авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени И.И. МЕЧНИКОВА

На правах

рукописи

ШАПОВАЛОВ ИГОРЬ ПЕТРОВИЧ

УДК 537.61, 537.62, 537.63

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ФАЗЫ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

В ОДНООСНЫХ SU(3)-МАГНЕТИКАХ

Специальность: 01.04.02. – Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Адамян Вадим Мовсесович Одесса – 2013 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Список условных сокращений и основных обозначений Введение 1. Магнитные системы с тензорными взаимодействиями 1.1. Векторные и тензорные взаимодействия 1.2. Магнитные системы с ОА 1.3. Магнитные системы с БОВ 1.4. Выводы 2. Методика исследования магнитных систем с тензорными взаимодействиями 2.1. Операторы, описывающие состояние системы. Алгебра АSU(3) 2.1.1. Базис операторов Хаббарда X pq 2.1.2. Базис неприводимых тензорных операторов Olm 2.1.3. Базис эрмитовых операторов Q 2.2. Гамильтониан системы 2.3. Метод унитарного преобразования 2.4. Динамическая матрица и спектры спиновых возбуждений 2.5 Выводы 3. Упорядоченные фазы и фазовые переходы при наличии внешнего магнитного поля 3.1. Уравнения для параметров унитарного преобразования 3.2. Фаза КУ2Z 3.2.1. Температурная зависимость ПП 3.2.2. Энтропия и свободная энергия 3.2.3. Спиновые возбуждения 3.3. Фаза ФМZ 3.3.1. Температурная зависимость ПП 3.3.2. Спиновые возбуждения 3.4. Фаза КУ1Z 3.5. Фаза КФМ 3.6. Фазовые диаграммы при нулевой температуре 3.6.1. Фазовые диаграммы первого типа 3.6.2. Фазовые диаграммы второго типа 3.6.3. Фазовые диаграммы третьего типа 3.7. Фазовые диаграммы при конечных температурах 3.7.1. Фазовые границы 3.7.2. Переходы между симметричными фазами при конечных температурах 3.8. Выводы 4. Упорядоченные фазы и фазовые переходы в отсутствие внешнего магнитного поля 4.1. Фаза КУ2Z 4.2. Фаза ФМZ 4.3. Фаза КУ1Z 4.3.1. Общие замечания 4.3.2. Гамильтониан и энергетические уровни 4.3.3. Спектр спиновых возбуждений 4.3.4. Энтропия и свободная энергия 4.4. Фаза КУ2 4.5. Фаза КФМ 4.6. Фазовые диаграммы в отсутствие внешнего магнитного поля 4.6.1. Случай нулевой температуры 4.6.2. Случай конечных температур 4.7. Выводы Выводы Литература СПИСОК УСЛОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ АФМ – антиферромагнетик БОВ – биквадратичное обменное взаимодействие ВФ – волновая функция КУ1Z – квадрупольное упорядочение вдоль оси Z КУ2Z – квадрупольное упорядочение в плоскости, перпендикулярной оси Z КУ2 – квадрупольное упорядочение в плоскости, ориентация которой изменяется при изменении параметров гамильтониана КФМ – квадрупольно-ферромагнитное упорядочение, при котором ориентация оси ферромагнетизма и плоскости квадрупольного упорядочения изменяются при изменении параметров гамильтониана ОА – одноионная анизотропия ОВ – обменное взаимодействие ПБ – преобразованный базис ПМП – приближение молекулярного поля ПМФ – парамагнитная фаза ПП – параметр порядка ФД – фазовая диаграмма ФМ – ферромагнетик ФМZ – ферромагнитное упорядочение вдоль оси Z ФП – фазовый переход – напряженность внешнего магнитного поля H – напряженность внешнего магнитного поля, выраженная в h энергетических единицах – нулевая Фурье-компонента обменного интеграла J – нулевая Фурье-компонента интеграла биквадратичного обменного K взаимодействия – абсолютная температура T – температура, выраженная в энергетических единицах ВВЕДЕНИЕ Существует широкий класс магнитных соединений, для исследования которых модель Гейзенберга оказывается неприемлемой. В частности, для адекватного описания свойств многих магнитных диэлектриков наряду с билинейным ОВ, входящим в гамильтониан Гейзенберга, необходимо учитывать тензорные взаимодействия: ОА и ОВ высших степеней по спину [1].

При значении спина S 1, которое рассматривается в настоящей диссертации, ОВ высших степеней по спину сводятся к БОВ. При этом состояние магнитной системы описывается алгеброй операторов ASU(3). Такие системы принято называть SU(3)-магнетиками.

На начальном этапе изучения возникли SU(3)-магнетиков методологические трудности, связанные с тем, что традиционные для квантовой теории магнетизма методы были разработаны для исследования магнитных систем с исключительно векторными взаимодействиями, которые описываются алгеброй операторов ASU(2). Эти трудности были преодолены после того, как был разработан метод унитарного преобразования [2-4], позволяющий исчерпывающим образом решить задачу о возможных типах однородного упорядочения в магнетиках с тензорными взаимодействиями.

С помощью метода унитарного преобразования в ряде работ исследованы магнетики с ОА и изотропным БОВ. В частности, для таких магнетиков определены возможные упорядоченные фазы и построены фазовые диаграммы и др.). При этом магнитные системы с анизотропным БОВ ([5-6] (неизинговского типа) исследованы недостаточно. Такая ситуация в значительной степени обусловлена недооценкой той роли, которую играет анизотропия БОВ в формировании свойств магнитной системы. Тем не менее, те немногочисленные работы, в которых учитывалась анизотропия БОВ, показывают, что изменение констант анизотропии БОВ может приводить к существенному изменению свойств и даже фазовой структуры магнитной системы [7-9].

Подводя итог сказанному выше, можно утверждать, что исследование влияния анизотропии БОВ на свойства магнитной системы является важной задачей квантовой теории магнетизма. По нашему мнению решение этой задачи необходимо для дальнейшего развития физики магнитных явлений. Поэтому настоящая диссертационная работа посвящена изучению упорядоченных фаз и фазовых переходов в одноосных магнетиках с ОА и анизотропным БОВ.

Актуальность темы. Магнитные системы с большим значением констант тензорных взаимодействий являются предметом повышенного интереса теоретиков и экспериментаторов. Одна из причин этого интереса состоит в том, что в упомянутых системах в значительной степени проявляется неэквидистантность одноионного энергетического спектра, а в спектре элементарных возбуждений присутствуют дополнительные ветви.

Другая, не менее весомая, причина интереса исследователей к магнетикам с ОА и БОВ состоит в том, что в этих магнетиках могут возникать квадрупольные и квадрупольно-ферромагнитные фазы. При определенных значениях параметров гамильтониана и внешних полей такие фазы могут реализовываться в качестве основного состояния системы. Изучение этих фаз является одной из актуальных задач современной физики магнитных явлений.

Развитие современных технологий делает актуальной задачу повышения плотности записи информации на магнитных пленках. Решение этой задачи лежит на пути уменьшения размеров носителей единичной информации (битов). Однако с уменьшением размеров бита возрастает угроза потери информации вследствие теплового движения частиц. При этом увеличение энергии ОА и БОВ, которое в пленках всегда является анизотропным, приводит к увеличению магнитной энергии бита и, следовательно, является действенным способом повышения надежности хранения информации.

Таким образом, задача создания магнитных материалов с большим значением констант тензорных взаимодействий и исследование свойств этих материалов является актуальной не только с точки зрения теоретической и экспериментальной физики, но также с точки зрения развития современных информационных технологий.

Связь работы с научными программами, планами, темами.

Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической физики Одесского национального университета им. И.И. Мечникова. Направление работы было согласовано с планом научных исследований кафедры, планом работ по госбюджетной теме «Исследование равновесных состояний и явлений переноса в сильно связанных и низко размерных системах» (номер государственной регистрации 0106U001673) и бюджетной программой «Фундаментальные исследования в высших учебных заведениях и научных учреждениях».

Цель и задачи исследования. Целью работы является теоретическое исследование модели одноосного магнетика ( Z – ось симметрии) с единичным спином при наличии ОА и анизотропного БОВ наиболее общего вида, изучение упорядоченных фаз в таких магнетиках и переходов между фазами.

В связи с поставленной целью предусматривается решение следующих задач:

1. для выбранной модели провести исследование фаз КУ2Z и ФМZ при конечных температурах. В частности, определить спектры спиновых возбуждений в этих фазах и исследовать условия устойчивости спектров;

2. исследовать гистерезисные явления, сопровождающие ФП первого рода между фазами КУ2Z и ФМZ;

3. получить явное аналитическое выражение, связывающее температуру потери устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z с параметрами гамильтониана в отсутствие внешнего магнитного поля;

4. провести исследование фазы КУ1Z. В частности, найти спектр спиновых возбуждений в этой фазе при конечных температурах и определить условия устойчивости спектра;

5. исследовать условия, при которых в системе может реализовываться фаза КУ2;

6. исследовать особенности ФД, иллюстрирующих ФП по константе ОА в отсутствие внешнего магнитного поля.

Объект исследования – одноосные магнетики с ОА и анизотропным БОВ.

Предмет исследования – поведение ПП в упорядоченных фазах;

спектры спиновых возбуждений в различных фазах;

гистерезисные явления, сопровождающие переходы между фазами;

ФД, иллюстрирующие ФП при наличии и в отсутствие внешнего магнитного поля.

Методы исследования. В работе использовались методы квантовой теории магнетизма, метод унитарного преобразования а также, [7], предложенный в работе [10] метод динамической матрицы.

Основное содержание диссертации.

В первой главе диссертации проведен обзор литературы, освещающий основные этапы исследования магнетиков с тензорными взаимодействиями.

Обзор показывает, что магнитные системы с анизотропным БОВ исследованы недостаточно.

Вторая глава посвящена изложению методики исследования магнитных систем с тензорными взаимодействиями, используемой в диссертационной работе.

В параграфе 2.1. рассмотрены некоторые базисы операторов, описывающих состояние SU(3)-магнетика, и связь между базисами.

В параграфе 2.2. выбрана модель магнетика и дано обоснование этой модели.

В параграфе 2.3. излагается основное содержание метода унитарного преобразования, предложенного в работе [2] для исследования магнетиков с ОА и обобщенного в работе [7] на случай магнетиков с анизотропным БОВ.

В параграфе 2.4. изложен метод динамической матрицы [10].

В третьей главе изучены однородно-упорядоченные фазы и ФП в одноосных SU(3)-магнетиках при наличии внешнего магнитного поля.

Возможны такие однородно-упорядоченные фазы: КУ2Z, ФМZ, КУ1Z и КФМ.

В параграфе 3.2. проведено исследование фазы КУ2Z. Энергия основного состояния в этой фазе не зависит от величины внешнего магнитного поля, а свободная энергия такую зависимость проявляет. Получены выражения для двух ветвей спектра спиновых возбуждений при конечных температурах. В длинноволновом пределе обе ветви имеют квадратичный закон дисперсии.

