авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Омский филиал

Федерального государственного бюджетного учреждения наук

и

Института математики им. C.Л. Соболева

Сибирского отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

ТИХОВСКАЯ Светлана Валерьевна

РАЗРАБОТКА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА

СГУЩАЮЩИХСЯ СЕТКАХ ДЛЯ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

01.01.07 – Вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор А. И. Задорин Омск – 2013 2 Оглавление Введение........................................... Глава 1. Построение и анализ разностных схем для сингулярно возмущенной задачи Коши....................................... 1.1. Постановка задачи................................... 1.2. Анализ дифференциальной задачи......................... 1.3. Построение и анализ разностной схемы на равномерной сетке......... 1.4. Построение и анализ разностной схемы на сетке Шишкина........... 1.5. Результаты численных экспериментов....................... Глава 2. Разностные схемы повышенной точности для нелинейного ОДУ второго порядка на сгущающихся сетках.......................... 2.1. Повышение точности схемы направленных разностей для нелинейного ОДУ второго порядка.................................... 2.1.1. Предварительные сведения.......................... 2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей........ 2.1.3. Экстраполяции Ричардсона......................... 2.1.4. Результаты численных экспериментов................... 2.2. Модифицированная схема Самарского для нелинейного ОДУ второго порядка 2.2.1. Предварительные сведения.......................... 2.2.2. Линеаризация Пикара............................. 2.2.

3. Линеаризация Ньютона............................ 2.2.4. Двухсеточная реализация схемы Самарского............... 2.2.5. Результаты численных экспериментов................... Глава 3. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения на сетке Шишкина......................................... 3.1. Задача реакция-диффузия.............................. 3.1.1. Постановка задачи............................... 3.1.2. Двухсеточный метод.............................. 3.1.3. Экстраполяция Ричардсона......................... 3.1.4. Результаты численных экспериментов................... 3.2. Задача конвекции-диффузии в случае параболических пограничных слоев 3.2.1. Постановка задачи............................... 3.2.2. Экстраполяция Ричардсона......................... 3.2.3. Результаты численных экспериментов................... 3.3. Задача конвекции-диффузии в случае регулярных пограничных слоев..... 3.3.1. Постановка задачи............................... 3.3.2. Экстраполяция Ричардсона......................... 3.3.3. Результаты численных экспериментов................... Заключение.......................................... Список литературы..................................... Введение При математическом моделировании различ Актуальность темы исследования.

ных физических явлений, таких как течение вязкой жидкости, процессы тепломассопереноса и др., возникают начальные и краевые задачи для уравнений с малыми параметрами при старших производных. Это могут быть малые коэффициенты диффузии при моделирова нии распространения примесей, малые коэффициенты вязкости при моделировании течений жидкости.

Как известно, решение сингулярно возмущенной краевой задачи имеет большие гра диенты в области пограничного слоя, что приводит к потере сходимости классических раз ностных схем и делает их непригодными при решении задач с пограничными слоями. Вопрос построения разностных схем для таких задач исследуется в работах многих авторов.

Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем [17,42] и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого пара метра, был поставлен в 1969 году в работах Бахвалова Н. С. [6] и Ильина А. М. [32]. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.

В работе Ильина А. М. [32] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффици енты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей ре шения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы c экспоненциальной подгонкой на равномерной сетке использован в рабо тах Багаева Б. М. [4,5], Задорина А. И. [22,23], Шайдурова В. В. [4,5], Miller J. J. H. [19,67,76], Roos H. – G. [80–82], Stynes M. [69,81,82] и в работах других авторов. В [57] Шишкиным Г. И.

было доказано, что в случае эллиптической задачи с параболическими пограничными сло ями не существует схемы экспоненциальной подгонки, обладающей свойством равномерной сходимости. Схемы подгонки приемлемы при наличии регулярных пограничных слоев.

В работе Бахвалова Н. С. [6] применяется классическая центрально-разностная схе ма, но на сгущающейся в пограничных слоях сетке. Сетка строится так, чтобы погреш ность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения рав номерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В. Б. [1–3], Бахвалова Н. С. [6–8], Блатова И. А. [9, 10], Ильина В. П. [35], Ко птевой Н. В. [2], Лисейкина В. Д. [38], Петренко В. Е. [38], Шишкина Г. И. [58, 67, 76, 88], Lin T. [73, 75], O’Riordan E. [65, 67, 76], Vulanovic R. [89, 90] и других авторов.

Шишкиным Г. И. для решения сингулярно возмущенных задач предложено использо вать кусочно-равномерную сетку с достаточно мелким шагом в области пограничного слоя в [58] и других работах этого автора.

Также при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач приме няется метод Галеркина с выделением особенностей, когда предлагается функцию погранич ного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в равномерной и энергетической нормах. Если функцию пограничного слоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к «медленным переменным». В новых пе ременных используется классический метод типа Галеркина. Метод Галеркина используется и на специальных сетках, сгущающихся в пограничном слое. Данный подход использован в работах Багаева Б. М. [4, 5], Блатова И. А. [11], Шайдурова В. В. [4, 5], Lin T. [68], Roos H. – G. [68, 81, 82], Stynes M. [81, 82], Tobiska L. [81, 82] и других авторов.

В 1973 году Рид и Хилл [78] впервые предложили разрывный метод Галерки на (Discontinuous Galerkin) для гиперболических уравнений, и с тех пор наблюдается актив ное развитие разрывных методов Галеркина для гиперболических и почти гиперболических задач. Позже разрывный метод Галеркина был применен к эллиптическим задачам. Данный подход использован в работах многих авторов [62, 66, 81, 82]. Необходимость решать задачи с доминирующей конвективной частью, а также незначительным диффузионным участи ем, привело к распространению разрывного метода Галеркина для эллиптических задач.

В 1992 году Рихтер [79] предложил обобщение оригинального разрывного метода Галеркина для линейных задач конвекции-диффузии в случае преобладающей конвекции.

В случае нелинейной или эллиптической задачи разностная схема разрешается на ос нове итерационных методов. Недостатком итерационных методов при разрешении разност ных схем для эллиптических уравнений, таких как методы Якоби или Зейделя, является их невысокая скорость сходимости (так, в случае эллиптической задачи для метода Зейделя необходимое количество итераций пропорционально квадрату числа неизвестных). В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгорит ма. Можно добиться того, чтобы скорость сходимости многосеточного метода не зависела от числа неизвестных в системе. С другой стороны, многосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

Многосеточный метод был предложен Федоренко Р. П. в [53]. Далее этот метод раз вивался в ряде работ, отметим [7, 37, 40, 52, 54, 64, 70, 71]. Многосеточный метод для эллипти ческих задач с преобладающей конвекцией исследовался, например в [37, 40, 71]. Сложности, преодолеваемые в этих работах, связаны с сильной несимметричностью матрицы системы линейных уравнений и потерей диагонального преобладания при определенных соотношени ях коэффициента диффузии и шага сетки. Отметим, что при этом вопрос равномерной по малому параметру сходимости реализуемых разностных схем не рассматривался.

Из многосеточных методов в ряде работ выделяется класс двухсеточных методов, на пример, [63, 93, 94]. Двухсеточный метод рассматривается в следующей постановке. Краевая задача предварительно решается на достаточно грубой сетке. Затем найденное сеточное ре шение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение для итераций. Это приводит к выигрышу в количестве арифметических действий. В соответ ствии с [93], при таком подходе решение нелинейной задачи на исходной сетке может быть заменено на решение этой нелинейной задачи на довольно грубой сетке (с намного меньшим числом узлов) и лишь несколько итераций требуется сделать на исходной сетке. То есть прак тически на заданной сетке вместо нелинейной задачи решаются одна-две линейные задачи, соответствующие итерациям Ньютона.

Вопрос применения двухсеточных методов к решению сингулярно возмущенных задач ранее практически не исследовался и представляет интерес. Известно, что от разностной схе мы в случае задачи с пограничным слоем целесообразно требовать свойство сходимости, рав номерной по малому параметру [76]. Двухсеточный метод должен учитывать это. Например, погрешность интерполяции сеточного решения с грубой сетки на исходную не должна быть выше погрешности разностной схемы. Как показано в работе Задорина А. И. [20], в случае сингулярно возмущенной задачи формулы полиномиальной интерполяции могут привести к погрешностям порядка единицы. Следовательно, точность, обеспеченная решением задачи на грубой сетке, в этом случае будет потеряна, поэтому снизится эффективность приме нения двухсеточного метода. Поэтому актуальна разработка двухсеточных алгоритмов для сингулярно возмущенных задач Остановимся на работах, в которых исследовались эти вопросы. В [91, 92] предложено применить двухсеточный метод для численного решения сингулярно возмущенной задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для решения задачи применялась схема Ильина [32] на равномерной сетке, обладающая равно мерной по малому параметру точностью порядка (). Использовалась формула неполи номиальной интерполяции [20], точная на погранслойной составляющей, также обладающая равномерной точностью порядка (). Для разрешения разностной схемы, представляющей собой систему нелинейных уравнений, применялись методы Ньютона и Пикара. Показано, что число итераций на исходной сетке существенно уменьшается при использовании двухсе точного метода. В частности, если = 2, то на исходной сетке с шагом требуется лишь одна итерация метода Ньютона, остальные итерации делаются на грубой сетке с шагом.

В [61] исследован двухсеточный метод для нелинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных без конвективных членов. В данной работе исполь зуется линеаризация Ньютона в случае равномерно сходящейся разностной схемы на сетках Бахвалова [6] и Шишкина [58]. Применяется полиномиальная интерполяция сеточного реше ния, которая в данном случае является равномерно точной. В работе [25] исследуется двухсе точный метод решения линейной эллиптической задачи с двумя регулярными пограничными слоями. Двухсеточный метод применяется на равномерной сетке, используется двумерный аналог схемы Ильина. Предложена формула двумерной неполиномиальной интерполяции, точная на погранслойной составляющей.

Актуально исследование двухсеточного метода в случае, когда разностная схема стро ится на сгущаюшейся в пограничных слоях сетке. При использовании двухсеточного метода решение разностной схемы вычисляется на двух сетках, поэтому представляет интерес ана лиз использования экстраполяции Ричардсона для повышения точности разностной схемы.

Метод Ричардсона, в том числе применительно к сингулярно возмущенным задачам, иссле дован в ряде работ, например [39, 56, 77, 88] и др.

