авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ...»

-- [ Страница 5 ] --

Доказательство. Можно использовать ту же идею, что и в случае модулей над коммутативным кольцом. Существует однозначно опреде ленный гомоморфизм Z -алгебр I HomZ (B, B), переводящий базисный элемент t в 1B. Так как в Alg(Z) имеется сопряженность между и Hom, то этому гомоморфизму соответствует Z -билинейное отображе ние u : I B B, причем u(t, b) = b. Остается убедиться в уни версальности u. Пусть v : I B D — произвольное Z -билинейное отображение (D — некоторая Z -алгебра). Ему соответствует гомомор физм Z -алгебр B HomZ (I, D). Но по определению I как свободной алгебры HomZ (I, D) D, откуда получаем гомоморфизм h : B D, = такой, что h(b) = v(t, b). Отсюда hu = v, и легко убедиться, что h однозначно определяется этим свойством.

Назовем Z -линейной категорией такую категорию, множества мор физмов между объектами которой снабжены структурами Z -алгебр, а операции суперпозиции морфизмов Z -билинейны. Разумеется, это част ный случай общего понятия обогащенной (enriched) категории, но нам будет достаточно этого частного случая. Когда такая категория (на зовем ее R) предполагается моноидальной, то это будет означать, что отображения вида (u, v) u v из R(x, y) R(s, t) в R(x s, y t) также будут Z -билинейными.

Теорема 4.5.1. Пусть Z — коммутативная операда, R — строго моноидальная Z -линейная категория над вербальной категорией W, и на Alg(Z) задана естественная структура W -категории. Катего рия Z -линейных MRW -алгебр эквивалентна категории моноидальных функторов из R в Alg(Z), сохраняющих W -структуру, и моноидаль ных естественных преобразований.

Доказательство. Опишем принципиальные этапы доказатель ства, опуская длинные, но, по сути, стандартные выкладки, сводящиеся к проверкам определений. Если A : R Alg(Z) — моноидальный функтор, сохраняющий W -структуру, то MA есть Z -линейная MRW -алгебра.

Если R(x1 · · · xn ), ai A(xi ), 1 i n, то a1... an = A()(x1,...,xn (a1 · · · an )).

Обратно, пусть A есть R-алгебра, т.е. мультифунктор. В част ности, A есть функтор из R в Alg(Z). Пусть I — алгебра из леммы 4.5.1. Так как это свободная Z -алгебра с базисом {t}, то для каждого u Ob(R) существует однозначно определенный гомоморфизм Z -алгебр u : I R(u, u), отображающий базисный элемент t в 1u. Теперь естес твенное преобразование x,y, задающее структуру моноидального функ тора для A, определяется как суперпозиция:

A(x) A(y) I A(x) A(y) MR(xy, x y) A(x) A(y) A(x y).

Здесь крайнее левое отображение — естественный изоморфизм, сущест вующий по определению единицы в моноидальной категории. В стро го моноидальной категории это равенство. Крайнее правое отображе ние — это композиция в R-алгебре A. Заметим, что MR(xy, x y) = R(x y, x y). Отсюда понятно, что среднее отображение должно быть гомоморфизмом xy 1A(x) 1A(y). Таким образом, x,y (a1 a2 ) = 1xy a1 a2.

Эта явная формула позволяет без особых проблем проверить определе ние моноидального функтора. Итерируя, получаем x1,...,xn (a1 · · ·an ) = 1x1 ···xn a1... an.

Убедимся, что если A является W -мультифунктором, то A как моноидальный функтор сохраняет W -структуру. Пусть f : [m] [n] — морфизм W, R(xf (1)... xf (m), y), FR и FAlg(Z) — функто ры, задающие W -структуру соответственно на R и на Alg(Z).

Так как A есть W -мультифунктор, то A(f ) A()f, или, = что то же самое, A(FR (f )) = A()FAlg(Z) (f ). Из очевидного ра венства FR (f )1x1 ···xn 1xf (1) ···xf (m) FR (f ) следует соотношение = A(1xf (1) ···xf (m) FR (f )), в котором последнее A(FR (f ))A(1x1 ···xn ) = выражение равно A(1xf (1) ···xf (m) )FAlg(Z) (f ). Заменяя A(1x1 ···xn ) на x1,...,xn, и A(1xf (1) ···xf (m) ) на xf (1) ···xf (m), получаем коммутативность диаграммы из определения 2.4.2.

Доказательство завершается выполнением формальных проверок функториальности построенных соответствий и их взаимной обратнос ти.

Пусть Z — коммутативная операда, R и M — Z -линейные муль тикатегории над одной и той же вербальной категорией W. Определим Z -линейную мультикатегорию R M следующим образом. Положим S = Ob(R M ) = Ob(R) Ob(M ), и для s S, t S, где s = s1... sn, si = (xi, yi ), t = (u, v), xi, u Ob(R), yi, v Ob(M ), 1 i n, x = x1... xn, y = y1... yn, полагаем (R M )(s, t) = R(x, u) M (y, v).

В правой части последнего равенства стоит тензорное произведение в Alg(Z). Таким образом, мультистрелки в R M представляются в виде () k i i, где Z(k), i — мультистрелки из R, i — мульти i= стрелки из M. Операции композиции и умножения справа на морфизмы из W задаются “покомпонентно”:

()(1 1 )... (n n ) = (1... n )(1... n ), ()f = (f )(f ), (и далее по Z -линейности).

Теорема 4.5.2. Пусть R — Z -линейная -мультикатегория, K — произвольная категория, Z — коммутативная операда, и на Alg(Z) рассматривается естественная структура строго моноидальной категории. Тогда AlgZ ((RZK ) ) эвивалентна категории функторов из K в категорию AlgZ (R ).

Доказательство. Рассмотрим функтор A : K AlgZ (R ). Для каждого x Ob(K), таким образом, определен -мультифунктор A(x) из R в Alg(Z). Пусть u Ob(R). Полагая A(u, x) = A(x)(u), получим отображение Ob(R)Ob(K ) Ob(Alg(Z)). Если : x y — морфизм K, то действие соответствущего ему отображения A(u, x) A(u, y) на элементе a A(u, x) обозначим через a. Ввиду того, что A() — го моморфизм R-алгебр, должно выполняться равенство r(a1... am ) = (ra1... am ), где ai A(ui, x), 1 i m, r R(u1... um, v). Определим отображения:

(R(u1... um, v) K (x1... xm, y)) A(u1, x1 ) · · · A(um, xm ) A(v, y), полагая ((r, (1,..., m )), a1,..., am ) (r, (1,..., m ))a1... am = r(1 a1 )... (m am ).

Пусть i = (i,1,..., i,ni ) — мультистрелки из K, ai = (ai,1,..., ai,ni ) — строки, состоящие из элементов множеств A(wi,j, zi,j ), ri R(wi,1... wi,ni, ui ), и все остальные принадлежности заданы так, чтобы имели смысл все дальнейшие композиции. Будем писать i i вместо строки (i i,1,..., i i,ni ) (опуская при необходимости скобки и запятые), и i ai всесто (i,1 ai,1,..., i,ni ai,ni ). Тогда имеют место равенства:

(rr1... rm, (1 1,..., m m ))a1... am = (rr1... rm )(1 1 a1 )... (1 1 a1 ) = r(r1 (1 1 a1 ))... (rm (1 1 a1 )) = r(1 (r1 1 a1 ))... (m (rm 1 a1 )) = (r, (1,..., m ))((r1, 1 )a1 )... ((rm, m )am ).

Далее, пусть m. Тогда:

((r, (1,..., m )))a1... am = (r, (1,..., m ))a1... am = = (r, (1 (1),..., 1 (m) ))a1... am = (r)(1 (1) a1 )... (1 (m) am ) = r(1 a(1) )... (m a(m) ) = (r, (1,..., m ))a(1)... a(m).

После Z -линеаризации получим искомую R ZK -алгебру.

Обратно, пусть имеется R ZK -алгебра A. Если i : xi x — морфизмы K, 1 i m, r R(u1... um, v), ai A(ui, xi ), то из свойств операций композиции в алгебре и мультикатегории следует равенство:

(r(1,..., m ))a1... am = (r(1x,..., 1x ))((1u1 1 )a1 )... ((1um m )am ).

Таким образом, для каждого x Ob(K) можно определить структуру R-алгебры на семействе A(x) = {A(u, x)|u Ob(K)}, полагая ra1... am = (r (1x,..., 1x ))a1... am.

Непосредственно проверяется, что соответствие x A(x) есть функтор из K в AlgZ (R ). Доказательство завершается прямой проверкой того, что описанные соответствия функториальны и взаимно обратны.

Следствие 4.5.1. Пусть K — произвольная категория, Z — комму тативная операда, причем категория Alg(Z) рассматривается с ес тественной структурой строго моноидальной -категории. Тогда ка тегория AlgZ (ZK ) эвивалентна категории функторов из K в кате горию коммутативных моноидов в Alg(Z).

Доказательство. Рассмотрим Z -линейную мультикатегорию R с одним объектом (т.е. операду), в которой R(n) — свободная Z -алгебра с базисом из одного элемента en, причем для каждого n имеет мес то равенство en = en и em en... en = en +···+n. Тогда R M M для = 1 m 1 m любой -мультикатегории M, так что AlgZ (R ZK ) AlgZ (ZK ).

= Далее, категория AlgZ (R ) эквивалентна категории коммутативных мо ноидов в Alg(Z). Этот факт хорошо известен в случае, когда Alg(Z) — категория модулей над коммутативным кольцом, но для алгебр над коммутативной операдой доказательство почти точно такое же.

Приведенный ниже частный случай этого следствия (для операд) доказан в [59]. Для упрощения обозначений, операда G, строящаяся по моноиду G, обозначается тем же символом G.

Следствие 4.5.2. Пусть Z — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, G — моноид. Через ZG обозначим операду с компонентами ZG(n) = Z[Gn ] (полугрупповая алгебра полугруппы Gn ). Тогда многооб разие Alg(ZG) Z -линейных ZG-алгебр рационально эквивалентно мно гообразию алгебр следующего вида: это категория, объектами кото рой являются коммутативные ассоциативные Z -алгебры (без единицы, если ZG(0) пусто) с операцией умножения x · y, на которых слева Z линейно действует полугруппа G, причем g(x · y) = (gx) · (gy) для каж дого g G. Гомоморфизмами таких алгебр будут G-эквивариантные гомоморфизмы ассоциативных Z -алгебр.

§ 4.6. Случай многообразий алгебр над мультикатегориями Основные результаты §§ 4.1–4.4 без труда переносятся на много сортный случай. Доказательства остаются, по сути, теми же самыми, и поэтому нет необходимости их повторять. Приведем только основные определения и формулировки теорем.

Пусть Z — некоторая коммутативная операда. Определения Z линейной мультикатегории R и Z -линейной алгебры над R уже дано в § 4.5. Точно так же, как и в § 4.1, осуществляется Z -линеаризация алгебр и мультикатегорий (напомним еще раз, что мультикатегории яв ляются многосортными аналогами операд, и в литературе достаточно часто употребляется термин “S -операда” для обозначения того, что мы называем в данной работе мультикатегорией с классом объектов S ).

