авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Российский государственный торгово-экономический университет" ...»

-- [ Страница 2 ] --

Метрика w является равномерным пределом возрастающей последовательно­ сти предметрик w (, ) = sup a (, ), поэтому базу окрестностей w­ топологии образуют множества вида (w,, ).

Утверждение 1.14. Пространство m полно.

Доказательство. Пусть { } — m­ фундаментальная последовательность;

то­ гда она и d­ фундаментальна. В d­ метрике { } сходится к некоторому ­ действию. Достаточно показать, что sup a (, ) 0.

Зафиксируем 0 и некоторый номер, такой, что для имеем sup a (, ).

Так как слабо сходятся к, то для некоторого номера 0 (зависящего от ), a, 2.

) ( Тогда, для всех имеем a, + a, a (, ) ( ) ( ).

0 В силу произвольности и, заключаем, что sup a (, ) 0.

Лемма 1.11. Топологии пространств w и m совпадают.

Доказательство. По лемме 1.8, d­ топология и ­ топология совпадают. Кро­ ме того, w. Следовательно d­ топология слабей w­ топологии. Тогда (d + w)­ топология и w­ топология совпадают (более сильная w­ топология "съедает" более слабую d­ топологию).

Утверждение 1.15. При фиксированном, отображение из пространства m в себя непрерывно.

Доказательство. Для произвольных 0 и надо найти такое число, что ) ( 1 w, 1,.

( ) w,, Число выберем таким, что для каждого найдется для которого ( ).

( ) Зафиксируем и w,, 2.

Имеем, a 1, 1 ( ) sup 1 1 = ( ) ) (, = sup | ( ) ( )|.

, Пусть и — множества из набора, приближающие с точностью до множества и соответственно. Тогда | ( ) ( )| | ( ) ( )| +.

Следовательно, a 1, 1.

( ) Как и в случае пространства, отображение сопряжения непрерывно в :

Лемма 1.12. Для любого ­ действия отображение 1 из d в m непрерывно.

Доказательство. Отображение непрерывно, так как представляется как композиция двух непрерывных отображений:

отображения 1 пространства d в себя;

отображения из пространства d в пространство m.

Непрерывность первого отображения следует из того, что d — топологиче­ ская группа, второго — из того, что метрика m сильней метрики d.

Пространство. Поводок­ топология, метрики m и w в этом про­ странстве индуцируются из пространства. Поэтому, в частности, тополо­ гии метрик m и w совпадают.

Основная метрика в этом пространстве — m.

Лемма 1.13. — сепарабельное пространство.

Доказательство. Достаточно показать, что для любого и произвольного 0 в существует счетная (w, )­ сеть.

Пусть { } — возрастающая последовательность множеств, покрываю­ щая.

Положим } { = | a (, ) /.

Для каждого, по лемме 1.9, в найдется счетная система множеств {, } такая, что,, sup a (, ).

Рассмотрим все непустые множества {, } и возьмем по элементу в каждом из этих множеств. Тогда эти элементы образуют (w, )­ сеть.

Действительно, каждый перемешивающий элемент лежит в одном из этих множеств, и если,,, то { } sup a (, ), sup a (, ) w (, ) max / { }, sup (a (, ) + a (, )) max.

/ Теорема 1.2. полное сепарабельное пространство.

Доказательство. В силу предыдущей леммы достаточно доказать полноту.

Пусть { } — фундаментальная последовательность. Тогда она фунда­ ментальна и в пространстве и сходится в нем к некоторому действию.

При этом для любого фиксированного. Достаточно показать, что перемешивает и что w (, ) 0, при, так как d (, ) 0 вследствие выбора.

Возьмем произвольное 0.

Поскольку последовательность { } фундаментальна, найдется такое, что при, и любом, имеем a (, ). Далее, слабо сходится к ( ), значит, существует такое (), что a (),.

Тогда при, ( ( ) ( )), ) sup a ( sup a, () + a, () 2.

В силу произвольности получаем, что w (, ) 0 при.

Далее, покажем, что предельное действие перемешивает. Возьмем любое N и такое, что (w,, ). Так как перемешивает, существует такое конечное множество, что при имеем / a (, ).

Тогда, для, имеет место оценка / a (, ) + a (, ) 2.

a (, ) Так как и произвольны, заключаем, что перемешивает.

Пространство,. На пространстве, метрики d и индуциру­ ются из.

Поводок­ топология задается метрикой w (, ) = a (, ) + sup a (, ).

Метрика w является пределом возрастающей последовательности пред­ метрик w() (, ) = a() (, ) + sup a (, ), каждая из которых, в свою очередь, является пределом возрастающей после­ довательности предметрик () () w (, ) = a (, ) + sup a (, ).

Следовательно, поводок­ топология в пространстве, имеет базу окрестностей {( )} () w,,.

,N,R,, Метрика m на, задается формулой m (, ) = d (, ) + sup a (, ).

Топологии метрик m и w совпадают, так как совпадают топологии мет­ рик d и.

Метрика m называется метрикой поводок­ топологии и является основ­ ной для пространства,.

Лемма 1.14., — сепарабельное пространство.

Доказательство. Достаточно показать, что для любого и произвольного 0 в, существует счетная (w, )­ сеть.

Пусть { } — возрастающая последовательность компактных множеств, покрывающая.

Положим } { = | ( ) a (, ) /.

Для каждого, по лемме 1.9, в найдется счетная система множеств {, } такая, что,, sup a (, ).

Рассмотрим все непустые множества {, } и возьмем по элементу в каждом из этих множеств. Тогда эти элементы образуют (w, )­ сеть.

Действительно, каждый (, )­ перемешивающий элемент лежит в одном из этих множеств и если,,, то { } sup a (, ), sup a (, ) w (, ) max / { }, sup (a (, ) + a (, )) max.

/ Теорема 1.3., — полное сепарабельное пространство.

Доказательство. В силу предыдущей леммы достаточно доказать полно­ ту. Любая m­ фундаментальная последовательность { } является также d­ фундаментальной в. Пусть d­ предел этой последовательности — ­ действие. Возьмем произвольное 0.

Поскольку последовательность { } фундаментальна, найдется такое, что при, и любом, имеем a (, ). Далее, слабо сходится ( ) к, значит, существует такое (), что a (),.

Тогда при, ( ( ) ( )), ) sup a ( sup a, () + a, () 2.

Таким образом, — m­ предел последовательности { }.

Далее, покажем, что предельное действие перемешивает на. Возь­ мем любое N и такое, что (w,, ). Так как перемешивает, существует такое ограниченное множество, что при имеем a (, ).

Тогда, для, имеет место оценка a (, ) + a (, ) 2.

a (, ) Так как и произвольны, заключаем, что перемешивает на.

Замечание 1.6. Для перемешивающих действий несчетных групп можно рас­ сматривать разные пространства. Например, множество перемешивающих R­ действий можно рассматривать как множество R с метрикой d (, ) + sup a (, ), R или как множество R,Z с метрикой d (, ) + sup a (, ) = d (, ) + sup a (, ).

Z N В обоих случаях получается полное сепарабельное пространство, но вторая метрика выглядит проще.

Замечание 1.7. Формулы для w, m, w() и проч. могут применимы к любым ­ действиям, не обязательно (, )­ перемешивающим. Дабы избежать пута­ ницы, связанной с тем, что метрики поводок­ топологии пространств, и могут быть использованы в, последнее пространство будем обозна­ чать,, если поводок­ топология (и соответствующие метрики) взяты из,.

Связь слабой и поводок- метрик.

Утверждение 1.16. Пусть — перемешивание и — положительное число.

Предположим, что { } — d­ фундаментальная последовательность преобра­ зований, сходящаяся к преобразованию. Тогда m (, ) sup m (, ).

Доказательство. Так как d (, ) d (, ) при, достаточно пока­ зать, что для любых, и 0 имеем sup a (, ) a (, ).

Предположим противное, что a (, ) = 0.

Из d­ непрерывности отображения, при достаточно большом, имеем a (, ) +, что противоречит предположению о положительности.

§1.5. Абстрактные теоремы о типичности, применение к пространствам со слабой топологией В этом параграфе изучаются связи между типичными свойствами в раз­ личных пространствах.

Мы будем отождествлять свойство с множеством элементов, которые им обладают. В частности, свойство будем называть массивным, если соот­ ветствующее ему множество массивно.

Рассмотрены два случая: связь между типичными свойствами в про­ странстве и его подпространстве и связь между типичными свойствами СПО­ пространств4). Первый случай найдет применение, в частности, для пары пространств (, ), второй — для пары (Z, Z ).

1.5.1. Перенос типичного свойства с пространства на подпространство.

( ) Будем говорить, что пара, обладает свойством, если — полное метрическое пространство относительно метрик d и m (причем m ­ топология не слабее d ­ топологии), а — подмножество, полное относи­ тельно метрики m.

Пары (, ), (, ) и (,,, ) обладают свойством.

( ) Утверждение 1.17. Пусть пара, обладает свойством и — множество, имеющее тип в d ­ топологии. В этом случае множество массивно в тогда и только тогда, когда оно всюду плотно в.

Доказательство. Отображение i : из в непрерывно, так как m ­ топология не слабей d ­ топологии. Множество i1 () имеет тип как пол­ 4) Определение будет дано ниже.

ный прообраз множества такого типа при непрерывном отображении. Мас­ сивность же ­ множества эквивалентна его плотности.

Это утверждение подчеркивает, важность изучения всюду плотных мно­ жеств для установления типичных свойств.

( ) Будем говорить, что пара,, обладающая свойством, обладает свойством, если для любых, и 0 найдется такое, что d (, ) и m (, ) m (, ) +.

Из свойства следует, что является d ­ плотным подмножеством (для доказательства надо взять произвольное и устремить к нулю;

тогда в любой d ­ окрестности найдется ). В частности по этому, случай эквивалентности метрик d и m не представляет интереса: при таком пред­ положении m ­ замыкание совпадало бы с d ­ замыканием, следовательно со всем пространством. Топологии метрик m и d вообще говоря могут совпадать — в этом случае по теореме Александрова об абсолютной, является d ­ массивным подмножеством (см.[54]). Этот случай, впрочем, не очень интересен, так как в нем типичные свойства и совпадают авто­ матически. Мы рассматриваем свойство в первую очередь потому, что, как показано позднее, пары (, ), (, ) и (,,, ) им обладают5).

