авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.И. МЕЧНИКОВА На правах ...»

-- [ Страница 2 ] --

h 2, 4, sin 2. (3.61) K 0 J 0 Выражения для компонент ПП в соответствующей этому решению фазе получаются путем усреднения соответствующих операторов в (2.40):

sin 2, Q 0 3 2, S Z cos 2.

S X 0, Q 1 0, Q 2 (3.62) При условии T 0 в ПБ второго типа формулы (3.62) имеют вид h S Z sin 2, Q 0 1, S X Q 1 0, Q 2 cos 2, sin 2. (3.63) 2K 0 J Равенства (3.63) соответствуют состоянию системы, в котором ВФ произвольного узла i равна i cos 4 1 i sin 4 1 i. (3.64) Из (3.64) следует, что при измерении величины S iZ вероятности получить значения S iZ 1 и S iZ 1 соответственно равны cos 2 4 и sin 2 4.

Соответствующая фаза – осевая квадрупольная фаза КУ1Z. В фазе КУ1Z ВФ системы не инвариантна относительно преобразования exp (i S Z ). В этом смысле фаза КУ1Z является фазой с нарушенной симметрией.

Выражение, связывающее намагниченность с параметрами гамильтониана при произвольных температурах, можно получить из (3.61) и (3.62):

h S Z. (3.65) 2K 0 J Из (3.65) следует, что в фазе КУ1Z в ПМП намагниченность системы является линейной функцией поля и не зависит от температуры. Неравенство S Z 0 влечет за собой необходимое условие существования фазы КУ1Z:

K 0 J 0 0. (3.66) Из (3.66) вытекает, что сам факт существования фазы КУ1Z в значительной степени зависит от значения константы анизотропии БОВ.

Гамильтониан системы в фазе КУ1Z имеет вид S 1 3D 2K Q H 0 h 2J 0 S Z Z Q 0 2K 0 Q 2 Qi2. (3.67) i 0 i i i i Среднее значение энергии:

E N h S Z 2 J 0 S Z 2 1 3DQ 0 2 3K 0 Q 0 2 2K 0 Q 2 2. (3.68) Учитывая (3.61) и (3.62) выражение (3.68) можно привести к виду 2 E N 1 6 D3 1 6K 0 3 1 2 K 0. (3.69) При условии T 0 входящие в (3.69) величины и в ПБ второго типа равны: 0, 2. Поэтому энергия основного состояния E0 N 1 3D 8 3K 0 2 K 0 1. (3.70) В фазе КУ1Z так же, как в фазе КУ2Z (см. (3.17)), энергия основного состояния не зависит от величины внешнего магнитного поля. Поэтому при нулевой температуре ФП по полю между этими фазами оказываются невозможными.

При достижении магнитным полем величины hF1, задаваемой формулой (3.57), компоненты ПП (3.63) приобретают вид (3.39), т.е. магнитный порядок в фазе КУ1Z совпадает с магнитным порядком в фазе ФМZ. При этом восстанавливается симметрия относительно преобразования exp (i S Z ). С другой стороны, в соответствии с (3.56) при полях h hF 1 фаза ФМZ неустойчива, поэтому значение поля h hF 1 является критическим. Оно соответствует ФП между фазами КУ1Z и ФМZ. Поскольку в точке h hF компоненты ПП остаются непрерывными, этот ФП является ФП второго рода.

Сравнение (3.70) с формулой (3.42) для энергии ферромагнитного основного состояния, как и следовало ожидать, также дает значение критического поля низкотемпературного ФП между фазами КУ1Z и ФМZ, равное hF 1.

~ ~ Рассмотрим теперь случай конечных температур. Величины 1 и 2 в ПБ второго типа при углах (3.61) имеют вид ~1 1 D 2K 0 K 0 1, 2 1 2 ~ 2 D K 0 K 0 1. (3.71) 6 3 Из (2.44), (2.45) и (3.71) следует, что в ПМП энергетические уровни отдельного иона, а также величины и, зависят только от параметров гамильтониана и температуры и не зависят от величины внешнего магнитного поля. Это приводит к тому, что компонента ПП Q 0 не зависит от величины h.

Зависимость величины Q 2 от поля при малых h является квадратичной.

Критическое значение магнитного поля, соответствующее ФП второго рода КУ1Z ФМZ задается условием sin 2 1 или hC K 0 J 0. (3.72) ~ Зависимость безразмерной критической температуры C этого ФП от ~ константы при различных значениях безразмерного магнитного поля h ~ h h J приведена на рисунке 3.3.

~ С 1.1 1.2 1. Рис. 3.3. Зависимость безразмерной критической температуры ФП второго рода ~ ~ ~ между фазами КУ1Z и ФМZ от константы : 1 - h 0,6 ;

2 - h 0,8 ;

3 - h 1. Все линии построены при J 0 0,8 ;

D 0,4 ;

K 0 1.

3.5. Фаза КФМ Система (3.1)-(3.3) имеет решение, для которого при отличных от нуля температурах и наличии внешнего магнитного поля все три угла зависят от параметров гамильтониана. Чрезвычайно громоздкие выражения для углов мы не приводим, они не понадобятся в дальнейшем. В фазе, соответствующей этому решению, все компоненты ПП отличны от нуля. В соответствии с терминологией работы [7] эту фазу мы будем называть квадрупольно ферромагнитной фазой КФМ. Нарушение симметрии в фазе КФМ очевидно.

При определении границ фазы КФМ мы сначала рассмотрим случай нулевой температуры. В этом случае уравнения (3.1) и (3.2) для углов унитарных преобразований принимают вид D sin cos cos h cos sin 4 sin cos cos J 0 1 sin (3.73) 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 cos 2 K 0 1 cos 2 cos 2 0, D cos 2 sin cos h sin cos 2 4K 0 J 0 sin cos cos 4 sin cos J 0 1 cos 2 cos 2 1 2K 0 11 sin 2 (3.74) cos 2 cos cos 1 2 K 0 1 sin 2 cos 0.

2 2 2 Для определения критического поля перехода между фазами КФМ и КУ2Z уравнения (3.73) и (3.74) представим в виде sin B1 sin B2 0, (3.75) sin B3 sin B4 0, (3.76) где B1 D cos cos 4 cos cos J 0 1 sin, 1 2 K 0 1cos 2 cos 2 cos 2 K 0 1 cos 2 cos B2 h cos, B3 h cos 2, B4 D cos 2 cos 4K 0 J 0 cos 2 cos 4 cos J 0 1 cos 2 cos 2 1 2K 0 11 sin 2 (3.77).

cos 2 cos cos 1 2 K 0 1 sin 2 cos 2 2 2 Из (3.75) и (3.76) получаем уравнение вида B1 B4 B2 B3. (3.78) Переходя в (3.78) к пределу при, 0, получаем выражение для низкотемпературной границы решения, соответствующего фазе КФМ с решением, соответствующим фазе КУ2Z:

D 4 K 0 1D 4K 0 J 0.

h Z (3.79) Выражение (3.79) совпадает с выражением (3.36) для низкотемпературной границы устойчивости фазы КУ2Z, поэтому его можно представить в виде h Z hC1.

(3.80) Таким образом, при полях меньших hC1 решение системы (3.73)-(3.74), соответствующее фазе КФМ, не существует, а при полях больших hC1 фаза КУ2Z неустойчива. Следовательно, поле hC1 является критическим полем ФП между фазами КФМ и КУ2Z. Непрерывность компонент ПП позволяет утверждать, что этот ФП является ФП второго рода.

Для того, что бы определить значение магнитного поля, при котором фаза КФМ переходит в фазу КУ1Z, нужно из уравнения (3.73) исключить решения, соответствующие условию cos 0. Для этого достаточно обе части уравнение (3.73) разделить на отличный от нуля в фазе КФМ множитель cos. Далее, в систему (3.73)-(3.74) необходимо подставить условия (3.61), которые выполняются на границе между фазами КФМ и КУ1Z. При этом уравнение (3.74) выполняется тождественно, а уравнение (3.73) дает выражение для низкотемпературной границы решения, соответствующего фазе КФМ с решением, соответствующим фазе КУ1Z:

G 2 G, hZ hF (3.81) где hF 1 определяется выражением (3.57), а величина G задается формулой D 2 K 0 1 4 K 0. (3.82) G 2K 0 J Из (3.81) следует, что при условии реализации в системе фазы КУ1Z фаза КФМ может реализоваться только при выполнении условия 0 G 2. (3.83) При наличии в системе фазы КУ1Z низкотемпературные ФП между фазами КФМ и ФМZ невозможны.

Если фаза КУ1Z в системе не реализуется, то критическим полем низкотемпературного ФП между фазами КФМ и ФМZ является поле hF 2, задаваемое формулой (3.58).

Проведенный выше анализ границ фазы КФМ можно обобщить на случай конечных температур. Процедура исключения тривиального решения из,, системы (3.1)-(3.3) с последующим предельным переходом приводит к такому уравнению для границы решения, соответствующего фазе КФМ, с решением, соответствующим фазе КУ2Z:

D 2Q K J D 2Q K 1 0 0 0 (3.84) S J K h S 2 J J K 0, 2 Z Z 0 0 0 0 где величины S Z и Q 0 соответствуют фазе КУ2Z.

S Z и Q Поскольку величины при фиксированных значениях внутренних параметров гамильтониана являются неявными функциями температуры и магнитного поля h, выражение (3.84) задает неявную зависимость критического поля h2 Z от температуры.

Сравнение (3.84) и (3.35) показывает, что в координатах h, линия, на которой решение, соответствующее фазе КФМ переходит в решение, соответствующее фазе КУ2Z, совпадает с границей устойчивости фазы КУ2Z.

Таким образом, при каждом фиксированном значении температуры при условии h h2 Z фаза КФМ не существует, а при условии h h2 Z фаза КУ2Z неустойчива, т.е. уравнение (3.84) задает линию ФП между фазами КФМ и КУ2Z. Подобно случаю низких температур, этот переход является ФП второго рода.

Выражение (3.81) для критического поля низкотемпературного ФП второго рода между фазами КФМ и КУ1Z обобщается на случай конечных температур следующим образом hZ hF GT 2 GT, (3.85) где D 2 K 0 1 K 0. (3.86) GT J 0 K 0 Если при некотором значении температуры, в определенном интервале значений внешнего магнитного поля реализуется фаза КУ1Z, то ФП между фазами КФМ и ФМZ при этой температуре невозможен. В том температурном интервале, в котором фаза КУ1Z в системе не реализуется, линия ФП второго рода между фазами КФМ и ФМZ задается формулой (3.53). При этом входящие в (3.53) величины S Z и Q 0 соответствуют фазе ФМZ.

3.6. Фазовые диаграммы при нулевой температуре В настоящем параграфе проведена классификация возможных типов ФД при нулевой температуре.

При любых значениях параметров гамильтониана существует такое значение внешнего магнитного поля, начиная с которого в системе реализуется симметричная фаза ФМZ. В соответствии с этим каждую ФД, которая реализуется в однородно-упорядоченном одноосном SU(3)-магнетике, можно отнести к одному из трех типов. ФД первого типа будем называть такие диаграммы, на которых фазы с нарушенной симметрией не реализуются. К ФД второго типа отнесем диаграммы, на которых присутствуют фазы с нарушенной симметрией, а фаза КУ2Z не реализуется. И, наконец, ФД, содержащие как симметричную фазу КУ2Z, так и фазы с нарушенной симметрией, будем называть диаграммами третьего типа. В свою очередь, диаграммы каждого из трех типов можно разделить на несколько подтипов. В дальнейшем тип диаграммы будем нумеровать арабскими цифрами, а подтип – большими буквами латинского алфавита.

