авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Учреждение Российской академии наук

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН

на правах рукописи

Якубович Александр Валентинович

КОНФОРМАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ

В БЕЛКАХ И ПОЛИПЕПТИДАХ

Специальность:

01.04.02 - теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук научный руководитель:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник А. В. Соловьев Санкт-Петербург 2010 Оглавление Введение 1 Теоретические Методы 1.1 Уравнение Шредингера.......................... 1.2 Приближение Борна-Оппенгеймера................... 1.3 Ограничения на волновую функцию.................. 1.4 Теория Харти-Фока............................ 1.5 Теория Функционала Плотности..................... 1.6 Потенциал молекулярной механики................... 1.7 Молекулярная динамика......................... 2 Степени свободы в полипептидах и белках 2.1 Введение.................................. 2.2 Конформационные свойства полипептидов аланина.......... 2.2.1 Определение крутильных степеней свободы полипептида.. 2.2.2 Оптимизированные геометрии полипептидов аланина.... 2.2.3 Зависимость энергии полипептида от двугранного угла.. 2.2.4 Поверхность потенциальной энергии трипептида аланина.. 2.2.5 Поверхность потенциальной энергии гексапептида аланина в конформации листа........................ 2.2.6 Поверхность потенциальной энергии гексапептида аланина в конформации спирали....................... 2.2.7 Сравнение результатов расчета с экспериментальными дан ными................................ 2.3 Конформационные переходы в три- и гексапептидах глицина.... 2.3.1 Оптимизированные геометрии полипептидов глицина.... 2.3.2 Поверхность потенциальной энергии трипептида глицина.. 2.3.3 Поверхность потенциальной энергии гексапептида глицина в конформации листа........................ 2.3.4 Поверхность потенциальной энергии гексапептида глицина в конформации спирали....................... 2.3.5 Сравнение результатов расчета с экспериментальными дан ными................................ 3 Статистическая модель 3.1 Гамильтониан полипептидной цепи................... 3.2 Статистическая сумма.......................... 3.3 Термодинамические характеристики полипептида.

.......... 4 Фазовые переходы в полипептидах 4.1 Точность потенциала молекулярной механики............. 4.2 Поверхность потенциальной энергии полипептидов аланина..... 4.3 Фазовый переход -спиральстатистический клубок в полипепти дах аланина................................. 4.3.1 Внутренняя энергия полипептида................ 4.3.2 Теплоемкость полипептидов аланина.............. 4.3.3 Расчет параметров Цимма-Брагга................ 4.3.4 Спиральность полипептидов аланина.............. 4.3.5 Корреляции разных аминокислот в полипептиде....... 5 Сворачивание полипептидов и белков в водной среде 5.1 Введение.................................. 5.2 Теоретические методы........................... 5.2.1 Статсумма белка.......................... 5.2.2 Статистическая сумма белка в водной среде.......... 5.3 Результаты и дискуссия.......................... 5.3.1 Теплоемкость стафилококковой нуклеазы........... 5.3.2 Теплоемкость метмиоглобина.................. Заключение Публикации автора по теме диссертации Список литературы Введение Актуальность темы диссертации.

Фазовые переходы в сложных молекулярных системах конечного размера, на пример, переход из стабильной трехмерной молекулярной структуры в состоя ние статистического клубка, или наоборот (также известный как процесс (ан) фолдинга) широко исследовались во множестве работ (см. обзоры [1–4]). Фазо вые переходы данной или схожей природы существуют (или могут ожидаться) во множестве различных сложных молекулярных систем и в нанообъектах, таких как полипептиды, белки, полимеры, ДНК, фуллерены, нанотрубки [5]. Они могут быть рассмотрены как фазовые переходы первого рода, которые характеризуются резким увеличением внутренней энергии системы при определенной температу ре. И, как следствие, теплоемкость системы, как функция температуры, имеет выраженный максимум при температуре фазового перехода.

В работе [6] предложен новый теоретический метод из первых принципов для описания фазовых переходах в вышеупомянутых системах. А именно, было про демонстрировано, что в полипептидных цепочках (биополимерах, состоящих из аминокислот) можно выделить особенные, так называемые крутильные степени свободы, ответственные за динамику фолдинга полипептидов, т. е. за переход из состояния статистического клубка в состояние -спирали. Крутильные степени свободы иногда также называеют торсионными степенями свободы. Домен на по тенциальной поверхности полипептида соответствующий, данным степеням сво боды, может быть рассчитан и тщательно проанализирован на основе методов из первых принципов, таких как теория функционала плотности или метод Харти Фока. В [6] показано, что таких данных достаточно для построения статистической суммы полипептидной цепочки, и, следовательно, для ее полного термодинамиче ского описания, которое включает в себя расчет всех основных термодинамических переменных и характеристик, таких как свободная энергия, теплоемкость, темпе ратура фазового перехода и т.д. Применимость метода для описания фазового пе рехода в цепочках аминокислот различной длины была доказана сравнением пред сказаний данной теории с результатами нескольких независимых экспериментов, а так же с результатами расчетов молекулярной динамики. Аналогичные описа ния могут быть построены для широкого разнообразия сложных молекулярных систем.

Предыдущие работы, посвященные изучению процесса фолдинга на основе принципов статистической механики (см. [7–10]) всегда содержали некоторые эм пирические параметры, и поэтому с трудом могут быть применены для предска зания характеристик фазового перехода из первых принципов. Количество работ, посвященных данной проблеме, очень велико. В данной диссертации невозможно рассмотреть их все, поэтому рассмотрены из них лишь те, которые имеют непо средственное отношение к результатам данной работы (см. для обзора [1, 3, 4] и ссылки в них).

Первая теоретическая работа, описывающая процесс фолдинга полипептидов была выполнена Циммом и Браггом [7]. В их работе процесс формирования спирали в полипептиде был рассмотрен в рамках простой двухуровневой ста тистической модели. Эта модель содержала три принципиальных параметра: (i) константа, описывающая вероятность образования связи аминокислотой с частью полипептида, которая находится в конформации -спирали, (ii) специальный кор ректирующий фактор инициации спирали и, (iii) минимально количество ами нокислот, которые могут находиться в состоянии статистического клубка межу двумя -спиральными фрагментами полипептида.

Другой набор параметров был предложен в [8]. Основными параметрами в ра боте являлись энергия водородной связи и количество возможных конформаций аминокислоты в состоянии статистического клубка. Эти два параметра опреде ляют разницу энергии и энтропии между свернутым и развернутым состоянием полипептида. В [10] обсуждались факторы, влияющие на стабильность полипеп тида в растворе.

В [9] статистическая сумма полипептидной цепочки была определена как функ ция обобщенных координат, соответствующих крутильным степеням свободы мо лекулы. В той работе условные вероятности нахождения аминокислоты были по лучены в форме матрицы 33. Собственные числа этой матрицы выражали функ ции от степени полимеризации, температуры и молекулярных констант различ ных усредненных характеристик молекулы. Теоретическая модель, предложенная в [9] содержала три параметра, описывающих статистический вес трех возможных состояний аминокислоты в полипептиде: состояние спирали, состояние клубка и состояние на границе между спиральной и клубковой фазами.

В [11] был предложен другой статистический метод для определения статсум мы линейно-цепочечных молекул. Статистическая сумма была построена на осно ве так называемых определяющих последовательностей, которые являлись числа ми, описывающими длины участков полипептида, находящихся в различных кон формационных состояниях. Таким образом, определяющая последовательность задает определенное микросостояние системы. Статсумма системы была построе на на основе статсуммы определяющих последовательностей. Для осуществления этого, был введен определенный набор эмпирических функций, которые назы вается последовательность-задающие функции. Метод, предложенный в [11] был использован в [12] для изучения фазового перехода спираль-клубок в полипепти дах. В той работе также было проанализировано условие существования фазово го переходы в одномерной системе. В [13] была рассмотрена кинетика перехода спираль-клубок в рамках формализма, развитого в [9, 11].

В [14] была обсуждена важность различных внутренних степеней свободы по липептида. Статистическая сумма системы была построена в рамках квантово механического и классического формализмов.

Переход спираль-клубок был также рассмотрен в [15, 16]. В тех работах общие уравнения статистической физики были использованы для описания фазового пе рехода. Теории содержали несколько параметров (таких как энтальпия, энтропия, внутренняя энергия), которые были использованы для описания ряда результатов независимых экспериментальных измерений.

Подход, основанный на использовании молекулярной динамики является аль тернативой использованию статистической физики, который широко применяется в последнее десятилетие для изучения структурных переходов в полипептидах.

Молекулярная динамика с учетом всех атомов в системе [17–19] и подход на ос нове метода Монте-Карло [20, 21] были использованы для изучения трипептида аланина [17], пентапептида аланина [18] и полипептида аланина, состоящего из 21 аминокислоты [19, 21]. Расчеты молекулярной динамики были выполнены в рамках классической механики с использованием эмпирического гамильтониена, который также называют форсфилдом. Наиболее используемые в последние годы форсфилды это GROMOS [22], AMBER [23] и CHARMM [24].

В последние годы молекулярная динамика также широко использовалась для изучения процесса фолдинга небольших белков [25–30]. Такие рассчеты стали воз можными относительно недавно благодаря современным компьютерам. Однако, до сих пор невозможно проводить расчеты молекулярной динамики больших бел ков [1], потому что характерное время этого процесса - от микросекунд до ми нут [31,32], что на порядки превосходит время возможных расчетов молекулярной динамики.

Другой подход на основе молекулярной динамики был предложен в [33, 34]. В этих статьях динамика макромолекулы была рассмотрена в фазовом пространстве торсионных степеней свободы.

