авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

«Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ...»

-- [ Страница 2 ] --

Предположим, что отображение f сюръективно. Положим Xi = f 1 (i) для каждого i [m]. Тогда [k] = X1 · · · Xm, и множества Xi и Xj не пересекаются при i = j. Для любых непустых непересекающихся под множеств A, B [k] будем обозначать через A B то обстоятельство, что каждый a A меньше любого b B. Можно (единственным об d разом) представить каждое Xi в виде Xi = Xi,j, где множества Xi,j j= попарно не пересекаются, причем некоторые из них могут быть пустыми, и если Xi,j1 и Xi,j1 непусты, и j1 j2, то Xi,j1 Xi,j2. Еще одно усло вие, которому должен удовлетворять такой выбор, заключается в том, что если i1 i2, и Xi1,j1 и Xi2,j2 непусты, то Xi1,j1 Xi2,j2. Положим ni,j = |Xi,j |, и пусть i,j : [ni,j ] [1] — морфизмы из P для всех i, j.

Пусть : [m] [1] и : [d] [1] — еще два морфизма из P. Тогда имеет место тождество:

d m f = ( )( i,j ) (1.2.1) j=1 i= В правой части этого равенства левый множитель содержится в каждой вербальной категории, содержащей P, а правый множитель есть мор физм P. В случае произвольного h : [k] [n] существует очевидное представление h = gf, где f : [k] [m] — сюръекция, а g : [m] [n] — неубывающая инъекция, то есть морфизм из P. Из всего этого следует, что минимальная вербальная категория, содержащая P — это F Set.

Теперь опишем алгоритм построения множеств Xi,j. Описание про изводится на псевдопаскале.

i, j Xi,j := ;

l := 1;

while l k do begin j := 1;

for i = 1 to m do if l Xi then begin Xi,j := Xi,j {l};

l := l + 1;

end;

j := j + 1;

end;

d := j;

Теперь обоснуем тождество (1.2.1). Пусть l Xi,j Xi [k]. Это значит, что f (l) = i. Рассмотрим равенство:

d m d m [k] = Xi,j = [ni,j ], j=1 i=1 j=1 i= в котором подмножества Xi,j соответствуют “прямым слагаемым” [ni,j ], m m Морфизм (отображение) ( i,j ) отображает элементы из [ni,j ] в эле j=1 i= мент (j 1)m + i [m · d]. Отображение : [m · d] [m] переводит элементы вида (j 1)m + i в элемент i. Таким образом, результат дей ствия отображения из правой части (1.2.1) на l равен i.

§ 1.3. Многосортный случай Пусть S — некоторый класс объектов. Через S обозначим класс всевозможных конечных упорядоченных последовательностей элементов S (слов в алфавите S, или строк из символов алфавита S ). Через e S обозначим пустое слово, являющуюся единицей полугруппы S относи тельно операции приписывания слов друг к другу. Пусть s = s1... sm S, si S,1 i m. Через (s) обозначается длина слова или стро ки s, в данном случае равная m. Рассмотрим категорию F Set из § 1.1, и морфизм этой категории f : [n] [m]. Напомним, что здесь [n] = {0, 1,..., n}, и отображение f таково, что f (i) = 0 тогда и только тогда, если i = 0. Положим sf = sf (1)... sf (n). Ясно, что s(f g) = (sf )g.

Определим две категории, классами объектов которых является S.

В категории F SetS морфизмами из u = u1... un в v = v1... vm будут все такие отображения (точнее, морфизмы F Set) f : [n] [m], такие, что u = vf. Будем говорить, что отображение f представляет морфизм u v (или что этот морфизм представляется отображением f ). Одно и то же отображение, таким образом, может представлять многие мор физмы F SetS, однако часто будет удобно обозначать одним и тем же символом (например, f ) и морфизм категории F SetS, и представляю щий его морфизм из F Set. Композиция морфизмов F SetS определяется очевидным образом. Отметим одно важное обстоятельство. Если в слове v все символы различны, то по морфизму u v из категории WS од нозначно определяется морфизм f из категории W такой, что vf = u.

Это свойство (в справедливости которого легко убедиться) в дальнейшем окажется полезным во второй главе при доказательстве коммутативнос ти некоторых диаграмм.

Определим категорию PS, объектами которой являются слова из S, а морфизмами из слова s в слово t = t1... tm являются всевозмож ( ) ные выражения вида s1,...,sm, где si есть подслова s, и s = s1... sm.

m t1,...,t Это обозначение аналогично обозначению подстановки: строка si рас полагается над символом ti. Элементы из PS (s, t) можно интерпрети ровать как подстановки вместо символов t подслов слова s. Если = (s1,...,sm ) t1,...,tm PS (s, t), si = si,1... si,ki, 1 i m, и PS (u, s), то имеет ( u1,1,...u ) ( ) вид s1,1,...,s1,k1,...,um,1,...,sm,km. Тогда положим = (u1,1...u1,k1 ),...,(um,1...um m ), m,1,...u m,k 1,k,...,s t1,..., t m,k m где выражения в скобках в верхней строке есть результат приписывания слов друг к другу. И в категории F SetS, и в категории PS операция при писывания друг к другу слов является функтором от двух аргументов, обладающим свойством строгой ассоциативности. Пусть даны морфиз мы категории F SetS : f1 : u1 t1, f2 : u2 t2. Обозначим результат действия функтора приписываения слов на морфизмах через f1 f2. Это обозначение полностью согласуется с определением f1 f2 в категории F Set, данном в § 1.1. Таким образом, (t1 t2 )(f1 f2 ) = u1 u2. Аналогичным ( ) образом, если даны морфизмы категории PS, например, = s1,...,sm и m t1,...,t (w1,...,wk ) = v1,...,vm, то ( ) s1,..., sm, w 1,..., w k =.

t1,..., tm, v1,..., vm Результат операции будем далее называть копроизведением, хотя это и не всегда “настоящее” копроизведение в категорном смысле.

В случае, когда S состоит из одного элемента, категория PS изо морфна категории P из § 1.1.

Заметим, что в случае произвольного S существует функтор из ( ) в P, переводящий объект (слово) s в [(s)], морфизм = s1...sm PS m t1...t — в разбиение ((s1 )... (sm )) Этот функтор является полным и унива лентным, хотя и переводит неизоморфные объекты в изоморфные. Кроме всего прочего, этот функтор переводит копроизведения в копроизведе ния. Морфизмы PS также будем называть разбиениями. Аналогичным образом, имеется функтор из F SetS в F Set, отображающий s в [(s)], действие которого на морфизмах соответствует имеющемуся по опреде лению отображению F SetS (u, s) F Set([(u)], [(s)]), которое переводит морфизм в представляющее его отображение из F Set. И этот функтор отображает копроизведения в копроизведения.

Определим теперь аналог f в категории F SetS. Пусть f : [k] [m] — морфизм категории F Set. Этим же символом обозначим морфизм u t категории F SetS, такой, что tf = u. Таким образом, u = u1... uk, t = t1... tm и ui = tf (i) для всех i. Рассмотрим морфизм : s t (,...,sm ) категории PS. Пусть = s1,...,tm.

t Лемма 1.3.1. Существует единственное слово w = sf (1)... sf (k) та кое, что s(f ) = w и определен морфизм категории PS из w в u, ( ) имеющий вид sf (1),...,sf (k).

u1,..., uk Доказательство. Легкая проверка.

Определение 1.3.1. Пусть дан морфизм f : u t категории ( ) F SetS, и морфизм = s1,...,sm : s = s1... sm t = t1... tm. В категории m t1,...,t F SetS определим объект f s = sf (1)... sf (k) и морфизм f : f s s (су ществующие по предыдущей лемме). В категории PS определен морфизм ( ) f = sf1(1),...,sf,uk.

(k) u,...

Следствие 1.3.1. В категории F SetS имеют место следующие тож дества:

(f g) = (f )(g (f )) (1.3.1) f () = (f ) (1.3.2) В категории PS имеют место следующие тожденства:

()f = (f )((f )), (1.3.3) (f g) = (f )g (1.3.4) Доказательство. Следует из определения и из следствия 1.1.1.

Весь этот набор определений и тождеств можно систематизировать, используя понятие двойной категории (double category), введенное Ш.

Эресманом (см. [114]). Напомним, что это такое, следуя [133]. Двойная категория D — это следующий комплекс данных. Во-первых, класс объектов Ob(D). Во-вторых, две категории с одним и тем же классом объектов Ob(D). Морфизмы одной из них называются горизонтальны ми стрелками, морфизмы другой — вертикальными. Кроме того, для некоторых четверок объектов и стрелок, двух горизонтальных и двух вертикальных, показанного на следующей диаграмме вида a A B x y b C D определено понятие квадрата. Вообще говоря, одни и те же четверки объектов и стрелок могут соответствовать различным квадратам, хотя в описывемых ниже ситуациях это и не так. Для квадратов определены два типа композиции, горизонтальная и вертикальная. Горизонтальная композиция квадратов вида a c A B B E и x q2 y y q1 z b d C D D F есть квадрат ca A E x q1 · q2 z db C F Вертикальная композиция квадратов вида a b A B C D и x q2 y u q1 v b e C D G H есть квадрат a A B ux q1 q2 vy e G H Горизонтальные и вертикальные композиции должны быть ассоциатив ными. Более того, предполагается существование особых квадратов вида h a A A A B A x 1x x vA 1a vB,, a h A B C C C в которых hA, vA обозначают тождественные морфизмы для горизон тальных и вертикальных стрелок, и которые играют роль тождест венных “морфизмов” для горизонтальных и вертикальных композиций квадратов соответственно. В частности, вертикальные стрелки стано вятся объектами категории, морфизмы которой — квадраты, а компози ция морфизмов есть горизонтальная композиция квадратов. Аналогичная ситуация имеет место и для горизонтальных стрелок. Кроме того, дол жен выполняться ряд условий согласованности разных типов композиций и единиц. В ситуации X1 X2 X q1 q Y1 Y2 Y q3 q Z1 Z2 Z должно выполняться равенство:

(q4 · q3 ) (q2 · q1 ) = (q4 q2 ) · (q3 q1 ) Для квадратов-единиц должно быть 1a · 1c = 1ac, и аналогично для вер тикальных композиций. Наконец, требуется совпадение квадратов h h A A A A A A и vA 1vA vA vA1hA vA h h A A A A A A Теорема 1.3.1. Для любого класса символов S существует двойная категория DF SetS объекты которой — конечные слова s в алфавите S, горизонтальные стрелки вида s t есть разбиения PS (s, t), вер тикальные стрелки — морфизмы f : u v из F SetS (u, v), а квадраты удобно представлять в виде:

f f s u f f s t Горизонтальная и вертикальная композиция определяются как компо зиции разбиений и морфизмов F SetS, а композиции квадратов — при писыванием квадратов в одинаковыми сторонами и взятием соответ ствующих композиций сторон (заметим, что в многосортном случае говорить о коммутативности квадратов не имеет смысла).

