авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ На правах рукописи РОДИОНОВ Ярослав Игоревич ...»

-- [ Страница 2 ] --

R Как и ожидается [35], при g 1 ядро (Im D ) интеграла столкновений квантового кинетического уравнения (2.15) напоминает ядро квантового кинетического уравнения для неупорядоченной электронной жидкости [88]– [89] на энергиях g. При g 1 квантовое кинетическое уравнение (2.15), R учитывающее эффекты перенормировки (через мнимую часть Im D ) обобщает кинетическое уравнение, полученное в работе [22] в рамках ортодоксальной теории кулоновской блокады [50] для последовательного туннелирования и неупругого ко-туннелирования.

2.3 Транспортные коэффициенты Используя квантовое кинетическое уравнение (2.15), нетрудно вывести общие формулы для всех транспортных коэффициентов ОЭТ при произвольных g. Разность потенциалов (V = Vr Vl ) и температур (T = Tr Tl ) на ОЭТ вызывают электрический (I (e) ) и тепловой (I (q) ) токи. Электрические и термо-электрические транспортные коэффициенты определяются как (e) I G GT V = V. (2.16) (q) I MK T Здесь коэффициенты M и GT (отклик теплового тока на приложенную разность потенциалов и отклик электрического тока на разность температур соответственно) связаны соотношением Онсагера M [90].

= GT T Коэффициент теплопроводности обычно определяется как = K GV T S 2, где S = GT /GV обозначает термо-ЭДС. Электрический и тепловой токи в резервуаре находятся как (e) I = g d R d (2.17) Im D ( ) (q) 4 I F+ ( ) F ( ) B ( ) 1 + F ( )F+ ( ).

d d (2.18) Сохранение электрического тока отвечает условию Ile + Ir = 0. Оно e фиксирует бозевскую функцию распределения B равной её электрон дырочной функции распределения B введенную в уравнении (2.10):

d 1 Fd ( )F ( ) g K ( ) =l,r (2.19) B ( ) = =.

2i Im R ( ) Fd ( ) g d F ( ) =l,r Сохранение теплового тока Ilq + Ir q 0 определяет равновесную = температуру островка:

gl Tl + gr Tr (eq) (2.20) Td =.

gl + gr Прямое вычисление электрического и теплового тока дает:

() (e) R I d Im D eV l = gl gr e. (2.21) 2 2 +() (q) g 4 2 sinh Il 3 T Вводя величины g, gT и k в соответствии с 2 e gT G GT gl gr g =e V, (2.22) h (gl + gr )2 T g T MK e2 k eT мы получаем g R d Im D (2.23) gT = g 2.

4 sinh 2 2 +() k Подчеркнём, что уравнение (2.23) справедливо для любой величины туннельного кондактанса g. Оно обобщает выражения для транспортных коэффициентов, полученные в работах [58, 21] для g 1 на случай произвольных g.

Полезно переписать уравнение (2.23) в терминах туннельной плотности состояний электронов внутри островка (см. приложение Б.3):

+ d R (2.24) d () = d Im D coth tanh.

2T 2T Подставляя выражение (2.24) для туннельной плотности состояний и выполняя стандартное интегрирование с фермиевскими и бозевскими функциями, можно удостовериться, что результаты (2.23) могут быть точно переписаны в виде g d d () f (2.25) gT = g d.

d k Уравнения (2.25) для транспортных коэффициентов напоминают соответствующие ферми-жидкостные [41, 90]. Однако, в отличие от ферми-жидкости, туннельная плотность состояний d () имеет сильную even odd зависимость от энергии при 0. В общем случае d () = d () + d (), even/odd где d () четная/нечетная функция. Может быть показано, что even/odd () есть четная/нечетная функция наведенного затворного заряда q.

d Таким образом, g и k – чётные функции q, в то время как gT – нечетная функция затворного заряда.

Для макроскопических образцов обычных металлов закон Видемана Франца дает взаимосвязь между кондактансом и тепловым кондактансом.

Он утверждает, что отношение Лоренца L = /(GV T ) есть константа, равная числу Лоренца 2 /3e2. Как следует из уравнения (2.25), можно ожидать нарушения закона Видемана-Франца в присутствии сильной зависимости d () от энергии.

В режиме g 1 можно вычислить пертурбативное разложение по R 1/g и принять во внимание непертурбативные поправки. Функция Im D приобретает следующий вид в равновесии [49]:

2 gEc e g 2 Ec 1 ln 2 2 eg/2 cos 2q () R Im D = T g 2 T T 2 g Ec 1 + 2 eg/2 cos 2q g 2 T g Ec g/2 + e cos 2q + 4 2 T T g 2 Ec g/2 2T (2.26) sin 2q () e.

+ 4 2 T T Здесь функцию () следует понимать как Im a/[( + a + i0)], где предел a 0 следует брать последним во всех вычислениях, (подобным вычислением может быть, например, интегрирование по ).

Непертурбативные по 1/g поправки (экспоненциально малые слагаемые порядка exp(g/2)) приходят от вклада коршуновских инстантонов [44] действия АЭШ. Используя уравнение (2.26), мы находим из (2.23) gEc g 3 Ec g/ (2.27) g = g 2 ln e cos 2q, T 6T 2g 3 Ec g/2 (2.28) gT = e sin 2q, T 2 4 2g 3 Ec (2.29) 3.

k= g + + 2 cos 2q 3 3 T Результат для g был получен в работе [38]. Уравнения (2.28)-(2.29) являются новыми результатами и верны при температурах T g 2 Ec exp(g/2).

Подчеркнём, что gT содержит только непертурбативный (инстантонный)) вклад. Тоже верно и для термо-ЭДС:

2g 2 Ec 2 g (2.30) S= 1 exp sin 2q.

eT 12 При g 1 нарушение закона Видемана-Франца мало и число Лоренца дается выражением 2 g 2 Ec g/ 4 2 (2.31) L= 2 1+ 1 + e cos 2q.

3e 3g 3 T Благодаря непертурбативному вкладу, число Лоренца зависит от температуры и осциллирует как функция внешнего затворного заряда q.

В режиме сильной кулоновской блокады g 1 уравнение (2.23), R дополненное надлежащим выражением для Im D (см. ур. (2.65) и (2.104)) приводит в точности к результатам для транспортных коэффициентов, полученных в работах [21, 58, 71, 73].

2.4 Электронная релаксация в островке, режим слабой кулоновской блокады, g Далее мы хотим проиллюстрировать возможности кинетического уравнения (2.15) с учетом квантово-полевого скейлинга основных физических величин. Мы рассматриваем задачу о релаксации электронов островка к равновесию за счёт обмена электронами с резервуарами. Возможны два сценария. Первый можно назвать квазиравновесным: электронное распределение внутри островка даётся ферми-функцией с неравновесной температурой Td, которая релаксирует к своему равновесному значению.

Второй сценарий соответствует полностью неравновесному режиму, когда функция распределения электронов островка произвольна. Сценарий релаксации зависит от отношения E /ee, где E обозначает время релаксации, обусловленной электронным туннелированием, и ee – время релаксации, обусловленной кулоновским взаимодействием электронов внутри островка. Неравновесный режим устанавливается при условии E ee, в то время как квазиравновесие имеет место при E ee. Как будет показано ниже, оба сценария возможны.

Существует ещё один важный временной масштаб, связанный с релаксацией: RC, определяющий время растекания электрического заряда по островку. В режиме слабой кулоновской блокады RC дается следующей классической оценкой: RC 2/gEc. Как мы увидим ниже, E RC.

Таким образом, можно считать, что сначала происходит быстрое растекание электрического заряда, и затем медленная релаксация электронной функции распределения или температуры к термодинамическому равновесию.

Формально это означает, что начальное электронное распределение Fd (0) d[Fd (0) Fr ] = 0.

удовлетворяет условию Как обсуждалось в вводной части, перенормировка физических наблюдаемых сильно меняет динамику релаксации системы. Следовательно, перед тем как решать кинетическое уравнение, необходимо получить скейлинг констант связи теории при неравновесных условиях.

2.4.1 Перенормировка действия АЭШ при g Действие АЭШ перенормируется благодаря своей нелинейной форме.

В равновесии перенормировка действия общеизвестна (см., например, работу [2]). В нашем случае неравновесность делает задачу менее тривиальной. Как и в равновесии мы ожидаем обязательный скейлинг константы связи g. Дополнительный, неизбежно возникающий вопрос:

остаётся ли структура ядра действия АЭШ (компоненты поляризационного оператора в пространстве Келдыша в ур. (2.6)) инвариантной при перенормировке? Детали расчёта представлены в приложении Б.4.

Оказывается, структура голого действия полностью сохраняется, ядро действия АЭШ действительно инвариантно по отношению к ренорм групповой (РГ) процедуре. Константа связи перенормируется в соответствии с правилом B ( ) (2.32) g() = g() 2 d.

= Здесь обрезка естественно фиксируется первым слагаемым в уравнении (2.4): gEc. Чтобы продемонстрировать, что интеграл в (2.32) в самом деле логарифмический, исследуем поведение подынтегрального выражения при. Довольно просто получить следующую асимптотику для функции B при :

B = sgn + B, (2.33) 1 g d ( + ) F+ F F d.

d d B = (F sgn ) + 2 g Мы ожидаем, что любая физическая функция распределения подчиняется условию Fd sgn при. Тогда (2.34) lim B = 0.

Таким образом, асимптотика функции B на высоких энергиях дается sgn, как и в равновесии. Отсюда следует логарифмическое поведение интеграла (2.32).

Чтобы получить перенормированное действие, необходимо проинтегрировать по всем высоко-частотным полям вплоть до наинизшего масштаба 0, при котором РГ останавливается. Этот масштаб определяется условием (2.35) B(0 ) 1.

Пусть d - характерный энергетический масштаб электронной функции распределения островка (масштаб, при котором электронная функция распределения Fd переходит в функцию sgn ). Тогда можно легко удостовериться, что верна следующая оценка (см. приложение Б.4, где вычисление изложено в деталях) (2.36) 0 max{d, Tr, Tl }, где Tr, Tl температуры резервуаров. Энергетический масштаб 0 служит естественным обрезанием, = 0, в РГ-процедуре. Наконец, мы находим gEc (2.37) g(0 ) = g 2 ln.

В равновесии d = Tr = Tl = T. Таким образом, получаем T. Уравнения (2.36)-(2.37) описывают перенормировку действия АЭШ в неравновесных условиях.

2.4.2 Неравновесный режим Задача о релаксации формулируется следующим образом. При t = 0 островок нагрет и образуется некая функция распределения Fd (0). Характерная энергия d электронов на островке больше, чем температуры резервуаров, которые поддерживаются равными d Tr = Tl. Систему отпускают, и островок остывает, благодаря туннельному обмену горячих электронов островка с холодными электронами резервуаров.

Разлагаясь по полям c,q до второго порядка, находим (см. детали в приложении Б.4) 2() 1 B R (2.38) Im D = 1 d.

