авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

«Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ...»

-- [ Страница 4 ] --

Замечание 3.5.1. Имеется другой, индуктивный, способ постро ения FO, напоминающий способ построения алгебры -слов. Сначала строятся элементы семейства множеств F = {F (n)|n = 0, 1,... }. Они строятся как слова в алфавите n {}. На первом этапе полагаем n= F (1) и n F (n) для всех n. Далее проводится индукция по длине построенных слов. Если слова w F (m) и wi F (ni ) уже построены, 1 i m, то слово ww1... wm по определению принадлежит множеству F (n1 + · · · + nm ), и имеет длину, равную сумме длин подслов. Все слова из семейства F строятся только описанным выше способом. На следую щем этапе определяется семейство отношений эквивалентности на ком понентах F (n), минимальных среди содержащих все отождествления вида (ww1... wm )w1,1... wm,nm w(w1 w1,1... w1,n1 )... (wm wm,1... wm,nm ), w w и w... w. Фактормножества по этим отношениям экви валентности и будут компонентами свободной W Id-операды. Исходя из этого определения, нетрудно проверить универсальное свойство свобод ной операды, из которого вытекает наличие естественного изоморфизма между операдой из теоремы 3.5.1, и операдой, построенными описанным только что способом.

Лемма 3.5.1. Многообразия Alg(FO ) и Alg() рационально экви валентны. В частности, можно отождествлять свободные FO алгебры и свободные -алгебры.

Доказательство. Хорошо известно (и легко показывается), что задание структуры алгебры A над несимметрической операдой R равно сильно заданию гомоморфизма W Id-операд h : R EA, где n-я компо нента операды EA — это множество Map(An, A). Ясно, что задание на алгебре A структуры -алгебры равносильно заданию для всех n отображений n EA (n). Но по определению свободной W Id-операды с базисом это равносильно тому, что задан гомоморфизм W -операд FO EA. Таким образом устанавливается взаимно-однозначное соот ветствие между алгебрами из Alg() и из Alg(FO ). Проверка того, что это изоморфизм категорий с необходимыми свойствами, не представляет затруднений. Утверждение об отождествлении свободных алгебр следует из [47, теорема 1.2.1, с. 27].

Последнее утверждение этой леммы будет играть в дальнейшем важную техническую роль. Оно означает, что вместо свободной алгеб ры F r (X) мы всегда можем брать алгебру F rFO (X), которая, как уже выяснилось в § 3.2, имеет вид FO (n) X n.

n= Таким образом, каждый элемент F r (X) допускает однозначное пред ставление в виде (w, (x1,..., xk )), где w FO (k), x1,..., xk X.

Обозначая (x1,..., xk ) через x, будем записывать то же самое в виде wx, опуская скобки и запятые.

Построим теперь свободные операды над произвольными вербаль ными категориями. Начнем с описания одной общей конструкции. Пусть W — некоторая вербальная категория, R — некоторая W Id-операда.

Определим семейство RW = {RW (n)|n = 0, 1, 2,... } следующим обра зом:

R(m) W (m, n) RW (n) = (3.5.2) m Операдная композиция определяется так:

(w, f )(w1, g1 )... (wm, gm ) = (wwf (1)... wf (k), (f )(gf (1) · · · gf (k) )) (3.5.3) Здесь w FO (k), wi FO (ki ), f W (k, m), gi W (ki, ni ), 1 i m, = (n1,..., nm ). Структрура W -операды задается так:

(w, f )g = (w, gf ) (3.5.4) Здесь w FO (k), f W ([k], [n]), g W ([n], [m]), gf — суперпозиция в W T Set.

Для каждого n определено отображение n : R(n) RW (n), сопо ставляющее элеименту a R(n) элемент (a, id) R(n) W (n, n). Через : R RW обозначим все семейство отображений n.

Теорема 3.5.2. Определенное только что семейство RW являет ся W -операдой, а семейство — гомоморфизмом W Id-операд. При этом выполняется следующее универсальное свойство. Для любой W операды O и произвольного гомоморфизма W Id-операд : R O су ществует, притом только один, гомоморфизм W -операд : RW O такой, что =.

Доказательство. Проверка свойств операды фактически содер жит все доказательство теоремы 3.4.1, а так как эта теорема уже доказа на, то оставшиеся проверки не представляют сложностей. Очевидно, что есть гомомофизм W Id-операд. Гомоморфизм строится следующим образом: если (w, f ) R(k) W (k, n) RW (n), то n (w, f ) = k (w)f.

Проверка свойств гомоморфизма W -операд использует те же тождест ва, что и в доказательстве теоремы 3.4.1. Единственность очевидна.

Универсальное свойство проверяется также без проблем:

Теорема 3.5.3. 1) Операда FO W является свободной W -операдой с базисом.

2) Отобразим F O,W (n) в алгебру F r (x1,..., xn ), сопоставляя элементу (w, f ) словоа wxf (1)... xf (k), где w FO (k), и f : [k] [n] — морфизм из W. Если считать множества F (n) = F r (x1,..., xn ) компонентами F Set-операды F, построенной в § 3.3, и рассмотреть эту операду как W -операду (что возможно благодаря W F Set), то описанное в пункте 2) отождествление является инъективным гомом рофизмом W -операд FO W F.

Доказательство. Свободность FO W есть формальное след ствие универсального свойства FO в классе W Id-операд, и предыду щей теоремы.

Отобразим FO W (n) в F (n) = F r (x1,..., xn ) описанным в пунк те 2) способом:

(w, f ) h(w, f ) = wxf (1)... xf (k) = w(xf (1),..., xf (k) ).

Инъективность этого отображения очевидна. Остается проверить, что все семейство таких отображений является гомоморфизм W -операд. Это осуществляется с помощью сопоставления формул (3.5.3) и (3.3.9), а так же (3.5.4) и (3.3.10). Сохраним обозначения (3.5.3), и пусть a = h(w, f ), bi = h(wi, gi ), 1 i m. Подстановки вместо “переменных” осуществ ляются по правилам, следующим из описания структуры FO алгебры на F r (X) (§ 3.2). Поэтому по (3.3.9) (используя для удобства двойные индексы) ab1... bm = (wwf (1)... wfk )xf (1)... xf (k), где xi = xi,gi (1)... xi,gi (ki ), 1 i m. С другой стороны, вычисляя h(wwf (1)... wf (k), (f )(gf (1) · · · gf (k) )), получим то же самое выражение. Остальное очевидно.

В дальнейшем будем обозначать свободную W -операду FO W че рез F O,W.

Теорема 3.5.4. Многообразия Alg(F O,W ) и Alg() рационально экви валентны. В частности, можно отождествлять свободные F O,W алгебры и свободные -алгебры.

Доказательство почти не отличается от доказательства лем мы 3.5.1. Операду EA можно рассматривать как W -операду для произ вольной вербальной категории W, и задание структуры R-алгебры над W -операдой R равносильно заданию гомоморфизма W -операд R EA.

Если R = F O,W, то определению свободной W -операды с базисом это равносильно тому, что заданы отображение n EA (n) = Map(An, A) для всех n. Таким образом устанавливается взаимно-однозначное соот ветствие между алгебрами из Alg() и из Alg(F O,W ). Легко проверяет ся, что таким образом устанавливается изоморфизм категорий с необхо димыми свойствами. Утверждение об отождествлении свободных алгебр с любыми базисами является следствием факта рациональной эквива лентности [47, теорема 1.2.1, с. 27].

Таким образом, свободную -алгебру F r (X) можно отождествить со свободной F O,W -алгеброй с базисом X, которая устроена следующим образом: это факторалгебра алгебры F O,W (m) X m m по конгруэнции, порожденной всеми парами ((rf, x1... xm ), (r, xf (1)... xf (k) )).

Здесь предполагается, что r F O,W (k), f W ([k], [m]). Как уже от мечалось в § 3.2, из этого построения следует, что F rF O,W (X) является тензорным произведением функторов [n] F O,W (n) (контравари антный функтор W op Set), и [n] X n (ковариантный функтор W op Set). Это обстоятельство пригодится в следующем параграфе.

Кроме того, из отождествления F r (X) и F rF O,W (X) следует, что элементы F r (X) можно представлять в виде wx (отождествляя пару (w, x) со строкой wx), где w F O,W (m), x = x1... xm, элементы x1,..., xm X не обязательно различны. Единственность такой записи в случае произвольной категории W утверждать нельзя, но если (ввиду (3.5.2)) w = (, f ), где FO (k), f W (k, m) (такое представление по теореме 3.5.2 однозначно), то wx = (xf ) = xf (1)... xf (k), и последняя форма записи также определена однозначно.

Замечание 3.5.2. Существует другая модель свободных операд. Дадим ее краткое описание, опуская обоснования (впрочем, не слишком сложные). Сначала рассмотрим некоторое множество S, кото рое будем считать линейно упорядоченным. Пусть G = S — свободный моноид с базисом S. Рассмотрим соответствующую G операду, описан ную в примере 2.5.3 Определим в этой операде подопераду, которую бу дем называть операдой префиксных кодов в алфавите S (и обозначим ее через P CS ) следующим образом. Элементы P CS (n) — это упорядочен ные последовательности (w1,..., wn ) слов в алфавите S, такие, что сово купность {w1,..., wn } является “префиксным кодом”, т.е. все эти слова различны, и ни одно из них не является префиксом другого. Можно пока зать, что таким образом действительно определяется подоперада, и что она является свободной -операдой с базисом XS = {XS,n |n 1}, где XS,n состоит из элементов (s1,..., sn ), s1,..., sn S и s1... sn. Не трудно убедиться, что для любого семейства подмножеств = {n |n XS,n, n 1} подоперада P CS, порожденная этим семейством, будет сво бодной операдой с базисом. Наконец, для любого семейства можно найти линейно упорядоченное множество S и набор инъективных ото бражений n XS,n для всех n 1. Ввиду того, что каждая операда изоморфна факторопераде свободной операды, можно сделать вывод, что операдная композиция, описанная в примере 2.5.3 (а также более общий случай — мультикатегории вида K ), вовсе не является экзотическим частным случаем. Напротив, в некотором смысле отображения компози ции во всех операдах устроены “примерно так же”.

§ 3.6. W -тождества Теорема 3.6.1. Пусть изоморфна факторопераде W -операда R F O,W /V, где V — конгруэнция операды. Если X — произвольное множество, то F rR (X) F r (X)/V (X), = где V (X) — вполне инвариантная конгруэнция, которую можно опи сать как как множество пар вида (u1 x, u2 x), где (u1, u2 ) V (k) для некоторого k, x = x1... xk, x1,..., xk X (всевозможные комбина ции).