Доказательство. Все следует из определения и из следствия 1.3.1.

Сформулируем многосортный вариант определения вербальной ка тегории.

Определение 1.3.1. Рассмотрим подкатегорию W F SetS, та кую, что Ob(W ) = Ob(F SetS ), и допустим, что морфизмы W удовлетво ряют следующим условиям:

1) Если f, g M or(W ), то f g M or(W );

2) Если f : u t есть морфизм из W, то для любого PS (s, t) имеет место включение f W (f s, s).

Категории W с указанными выше двумя свойствами будем назы вать вербальными.

Пример 1.3.1. Пусть W — вербальная подкатегория F Set и S — произвольный класс. Тогда определена вербальная подкатегория WS ка тегории F SetS, морфизмами которой служат все морфизмы F Set, кото рые представляются морфизмами из W. В теореме 1.3.3 будет показано, что каждая вербальная подкатегория F SetS имеет вид WS для подходя щей подкатегории W F Set.

Определен функтор S : WS W, сопоставляющий строке s = s1... sn S объект [(s)] = [n], а морфизму u v — представляющий его морфизм из W.

Теорема 1.3.2. Любая вербальная подкатегория W категории F SetS определяет двойную подкатегорию DW двойной категории DF SetS, объекты которой те же, что и в DF SetS, горизонтальные стрелки — все морфизмы PS, вертикальные стрелки — все морфизмы W, а квадраты — все квадраты DF SetS, боковые стороны который явля ются морфизмами W.

Доказательство. Следует из определения W и из теоремы 1.3.1.

Пусть W — вербальная подкатегория категории F Set, а S и T — два класса. Допустим, что имеется отображение h : S T. Тогда опреде лен функтор Wh : WS WT, действующий следующим образом. Объект s = s1... sn категории WS отображается в объект h(s) = h(s1 )... h(sn ) категории WT, а морфизму sf s, представленному отображением f : [m] [n] из W, соответствует морфизм h(s)f = h(sf ) h(s) из WT, представленный тем же f. Имеет место равенство функторов:

T Wh = S. Функторы вида Wh потребуются в § 2.2 для определения W -мультифункторов. То, что по h можно построить и двойной функтор DWS DWT, в данной работе не потребуется.

Теорема 1.3.3. Для любого класса объектов S существует взаимно однозначное соответствие между вербальными подкатегориями кате гории F SetS и вербальными подкатегориями категории F Set.

Доказательство. Соответствие W WS уже описано выше. Об ратно, пусть W — некоторая вербальная подкатегория категории F SetS.

Определим подкатегорию W категории F Set следующим образом. Мор физм f : [n] [m] категории F Set считается морфизмом W, если f представляет морфизм v u категории W. В частности, должно вы полняться равенство vf = u. Пусть x = x1... xm S — произволь ( ) ная строка. Рассмотрим = x1...xm PS. По определению категории m v1...v W, морфизм f принадлежит категории W. Но это фактически мор физм, соответствующий тому же отображению f, только действующему на другую строку, а именно: f : xf x. Из этого следует, что в опре делении f как морфизма W можно утверждать, что для каждой строки v длины m морфизм vf v, представленный отображением f, есть морфизм категории W. Теперь легко доказывается, что W — подкате гория категории F Set, обладающая всеми свойствами вербальной под категории. Например, пусть дан морфизм f : [k] [m] категории W и разбиение = (n1,..., nm ), которое рассматривается в том числе и как морфизм [n] [m] из F Set, где n = n1 + · · · + nm. Рассмотрим морфизм ( 1...xm ) f : vf v категории W, и разбиение = x1...vm PS, где для каж v дого i строка xi имеет длину ni. Тогда морфизм f : xf (1)... xf (k) x1... xm, во-первых, является морфизмом W, а во-вторых, по самому своему определению совпадает с морфизмом, представляемым отображе нием f : [nf (1) + · · · + nf (k) ] [n1 + · · · + nm ]. Но это означает, что f есть морфизм W. Из определения W также ясно, что W = WS.

Взаимная обратность соответствий W WS и W W очевидна.

Замечание 1.3.1. Теорема 1.3.3 означает, что каждый раз, ког да возникает необходимость использовать вербальные категории, можно считать, что имеются в виду подкатегории F Set. Если дано множество сортов S, то многосортные конструкции однозначно строятся, исходя из односортных. Поэтому в дальнейшем, когда речь пойдет о вербальных категориях, не будет проводиться различий между односортным и мно госортным случаями. Однако подчеркнем, что это относится только к вербальным категориям.

Замечание 1.3.2. Условия, определяющие вербальные катего рии, можно фактически найти уже в книге [7]. Эти условия являются важной составной частью определения S -операд (мультикатегорий). В литературе повсеместно используется либо случай W = (симметри ческие операды), либо W = W Id (несимметрические операды). Случай W = F Set появился в работе автора [60], а общее определение (для од носортного случая) — в [62]. Многосортный случай был введен в [66].

Позднее автор познакомился с работой [134], где, по-видимому, была вы сказана аналогичная идея, хотя и без явно прописанного определения.

Обсуждение вербальных категорий и их роли в универсальной алгебре будет продолжено в § 3.4 и § 3.7.

Глава 2. Мультикатегории над вербальными категориями § 2.1. Определения и примеры Мультикатегорию можно определить как обобщение категории, в котором “стрелки” имеют не одно “начало” (объект), а несколько. Двой ственным образом можно рассматривать и стрелки с одним началом и несколькими концами. Судя по всему, понятие мультикатегории впервые появилось в работе [137]. Понятие S -операды (многосортной операды с множеством или классом сортов S ) было введено в книге [7]. Тот факт, что мультикатегории и S -операды — это, по сути, одно и то же, был замечен, по-видимому, не сразу. В ряде работ (см., например, [140]) по нятие мультикатегории было существенно обобщено. Для приложений к многосортным универсальным алгебрам нам будет необходим исходный вариант определения, который будет расширен в несколько ином направ лении, чем в [140], а именно с привлечением вербальных категорий. Ниже будут даны точные определения и несколько важных примеров.

Определение 2.1.1. Левый мультиграф R над вербальной кате горией W (или левый W -мультиграф) есть следующий комплекс дан ных. Во-первых, задан класс объектов (вершин) S = Ob(R). Далее, для каждого (конечного, в том числе, возможно, пустого) слова x = x1... xn в алфавите S, и объекта y S определено множество R(x, y) (возмож но, пустое). Элементы R(x, y) будем называть мультистрелками, и записывать в виде : x y. Далее, для каждого t S соответствие op s R(s, t) есть контравариантный функтор из категории WS (двой ственной к категории WS ) в категорию множеств. Его действие обозна чается так: если f WS (s, u), R(s, t), то R(f )() = f R(u, t).

Отображение R(f ) : R(s, t) R(u, t) также будет обозначаться через f.

Альтернативным названием для левого W -мультиграфа будет ле вая W -сигнатура, или левая S -W -сигнатура, где S есть класс объ ектов. Отметим, что сигнатуры в обычном, принятом в универсальной алгебре смысле — это S -W -сигнатуры в смысле определения 2.1.1, в которых множество S одноэлементно, а категория W = W Id, то есть тривиальна. Если же рассматривать многосортные (или многосновные) алгебры, то сигнатуры для таких алгебр — это S -W Id-сигнатуры, где S — множество (или класс) сортов.

Определение 2.1.2. Левая мультикатегория R над вербаль ной категорией W (или левая W -мультикатегория) есть левый W мультиграф, в котором для непустых множеств мультистрелок опреде лена операция композиции:

R(y1... ym, z) R(x1, y1 ) · · · R(xm, ym ) R(x1... xm, z) (2.1.1) которая будет обозначаться следующим образом:

(, 1,..., m ) 1... m = (1... m ) Здесь xi = xi,1 xi,2... xi,ni, i R(xi, yi ), 1 i m, R(y1... ym, z).

Композицию можно представлять следующим образом в виде кар тинки:

x1, y1  1...

z y x.. 2...... x1,n.

ym m...m, xm,nm Операция композиции должна удовлетворять следующим свойст вам.

1) (Ассоциативность). Для тех наборов стрелок, для которых ком позиции существуют (здесь i = i,1... i,ni ), имеет место равенство:

(1... m )( 1... m ) = (1 1 )... (m m ) 2) (Существование единиц). Для каждого объекта x S в R(x, x) су ществует стрелка 1x = idx = x (эти стрелки называются единицами мультикатегории), и для любой стрелки R(x1... xm, y) должны вы полняться соотношения 1x1 1x2... 1xm = = 1y.

3) Если R(s1... sm, t), i R(ui, si ), fi : v i ui — морфизмы категории WS, 1 i m, то имеет место тождество:

(1 f1 )... (m fm ) = (1... m )(f1 · · · fm ).

4) Если R(s, t), (s) = k, i R(wi, ui ), 1 i m, u = u1... um, f : s u является морфизмом WS, представленным ( 1...wm ) отображением f : [k] [m], = w1...um, 1 i m, то имеет мес u то тождество:

(f )1... m = (f (1)... f (k) )(f ).

Необходимо помнить, что в выражении f морфизм f есть морфизм op категории WS, двойственной к категории WS.

Левая W -мультикатегория с одним объектом называется левой W n операдой. Если объект x один, то вместо R(x... x, x) будет употреблять ся обозначение R(n).

Отметим, что на протяжении большей части данной работы (за исключением § 6.2 и § 6.3) будут использоваться только левые мульти графы, мультикатегории и операды, и это, как правило, не будет далее специально оговариваться.

Замечание 2.1.1. Ничто не мешает определить двойственным образом правые мультикатегории, где заданы множества мультистрелок вида R(x, y), и операции композиции R(y1, z 1 )... R(ym, z m ) R(x, y1... ym ) R(x, z 1... z m ) обозначаемые следующим образом:

(1,..., m, ) 1... m = (1... m ).

Должны выполняться свойства, аналогичные сформулированным в опре делении 2.1.2. Графически мультистрелки правой мультикатегории мож но представлять как стрелки вида x y1... yn, с одним началом x и несколькими концами y1,..., yn. По каждой левой мультикатегории ес тественным образом можно определить двойственную к ней правую, а по правой — левую. Это, в сущности, та же самая процедура, что и взятие дуальной категории, но в случае мультикатегорий двойственный объект имеет несколько иную природу. Имеются также естественные примеры (в частности, тензоры, где композиция мультистрелок — свертка), ког да левая и правая мультикатегории (операды) присутствуют в едином комплексе, и определены композиции стрелок разных типов. О теории таких объектов см. [146]. В данной работе такие примеры не рассматри ваются. Большая часть вводимых определений, доказываемых теорем и рассматриваемых примеров имеет как левый, так и правый варианты.

