авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ШУРЫГИН ВАДИМ ВАДИМОВИЧ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ,

АССОЦИИРОВАННЫЕ С ПУАССОНОВЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ

01.01.04 геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук доц. Малахальцев М.А.

Казань 2006 1 Оглавление Введение Глава 1 Слоения. Пуассоновы многообразия.

Расслоения Вейля §1.1 Слоения на многообразиях.................. §1.2 Скобка Схоутена-Нейенхейса................. §1.3 Пуассоновы многообразия.................. 1.3.1 Симплектические многообразия............. 1.3.2 Пуассоновы многообразия................ 1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассоно ва многообразия...................... 1.3.4 Дифференциал Кошуля................. §1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля............. §1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля.......... Глава 2 Квантовые когомологии де Рама §2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского...... §2.2 Квантовые когомологии де Рама.............. Глава 3 Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля §3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля....... 3.1.1 Реализации тензорных операций............ 3.1.2 Полный лифт ковариантных тензорных полей.... 3.1.3 Полный лифт контравариантных тензорных полей.. 3.1.4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных по лей............................. §3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий....... 3.2.1 Полный лифт пуассоновой структуры......... 3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры..... 3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта................... 3.2.4 Полный лифт регулярной пуассоновой структуры.. 3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоениях Вейля.................... Список литературы Список работ автора по теме диссертации Введение Актуальность темы. В настоящее время теория пуассоновых многооб разий является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии, имеющим широкие приме нения в математической физике (см., например, монографии В.И. Ар нольда и А.Б. Гивенталя [1], М.В. Карасева и В.П. Маслова [11], В.В. Тро фимова и А.Т. Фоменко [23], [25], Дж. Марсдена и Т. Ратью [71], А. да Силвы и А. Вейнстейна [92], И. Вайсмана [97]).

Активно изучаются различные геометрические свойства пуассоновых структур, особенно в связи с задачами квантования. Здесь в первую оче редь следует отметить основополагающую работу Ф. Байена, М. Флато, К. Фронсдаля, А. Лихнеровича и Д. Штернхаймера [34], в которой было указано, что квантование следует понимать как деформацию структу ры алгебры классических наблюдаемых, а кроме того работы М. Кон цевича [64], Дж. Донина [43], Я. Грабовского [54], Х. Омори, Й. Маеды, Н. Миязаки и А. Йошиоки [81, 82].

Общая теория деформаций ассоциативных алгебр была развита в ра ботах М. Герстенхабера [49]–[52]. Алгебраические аспекты теории дефор маций пуассоновых структур также исследовались в работе Й. Хюбш манна [60].

А. Лихнерович [67] ввел в расмотрение так называемые пуассоновы ко гомологии пуассонова многообразия и показал, что в случае симплекти ческого многообразия они изоморфны когомологиям де Рама. Ж.-Л. Ко шуль [66] ввел понятие гомологий пуассонова многообразия, впослед ствии названных Ж.-Л. Брылинским каноническими.

В работе Х.-Д. Као и Ж. Чжоу [38] было начато изучение когомоло гий комплекса, получаемого деформацией комплекса де Рама пуассонова многообразия. Эти когомологии были названы ими квантовыми когомо логиями де Рама пуассонова многообразия. В частности, было доказано, что для случая симплектического многообразия квантовые когомологии получаются деформационным квантованием когомологий де Рама. В ра боте Ж.-Л. Брылинского [36], с использованием результатов работ [66] и [67], был получен ряд результатов о строении двойного дифференциаль ного комплекса, естественным образом ассоциированного с пуассоновой структурой.

В работах Ю.М. Воробьева и М.В. Карасева [10], Х. Аскарраги, А. Пе реломова и Х. Переса Буэно [33], В. Гинзбурга и Дж. Лю [53], Й. Хюбш манна [60], Н. Наканиши [78], И. Вайсмана [96], А.Вейнстейна [101], П. Сю [102, 103] изучены свойства пуассоновых когомологий и приведены мно гочисленные примеры их вычисления.

Работа в этом направлении ак тивно ведется и в настоящее время (см. работы А. Гаммеллы [48], И. Кос манн-Шварцбах [65], П. Моннье [75, 76], А. Пишер [84], К. Роже и П. Ван е хеке [88]).

В работах Г. Митрича и И. Вайсмана [73], Я. Грабовского и П. Ур банского [55, 56] были построены и изучены различного типа лифты симплектических и пуассоновых структур на касательные расслоения.

Э. Окассой [80] и В.А. Браиловым [2] изучались лифты симплектических структур на расслоения Вейля.

Расслоение Вейля T A M гладкого многообразия M, определяемое ло кальной алгеброй A (алгеброй Вейля), было введено А. Вейлем [99] как обобщение расслоения (N, q)-скоростей Ш. Эресмана [45]. К классу рас слоений Вейля относятся, в частности, касательные расслоения. Геомет рия расслоений Вейля и, в частности, лифты тензорных структур и связ ностей с гладкого многообразия M на расслоение Вейля T A M, изучались А. Моримото [77], Л. Паттерсоном [83], П. Юэном [105].

А.П. Широковым [29] было обнаружено, что расслоение Вейля T A M несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй A. Это поз волило применять при изучении геометрических структур на расслоени ях Вейля методы теории многообразий над алгебрами. Изучению геомет рии многообразий над коммутативными ассоциативными алгебрами и их вещественных реализаций посвящены работы А.П. Нордена [16], [17], Б.А. Розенфельда [20], А.П. Широкова [26], [27], В.В. Вишневского [5], [6], [7], Г.И. Кручковича [14] и других авторов (ссылки на обширную лите ратуру можно найти в монографии В.В. Вишневского, А.П. Широкова и В.В. Шурыгина [9], а также в работах [29], [8]). Наличие структуры гладкого многообразия над алгеброй A на расслоении Вейля T A M при водит к появлению на этом расслоении геометрических объектов специ ального типа, а именно, A-гладких геометрических объектов (в частно сти, A-продолжений геометрических объектов с базового многообразия M ), а также вещественных геометрических объектов, являющихся ре ализациями A-гладких геометрических объектов. Реализации тензоров и тензорных операций в пространствах над фробениусовыми алгебрами посвящены работы В.В. Вишневского [6] и Г.И. Кручковича [14]. Геомет рия расслоения Вейля T A M как многообразия над алгеброй A изучалась в работах А.П. Широкова [29], В.В. Шурыгина [30], А.Я. Султанова [21].

Соответствие, относящее гладкому многообразию его расслоение Вей ля, представляет собой ковариантный функтор, принадлежащий к клас су так называемых функторов, сохраняющих произведение. Изучению функторов, сохраняющих произведение, и их связи с функторами Вейля посвящено много работ, библиографию которых можно найти в моногра фии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [63].

Цель работы. Целью работы является решение следующих вопросов геометрии и топологии пуассоновых многообразий и геометрии гладких многообразий над алгебрами.

1. Вычисление квантовых когомологий де Рама пуассоновых много образий.

2. Построение лифтов контравариантных тензорных полей и пуассо новых структур с гладкого многообразия на его расслоение Вейля.

3. Изучение свойств пуассоновых структур на расслоениях Вейля глад ких многообразий, их связей с пуассоновыми структурами на базовых многообразиях и вычисление их модулярных классов.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии и топологии пуассоновых многообразий, теории многообразий над алге брами, теории слоений.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являют ся новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретиче ский характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казан ском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском госу дарственных университетах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

Международная конференция Колмогоров и современная математи ка (Москва, 16–21 июня 2003 г.).

IX Международная конференция Дифференциальная геометрия и приложения (Чехия, Прага, 30 августа – 3 сентября 2004 г.).

XII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов (Москва, 12–15 апреля 2005 г.).

Всероссийские молодежные научные конференции Лобачевские чте ния (Казань, 2003, 2005 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на итого вых научных конференциях Казанского государственного университета и заседаниях Казанского городского геометрического семинара.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 пе чатных работах автора [106]–[112].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе LTEX и содержит A 135 страниц. Список литературы насчитывает 112 наименований.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Вычислены когомологии двойного комплекса Брылинского пуассо нова многообразия и квантовые когомологии де Рама пуассонова много образия.

2. Развит единый метод построения лифтов тензорных полей с глад кого многообразия M на тотальное пространство его расслоения Вейля T A M для фробениусовой алгебры Вейля A.

3. Показано, что операция взятия полного лифта дифференциаль ных форм индуцирует гомоморфизм когомологий де Рама HdR (M ) HdR (T A M ). Выяснена структура этого гомоморфизма в зависимости от выбора фробениусова ковектора на алгебре A.

4. Исследованы свойства пуассоновых структур на расслоении Вейля T A M пуассонова многообразия (M, w), определяемых полным wC и вер тикальным wV лифтами тензора Пуассона w. Вычислены модулярные классы пуассоновых многообразий (T A M, wC ) и (T A M, wV ).

Краткое содержание диссертации Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснова ние актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

Глава 1, состоящая из 5 параграфов, носит в основном реферативный характер. Здесь приводятся необходимые для дальнейшего понятия и ре зультаты из теории слоений, теории пуассоновых многообразий, теории локальных алгебр Вейля и многообразий над алгебрами. Также эта глава содержит ряд самостоятельных результатов автора, носящих вспомога тельный характер и используемых в дальнейшем.

В §1.1 даются определения слоения на гладком многообразии и слое вых когомологий де Рама. Приводятся некоторые результаты вычисле ния этих когомологий.

В §1.2 приводится определение скобки Схоутена-Нейенхейса на внеш ней алгебре поливекторных полей на гладком многообразии и перечис ляются ее свойства.

§1.3 посвящен краткому изложению теории пуассоновых многообра зий. В п. 1.3.1 дается определение симплектического многообразия, при водятся примеры и простейшие свойства симплектических многообра зий, в частности, теорема Дарбу о каноническом виде симплектической формы. В п. 1.3.2 приводятся определения скобки Пуассона и тензора Пуассона на гладком многообразии, определение регулярного пуассоно ва многообразия. Также здесь приводятся теорема А. Вейнстейна о ка ноническом виде тензора Пуассона и теорема А. Кириллова о симплек тическом слоении. В п. 1.3.3 рассматриваются пуассоновы когомологии, введенные А. Лихнеровичем, и TP-когомологии регулярного пуассонова многообразия. Приводятся некоторые результаты их вычисления. Кроме того, здесь дается определение модулярного класса пуассонова многооб разия. Наконец, в п. 1.3.4 рассматривается дифференциал Ж.-Л. Кошуля на пуассоновых многообразиях, приводятся определение канонических гомологий пуассонова многообразия, данное Ж.-Л. Брылинским, и неко торые результаты их вычисления, принадлежащие автору.

