авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Сочинский институт Российского университета дружбы народов

на правах рукописи

УДК

517.9

Валерий Витальевич Постников

Интегрируемые эволюционные цепочки

и дискретные уравнения

Специальность 01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

чл.-корр. РАН, проф. А.А. Белавин Сочи–2014 Оглавление Введение 4 1 Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтер ра 1 1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной цепочки..... 1.1.1 Представление нулевой кривизны........... 1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции.......... 1.2 Первое векторное обобщение.................. 1.3 Второе векторное обобщение.................. 1.4 Высшие симметрии и ассоциированные системы...... 1.5 Дальнейшие векторные аналоги................ 2 Линейные задачи для иерархии Хироты–Охты 2.1 Иерархия НУШ......................... 2.2 Иерархия Хироты–Охты.................... 2.3 Векторная иерархия Кулиша–Склянина........... 3 Цепочки, ассоциированные с рациональными оператора ми Лакса 3.1 Простейший пример....................... 3.2 Предварительные построения................. 3.2.1 Определения и обозначения.............. 3.2.2 Цепочки Богоявленского................ 3.3 Дискретизация уравнения Савады–Котеры......... 3.3.1 Представление Лакса.................. 3.3.2 Модифицированные цепочки............. 3.3.3 r-матричная формулировка.............. 3.3.4 Непрерывный предел.................. 3.3.5 Билинейные уравнения................. 3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа–Купершмидта.... 3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида...... 4 Дискретные двумерные интегрируемые уравнения выс шего порядка 4.1 Общая схема........................... 4.2 Многомерная совместность................... 4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского.. 4.4 Преобразование Бэклунда для дискретизации уравнения Савады–Котеры......................... Литература Введение Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений осно вано на методе обратной задачи рассеяния.

Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Истори чески, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма–Лиувилля xx = (u ), которые приводят к уравне нию Кортевега–де Фриза ut = uxxx 6uux (1) и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоя щему времени установлена интегрируемость для огромного числа урав нений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и мно жество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения k ut = f (u, ux,..., x (u)). (2) Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциально разностных уравнений (цепочек) u,t = f (um,..., um ), (3) где обозначено u,t = t (u(n, t)), uj = u(n + j, t). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (3). Первым примером применения метода обратной за дачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра u,t = u(u1 u1 ), (4) проинтегрированная в работах Кейза, Каца [27] и Манакова [65], и свя занная с дискретной задачей Штурма–Лиувилля 1 + u1 =.

Цепочка (4) переходит в уравнение КдФ для переменной U (x, ) в непрерывном пределе u(n, t) = 1 2 U (x + 2 t, 1 3 t), x = n, 0. Од нако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравне ние может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка.

Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только из цепочки Вольтерра, но и из цепочек Богоявленского B(m) [74, 47, 23, 24] u,t = u(um + · · · + u1 u1 · · · um ) (5) при произвольном m. Таким образом, интегрируемых цепочек, в неко тором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отно шениях, их теория оказывается более сложной и богатой.

Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений (2) рассматривалась в работах Шабата, Свинолупова, Соко лова, Михайлова и др., в которых был получен ряд важных результа тов для порядков k = 2, 4 (линеаризуемые уравнения типа Бюргерса) и k = 3, 5 (уравнения типа КдФ). Обзор и ссылки на оригинальные статьи можно найти в [69, 67]. Возможно, что эти классификационные резуль таты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегри руемые уравнения нечетного порядка больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных инте грируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо невер но, поскольку цепочки Богоявленского при различных m принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга). Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.

Цепочки вида (3) хорошо изучены лишь при m = 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими сим метриями, получена Ямиловым [108], см. также [61, 111]. При m 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их мо дификациями [94, 95]. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, ко торые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, на сколько может быть сложен) ответ в этом классе уравнений.

Обобщения другого типа возникают при замене скалярной перемен ной u на векторную или матричную. Векторными называются уравне ния, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведения, иначе говоря допускающие группу SO(d) в качестве классических симметрий. В непрерывном случае, такие урав нения являются важным и довольно хорошо изученным классом инте грируемых систем. Из работ в этой области, упомянем статьи [31, 66, 92, 101, 100], содержащие примеры и классификационные результаты для векторных систем типа нелинейного уравнения Шредингера с производ ной. Имеются результаты и для векторных цепочек, см. напр. [1, 98, 7], но, в целом, эта область малоисследована.

Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена эта диссертация. Ос новной пример связан с семейством иерархий dSK(l,m), обобщающим се мейство Богоявленского B(m) и зависящим от двух целочисленных па раметров. Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений ну левой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных урав нений типа уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредингера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возника ют из свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для по лудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными урав нениями, см. напр. [76, 15, 59]. Особенно интересными оказываются пре образования Бэклунда для цепочек высокого порядка (3), они имеют вид дискретных уравнений порядка 1 по одной и m по второй дискретной переменной:

Q(v(i + 1, n + m),..., v(i + 1, n), v(i, n + m),..., v(i, n)) = 0. (6) При m = 1 это так называемые квад-уравнения [21, 77, 8]. В диссерта ции рассмотрен случай m 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мультиквад-уравнения.

Научная новизна. Перечислим основные новые результаты, пред ставленные в диссертации.

1) В теоремах 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу–Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обобщений модифицированной цепочки Вольтерра:

Vn,x = 2 Vn, Vn+1 Vn1 Vn Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ), (7) Vn,x = Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ), (8) где Vn Rd. Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) (d + 2). Для цепочки (7) используются матрицы из работы [16]. Для цепочки (8) ранее было известно лишь представление в матрицах размера 2d 2d [99]. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.

2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кривизны для (2 + 1)-мерной системы Хироты–Охты [43] и ее дискрет ных аналогов из работ [2, 50, 57, 46, 39]. Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена их связь с векторной системой Кулиша–Склянина [55], обобщающей нелинейное уравнение Шрединге ра.

3) Изучены цепочки, связанные со спектральной задачей um+l + l = (m + u). (9) Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство dSK(l,m), являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было вве дено в работах [102, 45], однако, его свойства остались не исследоваными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший по ток из dSK(1,m) имеет вид u,t = u2 (um · · · u1 u1 · · · um ) u(um1 · · · u1 u1 · · · u1m ), (10) где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом по токов, определяющих различные модификации цепочек B(m) и B(m1). В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии dSK(l,m) и доказана их коммутативность. В теореме 3.5 доказано, что рассматри ваемые цепочки переходят в непрерывном пределе в иерархию уравне ния Савады–Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка).

4) В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, опреде ляющих дискретизации уравнения Каупа–Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

5) В разделе 4.2 сформулировано определение свойства многомер ной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Оно обобщает известное определение для случая m = 1 (то есть, для квад уравнений) [21, 77, 8].

6) В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквад уравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелиней ной суперпозиции для цепочки Богоявленского B(m) (5) и для цепочки dSK(1,m) (10). Преобразование Бэклунда для B(m) рассматривалось ра нее в [103, 78, 93], для dSK(1,m) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщения ми квад-уравнений Q0 и H3 из списка [8].

Диссертация выполнена на основе работ [11, 12, 13, 14]. Результаты, выносимые на защиту

, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четы рех глав. Формулы, определения и теоремы нумеруются по главам. Спи сок литературы содержит 114 наименований. Общий объем диссертации 88 стр.

Во введении приводится краткое обсуждение истории вопроса, опи саны полученные результаты и структура диссертации.

В главе 1, Векторные аналоги модифицированной цепочки Воль терра, рассматриваются уравнения (7), (8), определяющие неэквива лентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепоч ки. Цепочка (7) была введена в [16] среди других примеров многоком понентных цепочек, связанных с алгебраическими йордановыми струк турами. Цепочка (8) была введена в [84] для случая двумерных векто ров и в [44, 42] для векторов произвольной размерности. В разделе 1. приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю.

Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в ко торых описан метод одевания для обоих векторных обобщений.

Приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бри зеров. Проводится сравнение с результатами, полученными в [99] для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производ ных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви [58] и Шабата, Ямилова [90] было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность пре образований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредингера.

Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобще ний системы Каупа–Ньюэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, род ственными цепочкам Вольтерра введенными Михайловым [68]. В раз деле 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, об ладающих высшими симметриями 4-го порядка.

Глава 2, Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерар хии Хироты–Охты, посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы, обобщающей уравнение Кадомцева–Петвиашвили. Согласно общему ме тоду Захарова–Шабата [114], эта иерархия определяется как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3 мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы проде монстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравне нию с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравнений иерархии (как и раньше, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции).

Рассматриваемые уравнения открывались и переоткрывались раз ными авторами в рамках различных подходов. В диссертации, термин система Хироты–Охты используется для базового непрерывного урав нения иерархии, которое в явном виде было введено в работе [43] при пфаффианизации уравнения Кадомцева–Петвиашвили (пфаффианиза ция представляет собой определенную процедуру, при которорой много солитонные решения, выраженные через детерминанты, заменяются на решения, выраженные через пфаффианы. В дальнейшем, эта процедура применялась и к другим уравнениям, см. напр. [37]). Еще раньше, си стема Хироты–Охты была обнаружена при прямом поиске билинейных уравнений, допускающих 3-солитонные решения [40]. Дифференциально разностный представитель иерархии Хироты–Охты, известный как це почка Пфаффа [2, 3, 4, 50], был введен в рамках теории случайных мат ричных моделей. Вся иерархия может быть выведена также в рамках подхода, основанного на представлениях алгебры Клиффорда и бозонно фермионном соответствии [48, 49]. В частности, эта техника применя лась при выводе преобразования Бэклунда [57]. В [46], преобразование Бэклунда было получено при пфаффианизации преобразования Миуры для модифицированного уравнения KP. Полностью дискретная версия системы Хироты–Охты введена в работе [39].

В диссертации, иерархия Хироты–Охты выводится, как уже было сказано, в рамках метода Захарова–Шабата из условий совместности вспомогательных линейных задач. Этот способ проще вышеперечислен ных, если не с вычислительной, то с идейной точки зрения. В частно сти, он позволяет показать, что дискретизация из [39] не просто служит разностным аналогом системы Хироты–Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье [51]. Эмпи рическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для всех уровней дискретизации (то есть, для систем с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в том, что структура этих линейных задач совпадает со структурой 2-мерной иерархии нелинейного уравнения Шредингера. Более точное соответ ствие с теорией 2-мерных систем указано в разделе 2.3, посвященном векторной системе Кулиша–Склянина [55].