Определено условие устойчивости ветвей спектра.

В параграфе 3.3. аналогичному исследованию подвергнута фаза ФМZ. В частности, определены две ветви спектра спиновых возбуждений, которые в длинноволновом пределе имеют квадратичный закон дисперсии. При определенных условиях выражение для границы устойчивости спектра в фазе ФМZ формально совпадает с соответствующим выражением для фазы КУ2Z.

Однако, зависимость входящих в эти выражения компонент ПП от температуры и внешнего магнитного поля для фаз ФМZ и КУ2Z различна. Поэтому границы устойчивости спектра в координатах H, T в обеих фазах не совпадают.

В параграфе 3.4. исследована фаза КУ1Z. Энергия основного состояния в этой фазе, так же, как в фазе КУ2Z, не зависит от величины внешнего магнитного поля. Поэтому ФП по полю между квадрупольными фазами КУ1Z и КУ2Z при нулевой температуре оказывается невозможным. При отличных от нуля температурах упомянутый ФП может происходить как переход первого рода.

Получены выражения для критического поля, при котором происходит ФП второго рода между фазами КУ1Z и ФМZ при нулевой и конечных температурах.

Параграф 3.5. посвящен изучению фазы КФМ. Получено выражение для границы фазы КФМ с фазой КУ1Z. Эта граница в координатах H, T является линией ФП второго рода. Границы фазы КФМ с фазами КУ2Z и ФМZ совпадают с границами устойчивости последних. В координатах H, T они также являются линиями ФП второго рода.

В параграфе 3.6. проведена полная классификация всех возможных типов ФД, иллюстрирующих однородное упорядочение в одноосных SU(3) магнетиках при наличии внешнего магнитного поля при нулевой температуре.

Исследованы гистерезисные явления, сопровождающие ФП по полю между фазами ФМZ и КУ2Z при нулевой температуре.

В параграфе 3.7. исследованы ФП между симметричными фазами при конечных температурах.

Четвертая глава посвящена изучению однородно-упорядоченных фаз и ФП в одноосных SU(3)-магнетиках в отсутствие внешнего магнитного поля.

В параграфе 4.1. исследованы особенности поведения фазы КУ2Z при условии h 0. Первая из таких особенностей состоит в равенстве нулю относительной намагниченности во всем диапазоне температур, соответствующих фазе КУ2Z. Это позволяет определить явную зависимость температуры от квадрупольной компоненты ПП. Вторая особенность поведения фазы КУ2Z в отсутствие внешнего магнитного поля состоит в том, что в спектре спиновых возбуждений имеется только одна ветвь. Эта ветвь в длинноволновом пределе на границе устойчивости спектра имеет линейный закон дисперсии.

Получено явное аналитическое выражение, связывающее температуру потери устойчивости спектра с параметрами гамильтониана. Эта температура сильно зависит от значений констант анизотропии ОВ и БОВ.

В параграфе 4.3. исследована фаза КУ1Z. Определены две ветви спектра спиновых возбуждений при конечных температурах. Одна из ветвей на границе своей устойчивости в длинноволновом пределе имеет линейный закон дисперсии спиновых возбуждений. Закон дисперсии другой ветви в длинноволновом пределе является линейным при произвольных значениях параметров гамильтониана. При этом энергия спинового возбуждения с нулевым волновым вектором равна нулю. Таким образом, обсуждаемая ветвь содержит голдстоуновскую моду.

В параграфе 4.4. определены условия, при которых в системе может существовать фаза КУ2.

В параграфе 4.6. исследованы ФД в отсутствие внешнего магнитного поля и гистерезисные явления, сопровождающие ФП между фазами КУ1Z и КУ2Z.

В Выводах подведены краткие итоги работы.

Научная новизна полученных результатов. В диссертационной работе исследована модель одноосного магнетика с единичным спином при наличии ОА и анизотропного БОВ наиболее общего вида и получены следующие новые результаты:

1. определены спектры спиновых возбуждений в фазах ФМZ и КУ2Z при конечных температурах и исследованы условия устойчивости спектров;

2. исследованы гистерезисные явления, сопровождающие ФП первого рода между фазами ФМZ и КУ2Z. Для случая T 0 получено аналитическое выражение для энергии перемагничивания, приходящейся на один ион;

3. получено явное аналитическое выражение, связывающее температуру потери устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z с параметрами гамильтониана в отсутствие внешнего магнитного поля;

4. найден спектр спиновых возбуждений в фазе КУ1Z при конечных температурах и определены условия устойчивости спектра.

Практическое значение полученных результатов.

1. Результаты диссертации могут быть использованы при расчете свойств магнитных материалов.

2. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при создании низкотемпературных термометров, низкотемпературных датчиков магнитного поля [11] и низкотемпературных датчиков давления [12].

Личный вклад соискателя. Работы [1,2,5] (из списка статей автора по теме диссертации) опубликованы без соавторов. В работе [3] автору принадлежат постановка задачи и разработка метода построения границ парамагнитной фазы. Исследование зависимости координат тройной точки от констант ОА и БОВ принадлежит П.А.Сайко. В работе [4] автору диссертации принадлежат постановка задачи и исследование гистерезисных явлений при нулевой температуре, в частности, автор получил аналитическое выражение для энергии перемагничивания, приходящейся на один ион. Исследование гистерезисных явлений при конечных температурах принадлежит П.А.Сайко.

Анализ результатов и подготовка публикаций проводились соавторами совместно.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической физики Одесского национального университета имени И.И.Мечникова, а также были представлены на таких научных конференциях:

International Workshop «Magnetic Phenomena in Micro- and Nano Structures», May 27-29, 2010, Donetsk, Ukraine;

IV Міжнародна науково-технічна конференція «Сенсорна електроніка та мікросистемні технології», 28 червня - 2 липня, 2010, Одеса, Україна;

Young Scienstists Conference «Modern Problems of Teoretical Physics», December 22-24, 2010, Kyiv, Ukraine;

Міжнародна конференція молодих учених і аспірантів ІЕФ-2011, 24- травня, 2011, Ужгород, Україна;

IV Young Scienstists Conference «Modern Problems of Teoretical Physics», October 23-26, 2012, Kyiv, Ukraine.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти статьях в научных журналах, входящих в «Перечень научных специализированных изданий» и пяти тезисах конференций, всего десять публикаций.

Статьи:

1. Шаповалов І. П. Квадрупольна фаза магнетика з анізотропною біквадратною обмінною взаємодією / І. П. Шаповалов // Укр. фіз. журн. – 2008. – Т. 53, № 7 – С. 653–660.

2. Шаповалов І. П. Феромагнітна фаза одновісного магнетика у присутності анізотропної біквадратичної обмінної взаємодії / І. П. Шаповалов // Укр. фіз.

журн. – 2010. – Т. 55, № 3 – С. 307–312.

3. Шаповалов И. П. Фазовые переходы в магнетиках с тензорными взаимодействиями и низкотемпературные датчики магнитного поля / И. П. Шаповалов, П.А.Сайко // Сенсорная электроника и микросистемные технологии. – 2010. – Т. 1(7), №4 – С. 17–20.

4. Шаповалов І. П. Гістерезисні явища в магнетиках з тензорними взаємодіями / І. П. Шаповалов, П. О. Сайко // Укр. фіз. журн. – 2011. – Т. 56, № 3 – С. 248–253.

5. Шаповалов И. П. Квадрупольные фазы и фазовые переходы в одноосных магнетиках с тензорными взаимодействиями / И. П. Шаповалов // Физ. низк.

темп. – 2013. – Т. 39, № 6 – С. 663–671.

Тезисы конференций:

1. Sayko P. A. The T-H phase diagram of one-axis magnetics with single-ion anisotropiy of the light-plane type and anisotropic biquadrate exchange interaction / P. A. Sayko, I. P. Shapovalov // Magnetic Phenomena in Micro- and Nano Structures : International Workshop, May 27-29, 2010, Donetsk, Ukraine.

Abstracts – Donetsk, 2010. – P. 178–179.

2. Шаповалов И. П. Фазовые переходы в магнетиках с тензорными взаимодействиями и низкотемпературные датчики магнитного поля / И. П. Шаповалов, П. А. Сайко // Сенсорна електроніка та мікросистемні технології : 4-та Міжнародна науково-технічна конференція, 28 червня - липня, Одеса, Ukraine. Тези доповідей – Одеса, 2010. С. 188.

3. Sayko P. A. Single-domain hysteresis in magnetics with tensor interaction / P. A. Sayko, I. P. Shapovalov // Modern Problems of Theoretical Physics : Young Scientists Conference, December 22-24, 2010, Kyiv, Ukraine. Abstracts – Kyiv, 2010. – P. 87.

4. Сайко П. А. Квадрупольная фаза с нарушенной симметрией в одноосном SU(3)-магнетике / П. А. Сайко, И. П. Шаповалов // ІЕФ-2011 : Міжнародна конференція молодих учених і аспірантів, 24-27 травня, 2011, Ужгород, Україна. Тези доповідей – Ужгород, 2011. – С. 141.

5. Sayko P. A. Quadrupolar phases and phase transitions in uniaxial magnets with tensor interaction / P. A. Sayko, I. P. Shapovalov // Modern Problems of Theoretical Physics : IV Young Scientists Conference, October 23-26, 2012, Kyiv, Ukraine. Abstracts – Kyiv, 2012. – P. 88.

ГЛАВА МАГНИТНЫЕ СИСТЕМЫ С ТЕНЗОРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ 1.1. Векторные и тензорные взаимодействия При изучении целого ряда магнитных соединений оказывается оправданным использование модели, в которой вещество представляется как система спинов, локализованных в узлах кристаллической решетки и взаимодействующих попарно. Такая модель, например, успешно применяется при исследовании магнитных диэлектриков [13].

В системе с локализованными спинами все взаимодействия естественным образом можно разделить на два типа: векторные и тензорные.

К векторным взаимодействиям относятся билинейное по спиновым операторам взаимодействие и взаимодействие узельных спинов с внешним магнитным полем. Первое из них является кооперативным, так как выражается в виде суммы двухчастичных членов, второе взаимодействие – локальное, оно представляет собой сумму одночастичных слагаемых.

Из тензорных взаимодействий, возможных при S 1, мы будем рассматривать ОА, которая представляет собой локальное взаимодействие, и БОВ – кооперативное взаимодействие.

1.2. Магнитные системы с ОА До 60-х годов прошлого столетия считалось, что влияние ОА на свойства магнетика ограничивается выделением в кристалле осей магнитного упорядочения, и первая работа, в которой автор обратил внимание на особую роль ОА, – это работа Т. Мория [14].

