авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

"Российский государственный торгово-экономический университет"

(РГТЭУ)

На правах рукописи

УДК 517.938.5

Тихонов Сергей Викторович

Типичность, предельное поведение и

спектральные свойства динамических систем

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва – 2013 2 Содержание Введение................................... Некоторые соглашения по обозначениям............... Глава 1. Типичность........................... §1.1. Исследуемые объекты: преобразования и действия групп.... §1.2. Индивидуальные свойства, примеры преобразований и действий §1.3. Разбиения пространства, связанные с действиями или преобра­ зованиями: башни и раскрои.................... §1.4. Топологии и метрики........................ §1.5. Абстрактные теоремы о типичности, применение к простран­ ствам со слабой топологией..................... Глава 2. Аппроксимация перемешивающими действиями в по­ водок-метрике.............................. §2.1. Основная аппроксимационная конструкция........... §2.2. Плотность орбит прямых произведений.............. §2.3. Аппроксимация неперемешивающих действий перемешиваю­ щими................................. Глава 3. Типичность перемешивающих действий........ §3.1. Конструирование действия, близкого в поводок-метрике к пре­ делу слабо сходящейся последовательности действий...... §3.2. Аппроксимация перемешивающих преобразований непереме­ шивающими............................. §3.3. Аппроксимация перемешивающих Z ­ действий неперемешива­ ющими................................ §3.4. Типичные перемешивающие преобразования и действия.... Глава 4. Кратность спектра...................... §4.1. Перемешивающие преобразования с однородным спектром... §4.2. Машина спектральных кратностей................ Заключение.................................. Предметный указатель.......................... Список литературы............................ Введение Актуальность темы исследования.

Работа относится к эргодиче­ ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих ме­ ру, к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодическая тео­ рия рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразо­ ваний (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так назы­ ваемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С. Улама [37] (для гомеоморфизмов), В. А. Рохлина [73] и П. Халмоша [20] (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопро­ сах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффек­ тивны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразова­ ниями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В. А. Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о су­ ществовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложении преобразования в поток потребовали дополнительных тополо­ гических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразова­ ний, то и в этом направлении аппроксимационный подход оказался достаточ­ но эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина [94, 96] (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спек­ тра) и А. М. Степина и А. Б. Катка [63, 64]: была показана, в частности, зави­ симость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппрок­ симировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому момен­ ту вопросы. В дальнейшем аппроксимационный подход развивался в рабо­ тах А. Б. Катка [24, 61], А. М. Степина[95, 44, 99, 100, 46, 103], Д. В. Аносова и А. Б. Катка[56], В. И. Оселедца[71, 72], С. А. Юзвинского[118], О. Н. Агеева [50, 52, 51, 49] и многих других.

Вопросы существования преобразований с теми или иными свойствами, возникающие в эргодической теории, естественно рассматривать для несколь­ ких основных классов: эргодических, слабо перемешивающих и перемешиваю­ щих. Кроме того, в последнее время также рассматриваются "категорные" и групповые формулировки. Первая формулировка означает "типичны ли пре­ образования с выбранным свойством?", вторая — "обладают ли этим свой­ ством групповые действия?". Если преобразования с выбраным свойством типичны, то существуют эргодические и слабо перемешивающие преобразо­ вания им обладающие. Совсем иначе обстоит дело с перемешивающими пре­ образованиями: типичное среди всех преобразований свойство может не вы­ полняться ни для одного перемешивающего преобразования. Всвязи с этим, перемешивания лишены такого важного способа изучения их свойств, как ка­ тегорный подход. Один из общих рассматриваемых в этой работе вопросов звучит так:

Какими свойствами может обладать перемешивающее преоб­ разование?

Конечно, такая формулировка вопроса слишком общая;

мы будем рас­ сматривать более специальные вопросы, например, "перемешивающий" вари­ ант вопроса Рохлина об однородном непрерывном спектре:

Существуют ли перемешивающие преобразования с однород­ ным спектром кратности N?

Сам вопрос был поставлен Рохлиным устно для эргодических преобра­ зований. В печатном виде он присутствует в обзоре А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степина [62, стр. 203]. "Перемешивающая" формулировка (при 2) имеется в работах А. И. Даниленко [6] и В. В. Рыжикова [87]. А. Б. Каток [25] показал, что в типичном случае спектральные кратности декартово­ го квадрата преобразования содержатся во множестве {2, 4} и высказал гипотезу, что число 4 не реализуется, то есть такие квадраты имеют од­ нородный спектр кратности 2. Эта гипотеза подтверждена (независимо) О. Н. Агеевым [1] и В. В. Рыжиковым [43]. Позднее, В. В. Рыжиков, отвечая на вопрос Ж. -П. Тувено, получил тот же результат для перемешивающих преобразований[42]. Для случая 2 в эргодической постановке вопроса по­ ложительный ответ получен О. Н. Агеевым [2]. Доказательство этого факта существенно отличается от случая = 2 применением соображений типич­ ности групп преобразований, а его адаптация на перемешивающий случай требует разработки соответствующего математического аппарата. Эта разра­ ботка проведена диссертантом [113] и будет изложена в настоящей работе.

Следует упомянуть также результат А. И. Даниленко и А. В. Соломко [14] о существовании эргодических действий некоторых абелевых групп с однород­ ным спектром любой кратности.

Важным применением аппроксимационных методов является спектраль­ ная теория эргодических (перемешивающих) преобразований. Мы остановим­ ся на одном вопросе Колмогорова, сыгравшем существенную роль в возник­ новении и развитии теории аппроксимаций, — вопросе о групповом свой­ стве спектра сохраняющего меру преобразования. Он эквивалентен тому, что свертка максимального спектрального типа преобразования подчинена этому спектральному типу. А. Н. Колмогоров (по аналогии с дискретным случаем) полагал, что это так, см. работу Я. Г. Синая [91]. В. А. Рохлин и С. В. Фомин [80] исследовали все известные на тот момент динамические системы и выяс­ нили, что групповое свойство для них выполняется. Я. Г. Синай [92] получил условие, гарантирующее групповое свойство спектра, и доказал его выпол­ нение для широких классов преобразований вероятностного происхождения.

Напротив, развивая теорию аппроксимаций, А. М. Степин [44, 102] показал, что спектральный тип преобразования в типичном случае не подчиняет свой сверточный квадрат, более того, взаимно сингулярен с ним. Заметим также, что вопрос Колмогорова имел и другую (несколько более слабую) трактовку;

в этой трактовке контрпример получил В. И. Оселедец [70]. Он также постро­ ил первый пример преобразования без группового свойства с непрерывным спектром [71]. Для перемешивающих преобразований отсутствие группового свойства доказал В. В. Рыжиков [42].

Сингулярность спектрального типа преобразования со своим сверточ­ ным квадратом оказалась связана с следующим вопросом Рохлина (о крат­ ном перемешивании):

Какие перемешивающие преобразования обладают перемеши­ ванием всех кратностей?

Одним из самых заметных результатов в этом направлении, получил Б. Ост [21], доказавший, что взаимная сингулярность максимального спек­ трального типа и его сверточного квадрата гарантирует перемешивание лю­ бой кратности.

Вопрос о кратном перемешивании и его различные вариации исследова­ лись многими авторами. Этот инвариант ввел В. А. Рохлин, установив крат­ ное перемешивание для эргодических эндоморфизмов компактных групп [76], С. А. Каликов [22] рассматривал преобразования ранга 1. Ф. Ледрапье [30] по­ строил перемешивающее действие группы Z2 не перемешивающее кратно.

В. П. Леонов [68] показал, что перемешивающие гауссовские системы облада­ ют перемешиванием всех кратностей, Б. Маркус [32] доказал, что свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. А. Н. Старков [93] установил аналогичный факт для однородных перемешивающих потоков, Ш. Мозес [35] для широкого класса групп Ли. В серии работ В. В. Рыжикова доказано кратное перемешивание для перемешивающих преобразований ко­ нечного ранга [83], R ­ действий положительного ­ ранга [85], ­ простых си­ стем [84], перемешивающих R ­ действий все элементы которых сопряжены [81]. Р. А. Яссави [48] обобщала результаты Рыжикова для действий с поло­ жительным ­ рангом на коммутативные группы.

С некоторого момента в изучении динамических систем все заметнее становится роль групповых вопросов. Тому имеется несколько причин — в первую очередь, успешное применение групповых действий для решения классических задач теории сохраняющих меру преобразований[94, 98, 45].

Имеется много примеров такого рода — ответ на вопрос А. Н. Колмогорова о групповом свойстве спектра был вначале получен А. М. Степиным[94] для групп преобразований, О. Н. Агеев доказал типичность преобразований, яв­ ляющихся Z2 ­ расширениями [52], существование преобразований ранга 1, изоморфных своему квадрату [3] и преобразований, имеющих однородный спектр произвольной кратности [2], В. В. Рыжиков[89] и А. И. Даниленко[7] использовали групповые действия для получения эргодических преобразова­ ний с нетривиальными наборами спектральных кратностей.

Многие свойства преобразований (например, слабое перемешивание, неизоморфность обратному, существование корней) имеют естественные ана­ логи для групповых действий. Однако, в силу исторических причин и бо­ лее важной роли преобразований в приложениях, типичность таких свойств лучше изучена именно для преобразований. Естественным образом возника­ ет вопрос о возможности "переноса" утверждений о типичности на группы преобразований и обратно. Более общо, нас будет интересовать ответ на сле­ дующий вопрос:

Как связаны между собой типичные свойства элементов в раз­ личных метрических пространствах?

