авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Сочинский институт Российского университета дружбы народов на правах рукописи УДК ...»

-- [ Страница 2 ] --

В частности, уравнение (3.27) при m = 2 совпадает с (3.1), а при m = 1 оно сводится просто к модифицированной цепочке Вольтерра u,t = u2 (u1 u1 ).

Следует отметить, что калибровочная эквивалентность (3.14) между спек тральными задачами может быть продолжена на уровень самих нели нейных уравнений и тот же поток (3.27) возникает также, как член иерархии dSK(m,1). Однако, оператор F (3.22) в этом случае устроен сложнее: он содержит все степени T m1, T m2,..., T 1m по сравнению со случаем dSK(1,m), где просто F = f (0).

Вычисление высших симметрий быстро превращается в сложную за дачу, так как нахождение F требует (дискретного) интегрирования до вольно громоздких выражений. Например, второй поток из иерархии dSK(1,m) имеет, согласно (3.24), вид (1) (0) (0) u,t2 = 2u(f (1) f1 ) + u2 (f (0) fm+1 ) + fm f1, (0) где функции f (1), f (0) определены формулами (1) (0) (1) (1) (1) um fm ufm+1 = f1 fm uum (f (1) fm+1 ).

(0) (1) u2m fm = ufm+1, С точностью до постоянных интегрирования, отсюда находим:

f (1) = um1 · · · um, f (0) = (w + · · · + w2m+1 )u1 · · · um, w := (1 um1 u1 )um2 · · · u (при m = 2 возникает уравнение (3.9)). Можно непосредственно прове рить, что полученный поток действительно коммутирует с (3.27). Общее доказательство и способ избежать интегрирования приводится в разделе 3.3.3.

Некоторое расширение иерархии можно получить, привлекая нело кальные переменные. Для этого уравнение (3.25) следует рассматривать как связь, определяющую переменную f (k) для любого k. Это приводит к следующей системе, которая обобщает (3.27) для любого l, и делает картину более единообразной. Мы вернемся к этой системе в разделе 3.3.5.

Теорема 3.2. Для любых взаимно простых m, l, простейшая система из расширенной иерархии dSK(l,m) имеет вид u,t = u2 (f fm+l ) + fm fl um fm = ufm+l, (3.28) и допускает представление Лакса (3.16) с операторами P = uT m+l + T l, Q = T m + u, A = f (T m T m ), B = fl T m fm T m + u(fm+l f ).

3.3.2 Модифицированные цепочки Рассматриваемые уравнения можно переписать в нескольких эквива лентных формах, применяя разностные подстановки. Простейший тип подстановок это введение потенциала. Пусть A постоянный оператор, то гда подстановка u = A(v) отображает решения уравнения v,t = f [A(v)] в решения уравнения u,t = A(f [u]). Таблица 3.1 содержит несколько при меров такого рода, с точностью до замены u eu, v ev.

Другой тип подстановок определяют преобразования типа Миуры.

Пусть частное решение спектральной задачи (3.13), отвечающее зна чению спектрального параметра =. Тогда, как нетрудно проверить, отношение h = 1 / связано с потенциалом u формулой hm1 · · · h hl1 · · · h M : u=.

hm+l1 · · · h Она определяет разностную подстановку из некоторой цепочки для h, согласно следующему утверждению.

u,t = u2 (u2 u1 u1 u2 ) u(u1 u1 ) m=2:

v,t = v1 v 3 v1 (v2 v1 v1 v2 ) v 2 (v1 v1 ) u = v1 v u,t = u2 (u3 u2 u1 u1 u2 u3 ) u(u2 u1 u1 u2 ) m=3:

v,t = v(v3 v1 + v2 v vv2 v1 v3 ) v(v2 + v1 v1 v2 ) v = u1 u u = v2 v1 v v,t = v2 v1 v 4 v1 v2 (v3 v2 v1 v1 v2 v3 ) 2 v1 v 3 v1 (v2 v1 v1 v2 ) u,t = u2 (u4 u3 u2 u1 u1 u2 u3 u4 ) u(u3 u2 u1 u1 u2 u3 ) m=4:

v,t = v2 v1 v 3 v1 v2 (v4 v3 v2 v1 v1 v2 v3 v4 ) u = v2 v v1 v 2 v1 (v3 v2 v1 v1 v2 v3 ) Таблица 3.1. Примеры цепочек (3.27) из dSK(1,m) и их модификации Теорема 3.3. Пусть u удовлетворяет уравнению (3.24) из dSK(l,m), тогда h = 1 / также удовлетворяет цепочечному уравнению, кото рое может быть записано в виде закона сохранения (log h),t = (T 1)S[h]. (3.29) Доказательство. Так как удовлетворяет уравнению,t = A = F (m m ), то (log h),t = (T 1)(log ),t = (T 1) F (m m ).

Коэффициенты оператора F, будучи функциями от uj, являются функ циями и от переменных hj. Отношения вида k / тоже могут быть вы ражены через hj и, следовательно, выполняется некоторое уравнение вида (3.29).

Полезно отметить, что бесконечная последовательность законов со хранения для исходной цепочки (3.24) может быть получена из (3.29) при помощи классического трюка с обращением преобразования Миуры u = M (h, ) в виде формального степенного ряда по [72]. Более яв ная конструкция, использующая лаксово представление, обсуждается в следующем разделе.

Второе преобразование Миуры получается при замене h 1/h, 1/, что приводит к отображению hm+l1 · · · hl hm+l1 · · · hm M+ : u=.

hm+l1 · · · h Эта подстановка приводит к тому же уравнению, что и M, благода ря инвариантности спектральной задачи относительно замены n n, 1/.

Следовательно, композиция M (M + )1 определяет преобразование Бэклунда, связывающее две копии иерархии dSK(l,m). Напомним, что преобразование Бэклунда для непрерывного уравнения SK (3.4) было выведено в [87]. В следующей главе дискретные уравнения, связанные с преобразованием Бэклунда M (M + )1, рассматриваются более подроб но. Там же выписан явный вид модифицированной цепочки (см. форму лу (4.44)). Сейчас он нам не нужен, поэтому ограничимся конкретным примером при l = 2, m = 1: подстановки имеют вид ( h1 )h h2 ( h1 ) M : u = M+ : u =, h2 h1 h h2 h1 h и отображают решения модифицированного уравнения h( h) h( h1 )( h1 )(h2 h1 h1 h2 ) h1 + h h,t = h1 hh1 (h2 h1 h )(hh1 h2 ) в решения (3.1).

3.3.3 r-матричная формулировка В этом разделе доказывается, что:

(i) если связь (3.25) разрешена согласно формуле (3.26), то дальней шие рекуррентные соотношения (3.23) также разрешимы в локальном виде, и, таким образом, (локальная) иерархия dSK(l,m) корректно опре делена;

(ii) потоки отвечающие разным k коммутируют.

Для достижения этой цели неоценимым инструментом является r матричный подход, см. напр. [83, 19, 94]. Рассмотрим алгебру Ли фор мальных рядов Лорана по степеням оператора сдвига, кратным T m :

g(m) = g (j) T jm, j с коммутатором [A, B] = AB BA. Легко видеть, что любой элемент G = g (k+1) T (k+1)m + g (k) T km + g (k1) T (k1)m +...

этой алгебры Ли допускает единственное разложение вида G = F (T m T m ) + H, (3.30) где F = F † самосопряженный разностный оператор, а H формальный ряд, содержащий только неположительные степени T m. Каждое из ли нейных пространств (m) (m) = F (T m T m )| F = F †, h(j) T jm = g+ g j (m) (m) образует алгебру Ли: для g это очевидно и для g+ имеем [F (T m T m ), F (T m T m )] = (P + P † )(T m T m ), где P = F (T m T m )F.

Таким образом, формула (3.30) определяет разложение (m) (m) g(m) = g+ g алгебры Ли на прямую сумму (в смысле векторных пространств) двух подалгебр Ли. По этому разложению определяются проекции ± на ком (m) поненты g± и оператор r-матрицы r = 1 (+ ). Теперь можно сформулировать следующую теорему о уравнениях Лакса (3.15), (3.16) с дробным оператором L.

Теорема 3.4. Пусть l, m взаимно просты, P = (uT m +1)T l, Q = T m +u и пусть оператор L = Q1 P разложен в формальный ряд Лорана. Тогда потоки L,tp = [+ (Lpm ), L] (3.31) корректно определены для всех p = 1, 2,..., совпадают с потоками dSK(l,m), введенными в формулах (3.23), (3.24) и коммутируют друг с другом.

Доказательство. После разложения, L имеет вид L = (1 um T m + (um T m )2... )(um + T m )T l = um T l + (1 um u2m )T lm +....

Дифференцирование этого ряда превращает (3.31) в бесконечную си стему уравнений на одну-единственную переменную u, и корректность означает, что все эти уравнения должны совпадать. Чтобы доказать это, сравним представление (3.31) с уравнением Лакса (3.16) в дробном виде.

Заметим, что сам оператор L не принадлежит алгебре Ли g(m), но его степень G = Lpm принадлежит, так что проекция A = + (G) = F (T m T m ) имеет смысл. Обозначим порядок оператора F через k = pl 1, согласно с (3.22) и (3.26). Коэффициенты F однозначно вычисляются по коэффициентам G при помощи рекуррентных соотношений f (k+2) = f (k+1) = 0, f (j) = g (j+1) + f (j+2), j = k, k 1,..., 0, следовательно, все коэффициенты локальные функции от uj (в частно сти, f (k) задается формулой (3.26)). Кроме того, порядок правой части (3.31) равен l, так как [+ (G), L] = [ (G), L]. Это доказывает, что F служит также решением рекуррентных соотношений (3.23) (которое единственно с точностью до постоянных интегрирования). Действитель но, эти соотношения выводятся из условия, что члены с T (k+1)m,...,T m в уравнении (3.21) сокращаются, а это эквивалентно сокращению степе ней T (k+1)m+l,...,T m+l в исходном уравнении Лакса (3.16). Итак, поток (3.31) совпадает с потоком из dSK(l,m), что доказывает локальность по следнего. С другой стороны, это доказывает корректность (3.31), так как весь бесконечный набор уравнений сводится к единственному уравнению (3.24).