В [14] было указано на то, что тензорные взаимодействия при достаточной их интенсивности могут быть причиной возникновения в системе особого типа упорядочения с равной нулю намагниченностью, так называемого квадрупольного упорядочения. Тем не менее, эта работа долгое время не имела своего продолжения.

На наш взгляд, причина недостаточного внимания исследователей к работе [14] состоит в том, что в 60-е годы прошлого столетия преобладала точка зрения, в соответствии с которой энергия ОА, имеющей релятивистское происхождение, всегда мала по сравнению с энергией ОВ, имеющего кулоновское происхождение [15]. При этом игнорировался тот факт, что в реальных магнитных соединениях ОВ, как правило, носит косвенный характер.

Например, посредниками ОВ могут служить немагнитные ионы или электроны проводимости [16]. В этом случае утверждение о малости энергии ОА по сравнению с энергией ОВ является необоснованным.

В настоящее время известны несколько групп магнитных соединений, в которых константы ОА и ОВ сопоставимы по порядку величины. Примерами таких групп могут служить алюминаты редкоземельных элементов [17-19], соединения таллия [20-22], некоторые магнитные материалы на основе никеля и железа [12, 23-26]. При этом в соединениях CsFeBr3 і CsFeCl3 константа ОА значительно превосходит константы ОВ [27, 28].

Систематические теоретические исследования влияния ОА на свойства магнетиков начались в 70-х годах прошлого столетия [29-38]. Авторы этих работ пытались использовать методы квантовой теории магнетизма, которые были развиты для исследования магнетиков с векторными взаимодействиями.

Однако в нетривиальных случаях такой подход терпел неудачу. Например, применение диаграммной техники Вакса-Ларкина-Пикина [39,40] невозможно из-за нарушения теоремы Вика при включении в одночастичный гамильтониан ОА [34,35]. Использование преобразований Холстейна-Примакова [41] или Малеева-Дайсона [42,43] также невозможно, поскольку приводит к такому нефизическому результату, как мнимый спектр невзаимодействующих магнонов [38].

Анализ причин, приводящих к трудностям при изучении магнетиков с большим значением констант ОА, был проведен в работах В.С. Островского [44,45]. В [44] показано, что только в том случае, когда отношение энергии ОА к энергии ОВ достаточно мало, квазиклассическое приближение соответствует первому порядку теории возмущений. Если же указанное отношение нельзя считать малым, необходимо решать самосогласованную задачу об одновременном определении одноионного спектра и спиновой конфигурации кристалла. Квантовомеханические уравнения, соответствующие этой задаче, были записаны в [45], однако их решение было получено только для некоторых частных случаев.

Дальнейшие исследования представлены работами В.М. Локтева и В.С. Островского [46,47]. В этих работах рассматривались одноосные магнетики в поперечном магнитном поле. В [46] найден спектр спиновых возбуждений одноосного ФМ с анизотропным ОВ при условии T 0. Доказано, что влияние поперечного магнитного поля может приводить к появлению двухмагнонных переходов, хотя ранее считалось, что такие переходы возможны только в АФМ [48]. В [47] изучались АФМ типа «легкая ось».

Показано, что учет ОА существенно влияет на значение поля перехода в ПМФ.

Работы [44-47] стимулировали исследования других авторов. При этом в дальнейших исследованиях можно выделить несколько направлений.

1. Исследования, ограничивающиеся рассмотрением фаз, в которых структура спинового порядка совпадает с ФМ [49,50]. В этих работах удалось построить теории, учитывающие флуктуационные эффекты и эффекты взаимодействия флуктуаций.

2. Исследования, в которых применялась диаграммная техника Хаббарда [51-54]. В этих работах авторы ограничивались рассмотрением простейших для каждой системы спиновых структур. Причина таких ограничений состоит в том, что в диаграммной технике Хаббарда теорема Вика выполняется только тогда, когда одночастичный гамильтониан является диагональным.

3. Работы Ф.П. Онуфриевой [2,3,55], в которых предложен метод унитарного преобразования, позволяющий исчерпывающим образом решить задачу о возможных типах однородного упорядочения в магнетиках с ОА.

Этот метод основывается на представлении о базисе операторов, описывающих состояние системы: n 2 1 операторов алгебры ASU (n) (n 2S 1).

Одночастичный гамильтониан рассматривается в качестве элемента линейного n2 1.

пространства размерности Соответственно, в этом пространстве существует унитарное преобразование, которое приводит гамильтониан к диагональному виду.

В [3] показано, что в одноосных магнетиках в продольном внешнем магнитном поле конкуренция ОА типа «легкая плоскость» и ОВ может приводить к реализации одной из трех упорядоченных фаз: симметричной фазы ФМZ, симметричной фазы КУ2Z, фазы с нарушенной симметрией КФМ.

Все перечисленные упорядоченные фазы наблюдались экспериментально в работе [56]. Авторы [56] исследовали магнитные свойства фторсиликата никеля в области температур 0,05 – 0,5 К в условиях всестороннего сжатия в интервале от атмосферного давления до 9,5 кбар. Определено, что при атмосферном давлении константа ОА: D = – 0,16 (знак «–» означает, что магнетик является легкоосным). При возрастании давления константа D возрастает и при давлении P = 1,3 кбар проходит через ноль. Дальнейшее увеличение давления делает магнетик легкоплоскостным. При этом константа ОВ J 0 зависит от давления значительно слабее, чем константа D. При давлении 8,6 кбар отношение D J 0 принимает значение 1,8.

На рисунке 1.1. приведена ФД, построенная в [56] в координатах H, T при D J 0 =1,8. Звездочки на рисунке соответствуют экспериментальным данным, а линии – теоретическим расчетам, проведенным с использованием метода унитарных преобразований.

Фаза плоскостного квадрупольного упорядочения КУ2Z, которая наблюдалась на эксперименте в [56], характеризуется тем, что при условии T 0 одновременно равны нулю намагниченность системы и среднее значение квадрата проекции спина на ось симметрии кристалла. Магнетики с таким типом основного состояния называются синглетными.

Т, мК КУ2Z ФМ2Z КФМ 0 1 2 3 H, кЭ Рис 1.1. ФД фторсиликата никеля.

При дальнейших исследованиях синглетных магнетиков авторы преимущественно рассматривали конкуренцию трех типов взаимодействий:

ОВ, ОА и БОВ. Соответствующие работы будут рассмотрены в следующем параграфе этого раздела, который посвящен магнетикам с БОВ.

Отметим, также, важные для теории синглетных магнетиков работы [57 59], в которых авторы исследовали ФП из синглетного состояния в магнитоупорядоченную фазу. При достижении внешним магнитным полем некоторого критического значения каждый ион синглетного магнетика поляризуется, а система в целом становится намагниченной. Такие переходы, в отличие от классических переходов из ПМФ в фазу ФМZ, являются одноминимумными и, следовательно, не могут рассматриваться как переходы типа «порядок – беспорядок». Для того чтобы подчеркнуть этот факт авторы используют понятие «магнитный ФП типа смещения». При этом к реальному смещению атомов кристаллической решетки указанные переходы отношения не имеют.

В [57] на примере ФМ с S 1 показано, что для описания ФП «типа смещения» применимы методы феноменологической теории Ландау. В [58] рассмотрен случай, когда внешнее магнитное поле отсутствует, и магнитное упорядочение происходит в результате конкуренции ОВ и ОА. При этом ФП по температуре можно отнести к магнитному ФП «типа смещения». В [59] рассмотрен переход из синглетного состояния в АФМ фазу под действием внешнего магнитного поля. Показано, что такой переход является переходом «типа смещения». Построена ФД, отличающаяся от классических диаграмм тем, что на ней АФМ фаза окружена только синглетной фазой.

В заключение этого параграфа заметим, что накопленные знания о синглетном магнетизме являются хорошей теоретической основой для создания новых магнитных материалов.

1.3. Магнитные системы с БОВ В магнитных системах с единичным спином единственно возможным видом мультипольных взаимодействий является БОВ.

Механизмы возникновения БОВ могут быть различными, например, суперобмен через немагнитные ионы [60] или косвенный обмен через электроны проводимости [61].

В большинстве редкоземельных элементов БОВ по порядку величины сравнимо с ОВ [62]. При этом в соединениях TmZn, TmCd, GeB6, DyCu и др.

БОВ даже превосходит по величине ОВ [63-66].

В работе [67] были проведены расчеты ab-initio констант ОВ и БОВ в соединениях редкоземельных элементов с цинком и кадмием. Было установлено, что основной вклад в энергию БОВ дает орбитальное взаимодействие электронов, при этом константы БОВ являются максимальными в том случае, когда в соединение входят элементы, расположенные в начале или конце редкоземельного ряда.

Систематическое изучение влияния БОВ на спиновую структуру магнитной системы началось в 70-х годах прошлого века [68-70]. В работах [68 69] проводилось численное исследование уравнений молекулярного поля в системах с большим значением констант БОВ. Результат исследований таков: в системе может возникать упорядочение с равной нулю намагниченностью и отличным от нуля средним значением тензора квадрупольного момента. Как уже отмечалось, такое упорядочение называется квадрупольным. Поскольку в работах [68-69] исследования проводились в приближении молекулярного поля, эти работы не дают ответа на вопрос о том, может ли квадрупольное упорядочение реализовываться в качестве основного состояния системы. Ответ на этот вопрос был дан в работе [70].

В [70] доказано, что в магнетиках с БОВ при нулевой температуре и единичном спине возможно такое квадрупольное упорядочение, при котором проекция магнитного момента каждого атома системы на ось квантования равна нулю. Это уже обсуждавшееся нами в предыдущем параграфе синглетное состояние. Ему соответствует квадрупольная фаза КУ2Z. Для исследования этой фазы было предложено специальное представление для спиновых операторов, с помощью которого определен спектр спиновых волн, что дало возможность указать интервал устойчивости квадрупольной фазы. В этой же работе указано на то, что при конечных температурах возможно существование еще одного типа квадрупольного упорядочения, когда при нулевой намагниченности среднее значение квадрата проекции спина на ось квантования пропорционально S 2. Это упорядочение соответствует фазе КУ1Z.

В работе [71] также исследовалось основное состояние магнетиков с ОВ и БОВ. Найдены спектры связанных состояний магнонов в случае ФМ упорядочения. Показано, что при определенном отношении констант ОВ и БОВ ФМ фаза является неустойчивой по отношению к процессу конденсации связанных состояний двух спиновых волн с противоположными импульсами.

Такую конденсацию авторы рассматривают как переход в квадрупольную фазу.

Дальнейший интерес к магнетикам с БОВ в значительной степени был стимулирован работой [72], в которой получено решение одномерной модели магнетика методом анзаца Бете. В последовавших во второй половине 70-х годов исследованиях были обнаружены интересные эффекты [73-77], однако общий подход к изучению магнетиков с БОВ развит не был.

