авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ОМСКИЙ ФИЛИАЛ

ИНСТИТУТА ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ИМ. А.В. РЖАНОВА

СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах

рукописи

Сачков Виктор Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЕШЕТКИ

НИЗКОРАЗМЕРНЫХ РЕАЛЬНЫХ СТРУКТУР НА

ОСНОВЕ GaAs/AlAs МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА.

Специальность 01.04.10

(физика полупроводников) Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор В.В. Болотов ОМСК – 2011 2 СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ КРС - комбинационное рассеяние света IКРС - интенсивность комбинационного рассеяния света dij - тензор комбинационного рассеяния света ij - тензор поляризуемости среды LO-фонон - продольный оптический фонон TO-фонон - поперечный оптический фонон IF-фонон - интерфейсный фонон q- волновой вектор QWW - квантовая проволока СР - сверхрешетка ЛСР - латеральная сверхрешетка T- температура СОДЕРЖАНИЕ стр.

ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. РЕШЕТОЧНАЯ ДИНАМИКА ГЕТЕРОСТРУКТУР И КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ). §1.1. Фононный спектр сверхрешеток GaAs/AlAs §1.2. Трехмерное моделирование решеточной динамики гетероструктур §1.3. Расчет интенсивности КРС. §1.4. Оптические и фононные свойства квантовых проволок и квантовых точек на основе GaAs. ГЛАВА 2. МЕТОДЫ И ПРИБЛИЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ И РАСЧЕТАХ. §2.1. Расчет динамической матрицы сфалерита. Расширенная модель Борна и модель жестких ионов.

§2.2. Вычисление динамической матрицы гетероструктуры. Метод свертки. §2.3. Метод расчета тензора КРС. ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КОНФИГУРАЦИИ НАНООБЪЕКТОВ НА СПЕКТР КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА. §3.1. Исследование спектра оптических фононов, локализованных в квантовых островках GaAs, самоорганизующихся при гетероэпитаксиальном росте GaAs/AlAs в условиях реконструкции поверхности (001). §3.2. Расщепление по частоте поперечных оптических фононов, локализованных в квантовых проволоках GaAs ГЛАВА 4. ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ ФОНОН-ПЛАЗМОННЫХ МОД В СВЕРХРЕШЁТКАХ GaAs/AlAs С ТУННЕЛЬНО-ТОНКИМИ БАРЬЕРАМИ AlAs. §4.1. Определение механизма делокализации фонон-плазмонных мод в легированных гетероструктурах с тонким слоем AlAs. §4.2. Влияние анизотропии эффективной массы на дисперсию фонон-плазмонных мод в СР GaAs/AlAs. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА. ВВЕДЕНИЕ.

Прогресс в области физики полупроводников в значительной степени обусловлен возможностями создания и исследования объектов пониженной размерности с квантовыми свойствами. Достижения современной науки и технологии позволяют создавать полупроводниковые объекты нанометровых масштабов – сверхрешетки (CP), квантовые проволоки и квантовые точки. Вследствие размерного квантования носителей заряда оптические и электронные свойства этих объектов могут кардинально меняться.

Электронные и оптические свойства квантовых объектов определяются их структурными свойствами, для изучения которых весьма успешно используется методика комбинационного рассеяния света (КРС) [1,2]. Так, использование резонансного КРС позволило изучать свойства одиночной квантовой точки [2].

Если характерные размеры этих объектов ограничены несколькими нанометрами, то квантовые свойства могут проявляться и при высоких температурах. Большие надежды по созданию квантовых проволок и точек возлагаются на технологии, использующие их самоорганизацию в условиях гетероэпитаксиального роста, фазовых переходов и разделения фаз в гетерофазных системах [3-5].

Примером использования эффектов самоорганизации на границах раздела является формирование квантовых проволок GaAs в процессе гетероэпитаксиального роста сверхрешеток GaAs/AlAs на фасетированных поверхностях с большими индексами Миллера [5,6]. Так, поверхности (311)А GaAs и AlAs в определенных условиях расщепляются на периодический массив микроканавок с латеральным периодом 3.2 нм [6]. Латеральные размеры проволок при этом воспроизводимы и определяются расстоянием между фасетками, их толщина задается условиями роста. Гетероструктуры на основе соединений AIII-BV находят широкое применение в быстродействующих приборах для телекоммуникаций, оптоэлектронных приборах и лазерах [3]. Качество гетерограниц оказывает существенное влияние на свойства этих приборов, поэтому проблема исследования структуры гетерограниц имеет высокую актуальность. В этом плане методика КРС обладает рядом преимуществ перед другими методиками исследований гетерограниц, поверхностей и квантовых объектов. Прежде всего, она не требует специальных трудоемких процедур приготовления образцов, не требует дорогостоящего оборудования, не разрушает образцы, позволяет проводить экспрессные измерения, позволяет проводить сканирующие измерения микрообъектов [1]. Широко используются пластины с осью роста [001], поэтому большой интерес представляет исследование влияния ее структурных реконструкций на свойства гетероструктур. Структурные реконструкции этой поверхности активно исследуются методами дифракции быстрых электронов и сканирующей туннельной микроскопии [7].

Большой интерес и актуальность представляет исследование влияния реконструкции поверхности на структуру квантовых объектов, формирующихся на ней на начальном этапе гетероэпитаксиального роста.

Как известно, решение обратной задачи рассеяния (восстановление структуры объекта из его спектра) зачастую неоднозначно. Для реальных объектов эта задача еще и осложнена многообразием факторов, влияющих как на фононный спектр, так и на механизмы рассеяния (изменение соотношения вкладов деформационного и электрооптического потенциалов в тензор поляризуемости гетероструктуры и т.д.). Помимо состава, размеров, формы, качества гетерограницы и механических напряжений, для полупроводниковых нанообъектов иногда требуется принимать во внимание и эффекты электрон-фононного взаимодействия.

Актуальность исследования нанообъектов методом спектроскопии КРС обусловлена тем, что анализ активных в КРС фононных мод может дать информацию о следующих структурных свойствах вышеупомянутых объектов: a) их форме, среднем размере и дисперсии по размерам;

б) их ориентации в случае появления эффекта выделенной ориентации, наличии структурной анизотропии;

в) качестве гетерограниц. Основной проблемой при этом является детальное описание механизмов возбуждения той или иной оптической моды при КРС и подтверждение расчетом в сравнение с экспериментальными данными Целью работы является исследование КРС в массивах квантоворазмерных объектов на основе GaAs с анализом их структуры и процессов самоорганизации. Для достижения данной цели методом вычислительного эксперимента решались следующие задачи:

1. Провести исследование влияния гетерограницы на оптические фононные моды, активные в КРС для островков GaAs, окруженных матрицей AlAs, формирующихся при субмонослойном росте в условиях структурной перестройки поверхности (100) GaAs.

2. Провести исследование анизотропии оптических фононов, локализованных в массиве квантовых проволок GaAs, формирующихся на фасетированной поверхности (311)А.

3. Определить механизм делокализации фонон-плазмоных мод в плоских легированных СР GaAs/AlAs с тонким слоем AlAs.

4. Определить влияние анизотропии электронного газа в СР GaAs/AlAs [001] с ультратонкими слоями AlAs на анизотропию смешанных фононных мод.

Научная новизна работы 1. Определена совокупность нанообъектов, вызывающих триплетную структуру пиков продольных оптических фононов в спектрах КРС CP GaAs/AlAs, содержащих субмонослои GaAs, формирующиеся в условиях структурной перестройки (2x4) поверхности (100) GaAs.

2. Показано, что различие частот локализованных в квантовых проволоках GaAs поперечных оптических фононов с направлением колебаний атомов вдоль и поперек квантовых проволок, обнаруженное в эксперименте, объясняется конечной длиной реальных массивов проволок.

3. Предложена модель «квазитрехмерного» электронного газа для объяснения обнаруженного увеличения частоты линии КРС для AlAs-подобной моды и понижения частоты GaAs-подобной моды в легированных ультратонких плоских СР относительно нелегированных.

4. Предсказана угловая дисперсия для фонон-плазмонных мод в легированных ультратонких плоских СР вследствие снятия вырождения тензора обратной эффективной массы электронов.

Практическая значимость работы 1. Определена структура и состав островков GaAs в реальной гетероструктуре GaAs0.6/AlAs5(001) на основе численного моделирования спектров КРС.

2. Предложен метод определения наличия дефектов в гетероструктурах GaAs/AlAs(311)A и оценки длины квантовых проволок, формирующихся при гетероэпитаксиальном росте таких гетероструктур, из сравнительного анализа рассчитанных и экспериментальных спектров КРС.

3. Из данных КРС и проведенных расчетов определена толщина барьера AlAs в легированных СР GaAs/AlAs(001), при которой становятся существенными эффекты туннелирования электронов.

4. Разработан метод оценки концентрации свободных носителей заряда в СР GaAs/AlAs(001) из анализа спектров КРС на основе модели фонон-плазмонного взаимодействия в легированных гетероструктурах полярных полупроводников.

5. Создан пакет программного обеспечение для расчета фононного и КРС спектров гетероструктур произвольной геометрической конфигурации.

Положения, выносимые на защиту 1. Латеральная локализация оптических фононов в квантовых островках GaAs, формирующихся на реконструированной поверхности AlAs, приводит к появлению дополнительных фононных мод, активных в КРС, с частотами, зависящими от количества атомов в островке.

2. Поперечные оптические фононы, локализованные в квантовых проволоках GaAs, самоорганизующихся на фасетированной поверхности (311)А, расщепляются по энергии вследствие структурной анизотропии латеральных СР, содержащих периодический массив квантовых проволок конечной длины.

3. В легированных СР с туннельно-тонким барьером AlAs фонон-плазмонное взаимодействие является одним из доминирующих механизмов, влияющих на форму линий КРС. Фонон-плазмонное взаимодействие становится возможным вследствие увеличения вероятности туннелирования свободных электронов до такой степени, что электронный газ становится «квазитрехмерным».