Доказательство коммутативности стандартно. Пусть G = Lp m и A = + (G ), тогда (L,tp ),tp (L,tp ),tp = [Atp Atp + [A, A ], L], следовательно, достаточно доказать, что Atp Atp + [A, A ] = 0.

Поскольку Atp = + ([A, G]) и [G, G ] = 0, это эквивалентно равенству + [A, G] [A, G ] + [A, A ] = + [G (G ), G] [G (G), G ] + [G (G), G (G )] = + [ (G), (G )] = 0, что и требуется.

Важный вопрос о гамильтоновой структуре иерархии dSK(l,m) оста ется открытым. Наличие представления Лакса (3.31) гарантирует суще ствование набора законов сохранения, плотности которых, определяе мые как коэффициенты при T 0 в рядах Lk, естественно считать канди датами на роль гамильтонианов. Известны также некоторые достаточно общие и стандартные способы определения скобки Пуассона [83, 19, 94] для дискретных лаксовых уравнений, но, к сожалению, в данном приме ре они не срабатывают: вообще говоря, они годятся для рядов L обще го вида, а рассматриваемая редукция L = Q1 P оказывается слишком специальной. Напомним в этой связи, что цепочка Вольтерра обладает замечательной бигамильтоновой структурой с квадратичной и кубиче ской скобками Пуассона, открытой в работе Волкова [106]. При переходе к цепочкам Богоявленского квадратичная скобка Пуассона выживает, а кубическую приходится заменять на нелокальную скобку, обнаружен ную совсем недавно в статье [107]. Результаты этой работы показывают, что в случае dSK(l,m) гамильтонова структура может оказаться нело кальной и довольно сложной. Интересное локальное обобщение скобки Волкова четвертой степени, приводящее к модели, близкой к dSK1,2, но все же с ней не совпадающей, рассматривалось в статьях [82, 41] в рам ках теории W -алгебр на решетке.

3.3.4 Непрерывный предел В этом разделе вычисляется непрерывный предел для основного пото ка расширенной иерархии dSK(l,m), определяемого уравнением (3.28).

Определенная техническая трудность заключается в продолжении фор мулы для непрерывного предела на переменную f, нелокальную при l = 1. Чтобы разрешить связь, эту переменную следует рассматривать как ряд по степеням малого параметра. С точностью до этого усложне ния, непрерывный предел устроен так же, как в примере (3.5) приведен ном в начале главы. Постулируем, что при 0 переменные u, f имеют вид u(n, t) = a + ab2 U (x + ct, + d2 t), s Ys (x + ct, + d2 t), f (n, t) = 1 + x = n (3.32) s= с неопределенными коэффициентами a, b, c, d. Функции Ys выражаются через функцию U и ее частные производные по x при подстановке в первое уравнение (3.28) и рассмотрении разложение Тейлора в точке = 0 (ясно, что зависимость от t здесь можно не учитывать). Опуская несущественные постоянные интегрирования, находим:

mb Y2 = U, l m(m + l)b = Y3 U1, 2l m(m l)b2 m(m + l)(2m + l)b Y4 = U2 + U, 2l 12l m2 (m + l)2 b m(m2 l2 )b = U Y5 U U1, 2l 24l m(m + l)(2m + l)(3m2 + 3ml l2 )b m(m2 l2 )(3m + 2l)b2 Y6 = U4 + U 24l 720l m(m2 l2 )(2m + l)b2 m(m l)(m 2l)b3 + U U2 + U.

2 6l 12l Этого достаточно, так как при подстановке во второе уравнение (3.28) нужны только члены до 7. Коэффициенты a, c определяются из требо вания, чтобы сократились члены низшего порядка, а коэффициенты b, d отвечают за растяжения переменных U и t и выбираются из соображе ний удобства. Окончательно, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3.5. Непрерывный предел (3.32) со значениями параметров m3 (l2 m2 ) ml ml a=, b=, c = 2m, d= m+l 6 переводит системы (3.28) в уравнение Савады–Котеры U, = U5 + 5U U3 + 5U1 U2 + 5U 2 U1.

Высшие потоки иерархии SK могут быть выведены аналогично из подходящих линейных комбинаций потоков dSK(l,m). Однако, общие фор мулы становятся довольно сложными, поэтому ограничимся одним кон кретным примером, отвечающим локальной иерархии dSK(1,2). Пусть u,t = 88u,t1 + 27u,t2, где потоки t1 и t2 определены, соответственно, уравнениями (3.1) и (3.9), тогда формула 1 2 + U x t, u(n, t) = t, x = n 3 9 9 определяет непрерывный предел в симметрию уравнения SK 7-го поряд ка U, = U7 + 7U U5 + 14U1 U4 + 21U2 U3 + 14U 2 U 28 + 42U U1 U2 + 7U1 + U U1.

Хорошо известно, что в последовательности порядков уравнений из иерар хии SK имеются пропуски, именно, для них выполняются ограничения k 2, 3, то есть, следующая высшая симметрия имеет порядок 11. Возни кает естественный вопрос, как это согласуется с соотношениями (3.22)– (3.24) или (3.31), из которых видно, что в дискретном случае пропусков, кратных 3 нет. Оказывается, что их появление является артефактом непрерывного предела. Прямое вычисление показывает, что если рас смотреть линейную комбинацию u,t = u,t1 + u,t2 + u,t3 со следующим потоком из dSK(1,2), и положить u(n, t) = a + b2 U (x + ct, + d9 t), x = n, то все параметры однозначно определяются, из условия сокращения чле нов вплоть до 10, однако при этом коэффициент при 11 тоже автома тически сокращается и возникает тривиальный поток U, = 0.

3.3.5 Билинейные уравнения Связь (3.25) может быть разрешена при введении дополнительных пере менных, и это ведет к удобному представлению основной системы (3.28) расширенной иерархии dSK(l,m). Пусть vl v u=, f =, v vm тогда первое уравнение (3.28) удовлетворено тождественно, а второе эк вивалентно соотношению v,t v vl (T l 1) = (T m 1).

v vlm vm Дальнейшие подстановки wm wm+l w wm wm v= u=, f= w w wm wl приводят к билинейному уравнению wl,t w wl w,t = wm wlm wm wl+m. (3.33) Оно появилось впервые в статье [45], в чуть более общем виде wl,t w wl w,t = wm wlm wm wl+m + wwl, что сводится к (3.33) точечной заменой w(n, t) = et n w(n, t). В част ности, в [45] было показано, что это уравнение допускает N -солитонные решения. В качестве примера, рассмотрим подробнее специальный слу чай 2-солитонной формулы, дающий решение бризерного типа.

Подстановка 2-солитонного анзаца n w(n, t) = 1 + e1 + e2 + A12 e1 e2, ei = qi exp(i t + i ) (3.34) в (3.33) дает закон дисперсии и фазовый сдвиг:

l l m m (qi qj )(qi qj ) m m i = q i q i, Aij =. (3.35) ll mm (1 qi qj )(1 qi qj ) Прямая проверка показывает, что при этом 3-солитонный анзац w = 1 + e1 + e2 + e3 + A12 e1 e2 + A13 e1 e3 + A23 e2 e3 + A12 A13 A23 e1 e2 e удовлетворяет (3.33) автоматически. Интересно сравнить эти формулы с их непрерывными аналогами для уравнения SK [88, 26, 28, 81] (i j )2 (i i j + j ) 2 ei = exp(i x i t + i ), i = i, Aij =.

2 (i + j )2 (i + i j + j ) Формула (3.34) позволяет получить решение типа бризера, если выбрать q2 = ei, q1 = ei, 2 = i.

1 = + i, Регулярность потенциала u(n, t) достигается при определенных ограни чениях на значения q. Чтобы вывести их, запишем соотношения (3.35) так:

µ = (m m ) cos m, = (m + m ) sin m, = µ + i, 4m+l sin l sin m A12 =, (1 2l )(1 2m ) l 1, m 2 l 1, m 3 l 1, m 1.5 1.5 1. 1 1 0.5 0.5 0. 0.5 1 0.5 1 0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0. -0.5 -0.5 -0. -1 -1 - -1.5 -1.5 -1. l 1, m 5 l 1, m 6 l 1, m 1.5 1.5 1. 1 1 0.5 0.5 0. 0.5 1 0.5 1 0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0. -0.5 -0.5 -0. -1 -1 - -1.5 -1.5 -1. l 2, m 3 l 2, m 5 l 2, m 1.5 1.5 1. 1 1 0.5 0.5 0. 0.5 1 0.5 1 0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0. -0.5 -0.5 -0. -1 -1 - -1.5 -1.5 -1. Рис. 3.1. Значения q = ei внутри ограниченных областей в C от вечают регулярным потенциалам u(n, t). Значения вдоль пунктирных прямых отвечают потенциалам, периодическим по t.

тогда, после несложных преобразований, (3.34) приводится к виду w = 1 + 2z cos y + A12 z 2, z = n eµt.

y = n t +, В частности, если = 2k+1, то µ = 0 и решение u периодично по t.

2m Необходимое и достаточное условие для того, чтобы u было регулярно состоит в том, чтобы функция w не обращалась в ноль при всех n, t. В случае общего положения, когда переменные y, z независимы, это экви валентно тому, что трехчлен 1 + 2z + A12 z 2 не имеет нулей при веще ственных z, то есть, что (l l )(m m ) + 4 sin l sin m 0.

Таким образом, видно, что уже двухфазные решения в этих моделях де монстрируют нетривиальную зонную структуру спектра. Соответству ющие области в плоскости q = ei показаны на рис. 3.1, а примеры решений u(n, t) на рис. 3.2.