Z -линеаризация свободной -мультикатегории оказывается свободной Z -линейной -мультикатегорией, а Z -линеаризация свободной алгебры над -мультикатегорией R оказывается свободной Z -линейной алгеб рой над Z -линейной -мультикатегорией ZR. Напомним, что в число многообразий вида Alg(Z) входят и категория множеств (пример 2.5.1), и категории модулей над коммутативными кольцами (пример 2.5.3), так что при данном подходе охватываются и случаи алгебр-множеств, и слу чаи алгебр-модулей над коммутативными кольцами.

Обозначим Z -линейный аналог категории SetS через ZSetS. Объ ектами этой категории являются семейства A = {As |s S}, компоненты которых As являются Z -линейными алгебрами, а морфизмами — поком понентно действующие семейства Z -линейных отображений.

Пусть — произвольная сигнатура. Z -линейной -алгеброй на зывается объект A категории ZSetS вместе с семейством отображе ний композиции: s,t As1 · · · Asn At, определенных для всех s = s1... sn S и t S действие которых обозначается следующим образом: (, a1,..., an ) a1... an = a, где a = a1... an и ai Asi для всех i. При этом предполагается, что для каждого фиксированного выражение a1... an является Z -линейным по каждому аргументу ai.

Пусть X SetS. Свободная -алгебра с базисом X, обозначае мая через F r (X), устроена примерно так же, как и в односортном случае: это алгебра слов в алфавите X, где надо лишь отличать слова разных сортов. Ее Z -линеаризация ZF r (X), как уже отмечено выше, является свободной Z -линейной -алгеброй, и обозначается че рез F rZ, (X). Многообразие Z -линейных -алгебр AlgZ () рационально эквивалентно категории Z -линейных алгебр над свободной Z -линейной -мультикатегорией с базисом.

Определение Z -полилинейного тождества в многосортном слу чае полностью аналогично односортному. Пару элементов (w1, w2 ) F rz, (X)s F rz, (X)s (где s S ) будем называеть полилинейным тож (i ) деством, если wi = wi,j, и слова wi,j из F r (X)s таковы, что их j носители (т.е. множества элементов X, входящих в запись слова) сов падают, и каждый элемент носителя входит в каждое слово wi,j с крат ностью единица. Разумеется, область изменения индекса j в слове wi,j зависит от i.

Будем говорить, что многообразие Z -линейных -алгебр M зада ется (или определяется) семейством Z -полилинейных тождеств, ес ли алгебра A принадлежит M в том и только в том случае, когда для каждого (w1, w2 ), где (w1, w2 ) F rz, (X)s F rz, (X)s, и для лю бого гомоморфизма -алгебр h : F r (X) A имеет место равенство:

hs (w1 ) = hs (w2 ).

Напомним, что через ZX обозначается свободная алгебра с базисом X над коммутативной операдой Z. Для s = s1... sn S и Y SetS положим TZ (Y ) = ZYs1 · · · ZYsn. Имеет место следующий аналог s теоремы 4.3.3:

R(s, t) TZ (Y )/, s F rR (Y )t = sS где — конгруэнция, порожденная всевозможными парами ((r) w · · · wn, r w(1) · · · w(n) ).

Определение и свойства рациональной эквивалентности для много сортных алгебр совершенно аналогичны односортному случаю (см. [47, § 1.2]).

Опуская промежуточные технические результаты, соответствую щие их односортным аналогам, сформулируем две главные теоремы.

Теорема 4.6.1. Пусть R есть Z -линейная -мультикатегория. Тогда многообразие AlgZ (R ) определяется Z -полилинейными тождествами.

Теорема 4.6.2. Пусть M — многообразие многосортных Z -линейных -алгебр, задаваемое Z -полилинейными тождествами. Тогда найдется Z -линейная -мультикатегория R, такая, что M и AlgZ (R ) рацио нально эквивалентны.

Глава 5. Супералгебры и операды § 5.1. -супералгебры Через K на протяжении всей этой главы будет обозначаться не которое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Рассмотрим Z2 -градуированный K -модуль L с четной компонентой L0 и нечетной L1. Степень однородного элемента x L будем обозначать через x. На помним, что если x Li, то x = i {0, 1}. Тензорную степень L n можно также наделить естественной Z2 -градуировкой. Если все xi L n однородны, и y = x1 · · · xn, то y = xi (mod 2). Исходным пунктом i= для наших результатов является следующее утверждение.

Теорема 5.1.1. Существует левое действие группы подстановок n на L n, такое, что для однородного элемента x1 x2 · · ·xn и n (x1 · · · xn ) = sgn(, x)(x1 (1) · · · x1 (n) ), где x = x1... xn (строка символов), и sgn(, x) { +1, 1 }, причем если — транспозиция, = (i, j), i j, то sgn(, x) = (1)k, где k = xi xj + (xi + xj )(xi+1 + · · · + xj1 ).

Доказательство. Используем следующее задание группы подста новок n образующими и соотношениями (см. [31, (6.28)]):

t2 = (ti ti+1 )3 = (tj ti ti+1 ti )2 = 1, i где i, j = 1, 2,... n 1, j = i, i + 1, и подразумевается, что t1 = tn. При этом ti соответствует транспозиции (i, n), причем умножение подстано вок соответствует естественным образом определяемому левому дейст вию симметрической группы n на множестве {1,..., n}.

i Будем использовать обозначения вида x · · · y · · · z, чтобы пометить i-й слева “множитель” y. Определим автоморфизмы ti : Ln Ln следующим образом:

i n i n ti (x1 · · · xi · · · xn ) = (1)xi xn +(xi +xn )(xi+1 +···+xn1 ) (x1 · · · xn... xi ).

Здесь x1 · · · xn — произвольный однородный элемент из L n. Так как (i, j) = (i, n)(j, n)(i, n), то необходимо сначала проверить, что при i j n имеет место равенство:

j i ti tj ti (x1 · · ·xn ) = (1)xi xj +(xi +xj )(xi+1 +···+xj1 ) (x1 · · ·xj · · ·xi · · ·xn ) (5.1.1) Рассмотрим однородный элемент w = x1 · · · xn, и проделаем необхо димые вычисления.

i ti (w) = 1 (x1 · · · xn · · · xi ), где 1 = (1)k1, k1 = xi xn + (xi + xn )(xi+1 + · · · + xn1 ).

j i tj ti (w) = 1 2 (x1 · · · xn · · · xi · · · xj ), где 2 = (1)k2, k2 = xj xi + (xi + xj )(xj+1 + · · · + xn1 ).

j i ti tj ti (w) = 1 2 3 (x1 · · · xj · · · xi · · · xn ), где 3 = (1)k3, k3 = xn xj +(xn +xj )(xi+1 +· · ·+xj1 +xi +xj+1 +· · ·+xn1 ).

Вычислим k1 + k2 + k3. Положим p = xi+1 + · · · + xj1, q = xj+1 + · · · + xn1. Тогда k1 = xi xn + xi p + xi xj + xi q + xn p, k2 = xi xj + (xi + xj )q, k 3 = xn xj + xj p + xi x j + xj q + xn p + xn xi + x n q.

Отсюда видно, что k1 + k2 + k3 xi xj + (xi + xj )p (mod 2). При j i аналогично доказывается равенство:

j i ti tj ti (x1...xn ) = (1)xi xj +(xi +xj )(xj+1 +···+xi1 ) (x1 · · ·xi · · ·xj · · ·xn ) Проверим, что для автоморфизмов ti выполнены указанные выше соот ношения для образующих n. То, что t2 = 1, очевидно. Покажем, что i (ti ti+1 )3 = 1. Так как (ti ti+1 )3 = (ti ti+1 ti )(ti+1 ti ti+1 ), то можно использо вать предыдущие выкладки.

i i+ ti ti+1 ti (w) = (1)xi xi+1 (x1 · · · xi+1 xi · · · xn ), i i+ ti+1 ti ti+1 (x1... xi+1 xi · · · xn ) = (1)xi+1 xi w.

Отсюда (ti ti+1 )3 (w) = w.

Покажем теперь, что если t = tj ti ti+1 ti, то t2 (w) = w при j = i, i+1.

Пусть для определенности j i.

j i i+ tj ((ti ti+1 ti )(w)) = tj ((1)xi xi+1 (x1 · · · xj · · · xi+1 xi · · · xn )) = j i i+ (1)xi xi+1 +xj xn +(xj +xn )(xj+1 +···+xn1 ) (x1 · · · xn · · · xi+1 xi · · · xj ).

Последующее применение ti ti+1 ti даст перестановку i-го и (i + 1)-го мно жителей и коэффициент (1)xi xi+1. Применение же tj удвоит в показателе степени часть xj xn +(xj +xn )(xj+1 +· · ·+xn1 ), то есть исходный аргумент w преобразуется снова в w.

Таким образом, доказано существование гомоморфизма группы n в группу однородных автоморфизмов модуля L n, такого, что транс позиция (i, j) отображается в автоморфизм, действующий по формуле (5.1.1). Поскольку любая подстановка представляется в виде произведе ния транспозиций, результат действия произвольного n на одно родном элементе x1 · · · xn равен x1 (1) · · · x1 (n), умноженному на плюс единицу или на минус единицу. Эта величина и обозначена через sgn(, x1... xn ).

Следствие 5.1.1. Значение sgn(, x1... xn ) зависит только от упоря доченной последовательности (x1,..., xn ).

Замечание 5.1.1. Пусть x = x1... xn, n. Положим x = x1 (1)... x1 (n). Тогда sgn(1 2, x) = sgn(1, 2 x)sgn(2, x). (5.1.2) Равенство (5.1.2) допускает следующую интерпретацию. Рассмотрим множество Z, состоящее из всех элементов вида x = x1... xn, где xi L0 L1 для всех i. Группа n естественным образом действует на Z справа: (x, ) x. Определим правый n -модуль A (с мультиплика тивно записываемой групповой операцией) как произведение xZ {±1}, причем группа n действует на элементах A посредством действия на индексы их компонент так, как это отмечено выше. Тогда определена функция из n в A, сопоставляющая подстановке элемент A, x-я ком понента которого есть sgn(, x), и равенство (5.1.2) означает, что эта функция является 1-коциклом.

Замечание 5.1.2. Можно показать,что построенное в теореме 5.1.1 дей ствие n совпадает с определенным в [101, Лемма 1.5, следствие 1.6].

Это же действие фактически используется в [116], причем то, что в на шей работе обозначается как sgn(, x), в [116] называется “Koszul sign”.

При вычислениях с тождествами в любом случае, однако, не обойтись без явной формулы для этой величины, которая и дана в теореме 5.1.1.

Определение 5.1.1. Зафиксируем коммутативное ассоциативное кольцо с единицей K, и рассмотрим семейство непересекающихся мно жеств (сигнатуру) = {n | n 0}. Будем предполагать, что на каждом множестве символов n-арных операций n справа действует симметри ческая группа n. Определим K -линейную -супералгебру A как Z2 градуированный модуль A = A0 A1 над кольцом K, снабженный сле дующей структурой: для каждого символа операции n определена полилинейная операция вида A : An Ai, i = 0, 1, действие которой i будет обозначаться так: a1... an A (a1... an ). При этом требу ется, чтобы для любой подстановки n и произвольных однородных a1,..., an выполнялось равенство:

()A (a1... an ) = sgn(, a) A (a1 (1)... a1 (n) ) Далее вместо A будет использоваться запись, так как смысл обозна чений во всех случаях однозначно восстанавливается из контекста.