Доказательство. Условие теоремы означают, что имеет место диаграмма, определяющая R как коуравнитель:

V F O,W R (3.6.1) Все объекты этой диаграммы являются контравариантными функтора ми из категории W op в категорию множеств, а стрелки — естествен ными преобразованиями. Напомним, что в § 3.2 был определен ковари антный функтор T (X) из W op в категорию множеств, действующий по правилу [n] X n. Таким образом, мы находимся в ситуации, когда определены тензорные произведения функторов [28], а поскольку тен зорное произведение есть функтор, обладающий сопряженным справа функтором ([28, теорема 1], [148, chapter VII, § 2, theorem 1]), то пос ле тензорного умножения (3.6.1) на T (X) снова получается коуравни тель пары морфизмов. При этом, как уже известно, можно считать, что R T (X) = F rR (X), F O,W T (X) = F r (X). Что касается стрелок V F O,W, то это суперпозиции вложения V F O,W F O,W и про екций F O,W F O,W F O,W. После тензорного умножения на T (X) получаются стрелки V T (X) F O,W T (X) F r (X), что дает = отображение V T (X) F r (X) F r (X). Образ этого отображения обозначим через V (X). Легко заметить, что коуравнитель пары стрелок V T (X) F O,W T (X) изоморфен коуравнителю пары стрелок, каж дая из которых есть суперпозиция вложения V (X) F r (X) F r (X) и одной из проекций на сомножители: F r (X) F r (X) F r (X). Это означает, что F rR (X) F r (X)/V (X).

= С другой стороны, вспоминая явный вид тензорного произведения T (X) на стрелки V F O,W, а также способ построения изоморфизма F O,W T (X) = F rF O (X) F r (X), нетрудно убедиться, что V (X) =,W состоит из всех пар вида (u1 x, u2 x), где (u1, u2 ) I(k) для некоторого k, и x = x1... xk, причем x1,..., xk пробегают все возможные комбинации элементов из X.

Покажем, что конгруэнция V (X) вполне инвариантна. Рассмотрим произвольный гомоморфизм -алгебр h : F r (X) F r (X), и пусть h(xj ) = aj, 1 j k. Элементы aj можно представить в виде aj = vj xj, где vj F O,W (nj ), xj = xj,1... xj,nj, xj,l X. Тогда h(ui x1... xk ) = ui h(x1 )... h(xk ) = (ui v1... vk )x1... xk. Ясно, что (u1 v1... vk, u2 v1... vk ) V (n1 + · · · + nk ), и поэтому (h(u1 x), h(u2 x)) V (X). Более того, точно так же можно показать, что если Y — другое множество, которое рас сматривается как базис свободной алгебры, и h : F r (X) F r (Y ) — некоторый гомоморфизм -алгебр, то (h h)(V (X)) V (Y ).

Рассмотрим подробнее пары вида (u1 x, u2 x), где u1, u2 F O,W (n), x = x1... xn. Если ui = (wi, fi ), где wi FO (mi ), fi W ([mi ], [n]). Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, каждый элемент ui x преобра зуется к виду wi (xfi ) = wi xfi (1)... xfi (mi ), i = 1, 2.

Определение 3.6.1. Элемент из F r (X)2 будет называться W парой, если он имеет вид (w1 (xf1 ), w2 (xf2 )), где wi FO (mi ), fi W ([mi ], [n]), i = 1, 2, x = x1... xn, и все x1,..., xn X различны. В случае, если W -пара будет тождеством какой-либо алгебры, или какого то многообразия, будем называть ее W -тождеством.

Теорема 3.6.2. Существует изоморфизм между решеткой конгруэн ций свободной W -операды F O,W и подрешеткой решетки вполне ин вариантных конгруэнций свободной -алгебры F r (X) со счетным ба зисом X, состоящей из конгруэнций, порожденных W -парами.

Доказательство. Искомый изоморфизм — это соответствие V V (X) = V, построенное при доказательстве теоремы 3.6.1. От метим, что V (X) порождается W -парами. Это следует из того, что лю бой элемент (u1 x, u2 x) V (X), где (u1, u2 ) V (k), и x = xj1... xjk — произвольная строка из элементов X, можно считать результатом под становки в W -пару (u1 x1... xk, u2 x1... xk ) вместо каждого xi элемента xji. По определению, это и означает, что V (X) порождается W -парами как вполне инвариантная конгруэнция.

Обратное соответствие будем строить, предполагая, как и в теореме 3.4.4, что компоненты F O,W (k) свободной W -операды можно считать подмножествами F r (x1,..., xk ), которые, в свою очередь, можно счи тать подалгебрами F r (X), где X = {x1,..., xk }. Итак, пусть дана k вполне инвариантная конгруэнция U F r (X) F r (X). Рассмотрим множество P w всех W -пар ((xf ), µ(xg)) U, где в x = xi1... xin все xi1,..., xin различны, FO (k), µ FO (l), f W ([k], [n]), g W ([l], [n]) для некоторого n = 0, 1, 2,.... Определим семейство множеств V = U, V = {V (n) | n = 0, 1,... }, полагая V (n) = {((, f ), (µ, g)) F O,W (n)2 | ((xf ), µ(xg)) P w для некоторого x}. Покажем, что V есть конгруэнцию в операде F O,W. Во-первых, заметим, что выбор x для пары (, µ) произволен, в том смысле, что вместо x = xi1... xin можно взять любое другое слово x = xj1... xjn с условием, что все xj1,..., xjn — различные элементы X. Это следует из инвариантнос ти конгруэнции U : соответствие xik xjk, 1 k n продолжается до эндоморфизма F r (X), а затем до эндоморфизма F r (X) F r (X), ото бражающего U в U, а пару ((xf ), µ(xg)) — в пару ((x f ), µ(x g)).

Очевидно, что все V (n) будут отношениями эквивалентности. Пусть ((, f ), (µ, g)) V (m), ((i, hi ), (µi, ti )) V (ni ), 1 i m. Покажем, что ((1... m, f h1... hm ), (µµ1... µm, gt1... tm )) V (n1 + · · · + nm ). Выбе рем x1,..., xm — слова в алфавите X, так, что (i (xi hi ), µi (xi ti )) P w, 1 i m, и в xi, xj нет общих символов для всех i = j. Это мож но сделать ввиду счетности X. Поскольку U — подалгебра F O,W алгебры F r (X) F r (X), то для любого (, f ) F O,W (m) и любых (i xi, µi xi ) P w, 1 i m, получим элемент из U :

(f )((1, h1 )x1, (µ1, t1 )x1 )... ((m, hm )xm, (µm, tm )xm ) = (((, f )(1, f1 )... (m, fm ))x1... xm, ((, f )(µ1, t1 )... (µm, tm ))x1... xm ) = ((f (1)... f (k), (f )(hf (1) · · · hf (k) )x1... xm, (µf (1)... µf (k), (f )(tf (1) · · · tf (k) )x1... xm ) = ((f (1)... f (k), f h1... hm )x1... xm, (µf (1)... µf (k), f t1... tm )x1... xm ).

Ввиду выбора xi этот элемент должен принадлежать P w. Таким обра зом, ((f (1)... f (k), f h1... hm ), (µf (1)... µf (k), f t1... tm )) V (n1 + · · · + nm ).

Пусть x = xs1... xsk — слово в алфавите X, такое, что все xsj различ ны, и x не имеет общих символов ни с одним из xi, 1 i m. Тогда ((, f )x, (µ, g)x) P w U. Рассмотрим эндоморфизм F r (X), отобра жающий xsj в (µj, tj )xj, 1 j m. Тогда ((, f )x, (µ, g)x) отображается в элемент U, имеющий вид (, f )((µ1, t1 )x1 )... ((µm, tm )xm ), (µ, g)((µ1, t1 )x1 )... ((µm, tm )xm )) = ((µf (1)... µf (k), f t1... tm )x1... xm, (µµg(1)... µg(l), gt1... tm )x1... xm ).

Так как полученный элемент принадлежит P w, имеет место включение ((µf (1)... µf (k), f t1... tm ), (µµg(1)... µg(l), gt1... tm )) V (n1 + · · · + nm ).

Но поскольку V (n1 +· · ·+nm ) есть отношение эквивалентности, получаем требуемое включение:

((f (1)... f (k), f h1... hm ), (µµg(1)... µg(l), gt1... tm )) V (n1 + · · · + nm ).

Из инвариантности конгруэнции U также следует, что соответствие [n] V (n) есть контравариантный функтор из W op в категорию мно жеств. Проверим это. Если ((, f ), (µ, g)) V (m), где FO (k), f W ([k], [m]), µ FO (l), g W ([l], [m]), то для строки x = x1... xm элемент ((, f )x, (µ, g)x) = (xf (1)... xf (k), µxg(1)... xg(k) ) принадлежит P w U. Если h W ([m], [n]), то полагаем Элементы и ((, f ), (µ, g))h = ((, hf ), (µ, hg)). (, hf )x1... xn (µ, hg)x1... xn суть образы элементов (, f )x1... xm и (µ, g)x1... xm соответственно при эндоморфизме F r (X), отображающем в xj xh(j), 1 j m (остальные иксы отображаются произвольным образом). Следовательно, ввиду полной инвариантности U, пара ((, hf )x1... xn, (µ, hg)x1... xn ) принадлежит U. Так как это W -пара, то по определению V получаем включение ((, hf ), (µ, hg)) V (n).

Поэтому V = U есть W -подоперада W -операды F O,W F O,W.

Из построения видно, что соответствия U U = V сохраняет включения и произвольные пересечения.

Покажем взаимную обратность соответствий U U и V V.

В одну сторону это очевидно: W -пары из V приводят вновь к опера де V. Проверим, что если V = U, то U = V. Очевидно, что V U.

Чтобы показать обратное включение, используем условие, согласно ко торому U порождается множеством P w как вполне инвариантная кон груэнция. Это, в частности, означает, что U F r (X) F r (X) есть F O,W -подалгебра, порожденная всеми элементами, являющимися ре зультатами подстановок в элементы из P w произвольных -слов вместо элементов множества X, причем вместо каждого вхождения в данный элемент P w одного и того же x X подставляется одно и то же слово.

