авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Вузовско-академическая лаборатория нелинейной оптики Института электрофизики Уральского отделения Российской Академии Наук и Южно-Уральского государственного университета ...»

-- [ Страница 2 ] --

2ca2 2 3 (2) 2 d 2 1 Pвх = ( (3) ) ( ( ) + )). (2.13) 91 2 2 1 2 Сделаем оценки при (2) 107 ед. СГСЭ, (3) 1012 ед. СГСЭ, a = 0. см. Подставляя данные значения в выражение (2.13), получим, что для наблюдения неустойчивой собственной моды необходимо иметь следую щие значения полной мощности: Pвх 3.6 · 1010 Вт для случая d = 0 и Pвх 2.2 · 1011 Вт для случая d = 0.5.

Анализ показывает, что для наблюдения оптического переключения в трехволновом смешении в квадратично-нелинейной среде должно вы полняться следующее соотношение:

na c1 2 3 d 2 1 Ls Pвх = m · l ( )+ (2.14) (2)2 (2) 8 2 1 2 где Ls — длина переключения, параметр l определяется из рис.2. (l = 7.7) и m — целое число, показывающее сколько Ls укладывает ся на полной длине кристалла. В случае k = 1, d = 0 и параметрах среды и излучения, используемых выше, получим следующее соотноше ние: Ls Pвх 6.96 · 102 см · Вт1/2. В случае, когда = 4, d = 0 и k = (рис.2.4(б)), Pвх = 3.3 · 1011 Вт. При данной полной мощности длина переключения Ls = 1.22 · 103 см. Таким образом, для увеличения Ls и уменьшения значения полной мощности Pвх необходимо использовать среды с меньшими значениями квадратичной восприимчивости. При мером таких сред могут являться специально подготовленные оптичес кие волокна, которые в обычном состоянии не обладают квадратичной восприимчивостью, а после обработки лазерным излучением приобре тают (2) = 0 и в течение некоторого времени становятся квадратично нелинейными [25].

2.2 nELINEJNYE PROCESSY W ODNOMERNOM DWUHWOL NOWOM SME[ENII SWETOWYH WOLN OSNOWNOJ ^AS TOTY I EE TRETXEJ GARMONIKI W KUBI^NO NELINEJNOJ SREDE.

Как указывалось в параграфе 1.1, уравнения, описывающие одномерное взаимодействие световых волн основной частоты и ее третьей гар моники 3 в кубично-нелинейных средах при произвольных граничных условиях и различных значениях волновой расстройки между волновы ми векторами, не решались в наиболее общем виде. Настоящий параграф посвящен изучению нелинейной динамики одномерного двухволнового смешения световых волн основной чаcтоты и ее третьей гармоники в кубично-нелинейной среде.

Пусть на вход кристалла падает плоская световая волна, представля ющая собой суперпозицию волн основной частоты и ее третьей гармони ки с амплитудами напряженности E1 и E3. Направления распростране ния волновых векторов световых волн совпадают. Уравнения, описыва ющие эволюцию электрических амплитуд световых волн вдоль направ ления распространения в кристалле z, имеют вид:

dE = i1 E1 E3 exp(ikz) + iR11 |E1 |2 E1 + iR13 |E3 |2 E1, (2.15) dz dE = i3 E1 exp(ikz) + iR31 |E1 |2 E3 + iR33 |E3 |2 E3.

(2.16) dz где k = 3(n(3) n())/c — волновая расстройка между волновыми векторами волн основной частоты и ее третьей гармоники. Коэффици енты 1 и 3, в общем случае, имеют следующий вид:

3 (3) 1 = e1i ijkl (;

;

;

3)e1j e1k e3l, (2.17) 2cn() 3 (3) 3 = e3i ijkl (3;

;

;

)e1j e1k e1l, (2.18) 2cn(3) (3) (3) где ijkl (;

;

;

3) и ijkl (3;

;

;

) — элементы тензора ку бичной восприимчивости;

n() и n(3) — показатели преломления на основной и утроенной частотах;

c — скорость света в вакууме и e1i, e3i — проекции единичных векторов поляризаций электрических полей на кристаллографические оси кристалла, а коэффициенты Rij можно пред ставить в следующем виде:

3 m + 1 (3) R1m = e1i ijkl (;

;

m;

m)e1j emk eml, (2.19) 2cn() 9 4 (3) R3m = e3i ijkl (3;

3;

m;

m)e3j emk eml. (2.20) 2cn(3) m + где m = 1, 3.

Уравнения (2.15,2.16) являются общими, поскольку они учитывают не только параметрическую связь между волнами, но и само и кросс фазовую модуляцию световых волн. Коэффициенты R11 и R33 отвечают за само-модуляцию световых волн, коэффициенты R13 и R31 ответствен ны за кросс-фазовую модуляцию, а 1 и 3 отвечают за энергообмен между волнами.

Из системы уравнений (2.15,2.16) можно получить следующий интег рал движения:

|E1 |2 + |E3 |2 = P, (2.21) где величина P имеет смысл полной мощности с учетом дисперсионных свойств среды. Введем новые величины q1 и q3, которые связаны с E1 и E3 следующим образом:

1 E1 = P q1, (2.22) 1 E3 = 3 P q3, (2.23) где = 1 /3.

Выражение (2.21) позволяет привести исходную систему уравнений (2.15,2.16) к системе двух дифференциальных уравнений для вещест венных величин: = |q3 |2 и = 3 31 + ks, где i — фазы световых волн:

2 d 3 = 2 3 sin, (2.24) ds 3 3 2 d ( 3 ) = 3 3 cos + ds A + B + k, (2.25) где 1 3 (3) 2 (9R33 27R13 ) + (3) 2 (9R11 3R31 ), A= (2.26) B= (R31 3R11 ), (2.27) где s = z/Lnl — нормированная на Lnl = (3 P )1 текущая координата;

k = kLnl — нормированная волновая расстройка.

Система (2.24,2.25) является гамильтоновой системой для двух канонически-сопряженных переменных (s) и (s) (параграф 5.1). Функ ция Гамильтона может быть представлена в следующем виде:

2 3 H = () 2 3 cos + A + (B + k). (2.28) 3 В соответствии с результатами параграфа 5.1 можно получить общее решение уравнений (2.24,2.25) в квадратурах. В данном случае коэффи циенты ai функции f (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 имеют вид:

12 3 A(B + k) a3 =, (2.29) F 123 + H0 A (B + k) a2 =, (2.30) F 3 + 2H0 (B + k) a1 = 3, (2.31) F H a0 =, (2.32) F где F = A2 /12 + 4. Результаты параграфа 5.1 позволяют получить все типы аналитических решений исходной системы уравнений (2.24,2.25).

Графические решения на фазовой плоскости могут служить альтер нативой аналитического решения исходных уравнений (2.15,2.16). Рас смотрим графические решения при следующих упрощениях: в выраже ниях (2.17-2.20) пренебрежем частотной зависисимостью тензора куби (3) (3) ческой восприимчивости ijkl (;

;

;

3) = ijkl (3;

;

;

) и по казателя преломления n() = n(3). Тогда 1 = 3 =, R11 =, R13 = 2, R31 = 6, R33 = 3, а гамильтониан может быть представлен в следующем виде:

2 cos 3 3 2 + 3 + k.

H= 3 3 (2.33) Графическими решениями уравнений (2.33) будут все замкнутые кри вые, удовлетворяющие условию: H = const. Форма данных кривых опре деляется числом, расположением на фазовой плоскости, устойчивостью или неустойчивостью собственных мод функции Гамильтона H (2.29).

На рис.2.8 показана зависимость собственных мод от безразмерной вол новой расстройки k, которая получена при численном решении уравне ний (2.24, 2.25), в которых d/ds = 0 и d/ds = 0. Как видно из рис.2.8, существуют две собственные моды с = max и с фазами e = 0 и e = и одна собственная мода e = max. Обе моды с фазами e = Рис. 2.8: Бифуркационная диаграмма: зависимость собственных мод (e ) от безразмерного волнового параметра k. Устойчивые (неустойчивые) моды показаны сплошными (штриховыми) линиями.

и e = при определенных значениях волновой расстройки k становят ся неустойчивыми, что вызвано присутствием в исходных уравнениях (2.15,2.16) членов, ответственных за само и кросс-фазовую модуляцию световых волн. Собственные моды с e = 0 и e = пересекаются в точке с координатами k = 3, e = max = 0.577.

На рис.2.9 показаны фазовые портреты, полученные при численном решении уравнения (2.33). Круг радиуса = 0.577 является фазо вым пространством системы уравнений (2.24,2.25). Фазовый портрет на рис.2.9(а) получен для большого значения k (k = 3.32). Такое значение k может иметь место либо при больших отстройках k, либо при неболь ших значениях начальной мощности световых волн. Две устойчивые соб ственные моды с e = 0 и e = являются устойчивыми центрами на фазовой плоскости. Неустойчивая мода с e = 0 является точкой типа неустойчивого седла. Данная неустойчивая мода (она указана буквой A на рис.2.9) дает начало двухпетлевой сепаратриссе (рис.2.9, все сепа ратриссы выделены более толстыми линиями). Устойчивая собственная мода с e = находится вблизи центра фазовой плоскости ( = 0), по этому усиление шума третьей гармоники будет незначительным. При больших значениях k происходит незначительный энергообмен между световыми волнами при любых граничных условиях, несмотря на нали чие в двухволновом смешении неустойчивой собственной моды с e = 0.

С уменьшением параметра k (при увеличении полной входной мощ ности) фазовый портрет в случае k = 3.32 трансформируется в другие фазовые портреты, в частности, в фазовый портрет с k = 0.1 (рис.2.9(б)).

Как и на фазовом портрете, полученном для k = 3.32, в данном случае также существуют две устойчивые моды с e = 0 и e =. Но в от личии от случая k = 3.32 неустойчивая собственная мода на фазовом портрете, полученном для k = 0.1, имеет фазу e =. Собственные мо ды на фазовой плоскости находятся достаточно далеко от точки = 0, что приводит при определенных условиях к значительному энергообмену между световыми волнами с частотами и 3. В частности, амплитуда энергообмена между световыми волнами может существенно изменить ся при изменении относительной начальной разности фаз 0 = (z = 0).

Из рис.2.10 видно как начальная относительная фаза 0 влияет на ди намику двухволнового смешения. Кривые 1 и 2 получены для случая, когда доля третьей гармоники на входе составляет 3.128%. Как вид но из рис. 2.10, энергообмен между волнами будет незначительным в случае 0 =. Перекачка мощности из основной гармоники в третью гармонику может резко увеличиться до 90% в случае 0 = 0.

Фазовые портреты на рис.2.9 могут быть использованы для изучения эффекта оптического переключения в двухволновом смешении волн ос новной частоты и ее третьей гармоники. Двухпетлевая сепаратрисса на Рис. 2.9: Фазовые портреты для случаев а) k = 3.32, б) k = 0.1.

Рис. 2.10: Составляющая третьей гармоники в зависимости от z/L (L есть полная длина кристалла) в случае k = 0.1, P L = 15. Кривая 1 и 2 получены в случае 0 = 0 и 0 = соответственно.

