авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«На правах рукописи Глазунов Виктор Аркадьевич МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РОБОТОТЕХНИКИ Специальность: 09.00.08 – ...»

-- [ Страница 2 ] --

Таким образом, при рассмотрении робототехнических систем можно с полным правом говорить об их иерархичности и антропоморфности, однако это не все, что сближает научную робототехнику с постнеклассической наукой. В процессе движения робот как самоорганизующаяся система дол жен решать проблему преодоления точек бифуркации – это характерно для систем не только с замкнутой, но также и с разомкнутой кинематической це пью29. В этих точках робот может потерять одну или несколько степеней свободы (из системы с шестью степенями свободы он может стать пятипо движой системой). Наиболее простой пример, пригодный для иллюстрации этого тезиса, приведен на Рис. 1.1.7.

Манипуляционные системы роботов. /Корендясев А.И., Саламандра Б.Л., Тывес Л.И. и др. М.: Машино строение, 1989, 472 с.

Здесь имеет место плоская кинематическая цепь с тремя вращательны ми кинематическими парами А, В, С. Робот имеет три степени свободы, од нако в случае, если все звенья вытянутся в одну линию, имеем особое поло жение (точка бифуркации). Понятно, что схват не сможет двигаться вдоль прямой линии АВС, по которой расположатся звенья, не только в стону уве личения расстояния до точки А, но и в обратном направлении. Необходимо сначала деформировать кинематическую цепь (поворотом в шарнире В), а за тем уже можно приближать точку С к точке В. Это так называемое экстре мальное положение робота (выходное звено максимально удалено от основа ния). Но такая же ситуация может встретиться и внутри рабочей зоны, когда указанные звенья также расположены вдоль одной линии, а точка С занимает наиболее близкое положение к точке А.

В положениях бифуркации следует сформировать алгоритм управле ния, а система должна как бы самоорганизоваться, с тем чтобы пониженное число степеней свободы наилучшим образом использовать с точки зрения близости к предписанному движению. В частности был предложен алгоритм управления манипулятором в особых положениях30, который основан на вин товом исчислении. Дело в том, что твердое тело-схват в общем случае при движении в пространстве имеет шесть степеней свободы, и в каждый момент времени движение можно разбить на линейную составляющую и вращение вокруг некоторой оси (это так называемый кинематический винт).

В неособом положении угловые перемещения в кинематических парах могут удовлетворить любому требуемому кинематическому винту. В особом положении ситуация меняется – следует определить кинематический винт, выражающий наилучшее приближение к предписанному. В основе упомяну того алгоритма лежит определение проекций требуемых векторов линейной и угловой скоростей на две соответствующие плоскости, в которых (и только в которых) могут располагаться указанные векторы. Эти плоскости перпен Глазунов В.А. Об управлении манипулятором в особенных положениях. /Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1985, № 4, с. 45-50.

дикулярны составляющим так называемого взаимного винта (он может быть уравновешен реакциями в кинематических парах).

Сказанное иллюстрирует Рис. 1.1.8, на котором представлены компо ненты взаимного винта и о, приведенные к точке N, в которой находится центр выходного звена. Составляющие требуемого винта и о (соответ ственно векторы угловой и линейной скоростей) проектируются на плоско сти 1 и 2, перпендикулярные к и о. Это дает искомый кинематический винт с компонентами и о. Данный подход позволяет преодолеть точку би фуркации.

Адаптивность, самоорганизация, иерархичность, системность и коопе ративность являются свойствами одного из самых последних явлений в обла сти индустрии – гибких производственных систем. Они призваны совместить в себе принцип автоматизации и принцип гибкости, поскольку продукция со временных предприятий не должна носить массовый характер (автомобили должны отличаться по цвету, дизайну, также как обувь или одежда).

Поэтому системы управления гибким автоматизированным производ ством включают в себя основной компьютер, который дает команды для тех нологических устройств (это могут быть станки с числовым программным управлением), для транспортных средств (роботов, предназначенных для установки и снятия заготовок, а также робокаров, перемещающих заготовки и изделия между станками и складами) и для автоматизированных складов.

Последние также являются своего рода робототехническими системами, снабжающими производство заготовками, сосредоточенными в соответству ющих контейнерах. Тут налицо специализация подсистем, которые могут взаимодействовать между собой «по горизонтали», без привлечения главного компьютера.

При получении задачи от оператора система должна самоорганизовать ся, выбрав необходимый набор инструментов в станках и заготовок на скла де, назначив пути следования потоков полуфабрикатов Как видим, совер шенно разные подсистемы здесь объединены в единую систему и должны под управлением компьютера функционировать в условиях кооперативности.

Особое значение здесь приобретает согласование систем координат подси стем, при этом существенную роль может сыграть построение измеритель ных систем по принципу l-координат (см. Рис. 1.1.6), поскольку этот подход предусматривает измерение величин лишь одной размерности – длины (нет измерений углов).

Важным аспектом, обеспечивающим работоспособность весьма слож ных гибких производственных систем является техническая диагностика.

Любому современному техническому устройству требуется идентификация его состояния на предмет определения возможной длительности его безот казной работы31. Данное положение полностью справедливо и для робото техники, причем диагностическая аппаратура, наряду с соответствующими алгоритмами и программами, должна быть встроенной, так чтобы робот в процессе функционирования мог сам себя диагностировать и в случае необ ходимости информировать о возможных нештатных ситуациях человека оператора.

В процессе развития робототехнических систем свойства системности и кооперативности постоянно усиливаются. В соответствии с этим структура робототехнических систем претерпела существенные изменения – от откры тых кинематических цепей, имитирующих человеческую руку, до замкнутых многоконтурных механизмов параллельной структуры32, которые восприни мают нагрузку подобно пространственным фермам, в силу чего обладают по вышенными показателями по точности и грузоподъемности. Однако такие системы требуют достаточно сложного математического описания, основан ного на винтовом исчислении, кроме того этим объектам свойственны осо бые конфигурации (точки бифуркации).

Укажем на относительно недавно обнаруженное свойство упомянутых робототехнических систем параллельной структуры, связанное с тем, что их Нахапетян Е.Г. Диагностирование оборудования гибкого автоматизированного производства. М.: Наука, 1985, 226 с.

Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.:

Наука, 1991, 96 с.

точки бифуркации образуют континуумы – гиперповерхности, это обуслов ливает необходимость особого рода управления вблизи соответствующих конфигураций. На Рис. 1.1.9 представлен манипуляционный механизм парал лельной структуры, выполненный в виде плоского пятизвенника КАВСМ. В точках К и М сосредоточены двигатели, точка В может перемещаться по лю бой траектории в плоскости (конечно, внутри рабочей зоны), звено ВС – вы ходное, на нем установлен схват.

Вырожденные конфигурации характеризуются тем, что звенья АВ и ВС вытянутся в одну линию. Бифуркационная гиперповерхность – однопарамет рическая. Она обусловлена всеми положениями, при которых указанное условие выполняется. Для того, чтобы избежать неуправляемой подвижности (перемещение точки В перпендикулярно линии АВС), мы можем располо жить в точке А дополнительный кратковременно включаемый маломощный двигатель. Манипулятор при своем движении должен отслеживать близость к особой конфигурации, а при наличии такой ситуации включается дополни тельный привод А, который управляемым образом сможет вывести систему из особого положения.

В манипуляционном механизме параллельной структуры подсистемы (кинематические цепи КАВ и МСВ) работают кооперативно, будучи замкну ты через выходное звено, на котором можно установить, в частности, какое либо технологическое приспособление (например, шлифовальный круг), об рабатывающее установленную на основании заготовку. Но в целях уменьше ния взаимовлияния между приводами, для увеличения общей жесткости кон струкции были предложены механизмы относительного манипулирования33, где и инструмент, и заготовка перемещаются в пространстве. Каждый модуль при этом может иметь по несколько степеней свободы, а в целом относи тельное движение характеризуется шестью степенями свободы.

Крайнев А.Ф. Механика – от греческого mechanice (techne) – искусство построения машин. Фундамен тальный словарь. М.: Машиностроение, 2000, с. 431-433.;

Крайнев А.Ф., Глазунов В.А. Новые механизмы относительного манипулирования. /Проблемы машиностроения и надежности машин. Машиноведение, 1994, № 5, с. 102-107.

На Рис. 1.1.10 представлена схема робота-станка, в котором два модуля имеют кинематические цепи параллельной структуры – это сделано для по вышения жесткости и точности установки. На одном из модулей (система координат xиyиzи) сосредоточен обрабатывающий инструмент, на другом (си стема xдyдzд) – обрабатываемое изделие. В качестве инструмента может вы ступать шлифовальный круг, а в качестве изделия – лопатка реактивного двигателя или турбины генератора (лопатка имеет весьма сложную форму).

Каждый модуль перемещается в неподвижной системе координат xyz, при этом механизм перемещения инструмента обладает двумя степенями свобо ды, а механизм перемещения детали имеет четыре степени свободы, в то время как в относительном движении систем координат присутствуют шесть степеней свободы (двигатели в отличие от кинематических пар изображены в виде цилиндров). В данном случае мы наблюдаем развитие «принципа отно сительности» и кооперативных взаимодействий между подсистемами в робо тотехнике.

