авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН На правах рукописи СКВОРЦОВ ...»

-- [ Страница 6 ] --

Приложение C Диаграммы Юнга и представления классических алгебр Ли C.1 Определение диаграмм Юнга Диаграммой Юнга называется таблица, состоящая из выровненных по левому краю рядов, таких что i-й ряд содержит si клеток и длина рядов не возрастает с номером строки, т.е. si si+1 или, эквивалентно, высота колонок hi не возрастает с номером столбца, hi hi+1. Например, h1 h2 h3 h4 h5 h s s s X= (C.1) s s s s Из соображений удобства используется несколько эквивалентных форм записи для диаграмм Юнга:

Построчная запись. Диаграмма задаётся перечислением длин строк, начиная с верхней Y(s1, s2,..., sn ), например, для диаграммы выше имеем X = Y(6, 6, 6, 4, 4, 1, 1).

Постолбцовая запись. Диаграмма задаётся перечислением длин столбцов, начи ная с первого Y[h1, h2,..., hm ], например, для диаграммы выше имеем X = Y[7, 5, 5, 5, 3, 3].

Блочная запись. Диаграмма задаётся перечислением длин и высот максималь ных прямоугольных блоков, на которые она разбивается, начиная с верху, Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )}, p1 p2 pN Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )} Y(s1,..., s1, s2,..., s2,..., sN,..., sN ). (C.2) например, для диаграммы выше имеем X = Y{(6, 3), (4, 2), (1, 2)}.

Ранг диаграммы, т.е. количество клеток в ней, обозначается |X|. Каждая диа грамма, например, X, очевидно, задаёт разбиение числа |X| в сумму невозрастающих чисел |X| = s1 + s2 +... + sn.

Пустая диаграмма, т.е. состоящая из нуля клеток |X| = 0, обозначается •.

Отметим, что бывает удобно считать, что длины строк(столбцов) могут прини мать нулевые значения.

C.2 Типы симметрии тензоров и диаграммы Юнга Отвлекаясь пока от природы тензорных индексов (т.е. не предполагая, например, что индексы пробегают определённый диапазон), каждой диаграмме Юнга X можно поставить в соответствие неприводимый относительно перестановок индексов тен зорный объект ранга |X|.

Пустой диаграмме X = • отвечает тензор без индексов, т.е. скаляр. Однострочной диаграмме X = Y(s) отвечает симметричный тензор ранга |X| = s, T A(s). Диаграмме с одной колонкой X = Y[p] отвечает антисимметричный тензор ранга |X| = p, T A[p].

Остальным диаграммам, число которых быстро растёт с рангом |X|, отвечают тензоры так называемого смешанного типа симметрии, теория полей со спином, опре деляемым произвольной диаграммой, и есть основной предмет изучения в диссерта ции.

В отличие от полностью симметричных и полностью антисимметричных тензо ров, которые в терминах свойств индексов относительно перестановок определяются единственным образом, для тензоров смешанного типа симметрии существует произ вол в виде свойств индексов относительно перестановок. Этот произвол соответству ет различным выборам базиса для записи тензоров. Наиболее часто используются следующие базисы:

симметричный базис. Диаграмме X = Y(s1,..., sn ) сопоставляется тензор T X, содержащий n групп индексов, i-ая группа содержит si индексов с явной симметрией по индексам внутри данной группы, T A(s1 ),B(s2 ),...,U (sn ) T A1...As1,B1...Bs2,...,U1...Usp. (C.3) Также тензор T X удовлетворяет так называемым юнговским условиям: симметри зация всех индексов какой-либо группы с любым индексом одной из последующих групп обращается тождественно в ноль, T A(s1 ),...,B(si ),...,BC(sj 1),...,U (sn ) 0, i j. (C.4) Утверждение теории представлений состоит в том, что на данный тензор T X невоз можно наложить более сильных условий симметрии, и неприводимое представление X группы перестановок реализуется на T X.

антисимметричный базис. Эквивалентно можно потребовать явной антисим метрии по индексам внутри каждой группы, а именно: диаграмме Y = Y[h1,..., hm ] сопоставляется тензор RY, содержащий m групп индексов, i-ая группа содержит hi индексов с явной антисимметрией, RA[h1 ],B[h2 ],...,U [sm ]. (C.5) Также тензор RY удовлетворяет условиям Юнга: антисимметризация всех индек сов какой-либо группы с любым индексом одной из последующих групп обращается тождественно в ноль, RA[h1 ],...,B[hi ],...,BC[hj 1],...,U [sm ] 0, i j. (C.6) Данный тензор R также реализует неприводимое представление Y группы переста новок.

Если диаграммы Y и X тождественны (с точностью до выбора формы записи), то RY и T X реализуют с точностью до изоморфизма одно и тоже представление.

Сам оператор, обеспечивающий изоморфизм, устроен очень просто: для перехода из антисимметричного базиса в симметричный необходимо симметризовать все первые индексы в каждой группе, таковых будет как раз s1, затем симметризовать вторые индексы из каждой группы и так далее. Переход из симметричного базиса в анти симметричный осуществляется аналогично.

Отметим, что существует также большое количество других базисов помимо сим метричного и антисимметричного для записи тензоров смешанного типа симметрии.

Переходя в процессе рассуждений от одного базиса к другому, можно сильно упростить доказательство отдельных утверждений для тензоров общего типа сим метрии. Например, предположив, что индексы A, B,... пробегают N значений, и, переходя к антисимметричному базису, мы немедленно заключаем, что диаграммы Юнга, которым отвечают нетривиальные тензоры, должны иметь не более N строк.

Действительно, в антисимметричном базисе мы бы имели тензор T A[N ],.... с N N, который должен быть антисимметричен по N индексам, пробегающим только N значений, откуда следует T A[N ],.... 0.

C.3 Связь диаграмм Юнга с неприводимыми представления ми алгебр классической серии Ниже приводится классификация тех неприводимых представлений классических алгебр Ли, которые могут быть реализованы как тензоры или спин-тензоры.

gln (C). Две диаграммы Юнга X+ = Y(s+,..., s+ ) и X = Y(s,..., s ), такие что 1 p q их суммарная высота не превосходит n, т.е. p + q n, определяют неприводимое представление gln со старшим весом npq (s+,..., s+, 0,..., 0, s,..., s ), (C.7) 1 p q которое соответствует тензору с контравариантными индексами, реализующими пред ставление перестановок X+, и ковариантными индексами, реализующими представ ление перестановок X, и такому, что любая свёртка ковариантных индексов с контр вариантными даёт тождественный ноль, A(s+ ),...,N B(s+ 1),...,D(s+ ) A(s+ ),...,D(s+ ) p p T, T 0 (C.8) 1 i E(s ),...,H(s ) E(s ),...,N F (s 1),...,H(s ) q q 1 1 j То же самое верно для вещественных форм gln (R), un1,n2, n1 + n2 = n.

sln (C). Диаграмма Юнга X = Y(s1,..., sp ) высоты, не превосходящей n 1, т.е.

p n 1, определяет неприводимое представление sln с весом np (s1,..., sp, 0,..., 0), (C.9) соответствующее тензору, на индексах которого реализуется представление группы перестановок X. То же самое верно для вещественных форм sln (R), sun1,n2, n1 + n2 = n.