Такой подход был предложен в обсуждавшихся в предыдущем параграфе работах Ф.П. Онуфриевой [2,3,55]. Несмотря на то, что БОВ в этих работах не рассматривалось, развитый в них метод унитарного преобразования вполне применим к изучению магнетиков с БОВ.

Предложенный в [4] метод унитарного преобразования эквивалентен методу работ [2,3,55]. С помощью этого метода в [5] были исследованы магнетики с единичным спином при наличии ОА и изотропного БОВ при конечных температурах. Среди выявленных упорядоченных фаз две фазы являются фазами квадрупольного упорядочения: КУ1Z и КУ2Z. Показано, что каждая из двух квадрупольных фаз в определенном диапазоне параметров гамильтониана может реализоваться в качестве основного состояния.

К сожалению, авторы [5] ограничились частным случаем:

рассматривались только изотропные ОВ и БОВ.

В [7] с помощью унитарного преобразования Онуфриевой исследовались одноосные магнетики с ОА и анизотропным БОВ при единичном значении спина в продольном магнитном поле. В работе построены ФД, на которых присутствуют фазы КУ1Z, КУ2Z, ФМZ и КФМ. Фаза КФМ является квадрупольно-ферромагнитной фазой, в которой направление оси ферромагнитного упорядочения и ориентация плоскости квадрупольного упорядочения зависят от параметров гамильтониана. В том случае, когда на ФД реализуются фазы КУ2Z и КФМ, при условии T 0 с увеличением внешнего магнитного поля в точке происходит ФП КУ2Z КФМ. При h hC дальнейшем увеличении поля происходит ФП КФМ КУ1Z ФМZ или КФМ ФМZ. В обоих случаях переход в фазу ФМZ происходит в точке h hC 2. Таким образом, фаза КФМ может реализоваться только при условии hC1 hC 2. При этом критические поля hC1 и hC 2 зависят от значений параметров гамильтониана, в частности от значений констант анизотропии БОВ.

К сожалению, авторы работы [7] ограничились случаем низких температур, что сделало невозможным исследование ФП по температуре.

В [8] некоторые результаты работы [7] обобщены на случай отличных от нуля температур.

Дальнейшие исследования фазы КФМ представлены работами [78-81] и др. Например, в [79] приведена экспериментальная фазовая диаграмма, на которой границы фазы КФМ с фазами КУ2Z и ФМZ хорошо согласуются с экспериментами работы [56]. При этом сравнение работ [79] и [7] дает такой результат: выражения для hC1, которые получены в обеих работах, вполне согласуются, а выражения для hC 2 несколько отличаются.

Интересный подход к изучению магнетиков с тензорными взаимодействиями использован в работах Р.Р. Левицкого с соавторами [82-83].

Авторы этих работ при расчетах свойств магнетиков используют кластерное приближение. В [83] в приближении двухчастичного кластера изучено влияние магнитного поля на изинговскую модель с ОВ и БОВ при единичном спине.

Показано, что при тех значениях константы БОВ, при которых в нулевом поле происходит ФП из фазы КУ2Z в ПМФ, включение поля может приводить к разделению этого перехода на каскад ФП КУ2Z ФМ Z ПМФ.

В заключение этого параграфа отметим серию работ Ю.А. Фридмана с соавторами ([6,9,84] и др.). В [84] исследовались ФП по температуре в АФМ с ОА типа «легкая плоскость» и изотропным БОВ при значении спина S 1.

Определены условия реализации квадрупольной фазы и критические температуры перехода в ПМФ. Построены фазовые диаграммы при различных соотношениях материальных констант.

В [6] рассматривались ФМ с S 2. При этом БОВ предполагалось изотропным. Показано, что при больших значениях констант ОА и БОВ происходит существенное изменение фазовой картины системы.

В [9] изучалось влияние упругих взаимодействий на ФП по материальным константам в магнетиках с анизотропным БОВ. Построены ФД при различных соотношениях параметров системы. Показано, что температура ФП из квадрупольной фазы в ПМФ зависит от константы анизотропии БОВ.

В целом, необходимо отметить, что магнитные системы с анизотропным БОВ исследованы недостаточно.

1.4. Выводы 1) Существует большое количество магнитных материалов, для которых константы ОА и БОВ по порядку величины сравнимы с константами ОВ. Для описания свойств таких материалов модель Гейзенберга необходимо расширить, включив в нее ОА и БОВ.

2) Включение в гамильтониан тензорных взаимодействий приводит к тому, что алгебра операторов, описывающих состояние системы, выходит за рамки алгебры ASU(2). При этом возникают определенные методологические трудности, связанные с тем, что методы квантовой теории магнетизма, разработанные для SU(2)-магнетиков, оказываются неприменимыми для магнитных систем с ОА и БОВ.

3) Упомянутые методологические трудности были преодолены с помощью метода унитарного преобразования, предложенного сначала для исследования магнетиков с ОА и обобщенного впоследствии на случай наличия в системе БОВ.

4) Имеется значительный материал по исследованию свойств магнитных систем с ОА и изотропным БОВ. При этом особенности поведения магнетиков с анизотропным БОВ изучены недостаточно.

5) Те немногие работы, в которых учитывалась анизотропия БОВ, показывают, что изменение констант анизотропии может приводить к существенному изменению свойств магнитной системы. Поэтому представляется перспективным проведение дальнейших исследований магнитных систем с анизотропным БОВ.

ГЛАВА МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ С ТЕНЗОРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ 2.1. Операторы, описывающие состояние системы. Алгебра ASU(3) В отсутствие тензорных взаимодействий состояние магнитной системы независимо от значения спина описывается операторами, принадлежащими алгебре АSU(2). Проанализируем это подробней.

При произвольном спине S энергетический спектр отдельного атома характеризуется n 2S 1 уровнями. Количество независимых операторов, описывающих переходы между уровнями (включая операторы заполнения n2 1.

уровней), равно При выполнении условия антиэрмитовости и бесследовости эти операторы являются инфинитезимальными операторами n мерного представления группы SU(n), т.е. с точностью до деления на мнимую единицу совпадают с эрмитовыми операторами алгебры АSU(n) [85]. В случае S 1 2 система является двухуровневой, а алгебра операторов – алгеброй АSU(2), включающей в себя спиновые операторы S X, S Y, S Z. При n 2 группа SU(n) имеет подгруппу SU(2), соответственно, алгебра АSU(n) – подалгебру АSU(2). Поэтому при наличии в системе только векторных взаимодействий (описываемых исключительно спиновыми операторами) все свойства системы описываются подалгеброй АSU(2). Иными словами система является эффективно 2-уровневой. При этом уровни отдельного иона являются эквидистантными.

Появление тензорных взаимодействий приводит к неэквидистантности уровней, т.е. к выходу за пределы алгебры АSU(2). Поскольку ни одна другая алгебра АSU(m) с m n не является подалгеброй алгебры АSU(n), состояние системы при наличии тензорных взаимодействий описывается полной алгеброй ASU(n).

При значении S 1, рассматриваемом в настоящей работе, описание свойств магнитной системы с тензорными взаимодействиями следует проводить с помощью алгебры АSU(3), насчитывающей 8 независимых операторов. Эти операторы могут быть выбраны различными способами и не обязательно в эрмитовом виде.

В настоящей работе будут использоваться 3 базиса: базис операторов Хаббарда X pq, базис неприводимых тензорных операторов Olm и базис эрмитовых операторов Q. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

2.1.1. Базис операторов Хаббарда X pq. Эти операторы определены как операторы переходов между уровнями:

, (2.1) X pq q p где p и q номера уровней [86]. Они изображаются матрицами, в которых на пересечении строки с номером p и столбца с номером q стоит единица, а все остальные элементы равны нулю. Использование этих операторов технически удобно благодаря простым правилам умножения:

X ipq X rs ij qr X ips, (2.2) j где i и j – номера узлов кристаллической решетки.

Из (2.2) легко найти закон коммутации операторов X pq :

X pq, X rs ij qr X ips sp X irq. (2.3) i j Операция сопряжения операторов X pq имеет вид X pq X iqp. (2.4) i Сумма диагональных операторов Хаббарда равна единичному оператору:

X pp I. (2.5) p 2.1.2. Базис неприводимых тензорных операторов Olm. Базис операторов Olm, где l – ранг тензора ( l 1, 2,...,2S ;

m 0, 1, 2,..., l ), в случае S 1 содержит 3 тензора первого ранга: O10, O11, O11 и 5 тензоров второго ранга: O20, O2, O21, O2, O2 2.

2 Прежде, чем перейти к рассмотрению связи операторов Olm со спиновыми операторами, приведем матричный вид последних [87]:

0 1 1 0 0 0 1 i 1 Y Z 0, SX 1,S 1 0 1.

S0 0 (2.6) 1 0 0 1 0 1 Определение операторов Olm приведено в [88], однако из соображений удобства мы будем использовать немного отличное определение (см., например, [3]):

1 X O10 S Z ;

O11 S S iS Y ;

O11 S S X iS Y ;

2 (2.7).

Z2 I ;

O2 1 S Z S S S Z ;

O S O S 2 Используя матричный вид спиновых операторов (2.6) и определение (2.7), легко получить матричный вид операторов Olm :

0 0 10 0 0 1 O10 0 0 O 1 0 0, 0, O1 0 0 1, 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 13 O2 1 O2 0 0 1, 0 0, O2 0 2 3 0, 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0, O22 O0 0 0 0. (2.8) 0 0 0 1 0 Из (2.8) становится прозрачной связь операторов Olm с операторами Хаббарда:

O10 X 11 X 11, S X 10 X 01, S X 01 X 10, O2 X 11 X 11 I, O2 X 10 X 01, O2 1 X 01 X 10, 0 1 (2.9) O2 X, O2 X 11.

2 11 С помощью (2.9) и закона умножения (2.2) получаем закон умножения операторов Olm на одном узле (таблица 2.1).

Таблица 2. Закон умножения операторов Olm на одном узле.

SZ S S O0 O1 O 1 O2 O 2 2 2 2 SZ O 0 2 S O1 S O 1 O1 S S O 1 O2 O 1Z S 2 2 2 2 3 2 2 2 O 2 SZ S S O1 3O1 S S 3O Z O 1 S 2 O2 O 2 2 2 2 6 2 2 SZ O S S O 1 S 3O 1 S Z 3O 0 S O O 2 O 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 O0 1 Z S 3O1 3O 1 S 2 3O 0 3S O1 3S O 1 12 1 S O2 O 2 2 2 2 2 3 3 6 6 9 6 O 0 SZ O1 S O1 S Z 3O 0 3S O1 O 1 S O2 O2 2 2 2 2 2 2 6 2 SZ O O 1 O 1 S O 2 O S Z 3O 0 3S O 1 S O1 2 2 2 2 2 2 2 6 2 SZ O O2 O2 O1 S O1 S 0 0 O2 2 2 2 3 2 1 O 0 SZ S O 1 S O O 2 O 2 0 0 1 O2 2 2 2 3 2 1 Используя данные таблицы 2.1, легко получить правила коммутации операторов Olm (таблица 2.2).

