авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.946 +539.3+536.252

№ госрегистрации 01201064627

Инв.№

УТВЕРЖДАЮ

Ректор

С.В.

Землюков «_»_ г.

ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры Инновационной России» на 2009-2013 годы по теме:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД (заключительный, этап № 5) Наименование этапа: «Сравнительный анализ, обобщение и оценка результатов исследования»

Шифр заявки 2010-1.1-112-129- Государственный контракт от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11. Руководитель НИР, член-корр. РАН, _ д-р физ.-мат. наук, проф. В.В.

Пухначев подпись, дата Барнаул СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ Руководитель темы, д-р физ.-мат. наук, В.В. Пухначев профессор, член-корр. РАН _ (разделы 1.1, 1.5, 2, подпись, дата 3, 4) Исполнители темы Д-р физ.-мат. наук, профессор А. М. Сагалаков (разделы 1.2, 2, 3) _ подпись, дата Д-р физ.-мат. наук, доцент _ О. Н. Гончарова подпись, дата (разделы 1.2, 2, 3) Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ А. А. Папин подпись, дата (разделы 2, 3) Д-р. физ.-мат. наук, доцент _ А. Г. Петрова подпись, дата (разделы 1.3, 2, 3) Канд. физ.-мат. наук _ И. Г. Ахмерова подпись, дата (разделы 2, 3) Канд. физ.-мат. наук, доцент _ С. С. Кузиков подпись, дата (разделы 1.2, 2, 3) Канд. физ.-мат. наук, доцент _ О.П. Гладунова подпись, дата (разделы 2, 3) Канд. физ.-мат. наук _ Г.В. Кравченко подпись, дата (разделы 1.4) Канд. физ.-мат. наук _ А.В. Устюжанова подпись, дата (разделы 1.1,2,3) Аспирант _ Б.В. Петров подпись, дата (разделы 3) Аспирант _ Е.В. Резанова подпись, дата (разделы 1.2, 2, 3) Аспирант _ М. А. Токарева подпись, дата (разделы 2, 3) Аспирант _ В.А. Гоман подпись, дата (разделы 2, 3) Магистрант _ О. А. Кондратенко подпись, дата (разделы 2, 3) Магистрант _ К. А. Шишмарев подпись, дата (разделы 2, 3) Магистрант _ Ю.Е. Южкова подпись, дата (разделы 3) Студент _ А.Н. Пергаева подпись, дата (разделы 3) Студент _ А.Н. Сибин подпись, дата (разделы 3) Студент _ Д.П. Хворых подпись, дата (разделы 3) Студент _ В.В. Янцен подпись, дата (разделы 3) Нормоконтролер Т. Н. Алешина _ подпись, дата Соисполнители:

Д-р физ.-мат. наук, профессор, Б. Д. Аннин академик РАН _ (разделы 1.2, 2, 3) подпись, дата Д-р физ.-мат. наук, доцент _ В. В. Кузнецов подпись, дата (разделы 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2, 3) Д-р физ.-мат. наук, профессор _ В. В. Шелухин подпись, дата (разделы 1.2, 1.3, 2, 3) Канд. физ.-мат. наук, с.н.с.

_ Е. В. Карпов (разделы 3) подпись, дата Канд. физ.-мат. наук _ Е. Ю. Мещерякова подпись, дата (разделы 1.5, 3) Канд. физ.-мат. наук _ Д.И. Попов подпись, дата (разделы 3) Канд. физ.-мат. наук, доцент А. В. Проскурин _ (разделы 1.2, 1.5, 2, подпись, дата 3) Канд. физ.-мат. Наук _ О. А. Фроловская подпись, дата (разделы 2, 3) Канд. физ.- мат. Наук _ М. В. Барташевич подпись, дата (разделы 1.2, 1.4, 1.5, 2, 3) Аспирант _ Р.А. Паненко подпись, дата (разделы 3) Аспирант _ А. Е. Исаков подпись, дата (раздел 3) Аспирант _ А. Ю. Ларичкин подпись, дата (разделы 3) Аспирант _ М. А. Черных подпись, дата (разделы 3) Аспирант _ О. А. Бурмистрова подпись, дата (разделы 2, 3) Магистрант _ В.А. Потемкин подпись, дата (разделы 1.5, 3) УДК 517.946 +539.3+536. Ключевые слова: механика неоднородных сред, корректность начально-краевых задач, уравнения Навье-Стокса, свободные и внутренние границы раздела, сингулярные решения, динамика жидких пленок, вязкоупругие и вязкопластичные среды, гомогенизация, однослойная углеродная нанотрубка, методы молекулярной динамики.

РЕФЕРАТ Отчет 141 страница, 30 рисунков, 4 таблицы, 138 источников, 2 приложения.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: механика неоднородных сред, корректность начально краевых задач, уравнения Навье-Стокса, свободные и внутренние границы раздела, сингулярные решения, динамика жидких пленок, вязкоупругие и вязкопластичные среды, гомогенизация, однослойная углеродная нанотрубка, методы молекулярной динамики.

Целями выполнения работы по проекту является получение результатов мирового уровня в математическом моделировании неоднородных сред, подготовка и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

Целями пятого этапа являются:

Анализ возникновения и распространения сильных разрывов в вязкоупругих и упругопластических средах на основе полученных решений.

Анализ результатов расчетов:

численного решения задач контакта наноструктур конвекции, сопряженной с процессами тепло- и массопереноса в контактирующих фазах;

построения зависимостей потенциала самополяризации от глубины зоны проникновения при различных предположениях о глинистой корке и электрофизических свойствах грунта обратных задач и задач управления для системы уравнений описывающей течение стратифицированной жидкости;

микроконвективных движений жидкостей в условиях микрогравитации и переходных процессов в МГД-течениях.

Разработка программы внедрения результатов НИР в образовательный процесс.

Патентные исследования в соответствии с ГОСТ Р 15.011- Результат работы – отчет о выполненной работе, включающий в себя:

анализ возникновения и распространения сильных разрывов в вязкоупругих и упругопластических средах на основе полученных решений;

анализ результатов расчетов:

численного решения задач контакта наноструктур конвекции, сопряженной с процессами тепло- и массопереноса в контактирующих фазах;

построения зависимостей потенциала самополяризации от глубины зоны проникновения при различных предположениях о глинистой корке и электрофизических свойствах грунта обратных задач и задач управления для системы уравнений описывающей течение стратифицированной жидкости;

микроконвективных движений жидкостей в условиях микрогравитации и переходных процессов в МГД-течениях;

разработку программы внедрения результатов НИР в образовательный процесс;