Отметим, что формально можно рассмотреть также антисимметричные тензоры sln ранга n, однако они не дают новых представлений, так как пропорциональны инвариантному полностью антисимметричному тензору sln.

son (C). Классификация представлений ортогональных алгебр зависит от чётности n.

При n = 2 неприводимое представление son (C) определяется старшим весом вида (s1, s2,..., s ) и такого, что s1 s2... s1 |s |, (C.10) где числа si - одновременно целые или полуцелые и все кроме s обязательно неот рицательные. Представления, определяемые старшим весом, у которого все si, целые называются тензорными, а те, у которых все si полуцелые, спинорными.

Произвол в знаке веса s отвечает возможности наложения условия (анти)самодуальности вида ac ac ±... b[],...

() det = +1, c[]b[] T, T a[],... = (C.11) (±i) ac... ac b[],...

, () det = 1, c[]b[] T где возможность наложения вещественного или комплексного условия зависит от сигнатуры ab и размерности.

При n = 2 + 1 неприводимое представление son (C) определяется старшим весом вида (s1, s2,..., s ) и такого, что s1 s2... s1 s 0, (C.12) где числа si - одновременно целые или полуцелые.

Для того, чтобы быть неприводимыми, тензоры ортогональной алгебры долж ны обладать определённой юнговской симметрией, быть бесследовыми, т.е. свёртка любых двух индексов с инвариантной метрикой ab должна обращаться в ноль тожде ственно, а также, если это возможно, быть подчинёнными условиям (анти)самодуальности.

Очевидно, что в случае спинорных представлений, имея некоторый смешанный объект T abc....;

... как с тензорными a, b, c,..., так и со спинорными,,... индексами, с помощью -матриц спинорные индексы могут быть попарно преобразованы в тен зорные индексы. Поэтому, любой спин-тензор общего типа может быть разложен на спин-тензоры с не более чем одним спинорным индексом каждый - тензорная часть неприводимого спин-тензора должна удовлетворять обычным для son (C)-тензора условиям юнговости, бесследовости и, если это возможно, (анти)самодуальности, и в добавок спин-тензор должен быть -бесследов, т.е. свёртка одного тензорного и одного спинорного индекса с помощью -матриц должна тождественно обращаться в ноль, T ;

abc... 0. (C.13) c Неприводимые представления son (C) по-прежнему удобно обозначать диаграмма ми Юнга, определяющими тип симметрии тензорных индексов (-)бесследова (спин) тензора. Поскольку в случае son (C) необходимо различать (анти)-самодуальные пред ставления, а также спинорные и тензорные представления, мы вводим дополнитель ные обозначения. (Анти)-самодуальные представления обозначаются подстрочным индексом ()+ у диаграммы Юнга, а для обозначения спинорных представлений используется подстрочный индекс 1. Для n = 2, диаграмма Юнга X = Y(s1,..., sp ) определяет два типа неприводимых представлений, если p p X (s1,..., sp, 0,..., 0), (C.14) p 1 11 X1 (s1 +,..., sp +, +,..., + ), (C.15) 2 22 и четыре типа неприводимых представлений, если p = X+ (s1,..., sp ), X (s1,..., sp1, sp ), 1 X+ 1 (s1 +,..., sp + ), 2 1 1 X 1 (s1 +,..., sp1 +, sp ).

2 2 Для n = 2 + 1, диаграмма Юнга X = Y(s1,..., sp ) c p определяет два типа неприводимых представлений, задаваемых формально теми же весами (C.14)-(C.15).

Заметим, что взятие двойного -следа по двум симметричным индексам некото рого спин-тензора эквивалентно взятию следа, 0 = T ;

(ab) = ab T ;

ab. (C.16) a b Также отметим, что можно рассматривать бесследовые тензоры son (C), симмет рия которых определяется диаграммой Юнга с более чем [n/2] строками. Используя полностью анти-симметричный инвариантный тензор, можно преобразовать некото рую группу антисимметричных индексов размера k [n/2] в группу антисиммет ричных индексов размера n k [n/2]. Причём бесследовый тензор с симметрией диаграммы X = Y[h1, h2,...], такой что h1 + h2 n, тождественно равен нулю, см.

например [207].

sp2n (C). Диаграмма Юнга X = Y(s1,..., sp ) высоты, не превосходящей n, т.е. p n, определяет неприводимое представление sp2n с весом np (s1,..., sp, 0,..., 0), (C.17) соответствующее тензору, на индексах которого реализуется представление группы перестановок X и удовлетворяющему условию бесследовости, т.е. свёртка любых двух индексов с инвариантной формой алгебры sp2n обращается в ноль тождествен но. То же самое верно для вещественной формы spn (R).

C.4 Ограничение представлений При работе с неприводимыми тензорами смешанного типа симметрии некоторой ал гебры g нам потребуется интерпретация тензора с точки зрения некоторой подалгеб ры h g. Данная проблема называется ограничением представления на подалгебру и в математической литературе хорошо известна как ’branching rules’ или ограничение (restriction) представлений (см. [208–210]).

Нас будут интересовать разложения, когда g = so(d + 1) будет алгеброй сим метрий пространства (анти)-де Ситтера, а h = so(d) будет алгеброй Лоренца;

g = gl(d + 1) h = gl(d) в качестве некоторых простых примеров;

g = gl(d) и h = so(d), когда некоторый тензор без следовых условий необходимо разложить на неприводи мые, в частности бесследовые, тензоры алгебры Лоренца.

gl Resgld. Пусть неприводимое представление gld задаётся весами (s1,..., sd ), тогда d его ограничение на gld1 даётся представлениями, веса которых (m1,..., md1 ) удо влетворяют s1 m1 s2... sd1 md1 sd (C.18) Если рассматривается тензор только одного типа, например ковариантный, опре деляемый некоторой диаграммой Юнга X = Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )}, p1 +... + pN d, то диаграммы, характеризующие неприводимые представления, получаемые в ре зультате ограничения, имеют вид s p k s X{k1,...,kN } = p2, (C.19) k sN pN kN т.е.

gl Resgld X = X{k1,...,kN }, (C.20) d где кратность каждого представления X{k1,...,kN } равна единице и Y{(s1, p1 1), (s2 + k1, 1),..., (sN, pN 1), (kN, 1)}, X{k1,...,kN } = (C.21) если k1 [0, s1 s1 ],..., kN [0, sN ],, иначе.

Ressod. Пусть d = 2 + 1 и представление so2+1 определяется старшим весом sod (s1,..., s ), тогда представления, возникающие при ограничении на подалгебру so2, имеют старшие веса (m1,..., m ), удовлетворяющие s1 m1 s2... s m s, (C.22) где кратность каждого представления равна 1 и все веса являются одновременно целыми или одновременно полуцелыми.

Если d = 2 и представление so2 определяется старшим весом (s1,..., s ), тогда представления, возникающие при ограничении на подалгебру so21, имеют старшие веса (m1,..., m1 ), удовлетворяющие s1 m1 s2... s1 m1 |s |, (C.23) где кратность каждого представления равна 1 и все веса являются одновременно целыми или одновременно полуцелыми.