Стохастический подход к изучению перехода спираль-клубок был предложен в [35,36]. В [35] было проанализировано применение для полипептидов подхода на основе скорреллированных случайных блужданий. В [36] был проведен расчет с учетом всех атомов в системе на основе стохастического разностного уравнения.

Переход спираль-клубок также широко исследовался экспериментально [37– 40]. В [37] было калориметрически измерено изменение энтальпии при фазовом переходе -спираль - статистический клубок в полипептиде Ac-Y(AEAAKA)8 F NH2, содержащем 50 аминокислот, в основном аланин. Зависимость теплоемкости полипептида от температуры была измерена методом сканирующей разностной калориметрии. В [38,39] были проведены эксперименты для A5 (A3 RA)3 A и MABA A5 -(AAARA)3 -A-NH2 богатых аланином полипептидов, состоящих из 21 аминокис лоты методом УФ резонансной рамановской спектроскопии и методом на основе циркулярного дихроизма, соответственно. Была измерена зависимость спираль ности полипептида от температуры. Кинетика фазового перехода спираль-клубок для полипептида Suc-AAAAA-(AAARA)3 A-NH2, состоящего из 21 аминокислоты была изучена в [40] методом инфракрасной спектроскопии.

Предыдущие попытки описания перехода спираль-клубок в полипептидах на основе статистической физики, основываются на моделях, предложенных в ше стидесятые годы [7–10], в которых был рассмотрен общий формализм построе ния статистической суммы полипептида. Все предыдущие теории всегда содер жали определенные параметры в статистической сумме, что делало их зависи мыми от этих параметров. Методы, предложенные в [7–10], широко использова лись для описания фазового перехода спираль-клубок в полипептидных цепочках (см. [1–3,21,41–44]). Зависимость термодинамических характеристик фазового пе рехода -спиральстатистический клубок от модельных параметров, использу емых для построения статистической суммы, была тщательно проанализирована (см. вышеприведенные ссылки). Несколько работ посвящено определению модель ных параметров из экспериментальных данных. В [45] параметры теории Цимма и Брагга [7] были определены на основе измерений кругового дихроизма в поли(L цистиине) в водном растворе при нейтральном pH.

Первые попытки рассчитать параметры Цимма-Брагга теоретически были про ведены в [43]. В этой работе был использован полуэмпирический потенциал [46,47] для описания конформационной динамики полипептида. Потенциал, предложен ный в этих работах схож с современными форсфилдами [22–24], однако, он упро щенно учитывает структуру полипептида, не учитывая некоторые атомы водорода и делая минимальные предположения о гибридизации атомов. Потенциал, пред ложенный в [46, 47] можно назвать одним из первых форсфилдов. С его исполь зованием, в [43] были рассчитаны параметры теории Цимма-Брагга и определена температура фазового перехода в полипептиде. В этой работе статистическая сум ма была построена в рамках матричного метода, развитого в [9].

Параметры теории Цимма-Брагга были также рассчитаны с использованием молекулярной динамики [48]. В этой работе был предложен метод расчета на ос нове роста полипептида, с помощью которого была построена модель полипептид ной цепочки в конформации -спирали и статистического клубка. Этим методом были рассчитаны параметры инициации и элонгации спирали, введеные Циммом и Браггом.

В настоящей диссертации описан альтернативный теоретический подход, ос нованный на статистической механике, для описания фазового перехода спиральстатистический клубок в полипептидах аланина. Рассматриваемый ме тод является дальнейшим развитием метода, предложенного в [5, 6], который ос новывается на построении без каких-либо параметров статистической суммы для системы, совершающей фазовый переход. Вся необходимая информация для по строения такой статсуммы может быть рассчитана на основе методов из первых принципов, таких как ТФП, а так же комбинированно с теорией молекулярной механики. Сравнение результатов данного метода с результатами расчетов на ос нове молекулярной механики позволяет установить точность предложенного но вого метода для достаточно больших систем, и далее применить данный метод для еще больших систем, молекулярнодинамический расчет которых невозможен из-за ограничений компьютерной мощности.

Необходимо отметить, что предложенный метод является новой эффективной альтернативой существующим теоретическим подходам, описывающим фазовый переход спираль-клубок в полипептидах, так как он не содержит никаких модель ных параметров и дает универсальный рецепт для построения статсумм сложных молекулярных систем. Статсумма полипептида строится, основываясь на мини мальном количестве предположений о системе, что отличается от предыдущих теорий. Она включает все существенные физические факторы, необходимые для описания фазового перехода спираль-клубок в полипептидах. Поэтому, итоговое выражение для статсуммы, полученное в рамках данной теории, отличается от ранее предложенных.

Данная работа основана на оригинальных результатах, опубликованных в ве дущих международных журналах (см. список публикаций).

Научная новизна работы состоит в решении следующих задач:

1. С использованием теории функционала плотности рассчитаны поверхности потенциальной энергии полипептидов аланина и глицина в различных конфор мациях, состоящих из 3 и 6 аминокислот. Определены основные степени свободы молекулы, ответственные за конформационные переходы.

2. На основе рассчитанных поверхностей потенциальной энергии построена ста тистическая сумма полипептида и определены термодинамические характеристи ки системы.

3. В рамках молекулярной динамики исследован переход спиральклубок в полипептидах аланина различной длины.

4. Проведено сравнение результатов разработанной теоретической модели, опи сывающей фазовый переход в полипептидах, с результатами расчётов на основе молекулярной динамики.

5. Построена статистическая сумма однодоменного белка в водном окружении.

6. Произведено сравнение разработанной теоретической модели, описывающей конформационные переходы в белках, с результатами экспериментальных изме рений зависимости теплоёмкости от температуры для метмиоглобина и стафило кокковой нуклеазы.

Практическая значимость работы.

С использованием точных методов квантовой механики рассчитаны поверхно сти потенциальной энергии полипептидов аланина и глицина как функции дву гранных углов, и. Данные поверхности потенциальной энергии могут быть использованы для определения характерных высот энергетических барьеров и времён, соответствующих переходам между различными конформацонными со стояниями молекулы. Также данные поверхности могут быть использованы для определения уровня точности различных модельных потенциалов, например по тенциала молекулярной механики.

Разработана теоретическая модель, описывающая сворачивание и разворачи вание белков в водном окружении. Результаты, полученные с помощью теоретиче ской модели, хорошо согласуются с результатами экспериментальных измерений, что открывает возможности для использования разработанной модели для пред сказания влияния мутаций на конформационную стабильность белков, а также для дизайна белков и белково-подобных полимеров с заданными термодинамиче скими характеристиками. С определёнными изменениями предложенная теорети ческая модель сворачивания белков может быть также обобщена для описания образования функциональных комплексов белков, изучения процессов белковой агломерации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. На основе рассчитанных поверхностей потенциальной энергии полипептидов аланиниа и глицина определены характерные времена переходов между наиболее энергетически выгодными конформациями молекул.

2. Разработана теоретическая модель, описывающая переход спиральклубок в полипептидах аланина. В работе показано, что для построения статистиче ской суммы полипептида необходимо знать только поверхность его потенциальной энергии как функцию мягких степеней свободы молекулы, а именно двугранных углов и.

3. Разработанная теоретическая модель хорошо согласуется с другими теоре тическими моделями, описывающими переход спираль-клубок, однако, в отличии от предыдущих работ, предложенная модель не содержит свободных параметров.

4. Построена теоретическая модель сворачивания белков в водной среде. Срав нение теоретически рассчитанных результатов зависимости теплоёмкости белков с результатами экспериментальных измерений показывают высокую точность пред ложенной модели в широком диапазоне температур.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах и кол локвиумах в Физико-Техническом институте им. Иоффе РАН, а также в Goethe Universitaet и Frankfurt Institute for Advanced Studies (Франкфурт на Майне). Так же результаты работы были представлены на следующих международных конфе ренциях:

1. Symposium on Size Selected Clusters, 2007, Brandt, Austira 2. Moscow Conference on Computational Molecular Biology, 2007, Moscow, Russia 3. International Symposium Atomic Cluster Collisions: structure and dynamics from the nuclear to the biological scale, 2007, Darmstadt, Germany 4. International Conference on Theoretical Physics, 2008, Dubna, Russia 5. International Symposium Atomic Cluster Collisions: structure and dynamics from the nuclear to the MesoBioNano scale, 2008, St.Petersburg, Russia 6. International Symposium on Nanofusion, 2009, London, United Kingdom 7. Symposium on Size Selected Clusters, 2009, Brandt, Austira 8. 2nd ITS LEIF Winter School, 2009, Morzine, Haute-Savoie, France 9. DPG Fruhjahrstagung, 2009, Dresden, Germany 10. International Symposium Atomic Cluster Collisions: structure and dynamics from the nuclear to the biological scale, Ann Arbor, MI, USA 11. Physical Principles of Protein Behavior in the Cell, International Workshop, 2009, Dresden, Germany 12. European Conference on Atoms Molecules and Photons, 2010, Salamanca, Spain и других конференциях Публикации. По результатам исследований, проведенных в диссертации, опуб ликовано 14 статей (их список приведен в конце диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 165 страниц текста, включая 42 рисунка и 9 таблиц. Список цитируемой литературы содержит наименований.

Первая глава “Теоретические Методы” посвящена краткому описанию основ ных теоретических методов квантовой механики и молекулярной динамики, кото рые используются в работе.

