авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ На правах рукописи Слепцов Алексей Васильевич ...»

-- [ Страница 2 ] --

T [6,n] (a|q) = q 5n S6 q 3n S51 + q n S411 q n S3111 + q 3n S H[1] q 5n S111111 (4.1.19) T [7,n] (a|q) = q 6n S7 q 4n S61 + q 2n S511 S4111 + q n S H[1] q 4n S211111 + q 6n S111111 (4.1.20) T [8,n] (a|q) = q 7n S8 q 5n S71 + q 3n S611 q n S5111 + q n S H[1] q 3n S311111 + q 5n S2111111 q 7n S11111111(4.1.21) и в общем для фундаментального представления m T [m,n] (4.1.22) ()j q (m12j)n S[mj,1j ] H[1] (a|q) = j= Другие представления В следующем простейшем представлении T [2,n] (a|q) = q 6n S4 q 2n S31 + S22 = H[2] {a}{aq} · a2 q 5 1(q 2 +1+q 2 )q 4n4 +(q 2 +q 2 )q 6n6 (4.1.23) q 6n 2 }{q 3 }{q 4 } {q}{q (q + q 1 ) 1 (q 4 + 1 + q 4 )q 4n + (q 2 + q 2 )q 6n + (4.1.24) 1 (q 2 + 1 + q 2 )q 4n+4 + (q 2 + q 2 )q 6n+ + a2 q Отметим, что при n = 1 это выражение (и выражение из предыдущего раздела) превращается в a a1 T [2, 1] H[1] (a|q) · S[1] = 1 a qq (a a1 ) (aq) (aq)1 q T [2, 1] (4.1.25) H[2] (a|q) · 2 S[2] = (q q 1 )(q 2 q 2 ) a т.е. пропорционально полиномам неузла SR в соответствии с начальным условием (4.2.28).

Неторические узлы Похожая конструкция сохраняется для неторических узлов. Например, се мейства узлов, начинающихся с 52, имеют полиномы ХОМФЛИ [n] (4.1.26) H[1] (a|q) = c[3] q 2n S[3] + c[21] S[21] + c[111] q 2n S[111] где q8 q6 + q4 q2 + (4.1.27) c[3] = c[21] =, c[111] = q, 2 q q и n - это множитель 3, так как 52 описывается трехнитевой косой. Следо вательно, семейства даны n = 3k и, с возрастанием k, получается все более сложные узлы: 52 для k = 0, 10139 для k = 1 и т.д.

4.2 Деформация в характеры Макдональда Паутина взаимоотношений разных инвариантов узлов схематически пред ставлена в следующей таблице:

PR (A|q|t) = P (a|q|t) t = 1 or t = q !!! d0, a = R-matrix HR (a|q) FR (q|t) t = a=1 [113] R (q) Суперполиномы P на вершине являются наиболее общими, все остальные, полиномы ХОМФЛИ H, Хеегарда-Флоера F и Александера A получаются путем фиксирования нескольких аргументов в специальных значениях: это показывается с помощью стрелок вниз. Полиномы ХОМФЛИ H описыва ются теорией Черна-Саймонса, и в терминах квантовой R-матричной тео рии. Чтобы получить суперполином, необходимо построить стрелку вверх, обозначенную (!!!): это предмет нашего исследования для случая ториче ских узлов T [m, n]. Для данного R-матричного представления полиномов ХОМФЛИ эта стрелка содержит три деформации: замену квантовых (Шу ры) размерностей на размерности Макдональда, деформацию разложения коэффициентов cQ и деформацию W[2] оператора (на самом деле, его соб R ственных значений). Другая стрелка вверх, от полиномов Александера A к полиномам Хеегард-Флоера F описывается в [113]. Она используется для дополнительных проверок.

В нашей явной конструкции стрелки вверх (!!!) мы пользуемся тем фак том, что торические узлы и зацепления образуют семейства T [m, mk + p] (p = 0,..., m1), где k это произвольное натуральное число, а самый "ниж ний"элемент семейства с k = 0 это (4.2.28) T [m, p] = T [p, m] pm Это позволяет рекурсивно повысить инварианты узла: делая анзац для всех множеств (т.е. для всех k сразу) можно зафиксировать несколько остающих ся параметров, налагая "начальное условие"(4.2.28) при k = 0. Фактически, для торических узлов анзац записать просто: например, он сразу выводится представлением инвариантов узла через плетения и универсальную кванто вую R-матрицу.

Общая конструкция Обобщение ХОМФЛИ до суперполиномов по линии общей конструкции, опи санное во Введении, происходит незамедлительно. Иными словами, общая формула для суперполинома имеет вид [m,n] cQ t2Q /m q 2Q /m MQ (4.2.29) PR (A|q, t) R где коэффициенты cQ теперь зависят не только от количества нитей m и R представления R, но и от p. Эти коэффициенты явно описаны ниже, здесь же только проиллюстрируем вычисления несколькими примерами и обсудим их общую структуру в случае фундаментального представления.

Главная трудность - это недостаток простого правила (4.1.4): это делает вычисление cQ для |Q| 4 искусством. Существует также неопределенность R в выборе суперполиномов для неузла в не-фундаментальных представлениях R = [1|R ].

Размерности Макдональда Для подтверждения вычислений необходимо знать ясно величины MR. А именно:

A A p M1 = = t t (A A1 )(Aq A1 q 1 ) M2 = (t t1 )(qt q 1 t1 ) (A A1 )(At1 A1 t) (4.2.30) M11 = (t t1 )(t2 t2 ) (A A1 )(Aq A1 q 1 )(Aq 2 A1 q 2 ) M3 = (t t1 )(qt q 1 t1 )(q 2 t q 2 t1 ) (A A1 )(At1 A1 t)(Aq A1 q 1 ) M21 = (t t1 )2 (qt2 q 1 t2 ) (A A1 )(At1 A1 t)(At2 A1 t2 ) (4.2.31) M111 = (t t1 )(t2 t2 )(t3 t3 ) (A A1 )(Aq A1 q 1 )(Aq 2 A1 q 2 )(Aq 3 A1 q 3 ) M4 = (t t1 )(qt q 1 t1 )(q 2 t q 2 t1 )(q 3 t q 3 t1 ) (A A1 )(At1 A1 t)(Aq A1 q 1 )(Aq 2 A1 q 2 ) M31 = (t t1 )2 (qt q 1 t1 )(q 2 t2 q 2 t2 ) (A A1 )(At1 A1 t)(Aq A1 q 1 )(Aqt1 A1 q 1 t) M22 = (t t1 )(t2 t2 )(qt2 q 1 t2 )(qt q 1 t1 ) (A A1 )(At1 A1 t)(At2 A1 t2 )(Aq A1 q 1 ) M211 = (t t1 )2 (t2 t2 )(qt3 q 1 t3 ) (A A1 )(At1 A1 t)(At2 A1 t2 )(At3 A1 t3 ) (4.2.32) M1111 = (t t1 )(t2 t2 )(t3 t3 )(t4 t4 ) и так далее.

Чтобы понять структуру этих формул, необходимо помнить простую кар тину:

MR (a|q|t) q = 1, t = q t=q SR (a|q) JR (a|) q=1 = DR (N ) Размерности Макдональда являются двойной деформацией обычных раз мерностей SU (N ) представлений DR (N ) в двух направлениях: к q = 1 и к = 1. Вместо в полиномах Макдональда часто используют t = q, но в пределе q 1 также t 1, а параметр сохраняется. Во всех деформациях N замещаются на A = tN = q N, и все размерности являются в действитель ности значениями соответствующих характеров в специальной точке p. В классическом случае q = 1 это соответствует просто положению pk = N.

Размерность DR (N ) = SR (pk = N ) выражается через функции Шура (обычные характеры SU ()) и всегда является произведением N -линейных множителей. Изменяются в действительности отдельные множители. Осо бенно простой является реконструкция обычных квантовых размерностей s (a|q) из DR (N ): каждый множитель заменяется своим квантовым анало R q N N гом, N [N ]q = q qq1, 2 [2]q, 3 [3]q. Единственный нюанс состоит в деформации составных целых чисел: 4 может стать либо [4] либо [2]2, и имен но этот компонент зависит от представления в реконструкции обычных кван товых размерностей. С деформацией все несколько сложнее. Правило, что в то время как отрицательные сдвиги N не деформируются, N k N k (точнее, N k N k), положительные сдвиги: N + k N + k.

Для получения размерностей Макдональда можно использовать замеча тельную формулу (см., например, [40]):

q R[j]R[i] tij q m q R[i]R[j] tji q m (4.2.33) MR = tij q m tji q m k=0 1jiN годную для целых значений и N. Как обычно, результат может быть про сто продолжением произвольных и A = tN.

Гораздо более используемо общее выражение для MR обобщающее фор мулу крюков для DR (N ) (см Рис.1):

Aq j1 /ti1 (Aq j1 /ti1 ) (4.2.34) MR = q k tl+1 (q k tl+1 ) (i,j)R где k = Ri j 1 и l = Rj i 1.

Эти формулы могут быть далее приложены к эллиптическим (Аски-Вильсон) деформациям (и к полиномам Керова), но это выходит за рамки нашего рас смотрения.

От ХОМФЛИ к суперполиному: пример Простейший суперполином - это (n здесь нечетное) T [2,n] (4.2.35) a(1 q 2n2 ) (1 q 2n+2 ) P[1] (a|q|t) q a q l k i X j Рис. 4.1: Эта картинка иллюстрирует систему обозначений в обобщении стандартной формулы крюков на размерности Макдональда (4.2.34).

т.е. выглядит как (4.1.15), но с T [2,n] (4.2.36) q = q t, for P[1] : a = (t)a Такое простое правило замены не работает для большинства других узлов и представлений, но работает для этого случая!

В то же время первая формула в (4.1.15) естественно деформируется в q 2n qt T [2,n] (A|q|t) q n M2 q n M11 At 1 + 2 P[1] t2 (1 qt) t t2 (q t) (4.2.37) q 2n t 1+ 1 qt At с неким еще не известным q и.