В §1.4 приводится определение локальной алгебры A в смысле А. Вей ля, рассматриваются основные понятия, касающиеся локальных алгебр, приводится определение A-гладкого многообразия. Также здесь вводит ся расслоение Вейля A : T A M M гладкого многообразия M, рас сматривается структура A-гладкого многообразия на T A M. Кроме того, приводится определение фробениусовой алгебры Вейля. §1.5 посвящен изучению структуры фробениусовых алгебр Вейля. Он содержит ряд самостоятельных результатов автора, используемых в Главе 3.

Глава 2 посвящена рассмотрению некоторых дифференциальных ком плексов, ассоциированных с пуассоновыми многообразиями и вычисле нию их когомологий. В §2.1 на пуассоновом многообразии (M, w) вво дится дифференциал D = d + и строится изоморфизм между диффе ренциальными группами ( (M ), d) и ( (M ), D). После этого вводится двойной комплекс A = (qp (M ),, (1)p d), построенный Ж.-Л. Бры линским. Основным результатом параграфа является Теорема 2.1, утвер ждающая, что четномерные пространства когомологий комплекса A изо 2k морфны прямой сумме пространств когомологий де Рама HdR (M ), а k нечетномерные пространства когомологий комплекса A изоморфны пря 2k+ мой сумме HdR (M ).

k В §2.2 рассматривается один из примеров деформационного кванто вания на пуассоновых многообразиях квантовый комплекс де Рама, введенный Х.-Д. Као и Ж. Чжоу в [38]. Основной результат этого па раграфа Теорема 2.4, утверждающая, что внешняя алгебра кванто вых когомологий де Рама любого пуассонова многообразия (M, w) изо морфна внешней алгебре, полученной деформационным квантованием его обычных когомологий де Рама. Тем самым полностью решается зада ча вычисления квантовых когомологий де Рама, поставленная Х.-Д. Као и Ж. Чжоу.

В Главе 3 рассматриваются операции построения лифтов тензорных полей с гладкого многообразия M на тотальное пространство T A M его расслоения Вейля для фробениусовой алгебры Вейля A и изучаются свойства этих лифтов, в частности, их согласованность с основными диф ференциальными операциями на гладких многообразиях.

В §3.1 рассматриваются лифты ковариантных и контравариантных тензорных полей с гладкого многообразия M на тотальное простран ство расслоения T A M. В п. 3.1.1 приводится определение реализации A значного тензора на A-модуле L и устанавливаются некоторые свойства операции реализации, такие, как инъективность и согласованность с A линейными отображениями A-модулей. Пп. 3.1.2–3.1.3 посвящены рас смотрению полных лифтов тензорных полей на расслоения Вейля. Пол ный лифт тензорного поля t определяется как реализация его анали тического продолжения tA. Доказано, что полный лифт внешних форм индуцирует гомоморфизм когомологий де Рама HdR (M ) HdR (T A M ).

Установлено (Теорема 3.1), что этот гомоморфизм является либо нуле вым, либо изоморфизмом в зависимости от того, равно или не равно нулю число p(1A ), где p фробениусов ковектор на A, а 1A единица алгебры A. Кроме того, показано, что полный лифт сохраняет скобку Схоутена-Нейенхейса поливекторных полей на многообразии M.

В п. 3.1.4 понятие вертикального лифта поливекторных полей на то тальное пространство касательного расслоения T M обобщается на слу чай расслоения Вейля T A M для произвольной фробениусовой алгебры Вейля A. Здесь (Предложение 3.1.8) устанавливаются соотношения, свя зывающие вертикальный лифт со скобкой Схоутена-Нейенхейса. Кроме того, здесь вычисляется полный лифт тензорного произведения двух тен зорных полей.

§3.2 посвящен изучению пуассоновых структур, возникающих на то тальном пространстве T A M расслоения Вейля пуассонова многообразия (M, w).

Так, в п. 3.2.1 доказано, что полный лифт wC тензора w есть тензор Пуассона на T A M и показано, что в том случае, когда w есть симплекти ческая структура, полный лифт wC также есть симплектическая струк тура. Здесь показано, что полный лифт поливекторных полей индуци рует гомоморфизм когомологий Пуассона HP (M, w) HP (T A M, wC ) и указано, каким образом этот гомоморфизм связан с гомоморфизмом ко гомологий де Рама, рассмотренным в п. 3.1.2, что позволяет вычислить его для случая симплектического многообразия. Также рассмотрен ряд примеров, показывающих, что в общем случае этот гомоморфизм может иметь различные свойства в зависимости от свойств тензора Пуассона w и от размерности пространства когомологий.

Рассмотрению аналогичных вопросов для вертикального лифта wV пуассоновой структуры посвящен п. 3.2.2. Показано, что вертикальный лифт поливекторных полей также индуцирует гомоморфизм соответ ствующих когомологий Пуассона HP (M, w) HP (T A M, wV ). Кроме то го, здесь приведены примеры, показывающие, что в общем случае этот гомоморфизм может быть как мономорфизмом, так и иметь ненулевое ядро в зависимости от тензора Пуассона w и от размерности простран ства когомологий.

В пп. 3.2.3–3.2.4 показано, что полный лифт регулярной пуассоновой структуры w является регулярной пуассоновой структурой на T A M и что имеют место естественные гомоморфизмы когомологий соответству ющих симплектических слоений и TP-когомологий. Эти гомоморфизмы вычислены (Теоремы 3.3 и 3.5) для случая пуассонова многообразия M = S N, являющегося произведением симплектического многооб разия S и произвольного гладкого многообразия N.

Наконец, п. 3.2.5 посвящен вычислению модулярных классов пуассо новых многообразий, получаемых в результате наделения тотального пространства T A M расслоения Вейля полным wC и вертикальным wV лифтами пуассоновой структуры w, заданной на многообразии M.

Глава Слоения. Пуассоновы многообразия.

Расслоения Вейля Пусть V векторное пространство. Будем обозначать внешнюю ал гебру пространства V через (V ), а алгебру кососимметрических кова риантных тензоров на V через (V ).

Все рассматриваемые многообразия предполагаются гладкими, т.е., класса C, без границы, хаусдорфовыми и удовлетворяющими второй аксиоме счетности.

Пусть M гладкое многообразие, dim M = m. Будем обозначать ал гебру гладких функций на M через C (M ), а пространство тензорных полей типа (r, s) на M через T r,s (M ). В частности, кольцо дифферен m циальных форм на M будем обозначать через (M ) = k (M ), а k= пространство кососимметрических контравариантных тензорных полей m (поливекторных полей) на M через V (M ) = V k (M ). Символ | · | k= будем употреблять для обозначения степени тензора, т.е., || = s, если s (M ) и |u| = s, если u V s (M ).

Производную Ли в направлении векторного поля X будем обозна чать LX.

Всюду, где не оговорено противное, по двум одинаковым индексам, стоящим на разных уровнях, подразумевается суммирование по всей об ласти значения этих индексов.

Для u V k (M ) через i(u) : p (M ) pk (M ) будем обозначать внутреннее умножение на u (свертку с u). В локальных координатах (i(u))i1...ipk = uj1...jk j1...jk i1...ipk. (1.0.1) Внешний дифференциал на пространстве (M ) внешних форм будем обозначать d, а когомологии де Рама символом HdR (M ) = HdR (M, R).

§1.1 Слоения на многообразиях В этом разделе мы приводим основные сведения из теории слоений, ис пользуемые в диссертации. Подробное изложение этой теории см., на пример, в монографии [74].

натуральные числа. Обозначим координаты в Rm+n сле Пусть m, n дующим образом: (xi, y ) = (x1,..., xm, y 1,..., y n ). Пусть m+n,m псев догруппа локальных диффеоморфизмов : U Rm+n U Rm+n, удовлетворяющих условию i =0 для всех i = 1,..., m, = 1,..., n.

y Пусть M гладкое многообразие размерности m + n. Любой m+n,m атлас A на M называется слоеным атласом на M коразмерности m.

Определение. [37, 74] Слоением F (коразмерности m) на M назы вается максимальный слоеный атлас на M. Координаты (xi, y ) называ ются адаптированными координатами.

Координаты (xi ) обычно называются трансверсальными, а координа ты (y ) слоевыми.

Для любой точки x M подпространство Tx F Tx M, натянутое на векторы y 1,..., y n, не зависит от выбора адаптированной системы ко ординат. По определению, соответствующее распределение T F является гладким. Оно называется касательным к слоению F. Символом X (F) будем обозначать пространство векторных полей на M, касательных к распределению T F.

Слой Lx0 слоения F это множество точек x M таких, что су ществует кусочно-гладкий путь из x0 в x, в каждой своей точке касаю щийся распределения T F (максимальное интегральное подмногообразие распределения T F).

Многообразие M с заданным на нем слоением F будем обозначать (M, F).

Пример 1.1.1. Пусть : M N гладкая субмерсия. Распреде ление P = ker, для которого подпространство Px Tx M есть ядро линейного отображения x, является интегрируемым. Связные компо ненты обратных образов 1 (y) точек y N являются слоями соответ ствующего слоения F. В этом случае говорят, что слоение определяется субмерсией. Слои такого слоения есть замкнутые вложенные подмно гообразия [74].

В случае, когда обратные образы 1 (y) являются связными, будем называть такое слоение простым [74].

Пусть теперь (M, F) произвольное многообразие со слоением. Для любого открытого подмножества U M обозначим символом FU слое ние, индуцированное слоением F на U.

Определение. [74] Будем называть множество U простым для слое ния F, если FU есть простое слоение.

Определение. [37, 74] Нормальным расслоением слоения T F называ ется расслоение N F := T M/T F M.

Напомним, что векторное расслоение V B с n-мерными слоями называется ориентируемым, если расслоение n V B допускает гло бальное невырожденное сечение.

Определение. [37] Слоение F на многообразии M трансверсально ориентируемо тогда и только тогда, когда его нормальное расслоение ориентируемо.

В случае, когда коразмерность m слоения F равна 1, трансверсальная ориентируемость слоения эквивалентна существованию внешней формы 1 (M ), обращающейся в нуль на T F и отличной от нуля в каждой точке p M [37].

Отметим, что в общем случае трансверсально ориентируемого слое ния ни само многообразие M, ни слои Lx слоения F не обязаны быть ориентируемыми.

Определение. [74] Дифференцируемое отображение f : M N из многообразия со слоением (M, F) в произвольное многообразие N назы вается проектируемым относительно F или базовым, если f постоянно на слоях слоения F.

