авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии ...»

-- [ Страница 2 ] --

В разделе 1.4 мы выяснили, что вблизи полуцелых значений магнитного потока энергетические уровни в кольце объединяются в пары близких уровней.

Когда расстояние между близкими уровнями равное становится меньше их уширения, становится существенна интерференция между процессами перехода через один и другой уровень в паре. Вследствие этой интерференции появляется антирезонанс шириной в зависимости кондактанса кольца от магнитного потока.

Введем теперь примесный потенциал и попытаемся учесть его по теории возмущений. Матричные элементы перехода между уровнями, отвечающими противоположным направлениям движения, можно записать следующим образом:

(3.15) Здесь мы воспользовались выражением для амплитуды отражения на примеси в борновском приближении,, пренебрегая при этом зависимостью от энергии в температурной полоске.

Модуль матричного элемента (3.15) по порядку величины равен Вспомнив, что расстояние между парами близких уровней равно, мы приходим к выводу, что в интересующем нас случае слабого беспорядка,, примесный потенциал можно учесть по теории возмущений для двух близких уровней. Таким образом, условие слабого беспорядка является критерием применимости двухуровневого приближения.

Простое вычисление дает следующие выражения для волновых функций и энергий стационарных состояний электрона в кольце с примесями:

(3.16) (3.17) где введены обозначения а и – это волновые функции и уровни энергии (1.27) электрона в "чистом" кольце. Схема уровней в кольце с примесями изображена на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Переходы через квазистационарные уровни в кольце с примесями. Расстояние между уровнями составляет и зависит от Из (3.16) мы видим, что уровни энергии в разделены расстоянием не меньшим, чем. В случае это расстояние всегда больше уширения уровней, так что интерференция между процессами перехода через уровни приводит к пренебрежимо малым вкладам в кондактанс кольца. Из этого можно было бы сделать вывод, что при антирезонанс в зависимости кондактанса от потока сильно подавлен. Такой вывод находится в явном противоречии с полученными в разделах 3.1 и 3.2 результатами.

Это кажущееся противоречие легко разрешается, если обратить внимание на то, что "классические" вклады в кондактанс также могут зависеть от магнитного потока (под "классическими" вкладами имеются в виду пропорциональные, где – амплитуда перехода через квазистационарный уровень, см. ()). Эти вклады определяются значениями волновых функций в точках и :

. В кольце без примесей волновые функции не зависят от магнитного потока, но после введения примесей эта зависимость появляется, как видно из (3.17). При волновые функции (3.17) примерно равны невозмущенным функциям, и поэтому практически не зависят от потока, в то же время в области они существенно зависят от. Этой зависимостью и объясняется возникновение антирезонанса шириной Нетрудно выяснить, почему при условии глубина антирезонанса составляет половину "классического" значения При волновые функции (3.17) имеют вид, где – фаза, определяемая положениями примесей, по которой ответ обычно можно усреднить (см. об этом ниже). Каждый классический вклад пропорционален В то же время вдали от антирезонанса Вычисление коэффициента прохождения по формуле (1.20), выражающей его через волновые функции и энергии стационарных состояний замкнутого кольца, проводится в полной аналогии со случаем кольца без примесей. По тем же причинам, что и в чистом кольце, коэффициент прохождения записывается в виде суммы вкладов пар близких уровней. В каждом из этих вкладов можно положить и сделать замену переменной интегрирования на Тогда (3.18) Обратим внимание, что в отличие от случая "чистого" кольца, вклады различных пар уровней отличаются друг от друга не только термическим фактором. Дело в том, что матричные элементы существенно зависят от, как видно из (3.15), и вследствие этого имеет зависимость от подынтегральное выражение в (3.18). Поэтому сразу просуммировать по, как это было сделано в случае чистого кольца, вообще говоря, нельзя. Взяв интеграл по, получаем:

(3.19) где Формула (3.19) отличается от (3.7) заменой на и усреднения по на суммирование по с весовым множителем Ответ (3.19) является более общим, так как при его выводе не было сделано предположения о несоизмеримости координат примесей с длиной кольца Теперь мы покажем, как формула (3.19) переходит в (3.7), если сделать это предположение, а затем приведем примеры, в которых эти две формулы дают существенно различные результаты.

Разложим дробь в формуле (3.19) в ряд Лорана по экспонентам. Каждый член разложения имеет зависимость от вида, где с целыми. Если координаты примесей несоизмеримы с длиной кольца, то, за исключением случаев, когда – иррациональное число, и сумма экспонент, пренебрежимо мала. Тогда имеем Таким образом, мы возвращаемся к формуле Если же помимо (3.7).

несоизмеримости с предположить несоизмеримость координат друг с другом, то, как и раньше, усреднение по можно заменить на усреднение по.

С другой стороны, если распределение примесей по кольцу обладает некоторой симметрией, то следует пользоваться формулой (3.19), а не (3.7).

Приведем несколько примеров. Если примеси расположены симметрично относительно центра кольца, то, и коэффициент прохождения оказывается в точности таким же, как и кольце без примесей (это связано с обращением в ноль матричных элементов, см. (3.15)). Если расположение примесей симметрично относительно серединного перпендикуляра к отрезку с концами в точках и, то, и амплитуда антирезонанса стремится к нулю в режиме Наконец, при расположении, симметричном относительно отрезка, имеем, вследствие чего то есть амплитуда антирезонанса не зависит от силы примесей вовсе, а ширина, как и прежде растет. Последний результат объясняется сокращением амплитуд "зеркальных" траекторий точно так же, как и в кольце без примесей.

3.4 Кондактанс кольца при одновременном присутствии короткодействующих примесей, спин-орбитального и зеемановского взаимодействия Изложенный в предыдущем пункте метод вычисления кондактанса кольца с примесями можно совершенно аналогичным образом применить к случаю, когда в кольце одновременно присутствуют примеси, спин-орбитальное и зеемановское взаимодействие.

Вспомним, что как в отсутствие, так и при наличии этих взаимодействий, антирезонансы в коэффициенте прохождения чистого кольца возникают при таких магнитных потоках, при которых происходит вырождение уровней в кольце (см.

2.6). Например, антирезонанс при отвечает вырождению уровней и. Потенциал примесей снимает вырождение, и если он достаточно слаб, то, как и в 3.3, мы можем воспользоваться двухуровневым приближением (в данном случае величина должна быть мала не только по сравнению с единицей, но и по сравнению с расстояниями между антирезонансами). Влиянием примесей на уровни, не входящие в близкие пары (при, например, это ) можно пренебречь вовсе.

Волновые функции и энергии близких уровней "грязного" и "чистого" колец со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием связаны друг с другом соотношениями, аналогичными (3.16), (3.17), с той лишь разницей, что матричные элементы потенциала примесей теперь несколько иные:

(3.20) (3.21) где и дается формулой (3.15), а определены в (2.51). Дальнейшие вычисления весьма громоздки, но по существу просты (они заключаются в вычислении выражений вида (2.56) с искаженными примесями волновыми функциями и энергиями). Результат этих вычислений следующий:

(3.22) где – коэффициент прохождения кольца с примесями, (3.7), в котором амплитуда отражения на примеси заменена на.

Сравнивая формулы (3.22) и (2.45), мы видим, что влияние рассеяния на примесях в отсутствие и при наличии спин-орбитального и зеемановского взаимодействий одинаково. В частности при глубина антирезонансов вдвое меньше, чем в чистом кольце. Единственное отличие заключается в замене на "эффективные" амплитуды отражения и. Причина этой замены очевидна из (3.20), (3.21). График зависимости (3.22) приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Коэффициент прохождения кольца с примесями, спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием.

Выражение для коэффициента прохождения выглядит особенно просто в отсутствие зеемановского взаимодействия:

(3.23) Как и в "чистом" кольце (см. (2.33)), коэффициент прохождения является периодической функцией (осцилляции Ааронова-Бома) и (осцилляции Ааронова-Кэшера).

Главный вывод этого пункта состоит в том, что эффекты, рассмотренные в главе 2, не подавляются даже сравнительно сильным рассеянием на примесях,. В этом режиме амплитуды антирезонансов уменьшаются лишь в 2 раза (а их ширина растет пропорционально ).

3.5 Кондактанс кольца с плавным потенциалом при высоких температурах В пунктах 3.1-3.4 мы рассматривали кольцо с короткодействующими примесями. Теперь рассмотрим другой тип беспорядка – слабый плавный потенциал ), меняющийся на масштабе много большем длины волны ( электрона. Рассеяние назад на таком потенциале экспоненциально подавлено, но в то же время фазы, набираемые при движении в этом потенциале, могут существенно сказаться на интерференционных явлениях.

Обозначим разность фаз, набираемых при проходе от контакта к контакту по верхнему и нижнему плечу интерферометра, как :

(3.24) Матрица и вектор записываются с точностью до несущественных фазовых множителей следующим образом:

(3.25) (3.26) Как видно из (3.25), рассеяние назад на контактах теперь существенно как вблизи, так и поэтому пользоваться методом, связанным с переходами через квазистационарные уровни, нельзя. Строгий расчет по формуле (А.6) приложения А приводит к следующему выражению:

(3.27) Эта формула, как и следовало ожидать, аналогична той, что описывает коэффициент прохождения кольца с разными длинами плеч (см. формулу (A3) в [65]).