Сравнивая (4.2.37) с (4.2.35) при произвольных значениях n мы делаем вывод о том, что они совпадают, если at (4.2.38) q = q, A= q (4.2.39) q 4 = q4 t2 = t2 q и q 2 (1 t4 ) (4.2.40) = t (1 q 2 t2 ) Соотношение (4.2.39) согласуется с определением, предложенным в [117, 40] (4.2.38) (4.2.41) t = q/t, a t q = t, A = Таким образом, получаем следующее выражение для суперполинома t2 t T [2,n] (4.2.42) n n (qt) P[1] (A|q|t) =q M2 M qt (qt) или, более явно, {A} T [2,n] (4.2.43) (A|q|t) = q n Aq 1 (qt)n1 1 (qt)n+ P[1] {t}{qt} Aq После замены (4.2.41) оно превращается в суперполином по сути, со всеми коэффициентами разложения - положительнми целыми числами, которые, конечно, не очевидны из (4.2.43), или из (4.2.35). Точнее, n1 n+ n 1(qt)n+1 42 1(q4 t2 ) 2 2 1(qt) 2 2 3 1(q t ) (4.2.41) (4.2.44) A q + = aqt + 1(qt)2 1(qt)2 1q4 t2 1q4 t и для n = 2k + 1, т.е. для зацеплений, состоящих из единичного узла, все коэффициенты в разложении с правой стороны, очевидно, положительные целые числа:

42k 4 2 k+ T [2,2k+1] (a|q|t) a2 q2 t3 1 (q t ) + 1 (q t ) (4.2.45) P[1] 1 q4 t2 1 q4 t Правила для вычисления В тех случаях, где не существует ответов для суперполиномов для сравне ния, (4.2.43) радикально упрощается при n = 1 благодаря начальному усло вию (4.2.28): тогда узел равен неузлу (мы принимаем во внимание разные нормировки полиномов для неузлов и для семейства T [2, 2k + 1]):

A A1 t t T [1,2] T [2,1] (4.2.46) P[1] (A|q|t) = P (A|q|t) = qA [1] t t1 qA Это позволяет определить не из (4.2.40), а прямо из (4.2.42) как t2 t M2 (qt)M (4.2.47) A1 = = qt (qt) M В противоречии с (4.2.40), данное правило определяет полностью в тер минах размерностей Макдональда MR, без каких-либо ссылок на априорное знание о суперполиномах. Это делает конструкцию Макдональда полностью зависящей только от себя самой, и позволяет сконструировать суперполино мы в ситуации, когда они еще не известны. Как уже отмечалось, возникаю щие выражения не явно обладают качеством положительности суперполино мов, это должно доказываться отдельно. Однако, для каждого конкретного узла на самом деле легко это проверить.

Фактически, начиная с начального условия и требования полиномиально сти всего семейства, можно сразу вывести любое семейство торических узлов T [m, k + p]. Несколько примеров таких семейств приведены в Приложении В. Здесь обсудим их общую структуру.

Предел n, [34, 35] Во-первых, заметим, что для косы с m стрэндов коэффициент c[m] = 1 (хотя в абелевом случае, A = t суперполином сводится к чистому фреймингу, и все MR но M[m] равны нулю при A = t, см. (4.2.34)). Это единственный член, который остается, когда n, |q| 1, |t| 1:

M[m] [m,n] n (4.2.48) (m1)n P[1] q = M[1] В этом выражении немедленно выявляется формула (118) из [34, 35] и (A2) из [117].

Общая формула для T [m, km+1] суперполинома в фундаментальном представ лении Во-вторых, в случае фундаментального представления можно сконструиро вать общую формулу для узла T [m, m + 1]:

T [m,km+1] cQ MQ q 2(Q )k t2(Q)k (4.2.49) P[1] = [1] |Q|=m коэффициенты cQ в этом случае даются произведением двух множителей cQ = cQ [1] [1] Q (4.2.50) [1] первый из них определяется из системы линейных уравнений (ср. случай ХОМФЛИ, когда присутствует только этот первый множитель) cQ MQ (pk ), (4.2.51) pm = [1] |Q|=m тогда как второй множитель явно задается формулой q Q Q (4.2.52) t2(i1) q 2Q1 2Qi +2j [1] = [m]q (i,j)Q с соответствующей степенью Q. Первые Q имеют вид:

1 + q2 1 + t (4.2.53) [2] [1,1] = = 1, = 1 + q2 1 + q 1 + q2 + q2q2 1 + q 2 + q 2 t2 1 + t2 + t2 t (4.2.54) [3] [2,1] [1,1,1] = = 1, =, = 1 + q2 + q2q2 1 + q2 + q2q2 1 + q2 + q2q 1 + q2 + q2q2 + q2q2q2 1 + q 2 + q 2 q 2 + q 2 q 2 t [4] [3,1] = = 1, =, 1 + q2 + q2q2 + q2q2q2 1 + q2 + q2q2 + q2q2q t2 + 1 q (1 + q 2 )(1 + t2 )q [2,2] = = 1 + q2 + q2q2 + q2q2q2 (q 4 + 1) 1 + q 2 + q 2 t2 + q 2 t2 t2 1 + t2 + t2 t2 + t2 t2 t (4.2.55) [2,1,1] [1,1,1,1] =, = 1 + q2 + q2q2 + q2q2q2 1 + q2 + q2q2 + q2q2q подобные правила могут быть записаны для других семейств торических узлов.

n n, A A1, q t симметрия и T [m, km 1] суперполином Например, существует симметрия между двумя семействами T [m, mk + 1] и T [m, mk + (m 1)] = T [m, mk 1] торических узлов (ниже штрих будет опускаться). Это следует из простого соотношения:

T [m,k·m1] T [m,k·m+1] (4.2.56) (A1, q 1 |t1 ) P[1] (A, q|t) = P[1] T [m,km+1] Следовательно, достаточно сделать в суперполиноме P[1] подстановку k k, q q 1, t t1, A A1 чтобы получить общую формулу для семейства [m, mk 1]:

T [m,km1] cQ.[1] MQ q 2(Q )k t2(Q)k [1] Q (4.2.57) P[1] = |Q|=m Q с коэффициентами [1] явно заданными формулой q Q Q (4.2.58) t2(1i) q 2Qi 2Q1 +22j [1] = [m]q (i,j)Q Отметим, что полиномы Макдональда не меняются под q q 1, t t1.

4.3 Замечания Нефундаментальные представления. Проблема неузла W -эволюция, рассмотренная здесь, описывает инварианты узлов в терминах векторов линейного пространства полиномов Макдональда MR {p}, что, в ко нечном счете, проецируется на меньшее подпространство размерностей Мак дональда MR. Более того рассматривается "эволюцию" дискретного време ни, описывающая приложение любого числа "торических кос" к любой косе.

Конечно, другие виды приложений могут быть рассмотрены подобным обра зом, но тут сосредоточим на конкретно этом. Такая эволюция определяется Макдональдовским аналогом (расщепленным или улучшенным;

) оператора разрезания-и-склейки W[2] и является универсальной: она зависит от выбора [m, n] и от представления хорошо контролируемым образом. Однако резуль тат эволюции зависит от начальной точки: от "начального условия". Уже в самом простом случае семейства T [m, mk + 1] это начальное условие при k = 0 дается неузлом, и все результаты для всех остальных узлов и зацепле ний зависят от выбора этого начального условия, т.е. формулы для U nknotR.

Наивный выбор размерности Макдональда для роли этого элемента, (4.3.59) U nknotR = MR который просто обобщает стандартный выбор обычных квантовых размер ностей для неузла ХОМФЛИ, несомненно вносит поправку на все фунда ментальные (полностью антисимметрические) представления R = [1|R| ]. Од нако это гораздо менее очевидно для других представлений R. Проблема в том, что не существует априорного определения, и существуют разные мне ния по данному вопросу. В силу того, что этот вопрос выходит за рамки нашего рассмотрения, посвященного самой идее представления в простран стве Макдональдовского полинома и рассмотрению дискретных эволюций в этом пространстве, мы не углубляемся здесь в проблему неузла.

Простейший пример того, что дает разложение W -эволюции в случае простейшего симметрического представления R = [2] для торического уз ла T [2, 2k + 1], подтверждает наивный выбор (4.3.59) для неузла:

q [3,1] 3(2k+1) 2k+ [2,2k+1] [4] = c[2] M[4] q 6(2k+1) + P[2] c M[3,1] q t + t [2] q 2 [2,2] 2(2k+1) 2(2k+1) (4.3.60) + c[2] M[2,2] q t t где коэффициенты (1 t2 )(1 + q 2 )(1 + t2 q 2 ) [2,2] (1 t4 )(1 + t4 q 2 ) [4] [3,1] (4.3.61) = c[2] = 1, c[2], c[2] = 1 q 6 t2 (1 q 4 t2 )(1 q 2 t2 ) Этот результат совпадает с тем [40], где выбор (4.3.59) также делается неяв но. Альтернативный выбор для неузла обсуждается в [107, 117]. Основное утверждение в том, что для R = [1|R| ], размерности Макдональда MR не являются полиномами по q и t, даже если заменить A = tN с целым N.

Можно догадаться (и проверить), что это имеет плохое значение для то рических зацеплений: разложение W -эволюции, начинающееся из началь ного условия (4.3.59) дает появиться не-полиномиальному выражению для зацеплений. Простой выход в том, чтобы изменить (4.3.59) для некоторых линейных комбинаций, (4.3.62) U nknotR = VRS MS S |R| которые являются полиномами после подстановки A = tN.

Только два примера явно даны в [107, 117] t2 q 2 2 U nknot2 M2 + M qt = 1 q 2 t2 A A (4.3.63) q 2 A2 + t4 q 2 t2 = 1 )(t2 t2 ) At(t t и (t2 q 2 )(1 + t2 ) 2 U nknot21 M21 + M111 q t = 1 q 2 t (A A1 )(At1 A1 t) 2 (4.3.64) q A + t6 q 2 t4 = 1 )2 (t3 t3 ) At(t t Основная часть коэффициентов в матрице VRS сюда приходит из линейного преобразования между функциями Шура и Макдональда [117]:

t2 q S2 M (4.3.65) 1q 2 t = S11 M 0 (t2 q 2 )(1+q 2 ) (t2 q 2 )(t4 q 2 ) S3 M 1q 4 t2 (1q 2 t2 )(1q 4 t2 ) (4.3.66) (t2 q 2 )(1+t2 ) S21 = 0 M 1 1q 2 t S111 M 0 0 Разложение W -эволюции сохраняет это условие "слабой полиномиальности" и исправляет проблему для зацеплений. С другой стороны, это меняет от веты для узлов. В то же время, разложение W -эволюции работает для произвольных представлений.

Фактически, можно проверить, что наш выбор неузла (4.3.59) приводит к "суперполиномам" (которые больше вообще не являются полиномами), ко торые, трактуясь как степенной ряд по переменным (q, t) (4.2.41), имеют все свои коэффициенты положительными. Кроме того, они, кажется, при водят к правильным гомологиям Хованова-Рожанского (после правильного разложения степенного ряда). Таким образом, можно ожидать, что наш вы бор неузла приведет к правильным суперполиномам. В любом случае, наш основной посыл здесь тот, что явный ответ зависит не только от эволюции, но и от выбора U nknotR как начального условия.

Неузлы из модулярных матриц [40] Поясним, что такое суперполином неузла в соответствии с [40]. Был раз работан формализм гильбертовых пространств для выкладок суперполи номов. В этой концепции гильбертово пространство бета-деформированная (улучшенная) теория Черна-Саймонса совпадает с множеством представле ний SUk (N ) на некотором уровне k. Это конечномерное пространство, обо значаемое всеми диаграммами Юнга Y лежащими внутри k (N 1) ящика, и отвечающими волновыми функциями (состояниям) являющимся функци ями Макдональда MY с параметрами 2i 2i (4.3.67) q = exp, t = exp k + N k + N Суперполиномы могут быть вычислены прямо, как в случае чистого Черн Саймонса как значение вакуумного ожидания вильсоновой петли в S 3. Это подходит к представлению сферы S 3 как оъединению двух торов с иденти фикацией циклов (0, 1) и (1, 0). Тогда ответ для суперполинома заданного 0|KV R K 1 S| (4.3.68) K PR = WR (K) = 0|S| где V R это оператор, создающий вильсонову петлю в представлении R, что обматывает цикл (1, 0), явно определенный на множестве волновых функций как умножение по MR :

(4.3.69) R MR MQ = VP,Q MP P Оператор K = S i1 T S i2... деформирует цикл к нетривиальному торическому узлу T [m, n] (1, 0) (m, n), операторы S : (1, 0) (0, 1), отождествляют два вакуума на разных торах таким образом, что результирующее простран ство - S 3. Все, что нам нужно, это явные выражения для S и T найденные в [40]:

q 2||R|| tN |R| MR (t2 )MQ (t2 q 2R ) (4.3.70) SR,Q = S[],[], TR,Q = ||R || 2|R|2 /N Q,R q 2|R||Q|/N t q где ||R|| = i Ri и S[],[] некоторая константа. Например, для неузла K = S и получается R Q S[],Q VQ,[] 0|SV R | UnknotR = = = 0|S|0 S[],[] 2 R Q S[],[] MQ (t )VQ,[] (4.3.71) = MR (t2 ) = MR = S[],[] т.е. значение вакуумного ожидаемого неузла дано уточненной квантовой раз мерностью (4.3.72) PR nknot = MR U Используя эти формулы, мы вычислили суперполиномы для торических уз лов для нескольких первых уровней в k, N, и R и обнаружили, что резуль таты полностью соответствуют нашим.