Для удобства анализа возможных вариантов ФД представим информацию о границах устойчивости спектров спиновых возбуждений, энергиях основного состояния и фазовых границах различных фаз в виде таблицы (таблица 3.1).

Таблица 3. Границы устойчивости, энергия основного состояния и фазовые границы различных фаз.

Фаза Границы устойчивости Энергия Фазовые границы спектра спиновых основного возбуждений состояния на один ион hC1 D 4 K 0 1 E0 2 3D КУ2Z С фазой ФМZ: h hQF 8 3K D 4K 0 J hQF D 2( K 0 J 0 ) С фазой КФМ:

h hC hC 2 max hF 1 ;

hF ФМZ С фазой КУ2Z: h hQF E0 h 2 J hF 1 2 K 0 J 0 1 3D 2 3K 0 С фазой КУ1Z: h hF h F 2 J 0 1 K 0 J 0 С фазой КФМ: h hF D K 0 1 K 0 J E0 1 3D КУ1Z С фазой ФМZ: h hF 8 3K 0 С фазой КФМ:

hZ hF 1 G 2 G 2 K 0 D 2 K 0 1 4 K 0 G 2K 0 J КФМ С фазой КУZ: h hC С фазой КУ1Z: h hZ С фазой ФМZ: h hF 3.6.1. Фазовые диаграммы первого типа. Диаграммы первого типа можно разделить на два подтипа. К ФД подтипа 1А относится тривиальная диаграмма, на которой во всем интервале значений внешнего магнитного поля реализуется только симметричная фаза ФМZ. Критическое поле hC1, задающее границу устойчивости фазы КУ2Z, определяется формулой (3.36). В том случае, когда подкоренное выражение в (3.36) является положительным, фаза КУ2Z является устойчивой в интервале значений внешнего магнитного поля 0 h hC1. При отрицательных значениях упомянутого подкоренного выражения величина hC1 является мнимой, и фаза КУ2Z не реализуется. При этом фазы с нарушенной симметрией могут реализовываться только при условии h hC 2. Таким образом, при условии hC1 0 ;

hC 2 0 (3.87) реализуется ФД подтипа 1А.

Отметим, что первое неравенство (3.87) не является обязательным для реализации в системе тривиальной ФД. Например, при выполнении второго неравенства (3.87) и положительном hC1 ФД подтипа 1А реализуются при условии hQF 0, где hQF – точка равенства энергии основного состояния в фазах ФМZ и КУ2Z. Выражение для величины hQF приведено в таблице 3.1.

К ФД подтипа 1B относятся диаграммы, на которых наблюдается конкуренция двух симметричных фаз. При выполнении условий hC1 hQF hC 2 ;

(3.88) hQF фазы с нарушенной симметрией не реализуются, и все ФД являются ФД подтипа 1B. При этом ФП между фазами КУ2Z и ФМZ является ФП первого рода.

~ ~ На рисунке 3.4. приведена ФД, построенная при условии D 0,6 ;

K 0 1,25 ;

~ ~ 1 ;

0,85 ;

1,2, где D – безразмерная константа ОА, K 0 – безразмерная ~ ~ константа БОВ ( D D J 0 ;

K 0 K 0 J 0 ).

1 2 3 ~ h ~ 0 ~ hC ~ hQF hC Рис. 3.4. Фазовая диаграмма подтипа 1B.

При выбранных значениях параметров безразмерные критические поля ~ ~ ~ ~ ~ ~ равны hC1 1,47 ;

hC 2 1 ;

hQF 1,1 ( hC1 hC1 J 0, hC 2 hC 2 J 0, hQF hQF J 0 ). В ~ ~ интервале значений безразмерного магнитного поля h от нуля до hC 2 (область 1) фаза КУZ является стабильной, а фаза ФМZ – неустойчива. В интервале полей ~ ~ от hC 2 до hC1 спектры спиновых возбуждений в обеих фазах устойчивы. Однако, ~ ~ ~ при условии hC 2 h hQF (область 2) фаза КУ2Z стабильна, а фаза ФМZ может ~ ~ ~ реализовываться только как метастабильная, а при условии hQF h hC1 (область реализуется противоположная ситуация. При значениях внешнего 3) ~ магнитного поля, которые превосходят hC1 (область 4), фаза КУ2Z неустойчива, а фаза ФМZ является стабильной.

На рисунке 3.5. схематически изображена зависимость относительной S Z ~ ~ ~ ~ 0 h hQF hC 2 hC Рис.3.5. Зависимость величины S Z от безразмерного внешнего магнитного поля для ФД подтипа 1B.

~ намагниченности S Z от величины безразмерного магнитного поля h для диаграмм подтипа 1B при фиксированных значениях внутренних параметров гамильтониана. При малых значениях магнитного поля в системе реализуется стабильная КУ2Z фаза, и величина S Z равна нулю. С увеличением внешнего магнитного поля при переходе через точку равенства энергий основного ~ состояния hQF фаза КУ2Z становится метастабильной, при этом величина S Z ~ остается равной нулю. При дальнейшем увеличении магнитного поля h в точке ~ hC1 происходит ФП первого рода в фазу ФМZ, который сопровождается скачкообразным увеличением относительной намагниченности до значения S Z 1. Дальнейшее увеличение поля не изменяет величину S Z.

При обратном изменении внешнего магнитного поля фаза ФМZ в точке ~ hQF непрерывно переходит в метастабильное состояние, а ФП первого рода, сопровождающийся скачкообразным уменьшением относительной намагниченности до значения S Z 0, происходит на границе устойчивости ~ фазы ФМZ, в точке hC 2. Таким образом, зависимость относительной намагниченности от величины внешнего магнитного поля имеет гистерезисный вид. При этом петля гистерезиса представляет собой прямоугольник.

Индукция магнитного поля В при значении спина S 1 определяется выражением B H 4 g B S Z n, (3.89) где n - концентрация магнитных ионов. Из (3.89) следует, что зависимость B f H также имеет гистерезисный вид.

На рисунке 3.6. приведена петля гистерезиса, построенная в координатах H, B. Площадь петли определяется формулой S ПГ 4g Б nH C1 H C 2, (3.90) где H C1 и H C 2 – критические значения напряженности внешнего магнитного поля, соответствующие потере устойчивости фаз КУ2Z и ФМZ соответственно.

Выражение (3.90) можно представить в виде S ПГ 4 nhC 1 hC 2. (3.91) B 4 g Б n H 0 H C2 H C Рис. 3.6. Петля гистерезиса в координатах H, B.

Энергия, выделяющаяся в единице объема системы в течение одного цикла перемагничивания, с точностью до множителя 1 4 равняется площади петли гистерезиса:

W 1 4 S ПГ, (3.92) или W nhC 1 hC 2. (3.93) При этом выражение для энергии перемагничивания, приходящейся на один ион, имеет вид W1 hC1 hC 2, или 2 K 0 J 0 ;

D 4 K 0 1D 4K 0 J 0 max.

W J 0 1 K 0 J 0 D K 0 1 K 0 J (3.94) Величина W1 существенно зависит от констант анизотропии ОВ и БОВ.

3.6.2. Фазовые диаграммы второго типа. Достаточным условием принадлежности ФД к диаграммам второго типа может служить система неравенств D 4 K 0 1D 4K 0 J 0 0, hC 2 0. (3.95) При выполнении неравенств (3.95) в интервале значений внешнего магнитного поля h hC 2 в системе реализуется симметричная фаза ФМZ, а в интервале 0 h hC 2 – фазы с нарушенной симметрией. При этом значение магнитного поля h hC 2 является точкой ФП второго рода между фазой ФМZ и одной из двух фаз с нарушенной симметрией.

В зависимости от того, какие фазы с нарушенной симметрией включает в себя ФД, все диаграммы второго типа мы будем разделять на три подтипа. К ФД подтипа 2А отнесем диаграммы, на которых фаза КУ1Z не реализуется, к ФД подтипа 2B – диаграммы, на которых не реализуется фаза КФМ, а диаграммы, на которых реализуются обе фазы с нарушенной симметрией, отнесем к ФД подтипа 2С.

В том случае, когда выполняется условие hF 2 hF 1, фаза ФМZ граничит с фазой КФМ. При этом фаза КУ1Z в системе не реализуется и ФД будет диаграммой подтипа 2А.

~ ~ На рисунке 3.7. приведена ФД, построенная при условии D 1,2 ;

K 0 1,25 ;

1 ;

2 ;

0,5. При выбранных значениях параметров безразмерные ~ ~ ~2 ~ критические поля равны hC1 8,36 ;

hF 2 3,7 ;

hF 1 0,75 ;

hC 2 3,7.

Соответственно, ФД является диаграммой подтипа 2А. В интервале значений ~ безразмерного магнитного поля от нуля до hC 2 реализуется фаза КФМ. При ~ ~ условии h hC 2 реализуется фаза ФМZ.

ФМZ КФМ ~ ~ 0 hC 2 h Рис. 3.7. Фазовая диаграмма подтипа 2А.

Если выполняется неравенство hF 2 hF 1, критическое поле hC 2 является границей между фазами ФМZ и КУ1Z. В этом случае подтип диаграммы определяется значением параметра G, задаваемого формулой (3.82). Если параметр G не удовлетворяет условию (3.83), фаза КФМ в системе не реализуется, и ФД является диаграммой подтипа 2В. При выполнении условия (3.83) фаза КУ1Z в точке h hZ переходит в фазу КФМ, и ФД является диаграммой подтипа 2С.

~ ~ На рисунке 3.8. приведена ФД, построенная при условии D 1 ;

K 0 1,2 ;

1 ;

2 ;

4. При этих значениях параметров безразмерные критические ~ ~ ~2 ~ поля равны: hC1 6,84 ;

hF 2 3, 4 ;

hC 2 7.6, а параметр не hF 1 7. 6 G удовлетворяет условию (3.83): G 0.5.

КУ1Z ФМZ ~ ~ 0 hC 2 h Рис. 3.8. Фазовая диаграмма подтипа 2В.

Таким образом, ФД является диаграммой подтипа 2В. В интервале ~ значений безразмерного магнитного поля от нуля до значения hC 2 реализуется ~ ~ фаза КУ1Z, в интервале полей h hC 2 – фаза ФМZ.

Следует заметить, что в тех случаях, когда энергия основного состояния в фазе КУ2Z превосходит энергию основного состояния в фазе КУ1Z, диаграмма вида 2В может реализоваться при положительных значениях критического поля hC1.

~ На рисунке 3.9. приведена ФД, построенная при условии D 1,2 ;

~ K 0 1, 25 ;

1 ;

2 ;

2,4.

ФМZ КФМ КУ1Z ~ ~ ~ h 1Z 0 h hC Рис. 3.9. Фазовая диаграмма подтипа 2С.

