авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 45 |

«[Эта страница воспроизводит соответствующую страницу книги, подготовленную издательством] Владимир Андреевич Успенский ...»

-- [ Страница 9 ] --

показывается, как оценка этой длины может принести пользу при анализе шахматных окончаний. Самая популярная шахматная фигура | конь | служит предметом четвёртой и пятой глав. Четвёртая Избранные предисловия глава | пример сведения воедино шахматной и математической проблема тики: отправляясь от свойства коня менять цвет поля при каждом ходе, автор предлагает основанные на этом свойстве решения как шахматных этюдов, так и математических задач;

шахматный термин «ретроградный анализ»

соседствует здесь с математическим термином «граф». Пятая глава целиком посвящена знаменитой задаче Эйлера об обходе конём всех полей шахматной доски. В главе шестой излагается ряд комбинаторных и занимательно§шах матных задач, связанных с расстановкой и движением ладей.

Седьмая глава содержит различные задачи о движении и расстановке ферзей. Она открывается задачей о доминирующих ферзях, т. е. о таких фер зях, которые в своей совокупности держат под боем все поля доски. В вось мой главе, напротив, исследуется задача о независимых ферзях, т. е. о таких, из которых ни один не бьёт другого;

эта задача знаменита тем, что ею за нимался Гаусс. В девятой главе минимальное число доминирующих фигур и максимальное число независимых фигур вычисляется для королей, ладей, сло нов, коней и пешек. Для полноты картины стоило бы, пожалуй, привести по зиции с доминирующими и независимыми пешками и для случая, когда этим пешкам разрешается быть разных цветов (для прочих фигур цвет не играет, разумеется, никакой роли в вопросах независимости и доминирования).

В главе десятой предпринимается попытка выразить в цифрах, причём математически убедительно, сравнительную силу шахматных фигур. Эта проблема не может не занимать и практического шахматиста, и математика, составляющего программу шахматной игры для вычислительной машины.

Все знают, конечно, что сила той или иной фигуры зависит от конкретной ситуации на доске и что нетрудно придумать позицию, где конь оказывается сильнее ферзя;

но никто не сомневается, вместе с тем, что ферзь всё§таки более сильная фигура, нежели конь. Естественно считать фигуру тем силь нее, чем большее число полей она может бить;

это число угрожаемых полей зависит от исходной позиции фигуры, и для всех фигур, кроме пешки (ко торая ходит одним способом, а бьёт | другим), совпадает с числом полей, достижимых из данного поля за один ход. Вычисляя число достижимых по лей для каждого возможного для данной фигуры исходного поля, складывая эти числа и деля их на число возможных исходных полей, мы получаем коли чественно выраженную оценку средней силы фигуры. Соответствующие ци фры приведены на с. 116 книги Е. Я. Гика. Замечательно, что они не слишком расходятся с шахматной традицией, хотя предложенный способ вычисления, по меньшей мере, по двум причинам может рассматриваться лишь как са мое первое приближение к истинной силе фигур (если такое понятие вообще имеет смысл). Во§первых, не совсем ясно, насколько проводимые вычисления отражают силу пешки, поскольку для неё угрожаемые поля не совпадают с достижимыми;

кроме того, если вести расчёт не на один ход, а, скажем, на два, то пешка, стоящая на предпоследней горизонтали, получает, ввиду пре Предисловие к книге Е. Я. Гика «Математика на шахматной доске»

вращения, гораздо более широкие возможности движения. Во§вторых, вы числения для каждой фигуры проводятся в искусственной ситуации, когда на доске расположена только эта фигура;

число достижимых полей, конечно, изменится, если на доске будут стоять и другие фигуры: ферзь, окружён ный со всех сторон фигурами своего цвета, имеет ноль достижимых полей, в то время как конь в том же положении может иметь их восемь. Разумеет ся, подсчёт числа достижимых полей не только для каждого исходного поля (как это сделано в книге), но и для каждой дислокации фигур на остальных полях вызывает колоссальные трудности.

Одиннадцатая глава вновь возвращает читателя к занимательному жа нру. Здесь рассматриваются позиции, в которых требуется произвести пере становку фигур, подчинённую тем или иным условиям;

излагается остроум ный метод «пуговиц и нитей», нередко помогающий при решении подобных головоломок. В двенадцатой главе конструируются партии и позиции, от дельные характеристики которых являются рекордно большими или рекорд но малыми | например, самые короткие партии, приводящие к мату, пату или «голым» королям, и позиции с самым большим числом ходов или шахов.

Одни из этих рекордов являются абсолютными | в том смысле, что не могут быть улучшены;

другие всего лишь относительными, но зато представляю щими тем самым читателю возможность получить улучшенный результат.

В главе тринадцатой рассматриваются некоторые обобщения шахматной игры. К ним относятся как игры на обычной шахматной доске, но с необыч ными правилами, так и игры на необычных досках. Подобные игры отнюдь не являются только плодом чистого воображения. Так, предложенная Мар тином Гарднером игра в «уполовиненные шахматы» (доска 5 5, и у каждой стороны по пять пешек и по одной фигуре каждого вида, причём пешке за прещено ходить на два поля сразу) пользуется популярностью у московских школьников, а знаменитый Капабланка с целью преодолеть казавшуюся ему неотвратимой «ничейную смерть» шахмат играл (и выиграл со счётом 3 : 1) в 1929 г. матч с венгерским гроссмейстером Мароци на доске 1612 с удвоен ным комплектом фигур (начальный ход пешки возможен сразу на три поля, а для победы достаточно заматовать любого из королей противника). Обе эти игры естественно дополняют перечень, приведённый в главе 13.

Можно надеяться, что «Математика на шахматной доске» доставит чи тателям несколько часов удовольствия и что в недалёком будущем появится более обстоятельная книга на ту же тему.

Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире»

Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно рас положилась в самых разных его частях и уголках. Несмотря на то, что вторжение математики продолжается | и со всё возрастающей интенсивно стью, | удивление по этому поводу скорее даже убывает: математическая экспансия стала привычной. Сейчас уже все смирились со словосочетания ми: «математическая биология», «математическая лингвистика», «математи ческая экономика», «математическая психология»;

и какую бы дисциплину ни взять, вряд ли кому§нибудь покажется невозможным присоединение к её наименованию эпитета «математический».

Распространение математики вширь сопровождается её проникновением вглубь;

математика занимает теперь видное положение в жизни общества.

Изменилось и традиционное представление о математиках: место пагане леобразных чудаков заняли в этом представлении молодые люди в ковбой ках, занимающиеся лыжным спортом. Всё большее число родителей желает определить своих детей в школы с математическим уклоном: математика стала модной профессией.

Исчерпывающие причины такого стремительного (в течение последних десяти{пятнадцати лет) изменения роли математики в современном мире, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, совре менникам этого изменения. Однако уже сейчас можно, пожалуй, сказать, что основная причина заключается не только и не столько в конкретных успехах математики за последние годы, сколько в осознании необъятных возмож ностей применения математики и в появлении возросших потребностей в использовании этих возможностей.

Опубликовано в книге: Математика в современном мире / Перевод с английского Н. Г. Рычковой. | М.: «Мир», 1967. | С. 5{11.

Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире»

Тем не менее повсеместное проникновение математики некоторым ка жется загадочным, а некоторым | подозрительным. В самом деле, не вы зывает сомнений право на всеобщее признание, скажем, физики или химии:

физика открывает нам новые мощные источники энергии и новые средства быстрой связи, химия создаёт искусственные ткани, а сейчас покушается и на создание искусственной пищи. (Сказанное не претендует, разумеется, на какое§либо определение и тем более ограничение роли физики и химии.) Не удивительно, что эти науки, помогающие человеку в его извечных по исках силы, связи, одежды и еды, прочно и почётно вошли в нашу жизнь.

А ведь математика проникла даже в науки, традиционно считающиеся гу манитарными. И хотя, например, в языкознании пользуются физическими приборами для исследования устной речи, никто не говорит о «физической лингвистике».

Так что же даёт людям математика, такая теоретическая наука, которая не открывает ни новых вещей, как химия, ни новых средств движения (дви жения вещей или сигналов), как физика? И почему появление в какой§либо отрасли науки математических методов исследования или хотя бы просто математического осмысления соответствующей системы понятий и фактов всегда означает и достижение этой отраслью определённого уровня зрелости, и начало нового этапа в её дальнейшем развитии? Наиболее распространён ный в недавнем прошлом ответ состоял в том, что математика умеет хорошо вычислять и тем самым позволяет находить в нужных случаях требуемые цифровые данные. Однако при всей важности вычислительного аспекта ма тематики | и особенно в последние годы, ознаменованные столь бурным развитием вычислительной техники, | этот аспект оказывается и второ степенным, и вторичным при попытке объяснить причины математизации современного мира.