патентные исследования в соответствии с ГОСТ Р 15.011-96.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................................... 1. Содержание выполненных работ................................................................................... 1.1. Анализ возникновения и распространения сильных разрывов в вязкоупругих и упругопластических средах на основе полученных решений.................................. 1.2. Анализ результатов расчетов............................................................................... 1.2.1. Численное решение задач контакта наноструктур.................................. 1.2.2. Задача конвекции, сопряженной с процессами тепло- и массопереноса в контактирующих фазах........................................................................................ 1.2.3. Построение зависимостей потенциала самополяризации от глубины зоны проникновения при различных предположениях о глинистой корке и электрофизических свойствах грунта................................................................. 1.2.4. Обратные задачи и задачи управления для системы уравнений, описывающей течение стратифицированной жидкости................................... 1.2.5. Микроконвективные движения жидкостей в условиях микрогравитации и переходных процессов в МГД-течениях......................................................... 1.2.6. Совместное неизотермическе движения потока газа и жидкой пленки в микроканале.......................................................................................................... 1.3. Разработка программы внедрения результатов НИР в образовательный процесс........................................................................................................................................ 1.4. Патентные исследования в соответствии с ГОСТ Р 15.011-96......................... 1.5. Дополнительные результаты................................................................................ 1.5.1. Групповой анализ уравнений несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла.............................................................................................................. 1.5.2. Обратная задача о движении жидкости во вращающейся трубе с продольным градиентом температуры................................................................ 1.5.3. Численное моделирование естественной конвекции в лежащей капле жидкости................................................................................................................ 1.5.4. Тепломассоперенос в жидкой пленке на вертикальной стенке............. 2. Результаты работы........................................................................................................... 2.1. Результаты пятого этапа.............................................................................................. 2.2. результаты проекта....................................................................................................... 3. Выполнение показателей программного мероприятия программы в рамках данной работы................................................................................................................................... 4. Области и направления использования и внедрения полученных результатов........ Заключение........................................................................................................................... Список использованных источников................................................................................. Приложение А...................................................................................................................... Приложение Б...................................................................................................................... ВВЕДЕНИЕ Общеизвестно, что почти все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как полученные в результате некоторого технологического процесса, так и природные (почвы, камни и биологические ткани) неоднородны, многокомпонентны и являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физико-химическими свойствами. Буровые растворы, в частности, представляют собой смеси различных жидких и твердых компонентов, что проявляется в вязкопластическом характере течений таких жидкостей. Также большинство природных и технологических процессов, таких как движение суспензий и пузырьков в жидкостях, растворения и осаждения, горения топлива, образование кокса, сажи и дыма, поведение зерновой и угольной пыли, движение нефти, эмульсий и аэрозолей описываются моделями динамики неоднородных сред. Разнообразная природа процессов и явлений делает невозможным единый подход к многофазному моделированию. В настоящее время разработано и используется большое количество моделей многофазных смесей. Проблеме моделирования динамики гетерогенных сред посвящены монографии Р.И. Нигматулина, K.L. Rajogopal и L.Tao, R. S. Subramanian и R. Balasubramanian и многих других. Р.И. Нигматулин в своей монографии пишет, что изучение движения гетерогенных смесей с учетом исходной структуры и физических свойств фаз связано с привлечением новых параметров и решением уравнений более сложных, чем те, с которыми приходится иметь дело механике однородных сред.

Детальное описание очень сложно, поэтому необходимы рациональные схематизации, приводящие к обозримым и решаемым уравнениям. Тем не менее, существующие модели многофазных сред являются весьма сложными не только с теоретической точки зрения, но и в отношении использования для решения конкретных задач.

Имеется огромное число прикладных задач для этих моделей (см. “International Journal of Multiphase Flow”, “Transport in Porous Media”).

Исследования и разработки математических моделей конвекции в условиях микрогравитации являются пионерскими и опережают аналогичные исследования за рубежом. Значимость проведения данных исследований определяется потребностями космического материаловедения и нанотехнологий. Кроме того, понимание основных закономерностей поведения жидкостей, граничащих друг с другом и другими средами, важно для развития наземных технологий.

Актуальным и новым является математическое моделирование процесса локализации деформаций в плоском случае на дискретных системах линий, позволяющее описывать промежуточное состояние среды между классической упругостью и континуальными пластическими постановками. Изучение полей скорости вблизи границ раздела и в поверхностных слоях позволяет эффективно учитывать явления переноса температуры и примеси, определить основные закономерности процесса. Для описания таких процессов необходимо использование новых математических моделей тепловой и концентрационной конвекции.

В последнее время в России и за рубежом активно изучаются конвективные течения, вызванные внешним вибрационным воздействием на жидкость или газ.

Практическая значимость этих исследований обусловлена тем, что вибрационная конвекция является одним из способов тепло- и массопереноса в отсутствии гравитации и может использоваться для управления поведением жидкости в космосе.

Об этом свидетельствуют последние экспериментальные результаты в условиях пониженной гравитации (в параболических полетах). Исследование вибраций также важно в связи с наличием пульсационной составляющей остаточной гравитации на космических платформах, которая может оказывать влияние на эксперименты по диффузионному тепломассообмену.

1. Содержание выполненных работ 1.1. Анализ возникновения и распространения сильных разрывов в вязкоупругих и упругопластических средах на основе полученных решений Гиперболические подмодели несжимаемой вязкоупругой среды максвелла Модели поведения вязкоупругой среды Максвелла до сих пор являются предметом многочисленных математических исследований (см. монографии [1, 2, 3] обзор [4], статьи [5,6,7,8] и цитированную в них литературу). Математическая природа этих моделей зависит от того, в какой мере проявляется сжимаемость среды. Этот фактор является определяющим при действии на сплошную среду взрывных нагрузок, но им можно пренебречь при изучении течений в пограничном слое. При естественных ограничениях термодинамического характера, уравнения движения сжимаемой вязкоупругой среды имеют гиперболический тип (3). Важное свойство гиперболичности теряется, если среда несжимаема. В последнем случае, при добавочном предположении о независимости ее параметров от температуры, поведение среды описывается в терминах вектора скорости, давления p и тензора напряжений P=-pI+S, где I– единичный тензор, а S – вязкоупругая составляющая тензора P.

Материальными характеристиками вязкоупругой среды являются ее плотность, динамическая вязкость и время релаксации. Эти величины далее предполагаются постоянными. Кроме того, считается, что на среду не действуют внешние объемные силы. Случай, когда внешние силы имеют потенциал, сводится к предыдущему стандартным преобразованием давления. В сделанных предположениях, уравнения движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла имеют вид dS divv =0, (vt v v) = p divS, S =2 D.

(1.1.1) dt ~ d Здесь D - тензор скоростей деформаций векторного поля, а символ dt обозначает одну из инвариантных, или объективных, производных тензора S. Выбор такой производной неоднозначен – это может быть верхняя или нижняя конвективная производная, вращательная производная Яуманна или их комбинация. Важно, что бы при таком выборе последнее соотношение (1.1.1) было инвариантно относительно вращения с произвольной угловой скоростью.