Этот вопрос перекликается с категорной формулировкой ряда извест­ ных проблем эргодической теории ("категорная формулировка" вопроса о каком­ нибудь свойстве действий означает вопрос о типичности действий с этим свойством). Вот некоторые из них:

вопрос Халмоша о существовании квадратного корня [117];

вопрос Рохлина о вложении преобразования в поток и о количестве этих потоков [74, 104];

вопросы де ла Рю и де Сэм Лазаро [41] о вложении Z ­ действия в инъ­ ективное R ­ действие и о вложении Z2 ­ действия в поток;

уже упомянутый вопрос Рохлина о существовании перемешивающих преобразований разной кратности [76].

Заметим также, что построенная диссертантом для ответа на рассматри­ ваемый вопрос теория сохраняющих типичность отображений впоследствии развивалась в работах Ж. Миллерея и Т. Цанкова [34], Ж. Миллерея [33] и О. Н. Агеева [4].

Одно из главных направлений работы — исследование типичных групп перемешивающих преобразований.

Направление представляется важным в двух аспектах.

Во-первых, типичность является хорошим средством для доказатель­ ства теорем существования. Например, типичность любых двух свойств сохраняющих меру преобразований гарантирует существование слабо пе­ ремешивающего преобразования с обоими этими свойствами. Последние исследования[2, 7, 89] показывают, что преобразования с нетипичными свой­ ствами можно получать, извлекая их из типичных групп преобразований.

Общую теорию аппроксимаций групп преобразований развивал А. М. Степин [97]. В его работах также изучаются связи между аппроксимациями групп и их действий[100, 101].

Во-вторых, исследование перемешивающих групп преобразований сдер­ живает отсутствие некоторых методов, применимых к общим преобразовани­ ям. В первую очередь это отсутствие предельного перехода, сохраняющего перемешивание (фактически, для этого нужна метрика, превращающая мно­ жество перемешивающих преобразований в полное пространство, и метрика слабой топологии для этого не подходит). Другим важным методом являет­ ся использование нетривиальных предельных операторов у степеней преоб­ разования. Этот метод применяется во многих работах [102, 31, 87, 89, 90], но напрямую не применим к перемешивающим преобразованиям, у которых только один предельный оператор. В этой связи уместно заметить, что ре­ шение проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектра для эргодиче­ ских преобразований опиралось на наличие у типичного преобразования пре­ дельного оператора особенного вида. Отсутствие такого предела у переме­ шивающих преобразований отодвинуло решение перемешивающего варианта вопроса Колмогорова на три десятка лет. Для того, чтобы обойти эту про­ блему, В. В. Рыжиков [42] рассматривал преобразования с более сильными, чем отсутствие группового свойства, ограничениями, причем это ограниче­ ния продолжали выполняться при подходящей аппроксимации перемешива­ ющего преобразования слабо перемешивающими конструкциями ранга 1. Мы будем использовать несколько иной подход, связанный с типичностью и не ограниченный рамками ранговых конструкций.

Резюмируя выше сказанное, нас интересуют следующие вопросы:

Какие метрики можно ввести на множестве перемешивающих преобразований? Какие перемешивающие преобразования типич­ ны?

Заметим, что для изучения типичности требуется, чтобы метрика была полной.

Цели и задачи. Основной целью работы является создание категор­ ных и аппроксимационных методов исследования перемешивающих преобра­ зований, а также перемешивающих и неперемешивающих групп.

К целям работы также относятся:

исследование типичных свойств Z ­ действий;

исследование типичных свойств перемешивающих преобразований и пе­ ремешивающих Z ­ действий;

исследование спектральных свойств индивидуальных перемешивающих преобразований.

Рассматриваются следующие вопросы:

I. Какие метрики можно ввести на множестве перемешиваю­ щих преобразований? Какие перемешивающие преобразования ти­ пичны?

II. Как связаны типичные свойства в различных метрических пространствах?

III. Какие перемешивающие преобразования обладают переме­ шиванием всех кратностей?

IV. Какие наборы спектральных кратностей могут быть у пе­ ремешивающего преобразования?

В рамках поставленных вопросов изучаются следующие проблемы и за­ дачи:

1. Задача построения полной метрики на множестве перемешивающих пре­ образований. Желательным свойством этой метрики является сепара­ бельность получившегося пространства и связь с метрикой на простран­ стве всех преобразований.

2. Проблема Т. де ла Рю и Х. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2 ­ действия в поток.

3. Задача о плотности классов сопряженности прямого произведения пе­ ремешивающих действий группы в пространстве перемешивающих ­ действий.

4. Проблема Рохлина о кратном перемешивании в категорной формули­ ровке.

5. Проблема Рохлина о существовании преобразований с однородным спек­ тром кратности 2 в классе перемешивающих преобразований.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и получены автором лично. Основные из них следующие:

Введена метрика, относительно которой множество перемешивающих преобразований становится полным сепарабельным метрическим про­ странством. Аналогичная метрика введена для перемешивающих дей­ ствий широкого класса локально­ компактных групп.

Введено понятие сохраняющих типичность отображений, получены до­ статочные условия сохранения типичности. Как следствие, получен от­ вет на вопрос Т. де ла Рю и Х. де Сэм Лазаро о вложении типичного Z2 ­ действия в поток и доказано сохранение типичности для отображений ограничения R ­ действий на группу Z.

В классе перемешивающих преобразований получен положительный от­ вет на вопрос В. А. Рохлина о реализуемости однородного спектра крат­ ности N.

Изучены свойства типичных перемешивающих преобразований. Дока­ зано, что типичное перемешивающее преобразование имеет нулевую эн­ тропию, дизъюнктно своему обратному, имеет простой спектр. Получен ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в категорной форму­ лировке: установлено, что типичное перемешивающее преобразование обладает перемешиванием любой кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоре­ тический характер. Представленные методы могут быть применены для ис­ следования перемешивающих и сохраняющих меру преобразований в эрго­ дической теории и теории динамических систем. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам и эр­ годической теории, а также в научно­ исследовательской работе математиков, работающих в этих направлениях.

Методология и методы исследования. В работе используются ка­ тегорные и аппроксимационные методы исследования.

Степень достоверности и апробация результатов. С материалами диссертации автор выступал на следующих научных семинарах:

МГУ, механико­ математический факультет: семинар под руковод­ ством академика Д. В. Аносова, профессора Р. И. Григорчука, профессора А. М. Степина;

МГУ, механико­ математический факультет: семинар под руководством профессора Б. М. Гуревича, профессора В. И. Оселедца и доктора физико­ математических наук С. А. Пирогова;

МГУ, механико­ математический факультет: семинар под руководством профессора А. М. Степина;

ИАТЭ: семинар под руководством профессора Р. В. Плыкина и профес­ сора Е. А. Сатаева;

ИППИ РАН: Семинар Добрушинской математической лабратории под руководством профессора Р. А. Минлоса и гл.н.с. М. Л. Бланка.

Диссертационные результаты были представлены на следующих науч­ ных конференциях:

российско­ французская конференция “Lyapunov Exponents and Related Topics in Dynamics and Geometry” в Независимом Московском Университете (2005г.);

конференция “Современные проблемы математики, механики и прило­ жений посвященной 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского” (МГУ, 2011г.);

международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2011г.);

международная конференция анализ и особенности, посвященная 75-летию со дня рождения В. И. Арнольда ( Математический институт им.

В. А. Стеклова РАН, 2012г.);

Научная конференция "Ломоносовские чтения" в МГУ (2013г.).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 10 лич­ ных и одной совместной работе, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК.

Полный список работ приведен в конце автореферата. Основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 217 стра­ ниц текста, из которых 13 отведено на библиографию. Структура диссерта­ ции включает введение, четыре главы, разбитые на 14 параграфов, заключе­ ние, предметный указатель и список литературы, включающий 118 наимено­ ваний.

Обзор результатов диссертации.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цели и задачи исследования, показаны научная новизна и прак­ тическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1.

В этой главе определяются рассматриваемые объекты, устанавлива­ ются связи между типичными свойствами в различных метрических про­ странствах, вводится полная метрика для пространств перемешивающих ­ действий, то есть исследуются вопросы I и II.

Под преобразованием в работе понимается обратимое сохраняющее меру преобразование пространства Лебега с непрерывной нормированной мерой.

Множество всех таких преобразований обозначим через.

Преобразование называется перемешивающим (или перемешивани­ ем), если для любых измеримых множеств, и 0 существует число N такое, что | ( ) () ()|, при всех ||.

Действием группы называется отображение из в, сохраняющее групповую структуру и такое, что для любых измеримых мно­ жеств и отображение ( ) непрерывно. В разных частях работы рассматриваются действия различных групп и условия, наложенные на группы, будут сформулированы несколько позднее.

Действие называется перемешивающим на неограниченном множе­ стве, если для любых измеримых множеств, и 0 существует ограниченное множество такое, что | ( ) () ()|, при всех. Если в качестве можно взять всю группы, то действие называется перемешивающим.

На протяжении работы изучаются следующие пространства:

множество всех обратимых сохраняющих меру преобразований про­ странства Лебега;

множество всех обратимых сохраняющих меру перемешивающих преобразований;

множество действий группы, то есть непрерывных отображений в, сохраняющих групповую структуру;

множество перемешивающих действий группы ;

множество, действий группы, перемешивающих на неограничен­ ном множестве.

