авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

Слепцов Алексей Васильевич

Сравнительный анализ различных представлений

корреляционных функций в теории Черна-Саймонса

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.–мат. наук А.Ю. Морозов Москва 2014 Оглавление 1 Введение 3 1.1 Содержание диссертации............................. 6 1.2 Результаты, выносимые на защиту

диссертации................ 2 Вычисление ассоциатора Дринфельда 2.1 Интеграл Концевича............................... 2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора 2.3 Решения....................................... 2.4 Сравнение с известными формулами для узлов................ 2.5 Препотенциал Дринфельда............................ 3 Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса 3.1 Пертурбативные разложения полиномов ХОМФЛИ.............. 3.2 Структура разложения т’Хофта......................... 3.3 Замечания..................................... 4 Обобщение корреляторов на случай суперполиномов 4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов.................. 4.2 Деформация в характеры Макдональда.................... 4.3 Замечания..................................... 4.4 Редукции суперполиномов............................ 4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда тори ческих суперполиномов.............................. 4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда hQ для торических узлов......... 4.7 Производящие функции............................. 5 Заключение 6 Приложения 6.1 Приложение A. Уравнение КЗ.......................... 6.2 Приложение Б. Характеры симметрической группы............. 6.2.1 Примеры структурных констант..................... 6.2.2 Таблица характеров симметрической группы R ()......... 6.3 Приложение В. Суперполиномы......................... 6.3.1 Неузлы................................... 6.3.2 Случай (2, n), серия n = 2k фундаментальное представление.... 6.3.3 Случай (2, n), серия n = 2k + 1 фундаментальное представление.. Глава Введение В работах [1, 2] было предложено рассмотреть трехмерную (2 + 1) кванто вую теорию поля с действием Черна-Саймонса и неабелевой калибровочной группой G для изучения топологических инвариантов. Идея довольно про ста.

Действие Черна-Саймонса для векторного поля Aµ = Aa T a µ (1.0.1) d3 x µ S(A) = Tr Aµ A + Aµ A A 4 M построено без введения метрики на M3, поэтому естественно ожидать, что наблюдаемые не будут зависеть от метрики, а будут зависеть только от своей "топологической конфигурации". Будем полагать, что M3 = s3, а G = SU (N ), тогда T a являются генераторами алгебры su(N ). След в дей ствии берется по фундаментальному представлению, а - это константа связи, иногда ее называют уровнем теории. В качестве наблюдаемых бу дем рассматривать калибровочные инварианты, а именно корреляционные функции операторов Вильсона. Оператор Вильсона в случае неабелевой тео рии для контура C дается следующим выражением:

(1.0.2) Aµ dxµ, WR (C, A) = Tr R Pexp i C где R является неприводимым представлением рассматриваемой алгебры Ли и поэтому нумеруется диаграммой Юнга. Коррелятор петли Вильсона равен (1.0.3) DA eiS(A) WR (C, A), WR (K) = и уже не зависит от реализации контура C в S 3, а зависит от топологиче ского класса эквивалентности узла K, и следовательно, коррелятор WR (K) определяет топологический инвариант узла.

Свое развитие эта идея нашла в работах [3], где было показано, что фи зические состояния теории Черна-Саймонса описывают конформные блоки двумерной конформно-инвариантной теории Весс-Зумино-Виттена. То есть было установлено соответствие между 3d калибровочной теорией и 2d кон формной теорией. Используя это соответствие, Э.Виттен сумел вычислил корреляторы вильсоновских петель для группы SU (2). Для конкретного уз ла и конкретного представления ответ дается многочленом по переменным (1.0.4) q = exp( ) A = exp(N ), где введено обозначение, смысл которого станет ясен чуть ниже, (1.0.5) =.

По сути, эти многочлены являются нетривиальными обобщениями харак теров группы Ли G. Эти же самые многочлены были вычислены по узлу исходя из совершенно других соображений в работах [32, 33, 108, 109, 110, 111, 126, 127] и называются полиномами ХОМФЛИ для SU (N ) (в частности, полиномами Джонса для SU (2)) и полиномами Кауффмана для SO(N ):

(1.0.6) WR (K) = HR (K), G = SU (N ) Таким образом, Э.Виттен с помощью непертурбативных методов не только установил соответствие между 3d калибровочной теорией Черна-Саймонса и 2d конформной теорией, но и точно вычислил корреляторы вильсоновских петель.

Позже в работах [7] было показано, что теория перенормируема и не со держит расходимостей, т.е. конечна. Коррелятор WR (K) имеет осмыслен ное пертурбативное разложение по константе связи (1.0.7) =.

Это разложение оказывается исключительно плодотворным, поскольку при водит к инвариантами конечного типа (инвариантам Васильева) vn,m. Впер K вые эти инварианты были получены в работе [4]. Их связь с полиномиаль ными инвариантами установлена в [5, 6]. Более того, в калибровке светового конуса из функционального интеграла (1.0.3) можно вывести универсаль ный инвариант Васильева [8], известный как интеграл Концевича [9]. По сути мы записываем коррелятор как ряд по инвариантам Васильева:

(1.0.8) nK WR (K) = vn,m rn,m.

n,m Инварианты Васильева зависят только узла, а зависимость от группы и представления дается факторами rn,m. Таким образом, это подход раскры вает нам структуру корреляционных функций Вильсона. Стоит отметить, что вычисление инвариантов Васильева и групповых факторов - важная научная задача, которая в общем виде не решена. Более того, даже раз мерность линейного пространства, натянутого на инварианты Васильева, в общем случае не известна.

Вообще пертурбативные методы исследования в этой теории играют одну из ключевых ролей. Они позволяют не только изучать структуру корреля торов, но также устанавливают связь с другими теориями. Так в работах [10, 11] показано, что для группы SU (2) в пределе больших представлений малой константы связи коррелятор узла K равен гиперболическому объе му трехмерной сферы, из которой вырезали узел K. На сегодняшний день это утверждение для произвольного узла носит статус гипотезы, подтвер жденной многочисленными примерами. Она допускает обобщение на случай группы SU (N ), вопрос о вычислении поправок также интересен [12]. Таким образом, благодаря этому разложению с помощью теории Черна-Саймонса можно изучать геометрию трехмерных многообразий.

Еще одним интересным пределом является планарный предел, т.е. предел при больших N. В диссертации показано, что в этом пределе корреляторы имеют очень простую зависимость от представления R, и их производящая функция является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Дру гими словами, полиномы ХОМФЛИ в пределе больших N удовлетворяют соотношениям Плюккера. Также вычислены поправки к этому пределу в произвольном порядке по теории возмущения, явно выписан ответ для n-го порядка. Показано, зависимость от представления полностью описывается характерами симметрической группы. Записанный в таком виде корреля тор имеет вид двухточечной функции Гурвица, тем самым разложение при больших N позволяет установить связь между теорией Черна-Саймонса и теорией Гурвица, которая изучает накрытие римановых поверхностей [13]. С другой стороны, в работах [87, 88] показано, что 1/N разложение обеспечива ет дуальность между теорией Черна-Саймонса и замкнутой топологической струной и тем самым с инвариантами Громова-Виттена.

Как уже говорилось, корреляторы вильсоновских петель являются поли номами от двух переменных A и q. В 2004-2005 гг. в работах [34, 35] бы ло предложено рассмотреть полиномы от трех переменных A, q и t, кото рые обобщают полиномы ХОМФЛИ и другие полиномиальные инварианты, не получаемые из теории Черна-Саймонса, такие как полиномы Хеегарда Флоера и Хованова-Рожанского [36]-[39]. Эти новые полиномы, называемые суперполиномами, являются чем-то вроде -деформацией теории Черна Саймонса аналогичной той, что приводит к появлению функций Некрасова в низкоэнергетическом пределе четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Миллса. Многие известные свойства полиномов ХОМФЛИ обобщают ся и на случай суперполиномов. На сегодняшний день исследование супер полиномов является важной и актуальной задачей.

1.1 Содержание диссертации Во введении дана общая характеристика диссертационной работы: актуаль ность темы, поставленные задачи.

В главе 2 обсуждается способ вычисления корреляционных функций вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса через интеграл Концеви ча. Исходно интеграл Концевича представлялся в виде бесконечной суммы интегралов по данной петле Вильсона (узлу):

n n dzik dzjk p KI(K) = (1) Gp,(1.1.9) (2i)n zik zjk p P2n n=0 k= o(z1 )o(z2 )...o(zn ) где Gp = tr T ap (1) T ap (2)...T ap (2n) - это групповые факторы, T a генераторы алгебры Ли. Взятие такого интеграла в n-том члене даже для фиксирован ного узла является крайне сложной задачей, не говоря уже о том, чтобы просуммировать весь ряд. Однако можно представить интеграл Концевича в виде произведения тензоров R (сплетающий оператор) и (ассоциатор Дринфельда), причем порядок произведения зависит от узла. Сплетающий оператор дается простым выражением:

R = eA, A = T a (T a ) 1. (1.1.10) Основная сложность данного подхода состоит в вычислении, и в общем случае он тоже дается бесконечным степенным рядом по тензорам A = T a (T a ) 1 и B = 1 T a (T a ), который просуммировать непо средственно довольно сложно. Тем не менее исходя из того, что ассоциатор Дринфельда является решением регуляризованного уравнения Книжника Замолодчикова d B B (1.1.11) = (1 z) A (1 z) A, dz z z для него был получен непертурбативный ответ в случае фундаментального представления алгебры su(N ). Это позволило вычислить интеграл Конце вича явно. Кроме того, в главе 2 показывается, что в таком подходе ас социаторы Дринфельда бывают разного типа. Тип ассоциатора зависит от ориентации нитей в узле. Это приводит к немного разных уравнениям на ассоциатор и, как следствие, к разным решениям.

В главе 3 изучается разложение т’Хофта (предел больших N ) для кор реляционных функций теории Черна-Саймонса. В планарном пределе этого разложения среднее значение вильсоновской петли зависит очень простым образом от представления (диаграммы Юнга):

N (1.1.12) = [1] (A)|R|, K WR (K) где |R| - размер диаграммы Юнга, [1] (A) - полином по A в фундаментальном K представлении для узла K. Такое поведение, в частности, означает что в планарном пределе производящая функция корреляторов (1.1.13) Z(p, p |K) = WR (K) SR (p )SR (p) R становится тривиальной тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили, где SR (p) - полиномы Шура в произвольных временах {pk }. Также в главе 3 изучаются поправки к этой формуле:

(1.1.14) K R (A) · z n.