Мы видим, что плавный потенциал приводит к возникновению дополнительных антирезонансов при целых значениях потока. Глубины антирезонансов являются осциллирующими функциями разности фаз :

Условием применимости формулы (3.27) является малость изменения в температурной полоске: или, согласно (3.24), (3.28) Таким образом, разность фаз не обязательно мала. Это обстоятельство принципиально отличает случай плавного потенциала от случая короткодействующих примесей. Действительно, фаза рассеяния вперед на короткодействующей примеси по порядку величины равна, а разность количества примесей в двух плечах интерферометра – порядка так что (в согласии с этим, в случае кольца с короткодействующими примесями кондактанс имеет маленький провал вблизи см. конец приложения Д).

Отметим, что усреднение по формулы (3.27) приводит к тому, что период функции становится равным 1/2, что согласуется с результатами работ [31, 32] (такое усреднение имеет смысл при изучении ансамблей колец).

Глава Спиновые волны в магнитных квантовых ямах 4.1 Основные свойства разбавленных магнитных полупроводников (обзор) Разбавленные магнитные полупроводники представляют собой материалы, занимающие промежуточное место между ферромагнетиками и полупроводниками.

Разбавленные магнитные полупроводники получают путем замещения небольшой доли катионов в полупроводниковом материале типа A3B5 или A2B6 магнитными примесями (обычно, примесями марганца) [8]. В таких материалах наблюдается ряд явлений, характерных для магнитных материалов, в том числе ферромагнитный переход [69-74]. При этом сохраняются обычные полупроводниковые свойства, в частности, возможность интегрирования в полупроводниковые гетероструктуры.

Электронная конфигурация внешних оболочек атомов марганца имеет вид. В полупроводниках типа A2B6 валентность катионов, замещаемых атомами марганца, равна двум. Два электрона на -оболочке участвуют в образовании ковалентных связей, а электроны -оболочки остаются химически инертными. В полупроводниках типа A3B5 внедрение атомов марганца приводит к появлению примесных уровней в запрещенной зоне. В антимонидах и арсенидах примеси марганца ведут себя как мелкие акцепторы. Пять электронов на -оболочке марганца можно рассматривать как одну локализованную частицу со спином, поскольку, согласно правилу Хунда, энергетически выгодными являются конфигурации с сонаправленными спинами всех пяти электронов. Применимость этой простой модели подтверждается экспериментально [75, 76].

Многие уникальные свойства разбавленных магнитных полупроводников связаны с обменным взаимодействием между делокализованными носителями заряда (электронами в зоне проводимости и дырками в валентной зоне) и электронами, локализованными на внешних -оболочках атомов марганца.

Наиболее важную роль в исследуемых в данной работе явлениях играет обменное взаимодействие типа (между электронами проводимости и s-d локализованными электронами).

Это взаимодействие может быть описано гамильтонианом вида, где и – операторы векторов спина -го электрона и -го иона марганца соответственно, – оператор координат электрона, а – вектор положения иона [8]. Знак минус отражает ферромагнитный характер обменного взаимодействия ( ). Функция спадает на масштабе постоянной решетки кристалла, поскольку обменное взаимодействие имеет место только в области перекрытия волновых функций электронов. Все характерные масштабы в рассматриваемых ниже задачах намного больше постоянной решетки, поэтому можно положить, где – константа обменного взаимодействия. Таким образом, гамильтониан обменного взаимодействия имеет вид (4.1) Непосредственное обменное взаимодействие между различными атомами марганца ( - взаимодействие), имеющее антиферромагнитный характер, обычно не очень существенно, поскольку магнитные примеси удалены друг от друга на большие расстояния и их -оболочки слабо перекрываются. Это взаимодействие можно учесть, заменив долю магнитных примесей на эффективную и температуру на, где [8, 77]. Зависимости и от определяются эмпирически. В дальнейшем под концентрацией и температурой магнитных примесей будут пониматься их эффективные значения.

Большинство работ, касающихся разбавленных магнитных полупроводников, посвящено всестороннему изучению ферромагнитного перехода (см. обзор [78]). В данной диссертации нас будет интересовать другие, значительно менее изученные свойства разбавленных магнитных полупроводников – спектр и затухание спиновых возбуждений в парамагнитной фазе. Из экспериментальных работ на эту тему нас будут интересовать работы [79, 80], в которых были исследованы однородные коллективные спиновые возбуждения электронов и ионов марганца в квантовых ямах на основе. Двумерная концентрация магнитных ионов см-2, а концентрация двумерного электронного составляла по порядку величины см-2. Образец был помещен в криостат с температурой газа ив магнитное поле, параллельное плоскости квантовой ямы (вдоль оси ).

Спиновая динамика исследовалась оптическим методом. Возбуждение осуществлялось пикосекундными циркулярно-поляризованными лазерными импульсами. Перед возбуждением спины электронов и ионов были поляризованы вдоль оси. Импульс накачки генерировал электроны и дырки, поляризованные по спину в направлении роста квантовой ямы. В этом направлении -фактор дырок мал, и поэтому направление спина дырок остается практически неизменным в течение времени релаксации их спина (порядка 5 пс). Поляризованные по спину дырки создают обменное поле, действующее на спин ионов, благодаря чему спины ионов отклоняются от оси и начинают прецессировать вокруг нее. Спины электронов в результате возбуждения также прецессируют вокруг направления эффективного поля (последнее складывается из внешнего поля и обменного поля ионов). В результате намагниченность образца в направлении, перпендикулярном плоскости ямы, становится осциллирующей функцией времени. За импульсом накачки следует пробный линейно-поляризованный лазерный импульс. Плоскость его поляризации поворачивается пропорционально -компоненте намагниченности образца (эффект Керра). По величине этого поворота определяют намагниченность как функцию времени между импульсами.

Зависимости частот однородных спиновых возбуждений от внешнего магнитного поля, полученные в экспериментах, схематично изображены на рис. 4.1.

Теоретически поведение кривых на рис. 4.1 объясняется следующим образом [80, 81].

Спины электронов и магнитных ионов прецессируют в эффективных магнитных полях, каждое из которых складывается из внешнего поля и обменного поля. Обменное поле, действующее на ионы со стороны электронов, мало по сравнению с внешним полем (это связано с низкой концентрацией электронов), поэтому можно ожидать, что частота прецессии спина ионов есть линейная функция внешнего магнитного поля. Обменное поле, действующее на электроны со стороны ионов, напротив, намного сильнее внешнего из-за относительно высокой концентрации магнитных примесей. Это приводит к так называемому ”гигантскому эффекту Зеемана”: обменное взаимодействие с магнитными ионами многократно увеличивает энергию зеемановского расщепления электронов. Эта энергия, однако, пропорциональна поляризации спина ионов, и поэтому насыщается как функция. В условиях насыщения,, кривая медленно спадает в связи с тем, что в рассматриваемых структурах -фактор электронов отрицателен.

Таким образом, кривые и пересекаются при некотором.

Эксперименты показали, однако, что пересечения частот коллективных возбуждений не происходит, кривые сближаются на некоторое минимальное расстояние, а затем вновь расходятся (рис. 4.1). Это можно объяснить, если учесть вклад малых поперечных по отношению к внешнему полю компонент спина в обменные поля. Тогда уравнения ларморовской прецессии, написанные для поперечных компонент спина электронов и ионов, оказываются связанными. Решая их, можно показать, что частоты коллективных возбуждений даются следующей формулой [80, 81]:

(4.2) Этот результат, полученный экспериментально и теоретически, показывает, что спиновые моды в разбавленных магнитных полупроводниках являются ”смешанными”: спины электронов и ионов прецессируют не независимо, а согласованно. Поэтому можно ожидать, что в таких системах могут распространяться спиновые волны (неоднородные спиновые возбуждения), обусловленные обменным взаимодействием между электронами и ионами. В частности, за счет этого взаимодействия должна появиться зависимость частоты ионных спиновых возбуждений от волнового вектора.

Рис. 4.1. Спектр однородных коллективных спиновых возбуждений. Пунктирные линии и изображают, соответственно, частоты прецессии спинов электронов и ионов в равновесных эффективных полях, сплошные линии – частоты однородных возбуждений. Кривая описывает частоту прецессии спинов электронов с учетом обменного взаимодействия электронов друг с другом (см. раздел 4.4).

Волны электронного спина могут существовать также благодаря обменному взаимодействию между электронами проводимости. Такие волны можно описать в рамках теории ферми-жидкости Ландау [82, 83]. В разбавленных магнитных полупроводниках спиновые волны такого типа были изучены экспериментально в работе [84] и теоретически в работе [85]. С другой стороны, в работе [86] изложена теория спиновых волн, обусловленных только электрон-ионным обменным взаимодействием. При этом предполагалось, что внешнее магнитное поле отсутствует, а спин электронов и ионов поляризован спонтанно (ферромагнитная фаза). Спиновые волны в трехмерном случае рассматривались в [87, 88]. В данной главе строится теория спиновых волн в квантовых ямах на основе разбавленных магнитных полупроводников при наличии внешнего магнитного поля, учитывающая оба типа обменного взаимодействия.

В работе [80] было экспериментально доказано, что кроме обсуждавшихся выше двух коллективных мод существуют другие, ”отщепленные” моды. Эти моды соответствуют возбуждениям, в которых участвуют только магнитные ионы, но не электроны. Об этом говорит чрезвычайно малая скорость затухания этих мод (на несколько порядков меньшая, чем у коллективных мод), и точное совпадение их частот с. Теоретическое объяснение этому явлению также дано в работе [80].

Независимая прецессия спинов ионов возможна, если поперечная компонента спина ионов распределена вдоль направления роста ямы так, что суммарное создаваемое этой компонентой обменное поле, действующее на электроны, равно нулю. Более подробное обсуждение этого вопроса, а также обобщение на случай неоднородных возбуждений проведено в разделе 4.7.