( ) Лемма 1.15. Пусть пара, обладает свойством и { } — набор d ­ открытых множеств, m ­ замыкание которых содержит. То­ гда пересечение — массивное подмножество в m ­ топологии.

через. Так как m ­ топология не слабей Доказательство. Обозначим d ­ топологии множество имеет тип. Покажем его плотность.

Возьмем произвольные и число 0. С помощью индукции ( ) найдем в m, ­ окрестности элемент.

5) С естественными метриками этих пространств d и m. Здесь предполагается АМ-группой, а — ее неограниченной подгруппой.

первый шаг. По условию любой элемент лежит в m ­ замыкании 1, поэтому существует 1 1 такое, что m (1, ) 4. Выберем d ­ окрестность 1, элемента 1, d ­ замыкание которой содержится в 1. По свой­ ству, в этой окрестности можно выбрать 1 так, что m (1, ) 2.

­ й шаг. На этом шаге мы имеем d ­ открытую окрестность 1, со­ держащую 1. Поскольку m ­ замыкание содержит, мож­ но выбрать 1 такой, что m (, 1 ). Выберем d ­ 2+ открытую окрестность элемента, замыкание которой содержится в 1. По свойству, в этой окрестности можно выбрать так, что m (1, ) 2.

Последовательность { } сходится в m ­ метрике. Так как полно, то ее предел лежит в, причем m (, ). Согласно построению, лежит в d ­ замыканиях всех, а значит, в.

( ) Теорема 1.4. Пусть пара, обладает свойством. Предположим, что { } — счетный набор ­ подмножеств, замыкание каждого из которых в m ­ метрике содержит. Тогда пересечение — мас­ сивное подмножество.

Доказательство. Пусть, — представление множества как пересече­ ния счетного числа открытых множеств. Тогда m ­ замыкание каждого из мно­ жеств, содержит (так как, ). Осталось применить предыду­ щую лемму, взяв в качестве { } набор множеств {, },N.

Заметим, что с помощью теоремы 1.4 можно переносить типичные свой­ ства, только если они соответствуют в точности массивным множествам. В частности поэтому теорема не дает информации, например, о существовании у типичного перемешивания квадратного корня.

1.5.2. Примеры типичных и нетипичных свойств преобразований.

Некоторые из рассуждений, используемых в этой работе, могут быть применены к массивным множествам, но не верны для существенных. Отча­ сти это видно уже по доказательству теоремы 1.4 в котором используется то, что свойства { } имеют в точности тип.

Поэтому при рассмотрении типичных свойств мы будем обращать вни­ мание на то, являются ли они также массивными. Приведенные ниже резуль­ таты получены различными авторами и снабжены соответствующими ссыл­ ками.

Массивные свойства.

Множество апериодических преобразований является массивным [74, стр. 106].

Непрерывный спектр (или, что эквивалентно, слабое перемешивание) — массивное свойство [20]. Этот результат П. Халмоша — один из самых старых результатов о типичности в эргодической теории.

Также массивным является и другое спектральное свойство — простой спектр.

Нулевая энтропия тоже является массивным свойством, см. [78].

Два преобразования и называются дизъюнктными, если на существует только одна мера, инвариантная относительно, координат­ ные проекции которой совпадают с мерой Лебега. Заметим, что эта един­ ственная мера есть мера. Более общо, счетное семейство преобразо­ ваний { } дизъюнктно, если для любого конечного множества индексов, существует единственная мера инвариантная относительно прямого произ­ ведения преобразований с индексами из координатные проекции которой совпадают с мерой Лебега. Понятие дизъюнктности ввел Г. Фюрстенберг [17], в дальнейшем оно исследовалось многими авторами. Основные "категорные" результаты получены А. дель Юнко [15] и приведены ниже.

Лемма 1.16. Следующие множества массивны в :

множество преобразований, дизъюнктных фиксированому эргодиче­ скому преобразованию;

{ } множество преобразований таких, что Z — дизъюнктное семейство.

при фиксированном N множество преобразований таких, что { } [,] — дизъюнктное семейство.

Типичные свойства.

Некоторые из перечисленных ниже типичных свойств точно не являются массивными, массивность оставшихся свойств нам не пригодится.

Неперемешивающие преобразования типичны [73] (соответственно, пере­ мешивания имеют первую категорию).

Централизатор ( ) типичного преобразования (то есть множество преобразований, с которыми коммутирует) является замыканием степеней, см. [26]. Из этого, в частности, следует, что централизатор типичного пре­ образования абелев. Аналогичный результат верен для любой степени, см., например, [31].

Типичное преобразование имеет корни всех степеней [27], число этих кор­ ней несчетно (для каждой степени) [105, 52] и более того, число этих корней несчетно в любом массивном множестве [109].

Также, каждое преобразование вкладывается в поток [41], число таких потоков несчетно [104].

1.5.3. Отображения, сохраняющие типичность.

Непрерывное отображение между двумя польскими пространствами и сохраняет типичность, если существенны полный прообраз каждого су­ щественного подмножества и образ каждого существенного подмножества.

Для некоторых отображений сохранение типичности следует из общих топологических фактов. Ниже рассмотрены два таких отображения: взаим­ но однозначный гомеоморфизм и отображение проекции в прямом произве­ дении.

Утверждение 1.18. Пусть — взаимно однозначный гомеоморфизм польских пространств и.

Тогда сохраняет типичность.

Доказательство. Пусть — существенное подмножество и * — любое его массивное подмножество. Прообраз массивного множества при непрерыв­ ном отображении имеет тип, докажем его плотность. Рассмотрим про­ извольный элемент, его открытую окрестность, и покажем, что прообраз * с ней пересекается. Так как отображение 1 непрерывно, суще­ ствует такая окрестность точки, что 1. Пересечение * не пусто и для любого его элемента, имеем 1 1 с одной стороны и 1 1 * с другой.

Следовательно, прообраз каждого существенного множества содержит массивное подмножество. Для доказательства того, что образ каждого суще­ ственного множества существенен, надо повторить те же рассуждения для отображения 1.

Для исследования прямых произведений нам понадобится теорема Ку­ ратовского–Улама, (см. [69, теоремы 15.1 и 15.3]):

Теорема 1.5. Пусть — прямое произведение польских пространств и — его массивное подмножество. Тогда для типичного элемента, множество { : (, ) } массивно в. Множество имеет первую категорию в в том и только том случае, когда по крайней мере одно из множеств или имеет первую категорию в или соответственно.

Следствие 1.2. В условиях предыдущей теоремы, отображение проекции : (, ) сохраняет типичность.

Доказательство. Пусть — массивное подмножество. Тогда, для ти­ пичного, множество ({ : (, ) }) массивно в и содержится в ().

Следовательно образ существеннен.

Теперь предположим, что — массивное подмножество. Если его прообраз не массивен, то прообраз не имеет первой категории в, что, согласно предыдущей теореме, невозможно.

Простейшим несохраняющим типичность отображением является отоб­ ражение : 0 из R в R: прообраз массивного множества R {0}, конечно, имеет тип, но не является всюду плотным (собственно, он вообще пуст).

Для пространства стандартное доказательство плотности какого­ либо клас­ са выглядит так: доказывается существование в этом классе одного элемента, его орбиты, и далее применяется лемма Халмоша о сопряжении, утвержда­ ющая, что эта орбита плотна. Ниже мы обобщаем этот подход на некоторый специальный класс метрических пространств.

Будем говорить, что польское пространство обладает свойством плот­ ности образов (СПО), если существует счетный набор { } гомеоморфизмов в себя таких, что для типичного множество { } всюду плотно в.

В этом случае, будем называть СПО­ пространством, а набор гомеомор­ физмов { } выделенным.

Свойство элементов СПО­ пространства называется динамическим, если оно сохраняется при применении выделенных гомеоморфизмов.

Так как мы отождествляем множество и представляющее его свойство, корректно говорить не только о динамическом свойстве, но и о динамическом множестве.

Важной особенностью СПО­ пространств является выполнение следую­ щего аналога динамической альтернативы, введенной в [18] Э. Глазнером и Дж. Кингом.

Утверждение 1.19 (Динамическая альтернатива для СПО­ пространств).

Динамическое аналитическое подмножество СПО­ пространства, инвариант­ ное относительно всех гомеоморфизмов из выделенного семейства, есть либо тощее, либо существенное множество.

Доказательство. Мы воспользуемся представлением аналитического под­ множества польского пространства в виде симметрической разности некото­ рых открытого множества и тощего множества, см. [67, т.1, стр.493].

Если множество пусто, то исходное подмножество совпадает с, а значит, имеет первую категорию. Далее рассмотрим случай непустого множе­ ства. Предположим, что оно не всюду плотно. Тогда существует открытое множество, которое с не пересекается. Возьмем произвольный элемент пространства, лежащий в и такой, что { } всюду плотно (мы восполь­ зовались тем, что в открытом множестве наличествуют элементы любого су­ щественного множества). Зафиксируем такое, что и рассмотрим множество 1. Это множество открыто и его пересечение с — непустое открытое множество. Пусть — произвольный элемент множества 1 =.

( ) Тогда с одной стороны 1, (( ) ) с другой 1 ( ) =.

( ) Следовательно, лежит в пересечении и, что противоречит выбору. Значит всюду плотно и является существенным множеством. Тогда и разность существенна.

Важно, что в отличии от [18], мы рассматриваем лишь счетный набор гомеоморфизмов, это позволяет доказать следующее утверждение:

Лемма 1.17. Любое существенное подмножество СПО­ пространства со­ держит массивное динамическое подмножество.

Доказательство. Действительно, пусть — любое массивное подмножество существенного множества;

рассмотрим пересечение = (), где — дискретная группа гомеоморфизмов с образующими { }. Так как группа счетна, множество является массивным. Кроме того, примене­ ние любого из гомеоморфизмов { } к пересечению () лишь меняет порядок множеств в этом пересечении. Значит, инвариантно относитель­ но гомеоморфизмов семейства { }. Осталось заметить, что содержится в, так как в группе есть тождественный элемент.

