авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе

Российской академии

наук

_

На правах рукописи

Шмаков Павел Михайлович

СПИНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ

СТРУКТУРАХ, ПОМЕЩЕННЫХ В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Специальность:

01.04.02 – теоретическая физика ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, А. П. Дмитриев Санкт-Петербург Оглавление Введение.............................................................................................................................. Глава 1. Эффект Ааронова-Бома в одноканальном кольце при высоких температурах...................................................................................................................... 1.1 Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в квантовых кольцах (обзор)........ 1.2 Постановка задачи и предварительные вычисления............................................... 1.3 S-матрица рассеяния на контактах............................................................................ 1.4 Cуммирование амплитуд траекторий........................................................................ 1.5 Решение задачи на языке переходов через квазистационарные уровни в кольце Глава 2. Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальном кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием при высоких температурах.................................................................................................................... 2.1 Гамильтониан системы............................................................................................... 2.2 Матрицы поворота спина........................................................................................... 2.3 Cуммирование амплитуд траекторий в задаче со спином...................................... 2.4 Кондактанс кольца со спин-орбитальным взаимодействием................................. 2.5 Кондактанс кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием..... 2.6 Переходы через квазистационарные состояния в кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием...................................................................................... Глава 3. Влияние слабого беспорядка на эффект Ааронова-Бома в квантовых кольцах при высоких температурах........................................................................... 3.1 Высокотемпературный эффект Ааронова-Бома в кольце с короткодействующими примесями.....................................................................

..................................................... 3.2 Исследование общей формулы.................................................................................. 3.3 Переходы через квазистационарные состояния в кольце с короткодействующими примесями.......................................................................................................................... 3.4 Кондактанс кольца при одновременном присутствии короткодействующих примесей, спин-орбитального и зеемановского взаимодействия................................ 3.5 Кондактанс кольца с плавным потенциалом при высоких температурах............. Глава 4. Спиновые волны в магнитных квантовых ямах..................................... 4.1 Основные свойства разбавленных магнитных полупроводников (обзор)............ 4.2 Гамильтониан задачи. Приближение среднего поля............................................... 4.3 Закон дисперсии спиновых волн............................................................................... 4.4 Учет обменного взаимодействия между электронами проводимости.................. 4.5 Механизмы затухания спиновых волн: рассеяние электронов и затухание Ландау............................................................................................................................................. 4.6 Затухание ионных возбуждений в континууме Стоунера.................................... 4.7 Отщепленные ионные моды..................................................................................... Глава 5. Расфазировка прецессии спинов электронов в магнитных квантовых ямах с переменной шириной....................................................................................... 5.1 Релаксация электронного спина вследствие дельта-коррелированных флуктуаций обменного поля................................................................................................................ 5.2 Эффективное магнитное поле в квантовой яме с флуктуирующей шириной.... 5.3 Расфазировка прецессии электронного спина в отсутствие рассеяния............... 5.4 Расфазировка прецессии электронного спина при наличии рассеяния............... 5.5 Подведение итогов и сравнение с экспериментом................................................ Заключение..................................................................................................................... Приложение А. Вывод соотношения, используемого при расчете кондактанса кольца при высоких температурах............................................................................................. Приложение Б. Вывод соотношения, связывающего коэффициент прохождения с волновыми функциями и энергиями электронов в замкнутом кольце...................... Приложение В. Электрон в кольце со спин-орбитальным взаиомодействием в квазиклассическом приближении.................................................................................. Приложение Г. К расчету кондактанса кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействем............................................................................................................... Приложение Д. К расчету кондактанса кольца с короткодействующими примесями........................................................................................................................................... Приложение Е. Вывод уравнения Вигнера для электронов в неоднородном магнитном поле................................................................................................................ Литература...................................................................................................................... Введение В последние годы заметное место в полупроводниковой наноэлектронике занимает новая, недавно возникшая область физики твердого тела – спинтроника.

Главная задача спинтроники состоит в создании нового поколения электронных приборов, таких как спиновые фильтры, спиновые полевые транзисторы, магнитные биполярные диоды [1], в которых спиновая степень свободы используется на равных правах с орбитальной. Особое внимание в настоящее время привлекает физика спиновых явлений в низкоразмерных структурах, что объясняется, в числе прочего, фундаментальным интересом к эффектам, связанным со спин-орбитальным взаимодействием, и потенциалом их использования для обработки и хранения информации [1, 2].

В частности, все более активным становится изучение одномерных систем, таких как углеродные нанотрубки [3], полупроводниковые и металлические квантовые проволоки [4, 5], длинные полимерные цепи [6] и краевые состояния в режиме квантового эффекта Холла [7]. Важное место в этом ряду занимают одноканальные квантовые кольца, интерес к которым связан, в первую очередь, с квантовыми интерференционными явлениями – осцилляциями Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера. Последние обусловлены спин-орбитальным взаимодействием внутри колец и открывают возможности для создания спиновых фильтров.

Создание приборов спинтроники невозможно без эффективного управления спином с помощью внешних сил, что, в свою очередь, подразумевает наличие хорошей связи спинов с внешними электрическими и магнитными полями.

Обеспечить такую связь в обычных полупроводниковых системах на основе кремния или арсенида галлия трудно из-за малых значений g-фактора в этих материалах. Одно из возможных решений этой проблемы состоит в использовании материалов, обладающих магнитными свойствами. В связи с этим все большее внимание привлекают разбавленные магнитные полупроводники (РМП) [2, 8]. РМП получают путем замещения небольшой доли катионов в полупроводниковом материале типа А3B5 или A2B6 магнитными примесями (обычно, примесями марганца). Уникальность этих материалов состоит в том, что они обладают одновременно полупроводниковыми и магнитными свойствами. С одной стороны, такие материалы могут быть интегрированы в полупроводниковые гетероструктуры.

С другой стороны, сильное обменное взаимодействие между подвижными носителями заряда и электронами, локализованными на внешних оболочках магнитных ионов, приводит к непрямому взаимодействию между спинами ионов, что, в свою очередь, обуславливает ферромагнитный переход, наблюдаемый в этих материалах. Оно также приводит к "гигантскому" зеемановскому расщеплению, которое может быть порядка энергии Ферми [9, 10]. Эти и другие особенности делают РМП чрезвычайно привлекательными с точки зрения возможных приложений в области спинтроники.

Вышесказанное определяет актуальность темы диссертации.

Целью настоящего исследования является, во-первых, теоретическое изучение эффектов Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальных квантовых кольцах при высоких температурах, и, во-вторых, теоретическое изучение спиновых возбуждений в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

Научная новизна работы заключается в решении следующих конкретных задач:

1. Изучить влияние спин-орбитального и зеемановского взаимодействия на эффект Ааронова-Бома в одноканальных баллистических квантовых кольцах с туннельными контактами при температурах, превышающих расстояние между энергетическими уровнями в кольце.

2. Изучить эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальных квантовых кольцах с туннельными контактами и слабым беспорядком в режиме высоких температур.

Построить теорию неоднородных спиновых возбуждений (спиновых 3.

волн) в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

Изучить обусловленную флуктуациями ширины квантовой ямы 4.

расфазировку прецессии спинов электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле.

Практическая значимость работы состоит в следующем. Во-первых, в ней продемонстрирована возможность применять одноканальные кольца со спин орбитальным взаимодействием в качестве спиновых фильтров при сравнительно высоких температурах, и показано, что этому применению не препятствует слабый беспорядок в кольце. Во-вторых, в ней построена теория спиновых возбуждений в двумерных разбавленных полупроводниках, помещенных в магнитное поле, и рассмотрены механизмы их затухания, что является важным шагом на пути к практическому применению разбавленных магнитных полупроводников в спинтронике.

Основные положения, выносимые на защиту:

Cпин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению узких 1.

провалов ("антирезонансов") в зависимости туннельного кондактанса одноканального кольца от пронизывающего его магнитного потока, а при наличии зеемановского взаимодействия возникнают дополнительные антирезонансы;

при соответствующих значениях магнитного потока проходящие через кольцо электроны поляризуются по спину.

Наличие слабого беспорядка в кольце не приводит к подавлению 2.

эффектов Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера даже в режиме, в котором электрон многократно испытывает рассеяние за время пребывания внутри кольца.

Короткодействующие примеси приводят к уширению антирезонансов, а плавный беспорядок – к возникновению новых.

При изучении спиновых волн в двумерных разбавленных 3.

полупроводниках, помещенных в магнитное поле, необходимо учитывать как электрон-ионное (s-d) взаимодействие, так и обменное взаимодействие между электронами проводимости. Одновременное наличие этих взаимодействий приводит к ряду особенностей в поведении ветвей дисперсии спиновых волн (в первую очередь, к их антипересечению).

Неоднородность ширины квантовой ямы с магнитными примесями 4.

может приводить к сравнительно быстрой расфазировке прецессии спинов электронов проводимости, и, тем самым, к релаксации поперечной по отношению к магнитному полю компоненты полного электронного спина. При диффузионном движении электронов проводимости релаксация происходит по медленному неэкспоненциальному закону.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ФТИ им.