Укажем, что в робототехнических системах, как, быть может, ни в од ном другом техническом устройстве, человек пытается проявить свои по требности в инсайте34 (А. Маслоу). Еще со времен Фауста существовал «про ект» создания некоего гомункулуса, поэтому не случайно, что в робототех нике создаются системы, не имеющие, на первый взгляд, никакой промыш ленной значимости, но имитирующие человека. Речь идет, например, о робо тах, которые умеют играть на фортепиано или гитаре (хотя существуют элек тронные звуковые устройства, могущие синтезировать любой звук), о робо тах, способных выражать мимикой эмоции или поглощать пищу, пригодную для человека.

Недавно в Японии осуществлен и представлен весьма дорогостоящий проект двуногого шагающего робота, который должен носить на себе систе му, включающую компьютер и, по-видимому, совокупность устройств, обес печивающих стабилизацию при ходьбе. Для объединения усилий по исследо Маслоу А.Г. Новые рубежи человеческой природы. М.: Смысл, 1999, 425 с.

ванию антропоморфных роботов в этой стране создан специальный универ ситет Васеда. Во все возрастающих масштабах проводятся подобные изыска ния и в других государствах. Все это свидетельствует, что принципы антро поморфности во все большей степени становятся присущими робототехнике.

Сделаем некоторые выводы. Резюмируя изложенное, укажем, что научная робототехника изначально явилась продуктом объединения теории механизмов (включая теорию приводов) и новой науки – кибернетики (вклю чая теорию информации и теорию автоматического управления). Обе эти дисциплины можно считать подпадающими под эгиду классической науки, однако в результате объединения возникло нечто большее, чем их формаль ная «сумма», и каждой из этих дисциплин пришлось решать необходимые для этого объединения задачи. Для механики это было рассмотрение много связанных пространственных нелинейных систем со многими степенями свободы, а в кибернетике понадобилась разработка принципов управления указанными системами в условиях неполной и неточной информации о внут реннем состоянии и об условиях внешней среды.

Возникшая в результате междисциплинарного взаимодействия новая дисциплина – научная робототехника – стала во многом носить черты не классической науки, причиной этому явились парадигмальные прививки из физики. Речь идет, в частности об эффектах квантования информации и дей ствия, а также об относительности времени и положения различных частей робототехнических устройств.

С развитием данной научной дисциплины она все более приобретает характер постнеклассической науки. Данный тезис обусловлен тем, что робот как техническое устройство наиболее полно отвечает принципам антропо морфности – это проявляется и в структуре его механической части и в по строении систем управления, в которых может быть «встроен» человек оператор. Объединение робототехнических устройств различного назначения (транспортных, измерительных, технологических) приводит к появлению но вых иерархически организованных систем, например, связанных с гибким автоматизированным производством.

Таким образом, научная робототехника несет в себе тесно переплетен ные проявления всех трех этапов развития науки: классического, неклассиче ского и постнеклассического.

z’ y’ x’ z y x Рис. 1.1.1. Открытая кинематическая цепь робота-манипулятора.

b a Рис. 1.1.2. Параметры звена робота-манипулятора.

Mc * u 1/(Jp) 1/p Ky 1/(rя+Lяp) Kф Ce K K Рис. 1.1.3. Структурная схема системы управления одной степенью свободы робота y -1 x Рис. 1.1.4. Амплитудно-фазовая частотная характеристика l a Рис. 1.1.5. Схема акселерометра l l Рис. 1.1.6. Робот с l-координатной измерительной системой В С А Рис. 1.1.7. Манипулятор с тремя степенями свободы.

2 N 1 Рис. 1.1.8. К вопросу о преодолении роботом точки бифуркации.

В С А К М Рис. 1.1.9. Манипулятор с двумя степенями свободы.

zд yд yи xи zи xд z y x Рис. 1.1.10. Механизм относительного манипулирования.

1.2. МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОСТЬ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РОБОТОТЕХНИКИ В данном параграфе рассматриваются составляющие научную робото технику дисциплины – теория механизмов и машин (ТММ), а также киберне тика. Соединение этих дисциплин дает в методологии нечто гораздо боль шее, чем их формальная сумма – теорию роботов. При этом каждая из упо мянутых наук должна претерпеть соответствующие изменения для того, что бы войти в системное взаимодействие с другой дисциплиной.

«Робот (чешское robot от robota – подневольный труд, rob – раб), ма шина с антропоморфным (человекоподобным) поведением, которая частично или полностью выполняет функции человека (иногда животного) при взаи модействии с окружающим миром».35 Робот – это машина, где наиболее пол но совмещены возможности искусственного интеллекта и способность вы полнять широкий спектр операций. Это не просто компьютер, который, не смотря на поистине фантастические вычислительные и алгоритмические ка чества, все же представляет своего рода «голову профессора Доуэля». Робот ко всему этому имеет некую упрощенную (но в чем-то и превосходящую ис ходный аналог) копию человеческой руки – одного из самых совершенных, с точки зрения обширности выполняемых функций, творений природы.

Подчеркнем, что задачи, решаемые компьютерным «мозгом» робота, связаны с действием, с движением – отсюда специфика взаимодействия его с окружающим миром, необходимость планирования траекторий, отслежива ния собственных движений, сравнения их с предписанными заданиями. У робота должно присутствовать некое самоосознавание, внутреннее представ ление о собственном устройстве и о своем положении и движении в про странстве (хотя следует отметить, что, начиная с паровой машины Уатта, у любой из машин имеется та или иная обратная связь, которую можно срав нить с элементом самосознания). Робот – это не просто машина в сложив шемся понимании этого слова (некоторое устройство, целиком и полностью Большая советская энциклопедия. М.: «Советская энциклопедия», 1975, т. 22, с.149.

подчиняющееся малейшим движениям руки человека, покоящейся на ручке управления). Робот имеет существенную (и все более расширяющуюся) зону автономности, независимости от человека. В какой-то мере именно изучение и построение роботов позволяет человеку познать самого себя и преодолеть пропасть между гуманитарным и естественным знанием.

В прошлом веке роботы освоили множество операций в промышленно сти, науке, повседневной жизни. Весьма эффективно применение роботов в индустрии, где они выполняют транспортные операции по загрузке-разгрузке станков, по сварке, окраске, сборке изделий. Роботы помогают обезопасить человека при работе с радиоактивными материалами, они обезвреживают мины, играют на гитаре и обучают верховой езде. Роботы работают в экстре мальных средах – всем памятны съемки, где подводные необитаемые аппара ты исследовали помещения «Титаника», подводных лодок «Комсомолец» и «Курск». Механической рукой снабжен космический челнок «Шаттл» и меж дународная космическая станция «Альфа», роботы исследовали поверхность Луны и доставили образцы ее грунта.

Границы робототехники могут быть значительно расширены, если под роботами понимать все те устройства, которые способны функционировать согласно программе и адаптироваться сообразно с изменениями внешней об становки. Так в докладе одного из классиков робототехники – профессора М.

Вукобратовича (Югославия) на ХIII Международном Симпозиуме (RoManSy) по теории и практике робототехники36 в качестве робототехниче ской была представлена система защиты подвесного моста от воздействия землетрясений. При изменении взаимного положения опор моста и берегов «робототехническая» система отрабатывает указанное воздействие таким об разом, чтобы исключить катастрофу. Как робототехническую систему можно рассматривать подвеску современного автомобиля, которая при входе маши ны в поворот так компенсирует воздействие центробежных сил, чтобы пол Vukobratovic M. New Frontiers in Robotics. /Theory and Practice of Robots and Manipulators: Pr. of XIII CISM IFToMM Symposium, Poland, 2000, Springer Wien New York, pp. 15-39.

ностью выправить крен (в программу данного устройства все же включено требование сохранения некоторого крена, для того чтобы водитель не терял чувства скорости и не был бы чересчур беспечен).

В данной работе нас прежде всего интересуют методологические ас пекты научной робототехники, являющейся продуктом междисциплинарного взаимодействия между теорией механизмов (и приводов – электрических, гидравлических, пневматических), а также кибернетикой. Попытаемся пред ставить модель междисцилинарности, основанную на своего рода робототех нической структуре, а кроме того проанализируем некоторые методологиче ские результаты объединения указанных научных дисциплин. Не претендуя на полноту методологического и исторического исследования упомянутых наук, воспользуемся прежде всего методом «научной интроспекции», осно вываясь на личном опыте решения разных технических и теоретических про блем.

Междисциплинарность, по нашему мнению, следует связать с систем ностью. Дело в том, что «...Если кратко охарактеризовать современные тен денции синтеза научных знаний, то они выражаются в стремлении построить общенаучную картину мира на основе принципов универсального эволюцио низма, объединяющих в единое целое идеи системного и эволюционного подходов».37 Укажем также на холистический принцип, гласящий, что «...целое больше суммы составляющих его элементов». Анализируя особенности постановок задач в технической науке, учтем, что «...Технические науки не являются простым продолжением естествозна ния, прикладными исследованиями, реализующими концептуальные разра ботки естественных наук. В развитой системе технических наук имеется свой слой как фундаментальных, так и прикладных знаний, и эта система требует специфического предмета исследований. Таким предметом выступают тех Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-традиция, 2000, с. 641.