Утверждение. Гладкая функция f C (M ) является базовой, если для любого X X (F) имеет место Xf = 0.

Условие, что функция f является базовой, эквивалентно тому, что f постоянна на каждом слое слоения F или тому, что в адаптированных f координатах (xi, y ) выполняется = 0, = 1,..., n.

y Обозначим множество базовых функций через Cb (M, F). Ясно, что подкольцо в кольце гладких функций C (M ).

Cb (M, F) Определение. [74] Дифференциальная форма p (M ) называется базовой, если для любого X X (F) имеют место равенства i(X) = 0, i(X)d = 0.

В адаптированных координатах (xi, y ) базовая форма имеет вид = i1...ik dxi1...dxik, где коэффициенты i1...ik удовлетворяют условию i1...ik = 0, = 1,..., n [74].

y Обозначим пространство базовых p-форм через p (M, F). Оно яв b ляется подалгеброй Cb (M, F)-модуля p (M ). Из определения внешне го дифференциала следует, что внешний дифференциал базовой формы снова является базовой формой. Следовательно, определен базовый ком плекс слоения F d d d d · · · k1 (M, F) k (M, F) k+1 (M, F)...

b b b Его когомологии называются базовыми когомологиями слоения F:

Hb (M, F) := H( (M, F), d).

b Свойства базовых когомологий подробно изложены в [74, 85, 86].

Пусть (M, F) многообразие со слоением и A = {(U, h )}K слоеный атлас на M. Выберем дополнительное к T F распределение F (например, в качестве F можно взять ортогональное дополнение к T F по отношению к некоторой римановой метрике на M ). При этом в картах слоеного атласа распределение T F задается уравнениями dxi = 0, а распределение F уравнениями := dy + t dxi = 0. (1.1.1) i Пусть (U, (xi, y )), (U, (xi, y )) карты слоеного атласа. Тогда на пересечении U U имеем xi i y a a dxi = a = dx и, xi y a а коэффициенты связности t преобразуются по закону [93, 94] i xi x x t t =j (1.1.2) x x i j xi Далее, ограничения распределений F и T F на область определения U карты (U, (xi, y )) слоеного атласа натянуты соответственно на век торные поля t, X := и Xi := (1.1.3) i y xi y образующие поле репера, сопряженного кореперу (dxi, ).

Имеют место изоморфизмы векторных расслоений над M :

T M T F F T M T F F.

и = = Они определяют изоморфизм векторных расслоений (T M ) s (T F) r ( F), = r,s который, в свою очередь, определяет разложение пространства (M ) в прямую сумму (M ) r,s (M ), = r,s где r,s (M ) есть пространство сечений векторного расслоения s (T F) r ( F) M.

Про элементы пространства r,s (M ) будем говорить, что они имеют тип (r, s).

Для любой формы r,s (M ) внешний дифференциал d расклады вается в сумму трех компонент d = d2,1 + d + d, имеющих тип (2, 1), (1, 0) и (0, 1) соответственно. Это следует из того, что для любой карты (U, (xi, y )) слоеного атласа |U = i1...ir 1...s dxi1... dxir 1... s.

При этом (см. [93]) d2,1 = (1)r iji1...ir i1...ir 1...s1 Xi t dxj1... dxjr+ j j1...jr+ (1.1.4) 1 s..., d = ji1...ir Xj i1...ir 1...s j1...jr+...s s1 i1...ir 1...s1 X t dxj1... dxjr+1 1... s, 1...

1 j (1.1.5) i1...ir 1...s i d = (1)r...s+ 1...s dx... dxir 1... s+1, (1.1.6) x где a1...bkk 1...a кососимметрический символ Кронекера.

b Оператор d2,1 тождественно равен нулю в том случае, когда распре деление F интегрируемо [46, 74, 93, 94].

Операторы d и d обладают теми же свойствами, что и внешний диф ференциал. В частности, d d = и d ( ) = d + (1)|| d.

Поэтому для любого r Z определен комплекс d d d... r,s1 (M ) r,s (M )... r,s+1 (M )...

Когомологии этого комплекса обозначим символом H r,s (M, F).

Отметим, что функция f является базовой тогда и только тогда, когда d f = 0, так что H 0,0 (M, F) = Cb (M, F).

Пусть r (F) есть пучок базовых r-форм, в частности, 0 (F) пучок базовых функций. Последовательность d d d 0 r (F) r,0 (M ) r,1 (M )... r,n (M ) является резольвентой пучка r (F) [93].

Согласно абстрактной теореме де Рама [24], ker d : r,s (M ) r,s+1 (M ) H s (M, r (F)) H r,s (M, F) =.

= im d : r,s1 (M ) r,s (M ) Подробнее см. [46, 93, 94].

Когомологии комплекса (r, (M ), d ) не зависят от выбора транс версального распределения F. Это можно показать следующим обра зом [48]. Пусть N F = T M/T F нормальное расслоение слоения F.

Обозначим символом s (F) пространство сечений расслоения [r] s (T F) r (N F) M.

Элементы пространства s (F) можно рассматривать как s-формы на [r] слоях векторного расслоения T F со значениями в пространстве r-форм на слоях нормального расслоения:

: T F... T F r (N F).

s раз Пусть dF слоевой дифференциал де Рама:

dF : s (F) s+1 (F), [r] [r] dF (x )(X0,..., Xs ) = s (1)i Xi (x (X0,..., Xi,..., Xs )) + = i= (1)i+1 x ([Xi, Xj ], X0,..., Xi,..., Xj,..., Xs ), + ij где x M, Xi Tx F. Он удовлетворяет тождеству dF dF = 0, следо вательно, для любого r Z имеется комплекс ( (F), dF ), когомологии [r] которого обозначим символом H[r] (F). А. Гаммеллой [48] также доказан следующий результат:

Теорема 1.1. [48] Для любого r = 0,..., m комплексы (r, (M ), d ) и ( (F), dF ) изоморфны. В частности, H r, (M, F) H[r] (F). Поэто = [r] му d -когомологии не зависят от выбора трансверсального распределе ния F.

Элементы пространства (F) обычно называются слоевыми диффе [0] ренциальными формами, а когомологии HF (M ) := H[0] (F) слоевыми когомологиями де Рама или dF -когомологиями.

Пример 1.1.2. Пусть слоение F трансверсально ориентируемо. Ори ентация нормального расслоения N F это нигде не обращающаяся в нуль n-форма на M такая, что i(X) = 0 для всех X X (F).

Для каждого X X (F) форма LX = iX d пропорциональна, по этому существует слоевая 1-форма F, определенная условием LX = F (X). Легко видеть, что dF F = 0. Класс dF -когомологий формы F называется классом Риба слоения F и обозначается mod(F). Нормальное расслоение N F допускает ориентацию такую, что LX = 0 для всех X X (F) тогда и только тогда, когда mod(F) = 0 [61]. Таким образом, класс Риба слоения F это препятствие к существованию нормальной формы объема, инвариантной относительно потоков векторных полей, касательных к слоению F.

Другие свойства слоевых когомологий и примеры их вычислений для некоторых слоений можно найти в [46, 47, 58, 87, 93, 94, 95]. Мы приведем два результата, которые нам понадобятся.

Теорема 1.2. [42] Пусть слоение F на многообразии M определяется субмерсией : M B, где B хаусдорфово многообразие, и каждый s слой L субмерсии связен и удовлетворяет условию HdR (L) = 0 для всех s = 1,...,, где некоторое целое число. Тогда C (B), s = 0, 0,s H (M, F) = 0, s = 1,...,.

Теорема 1.3. [46, 97] Пусть S и N два гладких многообразия и F слоение многообразия M = S N на слои S {x}, где x N.

Предположим, что dim HdR (S). Тогда H r,s (M, F) HdR (S) r (N ).

=s §1.2 Скобка Схоутена-Нейенхейса Скобка Ли векторных полей на M может быть единственным образом продолжена до R-линейной скобки [ ·, · ] на V (M ), называемой скобкой Схоутена-Нейенхейса [79, 90] таким образом, что V (M ) оказывается градуированной супералгеброй относительно градуировки (u) := |u| 1.

Определение. Скобкой Схоутена-Нейенхейса называется билинейное отображение [ ·, · ] : V p (M ) V q (M ) V p+q1 (M ), заданное следующим образом. Пусть X1,... Xp, Y1,..., Yq векторные поля на M. Тогда скоб кой Схоутена-Нейенхейса разложимых поливекторных полей X1...Xp и Y1... Yq называется тензор [X1... Xp, Y1... Yq ] = (1)i+j X1... Xi... Xp [Xi, Yj ] Y1... Yj... Yq, = где множитель [Xi, Yj ] в правой части означает скобку Ли векторных полей, а означает пропуск соответствующего множителя.

Это определение по линейности над R распространяется на все поли векторные поля.

Скобка Схоутена-Нейенхейса обладает следующими свойствами [92, 33, 72].

1. Пусть u V p (M ), v V q (M ) в локальных координатах имеют вид u = ui1...ip xi1... v = v j1...jq xj1...

,. Тогда их скобка xip xjq Схоутена-Нейенхейса имеет вид k...k [u, v]k2...kp+q = i22...ipp+q q uri2...ip xr v j1...jq + j1...j (1.2.1) k...k + (1)p i12...ipp+q q v rj2...jq xr ui1...ip.

j2...j 2. Скобка Схоутена-Нейенхейса суперкоммутативна [u, v] = (1)|u|·|v| [v, u] и удовлетворяет супер-тождеству Якоби (1)|u|·|v| [[v, y], u] + (1)|v|·|y| [[y, u], v] + (1)|y|·|u| [[u, v], y] = 0. (1.2.2) 3. Скобка Схоутена-Нейенхейса удовлетворяет супер-правилу Лейб ница [u, v y] = [u, v] y + (1)(|u|1)·|v| v [u, y]. (1.2.3) 4. Пусть v V 1 (M ) векторное поле на M. Тогда [v, u] = Lv u, (1.2.4) где Lv производная Ли в направлении поля v.

Подробнее о скобке Схоутена-Нейенхейса см., напр., [33, 72, 79, 90, 92].

§1.3 Пуассоновы многообразия 1.3.1 Симплектические многообразия Определение. Симплектической структурой на гладком многообра зии M называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-фор ма 2 (M ). Пара (M, ) называется симплектическим многообрази ем, а форма симплектической.

Условие невырожденности означает, что в каждой точке x M форма (x) на Tx M невырождена, а именно, если для X Tx M верно равенство (x)(X, Y ) = 0 для любого Y Tx M, то X = 0. Если (x1,..., xm ) локальная система координат на многобразии M, то = ij (xk )dxi dxj и матрица ij (xk ) невырождена.