4. Снятие вырождения тензора обратной эффективной массы свободных электронов, происходящее вследствие структурной анизотропии, вызывает угловую дисперсию для фонон-плазмонных мод в легированных СР с туннельно-тонким барьером AlAs.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения и библиографического списка. Содержит 150 страниц, 37 рисунков на 31-ой страницах, таблицы на 1-ой странице, 138 библиографических ссылок на 17-ти страницах.

ГЛАВА 1. РЕШЕТОЧНАЯ ДИНАМИКА ГЕТЕРОСТРУКТУР И КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ).

Введение Интерес к исследованию объектов пониженной размерности нанометрового масштаба вызван возможностью создания на их основе квантовых приборов, в том числе и одноэлектронных, работающих при комнатной температуре. Как новая и перспективная сфера приложения и развития научных методов, область исследования объектов с размерами в несколько нанометров была отмечена Р. Фейнманом еще в 1959 г. в его выступлении на годовом собрании Американского физического общества. С тех пор достигнуты впечатляющие успехи, сформировались различные разделы науки, посвященные нанообъектам. В структурах переменного состава, в особенности в структурах с границами и гетерограницами, роль последних является существенной в силу малого размера нанообъектов. Необходимо подчеркнуть, что свойства нанообъектов могут быть поняты, описаны и предсказаны на основе квантовой теории, которая должна быть развита для описания поведения реальных наноструктур. Вследствие чего характеристики таких объектов невозможно получить без численного моделирования [8].

Для создания одно - и нуль - мерных нанометровых объектов из-за ограниченности возможностей современной литографии перспективными являются методы, использующие свойства самоорганизующихся систем. Теоретические оценки показывают, что в процессах самоорганизации квантовых объектов (как в объеме, так и на поверхности) большую роль играют механические напряжения [9]. Широко исследованы квантовые объекты, создаваемые на основе арсенидов галлия и алюминия. Уникальность пары этих элементов состоит в близости постоянных решетки, чья относительная разница при комнатной температуре составляет менее 0.14%. Наиболее интенсивно гетероструктуры на основе GaAs/AlAs изучались во вторую половину 80х и 90е годы прошлого столетия. Однако и сейчас регулярно выходят статьи по этой тематике, в том числе и в ведущих научных журналах мира [10-26]. Фононы проявляют себя практически во всех электрических тепловых и оптических эффектах полупроводников. Например, акустические и оптические фононы ограничивают электрическую проводимость. Оптические фононы сильно влияют на оптический отклик объемных материалов и наноструктур, тогда как акустические фононы во многом определяют теплопроводность. В длинноволновом пределе фононы образуют звуковые волны. Подобно электронам свойства фононов определяются их дисперсией, т.е.

зависимостью частоты фонона от волнового вектора. Пространственное ограничение фононов в наноструктурах и гетероструктурах могут сильно влиять на фононную дисперсию, изменяя фононные свойства, такие как групповая скорость, поляризация атомных смещений, плотность состояний фононов, и на взаимодействие фононов с электронами, точечными дефектами, другими фононами. Таким образом, через точную подстройку дисперсии, изменяя параметры наноструктуры, можно контролировать фононный транспорт [27].

Широкое применение методики комбинационного рассеяния света (КРС) для исследования гетероструктур на основе арсенида галлия обусловлено, с одной стороны, обширностью получаемой информации, а с другой стороны – сильной зависимостью спектра фононов от размеров объектов и структуры гетерограниц [1], что позволяет характеризовать объекты нанометровых размеров.

§1.1. Фононный спектр сверхрешеток GaAs/AlAs.

Фононные свойства сверхрешеток и квантовых ям, определяемые их периодической структурой и пониженной размерностью.

Ряд новых интересных явлений в физике полупроводников был обнаружен и исследован благодаря появлению новых объектов – сверхрешеток (СР). “Сверхрешетками” обычно называют периодические структуры, состоящие из тонких слоев двух полупроводников, повторяющихся в одном направлении [28]. Сверхрешетку можно рассматривать как искусственно синтезированный полупроводник, который обнаруживает новые электронные, фононные и оптические свойства. Среди новых физических явлений, связанных с особенностями колебательного спектра сверхрешеток, наиболее яркими являются следующие: появление интерфейсных фононов – колебаний с волновым вектором, направленным вдоль слоев сверхрешетки и затухающих по мере удаления от границы раздела;

свертка акустических фононов;

локализация оптических фононов [1]. Последние два явления связаны со сверткой зоны Бриллюэна в направлении роста сверхрешетки. Впервые свернутые акустические и локализованные оптические фононные моды были обнаружены в сверхрешетках GaAs/Ga1-xAlxAs методом КРС в середине 80-тых годов [29-31]. Эффект локализации оптических фононов в слоях GaAs и AlAs возникает вследствие того, что собственные частоты оптических колебаний в этих материалах существенно различаются, поэтому оптические фононные моды, являющиеся собственными для одного из материалов, быстро затухают в другом материале, причем, глубина затухания может составлять 1- монослоя.

Задача расчета фононного спектра является нетривиальной. Существуют множество моделей разной степени сложности, имеющие разные области применимости.

Континуальные модели.

Континуальные модели [32-34] описывают колебания СР основываясь на скорости звука и плотности объемных материалов. Основная идея была опубликована еще в 1956 году [35] для расчета распространения звука в геологических породах.

Волновое уравнение для среды с переменными плотностью z и коэффициентом упругости C z выглядит [36.]:

u u z C z (1.1) t t z z В сверхрешетке, состоящей из чередующихся слоев A и B, плотность и коэффициент упругости внутри слоя постоянны и равны соответствующим объёмным параметрам. Тогда уравнение для распространения волны вдоль оси чередования для каждого слоя примет вид:

2 u A, B 2 u A, B A, B C A, B (1.2) t 2 z Решением этого уравнения для каждого слоя будет линейная комбинация плоских волн с частотой, волновыми векторами kA() для слоя A, kB() для слоя B, где kA,B()=/VA,B, и неизвестными амплитудами, VA,B –скорость звука в соответствующем слое.

Четыре неизвестных амплитуды можно найти из уравнения непрерывности напряженности на границе слоев в точке zi:

uA uB CB CA z z (1.3) zi zi и из уравнения непрерывности атомных смещений на границе слоев:

u A z i u B z i (1.4) Учитывая, что граничные условия связаны теоремой Блоха, можно получить четыре уравнения с четырьмя неизвестными. Нетривиальное решение будет возможно, только если детерминант секулярного уравнения будет равен нулю, что выполняется при условии [35] dA dB 1 B VB A V A d A d B cosk d cos V cos V 2 V V sin V sin V (1.5) A B AA B B A B здесь dA,B – толщина слоя A,B и d = dA+ dB.

Если записать в эквивалентном виде d A dB 2 dA dB cosk d cos sin V sin V V VB 2 (1.6) A A B где B VB A V A (1.7) A V A B VB 1 / и учесть, что для материалов, из которых обычно растят сверхрешетки обычно 2/2102, то в первом приближении вторым членом в правой части (1.5) можно пренебречь, слева и справа останутся косинусы, и, следовательно, их аргументы равны с точностью до 2. Тогда закон дисперсии примет вид:

kd dA dB V V A B и 2 k d 1, 2,, (1.8) dA dB V V A B и скорость распространения звука будет равна:

V A VB V, (1.9) 1 V A V A где d B / d A d B Дисперсионное соотношение (1.9) наглядно показывает процесс свертки акустических фононов. Однако в центре и на краю зоны Бриллюэна моды имеют вырождение, если учесть второй член в (1.6), то вырождение снимается 1 V B V A V sin, (1.10) 2 1 V V d B A где - разница между вырожденной частотой в центре и на краю зоны Бриллюэна, VB рассчитанной по (1.8), и частотой, рассчитанной с учетом второго члена (1.6),.

V A VB Дисперсионное соотношение (1.5) применимо только в случае, если составные материалы имеют кубическую симметрию с осью роста [001] или [111]. В этих случаях продольные и поперечные колебания не смешиваются, и, следовательно, в дисперсионное соотношение для поперечных и продольных колебаний необходимо подставлять соответствующие скорости звука. Континуальная модель наглядно объясняет процесс свертки для акустических мод и хорошо подходит для толстых сверхрешеток. Однако в случае наноструктур интерфейс структуры во многом определяет свойства фононов, вследствие чего данная модель для них не применима.

Континуальная модель макроскопического электрического поля.

Расщепление между поперечными и продольными оптическими модами в полярных кристаллах в центре зоны Бриллюэна возникает из-за воздействия макроскопического электрического поля на продольные моды[37]. В некоторых случаях необходимо учитывать эффект запаздывания дальнодействующего кулоновского взаимодействия и, соответственно, поляритонные эффекты [38-40]. Так как основная масса экспериментальных результатов получена методом комбинационного рассеяния света в геометрии обратного рассеяния, то волновой вектор, передаваемый решетке, q /c, следовательно эффектами запаздывания в этих экспериментах можно пренебречь. В работе [41] в сверхрешетках 14 GaAs -11 AlAs _ z ( x y, x y ) z с осью роста [001] методом КРС в геометрии обратного рассеяния был обнаружен дополнительный резонансный пик между TO и LO частотами. Было предположено, что дополнительный пик вызван оптической модой «эффективной среды», распространяющейся в плоскости слоев и локализованной около интерфейса.

Диэлектрическую проницаемость анизотропной среды СР можно получить из диэлектрической проницаемости составных объемных материалов из условия непрерывности соответствующих компонент напряженности электрического поля (Ex, Ey) и непрерывности компоненты, перпендикулярной границе электрического смещения Dz.