Гомоморфизмы -супералгебр f : A B определяются как K линейные отображения, сохраняющие градуировку (т.е. однородные, в другой терминологии — четные) и действия операций из. Ограничение гомоморфизма f на однородную компоненту Ai (i = 0, 1) будем обозна чать через fi. Категорию всех -супералгебр обозначим через SAlg().

Идеалы и факторсупералгебры для -супералгебр определяются естественным образом, аналогично тому, как это делается в случае алгебр, или, например, супералгебр Ли.

Напомним, что через Alg() мы обозначаем категорию всех “обыч ных” K -линейных -алгебр, а свободную алгебры с базисом X в этом многообразии через F r (X), или просто через F r(X), если ясно, како ва сигнатура. Если M — многообразие линейных -алгебр, то свобод ная алгебра с базисом X в этом многообразии будет обозначаться через F rM (X).

В теории -супералгебр имеется много внешне аналогичного тому, что имеет место для -алгебр. Сформулируем те фрагменты теории, которые понадобятся в дальнейшем.

Теорема 5.1.2. В категории SAlg() существуют свободные объек ты. Точнее, для любой пары непересекающихся множеств (X, Y ) (где X — множество четных базисных элементов, а Y — множество не четных) существует -супералгебра F r(X, Y ) = F r (X, Y ) вместе с отображениями 0 : X F r(X, Y )0, 1 : Y F r(X, Y )1, такими, что для любой -супералгебры A = A0 A1 и любых отображений 0 : X A0, 1 : Y A1 существует один и только один гомомор физм супералгебр f : F r(X, Y ) A, такой, что f0 0 = 0, f1 1 = 1.

Доказательство. Это утверждение фактически будет (независи мо) доказано ниже в теореме 5.2.5 и в следствии 5.2.1, но можно провести и прямое построение по аналогии с тем, которое имеется в теории ли нейных -алгебр [35], [3]. Общая идея заключается в том, чтобы взять линейную -алгебру с базисом X Y (множества X и Y считаются непересекающимися), рассмотреть в ней естественную Z2 -градуировку, и профакторизовать этот градуированный K -модуль по идеалу, порож денному всеми элементами вида ()w1... wn sgn(, w1... wn )w1 (1)... w1 (n), где n, n, w1,..., wn — произвольные однородные элементы.

Определение 5.1.2. Многообразием -супералгебр будем назы вать непустую полную подкатегорию M категории SAlg(), такую, что существует множество однородных элементов F r (X, Y ), где X и Y счетны, обладающее следующими свойствами:

1) A Ob(M ) тогда и только тогда, если для каждого гомоморфиз ма h : F r (X, Y ) A и любого t имеет место равенство h(t) = 0;

2) для каждого t, представленного как “многочлен” t(z1,..., zn ), где z1,..., zn X Y — все входящие в его запись базисные элементы, и для любого другого набора z1,..., zn X Y, элемент t(z1,..., zn ) также принадлежит.

Элементы множества, удовлетворяющего сформулированным только что условиям 1) и 2), будут называться тождествами многооб разия супералгебр M. Многообразие, определяемое семейством тождеств, будет обозначаться через V ar().

Лемма 5.1.1. Рассмотрим идеал J, порожденный множеством из определения 5.1.2. Тогда множество J0 J1 также будет удовлетво рять свойствам 1) и 2) из этого определения.

Доказательство. Определим по индукции множества n, по лагая 1 =, и n = {w1... wn | n, wj — однородные элементы F r (X, Y ), причем хотя бы одно из них принадлежит k для некоторого k n}. Идеал J есть K -подмодуль, порожденный объединением всех n, n = 1, 2,.... Свойства 1) и 2) из определения 5.1.2 легко доказыва ются индукцией по n для каждого из множеств n. Следовательно, они справедливы и для J0 J1.

Ясно, что V ar() = V ar(J0 J1 ).

Определение 5.1.3. Будем называть идеал J свободной супер алгебры F r (X, Y ) вполне инвариантным, если h(J) J для любого эндоморфизма h супералгебры F r (X, Y ) и, кроме того, для J0 J1 вы полнено свойство 2) из определения 5.1.2.

Эквивалентный термин для “вполне инвариантного” — “вполне ха рактеристический”. Идеал J из леммы 5.1.1 является, очевидно, впол не инвариантным. Точно так же, как и в случае многообразий “обыч ных”(т.е. не супер) алгебр, показывается, что F rM (X, Y ) = F r (X, Y )/J является свободной супералгеброй многообразия M с базисом (X, Y ).

Так как X и Y счетны, то в M существуют и свободные супералгебры с любыми базисами.

Определение 5.1.4. Будем говорить, что элемент w F r (X, Y ) является полилинейным, если он однороден в смысле Z2 -градуировки и является линейной комбинацией слов от некоторого множества перемен ных из XY, причем каждая переменная из этого множества имеет ровно одно вхождение в каждое из этих слов. Будем говорить, что многообра зие M определяется (или задается) полилинейными тождествами, если M = V ar() для некоторого множества полилинейных элементов, удовлетворяющих свойствам 1) и 2) из определения 5.1.2.

Справедлив аналог изестного результата из [29] (см. также [24]):

Теорема 5.1.3. Пусть K — поле нулевой характеристики. Тогда каждое многообразие супералгебр определяется полилинейными тож дествами.

Доказательство. Очевидное видоизменение доказательства из [5]. Необходимо учесть, что свободные -супералгебры обладают N градуировкой, которая индуцирует N-градуировку на четных и нечет ных компонентах. Это следует из результатов § 5.2, которые не зависят от § 5.1.

В дальнейшем нам потребуется супераналог известных результатов о рациональной эквивалентности [149], [47].

Определение 5.1.5. Пусть M1 и M2 — некоторые категории супералгебр над коммутативным кольцом K (можно не предполага еть, что это обязательно многообразия), и пусть M0 — категория Z2 градуированных K -модулей и их однородных гомоморфизмов. Будем говорить, что M1 и M2 рационально эквивалентны, если существуют функторы F2,1 : M1 M2, F1,2 : M2 M1, которые являются, во-первых, взаимно обратными изоморфизмами категорий M1 и M2 (изоморфизма ми, а не только эквивалентностями), а во-вторых, если F0,i : Mi M — забывающие функторы, то должны выполняться равенства F0,1 F1,2 = F0,2, F0,2 F2,1 = F0,1.

Имеет место следующий аналог теоремы 1.2.1 из [47].

Теорема 5.1.4. Пусть M1, M2 — многообразия супералгебр, а C1 и C — полные подкатегории категорий M1 и M2 соответственно, такие, что Ob(Ci ) = {F rMi (X, Y )}, а множества X, Y счетны. Многообра зия M1 и M2 рационально эквивалентны тогда и только тогда, если рационально эквивалентны C1 и C2.

Доказательство. Доказательство мало отличается от доказа тельства аналогичного результата из [47].

§ 5.2. Супералгебры над операдами Пусть R есть K -линейная симметрическая операда (то есть операда). K -линейность означает вместе с симметричностью, что все компоненты R(n) являются правыми Kn -модулями, а все отображения композиции в операде R, т.е. отображения вида:

R(m)R(n1 )· · ·R(nm ) R(n1 +· · ·+nm ), (x, y1,..., ym ) xy1... ym, являются K -линейными по каждому аргументу. Компоненты гомомор физмов линейных симметрических операд являются также и гомомор физмами правых Kn -модулей. Категорию K -линейных R -алгебр и их гомоморфизмов будем обозначать через Alg(R).

Пример 5.2.1. Пусть V — некотороый K -модуль. Положим EV (n) = HomK (V n, V ). Тогда семейство EV = {EV (n)|n 0} ста новится K -линейной симметрической операдой. Пусть : V m V, i : V ni V (1 i m) — гомоморфизмы K -модулей. Тогда компози ция в операде EV определяется по правилу: 1... m = (1 · · ·m ).

Правое действие m на EV (m) определяется так: ()(v1 · · · vm ) = (v1 (1) · · ·v1 (m) ). В работе [2] было фактически показано, что EV яв ляется линейной симметрической операдой. Это был, по-видимому, один из первых значимых примеров линейных операд, опубликованный за два года до появления самого термина “операда” в [45].

Хорошо известно, что если R есть K -линейная симметрическая операда, то задание структуры R-алгебры на K -модуле A равносиль но заданию гомоморфизма операд R EA. Напомним также следующее определение.

Определение 5.2.1. Пусть R есть K -линейная симметрическая операда. Идеалом I операды R называется следующий комплекс данных.

Во-первых, I = {I(n)|n 0}, где для всех n множество I(n) есть правый Kn -подмодуль в R(n). Во-вторых, если x R(m), x1 R(n1 ),..., xm R(m), то композиция xx1... xm R(n1 + · · · + nm ) принадлежит I(n1 + · · · + nm ), если либо x I(m), либо xi I(ni ) для некоторого i, 1 i m.

Ясно, что это определение совершенно аналогично определению двухстороннего идеала кольца. Точно так же, как и в случае колец, опре деляется фактороперада R/I операды R по идеалу I, причем (R/I)(n) = R(n)/I(n) для всех n, и композиция определяется по правилу:

(x + I(m))(x1 + I(n1 ))... (xm + I(nm )) = xx1... xm + I(n1 + · · · + nm ).

Справедливы аналоги всех обычных результатов о факторкольцах, изо морфизмах и т.п.

Напомним, как устроены свободные алгебры в Alg(R) (это — част ный случай общей конструкции, уже встречавшейся ранее). Пусть T n (X) есть свободный K -модуль с базисом X n, изоморфный n-й тензорной сте пени свободного K -модуля с базисом X.

Теорема 5.2.1. Свободная алгебра с базисом X в многообразии Alg(R) имеет следующий вид:

R(n) Kn T n (X).

F rR (X) = n Если I есть идеал в операде R, то для множества X определено ото бражение I(n) Kn T (X) R(n) Kn T n (X), n n0 n образ которого I(X) есть вполне инвариантный идеал в F rR (X). Се мейство этих идеалов по всем X является подфунктором функтора F rR, и определяет многообразие Alg(R/I). Имеет место естествен ный изоморфизм функторов:

F rR/I (X) F rR (X)/I(X).

= Доказательство. Доказательство фактически уже было приве дено в главе 4 (где рассмотрена несколько более общая ситуация). По следнее утверждение теоремы вытекает из рассмотрения точных после довательностей вида:

0 I(n) R(n) R(n)/I(n) 0, и из точности справа функтора тензорного произведения.

Отметим, что свободные алгебры многообразия алгебр в виде, опи санном в теореме 5.2.1 были вычислены (возможно, впервые) для много образия алгебр Ли в [30] (см. также [5];

для ассоциативных алгебр это, в общем-то, достаточно тривиально).

