авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Московский Государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Минченко Андрей Николаевич ...»

-- [ Страница 3 ] --

EI s + sl3 (R) EV III s EII s + su3 EIX s EIII s + su3 EV III s EIV s + sl3 (R) EIX s EV s + sl2 (R) EV III s EV I s + su2 EV III, EIX s EV II s + sl2 (R) EV IX.

s Доказательство. Все импликации легко устанавливаются в духе разобран ных примеров. Приведем, например, доказательства импликаций, в которых фигурируют внешние вещественные формы, т.е. в первой и четвертой строч ках. Имеем g = E8, h = E6 +A2. Всякий реализуемый внешний автоморфизм подалгебры h действует внешним автоморфизмом на каждом ее простом иде але. Следовательно, h0 = A2, z0 = E6, dim t = 3. Значит, g = 3A1, и автоморфизм |z0 определяет вещественную форму EII. Стало быть, все сводится к нахождению внутренних вещественных форм пары (E8, A2 + E6 ) с условием, что вещественная форма подалгебры E6 изоморфна EII. Даль нейшее очевидно.

Применим теорему 34 к случаю g = E6, h = 3A2, G. Для этого най / дем все внешние вещественные формы пары (g = E8, 4A2 = h). По предло жению 17, всякая реализуемая инволюция подалгебры h нормализует неко торую максимальную регулярную подалгебру m, содержащую h. Значит, алгебра m имеет тип E6 + A2, поэтому всякая реализуемая внешняя ин волюция подалгебры h действует либо инволюцией Вейля, либо переста новкой двух простых идеалов, внешним автоморфизмом на третьем и внут на четвертом. В первом случае h0 = 0, dim t = 4. Следова ренним тельно, g = 4A1 ( [4A1 ] в обозначениях [4]). Значит, всякий автоморфизм из G, действующий внешним автоморфизмом на каждом простом идеале подалгебры h, определяет на алгебре g вещественную форму EV III. По теореме 34 получаем вещественную форму (EI, 3sl3 (R)). Во втором случае h0 = A2, z0 = E6, dim t = 3. Эта ситуация нам уже встречалась в до казательстве теоремы 34. В итоге получаем список вещественных форм па ры (g, h) : (EIX, su3 + sl3 (R) + slR ), (EV III, su1,2 + sl3 (R) + slR ). Применим 3 теорему 34 и получим все формы исходной пары с G : (EIV, su3 + slR ) / R и (EI, su1,2 + sl3 ).

Все вещественные формы пар (g, h), где подалгебра h максимальна среди регулярных полупростых подалгебр, указаны в таблицах 2.5–2.9.

Пусть h g – S-подалгебра.

Предложение 21. Множество E(, ) либо пусто, либо состоит из един ственной орбиты группы H = NG (h).

Доказательство. Необходимым условием для существования двух орбит H : E(, ) является существование двух элементов 1, 2 Aut g, 1 G таких, что 1 |h = 2 |h =. В таком случае G 1 2 = Id |h. Значит, 1 2 ZG (h) = {e}. Таким образом, 1 = 2, и двух орбит для действия H : E(, ) быть не может.

Решим вопрос об овеществлении S-подалгебр. Всякий внутренний автомор физм h однозначно продолжается до внутреннего автоморфизма g. Пусть : h g –S-вложение. Выберем картановские подалгебры t0 h, t g так, что (t0 ) t. В работе [4] для каждой S-подалгебры особой алгебры Ли указаны значения ((h )) (при некотором выборе систем простых корней {i }, {j } в алгебрах h, g ). По этим числам можно без труда находить внутренние овеществления. Например, в случае h = sl2 получаем, что ин волюция h продолжается до инволюции со схемой равной характеристике подалгебры h g, где вместо 2 стоят 1. В частности вещественная фор ма главной 3-мерной подалгебры лежит в вещественной форме алгебры g со схемой e1 + · · · + en. Разберем теперь внешние овеществления для каждой особой алгебры Ли g. Перечислим основные случаи (остальные с помощью них тривиально разбираются).

Случай g = E6, h = A9. В первой части нами установлено, что внешний автоморфизм подалгебры h реализуется в g. Заметим, что подалгебра h имеет тип A1 и индекс 36. Минимальная регулярная подалгебра, содержа щая A3 6, единственна и сопряжена A5 + A1. Значит, sl3 (R) EII. По скольку подалгебра h не содержится в централизаторе внешней инволюции алгебры g и внешний автоморфизм алгебры g переводит h в несопряженную подалгебру [4], получаем, что продолжающий автоморфизм (для любого ) может быть только внутренним.

Случай g = E6, h = F4. Нужно разобраться только со случаем, когда ав томорфизм внешний. Пусть s обозначает вещественную форму подалгеб ры h. По предложению 34, s EI s + sl3 (R) EV III (аналогично для EIV и EIX ). Но всякая вещественная форма подалгебры F4 + A2 E пропускается через вещественную форму S-подалгебры F4 +G2 E8 (так как z(F4 ) = G2 ). Имея в наличии классификацию овеществлений F4 + G2 E (они все внутренние) и A2 G2, получим классификацию для F4 +A2 E8.