Явно будет формулироваться только левый вариант. Следует отметить, что, в отличие от случая категорий, когда двойственная категория — это тоже категория, двойственная к левой мультикатегории правая мульти категория — это в общем случае объект другой природы, нежели левая мультикатегория.

Замечание 2.1.2. Отметим определние мультикатегорий, дан ное в [98], где вместо множества (класса) S рассматривается категория.

Это определение, тем не менее, не является обобщнием нашего опреде ления, так как фактически речь в [98] речь идет об обобщении понятия -мультикатегории.

Замечание 2.1.3. Отметим еще следующее обстоятельство. В в определении мультикатегории не обязательно ограничиваться только мультистрелками из R(x, y) с непустым x. Поскольку мы желаем ин терпретировать мультикатегории как сигнатуры, то элементы множеств R(e, x) (e — пустое слово, единица моноида S ) имеют смысл символов констант сорта x в многообразии многосортных алгебр над мультика тегорией R. Это, в частности, означает, что понятие мультикатегории шире понятия категории даже в том случае, когда все R(s1... sn, t) пусты при n 1.

Можно также допустить существование мультистрелок, не имею щих “конца”, то есть присутствие в определении множеств R(x, e). Если о мультистрелках из R(x1... xm, y) можно думать как о функциях от m аргументов, или как о термах, то элементы из R(x1... xm, e) можно интуитивно интерпретировать как имена m-арных предикатов. Впро чем, вопрос о том, как дополнить определение мультикатегории, чтобы превратить его в некий алгебраический аналог языка первого порядка, выходит за рамки данной работы.

Отметим связь между понятиями W -мультикатегории и двойной категории.

Лемма 2.1.1. Пусть R — мультикатегория над вербальной катего рией W. Существует двойная категория DRW, которая описывается следующим образом. Объекты DRW — конечные последовательнос ти (строки) объектов R. Горизонтальные стрелки x = x1... xn y1... ym суть строки 1... m, где i : xi yi — мультистрелки R, и x1... xm = x. Вертикальные стрелки имеют вид f : y1... ym yf (1)... yf (k), где f W op ([k], [n]) — морфизм двойственной к W кате гории (представленный отображением из [k] в [m]). Квадраты DRW по определению таковы:

f (1)...f (k) xf (1)... xf (k) yf (1)... yf (k) f f...

m x1... xm y1... ym (x1...xm ) Здесь =.

y1...ym Доказательство. В лемме, в сущености, переформулировано определение 2.1.2 на языке двойных категорий.

Категорию, которой принадлежат горизонтальные стрелки DRW, обозначим через CR. Это — строго моноидальная категория, в которой x y = x y, и аналогично для морфизмов.

Вот первые примеры мультикатегорий.

Пример 2.1.1. Любая категория R в соответствии с определением 2.1.2 есть мультикатегория над любой вербальной категорией, у которой все R(x, y) пусты, если слово x состоит более чем из одного символа.

Пример 2.1.2. Пусть WS — некоторая вербальная категория.

Обозначим через SetS мы обозначим категорию S -множеств, т.е. ко вариантных функторов из дискретной категории S в категорию мно жеств S (фактически это просто семейства множеств, индексирован ных элементами S ). Рассмотрим S -множество A и определим S W мультикатегорию EA следующим образом. Пусть s = s1... sm, si, t S.

Положим EA (s, t) = Map(A(s1 ) · · · A(sm ), A(t)), где Map есть мно жество всех отображений. Таким образом, мультистрелки в EA — это отображения вида:

: A(s1 ) · · · A(sm ) A(t).

Если даны отображения i : A(ui,1 ) · · · A(ui,ni ) A(si ), 1 i m, то композиция определяется по правилу:

1... m (x1... xm ) = (1 (x1 ),..., m (xm )), где xi = xi,1... xi,ni = (xi,1,..., xi,ni ) (скобки и запятые будут убираться или добавляться по мере необходимости), и xi,j A(ui,j ) для всех i, j.

Если задан морфизм категории W вида f : u s, то это означает, что u = sf = sf (1)... sf (n) (полагаем здесь, что f представляется отображе нием из [n] в [m]). Если EA (u, t), то полагаем f действующим по правилу: (x1,..., xn ) (xf (1)... xf (n) ). Без затруднений проверяет ся, что EA есть W -мультикатегория. Фактически (в случае W = ) эта конструкция хорошо известна. Из нашего построения следует, что EA можно рассматривать как мультикатегорию над любой вербальной категорией.

Пусть теперь — произвольная S -W Id сигнатура. Напомним, что -алгеброй называется A SetS вместе с семейством отображений вида (s1... sm, t) A(s1 ) · · · A(sm ) A(t), определенным для всех m и s1,..., lm, t S. Хорошо известно, что задание структуры -алгебры равносильно заданию морфизма S -W сигнатур (или W -мультиграфов), т.е. естественного преобразования пре образованием EA, сопоставляющего элементу (s, t) отображе ние A : A(s1 ) · · · A(sn ) A(t). Гомоморфизм -алгебр : A B — это морфизм S -множеств, обладающий свойством: для любого и любых ai A(si ) имеет место равенство:

( A (a1,..., an )) = B ((a1 ),..., (an )).

Будем обозначать категорию -алгебр и их гомоморфизмов через Alg().

Покажем сейчас, что эта категория обладает дополнительной структурой, структурой мультикатегории. Пусть A1,..., An, B суть алгебры. Определим мультистрелку (мультиморфизм) : A1... An B как семейство отображений вида s : A1 (s) · · · An (s) B(s), опреде ленных для всех s S и таких, что для каждого (s1... sm, t) имеет место равенство:

t ( A1 (a1,1,..., a1,m ),..., An (an,1,..., an,m )) = (2.1.2) B (s1 (a1,1,..., an,1 ),..., sm (a1,m,..., an,m )) Теорема 2.1.1. Существует F Set-мультикатегория, объектами ко торой являются алгебры из Alg(), а мультморфизмами из A1... An в B — мультистрелки, определенные соотношением (2.1.2). Компо зиция мультистрелок определяется следующим образом. Пусть i :

Ai,1... Ai,ni Bi, 1 i m, : B1 · · · Bm C — мультиморфизмы.

Тогда композиция = 1... m определяется так: для каждого сорта s соответствующая компонента есть (s) = (s)(1 (s)· · ·m (s)).

Если дан морфизм f : [m] [n] категории F SetS, и мультистрелка : Af (1)... Af (m) B то мультистрелка f : A1... An B определя ется так: (f )(s)(a1,..., an ) = (s)(af (1),..., af (m) ).

Доказательство. Непосредственная проверка.

В § 2.4 будут построены более общие, чем описанные в этой теореме, примеры мультикатегорий В дальнейшем в данной работе будет приведено большое количест во других примеров мультикатегорий и операд.

§ 2.2. Естественные мультипреобразования мультифункторов Определение 2.2.1. Мультифунктор F из мультикатегории R в мультикатегорию K есть совокупность следующих данных: отображения F : Ob(R) Ob(K), и определенных для каждого слова x = x1... xn, xi Ob(R), 1 i n, и каждого объекта y Ob(R) отображений F (x, y) : R(x, y) K(F (x1 )... F (xn ), F (y)), сохраняющих композицию и единичные стрелки, подобно функторам между категориями. Предполагая, как обычно, что F (x, y) можно запи сывать просто как F, приходим к условиям:

F (1... m ) = F ()F (1 )... F (m ), и F (1x ) = 1F (x).

Допустим, что мультикатегории R и K определены над одной и той же вербальной категорией W. Тогда можно определить W -мультифунктор F как такой мультифунктор, для которого дополнительно выполняет ся условие F (f ) = F ()f для всех и f. Здесь надо иметь в виду, что мультфунктор F определяет отображение F : Ob(R) Ob(K), а следовательно, и функтор WF : WOb(R) WOb(K), описанный в § 1.3.

op В выражении f множитель f — это морфизм категории WOb(R), а в выражении F ()f множитель f — это фактически WF (f ), взятый в двойственной категории.

Класс мультифункторов из R в K обозначатим через через M F un(R, K), а если рассматриваются только W -функторы, то через M F unW (R, K). Как правило, далее будут рассматриваться именно W мультифункторы.

Замечание 2.2.1. Если и R, и K — мультикатегории с одним объектом, то мультифунктор из R в K — это гомоморфизм операд. Если же R и K — “обычные” категории, то и мультифунктор — это просто функтор.

Напомним следующее известное определение [140].

Определение 2.2.2. Пусть R и K — мультикатегории, A, B :

R K — мультифункторы. Естественное преобразование : A B определяется следующим комплексом данных. Для каждого x Ob(R) задан элемент x K(A(x), B(x)), и для любого R(x1... xm, y) имеет место равенство:

y A() = B()x1... xm Слева и справа здесь расположены композиции в операде K.

Легко проверяется, что композиция естественных преобразований также является естественным преобразованием, так что M F un(R, K) (или M F unW (R, K)) превращается в категорию.

В дальнейшем особую роль будут играть отображения n,m nm, определенные для всех натуральных n, m 1 следующим об разом. Пусть 1 i n, 1 j m. Тогда произвольное число из множества {1,..., nm} можно однозначно представить либо в ви де j + (i 1)m, либо в виде i + (j 1)n для подходящих i, j. Поло жим n,m (i + (j 1)n) = j + (i 1)m. Тогда для произвольного клас са S в категории WS можно интерпретировать n,m как морфизм из x1,1... x1,m... xn,1... xn,m в x1,1... xn,1... x1,m... xn,m. В самом деле, пусть v = v1... vnm = x1,1... x1,m... xn,1... xn,m, так что xi,j = vi+(j1)n. Анало гично, если u = u1... unm = x1,1... xn,1... x1,m... xn,m, то xi,j = uj+((i1)m.

Если f : v u — морфизм из WS, то должно быть vk = uf (k). Если f = n,m, k = i + (j 1)n, то un,m (k) = uj+(i1)m = xi,j = vk. Очевид но, что если либо n, либо m равно единице, то n,m есть тождественное отображение, и для любых n, m имеет место равенство n,m = m,n.

В §§ 2.2 – 2.5 будут рассматриваться мультикатегории над вер бальной категорией W, содержащей. Это эквивалентно тому, что в множестве морфизмов W содержатся все биекции n,m nm, опреде ленные для любых натуральных n, m 1.