Полиномы зацеплений Один из интересных моментов нашей истории связан с зацеплениями. То рические зацепления, кажется, не так уж сильно отличаются от торических узлов, и единственное изменение в нашей конструкции - начальное условие.

Зацепления содержат несколько несвязанных (но переплетенных) частей, и инварианты зацеплений зависят от определенных независимых представле ний. Таким образом, начальное условие включает в себя произведение харак теров и, следовательно, не-тривиальные (но просто вычисляемые) коэффи циенты Литтлвуда-Ричардсона. Проблема, однако, в том, что получаемое та ким образом не является суперполиномом: результат эволюции разрезания и-склейки - это не полином по q, t-переменным. На самом деле, эта проблема хорошо известна: уже полиномы ХОМФЛИ для зацеплений не являются на стоящими полиномами, если A и t рассматриваются как независимые пере менные, как в случае узлов. Они становятся полиномами по q только после подстановки A = tN, т.е. свойство полиномиальности гораздо слабее для за цеплений, чем для узлов. Более того, даже это слабое свойство остается при -деформации только для фундаментальных представлений R = [1|R| ]. Если некоторые R отличаются, например R = [2], то результат эволюции, начина ющейся с размерностей Макдональда, не является полиномом по q, t, даже если подставить A = tN. Проблема, фактически, переходит по наследству с уровня неузлов: размерности Макдональда MR для R = [1|R| ] не являются полиномами, даже если A = tN. В [107] и далее в [117] радикальный вы ход был предложен:1 взять unknotR = MR для R = [1|R| ], и подставить его в выражение, которое становится полиномом для A = tN. Если наша эво люция разрезания-и-склейки начинается с такого начального условия, она определяет ответы для зацеплений, которые являются полиномами в том же смысле и совпадают с теми в [107, 117] с точностью до линейного преобра зования. Коэффициенты этих полиномов, однако, не всегда положительны, как требовалось бы для настоящих суперполиномов (см [117] по обсужде нию и предложению решений этой проблемы). Решение то же, как в случае не-фундаментальных представлений узлов: трактовать суперполиномы как степенные ряды по (q, t). Коэффициенты этого ряда должны оказаться по ложительными, и результат, кажется, воспроизводит гомологии Хованова Рожанского корректно (после соответствующей редукции степенного ряда).

Еще раз акцентируем, что проблема не имеет ничего общего с фунда ментальным представлением, где, например, суперполином для зацепления [m, km] принимает форму [m,km] cQ MQ q 2(Q )k t2(Q)k (4.3.73) P[1] = [1] |Q|=m с коэффициентами cQ определенными как единственные решения системы [1] линейных уравнений cQ MQ (pk ) (4.3.74) M[1] = pm = m 1 [1] |Q|=m Они даются явно с помощью 1 t2 t2(Qj i) q 2(Qi j) (1 q 2 )|Q| cQ (4.3.75) = MQ (k,1 ) |Q|!

[1] (1 t2 )|Q| 1 q 2 t2(Qj i) q 2(Qi j) (i,j)Q где MQ (k,1 ) это значение полинома Макдональда в точке pk = k,1.

Заметим, что недавнее предложение в [40] соответствует выбору unknotR = MR, не выбору [107, 117].

Неторические узлы Другая интересная группа проблем затрагивает неторические зацепления.

Наша эволюция разрезания-и-склейки описывает, что происходит, когда скле ивают торические косы Rm с любой "начальной" косой Bm. Правда, по крайней мере, что в случае ХОМФЛИ, когда квантовая R-матрица хоро шо определена и хорошо известна;

однако, как будет показано, похоже, все работает, если предполагается, что то же самое остается истинным после -деформации. Это означает, что, если известен суперполином (4.3.76) bQ MQ, Tr Rm Bm = Q то известно также (4.3.77) Tr Rm Bm (Rm )n = bQ n MQ Q Q т.е., начиная с известного ХОМФЛИ или суперполинома для некоторого уз ла, можно реконструировать те же полиномы для целого семейства, получен ного эволюцией разрезания-и-склейки. Оказывается, что эта идея работает, но иногда, по крайней мере, частично, происходит сбой. Например, эволюция 3-нитевых кос превращает суперполином для узла-восьмерки 41 в полино мы, но с некоторыми отрицательными коэффициентами. Первый член ряда эволюции - это эквивалент ХОМФЛИ для композитного узла 31 #31.

В то же время для следующего простого 3-нитевого узла 52 получают ся полиномы только с положительными коэффициентами и они могут ока заться суперполиномами для некоторых других узлов. Первый член этой эволюции семейства - эквивалент ХОМФЛИ к 10139, и соответствующий су перполином совпадает с ним в [34, 35].

Выражаясь более ясными терминами, семейство ХОМФЛИ, которое вклю чает 52 и 10139 было построено в (4.1.26), тогда как соответствующее семей ство суперполиномов - это [3] [2,1] [1,1,1] 2n 2n (4.3.78) P[1],n = c[1] M3 q 2n + c[1] M2,1 q 3 t 3 + c[1] 52 M1,1,1 t2n с коэффициентами:

q (1+t) (t+1) q 6 t6 t4 q 2 +q 5 t3 +q 3 t3 q 4 t2 +q 3 t+ [3] [2,1] (4.3.79) c[1] =1, c[1] = t (1 + q 2 t) (q 2 t + 1) q 6 1 + t2 t + t2 + 1 t2 t + 1 (1 + t)2 (t + 1)2 t [1,1,1] (4.3.80) c[1] = (1 + tq) (1 + t2 q) (t2 q + 1) (tq + 1) Первые два суперполинома в этом семействе - это:

{A} (4.3.81) q 6 A4 + q 6 t2 q 5 t + q 4 A2 + q 5 t3 q 4 t2 + q 3 t P[1] = 2q t{t}A {A}t P[1], 52 (t2 q 8 + q 6 q 7 t)A4 + (q 2 2q 6 t2 q 4 q 6 t4 + =P = {t}A2 q q 5 t t4 q 8 q 4 t2 t6 q 8 + q 7 t3 )A2 + q 4 t2 q 5 t3 + t4 q 4 + q 6 t4 + t8 q 8 + q 2 t2 + q 6 t6 + Заметим, что, в противоположность торическим узлам, результат зависит от нечетных степеней q и суперполином в (A, q, t) имеет не только положи тельные коэффициенты. Ситуация улучшается с переходом к переменным (A, q, t):

+ a2 t)t9/2 8 6 52 ( t q a +(q8 t7 +t5 q4 +q6 t6 )a2 +t5 q8 +q6 t4 +t3 q4 (4.3.82) P[1] = 2 ) a3 q (1+q 1 + a2 t P[1], 52 (t10 q10 +q6 t8 +t9 q8 )a4 +(t3 q2 +2q8 t7 + = P[1] = 2 ) a3 t15/2 q (1 + q t q + q t + q t + t9 q12 + q6 t5 + t9 q14 + q10 t8 )a2 + q6 t4 + t5 q8 + t4 q8 + 54 10 7 t6 q10 + q16 t8 + q4 t2 + q12 t6 + Здесь все коэффициенты положительные.

Можно повторить ту же процедуру для узла-восьмерки и построить се мейство 2n 2n [3] [2,1] [1,1,1] P[1],n = c[1] M[2] q 2n + c[1] M[2,1,1] q (4.3.83) M[1,1,1,1] t2n t 3 + c[1] с коэффициентами:

(t 1)(1 + t)(t6 q 6 t5 q 5 t4 q 2 t3 q 3 q 4 t2 tq + 1) [3] [2,1] (4.3.84) c[1] = tq, c[1] = (1 + q 2 t)(1 + q 2 t)t q 3 (1 + t2 )(t2 + t + 1)(t2 t + 1)(t 1)2 (1 + t) [1,1,1] (4.3.85) c[1] = t(1 + t2 q)(1 + t2 q)(1 + tq)(1 + tq) В этом случае, однако, даже используя переменные (A, q, t) нельзя сделать полином положительным:

{A} P[1],0 = q 2 A4 q 2 t2 A2 + tqA2 A2 + t2 = {t}A {a} = 2 2 q2 t4 a4 + ta2 + q2 t2 a2 + q4 t3 a2 + q {q }a t {A}t P[1], q 5 A4 t2 q 5 A2 t3 q 4 A2 tq 2 A2 q 3 A2 +t2 q 3 +t3 q 2 +t5 q 4 +t = = {t}A2 q {a} 2 2 6 6 t7 q4 a4 +q6 t6 a2 q6 t5 a2 +q2 t4 a2 q2 t3 a2 t4 q8 +t3 q4 q4 t2 {q }a t q 4.4 Редукции суперполиномов Суперполином зависит от трех параметров, следовательно, существует боль шое количество вариантов редукции их к более простым полиномам. Напри мер, полином ХОМФЛИ получается, если положить t = q или, что то же самое, t = 1. Полином ХОМФЛИ может быть далее сведен к полиному Джонса (t = q, A = q 2 или t = 1, a = q2 ), полиному Александера (t = q, A = 1 или t = 1, a = 1) или специальному полиному (q = t = 1 or t = q = 1). Наконец, существует другой важный способ упрощения су перполинома, полином Хеегарда-Флоера, который описывается ниже.

Полином Александера Выбор t = q и A = 1 соответствует N = 0 и известен как полином Алексан дера HR (a| q) (4.4.86) R (q) = lim SR a Этот объект интересен, потому что он также появляется во многих дру гих ответвлениях науки, и это может быть использовано для исследования дуальностей между теорией Черна-Саймонса и другими теориями.

