авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Российский государственный торгово-экономический университет" ...»

-- [ Страница 3 ] --

Возьмем такое, что w (, ) w (, ) для любого. Это можно сделать, так как последовательность w сходится к w равномерно. Применяя лемму ( 3 ) 2.7 с 16, получим в d, 16 ­ окрестности перемешивание, удовлетво­ ряющее условию w (, ) () + 4. Так как () w (, ), имеем w (, ) w (, ) +.

Тогда m (, ) = w (, ) + d (, ) w (, ) + + d (, ) + 4 w (, ) + + + d (, ) + 44 + w (, ) + + d (, ) + m (, ) + =.

4 2 2.3.2. Приближение неперемешивающих действий перемешивающими (, )­ действиями для AM-групп с неограниченной подгруппой.

Для, и числа N, положим ( ) = lim sup a (, ), (2.3.6) Величина ( ) дает нижнюю оценку на расстояние w (, ), между и произвольным (, )­ действием 11).

Лемма 2.8. Пусть — AM-группа, ее неограниченная подгруппа. Пусть N,, и ( ) = 0. Тогда для любого 0 найдется (, )­ перемешивающее действие такое, что d (, ) 3 и w (, ) + 4.

Доказательство. Достаточно найти такое (, )­ перемешивание, что a (, ) 4 +, для любого и a (, ) 3, при для любых заранее фиксированных и ограниченного множества. Не теряя общности, можно считать, что. Действие будет строиться как специальная конструкция. Определим ее параметры.

Выберем блок такой, что при, имеем a (, ) +. (2.3.7) Выберем блок для которого # ( ) # при.

По лемме Халмоша о сопряжении, без ограничения общности можно считать, что (a,, ) (2.3.8) для всех.

Возьмем такое ограниченное множество, что a (, ) при всех.

/ 11) Напомним, что метрика w в пространстве, соответствует wметрике в пространстве,, а не в пространстве.

Используя утверждение 2.11, выберем элементы { }.

По,, и с помощью леммы 1.3 определим множество I и последо­ вательность { }. Выберем раскрой E с законом (1.3.6).

Пусть — специальная конструкция, построенная с помощью получен­ ных выше параметров.

По утверждению 2.4, при, имеем # ( ) a (, ) + 2, # следовательно a (, ) 3.

Зафиксируем и покажем, что a (, ) 5 +.

Имея в виду неравенство (2.1.5), достаточно показать, что F2+ 3.

( ) Напомним, что F2+ = F2+ () - множество плохих точек, то есть точек, которым соответствуют четверки (,,, ), удовлетворяющие условию a, 2 +.

( ) Найдем верхнюю оценку на меру множества плохих точек во всех воз­ можных случаях: ;

;

.

/ 1. Пусть. При =, имеем = и a, = a (, ) 2 +, ( ) следовательно, точки множества могут быть плохими только в случаях и, но =. Тогда / 2+ ( ), +,,:, =,:, / #I ( ),.

+ # :,:

/ Первое слагаемое оценивается величиной # ( ) #I # ( ) =.

# #I # По выбору оно не превышает.

Второе слагаемое оценивается через формулу раскроя: для таких име­ #I ем,. Так как # { | } * #I, то # ( ) 0.

,, :

Окончательно имеем ( ) # ( ) F2 + 2.

# 2. Пусть ( ). Если четверка (,,, ) такова, что, =, то точки множества (как показано выше) плохими не являются. Рассмотрим четверку (,,, ) такую, что I. Тогда = и по утверждению 2.11 при фиксированных, и всех пар (, ) K, / имеем a, ( ) a (, ) + a, 2 +.

( ) Таким образом, точки множества могут быть плохими толь­ ко в следующих случаях: для I и для (, ) K. Мера плохих точек, / #(II) полученных первым способом не превышает отношения #I, которое мень­ ше по утверждению 2 леммы 1.3. Во втором случае, мера множества плохих точек оценивается величиной 2 (# ), 2.

#I, (,)K, 3. Пусть. В соответствии с утверждением 2.11 для всех фикси­ рованных пар, и всех пар (, ) K= K, имеем / a, ( ) a (, ) + a, 2 +.

( ) Следовательно, точки не являются плохими.

Мера множества плохих точек в этом случае оценивается величиной 3 (# ), 3.

#I, (,)K= K, Таким образом, при любом расположении, мера множества плохих точек не превышает 3, имеем (a,, 5 + ).

Утверждение 2.14. Пусть — неограниченная подгруппа. Тогда пара (,,, ) обладает свойством.

Доказательство. Пусть 0, а преобразование и перемешивание удо­ влетворяют условию m (, ). Требуется показать, что в любой слабой окрестности найдется (, )­ перемешивание такое, что m (, ).

Пусть m (, ) =. Возьмем такое, что w (, ) w (, ) для любого. Это можно сделать, так как последовательность w сходится к w ( 3 ) равномерно. Применяя лемму 2.8 с 16, получим в d, 16 ­ окрестности (, )­ перемешивание, удовлетворяющее условию w (, ) () + 4.

Так как () w (, ), имеем w (, ) w (, ) +.

Тогда m (, ) = w (, ) + d (, ) w (, ) + + d (, ) + 4 w (, ) + + + d (, ) + 44 + w (, ) + + d (, ) + m (, ) + =.

4 2 Глава Типичность перемешивающих действий В этой главе работы рассматривается задача, в каком­ то смысле об­ ратная к задаче предыдущей главы: мы аппроксимируем перемешивающие действия неперемешивающими. В качестве приложений доказывается типич­ ность кратного перемешивания и некоторых других свойств преобразований и Z ­ действий.

§3.1. Конструирование действия, близкого в поводок-метрике к пределу слабо сходящейся последовательности действий Теорема 3.1. Пусть — AM-группа, () ее неограниченная подгруп­ па, 0 и N. Пусть,, — свободное ­ действие и { } — последовательность ­ действий d­ сходящаяся к таких, что ( ) для всех. Тогда во множестве ( ) существует действие для которого w (, ) + 4 и d (, ) 4.

Доказательство. Достаточно для каждого конечного множества и числа, найти такое и действие, изоморфное, что (a,, 4), при всех и (a,, 4 + ) при всех.

Действие будет строиться как специальная конструкция. Определим ее параметры.

Выберем множество такое, что при, имеем / (a,, ). (3.1.1) Выберем блок {} для которого # ( ) # при.

Выберем такое, (a,, ) (3.1.2) для всех 1.

Выберем такое множество 1, что при, / (a,, + ). (3.1.3) По,,, построим множество I и раскрой E с законом (1.3.5).

Далее, зафиксируем последовательность { } (), полученную с помощью следствия 2.2.

По числу и набору E построим специальное преобразование.

Пусть зафиксировано.

Покажем, что F2+ 2. Множество F2+ состоит, напомним, из тех пар индексов (, ), для которых ( ) a, 2 +. (3.1.4) Оценка меры F2+ основана на том, что для каждого мы имеем три подмножества I I меры которых как правило известны из свойств раскроя:

K+, K=, K. В следующей таблице минусом отмечены множества, которые точно не лежат в F2+. Также указаны оценки на меры этих множеств, и вытекающая из них общая оценка1) меры F2+ :

1) Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

K K+ K= формула для F2+ K= K мера F2+ ­ F2+ I I K= (1 2) + + #I ­ ­ ­ 1 F2+ K 2 + #I #I ­ 1 F2+ K= K 2 + + + #I #I ­ ­ ­ F2+ K 2 / + #I #I Напомним, что кроме условий, указанных в таблице, лежит в.

Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" отсутствуют в F2+.

K+. В этом случае, для любой пары (, ) K+, имеем. / ( ) Следовательно, a,. При, учитывая формулу (3.1.1), / ( ) ( ) 1 имеем a, a, +a (, ) 2+. Таким образом, (, ) F2+.

/ =. По формуле K=. В этом случае =, следовательно (3.1.2) при всех 1, имеем (a,, ) и неравенство (3.1.4) не выполнено. При, имеем a (, ) a (, ) + a (, ) 2 +.

/ Следовательно, (, ) F2+.

/ Оценка величины F2+. Во всех случаях по выбору последовательно­ сти { }, множество K содержит не более двух пар, поэтому K #I.

Далее, при, по формуле (1.3.5), имеем # (( ) ) #I 1, K= = # #I следовательно K= 1 2.

При 1 по той же формуле K= = J.

Таким образом, во всех случаях меньше 2 и согласно формуле F2+ (2.1.3), (a,, 4 + ).

Теперь рассмотрим случай, предметрику a и посчитаем меру F множества точек F2, для которых ( ) a, 2. (3.1.5) =. По формуле В этом случае для пары (, ) K=, имеем (3.1.2) при всех, имеем (a,, ) и неравенство (3.1.5) не выполнено. Следовательно, (, ) F2. Значит, при мера / не F превышает 1 K= + 2 и (a,, 2).

§3.2. Аппроксимация перемешивающих преобразований неперемешивающими Оператор = ( ) назовем ­ полиномом, если ( ) = + +... + 1 1 + 0 + 1 +... +, причем коэффициенты { } неотрицательны и =.

Заметим, что все ­ полиномы можно почленно умножать на любую степень и они останутся ­ полиномами (при этом = = и = для всех N).

Преобразование имеет предельный оператор или ­ предел (по неограниченной подпоследовательности { }), если a (, ( )) 0 при.

Аналогично, пусть P = { } — конечный упорядоченный набор ­ полиномов. Будем говорить, что преобразование обладает P­ пределом (по неограниченной подпоследовательности { }), если a (, 1 ( )) 0, a 2, 2 ( ) 0,..., a, ( ) 0, ( ) ( ) при.

Утверждение 3.1. [87] Любой ­ полином является ­ пределом типичного преобразования.

Имеется изрядное количество результатов о существовании преобразо­ ваний, обладающих P­ пределами, см. [31, 102, 25]. Во всех этих случаях рас­ сматриваются конкретные наборы ­ полиномов P;

мы докажем существова­ ние таких преобразований для всех наборов P, в которых 2#P.

Через P будем обозначать набор ­ полиномов {1,..., }. Будем пи­ сать P P, если набор P является началом набора P. Через будем обо­ значать ­ й полином в наборе P, а через P — начальную часть P, то есть набор вида {1,..., }.

Назовем конечный набор ­ полиномов P допустимым, если существу­ ет апериодическое преобразование, имеющее P ­ предел. Набор P назовем допустимо пополняемым, если существует бесконечный набор ­ полиномов P : P P такой, что все наборы P, N допустимы.

Наличие P­ предела — динамическое свойство, то есть сохраняется при сопряжении. Поэтому, если набор P допустим, то преобразования, имеющие P­ предел, всюду плотны в.