Титов С.А. Взаимоотношение целого и частей в живых системах. /Системные исследования. Методологи ческие проблемы. Ежегодник 1991, 332 с., ВНИИ Системных исследований АН СССР, с. 70-90) ника и технология как особая сфера искусственного, создаваемого человеком и существующего только благодаря его деятельности». Будем учитывать, что «...в основании теории всегда лежит модель изу чаемой реальности, наделенная небольшим числом свойств и простой струк турой»40 (этот тезис можно изложить так, что проблема доступа к реальности неотделима от проблемы ее конструирования). При этом постановка задачи в технической науке связана с тем, что должна быть сформирована модель технического устройства, отвечающая противоречивым требованиям – про стоте модели и полноте описания устройства. Вместе с тем, можно усмотреть разные уровни постановок этой задачи.

Наиболее высокий уровень характеризуется построением таких моде лей, которые были бы пригодны для описания и синтеза новых, не известных ранее объектов и явлений. Этот уровень связан с такими ситуациями, когда наличествующие методы и алгоритмы перестают соответствовать изучаемым объектам – здесь происходит своего рода научная революция. В данном слу чае господствующая парадигма испытывает «аномалии» (Т. Кун41), для пре одоления которых нужны, в частности, парадигмальные прививки (В.С. Сте пин42). Другой, более низкий уровень постановки научной задачи характери зуется тем, что имеющиеся модели подвергаются некоторой доработке, «адаптации», соответствующей рассмотрению некоторых новых свойств объектов. Наконец, наиболее низкий уровень постановки задач заключается в использовании состоящих в наличии моделей для уяснения свойств извест ных объектов – технических устройств.

Научными результатами в теории механизмов могут явиться прежде всего новые технические устройства. При этом они могут не быть продуктом самой теории и наличествующих моделей. Это может быть результатом не коего прозрения, акта творчества (инсайта по А. Маслоу43), поскольку изоб Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-традиция, 2000, с. 80.

Там же, с. 178.

Кун. Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1976, 288 с.

Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-традиция, 2000, 754 с.

Маслоу А. Новые рубежи человеческой природы. М.: Смысл, 1999, 425 с.

ретательство сродни искусству и весьма трудно поддается алгоритмизации, хотя подобные попытки имеются44. Как правило, такого рода объектам суж дено вызвать к жизни новые модели, так сказать, «подпарадигмы», обуслов ливающие локальные научные революции. Однако, новый механизм может быть получен и как результат использования теории.

Другим научным результатом в теории механизмов и машин (иногда в названии данной дисциплины опускают слово «машина») выступают новые модели, новые алгоритмы описания технических объектов. Устройства, под вергаемые исследованию, возможно, не новы, однако новое описание, новый взгляд на них иногда способны породить новую парадигму – более высокий уровень обобщения в математическом моделировании и, в дальнейшем, бо лее совершенные механизмы. Наконец, результатом научной работы может явиться обнаружение не известных ранее свойств исследуемых механизмов.

В этом случае в качестве объекта исследования могли выступать полученные в прошлом технические устройства, а в качестве инструмента исследования – известные модели. Несмотря на это, вновь получаемые свойства могут вполне удовлетворить критерию «научная новизна». Детальный анализ но вых свойств нередко также обусловливает появление новых механизмов и новых моделей.

Указанные уровни постановки научных задач (и соответствующих ре зультатов) в теории механизмов и в кибернетике уместно рассмотреть с точ ки зрения весьма важного, на наш взгляд, тезиса, что любая техническая наука, в том числе и научная робототехника непрерывно опровергает сама себя. Имеющиеся в господствующей парадигме методы и алгоритмы порож дают создание новых технических объектов с не изученными прежде свой ствами. Это, в свою очередь, приводит к формированию новых методов и об новлению парадигмы. Такая ситуация может быть представлена предложен ной Д. Хофштадтером45 формулировкой парадокса Эпименида («все критяне Альтшуллер Г.С. Алгоритм изобретения. М.: Московский рабочий, 1969, 272 с.

Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Самара: Издательский Дом «Бахрах-М», 2001, с. 22.

– лжецы»), состоящей из двух предложений: «Следующее высказывание ложно. Предыдущее высказывание истинно».

С помощью этой формулировки Д. Хофштадтер интерпретирует и тео рему К. Геделя о неполноте. Применительно к рассматриваемой науке – тео рии механизмов и роботов - такую формулировку уместно было бы несколь ко видоизменить: «Следующее высказывание истинно. Предыдущее выска зывание ложно». Приведенное положение перекликается с известной мыслью И. Канта, согласно которой «изобрести что-то это совсем не то, что от крыть»46, наука изучает то, что уже существует, а изобретательство создает нечто новое. В этом, на наш взгляд, кроется причина петлеобразного, проти воречивого характера теории механизмов и впоследствии теории роботов.

Исследователь, с одной стороны, изучает некоторые механические объекты, созданные человеческой интуицией и усовершенствованные на основе опыта.

С другой стороны, сам объект и предмет исследования непрерывно изменя ется, причем не только на основании практической деятельности человека, но и в немалой степени в результате исследовательской работы ученого механика.

Вообще говоря, любая наука в некотором смысле петлеобразна. Даже в геометрии любое высказывание непосредственно, «механически» не выво дится из накопленных ранее сведений (упомянем о критике Д. Юмом осно ваний этой науки за невозможность точного измерения и обоснования равен ства). Кроме прочего, требуется момент озарения, который, прежде всего, связан с постановкой вопроса. Пифагора что-то должно было подвигнуть на поиски соотношения между длинами гипотенузы и катетов. Что же касается естественных наук, то знания, накопленные на основе существующих на ка кой-то момент опытных данных, вызывают к жизни теоретические построе ния, отнюдь не являющиеся непосредственным следствием из них (и в этом смысле расходятся с опытом). Кроме критерия соответствия, есть еще и кри терий простоты (или внутреннего совершенства).

Кант И. Антропология с прагматической точки зрения./ Соч. в 6 томах. Том 6, М.: Мысль, 1966, с.466.

К тому же, проводя измерения над объектом (особенно относящимся к микромиру), мы воздействуем на него, объект и субъект становятся взаимо зависимыми. В технической науке эффект петли еще более отчетлив, так как исследователь изменяет объект изучения, не только вторгаясь в него со сво ими средствами измерения, но и сознательно его совершенствуя сообразно собственным, как правило, противоречивым запросам.

Рассмотрим некоторые основания теории механизмов, изменяемые в процессе собственного развития этой науки, а также при осуществлении междисциплинарного взаимодействия с кибернетикой. Довольно долго (до середины XIX века) в теории механизмов отсутствовала база для структурно го анализа и синтеза механизмов, были осуществлены лишь попытки свести многообразие кинематических цепей к простейшим механизмам, известным со времен Герона Александрийского и Архимеда (рычаг, винт, клин и др.).

Вместе с тем отметим, что теория механизмов теснейшим образом связана с механикой – одной из древних наук, их методологии тесно переплетены, кроме того, при построении механизмов и их исследовании применяются весьма схожие с классической механикой модели. Укажем, что «...все теоре тические высказывания классической механики непосредственно характери зуют связи, свойства и отношения идеализированных конструктов...»47, кои ми, прежде всего, являются материальная точка и абсолютно твердое тело, а также идеальная связь.

В теории механизмов понадобилось ввести еще идеальную кинемати ческую пару и структурную группу. «Тогда характерной ее [теории механиз мов и машин] особенностью стало не только создание методов расчета суще ствующих типов машин и механизмов, но и предсказание новых типов, еще не применявшихся в практике... Технические науки, вместе с техническим проектированием, начиная с середины XIX столетия стали выступать связу Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-традиция, 2000, с. 105.

ющим звеном между естественнонаучными дисциплинами, с одной стороны, и производственными технологиями – с другой»48.

Идеальной кинематической парой является такое соединение между абсолютно твердыми телами – звеньями механизма, которое выполнено аб солютно точно геометрически и в котором отсутствует трение. Важнейшей характеристикой этого конструкта выступает число степеней свободы отно сительного движения между звеньями. Приведем примеры наиболее распро страненных кинематических пар - это вращательная, поступательная, цилин дрическая и сферическая пары (Рис. 1.2.1). Первые две обеспечивают по од ной степени свободы относительного движения сопрягаемых звеньев. Две другие соответствуют двум и трем степеням свободы.

Понятно, что в реальности каждое соединение звеньев (вовсе не явля ющихся абсолютно твердыми телами) не есть идеальное – сочленения имеют искажения. Но важно то, что появились идеальные конструкты, позволяющие исследовать структуру кинематических цепей (идеализация механизма, учи тывающая лишь размеры, но не массу звеньев – твердых тел неизменной формы).