Следующая теорема дает достаточные условия для того, чтобы отобра­ жение сохраняло типичность.

Теорема 1.6. Пусть и — два СПО­ пространства с выделенными мно­ жествами гомеоморфизмов { } и { } соответственно. Предположим, что непрерывное отображение : обладает следующими свойства­ ми:

1. { } = { } для всех ;

2. для типичного множество 1 () всюду плотно в.

{ } Тогда сохраняет типичность.

Доказательство. Вначале покажем, что полный прообраз существенного множества при отображении : также является существенным.

Применяя, в случае необходимости, лемму 1.17, можно предполагать, что — массивное динамическое множество.

Полный прообраз массивного множества при непрерывном отображении есть множество типа. Поэтому нам достаточно доказать, что множество 1 () всюду плотно. Типичный элемент не только лежит в, но и удовлетворяет требованию 2 теоремы. Иными словами, в есть элемент такой, что 1 () всюду плотно в. Поскольку { } 1 () = 1 () = { }, { } { } то полный прообраз содержит всюду плотное множество 1 () и зна­ { } чит массивен.

Таким образом, полный прообраз существенного множества сам являет­ ся существенным множеством.

Теперь докажем, что образ существенного множества есть существен­ ное множество. Применяя, в случае необходимости, лемму 1.17, можно пред­ полагать, что множество массивно и является динамическим. Тогда множе­ ство = () инвариантно относительно выделенного семейства гомео­ морфизмов { }. Из динамической альтернативы следует, что либо тощее, либо существенное множество. Во втором случае полный прообраз содер­ жал бы массивное множество, а он полностью лежит в тощем множестве. Таким образом, — тощее множество. Соответственно, множество () = существенно.

Следовательно, образ любого существенного множества содержит суще­ ственное подмножество, а значит сам является существенным.

Во всех рассматриваемых нами пространствах есть естественный набор выделенных гомеоморфизмов — отображения 1, где { } — счет­ ное плотное в семейство преобразований.

Докажем, что,,,,, являются СПО­ пространствами. По лемме 1.12, сопряжение — непрерывная операция6) в этих пространствах, по­ этому достаточно показать, что сопряженные типичному элементу простран­ ства всюду плотны в нем. Такое свойство пространства называется слабым рохлинским свойством. Для действий счетных групп со слабой топологией оно установлено Глазнером, Тувено и Вейссом [19]. Мы нуждаемся в некото­ ром обобщении этого результата.

Лемма 1.18. Пусть локально­ компактная некомпактная хаусдорфова группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности и, — два ­ действия. Тогда, сопряженные прямому произведению, с любой точ­ ностью приближают в каждой из рассматриваемых топологий.

Доказательство. Так как самая сильная из всех рассматриваемых тополо­ гий это поводок­ топология на, достаточно доказать близость именно в этой топологии. Для этого, в свою очередь, нужно показать, что для любых,, найдется сохраняющий меру изоморфизм : такой, что 1 ( ) (a,, ).

6) Для того, чтобы применить лемму надо вложить выбранное пространство в пространство m и рассматривать непрерывность уже в нем.

Возьмем таким, что = для всех.

Тогда, для любых и,, имеем 1 ( ) = (( ) ) = ( ) = (( ) ( )) = ( ).

Следовательно, a 1 ( ), = ( ) 1 ( 1 ( ) ( ) = 0.

) = 2+, Утверждение 1.20. Пространства,,,,, обладают слабым рохлинским свойством. Как следствие, они являются СПО­ пространствами относительно сопряжений любым счетным всюду плотным подмножеством.

Доказательство. Возьмем любое из этих пространств. Пусть { } — счетная база пространства. Тогда множество элементов, сопряженные с которыми всюду плотны, представляется в виде { | : 1.

} По утверждению 1.15, множества в фигурных скобках открыты, значит их пересечение имеет тип. Докажем его плотность. Для этого достаточно найти хотя бы один его элемент. Так как пространство сепарабельно, в нем найдется счетный всюду плотный набор элементов { }. По предыдущей лем­ ме элементы, сопряженные прямому произведению, с любой точностью приближают каждый свой множитель, а значит и любой элемент простран­ ства.

В основном мы будем исследовать сохранение типичности для отобра­ жений ограничения. Пусть фиксирована группа и ее подгруппа. Отобра­ жение ограничения, каждому ­ действию { } ставит в соответствие (, )­ действие { }. Отображение ограничения всегда непрерывно.

Следствие 1.3. Отображение ограничения, сохраняет типичность, ес­ ли сопряженные прообразу типичного элемента всюду плотны в.

Иными словами, для таких отображений автоматически выполняется условие 1 теоремы 1.6.

Примеры сохраняющих типичность отображений и их приме­ нения.

Дж. Кинг в [27] доказал что типичное преобразование имеет корни.

Утверждение 1.21. Отображение ограничения Z,Z из в сохраняет ти­ пичность для любого Z {0}.

Доказательство. Так как типичное преобразование апериодично, оно может иметь только апериодичный корень степени. Следовательно, по лемме Хал­ моша о сопряжении, орбита корня из типичного преобразования плотна в и применимо следствие 1.3.

Результат Кинга можно существенно усилить: О. Н. Агеев [53] и А. М. Степин и А. М. Еременко [105] показали, что типичное преобразование имеет континуум корней.

Мы дадим краткое описание методов работы [105] для получения несколько более сильного результата о корнях. В этой связи вводится про­ странство Z2 ­ расширений. Для каждой измеримой функции : Z (коцикла) и преобразования (базы), Z2 ­ расширением называется отображение Z2 такое, что (, ) = (, + ( )).

Множество всех Z2 ­ расширений обозначим через. Оно является подмно­ жеством, польским пространством, и изометрично прямому произведению пространства баз на пространство коциклов. Более подробно, в можно ввести метрику u (, ) = { | () = ()}, а в — метрику d, = u (, ) + d (, ).

( ) Пространство обладает свойством плотности образов. Вообще говоря, можно рассматривать как полное подпространство и, согласно преды­ дущим результатам, сопряженные с типичным элементом будут плотны в. Однако, не все сопряжения являются гомеоморфизмами, некоторые являются отображениями из в. Для решения этой проблемы, нужно сузить множество преобразований, сопряжения которыми мы рассматрива­ ем. Подойдут сопряжения элементами. Так как ) 1 + 1 + ( )1 ( =, такие сопряжения являютсягомеоморфизмами. А. М. Степин и А. М. Еременко [104, лемма 2.1] показали, что 1 всюду плотно в { } для апериодического. Далее, пусть { } — всюду плотное подмно­ жество. В качестве выделенного множества гомеоморфизмов рассмотрим сопряжения семейством { }. Так как операция сопряжения непрерывна, замыкание 1 совпадает с замыканием 1, следовательно, { } { } — СПО­ пространство.

Отображение из в сохраняет типичность по следствию 1.2.

( ) Результаты Степина и Еременко об отображении :, опи­ рающиеся на теорему 1.5, сформулируем в следующих двух утверждениях:

Утверждение 1.22. Если множество ( ) существенно в, для некоторого, то типичное преобразование имеет несчетное число корней среди баз Z2 ­ расширений из множества.

Утверждение 1.23. Образ всего пространства Z2 ­ расширений под действием отображения существенен.

Совокупность этих результатов показывает, что типичное преобразова­ ние имеет несчетное множество корней. Действительно, множество 1 () = существенно, следовательно типичное преобразование имеет несчетное число корней.

Мы докажем несколько больше: типичное преобразование имеет несчет­ ное число корней в любом существенном множестве. Для этого нам понадо­ бится следующая лемма:

Лемма 1.19. Отображение сохраняет типичность.

Доказательство. Надо показать, что выполняются оба условия теоремы 1.6.

Первое условие выполнено, так как отображение коммутирует с сопряже­ ниями семейством { }. Далее, прообраз типичного элемента существует по утверждению1.23. Так как база типичного элемента апериодична, то и база любого корня из него апериодична. Следовательно, Z2 ­ расширения, сопряженные с прообразом типичного элемента, всюду плотны и второе условие теоремы 1.6 также выполнено.

Утверждение 1.24. Типичное преобразование имеет несчетное множество корней в любом существенном множестве.

Доказательство. Для типичного множества, множество 1 ( ) су­ щественно. Из предыдущего утверждения следует, что 1 ( ) также су­ щественно. Применяя утверждение 1.22, заключаем, что типичное преобра­ зование имеет несчетное число корней среди баз множества Z2 ­ расширений 1 ( ). Множество этих баз совпадает с.

В нескольких дальнейших утверждениях используется то, что если сла­ бо перемешивающее преобразование вкладывается в поток, то все ненулевые элементы этого потока слабо перемешивают, см., например, [41]. Как след­ ствие, такой поток свободен.

Утверждение 1.25. Отображение ограничения R,Z из R в сохраняет типичность для любого R {0}.

Доказательство. Так как типичное преобразование слабо перемешивает, то оно вкладывается только в свободные потоки. По теореме В. А. Рохлина и А. А. Гуревич [60], орбита свободного потока всюду плотна в R. Таким об­ разом, орбита прообраза типичного преобразования при отображении R,Z всюду плотна и применимо следствие 1.3.

Утверждение 1.26. Для любого h Z {0} отображение ограничения Z,hZ из Z в сохраняет типичность.

Доказательство. Пусть R — набор рационально несоизмеримых чисел такой, что h = 1. Пусть слабо перемешивает и вкладывается в поток.

{ } Тогда Z,hZ содержит свободное Z ­ действие g gZ. В силу типичности применимо следствие 1.3.

Утверждение 1.27. Пусть — группа векторов в Z, только (заранее фик­ сированных) координат которых могут быть не равны нулю. Тогда отображе­ ние ограничения Z, из Z в Z сохраняет типичность.

Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что зафиксированы первые координат. Нам достаточно показать, что типичное Z дополняется до свободного Z ­ действия. По предыдущему утверждению, все образующие типичного Z ­ действия = { }Z слабо перемешивают, вкладываются в поток и имеют абелев централизатор. Пусть { }R — поток, в который вкладывается первая образующая действия и множество чисел { } таково, что при { }, имеем. Дополнение к множеству { } несчетно, / / поэтому в нем можно выбрать рационально несоизмеримые (между собой и с { } единицей) ненулевые числа (+1,..., ). Тогда действие, первые Z образующих которого совпадают с образующими, а каждая следующая есть, является свободным прообразом действия при отображении Z,.

В силу типичности, применимо следствие 1.3.

Утверждение 1.28. Для группы, определенной в предыдущем утвержде­ нии, и вектора h, имеющего не равных нулю координат, отображение ограничения Z,h из Z в Z сохраняет типичность.

Доказательство. Учитывая предыдущее утверждение, достаточно показать, что отображение h сохраняет типичность при =. Все образующие (1,..., ) типичного Z ­ действия свободны, имеют абелев централизатор и корни (1,..., ) степеней 1,..., соответственно. Так как централиза­ тор абелев, все эти корни коммутируют между собой и порождают свободное Z ­ действие. Образ при отображении Z,h совпадает с, следователь­ но, орбита прообраза типичного Z ­ действия всюду плотна и отображение сохраняет типичность.

Для доказательства типичности отображения из R в Z нам понадо­ бится несколько вспомогательных утверждений. Общая их цель — показать, что типичное Z ­ действие вкладывается только в инъективные R ­ действия7).

7) Действие называется инъективным, если все его элементы различны. Другими словами, для всех ненулевых, имеем =.

Вектор, = 0, назовем тождественным (относительно R ­ действия ), если = и назовем перемешивающим, если — слабо перемешива­ ющее преобразование. Вектор перемешивает тогда и только тогда, когда перемешивают все вектора вида, R {0} (так как поток { }R в этом случае содержит преобразование ).

Лемма 1.20. Пусть — произвольный вектор, представляемый в виде ли­ нейной комбинации тождественных. Тогда он не перемешивает.

Доказательство. Пусть = 1 1 +... +, где 1,..., — тождественные вектора и все коэффициенты ненулевые. Вектор перемешивает в том и только том случае, если перемешивают все вектора (1 1 +... + ), R {0}, лежащие с ним в одном направлении. Выбрав = 1, получаем, что пере­ мешивает тогда и только тогда, когда перемешивает вектор 2 = 1 + 2 +... +.

1 Очевидно, что и 2 = 1 перемешивают или не перемешивают одновре­ менно (они соответствуют одному и тому же преобразованию). Таким обра­ зом, перемешивание вектора эквивалентно перемешиванию для некоторого вектора 2, также представляемого в виде линейной комбинации тождествен­ ных векторов, но уже меньшего их количества. Продолжая описанную выше процедуру, получим, что перемешивание вектора эквивалентно перемеши­ ванию для некоторого вектора 1, представляемого в виде 1 =, R.

Но этот вектор не перемешивает, так как имеет одно направление с непере­ мешивающим тождественным вектором.

Перенумеруем произвольным образом квадранты в R. Через обо­ значим множество всех Z ­ действий, вкладываемых в неинъективные R ­ действия таких, что в ­ ом квадранте есть ненулевой тождественный вектор.

Лемма 1.21. Каждое множество либо существенное, либо тощее.

Доказательство. В свете динамической альтернативы достаточно доказать, что аналитично для всех. Не теряя общности, мы будем рассматривать первый квадрант. Рассмотрим непрерывное отображение : { }R { }Z из R в Z. Образ множества { R | = } = N [ 1, ] при отображении состоит из Z ­ действий, не имеющих тождественных эле­ ментов в первом квадранте. По построению, имеет тип. Значит, до­ полнение к нему является борелевским, а непрерывный образ борелевского множества аналитичен.

Все множества инвариантны относительно сопряжений, а также пере­ водятся друг в друга с помощью преобразования, сохраняющего типичность (замены одной из образующих действия на обратное ей преобразование и из­ менения порядка координат).

Следовательно, { } либо существенные, либо тощие одновременно.

В приведенном ниже утверждении используется простой геометриче­ ский факт: если в каждом квадранте ­ мерного пространства выбрано по вектору без нулевых координат, то они образуют полную систему. Это мож­ но проверить следующим образом: предположим противное, что все выбран­ ные вектора лежат в некоторой гиперплоскости. Тогда нормаль к этой ги­ перплоскости должна лежать в каком­ то квадранте. Выбранный вектор из этого квадранта имеет ненулевую проекцию на нормаль и значит не лежит в гиперплоскости.

Утверждение 1.29. Типичное Z ­ действие вкладывается только в инъектив­ ные действия R.

Доказательство. Пусть — множество тех Z ­ действий, которые вкладыва­ ются в неинъективные R ­ действия. Покажем, что оно тощее. В случае = это утверждение следует из того, что слабо перемешивающие преобразования вкладываются только в инъективные потоки. Пусть, в случае = 1 утвер­ ждение доказано, докажем его для =. По предположению индукции, R ­ действие, в которое вложено типичное Z ­ действие, не имеет тождественных преобразований в координатных гиперплоскостях, кроме нулевого момента времени (это следует из того, что в гиперплоскость вкладывается некоторое поддействие Z ­ действия, имеющее меньшую размерность и переход к поддей­ ствию сохраняет типичность). Тогда, множество тех элементов, которые вкладываются только в R ­ действия, не имеющие тождественных преобразо­ ваний в координатных гиперплоскостях, также существенно. Оно является объединением всех. Поэтому, если бы для каждого были существен­ ными, то тоже было бы существенным. Предположим, что это не так. Зна­ чит, все существенны и их пересечение тоже. Тогда типичное Z ­ действие вкладывается в неинъективные R ­ действия, с тождественными векторами во всех квадрантах. Линейная оболочка таких векторов порождает все R, следовательно, по лемме 1.20, в R не должно быть слабо перемешивающих векторов. Это противоречит типичности Z ­ действий со слабо перемешива­ ющими образующими. Таким образом, предположение о существенности было неверно.

Оба условия принципа математической индукции выполнены и утвер­ ждение теоремы верно для любого.

Лемма 1.22. Инъективное действие абелевой группы, содержащее слабо перемешивающий элемент, свободно.

Доказательство. Предположим, что это не так и для некоторого мно­ жество точек = { : = } имеет положительную меру. Эта мера не может равняться 1, так как дей­ ствие инъективно. Если элемент этого действия слабо перемешивает, то существует такое, что ( ) 0.

Тогда при, имеем = = = =, ( ) ( ) что противоречит максимальности множества (здесь мы воспользовались тем, что и, значит, не меняется под действием ).

Утверждение 1.30. Отображение ограничения R,Z сохраняет типичность.

Доказательство. Пусть (1,..., ) — образующие Z ­ действия. В типич­ ном случае централизатор каждого из преобразований (1,..., ) абелев, все они слабо перемешивают и вкладываются в свободные потоки (пусть это потоки 1,..., соответственно). Элементы любого из этих потоков комму­ тируют с 1, так как единичный элемент взятого потока имеет абелев центра­ лизатор и коммутирует с 1. Отсюда следует, что все элементы этих потоков коммутируют с 1 и, значит, коммутируют между собой. Тогда R,Z ( ) со­ держит R ­ действие, заданное формулой (1,..., ) = 1 1.... По утвер­ ждению 1.29 и лемме 1.22, в типичном случае действие может быть только свободно и, значит, применимо следствие 1.3.

Группу Z можно вложить в R и не каноническим образом, а с помощью афинного преобразования. Более того, таким же образом в R можно вложить Z+ для любого натурального. Такое вложение позволяет индуцировать Z+ ­ действие из R ­ действия.

Например, при рационально несоизмеримых и, из свободного пото­ { } ка индуцируется свободное Z2 ­ действие 1 +2 (1,2 )Z2. Т. Де Ла Рю и Х. Де Сэм Лазаро в [41] поставили вопрос о возможности вложения типичного Z2 ­ действия в поток в определенном выше смысле. Заметим, что здесь нель­ зя ограничиться каким­ нибудь отображением ограничения: для разных Z2 ­ действий возможны разные и.

Утверждение 1.31. Типичное Z+ ­ действие не вкладывается в R ­ действие при N.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что типичное Z+ ­ действие не вкладывается в R1 ­ действие (в противном случае надо уменьшить в условии, увеличить на столько же и повторить все ниже­ следующие утверждения). Предположим противное. Зафиксируем типичное действие и R ­ действие, в которое оно вкладывается. Сделав, в случае необходимости, аффинное преобразование R можно считать, что образу­ ющих соответствуют единичным векторам в R. Типичное Z+ ­ действие имеет образующие, вкладываемые в поток и абелев централизатор. Следова­ тельно, можно пополнить действие до R+ ­ действия так, что все образу­ ющие соответствуют единичным векторам действия (схема аналогична использованной в утверждении 1.30). Таким образом, вкладывается в.

Однако, некоторые образующие в встречаются дважды вначале в под­ действии, затем в качестве образующей одного из добавленных потоков.

Таким образом, поток не инъективен, что в типичном случае невозможно по утверждению 1.29.

Замечание. Сохраняющие типичность отображения изучались автором в ра­ боте [109]. В дальнейшем сохраняющими типичность отображениями занима­ лись Т. Цанков и Ж. Миллерэй [34], Ж. Миллерэй [33] и О. Н. Агеев [4]. Они рассматривали отображения ограничения для дискретных абелевых групп.

Несколько другой подход к вопросу Т. Де Ла Рю и Х. Де Сэм Лазаро пред­ ставлен в работе В. В. Рыжикова [86]. Заметим, что по утверждению 1.29 не каждое отображение ограничения в абелевой группе сохраняет типичность.

1.5.4. Типичные действия группы Z.

Воспользовавшись полученными выше результатами, мы докажем ти­ пичность некоторых свойств в пространстве Z.

Утверждение 1.32. Типичное Z ­ действие имеет простой спектр.

Доказательство. Так как отображение ограничения Z,(1,0,...,0)Z сохраняет типичность, то множество Z ­ действий, первая образующая которых имеет простой спектр, типично. Пусть — такое действие и — циклический век­ тор для ее первой образующей. Тогда, циклическое подпространство, вектора относительно действия должно содержать циклическое подпро­ странство (1,0,...,0),, вектора относительно преобразования (1,0,...,0), совпадающее (по выбору ) со всем 2. Следовательно, является циклическим вектором для, и поэтому имеет простой спектр.

