авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л.СОБОЛЕВА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ...»

-- [ Страница 3 ] --

достаточно и n N). Нам удобно сформулировать понятие кронекеровости следующим образом.

Лемма 4.4.2. Множество M является множеством Кронекера тогда и только тогда, когда для любой f O(M ) орбита {f, T f, T 2 f,...} плотна в O(M ).

Доказательство. T изометрия, поэтому достаточно предполагать, что f 1 O(M ). В этом случае T n f (t) = tn. Остальное очевидно.

Ясно, что в лемме 4.4.2 оператор T можно заменить на оператор T 1.

Теорема 4.4. Пусть M C и T : C(M ) C(M ) оператор умножения на t, (T f )(t) = tf (t). Если M множество Кронекера, то для каждой f BC(M ) и для каждой функции k O(M ) найдется последовательность степеней mn такая, что k lim T mn f.

2 n В частности, оператор T удовлетворяет условию (lim inf ), но не является асимптотически конечномерным, если пространство C(M ) бесконечномерно, т.е. M содержит бесконечное множество точек.

Доказательство. Легко следует из лемм 4.4.1 и 4.4.2. Нужно только k = f T mk k.

заметить, что T mk f 2 Теорема 4.5. Пусть M нульмерный метрический компакт, в котором содержится бесконечно много точек. Существует гомеомор физм g : M g(M ) такой, что и оператор умножения T :

C(M ) C(M ), (T f )t = g(t)f (t) удовлетворяет условию (lim inf ), но не является асимптотически конечномерным.

Доказательство. M гомеоморфен подмножеству любого совершенно го множества, например, какого-нибудь совершенного множества Кроне кера (такие бывают см., например, [80]). Но кронекеровость наследу ется замкнутыми подмножествами. Остальное очевидно.

Замечание. Спектр (T ) = g(M ) множество Кронекера.

Пример. Пусть c банахово пространство сходящихся последова тельностей. Пусть n C, n. Можно отождествить c и C(M ), M = {1, 2, 3...} {}, относясь к сходящимся последовательностям (fn ) c как к функциям f C(M ), f (n ) = fn ;

f () = lim fn. Определим оператор T : c c, (T f )n = n fn. Если множество M = {n } кронекерово, то оператор T изометрия, удовлетворяющая условию 4 1 для любого одноточечного O(M ) K = {k} 2.

Отметим, что операторы из c в c вида (T f )n = n fn, n = (n попарно различны), согласно наблюдению Любича [59], не обладая полной системой собственных конечномерных подпространств, являются тем не менее скалярно почти периодичными. Последнее означает, что для любого функционала h c и для любого f c последовательность T n f, h будет почти периодична.

Вообще, в статье [59] Любич показал, что в рефлексивном простран стве (и вообще, в слабо полном пространстве) условие полноты системы собственных подпространств эквивалентно скалярной почти периодич ности. По-видимому, результаты параграфа 4.2 этой главы справедливы и для слабо полного пространства.

Глава Инвариантные пространства у операторов на вещественных банаховых пространствах Инвариантными подпространствами называются собственные замкну тые подпространства X, переходящие в себя под действием оператора T : X X. В этой главе доказано существование инвариантных подпро странств у некоторых линейных операторов на вещественных банаховых пространствах, в частности, у изометрий. Результаты опубликованы в работе [100].

5.1 Необходимые сведения из спектральной теории и формулировка основной теоре мы Пусть T : X X ограниченный линейный оператор на комплекс ном банаховом пространстве. Символами (T ) и R(, T ) обозначим его спектр и резольвенту. Пусть (T ) несвязен, F и \F открыто-замкнутые части спектра. Охватим контуром множество F. Образ [F ] и ядро [\F ] спектрального проектора P= R(, T )d 2i инвариантные подпространства и (T |[F ] ) = F.

Пусть спектр связен. Тогда, вырезая контуром подмножество F в спектре, надо домножать резольвенту на подходящую весовую функцию g, малую в окрестности точек пересечения F :

f (T ) = R(, T )g()d.

2i Так можно строить спектральные подпространства при ограничениях на рост резольвенты, см. [33, 34], которые заведомо выполнены, если степени оператора T ±n растут не слишком быстро. Например, условие неквазианалитичности оператора ln T n 1 + n n= гарантирует отделимость спектра [35].

Пусть теперь T : X X и X вещественно. Спектральный проектор, соответствующий некоторой симметричной (относительно комплексного сопряжения в C) компоненте спектра комплексификации TC : XC XC, если этот спектр несвязен, даёт симметричное (относительно комплекс ного сопряжения в XC ) инвариантное подпространство LC. Его веще ственная часть L X будет T -инвариантной, см., например, теорему 5. работы [36].

Между тем и в случае связного спектра TC легко получить симмет ричное TC -подпространство методом, обрисованным выше: нужно инте грировать по симметричному контуру с симметричной функцией g.

Вещественная часть образа f (TC ) будет T -инвариантным подпростран ством в X. Ниже мы изложим более подробно овеществление одного из спектральных методов. Как приложение, получаем теорему, в ком плексном случае доказанную Вермером в [32]. Последнее утверждение теоремы в комплексном случае нередко используется и восходит к тео реме J из работы Годемана [31].

Теорема 5.1. Пусть X вещественное банахово пространство, T :XX обратимый линейный оператор, такой, что Tn = O(|n|k ), k.

n± Если dim X 2, то оператор T имеет инвариантное подпространство.

В частности, линейная изометрия T : X X вещественного про странства имеет инвариантное подпространство, если dim X 2.

Наиболее близки по духу к настоящей главе оказались результаты работы [36]. Заметим, что, в отличие от результатов Вермера и Годема на, известные теоремы Ароншайна Смита и Ломоносова о наличии инвариантных пространствах у компактных операторов обобщались на вещественный случай, см. [39] и ссылки там.

Разумеется, не все инвариантные подпространства получают спек тральными методами. Бывают операторы вольтерровского типа, суже ние которых на инвариантные подпространства имеет тот же спектр, что и исходный оператор: (T |L ) = (T ) = [0, 1], см. [60]. Вообще гово ря, если у TC есть инвариантные подпространства, то неизвестно, есть ли среди них симметричные;

утверждение о существовании последних равносильно гипотезе 3 работы [39].

5.2 Комплексификация и доказательство Пусть X комплексное банахово пространство и x X. Отображе ние R(, T )x голоморфная, определенная вне (T ) функция со значениями в X. Максимальное однозначное аналитическое продолже ние этой функции (если оно существует) называется локальной резоль вентой в точке x. Её область определения обозначим (x). Множество (x) := C\(x) (T ) называется локальным спектром x.

Пусть теперь пространство X вещественное. Напомним, что комплек сификацией X называется пространство XC, элементы которого имеют вид z = (x + iy), векторы x, y X естественно называть вещественной (Re z) и мнимой (Im z) частями z. Мы уже пользовались комплексифи кацией в лемме 3.1.1. На XC задано сопряжение J : x + iy x iy.

C-однородная норма на XC такова:

2 2 z = max{ Re z + Im z | C, || = 1}.

Эта норма эквивалентна норме прямой суммы X X. Оператор T :

X X комплексифицируется так: TC (x + iy) = (T x + iT y). Ясно, что (T n )C = (TC )n.

Назовем подмножество F C симметричным, если F симметрично относительно вещественной оси, т.е. F = F. Аналогично, подмножество Z XC назовем симметричным, если J(Z) = Z. Легко видеть, что если подпространство Z XC симметрично, то Z = LC, где L = Re Z = Im Z.

В самом деле, пусть L = Re Z и x L, то есть существует y X такой, что x + iy Z. Последнее, в силу симметричности, равносильно тому, что x iy Z. Далее, x iy Z i(x iy) = (y + ix) Z y L.

Лемма 5.2.1. Пусть оператор TC : XC XC является комплекси фикацией оператора T : X X. Тогда спектр (TC ) C симметричен.