B g g Напомним, что этот результат обобщает пертурбативное (независящее от q) выражение, полученное в уравнении (2.26) на неравновесный режим. При помощи равенства (2.38) можно рассчитать интеграл столкновений в правой части квантового кинетического уравнения (2.15) и получить G( ) d Fd ( ) = (F ( ) Fr ), 2 (2.39) B ( ) G( ) = g d.

Здесь мы пренебрегаем последним слагаемым в уравнении (2.38) по следующим причинам: оно дает вклад порядка 1, в то время как первый член в (2.38) содержит d B / ln gEc /d 1. Хотя уравнение (2.39) имеет квазиупругий вид, в действительности, оно являет собой сильно нелинейное уравнение ( G( ) содержит информацию об электронном распределении на всех энергиях).

Как было показано выше, величина G( ) имеет смысл перенормированной константы взаимодействия теории. Простая алгебра приводит нас к дифференциальному уравнению на функцию G( ) [91]:

G( ) (2.40) G( ) = G( ) Gr, d Gr = g coth.

2Tr Решение выглядит следующим образом:

G(0)Gr (2.41) G( ) =.

Gr G(0) + Gr G(0) e Теперь, используя этот результат, мы можем проинтегрировать уравнение (2.39) и получить эволюцию электронной функции распределения Fd :

Fd ( ) = Fr + Fd (0) Fr G(0) Gr (2.42) 1 + exp.

Gr Решение (2.42) демонстрирует локальную по энергии релаксацию электронного распределения. Это является прямым следствием квазиупругой формы кинетического уравнения (2.39). Однако, из-за эффектов перенормировки форма закона релаксации отлична от экспоненциальной.

Определим характерную энергию d как 2 Tr2 = (3/ 2 ) d (Fr Fd ), d так что d = Td в квазиравновесном случае Fd = tanh(/2Td ). Тогда, в случае d (0) Tr и при не слишком долгих временах 2/Gr, из уравнения (2.42) находим, что характерная энергия падает по степенному закону:

1/ G(0) (2.43) d ( ) = d (0) 1 +.

2.4.3 Квазиравновесный режим (ee) В квазиравновесном режиме необходимо учесть интеграл столкновений I, обусловленный электрон-электронным взаимодействием в островке [87, 88].

Когда это слагаемое добавляется в правую часть уравнения (2.15), оно делает электронное распределение Fd фермиевским. Домножая обе части уравнения (2.15) на и интегрируя по энергии, получаем следующее (ee) уравнение (используется известное свойство d I = 0):

dTd g = (Td Tr2 ). (2.44) d Здесь мы используем главную (классическую) часть уравнения (2.38) R (Im D 2()/B ). Уравнение (2.44) приводит к стандартной = экспоненциальной релаксации к равновесию. В пределе Td Tr (G(0) Gr ) возможно также рассчитать интеграл столкновений, используя полное одно петлевое выражение (2.38) для его ядра. Вполне естественно, что одно петлевые поправки проявляют себя в логарифмической перенормировке g в правой части (2.44). Используя (2.38), мы находим G( ) dTd = T, 2 d d (2.45) gEc G( ) = g 2 ln, cTd ( ) где c - численная константа порядка единицы, не влияющая на конечный результат. Решение (2.45) выглядит так:

G(0) 1 e / Td ( ) = Td (0) exp (2.46) 2 G(0) ln.

Gr Условие во второй строке уравнения (2.46) подразумевает, что решение справедливо для не слишком больших времен, а именно, когда Td ( ) Tr (G( ) Gr ). Логарифмическая перенормировка кондактанса меняет характер температурной релаксации. На больших временах 2/ (2/) ln G(0)/Gr охлаждение островка замедляется по сравнению с типичным экспоненциальным спадом, развитым в начальный момент 2/:

G(0) Td ( ) = Td (0)e (2.47).

Полезно сравнить релаксацию температуры в квази-равновесном режиме и характерную энергию d в неравновесном режиме, описываемую уравнениями (2.47) и (2.43) на временах 2/Gr соответственно.

Первая демонстрирует экспоненциальный спад, в то время как последняя уменьшается степенным образом.

2.5 Релаксация электронов островка, режим сильной кулоновской блокады, g Как и в предыдущей главе мы считаем, что электронный заряд внутри островка быстро растекается, и только после этого начинается медленная релаксация электронного распределения. В режиме сильной кулоновской блокады такая картина вполне оправдана, так как 1/RC g max{T, } 1/E.

Как и в первой главе мы концентрируемся на наиболее интересном случае окрестности точки вырождения: q k + 1/2, где k целое.

= Напомним, что универсальный гамильтониан (1.3) в этом случае может быть упрощен редукцией гильбертова пространства электронов на островке к двум зарядовым состояниям: с Q = k и Q = k + 1 (см. Рис. 1.3).

Спроецированный на эти два состояния гамильтониан принимает форму (3.3) с той лишь разницей, что слагаемое H0 описывает на этот раз электроны двух резервуаров:

tk a† d S + h.c. (2.48) Ht = k k, Здесь S z, S ± = S x ± iS y, как обычно, – операторы (изо)спина 1/2.

2.5.1 Неравновесные псевдо-фермионы Для квантового описания спиновых операторов, как и в предыдущей главе, будем использовать псевдо-фермионы Абрикосова [51]. Вводим двух † компонентные псевдо-фермионные операторы, такие, что †i S i = S. (2.49) Неравновесные псевдо-фермионы обсуждались ранее в работах [92, 93].

Как обычно вводится келдышевский контур и удваивается число фермионов. Система, находящаяся в неравновесии, требует очень аккуратного рассмотрения. Псевдо-фермионная функция распределения F не известна a priori. Она должна определяться самосогласованно из соответствующего кинетического уравнения. Псевдо-фермионы так же подчиняются ограничению на их число:

† (2.50) N (t) = (t) (t) = 1.

Таким образом, состояние системы должно проецироваться на состояние сN 1 в каждый момент времени. Число частиц сохраняется = гамильтонианом (2.1)-(2.2) (соответствующий оператор коммутирует с гамильтонианом). Следовательно, оператор проекции на подпространство физических состояний N = 1 также коммутирует с гамильтонианом. Это означает, что проецирование на подпространство физических состояний необходимо осуществить только в одной точке келдышевского контура. Мы вставляем множитель exp( ) в матрицу плотности и берем предел в конце каждого вычисления. Тогда ON pf (2.51) O = lim.

N pf Если оператор O имеет нулевое среднее значение в секторе с нулевым псевдо фермионным числом (N = 0), уравнение (2.51) может быть упрощено O pf (2.52) O = lim.

N pf Диссипативное действие следует переписать в келдышевском представлении.

Мы подставляем выражение (2.49) в гамильтониан (2.48) и интегрируем по электронным полям островка и резервуара. Это приводит к следующему действию z dt it S= + (2.53) g + (t)i (t)ij (t, t )(t )j + (t ) dtdt Здесь – матрицы Паули (± = (x ± iy )/2) и 01 1 = q =, 2 = c = (2.54) 10 матрицы в пространстве Келдыша. Псевдо-фермионные операторы следует понимать как векторы в тензорном произведении изоспинового и келдышевского пространства. ij обозначает матрицу поляризационного оператора (2.6)-(2.7). Далее мы выписываем преобразование Вигнера квантового кинетического уравнения для псевдо-фермионной функции распределения i F ( ) = K ( ) R ( )F ( ) + A ( )F ( ). (2.55) Здесь как и раньше, мы пренебрегли всеми производными по медленному времени в правой части. Все функции, входящие в уравнение (2.55), понимаются как матрицы в изоспиновом пространстве. Из вида уравнения (2.55) мы заключаем, что характерное время релаксации псевдо фермионной функции распределения F ( ) есть pf 1/(g max{, T }) и существенно меньше чем E.

Это позволяет нам считать псевдо-фермионы находящимися в стационарном состоянии. Тогда левая часть кинетического уравнения (2.55) исчезает, и мы приходим к самосогласованному уравнению на псевдо фермионное распределение:

K ( ) (2.56) F ( ) =.

2i Im R ( ) Учитывая (2.53), мы записываем уравнения для псевдо-фермионных собственных энергий (Рис. 3.7):

ig ijt j Gtt, i, + (t, t ) = t 8 ij (2.57) ig ji j Gtt,+ i, (t, t ) = tt 8 ij где Gtt, обозначает псевдо-фермионные функции Грина, соответствующие первой строке в уравнении (2.53), а ± – матрицы в келдышевском пространстве. Нам понадобятся явные выражения для вигнеровских преобразований:

ig d K = Im R Im GR+, F+ B,, 2 g d Im R Im R Im GR = +,, B F+,, 4 g d Re R Im R Re GR (2.58) = +, B.

, 4 Здесь обозначает ± и GR = + (2.59) + i0.

, Объединяя уравнения (2.56) и (2.58), находим следующее уравнение для псевдо-фермионной функции распределения B(+ +) F (2.60) F = B(+ +) F где F F/2. Подставляя /2 мы приходим к = = самосогласованному уравнению на F :

B (F F ) = (F F 1). (2.61) Теперь нам необходимо исследовать асимптотические свойства функций F, при. Естественно ожидать, что равновесное свойство lim F = 1 (2.62) остаётся справедливым и в неравновесии. Как легко проверить, это предположение удовлетворяет уравнению (2.61).

Для решения квантового кинетического уравнения (2.15), необходимо R рассчитать Im D в режиме сильной кулоновской блокады g 1. С помощью уравнений (2.48) и (2.49), легко получить в нулевом порядке по g:

d Im GR, Im GR,+ F F+ R + Im D,pf = + ( + ) F + F. (2.63) = Теперь выражаем физическую корреляционную функцию через псевдо R фермионную Im D,pf. Используя следующий результат для псевдо фермионного числа в нулевом порядке по g F+ + F d R (2.64) N Im G, F 1 = =, pf 2 получаем F + R Im D = ( + ) lim 2B + 1 F ( + ) (2.65) =.

B Уравнение (2.65) – есть обобщение равновесного результата для R корреляционной функции Im D (см. работы [58, 49]) на неравновесный случай.

Далее, используя уравнения (2.48) и (2.49), находим в нулевом порядке по g:

d K Im GR R + D,pf = 2i +, Im G,+ 1 F+ F = i( + )(F + F 1). (2.66) Выражая физическую корреляционную функцию через псевдо-фермионную K D,pf, получаем K (2.67) D = 2i( + ).

Этот результат подразумевает, что бозевская функция распределения B определяется B так же, как и в режиме слабой кулоновской блокады, (2.68) B = B.

Прежде чем решать квантовое кинетическое уравнение, необходимо осуществить одно-петлевую перенормировку псевдо-фермионной теории.

Это необходимо сделать для того, чтобы просуммировать все поправки, содержащие большие логарифмы (появляющиеся в пертурбативном анализе), и включить их в определение перенормированных физических констант теории.

2.5.2 Одно-петлевая структура псевдо-фермионной теории В данном разделе мы устанавливаем неравновесное обобщение скейлинга основных параметров псевдо-фермионной теории (кулоновской щели и константы связи g), функций Грина и среднего числа псевдо-фермионов pf. Мы ожидаем, что действие (2.53) может быть перенормировано при N помощи единственного параметра Z, как и в равновесном случае [52, 54, 55].