Теорема 1.4. (Дарбу) Пусть (M, ) симплектическое многообра зие. Тогда для любой точки x M существует окрестность с локаль ными координатами p1,..., pn, q 1,..., q n такими, что в них форма i dq i, т.е., в каждой точке записывается в каноническом виде i dp этой окрестности матрица ij имеет вид 0 E, E единичная матрица размера n n.

где E Кососимметрическое скалярное произведение в Tx M, индуцирован ное симплектической структурой, определяет канонический изоморфизм Tx M Tx M по формуле u = ui = ij ui dxj, u Tx M, Tx M.

i x На произвольном многообразии, вообще говоря, не существует сим плектической структуры. Например, любое симплектическое многообра зие четномерно, поскольку кососимметрическая матрица нечетного по рядка обязательно вырождена.

Имеют место также следующие ограничения на топологию симплек тических многообразий (см., напр., [25]).

Теорема 1.5. Симплектическое многообразие ориентируемо.

Теорема 1.6. Если на компактном многообразии M существует сим плектическая структура, то все четномерные группы когомологий де Рама многообразия M отличны от нуля.

Пример 1.3.1. Простейшими примерами симплектических многообра зий являются ориентируемые замкнутые поверхности. В качестве сим плектической структуры на них можно взять стандартную форму дву мерного объема.

Пример 1.3.2. Для любого многообразия M его кокасательное рассло ение T M несет на себе естественную симплектическую структуру. Пусть координатная окрестность на многообразии M, и x1,..., xm U коор динаты в U, а 1,..., m соответствующие координаты в слое Tx M. То гда корректно определена форма = di dxi = d1 dx1 +...+dm dxm.

Ясно, что форма замкнута и невырождена. Кроме того, форма яв ляется точной, а именно, = d, где = i dxi = 1 dx1 +... + m dxm.

Дальнейшие сведения по теории симплектических многообразий чи татель может найти, например, в [1, 23, 25].

1.3.2 Пуассоновы многообразия Определение. [11, 92] Скобкой Пуассона на многообразии M называется R-билинейное кососимметричное отображение {, } : C (M ) C (M ) C (M ), удовлетворяющее правилу Лейбница {f, gh} = {f, g}h + g{f, h} (1.3.1) и тождеству Якоби {{f, g}, h} + {{g, h}, f } + {{h, f }, g} = 0. (1.3.2) Гладкое многообразие, на котором задана скобка Пуассона, называет ся пуассоновым многообразием.

Скобка Пуассона на гладком многообразии M однозначно определяет контравариантный кососимметрический тензор w V 2 (M ) такой, что {f, g} = i(w)(df dg) = w(df, dg) (1.3.3) для всех f, g C (M ). Этот тензор обычно называют тензором Пуас сона (бивектором Пуассона). Известно, что скобка (1.3.3) на C (M ), построенная по такому тензору, удовлетворяет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда [w, w] = 0, (1.3.4) скобка Схоутена-Нейенхейса на V (M ) (см. [11, 92, 97]). В где [ ·, · ] локальных координатах это условие записывается как wk w j wjk wjs + wks s + w s = 0.

xs xs x Тензор Пуассона определяет отображение расслоений w : T M T M, (1.3.5) определенное следующим образом:

w () := w(, ) для всех, T M. Скобка Пуассона индуцирует скобку 1-форм на многообразии M по формуле {, } = Lw Lw d(w(, )). (1.3.6) Эта скобка естественным образом распространяет скобку {df, dg} := d{f, g} с пространства B 1 (M ) := {df | f C (M )} на 1 (M ). При этом (1 (M ), {·, ·}) является алгеброй Ли [11, 96].

В дальнейшем мы будем обозначать пуассоново многообразие симво лом (M, w).

Пусть f C (M ) гладкая функция на M. Рассмотрим линейное отображение Xf : C (M ) C (M ), Xf (g) = {f, g}.

Используя правило Лейбница (1.3.1), легко видеть, что Xf является диф ференцированием на C (M ) и, следовательно, векторным полем на M.

Оно называется гамильтоновым векторным полем. В локальных коор динатах гамильтоновы векторные поля на (M, w) имеют вид [92, 97] f ij f C (M ).

Xf = {f, ·} = w, (1.3.7) xi xj Тождество Якоби (1.3.2) для скобки Пуассона влечет равенство [Xf, Xg ] = X{f,g}.

Таким образом, пуассонова структура на M определяет гомоморфизм алгебры гладких функций в алгебру Ли векторных полей.

В терминах отображения w гамильтоновы векторные поля записыва ются как Xf = w(df ).

Определение. Векторное поле X V 1 (M ) называется пуассоновым, если LX w = 0, где LX производная Ли в направлении поля X.

Таким образом, пуассоновы векторные поля это в точности те век торые поля на M, чьи локальные потоки сохраняют скобку Пуассона.

Согласно (1.2.4), это условие эквивалентно тому, что [w, X] = 0. (1.3.8) Пуассоновы векторные поля также характеризуются условием f, g C (M ).

X{f, g} = {Xf, g} + {f, Xg}, Поэтому пуассоновы векторные поля являются дифференцированиями алгебры (C (M ), {·, ·}).

Используя (1.2.2) и (1.3.8), легко видеть, что скобка Ли двух пуассо новых векторных полей снова является пуассоновым векторным полем.

Следовательно, пуассоновы векторные поля образуют подалгебру Ли ал гебры векторных полей на M. Гамильтоновы векторные поля образуют идеал в этой алгебре Ли [92].

Определение. Гладкая функция f C (M ) называется центральной функцией или функцией Казимира скобки Пуассона, если {f, g} = 0 для любой функции g C (M ).

Пространство функций Казимира обычно обозначается через I(M ).

Функции Казимира образуют центр алгебры (C (M ), {·, ·}) и им соот ветствуют нулевые гамильтоновы векторные поля. Локально функции Казимира удовлетворяют условию f wij i = 0.

x Определение. Рангом скобки Пуассона (пуассоновой структуры) в точке x M называется ранг тензора w(x). Рангом скобки Пуассона на всем многообразии M называется число max rank w(x).

xM Определение. Если ранг тензора w постоянен на всем многообра зии M, то пуассоново многообразие (M, w) называется регулярным.

Следующая теорема, обобщающая теорему Дарбу для симплектиче ских многообразий, принадлежит Софусу Ли [69].

Теорема 1.7. [69] Пусть (M, w) регулярное пуассоново многообра зие. Тогда для любой точки x M существует окрестность, в кото рой функции wij (x) постоянны.

Для случая непостоянного ранга А. Вейнстейн доказал следующий ре зультат [100].

Теорема 1.8. [100] Пусть (M, w) пуассоново многообразие. Тогда для любой точки x M существует локальная система координат (U (x), (q 1,..., q k, p1,..., pk, y 1..., y )), в которой точка x имеет нуле вые координаты и i+ j, w= ij (y) ij (0) = 0.

q i p y i y i i,j В работах Дж. Конна [39, 40] исследован вопрос, при каких условиях существует локальная система координат (U, (q, p, y)) такая, что функ ij ции ij (y) линейны по y, т.е., ij (y) = cijk y k, cijk = (0).

y k Назовем две точки пуассонова многообразия (M, w) эквивалентны ми, если найдется соединяющая их кусочно-гладкая кривая, каждый сегмент которой есть траектория гамильтонова векторного поля. Век торы гамильтоновых полей порождают подпространство касательного пространства в каждой точке пуассонова многообразия. Его размерность совпадает с рангом пуассоновой структуры в этой точке.

Теорема 1.9. [12, 100] Класс эквивалентности любой точки пуассоно ва многообразия симплектическое многообразие размерности, равной рангу пуассоновой структуры в этой точке.

Таким образом, пуассоново многообразие разбивается на симплекти ческие слои, которые в совокупности определяют пуассонову структуру:

скобку Пуассона функций можно вычислять по их ограничениям на сим плектические слои. Локально симплектические слои определяются по Теореме 1.8: если (q, p, y) локальные координаты в окрестности U (x) точки x M, то симплектические слои задаются условием y = 0. В общем случае это симплектическое слоение является слоением с особен ностями.

В том случае, когда пуассоново многообразие (M, w) регулярно, сим плектические слои образуют регулярное симплектическое слоение F, размерность которого равна рангу тензора w. Функции Казимира по стоянны на слоях этого слоения, т.е., являются базовыми функциями симплектического слоения.

Исследованию структуры симплектического слоения на пуассоновом многообразии также посвящены работы [35, 68].

Примеры пуассоновых многообразий Пример 1.3.3. В том случае, когда ранг тензора w максимален (совпа дает с размерностью многообразия), пуассоново многообразие является симплектическим. В этом случае отображение w является изоморфиз мом и симплектическая структура задается формулой (X, Y ) = w(w1 X, w1 Y ).

Для симплектического многообразия гамильтоновы векторные поля ко ординатных функций образуют локальный базис касательного простран ства, а функциями Казимира являются только постоянные функции.

конечномерная алгебра Ли и g Пример 1.3.4. Пусть g сопря женное к g пространство. Для гладких функций f, g C (g ) 1-формы df, dg могут рассматриваться как отображения Df, Dg : g g. Но g g в силу конечномерности g, так что можно считать, что Df и Dg = принимают значения в g. Пусть µ g. Тогда скобка функций f и g, вычисленная в точке µ, определяется следующим образом {f, g}(µ) := µ([Df (µ), Dg(µ)]g ).

Эквивалентным образом эту скобку можно определить, используя ко базис в g, ck ординаты. Пусть v1,..., vm структурные константы ij алгебры в этом базисе. Тогда, если µ g имеет координаты (µi ), то для любых f, g C (g ) положим f g {f, g}(µ) = ck µk.

ij µi µj Построенная скобка {·, ·} на C (g ) называется скобкой Ли-Пуассона.

Пара (g, {·, ·}) обычно называется многообразием Ли-Пуассона.

Координатные функции µ1,..., µm удовлетворяют соотношению {µi, µj } = ck µk.

ij Это означает, что пространство линейных функций на g замкнуто отно сительно скобки Ли-Пуассона. Компоненты тензора Пуассона wij (µ) = ck µk суть линейные функции от µ, поэтому скобку Ли-Пуассона еще на ij зывают линейной пуассоновой структурой. Подробнее о многообразиях Ли-Пуассона см., напр., [11, 22, 23, 71, 92, 100].

Гамильтоново векторное поле любой функции F на g есть линейная m F комбинация XF = vi Xµi, так что орбиты всех гамильтоновых век i= торных полей содержатся в орбитах коприсоединенного представления (коприсоединенных орбитах). Последние в точности являются слоями симплектического слоения на g [23]. Таким образом, в рассматриваемом случае функции Казимира это функции, инвариантные относительно коприсоединенного представления [100].

