авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Казанский (Приволжский) федеральный университет»

На правах рукописи

Тронин Сергей Николаевич

ОПЕРАДНЫЕ И КАТЕГОРНЫЕ МЕТОДЫ

В ТЕОРИИ МНОГООБРАЗИЙ

УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра

и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань — 2011 СОДЕРЖАНИЕ Введение.............................................................. 4 Глава 1. Вербальные категории..................................... § 1.1. Односортный случай........................................ § 1.2. Дальнейшие примеры вербальных категорий................ § 1.3. Многосортный случай....................................... Глава 2. Мультикатегории над вербальными категориями.......... § 2.1. Определения и примеры..................................... § 2.2. Естественные мультипреобразования мультифункторов..... § 2.3. Комма-мультикатегории..................................... § 2.4. Алгебры над мультикатегориями............................ § 2.5. Коммутативные операды.................................... Глава 3. Операды, многообразия и тождества...................... § 3.1. Абстрактные клоны и операды.............................. § 3.2. Свободные алгебры над операдами......................... § 3.3. Многообразия многосортных алгебр и F Set-мультикатегории.

.................................. § 3.4. Некоторые примеры операд и мультикатегорий............ § 3.5. Свободные операды........................................ § 3.6. W -тождества............................................... § 3.7. Заключительные замечания................................ Глава 4. Многообразия, определяемые полилинейными тождествами § 4.1. Дальнейшие свойства коммутативных операд.............. § 4.2. Z -линейные -алгебры.................................... § 4.3. Z -линейные операды....................................... § 4.4. Характеризация многообразий, определяемых Z -полилинейными тождествами............. § 4.5. Z -линейные мультикатегории.............................. § 4.6. Случай многообразий алгебр над мультикатегориями...... Глава 5. Супералгебры и операды................................. § 5.1. -супералгебры............................................ § 5.2. Супералгебры над операдами.............................. § 5.3. Характеризация многообразий супералгебр, определяемых полилинейными тождествами............... § 5.4. Функтор оболочки.......................................... § 5.5. Модули над супералгебрами над операдами................ Глава 6. Некоторые приложения................................... § 6.1. Операды графов............................................ Нелинейные операды многомерных кубических матриц...... Разложимость и неразложимость в операде неориентированных графов.................................. Некоторые операды ориентированных графов............... Подоперады операды турниров, порожденные простыми турнирами.......................... § 6.2. Линейные операды многомерных матриц................... § 6.3. Операды инцидентности.................................... § 6.4. Операда симплексов и конвексоры.......................... § 6.5. Операды многомерных сфер и подобные им................ § 6.6. Операда стохастических матриц........................... Глава 7. Алгебраические теории частных.......................... § 7.1. Категории частных......................................... § 7.2. Алгебраические теории частных........................... § 7.3. Предаддитивные категории................................ Литература........................................................ Введение По мнению Ю.И.Манина, “Стимулированное КТП [квантовой те ории поля — Авт.] возрождение теории операд было крупным событи ем в той тихой заводи, которой казалась общая алгебра” [41, с. 130].

Нижеследующий текст можно рассматривать как попытку уточнить (и отчасти по-новому обосновать) это утверждение в одном из возможных направлений.

Начнем с определения многосортного варианта понятия операды — мультикатегории. Мультикатегория — это такое обобщение категории, в котором “стрелки”(морфизмы) имеют не одно “начало” (объект), а не сколько. Точное определение таково. Мультикатегория (или S -операда) R есть следующий комплекс данных. Во-первых, задан класс “объектов” S = Ob(R). Далее, для каждого непустого слова x = x1... xn в алфа вите S, и объекта y S, определено множество мультиморфизмов (или мультистрелок) R(x, y). Наконец, для непустых множеств мультистре лок определена операция композиции:

R(y1... ym, z) R(x1, y1 )... R(xm, ym ) R(x1... xm, z), которая будет обозначаться следующим образом:

(, 1,..., m ) 1... m =.

Здесь xi = xi 1 xi 2... xi ni, i R(xi, yi ), 1 i m, R(y1... ym, z).

Это можно представлять следующим образом в виде картинки:

x1 y1  1...

z . y 2...... x 1 n.. x ym m...m xm n m Операция композиции должна удовлетворять следующим свойст вам.

1) (Ассоциативность). Для тех наборов стрелок, для которых компо зиции существуют (здесь i = i 1... i ni ), имеет место равенство:

(1 2... m )( 1 2... m ) = (1 1 )(2 2 )... (m m ) 2) (Существование единиц). Для каждого объекта x S в R(x, x) существует стрелка 1x, и для любой стрелки R(x1 x2... xm, y) должны выполняться соотношения 1x1 1x2... 1xm = = 1y.

Вот два типичных примера. Пусть для всех x = x1... xn, где n 1, множества R(x, y) пусты. Тогда мультикатегория — это то же самое, что категория. Если же класс объектов Ob(R) состоит из одного элемента, то такая мультикатегория называется (несимметрической) операдой.

Обобщая понятие функтора, можно определить мультифункторы из мультикатегорий в мультикатегории, частными случаями которых будут алгебры над операдами и над произвольными мультикатегория ми.

Теория мультикатегорий фактически возникла около 1968–1969 го дов независимо в работе И.Ламбека [137] по категорной теории доказа тельств, а также (под другим названием) в работах по алгебраической топологии (см. книгу [7]). Термин “операда” появился впервые в году в книге Дж. Мэя [45]. Впрочем, операды (под иными названиями) и прежде появлялись в работах других математиков. Например, в 1969 го ду в статье В.А. Артамонова [2] исследовался объект, который сейчас называется “операдой эндоморфизмов”. Мультикатегории были также переоткрыты А.А.Бейлинсоном и В.Г. Дринфельдом [100] под названи ем псевдотензорных категорий.

В некоторых теориях операды уже много лет фактически присут ствовали под разными именами и в несколько измененном виде. Напри мер, операдами оказались замкнутые классы булевых функций (и другие функциональные системы), известные еще с 1920-х годов. Специалисты считают, что даже решенную А.Н.Колмогоровым и В.И.Арнольдом в конце 1950-х годов 13-ю проблему Гильберта можно интерпретировать как утверждение о строении некоторой операды.

Основное отличие данной работы от работ других авторов состо ит в том, что изучаются мультикатегории и операды более общего, чем обычно, вида — мультикатегории и операды над вербальными категори ями. Понятие вербальной категории было введено С.Н.Трониным в 2002-м году в работе [62]. Позднее выяснилось, что нечто похожее (в очень сжа том виде) появилось также в статье 2005-го года [134] (по словам автора [134], подготовленной еще в 1972-м году), но идея, заключенная в этой ра боте, дальнейшего развития, по-видимому, не получила. Смысл понятия вербальной категории можно кратко описать следующим образом.

Обозначим через S категорию, объектами которой являются счет ные семейства множеств вида A = {A(n)|n = 0, 1, 2,... }, морфизмы f : A B — семейства отображений fn : A(n) B(n), n 0. Объекты категории S — это “сигнатуры” традиционной универсальной алгебры.

Традиционная универсальная алгебра почти не пользуется категорными свойствами S (небольшое исключение представляет теория сверхмно гообразий). Перечислим некоторые важные свойства категории S. Во первых, это топос. Во-вторых, это моноидальная (но не симметрическая) замкнутая категория [37], на ней определено тензорное произведение, сопряженное с внутренним hom-функтором. Кроме того, на категории S действует несколько естественным образом определяемых монад.

Напомним [37], что моноидом в моноидальной категории называет ся объект R, для которого задано “умножение” — морфизм R R R, и “единица” — морфизм E R, для которых должен выполняться ряд условий, выражающих на языке коммутативных диаграмм свойства по лугруппы с единицей. Моноиды моноидальной замкнутой категории S — это в точности хорошо известные несимметрические операды.

Наиболее употребительными к настоящему времени являются, од нако, симметрические операды, то есть такие операды, на n-х компо нентах которых действуют симметрические группы n (мы будем рас сматривать правые действия). Этот случай можно описывать таким же образом, как и случай несимметрических операд. А именно, вместо ка тегории S надо рассмотреть категорию S, объекты которой — семей ства множеств A = {A(n)|n 0} вместе с определенным для каждого n правым действием n на A(n), а морфизмами являются семейства эквивариантных отображений. Снова можно определить на S струк туру моноидальной замкнутой категории, моноидами которой будут в точности симметрические операды. Такой подход к определению операд (в случае симетрических операд) хорошо известен: см., например, книгу [54]. Категория S также является топосом, и обладает рядом дополни тельнх свойств, аналогичных свойствам S.

Отметим, что и S, и S можно рассматривать как категории функ торов в категорию множеств из некоторых малых категорий, каждая из которых является подкатегорией категории конечных ординалов с теми же объектами. В случае S это категория W Id, морфизмами которой яв ляются только тождественные морфизмы, а вслучае S — категория, морфизмы которой — всевозможные биективные отображения. Естест венно поставить вопрос: какой должна быть в общем случае подкатего рия W категории конечных ординалов, чтобы на категории функторов из W в категорию множеств можно было определить все упоминавшиеся выше структуры.

Ответ на этот вопрос и дает понятие вербальной категории, вве денное в работе [62].

Понятие вербальной категории позволяет расширить как границы теории операд, так и границы традиционной теории многообразий уни версальных алгебр. Ситуацию можно в первом приближении описать сле дующим образом. С каждой вербальной категорией связан особый класс “сигнатур” SW — функторов из данной вербальной категории W в ка тегорию множеств (и, таким образом, правильнее с точки зрения теории категорий, было бы обозначать их через SetW, что и делается далее в тексте, см. § 3.7), с помощью которого можно определить некий аналог всей теории “обычных” универсальных алгебр. При этом “обычные” уни версальные алгебры — это случай тривиальной вербальной категории W Id. Таким образом, каждой вербальной категории соответствует пол ный аналог всей традиционной универсальной алгебры, в котором есть свои тождества, свои многоообразия, и свои операды (операды над дан ной вербальной категорией [62]). Все эти аналоги традиционных объектов можно интерпретировать внутри традиционной универсальной алгебры с помощью естественно возникающих “забывающих” функторов SW S.