В главе 3, Цепочки, ассоциированные с рациональными операто рами Лакса, изучаются некоторые интегрируемые иерархии, ассоции рованные с линейными уравнениями вида P = Q, где P, Q разност ные операторы (основным примером служат линейные уравнения вида (9)). В частности, эти иерархии содержат уравнения, найденные ранее в работах [102, 45] в рамках билинейного подхода Хироты. Соответству ющие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рас сматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского.

В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в урав нение КдФ, рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады–Котеры и Каупа–Купершмидта.

В разделе 3.2 содержится некоторая необходимая информация о це почках типа Богоявленского, см. также книги [25, 94]. Раздел 3.3 по священ дискретизациям уравнения Савады–Котеры и содержит основ ные результаты главы. Общая конструкция лаксовой пары L,t = [A, L] с оператором L = Q1 P приведена в разделе 3.3.1. В разделе 3.3.3, ис пользуется r-матричный подход в разностной формулировке [83, 19, 94], с его помощью строятся явные формулы для оператора A и доказыва ется коммутативность иерархии dSK(l,m). Непрерывный предел, били нейное представление, простейшие решения типа бризера представлены в разделах 3.3.4, 3.3.5. Раздел 3.4 посвящен дискретизации уравнения Kаупа–Kупершмидта, родственного уравнению Савады–Котеры. Раздел 3.5 содержит примеры цепочек с несколькими переменными, которые ассоциированы с более общими дробными операторами Лакса.

В главе 4, Дискретные двумерные интегрируемые уравнения выс шего порядка, дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Ранее это свойство рас сматривалось только для квад-уравнений, отвечающих случаю m = [21, 77, 8]. Уравнения с произвольным m возникают, как преобразова ния Бэклунда для эволюционных цепочек вида (3), при этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда.

Рассмотрены два конкретных и достаточно содержательных приме ра, отвечающих цепочке Богоявленского B(m) и дискретизации уравне ния Савады–Котеры dSK(1,m) из предыдущей главы. Нет сомнений, что набор примеров можно расширить, для чего годятся оба определения интегрируемости, рассмотренные в этой главе, то есть, наличие эволю ционной дифференциально-разностной симметрии или, в чисто дискрет ной постановке, свойство 3D-совместности. Однако, оба подхода содер жат множество нерешенных технических вопросов и на данном этапе не приходится рассчитывать на простые классификационные результаты, аналогичные известным спискам для случая первого порядка [108, 8].

Глава Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтерра В этой главе рассматриваются уравнения Vn,x = 2 Vn, Vn+1 Vn1 Vn Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ), Vn,x = Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ), где Vn Rd, определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки vn,x = vn (vn+1 vn1 ).

Для обоих уравнений, основным новым результатом является вывод пре образований Бэклунда–Дарбу и дискретных уравнений, определяющих композицию преобразований Бэклунда. Показано, что дискретные урав нения обладают свойством 3D-совместности. С помощью преобразова ний Бэклунда построены простейшие явные решения солитонного и бри зерного типа. Установлена связь с ассоциированными системами: век торными уравнениями типа нелинейного уравнения Шредингера и дву мерными цепочками типа Вольтерра.

Исследование основано на представлении уравнений в виде условия совместности для вспомогательных линейных задач (1.1) с матрицами L, A, M размера (d + 2) (d + 2). Для первой из рассматриваемых цепо чек используются матрицы L, A из работы [16]. Для второй ранее было известно лишь представление в матрицах L, A размера 2d 2d [99]. Мат рицы M, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.

1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной це почки 1.1.1 Представление нулевой кривизны Напомним некоторые общие определения. В этой главе, для вспомога тельных линейных уравнений используются обозначения n+1 = Ln n, n,x = An n, n = Mn n, (1.1) где L, A, M матрицы, зависящие от динамических переменных vn и спек трального параметра. Условие совместности этих уравнений имеет вид Ln,x = An+1 Ln Ln An, (1.2) Ln Mn = Mn+1 Ln, (1.3) Mn,x = An Mn Mn An. (1.4) Говорят, что цепочка допускает представление нулевой кривизны, ес ли она эквивалентна уравнению (1.2) при подходящем выборе матриц L, A. Уравнение (1.3), при подходящем выборе матрицы M, эквивалент но некоторому (неявному, в наших примерах) преобразованию vn vn, которое можно интерпретировать, как разностное уравнение, если по ложить vn = vn,m, vn = vn,m+1, где m новая дискретная переменная.

При этом, говорят, что уравнения (1.3), (1.4) определяют, соответствен но n- и x-части преобразования Бэклунда, а само линейное уравнение n = Mn n называется преобразованием Дарбу.

В скалярном случае, модифицированная цепочка Вольтерра vn,x = (vn + a)(vn+1 vn1 ) (1.5) эквивалентна условиям совместности (1.2) с матрицами 2 a a a + vn1 vn vn + vn vn, An = 2 Ln =. (1.6) a vn 2+v vn1 vn n1 vn Преобразование Бэклунда–Дарбу определяется матрицей 2 (a2 µ4 )fn fn Mn =, (1.7) a + µ2 fn (a2 µ4 )fn fn где обозначено = µ(a2 µ2 2 ), = aµ(2 µ2 ).

При этом, условия совместности (1.3) эквивалентны паре дискретных уравнений Риккати1 для переменных fn :

µfn+1 afn /µ µfn afn+1 /µ vn =, vn = (1.8) 1 + fn fn+1 1 + fn fn+ и условие (1.4) дополняет эту систему непрерывным уравнением Рикка ти a a a µ2 fn + µvn1 + vn.

fn,x = vn1 + µvn fn + (1.9) µ µ µ Переменные fn удовлетворяют, в силу уравнений (1.8), (1.9), цепочке (µ2 + afn )(a + µ2 fn )(fn+1 fn1 ) 2 fn,x =. (1.10) µ2 (1 + fn+1 fn )(1 + fn fn1 ) Для заданного решения vn цепочки (1.5), совместное решение fn уравне ний (1.8) и (1.9) строится по формуле fn = n /n, где = (, ) частное решение первого и второго уравнений (1.1) при = µ. При этом, второе уравнение (1.8) определяет новое решение vn.

Например, для построения решения солитонного типа в качестве за травочного решения берется vn = 1 (очевидно, выбор другой констан ты эквивалентен масштабированию параметра a;

некоторое обобщение достигается при одевании решения v2n =, v2n+1 = ). Собственные значения матрицы Ln |vn =1,=µ находятся из уравнений 1 + 2 = µ + a/µ, 1 2 = 1 + a и соответствующее решение линейных уравнений имеет вид 2 n = 1 e(1 +2)x + k2 e(2 +2)x, n n n = µn n+ (если не рассматривать случай кратных корней 1 = 2, ведущий к ре шениям, рациональным по n, x). Отношение fn = n /n определяет ре шение цепочки (1.10) типа кинка (при условии 1 /2 0, k 0) и под становка во второе уравнение (1.8) дает решение цепочки (1.5). При по строении N -солитонного решения используется набор частных решений (j) (j) (n, n ) отвечающих значениям параметров µ(j), k (j), j = 1,..., N.

Если a 0, то цепочка (1.5) допускает решения в виде бризеров, от вечающих парам комплексно сопряженных точек дискретного спектра µ(1) = µ(2), k (1) = k (2) (эта терминология не общепринята, часто бризе ром называют только решения, локализованные по n и периодические по x).

Дискретным уравнением Риккати называется дробно-линейное отображение с пе an fn + bn ременными коэффициентами, то есть, fn+1 =.

cn fn + dn v0 x 2 vn 1.5 1. 1 0.5 0. x n 15 10 5 5 10 15 20 10 10 1. vn x 0.5 5 x n Рис. 1.1. Бризер цепочки (1.5);

(1) (2) a = 1, 1 = 1 = 0.5 + 1.5i, k (1) = k (2) = 1.

1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции Итерации преобразования Дарбу строятся при последовательном приме нении матриц M и пересчете волновых функций. Пересчет можно осу ществлять и непосредственно в переменных f, что даже удобнее для вы числений. Это приводит к принципу нелинейной суперпозиции преобра зований Дарбу в форме некоторого отображения Янга–Бакстера [105, 9].

(j) Пусть переменные fn строятся по частным решениям линейных урав (j,j,...,j ) нений при µ = µ(j), и пусть fn 1 s обозначает переменные, полу (j) ченные из fn последовательным применением преобразований Дарбу с параметрами µ(j1 ),..., µ(js ). Преобразования Дарбу обладают свойством перестановочности, то есть, порядок всех верхних индексов, кроме пер вого, не имеет значения. Это равносильно следующему тождеству для матриц вида (1.7):

(j,k,) (j), µ )M (fn, µ(k) ) = M (fn (k,) (k,j,) (k), µ )M (fn, µ(j) ), (j,) M (fn где обозначает любую последовательность различных индексов. Это (j,k,) (k,j,) уравнение однозначно разрешимо относительно fn, fn и опреде ляет отображение (j,) (k,) (j,) (j,k,) ;

µ(j), µ(k) ) R(fn, fn fn fn =, (k,) (k,j,) (k,) (j,) ;

µ(k), µ(j) ) fn fn R(fn, fn µ 3 (g µf ) a(µ2 2 )f g 2 a2 (µg f ) R(f, g;

µ, ) =. (1.11) µ 3 (µg f )g + a(µ2 2 ) a2 (g µf )g (j,j,...,j ) Прямой проверкой можно убедиться, что значение fn 1 s рекуррент (j) (j ) (j ) но построенное по fn, fn 1,..., fn s, действительно не зависит от по рядка j1,..., jn (это свойство эквивалентно уравнению Янга–Бакстера).

Имеется также другая форма принципа нелинейной суперпозиции, в виде дискретного уравнения, связывающего некоторые новые перемен (j,k) ные zn на элементарной ячейке квадратной решетки. Для этих пе ременных нижний индекс немой, от отвечает дискретной переменной в цепочке Вольтерра, а верхние индексы нумеруют преобразования Дар бу. Это уравнение не слишком удобно для дальнейших векторных обоб щений, но оно интересно само по себе и мы его вкратце опишем. Вид уравнения зависит от знака a.