После введения основных понятий изучаются топологии и метрики рас­ сматриваемых пространств. Изучаются две метризуемых топологии: сла­ бая топология, введенная П. Халмошем и поводок­ топология, введенная дис­ сертантом. Для определения соответствующих метрик фиксируется счетное плотное подмножество { } ­ алгебры измеримых множеств (плотность озна­ чает, что для любых измеримого множества и числа 0, найдется такой номер, что ( ) ). Слабая топология в пространстве задается любой из метрик 1 ( ( ) + 1 ( )) d (, ) = или | ( ) ( )|.

a (, ) = 2+, Относительно метрики d множество является польским пространством, относительно метрики a множество не полно.

Для поводок­ топологии также рассматриваются две метрики: метрика w задается формулой w (, ) = sup a (, ), N а поводок­ метрика m — формулой m (, ) = d (, ) + w (, ).

Множество перемешивающих преобразований является подмножеством и на него индуцируются все приведенные метрики и топологии.

Основным результатом здесь является решение задачи 1:

Теорема 1.1. Множество с метрикой m является польским простран­ ством.

Заметим, также, что относительно метрик, d, w множество не пол­ но, более того, по теореме Александрова об абсолютной [54], множество не может быть полным пространством, относительно любой метрики, порож­ дающей слабую топологию. Поводок­ топология имеет два важных качества:

она сравнима со слабой топологией (точнее, она сильнее чем слабая тополо­ гия) и множество с этой топологией является сепарабельным простран­ ством. Эти качества позволяют считать введение поводок­ топологии разум­ ным шагом для изучения перемешивающих преобразований.

Введенные понятия обобщаются на случай локально­ компактных неком­ пактных хаусдорфовых групп со счетной базой окрестностей. Для этого фик­ сируется покрытие множества образующих группы не более чем счетной си­ стемой компактов { }.

Метрика слабой топологии d в пространстве задается формулой sup d (, ).

d (, ) = Таким образом, метрика слабой топологии в пространстве определя­ ется с помощью метрики слабой топологии, взятой из пространства.

Задать слабую топологию можно также с помощью метрики sup a (, ).

a (, ) = Метрика w определяется формулой w (, ) = sup a (, ), а формула для поводок­ метрики m не меняется. Пространства и яв­ ляются польскими относительно метрик d и m соответственно.

Если — неограниченное подмножество, то в, также можно ввести поводок­ топологию, задаваемую любой из метрик w (, ) = a (, ) + sup a (, ) и m (, ) = d (, ) + w (, ).

Следующая теорема дает ответ на вопрос I в групповой формулировке:

Теорема 1.3., является польским пространством относительно метрики m.

Результаты для пространств и не являются новыми (хотя, некото­ рые из них можно найти в литературе лишь в виде упоминаний) и в общих чертах известны с 60-х годов прошлого века. Результаты, связанные с пово­ док­ метрикой, получены автором [111, 112, 113, 110, 47].

Еще одна тема, рассматриваемая в первой главе, — связь между типич­ ными свойствами в различных польских пространствах. Она изучается в S1.5.

Напомним, что множество в польском пространстве называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных открытых множеств и существенным, если оно содержит массивное подмножество. Дополнение существенного множества называется тощим множеством. Свойство назы­ вается типичным, если оно выполнено для элементов существенного множе­ ства.

В пункте 1.5.1 рассматриваются связи между типичностью в польском пространстве и некотором его подпространстве. Точнее, рассмотрим пару ) (,, где — полное метрическое пространство, относительно метрик d и m, а — его подпространство, полное относительно метрики m ;

пара ( ), обладает свойством, если для любых, и найдется такое, что d (, ) и m (, ) m (, ) +.

( ) Теорема 1.4. Пусть пара, удовлетворяет условию и { } — счетный набор ­ подмножеств, замыкание каждого из которых в m ­ метрике содержит. Тогда пересечение — массивное под­ множество.

Как показано в дальнейшем, свойство выполнено для пары (, ) и, при некоторых условиях на и, для пар (, ) и (,,, ) (с естественными метриками этих пространств d и m). Таким образом, ко всем этим парам применима теорема 1.4.

В пункте 1.5.2 приводятся примеры типичных и нетипичных свойств преобразований. Эти результаты получены различными авторами в разное время;

приведены ссылки на соответствующие работы. В дальнейшем они используются для доказательства аналогичных утверждений для действий группы Z.

В пункте 1.5.3 также рассматривается связь между типичными свойства­ ми в польских пространствах, но в отличии от пункта 1.5.1 никаких условий на используемые метрики не накладывается. Для этого вводится следующее понятие: непрерывное отображение называется сохраняющим типичность, если полный прообраз и полный образ каждого существенного множества при отображении также является существенным множеством. Будем гово­ рить, что польское пространство обладает свойством плотности образов (СПО), если существует счетный набор { } гомеоморфизмов в себя таких, что для типичного множество { } всюду плотно в. В этом слу­ чае будем называть СПО­ пространством, а набор гомеоморфизмов { } выделенным. Мы доказываем (теорема 1.5), что для сохранения типичности непрерывным отображением : двух СПО­ пространств с выделенны­ ми множествами гомеоморфизмов { } и { }, достаточно выполнения следу­ ющих условий:

1. { } = { } для всех ;

2. для типичного множество 1 () всюду плотно в.

{ } Все пространства,,,,, являются СПО­ пространствами отно­ сительно сопряжений счетным плотным в множеством преобразований.

Далее, устанавливается типичность (или нетипичность) отображений ограничения, : { } { } действий группы на группу. В частности, отображение R,Z сохраняет типичность для и не сохра­ няет в противном случае (Утверждение 1.32). Некоторые дополнительные соображения позволяют получить следующий результат:

Утверждение 1.33. Типичное Z+ ­ действие не вкладывается в R ­ действие при N.

При = 1 и = 2 это — решение проблемы 2. Теория СПО­ пространств развивалась в работах автора [107, 108, 109].

Глава 2.

В этой главе изложены основные аппроксимационные утверждения для перемешивающих действий и решена задача 3. Основная цель — получить некоторый аналог леммы Халмоша о сопряжении для пространств переме­ шивающих действий и преобразований.

Действие группы называется свободным, если мера множества { | = } {0} равна нулю. При = Z соответствующее преобразование 1 называется апе­ риодическим.

Лемма (Лемма Халмоша о сопряжении). Класс сопряженности { 1 } апериодического преобразования всюду плотен в слабой топологии пространства.

Группа является моноблочной аменабельной, если она имеет (фельне­ ровскую) последовательность блоков, то есть возрастающую последователь­ ность конечных подмножеств { }, исчерпывающую и такую, что #{ } 1. Для любого, имеем 1 при, где "#" означает # количество элементов в группе.

2. Для каждого { } найдется набор { } элементов группы для которого =.

Полный аналог леммы Халмоша о сопряжении выполняется для дей­ ствий дискретных аменабельных моноблочных групп. Мы будем называть их АМ ­ группами.

Так как поводок­ топология сильнее слабой, то изучение аналогов леммы Халмоша о сопряжении в пространствах естественно ограничить случа­ ем, когда — АМ­ группа. Также, с этого момента в качестве мы будем рассматривать только неограниченные подгруппы. Заметим также, что сопряженные типичному перемешивающему ­ действию любой дискретной группы плотны в поводок­ топологии в пространствах и,. Однако, нам нужны конкретные, легко проверяемые условия, при которых класс со­ пряженности действия всюду плотен. В этой главе рассматриваются классы сопряженности декартовых произведений свободных ­ действий.

В S 2.1 определяется вспомогательное ­ действие. Оно является част­ ным случаем косого произведения (предложенного Анзаи [5]), определяется некоторым набором параметров в том числе счетным или конечным набо­ ром элементов { }. Подбор этих параметров — основной инструмент в дальнейших аппроксимационных конструкциях.

Конструкция действия различается в абелевом (когда набор { } ле­ жит в центре () группы ) и не абелевом случае (когда { } не лежит в центре ()).

В пункте 2.1.1 рассматривается абелев случай. Для ­ действий и, набора непересекающихся множеств E = { }, набора элементов { } () и числа N строится ­ действие такое, что ( a, + ( ), ) a (, ), для любого ­ действия.

В пункте 2.1.2 рассматривается неабелев случай.

Для ­ действий и, набора непересекающихся множеств E = { }I, индексированного множеством I, конечных множеств, { }, { } таких, что = I, строится ­ действие, для любого ­ действия удо­ влетворяющее неравенству | ( ) ( )| ) ( ( 1.

) ( ),,, В параграфе 2.2 эти конструкции применяются для решения задачи 3.

При этом, окончательной формулировкой можно считать следующую:

Теорема 2.5. Пусть — AM-группа, ее неограниченная подгруппа и, — свободные, перемешивающие на, действия группы. Тогда мно­ жество 1 ( ) всюду плотно в,.

{ } В параграфе 2.3 доказывается, что если — дискретная AM-группа, а Г — ее неограниченная подгруппа, то пара (,,, ) обладает свойством. Это позволяет применять теорему 1.4 для изучения типичных свойств в,.

Результаты параграфов 2.2 и 2.3 получены диссертантом [109, 112, 113].

Глава 3.

В этой главе продолжается аппроксимационное исследование поводок­ метрики. В отличии от второй главы, осуществляется аппроксимация пере­ мешивающих действий неперемешивающими. Как следствие, получен ответ на проблему 4 о типичности перемешивающих преобразований, обладающих кратным перемешиванием.