Рассмотрим последнее уравнение системы (1.1.1), выбирая в качестве инвариантной производной вращательную производную Яуманна:

S ( v S WS S W ) S = 2 D, t (1.1.2) где W – антисимметричная часть тензора. Тогда оказывается, что система урав нений (1.1.1) совместна с дополнительным соотношением (1.1.3) Tr S = 0, если это соотношение выполнено в момент t=0 [7]. В указанной работе обсуждается ~ dS также термодинамический смысл соотношения (1.1.3). Если же в качестве выбрана dt верхняя конвективная производная, S v S S vT ) S = 2 D, ( vS (1.1.4) t то система (1.1.1), (1.1.3), (1.1.4) становится переопределенной. В общем случае она не имеет решения. То же самое происходит, если в третьем соотношении (1.1.1) взять в ~ dS качестве нижнюю конвективную производную.

dt Независимо от выбора инвариантной производной в системе квазилинейных уравнений (1.1.1), эта система имеет составной тип. Данное обстоятельство является причиной того, что общая теория начально-краевых задач для указанной системы не построена даже в двумерном случае, хотя вопросы постановки краевых условий обсуждались в монографии [2], обзоре [4] и в статьях [5-12]. В работе [9] проблема разрешимости начально-краевой задачи для двухпараметрических моделей вязкоупругой среды, рассмотренных в данной статье, ассоциируется с понятием эволюционности течений. В частности, показано, что требование эволюционности одномерных течений приводит к гиперболичности систем уравнений (1.1.1),(1.1.2), (1.1.4). В [9] рассмотрены также разрывные решения этих систем и дана классификация возможных разрывов. Для полулинейной системы (1.1.1), (1.1.4) исследована эволюция сильных разрывов в одномерных течениях с прямолинейными траекториями. В статьях изучались аналоги течения Пуазейля и их устойчивость для [4,13] четырехпараметрической модели вязкоупругой среды Олдройда, учитывающей процессы релаксации и ретардации напряжений. Был выполнен анализ слабых разрывов в таких течениях. Найденные решения со слабыми разрывами были использованы для объяснения т.н. спурт-эффекта (развития неустойчивости гладких решений при закритических режимах течения в цилиндрическом канале) и связанного с ним явления гистерезиса. Предметом исследования настоящей работы являются эффективно одномерные решения системы (1.1,1), выделяемые методами группового анализа дифференциальных уравнений [4].

Обозначим через u,v проекции вектора скорости на оси декартовой системы ко ординат x, y на плоскости и введем следующие обозначения для элементов тензора S:

S xx = A, S xy = S yx = B, S yy = C.

Для случая плоскопараллельного движения число искомых функций в системе (1.1.1) снижается с десяти до шести – это функции u, v, p, A, B, C. При рассмотрении модели с вращательной производной Яуманна мы можем перейти на инвариантное многообразие, выделенное соотношением (1.1.3), и тогда C = A. Функции u, v, p, A, B, C удовлетворяют следующей системе уравнений ux v y =0, (ut uux vu y ) px Ax By =0, (vt uvx vv y ) p y Bx Ay =0, (1.1.5) [ At uAx vAy B(vx u y )] 2 ux A=0, [ Bt uBx vBy A(vx u y )] (u y vx ) B =0.

В следующих трех разделах изучаются тип системы (1.1.5), групповые свойства этой системы, строятся ее точные решения и проводится анализ устойчивости простейшего из них – течения Куэтта.

Гиперболические подмодели Пусть равенство 0 задает характеристическую поверхность системы ( x, y, t ) (1.1.5). Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид:

1/2 2 2 1/ u v = [( A) 2B ( A) ], t x y x x y y (1.1.6) u v y =0, x = i y.

t x Уместно провести аналогию между характеристиками системы (1.1.5) и системы уравнений плоскопараллельного движения идеальной несжимаемой жидкости.

Последняя содержит три уравнения первого порядка и имеет две комплексных и одну траекторную характеристику. Их уравнения совпадают с тремя последними уравнениями (1.1.6). Наличие комплексных характеристик у обеих систем связано с несжимаемостью среды. Первые две характеристики (1.1.6) вязкоупругой среды естественно было бы назвать звуковыми. Однако выполнение в момент t = неравенства A2 B2, обеспечивающего неотрицательность подкоренного 2 выражения в двух первых уравнениях (1.1.6), не гарантирует, что это неравенство будет выполнено в процессе движения. При выполнении противоположного неравенства A2 B2 возможно развитие коротковолновой неустойчивости типа 2 Адамара.

Специфика системы (1.1.5) состоит в том, что она не является эволюционной по отношению к давлению. Поэтому для нее нельзя ставить задачу Коши с начальными данными при t = 0. Вопрос о разрешимости начально-краевых задач для этой системы в общем случае остается открытым. Нашей целью является выделение классов решений системы (1.1.5), для которых удается сформулировать корректно поставленные задачи.

Для этого используются методы группового анализа дифференциальных уравнений [4].

В [14] вычислена бесконечномерная псевдогруппа, допускаемая системой (1.1.6). Ее базисные операторы имеют вид X1 = t, X 2 = y x x y v u u v 2B A 2 A B, (t ) 3 = (t ) x (t ) u x (t ) p, (1.1.7) (t ) 4 = (t ) y (t ) v y (t ) p, (t ) 5 = (t ) p.

Здесь – произвольные функции t класса C, точка обозначает знак,, производной по t. Оптимальная система однопараметрических подалгебр имеет вид X1 CX 2, X 2 (t ) 5, (t ) (t ) 4, (t ) 5, (1.1.8) где C – произвольная постоянная [14].

Знание группы, допускаемой системой (1.1.5), позволяет строить ее инвариантные и частично инвариантные решения. Примеры таких решений содержатся в [4,6,9,14-18]. Решения, соответствующие операторам (1.1.8), определяются из систем с двумя независимыми переменными. Нас интересуют случаи, когда одна из этих переменных является временем, а из редуцированной системы можно выделить гиперболическую подсистему. В этом случае можно говорить о гиперболической подмодели исходной модели несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла.

Сформулированные выше требования к инвариантным решениям системы (1.1.5) исключают из совокупности (1.1.8) операторы X 1 CX 2 и. Если C (t ) 0, оператор X 1 CX 2 генерирует стационарное течение во вращающейся системе координат. В случае C = 0 инвариантное решение вообще является стационарным. Что касается оператора, то ему не соответствуют никакие инвариантные решения.

(t ) Решения, построенные с помощью оператора описывают X2 (t ) 5, вращательно симметричные движения. Однако, если 0, то давление перестает быть однозначной функцией полярного угла. В случае 0 мы приходим к обобщению классического течения Куэтта на случай среды Максвелла (см. [4,18] и цитированную там литературу). В статье [8] исследована задача о вращательно симметричном движении максвелловской среды в зазоре между двумя цилиндрами. Внешний цилиндр неподвижен, а внутренний вращается по инерции. Наиболее широкий класс инвариантных решений строится на основе оператора (t ) 4. В частности, в (t ) него попадают слоистые течения: они соответствуют постоянным значениям и.

Такие течения изучались в работах [4,6,8]. В третьем разделе рассматривается новый класс точных решений, соответствующий значениям = 1 и = t, где = const.

Новое семейство точных решений Ниже изучается инвариантное решение системы (1.5) относительно оператора X = ), допускаемого этой системой. Это решение имеет вид (t y x v u = y f (,t ), v= g (,t ), p= p(,t ), A= a(,t ), B=b(,t ),, где yt Редуцированная система имеет два интеграла, что позволяет привести ее к =x системе трех уравнений для определения функций g, a, b:

1 t ) 1a 1 22 t ) 1b 2 2 t ) 1 g, gt =2 t (1 (1 t )(1 t ( 1 22 at =[2 t (1 t )b ] g a b, (1.1.9) 1 1 22 22 bt =( a) [ (1 t ) (1 t ) a]g b.

