авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ...»

-- [ Страница 7 ] --

k1...km Здесь 1,..., m F (A), R(m). Каждый i (ki ) A, 1 i m, (k1... km, j) R(m), и ввиду того, что A есть R-алгебра, то вся сум ма принадлежит A. Ассоциативность композиции проверяется прямым вычислением. Легко проверяются также свойство единицы, и свойство, связанное с действием подстановок (по определению, (1... m )() = 1... m ). Итак, F (A) действительно M-алгебра. Если дан гомомор физм R-алгебр f : A1 A2, тогда F (f ) : F (A1 ) F (A2 ) есть гомомор физм M-алгебр, определяемый следующим образом: если : [n] A1, то F (f ) действует по правилу: F (f )()(i) = f ((i)). Без труда проверя ется соотношение F (f )(1... m ) = F (f )(1 )... F (f )(m ). Таким об разом, F (f ) есть гомоморфизм M-алгебр. Свойство F (gf ) = F (g)F (f ), f g где A1 A2 A3, сразу следует из определения. Таким образом, F — функтор.

Определим теперь (по аналогии с кольцевым случаем) операду ei,i Mei,i следующим образом:

(ei,i Mei,i )(m) = ei,i... ei,i M(m)ei,i = {ei,i... ei,i ei,i | M(m)}.

Ее можно считать подоперадой операды M, хотя в ei,i Mei,i единицей яв ляется элемент ei,i. Очевидно, что (ei,i Mei,i )(m) совпадает с множеством Di,m = {µ : [n]m [n] R(m)|µ(i1,..., im, j) = 0 при (i1,..., im, j) = (i,..., i, i)}. Построим изоморфизмы операд: i : R ei,i Mei,i,, где (i )m : R(m) (ei,i Mei,i )(m) для каждого m, полагая (i )m (c) = i,c, где c R(m), i,c (i,..., i, i) = c, i,c (i1,..., im, j) = 0, если хотя бы один из i1... im, j не совпадает с i. Мы фиксируем здесь i, а m будет од нозначно определяться из контекста. Проверим, что i — гомоморфизм операд. Линейность и эквивариантность очевидны, так что надо устано вить равенство i,c1... i,cm i,c = i,c1...cm c, сравнивая значения функций на одних и тех же аргументах. Это делается непосредственной провер кой. Так как (ei,i Mei,i )m = Di,m, то легко заметить, что i - изоморфизм.

В частности, имеем ei,i Mei,i ej,j Mej,j ;

изоморфизм есть композиция = 1 j ei,i Mei,i R ej,j Mej,j.

i Пусть {bei,i |b Лег B Alg(M), Bei,i = B}.

ко проверяется, что имеет структуру Bei,i ei,i Mei,i -алгебры:

(b1 ei,i )... (bm ei,i )(ei,i... ei,i ei,i ) = ((b1 ei,i )... (bm ei,i )(ei,i... ei,i ))ei,i Bei,i. Bei,i можно теперь превратить в R-алгебру следующим об разом: (b1 ei,i )... (bm ei,i ) = (b1 ei,i )... (bm ei,i )(i )m (), где R(m), (i )m () (ei,i Mei,i )(m).

Построим изоморфизмы R-алгебр i,j : Bei,i Bej,j, по лагая i,j (b) = bei,j. Предварительно заметим, что Bei,i = {b b}. Линейность i,j очевидна, остается убедиться, что B|bei,i = i,j (b1... bm ) = i,j (b1 )... i,j (bm ). В самом деле, i,j (b1... bm ) = b1... bm ei,j... ei,j (j )m (), и достаточно показать, что (i )m ()ei,j = ei,j... ei,j (j )m ().

Вычисляя для каждого аргументе (i1,..., im, j0 ) левую и правую части необходимого нам равенства, убеждаемся, что и левая, и правая части равны для (i,..., i, j), а на остальных аргументах это нули.

Для каждого i,j существует обратный i,j = j,i. Таким образом, i,j :

n Bei,i Bej,j есть изоморфизм R-алгебр. Так как ei,i = 1, то B = i= n Bei,i.

i= Теперь можно построить функтор G : Alg(M) Alg(R). Пусть B Alg(M). Положим G(B) = Be1,1.

Как было показано выше, Be1,1 является R-алгеброй. Пусть дан гомо морфизм M-алгебр g : B1 B2, тогда определяем G(g) : G(B1 ) G(B2 ) просто как ограничение g на подмножество Be1,1 B, так как G(g)(be1,1 ) = g(be1,1 ) = g(b)e1,1. Нетрудная проверка показывает, что G(g) — гомоморфизм, а G — функтор.

Построим естественный изоморфизм : IdAlg(R) GF. Пусть A Alg(R), тогда GF (A) = F (A)e1,1 = {e1,1 | : [n] A}, e1,1 (i) = (j)e1,1 (j, i) = (1)e1,1 (1, i). Отсюда e1,1 (i) = 0, если i = 1, и j e1,1 (i) = (1). Положим (A)(a) = a, где a : [n] A есть такое ото бражение, что a (1) = a, a (j) = 0, j = 1. Очевидно, что отображение a a является биективным. Легко проверяется K -линейность (A), равенство (A)(a1... am ) = (A)(a1 )... (A)(am ), и то, что (A) есть гомоморфизм. Проверим, что — естественное преобразование, т.е. сов (A1 ) F (f )e1 1 f падают два отображения: A1 F (A1 )e1,1 F (A2 )e1 1, и A (A2 ) g A2 F (A2 )e1,1. По определению функтора G, для B1 B2 имеем G(g)(be1,1 ) = g(b)e1,1, таким образом GF (f )() = F (f )e1,1 = (f )e1,1, т.е.

все будет следовать из равенства (f a )e1,1 = f (a), проверяемого прямым вычислением. Итак, — естественный изоморфизм.

Построим естественный изоморфизм : F G IdAlg(M). Пусть B Alg(M), F G(B), т.е. : [n] G(B) = Be1,1. Положим n 1,i ((i)), где (i) G(B) = Be1,1, 1,i ((i)) (B)() = () = i= Bei,i. Покажем, что = (B) — гомоморфизм M-алгебр, то есть (1... m µ) = (1 )... (m )µ, где µ M(m). Имеет место следую щее тождество:

i (µ(k1,..., km, k)) = ei,k1... ei,km µei,i (6.2.1) Заметим также, что 1,k (c)el,i = 1,i (c) при l = k, а при l = k это нуль.

Здесь c Be1,1. Применяя формулу (6.2.1), получим:

n (1... m µ) = 1,k (c)((1... m µ)(k)) = i= n = 1,k1 (1 (k1 ))... 1,km (m (km ))ek1,k1... ekm,km µek,k i=1 k1,...,km (6.2.2) Так как для каждого µ M(m) имеет место тождество µ= ei1,i1... eim,im µek,k, i1,...,im k то выражение (1 )... (m )µ также можно привести к виду (6.2.2).

Итак, (B) есть гомоморфизм M-алгебр. Проверим естественность. Для каждого гомоморфизма M-алгебр g : B1 B2 должны быть (B1 ) g равны следующие комозиции отображений: B2 B1 F G(B1 ), и (B2 ) F G(g) B2 F G(B2 ) F G(B1 ). Здесь G(g)(b) = g(be1,1 ) = g(b)e1,1, F G(g) G(g) есть композиция [n] B1 e1 1 B2 e1,1. Все сводится к равенству:

n n n 1,i (g(i)). Для доказательства g( 1,i ((i))) = g(1,i ((i))) = i=1 i=1 i= достаточно установить, что для всех i будет g(1,i (b)) = 1 i (g(b)). Так как 1,i = xe1 i, а g есть гомоморфизм M-алгебр, то это проверяется непосредственно.

Осталось показать, что изоморфизм. Уже было отмечено, что n Bei,i. На самом деле легко показать, используя свойства B= i= матричных единиц, что эта сумма K -(полу)модулей является пря мой. Таким образом, F G(B) можно однозначно представить как строку ((1),..., (n)), (i) Bei,i. Теперь становится оче видным наличие взаимно-однозначного соответствия ((1),... (n)) (1,1 ((1)),..., 1,n ((n))), а так как i,j являются изоморфизмами, то получаем изоморфизм на каждой компоненте (i) 1,i ((i)), откуда следует, что есть изоморфизм M-алгебр.

Полагаем F (M, A) = (F1 (M ), F (A)), G(N, B) = (G1 (N ), G(B)), где F1 (M ) = Map([n], M ), G1 (N ) = N e1,1. Сначала проверим, что F1 (M ) есть модуль над F (A) над M. Пусть 1 F1 (M ), 1 : [n] M, F (A),..., k F (A), M(k), i : [n] A, 2 i k, : [n]k [n] R(k). Определим отображение F1 (M ) F (A) · · · F (A) M(k) F1 (M ), полагая (1 2... k )(j) = 1 (l1 )... k (lk )(l1,..., lk, j).

1l1,...,lk n Здесь 1 (l1 ) M, i (li ) A по определению F (A) при i 2, (l1... lk, j) R(k). Тогда 1 (l1 )... k (lk )(l1,..., lk, j) M, так как M есть модуль над алгеброй A. Cвойства модульной композиции без затруднений проверяются прямым вычислением значений функций для одних и тех же аргументов. Итак F1 (M ) — модуль над алгеброй F (A).

F = (F1, F ) — функтор из Mod(R) в Mod(M): для заданного гомомор физма R-алгебр f : A1 A2, и соответствующего ему гомоморфизма h из A1 -модуля M1 в A2 -модуль M2, формула F1 (h)()(i) = h((i)) опреде ляет гомоморфизм из из F (A1 )-модуля F1 (M1 ) в F (A2 )-модуль F1 (M2 ), соответствующий гомоморфизму алгебр F (f ) : F (A1 ) F (A2 ).

Перейдем к построению функтора G1 : ModM (B) ModR (G(B)).

Пусть N ModM (B), тогда положим G1 (N ) = N e1,1. Покажем снача ла, что G1 (N ) есть G(B) = Be1,1 -модуль над операдой e1,1 Me1,1 R.

= Определим отображение G1 (N ) G(B) · · · G(B) e1,1 Me1,1 G1 (N ), полагая его равным ограничению композиции для модуля N на подмно жество N e1,1 Be1,1 · · · Be1,1 e1,1 M(k)e1,1 N B · · · B M(k).

(Равенство тут имеет место лишь при n = 1.) Достаточно показать, что образ этого ограничения принадлежит N e1,1. Пусть x N, bi B, тогда (xe1,1 )(b2 e1,1 )... (bk e1,1 )(e1,1... e1,1 e1,1 ) = (xb2... bk )(e1,1... e1,1 )e1,1. Ра венство имеется ввиду ассоциативности композиции для модуля N над алгеброй B. Отсюда же следует ассоциативность композиции для модуля N e1,1. Нетрудно показать, что свойство, связанное с действием симмет рических групп, также выполнено. Итак, G1 (N ) есть модуль над алгеб рой G(B) над операдой e1,1 Me1,1. Чтобы превратить G1 (N ) в модуль над операдой M, как и выше, используется изоморфизм 1 : R e1,1 Me1,1.

Так как большая часть вычислений и проверок аналогична уже проде ланным, то мы будем опускать их, описывая только общую схему рас суждений.

Легко проверяется функториальность G = (G1, G). Остается по строить естественные изоморфизмы : IdMod(R) G F, : F G IdMod(M). Каждый из них фактически состоит из двух компонент, = (1, ), 1 : Id G1 F1, : Id GF, = (1, ), 1 : F1 G1 Id, : F G Id. Отображения 1 и 1 строятся следующим образом.