Если представление X алгебры sod определяется некоторой диаграммой X = Y((s1, p1 ),..., (sN, pN )), такой что p1 +... + pN [d/2], т.е. (анти)-самодуальные пред ставления выпадают из рассмотрения, то правила ограничения упрощаются и фор мально сводятся к (C.19)-(C.21) в терминах диаграмм Юнга.

Resgld. Задача о рассмотрении разложения представления gld на представления sod sod возникает, если дан некоторый тензор sod, имеющий симметрию некоторой диаграм мы Юнга, но на который не наложено следовых условий, и необходимо разложить его на бесследовые тензоры sod, т.е. на неприводимые тензоры. Ответ для некото рого класса представлений легко сформулировать через коэффициенты Литтлвуда Ричардсона (см. ниже) для gld.

Пусть представление gld определяется диаграммой Юнга X = Y(s1,..., sp ) такой что p [d/2], тогда кратность представления Y = Y[h1,..., hq ] такого, что h1 + h2 d в представлении X равна X dim homsod (X, Y) = CY,2Z, (C.24) 2Z где сумма берётся по диаграммам 2Z с чётным числом клеток в каждой строке.

C.5 Тензорные произведения представлений Имея два неприводимых представления, скажем, X и Y, некоторой алгебры g, мы можем разложить их тензорное произведение XY на неприводимые представления (X Y является вполне приводимым представлением для классических алгебр). В случае g = gl(d) коэффициенты разложения X Y на неприводимые представления известны как коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона (в случае so(3) они называют ся коэффициентами Клебша-Гордона) и играют фундаментальную роль во всех во просах, связанных с тензорным произведением представлений классических алгебр.

Итак, Z X gl(d) Y = CX,Y Z, (C.25) Z Z где сумма берётся по всем представлением Z и CX,Y есть коэффициенты Литтлвуда Z Ричардсона. CX,Y может равняться нулю, говоря о том, что Z не входит в разложе ние, или быть произвольным натуральным числом, т.е. Z может входить с кратно стью больше 1.

Z Для CX,Y и их аналогов для других алгебр, вообще говоря, не существует явных формул, за исключением простейших случаев. Тем не менее можно сформулировать алгоритм, применение которого позволит разложить тензорное произведение кон кретных представлений. Подробные правила тензорного произведения для класси ческих алгебр можно найти в [203]. Нам потребуются специализации для алгебр gl(d) и so(d), когда X есть произвольное представление, а Y характеризуется диаграммой Юнга, состоящей из одного столбца.

gl(d)-тензорное произведение. Пусть дано неприводимое представление gl(d), определяемое диаграммой X = Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )}, тогда разложение тензорного произведение X Y[q] имеет вид X{j }, X gl(d) Y[q] = (C.26) 1 +...+N +1 =q где кратность каждого неприводимого представления X{j } равна 1 и сумма берётся по всем правильным диаграммам Юнга X{j } с 1 +... + N +1 = q вида s p s {1,...,N +1 } X = : i pi, для i = 1,..., N. (C.27) p sN N pN N + Поскольку Y[q] отвечает антисимметричному тензору, то клетки Y[q], приписы ваемые к X, не могут встречаться в одной строке, что и обуславливает вид X{j }.

Отметим также, что в сумме (C.26) отсутствуют диаграммы с p1 +...+pN +N +1 d, так как соответствующие тензоры тождественно равны нулю.

so(d)-тензорное произведение. Задача о разложении тензорного произведения двух представлений so(d) является более сложной, поскольку c помощью инвариант ного тензора ab индексы теперь можно ещё и сворачивать. Пусть дано неприводимое представление so(d), определяемое диаграммой Юнга X = Y{(s1, p1 ),..., (sN, pN )}, то гда разложение X so(d) Y[q] имеет вид N{j,i } Y{j,i }, X so(d) Y[q] = (C.28) {j,i } где сумма берётся по всем правильным диаграммам вида Y{j,i } s p1 {j,i } Y = : i + i p i, for i = 1,..., N, (C.29) s p2 N sN pN N N N + таких что существует неотрицательное целое i=N q= (i + i ) + N +1 + 2, (C.30) i= N{j,i } есть кратность представления Y{j,i } и даётся количеством разбиений N{j,i } = P( 1,..., N |), = pi i i, (C.31) i числа в сумму N чисел k1 +... + kN = таких, что 0 ki i.

Количество тензорных индексов X (или Y), которые необходимо свернуть с Y (X), чтобы получить затем тензор с симметрией Y{j,i }, называется порядком следа.

Порядок следа r представления Y{j,i } даётся i=N r= i +. (C.32) i= Смысл приведённых формул заключается в следующем: имея q антисимметрич ных индексов, отвечающих диаграмме Y[q], мы рассматриваем следы всех порядков.

Рассмотрим след, например, порядка r. Каждому разбиению r = t1 +... + tN, ti pi, отвечает взятие следа, при котором ti индексов (клеток) из Y[q] сворачиваются с ti индексами в i-м блоке, что на диаграмном языке приводит к отрезанию подколонки высоты ti справа снизу i-го блока;

затем, полученная таким путём диаграмма долж на быть умножена на оставшиеся (q r) клеток Y, и здесь можно воспользоваться правилами для gl(d), что приводит к тому, что справа-сверху i-го блока приписыва ются i клеток, также часть клеток может быть приписана на место удалённых ti клеток, что сокращает число отрезанных клеток до i ;

именно за счёт того что i может быть получено многими способами, число которых определяется i, кратность представлений может быть больше 1. Число клеток, которые были сначала отрезаны, а затем восстановлены, равно.

Диаграммы Y{j,i }, такие что сумма высот первых двух её столбцов превосхо дит d, отвечают тождественно равным нулю тензорам. Если высота первой колонки превосходит [d/2], то с помощью полностью антисимметричного инвариантного тен зора её можно превратить в диаграмму, у которой первый столбец не превосходит [d/2]. В случае чётного d и надлежащей сигнатуры ab диаграмма Y{j,i } высоты d/2 отвечает приводимому тензору, который может быть разложен на самодуальную и антисамодуальную части.

Отметим, что диаграммы, получающиеся из тензорного произведения по прави лам для gl(d), входят в разложение (C.28) как следы нулевого порядка, т.е. = 0, i = 0.

Нам также будет полезна производящая функция для разбиений i=N (1 t i +1 ) m P( 1,.