В первых 4 секциях первой главы приведён обзор метода Хартри-Фока и пред ставлен общий вид стандартных базисных функций, которые используются при численном решении уравнения Хартри-Фока. В секции 5 представлен общий вид уравнения Кона-Шама, которое учитывает локальный обменно-корреляционный функционал. Также в секции 5 приведён вид обменно-корреляционных функ ционалов, которые использовались в данной работе, а именно функционал Гуннарсона-Люндквиста, Ли-Янг-Парра и функционал Воско-Вилк-Нуссаира.

В секции 6 первой главы приведен так называемый феноменологический по тенциал молекулярной механики.

Вторая глава “Степени свободы в полипептидах и белках” посвящена исследо ванию поверхностей потенциальной энергии небольших фрагментов белков, по липетидов, как функций различных степеней свободы молекул. Приведенные во второй главе расчеты выполнены на основе теории функционала плотности с уче том всех электронов в системе.

В третьей главе “Статистическая модель” приведена разработанная теоретиче ская модель, описывающая конформационный переход спиральклубок в поли петидах.

Разработанная теоретическая модель конформационного перехода основыва ется на построении статистической суммы системы, не используя никаких подго ночных параметров. В секции 1 третьей главы производится построение Гамиль тониана полипептидной цепи.

Зная Гамильтониан системы как функцию всех ее координат, можно построить статистическую сумму. Построение статистической суммы полипептида, который может находиться в различных конформационных состояниях, приведено в секции 2 третьей главы.

В четвертой главе “Фазовые переходы в полипептидах” приведены результаты расчета поверхностей потенциальной энергии полипептидов аланина.

Секция 3 посвящена сравнению результатов разработанной теоретической мо дели с результатами расчетов на основе молекулярной динамики.

Также в главе 4 обсуждается зависимость спиральности полипептида от тем пературы. Спиральность - доля аминокислот биомолекулы, находящихся в кон формации спирали. Спиральность полипептидов может быть использована как параметр порядка для перехода спиральклубок.

Отдельная секция главы 4 посвящена сравнению разработанной теории с ре зультатами других теоретических работ. В частности, в диссертации произведен расчет параметров феноменологической модели Цимма-Брагга, которая широко использовалась для описания перехода спираль-клубок. Основное отличие разра ботанной теоретической модели от предыдущих работ в том, что предложенная теория не содержит модельных параметров, в то время как предыдущие работы основывались на нескольких варьируемых параметрах.

В пятой главе “Сворачивание полипептидов и белков в водной среде” произ ведено существенное обобщение теории описывающей переход спираль-клубок на случай небольших глобулярных белков в водном окружении.

В диссертации проанализированы температурные зависимости теплоёмкости двух глобулярных белков: стафилококковой нуклеазы и метмиоглобина.

Из сравнения теоретических и экспериментальных результатов видно, что раз работанная модель хорошо описывает такие особенности сворачивания белков как температуры тепловой и холодной денатурации, характерный температурный диа пазон обоих переходов при различных значениях pH раствора, максимальные зна чения теплоемкости при температуре перехода, уменьшение теплоемкости системы находящейся в свернутом состоянии, выгнутый профиль зависимости теплоёмко сти от температуры для белка в развернутом состоянии.

В последней главе “Заключение” суммированы основные результаты работы, приведено заключение и предложены возможные направления дальнейших иссле дований.

Формулы, рисунки и таблицы диссертации нумеруются по главам, нумерация литературы единая для всего текста.

Глава Теоретические Методы В этой части работы рассмотрены теоретические методы, использованные при расчете полипептидов аланина и глицина. Цель этого обсуждения - представить основные идеи этих методов и указать необходимые ссылки, но не описывать их во всех деталях. Для изучения термодинамических свойств системы необходимо исследовать поверхность ее потенциальной энергии относительно всех степеней свободы. Существуют различные методы расчета энергии многочастичной систе мы. Самые точные подходы основываются не решении уравнения Шредингера.

Такие подходы называют подходами их первых принципов, так как они использу ют минимальное количество предположений о системе.

1.1 Уравнение Шредингера Для точного описания электронной и ионной структуры многоатомной системы необходимо решить уравнение Шредингера для всех частиц в системе.

Уравнение Шредингера описывает волновую функцию системы (r, R, t) (1.1) H(r, R, t) = i, t Где H оператор Гамильтона (Гамильтониан), (r, R, t) волновая функция систе мы, которая зависит от координат электронов и ядер в молекуле, и времени, обо значеных как r, R и t, соответственно.

Гамильтониан системы можно представить в виде суммы кинетического, T, и потенциального, V, членов энергии:

(1.2) H =T +V Если V не зависит от времени, уравнение Шредингера можно упростить, исполь зуя математический прием, известный как разделение переменных. Для этого представим волновую функцию как произведение пространственной и временной функций:

(1.3) (r, R, t) = (r, R) (t).

Подставляя новые функции в уравнение (1.1), получаем два уравнения, одно из которых зависит только от координат частицы, а другое только от времени. По лученное уравнение называется стационарным уравнением Шредингера:

(1.4) H(r, R) = E(r, R) где E - энергия системы.

Различные решения уравнения (1.4) соответствуют стационарным состояниям молекулы. Состояние с минимальной энергией называют основным состоянием.

Уравнение (1.4) не является релятивистским и не верно в случае, когда скорости частиц приближаются к скорости света. Поэтому уравнение (1.4) не совсем точно описывает движение внутренних электронов больших ядер.

Кинетическая энергия определяется как:

( ) 1 1 1 p 2 2 2 k T = (1.5) + 2+ 2 =, x2 yk zk 2 k mk 2 k mk k где pk - оператор импульса частицы k, и mk - ее масса.

Потенциальная энергия определяется Кулоновским взаимодействием между каждой парой заряженных частиц:

ej ek (1.6) V=, |rj rk | jN kj где N - количество частицы в системе, |rj rk | - расстояние между частицами j и k, а ej и ek - их заряды. При этом заряд электрона равен 1, а ядра Z.

В итоге:

ZI ZJ ZI V = (1.7) + +, |ri rI | iN |ri rj | IN |rI rJ | iNe e n ji INn JI где Ne количество электронов и Nn количество ядер в системе. Первый член со ответствует притяжению между электронами и ядрами, второй и третий соответ ственно отталкиванию электронов и ядер между собой.

1.2 Приближение Борна-Оппенгеймера Если скорость движения ядер мала по сравнению со скоростью движения электро нов в системе, можно упростить задачу, разделив движение электронной и ионной подсистем. Это приближение справедливо, так как масса типичного ядра в тыся чи раз больше массы электрона. Такое приближение называется приближением Борна-Оппенгеймера.

Полный Гамильтониан системы в этом случае имеет вид:

H = T elec (r) + T nucl (R) + V nuclelec (R, r) + V elec (r) + V nucl (R), (1.8) где T elec (r) кинетическая энергия электронов, T nucl (R) кинетическая энергия ядер, V nuclelec (R, r) взаимодействие электронов и ядер, V elec (r) и V nucl (R) электрон электронное и межядерное взаимодействия соответственно. Приближение Борна Оппенгеймера позволяет разделить ионную и электронную подсистемы, поэтому возможно построить Гамильтониан для электронов, в который не входит член, зависящий от кинетической энергии ядер:

( 2 ) ( ) Ne 2 1 ZI H elec = + 2+ (1.9) |RI ri | x2 yi 2 zi i i iN e INn ( ) ( ) 1 ZI ZJ + + |ri rj | |RI RJ | iNe INn ji JI Этот Гамильтониан описывает движение электронов в поле стационарных ядер.

H elec elec (r, R) = E ef f (R) elec (r, R) (1.10) Решая уравнения (1.10) для электронной волновой функции, получаем функцию эффективного потенциала ядер E ef f. Она зависит от координат ядер и описывает поверхность потенциальной энергии системы.

Соответственно, E ef f также является эффективным потенциалом для Гамиль тониана ядер:

H nucl = T nucl (R) + E ef f (R) (1.11) Этот Гамильтониан используется в уравнении Шредингера для описания движе ния ядер, описания колебательных, вращательных и поступательных движений ионной подсистемы.

1.3 Ограничения на волновую функцию Рассмотрим электронную подсистему. Для краткости, не будем указывать верхние индексы над соответствующими операторами и функциями.

Хорошо известно, что ||2 является плотностью вероятности соответствую щей частицы. А значит необходима нормировка. Проинтегрировав по всему пространству, вероятность должна равняться количеству частиц. Следовательно, умножим на константу так, чтобы:

|c|2 dV = nparticles (1.12) V Это справедливо, так как уравнение Шредингера является уравнением на соб ственные числа, и, в общем случае, если f - решение уравнения на собственные числа, то и cf - тоже решение этого уравнения, для любой константы c. Для урав нения Шредингера легко показать, что H(c) = cH() и E(c) = c(E). Поэтому, если решение уравнения Шредингера, то c также решение.

Во вторых, должна быть антисимметрична, то есть ее знак должн меняться при перестановке двух. Для простой функции антисимметрия определяется сле дующим соотношением:

f (i, j) = f (j, i) (1.13) Для электронной волновой функции, антисимметричность - следствие того, что электроны являются фермионами. А значит каждая волновая функция электро нов должна удовлетворять следующему соотношению:

(r1,..., ri,..., rj,..., rn ) = (r1,..., rj,..., ri,..., rn ) (1.14) 1.4 Теория Харти-Фока Невозможно найти точное аналитическое решение уравнения Шредингера для многоатомной системы. Однако, используя упрощающие предложения во многих случаях возможно найти его решение численно.

