авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Вузовско-академическая лаборатория нелинейной оптики Института

электрофизики Уральского отделения Российской Академии Наук и

Южно-Уральского государственного университета

На правах рукописи

ПОДОШВЕДОВ Сергей Анатольевич

nelinejnaq dinamika odnomernyh

mnogowolnowyh processow.

Специальность 01.04.05 — Оптика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители чл.-корр. РАН Б.Я.Зельдович д.ф.-м.н. Н.Д.Кундикова Челябинск 1999 sODERVANIE wWEDENIE 3 1 oSNOWNYE PRINCIPY I METODY ANALIZA MNOGOWOLNOWYH PROCESSOW W NELINEJNOJ I KWANTOWOJ OPTIKE. oBZOR LI TERATURY 1.1 Физические явления, которые могут быть положены в ос нову создания принципиально новых систем оптической обработки информации..................... 1.2 Математические методы анализа одномерных многовол новых процессов в нелинейной и квантовой оптике..... 2 sOBSTWENNYE MODY, IH NEUSTOJ^IWOSTX, OPTI^ESKOE PE REKL@^ENIE W ODNOMERNOM TREHWOLNOWOM SME[ENII W KWADRATI^NO-NELINEJNOJ SREDE S U^ETOM SAMO I KROSS FA ZOWOJ MODULQCII WOLN I W DWUHWOLNOWOM SME[ENII SWE TOWYH WOLN OSNOWNOJ ^ASTOTY I EE TRETXEJ GARMONIKI W CENTROSIMMETRI^NYH SREDAH 2.1 Одномерное трехволновое смешение световых волн в квад ратично-нелинейной среде с учетом кубичной нелинейнос ти среды, ответственной за само и кросс-фазовую модуля цию: бифуркации, собственные моды, пространственные неустойчивости, оптическое переключение.......... 2.2 Нелинейные процессы в одномерном двухволновом смеше нии световых волн основной частоты и ее третьей гармо ники в кубично-нелинейной среде............... 2.3 Выводы к главе 2........................ 3 oDNOMERNYE ^ETYREHWOLNOWYE PROCESSY W RAZLI^NYH NELINEJNO-OPTI^ESKIH SREDAH. 3.1 Одномерные четырехволновые взаимодействия в центро симметричных средах на кубичной нелинейности..... 3.1.1 Попутное одномерное четырехволновое смешение световых волн основной, стоксовой и антистоксо вой частот в одномодовом световом волокне с дву лучепреломлением, влияние граничных условий на нелинейную динамику энергообмена между свето выми волнами...................... 3.1.2 Собственные моды и их неустойчивость во встреч ном одномерном четырехволновом смешении невы рожденных по частоте световых волн в кубично нелинейной среде.

................... 3.2 Оптическое переключение в попутном четырехволновом смешении вырожденных по частоте световых волн на теп ловой нелинейности нематических жидких кристаллов.. 3.3 Выводы к главе 3........................ 4 gENERACIQ WEKTORNOGO SWETA S KWADRATURNO-SVATYMI WA KUUMNYMI FLUKTUACIQMI PRI RASPROSTRANENII WDOLX OP TI^ESKOGO WOLOKNA S DWULU^EPRELOMLENIEM. 4.1 Пространственная эволюция квантовых вакуумных шу мов в двухволновом смешении вырожденных по частоте световых волн, распространяющихся вдоль одномодового волокна с двулучепреломлением, генерация кваратурно сжатого света.......................... 4.2 Выводы к главе 4........................ 5 pRILOVENIE. 5.1 Аналитические решения систем уравнений, описывающих нелинейную динамику одномерных волновых процессов.. zAKL@^ENIE lITERATURA wWEDENIE Экспериментальное наблюдение второй гармоники в кристаллах послу жило началом нелинейной оптики [1]. Уже в 1963 году удалось создать эффективные генераторы оптических гармоник;

этим было положено на чало нелинейной оптики. В последующие годы фундаментальные и при кладные исследования по нелинейной оптике бурно развивались. Резуль татом этих исследований стало создание целых направлений в рамках самой нелинейной оптики. К ним, в частности, можно отнести нели нейную волоконную оптику, нелинейную оптику фоторефрактивных и жидких кристаллов, квантовую оптику. Вместе с тем ряд проблем не линейной оптики остается невыясненным до конца, что связано с мно гообразием нелинейных эффектов, которые можно наблюдать и исполь зовать на практике. Важнейший прикладной аспект работ по нелиней ной оптике связан с уникальными возможностями управления света све том [2, 3]. Яркой демонстрацией новых возможностей нелинейной оп тики стало предсказание нового эффекта, имеющего место в разнооб разных нелинейно-оптических взаимодействиях — эффекта оптического переключения. Работы, посвященные данному вопросу, впервые появи лись только в начале 80-х годов. Внимание к данной проблеме вызвано возможностью создания оптических переключающих устройств, опти ческих транзисторов, а, возможно, в будущем и созданием оптических компъютеров. Данный прикладной аспект эффекта оптического пере ключения ставит перед исследователями задачу полного теоретическо го анализа уравнений, описывающих нелинейно-оптические смешения без использования упрощающих предположений. Дальнейшее развитие математического аппарата для изучения нелинейной природы оптичес ких смешений, в том числе и одномерных, и зависимости энергообмена между световыми волнами от граничных условий представляет боль шой интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и в плане практического использования новых физических эффектов.

Не менее важным остается вопрос нелинейно-оптической генерации новых квантовых состояний светового поля. Известно, что сжатые со стояния позволяют снизить уровень шумов при фоторегестрации по сравнению с дробовым шумом. Данное обстоятельство представляет особый интерес не только для техники регистрации слабых сигналов, но и в плане улучшения характеристик оптических компъютеров. Все выше изложенное и определяет актуальность темы настоящей диссер тации.

Цель диссеpтационной pаботы — исследование нелинейной динамики одномерных многоволновых процессов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• Исследование интегрируемых гамильтоновых систем уравнений, описывающих одномерные многоволновые процессы в различных нелинейно-оптических средах.

• Исследование генерации света с сжатыми квантовыми вакуумными шумами в двухволновом смешении вырожденных по частоте свето вых волн, распространяющихся вдоль одномодового волокна с дву лучепреломлением.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулиро ваны цели и задачи, приведены основные положения, выносимые на за щиту.

В первой главе представлен обзор литературы по теме диссертации.

В параграфе 1.1 особое внимание уделено изложению основных прин ципов многоволновых процессов в различных нелинейно-оптических сре дах. Определен круг задач нелинейной оптики, точное решение которых может привести к предсказанию новых оптических явлений. Приведен обзор работ по обнаружению и наблюдению эффекта переключения в многоволновых процессах.

В параграфе 1.2 представлен обзор математических методов анали за многоволновых процессов в нелинейной и квантовой оптике. Особое внимание уделено использованию функции Гамильтона при анализе не линейной динамики одномерных многоволновых процессов.

Во второй главе содержатся результаты теоретического исследова ния нелинейной динамики одномерного трехволнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой модуля ции волн и двухволнового смешения световых волн основной частоты и ее третьей гармоники в кубично-нелинейной среде.

В параграфе 2.1 представлены результаты анализа одномерного трехволнового смешения (3 = 1 + 2 ) в квадратично-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой модуляции волн при наличии на входе сре ды всех трех волн 1, 2, 3, отстройке от синхронизма и произвольных соотношениях фаз волн на входе в среду. На основе функции Гамильто на данного процесса изучены все типы как аналитических, так и гра фических на фазовой плоскости решений данного волнового процесса.

Рассмотрены собственные моды смешения как функции безразмерной волновой отстройки k. Проведен анализ на устойчивость собственных мод. Показано, что устойчивость собственных мод зависит от бифур кационного параметра, который связан с полной входной мощностью световых пучков Pвх следующим образом:

2ca2 2 3 (2) 2 d 2 1 Pвх = ( (3) ) ( ( ) + )), (0.1) 91 2 2 1 2 где a — радиус пучков;

(2), (3) — квадратичная и кубическая нели нейности;

1, 2, 3 — длины волн световых волн, участвующих в про цессе. Если величина бифуркационного параметра превышает критичес кое значение, то при определенных значениях волновых расстроек одна из собственных мод теряет свою устойчивость. Потеря устойчивости в свою очередь ведет к существенному изменению вида фазовых пор третов, в частности, к появлению на фазовом портрете в координатах ( cos ;

sin ) двухпетлевой сепаратриссы, которая отделяет друг от друга качественно различающиеся решения. Неустойчивая собственная мода наблюдается в данном смешении при Pвх 3 · 1010 Вт.

Изучена возможность наблюдения эффекта оптического переключе ния в трехволновом смешении в квадратично-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой модуляции волн. Показано, что для наблюдения переключения лучше использовать среды с значениями квадратичной восприимчивости (2) 107 ед. СГСЭ. Примером таких сред могут яв ляться специально подготовленные оптические волокна, которые в обыч ном состоянии не обладают квадратичной восприимчивостью, а после обработки лазерным излучением приобретают (2) = 0 и в течение не которого времени становятся квадратично-нелинейными.

В параграфе 2.2 представлены результаты теоретического анализа одномерного двухволнового смешения в кубично-нелинейной среде. Чис ленно найдена зависимость собственных мод системы уравнений от без размерной волновой расстройки k. Проведен анализ на устойчивость соб ственных мод двухволнового смешения. Впервые рассмотрен вопрос не устойчивости собственных мод в двухволновом смешении световых волн в кубично-нелинейной среде при определенных значениях волновых рас строек. Получены все типы аналитических решений данного волново го процесса. Для двух значений волновых расстроек проанализированы графические решения на фазовой плоскости.