Ввиду этого произвольный элемент (z1, z2 ) U представляется в виде (, f )(p1, p )... (pm, p ), где FO (k), f W ([k], [m]), а каждая пара 1 m (pi, p ) получается из некоторого элемента P w описанной выше подста i новкой. Выполниив эту подстановку, и произведя необходимые преобра зования, получаем, что каждый (pi, p ) есть элемент ((qi, hi )xi, (qi, h )xi ), i i где ((qi, hi ), (qi, h )) V = U. Следовательно, произвольный элемент U i можно записать в виде:

(, f )((q1, h1 )x1, (q1, h )x1 )... ((qm, hm )xm, (qm, h )xm ) = 1 m ((qf (1)... qf (m), f h1... hm )x1... xm, (qf (1)... qf (m), f h... h )x1... xm ) 1 m (3.6.2) ((qf (1)... qf (m), f h1... hm ), (qf (1)... qf (m), f h... h )) Элемент при 1 m надлежит V. Чтобы убедиться в этом, выберем для каждой па ры ((qi, hi ), (qi, h ) слово y i в алфавите X таким образом, что i ((qi, hi )y i, (qi, h )y i ) P w, причем в y i и y j нет общих символов i при всех i = j. Поскольку U является F O,W -алгеброй, то композиция (, f )((q1, h1 )y 1, (q1, h )y 1 )... ((qm, hm )y m, (qm, h )y m ) = 1 m ((qf (1)... qf (m), f h1... hm )y 1... y m, (qf (1)... qf (m), f h... h )y 1... y m ) 1 m принадлежит U, и очевидно, что принадлежит также и P w. Возвращаясь к элементу (3.6.2), заключаем, что он принадлежит V. Таким образом, получено включение U V, откуда следует U = V = U.

Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие, сохра няющее порядок, между двумя решетками, причем отображение U U сохраняет произвольные пересечения. Но так как точная верхняя грань элементов U1 и U2 в рассматриваемых решетках есть пересечение всех U, таких, что U1, U2 U, то имеет место изоморфизм решеток.

Теорема 3.6.3. Пусть R — некоторая W -операда. Выберем в ней про извольное семейство образующих (предполагая, что R(n) = n ).

Тогда операду R можно считать фактороперадой свободной операды F = F O,W с базисом по некоторой конгруэнции V. Утвержда ется, что многообразие R-алгебр Alg(RW ) рационально эквивалент но многообразию -алгебр, определяемому семейством тождеств вида (1, f1 )x = (2, f2 )x, где ((1, f1 ), (2, f2 )) V (n) пробегают некото рое семейство образующих конгруэнции V, а в строке x = x1... xn все переменные различны.

Фактически речь идет о вполне инвариантная конгруэнции V = V (X) из теорем 3.6.1 и 3.6.2.

Доказательство. Рассмотрим естественную проекцию на фак торопераду : F R, и пусть V — ее ядро. Иными словами, V = {V (n)|n 0}, V (n) = {(z1, z2 ) F (n) F (n)|n (z1 ) = n (z2 )} для всех n. Эта проекция индуцирует вполне унивалентный функтор Alg(RW ) Alg(FW ), причем многообразие Alg(FW ) можно отождест вить с Alg(). Действие функтора можно описать следующим образом.

Структура RW -алгебры на A определяется гомоморфизмом W -операд R EA, а структура соответствующей F -алгебры задается суперпози цией этого гомоморфизма с гомоморфизмом. Ввиду того, что — это базис F, такой гомоморфизм операд F EA однозначно определяется отображением EA (а точнее, семейством отображений n EA (n) для всех n). Образ построенного так функтора — это именно то много образие, про которое надо доказать, что оно определяется тождествами из V.

Пусть A — некоторая -алгебра, и A (X) F r (X) F r (X) — соответствующая ей вполне инвариантная конгруэнция. Предположим, что X счетно. Тогда ядром соответствующего структуре A гомомор физма F EA будет (в обозначениях доказательства теоремы 3.6.2) конгруэнция A (X). Алгебра A будет принадлежать к многообразию Alg(R) (вложенному в Alg() описанным выше образом) тогда и только тогда, если V A (X).

Теперь доказательство завершатся следующим образом. Пусть M — многообразие -алгебр, определяемое вполне инвариантной конгруэн цией V. В обозначениях §3.2 будем иметь:

M (X) = V = A (X).

AM Но тогда, согласно теореме 3.6.2, V = M (X) = A (X).

AM Отсюда следуют импликации:

A AlgZ (R) V A (X) A M.

Теорема 3.6.4. Если R есть W -операда, то многообразие Alg(RW ) определяется W -тождествами.

Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из пре дыдущей теоремы. Если представить R в виде F O,W /V, то F rR (X) = F r (X)/V (X). Если X — счетное множество, то многообразие Alg(R) определяется тождествами из V (X), а эта конгруэнция, порождается W парами.

Теорема 3.6.5. Если многообразие -алгебр M определяется W тождествами, то оно рационально эквивалентно многообразию вида Alg(RW ), где R есть W -операда.

Доказательство. Напомним, что M полностью определяется своей свободной алгеброй F rM (X) со счетным базисом X. Поскольку это алгебра из Alg(), ее можно представить в виде F r (X)/J, где J — вполне инвариантная конгруэнция. По условию, эта конгруэнция по рождается W -тождествами, и поэтому по теореме 3.6.2 она имеет вид V (X), где V есть конгруэнция в свободной W -операде F O,W. Рассмот рим W -операду R = F O,W /V. Вычисляя свободную алгебру F rR (X) многообразия Alg(RW ) точно так же, как это сделано в доказательст ве теоремы 3.6.1, получаем F rR (X) F r (X)/V (X). Таким образом, = F rR (X) F rM (X) как -алгебры. Но согласно [47, теорема 1.2.1] это = влечет рациональную эквивалентность M и Alg(R).

Замечание 3.6.1. Полагая W = F Set, видим, что F Set тождества — это вообще все возможные тождества в универсальных алгебрах. Отсюда следует, что результаты § 3.1 и § 3.3, относящиеся к рациональным эквивалентностям многообразий алгебр, можно считать частными случаями результатов данного параграфа. Разумеется, надо сделать при этом очевидную оговорку, что все результаты § 3.4 и § 3. без существенных изменений (хотя и с некоторыми техническими услож нениями) переносятся на мультикатегорный случай.

§ 3.7. Заключительные замечания Понятие вербальной категории позволяет расширить как границы теории операд, так и границы традиционной теории многообразий уни версальных алгебр. Ситуацию (в односортном варианте) можно в первом приближении описать следующим образом. С каждой вербальной катего рией связан особый класс W -сигнатур SetW — контравариантных функ торов функторов из категории W op, двойственной к данной вербальной категории W, в категорию множеств — с помощью которого можно опре делить некий аналог всей теории “обычных” универсальных алгебр. При этом “обычные” универсальные алгебры — это случай тривиальной вер бальной категории W Id. Таким образом, каждой вербальной категории соответствует полный аналог всей традиционной универсальной алгеб ры, в котором есть свои тождества, свои многоообразия и т.п. Отметим, что эту идею (по крайней мере, в частных случаях) нельзя назвать совер шенно новой: например, при W = нечто похожее можно обнаружить в [106].

Категория SetW обладает достаточно богатой внутренней струк турой. Помимо структуры топоса, она обладают еще структурой монои дальной (не симметрической) замкнутой категории. Опишем ее вкратце.

Пусть A и B — объекты SetW. Положим A(m)B(n1 )· · ·B(nm )W op (n1 +· · ·+nm, n)/ A B(n) = m 0 n1,...,nm где факторизация производится по наименьшему отношению эквивалент ности, содержащему все отношения вида:

(af, b1,..., bm, g) (a, bf (1),..., bf (k), (f )g), (a, b1 f1,..., bm fm, g) (a, b1,..., bm, (f1 · · · fm )g) Легко заметить, что таким образом получается элемент из SetW. Мож но показать (это достаточно длинное вычисление), что таким образом определяется структура моноидальной (не симметрической) категории.

Нейтральный объект моноидальной категории SetW — это функтор, со поставляющий объекту [n] одноэлементное множество W ([1], [n]). Мож но показать также, что для B, C Ob(SetW ) существует [B, C] Ob(SetW ), функториально зависящий от B и C, и такой, что имеется естественный изоморфизм:

B, C) Mor(A, [B, C]) Mor(A = Здесь Mor означает множество морфизмов категории SetW. В данной работе все это не понадобится.

Моноиды в категории SetW — это в точности W -операды. Отме тим, что в случае W = именно таким способом (как моноиды в SetW ) вводятся в [54] и в (несколько ином контексте) в [98, раздел 2.3]. Авторы этих работ, судя по всему, считают свойства моноидальной категории почти очевидными. Во всяком случае, обоснования этих свойств в упо мянутых работах нет.

Отметим, что свойства, определяющие вербальные категории — это именно те свойства, которые обеспечивают свойства, превращаю щие SetW в моноидальную категорию. А следовательно, это именно те свойства, которые определяют наличие моноидов в этой категории, то есть W -операд. Отметим еще раз, что нечто похожее можно найти в очень сжатом виде в [134, с. 11-12]. Эта работа опубликована в 2005-м году, тогда как наша работа [62], где были определены вербальные кате гории, опубликована в 2002-м году. Вместе с тем, в предисловии к [134] автор отмечает, что это публикация работы, выполненной еще в году. Удивительно, что идеи, содержащиеся в этой работе, не получили за такой промежуток времени известности, и не были должным образом развиты.

Продолжая описывать общую ситуацию, в которой оказывается универсальная алгебра с появлением вербальных категорий, для каж дого = W SetW определим категорию -алгебр (или алгебра над ) Alg() = Alg(W ), полагая ее объектами обычные алгебры в сигнатуре W, для которых выполняются дополнительные тождества вида (f )x1... xm = xf (1)... xf (m).

Здесь (k), f W ([k], [m]). Наконец, через Alg(W ) обозначим ка тегорию, объектами которой являются всевозможные пары (W, A), где W — объект SetW, A — алгебра над W. Морфизм этой категории из (W, A) в (W, B) — это пара (p, h), где p : — естественное преобразование функторов (морфизм категории SetW ), h : A B — отображение, обладающее свойством h(a1... ak ) = pk ()h(a1 )... h(ak ).

Поясним, что p можно интерпретировать как семейство отображений pk : (k) (k), обладающее следующим свойством: для любого f W ([k], [m]) имеет место равенство: pm (f ) = pk ()f. Суперпози ция морфизмов определяется очевидным образом. Ясно, что определен функтор : Alg(W ) SetW, сопоставляющий паре (, A) объект, а морфизму (p, h) — морфизм p. Категория Alg() отождествляется с подкатегорией Alg(W ) с объектами (, A) ( фиксирован) и морфизмами вида (id, h). Категории Alg(W ), SetW, и функтор : Alg(W ) SetW — это тот контекст, в рамках которого развивается та универсальная алгебра, которая соответствует вербальной категории W. Отметим, что : Alg(W ) SetW есть расслоенная категория в смысле [123].

Если даны две вербальные категории, W и V, и V W, то естест венным образом определяется функтор “ограничения” SetW SetV, ко торый сопоставляет сигнатуре W, на которой действует категория W, ту же (как семейство множеств) сигнатуру, на которой действует мень шая категория V. Отметим, что этот функтор является моноидальным, и это означает, что W -операды автоматически становятся V -операдами.

