авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА ...»

-- [ Страница 2 ] --

Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что базис Жордана Гельдера (1.4.1) выбран таким образом, что pn = p(en ) = 1.

Тогда матрица фробениусовой формы q в этом базисе имеет вид...... qab =.......,....

....

... 1 0... а обратная матрица q ab имеет вид 00... 0 0... =....

...

....

ab q. (1.5.1)....

0... 1...

Замечание 1.5.1. Введем на алгебре A ковектор p формулой p(X) := x (проекция на R вдоль A).

1) Покажем, что если некоторый ковектор p является фробениусо вым, то p := p p(1)p также фробениусов. Действительно, если это не так, то найдется такой X A, что p(XY ) = 0 для любого Y A.

Это означает, что x0 p(Y ) + y 0 p(X) + p(X Y ) = 0. Выберем в Ah та кой элемент Z, что p(Z) = 1 (в терминах базиса Жордана-Гельдера, Z = en ) и положим X = X x0 Z. Тогда для любого Y A имеем XY = XY x0 y 0 Z = x0 y 0 + x0 Y + y 0 X + X Y x0 y 0 Z. Легко видеть, что p(XY ) = 0. Противоречие с тем, что ковектор p фробениусов.

Это означает, что любой фробениусов ковектор p можно деформиро вать таким образом, что R ker p (считать, что p0 = 0 по отношению к базису (1.4.1)).

2) Теперь, по Лемме 1.5.1, имеем A = ker p Ah. Определим билиней ную форму q (X, Y ) на A как проекцию XY на Ah вдоль ker p. Покажем, что форма q невырождена. Действительно, предположим, что найдется такой элемент X A, что q (X, Y ) = 0 для любого Y A. Представим XY в виде суммы U + Z, где U ker p, Z Ah. Тогда 0 = q (X, Y ) = Z, поэтому p(XY ) = p(Z) = 0, что противоречит Лемме 1.5.1. Таким обра зом, q также является фробениусовой формой на A.

базис в A, сопряженный базису Жордана Гельдера {ea }.

Пусть {ea } В дальнейшем нам иногда будет удобно считать его базисом в A, поэтому мы введем в рассмотрение базис {e0,..., en } в алгебре A, где ea = q ab eb ;

(1.5.2) тогда ea = qab eb. Компоненты структурного тензора по отношению к это ab му базису обозначим (c ). Они совпадают с компонентами структурного тензора на A по отношению к базису {ea }. Понятно, что p(ea eb ) = q ab. (1.5.3) c ab ab Установим некоторые связи между (ab ) и (c ). Ясно, что c = q ad q bf qch df. Преобразуя правую часть с учетом (1.4.12), имеем c = h ab q ad q bf df qch = q ad q bf qhf dc = q ad h dc = q ad dc. Итак, h h bh b c = q ad dc, ab b (1.5.4) откуда b ab dc = c qad. (1.5.5) fd Из формулы (1.5.4) с учетом (1.4.2) следует, что c bf = q ah hc f b = af d df ad f q ah hf cb = f bc. Итак, ad f af d c bf = f bc. (1.5.6) Из формулы (1.4.18) следует, что c c = q ab.

ab (1.5.7) Также имеет место соотношение ea ec = ab eb.

c (1.5.8) Действительно, используя (1.5.5), получаем ea ec = qad ed ec = qad b eb = cd ab eb.

c Отсюда легко видеть, что p(ea ec ) = a.

c (1.5.9) Аналогично, p(ea eb ec ) = ab.

c (1.5.10) В самом деле, p(ea eb ec ) = ab p(ed ec ) = ab d.

d dc Пусть F : A A произвольная A-гладкая функция и пусть F = F a (xb )ea = Fa (xb )ea ее разложения по базисам (1.4.1) и (1.5.2). Ясно, что F a pa = Fb b. (1.5.11) Кроме того, покажем, что ( a Fa ) Fb = c c. (1.5.12) xb x Действительно, последовательно используя формулы (1.4.5) и (1.4.3), d ( a Fa ) (b Fd ) = a c ab Fc = c = c Fc.

d имеем d b xc xb x x Глава Квантовые когомологии де Рама В настоящей главе мы вычисляем когомологии двойного комплекса на пуассоновых многообразиях, введенного Ж.-Л. Брылинским в [36]. С этой целью для любого пуассонова многообразия (M, w) мы строим изо морфизм между дифференциальными группами ( (M ), d) и ( (M ), d + ), где d внешний дифференциал, дифференциал Кошуля. Получен ный результат мы применяем для вычисления квантовых когомологий де Рама пуассоновых многообразий, введенных в работе [38].

§2.1 Когомологии двойного комплекса Брылинского Пусть (M, w) пуассоново многообразие, dim M = n, и = [i(w), d] = i(w) d d i(w) есть дифференциал Кошуля (см. п. 1.3.4). Введем оператор D := d + : (M ) (M ).

Из соотношений (1.3.16) и (1.3.17) следует, что D D = 0.

Обозначим 0 (M ) = 2k (M ), 1 (M ) = 2k+1 (M ). Введем на k0 k (M ) следующую Z2 -градуировку: все элементы 0 (M ) назовем четны ми (степени 0), а все элементы 1 (M ) нечетными (степени 1). Заметим, что операторы d : (M ) (M ) и D : (M ) (M ) являются нечетными, т.е., меняют четность степени.

Предложение 2.1.1. Пусть (M, w) пуассоново многообразие. Тогда для любого натурального числа k имеет место тождество k 1 k+ i(w) d ik (w) = d ik+1 (w) + i (w) d, (2.1.1) k+1 k+ где ip (w) = i(w) · · · i(w).

p раз Доказательство. Для скобки Схоутена-Нейенхейса выполняется сле дующее тождество:

[[i(u), d], i(v)] = i([v, u]) для любых u, v V (M ) (см., напр., [72]). Подставляя в это тождество u = v = w и учитывая, что [w, w] = 0, получаем [[i(w), d], i(w)] = 0.

Раскрывая скобки в последнем равенстве, приходим к тождеству 1 i(w) d i(w) = d i2 (w) + i2 (w) d. (2.1.2) 2 Таким образом, для k = 1 формула (2.1.1) доказана.

Пусть теперь k 2. Используя (2.1.2), получаем следующие равен ства:

i(w) d ik (w) = 1 d ik+1 (w) + 1 i2 (w) d ik1 (w), 2 i2 (w) d ik1 (w) = 1 i(w) d ik (w) + 1 i3 (w) d ik2 (w), 2...

ik1 (w) d i2 (w) = 1 ik (w) d i(w) + 1 ik2 (w) d i3 (w), 2 ik (w) d i(w) = 1 ik+1 (w) d + 1 ik1 (w) d i2 (w).

2 Эти равенства определяют систему линейных уравнений относительно операторов ip (w) d ikp+1 (w), p = 0, 1,..., k + 1. Решая эту систему, находим, что k 1 k+ i(w) d ik (w) = d ik+1 (w) + i (w) d.

k+1 k+ Следствие 2.1.1. Для любого натурального числа k имеет место тождество 1k i (w) d d ik (w) = ik1 (w). (2.1.3) k k Доказательство. Действительно, ik1 (w) = i(w)dik1 dik (w) = k1 1 1 ik (w) + k ik (w) d d ik (w) = k ik (w) d k d ik (w).

kd В дальнейшем на протяжении этой главы будем обозначать i(w) через i и i(w) через i. Рассмотрим оператор : (M ) (M ), опреде ленный следующим образом:

1k 1 i = + i + i2 + i3 +...

() := (2.1.4) k! 2 k Ясно, что переводит пространства 0 (M ) и 1 (M ) в себя, и, таким образом, сохраняет Z2 -градуировку на (M ).

Предложение 2.1.2. Оператор : ( (M ), d) ( (M ), D) являет ся гомоморфизмом дифференциальных групп, т.е., имеет место равен ство d = D. (2.1.5) компонента формы (M ) Доказательство. Пусть k k (M ) n относительно разложения (M ) = k (M ).

k= Для доказательства формулы (2.1.5) достаточно проверить, что для любой p (M ), p = 0, 1,..., n, имеет место равенство компонент (d)k = (D)k, k = 0,..., n.

Пусть сначала || = 2m. Тогда (d)2m+1 = d = (D)2m+1. Для компонент степени 2m 1 имеем (d)2m1 = id = di + = (D)2m1, что следует из определения оператора.

Для компонент любой другой степени k = 1, 3,..., 2m 3 имеем 1k 1 i d = dik + ik1 = (D)k, (d)k = (k 1)!

k! k!

что вытекает из формулы (2.1.3). Остальные компоненты форм d, D равны нулю.

Если || = 2m + 1, то равенства (d)k = (D)k для степеней k = 2, 4,..., 2m + 2 проверяются точно так же, а для компонент степени имеем 1 1m im+1 d = (d)0 = i = (D)0, (m + 1)! m!

что также следует из формулы (2.1.3) с учетом того, что im+1 = 0. Все остальные компоненты форм d, D равны нулю.

Предложение 2.1.3. Гомоморфизм : ( (M ), d) ( (M ), D) яв ляется изоморфизмом дифференциальных групп.

Доказательство. Так как оператор сохраняет Z2 -градуировку и яв ляется гомоморфизмом дифференциальных групп, достаточно доказать, что он биективен.

Проверим биективность оператора |0 (M ).

Для этого покажем, что |0 (M ) эпиморфизм и мономорфизм. Рас смотрим любой элемент c = 0 +2 +...+2m 0 (M ), где |k | = k, k = 0, 2,..., 2m. Элемент c1 = c (2m ) имеет вид c1 = 0 + 2 +... + 2m2, где 2m2 = 2m2 i2m 2m4 = 2m4 2 i2 2m...

1m 0 = 0 m! i 2m.

Теперь рассмотрим элемент c2 = c1 (2m2 ) = c (2m + 2m2 ) (т.е., c = c2 + (2m + 2m2 )) и так далее. На (m + 1)-ом шаге получим cm+1 = 0, откуда c = (2m + 2m2 +... ) im |0 (M ).

Условие (c) = 0, где c = 0 + 2 +... + 2m 0 (M ), равносильно системе уравнений 2m = 2m2 + i2m = 2m4 + i2m2 + 1 i2 2m =...

1m 0 + i2 +... + m! i 2m = 0.

Первое уравнение сразу дает 2m = 0. С учетом этого из второго урав нения следует, что 2m2 = 0 и так далее, при движении сверху вниз получаем, что все формы k, k = 0, 2,..., 2m, равны нулю. Таким обра зом, c = 0 и мономорфизм.

Аналогично доказывается, что |1 (M ) : 1 (M ) 1 (M ) есть биек ция.

Доказанное предложение позволяет вычислить когомологии диффе ренциальной группы ( (M ), D). Так как (M ) = 0 (M ) 1 (M ) и оператор D является нечетным, получаем H( (M ), D) = H0 ( (M ), D) H1 ( (M ), D), где ker D : 0 (M ) 1 (M ) H0 ( (M ), D) :=, im D : 1 (M ) 0 (M ) ker D : 1 (M ) 0 (M ) H1 ( (M ), D) :=.

im D : 0 (M ) 1 (M ) Аналогично H( (M ), d) = H0 ( (M ), d) H1 ( (M ), d), где ker d : 0 (M ) 1 (M ) 2k H0 ( (M ), d) := = HdR (M ), im d : 1 (M ) 0 (M ) k ker d : 1 (M ) 0 (M ) 2k+ H1 ( (M ), d) := = HdR (M ).

im d : 0 (M ) 1 (M ) k Так как : ( (M ), d) ( (M ), D) есть изоморфизм Z2 -градуиро ванных дифференциальных групп, получаем Пространство H0 ( (M ), D) изоморфно прямой Следствие 2.1.2.

2k сумме четномерных пространств когомологий де Рама HdR (M ) мно k гообразия M. Пространство H1 ( (M ), D) изоморфно прямой сумме 2k+ нечетномерных пространств когомологий де Рама HdR (M ) мно k гообразия M.