А.Ф. Иоффе РАН, на международных симпозиумах "Nanostructures: Physics and Technology" (Минск, 2009, Санкт-Петербург, 2010, Екатеринбург, 2011) и "Spin Waves International Symposium" (Санкт-Петербург, 2011).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 работ, список которых приведен в заключении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и шести приложений. Она содержит 143 страниц текста, включая 22 рисунка и 1 таблицу. Список литературы включает наименований.

В первой главе на примере задачи о бесспиновых электронах в баллистическом кольце излагаются оригинальные методы расчета кондактанса одноканального кольца при высоких температурах, которые применяются далее во второй и третьей главе. Один из методов позволяет проводить строгое вычисление сумм амплитуд траекторий, другой метод менее универсален, но апеллирует к наглядным физическим представлениям о прохождении электронов через квазистационарные уровни в кольце.

Во второй главе рассматривается кольцо со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием. Вычисляется кондактанс такого кольца, а также степень спиновой поляризации прошедших через него электронов.

Третья глава посвящена изучению влияния слабого примесного беспорядка на эффекты, описанные в первых двух главах. Рассматривается кольцо с короткодействующими примесями, а также с плавным потециалом.

В четвертой главе строится теория спиновых волн в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле. Теория основана на использовании уравнения Вигнера для электронов проводимости совместно с уравнением ларморовской прецессии для спинов магнитных ионов. Помимо s-d взаимодействия, учитывается обменное взаимодействие подвижных электронов между собой. Вычисляется спектр спиновых волн и рассматриваются механизмы их затухания, отстутствующие в однородном случае.

Наконец, в пятой главе изучена обусловленная флуктуациями ширины квантовой ямы расфазировка прецессии спина электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках. Рассмотрены случаи баллистического, диффузионного и циклотронного движения электронов. Показано, что данный механизм при определенных условиях приводит к меньшему времени расфазировки, чем предсказывают предыдущие теоретические работы, и может служить объяснением результатов недавних экспериментов.

В Заключении сформулированы основные результаты работы и приведен список публикаций.

Формулы и рисунки нумеруются по главам, нумерация литературы единая для всего текста.

Глава Эффект Ааронова-Бома в одноканальном кольце при высоких температурах 1.1 Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в квантовых кольцах (обзор) Эффект Ааронова-Бома заключается в зависимости наблюдаемых величин, характеризующих поведение частиц, от магнитных полей, присутствующих в областях, в которых эти частицы не могут находиться. Этот эффект был впервые рассмотрен в работе [11] на примере обычного интерферометра: пучок электронов разделяется на два пучка, которые затем вновь собираются в один. В области между двумя пучками, куда электроны по предположению не могут попасть, имеется магнитное поле. Из общих принципов квантовой механики следует, что электронные волны в каждом пучке набирают фазы, где – действие, отвечающее данной траектории. Вклад магнитного поля в это действие равен, где – векторный потенциал магнитного поля, а интеграл берется вдоль траектории. В результате магнитное поле приводит к дополнительному сдвигу фаз между двумя волнами, равному, где – поток магнитного поля, пронизывающий область, которую пучки обходят с разных сторон.

В итоге интерференционная картина зависит от потока, причем эта зависимость обладает периодом, равным кванту потока Экспериментально осцилляции Ааронова-Бома наблюдались не только в описанной выше простейшей схеме интерферометра [12], но и во множестве разнообразных структур, топология которых обладает свойством многосвязности. К числу таких структур относятся металлические цилиндрические пленки [13-15], двумерные проводящие сетки с квадратными ячейками [16, 17] и сетки в виде "пчелиных сот" [18], полупроводниковые структуры с параллельными квантовыми ямами [19], многоканальные металлические [20-22], полупроводниковые [23-25] и графеновые [26] квантовые кольца, углеродные нанотрубки [27] и структуры, находящиеся в режиме квантового эффекта Холла [28].

Предметом исследования в первых трех главах данной диссертации являются одноканальные квантовые кольца. Эксперименты с такими кольцами на момент написания отсутствуют, однако модель одноканального кольца благодаря своей простоте и наглядности уже не одно десятилетие привлекает внимание теоретиков [29-39].

Наиболее полное теоретическое исследование осцилляций Ааронова-Бома в одноканальных кольцах при нулевой температуре проведено в работе [29]. В этой работе рассматривалось одноканальное кольцо с двумя присоединенными к нему контактами, и задача состояла в вычислении кондактанса такой системы (отношения проходящего через систему тока к приложенному к контактам напряжению) как функции пронизывающего кольцо магнитного потока. Контакты и плечи интерферометра описывались матрицами рассеяния (имеющими размерность 3x и 2x2 соответственно). Такой подход позволил решить задачу в наиболее общем виде (частный случай кольца с омическими контактами был рассмотрен годом ранее в [30]). Кондактанс кольца выражался через коэффициент прохождения на уровне Ферми посредством формулы Ландауэра [40], а коэффициент прохождения, в свою очередь, находился путем рассмотрения стационарных волновых функций системы.

Отметим наиболее важный для нас результат этой работы: при слабой связи между кольцом и контактами зависимость кондактанса от магнитного потока представляет собой периодически повторяющиеся пары резонансных пиков, причем пик возникает всякий раз, когда какой-либо энергетический уровень замкнутого кольца пересекает уровень Ферми.

Далее, в ряде теоретических работ изучались различные нюансы в поведении коэффициентов прохождения баллистических колец [33, 34] и колец с примесями [35-39] как функций магнитного потока и энергии электронов. Рассматривались различные подходы к постановке граничных условий [34, 39], эффекты, обусловленные неравеством плеч интерфероментра [33, 36], асимметрия резонансов в коэффициенте прохождения при наличии примесей [36-39], и многое другое.

Особое внимание во многих из перечисленных работ уделено вопросу о периоде осцилляций Ааронова-Бома. Экспериментально наблюдаемые осцилляции имеют в одних структурах период [13-18, 20], в других – [19-27].

Объяснение этого состоит в следующем. Осцилляции с периодом являются проявлением интерференции траекторий с самопересечением (интерференция этих же траекторий ответственна за эффект слабой локализации). Для таких траекторий разность фаз, обусловленная магнитным полем, составляет, то есть в два раза больше, чем для пар траекторий, выходящих из одной точки и сходящихся в другой. В цилиндрических структурах существенна интерференция только траекторий с самопересечением, и поэтому период осцилляций всегда равен (эффект Аронова-Альтшулера-Спивака [41]). В квантовых кольцах ситуация несколько сложнее. В одиночных квантовых кольцах наблюдаются осцилляции с периодом [20, 22-26], в то время как в ансамблях колец – [16, 18, 20, 21]. В работе [20] экспериментально установлено, что –периодическая составляющая осцилляций обратно пропорциональна корню из числа колец в ансамбле.

Подавление -периодической составляющей объясняется тем, что ее фаза может сильно зависеть от реализации беспорядка в кольце, в то время как фаза периодической составляющей такой зависимостью не обладает. В согласии с этим, усреднение по фазам, набираемым в двух плечах интерферометра, произведенное в работах [31, 32] привело к осцилляциям с периодом. Кроме того, амплитуда –периодической составляющей падает с ростом числа каналов в кольце [42]. В соответствии со сказанным, рассмотренные в данной диссертации осцилляции Ааронова-Бома в одноканальных кольцах имеют период.

Обратимся теперь к другому интерференционному явлению – осцилляциям Ааронова-Кэшера.

В статье Ааронова и Кэшера [43] в качестве примера рассматривается интерференция частиц, обходящих с двух сторон равномерно заряженную бесконечную проволоку. Если частица обладает магнитным моментом и не заряжена, то в электрическом поле, создаваемом проволокой, она приобретает энергию, где – скорость частицы. В связи с этим ее обобщенный импульс равен, и поэтому при обходе проволоки с двух сторон возникает обусловленная электрическим полем разность фаз. При ориентации магнитного момента частицы параллельно проволоке эта разность фаз равна где – линейная плотность заряда, а знак определяется направлением магнитного момента. Таким образом, интерференционная картина периодически зависит от. Этот эффект наблюдался в экспериментах c интерференцией нейтронов [44].

Из вышесказанного ясно, что осцилляции Ааронова-Кэшера являются проявлением спин-орбитального взаимодействия и должны иметь место в электронных интерферометрах (в частности, в квантовых кольцах), в которых по тем или иным причинам это взаимодействие существенно. Эффекту Ааронова Кэшера в квантовых кольцах со спин-орбитальным взаимодействием посвящено большое количество теоретических работ [45-61], и недавно он наблюдался экспериментально [62, 63]. В работе [62] причиной возникновения спин орбитального взаимодействия в кольцах была асимметрия квантовых ям, на которых выращены кольца, в то время как в эксперименте [63] сила спин-орбитального взаимодействия управлялась напряжением на затворе.