Пример 5.2.2. Подробное описание операды, компоненты кото рой — симметрические группы, (n) = n, можно найти (как частный случай более общей конструкции) в § 3.4 (см. также работу [64]). Через K будем обозначать линеаризацию этой операды, т.е. K(n) = Kn — групповая K -алгебра симметрической группы n.

Далее нам будет необходима конструкция тензорного произведения K -линейных операд. Напомним ее (см. [59]). Пусть O и R есть K линейные операды (не обязательно симметрические). Тогда O R по определению есть семейство K -модулей (O R)(n) = O(n) R(n), где тензорные произведения берутся над K. Операция композиции определя ется следующим образом:

(x y)(x1 y1 )... (xm ym ) = (xx1... xm ) (yy1... ym ).

В случае, если обе операды O и R являются симметрическими, на всех (O R)(n) очевидным образом определены структуры правых Kn модулей, и и это превращает O R в симметрическую операду.

Если O — несимметрическая операда, то операду O K можно превратить в симметрическую, полагая (x) = x( ) для x O(n),, n.

Пример 5.2.3. Операда Lie, для которой Alg(Lie) есть многообра зие алгебр Ли, фактически построена (при некоторых ограничениях на K ) в работе [30]. Основной результат этой работы воспроизведен также в [5].

Пример 5.2.4. Напомним конструкцию свободной операды из гла вы 4. Фактически свободную K -линейную операду F O со множеством свободных образующих = {n |n 0} можно построить так: F O (n) есть K -линейная оболочка множества полилинейных элементов (слов) в абсолютно свободной K -линейной -алгебре с базисом из n элемен тов x1,..., xn. Будем записывать их в виде w = w(x1,..., xn ). Действие симметрической группы n на таких словах следующее: если n, то w = w(x1 (1),..., x1 (n) ). Композиция в этой операде — подстанов ка с одновременной перенумерацией переменных. Более конкретно, пусть w(x1,..., xm ) F O (m), wi (x1,..., xni ) F O (ni ), 1 i m. Тогда ww1... wm = w(w1 (x1,..., xn1 ),..., wm (xn1 +···+nm1 +1,..., xn1 +···+nm )).

Для каждого n = 0, 1, 2... рассмотрим подмножество FO (n) F O (n) являющееся линейной оболочкой тех слов, в которых переменные встре чаются по одному разу в таком порядке: x1, x2,..., xn. Семейство FO = {FO (n)|n = 1, 2,... } является несимметрической подоперадой операды F O, (рассматриваемой как несимметрическая операда), и это свободная несимметрическая операда с базисом. Имеет место изоморфизм операд:

F O FO K, = На компонентах он устроен следующим образом. Базисным элементам w(x1,..., xn ) компоненты (FO K)(n) = FO (n) Kn взаимно однозначно сопоставляются элементы свободной симметрической опера ды w = w(x1 (1),..., x1 (n) ). В дальнейшем по мере необходимос ти операда F O будет отождествляться таким способом с операдой FO K, причем в записи w знак тензорного произведения будет опускаться. Таким образом, элементы F O (n) однозначно представля ются в виде i wi i, где i K, i n, а wi есть -слова, являющиеся i базисными элементами FO (n).

В дальнейшем выражение вида w(x1,..., xn ) иногда будет обозна чаться как w(x) или даже wx, где x = x1... xn. Напомним также, что левое действие элемента n на строку x производится по правилу:

x = x1 (1)... x1 (n).

Поскольку операды образуют многообразие многосортных универ сальных алгебр, то каждая операда R изоморфна факторопераде неко торой свободной операды F O по идеалу I. Рассмотрим произвольное семейство = {(n)|(n) I(n), n 0} образующих элементов этого идеала. Компонентами идеала, порожденного семейством, являются Kn -линейные оболочки операдных композиций вида ww1... wm, в ко торых хотя бы один из элементов w, w1,..., wm принадлежит множеству (k) для подходящего k. Как уже было сказано, элементы (k) имеют следующий вид: z = i wi i, где i K, i k — подстановки, i а wi F O (k) — слова в алфавите. Будем говорить в этом случае, что операда R задается множеством образующих и определяющих соотношений.

Теорема 5.2.2. Пусть операда R задана множеством образующих и семейством соотношений вида i wi i = 0, i где i n, wi FO ) — слова в алфавите, i K Тогда многооб разие Alg(R) определяется всеми тождествами вида i wi (i x) = 0, i где x = x1 x2..., xi X, X счетно, причем в x все символы различ ны, и x = x1 (1)... x1 (n). В частности, отсюда еще раз следует, что любое многообразие алгебр Alg(R) определяется полилинейными тождествами.

Доказательство. Из теоремы 4.4.5 следует, что многообразия Alg() и Alg(F O ) рационально эквивалентны. Пусть X — счетное мно жество. Обозначим через (X) множество элементов вида i wi (x), i описанных в формулировке теоремы ((X) — семейство образующих идеала I(X)), и через V ar((X)) — подмногообразие Alg(), определя емое этими тождествами. Гомоморфизм операд (естественная проекция на факторопераду) F O R = F O /I индуцирует функтор Alg(R) Alg(F O ), являющийся вполне унивалентным, так что Alg(R) можно рассматривать как подмногообразие Alg(F O ). Остается непосредствен ной проверкой убедиться, что взаимно обратные функторы рациональной эквивалентности, описанные в теореме 4.4.5, осуществляют изоморфизм подмногообразий V ar((X)) и Alg(R).

Приведем описание операд, соответствующих некоторым извест ным многообразиям, в терминах образующих и соотношений.

Пример 5.2.5. Пусть — символ бинарной операции умноже ния. Рассмотрим свободную операду с базисом, где 2 = {}, и все остальные n пусты. Тогда, согласно теореме 5.2.2, тождества классических многообразий линейных алгебр интерпретируются следу ющим образом. Будем писать вместо xy, как обычно, x · y = xy.

Тогда тождество коммутативности x1 · x2 = x2 · x1 записывается как x1 x2 = x2 x1 = ((1, 2))x1 x2, где (1, 2) 2 — транспозиция. Таким образом, тождество коммутативности сводится к тождеству в соответ ствующей операде: = (1, 2). Антикоммутативность соответствует тождеству: + (1, 2) = (1 + (1, 2)) = 0. Произведение (x1 x2 )x3 есть ()(x1 x2 x3 ), где через обозначена единица операды (буква да лее будет иметь только такой смысл), поэтому тождество ассоциатив ности сводится к тождеству в операде: =. Тождество Якоби x1 (x2 x3 ) + x3 (x1 x2 ) + x2 (x3 x1 ) = 0 соответствует тождеству в операде:

+ (1, 2, 3) + (1, 3, 2) = ()(1 + (1, 2, 3) + (1, 3, 2)) = где (1, 2, 3), (1, 3, 2) 3 — циклы. Полилинейные тождества йордановых алгебр можно найти, например, в [24]. Полагая (a, b, c) = (a·b)·ca·(b·c), их легко переписать в виде (x·y, z, t)+(t·x, z, y)+(y·t, z, x) = 0. Мы будем брать это тождество за определение для любого K. На языке операд оно превращается в соотношение (() )(1 + (1, 2, 4) + (1, 4, 2)) = Наконец, полилинейные тождества альтернативности из [24], [34] (мы снова берем их за определение) (x, y, z) = (y, x, z), (x, y, z) = (x, z, y) превращаются в соотношения ( )(1 + (1, 2)) = 0, ( )(1 + (2, 3)) = Напомним (см. [34]), что алгебрами Мальцева называются антикомму тативные алгебры с одной бинарной операцией, удовлетворяющей тож деству:

(x1 x3 )(x2 x4 ) = ((x1 x2 )x3 )x4 + ((x4 x1 )x2 )x3 + ((x3 x4 )x1 )x2 + (x2 x3 )x4 )x1.

Полагая (2, 3), (1, 2, 3, 4) и т.п. подстановками из 4, получаем следую щий операдный эквивалент этого тождества:

(2, 3) = ()(1 + (1, 2, 3, 4) + (1, 3)(2, 4) + (1, 4, 3, 2)).

Теперь определим понятие супералгебры над линейной операдой R.

Определение 5.2.2. Супералгеброй над операдой R будем назы вать Z2 -градуированный K -модуль A = A0 A1, вместе с семейством од нородных линейных отображений, определенных для каждого R(n), имеющих вид An A, a1 · · · an a1... an, и обладающих следующими свойствами:

1) a = a для любого a A (напомним, что R(1) — единица операды R).

2) (1 a1 )... (m am ) = ((1... m )a1... am ), где ai = ai,1... ai,ni, 1 i m, ai,j A, i R(ni ), R(m).

3) Если a1,..., am A — однородные элементы A, a = a1... am, R(m), m, то ()a1... am = sgn(, a)(a1 (1)... a1 (m) ).

Только последнее свойство существенно отличается от определения ал гебр над операдами. Определим гомоморфизм супералгебр h : A B как однородное K -линейное отображение, такое, что h(a1... am ) = h(a1 )... h(am ) для произвольных a1,..., am A, R(m). Кате горию супералгебр над операдой и их гомоморфизмов обозначим через SAlg(R).

Очевидно, что супералгебры над R можно рассматривать как супералгебры в смысле § 5.1, где n = R(n) для всех n, однако то, что SAlg(R) можно считать многообразием супералгебр в смысле § 5.1, тре бует доказательства, и будет доказано ниже в теореме 5.2.6.

Теорема 5.2.3. Пусть L = L0 L1 — Z2 -градуированный модуль над коммутативным кольцом K. Пусть EL (n) = HOMK (L n, L) — мно жество однородных гомоморфизмов Z2 -градуированно модулей. Тогда на EL = {EL (n)|n = 0, 1, 2,... } естественным образом можно ввести структуру операды: если EL (m), i EL (ni ), 1 i m, то 1... m = (1 · · · m ). Действия симметрических групп опре деляются так: если x1,..., xn L — однородные элементы, n и EL (n), то ()(x1,..., xn ) = sgn(, x)(x1 (1),..., x1 (n) ). Зада ние на L структуры супералгебры над операдой R равносильно заданию гомоморфизма операд R EL.

Доказательство. Операда, которая строится в данной теореме, является Z2 -градуированным аналогом “клона полилинейных операций” O(A) из [2, § 1] (в современной терминологии это операда эндоморфиз мов). Это позволяет опустить часть выкладок, почти дословно повторя ющих, например, те, что содержатся в [2, леммы 1 и 2]. Существенные отличия Z2 -градуированного случая относятся к проверке двух аксиом операды, связывающих композицию и действия симметрических групп на компонентах операды. Прежде всего, речь идет о согласованности знаков, появляющихся в левых и правых частях равенств из этих двух аксиом.

Пусть zi,j — однородные элементы L, 1 i m, 1 j ni, i EL (ni ), EL (m), i ni, m. Положим z i = zi,1... zi,ni, z = z 1... z m, z = 1 (z1,1 · · · z1,n1 )... m (zm,1 · · · zm,nm ), = (n1,..., nm ) P (n, m), где n = n1 + · · · + nm. Здесь P есть категория разбиений из главы 1. Напомним, что если 1 n1, 2 n2, то = 1 2 n1 +n2 определяется так: (i) = 1 (i) при 1 i n1, (n1 + j) = n1 + 2 (j) при 1 j n2. Подстановка 1... m для произвольного m определяется аналогично. Первая из двух аксиом операды, которую необходимо проверить, такова:

(1 1 )... (m m ) = (1... m )(1... m ).

