авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» ...»

-- [ Страница 8 ] --

Доказательство. Для каждого X Ob(C) рассмотрим функ тор X : C C, отображающий Z в Z X. Он имеет сопряженный справа [X, ], а его композиция с P обращает. Поэтому существует однозначно определенный функтор TX, делающий коммутативной диа грамму T C[1 ] C[1 ] X P P X C C Таким образом, P (Z X) = TX (P (Z)), P ( 1X ) = TX (P ()). Так как P [X, ] также обращает морфизмы из, то TX обладает правым сопряженным по лемме 7.1.1. Для любого : X Y имеется морфизм функторов : X Y. Определим естественное преобразование T : TX TY, полагая (T )P (Z) = P (1Z ) : TX (P (Z)) TY (P (Z)).

покажем, что для любого : P (Z) P (W ) коммутативна диаграмма (T )P (Z) TX (P (Z)) TY (P (Z)) TX () TY () (T )P (W ) TX (P (W )) TY (P (W )) Это делается примерно так же, как и при доказательстве леммы 7.1.1, то есть достаточно рассмотреть случаи = P () и = P ()1. В частности, если = id, то приходим к выводу, что определение T не зависит от способа представления объекта C[1 ] в виде P (Z). Из определения ясно также, что T = T T, Tid = id. Это означает, что определен функтор T : C[1 ] C C[1 ], T (A, X) = TX (A).

Используя обозначение, введенное выше при доказательстве теоремы 7.1.2, перейдем от функтора T к функтору T : C F un(C[1 ], C[1 ]), который обращает морфизмы из, так как переводит в T. Та ким образом, из функтора T получается искомый функтор тензорного произведения, такой, что коммутативна диаграмма :

C[1 ] C[1 ] C[1 ] P P P CC C то есть P (Z) P (X) = P (Z X) или E P (X) = T (E).

Осталось показать, что выполнены свойства моноидальной катего рии. Практически все они сразу следуют из определений, поэтому доста точно разобраться, например, с естественными изоморфизмами A,B,C : (A B) C A (B C), исходя из уже имеющихся в C естественных изоморфизмов X,Y,Z : (X Y ) Z X (Y Z), Пусть A = P (X), B = P (Y ), C = P (Z). Тогда, так как (A B) C = TZ TY (P (X)), A (B C) = TY Z (P (X)), P (X) P (Y ) = P (X Y ), то мы можем определить A,B,C как P (X,Y,Z ), и этим же определяет ся естественный изоморфизм TZ TY TY Z. Аналогично тому, как это уже делалось выше, показывается, что не зависит от способа пред ставления A,... в виде P (X),..., и что это — морфизм функторов. Все необходимые свойства сразу следуют из соответствующих свойств и перестановочности P с.

Примерно так же строятся и другие естественные изоморфизмы, определяющие на C[1 ] структуру моноидальной замкнутой категории.

В частности, если I — нейтральный объект в C (то есть I X X I = = X ), то P (I) — нейтральный объект в C[1 ].

Наконец, рассмотрим случай, когда в категориях R и R[1 ] су ществуют расслоенные произведения и функтор P их сохраняет. По смотрим, что можно сказать в этом случае о классе морфизмов. Пред положим, что класс является насыщенным. Из этого сразу следует, что а) содержит все изоморфизмы категории R;

б), ;

в) если, тогда из того, что один из морфизмов, принад лежит, следует, что другой также содержится в.

В декартовом квадрате A B C D из обратимости следует обратимость, поэтому, ввиду насыщенности, должно выполняться условие г) если в приведенном выше декартовом квадрате, то и.

Рассмотрим в R[1 ] морфизм P ()P (). Используя тот же де картов квадрат, получаем, P ()P ( ) = P ()P (), откуда P ()1 P () = P ()P ( )1.

Таким образом, произвольный морфизм категории R[1 ] вида P (1 )P (1 )1 P (2 )... P (n )1 P (n+1 ) можно привести к виду P ()P ()1.

Исходя из этого, рассмотрим обратную задачу. Пусть дана катего рия R с расслоенными произведениями, и класс морфизмов, удовлетво ряющий приведенным выше условиям а) – г). Будем строить категорию R[1 ] по аналогии с тем случаем, когда обладает исчислением пра вых частных. Оказывается, все построение проходит без использования последнего условия в определении исчисления правых частных (то есть утверждения о том, что для любых, и из = следует существование такого, что = ).

Итак, объекты строящейся категории K по определению те же, что и в R, а для построения морфизмов из X в Y берется класс всех пар (f, ), где : Z X, f : Z Y,, и факторизуется по отноше нию эквивалентности (f, ) (g, ), : =, f = g.

Мы не будем рассматривать вопрос о том, когда соответствующие фак тормножества (или классы) существуют. Некоторые достаточные усло вия этого содержатся в работе [97], а для малых категорий проблемы нет вообще. Композиция морфизмов K определяется для представителей классов эквивалентности X Z Y, Y V Z следующим образом. Образуем расслоенное произведение S V Z Y где по условию, и определим композицию следующим образом:

(, )(, ) = (, ).

Проверим корректность определения, которая, может быть, не совсем оче видна. Пусть, например, (1, 1 ) (2, 2 ), и существует коммутативная диаграмма Z 1 s1 X Z Y 2 s2 Z Для построения композиций с Y V W строим декартовы квад раты Zi Si i i i Y V Полагая = 1 = 2, образуем еще одно расслоенное произведение Z H Y V Тогда существуют однозначно определенные морфизмы µi : H Si, i = 1, 2, такие, что = i µi, i µi = si. По свойству б) отсюда сле дует, что µi, i = 1, 2, и эта пара морфизмов, как легко убедиться, приводит к равенствам 1 1 µ1 = 2 2 µ2, 1 µ1 = 2 µ2. Оставшаяся часть доказательства корректности определения композиции проводится аналогично.

Ассоциативность композиции легко следует из свойств расслоенных произведений. Ясно, что определен функтор P : R K, тождественный на объектах, и отображающий морфизмы : X Y в классы пар 1 X X Y.

X Теперь убедимся, что фактически K = R[1 ]. Сначала покажем, что все-таки обладает исчислением правых частных. В самом деле, если =,, то, переходя в категорию K, где P () обра тим, получим P () = P (), что влечет существование коммутативной диаграммы X 1X s X Z Y 1X s X откуда получаем s1 = s2 = s, s = s. Следовательно, фактичес ки K есть R[1 ] ввиду того, что эти категории строятся одним и тем же образом. Значит, по хорошо известному результату, в категории K существуют все виды конечных пределов, которые существуют в R, и функтор P сохраняет их. Сформулируем результат этих рассуждений.

Предложение 7.1.1. Пусть в категории R существуют конечные расслоенные произведения. Если класс морфизмов обладает перечис ленными выше свойствами а) – г), то он удовлетворяет также ис числению правых частных, и поэтому в R[1 ] существуют все виды конечных пределов, существующие в R, причем функтор P сохраняет их. Обратно,если P сохраняет расслоенные произведения, то насыще ние будет удовлетворять свойствам а) – г).