Рассмотрим одно из наиболее известных приближений - приближение Хартри Фока. Основная идея этого метода - заменить многочастичную задачу эффектив ной одночастичной. В приближении Хартри-Фока волновая функция основного состояния представляется в виде произведения одночастичных волновых функ ций, которые часто называют молекулярными орбиталями. Разложим волновую функцию основного состояния N -частичной системы фермионов, в данном слу чае электронов, в виде комбинации молекулярных орбиталей: 1, 2,... Для того чтобы удовлетворить вышеизложенным свойствам волновой функции, выберем нормированный, ортогональный базис из молекулярных орбиталей:

i dV (1.15) = i j dV i = j (1.16) = 0;

i Самый простой способ представить как комбинацию молекулярных орбиталей - сформировать Хартриевское представление:

(1.17) (r) = 1 (r1 )2 (r1 )...N (rN ) Однако, полученная таким образом функция не является антисимметричной, так как замена местами двух ri эквивалентна замене орбиталей двух электронов, что не приводит к смене знака. Следовательно Хартриевское представление не подходит.

Самое простое представление антисимметричной волновой функции как ком бинации молекулярных орбиталей - представление в виде определителя. Перед тем как его составить, необходимо рассмотреть еще один фактор, который не был учтен выше: спин электрона. Электрон может иметь спин, направленный вверх (+ 1 ) или вниз ( 1 ). Уравнение (1.17) предполагает, что на каждой молекулярной 2 орбитали находится только один электрон. Однако, большинство рассчетов - рас счеты замкнутых оболочек, на каждой из которых находится по два электрона с противонаправленными спинами. Рассмотрим пока именно такой случай.

Определим две волновые функции, and, следующим образом:

() = 1 () = () = 0 () = (1.18) Функция равна 1 для электрона со спином вверх, и функция 1 в случае когда спин электрона направлен вниз. Индексы (i) и (i) определяют значения и i электрона.

Учтем спин электрона как часть полной электронной волновой функции, домножив функцию молекулярной орбитали на или. Произведение молеку лярной орбитали и спиновой функции называют спиновой орбиталью, функцией координат электрона и его спина. Отметим, что спиновые орбитали также орто нормированы как и входящие в них молекулярные орбитали.

Теперь можно построить волновую функцию замкнутой оболочки, определив N/2 молекулярных орбиталей для системы из N электронов, считая что электро ны расположены на этих орбиталях парами с противоположно направленными спинами:

1 (r1 )(1) 1 (r1 )(1)... N (r1 )(1) N (r1 )(1) 2 1 (r2 )(2) 1 (r2 )(2)... N (r2 )(2) N (r2 )(2) 2..

..

..

(r) = (1.19) 1 (ri )(i) 1 (ri )(i)... N (ri )(i) N (ri )(i) N! 2 1 (rj )(j) 1 (rj )(j)... N (rj )(j) N (rj )(j) 2..

..

..

1 (rN )(N ) 1 (rN )(N )... N (rN )(N ) N (rN )(N ) 2 Определитель (1.19) называется определителем Слэйтера. Каждая строка постро ена так, чтобы учесть все возможные спин-орбитальные комбинации волновой функции i-го электрона. Дополнительный множитель перед определителем необ ходим для нормировки. Перестановка местами двух электронов соответствует пе рестановке двух строк определителя, в результате чего его знак изменится. Отме тим, что волновая функция (1.19) также соответствует принципу Паули, который запрещает двум или более фермионам находится одновременно в одном и том же квантовом состоянии. Двум или более электронам в одном и том же состоянии будут соответствовать две или более одинаковые строки определителя Слэйтера, а значит определитель будет равен нулю. Далее будем использовать обозначение (r) = |a, b,...n Введем еще одно обозначение i (rj, sj ) i (j)- молекулярная орбиталь i-го электрона со спином. Индексы i и j принимают все целые значения от 1 до N.

В этих новых обозначениях имеем: i (rj, sj ) = i+1 (rj )(j) для спина вверх, и i (rj, sj ) = i (rj )(j) для спина вниз.

Для того, чтобы найти уровни энергии системы из N электронов необходимо найти матричные элементы Гамильтониана между антисимметричными состояни ями. Гамильтониан системы из N электронов имеет следующий вид:

Z N N N H= 2 (1.20) + i 2 ri r ij ij i=1 i= Здесь первый член - кинетическая энергия электронов, второй отвечает за их при тяжение к ионному ядру, и третий отвечает за межэлектронное отталкивание.

Гамильтониан (1.20) включает в себя одноэлектронный оператор типа Z/ri, ко торый действует на координаты одного электрона, и двухэлектронный оператор типа 1/rij. А значит нам нужны матричные элементы одно- и двухчастичных опе раторов в скалярных произведениях между определителями, составленными из ортонормированных функций.

Рассмотрим в общем виде одноэлектронный оператор. Его можно представить в следующем виде:

N (1.21) F= f (i) i= где f (i) действует только на координаты i-го электрона. Для простоты огра ничимся рассмотрением системы из двух электронов для которой (1.22) F = f (1) + f (2) Диагональные матричные элементы F для антисимметричной волновой функ ции |ab имеют следующий вид:

[a (1)b (2) a (2)b (1)] ab|F |ab = (1.23) [f (1) + f (2)][a (1)b (2) a (2)b (1)]dr1 dr2, где dr1 и dr2 обозначают элементы объема, интегрирование по которым включает в себя также суммирование по всем спиновым координатам. перекрестные члены типа (1) (2)f (1)a (2)b (1)dr1 dr2 (1.24) a b очевидно равны нулю в силу того, что f (1) действует только на первую волновую функцию, а b (2) и a (2) ортогональны. Более того, переставив местами коорди наты первого и второго электрона, легко увидеть, что (1) (2)f (1)a (1)b (2)dr1 dr2 (1) (2)f (2)a (2)b (1)dr1 d (1.25) = a b a b Таким образом вид (1.23) упрощается:

(1) (2)[f (1) + f (2)]a (1)b (2)dr1 dr ab|F |ab = (1.26) a b = a|f |a + b|f |b.

Аналогично можно показать, что недиагональные матричные элементы между двумя состояниями в форме определителя, отличающиеся лишь по одному состо янию, имеют следующий вид:

ab|F |ac = b|f |c, (1.27) и, наконец, когда оба состояния различные, получаем:

ab|F |cd = 0, (1.28) Двухэлектронный оператор в общем виде можно записать следующим образом:

(1.29) G= g(i, j) ij где g(i, j) действует на i-ый и j-ый электрон, и суммирование происходит по каж дой паре электронов. Для двухэлектронной системы оператор просто G = g(1, 2).

Диагональный матричный элемент G в этом случае:

[a (1)b (2) a (2)b (1)] g(1, 2) ab|G|ab = (1.30) [a (1)b (2) a (2)b (1)]dr1 dr2 = [ (1) (2)g(1, 2)a (1)b (2) = a b (1) (2)g(1, 2)a (2)b (1) a b (2) (1)g(1, 2)a (1)b (2) a b + (2) (1)g(1, 2)a (2)b (1)]dr1 dr a b Ввиду того, что двухэлектронное взаимодействие g(1, 2) симметрично относитель но смены местами координат двух электронов между собой (1 2), первый и четвертый члены в этом разложении равны, аналогично, равны второй и третий члены. Таким образом матричный элемент можно записать как ab|G|ab = ab|g|ab ba|g|ab. (1.31) Правая часть равенства представляет матричные элементы с обычной функцией произведением. Назовем первый матричный элемент прямым, а второй - обмен ным членом. Обменный матричный элемент не будет возникть в том случае, если в качестве функции-произведения взять просто a (1)b (2), а не правильную анти симметричную волновую функцию.

Результат, полученный выше, можно обобщить и на случай N -электронной системы. Для этой цели введем следующее обозначение. Обозначим греческими буквами упорядоченные множества квантовых чисел, нумерующих детерминанты Слэйтера. Так, например, для буквы, соответствующей квантовым числам a, b,... n, состояние |ab...n запишется просто как |. Одночастичные функции, входя щие в выражение для определителя, называют занятыми орбиталями, а остальные базисные функции - возбужденными или виртуальными орбиталями. Используем обозначение |a, чтобы указать определитель в который вместо занятой орбитали r a из входит виртуальная орбиталь r. Аналогично, в случае двойного замещения, когда два электрона (здесь a и b) возбуждаются из множества занятых орбиталей, имеем обозначение |ab.

rs Используя эти обозначения, формулы матричных элементов одно- и двухча стичных операторов в скалярных произведениях с волновыми функциями в виде определителей могут быть обобщены на случай многочастичных систем следую щим образом.

Для диагональных элементов:

occ |F | = a|f |a (1.32) a occ |G| = (ab|g|ab ba|g|ab) (1.33) ab где суммирование происходит по всем занятым орбиталям a и b из |.

Для элементов между состояниями, отличающимися квантовыми числами только одной орбитали a |F | = r|f |a r (1.34) occ a |G| = (rb|g|ab br|g|ab) r (1.35) b для элементов между состояниями, которые отличаются квантовыми числами у двух орбиталей:

ab |F | = rs (1.36) ab |G| = rs|g|ab sr|g|ab rs (1.37) Все матричные элементы F и G между состояниями, у которых различаются квантовые числа более чем у двух орбиталей, пропадают.

Уравнения (1.32)-(1.37) можно использовать для вычисления атомного Гамиль тониана (1.20). Для значения полной энергии в состоянии, определенным детер минантом Слэйтера | получаем:

( 1 ) N N Z E = |H| = 2 (1.38) +.