При этих значениях параметров безразмерные критические поля равны:

~ ~ ~2 ~ hC1 8,36 ;

hF 1 4 ;

hF 2 3,7 ;

hC 2 4. Параметр G равен: G 0.9. При значении ~ ~ безразмерного магнитного поля h h 1Z 3.98 фаза КУ1Z непрерывно переходит в фазу КФМ, соответственно, ФД является диаграммой вида 2С. При этом, в ~ ~ интервале полей 0 h h 1Z реализуется фаза КФМ, в интервале полей ~ ~~ ~ h 1Z h hC 2 – фаза КУ1Z, а при полях, превосходящих hC 2 – фаза ФМZ. Точки ~~ ~~ h h 1Z и h hC 2 являются точками ФП второго рода.

3.6.3 Фазовые диаграммы третьего типа. Эти диаграммы реализуются при условии 0 hC1 hC 2. (3.96) Из (3.96) следует, что в интервале значений внешнего магнитного поля от hC1 до hC 2 обе симметричные фазы неустойчивы. В этом интервале реализуются фазы с нарушенной симметрией. В том случае, когда единственной фазой с нарушенной симметрией, реализуемой в указанном интервале полей, является фаза КУ1Z, энергия ее основного состояния меньше, чем энергия основного состояния в фазе КУ2Z. Поэтому фаза КУ1Z реализуется также в интервале полей 0 h hC1. Диаграммы, которые соответствуют этому случаю, являются диаграммами подтипа 2В.

Если среди фаз с нарушенной симметрией, реализующихся в интервале значений внешнего магнитного поля от hC1 до hC 2, присутствует фаза КФМ, то ФД является диаграммой третьего типа. При этом точка h hC1 является точкой ФП между фазами КУ2Z и КФМ.

Все ФД третьего типа можно разделить на два подтипа: А) ФД, на которых фаза КУ1Z не реализуется;

В) ФД, содержащие обе фазы с нарушенной симметрией.

~ ~ На рисунке 3.10. приведена ФД, построенная при D 1,6 ;

K 0 0,8 1,1 ;

ФМZ КУ2Z КФМ ~ ~ ~ 0 h hC1 hC Рис. 3.10. Фазовая диаграмма подтипа 3А.

1: 1,2. При выбранных значениях безразмерных параметров ~ ~ ~ ~ безразмерные критические поля равны hC1 0.8 ;

hF 1 0.08 ;

hF 2 1,8 ;

hC 2 1.8, и фаза КУ1Z не реализуется. Таким образом, при заданных значениях параметров гамильтониана с необходимостью возникает ФД подтипа 3А. В интервале ~ значений магнитного поля от нуля до реализуется фаза КУ2Z, в hC ~ ~ ~ ~ ~ интервале полей hC1 h hC 2 – фаза КФМ, а при условии h hC 2 – фаза ФМZ.

~ ~ На рисунке 3.11. приведена ФД, построенная при условии D 1 ;

K 0 0,8 ;

1;

1: 2.

КУ2Z КФМ КУ1Z ФМZ ~ ~ ~ ~ 0 h1Z hC1 hC 2 h Рис. 3.11 Фазовая диаграмма подтипа 3В.

Соответствующие этому случаю безразмерные критические поля равны ~ ~ ~ ~ hC1 0.447, hF 1 1.2, hF 2 1, hC 2 1.2. При этом в системе реализуется фаза КУ1Z.

При наличии в системе фазы КУ1Z возможность реализации фазы КФМ определяется условием (3.83). В рассматриваемом случае параметр G равен:

G 1,5, т.е. условие (3.83) выполняется, и в системе реализуется фаза КФМ.

~ При этом критическое поле h1Z равно 1,04. Таким образом, ФД является диаграммой подтипа 3В. В интервале значений безразмерного магнитного поля ~~ ~ ~~ 0 h hC1 реализуется фаза КУ2Z, в интервале полей hC1 h h 1Z – фаза КФМ, ~ ~ ~ ~ ~ в интервале h 1Z h hC 2 – фаза КУ1Z и, наконец, в интервале hC 2 h – фаза ФМZ.

3.7. Фазовые диаграммы при конечных температурах 3.7.1. Фазовые границы. При конечных температурах границы между фазами могут быть изображены линиями в координатах h,.

Граница между фазами ФМZ и КУ1Z так же, как в случае нулевой температуры, является границей устойчивости фазы ФМZ при условии hF 1 hF 2.

Одновременно эта граница является линией, на которой решение системы (3.1) (3.3), соответствующее фазе КУ1Z, переходит в решение, соответствующее фазе ФМZ. Эта линия описывается выражением (3.52).

Граница между фазами ФМZ и КФМ является границей устойчивости фазы ФМZ при условии hF 2 hF 1. Она представляет собой линию, на которой решение системы (3.1)-(3.3), соответствующее фазе КФМ, переходит в решение, соответствующее фазе ФМZ. Эта линия описывается выражением (3.53).

Граница между фазами ФМZ и КУ2Z представляет собой линию равенства свободных энергий в обеих фазах.

Граница фазы КФМ с фазой КУ2Z задается выражением (3.84), которое по форме совпадает с выражением (3.53). При этом оба выражения в координатах h, описывают разные линии.

Граница фазы КФМ с фазой КУ1Z описывается выражением (3.85). При этом входящий в (3.85) параметр GT определяется формулой (3.86).

В отличие от случая нулевой температуры конкуренция между фазами КУ2Z и КУ1Z определяется не энергией основного состояния, а свободной энергией, которая зависит от значения внешнего магнитного поля. Поэтому при конечных температурах между этими фазами оказывается возможным ФП по полю.

3.7.2. Переходы между симметричными фазами при конечных температурах. При конечных температурах на ФД подтипа 1В границы стабильности конкурирующих фаз КУ2Z и ФМZ определяются условием равенства свободных энергий в обеих фазах:

, (3.97) F S Z F, Q 0 F F S Z Q, Q 0 Q где индексами F и Q отмечены компоненты ПП в фазах ФМZ и КУ2Z соответственно.

~ ~ На рисунке 3.12. в безразмерных координатах h, приведена ФД, которая является обобщением диаграммы 1В на случай конечных температур.

Линии 1 и 2 представляют собой границы устойчивости спектров спиновых возбуждений в фазах ФМZ и КУ2Z соответственно, поэтому в области а (а1, а2) устойчивы спектры в обеих фазах. Линия 3 определяется условием (3.97). В области а1 фаза КУ2Z стабильна, а фаза ФМZ может реализовываться ~ d ~~ А П, hП b c a1 a ~ ~ ~ ~ hQF hC 2 hC1 h Рис. 3.12. ФД подтипа 1В при конечных температурах.

только как метастабильная. В области а2 стабильной является фаза ФМZ, а фаза КУ2Z – метастабильна. В области b фаза ФМZ неустойчива, и реализуется только фаза КУ2Z, а в области c наблюдается противоположная ситуация.

На линии 3 разница в значениях компонент ПП для фаз ФМZ и КУ2Z ~ ~ уменьшается с ростом температуры и в точке А с координатами Т и hТ становится равной нулю.

В области d реализуется ПМФ, при этом точка А является тройной точкой фаз ПМФ, КУ2Z и ФМZ.

Границы ПМФ с фазами КУ2Z и ФМZ (линии 4 и 5) были построены, исходя из следующих соображений. В фазе КУ2Z при фиксированном значении магнитного поля с возрастанием температуры намагниченность h увеличивается, а в ПМФ – уменьшается. Поэтому температуре перехода между фазой КУ2Z и ПМФ соответствует максимальное значение функции S Z T. В фазе ФМZ при фиксированном значении поля h с возрастанием температуры квадрупольная составляющая ПП Q 0 уменьшается, проходя через нуль, а в ПМФ – увеличивается, стремясь к нулю. Поэтому температуре перехода между фазой ФМZ и ПМФ соответствует минимальное значение функции Q 0 T.

Для моделей, менее общих, чем модель (2.32), ФП из ПМФ в фазы КУ2Z и ФМZ были исследованы в работах [1, 90, 83, 58] и др. При этом результаты расчетов линий 4 и 5 в настоящей диссертации хорошо согласуются с результатами упомянутых работ.

3.8. Выводы 1. В одноосных SU(3)-магнетиках при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси симметрии системы, возможны четыре типа однородного упорядочения. Это ферромагнитная фаза ФМZ, фаза плоскостного квадрупольного упорядочения КУ2Z, фаза осевого квадрупольного упорядочения КУ1Z и квадрупольно-ферромагнитная фаза КФМ. При этом фазы ФМZ и КУ2Z сохраняют симметрию гамильтониана, а фазы КУ1Z и КФМ являются фазами с нарушенной симметрией.

2. При определении спектров спиновых возбуждений в симметричных фазах ФМZ и КУ2Z достаточно эффективным является предложенный в [10] метод построения динамической матрицы. С помощью этого метода для модели (2.32)-(2.33) найдены соответствующие спектры и определены границы их устойчивости.

3. Для одноосного SU(3)-магнетика с однородным упорядочением проведена полная классификация возможных типов ФД при нулевой температуре. К особенностям ФД относится невозможность ФП по полю между фазами КУ1Z и КУ2Z. При наличии на диаграмме обеих фаз с нарушенной симметрией невозможен ФП между фазами КФМ и ФМZ.

4. Конкуренция симметричных фаз ФМZ и КУ2Z приводит к тому, что в определенных диапазонах значений внешнего магнитного поля каждая из этих фаз может реализовываться как метастабильная. Это в свою очередь приводит к гистерезисным явлениям в системе. Для случая нулевой температуры в работе получено аналитическое выражение для энергии перемагничивания, приходящейся на один магнитный ион за один цикл перемагничивания.

ГЛАВА УПОРЯДОЧЕННЫЕ ФАЗЫ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В настоящем разделе изучены упорядоченные фазы и ФП в отсутствие внешнего магнитного поля. Кроме четырех однородно-упорядоченных фаз, исследованных в третьей главе, в системе может реализовываться квадрупольная фаза с неколлинеарной плоскостью упорядочения.

4.1. Фаза КУ2Z Решение (3.8) системы (3.1)-(3.3), соответствующее фазе КУ2Z, существует как при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствие.

Основные формулы, описывающие свойства фазы КУ2Z в отсутствие поля, могут быть получены из соответствующих формул параграфа 3.2. путем подстановки h 0. Тем не менее, поведение системы в фазе КУ2Z в нулевом поле обладает некоторыми существенными отличительными свойствами.

Первое из таких свойств – равенство нулю относительной намагниченности во всем диапазоне температур, соответствующих фазе КУ2Z.

Это позволяет получить в явном виде связь температуры системы и компоненты ПП Q 0. Действительно, подстановка условия h 0, S Z 0 в (3.14) с последующей подстановкой (3.14) в систему (2.45) обращает первое уравнение этой системы в тождество. При этом из второго уравнения системы можно выразить температуру как явную функцию величины Q 0 :

D 2K 0 Q. (4.1) 2 Q ln 2 2 Q 0 Другая отличительная черта случая h 0 состоит в том, что в фазе КУ2Z на границе устойчивости в длинноволновом пределе наблюдается линейный закон дисперсии спиновых возбуждений. Как было показано в параграфе 3.2., при наличии магнитного поля спектр спиновых возбуждений имеет две ветви, определяемые выражениями (3.31). Каждая из этих ветвей в длинноволновом пределе имеет квадратичный закон дисперсии. В отсутствие поля ветви спектра совпадают:

1, 2 (k ) D 2 Q 0 K 0 J k D 2 Q 0 K 0 K k, (4.2) а условие устойчивости (3.34) принимает вид D 2 Q K 0 J 0 D 2 Q 0 K 0 1 0.