В первой теоретической работе на эту тему [45] доказано важное утверждение:

в кольцах со спин-орбитальным взаимодействием всякая физическая величина (например, кондактанс), не зависящая явно от спина, имеет вид, где – та же величина в отсутствие спин-орбитального взаимодействия, а характеризует силу этого взаимодействия.

Применительно к кольцу со слабой связью с контактами это утверждение означает, что резонансные пики в зависимости кондактанса от магнитного потока расщепляются на пары одинаковых пиков.

Далее, в работах [46, 47] задача рассматривалась в адиабатическом приближении. В этом случае спин электрона, движущегося в кольце, адиабатически следует медленно меняющемуся направлению локального магнитного поля, пропорционального (фаза Ааронова-Кэшера в адиабатическом приближении есть частный случай фазы Берри [48]). В работе [49] впервые совершен выход за рамки этого приближения.

Интересным аспектом задачи о кольце со спин-орбитальным взаимодействием (особенно с точки зрения возможных приложений в спинтронике) является поляризация спина электронов на выходе. Фаза Ааронова-Кэшера зависит от ориентации спина (это видно уже на приведенном выше примере с заряженной проволокой), поэтому зависит от спина и коэффициент прохождения кольца. В результате неполяризованные электроны, поступающие на вход, могут оказаться поляризованными на выходе. Таким образом, возможна реализация спинового поляризатора, управляемого электрическим или магнитным полем. Эта идея впервые была высказана в работе [50] и была развита в ряде теоретических работ [51, 52, 54-56, 59, 60].

В большинстве перечисленных выше работ интерференционные эффекты рассматриваются в случае низких температур. Исключение составляют работы [52, 54, 59], в которых численными методами изучен эффект Ааронова-Кэшера и работа [35], где рассмотрены осцилляции Ааронова-Бома в интерферометре с открытыми контактами и потенциальным барьером в одном из плеч.

В главах 1-3 данной диссертации рассматриваются осцилляции Ааронова Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальных квантовых кольцах при следующих условиях:

1) Температура превышает расстояние между энергетическими уровнями в кольце.

2) К кольцу присоединены туннельные контакты, то есть кольцо является почти замкнутым.

Такая постановка задачи до недавнего времени не привлекала внимание теоретиков. По всей видимости, это связано с убеждением, что термическое усреднение коэффициента прохождения по энергии электронов приведет в таких условиях к подавлению интерференционных эффектов. На эту мысль наталкивает тот факт, что положения резонансных пиков в коэффициенте прохождения пробегают весь период при изменении энергии электронов в промежутке.

Оказалось, однако, что температурное усреднение отнюдь не подавляет эффект Ааронова-Бома: при кондактанс кольца имеет узкие провалы ("антирезонансы") при полуцелых значениях Несмотря на то, что к этому выводу легко прийти исходя из выражений для кондактанса при фиксированной энергии электронов, полученных еще в [29], на эти антирезонансы было обращено внимание лишь в недавней работе [64]. В ней рассмотрено влияние межэлектронного взаимодействия на антирезонансы и показано, что это взаимодействие приводит (при определенных условиях) к расщеплению каждого антирезонанса на серию провалов, расстояние между которыми определяется константой межэлектронного взаимодействия, а их ширина – временем сбоя фазы, не зависящим от.

Помимо практической значимости случая высоких температур, задачи об интерференционных эффектах при приведенных выше двух условиях, интересны тем, что, как будет видно из первых трех глав диссертации, они имеют аналитические решения, а эти решения, в свою очередь, допускают наглядную физическую интерпретацию.

Целью данной главы является изложение методов, удобных для решения поставленных задач, на примере баллистического кольца без спин-орбитального взаимодействия. Эти методы будут далее применены в главе 2 к кольцу со спин орбитальным и зеемановским взаимодействием и в главе 3 к кольцу со слабым беспорядком (взаимодействие электронов не учитывается).

1.2 Постановка задачи и предварительные вычисления Рассматриваемая система представляет собой одноканальное квантовое кольцо, пронизываемое магнитным потоком, с присоединенными к нему симметричным образом двумя одинаковыми туннельными контактами (рис. 1.1).

Контакты будут иметь название " " и " ", а точки кольца, в которые электрон туннелирует из контактов, будем называть "точкой " и "точкой ". Длину кольца обозначим как, радиус – как Магнитный поток будем измерять в единицах кванта потока :

Температура считается высокой по сравнению с расстоянием между энергетическими уровнями в кольце, ). Сверху температура ( ограничена энергией Ферми,, а также требованием слабости неупругих процессов (например, рассеяния на фононах): мы будем предполагать, что время потери фазы за счет неупругих процессов много больше, чем время жизни электрона в кольце, и поэтому эти процессы учитываться не будут.

Рис. 1.1 Кольцо с туннельными контактами, пронизываемое магнитным потоком.

Кондактанс кольца будет вычисляться с помощью формулы Ландауэра [40, 42, 66]:

(1.1) Здесь – термически усредненный коэффициент прохождения, (1.2) где – энергия проходящего через кольцо электрона, а – функция Ферми.

Коэффициент прохождения мы будем находить путем суммирования амплитуд всех траекторий электрона в кольце, начинающихся в точке и заканчивающихся в точке (при этом электрон может совершить много оборотов в кольце). Амплитуда любой траектории содержит экспоненту вида, где и – длины путей, пройденных против и по часовой стрелке соответственно, – волновой вектор электрона. Эта экспонента домножается на амплитуды всех произошедших процессов рассеяния на контактах.

На первый взгляд, достаточно учесть траектории, на которых электрон все время движется в одном направлении и, совершив некоторое количество оборотов, выходит из кольца. Проведем этот простой расчет. Обозначим амплитуду вероятности туннелирования внутрь кольца и из него как и соответственно ), а амплитуду вероятности остаться внутри кольца, пройдя точку или (, как ). Тогда коэффициент прохождения запишется следующим ( образом:

(1.3) Первое слагаемое в круглых скобках относится к траектории, в которой электрон входит в кольцо из контакта, совершает полуоборотов против часовой стрелки и выходит в контакт. Второе слагаемое описывает аналогичную траекторию с движением по часовой стрелке.

Произведем теперь усреднение коэффициента прохождения, согласно формуле (1.2). При этом обратим внимание на следующее важное обстоятельство:

интерференционные члены "выживают" после усреднения только в том случае, если они отвечают траекториям одинаковой длины. Действительно, интерференционный член пары траекторий с длинами и содержит множитель, причем для траекторий разной длины. Волновой вектор изменяется в температурной полоске на величину.

Поскольку, величина экспоненциально мала при разной длине траекторий. Такими экспоненциально малыми вкладами мы будем всегда пренебрегать. В то же время интерференционные члены пар траекторий равной длины, а также классические члены не содержат волновой вектор и поэтому усреднение их не меняет. Поэтому усреднение выражения (1.3) дает (1.4) Вычисляем это выражение:

(1.5) Первое слагаемое представляет собой "классический" вклад (обозначим его как ), а второе возникает в результате интерференции траекторий равной длины. Как видно из (1.5), интерференционный вклад важен только вблизи целых и полуцелых значений потока, а именно, при где – целое число. Вне этих интервалов коэффициент прохождения почти не зависит от потока:

Вблизи нулевого потока происходит конструктивная интерференция.

Действительно, при имеем (1.6) при этом Вблизи получаем (1.7) причем Это объясняется тем, что при амплитуды, отвечающие движению по и против часовой стрелки, попарно сокращают друг друга (при любом ):.

Таким образом, интерференция "выживает" после температурного усреднения, проявляясь в виде пиков вблизи целых значений и провалов – вблизи полуцелых значений магнитного потока (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Зависимость коэффициента прохождения от магнитного потока без учета рассеяния назад на контактах.

Проведенный простой расчет является, однако, грубо неверным вблизи целых значений потока. Его ошибочность видна уже из того, что сумма коэффициентов отражения и прохождения оказывается, вообще говоря, не равной единице.

Действительно, термически усредненный коэффициент отражения от кольца записывается как (где – вероятность отразиться сразу, не проникая в кольцо), откуда видно, что он имеет период. В то же время коэффициент прохождения имеет период 1.

Невыполнение равенства говорит о нарушении условий унитарности рассеяния на контактах. В следующем разделе рассеяние на контактах будет описано более аккуратно.

1.3 S-матрица рассеяния на контактах Каждый контакт представляет собой центр рассеяния с тремя входными и выходными каналами (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Рассеяние на контакте.

Мы будем описывать контакты с помощью S-матрицы, связывающей амплитуды входящих (1, 2, 3) и выходящих (1', 2', 3') волн. C учетом симметрии каналов 2 и 3, а также симметрии по отношению к обращению времени эта матрица имеет вид (1.8) Здесь – амплитуды входа и выхода из кольца, – амплитуда прохождения мимо контакта, то есть процессов 2-3' и 3-2' (эти три обозначения уже были введены в предыдущем разделе), – амплитуда отражения (процесс 1-1'), и, наконец, – амплитуда рассеяния назад электрона, находящегося внутри кольца (процессы 2-2', 3-3').