Пусть M есть модуль над A Alg(R), тогда G1 F1 (A) = F1 (A)e1,1 = { : [n] M |(j) = 0 при j = 1}. Определим 1 (M )(x) = x : [n] M, где x (1) = x, x (j) = 0 при j 1. Биективность 1 (M ) очевидна, а все остальные необходимые свойства проверяются точно так же, как и для. Пусть N есть модуль над B Alg(M), тогда F1 G1 (N ) = n { : [n] N e1,1 }. Ясно, что N = N ei,i, и каждый N ei,i есть Bei,i i= модуль над операдой ei,i Mei,i. Существует семейство изоморфизмов i,j :

N ei,i N ej,j, согласованных с изоморфизмами i,j, построенными выше, а именно, i,j (x) = xei,j. Теперь определяем 1 (N ) = 1 : F1 G1 (N ) N, n полагая 1 () = 1,i ((i)). Биективность и остальные требуемые про i= верки проходят по аналогии с проделанными выше.

§ 6.3. Операды инцидентности В этом параграфе показывается, что существуют операдные анало ги алгебр инцидентности, как обычных, так и редуцированных. Исполь зуются обозначения из предыдущего § 6.2. Это означает, в частности, что рассматриваются правые операды. Если не оговорено противное, все опе рады предполагаются -операдами. Мы будем пользоваться стандарт ной информацией об алгебрах инцидентности из [1], [22], [57].

Из § 6.2 нам будет необходима прежде всего конструкция матрич ной операды, притом только один простой частный случай). Пусть X — некоторое множество, K — коммутативное (полу)кольцо. Через K бу дем обозначать также соответствующую операду (K(n) = K для всех n, операдная композиция — умножение элементов K, действие групп под становок тривиально). Обозначим через M матричную операду M (X, K) из § 6.2.

Нас будет интересовать случай, когда X — локально конечное час тично упорядоченное (ч.у.) множество. Напомним, что это означает ко нечность всех отрезков [a, b] = {p X|a p b}. Чтобы вводимые ни же конструкции имели смысл, необходимо наложить на X еще какие-то ограничения, кроме локальной конечности. Для наших целей пока будет достаточно предполагать, что в множестве X есть наименьший элемент (нуль). Для всех n 1 пусть AX (n) есть подмножество M(n), состоя щее из всех отображений f : X n X K, обладающих тем свойством, что f (p1,..., pn, p0 ) = 0, если хотя бы для одного индекса i неверно, что pi p0. Непосредственная проверка показывает, что справедлива следующая теорема.

Теорема 6.3.1. Семейство AX = {AX (n)|n 1} является подопера дой операды M.

Операдная композиция в AX имеет следующий вид:

f1... fk f (p1... pk, p0 ) = f1 (p1, p1 )... fk (pk, pk )f (p1,..., pk, p0 ) pi pi p (6.3.1) Здесь неравенство вида pi pi означает, что для всех j, 1 j ni имеют место неравенства pj,i pi. Легко заметить, что композиция вида AX (1)AX (1) AX (1) превращается в операцию свертки (как она опре делена, например, в [1]), и, таким образом, первая компонента операды AX (1) — это алгебра инцидентности ч.у. множества X.

Рассмотрим множество Xn, состоящее из всех (p1,..., pn, p0 ) X n X, для которых pi p0 для всех i 1. Введем на Xn следующее от ношение эквивалентности. Положим (x1,..., xn, x0 ) (y1,..., yn, y0 ) тог да и только тогда, если существует изоморфизм (конечных) частично упорядоченных множеств n n [xi, x0 ] [yi, y0 ], i=1 i= такой, что (x0 ) = y0, (xi ) = yi для всех i, 1 i n. Положим SX (n) = {f AX (n)|(x1,..., xn, x0 ) (y1,..., yn, y0 ) влечет f (x1,..., xn, x0 ) = f (y1,..., yn, y0 )}.

Теорема 6.3.2. Семейство SX = {SX (n)|n 1} является подоперадой операды AP.

Доказательство. Покажем, что если, f1 SX (n1 ),..., fm SX (nm ), f SX (m), то f1... fm f SX (n1 + · · · + nm ). Представим эле менты из Xn1 +···+nm в виде (x1... xm, x0 ), (y 1... y m, y0 ), где xi, y i X ni для всех i. Пусть xi = x1,i... xni,i, y i = y1,i... yni,i и пусть свойство (x1... xm, x0 ) (y 1... y m, y0 ) реализуется изоморфизмом ч.

у. множеств m ni m ni [xj,i, x0 ] [yj,i, y0 ] i=1 j=1 i=1 j= с указанными в определении отношения свойствами. Из этих свойств легко следует, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех упорядоченных последовательностей (x1,..., xm ) таких, что, xi xi x0 и множеством последовательностей (y1,..., ym ) со свой ствами y i yi y0. Это соответствие строится так: (x1,..., xm ) ((x1 ),..., (xm )). С учетом этого, изоморфизм индуцирует изомор физм частично упорядоченных множеств m ni m ni m m [xj,i, xi ] [xi, x0 ] [yj,i, (xi )] [(xi ), y0 ] i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 i= ni где ограничения на все [xj,i, xi ] определяют эквивалентности j= m (xi, xi ) (y i, (xi )), а ограничение на [xi, x0 ] определяет эквивалент i= ность (x1,..., xm, x0 ) ((x1 ),..., (xm ), y0 ).

Теперь рассмотрим выражение f1... fm f (x1... xm, x0 ) = f (x1, x1 )... fm (xm, xm )f (x1,..., xm, x0 ).

x1 x1 x0,...,xm xm x Пусть yi = (xi ) для всех i 1. Вспоминая определение множеств SX (ni ), SX (m), видим, что fi (xi, xi ) = fi (y i, (xi )), f (x1,..., xm, x0 ) = f (y1,..., ym, y0 ).

Это влечет f1... fm f (x1... xm, x0 ) = f (y 1, y1 )... fm (y m, ym )f (y1,..., ym, y0 ).

y 1 y1 y0,...,y m ym y Правая же часть последнего равенства есть f1... fm f (y 1... y m, y0 ).

Остальные свойства подоперады проверяются без труда.

Первая компонента SX (1) построенной операды — это стандартная алгебра множества X ([1], c. 175).

Классы эквивалентных элементов по отношению будут назы ваться типами этого отношения, или просто типами [1, с. 233]. Пусть Tn = Xn /. Положим RX (n) равным множеству всех отображений из Tn в K. Определим на семействе RX = {RX (n)|n 1} структуру опера ды.

Пусть 1 Tn1,..., m Tnm, Tm, Tn1 +···+nm — ти пы, т.е. классы эквивалентных элементов, и пусть (x1... xm, x0 ), ( ) xi X ni для всех i. Положим... равным количеству тех 1 m наборов (x1,..., xm ), для которых (x1, x1 ) 1,..., (xm, xm ) m, ( ) (x1,..., xm, x0 ). Числа... естественно назвать коэффици 1 m ентами инцидентности, т.к. это многомерное обобщение соответствую щего понятия из [1], [22].

( ) Лемма 6.3.1. Целое неотрицательное число... не зависит 1 m от выбора (x1... xm, x0 ).

Доказательство. Для каждого рассмотрим функцию n : X n X K, такую, что (p1,..., pn, p0 ) = 1 тогда и только тогда, когда pi p0 для всех i 1, а для всех остальных аргументов значения этой функции равны нулю. Очевидно, что n SX (n). Из определения n по лучаем ( ) n1... nm m (x1... xm, x0 ) =....

1 m Утверждение леммы следует из того, что функция n1... nm m принима ет одно и то же значение на всех элементах из класса.

Определим отображения композиции RX (n1 ) · · · RX (nm ) RX (m) RX (n1 + · · · + nm ) по формуле ( ) f1... fm f () = 1... m f1 (1 )... f1 (m )f () (6.3.2) i Tni,Tm Теорема 6.3.3. Семейство RX с операцией композиции (6.3.2) явля ется линейной операдой, изоморфной подопераде SX операды AX.

Доказательство. Для каждого n 1 определим отображение RX (n) AX (n), переводящее f RX (n) в f AX (n), где f строится следующим образом. Пусть : Xn Tn — проекция на фактормно жество по множества Xn по отношению эквивалентности. Тогда для x Xn X n X полагаем f (x) = f ((x)), а для x Xn пусть f (x) = 0.

Из определений легко следует, что отображение f f есть взаимно однозначное соответствие между RX (n) и множеством тех функций из AX (n), которые принимают одни и те же значения на каждом классе эк вивалентных по отношению элементов, т.е. множеством SX (n). Оче видно, что это изоморфизм линейных пространств, и даже более того — изоморфизм левых Kn -модулей. Остается показать, что совокупность таких отображений RX (n) AX (n) является изоморфизмом операд. Это будет следовать из тождества f1... fm f = f 1... f m f, которое доказыва ется вычислением значений левой и правой частей на одном и том же аргументе x = (x1... xm, x0 ) X n1 +···+nm X, где xi X ni для всех i.

Как и выше, предполагается, что fi RX (ni ), f RX (m). Ясно, что если x Xn1 +···+nm, то оба значения равны нулю. Пусть x Xn1 +···+nm.

Рассмотрим равенство f 1... f m f (x1...... xm, x0 ) = (6.3.3) f 1 (x1, x1 )... f m (xm, xm )f (x1,..., xm, x0 ) xi xi x Пусть Tn1 +···+nm — тот тип отношения, которому принадлежит элемент x. Зафиксируем набор (x1,..., xm ) со свойством x1 x1 x0,..., xm xm x0, и пусть i есть тот тип (класс эквивалентных эле ментов), которому принадлежит (xi, xi ) для каждого i, 1 i m, а — тот тип, которому принадлежит (x1,..., xm, x0 ). Тогда f (x1, x1 ) = f1 (1 ),..., f (xm, xm ) = fm (m ), f (x1,..., xm, x0 ) = f (), и в равенстве (6.3.3) можно перейти к суммированию по всевозможным i Tni, Tm. При этом каждое слагаемое f1 (1 )... fm (m )f () долж ( ) но повториться ровно... раз. Таким образом, (6.3.3) преобра 1 m зуется к виду ( ) f 1... f m f (x1... xm, x0 ) = 1... m f1 (1 )... fm (m )f ().

1,...,m, Но правая часть этого равенства по определению есть f1... fm f (), что, в свою очередь, равно f1... fm f (x).

Отдельно рассмотрим случай, когда все Tn конечны. В этом случае в каждой компоненте операды RX (n) можно определить конечный базис, состоящий из характеристических функций типов. А именно, для каж дого Tn пусть e есть отображение из Tn в (полу)кольцо K такое, что e () = 1 и e ( ) = 0 при =. “Таблица умножения” базисных элементов операды RX определяется следующим образом.

Теорема 6.3.4. Пусть 1 Tn1,..., m Tnm, Tm. Тогда ( ) e1... em e = 1... m e (6.3.4) Tn1 +···+nm Доказательство. Достаточно вычислить значения функций в левой и правой части (6.3.4) от аргумента Tn1 +···+nm. Значение правой ( ) части вычисляется сразу, это... Левая часть вычисляется по.m формуле (6.3.3):

( ) e1... em e () = 1... m e1 (1 )... em (m )e ().

1,...,m, Единственное ненулевое слагаемое соответствует случаю 1 = ( ) 1,..., m = m, = и также равно...