Это дает, в частности, некий способ крупномасштабной классификации тождеств: классы тождеств соответствуют вербальным категориям [80].

В частности, полилинейные тождества соответствуют вербальной кате гории, все морфизмы которой биективны [65], а все возможные тождест ва соответствуют максимальной вербальной категории [62], [65], [66]. Все это подробно показано в третьей главе данной работы.

Вербальные категории (как подкатегории категории конечных ор диналов) образуют не менее чем счетную полную решетку. В многосорт ном случае, где также можно определить понятие вербальной категории, получается та же самая решетка, не зависящая от множества сортов [66].

В односортном случае вербальная категория — это подкатегория (с теми же объектами) категории F Set, объекты которой — множества [n] = {0, 1,..., n}, а морфизмы — все возможные отображения, которые переводят в 0 элемент 0, и только его. В этой категории естественным образом определены конечные копроизведения. Первое требование к вер бальной категории — она должна быть замкнута относительно взятия копроизведения любых своих двух морфизмов.

Далее надо рассмотреть подкатегорию P категории F Set, морфиз мы которой — всевозможные неубывающие отображения. Рассмотрим некоторый морфизм f : [k] [m], принадлежащий вербальной катего рии W, и произвольный морфизм : [n] [m] из категории P. Второе (и последнее) условие, характеризующее вербальную категорию W, за ключается в том, что в диаграмме расслоенного произведения [n] [m] [k] 2 [k] f [m] [n] где проекцию 2 можно считать неубывающим отображением, проекция 1 должна быть морфизмом категории W. Это определение можно счи тать формализацией некоторых способов замены переменных в функциях от многих аргументов.

Первая глава работы посвящена изучению вербальных категорий.

Главным результатом этой главы можно считать приведенное в § 1.2 опи сание свойств решетки вербальных подкатегорий и, в частности, постро ение счетного класса нетривиальных примеров вербальных категорий. Те примеры, которые обнаруживаются сразу — это сама категория F Set, а также категория, классом морфизмов которой является семейство всех биективных отображений из [n] в [n], категория Epi, классом морфизмов которой является класс всех сюръективных морфизмов из F Set, и кате гория M on, морфизмы которой — всевозможные инъективные отобра жения из F Set. Категория W Id, морфизмами которой являются только тождественные отображения, также является вербальной. Если считать F Set и W Id тривиальными вербальными категориями, то оказывается, что M on и Epi — максимальные нетривиальные вербальные категории, — минимальная нетривиальная вербальная категория, между M on и нет вербальных подкатегорий (но есть пример вербальной подкатего рии категории M on, не содержащей ), а между Epi и существует не менее чем счетное множество примеров вербальных категорий.

В последнем, третьем параграфе главы определяются и изучаются многосортные обобщения вербальных категорий. Выясняется, что много сортные вербальные категории в конечном счете сводятся к односортным, так что ничего принципиально нового не возникает.

В начале второй главы дается определение мультикатегории R над вербальной категорией W. Часть определения, не зависящая от вербаль ной категории, уже была приведена выше. Суть дальнейшего заклю чается в следующем. Если f : [m] [n] — морфизм категории W, и R(xf (1)... xf (m), y), то определена мультистрелка (мультиморфизм) f : x1... xn y из R(x1... xn, y), и эта операция удовлетворяет ря ду свойств, явный вид которых для понимания основных результатов данной работы не является существенным. В случае, когда W =, по лучается известное определение симметрических мультикатегорий (или операд). Именно этот случай и является предметом изучения в подавля ющем числе работ других авторов. Изучается также случай W = W Id, соответствующий так называемым несимметрическим операдам (или не симметрическим мультикатегориям). В нашей работе рассматриваются мультикатегории и операды над произвольными вербальными категори ями.

Следует заметить, что в последнее время у ряда авторов термин “мультикатегория” используется в значительно более широком кате горном смысле (см. подробности, например, в [140]). В связи с этим в числе первооткрывателей понятия мультикатегории называют также A.Буррони [107]. Однако такие более общие мультикатегории не связаны непосредственно с универсальной алгеброй, и поэтому в нашей работе не рассматриваются.

Общая теория мультикатегорий и операд — это достаточно молодая математическая теория, ее история насчитывает лишь около сорока лет (хотя имеется и предыстория примерно такой же протяженности). Одно из возможных направлений дальнейшего развития связано с обобщени ем понятий теории категорий и с переносом теорем теории категорий на мультикатегорный случай. Сами же авторы теории категорий считали основным понятием своей теории понятие естественного преобразования.

“Как впервые отметили Эйленберг и Маклейн, категория была опре делена, чтобы можно было определить функтор, а функтор — чтобы можно было определить естественное преобразование”. [37, с.30].

Центральная темы, изучаемая во второй главе нашей работы — это понятие естественного мультипреобразования мультифункторов.

Его можно определить во всех случаях, когда рассматриваемые муль тикатегории определены над вербальной категорией W, содержащей (среди извествных примеров вербальных категорий таких большинство), а мультифункторы сохраняют действие W. Приведем точное определе ние.

Расссматривается вербальная категория W, содержащая. Осо бую роль будут играть отображения n,m nm, определенные для всех натуральных n, m 1 следующим образом. Пусть 1 i n, 1 j m.

Тогда произвольное число из множества {1,..., nm} можно однозначно представить либо в виде j +(i1)m, либо в виде i+(j 1)n для подходя щих i, j. Положим n,m (i+(j 1)n) = j +(i1)m. Тогда для произвольно го класса S в многосортной вербальной категории WS, соответствующей односортной вербальной категории W можно интерпретировать n,m как морфизм из x1,1... x1,m... xn,1... xn,m в x1,1... xn,1... x1,m... xn,m. В са мом деле, пусть v = v1... vnm = x1,1... x1,m... xn,1... xn,m, так что xi,j = vi+(j1)n. Аналогично, если u = u1... unm = x1,1... xn,1... x1,m... xn,m, то xi,j = uj+((i1)m. Если f : v u — морфизм из WS, то должно быть vk = uf (k). Если f = n,m, k = i + (j 1)n, то un,m (k) = uj+(i1)m = xi,j = vk. Очевидно, что если либо n, либо m равно единице, то n,m есть тождественное отображение, и для любых n, m имеет место равенство n,m = m,n.

Пусть K — мультикатегория над W. Тогда по определению су ществуют отображения n,m : K(x1,1... x1,m... xn,1... xn,m, z) K(x1,1... xn,1... x1,m... xn,m, z), сопроставляющие мультистрелкам мультистрелки n,m.

Определение 2.2.3. Пусть даны две мультикатегории R и K над вербальной категорией W, и мультифункторы A1,..., An, B : R K.

Определим естественное мультипреобразование (или мультиморфизм мультифункторов) из строки A = A1... An в B (обозначение : A B ) как следующий комплекс данных. Для любого x Ob(R) задается элемент x K(A1 (x)... An (x), B(x)), и для каждого R(x1... xm, y) имеет место равенство:

y A1 ()... An () = B()x1... (xn )n,m Это равенство можно неформально представлять в виде следующей ком мутативной диаграммы A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm ) A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm ) n,m x1...xm A1 (x1 )...A1 (xm )...An (x1 )...An (xm ) B(x1 )...B(xm ) A1 ()...An () B() y A1 (y)...An (y) B(y) Неформальность здесь состоит в том, что стрелка n,m имеет иную при op роду, чем все остальные стрелки, и ее надо мыслить как морфизм WS.

Тем не менее, так как умножения справа на n,m определены, то исполь зование коммутативной диаграммы не приводит к ошибочным выводам и имеет преимущество наглядности.

В случае n = 1, m = 1 определение естественного мультпреобра зования сводится к определению обычного естественного преобразования функторов.

Используя естественные мультипреобразования, в § 2.2 показыва ется, что класс мультифункторов из одной мультикатегории в другую мультикатегорию (над данной вербальной категорией W ) сам облада ет естественной структурой W -мультикатегории. Таким образом, полу чается обобщение категорий функторов, играющих существенную роль и в алгебре, и в теории категорий (в частности, в теории топосов). В § 2.3 строится мультикатегорный аналог важной для теории категорий конструкции комма-категории (“категории запятой” в русском перево де книги [37]). У нас этот аналог называется комма-мультикатегорией.

Показывается, что, как и в категорном случае, задание естественного мультипреобразования равносильно заданию некоторого мультифункто ра в комма-мультикатегорию.

Тема § 2.4 — общее определение алгебры над мультикатегорией как мультифунктора из данной мультикатегории R в другую муль тикатегорию MK, которая естественным образом строится по строго моноидальной категории K. Объектами MK являются объекты K, а MK(x1... xm, y) = K(x1 · · ·xm, y). Выясняется, каким условиям долж на удовлетворять эта строго моноидальная категория K, чтобы на муль тикатегории всех мультифункторов из R в MK (т.е. R-алгебр) можно было определить структуру W -мультикатегории. В этом же параграфе строится ряд друих важных для дальнейшего примеров мультикатего рий.