С каждым обратимым, сохраняющим меру преобразованием связан (купмановский) унитарный оператор, действующий по формуле.

Мы будем обозначать его той же буквой. Через обозначим ортопроектор на подпространство констант в 2 ().

Оператор = ( ) назовем ­ полиномом, если = + +... + 1 1 + 0 + 1 +... +, причем коэффициенты { } неотрицательны и =.

Пусть P = { } — конечный упорядоченный набор ­ полиномов. Бу­ дем говорить, что преобразование обладает P­ пределом (по неограничен­ ной подпоследовательности { }), если при имеют место сходимости в слабой операторной топологии:

1 ( ), 2 2 ( ),..., ( ).

Понятие P­ предела (без использования этого названия) использовалось, на­ пример, в работах [102, 25, 31, 90] для установления различных свойств пре­ образований.

В S 3.2 доказывается следующий результат:

Теорема 3.3. Пусть — перемешивающее преобразование и { }N — бесконечные наборы натуральных чисел. Зафиксируем положительные числа и удовлетворяющие условию и множество наборов ­ { } полиномов P | #P 2 N. Тогда в (m, )­ окрестности найдется пре­ образование, для каждого обладающее P ­ пределом по некоторой подпо­ следовательности набора.

Опираясь на полученный результат, в S 3.3 доказывается обобщение этой теоремы на случай Z ­ действий.

Теорема 3.4. Пусть — перемешивающее Z ­ действие и { }N — бесконечные наборы векторов. Зафиксируем положительные числа и, удовлетворяющие условию, и множество наборов ­ полиномов { } P | #P 2 N. Тогда в (m, )­ окрестности найдется действие, для каждого обладающее P ­ пределом по некоторой подпоследовательно­ сти набора.

В S 3.4 эти результаты применяются для установления типичных свойств перемешивающих преобразований и Z ­ действий. Основным результатом здесь является ответ на вопрос Рохлина о кратном перемешивании в кате­ горной формулировке (вопрос III, проблема 4):

Теорема 3.7. Типичные перемешивающие преобразования кратно пе­ ремешивают.

Результаты главы 3 получены автором [111, 114, 110? ]. Заметим, что многие категорные результаты S 3.4 можно получить из наличия метрики m, теоремы 2.5 и существования перемешивающего преобразования с нуж­ ным свойством. В случае преобразований, преимущество теоремы 3.4 перед теоремой 2.5 состоит, в первую очередь, в том, что она позволяет вместо перемешивающих преобразований с нужным свойством использовать непере­ мешивающие.

Глава 4.

Эта глава посвящена спектральным приложениям построенной выше теории.

Спектральными кратностями называются существенные (то есть, при­ нимаемые на множестве положительной спектральной меры) значения функ­ ции кратности максимального спектрального типа купмановского оператора, построенного по. Если функция кратности принимает только одно значе­ ние, спектр называется однородным.

S 4.1 изучается вопрос IV о возможных спектральных кратностях пере­ мешивающего преобразования. На этом пути решена проблема 5:

Теорема 4.1. Для любого N существуют перемешивающие преоб­ разования с однородным спектром кратности.

Доказательство базируется на теории, ­ пространств для некомму­ тативных групп, в частности на наличие в таких пространствах метрики m. Идея и реализация (в неперемешивающем случае) однородного спектра с помощью групп преобразований принадлежит О. Н. Агееву [2]. Мы рассмат­ риваем некоторую модификацию использованной им группы, примененную В. В. Рыжиковым [89]. Также, теорема 4.1 существенно опирается на результа­ ты S 3.1 о приближении действия семействами близких (в слабой топологии) прямых произведений.

В S 4.2 продолжается изучение вопроса IV.

В последнее время в изучении возможных спектральных кратностей достигнут заметный прогресс, в первую очередь для эргодических преоб­ разований. Множество N {} называется реализуемым, если су­ ществует эргодическое преобразование, набор спектральных кратностей ко­ торого совпадает с. В. В. Рыжиков и А. И. Даниленко показали, что для преобразований пространства с бесконечной мерой любой набор реализу­ ем эргодическими [11], и более того, перемешивающими [12] преобразовани­ ями. Уже упомянутым результатам О. И. Агеева, В. В. Рыжикова и автора об однородном спектре, предшествовали работы, дающие оценку на наборы спектральных кратностей некоторых преобразований. Первый пример эрго­ дических преобразований с непростым спектром конечной кратности был построен В. И. Оселедцем [70]. В дальнейшем его методы активно развивал Е. А. Робинсон, который построил примеры эргодических [38] и перемешива­ ющих [39] преобразований с конечным набором спектральных кратностей, ограниченных снизу любым заранее фиксированным натуральным числом.

О. Н. Агеев, отвечая на вопрос Робинсона, построил для каждого N пе­ ремешивающие преобразования с максимальным значением функции крат­ ности. А. М. Степин [97] получил некоторые общие аппроксимационные оценки на кратность спектра. Я. Квятковски и М. Леманчик [29] доказали реализуемость любого множества, содержащего 1. А. И. Даниленко [7] по­ строил слабо перемешивающие преобразования, имеющие набор спектраль­ ных кратностей для любого множества, содержащего 1. А. Б. Каток и М. Леманчик [23] показали, что реализуется любое конечное множество, содержащее 2. Ограничение на конечность множества снял А. И. Даниленко [8]. Он же [9] показал реализуемость множеств, содержащих 1 или 2 для перемешивающих преобразований. Соответствующий результат для потоков получен А. И. Даниленко в соавторстве с М. Леманчиком [10].

Кроме этих случаев (которые связаны с наличием удобной реализации преобразований с однородным спектром кратности = 1, 2), известны, в ос­ новном, отдельные серии реализуемых множеств. В частности, В. В. Рыжиков [89] доказал, что для произвольного набора натуральных чисел реализуется множество, состоящее из всевозможных произведений элементов этого на­ бора. Мы получиаем аналогичный результат в случае перемешивающих пре­ образований и конечного набора чисел.

Теорема 4.2. Для любого конечного набора натуральных чисел { } существуют перемешивающие преобразования с неоднородным спектром и набором кратностей, состоящим из всевозможных непустых произведений чисел набора { }.

Доказательство использует теорию, ­ пространств для некоммута­ тивной группы и ее собственной подгруппы. Важными для доказатель­ ства оказываются теорема 4.1, теория аппроксимации перемешивающих Z ­ действий неперемешивающими, полученная в параграфе S 3.4, а также теоре­ ма 1.4 о пространствах действий со свойством.

Результаты главы 4 получены автором [113, 112].

В Заключении излагаются итоги исследования, перспективы и направ­ ления дальнейшей разработки темы.

Некоторые соглашения по обозначениям Пространство Лебега.

Под пространством Лебега в работе понимается множество с -алгеброй борелев­ ских множеств и непрерывной нормированной мерой.

Под множеством в всегда понимается измеримое множество. Преобразование это всегда обратимое, измеримое, сохраняющее меру преобразование пространства Лебега.

Гильбертово пространство.

Рассматривается пространство 2 () функций с интегрируемым квадратом на про­ странстве Лебега. Через 0 () обозначает подмножество 2 (), ортогональное констан­ там. Скалярное произведение обозначается треугольными скобками.,., циклическое про­ странство вектора относительно унитарного оператора обозначается,. Макси­ мальный спектральный тип обозначаем, а для максимального спектрального типа в пространстве, используется обозначение,. Свертка максимальных спектраль­ ных типов операторов и обозначается через *. — оператор проекции на под­ пространство констант в 2 ().

Подмножества групп, операции с ними.

В зависимости от контекста, рассматриваются группы и по сложению и по умноже­ нию. В первом случае единица группы обозначается 0, во втором.

Операции с элементами группы обобщаются на подмножества группы в следующем смысле:

унарная операция применяется к каждому элементу подмножества и полученные элементы объединяются;

бинарная операция, примененная к паре подмножеств и, есть объединение ре­ зультатов этой операции, применяемой ко всевозможным парам вида (, ).

Например, 1 = {1 }, а + =, { + }.

Другие обозначения.

Литеры N, Z, Q, R обозначают соответственно множества натуральных, целых, раци­ ональных и действительных чисел.

Выражение означает, что модуль разности чисел и меньше.

Целая часть дроби обозначается через.

[ ] С помощью решетки # обозначается мощность множества.

Через обозначается тождественное отображение, например, единичный оператор в 2 ().

Глава Типичность §1.1. Исследуемые объекты: преобразования и действия групп Пусть — непрерывное вероятностное пространство Лебега, то есть множество (основание) с ­ алгеброй борелевских множеств и непрерывной нормированной мерой. Согласно [75], все такие пространства изоморфны (с точностью до меры нуль) единичному отрезку. В работе рассматриваются пространства с мерой и сохраняющие эту меру преобразования. Прямое про­ изведение... пространств Лебега состоит из декартова произведения оснований, ­ алгебры... и меры.... Прямое произведение также является пространством Лебега. Общая теория пространств Лебега по­ строена и изложена в [75]. Ниже мы описываем основные изучаемые в работе объекты.

1.1.1. Преобразования.

Два измеримых преобразования пространства Лебега считаются совпа­ дающими, если они отличаются лишь на множестве нулевой меры.

Преобразование сохраняет меру, если для любого измеримого множе­ ства, имеем 1 = ().