Утверждение 1.33. Все элементы типичного Z ­ действия (кроме нулевого) вкладываются в несчетное число потоков, дизъюнктны своим обратным, име­ ют абелев централизатор и нулевую энтропию.

Доказательство. Пусть — множество преобразований, обладающих всеми этими свойствами. Так как все эти свойства типичны, то — существенное множество. Тогда рассматриваемое множество действий представляется как счетное пересечение Z,iZ ().

iZ {0} Так как отображение Z,iZ сохраняет типичность, это пересечение представ­ ляет собой счетное пересечение существенных множеств и значит само суще­ ственно.

Глава Аппроксимация перемешивающими действиями в поводок-метрике §2.1. Основная аппроксимационная конструкция Вводимая ниже конструкция ­ действия является частным случаем кон­ струкции косого произведения Анзаи [5], в котором в качестве значений ко­ циклов берутся элементы { } одного ­ действия. Мы будем различать случаи абелевых и не абелевых коциклов. Первое означает, что { } лежит в центре () группы.

2.1.1. Случай абелевых коциклов.

Пусть и два ­ действия, E = { } — разбиение пространства на непересекающиеся множества, { } () и N. Зафиксируем произволь­ ное отображение : такое, что = для всех.

Специальным действием назовем действие вида 1 1 ( ), где преобразование : действует по формуле (, ) = (, ) для всех.

Пусть D — произвольное число. Тогда для любых и,, имеем ( ) D = = D 1 1 ( ) = ) ( = D 1 ( ) ( ) ( ) = ) ( = |D 1 ( ) ( ) ( ) ) ( D + ( ) ( ).

, Введем обозначение = +. Таким образом, – функция зави­ сящая от и и может применяться только в тех частях выражений, где и определены однозначно.

Пользуясь обозначением ( ) =, имеем D ( ) D (2.1.1), Если O преобразование (или унитарный оператор), то взяв D = (O) ( ) (D = O, соответственно), и проссумировав по, с коэффици­ ентами 2+, получаем ) a (O, ) a O, ( (2.1.2), Заметим, что если группа является группой по умножению, формулы (2.1.1) и (2.1.2) не меняются, но следует понимать как.

Утверждение 2.1. Пусть — специальное действие, и =,:=.

Тогда a (, ).

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.1.2) с O =.

Имеем, ) a (, ) a,.

(, ( ) Так как при =, имеем =, то в этом случае a, = 0.

Поэтому ) a,.

( ) ( a, =,,:= Расстояние между любыми двумя преобразованиями в предметрике a не может превышать 1, поэтому ) a (, ) a, (.

,:=,:= Следствие 2.1. Пусть = Z и раскрой E удовлетворяет закону (1.3.2).

Тогда a (, ) +.

Доказательство. Применим предыдущее утверждение. Имеем, a (, ).

,:= По свойствам раскроя, 1 1 1 + = +.

,:= достаточно применить предыдущую лемму.

Пусть — произвольное ­ действие,.

Через F обозначим множество пар (, ) таких, что a, ( ).

Утверждение 2.2. Для любых,,,, имеет место оценка1) a (, ) + F. (2.1.3) 1) Напомним, что через F обозначается сумма.

(,)F Доказательство. Воспользуемся формулой (2.1.2) с O =.

Имеем, ) a (, ) a, (, ) a, ( ) ( a, + (,)F (,)F / + + F.

(,)F (,)F / 2.1.2. Случай неабелевых коциклов.

Хотя формально в этом случае можно ввести такую же конструкцию как для случая абелевых коциклов, утверждение 2.1 в общем случае не будет выполнено. Поэтому мы определим более тонкую конструкцию.

Групповую операцию в в этом случае будем считать умножением.

Пусть заданы два ­ действия и, число, раскрой E = { }I, конечные множества, { }, { } такие, что = I. Зафиксируем обратимое, сохраняющее меру преобразование : такое, что () = для всех. Положим = 1 1 ( ), где отображение задается формулой ( ) |( ) (, ) =,.

для всех и.

назовем специальным действием.

Заметим, что для произвольных,, и ­ действия, имеем 1 1 ( ) = ) ( = 1 ( ) ( ) ( ) = ) ( = | 1 ( ),, ))) ( ( ( )) ( ( ) ( ( 1.

),,, Положим = 1 1. Таким образом, при фиксированном, величина является функцией от аргументов,,,.

Переписав последнее неравенство, используя введенные обозначения, имеем | |,.

,,, Тогда, | | a (, ) = 2+, 1, = +,,,, ) a,,.

( =,,, Резюмируя, ) a (, ) a,, ( (2.1.4),,, Пусть и. Четверка (,,, ) называется "плохой", если a, ( ).

Точки множества называются "плохими", если соответствующая четверка (,,, ) плохая. Через F обозначим множество плохих точек.

Утверждение 2.3. Для произвольного действия, имеем a (, ) F +.

( ) (2.1.5) Доказательство. По формуле (2.1.4), имеем, ) a (, ) a,, = (,,, ) a,, ( ) ( = a,, + (,,,):F (,,,):F / + F.

( ), +, (,,,):F (,,,):F / Утверждение 2.4. Пусть и раскрой E удовлетворяет закону (1.3.6).

Тогда # ( ) a (, ) +.

# Доказательство. Расстояние a (, ) по формуле (2.1.5) оценивается ве­ личиной 0 + F0 = F0.

( ) ( ) Если для фиксированного в четверке (,,, ) выполнено соотношение, то необходимо = и =. Тогда, = и a, = a (, ) = 0.

( ) Следовательно, в F0 могут быть только те точки, для которых. По / #( ) свойствам раскроя, мера множества таких точек не превышает + #.

§2.2. Плотность орбит прямых произведений 2.2.1. Перемешивающие преобразования.

В этом разделе мы докажем, что прямое произведение любых двух пе­ ремешивающих преобразований имеет всюду плотную в орбиту.

Пусть — натуральное число, { }I — числовая последовательность с индексным множеством I. Для каждого Z обозначим через K= диагональ множества II, через K+ набор внедиагональных элементов (, ) множества I I таких, что | | и через K множество II(K+ K= ). (Напомним, что для абелевой группы Z, через обозначается выражение +.) Лемма 2.1. Для любого N и I, существует последовательность нату­ ральных чисел { }I такая, что supR (#K ) 2.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай I = N. Пусть = 4 для всех N. Предположим, что для двух разных пар (1, 1 ) и (2, 2 ), первая координата в которой больше второй, имеем |1 1 + | |2 2 + |.

Тогда, с одной стороны 41 41 1, 41 41 + 1 2 * 41 1, 2 * 41, [( ) ( ) ] ( ) с другой 41 41 1, 41 41 + 1 2 * 42 1, 2 * 42.

[( ) ( ) ] ( ) При разных 1 и 2 полученные интервалы пересекаться не могут. Следова­ тельно, 1 = 2. Тогда без ограничения общности можем считать, что 1 2.

Имеем 41 41 + 1 41 41 1 1 41 42 1.

( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] 4 1 41 1, 41 41 + Таким образом, отрезки и [( ) ( ) ] 4 1 41 1, 41 41 + 1 не пересекаются и не может лежать в них одновременно, противоречие. Значит, существует не больше одной пары (, ), для которой | + |.

Аналогично, существует не более одной пары (, ), удовлетворяющей этому условию. Как следствие, supR (#K ) 2.

Теорема 2.1. Пусть,. Тогда орбита прямого произведения всюду плотна в.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольных, и, орбита содержит преобразование такое, что (a,, 4) для любого натурального. Преобразование будет строиться как специаль­ ная конструкция. Определим параметры этой конструкции.

Выберем число такое, что при, имеем (a,, ). (2.2.1) По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.2.2) для всех.

Выберем число таким, что 2 и при, (a,, ). (2.2.3) По числам,, построим раскрой E, с законом (1.3.2).

Далее, зафиксируем последовательность { }, полученную с помощью леммы 2.1, и построим по числу и набору E, специальное преобразование.

Согласно формуле (2.1.3), достаточно показать, что F2 2. Множе­ ство F2 состоит, напомним, из тех пар индексов (, ), для которых a, 2.

( ) (2.2.4) Оценка меры F2 основана на том, что для каждого мы имеем три подмножества I I меры которых как правило известны из свойств раскроя:

K+, K=, K. В следующей таблице минусом отмечены множества, которые точно не лежат в F2. Также указаны2) оценки на меры этих множеств, и вытекающая отсюда общая оценка меры F2 :

K K+ K= формула для F K+ K= K мера F ­ ­ F2 I I K= 1 0 + + ­ ­ ­ ­ F2 K + ­ ­ F2 K= K 2 + + + ­ ­ ­ ­ F2 K 2 + Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" отсутствуют в F2.

(, ) K+. По определению K+, имеем |. Следовательно, | ( ) ( ) a, и при, учитывая формулу (2.2.1), имеем a, ( ) a, + a (, ) 2. Таким образом, (, ) F2.

/ (, ) K=. В этом случае =, следовательно =. По фор­ муле (2.2.2) при всех, имеем (a,, ) и неравенство (2.2.4) не 2) Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.


, имеем a (, ) a (, ) + a (, ) 2.

выполнено. При Следовательно, (, ) F2.

/ Оценка величины F2. Во всех случаях по выбору последовательно­ сти { }, множество K содержит не более двух пар, поэтому K = 2.

#I Далее, при 0, по формуле (1.3.2), имеем * 1, K= = следовательно K= 1 2.

При, по той же формуле K= =.

Общая оценка F2 в каждом случае получается применением соответ­ 2 ствующей формулы;

при этом учитывается, что.

Таким образом, F2 во всех случаях меньше 2 и значит (a,, 4).

Замечание 2.1. Преобразование в лемме должно быть перемешивающим, чтобы лежало в. Однако само построение и дальнейшие оценки используют только наличие у сколь угодно большого раскроя. Этот факт позволяет (без заметного изменения рассуждения) получить следующие ап­ проксимационные результаты:

Утверждение 2.5. Пусть и — апериодическое преобразование.