Любая попытка дать краткое объяснение этих причин неизбежно приве дёт к неполной и неточной формулировке. Если всё же заранее согласиться на это, то можно сказать следующее: математика предлагает весьма общие и достаточно чёткие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками;

действительность же так усложнилась (как за счёт по знания новых её сторон, так и за счёт создания человеком новых её форм), что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей ныне не обойтись. Появление таких моделей в какой§либо отрасли науки свидетельствует о том, что система понятий этой отрасли уточнилась настолько, что может быть подвергнута строгому и абстрактному, т. е. математическому, изучению. Такое изучение в свою очередь играет решающую роль в дальнейшем уточнении понятий, а следо вательно, и в успешном их применении. Математическая модель нередко за даётся в виде особого «языка», предназначенного для описания тех или иных Избранные предисловия явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVII в. дифференциальное и интегральное исчисления. Важнейшим примером математического языка, описывающим количественную сторону явлений, служит «язык цифр»;

вот почему упомянутый выше вычислительный аспект математики как произ водный от её основного языкового аспекта мы назвали «вторичным». Заме чательно, что хотя математическая модель создаётся человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения;

позна вая её свойства, мы тем самым познаём и свойства отражённой моделью реальности.

Сказанным обусловлен и специфический характер математических от крытий. Естественнонаучные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира. Математические же открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее ре волюционные открытия дают начало новым моделям. Так, поистине револю ционный характер носило осознание древними бесконечности натурального ряда, а точнее, создание такого понятия натурального числа (такой моде ли), при котором натуральных чисел оказывалось бесконечно много (ведь представление, что числа бывают только, скажем, до миллиарда, а дальше чисел нет, вряд ли могло быть опровергнуто прямым наблюдением). Воз никнув как инструмент в исследовании мира, понятие натурального числа само стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия. Поразительным достижением античной математики было, например, установление бесконечности множества 1 про стых чисел | поразительным как по постановке вопроса о бесконечности, хотя и без употребления самого слова «бесконечность», так и по безукориз ненной точности формулировки ответа (как гласит двадцатое предложение IX книги Евклидовых «Начал», «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») и по неожиданной простоте до казательства. Точно так же принятая нами геометрическая картина мира неизбежно приводит к наличию несоизмеримых отрезков, потрясшему ещё пифагорейцев.

Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с вели чайшими достижениями математической мысли прошлого века | открыти ем неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было об наружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одина ково хорошо согласующимися с действительностью при определённых воз 1 «Множество» | принятый в математике синоним слова «совокупность».

Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире»

можностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора про демонстрировала возможность строгого изучения бесконечности;

она рас пространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа;

оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.

Теория множеств дала универсальную систему понятий, которая охва тила все существовавшие к тому времени математические теории. Вместе с тем при дальнейшем развитии теории множеств появились существенные трудности, не преодолённые полностью до сих пор. Исследования последних лет дают основания считать, что созданная Кантором «наивная теория мно жеств» описывает на самом деле не одну, а сразу несколько «теоретико§мно жественных моделей», так что факты, верные в одной модели, могут быть неверны в другой 2. Если это так (а, по§видимому, это действительно так), то «наивная» теория множеств расщепится на несколько моделей, подобно то му как основанная на непосредственных пространственных представлениях «наглядная» геометрия расщепилась в прошлом веке на евклидову и неев клидовы. Подобное расщепление моделей происходит, пожалуй, всё же реже, чем обратный процесс, приводящий к возникновению на основе нескольких моделей одной обобщающей «сверхмодели»;

именно так, отвлекаясь от част ностей, возникают алгебраические понятия кольца, поля, группы, структуры и даже поглощающее их все понятие универсальной алгебры.

Мы видим, что «модель Кантора» оказывается недостаточно чёткой | а ведь выше говорилось именно о «достаточной чёткости» как характерной черте математических моделей. Дело в том, что само понятие «достаточной чёткости», конечно, не абсолютно, а исторически обусловлено. Определения, открывающие собой Евклидовы «Начала»: «Точка есть то, что не имеет ча стей», «Линия же | длина без ширины» и т. д., казались, вероятно, доста точно чёткими современникам Евклида (III в. до н. э.), а непреложность его системы в целом не подвергалась публичным сомнениям вплоть до 1826 г., когда Н. И. Лобачевский сделал свой первый доклад. Зато именно сомнения в этой непреложности и привели в конечном счёте к современной (достаточно чёткой на сегодняшний день) формулировке евклидовой системы геометрии.

Итак, действительное значение математической строгости не следует преувеличивать и доводить до абсурда;

здравый смысл в математике не ме нее уместен, чем во всякой другой науке. Более того, во все времена круп 2 Кажется на первый взгляд непостижимым, как это у такого «наглядного» понятия, как «совокупность», могут быть разные математические модели;

но ведь в прошлом веке, да и сейчас ещё, многим было столь же непонятно, что возможны различ ные математические модели «наглядного» представления о расположении прямых на плоскости.

Избранные предисловия ные математические идеи опережали господствующие стандарты строгости.

Так было с великим открытием XVII в. | созданием основ анализа беско нечно малых (т. е. основ дифференциального и интегрального исчисления) Ньютоном и Лейбницем. Введённое ими в обиход понятие «бесконечно ма лой» определялось весьма туманно и казалось загадочным современникам (в том числе, по§видимому, и самим его авторам). Тем не менее оно с успе хом использовалось в математике. Разработанный Ньютоном и Лейбницем символический язык не имел точной семантики (которая в удовлетворяющей нас сейчас форме была найдена лишь через полтораста лет), но даже и в таком виде позволял описывать и исследовать важнейшие явления действи тельности. Так было и с такими фундаментальными понятиями математики, как предел, вероятность, алгоритм, которыми пользовались, не дожидаясь их уточнения. Так обстоит дело и с «самым главным» понятием математики | понятием доказательства. «Со времён греков говорить "математика\ | зна чит говорить "доказательство\» | этими словами открывается знаменитый трактат Н. Бурбаки «Начала математики» 3. Однако читатель заметит, что знакомое ему ещё со школы понятие доказательства носит скорее психоло гический, чем математический характер. Доказательство (в общепринятом употреблении этого слова) | это всего лишь рассуждение, которое должно убедить нас настолько, что мы сами готовы убеждать с его помощью других.

Несомненно, что уточнение этого понятия (во всей полноте его объёма) | одна из важнейших задач математики.

Трудовые будни математики по необходимости состоят в получении но вых теорем, открывающих новые связи между известными понятиями (хотя и теперь ещё приходится слышать | правда, всё реже | удивлённое: «Как?

Неужели ещё не всё открыто в этой вашей математике?»). Однако к этому математика отнюдь не сводится. Вот какие цели математического исследо вания считает важными А. Н. Колмогоров:

1. Привести общие логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14{15 лет.

2. Уничтожить расхождение между «строгими» методами чистых матема тиков и «нестрогими» приёмами математических рассуждений, применяемых прикладными математиками, физиками и техниками.

Две сформулированные задачи тесно связаны между собой. По поводу второй замечу, что в отличие от времён создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления математики умеют сейчас без большого промедления подводить фундамент логически безукоризненных математических построений под любые методы расчёта, родившиеся из жи 3 Н. Б у р б а к и. Теория множеств / Перевод с французского. М.: «Мир», 1965. | С. 23.

Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире»

вой физической и технической интуиции и оправдывающие себя на практике.

Но фундамент этот иногда оказывается столь хитро построенным, что моло дые математики, гордые пониманием его устройства, принимают фундамент за всё здание. Физики же и инженеры, будучи не в силах в нём разобраться, изготовляют для себя вместо него временные шаткие подмостки.

(А. Н. К о л м о г о р о в. Простоту сложному // «Известия», 31.12.1962) Непрерывное повышение уровня математической строгости одновремен но с попытками представить самые сложные построения так, чтобы они стали интуитивно наглядными, возникновение одних понятий и уточнение других, переставших удовлетворять новым требованиям, расщепление ка завшихся ещё недавно незыблемыми моделей и образование новых обобщаю щих моделей | весь этот исполненный большого внутреннего драматизма процесс характерен для математики не менее, чем доказательство теорем (без которого, впрочем, описанный процесс был бы совершенно бессодержа телен, да и вообще не мог бы иметь места).

Математика подобна искусству | и не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что ма тематика, как и искусство, | это особый способ познания. Имеет, быть может, смысл по аналогии с художественными образами говорить о «мате матических образах» как специфической для математики форме отражения действительности.

Представление о математике не как о простом собрании теорем, а как о могучем инструменте познания характерно и для сборника «Математика в современном мире». Именно с этой точки зрения освещаются в его одинна дцати статьях различные стороны современной математики. Первая статья имеет вводный характер. Последняя рассказывает о техническом средстве современной математики | вычислительных машинах, в частности о том, как эти машины, которые вначале служили математике лишь устами для возвещения миру своих решений на понятном ему языке цифр, способству ют ныне прогрессу самой математики.