Нами ис пользуется в следующем подразделе одна из таких параллелей: между то рическими узлами и сингулярной теорией римановых поверхностей, связы вающих зацепление T [m, n] и комплексную кривую xm = y n, что позволяет сконструировать явно полином Хеегарда-Флоера в фундаментальном пред ставлении, которое является определенной редукцией суперполинома при a = 1/t, прямо из полинома Александера. Это важно, потому что поли ном Александера может быть прямо получен из (4.1.22) в общей форме для произвольных T [m, n]. Действительно, при A = 1 отношение s [nj]q [n1]q... [n1]q [n+1]q... [n+mj1]q [mj,1j ] lim = [1]q lim S1 [j]q ![mj1]q ![m]q n= A= [1]q (4.4.87) = ()j [m]q поэтому полином ХОМФЛИ (4.1.22) в этом пределе равен m [1]q 1q 2mn [1]q n(m1) n(m1) 2nj q q =q = [m]q 1q 2n [m]q j= (1q 2 )(1q 2mn ) (4.4.88) = q (n1)(m1) (1q 2m )(1q 2n ) Для упрощения формул с настоящего момента поменяем нормировку поли нома Александера так, что (1 q 2 )(1 q 2mn ) [m,n] (4.4.89) [1] = (1 q 2m )(1 q 2n ) Полиномы Хеегарда-Флоера Чтобы построить полиномы Хеегарда-Флоера, надо сначала опустить все па ры мономов суперполинома, отличающихся на множитель a2 t3 и получить редуцированный суперполином (более аккуратно это делается с помощью вычисления гомологий оператора d0 с градуировкой (2, 0, 3) относитель но (a, q, t) [34, 35]). Полином Хеегарда-Флоера тогда получается из редуци рованного суперполинома подстановкой a = 1/t практически тем же путем, как полином Александера получается из полинома ХОМФЛИ:

(4.4.90) FR (q|t) = PR (a = t1 |q|t) red Важно, что, по крайней мере, для фундаментального представления и для алгебраических узлов (для торических узлов T [m, n] в частности) известен [113] путь конструирования FR из полинома Александера, и, таким обра зом, из полинома ХОМФЛИ. Метод основывается на отношении с теорией особенностей вырожденных римановых поверхностей.

Возьмем полином Александера R (q) = HR (a = 1, q). Теперь определим полином Пуанкаре R (q) (4.4.91) q 2ci = 1 q2 i= с ci+1 ci являющимися бесконечным рядом.2 Далее, определим редуциро ванный полином Пуанкаре (4.4.92) 2 Q2ci T 2i (1 Q T ) i= Это уже полином конечного порядка. Следующим шагом обратим все эле менты с положительными и отрицательными коэффициентами таким обра зом:

(4.4.93) Q2a T 2b q2a t2b, Q2a T 2b q2a t12b :

По определению, получаем полином со всеми целыми положительными ко эффициентами (деленный на некоторую степень от q и t). Этот полином совпадает с (4.4.90).

Таким образом, есть возможность проверить суперполином путем сведе ния его к полиному Хеегарда-Флоера, посчитав этот последний независимо через редуцированный полином Пуанкаре и сравнив результаты.

Примеры:

Фундаментальное представление для трилистника.

[2,3] (4.4.94) P[1] = a2 q2 t3 + 1 + q4 t Редуцированный суперполином в этом случае такой же. Поэтому, [2,3] (4.4.95) F[1] = 1 + q2 t + q4 t С другой стороны, [2,3] (4.4.96) H[1] = a2 q2 + 1 + q Эта последовательность может быть также описана в терминах чистой комбинаторики. Для взаимно простых m, n рассмотрим множество всех целых am + bn с неотрицательными целыми a, b и сделаем из него упорядоченную последовательность {c0, c1, c2,...} с ci = ai m + bi n, такую, что ci+1 ci. Если две комбинации совпадут, am + bn = a m + b n, то это считается за один раз.

и [2,3] (4.4.97) A[1] = 1 q2 + q Следующими шагами преобразуем полином Александера в q4 Q4 T = 1 Q2 T 2 + Q4 T (1 Q T ) 1 + 1+ 1 q2 1 Q2 T 1 1 [2,3] (4.4.98) 1 + 2 + 4 2 q4 t2 + q2 t + 1 = F qt qt Фундаментальное представление для T [3, 4].

[3,4] P[1] = a4 q6 t8 + a2 q10 t7 + q8 t7 + q6 t5 + q4 t5 + q2 t3 + (4.4.99) + q12 t6 + q8 t4 + q6 t4 + q4 t2 + Подчеркнутыми являются члены, сокращаемые редукцией. Следовательно, (4.4.100) P red = a2 q10 t7 + q2 t3 + q12 t6 + q6 t4 + и [3,4] (4.4.101) F[1] = q12 t6 + q10 t5 + q6 t4 + q2 t + [3,4] С другой стороны, из того же самого P1 получаем [3,4] H[1] = a4 q 6 a2 (q 10 + q 8 + q 6 + q 4 + q 2 ) + (q 12 + q 8 + q 6 + q 4 + 1), [3,4] A[1] = q 12 q 10 + q 6 q 2 + 1 = q 6 (q 6 q 4 + 1 q 4 + q 6 ) q 6 (1 Q2 T 2 )(1 + Q6 T 2 + Q8 T 4 ) + Q12 T 6 = 1 + q + q + 1q = 1 Q2 T 2 + Q6 T 2 Q10 T 6 + Q12 T 1 1 1 1 1 [3,4] (4.4.102) 1 + 2 + 6 2 + 10 5 + 12 6 = 12 6 F qt qt qt qt qt Подчеркнутый член в последнем переносе демонстрирует необходимость пе ревернуть степени q и t,(множество всех остальных членов остается непри косновенными в этом переворачивании).

Специальный полином и числа Каталана Для торических узлов специальный полином [1] может быть записан явно для произвольных T [m, n]:

m (m + n i 1)!

[m,n] (4.4.103) (1)i a2i [1] (a) = m · n · i! (m i 1)! (n i 1)!

i= Например, [2,2k+1] (a) = a2 k + (k + 1), [1] k(3k 1) 4 (k + 1)(3k + 2) [3,3k+1] (4.4.104) a k(3k + 2)a2 + [1] (a) = 2 k(3k + 1) 4 (k + 1)(3k + 4) [3,3k+2] a (k + 1)(3k + 1)a2 + [1] (a) = 2 Коэффициенты в этом выражении имеют удивительную двойственную ин терпретацию: они считают пути некоторых специальных типов на прямо угольной 2d решетке. В частности, для n = m + 1 свободный коэффициент является числом Каталана:

(2m)!

[m,m+1] [m,m+1] (4.4.105) [1] (a = 0) = H[1] (a = 0|q = 1) = Catm = m!(m + 1)!

Есть интересная комбинаторная конструкция, которая позволяет продол жить язык сумм по путям на случай суперполиномов [101]. С помощью ком пьютера мы проверили, что наши ответы совпадают с суперполиномами, получаемыми из этой конструкции. Двойственная интерпретация коэффи циентов в этом случае означает, что суперполином P[1] (a|q|t) должен быть полиномом по a с коэффициентами, данными (q, t)-взвешенными суммами по тем же путям (иногда называемые (q, t)-числа Каталана). Явное утвер ждение известно, по крайней мере, для случая n = m + 1 [101], и оно ис пользовано нами для проверки наших общих формул для суперполиномов торических узлов.

Другая комбинаторная конструкция подобного типа описана в [122]. В известных случаях она дает ответы, совпадающие с нашими.

4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов Прежде чем перейти к дальнейшему обсуждению, подведем промежуточные итоги. Итак, в предыдущих главах было предложено общее выражение для суперполиномов торических узлов и зацеплений, которое на самом деле яв ляется W -представлением [51] (тесно связанным с представлениями матрич ной модели [114, 115, 116] и теорией Гурвица [51]), обобщающим известное выражение этого вида [81, 82, 41, 42] для торических полиномов ХОМФЛИ, для которых оно является -деформацией [128] с t = q. Оно прямо воспро изводит все доступные ответы для особых торических узлов, полученных иными методами в [101, 40, 120, 121]. Оно действительно обобщается для раскрашенных суперполиномов, но, далее ограничимся рассмотрением слу чая первого фундаментального представления R = = [1].

Основная идея состоит в том, чтобы продолжить полиномы на функ ции типа -функции, зависящие от бесконечного числа временных пере менных pk, которые более не являются инвариантами узла (они зависят от представления косы узла), но вместо этого являются прекрасной алгебраи ческой величиной, обладающей различными скрытыми симметриями. Она имеет естественную форму разложения по характерам, которое, в случае -деформации, является разложением по полиномам Макдональда MQ {p}, (m,r) k(QT ) k(Q) MQ {p} = ekW Pm,r {p} (4.5.106) Pm,mk+r {p} = cQ q t Qm где [m, n] = [m, mk + r], 0 r m обозначает торическое зацепление, Q = l(Q) {Q1 Q2... Ql(Q) 0} - это диаграммы Юнга размера i=1 Qi = m с l(Q) l(Q) строк, QT - транспонированная диаграмма Q, а (Q) = i=1 (i 1)Qi.

И MQ, и cQ также зависят от двух параметров деформации q и t = q.

Это Pm,n {p} сводится к обычному суперполиному Pm,n (A) = Pm,n {p = p } = Pm,n на специальном 1d локусе в пространство временных перемен ных, параметризованных по A = tN, 1 Ak (4.5.107) p pk = = = [N ]tk k 1 tk Оно становится полиномом со всеми положительными коэффициентами в случае узла (для взаимно простых m и n) и после того, как оно было выра жено в специальных переменных (4.5.108) t = q/t, q = t, a2 = A t/q Здесь и далее используется система обозначений с "асимметрическими" квантовыми числами, x [x]t = 1t, которая выглядит более подходящей для торических узлов. Это отличается от обозна 1t чений в предыдущих главах этого раздела, где был сделан выбор в пользу симметрических чисел с tx x [28] = ttt1, отличающимся, в частности, заменой t t2, q q 2. Симметрический выбор хорош [x]t тем, что он устраняет искусственные квадратные корни из формул для общих узлов. Однако, поскольку в дополнение к Z2 -симметрии в торическом случае, асимметрическая система обозначений позволяет произвести упрощения, поэтому используем ее, чтобы сделать формулы как можно более простыми.

Нетривиальная часть истории - описание коэффициентов разложения cQ.

Для полиномов ХОМФЛИ коэффициенты разложения были целыми числа ми, существенно независимыми от q, получаемые из разложения Адамса в "начальной" точке n = 0 [81, 82]. После -деформации они становятся нетри виальными рациональными функциями от q и t, и не получаются только с помощью простейшей деформации правила Адамса [28]. В качестве явного выражения (4.5.106) они зависят не от "эволюционирующего" параметра k, а лишь от "семейств обозначенных через остаток r = n mod m. Эти коэф фициенты непосредственно вычисляются использованием • дуальности Pm,n (A) Amn Pn,m (A) в "начальной" точке k = 0, т.е.

n = r: это обеспечивает рекуррентное соотношение по m, позволяющее спуститься от m к m = r m, и • поднимающих правил, позволяющих продолжить суперполином в "на чальной" точке k = 0 из локуса {p } в целое {p}-пространство;

• другого начального условия в k = 1, в частности, чтобы дополни тельно проверить результаты;

для этого надо использовать симметрии T [m, n] T [m, n] и T [m, r] T [m, m r], см. формулу (4.7.128).