фазовой плоскости отделяет друг от друга три качественно различных типа периодических решений исходной системы (2.15,2.16). В окрест ности двухпетлевой сепаратриссы частота и амплитуда энергообмена между световыми волнами будет очень чувствительна к незначитель ным начальным изменениям распределения полной мощности. Неболь шое изменение граничных условий ведет к тому, что первоначальные точки на фазовой плоскости, в зависимости от того в какую область они попадут, будут двигаться по различающимся траекториям (параграф 5.1). Пусть на вход в кристалл подается когерентная ”смесь”, состоящая из сильной волны с частотой 3 и слабой синфазной (s = 0) = 0 волны с частотой. Если отношения мощностей световых волн, составляющих когерентную ”смесь” подобраны таким образом, что соответствующая им начальная точка на фазовой плоскости находится вне сепаратрис сы (рис.2.9), то тогда знергообмен между волнами будет незначитель ным (кривая 2 на рис.2.11). Если незначительно изменить начальное распределение полной мощности между световыми волнами, то перво начальная точка на фазовой плоскости, а следовательно и составляющая третьей гармоники, будет эволюционировать как кривая 2 на рис.2.11.

Причина столь резкого изменения амплитуды энергообмена между све товыми волнами в том, что первоначальная точка пересекает большую петлю сепаратриссы. Из рис.2.11 видно, что пространственная частота кривой 2 в два раза меньше пространственной частоты кривой 1 (со ответствующие аналитические расчеты представлены в параграфе 5.1).

Как следствие данного обстоятельства, кривая 2 имеет максимум, в то время как кривая 1 имеет минимум при той же самой длине s. Зависи мость выходной составляющей световой волны утроенной частоты от входной составляющей этой же волны (эффект переключения) показана на рис.2.12. Данный узкий резонанс является следствием существования двухпетлевой сепаратриссы.

Рассмотрим экспериментальные условия, при которых эффекты, об суждаемые в данном параграфе, могут наблюдаться. Как показано вы ше, полная мощность P и k связаны следующим образом:

3(n(3) n()) P ·k = (2.34) c Из выражения (2.34) следует, что максимальное проявление эффектов, которые обсуждались в данном параграфе, можно наблюдать в случае k = 0 (k = 0). Провести точные расчеты для этого случая достаточ но сложно, но можно сделать оценки, поскольку значение неустойчи вой собственной моды e немного уменьшится по сравнению со случаем k = 0.1 (рис.2.8), но качественно фазовый портрет для случая k = будет таким же, как и для k = 0.1 (рис.2.9(б)). Для случая k 0 можно Рис. 2.11: Составляющая третьей гармоники в зависимости от z/L (L есть полная длина кристалла) для случая (z = 0) = 0, k = 0.1, P L = 20. Кривая 1 соответствует случаю, когда первоначальная точка лежит внутри, а кривая 2 вне сепаратриссы.

Рис. 2.12: Составляющая третьей гармоники на выходе из кристалла в зависимости от начальной составляющей третьей гармоники. Здесь k = 0.1, (z = 0) = 0.

существенно уменьшить необходимую лазерную мощность, увеличивая в соответствии с выражением (2.34) длину среды. В случае двухволно вого смешения в одномодовых световодах волн основной частоты и ее третьей гармоники: = (n2 )/(cAэфф ), где Aэфф — эффективная пло щадь сердцевины волокна, n2 = 3.

2 · 1016 см2 /Вт — нелинейный пока затель преломления, а k = kM + kW, где kM и kW — волновые расстройки между волной основной частоты и ее третьей гармоникой, возникающие в результате действия материальной и волноводной дис персии [25]. Для выполнения условия фазового синхронизма необходимо, чтобы величина kW скомпенсировала величину kM. В данном про цессе довольно трудно обеспечить фазовый синхронизм [25]. Для этого необходимо использовать специальные метды. Однако расчет показы вает, что при = 1.5 мкм P = 10 Вт и Aэфф = 70 мкм2 значительное увеличение составляющей третьей гармоники при изменении начальной разности фаз можно наблюдать на длине Li = m · 3.2 · 104 см (рис.2.10, кривая 1), а оптическое переключение на длине Ls = m · 4.62 · 104 см (рис. 2.11), где m целое число.

Проведем также оценки для случая k = 0.1. Рассмотрим распростра нение двух световых волн с длинами волн 1 = 1.5 мкм и 3 = 0.5 мкм в кварце. Согласно [172] n(1 ) = 1.442 и n(3 ) = 1.462, а (3) 1013 ед.

СГСЭ. Тогда, в соответствии с (2.34) I 3 · 1014 Вт/см2. Лазерное из лучение такой интенсивности вызывает разрушение большинства крис таллов, включая кварц. Однако требуемая интенсивность может быть существенно уменьшена, если использовать материалы с более низкой дисперсией [95]. Так если n(3) n() = 106, то при прочих равных условиях необходима интенсивность I 1010 Вт/см2. Материалы с та кими значениями дисперсий можно получить, используя метод газовых смесей [95]. Данный метод можно использовать как для получения ма териалов с произвольными величинами положительной, так и отрица тельной расстройки волновых векторов, а также нулевой расстройки для широкого интервала значений плотности нелинейной среды.

2.3 wYWODY K GLAWE 2.

1. Исследованы уравнения, описывающие одномерную нелинейную дина мику трехволнового смешения в квадратично-нелинейной среде с учетом кубичных нелинейностей, ответственных за само и кросс фазовую моду ляцию световых волн, и двухволновое смешение световых волн основной частоты и ее третьей гармоники.

2. Показано, что учет кубичных нелинейностей в одномерной дина мике трехволнового смешения световых волн в квадратично-нелинейной среде приводит к существованию порогового значения бифуркационного параметра. Если значение бифуркационного параметра больше порого вого значения, то при определенных значениях волновой расстройки на блюдается неустойчивая собственная мода в данном волновом процессе.

3. Получены и проанализированы графические решения на фазовой плоскости уравнений, описывающей данный процесс трехволнового сме шения. Рассмотрены аналитические решения для разных типов фазо вых траекторий. Исследован эффект оптического переключения в дан ном смешении.

4. Аналитически и графически (на фазовой плоскости) изучены урав нения, описывающие нелинейную динамику одномерного двухволново го смешения световых волн основной частоты и ее третьей гармоники в кубично-нелинейной среде. Показано, что при определенных значени ях волновых раcстроек существуют неустойчивые собственные моды в двухволновом смешении световых волн основной частоты и ее третьей гармоники.

5. Показано, что нелинейная динамика двухволнового смешения в кубично-нелинейной среде зависит от граничных условий: входного рас пределения полной мощности между волнами и начальной разности фаз.

Рассмотрены условия возникновения эффекта оптического переключе ния.

gLAWA oDNOMERNYE ^ETYREHWOLNOWYE PROCESSY W RAZLI^NYH NELINEJNO-OPTI^ESKIH SREDAH.

3.1 oDNOMERNYE ^ETYREHWOLNOWYE WZAIMODEJSTWIQ W CENTROSIMMETRI^NYH SREDAH NA KUBI^NOJ NE LINEJNOSTI.

Как указывалось в параграфе 1.1 уравнения, описывающие волновые смешения в различных кубично-нелинейных средах при произвольных граничных условиях, не решались в наиболее общем виде. В настоящем параграфе приведены результаты теоретического анализа записанных в наиболее общем виде уравнений, которые описывают четырехволно вые процессы в кубично-нелинейных средах, а именно, четырехволновое смешение световых волн основной, стоксовой и антистоксовой частот в одномодовых волокнах с двулучепреломлением и встречное четырехвол новое смешение невырожденных по частоте световых волн.

3.1.1 pOPUTNOE ODNOMERNOE ^ETYREHWOLNOWOE SME[ENIE SWETO WYH WOLN OSNOWNOJ, STOKSOWOJ I ANTISTOKSOWOJ ^ASTOT W ODNOMODOWOM SWETOWOM WOLOKNE S DWULU^EPRELOMLENIEM, WLIQNIE GRANI^NYH USLOWIJ NA NELINEJNU@ DINAMIKU \NERGOOBMENA MEVDU SWETOWYMI WOLNAMI.

Рассмотрим распространение вдоль оптического одномодового волокна с двулучепреломлением четырех световых волн с частотами 0, 1 и 2, для которых выполняется условие 20 = 1 + 2. Волна основной час тоты поляризована вдоль обоих ортогональных направлений волокна, а световые волны стоксовой (s ) и антистоксовой частот (a ) поляризова ны вдоль x и y направлений соответственно. Суммарное электрическое поле световых волн в волокне можно записать в виде:

E(r) = (ex F0x (x, y)E0x (z) exp(i0x z)+ ey F0y (x, y)E0y (z) exp(i0y z)) exp(i0 t)+ex F1 (x, y)E1 (z) exp(i1 t+i1 z)+ +ey F2 (x, y)E2 (z) exp(i2 t + i2 z) + комп.сопр.) (3.1) где Fi (x, y) (i = 0x, 0y) — поперечные распределения амплитуды свето вой волны основной частоты;

Fj (x, y) (j = 1, 2) — поперечные распреде ления амплитуды световых волн стоксовой и антистоксовой волн;

ex, ey — единичные векторы;

i (i = 0x, 0y) — постоянные распространения световых мод основной частоты;

j (j = 1, 2) — постоянные распростра нения световых мод стоксовой и антистоксовой частот.

В приближении медленно меняющихся амплитуд из волнового урав нения могут быть получены уравнения, описывающие взаимодействие четырех световых волн при их распространении вдоль одномодового во локна с двулучепреломелением [25]:

dE0x i2n2 ( f1234 E1 E2 E0y exp(ikz) + (f11 |E0x |2 + = dz 0 2 + f12 |E0y |2 + 2f13 |E1 |2 + f14 |E2 |2 )E0x ), (3.2) 3 dE0y i2n2 2 ( f2134 E1 E2 E0x exp(ikz) + ( f21 |E0x |2 + = dz 0 3 +f22 |E0y |2 + f23 |E1 |2 + 2f24 |E2 |2 )E0y ), (3.3) dE1 i2n2 ( f3124 E0x E0y E2 exp(ikz) + (2f31 |E0x |2 + = dz 1 2 + f32 |E0y |2 + f33 |E1 |2 + f34 |E2 |2 )E1 ), (3.4) 3 dE2 i2n2 2 ( f4123 E0x E0y E1 exp(ikz) + ( f41 |E0x |2 + = dz 2 3 +2f42 |E0y |2 + f43 |E1 |2 + f44 |E2 |2 )E2 ), (3.5) где k = 0x + 0y 1 2 = (0 (n0x + n0y ) 1 n1 2 n2 )/c — от стройка волновых векторов от синхронизма;

n0x, n0y, n1, n2 — линейные коэффициенты преломления волокна на основной, стоксовой и антисток совой частотах соответственно;

fik and fijkl — интегралы перекрытия;

n2 = 3.2 · 1016 см2 /Вт — постоянная Керра для кварцевых оптических волокон [25]. Несмотря на то, что в данных волокнах преднамеренно создается сильное двулучепреломление, обычно полагается, что их не линейные свойства остаются такими же как и в случае отсутствия дву лучепреломления для изотропной среды [25]. Тогда только элементы ку бичной восприимчивости (3), для которых индексы попарно совпадают, не равны нулю. Как прямое следствие этого свойства изотропных сред, в часности кварцевых волокон, световые волны, участвующие в волновом процессе, должны быть поляризованы или попарно в одном направле нии, или попарно в ортогональных направлениях. В дальнейшем будем считать, что в уравнениях (3.2-3.5) все интегралы перекрытия fij и fijkl совпадают (данное предположение качественно не скажется на оконча тельных результатах):

fij fijkl, (3.6) Aэфф где Aэфф — эффективная площадь сердцевины одномодового волокна.