Остальные статьи затрагивают отдельные части математики (статьи со второй по шестую) и различные её приложения (статьи с седьмой по де сятую). Как отмечается уже во вводной статье, разделение математики на «чистую» и «прикладную» весьма условно. Во всех этих статьях рассматри ваются те или иные математические модели. Просто в каждой из статей, посвящённых основным частям математики, эти модели объединены общно стью строения, а в каждой из остальных четырёх статей | общностью их применения. В этих последних статьях специальный упор сделан на исполь зование моделей. Впрочем, и в предыдущих, «неприкладных» статьях связи математических моделей с отражаемыми ими явлениями из самых разных областей действительности уделяется большое внимание. Несколько особое Избранные предисловия место в этой схеме занимает статья о теории регулирования. По аналогии с тремя предшествующими ей статьями её можно было бы назвать «Матема тика в теории регулирования», однако этого не сделано, и, по§видимому, по тому, что в теории регулирования грань между явлениями, составляющими сам предмет теории, и математическими моделями этих явлений остаётся ещё довольно неопределённой.

Предлагаемая читателю книга представляет собой сборник переводов статей, образующих тематический номер журнала «Scientic American» за сентябрь 1964 г. Этот научно§популярный журнал выходит с 1845 г. и поль зуется широким признанием во всём мире.

Статьи указанного номера журнала написаны видными зарубежными учёными | десятью математиками, живущими в Америке, и одним эконо мистом, живущим в Англии. Вводная статья принадлежит одному из са мых известных математиков современного мира Рихарду Куранту. Совет скому читателю имя Куранта известно по переводам на русский язык фунда ментальной монографии «Методы математической физики», учебника «Курс дифференциального и интегрального исчисления» и популярной книги «Что такое математика».

Сочинения большинства других авторов, в том числе научно§популяр ные, также переводились на русский язык. Так, только в 1965 г. у нас вышли «Прелюдия к математике» У. У. Сойера (автора статьи «Алгебра»), «Вероят ность и смежные вопросы в физике» Марка Каца (автора статьи «Теория вероятностей»), «Неравенства», «Введение в неравенства» и «Прикладные за дачи динамического программирования» Ричарда Беллмана (автора статьи «Теория регулирования»);

в позапрошлом году | «Процессы регулирования с адаптацией» того же Р. Беллмана и «Нерешённые математические задачи»

Станислава Улама (автора статьи «Вычислительные машины»);

в 1963 г. | «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел» М. Каца и «Статистическая теория энергетических уровней сложных систем» Фримэна Дайсона (автора статьи «Математика в физических нау ках»). Перевод книги автора статьи «Математика в общественных науках»

Ричарда Стоуна «Метод "затраты | выпуск\ и национальные счета» изда вался даже дважды | в 1964 и 1966 гг. Автор статьи «Математика в био логических исследованиях» Э. Ф. Мур известен советскому читателю своей работой, помещённой в сборнике «Автоматы» (Москва, 1966 г.);

его именем теперь названы автоматы, рассмотренные в указанной работе.

Помимо единой точки зрения на роль математики, статьи сборника объ единены общностью объёма (по 16{18 страниц), непринуждённостью стиля и оригинальностью изложения. Последняя в сочетании с индивидуальностью каждого автора не могла не сделать статьи достаточно разнообразными.

Для статей, посвящённых приложениям математики, характерна известная субъективность в отборе материала. Впрочем, этого, вероятно, и нельзя из Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире»

бежать, если стремиться | в рамках заданного объёма | продемонстри ровать применимость математических идей на отдельных более детально разобранных примерах.

Девять статей из одиннадцати посвящены в основном современному со стоянию соответствующих математических идей, хотя и с историческими экскурсами;

цель статей «Арифметика» и «Геометрия» | показать становле ние арифметической и геометрической мысли в историческом развитии. Тем большее недоумение вызывает то, что в статье «Геометрия» даже не упоми наются имена основоположников неевклидовой геометрии Бльяй и Лобачев о ского. Это заставляет скептически отнестись ко всем историко§математи ческим взглядам автора статьи и с осторожностью подойти к освещению вопросов истории науки в сборнике в целом;

впрочем, эти вопросы носят в данной книге подчинённый характер. К сожалению, разнообразие стиля статей коснулось и их доступности. Одни из них, например «Алгебра», ока зались более, другие, как, например, «Математика в физических науках», менее доступными для читателя§неспециалиста. Но даже сравнительно бо лее сложные разделы книги читаются с неослабевающим интересом, так как почти всюду ощущается искреннее желание авторов донести до всех чита телей современного мира богатство и своеобычность математических идей.

Особое место в книге занимают иллюстрации и таблицы. Прекрасно вы полненные и снабжённые развёрнутыми комментариями, они не просто де лают более наглядным содержание соответствующих статей, но и служат, по существу, их конспектами. Комментарии к ним настолько подробны, что их можно читать независимо от основного текста;

тем самым иллюстрации и таблицы образуют как бы книгу в книге.

Нет сомнения, что выход в свет этого сборника будет с интересом встре чен советскими читателями.

Предисловие к книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику» I Во взаимоотношениях математики с её приложениями сравнительно не давно наступил глубокий перелом. Раньше можно было более или менее чётко указать пограничные, «прикладные» области математики и глубинные, «чи сто теоретические» её недра. Эти недра не имели непосредственного выхода на поверхность, в них осуществлялись свои собственные процессы (конечно, не без влияния периферии). Так, в античные времена математика сносилась с практикой через элементарную геометрию и искусство счёта | в то время как «в глубине» создавались «Начала» Евклида с их дедуктивной организаци ей геометрии, с геометрическими построениями, с основами теории чисел.

В новое время прикладное значение имело исчисление бесконечно малых, для обоснования которого «в недрах» развивалась общая теория множеств и фун кций, вызвавшая в свою очередь к жизни математическую логику.

В XX веке положение начало меняться. Неевклидовы геометрии, откры тые в связи с (казалось бы) чисто умозрительным вопросом о пятом посту лате Евклида, оказались теоретическим фундаментом теории относительно сти. Теория групп стала применяться в физике. Абстрактная теория меры, возникшая из потребности логического уточнения понятий длины, площади и объёма, легла в основу теории вероятностей, а через неё | и математи ческой статистики. Но подлинный переворот наступил в середине века, ко Опубликовано в книге: Ю. А. Ш и х а н о в и ч. Введение в современную математику (Начальные понятия). | М.: Физматлит, 1965. | С. 5{12.

1 Есть некоторая разница между введением в современную математику и современ ным введением в математику. Последнее словосочетание больше отвечает содержа нию книги;

а ещё лучше было бы озаглавить её просто «Введение в математику».

Предисловие к книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику»

гда математические методы стали активно вторгаться в самые различные сферы науки и практики. Оказалось, что математическая логика, которая раньше заботила лишь лиц, специально интересующихся проблемами обосно вания, есть не чисто теоретическая, но и прикладная наука, тесно связанная с вычислительной математикой и всей современной кибернетикой. Оказалось, далее, что теоретико§множественная концепция, возникшая первоначально для обоснования исчисления бесконечно малых, располагает столь мощным аппаратом понятий и методов, что может не только служить фундаментом всей современной математики, но и непосредственно употребляться для опи сания явлений самых различных наук | от биологии до лингвистики.

Всё чаще представители самых различных и прежде далёких от матема тики областей знания обращаются к математикам с вопросом «Что почитать для начала?», имея при этом в виду вовсе не втузовские учебники по диффе ренциальному и интегральному исчислению, а именно начальные пособия по теории множеств и языку математической логики. Однако им почти нечего порекомендовать | во всяком случае на русском языке. Нужные сведения не собраны воедино, а разбросаны по разным книгам 2. Как правило, начальные сведения по теории множеств составляют содержание первых, вспомогатель ных глав или специальных приложений 3 в руководствах по теории функций, топологии, алгебре и т. п. Такое положение едва ли можно признать нормаль ным и с точки зрения самой математики, даже если не думать о запросах представителей других наук. Представляется целесообразным поэтому со брать начальные сведения о базисных теоретико§множественных понятиях и элементах математического языка вместе и изложить их отдельно от их использования. Такая задача ставится и выполняется в книге Ю. А. Шиха новича.

II В книге систематически излагаются такие фундаментальные понятия, как ‘множество’, ‘кортеж’, ‘соответствие’, ‘функция’, ‘отношение’. Эти по нятия, на базе которых и осуществляется, собственно говоря, все теорети ко§множественное построение математики, с полным правом названы в кни 2 Некоторое исключение, пожалуй, представляет содержащая существенную часть та ких сведений переводная книга: Д ж. К е м е н и, Д ж. С н е л л, Д ж. Т о м п с о н.

Введение в конечную математику / Перевод с английского М. Г. Зайцевой. Под ред.

И. М. Яглома. | М.: ИЛ, 1963. | 486 с.

3 Лучшее из которых | приложение под названием «Простейшие понятия теории мно жеств» в книге: П. С. А л е к с а н д р о в. Введение в теорию групп. | Изд. 2§е. | М.: Учпедгиз, 1951. | С. 109{122.