Тогда m ( ).

Действительно, апериодическое преобразование имеет крепость произ­ вольных размеров, значит проходят рассуждения теоремы 2.1.

Утверждение 2.6. Пусть периодическое преобразование с периодом и. Тогда m­ замыкание семейства преобразований ( ) содержит.

Действительно, для любых размеров башни среди периодических преоб­ разований найдется одно имеющее такую башню, значит рассуждения теоре­ мы 2.1 применимы и в этом случае.

2.2.2. Перемешивающие действия AM-групп с неограниченным центром.

Пусть — подмножество AM-группы, { }I — последовательность элементов центра, индексированная множеством I. Для каждого обо­ значим через K= диагональ множества II, через K+ набор внедиагональных элементов (, ) множества I I таких, что / и через K множество I I (K+ K= ).

Множество называется центрированным, если оно содержит и = 1.

Лемма 2.2. Пусть { }Z+ — возрастающий набор конечных центрирован­ ( ) ных подмножеств, такой, что (1 ) () =, для N.

Тогда, для любого множества 0 и любого набора элементов { ( ) }, имеем sup (#K ) 2.

| (1 ) () N Доказательство. Заметим, что по условию последовательность { } проин­ дексирована множеством натуральных чисел, то есть I = N. Утверждение леммы достаточно доказать в случае = 0. Предположим, что оно невер­ но. Тогда, согласно принципу Дирихле для некоторого существует либо две пары (, | ), либо две пары (, | ), удовлетворяющие включению 0, Заметим, что если пара (, ) удовлетворяет этому включению для какого­ то, то пара (, ) удовлетворяет такому же включению для 1. Поэтому, не теряя общности, можно считать, что первое число в парах больше. Итак, для некоторых 1 1, имеем 1, 1 1 0.

Следовательно, 0 1 и 1 1 0, 1 откуда 1 0 1 0 и значит, ) ( 0 1 0 1 max{1,1 }.

/ Если 1 это включение нереализуемо так как 1.

Тогда, = 1. Пусть для определенности 1. Имеем, с одной стороны 1 0, с другой 1 0. Тогда 0 0 1 1. Значит, 1 =.

Таким образом, пары (, ) и (1, 1 ) необходимо совпадают и предположение неверно.

Следствие 2.2. Пусть — неограниченное подмножество () и I — не более чем счетное множество. Тогда для любого ограниченного мно­ жества, существует набор элементов { }I такой, что sup (#K ) 2.

Доказательство. Для доказательства заметим, что этимология множества I не важна для утверждения и, кроме того, свойство sup (#K ) 2— наследственное по I. Значит, достаточно рассмотреть случай I = N. Далее, выберем ограниченное центрированное множество 0, содержащее и огра­ ( ) ниченные множества { }N такие, что (1 ) =. Зафиксировав ( ) по одному элементу в каждом из множеств (1 ), получаем набор { }. Согласно предыдущей лемме, sup (#K ) 2.

Теорема 2.2. Пусть — AM-группа с неограниченным центром и, — свободные перемешивающие действия этой группы. Тогда, орбита прямого произведения всюду плотна в.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольных, и, в орбите найдется такое действие, что (a,, 4) для любого. Действие будет строиться как специальная конструкция.

Определим ее параметры.

Выберем множество такое, что при, имеем / (a,, ). (2.2.5) Выберем блок {} для которого # ( ) # (2.2.6) при.

По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.2.7) для всех 1.

Выберем такое множество 1, что при, / (a,, ). (2.2.8) По,, построим множество I, #I и раскрой E с законом (1.3.2).

Далее, зафиксируем последовательность { } (), полученную с помощью следствия 2.2.

По числу и раскрою E построим специальное действие.

Согласно формуле (2.1.3), достаточно показать, что F2 2. Множе­ ство F2 состоит, напомним, из тех пар индексов (, ), для которых ( ) a, 2. (2.2.9) Оценка меры F2 основана на том, что для каждого мы имеем три под­ множества II меры которых можно оценить из свойств раскроя: K+, K=, K.

В следующей таблице минусом отмечены множества, которые точно не пересе­ каются с F2. Также указаны оценки3) на меры этих множеств, и вытекающая отсюда общая оценка меры F2 :

K K+ K= формула для F K+ K= K мера F ­ ­ F2 I I K= 1 + + #I ­ ­ ­ ­ 1 F2 K 2 ( ) + #I #I ­ ­ 1 F2 K= K 2 ( ) + + + #I #I ­ ­ ­ ­ F2 K 2 / + #I #I Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" отсутствуют в F2.

(, ) K+. В этом случае, имеем. Следовательно, / ( ) a,. При, учитывая формулу (2.2.5), имеем / ( ) ( ) 1 a, a, + a (, ) 2. Таким образом, (, ) / F2.

=.

(, ) K=. В этом случае =, следовательно По формуле (2.2.7) при всех 1, имеем (a,, ) и неравен­ ство (2.2.9) не выполнено. При, по формулам (2.2.8) и (2.2.5), имеем / a (, ) a (, ) + a (, ) 2. Следовательно, (, ) F2.

/ 3) Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

Оценка величины F2. Во всех случаях по выбору последовательно­ сти { }, множество K содержит не более двух пар, поэтому K #I.

Далее, при, по формуле (1.3.5), имеем # ( ) # ( ) #I K= = =.

# #I # Учитывая формулу (2.2.6), получаем K= 1 2.

При 1 формула (1.3.5) дает следующую оценку:

( ) K= K = + K +.

#I I Общая оценка F2 в каждом случае получается применением соответ­ ствующей формулы, указанной в таблице;

при этом учитывается, что.

#I Таким образом, F2 во всех случаях меньше 2 и (a,, 4).

Замечание 2.2. Действие в лемме должно быть перемешивающим, чтобы лежало в. Однако, построение и дальнейшие оценки используют только наличие у сколь угодно большого раскроя. Следовательно, верно следующее утверждение:

Утверждение 2.7. Пусть и — свободные ­ действия и. Тогда m ( ).

2.2.3. Перемешивающие действия AM-групп.

Пусть — центрированное подмножество AM-группы,, и { } — последовательность элементов группы, индексированная множеством I.

В этом случае, введенная ранее функция = 1 оказывается функцией от двух аргументов, I.

Для каждого обозначим через K= набор диагональных элементов + (, ) множества I I для которых.

/ Через K= запишем множество оставшихся диагональных элементов. Да­ лее, K+ обозначает внедиагональные элементы (, ) множества I I такие, что.

/ Оставшиеся внедиагональные элементы обозначим через K. Заметим, что для элементов { } из центра группы, определения множеств K+ и K совпадают с данным ранее, а K= = K= K=.

+ Лемма 2.3. Пусть { }Z+ — возрастающий набор центрированных под­ множеств, такой, что +1 ( )9 =, для всех.

Тогда, для любых, 0, множества 0 и любого набора эле­ { }, имеем sup (#K ) 2.

ментов | (1 ) N Доказательство. Заметим, что по выбору { }, имеем I = N. Достаточно рассмотреть случай = 0. Предположим, что утверждение неверно. То­ гда, согласно принципу Дирихле для некоторого существует либо две пары (, | ), либо две пары (, | ), удовлетворяющие включению 1 1 0, Заметим, что если пара (, ) удовлетворяет этому включению для какого­ то, то пара (, ) удовлетворяет такому же включению при замене,, на 1,, соответственно. Поэтому, не теряя общности, можно считать, что первое число в парах больше. Итак, для некоторых 1 1, имеем 1 1, 1 1 1 1 0.

1 Следовательно, 0 1 1 1 и 1 1 1 0 1, 1 откуда4) 1 0 1 1 0 1.

1 Так как, 0, 1,, 1,, 0, 1, 1 содержатся в max{,1 }, имеем 1 ) 0 1 1 0 1 ( ) ( max{,1 }.

Если 1 это включение нереализуемо, поскольку в этом случае / max{,1 } 1, а выбрано так, что 1.

Тогда, = 1. Пусть для определенности 1. Имеем, = 1 0 1 1 0 1, 1 откуда получаем 1 0 0 1 1. Значит, 1 =. Таким образом, пары (, ) и (1, 1 ) необходимо совпадают и предположение неверно.

Следствие 2.3. Пусть — неограниченное подмножество и I — не более чем счетное множество. Тогда для любого ограниченного множества, существует набор элементов { }I такой, что sup (#K ) 2.

Доказательство. Для доказательства заметим, что свойство sup (#K ) 2 — наследственное по I и этимология множества I не важна для утверждения. Поэтому, можно считать, что I = N. Возь­ мем центрированное ограниченное множество 0, содержащее. Далее, выберем ограниченные центрированные множества { }N такие, что ( ) (1 ) =. Зафиксировав по элементу в каждом из множеств ( ) (1 ) получаем набор { }. Согласно предыдущей лемме, sup (#K ) 2.

4) Здесь мы пользуемся тем, что 0 = 0.

Лемма 2.4. Для произвольных конечных множеств, существует такой неограниченный набор { }N, что для каждого 1 {}, / если.

Доказательство. Предположим противное. Пусть 1 — любое неограничен­ ное подмножество. По принципу Дирихле, для некоторого 1 имеется бесконечно много таких 1, что 1 1 {1 }. Следовательно, су­ ществует неограниченное множество 1 1, любые два элемента 1,, 1, которого удовлетворяют равенству 1 1, 1 1, = 1, 1 1,.

Переписав это выражение в виде 1 ( ) 1, 1, 1 1, 1, = 1, заключаем, что каждый элемент из множества 2 := 1 1 коммутирует с 1 и, значит, 1 1 {1 }.

/ Далее, для каждого {1 } включение 1 {} должно быть выполнено для бесконечного набора 2. Следовательно, для некоторого 2 {1 } выполняется бесконечно много включений 1 2 {2 } при 2. Выберем неограниченное множество 2 2 такое, что 1 2, 2 2, = 2, 2 2,, при 2,, 2, 2. Следовательно, каждое 3 := 2 2 коммутирует с и 2.