В работе А. Гаммеллы [48] подробно рассмотрены регулярные пуас соновы многообразия, являющиеся пуассоновыми подмногообразиями в объединении всех коприсоединенных орбит максимальной размерности в g, в частности, полностью разобран случай трехмерных алгебр Ли.

Определение. Отображение : M M двух пуассоновых много образий (M, w) и (M, w ) называется пуассоновым, если сохраняет скобку Пуассона, то есть, ({f, g}M ) = { (f ), (g)}M. (1.3.9) Напомним, что два поливекторных поля X V k (M ) и Y V k (M ) называются -связанными (обозначается Y = X), если (Tx... Tx )X(x) = Y ((x)) для всех x M.

Нетрудно проверить, что является пуассоновым отображением тогда и только тогда, когда w = w.

Условие, что является пуассоновым отображением, также эквива лентно коммутативности следующей диаграммы для всех x M [92]:

w(x) / Tx OM Tx M Tx Tx  w ((x)) / T(x) M T(x) M.

Таким образом, есть пуассоново отображение тогда и только тогда, когда w ((x)) = Tx w(x) Tx для всех x M.

Из формулы (1.3.9) ясно, что композиция пуассоновых отображений также является пуассоновым отображением.

На произведении M1 M2 двух пуассоновых многообразий (M1, w1 ) и (M2, w2 ) имеется естественная пуассонова структура, которая строит ся следующим образом. Пусть (xi ) координаты на открытом множе стве U1 M1 и (y ) координаты на открытом множестве U2 M2.

Тогда в локальных координатах (xi, y ) на U1 U2 скобка функций f, g C (M1 M2 ) имеет вид f g f g ij {f, g}M1 M2 = w1 + w2.

i xj y y x 1.3.3 Когомологии Пуассона. Модулярный класс пуассонова многооб разия Для пуассонова многообразия (M, w) А. Лихнерович ввел оператор = w : V k (M ) V k+1 (M ), действующий по правилу u := [w, u].

Из того, что скобка Схоутена-Нейенхейса удовлетворяет супер-тож деству Якоби (1.2.2) и правилу Лейбница (1.2.3) следует, что (u v) = u v + (1)|u| u v и что = 0.

Поэтому имеет место комплекс... V k1 (M ) V k (M ) V k+1 (M )...

и определены пространства когомологий ker : V k (M ) V k+1 (M ) k HP (M, w) :=, im : V k1 (M ) V k (M ) называемые когомологиями Пуассона (или когомологиями Лихнеровича Пуассона или просто пуассоновыми когомологиями) пуассонова многооб разия (M, w). Вычисление этих когомологий представляет собой весьма трудную задачу даже для относительно просто устроенных пуассоновых многообразий (см., напр., [48, 53, 75, 78, 84, 88, 96, 102]).

Для оператора имеет место следующая формула [96]:

k u(0,..., k ) = wi (u(0,..., i,..., k )) + i= k (1)i+j u({i, j }, 0,..., i,..., j,..., k ), + 0=ij где u V k (M ), i 1 (M ), а {i, j } обозначает скобку 1-форм (1.3.6).

Поскольку для f C (M ) f = [w, f ] = Xf, образ im : V 0 (M ) = C (M ) V 1 (M ) совпадает с подпространством гамильтоновых векторных полей. Кроме того, для X V 1 (M ) X = [w, X] = [X, w] = LX w.

Отсюда вытекает, что HP (M, w) = функции Казимира пуассоновы векторные поля HP (M, w) =.

гамильтоновы векторные поля Для пуассонова многообразия определен канонический класс когомо логий [w] HP (M, w). Этот класс равен нулю тогда и только тогда, когда найдется векторное поле X V 1 (M ) такое, что LX w = w.

Определение. Векторное поле X такое, что LX w = w, называется лиувиллевым векторным полем [92]. Пуассоново многообразие (M, w) в этом случае называется точным (по другой терминологии, однород ным [97]).

Рассмотрим семейство w() сечений расслоения 2 T M, гладко зави сящее от. Разложим его в формальный степенной ряд w() w0 + w1 + 2 w2 +...

Если для любого бивектор w() задает пуассонову структуру, то 0 = [w(), w()] = [w0, w0 ] + 2[w0, w1 ] + 2 (2[w0, w2 ] + [w1, w1 ]) +...

Предположим, что w(0) = w0 является тензором Пуассона, тогда [w0, w0 ] = 0.

Коэффициент w1 называется инфинитезимальной деформацией [92] би вектора w0, если w0 w1 = [w0, w1 ] = 0.

В случае, если w1 = w0 v = [w0, v] = Lv w для некоторого v V 1 (M ), бивектор w1 называется тривиальной инфи нитезимальной деформацией бивектора w0. Поэтому [92] инфинитезимальные деформации w HP (M, w) =.

тривиальные инфинитезимальные деформации w Теперь предположим, что [w0, w0 ] = [w0, w1 ] = 0. Чтобы избавиться от слагаемого, содержащего 2, необходимо, чтобы [w0, w2 ] + [w1, w1 ] = 0.

Следовательно, найдя w1, мы должны решить неоднородное дифферен циальное уравнение w0 w2 = 1 [w1, w1 ] на w2. Согласно супер-тождеству Якоби, w0 ([w1, w1 ]) = 0, так что [w1, w1 ] определяет элемент пространства HP (M, w0 ). Этот эле мент равен нулю тогда и только тогда, когда существует решение урав нения w2 уравнения w0 w2 = 1 [w1, w1 ]. Следовательно, пространство HP (M, w) содержит препятствия к продолжению инфинитезимальных деформаций w [92].

Продолжим отображение w на k (M ) формулой w(1,..., k ) = (1)k (w1,..., wk ), (1.3.10) где i 1 (M ). В локальных координатах (w)j1...jk = (1)k wi1 j1... wik jk i1...ik. (1.3.11) Ясно, что для симплектического многообразия отображение (1.3.11) есть изоморфизм k (M ) V k (M ).

Можно показать [96], что w = (1)k w d. (1.3.12) Отсюда следует, что имеются естественные гомоморфизмы k : HdR (M ) HP (M, w).

k k В случае, когда пуассоново многообразие является симплектическим, эти гомоморфизмы, очевидно, являются изоморфизмами, поэтому для сим плектических многообразий пуассоновы когомологии изоморфны кого мологиям де Рама. Подробнее об этом см. [66, 67, 96].

Примеры вычисления когомологий Пуассона Пример 1.3.5. Если (M, w) симплектическое многообразие, то HP (M, w) HdR (M ).

k =k Пример 1.3.6. Пусть M гладкое многообразие с нулевой пуассоно вой структурой (w = 0). Тогда HP (M, w) V k (M ).

k = Пример 1.3.7. Пусть S – симплектическое многообразие, N произ вольное гладкое многообразие и пусть M = S N регулярное пуас соново многообразие, с пуассоновой структурой w, индуцированной с S (т.е., симплектическое слоение на S N задано фиксированной симплек тической структурой на S). Предположим, что dim HdR (S). Тогда (см. [96, 97]) HP (M, w) HdR (S) V rk (N ).

r k (1.3.13) = 0kr Пример 1.3.8. На плоскости R2 со стандартными координатами (x, y) любое бивекторное поле w = f (x, y) x y по соображениям размерности удовлетворяет равенству [w, w] = 0 и, следовательно, задает пуассоно ву структуру. Эта структура однозначно определяется заданием скобки {x, y} = f (x, y). Н. Наканиши [78] вычислил когомологии квадратич ных пуассоновых структур на R2, т.е., структур, имеющих вид {x, y} = ax2 + bxy + cy 2 для некоторых постоянных a, b, c. Он показал, что вся кая ненулевая квадратичная пуассонова структура на R2 эквивалентна с точностью до умножения на ненулевое число R одной из трех структур:

well = (x2 + y 2 ) wpar = y ;

;

.

whyp = xy x y x y x y Приведем результат его вычислений пуассоновых когомологий этих трех структур.

1) Эллиптическая структура.

HP (R2, well ) R;

HP (R2, well ) R R;

HP (R2, well ) R R.

0 1 = = = При этом пространство HP (R2, well ) образовано постоянными функци ями на R2. Образующими пространства HP (R2, well ) являются классы когомологий [x x + y y ] и [y x x y ]. Пространство HP (R2, well ) образо и [(x2 + y 2 ) x вано классами когомологий [ x y ] y ].


2) Гиперболическая структура.

HP (R2, whyp ) R;

HP (R2, whyp ) R R;

HP (R2, whyp ) R R.

0 1 = = = Пространство HP (R2, whyp ) образовано постоянными функциями на R2.

Образующими пространства HP (R2, whyp ) являются классы когомологий [x x ] и [y y ]. Образующими пространства HP (R2, whyp ) являются классы когомологий [ x и [xy x y ] y ].

3) Параболическая структура.

HP (R2, wpar ) R;

dim HP (R2, wpar ) = ;

HP (R2, wpar ) C (R).

0 1 = = Как и в предыдущих случаях, пространство HP (R2, wpar ) образовано постоянными функциями на R2. Пространство HP (R2, wpar ) изоморфно фактору K/Fc, где [78] f 2 f f C (R2 \ {(x, 0) | x R}) C (R2 ), y K=,y x y а Fc есть пространство, порожденное пространством C (R2 ) и постоян ными функциями на C (R2 \ {(x, 0) | x R}).

Пространство HP (R2, wpar ) образовано классами бивекторных полей [f (x) x y ], где f (x) произвольная гладкая функция одной перемен ной x. В частности, отсюда следует, что (R2, wpar ) точное пуассоново многообразие.

Вычислению когомологий Пуассона плоскости R2 с пуассоновой струк турой, заданной однородным многочленом, посвящена работа К. Роже и П. Ванхеке [88]. В случае произвольного пуассонова многообразия неко торые результаты для размерностей 2 и 3 пространства когомологий по лучены в работах П. Моннье [75, 76], А.Пишер [84].

е регулярное пуассоново многообразие, F Пусть теперь (M, w) сим плектическое слоение и F трансверсальное распределение.

Разложение T M = T F F определяет соответствующее разложение V (M ) = V r,s (M ), r,s где V r,s (M ) есть пространство сечений расслоения s (T F) r (F) M.

Про элементы пространства V r,s (M ) будем говорить, что они имеют тип (r, s). Для любой карты (U, (xi, y )) слоеного атласа поливекторное поле u V r,s (M ) имеет вид u|U = ui1...ir 1...s Xi1... Xir X1... Xs, где Xi и X задаются формулой (1.1.3).