Избранные предисловия ге «начальными понятиями математики» 4. Наряду с ними в книге излага ются и элементы математического языка: разбираются понятия переменной, операции над высказываниями и т. д.

Подобная направленность книги делает её весьма актуальной. Действи тельно, сейчас, как никогда, становится ясным, что математика | это не только совокупность фактов, изложенных в виде теорем, но прежде всего | арсенал методов, и даже ещё прежде того | я з ы к для описания фак тов и методов самых разных областей науки и практической деятельности.

Именно этим обстоятельством и обусловливается универсальный характер применимости математики | причём применимости её не только к техниче ским, физическим и другим дисциплинам, требующим часто значительного математического аппарата (и иногда с трудом отделимым от пограничных прикладных областей самой математики), а ко всем отраслям науки (если можно так сказать, к Науке В Целом), да и не только науки 5. Лингвисту, например, или биологу, по моему убеждению, лишь во вторую очередь нужны математические теоремы, а в первую | математические методы исследова ний и язык для описания исследуемых явлений.

Если попытаться сформулировать некоторые общие цели обучения ма тематике представителей других наук (общие для самых разных наук), то можно выделить | с известной долей условности, как всегда в подобных случаях, | три такие цели:

1. Овладение математическими методами исследования, включающими прежде всего по возможности чёткое выделение основных абстракций, со 4 Их можно было бы назвать также «предварительными понятиями математики», по скольку математика не столько посвящена и з у ч е н и ю этих понятий, сколько с т р о и т с я на их основе. Именно поэтому для данной книги уместно название «Введение в математику»: ведь, как написано в одном старом учебнике, «предметом для введения в науку обыкновенно назначают предварительные о ней понятия, т. е.

такие понятия, которые не могут войти в состав самой науки, однакож существенно к ней относятся и необходимо ею предполагаются».

© В 1965 г., когда публиковался этот текст, назвать источник цитаты было невозможно: цензура не пропустила бы. На самом же деле приведённая в кавыч ках фраза открывает собою (на с. 7) следующую книгу: М а к а р и й. Введение в православное богословие. | Изд. 2§е, исправленное. | СПб.: в типографии Г. Тру сова, 1852. | 392+VI с. Её автор Макарий (в миру | Михаил Петрович Булгаков, 1816{1882) | выдающийся учёный и общественный деятель. С 1847 г. | доктор богословия (степень получена за первое издание книги), с 1850 г. по 1857 г. ректор Санкт§Петербургской духовной академии (в сане епископа Винницкого), с 1854 г. | ординарный академик Санкт§Петербургской академии наук, с 1879 г. | митропо лит Московский и Коломенский.  5 Эта общекультурная роль математики при всей её очевидности подчёркивается не достаточно часто. Более того, нередко можно слышать и даже читать, например, что главная цель обучения математике в средней школе | подготовка к дальнейше му обучению в вузах технического и сходного с ними профиля.

Предисловие к книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику»

знательную идеализацию, разграничение между определяемым и неопреде ляемым и между установленным и гипотетическим, дедуктивное получение одних фактов из других и т. п.

2. Овладение «математическим языком» | языком основных математиче ских понятий, столь общих, что с их помощью могут быть выражены многие факты действительности;

примерами таких понятий служат понятия мно жества, отображения (функции), упорядочения, изоморфизма, вероятности, энтропии, алгоритма, исчисления и т. п.;

к этому примыкает знакомство с основными понятиями логики, уточняемыми посредством математической логики, и кибернетики.

3. Овладение минимумом математических сведений, нужных для того, чтобы а) можно было самостоятельно применять математические результаты к исследуемому кругу явлений;

б) можно было самостоятельно читать литературу по приложениям ма тематики к изучаемой области знания;

в) можно было самостоятельно заниматься повышением своей математи ческой квалификации.

Третья из этих целей не случайно поставлена на последнее место, ибо, как уже отмечалось, она | при всей своей значительности | представляется менее важной, чем две другие.

Что же касается первых двух целей, то среди них трудно установить какой§нибудь приоритет. При всей привлекательности того, чтобы считать первую цель (овладение методом) более важной, она вряд ли достижима без осуществления второй (овладения языком). Математические методы иссле дования неизбежно начинаются с | явного или неявного | уточнения языка.

Причём главное в этом языке | не системы дифференциальных уравнений (которые суть уже «вторичные» образования, так сказать, высшие этажи), а прежде всего | фундамент, язык н а ч а л ь н ы х понятий. К их числу | во всяком случае, при теоретико§множественном изложении математики, | и относятся прежде всего уже упоминавшиеся понятия ‘множество’, ‘кор теж’, ‘соответствие’, ‘функция’, ‘отношение’. Их рассмотрению и посвящён основной раздел (раздел А) книги Ю. А. Шихановича.

Понятия множества, кортежа, соответствия, функции, отношения | это не только начальные понятия математики;

это (так же, как, например, по нятие натурального числа), по существу, начальные понятия любого науч ного языка, начальные понятия науки вообще. В специальном приложении Это приложение, имевшее заголовок «О понятиях ‘множество’, ‘кортеж’, ‘соответ ствие’, ‘функция’, ‘отношение’», публикуется на с. 163{173 настоящего издания. | Примеч. ред.

Избранные предисловия к настоящему предисловию даётся беглый обзор этих понятий. Этот обзор имеет своей целью 1) показать широкую применимость перечисленных начальных понятий;

2) продемонстрировать известные трудности, возникающие при попытке дать им строгие определения;

3) оправдать те определения (или тот выбор неопределяемых понятий), которые избрал для своего изложения Ю. А. Шиханович.

III Комментарии, содержащиеся в приложении к предисловию, представля ются тем более уместными, что в книге не излагаются никакие приложения рассматриваемых в ней начальных понятий к каким§либо конкретным отрас лям математики или других наук, за исключением приложений к комбинато рике 6 (которую естественно считать просто теорией конечных множеств) и одного приложения к лингвистике 7. Это обстоятельство вряд ли может считаться недостатком книги: ведь не требуют же от учебника какого§либо языка, чтобы он содержал хотя бы основы излагаемых с помощью этого язы ка научных теорий. Зато сам язык, конечно, должен быть изложен с большим тщанием | с каким и изложен в предлагаемой книге язык начальных поня тий математики. Уточнению языка придаётся в книге большое значение (и это одна из её наиболее характерных черт): уже в первом параграфе уточ няется смысл союзов и составленных с их помощью сложных высказываний;

в следующем параграфе вводится понятие переменной;

ещё в следующем | разъясняется смысл знака равенства «=».

Этой же целью обусловлено и включение в книгу раздела Б, излагающе го уточнения некоторых «школьных» терминов и обозначений. Дело в том, что математический язык неизбежно включает в себя ряд терминов и обо значений, формально долженствующих быть известными из средней школы.

Многие из них на самом деле усваиваются в школе очень плохо. Так, подавля ющее большинство школьников и учителей, с которыми приходилось иметь дело автору этих строк, не знало правильного употребления знака « ». Они считали, что «3 3» неверно и «3 5» тоже неверно;

и вообще, если a и b | произвольные, но фиксированные числа, высказывание «a b» не может быть верным;

утверждение же «sin x 1», по их мнению, верно, но лишь по тому, что для некоторых значений x имеет место неравенство sin x 1, а 6 В §3 гл. III и отчасти в §5 гл. VII (см. теорему о зависимости между отношениями совершенного строгого порядка на конечном множестве и перестановками над тем же множеством на с. 271).

7 См. пример 40 в §5 гл. VII.

Предисловие к книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику»

для некоторых | равенство sin x = 1.8 Далеко не все правильно понимают m смысл выражения a n.

Приучить читателя к необходимости и важности уточнения языка | это представляется мне одной из самостоятельных и существенных целей книги.

Уточнение научного (да и не только научного) языка является на самом деле важной проблемой, не получившей ещё, к сожалению, должного признания.

Между тем эта проблема имеет не только научное, но совершенно практиче ское значение: ясно, сколь большую роль, например, играет точность языка в юридических документах 9 ;

известно, что применение математических ме тодов в экономике в значительной степени затруднено именно недостаточной разработанностью языка описания экономических явлений.

С уточнением языка тесно связано повышение культуры мышления, чего настоятельно требуют интересы науки и народного хозяйства. В объём поня тия «высокая культура мышления» входит умение мыслить формально. Фор мальное мышление не следует смешивать с неумением мыслить неформально, содержательно;

формальное мышление | не нехватка чего§то, а особое ис кусство. Предлагаемая книга может служить пособием по обучению этому важному искусству.

IV Думается, что книга Ю. А. Шихановича, заполняющая существенный пробел в нашей литературе, будет встречена с интересом. Ведь подобное изложение предпринято в нашей литературе впервые. Впервые воедино и обособленно собран такой материал, впервые встречаются и многие детали изложения (например, впервые приводится аккуратная формулировка одной из «самых главных теорем» математики | теоремы о связи между отноше ниями эквивалентности и разбиениями 10 ). Можно рассчитывать, что книга Ю. А. Шихановича окажется также полезным материалом и одновременно «участником» того интенсивного обсуждения, которому подвергается сейчас все преподавание математики сверху донизу | от вуза до начальной школы.