Применим полученный результат для вычисления когомологий двой ного комплекса A = (Ap,q,, d = (1)p d), где Ap,q = qp (M ), p, q Z, введенного Ж.-Л. Брылинским в [36] (см. (2.1.6)). В этой главе мы будем обозначать символом d оператор (1)p d (в отличие от §1.1 и п. 1.3.4).

Этот комплекс мы будем называть двойным комплексом Брылинского пуассонова многообразия (M, w). Его когомологии будем называть кого мологиями двойного комплекса Брылинского и обозначать HBr (M, w).

d n (M ) ··· d d n (M ) n1 (M ) · · · d d d · · · n (M ) n1 (M ) n2 (M ) · · · d d d...

... (2.1.6)...

d d d · · · 2 (M ) 1 (M ) 0 (M ) ··· d d d · · · 1 (M ) 0 (M ) d · · · 0 (M ) Диагональный комплекс B двойного комплекса A имеет следующий вид: B = (B p, Dp ), p Z, где B 2k = 0 (M ), B 2k+1 = 1 (M ), k Z, а Dp = + (1)p d. Но (1)p d = d, следовательно, D = D.

Таким образом, этот диагональный комплекс есть D D D... B 2k1 = 1 (M ) B 2k = 0 (M ) D D D B 2k+1 = 1 (M ) B 2k+2 = 0 (M )...

Из Следствия 2.1.2 непосредственно вытекает Теорема 2.1. Для любого пуассонова многообразия (M, w) имеют ме сто изоморфизмы:

HBr (M, w) HdR (M ), HBr (M, w) HdR (M ), 2p 2p+ 2k 2k+ p Z.

= = k0 k §2.2 Квантовые когомологии де Рама Пусть A ассоциативная алгебра с единицей над R. Обозначим сим волами A[h] и A[[h]] алгебру многочленов от h и алгебру формальных степенных рядов от h с коэффициентами в A соответственно. Аналогич но, обозначим символами A[h, h1 ] и A[[h, h1 ]] алгебры многочленов и формальных рядов от h и h1.

Будем говорить, что алгебра Ah над R[h] получена из алгебры A де формационным квантованием, если имеет место изоморфизм R[h]-моду лей Ah A[h] = A R[h], причем Ah /hAh A (аналогично для случая = = алгебры Ah над R[h, h1 ], R[[h]] или R[[h, h1 ]]).

Подробнее о деформационном квантовании см., напр., [34, 38, 43, 54, 60, 64, 81, 82].

Один из примеров деформационного квантования на пуассоновых мно гообразиях был рассмотрен Х.-Д. Као и Ж. Чжоу в [38].

Пусть V конечномерное векторное пространство над R. Выберем в нем любой базис {e1,..., en }. Обозначим символом T (V ) алгебру ко вариантных тензоров на V. Для T k (V ) определим свертки с v V справа и слева формулами ( v)(v1,..., vk1 ) := (v1,..., vk1, v), (v )(v1,..., vk1 ) := (v, v1,..., vk1 ), где v, v1,..., vk1 V. Выберем произвольный контравариантный тензор w = wij ei ej 2 (V ). Определим квантовое внешнее умножение h = h,w : (V ) (V ) (V )[h] следующим образом:

hk i1 j w... wik jk ( h = eik ) (ejk ei1...... ej1 ), k!

k (2.2.1) где, (V ). Легко видеть, что это определение не зависит от выбо ра базиса {e1,..., en }. В дальнейшем будем писать просто h вместо h,w.

Введем на (V ) := (V )[h] следующую Z-градуировку: элементы h пространства k (V ) имеют степень k, а h имеет степень 2. Распростра ним умножение h на (V )R[h] (V ) как отображение R[h]-модулей.

h h [k] Обозначим символом h (V ) пространство однородных элементов сте пени k. Легко видеть, что тогда [k] [] [k+ ] (h (V )) h (h (V )) h (V ).

В [38] доказана следующая Теорема 2.2. [38] Квантовое внешнее умножение является супер коммутативным, т.е., h = (1)|||| h,, (V ), h и ассоциативным, т.е.,,, (V ).

( h ) h = h ( h ), h Таким образом, алгебра ( (V ), h ) изоморфна алгебре, полученной де h формационным квантованием алгебры ( (V ), ).

Ясно, что аналогичные результаты имеют место в случаях алгебр (V )[h, h1 ], (V )[[h]] и (V )[[h, h1 ]].

Пусть теперь (M, w) пуассоново многообразие. Для каждой точки x M тензор Пуассона wx индуцирует квантовое внешнее умножение на (Tx M ). Таким образом, операция квантового внешнего умножения естественным образом распространяется на кольцо (M )[h].

В [38] был введен квантовый внешний дифференциал dh := d h : (M )[h] (M )[h].

Там же показано, что квадрат этого оператора равен нулю dh dh = и что он удовлетворяет правилу Лейбница относительно квантового внеш него умножения:

dh ( h ) = (dh ) h + (1)|| h (dh ), где, (M )[h].

В [38] были определены квантовые когомологии де Рама Qh HdR (M ) и Qh,h1 HdR (M ) пуассонова многообразия (M, w) как когомологии диффе ренциальных групп ( (M )[h], dh ) и ( (M )[h, h1 ], dh ) соответственно:

Qh HdR (M ) := H( (M )[h], dh ), Qh,h1 HdR (M ) := H( (M )[h, h1 ], dh ).

Мы введем в рассмотрение сопряженный оператор dh := d + h : (M )[h] (M )[h].

Проверка того, что dh dh = 0 и dh ( h ) = (dh ) h + (1)|| h (dh ) осуществляется точно так же, как и в [38].

Операторы dh и dh можно распространить также на алгебры (M )[[h]] и (M )[[h, h1 ]] формальных рядов от h соответственно. Соответству ющие пространства когомологий будем обозначать следующим образом:

T Qh HdR (M ) := H( (M )[[h]], dh ), LQh,h1 HdR (M ) := H( (M )[[h, h1 ]], dh ), Qh HdR (M ) := H( (M )[h], dh ), Qh,h1 HdR (M ) := H( (M )[h, h1 ], dh ), T Qh HdR (M ) := H( (M )[[h]], dh ), LQh,h1 HdR (M ) := H( (M )[[h, h1 ]], dh ).

На дифференциальной группе ( (M )[h], dh ) можно ввести структуру двойного комплекса C = (C p,q, h, d = (1)p d), где C p,q = hp qp (M ), 0. Аналогично, на дифференциальной группе ( (M )[h, h1 ], dh ) p можно ввести структуру двойного комплекса C = (C p,q, h, d = (1)p d), где C p,q = hp qp (M ), p, q Z (см. (2.2.2), n = dim M ). По комплексу C строится спектральная последовательность E, сходящаяся к Qh HdR (M ), p,q qp первый член которой есть E1 = hp H q (C p,, d) = hp HdR (M ), p 0. По комплексу C строится спектральная последовательность E, сходящаяся p,q qp к Qh,h1 HdR (M ), первый член которой есть E1 = hp HdR (M ), p, q Z.

d h h h2 n (M ) · · · d d h h h hn (M ) h2 n1 (M ) · · · d d d h h h h · · · n (M ) hn1 (M ) h2 n2 (M ) · · · d d d...

... (2.2.2)...

d d d h h h h · · · 2 (M ) h1 (M ) h2 0 (M ) · · · d d d h h h · · · 1 (M ) h0 (M ) d h h · · · 0 (M ) В [38] показано, что в том случае, когда спектральная последователь ность E вырождается в первом члене, квантовые когомологии де Ра ма получаются деформационным квантованием обычных когомоло гий де Рама. Действительно, в этом случае Qh HdR (M ) E = E1 = p,q = p,q qp hp HdR (M ) = HdR (M )[h].

p,q Там же доказана следующая Теорема 2.3. [38] Если (M, w) компактное симплектическое мно гообразие, то спектральная последовательность E вырождается в пер вом члене, то есть Qh,h1 HdR (M ) HdR (M )[h, h1 ].

= Покажем, что этот результат верен для любого (не обязательно регу лярного) пуассонова многообразия.

Теорема 2.4. Квантовые когомологии де Рама любого пуассонова многообразия (M, w) получаются деформационным квантованием его обычных когомологий де Рама, а именно, имеют место изоморфизмы пространств когомологий Qh HdR (M ) HdR (M )[h], = Qh,h1 HdR (M ) HdR (M )[h, h1 ], = T Qh HdR (M ) HdR (M )[[h]], = LQh,h1 HdR (M ) HdR (M )[[h, h1 ]] = и колец когомологий (Qh HdR (M ), h ) (HdR (M )[h], ), = (Qh,h1 HdR (M ), h ) (HdR (M )[h, h1 ], ), = (T Qh HdR (M ), h ) (HdR (M )[[h]], ), = (LQh,h1 HdR (M ), h ) (HdR (M )[[h, h1 ]], ).

= Доказательство. Достаточно рассмотреть случай (M )[h]. Рассмот рим гомоморфизмы дифференциальных групп h : ( (M )[h], d) ( (M )[h], dh ) и h : ( (M )[h], d) ( (M )[h], dh ), определенные следующим образом:

(1)k k k 1 h i = hi + h2 i2 h3 i3 +...

h () = k! 2 k 1 kk 1 h i = + hi + h2 i2 + h3 i3 +...

h () = k! 2 k Тождества h d = dh h h d = dh h и проверяются точно так же, как и при доказательстве Предложения 2.1.2.

Проверка эпиморфности и мономорфности h и h аналогична доказа тельству Предложения 2.1.3.

Покажем, что изоморфизм h является изоморфизмом колец:

h ( ) = (h ) h (h ). (2.2.3) Пусть в локальных координатах (x1,..., xn ) на M тензор Пуассона w имеет вид w = wpq xp xq.

Доказательство формулы (2.2.3) проведем индукцией по ||.

Пусть || = 1, тогда локально имеет место разложение = p dxp.

Легко проверить, что в этом случае i( ) = i + wpq p ( ).

xq Отсюда индукцией по k следует, что ik ( ) = ik + k wpq p ik1.

xq Кроме того, h = для 1 (M ). Поэтому hk k h ( ) = i ( ) = k!

k k h ik + k wpq p ik = = xq k!

k hk ik + h wpq p ik = = xq k!

k hk hk k h ik = h = i= k! k!

k0 k = h (h ) = (h ) h (h ).

Предположим теперь, что формула (2.2.3) доказана для всех таких, что || s. Пусть || = s + 1, тогда локально представляется в виде суммы форм вида, где || = 1, || = s, поэтому переход индукции достаточно доказать для форм такого вида. Имеем h (( ) ) = h ( ( )) = (h ) h h ( ) = = (h ) h (h ) h (h ) = h ( ) h (h ).

Таким образом, h изоморфизм колец.

Замечание 2.2.1. Изоморфизм h не является изоморфизмом колец (за исключением тривиального случая w = 0), так как, например, для, 1 (M ), имеем h ( ) = hwpq p q, а (h ) h (h ) = + hwpq p q.

Замечание 2.2.2. Формула для квантового внешнего умножения под сказывает ввести следующее умножение на (M ):

w := 1 p1 q... w pk q k = w.......

xpk xqk xp1 xq k!

k Назовем его w-внешним умножением. Это умножение оказывается су перкоммутативным и ассоциативным. Действительно, для доказатель ства этого достаточно подставить h = 1 в формулу (2.2.1) для квантового внешнего умножения. Из Предложения 2.1.3 следует, что если дифферен циальную группу ( (M ), d) снабдить обычным внешним умножением, а дифференциальную группу ( (M ), D = d+) w-внешним умножени ем, то изоморфизм, определенный формулой (2.1.4), также окажется изоморфизмом колец.

Таким образом, квантовые когомологии де Рама пуассонова много образия не зависят от пуассоновой структуры на многообразии (хотя и определяются с ее помощью), а зависят лишь от топологической струк туры многообразия.

Глава Пуассоновы структуры на расслоениях Вейля Пусть (A, q) фробениусова алгебра Вейля высоты h и p соответ ствующий фробениусов ковектор на A. На протяжении этой главы будем обозначать n = dimR A. Индексы i, j,,,... будем использовать для нумерации координат на многообразиях, а индексы a, b, c, d,... для нумерации координат в алгебре A.