Если оператор TC обладает локальной резольвентой в точке z XC, то и в точке Jz тоже. При этом (J(z)) = (z).

Доказательство. Легко проверить равенство R(, TC ) = J R(, TC ) J, поэтому спектр оператора TC симметричен (в [36] это лемма 4.1). Да лее, если z XC и функция f аналитически продолжает резольвенту R(, T )z, то функция J f J : J R(, T )(J(z)) аналитически продолжает резольвенту R(, TC )z. Поэтому области опре деления максимальных продолжений совпадают и (J(z)) = (z). Лемма доказана.

Теперь докажем теорему 5.1. Предположим сначала, что спектр TC состоит более, чем из двух точек. Пусть F симметричная дуга окруж ности, содержащая собственную часть спектра оператора TC и [F ] XC подпространство, состоящее из векторов, локальный спектр которых содержится в F. Поскольку спектр оператора TC отделим ([35]), под пространство [F ] XC собственное. Оно инвариантно относительно TC.

Из леммы 5.2.1 следует, что это подпространство симметрично. Поэтому Re[F ] X T -инвариантное подпространство.

Возможно, что спектр TC содержит не больше двух точек,, поэтому нет симметричной дуги F, содержащей часть спектра. В этом случае отделимость спектра и ограничение на рост T ±n позволяет при менить теорему Гельфанда Хилле [81, 82] (ср. доказательство теоремы в [32]), пользуясь которой, легко заключить, что ((TC )(TC ))k+1 = 0, поэтому замыкание образа оператора TC aTC + bI = (TC )(TC ) не совпадает со всем XC. Коэффициенты a, b вещественны, поэтому образ оператора (TC aTC + bI) = (T 2 aT + bI)C совпадает (при естественном вложении в XC ) с комплексификацией образа оператора T 2 aT + bI.

Итак, замыкание образа оператора T 2 aT + bI не совпадает со всем X.

Это замыкание является либо инвариантным подпространством в X, либо нулем.

В последнем случае каждый x X порождает не более чем двумерное инвариантное подпространство span{x, T x}.

Рассмотрим случай изометрии T. Если она биективна, то T ±n = для каждого n N и все доказано. Если же T X = X, то T X искомое замкнутое инвариантное подпространство. Теорема 5.1 доказана.

Замечание 1. Мы использовали весьма общие результаты об отдели мости спектра работы [35], однако для отделимости спектрального про странства [F ] в условиях нашей теоремы хватило бы ссылки на работу Лифа [34] и даже на базовые результаты Данфорда [33] или см. следствие 9 главы XVI §5 [83].

Замечание 2. В конце работы [35] упоминается, что Вермер уста новил существование инвариантных подпространств разумеется, при наличии в спектре более, чем одной точки. Это не совсем точно. В ра боте Вермера одноточечный случай отдельно разобран в доказательстве теоремы 3, именно это рассуждение мы применили при доказательстве теоремы 5.1 в случае двухточечного спектра комплексификации. Если спектр оператора TC отделим (например, оператор неквазианалитичен), но рост степеней T n более полиномиального, то для получения сим метричного инвариантного подпространства нашим методом необходи мы три точки спектра.

Глава О геометрии конусов и сфер В работе Крейна [40] введено понятие нормального конуса. В работе Еме льянова и Вольфа [41] появилось условие строгой нормальности. Там же было отмечено, что неизвестно, является ли каждый нормальный конус строго нормальным. Одно из основных приложений строгой нормаль ности теорема 9 работы [41] утверждает: если положительная по лугруппа операторов на банаховом пространстве, упорядоченном строго нормальным конусом, имеет притягивающее множество вида порядко вый интервал с концами ±y +шар радиуса 1 и если замыкание вы пуклой оболочки орбиты y имеет инвариантную точку, то порядковый интервал с концами ± 1 притягивает все элементы 1-шара. Эта тео рема справедлива и для мультипараметрических положительных полу групп операторов. В наших терминах условие теоремы аналогично усло вию (lim sup ), исследованному нами в главе 4. Вместо компакта в этом условии порядковый интервал.

Основной результат данной главы примеры нормальных, но не строго нормальных конусов. Мы также характеризуем строгую нормаль ность телесного конуса K в терминах геометрии его гиперплоской базы.

Результаты опубликованы в работе [101].

6.1 Конусы, порожденные выпуклой гипер плоской базой Пусть E нормированное упорядоченное пространство, K = X+ его положительный конус, он упорядочивает пространство X так: x y yx K. Конус порождает E, если E = K K. Порядковым интервалом a, b называется множество a, b = {x | a x b} = (a + K) (b K).

Напомним, что расстояние между точкой a и подмножеством B мет рического пространства M это число dist(a, B) = inf{(a, b) | b B}.

Несимметричным расстоянием от множества A до множества B называ ется число dist(A, B) = sup dist(a, B).

aA Расстоянием между A и B называется число dist(A, B) = max{dist(A, B), dist(B, A).

В работе Крейна [40] появилось понятие нормального конуса. В нашей терминологии конус нормален, если функция (x, y) = dist( 0, x, 0, y ), заданная на множестве K K, непрерывна в (0, 0). Заметим, что в ра боте [40] Крейн дополнительно требовал в определении нормальности, чтобы конус был телесный, т.е. имел непустую внутренность. Потом это требование ушло, однако заметим, что все конусы в этой главе телесные.

В работе [41] появилось условие строгой нормальности: непрерыв ность функции на всем K K.

Нетрудно заметить, что функция непрерывна на K K если она непрерывна в точках вида (x, x) по одному аргументу, т.е. когда для любого x K (x, yn ) 0 при yn x. В дальнейшем фраза вида функция непрерывна в точке x будет подразумевать именно это.

Строгая нормальность на языке многозначных отображений непре рывность отображения z 0, z во всех точках z K. Можно опреде лить условия полустрогой нормальности: полунепрерывность функ ции z 0, z. Полунепрерывность сверху (соответственно, снизу) озна чает, что при yn x dist( 0, yn, 0, x ) 0 (соответственно, dist( 0, x, 0, yn ) 0).

В данной главе мы приводим примеры не строго нормальных конусов и характеризуем строгую нормальность телесного конуса K в терминах геометрии множества B его гиперплоской базы.

Всюду в этой главе X вещественное пространство, B X ограниченное выпуклое замкнутое множество в X с непустой внутренностью, X = R X, K RX конус, порожденный мно жеством B := {1} B, то есть объеди нение всех лучей, выходящих из нуля и проходящих через точки множества B.

Ясно, что такой конус нормален и порож дает пространство R X.

Норму в X зададим так: (t x) = |t| + x. Если x X, то символом x будем обозначать вектор (1 x) X.

Отрезком [a, b] в векторном пространстве называем обычный геомет рический отрезок. Вынесем два обозначения:

[a, b] = {x = a + t(b a) | 0 t 1}, a, b = {x | a x b}.

Ясно, что если z K, то [0, z] 0, z. Назовем толщиной порядко вого интервала 0, z расстояние от 0, z до отрезка [0, z] 0, z.

Нетрудно заметить, что x крайняя точка B тогда и только то гда, когда толщина порядкового интервала 0, x равна нулю, т.е. когда [0, x] = 0, x. См., например, [84], определение 1.42 и лемму 1.43.

Теорема 6.1. Пусть x B. Если x не крайняя, но лежит в замы кании множества крайних точек B, то функция разрывна в x.

Доказательство. Пусть yn крайние точки множества B, yn x.

Порядковые интервалы 0, yn совпадают с отрезками [0, yn ] и сходятся к отрезку [0, x], в то время, как порядковый интервал 0, x толстый, т.е.

содержит, кроме отрезка [0, x], посторонние точки. (На левом рисунке ниже 0, x это серый параллелограмм.) Остальное очевидно.