2 i ri rij i=1 ij В соответствии с вриационным принципом, "лучший"определитель основного состояния можно найти, минимизируя значение выражения (1.38). Необходимое условие определения минимума заключается в том, что величина (1.38) не должна меняться при малых изменениях занятых орбиталей. Это условие и используется для получения уравнений Хартри-Фока (ХФ) следующим образом:

Малые изменения занятых орбиталей (a) можно получить с помощью их ма лого "смешивания"с виртуальными орбиталями (r) |a |a + |r (1.39) Где - малое вещественное число. Это ведет к "подмешиванию"к состоянию | состояния |a r |a |a + |a r (1.40) и влечет изменение значения полной энергии E E + (a |H| + |H|a ), r r (1.41) отбрасывая квадратичные по члены. Ввиду того, что оператор H Эрмитов, два вышеполученные матричные элемента являются комплексно сопряженными. Но два эти члена вещественные, а следовательно равны. Энергия стационарна при условии a |H| = 0.

r (1.42) Это условие называется теоремой Бриллюэна и означает, что Гамильтониан H не имеет матричных элементов на состоянии | и состоянии, полученном из | заменой одной орбитали.

Используя (1.34) и (1.35) условие Хартри-Фока (1.42) можно записать с ис пользованием матричных элементов одно- и двухчастичных операторов, ( ) occ 12 Z 1 r ab br (1.43) a+ rb ab = 2 r rij rij b Для того, чтобы записать (1.43) в более простом виде, определим оператор Хартри-Фока (HHF ) и потенциал (UHF ) следующими уравнениями 1 Z HHF = 2 + UHF (1.44) 2 r ( ) occ 1 j|UHF |j = ab br (1.45) rb ab rij rij b где суммирование по b происходит по всем занятым орбиталям определителя |.

Тогда выражение (1.43) принимает более простой вид r|HHF |a = 0 (1.46) где a - занятые и r - виртуальная орбиталь. Используя полноту базиса ( i |ii| = 1), получаем occ HHF |a = |ii|HHF |a = |bb|HHF |a, (1.47) i b где индекс i суммирует по всем орбиталям, а b только по занятым. Отметим что, действуя оператором Хартри-Фока на занятую орбиталь, получаем только за нятую орбиталь. Это следует непосредственно из симметрии кулоновского взаимо действия, и a|HHF |b = b|HHF |a, что означает эрмитовость оператора Хартри Фока. Более того, можно показать, что оператор инвариантен относительно уни тарного преобразования. Таким образом можно построить новый базис из орбита лей, на котором HHF диагонален, HHF |a = a |a. (1.48) Это обычная форма уравнения Хартри-Фока в общем виде. Используя (1.44) урав нение Хартри-Фока можно записать более подробно ( ) 12 Z + UHF |a = a |a. (1.49) 2 r Каждый член здесь имеет простую физическую интерпретацию. Первый член описывает кинетическую энергию электрона a и его притяжение Z/r к ядру. По тенциал UHF описывает среднее Кулоновское и обменное взаимодействие электро на a с другими электронами атома.

Для более эффективного численного решения (1.49) и аналогичных уравнений, молекулярные орбитали i часто аппроксимируют линейной комбинацией наперед заданного базиса, состоящего из одноэлектронных функций µ, которые называют базисными функциями. Разложение имеет следующий вид:

N (1.50) i = cµi µ, µ= где коэффициенты cµi - коэффициенты разложения молекулярной орбитали, N количество базисных функций, которые выбирают ортонормированными.

Базисные функции µ вводятся как линейная комбинация простых функций Гаусса, гауссианов:

(1.51) µ = dµp gp, p где dµp фиксированные константы для данного базиса из простых гауссианов, gp = g(, r), - атомные функции гауссиановского типа, имеющие следующий вид:

g(, r) = cxn y m z l er (1.52) Здесь c - нормировочная константа. Выбор целочисленных значений n, m и l определяет тип простых гауссиановских функций: s, p, d и f (более подробно см. [49]).

Вот пример трех гауссиановских функций (s, py и dxy типа, соответственно):

( )3/ er (1.53) gs (, r) = ( )1/ yer (1.54) gy (, r) = ( )1/ xyer (1.55) gxy (, r) = В рассчетах использованы стандартные 6-31++G(d,p) и 6-31G(2d,p) базисные наборы. Конкретные значения констант в этих базисах можно найти в [49].

В итоге, получаем следующее выражение для молекулярных орбиталей:

( ) N N (1.56) i = cµi µ = cµi dµp gp µ=1 µ=1 p Теперь задача состоит в том, чтобы найти cµi, коэффициенты разложения мо лекулярных орбиталей. Теория Хартри-Фока использует вариационный принцип, который гласит, что для основного состояния любой антисимметричной норми рованной волновой функции координат электрона, которую назовем, значение энергии, соответствующие, будет всегда больше значения энергии точной вол новой функции:

= (1.57) E() E();

Другими словами, энергия точной волновой функции является нижней гранью для энергий, вычисленных на любой другой нормированной антисимметричной функции. Таким образом, задача сводится к нахождению набора коэффициентов, минимизирующих энергию итоговой волновой функции.

Вариационный принцип приводит к следующим уравнениям, которые описы вают коэффициенты разложения молекулярной орбитали, ci. Эти уравнения на зывают уравнениям Рутана и Хола:

N (Hµ i Sµ )ci = 0 (1.58) µ = 1, 2,..., N = или, в матричном виде:

(1.59) HC = SC, где каждый элемент - матрица. Здесь - диагональная матрица энергий орби талей, каждый элемент которой i - энергия одного электрона на молекулярной орбитали i, H - матрица оператора Гамильтона, полученная из (1.48), S - мат рица перекрытия, описывающая перекрывание орбиталей. Более подробно этот формализм можно найти в [49].

Уравнения (1.59) - нелинейные и должны решаться итерационным методом.

Метод поиска решений называется методом Само-Согласованного Поля (ССП).

Вышенаписанные уравнения записаны для случая замкнутых электронных оболочек. В случае систем с незамкнутой оболочкой, необходимо электроны и с разнонаправленными спинами вверх и вниз, размещать на разных орбиталях, что приведет к двум наборам коэффициентов разложения молекулярных орбиталей:

N c µ = i µi µ= N = c µ, (1.60) i µi µ= Как результат удвоения набора коэффициентов, появится два Гамильтониана и два набора орбиталей.

1.5 Теория Функционала Плотности Теория Хартри-Фока не совсем верно описывает движение электронов в молеку лярной системе ввиду того, что она не учитывает многоэлектронные корреляции.

Существуют методы, идущие дальше теории Хартри-Фока в рассмотрении про блемы многоэлектронных корреляций. Рассмотрим один из таких методов, кото рый использовался в данной работе.

Теория Функционала Плотности (ТФП) учитывает многоэлектронные корре ляции с помощью характерных функционалов электронной плотности.

В рамках ТФП необходимо решить уравнение Кона-Шама, которое имеет сле дующий вид ( ) p (1.61) + Uions + VH + Vxc i = i i, где первый член учитывает кинетическую энергию i-го электрона, Uions описы вает его притяжение к ядрам в молекуле, VH Хартриевская часть межэлектрон ного взаимодействия:

(r ) dr, (1.62) VH (r) = |r r | где (r) электронная плотность:

Ne |i (r)|2, (1.63) (r) = = и Vxc локальный обменно-корреляционный потенциал, i электронные орбита ли и Ne - количество электронов в системе.

Обменно-корреляционный потенциал определен как функциональная произ водная обменно-корреляционного функционала энергии:

Exc [] (1.64) Vxc =, (r) Одно из наиболее известных приближений - модель Гуннарссона и Люндкви ста. Она основана на вычислении собственной энергии однородного электронного газа. Локальный обменно-корреляционный функционал Гуннарссона и Люндкви ста имеет следующий вид:

( )1/3 ( ) 3 9 1 rs (r) = 0.0333 G GL (1.65) Exc.

4 4 rs (r) 11. Здесь rs (r) = (3/4el (r))1/3 - локальный радиус Вигнера-Зейца, где el (r) электронная плотность в молекуле, а функция G(x) определена следующим соот ношением:

( ) 1 x x2 +.

(1.66) G(x) = (1 + x ) ln 1 + x Первый и второй члены уравнения (1.65) учитывают обменное и корреляцион ное взаимодействие соответственно. Плотность обменно-корреляционной энергии GL GL Exc определяет ПЛП обменно-корреляционный потенциал Vxc как [ ] GL el (r)Exc (el (r)) GL (1.67) Vxc = = el (r) ( )1/3 ( ) 9 1 11. 0.0333 ln 1 +.

4 2 rs (r) rs (r) Функционалы ТФП как правило разделяют Обменно-корреляционную энергию на две части, называемые обменной и корреляционной частями:

(1.68) Exc [] = Ex () + Ec () Обе части являются функционалами электронной плотности, которые тоже подразделяют на два типа: функционалы, зависящие только от электронной плот ности, локальные, и функционалы, зависящие от плотности и градиента плот ности, с градиентными поправками В литературе можно найти множество различных обменно-корреляционных функционалов. Ниже рассмотрим только те, которые использовались для рассче тов в данной работе.


Локальный обменный функционал фактически определяется следующим вы ражением:

( )1/ 3 = LDA 4/3 d3 r. (1.69) Ex 2 Это выражение определяет обменную энергию однородного электронного газа.

Однако, его не достаточно для аккуратного описания молекул.

Обменно-корреляционный функционал с градиентными поправками, предло женный Беке [50], основанный на ПЛП обменном функционале имеет следующий вид:

4/3 x B88 LDA d3 r, (1.70) Ex = Ex 1 + 6Sinh1 x где x=4/3 || и = 0.0042 параметры, подобранные так, чтобы описывать известную энергию обменного взаимодействия атомов благородных газов.