Подмультикатегорию мультикатегории мультифункторов с одним объектом — некоторым мультифунктором — естественно назвать опе радой эндоморфизмов данного мультифунктора (операдой — поскольку это мультикатегория с одним объектом). Известные операды эндоморфиз мов действительно являются очень частными случаями этой общей кон струкции. В § 2.5 начато изучение другого частного случая — операды эндоморфизмов тождественных мультифункторов, которые естественно назвать центрами соответствующих мультикатегорий. Дана внутрен няя характеризация этих операд, которые названы коммутативными операдами. Коммутативными являются многие важные операды. Ком мутативные операды играют важную роль в дальнейших главах данной работы.

В третьей главе исследуются взаимосвязи между теорией алгебр над мультикатегориями и опрадами, и классической теорией многообра зий универсальных алгебр и определяющих их тождеств. При этом важ ную роль играет понятие рациональной эквивалентности многообразий, введенное в 1959-м году А.И. Мальцевым [39]. Неформально говоря, два многообразия рационально эквивалентны, если алгебры одного многооб разия и алгебры другого — это одни и те же множества, и операции, кото рые определяют структуру алгебр различных двух многообразий на этих (совпадающих) множествах, можно выразить друг через друга. Анало гичное понятие можно определить и для многосортных универсальных алгебр. Рационально эквивалентные многообразия — это в некотором смысле “одно и то же” многообразие, только представленное с помощью различных эквивалентных друг другу наборов операций (сигнатур). Под робнее о рациональной эквивалентности можно узнать из первой главы книги [47].

В параграфе 3.1 установлена связь между F Set-операдами и хоро шо известными в универсальной алгебре абстрактными клонами. Оказа лось, что эти понятия равносильны (с точностью до рациональной экви валентности). По каждому абстрактному клону строится F Set-операда, и наоборот, по каждой F Set-операде строится абстрактный клон. Соот ветствие взаимно-однозначно. При этом многообразия алгебр над F Set операдой и над соответствующим ей абстрактным клоном рационально эквивалентны. Отметим, что понятие абстрактного клона, в свою оче редь, эквивалентно понятию Ловеровской алгебраической теории [138], причем задание абстактного клона (как и алгебраической теории) рав носильно заданию категории свободных алгебр с конечными базисами в многообразии алгебр над данным клоном. Результаты § 3.1 можно ин терпретировать следующим образом: вся теория абстрактных клонов (и равносильных им объектов) является, по-сути, частью теории операд над вербальными категориями.

Отметим, что наличие связи между тем, что позднее было названо операдами, и абстрактными клонами, ощущалась (судя по названию ра боты) еще автором [2]. Значительно позднее, в 2006-м году, появилась статья [142], в которой была сделана попытка выяснить соотношение между (ловеровскими) алгебраическими теориями и операдами. Посколь ку в распоряжении автора этой работы были только симметрические и несимметрические операды, то полного решения, разумеется, не получи лось. Судя по всему, автор [142] не был знаком с нашей более ранней работой [62], где задача была решена полностью. В том же 2006-м году появилась работа [109], где также обсуждалась связь между операдами и клонами, но и в ней дело ограничивается симметрическими и несиммет рическими операдами.

Работа [134] в [109] упоминается, но интересующая нас тема вербальных категорий остается вне поля зрения автора.

Далее в нашей работе (в § 3.2) описываются свободные алгебры в многообразии Alg(RW ) алгебр над произвольной W -операдой R. Свобод ная алгебра F rR (X) с базисом X в многообразии Alg(RW ) алгебр над W -операдой R устроена следующим образом: это факторалгебра алгеб ры R(m) X m m по конгруэнции, порожденной всеми парами ((rf, x1... xm ), (r, xf (1)... xf (k) )).

Здесь предполагается, что r R(k), f W ([k], [m]).

В § 3.3 получены следующие результаты. Сначала доказывает ся, что, если R есть F Set-мультикатегория с классом объектов S, то для каждого семейства s1,..., sn S семейство {R(s1... sn, t)|t S} есть свободная алгебра с базисом из n элементов (соответству ющих s1,..., sn ) в многообразии R-алгебр. Это семейство останется алгеброй (но уже не обязательно свободной), даже если R есть Epi мультикатегория. С другой стороны, если M — произвольное многооб разие многосортных алгебр, то семейство свободных конечно порожден ных свободных алгебр этого многообразия можно превратить в F Set мультикатегорию. Показано, что многообразие M рационально эквива лентно многообразию алгебр над этой мультикатегорией. Таким образом, в данном параграфе получены (в конечном счете) и мультикатегорные аналоги результатов § 3.1, но без использования понятия абстрактного клона.

Таким образом, в первом приближении вся теория универсальных алгебр рассматриваемая “по модулю” рациональной эквивалентности — это теория алгебр над операдами (в многосортном случае — над муль тикатегориями). Можно даже сказать, что соотношение между теорией многообразий алгебр над операдами и классической теорией многообра зий мультиоператорных алгебр (определяемых традиционно с помощью символов операций и тождеств) носит примерно такой же характер, как и соотношение между общей теорией групп и комбинаторной теорией групп. При этом почти исчезает грань между универсальной алгеброй и теорией категорий: и то, и другое включается в более общую теорию мультикатегорий как частные случаи.

В § 3.4 по произвольной вербальной категории W строится W операда OW (в многосортном случае — мультикатегория). Получается обширный класс примеров мультикатегорий и операд, большей частью ранее неизвестных. В этот же класс входит и операда, n-й компонентой которой является группа подстановок n-й степени n. (Как ни странно, в литературе невозможно найти подробности построения этой давно из вестной операды.) Далее вычислены (с точностью до рациональной экви валентности) многообразия алгебр над операдами и мультикатегориями вида OW. Оказалось, что, например, для операд это во всех случаях од но и то же многообразие — многообразие всех полугрупп с единицей. В мультикатегорном случае получаются многосортные аналоги полугрупп с единицей, зависящие только от множества сортов, но не от вербальной категории W.

Метод, использованный в § 3.4 для построения операд вида OW, используется в § 3.5 для построения свободных W -операд. Пусть W — некоторая вербальная категория, R — некоторая W Id-операда. Опреде лим семейство RW = {RW (n)|n = 0, 1, 2,... } следующим образом:

R(m) W (m, n) RW (n) = m= Для каждого n определено отображение n : R(n) RW (n), сопрстав ляющее элеименту a R(n) элемент (a, id) R(n) W (n, n). Через : R RW обозначим все семейство отображений n. Определенное только что семейство RW является W -операдой, а семейство — гомо морфизмом W Id-операд. При этом выполняется следующее универсаль ное свойство. Для любой W -операды O и произвольного гомоморфизма W Id-операд : R O существует, притом только один, гомоморфизм W -операд : RW O такой, что =. При доказательстве этого используются результаты § 3.4. Обозначим через FO свободную W Id операду с базисом (фактически есть некоторая сигнатура). Компо нента этой операды FO (n) реализуется как подмножество в абсолютно свободной -алгебре F r (x1,..., xn ), состоящее из всех -слов, в кото рые входят все элементы базиса x1,..., xn, причем именно в указанном порядке, и каждый элемент xi входит в точности один раз.

Теорема 3.5.3. Операда FO W является свободной W -операдой с базисом.

В дальнейшем будем обозначать свободную W -операду FO W че рез F O,W.

Теорема 3.5.4. Многообразия Alg(F O,W ) и Alg() рациональ но эквивалентны. В частности, можно отождествлять свободные F O,W -алгебры и свободные -алгебры.

В частности, свободную -алгебру F r (X) можно отождествить со свободной FO -алгеброй с базисом X, которая устроена следующим образом:

FO (m) X m.

F rFO (X) = m= Отсюда следует, что элементы F r (X) можно однозначно представлять в виде wx (отождествляя пару (w, x) со строкой wx), где w FO (m), x = x1... xm, элементы x1,..., xm X не обязательно различны.

В следующем § 3.6 решается вопрос о том, когда многообразие уни версальных алгебр рационально эквивалентно многообразию алгебр над операдой, оперделенной над произвольной вербальной категорией W.

Элемент из F r (X)2 будем называть W -тождеством, если он имеет вид (w1 (xf1 ), w2 (xf2 )), где wi FO (mi ), fi W ([mi ], [n]), i = 1, 2, x = x1... xn, и все x1,..., xn X различны. При этом xfi = xfi (1)... xfi (mi ).

Теорема 3.6.2. Существует изоморфизм между решеткой конгруэнций свободной W -операды F O,W и подрешеткой решет ки вполне инвариантных конгруэнций свободной -алгебры F r (X) со счетным базисом X, состоящей из конгруэнций, порожденных W -тождествами.

Теорема 3.6.4. Если R есть W -операда, то многообразие Alg(RW ) определяется W -тождествами.

Теорема 3.6.5. Если многообразие -алгебр M определяется W тождествами, то оно рационально эквивалентно многообразию вида Alg(RW ), где R есть W -операда.

Сформулированные только что результаты можно считать осно вой упоминавшейся выше классификации тождеств, при которой классы тождеств (W -тождества) соответствуют вербальным категориям W.

В случае мультикатегорий формулировки и доказательства совер шенно аналогичны. Напомним, что в главе 1 было показано, что каждая многосортная вербальная категория однозначно строится по некоторой односортной, поэтому ничего принципиально нового не возникает.

В § 3.7 обсуждаются полученные результаты. Краткая версия этого обсуждения уже приведена выше.