В любом выпуклом компакте B R2 множество крайних точек за мкнуто. (В самом деле, если A B не крайняя, то A лежит на границе B на каком-то отрезке и у неё есть окрестность в множестве B, выглядя щая, как открытый полукруг с добавленным диаметром. В этой окрест ности крайних точек множества B нет.) Однако в R3 уже существуют выпуклые компакты, в которых крайние точки не образуют замкнутого множества. Один из примеров правый рисунок ниже. Рассмотрим го ризонтальную окружность, на которой лежит середина x вертикального отрезка. Пусть B выпуклая оболочка отрезка и окружности. Точка x не крайняя, но все остальные точки окружности крайние.

Этот пример есть в книге Рокафеллара [85] после следствия 18.5.3.

Следствие. В R4 есть нормальный, но не строго нормальный конус.

Интуитивно ясно, что все неожиданные превращения порядковых интервалов должны происходить на границе конуса, и следующая теоре ма показывает, что это в самом деле так. Доказательство несложно, но сравнительно длинно. Оно приведено в приложении в конце главы.

Теорема 6.2. Пусть B ограниченное выпуклое подмножество X.

Функция (x, y) непрерывна во внутренних точках конуса K R X.

Лемма о посторонней точке.

Пусть x B и a X.

1. Эквивалентны следующие условия:

a) [x a, x + a] B, b) x+a 0, x.

2. Если l(x) супремум длин отрезков B с серединой в x B, то l толщина интервала 0, x не меньше, чем и не больше, чем l.

Доказательства просты и мы их опустим, ограничившись рисунками.

На левом рисунке порядковый интервал толст, на правом худ.

Лемма о серединах длинных хорд.

Пусть x крайняя точка B. Следующие условия эквивалентны:

a) имеется сходящаяся к x последовательность равномерно не край них точек yn, т.е. середин хорд B длин, больших некоторого l 0;

b) Функция разрывна в точке x.

Доказательство. Поскольку x крайняя точка B, то 0, x = [0, x].

Пусть yn x. Отрезки [0, yn ] сходятся к отрезку [0, x] = 0, x. Поэто му расстояние от интервалов 0, yn до 0, x = [0, x] стремится к нулю тогда и только тогда, когда толщины интервалов 0, yn стремятся к ну лю. Осталось вспомнить часть 2 леммы о посторонней точке. Теорема 6.3 о полунепрерывности.

1. Если X конечномерно, то функция полунепрерывна снизу неза висимо от порождающего конус множества B, т.е. предельный поряд ковый интервал может лишь увеличиться.

2. Если X строго выпукло, т.е. все точки единичной сферы S крайние точки шара B, то функция полунепрерывна сверху, т.е. пре дельный порядковый интервал может лишь уменьшиться.

Первая часть теоремы несложно следует из компактности конечно мерного шара и рассуждений, которые читатель проделал при доказа тельстве леммы о посторонней точке. Вторая часть следует из того, что интервалы 0, x совпадают с отрезками [0, x] (ср. с доказательством лем мы о длинных хордах) и теоремы 6.2.

6.2 Строгая нормальность и свойство MLUR В теореме 6.3 нам встретилось условие строгой выпуклости X: каждая точка единичной сферы S является крайней точкой шара B. Простран ство называется равномерно выпуклым, если из условий xn + y n xn S, yn S, S следует, что xn yn 0. Пространство называется локально равно мерно выпуклым [61], если в предыдущем определении дополнительно закрепить один конец хорд: xn x S.

Если же следить не за концом, а за серединой хорды, то получится то, что Андерсон [42] назвал midpoint locally uniform rotundity (MLUR).

Именно, X обладает свойством (MLUR), если для точек xn ± vn из условия xn x S, |x ± vn | S следует, что vn 0. Геометрически это означает, что любая точка x сфе ры S равномерно далека от середин длинных хорд этой сферы. Свойство MLUR, на наш взгляд, симметричнее свойства локальной равномерной выпуклости. Именно это свойство используется в нашей лемме о сере динах длинных хорд. Из этой леммы следует, что в крайней точке x шара условие MLUR равносильно непрерывности функции в точке x.

Поскольку во внутренних точках конуса функция непрерывна всегда (теорема 6.2), справедлива следующая теорема.

Теорема 6.4. Пусть X строго выпукло, B единичный шар в X.

Конус K R X является строго нормальным тогда и только тогда, когда X M LU R.

Изучению свойства MLUR, сравнению его с другими характеристика ми выпуклости сферы, вопросам двойственности и возможностям MLUR и не-MLUR перенормировок посвящено заметное количество работ. В частности, Кадец [43] установил, что сепарабельное банахово простран ство изоморфно локально равномерно выпуклому, а, значит, и MLUR, пространству. С другой стороны, большинство хороших пространств до пускают не MLUR-перенормировки. Укажем, например, на работу [44], там можно найти три примера не MLUR-пространств. Приведем пару наших примеров.

Пример 1. B l. Элементы B нам удобно сгруппировать по два:

z = (x1, y1, x2, y2,..., xn, yn,...), |xk |k + |yk |k B 1, k = 1, 2,....

Множество B замкнуто, выпукло. Рассматриваемое, как единичный шар, оно определяет в l норму, эквивалентную стандартной. Устроено B как произведение двумерных кругов в lp -метриках с показателями p = 1, 2,.... Нарисуем круги, у которых p = 2, 3, 4, чтобы было ясно, откуда возьмутся длинные хорды, близкие к сфере:

Легко видеть, что z = (1, 0, 1, 0, 1, 0,...) крайняя точка в B. Рас смотрим теперь точки вида z k, отличающиеся от точки z координатой (xk ) = 1 k. Легко показать, что точки zk являются центрами достаточ но длинных вертикальных отрезков (в k-том координатном круге) В то же время z k z.

Пример 2. (Выпуклое замкнутое подмножество в гильбертовом про странстве H с крайней точкой, приближаемой центрами бесконечномер ных дисков радиуса 1, содержащихся в B.) Пусть ei гильбертов базис в H, i = 1, 2,.... Пусть Bn единичный шар в подпространстве, натянутом на векторы en+1, en+2,.... Положим для n n Zn = {te1 + Bn | |t| }.

n+ Пусть B замыкание выпуклой оболочки объединения всех Zn. Внут ренность B непуста (так как уже внутренность Z1 непуста она со держит шар в H радиуса 1 ). Последовательность yn = n e центров n+1 (бесконечномерных!) дисков Bn + yn B сходится к крайней точке e множества B. Рассматриваемое, как единичный шар, множество B зада ет в H эквивалентную не MLUR-норму.

Приложение: доказательство теоремы 6. Заметим: если K1 и K2 два конуса и K1 K2, то для всех x 0, x 0, x 2. Во-вторых, если конус K получен из конуса K линей ным преобразованием f, то f ( 0, x ) = 0, f (x).

Пусть теперь x int(K) и yn x. Без ограничения общности можно считать, что x = (1 0) B (но помним, что B не обязательно шар).

Мы должны показать, что 0, yn 0, x.

Пусть 0. Рассмотрим линейные преобразования f+ и f простран ства R X, которые сохраняют первую координату, а вторую коорди нату, т.е. гиперплоскость X, растягивают в 1 ± раз относительно O:

f± (t z) = (t (1 ± )z).

Конус K оказывается между конусами f± (K).

Множества B± = (1 ± )(B) отделены от множества B. Более точно, расстояние от границ множеств B± до границы множества B не меньше ·, где радиус шара с центром в точке x = 0, содержащегося в B.

Покажем это на рисунке. Пусть l опорная плоскость в точке D B, D+ = (1 + )D. Ясно, что расстояние от D+ до множества B не мень ше, чем |CD+ |. Из подобия треугольников DAO и DCD+ следует, что DD+ CD =, поэтому |CD+ | = |OA| =. Аналогичные рассуждения OA OD показывают, что расстояние от точки D до множества B также не мень ше, чем число. Итак, множество B входит в промежуток B B B+ вместе со своей -окрестностью.