(4.3) При этом граница устойчивости:

D 2 Q K 0 J 0 D 2 Q 0 K 0 1 0.

(4.4) Можно показать, что при выполнении условия (4.4) спектр (4.2) в длинноволновом пределе имеет линейный закон дисперсии: (k ) ~ k.

Для анализа границ устойчивости спектра условие (4.3) целесообразно представить в виде D 2 Q K 0 1 max D 2 Q 0 K 0 1 min 0, (4.5) где введены обозначения max max ;

J 0 K 0, min min ;

J 0 K 0. (4.6) Для фазы КУ2Z справедливо неравенство Q0 0, поэтому при условии (4.7) min 1;

max спектр (4.2) является устойчивым при любых положительных значениях константы D.

В случае, когда выполняется только первое из неравенств (4.7), условие устойчивости имеет вид Q 0 D 2 K 0 1 max. (4.8) Q Поскольку является возрастающей функцией температуры, нарушение устойчивости происходит с понижением температуры при условии Q 0 D 2 K 0 1 max. (4.9) С учетом (4.9) формула (4.1) дает связь температуры 1 нарушения устойчивости спектра (4.2) с параметрами гамильтониана:

max D. (4.10) max 1ln 4 K 0 max 1 2 D 4 K 0 max 1 D Анализ формулы (4.10) показывает, что из условия D 4 K 0 max следует 1 0. Таким образом, при нулевой температуре имеется предельная точка D1 :

D1 4 K 0 max 1. (4.11) ~ ~ ~ На рисунке 4.1. в безразмерных координатах *, D*, где * K 0, ~ D * D K 0, приведена диаграмма устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z, которая иллюстрирует случай min 1 max.

На диаграмме фаза КУ2Z устойчива в области 2 и неустойчива в области 1.

~ Линия 1* ( D), которая является границей устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z, построена при условии max 1,4. Из (4.11) находим ~ ~ D * 0, получаем D1* 1,6, а из (4.10), переходя к пределу при условии ~ 1* 0 1,87.

~ * ~ 1* (0) ~ 1* ( D) 1 ~ D* ~ 1 D1* Рис. 4.1. Диаграмма устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z при условии min 1 max.

Если справедливо условие min 1;

max 1, (4.12) неравенство (4.5) выполняется в том случае, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Если множители положительные, условием устойчивости спектра является условие (4.8), а температура нарушения устойчивости задается формулой (4.10).

В случае, когда множители отрицательные, условие устойчивости имеет вид Q 0 2 K 0 1 min. (4.13) Соответственно, нарушение устойчивости происходит с ростом температуры при условии Q 0 2 K 0 1 min. (4.14) Температура 2 нарушения устойчивости спектра спиновых возбуждений определяется выражением min D. (4.15) min 1ln 4 K 0 min 1 2 D 4 K 0 min 1 D При этом из условия D 4 K 0 min 1 следует 2 0. Таким образом, получаем вторую предельную точку D 2 :

D2 4 K 0 min 1. (4.16) Итак, в отсутствии внешнего поля при условии (4.12) спектр спиновых возбуждений устойчив при выполнении любого из двух неравенств: 2, 1.

~, D ~ * * На рисунке 4.2. в координатах приведена диаграмма устойчивости, иллюстрирующая нарушение устойчивости спектра в фазе КУ2Z с последующим ее восстановлением, т.е. реентрантное поведение. В областях ~ и 3 спектр устойчив, а в области 2 эта устойчивость нарушается. Линии 1* ( D) и ~ 2* ( D), образующие границу устойчивости спектра, построены при условии ~ ~* max 1,6 ;

min 1,2. Из (4.11) и (4.16) находим D1* 2,4 ;

D2 0,8, а из (4.10) и ~ ~ (4.15) – 1* (0) 2,13 ;

2* (0) 1.6.

~ Из диаграммы следует, что при фиксированном значении величины D * с ~ понижением температуры нарушение устойчивости на линии 1* ( D) с ~ дальнейшим ее восстановлением на линии 2* ( D) происходит только при ~ ~ ~ ~ ~ условии D * D2*. При условии D2 D * D1* спектр устойчив только при * ~ ~ ~ ~ * 1*. D * D1* температурах В случае спектр устойчив при любых температурах, соответствующих фазе КУ2Z.

Отметим, что описанное выше реентрантное поведение области устойчивости спектра может реализовываться только при наличии в системе ~ * ~ 1* (0) ~ 1* ( D) ~ 2* ( D) ~ 2*(0) 1 ~* ~* ~ 2 D* D2 D Рис. 4.2. Диаграмма устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z при условии 1 min, 1 max.

анизотропного БОВ. В том случае, когда БОВ являются изотропными, неравенство (4.3) может нарушаться только при условии и J 0 K реентрантное поведение области устойчивости спектра невозможно. Если изотропным является также ОВ, устойчивость спектра нарушается при условии J 0 K 0. Это полностью согласуется с результатами работы [5], в которой рассматривались только изотропные ОВ и БОВ.

Таким образом, значение константы анизотропии БОВ, которая входит в формулы (4.6), может существенным образом влиять на условие устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z.

4.2. Фаза ФМZ Формулы, описывающие поведение системы в фазе ФМZ в отсутствие внешнего магнитного поля могут быть получены из формул параграфа 3.3.

путем подстановки условия h 0. В частности, энергия основного состояния, приходящаяся на один ион, имеет вид 1 E 2J 0 D K0, (4.17) 3 а выражения для ветвей спектра спиновых возбуждений:

1 (k ) 4 S Z J 0 K k, (4.18) 2,3 (k ) S Z 2 J 0 J k K k S Z J k K k 2 (4.19) D 2Q K 0 J k D 2Q K 0 K k 0 0.

Из (4.18) следует, что в отсутствие поля фаза ФМZ может реализоваться только при условии J 0 K0. (4.20) При условии T 0 выражения (4.19) приобретают вид 2,3 ( k ) 2 J 0 J k K k J k K k (4.21) D 2K 0 J k D 2K 0 K k 2.

Первое из выражений (4.21) дает еще одно (низкотемпературное) необходимое условие существования фазы ФМZ в отсутствие внешнего поля:

J 0 K 0 2 D 2K 0 J k D 2 K 0 1. (4.22) 2 J 0 J 0 K 4.3. Фаза КУ1Z 4.3.1. Общие замечания. В отсутствие поля решение системы (3.1)-(3.3), соответствующее фазе КУ1Z имеет вид 2, 0, 4. (4.23) При углах (4.23) усреднение операторов (2.40) дает такие выражения для компонент ПП:

3 1 1 S Z 0, Q 0, S X 0, Q 1 0, Q 2. (4.24) 2 2 2 При нулевой температуре в ПБ второго типа равенства (4.24) принимают вид S Z 0, Q 0 1, S X 0, Q 1 0, Q 2 1. (4.25) Равенства (4.25) соответствуют состоянию системы, в котором волновая функция произвольного узла i равна 1 1 i. (4.26) i 1i 2 В состоянии с волновой функцией (4.26) величина S iZ с равными вероятностями может принимать значения S iZ 1 и S iZ 1. Следствием этого является равенство нулю макроскопической намагниченности и, соответственно, инвариантность состояния системы относительно отражения времени.

4.3.2. Гамильтониан и энергетические уровни. При условии h 0 в фазе КУ1Z отличны от нуля две составляющие ПП: Q 0 и Q 2, поэтому в ПМП гамильтониан (2.36) принимает вид Q D 2 K 0 Q 0 2K 0 Q 2 Qi2. (4.27) H0 i 3 i i В ПБ гамильтониан H 0 имеет диагональный вид (2.43). При этом ~ ~ входящие в (2.43) величин 1 и 2 при конечных температурах определяются равенствами (3.71).

Используя (3.71) и (2.44), получаем значения энергии отдельного иона в ~~ зависимости от величины S Z S Z 1,0,1 :

1 D 2K 0 K 0 K 0 1, (4.28) E 3 1 D K 0 K 0 1, (4.29) E 3 2 E 1 D 2K 0 K 0. (4.30) 3 При малой интенсивности ОВ и значительной ОА фаза КУ1Z конкурирует с фазой КУ2Z, энергия основного состояния которой определяется выражением (3.17). Сравнение (3.17) с формулой (3.70) для энергии основного состояния системы в фазе КУ1Z, дает низкотемпературное условие стабильности фазы КУ1Z относительно переходов в фазу КУ2Z:

D 2 K 0 1. (4.31) Таким образом, при увеличении константы критическое значение константы ОА DC увеличивается по линейному закону:

DC 2 K 0 1. (4.32) Отметим одно важное следствие неравенства (4.31): в магнетиках с ОА типа «легкая плоскость» ( D 0 ) фаза КУ1Z может реализоваться в качестве стабильного основного состояния только при наличии в системе анизотропного БОВ с положительной константой.

4.3.3. Спектр спиновых возбуждений. При нулевой температуре формулы (4.30) принимают вид 1 D K 0 2 K 0 1, E 3 1 D K 0 2 K 0 1, E 3 2 E1 D K 0. (4.33) 3 При этом условие 1 приводит к неравенству E1 E1. (4.34) Из (4.34) следует, что в ПБ второго типа в фазе КУ1Z первому ~ возбужденному состоянию соответствует уровень с S Z 1. Таким образом, ~ X i оператор Хаббарда является оператором рождения спинового ~ возбуждения, а оператор X i0 1 – оператором уничтожения соответствующего возбуждения.

Для определения спектра спиновых возбуждений в фазе КУ1Z воспользуемся методом динамической матрицы. Для этого исходный гамильтониан (2.32) представим в ПБ. Формулы (2.40) при углах (4.23) имеют вид ~ 1 ~X 1 ~ S X Q 2, S Y 1 S Y 1 Q1, S Z ~ ~ Q, S 2 2 ~, Q 1 1 S X 1 Q 1, ~ ~ 3 ~Z 1 ~0 S Q, Q Q Q 2 2 2 1 ~ Z 1 ~0 1 ~Y 1 ~ Q2 S Q, Q 2 Q. (4.35) S 2 2 2 С учетом (4.35) гамильтониан (2.32) можно представить следующим образом:

1 ~ ~~ ~ ~ ~ 1~ ~~ ~ ~ H J ij S i X Qi1 S jX Q 1 Qi2 Q 2 S iY Qi1 S jY Q 1 j j j 2 i, j 1 ~ 1~ 1 ~ ~ ~ ~ D S iZ Qi0 K ij 3S iZ Qi0 3S jZ Q j i 2 6 i, j ~ ~ 1~ ~ Qi 2 Q 2 S i X Qi1 S jX Q 1 j j 1 ~ 1~.

~~ ~ ~~ ~ S iZ Qi0 S jZ Q 0 S iY Qi1 S Y Q 1 j j j 4 2 (4.36) ~ ~ ~ ~ Вычисляя коммутаторы X p 10, H и X p 1, H, используя приближение (3.24) и переходя в k-пространство, получаем ~ ~ ~ ~ X, H A X k10 B X k0 1, 1 k ~ ~ ~ ~ X, H B X k10 A X k0 1, (4.37) 0 k где A D K k J k K 0 1 2 K 0, B J k K k. (4.38) Динамическая матрица имеет вид A B. (4.39) B A Два ее собственных значения равны:

1, 2 ( k ) 2 K k K 0 K 0 1 D (4.40) 2 J k K 0 K 0 1 D. При этом выполняются равенства 1 (k ) 1 (k ), 2 (k ) 2 (k ). Таким образом, нами получена ветвь спектра спиновых возбуждений, соответствующая переходам между основным и первым возбужденным уровнями узла. Вводя обозначение 1 (k ) 2 (k ) a (k ), можно записать соответствующий закон дисперсии:

a (k ) 2 K k K 0 K 0 1 D (4.41) 2 J k K 0 K 0 1 D2.