В предыдущем разделе были учтены все эти процессы, за исключением рассеяния назад. С другой стороны, нетривиальной унитарной -матрицы рассеяния 3x3) с не существует. Действительно, потребовав (размерностью ортогональности второго и третьего столбца матрицы, мы получим, что из следует, а из ортогональности второй и третьей строки получим, что Наиболее общая параметризация элементов S-матрицы (1.8) выглядит следующим образом:

где все параметры вещественны.

Фазы и в ответ не входят (это можно увидеть из полученных ниже формул (1.14)-(1.16)), так что их можно положить равными нулю. Что же касается фазы, она набирается, когда электрон в кольце проходит мимо контакта без рассеяния ( ). Мы предположим, что контакты являются точечными, и в этом случае. Таким образом, все входящие в S-матрицу амплитуды выражаются через один вещественный параметр [29, 64]:

(1.9) В интересующем нас случае туннельного контакта параметр мал и характеризует силу туннельной связи.

Может показаться, что поскольку, рассеяние назад на контактах несущественно. Заметим, однако, что, то есть амплитуда рассеяния назад совпадает с амплитудой рассеяния вперед. Рассеяние вперед (то есть отличие от единицы) было учтено в предыдущем разделе, поэтому пренебрежение рассеянием назад было незаконным.

1.4 Cуммирование амплитуд траекторий Необходимость учитывать рассеяние назад на контактах существенно усложняет задачу;

ее решение уже не сводится к суммированию простых геометрических прогрессий. В этом параграфе предлагается способ суммирования траекторий, который весьма удобен как для нахождения точного аналитического решения обсуждаемой в этой главе задачи, так и для дальнейших обобщений.

Любую траекторию можно представить как последовательность нечетного количества полуокружностей, соединяющих контакты и. Обозначим это количество как Числу можно дать другое определение – это число подходов к контакту, после которых электрон остался внутри кольца. В случае баллистического кольца эти определения эквивалентны, а при рассмотрении кольца с беспорядком (глава 3) будет использоваться второе из них.

Поскольку все траектории с заданным имеют одну и ту же длину, их амплитуды имеют общий множитель Обозначим сумму амплитуд траекторий с заданным как Тогда амплитуда прохождения через кольцо записывается как (1.10) а коэффициента прохождения принимает вид (1.11) Поскольку, для усредненного коэффициента прохождения получаем (1.12) Величины можно вычислить следующим образом. Запишем их как суммы, где и отвечают траекториям, заканчивающимся нижней и верхней полуокружностью соответственно. Для величин легко написать рекуррентную формулу вида (1.13) где – вектор с компонентами и, а матрица такова:

(1.14) Матрица играет ключевую роль в предлагаемом методе. Она описывает движение электрона между последовательными подходами к контакту.

Дальнейшие обобщения (задачи со спин-орбитальным взаимодействием и с беспорядком) потребуют, в основном, лишь соответствующего изменения матрицы.

Эта матрица строится следующим образом. Рассмотрим траекторию, состоящую из полуокружностей, последняя из которых, например, нижняя.

Ее амплитуда входит в. Путем добавления двух полуокружностей можно получить из такой траектории две другие, относящиеся к А именно: можно сделать полный оборот против часовой стрелки, пройдя мимо контакта и затем контакта, либо рассеяться назад сначала на контакте, затем на контакте.

Первому варианту соответствует амплитуда, второму – Так формируется элемент матрицы, равный Остальные элементы получаются аналогично.

К рекуррентому соотношению (1.13) необходимо еще добавить значения величин, то есть амплитуд траекторий, состоящих из одной полуокружности (для удобства внесем в них также амплитуды входа и выхода из кольца):

(1.15) Возвращаясь к формуле (1.12), мы можем теперь переписать ее следующим образом:

(1.16) где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а – вектор с компонентами Формулу (1.16) можно записать в другом виде с помощью прямого (кронекеровского) произведения матриц (обозначим его значком ). Имеем, откуда (1.17) Формула (1.17) чрезвычайно удобна для численных расчетов, так как содержит только алгебраические операции. Для аналитического расчета она, однако, не подходит, так как содержит громоздкую матрицу размерностью 4x4;

более удобной оказывается формула (1.16). В приложении А предложен общий подход к вычислению выражений типа (1.16). Подставляя в формулу (А.6) матрицу (1.14) и вектор (1.15) в результате алгебраических преобразований получаем следующий ответ [64]:

(1.18) Из этой формулы видно, что особенность имеется только при полуцелых значениях магнитного потока (рис. 1.4). Рассеяние назад на контактах привело к уничтожению пиков при целых значениях потока. Такая ситуация, однако, имеет место только в случае равных плеч интерферометра, в общем же случае амплитуды пиков при целых и провалов при полуцелых являются осциллирующими функциями разности длин плеч (см. приложение в [65]).

Рис. 1.4. Зависимость коэффициента прохождения от магнитного потока с учетом рассеяния назад на контактах.

При выводе формулы (1.18) не использовалась слабость туннельной связи (то есть малость ), поэтому эта формула верна для любых точечных контактов.

Отметим в связи с этим, что хорошей связи контакта с кольцом отвечает случай же соответствует слабой связи всех трех каналов, изображенных на рис. 1.3 ( ). В интересующем нас случае туннельной связи ( ) формула (1.18) хорошо аппроксимируется следующей:

(1.19) где (начиная с этого места будет предполагаться, что ;

напомним, что функция имеет период 1). Формула (1.19) совпадает с формулой (1.7), полученной без учета рассеяния назад для потоков, близких к 1/2 (чтобы убедиться в этом заметим, что и ). Таким образом, при рассеяние назад не играет существенной роли. Причину этого можно усмотреть в поведении внедиагональных элементов матрицы : они равны и малы вблизи.

Тот факт, что даже с учетом рассеяния назад на контактах, имеет следующее физическое объяснение. Рассмотрим произвольную траекторию (с числом полуокружностей ) и вместе с ней – зеркально отраженную относительно прямой, соединяющей контакты. Сравним амплитуда этих двух траекторий. Каждую из траекторий представим как последовательность из частей длиной и одной (завершающей) части длиной. Траектории длиной могут представлять собой либо полный оборот, либо движение в одну, затем в другую сторону по одному и тому же плечу интерферометра. В первом случае за счет магнитного поля у одной из траекторий возникает амплитуда, а у другой –, что дает при для обеих траекторий. Во втором случае магнитное поле не дает вклада. Оставшиеся же части длиной дают. Наконец, заметим, что рассеяние на контактах дает одинаковый вклад в амплитуды этих траекторий. В итоге получаем, что амплитуды зеркальных траекторий отличаются только знаком, то есть каждая траектория деструктивно интерферирует с зеркально отраженной.

Ключевым моментом является то, что эта деструктивная интерференция происходит при любой энергии электрона (энергия входит только в множитель, который одинаков у зеркальных траекторий). Поэтому интерференция выживает после термического усреднения по энергии электрона. Таково качественное объяснение возникновения провала в зависимости высокотемпературного кондактанса кольца от магнитого потока.

1.5 Решение задачи на языке переходов через квазистационарные уровни в кольце В этом разделе предлагается альтернативный способ вывода основного результата данной главы – формулы (1.19). Этот способ отличается от приведенного выше наглядностью и технической простотой. Он работает, однако, только для кольца с туннельными контактами и при условии, что рассеянием назад на контактах можно пренебречь. В то же время метод суммирования амплитуд не имеет этих ограничений (к его достоинствам можно также отнести наличие формулы (1.17), удобной для численных расчетов). Кроме того, он позволяет обосновать предлагаемый новый метод (см. приложение Б).

Основная идея состоит в том, чтобы выразить коэффициент прохождения через волновые функции и энергии стационарных состояний замкнутого кольца.

Соответствующая формула выведена в приложении Б и имеет следующий вид:

(1.20) Здесь и – энергии и стационарные волновые функции замкнутого кольца ( – координата электрона в кольце;

волновые функции нормированы условием – энергия проходящего через кольцо электрона, – ), уширение уровней, возникающее из-за присутствия контактов, и наконец, имеет смысл расстояния между ближайшими уровнями с одинаковым направлением движения в чистом кольце. Поскольку вклад в интеграл дают только уровни, лежащие в температурной полоске, и при этом, зависимостью величин и от можно пренебречь (индекс у этих двух величин будем далее опускать).

Формула (1.20) весьма наглядна: она содержит вероятность входа в кольцо и выхода из него, а величины (1.21) можно трактовать как амплитуды перехода через квазистационарные уровни в кольце.

Обратим внимание на то, что вклад "интерференционного" члена сравним с вкладом "классического" только при условии, что соответствующие уровни достаточно близки: (действительно, вычисляя интеграл, имеем ). Это наводит на мысль, что особенности в кондактансе кольца при высоких температурах возникают при значениях магнитного потока, при которых происходит вырождение энергетических уровней замкнутого кольца.