Рассмотрим ещё линейные преобразования gn : R X R X, тоже сохраняющие первую координату, а гиперплоскость X аффинно сдвигающие так, чтобы точка yn = (1, yn ) перешла в (1, 0). Формально, gn (t z) = (t (z tyn )).

Обозначим порядковые интервалы, определяемые конусами gn (K), сим волом, n, а конусами f± (K) символами, ±. Из предыдущего рас суждения следует, что если yn x, то K Kn K+. Поэтому и для порядковых интервалов f ( 0, x ) = 0, x 0, x 0, x = f+ ( 0, x ).

n + Теперь вспомним, что 0, x = gn 0, gn x = gn 0, yn. Но при больших n n порядковые интервалы gn ( 0, yn ) будут близки к интервалам 0, yn.

Итак, при больших n имеем:

f ( 0, x ) 0, yn f+ ( 0, x ).

Поскольку при малых порядковые интервалы f± 0, x близки к интер валу 0, x, теорема 6.2 доказана.

Глава Теорема Каратеодори Рашевского Чоу для липшицевых неголономных распределений В этой главе мы показываем, что если липшицево k-мерное распределе ние H k в Rk+1 неголономно в связной области, то любые точки соеди нимы H-ломаной. Более того, если липшицево распределение H k в Rn, n k неголономно, то его орбиты содержат топологический k+1-мерный куб. Это справедливо и в бесконечномерном банаховом пространстве. Ре зультаты опубликованы в статье [102].

7.1 Введение и обзор результатов главы Пусть H гладкое k-мерное распределение линейных подпространств на Rn или в касательном расслоении к гладкому многообразию M n. Обозна чим символом [H, H] распределение, порождаемое коммутаторами (скоб ками Ли) всевозможных гладких векторных полей, лежащих в H (будем далее такие поля называть H-полями или горизонтальными полями).

Если распределение H инволютивно, т.е. [H, H] H, то оно инте грируемо, т.е. касается k-мерных интегральных многообразий (теорема Фробениуса).

В неинтегрируемом случае итерированные коммутаторы распределе ния H образуют возрастающую цепочку распределений H1 := H, H2 := span{H, [H, H]},..., Hm := span{Hm1, [Hm1, H]}. (1) Если максимальное подпространство Hm совпадает с Rn, то распределе ние H называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным.

Если распределение H порождено достаточно гладкими векторными полями X1,..., Xk, то распределения Hl в цепочке (1) порождаются ите рированными коммутаторами вида [Xi1, [Xi2,..., [Xis1, Xis ]...]] длин s, не больших l. Условие вполне неинтегрируемости такого H называется условием Хермандера для полей X1,..., Xk.

Теорема Рашевского Чоу [46, 47] утверждает: если H вполне неголо номно, то любые точки можно соединить H-траекториями, т.е. кусочно гладкими кривыми, касающимися распределения H. Такие траектории естественно называть горизонтальными траекториями.

В работе Каратеодори [45] содержится результат, согласно которому орбиты неинтегрируемого аналитического распределения коразмерности 1 совпадают со всем многообразием. Теорема Рашевского Чоу являет ся естественным геометрическим обобщением результата Каратеодори.

Основной результат нашей главы теорема Каратеодори в липшицевом случае (теорема 7.1).

Из этого результата следует, в частности, теорема Рашевского Чоу для двух липшицевых векторных полей в R3. В работе [48] такая теорема была доказана для векторных полей специального вида (зависящих от двух переменных). Заметим, что наше доказательство, хотя и совсем об щее, не дает оценок на метрику Карно Каратеодори типа полученных в [48], ибо опирается на топологические методы. Зато топологичность до казательства позволяет обобщить формулировку приведенной теоремы в двух направлениях.

Во-первых, можно ослабить условие липшицевости H, потребовав просто хорошие свойства решений задач Коши для векторных полей, по рождающих распределение H (теорема 7.2). Из теоремы 7.2 следует, в частности, теорема Рашевского Чоу для векторных полей специально го вида с измеримыми коэффициентами по части переменных, доказан ная в работе [49]. Во-вторых, мы показываем, что в случае коразмерности большей 1 можно утверждать во всяком случае, что орбита неинтегри руемого k-распределения содержит топологический (k + 1)-мерный куб (теорема 7.3). Последняя теорема верна и для соответствующих рас пределений в банаховом пространстве.

В конце главы кратко обсуждается теорема об орбите Стефана Зюссманна [52, 51] и приводится ее приложение для доказательства од ного из вариантов C 1 -теоремы Рашевского Чоу из работы [53]. Неко торые аргументы (например, лемма об орбите), позволяют предполо жить, что для липшицевых распределений тоже выполнена теорема об орбите, аналогичная теоремам Стефана и Зюссмана. Пока что это ги потеза. Мы приводим некоторые аргументы, как за, так и против этой гипотезы.

Подчеркнем, что наши теоремы 7.1 7.3 имеют качественный харак тер. В работах, содержащих конкретные оценки длин горизонтальных кривых, приходится использовать итерированные коммутаторы. Но при коммутировании векторных полей их гладкость падает, поэтому началь ное распределение должно быть достаточно гладким. Если же гладкость недостаточна, то используют аппроксимации коммутаторов -коммута торами вида (3) и (4), см. ниже. При этом полученные результаты оста ются применимыми к гладким задачам. Такой подход тоже позволяет получить количественные аналоги гладких теорем о пространствах Карно Каратеодори и расстояниях в них. См. например, работы [86, 87, 88, 89].

7.2 Определения и геометрическая подготов ка векторное поле на Rn, p, q Rn. Говорим, что из точки p Пусть X мы попадаем в q, двигаясь в направлении поля X за время и пишем X, p q, если q = u(), где u решение задачи Коши u(0) = p, u(t) = X(u(t)).

(2) липшицево распределение подпространств в Rn. Вектор Пусть H ное поле назовем горизонтальным полем или H-полем, если оно в каж дой точке принадлежит распределению H. Горизонтальной траектори ей или H-траекторией мы называем кусочно гладкую кривую, касатель ную к H. Наконец, H-орбита точки p это множество точек, в которые можно попасть из точки p, двигаясь вдоль H-траекторий. Обозначим орбиту точки p символом O(p). Символом O (p) обозначим множество точек q, H-достижимых из точки p за время, не большее. Подобные множества назовем локальными орбитами.

Называем k-мерное распределение в Rn интегрируемым в точке p, если найдется топологический k-мерный диск B k Rn, содержащий некоторую локальную орбиту точки p. (Ниже будет ясно, что в этом случае диск можно считать C 1 -гладким, но для целей настоящей главы это несущественно). Соответственно, назовем H неинтегрируемым или неголономным, если H не интегрируемо ни в какой точке. Последнее определение согласуется со стандартным.

Теорема 7.1 (теорема Каратеодори Рашевского Чоу для липшицева распределения гиперплоскостей). Пусть H липши цево неголономное k-мерное распределение в связной области U Rn, n = k + 1. Тогда любые точки p, q U H-соединимы.

Опишем геометрическую идею доказательства гладкой теоремы Рашевского Чоу, это пригодится нам в негладком случае.

Коммутаторы векторных полей [X, Y ] можно, используя ломаные, по лучить с помощью предела (3) или более общего предела (4):

pXY XY () X, Y, X, Y, [X, Y ] := lim, p pX pXY pXY X pXY XY. (3) pXY XY (s, t) X,s Y,t X,s Y,t [X, Y ] = lim, p pX pXY pXY X pXY XY. (4) st s,t Если вектор [X, Y ] не лежит в плоскости векторов X, Y, то концы траекторий вида (3,4) будут при малых образовывать траекторию, трансверсальную этой плоскости и ломаные траектории, идущие попере менно вдоль X и Y, заполняют некоторое уже трехмерное множество в окрестности точки p. При итерации подобных -коммутаторов мы будем заметать следующие размерности и в конце концов заметём H ломаными окрестность точки p.