Нетривиальная часть доказательства этого свойства сводится к проверке равенства:

sgn(1... m, z) = sgn(1, z 1 )... sgn(m, z m ).

Это равенство вытекает из определения sgn и соотношения (5.1.2).

Последняя аксиома операды имеет вид:

()1... m = (1 1 (1)... 1 (m) )( ).

Доказательство того, что в EL выполнена эта аксиома, в конечном счете сводится к проверке равенства:

sgn(, z) = sgn(, z) (5.2.1) Заметим, что так как все отображения i однородны, то степень элемен та i (zi,1 · · ·zi,ni ) равна zi,j (mod 2). С учетом следствия 5.1.1 в до j казательстве удобно заменить в sgn строки однородных элементов L на последовательности из их степеней. Далее, если z — строка из символов +1, 1 (так что zi,j = zi,j ), и = (n1,..., nm ), то положим z = v1... vm, где vi = zi,j (mod 2) для всех i. Тогда равенство (5.2.1) равносильно j равенству sgn(, z) = sgn(, z) (5.2.2) Докажем это равенство индукцией по r = max ni. Случай r = 1 тривиа i лен. Рассмотрим подробнее случай r = 2, и проведем для него индукцию по числу l множителей в представлении в виде произведения транспо зиций вида (i, i + 1). При l = 1 достаточно разобраться с ситуацией, где = (1, 2) и m = 2, и есть либо (1, 2), либо (2, 2), либо (2, 1). Проведем вычисления для = (1, 2), остальные случаи разбираются аналогично.

Подстановка при = (1, 2), = (1, 2) имеет вид (1, 2)(1, 3). Теперь левая часть (5.2.2), вычисленная по правилу, содержащемуся в теореме 5.1.1, равна (1)z1,1 z2,2 +(z1,1 +z2,2 )z2,1 +z2,2 z2,1.

Правая часть (5.2.2) равна (1)z1,1 (z2,1 +z2,2 ). Очевидно, имеет место равенство.

Предположим, что для подстановок, представимых в произведе ние менее чем l транспозиций вида (i, i + 1), утверждение справед ливо. Представим тогда в виде =, где для и пред положение индукции выполняется, и используем тождество: ( ) = ( ())( ). Это тождество доказано в § 1.1. Напомним, что если = (n1,..., nm ), то = (n(1),..., n(m) ). Теперь, используя равен ство (5.1.2), получаем: sgn(( ), z) = sgn( (), ( )z)sgn(, z).

Поэтому sgn( (), ( )z)sgn(, z) = sgn(, ()(( )z))sgn(, z).

Доказываемое утверждение следует теперь из непосредственно проверяе мого тождества ()(( )z) = (z) с помощью повторного применения равенства (5.1.2).

Продолжим индуктивное рассуждение по r = max ni. Пусть r 2, i и для всех случаев, где соответствующий максимум меньше r, равенство (5.2.2) справедливо. Так как есть морфизм категории P, то его можно представить в виде = следующим образом. Пусть = (l1,..., lm ), = (k1,1,..., k1,l1,..., km,1,..., km,lm ), так что ni = ki,1 + · · · + ki,li для всех i. Если ni r, то полагаем li = ni и ki,j = 1 для всех j 1. Ес ли же ni = r, то полагаем li = r 1, ki,1 = 2, ki,j = 1 при j 1. В [28] доказано тождество () = ( ). Поскольку и удовлетво ряют предположению индукции, и имеет место равенство ()z = (z), можно завершить индуктивное рассуждение следующим вычислением:

sgn( (), z) = sgn(( ), z) = sgn(, z) = sgn(, (z)) = sgn(, z).

Последнее утверждение теоремы непосредственно следует из определений супералгебры над операдой и EL.

Пусть L0 — свободный K -модуль с базисом X, а L1 — свободный K -модуль с базисом Y. Проложим L = L0 L1 В этом случае будем обозначать Z2 -градуированный K -модуль L n через T n (X, Y ).

Теорема 5.2.4. Свободная супералгебра с базисом (X, Y ) в многообра зии SAlg(R) имеет вид R(n) Kn T n (X, Y ).

F rR (X, Y ) = n Доказательство. Доказательство проходит по той же схеме, что и в теореме 5.2.2. Сначала определяем структуру Z2 -градуированной R алгебры на Z2 -градуированном K -модуле F r(X, Y ) = F rR (X, Y ). Если xi = xi,1... xi,ki — базисные элементы T ki (X, Y ), то, как и в теореме 5.2.1, (1 x1... m xm ) = (1... m )(x1... xm ).

Соответствие (1 x1... m xm ) (1 x1... m xm ) продолжается до од нородного гомоморфизма градуированных модулей. Отличие от случая неградуированных алгебр состоит в способе взаимодействия с элемента ми n :

(x1 x2... xn ) = sgn(, x)x1 (1)... x1 (n).

Непосредственно проверяется, что определение R-супералгебры вы полнено. Проверим универсальное свойство. Пусть A — некоторая R супералгебра, : X A — однородное отображение, = (0, 1 ), 0 : X A0, 1 : X A1. Существует и однозначно определено продол жение до однородного гомоморфизма n : T n (X, Y ) An, (z1... zn ) (z1 ) · · · (zn ), zi X Y. Используя определение структуры R алгебры на A, получаем отображение 1 n R(n) Kn T n (X, Y ) R(n) Kn An A.

Сумма этих отображений и дает искомый гомоморфизм алгебр, единст венность которого очевидна.

Заметим, что частный случай этой теоремы (для супералгебр Ли) был получен в работе [72] (см. также [25]).

Для произвольного семейства множеств символовов операций = {n |n = 0, 1,... } определим = {n |n = 0, 1,... }, полагая n = n n. Группы n действуют справа на n, и поэтому можно опре делить -супералгебры.

Теорема 5.2.5. Рассмотрим произвольное семейство (сигнатуру) = {n |n = 0, 1, 2,... } как базис свободной операды F O. Тогда многооб разие SAlg() рационально эквивалентно многообразию SAlg(F O ).

В частности, можно отождествлять F r (X, Y ) и F rF O (X, Y ).

Доказательство. Если A — супералгебра из SAlg(F O ), то для каждой пары (, ) n n и произвольных одно родных a1,..., an A определено отображение (a1,..., an ) sgn(, a1... an )(a1 (1)... a1 (n) ), превращающее A в -супералгебру.

Легко убедиться, что тем самым определен функтор SAlg(F O ) SAlg(), коммутирующий с забывающими функторами.

Обратно, пусть A есть -супералгебра. Из определения следует, что для каждого n определены отображения вида n n EA (n). Здесь под EA понимается операда, построенная выше в теореме 5.2.3. Рассмат ривая n как подмножество n n ( n отождествляется с (, 1)), и используя универсальное свойство свободной операды, получаем отсю да гомоморфизм операд F O EA, задающий на A структуру F O супералгебры. Тем самым определен функтор SAlg() SAlg(F O ), обратный к построенному выше и также коммутирующий с забывающи ми функторами. Таким образом, имеет место рациональная эквивалент ность.

Теорема 5.2.6. 1) Если I — идеал в операде R, то для любых мно жеств X, Y определено отображение, индуцированное включениями I(n) R(n):

I(n) Kn T n (X, Y ) R(n) Kn T n (X, Y ), n0 n образ которого I(X, Y ) есть идеал свободной алгебры F rR (X, Y ). Се мейство этих идеалов по всем (X, Y ) является подфунктором функ тора F rR. Гомоморфизм на факторопераду R R/I индуцирует вло жение в качестве полной подкатегории: SAlg(R/I) SAlg(R). В кате гории SAlg(R) имеет место естественный изоморфизм:

F rR/I (X, Y ) F rR (X, Y )/I(X, Y ).

= 2) Пусть R = F O, I — идеал R. Отождествим SAlg(F O ) с SAlg() по теореме 2.5, и соответственно, отождествим F rF O (X, Y ) с F r (X, Y ). Тогда I(X, Y ) — вполне инвариант ный идеал, и определяемое им многообразие супералгебр рационально эквивалентно SAlg(F O /I). В частности, категории супералгебр над операдами можно считать многообразиями супералгебр в смысле § 1.

3) Более конкретно, пусть некоторая операда R задана множес твом образующих и семейством соотношений вида i wi i = 0, i где i n, wi FO — слова в алфавите, i K. Тогда многооб разие SAlg(R) определяется всеми тождествами вида i sgn(i, z)wi zi1 (1)... zi1 (n) = 0, i где z = z1 z2... zn, zi X Y, все символы zi различны, X и Y счетны.

В частности, отсюда следует, что любая категория SAlg(R) как многообразие -супералгебр в смысле определения 5.1.2 определяется полилинейными тождествами.

Доказательство. Тот факт, что I(X, Y ) является идеалом, не посредственно следует из определения операций в свободной алгебре.

Если R = F O, то однородные (в смысле Z2 -градуировки) элементы I(X, Y ) являются линейными комбинациями всех возможных элемен тов вида z1... zn, где I(n), z1,..., zn X Y, n = 0, 1, 2,..., удовлетворяющих единственному условию: во всех слагаемых величи на z1 + · · · + zn (mod 2) остается одной и той же. Исходя из этого, нетрудно убедиться, что I(X, Y ) — вполне инвариантный идеал. Даль нейшие рассуждения почти те же самые, что и при доказательстве те оремы 5.2.2. Рассмотрим установленную в теореме 5.2.5 рациональную эквивалентность SAlg() и SAlg(F O ), и пусть O = F O /I, где идеал I порождается множеством. Пусть X и Y — счетные мно жества, тогда через (X, Y ) обозначим семейство всех элементов ви да i sgn(i, z)wi zi1 (1)... zi1 (n), описанных в формулировке теоремы.

i Ясно, что можно интерпретировать их как тождества в сигнатуре.

Обозначим тогда через V ar((X, Y )) подмногообразие в SAlg(), опре деляемое этими тождествами. Для супералгебр, также как и для алгебр, естественная проекция на факторопераду F O O индуцирует впол не унивалентный функтор SAlg(O) SAlg(F O ), который позволяет отождествить SAlg(O) с подмногообразием SAlg(F O ). Доказательство завершается непосредственной проверкой того, что функторы, осущест вляющие изоморфизм SAlg(F O ) и SAlg(), индуцируют изоморфизм подмногообразий SAlg(O) и V ar((X, Y )).

Следствие 5.2.1. Пусть семейство = {n |n = 0, 1, 2,... } таково, что на всех n справа действуют симметрические группы n. Обозна чим временно через [] образ элемента n в F O (n). Тогда мно гообразие SAlg() рационально эквивалентно многообразию SAlg(R), где R — фактороперада операды F O по идеалу I, порожденному все ми разностями [] [], где — всевозможные элементы из n, n, n = 0, 1, 2,.... В частности, F r (X, Y ) можно отождест вить с F rR (X, Y ).