Это оказалось действительно так, и полученная схема перенормировки явилась естественным обобщением равновесной. Перенормированная псевдо фермионная функция Грина принимает вид Z() R,A (2.69) = + /2, G, =, ± i () g где g B 1/ (2.70) Z() = 1 +, = d.

2 2 Детали вычислений приведены в приложении Б.5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что константа связи g и кулоновская щель перенормируется следующим образом:

g = gZ 2 (), = Z 2 (). (2.71) Для полноты картины перенормировки необходимо установить скейлинговую размерность псевдо-фермионного числа pf. Оказалось, что N N pf перенормируется в полной аналогии с работой [52].

(2.72) N =N pf pf Перенормировку завершает строгое доказательство соотношения (2.72) через уравнение Каллана-Симанчика, изложенное в приложении Б.5.

Интеграл в (2.70) берется по частотам Ec || 0 = max{Tr, d, }. Энергия 0 определяет естественный масштаб, на котором должна останавливаться РГ-процедура. Функция Грина (2.69) приобретает ширину 1 ( )[F + B ], (2.73) () = F где F. Таким образом, перенормированная физическая корреляционная функция становится равной ( + ) R (2.74) Im D = Z (), B D = 2iZ 2 ()( + ).

K 2.5.3 Релаксация электронной функции распределения внутри островка В этой части мы рассмотрим релаксацию в неравновесном режиме, E ee.

Мы сконцентрируемся на наиболее интересном случае кулоновского пика:

= 0. Тогда квантовое кинетическое уравнение (2.15) сильно упрощается (см. ур. (2.39)):

G( ) d Fd = F Fr, (2.75) g g (2.76) G( ) = 1 + 2.

2 Подчеркнём, что кинетическое уравнение (2.75)-(2.76) бесконечного порядка по электронной функции распределения на островке. В самом деле, Fd входит в через электрон-дырочную функцию распределения B.

Формальное решение выглядит так d G( ).

Fd ( ) Fr (Fd (0) Fr ) exp (2.77) = + Функция G( ) удовлетворяет дифференциальному уравнению G( ) (2.78) G( ) = G ( ) 1.

Gr Решение (2.78) дается следующим выражением Gr Gr Gr (2.79) f =f, G(0) G( ) f (z) = z + ln(1 z).

Используя соотношение d Gr Gr Gr G( ) = (2.80) +, G(0) G( ) 2 следующее из (2.78), мы получим Gr Gr Gr Fd ( ) = Fr + (Fd (0) Fr ) exp (2.81) +.

G(0) G( ) Так как уравнение (2.79) не может быть решено аналитически относительно G( ), полезно рассмотреть предельные случаи.

Предположим, что эффективная энергия электронов островка d Tr такова, что G(0) Gr. Тогда, разлагая f (z) в ряд по степеням z, находим Fd ( ) = Fr + Fd (0) Fr Gr Gr Gr (2.82) exp +.

G 2 (0) G(0) Уравнение (2.82) справедливо при условии G( ) Gr, т.е., для не слишком больших времен: /Gr. Стоит отметить, что стандартная экспоненциальная релаксация G(0) Fd ( ) = Fr + Fd (0) Fr exp (2.83), имеющая место в начальный момент Gr /(G 2 (0)), перетекает в более медленный промежуточный режим Gr /(G 2 (0)) /(Gr ):

Gr Fd ( ) = Fr + Fd (0) Fr exp (2.84).

На больших временах /(Gr ) функция G( ) почти сравнивается с Gr, и система вновь возвращается к стандартной экспоненциальной эволюции:

Gr Fd ( ) = Fr + (Fd (0) Fr ) exp (2.85).

Та же самая экспоненциальная релаксация, как в ур. (2.85), справедлива и в случае, когда эффективная энергия электронов островка d лишь слегка выше чем Tr, так что G(0) Gr G(0), Gr.

2.5.4 Релаксация электронной температуры внутри островка Теперь мы исследуем релаксацию в квазиравновесном режиме, E ee.

Кулоновский пик, = Мы начнём с режима кулоновского пика: = 0. В квазиравновесном режиме в правую часть уравнения (2.75) необходимо добавить интеграл (ee) столкновений I, описывающий электрон-электронное взаимодействие внутри островка. Именно эта добавка делает электронное распределение (ee) фермиевским. Используя хорошо известное соотношение = 0, мы dI получаем следующее уравнение:

G( ) dTd Td ( ) Tr2, (2.86) = d где G( ) дается выражением (2.76). В квазиравновесном случае мы не можем вывести замкнутое уравнение для G( ) как в неравновесном режиме, ввиду (ee) присутствия дополнительного слагаемого I в правой части (2.75).

Предполагая, что Td (0) Tr, оценивается с логарифмической точностью как = ln Ec /Td, находим из (2.86):

1/ G 2 (0) (2.87) G( ) = G(0) 1 + 2 и 2 G 2 (0) (2.88) Td ( ) = Td (0) exp 1+.

2 G(0) Решение (2.88) справедливо до тех пор, пока выполняется условие Td ( ) Tr.

Если Td (0) Tr exp( 2 /G(0)), то экспоненуиальная релаксация G(0) (2.89) Td ( ) = Td (0) exp, развивающаяся в начальный период 2 3 /[G 2 (0)], перетекает в режим более медленной релаксации в промежуточном временном интервале:

(2.90) Td ( ) = Td (0) exp, 2 3 2 2 Td (0) ln.

G 2 (0) Tr Отметим, что в этом режиме температурная релаксация не зависит от величины G(0), определяющей кондактанс ОЭТ. В противоположном случае (Td (0) Tr exp( 2 /G(0))) температура Td ( ) эволюционирует в соответствии с уравнением (2.89) для (4/G(0)) ln Td (0)/Tr.

Через длительное время (4/Gr ) ln Td (0)/Tr температура Td ( ) становится порядка Tr : Td ( ) Tr Tr и мы возвращаемся к стандартной экспоненциальной релаксации:

Gr (2.91) Td ( ) = Tr + (Td (0) Tr ) exp.

Эволюция электронной температуры островка представлена на Рис. 2.3.

Отметим универсальность релаксации на больших временах, когда разница температур между электронами островка и резервуаров становится малой. В неравновесном E ee и квазиравновесном E ee режимах, релаксация экспоненциальная с соответствующим декрементом, пропорциональным Gr.

Такая же экспоненциальная релаксация, как в ур. (2.91), имеет место при температуре электронов островка Td (0) слегка больше: Tr, Td (0) Tr Td (0), Tr.

Необходимо отметить, что существует временной параметрический интервал Gr /(G(0)2 ) 1/(G(0)2 ), когда релаксация функции распределения идет существенно медленней ln(Fd ( ) Fr )/(Fd (0) Fr ), чем релаксация ферми-распределения в квазиравновесном режиме, т.е.

релаксация температуры ln(Td /Td (0)).

Кулоновская долина, Td (0) Теперь мы рассмотрим релаксацию электронной температуры на островке в режиме кулоновской долины, Td (0). Используя уравнение (2.74), переписываем квантовое кинетическое уравнение (2.15) в виде 1 Fd F+ r g Fd r d (2.92) F+ F + =.

4 B Td (t) Tr ln Td (0) 1 (t) 2 (t ) 3 (t) 1 Td (0) ln2 t G 2 (0) Tr Рис. 2.3: Динамика релаксации температуры, g 1, Td (0) Tr exp 2 /G(0). Здесь 1 (t) G(0)t, 2 (t) t, 3 (t) Gr t.

Вспомним, что рассматривается квазиравновесный режим. Тогда необходимо (ee) добавить в правую часть уравнения (2.92) интеграл столкновений I, описывающий электрон-электронное взаимодействие внутри островка. Далее будем считать, что выполняется условие Td (0) Tr. При помощи результатов:

2 Fd F ) r d (1 2 = Td sgn Td 4|| 4li2 (e||/Td ) + ln 1 + e||/Td (2.93), Td 2Td (2.94) B = ln 2 cosh, 2Td n верных при Tr Td (li2 (z) = обозначает интегральный n=1 z /n логарифм), мы получаем из (2.92) dTd 3G( ) (2.95) = Td ( ), 4 d g (2.96) G( ) = exp.

Td ( ) Td ( ) Мы можем оценить параметр с логарифмической точностью = ln Ec /, так как температура электронов островка Td. Таким образом, g и не зависят от. Интегрирование уравнения (2.92) даёт g (2.97) h =h, 4 3 Td (0) Td ( ) h(z) = ez /z Ei(z), (2.98) где Ei(z) обозначает интегральную экспоненту.

= z dt exp(t)/t Используя асимптотику h(z) = exp(z)/z 2 при z 1, получаем Td (0) 3 G(0) G( ) = G(0) 1 + ln 1 + 4 3 Td (0) 3 G(0) (2.99) 1+ 4 3 Td (0) и Td (0) 3 G(0) (2.100) Td ( ) = Td (0) 1 + ln 1 +.

4 3 Td (0) Результаты (2.99) и (2.100) справедливы для не слишком больших времен 4 3 Td (0) (2.101) exp.

Tr 3 G(0) Как и ожидалось, из-за экспоненциально малого кондактанса ОЭТ в приближении последовательного туннелирования температурная релаксация очень медленна, а именно, логарифмическая. Таким образом, полезно рассмотреть вклад в температурную релаксацию от ко-туннелирования.

Режим неупругого ко-туннелирования Как хорошо известно, из-за экспоненциального подавления последовательного туннелирования в кулоновской долине при Td транспорт определяет неупругое ко-туннелирование - процесс более высокого порядка [94]. В отличие от случая последовательного туннелирования, вклад в интеграл столкновений в правой части (2.15) от ко-туннелирования приходит с частот порядка Td ||.

В псевдо-фермионной технике неупругое ко-туннелирование проявляется как уширение -пиков мнимой части запаздывающей и опережающей псевдо-фермионной функции Грина [58, 49]. При учёте уравнения (2.73) подынтегральное выражение в (2.63) приобретает сложную полюсную структуру. Существуют два близко лежащих полюса = + ± i+ (+ ), g (2.102) = ± i ( ).

g Кроме того, существует дополнительный ряд полюсов мацубаровского типа, приходящих из функций распределения F+ и F+. Они приводят к логарифмически расходящимся суммам. Последние контролируются схемой перенормировки. В нашем случае все главные логарифмы уже включены в определение перенормированных констант g и надлежащим выбором точки перенормировки. Таким образом, мы опускаем все расходящиеся суммы мацубаровского типа. Разлагаясь в ряд по степеням /, мы получаем gZ 2 F + + F R (2.103) Im D,pf, || ||.

= 8 Далее мы используем те же аргументы, которые привели нас к R выражению (2.65). Функция Im D тогда становится равной gZ R (2.104) Im D = 2, || ||.