Все это объясняется и иллюстрируется весьма подробно в [28], и важная проблема состоит в том, чтобы найти подходящее описание более сложных (m,r) комбинаторных функций cQ. Однако нами предлагается вариант, который выглядит очень многообещающим. Ключевое наблюдение - продолженный суперполином (4.5.106) в k = 0 имеет прекрасное разложение в терминах полиномов Холла-Литтлвуда LQ {p} = MQ {p}|q=0 :

(m,r) (m,r) (4.5.109) Pm,r {p} = MQ {p} = LQ {p} cQ hQ Qm Qm l(Q)r то есть коэффициенты hQ являются нетривиальными только для l(Q) r (не более чем r строк) и обладают дополнительными алгебраическими свой ствами. Также приведем производящую функцию для этих коэффициентов для наиболее низких значений r для иллюстрации данного утверждения.

4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда hQ для ториче ских узлов Коэффициенты hQ являются во многом гораздо более простыми, чем ко эффциенты cQ. В частности, в противоположность cQ, коэффициенты hQ являются полиномами по q, t с целочисленными коэффициентами:

hQ Z[q, t] Удобно выделить простой общий множитель hQ = q (Q) (1 t)l(Q)1 hQ который делает hQ приведенным к единице: hQ = 1 + O(q, t).

Теперь приведем явные примеры этих коэффициентов hQ, которые ил люстрируют их особенности. В таблице ниже включены только диаграммы, для которых коэффициенты ненулевые. В случае r = 1:

(3, 3k + 1):

диаграмма Q коэффициент hQ 3 (4, 4k + 1):

диаграмма Q коэффициент hQ 4 (5, 5k + 1):

диаграмма Q коэффициент hQ 5 и т.д., т.е.

1 l(Q) = (m,1) (4.6.110) hQ = 0 иначе Упрощение этой формулы потрясающе: оно сводит всю информацию о су перполиномах (m, mk + 1) в одну-единственную единицу. Как увидим ниже, с точки зрения переразложения Холла-Литтлвуда, (m, mk +1)-серии никоим образом не выделены: подобный феномен наблюдается для старших серий, например, для (m, mk + 2), (m, mk + 3) и т.п.

(3, 3k + 2):

диаграмма Q коэффициент hQ 3 2, 1 (5, 5k + 2):

диаграмма Q коэффициент hQ 5 4, 1 3, 2 (7, 7k + 2):

диаграмма Q коэффициент hQ 7 6, 1 5, 2 4, 3 и т.д., то есть 1 l(Q) = (m,2) (4.6.111) hQ = 1 l(Q) = 0 иначе Удивительно, что в этих терминах случай mk + 2 выглядит столь же про стым, как mk + 1. Все сложности возникают, когда производится линейное (m.r) (m,r) (m,r) преобразование из hQ в cQ. В [28] предлагается разложить cQ на ко эффициенты Адамса и дополнительные -множители, тривиальные для по (m,r) (m,r) (m,r) линомов ХОМФЛИ, то есть для q = t: cQ = CQ Q. Тогда для r = (m,1) все являются простыми полиномами, Q (i,j)Q ti q j (мы использу ем здесь элегантное переформулирование результата из [28], предложенное в [121]). Для r = 2 эти -множители - более сложные рациональные функции, например, q 7 t3 +t2 q 6 t3 q 5 +tq 5 q 4 t3 +q 4 +2q 4 tq 4 t2 2q 3 t2 +q 3 +q 3 tq 2 t2 q 2 t+q 2 qt (7,2) (4.6.112) [4,3] = q q 2 t тогда как соответствующий коэффициент Адамса таков (1 t)(q t)(q 2 t) (7,2) (4.6.113) C[4,3] = (1 q 2 t)(1 q 3 t)(1 q 4 t) Но эта кажущаяся сложность на самом деле - ничто иное как результат линейного преобразования Холла-Литтлвуда в полиномы Макдональда, и прямое следствие формул (4.6.111).

Подобным образом, для r = 3, (4, 4k + 3): (7, 7k + 3):

диаграмма Q коэффициент hQ диаграмма Q коэффициент hQ 4 1 7 3, 1 1+q 6, 1 1+q 2, 2 1+t 1 + q + q 2 qt 5, 2, 1, 1 1+t 4, 3 1+q 5, 1, 1 1+t (5, 5k + 3):

4, 2, 1 1+q диаграмма Q коэффициент hQ 3, 3, 1 1+t 5 1 3, 2, 2 1+t 4, 1 1+q 3, 2 1+q 3, 1, 1 1+t 2, 2, 1 1+t и т.д., то есть 1 l(Q) = (m,3) (4.6.114) 1 + t + (q t)[]q l(Q) = 2, hQ = иначе с = min(Q1 Q2, Q2 Q3 ). Эти примеры ясно показывают важную роль базиса Холла-Литтлвуда.

4.7 Производящие функции Как это часто случается, наиболее адекватное описание комбинаторной ин формации дается производящими функциями. В нашем случае исследуемые комбинаторные объекты - коэффициенты hQ. Это, следовательно, подходит для перехода от явных формул для hQ, которые зависят от численных пере менных Q1, Q2,..., к производящим функциям, зависящим от непрерывных переменных x1, x2,... Это получается сложением по всем диаграммам Q с подходящими весами Q :

Q hQ xQ1... xQr (4.7.115) m (x1,..., xr ) = r |Q|=m Существует, конечно, некоторая свобода в выборе весов Q : она может быть использована для как можно большего упрощения производящих функций.

В нашем случае вес, который дает простейший ответ, приходит из теории Холла-Литтлвуда, это, по сути, обратная квадратичная норма полиномов Холла-Литтлвуда:

(4.7.116) = (1 t)l(Y ) ||LQ || Q = [mj (Q)]t !

j где mj (Y ) = число строк с длиной j в диаграмме Y, и квантовый факториал, определяемый как [x]t ! = [1]t... [x]t. Это норма, которая также появляется в формуле Коши z |R| zk (4.7.117) (1 tk )pk pk LR {p}LR {} exp = p ||LQ || k R k Для удобства в дальнейшем отсуммируем по всем индексам m взаимно простым с r:

(4.7.118) z m m (x1,..., xr ) (x1,..., xr |z) = mr Тогда одноточечная функция становится xz (4.7.119) (x|z) = 1 xz двухточечная функция становится x1 z (4.7.120) (x1, x2 |z) = (1 x2 z 2 )(1 x1 x2 z 2 ) трехточечная функция становится zx1 (1 qtx4 x2 z 6 ) 1 + z(x1 + x2 )(1 + x1 x2 z 2 ) + x2 x2 z 12 (x1, x2, x3 |z) = (1 x3 z 3 )(1 qx2 x2 z 3 )(1 x3 x3 z 6 )(1 x1 x2 x3 z 3 ) 1 1 (4.7.121) В общем, это полином степени (r 1)(r 2)/2 по t, который обеспе чивает нечто вроде "разделения переменных" q и t. В частности, четырех точечная функция состоит из четырех различных членов. Зависимость от z может быть легко восстановлена по размерности, следовательно, опускаем ее в формулах, находящихся ниже.

(x1 + x1 x2 x3 )(N0 + N1 t + N2 t2 + N3 t3 ) (4.7.122) (x1, x2, x3, x4 ) = D(x1, x2, x3, x4 ) где D(x1, x2, x3, x4 ) = (1 x2 )(1 qx1 x2 )(1 x1 x2 )(1 q 2 x3 x2 ) 1 222 22 2 (1 x1 x2 x3 )(1 q x1 x2 x3 )(1 qx1 x2 x3 )(1 q x1 x2 x3 )(1 x1 x2 x3 x4 ) N0 = (1 q 2 x3 x2 x3 )(1 q 2 x5 x3 x2 ) 12 N1 =qx1 x2 qx3 x2 q 2 x3 x2 x3 q 3 x4 x2 qx3 x3 x2 +q 2 x4 x3 x3 +q 3 x5 x3 q 3 x4 x4 x2 + 1 12 12 123 12 12 454 3552 3633 3642 474 5743 +q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 q x1 x2 x q 4 x7 x6 x3 q 3 x8 x5 x3 q 5 x8 x6 x2 q 5 x9 x4 x3 q 4 x8 x6 x4 +q 5 x9 x5 x 123 123 123 123 123 q 5 x9 x6 x5 +q 6 x11 x7 x4 +[2]q q 2 x4 x3 x3 q 4 x5 x3 x2 (1+x2 x3 x2 )+ 123 1 23 12 123 +q 2 x3 x2 (1+x2 x2 )(1+x1 x3 )+qx3 x2 x2 (1+x1 x3 ) [3]q qx4 x2 x 1 23 1 3 N2 =q 2 x3 x2 x3 q 3 x5 x3 +q 3 x5 x4 x3 q 4 x6 x3 x3 q 3 x5 x5 x2 q 3 x6 x3 x3 q 5 x6 x4 x 12 12 12 12 123 123 4732 4653 3752 4754 5853 5862 q x1 x2 x3 q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 +q x1 x2 x3 + +q 4 x9 x5 x4 q 5 x10 x5 x3 +q 5 x9 x6 x5 +q 6 x10 x6 x4 q 7 x11 x6 x3 q 5 x10 x7 x5 q 6 x11 x7 x 123 1 23 123 1 23 1 23 1 23 1 q 7 x11 x8 x5 +q 7 x13 x8 x5 +[2]q qx2 x2 (1+x2 x3 x2 )+q 2 x4 x3 x2 (1+x2 x2 )(1+x1 x3 )+ 1 23 1 23 12 13 1 2 +q 3 x2 x2 x5 q 4 x7 x4 x3 (1+x1 x3 ) [3]q q 5 x10 x7 x 231 123 1 N3 = q 4 x6 x4 x2 (1 q 2 x3 x2 x3 )(1 q 2 x5 x3 x2 ) 123 12 Заключение (m,r) Итак, была описана важная параметризация коэффициентов cQ в разло жении Макдональда (4.5.106) обобщенных суперполиномов для торических узлов.

Следующая таблица показывает структуру проделанных вычислений:


(m,r) k(QT ) k(Q) (4.7.123) Pm,mk+r (A) = cQ q t MQ (A) Qm (m,r) k(QT ) k(Q) (4.7.124) MQ {p} = ekW Pm,r {p} Pm,mk+r {p} = cQ q t Qm (m,r) (m,r) (4.7.125) Pm,r (p) = MQ {p} = LQ {p} cQ hQ Qm Qm l(Q)r (r,r ) k (Y T ) k(Y ) (m,r) L (A)=Arm Pr,m (A)= Arm MY (A) Pm,r (A)= hQ cY q t Q Yr Qm l(Q)r (4.7.126) Обычные торические суперполиномы (4.7.123) разлагаются, как функции от A, по размерностям Макдональда MQ (A). Для m 4 это разложе ние становится неоднозначным (неоднозначность отсутствует для ториче ских полиномов ХОМФЛИ, где вклад вносят только угловые диаграммы Q = [m i, 1,..., 1]). Разложение суперполинома (4.7.124) уже не неодно i значное, но вместо этого не инвариантно, оно зависит от выбора представ ления кос. Все же мы уверены, что оно является центральным объектом исследования в "улучшенной" теории Черна-Саймонса [103, 104, 105, 106, 40]. Для торических узлов расширенный суперполином (4.7.124) приходит прямо в W -представление [114, 115, 116], которое явно описывает "эволю цию"в k-параметре, поскольку только неизвестный кусок ответа - это "на чальное"условие в k = 0, то есть расширенный суперполином(4.7.125) узла T [m, r] с r m. Если вернуться к обычным суперполиномам, Pm,r (A) свя зано очевидной дуальностью T [m, n] = T [n, m] с другим суперполиномом, Pr,m (A), с меньшим числом нитей r m, чем у исходного. Соответствен но, сумма по Q для Pm,r {p} в действительности "меньше чем для k = 0.