На основе анализа аналитических и графических решений показано, что энергообмен между взаимодействующими световыми волнами су щественно зависит как от начального распределения полной мощности между световыми волнами, так и от начальной разности фаз волновых пучков, участвующих в процессе. Представлены численные оценки вход ной мощности излучения Pвх, при которых наблюдается эффект пере ключения в двухволновом смешении волн в оптических волокнах.

В третьей главе диссертации представлены результаты теоретичес кого исследования нелинейной динамики одномерных четырехволновых смешений световых волн в различных нелинейно-оптических средах.

В паpагpафе 3.1 представлены результаты теоретического исследова ния нелинейной динамики одномерных четырехволновых смешений све товых волн в средах, для которых параметрические и непараметричес кие процессы обусловлены нелинейным откликом электронов среды в электромагнитном поле. Изучены близкие по свое природе следующие четырехволновые процессы: попутное четырехволновое смешение све товых волн основной, стоксовой и антистоксовой частот в одномодовом волокне с двулучепреломлением, встречное четырехволновое смешение невырожденных по частоте световых волн. Показано, что системы урав нений, описывающие эти волновые процессы, могут быть описаны га мильтоновыми уравнениями движения, где функция Гамильтона H(, ) задана в двухмерном фазовом пространстве (, ) ( — составляющая полной мощности в одной из световых волн, — разность фаз световых волн, участвующих в процессе):

d H =, (0.2) ds d H =, (0.3) ds где s — направление распространения световых волн, нормированное на полную длину среды.

Численно исследована зависимость собственных мод от безразмерной волновой расстройки k. Проведен анализ на устойчивость собственных мод. Показана возможность существования неустойчивой собственной моды в нелинейной динамике данных четырехволновых смешений при определенных значениях волновых расстроек.

Получены все типы аналитических решений для разных значений функции Гамильтона. Изучены фазовые портреты данных одномерных четырехволновых процессов при различных значения волновых расстро ек.

На основе анализа аналитических и графических на фазовой плоскос ти решений изучено влияние граничных условий на энергообмен меж ду четырьмя световыми волнами. Показано, что при наличии неустой чивой собственной моды нелинейная динамика четырехволнового сме шения очень чувствительна к изменениям как начальной разности фаз 0 = (s = 0), так и входного распределения полной мощности меж ду волнами. При определенных условиях энергообмен между световыми волнами практически отсутствует, тогда как при изменении 0 на амплитуда периодических осциляций величины резко возрастает.

Изучена возможность наблюдения эффекта переключения в попутном четырехволновом смешении световых волн основной, стоксовой и анти стоксовой частот, распространяющихся вдоль одномодового волокна с двулучепреломлением. При начальной полной мощности световых волн Pвх 20 Вт данный эффект наблюдается на выходе из волокна длиной 3 · 102 м.

Показано, что в кубично-нелинейной среде посредством изменения на чальной разности фаз можно управлять эффективностью обращенной волны в одномерном встречном четырехволновом смешении световых волн, невырожденных по частоте.

В паpагpафе 3.2 рассмотрено одномерное попутное четырехволновое взаимодействие вырожденных по частоте световых волн на тепловой нелинейности нематического жидкого кристалла. Показано, что урав нения, описывающие четырехволновое смешение световых волн, вы рожденных по частоте, в средах с диагонально-биполярной нелинейнос тью, являются гамильтоновыми. Соответствующая функция Гамильто на H(, ) может быть записана в виде:

H = cos (d1 + )(1 d1 + d2 2)(1 d1 d2 2) A 2 + (B + k), (0.4) где d1, d2 — нормированные интегралы движения;

A и B — постоянные значения, определяемые параметрами среды и геометрией эксперимен та. Уравнения, описывающие нелинейную динамику одномерного четы рехволнового смешения в нематическом жидком кристалле могут быть представлены в следующем виде:

d H =, (0.5) ds d H =. (0.6) ds Показана возможность наблюдения неустойчивой собственной моды в данном волновом процессе при определенных волновых расстройках, в частности, при нулевой расстройке. Найдены все типы аналитических решений при разных значениях волновых расстроек k функции Гамиль тона. Изучены фазовые портреты, графически описывающие нелиней ную динамику попутного четырехволнового смешения в нематиках как при полном синхронизме между волновыми векторами световых волн, так и при отстройке от синхронизма. Показано, что форма двухпетлевой сепаратриссы зависит от значений коэффициентов A и B в гамильтони ане (4.6).

Изучено влияние начальной разности фаз на энергообмен между вол нами. Впервые рассмотрена возможность наблюдения эффекта оптичес кого переключения в попутном четырехволновом смешении в немати ческих жидких кристаллах. Эффект переключения наблюдается на вы ходе из образца толщиной 100 мкм при начальной полной мощности Pвх 3 · 102 Вт в стационарном режиме и при Pвх 3 · 105 Вт в пе реходном режиме. Данный процесс можно использовать для создания оптических переключающих устройств на жидких кристаллах.

В четвертой главе представлены результаты теоретического анализа эволюции квантовых вакуумных шумов в двухволновом смешении при распространении векторного поля вдоль оптического волокна с двулу чепреломлением.

В параграфе 4.1 представлены результаты теоретического исследова ния эволюции вакуумных квантовых шумов в двухволновом смешении в двулучепреломляющем волокне. Рассмотрена задача о распространении и взаимодействии квантовых операторов двух поляризационных мод, вырожденных по частоте, распространяющихся вдоль одномодового во локна с двулучепреломлением.

iR + d Ax x Ax Ay exp(ikz) + iR(A+ Ax + A+ Ay )Ax = (0.7) 3y dz dAy iR + 2 2 y Ay Ax exp(ikz) + iR( A+ Ax + A+ Ay )Ay = (0.8) x dz 3 x y где Ax, A+ и Ay, A+ — операторы рождения и уничтожения фотонов, поляризованных вдоль x и y направлений;

z — направление рапростра нения световых волн;

R = (2 )/( 0 V ) — нелинейный коэффициент h связи;

= (n2 )/(cA);

n2 = 2.3 · 1022 м2 /В2 — нелинейный коэффи циент Керра;

c — скорость света в вакууме;

h — постоянная Планка;

V — объем квантования;

— частота световых волн;

A — эффектив ная площадь поперечного сечения волокна;

k = 2(ky kx ) — волновая расстройка;

kx и ky — постоянные распространения мод.

Предложена линеаризованная модель анализа эволюции квантовых вакуумных шумов в двухволновом смешении световых волн при рас пространении света в одномодовых волокнах с двулучепреломлением.

Согласно этой модели квантовые операторы Ax и Ay можно предста вить в следующем виде:

Ax = Ax +x, a (0.9) Ay = Ay +y, a (0.10) где Ax, Ay — классические значения напряженностей век торного электромагнитного поля;

ax, ay — операторы, описывающие эволюцию квантовых вакуумных шумов в двухволновом смешении. Та кое представление позволяет систему уравнений (4.9,4.10) свести к двум системам, совместное решение которых описывает эволюцию квантовых вакуумных шумов в двухволновом смешении световых волн.

Учет граничных условий позволил получить соотношения, связываю щие значения нормированных дисперсий квадратур в обеих поляризаци онных модах на входе и выходе волокна. Аналитически решена система уравнений для квадратурных компонент поляризационных мод в слу чае отсутствия энергообмена между поляризационными модами (устой чивые собственные моды двухволнового смешения). Найдены значения нормированных дисперсий квантовых шумов в устойчивых собственных мод двухволнового смешения. Численно решены системы уравнений, описывающие эволюцию квадратурных мод поляризационных мод в слу чае произвольного начального распределения полной мощности между поляризационными компонентами векторного поля.

Показано, что в случае собственных мод шумы измерительной систе мы, реагирующей лишь на одну из квадратур поляризационной моды, оказываются ниже вакуумных при регистрации волн на выходе из во локна. Показано, что сжатыми становятся обе поляризационные моды.

Показано, что наибольшего квадратурного сжатия вакуумных кванто вых шумов в обеих поляризационных модах может быть достигнуто, ес ли выбрать граничные условия таким образом, чтобы соответствующая им начальная точка на фазовом портрете лежала точно на сепаратриссе.

Двухволновое смешение в одномодовом волокне с двулучепреломле ним можно использовать для генерации света с сжатыми вакуумными флуктуацими в обеих поляризационных модах. Возможность реализа ции относительно простого эксперимента по генерации квантовых сжа тых состояний света с помощью высокостабильного He Ne лазера под тверждается численными оценками.

В приложении (пятая глава диссертации) представлены все типы аналитических решений, которые наблюдаются в изучаемых гамильто новых интегрируемых системах. Показано, что в зависимости от значе ния функции Гамильтона существует один из трех типов аналитических решений. Показано, что анлитические решения, соответствующие фазо вым траекториям, которые образуют двухпетлевую сепаратриссу, вы ражаются с помощью гиперболических функций. Всем замкнутым тра екториям на фазовой плоскости соответсвуют аналитические решения представимые в виде комбинации эллиптических функций Якоби.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Научная новизна pаботы заключается в следующем:

• Исследованы системы уравнений, которые описывают следую щие одномерные волновые процессы: трехволновое смешение в квадритично-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой моду ляции световых волн, двухволновое смешение волн основной часто ты и ее третьей гармоники в кубично-нелинейной среде, попутное и встречное четырехволновые смешения в кубично-нелинейных сре дах и попутное четырехволновое взаимодействие вырожденных по частоте световых волн в нематических жидких кристаллов.