Доказательство. Гомоморфизм F O R = F O /I индуци рует вполне унивалентный функтор SAlg(F O ) SAlg(R), так что SAlg(R) можно считать полной подкатегорией SAlg(F O ). Рассматривая функтор, осуществляющий рациональную эквивалентность SAlg(F O ) и SAlg(), видим, что SAlg(R) при этом соответствует многообразию M супералгебр, определяемому тождествами, которые строятся по I так, как это показано в теореме 5.2.6.

С другой стороны, рассмотрим отображения n n n, действу ющие по правилу (, ). Семейство этих отображений индуцирует вполне унивалентный функтор SAlg() SAlg(). Непосредственная проверка показывает, что образ SAlg() в SAlg() есть многообразие супералгебр (в смысле определения 1.2). Его тождества легко находят ся в явном виде, и это те же самые тождества, которыми определяется многообразие M.

Из доказательства этого следствия вытекает простое, но важное утверждение, которое будет существенным образом использовано в сле дующем параграфе.

Следствие 5.2.2. Каждое многообразие -супералгебр рационально эквивалентно подмногообразию многообразия SAlg().

Пример 5.2.6. Используя пример 5.2.5, теорему 5.2.6 и теорему 5.1.1, покажем, что наши методы позволяют без особого труда получить тождества, определяющие наиболее изучаемые виды супералгебр.

В случае коммутативных супералгебр из = (1, 2) следует x1 x2 = (1, 2)x1 x2 = (1)x1 x2 x2 x1, что при x1 x2 = x1 x2 превраща ется в известное тождество x1 x2 = (1)x1 x2 x2 x1. Аналогично выводится тождество антикоммутативности для супералгебр.

Рассмотрим операдный аналог тождества Якоби: (1 + (1, 2, 3) + (1, 3, 2)) = 0. Тогда, если [x1, x2 ] = x1 x2, то x1 x2 x3 = [[x1, x2 ], x3 ], (1, 3)(1, 2)x1 x2 x3 = (1)x1 x2 (1, 3)x2 x1 x3 = (1)x1 x2 (1)x2 x3 +(x2 +x3 )x1 x3 x1 x2 = (1)(x1 +x2 )x3 x3 x1 x2.

Аналогично вычисляется (1, 2)(1, 3)x1 x2 x3 = (1)x1 (x2 +x3 ) x2 x3 x1.

Отсюда следует, что супералгебры над операдой Lie определяются тож деством: [[x1, x2 ], x3 ] + (1)(x1 +x2 )x3 [[x3, x1 ], x2 ] + (1)x1 (x2 +x3 ) [[x2, x1 ], x1 ] = 0.

Рассмотрим случай йордановых супералгебр. Пусть = (), так что x1 x2 x3 x4 = (x1 · x2, x3, x4 ). Проделаем вычисления:

(1, 4)(1, 2)x1 x2 x3 x4 = (1)x1 x2 (1, 4)x2 x1 x3 x4 = (1)x1 x2 (1)x2 x4 +(x2 +x4 )(x1 +x3 ) x4 x1 x3 x2 = (1)x2 (x3 +x4 )+x4 (x1 +x3 ) x4 x1 x3 x2.

Аналогично, (1, 2)(1, 4)x1 x2 x3 x4 = (1)x1 (x2 +x3 )+x4 (x1 +x3 ) x4 x1 x3 x2.

Теперь выражение (1 + (1, 2, 4) + (1, 4, 2))x4 x1 x3 x2 = 0 после умно жения на (1)x4 (x1 +x3 ) преобразуется к виду:

(1)x4 (x1 +x3 ) (x1 · x2, x3, x4 )+ (1)x2 (x3 +x4 ) (x4 · x1, x3, x2 )+ (1)x1 (x2 +x3 ) (x2 · x4, x3, x1 ) = Это — тождество, определяющее (вместе с суперкоммутативностью) йор дановы супералгебры, в форме, приведенной в [34].

Точно таким же образом можно показать, используя приведенные в примере 5.2.5 тождества альтернативности для операды, что для аль тернативных супералгебр получаются известные соотношения [34]:

(x1, x2, x3 ) = (1)x1 x2 (x2, x1, x3 ), (x1, x2, x3 ) = (1)x2 x3 (x1, x3, x2 ).

Наконец, в случае супералгебр Мальцева, представляя циклы в ви де произведения транспозиций, после несложных вычислений получим тождество:

(1)x2 x3 (x1 x3 )(x2 x4 ) = ((x1 x2 )x3 )x4 + (1)(x1 +x2 +x3 )x4 ((x4 x1 )x2 )x3 + (1)(x1 +x2 )(x3 +x4 ) ((x3 x4 )x1 )x2 +(1)x1 (x2 +x3 +x4 ) ((x2 x3 )x4 )x1.

Это тождество совпадает с тем, которое было использовано для определения супералгебр Мальцева в работе [96].

§ 5.3. Характеризация многообразий суперлгебр, определяемых полилинейными тождествами Теорема 5.3.1. Пусть X, Y — счетные множества, F r(X, Y ) = F r (X, Y ) — свободная -супералгебра с базисом (X, Y ), F O = F O — свободная операда с базисом. Имеет место изоморфизм меж ду решеткой идеалов операды F O и решеткой вполне инвариантных идеалов F r(X, Y ), порожденных полилинейными элементами. Взаимно однозначное соответствие (в одну сторону) строится следующим об разом. Если I — идеал F O, то соответствующий вполне инвариант ный идеал I(X, Y ) алгебры F r(X, Y ) — это образ отображения I(n) Kn T (X, Y ) F O(n) Kn T n (X, Y ).

n n=0 n= Это отображение индуцировано вложениями I(n) F O(n). Положим R = F O/I. Естественная проекция на факторопераду F O R ин дуцирует вложение SAlg(R) в качестве подмногообразия в SAlg(F O).

Отождествляя рационально эквивалентные многообразия, и, в част ности, отождествляя SAlg(F O) c SAlg(), будем иметь изоморфизм:

F rR (X, Y ) F r (X, Y )/I(X, Y ).

= Доказательство. Соответствие I I(X, Y ) уже исследовалось в теореме 5.2.6. Построим обратное соответствие. Пусть дан вполне инва риантный идеал J F r(X, Y ), где X и Y счетны. Далее будут исполь зоваться сведения о строении F r(X, Y ), установленные в предыдущем параграфе и, в частности то, что можно заменить F r(X, Y ) на сво бодную супералгебру F rF O (X, Y ). Для каждого натурального числа n положим J(n) равным множеству тех F O (n), для которых су ществует полилинейный элемент вида z J, z — слово в алфави те X Y, z = zi1... zin, причем все zi1,..., zin различны. Согласно определению вполне инвариантного идеала, если z J, то u J для любого u = uj1... ujn, где uj1,..., ujn X Y. Отсюда легко следует, что J(n) является Kn -подмодулем в F O(n). Покажем, что J = {J(n)|n = 0, 1,... } есть идеал операды F O. Пусть 0 F O(m), 1 F O(n1 ),..., m F O(nm ). Необходимо убедиться, что если хотя бы один из элементов i (i = 0, 1,..., m) принадлежит J, то операдная композиция 0 1... m принадлежит J(n1 + · · · + nm ). Пусть, например, 1 J(n1 ). Выберем строки z i = zi,1... zi,ni, zi,j X Y, 1 i m, 1 j ni, таким образом, чтобы среди элементов zi,j не было одинако вых. Терерь, пользуясь введенными в § 5.2 соглашениями о записи эле ментов F r(X, Y ), можно определить элементы этой супералгебры 1 z 1, 2 z 2,..., m z m, причем 1 z 1 J. Тогда, так как J — идеал, элемент 0 (1 z 1 )... (1 z 1 ) также должен содержаться в J. Но 0 (1 z 1 )... (1 z 1 ) = (0 1... m )z 1... z 1, т.е. это полилинейный элемент J. Отсюда получа ем 0 1... m J(n1 + · · · + nm ). Пусть 0 J(m). Выбираем элементы z i при 1 i m такими же, как выше, и z 0 = z0,1... z0,m так, чтобы все z0,k X Y были различны, и чтобы для каждого k степень z0,k nk элемента z0,k была равна степени элемента k z k, т.е. zk,j (mod 2).

j= Теперь можно определить эндоморфизм h супералгебры F r(X, Y ) та кой, что h(z0,k ) = k z k для всех k. По определению J как вполне ин вариантного идеала, будем иметь h(J) J, то есть h(0 z 0 ) J. Но h(0 z 0 ) = 0 h(z0,1 )... h(z0,m ) = 0 (1 z 1 )... (m z m ) = (0 1... m )z 1... z m, откуда, как и выше, следует, что 0 1... m J(n1 + · · · + nm ).

Покажем, наконец, что построенные соответствия задают изомор физм решеток идеалов требуемых типов. Пусть I — идеал операды F O, и пусть J = I(X, Y ). По самому определению, элементы J есть линей ные комбинации слов вида z1... zn, где I(n) для некоторого n, z1,..., zn X Y, и эти элементы не обязательно различны. Применяя к такому идеалу J описанную выше процедуру построения J, видим, что для каждого n множество J(n) состоит только из элементов I(n).

Обратное включение очевидно, так что J = I.

С другой стороны, пусть дан вполне инвариантный идеал J су пералгебры F r(X, Y ), порожденный (именно как идеал вполне инвари антный) полилинейными элементами. Это означает, что если есть множество всех полилинейных элементов J, то весь J можно описать следующим образом. Положим состоящим из всех элементов вида w1... wk, где F O(k), z1... zk, и w1,..., wk — произволь ные однородные элементы, такие, что wi = zi для всех i. Очевидно, что J, и если wi = i z i, то w1... wk = (1... k )z 1... z k, причем (1... k ) J. Далее, пусть состоит из всех элементов ви да 0 w1... wm, где 0 F O(m), w1,..., wm — однородные элементы, и по крайней мере один из них принадлежит. Идеал J есть K -модуль, порожденный множеством. Заменяя произвольные однородные эле менты на линейные комбинации элементов вида i z i, легко убедиться, что J есть K -модуль, порожденный всевозможными элементами вида (0 1... m )z 1... z m, где по крайней мере один из i принадлежит J. По лагая I = J, заключаем из всего вышеизложенного, что J = I(X, Y ).

Ясно, что построенные соответствия сохраняют включения и произ вольные пересечения. Таким образом, имеет место изоморфизм решеток.

Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 5.2.6.

Теорема 5.3.2. Многообразия супералгебр над операдами SAlg(R) определяются полилинейными тождествами. Любое многообразие K -линейных мультиоператорных супералгебр, определяемое полили нейными тождествами, рационально эквивалентно многообразию вида SAlg(R) для некоторой K -линейной операды R.

Доказательство. Первое утверждение уже было фактически доказано в теореме 5.2.6. Пусть дано многообразие K -линейных алгебр M, определяемое полилинейными тождествами. Согласно след ствию 5.2.2, его можно считать подмногообразием SAlg(). В свою очередь, SAlg() можно заменить на рационально эквивалентное ему многообразие SAlg(F O ). Многообразие M определяется вполне инвари антным идеалом свободной супералгебры F r (X, Y ) (где X и Y счет ны), порожденном полилинейными элементами. После замены F r (X, Y ) на F rF O (X, Y ) можно применить теорему 5.3.1, из которой следует, что рассматриваемый идеал имеет вид I(X, Y ), где I — некоторый идеал операды F O. Рассмотрим операду R = F O /I. Из теоремы 5.2.6 те перь следует, что SAlg(R) определяется теми же тождествами, что и M, т.е. как подмногообразия SAlg() многообразия M и SAlg(R) совпадают, что и требовалось доказать.