.., N |m)t = (C.33) 1t m i= В случае, когда необходимо вычислить тензорное произведение произвольного фермионного представления на представление определяемое диаграммой Юнга с од ной колонкой, появляется дополнительная возможность сворачивать индексы, ис пользуя гамма-матрицы. Не вдаваясь в детали, такое тензорное произведение может быть вычислено последовательным применением уже описанных правил для тензор ных представлений q Y{(si, pi )}1 so(d) Y[q] = Y{(si, pi )} so(d) Y[q k], (C.34) 2 k= а кратность представления в разложении даётся соответственно i= N{j },{i } = P( 1,..., N | i). (C.35) i= Приложение D Коэффициенты к главе Явные выражения для g(k, l), G(k, l), f (k, l) и F (k, l) имеют вид k+ g(k, m) = h(k, m), (D.1) k(d + k 2) km G(k, m) = H(k, m), (D.2) (d + m 3)(k m + 1) (k 1)(d + k 3) f (k, m) = h(k 1, m), (D.3) k (d + m 4)(k m + 2) F (k, m) = H(k, m 1), (D.4) km+ где (k t + 1)(d + k + t 2)(s k 1)(d + s + k 2) h(k, m) =, (D.5) (k m + 1)(d + k + m 2)(d + 2k) (s m)(d + s + m 3)(t m)(d + t + m 3) H(k, m) =. (D.6) (k m + 1)(d + k + m 2)(d + 2m 2) Выражения для h(k, m) и H(k, m) получаются решением условий калибровочной ин вариантности напряжённостей (5.56) относительно преобразований (5.61).

Определённые так g(k, l), G(k, l), f (k, l) и F (k, l) удовлетворяют (d + k 2)k f (k + 1, m) = g(k, m), (D.7) (k + 1) (d + m 3)(k m + 1) F (k, m + 1) = G(k, m), (D.8) (k m) 1,2 1, что гарантирует сопряжённость операторов + операторам по отношению к скалярному произведению (5.66). Также отметим, что h(k, m) = f (k + 1, m)g(k, m), (D.9) H(k, m) = F (k, m + 1)G(k, m). (D.10) Литература [1] E. Witten, Anti-de Sitter space and holography, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 253–291 [hep-th/9802150].

[2] S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Gauge theory correlators from non-critical string theory, Phys. Lett. B428 (1998) 105–114 [hep-th/9802109].

[3] J. M. Maldacena, The large N limit of superconformal eld theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231–252 [hep-th/9711200].

[4] E. Witten, Noncommutative Geometry and String Field Theory, Nucl. Phys. B (1986) 253.

[5] N. Moeller, Closed bosonic string eld theory at quintic order: Five- tachyon contact term and dilaton theorem, JHEP 03 (2007) 043 [hep-th/0609209].

[6] D. Gaiotto, L. Rastelli, A. Sen and B. Zwiebach, Ghost structure and closed strings in vacuum string eld theory, Adv. Theor. Math. Phys. 6 (2003) 403– [hep-th/0111129].

[7] B. Zwiebach, Closed string eld theory: Quantum action and the B-V master equation, Nucl. Phys. B390 (1993) 33–152 [hep-th/9206084].

[8] M. Saadi and B. Zwiebach, Closed String Field Theory from Polyhedra, Ann.

Phys. 192 (1989) 213.

[9] H. Sonoda and B. Zwiebach, Covariant closed string theory cannot be cubic, Nucl.

Phys. B336 (1990) 185.

[10] V. I. Ogievetsky and I. V. Polubarinov, Interacting elds of spin 1 and symmetry properties, Ann.of Phys.(N. Y.) 25 (1963) 358–386.

[11] C.-N. Yang and R. L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance, Phys. Rev. 96 (1954) 191–195.

[12] J. M. Cornwall, D. N. Levin and G. Tiktopoulos, Uniqueness of spontaneously broken gauge theories, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1268–1270.

[13] J. M. Cornwall, D. N. Levin and G. Tiktopoulos, Derivation of Gauge Invariance from High-Energy Unitarity Bounds on the S Matrix, Phys. Rev. D10 (1974) 1145.

[14] M. Fierz and W. Pauli, On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic eld, Proc. Roy. Soc. Lond. A173 (1939) 211–232.

[15] V. I. Ogievetsky and I. V. Polubarinov, Interacting eld of spin 2 and the einstein equations, Ann. Phys (NY) 35 (1965) 167–207.

[16] D. G. Boulware and S. Deser, Classical General Relativity Derived from Quantum Gravity, Ann. Phys. 89 (1975) 193.

[17] N. Boulanger, T. Damour, L. Gualtieri and M. Henneaux, Inconsistency of interacting, multigraviton theories, Nucl. Phys. B597 (2001) 127– [hep-th/0007220].

[18] H. Weyl, Electron and gravitation, Z. Phys. 56 (1929) 330–352.

[19] T. W. B. Kibble, Lorentz invariance and the gravitational eld, J. Math. Phys. (1961) 212–221.

[20] S. W. MacDowell and F. Mansouri, Unied geometric theory of gravity and supergravity, Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 739.

[21] K. S. Stelle and P. C. West, Spontaneously broken de sitter symmetry and the gravitational holonomy group, Phys. Rev. D21 (1980) 1466.

[22] W. Rarita and J. Schwinger, On a theory of particles with half integral spin, Phys.

Rev. 60 (1941) 61.

[23] W. P. M. Fierz, On Relativistic Wave Equations for Particles of Arbitrary Spin in an Electromagnetic Field, Proc. Roy. Soc. Lond. A173 (1939) 211.

[24] P. Van Nieuwenhuizen, Supergravity, Phys. Rept. 68 (1981) 189–398.

[25] S. R. Coleman and J. Mandula, All possible symmetries of S matrix, Phys. Rev.

159 (1967) 1251–1256.

[26] R. Haag, J. T. Lopuszanski and M. Sohnius, All Possible Generators of Supersymmetries of the s Matrix, Nucl. Phys. B88 (1975) 257.

[27] C. Aragone and S. Deser, Consistency Problems of Hypergravity, Phys. Lett. B (1979) 161.

[28] F. A. Berends, J. W. van Holten, B. de Wit and P. van Nieuwenhuizen, On spin 5/2 gauge elds, J. Phys. A13 (1980) 1643–1649.

[29] A. K. H. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink, Cubic interaction terms for arbitrary spin, Nucl. Phys. B227 (1983) 31.

[30] A. K. H. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink, Cubic interaction terms for arbitrarily extended Supermultiplets, Nucl. Phys. B227 (1983) 41.

[31] F. A. Berends, G. J. H. Burgers and H. van Dam, On the theoretical problems in constructing interactions involving higher spin massless particles, Nucl. Phys.

B260 (1985) 295.

[32] F. A. Berends, G. J. H. Burgers and H. Van Dam, On spin three selnteractions, Z. Phys. C24 (1984) 247–254.

[33] E. S. Fradkin and R. R. Metsaev, A Cubic interaction of totally symmetric massless representations of the Lorentz group in arbitrary dimensions, Class.

Quant. Grav. 8 (1991) L89–L94.

[34] R. R. Metsaev, Poincare invariant dynamics of massless higher spins: Fourth order analysis on mass shell, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 359–367.

[35] R. R. Metsaev, Generating function for cubic interaction vertices of higher spin elds in any dimension, Mod. Phys. Lett. A8 (1993) 2413–2426.

[36] R. R. Metsaev, S matrix approach to massless higher spins theory. 2: The Case of internal symmetry, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 2411–2421.

[37] E. S. Fradkin and M. A. Vasiliev, On the Gravitational Interaction of Massless Higher Spin Fields, Phys. Lett. B189 (1987) 89–95.

[38] E. S. Fradkin and M. A. Vasiliev, Cubic Interaction in Extended Theories of Massless Higher Spin Fields, Nucl. Phys. B291 (1987) 141.