Из уравнений (3.2-3.5) можно получить следующие интегралы дви жения:

|E0x |2 |E0y |2 = D1, (3.7) 1 |E1 |2 |E2 |2 = D2, (3.8) 0 1 |E0x |2 + |E0y |2 + |E1 |2 + |E2 |2 = P. (3.9) 0 Физический смысл уравнений (3.7,3.8) заключается в том, что как фото ны световой волны основной частоты (0 ), так и фотоны стоксовой и ан тистоксовой частот рождаются и аннигулируют парами. Соотношение (3.9) является законом сохранения полной мощности в четырехволновом смешении.

Введем следующие величины q1, q2, q3, q4, которые связаны с ампли тудами напряженностей световых волн следующим образом:

E0x = P q1, (3.10) E0y = P q2, (3.11) E1 = P q3, (3.12) E2 = P q4, (3.13) а также составляющую стоксовой волны = |q3 |2 и разность фаз свето вых волн, участвующих в процессе, = 3 + 4 1 2 + ks, где i — фаза i й волны;

s = z/Lnl — нормированная на нелинейную длину взаимодействия Lnl = (2n2 P )/( 1 2 Aэфф ) текущая координата, вдоль которой распространяются световые волны, участвующие в данном про цесе;

k = kLnl. Используя интегралы движения (3.7-3.9), преобразуем исходные уравнения (3.2-3.5) в систему из двух уравнений для двух ре альных величин и :

d = sin ( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2), (3.14) ds ( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2) d = cos ( ds 3 ( d2 )(1 + d2 d1 2) ( d2 )(1 + d1 + d2 2) + 1 + d1 + d2 2 1 + d2 d1 (1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2) + A + B + C + D + k, (3.15) 2 d где d1 = D1 /P, d2 = D2 /P. Величины A, B, C, D могут быть представ лены в следующем виде:

1 1 2 10 1 2 40 2 0 1 A= 16 + 3 +, 3 2 1 0 1 1 2 1 (3.16) 2d1 2 B=, (3.17) 3 1 d2 2 1 5 1 2 30 1 C= 4 +3, (3.18) 3 1 2 0 2 2 1 1 1 2 5 1 D= 4 +. (3.19) 3 2 1 Величины |q1 |2, |q2 |2, |q4 |2 связаны с перменной следующим образом:

1 + d1 + d2 |q1 |2 =, (3.20) 1 + d2 d1 |q2 |2 =, (3.21) |q4 |2 = d2. (3.22) Система нелинейных дифференциальных уравнений (3.14,3.15) связы вает между собой переменные и. Данная двухмерная динамическая система (3.14,3.15) может быть описана в терминах метода гамильтоно вой механики, основы которого представлены в приложении (параграф 5.1). В этом случае и являются канонически-сопряженными величи нами. Функцию Гамильтона, соответствующую уравнениям (3.14,3.15), можно записать в следующем виде:

H= cos ( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2) A + (B + C + D + k). (3.23) Первый член в функции Гамильтона соответствует параметрическим членам в начальных уравнениях (3.2-3.5), в то время как оставшиеся члены отвечают за само и кросс-фазовую модуляцию световых волн.

Функция Гамильтона H является интегралом движения, т.е. выполня ется условие H/z = 0. Используя инвариантность гамильтониана и величин d1 и d2, найдем аналитическое выражение для потенциального поля f (x) (согласно результатам параграфа 5.1). Функция f (x) имеет вид: f (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0, где 1 a3 = (1 + 2d2 ) + Aa, (3.24) F 1 (1 + 5d2 d2 + 6d2 ) a2 AH0, a2 = (3.25) 2 F d2 (d2 2d2 d2 1) + 2aH0, a1 = (3.26) 1 F H a0 =, (3.27) F а a = B + C + D + k, F = A2 /4 16/9.

Рассмотрим графические решения на фазовой плоскости системы уравнений (3.14,3.15) для следующих значений длин волн световых волн основной, стоксовой и антистоксовой частот: 1.319 мкм, 1.338 мкм, 1. мкм;

для следующего распределения полной мощнсти между световыми волнами: P1 = P2 = 10 Вт, P3 = 10 мВт, P4 = 1 мкВт и случая полно го фазового синхронизма. Расстройка между волновыми векторами k состоит из двух частей k = kM + kW, где kM и kW — волно вые расстройки, возникающие в результате действия материальной и волноводной дисперсии. Волновые расстройки kM и kW могут быть представлены в следующем виде: kM = (n1 1 + n2 2 (n0x + n0y )0 )/c, kW = (n1 1 + n2 2 (n0x + n0y )0 )/c, где ni (i = 0x, 0y) — разница показателей преломления сердцевины и оболочки волокна на основной частоте;

nj (j = 1, 2) — разница показателей преломле ния сердцевины и оболочки волокна на стоксовой и антистоксовой час тотах. Полагая, что n0x = n0y, выразим материальную расстройку в следующем виде: kM = 2 2, где 2 = 2 k/ 2 |=0 — коэффициент дисперсии на основной частоте;

= 0 1 = (0 2 ). Так как n0x = n1 = nx, n0y = n2 = ny, n = ny nx, волноводная расстройка может быть записана в следующем виде: kW = (n)/c.

Коэффициент дисперсии 2 на частоте 0 принимает отрицательное зна чение (|2 | 5 · 1029 с2 /см). Приравнивая значение величины матери альной расстройки к волноводной расстройке, получим значение вели чины двулучепреломления n, при котором выполняется условие фазо вого синхронизма: n = (2c2 |2 ||1 0 |)/(1 2 ). Расчеты показывают, что в рассматриваемом диапазоне длин волн для получения фазового синхронизма необходимо одномодовое волокно с двулучепреломлением n 1.1 · 104. В рассматриваемом случае ось y являетя медленной осью волокна, ось x — быстрой осью волокна.

Нелинейная динамика четырехволнового смешения существенно за висит от числа, расположения и устойчивости собственных мод четы рехволнового смешения [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 62, 89, 90, 168]. Устойчи вость собственных мод определена с помощью второй производной га мильтониана (3.23) по переменным и. В случае фазового синхрониз ма анализ на устойчивость показывает, что в общем случае существуют четыре собственные моды, из них одна собственная мода с фазой e = и две моды c фазой e = являются устойчивыми, а одна собственная мода с фазой e = является неустойчивой.

На рис.3.1 представлен фазовый портрет рассматриваемой системы в координатах ( cos ;

sin ) в случае k = 0. Отметим, что в верхней половине фазовой плоскости (sin 0) материальная точка движется в сторону возрастания значений переменной, в то время как в нижней половине фазовой плоскости (sin 0) она движется в сторону умень шения значений переменной. Фазовое пространство для — кольцо с большим и малым радиусами l = (1 + d2 d1 )/2 и s = d2. Как вид но из рис.3.1, все устойчивые собственные моды являются устойчивыми центрами на фазовом портрете. Неустойчивая собственная мода с фазой e =, которая на рис.3.1 обозначена буквой A, дает начало двухпетле вой сепаратриссе. Эта двухпетлевая сепаратрисса (она выделена более толстой линией) разделяет все фазовое пространство на три области, в каждой из которых существуют качественно различающиеся замкнутые траектории, которые соответствуют различным режимам энергообмена между световыми волнами. Фазовые траектории, находящиеся вблизи двухпетлевой сепаратриссы, представляют значительный интерес, так как при пересечении начальной точкой данной траектории периоды и амплитуды периодических осцилляций изменяются очень значительно.

Это связано с существованием неустойчивой собственной моды в четы рехволновом смешении, что приводит к тому, что в окрестности двух петлевой сепаратриссы выходные поля становятся очень чувствитель ными как к малым изменениям начальных распределений полной мощ ности между световыми волнами, так и малым изменениям начальной разности фаз. Анализ фазовых траекторий внутри малой петли двухпет левой сепаратриссы и вблизи окружности радиуса = d2 показывает, что энергообмен между волнами в данной области фазовой плоскости будет незначительным. Это связано с влиянием в уравнениях (3.2-3.5) членов, ответственных за модуляцию волн, на энергообмен между све товыми волнами.

Рассмотрим аналитические решения системы уравнений (3.2-3.5) при некоторых значениях функции Гамильтона. На рис.3.2(а,б) представ лены рассчитанные зависимости функции f (x) для двух случаев: а) H = Hins 0.0420254 (данное значение гамильтониана получено при подстановке точного значения неустойчивой собственной моды (e 0.2505;

e = ) в функцию Гамильтона (3.23));

б) H = 0.03 Hins.

Рисунок 3.2(а) соответствует фазовым траекториям, образующим двух петлевую сепаратриссу. Движению материальной точки между точками d и b = c соответствует движение этой же точки по малой петле двух петлевой сепаратриссы на рис.3.1, тогда как движению между точка ми b = c и a на рис.3.2(а) соответствует движение по большой петле Рис. 3.1: Фазовый портрет для случая полного синхронизма между свето выми волнами k = 0.

сепаратриссы на рис.3.1. Используя численные значения корней, пред ставим функцию f (x) в следующем виде: f (x) = (a x)(b x)2 (x d), где d 0.0267, c = b 0.2508, a 0.4739. Точное решение системы уравнений (3.14,3.15) можно получить, воспользовавшись результатами параграфа 5.1:

0. (s) 0.2508 + (3.28) 0.4472 · chU1 + 0. для большой петли сепаратриссы на рис.3.1 и 0. (s) 0.2508 (3.29) 0.4472 · chU2 0. для малой петли сепаратриссы на рис.3.1, где U1 ±arch((0.1 0.001 · 0 )/(0.4472(0 0.2508))0.333·s;

U2 ±arch((0.10.001·0 )/(0.4472( 0.2508)) 0.333 · s. В выражении для U1 следует писать знак ” + ”, ес ли начальная точка находится в верхней половине фазовой плоскости (sin 0) и знак ” ” если начальная точка расположена в нижней половине фазовой плоскости (sin 0). В выраженни для U2 ситуация прямо противоположная.

Рассмотрим зависимость f (x), представленную на рис.3.2(б). Как видно из рис.3.2(б) существуют две области, в которой может двигаться материальная точка x в потенцильном поле f. Одна из областей ограни чена точками d и c, а другая расположена между точками b и a. Таким образом, при данном значении гамильтониана существует четыре ве щественных корня и два аналитических решения. Представим функцию f (x) в следующем виде: f (x) = (x d)(c x)(b x)(a x), где d 0.0018, c 0.162, b 0.3848 и a 0.4818. Рассмотрим аналитические решения уравнений (3.14,3.15), фазовые траектории которых расположены внут ри малой петли двухпетлевой сепаратриссы на рис.3.1. В соответсвии с результатами параграфа 5.1 получим:

0.07715 · sn2 (U, r) + 0., (3.30) (s) 0.16012 · sn2 (U, r) + 0. где r 0.3561 — модуль эллиптической функции sn(U, r);

U = 0.2609 · s ± F (0, r);

F (0, r) — эллиптический интеграл первого рода;

arcsin(1.4132 · (0 0.00188)/(0.4818 0 )). Функция sn(U, r) является периодической по U с периодом равным 4K(r), где K(r) — эллипти ческий интеграл первого рода. Знак в выражении для U перед функци ей F (0, r) определяется начальным расположением соответствующей материальной точки на фазовой плоскости. Например, если начальная точка на фазовой плоскости расположена в нижней половине фазовой плоскости (sin 0), то в выраженни для U необходимо писать знак ” ”.