2. 2 7. un t un t 1.5 10 1 2. 2. 0.5 5 t t 10 2. n n Рис. 3.2. Подвижный и стоячий бризеры. Значения параметров:

= 1.2, = 2/3 (слева);

= 1.6, = 3/4 (справа);

в обоих случаях l = 1, m = 2, = = 0.

3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа–Купер шмидта Как уже говорилось, уравнение Каупа–Купершмидта U1 U2 + 5U 2 U U, = U5 + 5U U3 + ассоциировано со спектральной задачей L =, где L кососимметрич ный обыкновенный дифференциальный оператор третьего порядка, L = D3 + U D + U,x = (D f )D(D + f ), U = 2f,x f 2.

При поиске дискретного аналога, трудность заключается в том, что раз ностный симметричный или кососимметричный оператор может быть только четного порядка. Один способ преодолеть эту трудность заклю чается в том, чтобы рассмотреть разностную задачу 6-го порядка, но только по нечетным узлам цепочки, так что эффективно она имеет тре тий порядок по двойным сдвигам T 2 (однако, с коэффициентами, завися щими также от переменных в четных узлах). Рассмотрим спектральную задачу u3 3 + 1 = (1 + u3 ), (3.36) или, в операторном виде, обозначив K = uT 3 + T :

K † = K.

Уравнение Лакса для оператора L = K 1 K † может быть записано в виде системы (3.17). Оно допускает редукцию B = A†, что дает уравнение K,t + A† K + KA = 0. (3.37) Оператор A ищется в виде многочлена Лорана по четным степеням T, A = a(k) T 2k + · · · + a(k) T 2k, и непосредственный анализ уравнения (3.37) при k = 1, 2 приводит к следующему утверждению.

Теорема 3.6. Уравнение (3.37) с K = uT 3 + T эквивалентно нелокаль ной цепочке u,t1 = u(f2 u2 f1 u1 + f1 u1 f2 u2 ) + f1 f1, f3 u = f1 u при выборе оператора A в виде A = f T 2 + f2 u2 f1 u1 + f3 T 2 ;

и локальной цепочке 4-го порядка u,t2 = u(v3 v2 + v1 v1 + v2 v3 u2 + u2 ), v := u1 uu1 (3.38) при выборе оператора A в виде A = u1 T 4 u4 T 4 + (1 u1 u2 )(T 2 T 2 ) +u1 u2 v + v1 v2 + v3.

Следует отметить, что, альтернативно, для цепочки (3.38) можно ис пользовать следующую пару операторов:

K = uT 3 +T 1, A = u1 u1 T 4 +u2 u4 T 4 v +v1 v2 +v3 (3.39) (эти пары калибровочно эквивалентны, ср. с формулой (3.14)).

Цепочка (3.38) и определяет искомую дискретизацию. Непрерывный предел к уравнению KK задается теми же общими формулами, что и раньше, в частности, для потока (3.38) он имеет вид, при 0:

1 42 + U x t2, + u(n, t2 ) = t2, x = n.

39 9 По сравнению с семейством спектральных задач (4.37), зависящим от по казателей l, m, пример (3.36) выглядит изолированным и даже несколь ко загадочным. В частности, можно проверить, что он не выдерживает замену T 3 на T m c m 3, а именно, уравнение (3.37) становится пере определенным и оператор A не находится. Это несколько противоречит непрерывной картине, в которой уравнения SK и KK являются, можно сказать, близнецами. Неизвестно также, связаны ли цепочки из dSK(l,m) каким-либо преобразованием с цепочкой (3.38), и существуют ли другие дискретизации уравнения Каупа–Купершмидта. В настоящее время, здесь появились некоторые продвижения. Оказалось, что для уравнения KK существует семейство дискретизаций, по форме близких к некоторым потенциированным цепочкам из таблицы 3.1. Эти результаты еще не опубликованы.

3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида Напомним, что, согласно [19], цепочки типа Богоявленского можно рас сматривать, как редукции более общих многополевых моделей, ассоци ированных со спектральными задачами L = для общих разност ных операторов L = u(m) T m + u(m1) T m1 + · · · + u(1l) T 1l + u(l) T l.

Здесь m, l любые положительные целые, и можно принять нормировку u(m) = 1 или u(l) = 1 без потери общности. Часть потоков соответству ющей иерархии совместна со связями u(m1) = · · · = u(1l) = 0 и эта редукция приводит к цепочкам Богоявленского. Некоторые другие ре дукции подробно изучались в [95].

Цепочки, введенные в предыдущих разделах, связаны со спектраль ными задачами P = Q с двучленными операторами P, Q. Естествен но ожидать, что эти цепочки также определяют редукции некоторых многополевых уравнений связанных с более общими операторами P, Q.

Ограничимся рассмотрением трех типичных примеров.

Пример 3.7. Сначала, рассмотрим уравнения Лакса P,t = BP P A, Q,t = BQ QA для двучленных операторов P, Q, но с различными по тенциалами:

P = uT 3 + T, Q = T 2 + v.

Если v = u, то операторы A, B задаются формулами (3.20), (3.22) с самосопряженным оператором F, содержащим только четные степени T. В общем случае, возникает два набора операторов A, B, содержащих положительные или отрицательные степени T 2. Простейшие операторы и соответствующие потоки имеют следующий вид:

A = v2 v1 T 2 + f3 + f2, B = v1 vT 2 + f1 + f, u,t = u(f1 f1 ), v,t = v(f + f1 f2 f3 v1 + v1 ), f := uv1 v2 ;

A+ = u2 u1 T 2 + g1 + g, B + = uu1 T 2 + g + g1, u,t+ = u(g + g1 g2 g3 u1 + u1 ), v,t+ = v(g1 g1 ), g := u2 u1 v.

Потоки t и t+ коммутируют, а поток t = t t+ допускает редук цию v = u, которая приводит к уравнению dSK (3.1). Эти же потоки можно получить, стартуя с калибровочно эквивалентной пары операто ров P = uT 3 + T 2, Q = T + v.

Пример 3.8. Теперь рассмотрим трехчленные операторы P = uT 3 + pT 2 + T, Q = T 2 + qT + v.

В этом случае операторы A, B содержат также нечетные степени T. Про стейшие операторы и соответствующие потоки имеют вид A = v1 T 1 + v1 p2, B = vT 1 + v1 p, u,x = u(u1 q u1 q2 p + p1 ), p,x = p(u1 q uq1 ) + u u1, v,x = v(u1 q u2 q1 ), q,x = uv1 u2 v;

A+ = u2 T + u2 q1, B + = uT + u1 q, u,x+ = u(v1 p v2 p1 ), p,x+ = u1 v uv2, v,x+ = v(v1 p v1 p2 + q1 q), q,x+ = q(v1 p vp1 ) + v v1.

Пример 3.9. Рассмотрим следующее обобщение спектральной задачи (3.39):

K † = K, K = uT 3 + v1 T + T 1.

Изоспектральные деформации определяются операторами A = a(k) T 2k + a(k1) T 2k2 + · · · + a(k) T 2k. Простейший случай k = 1 приводит к A = u1 T 2 u2 T 2 + u1 v1 u2 v2, при этом уравнение K,t + A† K + KA = 0 эквивалентно цепочке u,t = u(u2 v2 u1 v1 + u1 v1 u2 v2 v1 + v1 ), v,t = v(u1 v1 u1 v1 ) + u2 u1 u1 u2 + u1 u1.

Высшая симметрия, отвечающая k = 2 слишком громоздка, чтобы ее выписывать, но можно проверить, что она допускает редукцию v = к уравнению dKK (3.38). Сам поток t, однако, не согласован с этой редукцией.

Глава Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка В этой главе дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений порядка 1 по одной и m по другой дискретной переменной (мультиквад-уравнений). Ранее это свойство рас сматривалось только при m = 1 (то есть, для так называемых квад уравнений) [21, 77, 8]. Уравнения с произвольным m возникают, как преобразования Бэклунда для эволюционных цепочек m-го порядка по сдвигам. При этом, свойство многомерной совместности отражает пере становочность преобразований Бэклунда. Рассмотрены примеры, отве чающие цепочке Богоявленского B(m) и дискретизации уравнения Савады– Котеры dSK(1,m) из предыдущей главы. Преобразование Бэклунда для B(m) рассматривалось ранее в [103, 78, 93], для dSK(1,m) является новым.

Формулы суперпозиции новые в обоих примерах, они служат многоком понентными обобщениями уравнений Q0 и H3 из списка [8].

4.1 Общая схема Многомерная совместность Рассмотрим уравнения с двумя независимыми дискретными переменны ми, вида Q(v(i + 1, n + m),..., v(i + 1, n), v(i, n + m),..., v(i, n)) = 0, (4.1) где m фиксированное положительное число, зависимая переменная v и функция Q принимают вещественные или комплексные значения. Оче видно, этот класс обобщает так называемые квад-уравнения Q(v(i + 1, n + 1), v(i + 1, n), v(i, n + 1), v(i, n)) = 0, (4.2) которые активно изучаются в последнее время. Напомним, что одним из важных понятий в теории интегрируемых квад-уравнений является свойство 3D-совместности. Оно означает, что начальные данные обще го положения определяют на 3-мерной решетке функцию v(i, j, n), удо влетворяющую одновременно трем уравнениям вида (4.2), относитель но каждой пары дискретных переменных [21, 77]. При этом, совмест ность на решетке любой размерности следует автоматически. Разумеет ся, свойство 3D-совместности выполняется не для произвольной тройки уравнений, а только для очень специальной, и, при ряде дополнительных предположений, это позволяет выделить список интегрируемых квад уравнений [8].

В общем случае m 1, переменная n выделена и ситуация менее симметрична: уравнения вида (4.1) выполняются по переменным (i, n), (j, n), а по переменным (i, j) выполняется некоторое m-компонентное квад-уравнение V (i + 1, j + 1) = R(V (i + 1, j), V (i, j + 1), V (i, j)), (4.3) где V = (v(n + m),..., v(n + 1)). Символически, 1m quad + quad + quad m-quad + m-quad + m-component quad.