Аналогично вышезаписанным обменным функционалам с градиентными по правками, существуют корреляционные функционалы с градиентными поправка ми. Вот, например, корреляционный функционал, предложенный Пердью и Ван гом:

Ec W P c (rs ((r)), )d3 r (1.71) = [ ]1/ rs = = + f () c (, 0) + ac (rs ) (1 4 ) + [c (, 1) c (, 0)]f () c (rs, ) = f (0) (1 + ) + (1 )4/3 4/ f () =, 24/3 где - означает плотность спина, - плотность спина, - общую электрон ную плотность, ( + ). rs - локальный радиус Вигнера-Зейца. - относительная спиновая поляризуемость, описывающая соотношение плотностей и электро нов. = 0 соответствует случаю только -вой электронной плотности, а = только -вой плотности.

В рамках ТФП, как правило, обменные и корреляционные функционалы ис пользуются парами. Например, широко известный функционал BLYP состоит из пары функционалов: обменного функционала Беке с градиентными поправками (1.70) и корреляционного функционала Ли, Янга и Парра с градиентными поправ ками ( [51]).

Корреляционный функционал Ли, Янга и Парра с градиентными поправками имеет следующий вид:

{ [ (r) + 2b5/3 22/3 CF 8/ = a Ec P LY (1.72) 1 + d1/3 ( ) 8/ +22/3 CF tW + t + t 9] W W } 1( ) 1/ 2 + 2 ec d3 r + где ( ) 2 (r) + 2 (r) (r) = 2 1 (1.73) 2 (r) 1 |(r)|2 1 tW (r) = 8 ((r)) 3 ( 2 )2/ CF = tW (r) локальная плотность кинетической энергии, t (r) и t (r) плотность ки W W нетической энергии электронной плотности -спиновых and -спиновых электро нов соответственно. Параметры уравнения (1.73) такие: a = 0.04918, b = 0.132, c = 0.2533 and d = 0.349.

Несмотря на то, что ТФП хорошо описывает многоэлектронные системы, при знаем, что Хартри-Фоковское рассмотрение обменного взаимодействия электронов наиболее естественно и последовательно. Поэтому, Беке предложил [50] функци оналы, в которые входят и ХФ, и ТФП части обменного взаимодействия, а кор реляционное взаимодействие учитывается только в рамках ТФП. Таким образом, выражение для Exc можно представить как:

Exc = cHF Ex + cDF T Exc T, mix HF DF (1.74) где cHF и cDF T - константы. Основываясь на этой идее, трехпараметрический функционал Беке (B3LYP) определен следующим образом:

+ c0 (Ex EX ) + cx (Ex Ex ) + Exc P = Ex B3LY LDA HF LDA B88 LDA +Ec W N 3 + cc (Ec P Ec W N 3 ) V LY V (1.75) Здесь c0 = 0.2, cx = 0.72 и cc = 0.81 - константы, подобранные так, чтобы учесть значения потенциала ионизации, притяжения к протонам и энергии ато LDA B мов первого ряда таблицы Менделеева [49]. Ex и Ex определены в (1.69) и HF (1.70) соответственно. Ex - функционал, относящийся к уравнениям Хартри Фока (1.48). Ec W N 3 - так называемый функционал Воско-Вилк-Нусаира, который V имеет следующий вид:

Ec W N V V W N 3 (, )d3 r (1.76) = c V W N 3 (, ) = I (, ) + c (rs, ) ( ( ) c rs 2bi Qi i = Ai Ln + T an Xi ( rs ) Qi 2 rs + bi ( ( rs x0i ) bi x0i Ln Xi (x0i ) X( rs ) )) 2(bi + 2x0i ) Qi + T an Qi 2 r s + bi f () c (rs, ) = III (, ) (1 + (rs ) 4 ) f (0) f (0) (rs, 1) (rs ) = III (, ) c (rs, 1) = I (, ) II (, ) 4ci b Qi = i X(x) = x2 + bi x + ci [ ]1/ rs =, где константы Ai, bi, ci и x0i приведены в таблице 1.1. Корреляционный функ ционал Ли, Янга и Парра Ec P определен в (1.73). Отметим, что вместо Ec W N 3 и LY V Ec P в (1.75) можно использовать корреляционный функционал Пердбю и Ван LY га (1.72). В результате чего получим также широко используемый функционал B3PW91.

Таблица 1.1: Параметры функционала Воско-Вилк-Нуссаира Параметр I II III 0.06218 0.03109 -0. Ai 3.72744 7.06042 1. bi 12.93520 18.05780 13. ci -0.10498 -0.32500 -0. x0i Важная особенность ТФП состоит в том, что она учитывает многоэлектронные корреляции, вводя некий феноменологический обменно-корреляционный функци онал. Однако, до сих пор не найден универсальный потенциал, одинаково хоро шо применимый для всех типов систем и условий. В результате чего, существует большой набор различных потенциалов (см. например D. Salahub, session LXXIII ), используемых в тех или иных случаях. Однако эти потенциалы получены неки ми эмпирическими методами и не совсем понятны, и сами по себе не имеют под собой четкой физической интерпретации.

1.6 Потенциал молекулярной механики Для сложных молекулярных систем расчеты из первых принципов требуют значи тельной компьютерной мощности. В зависимости от метода, время расчета растет как N 2 или даже N 8 [49], где N - число частиц в системе. Поэтому, размер си стем, которые могут быть рассчитаны из первых принципов ограничен. И методы из первых принципов с трудом могут быть использованы для расчета больших биологических молекулярных систем.

Для описания макромолекулярных систем, таких как белки и полипептиды необходимы эффективные модельные подходы. Один из наиболее широко исполь зуемых методов для описания макромолекул основывается на так называемом по тенциале молекулярной механики, который имеет следующий вид:

Nb Nd Na b ri ) 0 a i ) 0 d U= ki (ri + ki (i + ki [1 + cos(ni i + i )] + i=1 i=1 i= [( )6 ] )12 ( qi qj Nid N N ij ij ki (Si Si0 )2 + id (1.77) 4ij +.

rij rij rij i=1 i,j=1 i,j= ij ij Здесь первые четыре члена описывают зависимость потенциальной энергии от из менения расстояний, углов, двугранных углов и особых двугранных углов между двумя, тремя и четырьма соседними атомами, соответственно. Последние два чле на описывают ван-дер-Ваальсово и Кулоновское взаимодействия, соответственно.

Суммирование в первом члене идет по всем топологически заданным связям в системе, во втором - по всем топологически заданным углам, в третьем - по всем топологически заданным двугранным угам и в четвертом по всем топологически заданным особым двугранным углам. Общее число связей, углов, двугранных уг лов и особых двугранных углов - Nb, Na, Nd и Nid, соответственно. Общее число b a d id атомов в системе N. ki, ki, ki и ki в (1.77) - параметры жесткости соответствую щих членов в потенциальной энергии. ri, i и Si0 - равновесное значение длин свя 0 зей, углов и особых двугранных углов. ni и i количество возможных торсионных конформаций и фаза торсионного угла. ij, ij и qi - параметры Ван-дер-Ваальса и заряды атомов в системе.

Параметры ki, ki, ki, ki, ri, i, Si0, ni, i, ij, ij и qi определены на основе b a d id 0 экспериментальных измерений кристаллографических структур, инфракрасных спектров, а так же на основе квантовомеханических расчетов маленьких систем (см. [22–24] и ссылки в них). Независимыми переменными в (1.77) являются ri, i, i и Si.

Необходимо отметить, что члены, соответствующие изменению расстояний, уг лов и особых двугранных углов в (1.77) описывают движение молекулы в гар моническом приближении, которое работает только при низких температурах.

Зависимость потенциальной энергии от изменения крутильных степеней свобо ды обычно полагают периодической (см. уравнение (1.77)), так как существует несколько устойчивых конформаций молекулы относительно этих степеней свобо ды [22–24, 52–55].

1.7 Молекулярная динамика Молекулярная динамика является альтернативной статистическому подходу для изучения фазовых переходов в макромолекулярных системах. В рамках форма лизма молекулярной динамики решаются уравнения движения всех частиц в си стемы, взаимодействующих между собой заданным потенциалом. Так как форма лизм молекулярной динамики широко известен и изложен во множестве учебни ков [56–58], в данной диссертации приведены лишь основные идеи и уравнения этого метода.

Расчеты на основе молекулярной динамики обычно основываются на числен ном решении уравнения Ланжевена [58–60]:

U (R) mi ai = mi ri = i vi + (t).

(1.78) ri Здесь mi, ri, vi и ai масса, радиус-вектор, скорость и ускорение i-го атома. U (R) - потенциальная энергия системы. Второй член описывает силу вязкости, ко торая пропорциональна скорости частицы. Коэффициент пропорциональности i = mi, где коэффициент торможения. Третий член - шумовой член, который описывает эффект постоянного взаимодействия атома с окружающими молеку лами среды. Для изучения эволюции системы во времени, уравнения движения Ланжевена (1.78) интегрируются для каждой частицы.

В данной диссертации молекулярная динамика была использована для изуче ния фазового перехода -спиральстатистический клубок в полипептидах алани на. Проведено сравнение полученных результатов с результатами статистической модели. При расчете молекулярной динамики была использована параметриза ция CHARMM27 [24] для описания взаимодействия между атомами. Это широко используемый для изучения полипептидов, белков и жиров эмпирический форс филд [24, 61–64].

Расчеты молекулярной динамики позволяют изучать фазовый переход спиральстатистический клубок, так как этот переход происходит за наносекун ды. Из таких расчетов можно получить важные термодинамические характери стики фазового перехода, такие как его температура, максимальная теплоемкость, температурный диапазон перехода и его скрытая теплота.