Используя результат (2.104), мы переписываем квантовое кинетическое уравнение (2.15) в виде g Fd = F Fd B + 1 Fd F.

r r (2.105) d 16 3 Напомним, что мы рассматриваем случай квазиравновесия.

Уравнение (2.105) совпадает с кинетически уравнением, выведенным в режиме ко-туннелирования в работе [22]. Теперь необходимо добавить в (ee) правую часть (2.105) интеграл столкновений I, описывающий электрон электронное взаимодействие внутри островка. В случае Td Tr Tr мы получаем dTd 3Gr (2.106) = (Td Tr ), d g 2 Tr2 /(62 ) обозначает равновесный кондактанс ОЭТ в где Gr = приближении ко-туннелирования. В противоположном пределе Td Tr, используя (2.105), мы приходим к следующим уравнениям:

dTd 3G( ) (2.107) = Td ( ), d g 2 Td ( ) (2.108) G( ) =, которые определяют температурную релаксацию. Важно отметить, что если заменить Gr на G( ) в уравнении (2.106), оно становится похожим на уравнение (4) работы [20] для V = 0 и в отсутствии фононов. Однако, ввиду различия численных коэффициентов в правой части уравнений (2.106) и (2.107), подобная замена невозможна даже на уровне интерполяции. Таким образом, в случае Td Tr Tr необходимо решать уравнение (2.105) численно.

Хотя ур. (2.106) приводит к стандартной экспоненциальной релаксации, результат (2.107) приводит к степенной эволюции. В самом деле, решая систему (2.107)-(2.108), получаем 3G(0) (2.109) G( ) = G(0) 1 + и 1/ 3G(0) (2.110) Td ( ) = Td (0) 1 + Уравнения (2.109) и (2.110) справедливы для времен 10 Td (0) (2.111).

3G(0) Tr 2.6 Выводы В этой главе изучена динамика релаксации ОЭТ в полностью неравновесных условиях. Метод кинетического уравнения оказался наиболее подходящим для решения поставленной задачи. Аналитические результаты получены в предельных случаях слабой g 1 и сильной g 1 кулоновской блокады.

Все релаксационные уравнения (см. уравнения (2.39), (2.75), (2.86), (2.95)), полученные в работе, обнаруживают неожиданную общность. А именно, (2.112) Xd G(Xd )(Xd Xr ).

Здесь Xd - релаксирующая физическая величина (температура, функция распределения), и G(Xd ) - кондактанс ОЭТ, который сам по себе зависит от Xd. Уравнение (2.112) имеет прозрачную физическую интерпретацию. В самом деле, характерный временной масштаб в правой части уравнения (2.112) есть просто время пребывания частицы внутри металлического островка, [24] т.е. E G. Обратное время пребывания может быть так же оценено как отношение теплового кондактанса к теплоемкости островка. Последняя пропорциональна Td /. Общность уравнения (2.112), однако, обманчива, так как уравнение приводит к совершенно различной временной эволюции физических величин в случае малых и больших g.

На протяжении всего анализа мы пренебрегали влиянием электрон фононного (э-ф) взаимодействия. Причина в следующем. Декремент э ф затухания был хорошо изучен для двумерного электронного газа с беспорядком [95]. Была найдена следующая оценка:

eph 8.3 108 T 3 [s1 K 3 ].

(2.113) Электрон-электронное (э-э) затухание в мезоскопических системах также подробно изучено (см., например, [96]). Для малых диффузных систем и при T ETh существует два параметрических случая [97, 96] T (2.114) 2, L LD, ee ETh T (2.115) ee, L LD, EF = T /Eth quasi-equilibrium max{T, } = Eth g = non-equilibrium quasi-equilibrium = non-equilibrium 4D 4D L L 1/ g = = LD LD (a) g 1. Неравновесный (квазиравновесный) (b) g 1. Неравновесный (квазиравновесный) ре режим преобладает в (не) заштрихованной облас- жим преобладает в (не) заштрихованной области.

ти. При = 0, = g и = g для режима ко-тун нелирования при T.

Рис. 2.4: Фазовые диаграммы режимов релаксации для g 1 и g где LD = (kF l) 4D /kF и L обозначает размер островка. Уравнение (2.115) – являет типичное ферми-жидкостное выражение и набирается с больших импульсов порядка обратной длины экранировки. Верхнее уравнение имеет диффузионное происхождение и приходит с импульсов 1/L. Обсудим, какой режим преобладает в различных параметрических ситуациях.

Релаксация, обусловленная туннелированием электронов может быть оценена как (2.116) 1/E G.

Сравнивая уравнения (2.114), (2.115) и (2.116), можно видеть, что в пределах g 1иg 1 возможна, как квазиравновесная, так и неравновесная релаксация. Соответствующие фазовые диаграммы представлены на Рис. 2.4(a) и 2.4(b).

Для оценки э-э затухания мы используем экспериментальные данные работы [98], где был исследован эффект кулоновской блокады для маленького островка двумерного электронного газа. Экспериментальные данные: среднее расстояние между уровнями 85 mK;

энергия Ферми EF 47 K;

упругая длина свободного пробега l 15 µm;

размер островка L 1 µm.

Приведённые данные позволяют нам оценить энергию Таулесса ETh 8 K и декремент э-э затухания ee 1.7 108 T 2 [K 2 s1 ].

(2.117) Типичная температура современного мезоскопического эксперимента T 100 mK. Как видно, с понижением температуры декремент э-ф затухания быстро уменьшается. С другой стороны, скорость релаксации, обусловленная электронным обменом между островком и резервуарами:

E g 108 [s1 ] (2.118) Оценки (2.113)-(2.118) показывают, что для всех рабочих температур э-ф взаимодействием можно пренебречь. Далее, сравнивая оценки (2.117) и (2.118), заключаем, что при изменении g, оба сценария релаксации, обсуждаемых в работе, действительно реализуемы в эксперименте.

В дополнение к релаксации, рассмотренной выше и обусловленной обменом электронами с резервуарами, существует дополнительный механизм энергетической релаксации, обусловленный кулоновским взаимодействием Uir электронов островка с электронами резервуаров. Для простоты мы предположим, что типичный параметр взаимодействия rs 1/(kF aB ) 1, где aB обозначает Боровский радиус. В случае L LD скорость релаксации из-за взаимодействия Uir электронов в островке с электронами в резервуарах может быть оценена как T 1 (2.119) [d Uir (kF )].

(ir) EF ee Здесь Uir (k) обозначает преобразование Фурье от взаимодействия Uir (r). При kF d 1 Uir (kF ) сильно подавлено, d Uir (kF ) 1 и 1 (2.120).

(ir) ee ee В противоположном пределе большого островка L LD, и при aB L оценка дает T 1 Uir (kL ) (2.121) 2 2.

(ir) U (kL ) Uir (kL ) d U (kL ) ET h ee Здесь kL 1/L и U (k) обозначает Фурье образ взаимодействия между электронами островка, k = 0 компонента которого приводит к зарядовому (ir) члену Hc в гамильтониане (1.6). Как можно видеть, оба случая ee ee и (ir) ee ee возможны при L LD.

При d L, где d - характерная длина туннельного контакта между островком и резервуаром, выражение (2.121) можно упростить:

aB T (2.122) 2.

(ir) d ET h ee Для эксперимента [98] мы оценили Боровский радиус aB 10 nm и предположили типичный размер d порядка 100 nm. Таким образом, мы ожидаем, что режим, в котором главный механизм релаксации энергии электронов островка обусловлен электронным обменом, вполне достижим в лабораторных условиях.

Мы исследовали тепловой транспорт и процессы релаксации в ОЭТ с большим числом транспортных каналов в широком интервале параметров.

В режиме линейного отклика мы получили аналитические выражения для транспортных коэффициентов (кондактанс, тепловой кондактанс и отклик электрического тока на разность температур) во всем интервале значений g. Оказалось возможным придать коэффициентам линейного отклика ферми-жидкостной вид. Существует, однако, важная разница, а именно:

туннельная плотность состояний претерпевает сильную перенормировку, обусловленную кулоновским взаимодействием. Последняя приводит к нарушению закона Видемана-Франца: в пределе g 1 отношение Лоренца L приобретает слабую периодическую зависимость от затворного напряжения (предвестник кулоновской блокады). Метод квантового кинетического уравнения, дополненный неравновесным действием АЭШ, позволяет произвести точный учёт кулоновского взаимодействия. Мы получили временную эволюцию электронной температуры (в квазиравновесном режиме) и функции распределения (в неравновесном режиме) островка ОЭТ, обусловленную электронным обменом между островком и резервуаром.

Соответствующий интеграл столкновений всегда нелокален по энергии, ввиду неупругой природы кулоновского взаимодействия. Излучение плазмонной моды всегда сопровождает туннелирование. Это приводит, вообще говоря, к довольно сложным интегро-дифференциальным кинетическим уравнениям. Удалось показать, что кинетические уравнения могут быть редуцированы к простым дифференциальным в ряде широких параметрических режимов, а именно: g 1 (ОЭТ со слабой кулоновской блокадой) и g 1 (ОЭТ с сильной кулоновской блокадой в приближении последовательного туннелирования с учётом кулоновской перенормировки).

Подобное упрощение достигается благодаря выраженному разделению масштабов в задаче g Td или g d. В самом деле, характерная частота, с которой меняется функция распределения g, в то время как масштаб, на котором осуществляется перенормировка Td или d. Упомянутое разделение и позволяет нам сначала учесть кулоновское взаимодействие, а затем решить задачу временной эволюции.

Квантовые флуктуации заряда сильно меняют законы релаксации в сравнении с обычными экспоненциальными, которые свойственны квазиклассической физике при g 1 и ортодоксальной теории при 1. Режим 1, T контролируется процессом ко g g туннелирования. В последнем случае кинетическое уравнение сохраняет интегро-дифференциальную форму и может быть решено численно.

Измерения предсказанной релаксации остаются сложной экспериментальной задачей.

Глава Неравновесный адмиттанс в одно-электронной коробке в режиме сильной кулоновской блокады 3.1 Введение Благодаря недавнему прогрессу в изучении неравновесных систем, в центре теоретических [22, 24, 23, 78, 79, 99, 100] и экспериментальных [8, 63, 10] исследований оказалась кулоновская блокада при неравновесных условиях.

Как известно, простейшей мезоскопической системой, обнаруживающей кулоновскую блокаду, является ОЭК.

В этой главе будет рассмотрена задача о вычислении адмиттанса ОЭК в неравновесных условиях в режиме сильной кулоновской блокады g 1.

Напомним, что представляет из себя ОЭК. Металлический островок (см.

Рис.3.1). соединен с равновесным электронным резервуаром (температура Tr ) туннельным контактом. Островок связан емкостным образом с затворным электродом. Потенциал островка контролируется напряжением на затворном электроде Ug. Функция распределения электронов в резервуаре предполагается равновесной (ферми-распределение), в то время как распределение электронов Fd в островке произвольно.

Как и в предыдущей главе мы допустим, что характерная энергия электронов на островке подчиняется условию (3.1) d Ec, ETh, а безразмерный кондактанс туннельного соединения будем считать малым g 1. Основная динамическая характеристика ОЭК – это адмиттанс.