.m В качестве примера вычислим операду RX в случае, когда X = C() — счетная цепь (обозначение из [1]). В [1, с. 235–236] фактически вычислена первая компонента этой операды RX (1), причем оказалось, что RX (1) K[[t]] как алгебры над K. Множества типов Tn для произ = вольного n 1 вычисляются примерно так же, как и в случае n = 1 ([1, с. 90]). А именно, если отождествить X с множеством неотрицательных натуральных чисел, то (x1,..., xn, x0 ) (y1,..., yn, y0 ) тогда и только тогда, если для всех i, 1 i n, имеют место равенства x0 xi = y0 yi.

Таким образом Tn = {(k1,..., kn )| k1,..., kn —- целые неотрицательные числа }, и как свободный K (полу)модуль RX (n) можно отождествить с K[[t1,..., tn ]]. При этом отображению f : Tn K будет соответствовать формальный степенной ряд f (k1,..., kn )tk1... tkn. Пусть n k1,...,kn i = (k1,i,..., kni,i ) Tni, = (l1,..., lm ) Tm, = (1,..., m ) Tn1 +···+nm, где 1 i m, i = (r1,i,..., rni,i ). Вычислим коэффициенты инци ( ) дентности.... Пусть, как и выше,(x1... xm, x0 ), то есть 1 m x0 xj,i = rj,i для всех j, i. Будем записывать эти соотношения в компактной форме как x0 xi = i, отождествляя в этой записи x с вектором (x0,..., x0 ). Включения (x1, x1 ) 1,..., (xm, xm ) m, (x1,..., xm, x0 ) означают, что xi xi = i, x0 xi = li. Строка с этими свойствами существует тогда и только тогда, если i = i + li = (k1,i + li,..., kni,i + li ) (6.3.5) для всех i. Если это так, то числа xi определяются однозначно. Итак, ( ) 1... m = 1, если выполнены условия (6.3.5), в противном случае коэффициент инцидентности равен нулю.

Можно дать более прозрачное (с точки зрения теории операд) описа ние получившегося таким образом объекта. Оно основано на наблюдении, что само семейство TX множеств типов TX (n) = Tn в данном случае тоже будет операдой. Это частный случай операды, строящейся на основе не которой полугруппы G с единицей, где n-я компонента равна Gn. Здесь удобно обозначать операцию в полугруппе как плюс, а вместо единицы писать нуль. В этой операде, обозначаемой, как обычно, также через G, ее n-я компонента G(n) есть Gn, а операции композиции определяется сле дующим образом. Если xi = (x1,i,..., xni,i ) Gni, y = (y1,..., ym ) Gm, и xi + yi = (x1,i + yi,..., xni,i + yi ), то x1... xm y = (x1 + y1,..., xm + ym ).

Нуль G = G(1) будет единицей операды. В случае X = C() можно превратить семейство TX = {TX (n) = Tn |n 1} в операду, считая, что это и есть операда G в случае, когда G есть полугруппа (по сложению) неотрицательных натуральных чисел.

Рассмотрим теперь одну общую операдную конструкцию. Пусть W — некоторая (нелинейная) операда, обладающая следующим свойством:

для каждого z W (n) и для любого представления n в виде n = n1 +· · ·+ nm существует лишь конечное число элементов x1 W (n1 ),..., xm W (nm ), y W (m) таких, что z = x1... xm y. Пусть теперь V — линейная операда. Положим V W (n) равным множеству всех отображений из W (n) в V (n), и определим композицию V W (n1 ) · · · V W (nm ) V W (m) V W (n1 + · · · + nm ), полагая f1... fm f (z) = f1 (x1 )... fm (xm )f (y) (6.3.6) xi W (ni ),yW (m),x1...xm y=z Здесь fi V W (ni ), f V W (m), z W (n1 + · · · + nm ). Единицей строя щейся таким образом линейной операды будет отображение, переводящее единицу операды W в единицу V, а все остальные элементы отображаю щее в нуль кольца V (1). Симметрическая группа n действует на V W (n) следующим образом: (f )(x) = (f ( 1 x)).

Теорема 6.3.5. Семейство V W = {V W (n)|n 1} с операцией компо зиции (6.3.6) является K -линейной -операдой.

Доказательство. Непосредственная проверка определения.

Теорема 6.3.6. Пусть K есть описанная выше операда, соответ ствующая коммутативному ассоциативному (полу)кольцу K. Имеет место изоморфизм операд RX K TX.

= Доказательство. Очевидно, что операда TX удовлетворяет условию, наложенному выше на операду W. Поэтому операда K TX существует. Наличие изоморфизма Kn -(полу)модулей между RX и K TX (n) также очевидно, фактически можно даже считать, что эти мо дули совпадают. Необходимо только показать, что совпадают структу ры операд. Пусть fi RX (ni ) = K TX (ni ), f RX (m) = K TX (m), TX (n1 + · · · + nm ) = Tn1 +···+nm. Тогда в операде RX имеет мес то равенство (6.3.2). Коэффициенты инцидентности для X = C() уже вычислены выше. Заметим, что условия (6.3.5) означают равенст во 1... m = в операде TP. Принимая это во внимание, видим, что (6.3.2) переписывается в виде f1... fm f () = f1 (1 )... fm (m )f ().

i,,1...m = Но это в точности совпадает с определением композиции в операде K TX.

§ 6.4. Операда симплексов и конвексоры Начиная с этого параграфа снова рассматриваются левые операды.

Еще раз напомним конструкцию, которая будет основой дальнейших по строений. Пусть G — полугруппа с единицей 1. Рассмотрим семейство множеств {G(n)|n 1}, где G(n) = Gn. Элементы G(n) — это последо вательности (строки) x = (x1,..., xn ) элементов xi G. Умножение эле мента g G на строку x определяется по правилу gx = (gx1,..., gxn ).

Определим операции композиции для всех n1,..., nm как отображения вида G(m)G(n1 )...G(nm ) G(n1 +· · ·+nm ), (x, y 1,..., y m ) x y 1... y m где x = (x1,..., xm ) G(m), y i = (yi,1,..., yi,ni ) G(ni ) для всех i m, и x y 1... y m = (x1 y 1,..., xm y m ). Предполагается, что в последнем выражении последовательности xi y i записываются без скобок.

Определим также для всех n действие группы подстановок n-й сте пени n на множестве G(n), полагая (x1,..., xn ) = (x(1),..., x(n) ) при n, (x1,..., xn ) G(n).

Семейство {G(n)|n 0} (или {G(n)|n 1}). c определенными только что операциями композиции и действия групп подстановок об разует -операду. Эта операда для краткости будем обозначать так же, как и исходную полугруппу, через G.

На протяжении параграфов 6.4, 6.5 и 6.6 будет рассматриваться случай когда G = R — поле действительных чисел, рассматриваемое как полугруппа по умножению. Нас будут интересовать некоторые подо перады операды R.

Рассмотрим семейство = {(n) | n 1 } (можно предполагать, что (0) = ), (n) = {(1,..., n ) | i [0, 1], 1 +... + n = 1 }. Пусть (n) = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) есть стандартный базисный вектор длины n ei n (n) с единицей на i-м месте. Тогда (n) есть i ei, где i 0 и i= n i = 1. Если дан морфизм f : [n] [m] категории F Set, то определяем i= n (m) i ef (i) (с последующим приведением подобных членов). Ясно, что f = i= f (m), и нетрудно проверить, что (f g) = (g)f. Это именно то, что нам требуется: [n] (n) есть функтор на F Setop.

Теорема 6.4.1. с определенной выше операцией композиции и дей ствием морфизмов F Set является F Set-операдой и подоперадой опе рады R. Если расматривать эту операду как -операду, то категория Alg( ) рационально эквивалентна следующему многообразию алгебр:

это множества A с семейством бинарных операций : A A A, [0, 1], для которых выполнены тождества:

1) ((x, y), z) = (x, (1 )/(1 )(y, z)), (где предполагается, что = 0), 2) (x, y) = (1 )(y, x).

Если же рассматривать алгебры над F Set-операдой, то Alg(F Set ) рационально эквивалентно многообразию алгебр, снабжен ных уже описанными семейством бинарных операций, в котором вы полняются тождества 1), 2), а также следующие два тождества:

3) (x, x) = x, 1(x, y) = x Таким образом, F Set-алгебры над — это в точности конвексоры в смысле [52], [53].

Доказательство. Проверка свойств операды не представляет сложностей. Построим функторы, осуществляющие рациональную эк вивалентность. Сначала покажем, как произвольная -алгебра A пре вращается в алгебру из описанных в формулировке торемы многооб разий. Если A есть -алгебра, то это значит, что для любого набора n = (1,..., n ), где 0 i 1 и i = 1, определена n-арная i= операция : An A. В случае n = 2 набор (, 1 ) определяется одним числом, так что бинарные операции на A помечены числа ми из единичного отрезка, и результат применения такой операции к (x1, x2 ) A2 обозначим через (x1, x2 ). Проверим первое из требуемых свойств, используя ассоциативность для операд и алгебр над операдами.

Пусть = 1. Тогда ((x, y), z) = (, 1 )((, 1 ), 1)(x, y, z) = ((, 1 ), 1 )(x, y, z) = (, (1 ), 1 )(x, y, z) = (, 1 )(1, ( (1), 1 ))(x, y, z) = (x, (1) (y, z)) 1 Если же 1, то 1, и тогда 1(1(x, y), z) = = = = ((1, 0)((1, 0), 1))(x, y, z) = (1, 0, 0)(x, y, z) = (1, 0)(1, (0, 1))(x, y, z) = 1(x, 0(y, z)).

Пусть = (1, 2) 2 — транспозиция. Тогда (, 1) = (1, ) и, по определению алгебры, (1 )(x, y) = ((, 1 ))(x, y) = (, )(y, x) = (y, x).

Чтобы получить два последних тождества, воспользуемся F Set структурой на. Возьмем единственное отображение f : [2] [1]. Ему соответствуют отображение (f ) : (2) (1), (, 1 ) 1. Так как A есть алгебра над F Set-операдой, должно быть выполнено тождество:

((f )(, 1))x = ((, 1)f )(x)), что дает равенство 1x = x = (x, x).

Если взять f : [1] [2], f (1) = 1, то соответствующее отображение (1) (2) переводит 1 в (1, 0), откуда ((1)f )(x, y) = 1x = x. Ана логично, если f (1) = 2, то получим 0(x, y) = (0, 1)(x, y) = 1y = y.

Сопоставление -алгебре конвексора на том же множестве, как легко убедиться, является функтором.

Превратим теперь произвольный конвексор A в -алгебру. Ото бражения (1) A A, (1, x) 1x = x, и (2) A2 A, ((, 1 ), x, y) (x, y) = (, 1 )(x, y) соответствуют операциям конвексора. В общем случае определяем (n) An A, ((1,..., n ), x1,..., xn ) (1,..., n )(x1,..., xn ) как операцию, введенную Л.А.Скорняковым в [157] (см. также [52, с. 59], n [53, с. 4]). Эта операция, обозначаемая (1,..., n )(x1,..., xn ) = i x i, i= определяется индукцией по n. При n = 1, 2 это уже сделано, при n полагаем (1, 0,..., 0)(x1, x2,..., xn ) = x1, и при 1 = 2 n (1, 2,..., n )(x1, x2,..., xn ) = 1 (x1, ( 11,..., 11 )(x2,..., xn )).