Как явное утверждение данного факта, существует специальный базис, где только Q вносит вклад, хотя по-прежнему имея размер m, имеет не более, чем r строк, l(Q) r. Оказывается, этот специальный базис формируется не с помощью полиномов Макдональда, а с помощью более простых поли номов Холла-Литтлвуда LQ {p} (это же свойство присуще базису "переска лированных" функций Шура, но коэффициенты разложения еще сложнее устроены).

Заметим, что до сих пор обсуждалось только разложение Холла-Литтлвуда (m, r) суперполиномов с r m, m r и "начальным" условием, данным при k = 0. Однако, как мы было упомянуто, существует двойственная симмет рия T [m, n] T [m, n], т.е. T [m, r] T [m, mr] и, одновременно, q q 1, t t1. Это позволяет описать также случай k = 1. Т.е., в дополнение к (4.5.109), имеем теперь (m,r) k(QT ) k(Q) (m,r) LQ {p} (4.7.127) Pm,rm {p} = MQ {p} = cQ q t hQ Qm Qm l(Q)r где LQ и hQ - это двойственные полиномы Холла-Литтлвуда и коэффициен ты, соответственно, таковы:

(m,r) (m,mr) (4.7.128) = q m(m1)/2 · hQ LQ {p} = LQ {p}, hQ t=t t=t1 q=q Появление двух разных базисов разложения: одного - для n-эволюции, другого - для ее "начального" условия (т.е. для m-эволюции) не случайно и отражает некую дополнительную дуальную структуру. Еще более инте ресно то, что вторая эволюция включает в себя только разложение Холла Литтлвуда, что влечет за собой возможность существования и другой дефор мации целой конструкции, возможно, достигающей разложения по характе рам Керова-Аски-Вильсона. Ситуация здесь напоминает ситуацию с двой ными эллиптическими деформациями интегрируемых систем [129]-[132].

Глава Заключение В заключении перечислим различные задачи для дальнейшего исследова ния в рамках проделанной работы. Прежде всего отметим, что необходимо тщательно исследовать связь конформной теории поля с теорией Черна Саймонса, используя подход к построению корреляторов через ассоциатор Дринфельда. Также необходимо исследовать ассоциатор на предмет его бета деформации с целью построения аналога интеграла Концевича для супер полиномов. Это может быть полезным и для выявления его связи с функ циями Некрасова. Используя результаты второй главы было бы интересным изучить такую деформацию соотношений Плюккера, чтобы корреляторы вильсоновских петель теории Черна-Саймонса им удовлетворяли, или дока зать, что подобной деформации не существует, что представляется крайне сомнительным. Подробнее описать связь с теорией накрытий римановых по верхностей и числами Гурвица, а также с топологическими струнами и, в частности, с инвариантами Громова-Виттена. Также можно надеяться, что предложенный в диссертации метод нахождения коэффициентов в разло жении суперполиномов по полиномам Холла-Литтлвуда поможет получить полную формулу для всех представлений и хотя бы для всех торических уз лов и зацеплений. Было бы интересным продолжить торическую эволюцию для неторических узлов.

Глава Приложения 6.1 Приложение A. Уравнение КЗ Решение уравнения КЗ в первых двух порядках пертурбативного разложения В данном приложении решается уравнение КЗ в первых двух порядках пертурбативного разложения. Для уравнения КЗ dG(z) A B = + G(z), 1z dz z Попробуем теперь найти решение как ряд по :

G(z) = G0 (z) + G1 (z) + G2 (z) +...

Уравнение (2.2.5) имеет единственное решение, определяемое граничным условием:

G0 (0) = 1 = 1 1 Нас интересует значением G(1).

Первый порядок:

1 dG1 (z) A B dz dz G1 (1) = A =+ +B 1z 1z dz z z 0 Интегралы здесь расходятся, поэтому регуляризуем их:

1 Затем имеем:

1z z B log G1 (z) = A log и, сохраняя только конечные и сингулярные члены в точке z = 1, G1 (1) = A log( ) B log( ) Второй порядок:

dG2 (z) A B (A.1) = + G1 (z) = 1z dz z 1z 1z 1 z 1 1 z (A.2) = A2 log AB log log B 2 log + BA 1 1z z z z Интегрируя по [, z], получаем:

1 z z G2 (z) = A2 log2 AB Li2 ( ) Li2 (z) log(1 ) log + 1z z (A.3) + B 2 log + BA Li2 ( ) Li2 (z) log(1 z) log В точке z = 1, для конечных и сингулярных членов имеем:

1 (A.4) G2 (1) = A2 log2 + BA log log + B 2 log2 + [A, B] Li2 (1) 2 Таким образом, вплоть до второго порядка по, G(1) имеет следующий вид (мы отбрасываем члены, которые стремятся к нулю как 0):

B 2 log 2 1 B log + [A, B] Li2 (1) · G(z) = 1+ (A.5) A2 log 2 · 1 A log + +O 6.2 Приложение Б. Характеры симметрической груп пы В данном приложении мы приводим основные определения и формулы из теории симметрических групп.

6.2.1 Примеры структурных констант Здесь мы приводим список некоторых примеров структурных констант из (3.2.34): таблица умножения ограничена на случай, когда || 4.

W[1] W[1] = W[1] + 2W[1,1], W[1] W[2] = 2W[2] + W[2,1], W[1] W[1,1] = 2W[1,1] + 3W[1,1,1], W[1] W[3] = 3W[3] + W[3,1], W[1] W[2,1] = 3W[2,1] + 2W[2,1,1], W[1] W[1,1,1] = 3W[1,1,1] + 4W[1,1,1,1], W[1] W[4] = 4W[4] + W[4,1], W[1] W[3,1] = 4W[3,1] + 2W[3,1,1], W[1] W[2,2] = 4W[2,2] + W[2,2,1], W[1] W[2,1,1] = 4W[2,1,1] + 3W[2,1,1,1], W[1] W[1,1,1,1] = 4W[1,1,1,1] + 5W[1,1,1,1,1], W[1,1] W[2] = W[2] + 2W[2,1] + W[2,1,1], W[1,1] W[1,1] = W[1,1] + 6W[1,1,1] + 6W[1,1,1,1], W[2] W[2] = W[1,1] + 3W[3] + 2W[2,2], W[1,1] W[3] = 3W[3] + 3W[3,1] + W[3,1,1], W[1,1] W[2,1] = 3W[2,1] + 6W[2,1,1] + W[2,1,1,1], W[1,1] W[1,1,1] = 3W[1,1,1] + 12W[1,1,1,1] + 10W[1,1,1,1,1], W[2] W[3] = W[3,2] + 4W[4] + 2W[2,1] W[2] W[2,1] = 2W[2,2,1] + 3W[3,1] + 4W[2,2] + 3W[3] + 3W[1,1,1] W[2] W[1,1,1] = W[2,1] + 2W[2,1,1] + W[2,1,1,1],...

6.2.2 Таблица характеров симметрической группы R () R1 2 11 3 21 111 4 31 22 211 1111 5 41 32 311 221 2111 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3332 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 1 21 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 111 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (B.1) 4 4 6 6 8 12 4 6 83 6 1 0 0 0 0 0 0 2 0 1 31 4260 4 4 1 0 0 0 0 0 0 4 0 6 4 0 0 4 22 4 0 1 0 0 0 0 0 0 4 2 6 0 4 0 1 211 4 2 1 0 0 0 0 0 0 4 6 6 8 12 6 8 3 1111 4 1 0 0 0 0 0 0 5 5 10 10 20 30 10 30 40 15 30 5 24 30 20 20 15 10 6 0 41 5 5 10 5 15 10 0 10 0 15 5 50 5 4 10 6 8 0 6 4 4 32 5 2 10 6 3 6 5 2 5 0 5 311 5 0 10 0 0 10 0 0 0 5 4 0 0 2 4 6 8 6 6 4 4 3 221 5 10 10 6 3 5 0 5 15 15 6 0 5 0 2111 5 10 5 10 0 10 0 5 5 10 30 10 30 30 24 30 20 20 15 11111 5 10 20 40 15 5 6.3 Приложение В. Суперполиномы В данном приложении приведем примеры суперполиномов, вычисленных на шим методом, а также соответствующих полиномов ХОМФЛИ, Александера и Хеегарда-Флоера для сравнения.

6.3.1 Неузлы A A1 q(a2 t + 1) P[1]nknot = M1 = U = 1/ 1 at (1 q2 ) tt (A A1 )(Aq A1 q 1 ) (a2 t + 1)(a2 q2 t3 + 1) P[2]nknot = M2 = U = (t t1 )(qt q 1 t1 ) a2 t2 {q2 t}(1 q2 ) (A A1 )(At1 A1 t) (a2 t + 1)(a2 t + q2 ) U nknot = M = P[1,1] = (t t1 )(t2 t2 ) a2 t{q2 }(1 q2 ) (A A1 )(Aq A1 q 1 )(Aq 2 A1 q 2 ) (a2 t + 1)(a2 t3 q2 + 1)(a2 t5 q4 + 1) (B.1) P[3]nknot = M3 = U = (t t1 )(qt q 1 t1 )(q 2 t q 2 t1 ) a3 t9/2 q2 {q3 t2 }{q2 t}(1 q2 ) (A A1 )(At1 A1 t)(Aq A1 q 1 ) (a2 t + 1)(a2 t3 q2 + 1)(a2 t + q2 ) U nknot = M = P[2,1] = (t t1 )2 (qt2 q 1 t2 ) a3 t5/2 q{q3 t2 }{q}(1 q2 ) (A A1 )(At1 A1 t)(At2 A1 t2 ) (a2 t + 1)(a2 t + q4 )(a2 t + q2 ) U nknot P[1,1,1] = M111 = = (t t1 )(t2 t2 )(t3 t3 ) a3 t3/2 q2 {q3 }{q2 }(1 q2 )....


Правые части всех этих выражений, будучи разложенной в ряд по q, t, являются рядами с положительными коэффициентами. И это верно всегда.