В простейшем случае a = 0 из уравнений (1.8) следует соотношение µ µ = fn+1 fn1, vn vn что позволяет ввести переменную zn, удовлетворяющую уравнениям fn = µ(n zn1 ), 1/vn = zn+1 zn1.

z При этой замене соотношения (1.8) превращаются в одно уравнение (n+1 zn )(zn+1 zn ) = µ2, z которое и определяет преобразование Дарбу в переменных z. Далее, рас смотрим второе преобразование Дарбу, отвечающее значению = :

(n+1 zn )(zn+1 zn ) = 2.

z Несложное вычисление показывает, что двукратные преобразования Дар бу совпадают: zn = zn, причем их общее значение задается следующей формулой суперпозиции:

(zn zn )(n zn ) = µ2 2.

z Иначе говоря, два преобразования Дарбу и формула суперпозиции об разуют 3D-совместную (или совместную вокруг куба) тройку уравнений [8]. Итерации преобразования Дарбу приводят к дискретному уравнению на квадратной решетке (при фиксированном нижнем индексе) ) = (µ(j) )2 ( (k) )2.

(j+1,k+1) (j,k) (j,k+1) (j+1,k) zn )(zn zn (zn (1.12) Это 3D-совместное уравнение хорошо известно оно описывает также нелинейную суперпозицию преобразований Дарбу для оператора Шре дингера. Это совпадение не удивительно, если вспомнить, что цепочки типа Вольтерры служат симметриями для одевающих цепочек, опре деляющих преобразования Бэклунда для уравнений типа Кортевега–де Фриза (КдФ);

эта связь обсуждалась, с разных точек зрения, в работах [90, 76, 15, 59] и др..

Аналогично, в случае a = c2 переменная zn вводится согласно фор мулам µ(n + zn1 ) z zn+1 + zn fn =, vn = c.

c(n zn1 ) zn+1 zn z При этом, соотношения (1.8) превращаются в уравнение a(n+1 zn )(zn+1 zn ) = µ2 (n+1 + zn )(zn+1 + zn ), z z а (1.12) заменяется уравнением r(µ(j) ) zn zn (j,k) (j,k+1) (j+1,k) (j+1,k+1) + zn zn = r( (k) ) zn zn (j,k) (j+1,k) (j,k+1) (j+1,k+1) + zn zn, (1.13) где r() = (2 a)/(2 + a), эквивалентным принципу нелинейной су перпозиции для уравнения sinh–Гордон.

Наконец, если a = c2, то замена µ(1 + zn1 zn ) 1 + zn+1 zn fn =, vn = c c(zn1 zn ) zn+1 zn приводит уравнения (1.8) к виду a(n+1 zn )(zn+1 zn ) = µ2 (1 + zn+1 zn )(1 + zn+1 zn ), z а перестановочность преобразований Дарбу приводит к уравнению r(µ(j) ) + r( (j) ) zn (j,k+1) (j+1,k) (j,k) (j+1,k+1) zn zn zn = r(µ(j) ) r( (j) ) 1 + zn (j,k+1) (j+1,k) (j,k) (j+1,k+1) zn 1 + zn zn (1.14) эквивалентному принципу нелинейной суперпозиции для уравнения sine– Гордон. Уравнение (1.13) превращается в (1.14) при комплексной замене z (i z)/(i + z), то есть, эти уравнения являются двумя разными вещественными формами одного и того же уравнения.

В завершение этого раздела, отметим, что аналогичная схема постро ения решений существует и для решений цепочки Вольтерра un,x = un (un+1 un1 ). (1.15) Соответствующие формулы даже проще, например, вместо уравнений (1.8) имеем уравнения un = (vn µ)(vn+1 + µ), un = (vn+1 µ)(vn + µ), (1.16) а роль цепочки (1.10) играет цепочка (1.5) при a = µ2. Таким обра зом, цепочка (1.10) является, фактически, второй модификацией цепоч ки Вольтерра. Последовательность модификаций (1.15) (1.5) (1.10) сходна с последовательностью уравнений КдФ мКдФ exp-КД (экс поненциальное уравнение Калоджеро–Дегаспериса) в непрерывном слу чае [109, 110]. Эту связь можно проследить на уровне непрерывного пре дела.

В главе 4 будут рассмотрены дискретные уравнения, обобщающие (1.16) для случая цепочки Богоявленского. Цепочка Вольтерра (1.15) и уравнения (1.16) допускают также некоторые многокомпонентные обоб щения [84, 94], но векторных обобщений для них не известно. Зато, мо дифицированная цепочка (1.5) обладает сразу двумя векторными обоб щениями, к изучению которых мы и переходим.

1.2 Первое векторное обобщение Ясно, что матрицы представления нулевой кривизны для векторного уравнения должны иметь блочную структуру. Непосредственных блоч ных аналогов для матриц (1.6) и (1.7) найти не удается, но, оказывается, что блочное обобщение легко получить для линейных уравнений на трех мерный вектор, компоненты которого равны произведениям компонент вектора. При этом удобно зафиксировать калибровку, в которой опре делители матриц L, M постоянны, а матрица A бесследовая. Опуская несложные вычисления, приведем ответ: представление нулевой кривиз ны для цепочки (1.5) при a = 0 и ее преобразования Бэклунда опреде ляется матрицами 2 0 0 1 µ2 fn 2 µfn fn 0 1 Ln = vn, Mn =, µ µfn µ 2 2 fn 2fn 1 vn vn µ µ 2vn1 An = vn 0 vn1.

2vn 0 Нетрудно найти матрицы и в общем случае a = 0, но они более громозд ки. Однако, они нам и не нужны, так как первое векторное обобщение цепочки (1.5) определено только при a = 0 (см. раздел 1.5), а для второго предположение a = 0 не ведет к потере общности (см. раздел 1.3).

Блочные матрицы для векторных цепочек получаются отсюда при правильной интерпретации vn как векторной величины. Для большей наглядности, будем обозначать векторы заглавными буквами. Предпола гается, что на векторном пространстве задано симметричное скалярное произведение U, V = V, U. Единичный оператор обозначается I, ли нейная форма V, обратный вектор V 1 и оператор U V определены формулами V V 1 = V (U ) = V, U,, U V (W ) = U V, W.

V, V В случае конечномерного евклидова пространства можно считать, что V есть вектор-столбец и V вектор-строка.

Первый векторный аналог цепочки (1.5) определен только при a = 0, он имеет вид Vn,x = 2 Vn, Vn+1 Vn1 Vn Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ). (1.17) Эта цепочка возникает как условие совместности для линейных систем [16] n1 0 0 1 n I T n = 0 Vn n, (1.18) 1 ) 2/ V, V 1 2(Vn n n nn 2Vn n1 0 n Dx n = Vn 0 Vn1 n. (1.19) 2Vn n 0 n Заметим, что эти системы обладают совместным первым интегралом:

J = n, n n n1, (T 1)(J) = Dx (J) = 0. (1.20) Преобразование Дарбу строится по частному решению на нулевом уровне этого первого интеграла.

Утверждение 1.1. Пусть Fn = n /n, где =, = частное решение линейных систем (1.18) и (1.19) при = µ и J = 0. Тогда преобразование 2 (Fn ) µ Fn, Fn µ n1 n 2 22 1 n n = 1 I 2 Fn Fn µ Fn Fn µ µ µ n n Fn 1 Fn, Fn µ µ (1.21) переводит общее решение этих систем в решение систем того же ви да, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравнени ями µVn = Fn + F 1, 1 1 µVn = Fn+1 + Fn. (1.22) n+ В развернутом виде, соотношения (1.22) записываются как Fn+1 + Fn+1, Fn+1 Fn Vn = µ, 1 + 2 Fn, Fn+1 + Fn, Fn Fn+1, Fn+ (1.23) Fn + Fn, Fn Fn+ Vn = µ.

1 + 2 Fn, Fn+1 + Fn, Fn Fn+1, Fn+ Каждое из этих преобразований является подстановкой в цепочку (1.17) из цепочки Fn,x = µ2 (Fn1 + Fn )1 µ2 (Fn+1 + Fn )1.

1 Нетрудно видеть, что в скалярном случае при a = 0 эти формулы пере ходят в (1.8) и (1.10).

Вывод формулы для нелинейной суперпозиции не сложнее, чем в ска лярном случае. Перемножая матрицы M вида (1.21), приходим к отоб ражению Янга–Бакстера (ср. с уравнением (1.11) при a = 0) (j,k,) = R(Fn, Fn ;

µ(j), µ(k) ), (j,) (k,) Fn (k,j,) = R(Fn, Fn ;

µ(k), µ(j) ), (k,) (j,) Fn где (µ2 2 ) G, G F + µ( F, F 2µ F, G + G, G )G R(F, G;

µ, ) =.

G, G F µG, F µG (1.24) Можно получить также аналог уравнения (1.12). Введем новую вектор ную переменную Zn, подчиняющуюся уравнениям Fn = µ(Zn Zn1 ), Vn = Zn+1 Zn1.

Уравнения (1.22) тогда сводятся к одному уравнению Zn+1 Zn = µ2 (Zn+1 Zn )1.

1. 1. C C V0 x Vn 0.5 0. K K Vn 0 V0 x n x 10 5 5 10 10 5 5 0.5 0. 1. 0. V C 1.4 VK 5 1. 0. 0x 0x 5 n n Рис. 1.2. Солитон цепочки (1.17);

C = (1, 0), K = (0, 1), = 2, c1 = 1, c3 = 1.

Далее, рассмотрим преобразование Дарбу, отвечающее спектральному значению = :

Zn+1 Zn = 2 (Zn+1 Zn )1.

Прямое вычисление показывает, что преобразования Дарбу коммути руют: Zn = Zn, причем результат двукратного преобразования Дарбу имеет вид Zn Zn = (µ2 2 )(Zn Zn )1.

Композиция преобразований Дарбу подчиняется 3D-совместному дис кретному уравнению на квадратной решетке (с немым индексом n):

2 Zn = (µ(j) )2 ( (k) (j+1,k+1) (j,k) (j,k+1) (j+1,k) Zn Zn ) Zn. (1.25) Это уравнение было введено в [89] в связи с приложениями в дискретной дифференциальной геометрии (специальная редукция рассматривалась в [6]), см. также [21].

Применим преобразование Дарбу для построения солитонного реше ния. Решение линейных уравнений (1.18) и (1.19) с постоянными коэф 4 10 VC VK 3 2 1 0x 0x 5 n n 10 Рис. 1.3. Бризер цепочки (1.17);

C = (1, 0), K = (0, 1), (1) (2) (1) (2) (1) = (2) = 0.5 + i, c1 = c1 = 0.5, c3 = c3 = 1.