Найдем теперь волновые функции и энергии баллистического кольца, пронизываемого магнитным потоком. Гамильтониан электрона в кольце имеет вид (1.22) где – потенциал, удерживающий электрон в кольце. Предположим для простоты, что магнитное поле однородно и направлено вдоль оси, и запишем векторный потенциал как (здесь и далее символы и т.д.

обозначают орты соответствующих направлений). В цилиндрических координатах имеем и откуда (1.23) где (1.24) Поскольку рассматривается одноканальное кольцо, задача сводится к одномерной путем усреднения гамильтониана (1.23) с волновой функцией нижнего уровня размерного квантования (она удовлетворяет уравнению ).

Для гамильтониана одномерной задачи получаем (1.25) Здесь было использовано предположение о малости толщины кольца по сравнению с его радиусом, что позволило заменить на Переходя к обозначениям и, имеем (1.26) Стационарные волновые функции и энергии запишем в виде (1.27) где – целое неотрицательное число, " " обозначает направление движения. Из (1.27) видно, что при целых и полуцелых значениях уровни энергии попарно вырождаются. Напомним, однако, что рассматриваемый подход не учитывает рассеяние назад на контактах, и поэтому применим только вблизи полуцелых значений потока.

Вычислим выражение (1.20) при. Переходы через квазистационарные уровни проиллюстрированы для этого случая на рис. 1.5.

Заметим прежде всего, что среди всех интерференционных членов достаточно учесть лишь те, которые отвечают переходам через близкие к вырождению пары уровней Расстояние между уровнями, не входящими в одну пару, больше или порядка, а эта величина много больше уширения уровней Поэтому соответствующими интерференционными членами можно пренебречь. В результате выражение (1.20) разбивается на сумму вкладов пар близких уровней:

(1.28) Рис. 1.5. Туннелирование через пары близких квазистационарных уровней.

Сделаем замену переменных Тогда в знаменателях дробей под интегралом в образуются разности (1.28) Далее, заметим, что, так что выражение под знаком модуля от не зависит. От номера пары уровней зависит, таким образом, лишь термический фактор. В нем же можно пренебречь зависимостью от и вычислить сумму по : После этих упрощений имеем:

(1.29) Знак минус, приводящий к деструктивной интерференции, возник из-за свойства Вычисляем интеграл:, и, подставляя сюда и, возвращаемся к результату (1.19).

Таким образом, в соответствии с ожиданиями, особенности в зависимости кондактанса от магнитного потока возникают вблизи потоков, при которых вырождаются энергетические уровни электрона в замкнутом кольце, а ширина антирезонансов определяется уширением уровней. Мы увидим в главе 2, что эти утверждения остаются справедливыми при наличии спин-орбитального и зеемановского взаимодействия. В главе 3, где рассматривается кольцо со слабым беспорядком, ситуация окажется иной: даже в условиях, когда расстояние между уровнями при любом потоке много больше, в кондактансе кольца имеются антирезонансы.

Глава Эффекты Ааронова-Бома и Ааронова-Кэшера в одноканальном кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием при высоких температурах 2.1 Гамильтониан системы В этой главе мы применим изложенные выше методы вычисления кондактанса к одноканальному кольцу со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием.

Гамильтониан интересующей нас системы записывается как сумма Вид оператора кинетической энергии электрона в кольце с магнитным потоком был установлен в разделе 1.5:

(2.1) где Гамильтониан зеемановского взаимодействия спина электрона с магнитным полем, направленным вдоль оси, записывается как (2.2) – частота прецессии спина в этом поле).

( Относительно спин-орбитального взаимодействия мы предположим, что оно обусловлено встроенным электрическим полем в кольце и описывается гамильтонианом Рашбы [67]. Для прямой проволоки с однородным встроенным полем он имеет вид где – единичный вектор в направлении встроенного поля, – константа спин-орбитального взаимодействия. Если такую проволоку искривить, то возникает зависимость от координаты, и гамильтониан следует антисимметризовать [68]: где – антикоммутатор, а индекс обозначает проекцию на касательную вдоль кривой. Для кольца, пронизываемого магнитным полем, имеем (2.3) Предположим, что встроенное поле обладает аксиальной симметрией и составляет угол с плоскостью кольца. Тогда Наиболее практически важным случаем является, так как он экспериментально реализуется в структурах с асимметричными квантовыми ямами, на которых выращены кольца [62], а также при создании поля путем приложения напряжения к затвору [63]. Тем не менее, будет считаться произвольным, поскольку результаты в частном случае не имеют качественных отличий по сравнению с общим случаем (а вычисления не имеют упрощений).

Преобразуем гамильтониан (2.3): (см. 1.4), В результате получаем:

(2.4) Задача будет решаться в квазиклассическом случае, когда роль спин орбитального взаимодействия сводится к вращению электронного спина в эффективном магнитном поле, меняющемся вдоль классической траектории электрона (см. приложение В, а также [47, 49]). Условием применимости этого приближения является малость угла поворота спина за время прохождения электроном расстояния порядка длины волны:

В этих условиях для обобщения предложенного в первой главе метода расчета коэффициента прохождения достаточно внести в элементы матрицы (и вектора ) матрицы поворота спина электрона на соответствующих участках траекторий.

Более конкретно, нам понадобятся матрицы поворота спина при проходе верхнего или нижнего плеча интерферометра в одном и другом направлении. Нахождению этих матриц посвящен следующий раздел.

2.2 Матрицы поворота спина В рассматриваемом приближении орбитальное движение электрона в кольце можно описывать классически:, где обозначает направление движения. Спин электрона "чувствует" эффективное магнитное в текущей точке Исходя из этого представления можно предположить, что спиновое состояние электрона, движущегося в кольце, подчиняется уравнению [47, 49]:

(2.5) где – гамильтониан (2.4), в котором оператор скорости заменен на Это предположение обосновано в приложении В.

Введем теперь матрицу поворота спина, отвечающую прохождению электрона из точки в точку. Для определенности будем считать, что угловые координаты лежат в промежутке от до, увеличиваясь в направлении против часовой стрелки, причем контакту отвечает Матрица удовлетворяет уравнению (2.5), (2.6) c "начальным" условием (при этом ). Подставив (2.2) и (2.4), получим (2.7) где и – безразмерные величины, характеризующие силу спин-орбитального и зеемановского взаимодействия:

(2.8) Эти величины по порядку величины равны углу поворота спина за время в локальном эффективном поле и во внешнем поле соответственно.

Далее, сделаем замену, позволяющую избавиться от зависимости от элементов матрицы в уравнении (2.7):

(2.9) Подставляя (2.9) в (2.7), получаем:

(2.10) где для краткости введены обозначения Отсюда находим:

(2.11) В результате вычислений получается матрица с элементами (2.12) Здесь введены обозначения (2.13) Для дальнейшего нам понадобятся четыре матрицы поворота спина, отвечающие прохождению каждого плеча интерферометра в одном и другом направлении: (как и ранее, знаки + и – соответствуют движению против и по часовой стрелке соответственно). Кратко эти матрицы можно записать так:

(2.14) 2.3 Cуммирование амплитуд траекторий в задаче со спином В этом разделе производится обобщение метода суммирования амплитуд, представленного в разделе 1.4, на случай задачи со спином.

Переход из точки в точку по какой-либо траектории характеризуется теперь начальным и конечным состояниями спина. Обозначим соответствующие спиноры как и. По аналогии с бесспиновым случаем запишем сумму амплитуд траекторий с заданным числом подходов к контакту как где. Матрицы отличаются от величин, фигурирующих в задаче без спина, только тем, что амплитуда каждой траектории домножается на матрицу поворота спина электрона, прошедшего по этой траектории.


Далее, запишем амплитуду прохождения кольца с изменением спинового состояния от к как где (2.15) Введем также соответствующую вероятность: Эта величина есть вероятность того, что электрон, находящийся в спиновом состоянии, пройдет через кольцо, причем проекция его спина на ось, определяемую спинором, будет равна 1/2.

В дальнейшем мы будем предполагать, что на вход интерферометра поступает неполяризованный пучок электронов, так что по начальным состояниям спина будет производиться усреднение. Вычисляя коэффициент прохождения, мы также должны просуммировать по конечным состояниям спина:

(2.16) Здесь и – два произвольных базиса начальных и конечных состояний.

При высоких температурах имеем (2.17) откуда (2.18) Помимо коэффициента прохождения нас еще будет интересовать вектор поляризации спинов электронов на выходе интерферометра. Проекцию этого вектора на произвольное направление, заданное единичным вектором, определим следующим образом:

(2.19) где – собственные состояния оператора Тогда для вектора :

можно написать следующее выражение:

(2.20) Дальнейшие действия проводятся в полной аналогии с бесспиновым случаем.

В матрицах выделяются вклады траекторий, заканчивающихся нижней и верхней полуокружностью:. Далее, для матриц пишутся рекуррентные соотношения:

(2.21) Матрица имеет теперь размерность 4x4, и для ее построения достаточно вставить в матрицу бесспиновой задачи (1.14) матрицы поворота спина, отвечающие соответствующим траекториям (напомним, что матрица описывает процессы, происходящие между последовательными подходами к контакту ):

(2.22) Здесь и – матрицы поворота спина при совершении полного оборота против и по часовой стрелке соответственно, а матрицы и соответствуют прохождению, соответственно, нижнего и верхнего плеча интерферометра от точки к точке и затем обратно к точке.