Еще более существенно то, что возникла возможность определить чис ло степеней свободы механизма, зная количество звеньев и кинематических пар. Решить эту задачу дает возможность формула П.О. Сомова - А.П. Ма лышева, которую позволим себе привести здесь ввиду ее простоты, а также того обстоятельства, что она оперирует лишь с натуральными числами:

W = 6n – 5p5, где W - это число степеней свободы, n – количество подвижных звеньев, а p – это количество кинематических пар с одной степенью свободы (пары с дру гим числом степеней свободы могут быть заменены на одностепенные – при этом добавляются и дополнительные звенья).

Эта формула говорит о том, что твердые тела в пространстве изначаль но могут иметь шесть степеней свободы (три координаты какой-либо точки и Там же, с. 83-84.

три угла вращения вокруг нее), однако каждая вращательная либо поступа тельная пара отнимает пять подвижностей у кинематической цепи. Таким образом, в указанном смысле звенья функционируют в «пространстве», раз мерность которого равна шести.

Но оказывается, что наложив какие-то условия на возможные движе ния, мы получим совсем иную размерность «пространства». Так для плоских механизмов (все их движения осуществляются по траекториям, расположен ным в параллельных плоскостях) используется формула П.Л. Чебышева, включающая те же величины, но с другими коэффициентами:

W = 3n – 2p5.

Здесь размерность «пространства» снизилась до трех, при этом две ука занные формулы непосредственно не вытекают одна из другой и в данном смысле уместнее вспомнить о парадоксе Эпименида, чем о правилах индук ции Френсиса Бэкона. Требуется иной, более высокий уровень рассмотрения вопроса структуры, этим уровнем долгое время была практика использова ния различных механизмов. Лишь в начале ХХ века появилась теорема А.П.

Котельникова, объединяющая все «подпространства» функционирования ки нематических цепей (размерности, в которых функционируют звенья, могут быть 1,2,3,4,6)49.

Быть может, самым существенным результатом использования двух приведенных структурных формул стало появление важнейшего конструкта теории механизмов – структурной группы. Это такая совокупность звеньев и кинематических пар, которая имеет подвижность, равную нулю. Присоеди няя такую группу к любой подвижной цепи или к одному звену, мы ничего не меняем в смысле числа степеней свободы. Примеры структурных групп для плоского случая приведены на Рис. 1.2.2. Первая группа содержит лишь вращательные пары, вторая и третья – по одной поступательной, располо женной соответственно на конце или в середине группы.

Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982, 336 с.

На следующем рисунке (Рис.1.2.3) можно видеть, к чему приводит присоединение этих групп к одноподвижному звену, сопряженному с осно ванием вращательной парой – это всем известные плоские кинематические цепи с одной степенью свободы. Первый механизм можно наблюдать в при воде лопатки снегоуборочной машины, второй – в двигателе внутреннего сгорания (поступательная пара - это поршень в цилиндре), а третий – в устройстве для открывания дверей в троллейбусе.

Структурные группы существуют и для пространственных механизмов, но так как они работают в «шестимерном» пространстве, то и количество вращательных пар должно быть шесть (но ни в коем случае не с параллель ными осями). Указанные группы весьма важны при кинематическом и сило вом расчете механизмов, так как количество неизвестных силовых факторов, действующих на звенья структурной группы, в точности равно количеству независимых уравнений.

Но далее образуется петля, поскольку идеальные кинематические пары, идеальные звенья – это фикция, а первая ступень рассмотрения нашего объ екта (механизма) весьма и весьма приближенна. Имеющаяся красивая, но грубая модель начинает «обрастать» различными дополнениями, «растяги вающими» петлю в разных направлениях. Теория в данном случае развивает ся не так, как, скажем, геометрия, где из первоначально взятых аксиом мож но вывести все теоремы, а путем принятия все новых допущений.

Одно из направлений усовершенствования упомянутой модели связано с учетом трения. Сначала устройство было рассмотрено как идеальное, а по том мы «вспомнили», что от трения никуда не деться. Основываясь на пред варительно сделанном расчете и найдя так называемые реакции в кинемати ческих парах (усилия, с которыми звенья действуют друг на друга), мы начи наем определять силы трения, причем опять-таки принимаем предположение, что указанные силы прямо пропорциональны реакциям. На самом деле это тоже не так: сила терния может быть, например, пропорциональна скорости или ее квадрату. Мы должны будем проделать несколько итераций – зная ре акции, находим силы трения, затем пересчитываем реакции и т.д. При этом нужно обеспечить сходимость: следует добиться, чтобы следующий резуль тат лишь незначительно отличался от предыдущего.

Но это лишь одно из «направлений» образования петли между «вхо дом» и «выходом» модели. Другим направлением преобразования первона чальной модели является учет упругости звеньев. Первоначально предпола галось, что звенья абсолютно твердые, их размеры неизменны. Но далее нам «захотелось» учесть, что в процессе движения под действием нагрузок звенья могут деформироваться, а в сочленениях наличествует упругость. Мы при нимаем допущение, что движение можно рассмотреть как суперпозицию ос новного программного перемещения звеньев и малых колебаний относитель но соответствующих последовательных положений.

Еще одним проявлением «петлеобразности» развития первоначальной модели предстает введение в рассмотрение ошибок изготовления звеньев.

Кроме того, в любой кинематической паре может наблюдаться люфт, то есть несоответствие размеров охватываемого и охватывающего элементов пары.

Это приводит к тому, что охватываемый элемент занимает некое случайное положение внутри охватывающего, и для учета этого обстоятельства вводят различные законы распределения случайной величины, характеризующей расположения упомянутого охватываемого элемента.

Сказанное не дает возможности говорить о внутреннем обосно вании непротиворечивости теории механизмов и машин. Каждое последую щее высказывание, не будучи непосредственным, логическим следствием предыдущего, но в то же время являясь опосредованным результатом его развития, противоречит породившему его предыдущему высказыванию.

Любой анализ несет в себе элементы синтеза и наоборот. Исследова тель рассматривает конкретный механизм, пытается решить задачи о поло жениях, смоделировать динамику. При этом так или иначе ставится проблема синтеза, поскольку результаты анализа будут использованы для выбора схе мы проектируемого механизма. С другой стороны, любая постановка задачи синтеза (пусть даже сформулированная не математически, а на основании общих соображений) обязательно должна включать элементы анализа, про водимого, быть может, интуитивно.

В связи с рассмотрением уже синтезированных и изготовленных меха низмов перед исследователем-механиком встает, в частности, задача о поло жениях, приводящая к системам существенно нелинейных уравнений (под существенно нелинейными понимаются системы, не сводимые к уравнениям, где нелинейные члены присутствуют в виде “малого параметра”). Упомяну тая задача о положениях тесно связана с определением точек бифуркации, где функция положения претерпевает ветвление. Подчеркнем, что исследуе мый механизм может прекрасно работать, несмотря на то, что его проекти ровщик и изготовитель понятия не имели о столь глубоких его свойствах.

Кроме того, укажем, что результаты анализа исследователя-механика, рас смотревшего, к примеру, точки бифуркации, в дальнейшем станут основой постановки новых задач синтеза механизмов.

Рассматривая объект исследования (механизм), мы неизбежно сталки ваемся с анализом тех или иных опытных данных, которые могут быть полу чены как на основе поставленного научного эксперимента, так и на базе рас смотрения результатов аварий, отказов, катастроф и т.д. К примеру, в резуль тате экспериментов было установлено, что линейные колебательные систе мы, включающие некоторую упругость и массу, подвергаясь действию ис точника энергии с ограниченной мощностью, ведут себя подобно нелиней ным системам. У них имеют место неустойчивые режимы колебаний, срывы в амплитудно-частотной характеристике. В результате подробного анализа экспериментальных данных была построена новая теория исследования та ких систем, использующая рассмотрение нелинейных колебаний, например, методом гармонического баланса. Данную ситуацию, по нашему мнению, можно рассматривать как появление элементов новой парадигмы, вполне со ответствующее выводам Т. Куна.

Следует упомянуть о противоречиях между аналитическими и числен ными методами исследования механизмов. Аналитический метод, предпола гающий выявление соотношений между постоянными и переменными пара метрами, позволяет анализировать качественные характеристики объекта, и с данной точки зрения - это общий подход. Однако аналитические модели под час невозможно осуществить для достаточно сложных устройств, поэтому приходится применять численные подходы, связанные с итерационным ре шением дифференциальных уравнений. Особенно это стало актуальным с развитием компьютерной техники, когда даже появился такой термин как численный эксперимент. Всякий численный анализ подразумевает рассмот рение некоторого конкретного объекта, что безусловно не связано с выявле нием общих принципиальных свойств.

Однако, несмотря на очевидную противоположность аналитического и численного методов, они дополняют друг друга. Например, ставя численный эксперимент над каким-либо сложным устройством, мы вначале рассматри ваем аналитические модели более простого объекта, выявляя его характери стики. Результаты численных исследований, особенно в том случае, если они проведены для разных условий и параметров функционирования объекта, дают богатый материал для составления новых теорий. В частности, числен ный анализ атмосферных процессов впервые привел Э. Лоренца к обнаруже нию странных аттракторов и явился предтечей синергетики.