Пусть {ea } = {e0,..., en } базис Жордана-Гельдера (1.4.1) в A. Ком поненты фробениусова ковектора p в этом базисе будем обозначать (pa ), а компоненты фробениусовой формы (qab ). Будем считать, что элемент en базиса {ea } выбран таким образом, что p(en ) = 1.

Пусть M m-мерное гладкое многообразие. Напомним, что рассло ение Вейля T A M является m-мерным A-гладким многообразием и в каждой точке x T A M касательное пространство Tx T A M является m мерным A-модулем. Это позволяет рассматривать A-тензоры в каждой точке x T A M и A-гладкие тензорные поля на T A M (см. [9]).

Пусть теперь MA произвольное m-мерное A-гладкое многообразие.

Соответствующие A-значные локальные координаты на MA обозначим (X i = xia ea ), где двойным индексом ia будем нумеровать вещественные локальные координаты на MA (см. §1.4).

Мы введем следующие обозначения:

T r,s MA расслоение R-значных тензоров типа (r, s), A T r,s MA расслоение A-значных тензоров типа (r, s), r,s подрасслоение в A T r,s MA, образованное A-линейными TAlin MA тензорами.

Локальные сечения вышеуказанных расслоений локальные тензор в Am -картах имеют следующие выражения:

ные поля типа (r, s) на MA tj1 a1...jisrbasr dxi1 a1... dxir ar 1b... j b, i 1...

xj1 b1 x s s где в первом случае tj1 a1...jisrbasr 1b гладкие R-значные функции, а во втором i 1...

c гладкие A-значные функции tj1 a1...jisrbasr = t j1 a1...jisrbasr ec.

1b 1b и третьем случае i 1... i 1...

Локальное сечение третьего расслоения может также быть представлено в виде tj1...irs dX i1... dX ir 1...j.... (3.0.1) i X j1 X js r,s Тотальное пространство расслоения TAlin MA несет на себе естествен ную структуру A-гладкого многообразия. A-гладкое тензорное поле ти па (r, s) на MA по определению является A-гладким сечением расслое r,s ния TAlin MA. Такое тензорное поле имеет координатное представление (3.0.1), где tj1...irs = tj1...irs (X k ) 1...j 1...j A-гладкие функции.

i i Пространство A-гладких тензорных полей типа (r, s) на MA будем обо r,s значать символом TAdi (MA ), пространство A-гладких внешних форм символом на MA Adi (MA ), а пространство A-гладких поливектор символом VAdi (MA ). Основные дифференциаль ных полей на MA ные операции естественным образом распространяются на пространства A-гладких тензорных полей. Так, пусть форма Adi (MA ) в локаль ных координатах имеет вид = i1...ik dX i1...dX ik. Тогда ее внешний i1...ik j dX i1... dX ik. Это следует из дифференциал есть d = X j dX F j A-гладкости формы, так как dF = X j dX.

Аналогично, скобка Схоутена-Нейенхейса двух A-гладких поливек g торных полей U VAdi (MA ), V VAdi (MA ) в локальных коорди натах имеет вид k...k [U, V ]k2...kg+ = i22...igg+...ig+ U ri2...ig X r V ig+1...ig+ + ig+ k...k + (1)g i12...igg+...ig+ V rig+2...ig+ i1...ig X r U, ig+ §3.1 Лифты тензорных полей в расслоения Вейля Настоящий параграф посвящен построению полных и вертикальных лиф тов полей ковариантных и контравариантных тензоров с гладкого мно гообразия M на его расслоение Вейля T A M и изучению их свойств.

3.1.1 Реализации тензорных операций конечномерный модуль над A. Выберем базис {fi } в моду Пусть L сопряженный ему базис в L. Элементы fia := fi ea ле L и пусть {f i } составляют базис L как R-модуля. Обозначим f i = f ia ea, тогда веще ственнозначные ковекторы {f ia } на L составляют базис R-модуля L, сопряженный базису {fia }.

Пусть t : L... L A A-значный ковариантный тензор.

Определение. [9] Реализацией тензора t называется вещественный тензор R(t) := p t : L... L R.

Пусть t = ti1...ik f i1... f ik = ti1...ik ea1... eak f i1 a1... f ik ak. Обо значим ti1 a1...ik ak := p(ti1...ik ea1... eak ). (3.1.1) Тогда R(t) = ti1 a1...ik ak f i1 a1... f ik ak.

другой A-модуль и : L L Пусть теперь L A-линейное отображение. Покажем, что R(t) = R( t). (3.1.2) Действительно, пусть {g } базис в L. Компоненты отображения обозначим i = ic ec. Тогда компоненты ia отображения, расмат b риваемого как R-линейное отображение L L, имеют вид ia = ic bc a b (см. [9], ср. с условиями Шефферса (1.4.4)). Имеем ( t)1...k = i11... ikk ti1...ik, откуда (R( t))1 b1...k bk = = p(i11... ikk ti1...ik eb1... ebk ) = = p(i11 c1 ec1 eb1... ikk ck eck ebk ti1...ik ) = a a = i11 c1 c11b1... ikk ck ckkbk p(ti1...ik ea1... eak ) = = 1ab11... ikkabkk R(t)i1 a1...ik ak = ( R(t))1 b1...k bk.

i Используем приведенную конструкцию для построения реализаций контравариантных тензорных полей.

модуль над A и u : L... L A Пусть L A-значный кон травариантный тензор. Реализацией тензора u называется вещественный тензор R(u) := p u : L... L R.

Пусть : A A изоморфизм (1.4.17), индуцированный фробе ниусовой формой. На L можно ввести структуру A -модуля, положив · := 1 (), где L, A. Тогда u := u : L...L A яв ляется A -значным ковариантным тензором на A -модуле L. При этом, в силу того, что (1A ) = p, реализация p u тензора u как контравари антного A-тензора совпадает с реализацией 1A u тензора u как кова риантного A -тензора (здесь единица 1A алгебры A рассматривается как ковектор на A ):

u/ / A L... L A ?? } } ??

}} ? }} 1A p ??

~}}  R Пусть u = ui1...ik fi1... fik. Обозначим ui1...ik ea1... eak = ui1 a1...ik ak eb.

b Из формулы (1.5.11) следует, что p(ui1...ik ea1... eak ) = ui1 a1...ik ak b. Поло b жим ui1 a1...ik ak := p(ui1...ik ea1... eak ). (3.1.3) Тогда R(u) = ui1 a1...ik ak fi1 a1... fik ak.

другой A-модуль, : L L Пусть теперь L A-линейное отоб ражение. Предположим, что на L задан контравариантный A-тензор v такой, что u и v являются -связанными [19].

Предложение 3.1.1. Тензоры R(u) и R(v) также являются -свя занными.

Доказательство. Условия -связанности имеют вид [19] v 1...k = 1... k ui1...ik.

i1 ik Имеем (R(v))1 b1...k bk = = p(1... k ui1...ik eb1... ebk ) = i1 ik = p(1 c1 ec1 eb1... k ck eck ebk ui1...ik ).

i1 ik Отметим, что eb ec = ac ea в силу соотношения (1.5.8). Поэтому b (R(v))1 b1...k bk = = 1 c1 a1 c1... k ck ak ck p(ui1...ik ea1... eak ) = b b i1 ik 1 k = 1ab11... kabkk (R(u))i1 a1...ik ak.

i1 ik конечномерный A-модуль, v L и Предложение 3.1.2. Пусть L t T k,0 (L) ковариантный A-тензор. Тогда R(i(v)t) = i(R(v))R(t), (3.1.4) где i(v), i(R(v)) определены формулой (1.0.1).

базис в L, v = v j fj, и Доказательство. Пусть, как и выше, {fi } t = ti1...ik f i1... f ik. Обозначим = i(v)t. Вычислим компоненты R(v), R(t) и R().

j j j ab Пусть v j = vb eb, тогда v j ea = vb ea eb = vb c ec. Следовательно, j ab j (R(v))ja = v ja = vb c c = vb q ab.

Введем обозначение b ea1... eak = a1...ak eb. (3.1.5) b c c2 b Ясно, что a1...ak = a1 a2 c1 a3... ck1 ak (см. [9]).

Пусть tji1...ik1 = ts 1...ik1 es, тогда ji tji1...ik1 ea ea1... eak1 = = ts 1...ik1 es ea ea1... eak1 = ts 1...ik1 saa1...ak1 ec.

c ji ji Свертывая с p, получаем, что (R(t))jai1 a1...ik1 ak1 = tjai1 a1...ik1 ak1 = ts 1...ik1 saa1...ak1 pc.

c ji r Наконец, пусть i1...ik1 = i1...ik1 er. Тогда i1...ik1 = v j tji1...ik1 = vb eb ts 1...ik1 es = i ji = vb q bd ts 1...ik1 ed es = vb q bd ts 1...ik1 sd er.

i i r ji ji Поэтому i1...ik1 ea1... eak1 = vb ts 1...ik1 q bd sd er ea1... eak1 = i r ji = vb ts 1...ik1 q bd sd ra1...ak1 ec = vb ts 1...ik1 q bd sda1...ak1 ec.

i rc i c ji ji Следовательно, (R())i1 a1...ik1 ak1 = vb ts 1...ik1 q bd sda1...ak1 pc.

i c ji Собирая все вместе, получаем i(R(v))R(t) = v ja tjai1 a1...ik1 ak1 = j = vb q ab ts 1...ik1 saa1...ak1 pc = (R())i1 a1...ik1 ak1.

c ji Замечание 3.1.1. Отметим, что для фробениусовой алгебры Вейля ре ализация тензорных полей есть инъективная операция. Действительно, если t : L... L A ковариантный A-тензор, то R(t) = p t = q(t, 1A ) и, в силу невырожденности q, тензоры t и R(t) равны или не равны нулю одновременно. В случае контравариантных A-тензоров рас суждение аналогично.

3.1.2 Полный лифт ковариантных тензорных полей Пусть M гладкое вещественное многообразие размерности m, а A :

T AM M его расслоение Вейля. Выберем систему локальных коор динат (xi ) = (x1,..., xm ) на M. Соответствующие A-значные локальные координаты на T A M будем обозначать (X i = xia ea ), где (xia ) веще ственные локальные координаты на T A M. При этом xi0 = xi A.

Пусть T k,0 (M ) тензорное поле типа (k, 0) на M. В локальных координатах = i1...ik dxi1... dxik.

Рассмотрим функции i1...ik и построим их аналитические продолжения i1...ik = (i1...ik )A. Тогда, поскольку X i = (xi )A и dX i = dxia ea, ана k, литическое продолжение A TAdi (T A M ) поля имеет вид A = i1...ik dX i1... dX ik. Обозначим i1 a1...ik ak := p(i1...ik ea1... eak ). (3.1.6) Понятно, что R( A ) = i1 a1...ik ak dxi1 a1... dxik ak.

Определение. Полным лифтом C тензорного поля назовем тен зорное поле C = A := R( A ) C на T A M.

Из формулы (3.1.2) следует, что для любого гладкого отображения :

N M имеет место соотношение (T A ) ( C ) = ( )C.

A-гладкое многообразие и пусть Предложение 3.1.3. Пусть MA k Adi (MA ) A-гладкая дифференциальная форма. Тогда R(d ) = d (R()), (3.1.7) где d внешний дифференциал.

Доказательство. Пусть в локальных координатах = i1...ik dX i1... dX ik, тогда, как указано выше, i1...ik dX j dX i1... dX ik.

d = j X Обозначим i1...ik ea1... eak = c1 a1...ik ak ec, тогда i (R())i1 a1...ik ak = c1 a1...ik ak pc.

i Используя (1.4.6), получаем (d R())jbi1 a1...ik ak = (R())i1 a1...ik ak = xjb c pc = bd g xjg d1 a1...ik ak pc = qbd g xjg d1 a1...ik ak.

c = xjb i1 a1...ik ak i i (3.1.8) С другой стороны, по (1.4.7), c ec eb = g xjg c1 a1...ik ak bc ed.

d d ji1...ik eb ea1... eak = X j i1 a1...ik ak i Поэтому c g i1 a1...ik ak bc pd = g jg c1 a1...ik ak qbc.

d (3.1.9) x i xjg Сравнивая (3.1.8) и (3.1.9), получаем (3.1.7).