Данному функтору соответствует очевидным образом определяемый уни валентный функтор Alg(W ) Alg(V ), делающий коммутативной диа грамму:

SetV SetW Alg(W ) Alg(V ) Вертикальные стрелки в этой диаграмме — это функторы вида, опре деленного выше. Категорию Alg(W ) можно считать подкатегорией ка тегории Alg(V ). Смысл этого таков: если дана сигнатура W, на кото рой действует W, то все W -алгебры можно рассматривать также как V -алгебры, где V есть результат действия функтора SetW SetV, ограничивающего действие W до действия V. Таким образом, Alg(W ) вкладывается в Alg(V ) в качестве подмногообразия.

Результаты главы 3 можно интерпретировать как описание ситу ации, возникающей из включения тривиальной вербальной категории W Id в другую вербальную категорию W. Если SetW Id, то это обычная сигнатура, и Alg() — обычное многообразие всех -алгебр.

Из W Id F Set получаем функторы SetF Set SetW Id и Alg(F Set) Alg(W Id). Результаты § 3.1 и 3.3 означают, что любое многообразие алгебр (подкатегория категории Alg(W Id)) рационально эквивалентно многообразию алгебр над F Set-операдой. Таким образом, с точностью до рациональной эквивалентности, вся информация о многообразиях лю бых -алгебр содержится в расслоенной категории Alg(F Set) SetF Set (которая в определенном смысле “меньше”, чем Alg(W Id) SetW Id ), и даже в ее существенно меньшей подкатегории: вместо SetF Set можно взять категорию всех моноидов, т.е. F Set-операд, а вместо Alg(F Set) — “подрасслоение”, слоями которого являются многообразия алгебр над F Set-операдами.

В общем случае категория Alg(W Id) “покрывается” своими под категориями — образами категорий вида Alg(W ). В § 3.5 показано, что многообразие Alg() рационально эквивалентно Alg(F O,W ) (расматри ваемому как подкатегория Alg(W Id)). Но функтор Alg(W ) Alg(W Id) не отображает Alg(F O,W ) в Alg(). В Alg() отображается такое Alg(W ), дл которого совпадает с как семейство множеств. При W = W Id образ этого Alg(W ) в Alg() есть многообразие, отличное от Alg(), и, как легко заметить, задаваемое W -тождествами. Вопрос о том, как можно охарактеризовать образ в Alg(W ) произвольного многообра зия из Alg(W ), остается пока открытым. Однако основной результат § 3.6 дает критерий того, когда многообразие из Alg(W Id) рационально эк вивалентно образу многообразия вида Alg(RW ), где RW есть W -операда.

Таким образом, результаты главы 3 позволяют взглянуть на тра диционную проблематику универсальной алгебры под новым углом зре ния. Например, открывается возможность классификации многообразий и тождеств в соответствии с вербальными категориями. В этой связи интересно было бы найти полное описание вербалных категорий.

Глава 4. Многообразия, определяемые полилинейными тождествами § 4.1. Дальнейшие свойства коммутативных операд В этом параграфе излагаются основные свойства коммутативных операд, введенных в $ 2.5. Напомним, что операда Z называется комму тативной, если для любых Z(n), Z(m) имеет место тождество:

m n... = (... )n,m (2.5.1) Сначала выясним, какова связь между коммутативными операдами и коммутативными алгебраическими теориями [104, § 3.10].

Напомним, что алгебраической теорией (или ловеровской алгебра ической теорией) называется категория T с объектами [0], [1], [2],..., обладающая прямыми (декартовыми) произведениями, причем [n][m] = [n + m]. Хорошо известно, что алгебраические теории (и только они) — это в точности категории, двойственные к категориям свободных алгебр с конечными базисами (точнее, с базисами вида {x1,..., xn }, n = 0, 1, 2,... ) многообразий универсальных алгебр. Хорошо известно также, что это понятие эквивалентно и понятию абстрактного клона.

Определение коммутативной алгебраической теории (в наших обо значениях) таково [104, Denition 3.10.1, p.166]:

Алгебраическая теория T называется коммутативной, если для любых морфизмов категории T вида : [m] [1] и : [n] [1], комму тативна следующая диаграмма:

n [nm] [n] m (4.1.1) [m] [1] Диаграмма (4.1.1) соответствует диаграмме 3.15 на с. 166 книги [104].

Теорема 4.1.1. Пусть T — коммутативная алгебраическая теория и R — соответствующая ей, согласно теореме 3.1.1, F Set-операда. Тог да R является коммутативной операдой. Обратно, коммутативная F Set-операда, рассматриваемая как алгебраическая теория, является коммутативной алгебраической теорией.

Доказательство. Пусть T есть алгебраическая теория, сооты етстыующая некоторому (однозначно определенному) многообразию уни версальных алгебр, свободные алгебры в котором будем обозначать через F r(X). Тогда T (k, l) есть множество гомоморфизмов из F r(x1,..., xl ) в F r(x1,..., xk ), а диаграмма (4.1.1) превращается в диаграмму следую щего вида:

n F r(x1,1,..., xn,m ) F r(x1,..., xm ) m (4.1.2) F r(x1,..., xn ) F r(x) Если (x) = (x1,..., xn ) F r(x1,..., xn ), и (x) = (x1,..., xm ), то n (xj ) = (x1,j,..., xn,j ), 1 j m, а m (xi ) = (xi,1,..., xi,m ), 1 i n. Следовательно, коммутативность диаграмм (4.1.1) и (4.1.2) равносильно равенству:

((x1,1,..., x1,m ),..., (xn,1,..., xn,m )) = (4.1.3) ((x1,1,..., xn,1 ),..., (x1,m,..., xn,m )) Напомним, что по (3.3.9) алгебраическая теория превращается в F Set операду следующим образом: R(n) = F r(x1,..., xn ) для каждого n, и если R(m), i R(ni ), 1 m, то 1... m (x1,..., xn1 +···+nm ) = (1 (x1,..., xn1 ),..., m (xn1 +···+nm1 +1,..., xn1 +···+nm )).

Кроме того, по (3.3.10), если f : [n] [m] — морфизм из F Set, то f (x1,..., xm ) = (xf (1),..., xf (n) ). Это можно еще выразить так: если x = x1... xm, то xf = xf (1)... xf (n), и тогда f = f (x) = (xf ). Здесь, как и в предыдущих главах, мы пользуемся соглашением о пропуске (или, при необходимости, восстановлении) запятых в упорядоченных строках символов. Ввиду всего этого равенство (4.1.3) может быть переписано в следующем виде:

n m... (x ) =... (x ), x x где запятые) (опуская = x1,1... x1,m... xn,1... xn,m, = x1,1... xn,1... x1,m... xn,m. Вспоминая опеределние n,m, видим, что x = x n,m, и это означает, что коммутативность (4.1.1) эквивалентна n m равенству:... = (... )n,m, то есть равенству (2.5.1), что и требовалось доказать.

Напомним, что в [104, § 3.10] для алгебр над коммутативными ал гебраическими теориями (в [104] то, что у нас называется алгебрами, названо моделями) определяются билинейные отображения и тензорные произведения. Аналогичные конструкции можно осуществить и в слу чае алгебр над произвольными коммутативными операдами. При этом аналогия со случаем модулей над коммутативными кольцами становит ся еще более явной. В оставшейся части параграфа будет развита тео рия Z -полилинейных отображений и тензорных произведений алгебр над произвольной коммутативной операдой Z. Как ясно из теоремы 4.1.1, мы рассматриваем ситуацию, существенно более общую, чем в [104, § 3.10], и поэтому наши доказательства отличаются от доказательств из [104].

Напомним, что если обозначить действие элемента коммутативной () n операды Z(n) на элементы a1,..., an из Z -алгебры A как ai, i= то будет выполняться тождество:

n m m n () () () () ai,j = ai,j (2.5.2) i=1 j=1 j=1 i= Ввиду этого гомоморфизмы алгебр над коммутативной операдой Z будем называть Z -линейными отображениями. Смысл этого названия стано вится очевидным, если заметить, что оно сводится к тому, что для любых Z -алгебр A и B, a1,..., an A, Z(n), гомоморфизм из A в B — это отображение h : A B, такое, что n n () () h( ai ) = h(ai ) i=1 i= Множество гомоморфизмов из Z -алгебры A в Z -алгебру B будем обо значать через HomZ (A, B).

() n В дальнейшем обозначение ai будет использоваться только для i= алгебр над коммутативными операдами.

Замечание 4.1.1. Пусть Z — коммутативная операда, и A — алгебра над Z. Рассмотрим два элемента, C(2). Тогда в алгебре A должно быть выполнено тождество 2 2 2 () () () () xi,j = xi,j.

i=1 j=1 j=1 i= Обозначим действие операций, следующим образом: x · y = xy, a b = ab. В этих обозначениях предыдущее тождество приобретает следующий (хорошо известный) вид:

(x1,1 · x1,2 ) (x2,1 · x2,2 ) = (x1,1 x2,1 ) · (x1,2 x2,2 ) Предположим, что обе операции ассоциативны. Положим A(n) = A для всех натуральных n 1, и определим отображения композиции A(m) A(n1 )... A(nm ) A(n1 + · · · + nm ) по формуле xy1... ym = x · (y1... ym ). Эта композиция оказывается ассоциативной. Если же существует e A, такой, что a · e = e · a = a для всех a A, и e e = e, то семейство {A(n)|n 1} превращается в не симметрическую операду (W Id- операду в наших обозначениях). Чтобы определить на ней структуру - операды, достаточно предположить, что умножение a b коммутативно. Эта конструкция демонстрирует еще од ну из точек соприкосновения теории операд и теории двойных категорий.

См. также главу 5 книги [140].

Следующая лемма очевидна.

Лемма 4.1.1. Класс коммутативных операд является многообрази ем многоосновных универсальных алгебр.

Определение 4.1.2. Пусть Z — коммутативная операда. Z полилинейным назовем отображение вида h : A1... An B, где A1,..., An, B — Z -алгебры, являющееся Z -линейным по каждому аргу менту.

Это определение корректно в следующем смысле. Рассмотрим вы () () m k ражение h(a1,..., ai,..., aj,..., an ), и пусть ai = x t, aj = ys.

t=1 s= Тогда, применяя определение полилинейности сначала к i-му, а затем к () () m k j -му аргументу, получим h(a1,..., xt,..., ys,..., an ), если же t=1 s= применить определение сначала к j -му, а затем к i-му аргументу, то () () k m получим h(a1,..., xt,..., ys,..., an ). Эти элементы совпадают s=1 t= по определению коммутативной операды.

Если Z(0) = {0}, то в каждой Z -алгебре A содержится константа 0A, и любое Z - линейное отображение f : A B отображает 0A в 0B.

В частности, для Z - полилинейного отображения h : A1... An B имеет место привычное свойство: h(a1,..., 0Ai,..., an ) = 0B.