Таким образом получим результат, представленный в таблице 2.7.

Случай g = E6, h = C4. Здесь не получится напрямую воспользоваться идеей из предыдущего случая, потому что zE8 (C4 ) = A2, и как относить овеществления подалгебры C4 + A2 E8 к уже разобранным, неясно. Рас смотрим по отдельности каждую вещественную форму подалгебры h и вы ясним, в какой внешней форме алгебры g она может содержаться. Ясно, что sp4 EI. Пусть s = sp1,3. Заметим, что sp1,3 su2,6 EV II. Посколь ку каждая внешняя форма алгебры E6 лежит либо в EV либо в EV II, получаем, что s EIV. Аналогично находятся другие овеществления.

Случай g = E7, h = A21. Инволюция Вейля реализует внешний автомор физм h, значит, sl3 (R) EV.

Случай g = E8, h = A6 + A16. Согласно [1], ZG (A16 ) Z2 PSL3, зна 2 1 чит, внешний автоморфизм подалгебры h реализуется элементом порядка 2.

Имеем ZG (A24 ) SO4, z(A24 ) = A15 + A1. Значит, sl3 (R) + so3 EIX.

1 1 Поскольку A24 + A15 E7 – S-подалгебра, выводим sl3 (R) + so3 EV III.

1 Случай g = E8, h = 2G2 +A8. Из того, что ZG (A8 ) = Z2 (G2 G2 ), получа 1 ем, что внешняя форма подалгебры h лежит в некоторой форме алгебры g.

Имеем ZG (G2 ) = SL2 SO3, z(G2 ) = A1 +A7. Осталось, как и в предыдущем 2 2 2 случае, воспользоваться тем, что G2 + A1 E7 – S-подалгебра. Все веще ственные формы пар (g, h), где подалгебра h максимальная S-подалгебра или 2G1 + A8 E8, указаны в таблицах 2.5–2.9.

2 Слои отображения Описание слоев отображения сводится к вопросу о R -сопряженности G сопряженных подалгебр из S[r].

вещественная форма пары (g, h), Aut r, Aut s Пусть (r, s) инволюции Картана.

Теорема 35. Точки слоя F (Gs) находятся во взаимно-однозначном соот ветствии с орбитами действия N : E(, ), N = NG (h).

Теорема 35 является видоизменением результата, сформулированного в $ главы 4 работы [6]. Мы приведем собственное доказательство этого факта.

Классу R -сопряженности C сопоставим орбиту OC указанного в теореме действия следующим образом. Выберем произвольную -инвариантную по далгебру s1 C. Найдется автоморфизм G такой, что (s1 ) = s.

Положим 1 = 1 и OC = NG (h)1. Проверим корректность сопостав ления C OC. Пусть s2 C другая – инвариантная подалгебра и s2 = s, G. Поскольку подалгебры s1, s2 R -сопряжены в r, най дется автоморфизм G такой, что s1 = s2. Имеем 2 = 1 = 1 1 = 1 1 1 1 NG (h)1, поскольку 1 s = s1 = s2 = s. Корректность установлена. Сопоставим теперь каждой орбите O действия NG (h) : E(, ) класс R -сопряженности CO подалгебры s r.

Пусть 1 O автоморфизм, нормализующий максимальную компактную подалгебру u g. По определению множества E(, ), существует авто морфизм G со свойством 1 = 1. Можно считать, что u = u, следовательно, можно считать, что s1 = 1 s r. Полагаем CO класс R -сопряженности подалгебры s1 r.

В частности, если h g S-подалгебра, то, ввиду того, что множество E(, ) состоит не более, чем из одного элемента, получаем:

Теорема 36. Если s r вещественная форма S-подалгебры в g, то слой F (Gs) одноэлементен.

Очевидно, группу N в формулировке теоремы 35 можно заменить на ее под группу элементов, коммутирующих с.

Теорема 37. Пусть h = (g ), где инволютивный автоморфизм. Тогда слои отображения одноэлементны.

Утверждение равносильно тому, что если две инволюции 1 и 2 = 1 = 1 алгебры g внутренне сопряжены, то они сопряжены элементом, норма лизующим h. Докажем последнее утверждение.

Пусть X – симметрическое пространство группы G = Int g.8 В силу три виальности нормальных подгрупп в G, действие G : X эффективно. Че рез x Isom X обозначим симметрию относительно точки x X.

Лемма 10. Пусть : R X – геодезическая, P : R G – однопарамет рическая группа (параллельных) сдвигов вдоль, P (t)(0) = (t). Пред положим, что точки x, y Im таковы, что x y = y x. Положим = x y, p Im P – сдвиг из точки x в точку y. Тогда (1) P (t) = exp t, где g, x = y =, = ;

(2) p2 = (в частности, py = x, значит, кривая замкнута).