Из доказанных Л.А.Скорняковым тождеств (1,..., n )(x1,..., xn ) = ((1),..., (n) )(x(1),..., x(n) ) для любого n, ni m ni m i ( i j xi j ) = (i i j )xi j, i=1 j=1 i=1 j= немедленно следует, что на A определена структура алгебры над операдой. Чтобы доказать наличие F Set-структуры, можно заметить, что любое отображение f : [n] [m] представимо виде композиции f = g, где m, а g : [n] [m] — неубывающее отображение и, в свою очередь, любое неубывающее отображение есть композиция отображений вида p : [n] [n+1], p(1) = 1,..., p(i1) = i1, p(i) = i+1,..., p(n) = n + 1, и q : [n] [n 1], q(1) = 1,..., q(i) = i, q(i + 1) = i,..., q(n) = n 1 (см., например, [10]). Далее, интересующее нас равенство вида ((1,... n )(uv))(x1,..., xm ) = (1,... n )(xu(v(1)),..., xu(v(n)) ) есть следст вие двух равенств: ((1,... k )u)(x1,..., xm ) = (1,... k )(xu(1),..., xu(k) ), и ((1,... n )v)(y1,..., yk ) = (1,... n )(yv(1),..., yv(n) ). Таким образом, достаточно проверить выполнение равенств двух типов:

(1,..., i + i+1, i+2,..., n+1 )(x1,..., xn ) = (1,..., i, i+1, i+2,..., n+1 )(x1,..., xi, xi, xi+1,..., xn ), и (1,..., i1, 0, i, i+1,..., n1 )(x1,..., xn ) = (1,..., i1, i,..., n1 )(x1,..., xi1, xi+1,..., xn ).

Без потери общности можно предполагать, что i = n, и при исполь зовании знака суммы проверяемые равенства приобретают следующий вид:

n1 n i xi + (n + n+1 )xn = i xi + n xn + n+1 xn, i=1 i= n1 n i xi + 0xn = i xi.

i=1 i= Эти равенства являются частными случаями тождеств из [53, с. 4] (меж ду (3) и (4)).

Таким образом, определен функтор из многообразия конвексоров в категорию -алгебр. Опущенные нами формальные проверки очевидны.

Также очевидно, что построенные функторы взаимно обратны, и удовле творяют условиям из определения рациональной эквивалентности.

Операду будем называть операдой симплексов, ибо (n) факти чески есть стандартный симплекс n1.

Следующая лемма очевидна.

Лемма 6.4.1. Операда R и все ее подоперады коммутативны.

Это означает, что и операда коммутативна, и к алгебрам над этой операдой (т.е. к конвексорам) применимы все результаты, доказан ные в § 4.1 для коммутативных операд. В частности, определены линейные отображения конвексоров (это гомоморфизмы конвексоров как -алгебр), -полилинейные отображения конвексоров, тензорные произ ведения и т.п. Теория -линейных мультиоператорных алгебр и теория -линейных -операд есть частный случай общей теории, построенной в главе 4.

Рассмотрим теперь операду, определяемую следующим образом = {(n)|n 1}, причем n (n) = {(x1,..., xn )|x1,..., xn R, }, |xi | = 1}.

i= Лемма 6.4.2. Семейство является -подоперадой -операды R.

В частности, операда комутативна.

Доказательство. Непосредственная проверка определения.

Вычислим Alg(). Определим многообразие универсальных алгебр M следующими операциями и тождествами:

a) задано семейством бинарных операций : A A A, A M, определенных для всех чисел из отрезка [0, 1]. Обозначим дей ствие этих операций так: (x, y) (x, y). Должны выполняться следующие тождества:

(1 ) 1) ((x, y), z) = (x, (y, z)) 2) (x, y) = (1 )(y, x) Отметим, что такие же тождества имеют место в многообразии кон вексоров [52], [53], но в конвексорах еще выполняются тождества 1(x, y) = x и (x, x) = x, которые в M отсутствуют.

b) имеется одна унарная операция a (1)a. Если формально ввести вторую операцию a (1)a = a, то вместе они задают действие группы U2 = {+1, 1} на множестве A, U2 A A, (, a) ()a, причем в многообразии M должны выполняться следующие тождества:

3) (1 2 )a = (1 )((2 )a), (1)a = a;

4) (()x, ()y) = ()((x, y));

5) 1(x, y) = 1(x, (1)y).

Теорема 6.4.2. Многообразие Alg() рационально эквивалентно мно гообразию M.

Доказательство. Используем метод, аналогичный использо ванному в теореме 6.4.1. Поскольку, то любая -алгебра A будет и -алгеброй. Пусть [0, 1], тогда (, 1 ) (2) (2), и опе рация (x, y) = (, 1 )(x, y), где x, y A и справа записан результат композиции в алгебре над операдой, превращает A в алгебру над как над симметрической операдой. Алгебры над операдой описаны в теореме 6.4.1. Из этой характеризации сразу следует, что в A должны выполняться тождества 1) и 2) из определения многообразия M.

С другой стороны, (1) = {±1} = U2, и композиция (1) A A является действием группы U2 на множестве A, которое будет обозна чаться через (, x) ()x. Таким образом, ()x = x, где справа записан результат композиции в алгебре над операдой. Тождество 3), таким образом, вытекает из определения алгебры над операдой. Тождество 4) следует из соотношения ()(, 1 ) = (, (1 )) = (, 1 )(, ) в операде. Слева записан результат композиции (1) (2) (2), справа — (2) (1) (1) (2). Тождество 5) вытекает из соотно шения (1, 0)(1)(1) = (1, 0)(1)(1) = (1, 0) в. Таким образом, по алгебре A Alg() строится алгебра (A) M, и легко проверяется, что со ответствие A (A) есть функтор из Alg() в M. По построению, UM = UAlg().

Обратно, пусть A M. Первые два тождества M означают, что на A можно ввести структуру – алгебры, определив отображения (n) An A по формуле n (1,..., n )(x1,..., xn ) = i xi.

i= Определение “линейной комбинации” в правой части этого равенства можно найти в доказательстве теоремы 6.4.1. Как можно определить искомые отображения (n) An A, подсказывает следующее сообра жение. Пусть на A уже существует структура -алгебры, включающая определенную выше структуру -алгебры. Пусть a = sgn(a) для a = 0, 0 = 1. В операде имеет место тождество:

(1,..., n ) = (|1 |,..., |n |)(1 )... (n ) В правой части этого равенства стоит результат операдной композиции (n) (1)... (1) (n). Если (x1,..., xn ) An, то должно вы полняться равенство:

(1,..., n )(x1,..., xn ) = (|1 |,..., |n |)(1 )... (n )(x1,..., xn ) = n (|1 |,..., |n |)((1 )x1 )... ((n )xn ) = |i |((i )xi ).

i= Следовательно, возвращаясь к исходному условию A M, можно опре делить операции композиции (n) An A по формуле:

n |i |((i )xi ).

(1,..., n )(x1,..., xn ) = (6.4.1) i= Прежде чем доказывать, что эта формула задает структуру -алгебры на A, установим одно вспомогательное утверждение. Пусть a = a при a = 0, 0 = 1. Легко проверить, что = ||, так что в операде имеет место равенство (1,..., n ) = (|1 |,..., |n |)(1 )... (n ). Исходя из этого, докажем, что в A M имеет место тождество:

n n |i |((i )xi ).

|i |((i )xi ) = (6.4.2) i=1 i= Проведем индукцию по n. При n = 2 все сводится к тождеству 5) из определения M. В общем случае “линейная комбинация” определяется индуктивно [53]: если |1 | = 1, то n n |i | |i |yi = 1 (y1, yi ). (6.4.3) 1 |1 | i=1 i= Без потери общности можно предположить, что 1 = 0. Ясно, что (6.4.2) выполняется, если среди i нет нулей. Если же i = 0 для некоторого i 1, то (6.4.2) вытекает из предположения индукции и (6.4.3).

Теперь проверим тождество ассоциативности для композиции в алгебре:

( 1... m )(x1... xm ) = ( 1 x1 )... ( m xm ), где = (1,..., m ) (m), i = (i,1,..., i,ni ) (ni ), xi = (xi,1,..., xi,ni ) Ani, 1 i m. Левая часть преобразуется к виду:

m ni |i i,j |(i i,j )xi,j ), ( 1... m )(1... xm ) = x (6.4.4) i=1 j= ni Так как i xi = |i,j |(i,j )xi,j ), то правая часть записывается следую j= щим образом:

( (n )) m i |i | (i ) |i,j |(i,j )xij ) ( 1 x1 )... ( m xm ) =. (6.4.5) i=1 j= Докажем, что правая часть (6.4.4) равна правой части (6.4.5). Предва ритьельно установим некоторые вспомогательные тождества. Сначала напомним следующее тождество ([53], [52];

см. также доказательство те оремы 6.4.1 выше):

(n ) m ni m i |i | |ij |xij |i ij |xij = i=1 j=1 i=1 j= Далее докажем тождество:

(k ) k |i |zi = |i |(()zi ) () (6.4.6) i=1 i= Будем доказывать (6.4.6) индукцией по k. При k = 2 это тождество 3) из определения многообразия M. Допустим, что тождество (6.4.6) справед ливо для k 1, k 3. Проведем следующие преобразования. Во-первых, (k ( )) k i i xi = 1 x1 + (1 1 ) xi. Отсюда получаем следую 1 i=1 i= щее:

(k ) (k ( )) i = ()(1 x1 + (1 1 ) () i xi xi = 1 ( (k ( ) )) i=1 i= i 1 (()x1 ) + (1 1 ) () xi = 1 ( k ( i=2 ) ) i 1 (()x1 ) + (1 1 ) (()xi ).

1 i= Таким образом, тождество (6.4.6) доказано. Теперь легко преобразовать правую часть (6.4.4) в правую часть (6.4.5).

Остальные свойства из определения алгебры над операдой проверя ются без труда.

Алгебру над операдой, построеннную таким образом по алгебре A из M, обозначим через (A). Очевидно, что соответствие A (A) есть функтор из M в Alg(). Очевидно также, что это функтор явля ется обратным к, и выполнены условия из определения рациональной эквивалентности.

Тождества многообразия M, рационально эквивалентного Alg(), получают естественное объяснение из следующей конструкции. Рассмот рим полугруппу G = {+1, 1}, и обозначим той же буквой G опера ду, n-я компонента которой равна Gn. Эта операда уже была описа на выше. Тогда операда является ретрактом произведения операд G. Точнее, существуют гомоморфизмы операд : G, : G, такие, что = id. Явный вид этих гомоморфиз мов на n-х компонентах операд таков. Если x = (x1,..., xn ) (n), то (x) = ((|x1 |,..., |xn |), (x1,..., xn )). Если же a = (a1,..., an ) (n), = (1,..., n ) G(n), то ((a, )) = (1 a1,..., n an ). Непосредствен но проверяется, что это гомоморфизмы операд, и что = id. Мето дом, которым была доказана теорема 6.4.2, можно показать, что мно гообразие, задаваемое теми же операциями, что и M, и тождествами вида 1) – 4) из определения M, рационально эквивалентно многооб разию Alg( G). Тождество 5) соответствует тому факту, что если a = (a1,..., an ) (n) и = (1,..., n ) G(n), то ((a, )) = ((a, )) тогда и только тогда, если a = a и |i | = |i | для всех i.

§ 6.5. Операды многомерных сфер и подобные им Этот параграф является непосредственным продолжением преды дущего § 6.4. Сохраняются введенные в § 6.4 соглашения и обозначения.