Следующее обозначение будет удобно при исследовании P­ пределов.

Пусть — натуральное число, P — конечный набор полиномов и 0.

Будем писать () (, P ( ), ) w если для любого, имеем a, ( ).

( ) Лемма 3.1. Пусть { Z} — возрастающая последовательность центри­ рованных отрезков. Тогда для любой последовательности { }, любого цен­ трированного множества, существует возрастающая последователь­ ность такая, что + + при.

Доказательство. Это утверждение является перефразировкой того, что { } — возрастающая последовательность.

Заметим, что вследствии центрированности множеств,, также при выполнено также и включение +.

Замечание 3.1. Пусть 0, { } Z и. Пусть () — максимальное (), имеем a ( +, ) и a (, ).

число, такое, что при || Тогда () стремится к бесконечности. Действительно, так как для любого N, любых, при достаточно больших и || имеем ) + = = () (), ( ) ( ) ( то есть +.

Выберем из последовательности () монотонно возрастающую подпо­ следовательность () и положим = { | || ()}.

Тогда{ } возрастающая последовательность центрированных мно­ жеств и к ней применима предыдущая лемма.

Лемма 3.2. Пусть 0 и,, : — произвольные числа. Рассмот­ рим преобразование и ­ полином. Для любого сколь угодно большого найдется преобразование (,, ) такое, что ( ) ( ) + a,, и a,, ( ), =.

для всех : Доказательство. Возьмем произвольное апериодическое преобразование и = 8. В (a, )­ окрестности преобразования выберем преобразование, имеющее как ­ так и ­ пределы. Далее, возьмем число, делящееся на и превышающее.

Пусть 2. Зафиксируем положительное число такое, что a (, ( )).

С помощью замечания 3.1 и леммы 3.1 выберем последовательность от­ резков { } и применим лемму 3.1 с = [2, 2 + ]. Пусть { } — центры полученных множеств { }. Для каждого, имеем + 2, следовательно a +2, =.

( ) (3.2.1) для всех [1, ] и.

Обозначим через + множество =0, 1 [2, 2 + 1], а через множество =0, 1 [2 +, 2 + 2 1]. При + положим = и + = +.

Используя параметры,, выберем раскрой E, с законом (1.3.2). По E,,,,, { } построим специальную конструкцию.

( ) Согласно утверждению 2.1, лежит в a,,:= ­ окрестности.

По свойствам раскроя и выбранному, имеем,:= 1 2. Следова­ тельно, a,, 5 (a,, ).

( ) Зафиксируем произвольные множества и из набора.

В случае =, имеем включение | + + | для некоторого, значит a + +,. Применим формулу (2.1.2) с O = :

( ) a, ( ) ) a, + +,+ + ( ( 1 ) 1,+ + + + +.

8 ( ) (здесь применяется формула (1.3.2)). Таким образом, a,.

( ) ( )+ Далее, если = и O = получаем ( ) ( ) + a, a ( ),,+ + ) ( + a,,+ + ) ( +, +.

( ) + ( ) + В первом слагаемом имеем = + + =.

Поэтому, a ( ), = a ( ( ), ).

( ) Во втором слагаемом, имеем = a + + = + 2 +1, следовательно, по формуле (3.2.1) ) a, = a, +2+1.

( ) ( Применяя формулы раскроя, имеем ( ) ( ) + a, ( a ( ),,+ + ) 8 + a, ++ +,+ + +.

) ( + 8, Мы доказали утверждение, используя вместо оператора ( ) оператор ( ). Так как отображение ( ) непрерывно, то полученные неравен­ ства сохраняются при замене ( ) на ( ) для всех из достаточно малой окрестности. Близость и специального действия регулируется парамет­ ром, поэтому при достаточно большом, лежит в нужной окрестности.

Теорема 3.2. Пусть P — набор ­ полиномов и 2. Тогда набор P допустимо пополняем.

Доказательство. Обозначим через P бесконечный набор операторов {1, 2,...,,,,...} и покажем, что для любого набор P допустим.

Пусть 0, — произвольное преобразование, и (a,, ) — его окрест­ ность. Для любого достаточно большого найдем в этой окрестности такое () ( ) преобразование, что w, P ( ) 2.

оператор ( 1) представ­ Так как 2, то для любого + ляется как сумма для некоторого ­ полинома. Согласно лемме 3.2, в этом случае можно выбрать систему преобразований { }=1,..., лежащих в настолько малой малой a ­ окрестности ( ) преобразования, что (), ( ) w ( (), ()), и () ( w, {,...,, ( 1),,,..., }, ) для всех.

Рассмотрим пространство {1, 2,..., } и преобразование : (, ) (, ).

Выберем произвольное сохраняющее меру преобразование : {1,..., }, переводящее каждое множество из набора во множество {1,..., }. Тогда, для любых,, имеем ( ) 1 = ) ( | ( ) ( )|, =1,...

то есть 1 ( ).

Далее, для всех = 1,...,, имеем 1 1 = ( ) ( ) =1,...

1 1 ( 1 ( 1), =,, ( ) ), + а при, получаем ( ) ( ),.

= =1,...

Таким образом, в сколь угодно малой окрестности любого преобразова­ () ( ) ния можно найти преобразование такое, что w, P.

Далее, описанной выше процедурой, построим последовательность пре­ () ( образований таких, что d (1, ) 21 и w, P ( ) 21, где { } ) некоторая возрастающая последовательность чисел. Тогда предельное преоб­ разование для последовательности { } имеет P ­ предел.

Замечание 3.2. Множество преобразований, имеющих P­ предел имеет тип, так как представляется в виде ( { }) ) () ( N | w, P ( ),,, и все множества в круглых скобках открыты.

Рассмотрим все (в том числе и конечные) наборы ­ полиномов P эле­ менты которых, начиная с равны. Назовем такие наборы финитными.

Множество финитных наборов сепарабельно (всюду плотным множеством { } является набор P, полиномов конечной длины с рациональными коэффи­ циентами), из доказательства предыдущей теоремы следует, что все конеч­ ные наборы реализуемы с помощью слабо перемешивающих преобразований (слабая перемешиваемость достигается пополнением набора оператором ).

Тогда множество { } ) () (, P ( ) N | w,,, является массивным (как пересечение массивных множеств) и совпадает со множеством всех финитных полиномов.

Лемма 3.3. Пусть, N, 0 — произвольные числа, — произволь­ ное преобразование и P — допустимый набор ­ полиномов. Тогда в любой слабой окрестности можно выбрать перемешивание и сколь угодно большое число такие, что () 1. w (, P ( )).

( ) 2. a +, ( ) при всех и = 2,..., 2.

Доказательство. Условия 1. и 2. открыты в слабой топологии, поэтому до­ статочно найти удовлетворяющее им произвольное преобразование. Пусть — такое число, что набор множеств приближает с точностью до 4 любое { } из множеств,=2,...,2. Возьмем в нужной окрестности преобра­ () зование, имеющее P ­ предел и выберем таким, что w (, P ( )) 22+1.

Зафиксируем. Так как |, | 22 a (, ( )), для любых,. Зафиксируем,, = 2,..., 2 и возьмем такое, что ( ) 4.

Тогда + ( ) ( ), ( ), ( ) | ( ) ( ), | + 2 ( ) +.

() Следовательно, w ( +, ( )).

Лемма 3.4. Пусть, — конечные целочисленные множества и N.

{ + } Рассмотрим наборы Z, использующие каждое значение фиксиро­ ванное, но не превышающее, количество раз. Среди них можно выбрать такой, что для любых Z и, включение + + + + (3.2.2) может выполняться только при условии + + ) ( + + ) ( + + ( ) * * = 0, + где * — некоторое число, зависящее от.

Доказательство. Не теряя общности, можно полагать, что множества и центрированные и = 1. Также, можно предполагать, что последователь­ + ность { } индексирована натуральными числами.

Пусть = max {| | | + }. Возьмем возрастающую последо­ вательность центрированных отрезков { }N радиуса и последователь­ ность элементов { | | | = (4) }.

Заметим, что множества { + }N не пересекаются между собой. Проре­ див, если необходимо, последовательность { } с помощью леммы 3.1, полу­ чаем, что ( + + ) + +, (3.2.3) при.

+ Положим = для всех.

Если =, и + + + +, то существует + такое, что + + = +.

+ + Так как | |, имеем + + + + { | |, | |}.

+ + Следовательно, учитывая включение (3.2.3), имеем + + + + || = + + { | |, | |} max{,} + max{,}.

Так как, после того как мы проредили последовательность { }, множества { + }N не пересекаются между собой, для каждого существует лишь одно значение max {, } при котором выполняется включение (3.2.2). Для + завершения доказательства положим * = max{,}.

Лемма 3.5. Зафиксируем положительные числа, и N. Пусть пере­ мешивание и преобразование таковы, что w (, ). Тогда для лю­ бых чисел, N, допустимо пополняемого конечного набора ­ полиномов P и достаточно большого N, существует преобразование такое, что () ( ) w, P ( ), w (, ) + и d (, ).

Доказательство. Требуемое преобразование будет строиться как специ­ альная конструкция. Прежде всего, подберем ее параметры и параметры рас­ кроя E, :

Выбор. Хотя число задано в условии, мы (без ограничения общности) потребуем, чтобы было больше и для некоторого, 0 4, имеем (a,, 4) (d,, ).

и для любых, при Выбор. Число должно быть больше чем, должно выполняться неравенство a (, ). (3.2.4) Кроме того, все, входящие в операторы { }, должны быть меньше.

Выбор. Число должно быть больше числа рассматриваемых поли­ номов.

Выбор,,. Выберем допустимый набор полиномов P, P P. Возь­ мем окрестность () = { | a (, ) }, (3.2.5) преобразования. С помощью леммы 3.3 найдем число 2 и переме­ шивание (). В качестве возьмем произвольное перемешивающее преобразование.

( ), имеем Выбор. Число возьмем таким, что и при a (, ). (3.2.6) Последовательность { } представляется как сумма периодической, с пе­ риодом, последовательности { } = (mod ) * ( ) и функции скачков { [ ] [ ] } + + + | = = { }, которая выбирается с помощью леммы 3.4, примененной с = и = [ ( ), ( )].

+ { } Заметим, что построенная последовательность каждое свое значение принимает ровно раз.

По выбранным параметрам построим раскрой E, и конструкцию.

Согласно утверждению 2.1, расстояние a (, ), при, оценивается величиной ( = ) + 2.

,:= Имеем a,, + 1 (a,, 3) и, следовательно, d (, ).

( ) Так как (a,, 2) для всех, входящих в операторы, то () w (P ( ), P ( )) 2. (3.2.7) Пусть = 0,..., 1. Применив формулу (2.1.1) с = и D = ( ) и, учитывая, что = +, имеем +, ()+,+,+,+ + :( mod )+ ( ),+ + + :( mod )+ :( mod )+ + + 2.