Система (1.1.9) не имеет дивергентного вида, но она может быть приведена к такому виду с помощью введения новых искомых функций h,, s соотношениями t ) 1 h, a = scos 1 g =(1, b= ssin,, где t ) 1. Функции h,, s удовлетворяют уравнениям t ) 1, =(1 22 =2 t (1 t )( 1 ht = (1 t )( s cos ssin ), =h ( s) ( cos sin ) t ( s) 1[(1 ( 2 s) 1 ( cos ) cos sin ] sin ), 1 1 st = s ( sin cos ) [ cos (1 )sin ] ( sin cos ).

Здесь точка обозначает дифференцирование по времени. Собственные числа характеристического уравнения для системы (3.2) имеют вид 1/2 1 22 t )a 2 tb]1/2.

=0, = [ (1 t ) (1 (1.1.11) 1 2, Условием гиперболичности системы (1.1.9) является положительность подкоренного выражения в (1.1.11). Это условие может нарушиться в процессе эволюции. Система (1.1.11) превращается в систему уравнений слоистого движения, если положить = 0.

Рассмотрим задачу Коши для системы (1.1.9), g (,0)= g0 ( ), a(,0)=a0 ( ), b(,0)=b0 ( ), R. (1.1.12) Если функции g 0, a0, b0 достаточно гладкие и условие гиперболичности выполнено в начальный момент, задача (1.1.9), (1.1.12) имеет единственное классическое решение для достаточно малых t 0. Однако со временем в решении могут образоваться разрывы. Ниже дается пример точного решения системы (1.1.9), которое сохраняет регулярность при всех t 0.

Легко проверить, что система (1.1.9) имеет класс полиномиальных решений g = g (1) g (0), a =a(0) a(1) a(0), b=b(0) b(1) b(0), (1.1.13) где являются функциями времени. Функции g (1), g (0),..., b(0) g (1), a(2),..., b(2) удовлетворяют системе нелинейных уравнений g (1) =4 1 t ) 1 a (2) 2 1 22 t ) 1 b(2) t (1 (1 t )( 2 t ) 1 g (1), 2 t ( a (2) = (1 t )b(2) g (1) 1 (2) b(2), a (1.1.14) (2) (2) 22 (2) (1) 1 (2) b= a (1 t )a g b.

Если функции g (1), a(2),..., b(2) известны, оставшиеся функции g (0), a(1),..., b(0) могут быть найдены как решения линейных систем, которые здесь не выписываются.

Решение системы (1.1.14) допускает априорную оценку [a(2) (t )]2 [b(2) (t )]2 {[a(2) (0)]2 [b(2) (0)]2 }exp( 2t / ), которая обеспечивает разрешимость задачи Коши для нее при всех t 0.

Физическая интерпретация решения (1.1.15) затруднительна, поскольку элементы тензора напряжений имеют квадратичный рост по координатам x и y. Однако мы можем рассмотреть задачу Коши (1.1.9), (1.1.12) с начальными данными g (, 0)= g (1) (0) g (0) (0), a(, 0)= a(0) (0) a(1) (0) a(0) (0), b(, 0)=b(0) (0) b(1) (0) b(0) (0),0 l, и продолжить эти данные вне отрезка [0, l] подходящими постоянными. В результате мы получим решение, которое ограничено, но имеет слабые разрывы вдоль соответствующих характеристик. Изучение структуры такого решения при малых t сводится к анализу нестандартной задачи Гурса для системы трех гиперболических уравнений, который здесь не проводится.

В заключение данного раздела мы рассмотрим простейшее решение системы (3.1), которое не зависит от. Это решение дается формулами c0 t t g=, a= c1 exp( )cos t c2 exp( )sin t, 2 2 1 t ( 1) (1.1.15) t t b= c2 exp( )cos t c1 exp( )sin t.

( 1) Здесь = ;

c, co, c1, c2 – произвольные постоянные. Соответствующее поле скоростей имеет вид c0 t c u= y, v= 1 2t 1 t в то время как элементы тензора S, Sxx = Syy = a, Sxy = Syx = b не зависят от x и y.

Несмотря на свою простоту, решение (3.7) демонстрирует интересный эффект.

В начальный момент величины S11 и S12 постоянны. Однако, если эти постоянные отличны от 2µ/ (µ2 + 1) и µ/ (µ2 + 1), соответственно, в среде возникают колебания с частотой и декрементом 1. Источником осцилляций является сдвиговый поток с постоянной завихренностью.

Неустойчивость течения Куэтта Рассмотрим класс решений системы (1.1.1)-(1.1.3), в котором u = 0, а остальные искомые функции не зависят от переменной y. Такие решения описывают слоистые течения. Соответствующая им гиперболическая подмодель содержит три уравнения, q 1 sin, vt = =vx (qsin ) x, qt = ( cos q).(4.2) (1.1.16) t Условие гиперболичности системы (1.1.16) задается неравенством A + µ 0.

Как показано в [8], эта система может быть преобразована к системе уравнений газовой динамики со специальным уравнением состояния и дополнительными членами. Это достигается путем введения новых искомых функций 1/2 B2, arc tan B A, q A где = µ/. Функции v, q и удовлетворяют следующей квазилинейной системе:

(1.1.17) q 1 sin, vt = =vx (qsin ) x, qt = ( cos q).

t Здесь = 1 – обратное время релаксации.

Обозначим через V характерную скорость, через L – характерную длину, и введем безразмерные параметры V VL (число Вейсенберга) Re= (число Рейнольдса).

We= L Точным стационарным решением (1.1.17) является (1.1.18) = =const, v = x, q = q0 = cos, 0 где обозначено. Это решение естественно назвать решением Куэтта для среды tg Максвелла, поскольку оно удовлетворяет условиям прилипания v (0, t) = 0, v (L, t) = V (1.1.19) на неподвижной пластине x = 0 и на пластине x = L, движущейся со скоростью L.

Ему соответствует число Вейсенберга W e =.

Известно, что в случае вязкой несжимаемой жидкости течение Куэтта между пластинами устойчиво по линейному приближению при любых числах Рейнольдса [19].

В работе [20] показано, что аналогичное течение вязкоупругой жидкости неустойчиво по отношению к коротковолновым двумерным возмущениям при малых числах Рейнольдса. В указанной работе реологическое соотношение выбиралось в виде (1.1.4), т.е. с верхней конвективной производной. Исследование устойчивости течения Куэтта в модели (1.1.1), (1.1.4) было продолжено в статьях [21,22] (см. также имеющиеся там ссылки). Оказывается, что при выборе уравнения состояния в форме (1.1.2), т.е. с вращательной производной Яуманна, неустойчивость имеет место уже в рамках одномерных слоистых течений.

