авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ «МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ...»

-- [ Страница 2 ] --

Недостатки методов и приемов, описанных в этом пособии, заключаются в следующем. Система векторов, определяющих чертеж, составлена из ребер куба. Такая система дает простую таблицу умножения, так как скалярное про изведение векторов, составляющих базис, равно нулю. Соответственно, все вы числения упрощаются. Введение подобной системы векторов в другом теле, например в тетраэдре, приводит к более сложным вычислениям, так как угол между векторами, составляющими базис, может не равняться 90°.

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется при помощи координатно-векторного метода с применением формул деления отрезка в за данном отношении, а это значительно увеличивает понятийный аппарат сред него и слабого учеников. Угол между прямой и плоскостью, как и у И.Ф. Ша рыгина [120] находится как угол между нормалью и прямой, но координаты вектора, перпендикулярного плоскости, предлагается найти, предварительно определив уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости определяет ся из формулы, представленной в базовом учебнике Л.С. Атанасяна и др.

Из опыта преподавания в классах универсального профиля мы сделали вывод, что определение уравнения плоскости и решение задач с применением этого уравнения довольно обременительны для учащихся. Учащиеся легко оп ределяют координаты точек в пространстве, усваивают простые и общие алго ритмы для всех задач, но освоить, закрепить и систематизировать за 20 часов многообразие методов, которые предлагают авторы учебного пособия, даже от носительно сильным школьникам бывает достаточно трудно.

Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения.— М.:МЦНМО, 2006.—160 с..[41].

Пособие содержит задачи по стереометрии, предназначенные для допол нительных занятий учащихся старших классов. Оно служит также пособием для подготовки к математическим олимпиадами и вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. В главе «Векторный метод» очень подробно и доступно для учащихся классов универсального профиля приведена технология перевода геометрических утверждений на векторный язык. Рас сматриваются две типовые экзаменационные задачи повышенного уровня сложности: вычисление углов и расстояний между скрещивающимися прямыми векторным способом с использованием системы векторов, определяющих чер теж. В главе «Координатный метод» вычисляется угол между плоскостями, как угол между перпендикулярами к этим плоскостям, но вычисление перпендику ляра к плоскости при этом опирается на признак перпендикулярности прямой и плоскости, что доступно не каждому выпускнику общеобразовательной школы.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется как угол между перпендикуля ром к плоскости и прямой, но координаты перпендикулярного вектора опреде ляются через уравнение плоскости.

П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии : учебное пособие / — М.: Илекса;

НИИ Школьных технологий ;

Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 164 с.

[136].

В книге изложены методы решения стереометрических задач, основанные на применении векторов и метода координат. Такие задачи включены в вариан ты вступительных экзаменов в различные вузы, Единого государственного эк замена по математике, учебники для профильной школы и классов с углублен ным изучением математики. В этом пособии, как и в других, представлено мно гообразие аналитических приемов и методов по решению всех задач на вычис ление расстояний и углов. Четко представлены алгоритмы векторного способа по каждой задаче с использованием системы векторов, определяющих чертеж.

Координатный способ часто применяется вместе с уравнением плоскости, но и в векторном и координатном способах во всех решениях авторы приходят к системам уравнений и громоздким вычислениям, недоступным большинству учащихся универсального профиля.

Существующие алгоритмы решения задач, использующие таблицы ска лярных произведений векторов базиса, обеспечивают решения всего спектра задач на вычисление расстояний и углов в пространстве, но требуют значитель ных вычислительных навыков, а также особого внимания при выполнении вы числений. Эти алгоритмы, используемые в элективных курсах, не рассчитаны на массового школьника, следовательно, они не удовлетворяют условиям, по зволяющим решать задачи с помощью упрощенно-когнитивных приемов. И все же наш анализ аналитических способов решения задач позволил выявить неко торые закономерности для создания упрощенно-когнитивных приемов. Напри мер, авторы В.В Прасолов, И.Ф. Шарыгин [120] в задаче нахождения угла меж ду прямой и плоскостью заменили его на угол между прямой и нормалью к плоскости. Действительно, часто это бывает очень удобно, но при этом авторы пособия не показали алгоритм вычисления координат нормального вектора плоскости. Так же и при решении задач на вычисление угла между плоскостями авторы перечисленных выше пособий [120, 144, 70, 41] угол между плоскостя ми заменяют на угол между нормальными векторами к этим плоскостям, что в действительности одно и тоже. В этих задачах уже можно определить общие объекты: два вектора, определяющие плоскость, и произвольный вектор, пер пендикулярный к плоскости. При вычислении расстояний между скрещиваю щимися прямыми также используются два направляющих вектора прямых и общий перпендикуляр к ним. Но здесь задача становится более сложной, так как приходится вычислять длину общего перпендикуляра. Наконец, в задаче нахождения расстояния от точки до плоскости используются те же векторы, за дающие плоскость, а также перпендикуляр к ней. Во всех перечисленных зада чах используются общие объекты: два вектора и вектор, перпендикулярный к ним. Мы имеем основу для самостоятельной выработки упрощенно когнитивных приемов, обеспечивающих зону ближайшего развития учащегося.

Одновременно на этом этапе исследования, с целью выработки рекомен даций для обучаемых, обладающих разным уровнем математических способно стей, был проведен анализ приемов решения задач на вычисление расстояний и углов в пространстве, опирающихся на пространственные представления. Это будет способствовать организации самостоятельной деятельности при переходе от упрощенно-когнитивных приемов к решению задач иными методами и формирования актуального когнитивного развития учащихся.

Подходы к решению задач по вычислению расстояний и углов в пространстве, основанные на пространственных представлениях Для примера рассмотрим работы известного автора пособий для школь ников И.Ф Шарыгина [120, 170, 171], который опубликовал задачи не только для школьников математических классов, но и опорные задачи для учащихся универсального профиля [168];

базовые учебники общеобразовательного про филя Л.С. Атанасяна и др. [15], А.В. Погорелова [114], а также работы авторов задач единого экзамена по стереометрии И.М. Смирновой, В.А. Смирнова [150] и авторов методических разработок по методам решения задач единого экзамена А.Г Корянова, А.А. Прокофьева [70].

И.Ф. Шарыгин писал: «Решение большинства стереометрических задач состоит в том, что данная задача посредством различных приемов сводится к одной или нескольким планиметрическим задачам. Очень часто это делается с помощью вспомогательных сечений или других вспомогательных плоскостей.

Еще одним распространенным методом сведения пространственной задачи к плоской является проектирование. Суть метода состоит в том, что рассматриваемый пространственный объект проектируется на специально выбранную плоскость, в результате чего появляется плоская фигура со свойствами, позволяющими существенно облегчить решение» [167]. Именно эти принципы и ложатся в основу решений некоторых задач по стереометрии.

1) определение: угол между двумя скрещивающимися прямыми считает ся равным наименьшему углу между двумя пересекающимися прямыми, парал лельным этим прямым. [167] Рассмотрим принципы решения таких задач на примере задач таких авто ров, как В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин [120].

Задача. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между прямыми АС1 и A1B (рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрации к задачам на вычисление угла между прямыми В книге приводится чисто геометрическое решение задачи (рис. 1 а), при водящее к ортогональному проектированию точки A в центр треугольника A1DB. Решение достаточно оригинальное, требующее от ученика нестандартно го мышления. Если рассматривать решение, основанное на определении, то, применяя параллельный перенос прямой A1B до пересечения прямых в точке Р, получим треугольник PQC1 (рис.1 в). Дальнейшее вычисление основано на применении свойств равнобедренного треугольника, а в общем случае - теоре мы косинусов. Метод параллельного переноса часто применяется при решении задач подобного рода и является наиболее доступным для большинства школь ников. Этот метод можно назвать стандартным, но он требует развитого про странственного мышления, так как определить требуемый параллельный пере нос бывает достаточно сложно.

Рассмотрим задачу. Дан куб АВСDА1В1С1D1 точка Е – середина С1D1.

Найти угол между прямыми АЕ и D1B (рис.2). Требуется развитое пространст венное воображение для обоснования решения задачи и сложные вычисления.

Рисунок 2. Иллюстрация к задаче вычисления угла между прямыми.

2) Определение: угол между плоскостями считается равным наимень шему из четырех двухгранных углов, образовавшихся при их пересечении. За величину двухгранного угла принимают величину его линейного угла. Линейным углом двухгранного угла, называется угол, возникший при пересечении двух гранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру двухгранного угла [167].

Там же рассмотрено утверждение, из которого следует еще один способ вычисления углов между плоскостями. [167] Теорема: пусть в одной из двух плоскостей, пересекающихся под углом, расположена фигура Ф площади S, S1- площадь фигуры Ф1-проекции этой фи гуры на другую плоскость. Тогда S1= Scos.

Рассмотрим приведенную в указанном пособии [120] задачу 1.9 и прин цип ее решения. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1 С1D1 со сторо нами a,b,c найти угол между плоскостями АВС1 и ВDВ1 (рис. 3).

