должны быть основаны на малом, но содержательном и доступном понятийном математическом аппарате;

- являться основой для простых алгоритмов, которые, в свою очередь, экономны во времени применения, и обобщать максимально возможную сте реометрическую тематику;

- быть применимыми к решению сложных стереометрических задач, и доступными всем категориям учащихся универсального профиля;

как следст вие, избавлять от чувства тревожности;

- в возрастающей мере обеспечивать переход мыслительной деятельности разных по математическим способностям учащихся от зоны ближайшего раз вития к актуальному когнитивному развитию, в процессе которого учащиеся будут стремиться по собственной инициативе осуществлять поиск решений за дач, опираясь на пространственные представления и теоремы планиметрии.

Выводы по первой главе Из всех методик, ориентированных на активные действия обучаемых, «направляющий текст» наиболее полно формирует и развивает самостоятель ную деятельность разных по способностям к математике учащихся универсаль ного профиля, так как она направлена на обнаружение и выравнивание недос татков знаний в составе группы.

В исследовании, при реализации методики, направляющим предложени ем будут служить упрощенно-когнитивные приемы решения стереометриче ских задач, которым отведена роль развития в зоне ближайшего развития та ких компонентов математической деятельности, как: восприятие математиче ского материала;

способность к обобщению, к оперированию числовой и бук венной символикой, сокращение мыслительных процессов, затем, уже в акту альном когнитивном развитии гибкость мышления, способность к пространст венным представлениям, способность к обратимости мыслительного процесса, математическая память на логические схемы и обобщения, способность «к пра вильно расчлененному логическому размышлению (А.Н. Колмогоров)».

Так как перечисленный комплекс свойств личности рассматривается ис следователями даже не как математические способности, а более как готов ность к деятельности, то в дальнейшем это необходимо учесть, чтобы избежать ошибок при развитии указанных компонентов, дифференцируя учащихся по способностям к математике при организации самостоятельной деятельности.

На данном этапе исследования найденных или самостоятельно вырабо танных упрощенно-когнитивных приемов не существовало, но мы руково дствовались прежним опытом работы со школьниками 8-11 классов универ сального профиля, когда в самостоятельной деятельности предлагали учащимся систему «опорных задач» И.Ф. Шарыгина [168] при подведении итогов обуче ния планиметрии. И в практическом плане представляли, какое воздействие на обучающихся должны оказывать упрощенно-когнитивные приемы.

Данная система задач, обобщает и систематизирует знания школьников.

В дальнейшем, при переходе на решения незнакомых планиметрических задач, учащиеся уже мыслили свернутыми структурами, когда руководствовались в процессе решения целым комплексом теорем по той или иной тематике, приме няя знания к 5-6 задачам одновременно. Система задач И. Ф Шарыгина уни кальна, но опыт преподавания показал, что категория слабых учащихся все же выпадает из процесса самопознания и не все учащиеся со средними к матема тике способностями реализуют себя полностью. Связано это в первую очередь с тем, что система задач опирается на объемный понятийный аппарат, не под чиняющийся единым алгоритмам. Но, несмотря на это, рассмотренная система задач И.Ф. Шарыгина послужила для нас неким ориентиром в дальнейших ис следованиях по поиску подобных аналогов при обучении стереометрии, будь то система задач или приемы решения, после реконструкции которых, их можно определить, как упрощенно-когнитивные.

Глава 2. Научно-методические основы разработки упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов и объемов тел Остановимся на поиске и разработках упрощено-когнитивных приемов с целью развития дальнейшей самостоятельной деятельности по следующим раз делам стереометрии, изучаемым в школе: задачи на вычисление расстояний, углов в пространстве и объемов основных пространственных тел.

Компоненты математической деятельности формируются и развиваются как при решении геометрических задач практического характера, так и на тео ретическом материале, формирующем основы логического мышления. Задачи на вычисление расстояний и углов в пространстве сами по себе входят в об ширную группу задач, объединенную единой тематикой, и являются элемента ми заданий более сложной структуры, охватывающих практически весь сте реометрический материал. Это позволяет при их решении развить наиболее полно все компоненты математической деятельности, за исключением способ ности «к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуж дению» (А.Н. Колмогоров). Такую способность целесообразно формировать, по высказыванию И.Ф. Шарыгина, на разделе «Объемы», так как обучаемые с ро ждения развиваются в трехмерном пространстве, и этот же раздел является за вершающим при изучении стереометрии, что важно при подведении итогов деятельности по предмету. Общеизвестно, что в отличие от планиметрии, в ко торой равные по площади многоугольники равносоставлены (теорема Бояи Гервина), что позволяет значительно облегчить введение понятия площади, в стереометрии - равные по объему тетраэдр и куб не удовлетворяют этому свой ству (следствие из теоремы Дене-Кагана). Преподавание указанного раздела связано со значительными трудностями, которые преодолеваются с помощью аппарата математического анализа. Но даже формальное применение элементов математического анализа не позволяет ясно и понятно изложить учащимся уни версального профиля теорию объемов основных тел, изучаемых в школе. Наши опросы учителей показали, что зачастую формулы для вычисления объемов тел не выводятся, а заучиваются, в результате чего школьники получает лишь фор мальные, отрывочные, лишенные логической взаимосвязи сведения по этому разделу стереометрии. Тем не менее, в результате изложения материала этого заключительного раздела учащийся должен понять связи между освоенными им, в том числе и в результате самостоятельной деятельности, разделами сте реометрии.