6.3.2 Случай (2, n), серия n = 2k фундаментальное представление T [2,n] [2] [1,1] (B.2) = c[1] M[2] q n + c[1] M[1,1] tn P[1] с коэффициентами:

(1 q 2 )(1 + t2 ) [2] [1,1] (B.3) c[1] = 1, c[1] = 1 q 2 t T [2,n] Как и в случае с неузлами полученные выражения для P[1] не являются полиномами с поло T [2,n] жительными коэффициентами. Более того, даже (то есть нормированный на неузел) не P[1] является полиномом с положительным коэффициентом. Однако он всегда является рядом по q, t с положительными коэффициентами как в примерах ниже.

a2 t + 1 q2 a2 t + 1 (a2 t + 1)q {A}t T [2,0] q2j 1 A2 = a2 t + 1 = · P[1] = (1 + q2 )2 a2 t {t}2 A 1 + q2 a2 t j= a2 t + {A}t T [2,2] t2 + q 2 t2 q 2 A2 + 1 = q2 + q4 t 2 + q2 t 3 a 2 + 1 = P[1] = (1 + q2 )2 a2 t {t}2 Aq a2 t + 1 (a2 t + 1)q q2j + q2 + = 1 + q2 a2 t3 a2 t j= {A}t T [2,4] q 4 t2 q 2 + q 2 t2 A2 t4 q 2 + t4 q 4 + 1 + q 2 t2 t2 = P[1] = {t}2 Aq a2 t + q6 t5 + t3 q2 t3 q4 a2 q6 t2 + t4 q8 + 1 + q4 t2 q2 = q2 )2 a2 t5 q (1 + (B.4) a2 t + 1 (a2 t + 1)q 1 1 q2j + 2 + 2 3 q2 + q 4 + = 1 + q2 a2 t5 q2 t a2 t at j= {A}t T [2,6] t4 q 4 q 4 t2 q 6 t4 q 2 + q 2 t2 A2 q 4 t6 + q 6 t6 + 1 t4 q 2 + t4 q 4 + q 2 t2 t2 = P[1] = {t}2 Aq 2t + a t5 q8 + q6 t5 + q10 t7 + t3 q2 t3 q4 a2 t4 q10 + q12 t6 + 1 q6 t2 + t4 q8 + (1 + q2 )2 a2 t7 q a2 t + 1 (a2 t + 1)q 1 1 1 1 q2j +q4 t2 q2 = + 2 4 + 2 5 + 2 q2 + 2 3 q4 + q6 + 1 + q2 q4 a2 t7 q t a2 t at t at j=....

k a2 t + 1 q2k+ {A}t T [2,2k] T [2,2k] (1 + a2 t3 q2 ) + (a2 t + 1) q2j P[1] P[1] = = {t}2 Aq 2k 1 + q2 a2 t q4j t2j j=1 j= Наш ответ для зацепления Хопфа P [2,2] находится в полном согласии с известными результата ми, например, [107] и обобщает их на m 2.

• ХОМФЛИ {A}q T [2,0] 1 A H[1] = {q}2 A {A} T [2,2] q 2 + q 4 + 1 q 2 A H[1] = {q}2 Aq {A} T [2,4] q 6 + q 8 q 6 A2 + q 4 A2 + q 4 q 2 + 1 q 2 A H[1] = {q}2 Aq 3 (B.5) {A} T [2,6] 12 q 10 q 10 A2 + q 8 A2 + q 8 q 6 q 6 A2 + q 4 A2 + q 4 q 2 q 2 A2 + H[1] = q {q}2 Aq....

{A} T [2,2k] T [2,2k] = q 2k s + q 2k s H[1] H[1] = [2] [1,1] {q}2 Aq 2k • Александер T [2,0] A[1] = T [2,2] = q4 + A[1] (B.6) T [2,4] = q8 + A[1] T [2,6] = q12 + A[1]....

6.3.3 Случай (2, n), серия n = 2k + 1 фундаментальное представ ление T [2,n] [2] [1,1] (B.7) = c[1] M[2] q n + c[1] M[1,1] tn P[1] с коэффициентами:

1 t4 q {t2 } [2] [1,1] (B.8) c[1] = = c[1] = 1, 1 q 2 t2 t {qt} так что получаем:

a2 t + 1 q {A}t T [2,1] P[1] = = (1 + q2 ) a2 t {t}Aq a2 t + {A}t T [2,3] q 2 (A2 ) + q 2 t2 + 1 = q4 t2 + q2 t3 a2 + P[1] = {t}Aq 3 (1 + q2 ) a2 t4 q {A}t T [2,5] q 4 t2 + q 2 (A2 ) + t4 q 4 + q 2 t2 + 1 = P[1] = {t}Aq a2 t + q6 t5 + t3 q2 a2 + t4 q8 + q4 t2 + = (1 + q2 ) a2 t6 q {A}t T [2,7] q 6 t4 + q 4 t2 + q 2 (A2 ) + q 6 t6 + t4 q 4 + q 2 t2 + 1 = (B.9) P[1] = {t}Aq a2 t + q10 t7 + q6 t5 + t3 q2 a2 + q12 t6 + t4 q8 + q4 t2 + (1 + q2 ) a2 t8 q {A}t T [2,9] (t6 q 8 + q 6 t4 + q 4 t2 + q 2 )(A2 ) + t8 q 8 + q 6 t6 + t4 q 4 + q 2 t2 + 1 = P[1] = {t}Aq a2 t + q14 t9 + q10 t7 + q6 t5 + t3 q2 a2 + q16 t8 + q12 t6 + t4 q8 + q4 t2 + (1 + q2 ) a2 t10 q....

{A}t T [2,2k+1] T [2,2k+1] P P[1] = {t}Aq 2k+1 [1] можно проверить, что наш нормированный полином P2,2k+1 в точности совпадает с полученным в [35].

• ХОМФЛИ В точке t = q имеем:

T [2,n] = s q n s q n (B.10) H[1] [2] [1,1] Первые несколько ответов:

{A} T [2,1] H[1] = {q}A {A} T [2,3] q 4 q 2 A2 + H[1] = {q}Aq {A} T [2,5] q 8 q 6 A2 + q 4 q 2 A2 + H[1] = {q}Aq {A} T [2,7] q 12 q 10 A2 + q 8 q 6 A2 + q 4 q 2 A2 + H[1] = {q}Aq (B.11) {A} 2, q 16 q 14 A2 + q 12 q 10 A2 + q 8 q 6 A2 + q 4 q 2 A2 + H[1] = {q}Aq....

{A} T [2,2k+1] 2,2k+ = q 2k1 s q 2k+1 s = H H[1] = [2] [1,1] {q}Aq 2k [1] 2k1 a2 q 2 q 2k1 q 2k+1 a2 + q 2k+1 q q 2 a2 1 q = a2 q 2 1 q4 и результаты совпадают с хорошо известными полиномами ХОМФЛИ (4.1.22).

• Хеегард-Флоер T [2,1] F[1] = T [2,3] = q 4 t2 + t3 q 2 + F[1] T [2,5] = t4 q8 + q6 t5 + q4 t2 + t3 q2 + F[1] (B.12) T [2,7] = q12 t6 + q10 t7 + t4 q8 + q6 t5 + q4 t2 + t3 q2 + F[1] T [2,9] = q16 t8 + q14 t9 + q12 t6 + q10 t7 + t4 q8 + q6 t5 + q4 t2 + t3 q2 + F[1]....

• Александер T [2,1] A[1] = T [2,3] = q4 q2 + A[1] T [2,5] = q8 q6 + q4 q2 + A[1] (B.13) T [2,7] = q12 q10 + q8 q6 + q4 q2 + A[1] T [2,9] = q16 q14 + q12 q10 + q8 q6 + q4 q2 + A[1]....

Литература [1] A. S. Schwarz, Letters in Mathematical Physics, Volume 2, Issue 3, 1978, pp 247-252;

Communications in Mathematical Physics, Volume 67, Issue 1, 1979, pp 1-16;

Baku International Topological Conference, Abstracts, Vol.

2, [2] M.F. Atiyah, New invariants of 3-and 4-dimensional manifolds, The mathematical heritage of Hermann Weyl, Proc. Symp. Pure Math. 48, 1988, 285- [3] E.Witten, Commun. Math. Phys. 121: 351, [4] Vassiliev V. A. (1990). Cohomology of knot spaces. Adv. in Sov. Math, 23- [5] M. Goussarov, A new form of the Conway-Jones polynomial of oriented links, in Topology of manifolds and varieties (O. Viro, editor), Amer. Math.

Soc., Providence 1994, 167-172.

[6] Birman J.S., Lin X.S. (1993). Knot polynomials and Vassiliev’s invariants.

Inventiones mathematicae, 111(1), 225- [7] Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Nuclear Physics B, 330(2), 1990, 575-607;

Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Physics Letters B, 227(1), 1989, 111-117;

Cotta-Ramusino P., Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M., Nuclear Physics B, 330(2), 1990, 557- [8] J.M.F. Labastida, E. Perez, Kontsevich integral for Vassiliev invariants from Chern-Simons perturbation theory in the light-cone gauge.

J.Math.Phys.39:5183-5198,1998, hep-th/ [9] M. Kontsevich, Advances in Soviet Math.16, part 2, 137, [10] R.M. Kashaev, Lett. Math. Phys. 39, 1997, 269– [11] H. Murakami and J. Murakami, Acta Math. 186, 2001, no. 1 85– [12] T. Dimofte, S. Gukov, Contemp. Math, 541, 2011, 41- [13] A. Okounkov, R. Pandharipande, The Annals of Mathematics, 163(2), 2006, 517- [14] J.M.F. Labastida, A.V. Ramallo, Chern-Simons theory and conformal blocks, Phys. Let. B, Vol. 228, Iss. 2, 1989, 214– [15] I.P.Ennes, A.V.Ramallo, J.M.Sanchez de Santos, P.Ramadevi, Duality in osp (1| 2) Conformal Field Theory and link invariants, Int. J. Mod. Phys.

A 13, Iss. 17, 2931, [16] P.Dunin-Barkowski, A.Sleptsov, A.Smirnov, Kontsevich integral for knots and Vassiliev invariants, arXiv:1112.5406, [17] A.Smirnov, Notes on Chern-Simons Theory in the Temporal Gauge, hep th/0910.5011, to appear in the Proceedings of International School of Subnuclar Shys. in Erice, Italy, [18] A. Morozov, A. Smirnov, Chern-Simons Theory in the Temporal Gauge and Knot Invariants through the Universal Quantum R-Matrix, Nucl.Phys.B835:284-313, [19] S. Chmutov and S. Duzhin, The Kontsevich Integral, Acta Applicandae Mathematicae, Volume 66, Number 2, 155-190, [20] S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy, Introduction to Vassiliev knot invariants.

To appear in Cambridge University Press, 2011, arXiv:1103. [21] T.T.Q.Le, J. Murakami Kontsevich’s Integral for the Kauman Polynomial Nagoya Math. J. 142: 39-65, [22] T.T.Q.Le, J. Murakami Kontsevich’s integral for the Homy polynomial and relations between values of multiple zeta functions Topology and its Applications, Volume 62, Issue 2, 24 March 1995, Pages 193- [23] V. G. Drinfeld, On quasi-triangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected with Gal(Q/Q), Leningrad Math. J., 2 (1991) 829- [24] D. Bar-Natan, On the Vassiliev knot invariants, Topology, 34, 1995, Pages 423-472.

[25] Phillipe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Senechal, Conformal eld theory, New York, NY: Springer, 1997. - 890 p.

[26] A.Morozov, Sh.Shakirov, The matrix model version of AGT conjecture and CIV-DV prepotential, JHEP 1008:066,2010, arXiv: 1004. [27] A. Nakayashiki, Integral and Theta Formulae for Solutions of slN Knizhnik-Zamolodchikov Equation at Level Zero, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 34(5), 439-486, 1998, arXiv:math [28] P.Dunin-Barkowski, A.Mironov, A.Morozov, A.Sleptsov, A.Smirnov, Superpolynomials for toric knots from evolution induced by cut-and-join operators, arxiv:1106. [29] X.-S.Lin and H.Zheng, On the Hecke Algebras and the Colored HOMFLY Polynomial, Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010) 1-18 math/ [30] V.V.Zudilin, Algebraic relations for multiple zeta values Uspekhi Mat. Nauk 58:1 3пїЅ32 (2003) [31] G.’t Hooft, Nuclear Physics B72, 3, 1974, 461– [32] P.Freyd, D.Yetter, J.Hoste, W.B.R.Lickorish, K.Millet, A.Ocneanu, Bull.