1 2 (d1 d 2 ) z 1 (1.11) 1 d 2 2 d 1 d 2 2 d x, y (1.12) (d1 d 2 ) Из равенства нулю z можно найти частоту продольной моды, а из полюсов x,y – частоты поперечных мод, распространяющихся вдоль оси сверхрешетки. Эти частоты совпадают с объёмными частотами. Для колебаний, распространяющихся в плоскости сверхрешетки, частоты можно найти из d d 1 1 d 2 2 0 (1.13) для продольных частот и d 1 d1 / 1 d 2 / 2 0 (1.14) для поперечных частот. Частоты, являющееся решением этих уравнений, лежат между LO и TO объёмных материалов. Для d1=d2 LO и TO эффективной среды вырождаются и удовлетворяют уравнению 1=-2, (1.15) которое является стандартным уравнением для мод, локализованных около интерфейса для полуограниченных материалов [41]. На основании вышеизложенного было предположено, что дополнительный пик КРС связан с колебаниями интерфейса, распространяющимися в плоскости слоев сверхрешетки. Оптические объемные моды сильно локализованы в одном из слоев, вследствие чего их частоты могут быть описаны с использованием однослоевой модели [42]. Макроскопический метод из-за пренебрежения зависимостью потенциала от волнового вектора не чувствителен к деталям колебаний интерфейса. Более реалистичную картину дает учет зависимости потенциала от волнового вектора, накладываемый на свойства кристалла его периодичностью [43,44]. Диэлектрическая проницаемость объёмных материалов:

2 L1, 1, 2 ( ) (1.16) 1, 2 T1, В пренебрежении эффектов запаздывания электрический потенциал подчиняется уравнению Пуассона:

2 0, (1.17) которое автоматически выполняется для ()=0. Это условие существования продольных мод (L1, L2), которые локализованы в одном из слоёв, так как L1L2. Но возможно другое решение, полученное из уравнения 2 0. Это решение описывает колебания интерфейса. Вначале рассмотрим локализованные колебания в слоях и учтем периодичность потенциала в решетке. Условия дискретности для компонент волнового вектора, лежащих в плоскости, накладываются планарными размерами кристалла, вследствие чего их можно считать непрерывными. Для компоненты вдоль оси сверхрешетки условия дискретности накладываются размерами слоев, так как колебания локализованы в слоях. Чтобы определить возможные значения вдоль оси сверхрешетки (z), разложим потенциал в ряд Фурье.

1 ( x, y) 0 e i k x cos(q z ) (1.18) 2 ( x, y) 0 e i k x sin (q z ) (1.19) Так как колебания локализованы в одном слое, то смещения атомов для этой моды в другом слое отсутствуют. А так как диэлектрическая проницаемость используемых объёмных материалов не бесконечна, то и поляризация в этом слое, которая пропорциональна атомному смещению, равна нулю. Продольные атомные смещения пропорциональны напряженности электрического поля, следовательно, электрическое поле и его смещение так же локализованы в одном слое. Для колебаний, локализованных в первом слое, из непрерывности Ex для Фурье компонент (1.18):

i k0 e i k x cos(q d1 / 2) Ex (1.20) x Из непрерывности Dz:

Dz 1 1 q0 e i k x sin (q d1 / 2) 0 (1.21) z Здесь начало координат по оси Z расположено в середине первого слоя. Решением уравнения (1.21) будет 1=0, откуда получаем частоты объёмных продольных мод. Атомные смещения непрерывны на границе, а так как для продольных колебаний смещения пропорциональны напряженности поля, то непрерывно и электрическое поле Ez. Из непрерывности Ez q0 e i k x sin (q d1 / 2) 0 (1.22) В случае k0 и q0 невозможно одновременно выполнить (1.22) и (1.20). В случае k= из (1.20) находим:

q m, m 2, 4, 6 (1.23a) d и аналогично для Фурье компонент (1.19) q m, m 1, 3, 5 (1.23b) d Этот результат можно применить для k, отличного от нуля, при условии, что k значительно меньше q из (1.23 a,b), что возможно для относительно тонких сверхрешеток.

Рассмотрим колебания структуры, локализованные около интерфейса. Уравнения потенциала для них можно получить из (1.18) и(1.19), заменив sin и cos на eQ z 1, 2 0 e i k x e Q z. (1.24) Здесь начало координат выбрано на границе сред. Знаки для потенциала среды выбираются так, чтобы на бесконечности потенциал исчезал. (1.24) будет удовлетворять уравнению Пуассона (1.13) только в случае k=Q. Граничные условия для DZ приводят к (1.15). Для периодической системы интерфейсов возможна линейная комбинация потенциалов (1.24). Для такой системы электростатический потенциал подчиняется теореме Блоха 0 ( x, z ) 0 ( x, z ) e i q n x (1.25) Учет того, что электрическое смещение на разных границах так же подчиняется теореме Блоха, приводит к [43]:

1 cos(q d ) cosh(k d 1 )cosh(k d 2 ) 1 2 sinh(k d 1 )sinh( k d 2 ) (1.26) 2 2 Численное решение этого уравнения проанализировано в [43]. В [45] проведено сравнение численных и экспериментальных результатов для GaAs/AlAs сверхрешеток.

Результатом решения для каждого значения q и k являются четыре частоты, которые образуют по две энергетические зоны в области оптических частот для каждого составного материала. Эти частоты лежат между TO и LO объёмных частот.

Уравнение (1.26) в случае q=0 можно решить аналитически k d1 kd tanh coth ( ) 2 1. (1.27) 2 ( ) kd2 k d tanh coth 2 В случае d1=d2 уравнение для частоты колебаний интерфейса сводится к 1=-2, что эквивалентно уравнению полуограниченной среды (1.15). В длинноволновом пределе для лежащего в плоскости волнового вектора k при q=0 уравнение эквивалентно (1.14). В этом предельном случае длина затухания становится неограниченной, и реально колебания не локализованы около интерфейса, даже если диэлектрические свойства имеют «характер интерфейса». Электростатический анализ имеет широкую область применения. Его легко обобщить для других продольных возбуждений, например плазмонов [46], необходимо только проверить правомерность приближений. Так в [31,47] показано, что существование моды интерфейса в системах с плазмонами стоит под большим вопросом.

Анализ частот локализованных оптических мод в модели линейной цепочки.

Самой простой моделью, объясняющей возникновение в фононном спектре сверхрешеток вышеупомянутых свернутых и локализованных мод и численно описывающей их дисперсию, является модель линейной цепочки [1,48-51]. Обоснование возможности применения данной модели для расчетов собственных частот колебаний в сверхрешетках с плоскими границами раздела, например, такими, как сверхрешетки GaAs/GaAlAs, выращенных на поверхности (100), заключается в следующем. В простейшем случае “жесткой” локализации в слое, то есть когда смещения атомов на границе равны нулю, решением будет набор плоских стоячих волн с соответствующими длинами волн =2(d+)/m, где m - целое число (порядок локализованной моды), а d - это толщина слоя, в котором локализованы фононы, -глубина их проникновения в слой другого материала.

Частоты локализованных мод соответствуют частотам объемных оптических фононов с волновыми векторами q=m/(d+), где обычно составляет один монослой [1,48,49,52,53]. В сверхрешетках с однородными слоями и гладкими гетерограницами в условиях резонансного КРС в спектрах наблюдались пики, соответствующие рассеянию на локализованных продольных оптических (LO) модах 8-ого порядка [53] и поперечных оптических (TO) модах 5-ого порядка [54].

Таким образом, исследование методом КРС оптических фононов, локализованных в слоях сверхрешеток, дает информацию об их дисперсии в объемном материале. Это особенно важно в случае, когда изучаемый материал не может существовать в природе в нормальных условиях, как, например AlAs, который при контакте с атмосферой окисляется [55]. Как уже упоминалось выше, частоты локализованных оптических фононных мод сильно зависят от толщин слоев, в которых они локализованы, поэтому, изучая спектры КРС в СР, можно определять толщину и однородность этих слоев [55]. Анализируя положение и ширину пиков КРС на локальных модах, можно изучать шероховатость гетерограниц с атомарной точностью [55]. Однако, хотя влияние структуры гетерограниц, например возникновение атомарных ступенек в латеральном направлении, должно сильно проявляться именно в СР с очень тонкими слоями, к настоящему времени были исследованы структуры с относительно толстыми слоями GaAs/AlAs, и существует недостаток экспериментальных данных по КРС в СР, содержащих субмонослои GaAs.

§1.2. Трехмерное моделирование решеточной динамики гетероструктур Полномасштабное трехмерное моделирование можно осуществить двумя путями: а) методами “ab initio” [56,57], которыми из-за ограниченности вычислительных мощностей невозможно моделировать сложные структуры (100 и более атомов);

б) построением атомистических феноменологических моделей [31,39,40,58,59], которым и посвящен данный параграф.

Модель силовых констант Борна Модель, предложенная Борном [39], является самой простой и наиболее употребительной из атомистических феноменологических моделей. Общий формализм этих моделей следующий. Координаты атома кристалла в положении равновесия можно записать:

R ls R l r s, где R l – радиус вектор элементарной ячейки l, r s – радиус вектор атома сорта – вектор смещения атома сорта l s внутри ячейки. Пусть u s в ячейке l из положения s равновесия. Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора до второго порядка малости около положения равновесия:

0 ls u ls u u 1 l l l l s s s, s 2 l,s, l, s, l, s,, (1.28) где, – декартовы координаты, ls 0– (1.29) u ls u сила, действующая на атом сорта s в ячейке l. В положении равновесия сила, действующая на атом, равна нулю.

, ls ls u ls u ls u0 – (1.30) – так называемая силовая матрица. Ее компоненты в литературе называют силовыми константами. Уравнение движения такой системы выглядит m s ( ls ) ls ls u( ls ) u l s.

Закон, по которому будет изменяться смещение атома, можно записать в форме бегущих волн:

u ls t q, j exp i q R l q, j t u s N, (1.31) q, j u s q, j где s – сорт атома, q – вектор обратного пространства, – коэффициенты j = 1..3n, N – число n – количество атомов в элементарной ячейке, разложения, элементарных ячеек в кристалле. Тогда уравнение движения примет вид:

m q, j us q, j exp i q R l q, j t s qj exp iq R.