Следствие 3.1.1. Пусть M гладкое многообразие, T A M его расслоение Вейля. Операция взятия полного лифта перестановочна с внешним дифференциалом, т.е., (d )C = d( C ) (3.1.10) для любой (M ).

Равенство (3.1.10) означает, что полный лифт внешних форм индуци рует гомоморфизм когомологий де Рама [] [ C ].

HdR (M ) HdR (T A M ), (3.1.11) Теорема 3.1. Пусть (A, q) фробениусова алгебра Вейля, p ее фробениусов ковектор, а M гладкое многообразие. Если p(1A ) = 0, то гомоморфизм (3.1.11) является изоморфизмом. Если p(1A ) = 0, то гомоморфизм (3.1.11) является нулевым.

Доказательство. Пусть {ea } = {e0,..., en } базис Жордана-Гельдера в A и (p0,..., pn ) координаты ковектора p в этом базисе. Условие p(1A ) = 0 эквивалентно тому, что p0 = 0.

Многообразие M можно вложить в T A M как нулевое сечение sA :

M T A M. В работе [31] показано, что имеет место изоморфизм ком плексов ( Adi (T M ), d) = A ( (M ), d).

A Действительно, всякой A-значной форме на M однозначно относится ее A-продолжение A A-гладкая форма на T A M, и всякая A-гладкая форма на T A M совпадает с A-продолжением ограничения |sA (M ) = s () этой формы на многообразие M, вложенное в T A M как нуле A вое сечение. Обозначим когомологии комплекса ( Adi (T M ), d) через A (T A M ) A H (M ).

H (T A M ). Таким образом, H = dR Adi Adi Кроме того, ясно, что отображения A : HdR (M ) HdR (T A M ) и s : HdR (T A M ) HdR (M ) взаимно обратные изоморфизмы когомо A логий де Рама (мы используем символы A и s как для обозначения A отображений пространств внешних форм, так и для обозначения соот ветствующих отображений пространств когомологий де Рама). Следова тельно, имеется сквозной изоморфизм s A HAdi (T A M ) A HdR (M ) A A HdR (T A M ).

A Пусть (M ) = R (M ) A (M ) замкнутая форма и A = 0 e0 +... + n en Adi (T M ) ее аналитическое продолже A ние. Нетрудно видеть, что отображение s : Adi (T M ) A (M ) A A переводит форму 0 в, а все формы 1,..., n переводит в нуль. Сле довательно, отображение s : HAdi (T A M ) A HdR (M ) A переводит класс [ 0 ] в класс [], а классы когомологий [ 1 ],..., [ n ] в нуль, и, соответственно, отображение A s : HAdi (T A M ) A HdR (T A M ) A переводит класс [ 0 ] в себя, а классы когомологий [ 1 ],..., [ n ] переводит в нуль. Из формулы (3.1.6) следует, что C = pa a = p0 0 +p1 1 +...+pn n.

Поэтому [ C ] = p0 [ 0 ] = p0 [A ] HdR (T A M ). Отсюда и следует утвер ждение теоремы.

Замечание 3.1.2. Каждая фробениусова алгебра Вейля (A, q) опреде ляет автоморфизм пространства когомологий ( ) п.л.

A,q : HdR (M ) HdR (T A M ) A HdR (M ), где первая стрелка означает полный лифт. Из Теоремы 3.1 следует, что если p(1A ) = 0, то автоморфизм A,q является изоморфизмом, а если p(1A ) = 0, то автоморфизм A,q является нулевым.

Замечание 3.1.3. Из Замечания 3.1.1 следует, что при k 1 пол ный лифт задает инъективное отображение T k,0 (M ) T k,0 (T A M ), т.е., C = 0 тогда и только тогда, когда = 0. Кроме того, это можно пока зать и непосредственно: например, (i1...ik )A e0 e0... en = i1...ik en, откуда ( C )i1 0i2 0...ik n = i1...ik.

При k = 0 полный лифт задает инъективное отображение C (M ) C (T A M ) тогда и только тогда, когда p(1A ) = p0 = 0. При p(1A ) = ядром полного лифта является множество постоянных функций. В са мом деле, пусть f C (M ) ненулевая функция и пусть f A = f a ea ;

тогда f C = pa f a. Из формулы (1.4.8) следует, что при a 1 функции f a имеют вид f ia fa = 2 по xj b x + слагаемые степени xi (напомним, индекс пробегает значения от 1 до n.) Поэтому f a = 0 тогда b f и только тогда, когда все частные производные обращаются в нуль, xi т.е., когда f = const. Отсюда следует, что условие f C = p0 f + pa f a = эквивалентно равенствам p0 f = pa f a = 0. Первое равенство дает f = при p(1A ) = 0. Если же p(1A ) = 0, второе равенство с учетом pn = означает, что f n = 0, и, следовательно, f = const.

Замечание 3.1.4. Отметим, что до сих пор при рассмотрении полных лифтов ковариантных тензорных полей мы нигде не использовали невы c рожденность матрицы qab = ab pc, т.е., тот факт, что p является фро бениусовым ковектором. Поэтому все результаты, изложенные в п. 3.1.2, остаются верными и в том случае, когда алгебра Вейля A не является фробениусовой, а ковектор p на ней выбран произвольно.

Пример 3.1.1. Рассмотрим подробнее случай касательного расслоения = R() : T M M. Обозначим через (xi ) локальные координаты на M и через (xi, y i ) соответствующие локальные координаты на T M.

Пусть = i1...ik dxi1... dxik k (M ) замкнутая форма.

В качестве базиса Жордана-Гельдера в алгебре R() возьмем базис {e0 = 1, e1 = }. Рассмотрим два фробениусовых ковектора p(0) = (0, 1) и p(1) = (1, 1) на R().

C Для ковектора p(0) полный лифт (0) имеет вид i1...ik i (0) = y j C dx... dxik + i1...ik dxi1... dxik1 dy ik.

j x xi Из закона преобразования координат y i = y i следует, что xi := y j ji1...ik1 dxi1... dxik корректно определенная форма на T M. Нетрудно проверить, что усло C C вие замкнутости формы эквивалентно тому, что (0) = d, т.е., [(0) ] = k 0 HdR (T M ).

C Для ковектора p(1) полный лифт (1) имеет вид (1) = i1...ik dxi1... dxik + C i1...ik + yj i... dxik + i1...ik dxi1... dxik1 dy ik = xj dx = + (0).

C Поэтому [(1) ] = [ ] HdR (T M ).

C Замечание 3.1.5. Пусть T k,0 (M ) тензорное поле типа (k, 0) на M k, и A TAdi (T A M ) его аналитическое продолжение на T A M. Тогда en A также является A-гладким тензорным полем. Если в локальных координатах = i1...ik dxi1...dxik, то en A = en i1...ik dX i1...dX ik = en i1...ik dxi1 0... dxik 0. Отсюда следует, что его реализация R(en A ) T k,0 (T A M ) имеет вид R(en A ) = i1...ik dxi1 0... dxik 0, то есть, совпадает с A. Таким образом, A = R(en A ). (3.1.12) 3.1.3 Полный лифт контравариантных тензорных полей Пусть M гладкое вещественное многообразие, T A M его расслоение Вейля и u T 0,k (M ) контравариантный тензор на M. В локальных координатах u = ui1...ik... i.

xi1 x k Рассмотрим функции ui1...ik и построим их аналитические продолже ния U i1...ik = (ui1...ik )A. Тогда аналитическое продолжение поля u есть Пусть U i1...ik ea1... eak = Ubi1 a1...ik ak eb.

uA = U i1...ik X i1....

X ik Обозначим ui1 a1...ik ak := p(U i1...ik ea1... eak ) = Ubi1 a1...ik ak b. (3.1.13) Понятно, что R(uA ) = ui1 a1...ik ak... i a.

xi1 a1 x k k Определение. Полным лифтом uC тензорного поля u назовем тен зорное поле uC = uC := R(uA ) A на T A M.

Непосредственно из Предложения 3.1.1 следует, что если для гладкого отображения : M N тензорное поле u -связано с тензорным полем v на N, то поля uC и v C T A -связаны.

Замечание 3.1.6. В отличие от случая ковариатных тензорных полей (см. Замечание 3.1.4), при построении лифтов контравариантных тен зорных полей существенным образом используется фробениусовость ал гебры A.

Замечание 3.1.7. Из Замечания 3.1.1 следует, что при k 1 полный лифт задает инъективное отображение T 0,k (M ) T 0,k (T A M ), т.е., uC = 0 тогда и только тогда, когда u = 0.

Как и для случая ковариантных тензорных полей, это можно пока зать непосредственно. Действительно, из (1.5.1) следует, что имеют место n равенства e0 = en и en = e0 + an Поэтому (ui1...ik )A e0 en... en = a=1 q ea.

ui1...ik en, откуда (uC )i1 0i2 n...ik n = u i1...ik.

Предложение 3.1.4. Пусть MA есть A-гладкое многообразие и пусть U, V VAdi (MA ) два кососимметрических контравариантных A гладких тензорных поля. Тогда [R(U ), R(V )] = R([U, V ]). (3.1.14) g Доказательство. Пусть U VAdi (MA ), V VAdi (MA ) два A гладких контравариантных тензорных поля. По формуле (1.2.1) имеем k...k [U, V ]k2...kg+ = i22...igg+...ig+ U ri2...ig X r V ig+1...ig+ + ig+ (3.1.15) k...k + (1)g i12...igg+...ig+ rig+2...ig+ i1...ig V X r U, ig+ Умножим обе части равенства (3.1.15) на ea2... eag+ и свернем с s. В левой части мы получим компоненту (R([U, V ]))k2 a2...kg+ ag+. Рассмотрим первое слагаемое в правой части (пока отбросим ):

U ri2...ig ea2... eag X r V ig+1...ig+ eag+1... eag+ = = U ri2...ig ea2... eag b xrb V ag+1 ig+1...ag+h ig+ по (1.4.7) = a i...ag+ ig+ = U ri2...ig ea ea2... eag b xrb Va g+1 g+1 = a i...ag+ ig+ = U ri2...ig ea ea2... eag xra ( b Vb g+1 g+1 ) по (1.5.12) = ra i2 a2...ig ag s ))ag+1 ig+1...ag+ ig+ ).

= Us e xra ((R(V Свертывая последнее выражение с s, получаем (R(U ))ra i2 a2...ig ag xra (R(V ))ag+1 ig+1...ag+ ig+.

k...k k a...k a Поскольку умножение в алгебре A коммутативно, i22...ig+ = i22a22...ig+ ag+.

g+ g+ g+ Проводя аналогичные рассуждения для второго слагаемого в (3.1.15), получаем (R([U, V ]))k2 a2...kg+ ag+ = k a...k a = i22a22...igg+ ig+1 ag+1...ig+ ag+ (R(U ))ra i2 a2...ig ag xra (R(V ))ag+1 ig+1...ag+ ig+ + g+ ag k a...k a + (1)g i12a12...igg+ ig+2 ag+2...ig+ ag+ (R(V ))ra ig+2 ag+2...ig+ ag+ (R(U ))i1 a1...ig ag, g+ ag xra что совпадает с (3.1.14).

Следствие 3.1.2. Пусть M гладкое многообразие, T A M его расслоение Вейля. Операция взятия полного лифта перестановочна со скобкой Схоутена-Нейенхейса, т.е., [u, v]C = [uC, v C ]. (3.1.16) для любых u, v V (M ).

Предложение 3.1.5. Пусть M гладкое многообразие, T A M его расслоение Вейля. Пусть (M ), v V 1 (M ). Тогда i(v C ) C = (i(v))C. (3.1.17) Доказательство. Следует из Предложения 3.1.2.