§ 7.2. Алгебраические теории частных Для произвольной категории R определим категорию P(R), объ екты которой — идемпотентные морфизмы категории R, а морфизмы определяются следующим образом. Пусть e : X X, : Y Y, e2 = e, 2 = — объекты категории P(R). Тогда морфизмами P(R) из e в будут считаться такие морфизмы f : X Y категории R, что f = f e = f. В частности, тождественным морфизмом объекта e будет морфизм e. Определим функтор F : R P(R), сопоставляющий объекту X объект 1X : X X категории P(R), а морфизму f — тот же f как морфизм P(R). Каждый объект (морфизм) категории P(R) является ретрактом объекта (морфизма) вида F (X) (соответственно ви да F (f )), причем возможен канонический выбор ретракций. Категория P(R) обладает следующим свойством: если u : e — идемпотентный морфизм, то существуют морфизмы p, j, такие, что u = jp, pj = 1W, и если K — другая категория с аналогичным свойством, и дан функ тор G : R K, то существует функтор G : P(R) K, такой, что G = GF, причем функтор G определен с точностью до естест венной эквивалентности. Разумеется, необходимы некоторые теоретико множественные ограничения, касающиеся выбора проекций p и вложений j. В случае самой категории P(R) существует канонический выбор: если даны e, : X X — объекты P(R), то полагаем W объектом P(R), представленным морфизмом 1X, а морфизмы p и j категории P(R) — представленными морфизмом u : X X категории R. Заметим еще, что если R — категория с конечными декартовыми произведениями, то такова и P(R). Очевидно, что P есть функтор из категории категорий в категорию категорий (фактически это монада).

Обратимся теперь к финитарным алгебраическим теориям в смыс ле Ловера (см. [138], [48], [150], [158]), далее называемым алгебраическими теориями или просто теориями. Напомним, что категория T называет ся алгебраической теорией, если ее объекты можно взаимно однозначно перенумеровать натуральными числами (включая 0;

чаще всего предпо лагают сразу, что натуральные числа и есть объекты), если в T сущест вуют конечные декартовы произведения, и если произведением объектов (чисел) n и m будет n+m. Примерами алгебраических теорий являются категории, двойственные к категориям свободных алгебр конечного ран га многообразий универсальных (мультиоператорных) алгебр. Обратно, хорошо известно, что категорию, двойственную к алгебраической теории T, всегда можно рассматривать как категорию свободных алгебр неко торого многообразия: свободной алгеброй с базисом из n элементов будет множество T (n, 1), и его же можно рассматривать как множество всех n-арных операций. Таким образом, двум многообразиям соответствуют изоморфные теории тогда и только тогда, если многообразия рациональ но эквивалентны. Напомним еще, что многообразие, соответствующее теории T, рассматриваемое как категория, эквивалентно категории всех функторов из T в категорию множеств, сохраняющих конечные произ ведения: алгебре A соответствует функтор, сопоставляющий объекту n множество An.

Теперь можно определить алгебраические теории частных для про извольных алгебраических теорий. Пусть T — алгебраическая теория, — множество морфизмов T, которое является декартово мультипли кативно замкнутым (определение дано в теореме 7.1.3). Тогда категория частных T [1 ] имеет те же объекты, что и T, то есть натуральные числа, согласно теореме 7.1.3 обладает произведениями, и каноничес кий функтор P : T T [1 ] сохраняет произведения. Это значит, что T [1 ] также является алгебраической теорией, а функтор P — морфизмом алгебраических теорий, и прямо из определения категории частных следует наличие универсального свойства: если G : T W — морфизм теорий (то есть функтор, тождественный на объектах и сохра няющий произведения), обращающий морфизмы из, то он однозначно пропускается через P.

Нам потребуется и несколько более общая конструкция (эквива лентная в соответствующем частном случае приведенной выше). Пусть — декартово мультипликативно замкнутое ммножество морфизмов кате гории P(T ). Тогда категория частных P(T )[1 ], согласно теореме 7.1.3, обладает конечными прямыми произведениями. Функтор F : T P(T ) является вполне унивалентным, так что категорию T можно считать полной подкатегорией P(T ). Определим T [1 ] как полную подкате горию P(T )[1 ], объекты которой — P (0), P (1),..., P (n),... (где P : P(T ) P(T )[1 ]).

Ясно, что и при таком определении T [1 ] будет алгебраической теорией, и что естественным образом строится канонический функтор P : T T [1 ].

Теорема 7.2.1. Пусть Mor(P(T )) — декартово мультипликатив но замкнутое множество, G : T W — морфизм теорий, такой, что P(G) обращает. Тогда существует один и только один мор физм алгебраических теорий G : T [1 ] W, такой, что G = G P. Отсюда, в частности, следует, что оба опреде ления алгебраических теорий частных эквивалентны для тех случаев, когда они одновременно имеют смысл.

Доказательство. Сначала покажем существование. Из опреде лений и условий следует наличие коммутативной диаграммы P(T ) P(T )[1 ] T P(G) G G W P(W ) Композиция G с функтором вложения T [1 ] P(T )[1 ] есть функ тор, отображающий T [1 ] в полную подкатегорию P(W ), изоморфную W, что нам и требуется. Чтобы показать единственность, необходима не которая дополнительная информация о строении T [1 ]. Прежде всего, вынишем явно условия обратимости морфизмов в категории вида P(T ).

Если обращается морфизм s : (e : X X) ( : Y Y ), то это значит, что существует морфизм u : Y X, такой, что u = eu = u, su =, us = e. Легко заметить, что морфизм u определяется по данным s, e, однозначно.

Если теперь для каждого s Mor(P(T )) присоединить к ка тегории T новый морфизм u = u(s, e, ), удовлетворяющий приведен ным выше соотношениям, то получится новая категория T и функтор Q : T T, со следующим универсальным свойством: для любого функтора G : T K такого, что P(G) обращает, существует один и только один функтор G : T K, такой, что G = GQ. (T строится стандартным образом как факторкатегория категории путей;

заранее не очевидно, что это алгебраическая теория).

Покажем, что функтор P(P ) : P(T ) P(T [1 ]) обращает. Выше уже отмечалось, что если : A B — морфизм ка тегории P(T ), то он может быть включен (и даже каноническим образом) в коммутативную диаграмму p t F (X) A F (X) F (s) F (s) F (Y ) B F (Y ) где F : T P(T ) — естественное вложение, pt = 1A, tp = e, p = 1B, p =. Пусть. Перейдем в категорию P(T )[1 ], где, пользуясь упомянутым в начале § 7.1 соглашением, будем использовать для образов элементов и морфизмов обозначения из P(T ). Тогда u = t 1 : F (Y ) F (X) — морфизм из T [1 ], причем, как легко убедиться, u = eu = u, uF (s) = e, F (s)u =.

Это и означает, что в P(T [1 ]) морфизм имеет обратный, и, таким образом, существует однозначно определенный функтор : T T [1 ] такой, что P = Q. С другой стороны, в диаграмме, использованной при доказателстве существования, вместо категории W можно взять T, а вместо функтора F — функтор Q, так как специфика алгебраических теорий в ней не существенна.

Это приводит к построению функтора : T [1 ] T такого, что P = Q. Из универсального свойства функтора Q сле дует = Id, что означает полноту и унивалентность. Но из способов построения T и T [1 ] очевидным образом следует, что яв ляется полным. Значит, и — взаимно обратные изоморфизмы, и единственность в универсальном свойстве T влечет единственность в универсальном свойстве T [1 ].

Заметим, что фактически и определение T [1 ], и теорема 7.2. пригодны для категорий более общего вида, чем ловеровские теории. На пример, это могут быть многосортные теории (соответствующие F Set мультикатегориям). Случай мультикатегорий мы подробно не прописы ваем, поскольку никаких особых отличий от односортного случая нет.

Лемма 7.2.1. Пусть теория T обладает следующим свойством:

множества T (0, X) состоят из одного элемента для каждого X, и пусть множество морфизмов декартово мультипликативно замк нуто. Тогда множества T [1 ](0, X) также состоят из одного эле мента.