Среди читателей§математиков немало, вероятно, найдётся тех, кто при дёт к заключению, что он изложил бы по§другому отдельные места этой книги или даже всю книгу в целом. Автор этого предисловия, если бы он писал такую книгу, также написал бы её иначе. Ясно, что различие вку 8 Таким образом, в обозначениях книги Ю. А. Шихановича выражение sin x 1 рас шифровывается ими так: (x)[sin x 1 sin x = 1]&(x)[sin x 1]&(x)[sin x = 1]:

9 См., например, по этому поводу: А. С. П и г о л к и н. Толкование нормативных ак тов в СССР. | М.: Госюриздат, 1962. | гл. II, §2 («Грамматическое толкование»).

10 В книге Ю. А. Шихановича эта теорема разделена на три теоремы | теоремы 1, и 3 из §4 гл. VII.

Избранные предисловия сов и стилей проявляется тем сильнее, чем более первоначальных предметов касается изложение. Однако мне представляется бесспорным, что реальный автор книги имеет не меньшее право на проявление своего личного стиля и вкуса, чем авторы потенциальные.

Таким образом, я считаю, что книга Ю. А. Шихановича сможет быть по лезной самым различным читателям | как нематематикам, заинтересован ным в овладении языком начальных математических понятий (понятий столь универсальных, что на их базе могут описываться явления из самых различ ных областей науки и жизни), так и математикам, заинтересованным в уточ нении собственного языка (хотя бы для того, чтобы нести свой уточнённый язык нематематикам). Математику нередко по разным поводам сравнивают со спортом, и это сравнение верно по крайней мере в одном: в математике бывают заметны иногда те недостатки, которые проявляются (опять§таки иногда) в спорте: выращивая рекорды, подчас забывают о будничной гиги енической гимнастике, о массовой физической культуре.

17 апреля 1965 г.

От редактора перевода книги А. Чёрча «Введение в математическую логику»

I В течение долгого времени математическая логика оставалась глубин ной областью математики и логики, обслуживавшей внутренние потребно сти этих наук. Эхо больших естественнонаучных приложений математики докатывалось до этой области лишь через проблематику оснований матема тики. Что же касается логики, то она не имела и, казалось, не могла иметь никаких конкретных приложений;

только в самые последние годы стало осо знаваться её прикладное значение.

Разумеется, и роль «внутренней науки» является почтенной и необходи мой. К тому же именно в этой роли математическая логика добилась выда ющихся успехов (по крайней мере один из её результатов достоин того, что бы быть известным каждому, кого интересуют возможности человеческого мышления: это так называемая теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность полной формализации процесса логического вывода).

Однако в течение последнего пятнадцатилетия установились новые свя зи между науками и открылись новые области приложений наук. Этот про цесс, сопровождающийся одновременным проникновением математических методов во всё более широкие области знания, затронул и математическую логику. Можно указать по меньшей мере четыре обстоятельства, делающих математическую логику особенно актуальной в наши дни:

1. Одну из новых областей приложения математики составляют вопросы анализа и синтеза конечных автоматов. Важными представителями конеч ных автоматов являются релейно§контактные и электронные схемы, идеали Опубликовано в книге: А. Ч ё р ч. Введение в математическую логику. | Т. 1. | М.:

ИЛ, 1960. | С. 5{11.

Избранные предисловия зированные «нервные сети» и т. п. При анализе и синтезе этих схем, сетей и т. п. с успехом используется разработанный в математической логике для её собственных нужд формальный аппарат 1.

2. Пожалуй, наиболее «прикладной» отраслью математики является сей час вычислительная математика. Существует глубокая связь между матема тической логикой и вычислительной математикой, основанная прежде всего на аналогии между процессами формального логического вывода и вычи слительными процессами 2.

3. Происходящий сейчас «кибернетический переворот» ставит машины на места, которые ранее в системе обмена информацией занимали люди и их объединения (подобно тому как промышленный переворот поставил ма шины на места, которые занимали ранее люди и их объединения в системе промышленного производства). Общепризнанно, что замена людей машина ми, способными воспринимать, перерабатывать, хранить и выдавать инфор мацию, будет происходить во всё возрастающих масштабах. Чтобы успешно возложить на машины функции, долгое время считавшиеся исключительной привилегией человеческого интеллекта, необходим, очевидно, формально§ло гический анализ этих функций. Очевидно также, что при передаче машинам всё более и более сложных функций потребуется создание специального язы ка, или языков, машин, на котором информация будет храниться в машинах и передаваться от машины к машине. Целесообразно, по§видимому, чтобы этот язык был лишён неправильностей естественных языков и следовал бы логической форме, т. е. был бы «формализованным языком» в том смысле, как он описан в последнем абзаце 00 книги Чёрча. Создание такого языка и тем более логический анализ возлагаемых на машины функций не есть, конечно, задача только математической логики, но математическая логи ка | понимаемая автором книги как «предмет формальной логики, изучае мый посредством построения формализованных языков», | может оказать тут существенную помощь.

4. Человечество накопило и продолжает со всё возрастающей быстро той накапливать огромные запасы информации в виде печатных текстов.

Вопросы эффективного использования этой информации уже сейчас при обрели характер важной самостоятельной научной задачи. Для её успешного решения необходимо провести логический анализ накопленной информации, 1 См. Синтез электронных вычислительных и управляющих схем, перевод с англий ского, ИЛ, М., 1954;

Автоматы, сборник статей под редакцией К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти, перевод с английского, ИЛ, М., 1956;

«Сборник статей по математи ческой логике и её приложениям к некоторым вопросам кибернетики», Труды Ма тематического института им. Стеклова, том 51, 1958.

2 Эта связь подробно рассмотрена в статье А. А. Маркова «Математическая логика и вычислительная математика» в журнале Вестник Академии наук СССР, Ђ 8, 1957.

От редактора перевода книги А. Чёрча «Введение в математическую логику»

что, в свою очередь, требует создания общих методов анализа логической структуры выраженной в виде печатного текста информации. На повестку дня встаёт и задача создания рациональных систем записи накапливаемой информации. (Все эти вопросы теснейшим образом связаны с вопросами ав томатической обработки печатных текстов, тем более что некоторые виды человеческой деятельности | перевод, реферирование, создание справочни ков, каталогов, энциклопедий | сводятся по существу к преобразованию одних текстов в другие.) Решающая роль принадлежит здесь (наряду с лин гвистикой) логике, и не в последнюю очередь | математической.

II Выдающийся математик и логик, профессор математики Принстонского университета (США) Алонзо Чёрч (Alonzo Church) известен своим вкладом в математическую логику и теорию алгоритмов. Следующие два результата Чёрча оказали особенно сильное влияние на развитие этих дисциплин.

1. Построение в 1935 г. (опубликовано в 1936 г.) первого примера нераз решимой массовой проблемы 3.

2. Доказательство неразрешимости проблемы разрешения для узкого ис числения предикатов (или, по принятой в этой книге терминологии, для чи стого функционального исчисления первого порядка), т. е. доказательство того, что не существует алгоритма, который по виду формулы этого исчи сления | описывающего значительный фрагмент логики | определял бы, выражает эта формула общелогическую истину или нет 4.

Алонзо Чёрч известен также как крупный знаток мировой литературы по математической логике. Им составлена знаменитая «Библиография ма тематической логики» 5, ставящая себе целью дать свод всей литературы по математической логике от времени зарождения этой науки до 1935 г.

включительно.

Естественно, что появление монографии столь авторитетного автора бы ло встречено с большим интересом. Изданный в качестве 17§го выпуска из вестной серии «Princeton Mathematical Series» первый том «Введения в мате матическую логику» быстро завоевал широкое признание и стал необходимой книгой для всякого, кто желает серьёзно изучить предмет. Том содержит 3 Массовая проблема состоит в требовании найти алгоритм для решения некоторой серии (для каждой массовой проблемы своей) «единичных» проблем. Массовая про блема неразрешима, если её решения, т. е. требуемого алгоритма, не существует.


Пример Чёрча опубликован в American Journal of Mathematics, том 58, с. 345{363.

4 The Journal of Symbolic, том 1, 1936, с. 40{42, 101{102.

5 «A bibliography of Symbolic Logic» в The Journal of Symbolic Logic, том 1, 1936, с. 121{128, том 3, 1938, с. 178{212.

Избранные предисловия описание метода математической логики и её первичных понятий (категорий математической логики, таких, как «имя», «переменная», «форма» и т. п.) и изложение пропозиционального исчисления (в другой терминологии | исчи сления высказываний) и функциональных исчислений двух первых порядков (в другой терминологии | исчислений предикатов двух первых ступеней).

Он может быть использован как в качестве систематического курса, причём не требующего никаких специальных знаний, хотя и предполагающего до вольно высокую математическую культуру, так и в качестве справочника, причём наиболее полного и удобного из существующих.