Упорядочение в фазе КУ1Z является однородным, поэтому для всех k выполняется неравенство a (k ) a (0). Следовательно, условие устойчивости ветви спектра спиновых возбуждений (4.41) может быть представлено неравенством a (0) 0 или 2 K 0 1 K 0 1 D (4.42) 2 K 0 J 0 K 0 1 K 0 1 D 0.

При этом граница устойчивости задается выражением 2 K 0 1 K 0 1 D (4.43) 2 K 0 J 0 K 0 1 K 0 1 D 0.

При выполнении условия (4.43) закон дисперсии спиновых возбуждений (4.41) в длинноволновом пределе является линейным: a (k ) ~ k.

Спиновые возбуждения, связанные с переходами между уровнями с ~ ~ ~ S Z 0 и S Z 1 генерируются оператором Хаббарда X 10. Методика расчета соответствующей этим возбуждениям ветви спектра b (k ) аналогична той, которая использовалась при расчете ветви a (k ). Результат таков:

K 0 K k K 0 J k. (4.44) b (k ) Закон дисперсии ветви спектра (4.44) при условии k 0 является линейным при произвольных значениях параметров гамильтониана, при этом выполняется условие b 0 0. Таким образом, мода этой ветви с нулевым значением волнового вектора k является голдстоуновской.

В пределе низких температур ветви (4.41) и (4.44) принимают вид 2 K 0 1 4K k K 0 D2K 0 1 4J k K 0 D, (4.45) a (k ) b (k ) 4 K 0 K k K 0 J k. (4.46) Выражения (4.45) и (4.46) полностью согласуются с результатами работы [7].

4.3.4. Энтропия и свободная энергия. В отсутствие внешнего магнитного поля для фаз типа КУ1Z волновая функция произвольного узла i определяется одним из трех выражений [92]:

1 1 1 1 i, 2 i 0 i, 3i 1 i. (4.47) 1i 1i 1i 2 2 2 Таким образом, при условии T 0 функции (4.47) задают три типа узлов в системе. При этом состояние невозбужденных узлов описывается функциями 1i (см. (4.26)).

Используя матричный вид операторов Q 0 и Q 2 (см. (2.8) и (2.11)) можно вычислить величины Q 0 и Q 2 для каждого типа узлов. Например, для узлов с волновой функцией 1i получаем:

Q 0 1*i Qi0 1i 1, Q 2 1*i Qi2 1i 1. (4.48) Аналогично получаем средние значения Q 0 2, Q 2 0 (4.49) для узлов с волновой функцией 2i и Q 0 1, Q 2 1, (4.50) для узлов с волновой функцией 3i.

Предположим, что из N атомов системы N1 атомов находятся в состоянии 2i и N 2 атомов – в состоянии 3i. Тогда отличные от нуля компоненты ПП системы равны N N1 N 2 N N N 1 1 2 2 1 1 3 1, Q N N N N N N1 N 2 N N N N 1 1 0 2 1 1 1 2 2. (4.51) Q N N N N N С учетом (4.51) выражения (3.20) для энтропии системы можно представить в виде 1 Q 0 1 Q 0 2 Q 0 3Q 2 2 Q 0 3Q S en kN ln ln 3 3 6 (4.52) 2 Q 0 3Q 2 2 Q 0 3Q ln.

6 6 Учитывая (3.68), (4.52) и переходя к безразмерным величинам, можно записать выражение для безразмерной свободной энергии, приходящейся на один ион, в фазе КУ1Z:

1~ ~ F1* КУ 1Z D * Q 0 Q 0 2 2 Q 2 3 ~ 1 Q 0 1 Q 0 2 Q 0 3Q 2 2 Q 0 3Q * ln ln, (4.53) 3 3 6 2 Q 0 3Q 2 2 Q 0 3Q ln, 6 6 ~ где F1* F NK 0.

4.4. Фаза КУ Рассмотрим такое решение системы (3.1)-(3.3):

K 0 1 K 0 1 1 2D 0, 4, sin 2. (4.54) 2K 0 1 1 2K 0 1 Усреднение операторов (2.40) при углах (4.54) дает следующие значения компонент ПП:

S Z 0, Q 0 3 2 sin 2, S X 0, Q 1 1 2 sin 2, Q 2 1 2 sin 2. (4.55) При нулевой температуре равенства (4.55) принимают вид S Z 0, Q 0 3 sin 2 2, S X 0, Q 1 sin 2, Q 2 sin 2, (4.56) где 2 K 0 1 1 2 D sin 2. (4.57) 4 K 0 1 K 0 Компонентам ПП (4.56) соответствует плоскостное квадрупольное упорядочение. Плоскость упорядочения Р, перпендикулярна некоторой оси, расположенной в плоскости ZOX под углом к оси Z (Рис. 4.3.).

Z Р X O Y Рис. 4.3. Ориентация плоскости квадрупольного упорядочения в фазе КУ2.

Соответствующую фазу назовем фазой КУ2. В фазе КУ2 при изменении параметров гамильтониана угол и, следовательно, ориентация плоскости квадрупольного упорядочения непрерывно изменяются.

При 2 компоненты ПП (4.56) принимают вид (4.25), при этом фаза КУ2 непрерывно переходит в фазу КУ1Z. Таким образом, ФП второго рода между фазами КУ2 и КУ1Z определяется условием sin 2 1. (4.58) Из (4.57) и (4.58) получаем первое критическое значение константы ОА:

DC1 2 K 0 1 4 K 0 1. (4.59) При 0 формулы (4.56) принимают вид (3.10), а фаза КУ2 непрерывно переходит в фазу КУ2Z. Следовательно, ФП второго рода между фазами КУ2 и КУ2Z определяется условием 0. (4.60) Из (4.57) и (4.60) получаем второе критическое значение константы ОА:

DC 2 4 K 0 1. (4.61) Таким образом, фаза КУ2 может реализовываться в качестве основного состояния системы только при таких значениях константы D, которые удовлетворяют условию DC1 D DC 2. (4.62) Из (4.59), (4.61) и (4.62) следует необходимое условие присутствия на ФД фазы КУ2 в качестве основного состояния:

4 1 1. (4.63) В том случае, когда условие (4.63) не выполняется, в системе в качестве основного состояния могут реализовываться только две квадрупольные фазы:

КУ1Z и КУ2Z.

В фазе КУ2 в ПМП гамильтониан имеет вид Q D 2 K 0 Q 0 2K 0 Q 1 Qi1 2K 0 Q 2 Qi2. (4.64) H0 i 3 i i i Из (4.64) получаем выражение для среднего значения энергии:

1 2 E N DQ0 K 0 Q 0 2 2K 0 Q 1 2 2K 0 Q 2 2. (4.65) 3 3 С учетом (4.56) находим выражение для энергии основного состояния:

2 2 E0 N D sin 6 K 0 sin 2K 0 sin 2 2 2K 0 sin 4. (4.66) 3 При условии 0 формула (4.66) переходит в (3.17), а при условии 2 – в формулу (3.70).

Исключив с помощью (4.57) угол из (4.66), получаем связь величины E 0 с параметрами гамильтониана:

2 1D 4 K 0 2. (4.67) E 0 N D K 4 1 3 3 4.5. Фаза КФМ В нулевом поле существует такое решение системы (3.1)-(3.3):

K 0 J 0 K 0 1 1 2 D 0, sin 2, 4. (4.68) 2 K 0 J 0 2 K 0 1 Усреднение операторов (2.40) при углах (4.68) приводит к выражениям sin 2, Q 1 0, S Z 0, S X 3 Q 0 sin 2, Q 2 sin 2. (4.69) 2 При нулевой температуре равенства (4.69) принимают вид S Z 0, S X sin 2, Q 1 0, Q 0 3 sin 2 2, Q 2 sin 2, (4.70) где 2J 0 K 0 1 2 D sin 2. (4.71) 4J 0 K 0 K 0 Компоненты ПП (4.70) соответствуют такому состоянию системы, в котором одновременно имеются ось ферромагнитного упорядочения и плоскость квадрупольного упорядочения. При этом ось ферромагнитного упорядочения совпадает с осью X, а плоскость квадрупольного упорядочения Р перпендикулярна некоторой оси, расположенной в плоскости ZOY под углом к оси Z (Рис. 4.4.).

Z Р O X Y Рис. 4.4. Ориентация плоскости квадрупольного упорядочения в фазе КФМ при условии h 0.

С изменением параметров гамильтониана угол и, соответственно, ориентация плоскости Р непрерывно изменяются. Соответствующую фазу естественно было бы назвать квадрупольно-ферромагнитной фазой КФМX.

Однако сначала выясним природу этой фазы. Для этого целесообразно проанализировать некоторые результаты работы [3]. В [3] были получены выражения для компонент ПП в фазе КФМ магнитной системы с изотропным ОВ и одноионной ОА. Показано, что при наличии продольного внешнего магнитного поля все пять составляющих ПП отличны от нуля. При этом в отсутствии внешнего поля отличными от нуля оказываются только такие компоненты ПП: S X, Q 0, Q 2. Таким образом, при условии h 0 в фазе КФМ направление намагниченности перпендикулярно оси симметрии гамильтониана, т.е. фаза КФМ проявляет себя, как фаза КФМX. На это обстоятельство указали также авторы работы [57], в которой рассматривалась та же модель, что и в работе [3]. Аналогичная ситуация реализуется в магнетиках, описываемых моделью (2.32), поэтому рассматриваемая нами фаза является фазой КФМ в отсутствии внешнего поля.

В фазе КФМ в отсутствие поля гамильтониан (2.34) имеет вид H 0 2 J 0 S X S iX D 2 K 0 Q 0 Qi i i 2 2 K 0 Q Q. (4.72) i i Из (4.72) получаем выражение для среднего значения энергии:

1 E N 2J 0 S X 2 DQ 0 K 0 Q 0 2 2K 0 Q 2 2. (4.73) 3 С учетом (4.70) находим выражение для энергии основного состояния:

2 2 E0 N D sin 6 K 0 sin 2J 0 sin 2 2 2K 0 sin 4. (4.74) 3 Исключив с помощью (4.71) угол из (4.74), получаем связь величины E 0 с параметрами гамильтониана:

2J 0 K 0 1D 4 K 0 J 0 K 0 2. (4.75) E 0 N D K 4J 0 K 0 1 3 3 Сравнение (4.75) с выражением (4.28) для энергии основного состояния в фазе КУ1Z позволяет определить первое критическое значение константы ОА DC 1, соответствующее низкотемпературному ФП КУ1Z КФМ:

DC1 2 K 0 1 4J 0 K 0. (4.76) Сравнение (4.75) с формулой (3.17) для энергии основного состояния в фазе КУ2Z дает второе критическое значение константы ОА DC 2, соответствующее низкотемпературному ФП КФМ КУ2Z:

DC 2 4J 0 K 0. (4.77) Итак, фаза КФМ может существовать только при значениях константы ОА, удовлетворяющих условию DC1 D DC 2. (4.78) Из (4.78) следует, что при условии DC1 DC 2 фаза КФМ реализоваться в системе не может. Отсюда получаем необходимое условие существования фазы КФМ:

K 0 1 4J 0 K 0. (4.79) Относительная намагниченность S X в фазе КФМ достигает своего максимального значения при условии 4. Этому углу соответствует такое значение константы ОА:


Dmax K 0 1. (4.80) 4.6. Фазовые диаграммы в отсутствие внешнего магнитного поля При изучении фазовых диаграмм в отсутствие внешнего магнитного поля мы ограничимся рассмотрением случая, когда величина J 0 мала. Таким образом, предметом нашего рассмотрения являются «чисто» квадрупольные фазы: КУ1Z, КУ2Z и КУ2. При этом низкотемпературные критические значения константы ОА DC1 и DC 2, соответствующие ФП КУ1Z КУ2 и КУ2Z КУ2, определяются выражениями (4.59) и (4.61).