Лемма 4.1.2. Множество обладает естествен HomZ (A, B) ной структурой Z -алгебры. А именно, если даны Z -линейные () n : A B, и Z(n), то fi определяется следую f1,..., fn i= щим образом: для каждого a A полагаем n n () () ( fi )(a) = fi (a).

i=1 i= Z -билинейными являются отображения композиции морфизмов в ка тегории Alg(Z), то есть HomZ (A2, A1 ) HomZ (A3, A2 ) HomZ (A3, A1 ), (f, g) f g, и отображения вида HomZ (A, B) A B, (f, a) f (a).

() n Доказательство. Проверим, что f = fi HomZ (A, B). Для i= (µ) m этого возьмем a = aj, и проделаем следующие вычисления, исполь j= зуя определение f и свойства Z -линейности fi.

() () (µ) () (µ) n n m n m f (a) = fi (a) = fi ( aj ) = fi (aj ) = i=1 i=1 j=1 i=1 j= (µ) () m n m (µ) = fi (aj ) = f (aj ).

j=1 i=1 j= Оставшаяся часть доказательства сводится к легким проверкам.

Категория Alg(Z) во многих отношениях похожа на категорию мо дулей над коммутативным кольцом. Поскольку это — многообразие уни версальных алгебр, то существуют произвольные декартовы произведе ния, копроизведения, уравнители (ядра гомоморфизмов) и т.п.

Свободная Z -алгебра с базисом X будет обозначается через ZX или через Z(X). Это обозначение будет использоваться только для сво бодных алгебр над коммутативными операдами и, как правило, в тех слу чаях, когда одновременно надо рассматривать алгебры над другими опе радами, обладающими дополнительной структурой Z -алгебр. Поскольку вербальная категория предполагается фиксированной, то указание на нее опускается. Элементы ZX, как следует из явного вида свободных алгебр () n над операдами — это “формальные линейные комбинации” вида xi, i= где Z(n), x1,..., xn X.

Теорема 4.1.2. Для любого отображения : X1... Xn Y, где X1,..., Xn, Y — произвольные множества, существует, притом только одно, Z -полилинейное отображение : ZX1 · · · ZXn ZY, такое, что (x1,..., xn ) = (x1,..., xn ) для всех x1 X1,..., xn Xn.

Для любого отображения : X1... Xn B, где B — Z алгебра, существует одно и только одно Z -полилинейное отображение h : ZX1 · · · ZXn B, такое, что h(x1,..., xn ) = (x1,..., xn ) для всех x1 X1,..., xn Xn.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Единственность очевидна. Для доказательства существования (по сути, аналогичного ли нейному случаю) проведем индукцию по n. Для n = 1 доказываемое ут верждение следует из определения свободной Z -алгебры. Предположим, что утверждение уже доказано для отображений с n 1 аргументами.

Зафиксируем x Xn, и пусть x : X1 · · ·Xn1 Y есть отображение, определяемое равенством x (x1,..., xn1 ) = (x1,..., xn1, x). По предпо ложению индукции, существует, притом только одно, Z -полилинейное отображение x : ZX1 · · · ZXn1 ZY, такое, что x ( (1 ) x1,i1,..., (n1 ) xn1,in1 ) = i1 in (1 ) (n1 )... x (x1,i1,..., xn1,in1 ) = (1 ) (n1 ) i1 in... (x1,i1,..., xn1,in1, x).

i1 in Зафиксируем u = (u1,..., un1 ), ui ZXi, 1 i n 1. Соответ ствие x x (u1,..., un1 ) есть отображение из Xn в ZY. Обозначим его через u, а его продолжение до гоморморфизма Z -алгебр из ZXn в ZY обозначим через u. Заметим, что u (x) = x (u). Определим отобра жение : ZX1... ZXn ZY, полагая (u1,..., un1, un ) = u (un ).

Z -линейность по аргументу un для отображения имеет место по по строению. Зафиксируем un = () xi. Тогда ()i (u1,..., un1, xi ) = () xi (u1,..., un1 ).

(u1,..., un1, un ) = i i Выражения xi (u1,..., un1 ) являются функциями, Z -линейными по каждому аргументу. Как уже было показано в лемме 4.1.2, операция (), примененная к Z -линейным функециям, приводит к Z -линейной i функции. Это завершает доказательство первого утверждения.

Второе утверждение легко следует из первого. Положим Y = B, игнорируя структуру Z -алгебры на B, и, применяя уже доказанное, по лучим полилинейное отображение : ZX1... ZXn ZB. Оста ется взять суперпозицию этого отображения и гомоморфизма Z -алгебр ZB B, соответствующего естественному отображению базиса B в свободную алгебру ZB.

Отображение из формулировки только что доказанной теоремы будет называться Z -полилинеаризацией отображения.

Наша следующая цель — описать тензорные произведения в Alg(Z).

Как и в случае модулей над коммутативными кольцами, определение тен зорного произведения A1 A2 двух Z -алгебр A1 и A2 предусматривает наличие Z -билинейного отображения u : A1 A2 A1 A2, такого, что для любого Z -билинейного h : A1 A2 B существует, притом только один, гомоморфизм Z -алгебр f : A1 A2 B, такой, что f u = h.

Теорема 4.1.3. Тензорные произведения в Alg(Z) существуют. Соот ветствие (A1, A2 ) A1 A2 является функтором из Alg(Z) Alg(Z) в Alg(Z).

Доказательство. Так же, как и в случае модулей, рассмотрим свободную Z -алгебру C(A1 A2 ) с базисом A1 A2, и профакторизуем ее по наименьшей конгруэнции, содержащей все пары n n n n (( () ai,1, a2 ), () (ai,1, a2 )), ((a1, () ai,2 ), () (a1, ai,2 )), i=1 i=1 i=1 i= где a1, ai,1 A1, a2, ai,2 A2, Z(n). Билинейное отображение u стро ится как суперпозиция естественных отображений A1 A2 Z(A1 A2 ) (базис свободной алгебры), и Z(A1 A2 ) A1 A2 (проекция на фак торалгебру). Проверка универсального свойства стандартна. Проверка функториальности производится точно так же, как и в случае модулей, с использованием универсального свойства.

Вместо u(a1, a2 ) будем писать, как обычно, a1 a2. Таким образом, () n каждый элемент A1 A2 можно представить в виде ai,1 ai,2.

i= Теорема 4.1.4. Alg(Z) является замкнутой категорией (в частнос ти, симметрической моноидальной категорией, по терминологии [37]).

Замкнутость означает, что имеют место естественные изоморфиз мы:

HomZ (A1 A2, A3 ) HomZ (A1, HomZ (A2, A3 )).

= Доказательство. Почти дословно повторяются соответствую щие рассуждения для модулей над коммутативными кольцами.

Рассмотрим две Z -алгебры, A и B, и предположим, что на A груп па n действует справа, а на B слева, причем действия Z -линейны в том смысле, что умножение на каждую подстановку — автоморфизм Z алгебр. Тогда можно определить Z - алгебру A n B, профакторизовав A B по наименьшей Z -линейной конгруэнции, содержащей все пары ((a b), (a b)), где a A, b B, n. Для A n B выполняется соответствующая модификация универсального свойства, в которой рас сматриваются только такие Z -билинейные отображения h : A B V, для которых h(a, b) = h(a, b). Образ пары (a, b) при билинейном ото бражении A B A n B будет обозначаться через a b.

В следующих параграфах этой главы будет использовано свойство сопряженности данного варианта тензорного произведения. Оно форму лируется так. Сначала определяются категории Algn (Z) и Alg(Z)n, объекты которых — алгебры над Z, снабженные соответственно ле вым и правым действиями симметрической группы n, причем эти действия Z -линейны. Например,для левого действия это означает, что () (ai ), и аналогично для правого действия. Морфизма ( () ai ) = i i ми этих категорий являются эквивариантные гомоморфизмы Z -алгебр.

Множество морфизмов категории Alg(Z)n из объекта A1 в объект A обозначим через HomZ,n (A1, A2 ). Если B — объект из Algn (Z), и V — произвольная Z - алгебра, то Z -алгебра HomZ (B, V ) естественным об разом превращается в объект категории Alg(Z)n. И тогда для любого A Alg(Z)n имеет место естественный изоморфизм:

HomZ (A n B, V ) HomZ,n (A, HomZ (B, V )).

= Имеет место также изоморфизм, где центральную роль играют левые действия:

HomZ (A n B, V ) Homn,Z (B, HomZ (A, V )).

= Доказательства практически те же, что и у соответствующих модульных аналогов.

§ 4.2. Z -линейные -алгебры Результаты § 4.1 позволяют строить теорию Z -линейных мультио ператорных алгебр (где Z — любая коммутативная операда). Следует обратить внимание на то, что частными случаями этой теории будут и теория -алгебр (без дополнительной структуры), излагаемая во многих книгах (например, в [55], [33], [46, глава VI], [40], [48], [36]). и теория ли нейных мультиоператорных алгебр ([35], [3]). Эти случаи соответствуют примерам 2.5.1 и 2.5.3.

Мы приводим только определения и минимально необходимые для дальнейших целей сведения. Коммутативная операда Z предполагается фиксированной. Пусть = {n |n 0} — некоторое семейство символов n-арных операций (сигнатура). Многообразие всех - алгебр будем обо значать через Alg(), а свободную алгебру этого многобразия с базисом X — через F r (X). Через X : X F r (X) будет обозначаться отобра жение включения базисного множества в соответствующую свободную алгебру.

Определение 4.2.1. Пусть A — некоторая Z -алгебра. Будем го ворить, что на A задана структура Z -линейной -алгебры, если для каждого n 0 и для каждого n задано Z -полилинейное ото бражение A : An A. При n = 0 это превращается в отображение из одноэлементного множества в A, которое можно отождествить с его образом — константой, также обозначаемой через A.

Гомоморфизмы -алгебр определяются как Z -линейных Z линейные отображения с обычными для гомоморфизмов -алгебр свойствами. Категорию обозначим через Z -линейных -алгебр AlgZ (). Свободные -алгебры определим с помо Z -линейные щью универсального свойства. А именно, Z -линейная -алгебра F rZ, (X) будет называться свободной, если задано отображение базиса Z,X : X F rZ, (X) такое, что для любого отображения : X A в любую Z - линейную -алгебру A существует, притом только один, гомоморфизм C -линейных -алгебр h : F rZ, (X) A такой, что hZ,X =.

Теорема 4.2.1. Пусть — некоторая сигнатура, Z — коммутатив ная операда, A Alg(). Соответствие A ZA есть функтор из Alg() в AlgZ (). Правым сопряженным к этому функтору является забывающий функтор из AlgZ () в Alg() (“забывается” структура Z -алгебры). Функтор A ZA отображает свободные -алгебры в свободные Z -линейные -алгебры с теми же базисами.