Рисунок 3. Рисунок 4.

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между плоскостями Решение основано на применении теоремы о проекциях, оно довольно трудное для школьника, так как процесс нахождения искомого проектирования опирается на развитое пространственное воображение. Применение такого спо соба доступно не каждому школьнику. И.Ф. Шарыгин, рассматривая опорные задачи на нахождение углов между плоскостями для школьников классов уни версального профиля [168], опирается на вышеупомянутое определение угла между плоскостями.

Рассмотрим задачу: найти угол между смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды ABCDE с заданной стороной основания и боковым ребром (рис. 4). Для ее решения строится секущая плоскость DBF перпендикулярная ребру двухгранного угла. Искомый угол находится по тео реме косинусов как соответствующий угол треугольника, полученного в сече нии пирамиды. На этом принципе основаны решения многих задач единого го сударственного экзамена по этой тематике. Но в сборнике задач [146] для под готовки к экзамену встречаются задачи, где отдельные школьники не могут на чертеже построить ребро двухгранного угла или определить линейный угол двухгранного угла, так как эти элементы явно не просматриваются, например, на (рис. 5 а) дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между плоскостями АВ1D1 и BA1C1.

Рисунок 5 а. Рисунок 5 в.

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между плоскостями Или следующая задача: дана правильная четырехугольная пирамида ABCDE c ребрами равными единице. Найти угол между плоскостями ADE и BCE (рис. 5 в).

А.Г Корянов., А.А. Прокофьев, рассматривая подобные случаи [70], предлагают вместо линейного угла рассмотреть угол с соответственно парал лельными сторонами к линейному углу двугранного угла или вычислить угол между перпендикулярами к данным плоскостям. Решения таких задач сопряже ны со значительными трудностями. Большинство школьников может понять готовое решение, но самостоятельно его выполняют единицы.

3) Задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью. Решение за дач по этой теме основано на следующем определении: если прямая пересека ет плоскость и не перпендикулярна ей, то за угол между прямой и плоскостью принимают угол между прямой и ее проекцией на плоскость [167].

Задачи, приведенные И.Ф. Шарыгиным, достаточно сложны. Для их ре шения предлагается координатно-векторный метод. Синтетический же способ решения используется им, в основном, как промежуточный этап решения. В пособиях И.М. Смирновой, В.А. Смирнова [150] и у А.Г Корянова, А.А. Про кофьева [70] такие задачи разбираются отдельно. Иногда они достаточно про сты, так как большинство учащихся не испытывает трудностей с построением проекции прямой на плоскость. Яркий пример такой задачи приведен в пособии [150]. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между прямой АА1 и плоскостью ADB1 (рис.6 а).

Рисунок 6 а. Рисунок 6 б. Рисунок 6 в.

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между прямой и плоскостью Проекция точки А1 на плоскость ADB1 есть точка F и она явно просматри вается. В ряде задач решение основывается на теоремах о взаимном располо жении прямых и плоскостей и учащийся должен не только иметь развитое про странственное воображение, но и уметь применять эти теоремы на практике.

Например, в кубе АВСDА1В1С1D1 вычислить угол между прямой АВ1 и плоско стью DBC1 [146] (рис. 6 б). Для решения этой задачи надо применить признак параллельности прямой и плоскости. Но в дидактическом материале [146] чаще встречаются задачи, когда основание перпендикуляра труднодоступно: в пра вильной четырехугольной пирамиде ABCDE, все ребра которой равны единице, вычислить угол между прямой ВD и плоскостью ВЕС (рис. 6 в). Для успешного решения задач подобного рода учащийся должен применить все свои знания, умения и вычислительную технику. Опыт свидетельствует, что задачи на эту тематику в общей массе являются достаточно сложными для большинства учащихся. Очень подробно описаны различные случаи вычисления углов меж ду прямой и плоскостью в пособии А.Г Корянова, А.А. Прокофьева [70], но единого подхода, рассчитанного на среднего школьника, нет.

4) Определение: расстояние от точки до прямой (плоскости) есть длина перпендикуляра, проведенного к прямой (плоскости) [15].

Расстояние от точки до прямой - задача планиметрическая. Во всей встречающейся литературе перпендикуляр заключается в треугольник с извест ными сторонами, и задача сводится к вычислению высоты треугольника. Как правило, затруднений у учащихся универсального профиля эти задачи не вызы вают.

Этот же подход можно применить и к вычислению расстояния от точки до плоскости, по аналогии заключив искомый перпендикуляр в треугольник.

Кроме того, авторы учебного пособия [70] предлагают найти высоту, используя заранее известный объем.

В базовом учебнике для средних школ [15] приведены следующие утвер ждения:

- расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно рас стоянию от любой точки этой прямой до плоскости;

- расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоя нию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Приведенные свойства параллельных прямых и плоскостей также приме няются при решении задач в пособиях [150] и [70]. Задачи по этой тематике представлены во всем многообразии. Разнообразие подходов к решению задач рассчитано на хорошо подготовленного ученика. Успешное освоение этих ме тодов достигается с помощью решения большого числа предложенных задач, разных по уровню сложности. Ясно, что не каждый школьник может с этим справится. Из всех способов решений, которые легче всего усваивается школь никами, можно выделить следующий, применяемый к большему числу задач:

для вычисления расстояния от точки до прямой или плоскости рассматривае мый перпендикуляр заключается в треугольник с известными сторонами. Затем применяются теоремы Пифагора, косинусов или синусов.

5) Задача вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим определение этого понятия из разных источников:

А) расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельную первой, называется расстоя нием между скрещивающимися прямыми [15];

В) длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и есть расстояние между скрещивающимися прямыми [114].

Авторы учебного пособия [70] предлагают четыре подхода к решению за дач на вычисление расстояния между прямыми. Три из них основаны на опре делениях, приведенных в учебниках [15, 114]. Построить общий перпендикуляр и найти его длину (определение В).

1. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй.

Искомое расстояние будет равно расстоянию от любой точки второй пря мой до построенной плоскости (определение А).

2. Заключить данные прямые в параллельные плоскости и найти между плос костями расстояние (определение А).

3. Найти расстояние, равное расстоянию от точки, являющейся проекцией од ной из данных прямых, на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость.

Последний метод решения предложил И.Ф Шарыгин. В своем учебнике [167] он подробно его описывает. Наш опыт показывает, что, если школьники овладели ортогональным проектированием, то задачи подобного рода решают с большим интересом, несмотря на то, что они являются одними из самых слож ных базовых задач. Но не всегда и не всем выпускникам ортогональное проек тирование помогает решить задачу. Пространственное воображение у детей развивается по-разному. Например, следующая задача, решение которой опи рается на ортогональное проектирование, не вызывает у учащихся затруднений.

Дан единичный куб АВСDА1В1С1D1 точка К середина ребра ВВ1. Найти расстояние между прямыми D1K и AD (или АА1 )(рис. 7 а).

Рисунок 7 а. Рисунок 7 в.

Иллюстрации к задачам на вычисление расстояний между прямыми Почти все учащиеся правильно проектируют прямые АА1 и D1K на плос кость грани DCC1D1 и тем самым сводят пространственную задачу к планимет рической задаче вычисления расстояния от точки до прямой. Но, например, при решении следующей задачи мало кому из учащихся понятно, на какую плос кость можно спроектировать прямые.

Дан единичный куб АВСDА1В1С1D1. Найти расстояние между прямыми А1В и В1С (рис. 7 в).

Анализ вышесказанного и одновременная работа с учащимися позволили рекомендовать слабым школьникам в самостоятельной деятельности при пере ходе от упрощенно-когнитивных приемов к иным приемам развивать свои про странственные представления в процессе решения задач на вычисление углов между скрещивающимися прямыми и вычисление расстояния от точки до пря мой. Средним учащимся - добавить задачи на вычисление углов между плоско стями и между прямой и плоскостью. Сильным учащимся - добавить оставшие ся задачи на вычисление расстояний от точки до плоскости и расстояний между прямыми. Таким дифференцированием обусловлен переход мышления учащих ся к актуальному когнитивному развитию.

2.2 Отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов решения задач по темам школьного курса стереометрии «Вычисление расстояний и углов в пространстве»

В школах учителя ведут обучение преимущественно по учебникам Л.С.

Атанасяна и др. [15] и А.В. Погорелова [114]. Привлечение методов математи ческого анализа, выходящих за рамки элементарной геометрии, при изучении объемов пространственных тел пугают учеников и учителей, поэтому, как пра вило, формулы для вычисления объемов тел не выводятся, а заучиваются. Это отрицательно сказывается как на развитии логического мышления учеников, так и на их отношении к математике как строгой, логически безупречной науке.

На изучение объемов основных тел в школьных программах в среднем отво дится 20 часов. За это время учащиеся должны научиться выводить формулы для объемов тел и применять их при решении задач различного уровня сложно сти. Рассмотрим подходы к вычислению объемов тел на примере наиболее из вестных учебников как прошлых лет, так и ныне действующих.