WR (K) = n n В частности, изучается зависимость корреляторов от представления. Пока зано, что эта зависимость полностью описывается характерами симметри ческой группы R ():

(1.1.15) K K R (A) = (A)R (), n n :||+l()n В главе 4 мы переходим к построению суперполиномов, которые обоб щают корреляторы вильсоновских петель или, что то же самое, полиномы ХОМФЛИ. Мы ограничиваемся рассмотрением только торических узлов, ко торые в общем виде могут записаны как T [m, mk + r], где числа m и mk + r задают намотки на тор. Полиномы ХОМФЛИ можно разложить в сумму ха рактеров калибровочной группы с постоянными коэффициентами, которые принимают значения в целых числах;

сумма берется по диаграммам Юнга Q:

cQ SQ (p). (1.1.16) WR (K) = R Q Как известно, характерами группы GL(N ) являются полиномы Шура SQ (p) базис в пространстве симметрических полиномов по {pk }. Основная идея построения суперполиномов PR это замена полиномов Шура на полиномы K Макдональда, которые зависят еще от двух дополнительных переменных:

cQ MQ (p|t, q) (1.1.17) K PR = R Q Однако надо еще заменить подходящим образом коэффициенты. Они опре деляются из начального условия. В качестве начального условия k = используется простейший узел в соответствующей серии узлов, т.е. узел T [m, r]. Показано, что если такой узел удалось разложить по полиномам Макдональда, то всю серию, т.е. при произвольных k, можно восстановить вставкой оператора эволюции:

(1.1.18) q 2(k+r/m)(Q ) t2(k+r/m)(Q), где Q - это транспонированная диаграмма, а (Q) = i Qi (i 1). Также в главе 4 показано, что узел, используемый в качестве начального условия, лучше раскладывать по полиномам Холла-Литтлвуда, нежели по полино мам Макдональда (или Шура). Именно в этом случае коэффициенты разло жения устроены наиболее простым образом, например, в фундаментальном представлении (7,2) (1.1.19) h[4,3] = 1, тогда как будучи представленными в базисе полиномов Макдональда они превращаются в сложные рациональные функции, тот же коэффициент q 7 t3 +t2 q 6 t3 q 5 +tq 5 q 4 t3 +q 4 +2q 4 tq 4 t2 2q 3 t2 +q 3 +q 3 tq 2 t2 q 2 t+q 2 qt (7,2). (1.1.20) [4,3] = q q 2 t Сама по себе эта сложность несущественна - она есть следствие линейного преобразования от полиномов Холла-Литтлвуда к полиномам Макдональда.

В заключении обсуждаются полученные результаты.

1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации • В случае фундаментального представления алгебры gl(N ) вычислен ас социатор Дринфельда. С его помощью для простейших узлов провере но, что интеграл Концевича в точности совпадает с полиномами ХОМ ФЛИ.

• Показано, что компоненты решения для ассоциатора совпадают с опре деленными компонентами WZWN конформного блока для примарных полей.

• Используя разложение при больших N, описана зависимость вильсонов ских корреляторов от представления R для произвольной петли. Она дается характерами симметрической группы.

• Доказано, что производящая функция корреляторов Вильсона в преде ле больших N имеет степенную зависимость от |R|.

• Построены суперполиномиальные обобщения корреляторов петель Виль сона для различных семейств торических узлов через k-эволюцию по полиномам Макдональда.

• Показано, что начальные условия для k-эволюции имеют простое опи сание через полиномы Холла-Литтлвуда.

Благодарности Я хотел бы особо поблагодарить моего научного руководителя А.Ю.Морозова за постановку интересных задач и бесчисленные разъяснения научных во просов. Я искренне признателен ему за помощь, поддержку и внимание к моей научной работе.

Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам П.Дунину Барковскому, А.Миронову, А.Морозову, А.Пополитову, А.Смирнову, Г.Шабату, Ш. Шакирову и А.Штерну, а также признательность за полезные обсуждения и разъяснения научных вопросов В. Альбе, Н.Амбург, Г.Аминову, А.Анохиной, С.Апенко, С.Артамонову, Э.Ахмедову, Ф.Бурде, Д. Василье ву, Д.Галахову, В.Диесперову, В.Долотину, И.Ждановскому, А.Забродину, Е.Зенкевичу, А.Зотову, Е.Крейнес, И.Кричеверу, С.Локтеву, А.Лосеву, В.Лосякову, А.Маршакову, Анд.Морозову, С.Натанзону, И.Полюбину, П.Пушкарю, Л.Рыбникову и С.Харчеву.

Мне приятно поблагодарить Е.Суслову за неоценимую поддержку и по мощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Глава Вычисление ассоциатора Дринфельда Как обсуждалось во введении для вычисления корреляторов вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса используются разные калибровки. Соот ветственно применяются разные методы и разные техники, чтобы получить ответ. За каждым методом стоит своя структура. Конкретный метод выбира ется в зависимости от того, какую именно структуру планируется изучить.

Всего же известно около десяти на первый взгляд совершенно различных способов вычислить полином ХОМФЛИ. Безусловно, все они просто соответ ствуют различным выборам калибровки в теории Черна-Саймонса. Одной из самых продуктивных является голоморфная калибровка, и именно она при водит к интегралу Концевича. Вычисление интеграла Концевича для кон кретного узла, конкретной группы и конкретного представления является непростой задачей. В этом разделе будет рассмотрен подробно один из спо собов вычисления интеграла Концевича. Этот способ основан на представ лении интеграла Концевича как произведения ассоциаторов и R-матриц. Их порядок в этом произведении определяется видом косы данного узла. Сама по себе R-матрица, используемая в этой конструкции, устроена очень просто, а вся сложность интеграла Концевича, по сути, зашита в ассоциаторе, кото рый был введен В.Г. Дринфельдом в [23] при изучении алгебр Хопфа. Ас социатор связан с асимптотическим поведением решений уравнения Книж ника - Замолодчикова (КЗ). Этот факт устанавливает связь ассоциатора Дринфельда с конформными блока, которые как известно являются реше ниями уравнения КЗ. Конформные блоки являются локально голоморфные и антиголоморфные множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля. В свою оче редь ассоциаторы Дринфельда являются множителями, произведения ко торых складываются в корреляционные функции трехмерной топологиче ской квантовой теории поля. Таким образом, связь между ассоциаторами и конформными блока устанавливает связь между двумерной конформной и трехмерной топологической теориями поля. Эта связь между теориями бы ла открыта в работе [3] и разрабатывалась в [14, 15], однако соотношения на уровне ассоциаторов и конформных блоков обсуждается здесь впервые. Но вернемся к этому в соответствующей главе ниже.

Итак, в этой главе будет подробно разобран метод вычисления корре ляторов в голоморфной калибровке (интеграл Концевича) через ассоциато ры и R-матрицы в фундаментальном представлении калибровочной группы SU (N ). Полученные результаты применим к некоторому количеству про стых узлов, чтобы проверить, что выражение для вильсоновой петли в двух калибровках, упомянутых выше, в действительности совпадает. Также по кажем, что нечетная часть ассоциатора Дринфельда не входит в выражение для инвариантов узлов, поэтому введем симметризованную версии ассоци атора, чья структура проще: она полностью описывается одной функцией (назовем ее препотенциалом Дринфельда), которая является четной по по стоянной теории.

2.1 Интеграл Концевича Интеграл Концевича является универсальным квантовым инвариантом в том смысле, что любой квантовый инвариант (полином) может быть вос становлен из него. Интеграл дается следующим выражением:

n n dzik dzjk Gp (2.1.1) p KI(K) = (1) (2i)n zik zjk p P2n n=0 k= o(z1 )o(z2 )...o(zn ) В таком представлении мы здесь не будем его анализировать (см. [8, 20, 9, 49]). Однако известно, что имеется эквивалентное комбинаторное описа ние интеграла Концевича, включающее в себя ассоциатор Дринфельда. И именно эту комбинаторную конструкцию будем иметь ввиду под интегралом Концевича. Все подробности этой конструкции можно найти в [19] и [20], а здесь мы приведем лишь краткое её описание.

Идея в том, чтобы разрезать узел на некоторое количество простых пе реплетений, посчитать интеграл Концевича для них, а затем восстановить интеграл для целого узла из этих простых кусков. Для этого, во-первых, узел представляется планарной диаграммой, у которой все нити идут сверху вниз или снизу вверх. Во-вторых, будем разрезать узел горизонтальными линия ми так, чтобы в каждом отрезанном куске было только одно нетривиальное событие – ему сопоставляется оператор. В-третьих, все нити находятся на некотором расстоянии друг от друга. Чтобы переплести две нити, их снача ла нужно подвести друг к другу. За это отвечает ассоциатор рис. (2.1), а за само переплетение - сплетающая матрица R рис. (2.1). Это единственные нетривиальные операторы в таком подходе.

Рис. 2.1: R-матрица и ассоциатор Таким образом, по планарной диаграмме узла строится комбинаторным образом интеграл Концевича. Проиллюстрируем это на примере узла, изоб раженного на рисунке 2.2. Ассоциаторы стоят только в двух местах: сверху Рис. 2.2: Узел T[2,2k+1] и снизу, а в середине стоят R-матрицы в количестве 2k + 1 штук. Поэтому для интеграла Концевича получаем следующий ответ:

(2.1.2) KI(T [2, 2k + 1]) = tr · R2k+1 · Ниже мы вернемся к этому примеру и явно вычислим интеграл Концевича для него.

Вычислив интеграл Концевича, скажем для группы GL(N ), не представ ляет труда найти соответствующие полиномиальные инварианты, в данном случае ХОМФЛИ. Ненормированные ХОМФЛИ связаны с интегралом Кон цевича следующим образом:

KI(K) (2.1.3) H(K) =, KI(H)c/ где c - это количество критических точек узла K, а H - это хамп. Хампом называется неузел с двумя максимумами [19], см. рисунок 2.3.

Рис. 2.3: Хамп Отметим, что ненормированный ХОМФЛИ для неузла равен обратному значению интеграла Концевича для хампа:

N (2.1.4) H( ) = KI(H) Ниже мы это увидим, когда явно вычислим интеграл Концевича для хампа.

2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолод чикова для ассоциатора Ассоциаторы, появляющиеся в комбинаторной конструкции коэффициентов интеграла Концевича, связаны с так называемым уравнением КЗ. Это урав нение берет свое начало в конформной теории поля [25]. Рассмотрим четы рехточечную функцию в WZW модели:

G(z) = g(0)g(1)g(z)g() W ZW Уравнение Книжника-Замолодчикова является тождеством Уорда для этой четырехточечной функции1 :

dG(z) A B (2.2.5) = + G(z) 1z dz z где A и B имеют форму (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам):

A = T a (T a ) 1, B = 1 T a (T a ) Отметим, что в этой главе для удобства используется другая нормировка константы, нежели во Введении. Она отличается заменой 2i и G(z) это тензор ранга 6 того же типа, как A и B. Отметим также, что вез де, где пишется произведение двух таких тензоров ранга 6, подразумевается следующее:

(AB) := A B µ (2.2.6) µ Пертурбативный подход к решению этого уравнения (2.2.5) обсуждается в Приложении 6.1. Дается также решение в первых двух порядках пертур бативного разложения. Решения slN уравнений Книжника-Замолодчикова на уровне ноль даются в [27]. Однако нас интересует ситуацией в целом и в регуляризованном уравнении Книжника-Замолодчикова. Кроме того нам необходимо явное выражение для ассоциатора, чтобы применить результат к теории узлов.

Это решение G(z) расходится в точках 0 и 1, поэтому делаем следующее преобразование, чтобы устранить расходимости:

G(z) = (1 z) B (2.2.7) (z)z A.

Регуляризованное уравнение имеет тогда форму d (2.2.8) B B = (1 z) A (1 z) A dz z z Решение этого уравнения, взятое в точке z = 1 дает нам ассоциатор. В раз деле 2.3 уравнение (2.2.8) решено в случае фундаментального представления gl(N ).