Таблица 2. Правила коммутации операторов Olm на одном узле.

SZ S S O0 O1 O 1 O2 O 2 2 2 2 SZ S S O1 O 1 2O 2 2O 0 0 2 2 2 S S SZ O1 2O 2 3O 0 O 0 2 2 2 S S SZ O 1 3O 0 2O 2 O 0 2 2 2 S S O0 O1 O 0 0 0 2 2 S SZ S O1 O1 2O 2 3O 0 0 2 2 2 S SZ S O 1 O 1 3O 0 2O 2 0 2 2 2 S SZ O2 2O 2 O 0 0 0 2 2 S SZ O 2 2O 2 O 1 0 0 0 2 2 2.1.3. Базис эрмитовых операторов Q. Этот базис состоит из трех спиновых операторов: S p ( p x, y, z ) и пяти квадрупольных операторов Q p p 0,1,2.

Связь спиновых операторов S X и S Y с операторами S и S легко найти из (2.7):

S S S S SX,, (2.10) SY i 2 а операторы Q p связаны с операторами Olm следующими соотношениями:

i,, Q 0 3O2, Q1 O2 O2 1 Q 1 O2 O2 1 2 Q 2 i O2 O2 2.

2 Q 2 O2 O2 2, 2 (2.11) Используя (2.11) и таблицы 2.1 и 2.2, можно получить законы умножения и коммутации операторов Q, однако в связи с тем, что эти законы не будут использоваться в дальнейшем, мы их не приводим.

Ранг группы r определяется максимальным числом коммутирующих между собой операторов среди образующих группы [85]. Ранг группы SU(3) равен двум, следовательно, среди образующих этой группы имеется два коммутирующих между собой оператора. В базисе Q это операторы S Z и Q 0.

Любой другой оператор T из Q в некоторых координатах может быть представлен в виде T 1 S Z 2 Q 0. (2.12) 2.2. Гамильтониан системы Исследования проводились на основе гамильтониана H H ОВ H З H ОА H БОВ, (2.13) где H ОВ – оператор энергии ОВ, H З – оператор зеемановской энергии, H ОА – оператор энергии ОА, H БОВ – оператор энергии БОВ.

H ОВ можно В случае, когда ОВ является изотропным, оператор представить в виде (2.14) H ОВ J ij S i S j i, j или H ОВ J ij S iX S jX S iY S Y S iZ S Z, (2.15) j j i, j где J ij – константы ОВ.

Анизотропию ОВ можно учесть путем введения констант анизотропии и 2. Оператор энергии анизотропного ОВ имеет вид:

H ОВ J ij S iZ S Z 1 S iX S jX 2 S iY S Y. (2.16) j j i, j При условии (2.17) 1 получаем.

(2.18) H ОВ J ij S iZ S Z S iX S jX S iY S Y j j i, j Оператор ОВ вида (2.18) коммутирует с оператором Z -компоненты магнитного момента системы. Иначе говоря, ось Z является осью аксиальной симметрии гамильтониана (2.18).

Учитывая соотношения (2.10), можно записать равенство, которое будет полезно для дальнейшего изложения:

S iX S jX S iY S Y S i S S i S. (2.19) j j j Используя равенство (2.19), гамильтониан H ОВ можно представить в базисе операторов Olm :

H ОВ J ij S iZ S Z S i S S i S. (2.20) j j j i, j Учитывая симметрию ОВ J ij J ji, формуле (2.20) можно придать вид H ОВ J ij S iZ S Z 2 Si S. (2.21) j j i, j Оператор зеемановской энергии в случае, когда внешнее магнитное поле h направлено вдоль оси Z, определяется формулой S Z. (2.22) H З h i i Аксиальная симметрия оператора H З очевидна.

Оператор энергии ОА в случае аксиальной симметрии задается формулой H ОА D O2i, (2.23) i где D – константа ОА.

Оператор БОВ в изотропном случае имеет вид (2.24) H БОВ K ij S i S j i, j или, (2.25) H БОВ K ij SiX S jX S iY S Y S iZ S Z j j i, j где K ij – константы БОВ.

Используя равенство (2.19) и таблицу 2.1, гамильтониан (2.25) можно привести к виду 4 H БОВ NK 0 I K ij S iZ S Z 2 S i S j j 3 2 i, j (2.26) K ij 3O2 i O2 j 2O2 i O2 1 4O2i O2 2, 0 0 1 j j 2 i, j где N – число узлов кристаллической решетки.

Первое слагаемое в (2.26) не содержит спиновых операторов, оно вносит вклад лишь в энергию основного состояния. Мы не будем включать его в гамильтониан, т.к. для дальнейшего рассмотрения оно не существенно.

Второе слагаемое приводит лишь к перенормировке констант ОВ J ij и константы в формуле (2.21) для гамильтониана H ОВ. Это слагаемое также исключается нами из дальнейшего рассмотрения, а соответствующие константы в формуле (2.21) мы будем считать перенормированными.

Третье слагаемое характеризует собственно БОВ. Коэффициент 1 2 в этом слагаемом может быть исключен путем перенормировки величин K ij.

Окончательно, оператор H БОВ можно представить следующим образом:

H БОВ K ij 3O2i O2 j 2O2i O21 4O2i O2 2.

0 0 1 2 (2.27) j j i, j В (2.27) можно произвести переход от базиса операторов Olm к базису Q :

1 H БОВ K ij Qi0Q 0 Qi1Q1 Qi1Q 1 Qi2Q 2 Qi 2Q 2. (2.28) j j j j j 3 i, j В эквивалентности (2.27) и (2.28) можно убедиться с помощью выражений (2.11), связывающих два базиса.

Анизотропию БОВ можно учесть путем введения констант анизотропии:

1, 2, 1 и 2, тогда 1 H БОВ K ij Qi0Q 0 1 Qi1Q1 2 Qi1Q 1 1 Qi2Q 2 2 Qi 2Q 2. (2.29) j j j j j 3 i, j Особый интерес представляет случай 1 2, 1 2. (2.30) С учетом (2.30) гамильтониан (2.29) можно записать в виде.

H БОВ K ij Qi0Q 0 Qi1Q1 Qi1Q 1 Qi2Q 2 Qi 2Q 2 (2.31) j j j j j 3 i, j С помощью таблицы 2.2 можно убедиться в том, что гамильтониан (2.31) коммутирует с оператором Z -компоненты магнитного момента системы, т.е.

имеет ось аксиальной симметрии (ось Z ).

Таким образом, полный одноосный гамильтониан магнитной системы с ОА и БОВ в базисе операторов задается следующим выражением:

Q Z J ij S iZ S Z S iX S jX S iY S Y D Qi S H h i j j i i, j i (2.32) 1 K ij Qi0 Q 0 Qi1Q 1 Qi1Q 1 Qi2 Q 2 Qi 2 Q 2.

j j j j j 3 i, j В базисе операторов O2m полный одноосный гамильтониан имеет вид H h S iZ J ij S iZ S Z 2S i S D Oi j j i i, j i (2.33).

0 0 1 1 2 K ij 3O O 2O O 4O O i j i j i j i, j 2.3. Метод унитарного преобразования Для исследования однородно-упорядоченных фаз, допускаемых моделью (2.32), целесообразно воспользоваться методом унитарного преобразования для систем с ОА и анизотропным БОВ [7]. Этот метод включает в себя два этапа.

На первом этапе осуществляется переход от гамильтониана (2.32) к одночастичному гамильтониану H 0. При этом все одночастичные члены в (2.32) учитываются точно, а двухчастичные – в ПМП.

Гамильтониан H 0 имеет вид S H 0 h 2 J 0 S Z Z 2 J 0 S X S iX 2 J 0 S Y S iY i i i i Q D 2 K 0 Q 0 2 K 0 Q 1 2 K 0 Q 1 Q Q (2.34) i i i 3 i i i 2 K 0 Q 2 Qi2 2 K 0 Q 2 Qi2, i i где угловые скобки означают усреднение по всем узлам кристаллической решетки.

Без ограничения общности можно выбрать ось Y таким образом, что бы выполнялось условие S Y Q 1 Q 2 0. (2.35) При этом величины S Z, S X, Q 0, Q 1 и Q 2 в общем случае отличны от нуля и могут рассматриваться в качестве компонент ПП.

С учетом (2.35) гамильтониан H 0 можно записать в виде H 0 1 SiZ 2 Qi0 3 SiX 4 Qi1 5 Qi2, (2.36) i i i i i где величины n определяются выражениями 1 hZ 2 J 0 S Z, 2 D 2 K 0 Q 0, 3 2J 0 S X, 4 2 K 0 Q 1, 5 2 K 0 Q 2. (2.37) Множество всех одночастичных гамильтонианов вида (2.36) с различными наборами величин образует пятимерное линейное n p Q p S пространство. При этом входящие в (2.36) суммы и являются i i i i базисными функциями этого пространства. При преобразованиях базисных функций величины n изменяются.


Второй этап метода унитарного преобразования состоит в том, чтобы с помощью унитарного преобразования V перейти к такой системе базисных функций, в которой гамильтониан H 0 является диагональным.

Связь операторов Q в старом и новом базисах имеет вид ~ ~ S p VS pV 1, Q p VQ pV 1, (2.38) ~ ~ где S p и Q p – операторы в новом базисе, V – подходящее унитарное преобразование.

В [7] показано, что преобразование V является трехпараметрическим и может быть представлено в следующем виде:

V exp i Q 2 exp i Q1 exp i S y, (2.39) где, и – параметры преобразования.

Параметры, и играют роль углов поворота в пятимерном пространстве, поэтому в дальнейшем для простоты мы будем называть их углами.

Используя (2.39), можно получить явный вид выражений (2.38):

1 ~ 1 ~ S Z cos cos cos 2 sin sin 2 sin 2 S Z sin sin 2 Q 2 ~X ~ cos sin sin sin cos 2 cos S sin cos 2 sin cos sin cos Q ~ 1 sin sin 2 cos 2 cos cos sin 2 Q 2, ~ Q 0 3 sin 2 sin cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 S Z 1 ~ ~ 3 cos 2 cos 2 1 Q 0 3 sin 2 cos sin cos 2 sin 2 cos S X ~ 3 2 sin 2 cos cos cos 2 sin 2 sin Q 3 ~ cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 Q 2, ~ ~ ~ S Y cos cos S Y cos sin Q1 sin Q 2, ~ 1 ~ S X sin cos cos 2 1 cos sin 2 sin 2 S Z cos sin 2 Q 2 ~X cos cos 2 cos sin sin sin S ~ cos cos 2 sin sin sin cos Q ~ sin cos sin 2 1 cos sin 2 cos 2 Q 2, ~ Q1 sin sin cos cos sin S Y ~ ~ sin sin sin cos cos Q1 sin cos Q 2, ~ ~ Q 1 cos 2 sin cos 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 S Z sin 2 cos 2 Q 2 ~ 1 sin 2 sin 2 cos S X cos 2 cos sin ~ cos 2 cos cos 1 sin 2 sin 2 sin Q ~ 1 sin 2 1 sin cos 2 cos 2 sin sin 2 Q2, ~ cos cos sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin cos 2 S Z Q2 1 2 1 ~ ~ sin 2 cos2 sin 2 Q 0 1 1 sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin S X ~ 1 1 sin 2 sin 2 sin sin 2 cos cos Q 1 ~ cos2 cos2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin sin 2 Q 2, ~ Q 2 sin sin cos sin cos S Y (2.40) ~ ~ cos sin sin sin cos Q1 cos cos Q 2.