фициентами Vn = C = const, C, C = 1, при = µ имеет вид 1 )x 1 )x + c2 n e( n = c1 n e( + 2c3, n n c1 c 1 e( )x + c3 C, n = (1)n K + µ e( )x + 1+ 1+ µ2 = + 2 + 1, K, K = (1 )2 (c1 c2 c2 ) C, K = 0, (1.26) (последнее соотношение эквивалентно связи J = 0;

случаи кратных соб ственных значений µ = 0, µ = ±2 не рассматриваются). Уравнения (1.22) приводят, после элементарных преобразований, к односолитонному ре шению цепочки (рис. 1.2) n+1 n + n1 n+ Vn =.

µ n Ясно, что это решение всегда лежит в плоскости векторов C, K, то есть, фактически, является двухкомпонентным, независимо от размерности рассматриваемого векторного пространства. C-компонента представля ет собой солитон (с единичной асимптотикой). Его форма слегка раз лична для положительных и отрицательных значений c3. K-компонента имеет локализованные осцилляции (с нулевой асимптотикой), происхож дение которых связано со степенями 1 в решении (1.26). В отличие от скалярного случая при a = 0, дополнительная размерность делает воз можным существование бризеров, отвечающих комплексно-сопряженным точкам дискретного спектра (рис. 1.3). N -солитонное решение строит (j) (j) (j) ся применением отображения (1.24) к векторам Fn = n /n, где (j) (j) (n, n ) решения вида (1.26), отвечающие значениям параметров (j), (j) (j) c1, c3 и K (j), j = 1,..., N. Это решение эволюционирует в простран стве, натянутом на векторы C, K (1),..., K (N ).

1.3 Второе векторное обобщение Цепочка Un,x = ( Un, Un + a)(Un+1 Un1 ) (1.27) интегрируема при произвольном значении параметра a, в отличие от це почки (1.17). Однако, в векторном случае этот параметр не так важен, как в скалярном. Действительно, его легко исключить, или, лучше ска зать, спрятать внутрь цепочки за счет увеличения на 1 размерности рассматриваемого векторного пространства. Это делается при помощи ортогонального дополнения: пусть Un решение цепочки (1.27), тогда век тор Vn = Un + E, E = const, Un, E = 0, E, E = a (1.28) (если a 0, то используется псевдоевклидово скалярное произведение) удовлетворяет цепочке Vn,x = Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ). (1.29) Эта замена не приводит к сложностям при построении решений, так как редукция (1.28) согласована с высшими симметриями и преобразовани ем Бэклунда (см. утверждение 1.3 ниже). С другой стороны, она су щественно упрощает все формулы (ср. напр. уравнения (1.33) и (1.37)).

Упрощаются также матрицы представления нулевой кривизны.

Цепочка (1.29) служит условием совместности для линейных систем 0 0 n1 n 1 T n = 0 I 2Vn Vn Vn n, (1.30) n n 1 2 / Vn, Vn 1 2(Vn ) 2Vn1 n1 n Dx n = Vn 2Vn Vn1 2Vn1 Vn Vn1 n. (1.31) n n 2Vn 0 Эти системы обладают совместным первым интегралом (1.20), как и в предыдущем случае.

Утверждение 1.2. Пусть =, = частное решение линейных систем (1.30), (1.31) при = µ, такое что J = n, n n n1 = 0.

Пусть Fn = n /n, тогда преобразование 2 (Fn ) n µ Fn, Fn µ n 1 1 n n = 1 2 I 2Fn Fn µ Fn Fn µ µ n n Fn 1 Fn, Fn µ µ (1.32) отображает общее решение этих систем в решение систем такого же вида, причем исходный и преобразованный потенциалы связаны уравне ниями Fn+1 Fn+1, Fn+1 Fn Vn = µ, 1 Fn, Fn Fn+1, Fn+ (1.33) n = µ Fn Fn, Fn Fn+ V.

1 Fn, Fn Fn+1, Fn+ По сравнению с предыдущим разделом, уравнения (1.33) немного ко роче чем (1.23), зато аналог цепочки (1.10) более громоздок:

1 µ2 Fn, Fn (Fn Fn1 )1 (Fn Fn+1 ) Fn,x =.

1 1 1 (Fn Fn1 )1, Fn + Fn1 (Fn Fn+1 )1, Fn + Fn+ Суперпозиция преобразований Дарбу определяется отображением Янга– Бакстера (j,k,) = R(Fn, Fn ;

µ(j), µ(k) ), (j,) (k,) Fn (k,j,) = R(Fn, Fn ;

µ(k), µ(j) ), (k,) (j,) Fn где ( 2 µ2 ) G, G F + (µ F, F 2 F, G + µ G, G )G R(F, G;

µ, ) =.

G, G F µG, F µG (1.34) Заметим, что формулы (1.24) и (1.34) совпадают с точностью до переста новки µ и в числителе. Несмотря на такое сходство, аналог уравнения (1.12) в этом случае, по-видимому, отсутствует.

Утверждение 1.3. Преобразование Дарбу совместно с редукцией (1.28).

Доказательство. Сделаем в уравнениях (1.33) замену Vn = Un + E, Fn = Hn + hn E, Hn, E = 0, считая скалярный множитель hn неизвестным:

Hn+1 + hn+1 E ( Hn+1, Hn+1 + ah2 )(Hn + hn E) n+ Un + E = µ, 2 )( H 1 ( Hn, Hn + ahn n+1, Hn+1 + ahn+1 ) (1.35) Hn + hn E ( Hn, Hn + ah2 )(Hn+1 + hn+1 E) n Un + E = µ.

1 ( Hn, Hn + ah2 )( Hn+1, Hn+1 + ah2 ) n n+ Собирая коэффициенты при E получаем систему алгебраических урав нений для hn и hn+1. Заранее не ясно, выдерживает ли их решение сдвиг по n. Если это не так, то замена Fn = Hn + hn E некорректна. Однако, прямое вычисление показывает, что hn определяется одной и той же формулой для всех n как решение квадратного уравнения ah2 µhn + Hn, Hn + 1 = 0, (1.36) n следовательно, при преобразовании (1.33) E-компонента отделяется.

Утверждение 1.3 делает излишним отдельное изучение случая a = 0.

Тем не менее, все формулы можно, в принципе, переписать и для этого случая, более того, можно сохранить их рациональную структуру при помощи стереографической проекции квадрики (1.36):

( 2 a)Fn (1 + Fn, Fn ) a Hn =, hn =, µ=+ 2 + a Fn, Fn 2 + a Fn, Fn (здесь следовало бы использовать другую букву вместо F, но это не должно привести к недоразумениям). Например, подстановка в (1.35) приводит, при этой параметризации, к преобразованию Бэклунда для цепочки с параметром (1.27):

( 2 + a Fn, Fn )Fn+1 (a + 2 Fn+1, Fn+1 )Fn Un =, (1 Fn, Fn Fn+1, Fn+1 ) (1.37) ( 2 + a Fn+1, Fn+1 )Fn (a + 2 Fn, Fn )Fn+ Un =.

(1 Fn, Fn Fn+1, Fn+1 ) Точно так же, отображение Янга–Бакстера (1.34) можно переписать в более общем виде. Преобразование (1.37) переходит в (1.33) при a = 0, а в скалярном случае вновь возникает преобразование (1.8), при отож дествлении U, F, с v, f, µ соответственно.

При помощи (1.33) нетрудно вычислить односолитонное решение n+1 n n1 n+ Vn = µ, n (n+1 n1 ) где решение n, n уравнений (1.30), (1.31) с постоянными коэффициен тами задается почти теми же формулами (1.26) как раньше, с тем только отличием, что множитель (1)n в K отсутствует. Построение многосоли тонных и бризерных решений вполне аналогично предыдущему случаю.

Многосолитонные решения цепочки (1.27) при a = 1 и Un 0, n ± были построены в работе [99] при помощи метода обратной задачи рассеяния для спектральной задачи, ассоциированной с матри цами размера 2d 2d, где d размерность вектора Un. Эти решения приво дят, после преобразования (1.28), к некоторому классу решений цепочки 1. 1. 1. 1.25 C C V0 x Vn 0.75 0. 0.5 0. 0.25 0. K K Vn 0 V0 x n x 10 5 5 10 10 5 5 1. 1. VC VK 5 1 0. 0. 0x 0x n n 5 Рис. 1.4. Решения цепочки (1.29) при C = (1, 0), K = (0, 1).

Солитон: = 2, c1 = 1, c3 = 1;

(1) (2) (1) (2) бризер: (1) = (2) = 1 + 1.5i, c1 = c1 = 3, c3 = c3 = 1.

(1.29) с граничными условиями Vn, Vn 1, n ±. С другой сторо ны, утверждение 1.3 гласит, что вид (1.28) сохраняется при преобразова нии Дарбу (1.33) и при специальной редукции определяемой уравнением (1.36). Следовательно, преобразования Дарбу можно использовать для построения решений цепочки (1.27) с нулевыми граничными условия ми. Возникает естественный вопрос, эквивалентны ли эти классы реше ний. Различие спектральных задач делает прямое сравнение довольно затруднительным, но следующее простое рассуждение показывает, по крайней мере, что существуют решения неэквивалентные тем, что полу чены в [99].

Первые два графика на рис. 1.4 подсказывают, что C- и K-компоненты C K односолитонного решения Vn = Vn C + Vn K связаны соотношением C K Vn 1 = Vn с некоторой постоянной, и прямое вычисление показы C вает, что это действительно так. Это позволяет положить Vn = 1 при по мощи подходящего ортогонального преобразования, при этом Vn имеет вид (1.28) с a = 1 и одномерным вектором Un. Фактически, это означает, что любое односолитонное решение цепочки (1.29) эквивалентно одно солитонному решению скалярной цепочки (1.27). Однако, общее двух солитонное решение цепочки (1.29) нельзя привести к виду (1.28) ни каким ортогональным преобразованием. Это легко проверить численно:

достаточно проверить, при случайных значениях параметров, что коэф фициенты разложения двухсолитонного решения по базису C, K (1), K (2) являются аффинно-линейно независимыми.

1.4 Высшие симметрии и ассоциированные си стемы Каждая из векторных цепочек (1.17) и (1.29) принадлежит бесконечной иерархии коммутирующих потоков. Ограничимся рассмотрением про стейших высших симметрий, которые имеют второй порядок относи тельно сдвигов по n. В скалярном случае имеем, полагая a = 0 для простоты, пару совместных цепочек vn,x = vn (vn+1 vn1 ), (1.38) 22 vn,t = vn (vn+1 (vn+2 + vn ) vn1 (vn + vn2 )).