На многомерной решетке, уравнение (4.3) удовлетворяет обычному свой ству 3D-совместности по переменным i, j, k, отличным от n. Строгое определение многомерной совместности для уравнений вида (4.1) при ведено в разделе 4.2.

Примеры Уравнения (4.1) возникают, как преобразования Бэклунда (или преоб разования Дарбу, на уровне спектральных задач) для эволюционных це почек вида (3.7) u,t = A(um,..., um ), где обозначено us = u(n + s, t). В качестве примеров, рассматриваются цепочки из предыдущей главы: цепочка Богоявленского B(m) (3.10) и це почка dSK(1,m) (3.27), определяющая дискретизацию уравнения Савады– Котеры.

Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского было получе но в работах [103, 78, 93];

подробное изложение имеется в книге [94] (под ход, основанный на дискретизации, сохраняющей гамильтонову структу ру);

из недавних работ можно отметить [34] (связь с обобщенным QD ал горитмом). В разделе 4.3, это преобразование Бэклунда выписано в виде уравнения типа (4.1), совместного с потенциальной версией цепочки Бо гоявленского. При этом, переменная n в (4.1) наследуется из цепочки, а i нумерует преобразования Бэклунда. Новым результатом в этом разделе является доказательство совместности с уравнением вида (4.3), что отра жает коммутативность преобразований Бэклунда (принцип нелинейной суперпозиции). Это уравнение оказывается m-компонентной редукцией 3-мерного уравнения типа Хироты и служит многокомпонентным обоб щением уравнения Q0 из ABS-списка [8].

В разделе 4.4 выводится новый пример уравнения вида (4.1), опреде ляющий преобразование Дарбу–Бэклунда для цепочки dSK(1,m). Напом ним, что эта цепочка обладает представлением Лакса с оператором L в виде отношения двух разностных операторов. Оказывается, что и пре образование Дарбу имеет похожую структуру. Как и в случае цепочки Богоявленского, принцип нелинейной суперпозиции приводит к совмест ному m-компонентному уравнению вида (4.3), обобщающему уравнение H3 из ABS-списка.

Обозначения и предположения Точка на многомерной целочисленной решетке будет обозначаться n = (n1, n2,..., n). Последняя координата n считается выделенной, сдвиги T s : n n+s по ней обозначаются нижним индексом s и нулевой индекс опускается, как в уравнении (3.7). Для остальных координат рассматри ваются только единичные сдвиги Ti : ni ni + 1, которые помечаются верхним индексом i. Если заменить в уравнении (4.1) переменную i на ni и перейти к новым обозначениям, то оно примет вид Q(vm,..., v i, vm,..., v) = 0, i (4.4) которым мы и будем далее пользоваться. Предполагается, что это урав нение разрешимо относительно каждой из угловых переменных vm, v i, vm i или v, при значениях оставшихся переменных в общем положении1. Та ким образом, (4.4) считается эквивалентным уравнению вида vm = q(vm1,..., v i, vm,..., v), i i (4.5) и аналогично для переменных v i, vm, v. Кроме того, предполагается, что выполнено условие невырожденности vi q 0, vm q 0, v q 0, чтобы исключить уравнения вида Q = Q Q = 0, где каждый множи тель зависит от неполного набора угловых переменных. Фактически, в рассматриваемых примерах Q является неприводимым многочленом степени 1 по каждому аргументу. Нетрудно видеть, что при этом все перечисленные условия выполняются.

В зависимости от контекста, слово переменная используется для функции, за данной на решетке, или для ее значения в отдельном узле.

Кроме переменной типа v, для которой областью определения слу жат узлы целочисленной решетки, рассматриваются также переменные, определенные на ее ребрах. Для переменной, ассоциированной с ребром (n, Ti (n)), используется запись типа f (i) (что не следует смешивать с f i = Ti (f )).

Схема вычислений В обоих примерах, построение преобразования Дарбу (процедура одева ния) достаточно стандартно (ср. с подходом Веселова–Шабата в непре рывном случае [104]). Для рассматриваемой разностной спектральной задачи порядка m L[u] =, выбирается частное решение при =. Для функции f = 1 / воз никает пара подстановок типа преобразования Миуры u = a(fm,..., f, ), u = b(fm,..., f, ), (4.6) и последовательность таких подстановок (дискретная одевающая цепоч ка) описывается уравнением a(fm,..., f, ) = b(fm,..., f, ), где тильда понимается, как сдвиг по второй дискретной переменной. Хо тя это уравнение относится к типу (4.4), оно не является 3D-совместным в описанном выше смысле, поскольку переменные f ассоциированы не с вершинами, а с ребрами решетки, и для них следует использовать другое определение, обобщающее понятие отображений Янга–Бакстера, см. напр. [105, 9, 79, 80]. В диссертации, примеры таких отображений уже рассматривались для векторных цепочек из главы 1, см. формулы (1.24) и (1.34). Разумеется, обе версии 3D-совместности, вершинная и реберная, тесно связаны. Оказывается, что уравнения (4.6) допускают введение потенциала (как следствие некоторого закона сохранения) u = u(vm, v), f = f (, v), v причем на переменную v возникает уравнение вида (4.4), которое уже подпадает под наше определение. Дополнительное m-компонентное квад уравнение (4.3), выражающее принцип нелинейной суперпозиции преоб разований Дарбу, находится из матричного представления.

Отметим, что преобразования Бэклунда, эквивалентные паре пре образований типа Миуры, очень распространены, но не покрывают все случаи. Так, в эту схему не укладывается квад-уравнение Q4 из списка ABS, наиболее общий из известных примеров при m = 1. Это уравне ние определяет преобразование Бэклунда для эллиптической цепочки Вольтерра, а также принцип суперпозиции преобразований Бэклунда для уравнения Кричевера–Новикова. Можно ожидать, что аналогичные примеры существуют и при m 1, но они пока неизвестны.

4.2 Многомерная совместность Рассмотрим 3-мерную целочисленную решетку (ni, nj, n), на которой определена вещественная переменная v, удовлетворяющая m-квад-урав нениям по каждой паре дискретных переменных ni, n и nj, n:

Q(i) (vm,..., v i, vm,..., v) = 0, i Q(j) (vm,..., v j, vm,..., v) = 0.

j (4.7) Разрешив эти уравнения относительно угловых переменных, можно по строить их решения на координатных плоскостях (ni, 0, n) и (0, nj, n), с начальными данными v(ni, 0, 0),..., v(ni, 0, m 1), v(0, nj, 0),..., v(0, nj, m 1) v(0, 0, n), общего положения (см. рис. 4.1, где взято m = 2). Чтобы эти решения можно было продолжить на всю 3-мерную решетку, должны выполнять ся некоторые условия совместности. Выясним, в чем они состоят.

Для удобства, временно отождествим общую точку n на решетке с j i началом координат (0, 0, 0). Переменные vs = v(1, 0, s), vs = v(0, 1, s) вычисляются по начальным данным из уравнений (4.7). Для нахождения ij переменных vs = v(1, 1, s) мы располагаем системой из бесконечного числа уравнений ij ij j Q(i) (vs+m,..., vs, vs+m,..., vs ) = 0, j ij Q(j) (vs+m,..., vs, vs+m,..., vs ) = 0, ij i i s Z. (4.8) ni n nj Рис. 4.1. Пара уравнений (4.7), m = 2. Начальные данные помечены темными кружками.

vi0 vi1 vi ij ij ij v0 v1 v v0 v1 v j j j v0 v1 v Рис. 4.2. 3D-совместность для пары 2-квад-уравнений и 2-компонентного квад-уравнения. Черные вершины отве чают начальным данным;

звездочкой отмечены вершины, в которых проверяются условия совместности.

При s = m 1,..., 0 возникает система из 2m уравнений на 2m неиз ij вестных v2m1,..., v ij. Будем предполагать, что функции Q(i), Q(j) тако вы, что эта система невырождена и имеет конечное множество решений.

Однако, это еще не означает, что разрешим весь набор уравнений (4.8).

Действительно, если рассмотреть еще s = m, то добавится два уравне ij ния на одну неизвестную v2m, которые, вообще говоря, не имеют общего решения. Нас интересует случай уравнений специального типа, когда система (4.8) имеет решение при начальных данных общего положения.

ij Заметим, что выражения для vm1,..., v ij через начальные данные могут содержать только j vm1,..., v i, i vm1,..., v j.

vm1,..., v, ij Действительно, так как vm1,..., v ij находятся при решении уравнений (4.8) при s = m 1,..., 0, то эти переменные не зависят от vs при s 0.

Но, точно также, эти переменные можно найти, решая систему (4.8) при s = 1,..., m, откуда следует, что нет зависимости от vs при s m 1. Таким образом, если уравнения (4.7) совместны, то возникает отображение R(ij) : (V i, V j, V ) V ij, V = (vm1,..., v), которое можно интерпретировать, как m-компонентное квад-уравнение на подрешетке (ni, nj ). Ясно, что это отображение определено в любой точке n решетки, а не только в начале координат, как было предположе но для удобства. Это наблюдение и позволяет сформулировать условия совместности.

Отметим еще, что, поскольку отображение R(ij) выводится при реше нии системы уравнений, то оно, вообще говоря, может оказаться много значным, даже если исходные уравнения (4.7) были однозначно разреши мы относительно угловых переменных. Изучение многозначных уравне ний в дискретном случае возможно (см. напр. работу [18] посвященную квадратичным квад-уравнениям), но связано с определенными техниче скими трудностями. Чтобы не затемнять суть явления многомерной сов местности, предположим, что и уравнения (4.7), взятые в разрешенном виде (4.5), и отображение R(ij) являются однозначными. Это допуще ние выполняется для рассмотренных далее примеров. При такой фор мулировке, решение 3D-совместной системы строится в октанте ni 0, nj 0, n 0.