Смысл этого утверждения в том, что если в исходном многообразии алгебр свободная алгебра с пустым базисом состоит из одного элемента, то таково и многообразие, полученное после обращения гомоморфизмов.

Доказательство. Пусть для каждого объекта Y из T един ственный морфизм из T (0, Y ) есть Y : 0 Y. Опуская для прос тоты P, запишем произвольный морфизм из T [1 ](0, X) в виде 1 1 1 2... n n+1, и проведем индукцию по n. Если n = 0, то n+1 = X. Пусть n = 1, т.е. имеются следующие морфизмы T :

0 Z Y X.

2 1 Тогда 2 = Z, и так как 1 Y = Z, то 1 1 1 2 = 1 1 1 Y = 1 Y = X.

Предполагая, что для n1 все доказано, можно заменить 1 2 2... n n+1 на V для некоторого объекта V, и тогда все сво дится к случаю n = 1.

В связи с теоремой 7.2.1 естественно возникают вопросы: какие свойства многообразий сохраняются при обращении гомоморфизмов, и какие многообразия с новыми свойствами можно получить таким путем.

Лемма 7.2.2 является простейшим ответом на один из вариантом первого вопроса. Другое столь же простое наблюдение состоит в следующем. Рас смотрим некоторое обобщение линейных (мультиоператорных) алгебр, которое получается путем задания групповой структуры на множествах морфизмов соответствующей алгебраической теории. Точнее, пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, M(R) — категория, объекты которой — натуральные числа, а морфизмы из объекта n в объект m — все возможные n m-матрицы с элементами из R. Это — алгебраическая теория (подробнее о ней — в следующем параграфе). R-линейной ал гебраической теорией будем называть теорию T вместе с морфизмом теорий M(R) T. Тем самым на множествах T (n, m) заданы струк туры правых R-модулей, а композиция морфизмов делается линейной по правому аргументу. Такому условию удовлетворяет, например, и много образие, свободные алгебры которого являются пополнениями свободных алгебр некоторого однородного многообразия (относительно стандарт ных фильтраций), которое может и не быть многообразием линейных алгебр. Ясно, что композиция M(R) T T [1 ] превращает T [1 ] в R-линейную теорию.

Первоначальная версия теоремы 7.2.1 была задумана автором для обращения гомоморфизмов, которые будут построены ниже. Предпо ложим, что дана R-линейная теория T, причем у морфизма теорий M(R) T имеется (и фиксируется) левый обратный. Начиная с этого места и до конца параграфа будет удобно перейти от языка алгебраичес ких теорий к языку обычных алгебр и многообразий.

Пусть P — категория, двойственная к P(T ), то есть категория конечно порожденных проективных T -алгебр, R — категория правых конечно порожденных проективных R-модулей. Через F r будем обозна чать функторы из категории конечных множеств F inSet, сопоставляю щие множеству свободную алгебру или модуль. Функторы M(R) T M(R) очевидным образом влекут существование функторов DU Id U D R P R, = которые являются непосредственным обобщением функторов типа заме ны колец (построение фактически дано Ловером в [138]). Имеет место коммутативная с точностью до естественных изоморфизмов диаграмма:

U D R P R Fr Fr Fr F inSet = Зафиксируем естественный изоморфизм : U D·F r F r. и для каждой пары гомоморфизмов : F r(X) A, : A F r(X), таких, что = 1A, образуем гомоморфизмы 1 (X) U D() U D(F r(X)) U D(A) (, ) : A F r(X) U D() (X) (, ) : U D(A) U D(F r(X)) F r(X) A Более конкретную информацию об этих гомоморфизмах можно най ти в [87], [88], [89]. В частности, если данное многообразие однородно, то они автоматически оказываются мономорфизмами. Фактически U D(A) является наилучшим возможным приближением проективной алгебры (или модуля;

описываемая конструкция подходит и для модулей) к сво бодной, а гоморфизмы вида (, ) и (, ) — единственно возможными (с точностью до простейших автоморфизмов свободных алгебр) претен дентами на роли изоморфизмов между проективными и свободными ал гебрами. Как уже было отмечено, первоначальный вариант теоремы 7.2. был получен с целью формально обратить некоторые множества гомомор физмов вида (, ) или (, ) и посмотреть, что из этого получится.

§ 7.3. Предаддитивные категории Предаддитивной мы будем называть категорию K, множества мор физмов K(X, Y ) которой являются абелевыми группами, причем компо зиция морфизмов билинейна, а полупредаддитивной — категорию, мно жества морфизмов которой — коммутативные полугруппы с аддитивно записываемой операцией, с нейтральными элементами — нулями, а опе рация композиции морфизмов также билинейна. Примером полупредад дитивной категории может служить категория, в которой существуют конечные произведения и копроизведения, которые естественно канони чески изоморфны, а также нулевые морфизмы. Под аддитивным функто ром мы будем понимать функтор между (полу)предаддитивными кате гориями, переводящий нули в нули и суммы морфизмов в суммы образов слагаемых.

Теорема 7.3.1. Пусть K — категория с конечными прямыми произ ведениями, — декартово мультипликативно замкнутое множество морфизмов K.

1) Если для каждого объекта X функтор K(, X) является функтором в категорию абелевых групп (или полугрупп с нулевыми элементами), то таким же свойством обладают и все функторы K[1 ](, X).

2) Если K является (полу)предаддитивной категорией с конечны ми произведениями и копроизведениями, и они естественно каноничес ки изоморфны, то и категория K[1 ] также (полу)предаддитивна, и обладает естественно канонически изоморфными конечными произве дениями и копроизведениями.

Доказательство. 1) Хорошо известно, что свойство K(, X) быть функтором в категорию абелевых (полу)групп равносильно зада нию некоторых морфизмов вида X X X, X X, удовлетворя ющих ряду известных свойств. Из теоремы 7.1.3 следует, что образы этих морфизмов в K[1 ] обладают аналогичными свойствами, откуда и получается заключение пункта 1).

2) Используется пункт 1) и дуальный к нему результат, а также теорема 7.1.3 и дуальная к ней.

Пусть K — полупредаддитивная категория. Определим категорию M(K) следующим образом.

Объекты M(K) — конечные упорядоченные последовательнос ти элементов K. Морфизмами из объекта (X1, X2,..., Xn ) в объект (Y1, Y2,..., Ym ) будут матрицы вида 12... 1n 11 21 22... 2n...

....

..

... m1 m2... mn где ij — морфизм категории K из Xj в Yi. Условия, наложенные на категорию K, позволяют определить композицию морфизмов как обычное умножение матриц.

Определен функтор вложения In : K M(K), отображающий объект X в последовательность (X), а морфизм — в матрицу (). Яс но, что этот функтор вполне унивалентен. Сопоставление категории K категории M(K), очевидно, есть функтор между подходящими категори ями категорий. Необходимые нам свойства категории M(K) перечислены в следующей лемме.

Лемма 7.3.1. 1) M(K) есть полупредаддитивная категория (если K предаддитивна, то предаддитивна и M(K)), в которой существуют конечные произведения, тождественно совпадающие с соответствую щими копроизведениями. Функтор In является аддитивнным.

2) Для каждого аддитивного функтора G из K в категорию L, в которой произведения канонически изоморфны копроизведениям и су ществуют нулевые морфизмы (что автоматически делает L полупре даддитивной), существует сохраняющий произведения и нулевые мор физмы (в частности, аддитивный) функтор G+ : M(K) L, такой, что G = G+ In. Функтор G+ определен однозначно с точностью до естественной эквивалентности.