Получены как аналитические, так и графические решения на фа зовой плоскости данных уравнений при произвольных граничных условиях и любых значениях волновых расстроек. Показано, что в зависимости от значения функции Гамильтона H в общем случае существуют три типа аналитических решений. Доказано, что су ществует значение функции Гамильтона Hins, которое (H Hins или H Hins ) определяет тип аналитического решения.

• Рассмотрен энергообмен между световыми волнами в зависимости от выбора граничных условий, в частности, от распределения пол ной мощности мощности между волнами и от начальной разности фаз. Найдены условия наиболее яркого проявления данных эффек тов. Определены экспериментальные условия, при которых наблю дается эффект оптического переключения в различных средах.

• Исследована эволюция квантовых вакуумных шумов в двухволно вом смешении световых волн, распространяющихся вдоль одномо дового волокна с двулучепреломлением. Найдены нормированные значения квадратурных дисперсий. Показано, что генерация век торного света с сжатыми квантовыми вакуумными шумами зависит от начального распределения полной мощности между волнами.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть исполь зованы для оптимизации параметров среды и излучения в оптических переключающих устройствах. Теоретический подход к решению задач может быть использован для дальнейших исследований нелинейной ди намики других одномерных многоволновых процессов и решения при кладных задач. Результаты, полученные при теоретическом рассмот рении распространения квантовых вакуумных шумов в двухволновом смешении, могут быть использованы для генерации векторного света с сжатыми квантовыми вакуумными шумами.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Уравнения, описывающие одномерные многоволновые прцессы:

трехволновое смешение в квадратурно-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой модуляции, двухволновое взаимодействие вол ны основной частоты и ее третьей гармоники в кубично-нелинейной среде, попутное четырехволновое взаимодействие вырожденных по частоте световых волн в нематическом жидком кристалле на тепло вой нелинейности в общем случае имеют три типа аналитических решения. При произвольных граничных условиях все три типа ре шений наблюдаются, если в нелинейной динамике при данной вол новой расстройке существует неустойчивая собственная мода, кото рая определяет некоторое пороговое значение функции Гамильтона Hins.

• Если граничные условия выбраны так, что значение функции Га мильтона равно Hins, то аналитические решения являются непе реодическими и представимы в терминах гиперболических функ ций. Соответствующие фазовые траектории образуют двухпетле вую сепаратриссу на фазовом портрете. В случае если H Hins или H Hins аналитические решения являются периодическими и выражаются с помощью эллиптических функций.

• Появление неустойчивой собственной моды трехволнового смеше ния в квадратично-нелинейной среде с учетом само и кросс фазовой модуляции волн зависит от бифуркационного параметра, который зависит от значения полной начальной мощности P ( P ). Появ ление неустойчивой моды в волновых смешениях в средах с кубич ной нелинейностью не зависит от P.

• Энергообмен между пучками света в процессе волнового смешения зависит как от начального распределения полной мощности между волнами, так и от начальной разности фаз.

• Генерация света с сжатыми вакуумными флуктуациями в обеих по ляризационных компонентах зависит от начального распределения полной мощности между ними. В собственных модах двухволно вого смешения происходит генерация света с сжатыми вакуумны ми флуктуациями в обеих поляризационных компонентах. Если на чальное распределение между поляризационными модами выбрано таким образом, что на выходе из волокна происходит переход пол ной мощности из одной моды в другую, то в одной из поляризацион ных мод происходит неограниченное сжатие квантовых вакуумных шумов.

Апробация работы Материалы диссертационной работы доклады вались на международных конференциях: Дифракционная Оптика’ (DO’97) в Финляндии в 1997г., Оптика Жидких Кристаллов’ (OLC’97) в Германии в 1997г., Лазерная Оптика’98 (LO’98) в Санкт Петербурге в 1998г.;

на конференции молодых ученых ИЭФ УрО РАН г.Екатеринбург-1995;

а также обсуждались на семинарах ЮУрГУ и ИЭФ УрО РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в ра ботах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 171 наиме нований цитируемой литературы. Полный объем диссертации — страницы, включая 36 рисунков.

gLAWA oSNOWNYE PRINCIPY I METODY ANALIZA MNOGOWOLNOWYH PROCESSOW W NELINEJNOJ I KWANTOWOJ OPTIKE.

oBZOR LITERATURY 1.1 fIZI^ESKIE QWLENIQ, KOTORYE MOGUT BYTX POLO VENY W OSNOWU SOZDANIQ PRINCIPIALXNO NOWYH SISTEM OPTI^ESKOJ OBRABOTKI INFORMACII.

Рождение нелинейной оптики связано с экспериментом по генерации вто рой гармоники, выполненным Франкеном [1]. В этом эксперименте луч рубинового лазера с длиной волны 694.2 нм пропускался через кристалл кварца, а на выходе из кристалла наблюдалось УФ излучение на длине волны 347.1 нм. В общем случае для наблюдения нелинейного отклика среды требуются поля напряженностью порядка 1 кВ/см. Эта величина соответствует интенсивности света около 2.5 кBт/см2. Отсюда следует, что для всестороннего исследования нелинейных оптических эффектов необходимы лазеры. Каждый нелинейный оптический процесс состоит из двух этапов. На первом этапе свет большой интенсивности приводит к изменению оптических свойств среды, а на втором этапе эти изменения вызывают изменения светового поля. Первый этап описывается матери альными уравнениями, а второй — уравнениями Максвелла. В насто ящее время можно выделить несколько крупных разделов нелинейной оптики, в которых получены важные фундаментальные и прикладные результаты. Более полные и общепринятые достижения современой не линейной оптики отражены в монографиях [2, 3, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41].

Можно особо отметить раздел нелинейной оптики, который связан с проблемами создания компьютеров нового поколения. Речь идет о проб леме создания полностью оптического компьютера, интенсивно разраба тываемой в последние годы. Основой такого компьютера должен стать оптический процессор, использующий элементы, в которых свет управ ляет светом, — логические операции осуществляются в процессе нели нейного взаимодействия световых волн. Первое устройство, которое бы ло предложено для достижения поставленной цели, — оптический ре зонатор Фабри-Перо, заполненный средой с кубической нелинейностью, т.е. средой с нелинейным показателем преломления. Данная схема, обла дающая бистабильностью и мультистабильностью, была теоретически проанализирована в работах [42, 43]. Экспериментально бистабильность в таких нелинейных резонаторах была экспериментально продемонстри рована в работах Мак-Колла с соавторами [44, 45]. Наблюдаемые эффек ты в данной схеме во многом аналогичны эффектам в радиотехнических бистабильных системах с сосредоточенными постоянными. Однако не линейная оптика представляет более широкие возможности наблюдения бистабильности. Бистабильность принципиально иного типа, так назы ваемая ”пространственная” оптическая бистабильность, может наблю даться в резонаторах. Ключевым вопросом здесь является способ созда ния обратной связи. Характер обратной связи можно существенно изме нить, включив поперечные взаимодействия с управляемыми простран ственными масштабами и топологией, вводя различные пространствен ные преобразования (сдвиг, наклон, поворот, растяжения, сжатия) поля в цепи обратной связи кольцевого нелинейного резонатора. В частности, нелинейный резонатор с двумерной обратной связью обнаруживает ряд новых нелинейных волновых явлений, не имеющих даже определенных аналогов в нелинейной радиофизике [2]. Тем не менее такие системы так же нельзя признать идеальными для использования их в компьютерах.

Бистабильное устройство, основанное на нелинейном резонаторе Фабри Перо и предложенное в работах [42, 43, 44, 45], имеет ряд недостатков.

Во-первых, его быстродействие ограничено временем установления поля в резонаторе. Во-вторых, образуется мощная отраженная волна на входе системы. В-третьих, они неудобны для объединения их в интегрально оптические цепи.

К настоящему времени достигнуты крупные успехи в создании высо коэффективных миниатюрных устройств, осуществляющих управление света с помощью света. Имеются в виду прежде всего бистабильные оп тические микрорезонаторы, в которых используется нелинейность по лупроводниковых сверхрешеток. Времена переключения в оптических бистабильных микрорезонаторах составляют 1012 с, в то время как минимальное время переключения в электрических схемах ограниче но процессами заряда-разряда устройств, входящих в нее значениями емкости, сопротивления и индуктивности цепи и обычно составляeт не менее 0.1 1 нс [24]. Световые энергии, требуемые для переключения, не превышают 1012 Дж. Реализованные параметры свидетельствуют о том, что сравнительно компактный цифровой оптический процессор на бистабильных микрорезонаторах может обладать быстродействием, превышающем быстродействие крупных суперкомпьютеров. Можно на деяться, что дальнейшее развитие нелинейной оптики приведет к созда нию оптических компъютеров. Обзоры по наиболее продвинутым схемам бистабильности представлены в работах [46, 47].

Не менее широкие возможности для создания перспективных оптичес ких переключающих устройств и оптических транзисторов открывают системы с распределенно-связанными волнами. В нелинейном режиме, когда диэлектрическая проницаемость среды зависит от интенсивности волн, участвующих в процессе, коэффициент передачи мощности каж дой волной должен зависеть от граничных условий, т.е. от полной вход ной мощности, от распределения полной мощности между световыми волнами на входе в среду и от начальной разности фаз волн. Другими словами, возможна нелинейная передача мощности (нелинейная перекач ка) из одной волны в другую. Нелинейная перекачка мощности особо мо жет проявиться в том, что при определенных условиях малая вариация входной мощности одной из световых волн, участвующих в процессе, вызывает резкое изменение соотношения мощностей световых волн на выходе системы. Данное явление получило название эффекта оптическо го переключения. Впервые идея практического применения данного яв ления была теоретически рассмотрена в работах [48, 49]. В данных рабо тах была предложена концепция волоконно-оптических переключателей на основе ответвилей с керровской нелинейностью показателя преломле ния, которые были экспериментально реализованы в работах [50, 51, 52], а интегрально-оптические аналоги продемонстрированы в работе [53].