В следующем Определении, компоненты отображения R(ij) нумеру ются нижним индексом в квадратных скобках, чтобы не смешивать его с обозначением для сдвигов по n. В части (i) определения дается условие совместности на 3-мерной решетке (см. рис. 4.2, для m = 2). На много мерной решетке оно должно выполняться на всех подрешетках (ni, nj, n) для произвольных i, j. При этом, отображения R(ij) определены на всех подрешетках (ni, nj ), и на подрешетках (ni, nj, nk ) для них должно вы полняться обычное условие 3D-совместности для квад-уравнений, при веденное в части (ii).

(ij) (ij) Определение 4.1. Пусть V = (vm1,..., v), R(ij) = (r[m1],..., r[0] ).

Система уравнений vm = q (i) (vm1,..., v i, vm,..., v) = q (i) (V i, vm, V ), i i (4.9) V ij = R(ij) (V i, V j, V ), i = j, (4.10) многомерно совместна, если выполняются следующие свойства:

j (i) для любой пары i = j, при замене vm, vm, V ij в силу (4.9), (4.10), i равенства (ij) (ij) r[s] (V1i, V1j, V1 ) = r[s+1] (V i, V j, V ), s = 0,..., m 2, (4.11) (ij) r[m1] (V1i, V1j, V1 ) = q (i) (V ij, vm, V j ) = q (j) (V ij, vm, V i ) j i выполняются тождественно по vm, V, V i, V j ;

(ii) для любой тройки i = j = k = i, при замене V ij, V ik, V jk в силу (4.10), равенства R(jk) (V ij, V ik, V i ) = R(ik) (V ij, V jk, V j ) = R(ij) (V ik, V jk, V k ) (4.12) выполняются тождественно по V, V i, V j, V k.

Более наглядно, тождества (4.11), (4.12) можно записать, как (ij) (ij) (ij) (ij) ij ij v1 = T (r[0] ) = r[1],..., vm1 = T (r[m2] ) = r[m1], (ij) vm = T (r[m1] ) = Tj (q (i) ) = Ti (q (j) ), ij V ijk = Ti (R(jk) ) = Tj (R(ik) ) = Tk (R(ij) ), где подразумевается, что операторы сдвига T, Ti, Tj действуют в силу уравнений (4.9), (4.10).

Можно показать, что выписанные условия являются не только необ ходимыми, но и достаточными для того, чтобы уравнения (4.9), (4.10) допускали решение на решетке произвольной размерности, удовлетворя ющее начальным данным общего положения, заданным на двумерных координатных подрешетках (ni, n).

Два примера, иллюстрирующих данное определение, приведены в за ключительных разделах диссертации.

4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Бо гоявленского С цепочкой Богоявленского u,t = u(um + · · · + u1 u1 · · · um ) (4.13) и ее модификациями связано несколько дискретных уравнений вида (4.4), но мы ограничимся рассмотрением лишь одного из них. Оно определяет преобразование Бэклунда для одной из потенциальных версий цепочки (4.13) (другие способы введения потенциала рассматривались в разделе 3.3.2, см. также замечание 4.7). Цель этого раздела доказать свойство многомерной совместности, сформулированное в следующей теореме, и показать, что оно эквивалентно коммутативности преобразований Бэк лунда.

Теорема 4.2. Система, состоящая из m-квад-уравнений (vm vm ) · · · (v v i ) = (i) vm1 · · · vv i, i (4.14) и m-компонентных квад-уравнений (j) P (i) v j (i) P (j) v i v ij = P (i) := (vm1 vm1 )... (v v i ), (4.15) i, (j) P (i) (i) P (j) ij j j ij i i vs vs vs vs vs vs s = 1,..., m + + = 0, (4.16) j i vs1 vs vs многомерно совместна в смысле Определения 4.1, а также совместна с цепочкой vm vm1 v + ··· + v,t = v +, (4.17) v v1 vm связанной с (4.13) подстановкой u = vm /v.

В частности, при m = 1 (случай цепочки Вольтерра) уравнения (4.14) принимают вид (v1 v1 )(v v i ) = (i) vv i, i а система (4.15), (4.16) сводится к уравнению Q0 из списка [8] (i) (v v j )(v i v ij ) = (j) (v v i )(v j v ij ).

В общем случае, уравнение (4.16) без ограничений на значения s явля ется хорошо известным 3-мерным интегрируемым уравнением, эквива лентным уравнению Хироты. Свойство многомерной совместности для уравнений такого типа изучалось в [10]. Уравнение (4.15) является свя зью, определяющей редукцию этого 3-мерного уравнения к m-компо нентному 2-мерному, а уравнения (4.14) играют роль дополнительных связей. Одно доказательство теоремы можно получить, проверив согла сованность этих связей с 3-мерным уравнением.

Мы пойдем другим путем, оставаясь все время в рамках 2-мерной теории и взяв в качестве отправной точки преобразование Дарбу для дискретной линейной задачи 1 um =, (4.18) ассоциированной с цепочкой Богоявленского.

Утверждение 4.3. Пусть функция (n) решение уравнения (4.18) с u = fm · · · f1 (f ), (4.19) причем u(n) = 0 при всех n, тогда функция 1 f = (4.20) f решение уравнения 1 um =, где u = (fm )fm1 · · · f.

(4.21) Доказательство. Легко проверить, что если u, u имеют указанный вид, то операторы 1 L = T 1 uT m, L = T 1 uT m, T f, A= f m (f )T (1 Y m )(1 Y )1, B= + m где обозначено m, Y= f T, µ= m удовлетворяют тождествам B · (f )A = L + µ(f ), 1 (f )A B · (f ) = L + µ(f ).

f Считается, что = 0, так как при = 0 утверждение тривиально. При (1 Y )T 1.

проверке, оператор A удобно переписать, как A = (f ) Из первого тождества следует, что решение уравнения L = удо влетворяет также уравнению B · (f )A = µ(f ), откуда получаем, что = A удовлетворяет уравнению 1 B · (f ) = µ, A f и тогда из второго тождества следует L =.

Замечание 4.4. Из условия u(n) = 0 следует, очевидно, что f (n) = 0, f (n) =, при всех n. В принципе, это ограничение можно ослабить, но это не приводит к существенным обобщениям, зато требует многочислен ных оговорок. Поэтому, мы будем считать, что это условие выполнено и во всех дальнейших формулах.

Соотношения (4.19), (4.21) играют роль преобразований типа Ми уры для цепочки Богоявленского. Если функция u задана, то любую функцию f, удовлетворяющую уравнению u = fm · · · f1 (f ), можно представить в виде f = 1 /, где частное решение уравнения (4.18) при =. Так как цепочка (4.13) эквивалентна условию совместности уравнений (4.18) и,t = m1 (u + · · · + um ), то отсюда легко выводится модифицированная цепочка для переменной f:

f,t = f (f )(fm · · · f1 f1 · · · fm ). (4.22) В обратную сторону, можно непосредственно проверить, что каждая из подстановок (4.19), (4.21) переводит решение цепочки (4.22) в решение цепочки (4.13). Исключив переменную u, приходим к следующему утвер ждению.

Утверждение 4.5. Уравнение (fm )fm1 · · · f = fm · · · f1 (f ) (4.23) определяет n-часть преобразования Бэклунда для цепочки (4.22), то есть, соотношение, возникающее при дифференцировании этого урав нения в силу (4.22) и аналогичной цепочки для f, выполняется тож дественно в силу самого уравнения.

Иначе говоря, цепочка (4.22) задает высшую непрерывную симмет рию для (4.23). Уже одно только наличие такой симметрии позволя ет считать уравнение интегрируемым. Однако, как быть с 3D-совмест ностью? Как отмечалось в вводном разделе 4.1, хотя (4.23) и относится к рассматриваемому типу уравнений (4.4), но переменные f естественно ассоциируются не с вершинами, а с ребрами решетки, поэтому опре деление 4.1 для них не годится и 3D-совместность следует понимать в смысле отображений Янга–Бакстера. Мы не будем давать еще одно общее определение, поскольку в нашем рассмотрении переменные f иг рают вспомогательную роль;

нужное свойство сформулировано ниже в утверждении 4.6. Для его доказательства удобно перейти к матричному представлению линейной задачи (4.18) и ее преобразования Дарбу (4.20) 1 = U, = F U F = F1 U, (4.24) (m + 1) (m + 1):

где вектор, а U и F матрицы размера 0 1... m..

=., U =.

.

, (4.25). 0 0... u 0...

f fmm 0... (fm ) fm1 fm 0... (fm1 )....

F =. (4.26)..

f1 f 0 0... (f ) fm · · · f1 0... Вид этих матриц без труда находится непосредственно из уравнений (4.18), (4.20). При этом, утверждение 4.3 означает в точности, что со отношения (4.19)–(4.21) эквивалентны матричным уравнениям (4.24).

Свойство перестановочности двух преобразований Дарбу с матрицами указанного вида = F [f,, ], = F [g,, ] выражается уравнением F [,, ] F [f,, ] = F [f,, ] F [g,, ].

g (4.27) Благодаря специальной структуре матриц, его сравнительно неслож но разрешить, и непосредственное вычисление приводит к следующему утверждению. Схема доказательства тождества (4.29), основанная на пе рефакторизации произведения трех матриц, хорошо известна (см. напр.

[17]).

Утверждение 4.6. Пусть матрицы F имеют вид (4.26) и =, то гда уравнение (4.27), рассматриваемое, как тождество по, однознач но разрешимо относительно f, g, при значениях f, g общего положения.

(i), = (i), g = f (j), = (i), получаем m-компонентное Полагая f = f отображение (j) (j) (i) (i) (j) ((j) fm · · · f1 (i) fm · · · f1 )(f1 (j) ) (i) Tj (f1 ) =, (i) (i) (i) (j) fm · · · f2 ((j) f1 (i) f1 ) (4.28) (i) (j) (i) (j) fs (fs (j) )((j) fs1 (i) fs1 ) (i) Tj (fs ) =, s = 2,..., m, (j) (i) (j) (fs1 (j) )((j) fs (i) fs ) удовлетворяющее свойству 3D-совместности (i) (i) Tk Tj (fs ) = Tj Tk (fs ), s = 1,..., m. (4.29) Доказательство. Можно проверить, что уравнение (4.27) однозначно разрешимо также относительно переменных f, g, при заданных g, f. Кро ме того, выполняется следующее свойство: если параметры,, раз личны и F [h,, ]F [g,, ]F [f,, ] = F [h,, ]F [g,, ]F [f,, ], (4.30) то h = h, g = g, f = f. Это следует из того, что матрица (4.26) од нозначно определяется по своему одномерному ядру при значении спек трального параметра = :

ker F [f,, ] = (1, fm, fm fm1,..., fm · · · f1 ).