В данной диссертации были проведены расчеты молекулярной динамики по липептидов аланина, состоящих из 21, 30, 40, 50 и 100 аминокислот. В каче стве начальной конфигурации молекулы была выбрана структура идеальной спирали [2, 65, 66].

Расчеты молекулярной динамики были проведены при различных температу рах, в интервале от 300 K to 1000 K для полипептида, состоящего из 21 амино кислоты и в интервале от 300 K до 900 K для остальных полипептидов.


Набор параметров, использованных в расчетах может быть найден в [56–58].

Расчеты были проведены с использованием программного пакета NAMD [57], для визуализации результатов была использована программа VMD [67]. Расчеты были проведены в каноническом ансамбле N V T, используя термостат Ланжвена. Шаг интегрирования составлял 2 фемтосекунды.

Глава Степени свободы в полипептидах и белках 2.1 Введение В настоящее время быстро развивающийся и перспективной областью науки яв ляется нанотехнология и наномедицина. Многие исследовательские институты за нимаются разработкой и созданием наночипов, наноприборов, которые использу ются в медицине. Для создания таких биологических элементов нужно хорошо знать и понимать свойства систем, для которых данный прибор следует приме нять. В большинстве случаев, процесс работы таких устройств тесно связан с вза имодействием с белками организма. Однако этот процесс является чрезвычайно сложным и в данное время плохо изучен. Таким образом, понимание процессов, происходящих в белковых структурах позволит изменить возможности медицины кардинальным образом.

Как известно, белки состоят из аминокислот, число которых в белке варьирует ся от сотен до десятков тысяч. Небольшие фрагменты белков называют полипепти дами. Эта глава посвящена изучению конформационных свойств полипептидных цепочек, состоящих из аланинов и глицинов.

Изучение небольших фрагментов белков и полипептидов в газовой фа зе стало возможным относительно недавно с использованием MALDI масс спектрометрии [68–71] и с использованием ESI масс-спектрометрии [72, 73]. С тео ретической точки зрения исследования свойств небольших полипептидов пред ставляют заметный интерес, поскольку эти системы можно рассчитывать с доста точно высокой точностью из первых принципов. Соответственно, возможно про водить сравнение результатов теории и эксперимента. Полученная информация может быть использована для построения теоретических моделей более сложных белковых соединений.

Полипептиды отличаются друг от друга первичной и вторичной структура ми [2, 74–76]. При одинаковой первичной структуре, различия в структуре моле кулы соответствуют ее разным конформациям (геометрическим конфигурациям).

Вполне естественно, что химические и физические свойства различных конформа ций сложных молекул могут существенно отличаться. Число различных конфор маций (изомерных состояний) быстро возрастает с увеличением размера систе мы, поэтому поиск наиболее устойчивых конформаций биомолекулы значительно усложняется с увеличением ее размера. С помощью методов ЯМР и дифракции рентгеновских лучей [75] было установлено, что одними из наиболее характерных элементов вторичной структуры белка являются лист и спираль.

Главное отличие листа от спирали связано с различием двугранных углов, об разованных атомами полипептидной цепи в этих молекулярных структурах. При повышении температуры должна активироваться степень свободы связанная с кручением боковых радикалов вокруг полипептидной цепи, меняя при этом кон формацию молекулы. Большой интерес представляет изучение этого перехода и оценка характерных времен перехода, поскольку он связан с одним из основных вопросов физики белка- его фолдингом. Для исследования этого перехода необ ходимо исследовать поверхность потенциальной энергии аминокислотной цепочки относительно кручения боковых радикалов вдоль полипептидной цепи. Кроме во просов, связанных с фолдингом, такое исследование несет в себе важную инфор мацию о зависимости энергии от угловых переменных характеризующих цепочку аминокислот, которая очень важна для модельного описания больших белковых структур.

Ранее достаточно детально исследовались лишь дипептиды аланина и глицина, а также их аналог (S)--(формиламино)пропанамид. В [77–79] эти молекулы бы ли исследованы в рамках теории Хартри-Фока. В этих работах были рассчитаны потенциальные поверхности систем в зависимости от углов кручения молекулы.

Были определены некоторые устойчивые состояния дипептидов, соответствующие различным конформациям молекул. Каждое устойчивое состояние молекулы до полнительно исследовалось на основе теории возмущений, учитывающей межэлек тронные корреляционные взаимодействия. В [80–84] были исследованы различные конформационные свойства молекулы, определены устойчивые структуры, рас считаны их энергии в рамках теории функционала плотности. В [85] обсуждалась динамика аналога дипептида аланина, рассчитанная в рамках теории функциона ла плотности. В этой работе был исследован переход дипептида из одной устой чивой конформации в другую и рассчитано характерное время этого перехода.

В [86] с использованием методов Монте-Карло было рассчитано характерное вре мя перехода дипептида аланина из одной конформации в другую в водном окру жении. В [87] был определен эмпирический потенциал парного взаимодействия двух аланинов на основе экспериментальных данных, взятых из базы данных для белков [75]. При этом аланины в белке рассматривались как материальные точки.

В ряде работ исследованы также свойства трипептидов. В [88–90] с помощью классической молекулярной механики и полуэмпирических потенциалов (таких как GROMOS, CHARMM и AMBER) была исследована динамика трипептида аланина и глицина. В [91] в рамках теории Хартри-Фока были найдены некоторые конформации трипептида аланина и дипептида глицина. В [92] были измерены ра мановские и ИК спектры трипептида аланина и глицина в щелочном, нейтральном и кислом окружениях. В этой работе также была разработана феноменологиче ская модель для определения устойчивых конформаций трипептидов.

Полипептиды исследовались гораздо меньше. Нам известно лишь несколько работ на эту тему. Так, например, в [93] обсуждались устойчивые конформации нейтральных и заряженных гексапептидов аланина, рассчитанные на основе эм пирических потенциалов. В [94] было проведено экспериментальное исследование различных конформаций цепочки из семи аланинов с помощью ЯМР при различ ных температурах. В [95] методами эмпирической молекулярной динамики, осно ванной на методах Монте-Карло, был описан полипептид аланина, состоящий из 21 аминокислоты.

В данной главе представлены результаты расчетов из первых принципов много мерной поверхности потенциальной энергии цепочек, состоящих их трех и шести аланинов и глицинов по отношению к степеням свободы, связанных с кручени ем этих молекул относительно полипептидной цепи. Этот расчет был выполнен в рамках теории функционала плотности (ТФП). Ранее такого рода вычисления проводились лишь для дипептидов (см., например, [77,78,85]). Для больших моле кул исследовались лишь отдельные изомерные состояния (см. ссылки приведенные выше). Следует также отметить, что настоящий расчет поверхностей потенциаль ной энергии для цепочек из трех и шести аминокислот впервые выполнен с учетом всех электронов в системе. Анализ энергетических поверхностей позволил оценить вероятность перехода между различными устойчивыми конформациями молекул.

Было выполнено сравнение полученных результатов с имеющимися результатами молекулярно-динамических расчетов и экспериментальными данными. В настоя щей работе также исследовано влияние вторичной структуры полипептидной це пи на ее конформационные свойства относительно вращения. Так, для цепочки из шести аминокислот со структурой спирали и листа продемонстрировано влияние вторичной структуры на устойчивые изомерные состояния молекулы. Результаты работы представленной в данной главе были опубликованы в [52–55].

2.2 Конформационные свойства полипептидов аланина 2.2.1 Определение крутильных степеней свободы полипептида В этом разделе приведены результаты расчета поверхностей потенциальной энер гии цепочек аланина и глицина. Были исследованы потенциальные энергии цепо чек, состоящих из трех и шести аминокислот в зависимости от двугранных углов и, определенных на рисунке 2.1.

Рис. 2.1: Двугранные углы и, характеризующие вторичную структуру полипептид ной цепи. Двугранный угол i характеризует вращение бокового радикала вдоль связи Ci Ci.

Оба угла определяются четырьмя соседними атомами в полипептидной цепоч ке. Угол i определяется как двугранный угол между плоскостями, образованны ми атомами Ci1 Ni Ci и Ni Ci Ci. Угол i определяется как двугранный угол между плоскостями, образованными атомами Ni Ci Ci и Ci Ci Ni+1. Кро ме углов i и i существует третий угол, образованный атомами полипептидной цепи - угол i, который определяется как двугранный угол между плоскостями, образованными атомами Ci Ci Ni+1 и Ci Ni+1 Ci+1. Нумерация атомов полипептидной цепи ведется начиная с N H2 конца полипептида. Углы i, i и i могут принимать все возможные значения в интервале [180o ;

180o ]. Для одно значного определения углов необходимо задать их направление отсчета. В данной работе использовано общепринятое определение [76], согласно которому, и отсчет углов i, i и i производится по часовой стрелке, если смотреть на молекулу с ее N H2 конца (см. рисунок 2.1).

Углы i и i могут быть определены для любой аминокислоты в цепочке, кроме крайних. В настоящей работе, были рассмотрены углы и, соответствующие средней аминокислоте полипептида. Для простоты, индексы в обозначении углов опущены.

2.2.2 Оптимизированные геометрии полипептидов аланина Рис. 2.2: Оптимизированные геометрии полипептидных цепочек аланина, рассчитанные методами B3LYP/6-31++G(d,p). а) Трипептид аланина;

б) Гексапептид аланина в кон формации листа;

в) Гексапептид аланина в конформации спирали. Энергии под каждым изображением приведены в атомных единицах.

Для изучения кручения цепочек аминокислот вдоль полипептидной цепи необ ходимо задать начальную структуру молекулы. С увеличением размера системы возрастает количество ее стабильных изомерных состояний отличающихся, лишь своей вторичной структурой. В настоящей работе исследованы цепочки аминокис лот с двумя наиболее распространенными типами вторичной структуры, именуе мыми конформациями спирали и листа.