Данные волоконно-оптические переключатели являются элементами с дифференциальным усилением, но без бистабильности. Благодаря малой инерционности электронной нелинейности в изотропных кварцевых све товодах времена переключения могут находиться в пикосекундном диа пазоне. Критическая мощность в условиях эксперимента [52] составила 32кВт. Важным достоинством устройства служит практически полное отсутствие тепловыделения благодаря высокой прозрачности материа ла.

Естественно предположить, что эффект переключения может на блюдаться и в других волновых нелинейных процессах. Имеется не мало работ, посвященных анализу волновых смешений, с целью из учения в них эффекта переключения: 1) взаимодействие волн раз личных поляризаций в двулучепреломляющем кристалле или волокне [54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62], 2) взаимодействие волн при брэгговской дифракции в периодической структуре [63], 3) взаимодействие разночас тотных волн в квадратично-нелинейной среде [64, 65, 66, 67, 89, 90, 168].

Другой аспект данных работ связан с изучением основных характерис тик эффекта оптического переключения, который может существовать в различных режимах. Для создания того или иного устройства (оптичес кого усилителя, ограничителя, мультивибратора, логического элемента и т.д.) следует выбрать соответствующий этому устройству режим эф фекта оптического переключения. Наиболее полный обзор по данному вопросу можно найти в работах [68, 69, 70].

Отметим работы по оптическому переключению с использованием векторных оптических солитонов [71]. В последние 10 лет выполнено большое количество работ по данной тематике [72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79], результаты которых указывают на возможность практического при менения оптических солитонов в оптических переключающих устройст вах.

К настоящему времени выполнено огромное число как теоретичес ких, так и экспериментальных работ по генерации волн на удвоенной и суммарной частотах [17, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 64, 65, 66, 67, 70, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 90]. Хотя решение уравнений, описываю щих взаимодействие волн на частотах и 2 в квадратично-нелинейной среде (для плоских волн, для заданного поля), приведено в книге Блом бергена [18] еще в 1966 г, однако и здесь имелись некоторые нерешенные проблемы. В книге Бломбергена [18] и в последующих многочисленных работах изучалась зависимость интенсивностей волн или коэффициента преобразования частоты от продольной координаты или длины кристал ла с целью получения максимального коэффициента преобразования на длине кристалла. Вопрос же о том, как будет меняться соотношение ин тенсивностей волн на различных чатотах (скажем и 2 или 1, 2 и 3 = 1 + 2 ) на выходе из квадратично-нелинейной среды при измене нии входной интенсивности одной из волн, не исследовался. Исключе ние составляют работы [64, 65, 66], где было предложено создать опти ческий транзистор на основе двухволнового смешения в квадратично нелинейной среде.

Интерес к теоретическому исследованию двухволнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом высших нелинейностей среды был вызван рядом экспериментальных исследований. Так в работах [80, 81, 82] по удвоению частоты мощных световых импульсов пикосе кундной длительности наблюдались эффекты, отсутствующие в слабых полях: искажение структуры спектра второй гармоники, зависимость направления синхронного взаимодействия от мощности основного излу чения, насыщение и даже уменьшение коэффициента преобразования в длинных кристаллах и др. Некоторые из этих эффектов удалось объяс нить с помощью теории, учитывающей обратную реакцию второй гар моники на основное излучение [83, 84, 85]. Было показано, что главную роль при этом играет нарушение оптимального фазового соотношения между взаимодействующими волнами. Однако описанные особенности спектров высших гармоник полностью не объясняются существующей теорией удвоения частоты ультракоротких импульсов, развитой с уче том только квадратичной нелинейности среды [81, 83, 84, 85]. В процес сах умножения частоты мощных ультракоротких импульсов определен ную роль могут играть эффекты само и кросс-фазовой модуляции волн.

Впервые влияние кубической нелинейности среды на процесс удвоения частоты было рассмотрено в работе [17]. В работе [86] сделан следую щий шаг в изучении генерации второй гармоники с учетом высших не линейностей, данный волновой процесс был аналитически рассмотрен в приближении заданной интенсивности для нестационарного режима удвоения частоты. На основе результатов, полученных в работе [86], можно считать доказанным, что наблюдаемое в экспериментах частот ное смешение обусловлено нелинейной фазовой расстройкой связанной с кубической нелинейностью. В работе [87] теоретически исследовалось влияние кубичных нелинейностей на процесс генерации второй гармо ники и суммарной частоты в кристаллах KTP и LiNbO3. На основе численного решения исходных уравнений авторы работы [87] пришли к выводу, что нелинейная фазовая расстройка, связанная с кубической восприимчивостью среды, приводит к снижению эффективности генера ции второй гармоники и появлению пространственных биений. По мне нию авторов [87] последний эффект представляется наиболее важным.

Также авторами работы [87] было отмечено, что с ростом интенсивнос ти основного излучения влияние кубической нелинейности на генерацию второй гармоники увеличивается. Анализ аналитических решений сис темы уравнений, описывающей двухволновое смешение в квадратично нелинейной среде с учетом модуляции волн, выполненный в терминах эллиптических функций Якоби можно найти в работе [88]. В работах [89, 90] задача двухволнового смешения в квадратично-нелинейных сре дах как с учетом нелинейностей третьего порядка, так и без них, была решена графически на фазовой плоскости. Пространственная эволюция двух электромагнитных волн представлена движением материальной точки на фазовой плоскости. Используя фазовые портреты, авторы ра бот [89, 90] показали, что при определенных условиях можно наблюдать эффект оптического переключения энергии при двухволновом смешении в квадратично-нелинейных средах как с учетом, так и без учета высших нелинейностей.

Среди других работ стоит отметить ряд теоретических работ, опуб ликованных в последнее время [83, 84, 91, 92, 93, 94], в которых изуча лось двухволновое смешение коротких импульсов света (пико- фемто секундной длительности) с учетом дисперсии групповых скоростей волн основной частоты и ее второй гармоники и двухволновое взаимодейст вие волн с учетом дифракционного их расплывания. Было показано, что возможно существование уединенных импульсов света, близких по сво ей природе к солитонным решениям. Интерес к данной тематике вызван пионерской работой Сухорукова [83]. В настоящее время существует зна чительный интерес к данной тематике, и число публикаций по ней рас тет очень быстро.

Вопрос одномерного трехволнового смешения световых волн в квадратично-нелинейной среде с учетом эффектов само и кросс-фазовой модуляции рассматривался не так часто, несмотря на то, что данный процесс является более общим, и двухволновое смешение является част ным случаем трехволнового процесса. Так, рассматривая волновой про цесс типа oe e, где o — волна обыкновенного типа, а e — волна не обыкновенного типа, необходимо рассматривать трехволновое смешение световых волн основной частоты, вырожденной по частоте, и ее второй гармоники. Отметим лишь работу [87], где приведено одно частное ана литическое решение и представлены численные расчеты эффективности преобразования энергии в данном трехволновом процессе для кристал лов KDP и LiNbO3 в случае фазового синхронизма. Однако к началу проведения настоящих исследований нерешенными остались задачи од номерного трехволнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом само и кросс-фазовой модуляции при наличии на входе среды трех волн (1, 2, 3 ), отстройке от синхронизма и произвольном со отношении фаз волн на входе в нелинейную среду, решению которых посвящен параграф 2.1 настоящей диссертации.

Зависимость наведенной поляризации среды от величины приложен ного поля содержит как линейные, так и нелинейные члены, величина которых зависит от нелинейных восприимчивостей [17, 18, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 38]. Как известно, возможны параметричес кие процессы различных порядков, причем порядок процесса совпадает с порядком восприимчивости, ответственной за него. Восприимчивость второго порядка (2) равна нулю (в дипольном приближении) в цент росимметричных средах. По этой причине параметрические процессы второго порядка, такие как генерация второй гармоники или генерация суммарных частот, к примеру, в световодах из плавленного кварца не должны иметь место. Параметрические процессы третьего порядка обу словлены взаимодействием четырех оптических волн и включают в се бя явления генерации третьей гармоники, четырехволнового смешения и параметрического усиления [17, 18, 19, 20, 25, 27, 28, 29, 30].

Процесс двухволнового смешения в кубично-нелинейной среде рас сматривался в литературе только в свете генерации третьей гармоники в приближении неистощающейся волны накачки [17, 18]. В данном при ближении наибольшую эффективность преобразования основной волны в третью гармонику можно достигнуть при фазовом синхронизме, кото рый трудно обеспечить в данном процессе. Как следствие считалось, что нельзя получить высокую эффективность преобразования в третью гар монику [17, 18, 29, 95]. Из анализа литературы следует, что до настояще го времени не проводились исследования двухволнового смешения све товых волн в кубично-нелинейной среде в случае произвольных гранич ных условий, а именно, наличии обеих световых волн на входе в среду и произвольной волновой расстройке с учетом не только параметрических членов в исходных уравнениях, которые отвечают за энергообмен меж ду световыми волнами, но и непараметрических членов, ответственных за само и кросс-фазовую модуляцию световых волн, а также изучению эффекта переключения. Недавние публикации [96, 97] по схожему кругу проблем подтверждают растущий интерес к данному вопросу. Анализу данных нерешенных проблем посвящен параграф 1.2.

