авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Е. ЖУКОВСКОГО “ХАРЬКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ” ВОПРОСЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА ...»

-- [ Страница 2 ] --

где N - число циклов до разрушения при регулярных нагрузках с напряжением н ;

m, C - параметры уравнения.

Уравнение кривой усталости стандартного образца (регулярной зоны) с учетом эффективного коэффициента концентрации напряжений можно представить так:

( )m = C1, N 0 K эф0 н (2) где K эф0 - эффективный коэффициент концентрации напряжений стандартного образца;

N 0 - число циклов до разрушения при регулярном нагружении стандартного образца с напряжением н.

Уравнение кривой усталости элемента конструкции запишем аналогично (2):

N (K эф н )m = C1, (3) где K эф - эффективный коэффициент концентрации напряжений элемента конструкции.

Поскольку правые части уравнений (2) и (3) равны, приравняем левые, тогда m K эф0 N = N 0 ( н ). (4) K эф В работе [1] отмечено, что для малопластичных авиационных конструкционных материалов эффективные коэффициенты концентрации напряжений близки к теоретическим. Тогда отношение эффективных коэффициентов концентрации можно заменить отношением теоретических коэффициентов концентрации напряжений:

K эф0 KТ = (5) KТ K эф В этом случае уравнение (4) примет вид m KТ N = N 0 ( н ) 0, (6) K Т где KТ 0 и KТ - теоретические коэффициенты концентрации напряжений стандартного образца и элемента конструкции. Коэффициент концентрации стандартного образца для сечения «брутто» составляет K Т 0 = 3,12. Число циклов N 0 найдем по уравнению (1):

C N0 =, (7) m н в котором коэффициенты C иm следует находить по экспериментальной кривой усталости стандартного образца с отверстием при отнулевых нагрузках.

Применение уравнения (6) позволяет на этапе проектирования выполнить расчет долговечности элемента конструкции при регулярном нагружении по предварительно вычисленному значению KТ. В случае расчета соединения для нахождения KТ необходимо решать контактную задачу взаимодействия крепежного и соединяемого элементов.

Учитывая степенную зависимость числа циклов нагружения до разрушения от величины номинального напряжения, формулу (6) можно преобразовать и вычислить N элемента конструкции с использованием характеристик выносливости регулярной зоны по величине приведенного напряжения KT пр = H. (8) KT Для стандартного образца приведенное напряжение равно номинальному.

Из формулы (8) следует, что числа циклов до разрушения элемента конструкции и стандартного образца будут совпадать, если одинаковы произведения номинальных напряжений на теоретические коэффициенты концентрации напряжений. В случае упругого деформирования материала это произведение равно окружным напряжениям в надрезе:

= Н KТ. (9) По всей видимости, впервые такое предположение было сформулировано В.П. Павелко [2] в результате обработки большого количества экспериментальных данных по усталостной долговечности заклепочных соединений из сплава Д16Т. Им было показано, что долговечность образцов со свободным отверстием, заклепочных соединений с обычной технологией изготовления и высоко ресурсных соединений с натягом совпадает при условии равенства окружных напряжений, найденных в предположении линейного физического закона. Следует отметить, что такие окружные напряжения являются фиктивными, они могут значительно превосходить не только предел текучести, но и временное сопротивление материала.

В работе [1] представлены результаты испытаний образцов из сплава Д16Т (лист) с различными геометрическими концентраторами напряжений, но различными диаметрами отверстий. Коэффициенты концентрации напряжений по сечению «нетто» находились в диапазоне 2.6 – 3.9. Отмечено, что показатели степени кривых усталости образцов не имеют заметного различия, а сами кривые в координатах «приведенные напряжения – число циклов до разрушения» по долговечности отличаются не более чем в два раза.

Методика экспериментальных исследований, характеристики образцов В целях проверки зависимости (6) выполнены экспериментальные исследования образцов из сплава В95пчТ2. Испытаны образцы со свободным отверстием, заполненным отверстием, проушины трех типоразмеров.

Образцы типа "проушина" испытывались в специальных приспособлениях, в которых нагрузка на стенки отверстий передавалась через свободно вставленные в них стальные болты (зазор 0,05…0,1 мм) без осевой затяжки. В зазор между болтом и стенками отверстий внедряли смазку ЦИАТИМ.

Усталостные испытания образцов проведены:

- при мягком нагружении, по синусоидальному закону изменения силы;

- при осевом растяжении с отнулевым циклом внешней нагрузки;

- при частоте нагружения 15 Гц;

- в обычных атмосферных условиях (по ГОСТ 15150 - 69).

Число циклов до разрушения N фиксировали в момент разрушения образца.

В табл. 1 приведены геометрические размеры испытанных образцов и значения теоретических коэффициентов концентрации напряжений для сечений «брутто» КТ и «нетто», полученные методом конечных элементов в результате решения контактной задачи взаимодействия болта и образца. В этой таблице введены следующие обозначения: D – диаметр отверстия, В – ширина образца, А – для проушин - расстояние от центра отверстия до торца образца по направлению прикладываемой к болту нагрузки.

Таблица 1 – Размеры и коэффициенты концентрации напряжений испытанных образцов D, m Образец В, А, КТ мм мм мм 6 36 2.6 3.12 4. Свободное отверстие 6 36 2.28 2.736 Заполненное отверстие 6 26 16 4.37 5.681 3. Проушина 8 26 16 3.42 4.94 3. Проушина 10 26 16 2.85 4.631 3. Проушина В образцах со свободным или заполненным стальным болтом отверстием, поставленным без зазора и без натяга, концентрация напряжений возникает от обтекающих отверстие напряжений, в образцах типа «проушина» внешняя нагрузка передается на стенки отверстия через напряжения смятия.

Соотношения между номинальными напряжениями и коэффициентами концентрации напряжений в сечениях «брутто» и «нетто» для испытанных образцов имеют вид брутто нетто (1 D / B ), H = Н KT = /(1 D / B).

В качестве примера на рис. 1 приведены граничные условия и МКЭ модели для свободного и заполненного отверстий, проушины с диаметром болта 10 мм.

а б в Рисунок 1 – Граничные условия и МКЭ модели испытанных образцов:

а – со свободным отверстием;

б – заполненным отверстием;

в - проушины, D = 10 мм Результаты экспериментальных исследований Результаты испытаний образцов со свободным и заполненным отверстиями, трех типов проушин в виде зависимостей чисел циклов до разрушения от номинальных напряжений для сечений «нетто»

приведены на рис. 2.

В табл. 1 указаны значения показателей степени m уравнения кривой усталости (1), полученные по результатам статистической обработки усталостных испытаний каждого типа образцов. Для проушин величины m близки и изменяются в узком диапазоне. Можно отметить, что зависимость m от теоретического коэффициента концентрации напряжений качественно согласуется с данными работы [1], в которой отмечено, что значения m уменьшаются с увеличением для образцов из сплава В95пчТ2.

lg, МПа 2. 2. 2. 2. 2. Свободное отверстие Заполненное отверстие 2. 3.5 4 4.5 lg N lg, МПа 2. 2. 2. Проушина, d = 6мм Проушина, d = 8 мм Проушина, d = 10 мм 1. lg N 3 3.5 4 4.5 Рисунок 2 – Кривые усталости образцов с концентраторами напряжений Кривые усталости образцов в виде зависимости долговечности от упругих окружных напряжений в точках максимальной концентрации напряжений показаны на рис. 3. Там представлены также результаты испытаний пяти видов полномасштабных панелей крыла самолета. Эти панели включали в себя два вида поперечных стыков с различными конструктивными исполнениями, продольные стыки панелей с болтовыми и заклепочными соединениями, монолитные панели с люками-лазами. Испытания проведены при отнулевом цикле регулярного нагружения. Коэффициенты концентрации напряжений в панелях найдены в результате решения контактных задач взаимодействия крепежных и соединяемых элементов в плоской постановке методом конечных элементов. Для сборных панелей расчет проведен в два этапа. На первом - определено распределение усилий по крепежным элементам с учетом податливости связей, на втором этапе решены контактные задачи взаимодействия наиболее нагруженных соединяемых и крепежных элементов. При этом концентрация напряжений была связана как с обтекающими напряжениями, так и напряжениями от смятия.

lg у max Св ободное отв ерстие Заполненное отв ерстие 3. Проушина, d = 6 мм Проушина, d = 8 мм Проушина, d = 10 мм Панель с люком лазом 2. Заклепочный шов Продольный стык 2. Поперечный стык № Поперечный стык № 2. 2. 2. 2. 2. 3 3.5 4 4.5 5 5. lg N Log N Рисунок 3 – Зависимость долговечности от упругих окружных напряжений Как и в экспериментах В.П. Павелко, полученные для сплава В95пчТ2 данные принадлежат одной статистической совокупности. Тем не менее упругие (фиктивные) окружные напряжения лишены какого либо физического смысла, поскольку значительно превосходят не только предел текучести сплава, но и его временное сопротивление.

Зависимость числа циклов до разрушения от величины приведенных напряжений, найденных по формуле (8), показана на рис. 4. В панелях крыла приведенные напряжения получены путем деления окружных напряжений, вычисленных в результате решения контактной задачи в физически линейной постановке при действующих нагрузках, на теоретический коэффициент концентрации напряжений стандартного образца.

lg пр Св ободное отв ерстие Заполненное отв ерстие 2. Проушина, d = 6 мм Проушина, d = 8 мм 2. Проушина, d = 10 мм Панель с люком лазом 2.5 Заклепочный шов Продольный стык Поперечный стык № 2. Поперечный стык № Обобщенное уравнение 2. 2. 2. 3 3.5 4 4.5 5 5. lg N Рисунок 4 – Результаты испытаний проушин, образцов со свободным и заполненным отверстиями и панелей крыла Прямая линия соответствует аппроксимации всех приведенных на рисунке экспериментальных данных (обобщенному уравнению).

Показатель степени этого уравнения m = 4,05 практически совпадает с показателем степени для образцов со свободным отверстием, а сама прямая проходит по левой границе усталостных характеристик таких образцов. Величина среднеквадратического отклонения логарифмов чисел циклов нагружения до разрушения составляет S LnN = 0,16, а коэффициент вариации LnN = 0,0375.