:( mod )+ Здесь использовалось, что + = + = ( ).

Таким образом, (a,, 2).

Из 1-го пункта леммы 3.3, имеем a (, ( )), поэтому, учитывая () ( ) (3.2.7), получаем w, P ( ) 5.

+ Зафиксируем число N и обозначим через * исключительное значе­ + ние max{,} в смысле леммы 3.4.

Для завершения доказательства согласно формуле (2.1.3) достаточно показать, что F2+ 2.

Какие именно пары (, ) могут не попасть в F2+ зависит от значений и и расположения на числовой прямой. Случаи, когда пары (, ) могут не принадлежать F2+ помечены плюсом в следующей таблице2) :

2) Кроме того, в таблице приведена оценка суммы F2+. Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

+ + K= = + + = = оценка + ++ + + = max{,} = * max{,} = * суммы F2+ 0 ­ + + + ­ ­ ­ + ( 1) + + ­ + ( 1) ­ ­ ­ + Покажем, что пары (, ), соответствующие "минусам" в таблице лежат в F2+ :

В первом столбце, имеем = + =.

При из формулы (3.2.5) следует, что a (, ), а из w (, ) следует, что a (, ). По неравенству треугольника получаем a (, ) +.

( 1) из (3.2.4) и (3.2.6), имеем При a (, ) a (, ) + a (, ) 2.

Во втором столбце, имеем = + = +. При этом модуль разности не превышает ( ).

При разность равна ( ) ( ) и + 2.

В этом случае | + ( )| 2 и из п.2 леммы 3.3, имеем ( ) ( ) ()()+ ()()+ ( ) = = = ( ) () +() (), =, при и ( ) ()()+ ( ) = = ( ) () +() +() =,, при. Так как — ­ полином, то ( ) ±(+()) a ||,.

( ) Следовательно, a,.

Применяя неравенство треугольника и учитывая (3.2.4), получаем a, a, + a (, ) 2 +.

( ) ( ) ( 1), имеем При + ( 1) ( ) = ( 2) + ( ).

Следовательно, по формуле (3.2.6), a,.

( ) Применяя (3.2.4) и неравенство треугольника, имеем a, 2.

( ) В третьем столбце для всех пар (, ), согласно лемме 3.4, a +,.

( ) Тогда, при, ввиду (3.2.4), a +, 2.

( ) Таким образом, во всех случаях, помеченных в таблице плюсом, имеем (, ) F2+.

Величина F2+ оценивается суммой (,) где суммирование ве­ дется по всем парам (, ), соответствующим, при выбранном, плюсам в таблице.

В зависимости от расположения, используя формулы раскроя (1.3.4), имеем:

При 0, 1 F2+ + = 2.

( 1), имеем При или при F2+.

+ +,:max{,} =* + Множество пар (, ), одна координата которых * покрывается столбцами и строками, поэтому, применяя оценку (1.3.1), получаем F2+ 2 =.

( 1), имеем Далее, при F2+ +.

+ + + +,:max{,} =* (,): = Первая сумма справа, как показано выше, не превышает. Так как при 2 + + имеем | |, то по свойствам раскроя 0. Следова­ =,,+ тельно, вторая сумма также не превышает. Таким образом, F2+ во всех случаях меньше 2 и a (, ) 2 + 2 + = 4 +.

Теорема 3.3. Пусть — перемешивающее преобразование и { }N — бес­ конечные наборы натуральных чисел. Зафиксируем положительные числа и удовлетворяющие условию и множество наборов ­ полиномов { } P | #P 2 N. Тогда в (m, )­ окрестности найдется преобразование, для каждого обладающее P ­ пределом по некоторой подпоследователь­ ности набора.

Доказательство. Пусть i : N N функция, принимающая бесконечное чис­ ло раз любое натуральное значение и () — длина набора полиномов Pi().

Зафиксируем любое положительное число 8. Найдем индукцией в (d, )­ окрестности перемешивания преобразование с нужными свойства­ ми. Пусть такое число, что для всех, + 3 + w (, ) w (, ).

2 На первом шаге согласно лемме 3.5 существует такое 1 (1) и ( ) ((1)) 1, P (1 ) 1, w (, 1 ) + i(1) преобразование 1, что w1 2 2,d (, 1 ) 2.

На ­ ом шаге по лемме 3.5 найдутся 1, i() и преобразова­ () (, Pi() ( ) 21 при, w (, ) + ) ние такие, что w и d (1, ) 2.

Последовательность { } сходится в слабой топологии к некоторому пре­ образованию. Тогда обладает всеми P ­ пределами и d (, ). Кроме + 3+ для всех N, имеем w (, ) того, так как w (, ) и по 2 утверждению 1.16 m (, ) = w (, ) + d (, ).

§3.3. Аппроксимация перемешивающих Z ­ действий неперемешивающими В этом параграфе результаты предыдущего параграфа обобщаются на случай Z ­ действий.

Пусть Z. Оператор = ( ) назовем ­ полиномом, если q, ( ) = + где конечное множество неотрицательных коэффициентов { } удовлетворя­ ет условию = 1, а {q } Z.

Заметим, что все ­ полиномы можно почленно умножать на любую степень и они останутся ­ полиномами (при этом g = g = и g = g для всех g Z ).

Z ­ действие имеет предельный оператор или ­ предел (по неогра­ ниченной подпоследовательности {g } Z ), если a ( g, ( )) 0 при.

Аналогично, пусть P = { } — конечный упорядоченный набор ­ полиномов. Будем говорить, что Z ­ действие обладает P­ пределом (по неограниченной подпоследовательности {g }), если a ( g, 1 ( )) 0, a 2g, 2 ( ) 0,..., a g, ( ) 0, ( ) ( ) при.

Утверждение 3.2. Любой набор ­ полиномов P, является допустимо пополняемым.

Доказательство. Пусть f Z {0}. По замечанию 3.2, массивно множе­ ство преобразований, имеющих V­ пределы для всех финитных наборов ­ полиномов V. Типичный элемент вкладывается в Z ­ действие которое, та­ ким образом, имеет полный набор финитных V­ пределов. Однако, этот набор содержит не все ­ полиномы для Z ­ действия, а лишь те, которые построены по степеням одного преобразования. Ниже мы показываем, что в типичном случае все полиномы набора P можно аппроксимировать полиномами из на­ бора V. Пусть — множество преобразований, таких, что централизатор состоит из замыкания степеней. Типичное преобразование лежит в каж­ дом из множеств и (см. утверждение 3.1), а значит и в их пересечении.

Рассмотрим семейство действий = | f.

{ } Так как отображение Z,f Z сохраняет типичность (утверждение 1.27), — существенное множество. Зафиксируем и покажем, что имеем P­ предел для любого конечного P P.

Зафиксируем произвольные N и 0. Так как f, для каждого g, входящего в { ( )}, существует такое (g), что ( ) (g)f g a,.

Для каждого и q, ( ) = + положим f (g)f.

( ) = + Тогда, ( ) f (q ) q ( ( ) ) a, ( ) a,.

( ) Рассмотрим теперь любой финитный набор V f, начинающийся с { ( f )}. Так как f, этот набор реализуем. Пополним набор P до P полиномами {}. Выбрав такое, что ( )) () ( w f, V f, получим () ( () ( () ( w f, P ( ) w f, V f + w P ( ), V f.

) ( )) ( )) В силу произвольности и получаем требуемое утверждение.

Лемма 3.6. Пусть N, 0 — произвольные числа, — ограничен­ ное подмножество Z, — Z ­ действие и P — допустимый набор ­ полиномов. Тогда в любой слабой окрестности можно выбрать переме­ шивание и сколь угодно большой вектор p такие, что () 1. w ( p, P ( )).

( ) 2. a p+i, i ( ) при всех и i.

Доказательство. Условия 1. и 2. открыты в слабой топологии, поэтому до­ статочно найти удовлетворяющее им произвольное действие. Пусть та­ { } кое число, что любое множество из набора i,i[,]* приближает­ ся с точностью до множествами из набора. Возьмем в нужной окрест­ ности действие такое, имеющее P ­ предел и выберем p таким, что () w ( p, P ( )) 22+1. Зафиксируем. Так как |p ( ), | 22 a ( p, ( )), для любых,. Зафиксируем,, i и возьмем такое, что i 4.

) ( Тогда, p+i i ( ) ( ), i ( ), i ( p ) | ( p ) ( ), | + 2 i ( ) +.

() ( ) p+i, i ( ).

Следовательно, w Лемма 3.7. { Z } — возрастающая последовательность центрирован­ ных множеств, = Z. Тогда для любой последовательности { }, лю­ бого центрированного множества, существует возрастающая последо­ вательность такая, что + + при.

Доказательство. Это утверждение является перефразировкой того, что { } — возрастающая последовательность.

Заметим, что в следствии центрированности множеств,, также при выполнено также и включение +.

Замечание 3.3. Пусть 0, {g } Z и g. Пусть () такое число, (), имеем a ( g +g, ) и a ( g g, ). Тогда () что при |g| стремится к бесконечности. Действительно, так как для любого N, любых, при достаточно больших и || имеем ) g + = g = g () (), ( ) ( ) ( то есть g + g.

Выберем из последовательности () монотонно возрастающую подпо­ следовательность () и положим = {g | |g| ()}.

Тогда{ } возрастающая последовательность центрированных мно­ жеств и к ней применима предыдущая лемма.

Лемма 3.8. Пусть, — конечные подмножества Z и N. Рассмот­ { + } рим наборы g элементов Z, использующие каждое значение фиксиро­ ванное, но не превышающее, количество раз. Среди них можно выбрать такой, что для любых g Z и, включение + + g g + g + h (3.3.1) может выполняться только при условии + + ) ( + + ) ( + + ( ) g g* g g* g g = 0, + где g* — некоторый вектор, зависящий от g.

Доказательство. Не теряя общности, можно полагать, что множества и центрированные и = 1. Также, можно предполагать, что последователь­ { + } ность g индексирована натуральными числами.

Пусть = max {|| | }. Возьмем возрастающую последователь­ ность шаров { }N радиуса и последовательность элементов { } | | | = (4).

Заметим, что множества { + }N не пересекаются между собой. Проре­ див, если необходимо, последовательность { } с помощью леммы 3.1 и зано­ во перенумеровав, получаем, что + ( + + ) +, (3.3.2) при.

+ Положим g = для всех.

Если =, h и + + g g + g + h, то существует f + такое, что + + g = f + g g.

+ + Так как |f | g g, имеем g g + f g+ g + { |f |, |f |}.