Замечание 3.1.8. В том случае, когда v V (M ), 2, форму ла (3.1.17) вообще говоря, уже не имеет места. Рассмотрим для примера случай касательного расслоения T M. Локальные координаты на T M обозначим (xi, y i ). Пусть = ij dxi dxj 2 (M ), v = v ij xi xj V 2 (M ). Тогда для фробениусова ковектора p(0) = (0, 1) (см. Пример 3.1.1) получаем ij i C = yk dx dxj + ij dxi dy i, k x а ij k v C ij j +y j.

v =v xi y xk y i y Поэтому свертка лифтов равна i(v C ) C = v ij ij. Но лифт свертки равен (i(v))C = y k xk (v ij ij ).

Причина этого состоит в том, что полный лифт внешнего произведе ния не равен внешнему произведению полных лифтов: (u v)C = uC v C (см. далее Замечание 3.1.10).

3.1.4 Вертикальный лифт контравариантных тензорных полей Для случая алгебры дуальных чисел R() определен вертикальный лифт контравариантных тензорных полей с гладкого многообразия M на то тальное пространство его касательного расслоения T M [104]. В локаль ных координатах (xi ) на M и (xi, y i ) на T M вертикальный лифт uV поля u = ui1...ik xi1... имеет вид xik uV = ui1...ik... i.

y i1 y k Эту конструкцию можно обобщить на случай произвольного рассло ения Вейля следующим образом. Пусть {e0,..., en } базис Жордана Гельдера в A. Пусть u = ui1...ik xi1... T 0,k (M ) контравари xik антный тензор и uA его аналитическое продолжение. Тогда en uA также является A-гладким поливекторным полем.

Определим вертикальный лифт uV T 0,k (T A M ) поля u формулой uV = uV := R(en uA ). (3.1.18) A Поскольку элемент en является базисом идеала Ah (Лемма 1.5.1) и фик сируется условием p(en ) = 1, это определение не зависит от выбора ба зиса Жордана-Гельдера.

Предложение 3.1.6. В локальных координатах (xia ) на T A M имеет место формула uV = ui1...ik... i n. (3.1.19) xi1 n x k Доказательство. Из формулы (1.5.1) (ср. с Замечанием 3.1.7) вытека ет, что выражение (en uA )i1...ik ea1... eak равно нулю всегда, кроме случая a1 =... = ak = n, когда оно равно en (ui1...ik )A = en ui1...ik = e0 ui1...ik.

Сворачивая с a, получаем, что ui1...ik, a1 =... = ak = n, V i1 a1...ik ak (u ) = 0, в противном случае.

Предложение 3.1.7. Для любых u, v T 0, (M ) имеет место (u v)V = uV v V. (3.1.20) Доказательство. Очевидно из формулы (3.1.19).

Отметим, что вертикальный лифт гладкой функции, рассматривае мой как элемент пространства V 0 (M ), равен f A (в полном соответ ствии с (3.1.12)).

Замечание 3.1.9. Можно дать непосредственное координатное дока зательство того, что формула (3.1.19) задает корректно определенное тензорное поле на T A M.

Пусть xi = xi (xi ) преобразование локальных координат на M, тогда xi1 xik i1...ik i1...ik u = i... i u.

x 1 x k Поэтому достаточно доказать, что xis =i. (3.1.21) xis n x s xis n Выясним, как выглядит соответствующее преобразование локальных ко ординат xi a = xi a (xib ) на T A M. По формуле (1.4.8) имеем h 1 D p xi p i i ia i X = x + x ea = x + X. (3.1.22) p! Dxp |p|= Следовательно, преобразования координат на T A M имеют следующий вид:

xi = xi (xi ), xi a = f i a (xib ), a = 1,..., n.

Покажем, что f i a = 0 при b a.

xib pi Действительно, коэффициенты p! D xp в разложении (3.1.22) зависят толь Dx ко от x = x, а в выражении (X )... (X m )pm переменная xib появля i i0 1 p s ется только как множитель перед eb. В силу того, что cd = 0 при c s, коэффициент при ea, получающийся после раскрытия скобок и приве дения подобных в выражении (X 1 )p1... (X m )pm, не зависит от xib. Более того, ясно, что от xi он может зависеть только в слагаемом, соответству a 2 слагаемое xi ea еще будет умножаться a ющем |p| = 1, так как при |p| на некоторый элемент из A и после раскрытия скобок коэффициент при ea уже не будет зависеть от xi. Если же |p| = 1, то мы получаем един a xi xi ea, зависящее от xi. Следовательно, a a ственное слагаемое xi xi a xi = для всех a = 1,..., n.

xi a xi xi a Таким образом, матрица Якоби преобразования координат xib на T A M имеет следующую блочную структуру:

xi ··· 0 0 0 xi xi ··· 0 0 xi..

........

..

, (3.1.23)..

............

..

..

xi ··· xi xi ··· xi где символом обозначены несущественные для настоящего рассмотре ния блоки. Отсюда формула (3.1.21) очевидна.

Для алгебры плюральных чисел R(n ) вид матрицы (3.1.23) приво дится в книге [9].

Предложение 3.1.8. Для любых u, v V (M ) имеют место соотно шения [u, v]V = [uV, v C ] = [uC, v V ];

a) (3.1.24) V V b) [u, v ] = 0.

Доказательство. Пусть uA и v A аналитические продолжения полей u и v. Тогда из Предложения 3.1.4 и A-линейности скобки Схоутена Нейенхейса на A-гладких многообразиях следует, что [u, v]V = R(en [uA, v A ]) = R([en uA, v A ]) = [R(en uA ), R(v A )] = [uV, v C ].

Аналогично доказывается, что [u, v]V = [uC, v V ].

Точно так же доказывается второе равенство:

[uV, v V ] = [R(en uA ), R(en v A )] = R([en uA, en v A ]) = R(en en [uA, v A ]) = 0.

Для случая касательного расслоения T M эти соотношения доказаны Я. Грабовским и П. Урбанским [56, 57].

Замечание 3.1.10. В [56] также показано, что для касательного рас слоения имеет место соотношение (u v)C = uC v V + uV v C для любых u, v T 0, (M ). Для фробениусовых алгебр Вейля высоты h 1 эта формула обобщается следующим образом.

произвольный базис в A, {ea } Пусть {ea } сопряженный ему базис и q ab компоненты фробениусовой формы по отношению к базису {ea }.

0,k Пусть u T 0,k (M ) произвольный тензор, uA TAdi (T A M ) его аналитическое продолжение. Определим a-тый лифт ulift T 0,k (T A M ) a поля u формулой ulift := R(ea uA ). (3.1.25) a базис Жордана-Гельдера, то ulift = uC, ulift = В частности, если {ea } 0 n uV. Тогда для любых u, v T 0, (M ) имеет место формула (u v)C = q ab ulift vb.

lift (3.1.26) a 0, Действительно, пусть uA, v A TAdi (T A M ) аналитические про должения полей u и v. Для доказательства формулы (3.1.26) требуется проверить, что p(XY ) = q ab p(ea X)p(eb Y ), где мы для краткости обо значили X = (uA )i1...ik ea1... eak, Y = (v A )j1...j eb1... eb. Имеем p(XY ) = X c Y d p(ec ed ) = X c Y d qcd и q ab p(ea X)p(eb Y ) = q ab X c p(ea ec )Y d p(eb ed ) = q ab X c Y d qac qbd = X c Y d c qbd = X c Y d qcd.

b Точно так же доказывается соотношение (u v)lift = c ulift vb.

ab lift (3.1.27) c a Легко видеть, что формулы (3.1.26) и (3.1.27) имеют место и для ко вариантных тензорных полей.

Недостатком определения лифтов ulift для a = 1,..., n 1, является a его зависимость от выбора базиса Жордана-Гельдера в A. На самом деле корректнее говорить о векторном пространстве лифтов Vk размерности dk (A), состоящем из тензоров R( · uA ) для всех Ak \ Ak1. Базисом этого пространства как раз являются лифты ulift,..., ulift (A), построен a1 ad k ные по элементам ea1,..., eadk (A) базиса Жордана-Гельдера, лежащим в Ak \ Ak1.

Полный и вертикальный лифт лишены этого недостатка в силу того, что d0 (A) = dh (A) = 1 во фробениусовой алгебре Вейля A выделены единица 1A и направляющий вектор en одномерного пространства Ah (он фиксируется условием p(en ) = 1).

Единственным исключением является алгебра R(n ) плюральных чи сел. Для нее dk (A) = 1 для всех k = 0,..., n, поэтому на касательном n расслоении высшего порядка T n (M ) = T R( ) M имеются так называе n мые -лифты u() = R( uR( ) ) тензорного поля u на M ( = 0,..., n), рассматривавшиеся, например, в работах Ч.-С. Ху и С. Ишихары [59] и А.П. Широкова [28], см. также [9]. Там же указано соотношение (3.1.27) для алгебры плюральных чисел:

() u() v ().

(u v) = = §3.2 Расслоения Вейля пуассоновых многообразий В настоящем параграфе рассматриваются полный и вертикальный лиф ты пуассоновой структуры w с пуассонова многообразия (M, w) на его расслоение Вейля T A M и устанавливаются свойства полученных пуассо новых многообразий, в частности, вычисляются их модулярные классы.

Отдельно рассматривается случай регулярной структуры w.

3.2.1 Полный лифт пуассоновой структуры пуассоново многообразие и wC Пусть (M, w) полный лифт тензора w на T A M. В силу соотношений (1.3.4) и (3.1.16), [wC, wC ] = 0, следовательно, wC задает пуассонову структуру на T A M.

Вычислим координатные выражения компоненты полного лифта wC.

аналитическое продолжение тензора w и (wij )A = (wij )s es.

Пусть wA Тогда (wij )A ea eb = (wij )s qsr er ea eb = (wij )s qsr c f ef, откуда wiajb = ab cr (wij )s qsr c f f = (wij )s qsr c q cr = (wij )s s. Итак, ab cr ab ab (wC )iajb = (wij )s s.

ab (3.2.1) Предложение 3.2.1. Если (M, w) симплектическое многообразие, то (T A M, wC ) также симплектическое многообразие.

Доказательство. Выберем систему координат на M, в которой wij = const. Тогда, по формуле (1.4.8), аналитические продолжения (wij )A сов падают с wij, то есть, (wij )0 = wij и (wij )k = 0 при k 1. Поэтому wiajb = wij 0 = wij q ab. Таким образом, полный лифт wC имеет вид ab wC = wij q ab jb xia x и матрица wiajb = wij q ab невырождена как тензорное (кронекерово) произведение невырожденных матриц wij и q ab.

Легко также видеть, что если = ij dxi dxj симплектическая форма на M, соответствующая w, то C = ij qab dxia dxjb есть симплектическая форма на T A M, соответствующая wC.

Замечание 3.2.1. Тот факт, что для фробениусовой алгебры Вейля (A, q) и симплектического многообразия (M, w) многообразие T A M несет на себе естественную симплектическую структуру, отмечен А.В. Браило вым. Он получается в рамках тензорных расширений алгебр Ли, см. [2], а также В.В. Трофимова и А.Т. Фоменко [23].

Пример 3.2.1. Пусть (M, w) пуассоново многобразие и T M его касательное расслоение. В качестве базиса Жордана-Гельдера в алгебре R() возьмем базис {e0 = 1, e1 = }. Полный лифт пуассоновой структу ры в касательное расслоение, соответствующий ковектору p(0) = (0, 1), имеет вид wij wC = wij j + yk k i j. (3.2.2) xi y x y y Он изучался в работах многих авторов, например, Т. Куранта [41], Я. Гра бовского и П. Урбанского [55, 56, 57], Г. Митрича и И. Вайсмана [73].

Для ковектора p(1) = (1, 1) полный лифт wC имеет вид ij k w C ij wij j+ y j.

w =w xi y xk y i y Замечание 3.2.2. Для многообразия M обозначим символом wM тен зор Пуассона на T M, индуцированный канонической симплектической структурой на T M (см. Пример 1.3.2). Я. Грабовским и П. Урбанским доказано следующее утверждение [55, 57]: бивектор w V 2 (M ) явля ется тензором Пуассона тогда и только тогда, когда тензоры wM и wC на T M и T M, соответственно, являются w-связанными, где w : T M T M есть отображение (1.3.5). Отсюда, в частности, следу ет, что для пуассонова многообразия (M, w) отображение w : (T M, wM ) (T M, wC ) является пуассоновым.