R l u s q, j exp i q R l q, j t l l l s s s l qj Приравнивая множители перед exp i q R q, j t, для каждого q получаем l уравнение:

m s 2 q, j u s q, j D s, s q u s q, j s,, (1.32) где D q – матрица размерностью 3n 3n, D s, s q, ls ls expi q R l R l. (1.33) l Если принять обозначения v s q, j ms u s q, j, (1.34) то уравнение (1.32) сводится к 2 q, j v s q, j D s, s q v s q, j s,, (1.35) где D s, s q D s, s q m s m s (1.36) v s q, j 1.. – так называемая динамическая матрица. Набор коэффициентов (, s 1..n ) в литературе называется вектором поляризации j го фонона с волновым вектором q.

Перепишем (1.35) D s, s q q, j v s q, j s,s, s,. (1.35a) Для того, чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель:

D( q) 2 q, j s,s,. (1.35b) Решая это так называемое характеристическое уравнение, находим для каждого q набор q, j, j 1..3n.

Силовые константы, вообще говоря, могут служить подгоночными параметрами модели, однако, очевидно, некоторые из них будут зависимыми друг от друга. Эта зависимость накладывается симметрией кристалла. Из (1.30) следует:

, ls ls, ls ls. (1.37) При смещении кристалла как целого на произвольный вектор u сила, действующая на u l l s s. Ввиду произвольности u произвольный атом, равна нулю: l,s 0 l l s s,. (1.38) l,s Из инвариантности потенциальной энергии относительно поворота кристалла как целого следует [37,60,61]:

R R l l l l l l s s s s s s,, l, s l, s.

Наличие трансляционной симметрии приводит к, ls h l h, ls ls, 0 l l, lsl s, (1.39) s ss h – любая линейная комбинация векторов трансляции решетки [37,60]. Если где взаимодействие между двумя атомами можно выразить посредством двухчастичного s s R ls R ls потенциала, то в отсутствии внешнего поля такой потенциал можно s s r ls, l s записать как функцию от модуля расстояния между частицами, т.е. где r ls R R. Потенциальная энергия кристалла примет вид:

l l l s s s l l s 1s r l l s s s s 2 l,s l, s.

Подставляя вид потенциала в (1.30), получим:

r s r s R l r r R s l s l ss r s r s R l l s s, s s r s r s R l r s r s R l (1.40) ss r s r s R l r s r s R l r s r s R l, s r s r s R l s r s r s R l r r R l и из (1.38) l s s s 0 l s s s l s. (1.41) d s s ( x ) d 2 s s ( x ) ss ( x ) ss ( x ) dx dx Здесь,. Первый член (1.40) описывает силу,, возникающую при смещении атома вдоль связи из положения 0 l действующую на атом s s s s равновесия;

второй – силу при смещении атома перпендикулярно связи. Так как и ее производные зависят только от расстояния, удобно переобозначить атомы,, по координационным сферам (первые соседи попадают в взаимодействующие с атомом s l первую координационную сферу и т.д.). Так, каждый атом при рассмотрении s попадает в некую координационную сферу p и имеет в ней некий взаимодействия с s номер i. Если ввести R ls R 0 r p i ( s ), (1.42) s тогда (1.40) можно записать:

, s s kl kt sps epi e kt sps, l l p pi s s s s, (1.43), e p i s r p i ( s ) / r p i ( s ) kl sps kt sps kl sps ss r p i (s ) kt sps ss r p i ( s ) / r p i ( s ) здесь,., – подгоночные константы жесткости связи при ее растяжении и изгибе, соответственно.

Борн рассмотрел решение этого секулярного уравнения в акустическом пределе q 2 qx q 2 qz 2 ( 0 ) и в длинноволновом пределе ( ). Из сравнения получившиеся y матричных элементов с элементами характеристического уравнения для акустических волн, развитого в рамках теории упругости для решеток с кубической симметрией [37,60], были найдены следующие соотношения между константами упругости c11, с12, с44 и силовыми константами kl, kt :

3 kt kl kt kl kt kl 2 kt c11, c12, c4 4 a kl kt.

4a 4a (1.44) здесь a- постоянная решетки. Из (1.44) нетрудно получить Борновское соотношение:

4c11 c11 c IB c11 c12 2. (1.45) Значения I B, рассчитанные из упругих констант, полученных экспериментальным способом, для алмаза равно 1.49, для кремния– 1.08, для германия– 1.01. Из этого видно, что соотношение Борна хорошо выполняется для кремния и германия, но не для алмаза.

Метод Эвальда Метод, позволяющий учесть дальнодействующее взаимодействие в кристаллической решетке, был предложен Эвальдом [37,60,62]. Рассмотрим этот метод в применении к модели жестких ионов и получим конкретную формулу для расчета. Выделим из потенциальной энергии взаимодействующих частиц кулоновскую часть:, м к где – потенциальная энергия кулоновского взаимодействия, – потенциальная энергия к м всех остальных полей. В модели жестких ионов кристалл состоит из точечных недеформируемых зарядов. Кулоновское взаимодействие является двухчастичным, поэтому можно воспользоваться (1.40). Кулоновский потенциал имеет вид:

z s z s sks r r, (1.46) zs – r– sго где эффективный заряд иона, модуль расстояния между взаимодействующими частицами. Силовую матрицу (1.40) кулоновского взаимодействия удобно записать в следующем виде:

z s z s l 0 2, ( sl,s ) s (1.47) s Rl R R R Rr s r s.

Тогда динамическая матрица (1.36) при ss примет вид:

l z s z s ei( qR ) s s s, s q D, ms ms R R Rl R l Rr s r s. (1.48) Ряд в выражении (1.48) сходится плохо, и использовать для практических расчетов эту формулу невозможно. Это затруднение можно обойти, произведя тождественное преобразование, предложенное Эвальдом:

1 2 RlR d erfc R l R.

(1.49) e R R l где erfc x exp t 2 d t, тогда выражение для динамической матрицы будет x представлять сумму двух рядов. Ряд, содержащий функцию erfc, хорошо сходится для больших. Ряд, содержащий интегралы, сходится плохо, однако, если произвести Фурье преобразование K q2 R l R 2 2 i (q ( R l r )) 2 2 3 exp 4 2 i ( K R) exp (1.50) V K l этого ряда, то ряд становится быстро сходящимся, где V – объем элементарной b1, b 2, b 3 – базисные векторы обратной решетки, K k 1 b1 k 2 b 2 k 3 b 3, ячейки, k 1, k 2, k 3 – целые числа. Равенство (1.50) носит название преобразования функции[37].

После произведенных преобразований динамическая матрица (1.48) примет вид 4 exp i q (r s r s q q s s z s z s, q ss 2.

s, s q D (1.51) q, ms ms V где 2 q, R ss, q R R R r s r s, (1.52) и K q2 i (K q) R exp erfc Rl R q, R exp i (q Rl ) R R V K l K q l (1.53) 2i 4 q expi (q R ;

i0 4 i !

i V Теперь рассмотрим случай s s. Используя (1.47), (1.41), (1.36), получим:

s s 2 l e i( qR ) z z 1 s, s q, ( s,s ).

D, (1.54) R R l 0 R l R m s ms R l e i( qR ) Rl R l Первый член правой части (1.54) – непериодическая функция от R (так как нет нулевого члена). Для того, чтобы можно было произвести Фурье преобразование, R прибавим и вычтем. После чего можно произвести процедуру, описанную для случая ss.

, ( s0,s ) Теперь рассмотрим в (1.54) оставшийся член. Подставим (1.47) в (1.41):

ls 0 zs z s z s 2 s (1.55) l.

, z z s lim 0 s s,s R R R R l s R R r s r s R R l R r s r s R l, s R z s R l R r s r s l,s – выражение для электростатического потенциала в точке R, создаваемого всеми ионами. Так как ионные решетки всегда являются сложными решетками, то желательно аддитивно разделить потенциал на вклады от отдельных простых решеток с тем, чтобы одно и то же решение использовать для разных кристаллов, состоящих из одинаковых подрешеток. Однако вычислить потенциал простой решетки оказывается невозможным, так как она состоит из точечных зарядов одного знака, и потенциал расходится. Решить проблему можно, если сделать простую решетку электрически нейтральной путем внесения в нее равномерно распределенного заряда. В такой модели потенциал подрешетки существует, а внесенный равномерно распределенный заряд исключится при наложении всех подрешеток, так как ячейка в целом электрически нейтральна. Совершив описанную процедуру [60], можно получить z z ~ ss, 0 z s, 0.

s, 0 s (1.56) s,s s s где 2 q, R ~, q lim R R R R, (1.57) После проведения вышеописанных процедур получим:

4 zs q q zs s~ s~ D, s, s q z, 0 z, 0 z, q ss s 2. (1.58) ms ss V q Формулы (1.58) и (1.51) можно непосредственно использовать для учета кулоновского взаимодействия при расчете фононных спектров.

Модель валентных сил Китинга.

В основе модели Борна лежит представление о двухчастичном взаимодействии атомов в кристалле. При учете взаимодействия только ближайших соседей коэффициент B ( c11 2c12 ) / 3 ( kl kt ) / 4a зависит от тангенциальных сил, что объемного сжатия выглядит противоречивым. Здесь, a – постоянная решетки, kl и kt – коэффициенты жесткости центральных и тангенциальных сил между первыми соседями. Китинг предложил более общую модель [63]. Пусть энергия упругой деформации зависит только от позиций ядер. Тогда, учитывая, что потенциал должен быть инвариантным относительно произвольного смещения решетки как целого, потенциал межатомных взаимодействий ( xk xl ) ( xk l ) может зависеть только от разницы между позициями атомов, т.е., где xk l xk xl и x k – позиция k ого ядра после деформации. Но должно быть также xk l инвариантно относительно поворота кристалла как целого. не инвариантно относительно xk l такого преобразования. Простейшая инвариантная функция от – скалярное произведение.

Отсюда определим x xm n X k l X m n k lmn kl 2a, (1.59) Xkl Xk Xl и Xk где a – решеточная константа, – радиус вектор k ого ядра в недеформированном кристалле. Последний член нужен для того, чтобы при отсутствии деформации равнялось нулю. Таким образом, энергия упругости будет функцией от k l mn. Так как мало, энергию можно разложить в ряд по. А так как в большого числа положении равновесия на ядро не должна действовать никакая сила, то коэффициент при k l mn линейном члене по должен равняться нулю, и тогда потенциал равен Bk l m np q r s k l m n p q r s O 2. (1.60) Для описания системы из N частиц необходимо 3N 6 обобщенных координат.