Очевидно, первое из этих уравнений можно разрешить относительно vn+1 или vn1, что позволяет выразить рекуррентно все vj через па ру переменных u = vn+1, v = vn. После этого, симметрия принимает вид эволюционной системы Каупа–Ньюэлла ut = uxx + (2u2 v)x, vt = vxx + (2uv 2 )x, и сдвиг по n определяет явное авто-преобразование для этой системы (простейший тип преобразований Бэклунда).

Цепочку (1.17) и ее симметрию можно компактно записать в виде, сохраняющем структуру (1.38) Vn,x = PVn (Vn+1 Vn1 ), (1.39) Vn,t = PVn (PVn+1 (Vn+2 + Vn ) PVn1 (Vn + Vn2 )), если использовать оператор PV (U ) = 2 V, U V V, V U.

Легко проверить, что этот оператор удовлетворяет тождеству (PV )1 = PV 1. С его помощью можно, как и в скалярном случае, разрешить пер вое уравнение относительно Vn+1 или Vn1, и выразить все Vj через пару переменных U = Vn+1, V = Vn. Это позволяет переписать симметрию в виде векторного обобщения системы Каупа–Ньюэлла (нелинейное урав нение Шредингера с производной) Ut = Uxx + (4 U, V U 2 U, U V )x, (1.40) Vt = Vxx + (4 U, V V 2 V, V U )x.

Аналогично, коммутирующие потоки для второй векторной цепочки Vn,x = Vn, Vn (Vn+1 Vn1 ), Vn+1, Vn+1 (Vn+2 Vn ) + Vn1, Vn1 (Vn Vn2 ) Vn,t = Vn, Vn + 2( Vn+1, Vn + Vn, Vn1 )(Vn+1 Vn1 ) (1.41) приводят к ассоциированной эволюционной системе Ut = Uxx + 4 U, V Ux + 2 U, U Vx, (1.42) Vt = Vxx + 4 U, V Vx + 2 V, V Ux, определяющей еще один векторный аналог системы Каупа–Ньюэлла.

Интересный тип ассоциированных уравнений возникает для скаляр ных величин pn = Vn, Vn, qn = 2 Vn, Vn1.

Они удовлетворяют, в силу любой из пар цепочек (1.39) или (1.41), одной и той же двумерной модифицированной цепочке Вольтерра pn,t + 2p2 (pn+1 pn1 ) = pn ((qn+1 + qn )x + qn+1 qn ), 2 n (1.43) pn,x = pn (qn+1 qn ).

Ее можно переписать также в виде pn,t + 2p2 (pn+1 pn1 ) = (rn pn )x, n (pn+1 pn )x = pn+1 pn (rn+1 rn ), где rn = qn+1 + qn = 2 Vn, Vn+1 + Vn1. Эти цепочки близки к цепочкам из работы Михайлова [68].

Представления в виде пар коммутирующих потоков (1.39) и (1.41) дают эффективный способ построения частных решений систем (1.40), (1.42) и цепочки (1.43). Наряду с построением решений солитонного ти па, как описано выше, можно использовать также и периодическое замы кание Vn+N = CVn с ортогональным оператором C, что сводит цепочки к конечномерным динамическим системам.

1.5 Дальнейшие векторные аналоги Как упоминалось во Введении, задача классификации скалярных ин тегрируемых уравнений типа цепочки Вольтерра была решена Ямило вым [108], в рамках симметрийного подхода к интегрируемости. Задача классификации в векторном случае существенно сложнее и до сих пор остается открытой. В работе [7] получен частный классификационный результат для цепочек типа Вольтерра на сфере, то есть, при наличии связи Vn, Vn = 1, что сильно упрощает задачу. В качестве другого упро щающего предположения можно принять, например, полиномиальность цепочки. В непрерывном случае известно множество полиномиальных векторных уравнений;

см. напр. статьи [31, 100, 92] содержащие приме ры и некоторые классификационные результаты для векторных систем типа нелинейного уравнения Шредингера. Уравнения (1.40) и (1.42) слу жат частными примерами систем из этого класса.

В дискретном случае полиномиальность является менее естествен ным предположением, что видно уже из списка Ямилова. Это объясняет то, что, кроме (1.17) и (1.27), в векторном случае не удалось найти дру гих полиномиальных уравнений первого порядка, обладающих высшими симметриями. Поиск таких уравнений, методом неопределенных коэф фициентов, достаточно прямолинеен. В простейшем случае, уравнение и симметрия имеют вид Vn,x = a(1) Vn+1 + a(0) Vn + a(1) Vn1, Vn,t = b(2) Vn+2 + · · · + b(2) Vn2, где скалярные коэффициенты a(i) линейны относительно скалярных про изведений Vn+1, Vn, Vn1, а b(i) квадратичны относительно скалярных произведений Vn+2,..., Vn2. Можно подсчитать, что однородная це почка содержит 18 неопределенных коэффициентов, а ее симметрия 600.

Вычисление перекрестных производных дает некоторую систему били нейных уравнений на эти коэффициенты. Она довольно громоздка, но не очень сложна для анализа, так как значительная часть уравнений имеет простой вид ai bj = 0. Ответ исчерпывается совместными парами цепочек (1.39) и (1.41) (плюс несколько случаев с a(1) = a(1) = 0, но все такие уравнения сводятся к скалярным и не представляют интереса).

Добавление к цепочке и симметрии членов младшей степени позволяет ввести параметр a в пару (1.41) и показать, что для пары (1.39) такого обобщения не существует.

Ясно, что рамки метода неопределенных коэффициентов в этой за даче весьма ограничены. Если коэффициенты a(i) квадратичны по ска лярным произведениям, а b(i) имеют четвертую степень, то число па раметров в цепочке и симметрии становится равным 63 и 15300 соот ветственно. При этом уже само вычисление коммутатора становится не вполне тривиальным заданием. С этим случаем еще удается справиться, но ответ оказывается пустым.

Частично проанализирован также случай, когда цепочка имеет вто рой порядок относительно сдвига по n, а симметрия четвертый:

Vn,x = a(2) Vn+2 + · · · + a(2) Vn2, Vn,t = b(4) Vn+4 + · · · + b(4) Vn4.

В скалярном случае известны, например, интегрируемые уравнения vn,x = vn (vn+2 vn+1 vn1 vn2 ), vn,x = vn+1 vn vn1 (vn+2 vn+1 vn1 vn2 ), являющиеся модификациями цепочки Богоявленского. По степени нели нейности, они кажутся подходящими для векторных обобщений, одна ко, вычисления с неопределенными коэффициентами показывают, что векторных аналогов у этих уравнений нет. Зато, были обнаружены еще два уравнения второго порядка, родственные модифицированной цепоч ке Вольтерра:

Vn+1, Vn+1 (Vn+2 + Vn ) Vn1, Vn1 (Vn + Vn2 ), Vn,x = Vn, Vn (1.44) Vn,x = Vn+1, Vn Vn, Vn1 (Vn+2 Vn2 ). (1.45) Обе цепочки обладают симметриями четвертого порядка, которые не приводятся ввиду их громоздкости. Уравнение (1.44) является вектор ным аналогом второго потока из иерархии модифицированной цепоч ки Вольтерра (1.38), наряду с уравнениями Vn,t =..., приведенными в предыдущем разделе, но, в отличие от них, оно не обладает младшей симметрией первого порядка. Таким образом, получается, что первый поток имеет 2 векторных аналога, а второй 3. Вопрос о том, растет ли это число для высших потоков, остается открытым.

Уравнение (1.45) также довольно любопытно. Оно является вектор ным аналогом следующей модификации цепочки Вольтерра на растя нутой решетке:

vn,x = vn+1 vn vn1 (vn+2 vn2 ) un = vn+2 vn+1 vn vn un,x = un (un+2 un2 ).

В векторном случае эта замена не определена и цепочка (1.45) является независимым объектом. Представления нулевой кривизны и преобразо вания Бэклунда для цепочек (1.44) и (1.45) неизвестны.

Глава Линейные задачи для иерархии Хироты–Охты Основное содержание этой главы состоит в выводе дискретных и полу дискретных уравнений, определяющих преобразования Бэклунда и фор мулы нелинейной суперпозиции для (1 + 2)-мерной системы 2ut = uxxx 3uxy + 3wux 3qu, 2vt = vxxx + 3vxy + 3wvx + 3qv, 4wt = wxxx 24(uv)x + 6wwx + 3qy, qx = wy, введенной в работе Хироты, Охты [43]. В отличие от известных в лите ратуре подходов, перечисленных во введении, здесь эти уравнения выво дятся единообразно на основе общего метода Захарова–Шабата [114], из условий совместности согласованных линейных задач. В частности, это позволяет показать, что дискретизация из работы [39] не просто служит разностным аналогом системы Хироты–Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда.


2.1 Иерархия НУШ Линейные задачи для системы Хироты–Охты появились в статье Какеи [51]. Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для всех уровней дискретизации (то есть, для систем с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в следующем:

структура линейных задач для 3-мерной иерархии Хироты– Охты совпадает со структурой 2-мерной иерархии нелиней ного уравнения Шредингера (НУШ).

Отличие заключается в замене нелинейных членов на линейные с пере менными коэффициентами, при этом иерархия Хироты–Охты возникает из условий совместности на эти коэффициенты (тогда как потоки НУШ коммутируют тождественно).

В этом разделе приводятся необходимые для дальнейшего уравнения из иерархии НУШ: высшая симметрия третьего порядка, преобразова ния Бэклунда, принцип нелинейной суперпозиции. Все эти формулы хо рошо известны (см. напр. учебник [97]). В разделе 2.2 эти уравнения будут служить подсказкой при выборе вида линейных задач для иерар хии Хироты–Охты. Более точное соответствие с теорией 2-мерных си стем указано в разделе 2.3, посвященном векторному обобщению НУШ Кулиша–Склянина [55].

В дальнейшем используются следующие обозначения. Полевые пе ременные, считаются зависящими от бесконечного набора независи мых переменных, непрерывных t1 = x, t2 = y, t3 = t,... и целочис ленных n1,..., ni,..., nj,..., nk,.... Нижние индексы x, y, t обозначают частные производные, нижние индексы 1, i, j, k обозначают сдвиги по дискретным переменным: i = (..., ni + 1,... ), причем минус обозна чает противоположный сдвиг: i = (..., ni 1,... ).