Для возмущений потока линеаризация на решении (1.1.18) системы (1.1.19) приводит к уравнениям q0 1q, vt q vx = cos 0 qx sin = 0, t x q t = (q sin 0 ). (1.1.20) Вопрос об устойчивости решений системы (4.5) с граничными условиями v(0, t) = v(L, t) = 0 (1.1.21) может быть исследован в классе решений специального вида v (t, x)=e t v( x), q(t, x)=e t q( x), (t, x)=e t ( x).

Для функции получается спектральная задача =0, 0 x L;

(0) = ( L) = 0, (1.1.22) где ) [( tg ] 2 =.

2 ( ) cos (1.1.23) sin 0 Вследствие (1.1.22) = nL 1, n = 1, 2,... и для каждого значения n = n спектральный параметр = n является решением кубического уравнения, получаемого из (1.1.23), P () 3 +2 2+ (2+ tg + 2 cos ) + n2 (cos2 sin2 ) = 0. (1.1.24) 0 0 0 Так как при cos2 sin2 многочлен P () 0 для 0 и P (0) 0 при 0 выполнении противоположного неравенства, то при условии W e = V L 1 = tg 1 (1.1.25) уравнение (1.1.24) имеет действительный положительный корень, т.е.

соответствующее решение (1.1.18) является неустойчивым.

Следует отметить, что исходная система (1.1.17) существенно нелинейна и, более того, неоднородна. Поэтому решения этой системы могут не только экспоненциально нарастать со временем, но и разрушаться за конечное время. Но с другой стороны, система (1.1.17) представляет собой модель диссипативной среды, в которой рост локальных возмущений должен подавляться как вязкой диссипацией, так и эффективными релаксационными процессами. Поэтому представляет интерес нелинейный механизм перестройки неустойчивого стационарного решения проблемы (1.1.17), (1.1.19). Ниже мы проиллюстрируем этот механизм на примере эволюции численного решения соответствующей начально-краевой задачи. Но предварительно необходимо обсудить возможность реализации граничных условий (1.1.19) для уравнений (1.1.17) на при- мере автомодельного решения задачи о внезапном движении одной из стенок канала в первоначально покоящейся вязкоупругой жидкости.

Пусть при x 0 начальное состояние среды однородно, т.е.

(1.1.26) v=0, =, q=q0, а при x = 0 задана скорость движения стенки, v (0, t) = V = const 0 (1.1.27) Решение задачи (1.1.17), (1.1.26), (1.1.27) в области (x 0, t 0) при = сводится к решению задачи о распаде произвольного разрыва или, используя аналогию (1.1.17) с уравнениями газовой динамики [8], может рассматриваться как вариант за дачи о поршне, вдвигающемся с постоянной скоростью в покоящийся газ. Отметим, что разрывные течения в вязкоупругой среде наблюдались экспериментально [23].

В силу невыпуклости "уравнения состояния" p( )= q0 sin, решение задачи (1.1.17) (1.1.27), (1.1.28) зависит от переменной = x/t и состоит в общем случае из ударной волны, распространяющейся вправо, и следующей за ней центрированной волны. Это решение изучено в [8] и здесь не будем подробно на нем останавливаться.

Заметим только, что при возрастании скорости V левая граница центрированной волны смещается к стенке x = 0 и при / 2совпадает с левой стенкой канала. При этом построенное решение выходит на границу области гиперболичности / 2 системы (1.1.17). Вопрос о применимости системы (1.1.17) к течениям, /2 покидающим область гиперболичности, здесь обсуждаться не будет. Заметим только, что при этом обычно нарушаются некоторые условия равновесия, заложенные при выводе модели (см. главу 5 монографии [24]). Но в рамках модели (1.1.17) дальнейшее увеличение скорости V уже не может влиять на построенное решение, так как скорость характеристик в простой волне стремиться к нулю при / 2. Поэтому в окрестности левой стенки условие (1.1.27) перестает выполняться и стенка отрывается от жидкости. В численной реализации такого течения в окрестности x = 0 развивается пограничный слой с большими градиентами, и характер течения в области x 0 резко меняется.

Если 0, то решение задачи (1.1.17), (1.1.26), (1.1.27) теряет автомодельность, но проблема выполнения граничного условия (4.12) остается. При численной реализации этой задачи структура пограничного слоя при отрыве жидкости от стенок будет зависеть от способа задания граничных условий, и возникает вопрос, насколько адекватны условия проскальзывания и глобальное изменение решения вследствие этого феномена исходной модели. Возможность проскальзывания стенки учитывается в некоторых математических моделях течения вязкоупругой жидкости. Так в работе [25] введено нелинейное соотношение, связывающее скорость стенки со скоростью прилегающей жидкости. При этом показано, что в случае немонотонной зависимости стационарное плоское течение Куэтта для широкого класса вязкоупругих сред (жидкости Олдройда типа Б) определяется неоднозначно, и нелинейное граничное условие, определяющее проскальзывание жидкости, приводит к периодическим колебаниям жидкости в окрестности стенки. Но, как будет показано ниже, контактные поверхности, на которых возникает разрыв скорости в слоях вязкоупругой жидкости, могут возникать и вдали от стенок. При этом на формирование таких разрывов влияют условия неустойчивости (1.1.25) стационарного решения (1.1.18).

Численные расчеты по модели (1.1.17) были проведены с использованием схемы С. К. Годунова. В работе [8] показано, что используемый метод точно передает структуру автомодельных решений в задаче о распаде произвольного разрыва при = 0. В расчетах при выходе численного решения на границы области гиперболичности и за ее пределы скорость характеристик полагалась близкой нулю, но вещественной.

Известно, что такой метод позволяет эффективно находить волновую структуру в течениях жидкости с аномальными термодинамическими свойствами – как с невыпуклыми, так и с немонотонными уравнениями состояния [24].

Рассмотрим численное решение начально-краевой задачи для (1.1.17) в полосе 0 x L = 1. Для плоского течения Куэтта, изображенного на рис. 1 и рис. 2, заданы следующие параметры модели: = 1, = 2. Начальные данные кусочно-постоянны и согласованы с граничными условиями (1.1.19):

0, x 1/ v( x,0)=, ( x, 0) 0, q( x, 0) q0.

V, x 1/ В соответствии с рисунком.1.1.1 показана эволюция профиля скорости v = v(x, t) (сплошная линия) и величина q(x, t)/q0 (пунктирная линия) для постоянной скорости V правой границы течения, соответствующей различным числам Вейсенберга We = V /L = V1 : We = 0.9 (левый столбец) и We = 1.1 (правый столбец). Начальные этапы развития течения для докритического значения We = 0.9 и слегка надкритического значения We = 1.1 вплоть до (безразмерного) значения времени t = совпадают. Сначала формируется близкое к автомодельному решение задачи о распаде произвольного разрыва ( t = 0.1), затем (t = 5 ) профиль скорости становится линейным, и численное решение представляет стационарное решение (1.1.18). На более поздних этапах (t = 15) решение (1.1.18) не меняется для We = 0.9 и снова перестраивается Рисунок. 1.1.1- Плоское течение Куэтта: We = 0.9 (левый столбец), We = 1. (правый столбец) На Рис. 1.1.2 приведены результаты численного расчета начально-краевой задачи с переменной скоростью V = V (t).