Четырехволновое смешение в различных нелинейно-оптических сре дах достаточно интенсивно исследовалось ранее [25, 28, 29, 30, 37, 98, 99, 100, 101, 102, 103]. Рассмотрим основные свойства четырехволновых смешений, следующие из выражения нелинейной поляризации третьего порядка:

PNL = (3) EEE, (1.1) где E — электрическое поле, PNL — наведенная нелинейная поляриза ция. Рассмотрим четыре оптические волны с частотами 1, 2, 3, 4, линейно-поляризованные вдоль направления x. Тогда суммарное элек трическое поле можно представить в следующем виде.

E = ex Ej exp(i(kj z j t)) + компл.сопр., (1.2) 2 j= где kj = nj j /c, nj -показатель преломления, ex — единичный вектор в направлении x, и все четыре волны распространяются вдоль направле ния z. Если подставить выражение (1.2) в уравнение (1.1) и выразить PNL в виде:

PN L = ex Pj exp(i(kj z j t)) + компл.сопр., (1.3) 2 j= то выяснится, что Pj для j = 1, 2, 3, 4 состоит из большого числа членов, включающих произведения трех напряженностей электрических полей.

Например, P4 можно выразить как P4 = (3) (((|E4 |2 + 2(|E1 |2 + |E2 |2 + |E3 |2 )E4 )+ 4 xxxx +2E1 E2 E3 exp(i+ ) + 2E1 E2 E3 exp(i ) + компл.сопр., (1.4) где + = (k1 + k2 + k3 k4 ) (1 + 2 + 3 4 )t, (1.5) + = (k1 + k2 k3 k4 ) (1 + 2 3 4 )t. (1.6) Здесь выражение для P4 было получено в приближении независимости кубической восприимчивости (3) от частоты. Учет данной зависимос ти усложнил бы выражение для P4. Член, пропорциональный E4 в (1.4), отвечает за эффекты само и кросс фазовой модуляции. Остальные чле ны отвечают за энергообмен между световыми волнами. Какие из них эффективно осуществляют параметрическую связь между волнами, за висит от относительной фазы между E4 и P4, равной + и или другому аналогичному углу.

Одним из материалов, в котором может успешно наблюдаться тот или иной тип четырехволнового смешения, являются оптические волок на. Несмотря на незначительную нелинейность, оптические волокна яв ляются очень привлекательным материалом для практических целей.

Современные технологии производства обеспечивают выпуск оптичес ких волокон с любой наперед заданной длиной волокна. В большинстве теоретических работ, посвященых изучению четырехволнового смеше ния в кварцевых волокнах, был использовано приближение неистощаю щейся волны накачки, согласно которой начальная система уравнений линеаризуется и становится линейной. Данный метод был использован в книге Агравала [25] при изучении нелинейной динамики одномерного четырехволнового смешения в волокне. Данный подход хоть и дает пра вильное качественное понимание природы четырехволновых взаимодей ствий, все же это прибиженный метод расчета. Несомненно, на больших расстояниях в оптическом световоде и при больших эффективностях пе рекачки энергии из одной волны в другую данное приближение уже не дает правильных результатов, и исходная задача должна быть решена в наиболее общем виде.

Частные аналитические решения системы нелинейных уравнений, описывающих попутное одномерное четырехволновое смешение свето вых волн в кубично-нелинейной среде (не в оптическом волокне), пред ставлены в работе [103]. В работе [102] система уравнений, ответствен ная за четырехволновое смешение в кубично-нелинейной среде, реше на на основе построения фазового портрета для случая больших зна чений фазовой расстройки. В данной работе было проведено как тео ретическое, так и экспериментальное исследования эффекта оптическо го переключения. Основные положения теории встречного одномерного четырехволнового смешения в кубично-нелинейной среде в применении к вопросу обращения волнового фронта можно найти в книге [37]. Но в настоящей книге не обсуждался вопрос влияния граничных условий на энергообмен между волнами. К моменту начала исследований, поло женных в основу настоящей диссертации, оставался открытым вопрос анализа всех типов аналитических решений системы уравнений, описы вающей нелинейную динамику одномерных четырехволновых смешений в кубично-нелинейных средах, при произвольных граничных условиях.

Аналитические решения без соответствующих графических решений на фазовой плоскости являются достаточно сложными ввиду их громозд кости для понимания нелинейной динамики четырехволновых смешений в кубично-нелинейных средах. Таким образом, существует нерешенная задача сопоставления аналитических решений графическим. Требует более полного анализа и вопрос влияния граничных условий на энер гообмен между волнами.

Как следует из анализа литературы существует ряд нерешенных во просов изучения нелинейной динамики одномерных четырехволновых процессов в кубично-нелинейной средах. Решению данных проблем по священы параграфы 3.1.1,3.1.2. В параграфе 3.1.1 представлены резуль таты работ по изучению нелинейной динамики одномерного четырех волнового смешения световых волн основной, стоксовой и антистоксовой частот при распространении их вдоль двулучепреломляющего оптичес кого волокна. В параграфе 3.1.2 представлены результаты работы по изучению нелинейной динамики одномерного встречного четырехволно вого взаимодействия световых волн.

В последнее время все больший интерес привлекают исследова ния нелинейно-оптических явлений в жидкокристаллических мезофазах [38, 129, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122]. Выяснено, что жидкокристаллические мезофазы, в первую очередь нематическая, обладают рядом механизмов оптической кубичной нелинейности, приводящих к чрезвычайно высоким значени ям эффективных восприимчивостей третьего порядка (3), в частности, на шесть-десять порядков превышающих таковые для традиционных нелинейностей изотропных жидкостей. К таким механизмам относятся ориентационный [108], фотоконформационный [109], а также тепловой [110, 111], приводящий в мезофазе к значительным величинам (3), бла годаря чрезвычайно высокой производной показателя преломления, свой ственной нематикам. Несмотря на чрезвычайно низкую длину взаимо действия, ”доступную” экспериментально для оптических исследований мезофаз, высокие значения кубических восприимчивостей позволяют ре ализовать многие эффекты традиционные для нелинейной оптики, такие как самофокусировка, вынужденные рассеяния света, четырехволновое смешение. Наиболее полное представление о нелинейной оптике жид ких кристаллов можно найти в книге [38]. Известно, что длина взаимо действия в мезофазе существенно ограничена требованием однородной ориентации образцов и сильным светорассеянием в них и фактически не превышает 100 мкм. В ряде случаев оказывается возможным реали зовать данные эффекты при чрезвычайно низких плотностях мощнос ти возбуждающего излучения, вплоть до непрерывных газовых лазеров милливатной мощности. Последнее весьма привлекательно как с точ ки зрения технического упрощения нелинейно-оптических исследований, так и для создания различных нелинейно-оптических устройств с чрез вычайно низкими мощностями срабатывания. Данные обстоятельства представляют значительный интерес в плане обнаружения и использо вания нетрадиционных нелинейно-оптических эффектов таких как оп тическое переключение, бистабильность, мультистабильность и моду ляционная неустойчивость в жидких кристаллах [38, 105, 106, 107, 108].

Следует упомянуть здесь также многочисленные теортические и экспе риментальные работы по четырехволновым смешениям световых волн в жидких кристаллах при весьма низких плотностях мощности, например, в поле излучения непрерывных аргоновых лазеров мощностью порядка ватта [112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120]. Так в работах И.Ч.

Ху с соавторами реализовано четырехволновое смешение с обращением волнового фронта [112, 113, 114]. Усиление слабого пучка при динами ческой дифракции излучения, обусловленное механизмом гигантской оп тической нелинейности реализовано в работах [115, 116, 117, 118], в том числе и при возбуждении субмиллисекундными импульсами [119, 120].

Исследование энергообмена между четырьмя световыми пучками как встречными, так и попутными на нелинейности, которую можно на звать диагонально-биполярной [121] (в частности, тепловой механизм нелинейности нематических жидких кристаллов), проведено в работе [122]. В данной работе задача одномерного попутного четырехволнового смешения в средах с диагонально-биполярным откликом среды решена в приближении неистощающейся волны накачки. Исследование данного смешения при произвольных граничных условиях не проводилось. Та ким образом к началу настоящих исследований стояла задача найти все возможные типы аналитических решений и применить их для анали за влияния граничных условий на энергообмен между волнами, попут но распространяющихся вдоль нематического оптического кристалла.


Результаты параграфа 3.2, который посвящен решению данных нере шенных проблем в попутном четырехволновом смешении на тепловой нелинейности жидких кристаллов, являются логическим продолжением работы [121].