Припишем параметры,, трем координатным направлениям и рас смотрим перефакторизации матрицы F [h,, ]F [g,, ]F [f,, ], отвеча ющие всем перестановкам этих параметров. Благодаря свойству (4.30), каждой перестановке отвечает единственный набор значений f, g, h, ко торые естественно ассоциируются с ребрами куба. При этом, значение на каждом ребре получается двумя возможными способами, что равно сильно свойству (4.29).

Доказательство теоремы 4.2. Из доказанных утверждений следует сов местность, на решетке произвольной размерности, уравнений (i) (i) u = fm · · · f1 (f (i) (i) ), (i) ui = (fm (i) )fm1 · · · f (i), (i) (4.31) отображения (4.28) и цепочек (4.13), (4.22). Осталось перейти от ребер ных переменных f (i) к переменным v в вершинах решетки. Для этого, заметим, что из (4.31) следует мультипликативный закон сохранения (i) (i) ui (fm (i) )/fm =. (4.32) (f )/f u Это позволяет ввести (однозначно, с точностью до постоянного множи теля) потенциал v, согласно формулам (i) v vm f (i) = u=,.


v vi v При этой замене, цепочки (4.13), (4.22) переходят в цепочку (4.17), со отношения (4.31) переходят в уравнение (4.14), отображение (4.28) пе реходит в уравнения (4.15), (4.16). При этом, в новые уравнения пара метры входят только в степени m + 1, поэтому сделано переобозачение ((i) )m+1 = (i).

Замечание 4.7. Существуют и другие способы введения потенциала, на пример, вместо (4.32) можно рассмотреть закон сохранения (i) (i) ui f = m+, f u приводящий к подстановке i wm+1 w f (i) = + (i).

u=, w w На переменную w возникает уравнение wm · · · w = (wm + (i) wm1 ) · · · (w1 + (i) w)wi, i i свойства которого аналогичны свойствам уравнения (4.14).

Замечание 4.8. С точки зрения логической простоты, введение потенци ала кажется излишним шагом, поскольку переменные, ассоциированные это переменные u, с вершинами решетки, имеются с самого начала коэффициенты исходной линейной задачи (4.18). Они также удовлетво ряют некоторому мультиквад-уравнению, однако, его трудно выписать в общем виде. В отличие от уравнений для f, v или w, оно не является аффинно-линейным по каждой переменной. Например, уже в простей шем случае m = 1 соотношения (4.19) принимают вид u = f1 (f ), u = (f1 )f, откуда находим (u u + 2 + ( u)2 + 22 ( + u) + 4 ), f= u u f1 = f + ( u) u и исключение f приводит к квад-уравнению ( u)2 + 22 ( + u) + 4 ) uu+ u u (1 u1 )2 + 22 (1 + u1 ) + 4 ).

= u1 u1 + u u Eго можно преобразовать к полиномиальному виду, квадратичному по каждой переменной;

общая теория таких уравнений развита в [18]. Ана логично, при m = 2, полиномиальное уравнение на u, степени 3 по каж дой переменной, возникает при исключении f,..., f4 из уравнений us = fs+2 fs+1 (fs ), us = (fs+2 )fs+1 fs, s = 0, 1, 2.

4.4 Преобразование Бэклунда для дискретиза ции уравнения Савады–Котеры В этом разделе изучаются дискретные уравнения, связанные с цепочкой dSK(1,m) из главы 3:

u,t = u2 (um · · · u1 u1 · · · um ) u(um1 · · · u1 u1 · · · u1m ). (4.33) Основным результатом является следующая теорема, в которой пред ставлены преобразование Бэклунда и формулы нелинейной суперпози ции для потенциальной формы этой цепочки.

Теорема 4.9. Система уравнений (vm v)vm1 · · · v i = (i) (vm v i )vm1 · · · v, i i (4.34) (i,j) Ps+ ij s = 0,..., m 1, vs = vs (i,j), (4.35) Ps где j (i,j) = ((i) vm1 · · · v j (j) vm1 · · · v i )vm1 · · · v i Ps m j r,s (vm1 · · · vr+1 )2 vr (vr vr )vr1 · · · v i vr1 · · · v j, (i,j) i ji + r= s r, (i,j) r,s = (i) (j) r s, многомерно совместна, а также совместна с цепочкой vm1 · · · v (vm vm ).

v,t = (4.36) v1 · · · vm связанной с (4.33) подстановкой u = vm /v.

Отметим, что при m = 1 цепочка (4.33) сводится к модифицирован ной цепочке Вольтерра u,t = u2 (u1 u1 ), а система (4.35) сводится к уравнению ((i) 1)(v ij v j (j) v i v) = ((j) 1)(v ij v i (i) v j v), эквивалентному H3 из списка [8]. При m 1 интегрируемость цепоч ки (4.33) вытекает из наличия представления Лакса вида L,t = [A, L], L = Q1 P, указанного в теореме 3.1. Сейчас, это представление удоб нее переписать, не переходя на операторные обозначения из предыдущей главы:

um+1 m + (1 u) = 0, (4.37),t = u1 · · · um (m m ) (4.38) (разумеется, эквивалентность цепочки (4.33) и условия совместности для этих линейных уравнений можно проверить и непосредственно).

Основным шагом в доказательстве Теоремы 4.9 является вывод пре образования Дарбу для уравнения (4.37). Его действие на функцию определяется сложнее, чем в случае цепочки Богоявленского, где пре образования Дарбу имели первый порядок (см. утверждение 4.3). Тем не менее, на уровне коэффициентов линейной задачи, преобразование Дарбу по прежнему описывается композицией двух подстановок типа Миуры, а именно, g g u = f, u = fm, (4.39) G G где g = fm1 · · · f1, G = fm · · · f (эти обозначения используются на протяжении всего раздела).

Утверждение 4.10. Пусть функции u, u имеют вид (4.39), решение уравнения (4.37), решение аналогичного уравнения um+1 m + (1 u) = 0. (4.40) Тогда обе формулы = 1 f и = f 1 определяют решение уравнения (1 fm f )(f1 g1 m+1 + G1 1 ) = (1 fm+1 f1 )(Gm + fm g). (4.41) Доказательство. Имеем:

= 1 f, 1 = 2 f1 1, m = m+1 fm m = fm m, 1 + u u m+1 = 1 fm+1 (m + fm m ).

2 + u1 u Разрешим первые три уравнения относительно 1, 2, m и подставим в последнее. Прямое (хотя и довольно длинное) вычисление показывает, что члены с сокращаются, с учетом соотношения u = gf /G, и на возникает уравнение (4.41).

Вторую подстановку = f 1 можно проверить аналогично, но лучше использовать отражение f (n) f (n), (n) (1 n), (n) (n),.

При этой замене, уравнения (4.37) и (4.40) переходят друг в друга, также как подстановки = 1 f и = f 1, а уравнение (4.41) переходит в себя. Действительно: уравнение (4.37) fm1 · · · f f (m+1 ) = m fm · · · f переходит в fm+1 · · · f1 1 f (m 1 ) = 1m fm · · · f и, применяя T m, получаем уравнение (4.40) fm1 · · · f1 fm (m+1 ) = m 1.

fm · · · f Проверка инвариантности уравнения (4.41) использует то, что при от ражении gk переходит в gmk, Gk в Gmk ).

Уравнение (4.41) довольно неуклюже, но оно нужно только в каче стве промежуточного звена между уравнениями (4.37) и (4.40). Важно лишь, что оба эти уравнения допускают преобразование Дарбу 1-го по рядка в одно и то же уравнение, поэтому определено и преобразование Дарбу между ними:

= (1 f T )1 (T f ).

= (T f ), = (1 f T ) Оператор 1f T обратим в силу уравнения (4.37), оператор (1f T )1 (T f ) имеет порядок m (его явный, довольно громоздкий вид нам не пона добится). В матричном представлении, преобразование Дарбу задается формулами 1 = U, = F, F = B 1 A, где 0 1... 0..

.

0 0 0....

=.,.

U =,..

. 0 0... 0 m... u u f 1... 0..

.

f 0 0....

..

A=, (4.42)... fm 0 0 G G fm... gf gf f... 1..

. 0 1....

..

B=. (4.43) 0... 1 fm G G fm... 0 g g Условие совместности U F = F1 U в точности эквивалентно соотношени ям (4.39). Обратим внимание, что матрица F не зависит от переменной fm, хотя она и входит в матрицы A и B.

Более сложная структура матрицы F является единственным суще ственным отличием от примера из предыдущего раздела. В остальном, схема доказательства не меняется. Любую функцию f, удовлетворяю щую уравнению u = gf /G, можно представить в виде f = 1 /, где частное решение уравнения (4.37) при =. Используя уравнение (4.38), получаем отсюда модифицированную цепочку g1 · · · gm+ ggm (G Gm ) GGm (g gm ).

f,t = f (4.44) G · · · Gm Наоборот, можно непосредственно проверить, что каждая из подстано вок (4.39) переводит решение цепочки (4.44) в решение цепочки (4.33).

Отсюда, приходим к следующему утверждению.

Утверждение 4.11. Уравнение fm (fm1 · · · f1 ) (fm1 · · · f1 )f =. (4.45) fm · · · f fm · · · f определяет n-часть преобразования Бэклунда для цепочки (4.44), то есть, соотношение, возникающее при дифференцировании этого урав нения в силу (4.44) и аналогичной цепочки для f, выполняется тож дественно в силу самого уравнения.