+ + + Следовательно, учитывая включение (3.3.2), имеем + + + + |g| = f + g g g g + { |f |, |f |} max{,} + max{,}.

Так как, после того как мы проредили последовательность { }, множества { + }N не пересекаются между собой, для каждого g существует лишь одно значение max {, } при котором выполняется включение (3.3.1). Для + завершения доказательства положим g* = max{,}.

Лемма 3.9. Зафиксируем положительные числа, и N. Пусть Z ­ действие и перемешивание таковы, что w (, ). Тогда для любых чисел, N, любого достаточно большого f N и допустимо пополня­ емого конечного набора ­ полиномов P существует Z ­ действие такое, () ( ) что w f, P ( ), w (, ) + и a (, ).

Доказательство. Требуемое действие будет строиться как специальная конструкция. Прежде всего, подберем ее параметры и параметры раскроя E:

Выбор. Возьмем.

Выбор. Хотя число задано в условии без ограничения общности можно считать, что больше.

Ограничения на f. Вектор f должен быть таким, что при g (f, f ) выполнено неравенство # ((g, g + f ) (0, f )), # (0, f ) и при g (f, f ) должно выполняться неравенство / a ( g, ). (3.3.3) Кроме того, потребуем, чтобы все элементы, используемые в ­ полиномах { }, лежали во множестве (f, f ).

Выбор. Число должно удовлетворять условию ) ( 1.

Выбор,, p. Выберем допустимый набор полиномов P, P P. По­ ложим = (2f, 2f ). С помощью леммы 3.6 найдем вектор p и перемеши­ вание, удовлетворяющее условию a ( g, g ), (3.3.4) для всех g (f, f ).

В качестве возьмем произвольное перемешивающее действие.

Выбор. Пусть множество таково, что ( ) (f p)+g a,, (3.3.5) при всех g и || /.

Выбор I. Выберем куб I такой, что #I и # {a I | af IF g} /, (3.3.6) #I для любого g.

Кроме того, потребуем, чтобы сторона I делилась на. Тогда I будет представляться как объединение U не пересекающихся кубов со стороной.

Построим по I раскрой E с законом (1.3.3).

+ { } Выбор gi = gi + gi. Коэффициенты gi выбираются таким образом, что для всех i, имеем gi+(1,...,1) gi = (f p) ( mod ), и gi { (f p)}=1,...,.

На каждой прямой, параллельной диагонали I, в любом кубе из U, ко­ эффициенты gi принимают не более одного раза каждое свое значение.

{ + } Набор скачков gi, выбирается с помощью леммы 3.8, примененной { } с = gi и удовлетворяющий следующему условию: на отрезках внутри каждого из кубов разбиения, параллельных диагонали, скачки совпадают. Во всех остальных случаях скачки различны.

Элемент gi определяется по формуле + gi = gi + gi.

Таким образом, каждой паре i поставлено в соответствие свое уникаль­ ное значение gi.

По полученным параметрам построим конструкцию.

Для каждого элемента g (f, f ) группы Z (в частности, для всех образующих), по утверждению 2.1, имеем g g g g = a (, ) ab aa 2, a a,b:a=b по выбору f. Следовательно, (a,, 2) (a,, 3).

Поскольку для каждого g, входящего в -полиномы имеем, g (a, g, 2), то a ( ( ), ( )) 2. (3.3.7) Обозначим через J подмножество I, состоящее из тех r, для которых r и r + f, лежат в одном кубе разбиения I и gr+f gr = (f p). Все a, для которых эти условия не выполняются, содержатся либо в отрезках {r f }=1,...,1, где gr = 0, либо набор {r + f }=1,...,1 пересекает границу одного из кубов U. Таким образом, на каждой прямой, параллельной диаго­ нали, внутри куба из U может не попасть в J не более 2 элементов. Тогда, мощность множества J оценивается как ) ( #J 1.

#I Пусть = 0,..., 1. Применив формулу (2.1.2) с O = p и g = f, имеем ( ) p f p f f ( ) a, a, ab = a,b a p, ga gb +f ab ) f ( = a,b ( ) p p f f + (#I #J) = a (, ) a,a+(,...,) + a,a+(,...,) aJ aJ + 1 (1 ) 2.

Таким образом, f ( p, a, 2). По построению (из 1-го пункта () ( ) леммы 3.6 получаем, что w f, P ( ) 3. Учитывая (3.3.7), получаем () ( f, P ( ) 5.

) w Зафиксируем g Z и обозначим через g* исключительное значение + + {ga } в смысле леммы 3.8.

Для завершения доказательства согласно формуле (2.1.3) достаточно показать, что F2+ 3, ( ) где F2+ — множество пар (a, b) для которых a g, g 2 +.

Какие именно пары (a, b) могут не попасть в F2+ зависит от значе­ ний a и b и расположения g в группе. Случаи, когда пары (a, b) могут не принадлежать F2+ помечены плюсом в следующей таблице3) :

3) Кроме того, в таблице приведена оценка суммы F2+. Вычисления, подтверждающие данные таблицы приведены ниже.

++ ++ + + a = b ga = gb ga = gb, ga = g* оценка + ga = gb ga = g*, или суммы F2+ + + gb = g* gb = g* g (f, f ) ­ + + + g (f, f ) (f, f ) ­ ­ ­ + g (f, f ) + + ­ + g / ­ ­ ­ + Покажем, что пары (a, b), соответствующие "минусам" в таблице не лежат в F2+ :

В первом столбце имеем g = g.

При g (f, f ) из формулы (3.3.4) следует, что a ( g, g ), а из условия w (, ) — что a ( g, g ). По неравенству треугольника получаем a ( g, g ) +.

При g из (3.3.3) и (3.3.5) с = 0, имеем / a ( g, g ) a ( g, ) + a (, g ) 2.

Во втором столбце, имеем g = ga gb + g = ga gb + g = (f p) + g, для некоторого = 0, ||.

При g (f, f ) (f, f ) предположим, для определенности, что 0. Мы воспользуемся соотношением ( ) ( ) (f p)+g (pf )g a, = a,, вытекающим из того, что (f p)+g = (pf )g.

По п. 2 леммы 3.6, имеем ( ) gf (pf )g a,.

Так как — ­ полином, то a gf,.

( ) Применяя неравенство треугольника и учитывая (3.3.3) получаем ( ) ( ) (f p)+g g g, + a (, g ) a, a ( ) gf + a gf, + (pf )+g ( ) a, +a (, g ) 2 +.

При g по формуле (3.3.5), имеем / ( ) (f p)+g a,.

Применяя (3.3.3) и неравенство треугольника, получаем ( ) (f p)+g g a,.

В третьем столбце для всех пар (a, b), согласно лемме 3.8, g, / значит вследствие выбора (формула (3.3.5) с = 0), имеем ( ) g a,.

Тогда, при g (f, f ), ввиду (3.3.3), выполнено неравенство / ( ) g g a, 2.

Таким образом, во всех случаях, помеченных в таблице плюсом, имеем (a, b) F2+.

g Величина F2+ оценивается суммой (a,b) ab где суммирование ведет­ ся по всем парам (a, b), соответствующим, при выбранном g, "плюсам" в таблице.

В зависимости от расположения g, используя формулы (1.3.3) раскроя, имеем:

При g (f, f ), имеем g F2+ aa.

a Величина справа, по свойствам раскроя и выбору f, оценивается как # ((g, f + g) (0, f )) # ((g, f + g) (0, f )) 1 + = 1 + 2.

#F#I #F a При g (f, f ) (f, f ) или при g, имеем / g g F2+ ab + ab 2 =.

#I + + + a,b:a=g* a,b:gb =g* Далее, при g (f, f ), имеем g g g ab + ab + ab.

F2+ + + + + + a,b:a=g* a,b:gb =g* (a,b):ga =gb Первая две суммы справа, как и выше, оценивается величиной 2.

g Оценка суммы (a,b):ga =gb ab делается в два этапа.

+ + Так как |b a| ( 1, 1..., 1), то условия при которых вы­ полняется вторая часть закона (1.3.3) принимают следующий вид:

g (b a) f + (f, f ) (f, f ) / |ba| (1,1...,1) и af IF g.

Таким образом, g ab 0.

+ + (a,b):ga =gb,af IFg Оставшаяся часть суммы g ab + + (a,b):ga =gb,af IFg / не превышает. По формуле (3.3.6), она меньше.

a:af IFg / Таким образом, F2+ во всех случаях меньше 3 и a ( g, g ) 3 + 2 + = +.

Замечание 3.4. Пусть q N. Тогда вектор f, построенный в предыдущей лемме можно выбрать вида q для любого достаточно большого N, за­ висящего от q. При этом условие q N не является существенным. Дей­ ствительно, для каждого ненулевого вектора q Z, можно найти набор векторов {h }, образующих целочисленный базис в Z, такой, что q имеет в нем только положительные координаты. Пусть — матрица перехода от стандартного базиса в Z к базису {h }. Каждому действию можно по­ ставить в соответствие действие такое, что g = g. Так как q имеет только положительные координаты, то для при достаточно большом числе, вектор q можно взять в качестве f из предыдущей леммы и построить соответствующее действие. Тогда действие : g = g будет удовле­ творять утверждению леммы для всех векторов f вида q при достаточно большом N.

Теорема 3.4. Пусть — перемешивающее Z ­ действие и { }N — бес­ конечные наборы векторов. Зафиксируем положительные числа и удовлетворяющие условию и множество наборов ­ полиномов { } P | #P 2 N. Тогда в (m, )­ окрестности найдется действие, для каждого обладающее P ­ пределом по некоторой подпоследовательно­ сти набора.

Доказательство. Пусть i : N N функция, принимающая бесконечное чис­ ло раз любое натуральное значение и () — длина набора полиномов Pi().

Зафиксируем любое положительное число 8. Найдем индукцией в (d, )­ окрестности перемешивания преобразование с нужными свойства­ ми. Пусть такое число, что для всех, + 3 + w (, ) w (, ).

2 На первом шаге согласно лемме 3.9 существует такое 1 i(1) и преобра­ ( ) ((1)) 1, P (1 ) 2, w (, 1 ) +,d (, 1 ) i(1) зование 1, что w1 2 2.

На ­ ом шаге по лемме 3.9 найдутся 1, i() и преобразова­ () (, Pi() ( ) 21 при, w (, ) + ) ние такие, что w и d (1, ) 2.

Последовательность { } сходится в слабой топологии к некоторому дей­ ствию. Тогда обладает всеми P ­ пределами и d (, ). Кроме того, + 3+ для всех N, имеем w (, ) так как w (, ) и по утвер­ 2 ждению 1.16, имеем m (, ) = w (, ) + d (, ).