Киселев А.П., учебник, «Элементарная геометрия. Стереометрия».

Для средних учебных заведений. М.: Физматлит, 2004. - 328с. [65].

Рассматриваемый школьный учебник использовался учителями около лет для обучения многих поколений школьников. Он был написан учителем и ориентирован на учащегося, на его восприятие учебного материала. Учебник отличает «сжатость», т.е. компактность изложения материала без потери стро гости. Отсекается только лишнее, отвлекающее, засоряющее, мешающее смы словому восприятию текста. Этот термин как комплимент прозвучал в похвалу А.П. Киселеву на Всероссийской конференции «Математика и общество» [91].

В начале изложения А.П. Киселев дает понятие объема: «Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела». И затем определяет исходные положения:

- равные тела имеют равные объемы;

- объем какого-нибудь тела, состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объемов этих частей;

- два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.

За единицу измерения в учебнике принимается объем единичного куба.

Далее выводится формула для вычисления объема прямоугольного па раллелепипеда, где в первом случае длины сторон выражены рациональными числами, при этом вывод довольно легко воспринимается учащимися, во вто ром – иррациональными, вывод опирается на предельный переход, а опыт пре подавания свидетельствует, что при этом условии рассуждения доступны не всем учащимся классов универсального профиля. Объем призмы вычисляется достаточно просто легкодоступными средствами, а объем пирамиды также же вычисляется с помощью предельного перехода. В разделе для ознакомления приводится принцип Кавальери и рисунки, его демонстрирующие, но А.П. Ки селев утверждает, что доказательства, основанные на нем, нельзя считать стро гими.

При определении объемов цилиндра и конуса в учебнике применяется предельный переход, но весьма в доступной для учащихся форме. Перед тем как вычислить объем шара, в учебнике приводится доказательство леммы об объеме тела вращения, образуемого треугольником вокруг оси, проходящей че рез одну из его вершин. Доказательство этого факта и дальнейшее вычисление объема шара просты и доступны большинству школьников, так как опираются на методы евклидовой геометрии. В дополнение к этому, формула объема шара выводится с применением принципа Кавальери.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Киселева Л.С. Геометрия. 10-11 кл.: Учебник – М.: Просвещение, 1999–2002, – 206 с.

[15].

В данном учебнике авторы вводят понятие объема тела по аналогии с по нятием площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков, и указывается, что объ ем величина положительная. Затем вводятся следующие свойства объемов, ко торые авторы учебника назвали основными:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объе мов этих тел;

- объем куба с единичным ребром равен единице.

В дальнейшем на основе этих свойств авторы выводят формулы для вы числения объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, ша ра.

Объем прямоугольного параллелепипеда выводится для двух случаев: с рациональными и иррациональными длинами сторон. При выводе объема ци линдра используется предельный переход, а формулы для вычисления наклон ной призмы, пирамиды, конуса и шара с применением определенного инте грала.

Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с. [114].

В начале автор учебника вводит понятие простых тел, которые можно разбить на треугольные пирамиды. Далее следует указание, что объем величина положительная и обладает следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на части, являющееся простыми телами, то его объем равен сумме объемов этих частей;

- объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Перед вычислением объема прямоугольного параллелепипеда автор при вел нетривиальное доказательство, основанное на предельном переходе, о том, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. Затем, применив свойства 2 и 3, автор находит объем самого прямоугольного параллелепипеда. При вычислении объема наклонного параллелепипеда используется равносоставленность прямого и наклонного па раллелепипедов. Вычисление объема произвольной призмы основано на методе разбиения и является достаточно простым, а при вычислении объема пирамиды используется предельный переход, причем применяются верхние и нижние ин тегральные суммы Дарбу. Формулы для вычисления объема цилиндра и конуса выводятся с применением предельного перехода. Далее следует общая формула для вычисления объемов тел вращения, которая выводится с применением оп ределенного интеграла. Объем шара также вычисляется с использованием оп ределенного интеграла.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.Стереометрия. 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений с углублением и профильным изучени ем математики. – М.: Дрофа, 2002. [119].

Это учебное пособие предназначено для классов с углубленным и про фильным изучением математики.

В начале соответствующего раздела авторы стандартным образом вводят понятие объема, описывая его свойства.

Далее они декларируют, что строгое обоснование вывода формул для вы числения объемов весьма сложно. Если же принять без доказательства принцип Кавальери, то обоснование необходимых формул существенно упрощается. Да лее находится объем прямоугольного параллелепипеда со стороной основания а и b и высотой 1. Для этого параллелепипед и единичный куб располагаются та ким образом, чтобы их плоскости оснований совпадали. Тогда отношение пло щадей сечений любой плоскости, параллельной основанию, равно ab. Из принципа Кавальери следует, что отношение объемов этого прямоугольного параллелепипеда и единичного куба также равно ab. Применяя тот же метод, авторы находят объем прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон а, b, с, располагая этот параллелепипед и параллелепипед со сторонами a, b,1 так, чтобы грани со сторонами а, 1 и а, с лежали в одной плоскости. Из принципа Кавальери выводится отношение объемов этих многогранников. При помощи этого принципа в учебнике выводятся формулы для вычисления объемов приз мы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей.

Александров А.Д., Вернер А.П., Рыжик В.И. Геометрия. 11 кл. :

Учебник (углубленное изучение, физико-математический профиль) – М. :

Просвещение, 2000-2002, – 319 с. [4].

В этом учебнике рассматриваются вопросы программы геометрии для общеобразовательной школы и программы геометрии для классов с углублен ным изучением математики. В начале главы дается понятие простой фигуры как плоской, так и пространственной. Далее дается определение объема, кото рое состоит из следующих положений: объемом простой пространственной фи гуры называется неотрицательная величина, равные простые фигуры имеют равные объемы, если простая фигура состоит из конечного числа простых фи гур, то ее объем равен сумме их объемов. Доказательство формулы объема прямого цилиндра опирается на следующие соображения, наглядно представ ленные в учебнике:

- объем прямого цилиндра пропорционален высоте;

- объем прямого цилиндра пропорционален площади его основания.

Из данных соображений авторы утверждают, что объем цилиндра про порционален и площади основания и высоте, следовательно, и их произведе нию.

Вычисление объемов остальных тел опирается на интегральное исчис ление.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл.: Учебник - М.: Дрофа, 1999-2002, – 208 с. [167].

В учебнике реализуется авторская наглядно-эмпирическая концепция по строения школьного курса геометрии, которая, прежде всего, характеризуется отказом от аксиоматического метода и усилением наглядных методов. Больше внимания, по сравнению с традиционными учебниками, уделено решениям геометрических задач.

Автор учебника пишет, что теория объемов строится аналогично теории площадей плоских фигур, но для удобства рассматриваются лишь многогран ники, хотя сформулированные свойства объемов относятся и к телам общего вида.

Далее в несколько этапов выводятся формулы объема прямоугольного параллелепипеда. На первом этапе вычисляется объем параллелепипеда, если длины его ребер выражены рациональными числами. На втором этапе вычисля ется объем параллелепипеда, если длины двух его ребер рациональны, на третьем этапе – если длина одного ребра рациональна. Каждый последующий случай сводится к предыдущему. Рассуждения являются достаточно трудными для школьников классов универсального профиля. Вывод формулы для вычис ления объема произвольной призмы основан на разбиении тел. Формула объема треугольной призмы выводится с использованием площади боковой грани. За тем формулируется принцип отношения объемов для подобных тел. Объем пи рамиды вычисляется с применением этого принципа и метода разбиения. Такой способ вычисления объема пирамиды очень показателен, так как формирует у учащихся нестандартный подход к решению задач. Приводится вывод формулы для вычисления объема описанного многогранника. Выводятся формулы объе ма тетраэдра через площади двух граней, двухгранный угол и ребро, а также через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними. Объем ци линдра и конуса вычисляется достаточно просто с использованием предельного перехода. Затем вводится принцип Кавальери и вычисляется объем шара.

Смирнова И. М., Смирнов В.А., Геометрия 10-11 кл.: учеб. для уча щихся общеобразовательных учреждений, Мнемозина, 2008, 288 стр. [149].

Авторы указывают, что объем – величина, аналогичная площади и со ставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа.

Затем так же, как и авторы других учебников, вводят свойства объемов.

Для нахождения объемов фигур авторы учебника объединяют некоторые фигуры в один класс. И с этой целью дают общее определение цилиндра. От резки, соединяющие точки произвольной фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую называют цилиндром. Частным случаем ци линдра является призма. Далее идет очень понятный и простой вывод формулы для вычисления объема прямого цилиндра. После введения принципа Кавалье ри приводится доказательство формулы нахождения объема наклонного ци линдра. Затем авторы учебника дают определение конуса, позволяющее объе динить в один класс конусы и пирамиды, и доказывают следующую теорему:

если два конуса имеют равные высоты и основания равной площади, то их объемы равны. При вычислении объема треугольной пирамиды она достраива ется до призмы, и при помощи предыдущей теоремы доказывается, что эта призма состоит из трех равновеликих пирамид. Поскольку пирамида и конус относятся к одному классу, мы можем определить объем конуса. Объем шара вычисляется известным методом через принцип Кавальери [126].