Закон движения стенки выбран следующим образом v1, 0 t t (t t1 ) v1 (v2 v1 ), t1 t t (t2 t1 ) V (t )= v2, t t Здесь Параметры модели и v1 =1.1, v2 =0.25, t1 = 15, t2 =30. = 1, k = начальные данные те же, что и для предыдущего расчета при We = 1.1.В соответствии с рисунком 1.1.2 приведены профили скорости (сплошная линия) и величины q/q (пунктирная линия) для различных моментов времени, иллюстрирующие явление гистерезиса при переходе от надкритического течения ( We = 1.1 ) к докритическому течению ( We 1 ). Начальное развитие течения (t = 0, t = 5, t = 15) совпадает с представленном на рис. 1 (правый столбец). Далее скорость правой стенки уменьшается до V = 0.9 (t = 20), но перехода к устойчивому линейному решению системы (1.1.17) не происходит. Более того, при существенно меньших значениях скорости V = 0.5 (t= 25) разрыв остается устойчивым. Только при достижении порогового значения V = 0.25 в момент t = 30 начинается интенсивная перестройка профиля и осуществляется переход к непрерывному решению системы (1.1.17). Таким образом, реализованный в течении контактный разрыв на линии x=0.5 является весьма устойчивым и приводит к устранению сдвига скорости в прилегающих слоях вязкоупругой жидкости.

Рисунок 1.1.2 - Плоское течение Куэтта с переменной скоростью правой пластины (гистерезис в переходе к стационарному непрерывному течению) начально краевой задачи для (1.1.17) с переменной скоростью V = V (t).

Модель с верхней конвективной производной.

Здесь рассматриваются слоистые течения в среде Максвелла с реологическим соотношением (1.1.4). Им соответствуют решения системы (1.1.1), (1.1.4), в которых u=0, а остальные искомые функции v, A, B, C, p не зависят от переменной y. Первые четыре функции удовлетворяют системе уравнений At A=0, vt = Bx, ( Bt Avx ) B= vx, (Ct 2Bvx ) C = 0, (1.1.29) после решения которой функция p восстанавливается квадратурой.

Система (1.1.29) является нелинейной лишь формально. Действительно, из ее первого уравнения определяется функция A, A = A0 ( x)exp( t ).

(1.1.30) При известном A, функции v, B образуют замкнутую подсистему, состоящую из второго и третьего уравнений (1.1.29). Условие гиперболичности этой системы дается неравенством (1.1.31) A 0.

Вследствие (1.1.30). для выполнения неравенства (1.1.31) для всех t достаточно, чтобы оно было выполнено в момент t=0. После нахождения v, B функция C определяется с помощью квадратуры из последнего уравнения системы (1.1.29).

Система уравнений, которым удовлетворяют функции v, B, сводится к уравнению (1.1.32) vtt vt = [( A )vx ]x.

Это уравнение подобно уравнению колебаний неоднородной струны с демпфированием. Для уравнения (1.1.32) естественными являются краевые условия (1.1.19), соответствующие условиям прилипания на двух параллельных пластинах, одна из которых неподвижна, а другая движется с заданной скоростью V. Однако, в отличие от задачи, рассмотренной в предыдущем разделе, точное решение уравнения (1.1.32) v = Vx / L описывающее течение Куэтта, имеет место лишь в случае A0 = 0. Это решение ожидаемо является устойчивым в классе одномерных течений. В общем случае эволюция решений уравнения (1.1.32) с краевыми условиями (1.1.19) и начальными данными Коши исследуется стандартными методами. Исходным пунктом здесь является энергетическое тождество L L 1d 1 [vt2 ( vt (A )vx ]dx At vx vt )dx = 0.

2 dt 0 Из него следует стабилизация решения к течению Куэтта при t.

Линеаризация системы уравнений слоистых течений имеет место и в модели с нижней конвективной производной, а также уравнений плоского движения несжимаемой среды Максвелла с круговыми траекториями в обеих моделях– как с верхней, так и с нижней конвективными производными.

Методами группового анализа дифференциальных уравнений выделены классы решений уравнений несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла, которые описывают распространение поперечных волн в такой среде - как линейных, так и нелинейных.

Анализ слоистых течений показал, что при выборе инвариантной производной в реологическом соотношении в виде вращательной производной Яуманна уравнения этих течений являются нелинейными. Они допускают запись в виде законов сохранения, что позволяет строить их разрывные решения.

Если в качестве инвариантной производной в законе поведения выбрана верхняя или нижняя конвективная производная, то уравнения слоистых течений образуют рекуррентную систему линейных уравнений.

В достаточно узком классе плоскопараллельных течений показана неустойчивость стационарного течения с линейным профилем скорости (аналог классического течения Куэтта в динамике вязкой несжимаемой жидкости).

Численно продемонстрирована возможность возникновения внутренних разры вов в вязкоупругой жидкости Максвелла, приводящая к существенной перестройке профиля скорости в течениях между движущимися стенками.

Обнаружено явление гистерезиса при смене режимов течения, показывающее, что внутренние разрывы жидкости устойчивы по отношению к возмущениям конечной амплитуды.

Численное исследование напряженного состояния в окрестности системы горных выработок Взаимное влияние совместного деформирования исследовалось для систем сдвиговых трещин и отверстий различной формы. Получены численные решения задач о напряженно-деформированном состоянии для плоских прямоугольных областей с прямолинейными трещинами вблизи систем из двух, трех, четырех и восьми круговых отверстий, а также из прямоугольного и круговых отверстий, и из отверстий арочного типа, моделирующих поперечные сечения горных выработок.

На каждом шаге нагружения на границе прямоугольной области задавались нулевые приращения касательных напряжений и приращения нормальных перемещений, обеспечивающие в процессе нагружения условия сжатия в исследуемой области. Границы отверстий предполагались свободными от напряжений.

Все величины в задачах считались безразмерными. В качестве характерного линейного размера был выбран горизонтальный размер прямоугольника, в качестве характерного напряжения – 10-2E.

В ходе решения различных краевых задач в исследуемых областях определялись упруго-пластические границы, строились изолинии функции текучести, а также максимального касательного напряжения и главных напряжений.

В соответствии с рисунками 1.1.3, 1.1.4 представлены изолинии функции текучести для прямоугольной области с 4 и 8 отверстиями круглой формы: без трещин (a) и с 2 и 8 сдвиговыми трещинами (b).

Рассмотрены как упругое поведение материала вне разрезов, так и упруго пластическое. Проводилось сравнение распределений напряжений в окрестности отверстий в областях с разрезами и без разрезов.

Выполнены расчеты напряженно-деформированного состояния при различном расположении разрывов относительно отверстий.

В соответствии с рисунком 1.1.5 представлены изолинии функции текучести в окрестности трех отверстий, моделирующих сближенные выработки различного сечения: в области без разрывов (a) и с прямолинейными разрывными нарушениями (b).

Рисунок 1.1.3 – Изолинии функции текучести Рисунок 1.1.4 – Изолинии функции текучести Рисунок 1.1.5 – Изолинии функции текучести Построенные поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий.

Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

Численное моделирование на основе разработанных алгоритмов и комплекса программ позволяет провести подробный анализ напряженно-деформирован\-ного состояния в исследуемой области, на основе которого возможно прогнозирование появления областей пластического поведения или хрупкого разрушения материала при различных условиях нагружения.

1.2 Анализ результатов расчетов 1.2.1. Численное решение задач контакта наноструктур Использование углеродных sp2-наноструктур (фуллеренов, наноторов, наноконусов, нанотрубок, графеновых листов) [26] занимает заметное место в современных нанотехнологиях [27-33]. В первую очередь это обусловлено их относительной дешевизной изготовления и обладанием углеродными sp2 наноструктурами уникальными механическими свойствами, а именно, высокими жесткостными и прочностными характеристиками. Однако эти структуры могут при сравнительно низких значениях сжимающих сил и крутящих моментов выпучиваться, а при высокочастотных воздействиях попадать в резонанс с частотами собственных колебаний и в силу этого терять свои желаемые эксплуатационные качества. Поэтому определение критических параметров выпучивания, моделирование закритического деформирования и определения частот собственных колебаний углеродных sp2-наноструктур является важным направлением наномеханики.

Для решения задач деформирования нанотрубок используются уравнения Ньютона движения частиц в силовых полях. В настоящей работе под частицами понимаются атомы углерода нанотрубки, взаимодействие которых осуществляется посредством ковалентных сил близкодействия и нековалентных Ван-дер-Ваальсовых (ВдВ) сил дальнодействия. Стандартными методами решения уравнений Ньютона в наномеха- нике являются методы молекулярной динамики (МД) (см., например, [34]) и молекулярной механики (ММ) (см., например, [35]). Применение метода МД к решению задач деформирования и выпучивания углеродных sp2-наноструктур представлено, например, в работах [30, 36-44].

В данном исследовании используется метод ММ, так как, в отличие от метода МД, при действии консервативных внешних сил этот метод позволяет использовать критерии выпучивания наноструктур [35], с высокой степенью надежности определять критические параметры деформирования и формы выпучивания наноструктур, а также находить частоты и формы собственных колебаний этих структур. Метод ММ, в свою очередь, можно подразделить на стандартный метод ММ (см., например, [35,45]) и метод молекулярной структурной механики (МСМ) (см., например, [20–23]). В стандартном методе ММ непосредственно используются потенциальные законы взаимодействия атомов наноструктуры, а в методе МСМ межатомные связи аппроксимируются фиктивными упругими стержнями и/или балками. Применение стандартного метода ММ к решению задач о собственных колебаниях, деформирования и выпучивания углеродных sp2-наноструктур представлено, например, в работах [36,37,46-53], а метода МСМ – в работах [20–23, 32–49].В своих предыдущих исследованиях по выпучиванию нанотрубок [54-57] и решения задач их контакта авторы учитывали следующие потенциальные энергии межатомных [58] взаимодействий: энергию растяжения ковалентных связей, энергию изменения углов соседних ковалентных связей и энергию сил ВдВ. Для определения энергии ковалентных связей использовалась потенциальная функция Морзе, для определения энергии сил ВдВ использовалась потенциальная функция Леннарда-Джонса, а для определения энергии изменения угла между соседними ковалентными связями использовалась энергия деформирования фиктивных упругих стержней (этот прием учета энергии изменения углов соседних ковалентных связей использовался также в [59-65]). Таким образом, в работах авторов использовался смешанный метод молекулярной [54-58] механики/молекулярной структурной механики (ММ/МСМ), сочетающий подходы стандартного метода ММ и метода МСМ.

Погрешность аппроксимации точного выражения энергии изменения углов соседних ковалентных связей энергией деформирования фиктивных упругих стержней в наибольшей степени проявляется, повидимому, в решениях задач о собственных колебаниях и выпучивания [39,49,52,66-73] [31,36,38,40 44,46,47,52,53,64,74-81] углеродных sp2-наноструктур. Наиболее востребованными в нанотехнологиях углеродными sp2-наноструктурами являются углеродные нанотрубки. Поэтому представляет интерес оценить погрешность аппроксимации выражения энергии изменения углов соседних ковалентных связей в решениях задач о собственных колебаниях и выпучивания однослойных углеродных нанотрубок. Решение упомянутых задач привлекает внимание достаточно большого числа исследователей. В рамках решений уравнений Ньютона равновесия/движения атомов в силовых полях задачи о собственных колебаниях однослойных углеродных нанотрубок решались в [39,52,66-68,71,82]. Обзор работ, посвященных решению задач о выпучивании углеродных нанотрубок, выполненных вплоть до 2010 г., представлен в [83]. Среди работ, в которых решались задачи о выпучивании нанотрубок, отметим работы по исследованию процессов выпучивания закрученных по торцам нанотрубок [38,41 43,46,47,54,57,74,80,81]. Отметим также экспериментальные исследования по крутильному выпучиванию нанотрубок [84]. В настоящей работе представлены некоторые новые результаты решения задач выпучивания однослойных нанотрубок, закрученных по торцам.

Целью настоящей работы является проведение сравнительного анализа решений задач о собственных колебаниях, выпучивания и закритического деформирования однослойных углеродных нанотрубок, полученных стандартным методом ММ и смешанным методом ММ/МСМ. На основе проведенного анализа установлены границы применения смешанного метода ММ/МСМ при решении задач этих классов.

Анализ результатов численных решений задач о колебаниях и выпучивании углеродных нанотрубок Результаты численных решений задач, представленные в отчете предыдущего этапа и в настоящем разделе, получены с помощью пакета PIONER [85].

Визуализации исходных моделей и деформированных конфигураций получены в среде пакета MSC.Patran 2011 [86] с использованием специально разработанных программ для взаимодействия пакетов PIONER и MSC. Patran 2011 [87].

Константы потенциальных функций углеродной нанотрубки имеют следующие значения [37,85]: re = 0.142 нм, = 26.25 нм–1, D = 0.603105 аДж, = 0.3412 нм, = 0.0003840 аДж, ks = 0.754 рад–4, k = 0.876 аДж/рад2, ma = 0.019927 нН пс2 ·нм–1, где ma – масса атома углерода.

Рассмотрим две однослойные углеродные нанотрубки с различными индексами хиральности [87] (в соответствии с рисунком 1.2.1.1).

Первая трубка представляет тип “кресло” и имеет индексы хиральности (10, 10) (в соответствии с рисунком 1.2.1.2, а). Ее радиус R = 0.6792 нм и длина L = 12.2919 нм. На обоих торцах трубки перемещения атомов ограничены. При решении задачи о собственных колебаниях перемещения атомов запрещены по всем степеням свободы. При решении задачи о выпучивании трубки запрещены перемещения атомов на обоих торцах трубки в осевом на- правлении, а для оставшихся степеней свободы задаются перемещения атомов по окружности радиуса R (в соответствии с рисунком 1.2.1.2, а). Вторая трубка радиуса R = 0.3931 нм и длины L = 16.8980 нм представляет тип “зигзаг” и имеет индексы хиральности (10.0) (в соответствии с рисунком 1.2.1.2, b).