III Первый том «Введения в математическую логику» Чёрча (второй том по ка не опубликован 6 ) отличается тщательным отбором материала. Всё под чинено основной задаче | изучению формальной логики путём построения формализованных языков. При этом каждый формализованный язык рассма тривается в книге в соотнесении с другими формализованными языками | либо с языками, эквивалентными рассматриваемому и описывающими тот же, что и рассматриваемый язык, фрагмент формальной логики (так, автор говорит о различных формулировках пропозиционального исчисления), ли бо с языками, хотя и не эквивалентными рассматриваемому, но входящими вместе с ним в одно семейство близких друг другу языков (так, автор гово рит о различных функциональных исчислениях первого порядка). Тем самым удаётся избежать утомительного параллелизма;

одновременно делаются яс ными основные черты языков, описывающих данный фрагмент логики, и не создаётся ложного впечатления, что пропозициональное или функциональное исчисление | это то, что жёстко описано на такой§то странице такого§то сочинения.

Книга Чёрча посвящена именно математической логике, а не основаниям математики, что отличает её от Principia Mathematica Уайтхеда и Рассе ла, от Grundlagen der Mathematik Гильберта и Бернайса и от Introduction to Metamathematics Клини;

последняя книга вышла сравнительно недавно в русском переводе (С. К. Клини, Введение в метаматематику, 1957). Из име 6 © Чёрч умер 11 августа 1995 г. на 93§м году жизни (он родился 14 июня 1903 г.), так и не написав второго тома. В августе 1966 г. в Москве, в Главном здании Московско го университета, проходил очередной Международный конгресс математиков. Чёрч приехал на конгресс, но (к удивлению многих) доклад делал не на секции математи ческой логики и оснований математики, а на секции дифференциальных уравнений с частными производными. Его доклад назывался «Reduction of the Monge{Ampre e equation» и состоялся 17 августа (с 14 ч. 50 м. до 15 ч. 05 м.). Я воспользовался слу чаем, чтобы увидеть Чёрча и спросить о судьбе второго тома. И получил ответ, что этого тома не будет никогда.  От редактора перевода книги А. Чёрча «Введение в математическую логику»

ющихся на русском языке книг к 1§му тому «Введения в математическую ло гику» ближе всего примыкают Основы теоретической логики Д. Гильберта и В. Аккермана (перевод с немецкого, 1947). Однако «Введение в матема тическую логику» значительно превосходит «Основы теоретической логики»

как современностью и полнотой изложения, так и внимательностью к чи сто логическим вопросам и чёткостью в употреблении основных понятий (не говоря уже о том, что во втором томе будут изложены такие совершенно не затронутые в книге Гильберта и Аккермана темы, как конструктивная логика, аксиоматическая арифметика и аксиоматическая теория множеств).

Изложение автора отличается необычайной полнотой | как в смысле полноты рассмотрения каждого вопроса, так и в смысле полноты круга рас сматриваемых вопросов (с единственной оговоркой, что вовсе не рассматри ваются вопросы модальной логики). В книге собран огромный материал, распылённый до этого по журнальным статьям, подчас в трудно доступных изданиях. Кажется, нет в литературе такой детали, относящейся к како му§либо из рассматриваемых в книге построений, которая не была бы соот ветствующим образом отмечена.

Чтобы не перегружать основной текст, автор относит значительную часть фактов в упражнения, разбитые на 30 циклов. Существенную часть содержания книги составляют 550 нумерованных (1{372, 400{486, 500{590) примечаний, служащих для примеров, сравнений, ссылок, дополнений, тер минологических и исторических справок и т. д. (исторические вопросы осве щаются также в двух специальных параграфах). В английском оригинале эти примечания были подстрочными, в русском издании они перенесены в конец книги. Возможны различные способы использования этих примечаний | от чтения их параллельно основному тексту до полного их игнорирования при первом чтении. При намерении серьёзно проработать книгу лучше всего, по жалуй, читать каждый параграф по два раза | сперва один основной текст без примечаний, затем и основной текст, и примечания.

Наиболее замечательным разделом 1§го тома является Введение, содер жащее систематическое описание основных первичных понятий математиче ской логики и её метода. Ясность и последовательность, с которыми даётся это описание, вызывают восхищение. Выглядит, в частности, очень есте ственным, что первым рассматривается понятие имени (ведь дальнейшее из ложение, каково бы оно ни было, неизбежно будет употреблять имена упо минаемых объектов;

значит, надо прежде всего объяснить, что такое имя).

Введение можно рассматривать как самостоятельное литературное про изведение и читать само по себе, без установки на чтение дальнейших глав.

Оно может оказаться полезным и доступным и такому читателю, которому нет особой нужды или затруднительно читать всю книгу. Основные понятия и факты теории имён, прежде всего различение между предметом, обознача емым именем, и смыслом, выражаемым именем, необходимо знать каждому Избранные предисловия научному работнику, заинтересованному в уточнении терминологии своей науки.

Характерные для Введения стремление к максимально отчётливому изло жению и внимание к семантическим вопросам сохраняются на протяжении всей книги. Строя формализованные языки (даже такой простой, как про позициональное исчисление), автор каждый раз чётко указывает его интер претацию, не предполагая (как это сплошь и рядом делается в руководствах по математической логике) её саму собой разумеющейся или «постепенно вы являющейся». Там, где не было уверенности, передаёт ли русский перевод те же логические оттенки, что и английский текст, подлинный текст приводит ся в угловых скобках после русского перевода (подобная предосторожность тем более необходима, что автор нередко пользуется таким специфическим для английского языка приёмом, как терминологическое употребление опре делённого артикля).

IV Русская математико§логическая терминология, к сожалению, ещё не ус тоялась, поэтому при выборе русских переводов английских терминов встре чались иногда трудности. Английские прообразы для русских терминов, вхо дящих в предметный указатель (с. 461{477), могут быть восстановлены по этому указателю. В необходимых случаях английский термин, взятый в угло вые скобки, следует за своим русским переводом непосредственно в тексте.

Тем не менее представляется уместным обратить уже сейчас внимание чи тателя на употребление и перевод отдельных терминов.

1. В заключительной части 07 термины «символическая логика», «мате матическая логика» и «логистика» объявляются синонимами (не смешивать логистику с логицизмом | направлением в философии математики!).

2. В самом начале 08 проводится различие между синтаксисом в узком смысле (или просто синтаксисом) и синтаксисом в широком смысле (или логическим синтаксисом) и между элементарным синтаксисом и теорети ческим синтаксисом.

3. Английский термин «sentence», понимаемый сперва как единица выра жения в естественных языках и затем распространённый на формализован ные языки, переводится русским термином «предложение» (употребляемом согласно с принятым в грамматике значением «слово или сочетание слов, выражающее законченную мысль»;

см. Толковый словарь русского языка под ред. проф. Д. Н. Ушакова, т. III, М., 1939, с. 715).

4. Английский термин «proposition», означающий в этой книге т, что о может быть смыслом предложения, являющегося истинным или ложным, пе реводится русским термином «суждение». При этом, очевидно, принимается расширительное истолкование термина «суждение» по сравнению с истол От редактора перевода книги А. Чёрча «Введение в математическую логику»

кованием этого термина в отечественных руководствах по логике, где, как правило, рассматриваются лишь суждения, имеющие субъектно§предикат ную структуру. Новое истолкование лишь расширяет старое, но не противо речит ему, поскольку всякое суждение в старом понимании является сужде нием в новом понимании. Совместное употребление терминов «суждение» и «предложение» | так, как это получилось в русском издании книги Чёрча в результате принятого перевода терминов «proposition» и «sentence», | согла суется, по§видимому (с учётом указанной расширительности истолкования), с употреблением этих терминов в отечественной литературе.

5. Термин «высказывание» имелось в виду оставить для того неопреде лённого случая, когда не уточняется, идёт ли речь о предложении или о су ждении (в разъяснённом только что понимании этих терминов). Именно с такой ситуацией сталкивается читатель книги Гильберта и Аккермана (с этой точки зрения употребление в русском переводе этой книги термина «высказывание» следует признать удачным).

6. Английский термин «decision problem» переводится русским термином «проблема разрешения», что является терминологическим новшеством. Рань ше (см., например, русское издание книги Клини) это же понятие по навяз чивой традиции неудачно обозначалось термином «проблема разрешимости».


Представляется целесообразным отказаться, наконец, от этой традиции и проблему поиска разрешающей процедуры назвать проблемой разрешения.

Проблемой разрешимости (данной проблемы ) естественно называть сле дующую проблему: «узнать, разрешима ли проблема ».

31 марта 1959 г.

Часть ЯЗЫКОЗНАНИЕ К определению падежа по А. Н. Колмогорову § А. Н. Колмогоров предложил следующее определение падежа.