Анализ литературы позволил сделать нам следующий вывод К необходимым принципам обучения, которые в свое время определил К.Д. Ушинский [157]: сознательность и активность обучения, наглядность, по следовательность, прочность знаний и навыков, - в настоящее время добавляет ся основополагающий принцип доступности. О нем много говорили современ ные педагоги и исследователи [175, 128, 115, 21, 22]. Этот принцип должен оп ределять упрощенно-когнитивные приемы вычисления объемов. Наш опыт преподавания показывает, что большая часть школьников универсального про филя не способна уяснить последовательное построение теории объемов.

Сложности возникают почти с самого начала изучения раздела. Во всех рас смотренных учебниках стереометрии, кроме учебника И. М. Смирновой, В.А.

Смирнова [149] объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется неэле ментарными способами с привлечением предельного перехода. Для понимания доказательства требуются, помимо знаний, определенные навыки математиче ских рассуждений, которые доступны ограниченному числу учеников. Поэтому учащиеся универсального профиля быстро теряют интерес к изучению темы.

Кроме того, неясным остается вопрос о начальных положениях, свойствах, ус ловиях, которые авторы учебников положили как основные при построении теории объемов. Некоторые школьники задают вопрос: если это свойство, то почему оно не доказывается. Что такое условие или начальное положение? Все гда в классе найдется ученик, который обратит внимание на свойство аддитив ности и задаст учителю вопрос, куда относить граничные точки. И в этом слу чае формулировка свойства в учебнике [149] является не совсем корректной.

Более правильной будет формулировка, в которой речь идет о внутренних точ ках (точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестно стью) [119]. Опыт проведения уроков по этой тематике показывает, что все учащиеся в состоянии понять определения внутренних, внешних и граничных точек. Почти во всех учебниках для вывода формул объемов тел используют сложный понятийный аппарат математического анализа: предельный переход и интегральное исчисление, - который не усваивается учащимися. Кроме того, при переходе к интегрированию учащийся не прослеживает связь с аксиомами.

Таким образом, не в полной мере выполняются следующие необходимые прин ципы обучения: доступность, активность учащихся при изучении материала и последовательность обучения.

В условиях самостоятельной познавательной деятельности назрела необ ходимость пересмотра подходов к преподаванию темы «Объемы». Именно та кую попытку предприняли авторы учебника [149], объединив пространствен ные фигуры в классы, где для каждого класса определили общую формулу вы числения объемов. Авторы учебника ушли от сложного доказательства вычис ления объема прямоугольного параллелепипеда, но остался нерешенным во прос о начальных положениях, которые слабо связаны с выводами формул. Ди дактический принцип последовательного развития теории от аксиоматики до завершающего шага в рассматриваемом случае зависит от педагогических и ме тодических способностей учителя. Мы сделали вывод, что при выработке уп рощенно-когнитивных приемов для вычисления формул объемов тел необхо димо отталкиваться от аксиом. При выводе основных положений не использо вать элементы математического анализа, усвоить которые не в состоянии все учащихся универсального профиля, а принять принцип Кавальери как пятую аксиому в аксиоматике объемов и, объединив все изучаемые объемные фигуры в классы, найти общий, короткий и доступный всем школьникам алгоритм вы вода формул, основанный на теоремах элементарной геометрии.

Продемонстрируем разработанные нами упрощенно-когнитивные прие мы, позволяющие обеспечить учащихся необходимой базой знаний для даль нейшего развития самостоятельной деятельности в изучении стереометрии.

2.3 Вычисление расстояний и углов в пространстве на основе упрощенно-когнитивных аналитических приемов При решении задач на вычисление расстояний и углов в пространстве очень часто исследуют вектор, перпендикулярный одновременно двум другим.

Задача вычисления координат произвольного вектора сводится к решению двух уравнений с тремя неизвестными. В учебниках по линейной алгебре А.Г. Ку роша [78], Н.В. Ефимова [57], П.С. Александрова [5] не содержатся доступные для школьников универсального профиля методы решения такого рода систем.

Проиллюстрировать сущность и специфику этих приемов можно на ни жеследующей совокупности практической и теоретической задач.

1) Практическая задача: быстро определять координаты произвольного вектора, ортогонального одновременно двум другим. Исследование решений множества задач по тематике вычисления углов в пространстве показало, что встречаются три варианта расположения координат векторов, определяющих плоскость. И нами выработан следующий подход к решению проблемы вычис ления координат произвольного вектора, ортогонального одновременно двум другим:

А) пара векторов, из которых хотя бы один имеет координату «ноль».

Пусть это будут векторы а( p;

0;

q) и b( m;

n;

k ). Надо найти произвольный век тор c, перпендикулярный а и b одновременно. Скалярное произведение векто ров ac и bc должно быть равно нулю. Положим c( q;

x;

p), тогда pk. Неизвестная координата х является решением урав ac 0, b c qm xn qm pk qm pk нения qm xn.Окончательно, c ( q;

x ;

p) ;

pk n n Б) очень часто встречаются пары векторов, которые имеют две одинако вые координаты и третьи координаты, противоположные по знаку, но равные по модулю, например, а (т;

n;

k ) и b (т;

n;

k ). Тогда в качестве векторов, пер пендикулярных к данным, можно рассмотреть векторы c (n;

т;

0) или ( n;

т;

0) ;

r В) если дан общий случай: a (n;

т;

p) и b (e;

z;

s), то вначале определим b kа, причем коэффициент должен быть подобран таким образом, c k чтобы в координатах вектора c присутствовал 0. Ясно, что вектор ортогональ ный а и c, ортогонален а и b, далее надо действовать по алгоритму случая А).

Приведем пример: пусть даны векторы и (2;

3;

5). Чтобы вектор c а (1;

2;

3) b имел координату 0, можно коэффициент к принять за 2, тогда координаты век тора (0;

1;

1). Применяя алгоритм А), получим произ c (2 2 1;

3 2 2;

5 2 3) вольный вектор ортогональный и b: составим уравнение а n ( x;

1;

1), x 1 2 1 3 1 0. Окончательно: вектор ортогональный одновременно двум дру гим (1;

1;

1).

n 2) Теоретическая задача: поиск доступных для учащихся алгоритмов вычисления расстояний от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми при найденном векторе нормали к плоскости (рис.8 а, б) - наиболее трудных задач по данной тематике.

Материал учебников аналитической геометрии для высшей школы: И.И.

Привалова [121], Н.В. Ефимова [57], П.С. Александрова [5] позволил наметить подход к решению задачи. При этом алгоритмы нахождения данных расстояний были упрощены и адаптированы для учащихся средней школы.

Рисунок 8 а. Рисунок 8 б.

«Расстояние от точки до плоскости» «Расстояние между прямыми»

Решение оказывается очень простым и доступным любому школьнику универсального профиля. Пусть дан прямоугольный треугольник САВ с пря ВА мым углом В. Отношение cos А (рис. 9 а). Отсюда следует, что СА СА соs A и, если правую часть умножить на длину единичного вектора ВА нормали NE, то равенство не изменится: N E CA cos A. Значит BA CA N E, то есть расстояние от точки до плоскости равно модулю скалярно ВА го произведения единичного вектора нормали к плоскости и любого вектора, начало которого лежит в плоскости, а конец в точке, расстояние от которой до плоскости следует найти. Модуль в правой части равенства необходим, так как расстояние величина положительная, а скалярное произведение векторов может быть отрицательным.

Так как расстояние между прямыми совпадает с расстоянием между па раллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые, то можно выбрать точку на одной прямой и задачу вычисления расстояния между скрещивающи мися прямыми свести к задаче вычисления расстояния от точки до плоскости, в которой лежит вторая прямая (рис. 9 б).

Рисунок 9 а. Рисунок 9 б.

«Расстояние от точки до плоскости» « Расстояние между прямыми»

Таким образом, мы получили одинаковый алгоритм для решения двух наиболее сложных задач стереометрии: вычисления расстояний между скрещи вающимися прямыми и расстояний от точки до плоскости.

Действия по вычислению координат вектора, перпендикулярного одно временно двум другим, или совокупность действий, объединяющих решения двух взаимодополняющих задач, образуют упрощенно-когнитивные приемы по вычислению расстояний и углов в пространстве. Комбинации приемов, взятые в определенной последовательности, описывают короткие алгоритмы решения основных задач на вычисление расстояний и углов в пространстве.

Алгоритмы вычисления расстояний и углов в пространстве 1.Угол между плоскостями.

Как известно, наименьший угол между нормалями к двум плоскостям совпадает с углом между плоскостями. Достаточно вычислить координаты произвольных перпендикулярных векторов к плоскостям с помощью действий, показанных выше, и затем вычислить угол между векторами.