Все рассматриваемые операды являются -операдами. Кроме того, все операды этого параграфа коммутативны (как подоперады коммутатив ной операды R).

Нашей главной целью будет следующая подоперада операды R. Это семейство множеств S = {S(n)|n 1}, где S(n) = {(x1,..., xn )|xi R, 1 i n, x2 + · · · + x2 = 1}. Мы (частично) используем стан 1 n дартное обозначение многомерных сфер (см., например, [51]) со сдвигом размерностей: S(n) = S n1.

Кроме операды S, нельзя не обратить внимание на достаточно об ширный класс других операд, определяемых более или менее подобными же способами. Перечислим некоторые из них.

Определим для каждого действительного ненулевого числа k следу ющие семейства множеств: Sk = {Sk (n)|n 1}, где Sk (n) есть множество n всех (x1,..., xn ) R, удовлетворяющих соотношению xk = 1, и ана n i i= n логично Dk = {Dk (n)|n 1}, где Dk (n) = {(x1,..., xn ) R | xk 1}, n i i= n Ok = {Ok (n)|n 1}, где Ok (n) = {(x1,..., xn ) Rn | xk 1}. При i i= этом, ввиду произвольности числа k = 0 везде необходимо предпола гать, что значение xk R определено для каждого xi.

i Таким образом, S = S2. Аналогично этому, положим D = D2 и O = O2. Обозначение D соответствует принятому в топологии обозначению для дисков (D(n) = Dn1 ).

Рассмоторим также семейства S k, Dk, Ok, определяемые следую щим образом:

n S k (n) = {(x1,..., xn ) R | |xi |k = 1}, Dk (n) = {(x1,..., xn ) n i= n n Rn | |xi |k 1}, Ok (n) = {(x1,..., xn ) Rn | |xi |k 1}.

i=1 i= Операда S 1 — это операда, исследованная в предыдущем пара графе.

Кроме того, пусть = {(n)|n 1}, где (n) = {(x1,..., xn ) n Rn | |xi | 1}, и пусть = {(n)|n 1}, где (n) = {(x1,..., xn ) i= n Rn | |xi | 1}.

i= В этих определениях также предполагается, что для всех xi су ществуют степени xk R. Ясно, что S2 = S, S 2m = S2m, D2m = D2m, i O2m = O2m.

Если K = {K(n)|n 1} — любое из определенных выше семейств множеств, то через K+ будет обозначаться семейство, состоящее из мно жеств K+ (n), где K+ (n) = {(x1,..., xn ) K(n)| xi 0}. В частности, = (S1 )+.

Теорема 6.5.1. Семейства Sk, Dk, Ok, Dk, Ok,,, и являются по доперадами операды R. Если K — любая из этих операд, то семейство K+ является подоперадой этой операды.

Доказательство. Рассуждения во всех случаях примерно од ни и те же, поэтому достаточно рассмотреть случай Sk. Покажем, что семейство Sk замкнуто относительно операции композиции (1). Пусть x = (x1,..., xm ) Sk (m), y i = (yi,1,..., yi,ni ) Sk (ni ), 1 i m, z = x y 1... y m = (x1 y1,1,..., x1 y1,n1,..., xm ym,1,..., xm ym,nm ).

( ) k k k k m ni ni m Рассмотрим s = yi,j. Так как для всех i xi yi,j = xi i=1 j=1 i=1 j= ni m по условию yi,j = 1, то s = xk = 1. Следовательно z Sk (n1 + k i j=1 i= · · · + nm ). Так же легко проверяются и остальные пункты из определения операды.

Для каждого действительного k = 0 рассмотрим семейство, воз (k) (k) можно, не всюду определенных отображений (k) = {n |n : Rn Rn, n 1}, где (k) (x1,..., xn ) = (sgn(x1 )|x1 |k, sgn(x2 )|x2 |k,..., sgn(xn )|xn |k ).

n Здесь функция sgn(x) принимает значение 1 при положительном x, 1 при отрицательном x, и sgn(0) = 0. Очевидно, что sgn(ab) = sgn(a)sgn(b) для любых a, b R, и x = sgn(x)|x| для каждого x R.

(1) Отсюда следует, что n — тождественные отображения для всех n.

Лемма 1) Равенство 6.5.1.

(k) n1 +···+nm (x y 1... xm ) = (k) (x)(k) (y 1 )... (k) (y m ) m n1 nm выполнено, если одновременно определены и левая и правая его час ти. Здесь x = (x1,..., xm ), y i = (yi,1,..., yi,ni ), 1 i m.

(k) (k) (k) Если значение m (x1,..., xm ) определено, то m (x) = m (x) для m.

(k) (r) (kr) 2) Равенство n (n (x1,..., xn )) = n (x1,..., xn ) выполняется, ес ли одновременно определены его левая и правая части.

Доказательство. Непосредственная проверка.

Лемма 6.5.2. Имеются изоморфизмы операд (m, d — целые положи тельные числа):

1) Smd Sm, Dmd Dm, Omd Om при нечетном d;

= = = 2) S2d S2, D2d D2, O2d O2 ;

= = = 3) S, D, O ;

= = = Доказательство. Доказательство пунктов 1) и 2) основано на том, что отображения из семейств (k), ограниченные на соответству ющие семейства подмножеств Rn, становятся по лемме 6.5.1 изомор физмами операд. В пункте 1) изоморфизмом является семейство (d) :

Smd Sm. В доказательстве нуждается только утверждение о том, что (d) отображает Smd в Sm. Рассмотрим n-е компоненты операд.

n Пусть (x1,..., xn ) Smd (n), т.е. xmd = 1. Так как xi = sgn(xi )|xi |, i i= то при нечетном d имеет место равенство xmd = (sgn(xd )|x|d )m = i (d) (sgn(x)|x|d )m. Это означает, что если (y1,..., yn ) = n (x1,..., xn ), т.е.

m n yi = sgn(xi )|xi |d, то yi = 1, и (y1,..., yn ) Sm (n). Обратным к гомо i= морфизму операд (точнее — к ограничению (d) на Smd ) является (d) (1/d). Несложная проверка показывает, что ограничения того же семей ства отображения на Smd и Smd дают другие изоморфизмы, существова ние которых утверждается в пункте 1). В пункте 2) изоморфизм из S2d в d Sd — это (2 ), Наконец, изоморфизм из S = S2 в — это ограничение на S семейства (2).

Теорема 6.5.2. Если m — целое положительное число, то операда Sm изоморфна либо S1, либо S2. Операды S1 и S2 не изоморфны.

Доказательство. Представим m в виде m = 2r d, где d нечет но. Если r 0, то Sm S2r S2 по лемме 6.5.2. Если же r = 0, то = = Sm = Sd S1. Наконец, S1 (1) состоит из одного элемента, а S2 (1) из = двух. Более того, для любой операды R на любой ее компоненте R(n) определено левое действие R(1) и правое действие R(1)n. Если сущест вует изоморфизм некоторых операд R K, то должны быть изоморфны = полугруппы с единицей R(1) и K(1), и для любого n биекция между R(n) и K(n) должна быть согласована с действиями соответствующих полугрупп слева и справа. Для случая R = S1 и K = S2 это условие не выполняется.

Напомним, что операда R наэывается квадратичной (см. [119]), если она порождается своими компонентами R(1) и R(2). Как показы вает следующая теорема, операды, изучаемые в данной работе, также являются квадратичными.

Теорема 6.5.3. Операды S = S2 и S1 являются квадратичными. Более того, операда S порождается множествами S(1) и S+ (2).

Доказательство. Рассмотрим подробно случай S = S2, и по кажем что при n 2 компонента S(n) порождается компонентами n S(1), S+ (2) и S(n 1). Пусть (x1,..., xn ) S(n), так что x2 = i i= 1. Допустим для определенности, что xn = 0. Попытаемся найти (u1, u2 ) S+ (2), (y1,..., yn1 ) S(n 1), и z = ±1 S(1) такие, что имеет место разложение в операдную композицию: (x1,..., xn ) = (u1, u2 )(y1,..., yn1 )(z). Поскольку правая часть этого предполагаемого равенства равна (u1 y1,..., u1 yn1, u2 z), то задача сводится к нахождению действительных чисел со следующими свойствами:

n xi = u1 yi, 1 i n 1, xn = u2 z, yi = 1, u1, u2 0.

u2 + u2 = 1, 1 i= Если xn 0, то положим z = 1, и тогда u2 = xn, а если xn 0, то пусть z = 1, и тогда u2 = xn. В обоих случаях u2 0. Далее, u2 = 1 u2 = x2 + · · · + x2. Если x1 = x2 =... = xn1 = 0, т.е.

1 2 1 n xn = ±1, то полагаем u1 = 0, y1 = 1, y2 =... = yn1 = 0. Если же не все числа x1,..., xn1 равны нулю, то u2 = x2 + · · · + x2 n1 0, 1 и можно взять u1 = 2 x2 +... + x2 n1 0. Положим в этом случае x1 xn. Тогда y1 + · · · + yn1 = 1, и необходимое раз 2 y1 =,..., yn1 = u1 u ложение построено. Утверждение теоремы получается теперь индукцией по номеру n компоненты S(n) операды S.

Случай операды S1 разбирается аналогично.

Для доказательства главного результата данного параграфа нам потребуется несколько простых общих фактов.

Выберем в произвольной операде R семейство образующих. Это дает представление R в виде фактороперады свободной операды F O по некоторой операдной конгруэнции I. Многообразие Alg(R) можно рас сматривать как подмногообразие Alg(F O ), а ввиду имеющейся рацио нальной эквивалентности между Alg(F O ) и Alg() и как подмногооб разие Alg().

Лемма 6.5.3. При сделанных выше предположениях свободная алгеб ра FrR (X) многоообразия Alg(R) с базисом X изоморфна факторалгеб ре свободной -алгебры F r (X) по конгруэнции I(X), состоящей из всех элементов вида (w1 x, w2 x) таких, что (w1, w2 ) I(n) F O (n) F O (n) для подходящего n.

Доказательство. Это легко следует из результатов § 3.6.

Следствие 6.5.1. В условии предыдущей леммы многообразие Alg(R) рационально эквивалентно подмногообразию Alg(), определяемому тождествами вида w1 x = w2 x, где пары (w1, w2 ) принадлежат неко торому семейству образующих операдной конгруэнции I.

Пусть : R O — гомоморфизм операд, Тогда определен функ тор : Alg(K) Alg(O), сопоставляющий O -алгебре A алгебру (A) над операдой R, которая строится следующим образом. Как множество, (A) совпадает с A. Если a1,..., an (A) = A, и r R(n), то эле мент ra1... an по определению равен (r)a1... an. Функтор аналогичен хорошо известному функтору в теории колец и модулей.

Следующие две леммы практически очевидны.

6.5.4. Пусть : R O — изоморфизм операд, и = 1.

Лемма Пусть : Alg(R) Alg(O) — функтор, котороый строится исходя из гомоморфизма аналогично тому, как функтор строится по.

Тогда функторы и являются взаимно обратными изоморфизма ми и реализуют рациональную эквивалентность многообразий Alg(R) и Alg(O).

Лемма 6.5.5. Пусть дан изоморфизм операд : R O. Пусть = {n |n 0} — некоторая сигнатура, причем n R(n), семей ство порождает операду R, и многообразие Alg(R) рационально эквивалентно многообразию - алгебр, определяемому тождества ми R = {fi = gi |i I}, где fi, gi — слова в алфавите n X n (X — счетное множество). Пусть = {() O(n)| n }. Тогда n многообразие Alg(R) алгебр над операдой R рационально эквивалентно многообразию - алгебр, определяемому тождествами из семейст ва O = {fi = gi |i I}, где fi и gi получаются из fi и gi заменой символов из на соответствующие символы из.