Несмотря на большое количество публикаций, вопрос разработки разностных схем повышенной точности для сингулярно возмущенных задач, особенно нелинейных, остается актуальным. Актуальна и разработка эффективных вычислительных алгоритмов для реа лизации разностных схем.

является разработка разностных схем на сгущающихся сетках Целью диссертации для сингулярно возмущенных задач, исследование двухсеточного метода реализации постро енных схем с повышением точности на основе экстраполяции Ричардсона.

Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.

1. Рассмотреть задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второ го порядка с малым параметром при старшей производной. Разработать аналог схе мы А. М. Ильина на равномерной сетке. Исследовать вопрос равномерную сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Исследовать двухсеточный метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с повышением точности схемы направленных разностей на сетке Шишкина на основе метода Ричардсона.

3. Для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разработать алгоритм повышенной точности на основе линеаризаций Пикара и Ньютона с использованием монотонной схемы Самарского, исследовать двухсеточный метод реализации построенных алго ритмов.

4. Исследовать двухсеточный метод решения линейной эллиптической задачи при нали чии регулярных и параболических пограничных слоев на сетке Шишкина с повышени ем точности разностной схемы на основе метода экстраполяции Ричардсона. Провести сравнение итерационных методов.

5. Разработать научно-исследовательский вариант комплекса программ и по всем иссле дуемым задачам провести численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

В работе использованы фундаментальные положения тео Методы исследования.

рии дифференциальных уравнений, теории разностных схем, вычислительной алгебры. До стоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных эксперимен тов.

Научная новизна:

1. Впервые проведено исследование разностных схем в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разработан аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Разработан двухсеточный алгоритм повышенной точности для сингулярно возмущен ной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравне ния второго порядка на основе схемы направленных разностей на сетке Шишкина и экстраполяции Ричардсона.

3. На основе известной в случае линейной сингулярно возмущенной задачи монотон ной схемы Самарского на сетке Шишкина разработан алгоритм повышенной точно сти для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием линеаризаций Пикара и Ньютона. Предложен двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследованы двухсеточные алгоритмы для линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Ис пользование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повыше нию точности на порядок используемых разностных схем.

Полученные в диссертации Теоретическая и практическая значимость работы.

теоретические результаты представляют ценность в теории разностных схем для сингулярно возмущенных задач. Разработанные вычислительные алгоритмы и разностные схемы для сингулярно возмущенных задач могут быть использованы при математическом моделиро вании конвективно-диффузионных процессов с преобладающей конвекцией, которые встре чаются в гидродинамике, механике, экологии, физике, химии. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.

Результаты диссертации докладывались на XXXIII реги Апробация результатов.

ональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячеле тия» (Омск, 2009 г.), Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко (Казань, 2010 г.), XXXV региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011 г.), Всероссийской научной конференции по вычислительной ма тематике с участием зарубежных ученых (КВМ-2011) и Всероссийской школы-конференции молодых исследователей в рамках КВМ-2011 (Новосибирск, 2011 г.), XII Всероссийской кон ференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным техно логиям (Новосибирск, 2011 г.), XXXVI международной научной конференции с элементами научной школы для молодёжи «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2012 г.), XIX Все российской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгорит мов решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко (Дюрсо, 2012 г.), VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.), Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.), региональной конференции магистров, аспирантов и молодых ученых по физике и математике «ФМ ОмГУ 2013» (Омск, 2013 г.), а также на научном семинаре «Матема тическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моде лирования ОмГУ им. Ф. М. Достоевского.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 научных рабо Публикации.

тах [26–30, 43–50], пять из них — в рецензируемых изданиях из списка ВАК [26, 27, 29, 30, 43].

Диссертация состоит из введения, трех глав, заклю Структура и объем работы.

чения и списка литературы (95 наименований). Объем диссертации — 105 страниц.

обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель Во введении и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциаль В первой главе ного уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной:

() + () () () () = (), 0, (0.1) (0) =, (0) =, где, — некоторые постоянные. Предполагаем, что,, 2 [0, 1].

0 1, () 0, () 0, В п. 1.1 дается постановка задачи. В п. 1.2 проводится анализ дифференциальной задачи (0.1).

В п. 1.3 на равномерной сетке строится разностная схема для решения задачи (0.1).

По аналогии с [32] требуется, чтобы разностная схема была точна на функции пограничного слоя. Задается аппроксимация производной в начальном условии (0.1), точная на погранс лойной составляющей.

Полученная схема является обобщением известной схемы Ильина [32] на случай на чальной задачи (0.1). Доказывается равномерная сходимость полученной схемы. Обозначим = min [ () () ].

Пусть – решение построенной схемы.

Пусть выполнено 0. Тогда найдется 0 :

Теорема 0.1.

|( ) |, = 0, 1,...,, где не зависит от и шага сетки.

В п. 1.4 показывается, что использование сетки Шишкина из [58] обеспечивает равно мерную сходимость схемы направленных разностей в случае начальной задачи (0.1).

В соответствии с [58] сетка определяется как кусочно-равномерная, с мелким ша гом в пограничном слое и крупным шагом вне его.

Доказывается равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шиш кина.

Пусть 0. Тогда найдется – положительная постоянная, Теорема 0.2.

не зависящая от и числа узлов, такая, что выполнено:

ln | |( ), = 0, 1,...,, где () — решение задачи (0.1), — решение схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

В п. 1.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные резуль таты.

Результаты первой главы опубликованы в [26, 29, 47].

рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача в случае В второй главе нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

() + () () = (, ()), = (0, 1), (0.2) (0) =, (1) =, где функции, – достаточно гладкие, 0 на. (0.3) 0 1, () 0, (, ) В п. 2.1 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона [39, 88] для повышения точности разностной схемы в случае решения её двухсеточным методом. Ис следуется схема направленных разностей на сетке Шишкина, для решения задачи (0.2).

В п. 2.1.1 приводятся сведения, используемые далее. Пусть – решение рассматри ваемой схемы. Согласно [82] имеет место оценка погрешности схемы направленных разностей:

ln max |( ) |, где постоянная 0 не зависит от и числа узлов.

В п. 2.1.2 исследуется двухсеточный метод для сокращения количества арифметиче ских действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ньютона в случае схемы направленных разностей. Для этого исходная задача (0.2) сначала решается на вспомога тельной сетке с намного меньшим числом узлов, чем у исходной. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение ите рационного метода. Это приводит к уменьшению количества итераций на исходной сетке, а, следовательно, к выигрышу в количестве арифметических действий. Для интерполяции сеточного решения со вспомогательной сетки на исходную используется интерполяция, точ ность которой не ниже точности используемой разностной схемы.

В п. 2.1.3 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона в двух сеточном методе для повышения точности разностной схемы.

При реализации двухсеточного метода решение разностной схемы известно на сет ках, и,, что можно использовать для повышения точности разностной схемы на основе экстраполяции Ричардсона.

В [77] исследована точность метода Ричардсона на сетке Шишкина в случае линейной задачи. Предполагается, что вспомогательная сетка Шишкина имеет то же значение парамет ра, что и исходная сетка, и содержит вдвое большее количество сеточных интервалов, т. е.

получена из исходной делением каждого шага на два. Но при использовании двухсеточного метода подразумевается, что вспомогательная сетка в отличие от [77] является более редкой, чем исходная. Поэтому при исследовании двухсеточного метода предполагается, что =, где 1 — целое число, и вспомогательная сетка, вложена в исходную,.

При анализе точности метода Ричардсона рассматривается случай линейной задачи:

() + () () ()() = (), = (0, 1), (0.4) (0) =, (1) =, где () 0, функции (), () — достаточно гладкие.

Пусть 1 = =, = =.

1 На основе экстраполяции Ричардсона на сетке, строится сеточное решение зада чи (0.4), которое обозначается как, используя и — решения схемы направленных разностей в линейном случае на сетках, и, соответственно.

В узлах вспомогательной сетки, функция задается как ( ) = ( ) + ( ),,.

В узлах исходной сетки,, не совпадающих с узлами сетки,, функция задается на основе формулы линейной интерполяции.

Пусть 1. Тогда существует постоянная 0 такая, что Теорема 0.3.

для любого, выполнено:

ln (0.5) ( ) ( ), где не зависит от,, и.

В соответствии с оценкой (0.5) погрешность метода экстраполяции Ричардсона уве личивается с ростом = /, а, следовательно, будет наименьшей при = 2.

Показано, что результат теоремы 0.3 подтверждается в нелинейном случае при реше нии задачи (0.2), используя двухсеточный метод на основе линеаризаций Пикара или Нью тона.

В п. 2.1.4 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные ре зультаты. Показано, что результат теоремы 0.3 подтверждается в нелинейном случае при решении задачи (0.2) с использованием двухсеточного метода на основе линеаризаций Пика ра или Ньютона.

В п. 2.2 рассматривается модифицированная схема Самарского на сетке Шишкина для решения задачи (0.2). В п. 2.2.1 приводятся сведения, используемые далее.

При выполнении условий (0.3) решение задачи (0.2) ограничено равномерно по :

0 = 1 (, 0) + max{||, ||}.

В соответствии с [58] задается кусочно-равномерная сетка Шишкина.

Вводятся следующие обозначения [3]:

( ) 1 +1 + +1, =, =,, =, =, =.

2 2 Пусть [] — проекция функции непрерывного аргумента () на сетку.

В случае, когда задача (0.2) является линейной: (, ) = () + (), () 0, в соответствии с [3] верна следующая теорема.

Пусть () — решение линейной задачи (0.2) с достаточно гладкими Теорема 0.4.

коэффициентами и правой частью, — решение разностной схемы:

( ) ) ( ) ( 1 + +1 + = +, 1 +, 2 (1 + 1/ ) 2 1 + 1/, (0.6) ( ) 1 =, =, = + +, 0 2 (1 + 1/ ) 2 1 + 1/, где = ( ), = ( ). Тогда на сетке Шишкина при (0) для некоторой посто янной 0 выполнится:

ln [], где не зависит от и числа узлов.

В п. 2.2.2 осуществляется линеаризация задачи (0.2), чтобы на итерациях, уже в случае линейной задачи, применить схему (0.6). Рассматривается линеаризация Пикара:

(() ) + ()(() ) () = (, (1) ) (1), (0.7) () (0) =, () (1) =, в предположении, что в дополнение к (0.3) выполнены условия:

0 на.