Перейдем к липшицевому случаю. Пусть U Rn и H липшицево k-мерное распределение в Rn. Покажем, что липшицевы поля, порожда ющие H, можно сделать весьма специальными:

Лемма 7.2.1. Если H(p) трансверсально (nk)-мерному линейному подпространству x1 = x2 = · · · = xk = 0, то в окрестности точки p распределение H можно задать липшицевыми полями X1,..., Xk, явля ющимися строками матрицы размера k n (где h1,... hk липшицевы функции из U в Rnk ):

1 0 0 ··· 0 h 0 1 0 ··· 0 h (5) ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· 1 hk Доказательство. В качестве вектора Xi, 1 i k берём направляю щий вектор прямой, получающейся пересечением H с (n k + 1)-мерной плоскостью, параллельной соответствующим координатным осям Rn.

Ясно, что H-соединимость является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности не пересекаются. Поэтому теорема сразу вы текает из связности U, если удастся доказать, что каждый класс от крытое множество. Итак, для доказательства теоремы 7.1 достаточно доказать такую лемму:

Лемма 7.2.2. Для каждого липшицева распределения, порождаемо го строками матрицы (5) в Rn, неголономного в точке p U, H-орбита точки p является окрестностью p.

7.3 Доказательство леммы 7.2. Пусть сначала n = 3 и k = 2. Трехмерная ситуация содержит все необ ходимые геометрические идеи, достаточные для общего случая.

Считаем, что p = (0, 0, 0). С учетом леммы 7.2.1 полагаем, что рас пределение H в U порождено полями X = (1, 0, h1 ) и Y = (0, 1, h2 ).

Можно считать, что функции h1,2 : U R ограничены константой M = max{|h1 |, |h2 |}.

Пусть столь мало, что вертикальная призма с квадратным основа нием [, ][, ][7M, 7M ] содержится в U. Малая толщина этой призмы (по отношению к ее высоте) не позволит ломаным, возникающим в доказательстве, покинуть призму через верхнее или нижнее основание раньше времени.

Обозначим основание призмы [, ] [, ] в плоскости 0xy симво лом.

Определим отображения XY, XY : U как точки на следующей p p интегральной ломаной, ср. формулу (3).

X,x Y,y X,x Y,y p XY (x, y) XY (x, y), (6) p p Y,y X,x Y,y X,x p Y X (x, y) Y X (x, y). (7) p p Отображения (x, y) сохраняют первые две координаты.

p Наглядное устройство отображения XY : U таково: из точки p p = (0, 0, 0) движемся вдоль поля X в плоскости y = 0 до тех пор, пока абсцисса не станет равна x, затем поворачиваем и движемся вдоль поля Y в плоскости x = const до тех пор, пока ордината не станет равной y.

Мы пришли в точку XY (x, y). Аналогично, чтобы попасть в точку Y X, p p двигаемся сначала вдоль Y, а потом вдоль X. См. левый рис. ниже.

Из теорем существования, единственности и непрерывной зависимо сти от параметра решения задачи Коши следует, что отображения p корректно определены и непрерывны. Ясно, что X = x Y X, Y = p XY XY YX. Если p (x, y) = p (x, y) для всех (x, y), то образ мно y p при отображении p = XY = Y X будет 2-многообразие M.

жества p p Касательные к M векторы X, Y частные производные p. Поскольку они непрерывны, многообразие дифференцируемо (и принадлежит клас су C 1 ), а отображение XY : M его C 1 -параметризация. Это p так называемые координаты второго рода. Теперь ясно, что H = T M.

Последнее означает интегрируемость распределения H в точке p. См.

средний рисунок ниже.

Итак, если H неинтегрируемо, то найдётся (x0, y 0 ), в которой XY = Y X.

p p под действием отображений связен и ле Образ множества p жит на оси OZ. Поэтому любая точка вертикального отрезка с концами XY (x0, y 0 ) и Y X (x0, y 0 ) достижима из точки p = (0, 0, 0) четырехзвен p p ной горизонтальной ломаной вида (6) или (7), см. правый рисунок.

До сих пор мы фиксировали точку p = (0, 0, 0). Теперь мы получили возможность двигать ее по вертикальному отрезку. Рассмотрим отобра жение (x, y, t) (XY (x, y)). (8) (0,0,t) Оно непрерывно и инъективно в некоторой окрестности точки (0, 0, 0), причем точка (0, 0, 0) переходит в себя. В силу теоремы Брауэра о вло жении области образ этого отображения является окрестностью точки (0, 0, 0). В то же время ясно, что образ данного отображения состоит из точек, достижимых из точки (0, 0, 0) с помощью 6-звенных H-ломаных, идущих попеременно вдоль X и вдоль Y. Доказательство леммы для n = 3 закончено.

Доказательство для k + 1 = n 3 не содержит дополнительных идей. Приведем его, уже опуская простые оценки. Снова считаем, что p начало координат. Рассмотрим произвольную окрестность U точки p.

Пусть мало. Символом обозначим множество k, i = 1,..., k} Rk.

= {(x1, x2,..., xk ) | |xi | k Различные перестановки I = (i1, i2,..., ik ) и J = (j1, j2,... jk ) множе ства 1, 2,..., k определяют семейство отображений I и IJ : k U сопоставляющие набору r = (x1,..., xk ) конец траектории, подоб k ной (6) или (7):

Xi,xi Xjk,xjk Xi,xi Xj,xj p 1 · · · k I (r) 1 · · · IJ (r).

1 k (9) p p Образы отображений IJ связны, лежат в вертикальной оси 0xn=(k+1) и содержат точку p. Итак, образ либо точка p, либо содержит некото рый вертикальный отрезок с концами (0, 0,..., 0, ±).

Если отображения I совпадают друг с другом при всех переста новках I, т.е. не зависят от порядка переключений векторных полей X1, X2,..., Xk, то соответствующее отображение : n U определяет C1 параметризацию k-мерного интегрального многообразия M k, заме таемого H траекториями. В этом случае распределение H интегрируемо в точке p.

Предположим теперь, что нашлась точка r и две перестанов k ки I, J такие, что I (r) = J (r). Тогда образ множества отобра k жения IJ содержит прямолинейный отрезок S оси Oxk+1, поскольку этот образ линейно связен, но не сводится к одной точке. Отображение (x1,..., xk, z) I (x1,... xk ), как легко видеть, инъективно при малых z z S. Осталось применить теорему Брауэра. Лемма 7.2.2 и теорема 7. доказаны.

7.4 Два дополнения: ослабление липшице вости и того, что codim H = I. В доказательстве леммы 7.2.2 мы пользовались липшицевостью полей Xi только для того, чтобы гарантировать хорошие свойства решений уравнения (1) для полей Xi. Поэтому можно ослабить формулировку теоремы 7.1, потребовав выполнение именно этих свойств. Например, назовем непрерывное векторное поле X хорошим в окрестности точки p, если задача Koши u(0) = r, u(t) = X(u(t)) в некоторой окрестности точки p имеет единственное решение, непрерывное по (r, t).

Назовем семейство кривых в области U хорошим в окрестности p, если это семейство является семейством интегральных кривых некото рого хорошего в окрестности p ненулевого векторного поля.

Назовем k-мерное распределение H в области U Rn хорошим, если для каждой точки p пересечение H с каждой трансверсальной к H(p) (n k + 1)-мерной плоскостью образует в хорошее в окрестности p семейство кривых. Ясно, что липшицевы распределения хорошие. Сле дующая теорема доказывается так же, как и теорема 7.1 (по сути дела, мы подогнали определения под то доказательство).


хорошее k-мерное распределение в Rk+1, Теорема 7.2. Пусть H порожденное непрерывными векторными полями X1,..., Xk. Если оно неголономно в связной области U, то любые точки p, q U являются H-соединимыми.