Таким образом, класс многообразий мультиоператорных суперал гебр, определяемых полилинейными тождествами, с точностью до рацио нальной эквивалентности совпадает с классом многообразий супералгебр над линейными операдами.

§ 5.4. Функтор оболочки Пусть K, как и прежде, есть коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Определим операду с тем же именем K следующим образом.

Положим K(n) = K для всех n 1, компонента K(0) может отсутство вать, а в случае ее наличия предполагается, что K(0) — одноэлементное множество. По определению, n действует на K(n) тривиальным обра зом: a = a для всех a K(n), n. Определим композицию K(m)K(n1 )...K(nm ) K(n1 +· · ·+nm ), (a, a1,..., am ) aa1... am.

Здесь aa1... am означает произведение элементов a, a1,..., am K в том экземпляре кольца K, который равен компоненте операды K(n1 + · · · + nm ). Если какой-то ni = 0, то соответствующий элемент ai в этом про изведении надо положить равным единице кольца. Легко проверяется, что K с определенной таким образом композицией становится опера дой. В частности, ассоциативность операдной композиции обеспечива ется не только ассоциативностью кольца K, но и его коммутативностью (и поэтому соответствующая конструкция для некоммутативных колец не является операдой). Можно показать, что алгебры над операдой K — это коммутативные ассоциативные K -алгебры (без единицы, если K(0) отсутствует, и с единицей, если K(0) входит в операду). Бинарная опе рация умножения соответствует единице того экземпляра K, который рассматривается в качестве компоненты K(2).

Лемма 5.4.1. Категория SAlg(K) рационально эквивалентна много образию всех аcсоциативных суперкоммутативных супералгебр с еди ницей над K. Если исключить из определения K компоненту K(0), то категория SAlg(K) рационально эквивалентна многообразию ассоциа тивных суперкоммутативных супералгебр без единицы.

Доказательство. Рассмотрим супералгебру A SAlg(K), и эле мент K(2), равный единице того экземпляра K, который совпадает с K(2). Отображение композиции K(2) A 2 A индуцирует билиней ное однородное отображение A 2 A, переводящее элементы a1 a2 в a1 a2. Обозначим элемент a1 a2 через a1 ·a2 = a1 a2, и проверим для этой операции свойства ассоциативной коммутативной супералгебры. Ассоци ативность следует из равенства =, и левая, и правая части ко торого фактически являются произведениями трех единиц в кольце K.

Проверим суперкоммутативность. Для этого рассмотрим транспозицию = (1, 2) 2. Тогда = по определению операды K, а по опреде лению K -супералгебры a1 · a2 = a1 a2 = ()a1 a2 = sgn(, a1 a2 )a2 a1 = (1)a1 a2 a2 · a1.

Таким образом, существует функтор из категории SAlg(K) в катего рию коммутативных ассоциативных супералгебр, сопоставляющий K супералгебре A построенную только что коммутативную ассоциативную супералгебру, совпадающую с A как модуль над K.

Обратно, пусть B — коммутативная ассоциативная супералгебра.

Определим для каждого n 0 отображение K(n) B n B, та кое, что для однородных b1,..., bn B и K(n) = K элементу b1... bn сопоставляется b1... bn, т.е. произведение в B. Про верка свойств K -супералгебры, не связанных со знаком, не представля ет трудностей. Пусть n. Очевидно, что тождество ()b1... bn = sgn(, b1... bn )b1 (1)... b1 (n), где b1,..., bn однородны и K(n), до статочно проверить для = (i, i + 1). Но в этом случае оно следует из определений коммутативной супералгебры и функции sgn (теорема 5.1.1). Таким образом определяется функтор, обратный к построенно му выше. Из построения легко следует, что эти функторы реализуют требуемую эквивалентность [47].

Теорема 5.4.1. Пусть O и R — произвольные K -линейные операды.

Существует функтор SAlg(O) SAlg(R) Alg(O R), действующий следующим образом: паре алгебр (G, A) сопоставляется алгебра GA = (G0 A0 ) (G1 A1 ). Соответственно определяется действие на гомоморфизмах.

Доказательство. Определим на K -модуле GA = (G0 A0 ) (G1 A1 ) структуру O R-алгебры следующим образом. Пусть g Gi1,..., gn Gin, a1 Ai1,..., an Ain, O(n), R(n). Тогда ( )(g1 a1 )... (gn an ) = (g1... gn ) (a1... an ).

После выполнения всех необходимых формальных (несложных) проверок можно убедиться, что таким образом действительно определяется струк тура алгебры над операдой O R. В частности, если n, то, так как g1 = a1,..., gn = an, то sgn(, g1... gn ) = sgn(, a1... an ), и (( ))((g1 a1 )... (gn an )) = (()g1... gn ) (()a1... an ) = (sgn(, g)(g1 (1)... g1 (n) )) (sgn(, a)(a1 (1)... a1 (n) )) = (g1 (1)... g1 (n) ) (a1 (1)... a1 (n) ) = ( )(g1 (1) a1 (1) )... (g1 (n) a1 (n) ), как и должно быть в алгебре над операдой. Проверка свойств функтора по аргументам G и A также не вызывает затруднений.

В частности, если O = K (операда, описанная выше перед леммой 5.4.1), то, поскольку K R R, для любой коммутативной ассоциатив = ной супералгебры G существует функтор, который будет называться в дальнейшем функтором G-оболочки для R-супералгебры A:

G : SAlg(R) Alg(R), G(A) = GA = (G0 A0 ) (G1 A1 ).

Теорема 5.4.2. Пусть операда R представлена как фактороперада свободной операды F O = F O. Этому представлению соответству ют функторы вложения Alg(R) в Alg(F O) и SAlg(R) в SAlg(F O). Для любой коммутативной ассоциативной супералгебры G имеет место коммутативная диаграмма G SAlg(F O) Alg(F O) G SAlg(R) Alg(R) Здесь вертикальные стрелки — уже упоминавшиеся функторы вло жения. При этом, для того, чтобы полный прообраз класса объек тов Alg(R) относительно верхнего функтора G совпадал с классом объектов подкатегории SAlg(R), достаточно, чтобы супералгебра G удовлетворяла следующим свойствам:

1) G = G0 G1 является плоским K -модулем;

2) для всех m 1 и любого набора n1,..., nm, где ni {0, 1}, найдутся g1 Gn1,..., gm Gnm такие, что g1... gm = 0.

Доказательство. Допустим, что R = F O/I, I = {I(n)|n 0} — идеал в свободной операде F O. Пусть A SAlg(F O). Структура F O -алгебры на GA определяется следующим образом:

w(g1 a1 )... (gm am ) = (g1... gm ) (wa1... am ) (5.4.1) Здесь w F O(m), gi Gni, ai Ani, gi = ai, 1 i m. При этом GA Alg(R) тогда и только тогда, если обе части (5.4.1) обращаются в нуль при w I(n). Выбирая g1,..., gm такими, что g1... gm = 0, из свойства плоскости G получим отсюда, что wa1... am = 0 при любых однородных a1,..., am, как только w I(m). Но этим свойством характеризуются супералгебры из SAlg(R) SAlg(F O).

Свойствам 1) и 2) удовлетворяют счетнопорожденные алгебры Грассмана и Клиффорда. Под алгеброй Клиффорда понимается тот же объект, что и, например, в [27]: базисом над K, помимо единицы, явля ется счетное множество элементов e1, e2,..., таких, что ei ej = ej ei при i = j, и e2 = 1.

i Следствие 5.4.1. Определение многообразий супералгебр из [6] с по мощью грассмановой оболочки эквивалентно (для рассматриваемых в [6] случаев) определению, данному выше в § 5.2. В частности, любое многообразие супералгебр, определяемое полилинейными тождествами, имеет вид SAlg(R).

§ 5.5. Модули над супералгебрами над операдами Результат, аналогичный теореме 5.4.2, имеет место и для представ лений. В работах [119], [136], [154] определяется понятие модуля над ал геброй над операдой. Определим аналогичное понятие для супералгебр.

Определение 5.5.1. Пусть R — линейная операда над кольцом K, и A SAlg(R). Модулем над супералгеброй A будем называть называть Z2 -градуированный K -модуль M вместе с семейством однородных K линейных отображений композиции, заданных для всех n = 1, 2,... :

R(n) A(n1) M M, a1... an1 x a1... an1 x Здесь R(n) также рассматривается как Z2 -градуированный K -модуль, причем его нулевая компонента совпадает с R(n), а первая компонента тривиальна. Операции композиции, помимо линейности по всем аргумен там, должны обладать следующими свойствами:

1) В случае n = 1 отображение R(1) Mi Mi (i = 0, 1) задает на Mi структуру унитарного левого R(1)-модуля. В частности, x = x для всех x Mi.

2) Пусть x — однородный элемент из M, последовательности (стро ки) ai Ani при 2 i m 1, am Anm 1, состоят из однородных элементов, i Rni при 1 i m, R(m). Тогда (1... m )a1... am x = (1 a1 )... (m1 am1 )(m am x) 3) Если n, (n) = n, то для однородных x M, a1,..., an1 A имеет место равенство:

()a1... an1 x = sgn(, a)a1 (1)... a1 (n1) x.

Здесь a = a1 a2... an, причем an A — любой элемент, такой, что an = x.

Гомоморфизм модулей над супералгеброй A SAlg(R) — это K линейное однородное отображение h : M M, такое, что h(ax) = ah(x). Обозначим через SModR (A) категорию модулей над A и их го моморфизмов.

Теорема 5.5.1. Пусть O и R — произвольные K -линейные операды.

Для каждой пары супералгебр G SAlg(O), A SAlg(R) cуществует функтор SModO (G) SModR (A) ModOR (GA), действующий следующим образом: паре модулей (L, M ) сопоставляет ся модуль LM = (L0 M0 ) (L1 M1 ) над алгеброй GA = (G0 A0 ) (G1 A1 ). Cоответственным образом определяется действие на гомо морфизмах.

Доказательство. Определим однородные отображения Z2 градуированных модулей (полагая (O R)(n)0 = O R, (O R)(n)1 = {0}) (O R)(n) (GA) (n1) (LM ) LM, такое, что для O(n), R(n), и однородных g1,..., gn1 G, a1,..., an1 A, x L, y L, таких, что gi = ai для всех i и x = y, элемент ( ) (g1 a1 ) · · · (gn1 an1 ) (x y) отображается в ( )(g1 a1 )... (gn1 an1 )(x y) = (g1... gn1 x) (a1... an1 y).

Непосредственные проверки показывают, что построенное таким образом семейство отображений задает на LM структуру GA-модуля над O R.

Очевидно также, что соответствие (L, A) LA функториально.