Типы ассоциаторов Действительно, чтобы построить коэффициенты интеграла Концевича ком бинаторно (см. [19, 62]), нужны R-матрица и три типа ассоциаторов. Эти ассоциаторы соответствуют трем типам ориентации нитей в косе и ведут к трем слегка отличающимся формам уравнения (2.2.8). Они перечислены в следующих таблицах:

Ориентация Уравнение КЗ Преобразование dG(z) A B B A G(z) = (1 z) a) = G(z) (z)z 1z dz z (2.2.9) dG(z) A B G(z) G(z) = (1 z) B (z)z A = b) 1z dz z dG(z) A B G(z) = (1 z) B A c) = + G(z) (z)z 1z dz z Ориентация Уравнение ассоциатора d = (1 z) B B A (1 z) a) A dz z z (2.2.10) d A (1 z) B B (1 z) b) = + A dz z z d A (1 z) B B = (1 z) c) A dz z z 2.3 Решения В этом разделе решается соответствующее уравнение для каждого из трех случаев (2.2.10). Ограничим свои рассуждения случаем только фундамен тального представления алгебры gl(N ).

Тип a Рассмотрим тип a из таблицы 2.2.10. В этом случае A и B приобретают следующую форму A = T a (T a ) 1, B = 1 T a (T a ). (2.3.11) Так как рассматривается фундаментальное представление gl(N ), то T a = gij, (T a ) = gji, (2.3.12) где индекс a соответствует паре индексов i и j, каждый из которых пробегает от 1 до N, и gij является матрицей с компонентами 0, кроме компоненты (i, j), которая равна 1. Затем получаются следующие соотношения на A и B:

A2 = B 2 = (AB)3 = (BA)3 = 1. (2.3.13) В статье [21] доказано, что ассоциатор дается бесконечным рядом по A и B (2.5.55). Однако существуют соотношения (2.3.13) на A и B, следовательно, ассоциатор может быть записан как конечный полином:

(2.3.14) = 1 + 2 A + 3 B + 4 AB + 5 BA + 6 ABA, где i являются некоторыми коэффициентами и не зависят от A и B. Под ставим теперь (2.3.14) в уравнение (2.2.8), тогда оно превращается в систему дифференциальных уравнений, которые могут быть представлены в форме матрицы:

d (2.3.15) = M (z), dz z где (2.3.16) =.

Матрица M имеет форму:

s2 0 cs cs s s2 cs s2 0 cs c2 c2 cs cs (2.3.17) M =, s2 c2 0 cs cs 0 c2 cs c cs s2 cs cs 1 c2 где (1 z) + (1 z) (2.3.18) c := cosh ( log (1 z)) =, (1 z) (1 z) (2.3.19) s := sinh ( log (1 z)) =.

Чтобы решить уравнение (2.3.15) можно заменить базис следующим обра зом:

(2.3.20) = S, 1 0 01 1 0 1 1 0 33 30 (2.3.21) S= 1 1 2 1 33 303 1 1 2 1 Матрица M обретает форму M = SM S 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 (1 z) 0 0 0 0 M = 0 0 23 (1 z) 3 0 2 2 (1 z) 0 0 0 0 (1 z) 3 00 0 0 2 (2.3.22) Следовательно, матричное уравнение (2.3.15) превращается в следующую систему дифференциальных уравнений:

d3 dz = 2 3 + 2 (1 z) 4, z d = 3 4 + 23 (1 z)2 3, z dz (2.3.23) d5 dz = 2 5 + 2 (1 z) 6, z d dz = 2 6 + 2 (1 z) z со следующими начальными условиями ((0) = 1):

3 (0) = 3, 4 (0) = 1, (2.3.24) 5 (0) = 3, 6 (0) = Из (2.3.23) и (2.3.24) можно получить условия для производных i (0), ис пользуя (0) = M (0)(0) + M (0)(0):

3 (0) = 3, 1+ (0) =, + 1 (2.3.25) (0) =, 1 + 6 (0) = 1 + Таким образом, системы уравнений (2.3.23-2.3.25) могут быть редуцированы к системе гипергеометрических уравнений:

z (1 z) 3 + (1 + 2 z) 3 + 2 3 = 0, z (1 z) 4 + (1 + 2 (1 + 4 ) z) 4 3 2 4 = (2.3.26) z (1 z) 5 + (1 2 z) 5 + 2 5 = 0, z (1 z) 6 + (1 2 (1 4 ) z) 6 3 2 6 = 0, Получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка. Реше ния этой системы, рассмотренные с начальными условиями (2.3.24, 2.3.25) эквивалентны решениям (2.3.23). Решения даются следующими гипергео метрическими функциями:

1 = 1, 2 = 0, 3 = 3 2 F1 (,, 1 + 2 ;

z), (2.3.27) 4 = 2 F1 (, 3, 1 + 2 ;

z), = 3 F (,, 1 2 ;

z), 5 6 = 2 F1 (, 3, 1 2 ;

z) С помощью системы компьютерной алгебры проверено, что решения (2.3.27) действительно удовлетворяют исходным уравнениям (2.3.23) с начальными условиями (2.3.24).

Таким образом, видим, что коэффициенты ассоциатора этого типа за даются линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке z = 1, которые могут быть переписаны в терминах гамма функции и тригонометрических функций. Отметим, что ответ в этом случае не зависит от порядка N алгебры gl(N ):

1 (1) = 1, 1 (1) = 1, 2 (1) = 0, 2 (1) = 0, 3 · (1 + 2 ) 3 (1) = 3 2 F1 (,, 1 + 2 ;

1), 3 (1) =, (1 + )(1 + 3 ) 4 (1) = 2 F1 (, 3, 1 + 2 ;

1), 4 (1) =, cos( ) (1) = 3 F (,, 1 2 ;

1), 3 · (1 2 ) 5 21 (1) =, (1 )(1 3 ) 6 (1) = 2 F1 (, 3, 1 2 ;

1) 6 (1) =.

cos( ) (2.3.28) Таким образом, получены явные выражения для. Чтобы получить вы ражение для ассоциатора, нужно взять = S 1, а затем использовать (2.3.14).

Тип b Теперь коротко представим результаты для типа b из таблицы 2.2.10. В этом случае имеем:

A = gij gij 1, B = 1 gij gij (2.3.29) Соотношения для A и B таковы A2 = N A, B = N B, (2.3.30) BAB = B, ABA = A Тогда ассоциатор принимает вид (2.3.31) = 1 + 2 A + 3 B + 4 AB + 5 BA.

По аналогии с предыдущим случаем пишем (2.3.32) = S, для 1 0 1 N (2.3.33) 0 1 S= N 2 1 0 N 1 1 1 N2 N2 N N Тогда имеем 1 = 1, = 2 F1 (,, 1 N ;

z), 2 F1 ((N 1), (N + 1), 1 + N ;

z), = 3 = (2.3.34) N2 = 2 F1 (,, 1 + N ;

z), 2 F1 ((N 1), (N + 1), 1 N ;

z) = N 1 (1) = 1, (1 N ) 2 (1) =, (1 N )(1 N + ) 1 N sin( ) 3 (1) = 2, = N 1 sin(N ) (1 + N ) (1) =, (1 + N )(1 + N + ) (1) = 1 N sin( ).

N 2 sin(N ) Здесь также видим, что коэффициенты ассоциатора этого типа задаются линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке z = 1.

Отметим, что коэффициенты ассоциатора в данном случае совпадают с определенными компонентами WZW конформного блока для примарных по () (+) лей в фундаментальном представлении. А именно, имеем F1 = 2, F1 = 1 () 3 с точностью до сингулярных множителей и подстановки =, где F k (+) и F1 являются компонентами WZW конформного блока для примарных полей, взятыми из раздела 15.3.2 [25]. Два других коэффициента 4 и отличаются от первых двух только заменой N N.

Снова для того, чтобы получить выражение для ассоциатора, необходимо взять = S 1 и затем использовать (2.3.31).

Тип c Ассоциаторы типа c позволяют нам посчитать простейшие узлы, вроде того, который изображен на Рис. 2.2. В этом случае имеем:

A = gij gji 1, B = 1 gij gij (2.3.35) Соотношения для A и B следующие:

A = 1, B = N B, (2.3.36) BAB = B, Тогда ассоциатор принимает вид (2.3.37) = 1 + 2 A + 3 B + 4 AB + 5 BA + 6 ABA.

По аналогии с предыдущим случаем пишем (2.3.38) = S, для 1 0 0 0 N 1 0 0 1 1 1 1 1 (2.3.39) S = 2N 2N 2 2N 2 2N 1 1 0 2(N +1) 2(N +1) 2 1 1 1 N 1 N 1 N N N1 0 1 0 N 1 Тогда 1 = 1, 2 = N, 3 = 1 2 F1 (, (N 1), 1 + 2 ;

z), 2N (2.3.40) = 4 = 2 F1 (, (N + 1), 1 + 2 ;

z), 2(N + 1) = 1 F (, (N + 1), 1 2 ;

z) 5 N 6 = 1 2 F1 (, (N 1), 1 2 ;

z) N 1 (1) = 1, 2 (1) = N, (1) = 1 4 + 2 )(1 + N ), ( 2N (1 + N + ) 4 ( + 2 )(1 N ) = 4 (1) =, (1 N + ) 2(N + 1) (1) = 1 4 ( + 2 )(1 + N ), (1 + N ) N 4 ( + 2 )(1 N ) (1) =.

N 1 (1 N ) В этом случае как и в предыдущих коэффициенты ассоциатора этого типа заданы линейными комбинациями значений гипергеометрических функций, взятых в точке z = 1.

2.4 Сравнение с известными формулами для узлов В этом разделе мы применяем формулы для ассоциатора, полученные в раз деле 2.3, чтобы посчитать интеграл Концевича для некоторых узлов, следуя работам [19, 28]. Вычисления сделаны в случае фундаментального представ ления gl(N ). В этом случае интеграл Концевича, как известно, совпадает с полиномом ХОМФЛИ для данного узла, и нами используется этот факт для проверки пригодности наших формул для ассоциатора. То есть, проверяем, что интеграл Концевича, посчитанный с помощью этих формул, полностью совпадает с известными выражениями для полинома ХОМФЛИ.

Хамп Начнем с хампа, который является вариантом неузла. Напомним, что ассо циатор - это тензор с 6 индексами. Обозначим ассоциатор типа b как b.

Интеграл Концевича хампа соответствует, по определению, сворачиванию индексов b, соответствующему Рис. 2.3. Назовем это сворачивание взятием следа ассоциатора.

Записывая эту свертку через индексы, получаем следующее выражение:

(2.4.41) (b ) KI(H) = tr Hump b :=,, Теперь разложим ассоциатор как в формуле (2.3.31):

(2.4.42) b = 1 + 2 A + 3 B + 4 AB + 5 BA.