Глава 4 начинается с более подробного изучения коммутативных операд. Приведем точное определение. Пусть Z — операда над некото рой вербальной категорией W, такой, что W. Назовем операду Z коммутативной, если для любых Z(n), Z(m) имеет место тождество:

m n... = (... )n,m Обозначим действие элемента операды Z(n) на элементы a1,..., an () n из Z -алгебры A как ai. Если операда Z коммутативна, то для лю i= бых Z(n) и Z(m) в любой Z -алгебре имеет место тождество:

n m m n () () () () ai,j = ai,j i=1 j=1 j=1 i= Гомоморфизм между алгебрами над коммутативной операдой в этих обо () n n значениях есть такое отображение h, что h( () ai ) = h(ai ) для i=1 i= любого Z(n) и вевозможных a1,..., an. Такие гомоморфизмы ес тественно называть Z -линейными отображениями. Как уже было ска зано выше, коммутативные операды — это центры мультикатегорий в том же смысле, в каком, например, коммутативные ассоциативные коль ца являются центрами предаддитивных категорий. В первом параграфе главы 4 показано также, что частными случаями коммутативных операд являются давно известные коммутативные ловеровские алгебраические теории (см. [104, Denition 3.10.1, p.166]). Точнее, ввиду результатов § 3.1 имеет место рациональная эквивалентность между коммутативными F Set-операдами, и теми абстрактными клонами, которые соответствуют коммутативным алгебраическим (ловеровским) теориям. Многообразия алгебр над коммутативными операдами в некотором смысле походят на категории модулей над коммутативными кольцами. В частности, для ал гебр над коммутативными операдами можно определить полилинейные отображения и тензорные произведения. Примерами многообразий ал гебр над коммутативными операдами являются категории модулей над коммутативными кольцами, а также вся категория множеств. Много образие алгебр над коммутативной операдой Z оказывается удобным для построения (по аналогии с теорией линейных мультиоператорных алгебр) теории Z -линейных мультиоператорных алгебр, в частности, алгебр, определяемых Z -полилинейными тождествами. При этом появ ляется возможность объединения в одну теорию теорий нелинейных и линейных универсальных алгебр, ранее развивавшихся достаточно изо лированно друг от друга. Все это также изложено в § 4.1.

В следующем параграфе развивается теория Z -линейных операд Z -линейной называется такая -операда R, каждая компонента кото рой R(n) есть алгебра над коммутативной W -операдой Z (при этом категория W не обязана совпадать с ), а операции композиции R(m) R(n1 ) · · · R(nm ) R(n1 + · · · + nm ) являются Z -линейными по всем тем аргументам из R(k), для которых k = 0. Алгебры над такими операдами естественно считать также Z алгебрами, а операции R(m) Am A, определяющие на A структуру R-алгебры, естественно n 0 считать Z -линейными по каждому аргу менту (т.е. Z -полилинейными).

Основной результат главы 4 таков: многообразие мультиоператор ных Z -линейных алгебр определяется Z -полилинейными тождествами тогда и только тогда, когда оно рационально эквивалентно многообра зию алгебр над Z -линейной симметрической операдой. Частный случай этой теоремы (для линейных операд и многообразий линейных мультио ператорных алгебр) был доказан автором еще в работах 1980-х годов [83], [85], [84], [86]. Другой частный случай был получен в [61].

Этот результат вместе со всем комплексом соответствующих поня тий и определений почти дословно переносится на случай мультикатего рий. Это сделано в § 4.4 и § 4.5. В параграфе 4.4 вычисляются в явном виде две категории (многообразия) алгебр над Z -линейными мультика тегориями специального вида. Одна из них строится по строго монои дальной категории, другая — по произвольной категории.

Результаты четвертой главы позволяют сделать вывод, что исполь зование коммутативных операд дает возможность развивать на единой основе и теорию нелинейных, и теорию линейных мультиоператорных алгебр, которые до сих пор излагались отдельно друг от друга (см., на пример, изложение теории линейных мультиоператорных алгебр в [35] и [3]). В нелинейном случае надо просто взять за основу многообразие алгебр над коммутативной операдой, первая компонента которой состо ит из одного элемента, а остальные пусты (категория алгебр над такой операдой эквивалентна категории множеств), а в линейном случае берет ся другая коммутативная операда, которая строится по коммутативному ассоциативному кольцу с единицей, и алгебры над такой операдой — это фактически (то есть с точностью до рациональной эквивалентности) мо дули над данным кольцом. Но, разумеется, имеется огромное количество других коммутативных операд.

В пятой главе строится теория мультиоператорных супералгебр.

Традиционная супералгебра — это Z2 - градуированный модуль над ком мутативным ассоциативным кольцом с единицей, с заданной на нем би нарной билинейной операцией x · y, обладающей свойством: если x, y — однородны, и x, y — их степени (элементы множества {0, 1}), то x·y = (1)xy y·x. К этому тождеству добавляются другие, характеризу ющие супералгебру как объект из того или иного многообразия (ассоци ативных, лиевских, йордановых и т.п.) супералгебр. Возможно ли такое обобщение этого определения, которое приводило бы к теории, подобной теории линейных мультиоператорных алгебр в духе работ [35] и [3]? Наш ответ на этот вопрос положителен. При этом оказывается, что у каждого многообразия “обычных” линейных мультиоператорных алгебр, опреде ляемых полилинейными тождествами, имеется “супер”аналог. Имеется также аналог грассмановой оболочки супералгебры для самого общего случая, который обладает точно таким же “классифицирующим” свой ством, что и в случае супералгебр с одной бинарной операцией [6].

Опишем вкратце содержание главы 5. В § 5.1 описывается способ построения многообразий супералгебр для произвольной сигнатуры.

Основой для определения супералгебр в таком общем случае является предположение о том, что на множестве n-арных операций n действует справа группа подстановок n-й степени n, а также наличие особого ле вого действия группы n на n-й тензорной степени Z2 - градуированного модуля L над коммутативным кольцом. Используя это определение, мож но развивать теорию тождеств и многообразий линейных -супералгебр аналогично тому, как это делается для линейных -алгебр. В частнос ти, вводится понятие полилинейного тождества. Если рассматриваются алгебры над полем нулевой характеристики, то любое многообразие супералгебр определяется полилинейными тождествами (для линейных -алгебр это хорошо известный факт).

В § 5.2 вводится понятие супералгебр над линейными -операдами (или симметрическими операдами). Отметим, что рассматриваются только симметрические и (иногда) несимметрические операды. Далее cтроится Z2 -градуированный аналог “операды эндоморфизмов”, которая впервые появилась, по-видимому, в работе [2]. Это позволяет определить понятие супералгебры над операдой. Показано, что многообразие супер алгебр (в смысле § 5.1) над линейной симметрической операдой опреде ляется полилинейными тождествами, и что известные типы супералгебр (коммутативные, ассоциативные, лиевские, йордановы, альтернативные, супералгебры Мальцева) получаются как супералгебры над операдами, соответствующими многообразиям соответственно коммутативных, ас социативных, лиевских, иордановых и альтернативных алгебр.

В § 5.3 доказывается, что многообразие супералгебр определяется полилинейными тождествами тогда и только тогда, если оно рациональ но эквивалентно многообразию супералгебр SAlg(R) для некоторой ли нейной симметрической операды R. Этот результат аналогичен основно му результату главы 4. В § 5.4 вводится понятие грассмановой оболочки для супералгебр над произвольной линейной операдой, и показывается, что “традиционный” [6] способ определения принадлежности супералгеб ры к тому или иному многообразию в случае “традиционных” суперал гебр c одной бинарной операцией умножения равносилен тому способу определения многообразий супералгебр, который был введен в § 5.1 и § 5.2. В общем случае использование грассмановой оболочки позволяет установить связь между многообразием SAlg(R) супералгебр над опера дой R, и многообразием Alg(R) алгебр над этой же операдой. В § 5. вводится и исследуется операдный аналог представления супералгебр — модули над алгебрами над операдами. В отличие от представлений тра диционных супералгебр, которые удается определить только в некоторых случаях, модули над супералгебрами над операдами существуют всегда, и эквивалентны представлениям традиционных супералгебр в тех случа ях, когда те существуют. Всегда определен также аналог универсальной обертывающей супералгебры. Доказаны некторые свойства модулей над супералгебрами. В частности, получены аналоги результатов из § 5.4.

В главе 6 собран ряд результатов, относящихся к разнообразным операдам более специального вида. Общим для большей части этих результатов можно считать использование различных матричных кон струкций. Результаты данной главы показывают, что область возмож ных приложений теории операд весьма широка.

В § 6.1 изучаются структуры операд, которые можно естественным путем определить на различных множествах помеченных гиперграфов или графов. Впрочем, вначале строятся два бесконечных семейства опе рад, которые описываются следующим образом. Пусть K — некоторое множество с выделенным элементом. Зафиксируем натуральное чис ло n 1. Пусть [k] = {1,..., k}. Обозначим через GMn (k) множество отображений вида A : [k]n K. При k = 0 положим GMn (0) = {}.

Пусть GMn = {GM (k)|k = 0, 1,... }. Введем на этом семействе структу ру операды двумя способами. Итак, определяется семейство отображений вида:

GMn (m) GMn (k1 ) · · · GMn (km ) GMn (k1 + · · · + km ), сопоставляющих элементу (A, B1,..., Bm ) элемент AB1... Bm. Здесь A GMn (m), Bi GMn (ki ), 1 i m,.

Разобъем множество [k1 + · · · + km ] на m непересекающихся под множеств bi = {k1 + · · · + ki1 + 1,..., k1 + · · · + ki1 + km }, 1 i m.

Первая операция композиции (будем называть ее композицией 1) определяется так:

Bi (j1,..., jn ) при j1,..., jn bi A(j,..., j ), если j1 bi1,..., jn bin, 1 n AB1... Bm (j1,..., jn ) = и среди i1,..., in есть хотя бы два различных.

При этом естественно предполагать, что A(i,..., i) = для всех i. Опре делим еще отображение E : [1] K, полагая E(1) =.

Пусть теперь K — моноид с единицей. Операция композиции, которую будем называть композицией 2, определяется так:

A(i,..., i)Bi (j1,..., jn ) при j1,..., jn bi A(i,..., i ), если j1 bi1,..., 1 n jn bin, и среди AB1... Bm (j1,..., jn ) = i1,..., in есть хотя бы два различных.