4.6.1. Случай нулевой температуры. В настоящем пункте будут изучены ФД, иллюстрирующие ФП по константе ОА D при нулевой температуре. Отметим, что при постоянном возрастании величины D в системе неизбежно возникает фаза КУ2Z. Иными словами, фаза КУ2Z присутствует на любой ФД. Поэтому простейшей диаграммой является ФД, на которой во всем интервале значений величины D реализуется фаза КУ2Z. Такая диаграмма реализуется при условии DC1 0, DC 2 0, (4.81) или DC1 0, DC 2 0, DC 0, (4.82) где DC – точка равенства энергии основного состояния в фазах КУ1Z и КУ2Z, задаваемая формулой (4.32).

При выполнении неравенств (4.83) DC1 DC 0 DC реализуются ФД, на которых присутствуют две фазы: КУ1Z и КУ2Z. Типичная для этого случая ФД приведена на рисунке 4.5.

1 2 3 DC 2 D DC DC Рис. 4.5. Фазовая диаграмма, иллюстрирующая переходы между фазами КУ1Z и КУ2Z.

При выполнении условия D DC 2 (область 1) фаза КУ1Z является стабильной, а фаза КУ2Z – неустойчива. В интервале DC 2 D DC1 спектры спиновых возбуждений в обеих фазах устойчивы. Однако при условии (область фаза КУ1Z стабильна, а фаза КУ2Z может 2) DC 2 D DC реализовываться только как метастабильная, а при условии DC D DC (область 3) реализуется противоположная ситуация. При значениях константы ОА D, которые превосходят DC1 (область 4), фаза КУ1Z неустойчива, а фаза КУ2Z является стабильной.

Зависимость величины Q 0 от константы D, реализующаяся при выполнении неравенств (4.83), схематически показана на рисунке 4.6.

Q 0 DC 1 D DC 2 DC - Рис.4.6. Зависимость компоненты ПП Q 0 от величины D, соответствующая ФД, иллюстрирующей ФП между фазами КУ1Z и КУ2Z При значениях величины D, меньших DC 2, в системе реализуется стабильная КУ1Z фаза, и величина Q 0 равна единице. С увеличением константы ОА D при переходе через точку равенства энергий основного состояния DC фаза КУ1Z становится метастабильной, при этом величина Q остается равной единице. При дальнейшем увеличении величины D в точке DC 1 происходит ФП первого рода в фазу КУ2Z, который сопровождается скачкообразным уменьшением величины Q 0 до значения Q 0 2.

При обратном изменении величины D фаза КУ2Z в точке DC непрерывно переходит в метастабильное состояние, а ФП первого рода, сопровождающийся скачкообразным увеличением величины Q 0 до значения Q 0 1, происходит на границе устойчивости фазы КУ2Z в точке DC 2.

Таким образом, при низкотемпературных ФП между фазами КУ1Z и КУ2Z зависимость величины Q 0 от значения константы D имеет гистерезисный вид. При этом петля гистерезиса представляет собой прямоугольник.

При выполнении условия DC1 0, DC 2 0 (4.84) в интервале значений величины D меньших DC 2 реализуется фаза КУ2.

На рисунке 4.7. схематически показана ФД, реализующаяся при выполнении равенств (4.84).

КУ2 КУ2Z D DC Рис. 4.7. Фазовая диаграмма, иллюстрирующая переходы между фазами КУ2 и КУ2Z.

При выполнении условия (4.85) 0 DC1 DC в интервале значений величины D от нуля до DC1 реализуется фаза КУ1Z, в интервале DC1 D DC 2 – фаза КУ2, а при условии D DC 2 – фаза КУ2Z.

На рисунке 4.8. схематически приведена ФД, реализующаяся при выполнении условий (4.85).

КУ2Z КУ1Z КУ D DC 1 DC Рис. 4.8. Фазовая диаграмма, иллюстрирующая ФП: КУ1Z КУ2 КУ2Z.

4.6.2. Случай конечных температур. В настоящем пункте некоторые результаты пункта 4.6.1. обобщены на случай конечных температур.

D,~ ~ * * На рисунке 4.9. в безразмерных координатах схематически изображена ФД, реализующаяся при выполнении равенств (4.84).

~ * КУ2 КУ2Z ~* ~ D* DC Рис. 4.9. Диаграмма, иллюстрирующая переходы между фазами КУ2Z и КУ при конечных температурах.

Приведенная ФД является обобщением на случай конечных температур диаграммы, изображенной на рисунке 4.7. При этом линия ФП второго рода между фазами КУ2Z и КУ2 (линия 1) задается выражением ~ D * 2Q 0 1. (4.86) На рисунке 4.10. схематически изображена ФД, являющаяся обобщением на случай конечных температур диаграммы, приведенной на рисунке 4.8.

~ * А КУ1Z КУ2 КУ2Z ~* ~ ~* D* DC 1 DC Рис. 4.10. ФД, иллюстрирующая ФП между тремя квадрупольными фазами при конечных температурах.

Линии 1 и 2 – границы фазы КУ2 с фазами КУ1Z и КУ2Z соответственно. Это линии ФП второго рода. Линия 3 – представляет собой линию ФП первого рода между фазами КУ1Z и КУ2Z. Она определяется как линия равенства свободной энергии в обеих фазах. Соответствующие выражения для свободной энергии заданы формулами (4.53) и (3.22). При этом в (3.22) следуем полагать h 0, S Z 0. Точка А на ФД представляет собой тройную точку.

При выполнении неравенств (4.83) при достаточно низких температурах, когда ПМФ в системе не реализуется, наблюдается конкуренция двух квадрупольных фаз: КУ1Z и КУ2Z. Линия равенства свободной энергии в обеих фазах (аналог линии 3 на рис 4.10) является границей стабильности этих фаз.

~ ~ На рис. 4.11. в безразмерных координатах *, D* приведены такие линии при двух различных значения величины.

~ * 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. ~ D* Рис. 4.11. Граница стабильности фаз КУ1Z и КУ2Z: 1 - =1,05;

2 – =1,25.

Из рисунка видно, что площадь области, в которой стабильна фаза КУ1Z существенно возрастает с возрастанием параметра.

Таким образом, в одноосных магнетиках с анизотропным БОВ учет параметра является необходимым условием исследования конкуренции квадрупольных фаз.

4.7. Выводы.

1) В одноосных SU(3)-магнетиках в отсутствие внешнего магнитного поля могут реализовываться пять типов однородного упорядочения. Это фазы КУ2Z, КУ1Z, КУ2, ФМZ и КФМ. При этом первые три фазы являются «чисто»

квадрупольними.

2) Для фазы КУ2Z получено выражение, устанавливающее явную зависимость температуры, при которой нарушается устойчивость спектра спиновых возбуждений, от параметров гамильтониана.

3) В отсутствие внешнего магнитного поля определен спектр спиновых возбуждений в фазе КУ1Z при конечных температурах. Граница устойчивости спектра сильно зависят от констант анизотропии ОВ и БОВ.

4) В случае, когда в системе могут реализовываться только фазы КУ1Z и КУ2Z, зависимость компоненты ПП Q 0 от величины D при нулевой температуре имеет гистерезисный вид. При этом петля гистерезиса представляет собой прямоугольник.

5) На ФД в координатах температура – константа ОА площадь области, в которой стабильна фаза КУ1Z существенно возрастает с возрастанием параметра.

ВЫВОДЫ 1. В одноосном магнетике с единичным спином при наличии ОА и анизотропного БОВ наиболее общего вида и при наличии внешнего магнитного поля, параллельного оси симметрии системы, возможны четыре типа однородного упорядочения: КУ2Z, ФМZ, КУ1Z и КФМ. Фаза КУ2Z является плоскостной квадрупольной фазой с плоскостью упорядочения, перпендикулярной оси симметрии системы. Фаза ФМZ – ферромагнитная фаза, в которой ось ферромагнетизма совпадает с осью симметрии системы. В осевой квадрупольной фазе КУ1Z осуществляется квадрупольное упорядочение вдоль оси симметрии системы. Фаза КФМ – это квадрупольно-ферромагнитная фаза, в которой ориентация оси ферромагнитного упорядочения и плоскости квадрупольного упорядочения зависят от параметров гамильтониана.

Определены условия, при которых реализуется каждый из четырех возможных типов однородного упорядочения.

2. С помощью метода динамической матрицы получены выражения для спектров спиновых возбуждений в фазах КУ2Z и ФМZ при конечных температурах. Границы устойчивости спектров проявляют сильную зависимость от констант анизотропии ОВ и БОВ.

3. В том случае, когда в системе реализуется фаза КУ1Z, ее граница с фазой ФМZ совпадают с границей устойчивости спектра спиновых возбуждений последней. При этом ФП КУ1Z ФМZ являются переходами второго рода. Критическая температура этих ФП сильно зависит от константы анизотропии БОВ.

4. В том случае, когда в системе реализуются фазы КФМ и КУ2Z, граница обеих фаз совпадает с границей устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z. При этом ФП КУ2Z КФМ являются переходами второго рода.

5. Если в системе реализуется фаза КФМ, а фаза КУ1Z не реализуется, то фаза КФМ с неизбежностью граничит с фазой ФМZ. При этом граница обеих фаз совпадает с границей устойчивости фазы ФМZ. ФП ФМZ КФМ являются переходами второго рода.

6. Проведена классификация всех возможных типов ФД при нулевой температуре при наличии внешнего магнитного поля. В том случае, когда в системе реализуются только фазы КУ2Z и ФМZ, ФП между этими фазами сопровождаются гистерезисными явлениями. При этом петля гистерезиса в координатах h, S Z имеет форму прямоугольника. Получено аналитическое выражение для энергии перемагничивания, приходящейся на один ион. Эта энергия существенно зависит от констант и. Если в системе реализуются все возможные фазы, то при увеличении внешнего магнитного поля последовательность возникновения фаз такова: КУ2Z КФМ КУ1Z ФМZ.


Энергия основного состояния в фазах КУ2Z и КУ1Z не зависит от величины внешнего магнитного поля, поэтому ФП по полю между этими фазами при нулевой температуре оказываются невозможными.

7. Исследование ФД, на которой при низких температурах реализуются только фазы КУ2Z и ФМZ, обобщено на случай конечных температур. Граница стабильности этих фаз совпадает с линией равенства свободной энергии в обеих фазах. В координатах поле – температура упомянутая граница оканчивается тройной точкой фаз ФМZ, КУ2Z и ПМФ.