С помощью формулы (2.3.29) можно посчитать следы (в упомянутом вы ше смысле) отдельных членов (2.4.42) следующим образом:

1 (2.4.43) tr Hump A = tr (gij gji ) = tr (jj gii ) = N N N (2.4.44) tr Hump AB = tr (gij gnm gji gmn ) = N (2.4.45) tr Hump BA = tr (gij gmn gnm gji ) = N N Отметим, что tr Hump здесь означает вышеупомянутый след тензора 6 ран га, тогда как tr означает простой след матрицы. Также подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

Теперь подставляя фомулы (2.3.34), (2.3.33), (2.4.43)-(2.4.45) в (2.3.32), получим следующий ответ:

(2.4.46) 1), (N + 1), 1 N ;

1) = KI(H) = 2 F1 ((N e ei i N = N · iN = eiN e [N ]q, где вводится следующее определение для q-числа q N q N q = ei.

[N ]q =, q q Вспоминая формулу (2.1.4), видим, что (2.4.47) H( ) = [N ]q.

Это несомненно совпадает с известным результатом для полинома ХОМ ФЛИ хампа (который может быть найден в [28]).

Серия [2,2k+1] Рассмотрим торические узлы типа [2,2k+1], как показано на Рис. 2.2. Обо значим ассоциатор типа c как c. С помощью этого ассоциатора можно по считать интеграл Концевича для узлов этого типа [19, 28]:

(2.4.48) (c R2k+1 1 ), KI[2,2k+1] = c,, где R в нашем определении равно (2.4.49) ·A R = ei Теперь, раскладывая экспоненту в ряд, подставив формулу (2.3.37) в c и, учитывая соотношения (2.3.36), можно получить формулу (2.4.50) KI[2,2k+1] = 1 + 2 A + 3 B + 4 AB + 5 BA + 6 ABA, где 1,..., 6 некие определенные выражения в терминах коэффициентов 1,..., 6 из формулы (2.3.37).

Затем, после взятия следов каждого из членов, аналогично формулам (2.4.43-2.4.45) и подставив 1,..., 6 из формулы (2.3.36), получаем cos( (2k + 1)) sin( ) cos( N ) + i · sin( (2k + 1)) cos( ) sin( N ) (2.4.51) KI[2,2k+1] = N cos( ) sin( N ) Отметим, что этот ответ не нормирован на неузел, как и положено корре лятору вильсоновской петли. Введем q = ei и нормируем на неузел:

q 3 q 2k+2 q 2N +2k + q 2N 2k q 2k (2.4.52) KI[2,2k+1] · KI(H) = q4 Данное выражение согласуется с известными результатами. Например, из вестно, что в абелевом случае N = 1 ожидаемое значение вильсоновой петли задано q l(K), где l(K) это так называемый коэффициент зацепления узла K [18]. Коэффициент зацепления может быть вычислен как сумма ориентаций в самопересечениях узла. В нашем случае - Рис. 2.2, узел имеет 2k + 1 пе ресечений с одинаковыми ориентациями, поэтому коэффициент зацепления l = 2k + 1. Это элементарное упражнение проверить, что для N = 1 на ша формула (2.4.52) несомненно дает q 2k+1. В первом нетривиальном случае N = 2 можно проверить, что результат (2.4.52) для любого выбора k являет ся полиномом Лорана по q, что в точности соответствует полиному Джонса для торического узла типа [2, 2k + 1]. Для общего N ответ (2.4.52) является полиномом по A = q N и полиномом Лорана по q. Эти полиномы вновь сов падают с известными полиномами ХОМФЛИ для узлов семейства [2, 2k +1], вычисленных, например, в [29, 28]. Будучи более нетривиальным вычисле нием, оно обеспечивает хорошую проверку наших формул для ассоциатора.

Рассмотрим формулу (2.4.52) для случая k = 1:

(2.4.53) KI[2,3] · KI(H) = q 3 (1 + q 4 q 2N q 2 ).

Это совпадает с известным ответом (2.4.54) 1 A2 q 2 + q при замене переменных q 1/q, q N A.

2.5 Препотенциал Дринфельда В предыдущих разделах посчитан ассоциатор Дринфельда для случая фун даментального представления явно и проверено, что он дает правильные полиномы ХОМФЛИ для торических узлов типа [2, 2k + 1]. Фактически, как будет пояснено ниже, ассоциатор Дринфельда содержит больше инфор мации, чем использовано для инвариантов узла в следующем смысле: не все компоненты ассоциатора Дринфельда вносят вклад в ответ для инвариантов узла.

Используя пертурбативный подход к решению регуляризованного урав нения Книжника-Замолодчикова, (как в 6.1), Т. Ле и Дж. Мураками обна ружили выражение для ассоциатора как бесконечной суммы по некомму тативным операторам A и B (без каких-либо дополнительных соотношений формы (2.3.13), то есть для всех представлений) с коэффициентами в форме значений мультикратной дзета-функции [21]:

k (1)|q| (p1, q1,...pm, qm ) 3 = 1 + 2i m0 p0 q k= |p|+|q|=k l(p)=l(q)=m m pi qi B |s| Ap1 r1 B q1 s1...Apm rm B qm sm A|r| (2.5.55) |r| (1) ri si i= l(r)=l(s)=m 0rp, 0s q где p = (p1, p2,..., pm ) это вектор с положительными целыми компонентами.

Длина вектора l(p) = m и |p| = pi. Для p и q с положительными целыми p q означает, что pi qi и p 0 означает, что pi 0 для всех i. Коэффи циенты (p1, q1,...pm, qm ) выражаются через мультикратные дзета-функции следующим образом:

(2.5.56) (p1, q1,...pm, qm ) = (1,..., 1, q1 + 1, 1,..., 1, q2 + 1,..., qn + 1) p1 1 p2 такое что, например, (1, 2) = (3) и (2, 1) = (1, 2). Дзета-функции опре деляются как:

m m (2.5.57) m (m1, m2,..., mn ) = k1 1 k2 2...kn n 0k1 k2...kn Операторы A и B зависят от калибровочной группы и ее представления:

(2.5.58) a a A = 1, B = 1, = TR TR Формула (2.5.55) дает точный ответ для ассоциатора Дринфельда во всех порядках, однако это непрактично для явных вычислений инвариантов узла. Для таких вычислений необходимо отсуммировать именно ряд (2.5.55) в присутствии некоторых соотношений между A и B заданных представ лением калибровочной группы. В случае, рассмотренном здесь (фундамен тальное представление gl(N )), эти соотношения заданы (2.3.13), (2.3.30) или (2.3.36) в зависимости от типа ассоциатора. Основная трудность состоит в том, что значения мультикратных дзета-функций(2.5.57) сложно вычислить (см, например, [30]) и поэтому нет шансов отсуммировать ряд (2.5.55) точно во всех порядках по голыми руками даже при наличии дополнительных соотношений для A и B.

Наш подход учитывает соотношения с самого начала: используя их, сво дим уравнение КЗ к системе гипергеометрических уравнений. Решение этой системы в точке z = 1 дает ассоциатор. Таким образом, получилось отсум мировать ряд (2.5.55) с нетривиальными коэффициентами дзета-функции явно, и результат имеет форму простых гамма-функциональных множите лей (2.3.28). С помощью компьютера проверено явно, что вплоть до порядка наш результат совпадает полностью с рядом из (2.5.55). Это должно со храняться и для всех старших порядков, но нам не известно, как показать это явно, поскольку из-за мультикратных дзета-функций трудно работать с ними, как отмечалось выше.

Известно, что инварианты узла должны быть рациональными функци ями по q = exp(i ) для любой калибровочной группы и ее представле ния. Например, наши ответы для неузла (2.4.46) и торических узлов типа [2, 2k + 1] (2.4.51) с очевидностью относятся к данному типу. Следователь но, -разложение инвариантов узлов имеет вид ak hk, где обозначено k= h = i, с рациональными коэффициентами ak Q.

Четные значения мультикратных дзета-функций, то есть (m1, m2,..., mn ) для k = m1 + m2,... + mn -четное число, как известно, имеют вид a k где a это рациональное число a Q. С другой стороны, нечетные значения дзета-функции всегда иррациональны (предположительно, трансцендентны [30].). Кроме того, нечетные значения дзета-функций алгебраически незави симы над рациональными числами, то есть не существует полиномиальных соотношений между этими значениями над Q (коэффициенты полиномов рациональны) [30].

Из формулы (2.5.55) становится очевидно, что нечетные (четные) дзе та значения представляют нечетные (четные) коэффициенты ассоциатора Дринфельда, разложенные по постоянной. Следоватально, чтобы сделать коэффициенты -ряда для инвариантов рациональными, нечетную часть нужно сократить в ответе. Несомненно, инвариант узла дается следом (по проекции узла на двумерную плоскость) произведения ассоциаторов и R матриц как, например, в (2.4.48). R-матрица дается экспонентой (2.4.49) и ее коэффициенты -разложения рациональны во всех представлениях. Сле довательно, вклад нечетной части ассоциатора в инвариант узла дается по линомиальными комбинациями нечетных дзета-значений с рациональными коэффициентами, и, как указывалось выше, такая комбинация рациональна, только если все коэффициенты полинома равны нулю, то есть коэффициен ты нечетных дзета-значений сокращаются.

Вычисления вплоть до 5 показывают следующее: все время вычисляет ся инвариант узла взятием следа по косе, например, как в (2.4.48), нечетные дзета-значения, входящие в ответ с групповым множителем (то есть следом слов, сделанных из A и B), в точности равны нулю благодаря замечатель ным STU и IHX соотношениям для хордовых диаграмм [24]. Следовательно, для теории узлов можем использовать только четную часть ассоциатора.

Отбрасывая нечетные члены, обнаружим, что выражение для ассоциатора значительно упрощается. Действительно, рассмотрим логарифм F ассоциа тора (2.5.59) = exp(F ( )) Введем далее симметризованный ассоциатор (то есть отбросим все нечетные члены):

(2.5.60) s = exp (F ( ) + F ( )), Из рассуждений, приведенных выше, становится понятно, что этот "чет ный" ассоциатор приводит к тем же инвариантам узла, но его структура проще. Например, в случае фундаментального представления для ассоциа тора типа (a), определенного соотношениями (2.3.13):

A2 = B 2 = (AB)3 = (BA)3 = 1. (2.5.61) получаем:

(2.5.62) s = exp Fs ( 2 )[A, B] с:

i q N + 1 (1 q) N 2 N (q N +1 1) (q N q) i Fs ( ) = ln, 2 N2 1 (1 + q) (1 q N ) N 2 1 + i (2.5.63) q = e2i Следовательно, симметризованный ассоциатор характеризуется одной функ цией Fs, которая четна по, и имеет рациональные коэффициенты -разложения. Назовем эту функцию препотенциалом Дринфельда, благо даря той роли, которую логарифм четырехточечной функции играет в кон формной теории поля, интегрируемых системах и четырехмерных моделях SUSY [26].

Глава Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса В этом разделе рассматриваются всевозможные свойства корреляторов виль соновских петель теории Черна-Саймонса в разложении при больших N, открытом в работе [31]. Как известно, сам предел больших N позволяет во многих случаях точно решить рассматриваемую модель/теорию и получить нетривиальные результаты. В нашем случае предел берется при N, 0, N = const, т.е. при A = const, q 1:

KM HR (A, q) (3.0.1) K KM K S R (A) = lim HR (A, q) = lim unknot, q1 H (A, q) q R и это отличается от предела q 1 при N = const, описываемого интегра лом Концевича [8, 19, 20], где появляются инварианты Васильева [9, 49] и хордовые диаграммы. Коррелятор, вычисленный в этом пределе, обладает следующим интересным свойством факторизации:

(3.0.2) R (A) = [1] (A)|R|.