Обозначения здесь те же самые, что и для композиции 1. Отображение E определяется, как и выше, но не требуется предполагать, что для всех A GMn (m) будет A(i,..., i) = для любого i.

Определим действие m на GMn (m) следующим образом:

A(j1,..., jm ) = A( 1 (j1 ),..., 1 (jm )) Здесь A GMn (m), n.

Теорема 6.1.1. Семейство GMn с операциями композиции 1 и 2 и указанным выше действием симметрических групп наделяется дву мя различными структурами -операд. Отображение E и в том, и в другом случае будет единицей операды.

Назовем эти построенные таким образом объекты операдами 1 и 2.

В случае второй структуры операды на GMn при n = 1, 2 получим следующее. Отображение A : [m] G можно интерпретировать как упорядоченную последовательность (a1,..., an ), где ai = A(i). Если Bi GM1 (ki ) записать как (bi,1,..., bi,ki ), то легко убедиться, что операция композиции выглядит так:

AB1... Bm = (a1 b1,1,..., a1 b1,k1,..., am bm,1,..., am bm,km ) () Таким образом, GM1 с композицией 2 — это хорошо известная операда, которая строится по произвольной полугруппе с единицей. Этот случай фактически уже изучен в предыдущих главах.

Рассмотрим случай n = 2. Тогда GM2 (k) есть множество всех квадратных k k -матриц с элементами из G. Положим 0 =. Яв ный вид композиции 1 в этой операде таков. Пусть A GM2 (n), B GM2 (k1 ),..., Bm GM2 (km ). В рассматриваемом случае композиции на главной диагонали каждой из матриц расположены нули. Тогда B a1,2... a1,m 1 a 2,1 B2... a2,m AB1... Bm =...

.

..

...

.

...

am,1 am,2... Bm Здесь AB1... Bm — блочная k k -матрица, i, j -й блок которой есть мат рица размером ki kj. Диагональные блоки — квадратные матрицы Bi, 1 i m. Если i = j, и ai,j — i, j -й элемент матрицы A, то ai,j обо значает матрицу размером ki kj, целиком заполненную одним и тем же элементом ai,j.

В случае композиции 2 явный вид при n = 2 таков:

aB a1,2... a1,m 1,1 1 a a2,m 2,1 a2,2 B2...

AB1... Bm =..

..

....

..

...

am,1 am,2... am,m Bm Операды вида GM2 были впервые построены в работе [63].

Обозначим через HGn (m) множество тех A GMn (m), которые для каждого n обладают свойством:

A(j1,..., jn ) = A(j(1),..., j(n) ) для любых j1,..., jn. Показывается, что семейство HGn = {HGn (k)|k = 0, 1,... } есть -подоперада -операды GMn.

Далее конструкция операды 1 применяется для изучения случая n = 2. Строится -операда, элементами которой являются неориентиро ванные конечные помеченные графоы (операда ориентированных стро ится точно так же), и показывается, что с помощью матриц инцидент ности можно вложить эту операду в HG2. Затем исследуется вопрос о разложимости и неразложимости графов в операдную композицию (ком позицию 1). Произвольный конечный помеченный граф раскладывается в операдную композицию операдно неразложимых (простых) графов, но в общем случае это представление неоднозначно. Аналогичные разуль таты имеют место и для простых ориентированных графов. Затем эта ситуация несколько конкретизируется для случая операды турниров. По лучено описание всех подоперад этой операды, порождаемых простыми турнирами.

Заметим, что элементы операд HGn при n 2 можно интерпре тировать как гиперграфы, однако этот случай пока подробно не иссле дован. Смысл всего этого состоит в том, что теория графов (и — пока — отчасти гиперграфов) в ряде отношений оказывается, по-сути, разде лом алгебры: многие интересные совокупности графов являются операда ми относительно введенных операдных композиций. Идея превращения множеств графов, гиперграфов, решекток (и т.п. объектов) была анон сирована в [77], а конструкции GM2 и HG2 появились в [63]. Позднее выяснилось, что конструкции, похожие на нашу операдную композицию 1, в том или ином виде известны в теории графов (см., например, [105], [143]), но язык операд в теории графов до наших работ не использовался.

В § 6.2 изучаются матричные линейные операды, введенные в [59].

Эти операды являются обобщениями операд тензоров, в которых компо зиция есть свертка. В статье [59] использовались правые операды, и этот язык сохранен и в данной главе. Приведем определение матричных опе рад (операд многомерных матриц). Пусть R — некоторая K -линейная -операда, где K — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей (возможно даже брать в качестве R полукольца). Пусть X — некоторое фиксированное множество. Рассмотрим множество M (n) = M (X, R)(n), состоящее из всех отображений вида A : X n X R(n), таких, что A(x1,..., xn, y) = 0 почти для всех наборов x1... xn при каждом фикси рованном y X. Определим операции композиции в строящейся операде следующим образом. Это отображения вида M (n1 ) · · · M (nk ) M (k) M (n1 + · · · + nk ), сопоставляющие аргументу (A1,..., Am, B) отображение A1... Am B :

X n1 +···+nk X R(n1 + · · · + nk ), определяемое равенством:

A1... Am B(x1... xm, z) = A1 (x1, y1 )... A(xm, ym )B(y1... ym, z) y1,...,ym Здесь xi = x1,i... xni,i X ni, и в правой части равенства выражение A1 (x1, y1 )... A(xm, ym )B(y1... ym, z) означает операдную композицию в операде R.

Основной результат § 6.2 таков:

Теорема 6.2.3. Пусть R есть K -линейная -операда и X — конечное множество. Тогда категории K -линейных алгебр AlgK (R) и AlgK (M ) эквивалентны.

Эта теорема является первым этапом в построении общей теории эквивалентности Мориты для многообразии алгебр над операдами. Она была опубликована в [59]. Позднее тот же результат был получен в статье Капранова и Манина [131].

В § 6.2 получен также следующий результат (отсутствующий у Капранова и Манина): эквивалентность между категориями AlgK (R) и AlgK (M ) индуцирует послойную эквивалентность расслоенных катего рий модулей над алгебрами над соответствующими операдами. Напом ним, что категория модулей над алгеброй над данной операдой эквива лентна категории модулей над универсальной обертывающей алгеброй данной алгебры над операдой, а эта универсальная обертывающая ал гебра является ассоциативным кольцом с единицей (в случае операды, соответствующей многообразию алгебр Ли, это известная универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли). Показано также, что индуцируется изоморфизм решеток конгруэнций операд R и M, аналогично тому, ко торый имеет место при эквивалентности Мориты для категорий модулей над кольцами.

В § 6.3 рассматривается другое приложение матричных операд, а именно, строится операдный аналог теории алгебр инцидентности, яв ляющихся важным инструментом в современной комбинаторной теории.

Построены, в частности, операдные аналоги как обычных, так и реду цированных алгебр инцидантности локально конечных частично упоря доченных мнрожеств (см. [1, главы 4 и 5]). Отметим, что в [49, с.20] об алгебрах инцидентности говорится как об одном из самых общих методов решения перечислительных задач комбинаторного анализа.

В § 6.4 и § 6.5 изучаются некоторые коммутативные операды, име ющие наглядную геометрическую интерпретацию. Все они являются по доперадами операды R, для которой R(n) = Rn, а операция композиции определяется по формуле (*). Операда R ( как и все ее подоперады) яв ляется коммутативной.

В § 6.4 показывается, что многообразие изучавшихся многими ма тематиками (в том числе Л.А.Скорняковым) конвексоров (или барицент рических алгебр) рационально эквивалентно многообразию алгебр над F Set-операдой, компоненты (n) которой суть стандартные геомет рические симплексы, т.е. подмножества в евклидовом пространстве Rn, описывемые условиями:


(n) = {(x1,..., xn ) Rn |xi 0, x1 + · · · + xn = 1}.

Операда является коммутативной, и поэтому, как и в главе 4, мож но рассматривать разнообразные -линейные -операды и алгебры над ними.

В § 6.5 вводятся операды многомерных сфер и (полых) кубов, дока зываются некоторые их свойства, а также строится большой класс при меров операд сходного вида, компоненты которых — некоторые геомет рические объекты в многомерных евклидовых пространствах. Основной результат этого параграфа: вычислены алгебры над операдой сфер. Это операда S = {S(n)|n 1}, где S(n) = {(x1,..., xn ) Rn |x2 + · · · + x2 = 1}.

1 n Легко проверяется, что S есть -подоперада описанной выше опера ды R. Определим многообразие N с помощью следующих операций и тождеств. Множество операций состоит, во-первых, из унарной опе рации a (1)a, такой, что если формально определить операцию a (1)a = a, то тем самым на алгебре A из N определено действие U2 A A (обозначение: (, x) ()x). Во-вторых, имеет место семей ство бинарных операций вида [] : A A A, где [0, 1], действие которых обозначается так: (x, y) [](x, y). При этом должны выпол няться следующие тождества:

[ ] 1 1) []([](x, y), z) = [](x, (y, z));

1() 2) [](x, y) = [ 1 2 ](y, x);

3) ()x = ()(()x);

4) [](()x, ()y) = ()([](x, y)), (1)x = x;

5) [1](x, y) = [1](x, (1)y).

Теорема 6.5.4. Многообразие алгебр над операдой многомерных сфер рационально эквивалентно многообразию N.

Таким образом, в § 6.4 и § 6.5 введены и исследованы новые алгеб раические структуры на, казалось бы, давно и хорошо известных геомет рических объектах.

В последнем, шестом параграфе главы примерно так же, как в § 6.2, строятся операды многомерных стохастических и двоякостохас тических матриц, а также операда многомерных булевских стохастичес ких матриц, и дается интерпретация вероятностных автоматов (см. [8]) как элементов некоторых алгебр над операдой многомерных стохасти ческих матриц. Отметим, что операды и алгебры из этого параграфа -линейны.