Пусть K — мультикатегория над W. Тогда по определению су ществуют отображения n,m : K(x1,1... x1,m... xn,1... xn,m, z) K(x1,1... xn,1... x1,m... xn,m, z), сопроставляющие мультистрелкам мультистрелки n,m.

Определение 2.2.3. Пусть даны две мультикатегории R и K над вербальной категорией W, и мультифункторы A1,..., An, B : R K.

Определим естественное мультипреобразование (или мультиморфизм мультифункторов) из строки A = A1... An в B (обозначение : A B ) как следующий комплекс данных. Для любого x Ob(R) задается элемент x K(A1 (x)... An (x), B(x)), и для каждого R(x1... xm, y) имеет место равенство:

y A1 ()... An () = B()x1... (xn )n,m (2.2.1) Равенство (2.2.1) можно неформально представлять в виде следую щей коммутативной диаграммы A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm ) A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm ) n,m x1...xm A1 (x1 )...A1 (xm )...An (x1 )...An (xm ) B(x1 )...B(xm ) A1 ()...An () B() y A1 (y)...An (y) B(y) Неформальность здесь состоит в том, что стрелка n,m имеет иную при роду, чем все остальные стрелки, и ее надо понимать в смысле, описанном op в лемме 2.1.1. В частности, n,m надо мыслить как морфизм WS. Тем не менее, так как умножения справа на n,m определены, то использование коммутативной диаграммы не приводит к ошибочным выводам и имеет преимущество наглядности.

В случае n = 1, m = 1 определение естественного мультпреобразо вания сводится к определению обычного естественного преобразования функторов. Следующие две леммы можно также считать определени ями композиции мультиморфизмов и “умножения” мультиморфизма на морфизм вербальной категории.

Лемма 2.2.1. Если : B1... Bn C, i : Ai,1... Ai,ki Bi, 1 i n — мультиморфизмы мультифункторов, то существует мультимор физм мультифункторов = 1... n : A1,1... A1,ki... An,1... An,ki C, такой, что для каждого x Ob(R) имеет место равенство x = x (1 )x... (n )x.

Доказательство. Пусть x1,..., xm, y — объекты R, x = x1... xm, R(x, y). Положим B = B1... Bn, Ai = Ai,1... Ai,ki, B(y) = B1 (y)... Bn (y), B(x) = B(x1 )... B(xm ), Bi (x) = Bi (x1 )... Bi (xm ), B[x] = B1 (x)... Bn (x). Тогда морфизм n,m, входящий в определение op мультипреобразования, в категории WS (где S = Ob(K)) можно пред ставлять как стрелку n,m : B(x) B[x], и по условию y B1 ()... Bn () = (C()x1... xm )n,m.

Чтобы добиться компактной записи, обозначим строку x1... xm через x, а строку B1 ()... Bn () через B(). Аналогичные обозначения бу дут использоваться для Ai. В частности, условие того, что i является естественным мультипреобразованием, записывается в следующем виде:

(i )y Ai () = (Bi ()(i )x )ki,m.

op Здесь ki,m можно мыслить как морфизм WS, т.е. стрелку Ai (x) Ai [x].

Положим k = k1 + · · · + kn, и пусть k,m обозначает стрелку ( морфизм op WS ) A1... An (x) A1 [x]... An [x]. Отметим, что A1... An (x) = A1 (x1 )... An (x1 )... A1 (xm )... An (xm ).

Соотношение, которое необходимо доказать, таково:

y (A1... An )() = (C()x1... xm )k,m (2.2.2) Здесь y = y (1 )y... (n )y, xi = xi (1 )xi... (n )xi. Проделаем вычисле ния, пользуясь свойствами мультикатегории и определением естествен ного мультипреобразования для и i.

y (1 )y... (n )y (A1... An )() = y ((1 )y A1 ())... ((n )y An ()) = y ((B1 ()(1 )x )k1,m )... ((Bn ()(n )x )kn,m ) = ((y B1 ()... Bn ())(1 )x... (n )x )(k1,m... kn,m ) = (((C()x )n,m )(1 )x... (n )x )(k1,m... kn,m ) = ((C()x )(1... n )x1... (1... n )xm )((n,m ) )(k1,m · · · kn,m ) = (C()x1... xm )((n,m ) )(k1,m... kn,m ).

(A1 (x1 ),...,A1 (xm ),...An (x1 ),...,An (xm )) Здесь (1... n )xi = (1 )xi... (n )xi, =.

B1 (x1 ),...,B1 (xm ),...,Bn (x1 ),...Bn (xm ) Сравнивая последнее полученное выражение с (2.2.2), видим, что утверж дение леммы будет доказано, как только удастся установить равенство морфизмов k,m = ((n,m ) )(k1,m... kn,m ) в категории WS. Это op равносильно следующему равенству в категории WS :

k,m = (k1,m... kn,m )((n,m ) ). (2.2.3) Морфизмы ki,m — это стрелки вида:

Ai,1 (x1 )...Ai,ki (x1 )...Ai,1 (xm )...Ai,ki (xm )Ai,1 (x1 )...Ai,1 (xm )...Ai,ki (x1 )...Ai,ki (xm ), где строка слева компактно записывается как Ai (x1 )... Ai (xm ), а справа — как Ai,1 (x)... Ai,ki (x). Правая часть (2.2.3), таким образом, является левой вертикальной стороной следующей диаграммы:

n,m A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm ) B1 (x1 )...Bn (x1 )...B1 (xm )...Bn (xm ) n,m (n,m ) A1 (x1 )...A1 (xm )...An (x1 )...An (xm ) B1 (x1 )...B1 (xm )...Bn (x1 )...Bn (xm ) k1,m...kn,m A1,1 (x)...A1,k1 (x)...An,1 (x)...An,kn (x) Из определения k,m следует, что это морфизм категории WS вида:

(2.2.4) A1 (x1 )...An (x1 )...A1 (xm )...An (xm )A1,1 (x)...A1,k1 (x)...An,1 (x)...An,kn (x) Остается заметить, что в категории WS для “достаточно большого” S, в котором содержатся все символы Ai,j (xl ), и все они различны, имеется ровно один морфизм вида (2.2.4). Отсюда следует равенство (2.2.3) для таких WS, а следовательно, и для W (ввиду наличия функтора WS W ), а следовательно, и для всех WS.

Лемма 2.2.2. Если : Af (1)... Af (k) B мультиморфизм мульти функторов, и f W ([k], [n]), то существует мультиморфизм мульти функторов f : A1... An B, такой, что для каждого x Ob(R) имеет место равенство (f )x = (x )f. Здесь (x )f есть образ x при отображении K(Af (1) (x)... Af (k) (x), B(x)) K(A1 (x)... An (x), B(x)), которое существует по определению мультикатегории K над вербаль ной категорией W.

Доказательство. Пусть : x = x1... xm y — мультистрелка ( ) из R. Положим = A1 (x),...,An (x). Проверим определение естественного A1 (y),...,An (y) мультипреобразования.

(f )y A1 ()... An () = (y f )A1 ()... An () = (y Af (1) ()... Af (k) ())(f ) = ((B()x1... xm )k,m )(f ) = (B()x1... xm )((f )k,m ).

Здесь (f )k,m — морфизм из WS, где S = Ob(K). С другой стороны, (B()(f )x1... (f )xm ))n,m = (B()x1... xm )(f... f )n,m ) = (B()x1... xm )(n,m (f... f )).

Здесь n,m (f...f ) рассматривается уже как морфизм WS. Сравнивая, делаем вывод, что утверждение леммы будет доказано, если установить следующее равенство морфизмов категории WS :

m (f )k,m = n,m (f... f ) (2.2.5) Это равенство доказывается с помощью тех же соображе ний, что применялись в конце доказательства леммы 2.2.1, с учетом того, что и левая и правая части суть (2.2.5) морфизмы из в Af (1) (x1 )... Af (k) (x1 )... Af (1) (xm )... Af (k) (xm ) A1 (x1 )... A1 (xm )... An (x1 )... An (xm ).

Теорема 2.2.1. Пусть даны мультикатегории R и K, определенные над вербальной категорией W. Тогда определена мультикатегория M F unW (R, K) над вербальной категорией W, объектами которой яв ляются мультифункторы из R в K, а мультистрелками — естест венные мультипреобразования.

Доказательство. Основные трудности уже преодолены в лем мах 2.2.1 и 2.2.2. Проверка свойств мультикатегории происходит “по объектно”, и легко следует из свойств мультикатегории K. Например, равенство (f )1... n = (f (1)... f (k) )(f ) есть следствие равенств (f )x (1 )x... (n )x = (x (f (1) )x... (f (k) )x )(f ), справедливых для всех объектов x Ob(R). Это можно представлять в виде диаграммы:

(f (1) )x...(f (k) )x x C(x) Af (1) (x)...Af (k) (x) Bf (1) (x)...Bf (k) (x) f f (1 )x...(n )x A1 (x)...An (x) B1 (x)...Bn (x) Обе стороны квадрата становятся равными (а суперпозиции обретают смысл) после умножения на x. Остальные пункты определения 2.2. проверяются примерно так же.

Хотя выше была определена категория M F unW (R, K), из всего сказанного видно, что можно называть M F unW (R, K) мультикатегори ей, не рискуя внести какую-либо путаницу. Структура категории явля ется частью структуры мультикатегории.

Определение 2.2.4 Пусть W — вербальная категория, — W мультиграф, и K — W -мультикатегория. Мультидиаграммой D вида в мультикатегории K будет называться следующий комплекс данных.

Во-первых, должно быть задано отображение, сопоставляющее каждо му объекту x Ob() объект D(x) Ob(K). Во-вторых, для каж дого набора x1,..., xn, y Ob() должно быть задано отображение (x1... xn, y) K(D(x1 )... D(xn ), y), действие которого обозначается так: D(). В-третьих, если дан морфизм f : x y категории WOb(), и (y, z), то D(f ) = D()f.

Очевидно, что мультидиаграммы являются обобщениями мульти функторов. Определение мультиморфизма мультидиаграмм дословно по вторяет определение 2.2.3 естественного мультипреобразования мульти функторов.

Также дословно повторяя доказательства лемм 2.2.1, 2.2.2 и теоре мы 2.2.1, получаем следующее утверждение.

Теорема 2.2.2. Существует W -мультикатегория, объектами кото рой являются мультидиаграммы вида в мультикатегории K, и ес ли D1,..., Dn, D0 — такие мультидиаграммы, то мультистрелки из D1... Dn в D0 — это в точности мультиморфизмы мультидиаграмм.