Описанные выше эксперименты позволяют также определить времена затухания поперечных компонент спина электронов и ионов. Было обнаружено, что время затухания электронного спина сильно зависит от поляризации ионов (в частности, не зависит от магнитного поля при ). Это указывает на то, что доминирующие механизмы затухания спина связаны с электрон-ионным обменным взаимодействием. Причиной затухания поперечной компоненты спина электронов может быть неоднородность обменного поля, создаваемого ионами. В работе [89] учтено, что ионы располагаются случайным образом по образцу, что приводит к флуктуациям обменного поля. Время релаксации поперечной компоненты спина, обусловленной такого рода флуктуациями, оказалось значительно больше, чем наблюдаемое экспериментально ( пс [80]). Флуктуации обменного поля могут быть также крупномасштабными (иметь большую длину корреляции). Это возможно, например, при наличии флуктуаций ширины квантовой ямы. В главе диссертации рассматривается затухание поперечной компоненты электронного спина, связанное с такими флуктуациями. При наличии флуктуаций ширины ямы эффективное магнитное поле является пространственно неоднородным с большой (по сравнению с расстоянием между магнитными ионами) длиной корреляции.

Вследствие этого частота прецессии спина электронов оказывается разной в разных участках структуры, и происходит расфазировка спинов электронов. Будет показано, что такой механизм может приводить к значительно меньшему характерному времени затухания поперечной компоненты спина, чем время, предсказанное в работе [89].

4.2 Гамильтониан задачи. Приближение среднего поля Рассмотрим вырожденный двумерный электронный газ, находящийся в плоскости и взаимодействующий с магнитными примесями (ионами). Система помещена во внешнее магнитное поле, направленное против оси.

Гамильтониан обменного взаимодействия электрона с магнитными ионами записывается следующим образом:

(4.3) Здесь – константа обменного взаимодействия, и – операторы спинов электрона и ионов (индекс нумерует ионы), и – координаты электрона и ионов соответственно.

В дальнейшем будет всегда предполагаться, что электроны занимают только нижний уровень размерного квантования в яме. Соответствующую волновую функцию обозначим как. Гамильтониан взаимодействия можно усреднить вдоль направления с весовой функцией. Выполняя :

интегрирование, получим:

(4.4) где.

Таким образом, гамильтониан системы записывается в виде (4.5) Здесь – оператор импульса электрона, – его эффективная масса, и – энергии зеемановского расщепления электронов и ионов во внешнем поле:

(4.6) где – -факторы электрона и иона (в рассматриваемых структурах – магнетон Бора.

), Гамильтониан (4.5) записан с учетом того, что магнитное поле направлено параллельно плоскости квантовой ямы и поэтому влияет только на спиновые степени свободы, не затрагивая орбитальное движение электронов.

Возбуждение спиновых волн, рассматриваемых в этой главе, сопровождается отклонением спинов электронов и ионов от своих равновесных значений. Поэтому необходимо учитывать как динамику электронного спина в переменном во времени и пространстве обменном поле ионов, так и динамику спина ионов в обменном поле, создаваемом электронами. Для решения этой задачи будет использован метод среднего поля, который заключается в следующем.

Рассмотрим систему из спинов, взаимодействующих со спинами.

Количество спинов первого и второго типа обозначим и соответственно.

Гамильтониан взаимодействия пропорционален сумме, которую можно записать следующим образом:

(4.7) Угловые скобки означают усреднение с матрицей плотности системы :

,.

В термодинамическом равновесии среднее значение первых трех членов в формуле (4.7) пропорционально, а последний член описывает флуктуации, амплитуда которых пропорциональна. Приближение среднего поля заключается в пренебрежении последним членом формулы (4.7), что допустимо при. Поскольку третий член в (4.7) является константой, его можно не писать в гамильтониане. Таким образом, приближение среднего поля означает замену (4.8) Применительно к разбавленным магнитным полупроводникам приближение среднего поля допустимо, поскольку каждый электрон взаимодействует с большим числом магнитных ионов: так как концентрация электронов намного меньше концентрации ионов, выполняется соотношение, где – длина волны электрона на уровне Ферми. Благодаря этому же соотношению можно сделать еще одно приближение – заменить дискретное распределение ионов непрерывным в плоскости ямы распределением. Индекс нумерует атомарные слои вдоль направления роста ямы ). Дискретность распределения ионов вдоль ( этого направления необходимо учитывать для описания “отщепленных” мод (см.

раздел 4.7).

После сделанных приближений гамильтониан системы распадается на сумму двух гамильтонианов, один из которых действует только на состояния электронов, другой – на состояния ионов. Средним значениям спина в формуле (4.8) соответствуют обменные поля, действующие со стороны одной подсистемы на другую. Этим полям отвечают следующие частоты прецессии спина:

(4.9) (4.10) где – плотность спина электронов в фазовом пространстве (см. ниже).

Формула (4.9) описывает обменное поле, действующее на электроны со стороны ионов, а формула (4.10) – обменное поле, действующее на ионы в слое со стороны электронов.

Таким образом, задача сводится к рассмотрению динамики спина электронов и ионов в переменных во времени и пространстве эффективных магнитных полях, которые складываются из внешнего поля и обменных полей (4.9), (4.10).

4.3 Закон дисперсии спиновых волн Динамика спина электрона, движущегося в переменном в пространстве и времени эффективном магнитном поле, будет изучаться с помощью уравнения Вигнера. Это уравнение записывается следующим образом (см. приложение Е, а также [82]):

(4.11) где – вектор, направленный вдоль эффективного магнитного, поля, модуль которого равен частоте прецессии спина электрона в этом поле.

Величина является функцией Вигнера (как функция аргументов и ), и матрицей плотности по спиновым индексам.

Матрицу запишем как (4.12) где. Поскольку все пространственные масштабы задачи считаются большими по сравнению с длиной волны де-Бройля электронов, величину можно рассматривать как плотность электронов в фазовом пространстве,а – как плотность их спина.

Поставляя (4.12) в (4.11), получаем:

(4.13) (4.14) Эффективное магнитное поле, действующее на спин электронов, дается суммой, где первое слагаемое отвечает внешнему магнитному полю, а второе – обменному полю (4.9). Динамика спина ионов описывается уравнением ларморовской прецессии, в которое нужно также подставить эффективное поле, слагающееся из внешнего поля и обменного поля (4.10):

. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

(4.15) (4.16) (4.17) Здесь введено следующее обозначение:

(4.18) Рассмотрим сначала равновесное состояние. В этом состоянии спин электронов и ионов поляризован постоянным однородным эффективным полем, направленным вдоль оси. Матрица плотности диагональна (в представлении, в котором диагональна матрица ), и ее диагональные элементы, которые мы обозначим как и, есть равновесные функции распределения электронов с заданной проекцией спина на ось :

(4.19) Здесь – химический потенциал, определяемый из условия а – энергия зеемановского расщепления в равновесном эффективном поле. Эта энергия, согласно (4.9), (4.18) дается следующим выражением:

(4.20) Как правило, в рассматриваемых системах концентрация магнитных ионов велика настолько, что, то есть поведение спина электронов определяется в основном обменным полем, создаваемым ионами. В то же время, концентрация электронов сравнительно мала, и поляризация ионов определяется только внешним магнитным полем: (в разделе 4.7 в связи с обсуждением ”отщепленных” мод будут учтены поправки к частоте, возникающие за счет равновесного обменного поля электронов). Выражение для равновесного спина ионов записывается следующим образом:

(4.21) где – функция Бриллюэна.

Теперь мы будем рассматривать отклонения от равновесного состояния, при которых возникают малые поперечные компоненты спина электронов и ионов. В первом порядке по поперечным компонентам спина уравнение (4.15), а также уравнения (4.16) и (4.17) для -компонент спина удовлетворяются автоматически.

Оставшиеся четыре уравнения свести к двум, введя величины, :

(4.22) (4.23) Здесь Умножим уравнение (4.23) на и просуммируем по. При этом предположим, что квантовая яма бесконечно глубокая с шириной :

, и тогда. В результате получим следующую систему уравнений:

(4.24) (4.25) где, (4.26) Будем искать волновые решения системы уравнений (4.24), (4.25):

. Выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим:

, (4.27) где :

(4.28) Выразив из уравнения (4.27) и проинтегрировав по импульсу, получим уравнение дисперсии спиновых волн:

(4.29) Система уравнений (4.24), (4.25), а также закон дисперсии (4.29) упрощаются в случае и, где – энергия Ферми. При этих условиях можно положить и искать решения в, виде, где – угол скорости электронов. Учитывая, что, получим систему уравнений (4.30) (4.31) Здесь. Отсюда получаем, (4.32) Этот интеграл расходится, если. В этой области, называемой континуумом Стоунера, не существует “коллективных” решений, закон дисперсии которых дается формулой (4.32). Однако, каждой точке континуума Стоунера соответствует ”одночастичное” решение системы уравнений (4.30), (4.31):

(4.33) где – любое число, а угол отсчитывается от направления вектора.

При получаем следующий закон дисперсии коллективных возбуждений:

(4.34) или (4.35) Рассмотрим сначала однородные возбуждения. При имеем (4.36) откуда (4.37) Этот результат совпадает с полученным в работах [80, 81]. Поведение двух частот (4.37) как функций внешнего магнитного поля изображено на рисунке 4.1.