2. Расстояние от точки до плоскости.

Рисунок 10. Иллюстрация к вычислению расстояния от точки до плоскости Рассмотрим общую задачу (рис.10). Нам надо найти расстояние от точки J до плоскости или длину отрезка JK. Пусть векторы DE и DG определяют плоскость:

- найдем произвольный вектор, перпендикулярный этой плоскости. Пусть это будет вектор DF ;

DF - вычислим единичный вектор e ;

DF - модуль скалярного произведения векторов IJ и e равен расстоянию от точки до плоскости: IJ e JK (смотрите пояснения к рис. 9 а и 9 б).

3. Расстояние между прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b – это длина общего перпендикуляра CM к этим прямым (рис.11).

Рисунок 11. Иллюстрация к вычислению расстояний между прямыми Для вычисления этого расстояния необходимо:

- определить координаты произвольного вектора, перпендикулярного прямым a и b. Пусть это будет вектор CE ;

- вычислить координаты единичного вектора, сонаправленного с CL, ор CE тогонального a и b одновременно CL ;

CE - найти координаты любого вектора, начало и конец которого лежат на прямых a и b, в нашем случае AB ;

- расстояние между прямыми равно модулю скалярного произведения векторов AB и CL.

Истинность приведенного рассуждения следует из того, что расстояние между скрещивающимися прямыми совпадает с расстоянием между параллель ными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Если взять точку на одной прямой (пусть это будет точка В) затем плоскость, которой принадлежит пря мая b (здесь вектор CL перпендикулярен к плоскости), то задача сводится к оп ределению расстояния от точки до плоскости.

4.Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью совпадает с углом между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Для этого рассмотрим вначале теоретическую задачу (рис. 12). Назовем угол между прямой и плоскостью –. Проведем перпендикуляр к плоскости в точке F, тогда cos=cos(900-)=sin, следовательно, можно найти косинус угла между прямой FH и произвольной нормалью к плоскости, которая параллельна прямой FG и координаты которой можно вычислить упрощенным приемом, описанным раннее. Это и будет синусом угла между прямой и плоскостью Рисунок 12. Иллюстрация к задаче вычисления угла между прямой и плоскостью 5. Расстояние от точки до прямой.

В относительно легких задачах расстояние от точки до прямой можно вычислить, не прибегая к аналитическим методам. Во всех случаях рассматри вается треугольник стороны которого или известны, или их легко найти. Затем вычисляется его высота. Эта высота и является расстоянием от точки до пря мой. Но в более сложных задачах аналитический способ решения может быть очень полезен. Существует несколько подходов к вычислению этого расстоя ния. В предыдущих задачах мы использовали идею определения единичного вектора перпендикулярного к двум другим. В этой задаче у нас только один вектор (пусть это будет вектор AB ), а нам следует определить искомое расстоя ние CD (рис. 13). Задача вычисления единичного вектора, перпендикулярного AB и лежащего в одной плоскости с векторами AB и AC, выходит за рамки школьного курса аналитической геометрии и сводится к вычислению определи теля третьего порядка, поэтому приведем два доступных способа вычисления этого расстояния.

Рисунок 13. Иллюстрация к задаче вычисления расстояния от точки до прямой Способ 1:

- находим координаты вектора AB и вычисляем единичный вектор AB ;

AN AB - модуль скалярного произведения векторов AC и AN равен длине отрезка АD (смотрите пояснения к рис.9 а и 9 б);

- по теореме Пифагора найдем расстояние CD, предварительно вычислив дину вектора AC.

Способ 2.

Пусть даны координаты векторов и ( p;

k ;

r ). Какую часть AC AB (n;

m;

q) занимает вектор AD от вектора AB мы не знаем, поэтому координаты вектора и вектора r). Определим коэф AD ( xn;

xm;

xq) CD AD AC ( xn p;

xm k ;

xq фициент х из уравнения и затем найдем длину вектора CD AD p )2 ( xm k )2 ( xq r )2.

CD ( xn Как видно из описания данных алгоритмов, они содержат один и тот же элемент – вычисление координат вектора, перпендикулярного одновременно двум другим.

В чем заключается преимущество упрощенно-когнитивных приемов пе ред приемами, предложенными в других пособиях? Понятийный аппарат мал основан на теореме Пифагора, теореме косинусов для вычисления координат векторов и свойствах скалярного произведения, - но содержателен, так как по зволяет решить сложные задачи школьной стереометрии. Алгоритмы вычисле ния нужных углов и расстояний коротки и не требуют специальных знаний.

Даже слабые по способностям к математике школьники универсального про филя способны их быстро усвоить и научиться применять. Кроме того, требует ся меньше вычислений и, соответственно, уменьшается вероятность соверше ния арифметических ошибок.

Предполагается, что среднеуспевающий ученик, видя положительный ре зультат применения своих знаний, в процессе самореализации способен ув лечься геометрией. И, усвоив решения стереометрических задач упрощено когнитивными приемами, может по собственной инициативе и по подсказке учителя перейти к поиску иных приемов, основанных на пространственных представлениях, которые иногда бывают и короче, и красивее.

Иллюстрация действий упрощенно-когнитивных приемов решения задач на вычисление расстояний и углов в пространстве и их применение в алгорит мах показаны в схеме 2.

Схема 2. Действия упрощенно-когнитивных приемов по вычислению расстояний и углов и их применение в алгоритмах 2.4 Упрощенно-когнитивные приемы вычисления объемов основных геометрических тел, изучаемых в школе С объемами школьники знакомятся довольно рано. Уже в младших клас сах они находят объемы параллелепипедов, а на практике вычисления объема комнаты знакомятся с единицами объема, переводят одни единицы в другие.

Для того, чтобы в старших классах учащиеся не испытывали трудности при изучении этого раздела стереометрии, необходимо создать последовательную и доступную систему освоения теории, опирающуюся на способы восприятия тех школьников, которые при возникновении даже малых трудностей быстро теря ют интерес к приобретению новых сведений.

На этом разделе можно показать учащимся целостный, логически выдер жанный раздел математики, начинающий свое развитие от аксиом до заключи тельных предложений. Некоторые школьники, увлекшись красотой последова тельного, логически строгого изложения теории достаточно сложной темы, ви дя ее стройность, выбирают дальнейший свой путь, связанный с математикой или другими точными науками.

Интегрирование и дифференцирование было систематизировано и офор милось как раздел математики во времена Ньютона и Лейбница, а формулы для объемов основных тел, изучаемых в школе, вычисляли со времен античной ма тематики (Архимед). Наша цель состоит не в нахождении объемов произволь ных тел, что, конечно, решает аппарат математического анализа, а находить объемы тех из них, свойства которых изучаются в школе. Если от начальных положений, назовем их аксиомами объема [25], перейти к вычислению объемов тел, минуя сложности при выводе формулы объема прямоугольного параллеле пипеда, а в дальнейшем заменить интегральное вычисление и предельный пе реход на более доступные для школьников средства, то вся теория вычисления объемов основных тел, изучаемых в школе, будет доступна большинству уча щихся универсального профиля. Если к четырем аксиомам объема как пятую аксиому добавить принцип Кавальери и, объединив пространственные фигуры в классы, как это показали авторы учебника [149], вывести формулы для вы числения объемов для каждого класса, то вся теория будет доступной больше му количеству учащихся. Принцип Кавальери в данном случае можно принять без доказательства, показать его наглядно на плоских фигурах и считать даль нейшее доказательство строгим. В случае с учащимися универсального профи ля для развития их самостоятельной деятельности просто необходимо пойти по такому пути, ибо лучше вывести формулы вычисления объемов, опираясь на аксиомы, чем заучивать их наизусть. При таком подходе школьники прослежи вают связи с аксиомами, развивается их логическое мышление и математиче ская память. У большинства учащихся положительное отношение к предмету основывается на его понимании, при этом повышается качество знаний и успе ваемость. И еще одним немаловажным фактором является то, что при таком из ложении предмета высвобождается много времени, которое можно потратить на практическое применение знаний. Учитель сможет организовать самостоя тельную деятельность учащихся, в возрастающей мере обеспечивая переход мыслительной деятельности разных по способностям к математике учащихся от зоны ближайшего развития к актуальному когнитивному развитию, давая им как комбинированные задачи на объемы, связанные с предыдущими темами вычисления расстояний и углов, так и обратные к данным.


Вычисление объемов. Упрощенно-когнитивные приемы.

1 действие.

Под многогранником мы понимаем часть пространства, ограниченную конечным числом многоугольников. Введем следующее определение: каждому пространственному телу поставим в соответствие число, называемое его объе мом.

Предлагается следующая система аксиом понятия объема тела.

Аксиоматика.

1. Объем V(X) тела Х является неотрицательным числом.

2. Если тело Х разбито на две части X1и X2, которые не имеют внутрен них точек, то V(X) = V(X1) + V(X2).

3. Равные тела (т.е. тела, одно из которых может быть переведено в другое некоторым движением) имеют равные объемы.