ч ч Число различных равно 1 / 8 N ( N 1)[ N ( N 1) 2], что явно избыточно. В работе [63] ч ч ч ч было показано, что для описания простой кристаллической решетки в пренебрежении краевыми эффектами достаточно взять в качестве обобщенных координат все скалярные произведения трех векторов между тремя ближайшими соседними атомами. То есть, пусть x1 (l ), x2 (l ), x3 (l ) – векторы, соединяющие атом в ячейке (l ) с тремя ближайшими соседними атомами, причем, если атомы находятся в состоянии покоя, то векторы x1 (l ), x2 (l ), x3 (l ) становятся равны базисной тройке векторов решетки X 1, X 2, X 3 соответственно. Тогда энергия равна 1 l l m n l mn l B m n m n 2 l,l m,n,m,n 1, (1.61) m n l xm l xn l X m X n / 2a l, l – где, номер элементарной ячейки, Bm n m n суммирование происходит по всей решетке, а должен быть инвариантным относительно всех операций пространственной группы. Расширение модели для решетки с элементарной ячейкой с двумя атомами A и B делается следующим образом. В качестве x1 (l ), x2 (l ), x3 (l ) берем векторы между атомом A ячейки (l ) и тремя ближайшими атомами сорта B из соседних ячеек, и x4 l – вектор между положением атома A и положением атома B ячейки (l ). Увеличение ячейки на один атом требует увеличение числа обобщенных координат на три. Т. е. для ячейки из двух атомов надо 9 координат. Из набора векторов x1 (l ), x2 (l ), x3 (l ), x4 l получается 10 различных скалярных произведений. Поэтому отбросим любое недиагональное произведение, например, x3 (l ) x4 l. Тогда выражение для энергии примет вид:

1 l l m n l mn l B m n m n 2 l,l m,n,m,n (( m,n ),( m,n ) (1.62) ( 3, 4 ),( 4, 3)) При дальнейшем расширении ячейки формула для энергии изменяется аналогичным образом. Рассмотрим решетку алмаза. В модели Китинга в первом приближении можно пренебречь недиагональными членами силовой матрицы, т.е. если m m или n n, то Bm n mn, и учитывать только два типа взаимодействия: центральное, между ближайшими соседями, и нецентральное, между вторыми соседями. Элементарная ячейка структуры алмаза состоит из двух атомов (1 и 0). Если точку отсчета системы координат поместить в точку расположения атома 0, то координаты атомов r i 1..4 будут 1,1,1 a / 4, 1,1,1 a / 4, i 1,1,1 a / 4 и 1,1,1a / 4, соответственно. Из симметрии кристалла m m m m kl B (для всех m ) и B m n m n 6k / (для всех m, n, m n ), тогда модель становится двухпараметрической, и энергия равна 1 kl a 2 2 3a 2 k 4 x0 i l x0 i l x0 j l, (1.63) 2a 2 l 4a 2 i 1 i, j i x 0 i l r i u ls u l0 –.

l l однозначно находится для i-го соседа атома где, s Используя формулы (1.30), (1.36), (1.33), (1.63) можно построить динамическую матрицу.

Упругие константы можно получить длинноволновым методом Борна [37,63]:

c11 kl 3k / 4a, c12 kl k / 4a, c4 4 kl k / akl k.

(1.64) Из этих уравнений вытекает соотношение, аналогичное Борновскому (1.20):

2c4 4 c11 c IK ( c11 c12 )( c11 3c12 ). (1.65) Величина I K, рассчитанная из упругих констант, полученных экспериментальным путем, равна для алмаза 0.99, для кремния 0.99, для германия 1.07. Такая погрешность для первого приближения характеризует модель Китинга как перспективную. Модель Китинга успешно применялась для различных материалов как самостоятельная модель, так и совместно с моделью жестких ионов, и как составная часть более сложных моделей, например, модель заряда на связи Вебера.

Оболочечная модель Если в ионном кристалле ионы сместить из положения равновесия, возникает дипольный момент, порождающий кулоновское поле, которое состоит из макроскопического поля и лоренцевского поля, связанного с так называемыми поправками на локальное поле. Макроскопическое поле, со своей стороны, действует на движение ионов как внешняя сила и, более того, может поляризовать ионы и, таким образом, увеличивать их дипольный момент [64]. Если мы пренебрежем поляризуемостью ионов, т.е. будем рассматривать их как жесткие или точечные, то колебательные свойства кристаллов можно будет изучать с помощью теории, описанной в предыдущих разделах.

Однако учет деформируемости и поляризуемости ионов требует иного подхода к вопросам динамики, так как эти свойства являются электронными по своей природе и не могут быть включены в теорию колебаний решетки, исходящей из разложения решеточного потенциала только по ионным смещениям. При феноменологическом выводе уравнений u ls движения для колебаний ионных кристаллов, помимо смещений ионов, компоненты l макроскопического электрического поля кристалла E s рассматриваются как независимые динамические переменные. Однако, с помощью уравнений Максвелла, последние можно выразить через предыдущие так, что окончательные уравнения движения, которые и определяют собственные колебания, снова будут зависеть лишь от смещений.

Исходным пунктом для такой феноменологической теории может быть следующее выражение для потенциальной энергии:

u u M E u P E E.

l l l l l l l l l l l l (1.66) s s s s s s s s s s s s 2 l,s, l, s, l, s, l, s, l, s, l, s, ls описывают короткодействующие силы, включая и l s Здесь силовые константы силы, связанные с локальным полем. Влияние макроскопического электрического поля M ls – так называемый l s содержится во втором и третьем слагаемых выражения (1.66).

P ls – тензор электрической поляризуемости.

l s поперечный тензор эффективного заряда.

В феноменологических подходах к динамике решетки силовые постоянные рассматривают как параметры, которые должны быть определены из экспериментальных данных. Чтобы получить адекватное приближение, нужно, чтобы в модели не содержалось слишком большого количества параметров, причем последние должны иметь определенный физический смысл. В оболочечной модели атом рассматривают как остов, с которым посредством изотропной пружины связана безмассовая оболочка, представляющая собой внешние валентные электроны (рис. 1.1). В этой модели существует лишь один тип поляризации: относительное смещение остова и оболочки, независимо от того, вызывается ли оно электрическим полем или влиянием короткодействующих сил.

Смещение оболочки полностью задается ее центром, поэтому можно формально заменить оболочку точечной заряженной частицей, находящуюся в центре оболочки. Тогда эта модель сводится к модели Борна для короткодействующих сил с удвоенным количеством частиц и модели жестких ионов с удвоенным количеством частиц для кулоновских сил, с учетом того, что остов со своей оболочкой электростатически не взаимодействует.

Увеличение элементарной ячейки в два раза введет за собой нежелательный эффект увеличения размера динамической матрицы. Его легко обойти ввиду адиабатичного движения оболочек. Пусть s, s – номера остовов в ячейке, p, p – номера оболочек в ячейке, тогда уравнение (1.32), с учетом того, что масса оболочки равна нулю, можно записать:

ms 2 q, j v s q, j D s, s q v s q, j D s, p q v p q, j (1.67) s, s, и 0 D p, s q v s q, j D p, p q v p q, j, (1.68) s, s, v p q, j из (1.68) можно выразить компоненты, и тогда уравнение (1.67) примет вид:

m s 2 q, j v s q, j D s, s q D s, s q v s q, j, ~ (1.69) s, где D s, s q D s, p q D p, p q D p, s q, ~ (1.70) p, p, и тогда решение уравнения движения сводится к характеристическому уравнению (1.35b).Дальнейшее развитие оболочечной модели связано с дополнительным учетом радиально симметричной деформируемости ионов, т.е. так называемой дышащей (breathing) деформируемости, что позволяет существенно улучшить приближение экспериментальных фононных дисперсионных кривых с помощью оболочечной модели.

Модель заряда на связи Использование оболочечной модели в случае ковалентных веществ вызывает возражение, так как неадекватно приписывать электроны связи тому или другому атому, поскольку они между этими атомами распределены. В работе [65] дается физическое обоснование модели заряда на связи [66]. В этой модели неполное экранирование ионов в ковалентных кристаллах посредством диагональной матрицы диэлектрической Рис. 1.1. Иллюстрация короткодействующих силовых постоянных в FS2 C оболочечной модели. обозначает силовую постоянную между остовом и оболочкой 2 и т.д.

Рис. 1.2. Схематичное изображение модели заряда на связи. 2Z– остаточный заряд иона, возникающий вследствие неполной экранировки посредством диагональной диэлектрической проницаемости. (-Z)– заряд на связи (ЗС).

Присутствуют короткодействующие силы между ионами (Fa) и кулоновские силы между ионами и ЗС (Fb). Fd описывает взаимодействие связь-связь, взаимодействие описывается потенциалом Китинга [67].

проницаемости компенсируется зарядами на связи;

предполагают, что они расположены посередине между соседними ионами (рис. 1.2). Заряды на связи дают эффективные нецентральные силы между ионами и, таким образом, приводят к устойчивости решетки типа алмаза относительно скручивания. Из этого следует, что они соответствуют ковалентному характеру связи. Согласие между фононными спектрами, вычисленными и определенными экспериментально, можно улучшить, если ввести адиабатическое движение заряда на связи. На первый взгляд, между различными феноменологическими моделями, используемыми для изучения решетки различных систем, соответствия не видно.

Микроскопическая теория фононов дает инструмент для исследования таких возможных соответствий между различными моделями, потому что она представляет собой единый подход к колебаниям решетки как в проводящих, так и в непроводящих кристаллах.