3) Если в категории K существуют конечные произведения, сов падающие с копроизведениями, то функтор In является эквивалент ностью категорий.

4) Функтор M есть идемпотентная монада, то есть естествен ные преобразования, задающие структуру монады, являются взаимно обратными изоморфизмами:

M(M(K)) M(K).

= Доказательство. Большая часть утверждений очевидна. На пример, функтор G+ сопоставляет объекту (X1, X2,..., Xn ) категории M(K) объект G(X1 ) G(X2 )... G(Xn ). Чтобы определение было корректно, необходимо зафиксировать в L некоторые естественные изо морфизмы. Их вариация приводит к эквивалентным функторам G+. Что касается структуры монады, то для наших целей она не является сущест венной, и доказательство пункта 4) (также несложное) опускается.

Рассмотрим (полу)предаддитивную категорию K, и класс мор физмов Mor(M(K)), являющийся декартово мультипликатив но замкнутым. По теореме 7.3.1 категория M(K)[1 ] будет (по лу)предаддитивной. Обозначим через Ka [1 ] полную подкатегорию M(K)[1 ], объекты которой — образы объектов K относительно компо зиции функторов P и In (говоря неформально, объекты “те же самые”, что и в K). Очевидно, что она (полу)предаддитивна, и что определен ад дитивный функтор из K в Ka [1 ], который мы также будем обозначать через P.

Теорема 7.3.2. Имеет место естественный изоморфизм категорий M(K)[1 ] M(Ka [1 ]) = Доказательство. Выясним, как устроена категория M(K)[1 ]. Класс объектов — тот же, что и у M(K), а значит — и у M(Ka [1 ]). Категория M(K)[1 ] (полу)предаддитивна, и обладает канонически изоморфными конечными произведениями и копроизведениями. Следовательно, морфизмы этой категории можно естественным образом отождествить с матрицами, элементы которых суть морфизмы между объектами — образами объектов K, то есть это морфизмы категории Ka [1 ]. Чтобы формальным образом указать функтор, устанавливающий изоморфизм категорий, заметим, что компо ненты матриц, представляющих морфизмы, обратные к морфизмам из, принадлежат Ka [1 ], и поэтому однозначно определен функтор из M(K)[1 ] в M(Ka [1 ]), делающий коммутативной диаграмму M(K)[1 ] K M(K) P M(P ) Ka [1 ] M(Ka [1 ]) Очевидно, что это и есть искомый изоморфизм.

Теорема 7.3.3. Для каждого аддитивного функтора G из K в (по лу)предаддитивную категорию L, такого, что M(G) обращает мор физмы из декартово мультипликативного класса M(K), сущест вует аддитивный функтор G : Ka [1 ] L, такой, что a G = G P.

a Функтор G определен однозначно.

a Доказательство. Существование функтора G a следует из a коммутативной диаграммы:

Ka [1 ]       K M(K) M(K)[1 ] M(Ka [1 ]) = G M(G) In L M(L) в которой все не обозначенные стрелки однозначно определяются из кон текста. Так как функтор In есть полное вложение, то по функтору K[1 ] M(L) однозначно строится искомый функтор. Легко заме тить, что эта последовательность рассуждений обратима. А именно, по данной коммутативной диаграмме G K L Ka [1 ] однозначно восстанавливается и диаграмма, приведенная выше.

С помощью этой теоремы можно строить предаддитивные катего рии частных, то есть универсальные -обращающие объекты в кате гории предаддитивных категорий (в том же смысле, в каком обычные категории частных являются универсальными в категории всех кате горий). Это делается так. Пусть A — предаддитивная категория, — произвольный класс морфизмов категории A. Рассматривая A как полную подкатегорию M(A), расширим до минимального декартово мультипликативно замкнутого множества m, содержащего. Теперь можно определить A[1 ] как полную подкатегорию M(A)[1 ], объек m ты которой — образы объектов A. Очевидно, что определен функтор из A в A[1 ], обладающий требуемым универсальным свойством.

Заметим, что этот результат был анонсирован в заметках [14], [92] (подробное доказательство появилось только в нашей работе [58], кото рая лежит в основе данной главы 7). Как следствие, получаются кольца частных. Как следствие, получаются кольца частных. Возьмем предад дитивную категорию R с одним объектом X, которая полностью опре деляется кольцом R = R(X, X). Тогда категория M(R) будет категори ей свободных R-модулей конечного ранга с фиксированными базисами, морфизмы которой — матрицы с элементами из R. Условие декартовой мультипликативной замкнутости переформулируется так: если матрица A принадлежит, то таковы же и блочные матрицы ( ) ( ) 10 A,.

0A Будем называть это свойство матричной мультипликативной за мкнутостью. (В русском переводе первого издания книги [108] множест во с несколько более сильным условием называлось мультипликатив ным).

Теорема 7.3.4. Если R — ассоциативное кольцо с единицей, — мно жество матриц над R, которое матрично мультипликативно замк нуто, то существует кольцо R[1 ] и универсальный -обращающий гомоморфизм колец R R[1 ], причем имеет место изоморфизм категорий M(R)[1 ] M(R[1 ]).

= Доказательство. Следует из теорем 7.3.3 и 7.3.4.

Кольца частных в смысле Джорджа Бергмана ([102]) также допус кают обобщение на случай предаддитивных категорий. Рассматривает ся предаддитивная категория A, и декартово мультипликативно замк нутое множество морфизмов категории P(M(A)). Заметим, что эта категория предаддитивна, и обладает произведениями, которые одновре менно являются копроизведениями. Следовательно, категория частных P(M(A))[1 ] будет предаддитивной, и можно определить предадди тивную категорию M(A)[1 ] как полную подкатегорию P(M(A))[1 ] с теми же объектами, что и в M(A), и предаддитивную категорию Aa [1 ] как полную подкатегорию M(A)[1 ] с теми же объектами, что и в A.

Примерно так же, как делалось выше, проверяются универсальные свой ства этих категорий, а также изоморфизм M(A)[1 ] M(Aa [1 ]).

= Наконец, рассмотрим конструкцию матричной локализации, принадле жащую В.Н. Герасимову [15] и П. Малколмсону [149] (в книге [108] вос произведен вариант, принадлежащий Герасимову, обозначения которого будут использоваться ниже). Очевидно, что все построения почти дослов но можно словно можно воспроизвести, заменяя кольцо R на предадди тивную категорию R, а элементы кольца — на морфизмы.

Таким образом, для данного класса морфизмов Mor(M(R)), такого, что вместе с морфизмами, в нем содержится и любой морфизм вида ( ) для любого подходящего, и, кроме того, 1, строится категория BM(R, ), объекты которой — пары объектов из M(R), а морфизмы — блочные матрицы вида ( ) = Предполагается, что в M(R) среди объектов есть и последовательность нулевой длины, так что некоторые из блоков могут быть пустыми. Ком позиция морфизмов определяется равенством:

= 0 0 и, кроме того, определяется еще операция, похожая на сложение морфиз мов: + = 0 0.

0 0 Категория BM(R, ) факторизуется по следующей конгруэнции: блоч ные матрицы и эквивалентны тогда и только тогда, если их компо ненты в M(R) можно включить в соотношение вида 0 = 0 0 0 0 0 0 0 в котором,, а вместо звездочек могут находиться произвольные морфизмы.

Дословно воспроизводя доказательства работы [15], получаем в результате, что факторкатегория изоморфна категории M(Ra [1 ]). В частности, любой морфизм Ra [1 ] имеет вид 1, где — мор физм R,, — морфизмы из M(R),.