Рис. 3.2: Зависимость f (x) для случаев а) H = Hins и б) H Hins.

Фазовым траекториям, расположенным вне двухпетлевой сепарат риссы, можно дать иную интерпретацию в терминах эллиптических функций Якоби. Используя результаты параграфа 5.1, найдем, что функция (s) в случае, представленном на рис.3.2(б), эволюционирует как:

0.00018 · sn2 (U, r) + 0. (s), (3.31) 0.097 · sn2 (U, r) + 0. где U ±F (µ0, r)0.2609·s;

F (µ0, r) — эллиптический интеграл первого рода;

µ0 arcsin(1.9871 · (0.4818 0 )/(0 0.0018)).

Рассмотрим аналитические решения, соответсвующие случаю H Hins. Для данных значений гамильтониана зависимости f (x) представ лены на рис.3.3(а,б). Результаты, представленные на рис.3.3(а), полу чены для случая H = Hst 0.20869 (данное значение гамильтониа на получено при подстановке значения устойчивой собственной моды (e 0.25, e = 0) в исходный гамильтониан H, уравнение (3.23)).

Для данного значения функции Гамильтона существует тривиальное решение (s) = e = const. Несмотря на присутствие в исходных урав нениях (3.2-3.5) параметрического члена, ответсвенного за энергообмен между световыми волнами, в данном случае амплитуды напряженнос ти световых волн, участвующих в процессе, остаются неизменными, а вклад нелинейности выражается в виде дополнительного набега фа зы. В практическом плане более интересная ситуация возникает в слу чае, если граничные условия выбраны таким образом, что выполняет ся условие Hins H Hst. Данные значения гамильтониана соответ ствуют фазовым траекториям, которые расположены внутри большой петли двухпетлевой сепаратриссы. Фазовые траектории, которые по строены для случаев H Hins 0+, расположены наиболее близко к большой петле двухпетлевой сепаратриссы, и амплитуда периодичес ких осцилляций материальной точки будет максимальной в данном слу чае. Для достижения максимального энергообмена именно данные зна чения гамильтониана представляют наибольший интерес. На рис.3.3(б) представлена зависимость f (x) в случае H = 0.045. Как видно из дан ного рисунка, существует два вещественных корня и, соответственно, два комплексно-сопряженных корня. Для случая, представленного на рис.3.3(б), функция f (x) может быть представлена в следующем виде:

f (x) (0.4717 x)(x 0.0287)(x2 0.5011072x + 0.067266337). В соот ветствии с результатами параграфа 5.1 решение уравнений (3.14,3.15) для случая H = 0.045 имеет следующий вид:

0.0537 · sn2 (U, r) + 0.0536 · cn2 (U, r) ± 0.0474 · cn(U, r) (s) (3.32) 0.2142 · sn2 (U, r) + 0.2141 · cn2 (U, r) где U 0.3495 · s ± F (0, r);

0 2arcctg(1.002 · (0 0.0287)/(0. 0 )1/2 );

r 0.9572 — модуль эллиптических функций sn(U, r) и cn(U, r);

Рис. 3.3: Зависимость f (x) в случае а) H = Hst ;

б) Hins H Hst.

Рис. 3.4: Зависимость составляющей стоксовой волны от нормированного расстояния z/L для различных значений начальной разности фаз, где L — полная длина волокна.

Рис. 3.5: Зависимость составляющей стоксовой волны от нормированного расстояния z/L для различных начальных распределений полной мощ ности между световыми волнами.

F (0, r) — эллиптический интеграл первого рода. Рассмотрим анали тическое решение (3.32), в котором перед функцией cn(U, r) стоит знак ” + ”. Если начальная точка расположена в верхней половине фазовой плоскости (sin 0), то U 0.3495 · s F (0, r). Если начальная точ ка на фазовой плоскости расположена в нижней половине (sin 0), то U 0.3495 · s + F (0, r). Противоположная картина имеет место в случае, когда в решении (3.32) перед функцией cn стоит знак ” ”.

Обсудим два примера, показывающих влияние граничных условий, на энергообмен между волнами. Перекачка энергии между волнами за висит как от начального распределения полной мощности между све товыми волнами, так и от начальной разности фаз когерентных све товых пучков. Рассмотрим влияние начальной разности фаз на энер гообмен между световыми волнами. На рис.3.4 показана зависимость составляющей стоксовй волны |E1 |2 /Pвх от безразмерной текущей ко ординаты s = z/L, где L — полная длина волокна. Величина Pвх = |E0x0 |2 + |E0y0 |2 + |E10 |2 + |E20 |2, где Ei0 = Ei (z = 0), не сохраняется в отличии от P (уравнение (3.9). Выражение для |E1 |2 /Pвх может быть получено в следующем виде: |E1 |2 /Pвх = P/Pвх = /(1 + d2 (1 0 /2 )).

Для всех кривых, представленных на рис.3.4, L/Lnl = 50. Пары кривых 1, 2;

3, 4 и 5, 6 получены для совпадающих начальных распределений полной мощности между световыми волнами, но с разной начальной разностью фаз 0 = (s = 0). Кривые 1, 3 и 5 получены при 0 = 0, тогда как для кривых 2, 4 и 6 выполняется условие 0 =. Три различ ных случая выбора граничных условий для пар кривых 1, 2;

3, 4 и 5, соответсвуют расположению начальных материальных точек вблизи се паратриссы на фазовой плоскости (рис.3.1). Кривые 1 и 2 получены для случая, когда соответствующие им начальные материальные точки на фазовой плоскости находятся внутри малой петли сепаратриссы вблизи точки = d (рис.3.1). Для кривых 1 и 2 начальное распределение полной мощности между световыми волнами следующее: |E0x |2 /Pвх 0.4729, |E0y |2 /Pвх 0.4729, |E1 |2 /Pвх 0.02701, |E2 |2 /Pвх 0.02729. Началь ная материальная точка для кривой 3 находится внутри большой петли сепаратриссы (рис.3.1). При изменении 0 на величину данная мате риальная точка попадает внутрь малой петли и эволюционирует как кривая 4 на рис.3.4. Начальное распределение полной мощности между световыми волнами для кривых 3 и 4 следующее: |E0x |2 /Pвх 0.4739, |E0y |2 /Pвх 0.4739, |E1 |2 /Pвх 0.02603, |E2 |2 /Pвх 0.02627. Для кри вых 5 и 6 стоксовая и антистоксовая волны являются мощными. Соот ветсвующая начальная точка на фазовой плоскости, представленной на рис.3.1, расположена внутри большой петли сепаратриссы для кривой 5 на рис.3.4. При изменении 0 на величину данная точка попада ет в область, которая находится вне пределов сепаратриссы (кривая на рис.3.4). Соответствующее начальное распределение полной мощнос ти между волнами для кривых 5 и 6 имеет вид: |E0x |2 /Pвх 0.0271, |E0y |2 /Pвх 0.0271, |E1 |2 /Pвх 0.4665, |E2 |2 /Pвх 0.4796. Как видно из рис.3.4, амплитуда осцилляций энергообмена между световыми волнами может быть значительно увеличена при изменении начальной разнос ти фаз. Найдем величину длины волокна Ls, при которой на выходе из волокна будут наблюдаться первые максимумы кривых 1, 3 и 5, пред ставленные на рис.3.4. Рассмотрим случай, когда значение эффективной площади одномодового волокна Aэфф = 50 мкм2 и Pвх = 20.01 Вт. Тогда Ls 3.2 · 102 м для кривых 1 и 2;

Ls 1.6 · 102 м для кривых 3 и 4;

Ls 3.1 · 102 м для кривых 5 и 6.

В данном четырехволновом смешении рассмотрим эффект оптичес кого переключения. На рис.3.5 показана эволюция величины |E1 |2 /Pвх при изменении нормированного расстояния s = z/L. Кривые, представ ленные на рис.3.5, получены для случая 0 = 0, L/Lnl = 50. Кривые 1 и 2 на рис.3.5 соответствуют такому выбору начального распреде ления полной мощности между световыми волнами, что соответсву ющие им начальные точки на фазовой плоскости на рис.3.1 располо жены внутри (кривая 1) и вне (кривая 2) сепаратриссы вблизи точки = a. В этом случае начальное распределение полной мощности сле дующее: |E0x |2 /Pвх 0.02695, |E0y |2 /Pвх 0.02695, |E1 |2 /Pвх 0.4674, |E2 |2 /Pвх 0.4805 для кривой 1 и начальное распределение полной мощ ности |E0x |2 /Pвх 0.02615, |E0y |2 /Pвх 0.02615, |E1 |2 /Pвх 0.4674, |E2 |2 /Pвх 0.4805 для кривой 2. Рассмотрим кривые 4 и 5 на рис.3.5.

Данные кривые получены для следующих начальных распределений полной мощности между волнами: |E0x |2 /Pвх 0.473, |E0y |2 /Pвх 0.473, |E1 |2 /Pвх 0.02691, |E2 |2 /Pвх 0.02718 (для кривой 4) и |E0x |2 /Pвх 0.4738, |E0y |2 /Pвх 0.4738, |E1 |2 /Pвх 0.02612, |E2 |2 /Pвх 0.02637 (для кривой 5). Начальные материальные точки на рис.3.1, которые соответ ствуют данным распределениям полной мощности, расположены внут ри большой петли (кривая 4) и внутри малой петли сепаратриссы. Как видно из рис.3.5, происходит практически удвоение периода колебаний кривых 1 и 4 по сравнению с кривыми 2 и 5, что соответсвует результа там параграфа 5.1. При незначительном изменении начального распре деление полной мощности между волнами, начальные точки на фазовой плоскости на рис.3.5, соответсвующие этим распределениям, пересека ют сепаратриссу и изменяются с расстоянием (рис.3.5). Для наблюдения первого расхождения кривых на рис.3.5 при рассмотренных параметрах среды и полной мощности необходимо, чтобы Ls 3.2 · 102 м для кривых 1 и 2 и Ls 3.3 · 102 м для кривых 4 и 5. Кривые 3 и 6 соответсвуют случаю такого выбора граничных условий, при которых соответствую щая им материальная точка на рис.3.1 попадает на большую (кривая 3) и малую петли (кривая 6) сепаратриссы.

3.1.2 sOBSTWENNYE MODY I IH NEUSTOJ^IWOSTX WO WSTRE^NOM ODNOMERNOM ^ETYREHWOLNOWOM SME[ENII NEWYROVDEN NYH PO ^ASTOTE SWETOWYH WOLN W KUBI^NO-NELINEJNOJ SREDE.

Как указывалось в параграфе 1.1, до сих пор не решалась задача встреч ного четырехволнового смешения в кубично-нелинейных средах при про извольных граничных условиях и различных значениях волновой рас стройки между волновыми векторами световых волн. Решению данного вопроса посвящен данный параграф.

Рассмотрим встречное четырехволновое смешение невырожденных по частоте световых волн 1, 2, 3 и 4 (1 + 3 = 2 + 4 ) в среде (3) (3) с локальной безынерционной реактивной нелинейностью (ijkl = ijkl ).