На рисунке 2.2 показаны структуры трех цепочек, которые были исследованы в данной работе. Геометрии цепочек были получены в рамках ТФП с использова нием функционала B3LYP. На рисунке 2.2а показан трипептид аланина. В данной работе был исследован трипептид в конформации листа, поскольку при данной длине цепочки спиралевидной структуры еще не образуется. На рисунках 2.2б и 2.2в представлены гексапептиды в конформации листа и спирали соответственно, которые характеризуются четырьмя наборами углов и. При изменении углов и в центральной аминокислоте полипептид может принимать состояния заметно отличающиеся от структуры листа и спирали. В этих случаях для удобства об суждения полипептид относится к типу листа или спирали, если структура листа или спирали возникает при определенных значениях углов и в центральной аминокислоте. Энергии молекул приведены рядом с их изображениями на рисунке 2.2 в атомных единицах.

2.2.3 Зависимость энергии полипептида от двугранного угла Для каждой аминокислоты существует лишь три двугранных угла, образован ных атомами полипептидной цепи и описывающих кручение полипептида. Угол (см. рисунок 2.1) образован на стыке двух аминокислот и тем самым отлича ется от углов и. Между атомом Ci и Ni+1 образуется квази-двойная связь, которая препятствует кручению полипептида. Поэтому можно говорить об угле как о жесткой степени свободы, слабо зависящей от типа полипептида и значений остальных характерных углов. В качестве иллюстрации этого факта на рисунке 2.3 мы приводим зависимость энергии трипептида аланина от угла при различ ных значениях углов и.

Из рисунка видно, что в системе существуют два минимума при = 0o и = 180o положение которых практически не зависит от углов и. Высота барьеров между этими минимумами также меняется незначительно и составляет приблизительно 1 эВ=23.06 ккал/моль, что неплохо согласуется с эмпирическими Рис. 2.3: Зависимость энергии трипептида аланина от угла, рассчитанная методом B3LYP/6-31G(d) при различных значениях углов и.

предсказаниями в 15 ккал/моль для молекулы этена, имеющей подобную связь [2].

Расчет показывает, что при температуре близкой к комнатной значение угла меняется незначительно. Поэтому его изменение можно не учитывать при даль нейшем изучении поверхности потенциальной энергии, характеризующей круче ние полипептидов.

Зависимость потенциальной энергии полипептидов от углов и при круче нии молекулы при температурах близких к комнатной оказывается значительно более сложной и поэтому представляет значительный интерес.

2.2.4 Поверхность потенциальной энергии трипептида аланина На рисунке 2.4 показана поверхность потенциальной энергии трипептида аланина, рассчитанная методом B3LYP/6-31G(2d,p). Шкала энергии приведена в электрон вольтах, ккал/моль и Кельвинах и отсчитана от глобального минимума данной поверхности.

Рис. 2.4: Поверхность потенциальной энергии трипептида аланина, рассчитанная мето дом B3LYP/6-31G(2d,p). Энергии приведены в эВ, ккал/моль и Кельвинах. Цифрами помечены минимумы на потенциальной поверхности. Стрелками показаны рассмотрен ные переходы между различными конформациями молекулы.

Как видно из рисунка 2.4, на энергетической поверхности наблюдается несколь ко минимумов, они обозначены цифрами в порядке возрастания их энергии. Каж дому минимуму соответствует устойчивое изомерное состояние молекулы. На ри сунке видно 2 выраженных минимума, обозначенных цифрами 1 и 2, а также несколько менее глубоких, обладающих большей энергией (3-7). Конформации молекулы, соответствующие этим минимумам приведены на рис. 2.5. Пунктирны ми линиями на рисунке показаны основные водородные связи в системе, которые определены как связи между атомами кислорода и атомами водорода, связанными с атомами азота, и расположенными на расстоянии не превышающем 2.9 ангстре ма.

Как видно из этого рисунка, геометрии, соответствующие различным устойчи вым состояниям, заметно отличаются друг от друга. Для исследования потенци альных поверхностей использовалась следующая процедура. После определения Рис. 2.5: Оптимизированные геометрии трипептида аланина. Различные конформации, молекулы соответствующие минимумам на поверхности потенциальной энергии, пред ставленной на рисунке 2.4, отмечены соответствующими цифрами. Под каждой струк турой приведен набор углов и, полученных с учетом релаксации всех степеней свобо ды в системе. В скобках указаны величины этих углов, найденные без учета релаксации.

Энергии молекул приведены над каждой из них, при этом энергии даны в эВ и отсчитаны от энергии состояния 1 (энергия этого состояния приведена в атомных единицах (а.е.)).

В скобках указаны энергии, вычисленные без учета релаксации всех степеней свободы в системе. Пунктирными линиями показаны основные водородные связи в системе. Их длины приведены в ангстремах.

устойчивой структуры молекулы, фиксировались все степени свободы системы и менялись лишь углы и в центральной аминокислоте. Таким методом были рас считаны все потенциальные поверхности, представленные в этом разделе. Данный метод позволяет эффективно получать информацию об основных конформациях, соответствующих минимумам на поверхности потенциальной энергии. Таким об разом, были определены соответствующие им углы и. Заметим, что абсолют ные значения энергий, соответствующих различным конформациям, определены не совсем точно, поскольку данный метод расчета не учитывает релаксацию всех атомов при кручении молекулы. Вычисления потенциальной поверхности цепоч ки с учетом ее релаксации требуют в 20-30 раз больше компьютерного времени.

Систематическое исследование роли релаксации при формировании поверхности потенциальной энергии с учетом всех электронов системы в работе не проводи лось. Однако, была выполнена полная оптимизация структур полипептидов, со ответствующих различным минимумам на поверхности потенциальной энергии с учетом всех степеней свободы молекулы.

На рисунке 2.5 сравниваются стабильные состояния, соответствующие трипеп тиду аланина с учетом релаксации молекулы и без учета. Как видно из этого срав нения, характерные двугранные углы и меняются в пределах 10-ти процент ной погрешности, что может быть объяснено незначительным влиянием остальных степеней свободы на значение двугранных углов в полипептиде вблизи миниму ма энергии. В результате релаксации по остальным степеням свободы происходит небольшая перестройка боковых атомов (или радикалов в случае больших ами нокислот), что приводит к понижению энергии системы. В связи с этим, отно сительная энергия минимумов может измениться при учете полной релаксации молекулы. В данной работе рассчитаны поверхности потенциальной энергии по липептидов на сетке с шагом 18o. Выполнение расчета с более мелким шагом не имело бы смысла, вследствие того, что учет всех степеней свободы приводил бы к большим изменениям углов и, чем шаг сканирования.

На поверхности потенциальной энергии трипептида аланина, в отличии от по верхности потенциальной энергии трипептида глицина [52], существует дополни тельный максимум при = 120o ±50o, = 30o ±30o. Он возникает при перекрытии боковых СН3 - радикалов аланина, которые отсутствуют у глицина.

Отметим, что не все минимумы на поверхности потенциальной энергии со ответствуют тем или иным устойчивым конформациям полипептида. Например, минимума 6 на реальной многомерной энергетической гиперповерхности не суще ствует. Это связано с тем, что при построении энергетической поверхности учиты вались только две степени свободы. Поэтому для достоверного определения устой чивых конформаций молекулы необходимо производить оптимизацию структур, соответствующих минимумам, показанных на рисунке 2.5, с учетом всех степеней свободы.

Таблица 2.1: Сравнение двугранных углов и, соответствующих различным конфор мациям трипептида аланина, номера которых указаны в первой колонке.

состояние, [77] [77] [78] [78] 1 -168.4 170.5 -157.2 159.8 -157.4 166. 2 - - -60.7 -40.7 - 3 63.8 32.7 67.0 30.2 64.7 30. 4 - - - - -166.9 -52. 5 74.1 -57.3 76.0 -55.4 72.0 -60. 6 -128.0 29.7 -130.9 22.3 -119.1 13. 7 - - - - 57.9 -136. В [77] и [78] были рассчитаны значения двугранных углов и для дипептидов глицина и аланина. Поскольку в дипептиде и трипептиде влияние крайних ами нокислот весьма незначительно, то значения двугранных углов, соответствующих различным устойчивым конформациям в трипептиде и дипептиде оказываются близкими. В таблице 2.1 произведено сравнение значений двугранных углов друг с другом. В ранних работах структуры дипептидов исследовались в рамках теории Хартри-Фока. Так в [77], значения и были получены с помощью метода HF/6 31+G*, а в [78]- с помощью метода HF/6-31G**. Видно, что данные этих работ в целом согласуются друг с другом и с расчетом выполненным в данной работе (3-я колонка, таблица 2.1). Некоторые различия могут быть объяснены влиянием третьего аланина в трипептиде на конформационные свойства, а также пренебре жением многоэлектронных корреляций в теории Хартри-Фока, в рамках которой выполнены расчеты в [77, 78].

Рис. 2.6: Барьеры для переходов между состояниями 1 2 трипептида аланина. Круж ками и квадратами соответственно показаны барьеры без и с учетом релаксации всех степеней свободы в системе.

Из рисунка 2.4 видно, что некоторые области на потенциальной поверхности являются запрещенными. В этих областях потенциальная энергия молекулы за метно возрастает из-за сближения отдельных атомов в процессе кручения поли пептида. Учет релаксации молекул хотя и уменьшает значения энергии системы, мало влияет на положение запрещенных зон. На рисунке 2.4 видны две выражен ные области вблизи значений углов и (0, 0) и (0, 180) градусов соответственно.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.