Пусть на ­ ом шаге индукции мы имеем неограниченное множество в централизаторе элементов {1,..., 1 }. По принципу Дирихле существует неограниченное подмножество и элемент {1,..., 1 } такие, что 1 { }, при.Тогда +1 := коммутирует с элементами 1,...,.

Продолжая описанную процедуру, мы получим неограниченное множе­ ство #+1 все элементы которого коммутируют со всеми элементами. По­ ложим = #+1. Тогда, вопреки предположению, удовлетворяет требо­ ванию леммы, так как для любого и, имеем 1 = {}.

/ Утверждение 2.8. Пусть — перемешивающее ­ действие,, — конечные наборы элементов группы. Тогда, существует последовательность { } такая, что для любых,, имеем #K 2 при всех и #K= 1 при.

/ Доказательство. Не теряя общности можно считать, что — центрирован­ ное множество, а последовательность { } индексирована множеством N. Мы будем строить эту последовательность индуктивно.

Одновременно мы будем выбирать на каждом -м шаге множества и использовать их в качестве при применении леммы 2.4.

Положим 0 = 1 и = 0.

( ) На первом шаге, положим 1 = и, используя лемму 2.4, выберем набор { }. В качестве 1 возьмем любой элемент этого набора.

На ­ ом шаге уже выбраны 1,..., 1, выберем. Положим { } = | {} и, используя лемму5) 2.4, выберем элементы { }. Возьмем любой до­ статочно большой6) элемент { }.

Последовательность { } построена.

Если и ( {, }) то (по выбору ). Далее, так как — элемент последовательности { }, построенной в лемме 2.4 с =, имеем ( {.

/ }) Таким образом, может удовлетворять не более чем одному вклю­ чению вида ( {, }) при N.

Сделаем замену = 1. Получаем, что для каждого существу­ / ет не более одного такого, что выполняется включение 1 1 1 1 = 1 {}.

( { }) По определению K=, имеем #K= 1 для.

/ Наконец, согласно следствию 2.3, последовательность { } можно "про­ редить" так, чтобы выполнялось неравенство #K 2.

5) Для корректного использования леммы необходимо заметить, что множество конечно. Дей­ ствительно, при фиксированном, отображение из в взаимно однозначно, следовательно, существует не более # элементов таких, что ( {}).

Тогда # #.

6) В дальнейших рассуждениях используется то, что последовательность { } неограничена;

для выполнения этого условия достаточно каждый раз выбирать "достаточно большое". Это возможно, так как набор { } неограничен.

Теорема 2.3. Пусть, — свободные перемешивающие действия некото­ рой AM-группы. Тогда, орбита прямого произведения всюду плотна в.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольных, и, в орбите найдется такое действие, что (a,, 5) для любого. Действие будет строиться как специальная конструкция.

Определим ее параметры.

Выберем блок такой, что при, имеем / (a,, ). (2.2.10) Выберем блок для которого # ( ) # при.

По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.2.11) для всех 1.

Выберем такое множество, что при, имеем / (a,, ) (2.2.12) Используя предыдущее утверждение, выберем элементы { }.

По,, и с помощью леммы 1.3 определим множество I и последо­ вательность { }. Выберем раскрой E с законом (1.3.6).

Пусть — специальная конструкция, построенная с помощью получен­ ных выше параметров. Зафиксируем и покажем, что a (, ) 5.

Имея в виду неравенство (2.1.5), достаточно показать, что F2 3.

( ) Напомним, что F2 = F2 () — множество плохих точек, то есть точек, которым соответствуют четверки (,,, ), удовлетворяющие условию a, 2.

( ) Соответствующие плохим точкам четверки (,,, ) тоже называются пло­ хими.

Найдем верхнюю оценку на меру множества плохих точек во всех воз­ можных случаях: ;

;

.

/ 1. Пусть. При =, имеем = и a, = a (, ) 2, ( ) следовательно, точки множества могут быть плохими только в случаях и, но =. Тогда / ( ) F, +,,:, =,:, / #I ( ),.

+ # :,:

/ Первое слагаемое оценивается величиной # ( ) #I # ( ) =.

# #I # По выбору оно не превышает.

Второе слагаемое оценивается через формулу раскроя: для таких име­ #I ем,. Так как # { | } * # #I, то ( ), 0.

, :

Окончательно имеем, ( ) # ( ) F2 + 2.

# 2. Пусть. Если четверка (,,, ) такова, что, =, то точки множества (как показано выше) плохими не являются.

Рассмотрим четверку (,,, ) такую, что I. Тогда = и по утверждению 2.8 при фиксированных, и всех пар (, ) K, имеем / a, ( ) a (, ) + a, 2.

( ) Таким образом, точки множества могут быть плохими толь­ ко в следующих случаях: для I и для (, ) K. Мера плохих точек, / #(II) полученных первым способом не превышает отношения #I, которое мень­ ше по утверждению 2 леммы 1.3. Во втором случае, мера множества плохих точек оценивается величиной 2 (# ), 2.

#I, (,)K, 3. Пусть. В соответствии с утверждением 2.8 для всех фиксиро­ / ванных пар, и всех пар (, ) K= K, имеем / a, ( ) a (, ) + a, 2.

( ) Следовательно, в этом случае точки не являются плохими.

Мера множества плохих точек в этом случае оценивается величиной 3 (# ), 3.

#I, (,)K= K, Таким образом, при любом расположении, мера множества плохих точек не превышает 3, имеем (a,, 5).

Замечание 2.3. Действие в лемме должно быть перемешивающим, чтобы лежало в. Однако, построение и дальнейшие оценки используют только наличие у сколь угодно большого раскроя. Следовательно, верно следующее утверждение:

Утверждение 2.9. Пусть и — свободные ­ действия и. Тогда m ( ).

2.2.4. (, )­ перемешивающие действия AM-группы в случае неограниченной подгруппы ().

Пусть — неограниченная подгруппа, находящаяся в централизаторе группы. Мы докажем, что в этом случае сопряженные прямым произведе­ ниям плотны в,.

Мы будем использовать конструкцию с абелевыми коциклами, поэтому =, множества K+, K=, K опеределены как в пункте 2.2.2.

Лемма 2.5. Для любого ограниченного множества, существует набор элементов { }I такой, что sup (#K ) 2.

Лемма является частным случаем следствия (2.2) и дополнительного доказательства не требует.

Теорема 2.4. Пусть — AM-группа, () ее неограниченная подгруп­ па и,, — свободные ­ действия. Тогда, орбита прямого произве­ дения всюду плотна в,.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольных,,, и ограниченного множества, в орбите найдется такое действие, что (a,, 5) для любого. Действие будет строиться как специальная конструк­ ция. Определим параметры этой конструкции.

Выберем множество такое, что при, имеем / (a,, ). (2.2.13) Выберем блок {} для которого # ( ) # при.

По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.2.14) для всех 1.

Выберем такое множество 1, что при, / (a,, ). (2.2.15) По,,, построим множество I, #I и раскрой E с законом (1.3.5).

Далее, зафиксируем последовательность { }, полученную с помощью леммы 2.5.

По числу и набору E построим специальное действие.

Пусть зафиксировано.

Согласно формуле (2.1.3), достаточно показать, что F2 3. Множе­ ство F2 состоит, напомним, из тех пар индексов (, ), для которых ( ) a, 2. (2.2.16) Оценка меры F2 основана на том, что для каждого мы имеем три подмножества I I меры которых как правило известны из свойств раскроя:

K+, K=, K. В следующей таблице минусом отмечены множества, которые точно не лежат в F2. Также указаны оценки7) на меры этих множеств, и вытекающая отсюда общая оценка меры F2 :

7) Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

K K+ K= формула для F K+ K= K мера F ­ ­ F2 I I K= 1 + + #I ­ ­ ­ ­ 1 F2 K 2 + #I #I ­ ­ 1 F2 K= K 2 + + + #I #I ­ ­ ­ ­ F2 K 2 / + + #I #I Напомним, что кроме условий, указанных в таблице, лежит в.

Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" отсутствуют в F2.

( ) + (, ) K. В этом случае. Следовательно, a /, ( ). При, учитывая формулу (2.2.13), имеем a /, ( ) a, + a (, ) 2. Таким образом, (, ) F2.

/ =. По фор­ (, ) K=. В этом случае =, следовательно муле (2.2.14) при всех 1, имеем (a,, ) и неравенство (2.2.16) не выполнено. При, имеем a (, ) a (, ) + a (, ) 2.

/ Следовательно, (, ) F2.

/ Оценка величины F. Во всех случаях по выбору последовательности { }, множество K содержит не более двух пар, поэтому K #I.

Далее, при, по формуле (1.3.5), имеем # (( ) ) #I 1, K= = # #I следовательно K= 1 2.

При 1, по той же формуле K= = J.

Общая оценка F2 в каждом случае получается применением соответ­ ствующей формулы из таблицы;

при этом учитывается, что.

#I во всех случаях меньше 2 и (a,, 4).

Таким образом, F Замечание 2.4. Действие в лемме должно быть (, )­ перемешивающим, чтобы лежало в,. Однако, построение и дальнейшие оценки ис­ пользуют только наличие у сколь угодно большого раскроя. Следователь­ но, верно следующее утверждение:

Утверждение 2.10. Пусть и — свободные ­ действия и,. Тогда m ( ),.

2.2.5. Перемешивающие (, )­ действия AM-групп с неограниченной подгруппой.

Мы будем доказывать результат, аналогичный результату предыдущего пункта без предположения, что (). В этом случае необходимо исполь­ зовать конструкцию с неабелевыми коциклами, для используется формула = 1 1, а K+, K,K= и K= определены как в пункте 2.2.3.

+ Лемма 2.6. Для произвольных конечных множеств, существует такой неограниченный набор { }N, что для каждого 1 {}, / если.

Доказательство. Лемма 2.6 отличается от леммы 2.4 тем, что требуется вы­ полнение включения { }N. Обеспечение этого включения — единствен­ ное отличие в доказательствах лемм 2.6 и 2.4.

Предположим противное. Пусть 1 — неограниченное подмножество.