Направления поляризаций световых волн совпадают. Суммарное поле четырех волн с амплитудами напряженности E1, E2, E3 и E4 имеет сле дующий вид:

E = (E1 (z) exp(i1 t + ik1 R) + E2 (z) exp(i2 t + ik2 R)+ +E3 (z) exp(i3 t + ik3 R) + E4 (z) exp(i4 t + ik4 R) + комп.сопр.) (3.33) Все волны распространяются под углом к оси z. Пары волн с ам плитудами E1 (z), E3 (z) и E2 (z) и E4 (z) распространяются навстречу друг другу. Направление распространения волн таково, что k1z, k2z 0, k3z, k4z 0, где ki R = kix x + kiz z, i = 1, 2, 3, 4.

Уравнения, описывающие эволюцию амплитуд напряженности элек тромагнитных волн с учетом само и кросс фазовой модуляции, имеют вид [37]:

dE1 i31 1 i31 |E1 |2 E1 + = E2 E3 E4 exp(ikz z) + dz cn1 cos 2cn1 cos i31 12 i31 13 i31 |E2 |2 E1 + |E3 |2 E1 + |E4 |2 E1, + (3.34) cn1 cos cn1 cos cn1 cos dE2 i32 2 i32 |E1 |2 E2 + = E1 E3 E4 exp(ikz z) + dz cn2 cos cn2 cos i32 22 i32 23 i32 |E2 |2 E2 + |E3 |2 E2 + |E4 |2 E2, + (3.35) 2cn2 cos cn2 cos cn2 cos dE3 i33 3 i33 |E1 |2 E = E1 E2 E4 exp(ikz z) dz cn3 cos cn3 cos i33 32 i33 33 i33 |E2 |2 E3 |E3 |2 E3 |E4 |2 E3, (3.36) cn3 cos 2cn3 cos cn3 cos dE4 i34 4 i34 |E1 |2 E = E1 E2 E3 exp(ikz z) dz cn4 cos cn4 cos i34 42 i34 43 i34 |E2 |2 E4 |E3 |2 E4 |E4 |2 E4, (3.37) cn4 cos cn4 cos 2cn4 cos где k = k2 + k3 k1 k4 — вектор волновой расстройки;

величи на kz — z-компонента вектора волновой расстройки;

ni — показа тель преломления на частоте i, коэффициенты i при параметрических членах в уравнениях (3.34-3.37) имеют вид: 1 = (3) (1 ;

2 ;

4 ;

3 ), 2 = (3) (2 ;

1 ;

3 ;

4 ), 3 = (3) (3 ;

2 ;

4 ;

1 ), 4 = (3) (4 ;

1 ;

3 ;

2 );

коэффициенты ij при непараметрических членах имеют вид: ij = (3) (i ;

i ;

j ;

j ). Числовые коэффициенты введены в соответствии с частотно-перестановочной симметрией [37]. Из систе мы уравнений (3.34-3.37) можно получить следующие независимые ин тегралы движения:

2 n1 2 n |E1 |2 |E4 |2 = D1, (3.38) 1 1 4 n2 n3 |E2 |2 |E3 |2 = D2, (3.39) 2 3 2 n 1 n2 n 3 2 n 4 |E1 |2 + |E2 |2 + |E3 |2 + |E4 |2 = N. (3.40) 1 1 2 3 3 4 Введем новые переменные q1, q2, q3 и q4 такие что 1 E1 = q1 N, (3.41) 2 n E2 = q2 N, (3.42) n 3 E3 = q3 N, (3.43) 2 n 4 E4 = q4 N. (3.44) 2 n В новых обозначениях система уравнений (3.34-3.37) имеет вид:

dq = iq2 q3 q4 exp(ikz) + ia11 |q1 |2 q1 + ia12 |q2 |2 q1 + ia13 |q3 |2 q1 + ia14 |q4 |2 q1, ds (3.45) dq = iq2 q3 q4 exp(ikz) + ia11 |q1 |2 q2 + ia12 |q2 |2 q2 + ia13 |q3 |2 q2 + ia14 |q4 |2 q2, ds (3.46) dq = iq1 q2 q4 exp(ikz) + ia31 |q1 |2 q3 + ia32 |q2 |2 q3 + ia33 |q3 |2 q3 + ia34 |q4 |2 q3, ds (3.47) dq = iq1 q3 q2 exp(ikz) + ia41 |q1 |2 q4 + ia42 |q2 |2 q4 + ia43 |q3 |2 q4 + ia44 |q4 |2 q4, ds (3.48) 2 где aij = (i j j ij )/(ni nj 2 ) при i = j;

aii = (i ii i )/(2ni 2 ) при i = j;

= (1 2 3 4 1 3 4 )/(n1 n2 n3 n4 2 ), s = z/Lnl — текущая нор мированная координата;

Lnl = ((3N )/(cosc))1 — характерная нели нейная длина взаимодействия;

k = (kz )Lnl — нормированная волновая расстройка.

Введем новые переменные: составляющую световой волны с ампли тудой E2 ( = |q2 |2 ) и разность фаз световых волн, участвующих в про цессе, ( = 2 + 4 1 3 + ks, где i - фазы соответствующих волн) и преобразуем систему уравнений (3.45-3.48) к следующему виду:

( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2) d = cos ( ds ( d2 )(1 + d1 + d2 2) ( d2 )(1 + d2 d1 2) + 1 + d2 d1 2 1 + d1 + d2 (1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2) + A + d1 B + d2 C + D + k, (3.49) + 2 d d = sin ( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2). (3.50) ds Здесь d1 = D1 /N и d2 = D2 /N — нормированные интегралы движения;

A = a41 + a11 a21 a31 + a22 a42 a12 + a32 + a23 a43 a13 + a a24 + a44 + a14 a34 ;

B = (a21 a41 a11 + a31 a24 + a44 + a14 a34 )/2;

C = (a21 a41 a11 + a31 + a24 a44 a14 + a34 )/2 a23 + a43 + a13 a33 ;

D = (a21 a41 a11 + a31 + a24 a44 a14 + a34 )/2.

Система уравнений (3.49,3.50) является гамильтоновой. Уравнения (3.49,3.50) могут быть представлены в виде частных производных от функции Гамильтона H (параграф 5.1), где функция Гамильтона имеет вид:

H = cos ( d2 )(1 + d1 + d2 2)(1 + d2 d1 2)+ 2A + + (d1 B + d2 C + D + k). (3.51) В новых переменных и величины |q1 |2, |q3 |2 и |q4 |2 могут быть пред ставлены в следующем виде: |q1 |2 = (1 + d1 + d2 2)/2, |q3 |2 = d2 и |q4 |2 = (1 + d2 d1 2)/2. Используя результаты параграфа 5.1, най дем интегральное представление уравнений (3.49,3.50). В данном случае функция f (x) имеет вид: f (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0, где 4 + 8d2 + Aa a3 =, (3.52) F 1 + 5d2 + 6d2 d2 a2 + AH 2 a2 =, (3.53) F d2 d2 + 2aH 2d2 d2 d a1 = 1 2, (3.54) F H a0 =, (3.55) F где F = A2 /4 4, a = d1 B + d2 C + D + k. Следуя процедуре, описан ной в параграфе 5.1, можно получить аналитические решения системы уравнений (3.49,3.50), которые здесь не приводятся. Рассмотрим толь ко фазовые портреты функции Гамильтона (3.51). Как уже отмечалось, общий вид фазового портрета определяется наличием экстремальных точек гамильтониана или собственных мод четырехволнового смешения (e ;

e ) и их расположением на фазовой плоскости. В общем случае в данном четырехволновом смешении cуществуют две собственные мо ды с фазами = 0 и = соответственно. Рассмотрим случай, когда d1 = d2 = 0.1. Тогда величины |q1 |2, = |q2 |2, |q3 |2 и |q4 |2 будут изменять ся в следующих пределах: 0 |q1 |2 0.5, 0.1 0.5, 0 |q3 |2 0.5, а 0 |q4 |2 0.5. При увеличении величины значение |q3 |2 увеличивает ся, а величины |q1 |2 и |q4 |2 уменьшаются по амплитуде. Как показывает анализ, коэффициент A при квадратичном члене функции Гамильто на (3.51) оказывает существенное влияние на вид бифуркационной диа граммы. Если |A| Aкр = 4.333, то вид зависимости собственных мод e от k будет незначительно модифицирован по сравнению со случаем, когда в исходных уравнениях (3.34-3.37) присутствовали бы только па раметрические члены. Эти изменения связаны с небольшой деформацией зависимости собственных мод от k. Совершенно другой вид бифурка ционная диаграмма примет в случае, когда |A| Aкр. В зависимости от знака A одна из собственных мод гамильтониана (3.51) при определен ных значениях k ”распадется” на три моды с одинаковыми значениями e, но с разными значениями e. Две из новых собственных мод будут устойчивыми, а одна неустойчивой. Коэффициенты при линейных чле нах гамильтониана (3.51) лишь сдвигают бифуркационные диаграммы по оси k, не затрагивая качественным образом самого вида бифурка ционных диаграмм. Как видно из самого определения коэффициентов A, B, C и D они полностью определяются параметрами выбранной сре ды и длинами световых волн, которые учатвуют в процессе.

Графические решения системы (3.49,3.50) получены при следующих значениях параметров: A = 6, а на значения B, C и D наложено условие:

при значениях d1 = d2 = 0.1 величина d1 B + d2 C + D = 0. Бифурка ционная диаграмма для гамильтониана (3.51) представлена на рис.3. (устойчивые собственные моды показаны сплошными линиями, тогда как неустойчивая мода выделена пунктирной линией). Как видно из рис.(3.6), в некотором диапазоне значений k для моды с e = 0 сущест вует участок неустойчивости. Рассмотрим значение фазовой расстройки k = 1.85. На рис.(3.7) показан соответствующий фазовый портрет. Фа зовым пространством является кольцо с радиусами 0.1 и 0.5. Все устой чивые моды являются центрами на фазовой плоскости, тогда как не устойчивая мода (указана буквой А на рис.3.7) дает начало двухпетле вой сепаратриссе (она выделена более жирной линией). Кроме двухпет левой сепаратриссы существует также две фазовые траектории, кото рые можно назвать простыми сепаратриссами. Одна из них выходит из точки ( = 0.5, = (3)/2) и возвращается в точку ( = 0.5, = /2).

Другая выходит из точки ( = 0.1, = (3)/2) и возвращается в точ ку ( = 0.1, = /2). Обе эти фазовые траектории являются перио дическими, также как и все другие замкнутые фазовые траектории на рис.3.7. Аналитические решения системы уравнений (3.49,3.50) для дан ных фазовых траекторий представимы в виде комбинации элиптических функций Якоби (параграф 5.1). Для фазовых траекторий, образующих двухпетлевую сепаратриссу, аналитические решения выражаются с по мощью гиперболических функций (параграф 5.1).

Фазовый портрет, представленный на рис.3.7, можно использовать для исследования эффектов, связанных с влиянием граничных условий на энергообмен между волнами. Из предыдущих параграфов следует, что при выборе таких граничных условий, при которых соответству ющая им материальная точка на фазовой плоскости находится вблизи сепаратриссы, наблюдается сильная зависимость выходного распреде ления полной мощности от начальных условий, в частности, от началь ной разности фаз. Чтобы показать эту зависимость, рассмотрим рис.3.8.