Как уже обсуждалось в разделе 4.1, при определенном ”резонансном” магнитном поле частоты и совпадают. Кривые при этом не пересекаются, а сближаются на минимальное расстояние (”антикроссинг”). Действительно, подставляя в (4.37), получим Далеко от резонанса ) частоты возбуждений близки к соответствующим частотам ( прецессии: и.

Перейдем теперь к неоднородным возбуждениям. Имеются две ветви дисперсии, начинающиеся в точках. Далеко от резонанса эти ветви можно назвать “электронной” и ”ионной” ветвями в соответствии с тем, что отношение амплитуд спина электронов и ионов велико на одной ветви и мало на другой (по крайней мере, при малых ). Проанализируем уравнение дисперсии (4.35) при малых и больших (результаты численного расчета изображены на рис.

4.2).

Уравнение дисперсии содержит только квадрат волнового вектора, поэтому при малых будем искать решения в виде. Подставляя это в уравнение (4.35) и пренебрегая членами выше второго порядка по, получим (4.38) Знак, а вместе с ним и знак дисперсии определяется знаком разности. При любом магнитном поле эта разность положительна на верхней ветви и отрицательна – на нижней (см. рис. 4.1). Таким образом, одна из ветвей находится выше континуума Стоунера и направлена вверх, другая – ниже континуума Стоунера и направлена вниз (рис. 4.2).

В случае резонанса имеем (так как ) – две ветви симметричны (при малых ) относительно прямой. Далеко от резонанса на электронной ветви и на ионной ветви.

Отсюда видно, что дисперсия ионной ветви слабее, чем дисперсия электронной ветви. При дисперсия ионной ветви отсутствует (спины ионов прецессируют независимо друг от друга с частотой ), а ”электронных” спиновых волн не существует.

Рассмотрим теперь поведение ветвей дисперсии при больших. Из уравнения (4.35) видно, что нижняя ветвь достигает континуума Стоунера в точке. При уравнение (4.35) не может быть удовлетворено, так как знаки левой и правой части уравнения оказываются разными ( ). Таким образом, нижняя ветвь обрывается. Верхняя же ветвь асимптотически приближается к континууму Стоунера: в пределе больших имеем.

Рис. 4.2. Спектр спиновых волн без учета электрон-электронного обменного взаимодействия.

Закрашенная область – континуум Стоунера.

Учет обменного взаимодействия между электронами 4. проводимости В реальных структурах помимо электрон-ионного обменного взаимодействия существует также электрон-электронное обменное взаимодействие (взаимодействие между делокализованными электронами). Как будет показано, это взаимодействие не меняет частот однородных спиновых возбуждений, однако существенно влияет на поведение дисперсионных кривых.

Электрон-электронное взаимодействие можно учесть с помощью теории ферми-жидкости Ландау. В этой теории закон дисперсии квазичастиц зависит от их распределения (в наших обозначениях оно определяется матрицей ).

Малое изменение этого распределения влечет за собой изменения энергии квазичастицы на [82, 83]:

(4.39) Взаимодействие характеризуется безразмерными величинами и, зависящими, вообще говоря, от угла между импульсами и. Эксперименты показывают, что этой зависимостью обычно можно пренебречь [83]. Кроме того, мы оставим лишь второй член в выражении (4.39), положив (можно показать, что константа не войдет в уравнения для малых поперечных компонент спина).

Безразмерная константа характеризует силу электрон-электронного обменного взаимодействия. Положительным значениям соответствует антиферромагнитный характер взаимодействия, отрицательным – ферромагнитный.

Предположим далее, что в равновесии электронный газ слабо поляризован.

Это позволяет заменить в (4.39) на. Тогда изменение энергии записывается в виде, где (4.40) Таким образом, эффективное магнитное поле, действующее на спин электрона, имеет три составляющие: внешнее поле, обменное поле ионов (4.9) и обменное поле, создаваемое остальными электронами (4.40):

(4.41) Электрон-электронное взаимодействие приводит к перенормировке энергии зеемановского расщепления электронов. Соответствующая частота находится из уравнения (4.41) самосогласованно, так как функция, определяющая обменный вклад в эффективное поле (4.40), зависит от этой частоты. Учитывая, что в равновесии и, получим, откуда [83] (4.42) Подставляя эффективное поле (4.41) в уравнение (4.14), получим вместо формулы (4.16) (4.43) Как и прежде, рассмотрим поперечную компоненту спина как возмущение.

Равновесное распределение дается формулой (4.19), в которую вместо нужно подставить. Действуя так же, как и в разделе 4.3, придем к следующему уравнению дисперсии:

(4.44) Этот результат, в отличие от (4.29), справедлив только при, так, как в противном случае теория Ландау не применима.

Для случая нулевой температуры имеем систему уравнений (4.45) (4.46) из которой получается следующее уравнение дисперсии:

(4.47) Отсюда видно, что континуум Стоунера определяется теперь неравенством. Взяв интеграл, получим:

(4.48) При мы вновь вернемся к уравнению (4.36), не содержащему константы. Таким образом, на частоты однородных спиновых возбуждений электрон электронное взаимодействие влияния не оказывает. Этот результат связан с тем, что при обменном взаимодействии сохраняется сумма спинов (операторы и коммутируют). Однородным возбуждениям соответствует прецессия суммарного спина электронов во внешнем по отношению к ним поле (включающем обменное поле ионов).

При малых волновых векторах имеем (4.49) Знак теперь определяется разностью. В отличие от, эта разность может иметь как разные, так и одинаковые знаки для двух частот (4.37), причем эти знаки зависят от внешнего магнитного поля. Поведение ветвей дисперсии теперь существенно зависит от соотношений параметров, характеризующих электрон электронное и электрон-ионное обменное взаимодействие.

В дальнейшем мы будем считать, что обменное взаимодействие между электронами имеет ферромагнитный характер:. При этом должно быть выполнено неравенство, что является одним из условий устойчивости ферми-жидкости [83] (при возникает так называемая неустойчивость Стоунера: происходит спонтанная поляризация электронов).

В условиях резонанса ( ) дисперсия нижней ветви всегда отрицательна, а дисперсия верхней положительна при и отрицательна при.В связи с этим поведение ветвей при изменении внешнего поля существенно зависит от параметра. При, обе ветви дисперсии направлены вниз при любом магнитном поле, меньшем некоторого поля (рис. 4.1).

Поле определяется из условия. При ионная ветвь оказывается выше континуума Стоунера и направлена вверх. Таким образом, происходит смена знака групповой скорости ионных спиновых волн при определенном значении внешнего магнитного поля (рис. 4.3). Отметим, что при сильном неравенстве (обычно выполняющемся в реальных структурах) поле определяется из условия и не зависит от. При условии смена знака дисперсии происходит у электронная ветви, причем.

Рис. 4.3 Дисперсия спиновых волн при (сверху) и при (снизу).

Еще одним эффектом, возникающим при наличии обоих типов обменного взаимодействия, является “антикроссинг” ветвей дисперсии. Для изучения этого явления перепишем уравнение (4.48) следующим образом:

(4.50) При имеем два решения, соответствующие возбуждениям спина ионов ) и ферми-жидкостным спиновым волнам [82, 83]. Дисперсионная кривая ( электронных спиновых волн начинается из точки и всегда направлена вниз (при ). При условии (то есть ) дисперсионные кривые пересекаются при, где (4.51) Обменное взаимодействие между электронами и ионами ( ) приводит к антикроссингу ветвей дисперсии спиновых волн (рис. 4.4). Отметим, что положением антикроссинга можно управлять, меняя внешнее магнитное поле.

В точке антикроссинга кривые сближаются на некоторое минимальное расстояние. Чтобы найти эту величину, нужно решить уравнение (4.50) при, рассматривая правую часть как возмущение. В результате получим:

(4.52) При антикроссинг происходит при, и в этом случае С ростом разности величина уменьшается.

Рис. 4.4. Дисперсия спиновых волн при, ”антикроссинг” ветвей спектра.

Наконец, найдем точки окончания ветвей дисперсии (см. рис. 4.3, 4.4). Из уравнения (4.48) видно, что ветви достигают континуума Стоунера при (нижняя ветвь) и (верхняя ветвь). При этом они обрываются, так как при переходе через эти частоты меняется знак правой части уравнения (4.48).

Значение волнового числа, при котором происходит обрыв верхней ветви, определяется выражением:

(4.53) Отсюда видно, что при стремлении магнитного поля к, при котором, как было показано выше, происходит смена знака групповой скорости, верхняя ветвь становится короче и исчезает при.

4.5 Механизмы затухания спиновых волн: рассеяние электронов и затухание Ландау В этом разделе рассматриваются механизмы затухания спиновых возбуждений. Нас будут интересовать здесь только те механизмы, которые присутствуют только при отличных от нуля волновых векторах.

Один из этих механизмов связан с рассеянием электронов на примесях. Это рассеяние можно учесть, добавив в левую часть уравнения (4.45) член, где – обратное время релаксации импульса. Уравнение дисперсии теперь записывается следующим образом:

(4.54) При малых имеем:

(4.55) Отсюда видно, что в пределе затухание и дисперсия исчезают ( ).

Этому случаю соответствуют полностью локализованные электроны. В таких условиях перенос спина невозможен, и в разных участках системы спины электронов и ионов прецессируют независимо.

Далеко от резонанса время затухания волн дается выражением (4.56) для ионной ветви и (4.57) для электронной ветви (предполагается, что ). Из этих формул видно, что взаимодействие поперечных компонент спинов электронов и ионов практически не оказывает влияния на затухание электронных спиновых волн. В то же время ионные спиновые волны затухают только из-за связи с электронной подсистемой.