Рассматривая становление кибернетики, следует указать, что ее корни также довольно трудно проследить. Так существует мнение, что, быть может, первым устройством управления движением был изобретенный в XI веке мо нахом Теофилом Пресбиттером маховик, призванный сглаживать колебания скорости вращения вала и, кстати, до сих пор применяющийся, например, в двигателях автомобилей. Затем можно упомянуть об изобретении английско го подростка Генри Поттера, предложившего дополнить паровой насос авто матически открывающейся заслонкой, исключив тем самым необходимость выполнения этой операции человеком. Лишь позднее появилась паровая ма шина Уатта с автоматическим регулятором скорости вращения.

Отец кибернетики Норберт Винер выделил две ее основные задачи – это анализ информации в условиях стохастически возникающих помех и это автоматическое управление движением разного рода объектов. Первая задача изначально была связана с интерпретацией показаний радиолокаторов, а также с расшифровкой засекреченных сообщений во время второй мировой войны;

вторая задача возникла из необходимости прицельной стрельбы управляемыми снарядами.

К моменту рождения робототехники теория автоматического управле ния успешно справилась с задачей регулирования параметров движения устройств с одной степенью свободы. В частности, речь идет о двигателях постоянного тока, применяемых на транспорте или в разного рода техноло гических установках. Дело в том, что таким двигателем довольно просто управлять (в отличие, например, от асинхронного двигателя) – нужно только менять напряжение на статоре или в обмотке возбуждения ротора.

Но в робототехнике возникла необходимость управления системами со многими степенями свободы, которые (степени свободы) влияют друг на друга. При этом параметры системы (например, моменты инерции звеньев робота) меняются в очень широких пределах, их можно определить только приближенно, кроме того, наличествуют шумы и случайные помехи. Робото техническая система должна уметь ориентироваться в пространстве, «осо знавать» самое себя, планировать свою «деятельность» сообразно с постав ленными задачами.

Приведем пример очень изящного алгоритма решения задачи управле ния роботом, учитывающего необходимость минимизации отклонения от предписанной траектории при его движении в условиях взаимовлияния меж ду степенями свободы50. Наиболее строго эта задача может решаться, напри Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука, 1991, 332 с.

мер, на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина51, который [принцип], однако, при большом числе степеней свободы не столь эффективен с точки зрения количества вычислений.

Может быть предложен иной подход, при котором вначале задается требуемый закон изменения всех обобщенных координат, скоростей и уско рений. Далее, на основании бесспорного предположения, что реальное дви жение будет происходить с отклонениями, рассматривается квазиоптималь ный закон управления, при котором минимизируется интеграл суммы квад ратов текущих ошибок по координате, скорости и ускорению. Анализ ука занного интеграла дает довольно красивый и эффективный переход – ошибка по каждой обобщенной координате должна подчиняться однородному диф ференциальному уравнению второго порядка.

Затем алгоритм управления строится так, чтобы удовлетворить не за данному изначально закону изменения обобщенных координат, а упомяну тому однородному дифференциальному уравнению. Таким образом, здесь фигурируют как бы два желаемых движения – первоначально предписанное и другое, более реальное, учитывающее возможную ошибку, которая стре мится к нулю на вполне определенном отрезке времени – за это «отвечают»

формируемые коэффициенты дифференциального уравнения отклонения. На каждом шаге управления на основе измеряемых, а также вычисляемых пара метров формируется управляющее воздействие – это напряжение на двигате ле постоянного тока. Реально требуемое напряжение определяется фазовым углом открытия тиристоров управляемого выпрямителя.

Примечательным представляется то обстоятельство, что в описанном способе управления роботом присутствуют две «петли», два контура обрат ной связи, взаимодополняющие и противоречащие друг другу – одна учиты вает лишь кинематические свойства, а другая еще и динамические. Каждая отрицательная обратная связь предполагает несоответствие заданного и ре Понтрягин Л.С., Болтянский Е.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Р. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961, 384 с.

ального законов движения. В какой-то мере это можно сопоставить с пара доксом лжеца, на что указывают также интересные и перспективные попыт ки алгоритмизации этого парадокса52.

Усложнение системы ведет к многократному «усилению петлеобразно сти», причем контуры обратных связей организованы не столько аппаратно (с использованием датчиков), сколько алгоритмически. Дальнейшим разви тием приведенного алгоритма явилось построение обратной связи еще и по ускорению, которое не измеряется, а вычисляется на каждом шаге. Такой подход позволяет предусмотреть некую адаптивность управления, так как все вычисления основаны на моделях, лишь приближенно отражающих па раметры робота, а новый контур в некоторой степени компенсирует данную неточность.

В технологическом или практическом плане использование упомяну тых подходов приводит к невиданным доселе свойствам технических устройств, объединяющим диаметрально противоречивые требования: их ав тономность и их гибкость, способность выполнять широчайший спектр раз личного рода пространственных движений. В методологическом плане это стало возможным в результате тесного переплетения и взаимного дополне ния методов теории механизмов и кибернетики. Попытаемся наглядно пред ставить себе процесс и результат объединения двух разных научных направ лений – теории механизмов и кибернетики.

Для наглядного представления какого-то процесса желательно иметь простую, но содержательную и наглядную модель, чтобы поставить на ней мысленный эксперимент. О подобных экспериментах имеется обширная ли тература, оценка их различна – от чисто методической описательной роли, обусловливающей лучшее понимание предмета, до признания необходимо сти мысленного эксперимента как необходимого (если не решающего) этапа становления теории. Приведем некоторые примеры мысленных эксперимен тов.

Зенкин А.А. Новый подход к синтезу проблемы парадоксов. / Вопросы философии, 2000, № 10, с. 79-90.

В геометрии Евклида основными конструктами являются точка и пря мая, при этом оба конструкта есть лишь идеальные абстракции, не могущие существовать в действительности. Чтобы сформулировать постулат о парал лельных прямых нужно поставить мысленный эксперимент и бесконечно продолжить каждую из них, а затем «убедиться», что они не пересекаются.

Для формулирования постулата Галилея об инерциальных системах нужно иметь идеальную абстракцию – твердое тело, не подверженное дей ствию никаких сил. Далее следует поставить мысленный эксперимент и предоставить данному телу возможность двигаться бесконечно долго, при этом можно «удостовериться», что движение будет равномерным и прямоли нейным.

При разработке основ дифференциального и интегрального исчислений Ньютону и Лейбницу также требовалось поставить мысленный эксперимент, проводя секущие между двумя точками графика функции и сокращая рассто яние между ними до того состояния, когда секущая станет касательной. То же касается и определенного интеграла – площадь под графиком некоторой функции следует разбивать на почти прямоугольные участки, мысленно до водя их количество до бесконечности.

Размышляя над законом электромагнитной индукции, Фарадей ставил мысленный эксперимент, когда представлял силовые линии магнитного поля как набор тонких трубочек, заполняющих пространство между полюсами магнита. Эти трубочки пересекал проводник электрического тока, а напря жение между удаленными друг от друга точками проводника было пропор ционально количеству трубочек, пересеченному за единицу времени.

Когда создавалась специальная теория относительности, Эйнштейну необходим был мысленный эксперимент для того, чтобы уяснить, как меня ются размеры тела при скорости его движения, соизмеримой со скоростью света, а также как изменяется масштаб времени.

Учитывая изложенное, невольно приходим к выводу, что мысленный эксперимент является необходимым и важным этапом в становлении теории.

При этом должна существовать простая, наглядная, и вместе с тем информа тивная модель, на основе которой будет поставлен мысленный эксперимент, обладающий прежде всего свойством воспроизводимости. Однако затем вновь образуется петля, поскольку упомянутую простую модель придется уточнять и тем самым опровергать.

Попытаемся сформировать модель для постановки мысленного экспе римента, описывающего процесс междисциплинарного взаимодействия двух теорий, например, теории механизмов и кибернетики. Для этого воспользу емся кинематическими схемами механизмов с одной степенью свободы каж дый, изображенными сверху на Рис. 1.2.4. Очевидно, что каждый механизм может обеспечить для точки центра шарнира, соединяющего рычаг с линей ным двигателем (точки А и В соответственно), лишь возможность находить ся на окружности (одна степень свободы). У данных окружностей имеются только две общие точки, но если мы объединим шарниры А и В и отбросим ставшие ненужными рычаги, то получим «революционное» изменение ситу ации – систему с двумя степенями свободы (Рис. 1.2.4 внизу). Точка С дан ной системы может перемещаться внутри некоторого участка плоскости, ограниченного четырьмя дугами, радиусы которых определены максималь ными и минимальными выдвижениями штоков линейных приводов.

Сказанное уместно проиллюстрировать примером из области техники.