§3.4. Типичные перемешивающие преобразования и действия Определения и топологический статус рассматриваемых ниже свойств исследовались в пунктах 1.2.1 и 1.5.2. Большинство рассматриваемых свойств массивно в, поэтому достаточно доказать плотность перемешиваний, кото­ рые ими обладают.

Энтропия. Нам важно, что преобразования с нулевой энтропией имеют тип в (см. [77]) и энтропия прямого произведения преобразований равна сумме энтропий сомножителей.

Теорема 3.5. Типичное перемешивающее преобразование имеет нулевую эн­ тропию.

Доказательство. Перемешивания с нулевой энтропией имеют тип, как прообраз множества такого же типа при отображении i. Существуют пере­ мешивания с нулевой энтропией, (таковыми являются, перемешивания с ко­ нечнократным спектром, см.[79], например, перемешивания ранга 1). Надо лишь заметить, что для каждого перемешивающего преобразования с ну­ левой энтропией преобразование также имеет нулевую энтропию и сопряженные ему всюду плотны.

Дизъюнктность. Здесь мы будем использовать, что дизъюнктность всех элементов преобразования — массивное свойство и некоторые другие результаты, собранные в лемме 1.16. Кроме того важно, что существует пере­ { } такое, что семейство мешивание, дизъюнктно (см. Рудольф [40]).

Z Теорема 3.6. Типичны перемешивающие преобразования, для которых { } семейство Z дизъюнктно.

Доказательство. Из определения следует, что свойство дизъюнктности на­ следственно, то есть, если оно выполняется для некоторого семейства преоб­ разований, то выполнено и для любого его подсемейства. Поэтому, достаточно показать, что для фиксированного числа N множество преобразований { }, для которых семейство [,] дизъюнктно является массивным. Это множество имеет тип, как прообраз множества такого же типа при отоб­ ражении i. Покажем, что оно всюду плотно.

Для фиксированного, перемешивание = и все его степени до 1 включительно дизъюнктны. Действительно, если, {1,..., 1}, =, то преобразования и суть прямые про­ изведения различных степеней ( =, так как = и 1 ).

Предположим, что некоторая мера инвариантна относительно прямого произ­ ведения =1,...,1 и ее координатными проекциями являются меры Лебега.

"Координатные" в данном случае — проекции на пространства на которых действуют степени преобразования, то есть вообще говоря, на про­ странства вида ;

однако, проекции меры на каждое пространство в этом случае тоже окажутся лебеговскими — как проекции лебеговской меры.

По свойству преобразования исходная мера единственна.

Осталось заметить, что сопряженные такому преобразованию всюду плотны в по теореме 2.1.

Следствие 3.1. Существует несчетное дизъюнктное семейство переме­ шиваний.

Доказательство. Рассмотрим перемешивание такое, что все его степени дизъюнктны и найдем максимальное дизъюнктное семейство перемешива­ { } ний, содержащее N. Предположим, что это семейство { }N счетно.

Зафиксируем конечное множество N, и рассмотрим прямое произведе­ ние преобразований { }. Множество перемешиваний, дизъюнктных этому преобразованию имеет тип (как прообраз множества такого типа при отоб­ ражении i, см. лемму 1.16), содержит прямое произведение всех остальных перемешиваний в семействе и сопряженные этому произведению. По теореме 2.1, это множество массивно. Взяв пересечение таких множеств, по всем ко­ нечным N, получим массивное множество перемешиваний, дизъюнктных семейству { }, что противоречит максимальности последнего. Значит, это семейство не может быть счетным.

Замечание. Это утверждение также можно вывести из результатов Абдалаи о дизъюнктности. Приведенное здесь доказательство представляется более про­ стым технически. В. В. Рыжиков сообщил автору, что в качестве несчетного дизъюнктного семейства преобразований можно взять множество ненулевых элементов любого перемешивающего потока ранга 1.

Спектр. Основные обозначения, связанные со спектром преобразова­ ния, введены на странице 28, общие определения спектральных свойств даны в пункте 1.2.1. Согласно пункту 1.5.2 простой спектр — массивное свойство.

Утверждение 3.3. Типичное перемешивающее преобразование имеет про­ стой спектр.

Доказательство. Согласно [59], существует перемешивающее гауссовское преобразование с простым спектром. Такие преобразования бесконечно делимы (то есть представляются как прямые произведения), следовательно сопряженные с всюду плотны в. Поскольку и сепарабельные про­ странства, то можно выбрать счетное семейство преобразований { }, таких, что множество 1 всюду плотно и в и в. Далее, согласно [2, { } lemma 2], существует последовательность окрестностей 1 N в { ( )} каждого из этих преобразований, такая, что любое преобразование из мно­ жества ( ) имеет простой спектр. Прообраз каждого из пересекаемых множеств при отоб­ ражении вложения в открыт (так как множества открыты) и всюду плотен, так как содержит перемешивания, сопряженные с помощью преоб­ разований { }. Значит, прообраз всего пересечения является пересечени­ ем счетного числа всюду плотных открытых множеств, то есть массивным множеством.

Сингулярность спектральных типов сверточных степеней.

Пусть 1 2... прямое произведение преобразований, действующее на 1 2.... Пространство 0 (1 2... ) разлагается в прямую сумму пространств 0 (), {1,...,},= являющихся замыканием линейной оболочки функций вида 1 2..., где 0 () при и = 1 при. Эти пространства инвариантны / относительно 1 2.... Сверткой максимальных спектральных типов преобразований 1,..., называется максимальный спектральный тип опера­ тора 1 2..., суженного на 0 ({1,..., });

соответствующее обозначение таково:

* = 1 *... *.

{1,..., } Если все 1,..., совпадают с, то эта свертка называется ­ ой сверточ­ ной степенью максимального спекрального типа преобразования и обозна­ * чается. У типичного преобразования сверточные степени максимальных спектральных типов взаимно сингулярны, откуда, в частности, следует син­ гулярность спектра таких преобразований [102].

Заметим, что максимальный спектральный тип самого произведения 1 2... представляется в виде *.

{1,...,},= Взаимная сингулярность спектральных типов сверточных степеней пре­ образования является типичным свойством [99].

Лемма 3.10. Пусть 1,..., и 1,..., два конечных набора (возможно повторяющихся) натуральных чисел. Тогда множество преобразований для которых свертки 1 *... * и 1 *... * взаимно сингулярны, есть ­ множество в.

Доказательство можно найти в [31, лемма 1.4].

Утверждение 3.4. Для типичного перемешивания для любых натураль­ нозначных векторов = (1,..., ) и = (1,... ) свертки * и * взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда координаты вектора не являются перестановкой координат вектора.

Доказательство. Утверждение достаточно проверить при фиксированных и. Согласно [31], множество преобразований обладающим этим свойством массивно в. Также, там показано, что для сингулярности сверток * и * достаточно, чтобы преобразование имело P ­ предел с,, где { | = + (1 ) }, с логарифмически независимыми (1 ). Зафиксировав любое число 0, не превышающее 1, построим систему 2 ­ полиномов, удовлетворяющих этому условию. Согласно теореме 3.3 в (m, )­ окрестности любого перемешивания можно найти преобразование, имеющее P ­ предел и значит сингулярность соответствующих сверток. По теореме 1.4 получаем, что перемешивания с этим свойством также типичны.

Теорема 3.7. Типичные перемешивающие действия обладают кратным пе­ ремешиванием.

Действительно, Ост в [21] доказал, что сингулярность спектра пере­ мешивающего преобразования с его сверткой — достаточное условие для пе­ ремешивания любой кратности. По предыдущему утверждению, такая сингу­ лярность типична.

Теорема 3.8. Для типичного перемешивания преобразование 3... имеет простой спектр.

Доказательство. Достаточно показать что при каждом массивно множе­ ство перемешиваний, для которых 2... имеет простой спектр.

Пусть { } — всюду плотный на единичной сфере 2 набор векторов. Для фиксированных и 2 обозначим через { }N тензорные произведения векторов из,, а через — множество 2,. Положим, = { N | }, и 1 = { |, = N}. По построению, множество 1 имеет тип. Пока­ жем, что для каждого 0 N оно содержит преобразования со всеми P, ­ пределами вида 1 ( ) 1 = +, 2,,, P = | = (, 1 ) 1 +, =.

2 где, N, 1 и 0.

Для краткости будем рассматривать случай = 2 (общий случай анало­ гичен). Пусть 2 и. Так как преобразование 2 обладает,,,, 1 2 ­ пределом, то вектор 1 2 лежит в. Далее, имеем, 1, 1, 22 1 2 = + ( + ) + 2, {( )} где = 2 1. Вектора 1, +, 2 образуют матрицу Вандермонда + =0,1, (следовательно линейно независимы), поэтому лежит в как линейная {( )} 2 1,+ 1,+ 2. Аналогично, комбинация векторов 2 1 =0,1,. Тогда = ( ) ( ) для всех, 0.

Вектора с произвольным знаками степеней, получаются применением ||+|| раз оператора 1 2 к вектору с положительным набором степеней + +2. Следовательно, { } для любого и значит 1.

По теореме 3.3, m­ замыкание 1 содержит. Заметим также что для каждого 1 множество векторов = { |, = N} имеет тип и всю­ ду плотно (так как содержит { }). В качестве 2 возьмем множество преоб­ разований, имеющих простой спектр. Оно имеет тип в (см., например, [14]) и плотно в, (см. [111]). Пусть 1 2. Возьмем циклический для вектор, лежащий в (это можно сделать, так как множество цикли­ ческих векторов массивно, см. [55]). Тогда линейная оболочка { } — всюду плотный набор векторов, и значит, (... ) — циклический вектор для (... ). По теореме 1.4 множество 1 2 массивно в.

Для преобразований этот результат доказан в [2]. Существование пере­ мешиваний с таким свойством анонсировано в [87].

Замечание. Баштанов в работе [58], опираясь на теорему 2.1, доказал пол­ ный аналог леммы Халмоша о сопряжении: сопряженные любому перемеши­ вающему преобразованию всюду плотны в. К рассмотренным выше свой­ ствам, результат Баштанова добавляет типичность перемешивающих преоб­ разований ранга 1, нетипичность корней и вложения в Z2 ­ действие. Заметим также, что это дает другое доказательство результата диссертанта [115] о том, что бернуллиевские сдвиги не являются точками локальной плотности при отображении возведения в квадрат. Так как преобразования ранга 1 не вкладываются в свободные Z2 -действия, типичные свойства не переносятся с на Z2 при помощи сохраняющих типичность отображений.

В заключении параграфа мы приведем пример типичных свойства в пространстве Z.

Теорема 3.9. Типичное перемешивающее Z ­ действие имеет кратный спектр.

Доказательство. Мы воспользуемся следующим замечанием В. В. Рыжикова [81]: действие абелевой группы обладает кратным пере­ мешиванием, если в него входит преобразование с сингулярным спектром.