AMS. 12 (1985) [33] J.H.Przytycki and K.P.Traczyk, Kobe J. Math. 4 (1987) 115- [34] S.Gukov, A.Schwarz and C.Vafa, Lett.Math.Phys. 74 (2005) 53-74, arXiv:hep-th/ [35] N.M.Duneld, S.Gukov and J.Rasmussen, Experimental Math. 15 (2006) 129-159, math/ [36] M. Khovanov, Duke Math. J. 101 (2000) 359- [37] D.Bar-Natan, Algebraic and Geometric Topology, 2 (2002) 337-370, math/ [38] M.Khovanov and L.Rozhansky, Fund. Math. 199 (2008) 1, math.QA/0401268;

Geom. Topol. 12 (2008) 1387, math.QA/ [39] V.Dolotin and A.Morozov, JHEP 1301 (2013) 065, arXiv:1208.4994;

arXiv:1209. [40] M.Aganagic and Sh.Shakirov, arXiv: 1105. [41] A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, arXiv:1112. [42] A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, JHEP 03 (2012) 034, arXiv:1112. [43] H.Morton and S.Lukac, J. Knot Theory and Its Ramications, 12 (2003) 395, math.GT/ [44] E.Gorsky, A.Oblomkov and J.Rasmussen, arXiv:1206. [45] A.Mironov and A.Morozov, arXiv:1208. [46] Shengmao Zhu, arXiv:1206. [47] Anton Morozov, arXiv:1211.4596;

arXiv:1208. [48] A.Anokhina, A.Mironov, A.Morozov and An.Morozov, arXiv:1211. [49] M.Alvarez, J.M.F.Labastida and E.Perez, Vassiliev Invariants for Links from Chern-Simons Perturbation Theory, Nucl.Phys. B488 (1997) 677-718, arXiv:hep-th/9607030;

[50] A.Anokhina, An.Morozov, arXiv:1307. [51] A.Mironov, A.Morozov and S.Natanzon, Theor.Math.Phys. 166 (2011) 1 22, arXiv:0904.4227;

Journal of Geometry and Physics 62 (2012) 148-155, arXiv:1012. [52] D.E.Littlewood, The theory of group characters and matrix representations of groups, Oxford, [53] M.Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, [54] W.Fulton, Young tableaux: with applications to representation theory and geometry, London Mathematical Society, [55] H.Ooguri and C.Vafa, Nucl.Phys. B577 (2000) 419-438, hep-th/ [56] J.Labastida, M.Mario, Comm.Math.Phys. 217 (2001) 423-449, hep n th/0004196;

math/ [57] M.Marino and C.Vafa, arXiv:hep-th/ [58] Kefeng Liu and Pan Peng, arXiv:0704.1526;

Math.Res.Lett. 17(3) (2010) 493-506, arXiv:1012.2635;

arXiv:1012. [59] M.Alvarez and J.M.F.Labastida, Nucl.Phys. B433 (1995) 555-596, arXiv:hep-th/ [60] J.M.F.Labastida, Chern-Simons Gauge Theory: Ten Years After, AIP Conf.

Proc. 484, pp. 1-40, arXiv:hep-th/ [61] J.M.F.Labastida and M.Mario, n Int.J.Mod.Phys.A10:1045-1089,1995, arXiv:hep-th/ [62] P.Dunin-Barkowski, A.Sleptsov and A.Smirnov, arXiv:1112. [63] R.Kashaev, Mod.Phys.Lett. A39 (1997) 269- [64] H.Murakami and J.Murakami, Acta Math. 186 (2001) 85- [65] S.Gukov and H.Murakami, Lett.Math.Phys. 86 (2008) 79-98, math/ [66] H.Murakami, arXiv:1002. [67] J.M.F.Labastida, M.Mario and C.Vafa, JHEP 0011 (2000) 007, hep n th/ [68] A.Brini, B.Eynard and M.Mario, arXiv:1105. n [69] R.Dijkgraaf, H.Fuji and M.Manabe, Nucl.Phys. B849 (2011) 166-211, arXiv:1010. [70] A.Alexandrov, A.Mironov and A.Morozov, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/0310113;

Theor.Math.Phys. 150 (2007) 153-164, hep th/0605171;

Physica D235 (2007) 126-167, hep-th/0608228;

JHEP (2009) 053, arXiv:0906. [71] A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov, P.Putrov, Int.J.Mod.Phys. A (2009) 4939-4998, arXiv:0811. [72] B.Eynard,All genus correlation functions for the hermitian 1-matrix model, JHEP 0411 (2004) 031, hep-th/ [73] L.Chekhov and B.Eynard, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/0504116;

JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/ [74] N.Orantin, Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition, arXiv:0808. [75] I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Science Publications, [76] A.Alexandrov, A.Mironov, A.Morozov, S.Natanzon, J. Phys. A: Math.

Theor. 45 (2012) 045209, arXiv:1103. [77] A.Mironov, A.Morozov and S.Natanzon, JHEP (2011) 097, arXiv:1108. [78] A.Mironov, A.Morozov and A.Sleptsov, arXiv:1304. [79] H.R.Morton and P.R.Cromwell, J.Knot Theory Ramif. 5 (1996) 225- [80] S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Int. J. Mod. Phys. A (1995) 2015, arXiv:hep-th/ [81] M. Rosso and V. F. R. Jones, J. Knot Theory Ramications, 2 (1993) 97- [82] S.Stevan, Annales Henri Poincare, 11 (2010) 1201-1224, arXiv: 1003. [83] R.Lawrence and L.Rozhansky, Comm.Math.Phys. 205 (1999) [84] M.Mario, Comm.Math.Phys. 254 (2004) 25-49, hep-th/ n [85] C.Beasley and E.Witten, J.Di.Geom. 70 (2005) 183-323, hep-th/ [86] Y.Dolivet and M.Tierz, J.Math.Phys. 48 (2007) 023507, hep-th/ [87] R.Gopakumar and C.Vafa, Adv.Theor.Math.Phys. 3 (1999) 1415-1443, hep th/ [88] D.-E. Diaconescu, V. Shende and C. Vafa, Comm. Math. Phys. 319, 3 (2013) 813- [89] P.Ramadevi and T.Sarkar, On Link Invariants and Topological String Amplitudes, Nucl.Phys. B600 (2001) 487-511, hep-th/ [90] Zodinmawia and P.Ramadevi, SU(N) quantum Racah coecients and non torus links, Nuclear Physics B 870 1 (2013) 205-242, arXiv:1107. [91] H.Itoyama, A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, JHEP 2012 (2012) 131, arXiv:1203. [92] H.Itoyama, A.Mironov, A.Morozov and And.Morozov, International Journal of Modern Physics A27 (2012) 1250099, arXiv:1204. [93] M. Aganagic, T. Ekholm, L. Ng and C. Vafa, arXiv:1304. [94] D.Galakhov, A.Mironov, A.Morozov and A.Smirnov, Theor.Math.Phys. (2012) 939-962, arXiv:1104. [95] H.Murakami, J.Geom.Topol. 2 (2007) 249–269, math/ [96] S.Garoufalidis and T.T.Q.Le, math/ [97] P.Melvin and H.Morton, Commun.Math.Phys. 169 (1995) 501- [98] K.Hikami and H.Murakami, arXiv:0711. [99] S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv:1108. [100] A.Mironov, A.Morozov and Sh.Shakirov, J.Phys. A: Math.Theor. 45 (2012) 355202, arXiv:1203. [101] E.Gorsky, arXiv: 1003. [102] E.Witten, arXiv:1001.2933;

arXiv:1101.3216;

T.Dimofte, S.Gukov and L.Hollands, arXiv:1006. [103] M.Aganagic, M.Mario and C.Vafa, Commun. Math. Phys. 247 (2004) n 467,arXiv:hep-th/ [104] M. Aganagic, A. Klemm, M. Mari.no and C. Vafa, Commun. Math. Phys.

254 (2005) 425, arXiv:hep-th/ [105] A.Iqbal, C.Kozcaz and C.Vafa, JHEP 0910 (2009) 069, hep-th/ [106] H.Awata and H.Kanno, Int.J.Mod.Phys. (2009) 2253-2306, A arXiv:0805. [107] S.Gukov, A.Iqbal, C.Kozcaz and C.Vafa, arXiv:0705. [108] J.W.Alexander, Trans.Amer.Math.Soc. 30 (2) (1928) 275- [109] J.H.Conway, Algebraic Properties, In: John Leech (ed.), Computational Problems in

Abstract

Algebra, Proc. Conf. Oxford, 1967, Pergamon Press, Oxford-New York, 329-358, [110] V.F.R.Jones, Invent.Math. 72 (1983) 1 Bull.AMS 12 (1985) 103Ann.Math.

126 (1987) [111] L.Kauman,Topology 26 (1987) [112] Yu.Terashima and M.Yamazaki, arXiv:1103. [113] E.Gorsky, Journal of Singularities, 3 (2011), 48-82, arXiv:0807. [114] A.Morozov and Sh.Shakirov, JHEP 0904 (2009) 064, arXiv:0902.2627;

Mod.Phys.Lett. A24 (2009) 2659-2666, arXiv:0906. [115] G.Borot, B.Eynard, M.Mulase and B.Safnuk, Journal of Geometry and Physics, 61(2), 522-540, arXiv:0906. [116] A.Alexandrov,Mod. Phys. Lett. A, 26, 2193 (2011), arXiv:1009. [117] H.Awata and H.Kanno, arXiv:0903.5383;

arXiv:0910. [118] S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv:1108. [119] N.Carqueville and D.Murfet, arXiv:1108. [120] I.Cherednik, arXiv:1111. [121] Sh.Shakirov, arXiv:1111. [122] A.Oblomkov, J.Rasmussen and V.Shende with an Appendix by E.Gorsky The Hilbert scheme of a plane curve singularity and the HOMFLY homology of its link, arXiv: 1201. [123] A.Mironov, A.Morozov, Sh.Shakirov and A.Sleptsov, arXiv:1201. [124] H.Fuji, S.Gukov and P.Sulkowski (with an appendix by Hidetoshi Awata), arXiv:1203. [125] H.Fuji, S.Gukov and P.Sulkowski, arXiv:1205. [126] E.Guadagnini, M.Martellini and M.Mintchev, In Clausthal 1989, Proceedings, Quantum groups, 307-317;

Phys.Lett. B235 (1990) [127] N.Yu.Reshetikhin and V.G.Turaev, Comm. Math. Phys. 127 (1990) 1- [128] A.Morozov, arXiv:1201. [129] H.Braden, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Nucl.Phys., B (2000) 553, hepth/9906240 see also a brief review in:

[130] A.Mironov, Theor.Math.Phys., 129 (2001) 1581-1585, hep-th/ [131] A.Mironov and A.Morozov, Phys.Lett., (2000) 71-76, B hepth/9912088;

hepth/ [132] H.Braden, A.Gorsky, A.Odesskii and V.Rubtsov, hep-th/

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.