Если «механически», формально объединить подходы кибернетики и теории механизмов, то можно получить методологию создания, например, автома тических линий, ориентированных на однотипные операции и массовый вы пуск однородной продукции. Но если отбросить «парадигмальные путы»

теории механизмов, заключающиеся, в частности, в наличии разного рода графических методов (наглядных, но неточных и ориентированных на плос кие механизмы с одной степенью свободы), то получим методологию новой науки – теории роботов, способной исследовать многосвязанные динамиче ские объекты (робототехнические системы) с взаимным влиянием между подсистемами.


Таким образом, мы получили, пусть очень упрощенную, модель меж дисциплинарного взаимодействия (Рис. 1.2.4), на которой можно поставить мысленный эксперимент и при этом убедиться, что для осуществления ука занного взаимодействия нужно не просто объединить подсистемы, но и изба виться от некоторых методологических «пережитков».

Упомянутые научные методы, применявшиеся ранее, но ставшие не столь актуальными теперь, подчас весьма красивы и изящны, они целиком отвечают критерию, введенному Эйнштейном, - внутреннее совершенство научной теории. Таковы, например, задачи синтеза направляющих или пере даточных плоских механизмов с одной степенью свободы, подобных тем, что приведены на Рис. 1.2.3. К направляющим относятся те механизмы, которые должны обеспечить прохождение какого-либо звена, в частности, среднего (шатуна) через ряд наперед заданных положений. Передаточные механизмы обеспечивают наличие некоторой функциональной зависимости между пере мещениями (угловыми или линейными) входного и выходного звеньев.

Классическим примером синтеза плоских направляющих механизмов является задача Бурместера, ее развитие для пространственных механизмов осуществлено Ф.М. Диментбергом53. Задача заключается в том, что для ме ханизма по Рис. 1.2.3 (справа) нужно так выбрать точки крепления шарниров входного и выходного звеньев, чтобы шатун последовательно занял бы пять заданных положений. Этот подход приводит к определению точек пересече ния так называемых кривых Бурместера – геометрических мест центров шар ниров, расположенных на основании и на подвижных звеньях.

Указанная задача породила широкое направление исследований по геометрическому синтезу механизмов, однако альтернативным путем явился аппроксимационный синтез, при котором желаемая функция, описывающая перемещение выходного звена, заменяется приближенной, но могущей быть реализованной с помощью той или иной кинематической цепи54.

Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: наука, 1982, с.274.

Артоболевский И.и., Левитский Н.И., Черкудинов С.А. Синтез плоских механизмов. М.: Физматгиз, 1959, 1084 с.

Наиболее значимыми алгоритмами в рамках данного подхода явились интерполяционный синтез, синтез по среднеквадратическому отклонению, а также синтез по Чебышеву, предусматривающий минимизацию максималь ного отклонения от заданной функции. Интерполяционный синтез обеспечи вает для приближенной функции совпадение с желаемой функцией лишь в некоторых точках, количество которых определяется числом оптимизируе мых параметров. Синтез по среднеквадратическому отклонению позволяет минимизировать сумму квадратов отклонений между желаемой и прибли женной функциями в точках, число которых не ограничено. Наконец, синтез по Чебышеву предусматривает такое «наилучшее» приближение функций, когда минимизируется наибольшее отклонение между ними. Был разработан и иной, объединяющий данные направления подход, который рассматривает геометрическую интерпретацию функций, обеспечивающих их аппроксима ционное приближение55.

Однако заметим, что перечисленные красивые решения во многом происходили «от бедности» и появились во времена, когда не было персо нальных компьютеров и мощных пакетов прикладных программ. Например, задача о распределении скоростей в замкнутой плоской кинематической це пи, как правило, решалась с помощью планов скоростей – это графическое решение. Несмотря на наглядность, оно не может отличаться приемлемой точностью. То же касается и приемов графического интегрирования, приме нявшихся при синтезе кулачковых механизмов, используемых как устройства управления, например, в системе клапанов двигателя внутреннего сгорания.

Кулачковые или рычажные механизмы обеспечивают заданный вид движения выходного звена при поддержании постоянства скорости звена входного. Данное постоянство обеспечивается как механическими средства ми (маховик), так и с помощью средств управления (регулируемый привод).

В последнем случае применяются методы теории автоматического управле ния, являющейся частью и предтечей кибернетики. Однако, упомянутые Саркисян Ю.Л. Аппроксимационный синтез механизмов. М.: Наука, 1982, 304 с.

устройства не обеспечивают гибкость, их можно использовать, например, в серийном или массовом производстве, где однотипные изделия (патроны или одноразовые шприцы) выпускаются миллионами штук. Но в гибких произ водственных системах с ежедневной сменой ассортимента такие устройства непригодны – здесь нужны роботы.

Также «от бедности» возникли красивые теоретические изыскания и в теории информации, а также в оптимизации. Так теория очередей очень ак туальна в устройствах связи, где по одному каналу требуется параллельно передать несколько сообщений, а скорость обработки информации невелика.

При оптимальном синтезе каких-либо устройств (например, механических) широко применялся метод Монте-Карло, заключающийся в том, что значе ния выбираемых параметров устанавливаются случайным образом – так быстрее можно рассмотреть всю область изменения указанных параметров, заполняя эту область более или менее равномерно. При наличии мощного компьютера такой подход не столь актуален, так как все параметры можно варьировать со сколь угодно мелким шагом.

Процесс междисциплинарного взаимодействия в известной мере упразднил актуальность упомянутых теорий, но не отбросил их полностью, а заставил их трансформироваться в новой науке – теоретической робототех нике. Так при оптимальном управлении роботом для обеспечения точности движения по траектории целесообразно применить функции Ляпунова, но при этом исследуется не устойчивость системы как таковой, а стремление к нулю отклонения реальной траектории от заданной. Метод наименьших квадратов нашел новое применение, в частности, при определении направле ния движения схвата манипулятора в случае попадания последнего в поло жение бифуркации, где теряется одна степень свободы56. Метод наилучшего приближения по Чебышеву теперь используется для линеаризации моделей, описывающих нелинейные элементы в цепях управления манипуляторами.

Глазунов В.А. Об управлении манипулятором в особенных положениях. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1985, № 4, с. 45-50.

Например, это зоны нечувствительности, вызванные люфтами в кинематиче ских парах, релейные характеристики, а также характеристики с насыщени ем57.

Изложенное позволяет сделать вывод, что акт, а вернее процесс меж дисциплинарного взаимодействия, при котором образовалась теоретическая робототехника, обусловил как бы «глобальную петлю», существенным обра зом изменившую методологию составляющих наук, отбросив многое в них.

Но в то же время этот процесс вызвал к жизни и новые подходы, не мысли мые в прошлом прежде всего потому, что не мыслимы были столь сложные технические объекты, подлежащие исследованию и управлению. В частно сти, это касается задачи о «динамической развязке», нужной для того, чтобы приводы в робототехнической системе, по возможности, были бы не зависи мы друг от друга, то есть необходимое усилие в каком-то из них не было бы связано со скоростями и ускорениями в других степенях свободы робота.

Данная задача может решаться методами механики и в принципе ее могли бы поставить и решить еще во времена Лагранжа. Но не случайно, что ее стали рассматривать лишь во второй половине прошлого века в связи с развитием робототехники. Для открытых кинематических цепей обычных манипуляторов данную задачу можно решить, рассматривая выражение ки нетической энергии движущихся звеньев. Если это выражение имеет форму суммы квадратов всех обобщенных скоростей (угловых скоростей взаимного перемещения звеньев в сочленениях), то это и обеспечивает решение про блемы58. Подобный подход целесообразно применить и для замкнутых кине матических цепей манипуляторов параллельной структуры59, однако здесь получается лишь одно возможное положение, характеризуемое наличием «динамической развязки», при выходе из него взаимовлияние вновь все бо лее проявляется.

Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976, 312 с.

Манипуляционные системы роботов. /Корендясев А.И., Саламандра Б.Л., Тывес Л.И. и др. М.: Машино строение, 1989, с. 236-243.

Крайнев А.Ф., Глазунов В.А. Механизмы параллельной структуры в робототехнике. / MERO’91, Sympos.

Nation. de Roboti Industr., Bucuresti, 1991, V. 1, p. 104-111.

Сделаем некоторые выводы. Здесь исследован процесс междисципли нарного взаимодействия между теорией механизмов и кибернетикой при учете синергетической парадигмы самоорганизации науки как человекораз мерной системы60.

Главным онтологическим итогом возникновения робототехники стало соединение на небывалом доселе уровне в одном техническом устройстве двух противоречивых, и даже взаимоисключающих качеств – гибкости и ав тономности. Самым гибким инструментом является человеческая рука, кото рая, будучи снабжена соответствующим инструментом, может с помощью отвертки заворачивать шуруп в стену, а с помощью кисти писать портреты современников. Об автономности автоматических устройств, основанных, в частности, на кривошипно-ползунных или кулачковых механизмов, говори лось выше. Они способны выполнять лишь одну операцию, обеспечивая ра бочему органу движение по заданному закону вдоль окружности или прямой.