В микроскопической теории фононов общее выражение для постоянных выводится из микроскопического исследования взаимодействия между ионами, которые состоят из: 1) прямого ион ионного взаимодействия;

и 2) взаимодействия через электроны. Выражение для силы, действующей на ион, выводится посредством изучения отклика электронов кристалла на поле, возникающее при колебании ионов. Принимая приближения Борна– Оппенгеймера и гармоническое приближение, можно получить силы и, следовательно, динамическую матрицу, выраженные через матрицу обратной диэлектрической проницаемости 1 q K, q K ( q – волновой вектор, приведенный к первой зоне Бриллюэна, K, K – векторы обратной решетки) [68].


Изучение аналитических свойств как функции q вблизи q =0 оказывается важным для установления связи между микроскопическим и феноменологическим подходами. Так, динамическая матрица, полученная для диэлектриков (ионных кристаллов) из чисто феноменологических соображений, может быть выведена микроскопически. В частности, может быть получено микроскопическое выражение для тензора эффективного заряда.

Из исследования длинноволновых акустических мод следует, что для диэлектриков все частоты акустических колебаний обращаются в нуль при q 0, если удовлетворяется условие нейтральности эффективных зарядов. Последнее условие подразумевает необходимость учета всех недиагональных элементов, которые определяют поправки на локальное поле. Это указывает на важность эффектов локального поля в диэлектриках (включая также полупроводники, такие, как Ge или Si). В случае металлов такого условия не существует. Этот факт предполагает (в качестве наиболее грубого приближения) полное пренебрежение недиагональными элементами. Таким образом, кроме, может быть, случая простых металлов, практически использовать микроскопический подход к динамике невозможно до тех пор, пока не решена задача обращения матрицы диэлектрической проницаемости. Следует отметить, что теоретические исследования показывают, что эффекты локального поля могут быть важны и в простых металлах благодаря тому, что поведение электронов проводимости, особенно вблизи остова, сильно отклоняется от приближения свободных электронов [69]. Представление Ванье дает практический способ обращения матрицы диэлектрической проницаемости. Таким способом, можно вывести микроскопическую оболочечную модель, что представляет собой квантово механическое обоснование феноменологической оболочечной модели [70,71] и модели заряда на связи.

Использование микроскопической теории требует более или менее строгих приближений для уменьшения трудностей в численном счете. Хотя микроскопические вычисления в последние годы дали впечатляющие результаты, использование феноменологических моделей все еще остается незаменимым инструментом в большинстве исследований фононов, особенно в случае, когда необходимо объяснить экспериментальные результаты. Из рисунка. 1.3 видно довольно хорошую точность для модели Борна, однако в направлении для верхней оптической моды имеется качественное несоответствие с экспериментальными точками. Это несоответствие связано с наличием квадрупольных полей, которые не учитываются моделью жестких ионов и которые практически нельзя учесть моделью Борна из-за их дальнодействующего характера. К тому же при использовании большого количества подгоночных параметров нельзя однозначно их подогнать. Это ставит под сомненье адекватность данной модели. Но, так как при моделировании заложена симметрия и структура кристалла, построенную таким образом динамическую матрицу, по крайней мере, можно использовать как экстраполяционную. К тому же простота модели позволяет легко варьировать количество взаимодействующих соседей, что важно для объяснения некоторых эффектов.

Метод свертки.

Главная идея метода свертки (конволюции) [58,73] состоит в том, что межатомные силы в различных кристаллах сравнительно схожи. Чаще всего основные особенности фононных спектров обусловлены различием масс ионов. В первом приближении для кристаллов с родственным типом химической связи можно пренебречь отличиями силового поля и рассматривать их в дальнейшем как возмущение.

Рассмотрение сверхрешетки удобно начать с анализа решетки сфалерита, рассматривая ее как сверхструктуру с расширенной элементарной ячейкой, состоящей из n RL n s RL Rn s. Здесь RL – ячеек сфалерита. Позицию атома в сверхструктуре запишем как Rn s вектор прямой решетки сверхструктуры, – позиция атома в расширенной ячейке, Rn s rn s rn, – положение n ой (n=1,…., n0 ) ячейки сфалерита внутри расширенной ячейки, ) - ЧАСТОТА ( см X L Рис. 1.3. Зависимость частоты фононного спектра GaAs от волнового вектора вдоль высокосимметричных направлений зоны Бриллюэна.

Сплошная линия–адиабатическая модель заряда на связи Вебера, прерывистая линия – расширенная модель Борна. Экспериментальные данные [72] приведены точками.

) - ЧАСТОТА ( см Z M Y X Рис. 1.4. Фононный спектр (GaAs)2/(AlAs)2 (001) вдоль высокосимметричных направлений. Вдоль приведена зависимость частоты от угла между осью (001) и волновым вектором вблизи точки.

s – позиция атома в сфалеритной ячейке (s=1,2). Очевидно, что RL и rn составляют в совокупности набор векторов прямой решетки сфалерита. Набор векторов обратной решетки Qm Kp сверхструктуры включает в себя все векторы обратной решетки сфалерита, а также дополнительный набор векторов qm, которые, очевидно, все лежат внутри зоны Бриллюэна сфалерита (большой зоны БЗ). Последняя в n0 превышает зону Бриллюэна сверхструктуры (малая зона– МЗ). Следовательно, m пробегает значения m=1,…, n0.

В обеих структурах должны выполняться хорошо известные решеточные соотношения:

1 expi Rl,k K p ;

expi k Rl Rl, n n l k (1.71) 1 expi RL,qQm ;

expi q RL RL, N N L q 1.72) Здесь k БЗ, q МЗ, – любой вектор в обратном пространстве, n– число элементарных ячеек сфалерита в кристалле, N n / n0 – число расширенных ячеек. Нетрудно видеть, что должен существовать набор rn и qm (возможно не единственный), таких, что n0 n 1 expi q m rn q expi q m rn rn, ;

m, n0 n n 1 m. (1.73) Перейдем к рассмотрению динамической матрицы в обоих подходах. По определению D, s, s k, l l exp i k R l R l сф s,s m s m s l l. (1.74), l l s,s – силовая матрица m s – масса иона.

Здесь С точки зрения сверхструктуры D, n s, n s q сc L n L n exp i q R R L L.

s, s, mn s mn s L L (1.75) Используя соотношения (1.71), (1.72) имеем:

L n1 L n D, n s, n s q, m s, s, сc n0 mn s mn s L L n1 n exp i q q r r exp i q qm R L R L rn1 rn2 n m n m s ms D, s, s q qm exp i q qm rn rn.

сф mn s mn s n0 m (1.76) Таким образом, динамическая матрица размерности 6 n0 6 n0 получается из динамической матрицы сфалерита размерностью 6 6 путем свертки из БЗ в МЗ. Спектр сс собственных значений матрицы D есть сложенный в МЗ спектр фононов для цинковой a n b m, где n m n0, легко обманки. Эффект массового замещения в сверхрешетке учитывается путем простой замены масс mb вместо m a на соответствующих узлах решетки в динамической матрице сверхструктуры a n m.

На рис. 1.4 изображен фононный спектр сверхрешетки (GaAs)2/(AlAs)2 с осью роста (001), рассчитанный в приближении массового замещения методом конволюции (1.68) на основе динамической матрицы GaAs, построенной в модели Борна (рис. 1.3). Частота приведена в зависимости от волнового вектора вдоль основных направлений высокой симметрии. Вдоль частота зависит от направления волнового вектора вблизи точки.

§1.3. Расчет интенсивности КРС.

Теория поляризуемости для комбинационного рассеяния света Как обсуждалось раннее, использование методики комбинационного рассеяния света (КРС) позволяет осуществить экспериментальное наблюдение фотон-фононного взаимодействия. Из-за симметрии кристалла не все фононные моды активны в КРС вследствие запрета, налагаемого правилами отбора. С помощью теории симметрии [74] для каждой моды можно определить, активна она или нет. Однако для анализа сложных спектров важно знать интенсивности рассеянного света после взаимодействия с каждым фононом.

Интенсивность КРС ( I КРС ) пропорциональна следующему выражению:

I КРС ~ es D eL, (1.77) es и e L – где единичные векторы, показывающие направление поляризации рассеянного и падающего света соответственно, D – тензор КРС.

Для определения вида тензора КРС воспользуемся выражением для энергии, излучаемой в единицу времени диполем M, колеблющимся с частотой [75]:

dWs es M ( 4 ) 0 c d 2, (1.78) где d – элемент телесного угла, 0 – диэлектричекая проницаемость изотропной и немагнитной среды, c – скорость света. Если предположить, что излучающий диполь– это система, размеры которой малы по сравнению с длиной волны света, тогда дипольный момент, наведенный в этой системе электрическим полем световой волны eL E L, равен M eL E L, (1.79) где – тензор поляризуемости данной системы. Подставив (1.79) в (1.78) и разделив на энергию WL e0 cE L, падающую на единицу площади в единицу времени, получим d выражение для дифференциального сечения рассеяния d :

d 4 es eL ( 4 ) 0 c d 2. (1.80) Твердое тело в пределах рассеивающего объема V, имеющее N элементарных ячеек, можно рассматривать как одну большую молекулу. Рассмотрим колебательную моду кристалла с частотой q, j. Эта мода характеризуется смещениями атомов, зависящими от l времени как exp q Rl i q, j t и имеющими амплитуды u s. Выражение для смещения l атома сорта s ячейки l для моды q, j, u s q, q, j t может быть получено из формул (1.31) и (1.34):

, i q R q, j t i qRl q, j t vs q, j q, j e l vs q, j * q, j e u ls q, q, j t (1.81) * Nms v s 1n q, j где – вектор поляризации соответствующего фонона, n v s q, j, s– нумерует атом в ячейке, n– число атомов в элементарной ячейке, ms – s 1 масса атомов сорта s, q, j – амплитуда колебания.