Согласно результатам Б. Оста [21], достаточно показать, что в типичное пе­ ремешивающее Z ­ действие вкладывается преобразование, спектр которого сингулярен со своим сверточным квадратом.

Рассмотрим множество тех Z ­ действий, первая образующая которых обладает таким спектром. Оно массивно, как прообраз массивного множества при сохраняющем типичность отображении Z,(1,0,...,0)Z. Оно содержит все действия, первая образующая которых имеет { + (1 ) }­ предел для какого­ нибудь (0, 1), см. [102]. По теореме 3.4 в (m, )­ окрестности любого перемешивающего Z ­ действия найдется действие, первая образующая которого имеет предел такого вида. Таким образом, m­ замыкание содержит Z. По теореме 1.4, получаем, что типичное перемешивающее Z ­ действие лежит в.


Глава Кратность спектра В этой главе рассмотрены два приложения полученных выше результа­ тов к спектральной теории.

В параграфе 4.1 доказывается существование перемешивающих преобра­ зований с однородным спектром произвольной кратности, в параграфе 4.2 ре­ ализуются новые (для перемешивающих преобразований) наборы спектраль­ ных кратностей. Преобразования, которые строятся в этих параграфах не являются типичными, однако их можно извлечь из типичных действий неко­ торых групп. другие примеры построения нетипичных преобразований с по­ мощью категорных методов можно найти, например, в [106].

§4.1. Перемешивающие преобразования с однородным спектром Зафиксируем натуральное число.

Пусть — группа с двумя образующими 1 и 0 со следующими ком­ мутационными соотношениями:

( 1 ( 1 1 ) ) 0 = ;

элементы 1, 2 = 0 1 0,..., = 0 1 0 коммутируют между собой.

Переписав определения { }, получаем, что 0 = 0 1, для всех = 1,..., (здесь и далее означает сложение по модулю ).

Следовательно, каждый элемент представляется в виде произведения 0 0 1 1....

В качестве возьмем подгруппу, порожденную элементом (0 1 ) = 1....

Подгруппа лежит в централизаторе группы.

Рыжиков [89] показал, что если -действие обладает следующими свойствами:

1. 1 имеет простой спектр;

2. 1 имеет непрерывный спектр для = 2,..., ;

3. 0 1 имеет простой спектр;

3. 0 1 имеет непрерывный спектр;

то (0 1 ) имеет однородный спектр кратности.

Множества действий, обладающих свойствами 1,2,3 обозначим через 1, 2, 3 соответственно.

Мы получим действие обладающее всеми этими свойствами и такое, что 4. (0 1 ) перемешивает.

Заметим, что свойство 3 следует из свойства 4 (так как корень из пе­ ремешивающего преобразования сам перемешивает), поэтому проверять его выполнение излишне.

Для доказательства рассмотрим пространство, и докажем, что типичное его действие обладает свойствами 1, 2 и 3.

Факт 4.1. Множества ­ действий,, обладающих свойствами 1,2,3 имеют тип.

Доказательство. Эти множества являются прообразами множеств такого типа (см. пункт 1.5.2) при непрерывных отображениях 1, 1, 0 1, поэтому сами имеют тип.

К ­ множествам можно применять теорему 1.4, но для этого надо пока­ зать, что их m­ замыкание содержит,. Для этого будут использоваться модели ­ действий, аналогичные использованным в [89].

Напомним, что по теореме 3.8 существует перемешивающее преобразо­ вание такое, что прямое произведение 2 3...

имеет простой спектр (см. также [87, Теорема 8.4]).

Модель 1. Действие задается на прямом произведении экземпля­ ров пространства преобразованием 1 = +1 +2... + ( ) и циклической перестановкой координат 0 (1,..., ) = (2,...,, 1 ).

Рассмотрим прямое произведение 0.

Имеем 0 1 1 = 1 2... 2, поэтому 0 1.

Так как (+1) (3+1) (3+1) (3+1) (0 1 ) 0 1 ) = (......

0, 2 2 2 то 0,.

Далее, для всех = 2,...,, имеем 1 0 1 1 = = 1... 1 1... 1 1... 1 1... 1.

1 Таким образом, 0 1 1 — перемешивает, как прямое произведе­ ние перемешивающих преобразований. Следовательно, 0 2.

Лемма 4.1. 0 — свободное действие.

Доказательство. Заметим, что определитель матрицы 1 2 ··· 2 3..

.....

..

=...

.

..

1 · · · не равен нулю, если не равен нулю определитель матрицы 0 · · ·...

..

3........ 0.

.

..

..

......

..

2 1 0 0 ··· (это можно увидеть, вычитая из каждого удвоенного столбца сумму двух со­ седних и прибавив каждую получившуюся строчку к следующей). Определи­ тель последней матрицы (с точностью до знака) равен 1 (2 1), поэтому и определитель исходной матрицы нулю не равен.

Воспользуемся представлением элемента в виде 0 0 1 1.... Име­ 1...

= 1..., где вектор (1,..., ) является суммой строчек ем, 0 матрицы с коэффициентами 1,..., соответственно. Так как определи­ тель не равен нулю, то хотя бы один из коэффициентов 1,..., не равен нулю. Пусть, для определенности это будет 1. Тогда неподвижные точки (1,..., ) отображения 0 должны удовлетворять условию 0 1 = 1 1.

Если 0 = 0, то это уравнение задает график в [0, 1], следовательно мно­ жество точек ему удовлетворяющих имеет меру нуль. Если же 0 = 0, то множество точек ему удовлетворяющее имеет меру нуль, так как 1 — сво­ бодное преобразование.

Модель 2. Пусть = { } — матрица размера, состоящая из натуральных чисел, с ненулевым определителем и такая, что суммы чисел в каждом столбце различны и не равны ни одному из чисел ( + 1), ( + 2),..., 22.

Рассмотрим пространство Z 1.... Действие на Z 1...

определим преобразованиями 1 (, 1,... ) = (, 1 1,..., ), 0 (, ) = ( 1, ), (символом ”” обозначено сложение по модулю n).

Несколько громоздкие условия на матрицу используются для того, что­ бы действие оказалось свободным и чтобы преобразование 0 1 +1 +2... имело простой спектр.

Лемма 4.2. Пусть преобразование на Z задано формулой (, ) = ( 1, ), где преобразования { } коммутируют между собой и произве­ дение 1... имеет простой спектр. Тогда имеет простой спектр.

Доказательство. Пусть — циклический вектор для преобразования 1.... Покажем, что вектор (1, ) — циклический для.

В начале отметим, что подпространство, (1, ) содержит вектора (, 1... 1 ) = 1 (1, ), для = 1,...,.

Далее, применим к каждому из этих векторов оператор (, ) = (, 1... ).

Имеем,, (, 1... 1 ) = (, 1... 1 1..., ) = 2 ({} ).

Следовательно,, (1, ) содержит замыкание линейной оболочки про­ странств {2 ({} )}=1,...,, то есть совпадает с 2 (Z ).

Лемма 4.3. Действие свободно. Кроме того, 3.

Доказательство. Воспользуемся представлением элемента в виде 0 0 1 1....

Если 0 = 0, то точка (, 1,..., ) не является неподвижной для, т.к.

0 =. Предположим теперь, что 0 = 0. Имеем, (, 1,..., ) =, 1 1,...,, ( ) где вектор (1,... ) является суммой строчек матрицы с коэффициентами 1,... соответственно. Так как определитель не равен нулю, то хотя бы один из коэффициентов 1,... не равен нулю. Пусть, для определенности это будет 1. Тогда неподвижные точки (, 1,..., ) отображения должны удовлетворять условию 1 = 1 1. Поскольку 1 — свободное преобразова­ ние, мера таких точек равна нулю.

Далее, имеем 0 1 0 1 (, 1,... 2 ) = = 1, 1 1,...,, +1 +1,..., 2 +1.

( ) Так как сужения преобразования 0 1 0 1 на фиксированные коммути­ руют между собой, и их произведение 1 (+1)... 2,...

имеет простой спектр (так как по выбору матрицы все степени при преоб­ разовании здесь различны), то по предыдущей лемме 0 1 0 1 имеет простой спектр.

Для ­ действий нам понадобится метрика сильной топологии u. Поло­ жим u (, ) = sup ( ( 0 0 ) + ( 1 1 )).

Основные результаты для этой метрики получены Рохлиным. Довольно по­ дробное изложение основных результатов (для преобразований) можно найти в [117].

Метрика сильной топологии обладает двумя важными свойствами:

1. Сильная топология сильнее слабой, более того u (, ) a (, ).

2. Метрика сильной топологии инвариантна относительно сопряжений, то есть u (, ) = u 1, 1.

( ) Кроме того, для дискретных моноблочных аменабельных групп (группа именно такая), выполнен следующий аналог леммы Рохлина­ Халмоша1), см. [16]:

1) мы, также как Формен и Вейсс, формулируем эту лемму в несколько упрощенном виде.

Факт 4.2. Пусть, и, — свободные действия. Тогда u­ замыкание орбиты содержит.

Следующая лемма является специальным случаем леммы 2.1 из [82].

Лемма 4.4. Пусть перемешивающее преобразование, { } последователь­ ность множеств одинаковой меры, таких, что ( ) ( ), при.

Тогда, для любого множества, имеем ( ) () ( ), при.

Для доказательства, см. [82].

Для удобства дальнейшего изложения, через будем обозначать мно­ жество {}, = 0,... 1.

Предложение 4.1. Для любых 0, действия, и конечного раз­ биения в произвольной окрестности найдется действие вида такое, что 1.

( ), Доказательство. В пространстве плотны свободные ­ перемешивающие действия (например, по теореме 2.4 в нем плотна ор­ бита свободного действия 0 как орбита прямого произведения).

Следовательно, можно предполагать, что — свободно. Зафиксируем и. Поскольку — свободное действие, то с помощью факта 4.2 можно построить последовательность преобразований { } таких, что 1 u­ сходится к при. Так как u­ топология инвариантна относительно со­ пряжений, имеем и обратный эффект: 1 сходится к и, как следствие, 1 1 сходится к 1. Переходя, если надо, к подпоследовательности, можно считать, что для всех действие 1 лежит в нужной окрестности действия.

Рассмотрим множества 1.

При, имеем 1 1 1 = 1 1 ( ) ( ) 1 =.

( ) ( ) Cогласно лемме 4.4 для достаточно большого, имеем ) () = 1 ( ) (, при всех и = 0,..., 1.

Положим =.

Тогда 1 sup lim sup 1 () () ( ( ) ), sup lim sup | ( ) () ()|, ( ( lim sup ().

) ( )) ( ) sup, Так как перемешивает на внутри множества, имеем ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ) при.