( ) Мы будем рассматривать только обратимые сохраняющие меру преоб­ разования.

Множество всех таких преобразований обозначим через.

1.1.2. Групповые действия.

Пусть — сепарабельная локально­ компактная группа. Непрерывным действием группы (­ действием) называется отображение : сохраняющее групповые операции и такое, что для любых, отобра­ жение ( ) непрерывно.

Таким образом, ­ действие — это набор элементов { }, ин­ дексированных элементами группы. Множество всех ­ действий обознача­ ется через. При этом пространства Z и отождествляются при помощи изоморфизма 1.

1.1.3. Перемешивающие преобразования.

Преобразование называется перемешивающим, если для любого 0, любых, существует такое число, что при : || имеем ( ) () ().

Множество перемешивающих преобразований преобразований обозначим че­ рез.

1.1.4. Перемешивающие ­ действия.

­ действие называется перемешивающим, если для любого 0, любых, существует такое множество, что при, имеем / ( ) () ().

Множество перемешивающих ­ действий обозначим через.

1.1.5. ­ действия, перемешивающие на подмножестве.

Пусть — неограниченное подмножество группы. ­ действие назы­ вается перемешивающим на ((, )­ перемешивающим), если для любого 0, любых, существует такое ограниченное множество, что при имеем ( ) () ().

Множество (, )­ перемешивающих ­ действий обозначим через,.

1.1.6. Рассматриваемые группы.

Все рассматриваемые в работе группы будут локально­ компактными и некомпактными, хаусдорфовыми топологическими группами, удовлетворяю­ щими второй аксиоме счетности. Для действий таких групп будут вводить­ ся топологии и соответствующие им метрики. В некоторых частях работы рассматриваются более узкие классы групп: либо конкретные группы, либо специальный класс АМ­ групп, введенный ниже:

Дискретная некомпактная группа является моноблочной аменабель­ ной (АМ ­ группой), если она имеет (фельнеровскую) последовательность бло­ ков, то есть возрастающую последовательность конечных подмножеств { }, исчерпывающую и такую, что #{ } 1. Для любого имеем 1 при.

# 2. Для каждого { } найдется набор { } элементов группы для которого =.

Таким образом, мы будем иметь дело с пятью пространствами:

,,,,, и рассматривать действия хаусдорфовых топологиче­ ских локально­ компактных некомпактных групп со счетной базой окрестно­ стей.

§1.2. Индивидуальные свойства, примеры преобразований и действий 1.2.1. Пространство.

Основные свойства. Преобразование называется апериодическим, если мера множества | = 0 : = { } равна нулю. Каждое перемешивающее преобразование является апериодиче­ ским.

Множество называется инвариантным относительно преобразо­ вания, если 1 =.

Преобразование называется эргодическим, если каждое инвариантное относительно него множество имеет меру 0 или 1.

Диаметром набора из + 1 числа {1,..., +1 } называется мини­ мальное из расстояний | | при = {1,..., + 1}. Преобразование называется ­ кратно перемешивающим, если для любых измеримых мно­ жеств 1,..., +1 имеем 1 1 2 2... +1 +1 (1 )... (+1 ), ( ) при. Если преобразование обладает перемешиванием всех кратно­ стей, то будем говорить, что оно кратно перемешивает.

Вопрос Рохлина [76] о существовании перемешивающих, но не ­ кратно перемешивающих (при каком­ либо 1) преобразований — один из самых известных вопросов в эргодической теории.

Преобразование называется слабо перемешивающим, если существует счетное множество Z такое, что преобразование перемешивает на.

Любое перемешивающее преобразование является также и слабо перемеши­ вающим.

Преобразование называется жестким (относительно целочисленной ( ) последовательности { }), если для любого, имеем () при.

С каждым преобразованием связано некоторое число ( ), опреде­ ляемое ниже. Для любого разбиения пространства через обозначим { } разбиение, порожденное множествами 0. Энтропией преобразо­ вания называется число () log2 ().

( ) = sup lim Энтропия является важным инвариантом преобразования, принимаю­ щим значения из объединения R+ {+}. Энтропия прямого произведения равна сумме энтропий сомножителей.

Различные виды эквивалентности. Два преобразования считаются совпадающими, если отличаются на множестве меры нуль.

Преобразования и называются изоморфными, если существует пре­ образование такое, что = 1. Изоморфизм — отношение эквива­ лентности. Орбиту преобразования (то есть множество преобразований, изоморфных ) будем обозначать через ( ). Замыкание ( ) в какой­ либо метрике d будем обозначать через d ( ).

Свойство называется динамическим, если ( ).

Орбиты являются важным элементом для изучения динамических свойств в пространствах и.

Кроме изоморфности встречается еще один вид эквивалентности преоб­ разований — унитарная эквивалентность. Для ее формализации необходимо определить купмановский оператор.

С каждым преобразованием связан купмановский оператор (который мы будем обозначать той же буквой) — унитарный оператор, действующий по правилу () ( ). Спектром, спектральным типом, спектральной кратностью (и так далее) преобразования называется спектр, спектраль­ ный тип, спектральная кратность (и так далее) соответствующего унитарного оператора.

Два преобразования и называются унитарно эквивалентными, если существует унитарный оператор, связывающий соотвествующие им купма­ новские операторы соотношением 1 =.

Унитарный оператор (связанный с преобразованием) полностью описы­ вается двумя спектральными инвариантами: максимальным спектральным типом и функцией кратности — целочисленной функции на носителе типа.

Многие свойства преобразования оказываются спектральными (напри­ мер, слабое перемешивание эквивалентно непрерывности спектрального типа относительно меры Лебега). С другой стороны, энтропия является примером неспектрального инварианта.

Если = {1}, преобразование имеет простой спектр. Это эквивалент­ но существованию в 2 () циклического вектора, то есть такого вектора, что,, совпадает с 2 (). Циклические вектора образуют массивное под­ множество в 2 ().

Спектр называется однородным, если состоит из одного числа. При­ меры преобразований (в том числе и перемешивающих) с простым спектром кратности 1 и дают гауссовские динамические системы. Существование (эргодических) преобразований с однородным спектром других кратностей составляет предмет вопроса Рохлина об однородном спектре произвольной кратности.

Более общий вопрос (также сформулированный Рохлиным) таков: какие наборы могут быть у эргодических преобразований?

Прямые произведения пространств. Пусть, (где Z) — конечное или счетное произведение единичных отрезков с тихоновской топо­ логией. Элементами этого пространства фактически являются конечные или бесконечные последовательности { }. Согласно общей теории пространств Лебега [75], пространство Z изоморфно. Следовательно, любое пре­ образование на Z можно рассматривать как преобразование на, вы­ брав подходящий изоморфизм. Легко заметить, что динамические свойства не зависят от выбранного изоморфизма между пространствами. Например, от этого выбора не зависит орбита преобразования.


Прямым произведением преобразований { } называется преоб­ разование Z : { } { }. Прямое произведение перемешивающих преобразований также является перемешивающим преобразованием.

1.2.2. Пространство.

­ действие называется свободным, если { | {} : = } = 0.

Свободность — аналог апериодичности для ­ действий.

Для некоторых групп (например, Z, R ) из перемешивания следует сво­ бодность, для некоторых (например, Z Z2 ) нет.

R­ действия называются потоками. Одним из простейших примеров по­ токов является поток поворотов единичной окружности, то есть для R, имеем = ( + ) (mod1).

Будем говорить, что набор {1,..., +1 } обертывает множество, если при =.

/ ­ действие называется ­ кратно перемешивающим, если для любых множеств 1,..., +1, для любого 0 можно указать такое ограничен­ ное множество, что для любого обертывающего его набора {1,..., +1 }, имеем ( 1 1 2 2... +1 +1 ) (1 )... (+1 ).

Если действие перемешивает с любой кратностью, то оно называется кратно перемешивающим. В свете этого определения, обычное перемешива­ ние является 1-перемешиванием. В отличии от преобразований, уже среди Z2 ­ действий имеется пример перемешивания, не перемешивающего кратно [30].

На множестве действий группы естественным образом определено дей­ ствие преобразованиями:

= 1, для и. Множество 1 называется ­ орбитой (в { } дальнейшем просто орбитой). Мы будем обозначать его через ( ). Замыка­ ние ( ) в какой­ либо метрике d будем обозначать через d ( ).

Также как в случае преобразований прямые произведения ­ действий можно рассматривать как элементы. При этом прямое произведение пе­ ремешивающих (или (, )­ перемешивающих) действий снова является пере­ мешивающим ((, )­ перемешивающим соответственно) действием.

§1.3. Разбиения пространства, связанные с действиями или преобразованиями: башни и раскрои Пусть — некоторое ­ действие и B = { }J. Для любого преобразование переводит набор множеств { } в набор B = { }.

Динамику взаимодействия действия и набора B описывает (не полностью) совокупность мер (B) ( ).

(J, )­ Башней (с остатком ) называется набор непересекающихся мно­ жеств B одинаковой меры, суммарно превышающей 1, подчиняющийся закону =, при всех, J, где — символ Кронекера.

Рохлин [73] (в случае группы Z) и Орнстейн и Вейсс [36] (в случае мо­ ноблочных групп) доказали следующее утверждение:

Лемма 1.1 (Лемма Рохлина­ Халмоша). Пусть — счетная AM-группа.

Для любых блока J, положительного числа и свободного ­ действия существует (J, )­ башня для.