(, ) Используя на каждой итерации в (0.7) схему (0.6), осуществляется переход к итера ционной формуле для сеточных решений. Пусть (,) – решение полученной схемы. Тогда обосновывается оценка точности решения задачи (0.2) на основе итераций для произволь ной -ой итерации.

Пусть (0, ) = [(0) ]. Существует константа 1 0, не зависящая Лемма 0.1.

от и числа узлов, такая, что ) ( (, ) [] 1 2 + 1, 0, где = (0).

Осуществляя переход к пределу при, получаем разностную схему для нели нейной задачи (0.2).

Пусть () — решение задачи (0.2), — решение построенной пре Теорема 0.5.

дельной схемы. Найдется постоянная 0 такая, что ln [], где не зависит от и числа узлов.

В п. 2.2.3 рассматривается подход к решению задачи (0.2) на основе линеаризации Ньютона:

(() ) + ()(() ) (, (1) )() = (0.8) = (, (1) ) (, (1) )(1), () (0) =, () (1) =.

Осуществляется переход от (0.8) к итерациям на разностном уровне, применяя схе му (0.6). Пусть (,) – решение полученной схемы.

Пусть (0, ) = [(0) ]. Существуют 0 и 0, не зависящие от, Лемма 0.2.

такие, что для 0 и 0 для некоторой постоянной 2 0, не зависящей от и числа узлов, выполнится:

2 + 1 (1 )2, |(, ) [] 2 0, где = (0), = | (, )|.

max, || 0 + Осуществляя переход к пределу при, получаем разностную схему для зада чи (0.2).

Пусть () — решение задачи (0.2), — решение построенной пре Теорема 0.6.

дельной схемы. Найдется постоянная 0 такая, что ln [], где не зависит от и числа узлов.

В п. 2.2.4 исследуется двухсеточный метод для сокращения количества арифметиче ских действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ньютона.

В п. 2.2.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные резуль таты. Экспериментально показано, что использование экстраполяции Ричардсона повышает точность схемы Самарского до порядка (ln3 / 3 ).

Результаты второй главы опубликованы в [27, 28, 30, 46, 48–50].

рассматривается краевая задача для линейного эллиптического В третьей главе уравнения типа реакция-диффузия и краевая задача для линейного эллиптического уравне ния типа конвекция-диффузия в случае одного регулярного и двух параболических погра ничных слоев и в случае двух регулярных пограничных слоев.

В п. 3.1 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае полного вырождения:

+ (, ) = (, ), (, ) ;

(0.9) (, ), (, ) = (, ), где = (0, 1)2, =, функции,, — достаточно гладкие, (, ) 0, 0.

В п. 3.1.1 дается постановка задачи и разностная схема для задачи (0.9).

В п. 3.1.2 для уменьшения числа итераций используется двухсеточный метод.

В п. 3.1.3 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы цен тральных разностей при использовании двухсеточного метода.

В п. 3.1.4 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на ос нове явного метода Зейделя, метода последовательной верхней релаксации, метода Писмана Речфорда (продольно-поперечных прогонок) и стабилизированных методов сопряженных градиентов и направлений [36], наибольшую скорость сходимости среди которых показали два последних. Применение двухсеточного метода на сетке Шишкина приводит к выигрышу в количестве арифметических действий, а использование экстраполяции Ричардсона повы шает точность разностной схемы на порядок с (ln2 / 2 ) до (ln3 / 3 ) вне зависимости от используемого итерационного метода.

В п. 3.2 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае двух параболических и одного регулярного пограничных слоев:

+ + () (, ) = (, ), (, ) ;

(0.10) (, ), (, ) = (, ), где = (0, 1)2, =, функции,,, — достаточно гладкие, () 0, (, ) 0, 0.

В п. 3.2.1 дается постановка задачи и разностная схема для задачи (0.10).

В п. 3.2.2 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы на правленных разностей при использовании двухсеточного метода.

В п. 3.2.3 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на основе явного метода Зейделя, метода последовательной верхней релаксации и метода Писмана-Речфорда, наибольшую скорость сходимости среди которых показал последний.

Применение двухсеточного метода приводит к выигрышу в количестве арифметических дей ствий, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность разностной схемы на порядок с (ln / ) до (ln2 / 2 ) вне зависимости от используемого итерационного ме тода.

В п. 3.3 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае двух регулярных пограничных слоев:

+ + () + () (, ) = (, ), (, ) ;

(0.11) (, ), (, ) = (, ), где = (0, 1)2, =, функции,,,, — достаточно гладкие, () 0, () 0, (, ) 0, 0.

В п. 3.3.1 дается постановка задачи и разностная схема для задачи (0.11).

В п. 3.3.2 исследуется экстраполяция Ричардсона для повышения точности схемы на правленных разностей при использовании двухсеточного метода.

В п. 3.3.3 численно исследуется реализация рассматриваемой разностной схемы на основе явного метода Зейделя, метода последовательной верхней релаксации, стабилизиро ванных методов сопряженных градиентов и направлений, метода Зейделя, учитывающего направление потока [72].

Показано, что применение двухсеточного метода приводит к выигрышу в количестве арифметических действий, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность разностной схемы на порядок с (ln / ) до (ln2 / 2 ) вне зависимости от используемого итерационного метода.

Использование стабилизированных методов бисопряженных градиентов и направле ний при = 1 приводит к существенному сокращению количества итераций по сравнению с методом Зейделя. Но при малых стабилизированные методы бисопряженных градиентов и направлений показывают скорость сходимости существенно меньшую, чем у метода Зейделя.

Выигрыш в количестве итераций метода Зейделя по потоку по сравнению с методом Зейделя в случае сетки Шишкина намного меньше, чем на равномерной сетке, так как при всех значениях половина узлов находится в пограничном слое. Также, чем более выражено преобладание конвекции, тем меньше требуется итераций и тем больше преимущество по количеству итераций у метода Зейделя по потоку перед классическим его вариантом.

Проведено сравнение с прямым методом Pardiso и показано, что при больших коэф фициентах конвекции двухсеточный метод эффективнее.

Результаты третьей главы опубликованы в [43–45].

сформулированы основные результаты и выводы диссертационной В заключении работы.

Автор благодарит научного руководителя д. ф.-м. н., профессора Александра Ивано вича Задорина за полезные советы, постоянное внимание и поддержку при подготовке данной работы.

Глава Построение и анализ разностных схем для сингулярно возмущенной задачи Коши В настоящей главе рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциаль ного уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Исследу ются свойства решения, формулируется принцип максимума для дифференциального опера тора задачи Коши, на основе чего обосновывается оценка устойчивости решения. Строится и обосновывается аналог схемы Ильина на равномерной сетке. Обосновывается равномер ная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина. Приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

1.1. Постановка задачи Вопросы построения и обоснования разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач в случае обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка рассматривались в целом ряде работ [6, 32, 58, 74, 76]. Определено два основных подхода для достижения равномерной сходимости разностной схемы: cгущение сетки в пограничном слое [6, 58, 76] и подгонка разностной схемы к погранслойной составляющей решения [32].

Для начальных сингулярно возмущенных задач вопрос построения и обоснования разност ных схем исследован намного меньше. Имеются работы по построению равномерно сходя щихся схем в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнений первого порядка и систем таких уравнений, например, [19].

Итак, рассмотрим сингулярно возмущенную задачу Коши:

() = () + () () () () = (), 0, (1.1) (0) =, (0) =, где, — некоторые постоянные. Предполагаем, что (1.2),, 2 [0, 1].

0 1, () 0, () 0, Здесь и далее под и, 0, будем понимать положительные Обозначения.

постоянные, не зависящие от и шагов сетки. Определим нормы функции непрерывного аргумента = max |()| и сеточной функции = max | |. Пусть [] — проекция функции непрерывного аргумента () на сетку.

1.2. Анализ дифференциальной задачи Для задачи (1.1) сформулируем принцип максимума, в справедливости которого легко убедиться рассуждениями от противного.

Пусть () 2 [ 0, 1 ]. Тогда, из условий Лемма 1.1.

(1.3) 0, (0) [ 0, ] (0) 0, () 0, следует, что () 0, [ 0, ].

Обозначим = min [ () () ].

Пусть 0. Тогда справедлива оценка устойчивости Лемма 1.2.

( ) || || (1.4) |()| || + || + +, 0.

+ Определим Доказательство.

( ) || || || () = || + + || + + ± ().

Несложно убедиться, что выполнены условия принципа максимума (1.3), и, в силу лем мы 1.1, верно () 0, [ 0, ], откуда следует утверждение леммы.

Оценим производные решения задачи (1.1).

Пусть выполнено 0. Тогда найдется постоянная 0 :

Лемма 1.3.

( ) (1.5) ( ) | ()| 0 1 +, [ 0, ], = 1, 2, 3.

Докажем утверждение леммы при = 1. Уравнение (1.1) пред Доказательство.

ставим в виде:

() ) () ) ( ( () 0 = () + ()() 0.

Интегрируя это равенство от 0 до и учитывая начальное условие, получим:

() () (1.6) () = 0 + [ () + ()()].

В соответствии с (1.4) функция () под интегралом в (1.6) ограничена. Следователь но, || 1 || | ()| () + +, что доказывает (1.5) при = 1.

Пусть = 2. Дифференцируя уравнение (1.1), получим:

() + () () = ()() + () () + () () ().

По аналогии с тем, как было получено представление (1.6), получим:

() () (1.7) [ () + () () + ()() () ()] () = (0) +.

0 Из доказанной оценки (1.5) при = 1 и уравнения (1.1) для некоторой постоянной получим:

| ()| /2.

Выражая (0) из (1.7) при =, приходим к оценке:

| (0)| 2 /2.

Теперь, используя представление (1.7), получим оценку (1.5) при = 2.

Случай = 3 рассматривается аналогично. Лемма доказана.

В соответствии с леммой 1.3 решение задачи Коши (1.1) при малых имеет погранс лойный рост в окрестности начальной точки = 0.

Выделим погранслойную составляющую в решении (), пусть (1.8) () = 0 0 = () = () + (),,, 0 = (0).

Покажем, что () задает основной рост решения в пограничном слое.

Пусть 0. Тогда найдется постоянная 3 :

Лемма 1.4.