Для сопоставления приведем опубликованные данные о величинах SLnN при испытаниях образцов из сплава В95 с отверстием при числе циклов до разрушения 5 10. Образцы, изготовленные из листа, имеют SLnN = 0,08, из плиты - SLnN = 0,1 – 0,12, рассеяние же долговечности элементов конструкций в 1,2 – 1,5 раза больше, чем образцов с отверстием [1].

Применительно к анализируемым результатам испытаний образцов и панелей крыла из сплава В95пчТ2 получены следующие значения среднего квадратичного отклонения логарифмов 4 долговечности в диапазоне 10 10 циклов до разрушения относительно собственных кривых усталости: для образцов со свободным отверстием S LnN = 0,092, с заполненным отверстием SLnN = 0,196, проушин с болтами 6, 8 и 10 мм – соответственно 0,146, 0,091 и 0,065. По результатам испытаний панелей S LnN =0,162.

Повышенная величина S LnN для образцов с заполненным отверстием может быть объяснена технологическими отклонениями диаметра отверстия, в которое без натяга вставляется болт. В таком случае незначительное увеличение диаметра отверстия приводит к изменению концентрации напряжений.

Рассеяние результатов испытаний образцов и панелей, показанных на рис. 4 относительно обобщенного уравнения, не превосходит рассеяние долговечности элементов конструкций.

Полученные для образцов и панелей экспериментальные данные принадлежат к одной статистической совокупности. Такая аппроксимация удобна в плане количественной оценки рациональности того или иного конструктивного решения на основе анализа напряженного состояния в линейной постановке.

Таким образом, имея результаты испытаний стандартных образцов и решение задачи о концентрации напряжений, можно определить число циклов до разрушения элемента конструкции.

Следует отметить, что расчет долговечности по формуле (6) можно проводить, если:

- цикл нагружения отнулевой;

- нагружение регулярное;

- диаметры отверстий в стандартном образце и элементе конструкции близки.

Список использованных источников 1. / Сопротивление усталости элементов конструкций А.З. Воробьев, Б.И. Олькин, В.Н. Стебенев и др. – М.: Машиностроение, 1990. – 240 с.

2. Павелко В.П. Основы прикладной теории усталостного разрушения заклепочных соединений / В.П. Павелко // Динамика, выносливость и надежность авиационных конструкций и систем: сб.

науч. тр. НИИГА. – М., 1980. – С. 14 – 24.

Поступила в редакцию 05.11.2009 г.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. А.В. Гайдачук, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», Харьков УДК 629.735.33 А.А. Черных, А.С. Третьяков ЦИКЛИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫЕ И УСТАЛОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЛАВА Д16АТ ПРИ ПРОГРАММНОМ НАГРУЖЕНИИ.

СООБЩЕНИЕ 1. НАКОПЛЕННОЕ ПОВРЕЖДЕНИЕ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО ТРЕМ ЗАКОНАМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ НАПРЯЖЕНИЙ Энергетический критерий усталостного разрушения, предложенный в работе [1], устанавливает зависимость долговечности до возникновения макротрещины от величины рассеянной в элементарном объеме материала энергии. В работе [2] показано, что наилучшее согласование с результатами испытаний образцов из стали 40Х с концентраторами напряжений в условиях программного нагружения имеют расчетные значения долговечности, полученные в рамках энергетического критерия усталостного разрушения при расчете долговечности по локальному напряженно-деформированному состоянию. В работе [3] показано, что расчет долговечности в рамках энергетического критерия дает удовлетворительное согласование с результатами испытаний образцов из стали 30ХГСА, имеющих концентраторы напряжений, при блочном нагружении и в случае сложного напряженного состояния. Особенностью метода расчета долговечности по локальному напряженно-деформированному состоянию согласно энергетическому критерию разрушения является использование характеристик гладкого материала для расчета долговечности конструкций с концентраторами напряжений.

В данной работе проведены усталостные испытания алюминиевого сплава Д16АТ при мягком программном нагружении с целью сопоставления накопленного повреждения, рассчитанного по гипотезе линейного суммирования и согласно энергетическому критерию усталостного разрушения.

Экспериментальное оборудование. Исследования выполнены с использованием испытательного комплекса на базе машины УММ-01 [4].

Под мягким нагружением подразумевают нагружение постоянной амплитудой действующих напряжений.

Измерение деформации в рабочей части гладких образцов проведено с помощью тензометров арочного типа, в которых применены фольговые тензодатчики КФ-5П, соединенные по мостовой схеме.

Необходимо отметить, что одной из особенностей конструкции электромеханических усталостных машин является сравнительно медленное изменение амплитуды нагрузки, которое не позволяет выполнить переход от одной ступени к другой в течение одного цикла нагружения. В связи с этим между ступенями имеются переходные участки с изменяющейся амплитудой нагружения. Величины этих участков составляют 50 – 1000 циклов в зависимости от значений амплитуд нагрузки на соседних ступенях. Измерения деформаций на таких переходных участках не производились. Пример типовой программы испытаний с блоками, близкими к экспоненциальному распределению, показан на рис. 1.

Все усталостные испытания проведены с частотой нагружения 12,5 Гц в условиях нормальной температуры (20° C). Эксперименты выполнены на гладких образцах, показанных на рис. 2. Материал образцов – лист Д16АТ толщиной 6 мм. Образцы испытаны при нагрузках, соответствующих долговечности 6 – 60 блоков нагружения, что соответствует 5·104 – 5·105 циклов до разрушения.

Sa, МПа 0 5000 10000 15000 20000 25000 n, циклов Рисунок 1 – Пример программы Рисунок 2 – Гладкий образец испытаний при блочном нагружении Расчет распределения амплитуд напряжений в блоках. В качестве законов повторяемости перегрузок для тяжелых транспортных самолетов в авиастроении применяют экспоненциальный закон [5] и закон Рэлея [6]. Поэтому в настоящей работе рассмотрены именно эти законы распределения амплитуд нагрузок. Дополнительно проведены испытания при нормальном законе распределения.

Плотность распределения амплитуд напряжений a в блоке программы испытаний составляет:

а) для экспоненциального закона б) для нормального закона (a ma ) a 1 ma 2 f ( a ) = e ;

f ( a ) = e ;

ma в) для закона Рэлея a a 2 2, f ( a ) = e ma и 2 – математическое ожидание и дисперсия величины a.

где Число циклов наработки при нагрузке a i пропорционально вероятности возникновения ее в блоке a i + a f ( a )d a, pi = a i a a – величина интервала в окрестности a i.

где Тогда относительная наработка на i-й ступени pi ni =, k pi i = k – число ступеней в блоке программы испытаний.

где Расчет числа циклов на ступени проведен по аналогии с [7] с учетом следующих исходных данных:

- для экспоненциального закона распределения ma = 0,1 a max ;

a = 0,025 a max ;

- для нормального закона распределения 2 = 0,03 a max ;

a = 0,025 a max ;

ma = 0,5 a max ;

- для закона распределения Рэлея 2 = 0,06 a max ;

a = 0,025 a max, a max – максимальная амплитуда напряжений в блоке программы где испытаний.

Полученные распределения напряжений в блоке показаны на рис. 3. Амплитуды напряжений и соответствующие им наработки представлены в относительных координатах a i ni ni = a i = ;

, nб a max a i – относительная амплитуда напряжений на i-й ступени;

где ni – число циклов нагружения на i-й ступени;

nб – число циклов в полном блоке программы испытаний.

Число циклов наработки на первой, максимальной по амплитуде напряжений, ступени, полученное расчетным путем, оказалось малым для надежной регистрации значений деформации в экспериментах, поэтому в реализованных программах нагружения данное значение увеличено. Для каждого распределения реализованы следующие a max величины максимальной амплитуды напряжений на перегрузочной ступени в блоке: 300, 270, 250, 240, 210 МПа.

a a 1.200 1. 1.000 1. 0.800 0. 0.600 0. 0.400 0. 0.200 0. n n 0.000 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а б ni ni ni a i a (а) (б) (в) 1. 1,000 0,0097 0,0099 0, 1. 0,833 0,0072 0,0087 0, 0,783 0,012 0,016 0, 0. 0,733 0,020 0,028 0, 0. 0,683 0,032 0,047 0, 0. 0,633 0,053 0,075 0, 0. 0,583 0,087 0,115 0, n 0. 0,533 0,145 0,167 0, 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0,483 0,239 0,231 0, в 0,433 0,394 0,302 0, Рисунок 3 – Законы распределения амплитуд напряжений в блоке программы испытаний:

а – экспоненциальный;

б – Рэлея;

в – нормальный Определение средних амплитуд остаточных деформаций. Под амплитудой остаточной деформации понимаем значение деформации при равенстве действующих номинальных напряжений нулю или их среднему значению.

В результате проведенных экспериментов получены значения амплитуды остаточной деформации на каждой ступени блока нагружения. На рис. 4 приведены зависимости амплитуды остаточной деформации от наработки n/N.

Величины средних значений амплитуды остаточной деформации на каждой ступени определены так:

ni нач + ni * i ar (n )dn, = ar ni ni нач ni нач – число отработанных циклов к началу текущей ступени.

где ar ar 6.00E- 3.50E- 3.00E-04 5.00E- 2.50E- 4.00E- 2.00E- 3.00E- 1.50E- 2.00E- 1.00E- 1.00E- 5.00E- n/ N 0.00E+ n/ N 0.00E+ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 б а Рисунок 4 – Зависимости амплитуды остаточной деформации от наработки при программном нагружении:

а - экспоненциальный закон распределения, a max = 300 МПа;

б - закон распределения Рэлея, a max = 210 МПа Примеры зависимости средних значений амплитуд остаточных деформаций от амплитуд напряжений для каждой ступени блока программы испытаний показаны на рис. 5.

lg a i lg a i Блоки 2. 2. № № 2. 2.45 № № № 2. 2.4 № № № 2. 2.35 № № № Блоки 2. 2.3 № #1 № #2 № 2. 2.25 № # № # 2.05 № 2.2 #5 № #6 № 2 № 2.15 № № 1.95 № 2. № * № * lg ar i lg ar i 1. 2.05 № № -5.5 -5.25 -5 -4.75 -4.5 -4.25 - -5 -4.5 -4 -3.5 - а б Рисунок 5 – Зависимость средних значений амплитуд остаточных деформаций от амплитуд напряжений:

а – экспоненциальный закон распределения, a max = 300 МПа;

б - закон распределения Рэлея, a max = 210 МПа Зависимость средних значений амплитуд остаточных деформаций от амплитуд напряжений в логарифмических координатах аппроксимирована линейной функцией.