Доказательство. Свойство (1) следует из описания сдвигов вдоль геодезиче ских симметрического пространства. Далее, p2 = p(x p1 x ) = (px p1 )x = y x =, что доказывает (2).

Основные понятия теории симметрических пространств см. в [] Следствие. Если два коммутирующих инволютивных автоморфизма 1, группы G сопряжены элементом из G, то они сопряжены и элементом из G.

Теорема 37 доказана. Отсюда легко получить следующий интересный резуль тат.

Теорема 38. Если h = s(C) максимальная полупростая подалгебра в g (максимальная среди полупростых), то слой F (Gs) одноэлементен.

Доказательство. Всякая максимальная подалгебра является либо S-подал геброй, либо регулярной вида (g ), автоморфизм простого порядка p. Ввиду доказанных выше теорем, остается рассмотреть случай h = (g ), p = 2. Пусть 1, 2 E(, ). Тогда 2 = 1 = 1 1. Поскольку p нечетно, существует n Z такое, что 2n = 1. Следовательно, n 1 n = 2n 1 = 2, т. е. 1 и 2 сопряжены элементом, централизующим (в частности, нор мализующим) h.

Ввиду теорем 38 и 35, остается рассмотреть только пары (g, h) 1-го и 6-го типов.

Пусть g классическая алгебра Ли. Опять же, все сводится к случаю g = sln (C). Действительно, всякая вещественная форма r алгебры son (C) или spn (C) содержится во внутренней вещественной форме алгебры sln (C) :

r son sun, um (H) sun, spm sun, n = 2m, spn (R) su0. Следующая s s 0 s 2s n теорема есть следствие теоремы XII работы [6]. Положим R = Aut.r Теорема 39. Две подалгебры из S[r] R -сопряжены тогда и только тогда, когда они R -сопряжены.

Иными словами, существует естественная биекция между слоями и r r : S[]/R S[]/G, G = R(C).

Пусть h g = sln (C) регулярная подалгебра. Из теоремы XI (и ее дока зательства) работы [6] выводится Теорема 40. Если r внешняя форма sln (C), то слои одноэлементны.

Пусть r = sun и s r задана набором q1,..., qk {±1} 9 Пусть r s s подалгебра, заданная набором q1,..., qk. Имеем s R тогда и только s тогда, когда существует перестановка идеалов slni (C) h, 1 i k, индуцирующая перестановку проективных точек (q1 : · · · : qk ) и (q1 : · · · :

qk ).

См. обозначения в теореме 32.

2.5 Группа автоморфизмов полупростой веще ственной алгебры Ли Пусть r полупростая вещественная алгебра Ли и g = r(C). Тогда имеется естественное вложение Aut r Aut g.10 В частности, размерность алгебры Ли Der r = Lie(Aut r) равна (комплексной) размерности алгебры Ли Der g = Lie(Aut g). Из ad r Der r и ad g = Der g следует, что ad r = Der r. Иначе говоря, верно Предложение 22. Int r = (Aut r).

Обозначим через QAut r и Int rC алгебраические замыкания Int r в Aut r и Aut g соответственно. Тогда QAut r = Int rC Aut r.

Предложение 23. Int rC = Int g.

Доказательство. Действительно, включение Int rC Int g следует из вклю чения Int r Int g и алгебраичности Int g. Обратное включение вытекает из неприводимости Int g и равенства размерностей обеих частей.

Итак, группа QAut r = Int g Aut r = NInt g (r) является группой квазив нутренних (в смысле работы [6]) автоморфизмов r. Как мы увидим, она не всегда совпадает с Int r ;

иными словами, подгруппа Ли Int r Aut r может не являтся алгебраической.

Подгруппа QAut r Aut r нормальна (поскольку подгруппа Int g Aut g нормальна). Вложение Aut r Aut g продолжается до вложения фактор групп : Aut r/ QAut r Aut g/ Int g. Фиксируем инволюцию Картана алгебры r и найдем образ в терминах g и.

Предложение 24. Int g Im тогда и только тогда, когда 1.

Доказательство. Если автоморфизм t, t Int g, нормализует r, то он коммутирует с некоторой ее инволюцией Картана. Тогда 1 и, в силу получаем 1.

Иначе говоря, Int g Im тогда и только тогда, когда подалгебры r, (r) g сопряжены. Из результатов раздела 2.2 и предложения 24 получаем Вообще говоря, комплексное алгебраическое замыкание подгруппы Aut r Aut g не совпадает с Aut g, т. е. (Aut r)(C) = Aut(r(C)), в отличие от (Int r)(C) = Int(r(C)) (см. далее). Это уже видно в случае наличия на r комплексной структуры: тогда g = r1 r1, r1 r1 r, и перестановка идеалов r1, r1 не индуцируется никаким элементом из Aut r.

Следствие 4. Если алгебра g проста, то изоморфизм, за исключением случая r u (H), n 2. При этом | Im | = 2, если n = 2, и | Im | = 1, 2n если n 3.