В заключительной, седьмой главе изучаются F Set-операды, или, что равносильно (это было показано в главе 3) Ловеровские алгебраичес кие теории. Впрочем, часть результатов справедлива для категорий более общего вида. Эта глава основана на работе [58]. Сначала показывается, что если K есть некоторая категория, обладающая конечными прямыми произведениями, и есть класс морфизмов этой категории, замкнутый относительно взятия суперпозиции морфизмов, и такой, что из следует idX и idX, то категория частных K[1 ] также обладает конечными прямыми произведениями, и канонический функ тор K K[1 ] сохраняет прямые произведения. Отсюда следует, что если K — Ловеровская алгебраическая теория (в том числе и многосорт ная), то и K[1 ] также является Ловеровской алгебраической теорией (с тем же классом сортов, что и K ), и функтор K K[1 ] является морфизмом Ловеровских теорий. Таким образом, для алгебр над F Set операдами существует универсальное обращение гомоморфизмов конечно порожденных свободных алгебр. Другое приложение полученного общего результата о существовании прямых произведений в категориях частных (или равносильного результата о существовании копроизведений) — по строение универсального обращения морфизмов предаддитивных кате горий. Более подробно, если дана предаддитивная категория K, то по ней можно построить категорию M(K) матриц над K, объектами кото рой являются конечные упорядоченные последовательности объектов K, а морфизмами — матрицы, компонентами которых являются морфизмы K. Эта категория предаддитивна, и обладает конечными копроизведе ниями, совпадающими с произведениями. Если теперь взять мультипли кативно замкнутое множество морфизмов M(K), обладающее свой ством idX, idX, то M(K)[1 ] становится предаддитивной категорией с конечными копроизведениями, совпадаю щими с произведениями, причем существует предаддитивная категория C, для которой M(K)[1 ] M(C). Эту категорию естественно обо = значить через K[1 ]. Существует аддитивный функтор K K[1 ], обладающий таким же универсальным свойством, как и в случае колец частных. В случае, если K — ассоциативное кольцо с единицей, K[1 ] также является кольцом, изоморфным кольцу частных кольца K в смыс ле Герасимова-Малколмсона.

Отметим, что известны всего два случая, когда структуру исходной категории можно перенести на категорию частных. Первый случай — это случай, когда множество обращаемых морфизмов удовлетворяет исчис лению частных (левых или правых) [10], [12]. Второй случай рассмотрен в [58] и в главе 7 данной работы.

Библиографические замечания. Большая часть материала первой главы работы содержатся в работах [62] и [66].

Основное содержание главы 2 составляют результаты, анонсиро ванные в [82].

Первый параграф главы 3 основан на работе [62]. Результат анон сирован в [79]. Основные результаты § 3.3 опубликованы в [66]. Теорема 3.4.1 является обобщением основного результата работы [64]. Основной результат § 3.6 анонсирован в [80].

Глава 4 основана прежде всего на работе [65]. Частные случаи ос новного результата этой главы публиковались ранее в работах [83], [84], [85], [86], [61]. Окончательная версия была анонсирована в [80].

Содержащиеся в главе 5 результаты опубликованы в работах [67], [68]. Анонсы предварительных результатов — [72], [74], [77].

Глава 6 составлена в основном из результатов работ [59], [60], [61], [63], [69], [70], [71]. Анонсы некоторых результатов — в [75], [76], [78].

Результаты § 6.1, касающиеся операд конечных помеченных графов и решеток, получили развитие в кандидатской диссертации ученицы авто ра А.В.Семеновой [50].

Глава 7 основана на работе [58]. Основные результаты анонсирова ны в [73].

Предварительная версия части представленных в данной работе ре зультатов содержалась в докладе, анонсированном в [81].

Таким образом, результаты данной работы опубликованы в трина дцати статьях в журналах из списка ВАК [58] – [70], а также в работе [71], и анонсировались в одиннадцати заметках [72] – [82]. В тексте рабо ты встречаются также ссылки на более ранние работы автора [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89].

О некоторых других направлениях теории операд, мультикатего рий, и их приложений можно узнать из работ [98], [99], [100], [111], [117], [119], [120], [115], [118], [124], [125], [126], [127], [130], [135], [136], [139], [140], [141], [144], [145], [146], [147], [151], [152], [153], [155], [159]. Использо ванию операд в топологии и математической физике посвящена довольно обширная литература, но эти темы мало связана с нашей работой. О при менениях операд в алгебраической топологии, кроме книг [7], [45] и [152], можно узнать также из монографии [54], а что касается математической физики, то введением может служить книга [152]. Тут встречаются ра боты с весьма красноречивыми названиями, например, [162]. С современ ным состоянием категорной теории доказательств (тематика, связанная с мультикатегориями) можно познакомиться по книге [9]. Известно так же, что готовится книга Algebraic Operads (авторы — Jean-Louis Loday и Bruno Valette). Судя по всему, эта книга по содержанию должна су щественно отличаться от нашей работы. Литература по теории операд уже довольно обширна, и дать ее полный обзор — достаточно сложная задача. Однако следует отметить, что работ по операдам, напрямую от носящихся к универсальной алгебре, пока еще очень немного. Некоторые названия могут вводить в заблуждение: достаточно, например, сопоста вить содержание часто цитируемого препринта [161] с той универсальной алгеброй, которая излагается в классических книгах [33] и [122].

Среди работ, которые можно отнести к алгебраической теории опе рад, преобладают работы по линейным операдам (это направление в на шей работе представлено главами 4 (отчасти) и 5, и двумя параграфами главы 6). Из недавных работ отечественных авторов по теории линей ных операд отметим [156], где решена одна проблема Куроша, и работы В.В.Доценко и А.С.Хорошкина ([18], а также серия препринтов о базисах Гребнера в операдах: [112], [113], и другие).

Отметим далее, что в последнее время в России было защищено несколько диссертаций, так или иначе связанных с теорией мультика тегорий и операд: кроме уже упоминавшейся диссертации А.В. Семено вой, это кандидатские диссертации В.В.Доценко [19], А.С.Хорошкина, И.А.Долгунцевой [17], а также докторская диссертация П.С.Колесникова [32].

Отметим, наконец, диссертацию [121], где были воспроизведены не которые наши результаты из [62] и [65] (ссылки на [62] и [65] в [121] даны).

Глава 1. Вербальные категории § 1.1. Односортный случай Чтобы дать определение мультикатегории и операды в полной общ ности, необходимо предварительно ввести ряд понятий и обозначений.

Пусть n 0 — натуральное число. Всюду в дальнейшем [n] обозначает множество {0, 1,..., n}. Обозначим через F Set подкатегорию категории множеств с объектами [n], n 0, морфизмами которой являются такие отображения f : [n] [m], что f (0) = 0, и f 1 (0) = {0}. Заметим, что категория F Set изоморфна категории F inOrd всех конечных ординалов, то есть категории с объектами — множествами {1,..., n}, n 1, мор физмами которой служат всевозможные отображения. Функтор, устана вливающий изоморфизм, сопоставляет объекту [n] = {0, 1,..., n} объ ект {1,..., n}, а отображению f : [n] [m] — его ограничение на подмножество {1,..., n} множества [n], образ которого принадлежит подмножеству {1,..., m} множества [m]. Обратный функтор строится очевидным образом.


Категория F Set обладает конечными копроизведениями, которые описываются следующим образом. Естественный изоморфизм [n] [m] [n+m] отображает i [n] в i [n+m], j [m], j 0 — в n+j [n+m].

Поэтому, если даны f : [n] [m], g : [p] [q], то f g : [n + p] [m + q] действует следующим образом: (f g)(i) = f (i) при 0 i n, (f g)(j) = m + g(j) при 1 j p.

Разбиением натурального числа n на m частей в данной работе будет называться неубывающее отображение вида : [n] [m], яв ляющееся морфизмом F Set. Через P обозначим категорию с объекта ми [n], и множествами морфизмов P (n, m) = P ([n], [m]), состоящими из всевозможных разбиений n на m частей. Для P (n, m), и для всех 1 i m положим ni = |1 (i)|. Тогда можно отождествить с упо рядоченной последовательностью (n1,..., nm ) целых неотрицательных чисел длины m, такой, что n1 + · · · + nm = n. Этим объясняется вы бор термина. Если P (n, m), P (m, k), = (m1,..., mk ), то можно записать в виде (n1,1,..., n1,m1,..., nk,1,..., nk,mk ). Теперь компо m1 mk зицию можно описать как последовательность ( n1,i,..., nk,i ). В i=1 i= случае, когда n1 =... = nm = k, разбиение будем обозначать через = (k m ). Если P (n, m), P (k, l),то P (n + k, m + l) (хотя [n + m] не есть копроизведение [n] и [m] в P ). Любое разбиение : [n] [m], представленное в форме (n1,..., nm ), можно мыслить как морфизм tn1... tnm : [n1 ]... [nm ] [1]... [1] = [m], где tk обозначает единственный морфизм категории F Set из [k] в [1].

В категории F Set, изоморфной топосу F inOrd, существуют так же расслоенные произведения. Нам понадобится их явный вид в одном частном случае.

Условимся о терминологии и обозначениях. Пусть a и b — нату ральные числа. При a b положим [a, b] = {a, a + 1,..., b}, при a b полагаем [a, b] =. Множества вида [a, b] будут называться отрезками.