Обсудим далее так называемую квазистатическую, адиабатическую теорию или теорию поляризуемости для КРС [76]. Эта теория основывается на соотношении (1.78) (дипольное излучение) и на предположении, что v q мала по сравнению с “электронной. При этих условиях мы можем энергией”, которая определяет поляризуемость рассматривать фонон как статическую деформацию кристалла и определять в каждый L,, зависящую от времени через функцию момент времени поляризуемость q, j e. Разлагая L, в ряд по q, j e i q Rl q, j t i q Rl q, j t, находим L, L i qRl q, j t i qRl q, j t e *e * (1.82) Подставляя (1.82) в (1.79), получаем рассеянное излучение на частотах L q, j (обертоны рассеяния), а также рэлеевское рассеяние s L. Поле рассеянного излучения содержит фазовый множитель exp i L q, j t expiq L q r, где знак плюс означает антистоксово, а знак минус– стоксово рассеяние, qL – волновой вектор падающего света. Это соотношение заключает в себе законы сохранения энергии и волнового вектора:


s L q, j и qs qL q.

Рассмотрим сечение однофононного рассеяния, которое получается в результате подстановки (1.82) в (1.80):

d s 4 * es eL ( 4 ) 2 0 c 3 d (стоксова компонента), (1.83) d a 4 * es eL ( 4 ) 0 c d 2 3 * (антистоксова компонента), где обозначает термодинамическое усреднение по основному состоянию кристалла. Вид тензора КРС можно записать из сравнения (1.77) и (1.83) (1.84) D~.

Рассмотрим структуру КРС поляризуемости Нормальная координата соответствует ансамблю статических атомных смещений, выражаемых соотношением (1.81) при t 0, q 0. Следовательно, можно записать как u s n 3 n v s q, j u u s s Nms s 1 1 s 1. (1.85) Для гетероструктур на основе материалов со структурой сфалерита выражение (1.85) удобно перенормировать на количество ячеек сфалерита n0, входящих в элементарную ячейку гетероструктуры. Так как множитель N 0 n0 N не зависит от структуры, то его можно опустить и записать тензор КРС-поляризуемости как n v s q, j n0 u s ms s 1. (1.86) В случае нерезонансного КРС вид тензоров поляризуемости определяется с помощью метода аддитивной поляризуемости связи Волькенштейна [77]. Этот метод основывается на предположении, что каждая ковалентная связь имеет свою поляризуемость, являющуюся функцией только длины этой связи. Тогда поляризуемость системы можно представить как сумму поляризуемостей всех связей [78] n0 j s, i j, (1.87) s 1 i где i – номер связи, j – номер моды. У материалов со структурой сфалерита каждый атом имеет 4 ближайших соседа. На основе формул (1.86 и 1.87) была создана процедура расчета тензора КРС и которая приведена во второй главе.

§1.4. Оптические и фононные свойства квантовых проволок и квантовых точек на основе GaAs.

Прогресс в области физики полупроводников и твердотельной микро- и оптоэлектроники в настоящее время связывается с возможностью создания и исследование квантоворазмерных полупроводниковых гетероструктур с размерностью ниже, чем 2 [5].

Однако, вследствие ограниченных возможностей современной литографии, латеральные размеры объектов, как правило, существенно превышают вертикальные, поэтому эффекты латерального квантования в подобных искусственно созданных структурах выражены слабо.

В свете вышесказанного, одним из перспективных методов получения одномерных и нульмерных структур является использование свойств самоорганизующихся систем, в частности, использование эффекта фасетирования поверхностей с большими индексами Миллера в условиях, типичных для молекулярно лучевой эпитаксии (МЛЭ).

Формирование периодического массива квантовых проволок GaAs при гетероэпитаксиальном росте на фасетированной поверхности (311)А.

В начале 90-тых годов было обнаружено, что поверхность (311)А GaAs и AlAs в некоторых условиях расщепляется на упорядоченный массив микроканавок [6,79].

Микроканавки, вытянутые вдоль кристаллографического направления [ 2 33 ], расположены с периодом 32 ангстрема в направлении [ 011 ] [6, 79]. Такая структура поверхности сохраняется при гетероэпитаксиальном росте GaAs и AlAs. В процессе гетероэпитаксиального роста GaAs на поверхности (311)А AlAs происходит заполнение канавок на исходной поверхности AlAs арсенидом галлия с последующим формированием фасеток GaAs. Таким образом, происходит формирование периодического массива квантовых проволок GaAs, то есть сверхрешетки, состоящей из квантовых проволок [5,6,79].

В англоязычной литературе такие структуры называются quantum-well-wire (QWW) superlattice [79], в русскоязычной литературе - латеральные сверхрешетки (ЛСР).

Хотя сам эффект периодического фасетирования поверхности (311)А был обнаружен несколькими группами авторов с применением различных методик: дифракция быстрых электронов под скользящим углом [6,79,80], прямое наблюдение высокоразрешающей электронной микроскопией [79], высокоразрешающая сканирующая туннельная микроскопия [81,82], до настоящего момента в данном вопросе нет полной ясности. Так, некоторые авторы утверждают, что фасетирование не является внутренним свойством, присущим поверхности (311)А, а проявляется только лишь в особых условиях МЛЭ [83,84].

Авторы, которые наблюдали периодический массив фасеток на этой поверхности, расходятся в вопросе об их высоте - 10.6 ангстрема (6 монослоев) [6,79], либо 3.4 ангстрема (2 монослоя) [81,82]. Здесь необходимо отметить, что фасетки с высотой 6 монослоев были обнаружены прямым методом по результатам высокоразрешающей микроскопии [79], а вывод о том, что высота фасеток составляет 2 монослоя, был сделан по результатам сканирующей туннельной микроскопии и по интерпретации результатов дифракции быстрых электронов, и, следовательно, является косвенным.

Анизотропия свойств ЛСР, выращенных на фасетированной поверхности (311)А.

Так как ЛСР, состоящие из квантовых проволок GaAs, выращенных на поверхности (311)А, обладают ярко выраженной структурной анизотропией, их электрические и оптические свойства так же должны быть анизотропны. Анизотропия проводимости вдоль и поперек проволок наблюдалась в работе [79], а в работе [80] было установлено, что это свойство сохраняется при высоких (до 500К) температурах. В работе [79] была также обнаружена интенсивная фотолюминесценция структур, содержащих квантовые проволоки, не затухающая при повышении температуры вплоть до 400К, а также сильная анизотропия экситонного резонанса. Анизотропия оптических свойств ЛСР GaAs/AlAs, выращенных на фасетированной поверхности (311)А, вызванная возникновением минизон вследствие латеральной свертки, наблюдалась также по данным эллипсометрии и спектрам фотоотражения [85,86].

Фононные свойства ЛСР GaAs/AlAs, выращенных на фасетированной поверхности (311)А.

С момента появления вышеупомянутых ЛСР, содержащих квантовые проволоки, их фононные свойства изучались с использованием методики КРС. Так, в сверхрешетках GaAs/AlAs, выращенных на фасетированных поверхностях (311)А, был обнаружен эффект свертки акустических фононов вдоль направления роста [87,88]. Были также предприняты попытки обнаружить эффект латеральной свертки акустических фононов вдоль направления [011], перпендикулярного фасеткам. Так, в работе [89], применив специальную геометрию рассеяния с большой латеральной составляющей волнового вектора падающих фотонов, удалось обнаружить пики КРС, соответствующие свернутым акустическим фононам. Период свертки, как и предполагалось, соответствовал трансляционному периоду микрофасеток и составлял 32 ангстрема. Локализованные в GaAs и AlAs продольные и поперечные оптические моды также наблюдались в спектрах КРС латеральных сверхрешеток GaAs/AlAs (311)А [88-91]. Предпринимались также попытки из анализа спектров КРС в оптической области определить высоту микрофасеток, и был сделан вывод, что она составляет 3. ангстрема [92,93]. Данный вывод следовал из представления о том, что оптические фононы локализованы в узких и широких областях гофрированного с периодом 32 ангстрема слоя GaAs и дают 2 независимые частоты колебаний. Данное представление является сомнительным, так как фонон - это коллективное возмущение с размером корреляции, составляющим, по оценкам, сотни ангстрем, что много больше, чем расстояние между узкой и широкой областью слоя (16 ангстрем). Необходимо отметить, что спектр фононных мод, локализованных в слоях GaAs и AlAs, был изучен в основном лишь для структур с относительно толстыми слоями (более 10 монослоев) [89-91]. Тогда как все эффекты, связанные с латеральной симметрией и с локализацией фононов в квантовых проволоках, должны наиболее ярко проявляться для сверхрешеток со средней толщиной слоев GaAs, сравнимой с высотой микрофасеток на поверхности (311)А. Пожалуй, единственной работой, в которой исследовался фононный спектр ЛСР с относительно тонкими слоями GaAs, была работа Армеллеса, Кастрилло, Вонга, Торреса, Леденцова и Берта [94], в которой авторы утверждали, что сильное размытие гетерограниц, вероятно в 2-3 монослоя, не позволило им обнаружить влияние периодической корругации на фононный спектр.

Количественный анализ частот локализованных фононов в этой работе проделан не был. К тому же сигнал от тонкой полупрозрачной ЛСР был затенен сильным сигналом от подложки арсенида галлия.

Анализ структуры ЛСР методом КРС.

Возможны и другие механизмы гетероэпитаксиального роста, такие как рост "смачивающих" слоев одного материала на другом, или формирование нульмерных кластеров с последующим разрастанием вдоль фасеток. Данные механизмы были теоретически проанализированы в работах [5] и [9]. В работе [91] была предпринята попытка теоретического и экспериментального анализа влияния формы получаемых объектов GaAs на частоты локализованных оптических фононных мод. В зависимости от модели роста это либо плоские слои, либо квантовые проволоки с толщиной, соответствующей параметрам микрофасеток, либо “смачивающие” изогнутые слои. Но так как используемые в эксперименте сверхрешетки содержали достаточно толстые слои GaAs и AlAs (12 монослоев и более), полученные экспериментальные данные не позволили определить, по какому механизму происходил рост. Был сделан вывод, что для данных объектов спектроскопия КРС не обладает достаточной чувствительностью, чтобы определить наличие корругации гетерограницы в 1-2 монослоя. Влияние корругации гетерограницы (311)А на частоты локализованных фононных мод для сверхрешеток, содержащих слои GaAs со средней толщиной в 8 и 4 монослоя, было исследовано теоретически в работе [95].