Недавний эксперимент [18] исследовал диссипацию энергии и адмиттанс при промежуточных температурах (3.1). Адмиттанс измерялся при фиксированной частоте как функция амплитуды накачки U и постоянной составляющей затворного напряжения U0 в широком параметрическом режиме. Теоретический анализ данных в работе [18] проводился в предположении, что отклик тока на приложенное переменное напряжение линеен: электроны островка предполагались находящимися в равновесии с резервуаром. Однако это не было проверено экспериментально. Естественно ожидать, что это предположение нарушается для достаточно больших амплитуд U.

В этой главе будет изучен адмиттанс ОЭК в неравновесных условиях.

Рассматривается линейный отклик ОЭК с произвольным электронным распределением внутри островка на приложенное переменное затворное напряжение Ug Cg Рис. 3.1: Cистема. ОЭК поддерживается при постоянном затворном потенциале U0. Ток через туннельное соединение вызван малым переменным затворным напряжением Ug (t).

3.2 Вычисление адмиттанса и диссипации в режиме сильной кулоновской блокады Как обсуждалось в главе 1 диссертации, адмиттанс системы определяется авто-корреляционной функцией флуктуирующего числа частиц (1.19). В силу присутствия кулоновского взаимодействия, поведение авто-корреляционной функции нетривиально. Она соответствует коллективным бозонным модам, по аналогии с ферми-жидкостью, где коррелятор плотность-плотность определяется электрон-дырочными возбуждениями [41, 103, 104]. Последние определяют поведение авто-корреляционной функции в отсутствие кулоновского взаимодействия. В неравновесном режиме мы ожидаем, что распределение коллективных мод отличается от распределения электрон-дырочных пар. Как показано в главе 2 диссертации, распределение коллективных мод совпадает с таковым для электрон-дырочных пар даже вне равновесия (см. уравнения (2.7) (2.10)):

1 Fd ( )F ( ) d r (3.2) B ( ) = B ( ) =.

r Fd ( ) F ( ) d В равновесии, B = coth(/2Tr ).

3.2.1 Адмиттанс Вычисление адмиттанса в неравновесном случае похоже на изложенный в главе 1 вывод для равновесного случая. Поэтому ниже мы приводим только главные шаги вывода результата. Как обычно, в режиме сильной кулоновской блокады мы фокусируем наше внимание на окрестности кулоновского пика: q = k + 1/2, где k целое. Транспорт в этом случае доминируется двумя ближайшими по энергии зарядовыми состояниями.

Следуя работе [27], записываем гамильтониан (1.3) в редуцированном гильбертовом пространстве электронов островка, учитывая только два зарядовых состояния: Q = k и Q = k + 1 (см. Рис. 1.3). В этом случае спроектированный гамильтониан принимает форму матрицы 2 2, действующей в пространстве этих состояний:

H = H0 + Ht + Sz + 2 /4Ec, (3.3) где tk a† d S + H.c. (3.4) Ht = k k, и S z, S ± = S x ± iS y обычные операторы 1/2 изоспина. Адмиттанс пропорционален динамической (изо)спиновой восприимчивости R (t) = s i(t) [S z (t), S z (0)] (см. ур. (1.63)). Как обычно, для описания спиновых † операторов мы вводим неравновесные псевдо-фермионы Абрикосова, [93, 92]. Интегрируя по электронным степеням свободы в пределе 1, приходим к стандартному келдышевскому эффективному Nch действию в форме (2.53)-(2.7). Псевдо-фермионная динамическая спиновая восприимчивость определяется выражением:

R R R () = Z 2 RKR ( +,, )G,+ G, s,pf R K K A +RAR ( +,, ) G,+ G, + G,+ G, d A A +KAR ( +,, )G,+ G, (3.5), 16i где перенормированная функция Грина выписана в (2.69)-(2.71). Приведем соответствующие выражения ещё раз для удобства.

Z() R,A = + /2, G, = ± i (), g 1 (3.6) ( )[F + B ].

() = Псевдо-фермионная функция распределения F не известна a priori и должна определяться самосогласованно из соответствующего кинетического уравнения. В пределе низкой внешней частоты max{Tr, d, ||} она удовлетворяет уравнению:

B(+ +) F (3.7) F =.

B(+ +) F Как обсуждалось в первой главе диссертации, все слагаемые вида GR GR и GA GA приводят к большим логарифмам. Они контролируются схемой перенормировки и их необходимо опустить, так как все большие логарифмы учтены в перенормированных параметрах теории и g. Тогда ур. (3.5) упрощается:

Z4 RAR ( +,, ) R () = (3.8) F 1, s,pf 8 + 2i g где = ( ). Вершинная функция RAR удовлетворяет следующему уравнению Дайсона ig dx R A RAR ( +,, ) = 1 + G,++x G,+x 4 Im R (Bx )RAR ( + + x, + x, ). (3.9) x Используя (3.7)-(3.8) и решение ур. (3.9) RAR ( +,, ) 1 + 2i( ) g (3.10) =, + 2i g + 2i( + ) g получаем следующее выражение (3.11) для адмиттанса при внешней частоте max{||, Tr, d }:

Cg Z 4 g B i (3.11) G =, C 4 B i gB где скейлинг Z определен в (2.70), а g, перенормированные константа связи и кулоновская щель, определённые в (2.71). Как и в предыдущей главе, интеграл в (2.70) берется в пределах Ec || 0 = max{Tr, d, ||}.

Параметры g и q в неравновесном режиме 3.2. Вычисление q и g связано с вычислением K (см. ур. (1.50)). Используя R † определение K R (t) через операторы X(t) = k, tk ak d, можно получить следующее выражение:

d g R R = i Im D (B B ) K 8 R (F+ Fr )d.

d (3.12) + Re D B Здесь мы ввели поперечную спиновую восприимчивость DR (t) = i(t) [S (t), S + (0)]. С помощью ур. (1.50) непосредственно устанавливаются следующие соотношения:

d g = g R ImD B, (3.13) g d q = Q + R ReD (B ). (3.14) 4 Средний заряд на островке определяется через оператор среднего изоспина как: Q = k + 1/2 Sz. Используя результат для поперечной спиновой восприимчивости (см. ур.(2.65)):

Z 2 () R (3.15) D =, B + + i0+ получаем следующие результаты (3.16) для g и q 1 1 g = g ln B, q = k + (3.16) +.

2 2 2 B Уравнения (3.16) обобщают результаты для g [48, 58] и q [37], полученные для равновесия. Как и в случае равновесия, физика, скрытая в параметрах (3.16), может быть лучше понята, если перейти от ОЭК к ОЭТ. В отсутствие транспортного напряжения на ОЭТ он физически эквивалентен ОЭК. Величина g тогда совпадает с кондактансом ОЭТ в неравновесных условиях (например, когда температура островка отличается от температуры резервуаров) [22]. Величина q специфична для физики кулоновской блокады и может быть названа квази-частичным зарядом [37].

3.3 Обсуждение и выводы 3.3.1 Адмиттанс и диссипация Результат (3.11) справедлив для произвольной функции распределения.

Для получения более детальных предсказаний, для примера, рассмотрим квазиравновесный случай Fd = tanh /2Td, Td Tr. Подобный случай типичен для ОЭК, созданной на базе металлического островка. Такой режим устанавливается, когда скорость электронной релаксации, обусловленной электрон-электронным взаимодействием в островке, 1/ee g (см. Главу 2).

Реальная часть адмиттанса (3.11) при как функция q показана на Рис. 3.2 для квазиравновесного режима Td Tr. При фиксированных Cg, C и g высота максимума определяется эффективной температурой электрон дырочных возбуждений Teh = lim0 (/2)B [105]. Как легко показать, опираясь на результаты предыдущей главы, Tr Td и Teh Td ln 2 при Teh Td Tr. Таким образом, значения неравновесного адмиттанса ограничены интервалом Re G,Td Re G Re G,Tr, где G,Td (G,Tr ) равновесные адмиттансы при температурах Td (Tr ).

Диссипативная часть адмиттанса в ОЭК изучалась экспериментально с помощью радио-частотной рефлектометрии. На систему посылали непрерывный радио-частотный сигнал [18]. В эксперименте туннельный кондактанс оценивался как g 0.5, так что ОЭК находилась в = режиме сильной кулоновской блокады. Мы построили реальную часть адмиттанса (3.11) при фиксированной внешней частоте как функцию q на Рис. 3.3. На рисунке для сравнения мы приводим Re G, рассчитанный:

а) в равновесии без учета кулоновских перенормировок, т.е., при Z = и B = coth /2Tr (пунктирная линия);

б) в равновесии и с учетом эффектов перенормировки, т.е., с B = coth /2Tr (точечная линия);

в) ReG [a.u] Tr = Td = 0.08Ec Tr = Td = 0.12Ec Tr = 0.08Ec, Td = 0.12Ec 0. q k k+ k + 1/ Рис. 3.2: Fig. 3.2 Действительная часть адмиттанса ОЭК при фиксированной частоте как функция q. g = 0.5, = 0.02Ec and Cg /C = 0.24. См. Текст в неравновесии с Td Tr и B, определённой уравнением (3.2) (жирная линия). Во всех трёх случаях мы используем одни и те же величины g, Ec и, соответствующие эксперименту [18]. Небольшое изменение отношений Cg /C и Tr,d /Ec позволяет сделать кривые а), б) и в) неразличимыми.

В работе [18] предполагалось, что электроны внутри островка находятся в термодинамическом равновесии с резервуаром и эффекты кулоновской перенормировки несущественны (случай а) Рис. 3.3). Значения Cg /C и Tr /Ec используются как фиттирующие параметры. Кривые, представленные на Рис. 3.3, однако, указывают на более тонкую физику. Как можно видеть, удачное фиттирование экспериментальных данных теоретической кривой не даёт уверенности в том, что сделанные предположения справедливы. Таким образом, необходим более внимательный анализ экспериментальных данных работы [18].

Аналитическая структура адмиттанса, как функция внешней частоты, полностью определяется электрон-дырочным распределением B при =. Масштабный параметр Z, приходящий из перенормировки, ReG [a.u] Cg /C = 0.24, Tr = Td = 0.08Ec Cg /C = 0.32, Tr = Td = 0.067Ec Cg /C = 0.31, Tr = 0.054 Ec, Td= 0.08Ec 0. q k + 1/ k k+ Рис. 3.3: Диссипативная часть адмиттанса ОЭК при фиксированной как функция q.


Представлены три кривых соответствующих трем различным формулам. Пунктирная линия соответствует ур. (3.11) с Z = 1, =, g = g и B = coth /2Tr. Точечная линия проведена в соответствии с ур. (3.11) с B = coth /2Tr. Жирная линия соответствует ур. (3.11) с неравновесной B, заданной ур. (3.2). Мы используем g = 0.5 и = 0.02Ec.

См. текст.

содержит информацию о B в широком диапазоне max{||, Tr, d } || Ec. Адмиттанс (3.11) может использоваться в качестве инструмента для прямого экспериментального измерения B. Таковым может быть измерение вещественной части адмиттанса Re G на двух различных внешних частотах.