Мультикатегорию, существование которой утверждается в этой те ореме, будем называть мультикатегорией мультидиаграмм вида в мультикатегории K, и обозначим через K. Присутствие вербальной категории W в этом обозначении не отражено и его следует при необхо димости оговаривать особо.

Попытка определить пределы и копределы мультидиаграмм натал кивается на невозможность определить диагональный мультифунктор : K K без дополнительных предположений.

§ 2.3. Комма-мультикатегории Определим теперь мультикатегорный аналог комма-категории. В связи с выбором термина следует отметить, что, во-первых, это калька с общепринятого англоязычного названия и, во-вторых, термин комма категория появился в русском переводе книги К.Фейса [91]. Позднее в русском переводе книги Маклейна [37] тот же самый объект был назван “категория запятой”. Мы, однако, предпочли первоначальный вариант названия, использовав обозначение из [37].

Пусть даны мультикатегории R, K, Q, определенные над одной и той же вербальной категорией W, содержащей, и пусть даны W мультифункторы F1,..., Fn : R K и G : Q K. Определим комма-мультикатегорию (F1... Fn G) следующим образом. Объек тами этой мультикатегории будут тройки (x,, y), где x Ob(R), y Ob(Q), а K(F1 (x)... Fn (x), G(y)), т.е. это мультистрелка ви да F1 (x)... Fn (x) G(y). Для краткости время от времени будем также называть объектами (F1... Fn G) только мультистрелки, считая, что объекты x и y можно определить, зная.

Пусть даны объекты 1,..., m, такие, что i : F1 (xi )... Fn (xi ) G(yi ), 1 i m. Определим мультистрелку 1... m как пару мультиморфизмов (, ) мультикатегории K, где : x x, : y y, причем x = x1... xm, y = y1... ym. При этом должно быть выполненным следующее условие:

G()1... m n,m = F1 ()... Fn ().

Обозначая, как и выше, строки F1 (xi )... Fn (xi ) через F (xi ), а строки Fj (x1 )... Fj (xm ) через Fj (x), свойство пары (, ) быть мультиморфиз мом можно переформулировать как требование коммутативности следу ющей диаграммы:

F (x1 )... F (xm ) F (x1 )... F (xm ) n,m...

F1 (x)... F1 (x) G(y1 )... G(ym ) (2.3.1) F1 ()...F () G() n F1 (x)... Fn (x) G(y) Определим теперь операцию композиции мультистрелок комма мультикатегории. Пусть даны объекты i,j : F (xi,j ) G(yi,j ), где 1 i m, 1 j ki. Положим i = i,1... i,ki, xi = xi,1... xi,ki, y i = yi,1... yi,ki. Пусть (i, i ) : i i — морфизмы (F1... Fn, G), т.е.

для них имеют место тождества типа (2.3.1). Положим (, )(1, 1 )... (m, m ) = (1... m, 1... m ) (2.3.2) Далее, пусть дан морфизм вербальной категории f W (k, m) и морфизм (F1... Fn, G), имеющий вид (, ) : f (1)... f (k). Здесь и i имеют тот же смысл, что и выше, : xf (1)... xf (k) x, : yf (1)... yf (k) y.

Тогда положим (, )f = (f, f ) (2.3.3) Теорема 2.3.1. Введенные выше операции превращают (F1... Fn G) в W -мультикатегорию.

Доказательство. Прежде всего необходимо установить, что со отношения (2.3.2) и (2.3.3) задают морфизмы (F1... Fn G), то есть для них выполнено равенство, выражаемое коммутативной диаграммой (2.3.1).

Рассмотрим соотношение (2.3.2), и пусть = 1... m, = 1... m. Покажем, что пара (, ) есть мультистрелка вида 1... m. Положим k = k1 + · · · + km. Соотношение (2.3.1), которое надо прове рить, в данном случае таково:

F ( ) = (G()1... m )n,k (2.3.4) Преобразуем левую часть (2.3.4), используя то, что пары (, ) и (i, i ) удовлетворяют соотношениям вида (2.3.1). В дальнейших выкладках = (F1 (x1 ),...,F1 (xm ),...,Fn (x1 ),...,Fn (xm )).

F1 (x1 ),...,F1 (xm ),...,Fn (x1 ),...,Fn (xm ) F ( ) = (F ())F1 ()... Fn () = ((G())n,m )F1 ()... Fn () = ((G()1... m )F (1 )... F (m ))((n,m ) ) = (G()(1 F (1 ))... (m F (m )))((n,m ) ) = (G()(G(1 )1 n,k1 )(G(m )m n,km ))((n,m ) ) = ((G()G(1 )... G(m ))1... m )(n,k1 · · · n,km ))((n,m ) ) Здесь выражение (n,k1 ) · · · n,km ))((n,m ) ) представляет собой ком op позицию морфизмов в категории WS. Следовательно, равенство (2.3.4) будет доказано, как только для подходящего S в категории WS будет установлено тождество:

((n,m ) )(n,k1 ) · · · n,km )) = n,k (2.3.5) Чтобы доказать это соотношение, достаточно убедиться, что и левая, и правая части определены, и представляют (2.3.5) собой морфизмы из в F (x1,1 )... F (x1,k1 )... F (xm,1 )... F (xm,km ) Это производится непосредст F1 (x1 )... F1 (xm )... Fn (x1 )... Fn (xm ).

венной проверкой.

Теперь покажем, что соотношение (2.3.3) также определяет муль тистрелку из (F1... Fn G), то есть (, )f удовлетворяет соотношению вида (2.3.1). Будем использовать те же обозначения и соглашения, кото рые были введены перед (2.3.3). Таким образом, дано равенство F1 ()... Fn () = (G()f (1)... f (k) )n,k, и необходимо показать, что имеет место равенство:

F1 (f )... Fn (f ) = (G(f )1... m )n,m (2.3.6) Заметим, что функторы Fi и G по условию таковы, что Fi (f ) = Fi ()f и G(f ) = G()f. Пользуясь этим, преобразуем левую часть (2.3.6).

F1 (f )... Fn (f ) = (F1 ()f )... (Fn ()f ) = F1 ()... Fn ())(f · · · f ) = ((G()f (1)... f (k) )n,k )(f · · · f ).

Отсюда следует, что (2.3.6) будет следствием равенства морфизмов ка тегории WS :

(f · · · )n,k = n,m (f ) (2.3.7) ( 1 ),...,F (xm )) Здесь = F (x1 ),...,G(ym ). Это проверяется так же, как и аналогичные G(y тождества выше.

Теперь, поскольку операции (2.3.2) и (2.3.3) определены коррект но, все свойства, которым должна удовлетворять W -мультикатегория (F1... Fn G), легко следуют из свойств мультикатегорий R и Q.

Как и в случае комма-категорий, для комма-мультикатегории (F1... Fn G) определены мультифункторы проекций:

Q R (F1... Fn G) Q, R такие, что R (x,, y) = x, R (, ) =, и аналогично для Q. Рассмот рим случай, когда Q = R. В этом случае вместо R будем писать 1, а вместо Q будем писать 2.

Теорема 2.3.2. Существует взаимно-однозначное соответствие между естественными мультипреобразованиями : F1... Fn G и мультифункторами : R (F1... Fn G), такими, что 1 = 1 = idR.

Доказательство. Пусть дано естественное мультипреобразова ние : F1... Fn G. Построим соответствующий ему мультифунктор : R (F1... Fn G). Действие на объектах таково: если x Ob(R), то (x) = (x, x, x), где x : F1 (x)... Fn (x) G(x) — мультистрелка, существующая по определению. Если : x1... xm y — мульти стрелка из R, то положим () = (, ). Легко убедиться, что комму тативная диаграмма, соответствующая равенству (2.3.1), существующая по определению естественного мультипреобразования, превращается в коммутативную диаграмму вида (2.3.1), где =. Проверка того, что есть мультифунктор (и даже W -мультифунктор) теперь легко следует из определений.

Обратно, если дан мультифунктор со свойством 1 = 2 = idR, то действие на объектах должно иметь вид (x) = (x, x, x), при чем x есть мультистрелка вида x : F1 (x)... Fn (x) G(x), определен ная для каждого x Ob(R). Из тех же условий на следует, что для : x1... xm y значением () будет пара (, ). Коммутативная диа грамма вида (2.3.1), которая должна существовать в этой ситуации, озна чает, что выполняется соотношение (2.2.1), и, таким образом, семейство {x |x Ob(R)} является естественным мультипреобразованием.

Следствие 2.3.1. Класс естественных мультипреобразований обладает естественной структурой M N at(F1... Fn, G) W мультикатегории.

Доказательство. Согласно теореме 2.3.2, существует взаимно однозначное соответствие между классом M N at(F1... Fn, G) и классом тех объектов мультикатегории M F un(R, (F1... Fn G)), которые об ладают свойством 1 = 2 = idR. Таким образом, можно считать, что мультикатегория M N at(F1... Fn, G) — это полная подмультикатегория мультикатегории M F un(R, (F1... Fn G)), объектами которой являют ся мультифункторы с указанными свойствами.

Если 1,..., m, 0 : F1... Fn G — естественные мульти преобразования будут также по мере необходимости (которые называться 1-мультипреобразованиями), то существующие по пре дыдущему следствию мультипреобразования вида 1... m мультистрелки мультикатегории будем (т.е. M N at(F1... Fn, G)) называть 2-мультипреобразованиями. Чтобы отличить их от 1 мультипреобразований, будем использовать обозначение 1... m 0, заимствованное из теории 2-категорий.

Следствие 2.3.2. Пусть i : F1... Fn G — естественные мульти преобразования, 0 i m. Тогда 2-мультипреобразование 1... m 0 задается следующим комплексом данных.

Прежде всего, это семейство пар мультистрелок (x, x ), где x Ob(R), x, x R(xm, x), таких, что для каждого x Ob(R) пара (x, x ) есть мультиморфизм мультикатегории (F1... Fn G) вида (1 )x... (m )x (0 )x. При этом для каждой мультистрелки R(x1... xk, y) должны выполняться соотношения:

m m y... = (x1... xk )m,k, y... = (x1... xk )m,k.