В заключение отметим некоторые близкие по теме работы. В [110] доказана теорема, похожая на нашу теорему 7.1.4. В препринте [90, § 3, § 4] дано явное описание обобщения конструкции Герасимова из [13] на случай предаддитивных категорий.

ЛИТЕРАТУРА [1] Айгнер, М. Комбинаторная теория/ М. Айгнер — М.: Мир, 1982. — 558 с.

[2] Артамонов, В.А. Клоны полилинейных операций/ В.А. Артамонов // Успехи мат. наук. — 1969. — Т. 24. — Вып. 1. — С. 47 – 59.

[3] Баранович, Т.М. Линейные -алгебры/ Т.М. Баранович, М.С. Бур гин // Успехи мат. наук. — 1975. — Т. 30. — Вып. 4. — С. 61–106.

[4] Басс, Х. Алгебраическая К-теория / Х.Басс — М.: Мир, 1973. — 592 с.

[5] Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин — М.:

Наука, 1985. — 448 с.

[6] Березин, Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными / Ф.А. Березин — М.:Изд-во МГУ, 1983. — 208 с.

[7] Бордман, Дж. Гомотопически инвариантные алгебраические струк туры на топологических пространствах / Дж. Бордман, Р.Фогт — М.: Мир, 1977. – 408 с. (Boardman J.M., Vogt R.M. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. — Lecture Notes in Math. — 1973. — V. 347.) [8] Бухараев, Р.Г. Основы теории вероятностных автоматов / Р.Г. Бу хараев — М.: Наука, 1985. — 400 с.

[9] Васюков, В.Л. Категорная логика/ В.Л. Васюков — М.:АНО Инсти тут логики, 2005. — 194 с.

[10] Габриэль, П. Категории частных и теория гомотопий/ П. Габриэль, М. Цисман — М.: Мир, 1971.— 295 с.

[11] Гаспарян, А.С. О некоторых приложениях многомерных матриц/ А.С. Гаспарян — М.: ВЦ АН СССР, 1983. — 60 с.

[12] Гельфанд, С.М. Методы гомологической алгебры: В 2-х т. Т. 1. Вве дение в теорию когомологий и производные категории/ С.М. Гель фанд, Ю.И. Манин — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 416 с.

[13] Герасимов, В.Н. Обращающие гомоморфизмы колец/ В.Н. Герасимов // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18. — № 6. — С. 648–663.

[14] Герасимов, В.Н. О локализации полугрупп, категорий и колец / В.Н.

Герасимов // Пятый всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск, 21–23 сентября 1982 г.). — Новосибирск, 1982. — С. 34-35.

[15] Герасимов, В.Н. Локализация в ассоциативных кольцах/ В.Н. Гера симов // Сиб. матем. журн. — 1982. — Т. 23. — № 6. — С. 36–54.

[16] Глушков, В.М. Алгебра. Языки. Программирование. 3-е изд. / В.М.

Глушков, Г.Е. Цейтлин Г.Е., Е.Л. Ющенко — Киев: Наукова думка, 1989. — 376 с.

[17] Долгунцева, И.А. Когомологии Хохшильда ассоциативных конформ ных алгебр / И.А. Долгунцева —

Автореферат кандидатской диссер тации. — Новосибирск, 2008. — 14 с.

[18] Доценко, В.В. Формулы характера операды пары согласованных ско бок и бигамильтоновой операды/ В.В. Доценко, А.С. Хорошкин // Функц. анализ и его прилож. — 2007. — Т. 41. — № 1. — C. 1 – 22.

[19] Доценко, В.В. Аналоги алгебры Орлика-Соломона и связанные с ни ми операды / В.В. Доценко — Автореферат кандидатской диссерта ции. — Москва, 2007. — 10 с.

[20] Джекобсон, Н. Строение колец / Н. Джекобсон — М.:Ин. лит., 1961.

— 392 с.

[21] Джонстон, П. Теория топосов / Д. Джонстон — М.: Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1986. — 440 с.

[22] Дубиле, П. Об основах комбинаторной теории: идея производящей функции / П. Дубиле, Дж.-К. Рота, Р. Стенли // Перечислительные задачи комбинаторного анализа. — М.: Мир, 1979. — С. 160 – 228.

[23] Емеличев, В.А. Лекции по теории графов/ В.А. Емеличев, О.И.

Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич — М.: Наука, 1990. — 384 с.

[24] Жевлаков, К.А. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов — М.:Наука. Гл. ред.

физ.-мат. лит., 1978. — 432 с.

[25] Заворотченко, И.А. Об однородной структуре свободных суперал гебр Ли / И.А. Заворотченко // Вестн. МГУ. Сер. 1. — 1991. — № 3.

— С. 80 – 82.

[26] Замулин, А.В. Типы данных в языках программирования и базах данных / А.В. Замулин — Новосибирск: Наука, 1987. — 150 с.

[27] Зельманов, Е.И. Первичные альтернативные супералгебры и нильпо тентность радикала свободной альтернативной алгебры / Е.И. Зель манов, И.П. Шестаков // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1990. — Т. 54. — № 4. — С. 676 – 693.

[28] Кацов, Е.Б. Тензорное произведение функторов / Е.Б. Кацов // Сиб.

мат. журн. — 1978. — Т. 19. — № 2. —С. 318 – 327.

[29] Кизнер, Ф.И. Две теоремы о тождествах в мультиоператорных алге брах / Ф.И. Кизнер // Успехи мат. наук. — 1969. — Т. 24. — № 1.

— С. 39 – 42.

[30] Клячко, А.А. Элементы Ли в тензорной алгебре / А.А. Клячко // Сиб. мат. журн. — Т. 15. — № 6. — С. 1296 – 1304.

[31] Коксетер, Г.С.М. Порождающие элементы и определяющие соотно шения дискретных групп/ Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер — М.:

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 240 с.

[32] Колесников, П.С. Строение ассоциативных конформных алгебр / П.С. Колесников — Автореферат докторской диссертации. — Но восибирск, 2008. — 26 с.


[33] Кон, П. Универсальная алгебра / П. Кон — М.: Мир, 1968. — 352 с.

[34] Кузьмин, Е.Н. Неассоциативные структуры / Е.Н. Кузьмин, И.П.

Шестаков // Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 1990. — Т. 57. — С. 179 – 266.

[35] Курош, А.Г. Мультиоператорные кольца и алгебры / А.Г. Курош // Успехи мат. наук. — 1969. — Т. 24. — Вып. 1. — С. 3 – 15.

[36] Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре. Изд. второе. / А.Г. Курош — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973 — 400 с.

[37] Маклейн, C. Категории для работающего математика / С. Маклейн — М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с.

[38] Максимов, В.М. Кубические стохастические матрицы и их вероят ностные интерпретации / В.М. Максимов // Теория вероятн. и ее примен. — 1996. — Т. 41. — Вып. 1. — С. 89 – 106.

[39] Мальцев, А.И. Структурная характеристика некоторых классов ал гебр / А.И. Мальцев // Докл. АН СССР. — 1958. — Т. 120. — № 1.

— С. 29 – 32.

[40] Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев — М.: Нау ка, 1970. — 392 с.

[41] Манин, Ю.И. Математика как метафора / Ю.И. Манин — М.: МЦН МО, 2008. — 400 с.

[42] Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Успехи мат. наук. — 1990. — Т. 45. — Вып. 6. — С. 25 – 45.

[43] Мовсисян, Ю.М. Сверхтождества и сверхмногообразия в алгебрах / Ю.М. Мовсисян — Ереван: Изд-во Ереван. ун-та, 1990. — 232 с.