Башни играют важную роль в исследовании различных метрик на про­ странстве, аппроксимационной теории и построении различных преобразо­ ваний. Нам понадобятся также некоторые близкие к ним понятия.

Пусть E = { }I конечное разбиение пространства на множества одинаковой меры.

Если для разбиения E часть мер (E) задана некоторым законом (*), то E назовем раскроем с законом (*).

Множества, входящие в раскрой называются этажами.

Хотя мы потребовали, чтобы этажи раскроя были одинаковой меры и по­ крывали все пространство, для определения мер это не требуется. Будем говорить, что E — неравномерный раскрой, если входящие в него множества могут иметь разную меру и неполный раскрой, если они не покрывают всего пространства. Таким образом, неполный раскрой является обобщением по­ нятия башни. Раскрой E является надраскроем неполного раскроя E, если каждый этаж E является подмножеством этажа E с тем же индексом (обо­ значение E E). Неполный раскрой мы будем использовать в основном для построения полного раскроя.

Замечание 1.1 (об обозначениях). Во всей работе будут приняты единооб­ разные обозначения для основных параметров башен, раскроев и неполных раскроев. Все они будут строится по преобразованию (или действию) и представлены в следующей таблице:

башня с остатком неполный раскрой раскрой ­ башня, B, обозначение E E (J, )­ башня индексирующее множество J I I обозначение ­ го этажа мера этажа ­ Замечание 1.2. Для F I I и фиксированного, положим F.

(,)F Так как, имеем F #F.

Более точно, F #, (1.3.1) где — количество строчек и столбцов множества I I, которыми можно покрыть F.

Однако, в некоторых случаях эта оценка оказывается слишком грубой.

Тогда, для более точной оценки используется закон раскроя.

Все меры в раскрое будут заданы с некоторой точностью. Минималь­ но, мы будем требовать, чтобы число описывало эту "точность" раскроя в следующем смысле: для любого F, содержащегося в диагонали множества II, сумма F либо не определена исходя из закона раскроя, либо определена с точностью до. Для этого достаточно, чтобы каждая мера задавалась с точностью до #I. Если в раскрое потребуется большая точность, то она будет указана явно. Для неполного раскроя меры будут задаваться точно.

Лемма 1.2. Пусть E — неполный раскрой меры не менее 1 3. Предпо­ ( ) ложим, что E = Тогда для любого надраскроя E над E, имеем. (E).

#I Доказательство. Действительно, имеем (E) = | ( ) | ( ) ) ( + ( ) + ( ) ) ( + + 3.

( ) ( ) ( ) + #I Заметим, что здесь не предполагается преобразованием, это может быть действие любой группы.

мы будем писать.

Если мера равна с точностью до #I, 1.3.1. Раскрои преобразований.

Утверждение 1.1. Для любого апериодического преобразования, существу­ ет раскрой E, = { }=1,...,, удовлетворяющий для всех следующему зако­ ну: || при всех ||,, (1.3.2) при всех ||.

( ) Доказательство. Пусть B — J, 3 ­ башня, где J = {0,..., 1}. Положим = :[ ]= { } и возьмем разбиение | пространства на множества одинаковой меры.

Рассмотрим неполный раскрой E. Суммарная мера его этажей не мень­ ше, чем 1 3. При 0 имеем ( ) ( ) = = E ( ( ) ( )) :[ ]=1 :[ ]= = = = =0,...1 0 =0,...1 0 = ( ( ) ( )) = (0 ) # (([0, 1] + ) [0, 1]) = ( ).

Аналогично, при 0 имеем = = (0 ) # (([0, 1] + ) [0, 1]) = +.

( ) ( ) E При, имеем ( ) E = =0,...,1 0 =0,...,1 0 = ( ( ) ( )) = (0 ) # (([0, 1] + ) [0, 1]) = 0.

При, имеем ( ) E = =0,...,1 + 0 =0,...,1 + 0 = ( ( ) ( )) = (0 ) # (([0, 1] + ) [0, 1]) = 0.

Применяя лемму 1.2 к любому надраскрою E неполного раскроя E и, учитывая равенство = 1, получаем, что формула (1.3.2) верна.

1.3.2. Раскрои для группы Z.

Здесь мы будем строить раскрой в частном случае = Z. В таком виде он понадобится для доказательства теорем 3.3 и 3.4.

Элементы группы Z будем обозначать жирными буквами, операции произведения, сравнений, добавления числа и так далее будут выполнять­ ся покоординатно. Параллелепипедом в Z при f h называется множество (h, f ), определяемое неравенствами (h, f ) = {g Z | h g f}.

Любой параллелепипед вида (0, f ) является блоком в Z, причем в каче­ стве набора { } можно рассматривать элементы {gf }gZ.

Следовательно, всякая возрастающая последовательность параллелепи­ педов (0, f ) является фельнеровской.

Утверждение 1.2. Пусть — свободное Z ­ действие и I Z — некоторый + параллелепипед. Тогда для любых 0 и параллелепипеда F = (0, f ), суще­ ствует раскрой E такой, что для всех i I выполняется частичный закон g (#I)2 #((F+g)F), при g (f, f ), ii #F#I (#I) fj (1.3.3) i,i+j, g (#I) i,i+j 0, при g jf + (f, f ) и if + g IF.

/ ( ) Доказательство. Пусть B — J, ­ башня, где J = IF. Положим 3#I i = jF j+if { } и возьмем разбиение | пространства на множества одинаковой меры.

Рассмотрим неполный раскрой E. Суммарная мера его этажей не мень­ ше, чем 1 3#I. ( ) g Вначале оценим меру ii E. Заметим, что сама эта мера не зависит от выбора i, поэтому мы используем одно i, удобное для подсчетов. Именно, для g (f, f ) вектор i можно выбрать1) так, что if и if + g лежат в FI. Имеем, ( ) ( ) g g ii E = i i = = (g (jF j+if ) (jF j+if )) = = ((jF j+if +g ) (jF j+if )) = # ((F + g) F) = (0 ) # ((F + g) F) =.

#F ( ) fj fj Далее, оценим i,i+j E. Заметим, что определены числа i,i+j говорит о том, что i + j I. Имеем, ( ) fj i,i+j E = jf (lF l+if ) (lF l+jf +if ) = ( ) = jf (lF l+if ) jf (lF l+if ) =.

( ) Наконец, при if + g I, имеем ( ) g i,i+j E = ((lF g+l+if ) (lF l+jf +if )) Если эта мера не равна нулю, то для некоторых l1 и l2 F выполнено равенство g + l1 l2 jf = 0, 1) Выбор проще прояснить для действия Z2. Если все координаты g неотрицательны, то можно выбрать нулевой вектор i. Если все координаты отрицательны, то выбирается правый верхний угол пря­ моугольника I, если отрицательна только вторая координата — то правый нижний, если только первая, то левый верхний. Общий случай совершенно аналогичен.

следовательно g jf + (f, f ).

Применяя лемму 1.2 к любому надраскрою E неполного раскроя E и, учитывая равенство = #I, получаем, что формула (1.3.2) верна.

Замечание 1.3. Точность в раскрое подобрана таким образом, чтобы в тех случаях, когда G можно посчитать с помощью формул раскроя сумма пра­ вых частей в (1.3.2), соответствующих парам (, ) G с точностью до (#I)2 слагаемых, определяет G. Действительно, G является суммой #G каждое из которых определяется по формулам (1.3.2) с точностью до 2.

(#I) Следствие 1.1. Для любого апериодического преобразования и чисел,, существует состоящий из множеств раскрой E,,, со следующим зако­ ном: 2 2 ||, при всех ||, 2 (1.3.4),+ 0, при || и ( 1), 2,+.

Доказательство. Достаточно применить предыдущую лемму с = 1, I = [0, 1] и f =.

1.3.3. Раскрои действий AM-групп с неограниченным центром.

Утверждение 1.3. Пусть — группа с неограниченным центром. Для любого конечного множества, свободного ­ действия :, 0, и блока можно найти множество I со сколь угодно большим количеством элементов и раскрой E, удовлетворяющий частичному закону #( ), при всех 1, # #I (1.3.5) при всех 1, ( ) для всех I.

Доказательство. Так как — фельнеровский блок существует последова­ тельность { } такая, что =. Множество I мы будем строить содержащим 0. Поэтому, не теряя общности, можно увеличить множество так, чтобы I содержало сколь угодно большое количество элементов.


Пусть J — фельнеровский блок, удовлетворяющий условиям 1. 1 0 J.

( ) #J 2. # (J J) 6(# )2 для 1.

Положим I = { | J}.

Так как J ( I) 1 J, то ) ( (( ) ) #I# #J # J J 1 #J.

( ) Пусть B некоторая J, 6 ­ башня. Рассмотрим неполный раскрой E такой, что = для I. Согласно оценке на #I#, мера E не меньше, чем 1 3.

При 1 имеем, ( ) ( ) ( ) E = = = ( ( ) ( )) = = 0 0 = ( ( ) ( )) # ( ) = (0 ) # ( ) =.

# #I При 1, имеем # ( ) = 0, поэтому в этом случае ( ) E = 0.

Тогда, согласно лемме 1.2 любой надраскрой над E удовлетворяет усло­ виям утверждения.

Замечание 1.4. Рассуждения остаются в силе, даже если группа не име­ ет неограниченного центра. Однако, для общих AM-групп нам потребуется раскрой другого вида.

1.3.4. Раскрои действий AM-групп.