Другое направление исследований настоящей диссертации связано с изучением преобразования статистики света, сопровождающего нели нейную трансформацию энергии между световыми волнами в парамет рических системах. Отмеченные еще в начале 60 годов возможности сильного подавления амплитудных и фазовых флуктуаций в парамет рических радиочастотных системах (классического сжатия) [123, 124, 125, 126, 127] реализуются, разумеется, и в оптике. Гораздо более важ ной оказалась продемонстрированная в 1985 г. [128] возможность сжатия вакуумных квантовых флуктуаций. Хотя эти состояния теоретически были предсказаны уже давно, всю важность этого события можно по нять, если вспомнить широко распространенную среди оптиков точку зрения, что учет квантового характера света дает лишь малые, шу мовые поправки к тем явлениям, которые описываются неквантовыми уравнениями Максвелла. По существу, эта точка зрения является крае угольным камнем так называемой полуклассической теории, в которой вещество рассматривается на основе квантовых законов, а поле не кван товано, и которой столь многими успехами обязана лазерная и вообще нелинейная оптика. Теперь же после наблюдения сжатых состояний вы ясняется, что учет квантовой природы света приводит к качественно новым явлениям подобным сжатым состояниям. Электромагнитное по ле в сжатом состоянии обладает рядом замечательных свойств. Возни кающие при этом возможности управления квантовыми флуктуациями поля позволяют понизить принципиальный статистический предел шу мов фотодетектирования. Указанное обстоятельство представляет пер воочередной интерес для лазерной интерферометрии, используемой в фундаментальных физических экспериментах. Вместе с тем генерация сжатых состояний светового поля имеет и важный информационный ас пект. Применению сжатого света в системах связи посвящено много (по ка теоретических) работ [129]. Следует отметить, что сжатый свет не расширяет значительно емкость информационных каналов, максимум в два раза. Это объясняется тем, что в обычных информацонных кана лах - без разделения сигнала в приемнике на квадратурные компоненты - детектор регистрирует лишь амплитудные изменения. В системах же с фазовым детектированием фазовый канал также является носителем информации. Емкость информационного канала не единственная важная характеристика системы связи. Очень важной является вероятность по явления ошибок, особенно в линиях связи компъютеров. Выигрыш при менения сжатого света при этом можно продемонстрировать на примере линии связи, в которой двоичные сигналы 0 и 1 кодируются сигналами, сдвинутыми по фазе на. При когерентном состоянии сигналы опи сываются относительно широкими распределениями, из-за перекрытия которых могут возникать квантовые ошибки. При сжатом свете той же интенсивности перекрытие распределений существенно меньше. Расчет показывает, что вероятности ошибок при когерентном и сжатом свете равны:

1 Pког exp(2 N ), Pсж exp( N ( N +1)) (1.7) 4 где N — среднее число фотонов в сигнале, т.е. в сжатом свете вероятность ошибок меньше.

Современное состяние по сжатым состояниям и методам их детек тирования можно найти в работах [32, 33, 34, 35, 36, 130, 131]. Среди огромного числа работ по генерации и детектированию сжатых состоя ний поля [132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164], выполненных в последнее время, отметим прежде всего работы [132, 133, 134, 162]. Так в работе [132] получены точные анали тические решения системы уравнений, описывающей эволюцию кванто вых операторов невырожденных по частоте световых волн в кубично нелинейной среде. Но данное решение и анализ возможности генерации поляризационоо-сжатого света приведены для случая больших значений волновой расстройки, т.е. фактически без учета параметрического чле на Учет в начальных уравнениях как параметрических членов, которые отвечают за энергообмен между световыми волнами, так и непарамет рических членов, ответственных за само и кросс-фазовую модуляцию волн представляется очень сложной задачей из-за необходимости учета коммутационных соотношений между бозонными операторами, и к на стоящему времени точные аналитические решения данных уравнений еще не получены. В работах [133, 134] было пренебрежено влиянием высших гармоник на процесс генерации поляризационно-сжатого света в волокне. В работе [162] рассмотрен вопрос генерации сжатого света для частного случая, имеющего аналогию с процессом модуляционной неустойчивости в классической оптике [25] Таким образом, остается от крытым вопрос более полного анализа системы нелинейных уравнений, описывающей распространение квантовых операторов напряженностей световых волн, вырожденных по частоте, в двулучепреломляющем во локне. На первый план при решении данной задачи выходят новые при ближенные методы расчета квантовых флуктуаций в двухволновом сме шении. Используемый в параграфе 4.1 метод линеаризации системы не линейных уравнений, позволяет описать эволюцию квантовых вакуум ных флуктуаций в световой волне на достаточно больших расстояниях при произвольных граничных условиях. Результаты параграфа 4.1 мо гут представлять интерес в плане генерации световых полей с подав ленными квантовыми вакуумными шумами.

Основные положения метода анализа нелинейных уравнений для од номерных многоволновых процессов и все типы аналитических решений для изучаемых гамильтоновых интегрируемых систем представлены в параграфе 5.1.

1.2 mATEMATI^ESKIE METODY ANALIZA ODNOMERNYH MNOGOWOLNOWYH PROCESSOW W NELINEJNOJ I KWAN TOWOJ OPTIKE.

Как указывалось в параграфе 1.1, для решения одномерных задач нели нейной оптики часто используется приближение неистощающейся волны накачки. Согласно данному приближению, исходная система уравнений линеаризуется и становится линейной. Данный метод хорошо описыва ет тот или иной волновой процесс на начальном этапе распространения и в режиме генерации световых волн с новыми частотами. Но при ли неаризации исходных уравнений из исходных уравнений ”уходит” по нятие нелинейности. При произвольных граничных условиях в линей ной системе невозможно описать такие эффекты как, например, влия ние граничных условий на выходное распределение полной мощности между волнами. В линейной системе при изменении некоторой величи ны на входе в два раза эта же величина также изменится в два раза на выходе из системы. При произвольных граничных условиях и большой длине среды необходимо решать именно нелинейную задачу без всяких упрощающих предположений. Анализ нелинейной задачи дает возмож ность изучить эффект оптического переключения энергии. Для реше ния систем уравнений, описывающих одномерные многоволновые про цессы, используется гамильтонов метод представления исходных урав нений [60, 61, 62, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 89, 90, 165, 166, 167, 168].

Ранее метод функции Гамильтона был использован как при анализе рас пространения оптических импульсов света в диспергирующих средах [72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79] и световых пучков с учетом дифракции [165, 166, 167], так и при анализе одномерного взаимодействия свето вых волн в различных оптических средах [60, 61, 62, 89, 90, 168]. Так при изучении распространания оптических импульсов света с учетом дисперсионных свойств среды, кроме метода возмущений [73], широкое применение получил вариационный метод [72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79].

Согласно этому методу в исходный гамильтониан (или лагранжиан) подставляются пробные функции (солитонные решения невозмущенной системы). После взятия вариационных производных исходная система приходит к более простой системе уравнений для параметров пробной функции, которая в некоторых случаях является полностью интегри руемой. Таким образом удается проанализировать систему уравнений, которая изначально является неинтегрируемой. Подобный метод нашел широкое распространение и при анализе распространения световых пуч ков света с учетом дифракционных эффектов [165, 166, 167]. Гамильто нов метод анализа нелинейных уравнений, описывающих волновые сме шения непрерывных световых волн, нашел широкое применение в ра ботах Вабница с соавторами [62, 89, 90, 168]. Так, в работах [89, 90], на основе использования функции Гамильтона получены фазовые пор треты системы, которая описывает процесс одномерного двухволнового смешения световых волн в квадратично-нелинейной среде как с учетом высших нелинейностей, так и без них.

Гамильтоновские системы, т.е. такие системы, которые могут быть описаны гамильтоновскими уравнениями движения, имеют принципи альные физические отличия от других, негамильтоновских, систем [169].

Если система гамильтоновская, то ее состояние описывается N обоб щенными импульсами p = (p1,...., pN ) и тем же числом обобщенных ко ординат q = (q1,...., qN ). Число N определяет число степеней свободы системы. Эволюция p и q со временем определяется уравнениями дви жения dpi H dqi H =, =, (i = 1,...., N ), (1.8) dt qi dt pi которые имют смысл лишь вместе с гамильтонианом H = H(p, q, t). (1.9) Функция Гамильтона, или гамильтониан, задана в 2N -мерном фазовом пространстве (p, q) и может явно зависеть также от времени. Пары переменных (pi ;

qi ) называются канонически сопряженными парами, а уравнения (1.8) — каноническими уравнениями. Время t может быть включено в число координатных переменных систем. Для этого фазо вое пространство системы расширяется путем введения еще одной пары канонических переменных: p0 = H и q0 = t. Тогда гамильтониан мо жет быть записан как H = H(p;


q;

q0 ) + p0. В применении гамильтонова метода к решению задач нелинейной оптики время t заменяется на z — продольную координату, вдоль которой распространяются световые волны.

Кроме переменных p и q удобно ввести для изучения движения мате риальной точки с одной степенью свободы новые переменные: действие угол. Не вдаваясь в математические подробности обоснования введе ния новых величин отметим, что возмущенное движение системы с од ной степенью свободы можно описывать возмущенным гамильтонианом:

H = H0 (I)+ V (I;

;

t), где — безразмерный малый параметр;

I — дей ствие;

— угол. Канонические уравнения движения принимают следу ющий вид:

dI V d H =, =. (1.10) dt dt I Вся задача сводится к анализу уравнений (1.10). Одним из способов ана лиза уравнений (1.10) является построение фазовых портретов. Извест но, что семейства траекторий системы образуют ее фазовый портрет.

Наиболее простой вид фазового портрета получается при N = 1. Фазо вым портретом является плоскость (p;

q).

Огромную роль при построении фазовых портретов играют особые точки гамильтониана, которые определяются как неподвижные точки уравнений движения.

H H = 0, = 0. (1.11) I В нелинейной оптике принято называть такие решения собственными модами [62, 89, 90, 168, 4, 5, 6]. Известно, что такими точками могут быть либо точки элиптического, либо точки гиперболического типа (сед ла). В окрестности эллиптических точек движение устойчиво, а траек тории имеют вид эллипсов. В окрестности седел движение неустойчиво, а траектории имеют вид гипербол. Траектория, проходящая через сед ло, называется сепаратриссой. В координатах (p;

q) у седла всегда есть входящие и выходящие усы сепаратрисс.