Группа Out g = Aut g/ Int g изоморфна группе изометрий диаграммы Дын кина алгебры g и вкладывается в Aut g (см. [3], глава 4, $ 4). Таким образом, G = Aut g = Out g Int g. Рассмотрим группу G = Out g Int g (полупря мое произведение определяется естественным образом: всякий автоморфизм алгебры g однозначно поднимается до автоморфизма соответствующей од носвязной группы) с проекцией : G G. Положим Z = Ker = Z(G ) и F = (), G.

Фиксируем инволюцию Картана алгебры r. Опишем группу Out r в тер минах F.

Предложение 25. Существует эффективное действие Out r : F.

В каждом классе Int r Out g есть представитель, коммутирующий с. Пусть 1 ( ) некоторый прообраз. Тогда положим ( Int r)f = f 1, f F.

Очевидно, что ( Int r)F = F и определение не зависит от выбора прообра за. Докажем, что оно не зависит и от выбора. Это равносильно тому, некоторые прообразы в G. Груп что tt1 =, где t Int r, t = t, t, па ZInt r () компактна и связна. Следовательно, можно считать t = exp h, h r. Тогда tt1 = (exp (h))1 =, что и требовалось. Докажем эф фективность. Пусть f 1 = f для всех f F. В частности, тривиально действует на Z, откуда следует, что принадлежит связной группе (G ).

Значит, Int r. Предложение 25 доказано.

Таким образом, группу Out r можно отождествить с подгруппой S(F ) пере становок точек слоя отображения. Отметим еще одно полезное утвержде ние. Поскольку в каждом классе факторгруппы Out r существует элемент, коммутирующий с, естественно возникает гомоморфизм : Out r Out k = Out h, где k = r, h = g = k(C).

Предложение 26. Ядро гомоморфизма порождено классами инволюций Картана простых идеалов r. В частности, ограничение на QOut r яв ляется вложением.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение в случае простой алгеб ры r. Ясно, что Ker. Обратно, пусть Aut r и |k Int k. Докажем, что Int r. Домножив на элемент из Int k, можно считать, что k r, или h = g g. Но h g максимальная редуктивная подалгебра (тут важна простота r ), следовательно = h, h Z(Int k).

В случаях r = sun,n, sp2n,2n, son,n, so2n,m, sl2n (R), sp2n (R), u (H), EV и 2n EV II имеем соответственно h = sln (C)+sln (C), sp2n (C)+sp2n (C), son (C)+ son (C), so2n (C) + som (C), so2n (C), sln (C), sln (C), A7 и E6 + T1. Группа |QOut r в этих случаях нетривиальна: внешние автоморфизмы h реализу ются в g. Например, внешним квазивнутренним автоморфизмом sl2n (R) яв ляется сопряжение матрицей diag{1, 1,..., 1}. Знание групп NInt g (h) поз воляет вывести Следствие 5. Группа внешних квазивнутренних автоморфизмов простой алгебры Ли r нетривиальна только в следующих случаях: r = sun,n, sp2n,2n, son,n, so2n,m ( m 1 ), sl2n (R), sp2n (R), u (H), EV и EV II. При этом 2n QOut r Z2 за исключением случая r = so2n,2n : QOut r V4.

Перебором простых алгебр r с использованием предложения 26 устанавли вается Следствие 6. Out r J QOut r, где J подгруппа в Out g.

Отметим еще одну интерпретацию группы QOut r. Пусть : G Int g односвязное накрытие, Z = Z(G)(= Ker ). Пусть инволюция Картана алгебры r с множеством неподвижных точек k. Она однозначно продолжа ется до автоморфизма группы G, который мы также обозначим. Положим Z(r) = {(z)z 1, z Z} подгруппа в Z (не зависит от выбора ).

Предложение 27. Существует мономорфизм : QOut r Z/Z(r).

Пусть s QOut r и QAut r представитель s, нормализующий k.

Положим (s) = ( ) Z(r), где 1 () некоторый прообраз. Из соотношения = выводим ( ) Z, следовательно, ( ) 1 Z.

Корректность определения, а также то, что гомоморфизм, проверяется без труда. Докажем мономорфность. Пусть (s) = 1, т. е. ( ) 1 = (z)z для некоторого z Z. Тогда z G. В силу связности G элемент z 1, 1 а следовательно, и действует на h внутренним автоморфизмом. Как было показано выше, отсюда вытекает s = 1. Предложение 27 доказано.

В частности, если r g внутренняя форма, то Z(r) = {1} и QOut r отождествляется с подгруппой Z. Для подгруппы G2 QOut r обозначим через ZG2 прообраз (G2 ) в Z.

Пусть теперь s r полупростая подалгебра, h = s(C), H односвязная группа с касательной алгеброй h, : H G гомоморфизм, накрываю щий вложение h g, Y = Z(H). Пусть G2 QOut r подгруппа и G ее прообраз в Aut r. Положим Aut s подгруппа автоморфизмов, индуцированных элементами NG2 (s), образ в QOut s.

Предложение 28. Y = 1 (ZG2 ).