Лемма 1.3. Для любого ограниченного множества, свободного ­ действия, 0 и блока существуют множество I такое, что 1. I =, для некоторого набора { }, 2. # (I I) #I для, 3(# ) 3..

#I Доказательство. Из леммы 1.1 и свойств AM-групп следует существование 3(# ) для 1.

2, # (J J) блока J такого, что 2 #J #J 24(# ) Рассмотрим бесконечную последовательность { } со свойством = и выберем набор { } такой, что J. Множество I = удовле­ творяет свойствам 1-3.

Свойство 1 выполняется по выбору I.

Далее, # J |, : 1 { }, 1 J { } # (J I) / { } # | J / (# )2 #J = #J, 24 (# )2 следовательно ( ) 1 # (J I) 1 #I #I.

1 24 Отсюда следует свойство 3.

Для, имеем # (I I) = 2# (I I) 2# (J J) + 2# {J } 2 #J + #I #I.

8 Утверждение 1.4. Для построенного в предыдущей лемме множества I су­ ществует раскрой E, удовлетворяющий закону, при всех, I.

(1.3.6) Доказательство. Действительно, по лемме 1.1 найдется (в обозначениях ( ) предыдущей леммы) J, 6 ­ башня B. Построим неполный раскрой E такой, ( ) #I что = для I. Имеем, E #J 6 1 3. Тогда, по лемме 1.2, любой надраскрой E над E удовлетворяет закону (1.3.6).

§1.4. Топологии и метрики 1.4.1. Общие комментарии.

Факты, касающиеся метрики d, доказаны Халмошем и Рохлиным и мо­ гут быть найдены, например, в [117]. Там же упомянута эквивалентность топологий метрик и d. Краткое доказательство последнего факта можно найти в [111]. Метрики w и m, а также пространство, введены автором настоящей работы и их свойства приводятся с доказательствами.

Мы введем несколько метрик (и предметрик) на множествах,,,,,. Особое внимание будет уделяться полноте и сепарабель­ ности получившихся пространств, так как в полных сепарабельных простран­ ствах можно говорить о типичном элементе. Напомним, что подмножество полного метрического пространства имеет тип, если оно представляется как счетное пересечение открытых множеств. Всюду плотные ­ множества называются массивными. Счетное пересечение массивных множеств также является массивным множеством. Множество имеет первую категорию, если его дополнение содержит массивное подмножество.

Свойство называется типичным, если им обладают все элементы неко­ торого массивного множества. Выражение "типичный элемент обладает свой­ ством " означает, что свойство типично.

В некоторых утверждениях будут использоваться сразу несколько мет­ рик (или предметрик) в различных пространствах2). Поэтому мы будем ис­ пользовать префикс "m" если объект рассматривается в метрике m, "d" если в метрике d и тому подобное. Например, m­ замыкание означает замыка­ ние в метрике m, а (w,, ) — это ­ окрестность преобразования в предмет­ рике w. Если нужно подчеркнуть, что в пространстве рассматривается, () например, предметрика d(), мы будем писать d. Если пространство рас­ сматривается с основной метрикой, она может опускаться.

Прежде чем ввести метрики сделаем еще три замечания:

Об обозначениях 3). Все рассматриваемые метрики и предметрики зави­ сят от некоторого плотного в набора множеств { }N. Плотность означает, что для любых 0 и существует такое N, что ( ).

Набор { } фиксирован на протяжении всей работы. Его начало, набор {1,..., } будем обозначать через.

Динамику взаимодействия набора { } и преобразования (действия) мы будем отслеживать с помощью мер = ( ).

О топологии равномерного предела. Еще одно замечание касается после­ довательностей предметрик: пусть возрастающая последовательность пред­ 2) все упомянутые в этом абзаце метрики и пространства определены несколько позже.

3) Эти обозначения будут часто использоваться на протяжении всей работы.

метрик {b } равномерно сходится к предметрике b. Тогда, b­ топология зада­ ется базой окрестностей {(b,, )},,.

О совпадении топологий. Наконец, в работе будут использованы элемен­ тарные топологические факты, например, факт о том, что если d­ топология слабее w­ топологии, то (d + w)­ топология совпадает с последней.

Мы будем рассматривать два вида топологий — слабую и поводок­ топологию и их различные метризации.

1.4.2. Слабая топология.

Слабая топология является основной топологией в пространствах и. Кроме того, она индуцируется как на подмножества в пространства,,,.

Пространство. Рассмотрим метрику | ( ) ( )|.

a (, ) = 2+, Она является равномерным пределом предметрик | ( ) ( )|, a (, ) = 2+, при (грубая оценка показывает, что a 2 a ). Поэтому, топология метрики a задается базой окрестностей {(a,, )},N,0.

Топология метрики а называется слабой. Заметим, что несколько чаще используется другая база слабой топологии. Их эквивалентность, а также то, что метрика 1 ( ( ) + 1 ( )) d (, ) = задает слабую топологию доказано в [111].

Метрика d предпочтительней метрики a, так как делает полным сепа­ рабельным пространством. Она является основной метрикой в и называет­ ся метрикой слабой топологии.

Так как | ( ) ( )| N | (( ) ) + (( ) )| N ( ) = ( ), N имеем d (, ) a (, ).

Следующие классические результаты описывают структуру простран­ ства.

Лемма 1.4 (Лемма Халмоша о сопряжении). Орбита любого апериодическо­ го преобразования плотна в.

Утверждение 1.5. Множество слабо перемешивающих преобразований мас­ сивно в. Множество перемешивающих преобразований имеет первую категорию в.

Доказательства можно найти, например, в [117].

Утверждение 1.6. Метрика не делает полным пространством.

Доказательство. Пусть — перемешивающее преобразование. Тогда после­ { } довательность фундаментальна в метрике, так как () (), ( ) для всех,. Значит, предельное преобразование (если таковое суще­ ствует) должно удовлетворять условию ( ) = () (), для всех,. С другой стороны, взяв множество меры и положив =, получаем 1 = () = ( ) = () () =, 2 противоречие. Следовательно, предельное преобразование не существует.

Утверждение 1.7. является топологической группой (то есть операции взятия обратного и умножения непрерывны) и полным сепарабельным про­ странством относительно метрики d, см.[117].

Замечание 1.5 (о метрике ). Метрику a можно рассматривать как метри­ ку слабой операторной топологии. Действительно, каждая мера ( ) равна скалярному произведению,, в котором — купмановский опе­ ратор, связанный с одноименным преобразованием, а и — индикаторы множеств и.

Тогда 1,,.

a (, ) = 2+, Записанное справа выражение — метрика слабой операторной топологии.

Вследствие такой двойственности метрики a мы будем ее применять не только к преобразованиям, но и к операторам и, более того, к паре (преобразование­ оператор). В последнем случае преобразование заменяется соответствующим унитарным оператором. Например, преобразование перемешивает, если для любого 0 существует натуральное такое, что a,, ( ) для всех : || (напомним, что — проектор на подпространство кон­ стант в 2 ()).

Кроме метрики a на пространстве унитарных операторов можно также рассматривать предметрики a и любые построенные на их основе в дальней­ шем метрики и предметрики.

Пространство. Прежде чем ввести топологию в этом пространстве заметим, что непрерывные ­ действия определены таким образом, что каж­ дое из них непрерывно как отображение из в.

Зафиксируем покрытие образующих группы не более чем счетной систе­ мой компактов { }.

Метрика слабой топологии d в пространстве задается формулой sup d (, ).

d (, ) = Таким образом, метрика слабой топологии для задается с помощью метрики млпбой топологии в пространстве.

Пример. Для всех нижеприведенных примеров { } состоит из одного мно­ жества 1. Для Z­ действий 1 = {1} и выписанная метрика совпадает с мет­ рикой в d. Более общо, для группы Z (как и в любой дискретной группе с конечным числом образующих) метрика задается компактом 1, состоящим из образующих элементов группы.

Для R­ действий в качестве 1 рассматривается отрезок [0, 1], для R ­ действий — единичный куб [0, 1].

Полный набор { } иногда используется для определения метрики на действиях дискретной группы, когда каждое множество состоит из од­ ного элемента. Такая метрика, например, применяется в [19].

Хотя, во всех приведенных примерах рассматриваются группы по сло­ жению, в дальнейшем удобно будет считать, что — группа по умножению с единицей.

Метрика d является равномерным пределом возрастающей последова­ тельности предметрик d() (, ) = sup d (, ), поэтому базу d­ топологии образуют множества {( )} () d,,.

,N, Аналогично, можно задать слабую топологию с помощью метрики sup a (, ), a (, ) = которая является равномерным пределом последовательности предметрик () sup a (, ).

a (, ) = В свою очередь, каждая предметрика a() является равномерным пределом возрастающей последовательности предметрик () sup a (, ), a (, ) = поэтому базу ­ топологии задают множества {( )} () a,,.

,,N, Утверждение 1.8. Топологии метрик a и d совпадают.

Доказательство. Так как a (, ) d (, ) при, множество (d,, ) (,, ). Следовательно, (,, ) d­ открыто.

Нам нужно показать, что при фиксированных и найдется такое, ( () ) ( ) что a,, d(),,.

Топологии метрик a и d совпадают для преобразований, поэтому для каждого существует число () такое, что для любого, имеем a (, ) () d (, ).

Возьмем окрестность, любой элемент которой удовлетворяет условиям d, 2 и a, (). Так как — компакт, существует ( ) ( ) его конечное покрытие выбранными окрестностями с центрами в некоторых точках { }. Положим = min ( ).