Предложение 3.2.2. Бивектор wC на T A M является тензором Пуас сона тогда и только тогда, когда бивектор w является тензором Пуас сона на M.

Доказательство. Следует из Замечания 3.1.7 и формулы (3.1.16).

Предложение 3.2.3. Операция взятия полного лифта контравари антных кососимметрических тензорных полей индуцирует гомомор физм когомологий Пуассона HP (M, w) HP (T A M, wC ), [u] [uC ]. (3.2.3) Доказательство. Из формулы (3.1.16) и определения оператора вы текает, что (w u)C = wC uC. (3.2.4) Отсюда следует, что отображение (3.2.3) определено корректно.

Предложение 3.2.4. Пусть (M, w) пуассоново многообразие. Для любой фробениусовой алгебры Вейля (A, q) имеет место коммутатив ная диаграмма / V (M ) п.л.

V (T O A M ) O w wC / (M ) п.л.

(T A M ), в которой горизонтальные стрелки означают полный лифт.

Доказательство. Пусть wA аналитическое продолжение тензора w и (wij )A = (wij )s es. Тогда, по формуле (3.2.1), (wC )iajb = (wij )s s.

ab Наряду с (3.1.5) введем следующее обозначение ea1... eak = b 1...ak eb.

a Рассмотрим форму k (M ) и поливекторное поле v V k (M ). В локальных координатах они имеют, соответственно, следующий вид:

= i1...ik dxi1... dxik и v = v j1...jk... j.

xj1 x k Пусть (i1...ik )A = if1...ik ef и (v j1...jk )A = (v j1...jk )s es аналитические про должения функций i1...ik и v j1...jk соответственно. Тогда ( C )i1 a1...ik ak = p(if1...ik ef ea1... eak ) = if1...ik f a1...ak pd, d и (v C )j1 b1...jk bk = p((v j1...jk )s es eb1... ebk ) = = (v j1...jk )s p(qsf ef eb1... ebk ) = (v j1...jk )s qsf d b1...bk d, f b где ea1... eak = a1...ak eb.

В рассматриваемом случае v = w. В соответствии с формулой (1.3.11), v j1...jk = (1)k wi1 j1... wik jk i1...ik. Требуется показать, что (wC )i1 a1 j1 b1... (wC )ik ak jk bk ( C )i1 a1...ik ak = (v C )j1 b1...jk bk.

Имеем (wC )i1 a1 j1 b1... (wC )ik ak jk bk ( C )i1 a1...ik ak = = (wi1 j1 )c1 c11 b1... (wik jk )ck ckk bk if1...ik f a1...ak pd.

a a d Кроме того, из Предложения 1.4.1 следует, что (v j1...jk )A = (wi1 j1 )c1... (wik jk )ck if1...ik ef ec1... eck и, следовательно, (v C )j1 b1...jk bk = (wi1 j1 )c1... (wik jk )ck if1...ik p(ef ec1... eck eb1... ebk ).

Таким образом, остается проверить, что c11 b1... ckk bk f a1...ak pd = p(ef ec1... eck eb1... ebk ).

a a d (3.2.5) Имеем p(ef ec1... eck eb1... ebk ) = q a1 b1... q ak bk p(ea1... eak ef ec1... eck ) = q a1 b1... q ak bk f a1...ak dc1...ck ps. В соответствии с формулой (1.5.7), q a1 b1 = d s c11 b1 c1,..., q ak bk = ckk bk ck. Поскольку в базисе Жордана-Гельдера a = a a 0, то dc1...ck ps c1... ck = d ps = pd, откуда и следует формула (3.2.5).

a s s Теорема 3.2. Имеет место коммутативная диаграмма морфизмов комплексов / (V (T A M ), C ) (V (MO ), w ) п.л.

(3.2.6) w O w wC / ( (T A M ), d) ( (M ), d) п.л.

Доказательство. Коммутативность диаграммы / V k (T A M ) п.л.

V k (M ) 8 O n7 O r nnn wrrrr nnn r nn r rrr nnn wC / V k1 (T A M ) п.л.

V k1O (M ) wC O w / п.л.

k (M ) k (T A M ) w 8 n r nnn d rrrr wC nnn r nn r rrr nnn d / п.л.

k1 (M ) k1 (T A M ) вытекает из соотношений (3.1.10), (3.2.4) и (1.3.12).

Следствие 3.2.1. Пусть (A, q) фробениусова алгебра Вейля, p ее фробениусов ковектор, а (M, w) симплектическое многообразие.

Если p(1A ) = 0, то гомоморфизм (3.2.3) является изоморфизмом. Если p(1A ) = 0, то гомоморфизм (3.2.3) является нулевым.

Доказательство. Для симплектического многообразия отображения w и wC являются изоморфизмами, поэтому вертикальные стрелки в диа грамме (3.2.6) также являются изоморфизмами. Остальное следует из Теоремы 3.1.

Замечание 3.2.3. Как показано в работах [73] и [98], касательное рас слоение T M пуассонова многообразия (M, w), наделенное полным лиф том wC (3.2.2), является точным пуассоновым многообразием. Действи тельно, пусть E = y i yi, тогда wC = wC E = [wC, E].

Нетрудно заметить, что и вертикальный лифт wV = wij yi тен y j зора Пуассона обладает тем же свойством: wV = [wV, E].

В случае произвольной фробениусовой алгебры Вейля из Следствия 3.2.1 вытекает следующее Предложение 3.2.5. Пусть (A, q) фробениусова алгебра Вейля, p ее фробениусов ковектор и p(1A ) = 0. Пусть (M, w) симплекти ческое многообразие. Тогда симплектическое многообразие (T A M, wC ) является точным пуассоновым многообразием.

В случае, когда пуассоново многообразие не является симплектиче ским, гомоморфизм (3.2.3) может иметь различное строение в зависи мости от тензора Пуассона на базовом многообразии и от размерности пространства когомологий.

Следующий пример, как и Следствие 3.2.1, показывает, что этот го моморфизм может не быть эпиморфизмом, точнее, что он может быть нулевым.

Пример 3.2.2. Рассмотрим алгебру Ли e(2), скобка Ли которой зада ется соотношениями [v1, v2 ] = v3, [v1, v3 ] = v2.

Регулярное пуассоново многообразие (M, w), соответствующее этой ал гебре Ли (см. Пример 1.3.4), есть [48] M = {(x1, x2, x3 ) e (2) | x2 + x2 = 0}.

2 Отображение (x1, x2, x3 ) (p, q, r), определяемое соотношениями x2 + 1x p = x1, e 1q =, r = x2 + x2.

2 2 + x x2 есть диффеоморфизм многообразия M и произведения R S1 R+, где R+ обозначает множество положительных вещественных чисел.

Пуассонова структура w на M определяется симплектической струк турой на R S1. По формуле (1.3.13) имеем [48] HP (M, w) = C (R+ ), HP (M, w) C (R+ ) C (R+ ), = HP (M, w) C (R+ ), = k HP (M, w) = 0, k 3.

Пусть теперь A фробениусова алгебра Вейля размерности n + 1.

Тогда T A M = T A R T A S1 T A R+ A T A S1 A. Пуассонова структу = ра wC определяется симплектической структурой на T A R T A S1. Учи тывая изоморфизм H (T A S1 ) H (S1 ) и формулу (1.3.13), получаем = dR dR HP (T A M, wC ) C (A), = HP (T A M, wC ) C (A) V 1 (A), = HP (T A M, wC ) V 1 (A) V 2 (A), =...

HP (T A M, wC ) V n (A) V n+1 (A), n+ = HP (T A M, wC ) V n+1 (A), n+ = k HP (M, w) = 0, k n + 3.

В размерности 3 гомоморфизм (3.2.3) является нулевым.

В следующем примере рассмотрен случай, когда гомоморфизм (3.2.3) является мономорфизмом или имеет ненулевое ядро в зависимости от размерности пространства когомологий.

Пример 3.2.3. Пусть T2 = S1 S1 двумерный тор и M = T2 Rk.

Стандартные координаты на торе обозначим (x1, x2 ), а координаты на Rk через (t1,..., tk ). Ограничимся рассмотрением алгебры R(). В данном случае касательное расслоение тривиально: T M T2 Rk (R2 Rk ). Rо = ординаты в слоях будем обозначать соответственно (y 1, y 2 ) и (s1,..., sk ).

В качестве фробениусова ковектора на алгебре R() возьмем ковектор p(0) (см. Пример 3.1.1).

Рассмотрим регулярную пуассонову структуру w = на M.

x1 x Тогда wC = + x2.

x1 y 2 y В размерности 0 имеем HP (M, w) C (Rk ) R C0 (Rk ), = = HP (T M, wC ) C (R2k ), = где C0 (Rk ) означает подкольцо гладких функций, обращающихся в нуль в точке 0 Rk. При этом полный лифт функции f C (M ) имеет f f вид f C = y i xi + sa ta. Ядро гомоморфизма (3.2.3) составляют постоян ные функции (см. Замечание 3.1.3). Следовательно, его образ изоморфен C0 (Rk ).

В размерности 1 по формуле (1.3.13) находим HP (M, w) V 1 (Rk ) C (Rk ) C (Rk ), = HP (T M, wC ) V 1 (R2k ) C (R2k ) C (R2k ).

= При этом классы когомологий векторных полей f i xi и f a ta, где f i, f a C (Rk ), являются образующими в HP (M, w). Их полные лифты имеют, соответственно, вид i a C i b f C a b f i a (f ) =f + s b i, (f ) =f + s b a.

xi xi ta ta t y t s Легко видеть, что f 1 x1 = wC (y 2 f 1 ), f 2 x2 = wC (y 1 f 2 ), а классы кого a мологий [sb fb f a = const, и [(f a ta )C ] не равны нулю в HP (T M, wC ).

sa ], t Поэтому в размерности 1 ядро гомоморфизма (3.2.3) изоморфно R R, а образ изоморфен V 1 (Rk ) C0 (Rk ) C0 (Rk ).

В размерности 2 по формуле (1.3.13) находим HP (M, w) V 2 (Rk ) V 1 (Rk ) V 1 (Rk ) C (Rk ), = HP (T M, wC ) V 2 (R2k ) V 1 (R2k ) V 1 (R2k ) C (R2k ).

= Образующими в HP (M, w) являются классы когомологий бивекторных полей 2, f ia i a и f ab a b, f x1 x x t t t где f, f ia, f ab C (R ). При этом равен нулю только класс [(f x1 x2 )C ] k и только когда f = const. Таким образом, в размерности 2 ядро гомо морфизма (3.2.3) изоморфно R, а образ изоморфен V 2 (Rk ) V 1 (Rk ) V 1 (Rk ) C0 (Rk ).

В размерности s 3 представитель каждой образующей простран s ства HP (M, w) имеет сомножитель ta, и класс когомологий Пуассона его полного лифта не равен нулю. Следовательно, в размерности s полный лифт индуцирует мономорфизм когомологий Пуассона.

3.2.2 Вертикальный лифт пуассоновой структуры Из формулы (3.1.24) следует, что вертикальный лифт wV тензора Пуас сона (и вообще, любого бивекторного поля) также задает пуассонову структуру на T A M.

Следующий пример показывает, что когомологии оператора wV, во обще говоря, зависят от выбора бивектора w V 2 (M ).

Пример 3.2.4. Пусть M = R2m R2k. Рассмотрим три пуассоновых структуры на M : w1 регулярную структуру, индуцированную стан дартной симплектической структурой на R2m, w2 регулярную струк туру, индуцированную стандартной симплектической структурой на R2k, и их сумму w1 + w2 стандартную симплектическую структуру на M.

Сначала рассмотрим случай касательного расслоения. Понятно, что T M R4(m+k) = R2m+2k R2m R2k. Но при этом wV задает симплек = 2m V на сомножителе R2k, а тическую структуру на сомножителе R, w (w1 + w2 )V на сомножителе R2k R2k. По формуле (1.3.13) находим HP (T M, w1 ) V r (R2m+2k R2k ), r V = HP (T M, w2 ) V r (R2m+2k R2m ), r V = HP (T M, (w1 + w2 )V ) V r (R2m+2k ).


r = Если k m, то HP (T M, (w1 + w2 )V ) = 0 уже при r 2m + 2k, r r V r V HP (T M, w2 ) = 0 при r 4m + 2k, а HP (T M, w1 ) = 0 только при r 4k + 2m.