Ниже будет показано, что благодаря этому свойство корреляторы данной теории удовлетворяют бесконечному набору квадратичных алгебраических уравнений, называемых соотношениями Плюккера. Это в свою очередь озна чает, что производящая функция корреляторов (3.0.3) Z K (|A, q) = K HR (A, q)SR {}, p p R в планарном пределе является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП), т.е. является решением бесконечного числа определенных нелинейных дифференциальных уравнений.

Особое внимание будет уделено исследованию того, что происходит, когда q-зависимость восстанавливается пертурбативно: как разложение по степе ням z = q q 1 или = log q вокруг точки q = 1, где зависимость от представления полностью описывается с помощью (3.0.2). Будет показано, что отклонения имеют очень интересную структуру, выражаемую через дей ствие операторов разрезания-и-склейки W из [51], являющихся генератора ми "замкнутой струны" коммутативной алгебры Иванова-Керова, которая содержит все характеры SR {pk } линейной группы SL() (функции Шура) в качестве обычных собственных векторов и все характеры R () симмет рической группы S() в качестве соответствующих собственных значений:

(3.0.4) W {p}SR {p} = R ()SR {p} 3.1 Пертурбативные разложения полиномов ХОМФЛИ Полином ХОМФЛИ был введен в середине 80-х годов ХХ века в работах [32, 33], и сразу же начали активно изучать его пертурбативные разложе ния. Коротко рассмотрим три из них. Каждое разложение приводит к сво ему собственному множеству нетривиальных инвариантов, раскрывает ха рактерные, лежащие в его основе, структуры и обеспечивает особые нетри виальные отношения с другими областями науки.

Разложение Васильева Одним из первых изучаемых разложений был ряд по константе связи для ожидаемого вакуумного значения вильсоновской петли в калибровочной тео рии Черна-Саймонса, который привел к интегралу Концевича с инварианта ми Васильева. Это дало связь с квантовыми инвариантами и инвариантами конечного типа (инвариантами Васильева).

Такое разложение идет по степеням переменной, которая связана с кон стантой связи Черна-Саймонса следующим образом:

2i (3.1.5) =.

Полином ХОМФЛИ представляется как Ni N (R) (3.1.6) K K i HR A=e q = e2 = ri,j vi,j, i=0 j= где vi,j - инварианты Васильева, ri,j - базис в векторном пространстве три валентных диаграмм, Ni - размерность векторного пространства в i-ом по рядке. Это разложение дано для полиномов ХОМФЛИ, которые связаны с теорией Черна-Саймонса с калибровочной группой SU (N ), однако, подоб ные разложения могут быть представлены для любой полупростой группы G. Существует большое количество литературы по данному предмету, см., например, [8, 19, 59, 60, 61, 62].

Таким образом, это пертурбативное разложение описывается как |R| = фикс. (3.1.7) N = фикс.

Разложение "гипотезы объема" Вторым известным примером пертурбативного разложения является раз ложение, связанное с так называемой гипотезой "объема" [63]-[66], которая утверждает, что для узла K log HR A = q 2 q K Vol(S 3 \ K), (3.1.8) lim = |R| |R| q где Vol(S 3 \ K) - симплициальный объем дополнения к узлу S 3 \ K. На этот раз переменная q параметризуется следующим образом:

2i+u q= e (3.1.9).

|R| В терминах константы связи из (3.1.5) |R| или (3.1.10) u = 2i (3.1.11) |R| 2i.

u= Разложение "гипотезы объема" может быть выражено также по степеням или |R|1 с тем же успехом, так как в этом разложении |R| (3.1.12) N = фикс.

|R| = фикс.

Разложение т’Хофта Третье известное разложение - это разложение по родам или разложение.

N Оно очень хорошо известно в квантовой теории поля и теории матричных моделей. Эта глава посвящена именно этому разложению, его подробный анализ представлен в следующем разделе. Именно это разложение проясняет отношения между интегрируемой КП иерархией, теорией Гурвица и особен но операторами разрезания-и-склейки. Разложение по родам для полиномов ХОМФЛИ изучалось ранее в [55, 56, 57, 67, 68], это привело к некоторым интересным результатам, включая инварианты Оогури-Вафы, отношения с инвариантами Громова-Виттена и специальными матричными моделями.

Существуют свидетельства [69, 68] в пользу того, что AMM/EO топологиче ская рекурсия [70]-[74] прекрасно подходит к этому разложению, хотя аналог условий Вирасоро, которые стоят за ней в данном случае, и особенно их за висимость от выбора узла все еще необходимо явно сформулировать в общем случае.

Разложение по родам описывается как |R| = фикс.

(3.1.13) N N = фикс.

3.2 Структура разложения т’Хофта Специальные полиномы и разделение зависимости от узла и от представления Полиномы ХОМФЛИ, если они получаются как ожидаемое вакуумное зна чение вильсоновых петель в 3d теории Черна-Саймонса, являются ненор мированными, как уже обсуждалось в предыдущих главах. Поэтому они сингулярны, когда q 1: они расходятся как (q q 1 )|R|. Однако эта син гулярность не зависит от узла: полином ХОМФЛИ для окружности ведет себя именно таким же образом. Следовательно, можно рассматривать нор мированный полином ХОМФЛИ K HR (A, q) (3.2.14) K HR (A, q) =, unknot HR (A, q) который хорошо определен в пределе q 1.

Как уже отмечалось в предыдущей главе, HR равен квантовой раз unknot мерности представления R. Хорошо известно, что она равна полиному Шура k k SR {p } [75] при pk = p = Ak Ak.

k k q q Рассмотрим планарный предел нормированных корреляторов с констан той связи 1 0 и N, т.е. нормированный полином ХОМФЛИ при q 1 и конечном A = q N. Получается, что специальный полином определен как K HR (A, q) (3.2.15) K R (A) = lim.

q1 SR (A, q) В некотором смысле он "двойственен" полиному Александера K HR (A, q) (3.2.16) K := lim, R A1 SR (A, q) хотя в других отношениях свойства специальных полиномов несколько про ще.

В частности, так как в планарном пределе среднее многоследовых опера торов раскладывается на произведения средних, то техники, основанные на каблировании, немедленно влекут за собой то, что специальные полиномы имеют очень простую зависимость от R [28, 46, 50]:

|R| (3.2.17) K K R (A) = [1] (A).

Это свойство будет отправной точкой в нашем кратком обзоре интегрируе мых свойств полиномов ХОМФЛИ в разделе 3.3 далее.

Как уже упоминалось, разложение по родам идет в действительности по степеням при фиксированном A. Однако, если буквально использовать, могут скрыться некоторые свойства: в частности, полином ХОМФЛИ - это полином Лорана по q, тогда как это бесконечный ряд по. Следовательно, имеет смысл использовать параметр z = q q 1 = + O( 3 ).

Следующим шагом "пертурбативно" восстановим нормированный поли ном ХОМФЛИ путем изучения z-поправок к специальному полиному и со средоточимся на деформации свойства факторизации (3.2.17):

HR (A, q)=0 K (A) + 1 R (A)z + 2 R (A)z 2 + 3 R (A)z 3 + 4 R (A)z 4 +... (3.2.18) K K K K K R Все i R (A), i = 0, 1, 2,... суть полиномы по A, зависящими от узла K. Ино K гда мы опускаем значки A и K для упрощения формул. Также отождествим K (A) R (A). В основном нас интересует R-зависимость. Оказывается, K 0R зависимость пертурбативных z-поправок от представления порождена ха рактерами симметрической группы с конечным числом членов в каждом порядке разложения. Чтобы понять, как это выглядит, выпишем первые несколько членов в (3.2.18):

|R| K = K [1] 0R |R| K = K K ·1 2 ·R ([2]) [1] 1R |R| K = K K K K K · 2 1 R ([1]) + 2 11 R ([11]) + 2 3 R ([3]) + 2 22 R ([22]) [1] 2R |R| K = K K K K K · 3 2 R ([2]) + 3 21 R ([21]) + 3 4 R ([4]) + 3 211 R ([211]) + [1] 3R K K + 32 R ([32]) + 3 222 R ([222]) |R| K = K K K K K · 4 1 R ([1]) + 4 11 R ([11]) + 4 3 R ([3]) + 4 111 R ([111]) + [1] 4R (3.2.19) K K K + 31 R ([31]) + 4 22 R ([22]) + 4 5 R ([5]) Назовем i (A) в правой части формул старшими специальными полино K мами, они являются коэффициентами перед R (). Еще раз подчеркнем, что они являются полиномами по A, они зависят от узла K, но уже не за висят от представления R. Зависимость от R полностью сосредоточена в |R| простом множителе [1] и в R (), которые суть собственные значения K операторов разрезания-и-склейки:


(3.2.20) W SR {p} = R ()SR {p}, где R и являются диаграммами Юнга, W - это оператор разрезания и-склейки. За определениями, различными представлениями и свойствами операторов разрезания-и-склейки отсылаем к работам [51, 76, 77]. Как там поясняется, R () действительно пропорциональны характерам симметри ческой группы (они могут быть получены командой Chi(R, ) в программе Maple в пакете combinat).

Таким образом, формулы (3.2.19) дают выражения для коэффи K циентов i R (A) в ряде Тейлора (3.2.18) как линейные комбинации собственных значений R () операторов разрезания-и-склейки W, K старшие специальные полиномы i R (A) являются коэффициента ми в этих линейных комбинациях. Таким образом получается полное разделение K и R-зависимостей: первая - немного усложненная и зашифро ванная множеством старших полиномов, вторая - относительно простая и зашифрованная характерами симметрической группы.

Не зависящие от узлов соотношения между специальными поли номами и экпоненциирование разложения по родам Между старшими полиномами существуют нелинейные соотношения, кото рые, предположительно, универсальны, т.е. не зависят от узла. Эти соотно шения могут быть получены из явных вычислений для торических узлов и для узла-восьмерки:

22 = (1 2 )2 (3.2.21) (”22 = 2 · 2”) (3.2.22) 211 = (1 2 ) ·2 11 (”211 = 2 · 11”) (3.2.23) = (1 2 ) ·2 3 (”32 = 3 · 2”) 3 = (1 2 )3 (3.2.24) (”222 = 2 · 2 · 2”) 3 (3.2.25) (”1111 = 11 · 11”) = 3· 2 4 (3.2.26) 311 = 2 11 ·2 3 (”311 = 3 · 11”) (3.2.27) = (1 2 ) ·3 4 (”42 = 4 · 2”) 4 (3.2.28) (”33 = 3 · 3”) = 4 2211 = (1 2 )2 ·2 11 (3.2.29) (”2211 = 2 · 2 · 11”) = (1 2 )2 ·2 3 (3.2.30) (”322 = 3 · 2 · 2”) 4 = (1 2 )4 (3.2.31) (”2222 = 2 · 2 · 2 · 2”) 4 Представим разложение (3.2.18) как экспоненту с учетом соотношений (3.2.21-3.2.31):

|R| z z · ([2]) + HR (A, q)= 1 exp R ([1]) + 2 11 R ([11]) 2 1 2 R 2 1 z R ([22]) 2 ([2]) + 2 3 R ([3])+1 2 + 2 R ([2]) + 3 21 R ([21]) 2 2R + 3 4 R ([4])+1 2 ·2 11 R ([211])R ([2])R ([11]) 1 2 ·2 1 R ([2])R ([1]) + 1 2 ·2 3 R ([32]) R ([2])R ([3]) + 1 2 R ([222]) R ([2])R ([22]) (3.2.32) + 3 ([2]) +...