Заметим, что в последних равенствах речь идет о композициях вида x1...x xm... xm k x1... xk y, 1 k x1...x x1... xk y, k x m... xm 1 k m... y (x1... xk )m y, ym m... y (x1... xk )m y.

ym Доказательство. Пусть 1,..., m, 0 : R (F1... Fn G) — муль тифункторы, такие, что i j = idR для всех i, j. Каждый такой муль тифунктор j, как уже показано выше, соответствует естественному мультипреобразованию j : F1... Fn G. При этом j (x) = (x, (j )x, x) (в дальнейшем можно считать, что это просто (j )x : F1 (x)... Fn (x) = F (x) G(x)), и если дана мультистрелка : x1... xk y, то j () = (, ). Пусть : 1... m 0 — естественное мультипреобразование, которое соответствует 2-мультиморфизму 1... m 0. Фактически их можно даже отождествлять. 2-мультиморфизм, таким образом, опре деляется семейством мультистрелок x : 1 (x)... m (x) 0 (x) муль тикатегории (F1... Fn G), где x пробегает класс Ob(R). Это значит, что фактически x = (x, x ), где x, x R(xm, x) характеризуются, во-первых, тем свойством, что имеет место коммутативная диаграмма:

m m F (x)... F (x) F (x)... F (x) n,m (1 )...( ) x mx F1 (xm )... Fn (xm ) G(x)... G(x) F1 ( )...F ( ) G( ) x n x x (0 )x F1 (x)... Fn (x) G(x) Во-вторых, для каждого, описанного выше, должна быть коммутатив ной диаграмма:


1 (x1 )...m (x1 )...1 (xk )...m (xk ) 1 (x1 )...m (x1 )...1 (xk )...m (xk ) m,k x1...xk 1 (x1 )...1 (xk )...m (x1 )...m (xk ) 0 (x1 )...0 (xk ) 1 ()...m () 0 () y 1 (y)...m (y) 0 (y) Более конкретно, y 1 ()... m () = (y, y )(, )... (, ) = С другой стороны, (y..., y... ). 0 ()x1... xk = Отсюда сле (, )(x1, x1 )... (xk, xk ) = (x1... xk, x1... xk ).

дуют равенства из формулировки следствия 2.3.2. Поскольку все рассуждения обратимы, условия являются также и достаточными.

§ 2.4. Алгебры над мультикатегориями Хорошо известно, как построить мультикатегорию, исходя из стро го моноидальной категории. Далее напоминается эта конструкция, и обсуждается вопрос о том, как можно ввести на ней структуру W мультикатегории. Определение и минимум необходимых сведений о мо ноидальных категориях можно найти в книгах [37] и [104]. Бифунктор, который в [37] обозначается значком квадрата, мы будем записывать как. Известно, что любая моноидальная категория эквивалентна строго мо ноидальной, то есть такой, что (xy)z = x(y z). Имеется несколько доказательств этого факта. Одно из них содержится в книге [139] (тео рема 1.2.15). Далее, как правило, будут рассматриваться именно строго моноидальные категории.

Рассмотрим строго моноидальную категорию K. Левая мультика тегория MK определяется следующим образом. Объекты у MK те же самые, что и у K, и для любых объектов x1,..., xn, y имеет место ра венство MK(x1... xn, y) = K(x1 · · · xn, y).

Операция композиции в MK такова. Если даны стрелки : y1... ym z, xi yi, 1 i m, i : xi = xi,1... xi,ni, то 1... m = (1 · · · m ). Единичные морфизмы в MK те же самые, что и в K.

Напомним, что если K1 и K2 — строго моноидальные катего рии, то функтор A : K1 K2 называется моноидальным, если за дано естественное преобразование x,y : A(x) A(y) A(x y), об ладающее рядом свойств. Эти свойства можно выразить следующим образом. Итерация приводит к естественным преобразованиям вида x1,...,xn : A(x1 ) · · · A(xn ) A(x1 · · · xn ), которые не зависят от способа итерации, и для любого семейства z1,1,..., z1,k1,..., zn,1,..., zn,kn объектов категории K1 имеет место коммутативная диаграмма:

A(z1,1 ) · · · A(zn,kn ) A(z1,1... z1,k1 · · · zn,1... zn,kn ) ··· A(z1,1 ) · · · A(zn,kn ) A(z1,1 · · · z1,k1 ) · · · A(zn,1 · · · zn,kn ) Индексы у очевидным образом восстанавливаются из контекста. Пред полагается, что x : A(x) A(x) — тождественный морфизм. В опре деление моноидалного функтора входит также существование морфизма вида e2 A(e1 ) (где e1, e2 — единицы моноидальных категорий K и K2 соответственно), обладающего рядом хорошо известных свойств свойств. Функтор называется строго моноидальным, если x,y является равенством для всех объектов x, y, и A(e1 ) = e2.

Напомним также, что если A и B — моноидальные функторы, то естественное преобразование : A B называется моноидальным, если для любых объектов x, y имеют место коммутативные диаграммы:

A(x) A(y) A(x y) e A(a1 ) B(e1 ) x y xy B(x) B(y) B(x y) e2 e Моноидальные функторы превращаются в мультифункторы следующим образом. Если A : K1 K2 — моноидальный функтор, то MA : MK MK2 действует на MK1 (x1... xn, y) (т.е. фактически : x1 · · · xn y есть морфизм K1 ) следующим образом: MA() = A()x1,...,xn.

Из приведенной выше коммутативной диаграммы без труда выводится, что MA(1... n ) = MA()MA(1 )... MA(n ).

В общем случае, однако, нельзя утверждать, что если A : K K2, B : K2 K3 суть два моноидальных функтора, то M(BA) = (MB)(MA). Но это так, если речь идет о строго моноидальных функ торах. Поэтому определен функтор M : M onCat M ulticat, K MK, где M onCat — категория строго моноидальных категорий и строго мо ноидальных функторов, M ulticat — категория W Id-мультикатегорий и соответствующих мультифункторов Правый аналог функтора M устроен так: если K — строго мо ноидальная категория, то MK(x, y1... yn ) = K(x, y1 · · · xn ). Таким образом, существуют правые аналоги всех определений и утверждений, касающихся MK.

Заметим, что соответствие R CR (где категория CR введена после леммы 2.1.1) есть функтор из M ulticat в M onCat, сопряженный к функтору K MK слева (см., например, [124]). Этот факт в нашей работе не будет использоваться.

В некоторые варианты определения мультикатегории, встречающи еся в литературе, входят свойства, равносильные нашему определению -мультикатегорий. В этом случае вместо M onCat надо рассмотреть ее полную подкатегорию SM onCat, состоящую из симметрических строго моноидальных категорий (в симметрических моноидальных категориях определен естественный изоморфизм x y y x, не обязательно явля = ющийся строгим равенством). Ограничение описанного выше функтора на SM onCat есть функтор SM onCat M ulticat, K MK, Структура -мультикатегории на MK определяется следующим обра зом. Если m, то из определения симметрической моноидальной ка тегории следует существование естественного изоморфизма вида:

F() : x1 · · · xm x(1) · · · x(m).

Тогда для стрелки : x(1)... x(m) y, являющейся фактически мор физмом : x(1) · · · x(m) y, умножение определяется как су перпозиция морфизмов в K : = F(). Отметим, что обоснование утверждений о единственности F() и о свойствах, необходимых для превращения MK в -мультикатегорию, требует использования теоре мы когерентности [37, § 7.2].

Сформулируем теперь в общем виде условия, которым должна удов летворять моноидальная категория K для того, чтобы на MK можно было ввести структуру W -мультикатегории для произвольной фиксиро ванной вербальной категории W. Рассмотрим моноидальную категорию K, и пусть S = Ob(K). Определим категорию K, объекты которой — конечные строки x = x1... xn, где xi S, а морфизмы из x в y = y1... ym – морфизмы категории K вида : x1 · · · xn y1 · · · ym. Име ются естественным образом определяемые функторы K K (объект x отображается в строку x длины единица), и K K (объект-строка x1... xn отображается в объект x1 · · · xn ), и легко проверяется, что это эквивалентность категорий.

Определение 2.4.1. Сохраняя описанные только что обозначения, предположим, что дана вербальная категория WS, и определен контрава риантный функтор F : WS K, обладающий следующими свойствами:

1) функтор F тождественен на объектах;

2) F(f g) = F(f ) F(g);

3) имеет место коммутативная диаграмма:

f (1) ···f (k) xf (1)... xf (k) yf (1)... yf (k) F(f ) F(f ) (2.4.1) ··· m x1... xm y1... y m Здесь через xi обозначается строка xi,1... xi,ki, f : [k] [m] — морфизм ( ) W, = x1...xm.m y1...y При выполнении этих условий будем говорить, что K являет ся строго моноидальной W -категорией, или что на K задана W структура.

Пример 2.4.1. Если строго моноидальная категория K являет ся симметрической то, как фактически уже упоминалось выше, на ней определена структура строго моноидальной -категории. Разумеется, любая строго моноидальная категория является строго моноидальной W Id-категорией.

Пример 2.4.2. Пусть K — категория с конечными прямыми произведениями и финальным объектом, и S = Ob(K). Категорию K можно считать строго моноидальной с =, причем на ней естес твенным образом определяется F Set-структура. Эта структура тако ва. Пусть f : x1... xn z1... zm — морфизм из F SetS. Это значит, что f можно считать отображением из {1,..., n} в {1,..., m} таким, что xi = zf (i) для всех i. Ввиду этого определен единственный морфизм F(f ) : z1 · · · zm x1 · · · xn = zf (1) · · · zf (n), такой, что если i : z1 · · · zm zi и j : zf (1) · · · zf (n) zf (j) суть естест венные проекции, то для каждого j, 1 j n имеет место равенство:

j F(f ) = f (j). Легко проверяется, что соответствие f F(f ) есть контравариантный функтор из WS в K, тождественный на объектах и обладающий всеми свойствами из определения.

Пример 2.4.3. Если R есть мультикатегория над W, то на CR естественным образом можно определить структуру строго моноидаль ной W -категории. Это можно показать, явно прописывая подробности (несложные) доказательства леммы 2.1.1.

Определение 2.4.2. Пусть R и K — строго моноидальные ка тегории, снабженные W -структурами (соответствующие функторы обо значим через FR и FK ), и пусть A : R K — моноидальный функтор (не обязательно строго моноидальный). Таким образом, определено ес тественное преобразование вида x,y : A(x) A(y) A(x y), удов летворяющее известным свойствам согласованности. Обозначим через x1,...,xn : A(x1 )· · ·A(xn ) A(x1 · · ·xn ) очевидным образом опреде ляемую итерацию этого естественного преобразования. Будем говорить, что функтор A сохраняет W -структуру, если для каждого f : [m] [n] из W имеет место коммутативная диаграмма:

FK (f ) A(x1 ) · · · A(xn ) A(xf (1) ) · · · A(xf (m) ) x,...,xn x (2.4.2),...,x f (1) f (n) A(FR (f )) A(x1 · · · xn ) A(xf (1) · · · xf (m) ) Теорема 2.4.1. Предположим, что K — строго моноидальная W категория.

1) Существует двойная категория DK с теми же объектами, что и K, горизонтальные стрелки которой — морфизмы K, а вер тикальные — морфизмы WS, где S = Ob(K). Квадраты в DK — op коммутативные диаграммы вида (2.4.2).