Но один робот с шестью степенями свободы (и даже с тремя степенями) мо жет обеспечить оба эти закона, а также бесчисленное множество других. До стигнуть этого уровня совмещения противоположных качеств помогла си нергия приводов – их совместная работа в многосвязанной робототехниче ской системе со многими степенями свободы и с наличием взаимного влия ния между данными степенями.


Таким образом, главный результат междисциплинарного взаимодей ствия теории механизмов и кибернетики – это достижение нового, доселе не бывалого уровня в соотношении двух противоречивых критериев – гибкости спектра выполняемых операций технического устройства и его автономно сти, степени автоматизации. Еще раз подчеркнем, что указанные требования в принципе взаимоисключающие, а методология достижения их объединения противоречива сама по себе и противоречива в сопоставлении с охватывае мым ею предметом. Упомянутый предмет теоретической робототехники по Аршинов В.И., Буданов В.Г. Синергетика – эволюционный аспект. / Самоорганизация и наука: опыт фи лософского осмысления.. М.: Арго, 1994, с. 229-242.

стоянно меняется благодаря, кроме прочего, методологии этой науки, но за тем влечет и изменение методологии – в этом видится своего рода петля, вы ражающая проявление парадокса Эпименида.

Рис.1.2.1. Вращательная, поступательная, цилиндрическая и сферическая кинематические пары.

Рис. 1.2.2. Плоские структурные группы.

Рис. 1.2.3. Плоские механизмы с одной степенью свободы.

B A C Рис. 1.2.4. Модель междисциплинарного взаимодействия.

Глава 2. НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ И РОБОТОТЕХНИКА В данной главе ставится задача рассмотреть научные революции, про исходящие в робототехнике, а также в других областях науки, не совсем обычным методом. Здесь разрабатываются наглядные модели, с помощью которых можно было бы поставить мысленные эксперименты по выявлению важных свойств научных революций. Последние представляются в виде сво его рода процессов бифуркаици сложных человекоразмерных систем, коими являются научные сообщества.

Указанные модели призваны выявить ряд свойств, характеризующих расположение точек бифуркации, течение процесса бифуркации и возмож ность управлять этими процессами. Ставится задача установить, что опреде ляет «катастрофичность» процесса бифуркации. При этом рассматриваются соотношения между внешними и внутренними силами, «траектории» точки приложения внешней силы, роль случайных факторов.

Ставится задача по разработке наглядной модели, с помощью которой можно было бы выявить свойства, присущие научным революциям при рож дении новой парадигмы. Рассматривается значение в этом процессе междис циплинарности и парадигмальных прививок.

2.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ ПРИ РАССМОТРЕНИИ БИФУРКАЦИЙ ЧЕЛОВЕКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ В данном параграфе затрагиваются вопросы «катастрофичности» пове дения нелинейных систем в точках бифуркации, характеризуемых нарушени ем структуры системы и появлением возможности ветвления функции поло жения. В качестве подхода используются аналогии с поведением механиче ских устройств типа «машины катастроф» Зимана61. При этом следует учесть не только виды поверхностей бифуркации, как это сделано в классической теории катастроф62, но и характер процессов бифуркации.

Проблема самоорганизации является одной из центральных в синерге тике. Процессу самоорганизации сопутствует период хаоса, когда нарушает ся структура системы, а внутренние и внешние факторы перестают вызывать привычные последствия. Хаос связан с бифуркацией, при которой появляется возможность выбора дальнейшего пути развития системы. Этой проблеме уделено существенное внимание в классических трудах по проблемам само организации63, синергетики64 и теории катастроф65. При рассмотрении данно го вопроса принято пользоваться более или менее обоснованными аналогия ми, причем бифуркации в зависимости от характера процесса могут быть разделены на несколько видов. В частности, один из них связан с неката строфическим изменением направления развития системы – это вполне управляемый процесс. Другой вид бифуркации – катастрофический, лавино образный, характеризуемый бурными нелинейными колебательными явлени ями.

Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 607 с.

Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990, 128 с.

Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986, с.

Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в саморегулирующихся системах и устройствах. М.:

Мир, 1985, 432 с.

Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 607 с., Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990, 128 с.

В данном параграфе рассматриваются не достаточно, на наш взгляд, освещенные вопросы, связанные с факторами, определяющими характер процесса бифуркации. В частности, нас интересуют условия наличия либо отсутствия катастрофичности, а также вопросы, связанные со способностью системы выбрать тот или иной путь развития.

Эти вопросы исследуются на основании механических аналогий – до статочно простых технических устройств, наиболее значимым из которых является «машина катастроф» Зимана. Данный подход, по нашему мнению, имеет ряд преимуществ, по сравнению с использованием тех или иных нели нейных уравнений, поскольку он способен наглядно показать не встречавши еся, быть может, ранее свойства нелинейных систем вблизи точек бифурка ции (вполне вероятно, что данные свойства в дальнейшем будут обнаружены и в других – биологических или человекоразмерных – системах). На наш взгляд, весьма важно, что рассмотрение простых механических устройств даст возможность поставить «мысленные эксперименты» для бифуркаций нелинейных систем, а это, как известно, один из мощных способов осмысле ния весьма сложных методологических задач.

При этом, быть может, удастся хотя бы в некоторой степени прибли зиться к решению важной проблемы, которая «…заключается в том, как управлять, не управляя, как малым резонансным воздействием подтолкнуть систему на один из собственных и благоприятных для субъекта путей разви тия, как обеспечить самоуправляемое и самоподдерживаемое развитие. Про блема также в том, как преодолеть хаос, его не преодолевая, а делая его сим патичным, творческим, превращая его в поле, рождающее искры иннова ций…»66.

Этот вопрос важен и для человекоразмерных самоорганизующихся си стем, каковыми являются научные сообщества, поскольку если подобная сложная система «…проходит через точку бифуркации, то небольшое энер Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Антропный принцип в синергетике. / Вопросы философии. 1997, №3, с. 62 79.

гетическое воздействие, укол в нужном пространственно-временном локусе оказывается достаточным, чтобы система перестроилась и возник новый тип структур.» Рассмотрим некоторые положения «теории перестройки» (см. сноску5), характеризующие процесс перехода некоторой системы из одного функцио нального состояния в другое. Согласно указанной концепции некоторая си стема, находящаяся в «плохом» функциональном состоянии, оказывает по мере движения к другому, «лучшему» состоянию все более существенное со противление.

При этом состояние системы ухудшается, а пик сопротивления наблю дается раньше, чем наихудшее состояние. Далее, после прохождения указан ного наихудшего состояния система сама стремится к новому, «хорошему»

функциональному состоянию (критерии «хорошего» либо «плохого» состоя ний представляют отдельный весьма важный вопрос и здесь не рассматрива ются – поэтому соответствующие слова взяты в кавычки).

Для указанных закономерностей поведения перестраиваемой системы можно привести интересную интерпретацию – механическое устройство, по добное «машине катастроф» Зимана. Ввиду чрезвычайной простоты этого устройства позволим себе изобразить его схему (Рис.2.1.1).Оно состоит из рычага АВ, шарнирно соединенного с основанием (точка А), и пружин ВС и СD, одна из которых (ВС) связана с рычагом АВ и основанием, а другая (ВD) имеет один свободный конец (D), к которому должна быть приложена внеш няя сила.

«Катастрофа» наступает, если попытаться перевести точку В из верх ней полуплоскости, ограничиваемой продолжениями отрезка АС, в нижнюю полуплоскость. Когда точки А, В, и С окажутся на одной линии (точка D мо жет уже находиться ниже указанной линии), то пружина ВС испытывает максимальное растяжение. Затем происходит срыв («катастрофа») и стреми тельное движение точки В в новое положение (ниже линии АС). Состоянию Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-традиция. 2000, 574 с.

срыва соответствуют разные положения точки D, определяемые величиной и направлением прилагаемых к ней усилий. При этом можно построить так называемую «кривую катастроф», параметры которой зависят от геометриче ских и упругих характеристик системы.

Аналогия с «теорией перестройки» здесь, на наш взгляд, налицо:

управляемая система соответствует контуру АВС, растяжение пружины ВС характеризует степень неудовлетворительности состояния системы, близость ее к наихудшему состоянию. Однако в указанном предельном положении (точка В лежит на прямой АС) сопротивление перемещению невелико, здесь нарушается регулярная структура, и в этом смысле имеет место хаос. Таким образом, поведение «машины катастроф» согласуется с положениями «тео рии перестройки». Попытаемся теперь выяснить условия, определяющие различный характер процесса бифуркации.

Согласно изложенному, структура нарушается тогда, когда точки А, В, С расположатся по одной прямой, очевидно, что пружина ВС при этом мак симально растянута. Специфика данного положения заключена в том, что при любом направлении выхода из него длина пружины ВС уменьшается, а катастрофа выражается тем, что после срыва внутренние свойства системы АВС обусловливают потерю управляемости и стремительный переход в но вое функциональное состояние.