Нелинейное уравнение Шредингера имеет вид y = xx + 2 2, y = xx + 22. (2.1) Его простейшая высшая симметрия имеет третий порядок:

t = xxx + 6x, t = xxx + 6x. (2.2) Дискретная переменная n1 в дальнейшем играет выделенную роль. От вечающий ей сдвиг описывается преобразованием Бэклунда–Шлезингера в виде явного отображения 1 = xx x / + 2, 1 = 1/, (2.3) действующего на решениях систем (2.1), (2.2). Итерации этого преобра зования описываются, после замены = eq, = eq1, цепочкой Тоды qxx = eq1 q eqq1. (2.4) Все остальные дискретные переменные отвечают преобразованиям Бэклунда– Дарбу;

их x-части имеют вид x = i + (i) + 2 i, i,x = + (i) i + 2, (2.5) i где (i) произвольный параметр, ассоциированный с i-м дискретным ко (i) ординатным направлением и зависящий только от ni (то есть, j = (i) при j = i). Второе уравнение (2.5) определяет i как решение уравнения Риккати, а i явно находится из первого уравнения. Общее преобразо вание Бэклунда для уравнения НУШ разлагается в последовательность элементарных преобразований вида (2.3), (2.5) и их обратных.

jk jk ijk ijk k k Rij ik ik Rik R jk R jk Rik j j Rij ij ij i i Рис. 2.1. Rjk Rik Rij = Rij Rik Rjk Полностью дискретная часть иерархии НУШ описывается 5-точеч ными уравнениями типа дискретной цепочки Тоды (i) eq1,i q eqq1,i + eqi q eqqi + (i) i = 0 (2.6) и 2-компонентными квад-уравнениями ((j) (i) )ij ((i) (j) ) j = i +, j = i +. (2.7) 1 ij 1 ij Уравнения (2.6) выражают свойство перестановочности преобразований (2.3) и (2.5). Это означает, что уравнение (2.6) совместно с дифферен цированием (i) qx = eqi q + eqq1,i + (i) = eq1,i q + eqqi + i, то есть, производная по x от левой части (2.6) обращается в ноль в силу (2.6). Кроме того, переменные q(n1, ni ) при фиксированном ni удовле творяют цепочке Тоды (2.4), а переменные = eq(n1,ni ), = eq(n1 1,ni ) при фиксированном n1 удовлетворяют цепочке (2.5).

Аналогично, уравнения (2.7) определяют свойство перестановочно сти двух преобразований вида (2.5). Обозначим = (, ). Выполня ется следующее свойство: если и i связаны преобразованием (2.5) с параметром (i), а i и ij связаны преобразованием с параметром (j), то переменная j, определенная формулой (2.7), тоже связана с и ij преобразованиями того же вида, но с переставленными параметрами (j) и (i).

Отображения Rij : (, i, ij ) j удовлетворяют важному свой ству 3D-совместности, которое выражается тождеством Янга–Бакстера (см. рис. 2.1) Rjk Rik Rij = Rij Rik Rjk. (2.8) Существенное отличие от скалярных квад-уравнений обсуждавшихся в предыдущей главе (см. раздел 1.1.2) заключается в том, что уравнение (2.7) нельзя разрешить относительно переменных или ij. Следова тельно, формулировка 3D-совместности в данной задаче возможна толь ко при выборе начальных данных вдоль последовательности вершин на кубе, например, 1, 12, 123.

2.2 Иерархия Хироты–Охты С этого момента, переменные и будут играть роль волновых функ ций, а полевые переменные будут обозначаться u, v, w, w(i), w(ij), q (ко эффициенты линейных задач) и f, g, h ( -функции). Независимые пере менные и обозначения для производных и сдвигов остаются прежними.

Верхние индексы в w(i), w(ij) указывают, что эти переменные ассоции рованы с соответствующими координатными направлениями на решетке (но, в отличие от параметров (i) из предыдущего раздела, эти перемен ные зависят от всего набора независимых переменных).

Стартуя с линеаризации нелинейного уравнения Шредингера (2.1) y = xx + 2v + w, y = xx + w + 2u, (2.9) будем искать коммутирующий поток в виде t = xxx + ax + b + c, t = xxx + Ax + B + C, с неопределенными коэффициентами. Таким образом, нелинейные чле ны в (2.1) и (2.2) заменяются на линейные комбинации сомножителей.

Несложное вычисление уточняет коэффициенты:

3 t = xxx + wx + (wx + q) + 3ux, 2 3 t = xxx + wx + (wx q) + 3vx, (2.10) 2 причем условие совместности уравнений (2.9) и (2.10) эквивалентно си стема Хироты–Охты 2ut = uxxx 3uxy + 3wux 3qu, 2vt = vxxx + 3vxy + 3wvx + 3qv, 4wt = wxxx 24(uv)x + 6wwx + 3qy, qx = wy. (2.11) Ясно, что высшие симметрии можно вывести точно так же, увеличивая порядок линейных задач по x ;

однако, их явный вид нам не понадобит ся.

Замена переменных f g u=, v=, w = 2(log h)xx, q = 2(log h)xy (2.12) h h приводит систему (2.11) к билинейному виду (2Dt 3Dx Dy + Dx )f · h = 0, (2Dt + 3Dx Dy + Dx )g · h = 0, 2 (4Dx Dt 3Dy Dx )h · h + 24f g = 0, (2.13) где Dz a · b = az b abz обозначает оператор Хироты. Переменные f, g, h особенно удобны при записи дискретной части иерархии.

Аналог преобразования (2.3) естественно искать в виде 1 = axx + bx + c + d, 1 = p.

При этом следует учитывать калибровочные преобразования µ2 µy w=w = µ(y), =, u= u, v= v,, µ µ(y) µ не меняющие вид основной линейной задачи (2.9). С их помощью можно зафиксировать некоторые коэффициенты и привести преобразование к виду uxx uy ux 1 = xx 1 =.

x + w + + u, (2.14) u 2u u Его действие на коэффициенты линейных задач описывается следующи ми формулами.

Утверждение 2.1. Система (2.11) допускает явное авто-преобразование 1 w u1 = u2 v + (ux wx uwy ) + (uuxx u2 ) + uuyy u x y 2 u 4u 2uuxxy + 2ux uxy + uuxxxx 2ux uxxx + uxx, v1 = 1/u, w1 = w + 2(log u)xx, q1 = q + 2(log u)xy. (2.15) Подстановки (2.12) сводят три последние уравнения в (2.15) к h1 = f, g1 = h, то есть, итерации этого отображения порождают последователь ность... f = h(n1 + 1), h = h(n1 ), g = h(n1 1)...

Кроме того, первое уравнение (2.15) эквивалентно соотношению A B1 B 2 h2, 4 = h1 h h x где 3 2 A = (3Dx Dy Dx )h1 · h, B = (3Dy + Dx )h · h 24h1 h1.

Это соотношение не билинейно, но оно обращается в тождество в силу системы (2.13), которая принимает вид [2, 3, 4, 57] (2Dt 3Dx Dy + Dx )h1 · h = 0, (2.16) 2 (4Dx Dt 3Dy Dx )h · h + 24h1 h1 = 0.

Действительно, в силу этих уравнений A B ht = 2r1 2r, = 8rx, r=.

h h1 h h Преобразование Бэклунда–Дарбу выводится из линейной задачи x = i + w(i) + ui, i,x = + vi + w(i) i, (2.17) а аналог принципа нелинейной суперпозиции (2.7) из линейной задачи j = i + w(ij) ( + uij ), j = i w(ij) (vij + ij ), i j. (2.18) Условия совместности для этих уравнений определяют все уровни дис кретизации системы Хироты–Охты. Приведем ответы сразу в билиней ной записи для -функций, так как уравнения для коэффициентов до вольно громоздки. Чтобы ввести -функции, используются следующие соотношения, в дополнение к подстановкам (2.12):

hi,x hx hhij w(i) = w(ij) =,. (2.19) hi h hi hj Замечание 2.2. Линейную задачу (2.9) можно рассматривать, как урав нение Шредингера с матричным потенциалом специального вида. Ана логично, линейные задачи (2.17), (2.18) являются специальной редукци ей линейных задач для дискретной системы Дарбу–Захарова–Манакова [75, 22]. В случае общего положения эта система содержит восемь полей (две матрицы размера 2 2).

Утверждение 2.3. Условия совместности для уравнений (2.9) и (2.17) приводят к системе f hi,y fy hi + f hi,xx 2fx hi,x + fxx hi 2fi h = 0, hgi,y hy gi + hgi,xx 2hx gi,x + hxx gi 2hi g = 0, hhi,y hy hi hhi,xx + 2hx hi,x hxx hi + 2f gi = 0;

(2.20) условия совместности для (2.18) и двух уравнений вида (2.17), отвеча ющих i и j, приводят к системе f hij,x fx hij = fi hj fj hi, hgij,x hx gij = hi gj hj gi, hi hj,x hi,x hj = f gij hhij, i j;

(2.21) условия совместности для трех линейных задач вида (2.18), отвечаю щих i, j и k, приводят к системе f hijk fi hjk + fj hik fk hij = 0, hgijk hi gjk + hj gik hk gij = 0, f gijk hi hjk + hj hik hk hij = 0, i j k. (2.22) Уравнения (2.22) определяют дискретную версию системы Хироты– Охты, найденную в [39]. Приведем ее подробный вывод. Формально, си стему линейных уравнений вида (2.18) можно рассматривать, как очень специальный случай линейного квад-уравнения для 2-компонентной функ ции = (, ). Как и в случае нелинейного уравнения Шредингера, и ij не входят в уравнения, и это диктует следующий выбор на чальных данных, необходимых для вычисления условий совместности:


, i, ij, ijk. Для определенности, будем считать, что i j k. То гда условие совместности выражается уравнением Янга–Бакстера (2.8), в котором отображение Rij : (, i, ij ) j определено уравнениями (2.18). Вычисления используют следующие уравнения:

(ij) j = i + w(ij) ( + uij ), jk = ik + wk (k + uk ijk ), Rij :

j = i w(ij) (vij + ij ), (ij) jk = ik wk (vijk k + ijk ), (ik) k = i + w(ik) ( + uik ), jk = ij + wj (j + uj ijk ), Rik : (ik) k = i w(ik) (vik + ik ), jk = ij wj (vijk j + ijk ), (jk) k = j + w(jk) ( + ujk ), ik = ij + wi (i + ui ijk ), Rjk :

k = j w(jk) (vjk + jk ), (jk) ik = ij wi (vijk i + ijk ).