После достижения максимальной амплитуды напряжений, величины амплитуды остаточной деформации на последующих ступенях аппроксимированы согласно зависимости, предложенной в работе [8].

a i c, * = * (1) ar i ar max a max * max – амплитуда остаточных деформаций на максимальной где ar ступени каждого блока при амплитуде напряжений a max ;

с – параметр материала.

Зависимости средних амплитуд остаточных деформаций на перегрузочных ступенях от амплитуд максимальных напряжений в логарифмических координатах и их сравнение с аналогичной зависимостью при регулярном нагружении, взятой из работы [9], показаны на рис. 6.

2. lg( a) регулярное нагружение регулярное нагружение 2. экспоненциальное распределение распределение Рэлея нормальное распределение 2. линейный (распределение Рэлея) линейный (нормальное распределение) 2. 2. 2. 2. 2. 1. lg(ar) 1. -5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 -4 -3.9 -3. Рисунок 6 – Сравнение средних амплитуд остаточных деформаций на максимальной ступени при программном и регулярном нагружениях Зависимости средних амплитуд остаточных деформаций на всех ступенях для экспоненциального и рэлеевского законов распределения от амплитуд соответствующих напряжений показаны на рис. 7, для нормального закона распределения – на рис. 8. Величины остаточных деформаций на каждом уровне нагрузок усреднены по нескольким экспериментам. Для сравнения на рис. 7 и 8 показана аналогичная зависимость при регулярном нагружении.

2. lg(a) регулярное 300 МПа 2. 270 МПа 2. 240 МПа 210 МПа 2. 188 МПа 2. 2. 1. lg(ar) 1. -5.4 -5.3 -5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 -4 -3.9 -3. Рисунок 7 – Сравнение средних амплитуд остаточных деформаций при программном и регулярном нагружениях для экспоненциального закона распределения и закона Рэлея 2. lg(a) регулярное 2. 300 МПа 270 МПа 2. 240 МПа 2. 210 МПа 2. 2. 1. lg(ar) 1. -5.4 -5.3 -5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 -4 -3.9 -3. Рисунок 8 – Сравнение средних амплитуд остаточных деформаций при программном и регулярном нагружениях для нормального закона распределения Необходимо отметить, что в случаях экспоненциального закона распределения и закона Рэлея величины средних амплитуд остаточных деформаций, определенных на максимальной ступени по всем блокам до разрушения, близки к их значениям на соответствующих уровнях напряжений при регулярном нагружении. Для нормального распределения эти значения имеют параллельное смещение в сторону меньших величин остаточных деформаций. Отличие достигает 1,35 раза.

Средние величины амплитуд остаточных деформаций, определенных на последующих ступенях по всем блокам до разрушения, в ряде случаев существенно отличаются от значений остаточных деформаций на соответствующих уровнях напряжений при регулярном нагружении. При этом значения средних остаточных деформаций по ступеням для распределений по экспоненциальному закону и закону Рэлея лежат в одной совокупности. Величины остаточных деформаций для нормального распределения систематически меньше.

Такое отличие может быть объяснено интенсивным циклическим упрочнением (уменьшением величины остаточной деформации с наработкой) на ступенях нагружения с большой амплитудой напряжений, которые в нормальном распределении имеют большую длительность по числу циклов (в три и более раз) по сравнению с распределениями по законам Рэлея и экспоненциальному.

Зависимости имеют перелом, близкий по величине напряжений к перелому основной диаграммы циклического деформирования.

Расчет повреждения по энергетическому критерию и гипотезе линейного суммирования. Проведен анализ величин повреждения, накопленного до разрушения образцов. Значения получены в результате расчетов по гипотезе линейного суммирования повреждений и энергетическому критерию разрушения.

Накопленное в эксперименте повреждение складывается из повреждений в блоках Dб и повреждений на переходах между ступенями Dп :

D = Dб + Dп. (2) Повреждение в блоках, полученное по гипотезе линейного суммирования, вычислено следующим образом:

K ni Dб л.с. =, i =1 Ni ( a i ) где K – общее число реализованных в эксперименте ступеней нагружения;

N i ( a i ) – долговечность при регулярном симметричном нагружении амплитудой a i, определяемая по кривой Велера M N = C ;

a M и C – коэффициенты кривой Велера.

Повреждение на переходе между соседними ступенями с одной амплитуды на другую можно выразить в виде интеграла n dn = Dп, (3) л.с.

N ( a ) n – число циклов наработки, которое занимает переход.

где Амплитуда напряжений на переходе пропорциональна числу циклов нагружения. Пусть величина амплитуды изменяется линейно от значения a1 до a 2, тогда a n, a = a1 + (4) n a = a 2 a1.

где Подставим (4) в (3) и выполним интегрирование, тогда выражение для повреждения на переходе примет вид M2+ 1 M + =a a Dп л.с..

a ( M + 1) C n Повреждение в блоках согласно энергетическому критерию разрушения вычислено так:

K Dб э.к. = R W r* i n i, i = где R и – константы материала, численные значения которых приведены в [9];

W r* i – рассеянная за цикл нагружения энергия:

W r* i = K ф a i * i, (5) ar Кф – коэффициент формы петли гистерезиса.

где Повреждение на переходе с амплитуды a1 на амплитуду a 2 при расчете согласно энергетическому критерию может быть выражено в виде интеграла n Dп э.к. = R W r dn ;

W r = K ф a ar.

Амплитуда остаточной деформации между ступенями изменяется согласно выражению (1). Тогда рассеянная энергия на переходе составит a c W r = K ф a *.

a ar Преобразовав последнее выражение с учетом (5), получим + a c W r = W r*.

a Выражение для повреждения с учетом (4) после решения интеграла примет вид 1 +1+1 +1 + c a 2 a1 c R W r* Dп э.к. =.

c + a 1 + 1 + 1 a n c Результаты расчета согласно энергетическому критерию разрушения и гипотезе линейного суммирования приведены на рис. 11, 12.

Все распределения 1. 1. 1. Повреждение 1. 0. 0. 0. 0. 0. 150 200 250 300 a m ax, МПа по энергетическому критерию по гипотезе линейного суммирования линейный (по энергетическому критерию) линейный (по гипотезе линейного суммирования) Рисунок 11 – Накопленные до момента разрушения повреждения (сводный по всем законам распределения) Экспоненциальное распределение 1. 1. 1. Повреждение 1. 0. 0. 0. 0. 0. 150 200 250 300 a m ax, МПа Распределение Рэлея 1. 1. 1. Повреждение 1. 0. 0. 0. 0. 0. 200 250 300 a m ax, МПа Нормальное распределение 1. 1. Повреждение 1. 0. 0. 0. 0. 0. 200 250 300 a m ax, МПа по энергетическому критерию по гипотезе линейного суммирования линейный (по энергетическому критерию) линейный (по гипотезе линейного суммирования) Рисунок 12 – Накопленные до момента разрушения повреждения Повреждение по энергетическому критерию разрушения для отдельных распределений и по всей совокупности близко либо больше 1, что обеспечивает расчет долговечности в запас. Среднее значение повреждения составило 1,08.

Повреждение по гипотезе линейного суммирования в среднем также близко к единице, но для программ нагружения с большими максимальными амплитудами напряжений систематически меньше 1 и достигает величины 0,6, что приводит к ошибке при расчете долговечности до 1,7 раз не в запас. Причем ошибка возрастает при увеличении неравномерности числа циклов на ступенях в блоке.

Выводы Установлено, что среднее значение амплитуды остаточной деформации на ступени зависит как от уровней нагрузки, так и от вида распределения нагрузок в блоке. При этом среднее значение амплитуды остаточной деформации на максимальной ступени в блоке может как совпадать, так и отличаться от среднего значения при регулярном нагружении в зависимости от вида распределения.

Накопленное повреждение для программ нагружения с большими максимальными амплитудами напряжений, рассчитанное по гипотезе линейного суммирования, приводит к систематическому отличию по долговечности не в запас, достигающему 1,7 раза.

Определение накопленного повреждения по энергетическому критерию разрушения приводит к расчету долговечности в запас во всем исследованном диапазоне в среднем в 1,1 раза.

Список использованных источников 1. Трощенко В.Т. Энергетический критерий усталостного разрушения / В.Т. Трощенко, П.А. Фомичев // Пробл. прочности. – 1993.

– №1. – С. 3-10.

2. Фомичев П.А. Энергетический метод расчета долговечности при нерегулярном нагружении. Сообщение 2. Долговечность при программном нагружении / П.А. Фомичев // Пробл. прочности. - 1995. №8. - С. 3-11.

3. Фомичев П.А. Локальное деформирование материала при программном нагружении в условиях сложного напряженного состояния / П.А. Фомичев, И.Ю. Трубчанин, Я.В. Гребенюк // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб.

науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». – Вып. 2 (53).

– Х., 2008. – с. 35 – 40.

4. Фомичев П.А. Методика экспериментальных исследований циклических деформационных и усталостных характеристик конструкционных материалов / П.А. Фомичев, А.С. Третьяков, А.А. Черных // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е.

Жуковского «ХАИ». – Вып. 2 (53). – Х., 2008. – С. 24 – 34.

5. Тейлор Дж. Нагрузки, действующие на самолет: пер. с англ. / Дж. Тейлор. – М.: Машиностроение, 1971. – 371 с.

6. Райхер В.Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайной нагрузки / В.Л. Райхер. – М.: Изд. отдел ЦАГИ, 1969. – 38 с.

7. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени / В.П. Когаев. – М.: Машиностроение, 1977. – 233 с.

8. Фомичев П.А. Изменение амплитуды пластической деформации при регулярном и программном мягком нагружении сталей / П.А. Фомичев, И.Ю. Трубчанин // Проблемы прочности. – 1991, №2. С. - 44.

9. Третьяков А.С. Циклические деформационные и усталостные характеристики сплава Д16АТ при асимметричном мягком регулярном нагружении / А.С. Третьяков, А.А. Черных // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац.

аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». – Вып. 3 (59). – Х., 2009. – С.

45 - 53.

Поступила в редакцию 12.12.2009 г.