Рассмотрим теперь другой механизм затухания спиновых волн – затухание Ландау. Рассмотрим случай ненулевой температуры, в котором закон дисперсии дается уравнением (4.44). Подынтегральное выражение имеет особенность при (4.58) Эта особенность имеет следующее происхождение. Предположим, что в системе распространяется спиновая волна с частотой и волновым вектором. Электроны, импульс которых удовлетворяет условию (4.58), движутся в эффективном магнитном поле, прецессирующем с частотой. Поперечная компонента спина таких электронов удовлетворяет уравнению вида, которое имеет нарастающее со временем решение, то есть энергия спиновой волны поглощается такими электронами. Этот механизм затухания аналогичен затуханию Ландау в плазме.

Время затухания вычисляется стандартным образом: нужно сместить частоту в верхнюю полуплоскость,, взять в (4.44) интеграл по импульсам (полагая при вещественным), после чего искать комплексные решения полученного уравнения. Мнимую часть интеграла по импульсам будем считать малой поправкой, а в вещественной части интеграла положим. При получим следующий закон дисперсии:

(4.59) В другом предельном случае, уравнение отличается от (4.59) только тем, что отсутствует множитель в правой части.

Обменное взаимодействие между электронами и ионами приводит лишь к незначительным поправкам к затуханию Ландау электронных спиновых волн.

Однако, благодаря этому взаимодействию, затухание Ландау появляется также у ионных спиновых волн. Максимальный темп затухания Ландау ионной спиновой волны достигается вблизи точки обрыва ветви и имеет по порядку величины следующие значения:

(4.60) (4.61) 4.6 Затухание ионных возбуждений в континууме Стоунера Вернемся к случаю нулевой температуры. Мы видели в разделе 4.4, что верхняя ветвь дисперсии обрывается при некотором, и при этом (см. рис. 4.3 и 4.4). У системы уравнений (4.45), (4.46) не существует незатухающих волновых решений в континууме Стоунера. Из формулы (4.47) видно, что решений с комплексной также не существует. Действительно, пусть у величины имеется отрицательная мнимая часть, тогда в правой части (4.47) стоит произведение двух выражений с положительной мнимой частью, и уравнение не может быть удовлетворено. В то же время в отсутствие электрон-ионного взаимодействия возбуждения с частотой существуют при любом.

Покажем, что, несмотря на сказанное, ионные возбуждения с частотой при существуют, а обменное взаимодействие между ионами и электронами приводит к затуханию этих возбуждений. Чтобы вычислить скорость этого затухания, поставим следующую задачу. Пусть в момент времени поперечная компонента спина ионов распределена по закону с некоторым заданным волновым вектором. Это начальное условие можно учесть, добавив член в правую часть уравнения (4.46). Тогда при имеем (4.62) где. На контуре интегрирования функция записывается следующим образом:

(4.63) Подынтегральное выражение в формуле (4.62) имеет полюсы на вещественной оси, соответствующие коллективным модам, а также две точки ветвления. Интеграл можно представить в виде суммы вклада полюсов и интеграла по двум берегам разреза, проведенного по отрезку, соединяющему точки ветвления. Вкладу разреза соответствуют одночастичные возбуждения. Этот вклад имеет следующий вид:

(4.64) При больших ) подынтегральное выражение имеет резкий максимум при (. В окрестности этой точки знаменатель подынтегрального выражения пропорционален, где (4.65) Если, то интеграл (4.64) можно заменить интегралом по всем. В этом приближении вклад разреза пропорционален.

Таким образом, благодаря обменному взаимодействию с электронами, неоднородные спиновые возбуждения ионов с волновым числом затухают с характерным временем, определяемым формулой (4.65). Этот механизм затухания аналогичен рассмотренному ранее затуханию Ландау: происходит возбуждение спина электронов, направление скорости которых удовлетворяет условию – угол между ( векторами и ).

Как видно из формулы (4.65), обращается в нуль при и при Максимальное значение по порядку величины равно (4.66) Отметим, что при ярко выраженный максимум при у подынтегрального выражения (4.64) имеется лишь при достаточно большой разности, так что формула (4.66) в этом случае не справедлива.

Механизмы затухания, рассмотренные в разделах 4.5 и 4.6, относятся только к неоднородным возбуждениям и не действуют в случае. Экспериментальное исследование [80] показало, что однородные ионные возбуждения затухают относительно медленно. В связи с этим можно ожидать, что рассмотренные механизмы затухания неоднородных возбуждений являются доминирующими на ионной ветви. В то же время однородные возбуждения электронного спина затухают сравнительно быстро [80], и рассмотренные в этой главе механизмы затухания дают, по всей видимости, лишь малые поправки к времени релаксации. Причины быстрого затухания однородных возбуждений электронного спина рассматриваются в главе 5.

4.7 Отщепленные ионные моды Помимо рассмотренных выше коллективных мод существуют так называемые отщепленные моды, в которых спин ионов прецессирует с частотой, а спин электронов не возбуждается. Существование однородных мод такого типа было установлено экспериментально и объяснено теоретически в работе [80]. В этом разделе будет рассмотрено поведение отщепленных мод в неоднородном случае.

Рассмотрим систему уравнений (4.22), (4.23) (в этом разделе мы не будем учитывать электрон-электронное обменное взаимодействие, так как оно не оказывает значительного влияния на обсуждаемые эффекты). При она записывается следующим образом:

(4.67) (4.68) Если спин ионов распределен вдоль оси таким образом, что, то, как видно из уравнения (4.67), прецессия спина ионов не оказывает влияния на спин электронов. Поэтому системе уравнений (4.67), (4.68) удовлетворяют следующие решения:

(4.69) Число отщепленных мод равно, поскольку таково количество линейно независимых решений уравнения. Все эти решения не обладают дисперсией:.

Ситуация несколько меняется, если учесть малое равновесное обменное поле, действующее на ионы со стороны электронов. Это поле, согласно формуле (4.10), приводит к поправке к частоте прецессии спина ионов, причем эта поправка зависит от номера слоя :

(4.70) Поскольку спин ионов в различных слоях прецессирует с разной частотой, то условие, выполненное при, не может продолжать выполняться при. Это приводит, в соответствии с уравнением (4.67), к возбуждению спина электронов, вследствие чего появляется дисперсия и затухание.

Некоторые из мод могут остаться полностью отщепленными.

Рассмотрим, например, симметричную квантовую яму. В этом случае частоты соответствующие симметричным относительно центра ямы слоям, (4.70), совпадают. Уравнение удовлетворяется при всех, если, где – номер слоя, симметричного слою. Такие решения остаются полностью отщепленными ( ) и не имеют дисперсии. Число таких решений равно числу различных частот (4.70), то есть при четном и при нечетном.

Сделав преобразование Фурье и исключив из системы уравнений (4.67), (4.68), получим Умножим это уравнение на и просуммируем по. В результате получим следующее уравнение дисперсии:

(4.71) Найдем приближенные решения этого уравнения для симметричной ямы с В этом случае имеются три отщепленные моды, две из которых имеют частоты, не зависящие от. Остается еще одна отщепленная мода. Считая разность малым возмущением, получим следующий закон дисперсии для третьей отщепленной моды:

(4.72) где. Таким образом, дисперсия появляется лишь во втором порядке малости по.

В континууме Стоунера у таких возбуждений имеется затухание, аналогичное рассмотренному в разделе 4.6. Скорость этого затухания, согласно (4.72) и (4.70), оценивается следующим образом:

(4.73) Максимальное значение скорости затухания по порядку величины равно Глава Расфазировка прецессии спинов электронов в магнитных квантовых ямах с переменной шириной 5.1 Релаксация электронного спина вследствие дельта коррелированных флуктуаций обменного поля В этой главе рассматривается затухание поперечной по отношению к внешнему магнитному полю компоненты спина электронов. Доминирующие механизмы релаксации спина электронов в разбавленных магнитных полупроводниках обусловлены флуктуациями обменного поля, создаваемого магнитными ионами. В данном разделе рассмотрен механизм релаксации, предложенный в работе [89]. Он связан со случайным расположением магнитных ионов в узлах решетки. В последующих разделах изучается расфазировка прецессии спина, обусловленная флуктуациями ширины квантовой ямы.

Гамильтониан обменного взаимодействия (4.4) можно переписать в виде, где – гамильтониан, усредненный по положениям ионов,а описывает флуктуации обменного поля. Предположим, что распределение ионов в плоскости однородно, а вдоль оси задается профилем легирования ). Тогда ( (5.1) где – площадь образца. В этом члене мы пренебрежем термодинамическими флуктуациями, заменив оператор на термодинамическое среднее :

(5.2) где – двумерная концентрация ионов.

Гамильтониан системы (4.5) переписывается так:

(5.3) Здесь,а – частота прецессии электронного спина в усредненном эффективном магнитном поле:

(5.4) Последний член в формуле (5.3) описывает флуктуации обменного поля. Эти флуктуации приводят к затуханию продольной и поперечной компоненты электронного спина [89].

Времена затухания можно рассчитать следующим образом. Уравнение для матрицы плотности с гамильтонианом (5.