Таким образом, задача нахождения сводится к описанию подгруппы 1 (Z) Y.

2.6 Вложения между особыми вещественными алгебрами Ли Докажем (частично) теорему 10. Существование овеществлений, соединен ных ребрами, в некоторых случаях установлено в предыдущем разделе. Раз берем оставшиеся случаи: G2 D4, D4 F4, E4. Для первого случая нужно заметить, что GI so3,4 DI, DII, для второго – DI, DII so4,5 F I, DIV, Dc so1,8 F II. Наконец, DIII so4,6 EII, DIII so2, EIII.

Рассмотрим теперь цепочку C = CF4. Докажем, что всякое овеществления включения h g подалгебр из C пропускается через овеществление связной подцепочки из C с концами h, g.

Пусть h = G2. Докажем, что всякая инволюция алгебры g нормализует подалгебру типа D4. Автоморфизм нормализует некоторую картановскую подалгебру a алгебры z(h), а значит, и регулярную подалгебру z(a) h.

Очевидно, что последняя имеет тип D4.

Пусть h = D4. Докажем, что всякая инволюция алгебры g нормализует подалгебру типа E6. Если g = E8, то это следует из того, что z(h) = D и всякая инволюция D4 нормализует некоторую регулярную подалгебру ти па A2 (всякая форма алгебры D4 содержит некоторую форму A2 ). Для g = E7 немного хитрее: автоморфизм нормализует подалгебру z(D4 ) = 3A1, а значит, диагонально вложенную в нее типа подалгебру A1. В обозначениях Дынкина, это A3 с нормализатором SO3 F4. Остается заметить, что цен трализатор элемента второго порядка подгруппы SO3 может иметь только тип E6 + T1.

Всякое овеществление вложения E6 E8 пропускается через овеществле ние E7 E8. Это следует предложения 17. Таким образом, для доказа тельства первой части теоремы, осталось разобраться со случаями g = F и h = F4 (возвращаемся к цепочке C ).

Если g = F4, то, принимая во внимание, что Zg (h) SO3, получаем, что автоморфизм нормализует некоторую подгруппу V4 SO3. Ясно, что gV = D4. Значит, автоморфизм нормализует подалгебру D4 h, что и требовалось.

Наконец, пусть h = F4. Докажем, что всякая инволюция алгебры g нор мализует подалгебру типа E6. В случае g = E7 мы это уже видели выше.

Пусть g = E8. Тогда автоморфизм нормализует G2 = z(h). Поскольку во всякой форме алгебры G2 содержится некоторая форма подалгебры A2, получаем, что нормализует некоторую подалгебру A2 G2, а значит, и E6 = z(A2 ).

2.7 Таблицы Таблица 2.3: µ-примитивные подалгебры осо бых комплексных алгебр Ли G2 F4 E6 E7 E A1 + A1, A1 + C3, B4, A1 + A5, D5, A7, A1 + D6, E6, D8, A1 + E7, A2, A2 + A2, 3A2 A2 + A5, A8, A2 + E6, 2A4, D4, D4, D4 + 3A1, 7A1, 2D4, 8A1, 4A2, A40, D4, A28 G1 + A8, 1 G1 + C3, A399, A1, A1, A520, 1240 C4, F4, 1 2 1 2 1 A9, G3, 1 3 231 A1 F4 + A1, A1, G2 + F4, B2, 2 G2 + A G2 + A7, A21, 2G1 + A8, 2 2 1 2 2 24 A2 (2) + A A1 + A1 Таблица 2.