Рецензент: канд. техн. наук, проф. Н.И. Семишов, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», Харьков УДК 629.78 Н.М. Дронь, д-р техн. наук, А.В. Хитько, канд. техн. наук, А.И. Кондратьев, канд. техн. наук, П.Г. Хорольский, канд. техн. наук, Л.Г. Дубовик МАССОВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОСМИЧЕСКИХ МУСОРОСБОРЩИКОВ С ЭРД, ВЫВОДИМЫХ НА ОРБИТУ РАКЕТАМИ-НОСИТЕЛЯМИ СТРАН СНГ И АЗИИ Введение Космический мусор – это все искусственные объекты и их фрагменты в космосе, которые не функционируют, но представляют опасность для действующих космических аппаратов (КА) и орбитальных станций. По оценкам специалистов в настоящее время в космосе находится более 10 тысяч летательных аппаратов и спутников Земли, при этом функционируют из них только 6%. Космические аппараты выходят из строя с завидной регулярностью, в результате чего плотность космического мусора на орбите ежегодно увеличивается на 4% [1].

Увеличению космического мусора способствуют и разгонные блоки ракет, с помощью которых спутники выводятся на геостационарные орбиты. В их баках остается примерно 5…10% топлива, которое весьма летуче и легко превращается в пар, что нередко приводит к мощным взрывам. После нескольких лет пребывания в космосе отслужившие ступени ракет разлетаются на куски, разбрасывая вокруг себя множество мелких осколков. В связи с этим существует высокая вероятность столкновений функционирующих КА с отработанными космическими объектами, и использование космического пространства вообще станет проблематичным. Поэтому проблема создания эффективных систем сбора и удаления космического мусора требует незамедлительного решения.

1. Решение проблемы В настоящее время существует различные способы борьбы с космическим мусором, в том числе создание специального космического аппарата – мусоросборщика (МС), снабженного электроракетной двигательной установкой (ЭРДУ) [2]. В целях усовершенствования способа борьбы с космическим мусором, предложенного в [2], для накопления необходимой информации, которую можно использовать при реализации этого способа, предлагается провести анализ энергетических возможностей ряда существующих ракет-носителей (РН), снабженных разгонными блоками (РБ) для выведения МС на необходимую орбиту.

Рассматривается следующий маневр выведения и эксплуатации МС для улавливания космического мусора. С помощью РН МС выводится на орбиту высотой 200 км. После чего на требуемую «высокую» орбиту МС довыводится посредством РБ. Затем разворачивается пассивный улавливающий элемент (ПУЭ) для захвата космического мусора. Включается тормозная ЭРДУ и высота орбиты уменьшается до «низкой». По мере уменьшения высоты орбиты ПУЭ захватывает как мелкий космический мусор (размер частиц от 1 до см), так и крупногабаритный космический мусор, или снижает их скорость. После снижения скорости космический мусор переводится на более «низкую» орбиту и сгорает в атмосфере Земли. Благодаря низкой тяге ЭРДУ движение МС происходит медленно и очень долго.

Вследствие этого целевая эффективность рассмотренного способа улавливания космического мусора ожидается высокой из-за большого времени пребывания в зоне возможного контакта с космическим мусором.

«Высокая» орбита выбрана круговой высотой 1200 км, «низкая»

орбита также круговая, но высотой 500 км. РБ и обтекатель от РН не отделяются, чтобы не добавлять в космосе крупногабаритного космического мусора. Их пассивная масса после выработки топлива ЖРДУ учитывается при расчете характеристической скорости при снижении МС от 1200 до 500 км.

В качестве полезной нагрузки (ПН) для определенности выбрана система, состоящая из ПУЭ с устройствами крепления, развертывания в космосе и удержания при эксплуатации МС в космосе. ПУЭ представлен в виде сферы радиусом R. Рассматривается идеальный случай, когда масса вышеупомянутых устройств равна нулю. Масса ПУЭ определяется из предположения, что масса единицы поверхности сферы составляет 0,2 кг/м2.

Целью данной работы является расчет массовой эффективности МС в зависимости от энергетических возможностей некоторых наиболее мощных ракет-носителей, разработанных в странах СНГ и Азии [3], которые можно использовать для выведения МС на необходимую орбиту.

2. Результаты исследований Для выведения МС на конечную орбиту были рассмотрены наиболее мощные РН разработки Украины, России, Китая и Японии.

Характеристики рассмотренных РН приведены в таблице.

Расчет массовой эффективности МС проводился по методике, разработанной в Днепропетровском национальном университете [4].

Критерием оценки массы мусоросборщика MМС и массы полезной нагрузки M ПН выбрано отношение массы МС (за вычетом массы обтекателя и сухой массы РБ) к максимально возможной такой же массе МС, выводимого наиболее мощной РН «Протон-М», M МС max, а также отношение площади поверхности ПУЭ F к аналогично определенной площади ПУЭ в варианте РН «Протон-М» Fmax.

Название РН Страна-разработчик Грузоподъемность, кг «Днепр-1» Украина «Циклон-3» –«– «Зенит-2» –«– «Молния» Россия «Союз 2-1Б» –«– «Протон-М» –«– «CZ-2C» Китай «CZ-2D» –«– «CZ-4B» –«– «CZ-3» –«– «CZ-3A» –«– «CZ-2E» –«– «CZ-2F» –«– «CZ-3C» –«– «CZ-3B» –«– «H-1» Япония «H-2A/202» –«– «H-2A/2022» –«– Массу мусоросборщика находят из выражения MМС = М0 МТ MРБсух, ЖРД где М0 – грузоподъемность РН на круговой орбите высотой 200 км;

МT – запас топлива ЖРД;

ЖРД М РБсух – масса обтекателя и сухая масса РБ.

Массу полезной нагрузки МПН определяют из уравнения баланса массы МС, в которую не включены масса обтекателя и сухая масса РБ:

MМС = МСПУ +М Д +МСА + МЭУ + МСХПТ + МК + МТ + МПН.

При задании ПУЭ в виде сферы радиусом R масса МПН определяется массой ПУЭ МПУЭ и массой элементов крепления ПУЭ, его развертывания и удержания на орбите МЭЛ. В этом случае МПН = MПУЭ +М ЭЛ. (4) МЭЛ =0, Рассматривался идеальный случай, когда т.е.

МПН = MПУЭ :

MПУЭ = 4R 2, (5) где – плотность оболочки шара (задавалась равной 0,2 кг/м2 согласно [5]).

Массы постоянных членов в уравнении баланса принимали следующими:

- системы преобразования и управления МСПУ – 10 кг;

- двигателей М Д – 10 кг;

- служебной аппаратуры МCA – 260 кг [6].

Массы переменных членов определяли по следующим формулам:

- энергоустановки МЭУ = ЭУ N, где ЭУ = 50 кг/кВт;

N – мощность, потребляемая двигателями ЭРДУ;

- системы хранения и подачи топлива в ЭРДУ МСХПТ = б М Т, где б = 0,15;

М Т – масса рабочего тела ЭРД ЭРД ЭРД;

- элементов конструкции мусоросборщика МК = 0,1 (М Д +М СХПТ +МЭУ + МСПУ ).

На рис. 1 приведены зависимости массы мусоросборщика М МС и массы полезной нагрузки МПН от грузоподъемности ракеты-носителя М0 (в М МС не включены масса обтекателя и сухая масса РБ), на рис. – зависимости радиуса пассивного улавливающего элемента R и отношения площади поверхности ПУЭ F в каждом варианте РН к площади ПУЭ Fmax в варианте РН «Протон-М» как самой мощной из рассмотренного диапазона. Заметим, что R и F определены для массы МПН, в которой масса МЭЛ = 0.

Как видно из графиков, М МС, МПН, F / Fmax изменяются пропорционально М0. Радиус R также имеет возрастающий характер, но зависит от М0 более сложно. При этом следует отметить, что значения отношений F / Fmax и M MC / MMC max совпадают, поэтому зависимость M MC / MMC max от М0 имеет аналогичный характер.

Ммс,Мпн,т 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 М0, т Ммс Мпн Pисунок 1 – Зависимость массы полезной нагрузки и массы мусоросборщика от грузоподъемности РН СНГ и Азии F/Fmax R, м 100 80 0, 60 0, 40 0, 20 0, 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 М0, т R F/Fmax Рисунок 2 –Зависимость радиуса ПУЭ и отношения площади поверхности ПУЭ МС, выводимых РН СНГ и Азии, к площади поверхности ПУЭ МС варианта РН «Протон-М» от грузоподъемности РН Выводы Анализируя результаты расчетов, можно сделать следующие выводы. РН разработки Украины «Днепр-1», «Циклон-3», «Зенит-2», грузоподъемность которых изменяется приблизительно в 3 раза, могут обеспечить создание космических мусоросборщиков массой от 3 до 10,7 т, имеющих в идеальном случае (масса элементов крепления ПУЭ к МС и развертывания в рабочее положение равна нулю) радиус элемента, улавливающего космический мусор, в диапазоне от 32 до 62 м. Масса мусоросборщиков, которые могут быть выведены РН России грузоподъемностью от 2,5 до 21 т, изменяется в диапазоне от 2 до 17,5 т, при этом радиус ПУЭ составляет от 26 до 80 м. РН разработки Китая могут вывести на орбиту 1200 км космические МС массой от 2, до 9,3 т с радиусами ПУЭ от 27 до 58 м, а РН разработки Японии – массой от 2,7 до 8,8 т с радиусами ПУЭ от 30 до 57 м.

Список использованных источников 1. Микиша А.Н. Загрязнение космоса / А.Н. Микиша, Л.В. Рыхлова, М.А. Смирнов // Вестник РАН. – 2001. – Т. 71, № 1. – С. 26-31.

2. Шевцов А.В. Мелкий космический мусор. Анализ развития и способы борьбы / А.В Шевцов, А.С. Макарова // Космічна наука і технологія. Додаток до журналу. – Днепропетровск: ДНУ, 2002. – Т. 8, № 1. – С. 176-179.

3. Isakowitz S.J. International Reference Guide to Space Launch Systems. Second Edition / S.J. Isakowitz – Washington: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1991. – 341 p.

4. Кондратьев А.И. Методика расчета тяговых и энергомассовых характеристик мусорособирающего космического аппарата с электродвигательной установкой / А.И. Кондратьев, П.Г. Хорольский, Л.Г. Дубовик // Авиационно-космическая техника и технология: сб. науч.

тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». – Х., 2009. – № (67). – С. 82-84.

5. Alpatov A.P. Space vehicle with electric thruster for gathering fine space debris / [A.P. Alpatov, V.P. Gusyning, N.N. Slyunyayev and others] // Proc. 50-th Int. Astronaultical congress. – Glasgow, Scotland, 2008.

6. Konstantinov M. The analysis of influence of electrical propulsion characteristics on efficiency of transport maneuvers / M. Konstantinov // The 30-th International Electrical Propulsion Conference, 17-20 September 2007.

– Florence, Italy, 2007. – JEPC-2007-212. – 18 р.

Поступила в редакцию 15.11.2009.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Я.С. Карпов, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», Харьков УДК 539.3 А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук, Л.И. Курпа, канд. физ.-мат. наук РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ И ДВУМЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫМИ ТРЕЩИНАМИ Предлагается метод исследования краевых задач теории упруго сти для плоскости с круговым отверстием и двумя прямолинейными по лубесконечными трещинами (разрезами) на прямой, не проходящей че рез центр отверстия. Этот метод основан на применении соотношений между базисными решениями уравнения Ламе в полярных и биполяр ных координатах и приводит к бесконечным системам линейных алгеб раических уравнений с экспоненциально убывающими матричными ко эффициентами, что позволяет провести эффективные асимптотический и численный анализы напряженно-деформированного состояния вблизи концентраторов напряжений.

Объектами особого внимания механики разрушения являются вер шина трещины – место возникновения наибольшей концентрации на пряжений, и исходная точка дальнейшего разрушения материала. Наи более важными параметрами в линейной механике разрушения являют ся коэффициенты интенсивности напряжений, знание которых позволя ет изучить поведение тела с трещинами, в частности, сформулировать критерий локального разрушения материала [1].

Предлагаемый аналитический подход непосредственно связан с математической проблемой расчета ответственных авиационных и не сущих строительных конструкций, которые должны обладать прочност ной надежностью при наличии в материале исходных дефектов (трещин, полостей, включений и т.п.).

Рассмотрена симметричная по одной координате задача о равно весии упругой плоскости, ослабленной круговым отверстием и двумя прямолинейными полубесконечными разрезами (рис. 1). Разложением по малому геометрическому параметру получена асимптотическая фор мула для коэффициента интенсивности нормальных напряжений.

Пусть (х,у), (х1,у1), (1,1), (,), (,) – декартовы, полярные и би полярные координаты, определяемые равенствами:

x1 = x, y1 = y h, x1 = 1 cos 1, y1 = 1 sin 1 ;

ash ash a sin a sin x= =, y= = ch + cos ch cos ch + cos ch cos ( a 0;

h 0,,, ).

Базисные решения уравнения Ламе Рисунок 1 – Геометрия области grad div +(1-2) =0 (1) ( – вектор упругих перемещений;

– коэффициент Пуассона) в поляр ных и биполярных координатах, обладающие симметрией по координате x( ), выберем в форме вектор-функций (2) (3) (, – орты декартовой системы координат, = 3-4).

Решения (2), (3) связаны между собой равенствами (4) Здесь 2ia i 2a a + ih i Dm ( ) =, D0 ( ) = e ;

e F 1 m,1 i;

2;

, = ln a + ih a + ih a ih ima ei 2a Cm ( ) = F 1 m,1 + i;

2;

(m = 1,2,…);

a + ih sh a + ih n ( n) (b) kk k F( n,b;

c;

z) = z – гипергеометрический полином [2];

k!(c)k k = Г(a + k) Г(1 a) = ( 1)k (a)k =, Г(z) – гамма-функция.

Г(1 a k) Г(a) При выводе разложений (4) использованы соотношения между ба зисными решениями уравнения Лапласа в полярных и биполярных ко ординатах [3] и их линейные комбинации, обладающие симметрией по координате x( ) :

( ) n n sin = ± Dn ( ± )( h + ia ) + 1, 1 a2 + h 1 sinn e 2 n = n n e cos = Dn ( ± )( h + ia ) 1 cosn + 1 ;

2 n = ( ) n 1 cosn +1 = (h + ia) Cn ( ) e cos 1 d, ( Im ) ;

n 2 n (h + ia) Cn ( )e sin d.

1 n sinn +1 = 2 Применим разложения (4) к решению задачи о равновесии упругой плоскости, ослабленной отверстием 0 1 R и двумя прямолинейны ми полубесконечными трещинами (разрезами) |x| a, у = 0. Пусть берега разрезов = ± свободны от внешних усилий, а граница отверстия 1 = R подвержена давлению интенсивности 0 = const ( 0 0 ).

Тогда граничные условия имеют вид y = 0, xy = 0 ( = ± ) ;

1 = 0, 11 = 0 ( 1 = R ). (5) С учетом симметрии задачи относительно оси Ох общее решение уравнения (1) представим в виде A1( ) (, ;

)d + B1( ) (, ;

)d + = A 2 ( ) (, ;

)d + B 2 ( ) (, ;

)d + + (6) ( 1, 1 ) + B(2) B(1) ( 1, 1 ).

+ n n n= n= Удовлетворяя условиям (5) на основе общего решения (6) и соот ношений (4), исключая затем плотности интегралов A i ( ), Bi ( ) (i=1, 2) (1) (2) и заменяя коэффициенты рядов Bn, Bn безразмерными величинами 0Rn+ 2 (1) (2) 0Rn (2) x(1), x(2) по формулам B(1) = xn, Bn = xn (G – мо n n n 2G 2G (1) (2) дуль сдвига), после некоторых преобразований для отыскания xn, xn получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений второго рода x(1) = dnk xk + dnk xk + fn (11) (1) (12) (2) (n = 0,1,2,...) ;

n k =0 k = (7) x(2) = dnk xk + dnk xk (21) (1) (22) (2) (n = 2,3,...), n k =0 k = в которой f0 = 1;

fn = 0 (n = 1,2,...);

1 n+k + 2 (2) d(11) = ( n 1) dnk + (21) I n,k ;

nk 1 n+k (1) I n,k 2 + (k 1)I (2)2 2(k 1) I (2)1 ;

(12) (22) dnk = ( n 1) dnk + n,k n,k 1 n+k (1) I n2,k + (n 1)I n2,k + (n + 1) 2 I n,k 2nI n1,k ;

(2) (2) (2) (21) dnk = d(22) = n+k 2 {(n + k 2)I n2,k 2 + (nk n k + 2)I n2,k (1) (2) nk 2(k 1) I(1)2,k 1 + (n 1)I (2)2,k 1 + (n +1) 2 I (1) 2 + (k 1)I n,k (2) n n n,k } 2n I (1)1,k 2 + (k 1)I(2) 2 2(n +1)(k 1) 2I (2)1 + 4n(k 1)2I (2) 1 ;

n n1,k n1,k n,k d(11) = k + 2 I (2), d(12) = k 2(k 1) I (2) 1 I (1) 2 (k 1)I (2) 2 ;

0,k 0k 0,k 0k 0,k 0,k Im,k = I(1) Im,k, I( j) = (k + 1)Jm,k ( j = 1,2 ) ;

( j) (2) m,k m,k J(1) D m +1( ) Ck +1( ) m,k m + k + 2 D = d ;

(2) ( ) ch Jm,k (k + 1) ( + i ) m + R h J( j) = Jm,k ( j = 1,2 ) ;

=, =.

( j) k,m a a Существенно, что коэффициент интенсивности нормальных на пряжений K I = lim y = 0 2(a x) x a (x a) выражается непосредственно через решение системы (7):

{ } 0 a (1) (2) (2) k + KI = k xk + k xk + 2 2(k + 1)k +1 xk + 2, 2(1 + ) k = m +1 2 2 1 + e 2 F m;

;

2;

m = e F m;

;

2;

= 2 1 + i 2 1 + i m ( + i) 2k ( m)k m +1k m 2 k 2(m + 1) j Cm +1k m +1k j cos 2 (k + j 1).

= k! ( 2 )k m + k =0 j= 2 (1 + ) Используя равенства [2, 4] 1 1 = (1 i)(1 + i), = i + i ;

2 2 sh ch i ( + )( + )(+ ) (+ ) ( + s)(+ s)( s)( s)ds = 2i ;

( ++ + ) i +i s (s)(s + c a b)(a s)(b s)(1 z) ds = i (a)(b)(c a)(c b) = 2i F(a,b;

c;

z);

(c) 1 tb 1(1 t)c b (c) z a F(a,b;

c;

z) = (1 z) F(a,c b;

c;

)= dt ;

a z 1 (b)(c b) 0 (1 tz) (a) j (b ') j z j F(a + j,b;

c;

y) = F2 (a,b,b';

c,c ';

y,z), j = 0 j!(c ') j yz F2 (a,b,b ';

a,a;

y,z) = (1 y)b (1 z)b ' F(b,b ';

a;

);

(1 y)(1 z) a(z 1)F(a + 1,b;

c;

z) = (2a c az + bz)F(a,b;

c;

z) (c a)F(a 1,b;

c;

z) ;

bF(a,b + 1;

c;

) = (b a)F(a,b;

c;

) + aF(a + 1,b;

c;

) ;

(b a)(1 )F(a,b;

c;

) = (c a)F(a 1,b;

c;

) + (b c)F(a,b 1;

c;

), (1) (2) для вычисления величин Jm,k, Jm,k получаем рекуррентные формулы 1 J(1)+1,k +1 = (1) (1) (m + 3 ) Jm+2,k 2(m + k + 3) 2 Jm+1,k + m k+2 1+ 1 ( m + 1) J(1) + kJ(1) + m+1,k 1 (m,k = 0,1,2,...);

1 + m,k 1 J(2) 1,k +1 = (m + 3 ) J(2) 2,k 2(m k + 1) 2 J(2) 1,k + m+ m+ m+ k+2 1+ (m + 1) J(2) kJm+1,k 1 (k m;

m,k = 0,1,2,...);

(8) 1 (2) + 2 m,k 1+ 2m + 5 m + 1 1 (1) J(1)+ 2,0 = (1) Jm+1,0 (m = 0,1,2,...);

J m 2 m, m + 4 1+ m + 4 1+ 1 (1) Jm,0 + J(2) (m = 0,1,2,...);