Другая возможность состоит в одновременном измерении вещественной и мнимой частей G при заданной частоте [17]. Меняя затворное напряжение U0, можно экспериментально считывать B во всем интервале значений. Измерение частотной зависимости Re G в кулоновском пике ( = 0) позволяет измерить эффективную температуру Teh электрон-дырочных пар.

Таким образом, адмиттанс ОЭК при переменном во времени затворном напряжении может быть использован в качестве термометра для электрон дырочных пар, подобно тому, как действие термометра на кулоновской блокаде основано на измерении дифференциального кондактанса в ОЭТ [8].

3.3.2 Сопротивление зарядовой релаксации, перенормированная затворная емкость Действительная часть адмиттанса определяет скорость диссипации энергии:

(Cg /2C) Re G |U |2. Результаты (3.11)-(3.16) показывают, что W = даже в неравновесии в квазистационарном режиме 0 скорость диссипации факторизуется так же в соответствии с (1.58), т.е. в произведение хорошо определённых физических наблюдаемых в полной аналогии с классическим выражением (1.1). Сопротивление зарядовой релаксации Rq и перенормированная затворная емкость Cg так же связаны с физическими наблюдаемыми, формально определёнными в (1.50) в соответствии с уравнением (1.58).

Температура Td электронов на островке ОЭК, а вместе с ней и Teh определяется балансом между диссипируемой энергией W и потоком энергии в фононную подсистему за счёт электрон-фононного взаимодействия. В случае кулоновского пика ( = 0) и для горячего островка (Td Tr ) температура электронов Td U0, где степень зависит от деталей электрон фононного взаимодействия (см. например, [22]).

Итак, в этой главе были вычислены адмиттанс и диссипация энергии в неравновесной ОЭК в режиме сильной кулоновской блокады (g 1). В режиме высоких температур d Ec мы вывели выражение для адмиттанса при внешней частоте max{Tr, d, ||}. Мы обнаружили, что скорость диссипации энергии сохраняет свой универсальный вид в квазистационарном режиме даже в неравновесии. Универсальность имеет место, когда диссипация выражена в терминах специальных физических наблюдаемых: сопротивления зарядовой релаксации и перенормированной затворной емкости. Мы предлагаем адмиттанс системы в качестве инструмента для измерения бозевского распределения коллективных мод, аналогичных бозевским электрон-дырочным возбуждениям в ферми жидкости.

Заключение Основные результаты 1. В работе построена теория диссипации в ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием при температурах T max{1, g}. Вычислен адмиттанс и сопротивление зарядовой релаксации в предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады. Оказалось, что омическая диссипация контролируется новой физической наблюдаемой: перенормированной затворной емкостью. Получено выражение для адмиттанса системы в режиме сильной кулоновской блокады в широком интервале внешних частот.

2. Получено квантовое кинетическое уравнение, описывающее релаксацию электронной функции распределения островка для одно-электронной системы с сильным кулоновским взаимодействием при характерной энергии электронов островка d max{1, g} и для любых значений безразмерного кондактанса системы g. Исследованы решения для эволюции функции распределения для наиболее интересных предельных случаев.

Для всех рассмотренных случаев уравнения релаксации допускают наглядную физическую интерпретацию. Установлено, что сильное кулоновское взаимодействие существенным образом меняет закон релаксации электронного распределения в режимах сильной и слабой кулоновской блокады.

3. Построено обобщение теории диссипации в ОЭК с сильным кулоновским взаимодействием при характерной энергии островка d max{1, g} на случай, когда островок находится в перегретом состоянии (неравновесный режим), но в режиме линейного отклика по амплитуде переменного затворного напряжения. Получено соответствующее обобщение для адмиттанса системы, сопротивления зарядовой релаксации и перенормированной затворной емкости в режиме сильной кулоновской блокады. Указана экспериментальная возможность для прямого измерения электрон-дырочной функции распределения в ОЭК в условиях сильной кулоновской блокады.

Я очень благодарен моему научному руководителю Игорю Бурмистрову за неоценимую поддержку и постоянное внимание и терпение, оказанные мне при написании диссертации. Особая благодарность моим соавторам:

А.С. Иоселевичу и Н.М. Щелкачеву, за полезные обсуждения различных вопросов, связанных с работой, отразившиеся самым благоприятным образом на качестве диссертации. Автор выражает отдельную благодарность также М.А. Скворцову, В.Ю. Качоровскому и А. Семенову за научные обсуждения, обогатившие автора. Автор также чувствует себя обязанным всем научным сотрудникам Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау. Их критическая оценка предъявленных результатов помогла дать ответы на многие вопросы, связанные с работой.

Работа над диссертацией проходила при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских учёных кандидатов наук No МК-125.2009.2 “Равновесный и неравновесный транспорт в одноэлектронных устройствах”, гранта РФФИ No 09-02-92474 МНКС “Электроны в нульмерных системах: взаимовлияние заряда, спина и неравновесия”, Государственного контракта П926 “Взаимное влияние заряда, спина и неравновесных условий на квантовый транспорт в наноструктурах”, государственного контракта 16.740.11.0022 “Квантово когерентные и зарядовые явления в мезоскопических наноструктурах”, фонда “Династия”, программ РАН “Квантовая макрофизика”, “Квантовая физика конденсированного состояния” и “Основы нанотехнологий и наноматериалов”.

Приложения А Приложения к части A.1 Производная от энергии В этом приложении устанавливается связь между диссипацией в системе и различными полевыми корреляторами в режиме слабой и сильной связи.

Чтобы выразить коррелятор (1.16) через фазу ( ) Слабая связь, g эффективного действия АЭШ. Удобно ввести келдышевский контур (см.

Рис. 3.4). Мы разбиваем все поля на верхнюю и нижнюю компоненту (±) t - + C –i Рис. 3.4: Келдышевский контур.

в соответствии с частями Келдышевского контура. Действие системы так же разбивается: S = S+ S и статсумма системы принимает вид: Z = D± eiS[± ] = 1. Средний заряд может быть найден как:

d† d+ + d† d = d† d = + (A.1) C S = + Cg Uc.

2Cg Ug,q Здесь мы ввели классическую и квантовую компоненты бозонного поля:

1 (A.2) Ug,q = (Ug+ Ug ), Ug,c = (Ug+ + Ug ), 2 и Ug (t) = U0 + U cos t. Чтобы избавиться от 4-точечных кулоновских членов мы вводим бозонные поля Хаббарда-Стратоновича: V+, V, каждое из которых живет на своей половинке контура, и делаем калибровочное преобразование:

t d d ei V dt (A.3).

Преобразованные слагаемые S0, Sc, St принимают вид:

(a) a† it k S0 = ak dt k k d† it d dt, (d) + (A.4) C V2 dt + Cg Sc = V Ug, (t) dt, 2 V dt † tk ei + h.c. dt.

St = ak d,k Мы видим, что слагаемое, соответствующее источнику Ug,, входит только в Sc. Тогда мы перегруппируем его в более удобную форму:

Sc = Sc+ Sc = (A.5) =C Vc Vq dt + 2Cg Vc Ug,q + Vq Ug,c dt.

Здесь Vc,q = ± V ). Затем находим средний заряд из (A.1):

(V+ C d† d = Vc + Cg Ug,c, (A.6) H Cg = Vc.

Ug Раскладывая eiS до линейного порядка по классическому полю Uc, получаем 2 Cg H R (t t )Ug (t ) dt, (A.7) = Ug C где R (t t ) = iC 2 Vc (t)Vq (t ). Объединяя этот результат с (1.13), мы получаем (1.28).

Используя (A.6), также выпишем формулу для эффективной емкости Q/U0 ОЭК:

Q R (0) (A.8) = Cg +.

U0 C Здесь мы делаем все операции аналогично Сильная связь, g 1.

изложенному выше. Используя гамильтониан (3.3), мы получаем H Cg z (A.9) = S (t).

Ug C Келдышевская техника даёт Cg i Sc (t)Sq (t ) Uc (t )dt.

z z z (A.10) S (t) = C Вводя спиновую корреляционную функцию R (t) = i Sc (t)Sq (0), z z (A.11) s мы воспроизводим выражение для диссипации (1.63) со спиновым коррелятором R (), играющим роль поляризационного оператора.

s A.2 Адмиттанс Адмиттанс определяется как:

I(t) d G()ei(tt ) (A.12) =.

Ug (t ) Как обычно, мы вводим оператор туннельного тока как производную от числа частиц на островке (1.3-1.6):

tk a† d + h.c.

d† d ] = i (A.13) I = i[H, k k, Для того, чтобы найти средний ток, вставляем необходимый источник в действие:

1 1 Z[I] (A.14) Ss = I(t)(t)dt, I(t) =.

2 i (t) = Интегрируя вдоль Келдышевского контура мы удерживаем лишь квантовую компоненту поля (t). Осуществляем обычное вращение в фермионном базисе:

± = (1 ± 2 ), (A.15) ± = (2 ± 1 ), где = (ak, d )T. После вращения и калибровочного преобразования(A.3) источник и туннельный член приобретают вид:

St + Ss = dt T () + J () (A.16) c q J Jc, J = q T =.

q c Jc Jq Здесь индексы c и q обозначают классическую и квантовую компоненту соответствующей физической величины, т.е. Jc,q = ± J ) и, J 2 (J+ матрицы в пространстве островок-берег:

tk ei itk ei 0, J =. (A.17) = † it† ei tk ei 0 k Удобно избавиться от сильно нелинейного источника (A.14) при помощи подходящей замены переменных. В самом деле, легко убедиться, что с точностью до линейных членов по :


(A.18) T11 (+, ) + J11 (+, ) = T11 + +,.

2 2 Тоже свойство сохраняется для всех элементов матриц T, J. Делая замену:

(A.19) +,, + + 2 мы перекидываем всю зависимость от в гауссову часть действия. Тогда C (A.20) (t)( c + Cg Uc )dt.

Ss = Средний ток (A.14) принимает вид C (A.21) I = c + Cg Uc.

Используя (A.5), с линейной по Uc (t) точностью мы находим ток C Uc (t )dt c (t)q (t ). (A.22) I = Cg Uc + c + iCCg Тогда адмиттанс принимает вид R () (A.23) G() = iCg 1 +.

C Следовательно, C Re G() ImR () = (A.24).

Cg В случае спиновых переменных (сильная связь) мы легко воспроизводим аналогичную формулу (A.23) для адмиттанса, следуя той же схеме рассуждений. Таким образом, мы устанавливаем взаимосвязь между адмиттансом и спиновым поляризационным оператором s приведённую в статье:

Cg R (A.25) G() = i (), Cs где R () определено (A.11).

s A.3 Инстантонные вклады Массивные флуктуации Разлагаем флуктуирующее поле ( ) по базису собственных функций:

где сам базис: (u = e2iT ) [38] ( ) = m Cm m ( ), uz m (, z) = um1, m2, 1 u z 1 1 u z, m 2;

m (, z) = m uz u (A.26) 1 (, z) = 1 |z|2, uz u 1 (, z) = 1 |z|2.