II. Положим m = nk коразмерность распределения H. До сих пор m равнялось 1. В доказательстве леммы 7.2.2 мы строили инъективное отображение (x1,..., xk, z) I (x1,... xk ), z действующее на множестве S, где S вертикальный отрезок. Этот k отрезок мы получили, как невырожденный образ некоторого непосто янного отображения IJ ( Rm=1. Существование отрезка S было k) ключевым геометрическим моментом доказательства леммы 7.2.2 и тео ремы 7.1.

Линейно связное множество в Rm1 тоже содержит некоторый топо логический отрезок S. (Интуитивно это очевидно, однако доказательство содержательно, см., например,[90], §50, примечание к теореме 2). Пусть : [0, 1] S, параметризация этого отрезка. Отображение компакта n I k [0, 1] в R, действующее по формуле (x1,..., xk, z) (z) (x1,... xk ), инъективно (ср. конец доказательства леммы 7.2.2). Мы доказали такую теорему:

k-мерное липшицево распределение в Rn.

Теорема 7.3. Пусть H Если H не интегрируемо в точке p, тогда локальные H-орбиты точки p содержат гомеоморфный образ k + 1-мерного куба.

Нетрудно заметить, что теорема 7.3 верна и для k-мерных распре делений в банаховом пространстве. Такие распределения изучались, на пример, в [50], см. первый абзац следующего параграфа.

C 1-орбиты и липшицевы орбиты 7. В работе [52] Зюссман показал, что орбита произвольной системы C гладких векторных полей является гладким инъективным образом неко торого C многообразия. В работе Стефана [51] соответствующий ре зультат получен для C q -категории, q 1. Теорема об орбите обобщалась и на бесконечномерный случай банаховых многообразий, см. работу [50].

Теорема Стефана Зюссмана в ее общем виде не дает оценок, но яв ляется руководящей и направляющей силой для доказательства тео рем типа Рашевского Чоу. Докажем, например, с помощью неё резуль тат Басалаева и Водопьянова ([53], теорема 2.6).

Следствие теоремы об орбите. Пусть H распределение на глад ком многообразии M n, порождаемое C 1 -полями X1,..., Xs. Пусть для каждого i 1 распределение Hi+1 получается взятием линейной обо лочки всех C 1 -полей из Hi и их однократных коммутаторов. Предпо ложим, что все распределения H1, H2,..., HN являются C 1 -гладкими и HN (p) = T M. Тогда орбита точки p под действием системы полей X1,..., Xs окрестность точки p в M. Более того, существует на туральное число L такое, что окрестность точки p заметется лома ными, состоящими не более, чем из L звеньев.

Доказательство. H-орбита точки p с учетом теоремы об орбите явля ется инъективным гладким образом некоторого C 1 -многообразия M l под действием гладкого инъективного отображения f : M l M n. Из топо логических соображений типа теоремы Брауэра следует, что достаточно показать, что l = n. Но если l n, то все распределения Hi, будучи под пространствами касательного пространства к орбите, также, не более, чем l-мерны. В частности, никак не может быть HN (p) = T M. Стало быть, орбита имеет непустую внутренность в Rn. Осталось показать су ществование конечного числа L. Для каждого j = 1, 2,... рассмотрим множество Kj, заметаемое ломаными, состоящими из j звеньев длины не большей j каждое. Эти множества компактны и их объединение вся орбита. Из теоремы Бэра следует, что внутренность некоторого KL непуста. Следствие доказано.

Если n = k + 1, то из теоремы 7.1 следует, что H-орбита неинте грируемого липшицева распределения открыта в Rn. Если k + 1 n, то между интегрируемостью и полной неинтегрируемостью возникают промежуточные не вполне интегрируемые ситуации. В гладком слу чае H-орбиты имеют размерность максимального подпространства HN в цепочке итерированных коммутаторов (1). Анализ негладкого случая, очевидно, не может опираться на формулу (1). Изучению H-орбит рас пределений с малой гладкостью посвящен ряд работ. См., например, биб лиографию [89]. В самой работе [89], например, вводится такое условие n): H-орбиты являются s-мерными C 1 s-интегрируемости (k s многообразиями.

Автор считает (впрочем, имея некоторые сомнения), что глобальная H-орбита липшицева распределения, как и в теореме об орбите, тоже является погруженным многообразием.

Главным аргументом в пользу этого для автора является следующая лемма.

Лемма об орбите. Орбита произвольного семейства липшицевых векторных полей топологически однородна.

Доказательство: семейство локальных липшицевых изоморфизмов, порождаемых H-полями, действует на орбите транзитивно.

Имеет место даже более сильный факт: орбиты липшицево объемлемо однородны в объемлющем многообразии. Дадим определение объемле мой (топологической) однородности. Подмножество M топологического пространства X называется объемлемо однородным, если x, y M Ux, Uy | f : Ux Uy, f |Ux M = Uy M.

= Здесь Ux и Uy окрестности соответствующих точек в X.

Известно [91], что дифференцируемо объемлемо однородное замкну тое подмножество дифференцируемого многообразия само является диф ференцируемым подмногообразием.

С другой стороны, в липшицевой категории этот факт неверен ([92]).

Этот факт служит источником сомнений в хорошести липшицевых орбит, которые a priori только липшицево объемлемо однородны. К тому же никакой локальной компактности у них может не быть, как например в случае гладкой обмотки тора. По-видимому, гипотезу о липшицевой орбите еще предстоит доказать (или опровергнуть).

Заключение Отметим возможные продолжения исследований по главам.

Глава 1. В замечании 5 намечен способ получения полугрупп с пред писанными оценками роста s(t) = o(t). Такого рода задачи, хоть и лежат в стороне от наших основных исследований, в теории полугрупп имеют ся. Было бы интересным посмотреть, удастся ли получить намеченным методом какие-нибудь содержательные результаты.

Глава 2. Лемма 2.1.1 использует лишь принцип равномерной огра ниченности, поэтому теорема 2.1 справедлива и для нормированных бо чечных пространств. Возможно, наш элементарный подход может быть применим и к другим задачам полугрупп на бочечных пространствах.

Глава 3. Результаты, касающиеся суперцикличности, скорее всего, были бы полезны и для более тонкого анализа в теории гиперцикли ческих операторов и других операторов со стохастическими свойствами.

Глава 4. По-видимому, результаты параграфа 4.2 этой главы справед ливы и для слабо полного пространства. Однако доказательство, скорее всего, будет другим. Ещё один вопрос: как вообще может быть устроен оператор, пораждающий асимптотически бесконечномерную полугруппу степеней, но удовлетворяющий при этом условию (lim inf )? Напри мер, его спектр, скорее всего, обязан быть множеством Хелсона. Полезно построить более общую теорию таких полугрупп.

Глава 5. Было бы интересно развить теорию овеществления неспек трального метода с целью получить доказательства наличия инвариант ных подпространств для вещественных операторов более общего вида.

Глава 6. Было бы актуально построить более подробную теорию, связывающую геометрию сферы нормированного пространства приме нительно к теории упорядоченных пространств.


Глава 7. Как было сказано, гипотезу о липшицевой орбите еще пред стоит доказать (или опровергнуть).

Литература [1] Emel’yanov, E.U.;

Wol, M. Quasi constricted linear representations of abelian semigroups on Banach spaces. // Math. Nachr. 233/234 (2002), 103–110.

[2] Емельянов Э. Ю. Условия асимптотической конечномерности C0 полугруппы. // Сиб. мат. журн. 2003, т. 44, №5, с. 1015–1020.

[3] R. Datko. Extending a theorem of A.M.Liapounov to Hilbert space.// J.Math.Anal.Appl. 32 (1970), 610 – 616.

[4] A. Pazy. On the applicability of Lyapunov’s theorem in Hilbert Space. // SIAM J. Math.Anal, v.3 (1972), 291-294.