J( j) = J( j) ( j = 1,2);

J(2) 1,0 = 2 m, m+ k,m m,k 1 J(1) (1),J(2) = =,J1,0 = 0,0 0, 2(1 + 2 )2 2(1 + 2 )3 2(1 + 2 ) и явное выражение 3 ( m) j ( k)s jk s 2j 2 2 s m (1) m+k Jm,k =. (9) 22 j!(2) j 1+ i s=0 s!(2)s ( j + s + 2) 1+ i (1+ ) (+ i) j= ( ) бесконечной (ij) Формулы (8) удобны для вычисления матрицы dnk системы (7), но малопригодны для изучения свойств этой системы. За писывая (9) в интегральной форме 1 3 2x 3 2x J(1) xF( m, ;

2;

= )F( k, ;

2;

)dx, m,k (1 + 2 )2 ( + i)m + k 1 + i 2 1 + i используя интегральное представление [2, 4] n 21 t 2xt 3 2x )= F( n, ;

2;

1 dt 0 1 t 1 + i 2 1 + i и учитывая, что 21 t 2xt 3 2x ) 1 1 (0 x,t 1), F( n, ;

2;

dt = 1, 1 + i 2 1 + i 0 1 t получаем J(1). (10) m,k 2 2( m+k+2) 2(1+ ) (2) Для величин Jm,k выполняется неравенство J(2). (11) m,k 2 2( m+k+2) (1+ ) R Из оценок (10), (11) следует, что при = = 2 2 a +h 1+ (ij) = d(ij) 0 (n,0 1), n nk k= т.е. бесконечная система (7) квазирегулярна при 0 1 и вполне регу лярна при 0 0 1 для некоторого 0 (0;

1). Ограничение 0 1 на возможные значения параметра естественным образом связано с формулировкой рассматриваемой задачи и означает, что окружность 1 =R (граница отверстия) не пересекается и не касается трещин =±.


Решая бесконечную систему методом малого параметра и ограни чиваясь при этом членами до порядка, для коэффициента интенсив ности нормальных напряжений получаем асимптотическую формулу 0 a 2 3 4 () + O 6.

2 + 1 + KI = (1 + 2 ) 2 1+ Список использованных источников 1. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / М. Сира тори, Т. Миёси, Х. Мацусита. – М.: Мир, 1986. – 334 с.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометри ческая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М.: Наука, 1965. – 294 с.

3. Соловьев А.И. О равновесии плоскости, ослабленной отверсти ем и двумя трещинами / А.И. Соловьев, В.В. Цымбалюк // Прикладная механика. – 1989. – Т. 25, №8. – С.105 – 111.

4. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. – М.: Наука, 1986. – 800 с.

Поступила в редакцию 14.12.2009.

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. А. Г. Николаев, Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», Харьков УДК 658.012.34(075.8) С.С. Куреннов, канд. техн. наук, Д.Е. Завадская ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННАЯ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА С ВЕРОЯТНОСТНЫМ СПРОСОМ Управление запасами является неотъемлемой частью управления производством и распределением ресурсов. Одним из методов повышения эффективности работы является уменьшение расходов и синхронизация работы подразделений, что достигается путем глобальной оптимизации работы всей организации с учетом взаимного влияния различных подразделений. В условиях рыночной экономики и при отсутствии плана производства актуальны модели, учитывающие вероятностную природу спроса, производства и сроков доставки.

Постановка задачи. Рассматривается распределительная сеть, для каждого узла которой известны закон распределения спроса, штраф за недостачу и запасы, оставшиеся после предыдущего перераспределения. Некоторые из узлов являются производителями ресурса, т.е. в начале каждого периода имеют значительный запас.

Кроме того, известны расстояния между узлами и задана функция транспортных затрат. В системе действует периодическая стратегия пополнения запасов, т.е. в начале каждого периода принимается решение о том, какие из узлов запас отдают, а какие получают, и определяются объемы поставок. Стоимость хранения предполагается одинаковой для всех узлов и поэтому в целевую функцию не входит.

Децентрализация системы заключается в том, что отсутствует привязка потребителя к поставщику, и задача выбора решается на основании информации об имеющихся запасах во всех узлах сети, штрафах и остальных параметрах в начале очередного периода.

Впервые подобную задачу рассмотрел S.G. Allen в 60-х годах прошлого века. Предложенный им метод решения опубликован в классических работах Ю.И. Рыжикова по управлению запасами [1, 2].

Задача формулируется следующим образом: ожидаемые затраты за период T до очередного пополнения состоят из суммы математических ожиданий штрафов у поставщиков (первая сумма), штрафов у получателей (вторая сумма) и транспортных расходов:

x z j qij f j (x )dx + L = pj q ij i M + j M zj + i M + x z j qij fi (x )dx + c ij qij, + pi q ij j M i M + z i j M i M + jM где c ij – цена единичной перевозки между узлами i j, j, i = 1, 2,..., n ;

qij – объем перевозок между этими складами;

z j – наличный запас на складе j ;

p j – цена штрафа на складе j ;

fi (x ) - плотность распределения спроса на складе j ;

M – множество складов, которые получают запас при перераспределении;

M + – множество складов, которые отдают запас при перераспределении.

На переменные наложены ограничения в виде неравенств на неотрицательность запаса после перераспределения zi qij 0, i M +, j M и очевидные ограничения qij 0.

Алгоритм, который предложил S.G. Allen, заключается в предварительном определении состава множеств поставщиков и L = 0 для получателей и последующем решении системы уравнений q ij всех пар целесообразных перевозок. Однако возможна ситуация, в которой стоимость перевозки в некоторый пункт равняется сумме стоимостей перевозки до промежуточного пункта и из него в конечный пункт, т.е. выполняется условие c ij = c ik + c kj.

Это условие соответствует вполне реальной ситуации отсутствия прямых дорог между всеми узлами сети, т.е. наличию транзитных перевозок. Следствием этого является возможность реализовать перераспределение запасов различными способами с одинаковой стоимостью, где один и тот же элемент системы является и потребителем и получателем товара. Наличие множества альтернативных оптимальных решений обуславливает расходимость численных методов решения разрешающей системы уравнений.

Чтобы исключить наличие бесконечного числа альтернативных оптимальных планов, предложено ввести нелинейную функцию транспортных затрат. Замена функции транспортных затрат в целевой функции, вызвана, с одной стороны, стремлением обусловить единственность решения, а с другой - более точно отразить реальную структуру транспортных расходов. Последние включают в себя фиксированную надбавку за выход машины на маршрут (она зависит от типа машины и протяженности маршрута) и переменную составляющую, зависящую от объема груза и связанную со временем и стоимостью погрузочно-разгрузочных работ, страховкой и т.д. Однако в нуле такая функция равна нулю, т.е. имеется изолированная точка cij qij + d ij, qij 0, Cij (qij ) = (1) 0, qij = 0.

Это обстоятельство исключает применение градиентных методов минимизации. Поэтому было предложено заменить эту функцию близкой, но всюду дифференцируемой:

q n Cij (qij ) = cij qij + d ij d ij ij + 1, (2) a где a и n - параметры приближения. В дальнейших расчетах для определенности полагаем a = 1 и n = 2.

Кроме того, для удобства предложено также рассматривать склады отдельно от торговых центров, т.е. остаток запаса zi в узле i после перераспределения zi qij соответствует транспортировке j M qii с нулевой стоимостью затрат.

Целевая функция состоит из суммы математического ожидания штрафов за дефицит по всем узлам сети и транспортных расходов:

n NN n () LT = p j x qij f j (x )dx + Cij qij, (3) i = j =1 j =1i = N z j i1q ij = () где Cij q ij - стоимость доставки из узла i в узел j груза qij, при этом Cij (0 ) 0 и Cii (qii ) 0 ;

N - число узлов в сети.

Необходимо найти минимум функции (3) при выполнении условий полного вывоза запаса из склада N qij = zi, i = 1,2,..., n. (4) j = При условии неотрицательности перевозимого груза qij 0.

Таким образом, задача содержит комбинаторные неизвестные i j и соответствующие непрерывные неизвестные qij. Для минимизации целевой функции (3) можно использовать градиентные методы. Однако поскольку функция затрат (2) (как собственно и (1)) выпуклая, то целевая функция может иметь локальные оптимумы [3], и глобальный минимум среди них может быть не найден.

Чтобы найти приближенное решение задачи предлагается использовать метод случайного поиска и локальной минимизации [3].

При этом начальный опорный план выбирается случайно, а затем с помощью градиентного метода оптимизации достигаться локальный минимум. Выполнив множество прогонок, выбираем наилучшее из найденных оптимальных решений.

Необходимо отметить, что наличие фиксированных доплат в транспортных расходах обуславливает невыгодность использования для перераспределения большого числа машин. Выгоднее из узлов с малыми запасами товар не перемещать, а пополнять запас товаром из узлов с избыточным запасом. Кроме того, при больших значениях d ij очевидна невыгодность поставки в один узел товара из нескольких узлов. Это условие используем в изложенном ниже алгоритме.

Алгоритм решения:

1. Формируем списки получателей и поставщиков, для чего минимизируем штрафы без учета транспортных расходов, и определяем количество элементов в списках – числа U (получатели) и V (поставщики).

Возникающую при этом систему уравнений pi fi (x )dx = p1 f1(x )dx, i = 2,..., n S ~ ~ S (5) i n~ n S i = zi.

i =1 i = решаем, например, с помощью метода Ньютона.

Сравнивая полученные результаты с имеющимися в наличии запасами, разделяем элементы системы на соответствующие множества ~ i M +, если Si zi, ~ i M, если Si zi.

2. Задаем P - число прогонов.

3. Если P = 0 то останавливаем счет.

4. Формируем случайным образом начальный опорный план, который представляет собой матрицу N N, в которой диагональные + элементы, принадлежащие M, равны z j, а элементы строк, соответствующих M (число таких строк V ), равны случайным величинам, ограниченным, например, математическим ожиданием спроса в этом узле.