4. Объем куба, ребро которого является единицей длины, равен единице.

5. Принцип Кавальери. Пусть семейство параллельных плоскостей t пе ресекает тело А по фигурам At и тело В по фигурам Bt, и при этом S(At):S(Bt) = k, то тогда VA:VB= k.

2 действие.

Теорема. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Можно доказать такую же теорему для плоских фигур: отношение пло щадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. На рисунке изображены две подобные фигуры. Самый простой способ определить их пло щадь - наложить палетку, чем мельче сетка, тем точнее площадь. Пусть количе ство квадратиков, определяющих площади кленовых листов, равно n, и длина стороны маленького квадратика равна а, тогда сторона большого в k раз боль ше, где k – коэффициент подобия.

Рисунок 14. Вычисление площади произвольной фигуры Площадь большого кленового листа равна S=n(ka)2, площадь маленького S=na2. Отношение площадей равно k2 или квадрату коэффициента подобия.

Сходное правило, и аналогичное доказательство проводится для пространст венных тел: отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента по добия. Теперь у нас есть все средства для определения объемов пространствен ных тел, изучаемых в школе.

3 действие.

Чтобы не повторять аналогичные рассуждения для вычисления объемов призмы, цилиндра, параллелепипеда, введем понятие "цилиндрического тела".

Пусть в параллельных плоскостях расположены две равные фигуры, одна из которых может быть переведена в другую с помощью параллельного переноса на некоторый вектор. Множество всех точек, лежащих на отрезках, соеди няющих соответствующие точки этих плоских фигур, и образуют цилиндри ческое тело. Фигуры, образующиеся при сечении цилиндрического тела плос костями, параллельными основанию, – одинаковы.

Аналогично вводится понятие конического тела, которое обобщает все пирамиды и конусы. Рассмотрим произвольную плоскую фигуру и точку, не лежащую в плоскости этой фигуры. Множество всех точек, принадлежащих отрезкам, один из концов которых принадлежит плоской фигуре, а второй совпадает с выделенной точкой и образует коническое тело. Фигуры, обра зующиеся при сечении конического тела плоскостями, параллельными основа нию, – подобны между собой.

Для получения формулы объема любого цилиндрического тела располо жим куб так, чтобы нижнее основание куба лежало в плоскости нижнего осно вания цилиндрического тела, а верхнее основание куба лежало в плоскости верхнего основания цилиндрического тела (рис. 15).

Рисунок 15. Сравнение по принципу Кавальери объемов куба с произвольным цилиндрическим телом Высота цилиндрического тела равна Н - длине ребра куба. Любая плос кость, параллельная основанию куба, пересекает куб по квадрату площадью H2, а цилиндрическое тело по фигуре, конгруэнтной основанию, - площадью S. От H2 H V ношение этих площадей для любого сечения равно, поэтому КУБА или S VЦ.ТЕЛА S H3 H, отсюда следует, что V Ц.Тела= HS.

VЦ.ТЕЛА S 4 действие, нами разработанное, в процессе исследовании является ключевым моментом изложения теоретического материала, так как в сочетании с принципом Ка вальери позволяет вычислять формулы для объемов всех конических тел без применения элементов математического анализа.

Для вычисления объема конического тела разобьем куб ABCDA1B1C1D Рисунок 16. Разбиение куба на три равных пирамиды с ребром H на три пирамиды так, как указано на (рис. 16). Эти пирамиды равны между собой, так как каждая из них может быть переведена в другую некото рым движением. Объем любой из них равен H3/3 (аксиомы 2 и 3). Далее следует стандартное вычисление объема произвольного конического тела. На парал лельных плоскостях разместим основания правильной пирамиды, объем кото H рой равен V, и произвольного конического тела (рис. 17). Пусть плоскость пересекает два тела на высоте h от вершин. Обозначим площади сечения тел за Sa1 и S 2, а площадь основания конического тела за S ;

так как отношения площадей подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сторон, то 2 2 2 S2 S h h h h H2, = S 2= = S 2= S H2 H H S H H Рисунок 17. Сравнение по принципу Кавальери объемов пирамиды с произвольным коническим телом Так как в нашем случае отношение площадей двух сечений есть величина H S постоянная и не зависит от выбора высоты секущей плоскости:, то со = S S VK H гласно принципу Кавальери. Выразим из последнего соотношения VKOH. T S 1/3 SH. Мы получили формулу для вычисления объемов конуса и пира VKOH. T миды.

5 действие Для вычисления объема шара впишем шар радиуса R в цилиндр высотой и диаметром основания 2R (рис.18).

Рисунок 18. Иллюстрация к вычислению объема шара Рассмотрим множество точек пространства, которое является разностью между множеством точек цилиндра и множеством точек, являющихся объеди нением двух равных конусов с общей вершиной в центре шара и основаниями, равными верхнему и нижнему основаниям цилиндра. Полученное тело обозна чим через А. Любая плоскость, параллельная основанию цилиндра и отстоящая от сечения, проходящего через центр шара на расстояние h, пересекает шар по R2 h 2 и площадью Sкруга = (R2- h2),а тело А по кольцу, кругу радиусом площадь которого равна Sкольца = R2 -h2. Так как эти площади для любого се чения равны, то объем шара равен объему тела А или VA = VЦ - 2VК = R22R – 2/3 R2R = 4/3 R3.

Такое доказательство вычисления объема шара в свое время привел Ар химед.

Совокупность описанных действий образует упрощенно-когнитивные приемы вывода формул для вычисления объемов основных тел.

При конструировании приема изложения теории объемов мы в большей степени опирались на учебник И.М. и В.А. Смирновых, но есть существенные отличительные особенности. Опыт работы в школе показал, что часто употреб ляемые понятия обобщенного цилиндра и конуса вызывают путаницу у слабых учащихся, так как в их представлении цилиндр и конус всегда имели в основа нии круг. Поэтому мы дали определение цилиндрических и конических тел так, чтобы представления об этих понятиях у этой категории школьников в процес се усвоения материала не менялось. Это также позволило избежать введения в изложение наклонных геометрических тел и в совокупности с разбиением куба на три равные пирамиды по принципу, указанному выше (что до сих пор в этом контексте не рассматривалось), более удобно применить принцип Кавальери. В результате такого конструирования получилась более наглядная и короткая система действий по выводу формул.

Для учителей должно быть понятно, что интеграл является более тонким инструментом для исследования объемов, чем принцип Кавальери. Тем не ме нее использование принципа Кавальери обеспечивает логически безупречное изложение объемов, а в некоторых случаях позволяет получить результаты, ко торые гораздо сложнее получить другим способом. Вычисление объемов ша рового сектора, шарового пояса и доказательство некоторых теорем с помощью принципа Кавальери можно прочитать в приложении настоящей диссертации.

Данный учебный материал рекомендовался для самостоятельного изучения учащимся средних и сильных математических способностей.

Рисунок 19 показывает кратко-обобщенное действие упрощенно когнитивных приемов для вывода формул цилиндрических и конических тел.

Рисунок 19. Упрощенно-когнитивные приемы для вывода формул цилиндрических и конических тел Выводы по второй главе Индивидуальная работа с отдельными слабыми учащимися на данном этапе эксперимента позволила сделать вывод, что найденные и сконструиро ванные приемы удовлетворяют, нами предъявляемые, к ним требования:

- приемы решения задач определяются малым, но содержательным и дос тупным понятийным аппаратом;

как следствие этого, развивают математиче скую память и возможность быстрого свертывания мыслительных процессов у слабых учащихся, задействованных в эксперименте;

- приемы являются основой для описания коротких алгоритмов, обоб щающих максимально возможную стереометрическую тематику. Алгоритмы похожи и просты в применении, что способствовало развитию способности к обобщению математического материала. Применялись они учащимися осоз нанно, и каждый мог на различных этапах деятельности обосновать совершае мые действия по решению задачи;

- у задействованных в эксперименте учащихся исчезала тревожность от неумения решить задачу и возникала мотивация к поиску решения другим спо собом. Им было предложено найти решения к задачам на вычисление углов между скрещивающимися прямыми и расстояние от точки до прямой, опираясь на пространственные представления;

- простота вывода формул для вычисления объемов основных тел позво лила слабым учащимся поменять свое отношение к математике, которая боль ше не воспринималась ими как недоступный учебный предмет.

Данный этап работы с детьми показал положительную динамику в их общем когнитивном развитии. Большей частью их мыслительная деятельность протекала в зоне ближайшего развития, но их когнитивные компетенции были готовы к изменениям и переходу на другой уровень. Желание учащихся найти более яркое, не подчиняющееся аналитическому алгоритму решение, явилось тому показателем.


Положительные результаты эксперимента мы решили распространить на все категории учащихся универсального профиля, но уже с применением мето дики направляющего текста.