1 uz Здесь ±1 (, z) есть нулевые моды. Тогда коррелятор принимает вид T ( ) ( ) = T Dz m (, z)m (, z) m D1 g/2+2iqW Cm Cm e, D 2 Cm Cm = =, m g(m 1)T gm d2 z T, |z| 1.

Dz = 1 |z|2 Ec Здесь D1 /D0 отношение флуктуационных детерминантов. Их нужно регуляризовывать с некоторой осторожностью. Мы используем схему, предложенную в [32] g 2 Ec D (A.27) = 3.

D0 2 T После алгебраических преобразований получаем eg/22iqW T ( ) ( ) W = 2gEc T 2 ln(1 s) s Ec 1 2 2s ln (1 s) = ln + (1 s) 1s 1s T s II III IV I 1 u, s = = e2iT ( ).

+ s s u Раскладывая в ряд Тейлора по s, находим Ec nsn ln I=, T n= n sn 1 Hn n II = 2 =2 s, 1+n k 1+n n=1 n= k= sn, III = n= n n H n sn.

IV = 2 = s k n=1 n= k= Здесь Hn – гармоническое число. Вклад гауссовых флуктуаций в коррелятор принимает вид eg/22iqW T ( ) ( ) W = 2gEc T (A.28) Ec 2Hn n sn + s s = n ln.

T 1+n s n=1 n= Теперь мы осуществляем аналитическое продолжение Фурье-компонент в область n 1. Нас интересует только линейный по n член:

2n + O(n2 ).

Hn = Извлекая линейную часть и суммируя инстантонный и анти-инстантонный члены, находим |n | Ec T ( ) ( ) = 8gEc eg/2 ln cos 2q n 4T T (A.29) O(n ), + что действительно сокращает перенормировку, приходящую из статсуммы (1.41).

Нулевые моды Соответствующая одно-инстантонная конфигурация записывается в следующем виде:

u zu (A.30), W = ±1.

W = 2T W + u z 1 zu Коррелятор:

d2 z D T ( )( ) = eg/2+2iqW (2T ) W 1 |z| D (A.31) 2n n 2 n n z s+z s.

n Соответствующие Фурье-компоненты:

|n| z D g/2 d2 z. (A.32) T ( )( ) =e 8 T cos 2q n D0 1 |z| Разлагаясь до линейных по n 1 членов, мы приходим к уравнению (1.44).

A.4 Расчёт поляризационного оператора Низший порядок Заметим, что I(n ) = II(n ). Значит, мы можем опустить любую нечётную функцию n при расчёте I(n ). Аналитическое выражение, соответствующее диаграмме I (см. Рис.1.5), выглядит так:

gT 2 |m | 1 I(n ) =.

(i(k + in ) )2 i(k + n + m ) ik k,m Осуществляя суммирование по фермионным частотам, мы находим:

gT I(n ) = nf ( ) 1 |m | (in )2 + i(n + m ) + m m nf ( ), + i(n + m ) ( + im ) где nf (x) = 1/(ex +1) – это функция распределения Ферми. Простая алгебра показывает, что I(n )+II(n ) = III(n ). Таким образом, переходя к пределу мы получаем 2gT I(n ) + II(n ) + III(n ) = |m | e sinh 2T m + n n.

( + im + in )( + im ) Теперь видно, что сумма по m может быть выражена в через логарифмические производные -функций. Ответ дается ур.(1.71).

Уравнение Каллана-Симанчика для Sz z Аномальная размерность оператора Spf определяется следующим образом:

z,r Z Spf (, g ) = Spf (, g, ), z (A.33) где Z даётся (2.69) и обрезка Ec. Для того, чтобы извлечь мы записываем соответствующее КС-уравнение для гриновской функции:

Fpf (, g, ) = 1. В древесном приближении для Fpf :

Fpf () = e sinh (A.34).

2T Следуя общей философии ренорм-группы, при помощи (Б.26), мы выписываем нужное КС-уравнение на функцию Fpf (, g, ) в следующем виде:

d ln Z (A.35) + g + Fpf (g,, ) = 0, ln g d ln где соответствующие - функции равны g2 g (A.36) g = 2, =.

2 Член с g всегда содержит на одну g больше и может быть опущен в главном порядке по g. Используя действие (1.66) мы вычисляем последнее слагаемое:

d ln Z g (A.37) = 2.

d ln Для того чтобы найти, нам нужно знать Fpf в следующем по сравнению с уравнением (A.34) порядке:

g g ln. (A.38) Fpf (, g, ) = e sinh + e 2 cosh 1 2 ln 2T 2 4 T 2T Здесь - характерный масштаб взаимодействия. Подставляя (A.37) и (Б.29) в (Б.27), мы находим:

(A.39) = 2.

Точное выражение для поляризационного оператора Для того чтобы вычислить диаграмму для поляризационного оператора (Рис.1.6), мы следуем схеме, предложенной впервые Элиашбергом. [57] Сначала мы устанавливаем аналитические свойства вершинной функции (z, z + in, in ) как функции комплексной переменной z. Операторное выражение для вершинной функции выглядит так (A.40) (1, 2 ) = T ( ) ( ) (1 ) (2 ).

Её лемановское представление записывается следующим образом:

(z, z + i, i) = T 4 Wlnmk Wlkmn nklm ek + el el + en ekn kn i z + i ln z + kl (A.41) en + em el + en elm +, lm i z + i ln z + nm Wlnmk = l| |n m| |k.

Теория функций комплексного переменного учит, что сумма (A.41) определяет функцию с двумя горизонтальными разрезами: Im(z + i) = и Im(z) = 0. Для простоты сосредоточим внимание на запаздывающей вершинной функции n 0. На следующем шаге мы определяем три вершинных функции в соответствии со структурой разрезов:

RRR (z, z + i, i) при Imz 0, (A.42) ARR (z, z + i, i) при in Imz 0, AAR (z, z + i, i) при Imz in.

Общее выражение для (in ) тогда принимает вид:

T (in ) = (ik, ik + in, in )G (ik + in )G (ik ) 4 k (A.43) d = tanh (, + in, in )G ( + in )G ().

16i 2T C Контур C показан на Рис.3.5. Как обычно, интеграл вдоль большой RRR Im() = ARR Im( + i) = AAR C Рис. 3.5: Контур для поляризационного оператора ().

окружности исчезает и остаётся вычислить интегралы вдоль различных берегов разрезов:

1 d (in ) = tanh 4 4i 2T RRR (, + in, in )GR ( + in )GR () (A.44) ARR (, + in, in )GR ( + in )GA ()+ +ARR ( i,, in )GR ()GA ( in ) AAR ( in,, in )GA ()GA ( in ).

Im(z + i) = Im z = Im(z + i + i) = Рис. 3.6: Контур для вершинной функции ARR.

Осуществляя аналитическое продолжение in + i0, мы получаем результат (1.86).

Уравнение Дайсона для вершины Следуя шагам, обрисованным в предыдущем параграфе, мы выводим выражение для вершинной функции. Контур C зависит от типа вершины, которую мы хотим извлечь из (3.9). Контур для вершины ARR изображен на Рис.3.6. Результат выглядит так ARR (, +, ) = 1 I + II III, (A.45) где dx A G (x)GR (x + )ARR (x, x +, ) I= 4i x xR x+ A 2iIm R (x ) coth tanh (x ) + tanh (x ), 2T 2T 2T dx x R (x )GR (x)GR (x + )RRR (x, x +, ) tanh II =, 4i 2T dx A x+ (x )GA (x)GA (x + )AAR (x, x +, ) tanh III =.

4i 2T (A.46) Здесь функция (z) есть пропагатор взаимодействия, чей мацубаровский образ показан на Рис.1.4. Как обычно, он имеет разрез Im z = 0, что позволяет нам определить две функции:

i i R () = g, A () =. (A.47) g 4 Интегралы, входящие в II и III явно аналитичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Следовательно, мы можем превратить эти интегралы в соответствующие суммы по мацубаровским частотам in. Далее легко доказать следующие равенства:

RRR (in, in +, ) = ARR (in, in +, ), (A.48) AAR (in ARR (in, in, ) =, in, ).

Таким образом, мы сильно упрощаем наше дайсоновское уравнение, переписывая его через единственную вершинную функцию ARR. Далее in gi ARR (in, in +, ) II =, (in )(in + ) 4 n (A.49) in gi ARR (in III =, in, ).

(in )(in ) 4 n Как обычно, схема регуляризации позволяет нам опустить суммы.

Подынтегральное выражение члена I, однако, содержит GA GR. Как следствие, оно сингулярно при, g 0, как это разъясняется в главной части работы. Таким способом приходим к ур.(1.89).

A.5 Вероятности перехода Для вычисления вероятностей 0 и будем следовать стандартной схеме.

Введем гейзенберговские -операторы в соответствии с d ei t, ak eik t. (A.50) d (t) = a (t) = k Тогда матричные элементы в базисе чисел заполнения становятся 0|d |1 ei( +)t. (A.51) 0|d |1 = Как обычно, мы изменяем гамильтониан калибровочным преобразованием фермионных полей (подразумевается подход функционального интеграла):

Cg d (t) d (t)ei C U (t)dt (A.52), где U (t) = U cos t. Теперь вся зависимость от U (t) переброшена в туннельную часть гамильтониана:

Cg tk a† d ei C U (t)dt + h.c. (A.53) Ht = k k, Теперь рассчитаем вероятность 10 (t). Начальное и конечное состояния:

|i = |k, N, (A.54) d† ak |k, N |f =.

Здесь k (N ) – число электронов на островке (береге). Как обычно, S матричный формализм даёт необходимую амплитуду в виде:

t A10 (t) = i f | Ht (t)dt|i (A.55) t i|a† d = i Ht (t)dt|i.

k Теперь, используя малость U (t)dt представляем = (U /) sin t, туннельный гамильтониан в виде iCg U tk a† d 1 + sin t + h.c. (A.56) Ht = k C k, Соотношения детального-равновесия для вероятностей перехода выглядят следующим образом:

0 () = 0 (), 01 (A.57) 01 (t, ) = 10 (t, ).

Подставляя (A.56) в (A.55) и интегрируя, получаем амплитуду перехода A10 (t) = t† (1 n )nk ei( k +)t k 1 Cg U (A.58) k + i0 2C eit eit.

k k + i0 k k + + i Возводя ее в квадрат, осуществляя тепловое усреднение и интегрируя, мы получаем полное выражение для вероятности в режиме линейного отклика:

e2t g sds Cg U W10 (t) = es 1 (s )2 + 8 C (A.59) eit eit + c.c., s + i0 s i0 s + i где g определена в (1.12). Теперь мы находим скорость вероятности перехода как производную от вероятности. 10 (t) = dW10 (t)/dt. Тогда получаем следующее выражение g ds s 10 () = s 2i e 1 (A.60) s + i0 s i 1.

s i0 s + + i Подынтегральное выражение хорошо сходится в комплексной плоскости, и интеграл легко берется:

g 1 + 10 () = + 2 + i0 e(+) 1 e (A.61) in 1 +T.

in in in + n= Выражая сумму через логарифмическую производную -функции, мы получаем (1.107). С помощью (A.61) и (A.57) мы устанавливаем следующее полезное соотношение:

g (A.62) 10 () 01 () =.