(1.9) 3 (1 + 1 2 ), |( ) ()| 0 1, = 1, 2, 3.

Получим оценку (1.9) при = 1. Уравнение на () имеет вид:

Доказательство.

(1.10) () + () () = () + ()(), где () = () () () () + () ().

Учитывая, что (0) = 0 и, используя (1.10), получим () () = [ () + ()()].

Учитывая равномерную ограниченность (), условия (1.2) и интегрируя, получим оценку (1.9) при = 1.

Остановимся на случае = 2. По аналогии с оценкой | (0)| в лемме 1.3, можно показать, что | (0)| 4 /.

Дифференцируя уравнение (1.10), получим дифференциальное уравнение второго по рядка на (), из которого можно выразить () :

( () ) () () () () + ()() + () () () = (0) +.

С учетом представления для (), из полученного выражения для () следует оценка (1.9) при = 2.

Аналогично рассматривается случай = 3, что доказывает лемму.

1.3. Построение и анализ разностной схемы на равномерной сетке Для того, чтобы провести анализ точности разностной схемы в случае задачи Коши, необходимо сформулировать некоторый аналог принципа максимума, хорошо известного в случае краевой задачи.

Рассмотрим трехточечную разностную схему для задачи Коши:

= + =, 1 + (1.11) 1 =, =, 1, где — число интервалов сетки исходного интервала [ 0, ] и, — некоторые постоянные. Предполагаем, что +, 0, 0.

Принцип максимума для анализа разностных схем в случае краевых задач использу ется в ряде работ, например [42]. Сформулируем принцип максимума для начальной зада чи (1.11).

Из условий Лемма 1.5.

0 для = 1, 2,..., 1 (1.12) 0, 0, 0 1 0 следует, что 0 для = 0, 1,...,.

Пусть : 0, тогда в некотором узле с номером Доказательство. достигается положительный максимум сеточной функции, тогда 0 = 0 ( 0 1 0 ) (0 0 0 ) 0 + 0 ( 0 +1 0 ), откуда, с учетом ограничений на коэффициенты разностной схемы, получим, что 0 0, что противоречит одному из условий леммы.

Покажем, что в случае равномерной сетки схема направленных разностей для зада чи (1.1) не обладает свойством сходимости при малых значениях параметра. Выпишем эту схему для задачи (1.1):

2 + +1 + +1 =, (1.13) 1 =, =, где = ( ), = ( ), = ( ).

Из начальных условий следует, что = +, поэтому решение схемы (1.13) не ограничено равномерно по параметру, в то время как решение задачи (1.1) равномерно ограничено. Следовательно, схема (1.13) не обладает свой ством сходимости при малых значениях.

Можно показать, что и схема центральных разностей не обладает свойством равно мерной сходимости.

Итак, возникает необходимость в построении равномерно сходящейся разностной схе мы для решения задачи (1.1). По аналогии с [32] потребуем, чтобы разностная схема была точна на функции пограничного слоя. Зададим аппроксимацию производной в начальном условии (1.1), точную на погранслойной составляющей () :

1 (1.14) (0), =.

1 Проведем обоснование аппроксимации (1.14).

Пусть 0, () — решение задачи (1.1). Тогда Лемма 1.6.

() (0) (0) 5, 1 для некоторой постоянной 5.

Воспользуемся представлением (1.8), оценками производных (1.9) Доказательство.

и получим:

() (0) () (0) (0) = (0) 1 ) () (0) () (0) ( + (0) + 5.

Лемма доказана.

С учетом (1.14), выпишем разностную схему для задачи (1.1):

2 + +1 + +1 = =, 2 (1.15) ( ) 1, =, = 0 1 где = cth.

2 Схема (1.15) является обобщением известной схемы А. М. Ильина [32] на случай на чальной задачи (1.1). Докажем равномерную сходимость схемы (1.15).

Пусть выполнено 0. Тогда Теорема 1.1.

|( ) |, = 0, 1,...,.

для некоторой постоянной 0.

Пусть = []. В соответствии с леммами 1.3, 1.4 для про Доказательство.

изводных функций () и () справедливы оценки, подобные тем, которые имеют место в случае краевой задачи для уравнения (1.1). Поэтому оценку | | можно провести по ана логии с тем, как это делалось в [74] для краевой задачи. Тогда для некоторой постоянной получим: ( ) (1.16) | | 6 +, 0.

+ Полученная оценка погрешности аппроксимации не является порядка () равномер но по параметру. Покажем, что равномерная сходимость схемы со скоростью () при этом имеется.

Определим сеточную функцию :

{ 1, = 0, =, = 1,...,.

Тогда для = 1 получим ( ( )) 1 (1.17) = (1 2 ) 1 + cth 1.

2 2 В случае 1 выполнено ( ( ) ( ) ( )) ( ).

2 sh th 4 cth sh 2 2 2 2 Следовательно, при 1 имеет место оценка (1.18).

+ Несложно показать, что ( ) () (0) (1.19) (0) 0 = 0, 1 0 =.

0 Используя лемму 1.6, из (1.19) получим (1.20) |1 0 | 8.

Определим сеточную функцию :

{ 9 1 + 10 ±, = 0, ( ) (1.21) = 9 2 + 10 ±, = 1,...,, ( ) где 9, 10 — некоторые положительные постоянные, ограничения на которые зададим ниже.

Учитывая, что 0 = 0 и (1.20), при 9 8 получим:

= 0, = 9 + 10 2 ± (1 0 ) 0, 0 1 В соответствие с оценками (1.16), (1.18) для = 2, 3,..., 1 верно:

= 2 9 + ( ) 10 9 ± 2 9 + 10 + 7 9 1 6 1 ( ) 2 6 10 (2 9 + 6 ) + + + + +(7 9 6 ) 0, + при 9 (2 9 + 6 )/.

6 /7, Теперь осталось добиться выполнения условия 0. Используя оцен ки (1.16), (1.17), получим:

= 2 9 1 + 10 1 10 1 1 9 ± 1 1 2 9 + (1 1 1 ) 10 + 9 + ( ) 10 (2 9 + 6 ) + ( 9 6 ) 0, при 9 (2 9 + 6 )/.

6 /, Итак, для функции из (1.21) выполнены условия (1.12), следовательно, в силу принципа максимума при всех верно 0, что доказывает теорему.

1.4. Построение и анализ разностной схемы на сетке Шишкина Для численного решения краевых сингулярно-возмущенных задач Г. И. Шишкиным в [58] была предложена кусочно-равномерная сетка, мелкая в пограничном слое. Доказа но, что ряд классических разностных схем, в том числе и схема направленных разностей, на такой сетке обладает свойством сходимости, равномерной по малому параметру. Пока жем, что использование сетки Шишкина из [58] обеспечит равномерную сходимость схемы направленных разностей также и в случае начальной задачи.

Зададим сетку:

= { : = 1 +, = 1, 2,...,, 0 = 0, = }, = [ 1, ].

В соответствии с [58] сетку определим как кусочно-равномерную, с мелким шагом в пограничном слое и крупным шагом вне его:

{ } (1.22) = min, ln, =, =.

2 /2 / Выпишем для задачи (1.1) схему направленных разностей на заданной сетке:

( ) +1 ( ) +1 + +1 = 2 =, +1 ( + +1 ) + (1.23) 1 =, = 1, 2,..., 1.

=, 1 Получим оценку устойчивости для решения схемы (1.23).

Пусть 0. Тогда для решения схемы (1.23) справедлива оценка Лемма 1.7.

устойчивости: ( ) 4 || + || + || + || +.

Определим сеточную функцию :

Доказательство.

1, = 0, = ) ( 1 + 2, = 1,...,.

= Несложно показать, что при всех = 1, 2,..., 2 (1.24) · 0.

2 + +1 + + Определим сеточную функцию :

( ) 4 || 1 || + || + + || ±.

(1 ) + = Проверим выполнение условий (1.12) для функции. С учетом (1.24) получим:

4 || ( ) 1 1 0 0 || + || + ± 1 0 0, = + 1 1 2 || || ) 0, 1 + ln ( ( ) 4 || 4 || 1 = || + || + ( ) + || ± ± = 1, 2,..., 1.

0, Итак, условия принципа максимума (1.12) выполнены, поэтому 0 при всех, из чего следует утверждение леммы.

Сформулируем некоторые известные результаты, которые потребуются ниже.

Пусть 0, 1, 0, 1 — неотрицательные константы такие, Лемма 1.8.

что 0 и 1 + 1 0, дифференциальный оператор соответствует (1.1).

2 2 2 0 + Тогда для () 2 [ 0, 1 ] из условий (1.25) 0 (0) + 0 (0) 1 (1) + 1 (1) [ 0, ] 0, 0, () 0, следует, что () 0, [ 0, ].

Следующая лемма справедлива в соответствии с [74].

Пусть () — произвольная трижды непрерывно дифференцируемая Лемма 1.9.

функция, тогда при всех :

+ ( | ()| + | ()|).

| [] ( )| Теперь докажем равномерную сходимость схемы (1.23).

Пусть 0. Тогда найдется 0 :

Теорема 1.2.

ln (1.26) | |( ), = 0, 1,...,, где () — решение задачи (1.1), — решение схемы (1.23) на сетке (1.22).

Пусть = []. Учитывая лемму 1.9 и оценку производ Доказательство.

ных (1.5), получим:

+1( ) 1 1 + | | [ ] | = ( ) | = 1, 2,..., 1.

2 0 11, Следовательно, ( ) 1 (1.27) | | 2 0 11 |+1 1 | 1 + 2 = 1, 2,..., 1.

, Несложно показать, что при всех = 1, 2,..., 1 выполнено:

|+1 1 |.

Далее оценим:

|1 0 | = | (0) (() (0))| max | ()|.

Учитывая оценки производных (1.5) и выбор шагов сетки в соответствии с (1.22), получим:

4 0 ln2 ln (1.28) |1 0 | 0 = 0, = 12.

2 2 В соответствие с (1.22) возможны два случая значения сеточного параметра.

1) Пусть =. В этом случае сетка равномерная и ln.

Учитывая (1.27), получим, что для некоторого 13 :

ln (1.29) | | 13.