Предметы могут находиться в различных состояниях 1. Так, предмет, но сящий в русском языке название «молоко», может находиться в следующих состояниях: он может кипеть, его может не быть, его может пить кошка, его может пить собака и т. д. Состояния предмета выражаются в языке по средством предложений, в которых участвует существительное, являющееся названием этого предмета. Перечисленные выше состояния молока выража ются в русском языке посредством предложений: «молоко кипит», «молока нет», «кошка пьёт молоко», «собака пьёт молоко». При выражении посред ством предложений состояний, в которых находится данный предмет, его название употребляется в той или иной форме (в приведённых выше приме рах | «молоко», «молока»).

Два состояния назовём эквивалентными относительно данного предме та 2, если при выражении указанных состояний этого предмета в языке на звание этого предмета в обоих случаях употребляется в одной и той же фор ме. Например, два состояния, первое из которых состоит в том, что данный предмет кипит, а второе в том, что кошка пьёт данный предмет, эквивалент ны относительно предмета «молоко». Эти же состояния не эквивалентны от Опубликовано в продолжающемся сборнике: Бюллетень Объединения по проблемам ма шинного перевода. | Ђ5. | М.: [I МГПИИЯ], 1957. | С. 11{18.

1 Что здесь понимается под термином «состояние» и что значит «предмет находится в состоянии», выясняется из дальнейших примеров.

2 Здесь и в следующих параграфах правильнее было бы говорить об эквивалентности относительно пары (предмет | название). Мы сознательно допускаем известную неточность, чтобы не осложнять изложение.

Языкознание носительно предмета «вода»: «вода кипит», но «кошка пьёт воду». Назовём два состояния абсолютно эквивалентными, если они эквивалентны относительно любого предмета, могущего находиться в этих состояниях. Так, например, два состояния, первое из которых состоит в том, что кошка любит данный предмет, а второе в том, что собака пьёт данный предмет, являются эквива лентными относительно любого предмета, могущего находиться в этих со стояниях, и, следовательно, абсолютно эквивалентными. Совокупность всех состояний разбивается на непересекающиеся классы таким образом, что лю бые два состояния из одного и того же класса абсолютно эквивалентны, а любые два состояния из разных классов не абсолютно эквивалентны. Эти классы А. Н. Колмогоров и предложил называть падежами.

К сожалению, это определение не является вполне корректным, дело в том, что одно и то же состояние для одного и того же предмета может выражаться посредством различных предложений, причём названия этого предмета могут стоять в различных формах. Например, «мальчик идёт бе регом» и «мальчик идёт по берегу»;

«рабочий строит дом» и «дом строится рабочим». Вследствие этого само определение эквивалентности относитель но данного предмета перестаёт быть ясным. (Один из возможных способов устранения этой неясности состоит в том, чтобы считать два состояния, име ющие различные языковые выражения, разными состояниями, ведь различ ные предложения всегда | хотя бы чуть§чуть | различаются по смыслу.) § Обмен мнениями по вопросу об определении падежа, состоявшийся в се минаре 3 и его кулуарах (имеются в виду, в частности, идеи, высказанные Р. Л. Добрушиным и И. А. Мельчуком), подсказывает возможность следую щего пути.

Конечную упорядоченную строчку, на каждом месте которой стоит либо слово, либо многоточие, причём многоточие встречается только один раз, бу дем называть набором слов с пропуском (для краткости | просто набором).

Например, 1........ кипит 2. кошка пьёт.......

3. кошке пьёт.......

4. кошка любит.......

5........ пьёт молоко суть пять различных наборов слов с пропуском. При подстановке в набор слов с пропуском вместо многоточия какого§либо слова (в некоторой фор 3© О семинаре «Некоторые применения математических методов в языкознании»

см. в Послесловии на с. 297{298.  К определению падежа по Колмогорову: ме) может получиться правильное предложение. Например, при подстановке во второй и четвёртый из приведённых выше наборов слова «вода» в фор ме «воду» получаются правильные предложения «кошка пьёт воду» и «кошка любит воду», при той же подстановке в третий набор получается «кошке пьёт воду», что правильным предложением не является. Слово, которое, бу дучи подставлено в некоторой своей форме в данный набор, превращает этот набор в правильное предложение, будем называть допустимым для данного набора. Набор, для которого существует хоть одно допустимое слово, также назовём допустимым. Заметим, что мы не занимаемся здесь вопросом о том, что такое «правильное предложение», есть ли это, например, выражение не коего реального обстоятельства или просто совокупность слов, сочетаемая по некоторым фиксированным грамматическим правилам (в зависимости от выбора той или иной точки зрения результат подстановки формы «воду» в пятый пример будет или не будет считаться правильным предложением).

Два набора назовём эквивалентными относительно данного существи тельного, допустимого для каждого из них, если подстановка одной и той же формы этого существительного обращает оба набора в правильные пред ложения. Например, первый и второй из выписанных выше наборов экви валентны относительно существительного «молоко», ибо, чтобы превратить эти наборы в правильные предложения, надо в каждый из них подставить рассматриваемое существительное в одной и той же форме «молоко», и в то же время эти же наборы не эквивалентны относительно существитель ного «вода», так как в первый из них надлежит подставлять форму «вода», а во второй форму «воду». Наборы «мальчик идёт....... » и «мальчик идёт по....... » не эквивалентны относительно существительного «берег», а на боры «....... строит дом» и «дом строится....... » не эквивалентны отно сительно существительного «рабочий». Назовём, далее, два набора непосред ственно эквивалентными, если для них существует хотя бы одно общее допу стимое слово и если они эквивалентны относительно любого допустимого для каждого из них слова. Например, наборы «....... бежала» и «....... бежит»

суть непосредственно эквивалентные наборы. Наконец, назовём два набора P и Q абсолютно эквивалентными, если существует такая цепочка наборов X1, X2,..., Xn, что:

1) при каждом i наборы Xi и Xi+1 непосредственно эквивалентны;

2) X1 = P ;

3) Xn = Q.

Например, «....... бежала» и «....... бежал» суть абсолютно эквивалент ные наборы: соответствующая цепочка состоит из наборов «....... бежала», «....... бежит», «....... бежал».

Совокупность всех допустимых наборов слов с пропуском разбивается на непересекающиеся классы таким образом, что любые два набора из одно Языкознание го и того же класса абсолютно эквивалентны и любые два набора из раз ных классов не абсолютно эквивалентны. Можно предложить эти классы называть падежами. Возникает, однако, следующая неприятность. Наборы «я вижу синий....... » и «синий....... стоит» оказываются непосредственно эквивалентными и, следовательно, абсолютно эквивалентными, хотя мы име ем здесь дело с разными падежами. Чтобы избежать подобных казусов, мы предлагаем (в качестве не наилучшего, но наилегчайшего выхода) запретить употребление в наборах прилагательных, порядковых числительных и т. п.

(это запрещение распространяется и на следующий параграф).

Остаётся, тем не менее, трудность того же характера, что и в преды дущем параграфе. Один и тот же набор может обращаться в правильное предложение посредством подстановок разных форм одного и того же суще ствительного. Например, «не читал газеты» и «не читал газету»;

«дал кошке»

и «дал кошку». Поэтому определение эквивалентности относительно данно го существительного оказывается неясным. (Для устранения этой неясно сти следует, быть может, рассматривать лишь достаточно распространён ные предложения. Другой выход состоит в том, чтобы рассматривать лишь такие наборы, которые могут быть обращены в предложения подстановкой не более одной формы одного и того же существительного.) § Соединение точки зрения 1 с точкой зрения 2 даёт следующий подход к определению падежа.

Рассмотрим какое§либо состояние A, в котором могут находиться пред меты, и какой§либо набор слов с пропуском B. Назовём набор B согласо ванным с состоянием A, если для всякого предмета, могущего находиться в состоянии A, выполняется следующее утверждение: для выражения в языке того обстоятельства, что этот предмет находится в состоянии A, достаточно подставить некоторую подходящую форму названия этого предмета вместо многоточия в набор B. Если, например, состояние A заключается в том, что данный предмет строит дом, то с этим состоянием согласован как набор «....... строит дом», так и набор «дом строится....... ».

Если состояние A означает, что кто§то не читал данный предмет, то согласованным с ним набором будет «не читал....... »;

этот пример пока зывает, что согласованный набор может обращаться в предложение, выра жающее рассматриваемое состояние данного предмета и при подстановке более чем одной формы названия этого предмета: «не читал газету» и «не читал газеты».

Набор «дал....... » согласован как с состоянием, заключающемся в том, что кто§то что§то дал данному предмету, так и с состоянием, заключаю щемся в том, что кто§то кому§то дал данный предмет. Пару (A;

B), где A | К определению падежа по Колмогорову: состояние, а B | согласованный с этим состоянием набор слов с пропуском, назовём согласованной парой. Предмет, могущий находиться в состоянии A, назовём допустимым для пары (A;

B).