3R Заметим, что члены, пропорциональные R ([11]) R ([22]) ([2]) 2R R ([211]) R ([2])R ([11]) (3.2.33) R ([32]) R ([2])R ([3]) R ([222]) R ([2])R ([22]) + 3 ([2]) 3R...

могут быть порождены (мультипликативным) базисом R ([p]) с одностроч ными диаграммами Юнга [p], поэтому формула (3.2.32) может быть в даль нейшем упрощена. С этой целью достаточно заметить, что операторы раз резания - и - склейки образуют коммутативную ассоциативную алгебру [51] (3.2.34) W 1 W 2 = C 1 2 W.

и то же самое верно для их собственных значений R (). Это накладывает соотношения, которые могут быть использованы для выражения (3.2.33) че рез R ([p]). Для некоторых примеров C1 2 см. раздел (6.2.1) в Приложении B, взятый из [51]. Тогда экспонента (3.2.32) сводится к |R| z z · 2 s1 R ([1]) + 2 s1,1 R ([1]) · exp · s ([2]) + HR (A, q)= 1 2 1 1 2 R z · +2 s3 R ([3]) + s2 R ([2]) + 3 s1,2 R ([1])R ([2]) + 3 s4 R ([4]) 2 z s1 R ([1]) + 4 s1,1 R ([1])2 + 4 s1,1,1 R ([1])3 + 4 s1,2,2 R ([1])R ([2]) · + 2 (3.2.35) +4 s2,2 R ([2])2 + 4 s1,3 R ([1])R ([3]) + 4 s3 R ([3]) + 4 s5 R ([5]) +...

Заметим, что обозначение = 1, 2,... из i s является не одной диаграм мой Юнга, а множеством однострочных диаграмм Юнга так, что полином умножается на произведение R ([1 ]) · R ([2 ]) ·... · R ([m ]). Полино s i 1,2,...,m мы i s являются некоторыми комбинациями i. Мультипликативный базис R ([p]) может быть заменен любым мультипликативным базисом из цен тра универсальной обертывающей алгебры GL(), т.е. базисом собственных значений операторов Казимира.

Разложение при больших N в аддитивном базисе Теперь можно использовать соотношения (3.2.34) в обратном направлении и заменить (3.2.32) на аддитивный базис, т.е. то, что с характерами R () входит только линейно. Тогда определенно требуется полное множество ха рактеров, и полиномы i s образуют новые линейные комбинации, которые обозначим через i s. Тогда можно записать полином ХОМФЛИ (3.2.35) как j j+ |R| z K K K · exp HR (A, q)= [1] (A) s (A)R () 2 j K [1] (A) j=1 i=1 ||=i (3.2.36) Замечание о (анти)симметрических представлениях Стоит сделать важное замечание по поводу разложения (3.2.36). Отметим, что первый порядок разложения 1 R и второй порядок 2 R полностью опре K K деляются только (анти)симметрическими представлениями, т.е. знание по линомов ХОМФЛИ в представлениях фиксируется первыми двумя поправ ками к специальному полиному в любом представлении.

То же самое в случае третьего порядка 3 R несмотря на член 3 21 R ([21]).

K K А именно, этот член может быть определен симметрическим представлением [3], потому что [3] ([21]) = 0.

Однако в четвертом порядке 4 R это уже не так. Дело в том, что R ([3]) K и R ([111]) не являются линейно независимыми для (анти)симметрических представлений, но они оба присутствуют в четвертом порядке. Появление несимметрического представления связано с хорошо известным фактом, что полиномы ХОМФЛИ в (анти)симметрических представлениях не могут раз личать узлы-мутанты. Но они делают это в несимметрических представле ниях. Например, (зеркальный) узел Конвея K11n34 и (зеркальный) узел Киношита-Тересаки K11n42 являются мутантной парой узлов с одиннадца тью пересечениями, они общеизвестны тем, что трудно различимы и разли чаются полиномами ХОМФЛИ, только начиная с представления [21] (или инвариантами Васильева 11 типа), [79].

Восстановление полинома ХОМФЛИ Приведем явный пример разложения (3.2.18-3.2.19), чтобы увидеть как из (страших) специальных полиномов восстанавливается полином ХОМФЛИ.

Этот факт накладывает жесткие условия (соотношения) на старшие специ альные полиномы. Рассмотрим два основных примера: трилистник и узел восьмерку, оба в фундаментальном представлении.

В этом случае имеем Трилистник.

31 (A) + 1 [1] (A) · z + 2 [1] (A) · z 2 + 3 [1] (A) · z 3 + 31 31 H[1] (A, q) = [1] 2 A 2 A2 A 31 4 + 4 [1] (A) · z +... = +z·0+z · = 2 A2 A A 2 A2 q 1 2 1 2 2 + qq · = A+ + = = A A Aq A AA A2 q 2 + q 4 + (3.2.37) = Aq В этом случае имеем Узел-восьмерка.

41 (A) + 1 [1] (A) · z + 2 [1] (A) · z 2 + 3 [1] (A) · z 3 + 41 41 H[1] (A, q) = [1] A4 A2 + 1 A 41 + z · 0 + z + 4 [1] (A) · z +... = · 2 A4 A2 + A A4 A2 + 1 A4 A2 + 1 q q 1 = · = A6 A 1 1 1 = A2 1 + 2 q 2 + 2 2 = A2 + 2 q 2 + 1 2 = A q A q 42 24 22 2 A q A q +A q A +q (3.2.38) = A2 q Новые специальные полиномы Старшие специальные полиномы i в формулах (3.2.19) могут быть вычис K лены из коэффициентов i R разложением на сумму по представлениям, K хотя это не вполне прямолинейно. На самом деле, существует более простой способ вычисления, ведущий нас к рассмотрению новых полиномов, которые являются производящими функциями старших полиномов.

Предположим, что нам уже известно, что коэффициенты i R в разложе K нии (3.2.18) являются суммами по диаграммам Юнга старших специальных полиномов, помноженными на собственные значения операторов разрезания и-склейки, в точности как в (3.2.19):

|R|2i (3.2.39) K K K · i ·R () i R = [1] Далее, рассмотрим эти собственные значения, заданые формулой (3.2.20) как матрицу R () с двумя индексами R и. Тогда можно определить обратную матрицу R () следующим образом (3.2.40) R ()R ( ) =, R чтобы получить 2i|R| (3.2.41) K (A) = K (A)·R () · [1] (A) K i iR R Теперь, используя матрицу R (), легко разложить i R (A) в сумму по пред K ставлениям как (3.2.19). Используя матрицу R () можно также определить новые полиномы как 2i|R| (3.2.42) K := K K HR R () · [1] (A) R Фактически, они являются ни чем иным как производящими функциями старших специальных полиномов (3.2.43) K (A, q) = K (A)·z i i i В действительности, все наши вычисления сделаны с использованием этого трюка.

3.3 Замечания Статистическая сумма Оогури-Вафы Для того, чтобы показать различные свойства полиномов ХОМФЛИ, такие как интегрируемость, часто удобнее работать с производящими функциями.

Определим производящую функцию [55, 56, 57] полиномов ХОМФЛИ как (3.3.44) Z K (|A, q) = HR (A, q)SR {} p p R и используем некоторые результаты из раздела 3.2. Во-первых, нам нужна формула (3.2.14):

HR (A, q) HR (A, q)SR {p }SR {} (3.3.45) Z K (|A, q) = SR {p }SR {} = p p p } SR {p R R Во-вторых, с помощью разложения (3.2.18) получается K (A) + 1 R (A) · z + 2 R (A) · z 2 +... SR {p }SR {} (3.3.46) Z K (|A, q) = K K p p 0 R R Наконец, благодаря формуле (3.2.36) получается j j+ |R| z Z K (|A, q)= K sK (A)R () SR {p }SR {} p [1] (A) exp p 2 j K [1] A) j=1 i= R i j j+ |R| z sK (A)W ·SR {}·SR {p }· [1] (A) K 2 · = exp p = j K (A) j=1 i= R i [1] j j+ |R| z K SR {}·SR {p }· [1] (A) K 2 · · = exp j s (A)W p K (A) j=1 i=1 R i [1] j j+ z 1 k Z K (|A, q) = exp sK (A)W K (A) pk p · exp p k 2 j k [1] K [1] (A) j=1 i=1 i k (3.3.47) Свойства интегрируемости Интегрируемость статистической суммы ОВ (3.3.44) означает, что статисти ческая сумма является тау-функцией иерархии КП. Линейная комбинация характеров R R SR {} есть тау-функция тогда и только тогда, когда ко p эффициенты R удовлетворяют бесконечному множеству квадратичных со отношений Плюккера:

[22] [0] [21] [1] + [2] [11] = [32] [0] [31] [1] + [3] [11] = [221] [0] [211] [1] + [2] [111] = (3.3.48) [42] [0] [41] [1] + [4] [11] = [33] [0] [31] [2] + [3] [21] = [321] [0] [311] [1] + [3] [111] = [222] [0] [211] [11] + [21] [111] = [2211] [0] [2111] [1] + [2] [1111] =...


Приведем примеры.

Полином ХОМФЛИ HR (A, q) для окружности равен 1. Тогда Окружность.

статистическая сумма (3.3.47) упрощается до (3.3.49) pk p, Z unknot (|A, q) = exp p k k k что есть простейшая тау-функция КП, и характеры SR {p} полностью удо влетворяют соотношениям Плюккера для любого {p}.

Рассмотрим статистическую сумму ОВ (3.3.46) в пределе Предел т’Хофта.

слабой связи:

|R| (3.3.50) Z K (|A, q) K SR {p }SR {}.

p = [1] (A) p q= R Так как соотношения Плюккера однородны по R, и SR {p } удовлетворяют |R| соотношениям Плюккера, то [1] (A) SR {p } также удовлетворяют соот K ношениям Плюккера. Это означает, что для каждого узла, статистическая сумма ОВ в планарном пределе является тау-функцией КП [28].

К сожалению, полиномы ХОМФЛИ удовлетворяют соотношениям Плюк кера только в пределе слабой связи, а в общем случае - нет. Поэтому можно связать соотношения Плюккера (3.3.48) только с классическими группами (q 1), тогда как общий случай q = 1, который включает квантовые груп пы, требует некоторого изменения соотношений Плюккера. Таким образом, это ключевой момент в истории интегрируемости ХОМФЛИ: необходимо сконструировать "квантовую" версию соотношений Плюккера, которая со ответствует полиномам ХОМФЛИ.