На рис.3.8 показана пространственная зависимость (s) от безразмерной длины среды z/L (L — полная длина среды) при различных значениях начальной разности фаз 0 = (z = 0), но с одинаковыми начальны ми значениями величины 0 = (z = 0). Кривая 1 получена для случая 0 = 0, тогда как кривая 2 соответствует случаю 0 =. Как вид но из рис.3.8, происходит увеличение амплитуды колебаний (s) при измененении фазы 0 на. Данный эффект, также как и эффект оп тического переключения, может найти самое широкое применение на практике. Найдем значение полной мощности Pвх = (a2 c/8)|E0 |2 (здесь |E0 |2 = |E10 |2 +|E20 |2 +|E30 |2 +|E40 |2, Ei0 = Ei (z = 0), a — радиус пучков), Рис. 3.6: Бифуркационная диаграмма: зависимость собственых мод от па раметра k.


Рис. 3.7: Фазовый портрет в случае k = 1.85.

при которой наблюдается данный эффект при следующих параметрах среды и излучения: n1 = n2 = n3 = n4 = 1.5, 1 2 3 4 1 мкм, 1 2 3 4 1012 см3 /эрг, a = 0.2 см и cos 1 Длина среды L и полная мощность Pвх связаны между собой как c2 a2 cos n1 n2 n3 n4 LPвх =m (3.56) 24 1 2 4 1 3 где = 0 (2 /n2 + (3 3 )/(2 n3 ) (1 1 )/(2 n1 ) (4 4 )/(2 n4 ))+d1 ((1 1 )/(22 n1 )((4 4 )/(22 n4 ))+d2 ((1 1 )/(22 n1 )+ (4 4 )/(22 n4 ) (3 3 )/(2 n3 )) + (1 1 )/(22 n1 ) + (4 4 )/(22 n4 ), а па раметр m определяется из рис.3.8. Для наблюдения первого максимума на рис.3.8 (m = 5.75) необходимо, чтобы полная мощность Pвх 7.3 · (Вт · см)/L. При характерных величинах L = 1 см полная мощность Pвх = 7.3 · 107 Вт. Эта величина достижима с помощью импульсных лазеров. Такие же по порядку мощности требуются для оптического пе реключения.

Рис. 3.8: Зависимость от безразмерной длины среды z/L (L-длина сре ды) при L/Lnl = 20. Кривая 1 получена для случая (z = 0) = 0, а кривая 2 для случая (z = 0) =.

3.2 oPTI^ESKOE PEREKL@^ENIE W POPUTNOM ^ETY REHWOLNOWOM SME[ENII WYROVDENNYH PO ^ASTO TE SWETOWYH WOLN NA TEPLOWOJ NELINEJNOSTI NE MATI^ESKIH VIDKIH KRISTALLOW.

Как указывалось в параграфе 1.1 уравнения, описывающие встречное и попутное взаимодествия четырех световых волн на тепловой нели нейности нематических жидких кристаллов, были ранее рассмотрены в приближении неистощающихся волн накачек [122]. Анализ данных волновых процессов в наиболее общем виде не проводился. В настоя щем параграфе приведены результаты теоретического анализа попут ного четырехволнового смешения на данных нелинейностях для двух различных значениях волнвой расстройки и при произвольных гранич ных условиях.

Прежде чем переходить к решению поставленной задачи, рассмот рим некоторые свойства нематических жидких кристаллов. Известно, что отличительной особенностью жидкокристаллических материалов является очень сильная зависимость показателей преломления от тем пературы. Для мезофазы жидких кристаллов n /T (4 6) · град1, тогда как величина n /T положительна, но более чем в 4 раз меньше по модулю. В результате, когда собственное поглощение жидких кристаллов становится значительным, существенными оказы ваются нелинейности, связанные с диссипацией энергии световых волн [108, 121, 122]. В однородном образце нематика изменение температу ры при определенных условиях приводит к локальному изменению по казателей преломления n и n, но не меняет однородной ориентации директора.

В жидком кристалле, чаще всего, тензор диэлектрической проницае мости 0 — одноосный тензор вида:

ij 0 = 0 ij + 0 ni nj, (3.57) ij a где a = — анизотропия диэлектрической проницаемости;

ni — декартовые компоненты единичного вектора в направлении оптической оси;

= n2 и = n2. Локальное изменение главных компонент тензора o e диэлектрической проницаемости 0 в результате поглощения энергии ij светового поля можно представить в следующем виде, =, /T · T (T — изменение температуры образца).

Эволюция температурного поля определяется уравнением диффузии:

cn|E| dT T =, (3.58) dt 8Cp где — лапласиан;

— коэффициент поглощения ([] = см1 );

Cp ([Cp ] = эрг/см2 град) — теплоемкость единицы обьема;

103 см2 /с — коэффициент температуропроводности;

|E|2 — интенсивность свето вых волн, участвующих во взаимодействии.

Рассмотрим распространение четырех вырожденных по частоте све товых волн в нематическом жидком кристалле (рис.3.9). На жидкокрис таллический оптически одноосный кристалл падают две эллиптически поляризованные световые волны, которые при распространении в одно осном кристалле распадаются на четыре линейно-поляризованные вол ны обыкновенного o- и и необыкновенного e- типов. Оптическая ось кристалла направлена в направлении оси y. Под углами и распро страняются внутри кристалла волны необыкновенного типа, тогда как направления распространения волн обыкновенного типа сдвинуты соот ветственно на и от направления распространения e- волн. Амплиту да суммарной электромагнитной волны внутри кристалла может быть представлена в виде:

E = ex (E2 (z) exp(ik2 r) + E4 (z) exp(ik4 r))+ +e1 E1 (z) exp(ik1 r) + e3 E3 (z) exp(ik3 r), (3.59) где ex, ey и ez — орты декартовой системы координат;

e1, e3 — еди ничные векторы поляризации необыкновенных световых волн;

E2, E4 — амплитуды напряженностей световых волн обыкновенного типа, а E1 и E3 — амплитуды напряженностей необыкновенных волн. Зависимость амплитуд световых волн E1, E2, E3 и E4 от z значительно более мед ленная в масштабе = (2)/k по сравнению с быстрым множителем exp(ikr), следовательно можно воспользоваться приближением медлен но меняющихся амплитуд.

Под действием световых полей происходит модуляция показателей преломления, обусловленная диссипацией энергии светового поля. В дальнейшем будем пренебрегать вкладом z компонент напряженностей световых волн необыкновенного типа, считая углы и малыми по ве личине. Определим изменение диэлектрической проницаемости в общем виде: xy = yx = 0, xx =, yy = [121]. Из сказанного следу ет, что происходит только изменение диагональных элементов тензора диэлектрической проницаемости.

Члены |Ei |2 (i = 1, 2, 3, 4) дают вклад в однородное нагревание об разца. К энергообмену между волнами ведет только пространственно неоднородная часть T. Положим, что член в правой части (3.58), отве чающий за однородное нагревание образца, T ГT, где Г = d ([Г] = с1 ), d — характерная для данного жидкого кристалла длина сво бодного пробега. В этом случае изменение температуры T определяется Рис. 3.9: Геометрия попутного четырехволнового взаимодействия. Оп тическая ось кристалла направлена в направлении декартовой оси y.

На кристалл падают две эллиптически-поляризованные волны, которые при распространении внутри кристалла с двулучепреломлением распа даются на четыре волны. E2 и E4 — амплитуды обыкновенных волн, а E1 и E3 — амплитуды необыкновенных волн;

углы и учитывают двулучепреломление.

интенсивностью световых волн следующим образом:

c (o no (|E2 |2 +|E4 |2 )+e ne (|E1 |2 +|E3 |2 ))(1exp(Гt))+ T (r, t) = 16Cp Г o no Г (E2 E4 exp(i(k2 k4 )r)+E2 E4 exp(i(k2 k4 )r))(1exp((Г+Гo )t))+ Г + Гo e ne Г + (E1 E3 exp(i(k1 k3 )r)+E1 E3 exp(i(k1 k3 )r))(1exp((Г+Гe )t))), Г + Гe (3.60) 2 где Гo = (k2 k4 ) и Гe = (k1 k3 ) — постоянные затухания, а o, e — коэффициенты поглощения для волн обыкновенного и необыкновен ного типов. В общем случае Гe = Гo и o = e.

Используя волновое уравнение в приближении метода медленно меняющихся амплитуд и проведя усреднение в приближении |k k4 |, |k1 k3 | |ki |, где i = 1, 2, 3, 4, получим систему уравнений, описы вающую процесс взаимодействия четырех световых волн, распространя ющихся в нематическом жидком кристалле [121, 8, 11, 14]:

dE1 iCe ((0 + Ae be |E3 |2 )E1 + Ao bo E2 E3 E4 exp(ikz z)), = (3.61) dz cos dE2 iCo ((0 + Ao bo |E4 |4 )E2 + Ae be E1 E3 E4 exp(ikz z)), = dz cos( + ) (3.62) dE3 iCe ((0 + Ae be (|E1 |2 )E3 + Ao bo E1 E2 E4 exp(ikz z)), (3.63) = dz cos dE4 iCo ((0 +Ao bo |E2 |2 )E4 +Ae be E1 E2 E3 exp(ikz z)), (3.64) = dz cos( + ) где 0 = A0 (|E2 |2 + |E4 |2 ) + Ae (|E1 |2 + |E3 |2 );

kz = (k2 + k3 k1 k4 )z — проекция волновой расстройки на общее направление распростране ния (ось z);

— длина волны излучения;

Co = (c)/(8Cp Г)(|dno /dT |);

|Ce | = (c)/(8Cp Г)(|dne /dT |);

= (o + e )/2 — среднее значение ко эффициента поглощения световых волн;

Ao, Ae, bo, be — действительные коэффициенты;

Ao = o no /, Ae = e ne /;

bo, be определяют эффектив ность записи тепловых решеток по сравнению с однородным нагревом среды (bo, be 1);

bo = Г/(Г + Го ), be = Г/(Г + Ге ).

Система уравнений (3.61-3.64) имеет собственные интегралы движе ния:

a|E1 |2 + |E2 |2 + b|E3 |2 + c|E4 |2 = P, (3.65) a|E1 |2 |E2 |2 = D1, (3.66) b|E3 |2 c|E4 |2 = D2, (3.67) где a, b и c имеют вид: a = (Ae be Co ne cos )/(Ao bo Ce no cos( + )), b = (Ae be Co ne cos ))/(Ao bo Ce no cos( +)) и c = cos( + )/ cos( +). Ве личины D1 и D2 показывают, что обмен квантами (энергиями) может происходить только между волнами различных поляризаций, в част ности, между o- и e- волнами, которые образуются при распростра нении по одноосному кристаллу эллиптически поляризованной волны. Введем новые переменные qi (i = 1, 2, 3, 4): E1 = q1 P/a, E2 = q2 P, E3 = q3 P/b и E4 = q4 P/c. Тогда интегралы движения (3.65-3.67) в новых обозначениях будут иметь вид: |q1 |2 + |q2 |2 + |q3 |2 + |q4 |2 = 1, |q1 |2 |q2 |2 = d1 и |q3 |2 |q4 |2 = d2, где d1 = D1 /P и d2 = D2 /P. Указан ная замена переменных дает возможность с помощью интегралов дви жения свести исходную систему уравнений (3.61-3.64) к системе двух уравнений для вещественных переменных: составляющей световой вол ны с амплитудой E2, а именно (s) = |q2 |2, и разности фаз световых волн, участвующих в процессе, (s) = ks + 2 + 3 1 4, где i (i = 1, 2, 3, 4) — фаза i-й световой волны;

s = z/Lnl — нормированная на Lnl текущая координата;

k = kz Lnl — нормированная волновая рас стройка;

Lnl = ((Ce Ao bo P/ cos ) cos( + ) cos / cos( + ) cos )1.