Доказательство. Пусть A является -алгеброй, и для n через A обозначается соответствующая n-арная операция — отображе ние из An в A. Введем структуру Z -линейной -алгебры на ZA сле дующим образом. В качестве операций ZA, соответствущих n, берутся полилинеаризации отображений A. Если h : A1 A2 — гомо морфизм -алгебр, то через Zh : ZA1 ZA2 естественно обозначить гомоморфизм свободных Z -алгебр, такой, что Zh · A1 = A2 · h. Ясно, что Z(h1 h2 ) = Zh1 · Zh2 и Z1A = 1ZA. Остается убедиться, что Zh — гомо морфизм -алгебр. Для этого надо заметить, что левая и правая части в доказываемом равенстве Zh( ZA1 x1... xn ) = ZA2 (Zh(x1 )... Zh(xn )) — полилинеаризации отображений из An в A2, определяемых по формулам h( A1 a1... an ) и A2 (h(a1 )... h(an )). Так как h — гомоморфизм, то эти отображения равны. Следовательно, равны и их полилинеаризации.

Утверждение о сопряженности очевидно. Покажем, что универсаль ное свойство свободной Z -линейной -алгебры выполнено для ZF r (X).

Это будет означать, что в качестве F rZ, (X) можно брать именно ал гебру ZF r (X). Прежде всего заметим, что если A есть -алгебра, то отображение A : A ZA является гомоморфизмом -алгебр (структу ра Z - алгебры на ZA тут отбрасывается). Далее, определим Z,X как суперпозицию отображений X : X F r (X) = F r(X) и гомоморфизма - алгебр F r( X) : F r(X) ZF r(X). Рассмотрим произвольную - ал гебру A и некоторое отображение : X A. Остается применить два универсальных свойства. Сначала по однозначно строится гомомор физм - алгебр f : F r(X) A, такой, что f X =. Потом по отобра жению f однозначно строится гомоморфизм Z -алгебр h : ZF r(X) A, такой, что hF r(X) = f. Ясно, что hZ,X =, так что остается показать, что h есть гомоморфизм -алгебр. Единственность его при этом так () n же будет очевидной. Элементы ZF r(X) записываются в виде wi, i= где wi — элементы свободной -алгебры (-слова). Действие h по по () () n n n строению имеет вид h( () wi ) = f (wi ). Дальнейшее h(wi ) = i=1 i=1 i= вычисление, использующее то, что f уже является гомоморфизмом, по сути ничем не отличается от линейного случая.

Всюду в дальнейшем будем полагать F rZ, (X) = ZF r (X). Дадим теперь набросок теории тождеств и многообразий для Z -линейных алгебр (по аналогии с изложенным в § 3.2). Доказательства стандартны и потому их можно опустить.

Для произвольной A AlgZ () положим A (X) = {(t1, t2 )|t1, t2 F rZ, (X), h(t1 ) = h(t2 ) для любого гомо морфизма Z -линейных -алгебр h : F rZ, (X) A}.

Это — конгруэнция на F rZ, (X), то есть Z -линейная -подалгебра алгебры F rZ, (X) F rZ, (X), являющаяся отношением эквивалентнос ти. Элементы A (X) естественно назвать тождествами A в алфа вите X. Обратно, пусть дано некоторое семейство пар элементов (z1,i, z2,i ) F rZ, (Xi ) F rZ, (Xi ), i I. Определим V ar() как полную подкатегорию категории AlgZ (), объекты которой — все те алгебры, для которых элементы множества являются тождествами. Непустая полная подкатегория M категории AlgZ () будет называться многооб разием Z -линейных -алгебр, если M замкнута относительно взятия прямых произведений, подалгебр и гомоморфных образов. Почти также как и в нелинейном случае, доказывается, что непустая полная подка тегория M категории AlgZ () является многообразием Z -линейных алгебр тогда и только тогда, если M = V ar() для некоторого. Поло жим M (X) = A (X). Это — вполне инвариантная конгруэнция на AM свободной алгебре F rZ, (X). Соответствие X M (X) является функ тором. Свободная алгебра F rM (X) многообразия M с базисом X — это факторалгебра F rZ, (X)/M (X). Каждое многообразие можно предста вить в виде V ar() для некоторого F rZ, (X) F rZ, (X), причем множество X можно выбрать счетным. Для такого X задание F rM (X) (или, соответственно, M (X)) полностью определяет многообразие M.

Пусть X — произвольный алфавит, и w есть -слово из F r (X).

Назовем носителем слова w множество тех x X, которые входят в запись w.

Определение 4.2.2. Пусть X — произвольный алфавит. Назовем пару (t1, t2 ) F rZ, (X) F rZ, (X) Z -полилинейным тождеством, ес (i ) ni ли ti = wi,j, i = 1, 2, и слова wi,j F r (X) для всех i, j таковы, j= что их носители совпадают, и каждая переменная из носителя входит в каждое слово wi,j с кратностью единица. Элементы F rZ, (X), обла дающие свойствами, подобными свойствам t1 или t2, будем называть Z -полилинейными.

Будем говорить, что многообразие M определяется (или задается) Z - полилинейными тождествами, если M = V ar(), и состоит из Z полилинейных тождеств.

Хорошо известно, что в случае линейных мультиоператорных ал гебр над полем нулевой характеристики каждое многообразие можно за дать полилинейными тождествами [29], [24]. Для других коммутативных операд и соответствующих им мультиоператорных линейных алгебр во прос о том, насколько широк класс многообразий, определяемых полили нейными тождествами, пока открыт.

§ 4.3. Z -линейные операды Зафиксируем, как и выше, коммутативную операду Z над фикси рованной вербальной категорией.

Определение 4.3.1. -операда R будет называться Z -линейной, если все компоненты R(n) при n 1 являются Z -алгебрами, и все ото бражения композиции R(m) R(n1 ) · · · R(nm ) R(n1 + · · · + nm ) Z -линейны по всем компонентам, которые являются Z -алгебрами. Эта оговорка относится исключительно к компоненте R(0), которая может и не быть Z -алгеброй. Кроме того, для любого (n, n) = n ото бражение R(n) R(n), действующее по правилу r r, должно быть Z -линейным.

Гомоморфизм Z -линейных операд f : R H определяется как гомоморфизм -операд с дополнительным свойством: все его компоненты fn : R(n) H(n) при n 1 являются также гомоморфизмами Z -алгебр.

Определение 4.3.2. Пусть R — Z -линейная операда. Z линейной алгеброй над R называется R-алгебра A, которая является также Z -алгеброй, причем все отображения композиции R(n) An A при n 1 являются Z -полилинейными. Гомоморфизм R-алгебр в этом случае должен быть также гомоморфизмом Z -алгебр. Категорию Z линейных R-алгебр обозначим через AlgZ (R).

Пусть R — некоторая произвольная операда. В дальнейшем в этой главе рассматриваются только -операды, за исключением, возможно, фиксированной коммутативной операды Z.

Обозначим через ZR семейство {ZR(n)|n 0}, где ZR(n) — сво бодная Z -алгебра с базисом R(n). Согласно теореме 4.1.2, операции ком позиции R(m) R(n1 ) · · · R(nm ) R(n1 + · · · + nm ) можно “про должить по линейности”, превратив в отображения ZR(m) ZR(n1 ) · · · ZR(nm ) ZR(n1 + · · · + nm ). Далее, если n, то соответствую щее отображение R(n) R(n) продолжается до гомоморфизма Z -алгебр ZR(n) ZR(n).

Аналогично, пусть A — алгебра над операдой R. Полилинеари зация отображений композиции R(n) An A дает семейство Z полилинейных отображений ZR(n) (ZA)n ZA. Следующая теорема показывает, что эти конструкции обладают ожидаемыми свойствами.

Теорема 4.3.1. Соответствие R ZR есть функтор из катего рии -операд в категорию Z -линейных -операд. Правым сопряжен ным к этому функтору является забывающий функтор (“забываются” структуры Z -алгебр).

Пусть A — некоторая R-алгебра. Соответствие A ZA яв ляется функтором из Alg(R) в AlgZ (ZR), обладающим правым сопря женным — забывающим функтором.

Доказательство. По теореме 4.1.2, выполнимость всех соотно шений из определения операды достаточно проверять на базисных эле ментах компонент ZR(n), то есть на элементах из R(n). Но на них все выполняется потому, что R — операда по условию. Точно так же можно рассуждать и в случае алгебр.

Имеет место следующий простой факт. Пусть R — Z -линейная операда, и пусть A — некоторая Z -линейная R-алгебра. Рассматривая ограничение операций композиции R(n)An A на элементы r R(n), получаем интерпретацию этих элементов как n-арных операций на R алгебрах. Положим n = R(n) для каждого n 0, и будем рассмат ривать семейство = {n |n 0} как множество символов n-арных операций, т.е. сигнатуру. Тогда Alg(R) естественным образом можно рассматривать как многообразие Z -линейных -алгебр, задаваемое все ми тождествами из определения алгебры над операдой.

Теорема 4.3.2. Пусть R — Z -линейная операда, и для каждого n задано подмножество n R(n). Допустим, что семейство = {n |n 0} порождает R как Z -линейную -операду. Тогда мож но определить рациональную эквивалентность между многообразием AlgZ (R) (многообразием в описанном выше смысле) и некоторым мно гообразем Z -линейных -алгебр, которое естественным образом зада ется выбором семейства (сигнатуры).

Доказательство. Доказательство ничем не отличается от до казательства теоремы 3.4.4.

Определим TZ (X) как ZT n (X) = Z(X n ). Можно было бы опре n делить и Z -линейный аналог градуированных W -полугрупп, но пока достаточно заметить, что на TZ (X) определено левое Z -линейное дей n ствие симметрической группы n, которое получается Z -линеаризацией всех отображений X n X n, (x1,..., xn ) (x1 (1)..., x1 (n) ), n.

Поэтому определены Z -алгебры R(n) n TZ (X).

n Теорема 4.3.3. Свободная Z -линейная алгебра с базисом X в много образии AlgZ (R) имеет вид R(n) n TZ (X) n F rR (X) = n= Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.2.2.

Одним из первых результатов такого рода (для многообразия ал гебр Ли при некоторых дополнительных предположениях), по-видимому, был получен в работе [30]. Фактически в ней была вычислена линейная операда, многообразием алгебр над которой было многообразие алгебр Ли, и было показано, что свободные алгебры Ли записываются в фор ме, аналогичной той, которая приведена в теореме 4.3.3. Впрочем, само понятие операды (как семейства множеств с операциями композиции) в [30], конечно, не использовалось, как не используется оно, например, и в работах С.П. Мищенко о росте многообразий (в частности, в [42]), хо тя изучаемые им семейства полилинейных элементов Pn (V) свободных алгебр с базисом x1,..., xn могообразий линейных алгебр V являются операдами. Можно даже показать, что любая линейная операда (по край ней мере в случае нулевой характеристики) имеет именно такой вид.