Ясно, что X (F) = V 0,1 (M ).

И. Вайсман [97] показал, что оператор распадается в сумму +, где имеет тип (1, 2), а тип (0, 1). Явные формулы для операто ров и можно найти в [96, 97]. Мы не будем приводить их здесь.

Легко видеть, что = 0, следовательно, для любого r Z опре делен комплекс (V r, (M ), ). Когомологии этого комплекса обозначим r, символом HP (M, w).

Особенно интересен случай r = 0, соответствующий комплекс... V 0,k1 (M ) V 0,k (M ) V 0,k+1 (M )...

называется обычно TP-комплексом регулярного пуассонова многообра зия. Его когомологии ker : V 0,k (M ) V 0,k+1 (M ) k HT P (M, w) = im : V 0,k1 (M ) V 0,k (M ) называются TP-когомологиями пуассонова многообразия (M, w). Дру гим способом эти когомологии можно определить, ограничив дифферен циал на алгебру поливекторных полей, касательных к слоению F, как это сделал А. Лихнерович [68].

0 Ясно, что HT P (M, w) = HP (M, w).

В работе А. Гаммеллы [48] доказано, что w = w d. (1.3.14) Отсюда вытекает следующая теорема (напомним, что I(M ) обозначает пространство функций Казимира, т.е., пространство базовых функций слоения F).

Теорема 1.10. [48] Пусть (M, w) регулярное пуассоново многооб разие, F его симплектическое слоение и F трансверсальное рас пределение на M. Тогда имеет место изоморфизм комплексов I(M ) модулей (V 0, (M ), ) и (0, (M ), d ). В частности, для любого k, про странства когомологий HT P (M, w) и H 0,k (M, F) изоморфны как I(M ) k модули.

Важным инвариантом пуассоновой структуры является модулярный класс пуассонова многообразия, введенный А. Вейнстейном [101].

Напомним, что если µ форма объема на ориентируемом многооб разии M, то дивергенция divµ X векторного поля X определяется усло вием [13] LX µ = (divµ X)µ.

При этом имеет место равенство f C (M ).

divµ (f X) = f divµ X + Xf, Пусть теперь (M, w, µ) пуассоново многобразие с формой объема µ.

Для него определен оператор µ = µ,w : f C (M ) divµ Xf C (M ), где символом Xf обозначено гамильтоново векторное поле функции f.

Несложные вычисления показывают, что µ является дифференцирова нием на C (M ), и, следовательно, является векторным полем на M [101].

Это векторное поле называется модулярным векторным полем ориенти рованного пуассонова многообразия (M, w, µ).

Модулярное векторное поле удовлетворяет условию µ = 0 [65].

Если заменить форму объема µ на другую форму объема aµ, где a C (M ) положительная функция, то модулярное векторное поле изме нится следующим образом: aµ = µ + Xln a [101]. Поскольку гамильто новы векторные поля являются 1-кограницами оператора, отсюда сле дует, что множество модулярных векторных полей для всех возможных форм объема является элементом пространства когомологий HP (M, w).

Этот класс когомологий Пуассона называется модулярным классом пуас сонова многообразия (M, w). Обозначим его mod(M, w).

Из формулы (1.3.7) для гамильтоновых векторных полей следует, что в локальных координатах (x1,..., xm ) на M модулярное векторное поле имеет вид [73] m wij ln + wij µ =, (1.3.15) xj xj xi j= где µ = dx1... dxm.

Можно также показать, что Lµ µ = 0. Модулярное векторное поле µ равно нулю тогда и только тогда, когда µ инвариантна относительно потоков всех гамильтоновых полей [101]. Таким образом, модулярный класс это препятствие к существованию формы объема, инвариантной по отношению к гамильтоновым потокам.

В случае, когда пуассоново многообразие (M, w) регулярно и его сим плектическое слоение F трансверсально ориентировано, А. Абукатебом и М. Бусеттой [32] доказано, что имеется мономорфизм w : HF (M ) H 1 (M, w), причем этот мономорфизм переводит класс Риба mod(F) слоения F в модулярный класс mod(M, w). Кроме того, там же доказана следующая Теорема 1.11. [32] Пусть (M, w) регулярное пуассоново много образие. Если симплектическое слоение на нем является римановым, то модулярный класс mod(M, w) обращается в нуль. Более того, если симплектическое слоение трансверсально ориентировано и имеет ко размерность 1, то модулярный класс многообразия (M, w) обращается в нуль тогда и только тогда, когда симплектическое слоение является римановым.

Пример 1.3.9. В работе [32] показано, что любое трансверсально ори ентируемое слоение коразмерности 1 на трехмерной сфере S3 является симплектическим слоением некоторой регулярной пуассоновой структу ры на S3, модулярный класс которой не равен нулю.

Пример 1.3.10. Вычислим модулярные классы квадратичных пуас соновых структур на R2 (см. Пример 1.3.8). В качестве формы объема на R2 возьмем форму µ = dx dy.

По формуле (1.3.15), модулярное векторное поле эллиптической струк туры well имеет вид µ,well = 2(y x x y ), модулярное векторное по ле гиперболической структуры whyp имеет вид µ,whyp = x x y y, а модулярное векторное поле параболической структуры wpar имеет вид µ,wpar = 2y x. Из результатов, приведенных в Примере 1.3.8, следует, что во всех случаях модулярный класс не равен нулю.

В том случае, когда многообразие (M, w) неориентируемо, все выше изложенное сохраняет смысл с заменой формы объема µ на гладкую плотность.

1.3.4 Дифференциал Кошуля Пусть (M, w) пуассоново многообразие. В работе Ж.-Л. Кошуля [66] был введен оператор : k (M ) k1 (M ), действующий по формуле = [i(w), d] = i(w) d d i(w), где d внешний дифференциал. Там же показано, что условие [w, w] = влечет тождество = 0. (1.3.16) Таким образом, с каждым пуассоновым многообразием связан ком плекс... k+1 (M ) k (M ) k1 (M )...

Ж.-Л. Брылинский [36] назвал этот комплекс каноническим комплексом, а его гомологии H( (M ), ) = Hcan (M, w) каноническими гомологи ями пуассонова многообразия (M, w).

Ж.-Л. Брылинский также показал [36], что имеет место формула (f0 df1... dfk ) = (1)i+1 {f0, fi }df1... dfi... dfk + = 1ik (1)i+j f0 d{fi, fj } df1... dfi + 1 ij k... dfj... dfk.

Кроме того, легко видеть, что d + d = 0. (1.3.17) Пусть теперь (M, w), dim M = 2m симплектическое многообра зие и соответствующая симплектическая форма. Для k 0 обо значим символом k w индуцированную бивектором w свертку k w :

k (T M ) k (T M ) C (M ). В локальных координатах (xi ) на M k w(, ) = wi1 j1... wik jk i1...ik j1...jk.

В качестве формы объема на M возьмем 2m-форму vM = m /m!.

По аналогии с оператором Ходжа, Ж.-Л. Брылинский ввел оператор : k (M ) 2mk (M ) по формуле () = k w(, ) · vM для всех, k (M ). Этот оператор удовлетворяет свойству () = и, следовательно, является изоморфизмом. Помимо этого, для всех k (M ) имеет место соотношение = (1)k+1 d.

Отсюда немедленно вытекает, что для симплектического многообразия (M, ) размерности 2m оператор осуществляет изоморфизм Hcan (M, w) HdR (M ).

k = 2mk (1.3.18) Примеры вычисления канонических гомологий регулярное пуассоново многообразие и F Пусть (M, w) его сим плектическое слоение. В обозначениях §1.1 выберем трансверсальное рас пределение F. Будем предполагать, что локальные карты слоеного ат ласа выбраны таким образом, что коэффициенты тензора Пуассона w в них постоянны. Тогда в любой карте (U, (xi, y )) выполняется wij = wi = 0. Из формулы (1.1.1) следует, что оператор i(w) имеет тип (0, 2).

Тогда дифференциал распадается в сумму = 2,3 + +, где 2,3 = [i(w), d2,1 ], = [i(w), d ], = [i(w), d ] и операторы и имеют тип (1, 2) и (0, 1) соответственно.

Предложение 1.3.1. 2,3 = 0.

Доказательство. Покажем, что для любой формы r,s (M ) имеет место 2,3 = 0. Из формулы (1.1.4) d2,1 = (1)r iji1...ir i1...ir 1...s1 Xi t dxj1... dxjr+ j j1...jr+ 1... s1, для оператора d2,1 ясно, что достаточно рассмотреть случай r = 0.

Пусть = 1...s1 1... s1 0,s (M ), и d2,1 = 1...s1 Xi t dxi dxj 1... s1.

j Тогда i(w)d2,1 = 1...s3 1 2 w1 2 Xi t dxi dxj 1... s3.

j Аналогично, i(w) = 1...s3 1 2 w1 2 1... s и d2,1 i(w) = 1...s3 1 2 w1 2 Xi t dxi dxj 1... s3.


j Отсюда и следует требуемый результат.

Таким образом, = +. Из тождества = 0 вытекают следую щие соотношения:

= = + = 0.

Следовательно, определен двойной комплекс (r,s (M ), = (1)r, ):

...

...

...

· · · r+1,s1 (M ) r,s1 (M ) r1,s1 (M ) · · · r+1,s (M ) r,s (M ) r1,s (M ) (1.3.19) ··· ··· · · · r+1,s+1 (M ) r,s+1 (M ) r1,s+1 (M ) · · ·...

...

...

Его диагональный комплекс это в точности канонический комплекс ( (M ), ). Поэтому когомологии двойного комплекса (1.3.19) совпадают с каноническими гомологиями.

В известной нам литературе мы не нашли других примеров вычисле ния канонических гомологий. Поэтому мы вычисляем их для двух типов рассмотренных ранее пуассоновых многообразий.

Пример 1.3.11. Вычислим канонические гомологии для случая регу лярного пуассонова многообразия M = S N, являющегося произве дением симплектического многообразия S размерности 2m и произволь ного гладкого многообразия N в предположении, что dim HdR (S).

Локальные координаты на многообразиях N и S будем обозначать (xi ) и (y ), соответственно.

Пусть prN : M = S N N каноническая проекция. В качестве трансверсального распределения выберем обратный образ pr (T N ) N T (S N ). Тогда коэффициенты связности t равны нулю и внешний i дифференциал формы = i1...ir 1...s dxi1... dxir dy 1... dy s имеет вид i1...ir 1...s j i...i...

dx dxi1... dy s + 1 r 1 s dy dxi1... dy s, d = xj y где первое слагаемое есть d, а второе d.