В частности, если O = K (операда, описанная выше перед леммой 5.4.1), то для любой коммутативной ассоциативной супералгебры G и для любого модуля L над этой супералгеброй существует функтор LG оболочки LG : SModR (A) ModR (GA), LG (M ) = (L0 M0 ) (L1 M1 ).

Чтобы компактно сформулировать аналог теоремы 5.4.2 для мо дулей (представлений), нам будет необходимы следующие конструкции.

Рассмотрим категорию Mod(R), объекты которой — пары (A, M ), где A есть R-алгебра, а M — A-модуль. Морфизм этой категории из (A, M ) в (A, M ) состоит из пары (h, f ), где h : A A есть гомоморфизм R-алгебр, а f : M M есть гомоморфизм R-модулей, такой, что для любого натурального n, и всевозможных x M,a1,..., an1 A, R(n) имеет место равенство f (a1... an1 x) = h(a1 )... h(an1 )f (x).

Функтор S = SR : Mod(R) Alg(R), отображающий объект (A, M ) в A, а морфизм (h, f ) в h, будем называть естественной проекцией катего рии модулей на категорию алгебр. Отметим, что S : Mod(R) Alg(R) есть расслоенная категория (см. citeGr). Ясно, что ModR (A) изоморф на подкатегории Mod(R), состоящей из всех объектов вида (A, M ) при данном фиксированном A и всех морфизмов вида (1A, h).

Аналогичным образом определим категорию SMod(R), объекты ко торой — пары (A, M ), где A есть R-супералгебра, а M — модуль над супералгеброй A. Морфизм этой категории из (A, M ) в (A, M ) состо ит из пары (h, f ), где h : A A есть гомоморфизм R-супералгебр, а f : M M есть однородный гомоморфизм Z2 -грудуированных K модулей, такой, что для любого натурального n, произвольного однород ного x M, и всевозможных однородных a1,..., an1 A1, R(n) имеет место равенство f (a1... an1 x) = h(a1 )... h(an1 )f (x). Функ тор SMod(R) SAlg(R), отображающий объект (A, M ) в A, а морфизм (h, f ) в h, также будем называть естественной проекцией. Категория SModR (A) изоморфна подкатегории SMod(R), состоящей из всех объек тов вида (A, M ) при данном фиксированном A и всех морфизмов вида (1A, h).

Пусть K — операда (определенная в начале § 5.4), соответству ющая коммутативному ассоциативному кольцу c тем же именем K, и пусть G SAlg(K) — коммутативная супералгебра. Определен функтор G-оболочки:

SMod(R) Mod(R), сопоставляющий паре (A, M ) пару G(A, M ) = (GA, GM ). Будем обозна чать этот функтор также символом G.

Теорема 5.5.2. Рассмотрим коммутативную диаграмму G SMod(F O) Mod(F O) G SMod(R) Mod(R) Здесь вертикальные стрелки — это функторы вложения, соответ ствующие представлению R в виде фактороперады свободной операды F O, а горизонтальные стрелки — функторы оболочки, соответству ющие некоторой супералгебре G SAlg(K).

Для того, чтобы полный прообраз класса объектов категории Mod(R) относительно самой верхней горизонтальной стрелки (функ тора G) совпадал с классом объектов подкатегории SMod(R), необхо димо и достаточно, чтобы супералгебра G удовлетворяла следующим свойствам:

1) G = G0 G1 является плоским K -модулем;

2) для всех m 1 и любого набора n1,..., nm, где ni {0, 1}, найдутся g1 Gn1,..., gm Gnm такие, что g1... gm = 0.

В частности, этим свойствам удовлетворяют счетнопорожден ные алгебры Грассмана и Клиффорда.

Доказательство. Достаточно заметить, что в парах (A, M ) и (GA, GM ) компоненты M и GM играют пассивную роль. Принад лежность объекта G(A, M ) классу Ob(Mod(R)) полностью определяется включением GA Ob(Alg(R)), и аналогично (A, M ) Ob(SMod(R)) тогда и только тогда, если A SAlg(R). Поэтому доказываемое утверж дение следует из теоремы 5.4.2.

Известно, что для каждой алгебры A над симметрической операдой R можно определить универсальную обертывающую алгебру UR (A) (см., например, [119]). Известно [119, пример 1.6.7 (a)], что если R = Lie, т.е. операда, соответствующая многообразию алгебр Ли, и A Alg(Lie), т.е. является алгеброй Ли, то ULie (A) есть универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли A в обычном смысле. Это оправдывает название в общем случае.

Рассмотрим произвольную линейную симметрическую операду R, и построим универсальную обертывающую супералгебру для супералгеб ры A SAlg(R). Предварительно заметим, что если L — произвольный Z2 - градуированный K -модуль, группа n действует на L n так, как описано в теореме 5.1.1, подстановка n такова, что (n) = n, и x1,..., xn — однородные элементы L, то число sgn(, x1... xn1 xn ) не зависит от выбора xn. Это легко следует из явного вида sgn для транс позиций в формулировке теоремы 5.1.1. Ввиду этого для с указанным свойством можно определить sgn(, x1... xn1 ) = sgn(, x1... xn1 xn ), где однородный xn можно выбирать произвольным образом.

Определение 5.5.2. Пусть R — операда, A SAlg(R). Универ сальная обертывающая супералгебра UR (A) супералгебры A есть Z2 градуированная ассоциативная алгебра, которая порождается как K модуль элементами X(;

a1,..., an1 ), где ai A — однородные эле менты, R(n), n = 1, 2,.... При этом степень X(;

a1,..., an1 ) по определению равна a1 + · · · + an1 (mod 2). Требуется выполнение следу ющих соотношений:

1) Выражение X(;

a1,..., an1 ) является K -линейным по каждому из n аргументов;

2) если n, причем (n) = n, то X(;

a1,..., an1 ) = sgn(, a1... an1 )X(;

a1 (1),..., a1 (n) );

3) пусть R(m), i R(ni ), ai = (ai,1,..., ai,ni ), ai,j A, тогда X(;

1 a1,..., m1 am1 ) = X(1... m1 ;

a1... am1 );

4) пусть R(n), R(m), ai, bj A, тогда n X(;

a1,..., an1 )X(;

b1,..., bm1 ) = X((... );

a1,..., an1, b1,..., bm1 ).

Из определения видно, что в обертывающих супералгебрах имеется единица X(;

).

Очевидно, что UR (A) можно также охарактеризовать следующим универсальным свойством. Для каждого n 1 и любого набора нулей и единиц i1,..., in1 определены полилинейные отображения вида:

R(n) Ai1 · · · Ain1 UR (A)i1 +···+in1 (mod 2), (, a1,..., an1 ) X(;

a1,..., an1 ).

Элементы X(;

a1,..., an1 ) должны удовлетворять соотношениям 1) – 4) из определения 5.5.2. И наконец, если имеется Z2 -градуированная ас социативная K -алгебра с единицей V, и семейство полилинейных ото бражений:

R(n) Ai1 · · · Ain1 Vi1 +···+in1 (mod 2), (5.5.1) (, a1,..., an1 ) Y (;

a1,..., an1 ), удовлетворяющих свойствам, аналогичным 1) – 4) из определения 5.5.2 (с заменой X на Y ), то должен существовать, притом однозначно опреде ленный, однородный гомоморфизм ассоциативных K -алгебр с единицей h : UR (A) V такой, что h(X(;

a1,..., an1 )) = Y (;

a1,..., an1 ) для любых n, и a1,..., an1.

Теорема 5.5.3. Пусть R = Lie. Тогда для любой супералгебры Ли A SAlg(R) алгебра ULie (A) есть универсальная обертывающая алгеб ра супералгебры Ли A в традиционном смысле.

Доказательство. “В традиционном смысле” здесь означает, что если A — супералгебра Ли с операцией [x1, x2 ], то существует такая Z2 градуированная ассоциативная K -алгебра с единицей U и однородный гомоморфизм градуированных K -модулей : A U такой, что для любых однородных x1, x2 A имеет место равенство:

([x1, x2 ]) = (x1 )(x2 ) (1)x1 x2 (x2 )(x1 ).

При этом, если дана другая Z2 -градуированная ассоциативная K алгебра с единицей U и однородный гомоморфизм градуированных K модулей : A U с аналогичным сформулированному выше свойст вом, то существует единственный однородный гомоморфизм ассоциатив ных K -алгебр с единицей h : U U такой, что h =. Утверждается, что UR (A) изоморфна именно такой алгебре U.

Обозначим через Lie(2) операцию умножения в супералгебре Ли A, так что [x1, x2 ] = x1 x2. Определим отображение : A UR (A), полагая (a) = X(;

a) для однородных a A. Из определения X(;

a) следует, что построенное таким образом отображение есть однородный гомоморфизм Z2 -градуированных K -модулей. Рассмотрим тождества, определяющее операду Lie. Это тождество = (1, 2), соответству ющее антикоммутативности (здесь (1, 2) 2 — транспозиция), и тож дество:

= + ()(1, 2) (5.5.2) Здесь = (1, 2) 3, так что (3) = 3. Операдное тождество (6) соответствует тождеству Якоби, записанному в виде: [x1, [x2, x3 ]] = [[x1, x2 ], x3 ] + [x2, [x1, x3 ]].

Используя (5.5.2), вычислим выражение X(;

a1, a2 ) для од нородных a1 и a2. С одной стороны, X(;

a1, a2 ) = X(;

a1 a2 ) (свойство 3) определения 5.5.2), что равно ([a1, a2 ]). С другой сторо ны, согласно равенству (5.5.2), это выражение равно X(;

a1, a2 ) X(()(1, 2);

a1, a2 ). Согласно свойству 4) из определения 5.5.2, получим X(;

a1, a2 ) = X(;

a1 )X(;

a2 ). Во втором слагаемом сначала исполь зуем свойство 2), а потом снова свойство 4):

X(()(1, 2);

a1, a2 ) = (1)a1 a2 X(;

a2, a1 ) = (1)a1 a2 X(;

a2 )X(;

a1 ).

. Все это дает равенство:

([a1, a2 ]) = (a1 )(a2 ) (1)a1 a2 (a2 )(a1 ) (5.5.3) Теперь, согласно определению универсальной обертывающей суперал гебры Ли, существует однозначно определенный гомоморфизм h : U UR (A), такой, что h =.

Операда Lie есть фактороперада свободной симметрической опе рады с базисом из единственного элемента по идеалу, порожденному элементами, соответствующими приведенным выше соотношениям ан тикоммутативности и (5.5.2), т.е. (1 + (1, 2)) и (1 (1, 2)).

Отсюда, ввиду определения 5.5.2, следует, что все X(;

a1,..., an1 ) мож но выразить как линейные комбинации произведений элементов вида X(;

a). Зафиксируем для каждого набора (;

a1,..., an1 ) одно из та ких выражений (единственность не требуется), и заменим все X(;

a) на (a). Индуктивными рассуждениями теперь непосредственно пока зывается, что свойства X(;

a1,..., an1 ) из определения 5.5.2 являют ся следствиями соотношений (5.5.3). Это значит, что если в выбранных выражениях, представляющих X(;

a1,..., an1 ) в виде линейных комби наций произведений элементов (a), заменить все на, и обозначить результат через Y (;



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.