Левая часть уравнения Янга–Бакстера (2.8) отвечает последовательно сти вычислений согласно левой колонке сверху вниз, а правая часть уравнения отвечает формулам из правой колонке снизу вверх. Получаю щиеся в результате нелинейные соотношения для коэффициентов содер жат, в частности, законы сохранения, из которых следует, что величины w(ij) допускают параметризацию через -функции (2.19). После этого, оставшиеся соотношения оказываются эквивалентными системе (2.22).

2.3 Векторная иерархия Кулиша–Склянина Большой и хорошо изученный класс редукций из 3-мерных интегрируе мых уравнений к векторным 2-мерным состоит из так называемых свя зей с квадратами собственных функций. Например, система Манакова [64, 33] и ее симметрия третьего порядка y = xx + 2,, y = xx + 2,, t = xxx + 3, x + 3 x,, t = xxx + 3, x + 3, x определяют редукцию такого типа для уравнения Кадомцева–Петвиашвили 4ut = uxxx 6uux + 3qy, qx = uy, которому удовлетворяют величины [53] u = 2,, q = 2, x 2 x,.

Покажем, что иерархия Хироты–Охты (для всех дискретных уров ней) возникает, аналогично, из другой векторной версии нелинейного уравнения Шредингера, введенной Кулишом и Скляниным [55]:

y = xx + 4, 2,, y = xx + 4, 2,. (2.23) Запишем соответствующие обобщения базовых уравнений из раздела 2.1. Симметрия третьего порядка имеет вид t = xxx + 6, x + 6 x, 6, x, t = xxx + 6, x + 6, x 6, x. (2.24) Аналог преобразования Бэклунда–Шлезингера (2.3) имеет вид [96], x x, x 1 = xx 2 + 2,,, x +,, (2.25) 1 =,, аналог преобразования Бэклунда–Дарбу (2.5) имеет вид x = i + (i) + 2, i, i, i,x = + (i) i + 2, i i i, i, (2.26) и, наконец, аналог принципа нелинейной суперпозиции (2.7) имеет вид [5] ((i) (j) )(, ij ) j = i +, 1 2, ij +, ij, ij ((i) (j) )(ij ij, ij ) j = i. (2.27) 1 2, ij +, ij, ij Сравнение с линейными задачами из предыдущего раздела немедленно показывает, что иерархия Кулиша–Склянина служит их самосогласо ванной редукцией. Точнее, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.4. Уравнения (2.23)–(2.27) совместны, и, в силу этих уравнений, величины u =,, v =,, q = 4 x, 4, x, w = 4,, (i) (j) w(i) = (i) + 2, i, w(ij) = 1 2, ij +, ij, ij удовлетворяют уравнениям иерархии Хироты–Охты.

Общее совместное решение систем (2.23), (2.24), (2.25) может быть определено по паре вектор-функций от x, выбранных в качестве началь ных данных (, )|y=0,t=0,n1 =0. Решение цепочки (2.26) зависит дополни тельно от параметра (i) и констант интегрирования, выбираемых про извольно на каждом шаге ni ni + 1. Следовательно, утверждение 2.4 описывает лишь специальный класс решений среди всех решений иерархии Хироты–Охты, которые зависят, вообще говоря от произволь ных функций от двух независимых переменных. Тем не менее, этот тип редукций (2+1)-мерных систем достаточно важен и позволяет строить богатые семейства точных решений [53].

Следует отметить, связь приведенных выше дискретных линейных уравнений с уравнениями Лапласа на квадратной и треугольной решет ках (так называются самосопряженные линейные уравнения, связываю щие вершину решетки и ее соседей). Эти уравнения активно изучались в ряде недавних работ. В частности, известно, что они возникают из линейных квад-уравнений на квадратной и ромбической решетках в ре зультате ограничения на четную или нечетную подрешетки [20, 29]. В нашем случае, уравнения Лапласа возникают в результате исключения одной из компонент в 2-компонентных линейных уравнениях из раздела 2.2. Например, исключение -компоненты из (2.14) и (2.17) приводит к следующему 5-точечному уравнению на -компоненту (ср. с дискретной цепочкой Тоды (2.6)):

1 1 1 1 1 ux (i) w1,i + w(i) i 1,i i + 1,i + = 0.

u ui u u1,i u u Аналогично, исключение из уравнений (2.18) приводит к 7-точечному уравнению Лапласа на плоскости (ij). Напомним, что примеры непре рывной динамики типа Тоды, совместной с дискретными 5- и 7-точеч ными линейными уравнениями изучались в работах [86, 38, 85].

Глава Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса В этой главе изучаются нелинейные интегрируемые дифференциально разностные уравнения, ассоциированные со спектральными задачами вида P = Q, где P, Q разностные операторы. Основные результа ты связаны со спектральными задачами um+l + l = (m + u), где l, m взаимно-простые положительные целые числа. Показано, что соответствующие цепочки образуют семейство иерархий dSK(l,m), пере ходящих в непрерывном пределе в иерархию уравнения Савады–Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка, связанный со спектральной за дачей 3-го порядка). Это семейство является нетривиальным обобще нием иерархий Богоявленского B(m), переходящих в непрерывном пре деле в уравнение КдФ. С помощью r-матричного подхода в разност ной формулировке доказана коммутативность иерархии dSK(l,m). Пред ставлены простейшие решения солитонного типа, найденные методом Хироты для уравнений в билинейной форме. Рассмотрены также близ кие примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа– Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

3.1 Простейший пример Простейшим примером рассматриваемых цепочек служит уравнение u,t = u2 (u2 u1 u1 u2 ) u(u1 u1 ), (3.1) где используются сокращенные обозначения u = u(n, t), u,t = t (u), uj = u(n + j, t).

Впервые, это уравнение было выведено Тсужимото и Хиротой [102, фор мула (4.12)] в непрерывном пределе из редуцированной дискретной иерар хии BKP. Напомним, что обе цепочки u,t = u2 (u2 u1 u1 u2 ) u,t = u(u1 u1 ) и (3.2) являются очень хорошо известными интегрируемыми моделями. Первая из них, цепочка Вольтерра [113, 65] уже обсуждалась в главе 1. Вто рая, это модифицированная цепочка Нариты–Ито–Богоявленского вто рого порядка [74, 47, 25]. Каждая из цепочек допускает бесконечномер ную алгебру высших симметрий, однако нетрудно проверить, что друг с другом потоки t и t не коммутируют, то есть, эти уравнения при надлежат разным иерархиям. Поэтому, нет оснований ожидать, что их линейная комбинация остается интегрируемой, и все же, это так. Далее, будет показано, что уравнение (3.1) допускает представление Лакса L,t = [A, L], с оператором L, равным отношению двух разностных операторов, а имен но, L = (T 2 + u)1 (uT 2 + 1)T, где T обозначает оператор сдвига uk uk+1. Отметим, что в этой главе более удобным оказывается операторное лаксово представление, а не матричное представление нулевой кривизны (1.2) из первой главы. Эквивалентное матричное представление исполь зуется в следующей главе, при вычислении преобразования Бэклунда для цепочек типа (3.1).

Уравнение (3.1) можно записать в билинейном виде, допускающем семейство обобщений, зависящих от пары целочисленных параметров (l, m). Эти обобщения были открыты Ху, Кларксоном и Буллафом [45, формула (4)], при поиске билинейных уравнений, обладающих N -солитон ными решениями. В этой главе будет показано, что это семейство урав нений ассоциировано с дробными операторами Лакса вида L = (T m + u)1 (uT m + 1)T l. (3.3) Как обычно, с каждым оператором L связана целая коммутативная иерархия уравнений, отвечающих разностным операторам A различного В отличие от обозначений из главы 1, непрерывная переменная обозначена t, а не x;

это связано с тем, что далее x обозначает пространственную переменную для непрерывного предела. Ассоциированные системы типа (1.40) в этой главе не рассматриваются.

порядка. Эта иерархия обозначается dSK(l,m), так как ее можно рассмат ривать, как дискретизацию иерархии, содержащей уравнение Савады– Котеры (SK) [88, 26] U, = U5 + 5U U3 + 5U1 U2 + 5U 2 U1, (3.4) где обозначено j U = U (x, ), U, = (U ), Uj = x (U ).

Уравнение (3.1) принадлежит иерархии dSK(1,2). Непрерывный предел в этом примере задается следующей формулой, при 0:

1 2 + U x t, + u(n, t) = t, x = n (3.5) 3 9 9 и аналогичные формулы имеются при любых (l, m). Чтобы пояснить взаимоотношение между непрерывными и цепочечными уравнениями, следует отметить, что каждая из цепочек (3.2) по отдельности задает дискретизацию уравнения КдФ U,t = U3 + 6U U1, а не Савады–Котеры. Более того, хорошо известно, что на самом деле все цепочки Богоявленского, любого порядка, служат дискретизациями уравнения КдФ и его высших симметрий, то есть одной непрерывной иерархии отвечает бесконечное семейство дискретных. Точно так же, и иерархии SK отвечает не одна дискретизация, а целое семейство дис кретных иерархий dSK(l,m).

С другой стороны, непрерывный и цепочечный случай не вполне па раллельны. Во-первых, оператор Лакса для уравнения (3.4) не является дробным:

L = D3 + U D = (D f )(D + f )D.

Примеры лаксовых операторов, равных отношению двух дифференци альных операторов, изучались в работе [54], однако, по-видимому, эти примеры не имеют отношения к дискретному случаю (3.3).

Второе различие проявляется в задаче дискретизации для другого важного примера, уравнения Каупа–Купершмидта (KK) [52, 56, 30] U1 U2 + 5U 2 U1.

U, = U5 + 5U U3 + (3.6) Напомним, что оно ассоциировано с оператором L = D3 + U D + U,x = (D + f )D(D f ) и оба уравнения (3.4) и (3.6) связаны друг с другом композицией под становок типа Миуры, возникающих при факторизации лаксовых опе раторов [91, 32]:

USK = f,x f 2, UKK = 2f,x f 2.

Несмотря на эту тесную связь, отмечалось (см. напр. [73]), что некото рые свойства уравнений SK и KK отличаются. По-видимому, различие между цепочечными аналогами этих уравнений еще глубже. Для уравне ния KK удалось пока найти только одну дискретизацию в виде цепочки 4-го порядка (раздел 3.4), причем дискретная подстановка типа Миуры, связывающая ее с какой-либо цепочкой из семейства dSK(l,m) неизвест на.