[39] N. Boulanger, S. Leclercq and P. Sundell, On The Uniqueness of Minimal Coupling in Higher-Spin Gauge Theory, JHEP 08 (2008) 056 [0805.2764].

[40] M. A. Vasiliev, ’gauge’ form of description of massless elds with arbitrary spin, Sov. J. Nucl. Phys. 32 (1980) 439.

[41] M. A. Vasiliev, Equations of motion of interacting massless elds of all spins as a free dierential algebra, Phys. Lett. B209 (1988) 491–497.

[42] M. A. Vasiliev, Consistent equations for interacting massless elds of all spins in the rst order in curvatures, Annals Phys. 190 (1989) 59–106.

[43] M. A. Vasiliev, Unfolded representation for relativistic equations in (2+1) anti-de sitter space, Class. Quant. Grav. 11 (1994) 649–664.

[44] M. A. Vasiliev, Dynamics of massless higher spins in the second order in curvatures, Phys. Lett. B238 (1990) 305–314.

[45] M. A. Vasiliev, Consistent equation for interacting gauge elds of all spins in (3+1)-dimensions, Phys. Lett. B243 (1990) 378–382.

[46] M. A. Vasiliev, Nonlinear equations for symmetric massless higher spin elds in (a)ds(d), Phys. Lett. B567 (2003) 139–151 [hep-th/0304049].

[47] R. R. Metsaev, Cubic interaction vertices of totally symmetric and mixed symmetry massless representations of the Poincare group in D = 6 space-time, Phys. Lett. B309 (1993) 39–44.

[48] E. S. Fradkin and R. R. Metsaev, Cubic scattering amplitudes for all massless representations of the Poincare group in any space-time dimension, Phys. Rev.

D52 (1995) 4660–4667.

[49] R. R. Metsaev, Cubic interaction vertices for higher spin elds, hep-th/9705048.

[50] X. Bekaert, N. Boulanger and S. Cnockaert, Spin three gauge theory revisited, JHEP 01 (2006) 052 [hep-th/0508048].

[51] N. Boulanger and S. Leclercq, Consistent couplings between spin-2 and spin- massless elds, JHEP 11 (2006) 034 [hep-th/0609221].

[52] Z. Bern, J. J. Carrasco, D. Forde, H. Ita and H. Johansson, Unexpected Cancellations in Gravity Theories, Phys. Rev. D77 (2008) 025010 [0707.1035].

[53] Z. Bern, J. J. Carrasco, L. J. Dixon, H. Johansson and R. Roiban, The Ultraviolet Behavior of N=8 Supergravity at Four Loops, Phys. Rev. Lett. 103 (2009) [0905.2326].

[54] A. Codello, R. Percacci and C. Rahmede, Ultraviolet properties of f(R)-gravity, Int. J. Mod. Phys. A23 (2008) 143–150 [0705.1769].

[55] A. Codello, R. Percacci and C. Rahmede, Investigating the Ultraviolet Properties of Gravity with a Wilsonian Renormalization Group Equation, Annals Phys. (2009) 414–469 [0805.2909].

[56] D. Benedetti, P. F. Machado and F. Saueressig, Taming perturbative divergences in asymptotically safe gravity, 0902.4630.

[57] D. Benedetti, P. F. Machado and F. Saueressig, Asymptotic safety in higher-derivative gravity, 0901.2984.

[58] D. Polyakov, Interactions of Massless Higher Spin Fields From String Theory, 0910.5338.

[59] D. Francia and A. Sagnotti, On the geometry of higher-spin gauge elds, Class.

Quant. Grav. 20 (2003) S473–S486 [hep-th/0212185].

[60] A. Sagnotti and M. Tsulaia, On higher spins and the tensionless limit of string theory, Nucl. Phys. B682 (2004) 83–116 [hep-th/0311257].

[61] G. Bonelli, On the tensionless limit of bosonic strings, innite symmetries and higher spins, Nucl. Phys. B669 (2003) 159–172 [hep-th/0305155].

[62] D. Francia and A. Sagnotti, Minimal local Lagrangians for higher-spin geometry, Phys. Lett. B624 (2005) 93–104 [hep-th/0507144].

[63] D. Francia and A. Sagnotti, Higher-spin geometry and string theory, J. Phys.

Conf. Ser. 33 (2006) 57 [hep-th/0601199].

[64] D. J. Gross, High-Energy Symmetries of String Theory, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 1229.

[65] B. Sundborg, Stringy gravity, interacting tensionless strings and massless higher spins, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 113–119 [hep-th/0103247].

[66] E. Sezgin and P. Sundell, Doubletons and 5D higher spin gauge theory, JHEP (2001) 036 [hep-th/0105001].

[67] I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, AdS dual of the critical O(N) vector model, Phys. Lett. B550 (2002) 213–219 [hep-th/0210114].

[68] E. P. Wigner, On unitary representations of the inhomogeneous lorentz group, Annals Math. 40 (1939) 149–204.

[69] X. Bekaert and N. Boulanger, Mixed symmetry gauge elds in a at background, hep-th/0310209.

[70] T. Curtright, Counting symmetry patterns in the spectra of strings, Published in Paris-Meudon Colloq (1986) 304–333.

[71] A. Tirziu and A. A. Tseytlin, Semiclassical rigid strings with two spins in AdS5, 0911.2417.

[72] R. R. Metsaev, Massless mixed symmetry bosonic free elds in d- dimensional anti-de Sitter space-time, Phys. Lett. B354 (1995) 78–84.

[73] R. R. Metsaev, Arbitrary spin massless bosonic elds in d-dimensional anti-de Sitter space, hep-th/9810231.

[74] L. Brink, R. R. Metsaev and M. A. Vasiliev, How massless are massless elds in ads(d), Nucl. Phys. B586 (2000) 183–205 [hep-th/0005136].

[75] S. Deser and R. I. Nepomechie, Gauge invariance versus masslessness in de sitter space, Ann. Phys. 154 (1984) 396.

[76] S. Deser and R. I. Nepomechie, Anomalous propagation of gauge elds in conformally at spaces, Phys. Lett. B132 (1983) 321.

[77] A. Higuchi, Symmetric tensor spherical harmonics on the n sphere and their application to the de sitter group so(n,1), J. Math. Phys. 28 (1987) 1553.

[78] A. Higuchi, Forbidden mass range for spin-2 eld theory in de sitter space-time, Nucl. Phys. B282 (1987) 397.

[79] A. Higuchi, Massive symmetric tensor eld in space-times with a positive cosmological constant, Nucl. Phys. B325 (1989) 745–765.

[80] S. Deser and A. Waldron, Gauge invariances and phases of massive higher spins in (A)dS, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 031601 [hep-th/0102166].


[81] S. Deser and A. Waldron, Null propagation of partially massless higher spins in (a)ds and cosmological constant speculations, Phys. Lett. B513 (2001) 137– [hep-th/0105181].

[82] S. Deser and A. Waldron, Partial masslessness of higher spins in (a)ds, Nucl.

Phys. B607 (2001) 577–604 [hep-th/0103198].

[83] S. Deser and A. Waldron, Arbitrary spin representations in de sitter from ds/cft with applications to ds supergravity, Nucl. Phys. B662 (2003) 379– [hep-th/0301068].