ГЛАВА 3. Использование упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения в рамках самостоятельной деятельности учащихся 3.1 Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов в тесном сотрудничестве с учителем В настоящем параграфе будет рассмотрена организация процесса обуче ния учащихся универсального профиля различных, по В.А. Крутецкому (пара граф 1.3 настоящей диссертации), категорий математических способностей, на правленная на самостоятельную познавательную деятельность с использовани ем упрощенно-когнитивных приемов и построенных на них алгоритмах с ис пользованием методики направляющего текста. В процессе обучения на основе решения общей научной проблемы предполагается в зоне ближайшего разви тия формировать готовность перехода к актуальному когнитивному развитию и развивать у обучающихся навыки самоанализа, самооценки, общения в груп пе В пропедевтических целях в 10 классе при изучении свойств пирамид и призм вводилась прямоугольная декартовая система координат в пространстве.

Отрабатывалось применение теоремы Пифагора и теоремы косинусов для вы числения координат вершин многогранников. Много времени этот вид деятель ности на уроках не занимал, и учащиеся воспринимали пространственные объ екты менее абстрактно. На начало эксперимента в 11 классе обучающиеся уже свободно определяли координаты точек, принадлежащих различным простран ственным объектам, вычисляли координаты векторов, длины векторов и ска лярное произведение векторов в координатах.

В параграфе 1.2 мы рассмотрели этапы организации самостоятельной деятельности методики направляющего текста и на этой стадии эксперимента заполнили их своим научно-методическим материалом.

1. Этап получения информации. Содержательный компонент.

На этом этапе учащиеся 11 класса универсального профиля эксперимен тальной группы получили информационные листы с описанием упрощенно когнитивных приемов, алгоритмами применения и примерами решения задач [пример информационного листа в приложении к диссертации, стр. 153]. Учи тель в процессе обучения пока оставался основным организующим звеном учебного процесса. Перед обучающимися ставились цели:

- быстро освоить и научиться применять упрощенно-когнитивные анали тические приемы при вычислении расстояний и углов;

- научиться применять алгоритмы решения задач, построенные на упро щенно-когнитивных приемах, быть готовыми перейти к поиску решения синте тическим способом, основанным на пространственных представлениях.

Консультации учителя по использованию упрощенно-когнитивных прие мов обеспечили учащимся необходимые условия для организации самостоя тельной познавательной деятельности в зоне ближайшего развития.

На этапе получения информации при описании учащимся упрощенно когнитивных приемов роль учителя еще оставалась ключевой в процессе обу чения. С освоением алгоритмов и примеров решения задач, которые мы назвали обучающими, процесс обучения стал самоуправляемым, а описание алгоритмов и примеры решения задач - первоначальным этапом использования методики направляющего текста.

Алгоритм 1. Угол между плоскостями.

Задача С2 из задачника В.А. Смирнова [146] для подготовки к ЕГЭ (тре нировочная работа 3, №7).

Задача 1. В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS, стороны ос нования которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти косинус угла между плоскостями SAF и SBC (рис. 20).

Рисунок 20. Иллюстрация к задаче вычисление угла между плоскостями Введем систему координат таким образом, чтобы точка А была началом координат, ось абсцисс совпала со стороной АВ, ось ординат со стороной АЕ.

Ось аппликат перпендикулярна плоскости XAY, она направлена в сторону по лупространства с границей XAY, в котором расположена точка S. Определим координаты нужных нам точек.

33 13 A(0;

0;

0), B(1;

0;

0);

C ( ;

;

0), F ( ;

;

0), S ( ;

;

3).

22 22 1 Выделим два вектора SB( ;

3) и - эти векторы ;

SC (1;

0;

3) 2 параллельны плоскости Определим координаты векторa SBC. n, ортогонального к плоскости SBC по схеме, приведенной выше: вначале найдем вектор, перпендикулярный 3), например, n ( 3;

х;

1), затем из условия SC (1;

0;

перпендикулярности векторов и составим уравнение n SB 1 n имеет координаты 1. Окончательно вектор x 3 x 3 0.

2 n ( 3;

1;

1). Аналогично плоскость SAF параллельна векторам SA( 1 ;

;

3) 2 и SF ( 1;

0;

3). Вектор ортогональный этой плоскости найдем по тому же 1 принципу: m( 3;

x;

1), x 1. Окончательно координаты 3 x 3 2 вектора, ортогонального к плоскости SAF, равны m( 3;

1;

1). Наименьший угол между нормалями к данным плоскостям совпадает с углом между плоскостями.

Определим его косинус: cos 0, 2.

311 Алгоритм 2. Расстояние от точки до плоскости.

Задача из сборника подготовки к ЕГЭ В.А. Смирнова [146] (тренировоч ная работа 5, №6).

Задача 2. В правильной шестиугольной пирамиде ABCDEFS, стороны ос нования которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти расстояние от точки А до плоскости SED (рис. 21).

Рисунок 21. Иллюстрация к задаче вычисления расстояния от точки до плоскости Пусть началом координат будет точка А, направим ось X вдоль прямой АВ, а ось Y вдоль прямой АЕ. Ось аппликат перпендикулярна плоскости XAY, она направлена в сторону полупространства с границей XAY, в котором распо ложена точка Нужные нам точки будут иметь координаты:

S.

A(0;

0;

0), E (0;

3;

0), D(1;

3;

0), S ( ;

;

3). Векторы, параллельные плоскости, 13 имеют координаты: SE ( 3) и SD( ;

;

3). Очевидно, что произволь ;

;

22 ный вектор, перпендикулярный плоскости, может иметь координаты:

). Вычислим единичный вектор, перпендикулярный плоскости:

N (0;

3;

N ;

). Модуль скалярного произведения векторов SA( ;

;

3) и NE (0;

N N E совпадает с расстоянием от точки до плоскости: SA N E.

Алгоритм 3. Расстояние между прямыми.

Задача 3. Задача С2 из пособия [146].

В кубе АВСDА1В1С1D1 с ребром равным 1, найти расстояние между прямыми АВ1 и ВD.(рис. 22 ) Рисунок 22. Иллюстрация к задаче вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми 1. Введем систему координат с центром в точке А. Ось абсцисс направле на вдоль прямой АD, ось ординат – вдоль прямой АВ, ось аппликат - вдоль прямой АА1, тогда координаты вектора BD (1;

1;

0), а вектора AB1 (0;

1;

1).

2. Найдем вектор единичной длины FN, ортогональный AB1 и BD од новременно. Для этого возьмем любой вектор FP, ортогональный как BD, так и FP 1 AB1. Например, FP ( 1;

1;

1). Далее положим FN ( ;

;

).

3 FP 3. Найдем координаты любого вектора, начало которого лежит на прямой АВ1, а конец - на прямой ВD. Ясно, что нам подойдет вектор AD (1;

0;

0).

4. Модуль скалярного произведения векторов AD и FN совпадает с расстоянием между прямыми АВ1 и ВD: AD FN.

Алгоритм 4. Угол между прямой и плоскостью.

Задачи С2 из сборника задач В.А. Смирнова [146] (тренировочная работа 2, №5).

Задача 4. В правильной четырехугольной пирамиде SАBDС с ребрами равными единице найти синус угла между плоскостью SBD и прямой ВС (рис.23).

Рисунок 23. Иллюстрация к задаче вычисление угла между прямой и плоскостью Введем систему координат с центром в точке А и направим ось X вдоль прямой АВ, ось Y вдоль прямой АС. Ось аппликат перпендикулярна плоскости XAY, она направлена в сторону полупространства с границей XAY, в котором 11 1 1 расположена точка S. Векторы SB ( ;

) и SD ( ;

;

) параллель ;

2 2 ны плоскости SBD. Произвольный вектор, перпендикулярный к плоскости, мо 1 жет иметь координаты n ( ;

0;

). Синус искомого угла между прямой и плоскостью – это косинус угла между нормалью к плоскости и прямой. Данная прямая определена вектором BC ( 1;

1;

0), следовательно, нам надо вычислить косинус угла между векторами и n. Подставляя координаты векторов в BC a1b1 a2b2 a3b формулу cos, получим окончательный ответ a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b это и есть искомый синус угла между прямой и плоскостью.

Алгоритм 5. Расстояние от точки до прямой.

Отработка данного алгоритма на этапе получения информации не явля лась обязательной, так как задачи, предлагаемые на выпускных экзаменах, лег ко решаются приемами, опирающимися на теоремы планиметрии. Чаще всего решение сводится к вычислению высоты произвольного треугольника с извест ными сторонами. На последующих этапах методики желающим его отработать предоставлялась такая возможность на задачах более сложного содержания [пример такой задачи смотрите в приложении к диссертации, стр. 153]. Тем не менее исследования в процессе обучения показали, что на этапе получения ин формации решения данных задач методами, опирающимися на пространствен ные представления и теоремы планиметрии, явились неким ориентиром для учащихся в достижении конечной цели.