[44] Мун, Дж. В. Вложение турниров в простые турниры / Дж.В. Мун // Теория графов. Покрытия, укладки, турниры. — М.: Мир, 1974.

— С. 169 – 174.

[45] Мэй, Дж.П. Геометрия итерированных пространств петель / Дж.П.

Мэй — В книге [7], С. 267–403. (May, J.P. The geometry of iterated loop spaces / J.P. May — Lecture Notes in Mathematics, 1972.— V. 271.— 175 p.) [46] Общая алгебра. Т.2. / В.А. Артамонов, В.Н. Салий, Л.А. Скорняков и др. Под общ. ред. Л.А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.

лит., 1991. — 480 с.

[47] Пинус, А.Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений / А.Г. Пинус — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. — 239 с.

[48] Плоткин, Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных / Б.И. Плоткин — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

— 448 с.

[49] Рыбников, К.А. Комбинаторный анализ. Очерки истории / К.А. Рыб ников — М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. — 125 с.

[50] Семенова, А.В. Операды конечных помеченных графов и решеток / А.В. Семенова — Кандидатская диссертация. — Казань, 2008. — 109 с.

[51] Свитцер, Р.М. Алгебраическая топология. Гомотопии и гомологии/ Р.М. Свитцер — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. — 608 с.

[52] Скорняков, Л.А. Алгебра стохастических распределений / Л.А. Скор няков // Изв. вузов. Математика. — 1982. — № 11. — С. 59 – 67.

[53] Скорняков, Л.А. Стохастическая алгебра / Л.А. Скорняков // Изв.

вузов. Математика. — 1985. — № 7. — С. 3 – 11.

[54] Смирнов, В.А. Операдные и симплициальные методы в алгебраи ческой топологии / В.А. Смирнов — М.: Факториал Пресс, 2002. – 272 с.

[55] Смирнов, Д.М. Многообразия алгебр / Д.М. Смирнов — Новоси бирск: ВО “Наука”. Сибирская издательская фирма, 1992. — 205 с.

[56] Соколов, Н.П. Введение в теорию многомерных матриц / Н.П. Соко лов — Киев: Наукова думка, 1972. — 175 с.

[57] Стенли, Р. Перечислительная комбинаторика / Р.Н. Стенли — М:

Мир, 1990. — 440 с.

[58] Тронин, С.Н. Произведения в категориях частных и универсальное обращение гомоморфизмов / С.Н. Тронин // Матем. сборник. — 1997.

— Т. 188. — № 10. — С. 109 – 130.

[59] Тронин, С.Н. Матричные линейные операды / С.Н. Тронин, О.А.

Копп // Изв. вузов. Математика. — 2000. — № 8. — С. 53 – 62.

[60] Тронин, С.Н. Операды в категории конвексоров. I / С.Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 3. — С. 42 – 50.

[61] Тронин, С.Н. Операды в категории конвексоров. II / С.Н. Тронин // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 61 – 69.

[62] Тронин, С.Н. Абстрактные клоны и операды / С.Н. Тронин // Сиб.

мат. журн. — 2002. — Т. 43. — № 4. — С. 924 – 936.

[63] Тронин, С.Н. Операды конечных помеченных графов / С.Н. Тронин, А.В. Семенова // Изв. вузов. Математика. — 2004. — № 4. — С. – 60.

[64] Тронин, С.Н. О некоторых операдах, связанных с операдой симмет рических групп. I / С.Н. Тронин, Л.Д. Гареева // Изв. вузов. Мате матика. — 2004. — № 9. — С. 61 – 72.

[65] Тронин, С.Н. Операды и многообразия алгебр, определяемые поли линейными тождествами / С.Н. Тронин // Сиб. мат. журн. — 2006.

— Т. 47. — № 3. — С. 670 – 694.

[66] Тронин, С.Н. Мультикатегории и многообразия многосортных ал гебр / С.Н. Тронин // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49. — № 5. — С. 1185 – 1202.

[67] Тронин, С.Н. Супералгебры и операды. I / С.Н. Тронин // Сиб. мат.

журнал. — 2009. — Т. 50. — № 3. — С. 631 – 646.

[68] Тронин, С.Н. О супералгебрах над операдами / С.Н. Тронин // Сиб.

мат. журнал. — 2009. — Т. 50. — № 6. — С. 1401 – 1412.

[69] Тронин, С.Н. Операда конечных помеченных турниров / С.Н. Тро нин, Л.Т. Абдулмянова // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 2.

— C. 65 – 75.

[70] Тронин, С.Н. Алгебры над операдой сфер / С.Н. Тронин // Изв.

вузов. Математика. — 2010. — № 3. — С. 72 – 81.

[71] Тронин, С.Н. Операдные аналоги алгебр инцидентности / С.Н. Тро нин // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 8. — Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. — С. 112 – 120.

[72] Тронин, С.Н. О строении свободных супералгебр Ли / С.Н. Тронин // Тез. сообщ. IV Всесоюзн. школы “Алгебры Ли и их применения в математике и физике”, посвящ. 80-летию со дня рожд. проф. В.В.

Морозова. Казань, 30 мая – 5 июня 1990 г. — Казань, 1990. — С. 45.

[73] Tronin, S.N. On the universal inverting of matrices over preadditive category / S.N. Tronin // Алгебра и Анализ. Тез. докладов междунар.

научн. конфер., посвящ. 100-летию со дня рожд. Н.Г. Чеботарева (5 11 июня 1994 г., г. Казань). Часть I. — Казань, 1994. — С. 150 – 151.

[74] Тронин, С.Н. Супералгебры и линейные операды / С.Н. Тронин // Тез.сообщ. междунар. алгебр. конф., посвящ. памяти проф. Л.М. Глу скина (922-1985). Славянск, Донецкая обл. Украина (25-29 сент. г.). — Киев, 1997. — С. 93 – 94.

[75] Тронин, С.Н. Матричные линейные операды / С.Н. Тронин, О.А.

Копп // Алгебра и Анализ. Тез. докл. школы-конф., посвящ. 100 летию со дня рожд. Б.М. Гагаева (16-22 июня 1997 г., г. Казань). — Казань, 1997. — С. 216 – 217.

[76] Тронин, С.Н. Операды в категории конвексоров / С.Н. Тронин // Универс. алгебра и ее приложения. Тез. докл. международн. семин., посвящ. помяти проф. Л.А. Скорнякова. — Волгоград, 6-11 сент.


1999. — Волгоград: “Перемена”, 1999. — С. 62 – 63.

[77] Тронин, С.Н. Многообразия супералгебр и линейные операды / С.Н.

Тронин // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы.

Материалы школы-конференции, посвящ. 130-летию со дня рожд.

Д.Ф.Егорова (Казань, 13-18 сентября 1999г.) - Казань, Казанск. мат.

об-во 1999. — С. 224 – 227.

[78] Тронин, С.Н. Операды конечных графов и гиперграфов / С.Н. Тро нин // Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского. Т.5. Актуальные проблемы математики и механики. — Казань: “Унипресс”, 2000. — С. 207 – 208.

[79] Тронин, С.Н. Абстрактные клоны и операды / С.Н. Тронин // Логи ка и приложения. Тез. междунар. конфер., посвящ. 60-летию ссо дня рожд. акад. Ю.Л. Ершова. Новосибирск, 4-6 мая 2000 г. — Новоси бирск, 2000. — C.100.