Совершая замену базиса пятимерного линейного пространства по формулам (2.40), получаем гамильтониан в ПБ:

~Z ~0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 S i X 4 Qi1 5 Qi2.

S Q H 0 1 2 (2.41) i i i i i i i Углы, и выбираются таким образом, чтобы в ПБ выполнялись следующие равенства:

~ ~ ~ 3,, 0, 4,, 0, 5,, 0. (2.42) При этом гамильтониан H 0 имеет вид ~Z ~ ~ ~ S Q H 0 1 2. (2.43) i i i i Из (2.43) получаем выражения для энергетических уровней отдельного иона при трех возможных значениях проекции спина на ось Z ( S Z 1, 0,1 ):

~~ ~~ ~ E1 1 2, E0 2 2, E 1 1 2. (2.44) В ПБ отличны от нуля только средние значения диагональных ~ ~ операторов: S Z, Q 0 [3]. При конечных температурах величины и могут быть вычислены с помощью распределения Гиббса [89]:

~Z ~ S exp E Q exp E n n n n n n,, (2.45) exp E exp E n n n n где энергетические уровни E n заданы формулами (2.44).

Используя (2.44), систему (2.45) можно представить в виде e e (2.46), 1, 1 e e 1 e e где величины e и e определяются выражениями ~ ~ ~ ~ 1 3 2 1 3 e exp e exp,. (2.47) В пределе низких температур существует три различных набора величин и, удовлетворяющих системе (2.46). Это соответствует трем различным ПБ [7]. Таким образом, типы ПБ целесообразно классифицировать по поведению величин и при условии T 0 :

1) в ПБ первого типа T 0 1, 1 ;

2) в ПБ второго типа T 0 0, 2 ;

3) в ПБ третьего типа T 0 1, 1.

В ПБ второго типа при условии T 0 система (2.42) распадается на систему двух уравнений для углов, и одно уравнение, задающее явную зависимость угла от углов,. В этом смысле ПБ второго типа является более удобными для проведения низкотемпературных расчетов.

Если тип ПБ выбран, то средние значения диагональных операторов, и углы,, позволяют найти средние значения операторов в исходных координатах, т.е. определить компоненты ПП.

Отметим, что при конечных температурах входящие в систему (2.42) ~~ ~ величины 3, 4 и 5 зависят не только от углов,,, но и от величин и.

Поэтому при условии T 0 в общем случае система (2.42) и система (2.46) образуют единую систему пяти уравнений с пятью неизвестными –,,,,.

При заданном типе ПБ каждой упорядоченной фазе магнетика соответствует определенный набор (или несколько наборов) углов,,, удовлетворяющих условиям (2.42). При этом различным фазам соответствуют различные наборы углов.

Таким образом, описанный подход позволяет исчерпывающим образом решить задачу о возможных типах однородного упорядочения в спиновой системе с тензорными взаимодействиями.

2.4. Динамическая матрица и спектры спиновых возбуждений Для определения спектров спиновых возбуждений в упорядоченных фазах магнетика целесообразно использовать метод построения динамической матрицы [10]. Этот метод состоит в следующем. Пусть натуральное число m нумерует энергетические уровни отдельного n - уровневого иона f, соответствующие различным значениям проекции спина на ось Z, начиная с самого низкого. Тогда операторы Хаббарда X 1f 2, X 1f 3,..., X 1f m,..., X 1f n являются операторами уничтожения возбуждений на узле f, а операторы X 21, X 3 1,..., X m1,..., X n 1 – операторами рождения соответствующих спиновых f f f f возбуждений. Совокупность операторов X 1f m и X m 1 ( m 2, 3,..., n ) образует f множество X. Предположим, что с помощью подходящего приближения коммутаторы с гамильтонианом всех операторов из множества X можно представить в виде линейной комбинации операторов из этого же множества.

Если при этом коммутаторы с гамильтонианом операторов уничтожения дают линейные комбинации только операторов уничтожения можно записать X a11 X 12 a12 X 13... a1( m 1) X 1m... a1( n 1) X 1f n,H f f f f X,H a 21 X 12 a 22 X 13... a 2 ( m 1) X 1m... a 2 ( n1) X 1 n f f f f f (2.48)...................................................................................................

X 1n a ( n1)1 X 12 a ( n1) 2 X 1f 3... a ( n 1) ( m 1) X 1f m... a ( n1) ( n1) X 1 n,H f f f При этом alp являются выражениями, которые зависят от параметров гамильтониана. Набор всех alp составляет динамическую матрицу A. В том случае, когда динамическая матрица является диагональной (alp 0, l p ), величины all являются одновременно собственными значениями матрицы A и энергиями спиновых возбуждений на узле f. Очевидно, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством операторов Хаббарда, входящих в динамическую матрицу, и множеством собственных значений последней. В k - пространстве выражения для этих собственных значений совпадают с выражениями для ветвей спектра спиновых возбуждений. В этом смысле можно сказать, что каждый недиагональный оператор Хаббарда X 1m генерирует определенную ветвь спиновых возбуждений.

В случае, когда A не является диагональной, упомянутое выше взаимно однозначное соответствие сохраняется. При этом выражения для собственных значений A в k - пространстве также совпадают с выражениями для ветвей спектра спиновых возбуждений: m k m k. Для нахождения этих собственных значений используется секулярное уравнение:

a11 k a12...

a 22 k... 0. (2.49) a...................................

В случае, когда динамическая матрица строится на операторах рождения спиновых возбуждений X m1, выражения для ее собственных значений в k f пространстве отличаются знаком от выражений для ветвей спектра:

m k m k.

Возможен случай, когда для построения динамической матрицы необходимо использовать как операторы уничтожения, так и операторы рождения. В этом случае выражения для собственных значений динамической матрицы, соответствующих операторам уничтожения, совпадают с выражениями для генерируемых ими ветвей спектра. При этом выражения для собственных значений динамической матрицы, соответствующих операторам рождения, отличаются знаком от выражений для генерируемых ими ветвей спектра.

Возможен такой случай, когда коммутаторы с гамильтонианом некоторых операторов из множества X представляются в виде линейной комбинации, содержащей недиагональные операторы Хаббарда, не входящие в (операторы перехода меду возбужденными уровнями). В этом случае X необходимо вычислить коммутаторы с гамильтонианом операторов перехода между возбужденными уровнями и расширить соответствующим образом динамическую матрицу.

Необходимо отметить, что метод динамической матрицы пригоден к непосредственному использованию только для тех фаз, в которых нулевой гамильтониан является диагональным. В тех случаях, когда нулевой гамильтониан не является диагональным, для использования метода динамической матрицы необходимо сначала провести диагонализацию нулевого гамильтониана с помощью унитарного преобразования и определить углы преобразования. Затем необходимо полный гамильтониан системы подвергнуть преобразованию, соответствующему найденным углам, и после этого осуществить построение динамической матрицы.

2.5. Выводы 1) Состояние магнетика с единичным спином при наличии тензорных взаимодействий может быть описано с помощью операторов алгебры ASU(3), насчитывающей восемь независимых операторов. Эти операторы могут быть выбраны различными способами, при этом наиболее прозрачными с физической точки зрения являются базис неприводимых тензорных операторов Olm и базис операторов Q, а наиболее удобным для математических расчетов – базис операторов Хаббарда X mn.

2) Оси координат могут быть выбраны таким образом, чтобы средние значения трех операторов из базиса Q тождественно равнялись нулю. В этом случае остальные средние значения могут рассматриваться в качестве компонент ПП. При этом одночастичный гамильтониан формально можно рассматривать в качестве элемента линейного пространства.

3) С помощью трехпараметрического унитарного преобразования одночастичный гамильтониан может быть приведен к диагональному виду.

Условие диагональности гамильтониана дает систему уравнений для параметров унитарного преобразования. Каждому решению этой системы соответствует упорядоченная фаза магнетика. В этом смысле описанный в параграфе 2.3. метод унитарного преобразования позволяет исчерпывающим образом решить задачу о возможных типах однородного упорядочения.


4) Описанный в параграфе 2.4. метод динамической матрицы позволяет определять спектры спиновых возбуждений в магнитных системах с тензорными взаимодействиями. Этот метод одинаково прост как в случае нулевой температуры, так и при конечных температурах.

ГЛАВА УПОРЯДОЧЕННЫЕ ФАЗЫ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ 3.1. Уравнения для параметров унитарного преобразования Описанная во втором разделе процедура диагонализации гамильтониана (2.36) позволяет получить явный вид уравнений (2.42) для углов,,.

Первые два уравнения имеют вид 1 2D sin 2 cos h cos sin J 0 K 0 sin 2 cos 2 sin 2 cos J 0 1 sin 2 1 4 K 0 1 sin 2 2 K 0 1 cos 2 sin 2 cos sin J 0 1sin 2 1 2K 0 1cos 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 K 0 1 cos 2 1 sin 2 sin 2 cos J 0 1 sin 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 cos 2 K 0 1 cos 2 cos 2 0, (3.1) 1 2D cos 2 sin 2 h sin cos 2 1 2 J 0 K 0 sin 4 sin sin 2 cos cos 2 J 0 1 cos 2 K 0 1 sin 2 1 sin 2 2 K 0 1 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 J 0 1 cos 2 cos 1 2 K 0 11 sin 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 2 K 0 1 sin 2 2 1 sin 2 sin 2 J 0 1 cos 2 cos 1 2 K 0 11 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 2K 0 1sin 2 2 cos 2 0.

(3.2) Третье уравнение может быть представлено в виде C1 sin 2 C 2 cos 2 0, (3.3) где величины C1 и C 2 определяются следующими выражениями:

C1 1 2 D sin 2 sin h cos cos 2 J 0 K 0 cos 2 cos 2 2 K 0 cos sin 2 sin sin 2 J 0 1 cos 2 1 2 K 0 1cos 2 2 cos 2 cos 2 cos K 0 1 cos 2 1 sin 2 2 cos 2 J 0 1 sin 2 cos 1 4 K 0 1 sin 2 2 sin 2 K 0 1 cos 2 2 sin 2 sin 2 sin J 0 1 cos, 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 cos 2 K 0 1 cos 2 cos (3.4) C 2 1 2 D cos 2 cos 2 cos 2 1 2h sin sin 2 1 2 J 0 K 0 sin 2 sin 2 2 K 0 sin 2 sin 2 1 2J 0 1 cos 2 sin 2 2 1 2 K 0 1 2K 1sin 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin sin 2 sin cos 2 J 0 1 cos 2 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 sin 2 sin K 0 1 cos 2 1 sin 2 1 2 J 0 1sin 2 2 cos 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin.