Замечание 4.12. Интересным свойством уравнения (4.45) является то, что при = оно допускает редукцию к уравнению порядка m 1.

Точнее, можно проверить, что оно приводится к виду f T (Q) = fm Q, где Q многочлен, зависящий от f,..., fm1, f,..., fm1, так что уравнение Q = 0 задает специальное решение уравнения (4.45). При этом, урав нение Q = 0 по прежнему совместно с цепочкой (4.44). В простейшем случае m = 2 возникает квад-уравнение (дискретный аналог уравнения Цицейки) f f1 (1 f1 f f1 f ) + f1 + f = 0, совместное с цепочкой f (f ) f (f1 )(f1 )(f2 f1 f1 f2 ) f1 + f1.

f,t = f1 f f1 (f2 f1 f )(f f1 f2 ) Аналогичное понижение порядка имеется и для уравнения (4.23).

Перефакторизация указанных выше матриц Дарбу представляет со бой достаточно сложное упражнение. Тем не менее, ответ удается запи сать в общем виде для произвольного m, и мы приходим к следующему утверждению. Доказательство 3D-совместности следует из тех же общих соображений, что и в случае утверждения 4.6.

Утверждение 4.13. Пусть F [f,, ] = B 1 A, где матрицы A, B име ют вид (4.42), (4.43), и (i) = (j), тогда уравнение F [Ti (f (j) ), (j), ] F [f (i), (i), ] = F [Tj (f (i) ), (i), ] F [f (j), (j), ], рассматриваемое, как тождество по, однозначно разрешимо отно сительно Ti (f (j) ), Tj (f (i) ), при значениях f (i), f (j) общего положения и приводит к m-компонентному отображению (i,j) Ps+ (i) s = 0,..., m 1, Tj (fs ) =, (4.46) (j) (i,j) fs Ps где (j) (i) (i,j) = (i) fm1 · · · f (j) (j) fm1 · · · f (i) Ps m (i) (j) r,s (fr fr )fr1 · · · f (i) fr1 · · · f (j), (i,j) (i) (j) + r= s r, (i,j) r,s = (i) (j) r s.


Это отображение удовлетворяет свойству 3D-совместности (i) (i) s = 0,..., m 1.

Tk Tj (fs ) = Tj Tk (fs ), Доказательство теоремы 4.9 получается теперь, как и в предыдущем разделе, введением потенциала v согласно формулам vi vm f (i) = u=,.

v v При этом, уравнения (4.39) переходят в уравнение (4.34), отображение (4.46) переходит в (4.35), цепочки (4.33), (4.44) переходят в цепочку (4.36). Совместность следует из доказанных утверждений.

Литература [1] M.J. Ablowitz, Y. Ohta, A.D. Trubatch. On discretizations of the vector Nonlinear Schrdinger Equation. Phys. Lett. A 253 (1999) 287– o 304.

[2] M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke. The Pfa lattice and skew orthogonal polynomials. Int. Math. Res. Notes 1999:11 (1999) 569– 588.

[3] M. Adler, P. van Moerbeke. Toda versus Pfa lattice and related polynomials. Duke Math. J. 112:1 (2002) 1–58.

[4] M. Adler, T. Shiota, P. van Moerbeke. Pfa -functions. Math. Ann.

322 (2002) 423–476.

[5] V.E. Adler. Nonlinear superposition formula for Jordan NLS equations.

Phys. Lett. A 190 (1994) 53–58.

[6] V.E. Adler. Integrable deformations of a polygon. Physica D 87:1– (1995) 52–57.

[7] V.E. Adler. Classication of integrable Volterra-type lattices on the sphere: isotropic case. J. Phys. A 41:14 (2008) 145201.

[8] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classication of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math.

Phys. 233 (2003) 513–543.

[9] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Geometry of Yang–Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings. Comm. Anal.

and Geom. 12:5 (2004) 967–1007.

[10] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classication of integrable discrete equations of octahedron type. Int. Math. Res. Notices 2012: (2012) 1822–1889.

[11] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On vector analogs of the modied Volterra lattice. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455203.

[12] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Linear problems and Bcklund a transformations for the Hirota–Ohta system. Physics Letters A (2011) 468–473.

[13] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Dierential-dierence equations associated with the fractional Lax operators. J. Phys. A: Math.

Theor. 44 (2011) 415203.

[14] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On discrete 2D integrable equations of higher order J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 045206.

[15] V.E. Adler, Yu.B. Suris. Q4: Integrable master equation related to an elliptic curve. Intl. Math. Res. Notices (2004) 2523–2553.

[16] V.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-component Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24–36.

[17] V.E. Adler, R.I. Yamilov. Auto-transformations of integrable chains.

J. Phys. A 27 (1994) 477–492.

[18] J. Atkinson, M. Nieszporski. Multi-quadratic quad equations:

integrable cases from a factorised-discriminant hypothesis. http:// arxiv.org/abs/1204.0638v2 3 Apr 2012.

[19] M. Blaszak, K. Marciniak. R-matrix approach to lattice integrable systems. J. Math. Phys. 35:9 (1994) 4661–4682.

[20] A.I. Bobenko, Ch. Mercat, Yu.B. Suris. Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green’s function. J. Reine Angew. Math. 2005:583 (2005) 117–161.

[21] A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Integrable non-commutative equations on quad-graphs. The consistency approach. Lett. Math. Phys. 61 (2002) 241–254.

[22] L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Lattice and q-dierence Darboux-Zakharov-Manakov systems via -dressing method. J. Phys.

A 28:5 (1995) L173–178.

[23] O.I. Bogoyavlensky. Integrable discretizations of the KdV equation.

Phys. Lett. A 134:1 (1988) 34–38.

[24] O.I. Bogoyavlensky. Algebraic constructions of integrable dynamical systems extensions of the Volterra system. Russ. Math. Surveys 46: (1991) 1–64.

[25] O.I. Bogoyavlensky. Breaking solitons. Nonlinear integrable equations.

Moscow: Nauka, 1991.

[26] P.J. Caudrey, R.K. Dodd, J.D. Gibbon. A new hierarchy of Korteweg– de Vries equations. Proc. Roy. Soc. London A 351 (1976) 407–422.

[27] K.M. Case, M. Kac. A discrete version of the inverse scattering problem. J. Math. Phys. 14:5 (1973) 594–603.

[28] E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa. KP hierarchies of orthogonal and symplectic type. Transformation groups for soliton equations. VI. J. Phys. Soc. Japan 50 (1981) 3813–3818.

[29] A. Doliwa, M. Nieszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices. II. From the B-quadrilateral lattice to the self-adjoint schemes on the triangular and the honeycomb lattices. J. Math. Phys.

48 (2007) 113506.

[30] V. G. Drinfel’d, V. V. Sokolov. Lie algebras and equations of Korteweg– de Vries type. J. of Math. Sciences 30:2 (1985) 1975–2036.

[31] A.P. Fordy. Derivative nonlinear Schrdinger equations and Hermitian o symmetric spaces. J. Phys. A 17:6 (1984) 1235–1245.

[32] A.P. Fordy, J.D. Gibbons. Some remarkable nonlinear transformations.

Phys. Lett. A 75:5 (1980) 325.

[33] A.P. Fordy, P.P. Kulish. Nonlinear Schrdinger equations and simple o Lie algebras. Comm. Math. Phys. 89:3 (1983) 427–443.

[34] A. Fukuda, Y. Yamamoto, M. Iwasaki, E. Ishiwata, Y. Nakamura.

A Bcklund transformation between two integrable discrete hungry a systems. Phys. Lett. A 375 (2011) 303–308.

[35] R.N. Garifullin, E.V. Gudkova, I.T. Habibullin. Method for searching higher symmetries for quad-graph equations. J. Phys. A: Math. Theor.

44 (2011) 325202.

[36] R.N. Garifullin, R.I. Yamilov. Generalized symmetry classication of discrete equations of a class depending on twelve parameters. J. Phys.

A: Math. Theor. 45 (2012) 345205.

[37] C.R. Gilson. Generalizing the KP hierarchies: Pfaan hierarchies.

Theor. Math. Phys. 133:3 (2002) 1663–1674.

[38] C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo. The relation between a 2D Lotka-Volterra equation and a 2D Toda lattice. J. Nonl. Math. Phys. 12, Suppl. (2005) 169–179.

[39] C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo, S. Tsujimoto. Pfaanization of the discrete KP equation. J. Phys. A 34:48 (2001) 10569–10575.

[40] J. Hietarinta. Hirota’s bilinear method and partial integrability, in: R.

Conte, N. Boccara (Eds.), Partially integrable evolution equations in physics’, NATO ASI Series C310, Kluwer, 1990, pp. 459–478.

[41] K. Hikami. Generalized lattice KdV type equation reduction of the lattice W3 algebra. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 46–50.

[42] R. Hirota. “Molecule Solutions” of coupled modied KdV equations. J.

Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 2530–2532.

[43] R. Hirota, Y. Ohta. Hierarchies of coupled soliton equations. I. J. Phys.

Soc. Jpn. 60 (1991) 798–809.

[44] M. Hisakado. Coupled nonlinear Schrdinger equation and Toda o equation. J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 1939.

[45] X.B. Hu, P.A. Clarkson, R. Bullough. New integrable dierential dierence systems. J. Phys. A 30:20 (1997) L669–676.

[46] X.B. Hu, J.X. Zhao. Commutativity of Pfaanization and Bcklund a transformations: the KP equation. Inverse Problems 21 (2005) 1461– 1472.

[47] Y. Itoh. Integrals of a Lotka-Volterra system of odd number of variables. Progr. Theor. Phys. 78 (1987) 507–510.

[48] M. Jimbo, T. Miwa. Solitons and innite dimensional Lie algebras.

Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto University 19 (1983) 943–1001.

[49] V.G. Kac, J.W. van de Leur. The geometry of spinors and the multicomponent BKP and DKP hierarchies. In “The bispectral problem”, eds J. Harnad, A. Kasman, CRM Proc. Lecture notes 14, AMS, Providence (1998) 159–202.