3.2 Предварительные построения 3.2.1 Определения и обозначения Рассматриваются эволюционные дифференциально-разностные уравне ния (цепочки), вида u,t = f (um,..., um ), u = u(n, t), u,t = t (u), uj = u(n + j, t). (3.7) Такие уравнения можно интерпретировать, как полудискретные аналоги непрерывных эволюционных уравнений типа KdV или SK j U, = F (Uk,..., U ), U = U (x, ), U, = (U ), Uj = x (U ) (при переходе к непрерывному пределу, порядки m и k, вообще говоря, не совпадают). Оператор сдвига T : uj uj+1 играет для уравнений (3.7) роль, аналогичную роли полной производной по x в непрерывном слу чае, D : Uj Uj+1. Дифференциальные операторы являются многочле нами от D, с функциями от x в качестве коэффициентов, умножением, определяемым правилом Лейбница DA = D(A) + AD и операцией фор мального сопряжения, определяемой по правилу D† = D. Разностные операторы являются лорановскими многочленами, то есть многочлена ми от T и T 1, закон умножения имеет вид T A = T (A)T, операция со пряжения определяется, как T † = T 1. Для краткости, нижний индекс будет использоваться также для обозначения действия T на операторы, Aj = T j (A).

Цепочка u,s = g(uk,..., uk ) называется симметрией (3.7), если выполняется условие совместности Dt (g) = Ds (f ), то есть m k j uj (g)T j (f ) = 0. (3.8) [f, g] := f (g) g (f ) = uj (f )T (g) j=m j=k Цепочка называется интегрируемой, если она допускает бесконечную по следовательность симметрий порядка k, превосходящего любое заданное число. Линейное пространство всех симметрий называется иерархией.

Законом сохранения называется соотношение вида Dt ((uk,..., u)) = (T 1)((uk+m1,..., um )), выполняющееся в силу уравнения (3.7). Подробное обсуждение этих по нятий и приложения к задаче классификации интегрируемых цепочек можно найти в обзоре Ямилова [111].

3.2.2 Цепочки Богоявленского Для понимания структуры иерархии dSK(l,m) нужно сначала разобрать ся с однородными иерархиями цепочек типа Богоявленского. Вообще, (локальное) уравнение из иерархии dSK(l,m) имеет вид u,tk = F (L+KM ) + · · · + F (L+M ) + F (L), где F (K) обозначает однородный многочлен степени K от переменных uj.

Показатели K, L, M связаны определенным образом с номером потока k и параметрами l, m. Первый и последний члены в сумме всегда определя ют (модифицированные) цепочки типа Богоявленского, принадлежащие разным иерархиям.

Эта структура объясняется следующими рассуждениями, основан ными на представлении Лакса с оператором L (3.3). Применим растя жение u m u, T T, тогда, как легко видеть, в пределе оператор L переходит в оператор L = um T l + T lm, а предел приводит к L = T m+l + u1 T l. Каждый из этих операторов отвеча ет своей иерархии однородных цепочек. Полное неоднородное уравнение содержит члены из обеих иерархий вместе с промежуточными членами, которые необходимы, чтобы обеспечить сохранение коммутативности по токов.

Рассмотрим конкретный пример. Можно проверить, что цепочка u,t2 = u w1 (w3 + w2 + w1 + w) w1 (w + w1 + w2 + w3 ) u1 (w3 + w1 ) + u1 (w1 + w3 ), w := u(1 u1 u1 ) (3.9) служит старшей симметрией уравнения (3.1). Выделяя однородные чле ны, имеем u,t = F (4) + F (2), u,t2 = G(7) + G(5) + G(3), и условие совместности потоков распадается на соотношения [F (4), G(7) ] = 0, [F (4), G(5) ] + [F (2), G(7) ] = 0, [F (4), G(3) ] + [F (2), G(5) ] = 0, [F (2), G(3) ] = 0, где скобка [, ] определена формулой (3.8). Как уже говорилось в начале главы, многочлены F (4) и F (2) отвечают модифицированным цепочкам Богоявленского и Вольтерра из разных иерархий. Многочлены G(7) и G(3) отвечают их симметриям, а промежуточный многочлен G(5) ком пенсирует несовместность потоков.

Иерархия Богоявленского B(m) ассоциирована с оператором L = T + m. Напомним некоторые основные формулы, относящиеся к этому uT случаю. Подробная теория может быть найдена в книгах [25, 94], более общие операторы вида L = T l + uT m рассматривались в статье [95].

Простейшее уравнение из иерархии B(m) имеет вид ut = u(um + · · · + u1 u1 · · · um ). (3.10) Эта цепочка и ее высшие симметрии ассоциированы с разностной спек тральной задачей 1 + um = и допускают представление Лакса L = T + uT m, L,tk = [A(k), L], A(k) = + L(m+1)k, (3.11) (j) j где + (A) обозначает проекцию формального ряда A = j a T на линейное пространство многочленов от T :

a(j) T j, a(j) T j.

+ (A) = (A) = j 0j В частности, A(1) = T m+1 + v, v := um + · · · + u и уравнение (3.11) при k = 1 эквивалентно цепочке (3.10). Проверка элементарна:

L,t [A(1), L] = u,t T m [T m+1 + v, T + uT m ] = u,t T m (um+1 u + v v1 )T u(v vm )T m, (3.12) члены с T сокращаются, остальные дают уравнение.

Чтобы доказать, что уравнение (3.11) корректно определяет цепочку для любого k, нужно проверить, что в коммутаторе [A(k), L] сокращают ся все степени T, кроме T m. Так как Lm+1 многочлен Лорана от T m+1, то A(k) многочлен от T m+1. Следовательно, коммутатор содержит толь ко степени вида T (m+1)j+1, j 1. С другой стороны, [A(k), L] = [ L(m+1)k, L], следовательно, коммутатор не содержит положительных степеней T и остается единственно возможная степень T m.

Можно доказать, что уравнения (3.11) определяют специальную ре дукцию в лаксовой паре с оператором общего вида L = T +u(0) +u(1) T 1 + · · ·+u(m) T m. В этом случае можно брать операторы A вида A = + (Lk ) с произвольным k. Например, иерархия цепочки Тоды возникает при m = 1. Многополевые системы такого типа изучались, например, в ра ботах [19, 95].

3.3 Дискретизация уравнения Савады–Котеры 3.3.1 Представление Лакса Рассмотрим разностную спектральную задачу um+l + l = (m + u), (3.13) где m, l целые числа. Без потери общности, можно считать, что m, l поло жительные и взаимно простые, поскольку общий случай получается от сюда при измельчении решетки и/или смены ее направления. Менее оче видно, что числа m и l можно переставить: спектральная задача (3.13) эквивалентна um+l + m = µ(l + u), после замены µ = m.

(n) = n (n), = l, (3.14) В операторном виде, уравнение (3.13) записывается как P = (uT m + 1)T l, Q = T m + u.

P = Q, (3.15) Изоспектральные деформации определяются уравнением,t = A с некоторым разностным оператором A. Соответствующее уравнение Лак са L,t = [A, L], L = Q1 P (3.16) может быть переписано в виде системы P,t = BP P A, Q,t = BQ QA, (3.17) где одно из уравнений можно рассматривать, просто как определение B. Пусть P, Q имеют вид, указанный в (3.15), тогда эта система эквива лентна уравнениям u,t = B(T m + u) (T m + u)A, B(T 2m 1) = Am T 2m Al + uAT m uAm+l T m. (3.18) Чтобы разрешить последнее уравнение, сделаем предположение, что опе ратор A имеет вид A = F (T m T m ), (3.19) тогда B находится, как разностный оператор B = Fm T m F1 T m + u(F Fm+1 ), (3.20) а первое уравнение (3.18) превращается в u,t = T m F u+uF T m uT m Fl Fl T m u+Fm Fl +u(F Fm+l )u. (3.21) Ясно, что та же самая эволюция переменной u задается сопряженным оператором F † и, кроме того, все члены T j с j m можно отбросить. Это означает, что F можно искать, как самосопряженный оператор F = F †, являющийся многочленом Лорана относительно степеней оператора T m :

F = f (k) T km + · · · + f (1) T m + f (0) + T m f (1) + · · · + T km f (k), k 0. (3.22) Конечно, коэффициенты зависят от k, l, m, так что было бы правильнее писать f (j,k,l,m) вместо f (j), но сейчас эти числа предполагаются фикси рованными.

Собирая коэффициенты при T jm, j 0, получаем соотношения (j1) (j) (j) (j1) fm + uujm (fm+l f (j) ) (j) ufm+l = fl ujm fm (j+1) uf (j+1), + ujm fl j = 1,..., k + 1, (3.23) где предполагается для удобства, что f (j) = 0 при j k. Коэффициент при T 0 дает эволюционное уравнение на u:

(1) (0) (0) u,t = 2u(f (1) fl ) + u2 (f (0) fm+l ) + fm fl.

(0) (3.24) Система уравнений (3.23), (3.24) определяет k-й поток иерархии dSK(l,m).

Если к рассмотрению допускать только локальные уравнения, то на до требовать, чтобы все f (j) находились рекуррентно, как функции от конечного множества переменных ui. В этом случае на значение k возни кает ограничение, и часть потоков отбрасывается. Действительно, рас смотрим уравнение (3.23) при j = k + 1:

(k) (k) u(k+1)m fm = ufm+l, (3.25) или (T l 1)(log fm ) = (T (k+1)m 1)(log u).

(k) Можно доказать, что оно разрешимо относительно f (k), если и только если (k + 1)m делится на l, причем решение, с точностью до постоянного множителя, имеет вид f (k) = um ulm · · · u(s1)lm, (k + 1)m = sl. (3.26) Так как l и m взаимно просты, то локальный поток может быть только при k = pl 1 и s = mp. То, что оставшиеся уравнения (3.23) для таких k действительно разрешимы, будет показано в разделе 3.3.3. Случай l = 1 является единственным, когда на k нет ограничений, и простейший выбор k = 0 приводит в этом случае к следующему семейству цепочек.

Теорема 3.1. Для любого m 0, простейшее уравнение иерархии dSK(1,m) u,t = u2 (um · · · u1 u1 · · · um ) u(um1 · · · u1 u1 · · · u1m ) (3.27) обладает представлением Лакса (3.16) с операторами P = uT m+1 + T, Q = T m + u, A = f (T m T m ), B = f1 T m fm T m + u(fm+1 f ), где f = u1 · · · um.

Доказательство. Прямая выкладка (ср. с (3.12)) доказывает, что оба уравнения (3.17) с данными P, Q, A, B эквивалентны соотношениям u,t = u2 (fm+1 f ) fm + f1.

um fm = ufm+1, Первое определяет переменную f (с точностью до постоянного множи теля), а второе эквивалентно цепочке (3.27).



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.