Определим сеточную функцию :

2 12 ln + 14 ln ±, = 0, (1.30) = 2 2 12 ln + 14 ln ±, = 1,...,, где 12 соответствует (1.28). Используя оценки (1.28) и (1.29), несложно показать, что для функции из (1.30) выполнены условия (1.12), если задать 14 (2 12 + 13 )/. То гда, в силу принципа максимума, 0 при = 0, 1,...,, откуда следует требуемая оценка (1.26).

2) Пусть = ln. Ниже сделаем декомпозицию решения () на регулярную () и погранслойную () составляющие:

(1.31) () = () + ().

В соответствии с оценкой устойчивости (1.4) решение задачи (1.1) имеет единственное решение и существует постоянная, ограниченная равномерно по такая, что () =.

Перейдем от (1.1) к эквивалентной краевой задаче:

() = () + () () ()() = (), 0, (0) (0) (0)(0) = (0) (0), () =.

Потребуем, чтобы функции () и () в представлении (1.31) являлись решениями задач:

(0) (0) (0)(0) = (0), () = (), () =, (0) (0) (0) (0) = (0) (0) (0), () = 0, () = 0.

Докажем, что для некоторой постоянной 15 справедливы оценки:

( ) (1.32) |()| 15, | ()| 15, | ()| 15, | ()| 15 1 +.

Сначала докажем ограниченность (). Для этого зададим функцию:

() = 16 ( + 1 ) ± ().

Для использования леммы 1.8 зададим 0 = (0), 0 = (0), 1 = 1, 1 = 0. Можно показать, что для некоторой постоянной 16 выполняются условия (1.25) и, в силу леммы 1.8, верно () [ 0, ], откуда следует первое неравенство в (1.32).

0, Из краевого условия и ограниченности (0) следует, что | (0)| 17. В соответствие с дифференциальным уравнением на () и краевым условием (0) (0) (0)(0) = (0) выполнено условие (0) = 0. Далее, по аналогии с леммой 1.3, можно получить остальные оценки производных в (1.32).

Получим оценку:

(1.33) 18.

| ()| Для этого определим функцию () = 18 ± ().

Пусть 0 = (0), 0 = (0), 1 = 1, 1 = 0. Тогда для некоторой постоянной выполнятся условия (1.25). Тогда в силу леммы 1.8 выполнено () [ 0, ], откуда 0, следует оценка (1.33).

Итак, обосновано представление (1.31) с ограничениями (1.32) и (1.33) на функ ции () и () соответственно.

Обозначим 0 = (0), при этом (0) = 0. Тогда () является решением краевой задачи:

(1.34) () = 0, (0) = 0, () = 0.

Аналогичным образом, используя лемму 1.7, осуществим декомпозицию решения схе мы (1.23). Для этого от схемы (1.23) перейдем к эквивалентной разностной схеме с заданными краевыми условиями:

=, =, =.

0, 0 Теперь сеточное решение представим в виде (1.35) = +, где и являются решениями задач:

=, 0 = 0, 0, =, (1.36) = 0, 0, 0 = 0, = 0.

Итак, используя декомпозиции (1.31) и (1.35), получим:

(1.37) | ( ) | | ( ) | + | ( ) |.

В силу того, что () является решением краевой задачи (1.34), а является решением соответствующей схемы (1.36), то в соответствии с [76, стр. 61] для некоторой постоянной 19 справедлива оценка равномерной сходимости:


ln (1.38) | ( ) | 19, = 0, 1,...,.

Теперь оценим первый модуль в (1.37). Учитывая (1.23), (1.35) и (1.36), можно заклю чить, что является решением разностной схемы:

1 = =, 0 = 0, 0,.

1 Пусть = []. Используя оценку (1.5) при = 2 и оценку (1.38), получим:

| 1 0 | = | () () (0) + (0) (0) + 1 0 | ln | () (0) (0) | + | 1 () | 20.

Используя лемму 1.9 и оценки (1.32), получим:

| | |+1 1 |.

Зададим сеточную функцию :

2 ln + 2 20 ln + 21 ±, = 0, 20 = 2 2 20 ln + 2 20 ln + 21 ±, = 1,...,.

Тогда выполнены условия (1.12) и в силу принципа максимума при = 0, 1,...,, поэтому для некоторой постоянной 22 верно:

ln (1.39) | ( ) | 22, = 0,...,.

Используя оценки (1.37), (1.38) и (1.39), получим требуемую оценку (1.26), что дока зывает теорему.

1.5. Результаты численных экспериментов Рассмотрим начальную задачу:

() + () () =, 0 1, (1.40) (0) = 1, (0) =.

Решение уравнения (1.40) при + = 0 будет следующим:

1. если 2 + 4 0, то 2 + 2 + + ( 1 + ) 2 + 4 2 + () = 2 2 + 4 ( + ) 2 + 2 + ( 1 + ) 2 + 4 + + + 2 2 + 4 ( + ) ;

+ + 2. если 2 + 4 = 0, то 2 + 2 + ( ) 1 + 2 + ;

() = + 2 ( + ) + + 3. если 2 + 4 0, то ( ) 2 + 2 + (2 + 4) () = 2 sin + + ( ) (2 + 4) 1 +.

+ 2 cos + + + Заметим, что при имеющихся ограничениях 0, () 0 и 0, всегда будет выполнено 2 + 4 0. Отметим и то, что при (), () выполнено равенство:

= min ( ) =.

0 Погрешность схемы (1.15) вычисляем по формуле:

= max |( ) |, = 1.

Остановимся на результатах численных экспериментов для схемы (1.15) на равномер ной сетке.

Пусть = 3, = 1, при этом = 2 0.

В табл. 1.1 представлена погрешность в зависимости от и. Данные табл. 1. подтверждают равномерную сходимость схемы (1.15) со скоростью (), что соответствует теореме 1.1.

Таблица 1. Погрешность схемы экспоненциальной подгонки при = 3, = 3 4 5 27 28 29 2 2 2 1 5.31–2 2.47–2 1.19–2 5.83–3 2.88–3 1.43–3 7.15–4 3.57– 2 1.16–1 4.51–2 1.85–2 8.15–3 3.80–3 1.83–3 8.98–4 4.45– 2 1.49–1 5.97–2 2.30–2 9.39–3 4.14–3 1.93–3 9.30–4 4.56– 2 1.72–1 7.66–2 3.03–2 1.16–2 4.74–3 2.09–3 9.73–4 4.69– 2 1.84–1 8.83–2 3.88–2 1.52–2 5.83–3 2.38–3 1.05–3 4.88– 2 1.90–1 9.44–2 4.47–2 1.95–2 7.65–3 2.92–3 1.19–3 5.25– 2 1.94–1 9.75–2 4.78–2 2.25–2 9.80–3 3.83–3 1.46–3 5.97– 2 1.95–1 9.90–2 4.93–2 2.40–2 1.13–2 4.91–3 1.92–3 7.32– 2 1.96–1 9.98–2 5.01–2 2.48–2 1.21–2 5.65–3 2.46–3 9.59– 2 1.97–1 1.01–1 5.08–2 2.55–2 1.28–2 6.37–3 3.17–3 1.56– 2 1.97–1 1.01–1 5.08–2 2.56–2 1.28–2 6.42–3 3.21–3 1.60– Покажем, что точность схемы (1.15) можно повысить на основе метода Ричардсо на [39]. Учитывая, что погрешность этой схемы порядка (), и устраняя эту погрешность, получим экстраполяцию, использующую решения на сетках с шагом и /2 :

(1.41) = 2 /2.

В табл. 1.2 представлена погрешность для экстраполяции из (1.41). Из табл. 1. следует, что точность схемы (1.15) повысилась и почти при всех значениях и стала порядка (2 ).

Таблица 1. Погрешность комбинации для схемы экспоненциальной подгонки при = 3, = 3 4 5 27 28 29 2 2 2 1 3.66–3 9.35–4 2.36–4 5.91–5 1.48–5 3.70–6 9.27–7 2.32– 2 2.60–2 8.15–3 2.17–3 5.54–4 1.39–4 3.49–5 8.72–6 2.18– 2 2.99–2 1.37–2 4.20–3 1.11–3 2.82–4 7.08–5 1.77–5 4.43– 2 1.91–2 1.61–2 7.07–3 2.13–3 5.61–4 1.42–4 3.57–5 8.93– 2 7.70–3 1.07–2 8.32–3 3.58–3 1.07–3 2.82–4 7.14–5 1.79– 2 1.61–3 4.96–3 5.65–3 4.23–3 1.80–3 5.39–4 1.41–4 3.58– 2 1.44–3 1.90–3 2.77–3 2.90–3 2.14–3 9.06–4 2.70–4 7.08– 2 2.98–3 3.71–4 1.24–3 1.46–3 1.47–3 1.07–3 4.54–4 1.35– 2 3.75–3 3.96–4 4.73–4 6.94–4 7.50–4 7.41–4 5.37–4 2.27– 214 4.47–3 1.12–3 2.48–4 2.65–5 2.93–5 4.34–5 4.69–5 4.78– 218 4.51–3 1.16–3 2.93–4 7.16–5 1.57–5 1.69–6 1.83–6 2.71– Заметим, что численные эксперименты и на других примерах показали, что схе ма (1.15) обладает точностью () и порядок точности повышается с применением фор мулы (1.41).

Перейдем к результатам численных экспериментов для схемы (1.23) на сетке Шишки на.

При доказательстве теоремы 1.2 было использовано ограничение 0, поэтому в численных экспериментах рассмотрим случаи 0 и 0.

Пусть = 3, = 1, при этом = 2. В табл. 1.3 представлена погрешность = max |( ) | схемы (1.23) при различных значениях и в случае равномерной сетки. Из табл. 1. следует, что при использовании равномерной сетки при малых значениях решение схе мы (1.23) становится не ограниченным и погрешность схемы значительна.