В случае произвольной фробениусовой алгебры Вейля размерности n + 1 по формуле (1.3.13) получаем HP (T M, w1 ) V r (R2(m+k)n R2k ), r V = HP (T M, w2 ) V r (R2(m+k)n R2m ), r V = HP (T M, (w1 + w2 )V ) V r (R2(m+k)n ).

r = Предложение 3.2.6. Операция взятия вертикального лифта контра вариантных кососимметрических тензорных полей индуцирует гомо морфизм когомологий Пуассона HP (M, w) HP (T A M, wV ), [u] [uV ]. (3.2.7) Доказательство. Из формул (3.1.24) следует, что если w u = [w, u] = 0, то wV uV = [wV, uV ] = 0, а если u = w v = [w, v], то uV = wV v C = [wV, v C ].

В следующем примере гомоморфизм (3.2.7) является мономорфизмом или нулевым в зависимости от размерности пространства когомологий.

Пример 3.2.5. Пусть (M, w) симплектическое многообразие и T M его касательное расслоение. Обозначим через (xi ) локальные координаты на M (будем считать, что по отношению к этой системе координат wij = const) и через (xi, y i ) соответствующие координаты на T M. Обозначим через ij компоненты симплектической формы на M.

Пространство HP (M, w) образовано постоянными функциями на M, а пространство HP (T M, wV ) совпадает с пространством базовых функ ций на T M и, следовательно, изоморфно C (M ). Действительно, для g g C (T M ) имеем [wV, g] = wij yi yj. При этом g ker wV тогда и g только тогда, когда = 0. Поэтому вертикальный лифт индуцирует y i мономорфизм HP (M, w) R HP (T M, wV ) C (M ).

0 = = При k 1 гомоморфизм (3.2.7) является нулевым. Действительно, пусть v = v i1...ik xi1... xik V k (M ), тогда v V = v i1...ik yi1... yik.

Обозначим ui1...ik1 = y j js v si1...ik1. Тогда ui1...ik1 yi1... кор y ik ректно определенный тензор на T M. Нетрудно проверить, что v V = [wV, u] = wV u.

Приведем пример пуассонова многообразия такого, что гомоморфизм (3.2.7) имеет ненулевое ядро в каждой размерности.

Пример 3.2.6. Пусть T2 двумерный тор и M = T2 Rk. Снова рас смотрим случай касательного расслоения. Будем пользоваться обозначе ниями, введенными в Примере 3.2.3. Рассмотрим регулярную пуассонову на M. Тогда wV = структуру w = y 2.

x1 x2 y В размерности 0 имеем HP (M, w) C (Rk ) R C0 (Rk ), = = HP (T M, wV ) C (T2 R2k ).

= Как и в Примере 3.2.3, ядро гомоморфизма (3.2.7) в этом случае изо C0 (Rk ).

морфно R, а образ В размерности HP (M, w) V 1 (Rk ) C (Rk ) C (Rk ), = HP (T M, wV ) V 1 (T2 R2k ).

= При этом вертикальные лифты (f i xi )V = f i yi представителей образую щих [f i xi ] задают нулевой класс пространства когомологий HP (T M, wV ), а вертикальные лифты (f a ta )V = f a sa представителей образующих [f a ta ] являются линейно независимыми классами когомологий. Поэтому в размерности 1 ядро гомоморфизма (3.2.7) изоморфно C (Rk )C (Rk ), а образ изоморфен V 1 (Rk ).

В размерностях = 2,..., k + HP (M, w) V (Rk ) V 1 1 (Rk ) V (Rk ) V (Rk ), = HP (T M, wV ) V (T2 R2k ).

= При этом не равны нулю (и линейно независимы) только классы когомо логий [(f a1...a... ta )V ], и ядро гомоморфизма (3.2.7) изоморфно ta 1 1 (Rk ) V (Rk ) V (Rk ), а образ изоморфен V (Rk ).

V Замечание 3.2.4. Естественного гомоморфизма между пространства ми когомологий HP (T A M, wC ) и HP (T A M, wV ), по-видимому, не суще ствует. Уже простые примеры показывают, что тождественное отобра жение idV (T A M ) не является коцепным отображением комплексов (V (T A M ), wC ) и (V (T A M ), wV ).

Причиной этого, по всей видимости, является уже отмеченный выше факт, что пуассонову структуру на T A M задает вертикальный лифт uV любого бивекторного поля u на M. Условие [u, u] = 0 для этого не обя зательно.

Следующее предложение дополняет собой Предложение 3.2.4 и по казывает, как связаны между собой отображения w, wC, wV и лифты тензорных полей на пуассоновом многообразии (M, w).

Предложение 3.2.7. Пусть (M, w) пуассоново многообразие и A :

T AM M его расслоение Вейля. Для любой дифференциальной фор мы (M ) имеют место соотношения 1) wC (A ) = (w)V, 2) wV (A ) = 0, (w)V, если || = 1, wV ( C ) 3) = при || 0, 2.

Доказательство. 1) Пусть форма k (M ) в локальных координатах имеет вид = i1...ik dxi1... dxik. Тогда A = i1...ik dxi1 0... dxik 0.

Пусть в локальных координатах w = wij xi xj. Тогда из Замеча ния 3.1.7 следует, что (wC )i0jb = 0 при b n и что (wC )i0jn = wij.

Дальнейшее очевидно из (3.1.19).

2) Следует из (3.1.19).

3) При || = 1 имеем ( C )in = p((i )A en ) = i и wV ( C ) = wij i xjn = (w)V. Для || = k 2 имеем ( C )i1 ni2 n...ik n = p((i )A en... en ) = 0.

3.2.3 Полный лифт слоения. Связь слоевых когомологий слоения и его лифта Покажем, что для многообразия со слоением операция взятия полного лифта индуцирует гомоморфизм слоевых когомологий.

гладкое многообразие со слоением F. Будем пользоваться Пусть M обозначениями, введенными в §1.1.

Пусть A = {(U, h )}K слоеный атлас на M. Этот атлас индуци рует слоеный атлас A = {(U, h )} на T A M, где U = A (U ), h = hA.

Таким образом, на T A M возникает слоение F.

Рассмотрим распределение P, которое в локальных адаптированных координатах (xia, y b ) задается уравнениями dxia = 0.

Ясно, что распределение P является касательным к слоению F.

Выберем распределение F на M, дополнительное к T F. Покажем, что распределению F соответствует распределение F на T A M, допол нительное к T F.

Пусть в обозначениях §1.1 t коэффициенты связности. Рассмотрим i их аналитические продолжения (t )A = tc ec и положим i i tb := p((t )A ea eb ).

ia i Легко видеть, что tb = tc ac.

b (3.2.8) ia i Действительно, в силу (3.2.8), tb = p(tc ec ea eb ) = tc ac.

b ia i i Покажем, что из закона преобразования (1.1.2) x xi x xi t t = x xj i j xi xj коэффициентов связности t следует аналогичное соотношение i x d xia b x d xia t cd t = xb xj c ia j xia xj c для величин tb.

ia Взяв аналитическое продолжение, получим X X i A X X i (t )A (t ) =.

X X j i j X i X j Умножим обе части последнего равенства на ec ed и свернем с p. В левой части получим t cd.

j Рассмотрим первое слагаемое в правой части. В силу (1.4.7) имеем X X i f ig (t )A ec ed = r x r s xj s tk ef eg ek ec ed. Из формулы (1.5.10) сле x i i X X j x дует, что p(ef eg ek ec ed ) = cg p(ea ef ek ed ) = cg ka p(ef eb ed ) = cg ka f b.

a ab abd Таким образом, после свертки с p, в силу соотношения (3.2.8) и условий Шефферса (1.4.6), первое слагаемое примет вид f ig x d xia b r x d s x a tk ka b = t.

r f b xj s cg i xb xj c ia x X X i r x f s xig d d Для второго слагаемого получаем X i X j ec e = xir xj s ef eg ec e.

Несложно проверить, что p(ef eg ec ed ) = f a gc. Поэтому после свертки с da d xia p второе слагаемое примет вид x ia xj c, что и требовалось.

x В картах слоеного атласа распределение F задается уравнениями b := dy b + tb dxia = 0.

ia Ограничения распределений F и T F на область определения U карты (U, (xia, y b )) слоеного атласа натянуты, соответственно, на векторные поля t b, Xb := и Xia := ia y b ia x y образующие поле репера, сопряженного кореперу (dxia, b ).

Покажем, что операция взятия полного лифта согласована с разло жением (M ) = r,s (M ) и с дифференциалом d (см. §1.1).

r,s Предложение 3.2.8. Пусть r,s (M ) дифференциальная форма типа (r, s) на M. Тогда C r,s (T A M ).

Доказательство. Пусть в локальной карте (U, (xi, y )) слоеного атласа на M форма имеет вид = i1...ir 1...s dxi1... dxir 1... s.

Покажем, что в соответствующей локальной карте (U, (xia, y b )) на T A M ее полный лифт имеет вид C = i1 a1...ir ar 1 b1...s bs dxi1 a1... dxir ar 1 b1... s bs, (3.2.9) где i1 a1...ir ar 1 b1...s bs = p((i1...ir 1...s )A ea1... ear eb1... ebs ).

Форма есть алгебраическая сумма форм вида i1...ir 1...k 1... t11... t dxi1... dxir dy 1... dy k dxj1... dxj, j j где k + = s. Поэтому достаточно вычислить полный лифт таких форм.

Из Предложения 1.4.1 следует, что (i1...ir 1...k 1... t11... t )A = j j = t11 f1... t f · (i1...ir 1...k 1... )A ef1... ef.

j j Отсюда с учетом (3.2.8) получаем p((i1...ir 1...k 1... t11... t )A ea1... ear eb1... ebk ec1... ec ) = j j = t11 f1... t f p((i1...ir 1...k 1... )A ef1... ef ea1... ear eb1... ebk ec1... ec ) = j j = tj11 f1 f1 c1... t f f c p((i1...ir 1...k 1... )A ea1... ear eb1... ebk ed1... ed ) = d1 d j = t11cd11... t cd i1 a1...ir ar 1 b1...k bk 1 d1... d.

j j Следовательно, в силу (3.1.6), (i1...ir 1...k 1... t11... t dxi1... dxir j j dy 1... dy k dxj1... dxj )C = = i1 a1...ir ar 1 c1...k ck 1 d1... d t11bd11... t cd dxi1 a1... dxir ar j j dy 1 b1... dy k bk dxj1 c1... dxj c.

Суммируя все полученные выражения по k + = s, получим (3.2.9).

Предложение 3.2.9. Для любой внешней формы (M ) имеет место равенство (d )C = d ( C ). (3.2.10) Доказательство. Пусть r,s (M ). Сравнивая слагаемые степени (r, s + 1) в равенстве (3.1.10) (d2,1 )C + (d )C + (d )C = d2,1 ( C ) + d ( C ) + d ( C ), получаем требуемое.

Тождество (3.2.10) означает, что полный лифт внешних форм инду цирует гомоморфизм d -когомологий H r,s (M, F) H r,s (T A M, F), [] [ C ]. (3.2.11) Выясним структуру гомоморфизма (3.2.11) для слоения F многооб разия M = S N на слои S {y}, y N, в предположении, что dim HdR (S). Легко видеть, что в этом случае слоение F есть слоение T A M T A S T A N на слои T A S {y}, y T A N.

= Обозначим символом prS : M = S N S каноническую проекцию на первый сомножитель. Аналогичное обозначение введем для проекций на второй сомножитель. В качестве трансверсального распределения F выберем обратный образ pr (T N ) T (S N ), а в качестве распределе N обратный образ pr A N (T (T A N )) T (T A S T A N ).