1 2 K 0 1sin 2 1 sin cos 2 2 (3.5) ~ ~ Приведем также выражения для величин 1 и 2 из (2.43):

~ 1 C1 cos 2 C 2 sin 2, (3.6) 2 1 2 h sin sin 2 1 6D3 cos 2 cos 2 1 1 2 J 0 K 0 sin 2 ~ sin 2 2 3K 0 J 0 1 cos sin 2 sin cos cos 1 2 cos sin 2 sin 2 1 2 K 0 1sin 2 cos 2 sin sin 2 sin cos 2 sin 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 cos cos K 1sin 2 cos cos 2 sin cos 2 2 1 2sin 2 1 sin sin 2 1 2 sin 2 cos.

2 (3.7) При фиксированном типе ПБ каждому решению системы (3.1)-(3.3) соответствует определенный вид однородного упорядочения в исследуемой системе.

В настоящем разделе рассматриваются решения и соответствующие им упорядоченные фазы при условии h 0.

3.2. Фаза КУ2Z 3.2.1. Температурная зависимость ПП. Рассмотрим такое решение системы (3.1)-(3.3):

0. (3.8) Этими углами задается тождественное преобразование. В фазе, которая соответствует этому преобразованию, операторы в исходном и ПБ совпадают, поэтому отличными от нуля оказываются только две составляющие ПП:

S Z, Q 0, S X 0, Q 1 0, Q 2 0. (3.9) Если использовать ПБ второго типа, то при нулевой температуре равенства (3.9) принимают вид S Z 0, Q 0 2, S X 0, Q 1 0, Q 2 0. (3.10) Равенства (3.10) соответствуют состоянию системы, в котором S Z 0 для каждого иона. Действительно, при выполнении условия S Z 0 для всех ионов системы, первые три равенства (3.10) очевидны, а последние два равенства можно легко доказать, используя формулы (2.11), (2.7) и известное в квантовой механике выражение для квадрата модуля углового момента:

S S S X2 Y2 Z S S 1. (3.11) Фазу, в которой при нулевой температуре для каждого иона выполняется S L 0, условие будем называть плоскостной квадрупольной фазой с плоскостью упорядочения, перпендикулярной оси L (см., например, [9]). В дальнейшем такие фазы мы будем обозначать КУ2L. Таким образом, решение (3.8) в ПБ второго типа соответствует фазе КУ2Z.

Для собственных ВФ оператора S iZ, которые соответствуют собственным значениям 1;

0;

-1, введем обозначения 1 i ;

0 i ;

1 i. Тогда можно утверждать, что в фазе КУ2Z при нулевой температуре произвольный ион i находится в состоянии 0 i. При этом ВФ всей системы в используемом нами ПМП представима в виде произведения ВФ отдельных ионов. Эта ВФ инвариантна относительно преобразования exp (i S Z ), где S Z – z-компонента полного магнитного момента системы.

В фазе КУ2Z в ПМП гамильтониан имеет диагональный вид:

Z S Q, (3.12) H 0 1 i i i i где величины 1 и 2 определяются выражениями (2.37).

Путем усреднения гамильтониана (3.12) с учетом (2.37) получаем выражение для среднего значения энергии системы:

1. (3.13) E N h S Z 2 J 0 ( S Z ) 2 D Q 0 K 0 ( Q 0 ) 3 Выражения (2.44) для энергетических уровней отдельного иона можно представить в виде 1 E1 h 2 J 0 S Z D K 0 Q 0 ;

3 2 E 0 D K 0 Q 0 ;

3 1 E 1 h 2 J 0 S Z D K 0 Q 0. (3.14) 3 Из (3.14) следует, что E1 E 1 при любых полях и температурах, поэтому необходимым условием устойчивости фазы КУ2Z является условие E 0 E1 или D 2 K 0 Q 0 h 2 J 0 S Z. (3.15) При условии T 0, в соответствии с (3.10), единственная ненулевая Q компонента ПП остается неизменной во всем диапазоне полей, соответствующем фазе КУ2Z.

Энергетические уровни (3.14) в случае нулевой температуры записываются следующим образом:

1 4 2 8 1 (3.16) E1 h D K 0 ;

E0 D K 0 ;

E 1 h D K 0.

3 3 3 3 3 Поскольку в фазе КУ2Z нижним энергетическим уровнем иона является уровень с S Z 0, то энергия основного состояния определяется выражением 2 8. (3.17) E0 N D K 3 При конечных температурах в системе возникают спиновые возбуждения с S Z 1. Из неравенства E1 E 1 следует, что количество возбуждений с S Z больше, чем количество возбуждений с S Z 1, поэтому в системе возникает намагниченность ( S Z 0 ).

При условии h 0 энергии обоих типов возбуждений равны, поэтому во всем диапазоне температур, соответствующих фазе КУ2Z.

S Z Таким образом, состояния с S Z 1 и S Z 1 образуют дублет, который расположен выше синглетного состояния с S Z 0 и расщепляется внешним магнитным полем. Из (3.14) следует, что величина расщепления равна 2 h 2J 0 S Z.

При условии T 0 средние значения S Z и Q 0 определяются системой ~ ~ (2.46). При этом в рассматриваемой фазе величины 1 и 2, входящие в систему (2.46), совпадают с величинами 1 и 2.

На рисунке 3.1. схематически приведена зависимость компонент ПП S Z ~ ~ и Q 0 от безразмерной температуры ( J 0 ). При нулевой температуре величина S Z равна 0 и далее монотонно возрастает с ростом температуры, проходя через точку перегиба (линия 1). Величина Q 0 при условии T равна -2, и также монотонно возрастает с увеличением температуры, оставаясь отрицательной во всем интервале температур, соответствующих фазе КУ2Z (линия 2). На линии 2 имеется точка перегиба.

SzQ 1. 0. -1. -2. S Z Q Рис. 3.1. Схематическая зависимость компонент ПП и от безразмерной температуры в фазе КУ2Z.

3.2.2. Энтропия и свободная энергия. Для определения энтропии системы предположим, что из N ионов системы N1 ионов находятся в состоянии с S Z 1 и N 2 ионов – в состоянии с S Z 1. Тогда отличные от нуля компоненты ПП равны N1 N 2 N1 N, 3 2 2. (3.18) S Z Q 0 N N N N Энтропию системы можно записать следующим образом:

S en k N pn ln pn, (3.19) n где k – постоянная Больцмана, p n – вероятность стационарного состояния с номером n.

Связь величин p n с количеством частиц, находящихся в различных состояниях, такова: p n N n N, поэтому выражение (3.19) представимо в виде N N N N N N1 N 2 N N1 N. (3.20) S en kN 1 ln 1 2 ln 2 ln N N N N N N Используя (3.18) и (3.20), выражение для энтропии можно представить следующим образом:

1 Q 0 1 Q 0 2 Q 0 3 S Z 2 Q 0 3 S Z S en kN ln ln 3 3 6 (3.21) 2 Q 3 S Z 2 Q 0 3 S Z ln.

6 6 Свободная энергия системы определяется формулой F E T S en.

Учитывая (3.13) и (3.21), приведем выражение для свободной энергии, приходящейся на один ион:

1 F1 h S Z 2 J 0 S Z 2 D Q 0 K 0 Q 0 3 1 Q 1 Q 2 Q 3 S Z 2 Q 0 3 S Z 0 0 ln ln (3.22) 3 3 6 2 Q 0 3 S Z 2 Q 0 3 S Z ln.

6 6 Выражение (3.22) согласуется с выражениями для свободной энергии, полученными для более частных моделей магнетика [58, 90].

3.2.3. Спиновые возбуждения. Спектр спиновых возбуждений в фазе КУ2Z при конечных температурах наиболее просто можно определить методом динамической матрицы, описанным в параграфе 2.4. Для этого удобно воспользоваться выражением (2.33) для гамильтониана системы, представленного в базисе операторов Olm. Далее, используя связь (2.9) между Olm базисом операторов и базисом операторов Хаббарда, приводим гамильтониан к такому виду:

H h X i11 X i11 J ij X i11 X i11 X 11 X 11 2 X i10 X i0 1 X 01 X j j j j i i, j D X i11 X i11 2 3I K ij 3 X i11 X i11 2 3I X 11 X 11 2 3I j j i i, j.

2 X i10 X i0 1 X 01 X 10 4X i11 X j j j (3.23) Переходы из состояния со значением проекции спина S Z 0 в состояния с S Z 1 и S Z 1 генерируются операторами Хаббарда X 10 и X 10.

Вычисляя коммутаторы X 01, H, X p10, H и используя приближение p Xi X j Xi X j Xi X j (3.24) X nm 0, (n m), получаем уравнения движения для операторов X 01, X p 10 :

p X, H D h 2 S Z J 0 2Q 0 K 0 X 01 S Z Q 0 J pg K pg X g 01 p p g p (3.25) S Q 0 J pg K k X g 10, Z g p X, H S Q J K X 10 Z 0 p pg pg g gp (3.26) D h 2 S J 2Q K X S J K pg X g 10.

Z 0 10 Z Q 0 0 0 p pg gp Таким образом, динамическая матрица имеет размер 2 2 :

a11 a A. (3.27) a 21 a В Фурье-пространстве элементы динамической матрицы имеют следующий вид:

a11 (k ) D h 2 S Z J 0 2Q 0 K S Z Q 0 J k K k, a12 ( k ) S Z Q 0 J k K K, a 21 ( k ) S Z Q 0 J k K k, a 22 (k ) D h 2 S Z J 0 2Q 0 K (3.28) S Z Q 0 J k K k.

Входящие в (3.28) величины J k и K k являются Фурье-образами величин J ij и K ij соответственно.

Решение секулярного уравнения для динамической матрицы дает два ее собственных значения:

1, 2 ( k ) h S Z 2 J 0 J k K k S Z J k K k 2 (3.29) D 2Q 0 K 0 J k D 2Q 0 K 0 K k.

X Оператор является оператором уничтожения спинового возбуждения. Ему соответствует собственное значение динамической матрицы X 1 (k ). Оператор – оператор рождения, которому соответствует собственное значение динамической матрицы 2 (k ). Таким образом, ветви спектра 1,2 (k ) определяются выражениями 1 ( k ) 1 ( k ), (3.30) 2 ( k ) 2 (k ) или 1, 2 ( k ) D 2Q 0 K 0 J k D 2Q 0 K 0 K k (3.31) h S.