Пусть P (n, m), f : [k] [m] — морфизм из F Set. Рассмотрим расслоенное произведение (декартов квадрат) вида:

[n] [m] [k] 2 [k] (1.1.1) f [m] [n] Лемма 1.1.1. В категории F Set это расслоенное произведение устроено следующим образом. Пусть = (n1,..., nm ). За [n][m] [k] можно принять объект [nf (1) + · · · + nf (k) ]. При этом 2 стано вится неубывающим отображением, которое можно записать как (nf (1),..., nf (k) ). Проекция 1 описывается так: ее ограничение на каждый отрезок [nf (1) + · · · + nf (j1) + 1, nf (1) + · · · + nf (j) ] есть неубы вающая биекция на отрезок [n1 + · · · + nf (j)1 + 1, n1 + · · · + nf (j) ], и 1 (0) = 0.

В случае, когда nf (j) = 0, из сформулированного выше соглашения следует, что оба отрезка пусты. В общем случае речь идет о конечных линейно упорядоченных множествах, каждое из которых состоит из nf (j) элементов. При этом выражение nf (1) + · · · + nf (j) надо понимать как j f (j) nf (i), а n1 +· · ·+nf (j) как ni. Отметим, что при j = 1 имеются i= i= в виду отрезки [1, nf (1) ] и [n1 + · · · + nf (1)1 + 1, n1 + · · · + nf (1) ].

Доказательство. Используем, кроме изоморфизма между F Set и F inOrd, еще тот факт, что категория F inOrd эквивалентна катего рии F inSet всех конечных множеств и их отображений. Отображая с помощью этих двух эквивалентностей объект [n] [m] [k] в категорию F inSet, получаем множество X={(i, j) | 1 i nf (j), 1 j k}, при чем 1 ((i, j)) = n1 + · · · + nf (j1) + i, 2 (i, j) = j. При обратном переходе в F inOrd множество X отображается в объект, изоморфный объекту {1,..., nf (1) + · · · + nf (k) } этой категории, причем элементу (i, j) соответ ствует число nf (1) + · · · + nf (j1) + i. При последующем переходе в F Set к этому множеству добавляется 0, и оно превращается в [nf (1) + · · · + nf (k) ].

Морфизмы 1 и 2, как нетрудно убедиться, приобретают при этом вид, указанный в формулировке леммы.

Проекцию 2 = (nf (1),..., nf (k) ) будем обозначать через f. Пре имущество такого обозначения в том, что если дано g : [p] [k], то (f g) = (f )g. Проекцию 1 обозначим через f. Заметим, что f есть не что иное, как подъем вдоль f ( следуя терминологии и обозна чениям из [21]). Множество [nf (1) + · · · + nf (k) ] можно рассматривать как результат применения функтора замены базы, то есть как f [n].

Определение 1.1.1. Рассмотрим подкатегорию W F Set со всеми теми же объектами [n], морфизмы которой должны удовлетворять следующим условиям:

1) Если f, g M or(W ), то f g M or(W );

2) Если f : [k] [m] есть морфизм из W, то для любого P (n, m) имеет место f W (f [n], [n]).

Категорию W с указанными выше двумя свойствами будем назы вать вербальной.

Укажем несколько очевидных примеров вербальных подкатегорий.

1) Тривиальная категория W Id, морфизмы которой — тождествен ные отображения вида [n] [n] для всех n = 0, 1, 2,....

2) Категория, в которой (n, m) пусто при n = m, а (n, n) = n — группа подстановок n-й степени.

3) Категория M on, морфизмами которой являются все мономор физмы (то есть инъекции) из F Set. То, что инъекции и мономорфизмы в F Set — это одно и то же, следует из эквивалентности категорий F Set и F inOrd. Первое свойство из определения вербальной категории для M on очевидно. Чтобы проверить второе, надо вспомнить, что в любом топосе из мономорфности f следует мономорфность f для любого.

4) Категория Epi, морфизмами которой являются все эпиморфиз мы (то есть сюръекции) из F Set. Как и выше, чтобы проверить это, проще всего использовать эквивалентность F Set и F inOrd. Здесь на до использовать то, что в топосе F inOrd из эпиморфности f следует эпиморфность f.

5) Наконец, вся категория F Set также является вербальной.

Лемма 1.1.2. Если {Wi |i I} — любое семейство вербальных кате горий, то вербальной является и категория Wi, класс морфизмов iI которой есть M or(Wi ). Как следствие этого, множество всех вер iI бальных категорий является полной решеткой с минимальным элемен том W Id и максимальным элементом F Set.

Доказательство. Очевидно.

Аналогично тому, как это было сделано выше для расслоенных произведений, прямые произведения [n] [k] в F Set можно описать следующим образом. Из обычного теоретико-множественного описания произведения как множества пар исключаются пары вида (i, 0), i 0, (0, j), j 0, после чего производится отождествление оставшегося под множества с [nk] Ob(F Set), причем (0, 0) соответствует элементу 0, а паре (i, j), где 1 i n, 1 j k, соответствует i + n(j 1) [nk].

Проекция на второй сомножитель 2 : [nk] [k] при этом оказывается морфизмом (nk ) из P. Первую проекцию 1 : [nk] [n] будем также обозначать через µk,n. Она отображает в i, 1 i n, элементы вида i, i + n, i + 2n,..., i + (k 1)n. При отождествлении [nk] с k -кратным ко произведением [n] то же самое отображение получается по универсаль ному свойству копроизведений из семейства тождественных отображений [n] [n] (коконуса), взятых по одному для каждого “слагаемого” в ко произведении. Если даны f : [n] [m], g : [k] [l], то f g : [nm] [kl] определяется формулой i + (j 1)n f (i) + (g(j) 1)m.

Докажем одно существенное свойство вербальных подкатегорий F Set.

Лемма 1.1.3. Пусть W — вербальная подкатегория категории F Set, f W ([n], [m]), g W ([k], [l]). Тогда f g W ([nk], [ml]).

Доказательство. Представим f g в виде композиции f 1[k] :

[nk] [mk], и 1[n] g : [nk] [nl]. Легко заметить, что отображение f 1, действующее по правилу i + (j 1)n f (i) + (j 1)m, совпадает с отображением f... f : [nk] = [n]... [n] [m]... [m] = [mk].

Согласно определению вербальной категории, отсюда следует, что f 1 M or(W ). Из этого, однако, не вытекает автоматически, что g M or(W ). Воспользуемся следующим фактом. В любой категории с прямыми произведениями следующий квадрат будет декартовым:

1g X Y X Z Y Z g Y Z Здесь Y, Z обозначают проекции на соответствующие множители.

Частным случаем этого является следующая диаграмма:

1g [nk] [nl] k l (n ) (n ) g [k] [l] Отсюда, согласно второму условию из определения вербальной катего рии, следует, что 1 g M or(W ).

Так как в категории F Set изоморфные объекты совпадают, то в диаграмме (1.1.1) всегда имеет место равенство [n] [m] [k] = [nf (1) + · · · + nf (k) ]. С учетом этого дополним лемму 1.1.1 следующим образом.

Лемма 1.1.4. Если в диаграмме (1.1.1) потребовать, чтобы проек ция 2 была неубывающим отображением, а ограничение проекции на каждый отрезок [nf (1) +· · ·+nf (i1), nf (1) +· · ·+nf (i1) +nf (i) ] есть не убывающая инъекция, то 2 = f : [nf (1) + · · · + nf (k) ] [k], а морфизм 1 однозначно определяется из этих условий как определенное выше отображение f.

Доказательство. Итак, полагаем [n] [m] [k] = [nf (1) + · · · + nf (k) ].

Из определения расслоенного произведения следует, что существует един ственное отображение : [nf (1) + · · · + nf (k) ] [nf (1) + · · · + nf (k) ] со свойствами: 1 = f, 2 = f. Достаточно будет показать, что при сделанных предположениях — тождественное отображение. По ложим ki = nf (1) + · · · + nf (i1). Тогда из 2 = f и условия неубывния 2 следует 2 (i) = [ki + 1, ki+1 ] для каждого i, 1 i k, причем ([ki + 1, ki+1 ]) = [ki + 1, ki+1 ]. Теперь из 1 = f, условия неубывания ограничения 1 на [ki + 1, ki+1 ], инъективности этого ограничения и из аналогичных свойств f следует, что ограничение на [ki + 1, ki+1 ] есть тождественное отображение для каждого i. Следовательно, то же самое верно для всего.

Следствие 1.1.1. Имеют место следующие тождества:

(f g) = (f )(g (f )), (1.1.2) f () = (f ) (1.1.3) ()f = (f )((f )), (1.1.4) (f g) = (f )g (1.1.4) Доказательство. Внешний контур диаграммы (f ) f (f ) [r] f [n] [k] (f ) f f [n] [m] [r] должен совпадать с диаграммой ()f f [r] [k] f () f [m] [r] Это следует, во-первых, из того, что внешний контур диаграммы, каж дый квадрат которой есть диаграмма расслоенного произведения, сам является диаграммой расслоенного произведения, а во-вторых, из леммы 1.1.3. Аналогично доказываются и другие равенства.

§ 1.2. Дальнейшие примеры вербальных категорий Вербальная категория, порожденная даным множеством отображе ний — это минимальная вербальная категория, содержащая данное мно жество.

Рассмотрим f : [k] [m]. Будем говорить, что f содержит транс позицию, если найдутся такие i1, i2 [k], что i1 i2, f (i1 ) f (i2 ), причем f 1 (f (i1 )) = {i1 }, f 1 (f (i2 )) = {i2 }.

Лемма 1.2.1. Пусть W — некоторая вербальная категория, f W, и f содержит транспозицию. Тогда W.

Доказательство. Пусть f : [k] [m]. Рассмотрим разбиение = (n1,..., nm ), в котором nf (i1 ) = nf (i2 ) = 1, nj = 0 для других j.