Для кратчайших траекторий имеем:

(2.23) В итоге, находим (2.24) где Мы не будем приводить здесь громоздких общих выражений для величин и. Отметим только, что введенные выше вероятности, усредненные по энергии, можно вычислять с помощью формулы, аналогичной (1.17).

Действительно, имеем:

(2.25) Формула (2.25) (совместно с (2.16), (2.19), (2.22) и (2.23)), составляет основу для численных расчетов. Обратим внимание на то, что специфический вид матриц поворота спина, найденный в разделе 2.2 для случая спин-орбитального взаимодействия в форме Рашбы совместно с зеемановским взаимодействием, не использовался при выводе этих формул. Таким образом, формула (2.25) позволяет (по крайней мере, численно) вычислять коэффициент прохождения и поляризацию спина при произвольном поведении спинов электронов в кольце.

Для аналитических же расчетов формула (2.25) непригодна (матрица имеет размерность 16x16). Тем не менее, в случае спин-орбитального взаимодействия в форме Рашбы совместно с зеемановским взаимодействием (и при условии ) задача решается аналитически. Этому решению посвящены следующие два параграфа.

2.4 Кондактанс кольца со спин-орбитальным взаимодействием Рассмотрим сначала случай, отвечающий кольцу со спин-орбитальным взаимодействием, но без зеемановского взаимодействия. В этом случае задача существенно упрощается благодаря следующему свойству спин-орбитального взаимодействия: если электрон проходит некоторый путь, а затем возвращается в исходную точку тем же путем, то его спин возвращается в исходное состояние.

Учитывая, что в рассматриваемом случае и (см. (2.13)), легко убедиться, что, действительно, матрицы поворота спина (2.14) удовлетворяют соотношениям (2.26) Таким образом, для матриц поворота спина, входящих в матрицу имеем (2.27) то есть (2.28) (для краткости опускаем индекс у ).

Поскольку матрица содержит в себе только одну матрицу поворота ( ), естественно ожидать упрощения задачи при переходе к базису собственных векторов матрицы. Рассмотрим в связи с этим собственные числа и векторы этой матрицы.

Выразим матрицу через вектор поворота спина, то есть запишем ее в виде Из (2.14) имеем (опуская индексы у и ):

откуда (2.29) Собственные векторы матрицы есть, очевидно, спиновые состояния с определенным значением проекции спина на направление вектора :

Таким образом, (2.30) Набираемая при совершении полного оборота фаза есть не что иное, как фаза Ааронова-Кэшера. Напомним, что,а, так что фаза имеет разный знак при обходе кольца в противоположных направлениях. Это приводит к эффекту Ааронова-Кэшера, то есть осцилляциям кондактанса кольца как функции силы спин-орбитального взаимодействия [45-63], совершенно аналогично тому, как обусловленные магнитным потоком фазы приводят к эффекту Ааронова-Бома.

Вернемся теперь к рекуррентным соотношениям (2.21), (2.23). Введем спиноры, переходящие в при прохождении электрона от контакта к контакту (фазовый множитель введен для :

удобства). Тогда из (2.23) имеем:

(2.31) Здесь мы воспользовались тем, что. Далее, из (2.21), (2.28) и (2.30) получаем:

(2.32) Из (2.31) и (2.32) видно, что для величин справедливы буквально те же рекуррентные соотношения, что и для величин в задаче без спина, с той лишь разницей, что поток всюду заменен на (см. (1.13)-(1.15)). Аналогичным образом показывается, что в рекуррентных соотношениях для на месте потока стоит В то же время Теперь не составляет труда вычислить коэффициент прохождения по формуле (2.18):

Отсюда, с учетом (1.12), получаем окончательный ответ:

(2.33) где – коэффициент прохождения кольца в бесспиновом случае. Этот результат находится в соответствии с общей теоремой, установленной в [45].

Для поляризации спина получаем из (2.20) следующее выражение:

(2.34) Из полученных результатов мы видим, что спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению антирезонанса при на два одинаковых антирезонанса при. В окрестности этих двух значений магнитного потока выходящий пучок электронов оказывается поляризованным по спину в направлении вектора (или ), причем. Графики и изображены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Коэффициент прохождения (a) и спиновая поляризация прошедших электронов (b) в случае кольца со спин-орбитальным взаимодействием Полная поляризация спина прошедших через кольцо электронов при имеет простое физическое объяснение. Мы видели в главе 1, что при полуцелых значениях потока происходит полная деструктивная интерференция электронных волн, проходящих через кольцо, в результате чего коэффициент прохождения обращается в ноль:. Допустим теперь, что в кольцо со спин-орбитальным взаимодействием поступают электроны в спиновом состоянии. Проведенные выше вычисления показали, что такой электрон "чувствует" эффективный поток (к фазе Ааронова-Бома добавляется фаза Ааронова Кэшера). При происходит полная деструктивная интерференция, то есть такие электроны блокируются. В то же время электроны, вошедшие в кольцо в состоянии, беспрепятственно проходят через кольцо, и на выходе интерферометра мы имеем электроны в состоянии, то есть со спином, направленным вдоль вектора В точке электроны с начальными состояниями и меняются ролями, и мы получаем полную поляризацию в направлении Итак, одноканальное кольцо со спин-орбитальным взаимодействием может работать как управляемый магнитным полем спиновый фильтр. Как обсуждалось в разделе 1.1, принципиально новым результатом является то, что такой спиновый фильтр может работать при сравнительно высоких температурах, Отметим, что коэффициент прохождения (2.33) осциллирует не только как функция (эффект Ааронова-Бома), но и как функция (эффект Ааронова-Кэшера).

При этом осцилляции Ааронова-Кэшера имеют место, в том числе, в отсутствие магнитного потока:

(2.35) Поляризация спинов электронов, однако, в отсутствие магнитного потока не происходит:

В заключение этого параграфа приведем явные выражения для величины, определяющей расстояние между антирезонансами, и угла, равному, согласно (2.29) и (2.34), углу наклона вектора поляризации электронов, прошедших через кольцо, по отношению к оси. Полагая в (2.13) имеем:

(2.36) (2.37) Напомним, что – безразмерная величина, характеризующая силу спин орбитального взаимодействия, а – угол наклона встроенного электрического поля к плоскости кольца. Величина ограничена только условием квазиклассичности, поэтому не является малым параметром.

При имеем:

(2.38) Отметим, что в случае однородного электрического поля, направленного вдоль оси ) расстояние между антирезонансами квадратично зависит от силы спин ( орбитального взаимодействия.

В противоположном случае (2.39) Приближенное равенство объясняется тем, что движение электрона в кольце, и, соответственно, изменение эффективного магнитного поля, действующего на спин, происходит сравнительно медленно. В связи с этим спин электрона адиабатически следует направлению этого поля. Иногда в адиабатическом выражении для фазы Ааронова-Кэшера выделяют "динамический" вклад и "геометрическую" фазу Берри [47].

2.5 Кондактанс кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием При наличии зеемановского взаимодействия спин не возвращается в исходное состояние при прохождении электрона пути в одном, затем в другом направлении.

Поэтому соотношения (2.27) не выполняются, и мы возвращаемся к общему виду матрицы, даваемому формулой (2.22).

На первый взгляд, нахождение коэффициента прохождения при данных условиях является весьма трудоемкой задачей, так как приходится иметь дело с матрицей размерностью 4x4 довольно общего вида. Вспомним, однако, что основная трудность происходит от необходимости учета рассеяния назад на контактах (без учета такого рассеяния расчет сводится к суммированию геометрических прогрессий, см. раздел 1.2). При этом, как мы видели, в задаче без спина рассеяние назад играет существенную роль только вблизи целых значений магнитного потока.


Чтобы выяснить роль рассеяния назад на контактах в задаче со спином, перейдем к базису, в котором матрица диагональна в отсутствии этого рассеяния.

При матрица имеет блочно-диагональный вид:

(2.40) Эта матрица диагонализуется преобразованием с блочно диагональной матрицей вида (2.41) где столбцы матриц есть собственные векторы Учитывая, что, где (см. предыдущий раздел), сразу получаем собственные векторы:

(2.42) Здесь мы пользуемся тем, что направлению спина, заданному углами сферической системы координат, отвечает спинор.

Совершив теперь такое же преобразование с исходной матрицей (содержащей рассеяние назад), получаем:

(2.43) Здесь а также введены обозначения, которые будут часто использоваться в дальнейшем:

(2.44) Члены, пропорциональные, в матрице (2.43) опущены.