[80] Тронин, С.Н. О характеризации многообразий алгебр над W операдами / С.Н. Тронин // Междунар. алгебр. конф., посвящ. 250 летию Московского гос. ун-та и 75-летию каф. высш. алгебры. Тез.

докл. — Москва: Изд-во мехмата МГУ, 2004. — С.127 – 128.

[81] Тронин, С.Н. Теория операд и универсальная алгебра / С.Н. Тронин // Алгебра и анализ-2004 / Материалы междунар. конф., посвящ.

200-летию Казанского гос. ун-та. Казань, 2-9 июля 2004 г. — Казань:

Изд-во Казанск. мат. об-ва, 2004. — С. 20 – 21. (Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского, Т. 23).

[82] Tronin, S.N. Natural multitransformations of multifunctors / S.N. Tronin // Международн. алгебр. конфер., посвящ. 100-летию со дня рожд.

А.Г.Куроша. Тезисы докладов. — М.: Изд-во мехмата МГУ, 2008. — С. 363 – 364.

[83] Тронин, С.Н. О многообразиях, задаваемых полилинейными тож дествами / С.Н. Тронин // Тез. сообщ. XIX Всесоюзн. алгебр. кон ференции, 9–11 сент. 1987 г. Часть 2. – Львов, 1987. – С. 280.

[84] Тронин, С.Н. О некоторых свойствах алгебраических теорий много образий линейных алгебр I. Многообразия: задаваемые полилиней ными тождествами / С.Н. Тронин / Казанский. гос. ун-т. — Казань, 1988. — 31 с. — ДЕП. в ВИНИТИ 11.08.1988, № 6511-B88.

[85] Тронин, С.Н. О некоторых свойствах финитарных алгебраических теорий / С.Н. Тронин // Тез. сообщ. V Сибирской школы по мно гообразиям алгебр. систем, 1 – 5 июля 1988 г. — Барнаул, 1988. — С. 68 – 70.

[86] Тронин, С.Н. О ретракциях свободных алгебр и модулей / С.Н. Тро нин — Кандидатская диссертация. — Кишинев, 1989. — 105 с.

[87] Тронин, С.Н. Об одной конструкции в теории проективных алгебр / С.Н. Тронин // Матем. заметки. — 1984. — Т. 35. — № 5. — С. 647–652.

[88] Тронин, С.Н. О коммутативных ассоциативных проективных алге брах ранга 2 над совершенным полем / С.Н. Тронин // Матем. за метки. — 1987. Т. 41. — № 6. — С. 776–780.

[89] Тронин, С.Н. Ретракты и ретракции свободных алгебр / С.Н. Тро нин // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 1. — С. 67–78.

[90] Фаизов, С.К. Свободные произведения категорий и обращающие функторы. Препринт / С.К. Фаизов — Киев: Институт матем. АН УССР, 1982.

[91] Фейс, К. Алгебра: кольца, модули, категории. Том 1 / К. Фейс — М:

Мир, 1977. — 688 с.

[92] Фомина, Н.В. Категории частных и кольца частных / Н.В. Фомина // XVIII Всесоюзная алгебр. конференция.Кишинев, 11–18 сентября 1985 г. Тезисы сообщ. Часть 2. — Кишинев, 1988. — С. 240.

[93] Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари — М.: Мир, 1973. – 304 с.

[94] Харари, Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер — М.: Мир, 1977. — 324 с.

[95] Цаленко, М.Ш. Моделирование семантики в базах данных / М.Ш.

Цаленко — М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1989. — 288 с.

[96] Шестаков, И.П. Первичные супералгебры Мальцева / И.П. Шестаков // Матем. сб. — 1991. — Т. 182. — № 9. — С. 1357 – 1366.

[97] Almkvist, G. Fractional categories / G. Almkvist // Ark. Mat. — 1968.

— Band 7. — Hafte 5. — P. 449–476.

[98] Baez, J.C. Higher-Dimensional Algebra III: n-Categories and the Algebra of Opetopes / J.C. Baez, J. Dolan // Advances in Math. — 1998. — V. 135. — № 2. — P. 145–206.

[99] Batanin, M.A. Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories / M.A. Batanin // Adv. Math. — 1998. — V. 136. — № 1. — P. 39 – 103.

[100] Beilinson A.A. Chiral algebras / A.A. Beilinson, V.G. Drinfeld — Providence, RI: AMS, 2004 (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 51).

[101] Berele, A. Hook Young Diagrams with applications to Combinatorics and to Representation of Lie Superalgebras / A. Berele, A. Regev // Adv. Math. — 1987. — V. 64. — № 2. — P. 118 – 175.

[102] Bergman, G. Coproducts and some universal ring constructions / G.Bergman // Trans. Amer. Math. Soc. — 1974. — V. 200. — P. – 88.

[103] Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory / F.Borceux — Cambridge University Press, 1994.

[104] Borceux F. Handbook of Categorical Algebra 2. Categories and Structures / F.Borceux — Cambridge University Press, 1994.

[105] Boudabbous, Y. Indecomposability and duality of tournaments / Y.Boudabbous, J.Dammak, P.Ille // Discr. Math. — 2000. — V. 223.

— № 1. — P. 55 – 82.

[106] Brinkmeier, M. Operads and Terms. Technical Report / M.Brinkmeier — TU Ilmenau, 2003. — 60 p. (Доступно на сай те: http://eiche.theoinf.tu-ilmenau.de/mbrinkme/) [107] Burroni, A. T -categories (categories dans un triple) / A.Burroni // Cahiers de topologie et geom. dier. categoriques. — 1971. — T. 12. — № 3. — P. 215 – 321.

[108] Cohn, P. Free rings and their relations. Second edition / P. Cohn — Academic Press,1985. — 558 p.

[109] Curien, P.-L. Operads, clones, and distributive laws / P.-L. Curien — 2006. — 21 p. (Доступно на сайте http://www.pps.jussieu.fr/curien).

[110] Day, B. Note on monoidal localization / B. Day // Bull. Austral. Math.

Soc. — 1973. — V. 8. — № 1. — P. 1–16.

[111] Dialgebras and Related Operads / J.-L. Loday (Ed.) — Berlin:

Springer-Verlag, 2001. (Lecture Notes in Mathematics, V. 1763).

[112] Dotsenko, V. Grbner bases for operads / V.Dotsenko, A.Khoroshkin o // Preprint arXiv:0812.4069v2 [math.QA]. — 2009. — 28 p.

[113] Dotsenko, V. Freeness theorems for operads via Grbner bases / o V.Dotsenko // Preprint arXiv:0906.4958v3 [math.RA]. — 2010. — 16 p.

[114] Ehresmann, C. Categories et structures / C.Ehresmann — Paris:

Dunod, 1965. — 359 p.

[115] Elmendorf, A.D. Rings, modules and algebras in innite loop space theory / A.D. Elmendorf, M.A. Mandell // Adv. Math. — 2006. — V. 205. — № 1. — P. 163–228.

[116] Fox, T.F. Distributive Laws, Bialgebras and Cohomology / T.F.Fox, M.Markl // Contemp. Math. — 1997. — V. 202. — P. 167 – 205.

[117] Fresse, B. Modules over Operads and Functors / B.Fresse — Springer Verlag, Berlin - Heidelberg, 2009. Lecture Notes in Mathematics, V. 1967.

[118] Getzler, E. Operads, Homotopy algebra, and iterated integrals for double loop spaces / E. Getzler E., J.D.S. Jones // Preprint ArXiv:

hep-th/9403055 — 1993. — P. 1 – 70.

[119] Ginzburg, V. Koszul duality for operads / V. Ginzburg, M. Kapranov // Duke Math. J. — 1994. — V. 76. — № 1. — P. 203 – 272.