[84] Y. M. Zinoviev, On massive high spin particles in (a)ds, hep-th/0108192.

[85] Y. M. Zinoviev, Toward frame-like gauge invariant formulation for massive mixed symmetry bosonic elds, Nucl. Phys. B812 (2009) 46–63 [0809.3287].

[86] N. Boulanger, C. Iazeolla and P. Sundell, Unfolding Mixed-Symmetry Fields in AdS and the BMV Conjecture: I. General Formalism, 0812.3615.

[87] N. Boulanger, C. Iazeolla and P. Sundell, Unfolding Mixed-Symmetry Fields in AdS and the BMV Conjecture: II. Oscillator Realization, 0812.4438.

[88] Y. M. Zinoviev, Frame-like gauge invariant formulation for mixed symmetry fermionic elds, 0904.0549.

[89] T. Curtright, Generalized gauge elds, Phys. Lett. B165 (1985) 304.

[90] J. M. F. Labastida, Massless particles in arbitrary representations of the lorentz group, Nucl. Phys. B322 (1989) 185.

[91] Y. M. Zinoviev, First order formalism for mixed symmetry tensor elds, hep-th/0304067.

[92] Y. M. Zinoviev, On massive mixed symmetry tensor elds in minkowski space and (a)ds, hep-th/0211233.

[93] Y. M. Zinoviev, First order formalism for massive mixed symmetry tensor elds in minkowski and (a)ds spaces, hep-th/0306292.

[94] Y. M. Zinoviev, On dual formulations of massive tensor elds, JHEP 10 (2005) 075 [hep-th/0504081].

[95] D. Francia and A. Sagnotti, Free geometric equations for higher spins, Phys. Lett.

B543 (2002) 303–310 [hep-th/0207002].

[96] X. Bekaert and N. Boulanger, Tensor gauge elds in arbitrary representations of GL(D,R): Duality and Poincare lemma, Commun. Math. Phys. 245 (2004) 27– [hep-th/0208058].

[97] X. Bekaert and N. Boulanger, On geometric equations and duality for free higher spins, Phys. Lett. B561 (2003) 183–190 [hep-th/0301243].

[98] X. Bekaert and N. Boulanger, Tensor gauge elds in arbitrary representations of gl(d,r). ii: Quadratic actions, Commun. Math. Phys. 271 (2007) 723– [hep-th/0606198].

[99] A. Campoleoni, D. Francia, J. Mourad and A. Sagnotti, Unconstrained Higher Spins of Mixed Symmetry. I. Bose Fields, Nucl. Phys. B815 (2009) 289– [0810.4350].

[100] A. Campoleoni, D. Francia, J. Mourad and A. Sagnotti, Unconstrained Higher Spins of Mixed Symmetry. II. Fermi Fields, 0904.4447.

[101] A. Campoleoni, Lagrangian formulations for Bose and Fermi higher-spin elds of mixed symmetry, 0905.1472.

[102] C. Burdik, A. Pashnev and M. Tsulaia, On the mixed symmetry irreducible representations of the Poincare group in the BRST approach, Mod. Phys. Lett.

A16 (2001) 731–746 [hep-th/0101201].

[103] C. Burdik, A. Pashnev and M. Tsulaia, The Lagrangian description of representations of the Poincare group, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001) 285–292 [hep-th/0103143].

[104] I. L. Buchbinder, A. Pashnev and M. Tsulaia, Lagrangian formulation of the massless higher integer spin elds in the AdS background, Phys. Lett. B523 (2001) 338–346 [hep-th/0109067].

[105] I. L. Buchbinder, A. Pashnev and M. Tsulaia, Massless higher spin elds in the AdS background and BRST constructions for nonlinear algebras, hep-th/0206026.

[106] X. Bekaert, I. L. Buchbinder, A. Pashnev and M. Tsulaia, On higher spin theory:

Strings, BRST, dimensional reductions, Class. Quant. Grav. 21 (2004) S1457–1464 [hep-th/0312252].

[107] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and A. Pashnev, BRST approach to Lagrangian construction for fermionic massless higher spin elds, Nucl. Phys. B711 (2005) 367–391 [hep-th/0410215].

[108] I. L. Buchbinder and V. A. Krykhtin, Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic higher spin elds in D dimensions, Nucl. Phys. B727 (2005) 537–563 [hep-th/0505092].

[109] I. L. Buchbinder and V. A. Krykhtin, BRST approach to higher spin eld theories, hep-th/0511276.

[110] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, L. L. Ryskina and H. Takata, Gauge invariant Lagrangian construction for massive higher spin fermionic elds, Phys. Lett. B (2006) 386–392 [hep-th/0603212].

[111] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and P. M. Lavrov, Gauge invariant Lagrangian formulation of higher spin massive bosonic eld theory in AdS space, Nucl. Phys.

B762 (2007) 344–376 [hep-th/0608005].

[112] A. Fotopoulos, K. L. Panigrahi and M. Tsulaia, Lagrangian formulation of higher spin theories on AdS space, Phys. Rev. D74 (2006) 085029 [hep-th/0607248].

[113] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and A. A. Reshetnyak, BRST approach to Lagrangian construction for fermionic higher spin elds in AdS space, Nucl. Phys.

B787 (2007) 211–240 [hep-th/0703049].

[114] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and H. Takata, Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic mixed symmetry higher spin elds, Phys. Lett.

B656 (2007) 253–264 [0707.2181].

[115] I. L. Buchbinder and V. A. Krykhtin, Progress in Gauge Invariant Lagrangian Construction for Massive Higher Spin Fields, 0710.5715.

[116] P. Y. Moshin and A. A. Reshetnyak, BRST approach to Lagrangian formulation for mixed-symmetry fermionic higher-spin elds, JHEP 10 (2007) 040 [0707.0386].

[117] A. A. Reshetnyak, On Lagrangian formulations for mixed-symmetry HS elds on AdS spaces within BFV-BRST approach, 0809.4815.

[118] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and L. L. Ryskina, BRST approach to Lagrangian formulation of bosonic totally antisymmeric tensor elds in curved space, Mod. Phys. Lett. A24 (2009) 401–414 [0810.3467].

[119] A. A. Reshetnyak, Nonlinear Operator Superalgebras and BFV-BRST Operators for Lagrangian Description of Mixed-symmetry HS Fields in AdS Spaces, 0812.2329.

[120] I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and L. L. Ryskina, Lagrangian formulation of massive fermionic totally antisymmetric tensor eld theory in AdS space, 0902.1471.

[121] I. L. Buchbinder, A. Fotopoulos, A. C. Petkou and M. Tsulaia, Constructing the cubic interaction vertex of higher spin gauge elds, Phys. Rev. D74 (2006) [hep-th/0609082].


[122] A. Fotopoulos and M. Tsulaia, Interacting Higher Spins and the High Energy Limit of the Bosonic String, Phys. Rev. D76 (2007) 025014 [0705.2939].

[123] A. Fotopoulos, N. Irges, A. C. Petkou and M. Tsulaia, Higher-Spin Gauge Fields Interacting with Scalars: The Lagrangian Cubic Vertex, JHEP 10 (2007) [0708.1399].