3) записывается в виде (5.5) где индексы и соответствуют спину электрона и иона, -го. Далее можно перейти к, представлению взаимодействия, вводя матрицу. Затем матрица записывается в виде интеграла по времени от правой части уравнения, после чего подставляется в члены этого же уравнения, пропорциональные. Далее, производится усреднение по положениям ионов, причем полагается. Коррелятор флуктуаций имеет вид (5.6) Динамика спина электрона описывается величиной. Дальнейшее вычисление показывает, что продольная и поперечная компоненты спина электрона затухают экспоненциально с временами релаксации и соответственно. В случае бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы и равномерного распределения ионов вдоль оси где – ширина ямы) эти времена ( даются следующими выражениями [89]:

(5.7) Время релаксации поперечной компоненты спина, предсказываемое формулой (5.7), значительно больше наблюдаемого экспериментально [80].

Приступим теперь к изучению механизма релаксации, связанного с флуктуациями ширины квантовой ямы.

5.2 Эффективное магнитное поле в квантовой яме с флуктуирующей шириной Если ширина квантовой ямы меняется вдоль плоскости ямы, то эффективное магнитное поле, действующее на электрон, будет пространственно неоднородным.

При условии достаточно медленного изменения ширины ямы (длина корреляции флуктуаций много больше длины волны электрона) в волновую функцию можно подставить переменную ширину ямы. Например, для бесконечно глубокой прямоугольной квантовой ямы (5.8) (середине ямы соответствует ).

Подставив в выражение для эффективной частоты прецессии (5.4), получим медленно меняющуюся в пространстве частоту. Пусть, например, ионы сосредоточены вблизи середины квантовой ямы, так что (”дельта легирование”). Тогда (5.9) Записав функцию в виде, где – средняя ширина ямы, в первом порядке по малой неоднородной составляющей получим (5.10) Флуктуации частоты прецессии будем считать гауссовыми с коррелятором (5.11) где – амплитуда флуктуаций, – длина корреляции флуктуаций, – некоторая безразмерная функция, удовлетворяющая условиям при (например, ).

Ниже мы пренебрегаем дельта-коррелированными флуктуациями обменного поля, то есть последним членом в гамильтониане (5.3). Задача сводится, таким образом, к изучению динамики спина электрона, движущегося в медленно меняющемся в пространстве магнитном поле. Для решения этой задачи воспользуемся уравнением Вигнера (4.11). С учетом того, что вектор сонаправлен с внешним магнитным полем ( ), из формулы (4.14) получим замкнутое уравнение для величины :

(5.12) Предположим, что поперечная компонента спина возбуждается у электронов, находящихся вблизи уровня Ферми, так что есть функция только направления импульса, задаваемого углом :, где. Сделаем, кроме того, замену, исключив тем самым однородную составляющую частоты. Окончательное уравнение записывается так:

(5.13) 5.3 Расфазировка прецессии электронного спина в отсутствие рассеяния Предположим, что в момент времени внешнее воздействие возбуждает поперечную компоненту электронного спина однородно по всей системе. Спин электронов начинает прецессировать вокруг направления эффективного магнитного поля, однако, поскольку это поле неоднородно в пространстве, частота прецессии спина меняется в зависимости от текущего положения электрона. Вследствие этого происходит расфазировка прецессии спина электронов, и суммарный поперечный спин электронов затухает со временем. Характерное время такого затухания, а также поведение поперечного спина как функции времени существенно зависят от характера движения электрона. Рассмотрим сначала случай прямолинейного движения электрона. Динамика поперечной компоненты спина описывается уравнением (5.13).

Вместо того чтобы рассматривать большое число электронов, движущихся в разных областях случайного поля, рассмотрим один электрон, находящийся в момент времени в точке, а затем произведем усреднение по реализациям случайного поля.

Решение уравнения (5.13) с начальным условием будем искать в виде ). Подставляя это ( выражение в уравнение (5.13), получим, откуда (5.14) После усреднения по реализациям получим:

(5.15) Здесь был использован коррелятор (5.11). Далее можно сделать замену переменных и взять интеграл по, после чего результат запишется в виде (5.16) Если характерное время затухания удовлетворяет условию, то можно заменить на, и мы получаем (5.17) Отсюда видно, что, и, соответственно, условие выполняется при. В этом режиме электрон не успевает покинуть область размером за время, поэтому можно считать, что его спин прецессирует с постоянной во времени частотой. Вследствие того, что эта частота различается для разных электронов, суммарный поперечный спин системы из многих электронов затухает. В этом смысле расфазировка прецессии спина в таком режиме является неоднородной.

Рассмотрим противоположный случай: Поскольку вклад в интеграл (5.16) дают времена, то для получим (5.18) Таким образом, затухание происходит по экспоненциальному закону с характерным временем. В этом режиме электрон проходит много областей скоррелированности случайного поля ( ). Поэтому фаза прецессии каждого электрона является случайной функцией времени. В связи с этим можно сказать, что в данном режиме происходит однородная расфазировка прецессии спина.

Аналогичным образом рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле направлено не параллельно квантовой яме, а перпендикулярно ей. Электроны в этом случае движутся по окружностям с радиусом. В формулу (5.16) вместо подставим, что соответствует циклотронному движению:

(5.19) Если, то имеет место неоднородная расфазировка, и справедлива формула (5.17). Рассмотрим случай. Если затухание происходит за первый период циклотронного вращения, то вклад в интеграл дают только времена, поэтому в формуле (5.19) можно заменить синус его аргументом, после чего мы вернемся к результату (5.18). Если же затухание происходит в течение многих циклотронных периодов ( ), то вклад дают также времена, где,а – натуральное число. Поэтому интеграл (5.19) приближенно равен (5.20) где – число оборотов, совершенных к моменту времени. Подставляя, получим (5.21) Характерное время расфазировки в этом режиме:.

Условие переписывается как. Подводя итог, в случае при условиях и, затухание происходит по законам (5.17), (5.18) и (5.21) соответственно.

5.4 Расфазировка прецессии электронного спина при наличии рассеяния Рассеяние электронов на примесях можно учесть путем введения в уравнение (5.13) интеграла столкновений. Длину свободного пробега электрона обозначим как. Если, то результаты (5.17) и (5.18) остаются справедливыми. Это связано с тем, что зависимость определяется характером движения электрона в течение времени, за которое он проходит область скоррелированности случайного магнитного поля, имеющую характерный размер. В случае на этом временном масштабе можно по-прежнему считать движение электрона прямолинейным.

Рассмотрим случай Как и прежде, существуют режимы.

неоднородной и однородной расфазировки, реализующиеся при условиях и соответственно. Здесь – время диффузионного выхода из области размером – коэффициент диффузии. Неоднородная, расфазировка описывается формулой (5.17). Ниже будет рассмотрен случай.

Поскольку при важны временные масштабы, много большие времени свободного пробега, уравнение (5.13) (с интегралом столкновений в правой части) можно заменить на уравнение диффузии:

(5.22) Это уравнение написано с учетом начального условия. Фурье образ удовлетворяет следующему уравнению:

(5.23) где. Приближенное решение уравнения (5.23) будем искать следующим образом. Выразим из левой части уравнения и подставим в правую часть. При этом образуется следующий интеграл:

. Далее, проведем усреднение по реализациям, полагая (условие применимости этого приближения дается неравенством ). Пользуясь формулой (5.11), получим, где. После усреднения уравнение для становится алгебраическим:

(5.24) Для полного спина получим следующее выражение:

(5.25) Подынтегральное выражение как функция имеет два полюса в нижней полуплоскости, а также разрез вдоль полуоси. Соответственно, интеграл (5.25) равен сумме вкладов полюсов и вклада разреза. Деформированный контур интегрирования изображен на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Контур интегрирования.

Рассчитаем сначала вклад полюсов. Полюсы находятся из уравнения (5.26) где. Предположим, что мнимая часть частоты много больше вещественной:. Тогда (5.27) Из формулы (5.26) видно, что по порядку величины, что подтвердится результатом расчета. Следовательно,, поэтому. В интеграле в смысле главного значения функция обеспечивает сходимость при. Возьмем этот интеграл приближенно, положив. Дальнейшие вычисления, таким образом, проводятся с логарифмической точностью. Уравнение (5.26) запишется в виде (5.28) Отсюда получаем, что имеются два симметрично расположенных полюса в нижней полуплоскости:

(5.29) Для вычисления вклада полюсов осталось сосчитать значение производной по от левой части уравнения (5.26) при. Вклад второго слагаемого в эту производную мал:

Таким образом, искомая производная примерно равна, и вклад полюсов записывается следующим образом:

(5.30) Вычислим теперь вклад разреза. Складывая интегралы вдоль двух берегов разреза (, где ) и вычисляя интеграл в смысле главного значения так же, как это сделано выше, получим (5.31) Как видно из формулы (5.31), вклад разреза оказывается отрицательным при любом.

Знаменатель подынтегрального выражения имеет минимум при.

Поэтому при малых временах, когда выполнено условие, интеграл приближенно равен. Таким образом, (5.32) При вклад в интеграл (5.31) вносят только малые :.В этом случае можно пренебречь всеми членами в знаменателе, кроме логарифма.

Заменив в логарифме на, получим (5.33) Сравнивая формулы (5.32) и (5.33) с (5.30), видим, что при временах функция спадает экспоненциально, а при она отрицательна и спадает по более медленному закону. Это означает, что суммарный поперечный спин электронов в некоторый момент времени обращается в нуль, после чего осцилляции возникают вновь и затухают по медленному неэкспоненциальному закону. Кривая изображена на рис. 5.2.


Рис. 5.2. Затухание поперечной компоненты спина электронов при диффузионном движении.

5.5 Подведение итогов и сравнение с экспериментом.

В таблице 1 собраны результаты проведенного исследования поведения поперечного спина во всех рассмотренных случаях.