Следовательно, ( () ) ( ( ) ) sup, (.

) Теорема 4.1. Существуют перемешивающие преобразования с однородным спектром кратности.

Доказательство. Достаточно показать, что типичное ­ перемешивающее ­ действие обладает свойствами 1-3. Действия, изоморфные 0 лежат в, обладают свойствами 1 и 2 и по теореме 2.2 плотны в,. Сле­ довательно, m­ замыкания 1 и 2 содержат,.


Докажем, что m­ замыкание множества 3 также содержит,.

Для любого фиксированного и перемешивания, согласно предложе­ нию 4.1 существует последовательность { } действий, изоморфных модели 2, слабо сходящихся к и таких, что ( ) стремится к нулю при.

Тогда по теореме 3.1, для любого 0 найдется такое, что действие изо­ морфное лежит в (m, )­ окрестности. Так как действие лежит в 3, то, содержится в m­ замыкании множества 3.

Далее, по факту 4.1, множества 1, 2, 3 имеют тип, поэтому приме­ нима теорема 1.4 и пересечение 1 2 3, массивно в,.

§4.2. Машина спектральных кратностей Группы и, рассмотренные в предыдущем параграфе, а также все их элементы зависят от выбранного числа. В большей части дальнейших рассуждений зафиксировано (например, когда выбрана группа ), однако, бывают исключения: в некоторых рассуждениях и формулах рассматрваются сразу несколько групп. В этих случаях, дабы избежать путаницы, элементы группы также будут индексироваться числом. Мы введем также два новых обозначения для элементов : = 0 1 и = (0 1 ).

Пусть s — кортеж из конечного числа натуральных чисел (возможно, повторяющихся). Элементы кортежа будем представлять как пары (, ), где — само число из кортежа, а его место в кортеже. Рассмотрим прямое произведение пространств, с метриками и (,)s m (T, R) = sup m (, ) для T =, R =,. Пространство, являет­ (,)s (,)s (,)s (,)s ся полным пространством относительно обоих метрик. Его подпространство, полно относительно индуцированной метрики m. Таким образом, (,)s ( ),,, обладает свойством.

пара (,)s (,)s ( ),,, обладает свойством.

Утверждение 4.1. Пара (,)s (,)s Доказательство. Пусть T, и S, и 0. Соглас­ (,)s (,)s но утверждению 2.14, можно найти действия такие, что d (, ) и m (, ) m (, ) + для всех. Тогда для действия R =, имеем (,)s d (R, T) и m (S, R) = m (S, T) +.

Пусть = (1, 2,..., ) — произвольное свободное Z ­ действие. Че­ рез обозначим ­ действие на пространстве 1... с образующими 1 = (1 2... ) и циклической перестановкой координат 0 (1,..., ) = (2,...,, 1 ).

Действие свободно.

{ } Лемма 4.5. Пусть,, 0 и — набор натуральнозначных последовательностей. Тогда, найдется сколь угодно малое число, такое, { } что для любых наборов P ­ полиномов в (m, )­ окрестности суще­ { } ствует действие, для каждого имеющее P ­ предел по некоторой под­ { } последовательности последовательности.

Доказательство. Пусть перемешивает и является прямым произведени­ ем двух Z ­ действий. Тогда, и m ( ) =, по теоре­ ме 2.5. Следовательно, существует такое, что 1 (m,, ). По утверждению 1.15 сопряжение — m­ непрерывная операция, следовательно существует некоторая (m, )­ окрестность действия полностью переходя­ щая в (m,, ). По теореме 3.3, в окрестности (m,, ) найдется Z ­ действие ( ) { } = 1, 2,...,, обладающее всеми P ­ пределами по подпоследова­ { } тельностям последовательностей (1,..., 1). Имеем, 0 = и ( ) ( ) 1, d = d,.

Кроме того, для всех целых, выполнено неравенство ( ) ( ) m, m,.

Следовательно, 1 (m,, ). Также, ) ( 1 = 1 2..., при Z. Так как имеет все пределы {P } по подпоследовательностям последовательностей (1,..., 1), то и 1 имеет такие же пределы { } { } по подпоследовательностям последовательностей.

Следствие 4.1. Пусть 0, s — кортеж,,, для (, ) s, { } — набор числовых последовательностей, и достаточно малое число { } (зависящее от ). Тогда для любых наборов ­ полиномов P,, найдут­ { } ся подпоследовательности последовательности такие, что в (m, )­ { } окрестности каждого существует действие, имеющее P, ­ пределы по этим подпоследовательностям.

Доказательство. Применим предыдущую лемму. Так как выбор не зави­ сит от рассматриваемой подпоследовательности, то можно выбрать подхо­ дящее для всех действий. Далее, выбирается действие 1 и соответствую­ { } { } щие подпоследовательности последовательностей, затем выбирает­ { } ся 2 и подпоследовательности последовательностей и так далее.

В следующем утверждении используется обозначение, для спек­ трального типа оператора в циклическом подпространстве, порожденном вектором.

Утверждение 4.2. Пусть 1 2 3 и — циклический вектор для.

Тогда, =.

Доказательство. Так как — циклический вектор для, то все простран­ ство 0 () представляется как сумма ­ циклических подпространств, по­ рожденных векторами,,...,. Следовательно, 0 () можно так­ же представить как сумму ортогональных ­ циклических подпространств, порожденных векторами 0 =, 1,..., 1, где — составляющая вектора, ортогональная подпространству, порожденному векторами,,...,. Все вектора не нулевые, так как в противном случае кратность спектра была бы меньше.

Тогда спектральный тип есть наложение спектральных типов,, а кратность спектра в точке это мощность множества { }, |, = 0 =0,...,1.

Так как кратность спектра равна, то все, не равны нулю почти везде, где не равен нулю спектральный тип. Отсюда (и из тривиального включения, ) заключаем, что =,0 =,.

Лемма 4.6. Предположим, что для набора преобразований преобразований { }=1,...,, имеющих простой спектр и типичного вектора 2 (), выполняется следующее свойство:

, (С) Множество содержит все вектора { ( )}.

(1,..., )Z Тогда преобразование имеет простой спектр.

Доказательство. Из типичных векторов, обеспечивающих свойство С, вы­ берем вектор, циклический для всех { }=1,..., (такие вектора суще­ ствуют так как множество циклических векторов массивно). Тогда замыка­ { ( )} ние множества векторов с одной стороны содержится (1,..., )Z в, по свойству С, с другой — содержит подпространства 2 ( ), так как — циклический вектор для. (Линейные комбинации элементов ) подпространств 2 ( ) порождают все 2, следовательно, — цик­ лический вектор для.

В следующем утверждении даны достаточные условия для выполнения свойства С.

Утверждение 4.3. Зафиксируем число 0 и набор различных положи­ тельных чисел { }=1,...,+1, не превышающих. Пусть каждое из переме­ шивающих преобразований { }=1,..., для любого = 1,..., + 1 обладает по некоторой фиксированной последовательности P, ­ пределом, где, = + (1 ) + (1 ), для 1,...,.

Тогда для преобразования и любого вектора 2 () выполняет­ ся свойство С.

Доказательство.Зафиксируем произвольный вектор 2 () и введем обозначение =,.

Вначале покажем, что операторы определенного вида перводят вектор в элемент того же пространства.

Так как преобразование обладает, ­ пределом, то вектор, лежит в.

Имеем, 1, = [ ( + (1 ) ) + (1 ) ].

Раскрывая квадратные скобки в правой части, мы получим сумму пря­ мых произведений операторов, состоящих из,, с некоторыми коэффи­ циентами, применяемую к. Коэффициенты могут принимать значения ) ) ( ( 1 1 1,,..., (коэффициент получается при прямых произве­ дениях в которые раз входит оператор ). Обозначим сумму таких прямых ) ( через,. Имеем, произведений, имеющих коэффициент = ( ),0,,1,...,, (1,,..., ),.

Тогда, +1 ( ) (1,,..., ),,0,,1,...,,.

= Вектора {(1,,..., )}=1,...,+1 образуют матрицу Вандермонда, следова­ тельно линейно независимы. Поэтому, для каждого, коэффициенты мож­ но подобрать так, что + (1,,..., ) = (1, 0,..., 0).

= В этом случае имеем +1 ( ) (1,,..., ),,0,,1,...,, = = =,0.

Таким образом, применение оператора,0 к вектору вида, лежа­ щему в не выводит получившийся вектор из пространства. Кроме того, получается вектор такого же вида (точнее, получается вектор 1... +1... ). Тогда, если (1,..., ) N, имеем ( ) ) (,0 1 (,0 ) =.

1...

Вектора с произвольными степенями { } получаются применением max | | раз оператора 1 к вектору с положительным набором степеней +.

Положим p (T) = и P (T) =.

(,)s (,)s Утверждение 4.4. Для типичного элемента T, преобразование (,)s p(T) имеет простой спектр.

Доказательство. Множество всех преобразований, имеющих простой спектр имеет тип по [14]. Следовательно, такой же тип имеет и множество дей­ ствий T, таких, что p(T) имеет простой спектр (так как отоб­ (,)s ражение p непрерывно). Докажем, что в m­ замыкании лежит множество,.

(,)s и 2 набор векторов Для фиксированных R = (,)s { } запишем в виде последовательности { }N, а через (,)s (1,.., )Z,. Зафиксируем также счет­ обозначим подпространство (,)s (,)s ный плотный в единичной сфере 2 () набор векторов { }.

Положим R, = { N | }, и 1 = {R | R, = N}.

По построению, множество 1 имеет тип. Оно состоит из тех действий { } R, для которых набор преобразований обладает свойством С для (,)s любого вектора { }.

Пусть T, и 0 – любое число. Согласно лемме 4.5 в (,)s { } (m, )­ окрестности T можно найти R, такое, что удовлетворяет (,)s условию утверждения 4.3. По этому утверждению R 1. Таким образом,, лежит в m­ замыкании 1.

(,)s Заметим также что для каждого T 1 множество векторов T = { | T, = N} имеет тип и всюду плотно (так как содержит { }).

,, что все име­ Далее, пусть 2 — множество таких T (,)s ют простой спектр. Это всюду плотное ­ множество замыкание которого содержит,.

(,)s { } Тогда, для каждого T 1 2, множество преобразований (,)s удовлетворяет условию леммы 4.6 (простота спектра каждого из этих преоб­ разований следует из T 2, а типичность, обеспечивающих условие С из T 1 ). Значит, по утверждению этой леммы, p(T) имеет простой спектр.

( ),,, обладает свойством Наконец, так как пара (,)s (,)s (см. утверждение 4.1), применима теорема 1.4 и множество, (,)s 2 массивно в,.