[124] A. Fotopoulos and M. Tsulaia, Gauge Invariant Lagrangians for Free and Interacting Higher Spin Fields. A Review of the BRST formulation, Int. J. Mod.

Phys. A24 (2009) 1–60 [0805.1346].

[125] R. R. Metsaev, Cubic interaction vertices for massive and massless higher spin elds, Nucl. Phys. B759 (2006) 147–201 [hep-th/0512342].

[126] N. Boulanger and S. Cnockaert, Consistent deformations of (p,p)-type gauge eld theories, JHEP 03 (2004) 031 [hep-th/0402180].

[127] D. Sullivan, Innitesimal computations in topology, Publ. Math. IHES 47 (1977) 269–331.

[128] P. van Nieuwenhuizen, Free graded dierential superalgebras,. Invited talk given at 11th Int. Colloq. on Group Theoretical Methods in Physics, Istanbul, Turkey, Aug 23- 28, 1982.

[129] R. D’Auria, P. Fre, P. K. Townsend and P. van Nieuwenhuizen, Invariance of actions, rheonomy and the new minimal n=1 supergravity in the group manifold approach, Ann. Phys. 155 (1984) 423.

[130] R. D’Auria and P. Fre, Geometric supergravity in d = 11 and its hidden supergroup, Nucl. Phys. B201 (1982) 101–140.

[131] M. A. Vasiliev, Actions, charges and o-shell elds in the unfolded dynamics approach, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3 (2006) 37–80 [hep-th/0504090].

[132] M. A. Vasiliev, Free massless elds of arbitrary spin in the de sitter space and initial data for a higher spin superalgebra, Fortsch. Phys. 35 (1987) 741–770.

[133] M. A. Vasiliev, Equations of motion for d = 3 massless elds interacting through chern-simons higher spin gauge elds, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 3689–3702.

[134] M. A. Vasiliev, Higher-spin gauge interactions for matter elds in two dimensions, Phys. Lett. B363 (1995) 51–57 [hep-th/9511063].

[135] M. A. Vasiliev, Higher-spin-matter interactions in 2+1 dimensions, hep-th/9607135.

[136] M. A. Vasiliev, Higher-spin gauge theories in four, three and two dimensions, Int.

J. Mod. Phys. D5 (1996) 763–797 [hep-th/9611024].

[137] I. V. Tyutin and M. A. Vasiliev, Lagrangian formulation of irreducible massive elds of arbitrary spin in (2+1) dimensions, Teor. Mat,Fiz. 113N1 (1997) 45– [hep-th/9704132].

[138] M. A. Vasiliev, Deformed oscillator algebras and higher-spin gauge interactions of matter elds in 2+1 dimensions, hep-th/9712246.

[139] S. F. Prokushkin and M. A. Vasiliev, Higher-spin gauge interactions for massive matter elds in 3d ads space-time, Nucl. Phys. B545 (1999) [hep-th/9806236].

[140] S. Prokushkin and M. A. Vasiliev, 3d higher-spin gauge theories with matter, hep-th/9812242.

[141] M. A. Vasiliev, Higher-spin-matter gauge interactions in 2+1 dimensions, Nucl.

Phys. Proc. Suppl. 56B (1997) 241–252.

[142] S. F. Prokushkin and M. A. Vasiliev, Currents of arbitrary spin in ads(3), Phys.

Lett. B464 (1999) 53–61 [hep-th/9906149].

[143] S. F. Prokushkin and M. A. Vasiliev, Cohomology of arbitrary spin currents in ads(3), Theor. Math. Phys. 123 (2000) 415–435 [hep-th/9907020].

[144] S. F. Prokushkin, A. Y. Segal and M. A. Vasiliev, Coordinate-free action for ads(3) higher-spin-matter systems, Phys. Lett. B478 (2000) 333–342 [hep-th/9912280].

[145] K. I. Bolotin and M. A. Vasiliev, Star-product and massless free eld dynamics in ads(4), Phys. Lett. B479 (2000) 421–428 [hep-th/0001031].

[146] M. A. Vasiliev, Cubic interactions of bosonic higher spin gauge elds in ads(5), Nucl. Phys. B616 (2001) 106–162 [hep-th/0106200].

[147] V. E. Lopatin and M. A. Vasiliev, Free massless bosonic elds of arbitrary spin in d-dimensional de sitter space, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 257.

[148] M. A. Vasiliev, Free massless fermionic elds of arbitrary spin in d- dimensional de sitter space, Nucl. Phys. B301 (1988) 26.

[149] M. A. Vasiliev, Higher spin superalgebras in any dimension and their representations, JHEP 12 (2004) 046 [hep-th/0404124].

[150] K. B. Alkalaev, Two-column higher spin massless elds in ads(d), Theor. Math.

Phys. 140 (2004) 1253–1263 [hep-th/0311212].

[151] K. B. Alkalaev, Mixed-symmetry massless gauge elds in ads(5), Theor. Math.

Phys. 149 (2006) 1338–1348.

[152] K. B. Alkalaev, O. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, On the frame-like formulation of mixed-symmetry massless elds in (a)ds(d), Nucl. Phys. B (2004) 363–393 [hep-th/0311164].

[153] Y. M. Zinoviev, Towards frame-like gauge invariant formulation for massive mixed symmetry bosonic elds. II. General Young tableau with two rows, Nucl. Phys.

B826 (2010) 490–510 [0907.2140].

[154] X. Bekaert and J. Mourad, The continuous spin limit of higher spin eld equations, JHEP 01 (2006) 115 [hep-th/0509092].

[155] Harish-Chandra, Representations of semisimple lie groups, iv, v, vi,, Am. J. Math.

77,78 (1955, 56) 743–777, 1–41, 546–628.

[156] M. Gunaydin and C. Saclioglu, Oscillator like unitary representations of noncompact groups with a jordan structure and the noncompact groups of supergravity, Commun. Math. Phys. 87 (1982) 159.

[157] I. Bars and M. Gunaydin, Unitary representations of noncompact supergroups, Commun. Math. Phys. 91 (1983) 31.

[158] O. V. Shaynkman, I. Y. Tipunin and M. A. Vasiliev, Unfolded form of conformal equations in m dimensions and o(m+2)-modules, Rev. Math. Phys. 18 (2006) 823–886 [hep-th/0401086].

[159] A.Beilinson and J.Bernstein, Representations of Real Reductive Lie Groups, Advances in Soviet Mathematics 16 (1993) 1–50.

[160] D. Vogan, Representations of Real Reductive Lie Groups, Progress in Mathematics 15 (1981).

[161] V. Bargmann and E. P. Wigner, Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations, Proc. Nat. Acad. Sci. 34 (1948) 211.

[162] I. Gelfand and A. Yaglom, General relativistically invariant equations and innite-dimensional representations of the lorentz group, Zh.Ehksp.Theor.Fiz. (1948) 703–733.

[163] X. Bekaert, N. Boulanger and M. Henneaux, Consistent deformations of dual formulations of linearized gravity: A no-go result, Phys. Rev. D67 (2003) [hep-th/0210278].