Определим многообразие N с помощью следующих операций и тож деств. Множество операций состоит, во-первых, из унарной операции a (1)a, такой, что если формально определить операцию a (1)a = a, то тем самым на алгебре A из M определено действие U2 A A (обо значение: (, x) ()x). Во-вторых, имеет место семейство бинарных операций вида [] : A A A, где [0, 1], действие которых обозна чается так: (x, y) [](x, y). При этом должны выполняться следующие тождества:


[ ] 1 1) []([](x, y), z) = [](x, (y, z));

1() 2) [](x, y) = [ 1 2 ](y, x);

3) ()x = ()(()x);

4) [](()x, ()y) = ()([](x, y)), (1)x = x;

5) [1](x, y) = [1](x, (1)y).

Теперь можно доказать основной результат параграфа.

Теорема 6.5.4. Многообразие Alg(S) рационально эквивалентно мно гообразию N.

Доказательство. Доказательство состоит в применении теоре мы 6.4.2 и леммы 6.5.5 к операдам и S. Рассмотрим изоморфизм операд : S, для произвольного n задаваемый на n-й компоненте фор мулой: (x1,..., xn ) = (sgn(x1 ) |x1 |,..., sgn(xn ) |xn |). (Фактически это (1/2) из леммы 6.5.5.) Далее рассмотрим множество, порожда ющее операду : = {1, 2 }, 1 = {±1}, 2 = {(1, 2 )| [0, 1] R, 1 + 2 = 1}. Тогда = {1, 1}, = {(1, 2 )|1, 2 R, 1 + 2 = 2 1 1, 1, 2 0}.

Если {±1}, то через a ()a будем обозначать как опера цию в алгебрах из многообразия, рационально эквивалентного Alg(), так и в алгебре из многообразия, рационально эквивалентного Alg(S).

Тождества в обоих случаях выглядят одинаково.

Продолжая применять лемму 6.5.5, рассмотрим [0, 1]. Тогда операции (a1, a2 ) = (, 1 )(a1, a2 ) на алгебре A из Alg() будет со ответствовать операция [](a1, a2 ) = (, 1 )(a1, a2 ).

(x, (1) (y, z)) Тождество многообра ((x, y), z) = зия, рационально эквивалентного Alg(), переходит в тождество [ ] (1) 1 (y, z)) многообразия, рацио [ ]([ ](x, y), z) = [ ](x, нально эквивалентного Alg(S). Положим =, =. Тогда (1 2 ) (1) = 12 2. Таким образом, тождество 1) из теоремы 6.4. переходит в первое тождество из формулировки доказываемой теоремы, [ ] т.е. в тождество []([](x, y), z) = [](x, 1 (y, z)).

21() Аналогично, тождество (x, y) = (1 )(y, x) переходит в тож дество [ ](x, y) = [ (1 )](y, x), что записывается в виде [](x, y) = [ 1 2 ](y, x). Тождество (()x, ()y) = ()((x, y)) переходит в тож дество [ ](()x, ()y) = ()([ ](x, y)), которое записывается в виде [](()x, ()y) = ()([](x, y)). Наконец, тождество 5) многообразия M переходит в тождество 5) многообразия N. Таким образом, теорема сле дует из теоремы 6.4.2 и леммы 6.5.5.

Описанными выше операдами далеко не исчерпывается класс инте ресных подоперад операды R. Приведем краткое описание некоторых из них.

Рассмотрим семейства множеств:

C(n) = {(x1,..., xn )| max |xi | = 1}, 1in C(n) = {(x1,..., xn )| max |xi | 1}, C(n) = {(x1,..., xn )| max |xi | 1}, 1in 1in Z(n) = {(x1,..., xn )| min |xi | = 1}, 1in Z(n) = {(x1,..., xn )| min |xi | 1}, Z(n) = {(x1,..., xn )| min |xi | 1}.

1in 1in Если K(n) есть любое из этих множеств, то через K обозначим {K(n)|n = 1, 2,... }.

Лемма 6.5.6. Семейства множеств C, C, C, Z, Z, Z являются подо перадами определенной выше операды R.

Доказательство. Рассуждения во всех случаях примерно ана логичны тем, которые использовались выше в теореме 6.5.1. Мы опускаем эти простые проверки.

Операду C естественно называть операдой (полых) кубов.

Пусть и — действительные числа, причем 1, 1 Рас смотрим следующие семейства множеств:

C (n) = {(x1,..., xn )|xi [1, 1], 1 i n, max (|xi |) n1, 1}, 1in C (n) = {(x1,..., xn )|xi [1, 1], 1 i n, max (|xi |) n1, 1}, 1in Z (n) = {(x1,..., xn )|xi [1, 1], 1 i n, min (|xi |) n1, 1}, 1in Z (n) = {(x1,..., xn )|xi [1, 1], 1 i n, min (|xi |) n1, 1}.

1in Лемма 6.5.7. Семейства C, C, Z, Z являются операдами операды R относительно операции композиции, определенной вначале предыду щего параграфа.

Доказательство. Пусть 1, 1. Сначала установим не равенства:

max(n1 1,..., nm 1 ) · m1 n1 +···+nm 1 (6.5.1) min( n1 1,..., nm 1 ) · m1 n1 +···+nm 1 (6.5.2) Докажем (6.5.1). Без ограничения общности можно считать, что nm 1 = max(n1 1,..., nm 1 ). Так как 1, то из этого предполо жения следует, что достаточно доказать неравенство: m 1 + nm n1 + · · · + nm 1. Поскольку ni 1 для всех i, доказательство таково:

m 1 + nm 1 = 1 + · · · + 1 +nm 1 n1 + · · · + nm1 + nm 1.

m Аналогично доказывается (6.5.2). Без ограничения общности можно считать, что nm 1 = min( n1 1,..., nm 1 ). Так как 1, то достаточ но показать, что m 1 + nm 1 n1 + · · · + nm 1. Но это неравенство уже получено выше.

Для доказательства леммы достаточно во всех рассматриваемых случаях проверить замкнутость относительно операций композиции. В приводимых ниже выкладках используются неравенства (6.5.1) и (6.5.2).

1. Пусть x C (m), y i C (ni ), 1 i m. Тогда max max |xi yi,j | = max(|x1 | max |y1,j |,..., |xm | max |ym,j |) 1im 1jni 1jn1 1jnm n1 1 nm max(|x1 |,..., |xm | ) max(n1 1,..., nm 1 ) · max(|x1 |,..., |xm |) max(n1 1,..., nm 1 ) · m1 n1 +···+nm 1.

2. Пусть x C (m), y i C (ni ), 1 i m. Тогда max max |xi yi,j | = max(|x1 | max |y1,j |,..., |xm | max |ym,j |) 1im 1jni 1jn1 1jnm n1 1 nm max(|x1 |,..., |xm | ) min( n1 1,..., nm 1 ) · max(|x1 |,..., |xm |) min( n1 1,..., nm 1 ) · m1 n1 +···+nm 1.

Остальные случаи разбираются аналогично.

Лемма 6.5.8. Операда C порождается своими компонентами C(1) и C(2). В частности, эта операда квадратична.

Доказательство. Покажем, что для каждого n 2 компонента C(n) порождается C(1), C(2) и C(n 1). Рассмотрим (x1,..., xn ) C(n).

Без ограничения общности можно считать, что |xn | = 1. Покажем, что (x1,..., xn ) можно представить в виде (x1,..., xn1, xn ) = (u1, u2 )((y1,..., yn1 )(z)) (6.5.3) где (u1, u2 ) C(2), (y1,..., yn1 ) C(n 1), z C(1). Равенство (6.5.3) эквивалентно тому, что xi = u1 yi при 1 i n 1, xn = u2 z. При этом должно быть max(|u1 |, |u2 |) = 1 max |yi | = 1 и |z| = 1. Так как 1ii |xn | = 1, то можно положить u2 = 1, z = xn, и тогда u1 может быть любым.

Случай 1. Предположим, что x1 =... = xn1 = 0. Тогда положим u1 = 0, y1 =... = yn1 = 1.

Случай 2. Пусть xi = 0 для некоторого i, 1 i i 1. Положим = max |xi |. Тогда 0 1. Положим u1 =, и yi = xi /. Если 1in |xj | = для некоторого j, то |yj | = |xj /| = 1. Отсюда следует, что (y1,..., yn1 ) C(n 1).

Тем самым существование разложения (6.5.3) доказано. Теперь утверждение теоремы получается индукцией по n.

Двигаясь в этом направлении дальше, можно было бы вычислить многообразие, рационально эквивалентное Alg(C). Такое вычисление дей ствительно проделано, но результат получился гораздо более длинным и сложным, чем в предыдущих случаях Alg(), Alg() и Alg(S). Посколь ку эти выкладки (как и конечный результат) вряд ли прибавят что-то принципиально новое в данную работу, мы опускаем их. Отметим толь ко, что из сравнения их с теоремой 6.5.4 складывается впечатление, что операды S и C не изоморфны (как алгебраические объекты), тогда как хорошо известно, что для каждого n компоненты S(n) и C(n) гомео морфны как топологические пространства. Было бы интересно получить прямое алгебраическое доказательство неизоморфности операд S и C.

В оставшейся части параграфа приведем еще несколько примеров подоперад операды R.

Пусть R — некоторая подоперада операды R. Положим R (n) = {(x1,..., xn ) K(n)|x1 = 0,..., xn = 0}. Легко проверяется, что R = {R (n)|n 1} — подоперада операды R.

Следующая лемма доказывается вычислительными проверками всех ее утверждений. Поскольку она имеет сугубо вспомогательный ха рактер, мы опускаем эти проверки.

Лемма 6.5.9. Имеют место следующие вложения:

Z (n) C (n), C (n) Z (n) 1 и изоморфизмы:

: Z (n) C (n), : C (n) Z (n) 1 (t) : Z (n) Z (n), (t) : Z (n) Z (n) 1 n n : C 1 (n) C 1 (n), (t) : C (n) C (n) (t) n n где {, xi = (x1,..., x1 ), где x1 xi ((x1,..., xn )) = = n 1 i 0, xi = В следующей теореме приведены некоторые конструкции подоперад операды R, весьма тривиальными частными случаями которых являют ся многие из операд, исследованных в этом и предыдущем параграфах.

Теорема 6.5.5. Пусть R — некоторая подоперада операды R. Рас смотрим семейства множеств R = {R (n)|n 1}, SR,k = {SR,k (n)|n 1}, CR,k = {CR,k (n)|n 1}, ZR,k = {ZR,k (n)|n 1}, в которых R (n) = {(x1,..., xn )|x1,..., xn R, xi 0 для всех i, и сущест n вует (r1,..., rn ) R(n), такой, что ri xi = 1};

i= SR,k (n) = {(x1,..., xn )|x1,..., xn R, и существует (r1,..., rn ) n R(n), такой, что ri xk = 1};

i i= CR,k = {(x1,..., xn )|x1,..., xn R, и существует (r1,..., rn ) R(n), такой, что max (|ri xk |) = 1};

i 1in ZR,k (n) = {(x1,..., xn )|x1,..., xn R, и существует (r1,..., rn ) R(n), такой, что min (|ri xk |) = 1};

i 1in Эти семейства являются -подоперадами операды R.