Б Приложения к части Б.1 Келдышевская форма действия АЭШ В этом приложении мы приводим вывод неравновесного келдышевского действия из гамильтониана (1.3) (1.6). Чтобы избавиться от неудобного 4-х фермионного электрон-электронного взаимодействия в (1.6), его необходимо распарить, используя бозонное поле Хаббарда-Стратоновича (t). После этого совершается калибровочное преобразование начальных электронных операторов:

d† (t) d† (t)ei(t), d (t) d (t)ei(t). (Б.1) Действие становится квадратичным по фермионным операторам:

S = S0 + Sc + St, (r) a† (it k )ak, d† (it )d + (d) S0 = k k (Б.2) 2 dt + q Sc = dt, 4Ec tk a† d ei + H.c. dt.

St = k k, Здесь для простоты мы рассматриваем островок, соединённый с единственным резервуаром. Индекс d обозначает электроны, относящиеся к островку и r - к резервуару. Интегралы следует понимать как контурные, взятые по келдышевскому контуру. Интегрируя по фермионам, мы получаем эффективное действие для бозонного поля :

Se = itr ln(G1 + T ) + Sc. (Б.3) Здесь матрицы G, T имеют следующую структуру в пространстве резервуар островок:

Gk,d 0 0 tk X Xc Xq G=, T =, X=, † † 0 G,r tk X 0 Xq Xc (Б.4) где Xc,q определены в ур.(2.5). Раскладывая Se до второго порядка по T, мы находим i (Б.5) Se = tr GT GT + Sc.

Разложение верно в пределе gch 1 и Nch 1. Таким образом, приходим к диссипативной части действия АЭШ в форме (2.6) с поляризационным оператором, заданным следующими общими выражениями:

i |tk |2 GK (t, t)GR,A (t, t ) R,A (t, t ) = k,r,d 2g k, + GA,R (t, t)GK (t, t ),,d k,r (Б.6) i GK (t, t)GK (t, t ) K |tk | (t, t ) = k,r,d 2g k, + GR (t, t)GA (t, t ) + GA (t, t)GR (t, t ).

k,r,d k,r,d Если электронная плотность состояний в островке и резервуаре медленно меняется вблизи поверхности Ферми, становится возможным выполнить суммирование по и k и воспроизвести ядро действия в форме (2.7).

Б.2 Электронная собственная энергия Здесь для удобства представлены выражения для электронной собственно энергетической части, необходимые при выводе кинетического уравнения в разделе 2.2. Как следует из Рис. 2.2, низший по 1/Nch вклад в собственно энергетическую часть описывается следующими выражениями:

R,A (t, t ) = i (2)2 [( )( )]1/ t† tk GR,A (t, t )DK (t, t ) + GK (t, t )DR,A (t, t ) k,r k k,r k K (t, t ) = i (2)2 [( )( )]1/2 (Б.7) t† tk GK (t, t )DK (t, t ) + [GR (t, t ) GA (t, t )] k,r k,r k,r k k [DR (t, t ) DA (t, t )].

В случае постоянных плотностей состояний в островке и резервуаре они могут быть упрощены и записаны в виде (2.12).

Б.3 Туннельная плотность состояний Туннельная плотность состояний электронов внутри островка определяется через соответствующую полную запаздывающую гриновскую функцию начальных фермионных операторов 1 iGR (t, t ) = d+ d+ ei(+ + ) d+ d ei(+ ) d + d d ei( + ) d d ei( ) (Б.8) + 1RK Gt,t Dt,t + GK Dt,t A = t,t Здесь операторы d± d± (t), d± d± (t ) это калибровочно-преобразованные операторы электронов внутри островка (см. уравнение Б.1.) Индексы ± соответствуют верхней (нижней) части келдышевского контура.

Переходя к вигнеровскому представлению, мы получаем GR () = GR ( + )B Im D R d,d d +D F+ Im GR ( + ) Ad (Б.9).

d Тогда, туннельная плотность состояний приобретает вид 1 d d () = Im GR () = d R d (Б.10) Im D B F+.

d Уравнение (Б.10) описывает туннельную плотность состояний электронов внутри островка в неравновесном режиме для произвольного электронного F d.

распределения В равновесии выражение (Б.10) приводит к результату (2.24).

Б.4 Перенормировка действия АЭШ в пределе g В данном приложении мы приводим детали вывода уравнения (2.32), описывающего перенормировку константы связи g при неравновесных условиях в режиме слабой кулоновской блокады. В соответствии с общей философией перенормировки мы производим последовательное интегрирование по высоко-частотным модам полей, входящих в статистическую сумму. Мы разбиваем скалярное поле на медленную и быструю компоненты +, где = (c, q ) и = (c, q ) и раскладываем действие до второго порядка по быстрому полю :

(t)Kt,t [](t ) dtdt, S[] S[] + bt [](t) dt + (Б.11) 2S S bt [] =, Kt,t [] =.

(t)(t ) (t) =0 = Затем мы интегрируем по быстрым полям и получаем эффективное действие для медленных компонент:

1 d1 d2 † i b1 K1 2 b2 + tr ln K Se [] = S[] (2) 2 (Б.12) = S[] SI + SII.

Здесь частоты 1, 2 лежат в частотном интервале [, ],. След берется, как по частотам в данном интервале, так и по компонентам в келдышевском пространстве. Высоко-энергетический масштаб в действии АЭШ естественно устанавливается первым членом в ур. (2.4): gEc. Заметим, что линейный по (t) член в (Б.11)в общем случае не исчезает. Но, как будет показано ниже, он иррелевантен, так как ведет к нелогарифмическим поправкам вида 1/.

Далее мы производим следующее разбиение:

K 1 [] = K 1 [0] + K 1 [] K 1 [0] K 1 [0] + K 1 [] (Б.13) и рассчитываем последнее слагаемое пертурбативно. Оператор K 1 [0] определяет пропагатор быстрых полей. Он соответствует пертурбативной гриновской функции действия АЭШ, выражение для него следует из уравнений (2.6)-(2.7):

K R (t, t ) = i c (t)q (t ), K A (t, t ) = i q (t)c (t ), K K (t, t ) = i c (t)c (t ). (Б.14) В ведущем порядке вигнеровское преобразование пертурбативной функции Грина даётся следующим выражением:

4i R A† (Fd = K = K g F ) d, g g (Б.15) K R K = 2i Im K B, где мы пренебрегли всеми производными по медленному времени, поскольку нас интересуют только высокие частоты. Физическая электронная функция распределения всегда имеет sign-функцию своим пределом на бесконечности:

F sgn(),. Это приводит к результату:

2i R A† K = Kp, =, g + Q g d(1 Fd F ) (Б.16) B =, 2g( + Q) d g d Fd F.

Q = 2 g Вообще говоря, Q отличается от нуля. Далее мы получаем:

1 d dtdt b(t)† K[0] ei(tt ) b(t ) SI = 2 1 d1 d2 (Б.17) dtdt b† (t)ei1 (tt1 ) K1 [0] 2 (2) K 1 []t1 t2 K2 [0]ei2 (t2 t ) b(t ).

Интегрируя по быстрым частотам, 1, 2, мы видим, что первый интеграл 1/((t t )) и второй 1/((t t1 )(t t2 ) ). Таким образом, они не существенны для ренорм-группового анализа. Это означает, что только член SII содержит логарифмический по вклад.

Как всегда, нас интересует первый неисчезающий, зависящий от вклад:

i tr K[0]K 1 []. (Б.18) SII Рассчитывая след в уравнении (Б.18), мы получаем i d dtdt K SII = K ( ) 2 || (Б.19) A 0 (t, t ) X (t ) c.

Xc (t)Xq (t) R (t, t ) K (t, t ) Xq (t ) Подставляя его в (Б.12), мы видим, что структура действия АЭШ полностью восстанавливается. Единственная разница состоит в изменении константы связи, дающаяся уравнением (2.32). Отметим, что в случае ненулевого значения Q уравнение (2.36) должно замениться на max{d, Tr, Tl, |Q|}.

Б.5 Перенормировка псевдо-фермионного действия Здесь мы приводим детали перенормировки севдо-фермионного действия (2.53), используемого в разделе 2.5.

+ R, =, exact Green’s GR, = function Рис. 3.7: Уравнение Дайсона для псевдо-фермионной собственно-энергетической части.

Перенормировка Z,, и g.

Точная псевдо-фермионная функция Грина может быть записана как R (Б.20) G, =.

R, Здесь = /2. Чтобы записать её в перенормированном виде (2.69) мы переопределяем константы теории и выписываем стандартные соотношения, определяя перенормировочный параметр Z, перенормированную щель и ширину функции Грина :

Z = 1 Re R, (Б.21), = = + Re R, (Б.22), = i = iZ Im R,. (Б.23) g Для того, чтобы найти Z и связать g и со своими голыми аналогами, мы решаем одно-петлевое уравнение Дайсона для собственно-энергетической части, представленное на Рис. 3.7. С помощью уравнения (2.58) мы находим g d Re R, = B Z() 4 (Б.24) Re.

+ iZ Im,R + Здесь важно понимать, что масштабирующий параметр Z не может быть вынесен за знак интеграла. Вообще говоря, он зависит от обрезания и содержит множитель ln(/0 ), где есть ультра-фиолетовая обрезка теории (Ec в нашем случае), в то время как 0 – характерный масштаб гриновской функции, входящей в подынтегральное выражение. Чтобы определить 0 мы замечаем, что интеграл в (Б.24) расходится и определяется поведением подынтегрального выражения на больших частотах. Вот почему характерная частота функции Грина, входящей в (Б.24), есть её бегущая частота: 0. Решая уравнения (Б.24) и (Б.21) с логарифмической точностью, мы получаем 1 Z() g B()Z() (Б.25) =2.

Z 2 () 4 Интегрируя (Б.25) в пределах [0, Ec ], мы приходим к (2.70) в полной аналогии с равновесным случаем. Таким образом, мы очертили процедуру перенормировки, и остальные формулы (2.69)-(2.71) могут быть получены аналогичным образом.

Уравнение Каллана-Симанчика для N pf.

Аномальная размерность оператора N определяется как Z N (Б.26) =N pf (, g ) pf (, g, ).

Чтобы извлечь, мы пишем соответствующее уравнение Каллана-Симанчика для N pf (, g, ) =. В древесном приближении N pf (, g, ) описывается уравнением (A.6). Следуя общей стратегии, мы выписываем соответствующее уравнение Каллана-Симанчика для функции N pf (, g, ) в виде:

g (Б.27) N (g,, ) = 0.

+ g + + ln g Соответствующие - функции легко находятся из уравнения (2.71):

g2 g (Б.28) g =, =.

2 2 2 N = pf Рис. 3.8: Поправка к псевдо-фермионному числу частиц N pf.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.