[120] Ginzburg, V. Erratum to “Koszul duality for operads” / V. Ginzburg, M. Kapranov // Duke Math. J. — 1995. — V. 80. — № 1 — P. 293.

[121] Gold, M. Coherence for Categoried Algebraic Theories / M.Gold — Thesis for the degree of Doctor of Philosophy. — Glasgow, 2008. — 119 p.

[122] Grtzer, G. Universal Algebra / G.Grtzer — Princeton: D.Van a a Nostrand Company, 1968. — 368 p.

[123] Grothendieck, A. Categories brees et descente / A.Grothendieck // Lecture Notes in Mathem. — 1971. — V. 224. — P. 145–194.

[124] Hermida, C. Representable Multicategories / C.Hermida // Advances in Math. — 2000. — V. 151. — № 2. — P. 164–225.

[125] Hermida, C. On weak higher dimensional categories I: Part 1 / C.Hermida, M.Makkai, J.Power // J. Pure Appl. Algebra. — 2000. — V. 154. — № 1–3. — P. 221–246.

[126] Hermida, C. On weak higher dimensional categories I — 2 / C.Hermida, M.Makkai, J.Power // J. Pure Appl. Algebra. — 2001. — V. 157. — № 2– 3. — P. 247–277.

[127] Hermida, C. On weak higher dimensional categories I — 3 / C.Hermida, M.Makkai, J.Power // J. Pure Appl. Algebra. — 2002. — V. 166. — № 1– 2. — P. 83 – 104.

[128] Higgins, P.J. Algebras with a scheme of operators / P.J. Higgins // Math. Nachr. — 1963. — V. 27. — № 1,2. — P. 115 – 132.

[129] Joyal, A. Foncteurs analitiques et especes de structures / A.Joyal // Lecture Notes in Math. — 1986. — V. 1234. — P. 126 –159.

[130] Kapranov, M. Operads and Algebraic Geometry / M.Kapranov // Proc.

Int. Congr. Math. Berlin, 1998. August 18-27. V. II: Invited Lectures.

(Documenta Mathematica. Extra Volume ICM. II.– P. 277-286).

[131] Kapranov, M. Modules and Morita theorem for operads / M.Kapranov, Yu.Manin // Amer. J. Math. — 2001. — V. 123. — № 5. — P. 811–838.

[132] Katsov, Y. On diagrams and atness of functors / Y.Katsov // J. of Pure and Appl. Algebra. — 2000. — V. 154. — № 1–3. — O. 247 – 256.

[133] Kelly, G.M. Review of the elements of 2-categories / G.M.Kelly, Ross Street // Lecture Notes in Math. — 1974. — V. 420. —P. 75 – 103.

[134] Kelly, G.M. On the operads of J.P.May / G.M.Kelly // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 13. — P. 1–13.

[135] Kontsevich, M. Deformation of algebras over operads and Deligne’s conjecture / M.Kontsevich, Y.Soibelman // Conference Moshe Flato, 1999. V. 1. Math.Phys. Studies, № 21. — Kluwer, 2000. — P. 225 – 308.

[136] Kriz, I. Operads, algebras, modules, and motives / I.Kriz, J.P.May // Asterisque. — 1995. — V. 223. — P. 1 – 137.

[137] Lambek, J. Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories / J.Lambek // Lecture Notes in Math. — 1969. — V. 86. — P. 76–122.

[138] Lawvere, F.W. Functorial semantics of algebraic theories / F.W.

Lawvere // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1963. — V. 50. — № 5.

— P. 869–872.

[139] Leinster, T. General Operads and Multicategories / T.Leinster // Preprint arXiv:CT/9810053, 1998. — 34 p.

[140] Leinster, T. Higher Operads, Higher Categories / T.Leinster — London Math. Soc. Lect. Notes Ser., Cambr. Univ. Press, 2003. — 410 p.

[141] Leinster, T. Operads in Higher-Dimensional Category Theory / T.Leinster // Theory and Appl. of Categories. — 2004. — V. 12. — № 3. — P. 73 – 94.

[142] Leinster, T. Are Operads Algebraic Theories? / T.Leinster // Bull.

London Math. Soc. — 2006. — V. 38. —№ 2. — P. 233 – 238.

[143] Levit, V.E. On hereditary properties of composition graphs / V.E.Levit, E.Mandrescu // Discuss. math. Graph. Theory. — 1998. — V. 18. — № 2. — P. 183 – 195.

[144] Loday, J.-L. La renaissance des operades / J.-L. Loday // Asterisque.

— 1996. — V. 237. — P. 47 – 74.

[145] Loday, J.-L. Encyclopedia of types of algebras / J.-L. Loday — 2007. — 127 p. (Доступно на сайте: http://www-irma.u-strasbg.fr/loday/).

[146] Loday, J.-L. Generalized bialgebras and triple of operads / J.-L. Loday // Asterisque. — 2008. — V. 320. — 116 p.

[147] Lyubashenko, V. A -algebras, A -categories, and A -functors / V.Lyubashenko, O.Manzyuk // Handbook of Algebra. Vol. 5. 2008. — P. 143 – 188.

[148] MacLane, S. Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory / S.MacLane, I.Moerdijk — New York: Springer, 1992. — 620 p.

[149] Malcolmson, P. Construction of universal matrix localizations / P.

Malcolmson //Lecture Notes in Math. — 1982. — V. 951. — P. 117–131.

[150] Manes, E. Algebraic Theories / E.Manes — New York: Springer, 1976.

— 356 p.

[151] Manin, Yu.I. Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces / Yu.I.Manin — Amer.Math.Soc. Colloquium publications, V. 47, 1999. — 300 p.

[152] Markl, M. Operads in Algebra, Topology and Physics / M.Markl, S.Shnider, J.Stashe — AMS, Math. Surveys and Monographs, V. 96, 2002. — 349 p.

[153] Markl, M. Operads and PROPs / M.Markl // Handbook of Algebra.

Vol. 5. 2008. — P. 87 – 140.

[154] May, J.P. Operads, algebras and modules / J.P. May // Contemp.

Math. — 1997. — V. 202. — P. 15 – 31.

[155] Operads: Proceedings of Renaissance Conferences / J.-L. Loday, J.D.

Stashe, A.A. Voronov (Eds.) — Contemporary Math. — 1997. — V.

202. — 443 p.

[156] Piontkovski, D. On Kurosh problem in varieties of algebras / D.Piontkovski // J. math. Sci. — 2009. — V. 163. — № 6. — P. 743 – 750.

[157] Skornjakov, L.A. Convexors / L.A.Skornjakov // Studia Sci. Math.

Hungar. — 1981. — V. 116. — № 1–2. — P. 25 – 34.

[158] Shubert, H. Kategorien II / H.Shubert — Berlin: Academie Verlag,1970. — 148 p.

[159] Snydal, C.T. Relaxed multicategory structure of a global category of rings and modules / C.T.Snydal // J. Pure and Appl. Algebra. — 2002.

— V. 168. — P. 407 – 423.

[160] Szendrei, A. Clones in Universal Algebra / A.Szendrei — Montreal: Les presses de l’universite de Momtreal, 1986. — 166 p.

[161] Voronov, A.A. Notes on Universal Algebra /A.A.Voronov // Preprint arXiv:math.QA/0111009 v2. — 2001. — 22 p.

[162] Zois, I.P. Operads and Quantum Gravity / I.P.Zois // Reports on Math.

Physics. — 2005. — V. 55. — № 3. — P. 307 –323.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.