[5] Zabczyk, J. Remarks on the control of discrete-time distributed parameter systems. // SIAM J. Control 12 (1974), 721–735.

[6] W.Littman. A generalization of a theorem of Datko and Pazy, in / Lecture Notes in Control and Inform. Sci., v. 130, Springer-Verlag, Berlin, 1989, pp.

318–323.

[7] Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейн. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. / М.:Наука, 1970 г.

[8] S. Rolewicz. On uniform N -equistability. // J. Math. Anal. Appl. 115 (1986), 434–441.

[9] Buse, C.;

Dragomir, S. New characterizations of asymptotic stability for evolution families on Banach spaces. // Electron. J. Dierential Equations 2004, 38, 9 pp. (electronic).

[10] Q. Zheng. Exponential stability and perturbation problems for linear evolution systems in Banach spaces (Chinese, english rewiew). // J. Sichuan Univ. (1988), 4, 401–411.

[11] Pritchard, A. J.;

Zabczyk, J. Stability and stabilizability of innite dimensional systems. // SIAM Rev. 23 (1981), №. 1, 25–52.

[12] Huang, Fa Lun. Characteristic conditions for exponential stability of linear dynamical systems in Hilbert spaces. // Ann. Dierential Equations 1 (1985), №. 1, 43–56.

[13] Weiss, G. Weak Lp -stability of a linear semigroups on a Hilbert space implies exponential stability. // J.Dierential Equations 76 (1988), 2, 269–285.

[14] Van Neerven, J. M. A. M. The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators. / Birkhauser, Basel, 1996.

[15] Lasota A., Li T. Y., Yorke J. A. Asymptotic periodicity of the iterates of Markov operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1984 v 286 №2, 751–764.

[16] Lasota, A.;

Yorke, James A. Exact dynamical systems and the Frobenius Perron operator. // Trans. Amer. Math. Soc. 273 (1982), №1, 375–384.

[17] Bartoszek, W. Asymptotic periodicity of the iterates of positive contractions on Banach lattices. // Studia Math. 91 (1988), 3, 179–188.

[18] Ву Куок Фонг. Асимптотическая почти периодичность и компактифи цирующие представления полугрупп. // Укр. мат. журн., 1986. Т. 38. с.

688–692.

[19] R. Sine. Constricted systems. // Rocky Mountain J. Math. 21 (1991) 1373–1383.

[20] Konrad Jacobs. Fastperiodizitatseigenschaften allgemeiner Halbgruppen in Banach-Raumen. // Math. Z. 67 (1957) 83–92.

[21] K. de Leeuw, I. Glicksberg. The decomposition of certain group representations. // J. Anal. Math. 15 (1965) 135–192.

[22] S. Ansari, P. Bourdon. Some properties of cyclic operators. // Acta Sci. Math.

(Szeged) 63 (1–2) (1997) 195–207.

[23] V.G. Miller. Remarks on nitely hypercyclic and nitely supercyclic operators.

// Integral Equations Operator Theory 29 (1) (1997) 110–115.

[24] E.Yu. Emel’yanow;

M.P.H. Wol. Quasi constricted linear operators on Banach spaces. // Studia Math. 144 (2001), №2, 169–179.

[25] Komornik, Jozef;

Lasota, Andrzej. Asymptotic decomposition of Markov operators. // Bull. Polish Acad. Sci. Math. 35 (1987), №5-6, 321–327.

[26] Rbiger, F. Attractors and asymptotic periodicity of positive operators on a Banach lattices. // Forum Math. 7 (1995), №. 6, 665–683.

[27] Emel’yanov, E. Yu.;

Wol, M. Mean ergodicity on Banach lattices and Banach spaces. // Arch. Math. (Basel) 72 (1999), №. 3, 214–218.

[28] С. Г. Горохова, Э. Ю. Емельянов. Достаточное условие порядковой огра ниченности аттрактора положительного эргодичного оператора, действу ющего в банаховой решетке. // Матем. тр., 2:2 (1999), с. 3–11.

[29] Emel’yanov, E.;

Erkursun, N. Lotz–Rbiger’s nets of Markov operators in a L1 -spaces. // J. Math. Anal. Appl. 371 (2010), 777–783.

[30] Emel’yanov E. Yu. Non-spectral asymtotic analysis of one-parameter operator semigroups. / Basel, Birkhuser Verlag (Oper. Theory: Advances and Appl.;

a V. 173), 2007.

[31] R. Godement. Thor`mes taubriens et thorie spectrale. // Annales ee e e scientiques de l’Ecole Normale Suprieure, Sr. 3, 64 (1947), 119-138.

e e [32] Wermer, J. The existence of invariant subspaces. // Duke Math. J. 19, (1952), 615–622.

[33] N. Dunford. Spectral Theory, II. Resolutions of the identity. // Pacic J.

Math., 2 (1952), 559–614.

[34] Leaf, G.K. A spectral theory for a class of linear operators. // Pacic J. Math.

13 (1963), 141–155.

[35] Ю. И. Любич, В. И. Мацаев, Г. М. Фельдман. Об операторах с отделимым спектром. // Функц. анализ и его прил., 7:2 (1973), с. 52–61.

[36] А. Г. Баскаков, А. С. Загорский. К спектральной теории линейных отно шений на вещественных банаховых пространствах. // Мат. заметки, 2007, т. 81, вып. 1, с. 17 31.

[37] Aronszajn, N;

Smith, K. Invariant subspaces of completely continuous operators. // Annals of Mathematics. Second Series 60 (2), 345–350. (Рус ский перевод: Математика 2 : 1 (1958), с. 97-102.) [38] В. И. Ломоносов. Об инвариантных подпространствах семейства опера торов, коммутирующих с вполне непрерывным. // Функц. анализ и его прил., 7:3 (1973), с. 55–56.

[39] Abramovich, Y. A.;

Aliprantis, C. D.;

Sirotkin, G.;

Troitsky, V. G. Some open problems and conjectures associated with the invariant subspace problem. // Positivity 9 (2005), №. 3, 273–286.

[40] Krein, M. Proprits fondamentales des ensembles coniques normaux dans ee l’espace de Banach. // (French) C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.) 28, (1940), 13–17.

[41] Emelyanov, E. Yu.;

Wol, M. P. H. Positive operators on Banach spaces ordered by strongly normal cones. // Positivity 7 (2003), №. 1-2, p. 3–22.

[42] K. W. Anderson. Midpoint local uniform convexity, and other geometric properties of Banach spaces. / Ph.D. dissertation, Univ. Illinois, Urbana, IL, 1960.

[43] Кадец, М. И. О пространствах, изоморфных локально равномерно выпук лым пространствам. // Изв. вузов, математика, 1959, №6(13), с. 51 57.

[44] Smith, Mark A. Some examples concerning rotundity in Banach spaces. // Math. Ann. 233 (1978), №. 2, 155–161.

[45] Carathodory, C. Untersuchungen Auber die Grundlagen der Termodynamik.

e // Math. Ann., 67(1909), 93–161.

[46] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголоном ного пространства допустимой линией. // Ученые записки Московского государственного педагогического института им. К. Либкнехта, физ.-мат.

серия. 1938. т. 3, №2. с. 83–94.

[47] Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Dierentialgleichungen erster Ordnung. // Math. Ann. 1939. v. 117, 98–105.

[48] Грешнов А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в R3. // Сиб. мат. журн., т. 51 (2010), №3, с. 517–527.

[49] Белых А. В., Грешнов А. В. Квазипространства, индуцированные изме римыми в R3 векторными полями. // Сиб. мат. журн., т. 53 (2012), №6, с.

1231–1244.

[50] Lathuille, A.;

Pelletier, F. On Sussmann theorem for orbits of sets of vector elds on Banach manifolds. // Bull. Sci. Math. 136 (2012), №. 5, 579–616.

[51] Stefan, P. Accessible sets, orbits, and foliations with singularities. // Proc.