На мультикатегории MK определена структура 2) Если строго моноидальная W -мультикатегории. R — W мультикатегория, и A : R K — моноидальный функтор, сохраня ющий W -структуру, то MA : MR MK — W -мультифунктор.

Применение функтора M к моноидальному естественному преобразо ванию дает естественное преобразование мультифункторов.

Доказательство. Большая часть утверждений следует из опреде лений. В мультикатегории MK “умножение” мультистрелки на мор физм W определяется так: f = FK (f ). Выведем отсюда, что MA есть W -мультифунктор, то есть MA(f ) = MA()f. Если сохраняются со глашения и обозначения определения 4.2, и R(xf (1) · · ·xf (m), y), то из приведенной в этом определении коммутативной диаграммы следует, что:


MA(f ) = A()A(FR (f ))x1,...,xn = A()xf (1),...,xf (m) FK (f ) = MA()f.

Легко проверяется также, что моноидальные естественные преоб разования функтор M превращает в естественные преобразования муль тифункторов.

Определение 2.4.3. Пусть дана моноидальная категория K над вербальной категорией W, и W -мультикатегория R. Алгеброй над R (или R-алгеброй) в категории K называется W -мультифунктор A : R MK. Гомоморфизм из алгебры A1 в алгебру A2 — это естественное преобразование мульифункторов в смысле определения 2.2.3. Категорию R-алгебр в K будем обозначать через AlgK (R), или, если необходимо указать явно вербальную категорию, через AlgK (RW ). Если K = Set, то будет использоваться обозначение Alg(R) или Alg(RW ).

Замечание 2.4.1. Пусть R — мультикатегория, y S = Ob(R), x S. Тогда соответствие x R(x, y) определяет для каждого y кон травариантный функтор из CR в категорию множеств. Если R есть F Set-мультикатегория, то для каждого x соответствие y R(x, y) определяет F Set-мультифунктор из R в MSet. Фактически (это будет показано в § 3.3) речь идет о свободных R-алгебрах.

Теорема 2.4.2. Пусть R есть W -операда, K = MSet. Допус тим, что вербальная категория W содержит. Тогда Alg(RW ) = M F unW (R, K) — мультикатегория над W, объекты которой суть R-алгебры, а мультиморфизмы : A1... An B — отображения : A1... An B, обладающие свойством:

((a1 ),..., (an )) = (a1,1,..., an,1 )... (a1,1,..., an,1 ) (2.4.3) Здесь R(m) — произвольный элемент R (и, соответственно, m арные операции в алгебрах Ai, B ), ai = ai,1... ai,m Am (записываем i без скобок, как строку), 1 i n.

Доказательство. Следует из определения естественного мульти преобразования.

Таким образом, определенная в теореме 2.1.1 структура мультика тегории на категориях -алгебр является частным случаем мультикате горной структуры на M F un(R, K).

Напомним (см., например, [124]), как построить еще один функтор из категории всех категорий Cat в категорию M ulticat. Пусть K — некоторая категория. Определяем мультикатегорию K следующим об разом. Ob(K ) = Ob(K), K (x1... xm, y) = K(x1, y)... K(xm, y), и композиция такова. Если = (1,..., m ) K (x1... xm, y), i = (i,1... i, ni ) K (zi,1... zi,ni, xi ), 1 i m, то 1... m = (1 1,1... 1 1,n1... m m,1... m m,nm ) (2.4.5) Если x1,..., xm, y Ob(K) = S, то контравариантный функтор x1... xm K (x1... xm, y) из категории op в категорию множеств S определяется равенством: = (1,..., m ) = (1 (1),..., 1 (m) ).

Здесь m (т.е. подстановка), и этим же символом обозначается со ответствующий морфизм x(1)... x(m) x1... xm из S. Как и выше, i : xi y — морфизмы категории K.

Легко проверяется, что соответствие K K есть функтор из категории категорий в категорию -мультикатегорий.

В дальнейшем будет часто использоваться один специальный слу чай этой конструкции, когда K — категория с одним объектом x. Такая категория полностью определяется множеством G = K(x, x), которое является моноидом. Получающуюся операду мы будем для упрощения обозначений обозначать тем же символом G, так что G(n) = Gn Отметим, что очевидным образом можно определить правый аналог описанной только что конструкции, правую -мультикатегорию K.

Если K — предаддитивная категория (т.е. морфизмы образуют абелевы группы, а суперпозиция морфизмов билинейна), то на K мож но следующим образом определить структуру F Set-мультикатегории.

Пусть f : [m] [n] — морфизм F Set,x1,... xn, y — объекты K, i :

xf (i) y, 1 i m — морфизмы K. Тогда полагаем (1,..., m )f = (1,..., n ), где j = i. Определение F Set-мультикатегории про i,f (i)=j веряется легко.

Пример 2.4.4. Пусть K — ассоциативное кольцо с единицей, которое можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Как уже было отмечено выше, на мультикатегории (в дан ном случае операде) K определена структура F Set-операды. Нетрудно показать, что многообразие Alg(KF Set ) рационально эквивалентно кате гории K -M od всех левых K -модулей (определение рациональной эквива лентности многообразий см. в § 3.1 и § 3.3). На K -алгебре A определена структура абелевой группы с операцией сложения a1 + a2 = (1, 1)(a1, a2 ), где (1, 1) K 2 = K (2), нулевым элементом, появляющимся за счет ком поненты K (0), и обратным элементом a = (1)a (здесь 1 K (1)).

Аксиомы группы выполняются ввиду наличия F Set-структуры. Напри мер, равенство a + (a) = 0 справедливо ввиду наличия отображения K (2) K (1), соответствующего морфизму f : [2] [1] категории F Set такому, что f (1) = f (2) = 1. Если (x1, x2 ) K (2) = K 2, то по определению F Set-структуры на K имеет место равенство: (x1, x2 )f = x1 +x2 K (1). Тогда a+(a) = ((1, 1)(1)(1))aa = ((1, 1)f )a = 0a, где 0 K (1) = K. Но этот элемент есть образ константы 0 K (0) = {0} при отображении, соответствующем морфизму [0] [1] категории F Set, и легко показывается, что константа 0 в K -алгебре A равна 0a для любого a A. Отображение композиции K (1) A A, существу ющее по определению K -алгебры A, превращает абелеву группу A в левый K -модуль. Обратно, если A — левый K -модуль, a1,..., an A и (1,..., n ) K n = K (n), то структура K -алгебры на A определя n ется равенством: (1,..., n )(a1,..., an ) = i ai. На этой мультика i= тегории определена структура F Set-мультикатегории, которая устро ена следующим образом. Если A1,..., Am, B — левые K -модули, и для каждого i, 1 i m, элементы ai,1,..., ai,n принадлежат Ai, (1,..., n ) K n = K (n), то мультиморфизм F Set-мультикатегории Alg(KF Set ) есть отображение : A1... Am B, обладающее сле дующим свойством, являющимся переформулировкой (2.4.3) для данного случая:

n n n ( j a1,j,..., j am,j ) = j (a1,j,..., am,j ) (2.4.5) j=1 j=1 j= Отсюда следует, что отображение — это модульный гомоморфизм из прямой суммы A1 · · · An в B, а это, в свою очередь, означает, что если рассматривать категорию K M od как моноидальную категорию относительно функтора, то построенная F Set-мультикатегория есть M(K M od).

Заметим, что для произвольной категории K имеется внешне даже более естественный контравариантный функтор из F SetS в категорию множеств, на объектах действующий так же: x1... xm K (x1... xm, y), а на морфизмах иначе: если f : xf (1)... xf (k) x1... xm, то f = (f (1),..., f (k) ). Однако то, что получается в результате, не является F Set-мультикатегорией.

Пример 2.4.5. Допустим, что в категории K существуют рассло енные произведения. Тогда по любой предтопологии Гротендика на K (см. [21]) естественным образом строится подмультикатегория мультика тегории K, определенная над. А именно, мультистрелками этой под мультикатегорией являются все конечные упорядоченные семейства i :

xi y, 1 i n, которые являются покрывающими семействами дан ной предтопологии. Все перестановки последовательности (1,..., n ) также являются мультистрелками. Предтопологии Гротендика на K, все покрытия которых конечны, находятся во взаимно-однозначном со ответствии с -подмультикатегориями K, обладающих следующим свойством: для любой мультистрелки (1,..., n ), где i : xi yi, и любого морфизма : z y последовательность проекций соответствую щих расслоенных произведений z y xi z является мультистрелкой из данной подмультикатегории.

Определение 2.4.4. Пусть A — мультифунктор из мультика тегории R в мультикатегорию K. Полная подмультикатегория мульти категории M F unW (R, K) с единственным объектом A будет называться операдой эндоморфизмов функтора A. Будем обозначать эту операду че рез EA или EA,W, когда надо подчеркнуть роль вербальной категории W.

Поскольку у EA один объект, то это именно операда в обычном смысле.

Пример 2.4.6. Пусть R — тривиальная мультикатегория, т.е. ка тегория с одним объектом x и единственным морфизмом 1x. Рассмотрим строго моноидальную категорию K, и пусть A : R MK — мульти функтор. Ясно, что любой объект v категории K определяет мульти функтор A : R MK, такой, что A(x) = v. Вычислим EA. В качестве вербальной категории здесь можно взять. Естественными мультипре образованиями из EA (n) оказываются такие морфизмы : A(x)n A(x), для которых выполняются равенства: (A(1x )... A(1x )) = (A(1x ))n,m. Здесь, однако, m = 1, и n,m — тождественное отобра жение. Очевидно, что эти равенства тривиально выполняются для всех K(A(x)n, A(x)), так что компонентами операды EA будут множес тва K(A(x)n, A(x)). Операды именно такого вида и называются в лите ратуре операдами эндоморфизмов. Таким образом, название согласуются с традиционно используемыми, а обозначение согласуется с введенным в примере 2.1.2.

§ 2.5. Коммутативные операды Определение 2.5.1. Центром мультикатегории R будет назы ваться операда эндоморфизмов тождественного мультифунктора из R в R.

Название мотивировано известным определением центра категории ([4, глава II, § 2]).