По принципу Дирихле, для некоторого 1 имеется бесконечно много таких 1, что 1 1 {1 }. Следовательно, существует неограниченное множество 1 1, любые два элемента 1,, 1, которого удовлетворяют равенству 1 1, 1 1, = 1, 1 1,.

Переписав это выражение в виде 1 ( ) 1, 1, 1 1, 1, = 1, заключаем, что каждый элемент из множества 2 := 1 1 коммути­ рует с 1 и, значит, 1 1 {1 }.

/ Для каждого {1 } включение 1 {} должно быть выполнено для бесконечного набора 2. Следовательно, для некоторого 2 {1 } выполняется бесконечно много включений 1 2 {2 } при 2. Выберем неограниченное множество 2 2 такое, что 1 2, 2 2, = 2, 2 2,, при 2,, 2, 2. Следовательно, каждое 3 := 2 2 коммутирует с и 2.

Пусть на ­ ом шаге индукции мы имеем неограниченное множество в централизаторе элементов {1,..., 1 }. По принципу Дирихле существует неограниченное подмножество и элемент {1,..., 1 } такие, что 1 { }, при.Тогда +1 := коммутирует с элементами 1,...,.

Продолжая описанную процедуру, мы получим неограниченное множе­ ство #+1 все элементы которого коммутируют со всеми элементами. Положим = #+1. Тогда, вопреки предположению, удовлетворяет требованию леммы, так как для любого и, имеем 1 = {}.

/ Утверждение 2.11. Пусть — перемешивающее ­ действие,, — конечные наборы элементов группы. Тогда, существует последовательность { } такая, что для любых,, имеем #K 2 при всех и #K= 1 при.

/ Доказательство. Не теряя общности можно считать, что — центрирован­ ное множество, а последовательность { } индексирована множеством N. Мы будем строить эту последовательность индуктивно.

Одновременно мы будем выбирать на каждом -м шаге множества и использовать их в качестве при применении леммы 2.6.

Положим 0 = 1 и = 0.

( ) На первом шаге, положим 1 = и, используя лемму 2.6, выберем набор { }. В качестве 1 возьмем любой элемент этого набора.

На ­ ом шаге уже выбраны 1,..., 1, выберем. Положим { } = | {} и, используя лемму8) 2.6, выберем элементы { }. Возьмем любой достаточно большой9) элемент { }.

Последовательность { } построена.

Если и ( {, }) 8) Для корректного использования леммы необходимо заметить, что множество конечно. Дей­ ствительно, при фиксированном, отображение из в взаимно однозначно, следовательно, существует не более # элементов таких, что ( {}).

Тогда # #.

9) В дальнейших рассуждениях используется то, что последовательность { } неограничена;

для выполнения этого условия достаточно каждый раз выбирать "достаточно большое". Это возможно, так как набор { } неограничен.

то (по выбору ). Далее, так как — элемент последовательности { }, построенной в лемме 2.6 с =, имеем ( {.

/ }) Таким образом, может удовлетворять не более чем одному вклю­ чению вида ( {, }) при N.

Сделаем замену = 1. Получаем, что для каждого существу­ / ет не более одного такого, что выполняется включение 1 1 1 1 = 1 {}.

( { }) По определению K=, имеем #K= 1 для.

/ Наконец, согласно следствию 2.3, последовательность { } можно "про­ редить" так, чтобы выполнялось неравенство #K 2.

2.5. Пусть — AM-группа и, — свободные (, )­ Теорема перемешивающие действия этой группы. Тогда, орбита прямого произве­ дения всюду плотна в,.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольных, и,, в орбите найдется такое действие, что (a,, 5) для любого, где произвольное заранее фиксированное ограничен­ ное подмножество. Действие будет строиться как специальная конструк­ ция. Определим ее параметры.

Выберем блок такой, что при, имеем / (a,, ). (2.2.17) Выберем блок для которого # ( ) # при.

По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.2.18) для всех.

Выберем множество такое, что при, имеем / (a,, ).

Используя предыдущее утверждение, выберем элементы { }.

По,, и с помощью леммы 1.3 определим множество I и последо­ вательность { }. Выберем раскрой E с законом (1.3.6).

Пусть — специальная конструкция, построенная с помощью получен­ ных выше параметров. Зафиксируем и покажем, что a (, ) 5.

Имея в виду неравенство (2.1.5), достаточно показать, что F2 3.

( ) Напомним, что F2 = F2 () — множество плохих точек, то есть точек, которым соответствуют четверки (,,, ), удовлетворяющие условию a, 2.

( ) Точки множества называются "плохими", если соответствующая четверка (,,, ) плохая.

Найдем верхнюю оценку на меру множества плохих точек во всех воз­ можных случаях: ;

;

.

/ 1. Пусть. Если =, имеем = и a, = a (, ) 2, ( ) следовательно, точки множества могут быть плохими только в случаях и, но =. Тогда / F ( ), +,,:, =,:, / #I ( ),.

+ # :,:

/ Первое слагаемое оценивается величиной # ( ) #I # ( ) =.

# #I # По выбору оно не превышает.

Второе слагаемое оценивается через формулу раскроя: для таких име­ #I ем,. Так как # { | } * #I, то # ( ) 0.

,, :

Окончательно имеем ( ) # ( ) F2 + 2.

# 2. Пусть ( ). Если четверка (,,, ) такова, что, =, то точки множества (как показано выше) плохими не являются. Рассмотрим четверку (,,, ) такую, что I ( ). Тогда = и по утверждению 2.11 при фиксированных, и всех пар (, ) K, / имеем a, ( ) a (, ) + a, 2.

( ) Таким образом, точки множества могут быть плохими толь­ ко в следующих случаях: для I и для (, ) K. Мера плохих точек, / #(II) полученных первым способом не превышает отношения #I, которое мень­ ше по утверждению 2 леммы 1.3. Во втором случае, мера множества плохих точек оценивается величиной 2 (# ), 2.

#I, (,)K, 3. Пусть. В соответствии с утверждением 2.11 для всех фикси­ рованных пар, и всех пар (, ) K= K, имеем / a, ( ) a (, ) + a, 2.

( ) Следовательно, в этом случае точки не являются плохими.

Мера множества плохих точек в этом случае оценивается величиной 3 (# ), 3.

#I, (,)K= K, Таким образом, при любом расположении, мера множества плохих точек не превышает 3, имеем (a,, 5).

Замечание 2.5. Действие в лемме должно быть (, )­ перемешивающим, чтобы лежало в. Однако, построение и дальнейшие оценки исполь­ зуют только наличие у сколь угодно большого раскроя. Следовательно, верно следующее утверждение:

Утверждение 2.12. Пусть и — свободные ­ действия и,. Тогда m ( ),.

§2.3. Аппроксимация неперемешивающих действий перемешивающими Приблизить неперемешивающее действие перемешивающими в m­ метрике можно лишь с определенной точностью. Действительно, для N, положим ( ) = lim sup a (, ). (2.3.1) Так как не перемешивает, то для некоторого, имеем 0. Но тогда для любого перемешивающего преобразования, имеем lim sup a (, ) lim sup a (, ) = 0.

w (, ) Мы покажем, однако, что перемешивающие действия приближают с любой точностью, превышающей.

2.3.1. Случай перемешивающих преобразований.

Лемма 2.7. Пусть N, и ( ) = 0. Тогда для любого найдется перемешивающее преобразование такое, что d (, ) 3 и w (, ) + 4.

Доказательство. Достаточно найти такое перемешивание, что a (, ) 4 +, для любого натурального и a (, ) 3, для любого заранее фиксированного. Не теряя общности можно считать, что. Преобразование будет строиться как специальная конструкция.

Определим некоторые параметры этой конструкции. Выберем число такое, что при ||, имеем a (, ) +. (2.3.2) Выберем перемешивание такое, что a (, ) и a (, ) (2.3.3) для всех, ||. Это можно сделать, поскольку перемешивающие преобра­ зования плотны в d­ топологии.

Выберем число таким, что 2 и при, a (, ). (2.3.4) В качестве возьмем любое перемешивающее преобразование. По чис­ лам,, построим раскрой E с законом (1.3.2).

Далее, зафиксируем последовательность { }, полученную с помощью леммы 2.1, и построим по числу и раскрою E специальное преобразование.

По следствию 2.1, a (, ) + 2, следовательно a (, ) 3.

Теперь, согласно формуле (2.1.3), достаточно показать, что F2+ 2.

Множество F2+ состоит, напомним, из тех пар индексов (, ), для которых a, 2 +.

( ) (2.3.5) Оценка меры F2+ основана на том, что для каждого мы имеем три подмножества I I меры которых как правило известны из свойств раскроя:

K+, K=, K. В следующей таблице минусом отмечены множества, которые точно не лежат в F2+. Также указаны оценки10) на меры этих множеств, и вытекающая отсюда общая оценка меры F2+ :

F2+ K K+ K= K+ K= K формула для мера F2+ ­ ­ F2+ I I K= 1 0 + + ­ ­ ­ ­ F2+ K 2 + ­ ­ F2+ K= K 2 + + + ­ ­ ­ ­ F2+ K 2 + Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" отсутствуют в F2+.

(, ) K+. В этом случае, по определению K+, имеем |. Сле­ | ( ) довательно, a, и при, учитывая формулу (2.3.2), имеем ( ) ( ) a, + a (, ) 2 +. Таким образом, (, ) F2+.

a, / (, ) K=. В этом случае =, следовательно = и =. По формуле (2.3.3) при всех, имеем (a,, ) и неравенство (2.3.5) не, имеем a (, ) a (, ) + a (, ) 2 +.

выполнено. При Следовательно, (, ) F2+.

/ Оценка величины F2+. Во всех случаях по выбору последовательно­ сти { }, множество K содержит не более двух пар, поэтому K = 2.

#I Далее, при 0, по формуле (1.3.2), имеем * 1, = K= следовательно K= 1 2.

При, по той же формуле K= =.

10) Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

Таким образом, F2+ во всех случаях меньше 2 и (a,, 4 + ).

Утверждение 2.13. Пара (, ) обладает свойством.

Доказательство. Пусть 0, а преобразование и перемешивание удо­ влетворяют условию m (, ). Покажем, что в любой слабой окрестности найдется перемешивание такое, что m (, ). Пусть m (, ) =.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.