Покажем, что в рассматриваемом случае = 0, т.е., =. Будем считать, что коэффициенты w тензора w постоянны по отношению к выбранной системе координат. В случае, когда s 2, имеем i1...ir 3...s j w dx dxi1... dxir dy 3... dy s i(w)d = j x и d i(w) = = d (i1...ir 3...s w dxi1... dxir dy 3... dy s ) = (i1...ir 3...s w ) j dx dxi1... dxir dy 3... dy s.

= j x Ясно, что разность двух последних выражений равна нулю. Если же s равно 0 или 1, оба слагаемых i(w)d и d i(w) равны нулю.

Таким образом, =.

Обозначим символом s (S, r (N )) пространство r (N )-значных s форм на S. В рассматриваемом случае пространства r,s (M ) изоморф ны пространствам s (S, r (N )) посредством отображения, относящего форме r,s (M ) форму s (S, r (N )), определенную следующим образом:

(y (Y1,..., Ys ))x (X1,..., Xr ) = (1)r (x,y) (X1..., Xr, Y1..., Ys ), где x N, y S, Xi Tx N, Y Ty S (см. [96]). Более того, этот изоморфизм переводит дифференциал d во внешний дифференциал d на r (N )-значных формах. В частности, отсюда следует Теорема 1.3.

Ясно также, что рассматриваемый изоморфизм переводит = в оператор = iddi на r (N )-значных формах. Оператор продолжа ется с s (S) на пространство r (N )-значных s-форм на S и по-прежнему для s (S, r (N )) имеет место равенство = (1)s+1 d. Поэтому из Теоремы 1.3 и формулы (1.3.18) следует, что s Hcan (S N, w) H(k (S, sk (N )), ) s = = k= s s H 2mk (S, sk (N )) H 2mk (S) sk (N ).

= = dR k=0 k= Итак, в рассматриваемом случае s Hcan (S N, w) HdR (S) sk (N ).

s 2mk = k= Пример 1.3.12. Вычислим канонические гомологии квадратичных пуассоновых структур на R2 (см. Пример 1.3.8).

1. Случай эллиптической структуры well = (x2 + y 2 ) x y.

а) Hcan (R2, well ) = 0. Действительно, пусть = f (x, y) dxdy и = 0.

Имеем = di = d((x2 + y 2 )f (x, y)) = 0, откуда (x2 + y 2 )f (x, y) = const. Подставив x = y = 0, получаем, что (x2 + y 2 )f (x, y) 0, поэтому f (x, y) 0 и = 0.

б) dim Hcan (R2, well ) =. Пусть 1 (R2 ) такова, что = id = 0.

Из соображений непрерывности и из того факта, что well обращается в нуль только в точке (0, 0), следует, что d = 0. В свою очередь, это означает, что = df для некоторой функции f (x, y) C (R2 ) (здесь f определена с точностью до константы, так что мы можем считать, что f (0, 0) = 0). Если же = для = g(x, y) dx dy, получаем, что = d((x2 + y 2 )g(x, y)).

Обозначим символом C0 (R2 ) подкольцо гладких функций, обращаю щихся в нуль в точке (0, 0). Тогда {df | f C (R2 )} Hcan (R2, well ) =.

{d((x2 + y 2 )g) | g C (R2 )} Поскольку ker d|C0 (R2 ) = 0, отсюда следует, что C0 (R2 ) Hcan (R2, well ), = (x2 + y 2 )C (R2 ) Ясно, что последнее факторпространство бесконечномерно.

в) dim Hcan (R2, well ) =. Действительно, f = 0 для любой функ ции f C (R2 ). Если же f = для = P dx + Qdy, то f = id = Q. Любую функцию g C (R2 ) можно представить в P (x2 + y 2 ) x y Q P x y.

виде g = Следовательно, {f C (R2 )} Hcan (R2, well ) = = {(x2 + y 2 )g | g C (R2 )} C (R2 ) R H 1 (R2, well ).

= = can 2 + y 2 )C (R2 ) (x 2. Вычисления в случаях гиперболической whyp = xy x и пара y болической wpar = y 2 x структур ничем не отличаются от выше y приведенных (в этом существенное отличие от вычисления когомологий Пуассона в [78], где вид структуры влияет на выбор метода подсчета).

Имеем C (R2 ) C (R2 ) Hcan (R2, whyp ) Hcan (R2, wpar ) =, = 2 2, (xy)C (R2 ) (y )C (R ) C0 (R2 ) C0 (R2 ) Hcan (R2, whyp ) = Hcan (R2, wpar ) =,, (xy)C (R2 ) (y 2 )C (R2 ) Hcan (R2, whyp ) = 0, Hcan (R2, wpar ) = 0.

Сравнение с результатами, приведенными в Примере 1.3.8, показы вает, что в случае произвольного пуассонова многообразия какого-либо изоморфизма между пуассоновыми когомологиями и каноническими го мологиями не существует.

§1.4 Алгебры Вейля. Расслоения Вейля Определение. [63, 91] Ассоциативная коммутативная унитальная алге бра A над полем вещественных чисел R называется локальной или алге брой Вейля, если ее радикал Rad(A) = A (подмножество нильпотентных элементов) является максимальным идеалом и факторалгебра A/A изо морфна алгебре R вещественных чисел.

Одномерное линейное подпространство в A, натянутое на единицу 1A, образует подалгебру, изоморфную R. Эту подалгебру мы будем отож дествлять с R, считая, что R A и 1A 1 R. При этом алгебра Вейля A представляется в виде полупрямой суммы A = R A.

Таким образом, структура алгебры Вейля A полностью определяется ее радикалом нильпотентной алгеброй A. Теория нильпотентных алгебр детально разработана В.В. Вагнером в работах [3, 4] в связи с изучением дифференциальных групп и касательных пространств высших порядков.

Изложение теории алгебр Вейля можно найти в обзоре А.П. Широко ва [29], книге В.В. Вишневского, А.П. Широкова и В.В. Шурыгина [9] и монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [63].

Здесь и в дальнейшем символом Ar будем обозначать r-тую степень идеала A. Идеал A порождается набором элементов { A }, A = 1,..., N, таких, что набор классов { A + A2 }, является базисом факторалгебры A/A2. При этом набор { A }, A = 1,..., N, называется псевдобазисом в A [4], а число N = dimR A/A2 шириной алгебры A. Натуральное число h, определяемое соотношениями Ah = 0, Ah+1 = 0 называется высотой алгебры A. Положим dk (A) = dimR A /Ak+1 при k = 1,..., h, и k d0 (A) = dimR A/A = 1. При этом N = d1 (A).

Пусть R[[N ]] = R[[t1,..., tN ]] алгебра формальных степенных рядов от N переменных t1,..., tN над полем R, R[[N ]] максимальный иде ал, состоящий из рядов с нулевым свободным членом. Отображение, p относящее формальному ряду = |p|=0 p t, где p = (p1..., pN ) элемент p p A, является мультииндекс, |p| = p1 +... + pN, |p|= гомоморфизмом алгебр и A R[[N ]]/ker. Следовательно, всякая ал = гебра Вейля изоморфна факторалгебре алгебры формальных степенных рядов по некоторому идеалу.

В частности, алгебра R(N, h) срезанных многочленов степени h от N переменных изоморфна факторалгебре R[[N ]]/R[[N ]]h+1. Если A класс, определяемый элементом tA R[[N ]], то произведения R(N, h) p = (1 )p1... (N )pN при 0 |p| h образуют базис в R(N, h). Линейное отображение : R(N, h) A, относящее элементу p элемент p, являет ся эпиморфизмом и A R(N, h)/ker. Таким образом, всякая алгебра = Вейля изоморфна также факторалгебре алгебры срезанных многочле нов.

Обозначим n = dimR A. Цепочку вложенных идеалов A A A2... Ah можно дополнить до цепочки идеалов, называемой композиционным ря дом Жордана-Гельдера [91] A A = I1 I2... In 0, где Ia /Ia+1 одномерная алгебра с нулевым умножением. При этом Ak = I1+d1 (A)+...+dk1 (A) при 2 k h.

Это частный случай общей конструкции для колец, см. [18]. Используя ряд Жордана-Гельдера, можно выбрать в алгебре A такой базис {ea } = {e0, ea }, a = 0, 1,..., n = dim A, a = 1,..., n, (1.4.1) что e0 = 1 R, ea Ia, ea Ia+1, называемый базисом Жордана Гельдера. Этот базис, вообще говоря, определен неоднозначно. Разложе ние элемента X A по базису (1.4.1) будем записывать в виде X = xa ea = x0 + xa ea. Также обозначим X = xa ea, тогда X = x0 + X. Разло жение единицы алгебры A по базису (1.4.1) будем записывать 1A = a ea.

Компоненты структурного тензора алгебры A по отношению к бази c c су (1.4.1) будем обозначать (ab ), т.е., ea eb = ab ec. Они удовлетворяют со b b c отношениям 0a = a (символ Кронекера), a = 0 при a c. Поскольку b алгебра A коммутативна и ассоциативна, структурные константы также c c удовлетворяют соотношениям ab = ba и cb bc ab ef = ae bf. (1.4.2) Кроме того, поскольку ea = ea · 1A = ea b eb = b ab ec, имеет место соот c ношение b ab = a.

c c (1.4.3) Напомним (см. [9]), что условия дифференцируемости функции f :

U A A над коммутативной ассоциативной алгеброй A (или, короче, A-гладкости), называемые условиями Шефферса, имеют вид:

f b c c b f = ac d (1.4.4) xc ad x Условия Шефферса в силу унитальности алгебры A эквивалентны сле дующим:

f b c b d f = ac. (1.4.5) xa xd Вещественные координаты на Am будем нумеровать двойным индек сом ia. Для функции нескольких переменных f : U Am A, f : {X i = xia ea } f (X i ) = f b (xia )eb, где символом Am обозначен A-модуль, эле ментами которого являются строки длины m, состоящие из элементов алгебры A, условия Шефферса имеют вид [9]:

f b f c = ac d id b (1.4.6) xia x При выполнении условий (1.4.6) дифференциал функции f представля f ется в виде df = fi dX i, где функции fi = a xia называются частными f производными по X i. Будем обозначать их через X i. Отсюда следует, что f f = a ia. (1.4.7) X i x f Каждая функция X i (X j ) при этом также является A-гладкой.

Канонический эпиморфизм m : Am Rm определяет каноническое Am -слоение на Am. Следующая ниже теорема (см. [91]) описывает стро ение A-гладкого отображения вида F : U Am Ak для произвольной алгебры Вейля A.