2.1 Отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов решения задач по разделу вычисление расстояний и углов в пространстве Применение координатного метода и элементов аналитической геометрии значительно облегчает понимание идей и методов решения стереометрических задач, что связано с алгоритмизацией процесса решения. Возникла большая группа стереометрических задач, ориентированных на применение аналитиче ских методов. В курсах стереометрии гуманитарного и естественно-научного профилей появились «нетрадиционные» темы: «Уравнения прямой в простран стве», «Аналитическое задание пространственных фигур», «Многогранники в задачах оптимизации», «Полярные координаты на плоскости», «Сферические координаты в пространстве» [103]. Многие традиционно сложные задачи, свя занные с нахождением расстояний между скрещивающимися прямыми, при ис пользовании аналитических методов решения превращаются в задачи, решае мые по стандартному алгоритму. Актуальность внедрения в школе этих мето дов значительно возросла в связи с ведением стереометрических задач в раздел «С» ЕГЭ. Решение многих из них просто ориентированы на применение анали тических методов, в том числе и на использование скалярного произведения векторов при нахождении перпендикуляра к плоскости. В комплекте по сте реометрии для профильных математических классов векторный и координат но-векторный методы используются при решении широкого круга содержа тельных задач по следующим темам: «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей», «Вычисление величин углов и расстояний между двумя прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью».

На изучение декартовых координат и векторов в пространстве програм мой предусмотрено 20 часов [105]. Учащиеся уже знакомы с этими понятиями из курса 9 кл., поэтому провести аналогию для пространственных объектов не представляет особой сложности. По завершении обучения учащиеся должны применять свои знания к следующим задачам на вычисление расстояний и уг лов в пространстве: угол между скрещивающимися прямыми, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямой и плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.

Наиболее известный и действенный способ, позволяющий решить с по мощью векторов задачи на вычисление расстояний и углов, – это метод введе ния системы векторов, определяющих чертеж. В школе он рассматривается только на дополнительных занятиях, кружках, факультативах и т.п. Для реше ния задач этим методом разработаны общие алгоритмы, легко запоминающиеся школьниками (см., например, работу Ионина Ю. и Некрасова В. в журнале «Квант» [61]). Метод имеет свои достоинства и недостатки. К числу достоинств можно отнести его универсальность, а к числу недостатков - громоздкость и сложность вычислений. Внимательный, уверенный в себе выпускник, умеющий сосредоточиться на решении задачи, сумеет применить алгоритм и верно осу ществить вычисления. Но в условиях экзамена большинство учащихся испыты вают стресс, который отрицательно влияет на качество решения задачи. Следо вательно, данные приемы решения задач не рассчитаны на все категории школьников, обозначенные В.А. Крутецким, и не могут считаться упрощенно когнитивными.

Для определения общего упрощенного способа решения задач на вычис ление расстояний и углов рассмотрим методическое обеспечение применения аналитического метода решения задач стереометрии, основывающееся на мате риалах учебников по геометрии Л.С. Атанасяна [15] и А.В. Погорелова [114].

В учебнике А.В. Погорелова в главе «Декартовы координаты и векторы в пространстве» вначале вводится прямоугольная декартовая система координат в пространстве, а затем формулируются три задачи на вычисление углов между скрещивающимися прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью. В конце главы рассматриваются действия с координатами векторов, а в качестве примера приводится решение задачи на вычисление угла между скрещиваю щимися прямыми с использованием скалярного произведения. Других приме ров для решения задач с применением аналитических приемов в учебнике нет.

В базовом учебнике Л.С. Атанасяна и др. вначале рассматриваются ли нейные операции с векторами в пространстве, свойства скалярного произведе ния, а затем вводятся координаты векторов и точек. Выводится уравнение плоскости и рассматриваются две задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости и угла между прямыми. В практической части главы учащимся пред лагается решить задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью.

В рассмотренных учебниках нет единого подхода к применению анали тического метода для решения задач по указанной тематике.

Рассмотрим несколько учебных пособий по решению задач.

В.В Прасолов, И.Ф. Шарыгин. «Задачи по стереометрии», Москва – Наука, 1989г. [120].

В пособии угол между плоскостями часто определяется как угол между нормалями к плоскостям. Причем для вычисления координат вектора, нормаль ного к плоскости, используется свойство коэффициентов при неизвестных в общем уравнении плоскости, при этом для объяснения этого свойства применя ется формула скалярного произведения векторов в координатах. Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется как косинус между прямой и норма лью к плоскости, что заметно облегчает решение, но закономерностей, доступ ных школьникам общеобразовательных классов, в вычислении произвольного вектора, перпендикулярного плоскости выявлено не было. Задач с применением аналитических методов для вычисления расстояний между скрещивающимися прямыми и от точки до плоскости в пособии [120] не предлагается.

А.Г Корянов., А.А. Прокофьев Многогранники: виды задач и мето ды их решения [70].

В рассматриваемом пособии решения всех задач по указанной тематике представлены векторным или координатно-векторным способом. Широко при меняются уравнения плоскостей и формулы для определения координат точек, делящих отрезок в заданном отношении.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.