( ) Если a(),,, то для любого и некоторого, имеем a (, ) a (, ) + a (, ) ( ).

( ) Следовательно, d (, ) d (, ) + d (, ) и d(),,.

Утверждение 1.9. d — полное сепарабельное пространство.

Доказательство. Фундаментальность последовательности действий { } влечет фундаментальность последовательности { } для каждой образую­ щей группы. Сходимость на остальных элементах и сохранение группо­ вых операций — следствие того, что — топологическая группа.

Сепарабельность будет следовать из того что для любого предметрика d() имеет счетную базу окрестностей. Взяв произвольное 0, покажем, что () в d найдется счетная ­ сеть. Пусть { } — счетная база окрестностей в с центрами в { } и { }N — множество конечных покрытий компакта элементами { }. Для { } будем считать допустимыми такие действия, что d (, ).

Каждое ­ действие (вследствии d­ непрерывности) является допусти­ мым для некоторого покрытия { }N.

Пусть { } — счетная система подмножеств, d­ расстояние в каждом из которых не превышает 2. Для каждого и функции : [1,..., #] N рас­ смотрим множества допустимых ­ действий, удовлетворяющих условию : ().

Выберем по одному ­ действию из каждого такого множества, если оно не пусто. Тогда, полученный счетный набор действий образует ­ сеть. Действи­ тельно, если два действия и соответствуют одинаковой паре (, ), то для любого и некоторого имеем d (, ) d (, ) + d (, ) + d (, ).

Для действий AM-групп выполнен следующий аналог леммы Халмоша о сопряжении:

Лемма 1.5. Орбита ( ) любого свободного действия плотна в.

Даниленко и Соломко [14] получили обобщение этого результата и на действие группы R Z, но в предположении эргодичности :

Лемма 1.6. Орбита ( ) любого свободного эргодического действия R Z плотна в R Z.

1.4.3. Поводок­ топология.

Определяемая ниже топология является основной для пространств, и,. Для двух первых пространств она индуцируется из про­ странств и.

Пространство. Поводок­ топология задается метрикой w (, ) = sup a (, ) N или метрикой m (, ) = d (, ) + w (, ).

Последняя называется метрикой поводок­ топологии.

Метрика w является равномерным пределом возрастающей последова­ тельности предметрик w (, ) = sup a (, ), N поэтому поводок­ топология задается базой окрестностей {(w,, )}.

Лемма 1.7. Топологии пространств w и m совпадают.

Доказательство. По лемме 1.8, d­ топология и ­ топология совпадают. Кро­ ме того, w. Следовательно d­ топология слабей w­ топологии. Тогда (d + w)­ топология и w­ топология совпадают (более сильная w­ топология "съедает" более слабую d­ топологию).

Утверждение 1.10. Пространства и w не полны.

Доказательство. Пусть — перемешивающее преобразование. Тогда после­ { } довательность фундаментальна в метриках и w. Предположим, что последовательность сходится к некоторому преобразованию. Тогда, для лю­ бых и имеем ( ) = lim = () ().

( ) + Взяв в качестве множество меры 2, а в качестве множество, получаем 1 = ( ) = lim = () () =, ( ) 2 + противоречие.

Утверждение 1.11. Пространство m полно.

Доказательство. Пусть { } — m­ фундаментальная последовательность;

то­ гда она и d­ фундаментальна. В d­ метрике { } сходится к некоторому преоб­ разованию. Так как — топологическая группа, то при этом для ( ) любого фиксированного Z. Достаточно показать, что sup a, 0.

Зафиксируем 0 и некоторый номер, такой, что для имеем ) sup a,.

( Так как слабо сходятся к, то существует такой номер 0, зависящий от ) (, что a, 2.

Тогда, для всех имеем a, ( a, + a, ( ) ) ( ).

0 ( ) В силу произвольности и заключаем, что sup a, 0.

Покажем, что пространство m несепарабельно. Для этого нам понадо­ бится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1.8. Пусть { } — целочисленная последовательность. Множество слабо перемешивающих преобразований, жестких относительно некото­ рой подпоследовательности { }, массивно в d.

Доказательство. Рассмотрим множество { } | d (, ).

Это множество имеет тип, как счетное пересечение открытых множеств.

Каждое из преобразований, лежащих в этом множестве, жесткое по некото­ рой подпоследовательности последовательности { }. Верно и обратное.

Покажем, что для ­ окрестности произвольного преобразования и лю­ бого достаточно большого найдется преобразование такое, что =.

Пусть — поток поворотов окружности. Согласно лемме о сопряжении существуют такие и, что 1 (d,, ). Поток 1 непре­ { } рывен, поэтому подходит любое из некоторого отрезка [, ]. Потребуем, Так как 1, [, ] можно вы­ чтобы было больше, чем.

брать таким, что, — целое число. Тогда 1 лежит в ­ окрестности и 1 =. Таким образом, каждое из множеств { } | d (, ) всюду плотно, следовательно множество преобразований, жестких относи­ тельно некоторой подпоследовательности { }, массивно в d. Так как мно­ жество слабо перемешивающих преобразований также массивно, то массивны преобразования, обладающие обоими этими свойствами.

Утверждение 1.12. Пространство m несепарабельно.

Доказательство. Пусть | ( ) ( ) ( )| 0.

= 2+, ( ) Предположим противное. Тогда в найдется счетная m, 2 ­ сеть. Как след­ ствие, во множестве слабо перемешивающих преобразований (как и в любом другом) имеется счетная (m, )­ сеть. Для каждого преобразования из, существует последовательность { = ()}, на которой оно перемешива­ ет. По лемме 1.8, существует d­ массивное множество слабо перемешива­ ющих преобразований, жестких по некоторой подпоследовательности после­ довательности { }. Для преобразования обозначим такую подпосле­ довательность через { = ()}. Рассмотрим любое слабо перемешивающее преобразование из массивного множества. Расстояние между и лю­ бым элементом множества не меньше, так как ( ) 1 ) ( ) ( lim lim sup a, + 2, | ( ) ( ) ( )| =.

2+, Это противоречит выбору множества. Значит, пространство m несепара­ бельно.

Далее, докажем, что сопряженные с любым сохраняющим меру преоб­ разованием не могут быть всюду плотны в пространстве, снабженном мет­ рикой m.

Лемма 1.9. Для любого отображения, отображение 1 из d в m непрерывно.

Доказательство. Отображение непрерывно, так как представляется как композиция двух непрерывных отображений:

отображения 1 пространства d в себя;

отображения из пространства d в пространство m.

Непрерывность первого отображения следует из того, что d — тополо­ гическая группа, второго — из того, что метрика m сильней метрики d.

Следствие. Сопряженные любому преобразованию не могут быть плотны в пространстве m.

Доказательство. Если { } — счетное, всюду плотное подмножество d, то, вследствие предыдущей леммы, m­ замыкание счетного семейства преобразо­ ваний 1 совпадает с m­ замыканием семейства 1. Однако, { } { } оно не может совпадать с пространством m, так как это пространство несе­ парабельно.

Пространство.

Множество является подмножеством, поэтому все метрики d,, w, m можно рассматривать как индуцированные в. При этом в ка­ честве основной рассматривается метрика m.

Лемма 1.10. Пространство сепарабельно.

Доказательство. Достаточно показать, что для любых и в существует (w, )­ сеть.

Для каждого N, положим { } ) | sup a, ( =.

|| Пространство — сепарабельная топологическая группа, следовательно, для фиксированного N его можно покрыть счетной системой открытых множеств {, }N таких, что,, sup.

( ) ) ( || Взяв по одному элементу из каждого множества {, },N, получим (w, )­ сеть. Действительно, каждый элемент пространства лежит в одном из этих множеств и для,, имеем { } ( ) ( ) w (, ) = max sup a,, sup a, || || { }, sup a, + a, ( ) ) ( max sup ||,, ||.

Утверждение 1.13. В метриках a и d пространство не полно.

Доказательство. Действительно, орбита любого перемешивания в этих метриках плотна в, значит, существуют фундаментальные последователь­ ности, сходящиеся не к перемешивающим преобразованиям, а к некоторым элементам.

Теорема 1.1. есть полное сепарабельное метрическое пространство.

Доказательство. Сепарабельность следует из леммы 1.10, надо показать полноту.

Пусть { } — фундаментальная последовательность. Тогда она фунда­ ментальна и в пространстве d, где сходится к некоторому преобразованию. Так как — топологическая группа, то при этом для любого фиксированного Z. Учитывая, что d (, ) 0 вследствие выбора, достаточно показать, что перемешивает и что w (, ) 0.

Возьмем произвольное 0.

Поскольку последовательность { } фундаментальна, найдется такое, ( ) что при, и любом имеем a,. Далее, слабо сходится к ( ), значит, существует такое (), что a (),.

Тогда при, ( ( ) ( )), ( ) sup a sup a, () + a, () 2.

В силу произвольности получаем, что w (, ) 0 при.

Далее, покажем, что предельное преобразование перемешивает. Пусть N — произвольное число и таково, что (w,, ). Так как перемешивает, существует такое число, что из || следует, что a,.

( ) Тогда a, a, + a, 2.

( ) ( ) ( ) Так как и произвольны, получаем, что.

Пространство. Поводок­ топология задается метриками m (, ) = d (, ) + w (, ) и w (, ) = sup a (, ).



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.