Из таблицы видно, что скорость затухания растет с увеличением длины корреляции и достигает максимального значения. Соответствующее минимальное время релаксации c помощью формул (5.10) и (5.11) можно выразить следующим образом:

(5.34) где – средний период осцилляций поперечного спина, а среднеквадратичное отклонение ширины квантовой ямы от среднего значения. В эксперименте [80] ширина квантовой ямы составляла примерно 15 атомарных слоев.

Значит, согласно формуле (5.34), даже при минимальных флуктуациях ширины квантовой ямы (1 слой) время расфазировки спина составляет всего несколько периодов осцилляций. Этот время короче, чем время, полученное в работе [89] (см. формулу (19)), и находится в соответствии с результатами эксперимента [80].

Таблица 1: расфазировка спина в различных режимах (в баллистическом и диффузионном режимах предполагается, что ).

Характерное Закон спада Режим Критерий время функции затухания, если Неоднородная, если расфазировка или Однородная, расфазировка при баллистическом движении, Однородная расфазировка при, циклотронном движении Однородная, расфазировка при диффузионном, движении Следует, однако, отметить, что поскольку скорость затухания падает как функция длины корреляции флуктуаций, обращаясь в нуль при предложенный нами механизм доминирует над механизмом, рассмотренным в работе [89], только при достаточно больших. Кроме того, поскольку, механизм работает только при наличии внешнего магнитного поля, поляризующего ионы, в то время как скорость релаксации, даваемая формулой (5.7) пропорциональна, и отлична от нуля при.

Заключение В работе получены следующие основные результаты:

Рассчитан кондактанс одноканального баллистического кольца со спин орбитальным и зеемановским взаимодействием, пронизываемого магнитным потоком, с присоединенными к нему туннельными контактами. Рассматривался случай температур, превышающих межуровневое расстояние в кольце. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению антирезонансов в зависимости кондактанса от магнитного потока на пары антирезонансов.

Зеемановское взаимодействие приводит к возникновению двух дополнительных антирезонансов на каждом периоде. Кроме того, показано, что при значениях магнитного поля, соответствующих антирезонансам, неполяризованный по спину входящий пучок электронов оказывается поляризованным на выходе, то есть рассматриваемая система может выполнять функции спинового фильтра.

Изучено влияние слабого беспорядка на эффект Ааронова-Бома в одноканальном кольце с туннельными контактами при высоких температурах.

Рассмотрены случаи короткодействующих примесей и плавного потенциала.

Показано, что рассеяние на короткодействующих примесях приводит к уширению антирезонансов в кондактансе кольца, однако их амплитуда остается по порядку величины той же, что и в баллистическом кольце. Наличие плавного потенциала приводит к возникновению дополнительных антирезонансов. Рассмотрен также случай одновременного присутствия примесей, спин-орбитального и зеемановского взаимодействия. Показано, что в этом случае рассеяние на примесях приводит к аналогичному изменению формы антирезонансов.

Построена теория спиновых волн в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках, помещенных в магнитное поле. Выведен закон дисперсии спиновых волн и изучены механизмы затухания неоднородных возбуждений:

затухание вследствие рассеяния электронов и затухание Ландау. Помимо электрон ионного обменного взаимодействия учтено электрон-электронное обменное взаимодействие. Показано, что наличие обоих типов взаимодействия приводит к антипересечению двух ветвей дисперсии и смене знака дисперсии на одной из ветвей при изменении внешнего магнитного поля.

Рассмотрена обусловленная неоднородностью ширины квантовой ямы расфазировка прецессии спина электронов в двумерных разбавленных магнитных полупроводниках. Изучены зависимости поперечного спина электронов от времени при движении во флуктуирующем магнитном поле. Рассмотрены случаи баллистического, диффузионного и циклотронного движения электронов. При диффузионном движении затухание происходит по медленному неэкспоненциальному закону. Показано, что данный механизм при определенных условиях приводит к меньшему времени расфазировки, чем механизмы, предложенные ранее;

оценки этого времени находятся в согласии с экспериментальными данными.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

[A1] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Electron spin decoherence in diluted magnetic quantum wells // Phys. Rev. B 80, 193205 (2009).

[A2] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Electron spin decoherence in semimagnetic quantum wells // Proc. Int. Symp. “Nanostructures: Physics and Technology 2009” (Minsk, Belarus, 2009), pp. 330-331.

[A3] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in diluted magnetic quantum wells // Phys. Rev. B 83, 233204 (2011).

[A4] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in 2D diluted magnetic semiconductors // Proc. Int. Symp. “Nanostructures: Physics and Technology 2010” (Saint-Petersburg, Russia, 2010), pp. 224-225.

[A5] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Spin waves in diluted magnetic quantum wells // Proc. Int. Symp. "Spin Waves 2011 International Symposium" (Saint-Petersburg, Russia, 2011), pp. 120-121.

[A6] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, High Temperature Aharonov-Bohm-Casher interferometer // Phys. Rev. B 85, 075422 (2012).

[A7] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Aharonov–Bohm interferometer as a spin polarizer // Proc. Int. Symp. “Nanostructures: Physics and Technology 2011” (Ekaterinburg, Russia, 2011), pp. 44-45.

[A8] P. M. Shmakov, A. P. Dmitriev and V. Yu. Kachorovskii, Aharonov-Bohm conductance of a disordered single-channel quantum ring // arXiv:1303.3486.

Автор выражает благодарность А. П. Дмитриеву и В. Ю. Качоровскому за плодотворную совместную работу, а также участникам Чайного семинара ФТИ им.

А.Ф. Иоффе за полезные обсуждения.

Приложение А. Вывод соотношения, используемого при расчете кондактанса кольца при высоких температурах.

В этом приложении выводится формула, позволяющая легко вычислять суммы вида (А.1) с произвольной матрицей размерностью 2x2 и произвольными двухкомпонентными векторами и.

Мы воспользуемся следующим равенством, справедливым для любой матрицы 2х2:

(А.2) где (А.3) Поскольку равенство инвариантно относительно унитарных (А.2) преобразований, достаточно проверить его для диагональных матриц.

Действительно, имеем (А.4) С помощью (А.2) получаем:

(А.5) где введены обозначения и Суммы, входящие в правую часть равенства (А.5), легко вычисляются:

Несколько более трудоемкой задачей является выражение этих величин через инвариантные комбинации собственных чисел: и Приведем результаты:

где Подставляя эти формулы в (А.5), получаем (А.6) При вещественных и формула несколько упрощается:

(А.7) Формулы (А.6) и (А.7), несмотря на свою громоздкость, очень полезны для вычисления сумм вида (А.1), поскольку они выражают эти суммы через легко вычисляемые величины и Приложение Б. Вывод соотношения, связывающего коэффициент прохождения с волновыми функциями и энергиями электронов в замкнутом кольце.

В этом приложении выводится соотношение, выражающее коэффициент прохождения кольца с туннельными контактами через волновые функции и энергетические уровни электронов в замкнутом кольце.

Пользуясь формулами (1.10) и (1.13), запишем следующее выражение для коэффициента прохождения:

(Б.1) В отсутствие рассеяния назад на контактах и при условии слабости беспорядка (если он имеется) матрицу можно приближенно записать как, где (см. раздел 3.1).

Установим теперь связь между свойствами матрицы и стационарными состояниями электрона в замкнутом кольце. Матрица связывает амплитуды волн исходящих и входящих в контакт (рис. 3.1):

(Б.2) Стационарные состояния электрона в замкнутом кольце находятся из условия и Это означает, что уровням энергии отвечают такие, при которых у матрицы имеется собственное число, равное единице. Обозначим собственные числа унитарной матрицы (которая, вообще говоря, зависит от ) как, а собственные векторы – как В соответствии со сказанным, волновые векторы, отвечающие уровням энергии, находятся из уравнения (Б.3) Собственный вектор с компонентами описывает стационарную волновую функцию вблизи контакта :

.

Введем теперь матрицу, связывающую амплитуды волн вблизи контакта и вблизи контакта. Определим ее следующим образом: при записи волновой функции вблизи контакта как имеем Тогда вектор записывается так:

(Б.4) Займемся теперь преобразованием уравнения (Б.1). Имеем:

(Б.5) где для удобства амплитуда заменена на. Далее, раскладывая по собственным векторам матрицы, получаем:

(Б.6) Основной вклад в интеграл по дается полюсами выражения (при вклады полюсов функции малы). Вблизи имеем, с учетом уравнения (Б.3),.

Зависимость от имеется только при наличии рассеяния назад на примесях. Оценим величину для этого случая:

(см. (3.3) и (3.5)). Пренебрегая по сравнению с единицей, получим:

(Б.7) В числителе этого выражения положим и заметим, что и Таким образом, (Б.8) Наконец, перейдем от волновых векторов к энергиям:

(Б.9) где и Приложение В. Электрон в кольце со спин-орбитальным взаиомодействием в квазиклассическом приближении.

В этом приложении выводится уравнение (2.5), описывающее динамику спина электрона в кольце со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием в квазиклассическом приближении.

Запишем стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом в виде (В.1) обозначив как матрицу, входящую в гамильтониан (2.4), и будем искать решение в виде (В.2) причем связано с энергией соотношением Заметив, что, получаем (В.3) Поскольку нас интересуют близкие к уровню Ферми энергии, можно положить, где – направление движения. В то же время элементы матрицы порядка единицы, а, что будет видно из стационарных решений (2.57). Поэтому при выполнении условий и в уравнении (В.3) можно оставить только члены, пропорциональные, после чего получим:

(В.4) Заметим, что "гамильтониан" в правой части уравнения (В.4) отличается от заменой на. Матрицу поворота спина можно найти из этого же уравнения, дополнив его условием. Таким образом, мы обосновали использование уравнения (2.6).