Данная система имеет следующий вид:

d = sin ( + d1 )(1 d1 + d2 2)(1 d1 d2 2), (3.68) ds (d1 + )(1 d1 + d2 2)(1 d1 d2 2) d = cos ( ds (d1 + )(1 d1 d2 2) (1 d1 + d2 2)(1 d1 d2 2) ++ 1 d1 + d2 2 2 d1 + (d1 + )(1 d1 + d2 2) ) + A + B + k (3.69) 1 d1 d2 Коэффициенты A, B зависят только от параметров среды и геометрии эксперимента. Величины |q1 |2, |q3 |2 и |q4 |2 могут быть выражены через с помощью интегралов движения d1 и d2 : |q1 |2 = + d1, |q3 |2 = (1 d1 + d2 2)/2 и |q4 |2 = (1 d1 d2 2)/2.

Система уравнений (3.68,3.69) является гамильтоновой для канони чески-сопряженных величин и (параграф 5.1) с функцией Гамиль тона H:


A H = cos (d1 + )(1 d1 + d2 2)(1 d1 d2 2) + 2 + (B + k) (3.70) Первый член гамильтониана (3.70) соответствует параметрическому члену в исходных уравнениях (3.61-3.64), который отвечает за энерго обмен между световыми волнами, а последующие члены гамильтониа на (квадратичные и линейные по ) соответствуют непараметрическим членам, ответственным за само- и кросс- фазовую модуляцию волн. Про ведем численный анализ системы (3.68,3.69) при следующих значениях:

d1 = d2 = 0.1 (d1 и d2 могут принимать значения от 1 до 1).

Так как + +, то cos cos cos( + ) cos( + ). В этом случае коэффициенты A и B имеет следующий вид:

Ce C o A = 2( + ), (3.71) Co Ce 1 Ce Co Ce 1 Ce Co d2 Ce Co B = ( + ) d1 ( + ( + )) + ( ). (3.72) 2 Co Ce Co 2 Co Ce 2 Co Ce Рассмотрим минимальное значение отношения величины Ce к Co, а именно, Ce /Co = 4. Тогда при заданных d1 и d2 получаем |A| = 8.5, B = 1.7.

Рассмотрим графические решения на фазовой плоскости системы уравнений (3.68,3.69), описывающей взаимодействие однонаправленных четырех волн на тепловой нелинейности нематического жидкого крис талла. Как известно, вид траекторий на фазовой плоскости существенно определяется наличием, количеством и устойчивостью экстремальных точек гамильтониана H (3.70) [11, 14]. На рис.3.10 показана зависимость собственных мод от безразмерной волновой расстройки k. Как видно из рис.3.10, существуют две собственные моды с = max и с фазами e = и e =. Анализ собственных мод показывает, что их устойчивость за висит от значения коэффициента A (выраженние (3.71)). Если значение коэффициента A превышает некоторое критическое значение Aкр (в рас сматриваемом случае Aкр = 4.33), то собственная мода с фазой e = будет иметь участок неустойчивости (неустойчивый участок собствен ной моды с фазой e = выделен пунктирной линией на рис.3.10). В случае |A| Aкр собственная мода с фазой e = является устойчивой при всех волновых расстройках. В случае A Aкр при определенных волновых расстройках устойчивая мода с фазой e = ”расщепляет ся” на три собственные моды. Две из этих мод остаются устойчивыми, тогда как третья становится неустойчивой. Для тепловой нелинейности жидкокристаллических мезофаз A Aкр. Существование неустойчивой собственной моды в данном волновом смешении связано с существенным различием в ”силе” решеток, которые записываются обыкновенными и необыкновенными волнами (коэффициент связи Ce по модулю больше Co в 4 раза).

Рассмотрим два случая значений волновых расстроек: k = 0 и k = 0.4. На рис.3.11(а,б) показаны фазовые портреты, являющиеся ре шениями системы уравнений (3.68-3.69) для данных волновых расстро ек (рис.3.11(а) для случая k = 0 и рис.3.11(б) для случая k = 0.4).

Устойчивые собственные моды являются устойчивыми центрами на фа Рис. 3.10: Бифуркационная диаграмма: зависимость собственных мод по путного четырехволнового смешения на тепловой нелинейности немати ческого жидкого кристалла от безразмерной волновой расстройки k.

Рис. 3.11: Фазовые портреты для случаев: а) k = 0;

б) k = 0.4.

зовой плоскости, а неустойчивая собственная мода является точкой ти па неустойчивого седла (она выделена буквой A на фазовых портретах).

Неустойчивая собственная мода дает начало двухпетлевой сепаратрис се. Траектории, образующие двухпетлевые сепаратриссы, выделены на рис.3.11(а,б) более толстыми линиями.

Обратим внимание на вид фазовых траекторий, образующих двух петлевую сепаратриссу для различных значений волновой расстройки.

Данные фазовые траектории, точный аналитический вид которых мо жет быть описан в терминах гиперболических функций (параграф 5.1), ассимтотически сходятся в точке A — неустойчивой собственной мо де для обеих волновых расстроек. На рис.3.11(а) обе составляющие се паратриссы образуют большую и малую петли. Для случая k = 0. ”большая” петля сепаратриссы не попадает в область положительных значений cos. Соответственно двухпетлевую сепаратриссу образуют две практически равные по размерам петли. Как видно из рис.3.11(б) происходит ”перестройка” всего фазового портрета для k = 0.4 по срав нению со случаем k = 0 в соответствии с изменением вида двухпетлевой сепаратриссы.

Рассмотрим траектории на обоих фазовых портретах, которые выхо дят из окружности с координатами ( = 0.4;

= 3/2) и возвращаются в окружность в точку с координатой ( = 0.4;

= /2) (они выделены на рис.3.11(а,б) менее темными линиями по сравнению с двухпетлевыми се паратриссами). Как показывает анализ, данная фазовая траектория яв ляется также периодической, и ее аналитическое решение может быть представлено в терминах эллиптических функций (параграф 5.1). Из за особенностей построения фазовых портретов в координатах ( cos, sin ) полный графический вид данных траекторий не может быть по казан в общем виде. Данные фазовые траектории можно назвать просты ми сепаратриссами, поскольку они отделяют друг от друга различные типы периодических решений. А именно, данные фазовые траектории являются граничными для фазовых траекторий, у которых изменя ется от 0 до 2, и для фазовых траекторий, для которых изменение значения величины ограничено значениями меньшими 2. Точка на фазовой плоскости движется в сторону увеличения значения величины в верхней половине фазовой плоскости (sin 0) и в сторону умень шения величины в нижней половине (sin 0) фазовой плоскости.

Рассмотрим аналитические решения для случая k = 0, фазовый пор трет которого представлен на рис.3.11(а). Процедура получения ана литических решений представлена в параграфе 5.1. В данном случае F = A2 /4 4, а коэффициенты функции f (x) имеют вид:

4(2d1 1) + A(B + k) 3 =, (3.73) F 1 6d1 + 5d2 d2 B 2 k 2 HA 2Bk 1 2 =, (3.74) F d1 2d2 + d3 d1 d2 + 2H(B + k) 1 1 1 =, (3.75) F H 0 =. (3.76) F Значению неустойчивой собственной моды (e ;

e ) соответствует зна чение гамильтониана (3.70) H 0.05 для k = 0. Соответствующая функция f (x) для данного значения гамильтониана представлена на рис.3.11(а). Функция f (x) может быть представлена в виде: f (x) (0.38855 x)(0.2 x)2 (x 0.01145) для случая k = 0. Как видно из рис.3.11(а), существуют две области определения функции f (x), в ко торых может двигаться материальная частица x. Область определения функции f (x) [d;

c = b] соответсвует случаю движения материальной точки x по малой петле двухпетлевой сепаратриссы для случая k = (рис.3.11(а)). Тогда как область определения f (x) [c = b;

a] соответству ет случаю движения точки x по большой петле сепаратриссы для k = (рис.3.11(а)).

Очень простой вид аналитических решений может быть получен, ес ли a + d = 2b (в соответствии с результатами параграфа 5.1). Такая ситуация при данных постоянных d1, d2, A и B имеет место в случае k = 0. Результаты дают следующие значения для аналитических реше ний, соответствующих фазовым траекториям, которые образуют двух петлевую сепаратриссу:

0. (s) = 0.2 ±, (3.77) chU 1.2591 ch2 U, cos (s) = (ch2 U 0.8888)(ch2 U 0.395) 1.111shU sin (s) = ±, (3.78) (ch2 U 0.8888)(ch2 U 0.395) где U ±arch(0.18855/(|0.2 0 |)) 0.7070625 · s;

в выражении для U необходимо писать знак ”+” в случае, если начальная точка находится в нижней половине фазовой плоскости для малой петли сепаратриссы и в верхней половине фазовой плоскости для большой петли сепаратриссы.

На рис.3.13(б) показана зависимость f (x) для случая k = 0 c H Hins.

Рис.3.13(б) получен для случая H = 0.02. Для данного значения функ ции Гамильтона имеем: f (x) (0.39715 x)(0.32175 x)(0. x)(x 0.00285). Рассмотрим область движения материальной точки x в потенциальном поле f, которая ограничена точками d и c. Соответ свующие данному случаю фазовые траектории находятся внутри малой Рис. 3.12: Зависимость f (x) в случае k = 0 с: a) H = Hins ;

б) H Hins.

Рис. 3.13: Зависимость f (x) в случае k = 0 c a) H = Hst ;

б) Hins H Hst.

петли двухпетлевой сепаратриссы (рис.3.11(б)). В этом случае в соот ветствии с параграфом 5.1 для (s) получим следующее значение:

0.0299sn2 (U, r) + 0. (s), (3.79) 0.0754sn2 (U, r) + 0. где U 0.5979·s+F (0, r), если начальная точка расположена в верхней половине фазовой плоскости;

U 0.5979 · s F (0, r), если начальная точка расположена в нижней половине фазовой плоскости;

r 0.2364;

0 arcsin(2.0566 · (0 0.00285)/(0.39715 0 )).

Рассмотрим случай, когда граничные условия выбраны таким обра зом, что при заданном значении гамильтониана H материальная точка x будет двигаться внутри области, ограниченной точками a и b. Со ответствующие данному случаю фазовые траектории расположены вне двухпетлевой сепаратриссы, огибая ее извне (рис.3.11(а)). Для случая f (x), представленного на рис.3.13(б), (s) может быть получено в сле дующем виде:

0.00021sn2 (U, r) + 0. (s) (3.80) 0.0754sn2 (U, r) + 0. где U F (µ0, r) 0.5979 · s, если начальная точка расположена в верхней половине фазовой плоскости;

U F (µ0 ;

r) + 0.5979 · s, ес ли начальная точка находится в нижней половине фазовой плоскости;

r 0.2364 — модуль эллиптической функции sn(U, r);

µ0 = arcsin(2.0566· (0.39715 0 ))/(0 0.0285)). На рис.3.12 представлены графики за висимостей f (x) для случая k = 0 при H = Hst (рис.3.12(а)) и Hins H Hst (рис.3.12(б)). Значение величины Hst 0.2899 может быть получено при подстановке значения устойчивой собственной моды (e 0.2;

e = 0) в исходный гамильтониан (3.70). Для данных значений гамильтониана существуют только два вещественных корня f (x). Для H = Hst решение имеет наиболее простой вид: (s) = e, а функция f (x) может быть представлена в виде: f (x) (0.2x)2 (x2 +0.4x0.149511).