Самостоятельная деятельность учащихся экспериментальной группы проходила и в классе, и дома. С учетом того, что время при использовании ме тодики направляющего текста не регламентируется, учитель консультировал учащихся в тот момент, когда обучаемый считал необходимым обратиться за помощью. На определенном этапе учащиеся получили по три задачи на каж дую тему вычисления расстояний и углов для самостоятельного решения из сборника В.А. Смирнова [146]. На этом этапе получения информации использо вался методический прием, суть которого заключалась в следующем. На зада нии каждого ученика в письменном виде были обозначены цели, которых он должен достичь при изучении материала, а именно: быстро и безошибочно на ходить координаты точек и векторов, координат вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам, и применять алгоритмы решения к задачам не по памяти, а заглядывая в инструкцию, написанную учителем.

Обязательным условием являлось одновременное решение задач по всей тематике. С помощью параллельного применения алгоритмов учащимся уда лось избежать путаницы и добиться правильной последовательности действий.

Это позволили достичь желаемого эффекта - более глубокого обобщения сте реометрического материала и осознанного применения упрощенно когнитивных приемов.

Перед самостоятельным упражнением по закреплению алгоритмов реше ния учащимся было предложено провести дискуссию на тему основных компо нентов математической деятельности. В результате выяснилось, что ученики в полной мере осознавали, какие компоненты математической деятельности они могут развить на этом этапе. А именно: восприятие математического материа ла, способность к обобщению, способность к оперированию числовой и бук венной символикой, способность мыслить свернутыми структурами, математи ческая память (о развитии указанных компонент мы писали в главе 1.3 настоя щей диссертации).

Главной особенностью процесса обучения на этом этапе явилось одно временное применение алгоритмов к разнообразным задачам на вычисление расстояний и углов в пространстве. Благодаря простым алгоритмам, обучаю щиеся осваивали раздел не последовательно, а в комплексе, что позволило убе речь их от поверхностного обобщения стереометрического материала и развить соответствующие навыки. Учащиеся отработали механизм действий для даль нейшего обобщения приемов решения тех же задач, основанных на пространст венных представлениях и теоремах планиметрии в актуальном когнитивном развитии, основанных на пространственных представлениях.

3.2 Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов, предусматривающая консультирующую роль учителя Перед следующим этапом методики направляющего текста – этапом пла нирования, учитель проверил готовность учащихся к обсуждению изученного материала и дальнейшему планированию самостоятельной познавательной дея тельности. Для этого учащимся была предложена легкая контрольная работа на тему вычисления расстояний и углов с последующим разбором логических и арифметических ошибок. В заключении обучающиеся обобщили деятельность и сделали вывод, что один и тот же упрощенный прием вычисления координат вектора, перпендикулярного одновременно двум другим, является единым эле ментом во всех алгоритмах на вычисление расстояний и углов в пространстве.

В нашем случае усвоение материала привело к дальнейшему развитию учащихся, так как их вопросы по развитию указанных компонентов показали заинтересованность и сформированную готовность к освоению знаний более сложного содержания (переход к актуальному когнитивному развитию) [пара граф 1.3 настоящей диссертации].

На отработку этого этапа было потрачено три недели учебного времени.

2. Этап планирования.

На этом этапе реализации методики направляющего текста перед обу чающимися еще раз была поставлена конечная цель в полной мере овладеть алгоритмами решения всех типов задач по вычисление расстояний и углов, по строенными на упрощенно-когнитивных приемах и, одновременно, там, где это представляется возможным, осуществлять поиск решений, основанных на про странственных представлениях и теоремах планиметрии. Учащиеся спланиро вали свою деятельность, причем заведомо неверные планы были откорректиро ваны.

Наш опыт преподавания свидетельствует, что самым оптимальным вари антом такой деятельности является одновременное решение задач при помощи приведенных алгоритмов и иных приемов. Учитывая, что решения задач по курсу стереометрии 10 кл. опираются на пространственные представления, то учащиеся уже знали, к какой литературе необходимо обратиться, например:

А.Г Корянов., А.А. Прокофьев Многогранники: виды задач и методы их решения [70], В.В Прасолов, И.Ф. Шарыгин. «Задачи по стереометрии», Москва – Наука, 1989г. [120].

В эксперименте на примере решения задач по данной тематике подобной сложности стало ясно, как выполняются три принципа обучения, которые сформулировал Д. Пойя в своей книге «Математическое открытие»: активное изучение, наилучший стимул, последовательность фаз [116].

Активное изучение. Самостоятельность как определенное качество лич ности является одним из важнейших при обучении. По В.П. Беспалько [22], «самостоятельность учащихся в учебном труде это не генетическое качество личности, а специально формируемая способность, возникающая при вполне определенных дидактических обстоятельствах». Эти обстоятельства и появля ются при конструировании собственных задач. И решать свои же задачи гораз до увлекательнее. Некоторые учащиеся отрабатывали описанные алгоритмы на готовых задачах, воспользовавшись задачником В.А. Смирнова [146] для под готовки к ЕГЭ, а некоторые сами составляли задачи и решали их. Главное - от работать алгоритмы решения, построенные на упрощенно-когнитивных прие мах. Учащиеся могут самостоятельно составить простые задачи, например, взяв любые скрещивающиеся прямые в кубе, и найти между ними расстояние. На пример, как на (рис. 24). Вообще, решение таких задач с опорой на простран ственные представления, которые чаще всего предлагают в школе, не является легким. Школьникам бывает трудно увидеть общий перпендикуляр к этим пря мым. Вот здесь и начинает работать второй принцип обучения.

Рисунок 24. Пример составления задачи самими учащимися Наилучший стимул: интерес учащихся является лучшим стимулом для его работы. Интерес может быть вызван тем, что задачи подобного рода выно сятся на ЕГЭ. Понятно, что на экзаменах порой нет времени искать красивое решение, основанное на пространственных представлениях. Ученик уже знает описанные нами алгоритмы, видит их преимущество в скорости решения и на чинает целенаправленно их применять при решении задач, вынесенных на эк замен. Попутно применяется достаточно большой материал планиметрии (вы числение координат точек сопровождается применением теоремы Пифагора, теоремы косинусов и.т.д.). Школьник, обладающий пытливым умом, непроиз вольно пытается решить одну и ту же задачу разными способами, включая про странственные представления.

Одновременно с этими принципами изучения должен работать принцип последовательность фаз. Фазы исследования и фазы усвоения. В данном слу чае (рис. 24) это исследование алгоритма и усвоение алгоритма нахождения расстояния между прямыми. Аналогично учащиеся могут составить и решать другие обучающие задачи. В качестве контроля усвоения алгоритмов решения мы рекомендовали брать задачи из задачника В.А. Смирнова, так как в нем за дачи классифицированы по темам и богаты своим разнообразием.

Считается, что к моменту самостоятельного изучения предмета учащиеся сами в состоянии построить с помощью линейки и карандаша куб, призмы, пи рамиды. Но построение чертежей может отнимать много времени, и здесь при ходит на помощь компьютер, который может рассматриваться как равноправ ный, наряду с учителем, участник процесса обучения и образования. Учащиеся, имея программу живая математика [58], с помощью функции инструмент без труда создают любые чертежи к задачам для изучения и анализа. Учитель на обобщающих уроках в целях экономии времени может показывать различ ные варианты взаимного расположения прямых и плоскостей и проводить ана лиз решения каждой задачи, и учащиеся смогут самостоятельно определять оп тимальный способ решения - аналитический или иной. Проанализировать за время дискуссии большое количество задач возможно только при помощи ком пьютера: имеет ли смысл в какой-либо задаче находить через скалярное произ ведение координаты вектора, перпендикулярного двум неколлинеарным векто рам, или нет, и если нет, то в этом случае помочь учащимся увидеть перпенди кулярный вектор, как, например, на (рис. 25). В этой задаче необходимо найти синус угла между прямой АС и плоскостью МТВ. Синус угла в данной задаче – это косинус угла между прямыми АС и РС. Явно видно, что вектор перпен РС дикулярен плоскости МРВ, так как он перпендикулярен одновременно ребрам МР и РВ и искать его координаты с помощью упрощенно-когнитивных прие мов не имеет смысла. Учащиеся при таком разборе аналитического решения могут указать и решение, основанное на пространственных представлениях.

При использовании интерактивных чертежей основные дидактические принци пы: наглядность, доступность, активность - выполняются в полной мере и сочетаются с принципами обучения, указанными Д. Пойя.

Рисунок 25. Иллюстрация к разбору задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью На следующем этапе обучения учащиеся были вправе сами выбирать объекты изучения: готовые задачи или самостоятельно сконструированные, а также составлять план работы. На отработку этого этапа ушла неделя учебного времени.

3. Этап принятия решения.

После подготовки учащиеся отчитывались по проделанной работе и в хо де дискуссии выбирали оптимальное планирование. На выбор оптимального плана решения и его реализации учащиеся затратили неделю учебного времени.

4. Этап осуществления.

На этом этапе учащиеся отрабатывали применение алгоритмов на задачах по каждой тематике и в различных телах. Одновременно искали разнообразные способы решения задач. Учитывались три группы учащихся: слабоуспевающие, среднеуспевающие и хорошо успевающие учащиеся;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.