J 2 K k 2 J 0 J k K k Z Z S k Величины J k и K k являются четными функциями волнового вектора k.

Исходя из этого условия, легко показать, что при условии в h длинноволновом пределе обе ветви спектра имеют квадратичный закон дисперсии:

1 ( k ) 1 1 k 2, 2 ( k ) 2 2 k 2. (3.32) В низкотемпературном пределе выражения (3.31) принимают вид 1, 2 (k ) D 4K 0 J k D 4K 0 K k 2 h. (3.33) Выражения (3.33) совпадают с выражениями, полученными методом преобразования спиновых операторов к операторам вторичного квантования в работе [7]. Однако, в отличие от последнего, метод динамической матрицы дает возможность исследовать случай конечных температур.

Поскольку 1 (k ) 2 (k ), спектр является устойчивым при условии 2 ( k ) 0 при всех значениях k. В работе [91] показано, что в том случае, когда в системе реализуется одноподрешеточное упорядочение, смягчение спектра спиновых возбуждений происходит в центре зоны Бриллюэна. Упорядочение магнитных моментов узлов в фазе КУ2Z реализуется в пределах единственной подрешетки, поэтому ветвь 2 ( k ) при соответствующих значениях параметров гамильтониана обращается в ноль при k 0, а для всех k 0 выполняется неравенство 2 ( k ) 2 (0).

Таким образом, условие устойчивости спектра (3.31) при всех значениях k : 2 (0) 0, или D 2Q K J D 2Q K 1 0 0 0 (3.34) S J K h S 2 J J K 0, 2 Z Z 0 0 0 0 а граница устойчивости:

D 2Q K J D 2Q K 1 0 0 0 (3.35) S J K h S 2 J J 2 K 0.

Z Z 0 0 0 Из (3.35) получаем значение критического поля hC1, соответствующего потере устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУZ при нулевой температуре:

D 4 K 0 1D 4K 0 J 0. (3.36) hC 3.3. Фаза ФМZ 3.3.1. Температурная зависимость ПП. Второе решение системы (3.1) (3.3) имеет вид:

2, 4. (3.37) Компоненты ПП в фазе, которая соответствует этому решению можно определить путем усреднения соответствующих операторов в (2.40):

S Z 2, Q 0 3 2, S X 0, Q 1 0, Q 2 0. (3.38) При нулевой температуре в ПБ второго типа равенства (3.38) принимают вид S Z 1, Q 0 1, S X 0, Q 1 0, Q 2 0. (3.39) Равенства (3.39) соответствуют состоянию системы, в котором для каждого иона выполняется условие S Z 1. Действительно, при выполнении условия S Z 1 для ионов системы первые три равенства (3.39) очевидны, а последние два равенства легко могут быть доказаны с использованием (2.11), (2.7) и (3.11).

Фаза, в которой в отсутствие внешнего магнитного поля при нулевой температуре для каждого магнитного иона выполняется условие S L 1, называется ферромагнитной фазой с осью ферромагнитного упорядочения L. В дальнейшем такие фазы мы будем обозначать ФМ L. Итак, решение (3.37) в ПБ второго типа соответствует фазе ФМZ с ВФ ионов 1 i. В фазе ФМZ ВФ системы является инвариантной относительно преобразования exp (i S Z ).

Из (3.38) следует, что в фазе ФМZ, как и в фазе КУ2Z, отличны от нуля только диагональные компоненты ПП – S Z и Q 0, поэтому в ПМП гамильтониан имеет вид (3.12), т.е. является диагональным. Тем не менее, этот гамильтониан подвергается нетождественному унитарному преобразованию с углами (3.37). Это обстоятельство требует пояснения. Для решения задачи о возможных типа однородного упорядочения необходимо найти все решения системы (3.1) - (3.3) в одном и том же ПБ. Нами выбран ПБ второго типа, поэтому именно в этом базисе необходимо идентифицировать все решения системы (3.1) - (3.3). После того, как структура спинового упорядочения установлена, исследования конкретной фазы можно продолжать в ПБ любого из трех типов. Из (3.39) следует, что для фазы ФМZ ПБ первого типа совпадает с исходным базисом, что делает его более удобными для дальнейших исследований. Таким образом, унитарное преобразование с углами (3.37) является преобразованием диагонального в ПБ первого типа гамильтониана к ПБ второго типа, в котором гамильтониан также является диагональным. Это преобразование выполняется исключительно для решения задачи классификации решений.

Воспользовавшись указанным выше обстоятельством, дальнейшее рассмотрение мы будем проводить в ПБ первого типа, т.е. в исходном базисе.

Тогда формулы (3.13) и (3.14), записанные для фазы КУ2Z, остаются справедливыми в случае фазы ФМZ. В фазе ФМZ нижним энергетическим уровнем иона является уровень со значением проекции спина S Z 1, поэтому необходимое условие устойчивости фазы ФМZ имеет вид E1 E0 или h 2 J 0 S Z D 2 K 0 Q 0. (3.40) При условии T 0 выражения (3.14) для энергетических уровней отдельного иона принимают следующий вид:

1 D K0 ;

E1 h 2 J 3 2 E0 D K 0 ;

3 1 E 1 h 2 J 0 D K 0. (3.41) 3 Выражение для энергии основного состояния:

1. (3.42) E0 N h 2J 0 D K 3 В фазе ФМZ система уравнений для компонент ПП S Z и Q 0, а также выражения для энтропии и свободной энергии по виду совпадают с соответствующими формулами для фазы КУ2Z. При этом необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. При одних и тех же значениях внешнего магнитного поля и температуры упомянутая система в фазах КУ2Z и ФМZ имеет различные решения. Поэтому при равных внешних условиях величины 1 и 2, средние значения энергии E и энергетические уровни в обеих фазах различны. При этом в координатах H, T энтропия и свободная энергия описываются различными линиями.

Для идентификации решений системы (2.46), соответствующих разным фазам, целесообразно пользоваться граничным переходом T 0. При этом в фазе КУ2Z S Z 0, Q 0 2, а в фазе ФМZ S Z 1, Q 0 1.

При конечных температурах в фазе ФМZ возникают спиновые возбуждения с S Z 0 и S Z 1. С увеличением температуры количество возбуждений увеличивается, что приводит к уменьшению величин S Z и Q 0.

Схематическая зависимость компонент ПП S Z и Q 0 от безразмерной температуры в фазе ФМZ приведена на рисунке 3.2.

SzQ 1. 0.0 2. - 0. Рис. 3.2. Схематическая зависимость величин S Z и Q 0 от безразмерной температуры в фазе ФМZ.

S Z С увеличением температуры величина монотонно убывает, оставаясь положительной (линия 1). При этом на линии 1 имеется точка перегиба. Характерной особенностью температурной зависимости величины Q 0 является переход при определенной температуре в область отрицательных значений (линия 2). На линии 2 также имеется точка перегиба.

3.3.2. Спиновые возбуждения. Рассмотрим вопрос о спектре спиновых возбуждений в фазе ФМZ. Операторами уничтожения спиновых возбуждений являются операторы X 10 и X 11.

со значениями проекции спина S Z 0 и S Z В рассматриваемом случае для построения динамической матрицы кроме операторов уничтожения необходимо использовать еще оператор перехода между возбужденными уровнями X 01.

Вычисляя соответствующие коммутаторы, используя приближение (3.24) и переходя в Фурье-пространство, получаем 10 X, H a11 k X k a12 k X k k 10 X 0, H a 21 k X k a 22 k X k 1 (3.43) k X, H a33 k X k1, k где коэффициенты alp образуют динамическую матрицу с компонентами:

a11 ( k ) h 2 J 0 S Z D 2 K 0 Q 0 S Z Q 0 J k K k, a12 ( k ) S Z Q 0 K k J k, a 21 (k ) S Z Q 0 K k J k, a 22 ( k ) h 2 J 0 S Z D 2 K 0 Q 0 S Z Q 0 J k K k, a33 (k ) 2h 4 S Z J 0 K k. (3.44) Из (3.43) становится очевидной необходимость использования оператора X 01.

Собственные значения динамической матрицы определяются секулярным уравнением:

a11 (k ) (k ) a12 ( k ) 0. (3.45) a 22 ( k ) ( k ) a 21 ( k ) a 33 ( k ) ( k ) 0 Решение уравнения (3.45) дает три собственных значения, которые с учетом (3.44) можно представить в виде 1 (k ) 2h 4 S Z J 0 K k, (3.46) 2, 3 (k ) h S Z 2 J 0 J k K k S Z J k K k (3.47) D 2Q 0 K 0 J k D 2Q 0 K 0 K k.

Собственные значения и соответствуют операторам 1 (k ) 2 (k ) уничтожения X 10 и X 11, поэтому совпадают с ветвями спектра спиновых возбуждений:

1 (k ) 1 (k ), (3.48) 2 (k ) 2 (k ). (3.49) В длинноволновом пределе обе ветви спектра имеют квадратичный закон дисперсии:

1 ( k ) 1 1k 2 ;

2 ( k ) 2 2 k 2. (3.50) Ферромагнитное упорядочение является одноподрешеточным, поэтому для всех k 0 выполняется неравенство (k ) (0) [91]. При этом условие устойчивости мод спектра задается системой неравенств 1 (0) (3.51) 2 (0) 0, а граница устойчивости – двумя равенствами 1 (0) 0, 2 (0) 0, или h 2 S Z J 0 K 0 0, (3.52) J 2 h S Z 2 J 0 J 0 K 0 S Z K (3.53) D 2Q K 0 J 0 D 2Q K 0 1 0 0.

Выражение (3.53) по виду совпадает с выражением (3.35) для границы устойчивости фазы КУ2Z, однако температурная и полевая зависимость входящих в эти выражения величин S Z и Q 0 в фазах ФМZ и КУ2Z различна.

Поэтому границы устойчивости в координатах H, T в обеих фазах не совпадают.

При нулевой температуре ветви спектра спиновых возбуждений имеют вид 1 (k ) 2h 4 J 0 K k, (3.54) 2 (k ) h 2 J 0 J k K k D 2 K 0 K k J k. (3.55) При этом система неравенств (3.51), задающая условие устойчивости спектра, принимает вид h hF (3.56) h hF 2, где характеристические поля hF 1 и hF 2 равны hF 1 2 K 0 J 0, (3.57) h F 2 J 0 ( 1) K 0 J 0 D K 0 1 K 0 J 0. (3.58) Для того, что бы условие (3.56) представить в более компактном виде, введем критическое поле устойчивости фазы ФМZ hC 2 :

hC 2 max hF 1 ;

hF 2. (3.59) С учетом (3.59) низкотемпературное условие устойчивости спектра можно представить следующим образом:

h hC 2. (3.60) 3.4. Фаза КУ1Z Система (3.1)-(3.3) имеет такое решение:



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.