[91] 1) Пусть U Am Теорема 1.12. простое открытое под множество для Am -слоения и : U Ak гладкое проектируемое относительно канонического Am -слоения отображение. Тогда форму лой h 1 D p i p i i X = + X, (1.4.8) p! Dxp |p|= где i = 1,..., m, i = 1,..., k, p = (p1,..., pm ) мультииндекс длины m и p! = p1 !... pm !, X i = xi + X i разложение в соответствии с (1.4.1), X p = (X 1 )p1... (X m )pm, задается A-гладкое отображение : U Ak.

2) Всякое A-гладкое отображение : U Ak имеет вид (1.4.8) для некоторых функций i : U A.

Определение. Отображение : U Ak, определяемое формулами (1.4.8), называется аналитическим продолжением проектируемого отоб ражения : U Ak.

Для обозначения аналитического продолжения отображения будем использовать символ A.

Предложение 1.4.1. [91] Имеют место следующие свойства анали тических продолжений:

1. ( + )A = A + A.

2. ( · )A = A · A.

3. (A )A = A A.

4. (Dp /Dxp )A = Dp A /DX p для : U Am A.

произвольный A-модуль, dimR L и M Пусть теперь L глад кое многообразие.

L-картой на M называется пара (U, h), состоящая из открытого мно жества U M и диффеоморфизма h : U U L. L-атласом на M называется набор L-карт {(U, h )}K такой, что {U }K покры тие M, а касательное отображение Th (x) (h h1 ) : Th (x) L L L Th (x), (1.4.9) является изоморфизмом A-модулей при всех x M,, K. Это условие эквивалентно A-дифференцируемости функций склейки h := h h1.

Определение. [9] A-гладким многообразием, моделируемым модулем L (L-многообразием) называется четверка следующего вида (A, L, M, A), где A максимальный L-атлас на M.

Изоморфизм (1.4.9) позволяет ввести на касательном пространстве Tx M в произвольной точке x M L-многообразия M структуру A-мо дуля, изоморфного L, перенося ее с Tx U посредством отображения Tx h1 : Tx U L Tx M.

Поскольку при этом T h1 : T U T U гладкое отображение, то возникает гладкое действие : A T M T M, (, vx ) vx, и на многообразии M индуцируется полиаффинорная структура [14], представляющая алгебру A. Поля вещественных (1, 1)-тензоров на мно гообразии M, соответствующие умножению касательных векторов на элементы из алгебры A, называются структурными аффинорами мно гообразия M. Структурные аффиноры задают в каждом касательном пространстве Tx M представление алгебры A.

Определение. [9] An -многообразие называется n-мерным A-гладким многообразием.

Пусть M и M A-гладкие многообразия, моделируемые, соответ ственно, A-модулями L и L. Гладкое отображение f : M M на зывается A-гладким отображением, если Tx f A-линейное отображе ние при всех x M. Это требование эквивалентно A-дифференцируе мости координатных представлений h f h1 отображения f. Когда нам потребуется отличать A-гладкое отображение f от того же самого отображения, рассматриваемого как гладкое отображение вещественных многообразий, будем обозначать их символами fA и fR, соответственно.

Обозначим символом Mf категорию гладких многообразий, а симво лом FM категорию расслоенных многообразий. С каждой алгеброй Вейля ассоциируется функтор T A : Mf FM, называемый функтором Вейля, который относит гладкому многообра зию M его расслоение Вейля A : T A M M (см. [63, 91, 99]). Он строит ся следующим образом [63]. Определим отображение A : A A/A = R как проекцию на факторпространство. Пусть U Rm открытое под множество. Положим (A )1 (U ) m = U Am, A T U := тогда T A U есть открытое подмножество в Am. Для гладкого отображе ния открытых множеств f : U Rm V Rk определим отображение T A f := f A : T A U Am T A V Ak.

гладкое многообразие, A = {(U, h )}K Пусть теперь M макси мальный атлас на M, U := U U и h := h h1 : h (U ) h (U ).

Тогда гладкие отображения T A (h ) / (1.4.10) T (h (U )) T A (h (U )) A m m A A   h / h (U ) h (U ) образуют коцикл замен координат. Используя этот коцикл, можно скле ить открытые множества T A (h (U )) = h (U ) Am T A Rm = Am и получить гладкое многообразие T A M. Из диаграммы (1.4.10) следует, что T A M есть тотальное пространство расслоения A,M : T A M M.

При этом T A M есть хаусдорфово пространство [63].

Пусть f : M N гладкое отображение многообразий. Приме ним функтор T A к локальным представителям отображения f по от ношению к соответствующим атласам и получим гладкое отображение T A f : T A M T A M. Легко видеть, что T A (f g) = T A f T A g и что T A (idM ) = idT A M, так что T A : Mf FM есть ковариантный функ тор [63].

Функторы Вейля сохраняют произведения, т.е., T A (M N ) T A M T A N.

= Более того, как показано в работах [44, 62, 70], при некоторых допол нительных условиях (локальность и регулярность) любой сохраняющий произведения функтор F : Mf FM естественно эквивалентен функ тору Вейля T A для некоторой алгебры Вейля A. При этом T A T B = T AB T B T A (подробнее об этом см. [63]).

= А.П. Широковым [29] было показано, что T A M несет структуру глад кого многообразия над алгеброй A.

Определение. [9, 15] Фробениусовой алгеброй Вейля будем называть алгебра Вейля, а q : A A R пару (A, q), где A невырожденная билинейная форма, удовлетворяющая следующему условию ассоциатив ности:

q(XY, Z) = q(X, Y Z) при любых X, Y, Z A. (1.4.11) Форма q называется фробениусовой формой.

Фробениусовы алгебры играют особую роль в теории гладких много образий над алгебрами при построении реализации тензорных операций [9, 14].

В базисе (1.4.1) условие (1.4.11) записывается как c c qbc ef = be qcf. (1.4.12) На фробениусовой алгебре Вейля A имеется ковектор p : A R, определяемый соотношением p(X) = q(X, 1A ). (1.4.13) В базисе (1.4.1) его координаты удовлетворяют соотношениям a pa bc = qbc. (1.4.14) Мы будем называть ковектор p фробениусовым ковектором. Свертывая (1.4.14) с c, получаем pb = qbc c. (1.4.15) Из формул (1.4.11) и (1.4.13) следует, что q(X, Y ) = p(XY ) при любых X, Y A. (1.4.16) Фробениусова форма q индуцирует изоморфизм : A A, (X)Y := q(X, Y ) = p(XY ). (1.4.17) Из определения следует, что (1A ) = p, а из (1.4.11) что (XY )(Z) = (X)(Y Z).

Изоморфизм позволяет ввести умножение на A :

:= (1 () · 1 ()) (точка означает умножение в A) и билинейную форму q : A A R q (, ) := (1 ).

Лемма 1.4.1. Форма q является симметрической.

Доказательство. Действительно, пусть, A и = (X), = (Y ) для X, Y A. Равенство q (, ) = q (, ) означает, что (1 ) = (1 ). Последнее условие эквивалентно тому, что (X)Y = (Y )X или, что то же самое, q(X, Y ) = q(Y, X).

базис в A, сопряженный базису {ea }. Тогда (ea ) = Пусть {ea } qab eb, 1 (ea ) = q ab eb и q ab = qab.

Предложение 1.4.2. Для любых, A имеет место равенство q (, ) = ( )(1A ). (1.4.18) Доказательство. Пусть = (X), = (Y ) для X, Y A. Тогда q (, ) = (1 ) = (X)Y = p(XY ) = p(1 ()·1 ()) = p(1 ( )).

Но p(1 ) = (1A ) для любого A. Действительно, пусть = (Z), тогда p(1 ) = p(Z) = (Z)(1A ) = (1A ).

Всякая функция F : A A определяет функцию F = F 1 :

A A. Имеет место следующее A -гладкая Утверждение. Если F A-гладкая функция, то F функция.

Доказательство. Покажем, что дифференциал dF является A -линей ным. Имеем dF ( ) = d( F 1 )( ). Но, в силу линейности, d =, d1 = 1, поэтому dF () = dF (1 ()) = dF (1 ·1 ) = (1 · dF (1 )) = ( dF (1 )) = dF () (точкой обозначено умножение в A).

Пример 1.4.1. Пусть A алгебра Вейля плюральных чисел Dn = R(n ) = {x0 + x1 + · · · + xn n | xi R, n+1 = 0} (она же алгебра срезанных многочленов от одной переменной степени не выше n). В случае n = 1 получается алгебра дуальных чисел D = R() = {x0 + x1 | x0, x1 R, 2 = 0}.

Алгебре R() соответствует касательный функтор: T R() M = T M, а ал гебре R(n ) соответствует касательный функтор высшего порядка T n = n T R( ).

Выберем базис Жордана-Гельдера в R(n ) в виде e0 = 1, ea = a, a = 1,..., n. В качестве фробениусова ковектора на алгебре плюральных чисел можно взять любой ковектор p = (p0,..., pn ) такой, что p(n ) = pn = 0. Матрица qab фробениусовой формы q(X, Y ) = p(XY ) тогда имеет вид p0 p1... pn1 pn p1 p2... pn 0......

...

.... (1.4.19)...

1...

p 0 0 n1 pn 0... 0 Таким образом, для любой формы q, матрица которой имеет вид (1.4.19) с pn = 0, пара (R(n ), q) является фробениусовой алгеброй Вейля.

Замечание 1.4.1. Если (A, q) и (B, q ) две фробениусовы алгебры Вейля, то их тензорное произведение (A B, q q ) также является фро бениусовой алгеброй Вейля (см., напр. [9]).

§1.5 Структура фробениусовых алгебр Вейля Пусть (A, q) фробениусова алгебра Вейля высоты h и p фробениусов ковектор. Обозначим n = dim A. Выберем в алгебре A базис Жордана Гельдера (1.4.1).

Лемма 1.5.1. Для фробениусовой алгебры Вейля (A, q) выполняются следующие условия:

1) dim Ah = 1, то есть, Ah = In ;

2) p| h = 0.

A Доказательство. Действительно, обозначим Ann A := {X A | X · A = 0}.

Пусть 0 = X Ann A, тогда для любого Y = y 0 + Y имеем XY = Xy 0, откуда q(X, Y ) = p(XY ) = y 0 p(X). Поскольку форма q невырождена, отсюда следует, что p(X) = 0. Поэтому Ann Aker p = 0, откуда следует, 1. Однако ясно, что 0 = Ah Ann A, следовательно, что dim Ann A dim Ah = dim Ann A = 1.

Второе утверждение Леммы 1.5.1 означает, что в базисе Жордана Гельдера последняя компонента pn фробениусова ковектора p не равна нулю.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.