ния F T Теорема 3.3. Пусть (M = S N, F) вышеописанное многообразие со слоением, (A, q) фробениусова алгебра Вейля, p ее фробениусов ковектор. Тогда для любого s = 0,..., dim S справедливы утверждения:

1) При r 1 гомоморфизм (3.2.11) H r,s (M, F) H r,s (T A M, F) является мономорфизмом.

2) При p(1A ) = 0 гомоморфизм H 0,s (M, F) H 0,s (T A M, F) (3.2.12) является мономорфизмом. При p(1A ) = 0 ядро гомоморфизма (3.2.12) s изоморфно HdR (S).

Доказательство. Согласно Теореме 1.3, H r,s (M, F) r (N ) HdR (S), s = H r,s (T A M, F) r (T A N ) HdR (S) s = (учитываем, что T A M T A S T A N и что HdR (T A S) HdR (S)). Для s =s = (S) обозначим символом обратный образ pr (M ). Анало S гичные обозначения введем для форм на многообразиях N, T A S и T A N.

Тогда классы форм вида [ ], где r (N ) ( = 0), а [] об разующие в HdR (S), являются образующими в H r,s (M, F). Аналогично, s классы форм вида [ (A ) ], где r (T A N ) ( = 0), являются образующими в H r,s (T A M, F).

Пусть r (N ), s (S) и пусть A = d ed, A = k ek, где d r (T A N ), k s (T A S). Тогда, по формуле (3.1.25), a = p(ea A ) = lift p( d ed ea ) = d qad и, аналогично, b = k qbk. Из формулы (3.1.26) следу lift ет, что ( )C = q ab (a ) (b ) = q ab qad qbk ( d ) ( k ) = qbk ( b ) ( k ).

lift lift Как показано при доказательстве Теоремы 3.1, формы k, k 1, за дают нулевые классы когомологий в пространстве HdR (T A M ). Следо вательно, [( k ) ] = 0 H 0, (T A M, F) при k 1. Поэтому класс d когомологий [( )C ] равен [qb0 ( b ) ( 0 ) ] = [pb ( b ) (A ) ] = [( C ) (A ) ]. Как отмечено выше, этот класс является образующей в пространстве H r,s (T A M, F). Поэтому он равен нулю тогда и только тогда, когда C = 0. Утверждение теоремы теперь следует из Замеча ния 3.1.3.

Покажем, что операция взятия полного лифта также согласована с разложением V (M ) = V r,s (M ).

r,s Предложение 3.2.10. Пусть u V r,s (M ) поливекторное поле типа (r, s) на M. Тогда uC V r,s (T A M ).

Доказательство. Пусть в локальной карте (U, (xi, y )) слоеного атласа на M поле u имеет вид u = ui1...ir 1...s Xi1... Xir X1... Xs. (3.2.13) Покажем, что в соответствующей локальной карте (U, (xia, y b )) на T A M его полный лифт имеет вид uC = ui1 a1...ir ar 1 b1...s bs Xi1 a1... Xir ar X1 b1... Xs bs, (3.2.14) где ui1 a1...ir ar 1 b1...s bs = p((ui1...ir 1...s )A ea1... ear eb1... ebs ).

Поле u есть алгебраическая сумма поливекторных полей вида ui1...ik j1...j 1...s t11... t... i......, j j xi1 x k y 1 y y 1 y s где k + = r. Вычислим полный лифт такого поля.

Как и в Предложении 3.2.8, имеем (ui1...ik j1...j 1...s t11... t )A = j j = t11 f1... t f · ui1...ik j1...j 1...s ef1... ef.

j j Отсюда получаем p((ui1...ik j1...j 1...s t11... t )A ea1... eak eb1... ebs ed1... ed ) = j j = t11 f1... t f p((ui1...ik j1...j 1...s )A ef1... ef ea1... eak eb1... ebs ed1... ed ) = j j = t11 f1 f1 c1... t f f c p((ui1...ik j1...j 1...s )A ea1... eak ec1... ec eb1... ebs ) = d1 d j j = t11cd11... t cd ui1 a1...ik ak j1 c1...j c 1 b1...s bs.

j j Таким образом, в силу (3.1.3), ui1...ik j1...j 1...s t11... t... i j j xi1 x k C...... = y 1 y y 1 y s = ui1 a1...ik a1 j1 c1...j c 1 b1...s bs t11cd11... t cd... i a j j i1 a x x k k d... d b... b.

y 1 1 y y 1 1 y s s Суммируя все полученные выражения по k + = r, получим (3.2.14).

3.2.4 Полный лифт регулярной пуассоновой структуры регулярное пуассоново многообразие и F Пусть теперь (M, w) сим плектическое слоение на M. Будем предполагать, что карты слоеного ат ласа A = {(U, h )}K выбраны таким образом, что коэффициенты тен зора w постоянны в локальных адаптированных координатах (xi, y ) (Те орема 1.7). Тогда wij = wi = 0 и w = w y y, причем det w = 0.

Пусть wC полный лифт тензора w на T A M. Тогда, как и в Пред ложении 3.2.1, коэффициенты тензора wC постоянны в локальных адап тированных координатах (xia, y b ), а именно, (wC )iajb = (wC )iab = 0, а (wC )ab = w q ab. При этом матрица wab есть тензорное произве дение невырожденных матриц w и q ab, поэтому det wab = 0.

Следовательно, wC регулярная пуассонова структура на T A M. Обо значим символом F симплектическое слоение на пуассоновом многооб разии (T A M, wC ). Ясно, что распределение T F задается уравнениями dxia = 0.

Таким образом, для регулярного пуассонова многообразия (M, w) слое ние F, введенное на с. 109, есть симплектическое слоение многообразия (T A M, wC ).

Покажем, что для регулярных пуассоновых многообразий операция взятия полного лифта согласована с дифференциалом и, следователь но, индуцирует гомоморфизм TP-когомологий.

Пусть поливекторное поле u типа (r, s) в локальной карте слоеного атласа имеет вид (3.2.13). Нетрудно увидеть [97], что в этом случае ui1...ir 1...s u = (1)r w Xi1... Xir X X1... Xs. (3.2.15) y Предложение 3.2.11. Пусть (M, w) регулярное пуассоново мно гообразие. Тогда для любого поливекторного поля u V (M ) имеет место равенство (w u)C = wC (uC ). (3.2.16) Доказательство. Пусть в локальной карте (U, (xi, y )) слоеного атласа на M поле u имеет вид (3.2.13);

тогда u имеет вид (3.2.15).

Пусть (ui1...ir 1...s )A ea1... ear eb1... ebs = ui1 a1...ir ar 1 b1...s bs ef. Тогда f i1...ir 1...s u A ea1... ear ed eb1... ebs = w y (ui1...ir 1...s )A a = w e... ear ed eb1... ebs = Y = w ed k k ((ui1...ir 1...s )A ea1... ear eb1... ebs ) (по (1.4.7)) = y = w ed ef k k ui1 a1...ir ar 1 b1...s bs = y f = w ed ef k f ui1 a1...ir ar 1 b1...s bs (по (1.5.12)).

k y Следовательно, в силу (3.2.14) и (3.1.3), i1 a1...ir ar 1 b1...s bs (w u)C = (1)r p(w ed ef ) k u = y f k = (1)r (wC )df (uC )i1 a1...ir ar 1 b1...s bs = wC (uC ).

f y Таким образом, полный лифт поливекторных полей индуцирует го моморфизм TP-когомологий HT P (M, w) HT P (T A M, wC ), s s [u] [uC ]. (3.2.17) Теорема 3.4. Имеет место коммутативная диаграмма морфизмов комплексов / (V 0, (T A M ), ) п.л.

(V 0, (M ), w ) (3.2.18) wC O O w wC / п.л.

(0, (M ), d ) (0, (T A M ), d ).

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что имеет место коммутативная диаграмма / п.л.

V 0,k (M ) V6 0,k (T A M ) 7 O O m w ppppp mmm mmm ppp mm ppp mmm wC / V 0,k1 (T A M ) п.л.

V 0,k1 (M ) wC O O w / п.л.

0,k (M ) 6 0,k (T A M ).

w 7 mm p d ppppp mmm wC mmm p p m ppp mmm d / п.л.

0,k1 (M ) 0,k1 (T A M ) Действительно, коммутативность квадрата / п.л.

V 0,k1 (M ) V 0,k (T A M ) O O w wC / п.л.

0,k1 (M ) 0,k (T A M ) следует из Предложений 3.2.4, 3.2.8 и 3.2.10.

Соотношения (d )C = d ( C ) и ( (w))C = ((w)C ) для 0, (M ) доказаны, соответственно, в Предложениях 3.2.9 и 3.2.11.

Наконец, коммутативность диаграммы / V 0,k1 (M ) V 0,k (T A M ) O O w w d / 0,k1 (M ) 0,k (T A M ) следует из (1.3.14).

Теорема 3.5. Пусть регулярное пуассоново многообразие (M, w) яв ляется произведением M = S N симплектического многообразия S s и произвольного гладкого многообразия N. Пусть dim HdR (S). То гда при p(1A ) = 0 гомоморфизм (3.2.17) является мономорфизмом. При s p(1A ) = 0 ядро гомоморфизма (3.2.17) изоморфно HdR (S).

Доказательство. Следует из Теоремы 3.3 и того, что отображения w : 0, (M ) V 0, (M ) и wC : 0, (T A M ) V 0, (T A M ) являются изоморфизмами.

3.2.5 Модулярные классы лифтов пуассоновых структур на расслоени ях Вейля ориентируемое пуассоново многообразие и пусть A = Пусть (M, w) {(U, h )}K максимальный ориентирующий атлас на M [19]. Атлас A индуцирует ориентирующий атлас A = {(U, h )} на T A M, где U = xi A (U ), h = hA. Из формулы (3.1.23) следует, что якобиан det xi xi a преобразования координат на M и якобиан det соответствующего xia преобразования координат на T A M связаны соотношением dim A xi a xi det = det. (3.2.19) xia xi Пусть µ форма объема на M, в локальной карте (U, h ) имеющая вид µ(U,h ) = (U,h ) dx1... dxm (m = dim M ). Тогда семейство = {(U,h ) }K представляет собой положительную плотность на M [19]. Положим (U,h ) = ((U,h ) )dim A. (3.2.20) Из (3.2.19) следует, что семейство = {(U,h ) }K есть положительная плотность на T A M. Поэтому форма µ, в каждой карте (U, h ) опреде ленная формулой µ = (U,h ) dx10... dxm0... dx1n... dxmn, является формой объема на T A M.

Пусть µ модулярное векторное поле на пуассоновом многообразии (M, w, µ) (см. §1.3).

Теорема 3.6. Для фробениусовой алгебры Вейля (A, q) модулярное векторное поле ориентированного пуассонова многообразия (T A M, wC, µ) имеет вид µ = dim A · V, (3.2.21) µ где верхний индекс V означает вертикальный лифт.

Доказательство. По формуле (1.3.15), в локальной карте (U, h ) мо дулярное векторное поле µ на M имеет вид m wij (U,h ) ij ln µ = +w.

xj xj xi j= Из (3.2.20) следует, что в локальной карте (U, h ) на T A M имеет место соотношение ln (U,h ) (U,h ) ln (n + 1), b = 0, = (3.2.22) xj xjb 0, b = 1, 2,..., n.

Покажем, что wij wiajb, a = n, xj = (3.2.23) xjb a = 0, 1,..., n 1.

0, По формуле (3.2.1) имеем wiajb = (wij )s s = (wij )s q ac sc. Рассу ab b ждения, аналогичные приведенным в Замечании 3.1.9, показывают, что (wij )s (wij )b wij b = 0 при s b, и что = xj. Кроме того, cs = 0 при s b.

xjb xjb wiajb Следовательно, единственное слагаемое, не равное нулю в, получа xjb ется при s = b. Кроме того, ясно, что b = q ad bd = 1 только при a = n ab b ab (поскольку pn = p(en ) = 1) и b = 0 во всех остальных случаях. Таким wiajb образом, = 0 при a = n, а xjb winjb (wij )b wij = =.

xjb xjb xj Формула (3.2.23) доказана.

Покажем также, что wij, a = n, iaj w = (3.2.24) a = 0, 1,..., n 1.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.