Из приведенного анализа литературы и рассмотрения гамильтоно вого метода следует, что данный метод анализа может быть успешно применен для анализа нелинейной динамики одномерных многоволно вых процессов. Исходная система может быть описана либо системой уравнений типа (1.10), где I и обозначают составляющую мощности в одной из световых волн и разность фаз соответственно, либо системой уравнений типа (1.8). Система уравнений типа (1.10) используется при построении фазовых портретов, тогда как система уравнений типа (1.8) необходима для получения аналитических решений новой системы и мо жет быть рассмотрена как система, описывающая движение материаль ной точки с полной нулевой энергией в некотором потенциальном поле (параграф 5.1). Сочетание аналитических и графических методов анали за дает возможность продвинуться в понимании нелинейной динамики одномерных многоволновых процессов. Этот метод, используемый для решения уравнений, описывающих нелинейную динамику одномерных многоволновых процессов в различных средах, представлен в параграфе 5.1.

Для анализа нелинейных уравнений с квантовыми операторами ис пользуется большое количество методов анализа. Для изучения ге нерации поляризационно-сжатого света при распространении линей но поляризованной волны в пространственно-периодических волокнах был использован метод вторичного квантования [133, 134]. В работах [144, 145, 146] проведен анализ нелинейных уравнений для квантовых операторов, описывающих параметрическое усиление, двух и трехвол новое смешения в квадратично-нелинейной среде на основе использо вания ланжевеновских уравнений. Бездисперсионные расчеты, включая квантовые флуктуации, предсказывают квадратурное сжатие в распро страняющихся полях [142, 143]. Квадратурное сжатие, как показано в этих работах, индуцируется четырехволновым смешением. Соответ ствующий эксперимент [141] в оптических волокнах показал 12.5% сжа тие квантовых вакуумных шумов. Отметим работы [154, 155, 156], по священные развитию теорий, описывающих квантово-статистические свойства непрерывных волн, включая эффект самомодуляции волн. В случае учета дисперсии среды соответствующие квантовые уравнения значительно усложняются. Так, в случае распространения света в оп тических волокнах стартовой позицией является нелинейное квантовое уравнение Шредингера. Для изучения возможности сжатия вакуумных квантовых шумов в работе [151] данное уравнение решалось в преде ле сильной классической накачки. Для изучения генерации квантовых солитонов, с квадратурно-сжатыми флуктуациями в работе [152] было предложено использовать положительное P представление для получе ния стохастического шредингеровского уравнения. В работе [153] данное сжатие квантовых шумов наблюдалось экспериментально. Авторы ра боты [157] при изучении нелинейного квантового уравнения Шредингера использовали Гуткинский формализм. Среди работ, посвященных дан ной тематике, отметим также работы [159, 160], в которых при решении нелинейного квантового уравнения Шредингера в шредингеровском при ближении было использовано приближение Хартри.

Введение дополнительной степени свободы оптических полей при ис пользовании оптических волокон с двулучепреломлением значительно обогащает природу нелинейной динамики распространяющихся полей, но исходная задача становится значительно сложней. Продвижение в по нимании данных проблем является одной из приоритетных задач кван товой оптики. Одна из последних экспериментальных работ [164], в ко торой использован метод генерации сжатых состояний на основе исполь зования кросс-фазовой модуляции между линейно поляризованными вол нами, подтверждает вышесказанное. Вопрос двухволнового смешения в оптическом волокне с учетом дисперсии рассмотрен в работе [162], где на основе стохастических уравнений был проанализирован один част ный случай получения квадратурного сжатия квантовых шумов в све товых полях. Модернизированный метод линеаризации системы уравне ний, описывающей эволюцию квантовых вакуумных шумов в волновом смешении световых волн, позволяет проанализировать возможности по лучения световых полей с сжатыми квантовыми вакуумными шумами при любых граничных условиях [147, 148, 149, 150, 163]. Данный метод использован при изучении генерации векторных световых полей, вырож денных по частоте, с сжатыми квантовыми вакуумными флуктуациями в обеих поляризационных модах в параграфе 4.1.

gLAWA sOBSTWENNYE MODY, IH NEUSTOJ^IWOSTX, OPTI^ESKOE PEREKL@^ENIE W ODNOMERNOM TREHWOLNOWOM SME[ENII W KWADRATI^NO-NELINEJNOJ SREDE S U^ETOM SAMO I KROSS FAZOWOJ MODULQCII WOLN I W DWUHWOLNOWOM SME[ENII SWETOWYH WOLN OSNOWNOJ ^ASTOTY I EE TRETXEJ GARMONIKI W CENTROSIMMETRI^NYH SREDAH 2.1 oDNOMERNOE TREHWOLNOWOE SME[ENIE SWETOWYH WOLN W KWADRATI^NO-NELINEJNOJ SREDE S U^ETOM KUBI^NOJ NELINEJNOSTI SREDY, OTWETSTWENNOJ ZA SAMO I KROSS-FAZOWU@ MODULQCI@: BIFURKA CII, SOBSTWENNYE MODY, PROSTRANSTWENNYE NE USTOJ^IWOSTI, OPTI^ESKOE PEREKL@^ENIE.

Как указывалось в параграфе 1.1, до настоящего времени оставалась не рассмотренной в наиболее общем виде задача трехволнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом эффектов само- и кросс-фазовой модуляции световых волн при произвольных граничных условиях и раз личных значениях волновой расстройки между волновыми векторами.

Также оставался нерешенным вопрос, как будет меняться соотношение интенсивностей волн различных чаcтот (1, 2 и 3 = 1 + 2 ) на вы ходе из квадратично-нелинейной среды при изменении входной интен сивности одной из волн. В настоящем параграфе приведены результа ты теоретического анализа трехволнового смешения с учетом само- и кросс-фазовой модуляции световых волн при произвольных граничных условиях и некоторых конкретных значениях волновой расстройки меж ду волновыми векторами световых волн.

Известно, что нестационарные эффекты при параметрических взаи модействиях сверхкоротких импульсов в среде с квадратичной нелиней ностью связаны прежде всего с линейной дисперсией. Вплоть до дли тельностей импульсов 1014 с квадратичный по полю отклик, обуслов ленный электронной нелинейностью, можно считать безынерционным.

Возникающие здесь теоретические проблемы оказываются весьма раз нообразными и сложными.

Рассмотрим нелинейное взаимодействие трех световых волн с час тотами 1, 2 и 3 (3 = 1 + 2 ) и амплитудами напряженности поля E1, E2 и E3 в квадратично-нелинейной среде. Световые волны распространяются вдоль z направления, линейно-поляризованы и на правления поляризаций световых волн совпадают. Из волнового уравне ния в приближении медленно-меняющихся амплитуд получаем извест ную систему уравнений, которая описывает данный волновой процесс [17, 18, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30]:

dE = i1 R2 E2 E3 exp(ikz) + i3 R3 E1 (|E1 |2 + 2|E2 |2 + 2|E3 |2 ), (2.1) dz dE = i2 R2 E2 E3 exp(ikz) + i2 R3 E2 (2|E1 |2 + |E2 |2 + 2|E3 |2 ), (2.2) dz dE = i3 R2 E1 E2 exp(ikz) + i3 R3 E3 (2|E1 |2 + 2|E2 |2 + |E3 |2 ), (2.3) dz где R2 = (2(2) )/(cn) — нелинейный коэффициент, пропорциональный квадратичной восприимчивости среды;

R3 = (3(3) )/(2cn) — нелиней ный коэффициент, пропоорциональный кубичной восприимчивости сре ды;

k = k3 k2 k1 — волновая расстройка между волновыми вектора ми;

k1, k2, k3 — волновые векторы световых волн;

(2) — квадратичная восприимчивость среды, ответственная за параметрическое взаимодей ствие между световыми волнами;

(3) — кубичная восприимчивость сре ды, отвечающая за само- и кросс-фазовую модуляцию световых волн.

Из уравнений (2.1-2.3) можно получить независимые интегралы дви жения: 1 |E1 |2 |E2 |2 |E3 | + + = N, (2.4) 2 h1 h h |E1 |2 |E2 | = D. (2.5) h h Здесь N — полный поток фотонов в процессе трехволнового смешения (соотношение Мэнли-Роу), а D — разность потоков световых волн с частотами 1 и 2. Делая замену переменных Ei = N hi ai (i = 1, 2, 3) и используя интегралы движения (2.4-2.5), преобразуем исходную сис тему уравнений (2.1-2.3) к гамильтоновой системе двух уравнений для канонически-сопряженных величин и, где = |a3 |2 — составляю щее число фотонов суммарной частоты 3, = 3 1 2 + ks — разность фаз световых волн, участвующих в процессе, где i — фазы соответствующих волн:

4(1 )2 d2 4 (1 ) d = cos ds 2 4(1 )2 d 2 2 2 d 2 d 1 + 2 + 1 + 1 1 + + 2 1 + k, (2.6) 2 2 3 3 3 2 3 d = sin (4(1 )2 d2 ), (2.7) ds где = (3(3) 3 )/(4(2) ) (N h3 )/(1 2 ) — бифуркационный параметр, s = z/Lnl — текущая координата, нормированная на Lnl, где Lnl = (R2 1 2 3 N h)1, k = kLnl — нормированная волновая расстройка;

величина d = D/N принимает значения от 1 до 1. Величины |a1 |2 и |a2 |2, имеющие физический смысл составляющих числа фотонов с час тотами 1 и 2, выражаются с помощью как |a1 |2 = (2(1 ) + d)/2, |a2 |2 = (2(1 ) d)/2. Функция Гамильтона для системы уравнений (2.6,4.29) имеет вид:

2 2 2 H = cos (4(1 ) 2 d2 ) 3+ 2 + 2 + 2 3 2 d d 1 1 + + 2 1 + k. (2.8) 2 3 2 3 Как показано в параграфе (5.1), для получения аналитических решений системы уравнений (2.6,2.7) необходимо привести данные уравнения к интегральному представлению. Анализ уравнений (2.6,2.7) показывает, что потенциал, в котором движется эквивалентная материальная точка x, является полиномом четвертой степени f (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0, коэффициенты которого имеют вид:

4 + A(B + k) a3 =, (2.9) F 8 + B 2 2 + k 2 + HA + 2Bk a2 =, (2.10) F 4 d2 + 2H(B + k) a1 =, (2.11) F H a0 =, (2.12) F где F = (A2 2 )/4, A = 3+(2 /3 +1 /3 и B = 1 /3 (1+d/2)+2 /3 ( 2 2 2 2 2 2 2 d/2).