Приложение Г. К расчету кондактанса кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействем.

В этом приложении приводятся детали вычисления коэффициента прохождения и спиновой поляризации в случае кольца со спин-орбитальным и зеемановским взаимодействием.

Совершим в формуле (2.24) переход к новому базису, описанному в разделе 2.5:

(Г.1) В последнем выражении кет- и бра-символы введены для обозначения двухкомпонентных столбцов и строк соответственно:

Спиноры являются собственными векторами матриц поворота спина и приведены в (2.42). Спиноры определены следующим образом:

(Г.2) Согласно этим определениям имеем:

(Г.3) Вычислим теперь коэффициент прохождения без учета рассеяния назад на контактах. В этом случае матрица диагональна (см. (2.43)), и мы получаем (Г.4) Отсюда легко находим:

(Г.5) где (Г.6) Первые четыре слагаемых в формуле (Г.5) представляют собой "классические" члены (они одинаковы и равны ), а остальные четыре – интерференционные (в произведении два перекрестных члена выпали из-за условий ортогональности и ). Теперь остается сосчитать скалярные произведения спиноров, входящие в и подставить (Г.5), Вычисление спиновой поляризации проводится совершенно аналогично. При этом получится формула (Г.5), в которой скалярные произведения заменены на, а "классические" вклады отсутствуют.

Расчет приведет нас к формулам (2.45)–(2.48), в которых вместо функций и стоят, соответственно, и, где (Г.7) При вещественная и мнимая часть этой функции имеют пики при и :

(Г.8) Соответственно, коэффициент прохождения и спиновая поляризация имеют по восемь особенностей (на каждом единичном интервале значений ). Их положения следующие: и В то же время, как было отмечено в разделе 2.5, вблизи точек необходимо учитывать рассеяние назад на контактах. Мы ограничимся случаем, когда расстояние между этими четырьмя точками много больше, так что каждую из них можно рассматривать отдельно. Для примера возьмем -окрестность точки. Оставив только существенные внедиагональные элементы матрицы, имеем:

(Г.9) где (с точностью до несущественного фазового множителя) (Г.10) (Г.11) и Пренебрегая интерференцией членов, входящих в (Г.9), малой в этой области значений потока, получаем:

(Г.12) Входящие в эти формулы суммы можно записать как комбинации сумм вида Последние же вычисляются при помощи формулы (А.6) приложения А (при этом числитель и знаменатель разлагаются по степеням малых параметров и ).

В результате вычислений оказывается, что резонансное поведение вблизи полностью отсутствует Аналогичные вычисления для окрестностей остальных трех точек приводят к тому же результату.

Таким образом, рассеяние назад на контактах полностью уничтожает резонансы при Чтобы записать окончательный ответ заметим, что этим точкам отвечает особенность при функции. Это означает, что следует удалить второе слагаемое в правой части формулы (Г.8). Вещественная и мнимая часть этой функции теперь дается формулой (2.49). Таким образом мы приходим к приведенному в разделе 2.5 ответу.

Приложение Д. К расчету кондактанса кольца с короткодействующими примесями В этом приложении приводятся детали вычисления коэффициента прохождения в кольце с короткодействующими примесями. Необходимо вычислить сумму, входящую в правую часть формулы (3.6), с матрицей, определяемой формулами (3.1), (3.3), (3.4) и (3.5), и вектором – формулой (1.15).

Амплитуды прохождения и отражения комплексного рассеивателя, удовлетворяющие условиям унитарности (3.4), можно параметризовать следующим образом:

(Д.1) Тогда (Д.2) где, и мы опустили несущественный общий множитель Приступим теперь вычислению суммы (3.6) способом, предложенным в приложении А. В первую очередь, заметим, что определитель и след матрицы вещественны:

(Д.3) Следовательно, можно пользоваться формулой (А.7). Вычислим сначала знаменатель:

(Д.4) Здесь мы заметили, что, где дается формулой (3.5), и воспользовались малостью параметров и во всех оценках ниже для, краткости пишем вместо ).

Перейдем к числителю формулы (А.7). Для начала вычислим входящие в него величины и:

(Д.5) Заметим, что эти величины обращаются в ноль при Это значит, что в, коэффициентах при и в формуле (А.7) малыми параметрами можно пренебречь, положив Тогда получим для числителя (Д.6) Равенство легко получить, записывая как и замечая, что Из формул (Д.4) и (Д.6) получаем ответ (3.7).

Проверим теперь допустимость использованных в разделе 3.1 приближений.

1) Пренебрежение членами порядка в матрице (рассеяние на контакте и на примеси в течение одного и того же оборота).

Знаменатель формулы (А.7) записывается как произведение. В первых двух множителях поправками порядка можно пренебречь, так как В последнем же множителе, ими пренебречь нельзя. Таких поправок к выражению, однако, не возникает. В этом легко убедиться, обозначая поправки к элементам матрицы как с произвольными.

Поправки наинизшего порядка окажутся пропорциональными и, и ими можно пренебречь.

Что же касается числителя, изменения в матрице отразятся только на величине, в которой существенны только члены порядка и. По сравнению с этими членами можно пренебречь поправками порядка.

2) Пренебрежение рассеянием назад на контактах в матрице Рассеяние назад на контактах описывается членами в диагональных элементах матрицы и членами – во внедиагональных элементах (см. (1.14)). Рассуждая точно так же, как в первом пункте, убеждаемся, что этими членами можно пренебречь.

3) Пренебрежение поправками к вектору С учетом рассеяния на примесях, имеем (Д.7) где при малых. Учет приводит к следующей поправке к величине :

В этом выражении имеются члены порядка и, которыми можно пренебречь по сравнению с сохраненными членами порядка и (см. вторую строчку формулы (Д.6)).

Приложение Е. Вывод уравнения Вигнера для электронов в неоднородном магнитном поле.

Матрица плотности электрона, спин которого прецессирует в неоднородном в пространстве и времени магнитном поле, подчиняется уравнению с гамильтонианом. Это уравнение переписывается следующим образом:

(Е.1) где.

Произведем преобразование Вигнера:

(Е.2) Здесь – матрица плотности по спиновым индексам.

Продифференцируем (Е.2) по времени и воспользуемся (Е.1). Первое слагаемое правой части уравнения (Е.1) даст (Е.3) Из второго слагаемого получим (Е.4) При переходе к последней строчке было произведено разложение по до члена первого порядка. Такое разложение допустимо, поскольку все пространственные масштабы задачи много больше длины волны электрона на уровне Ферми.

Квадратные и фигурные скобки обозначают коммутатор и антикоммутатор соответственно;

в последнем члене формулы (Е.4) скалярно умножается на,а – на.

Из (Е.2)–(Е.4) получаем уравнение (Е.5) эквивалентное уравнению (4.11).

Литература [1] I. Zutic, J. Fabian, and S. Das Sarma // Rev. Mod. Phys. 76, 323 (2004).

[2] ”Semiconductor Spintronics and Quantum Computation”, eds. D.D. Awschalom, D.

Loss, and N. Samarth (Springer, Berlin, 2002).

[3] Carbon Nanotubes, Special Issue of Physics World (June 2000).

[4] S.V. Zaitsev-Zotov, Y.A. Kumserov, Y.A.Firsov, and P. Monceau // J. Phys. Cond.

Matter 12, L303 (200);

JETP Lett. 77, 135, (2003).

[5] E.Slot, M.A.Holst, H.S.J.van der Zant, and S.V. Zaitsev-Zotov // Phys. Rev. Lett. 93, 176602 (2004).

[6] A.N.Aleshin, H.J.Lee, Y.W.Park, and K.Akagi // Phys. Rev. Lett. 93, 196601 (2004).

[7] W.Kang, H.L.Shtormer, L.N.Pfeiffer, K.W.Baldwin, and K.W.West // Nature 403, (2000).

[8] J. Cibert and D. Scalbert, “Diluted Magnetic Semiconductors: Basic Physics and Optical Properties”, in “Spin Physics in Semiconductors”, chap. 13, ed. by M.I. Dyakonov (Berlin, Springer, 2008).

[9] J.A. Gaj, R. Planel, and G. Fishman // Solid State Communication, v.29, 435 (1979).

[10] A. Lemaitre, C. Testelin, C. Rigaux, T. Wojtowicz, and G. Karczewski // Phys. Rev.

B 62, 5059 (2000).

[11] Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. B, 115, 485 (1959).

[12] R.G. Chambers // Phys. Rev. Lett. 5, 3, (1960) [13] D. Yu. Sharvin, and Yu. V. Sharvin // JETP Lett. 34, 272 (1981) [14] B. L. Altshuler, A. G. Aronov, B.Z. Spivak, D.Yu Sharvin, and Yu. V. Sharvin // JETP Lett. 35, 588 (1982) [15] F.-R. Ladan, and J. Maurer // C. R. Acad. Sci. Ser. II, 297, 227 (1983) [16] D. J. Bishop, J. C. Licini, and G. J. Dolan // Appl. Phys. Lett. 46, 1000 (1985) [17] G. J. Dolan, J. C. Licini, and D. J. Bishop // Phys. Rev. Lett. 56, 1493 (1986) [18] B. Pannetier, J. Chaussy, R. Rammal, and P. Gandit // Phys. Rev. Lett. 53, (1984).



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.