[50] S. Kakei. Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 2875–2877.

[51] S. Kakei. Dressing method and the coupled KP hierarchy. Phys. Lett.

A 264:6 (2000) 449–458.

[52] D.J. Kaup. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class xxx + 6Qx + 6R =. Stud. Appl. Math. (1980) 189–216.

[53] B.G. Konopelchenko, J. Sidorenko, W. Strampp. (1 + 1)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2 + 1)-dimensional systems. Phys. Lett. A 157:1 (1991) 17–21.

[54] I. Krichever. Linear operators with self-consistent coecients and rational reductions of KP hierarchy. Phys. D 87:1–4 (1995) 14–19.

[55] P.P. Kulish, E.K. Sklyanin. O(N )-invariant nonlinear Schrdinger o a new completely integrable system. Phys. Lett. A 84: equation (1981) 349–352.

[56] B.A. Kupershmidt. A super KdV equation: an integrable system. Phys.

Lett. A 102:5–6 (1984) 213–215.

[57] J. van de Leur. Bcklund–Darboux transformations for the coupled KP a hierarchy. J. Phys A 37 (2004) 4395–4405.

[58] D. Levi. Nonlinear dierential dierence equations as Bcklund a transformations. J. Phys. A 14:5 (1981) 1083–1098.

[59] D. Levi, M. Petrera, C. Scimiterna. The lattice Schwarzian KdV equation and its symmetries. J. Phys. A 40 (2007) 12753–12761.

[60] D. Levi, M. Petrera, C. Scimiterna, R. Yamilov. On Miura transformations and Volterra-type equations associated with the Adler–Bobenko–Suris equations. SIGMA 4 (2008) 077.

[61] D. Levi, R.I. Yamilov. Conditions for the existence of higher symmetries of evolutionary equations on the lattice. J. Math. Phys.

38 (1997) 6648–6674.

[62] D. Levi, R.I. Yamilov. The generalized symmetry method for discrete equations. J. Phys. A 42 (2009) 454012.

[63] D. Levi, R.I. Yamilov. Generalized symmetry integrability test for discrete equations on the square lattice. J. Phys. A 44 (2011) 145207.

[64] S.V. Manakov. On the theory of two-dimensional stationary self focusing of electromagnetic waves. JETP 38:2 (1974) 248–253.

[65] S.V. Manakov. Complete integrability and stochastization of discrete dynamical systems. Soviet Physics JETP 40:2 (1975) 269–274.

[66] A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Classication of integrable divergent N component evolution systems. Theor. Math. Phys. 139:2 (2004) 609– 622.

[67] A.G. Mehskov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations with constant separant. http://arxiv.org/abs/1302.6010v1.

[68] A.V. Mikhailov. Integrability of a two-dimensional generalization of the Toda chain. Sov. Phys. JETP Lett 30 (1979) 414–418.

[69] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classication of integrable equations. in: V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991, pp. 115–184.

[70] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, R.I. Yamilov. The symmetry approach to classication of nonlinear equations. Complete lists of integrable systems. Russ. Math. Surveys 42:4 (1987) 1–63.

[71] A.V. Mikhailov, J.P. Wang, P. Xenitidis. Cosymmetries and Nijenhuis recursion operators for dierence equations. Nonlinearity 24 2079– 2097.

[72] R.M. Miura, C.S. Gardner, M.D. Kruskal. Korteveg–de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. J. Math. Phys. 9:8 (1968) 1204–1209.

[73] M. Musette, C. Verhoeven. Nonlinear superposition formula for the Kaup–Kupershmidt partial dierential equation. Physica D 144:1, (2000) 211–220.

[74] K. Narita. Soliton solution to extended Volterra equation. J. Phys. Soc.

Japan 51:5 (1982) 1682–1685.

[75] F.W. Nijho, H.W. Capel. The direct linearisation approach to hierarchies of integrable PDEs in 2 + 1 dimensions: I. Lattice equations and the dierential-dierence hierarchies. Inverse Problems 6:4 (1990) 567–590.

[76] F. Nijho, A. Hone, N. Joshi. On a Schwarzian PDE associated with the KdV hierarchy. Phys. Lett. A 267 (2000) 147–156.

[77] F.W. Nijho, A.J. Walker. The discrete and continuous Painlev e hierarchy and the Garnier system. Glasgow Math. J. 43A (2001) 109– 123.

[78] V.G. Papageorgiou, F.W. Nijho. On some integrable discrete-time systems associated with the Bogoyavlensky lattices. Phys. A (1996) 172–188.

[79] V. Papageorgiou, A. Tongas, A. Veselov. Yang–Baxter maps and symmetries of integrable equations on quad-graphs. J. Math. Phys.

47:8 (2006) 083502.

[80] V.G. Papageorgiou, A.G. Tongas. Yang–Baxter maps and multi-eld integrable lattice equations. J. Phys. A 40:42 (2007) 12677–12690.

[81] A. Parker. A reformulation of the ‘dressing method’ for the Sawada– Kotera equation. Inverse Problems 17:4 (2001) 885–895.

[82] Ya.P. Pugay. Lattice W algebras and quantum groups. Theor. Math.

Phys. 100 (1994) 900–911.

[83] А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тянь-Шаньский. Интегрируемые си стемы. Теоретико-групповой подход. Ижевск, 2003.

[84] M.A. Salle. Darboux transformations for nonabelian and nonlocal equations of the Toda lattice type. Theor. Math. Phys. 53:2 (1982) 227–237.

[85] P.M. Santini, A. Doliwa, M. Nieszporski. Integrable dynamics of Toda type on the square and triangular lattices. Phys. Rev. E 77:5 (2008) 056601.

[86] P.M. Santini, M. Nieszporski, A. Doliwa. An integrable generalization of the Toda law to the square lattice. Phys. Rev. E 70:5 (2004) 056615.

[87] J. Satsuma, D.J. Kaup. A Bcklund transformation for a higher order a Korteweg–de Vries equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 692–697.

[88] K. Sawada, T. Kotera. A method for nding n-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equations. Progr. Theor. Phys. 51: (1974) 1355–1367.

[89] W.K. Schief. Isothermic surfaces in spaces of arbitrary dimension:

integrability, discretization and Bcklund transformations. A discrete a Calapso equation. Stud. Appl. Math. 106:1 (2001) 85–137.

[90] A.B. Shabat, R.I. Yamilov. Symmetries of nonlinear chains. Len. Math.

J. 2:2 (1991) 377–399.

[91] V.V. Sokolov, A.B. Shabat. (L, A)-pairs and a Ricatti type substitution. Funct. Anal. Appl. 14:2 (1980) 148–150.

[92] V.V. Sokolov, T. Wolf. A symmetry test for quasilinear coupled systems. Inverse Problems 15:2 (1999) L5–L11.

[93] Yu.B. Suris. Integrable discretizations of the Bogoyavlensky lattices.

J. Math. Phys. 37 (1996) 3982–3996.

[94] Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. Basel: Birkhuser, 2003.

a [95] A.K. Svinin. On some class of homogeneous polynomials and explicit form of integrable hierarchies of dierential-dierence equations. J.

Phys. A 44 (2011) 165206.

[96] S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Explicit Bcklund transformations for a multield Schrdinger equations. Jordan generalizations of the Toda o chain. Theor. Math. Phys. 98:2 (1994) 139–146.

[97] Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории со литонов. М.:Наука, 1986.

[98] T. Tsuchida. Integrable discretizations of derivative nonlinear Schrdinger equations. J. Phys. A 35:36 (2002) 7827–7847.

o [99] T. Tsuchida, H. Ujino, M. Wadati. Integrable semi-discretization of the coupled modied KdV equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 4785– 4813.

[100] T. Tsuchida, M. Wadati. Complete integrability of derivative nonlinear Schrdinger-type equations. Inverse Problems 15:5 (1999) 1363–1373.

o [101] T. Tsuchida, T. Wolf. Classication of polynomial integrable systems of mixed scalar and vector evolution equations. I. J. Phys. A 38: (2005) 7691–7733.

[102] S. Tsujimoto, R. Hirota. Pfaan representation of solutions to the discrete BKP hierarchy in bilinear form. J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2797–2806.

[103] S. Tsujimoto, R. Hirota, S. Oishi. An extension and discretization of Volterra equation I. Technical Report of IEICE, NLP92–90 (1993) 3pp.

[104] A.P. Veselov, A.B. Shabat. Dressing chains and the spectral theory of the Schrdinger operators. Funct. Anal. Appl. 27:2 (1993) 81–96.

o [105] A.P. Veselov. Yang–Baxter maps and integrable dynamics. Phys. Lett.

A 314:3 (2003) 214–221.

[106] A.Yu. Volkov. Hamiltonian interpretation of the Volterra model. J.

Sov. Math. 46 (1986) 1576–1581.

[107] J.P. Wang. Recursion operator of the Narita–Itoh–Bogoyavlensky lattice. http://arxiv.org/abs/1111.6874v [108] R.I. Yamilov. Classication of discrete evolution equations. Usp. Mat.

Nauk 38:6 (1983) 155–156. (in Russian) [109] R.I. Yamilov. On the construction of Miura type transformations by others of this kind. Phys. Lett. A 173:1 (1993) 53–57.

[110] R.I. Yamilov. Construction scheme for discrete Miura transformations.

J. Phys. A 27:20 (1994) 6839–6851.

[111] R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for dierential dierence equations. J. Phys. A 39:45 (2006) R541–623.

[112] V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991.

[113] V.E. Zakharov, S.L. Musher, A.M. Rubenchik. Nonlinear stage of parametric wave excitation in a plasma. JETP Lett. 19:5 (1974) 151– 152.

[114] V.E. Zakharov, A.B. Shabat. The scheme of integration of nonlinear equations of mathematical physics by inverse scattering method. I.

Funct. An. Appl. 8:3 (1974) 226–235.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.