Доказательство. Основная проверка во всех случаях — это проверка того, что данное семейство замкнуто относительно операдной композиции. Например, в случае SR,k эта проверка выглядит так.

Пусть x = (x1,..., xm ) SR,k, и r = (r1,..., rm ) R(m) таков, что n ri xk = 1. Пусть далее y i = (yi,1,..., yi,ni ) SR,k (ni ) для всех i, i i= n i m, и ri,j yi,j = 1 для соответствующих ri = (ri,1,..., ri,ni ) R(ni ).

k j= Так как x y 1... y m = (x1 y1,1,..., xi yi,j,..., xm ym,nm ), то достаточно убедиться, что ni m ri ri,j (xi yi,j )k = 1.

i=1 j= Но это очевидным образом следует из сделанных предположений. Эле мент R(n1 + · · · + nm ), участвующий в характеризации x y 1... y m как элемента SR,k (n1 + · · · + nm ) — это r r1... rm.

Отметим еще, что если вместо R брать другое поле или даже ком мутативное кольцо, то значительная часть определений операд из этого параграфа сохранит смысл.

§ 6.6. Операда стохастических матриц Данный параграф можно рассматривать как пример возможных приложений теории Z -линейных алгебр над Z -линейными операдами (где Z — коммутативная операда). Речь идет о приложениях за пре делами собственно алгебры, а именно, в теории вероятностей и в теории вероятностных автоматов. Точнее, будет показано, что базовые опреде ления теории вероятностных автоматов можно выразить на языке алгебр над некоторыми - линейными операдами.


Как уже отмечено в § 6.4, операда симплексов является ком мутативной, а поэтому, согласно результатам главы 4, можно говорить о -линейных мультиоператорных алгебрах и о -линейных операдах.

Следуя работам [52], [53], такие операды можно было бы назвать конопе радами. Соответственно, алгеброй над -линейной операдой R (или, по аналогии с [52], [53], R-коналгеброй) будем называть R-алгебру A, кото рая является конвексором, и все операции композиции R(n) An A -полилинейны. Гомоморфизмы таких алгебр будут предполагаться линейными. Через Alg(R) будем обозначать категорию -линейных ал гебр над -линейной операдой R.

Простейший пример -линейной операды: операда C, у которой для каждого n множество C(n) одноэлементно, C(n) = {n }. Такое мно жество обладает естественной структурой конвексора: (n, n ) = n.

Операция композиции определяется единственно возможным способом:

m n1... nm = n1 +···+nm. Ясно, что эти отображения -полилинейны.

Для любой вербальной подкатегории W категории F Set, на C триви альным образом определяется структура W -операды.

Лемма 6.6.1. Категория Alg(C ) рационально эквивалентна кате гории всех коммутативных ассоциативных конколец (возможно, без единицы). Alg(CW Id ) рационально эквивалентна категории всех ассо циативных конколец (возможно, без единицы).

Доказательство. Определение конколец см. в [52]. Это конвек соры, на которых задана бинарная ассоциативная операция x y, явля ющаяся -билинейной. Лемма доказывается практически так же, как и аналогичное утверждение для случая, когда конвексорная структура на C и на алгебрах не учитывается (теорема 3.4.2). В этом случае получа ются многообразия всех коммутативных полугрупп (без единицы), и всех полугрупп. Напомним основные этапы рассуждений, опуская очевидные формальности. Положим = 2, = 1. Если A есть C-алгебра, то опре делим бинарную операцию AA A следующим образом: xy = (xy).

Эта операция -билинейна по определению. Легко проверяется ассоци ативность: x (y z) = ()(xyz) = ()(xyz) = (x y) z. Если определено действие групп подстановок, и = (1 2) — транспозиция, то (x, y) = (y, x), но =, откуда x y = y x.

Обратно, если дано конкольцо A с операцией умножения x y, то полагаем n (x1,..., xn ) = x1 · · · xn. Проверка свойств алгебры над операдой проводится без затруднений. Ясно, что гомоморфизмами будут и в том, и в другом случае одни и те же отображения. В случае, когда вербальная категория тривиальна, то есть использовать подстановки за прещено, коммутативности не будет, но ассоциативность умножения xy сохраняется, так что получаем категорию ассоциативных конколец.

Приведем еще несколько более или менее нетривиальных приме ров -линейных операд. Положим I(n) = [0, 1] (единичный отрезок действительной прямой) для всех n = 1, 2,... (I(0) можно считать пустым), и пусть I(m) I(n1 )... I(nm ) I(n1 +... nm ) опре деляется как отображение, сопоставляющее набору чисел из единично го отрезка (, 1,..., m ) их произведение 1... m. Для произвольного f : [n] [m] и I(n) = I полагаем f = I(m) = I. Свойства операды проверяются без труда.

Пусть X — произвольное множество. По аналогии с § 6.2 построим (левую) операду многомерных стохастических матриц SM = SM (X).

Положим SM (n) равным множеству всех отображений из X X n в [0, 1], таких, что при любом y X n имеет место (x, y) = 0 для почти всех x X, и (x, y) = 1. Структура конвексора на SM (n) вводится xX так: если [0, 1], 1, 2 : X X n [0, 1], то (1, 2 )(x, x1,..., xn ) = (1 (x, x1,..., xn ), 1 (x, x1,..., xn )). Определим действие n на SM (n), полагая ()(x, y) = (x, y). Пусть i SM (ni ), SM (m), 1 i m, z i X ni, x X. Полагаем (1... m )(x, z 1... z m ) = (x, y1... ym )1 (y1, z 1 )... m (ym, z m ).

y1,...,ym X Рассмотрим также множество распределений на X U, то есть ото бражений вида : X U [0, 1], таких, что для любого u U (x, u) = 0 для почти всех x X и имеет место равенство (x, u) = 1. Обозна xX чим это множество через AU (или AX,U ). Структура конвексора на AX,U хорошо известна ([52]): (1, 2 )(x, u) = 1 (x, u) + (1 )2 (x, u). Опре делим композицию SM и AU следующим образом. Пусть SM (n), 1,..., n AU. Тогда (1... n )(x, u) = (x, y1..., yn )1 (y1, u)... n (yn, u) y1...yn Прямой проверкой определения доказывается следующее утвержде ние:

Теорема 6.6.1. SM (X) есть -линейная -операда. AU,X есть ко налгебра над операдой SM (X).

Фактически, при бесконечном X, можно определить еще одну опе раду такого же типа, рассматривая те отображения из X X n в K(n), у которых для каждого x X имеет место (x, y) = 0 для почти всех y X n, и (x, y) = 1. “Бескоординатная” форма yX n этой операды, как и в случае “обычных” линейных операд, такова.

Берется конвексор V, EV состоит из компонент EV (n) = Conv(V n, V ) (где Conv = Alg(F Set )), а композиция определяется следующим обра зом: 1 2... m = (1 2... m ). Группы n действуют так:

(v1... vn ) = (v1 (1) · · · v1 (n) ). Легко убедиться, что для любой -линейной -операды R задание структуры R-алгебры на V равносильно заданию гомоморфизма операд R EV.

Определим еще операду двоякостохастических многомерных мат риц DSM = DSM (X), полагая DSM (n) состоящим из всех тех SM (n), : X X n [0, 1], для которых при любом x X имеет место равенство (x, y) = 1.

yX n Теорема 6.6.2. DSM (X) есть -линейная -операда.

Доказательство. Проверка определения.

Отметим, что наблюдается некоторый интерес специалистов к мно гомерным стохастическим и двоякостохастическим матрицам [38].

Пусть теперь B = {0, 1} — двухэлементная булева алгебра. Зафик сируем снова множество X, и определим операду булевских стохастичес ких матриц SBM = SBM (X). Положим SBM (n) равным множеству всех отображений вида : X X n B, таких, что при любом y X n будет (x, y) = 0 для почти всех x X, и (x, y) = max (x, y) = 1.

xX xX Определим на SBM структуру операды. Положим SBM (m) SBM (n1 )... SBM (nm ) SBM (n1 + · · · + nm ), (1... m )(x, z 1... z m ) = (x, y1... ym )1 (y1, z 1 )... m (ym, xm ).

y1...ym X Здесь сумма означает взятие максимума, а произведение — минимума.

Напомним, что каждая верхняя полурешетка обладает структурой кон вексора: достаточно положить (x, y) = x + y при (0, 1), 1(x, y) = x, 0(x, y) = y. Отсюда следует, что все SBM (n) являются конвексорами, и определенная только что операция композиции -полилинейна. Опре делим BA = BAU,X как множество всех отображений : X U B, таких, что для любого u U будет (u, x) = 0 для почти всех x X, и (u, x) = 1. Композиция SBM (n) BAn BA определяется так xX же, как и выше для SM и A. Зададим отображение Q : [0, 1] {0, 1}, полагая Q(0) = 0, Q(a) = 1 при a 0. Построим семейство отображе ний Qn : SM (n) SBM (n) следующим образом. Если A SM (n), то Qn (A) SBM (n) определяется так: Qn (A)(y, x1...xm ) = Q(A(y, x1...xm )).

Следуя [8, c. 32], можно назвать Qn (A) булевскими шаблонами многомер ных стохастических матриц. Там, где это не приводит к недоразумениям, будем обозначать через Q все семейство Qn,n = 1, 2,....

Теорема 6.6.3. Семейство SBM с определенной выше композицией есть операда. На ней также существует естественная структура -линейной операды. BAU,X есть алгебра над SBM (X). Семейство Q есть гомоморфизм -линейных операд, Q : SM SBM.

Доказательство. Все утверждения, кроме последнего, до казываются легкой проверкой определений. -линейность отобра жения Qn : SM (n) SBM (n) также очевидна. Проверим, что Q(AA1... Am ) = Q(A)Q(A1 )... Q(Am ). Пусть z i X ni, 1 i m.

Тогда Q(AA1... Am )(x, z 1... z m ) = 0 тогда и только тогда, если (AA1... Am )(x, z 1... z m ) = 0. Это равносильно тому, что для любого семейства y1,... ym X по крайней мере одно из чисел A(x, y1... ym ), A1 (y1, z 1 ),..., Am (ym, z m ) равно нулю, или что по крайней мере одна из компонент булевских шаблонов Q(A)(x, y1... ym ), Q(A1 )(y1, z 1 ),..., Q(Am )(ym, z m ) является нулевой. С другой стороны, Q(A)Q(A1 )... Q(Am )(x, z 1... z m ) = = max (min(Q(A)(x, y1... ym ), Q(A1 )(y1, z 1 ),..., Q(Am )(ym, z m ))), y1,...,ym и это выражение равно нулю в том и только в том случае, если для любого семейства y1,... ym X min(Q(A)(x, y1... ym ), Q(A1 )(y1, z 1 ),..., Q(Am )(ym, z m ))) = 0, то есть равно нулю хотя бы одно из Q(A)(x, y1... ym ), Q(A1 )(y1, z 1 ),..., Q(Am )(ym, z m ). Итак, обе сравниваемые функции принимают нулевые значения на одних и тех же значениях аргумента. Следовательно, на остальных значениях аргумента они обязаны быть равными единице.

Последнее утверждение этой теоремы является многомерным ана логом леммы 1.3.6 из книги [8] (с. 33). Легко заметить, что аналогич ный факт справедлив и для алгебр распределений: для них также можно определить булевские шаблоны, причем соответствующие отображения оказываются гомоморфизмами алгебр над операдами.