Таблица 1. Погрешность схемы направленных разностей на равномерной сетке при = 3, = 23 24 25 26 27 28 29 1 2.05–2 1.11–2 5.78–3 2.94–3 1.49–3 7.46–4 3.74–4 1.87– 23 1.08+0 5.60–1 2.85–1 1.44–1 7.24–2 3.63–2 1.82–2 9.09– 24 2.35+0 1.22+0 6.24–1 3.16–1 1.59–1 7.95–2 3.98–2 1.99– 25 4.90+0 2.56+0 1.31+0 6.60–1 3.32–1 1.66–1 8.33–2 4.17– 26 1.00+1 5.22+0 2.67+0 1.35+0 6.79–1 3.40–1 1.70–1 8.52– 2 2.02+1 1.06+1 5.40+0 2.73+0 1.37+0 6.88–1 3.45–1 1.72– 2 4.07+1 2.12+1 1.09+1 5.49+0 2.76+0 1.38+0 6.93–1 3.47– 2 8.16+1 4.26+1 2.18+1 1.10+1 5.54+0 2.78+0 1.39+0 6.95– 2 1.63+2 8.53+1 4.36+1 2.21+1 1.11+1 5.56+0 2.78+0 1.39+ 2 2.62+3 1.37+3 6.99+2 3.53+2 1.78+2 8.91+1 4.46+1 2.23+ 2 4.19+4 2.19+4 1.12+4 5.65+3 2.84+3 1.43+3 7.14+2 3.57+ В табл. 1.4 представлена погрешность схемы (1.23) в случае неравномерной сет ки (1.22). Данные табл. 1.4 подтверждают равномерную сходимость схемы (1.23), что соот ветствует теореме 1.2.

В табл. 1.5 приведена скорость сходимости анализируемой схемы = log в случае неравномерной сетки (1.22). В последней строке приведена скорость сходимости, соответствующая полученной оценке точности (1.26).

Таблица 1. Погрешность схемы направленных разностей на сетке Шишкина при = 3, = 3 4 5 27 28 29 2 2 2 1 2.05–2 1.11–2 5.78–3 2.94–3 1.49–3 7.46–4 3.74–4 1.87– 2 1.93–1 1.21–1 7.30–2 4.36–2 2.60–2 1.52–2 8.75–3 4.95– 2 2.19–1 1.36–1 7.99–2 4.66–2 2.72–2 1.58–2 9.06–3 5.13– 2 2.34–1 1.45–1 8.49–2 4.90–2 2.82–2 1.62–2 9.22–3 5.20– 2 2.43–1 1.51–1 8.83–2 5.10–2 2.91–2 1.66–2 9.37–3 5.26– 2 2.49–1 1.54–1 9.04–2 5.23–2 2.99–2 1.70–2 9.54–3 5.32– 2 2.52–1 1.55–1 9.15–2 5.31–2 3.05–2 1.73–2 9.73–3 5.40– 2 2.53–1 1.56–1 9.21–2 5.35–2 3.08–2 1.76–2 9.89–3 5.49– 2 2.54–1 1.57–1 9.24–2 5.38–2 3.10–2 1.77–2 1.00–2 5.56– 2 2.55–1 1.57–1 9.27–2 5.40–2 3.12–2 1.79–2 1.01–2 5.68– 2 2.55–1 1.57–1 9.27–2 5.40–2 3.12–2 1.79–2 1.02–2 5.68– Из табл. 1.5 следует, что скорость сходимости несколько выше, чем (ln2 / ).

Таблица 1. Скорость сходимости схемы направленных разностей на сетке Шишкина при = 3, = 23 24 25 26 27 28 1 0.883 0.946 0.973 0.986 0.993 0.997 0. 2 0.670 0.734 0.744 0.748 0.770 0.798 0. 2 0.688 0.767 0.778 0.778 0.783 0.802 0. 2 0.688 0.774 0.793 0.799 0.801 0.811 0. 2 0.691 0.771 0.794 0.806 0.814 0.823 0. 2 0.695 0.766 0.790 0.805 0.818 0.831 0. 2 0.698 0.763 0.786 0.801 0.815 0.833 0. 2 0.698 0.761 0.783 0.797 0.810 0.830 0. 2 0.699 0.760 0.782 0.794 0.807 0.826 0. 2 0.699 0.759 0.780 0.792 0.802 0.819 0. 2 0.699 0.759 0.780 0.791 0.802 0.819 0. 0.170 0.356 0.474 0.555 0.615 0.660 0. Остановимся на случае 0. В табл. 1.6 представлена погрешность при = 0.5 и = 1 в зависимости от и. В этом случае точность схемы (1.23) зна чительно ниже, чем в случае 0 и не выполняется оценка точности, соответствующая теореме 1.2.

Таблица 1. Погрешность схемы направленных разностей на сетке Шишкина при = 0.5, = 3 4 5 27 28 29 2 2 2 1 1.22–1 5.97–2 2.96–2 1.47–2 7.34–3 3.66–3 1.83–3 9.15– 2 2.22–1 1.34–1 7.34–2 3.84–2 1.97–2 9.95–3 5.00–3 2.51– 2 6.15–1 5.45–1 4.67–1 3.27–1 1.68–1 8.48–2 4.27–2 2.14– 2 1.26+0 6.94–1 5.32–1 4.21–1 3.15–1 2.09–1 1.29–1 7.63– 2 2.47+0 7.74–1 5.52–1 3.92–1 2.86–1 2.07–1 1.37–1 8.48– 2 3.40+0 1.03+0 5.74–1 3.86–1 2.62–1 1.81–1 1.25–1 8.09– 2 3.98+0 1.33+0 5.96–1 3.93–1 2.58–1 1.71–1 1.15–1 7.56– 2 4.31+0 1.49+0 6.12–1 4.03–1 2.62–1 1.70–1 1.11–1 7.27– 2 4.49+0 1.58+0 6.22–1 4.11–1 2.67–1 1.73–1 1.12–1 7.22– 2 4.66+0 1.66+0 6.33–1 4.21–1 2.77–1 1.83–1 1.20–1 7.83– 2 4.67+0 1.67+0 6.34–1 4.22–1 2.78–1 1.84–1 1.22–1 7.97– Итак, на сетке Шишкина схема направленных разностей в случае 0 равно мерно по сходится и подтверждается оценка точности, соответствующая теор. 1.2. Ес ли 0, то схема направленных разностей теряет свойство равномерной сходимости, т. е.

условие 0 является существенным.

Таким образом, в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для в первой главе линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка построен и обос нован аналог схемы Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина. Результаты вычислительного экспери мента подтверждают полученные теоретические оценки.

Глава Разностные схемы повышенной точности для нелинейного ОДУ второго порядка на сгущающихся сетках В настоящей главе исследуется сингулярно возмущенная краевая задача для нелиней ного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Обосновывается повы шение точности схемы направленных разностей при ее реализации двухсеточным методом на основе линеаризаций Пикара и Ньютона за счет экстраполяции Ричардсона. Строится и обос новывается алгоритм решения на основе линеаризаций Пикара и Ньютона с использованием монотонной схемы Самарского. Исследуется двухсеточный метод для реализации построен ных схем, приводящий к экономии вычислительных затрат. Показывается, что использование двухсеточного метода приводит к существенному сокращению количества итераций на ис ходной сетке, а использование экстраполяции Ричардсона повышает точность схем почти на порядок. Приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

2.1. Повышение точности схемы направленных разностей для нелинейного ОДУ второго порядка 2.1.1. Предварительные сведения Рассмотрим нелинейную сингулярно возмущенную краевую задачу:

() = () + () () = (, ()), = (0, 1), (2.1) (0) =, (1) =, где функции, – достаточно гладкие, 0 на. (2.2) 0 1, () 0, (, ) При выполнении условий (2.2) решение задачи (2.1) ограничено равномерно по :


0 = 1 (, 0) + max{||, ||} и в соответствии с [89] справедлива оценка производных:

(2.3) 0 + 1, |() ()| ( ) = 1, 2, 3.

Здесь и далее под и понимаем положительные постоянные, не зависящие от и числа узлов сетки.

Таким образом, решение задачи (2.1) при выполнении условий (2.2) имеет погранич ный слой у левой границы исходного интервала.

Вопрос построения разностных схем для задачи вида (2.1) исследовался в работах некоторых авторов. В [35] рассмотрено нелинейное уравнение без конвективного слагаемого и построена схема второго порядка точности на сетке, сгущающейся в пограничных слоях.

В [55] для задачи (2.1) на неравномерной сетке построена разностная схема второго порядка точности на основе метода асимптотических конструкций.

В соответствии с [58] зададим сетку:

(2.4), = { : = 1 +,, = 1, 2,..., }, 0 = 0, = 1, где 2(1 ), = =, 1 /2;

, = =, /2, { } 1 = min, ln.

На сетке, для задачи (2.1) выпишем схему направленных разностей:

L = + = (, ), 0, (2.5) =, =, 0 где ( )/+1, ( )/, +1 +1 = = = ( ),,.

+1, ( + +1, )/ Согласно [82] имеет место оценка погрешности схемы (2.5):

ln (2.6) max |( ) | 12.

2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей Схема (2.5) представляет собой нелинейную систему алгебраических уравнений и её решение может быть найдено на основе итераций.

Остановимся на случае линеаризации Ньютона:

(+1) (+1) () () (+1) () + (, ) (, )( ) = 0, (2.7) (+1) (+1) 0, 0 =, =, 0.

Несложно получить оценку скорости сходимости метода Ньютона:

(2.8) 1 (1 )2, () 0, где = max | | = (0).

| (, )|, = max,, || + Метод Ньютона (2.7) квадратично сходится, если 1 1. Учитывая оценку по грешности (2.6) схемы (2.5) заключаем, что итерации необходимо продолжать до достижения неравенства:

ln (2.9) ( ), =.

Учитывая оценку (2.8), получаем, что для выполнения условия (2.9) потребуется число итераций:

ln(1 ) (2.10) log.

ln(1 ) На каждой итерации линейная задача (2.7) может быть разрешена методом про гонки, число арифметических действий при этом пропорционально числу неизвестных.

Пусть — необходимое на одной итерации количество арифметических действий. Тогда для осуществления итераций с выполнением условия (2.10) потребуется количество арифме тических действий:

ln(1 ) (2.11) log.

ln(1 ) Проведём анализ, как можно сократить количество арифметических действий, при мененяя двухсеточный метод. Пусть, — вспомогательная сетка Шишкина, содержащая значительно меньшее число узлов, чем исходная,, но с тем же параметром.

Сначала решаем задачу (2.1) на сетке, с использованием разностной схемы, со ответствующей (2.5). Схему разрешаем на основе метода Ньютона по аналогии с (2.7). Ите рации заканчиваем, если выполнено неравенство:

ln (2.12) ( ), =.

Далее найденное на сетке, решение ( ) интерполируем в узлы исходной сет ки,, используя формулу линейной интерполяции:

( ) ( ) ( ) (2.13), (( ), ) = 1 + ( 1 ), 1, 1,, где — узлы сетки,.