Каждый внедиагональный элемент матрицы (2.43) может быть существен только при таких, при которых он сравним с разностью соответствующих диагональных элементов. Это значит, что рассеянием назад можно пренебречь всюду за исключением -окрестностей значений, отвечающих равенствам и Эти значения потока таковы:

и. В окрестностях каждого из этих четырех значений достаточно учесть только два соответствующих внедиагональных элемента, в результате чего матрица становится блочно-диагональной (с блоками размерностью 2х2, 1х1 и 1х1), и вычисления можно провести, воспользовавшись формулой (А.6) приложении А. Детали этих вычислений описаны в приложении Г, здесь же приведем окончательные результаты:

(2.45) (2.46) (2.47) (2.48) Здесь (2.49) Таким образом, при наличии зеемановского взаимодействия, на каждом единичном интервале потока коэффициент прохождения имеет четыре антирезонанса: при и В окрестности этих точек электроны, проходящие через кольцо, поляризуются по спину. Графики функций (2.45)-(2.48) построены на рис. 2.2.

Отметим интересную особенность: при наличии зеемановского взаиомдействия в поляризации спина имеется -составляющая (2.47), причем пики в зависимости от потока качественно отличаются от тех, что имеются в и, :

во-первых, они имеют несимметричную форму, и во-вторых, все четыре пика одинаковы по амплитуде (рис. 2.2 (с)).

Рис. 2.2. Коэффициент прохождения (a) и компоненты вектора спиновой поляризации прошедших электорнов (b), (c), (d) для кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием Приведем теперь выражения для величин, входящих в формулы (2.45)-(2.48) в предельных случаях слабого и сильного зеемановского взаимодействия. При имеем (2.50) (2.51) (2.52) В противоположном случае,, (2.53) (2.54) (2.55) Из этих выражений видно, что в обоих предельных случаях два антирезонанса глубокие, а два других – мелкие (при малых имеем, при больших – наоборот). Положения глубоких антирезонансов определяются, в основном, силой спин-орбитального взаимодействия, а положения мелких – силой зеемановского взаимодействия (см. (2.50), (2.53)).

На рис. 2.3 изображены зависимости положений четырех антирезонансов от при фиксированном. Отметим следующую особенность: при (встроенное электрическое поле однородно и направлено перпендикулярно кольцу) глубокие антирезонансы сближаются в пределе сближаются: согласно (2.53), в этом пределе (см. также рис. 2.3(b)). В результате и Таким образом, при достаточно сильное зеемановское взаимодействие подавляет эффекты, обусловленные спин-орбитальным взаимодействием. Это проиллюстрировано также рисунком 2.4, где построена зависимость при и Рис. 2.3. Положения антирезонансов в зависимости от при и различных значениях :

(a) и (b). Сплошные и пунктирные линии отвечают антирезонансам при и соответственно.

Рис. 2.4. Коэффициент прохождения в случае большого зеемановского расщепления:

(b). В случае (a), эффекты, обусловленные спин-орбитальным взаимодействием, подавляются при больших (b).

2.6 Переходы через квазистационарные состояния в кольце со спин орбитальным и зеемановским взаимодействием Мы видели в разделе 1.5, что удобным подходом, позволяющим на качественном уровне понять особенности эффекта Ааронова-Бома при высоких температурах, является рассмотрение переходов электронов через квазистационарные состояния в кольце. Применим этот подход к кольцу со спин орбитальным и зеемановским взаимодействием.

Как и в разделе 1.5, мы будем пользоваться соотношением, связывающим коэффициент прохождения с энергиями и волновыми функциями замкнутого кольца, которое выведено в приложении Б. Это соотношение легко обобщить на случай задачи со спином. Для введенных в разделе 2.3 усредненных вероятностей имеем:

(2.56) где скалярные произведения берутся в спиновом пространстве. Как и в бесспиновом случае, области значений магнитного потока, при которых существен тот или иной интерференционный член, определяются из условия близости соответствующих уровней энергии: Это означает, что, определяя значения потока, при которых происходит вырождение уровней энергии замкнутого кольца, мы можем выяснить положения антирезонансов в коэффициенте прохождения.

Отметим еще, что согласно (2.56), амплитуда антирезонанса, возникшего вследствие интерференции процессов перехода через уровни и, пропорциональна а амплитуда соответствующего пика в поляризации спина пропорциональна Таким образом, рассмотрение стационарных состояний замкнутого кольца позволяет понять многие закономерности эффектов Ааронова-Бома а Ааронова Кэшера при высоких температурах. Кроме того, данный подход поможет выяснить каково влияние примесей на эти эффекты (см. раздел 3.4).

Необходимо, однако, помнить о том, что в рамках этого подхода не учитывается рассеяние назад на контактах, так что амплитуды некоторых антирезонансов, вычисленные с помощью (2.56), могут быть неправильны.

Найдем теперь волновые функции и энергии стационарных состояний. В приложении В показано, что в квазиклассическом приближении стационарные волновые функции записываются в виде, где функция находится из уравнения (2.5), а число определяет уровни энергии:

(здесь – угловая координата, а – соответствующая длина дуги;

они связаны соотношением ).

Фактически, нет необходимости вновь возвращаться к уравнению (2.5).

Можно вместо этого воспользоваться равенством, где – матрица поворота спина, найденная в разделе 2.2, а спиноры есть не что иное, как собственные векторы матриц, также найденные выше (см. (2.42)). Отсюда (2.57) Далее, из условия однозначности волновой функции,, находим [47, 49, 50, 51]:

(2.58) где – положительные целые числа ( ).

Рассмотрим сначала случай (зеемановское взаимодействие отсутствует). В этом случае, то есть спин-орбитальное расщепление уровней одинаково для обоих направлений движения. Положения уровней при изображены на рис. 2.5. Изменение магнитного потока "сдвигает" вверх уровни, отвечающие движению против часовой стрелки ( ), и вниз – отвечающие движению по часовой стрелке ( ). Из рисунка видно, что при (а также при ) имеет место попарное вырождение уровней. Антирезонансов в этих точках, однако, не возникает, поскольку соответствующие спиноры ортогональны:

учитывая, что из (2.57) получаем В то же время, сдвиг магнитного потока на или приводит к вырождению уровней с "сонаправленными" спинами. Поэтому антирезонансы могут возникнуть при и. При, однако, оказывается существенным рассеяние назад на контактах, и в итоге остаются два антирезонанса при (см. (2.33)).

Рис. 2.5. Уровни энергии электронов в кольце со спин-орбитальным взаимодействием. В левой части рисунка изображены уровни, отвечающие движении против часовой стрелки, в правой – по часовой стрелке. Стрелками справа от уровней условным образом изображены направления спина.

Пусть теперь имеется зеемановское взаимодействие, а спин-орбитальное отсутствует. Тогда, в противоположность рассмотренному выше случаю, уровни с "сонаправленными" спинами пересекаются при и, поэтому зеемановское взаимодействие само по себе не приводит к расщеплению антирезонансов.

В случае одновременного присутствия спин-орбитального и зеемановского взаимодействия расщепление уровней различается для двух направлений движения:

(рис. 2.6). Вырождение происходит при восьми значениях потока: при и (напомним, что ). Скалярные произведения спиноров во всех восьми случаях отличны от нуля и определяют амплитуды соответствующих пиков (без учета рассеяния назад на контактах). Например, при вырождаются уровни и, и поэтому амплитуда антирезонанса в коэффициенте прохождения должна быть пропорциональна, что согласуется с формулой (2.45).

Рис. 2.6. Уровни энергии электронов в кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием.

Рассеяние назад на контактах приводит к уничтожению антирезонансов при и (см. приложение Г), но не затрагивает четыре оставшихся антирезонанса при и.

Рассмотрим в качестве еще одного примера случай В этом случае спины электронов в стационарных состояниях поляризованы вдоль и против оси, так что антирезонанса в этом предельном случае должно быть два. Между уровнями, отвечающими движению в разных направлениях, имеется не зависящее от смещение:

определяющее расстояние между антирезонансами ). При этом ( поляризация спина на выходе может, очевидно, иметь только -составляющую. Эти выводы полностью согласуются с приведенными в 2.5 результатами: из (2.45)-(2.48) и (2.53)-(2.55) получаем для рассматриваемого предельного случая Глава Влияние слабого беспорядка на эффект Ааронова-Бома в квантовых кольцах при высоких температурах 3.1 Высокотемпературный эффект Ааронова-Бома в кольце с короткодействующими примесями В первых двух главах было показано, что интерференционные эффекты в квантовых одноканальных кольцах имеют место при сравнительно высоких температурах. В том числе, как показано в главе 2, при высоких температурах сохраняется возможность применения таких колец в качестве спиновых поляризаторов. При этом кольца предполагались баллистическими. Данная глава посвящена вопросу о влиянии беспорядка на явления, рассмотренные в первых двух главах.

Рассмотрим одноканальное квантовое кольцо с короткодействующими примесями, расположенных в точках с координатами (, начало отсчета – точка, см. рис. 3.1). Для простоты будем считать примеси одинаковыми и симметричными. Амплитуду отражения от примесей обозначим как.