Как видно из рис.3.12(б), амплитуда энергообмена между световыми пучками максимальна при H Hins 1. Для случая k = 0 значе ние гамильтониана H = 0.051 (рис.3.12(б)) соответствует фазовой тра ектории, которая находится внутри большой петли сепаратриссы на рис.3.11(а). Используя численные значения корней, можно представить f (x) в виде: f (x) (x 0.01175)(0.38825 x)(x2 0.4x + 0.040544). Для случая, представленного на рис.3.12(б), зависимость (s) имеет очень простой вид:

0.2 ± 0.1828 · cn(U, r), (3.81) где U 0.7113·s±F (0, r);

0 = 2·arcctg( (0.38825 0 )/(0 0.01175));

r 0.9924. Как видно из выражения (3.81), существуют два аналити ческих решения системы уравнений (3.68,3.69). Знак в выражении для U зависит от расположения точки на фазовой плоскости. Если в выра жении (3.81) стоит знак ” + ”, то U 0.7113 · s F (0, r), если точка первоначально расположена в верхней половине фазовой плоскости, и U 0.7113 · s + F (0, r), если начальная точка расположена в нижней половине фазовой плоскости.

Рассмотрим две ситуации, когда изменение граничных условий да ет возможность управления энергообменом между световыми волнами для случая k = 0. На рис.3.14 представлена зависимость составляющей обыкновновенной волны с амплитудой E2 (|E2 (s)|2 /Pвх = ((s)P )/Pвх, где Pвх /P = 2.8) от нормированного расстояния s = z/L, где L — полная длина среды. Здесь Pвх — величина пропорциональная сумме четырех входных мощностей: Pвх = |E0 |2, где |E0 |2 = |E10 |2 +|E20 |2 +|E30 |2 +|E40 |2 ;

E10, E20, E30 и E40 — напряженности световых полей на входе в крис талл и a — радиус светового пучка. В отличии от интеграла движе ния P (выражение (3.65)) величина Pвх (s) является несохраняющейся.

На рис.3.14 рассмотрены три случая выбора граничных условий. Для каждого из этих случаев имеет место одинаковое распределение полной мощности между световыми волнами, но их разности фаз сдвинуты на. Кривые 1, 3 и 5 на рис.3.14 получены для случаев, когда начальная разность фаз 0 = (z = 0) = 0, тогда как кривые 2, 4 и 6 получены для случаев, когда 0 = (при численном моделировании значение величи ны L/Lnl = 30 для всех кривых, представленных на рис.3.14). Значения начальных относительных мощностей следующие: |E10 |2 /Pвх = 0.1571, |E20 |2 /Pвх = 0.0036, |E30 |2 /Pвх = 0.7, |E40 |2 /Pвх = 0.1393 для кривых 1 и 2;

|E10 |2 /Pвх = 0.16, |E20 |2 /Pвх = 0.0043, |E30 |2 /Pвх = 0.6971, |E40 |2 /Pвх = 0.1393 для кривых 3 и 4;

|E10 |2 /Pвх = 0.6957, |E20 |2 /Pвх = 0.1382, |E30 |2 /Pвх = 0.1614, |E40 |2 /Pвх = 0.0046 для кривых 5 и 6. Как видно из рис.3.14, амплитуда осцилляций величины |E2 |2 /P резко возрастает когда 0 = 0, в отличии от случая 0 =. Изменение картины энерго обмена между волнами при изменении начальной разности фаз можно понять с помощью как фазового портрета (рис.3.11(а)), так и точных аналитических решений. Кривые 1 и 2 соответствуют фазовым траек ториям на рис.3.11(а), находящимся внутри малой петли сепаратриссы.

Граничные условия для кривой 3 выбраны так, что материальная точка на фазовой плоскости (рис.3.11(а)), соответствующая данным началь ным условиям, находится внутри большой петли сепаратриссы близко от точки d. При изменении начальной разности фаз световых волн на начальная материальная точка попадет в область малой петли сепа ратриссы и эволюционирует как кривая 4 на рис.3.14. Граничные усло вия для кривой 5 соответсвуют случаю, когда начальная материаль ная точка находится внутри большой петли сепаратриссы около точки a (рис.3.14). Кривая 6 получена при том же граничном распределении Рис. 3.14: Зависимость обыкновенной волны с амплитудой напряженности E2 от текущей нормированной длины кристалла s = z/L (L — длина кристалла) для различных трех случаев.

полной мощности, но разность фаз 0 изменена на. Данное изменение картины энергообмена при изменении начальной разности фаз может быть объяснено и с физической точки зрения. В рассматриваемом меха низме нелинейности (уравнение (3.60)) считывание каждой из решеток производится волнами обеих поляризаций. Причем считывание o-волной решетки, записанной e-волнами, ведет к возникновению параметричес кого члена в уравнениях (3.61-3.64), ответственного за энергообмен, тог да как считывание o-волной решетки, записанной o-волнами, приводит к появлению в уравнениях (3.61-3.64) члена, ответственного за кросс фазовую модуляцию. Световая волна с амплитудой E2 есть сумма двух волн: прошедшей волны и волны E4, отраженной от решетки, записан ной световыми волнами необыкновенного типа с амплитудами E1 и E3.

Если сложение данных волн происходит в фазе, то на начальном этапе наблюдается резкое усиление волны с амплитудой напряженности E2.

Если же сложение двух волн происходит в противофазе, то энергообмен между световыми волнами практически отсутствует.

Рассмотрим эффект оптического переключения энергии при четы рехволновом попутном смешении (рис.3.15). На рис.3.15 представлена зависимость составляющей обыкновенной световой волны с амплиту дой напряженности E2 (|E2 (s)|2 /Pвх ) от безразмерной длины s = z/L.

Начальная разность фаз 0 = 0, значение величины L/Lnl = 30 для всех кривых. Распределение мощности между пучками на входе в жид кий кристалл следующее: |E10 |2 /Pвх 0.69829, |E20 |2 /Pвх 0.13886, |E30 |2 /Pвх 0.15886 и |E40 |2 /Pвх 0.004 для кривой 1;

|E10 |2 /Pвх 0.69743. |E20 |2 /Pвх 0.13864, |E30 |2 /Pвх 0.15971, |E40 |2 /Pвх 0. для кривой 2;

|E10 |2 /Pвх 0.159, |E20 |2 /Pвх 0.00404, |E30 |2 /Pвх 0.69814, |E40 |2 /Pвх 0.13882 для кривой 4 и |E10 |2 /Pвх 0.15971, |E20 |2 /Pвх 0.00421, |E30 |2 /Pвх 0.69743, |E40 |2 /Pвх 0.13864 для кри вой 5. Кривая 1 получена для случая, когда граничные условия выбра ны таким образом, что соответствующая им начальная точка на фазо вой плоскости находится вне большой петли сепаратриссы, тогда как для кривой 2 граничные условия соответствут случаю, когда началь ная точка находится внутри сепаратриссы (рис.3.11(а)). Для кривой начальная точка на фазовой плоскости ”сидит” точно на большой пет ле сепаратриссы. Кривая 4 соответствует граничным условиям, когда начальная точка на фазовой плоскости находится внутри малой петли сепаратриссы на рис.3.11(а). Начальная точка для кривой 5 расположе на внутри большой петли сепаратриссы. Кривая 6 соответствует слу чаю, когда начальная точка на фазовой плоскости находится на кривой, которая образует малую петлю сепаратриссы на рис.3.11(а). Как вид но из рис.3.15, происходит практически удвоение периода осцилляций кривых 2 и 5 по сравнению с кривыми 2 и 4 (в соответствии с резуль Рис. 3.15: |E2 |2 (s)/Pвх как функция s = z/L для различных граничных распределений полной мощности между световыми волнами с 0 = 0.

татами параграфа 5.1). Зная длину кристалла, можно подобрать такую входную полную мощность, при которой на выходе из кристалла ”пере ключатель” будет находиться либо во ”включенном” состоянии либо в ”выключенном” состоянии в зависимости от граничных условий.

Проведем численные оценки. Важными параметрами, которые мо гут быть извлечены из представленного анализа, являются величины Zs и Ps = (a2 c/8)|E0 |2, при которых впервые возникает максималь ное расхождение между кривыми на рис.3.14,3.15. Значение величи ны Zs можно получить из рис.3.14,3.15. Как отмечалось в работах [129, 105, 106, 107, 108], нелинейности жидких кристаллов существен ным образом зависят от длительности оптического импульса tи. Поэ тому следует рассмотреть два режима протекания данного процесса:

стационарный tи Г1 и нестационарный tи Г1. В стационарном режиме:

ГCp a Ps (Bт)Zs (см) = m, (3.82) Ao bo |dn/dT | и в нестационарном режиме ГCp a · (tи Г)1, Ps (Bт)Zs (см) = m (3.83) Ao bo |dn/dT | где постоянная m определяется из графиков (рис.3.14,3.15);

для кривых 1 и 2 величина m = 3.948, для кривых 3 и 4 значение m = 9.387, для кривых 5 и 6 значение m = 7.851 на рис.3.14;

для кривых на рис.3. значение m = 10.2.

Пусть Ao = Ae = 1, bo = be = 0.5, = 0.5 мкм, a = 0.1 см. Оценки проведем при следующих типичных значениях параметров нематичес ких жидких кристаллов: Cp 1.5 · 107 эрг/см3, ne = 1.71, no = 1.51, = 10 см1, dn/dT 5 · 104 K1, Г = 103 с1 и Zs = 100 мкм. При используемых параметрах для обнаружения эффекта оптического пере ключения необходимо, чтобы Ps 3 · 102 Вт в стационарном режиме и Ps 3 · 105 Вт в нестационарном режиме в случае микросекундного лазерного импульса.

Для обнаружения эффекта влияния начальной разности волн на энер гообмен необходимо, чтобы Ps 1.2·102 Вт для кривых 1 и 2;

Ps 2.8· Вт для кривых 3 и 4;

Ps 2.4 · 102 Вт для кривых 5 и 6 в стационар ном режиме. В нестационарном режиме для микросекундного лазерного импульса данные значения полной мощности Ps будут на три порядка больше.

3.3 wYWODY K GLAWE 3.

1. Исследованы уравнения, описывающие четырехволновые процессы в средах, нелинейности которых обусловлены нелинейным откликом элек тронов среды на внешнее электромагнитное поле, в частности, четырех волновое смешение световых волн основной, стоксовой и антистоксовой частот в одномодовом волокне с двулучепреломлением;

встречное четы рехволновое смешение невырожденных по частоте световых волн, рас пространяющихся вдоль среды с керровской нелинейностью. Использо ван гамильтонов подход для анализа динамики данных волновых сме шений.

2. Показано, что в нелинейной динамике данных волновых смеше ний наблюдается неустойчивая собственная мода. Изучены графические решения на фазовой плоскости данных волновых взаимодействий. Впер вые исследованы все типы аналитических решений. Показано, что всем замкнутым фазовым траекториям на фазовом портрете соответствуют аналитические решения, представимые в виде комбинации элиптичес ких функций, тогда как аналитические решения, соответствующие двум фазовым траекториям, которые образуют двухпетлевую сепаратриссу, представимы в виде гиперболических функций.

3. Рассмотрен эффект оптического переключения в данных четырех волновых смешениях. Обнаружена зависимость энергообмена между све товыми волнами от начальной разности фаз.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.