4: µ(h) для изотипных подалгебр h алгебр Ли F4, E6, E7 и E F4 E6 E7 E h A1 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 2, 1 2, 1 2, 1 2, 2A1 B4 D5 A1 + D6 D 4 4 1, 4 [3A1 ] A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 1, [3A1 ] 1, 23 1, 23 1, 26 [3A1 ] 3A1 + D 2, 2, 2, [4A1 ] D4 D4 D4 + 3A1 D 42 42 42, 1, 1, 1 [4A1 ] A1 + D 2, 5A1 A1 + D6 A1 + E 2, [4A1 ] 2, 42 6A1 A1 + D6 D 1, 43 7A1 7A1 A1 + E 1, 7A1 8A1 8A A1 B4 D5 A1 + D6 D 3 3 1, 3 [2A2 ] B4 D5 A1 + D6 D 32 32 1, 32 [2A2 ] A1 + D6 D 2, 22 + 24 3A2 B4 D5 A1 + D6 D 33 33 1, 33 4A2 A1 + D6 D 1, 34 5A2 D A3 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 1, A 1, 23 1, 26 [2A3 ] D5 A1 + D6 D 4 + 32 1, 4 + 32 4 + [2A3 ] A1 + D6 D 1, 43 A3 A3 + F 1 2, A4 A2 + A2 3A2 A2 + A5 D 3, 1 3, 1, 1 3, 1 1, 2A4 3A2 A2 + A5 D 3, 3, 1 1, 32 3A4 3A2 A2 + A5 D 3, 3, 3 3, 32 4A4 D A4 A1 + D6 A2 + E 2, 26 3, 2A4 4A 3, 3, 1, 3A4 A2 + E 1, 3A4 4A4 4A 3, 3, 3, A5 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 3 2, 32 2A5 D 4 + A6 B4 D5 A1 + D6 D 33 33 1, 33 2A6 B4 D5 A1 + D6 D 9 9 1, 9 A7 A1 + G A1 + E 1 1, A 2, 1 2A7 D 9+ A8 A8 + G1 F4 + A3 A8 + 2G F 1 1 2 1 A8 2, 1 A1, 1 2, 1, 2A8 4A 3, 3, 3, A9 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 32 2, 32 2, 34 A10 B4 D5 A1 + D6 D 5 5 1, 5 A10 D A11 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 1, A 1, 4 + 2 1, 4 + 2 1, 42 + 22 2A11 D 52 + A11 A1 + D 2, A12 D4 D4 D4 + 3A1 2D 5+3 5+3 5 + 3, 1, 1, 1 5 + 3, 2A12 2D 5 + 3, 5 + A12 A1 + D6 D 2, 42 + 22 42 + 2 2A12 D A13 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 5 + 3 A14 A1 + D6 D 1, 5 + 32 5 + A15 A15 + A24 A1 + E 1 1 1, A 2, 1 A16 A1 + A6 (2) 1 2, A20 A1 + A5 A2 + A5 D 1, 5 1, 5 2A20 D A20 2A 1, 2A20 2A 5, A21 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 5 2, 52 A22 D 52 + A24 A24 + A15 A1 + E 1 1 1, A 2, 1 A25 A1 + E 2, A A28 G2 + A8 F4 + A F4 F4 + G 1 1 A28 A28, 7, 1 A1, 1 2A28 2G2 + A 1 7, 7, A29 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 7 A30 D5 A1 + D6 D 7+3 1, 7 + 3 1, 7 + A30 D A31 F4 + A3 A1 + E 1 1, A A28, 2 A32 A2 + E 3, A A34 D 7 + A35 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 A1 + E 1, A 1, 6 1, 6 1, 62 A35 G2 + C 1, A36 F4 + A A1 + C3 A1 + A5 D 1 2, 6 2, 6 A1, 1 62 + 2 A36 A1 + D6 F4 + G A36, 2, 62 A37 A1 + E 2, A A38 A1 + D6 D 1, 7 + 5 7+ A39 A2 + A5 A1 + E 1, A 3, 6 A40 A1 A56 G2 + A7 A1 + E 1 2 1, A 7, 1 A57 A1 + E 2, A56 A60 B4 D5 A1 + D6 D 9 9 1, 9 A61 A1 + D6 A1 + E 2, A 2, 9 A62 A1 + D6 D 1, 9 + 3 1, 9 + A63 A1 + D6 A1 + E 1, A 2, 9 + 3 A64 D 9 + A70 D 9+ A84 C4 E6 D A 8 A84 A2 + E 1, A84 A85 A1 + E 2, A84 A88 A2 + E 3, A84 A110 A1 + D6 D 1, 11 A111 A1 + D6 A1 + E 1, A 2, 11 A112 D 11 + A120 A A156 A156 F4 + A F4 F4 + G 1 1 A156 A156, 2 A1, 1 A157 A1 + E 2, A A159 F4 + A3 A1 + E 1 1, A A1, 2 A160 A1 + E 2, A A182 D A184 D 13 + A231 A231 A1 + E 1 1, A A232 A1 + E 2, A A280 D A399 A399 A1 + E 1 1, A A400 A1 + E 2, A A520 A A760 A 1 1240 A1 A A1 A2 + A2 3A2 A2 + A5 A2 + E 3, 1 3, 1, 1 3, 1 3, 2A1 3A2 A2 + A5 4A 3, 3, 1 1, 3, 3 3, 3, 1, 3A1 3A2 A2 + A5 A2 + E 1, 3A 3, 3, 3 3, 3, 3 4A1 4A A2 A2 + A2 3A2 A2 + A5 A2 + E 3, A 1, 3 3, 3, 1 1, 32 2A2 A2 + E 3, A2 + A2 A2 A2 + G1 G1 + C3 2 2 2 3, 1 1, A3 D4 D4 D4 + 3A1 2D 8 8 8, 1, 1, 1 8, 2A3 2D 8, A3 F4 + A A2 + A2 3A2 F4 + G 2 A3, 3, 3 3, 3, 3 A2, 1 A4 A2 + E 3, A A5 A1 + A5 A1 + D6 A2 + E 1, A 1, 6 1, 62 A5 A2 + A 1, A6 (1) D4 A1 + E 1, A 8 A6 (2) A2 (2) + A 2 2, A6 A2 + A5 A1 + E 1, A 3, 6 A9 A9 E6 A2 + E 2 A9 1, A 2 A10 A2 + E 3, A9 A21 A21 A1 + E 2 1, A B2 B4 D5 A1 + D6 D 5 5 1, 5 [2B2 ] D5 A1 + D6 D 5+5 1, 5 + 5 5+ [2B2 ] D 3B2 D B2 A2 + A5 2A 1, 5 1, 2B2 2A 5, B2 D 2B2 D B2 D5 A1 + D6 D 10 1, 10 B2 D B2 2A 5, B2 D 12 B2 B G1 G1 + A8 G1 + A2 G1 + C3 G2 + F 2 2 1 2 2 7, 1 7, 1 7, 1 7, 2G1 2G2 + A 2 7, 7, G2 G2 + A7 A1 + E 2 2 1, G 7, 1 G3 G3 E6 A2 + E 2 G3 1, G 2 G4 D A1 B4 D5 A1 + D6 D 6 6 1, 6 [2A1 ] A1 + D6 D 1, 6 + 6 6+ [2A1 ] D A2 A1 + A5 A1 + D6 A2 + E 1, A 1, 6 1, 62 A2 A2 + A5 D 1, 6 A4 D B3 B4 D5 A1 + D6 D 7 7 1, 7 2B3 D 7+ B3 A7 A1 + E 7 1, B B3 D 1, C3 A1 + C3 A1 + A5 A1 + D6 F4 + G 1, 6 1, 6 1, 62 C3, C3 + G C3 7, C3 D A1 A1 + A5 A2 + A5 2A 1, 5 1, 5 1, 2A1 2A A4 2A 5, B4 B4 D5 A1 + D6 D 9 9 1, 9 B4 A B4 D C4 C4 E6 E6 + A 1 8 C4 C4, C4 D D4 D4 D4 D4 + 3A1 2D 8 8 8, 1, 1, 1 8, 2 D4 D4 A1 + E 8 1, D D4 2D 8, D4 D F4 + A F4 F4 F4 F4 + G F4, 1 F4, A1 A1 + A5 A1 + D6 A2 + E 1, 6 1, 62 1, A A1 A2 + A 1, B5 A1 + D6 D 1, 11 D5 D5 A1 + D6 D 10 1, 10 A6 A7 A1 + E 7 1, A B6 D D6 A1 + D6 D 1, 12 E6 E6 E6 A2 + E 1, E A1 A7 A1 + E 1, A A1 D B7 D D7 D E7 E7 A1 + E 1, E A8 A D8 D E8 E Таблица 2.