[164] S. Deser, P. K. Townsend and W. Siegel, Higher rank representations of lower spin, Nucl. Phys. B184 (1981) 333.

[165] P. K. Townsend, Classical properties of antisymmetric tensor gauge elds,.

Lecture given at 18th Winter School of Theoretical Physics, Karpacz, Poland, Feb 18 - Mar 3, 1981.

[166] P. K. Townsend, Gauge invariance for spin 1/2, Phys. Lett. B90 (1980) 275.

[167] R. R. Metsaev, Shadows, currents and AdS, 0805.3472.

[168] A. Einstein, Do Gravitational Fields Play an Essential Role in the Structure of the Elementary Particles of Matter?, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (1919) 349–356.

[169] E. Alvarez, D. Blas, J. Garriga and E. Verdaguer, Transverse Fierz-Pauli symmetry, Nucl. Phys. B756 (2006) 148–170 [hep-th/0606019].

[170] D. Blas, Gauge symmetry and consistent spin-two theories, J. Phys. A40 (2007) 6965–6972 [hep-th/0701049].

[171] C. Fronsdal, Massless elds with integer spin, Phys. Rev. D18 (1978) 3624.

[172] C. S. Aulakh, I. G. Koh and S. Ouvry, Higher spin elds with mixed symmetry, Phys. Lett. B173 (1986) 284.

[173] J. Fang and C. Fronsdal, Massless Fields with Half Integral Spin, Phys. Rev. D (1978) 3630.

[174] J. M. F. Labastida, Massless bosonic free elds, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 531.

[175] J. M. F. Labastida and T. R. Morris, Massless mixed symmetry bosonic free elds, Phys. Lett. B180 (1986) 101.

[176] E. S. Fradkin and M. A. Vasiliev, Candidate to the role of higher spin symmetry, Ann. Phys. 177 (1987) 63.

[177] S. E. Konshtein and M. A. Vasiliev, Massless representations and admissibility condition for higher spin superalgebras, Nucl. Phys. B312 (1989) 402.

[178] S. E. Konstein and M. A. Vasiliev, Extended higher spin superalgebras and their massless representations, Nucl. Phys. B331 (1990) 475–499.

[179] L. P. S. Singh and C. R. Hagen, Lagrangian formulation for arbitrary spin. 1. the boson case, Phys. Rev. D9 (1974) 898–909.

[180] L. P. S. Singh and C. R. Hagen, Lagrangian formulation for arbitrary spin. 2. the fermion case, Phys. Rev. D9 (1974) 910–920.

[181] R. Penrose and W. Rindler, Spinors and space-time. 1. Two spinor calculus and relativistiv elds,. Cambridge, Uk: Univ. Pr. (1984) 458 P. (Cambridge Monographs On Mathematical Physics).

[182] X. Bekaert, S. Cnockaert, C. Iazeolla and M. A. Vasiliev, Nonlinear higher spin theories in various dimensions, hep-th/0503128.

[183] M. A. Vasiliev, On conformal, sl(4,r) and sp(8,r) symmetries of 4d massless elds, arXiv:0707.1085 [hep-th].

[184] O. A. Gelfond and M. A. Vasiliev, Higher rank conformal elds in the sp(2m) symmetric generalized space-time, Theor. Math. Phys. 145 (2005) 1400– [hep-th/0304020].

[185] M. A. Vasiliev, Relativity, causality, locality, quantization and duality in the sp(2m) invariant generalized space-time, hep-th/0111119.

[186] M. A. Vasiliev, Higher-spin theories and sp(2m) invariant space-time, hep-th/0301235.

[187] V. E. Didenko, A. S. Matveev and M. A. Vasiliev, Unfolded Dynamics and Parameter Flow of Generic AdS(4) Black Hole, 0901.2172.

[188] V. E. Didenko, A. S. Matveev and M. A. Vasiliev, Unfolded Description of AdS Kerr Black Hole, Phys. Lett. B665 (2008) 284–293 [0801.2213].

[189] V. E. Didenko and M. A. Vasiliev, Schwarzschild black hole in 4d higher-spin gauge theory, 0906.3898.

[190] O. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, Scalar eld in any dimension from the higher spin gauge theory perspective, Theor. Math. Phys. 123 (2000) 683– [hep-th/0003123].

[191] O. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, Higher spin conformal symmetry for matter elds in 2+1 dimensions, Theor. Math. Phys. 128 (2001) 1155– [hep-th/0103208].

[192] T. Curtright, Massless eld supermultiplets with arbitrary spin, Phys. Lett. B (1979) 219.

[193] A. S. Matveev and M. A. Vasiliev, On dual formulation for higher spin gauge elds in (a)ds(d), Phys. Lett. B609 (2005) 157–166 [hep-th/0410249].

[194] K. B. Alkalaev, M. Grigoriev and I. Y. Tipunin, Massless Poincare modules and gauge invariant equations, 0811.3999.

[195] P. de Medeiros and C. Hull, Geometric second order eld equations for general tensor gauge elds, JHEP 05 (2003) 019 [hep-th/0303036].

[196] W. Siegel, Hidden Ghosts, Phys. Lett. B93 (1980) 170.

[197] D. M. Gitman and I. V. Tyutin, General quadratic gauge theory: Constraint structure, symmetries, and physical functions, J. Phys. A38 (2005) [hep-th/0409206].

[198] S. Deser and A. Waldron, Conformal invariance of partially massless higher spins, PHys. Lett. B603 (2004) 30 [hep-th/0408155].

[199] P. A. M. Dirac, Relativistic wave equations, Proc. Roy. Soc. Lond. 155A (1936) 447–459.

[200] Y. M. Zinoviev, Frame-like gauge invariant formulation for massive high spin particles, Nucl. Phys. B808 (2009) 185–204 [0808.1778].

[201] D. S. Ponomarev and M. A. Vasiliev, Frame-Like Action and Unfolded Formulation for Massive Higher-Spin Fields, 1001.0062.

[202] S. Kumar, Kac-moody Groups, Their Flag Varieties And Representation Theory.

Springer Verlag, 2001.

[203] J. Hong and S.-J. Kang, Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases.

Amer. Math. Soc., 2002.

[204] K. B. Alkalaev, O. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, Lagrangian formulation for free mixed-symmetry bosonic gauge elds in (a)ds(d), JHEP 08 (2005) [hep-th/0501108].

[205] K. B. Alkalaev, O. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, Frame-like formulation for free mixed-symmetry bosonic massless higher-spin elds in ads(d), hep-th/0601225.

[206] R. R. Metsaev, Conformal self-dual elds, 0812.2861.

[207] M. Hamermesh, Group theory and its application to physical problems. Dover, New York, NY, 1989.

[208] A. O. Barut and R. Raczka, Theory of group representations and applications,.

Singapore, Singapore: World Scientic ( 1986) 717p.

[209] D. E. Littlewood, On invariant theory under restricted groups, Phil. Trans. Royal Soc. London, Ser. A. 239 (1944), no. 809 387–417.

[210] R. E. Howe, E. C. Tan and J. F. Willenbring, Stable branching rules for classical symmetric pairs, Trans. Amer. Math. Soc. 357 (2003), no. 4 1601– [math/0311159].



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.