5. Начальный опорный план улучшаем, для чего используем метод градиентного спуска:

a) для ненулевых недиагональных элементов матрицы опорного плана вычисляем производные q n 1 n qij L a + 1 ;

ij f j (x )dx + c ij + d ij = pi a a qij N q k,j k = b) эти элементы плана перевозок изменяем L q ij : = q ij, где - шаг, подбираемый экспериментально;

q ij c) вычисляем остаток у поставщика q ii = zi qij ;

d) округляем значения до транзитной нормы, проверяем условие неотрицательности;

если получили отрицательный запас, то назначаем его нулевым, корректируя соответствующим образом поставки из этого пункта;

e) если значение целевой функции уменьшилось, то возвращаемся в пункт (а), если иначе, то : = / 2 ;

f) если несколько раз подряд значение L оставалось неизменным, то локальный минимум достигнут. Переходим в пункт (6).

g) возвращаемся в пункт (а).

6. Сравниваем полученное значение целевой функции с текущим минимальным значением Lmin (начальное значение Lmin = ).

Если L Lmin, то:

• Lmin : = L ;

• запоминаем текущий план перевозок.

7. P : = P 1;

8. Возвращаемся в пункт 3.

Модельная задача. Ставится задача об оптимальном распределении запаса на сети, включающей в себя 6 элементов.

Матрицы параметров d ij и c ij функции транспортных затрат (2) имеют вид 0 1400 1100 1300 800 500 1500 1300 0 700 600 = {} D = d ij ;


i, j =1 300 0 21 16 20 13 0 6 23 19 0 10 9 C = {cij }i, j =1 =.

0 4 0 Матрицы симметричны, поэтому показываем половину, подразумевая в дальнейшем, что d ij = d ji и c ij = c ji. Впрочем, в более общем случае эти условия могут и не выполняться. Параметр d ij соответствует стоимости рейса машины по маршруту i j, а c ij стоимости погрузочно-разгрузочных работ единицы груза на этом маршруте.

Закон распределения спроса принимаем нормальным ( x mi ) 1 2 fi (x ) = e i, поскольку для большинства товаров спрос 2 i обеспечивается большим числом независимых покупателей.

Математические ожидания и дисперсии спроса назначаем следующими:

m = {mi }6=1 = (89 80 150 60 112 51)T ;

i {mi }6= i 6=1 = (8,9 8 15 6 11,2 5,1)T.

={ } i = i Штрафы за единичную недостачу P = {pi }6=1 = (100 400 500 200 200 150 )T.

i Необходимо отметить, что назначение штрафов – достаточно сложная задача. Штрафы назначаются с учетом множества факторов – известности товара и фирмы на рынке, активности конкурентов и т.д.

Остатки на складах после предыдущего периода:

Z = {zi }6=1 = (450 32 21 215 52 28 )T.

i По сути, они являются случайными числами и зависят от поставок в предыдущие периоды и спроса в течение периодов, однако на момент принятия решения о перевозках запасы являются известными.

Решение системы (5) имеет следующий вид { }6=1 = (129, ~~ 118,8 222,8 88,2 164,9 73,8 )T.

S = Si i Сравнивая этот результат с наличными запасами zi, формируем + списки M и M :

M + = {2 3 5 6}, M = {1 4}, т.е. U = 4 и V = 2. После этого согласно изложенному выше алгоритму на каждом прогоне выбирают опорный план в виде матрицы 6 6, в + которой диагональные элементы, принадлежащие M, равны соответствующим остаткам zi, а в строчках M случайным образом + выбирают направления поставок в узлы M (в каждый узел – один маршрут) и задаются начальные значения объемов поставок.

Затем эти значения оптимизируют по методу градиентного спуска.

Выполнив несколько сотен прогонов, получим наилучший план перевозок и запасы после пополнения 206 60 154 0 0 29 0 32 0 0 0 0 21 0 0 0, 175.

T= Q= 0 0 137 78 0 0 0 52 0 0 0 0 0 0 0 28 Сравнив запасы Q с математическими ожиданиями спроса m, убеждаемся в том, что для данного уровня штрафов и дисперсии распределения спроса оптимальные запасы несколько превышают математические ожидания. Можно убедиться также в том, что при уменьшении штрафов объем перевозок уменьшается, а некоторые перевозки вообще становятся нецелесообразными.

Список использованных источников 1. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами / И.Ю. Рыжиков. – СПб.: Питер, 2001. – 384 с.

2. Рыжиков Ю.И. Управление запасами / И.Ю. Рыжиков. – М.: Наука, 1969. – 344 с.

3. Корбут А.А. / Дискретное программирование А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. – М.: Наука, 1996. – 368 с.

Поступила в редакцию 16.12.2009.

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. А. Г. Николаев, Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», Харьков УДК 629.7:531 В.А. Шабохин, канд. техн. наук ОСОБЕННОСТИ СОЗДАНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТРОСОВЫХ СИСТЕМ Актуальность и постановка задачи Космические тросовые системы (ТС) разнообразны по назначению и направлены на повышение характеристик микроспутников и традиционных космических аппаратов.

Относительно новым направлением в области ТС являются системы с протяженностью от десятков до сотен метров со стабилизированным вращением.

В частности, вращающиеся ТС, имеющие два тела, соединенных между собой гибкой связью (ГС), эффективно использовать для определения разрешающей способности и паспортизации наземных средств контроля космического пространства.

Целью работы было исследование особенностей создания вращающихся ТС с протяженностью указанной выше.

Решение задачи Известно, что основными кинематическими параметрами рабочего режима движения вращающейся связки являются расстояния между телами, скорость вращения и масса концевых тел.

Для расчета указанных выше параметров связки использованы известные аналитические зависимости плоского движения связки из двух точечных масс и невесомой ГС длиной в орбитальной системе координат для круговой орбиты без учета внешних сил*:

" = [( + 1)2 + 3 cos2 1] + Т пр ;

(1) = 2 ( + 1) sin 2, где – угол между ГС и направлением из притягивающего центра в центр масс связки;

', – первые производные длины ГС и угла между ГС и направлением из притягивающего центра в центр масс связки по истинной аномалии орбиты u;

* Шабохин В.А. Принципы построения вертикальной цепи тел с использованием гибких связей / В.А. Шабохин // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». - Х., 2009. - Вып.58 (2) – C. 106 - 113.

", " – вторые производные длины ГС и угла между ГС и направлением из притягивающего центра в центр масс связки по истинной аномалии орбиты u;

Т пр – приведенное усилие натяжения в нити, связанное с истинной аномалией усилием T :

T = mпр 2 Tпр ;

m1 m mпр = ;

m1 + m m1, m2 – массы конечных тел;

T – сила натяжения ГС;

– орбитальная угловая скорость.

Уравнения (1) описывают режим связанного движения связки при T 0, в случае = = 0. Тогда уравнения (1) запишем в виде = sin 2;

(2) Tпр = ( + 1)2 + 3 cos2.

Первый интеграл первого уравнения в (1) имеет вид ()2 = h 3 sin2, (3) где h – постоянная интегрирования, характеризующая величину относительной начальной скорости вращения связки.

Второе уравнение в (1) с учетом (3) дает выражение для Т пр :

Tпр = h + 3 cos 2 ± 2 h 3 sin2. (4) Значение отсчитывается от вертикали и при совпадении относительной и абсолютной скоростей связки ( 0) знак в формуле (4) соответствует "+", а при несовпадении ( 0) соответственно "–".

На рисунке приведены изменения Т пр в зависимости от, рассчитанные по уравнению (4) для величин энергии h в окрестности граничных значений.

Из (4) следует, что с увеличением h растет и величина Т пр. Из графика видно, что при значениях h=3 и, кратных, получаем максимальное значение Т пр =9,46, а при значениях, кратных, – Т=0.

Так как нас интересует связанное движение (Т пр 0), то из (4) получаем граничное условие натяжения связки при совпадении абсолютной и относительной угловых скоростей связки h 3.

h= - h= - h= - Приведенное натяжение в связи в зависимости от угла поворота связки При вращении связки в противоположную сторону условие Т пр реализуется при h 7. В этом случае Т пр = 4,7.

При значении h = –3 и = 0 из (4) получаем Т пр = 3. Этот случай соответствует расположению связки по вертикали.

Таким образом, максимальные величины будут:

Т + прmax 9,46 (h 3) Т прmax 4,7 (h 7) (5) Tпр верт = 3 (h = - 3) Соотношения (5) определяют предельные значения начальных условий и минимальные усилия, которые должна выдерживать связь для существования вращения связки по орбитальному движению и против него, а также для её вертикального расположения.

Из (5) видно, что для связки, вращающейся против орбитального движения, усилия в связи примерно в два раза меньше, чем для связки вращающейся по орбитальному движению.

Рассмотрим возможность упрощения уравнений (2). По условию 1 d 1.

d d = = = =, (6) du d (t ) dt где t – время.

Рассмотрим возможность реализации угловых скоростей связки в..

0,1 с = 0,1...0,8 с.

диапазоне В этом случае для в 0, соответствии с (6) выполняется неравенство, что для средней 3 высоты полета ( = 10 c ) соответствует 100. В выражении (3) членом 3 sin 2 можно пренебречь. Тогда выражение (3) можно представить в виде ( ) = h, т.е. угловую скорость связки для решения этой задачи можно считать постоянной.

Членом ( 3 cos 1) также можно пренебречь и второе равенство (2) примет вид Т пр ( + 1)2.

Следовательно, для определения усилия Т в связке, вращающейся.

со скоростью в инерциальном пространстве, можно пользоваться формулой.

T = mпр 2, (7) а уравнения плоского движения связки при T 0 можно записать в виде = ( + 1)2 + Т пр ;

= 2 ( + 1).

Рассмотрим влияние прочностных характеристик материала ГС на параметры тросовой системы. Усилие натяжения в связи определяется гравитационной составляющей согласно (7) и величиной центробежной силы Fц для связи, обладающей массой mГС :

mГС. Fц =, (8) 2.

– угловая скорость связки;

где – длина ГС.

Рассмотрим случай, когда две массы m1 и m2 связаны весомой нитью постоянного сечения с массой mГС = ГС S, где ГС и S – плотность материала и площадь поперечного сечения нити.

Тогда условие прочности запишем в виде Т гр + Fц д S, (9) где д – допустимый предел прочности.

Так как Т гр определяется из (7), а Fц – из (8), то условие (9) при вращении относительно центра масс связки примет вид..

mпр 2 + 2 д S.

ГС S (10) После преобразований из (10) получим д. (11) m.