Определение 2.5.2. Пусть Z — операда над некоторой вербаль ной категорией W, такой, что W. Назовем операду Z коммутатив ной, если для любых Z(n), Z(m) имеет место тождество:

m n... = (... )n,m (2.5.1) Замечание 2.5.1. Пусть A — алгебра над коммутативной операдой Z, ai = ai,1... ai,m, ai,j A, 1 i n, 1 j n. Тогда из (2.5.1) следует, что (a1 )... (an ) = (a1,1... an,1 )... (a1,m... an,m ) Это равенство можно представить в следующем виде. Обозначим дейст вие элемента операды Z(n) на элементы a1,..., an из Z -алгебры A () n как ai. Тогда i= n m m n () () () () ai,j = ai,j (2.5.2) i=1 j=1 j=1 i= Таким образом, в любой алгебре над коммутативной операде имеют мес то тождество (2.5.2) для любых и. Отметим, что именно эти соотно шения были первоначально взяты в [65] за определение коммутативной операды. В данной работе мы принимаем за определение коммутатив ности соотношение (2.5.1), что обосновывается теоремами 2.5.1 и 4.1.1.

Операды, коммутативнеы в смысле определения 2.5.1, будут коммута тивны и в смысле определения работы [65]. Все примеры коммутатив ных операд, которые имелись в виду в [65], остаются коммутативными и в смысле определения 2.5.1. Вероятнее всего, обе версии опредедения коммутативности эквивалентны, но строгого доказательства этого пока нет.

Стоит отметить, что в обозначениях замечания 2.5.1 (просто по определению) имеют место равенства (1...m ) n1 +···+nm xi = i= () (1 ) n1 n1 +n2 n1 +···+nm m (2 ) (m ) ( xi )( xi )... ( xi ) i=1 i=1 i=n1 +1 i=n1 +···+nm1 + Здесь предполагается, что Z(m), i Z(ni ), i = 1,..., m.

Теорема 2.5.1. Центр мультикатегории является коммутативной операдой. Центр коммутативной операды R совпадает с R.

Доказательство Сравним (2.5.1) с определением центра муль тикатегории R. Если A — тождественный мультифунктор R R, то мультиморфизм : A... A A определяется семейством {x : x... x x|x Ob(R)} (многоточия в обоих случаях означают строки из n сим волов), таким, что для всех R(x1... xm, y) имеют место равенства:

m y... = (x1... xm )n,m. Пусть : A... A A — другой мульти морфизм мультифункторов. Положим x1 = · · · = xm = y, = y. Тогда получим равенство y y... y = (y y... y )n,m, справедливое для всех y Ob(R). Из него вытекает равенство... = (... )n,m. Посколь ку это верно для любой пары,, то это означает, что центр R является коммутативной операдой. То, что центр коммутативной операды совпа дает с ней самой, теперь очевидно.

Коммутативные операды будут играть важную роль в главе 4.

Первый параграф главы 4 посвящен более подробному изучению этих объектов. Пока же приведем только несколько примеров.

Пример 2.5.1. Рассмотрим операду Z, у которой Z(0) =, Z(1) — одноэлементное множество, и для всех n 2 множества Z(n) так же пусты. Можно считать, что C является F Set-операдой. Определе ние коммутативной операды для Z выполняется тривиальным образом.

Категория алгебр над этой операдой — фактически категория всех мно жеств.

Пример 2.5.2. Несколько обобщая предыдущий пример, можно рассмотреть операду с единственной непустой компонентой Z(1), кото рая является коммутативным моноидом. Эта операда также коммута тивна, и категория алгебр над ней рационально эквивалентна категории левых Z(1)-множеств, то есть множеств, на которых задано левое дей ствие моноида Z(1).

Пример 2.5.3. Пусть G — коммутативный моноид с мультипли кативно записываемой операцией. Рассмотрим операду R, устроенную следующим образом. Положим R(n) = Gn (нулевую компоненту мож но при необходимости отбросить). Элементы вида (x1,..., xn ) из Gn будем обозначать x, и если g G, то пусть gx = (gx1,..., gxn ).

Композиция в этой операде определяется следующим образом. Пусть x = (x1,..., xm ) R(m), и для 1 i m строки y i = (yi,1,..., yi,ni ) принадлежат компонентам R(ni ). Тогда по определению x y 1... y m = (x1 y 1,..., xm y m ).

Если считать G категорией с одним объектом, то это (левая) операда G. Если моноид коммутативен, то можно определить на R структу ру F Set операды следующим образом. Пусть дано отображение f :

[n] [m]. Соответствующий морфизм двойственной категории действу ет в противоположном напрвлении, но после применения контравариант ного функтора должно получиться отображение из R(n) в R(m). Для x = (x1,..., xn ) R(n) положим xf = (y1,..., ym ), где yi = xj.

j,f (j)=i Как обычно, предполагается, что если множество {j|f (j) = i} пусто, то соответствующее произведение равно единице моноида G. Стандарт ная проверка показывает, что выполнены все свойства F Set- операды.

Еще более простая проверка показывает, что построенная операда яв ляется коммутативной. Если G — коммутативное асоциативное кольцо с единицей, то многообразие алгебр над этой операдой рационально эк вивалентно категории левых G- модулей. В ряде случаев будет удобно обозначать построенную выше операду так же, как и сам моноид, т.е.

через G.

Пример 2.5.4. Очевидно, что подоперада коммутативной операды также коммутативна. Во многих случаях важными примерами являются подоперады, определенные над меньшей вербальной категорией, чем та, над которой определена объемлющая коммутативная операда. Впрочем, есть интересные ситуации, когда сужения вербальной категории не про исходит. Например, операда симплексов, подробно изученная в § 6.4, является подоперадой F Set-операды R, где R — поле действительных чисел, и соответствующая операда строится, как в примере 2.5.3. В § 6. показано, что на определена структура F Set-операды.

Пример 2.5.5. Пусть G — коммутативная полугруппа с единицей и с мультипликативно зписываемой операцией (умножением). Расмотрим операду R, для которой R(n) = G при n 1 (R(0) либо пустое, либо одноэлементное множество). Операдная композиция в R представляет собой фактически умножение в G: если x R(m) = G, yi R(ni ) = G, 1 i m, то xy1... ym R(n1 + · · · + nm ) = G есть произведение элементов x, y1,..., ym в полугруппе G. Если ni = 0, и R(0) состоит из одного элемента, то этот элемент yi в произведении xy1... ym должен отсутствовать. Для выполнения свойства ассоциативности необходима коммутативность G. Единица G будет единицей операды. Операду R млжно считать -операдой, полагая x = x для каждого x R(n) и n.

Несмотря на коммутативность G, построенная только что операда R не обязательно является коммутативной. В самом деле, коммутатив ность R означала бы, что для любых x, y G и для любых n, m имеет место равенство xy n = yxm. Ясно, что это условие эквивалентно тому, что x2 = x для каждого x (достаточно взять y = 1). Для иных коммутативных полугрупп операды такого вида некоммутативны.

Глава 3. Операды, многообразия и тождества § 3.1. Абстрактные клоны и операды Напомним определение абстрактого клона (далее — просто клона) в удобной для нас форме. Клоном называется семейство множеств R = {R(n)|n 0}, причем в каждом R(n), n 1, выделено множество эле ментов (проекций) p1,n,..., pn,n, и для любой пары целых чисел m 0, n 0 определены операции суперпозиции R(m) R(n)m R(n), дейст вие которых в данной работе будет обозначаться так: (x, y1,..., ym ) [xy1... ym ]. Строки y1... ym часто будут записываться как y. Должны быть выполнены следующие свойства:

1) (Ассоциативность). [x[y1 z]... [ym z]] = [[xy1... ym ]z] для всех x R(m), yi R(n), z = z1... zn, zj R(k), 1 i m, 1 j k.

2) [pi,m y1... ym ] = yi, [xp1,m... pm,m ] = x при любых таких же x, y1,..., ym.

Гомоморфизм f клона R в клон K — это семейство f = {fn |n 0} отображений fn : R(n) K(n), такое, что должны быть выполнены свойства: fn ([xy1... ym ]) = [fm (x)fn (y1 )... fn (ym )] и fn (pi,n ) = pi,n для всех возможных значений n, m и для всех возможных значений аргумен тов функций.

Хорошо известно, что каждый клон R можно описать как семейст во свободных алгебр некоторого многообразия универсальных алгебр с базисами из n элементов (n = 0, 1, 2,... ). Базисными элементами яв ляются проекции, а операция суперпозиции по сути есть подстановка вместо переменных свободной алгебры R(m) с базисом из m элементов p1,m,..., pm,m элементов из свободной алгебры R(n), результат которой принадлежит R(n).

Дальнейшую информацию об абстрактных клонах можно найти, на пример, в книгах [43], [48] и [160].

Напомним необходимый нам вариант определения рациональной эк вивалентности [39], [47].

Определение 3.1.1. Пусть Sets — категория счетных семейств множеств, морфизмы которой определяются как счетные семейства ото бражений с “покомпонентной” композицией (суперпозицией). Рассмотрим два многообразия (категории) M1 и M2 многосортных алгебр со счетным семейством сортов, и пусть Ui : Mi Sets, i = 1, 2 — соответствую щие забывающие функторы. Многообразия M1 и M2 будем называть ра ционально эквивалентными, если существует изоморфизм категорий (не просто эквивалентность!) F : M1 M2, такой, что выполнено строгое равенство F U1 = U2.

Неформально говоря, рациональная эквивалентность означает, что на одних и тех же множествах (в нашей ситуации — на счетных семей ствах множеств) определены два набора операций, и их можно выразить друг через друга взаимно обратным образом.

Категории абстрактных клонов и W -операд являются многообр азиями многосортных алгебр со счетным множеством сортов, так как замкнуты относительно взятия произвольных прямых произведений, по добъектов (подклонов или подоперад) и гомоморфных образов. Обозначим их через Clones и W -Operads соответственно.

Напомним (см. главу 1) определение морфизма µk,n : [nk] [n] из категории F Set. Он отображает в i, 1 i n, элементы вида i, i + n, i + 2n,..., i + (k 1)n. Этот морфизм можно считать естественной проекцией [nk] = [n] [k] на множитель [n].

Теорема 3.1.1. Многообразие F Set-операд рационально эквивалентно многообразию абстрактных клонов.

Доказательство. Неформально говоря, будет показано, что структура абстрактного клона на R определяет некоторую структуру F Set-операды на том же семействе R, а структура F Set-операды на R определяет на R структуру клона, и эти соответствия взаимно обратны.

Дадим теперь точное определение функтора F из категории F Set операд в категорию клонов. Пусть дана операда R. Превратим ее в клон следующим образом. В качестве операции суперпозиции в клоне возь µm,n мем следующую композицию отображений: R(m) R(n)m R(nm) R(n). Левая стрелка здесь обозначает композицию в операде R. Ины ми словами, [xy1... ym ] = (xy1... ym )µm,n.

Пусть pn : [1] [n] есть морфизм F Set, отображающий 1 в i [n], i 1 i n. Рассмотрим соответствующие отображения pn : R(1) R(n).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.