Важным параметром, характеризующим силу примесного беспорядка, является величина Случаи и назовем, соответственно, режимами слабого и сильного беспорядка. В режиме сильного беспорядка эффект Ааронова-Бома подавляется. Действительно, наличие одной примеси с коэффициентом отражения близким к единице означает "разрыв" кольца в месте расположения этой примеси, что приводит к невозможности совершить полный оборот вокруг кольца, и в результате кондактанс кольца не зависит от магнитного потока;

в случае же нескольких примесей условие говорит о том, что длина свободного пробега меньше длины кольца, и происходит одномерная локализация электронов. В связи с этим мы рассматриваем только режим слабого беспорядка, Рис. 3.1. Кольцо с примесями.

Условие означает, что вероятность рассеяться на примесях за время одного оборота мала. В то же время мы будем допускать большое количество рассеяний за время жизни электрона в кольце. Можно было бы ожидать, что в этом случае эффект Ааронова-Бома подавляется. Поскольку количество оборотов электрона в кольце по порядку величины равно условие этого подавления можно было бы записать как Как мы увидим ниже, эта гипотеза оказывается неверной: в условиях слабого беспорядка, вне зависимости от соотношения параметров и эффект Ааронова-Бома оказывается не менее ярко выраженным, чем в случае "чистого" кольца. Мы также увидим, что влияние примесей становится существенным уже при вместо ожидаемого условия Причины несостоятельности приведенных выше ожиданий будут очевидны из содержания раздела 3.3. Теперь же мы приступим к формальному вычислению кондактанса.

Чтобы применить метод вычисления кондактанса, изложенный в разделе 1.3, необходимо включить в элементы матрицы и вектора амплитуды траекторий, содержащих рассеяние на примесях (напомним, что матрица и вектор описывают процессы, происходящие, соответственно, между последовательными подходами электрона к контакту и перед первым подходом к этому контакту). При произвольной силе примесей такую задачу выполнить невозможно. Нас, однако, интересует случай. Кроме того, мы будем, в основном, изучать, поведение антирезонанса при, поэтому будем рассматривать область В этих условиях матрицу (и вектор ) можно существенно упростить. Приведенные ниже упрощения делаются на основании физических соображений, математически же их допустимость показана в конце приложения Д.

Запишем матрицу как сумму, где матрица имеет вид (1.14), а описывает рассеяние на примесях. Первое упрощение состоит в пренебрежении вкладами траекторий, содержащих на одном и том же обороте происходит рассеяние и на примеси, и на контакте (то есть вкладами порядка и выше). Это означает замену на Второй шаг – пренебрежение рассеянием назад на контактах в (напомним, что рассеяние назад вблизи оказывается несущественным из-за множителей во внедиагональных элементах, см. (1.14)). Наконец, поскольку рассеяние на примесях до первого подхода электрона к контакту маловероятно, мы оставим вектор, относящийся к случаю чистого кольца (1.15), без изменений.

В принятых приближениях имеем:

или (3.1) где Физический смысл матрицы проясняется рисунком 3.1. Согласно определению матрицы, данному в 1.3, матрица связывает амплитуды волн, подходящих к контакту и исходящих из него:

(3.2) Отсюда видно, что есть не что иное, как -матрица комплексного рассеивателя, состоящего из примесей, расположенных в точках с координатами. Такая матрица в наиболее общем виде записывается как (3.3) где и – амплитуды прохождения и отражения комплексного рассеивателя (деленные на ). Здесь принята во внимание инвариантность процессов рассеяния на примесях по отношению к обращению времени: амплитуда прохождения комплексного рассеивателя не зависит от направления движения.

Унитарность матрицы, вытекающая из сохранения числа электронов в замкнутом кольце, приводит к условиям (3.4) Теперь мы разложим амплитуды отражения до первого порядка по амплитудам отражения на отдельной примеси. Это означает, что мы учитываем не более одного отражения на примесях между последовательными подходами к контакту. Такое упрощение допустимо, поскольку при вероятность рассеяния на примесях за время одного оборота мала.

Чтобы установить вид разложения, рассмотрим, например, случай, когда электрон двигается от точки в положительном направлении, отражается на примеси в точке и возвращается в точку. Амплитуда такой траектории есть (см. рис. 3.1). Поэтому соответствующий внедиагональный элемент матрицы содержит член. Рассуждая таким образом, убеждаемся, что (3.5) Что же касается амплитуд, их следует выразить через с помощью соотношений (3.4), сохранив тем самым унитарность матрицы.

Как мы видим, матрица теперь зависит от. Это связано с тем, что в отличие от случая "чистого" кольца, длина пути, проходимого между последовательными подходами к контакту не всегда равна. Вследствие этого переход от к вообще говоря, незаконен, поскольку (1.11) (1.12), Тем не менее, если мы предположим, что координаты примесей несоизмеримы с длиной кольца, то такой переход становится возможным. Действительно, величина представляет собой сумму, в каждое слагаемое которой входит в экспоненту вида где – целые числа. Если координаты (и все их линейные комбинации с целыми коэффициентами) несоизмеримы с, то среднее по от таких экспонент равно нулю при. Тогда и вместо (1.16) получаем (3.6) Мы имеем все необходимое, для вычисления коэффициента прохождения по этой формуле: матрица дается формулами (3.1), (3.3), (3.4) и (3.5), вектор – формулой (1.15). Cумму, входящую (3.6), можно вычислить с помощью формулы (А.6) приложения А. Детали этого вычисления, а также обоснование сделанных выше приближений, рассматриваются в приложении Д. Приводим здесь ответ:

(3.7) Формула (3.7) представляет собой основной результат данной главы. В следующем подпункте мы рассмотрим форму антирезонанса, описываемого формулой (3.7), в различных предельных случаях.

3.2 Исследование общей формулы Начнем со случая одной примеси. Проводя усреденение по в формуле (3.7), получаем антирезонанс лоренцевой формы:

(3.8) Как можно было ожидать, рассеяние на примеси приводит к уширению антирезонанса и к уменьшению его глубины. При получаем (вместо в кольце без примесей) и ширину Не столь ожидаемым является тот факт, что при сравнительно сильном рассеянии на примеси,, глубина провала перестает уменьшаться с ростом Она стала вдвое меньше по сравнению со случаем кольца :

без примеси. Ширина же провала пропорциональна модулю амплитуды рассеяния:

Рассмотрим теперь случай кольца с несколькими примесями. Интеграл по в формуле (3.7) в общем виде не вычисляется, однако можно существенно упростить задачу, предположив, что координаты примесей несоизмеримы друг с другом. В этом случае усреднение по эквивалентно усреднению по. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим разложение дроби в формуле (3.7) в ряд Лорана по экспонентам. Каждый член этого ряда имеет вид с целыми Усредняя по такую экспоненту, имеем Но несоизмеримость координат означает что равенство выполняется тогда и только тогда, когда все Значит, В случае двух примесей интегрирование дроби в (3.7) по переменным и элементарно, и мы получаем:

(3.9) Ширина и глубина этого антирезонанса ведет себя так же, как в случае одной примеси, но его форма, очевидно, нелоренцева. В режиме антирезонанс имеет заостренную форму (см. рис. 3.2): в узкой области коэффициент прохождения квадратично зависит от, а в области – линейно:

Теперь мы получим выражение для коэффициента прохождения, справедливое при любом числе примесей. Для этого перепишем дробь в формуле (3.7) в виде, удобном для усреднения по координатам примесей:

где Это выражение легко усредняется по где – функция Бесселя нулевого порядка.

Далее, замечаем, что под интегралом можно заменить на Переходя к полярным координатам в плоскости и интегрируя по углу, получаем (3.10) Наконец, можно взять интеграл по (3.11) где – модифицированная функция Бесселя второго рода.

Покажем теперь, что при антирезонанс имеет глубину, а его ширина по порядку величины равна При, интегрируя по частям, имеем:

(3.12) Функция спадает на масштабе, поэтому аргумент функции мал, и ее можно заменить асимптотикой В результате получаем (3.13) Для оценки ширины антирезонанса в режиме найдем условие, при котором формула (3.11) дает "классическое" значение Таким условием является, так как если оно выполнено, экспоненциальный спад функции происходит при таких, при которых отличие функции от единицы несущественно, и мы получим Таким образом, ширина антирезонанса по порядку величины равна График функции изображен на рис. 3.2.

Наконец, приведем выражение для коэффициента прохождения, справедливое при В этом случае имеем, и можно взять интеграл по в формуле (3.10). Результат выглядит следующим образом:

(3.14) Итак, мы показали, что высокотемпературный эффект Ааронова-Бома отнюдь не подавляется примесями. При сравнительно сильном рассеянии на примесях,, амплитуда антирезонанса остается постоянной (вдвое меньшей, чем в случае кольца без примесей), а ширина растет как. Физические причины такого поведения будут объяснены в следующем разделе.

Рис. 3.2. Антирезонанс в коэффициенте прохождения кольца с примесями.

3.3 Переходы через квазистационарные состояния в кольце с короткодействующими примесями В этом разделе мы обсудим полученные результаты с точки зрения переходов электронов через квазистационарные состояния почти замкнутого кольца.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.