5: g = G r h s GI A1 + A1 su2 + su2, su0 + su 2 A2 su3, sl3 (R) A28 su 1 Таблица 2.6: g = F r h s C3 + A1 sp3 + su2, sp1 + su2, sp6 (R) + su FI 3 B4 so A2 + A2 su1 + su3, su1 + su1, sl3 (R) + sl3 (R) 3 3 GI + su2, GI + su G2 + A1 156 A1 su sp1 + su F II C3 + A1 so9, so B4 2 su3 + su A2 + A 8 c G2 + A1 G2 + su Таблица 2.7: g = E r h s sl6 (R) + su EI A5 + A1 D5 so 3sl3 (R), sl3 (C) + su 3A2 C4 sp4, sp4, sp8 (R) F4 FI G2 + A2 GI + sl3 (R) su6 + su2, su2 + su2, su0 + su EII A5 + A1 6 6 D5 so10, u5 (H) 2su3 + su3, 3su1, sl3 (C) + sl3 (R) 3A2 C4 sp4, sp8 (R) F4 FI G2 + A2 GI + su3, GI + su 2 G2 GI A9 su1, sl3 (R) 2 su6 + su2, su4 + su EIII A5 + A1 6 D5 so10, so10, u5 (H) su3 + 2su 3A2 C4 sp F4 F II G2 + A2 G2 + su c 2 sl3 (H) + su EIV A5 + A1 D5 so 3A2 sl3 (C) + su sp C4 c F4 F II, F G2 + A2 Gc + sl3 (R) 2 Таблица 2.8: g = E r h s su8, su EV A7 sl8 (R) u (H) + su D6 + A1 so0 + su 12 E6 EI EII A5 + A2 sl6 (R) + sl3 (R) su4 + su3, su0 + su 6 6 F4 + A3 F I + su G2 + C3 GI + sp6 (R) G2 + A7 Gc + su0, GI + su 2 1 2 2 A2 sl3 (R) A24 + A15 su2 + su0, su0 + su 1 1 2 2 A1, A1, A 159 231 su su0, su EV I A7 8 D6 + A1 so12 + su so12 + su2, u (H) + su E6 EII, EIII A5 + A2 sl3 (H) + sl3 (R), su6 + su1, su2 + su3, su2 + su 3 6 6 F4 + A3 F I + su2, F II + su Gc + sp1, GI + sp3, GI + sp G2 + C3 2 3 G2 + A7 GI + su 2 su A2 A24 + A15 su2 + su 1 su EV II A7 sl4 (H) u (H) + su D6 + A1 so8 + su 12 E6 EI c EII, E su4 + su1, su0 + su 6 3 F4 + A3 F4 + su2, F II + su c 1 1 c G2 + C3 G2 + sp6 (R) Таблица 2.9: g = E r h s so16, u (H), so EV III D8 8 EV I + su2, EV + su E7 + A1 E6 + A2 EI + sl3 (R), EII + su3, EIII + su su7, su1, sl9 (R) A8 9 su5 + su5, 2su3, 2su1, 2sl5 (R) 2A4 5 F I + GI, F II + Gc F4 + G2 2G2 + A8 G2 (C) + su2, 2GI + su2, 2GI + su0, 2Gc + su 2 2 A6 + A16 0 su3 + su2, su3 + su2, 2 su1 + su0, sl3 (R) + su 3 2 12 1 B2 so5, so A520, A760, A1240 su 1 1 1 EIX D8 u8 (H) so8 E7 + su2, EV I + su2, EV II + su c E7 + A1 c E6 + A2 E6 + su3, EIV + sl3 (R) EII + su3, EIII + su1 5 A8 su9, su su5 + su1, su3 + su 2A4 5 5 F I + Gc, F4 + GI, F II + GI c F4 + G2 2G2 + A8 G2 (C) + su2, GI + G2 + su2, GI + Gc + su c 2 A6 + A16 sl3 (R) + su 2 Литература [1] Алексеевский А. В., Группы компонент централизаторов унипотент ных элементов в полупростых алгебраических группах, Труды Тбилис.