Связь с двухточечной статистической суммой Гурвица Отметим сходство (3.3.47) с двухточечной статистической суммой Гурвица, заданной следующей формулой [51] (3.3.51) Z(p, p|) = exp · exp W pk pk.

k k Связь со статистической суммой ОВ (3.3.47) обеспечивается особым выбором и выходом из топологического локуса pk = p. Статистическая сумма k Гурвица - это -функция иерархии КП по p и по p когда W это любая (линейная) комбинация операторов Казимира [80, 76], в частности, когда [2] = 0, = 0 = [2]. Статистическая сумма ОВ вообще не является тау-функцией. Однако для торических узлов существует другое представление, принадлежащее М.Россо и В.Ф.Р. Джонсу [81, 82, 68]:

n (3.3.52) Z T [m,n] (p, p) = q m W[2] · exp pmk pk.

k k Из этого представления сразу проверяется, что статистическая сумма ОВ для торических узлов (и зацеплений) является -функцией для иерархии КП по p (но не по p) [42]. Однако не очевидно, как можно получить данный факт непосредственно из представления (3.3.47).

Топологическая рекурсия АММ/ЕО Очень интересен вопрос о том, удовлетворяет ли разложение по родам (3.2.36) топологической рекурсии. Есть определенные свидетельства в пользу этого [69], но все же многое еще должно быть сделано для лучшего понимания этой проблемы. Ситуация может упроститься, когда представление матрич ной модели, которое в настоящий момент существует только для случая полиномов ХОМФЛИ торических узлов, станет известно также для произ вольных узлов.

Разложение по родам в представлении матричной модели В случае торических узлов можно задать представление ожидаемых ва куумных значений вильсоновых петель в терминах матричных интегралов [83, 84, 85, 86, 68]. Точнее, это интеграл по алгебре Картана соответствующей группы (SU (N ) в нашем случае):

1 u u SR T [m,n], (3.3.53) dueu /2mn SR (eu ) = WR = 4sinh sinh Zm,n 2n 2m где u u (3.3.54) dueu /2mn Zm,n = 4sinh sinh =1, 2n 2m u это элемент w R, 0 – это положительные корни.

Для SU (N ) случая (3.3.53) приводит к формуле Россо-Джонса [68]. Дру гими словами, формула (3.3.53) дает нам неприведенные полиномы ХОМ ФЛИ:

SR (3.3.55) = HR (A = q N |q)SR С другой стороны, интеграл (3.3.53) в SU (N ) случае может рассматри ваться как интеграл по собственным значениям эрмитовой матричной мо дели. Чтобы иметь дело со специальным полиномом, т.е. чтобы работать в пределе q 1, необходимо рассмотреть предел больших N (планарный) этой матричной модели. Так как SR это градуированный полином по {pk } градуировки |R|, и так как в пределе больших N все pk N, получается |R| p |R| p |R| dR p SR и (3.3.56) SR 1 = =.

dR 1 1 dR Так как в планарном пределе корреляторы факторизуются, то |R| p1 |R| p1 |R| p1 SR и (3.3.57) = =.

|R| dR 1 |R| 1 Таким образом, используя формулы (3.3.56) и (3.3.57), в планарном пределе получаем |R| p1 |R| dR SR p (3.3.58) R = = =.

dR 1 |R| p|R| 1 SR p Теперь с помощью техники матричных моделей можно вычислить специ альный полином [1] следующим образом [68]. Спектральная кривая, описы ващая планарный предел, задана уравнением m (3.3.59) y n (y 1)m = Amn xmn yA2 1, где x и y лежат на кривой. Определим резольвенту u x (3.3.60) xk eku/mn G(x) = =.

x u k= В планарном пределе можно проверить, что резольвента (u)n равна N lny [68], то есть (3.3.61) xkn ekui /m = N lny k= Так как Tr eu = [1] (A), уравнение (3.3.61) наряду со спектральной кривой (3.3.59) определяет специальный полином из члена с k = m.

Следующие члены определяются АММ/ЕО топологической рекурсией [70]-[74] из матричной модели и нашими старшими полиномами из теории узлов. Нахождение явных соотношений для членов старшего порядка, как это было сделано в планарном пределе, требует дальнейших, более тщатель ных, исследований.

Отношение к представлению Оогури-Вафы Существует другой естественный путь построения z-разложения, возникаю щий из теории топологической струны. А именно, в статье [55, 56, 57] авторы предположили связь теории Черн-Саймонса с теорией топологической стру ны на разрешении конифолда. Фактически, они выдвинули гипотезу, что статистическая сумма ОВ (3.3.44) связана со статистической суммой тополо гической струны Zstr. Топологическая природа этого объекта подразумевает, что "связанные" корреляторы fR (q, A) определяются разложением (3.3.62) log Z K (|A, q) = fR (q n, An )SR ((n) ) p p n n=0,R (n) со множеством переменных pk pnk, имеющим общую структуру An q k (3.3.63) fR (q, A) = NR,n,k q q n,k Следовательно, fR (q, A) имеет сингулярность 1/z, тогда как соответствую щий полином ХОМФЛИ ведет себя как 1/z |R|, т.е. лидирующие члены z разложения полинома ХОМФЛИ сокращаются, а fR (q, A) связан с более высокими порядками z-разложением. NR,n,k являются целыми числами и четность по n в сумме совпадает с четностью по |R|, тогда как четность по k - обратная. Эти числа связаны с целыми числами Гопакумара-Вафы n,n,k [87] соотношением n,n,k = dR z R ()NR,n,k, R где z стандартный симметрический фактор диаграммы Юнга (порядок ав томорфизма) [52, 53, 54]. Целые числа NR,n,k обладают более тонкими свой ствами, так как их целочисленность подразумевает, что n,n,k – целые числа, но не наоборот. Фактически, можно рассмотреть целые числа с еще более тонкими свойствами [67] (3.3.64) CRR1 R2 R1 (q)NR2,n,k An z 2k1, fR (q, A) = n,k,R1,R где (3.3.65) z d3 R ()R1 ()R2 () CRR1 R2 = R являются коэффициентами Клебш-Гордона симметрической группы, а R (q) является ненулевым мономом только для угловых диаграмм Юнга R = [l d, 1d ] и равен (3.3.66) R (q) = (1)d q 2dl+ Первые несколько членов для fR и NR,n,k (3.3.67) f[1] (q, A) = H[1] (q, A) (3.3.68) H[1] (q, A)2 + H[2] (q 2, A2 ) f[2] (q, A) = H[2] (q, A) (3.3.69) f[1,1] (q, A) = H[1,1] (q, A) H[1] (q, A)2 H[2] (q 2, A2 ) (3.3.70)...

и (3.3.71) N[1],n,k z 2k1 An f[1] (q, A) = n,k (3.3.72) q 1 N[2],n,k qN[1,1],n,k z 2k1 An f[2] (q, A) = n,k (3.3.73) qN[2],n,k + q 1 N[1,1],n,k z 2k1 An f[1,1] (q, A) = n,k (3.3.74)...

Выражения, связывающие fR и полиномы ХОМФЛИ существенно нелиней ны и соотношение n NR,n,k An с нашими i K (A) абсолютно нетривиально, за R исключением фундаментального представления, когда они совпадают. Все же сейчас гипотеза ОВ явно подтверждается в некоторых нетривиальных примерах [89, 90, 91, 92] (более подробно см. рассуждения в [58] и в [93]).

Отношение к инвариантам Васильева Коэффициенты в старших специальных полиномах получаются из инвари антов Васильева. В подходе Васильева [20, 9, 49], полином ХОМФЛИ можно записать как [94, 62] Ni N (R) (3.3.75) K K i |q = e ) = HR (A =e ri,j vi,j, 2 i=0 j= (R) где ri,j - это полиномы степени |i| по N, соответствующие тривалентным диаграммам [59, 60, 62], а Ni - это размерность векторного пространства, образованного тривалентными диаграммами. Здесь vi,j – это инварианты K конечного типа или инварианты Васильева для узла K. Таким образом, то, что стоит в правой части формулы (3.3.75) является двойным рядом по сте пеням и N, таким, что степень больше или равна степени N. Такой ряд может быть переписан как двойной ряд по неотрицательным степеням = N и :

cij i (3.3.76) K j = e |q = e 2 ) = HR (A R i= j= Таким образом, нулевые степени контролируются специальным полино мом:

(3.3.77) K ci0 i.

R (A =e )= R i= Чтобы определить cij надо найти тривалентные диаграммы как полиномы R по N. Рассмотрим их вплоть до 4 порядка:

(R) (3.3.78) |R|·N 2 2R ([2])·N + |R| r2,1 = (R) (3.3.79) N |R|·N 2 + 2R ([2])·N |R| r3,1 = (R) |R|2 ·N 4 + 4|R|R ([2])·N 3 + 2(22 ([2]) |R|3 )·N r4,1 = 16 R (3.3.80) 4R ([2])|R|2 ·N + |R| (R) (3.3.81) N |R|·N 2 2R ([2])·N + |R| r4,2 = (R) (3.3.82) |R|·N 4 + 6R ([2])·N 3 + C1 ·N 2 C2 ·N + 2|R| r4,3 = где C1 и C2 некоторые коэффициенты.

Принимая во внимание только лидирующие коэффициенты, получаем специальный полином:

1 1 R (A=e 2 )=1 |R|v2,1 2 + |R|v3,1 3 + K |R|2 v4,1 |R|v4,2 +|R|v4,3 4 +...

4 8 (3.3.83) |R| Свойство R (A) = [1] (A) влечет за собой хорошо известные соотношения на инварианты Васильева vi,j :

K (3.3.84) v4,1 = v 2 2, (3.3.85) v5,1 = v2,1 v3, (3.3.86) v6,1 = v 6 2,...

Первая поправка к специальному полиному контролирует первые степени. С точки зрения тривалентных диаграмм это соответствует сублидирую щим членам, то есть, получаем следующее:

(3.3.87) K (A ci1 i, =e ) = 1R R i= |R|2 v2,1 v3, K K R ([2])2 + 2 R ([2]) = [1] R ([2]) + 2 v4,1 v4,2 (3.3.88) + v4,3 R ([2])3 +...

|R| + 4 8 Представим 1 2 следующим образом:

K (3.3.89) K i i = i= Фактически, то, что это разложение начинается с линейного члена, означает K (A2 1). Далее, учитывая (3.3.83), получим для i :

(3.3.90) 1 = v2, (3.3.91) 2 = v3, (3.3.92) (4v4,1 v4,2 + 3v4,3 ) 3 = Отметим, что данные формулы подразумевают K 2 (3.3.93) = v2, A2 1 A= Рассмотрим теперь примеры трилистника и узла-восьмерки в фундамен тальном представлении.

Инварианты Васильева в первых четырех порядках для три Трилистник.

листника таковы v0,1 v1,1 v2,1 v3,1 v4,1 v4,2 v4, (3.3.94) 4 8 8 62 1 1 3 Из формулы (3.3.75) получается Ni (N 2 1) N 31 i |q = e ) = · ·4 + H[1] (A =e ri,j vi,j = 1 + 2 i=0 j= N (N 2 1) (N 2 1) N 2 (N 2 1) 3 +· ·(8) + ·8 + ·+ 8 4 16 (N 2 1)(N 2 + 2) (3.3.95) + o( 5 ) · + 16 Теперь легко получить разложение по родам, введя переменную = N :

2 3 4 4 62 4 ·4 + ·(8) + ·8 + ·+· [1] (A = e 2 ) = 1 + + 4 8 16 16 3 16 +o(5 ) = 1 2 3 4 + o(5 ) (3.3.96) Инварианты Васильева в первых четырех порядках для Узел-восьмерка.