Напомним определение вероятностного автомата [8]. Пусть X — множество входных сигналов, Y — множество выходных сигналов, Q — множество состояний. Вероятностный автомат — это отображение : X Q Y Q [0, 1], такое, что для каждой фиксированной па ры (x, q) X Q имеют место равенства (x, q, y, q ) = 0, для почти всех (y, q ) Y Q, и (x, q, y, q ) = 1. Подразумевается, что (y,q)Y Q (x, q, y, q ) есть условная вероятность перехода из события q при вход ном сигнале x в состояние q при выходном сигнале y. Обозначим через A = AX,Q,Y множество всех таких автоматов, Z = Y Q, SM = SM (Z), и определим отображения композиции SM (n) An A следующим образом:

(1... n )(x, q, y, q ) = ((y, q ), (y1, q1 )... (yn, qn ))1 (x, q, y1, q1 )... n (x, q, yn, qn ) y1...yn...q q1 n Теорема 6.6.4. Определенные выше операции композиции превращают множество всех вероятностных автоматов AX,Q,Y в коналгебру над коноперадой SM.

Доказательство. Прямая проверка определения.

В заключение этого раздела отметим следующий тривиальный факт: сама операда не является -линейной. Аналогичное утвержде ние, впрочем, справедливо и для многих других коммутативных операд.

Глава 7. Алгебраические теории частных § 7.1. Категории частных В этой главе рассматриваются F Set-операды, представленные в эк вивалентной форме как ловеровские алгебраические теории. Наша цель — показать, что для объектов такого типа существуют аналоги колец частных в смысле Герасимова-Малколмсона. В начале будет показано, что при некоторых достаточно простых условиях в категориях частных произвольных категорий с конечными прямыми произведениями также существуют конечные прямые произведения. Затем мы перейдем к спе циальному классу таких категорий, а именно к ловеровским теориям, и покажем существование “ловеровских теорий частных”. Наконец, в по следнем параграфе главы речь пойдет о предаддитивных категориях, и будет выяснено, что кольцам частных в смысле Герасимова-Малколмсона есть частный случай нашей конструкции.

Отметим еще, что известно всего два случая, когда категория част ных гарантированно наследует свойства исходной категории. Первый случай — это когда множество обращаемых морфизмов обладает исчис лением частных (левых или правых). Второй случай рассматривается в данной главе.

Напомним некоторые простейшие факты, касающиеся категорий частных.Пусть R — некоторая категория, — класс морфизмов R.

Категория частных R относительно — это пара, состоящая из ка тегории R[1 ] и функтора P : R R[1 ], обращающего морфиз мы из, и такого, что любой функтор, также обращающий эти мор физмы, единственным образом пропускается через P. В [10] приведе на конструкция категории частных, из которой следует, что объекты R[1 ] взаимно однозначно соответствуют объектам R (так что мож но обозначать их одними и теми же буквами, если смысл понятен из контекста). Морфизмы R[1 ], согласно этой же конструкции, имеют вид P (1 )P (1 )1 P (2 )... P (n )1 P (n+1 ), что для краткости иног 1 да будет записываться как 1 1 2... n n+1. Необходимо отметить, что если категория R не является малой, то существование R[1 ] с указанными свойствами требует дополнительных предположений, даже если допускает исчисление частных. Одно такое условие рассмотрено в работе [97]. Мы будем, не оговаривая это каждый раз, предполагать, что во всех необходимых нам случаях категории частных существуют и устроены описанным выше образом.

Лемма 7.1.1. Рассмотрим диаграмму функторов F G A B A P1 P2 P F G A B A коммутативную с точностью до естественных изоморфизмов. Пред положим, что A и B есть категории частных A и B соответствен но, P1 и P2 — канонические функторы, и функтор F сопряжен слева к функтору G. Тогда F сопряжен слева к G.

Доказательство. Условия леммы означают, что существуют естественные изоморфизмы : F P1 P2 F, : G P2 P1 G и морфизмы сопряжения : F G Id, µ : Id GF, такие, что композиции F (X) F (µX ) F (X) F GF (X) F (X) µG(Y ) G(Y ) G(Y ) GF G(Y ) G(Y ) равны, соответственно, 1F (X) и 1G(Y ). Каждый объект в A имеет вид P1 (Y ), а в B — P2 (X). Определим морфизмы P2 (Y ) : F G (P2 (Y )) P2 (Y ) µP1 (X) : P1 (X) G F (P1 (X)) следующим образом:

P2 (Y ) = P2 (Y )G(Y ) F (Y ) 1 µP1 (X) : G (X )F (X) P1 (µX ) Покажем, что и µ — естественные преобразования. Пусть, например, : P2 (Y ) P2 (Z) есть морфизм из B. Так как это категория частных, то = 1 2... r, где каждый i есть либо морфизм вида P2 (i ), либо морфизм вида P2 (i )1. Следовательно, достаточно рассмотреть только эти два случая. Пусть, например, = P2 (). Тогда вопрос о естествен ности решается коммутативностью диаграммы:

F (Y ) G(Y ) P2 (Y ) F G P2 (Y ) F P1 G(Y ) P2 F G(Y ) P2 (Y ) F G P2 () F P1 G() P2 F G() P2 () G(Z) F (Z ) P2 (Z ) F G P2 (Z) F P1 G(Z) P2 F G(Z) P2 (Z) Каждый из трех квадратов коммутативен ввиду естественности,, соответственно. Случай = P2 ()1 доказывается с помощью ана логичной диаграммы, где обращены вертикальные стрелки. При этом надо принять во внимание, что из обратимости P2 () следует обрати мость G P2 (), что влечет обратимость P1 G() и ввиду обратимости — обратимость P2 F G(). Таким образом, показано, что для любого : P2 (Y ) P2 (Z) имеет место коммутативная диаграмма:

P (Y ) F G P2 (Y ) P2 (Y ) F G ( ) P (Z) F G P2 (Z) P2 (Z) Полагая = id, видим, что не зависит от представления объекта категории B в виде P2 (Y ). Следовательно, необходимое нам естественное преобразование существует.

Аналогично доказывается естественность µ.

Рассмотрим теперь композицию F P F (µP1 (X) ) F P1 (X) F G F P1 (X) F P1 (X) (X) Чтобы показать, что она равна тождественному морфизму, достаточно установить, что выражение X F P1 (X) F (µP1 (X) ) равно X, и вспомнить, что это изоморфизм. Используя естественность, получаем:

X F P1 (X) F (µP1 (X) ) = P2 F (X) F G (X )F (µP1 (X) ).

Подставим в последнее выражение явную запись и µ, и получим:

P2 (F (X) )GF (X) F (F (X) )F G (X )F G ( 1 )F (F (X) )F P1 (µX ) = = P2 (F (X) )GF (X) F P1 (µX ).

Из естественности следует соотношение GF (X) F P1 (µX ) = P2 F (µX )X.

Наконец, P2 (F (X) )GF (X) F P1 (µX ) = P2 (F (X) )P2 F (µX )X = X, ввиду того, что µ и — морфизмы сопряжения. Аналогично устанавли вается второе соотношение для и µ, что и заканчивает доказательст во.

Теорема 7.1.1. Пусть даны категории A и B, и — классы мор физмов в A и B соответственно. Тогда имеет место изоморфизм ка тегорий, естественный по всем компонентам (A B)[( 1)1, (1 )1 ] A[1 ] B[1 ].

= Здесь 1 обозначает класс морфизмов произведения категорий A и B, состоящий из всех пар вида (, id), где, а id — всевозможные тождественные морфизмы B. Аналогичный смысл имеет 1.

Доказательство. Покажем, что функтор P P : A B A[1 ] B[1 ] обладает тем же универсальным свойством, что и P(1),(1) : A B (A B)[( 1)1, (1 )1 ] Используем для этого естественный изоморфизм категорий F un(X R, K) F un(X, F un(R, K)), = имеющий следующий явный вид: функтору G : X R K сопоставля ется функтор G : X F un(R, K), G (X) = G(X, ). Если обозначить категорию функторов из X в R, обращающих класс морфизмов, че рез F un (X, R), то фактически будет необходимо доказать изоморфизм категорий F un(1),(1) (A B, K) F un (A, F un (B, K)), = который получается как ограничение на соответствующие подкатегории описанного выше изоморфизма F un(X R, K) F un(X, F un(R, K)), = Рассмотрим произвольный функтор, обращающий 1 и 1 :

G : A B K.

Тогда, так как обратимы все G (X)() = G(1X, ),, то функтор G представим в виде композиции G G G : A F un(B[1 ], K) F un(B, K), 1 где G = F un(P, id) — мономорфизм в категории категорий. Отсюда следует, что G обращает, так что имеет место коммутативная диа грамма, в которой функтор F1 однозначно строится по G и взаимно одно значно соответствует некоторому функтору F1 : A[1 ] B[1 ] K:

G A F un(B[1 ], K) P F A[1 ] Обратное соответствие строится аналогично.

Напомним, что класс называется насыщенным, если каноничес кий функтор P : R R[1 ] обращает только морфизмы из.

Теорема 7.1.2. Допустим, что в категории R существуют конечные декартовы произведения. Предположим, что класс морфизмов обла дает следующим свойством (назовем его декартовой мультипликатив ной замкнутостью ):

для каждого из декартовы произведения морфизмов s 1 и 1 принадлежат для любых тождественных морфизмов.

Тогда категория R[1 ] также обладает конечными декартовы ми произведениями и канонический функтор P сохраняет декартовы произведения. Обратно, если это верно, то насыщение (то есть класс всех морфизмов, которые функтор P переводит в обратимые) является декартово мультипликативно замкнутым.

Доказательство. Используем характеризацию декартовых произведений с помощью сопряженных функторов: если : R R R, (X) = (X, X), — диагональный функтор, то функтор декартова произведения : R R R — это функтор, сопряженный к справа. Первая часть теоремы бу дет доказана, как только будет построен функтор, который делает следующую диаграмму коммутативной с точностью до естественной эк вивалентности:

RR R P P P R[1 ] R[1 ] R[1 ] и, кроме того, сопряженный справа к диагональному функтору :

R[1 ] R[1 ] R[1 ].

Согласно предыдущей теореме, можно заменить категорию R[1 ] R[1 ] на (R R)[( 1)1, (1 )1 ] с очевидной за меной соответствующих функторов, обозначения которых останутся прежними. Из условия декартовой мультипликативной замкнутости следует, что функтор P обращает все морфизмы из классов 1 и 1. Таким образом, функтор, делающий диаграмму коммутативной с точностью до естественного изоморфизма, существует. Сопряженность следует из леммы 7.1.1.

Необходимость условия декартовой мультипликативной замкнутос ти очевидна.

Основные приложения этой теоремы будут рассмотрены в следу ющих параграфах. Здесь же мы приведем один сходный результат, ка сающийся моноидальных замкнутых категорий (см. [37, глава 7]). Если C — симметрическая моноидальная замкнутая категория,то будем обо значать внутренний hom- функтор через [A, B]. Таким образом, имеет место естественный изоморфизм:

C(A B, C) C(A, [B, C]).

= Теорема 7.1.3. Пусть C — симметрическая моноидальная замкнутая категория, — класс морфизмов, удовлетворяющий следующему свой ству:

для каждого из морфизмы 1X, 1X и [, 1X ] принадле жат для любых тождественных морфизмов 1X.

Тогда категория C[1 ] также является симметрической моно идальной категорией, такой, что функтор P — моноидален. Точнее, имеет место равенство :

P (X Y ) = P (X) P (Y ).

Справедливо также обратное к этому утверждению (аналогично те ореме 7.1.2) и, кроме того, можно избавиться от условия симметрич ности.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.