мат. инст. 62 (1979), 5 27.

[2] Винберг Э. Б., Группа Вейля градуированной алгебры Ли, Изв. АН СССР, сер. мат. 40 : 3 (1976), 488 526.

[3] Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М.: УРСС (1995).

[4] Дынкин Е. Б., Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли, Матем.

сб. 30(72) : 2 (1952), 349 462.

[5] Дынкин Е. Б., Максимальные подгруппы классических групп, Труды Моск. мат. общ. 1 (1952), 39 166.

[6] Карпелевич Ф. И., Простые подалгебры вещественных алгебр Ли, Тру ды Моск. мат. общ. 4 (1955), 3 112.

[7] Кац В. Г., Автоморфизмы конечного порядка полупростых алгебр Ли, Функц. анализ 3 : 3 (1969), 94 96.

[8] Комраков Б. П., Редуктивные подалгебры полупростых вещественных алгебр Ли, ДАН СССР 308 : 3 (1989), 521 525.

[9] Доан Куинь, Полиномы Пуанкаре компактных однородных римановых пространств с неприводимой стационарной группой, Тр. сем. вект. тенз.

ан. 14 (1968), 33 93.

[10] Мальцев А. И., О полупростых подгруппах групп Ли, Изв. АН СССР, cер. мат. 8 : 4 (1944), 143 174.

[11] Онищик А. Л., Топология транзитивных групп преобразований, Физ матлит, Москва, 1995.

[12] Хелгасон C., Дифференциальная геометрия и симметрические про странства, М.: Мир (1964).

[13] Berger M., Les espaces symtriques noncompacts, Ann. Ec. Norm. 74 (1957), e 85 177.

[14] Cartan E., Sur la structure des groupes des transformations nit et continus, Thesis, Paris, 1894.

[15] Cartan E., Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune mul tiplicit plane, Bull. Soc. Math. France 41 (1913), 53 96.

e [16] Gray A., Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3, Di.

Geom. 7 (1972), 343 369.

[17] Liebeck M. W., Seitz G. M., Redictive subgroups of exceptional algebraic groups, Mem. Amer. Math. Soc. 121 : 580 (1996), 1 111.

[18] Losev I V., On invariants of a set of elements of a semisimple Lie algebra, arXiv:math.RT/0512538 (2005).

[19] McKay W. G., Patera J., Tables of dimensions, indices, and branching rules for representations of simple Lie algebras, Lecture notes in pure and applied mathematics 69 (1981).

[20] Sugiura M., Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semisimple Lie algebras, J. Math. Soc. Japan 11 : 4 (1959), 374 434.

[21] Vinberg E. B., Short SO3 - structures on simple Lie algebras and the associated quasielliptic planes, Amer. Math. Soc. Transl. 213 (2005), 270.

[22] Weyl H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr. I 23 (1925), 271 309;

II 24 (1926), 328 376;

III 24 (1926), 377 395. Русский перевод (неполный) в УМН, вып. 4 (1938), 201 257.

[23] Wolf J., Gray A., Homogeneous spaces dened by Lie group automorphisms, J. Di. Geom. 2 : 1–2 (1968), 77 -159.

Публикации по теме диссертации:

А. Н. Минченко. Полупростые подалгебры особых алгебр Ли, Труды Моск.

мат. общ. 67 (2006), 256 293.

А. Н. Минченко. Триады и короткие SO3 -подгруппы компактных групп, Усп. мат. наук 62 : 5 (2007), 159 160.

А. Н. Минченко. О полупростых подалгебрах особых вещественных алгебр Ли, депонировано в ВИНИТИ РАН, 337-В 2008, 40 c.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.