узла-восьмерки таковы v0,1 v1,1 v2,1 v3,1 v4,1 v4,2 v4, (3.3.97) 8 34 1 4 1 3 Действительно, учитывая, что узел-восьмерка полностью симметричен (в частности, при преобразовании q q 1 которое соответствует зеркально му отображению), очевидно, что инварианты Васильева для всех нечетных порядков зануляются.

Из формулы (3.3.75) получается Ni (N 2 1) N (N 2 1) N 41 i 2 |q = e ) = · ·(4) + · ·0 + H[1] (A =e ri,j vi,j = 1 + 2 4 i=0 j= (N 2 1) N 2 (N 2 1) 34 (N 2 1)(N 2 + 2) + o( 5 ) (3.3.98) ·8 + ·+ · + 4 16 3 16 Теперь просто получить разложение по родам, введя переменную = N :

2 4 4 34 4 + O(5 ) = ·(4) + ·8 + ·+· [1] (A = e ) = 1 + 4 16 16 3 16 2j (3.3.99) = 1 + + + o( ) = 1 + 12 (2j)!

j= Старшие специальные полиномы требуют дальнейшего тщательного ис следования.

Полином Александера При A = 1 полином ХОМФЛИ превращается в полином Александера K (q);

R таким образом, (3.2.19), (3.2.32) и (3.2.36) обеспечивают разложение по ро дам для этих полиномов.Однако многие члены в этих разложениях зану ляются, т.е. большое количество специальных полиномов i s пропадает при A = 1 для некоторых узлов K. Среди прочего, необходимое условие свойства "двойственной факторизации" [91, 46] выполняется для угловых диаграмм R (3.3.100) R (q) = (q |R| ) Рассмотрим в этом частном случае предел больших |R| = r и q = eu/r. Из (3.3.100) следует, что R (q) это всего лишь (eu ), то есть, оно не растет с r. С другой стороны, в формуле (3.2.32) существуют несколько членов, которые растут линейно с r, тогда как z 1/r и R () растет не больше чем r||. Коэффициент перед этими линейно растущими членами должен занулиться. Например, R ([2]) r2, то есть член zR ([2])1 2 r в (3.2.32) должен занулиться, что означает 1 s2 = 0 при A = 1.

По той же причине (3.3.101) K k k k+1 = Предел больших |R| Рассмотрим симметрическое представление и предел большого размера диа граммы |R| такой, что q = eu/|R| и A = q N = euN/|R| с N фиксирован ным и конечным. Тогда разложение специального полинома (3.2.32) будет означать, что решение ведет себя так (3.3.102) HR [1] (A)|R| = exp |R| · log [1] (A), K K K т.е. возрастает экспоненциально с |R| = r, в соответствии с гипотезой объема [63]-[66]. Однако все не так просто, и имеется сильная зависимость от области значений u.

Во-первых, поправки к этой формуле могут также давать вклад в экспо ненциальный рост. Несомненно, следующая поправка R ([2]) 1 K (A) (3.3.103) exp z.

( (A)) Проще говоря, zR ([2]) 1 K (A) возрастает линейно при большом r. Однако, как мы только что видели в предыдущем параграфе, так как 1 K (A) = при A = 1, на практике линейного роста не существует. Подобным обра зом, все члены, которые могли бы расти линейно с r не делают этого по той же причине, что и в предыдущем параграфе. Это согласуется с хорошо известным фактом, что для достаточно малого u не существует экспонен циального роста в Jr (q = eu/r ). Вместо этого (эта формула была применена для узла-восьмерки в [95] и для общих узлов в [96], осоновываясь на гипотезе Мелвина-Мортона-Рожанского [97]) u 2k Jr (q = eu/r ) = exp fk (u) = r k wk (q = eu ) (3.3.104) k = + r k Alexander(q = eu ) Alexander(q = eu ) k с некоторыми полиномами wk. В частности, (3.3.105) f0 (u) = log Alexander(q = eu ) и это замечательно согласуется с разложением специального полинома.

Только когда eu больше наименьшего корня полинома Александера, по является другое решение с f1 (u) = 0.

В то же время, если выбрать u = 2i, присутствует экспоненциальное поведение (3.3.102) [98], и результирующий коэффициент перед |R|, для по линома Джонса A = q 2, равен гиперболическому объему узла [63]-[66] (ги потеза объема).

Глава Обобщение корреляторов на случай суперполиномов 4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов Для того чтобы изложить нашу конструкцию суперполиномов, необходимо сначала сформулировать понятие полиномов ХОМФЛИ через представле ние кос. Любой узел (зацепление) представляется как замыкание косы B это и называется представлением кос. Это представление неоднозначное, по скольку одному узлу могут соответствовать несколько разных кос. Поэтому рассматривают представление с минимальным числом пересечений в косе, при этом коса содержит минимальное число нитей, которое мы обозначим за m. Это представление уже однозначное. Тогда следуя, например, работам [81, 82, 29] полином ХОМФЛИ может быть записан в следующем виде:

(4.1.1) K R HR (q, A) = Q SR {pk }, Q m·|R| k k где SR {p } такой же полином Шура, что и в главе 3.2 при pk = p = Ak Ak, k k q q а CQ некие коэффициенты. В случае торических узлов они вычислены в R работах [29, 81, 82]. Остановимся на этом подробнее, поскольку для супер полиномов мы будем деформировать именно эту конструкцию.

Итак, рассмотрим торический узел T [m, n] со взаимно простыми m и n.

В этом случае имеем n (4.1.2) CQ = cR · q 2 m R ([2]), R Q причем коэффициенты cR находятся из уравнений Адамса Q cQ SQ {p}, (4.1.3) SR {p(m) } = R Q m|R| (m) (4.1.4) pk = pmk Таким образом, для торического узла T [m, n] имеем n T [m,n] q 2 m Q cQ SQ {p } = HR (q, A) = R Q m|R| n n cQ SQ {p } = q 2 m W[2] SR {p(m) } (4.1.5) q 2 m W[2] R Q m|R| Отметим, что из данной формулы получаются ненормированные поли номы ХОМФЛИ. Однако таким образом можно описать только полиномы узлов. Для того, чтобы вычислить общий полином зацепления, который от вечает T [ml, nl], l будучи наиболее общим делителем m и n, необходимо рассмот реть более общее начальное условие, с коэффициентами cQ определенными вместо (4.1.3) из l cQ1...Rl SQ {p} (4.1.6) SRi {p(m) } = R i=1 |Ri | Qm С этими коэффициентами можно все же использовать формулу (4.1.5) для полинома.

Чрезвычайно важную роль в нашем дальнейшем анализе будут играть расширенные полиномы ХОМФЛИ. Определим их как аналитическое про должение (4.1.5) на произвольные значения pk :

n T [m,n] q 2 m Q cQ SQ {p}. (4.1.7) HR {p} = R Q m|R| При этом расширенные полиномы ХОМФЛИ уже больше не являются ин T [m,n] T [n,m] вариантом узла, например, HR {p}. Но как только мы огра {p} = HR Ak Ak ничим их на 1-мерный локус pk = pk = qk qk, они тут же становятся инвариантами узла, т.е. превращаются в обычные полиномы ХОМФЛИ.

Полиномы ХОМФЛИ из R-матрицы Основание формулы (4.1.5) коренится в R-матричном формулировании по линомов ХОМФЛИ. Чтобы это увидеть, представим узел K как замыкание косы b Bm, такое, что b выражается через генераторы группы этой косы:

b = gi1 gi2...gil Тогда инварианты квантовой группы могут быть получены использовани ем хорошо известного универсального R-матричного представления группы косы:

gi = 1 1...Ri... такого, что инвариант дается квантовым следом m (4.1.8) H = tr q b K Квантовая размерность - это квантовый инвариант неузла, который являет ся замыканием одиночной нити (4.1.9) H = tr q = S U где - это сумма положительных корней алгебры. В этом простейшем слу чае группы косы B2 порождается одним элементом g. Торические узлы T [2, 2k + 1] - это замыкания g 2k+1, а торические зацепления T [2, 2k] явля ются замыканиями g 2k. Рассмотрим простейший случай фундаментального представления su(2). В этом случае имеем q 1 0 0 0 1q2 1 q (4.1.10) g=R=, 0 1 0 0 0 q R-матрица действует в произведении представлений [1] [1] = [2] [1, 1].

В качестве централизатора квантовой группы Uq (su(2)), она действует как скаляр на неприводимые представления [2] и [1, 1]. Несомненно, характери стическое уравнение для этой R-матрицы имеет форму (4.1.11) det(x R) = (x q 1 )3 (x + q) т.е. оно имеет три собственных значения, равных q 1 и одно собственное зна чение, равное q. Первые три соответствуют трехмерному симметрическому представлению [2], а последнее - одномерному [1, 1]. По определению, имеем 2 (4.1.12) tr [2] q tr [1,1] q = S[2], = S[1,1] так что полиномы Джонса (т.е. полиномы ХОМФЛИ с a = q 2 ) для узлов и зацеплений таковы T [2,2k] (4.1.13) = tr [1] q R2k = q 2k S[2] + q 2k S[1,1], H[1] T [2,2k+1] (4.1.14) = tr [1] q R2k+1 = q 2k1 S[2] q 2k+1 S[1,1] H[1] Для общего торического узла T [m, n] представление косы имеет форму b[m, n] = (g1 g2...gm1 )n Bm, которая снова имеет исключительно простые характе ристические значения на неприводимых представлениях.

Фундаментальное представление В частности, для фундаментального представления T [2,n] (a|q) = q n S2 q n S11 = H[1] a a1 (4.1.15) n aq(1 q 2n2 ) (1 q 2n+2 ) =q (q q 1 )(q 2 q 2 ) aq T [3,n] (a|q) = q 2n S3 S21 + q 2n S111 = H[1] q 2n [a]q (4.1.16) a2 q 3 [1, q 2n3 ]2 [2]q [1, q 2n ]22 + 2 3 [1, q 2n+3 ] = q q q (qq 1 )2 [3]q ! aq T [4,n] (4.1.17) (a|q) = q 3n S4 q n S31 + q n s q 3n s H[1] 211 Отметим, что S22 с 2 = 0 не вносит вклад в этом случае. Подобным образом, в таком случае T [5,n] (4.1.18) (a|q) = q 4n S5 q 2n S41 + S311 q 2n S2111 + q 4n S H[1] два других характера S32 и S221 входили бы умноженными на q 4n/5 и q 4n/ соответственно, но они не появляются в сумме. Это общее правило: только члены с целыми числами nQ /m появляются в сумме: для других Q коэф фициенты cQ автоматически исчезают(!). Фактически, вклад вносят только [1] диаграммы Юнга, которые имеют не более чем одну неединичную строку и не более чем один неединичный столбец:



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.