Две согласованные пары (A1 ;

B1 ), (A2 ;

B2 ) назовём эквивалентными от носительно данного предмета, коль скоро для всякой формы названия рас сматриваемого предмета выполняются следующие два утверждения:

1) если подстановка этой формы в набор B1 обращает его в предложение, выражающее, что рассматриваемый предмет находится в состоянии A1, то подстановка этой же формы в набор B2 обращает его в предложение, выра жающее, что рассматриваемый предмет находится в состоянии A2 ;

2) если подстановка этой формы в набор B2 обращает его в предложение, выражающее, что рассматриваемый предмет находится в состоянии A2, то подстановка этой же формы в набор B1 обращает его в предложение, выра жающее, что рассматриваемый предмет находится в состоянии A1.

Назовём две согласованные пары непосредственно эквивалентными, если существует хотя бы один допустимый для них обеих предмет и если они экви валентны относительно любого допустимого для них обеих предмета. Назо вём, наконец, две согласованные пары (R;

S) и (U;

V ) абсолютно эквивалент ными, если существует такая цепочка согласованных пар (X1 ;

Y1 ), (X2 ;

Y2 ),..., (Xn ;

Yn ), что 1) при каждом i пары (Xi ;

Yi ) и (Xi+1 ;

Yi+1 ) непосредственно эквивалентны;

2) (X1 ;

Y1 ) = (P;

Q);

3) (Xn ;

Yn ) = (U;

V ).

Совокупность всех согласованных пар разбивается на непересекающиеся классы;

при этом любые две пары из одного и того же класса абсолютно экви валентны, а любые две пары из разных классов не абсолютно эквивалентны.

Эти классы и предлагается называть падежами. Полностью сознавая неокон чательность сформулированного только что определения падежа, автор всё же считает целесообразным привести его здесь, хотя бы в качестве матери ала для дальнейшей дискуссии.

§ Чтобы определить, в каком падеже стоит данное существительное в дан ном предложении, поступаем следующим образом:

1. Определяем состояние, в котором находится предмет, обозначаемый данным существительным;

2. Заменяем это существительное многоточием и получаем тем самым набор слов с пропуском;

3. Замечаем, что полученная пара (набор, состояние) является согласо ванной, и определяем к какому классу, т. е. падежу, она принадлежит.

Языкознание Чтобы распространить нашу конструкцию на существительные в множе ственном числе, достаточно согласиться, что каждое такое существительное обозначает особый предмет (отличный от предмета, обозначенного тем же существительным, но в единственном числе). Так, существительное «стакан»

обозначает предмет «стакан», а существительное «стаканы» обозначает пред мет, состоящий из некоторого множества стаканов. (Заметим, что в силу нашего соглашения «профессоры» и «профессора» суть просто разные назва ния одного и того же предмета.) § Ответ на вопрос, сколько падежей в данном языке, должен дать конкрет ный лингвистический анализ этого языка. Если исходить из предложенного в 3 определения, то окажется, что в русском языке помимо традиционных шести падежей имеются ещё следующие падежи:

1. Местный падеж: «в лесу», «в году» и т. д.

2. Количественно§отделительный падеж: «выпить чаю», «прибавить хо ду», «дать воды» 4 и т. д.

Если оба предложения «не читал газету» и «не читал газеты» правильны и выражают одно и то же состояние предмета «газета», то это указывает на то, что существует особый падеж («лишительный»), употребляемый по сле отрицаемых глаголов и имеющий две формы (одна из которых совпадает 4 «Вес сахара», «вес воды» | родительный падеж;

«дал сахар», «дал воду» | винитель ный падеж;

«дал сахару», «дал воды» | количественно§отделительный падеж. Другая точка зрения состоит в том, что здесь имеет место омонимия, именно, что во вто ром примере слово «сахар» означает некий конкретный объём сахара, а в третьем | вещество. При такой точке зрения, быть может, количественно§отделительного па дежа и не будет существовать.

© Итак, в этом подстрочном примечании сделана заявка на две возможные точ ки зрения: при первой из них слова сахар и сахару означают один и тот же предмет, при второй они означают разные предметы. При первой точке зрения появляется самостоятельный количественно§отделительный падеж, он же 2§й родительный, он же партитив;

при второй точке зрения такого падежа не появляется.

Обе высказанные точки зрения были подвергнуты детальному анализу А. А. За лизняком в § 2.7 его монографии «Русское именное словоизменение». Он обнаружил, в частности, что при принятии второй точки зрения с необходимостью возникает не только 2§й родительный, но ещё и 2§й винительный падеж. В итоге А. А. Зализняк приходит к таким выводам: «Вторая точка зрения, по§видимому, точнее отража ет рассматриваемые смысловые отношения»;

«Однако эта точка зрения приводит к весьма неэкономному строению парадигмы»;

«...В грамматиках языков с разви тым партитивом (например, финского, эстонского) фактически применяется первая точка зрения». Поэтому именно первая точка зрения и была принята в названной монографии.  К определению падежа... / Послесловие: I. История определения с формой винительного, а другая | с формой родительного падежа). Если «не читал газету» правильно, а «не читал газеты» неправильно, то в первом из этих предложений мы имеем дело с винительным падежом. Если «не чи тал газету» неправильно, а «не читал газеты» правильно, то во втором из этих предложений мы имеет дело с родительным падежом. Если, наконец, правильны оба предложения, но они выражают разные состояния предмета «газета», то в первом предложении | винительный падеж, а во втором | родительный.

Возможно, что существуют ещё и другие падежи. Было бы интересно перечислить все падежи русского языка.

Послесловие от марта 2001 г.

I. История определения | II. История публикации | III. Дальнейшая дис куссия | IV. Какие есть падежи в русском языке? | V. Упоминаемая литература I. История определения Когда Колмогоров пришёл к своему определению падежа, неизвестно.

Полагаю, что задолго до того, как поделился им со мной. Мне неизвестно также, рассказывал ли он это определение кому§нибудь ещё.

Схема, изложенная выше в 1, была в устной форме сообщена мне Кол могоровым в сентябре 1956 г. Колмогоров всегда предполагал наличие у со беседника весьма высокого уровня понимания (как правило, превосходящего реальный уровень) и потому обычно ограничивался сжатой идеей, считая детали очевидными. Это надо иметь в виду, потому что не исключено, что я чего§то недопонял или понял неправильно. Но полагаю, что правильно усвоил центральную колмогоровскую идею: падеж есть класс эквивалентных семан тических состояний.

Тема падежа при моём общении с Колмогоровым возникла при следу ющих обстоятельствах. 24 сентября 1956 г. на филологическом факультете Московского университета начал работать семинар «Некоторые применения математических методов в языкознании» | первый семинар по математиче ской лингвистике в нашей стране. Я был одним из двух (вместе с Вячесла вом Всеволодовичем Ивновым) его инициаторов и одним из трёх (вместе с а Ивновым и Петром Саввичем Кузнецовым) его руководителей. С Кузнецо а вым я познакомился в начале того же года по рекомендации Колмогорова.

Они были друзья детства (и даже более того | вместе воспитывались), и от Колмогорова я знал, что в молодости Кузнецов увлекался математикой и даже слушал университетские лекции Н. Н. Лузина. Широчайший круг инте ресов Колмогорова включал в себя и лингвистику. Идея привнесения в неё Языкознание математических методов была ему близка, и к замыслу семинара он отнёсся сочувственно. Он посоветовал предложить участником семинара две задачи для самостоятельного решения | обе на определение понятия: дать строгие определения понятий ‘ямб’ и ‘падеж’. Что касается ямба, то убеждение, что в ямбической строке ударения стоят на чётных слогах, было почти всеобщим, несмотря на очевидную ложность. Что касается падежа, то какое бы то ни было определение этого понятия, хотя бы и неверное, просто отсутствовало.

Эти задачи и были сформулированы на первом же занятии семинара.

II. История публикации Пятый номер «Бюллетеня по проблемам машинного перевода», издавав шегося Первым Московским государственным педагогическим институтом иностранных языков с грифом «

На правах рукописи

» был целиком посвящён материалам семинара «Некоторые применения математических методов в языкознании». На страницах 3 и 4 этого номера помещён «Дневник семи нара» (подробнее о семинаре и его Дневнике см. в статье «Серебряный век структурной, прикладной и математической лингвистики в СССР: Как это начиналось (заметки очевидца)» на с. 929{931 и 969{971 настоящего изда ния). «Дневник», в частности, фиксировал:

Занятие 1 (24 сентября 1956 г.).... Участникам семинара было пред ложено дать строгие определения ямба и падежа.

...

Занятие 6 (5 ноября 1956 г.). Обсуждался вопрос о формальном определе нии падежа. В. А. Успенский изложил определение, принадлежащее А. Н. Кол могорову.

На последующих страницах «Бюллетеня» были помещены 11 статей, так или иначе связанных с работой семинара. Одной из этих статей и была моя статья «К определению падежа по А. Н. Колмогорову».

III. Дальнейшая дискуссия В последней фразе 3 формулировки статьи были предложены в каче стве материала для дальнейшей дискуссии. Как мы увидим ниже, этот при зыв был услышан | прежде всего А. А. Зализняком в его основополагающей монографии [РИС].



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 45 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.