London Math. Soc. (3) 29 (1974), 699–713.

[52] H.J. Sussmann. Orbits of families of vector elds and integrability of distributions. // Trans. Amer. Math. Soc. 180 (1973), 171 188.

[53] Basalaev S. G., Vodopyanov S.K. Approximate dierentiability of mappings of Carnot–Carathodory spaces. // Eurasian Mathematical Journal, v. 4 (2013), e №2, 10–48.

[54] G. Greiner, J. Voigt, and M. Wol. On the spectral bound of the generator of semigroups of positive operators. // J. Operator Th. 5 (1981), 245–256.

[55] Van Neerven, J. M. A. M.;

Straub, B.;

Weis, L. On the asymptotic behaviour of a semigroup of linear operators. // Indag. Math. (N.S.) 6 (1995), 4, 453–476.

[56] A. Peris. Multi-hypercyclic operators are hypercyclic. // Math. Z. 236 (4) (2001) 779–786.

[57] N. Feldman. n-Supercyclic operators. // Studia Math. 151 (2) (2002) 141–159.

[58] P. Bourdon, N. Feldman, J. Shapiro. Some properties of N-supercyclic operators. // Studia Math. 165 (2) (2004) 135–157.

[59] Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов кор ректного оператора. // УМН, 18:1 (1963), с. 165 171.

[60] Ю. И. Любич, В. И. Мацаев. К спектральной теории линейных операторов в банаховом пространстве. // ДАН СССР, т.131, №1 (1960), с. 21-23.

[61] A. R. Lovaglia. Locally uniformly convex Banach spaces. // Trans. Amer.

Math. Soc. 78, (1955), 225-238.

[62] M.Levin, S.Saxon. Every countable-codimensional subspace of a barrelled space is barrelled. // Proc. Amer. Math. Soc 1971, V.29, №1, 91– [63] Э. Хилле, Р. Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. / М.: ИЛ., 1962.

[64] Mller, V. Local spectral radius formula for operators in Banach spaces. // u Czechoslovak Math. J. 38(113) (1988), 4, 726–729.

[65] J.M.A.M. van Neerven. On the orbits of an operator with spectral radius one.

// Czechoslovak Math. J. 45(120) (1995), 3, 495–502.

[66] J.M.A.M. van Neerven. Lower semicontinuity and the theorem of Datko and Pazy. // Integral Equations Operator Theory 42 (2002), 4, 482–492.

[67] L. Gearhart. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces. // Trans. Am. Math. Soc. 236 (1978), 385–394.

[68] R. Nagel (ed.). One-parameter Semigroups of Positive Operators. / Springer Lect. Notes in Math. 1184 (1986).

[69] F. Neubrander. Laplace transform and asymptotic behavior of strongly continuous semigroups.// Houston J. Math. 12 (1986), 549-561.

[70] Foias, C. Sur une question de M. Reghis. // Analele Univ. Timisoara Ser. Sti.

Mat. 11 (1973), 111–114.

[71] J. Zabczyk. A note on C0 -semigroups.// Bull. Acad. Polon. Sci. 23 (1975), 895-898.

[72] Batkai, Andras;

Engel, Klaus-Jochen;

Pruss, Jan;

Schnaubelt, Roland.

Polynomial stability of operator semigroups. // Math. Nachr. 279 (2006), №. 13-14, 1425–1440.

[73] V. Wrobel. Asymptotic behavior of C0 -semigroups in B-convex spaces. // Indiana Univ. Math. J. 38 (1989), 101-114.

[74] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. / М.: Мир, 1972.

[75] H. Weyl. Uber gewhnliche Dierentialgleichungen mit Singularitten und o a die zugehrigen Entwicklungen willkrlicher Funktionen. // Mathematische o u Annalen 68, 220 269 (1910).

[76] Крейн М. Г., Красносельский М. А., Мильман Д. П. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометри ческих вопросах. // Сб. тр. Ин-та математики АН УССР 1948, вып. 11, с. 97–112.

[77] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормирован ных пространствах. / М.: Физматгиз, 1959.

[78] Любич Ю. И. Введение в теорию банаховых представлений групп. / Харьков, ХГУ 1985.

[79] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. / М.: Наука, 1989.

[80] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. / М.:

Наука, 1980 г.

[81] I. Gelfand. Zur Theorie der Charaktere der Abelschen topologischen Gruppen.

// Матем. сб., 9(51): 1 (1941), 49–50.

[82] Hille, Einar. On the theory of characters of groups and semi-groups in normed vector rings. // Proc. Nat. Acad. Sci.U. S. A. 30, (1944), 58–60.

[83] Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. Том 3. Спектральные операторы. / М.:Мир, 1974.

[84] Aliprantis, Charalambos D.;

Tourky, Rabee. Cones and duality. / Graduate Studies in Mathematics, 84. AMS, Providence, RI, 2007.

[85] Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. / М.:Мир, 1973.

[86] S. Simic’. Lipschitz distributions and Anosov ows. // Proc. Amer. Math.

Soc. 124 (1996) 1869–1887.

[87] Garofalo, Nicola;

Nhieu, Duy-Minh. Lipschitz continuity, global smooth approximations and extension theorems for Sobolev functions in Carnot Carathodory spaces. // J. Anal. Math. 74 (1998), 67–97.

e [88] F. Rampazzo, H.J. Sussmann. Commutators of ow maps of nonsmooth vector elds. // J. Dierential Equations 232 (1) (2007) 134–175.

[89] Montanari, A.;

Morbidelli, D. A Frobenius-type theorem for singular Lipschitz distributions. // J. Math. Anal. Appl. 399 (2013), №. 2, 692–700.

[90] К. Куратовский. Топология. Т.2. / М.:Мир. 1969.

c [91] Repov, D.;

Skopenkov, A. B.;

Sepin, E. V. C 1 -homogeneous compacta in s n are C 1 -submanifolds of Rn. // Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), №. 4, R 1219–1226.

[92] Malei, J.;

Repov, D. On characterization of Lipschitz manifolds. / New sc s developments in dierential geometry, Budapest 1996, 265–277, Kluwer Acad.

Publ., Dordrecht, 1999.

Работы автора по теме диссертации [93] Сторожук К. В. Стабилизируемость в асимптотически конечномерных полугруппах. // Сиб. Мат. Журн., т. 44 (2003), №6, с. 1365–1376.

[94] Storozhuk, K. V. On the Rolewicz theorem for evolution operators. // Proc.

Amer. Math. Soc. 135 (2007), №. 6, 1861–1863.

[95] Storozhuk K. V. An extension of the Vu-Sine theorem and compact supercyclicity. // J. Math. Anal. Appl. v. 332 (2007), №2, 1365–1370.

[96] Сторожук К. В. Медленно меняющиеся векторы и асимптотическая ко нечномерность полугруппы операторов. // Сиб. Мат. Журн., т.50 (2009), №4, с. 928–932.

[97] Сторожук К. В. Препятствия к равномерной устойчивости C0 полугруппы. // Сиб. Мат. Журн., т. 51 (2010), №2, с. 410–419.

[98] Сторожук К. В. Условие асимптотической конечномерности полугруппы операторов. // Сиб. Мат. Журн., т. 52 (2011), №6, с. 1389–1393.

[99] Сторожук К.В. Изометрии с плотными обмотками тора в C(M ). // Функц. анализ и его прил. (2012), т. 46, №3, с. 89–91.

[100] Сторожук К. В. Симметричные инвариантные подпространства у ком плексификаций линейных операторов. // Мат. заметки, 2012, 91:4, с. 938– 940.

[101] Storozhuk, K.V. Strongly normal cones and midpoint locally uniform rotundity. // Positivity: v. 17, Issue 3 (2013), 935–940.

[102] Сторожук К. В. Теорема Каратеодори Рашевского Чоу для липши цевых неголономных распределений. // Сиб. Мат. Журн., т. 54 (2013), №6, с. 1380–1387.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.