На сетке Шишкина (2.4) формула линейной интерполяции является равномерно точ ной в соответствии со следующей леммой [21].

Для формулы линейной интерполяции (2.13) на сетке, справедли Лемма 2.1.

вы оценки погрешности:

ln2 (), ([],, ) 13 2, [0, ], () ([],, ), (, 1], где [], — проекция () на сетку,.

Кроме того, формула линейной интерполяции является устойчивой:

(2.14) |, ([],, ), (( ), )| [], ( ), [0, 1].

Учитывая (2.6), (2.12), (2.14) и лемму 2.1, несложно показать, что для некоторой по стоянной 14 справедлива оценка:

ln [, (( ), )],.

Таким образом, на основе решения задачи (2.1) на вспомогательной сетке, и ин терполяции решение разностной схемы (2.5) может быть найдено с погрешностью поряд ка (ln /). Используя это приближение в качестве начальной итерации метода Ньюто на (2.7), можно уменьшить необходимое количество итераций для нахождения решения схе мы (2.5) с точностью (ln / ).

Оценим количество арифметических действий, которые необходимо выполнить для нахождения решения схемы (2.5) с использованием двухсеточного метода:

ln(1 ) ln(1 ) (2.15) log2 + log2 +, ln(1 ) ln(1 ) где — количество арифметических действий, необходимое для интерполяции сеточного решения с вспомогательной сетки на исходную.

Учитывая (2.11) и (2.15), можно оценить выигрыш в необходимом количестве ариф метических действий при использовании двухсеточного метода:

ln(1 ) ( ) log2.

ln(1 ) Аналогичным образом двухсеточный метод для нахождения решения схемы (2.5) мо жет быть применен в случае итераций Пикара:

(+1) (+1) (+1) () () + = (, ), 0, (+1) (+1) 0 =, =.

В случае метода Пикара предполагается, что 0 на.

(, ) Тогда по аналогии со случаем метода Ньютона получим выигрыш в количестве ариф метических действий при использовании двухсеточного метода:

ln( /) ( ).

ln(1 /) 2.1.3. Экстраполяции Ричардсона При применении двухсеточного метода решение разностной схемы известно на сет ках, и,, что можно использовать для повышения точности разностной схемы на основе метода экстраполяции Ричардсона. При исследовании двухсеточного метода предпо лагаем, что =, где — целое число. Представляет интерес анализ точности метода экстраполяции Ричардсона в зависимости от.

В [77] исследована точность метода Ричардсона на сетке Шишкина в случае линейной задачи. Предполагается, что вспомогательная сетка Шишкина имеет то же значение пара метра, что и исходная сетка, при этом содержит вдвое большее количество сеточных ин тервалов. При использовании двухсеточного метода вспомогательная сетка в отличие от [77] является более редкой, чем исходная. Для рассматриваемых сеток выполнены соотношения:

, = {, = 0, 1,..., },,,,, = {, = 0, 1,..., }.

Далее будем предполагать, что и не зависят от,, и.

При анализе точности метода Ричардсона будут использоваться некоторые результаты из [77], поэтому остановимся на случае линейной задачи:

() = () + () () ()() = (), = (0, 1), (2.16) (0) =, (1) =, где () 0, функции (), () — достаточно гладкие.

Тогда схема (2.5) примет вид:

= + ( ) = ( ), 0, (2.17) =, =.

0 Пусть 1 = =, = =.

1 На основе экстраполяции Ричардсона на сетке, построим сеточное решение за дачи (2.16), которое обозначим как, используя и — решения схемы (2.17) на сетках, и, соответственно.

Сначала зададим эту функцию в узлах вспомогательной сетки, :

( ) = ( ) + ( ),,.

В узлах исходной сетки,, не совпадающих с узлами сетки,, зададим, используя формулу линейной интерполяции. Тогда для каждого узла, из некото рого сеточного интервала (1, ) получим:

( ) =, ([ ],, ) = (1 ) + ( ), 1 где = ( )/( 1 ), = ( 1 )/( 1 ).

1 Для анализа погрешности построенного сеточного решения будем использовать декомпозицию [76, 77, 88] решения задачи (2.16) в виде суммы регулярной и погранслойной составляющих:

() = () + (), где функции () и () имеют следующие оценки производных:

) | () ()| 1 + 3, ( [0, 1], 0 4, () | [0, 1], ()|, 0 7, при этом функции () и () являются решением задач:

, (0) = (0), (1) = (1), () = (), (1) = (0),, |(0)| () = 0,, для некоторой постоянной, где соответствует (2.16).

Аналогично осуществим декомпозицию решения схемы (2.17) на сетке, в виде:

= +, где, являются решениями задач:

= ( ), 0, 0 = (0), = (1), = 0, 0, 0 = (0), = (1).

Определим декомпозицию решения схемы (2.17) на сетке, как = +.

Пусть () = () ()/2 при [0, 1]. Тогда имеет место следующая лемма.

Пусть 1. Тогда Лемма 2.2.

( [], ) = ( )+1, + 1,,,, ( [], ) = ( )+1, + 1,,,, где |1, | 15, а соответствует (2.17).

Используя разложение в ряд Тейлора и учитывая, Доказательство.

что, получим:

( [], ) = ( ( ) + ( ) ) ( + ) = 2 2 ( ( ) ) +1,, +1, (1 ) = ( )+1, (2 ) + (1 ) = 3, + +1,, + +1,,, = ( )+1, + 1,, где = ( ), 1 [, +1 ] и 2 [1, ], при этом под принадлежностью величины интервалу подразумеваем, что эта величина находится в заданных границах, чтобы не писать более сложные логические условия, а |1, | 15, что доказывает лемму.

Определим функцию () как решение следующей задачи:

(0, 1), () = (), (0) = (1) = 0.

В соответствии с [77] справедлива следующая лемма.

Пусть 1. Тогда для любого, [, 1] выполнено Лемма 2.3.

( ) = ( ) + 2, 2, где |2, | 15.

Используя леммы 2.2, 2.3, докажем следующие три леммы.

Пусть 1. Тогда для любого, [, 1] выполнено Лемма 2.4.

( ) ( ) 15, где ( ) = ( ) + ( ).

Из леммы 2.3 следует, что Доказательство.

( ) ( ) = ( ) + 2, 2 = ( ) + 2, 2 2, ( ) ( ) = ( ) + 2, 2.

Следовательно, ( ) ( ) = ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) = = ( + ) ( ) 2, ( + 2 ) 2 = 2, 2, что доказывает лемму.

Пусть 1. Тогда для любого, [0, ] выполнено:

Лемма 2.5.

( ) ( ) 16.

Будем проводить доказательство на основе принципа максимума.

Доказательство.

Из леммы 2.2 следует:

( ) = ( ) + 1, = ( ) + 1, 2, 2 в соответствии с [77, p. 322] справедливо соотношение:

( ) = ( ) + 1,.

Тогда выполняется (2.18) ( ) = ( ( ) ) + ( ) = 1,.

( ) Несложно показать, что (2.19) (0) (0) = 0, а из леммы 2.4 получаем:

(2.20) |() ()| 15.

Зададим = 16 2 (2 ) ± (( ) ( )).

Учитывая (2.19), (2.20), получим, что = 216 = 16 (2 ) ± 15 0, 0, 0 / 2 2 при 16 15.

Учитывая (2.18), для 0 /2 получим:

= 16 ( (2 ) + ) ± ( ) + 4(1 )2 15 16 0, 2 если 16 415 /.

В силу принципа максимума 0 при всех = 0,..., /2, что доказывает лемму.

Существует 17 такое, что для, [, 1] справедливо:

Лемма 2.6.

( ) ( )), где ( ) = ( ) + ( ).

Из [77] следует, что Доказательство.

18 |( ) ( )| |( ) ( )|,.

2 Следовательно, |( ) ( )| = | (( ) ( )) + ( ) ( ) | ( ) ) 18 | | 2 + | | ( 3.

2 что доказывает лемму.

Определим функцию () как решение следующей задачи:

() = () (), () = () ().

(0, ), (0) = 0, В соответствие с [77] справедлива следующая лемма.

Для любого, [0, ] справедливо представление:

Лемма 2.7.

ln ln ( ) = ( ) + 3,, где |3, | 15.

Следовательно, имеет место следующая лемма.

Для любого, [0, ] справедливо неравенство Лемма 2.8.

ln ( ) ( ) 15.

Из леммы 2.7 следует, что Доказательство.

ln ( ) = 1 ln ( ) + 3,.

Из определения следует, что ln = /(2). Тогда 1 ( )2 ( ) = ( ) + 3,, 2 1 ( )2 1 ( )2 ( ) + 3, ( ) = ( ) + 3, =.

2 2 2 2 Следовательно, ln ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = 3, ( ), что доказывает лемму.

Пусть 1. Тогда существует постоянная такая, что для Теорема 2.1.

любого, выполнено:

ln (2.21) ( ) ( ).

Для любого имеет место представление:

Доказательство.

( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ).

( ) ( ) Утверждение теоремы для узлов, следует из лемм 2.4 — 2.6 и 2.8.

Пусть (1, ) для некоторого. Используя лемму 2.1 и учитывая, что требу емая оценка доказана для узлов сетки,, получим:

|( ) ( )| = | (1 ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 1 (1 ) +( ) (1 ) + ( ) | |(1 ) (1 )|+ ( ) 1 ln2 ln + |( ) ( )| + 13, 2 что доказывает теорему.

В соответствии с оценкой (2.21) погрешность метода экстраполяции Ричардсона уве личивается с ростом = /, а, следовательно, будет наименьшей при = 2.

Сеточную функцию в произ Модификация экстраполяционной формулы.

вольном узле, для некоторого можно записать в виде:

( ) =, ([ ],, ) = (1 ) + ( ) = 1 =, (, ) +, ([ ],, ).

В таком виде интерполяция, ([ ],, ) выглядит излишней, так как известны значения ( ). Поэтому для уменьшения количества арифметических действий, экстра поляционную формулу можно задать следующим образом:

(2.22) U ( ) =, (, ) + ( ).

Численные эксперименты показали, что формула (2.22) даёт такой же порядок точ ности, что и исследуемая выше экстраполяционная формула.

2.1.4. Результаты численных экспериментов Рассмотрим краевую задачу:

(2.23) + () = 0, (0) =, (1) =, где,, () соответствуют точному решению () = +.