(,)s Следствие 4.2. Пусть I, J — несовпадающие неупорядоченные наборы эле­ ментов кортежа s. Тогда, для типичного T,, имеем (,)s * *.

(,)I (,)J Доказательство. Действительно, недизъюнктность спектральных типов бы­ ла бы несовместима с простотой спектра p (T).

Для непустого набора натуральных чисел { } через обозначим мно­ жество всевозможных непустых конечных произведений набора { }.

Доказательство нижеследующей теоремы основано на связи спектраль­ ных инвариантов преобразований P (T) и p (T).

Теорема 4.2. Для типичного действия T,, имеем (,)s.

P(T) = (,)s Доказательство. Пусть (, ) s и 1... — представление простран­ ства 0 ( ) с помощью инвариантных относительно подпространств с простым спектром. Положим 0 =. Тогда 0 ( ) состоит из орто­ (), где () — некоторая ненулевая гональных подпространств вида (,)s функция на со значениями из промежутка [0, ]. Максимальный спектраль­ ный тип преобразования P (T) на () является сверткой максимальных (,)s спектральных типов на подпространствах (). По следствию 4.1, эти свертки совпадают, если 1 () = 0 2 () = 0, и дизъюнктны в противном случае. Кроме того, операторы P (T) на () (,)s 0 ( ) и p (T) на в типичном случае унитарно эквивалентны (так как являются произведениями, где множители с одинаковыми номерами имеют одинаковый простой спектр по утверждению 4.4). Следовательно, кратность спектра P (T) на () совпадает с кратностью спектра p (T) на всем 2, (,)s равной (в типичном случае) единице. Далее, пусть — непустое подмноже­ ( ) ство отрезка [0, ]. Тогда на подпространстве (), преобразование j P (T) имеет однородный спектр кратности # {j | j () = 0 } =.

(,)s, Таким образом, максимальный спектральный тип P (T) имеет все кратности и не имеет других кратностей.

из набора (,)s Заключение Результаты выполненого исследования позволяют утверждать, что ап­ проксимационная теория перемешивающих действий и преобразований явля­ ется эффективным способом их исследования.

В то же время, представляется необходимым получить точный аналог леммы Халмоша о сопряжении для пространств перемешивающих действий.

Для перемешивающих преобразований, опираясь на результаты о попарной ­ независимости, полученные В. В. Рыжиковым [88] и А. И. Баштановым [57], а также результат автора о плотности в орбиты прямого произведения пе­ ремешивающих преобразований, такой аналог получил А. И. Баштанов [58].

Следствием являются несколько интересных фактов, например, типичность перемешиваний ранга 1 и не типичность наличия корней. Аналог этого ре­ зультата был бы полезен для исследования перемешивающих Z ­ действий и особенно действий некоммутативных групп.

Какими свойствами должна обладать группа, чтобы в про­ странстве ее перемешивающих действий сопряженные с любым сво­ бодным элементом были всюду плотны?

Результаты работы о сохраняющих типичность отображениях, в основ­ ном, находят приложения для отображений ограничения [13, 28, example 1.2].

В этом случае их можно интерпретировать как результаты о вложении типич­ ного действия одной группы в свободное действие другой. Полный функцио­ нал сохраняющих типичность отображений этим, конечно, не исчерпывается и по­ видимому еще ждет своего применения. В любом случае, полученные ре­ зультаты позволяют считать, что установлено полное соответствие между ти­ пичными действиями Z и преобразованиями. Результаты такого рода получе­ ны в последнее время Ж. Миллереем [33] и О. Н. Агеевым [4] для дискретных абелевых групп. Аналоги этих утверждений были бы полезны и при иссле­ довании действий даже самых простых неабелевых групп, но никакой общей теории на этот счет нет. В известных автору работах результаты такого рода получались без привлечения сохраняющих типичность отображений[2, 7, 89].

Как связаны между собой типичные преобразования и дей­ ствия неабелевых групп?

Другое направление исследования типичных свойств касается сохраня­ ющих меру гомеоморфизмов. А. М. Степин и А. Б. Каток[65] показали, что результаты о типичности для этого случая почти автоматически следуют из соответствующих результатов для абстрактных сохраняющих меру преобра­ зований. По­ видимому, перенос этих результатов на перемешивающие преоб­ разования потребует дополнительных усилий (в частности, введения соответ­ ствующей метрики).

Какие перемешивающие гомеоморфизмы типичны?

В работе доказано, что однородный спектр кратности N может быть у перемешивающего преобразования. Представляется интересным сле­ дующий вопрос:

Существуют ли наборы спектральных кратностей, реализуе­ мые слабо перемешивающими, но нереализуемые перемешивающи­ ми преобразованиями?

Что касается аппроксимации перемешивающих действий, то было бы по­ лезно, по аналогии с аппроксимационной теорией преобразований, рассмот­ реть зависимость свойств перемешиваний от скорости, с которой их можно аппроксимировать. Результаты А. Г. Качуровского [66] и его учеников показы­ вают, что скорость сходимости (вычисленная по оценке спектральной меры в окрестности нуля) может быть разная, но связь такого варианта сходимо­ сти со свойствами перемешивающих преобразований и метрикой m еще не рассматривалась.

В целом можно говорить о том, что в теории аппроксимации перемеши­ вающих преобразований пока больше вопросов, чем ответов, однако и в своем нынешнем виде она является эффективным средством для исследования пе­ ремешивающих преобразований.

Автор выражает благодарность всем участникам семинаров по динами­ ческим системам в МГУ им. М. В. Ломоносова за полезные обсуждения рабо­ ты.

Предметный указатель,, 187 ­ Кратно перемешивающее (,)s,, 187 действие, (,)s СПО: свойство плотности образов, Кратное перемешивание, 75 Лемма Халмоша о сопряжении, СПО­ пространство, 75 Лемма Халмоша о сопряжении, Свойство С, 190 Лемма Рохлина­ Халмоша, Апериодическое преобразование, 32 Массивное множество, Башня, 37 массивное свойство, База, 81 Множество первой категории, Циклический вектор, 34 Надраскрой, Динамическая альтернатива, 76 Неполный раскрой, Непрерывное действие группы, Динамическое множество, Динамическое свойство, 33 Неравномерный раскрой, Динамическое свойство в СПО­ Однородный спектр, пространстве, 76 Операции с векторами, Допустимый набор ­ полиномов, Орбита действия, 139 Орбита преобразования, Допустимо пополняемый набор ­ Отображение, сохраняющее типич­ полиномов, 139 ность, Энтропия преобразования, 33 Перемешивающее преобразование, Эргодическое преобразование, 32 Перемешивающее ­ действие, Этаж раскроя (башни), Инъективное действие, 85 Перемешивающий вектор, Инвариантное множество, 32 Плохая четверка, Изоморфизм преобразований, 33 Плохие точки, Коцикл, 81 Поток, Поводок­ топология, 54 Тождественный вектор, Поводок­ топология в, 61 Выделенный набор гомеоморфиз­ Поводок­ топология в,, 65 мов, Поворот окружности, 35 Жесткое преобразование,, Простой спектр преобразования, Прямое произведение преобразова­ d: метрика слабой топологии в про­ странстве, ний, () раскрой, 37 a (, ): предметрика слабой то­ пологии в, Слабая топология, a() (, ): предметрика слабой то­ Слабая топология в пространстве, 51 пологии в, : сложение по модулю, Слабо перемешивающее преобразо­ вание, : множество преобразований, со­ Слабое рохлинское свойство, храняющих меру, Сохраняющее меру преобразование,,, : множество всех ­ действий, Специальное действие, 93, { } — счетный, плотный в набор Спектр преобразования, множеств, Спектральная кратность преобразо­ : пространство коциклов Z2 ­ вания, расширений, Спектральный тип преобразования,, : отображение ограничения, : пространство Z2 ­ расширений, Свободное ­ действие, ­ полином, Свойство, : символ Кронекера, Свойство,, 126, Свойство плотности образов, : подгруппа группы, Типичный элемент,, Типичное свойство,, 186 E: неполный раскрой, : непрерывная нормированная ме­ : действие модели 2 группы, ра, ( ) = ( ), ( ):

F : множество плохих точек, : мера этажа неполного раскроя, F : множество пар (, ) для кото­ : мера этажа раскроя, 38 ( ) рых a,, F, : сепарабельная локально­ (B): (B) = ( ), компактная группа,, ­ действие, : ­ алгебра борелевских мно­ (, )­ перемешивающее действие, жеств,,, для неабелевых коциклов, : проектор на подпространство для абелевых коциклов, констант в 2 (), 51 0 — одна из образующих группы ­ полином для действий,, AM-группа, 1 — одна из образующих группы B: башня,, : ­ й этаж башни, ­ множество,,, : действие модели 1 группы, : диаметр набора чисел, d : метрика в, 82 d() (, ): предметрики слабой то­ I: индексирующее множество рас­ пологии в, кроя, E: раскрой, 37 i: тривиальное вложение, : ­ й этаж неполного раскроя, J: индексирующее множество баш­ : ­ й этаж раскроя, ни,, : множество ­ действий, пере­ (J, )­ башня, мешивающих на, K=, + : множество перемешивающих K=, ­ действий, { } — компактное покрытие обра­ : множество значений функции зующих группы, кратности спектрального ти­ K+, 99, 103, па, K, 99, 103, K=, 99, 103 ­ кратно перемешивающее преобра­ зование, d (T, R),, m (T, R), {(d(),, )}: база слабой топологии ( ): орбита действия, в, 52 ( ): орбита преобразования, a (, ) — (неполная) метрика сла­ d ( ): d ­ замыкание орбиты дей­ бой топологии в, 52 ствия, w (, ): (неполная)метрика d ( ): d ­ замыкание орбиты преоб­ поводок­ топологии, 55 разования, a (, ) — (неполная) метрика сла­ P: набор ­ полиномов, бой топологии, 48, : отображение проекции, d (, ) — метрика слабой тополо­ ­ предел, 138, гии, P­ предел, a (, ) — предметрика слабой то­ P­ предел, пологии, 48, : ­ й ­ полином в наборе P, w (, ): предметрика P : набор ­ полиномов длины, поводок­ топологии, P P, m (, ): поводок­ метрика, P (T), : множество перемешивающих p (T), преобразований, : набор множеств {1,..., }, s: кортеж, : метрика в, u (, ): метрика сильной тополо­ гии, 1, 2, 3, : отображение возведения в квад­ рат в, {(a,, )} — база окрестностей сла­ бой топологии, {(w,, )}: база окрестностей поводок­ топологии, () w, : специальное действие, 93, Z2 ­ расширение, () : центр группы, ( ): централизатор, Литература [1] Ageev O. N. On ergodic transformations with homogeneous spectrum // JDCS. –– 1999. –– Vol. 5. –– P. 149–152.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.