8. Получено явное аналитическое выражение, связывающее температуру потери устойчивости спектра спиновых возбуждений в фазе КУ2Z с параметрами гамильтониана в отсутствие внешнего магнитного поля.

9. Для случая нулевой температуры изучена конкуренция фаз КУ2Z и КУ1Z в отсутствие внешнего магнитного поля. Определено критическое значение константы ОА DC, соответствующее границе стабильности фазы КУ1Z относительно переходов в фазу КУ2Z. Величина DC линейно зависит от константы. При этом фаза КУ1Z может реализоваться в качестве стабильного основного состояния только при наличии в системе анизотропного БОВ с 1.

10. С помощью метода динамической матрицы получено выражение для спектра спиновых возбуждений в фазе КУ1Z при конечных температурах в отсутствие внешнего магнитного поля. Граница устойчивости спектра сильно зависит от констант анизотропии ОВ и БОВ.

11. В отсутствие внешнего магнитного поля в системе при определенных значениях параметров гамильтониана может реализовываться квадрупольная фаза КУ2. Плоскость квадрупольного упорядочения в этой фазе является неколлинеарной по отношению к координатным плоскостям.

12. ФП по величине D из фазы КУ1Z в фазу КУ2Z могут проходить как непосредственно, так и через промежуточную фазу. При малых значениях величины такой промежуточной фазой является фаза КУ2.

J Непосредственные переходы являются ФП первого рода. При наличии на диаграмме фазы КУ2 имеет место каскад ФП второго рода: КУ1Z КУ2 КУ2Z.

13. При конечных температурах в координатах D, построены границы стабильности фазы КУ1Z относительно переходов в фазу КУ2Z. Площадь области стабильности фазы КУ1Z существенно возрастает с возрастанием величины.

Таким образом, в магнетиках с ОА и БОВ существенное влияние на поведение системы оказывает анизотропия БОВ. Изменение констант анизотропии БОВ может приводить к существенному изменению свойств и фазовой структуры системы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Нагаев Э. Л. Магнетики со сложными обменными взаимодействиями / Э. Л. Нагаев. – М. : Наука, 1988. – 232 с.

2. Онуфриева Ф. П. Точное решение одноионной задачи для магнетика с одноионной анизотропией в поле произвольного направления / Ф. П. Онуфриева // ЖЭТФ. – 1981. – T. 80, № 6. – C. 2372–2379.

3. Онуфриева Ф. П. Низкотемпературные свойства спиновых систем с тензорным параметром порядка / Ф. П. Онуфриева // ЖЭТФ. – 1985. – T. 86, № 6. – C. 2270–2287.

4. В. В. Вальков Унитарные преобразования группы U (N ) и диагонализация многоуровневых гамильтонианов / В. В. Вальков // ТМФ. – 1988. – Т. 76, № 1. – С. 143–152.

5. Вальков В. В. Фазовые переходы в анизотропных негейзенберговских магнетиках с тензорным параметром порядка / В. В. Вальков, Б. В. Федосеев // ФТТ. – 1990. – Т. 32, № 12. – С. 3522–3530.

6. Фридман Ю. А. Фазовые переходы в ферромагнетике с биквадратичным обменным взаимодействием и гексагональной одноионной анизотропией / Ю. А. Фридман, О. А. Космачев, Б. Л. Эйнгорн // ФНТ. – 2005. – Т. 31, № 6.

– С. 687–694.

7. Onufrieva F. P. Peculiarities of spontaneous breaking continuous symmetry in magnets with tensor interactions / F. P. Onufrieva, I. P. Shapovalov // J. Moscov. Phys. Soc. – 1991. – V. 1. – P. 63–83.

8. Шаповалов І. Фазові переходи в магнітодіелектриках із тензорними взаємодіями / І. Шаповалов // Журн. фіз. досл. – 1999. – Т. 3, № 2. – С. 192– 198.

9. Фридман Ю. А. Фазовые переходы в ферромагнетике с анизотропным биквадратичным обменным взаимодействием / Ю. А. Фридман, О. А. Космачев, Ф. Н. Клевец // ФНТ. – 2006. – Т. 32, № 3. – С. 289–300.

10. Шаповалов І. П. Квадрупольна фаза магнетика з анізотропною біквадратною обмінною взаємодією / І. П. Шаповалов // Укр. фіз. журн. – 2008. – Т. 53, № 7 – С. 653–660.

11. Шаповалов И. П. Фазовые переходы в магнетиках с тензорными взаимодействиями и низкотемпературные датчики магнитного поля / И. П. Шаповалов, П. А. Сайко // СЭМСТ. – 2010. – Т. 1(7), № 4. – С. 17– 20.

12. Магнитные фазовые переходы во фторсиликате никеля под давлением / В. Г. Барьяхтар, И. М. Витебский, А. А. Галкин [и др.] // ЖЭТФ. – 1983. – T. 84, № 3. – C. 1083–1090.

13. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. – М. : Наука, 1965. – 336 с.

14. Moriya T. Theory of magnetism of NiF2 / T. Moriya // Phys. Rev. – 1960. – V. 117, No 3. – P. 635–647.

15. Вонсовский С. В. Магнетизм / С. В. Вонсовский. – М. : Наука, 1971. – 1032 с.

16. Кузьмин Е. В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е. В. Кузьмин, Г. А. Петраковский, В. А. Завадский. – Новосибирск : Наука, 1976. – 287 с.

17. Furrer A. Magnetic excitations of NdAl2 / A. Furrer, H. -G. Purwins // Phys. Rev. B. – 1977. – V. 16, No 5. – P. 2131–2140.

18. Magnetization and magnetic excitations in HoAl2 / W. Shelp, A. Leson, W. Drewes [et al.] // Z. Phys. B. – 1983. – V. 51, No 1. – P. 41–47.

19. Holden T. M. Magnetic excitations of DyAl2 in a magnetic field / T. M. Holden, W. J. L. Buyers, H. G. Purwins // J. Phys. F. – 1984. – V. 14. – P. 2701–2718.

20. Bucher E. Induced-moment systems: paramagnetic region of La3Tl – Pr3Tl / E. Bucher, J. P. Maita, A. S. Cooper // Phys. Rev. B. – 1972. – V. 6, No 7. – P. 2709–2716.

21. Induced- moment ferromagnetism in Pr3Tl / K. Anders, E. Bucher, S. Darack, J. P. Maita // Phys. Rev. B. – 1972. – V. 6, No 7. – P. 2716–2724.

22. Birgeneau R. J. Neutron scattering from fcc Pr and Pr3Tl / R. J. Birgeneau, J. Als-Nielsen, E. Bucher // Phys. Rev. B. – 1972. – V. 6, No 7. – P. 2724– 2729.

23. Wada N. Spin ordering of Ni(NO3) 6H2O in a magnetic field. The case of rhombic crystalline field / N. Wada, K. Amaya, T. Haseda // J. Phys. Soc. Jap.

– 1977. – V. 43, No 1. – P. 341–342.

24. Specific heat of Fe(C5H5NO)6(ClO4)2 below 1 K;

comparison with the s.c., S 2, Ising model / H. A. Algra, J. Bartolome, L. J. de Jongh [et al.] // Physica B. – 1978. – V. 93. – P. 35–46.

25. Karnezos M. Uniaxial ferromagnetism in NiZrF6 6H2O / M. Karnezos, D. L. Meier, S. A. Friedberg // Phys. Rev. B. – 1978. – V. 17, No 11. – P. 4375–4383.

26. High-temperature series analysis of spin-one uniaxial ferromagnets:

NiMF6 6H2O compounds / J. D. Warner, M. Karnezos, S. A. Friedberg [et al.] // Phys. Rev. B. – 1981. – V. 24, No 5. – P. 2817–2824.

27. Magnetic excitations in the quasi one-dimensional antiferromagnetic singlet groundstate system CsFeBr3 / B. Doner, D. Visser, U. Steigenberger [et al.] // Z. Phys. B – 1988. – V. 72, No 4. – P. 487–496.

28. Гехт Р. С. Магнитные состояния и фазовые переходы во фрустрированных антиферромагнетиках с треугольной решеткой / Р. С. Гехт // УФН. – 1989. – T. 159, № 2. – C. 261–296.

29. Гинзбург С. Л. Спиновые волны в анизотропном ферромагнетике / С. Л. Гинзбург // ФТТ. – 1970. – Т. 12, № 6. – С. 1805–1809.

30. Потапков Н. А. Функции Грина и термодинамические величины гейзенберговской модели с одноионной анизотропией / Н. А. Потапков // ТМФ. – 1971. – Т. 8, № 3. – С. 381–391.

31. Devlin John K. Effect of crystal-field anisotropy on magnetically ordered system / John K. Devlin // Phys. Rev. B. – 1971. – V. 4, No 1. – P. 136–146.

32. Носкова Л. М. О влиянии одноионной анизотропии на энергетический спектр и намагниченность гейзенберговского ферромагнетика / Л. М. Носкова // ФММ. – 1972. – Т. 33, № 4. – С. 698–707.

33. Tanaka M. A green-function theory of an anisotropic ferromagnet / M. Tanaka, Y. Kondo // Progr. Theor. Phys. – 1972. – V. 48, No 6. – P. 1815–1827.

34. Кащенко М. П. Спиновые волны в гейзенберговском ферромагнетике с одноионной анизотропией / М. П. Кащенко, Н. Ф. Балахонов, Л. В. Курбатов // ЖЭТФ. – 1973. – Т. 64. № 1. – С. 391–400.

35. Спектр и затухание спиновых волн в гейзенберговском ферромагнетике с одноионной анизотропией / Н. Ф. Балахонов, М. П. Кащенко, В. Н. Китаев, Л. В. Курбатов // ТМФ. – 1974. – Т. 19, № 1. – C. 102–114.

36. Носкова Л. М. Спектр спиновых возбуждений одноосного магнетика в магнитном поле произвольного направления / Л. М. Носкова // ФТТ. – 1976. – Т. 18, № 6. – С. 1669–1672.

37. Казаков А. А. Функции Грина и намагниченность одноосных ферромагнетиков с одноионной анизотропией в поперечном поле / А. А. Казаков // ТМФ. – 1976. – Т. 26, № 1. – С. 117–125.

38. Lindgard P. A. Bose operator expansions of tensor operators in the theory of magnetism / P. A. Lindgard, A. Kowalska // J. Phys. C – 1976. – V. C9. – P. 2081–2092.

39. Вакс В. Г. Термодинамика идеального ферромагнетика / В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Пикин // ЖЭТФ. – 1967. – Т. 53, № 1. – С. 281–299.

40. Вакс В. Г. Спиновые волны и корреляционные функции в ферромагнетике / В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Пикин // ЖЭТФ. – 1967.

– Т. 53, № 3. – С. 1089–1106.

41. Holstein T. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet / T. Holstein, H. Primakoff // Phys. Rev., Ser. 2. – 1940. – V. 58, No 12. – P. 1098–1113.

42. Dyson Freeman J. General theory of spin-wave interaction / Freeman J. Dyson // Phys. Rev., Ser. 2. – 1956. – V. 102, No 5. – P. 1217–1230.