Напомним, как устроены операды F O. В качестве n-й компонен ты можно взять подмножество абсолютно свободной -алгебры с базисом x1,..., xn, состоящее из слов, в запись которых входят все базисные эле менты (“переменные”) x1,..., xn, причем каждое ровно по одному разу.

Действие симметрической группы n — это перестановка переменных в слове. Опишем композицию. Пусть w = w(x1,..., xm ) F O (m), wi = wi (x1,..., xni ) F O (ni ), 1 i m. Тогда ww1... wm — это результат подстановки в слово w(x1,..., xm ), т.е. слово w(w1,..., wm ), где каждое wi получается из wi следующей заменой переменных: вместо xj при 1 j ni подставляется xn1 +···+ni1 +j. Полагаем n0 = 0, так что w1 = w1. Отображение,n сопоставляет символу n слово x1... xn.

Теорема 4.3.4. Пусть F O — свободная -операда с базисом. Тог да ZF O — свободная Z -линейная операда с базисом.

Доказательство. Можно рассуждать таким же образом, как при доказательстве теоремы 4.3.1.

Следствие 4.3.1. Пусть F OZ, — свободная Z -линейная -операда с базисом. Существует изоморфизм между ней и операдой F, опи сываемой следующим образом. Компонента F (n) — это подмножес тво ZF r (x1,..., xn ), состоящее из всех Z -линейных комбинаций ви () k да wi (x1,..., xn ), где слова wi (x1,..., xn ) F r (x1,..., xn ) имеют i= один и тот же носитель {x1,..., xn }, и каждая переменная входит в каждое слово ровно один раз. Композиция и действие симметрических групп в этой операде определяются точно так же, как и выше при описании нелинейной свободной операды.

Доказательство. Очевидно.

Теорема 4.3.5. Пусть F — свободная -операда с базисом. мно гообразие Z -линейных алгебр над свободной Z -линейной операдой ZF рационально эквивалентно многообразию всех Z -линейных -алгебр.

Доказательство. Легко показать, что задание структуры Z линейной алгебры A над операдой R равносильно заданию гомоморфиз ма Z - линейных -операд h : R EA, где n-я компонента операды EA — это Z -алгебра HomZ (An, A). Эта операда в Z -линейном слу чае строится точно так же, как и в линейном (см., в частности, [2]).

Ясно, что задание на Z -алгебре A структуры Z -линейной -алгебры равносильно заданию для всех n 0 отображений n EA (n). Но по определению свободной операды с базисом это равносильно тому, что задан гомоморфизм Z -линейных -операд F EA. Таким образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между алгебрами из AlgZ () и из AlgZ (ZF ). Проверка того, что это изоморфизм категорий с необходимыми свойствами, не представляет затруднений.

§ 4.4. Характеризация многообразий, определяемых Z -полилинейными тождествами Результаты этого параграфа внешне похожи на результаты § 3.6, и основные идеи доказательств также имеют довольно много общего с доказательствами теорем из § 3.6. Однако это не означает, что можно было бы объединить материал данного параграфа с материалом § 3.5.

Напротив, речь идет о существенно различных ситуациях, и пока неяс но, каким должен быть (и существует ли вообще) такой общий подход, для которого и результаты § 3.6, и результаты § 4.4 были бы частными случаями одних и тех же теорем. Отметим, что материал данного пара графа был подробно опубликован ранее материала § 3.6, в работе [65], хотя анонсировались все результаты одновременно, в [80].

Зафиксируем коммутативную операду Z над некоторой вербальной категорией. Все другие операды определены над вербальной категорией.

Напомним, что конгруэнция на операде R — это конгруэнция на многоосновной универсальной алгебре, которой и является операда. Бо лее подробно, конгруэнцию V на операде R можно определить как подо пераду прямого произведения R R, такую, что все V (n) R(n) R(n) являются отношениями эквивалентности. В случае Z -линейной операды R ее Z -линейные конгруэнции должны быть Z -линейными подоперада ми.

Теорема 4.4.1. Пусть F r(X) = ZF r (X) — свободная Z -линейная -алгебра со счетным базисом X, и F = ZF O, — свободная Z линейная -операда с базисом. Существует взаимно-однозначное соответствие между вполне инвариантными Z -линейными конгру энциями на F r(X), порожденными Z -полилинейными элементами, и Z -линейными конгруэнциями F. Взаимно-однозначное соответствие строится следующим образом. Если V — конгруэнция в F, то со ответствующая вполне инвариантная конгруэнция V — это образ суперпозиции Z -линейных отображений ( n n F (n)n TZ (X))2.

n V (n)n TZ (X) (F (n)F (n))n TZ (X) n=0 n=0 n= Первое (слева направо) из участвующих тут отображений индуцирова но вложениями V (n) F (n) F (n), а второе на порождающих элемен тах имеет вид (1, 2 ) x (1 x, 2 x). Имеет место изоморфизм Z -линейных -алгебр: F rF (X)/V F rF/V (X).

= Доказательство. Вспоминая, как устроена алгебра F r(X) = () F rF (X), видим, что ее элементы можно записать в виде i xi, где k i — элементы F, а xi — строки из элементов X. Чтобы упростить обозначения, будем опускать в этой записи значки, так что элементы () F r(X) — это Z -линейные комбинации i xi.

k В начале доказательства построим соответствие, обратное к ука занному в формулировке. Пусть дана вполне инвариантная конгруэнция U F r(X) F r(X), где X счетно. Рассмотрим множество P l всех пар полилинейных элементов вида (x, µx) U, где в x = xi1... xin все xi1,..., xin различны,, µ F (n), для некоторого n = 0, 1, 2,....

Утверждается, что тогда семейство множеств V = U, V = {V (n) | n = 0, 1,... }, V (n) = {(, µ) F (n)2 | (x, µx) P l для некоторого x } об разует конгруэнцию в операде F. Во-первых, заметим, что выбор x для пары (, µ) произволен, в том смысле, что вместо x = xi1... xin можно взять любое другое слово x = xj1... xjn с условием, что все xj1,..., xjn — различные элементы X. Это следует из инвариантности конгруэнции U : соответствие xik xjk, 1 k n продолжается до эндоморфиз ма F r(X), затем до эндоморфизма F r(X) F r(X), отображающего U в U, а пару (x, µx) — в пару (x, µx ). Очевидно, что все V (n) будут отношениями эквивалентности и Z -алгебрами. Пусть (, µ) V (m), (i, µi ) V (ni ), 1 i m. Покажем, что (1... m, µµ1... µm ) V (n1 + · · · + nm ). Выберем x1,..., xm — слова в алфавите X, так, что (i xi, µi xi ) P l, 1 i m, и в xi, xj нет общих символов для всех i = j. Это можно сделать ввиду счетности X. Поскольку U — подал гебра F -алгебры F r(X) F r(X), то для любого F (n) и любых (i xi, µi xi ) P l, 1 i m, получим элемент из U :

(1 x1, µ1 x1 )... (m xm, µm xm ) = = ((1... m )(x1... xm ), (µ1... µm )(x1... xm ).

Ввиду выбора xi этот элемент должен принадлежать P l. Таким образом, (1... m, µ1... µm ) V (n1 + · · · + nm ).

Пусть x = xt1... xtm — слово в алфавите X, такое, что все xtj различны, и x не имеет общих символов ни с одним из xi, 1 i m. Тогда (x, µx) P l U. Рассмотрим эндоморфизм F r(X), отображающий xtj в µj xj, 1 j m. Тогда (x, µx) отображается в элемент U (µ1 x1... µm xm ), µ(µ1 x1... µm xm )) = = ((µ1... µm )(x1... xm ), (µµ1... µm )(x1... xm )).

Так как полученный элемент принадлежит P l, имеет место включение (µ1... µm, µµ1... µm ) V (n1 + · · · + nm ).

Поскольку V (n1 + · · · + nm ) есть отношение эквивалентности, полу чаем требуемое включение (1... m, µµ1... µm ) V (n1 + · · · + nm ).

Из инвариантности конгруэнции U также легко следует, что мно жества V (n) замкнуты относительно действия групп n.

Таким образом, U — подоперада F F, т.е. конгруэнция на F.

Из построения соответствия U U = V ясно, что оно сохраняет включения и произвольные пересечения. Обратное соответствие V V определено в формулировке теоремы. Непосредственная проверка пока зывает, что V есть конгруэнция. Покажем ее полную инвариантность.

(i ) Пусть гомоморфизм : F r(X) F r(X) отображает xi в (wi j xi j ), j где wi j F, i — элементы операды Z, и (u1 x1... xm, u2 x1... xm ) — порождающий элемент V (здесь (u1, u2 ) V (m), и можно даже не пред полагать, что все x1,..., xm различны). Применив к этому элементу, получим (u1 (x1 )... (xm ), u2 (x1 )... (xm )), что с учетом опредления операций в прямом произведении преобразуется к виду (1 )... (m ) ((u1 w1 j1... wm jm )xj1...jm, (u2 w1 j1... wm jm )xj1...jm ), j1 jm где xj1...jm = x1 j1... xm jm. Остается заметить, что в операде F F (u1 w1 j1... wm jm, u2 w1 j1... wm jm ) = (u1, u2 )(w1 j1, w1 j1 )... (wm jm, wm jm ), причем (u1, u2 ) V (m) по выбору, а любая пара (w, w) V (k), так как все V (k) — отношения эквивалентности. Следовательно, результат записанной выше композиции также принадлежит подопераде V. Это доказывает инвариантность конгруэнции V.

Покажем взаимную обратность соответствий U U и V V.

В одну сторону это очевидно: полилинейные элементы из V приводят вновь к операде V. Проверим, что если V = U, то U = V. До сих пор не использовалось то, что U порождается множеством P l как впол не инвариантная конгруэнция. Это означает, что произвольный элемент (z1, z2 ) U представляется в виде () (p1, p )... (pm, p ), где “слагае 1 m мые” (p1, p )... (pm, p ) устроены следующим образом: F (m) (чис 1 m ло m для каждого “слагаемого” свое), а каждая пара (pi, p ) получается i из некоторого элемента P l подстановкой вместо переменных элементов F r(X), причем для каждого отдельно взятого i, 1 i m, вместо одинаковых переменных подставляются одинаковые элементы. С помо щью рассуждений, сходных с теми, которые выше были использованы для доказательства полной инвариантности V, заключаем, что каждый (pi, p ) представляется в виде Z -линейной комбинации элементов вида i (qi xi, qi xi ), где (qi, qi ) V = U. Следовательно, произвольный элемент U есть Z -линейная комбинация элементов вида (q1 x1, q1 x1 )... (qm xm, qm xm ) = ((q1... qm )x1... xm, (q1... qm )x1... xm ) (4.4.1) Пара (q1... qm, q1... qm ) принадлежит V. Чтобы убедиться в этом, выберем для каждой пары (qi, qi ) слово y i в алфавите X таким образом, что (qi y i, qi y i ) P l, причем в y i и y j нет общих символов при всех i = j.