В особом положении система АВС (без учета действия пружины ВD) пребывает в состоянии неустойчивого равновесия. Но данное состояние вполне можно продлить как угодно долго, расположив пружину ВD также вдоль линии АС и соответствующим образом растянув ее – тогда сила натя жения этой пружины может обеспечить устойчивость особого положения.

Если же, перемещая точку D вдоль линии АС, мы будем ослаблять натяжение указанной пружины, то направление срыва и стремительного пе ремещения точки В будет определено случайными факторами (например, минимальными вибрациями основания), мало влияющими в обычных состо яниях. При этом наличие дополнительного (пусть весьма маломощного) при вода в точке А обусловит отсутствие случайности в определении направле ния движения звена АВ.

Процесс бифуркации при различных условиях может иметь как ката строфический, так и вполне управляемый характер, что определяется натя жением пружины ВD и траекторией точки D. Если из положения, изобра женного на Рис.2.1.1, данную точку перемещать вдоль линии ВD, увеличивая расстояние между этими точками, то точка В будет приближаться к линии СА и соответственно к другой полуплоскости, определяемой этой линией, за тем неизбежно произойдет срыв, и вследствие наличия упругости будут наблюдаться колебания около устойчивого состояния. Отметим, что перед срывом точки В и D будут располагаться в разных полуплоскостях. Неката строфический переход возможен, если пружина ВD сильно растянута, и упругость пружины СВ мало влияет на характер процесса.

Основываясь на изложенном, хотелось бы сделать несколько замеча ний. Во-первых, следует отметить, что характер процесса бифуркации суще ственно зависит от свойств системы, как-то от наличия в ней некоторых внутренних сил, характер действия которых определяется структурой и воз можностью изменения этой структуры в особых точках.

Во-вторых, можно указать на важность характера внешних сил, их точ ки приложения, величины и траектории действия – напомним, что катастро фический характер бифуркации связан с возможностью расположить точки В и D по разные стороны от линии АС, разделяющей две полуплоскости. Если же в момент прохождения особой точки внешняя сила способна уравнове сить внутреннюю, обусловливающую катастрофичность, то процесс бифур кации управляем.

Наконец, хотелось бы отметить роль соотношения между характери стиками передаточных элементов (пружин), осуществляющих взаимодей ствие между элементами системы и внешними возмущениями. (Если вместо пружины ВD будет просто жесткий стержень, то «катастрофа» в принципе невозможна).

Безусловно, рассматриваемая механическая система весьма проста, од нако, по нашему мнению, она в какой-то степени отражает поведение гораздо более сложных систем, и это обусловлено несколькими обстоятельствами.

Прежде всего отметим, что даже вполне сложная система с разветвленной структурой в точке бифуркации имеет, как правило, одну главную особен ность, главное противоречие. Собственно, термин «синергия», характеризу ющий совместное действие многих элементов системы, связан с тем, что эти элементы становятся подчинены одному или нескольким параметрам поряд ка. В этом, по мнению создателя синергетики Г. Хакена, заключен один из важнейших принципов работы головного мозга.

Далее укажем на то обстоятельство, что рассмотренная модель вполне характеризует важность соотношения внешних и внутренних сил, действую щих на систему, с учетом их величины, точки приложения и направления действия. Кроме того, здесь показана возможность существования такой си туации, что в точке бифуркации выбор подвержен лишь случайным факто рам, а для целенаправленного осуществления выбора может быть необходим дополнительный (в данном случае расположенный в точке А) двигатель.

Здесь уместно остановиться на термине «диссипативные системы», применяемом И. Пригожиным. Если внутренние силы, по сравнению со внешними, весьма велики, то система может считаться консервативной. В этом случае она подвержена действию законов сохранения (энергии, массы).

Если же внешние силы значительно превышают внутренние, и кроме того передаточные элементы (пружины) обладают существенной жесткостью, то катастрофический процесс бифуркации уступает место вполне управляемому процессу. По нашему мнению, диссипативными следует считать системы, где нет существенного преобладания внешних или внутренних сил друг относи тельно друга. В указанном смысле рассматриваемая механическая модель может отвечать термину «диссипативная».

Однако отметим, что описанное механическое устройство действи тельно не отражает многих свойств сложных систем. Одно из этих свойств связано с тем, что внешние силы подчас в принципе не могут обусловить движение системы из точки бифуркации в некотором предписанном направ лении. Следует также указать на случаи, когда особые точки могут образо вывать целые связанные области. Речь в частности может идти об устрой ствах с более высоким, чем единица, числом степеней свободы.

Рассмотрим иную «машину катастроф», которая, кроме прочего, иллю стрирует ту мысль, что в принципе любой механизм, имеющий точки бифур кации и характеризуемый совокупностью внешних и внутренних упругих сил, может считаться таковой машиной.

В качестве примера приведем устройство с двумя степенями свободы, которое, в отличие от представленного выше, отражает возможность такой ситуации, когда внешние силы не обеспечивают предписанного направления выхода из особого положения. Это устройство (Рис.2.1.2) представляет собой так называемый шарнирный пятизвенник, включающий замкнутый контур АЕСМВ, внутри этого контура между соответствующими точками установ лена пружина ЕМ, а внешние силы действуют через пружины РЕ и КМ.

В зависимости от направления и величины сил, прилагаемых в точках Р и К, мы можем обеспечить различные траектории движения точки С, кото рая, двигаясь на плоскости, внутри определенной области (называемой рабо чей зоной) может занять любое положение. Критическая ситуация имеет ме сто в том случае, когда звенья СЕ и СМ вытягиваются в одну линию – при этом пружина СМ максимально растянута (этого можно добиться, когда к точкам К и Р прилагаются достаточные по величине силы соответствующего направления).

Очевидно, что в данном случае внешние силы не способны обеспечить вывод системы из особого положения в предписанном направлении. Звенья СМ и СН, находясь в особом положении, могут повернуться друг относи тельно друга в разные стороны под действием случайных факторов либо под влиянием дополнительного привода, расположенного в точке С (если тако вой имеется).

Действие пружины ЕМ может обусловить катастрофический характер процесса бифуркации, но в то же время интересен тот факт, что система име ет возможность совершать движения, находясь в особом состоянии – звенья СЕ и СМ при этом вытянуты в одну линию, а механизм перемещается, как бы имея лишь одну степень свободы (точка С способна двигаться лишь по одной траектории).

Отметим, что, несколько меняя структуру, мы можем повысить спо собность внешних сил вывести систему из особого состояния в предписан ном направлении. Когда пружины закреплены так, как показано на Рис.2.1.2, они не могут обеспечить выведение в предписанном направлении, однако, если несколько иначе расположить точки крепления внешних пружин РЕ и КМ соответственно к звеньям СЕ и СМ, то ситуация может измениться. В частности, если прикрепить эти пружины к точкам, находящимся посередине звеньев, то мы, в принципе, можем с помощью внешних сил осуществить направленный вывод из особого состояния, хотя при этом все же будет наблюдаться катастрофический процесс.

Рассматривая вновь ту же весьма простую модель, представленную на Рис.2.1.2, кратко остановимся на вопросе необратимости движения. Точка бифуркации определяет направление развития, по которому пойдет система после осуществления соответствующего выбора. Как мы видели, указанное направление не всегда определяется действием внешних сил, поскольку структура и внутренние свойства системы могут не позволить внешним си лам осуществить процесс выбора.

Возвращая систему в исходное состояние, внешние силы способны лишь вновь подвести ее к точке бифуркации, а там снова в дело вступают случайные факторы, которые, вполне вероятно, направят развитие не в том направлении, которое бы обусловливало обратимость. Кроме того, по наше му мнению, достаточно сложная система будет иметь весьма частные бифур кации, где отдельные «подсистемы» впадают в особые положения, в связи с этим возврат в исходное состояние становится весьма маловероятным. Таким образом, модель, при которой, согласно Лапласу, для возвращения системы в некоторое начальное состояние достаточно приложить к ней обратные по времени и по направлению силы, в данном случае вряд ли адекватна.

Можно указать, что случайные факторы, столь важные в точке бифур кации, будучи уточненными и введенными в рассмотрение, дадут возмож ность осуществить в указанной точке выбор движения в предписанном направлении (и в частности в том, что обеспечивает обратимость развития).

Например, можно так учесть малые колебания основания механизма, изоб раженного на Рис.2.1.2, что процесс выбора станет детерминированным. Но это уже будет иная система, для которой наступит своя бифуркация, при ко торой будут свои факторы еще более высокого порядка малости – и так до бесконечности.

Таким образом, мы попытались поставить некоторые мысленные экс перименты с представленными моделями и выявили ряд свойств, характери зующих расположение точек бифуркации, процессы бифуркации и возмож ность управлять этими процессами.

Экспериментируя далее с приведенными выше механическими объек тами, рассмотрим аналогии между ними и гораздо более сложными челове коразмерными системами. При этом укажем на то, что мы осознаем опас ность чересчур безмерной детализации этого подхода. Вместе с тем, на наш взгляд, установление этих аналогий может быть весьма полезным, так как оно способно помочь найти новые свойства сложных систем, а также отыс кать пути решения проблем, связанных с их бифуркациями.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.