+ В соответствии с (2.23) зададим в (2.4), используя значение = 1.

Решение задачи (2.23) находим на основе схемы (2.5) с применением итерационных методов Ньютона и Пикара для её реализации.

Начальное приближение для итераций задаем на основе линейной интерполяции за данных краевых условий. Итерационный метод для нахождения решения схемы (2.5) завер шаем, если выполнено условие:

( ) max |L ( ) (, )|.

Тогда в силу оценки устойчивости 1 ( ) ( ) max |L ( ) (, )| будет справедлива оценка (2.9).

В табл. 2.1 приведены результаты вычислений в случае метода Ньютона при = 102.

В таблице (слева) при различных значениях и указано количество итераций двухсе точного метода на исходной сетке, при этом в скобках приведено количество итераций на вспомогательной сетке. В нижней строке указано число итераций односеточного метода в зависимости от. В таблице (справа) при различных значениях и приведена норма погрешности схемы (2.5) при реализации ее двухсеточным методом с использованием экстра поляции Ричардсона. В нижней строке приведена норма погрешности схемы (2.5) в случае односеточного метода в зависимости от.

Таблица 2. Количество итераций (слева) и норма погрешности (справа) односеточного и двухсеточного методов Ньютона, = 128 512 2048 8192 32768 128 512 2048 8192 64 1(3) 2(3) 2(3) 2(3) 2(3) 64 1.08–2 1.62–2 2.27–2 3.03–2 3.86– 128 1(3) 2(3) 2(3) 2(3) 128 4.46–3 6.38–3 8.66–3 1.13– 256 1(4) 1(4) 2(4) 2(4) 256 1.19–3 1.70–3 2.32–3 3.05– 512 1(4) 1(4) 2(4) 512 4.38–4 6.02–4 7.93– 1024 1(4) 1(4) 1(4) 1024 1.12–4 1.53–4 2.02– 2048 1(4) 1(4) 2048 3.86–5 5.11– 4096 1(4) 1(4) 4096 9.75–6 1.28– 16384 1(4) 16384 8.05– 3 4 4 4 4 2.55–2 8.09–3 2.49–3 7.38–4 2.13– Результаты численных экспериментов в случае метода Пикара при = 102 и = приведены в табл. 2.2 по аналогии с табл. 2.1.

Таблица 2. Количество итераций (слева) и норма погрешности (справа) односеточного и двухсеточного методов Пикара, = 128 512 2048 8192 32768 128 512 2048 8192 64 2(9) 3(9) 5(9) 7(9) 8(9) 64 1.10–2 1.62–2 2.27–2 3.03–2 3.86– 128 3(9) 4(9) 6(9) 7(9) 128 4.50–3 6.39–3 8.66–3 1.13– 256 2(10) 3(10) 5(10) 6(10) 256 1.19–3 1.70–3 2.32–3 3.05– 512 3(11) 4(11) 5(11) 512 4.38–4 6.01–4 7.94– 1024 2(11) 3(11) 5(11) 1024 1.10–4 1.53–4 2.02– 2048 3(12) 4(12) 2048 3.85–5 5.11– 4096 2(13) 3(13) 4096 9.83–6 1.29– 16384 2(14) 16384 4.89– 9 11 12 13 15 2.49–2 8.19–3 2.53–3 7.53–4 2.15– Результаты численных экспериментов в случае метода Ньютона при = 105 приве дены в табл. 2.3.

Таблица 2. Количество итераций (слева) и норма погрешности (справа) односеточного и двухсеточного методов Ньютона, = 128 512 2048 8192 32768 128 512 2048 8192 64 1(3) 2(3) 2(3) 2(3) 2(3) 64 1.08–2 1.62–2 2.27–2 3.03–2 3.86– 128 1(3) 2(3) 2(3) 2(3) 128 4.46–3 6.38–3 8.66–3 1.13– 256 1(4) 1(4) 2(4) 2(4) 256 1.20–3 1.70–3 2.32–3 3.05– 512 1(4) 1(4) 2(4) 512 4.38–4 6.01–4 7.93– 1024 1(4) 1(4) 2(4) 1024 1.13–4 1.53–4 2.02– 2048 1(4) 1(4) 2048 3.86–5 5.11– 4096 1(4) 1(4) 4096 9.82–6 1.28– 16384 1(4) 16384 8.05– 3 4 4 4 4 2.91–2 9.13–3 2.81–3 8.30–4 2.39– Результаты численных экспериментов в случае метода Пикара при = 105 и = приведены в табл. 2.4.

Таблица 2. Количество итераций (слева) и норма погрешности (справа) односеточного и двухсеточного методов Пикара, = 128 512 2048 8192 32768 128 512 2048 8192 64 2(9) 3(9) 5(9) 7(9) 9(9) 64 1.11–2 1.63–2 2.27–2 3.03–2 3.86– 128 3(9) 4(9) 6(9) 8(9) 128 4.52–3 6.40–3 8.66–3 1.13– 256 2(10) 3(10) 5(10) 7(10) 256 1.19–3 1.70–3 2.32–3 3.05– 512 2(11) 4(11) 6(11) 512 4.40–4 6.02–4 7.93– 1024 2(11) 3(11) 5(11) 1024 1.10–4 1.53–4 2.02– 2048 2(12) 4(12) 2048 3.87–5 5.11– 4096 2(13) 4(13) 4096 9.67–6 1.28– 16384 2(14) 16384 3.06– 9 11 12 13 15 2.82–2 9.23–3 2.85–3 8.43–4 2.40– В табл. 2.5 приведена скорость сходимости схемы (2.5) в зависимости от и при её реализации односеточным методом Ньютона:

= [],.

= log2, В последней строке табл. 2.5 приведена теоретическая оценка скорости сходимо сти схемы (2.5) в зависимости от, соответствующая оценке погрешности (2.6).

Таблица 2. Скорость сходимости в случае односеточного метода Ньютона 128 256 512 1024 2048 4096 8192 10 0.846 0.813 0.839 0.858 0.873 0.884 0.893 0. 10 0.855 0.816 0.841 0.860 0.874 0.885 0.894 0. 10 0.856 0.816 0.841 0.860 0.874 0.885 0.894 0. 10 0.856 0.816 0.841 0.860 0.874 0.885 0.894 0. 0.778 0.807 0.830 0.848 0.862 0.874 0.885 0. В табл. 2.6 приведена скорость сходимости схемы (2.5) в зависимости от и при её реализации двухсеточным методом Ньютона с использованием экстраполяции Ричардсона при = /2. В последней строке табл. 2.6 приведена теоретическая оценка скорости сходи мости схемы (2.5) с экстраполяцией Ричардсона в зависимости от, соответствующая полученной оценке (2.21).

Таблица 2. Скорость сходимости в случае двухсеточного метода Ньютона при использовании экстраполяции Ричардсона 128 256 512 1024 2048 4096 8192 102 1.589 1.591 1.688 1.721 1.749 1.774 1.796 1. 103 1.598 1.578 1.684 1.720 1.749 1.777 1.804 1. 104 1.598 1.576 1.685 1.720 1.749 1.777 1.805 1. 105 1.599 1.576 1.685 1.720 1.749 1.777 1.805 1. 1.555 1.615 1.660 1.696 1.725 1.749 1.769 1. Из результатов вычислений следует, что применение двухсеточного метода приво дит к существенному сокращению количества итераций на исходной сетке, и, следователь но, к выигрышу в необходимом количестве арифметических действий. Использование ме тода Ричардсона в двухсеточном методе, практически без дополнительных вычислитель ных затрат, приводит к повышению точности разностной схемы почти до второго порядка при = /2.

2.2. Модифицированная схема Самарского для нелинейного ОДУ второго порядка 2.2.1. Предварительные сведения Для удобства изложения далее для сетки Шишкина (2.4) будем использовать следу ющие обозначения:

(2.24) = { : = 1, 2,..., }, = 1 +, 0 = 0, = 1, где { } 2(1 ) 2 1 =, 1 ;

=, ;

= min, ln.

2 2 Введем следующие обозначения [3]:

( ) 1 +1 + +1, =, =,, =, =, =.

2 2 Рассмотрим случай, когда задача (2.1) является линейной: (, ) = () + (), 0. Тогда в соответствии с [3] верна следующая теорема.

() Пусть () — решение линейной задачи (2.1) с достаточно гладкими Теорема 2.2.

коэффициентами и правой частью, — решение разностной схемы:

( ) ) ( ) ( 1 + +1 + = +, 1 +, 2 (1 + 1/ ) 2 1 + 1/, (2.25) ( ) 1 =, =, = + +, 0 2 (1 + 1/ ) 2 1 + 1/, где = ( ), = ( ). Тогда на сетке Шишкина (2.24) при (0) для некоторой постоянной выполнится:

ln [].

2.2.2. Линеаризация Пикара Предположим, что в дополнение к (2.2) выполнены условия:

0 на. (2.26) (, ) Осуществим линеаризацию задачи (2.1), чтобы на итерациях, уже в случае линейной задачи, применить схему (2.25). Рассмотрим линеаризацию Пикара:

() = (() ) + ()(() ) () = (, (1) ) (1), (2.27) () (0) =, () (1) =.

Пусть = (0). Известно, что при выполнении условий (2.26) метод Пикара (2.27) сходится. В соответствии с [91], справедлива следующая лемма.

Пусть () — решение задачи (2.1). Тогда Лемма 2.9.

) ( (2.28) () 1, 0.

Используя на каждой итерации в (2.27) схему (2.25), перейдем к итерационной фор муле для сеточных решений:

( ) (, ) (, ) = + +1 (, ), 1 +, ( ) ( ) 1 (, ) = (, (1, ) ) 1+ + 2 (1 + 1/ ) 2 1 + 1/, (2.29) (1, ) + (1, ) ) (1, ) + ( ) (, 2 (1 + 1/ ) ( (, (1, ) ) (1, ) ) ( ) +, 0, 2 1 + 1/, (, ) (, ) 0 =, =.

Для сокращения записи формул введем следующие обозначения:

+1 1 =, 2 =, 3 =.

2 (1 + 1/ ) ( + +1 ) (1 + 1/+1 ) ( + +1 ) (1 + 1/ ) Заметим, что (2.30) 0 1 max{1/(4), 2}/, 0 2 1, 0 3 1.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.