Было предсказано появление в спектрах КРС новых, “свернутых” в латеральном направлении поперечных оптических (TOlat) мод. Попытка обнаружить данные моды экспериментально была предпринята еще раньше [89]. Но для сверхрешеток с толщинами в 13 монослоев GaAs и монослоев AlAs пики КРС, соответствующие рассеянию на этих модах, практически не выделялись на уровне шума. В работе [95] были найдены собственные частоты и собственные вектора колебаний “гладких” и корругированных, с высотой фасеток 6 и монослоя, сверхрешеток GaAs8AlAs10 и GaAs4AlAs11, и рассчитаны спектры КРС для различных поляризационных геометрий в модели поляризуемости связи. Однако ни в экспериментальных, ни в теоретических работах не было проведено детального анализа поведения локализованных оптических мод с разными направлениями атомных смещений:

вдоль и поперек микрофасеток. Иными словами, не была исследована анизотропия фононных свойств ЛСР, содержащих квантовые проволоки.

Предпринимались попытки экспериментально исследовать влияние корругации гетерограниц на фононный спектр ЛСР GaAs/AlAs (311)А [91-95]. В частности, в работе [91] исследовались сверхрешетки GaAs14AlAs47 и GaAs20AlAs50, выращенные методом атомно слоевой МЛЭ при температуре 375оС, в сравнении со сверхрешетками GaAs12AlAs55 и GaAs17AlAs50, полученными методом МЛЭ. В первом случае поверхность (311)А не распадалась на периодический массив микрофасеток, а во втором случае условия роста соответствовали возникновению корругации поверхности. Но вследствие того, что средние толщины слоев GaAs были большими, а “гладкие” и “корругированные” сверхрешетки были с различными параметрами толщин слоев, в эксперименте не было обнаружено свидетельств влияния корругации гетерограниц на частоты локализованных фононных мод. До настоящего времени не было отчетливых экспериментальных данных о влиянии корругации гетерограниц (311)А на частоты локализованных поперечных и продольных фононов. В этой связи представляется интересным сравнительное исследование сверхрешеток GaAs/AlAs, содержащих тонкие слои GaAs, выращенных в одних и тех же условиях, но на разных поверхностях - корругированной поверхности (311)А, а также на поверхностях (311)Б и (100). Известно, что из-за отсутствия центра инверсии в полупроводниках типа АIIIBV, направления А и Б кристаллографической оси [311] не являются эквивалентными. В отличие от поверхности (311)А, поверхность (311)Б GaAs не обладает столь ярко выраженной структурной анизотропией, что проявляется, в частности, в следующем: выращенные на поверхности (311)А GaAs квантовые островки арсенида индия вытянуты вдоль направления [ 2 33 ], а на поверхности (311)Б, они имеют фактически дискообразную форму [96].

Сравнительный анализ фононных свойств СР GaAs/AlAs, выращенных на поверхностях (311)А и Б, может дать информацию о влиянии корругации гетерограниц на эти свойства.

Недостаток экспериментальных данных о фононном спектре СР GaAs/AlAs (311)А и Б, содержащих слои GaAs со средней толщиной, сравнимой и меньше, чем высота микрофасеток на поверхности (311)А, стимулировал проведение экспериментов по исследованию КРС в подобных структурах с целью обнаружить эффекты влияния корругации гетерограниц (311)А на частоты локализованных оптических фононов. Различие фононных свойств ЛСР GaAs/AlAs (311)А в сравнении со свойствами СР, выращенных в тех же условиях на поверхности (311)Б, позволило бы подтвердить наличие структурной анизотропии поверхности (311)А, а также оценить параметры квантовых проволок, формирующихся на данной поверхности.

Структурная реконструкция поверхности (001) полупроводников типа AIII-BV.

Исследованию реконструкции поверхности (100) полупроводников типа AIII-BV и определению структуры ее атомарных конфигураций в последнее время уделяется большое внимание. Достижения в этой области, прежде всего, связаны с развитием прямых методов исследования структуры поверхности: сканирующей туннельной микроскопии (СТМ), атомно-силовой микроскопии и высокоразрешающей электронной микроскопии (ВРЭМ). По данным дифракции быстрых электронов (ДБЭ) было установлено, что при МЛЭ в условиях избытка галлия на поверхности (001) GaAs возникает структурная реконструкция типа (4x2), а в условиях избытка мышьяка - типа (2x4) [7]. Последний тип наиболее важен в плане технологического применения МЛЭ. В зависимости от температурного режима и потока мышьяка на поверхности (001) GaAs, по данным ДБЭ, наблюдали 3 фазы, обозначаемые, и. Элементарные ячейки этих фаз различаются по содержанию димеров мышьяка. Так, фаза содержит 3 димера, фаза - 2 димера, а фаза - 2 димера плюс добавочный димер, расположенный над ними [7]. По данным СТМ было установлено, что наиболее стабильная реконструкция (2х4) поверхности (001) GaAs - это фаза, представляющая собой высокоупорядоченные цепочки димеров мышьяка, вытянутые вдоль направления [ 1 1 0 ] [97]. Ее структура, в соответствии с литературными данными, показана на рисунке 1.5. Эта фаза устойчива при гетероэпитаксиальном росте GaAs/AlAs.

Реконструированная (2x4) поверхность GaAs исследовалась также оптическими методиками, в основном спектроскопией фотоотражения. Для данной поверхности была обнаружена анизотропия фотоотражения, возникающая вследствие ее структурной анизотропии [98]. На начальной стадии гетероэпитаксиального роста на реконструированной поверхности AlAs структура квантовых объектов GaAs должна зависеть от структуры поверхности. Однако оптические и фононные свойства подобных квантовых объектов к настоящему времени практически не изучены, в связи с чем возникает задача их исследования.

As Ga Рис. 1.5. Поверхность (001) GaAs, реконструированная (2x4). Вверху – вид в направлении (001), заштрихована элементарная ячейка. Внизу - сечение в плоскости ( 1 1 0 ).

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ И ПРИБЛИЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ И РАСЧЕТАХ.

Методика проведения численного эксперимента состояла из следующих этапов:

1. Создание программного обеспечения для построения динамической матрицы арсенида галлия в произвольной точке обратного пространства.

2. Построение геометрической конфигурации гетеростуктуры, исходя из условий конкретного численного эксперимента. На основе п.1 в приближении массового замещения методом свертки строилась динамическая матрица для предложенной геометрии. Путем диагонализации находился фононный спектр гетеростуктуры, состоящий из фононных частот и соответствующих векторов поляризации.

3. На основе векторов поляризации из п. 2 для каждой частоты методом аддитивной связи Волькенштейна строился тензор КРС, на основе которого производился расчет интенсивности для выбранной геометрии эксперимента. Форма линия моды КРС определялась распределением Лоренца. Спектральная линия КРС для каждой геометрически заданной гетероструктуры рассчитывалась как сумма вкладов от всех мод.

4. Определение конфигурации островков GaAs в массиве AlAs реальной гетероструктуры производилось следующим образом. Делался расчет спектральных линий различных, физически обоснованных конфигураций островков GaAs согласно п.3. Далее решалась задача, с какими коэффициентами должны складываться интенсивности спектральных линий рассчитанных объектов, чтобы суммарная спектральная линия была максимально похожа на линию экспериментального спектра. Коэффициенты подгонялись методом наименьших квадратов между точками экспериментального и рассчитанного спектров.

5. При моделировании спектров КРС гетероструктур (GaAs)n(AlAs)m с осью роста [113], на основе имеющихся в литературе моделей, строились различные модификации структуры.

Далее, согласно п.3, рассчитывалась линия спектра КРС, и ее особенности сравнивались с особенностями экспериментальных спектров КРС.

6. Для анализа линий спектров КРС легированных сверхрешеток модифицировалась динамическая матрица из п.1. В ней выделялась часть, описывающая взаимодействие макроскопического электростатического поля, и диэлектрическая проницаемость в этой части модифицировалась с учетом вклада, вносимого плазмонами в приближении Линхарда Мермина.

§2.1. Расчет динамической матрицы сфалерита. Расширенная модель Борна и модель жестких ионов.

Элементарная ячейка структуры сфалерита состоит из двух атомов r1=(0,0,0) a0 и r2=(1/4,1/4,1/4) a0. Векторы прямой решетки имеют вид: R1=(1/2,1/2,0) a0;

R2=(1/2,0,1/2) a0;

R3=(0,1/2,1/2) a0. Векторы обратной решетки имеют вид: K1=2(1,1,-1)/a0;

K2=2(1,-1,1)/a0;

K3=2(-1,1,1)/a0. Постоянная решетки a0 для GaAs равна 5.65. Расчет динамической матрицы для структуры сфалерита D вычислялся как сумма D=DSh +DC, где DSh – динамическая матрица, описывающая короткодействующее взаимодействие, получалась из (1.33,1.36,1.41,1.43) и вычислялась следующим образом. Для каждого атома s (s=1,2) с радиусом вектором rp,i, p – номер координационной сферы (1 p 6), i – номер атома в координационной сфере, определялся вектор ячейки Rl, в которой он находится. Далее e p i s r p, i ( s ) / r p, i ( s ) вычислялся единичный вектор и следующей процедурой вычислялась матрица D Sh (1.33):

W kt sps kl sps epi epi kt sps D s, s q D s, s q W exp i q R l Sh Sh (2.1) D s, s q D s, s q W Sh Sh kl sps kt sps где, – подгоночные константы жесткости связи при ее растяжении и изгибе соответственно. В процедуре (2.1) производилось суммирование по всем атомам первых шести координационных сфер. Далее вычислялась динамическая матрица D s, s q D s, s q, где ms – масса атома сорта s.

Sh Sh m s m s DС - динамической матрица, описывающая дальнодействующее кулоновское взаимодействие, вычислялась в приближении жестких ионов из (1.51,1.58) 4 z s z s q q iq(r s r s z s z s q C ss s s s, s q 2 e D,, (2.2) V q и 2 zs zs zs ~ zs ~ 0, 0, q s, s q ss C D,, ss (2.3) 4 zs q q 2.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.