Аналитические решения системы уравнений (2.6,2.7) при произволь ных граничных условиях и различных значениях волновой расстройки можно легко получить на основе результатов параграфа (5.1), эти ре шения здесь не приводятся. Рассмотрим графические решения на фазо вой плоскости системы уравнений (2.6,2.7) для следующих длин волн 1 = 0, 9 мкм, 2 = 1, 3 мкм, 3 = 0, 532 мкм.

Вид фазового портрета определяется числом, положением и устойчи востью экстремальных точек гамильтониана (2.8) [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 62, 89, 90]. Для гамильтониана (2.8) существуют две собствен ные моды с фазами e = 0 и e = соответственно. Численный анализ зависимостей собственных мод с фазами e = 0 и e = от безразмерно го волнового параметра k или, что тоже самое, анализ бифуркационных диаграмм, показывает, что нелинейная динамика данного трехволнового смешения существенно определяется значением критического значения бифуркационного параметра кр, который неявно зависит от значения величины d. В случае кр при определенных значениях волновой расстройки k появляется неустойчивая собственная мода с фазой e =.

Рассмотрим фазовые портреты для двух значений величины d: d = и d = 0.5. На рис.2.1, 2.2 показаны бифуркационные диаграммы для случаев d = 0 и d = 0.5 соответственно. Все устойчивые собственные моды показаны сплошными, а неустойчивые — пунктирными линиями.

Бифуркационные диаграммы на рис.2.1(а), 2.2(а) получены для случая Рис. 2.1: Бифуркационная диаграмма: зависимость собственных мод трех волнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом кубичных нелинейностей от безразмерной волновой расстройки k для случая d = 0:

а) = 1;

б) = 4.

Рис. 2.2: Бифуркационная диаграмма: зависимость собственных мод от безразмерного волнового параметра k в случае d = 0.5: а) = 1;

б) = 10.

кр, а на рис.2.1(б),2.2(б) для случая кр. Численные результа ты дают следующие значения кр : кр = 1.318 для d = 0 и кр = 3.21 для d = 0.5. Таким образом, при определенных значениях безразмерной вол новой расстройки k, которые могут быть определены из рис.2.1,2.2, ди намика изучаемого трехволнового смешения будет существенно опреде ляться наличием в ней неустойчивой собственной моды в случае кр (или что тоже самое в случае N Nкр = (3.088((2) )2 1 2 )/(((3) )2 3 h), где Nкр — критическое число фотонов, при котором наблюдается не устойчивая собственная мода) для случая d = 0 и в случае кр (N Nкр = (18.3184((2) )2 1 2 )/(((3) )2 3 h)) для случая d = 0.5.

Прогиб собственных мод на рис.2.1,2.2 связан с появлением в исход ных уравнениях (2.6,2.7) непараметрических членов, ответственных за само и кросс-фазовую модуляцию световых волн. Если бы вкладом этих членов можно было бы пренебречь (это можно сделать при невысоких значениях начальной интенсивности), то бифуркационный параметр от сутствовал бы, все собственные моды были бы устойчивыми и бифурка ционная диаграмма была бы симметричной относительно прямой k = 0.

В случае d = 0 кроме неустойчивой собственной моды с e = max = существует также неустойчивая собственная мода с e = 1, которая на блюдается при некоторых значениях волновой расстройки. На рис.2.3,2. представлены фазовые портреты для различных значениях d, k и. Фа зовый портрет на рис.2.3 получен для случая d = 0.5, k = 1, = 10, фазовые портреты на рис.2.4 — для случаев d = 0 с k = 0.25, = (рис.(2.4(а) и k = 1, = 4 (рис.2.4(б)). Все устойчивые собственные мо ды являются центрами на фазовой плоскости, тогда как неустойчивая собственная мода (на рис.2.3,2.4(б) она выделена буквой A) дает начало двухпетлевой сепаратриссе (двухпетлевые сепаратриссы на представ ленных рисунках выделены более толстыми линиями). Всем замкнутым траекториям на фазовом портрете соответствуют аналитические реше ния, представимые в виде комбинации эллиптических функций (пара граф 5.1), тогда как аналитический вид двух фазовых траекторий, со ставляющих двухпетлевую сепаратриссу, может быть выражен в терми нах гиперболических функций (параграф 5.1). Для предсказания новых оптических эффектов в трехволновом смешении достаточно иметь гра фические решения. Рассмотрим некоторые особенности представленных фазовых портретов.

На рис.2.3 существует фазовая траектория, которая берет начало из точки с координатами (max, 3/2) и возвращается по окружности ра диуса max к точке (max, /2) (эта траектория выделена более толстой линией). Как показывает анализ аналитических решений, данная фа зовая траектория является периодической и соотвествующее решение представимо в виде комбинации эллиптических функций Якоби (пара Рис. 2.3: Фазовый портрет системы в случае = 10, k = 1, d = 0.5.

Рис. 2.4: Фазовыe портреты системы, описывающей динамику двухмерно го нелинейного осциллятора в случае d = 0 а) = 1, k = 0.25 б) = 4, k = 1.

граф 5.1). Данную фазовую траекторию в определенном смысле можно назвать простой сепаратриссой, поскольку она отделяет друг от друга графические решения, для которых (s) изменяется от 0 до 2 и для которых значения (s) ограничены значениями меньшими чем 2.

Рис.2.4(а) получен в случае, когда неустойчивая собственная мода с фазой e = отсутствует в нелинейной динамике трехволнового сме шения. Здесь фазовая траектория, выделенная более толстой линией, является сепаратриссой, разделяющей всю фазовую плоскость на две области. Точка, первоначально находящаяся на самой сепаратриссе, бу дет ассимптотически стремиться при больших значениях s к max = 1, и аналитический вид решения, соответствующего данной траектории, мо жет быть представлен в терминах гиперболических функций (парагпаф 5.1). Поскольку в дифференциальное уравнение (2.7) входит функция sin, которая принимает положительные значения в верхней половине фазовой плоскости, то материальная точка в данной областе движется в сторону увеличения значений. И наоборот, в нижней половине фа зовой плоскости материальная точка движется в сторону уменьшения значений.

Рассмотрим энергообмен между световыми волнами в случае d = 0, = 4, k = 1. Пусть граничные условия выбраны таким образом, что соответствующие им начальные точки на фазовой плоскости находятся вблизи большой петли двухпетлевой сепаратриссы. Рис.2.5 получен при следующих условиях: d = 0;

= 4;

k = 1;

(z = 0) = 0;

L/Lnl = 10, где L — длина среды, (s = 0), в случае когда начальные (s = 0) нахо дятся очень близко друг от друга, но по разные стороны большой петли двухпетлевой сепаратриссы. Как следствие существования двухпетле вой сепаратриссы на фазовом портрете, происходит удвоение периода колебаний (кривая 2 и 4 на рис.2.5). Кривая 1 соответствует случаю, когда начальная точка лежит внутри большой петли сепаратриссы, а кривая 2 — случаю когда начальная точка лежит вне большой петли се паратриссы. Используя подобные соображения, можно понять существо вание резонансов в распределении составляющей полного числа фотонов в световой волне с чачтотой 3 на выходе из среды (рис.2.6, 2.7) как при увеличении полного потока фотонов (рис.2.6), так и при начальном уве личении составляющей полного числа фотонов с частотой 3 (рис.2.7).

Причина возникновения данных резонансов — пересечение начальной точкой большой петли двухпетлевой сепаратриссы.

Данный эффект может быть положен в основу создания оптических транзисторов на трехволновом смешении световых волн в квадратично нелинейной среде.

Рассмотрим экспериментальные условия, при которых эффекты, об суждаемые в данном параграфе, могут наблюдаться. Соотношение, свя Рис. 2.5: Зависимость составляющей числа фотонов в световой волне с частотой 3 от нормированной длины среды z/L (L-длина среды). Кри вые 1 и 2 получены для случаев когда начальная точка лежит внутри и вне сепаратриссы соответственно (d = 0, = 4, k = 1, (z = 0) = 0).

Рис. 2.6: Зависимость составляющей числа фотонов в световой волне с частотой 3 на выходе из кристалла от полного потока фотонов, норми рованного на N ((z = 0) = 0, d = 0).

Рис. 2.7: Зависимость составляющей числа фотонов в световой волне с частотой 3 на выходе из среды от начальной составляющей числа фо тонов для случая (z = 0) = 0, d = 0, = 4, k = 1.

зывающее значение полной мощности Pвх = (c|E0 |2 a2 )/(8)), где |E0 |2 = |E01 |2 + |E02 |2 + |E03 |2, E0i = Ei (z = 0), i = 1, 2, 3 и a — радиус пучков) с параметром, имеет вид:



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.