пр + ГС m ГС Рассмотрим выражение (11) при следующих предположениях:

. д m 1. При m1 = m2 = m, mпр =.

m + ГС 2m ГС. 8 д 2. При m1 = m2 = mГС. (12) 5ГС. 2 д 3. При m1 = 0 2.

ГС Последний случай является предельным, так как предполагает отсутствие массы на конце связки и определяет предельно допустимые значения длины ГС (или угловой скорости) до разрыва ГС.

Запишем (12) в виде.

2 д.

2 ГС Левая часть полученного выражения соответствует максимальной линейной скорости конца ГС – Vmax. В частности, используя в качестве ГС нити из СВМ ( ГС = 1,5·103 кгс/м3, д = 103 н/м2), получаем значение.

Vmax = 1,143·10 м/с, а произведение 2,268км с. Например, расчет, проведенный по формуле (12) для угловой скорости вращения связки.

= 8 об/мин, дает максимально возможную длину ГС – 2,73 км. При наличии конечной массы допустимая величина длины (или угловой скорости) уменьшается.

Так, при увеличении конечной массы до 10 кг максимальная длина ГС не может превышать 1,17 км для того же значения угловой скорости.

Из (10) можно получить выражения для определения максимально возможной длины ГС, угловой скорости, массы тел и площади сечения ГС:

4mпр 4mпр 8 д + + = ;

S ГС S ГС ГС. 8 д S 2= ;

ГС S + 8 mпр S m mпр = д. ГС ;

.

8 mпр S=.

.

8 д ГС Таким образом, для вращающейся связки существует ограничение по длине и (или) угловой скорости в зависимости от прочностных и весовых характеристик материала ГС и направления вращения связки.

Из полученных соотношений следует, что увеличение длины связки возможно при снижении угловой скорости, а уменьшение длины – при увеличении массы концевых тел.

Выводы 1. Исследованные особенности создания вращающейся связки двух тел с длиной гибкой связи между телами от десятков до сотен метров показали техническую возможность реализации таких тросовых систем.

2. Получены аналитические выражения для расчета основных кинематических параметров рабочего режима движения связки.

3. Результаты проведенных исследований могут быть использованы при проектировании космических аппаратов.

Поступила в редакцию 10.10.09.

Рецензент: д-р техн. наук, ст. науч. сотр. В.И. Сливинский УкрНИИТМ, г. Днепропетровск УДК 621.96.044 Е. Е. Хитрых, А. Мамзаи (Ali Mamzaei) К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАШИН ИМПУЛЬСНОЙ РЕЗКИ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ МАШИН НЕПРЕРЫВНОГО ЛИТЬЯ ЗАГОТОВОК Непрерывная разливка сталей и сплавов – прогрессивный способ получения слитков, имеющий множество технических и экономических преимуществ [1]. В качестве эффективного метода резки непрерывных слитков на заготовки мерной длины может быть использована импульс ная (высокоскоростная) резка, разработанная в ХАИ [1–3].

Для импульсной резки, как для любого нового инженерного решения или технологии, актуален ожидаемый экономический эффект при исполь зовании высокоскоростного метода в технологических линях вновь проек тируемых машин непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) либо при замене имеющегося режущего оборудования импульсным.

Экономический эффект при использовании машин импульсной рез ки (МИР) в МНЛЗ можно ожидать по двум основным направлениям:

– экономический эффект от замены имеющегося на МНЛЗ режуще го оборудования (механических ножниц, газовых резаков) импульсным;

– при использовании МИР производительность МНЛЗ можно уве личить за счет увеличения скорости вытягивания слитков, при этом можно сократить количество ручьев МНЛЗ либо общее количество ма шин непрерывного литья.

Метод расчета экономической эффективности. Для выбора наиболее рационального решения наряду с общей (абсолютной) эффек тивностью используем сравнительную эффективность как минимум при веденных затрат по вариантам [4]. Сравниваемые варианты необходимо привести в сопоставимый вид по всем признакам, кроме того варианта, эффективность которого оценивается. При разновременности затрат по вариантам затраты должны быть приведены к текущему моменту или расчетному году. Это, в частности, позволяет учесть потери от замора живания капиталовложений в процессе длительного инвестиционного процесса.

Рассмотрим основные показатели экономической эффективности, используемые при анализе денежного эффекта использования МИР в составе машин непрерывного литья.

Годовой экономический эффект от внедрения импульсной резки в составе МНЛЗ при сравнении двух вариантов применяемого режущего инструмента можно определить сопоставлением двух вариантов реали зации технологической операции резки – базового (например газокисло родной резки) и нового (импульсной резки).

Показатель годового экономического эффекта ЭN определяют пу тем сопоставления приведенных затрат для двух вариантов в соответ ствии с выражением [4]:

Э N = Збаз Знов = (Cбаз + Ен k баз ) (Cнов + Ен k нов ) = N N N N N N N = (Cбаз Cнов ) Ен (k нов k баз ) = Эсеб Ен k, (1) N N где Збаз, Знов – приведенные затраты по вариантам при заданном годо вом объеме работ N, грн;

N N Cбаз, Cнов – технологическая себестоимость изготовления N изделий (в случае разделения слитков – технологическая себестоимость резки N заготовок) в базовом и новом вариантах соответственно, грн;

k нов, k баз – капитальные вложения по вариантам, грн;

Ен – отраслевой нормативный коэффициент экономической эф фективности;

N Эсеб – экономия (дополнительная прибыль) от снижения себестои мости изготавливаемой продукции за год со времени освоения нового технологического процесса, грн;

k – дополнительные капитальные вложения, необходимые при внедрении нового варианта технологического процесса, грн.

Для операции разделения непрерывных слитков формула (1) мо жет быть приведена к виду ЭN = (Cбаз. уд Cнов.уд ) А2 Ен k, N N (2) N N где Cбаз. уд, Cнов.уд – удельная технологическая себестоимость изготовле ния (резки на заготовки мерной длины) 1 т слитков в базовом и новом вариантах соответственно, грн;

А2 – масса разрезанного металла, т.

N Годовая экономия Эсеб может быть определена по формуле [4] N N N Эсеб = Сбаз Снов. (3) Дополнительные капитальные вложения k представляют собой разность капитальных вложений по сравниваемым вариантам при оди наковых годовых масштабах их использования (при kнов kбаз) [4]:

k = k нов k баз. (4) Суммарные капитальные вложения по вариантам kбаз и kнов зависят от количества единиц режущего оборудования nбаз и nнов, необходимого для выполнения годовой программы выпуска продукции;

потребное ко личество режущих машин в базовом и новом вариантах определяется их производительностью.

Количество оборудования ni, необходимое для выполнения годо вой программы, можно определить по формуле А ni =, (5) ПРi Фд где ПРi – производительность работы i-го режущего оборудования, т/ч;

Фд – действительный фонд рабочего времени оборудования (для установок непрерывного литья стали величина Фд определяется не ко личеством рабочих смен, а графиком процесса непрерывной разливки, который, в свою очередь, определяется заказами предприятия и эконо мическими расчетами).

Срок окупаемости дополнительных капитальных вложений Ток оп ределяет период времени, в течение которого дополнительные капи тальные вложения нового варианта будут возмещены за счет экономии от снижения себестоимости (дополнительной прибыли) [4]:

k Tок =. (6) N Эсеб Коэффициент экономической эффективности Е является величиной, обратной Ток. Он определяет размер годовой экономии, приходящейся на одну денежную единицу дополнительных капитальных вложений [4]:

N 1 Эсеб.

Е= = (7) k Т ок Экономический эффект при замене имеющегося режущего оборудования импульсным. Для расчета необходимо использовать реальные данные по маркам и количеству разрезанного металла А2, но менклатуре разделяемых слитков и применяемому способу резки, ис пользуемой скорости разливки и производительности режущего оборудо вания ПРi, которая определяет необходимое для обеспечения требуемой производительности количество единиц режущего оборудования.

Для расчета необходимы актуальные рыночные (заводские) цены на используемые при резке ресурсы (природный газ, сжатый воздух, ки слород, электроэнергию). Необходимо также учитывать безвозвратные потери металла для каждого из вариантов (базового и нового), затраты на амортизацию и текущий ремонт и содержание основных средств Примечание. При сравнении двух вариантов – газовой и высоко скоростной резки – затратами природного газа, обусловленными горе нием газовой горелки в дежурном режиме, можно пренебречь [3]. При этом реальные затраты природного газа при использовании газового режущего оборудования выше.

Сравнивая полученные величины суммарной себестоимости резки по вариантам, можно определить экономию от снижения себестоимости изготавливаемой продукции за год со времени освоения нового техноло гического процесса Экономический эффект за счет повышения производительно сти МНЛЗ при использовании метода высокоскоростной резки. При использовании импульсного режущего оборудования взамен имеющего ся производительность МНЛЗ можно увеличить за счет увеличения ско рости вытягивания слитков (до 6…12 и более метров в минуту). При этом можно сократить количество ручьев МНЛЗ или общее количество машин непрерывного литья. Такая экономия позволяет сократить капи тальные затраты k на изготовление новых машин импульсной резки (ручьев МНЛЗ) либо снизить затраты на эксплуатацию МНЛЗ при сокра щении количества используемых режущих агрегатов.

Выводы 1. На основании принятой методики расчета экономической эф фективности предложена схема определения ключевых экономических показателей, характеризующих экономический эффект при использова нии МИР в составе МНЛЗ.

2. Рассмотрены особенности количественной оценки экономиче ского эффекта при замене имеющегося режущего оборудования МНЛЗ импульсным и за счет повышения производительности МНЛЗ при ис пользовании МИР.

3. Определение экономической эффективности внедрения режу щего оборудования импульсного действия в производство может быть проведено на основании данных о внедрении МИР на заводах различ ных государств (России, Украины, Германии, бывших советских респуб лик и др.). Такие расчеты проводят на основании современных рыноч ных цен на используемые ресурсы: природный газ, сжатый воздух, ки слород, электрическую энергию.

Список использованных источников 1. Планковский С. И. Перспективы применения импульсной резки в машинах непрерывного литья заготовок / С. И. Планковский, С. А. Маз ниченко, Е. Е. Хитрых // Вопросы проектирования и производства конст рукций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н. Е. Жуковского «ХАИ». – Вып. 43(4). – Х., 2005. – С. 85–91.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.