Поскольку U — подалгебра, то композиция (q1 y 1, q1 y 1 )... (qm y m, qm y m ) = ((q1... qm )y 1... y m, (q1... qm )y 1... y m ) принадлежит U, и очевидно, что принадлежит и P l. Возвращаясь к эле менту (4.4.1), заключаем, что он принадлежит V. Включение V U очевидно.

Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие, сохра няющее порядок, между двумя решетками, причем отображение U U сохраняет произвольные пересечения. Но так как точная верхняя грань элементов U1 и U2 в рассматриваемых решетках есть пересечение всех U, таких, что U1, U2 U, то имеет место изоморфизм решеток.

Пусть v : V (n)F (n) F (n) — естественное вложение, 1, 2 :

F (n) F (n) F (n) — естественные проекции на первый и на второй множители, и c : F (n) F (n)/V (n) — проекция на фактормножест во. Это гомоморфизм Z -алгебр и коуравнитель пары (1 v, 2 v). Так как функтор тензорного произведения обладает правым сопряженным, то он сохраняет коуравнители, и поэтому c 1 : F (n) n TZ (X) (F (n)/V (n)) n TZ (X) n n есть коуравнитель пары ((1 1)(v 1), (2 1)(v 1)).

Рассмотрим Z -линейное отображение d : (F (n) F (n)) n TZ (X) (F (n) n TZ (X)) (F (n) n TZ (X)), n n n такое, что d((1, 2 ) x) = (1 x, 2 x). Если pi : (F (n) n TZ (X)) n F (n) n TZ (X), i = 1, 2 — естественные проекции, то имеют мес n то очевидные равенства: pi d = i 1, i = 1, 2. Отсюда следует, что (F (n)/V (n)) n TZ (X) есть коуравнитель пары (p1 d(v 1), p2 d(v 1)), n то есть факторалгебра Z -алгебры (F (n) n TZ (X))2 по конгруэнции, n являющейся образом d(v 1). Остается заметить, что в любой кате гории, где соответствующие операции определены, взятие копроизведе ния произвольного семейства диаграмм коуравнителей есть также диа грамма коуравнителя. Это значит, что свободная алгебра многообразия AlgZ (F/V ), имеющая вид (F (n)/V (n)) n TZ (X), изоморфна факто n n= ралгебре F rF (X) по конгруэнции V.

Теорема 4.4.2. Пусть R — некоторая Z -линейная - операда.

Тогда многообразие Z -линейных R-алгебр AlgZ (R) определяется Z -полилинейными тождествами.

Эта теорема следует из следующего более точного утверждения, которое и будет далее доказано.

Теорема 4.4.3. Пусть R — некоторая Z -линейная - операда. Вы берем в ней произвольное семейство образующих (предполагая, что R(n) = n ). Тогда операду R можно считать фактороперадой Z линейной свободной операды F с базисом по некоторой конгруэнции V. Утверждается, что многообразие Z -линейных R-алгебр AlgZ (R) рационально эквивалентно многообразию Z -линейных -алгебр, опре деляемому семейством тождеств вида 1 x = 2 x, где пары (1, 2 ) V (n) пробегают некоторое семейство образующих операдной конгруэн ции V, а в строке x = x1... xn все переменные различны. Фактически таким образом описывается вполне инвариантная конгруэнция V из теоремы 4.4.1.

Доказательство. Рассмотрим естественную проекцию на фак торопераду : F R, и пусть V — ее ядро. Иными словами, V = {V (n)|n 0}, V (n) = {(z1, z2 ) F (n) F (n)|n (z1 ) = n (z2 )} для всех n. Эта проекция индуцирует вполне унивалентный функтор AlgZ (R) AlgZ (F ), причем по теореме 4.3.5 многообразие AlgZ (F ) отождествляется с AlgZ (). Действие функтора можно описать следу ющим образом. Структура R-алгебры на A определяется гомоморфиз мом операд R EA, а структура соответствующей F -алгебры задает ся суперпозицией этого гомоморфизма с гомоморфизмом. Ввиду того, что — это базис F, такой гомоморфизм операд F EA однозначно определяется отображением EA (точнее, семейством отображений n EA (n) для всех n). Образ построенного так функтора — это имен но то многообразие, про которое надо доказать, что оно определяется тождествами из V.

Сделаем еще несколько простых наблюдений. Пусть A — некоторая Z -линейная -алгебра, A (X) F r(X) F r(X) — соответствующая вполне инвариантная конгруэнция. Предположим, что X здесь — счетное множество, и F r(X) = F rZ, (X). Тогда ядром соответствующего струк туре A гомоморфизма F EA будет в обозначениях доказательства теоремы 4.4.1 конгруэнция A (X). По теореме о гомоморфизме алгебра A будет принадлежать к многообразию AlgZ (R) (вложенному в AlgZ () описанным выше образом) тогда и только тогда, если V A (X).

Теперь доказательство завершатся следующим образом. Пусть M — многообразие Z -линейных -алгебр, определяемых конгруэнцией V.

Таким образом, M (X) = V = A (X). Но тогда, согласно теореме AM 4.4.1, получаем V = M (X) = A (X). Отсюда следуют импликации:

AM A AlgZ (R) V A (X) A M.

Теорема 4.4.4. Пусть M -многообразие Z -линейных -алгебр, опре деляемое Z -полилинейными тождествами. Тогда существует Z линейная -операда R, такая, что M рационально эквивалентно AlgZ (R).

Доказательство. Пусть дано многообразие Z -линейных алгебр M, определяемое полилинейными тождествами, и пусть F rM (X) есть свободная алгебра M со счетным базисом X. Согласно условию, эта алгебра изоморфна факторалгебре абсолютно свободной алгебры F rF (X) по вполне инвариантной конгруэнции, порожденной полилинейными эле ментами. Но уже известно, что эта конгруэнция имеет вид V для неко торой конгруэнции V свободной операды F с базисом. Из последнего утверждения теоремы 4.4.1 следует, что F rF (X)/V F rF/V (X) как C = линейные -алгебры. Из определения F следует, что существует полный и унивалентный функтор AlgZ (F/V ) AlgZ (), образ которого есть многообразие. Свободные алгебры со счетными базисами у этого мно гообразия и у M изоморфны, и, ввиду пункта б) теоремы 1.2.1 из [47], отсюда следует утверждение нашей теоремы.

Объединяя теоремы 4.4.2 и 4.4.4, получаем главный результат па рагарафа и всей главы 4.

Теорема 4.4.5. Класс многообразий Z -линейных мультиоператоных алгебр, определяемых Z -полилинейными тождествами, с точностью до рациональной эквивалентности совпадает с классом многообразий алгебр над Z -линейными -операдами.

§ 4.5. Z -линейные мультикатегории Определение 4.5.1. Пусть Z — некоторая коммутативная опе рада, и W — вербальная категория. Допустим, что на симметрической моноидальной категории Alg(Z) (которую можно считать строго монои дальной) задана W -структура, и F — функтор, задающий эту структу ру. Будем говорить, что на Alg(Z) задана естественная W -структура, если для любых A1,..., An Alg(Z), произвольных a1 A1,..., an An и каждого f W ([m], [n]) имеет место равенство: F(f )(a1 · · · an ) = af (1) · · · af (m).

Этому определению удовлетворяет случай K = Alg(Z), и случай K = Set (см. § 2.4).

В дальнейшем будет предполагаться, что все рассматриваемые коммутативные операды Z таковы, что на Alg(Z) существует естест венная W -структура.

Определение 4.5.2. Пусть Z — коммутативная операда.

Мультикатегорию R будем называть Z -линейной, если все множества R(x, y) обладают структурами Z -алгебр, и отображения композиции Z -полилинейны по всем аргументам, кроме тех, которые принадлежат R(s, t) с пустыми строками s, а отображения f являются Z линейными по.

Отметим, что по любой мультикатегории R и коммутативной опе раде Z можно построить Z -линейную мультикатегорию ZR точно так же, как и в § 4.3, т.е полагая ZR(x, y) (при непустых x) свободными Z -алгебрами с базисами R(x, y), и продолжая отображения композиции и f по Z -линейности.

Предположим, что даны две Z -линейные мультикатегории R и K.

Тогда мультифунктор F естественно назвать Z -линейным, если все ото бражения F (x, y) будут гомоморфизмами Z -алгебр. Если R и K явля ются Z -линейны, то рассматриваются только Z -линейные мультифунк торы, и это особо не оговаривается.

В случае K = Alg(Z), в предположении, что на Alg(Z) задана структура строго моноидальной W -категории, категория Z -линейных R-алгебр будет обозначаться как AlgZ (RW ).

Особо рассмотрим случай Z -линейной мультикатегории R и K = Alg(Z) (это включает случаи алгебр-множеств, и алгебр-модулей над коммутативным кольцом). Предположим, что на симметрической моно идальной замкнутой категории Alg(Z) (которую можно считать строго моноидальной) задана естественная (в смысле определения 2.4.1) струк тура W -категории. Тогда определение 2.4.2 для Z -линейной алгебры над Z -линейной мультикатегорией R можно детализировать следующим об разом. Каждому x Ob(R) должна сопоставляться Z -алгебра A(x), и должны быть определены операции композиции R(x1... xm, y) A(x1 )... A(xm ) A(y) Здесь — тензорное произведение, которое существует в Alg(Z);

на пример, в категории множеств это прямое произведение. Обозначения будут такими: (, a1,..., am ) a1... am = (a1... am ) = a. Здесь ai A(xi, R(x1... xm, y), a = a1... am,1 i m. Выражение a1... am является Z -линейным по каждому аргументу. Должны быть выполнены следующие (обычные) свойства:

1) (Ассоциативность). Пусть ai = ai,1... ai,ni, ai,j A(xi,j ), i R(xi,1... xi,ni, yi ), 1 i m, R(y1... ym, z). Тогда (1 a1 )... (m am ) = (1... m )(a1... am ) 2) (Действие единицы). Если a A(x), то 1x a = a.

3) Если f : [k] [m] — морфизм W, то (f )a1... am = af (1)... af (k).

В оставшейся части этого параграфа описываются два класса при меров алгебр над мультикатегориями. Начнем с леммы.

Лемма 4.5.1. Пусть Z — коммутативная операда, I = F rZ (t) — свободная Z -алгебра с базисом из одного элемента t. Тогда I явля ется единицей симметрической моноидальной категории Alg(Z) т.е.

существуют естественные по B Alg(Z) изоморфизмы B I B == I B.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.