43. Малеев С. В. Рассеяние медленных нейтронов в ферромагнетиках / С. В. Малеев // ЖЭТФ. – 1957. – T. 33, № 4. – C. 1010–1021.

44. Ostrovskii V. S. Exciton model of spin excitations in magnetic dielectrics.

Biaxial antiferrodielectrics with one-ion anisotropy / V. S. Ostrovskii, E. G. Petrov // Phys. Stat. Sol. (b). – 1975. – V. 71, No 1. – P. 369–378.

45. Островский В. С. Спиновая конфигурация и магнонный спектр сильноанизотропного антиферродиэлектрика / В. С. Островский // ФТТ. – 1976. – Т. 8, № 4. – С. 1041–1046.

46. Локтев В. М. Квантовая теория одноосного ферромагнетика в поперечном магнитном поле / В. М. Локтев, В. С. Островский // УФЖ. – 1978. – Т. 23, № 10. – С. 1707–1717.

47. Локтев В. М. Квантовая теория одноосных антиферромагнетиков в поперечном магнитном поле / В. М. Локтев, В. С. Островский // ФТТ. – 1978. – T. 20, № 10. – C. 3086–3093.

48. Еременко В. В. Введение в оптическую спектроскопию магнетиков / В. В. Еременко. – К. : Наукова Думка, 1975. – 468 с.

49. Rastelli E. Exact low-temperature renormalisation and damping of the uniform mode in uniaxial ferromagnets / E. Rastelli, A. Tassi // J. Phys. C. – 1982. – V. 15, No 3. – P. 509–519.

50. Вальков В. В. Вклад магнон-магнонного взаимодействия в термодинамику анизотропных ферромагнетиков / В. В. Вальков, С. Г. Овчинников // ЖЭТФ. – 1983. – Т. 85, № 5. – С. 1666 – 1674.

51. Вальков В. В. Влияние кубической анизотропии на основное состояние и термодинамические свойства гейзенберговских магнетиков / В. В. Вальков, Т. А. Валькова // ТМФ. – 1984. – T. 59, № 3. – C. 453–464.

52. Вальков В. В. Квантовая спин-волновая теория ферромагнетиков с произвольным видом одноиoнной анизотропии / В. В. Вальков, Т. А. Валькова, С. Г. Овчинников // ЖЭТФ. – 1985. – Т. 88, № 2. – C. 550– 561.

53. Вальков В. В. Низкотемпературная намагниченность легкоплоскостного ферромагнетика / В. В. Вальков, Т. А. Валькова // ФНТ. – 1985. – Т. 11, № 9. – C. 951–959.

54. Valkov V. V. Spectrum of excitations of an easy-plane ferromagnet ( S 3 2 ) in a magnetic field / V. V. Valkov, T. A. Valkova, S. G. Ovchinnikov // Phys. Stat. Sol. (b) – 1987. – V. 142. – P. 255–263.

55. Онуфриева Ф. П. Квантовая теория ферромагнетика с одноионной анизотропией в магнитном поле произвольного направления / Ф. П. Онуфриева // ФТТ. – 1981. – T. 23, № 9. – C. 2664–2673.

56. Индуцированные магнитным полем фазовые переходы в синглетных магнетиках с ферромагнитным обменом / В. П. Дьяконов, Э. Е. Зубов, Ф. П. Онуфриева [и др.] // ЖЭТФ. – 1987. – T. 93, № 5(11). – C. 1775– 1788.

57. Калита В. М. К теории магнитных фазовых переходов в магнетиках с большой одноионной анизотропией / В. М. Калита, В. М. Локтев // ФНТ.

– 2002. – Т. 28, № 12. – С. 1244–1250.

58. Калита В. М. О магнитных фазовых переходах типа смещения при спиновом упорядочении в магнетиках с сильной одноионной анизотропией / В. М. Калита, В. М. Локтев // ФТТ. – 2003. – Т. 45, № 8. – С. 1450–1455.

59. Калита В. М. Квантовые фазовые переходы и фазовая H T диаграмма ван-флековского многоподрешеточного антиферромагнетика / В. М. Калита, В. М. Локтев // ФНТ. – 2006. – Т. 32, № 2. – С. 158–168.

60. Huang Nai Li Biquadratic superexchange / Nai Li Huang, R. Orbach // Phys. Rev. Lett. – 1964. – V. 12, No 11. – P. 275–276.

61. Teitelbaum Henri H. Indirect multipole interactions in metallic rare-earth compounds / Henri H. Teitelbaum, Peter M. Levy // Phys. Rev. B. – 1974. – V. 14, No 7. – P. 3058–3081.

62. Levy Peter M. Large quadrupolar interactions in rare-earth compounds / Peter M. Levy, P. Morin, D. Schmitt // Phys. Rev. Lett. – 1979. – V. 42, No 21.

– P. 1417 – 1420.

63. Morin P. Cooperative Jahn-Teller effect in TmZn / P. Morin, J. Rouchy, D. Schmitt // Phys. Rev. B. – 1978. – V. 17, No 9. – P. 3684–3694.

64. Aleonard R. TmCd quadrupolar ordering and magnetic interactions / R. Aleonard, P. Morin // Phys. Rev. B. – 1979. – V. 19, No 8. – P. 3868–3872.

65. Hanzawa K. Antiferro-quadrupolar ordering in GeB6 / K. Hanzawa, T. Kasuya // J. Phys. Soc. Jap. – 1984. – V. 53, No 5. – P. 1809–1818.

66. Aleonard R. Magnetic and quadrupolar properties in DyCu and related dysprosium cubic compounds / R. Aleonard, P. Мorin, J. Rouchy // JMMM. – 1984. – V. 46, No 1-2. – P. 233–244.

67. Schmitt D. Ab-initio calculation of indirect multipolar pair interactions in intermetallic rare-earth compounds / D. Schmitt, P. M. Levy // JMMM. – 1985.

– V. 49, No 1-2. – P. 15–49.

68. Chen H. H. Quadrupole phase transition in magnetic solid / H. H. Chen, Peter M. Levy // Phys. Rev. Lett. – 1971. – V. 27, No 20. – P. 1383–1385.

69. Nauciel-Bloch M. Spin-one heisenberg ferromagnet in the presence of biquadratic exchange / M. Nauciel-Bloch, G. Sarma, A. Castets // Phys.

Rev. B. – 1972. – V. 5. – P. 4603–4609.

70. Матвеев В. М. Квантовый квадрупольный магнетизм и фазовые переходы при биквадратичном обмене / В. М. Матвеев // ЖЭТФ. – 1973. – Т. 65, № 4(10). – С. 1626–1636.

71. Барьяхтар В. Г. К теории магнитоупорядоченных кристаллов с биквадратичным обменным взаимодействием / В. Г. Барьяхтар, В. В. Ганн, Д. А. Яблонский // ФТТ. – 1975. – Т. 17, № 6. – С. 1744–1748.

72. Suterland B. Model for a multicomponent quantum system / B. Suterland // Phys. Lett. B. – 1975. – V. 12. – P. 3795.

73. Бразовский С.А. Магнитные фазовые переходы первого рода и флуктуации / С.А. Бразовский, И.Е. Дзялошинский, Б.Г. Кухаренко // ЖЭТФ. – 1976. – Т.70, № 6. – С. 2257–2267.

74. Ray D. K. Dipolar and quadrupolar ordering in the Г - Г magnetic system / D. K. Ray, J. Sivardiere // Phys. Rev. B. – 1978. – V. 18, No 3. – P. 1401– 1405.

75. Chakraborty K. G. On the possibility of the existence of an intermediate quadrupolar phase in an asymmetrical Heisenberg system / K. G. Chakraborty // J. Phys. C – 1979. – V. 12. – P. 1223–1225.

76. Iwashita T. The Curie temperature of anisotropic Heisenberg ferromagnet with biquadratic exchange interaction and uniaxial anisotropy / T. Iwashita, N. Uryu // J. Phys. C. – 1979. – V. 12. – P. 4007–4013.

77. Stewart A. M. Some comments on the choice of decoupling scheme for the biquadratic Heisenberg ferromagnet / A. M. Stewart, J. Adler // J. Phys. C. – 1980. – V. 13. – P. 6227–6233.

78. Калита В. М. Особенности намагничивания антиферомагнетика с одноионной анизотропией типа «легкая плоскость» и со спинами ионов S=1 / В. М. Калита, И. М. Иванова, В. М. Локтев // ФНТ. – 2002. – Т. 28, № 6, – С. 667 – 670.

Bose-Einstein condensation of S=1 nickel spin degrees of freedom in NiCl2 79.

4SC(NH2)2 / V. S. Zapf, D. Zocco, B. R. Hansen [et al.] // Phys. Rev. Lett. – 2006. – V. 96, No 7. – P. 077204.

80. Magnetic excitations in the spin-1 anisotropic heisenberg antiferromagnetic chain system NiCl2-4SC(NH2)2 / S. A. Zvyagin, J. Wosnitza, C. D. Batista [et al.] // Phys. Rev. Lett. – 2007. – V. 98, No 4. – P. 047205.

81. Magnetostriction in the Bose-Einstein condensate quantum magnet NiCl2– 4SC(NH2)2 / V. S. Zapf, V. F. Correa, C. D. Batista [et al.] // J. Appl. Phys. – 2007. – V. 101, No 9. – P. 09E106 (2007).

82. Levitskii R. R. Phase diagrams of spin-1 Ising model with bilinear and quadrupolar interactions under magnetic field. Two-particie cluster approximation / R. R. Levitskii, O. R. Baran, B. M. Lisnii // Eur. Phys. J. B. – 2006. – V. 50. – P. 439–443.

83. Левицький Р. Р. Вплив магнетного поля на термодинамічні характеристики спін-1 ізінговської моделі з білінійними та квадрупольними взаємодіями. Кластерне наближення / Р. Р. Левицький, О. Р. Баран // Журн. фіз. досл. – 2007. – Т. 11, № 3. – С. 303–310.

84. Фридман Ю. А. // Фазовая диаграмма негейзенберговского антиферромагнетика со спином единица / Ю. А. Фридман, Ф. Н. Клевец, В. Д. Спирин // ФНТ. – 2003. – Т. 29, № 12. – С. 1335–1340.

85. Эллиот Дж. Симметрия в физике : в 2 т. Т 2. / Дж. Эллиот, П. Добер – М. :

Мир, 1983. – 416 с.

86. Judd B. R. Operator Techniques in Atomic Spectroscopy / B. R. Judd. – N-Y. :

McGrow-Hill, 1963. – 208 с.

87. Ландау Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 3 : Квантовая механика.

Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Наука, 1974. – 752 с.

88. Варшалович Д. А. Квантовая теория углового момента / Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. – М. : Наука, 1975.

– 438 с.

89. Ландау Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 5 : Статистическая физика ч.1. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Наука, 1976 – 584 с.

90. Калита В. М. Описание упорядочения температурной зависимости и магнитострикции одноподрешеточной системы спинов с S 1 и большим биквадратичным обменом / В. М. Калита, А. Ф. Лозенко // ФНТ. – 1998. – Т. 24, № 10. С. 958–964.

91. Блинц Р. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики / Р. Блинц, Б. Жекш.

– М. : Мир, 1975. – 400 с.

92. Локтев В. М. Особенности статики и динамики магнитных диэлектриков с одноионной анизотропией / В. М. Локтев, В. С. Островский // ФНТ. – 1994. – Т. 20, № 10. С. 983–1016.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.