Тогда f : [2] [2] есть транспозиция (1, 2): 1 2, 2 1. По опре делению вербальной категории, f является морфизмом W. Поскольку тождественные морфизмы [l] [l] принадлежат W, и копроизведение морфизмов из W также будет морфизмом W, то для любого n 0 каж дая транспозиция (i, i + 1) n снова будет морфизмом из W. Поскольку W — категория, т.е. суперпозиция морфизмов W снова будет морфизмом W, то для каждого n 0 будем иметь включение n W ([n], [n]).

Следствие 1.2.1. Любая нетождественная подстановка n, n 2, порождает как вербальную категорию.

Это означает, что — минимальная (по включению) нетривиаль ная вербальная категория.

Лемма 1.2.2. Пусть f Mor(M on). Тогда наименьшая вербальная категория, содержащая f и M on, совпадает с категорией F Set.

Таким образом, M on — максимальная нетривиальная вербальная подкатегория.

Доказательство. Если f Mor(M on), f : [k] [m], то это означает, что существует i, 1 i m, такой, что |f 1 (i)| = l 1.

Выберем разбиение = (n1,..., nm ), в котором ni = 1, и nj = 0 при j = i. Тогда f есть отображение [l] [1]. Согласно определению вербальной категории, это морфизм категории W. Поскольку морфиз мами W являются любые инъективные отображения (морфизмы F Set) вида [r] [l], 1 r l, то, взяв суперпозицию, получаем, что любой морфизм вида [r] [1] также принадлежит W. Рассматривая суперпо зиции вида [r1 ] · · · [rs ] [1] · · · [1] = [s] [1], и итерации таких отображений, приходим к выводу, что категории W принадлежат все морфизмы вида [p] [1] при любом целом p 0. Рассматривая, далее, копроизведения морфизмов такого вида, заключаем, что в число морфиз мов W попадают все сюръективные неубывающие морфизмы F Set. Но так как мы имеем возможность брать суперпозиции таких морфизмов (и слева, и справа) с подстановками (морфизмами, M on), то отсюда следует, что морфизмами W будут все сюръективные морфизмы F Set.

Теперь воспользуемся тем, что любой морфизм из F Set можно предста вить в виде суперпозиции сюръективного и инъективного отображений (морфизмов). Так как оба компонента этой суперпозиции принадлежат W, то и суперпозиция принадлежит Mor(W ).

Лемма 1.2.3. Пусть f Mor(Epi). Тогда наименьшая вербальная ка тегория, содержащая f и Epi, совпадает с категорией F Set.

Таким образом, Epi — также максимальная нетривиальная вер бальная подкатегория.

Доказательство. Пусть f : [k] [m] не является сюръектив ным отображением. Это означает, что существует элемент i, 1 i m, такой, что f 1 (i) =. Как и при доказательстве предыдущих лемм, выберем разбиение = (n1,..., nm ), в котором ni = 1, и nj = 0 при j = i. Тогда f есть морфизм [0] [1] категории F Set. Согласно определению вербальной категории, это морфизм категории W. Рассмат ривая всевозможные копроизведения этого морфизма с тождественными морфизмами [1] [1], приходим к выводу, что к числу морфизмов W относятся любые неубывающие инъективные отображения [s] [n], s n. Но так как есть возможность брать суперпозиции с подстанов ками, то морфизмами W являются любые инъективные отображения.

Отсюда, как и в предыдущей лемме, заключаем, что W = F Set.

Следствие 1.2.2. Пусть f Mor(M on), f Mor(). Тогда f вместе с порождает вербальную категорию M on.

Таким образом, между и M on нет других вербальных категорий.

Доказательство фактически содержится в доказательстве пре дыдущей леммы, так как из условия следует, что f не сюръекция.

Рассмотрим морфизм f : [k] [m] категории F Set. Назовем спектром этого отображения множество ненулевых натуральных чисел вида |f 1 (j)|, где 1 j m. Обозначим это множество через spc(f ).

Поскольку других спектров в данной работе нет, то такое название и обозначение не должно привести к недоразумению.

Лемма 1.2.4. Пусть W — некоторая вербальная категория, f Mor(W ). Тогда в W содержатся все неубывающие сюръективные ото бражения, спектры которых содержатся в spc(f ).

Доказательство. Пусть f : [k] [m]. Пусть i [m] таков, что f 1 (i) =. Это значит, что l = |f 1 (i)| spc(f ). Рассмотрим разбиение = (n1,..., nm ), в котором ni = 1, и nj = 0 при j = i. Тогда f есть отображение [l] [1]. Этот морфизм принадлежит категории W.

Всевозможные копроизведения морфизмов такого вида — это в точности те морфизмы, о которых говорится в формулировке леммы.

Лемма 1.2.5. Для любого разбиения имеет место включение spc(f ) spc(f ). Кроме того, имеет место равенство n spc(f1 · · · fn ) = spc(fi ).

i= Доказательство. Если f : [k] [m], и = (n1,..., nm ), то f есть отображение из [nf (1) + · · · + nf (k) ] в [n1 + · · · + nm ], биективно и с сохранением порядка отображающее каждый отрезок [nf (1) +· · ·+nf (i1) + 1, nf (1) + · · · + nf (i1) + nf (i) ] на отрезок [n1 + · · · + nf (i)1 + 1, n1 + · · · + nf (i)1 + nf (i) ]. Это значит, что у каждого элемента из отрезка [n1 + · · · + nf (i)1 + 1, n1 + · · · + nf (i)1 + nf (i) ] прообразов ровно столько же, сколько прообразов у элемента i [m] относительно отображения f. Ввиду того, что некоторые nj могут быть равными нулю, часть элементов спектра spc(f ) может не встречаться в spc(f ).

Последнее утверждение леммы непосредственно вытекает из опре деления копроизведения морфизмов.

Для каждого натурального m 1 обозначим через V(m) подка тегорию F Set, объекты которой те же, что и в F Set, а морфизм f Mor(V(m) ) тогда и только тогда, если f сюръективное отображение, и из t spc(f ) следует, что либо t = 1, либо t m. Легко проверяется, что V(m) действительно категория, причем V(1) = Epi, и V(m+1) V(m) для всех m (включения строгие).

Пусть Z = {m1, m2,... } — конечное или счетное семейство нату ральных чисел, больших единицы. Обозначим через V{Z} подкатегорию F Set с теми же объектами, морфизмы которой характеризуются следую щим образом: f M or(V{Z} ) тогда и только тогда, если f сюръективно, и spc(f ) состоит из чисел вида km m + 1, где km 0, и почти все mZ km = 0.

Теорема 1.2.1. V(m) и V{Z} — вербальные категории.

Доказательство. То, что V(m) — категория, следует из того очевидного факта, что если f : [k] [m] и g : [l] [k] — сюръективные отображния, и x [m], то |f 1 (x)| |(f g)1 (x)|. Вербальность этой категории вытекает из леммы 1.2.5.

Покажем, что V{Z} является категорией. Пусть Z = {m1, m2,... }.

Рассмотрим отображения f : [k] [n], g : [l] [k], и пусть x [n], f 1 (x) = {y1,..., ys }, |g 1 (yj )| = tj для всех j. Тогда |(f g)1 (x)| = t1 + · · · + ts. Если для каждого j имеется равенство tj = bj,r mr + 1, то r s |(f g) (x)| = bj,r mr + s, j=1 r а если s = ar mr + 1, то получаем в результате:

r s |(f g) (x)| = (ar + bj,r )mr + 1, r j= и это означает, что f g Mor(V{Z} ). То, что категория V{Z} является вербальной, снова следует из леммы 1.2.5.

Замечание 1.2.1. Не исключено, что категории V{Z1 } и V{Z2 } мо гут совпадать при различных Z1 и Z2. Условия, при которых это воз можно, несущественны для целей данной работы. Важно пока то, что решетка вербальных категорий бесконечна (не менее чем счетна).

Замечание 1.2.2. Из доказательства леммы 1.2.3 следует, что ес ли W — некоторая вербальная категория, f Mor(W ) и отображение f не сюръективно. Тогда M on W и P W. Отсюда, в свою очередь, следует, что условие сюръективности из определения морфизмов V(m) и V{Z} исключить нельзя. Ибо если в вербальной категории W содержится несюръективный морфизм, то в ней содержится целиком подкатегория P. Ввиду этого невозможно обеспечить условие, чтобы числа из спект ров морфизмов категории не попадали в промежуток между единицей и заданным числом m, и невозможно обеспечить условие, чтобы числа из спектров имели только вид km m + 1.

mZ Теорема 1.2.2. Категория P M on (т.е. подкатегория категории F Set, морфизмами которой являются все неубывающие инъективные отображения) является вербальной.

Доказательство. Все проверки производятся очевидным об разом. Например, если f : [k] [m] — неубывающая инъекция, и = (n1,..., nm ) — произвольное разбиение, то f : [nf (1) + · · · + nf (k) ] [n1 + · · · + nm ] биективно и с сохранением порядка отобража ет каждый отрезок [nf (1) + · · · + nf (i1) + 1, nf (1) + · · · + nf (i) ] на отрезок [n1 + · · · + nf (i)1 + 1, n1 + · · · + nf (i) ]. Ввиду инъективности f отображе ние f также инъективно. Ввиду того, что f сохраняет порядок, отрезки [n1 + · · · + nf (i)1 + 1, n1 + · · · + nf (i) ] располагаются в [n1 + · · · + nm ] в том же порядке (слева направо), в котором располагаются и отрезки [nf (1) + · · · + nf (i1) + 1, nf (1) + · · · + nf (i) ] внутри [nf (1) + · · · + nf (k) ].

Теорема 1.2.3. Категория P не содержится ни в какой нетривиаль ной вербальной категории. Иными словами, минимальная по включению вербальная категория, содержащая P, есть F Set.

Доказательство. Опишем сначала основную идею доказатель ства. Рассмотрим произвольный морфизм f : [k] [m] категории F Set.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.