Рисунок 1.2.1. Атомы на верхнем торце трубки могут свободно перемещаться в осевом направлении, все остальные степени свободы на обоих торцах трубки ограничены.

При решении задачи о собственных колебаниях перемещения атомов по этим степеням свободы запрещены. При решении задачи о выпучивании трубки запрещены перемещения атомов на нижнем торце трубки в осевом направлении, а для оставшихся степеней свободы задаются перемещения атомов по окружности радиуса R (в соответствии с рисунком 2, b).

Отметим, что при решении задач об определении частот и форм собственных колебаний, а также критических нагрузок, времен и форм выпучивания силы ВдВ не учитывались, а при решении задач послекритического деформирования эти силы учитываются.

Частоты и формы собственных колебаний углеродных нанотрубок.

В соответствии с рисунком 1.2.1.2 приведены восемь нижних круговых частот i (i=1 … 8) и соответствующих им форм собственных колебаний для нанотрубки типа “кресло”, полученные как при использовании стандартного метода MM/MCM (в соответствии с рисунком 1.2.1.2, а), так и стандартного метода ММ (в соответствии с рисунком 1.2.1.2, b) (значения частот в ТГц приведены около соответствующих форм колебаний). Отметим, что формы собственных колебаний совпадают только для первой (нижней) частоты.

В соответствии с рисунком 1.2.1.3 приведены пять нижних круговых частот (i=1,…,5) (ТГц) и соответствующих им форм собственных колебаний для i нанотрубки типа “зигзаг”, полученные как при использовании смешанного метода МM/МCM, так и стандартного метода ММ. Так как формы собственных колебаний, соответствующие нижним пяти частотам совпадают, то приведены формы, полученные только при использовании стандартного метода ММ (значения частот в ТГц приведены около соответствующих форм колебаний, первой приведена частота, полученная при использовании смешанного метода МM/МCM, а второй – при использовании стандартного метода ММ).

Рисунок 1.2.1. Из приведенных значений частот собственных колебаний видно, что для нанотрубки типа “кресло” нижняя частота, полученная с использованием смешанного метода ММ/МСМ меньше аналогичной частоты, полученной с использованием стандартного метода ММ. Наоборот, нижние пять частот для нанотрубки типа “зигзаг”, полученные с использованием смешанного метода ММ/МСМ, выше соответствующих частот, полученных с использованием стандартного метода ММ. Таким образом, моделирование энергии изменения угла между соседними ковалентными связями стержневыми элементами приводит к уменьшению “жесткости” модели нанотрубки типа “кресло” и к увеличению “жесткости” модели нанотрубки типа “зигзаг”.

Выпучивание углеродных нанотрубок, закрученных по торцам Проведено сравнение решений задач о собственных колебаниях и выпучивании однослойных углеродных нанотрубок, полученных стандартным методом MM и смешанным методом MM/MSM. Это сравнение показывает, что разница в определении частот собственных колебаний, критических параметров и форм выпучивания, а также форм закритических деформаций мала. Однако смешанный метод MM/MSM приводит к более “жесткой” модели нанотрубки по сравнению со стандартным методом ММ.

1.2.2. Задача конвекции, сопряженной с процессами тепло- и массопереноса в контактирующих фазах Моделирование динамики и процессов тепло- и массопереноса в сферическом слое в условиях невесомости Исследуется задача о динамике и процессах теплообмена и массообмена в сферическом слое вязкой, несжимаемой жидкости, ограниченном свободными поверхностями, заключающем внутри себя газовый пузырек (в соответствии с рисунком 1.2.2.1). Условия невесомости позволяют рассматривать сферически симметричный процесс. Движение возникает из заданного начального состояния. Газ, растворенный в жидкости, представляет собой пассивную добавку. В качестве математической модели процесса используется система уравнений Навье-Стокса, теплопереноса и диффузии. На границах оболочки выполнены кинематические и динамические условия, соотношения, определяющие баланс энергии и теплообмен с внешней, а также закон Генри. Жидкая оболочка заключает внутри себя газовый пузырек. Предполагается, что процессы релаксации внутри пузырька протекают настолько быстро, что можно считать давление Pg, плотность g и абсолютную температуру Tg в газе функциями только времени, связанными уравнением Менделеева-Клапейрона [88,89].

В качестве первой модели изучается квазиизотермическая модель, когда предполагается, что процессами переноса тепла можно пренебречь и считать, что температура жидкости и температура газа в пузырьке определяются температурой внешней газовой среды.

В ходе решения задачи требуется определить следующие искомые функции:

положение свободных границ R1(t) и R2(t), скорость V(t) (v(t,r) = r V(t) – радиальная скорость жидкости), концентрацию газа в жидкости C(t,r). Постановки задач для нахождения искомых функций имеют следующий вид (осуществлен переход к безразмерным переменным).

Функция V(t) удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению и начальному условию:

dV 12 2 R2 3 R1 3 Re V R2 R1 R2 R dt R2 1 R1 Pg P 2 Si (T ) R2 R1 R2 R1 R2 R vn 4 Re 1 2 R2 2 R1 2, (T )V R2 R2 R1 R1 t 0;

V (0) V0 ;

Для нахождения функций, определяющих положение свободных границ, имеем:

1/ dR VR1 2, R2 (t ) R 3 3 R10 R1 (t ),t 0;

dt R1 (0) R10, R2 (0) R20 ;

Следующая наччально-краевая задача имеет место для нахождения функции C(t, r), определяющей концентрацию газа в жидкости:

C r 2C Ped 1r 2 D (T ) VC, t 0, R1 r R2 ;

t r r n n C (0, r ) C0 (r ), C |r R1 A(T ) Pg, C |r R2 A(T ) Pvn И, наконец, имеем следующую задачу Коши для нахождения плотности газа в пузырьке:

d dR1 C g 3R1 1 3R1 1D(T ) Ped 1,t 0;

g r R dt dt r g (0) g0, Здесь используются следующие обозначения: и плотности жидкости и g газа, T – температура, Pg и Pvn – давление в газе и внешнее давление,, D, коэффициенты кинематической вязкости, диффузии и поверхностного натяжения, соответственно, зависящие от температуры [88,89], А – коэффициент в законе Генри, зависящий от температуры [88,89], газовая постоянная. В задаче возникают R безразмерные комплексы: число Рейнольдса Re, число Пекле диффузионное Ped, и безразмерный параметр (звездочкой Si S, / (r*P ), Si S r* P / ( * * *) Si * * * обозначены характерные значения величин).

Условия невесомости позволили рассмотреть сферически симметричный процесс, когда только радиальная составляющая скорости жидкости отлична от нуля.

Все физические величины меняются со временем и зависят от расстояния от начала координат. В рамках осуществленной постановки задачи о динамике, тепло- и массообмене в жидком сферическом слое со свободными границами построены численные алгоритмы нахождения искомых функций (свободных границ R1(t) и R2(t), радиальной скорости v(t,r), температуры жидкости T(t,r) и концентрации примеси C(t,r)).

Рисунок 1.2.2.1 - Сферическая оболочка, содержащая газовый пузырек Задача определения концентрации газа в жидкости сводится к задаче на плоскости лагранжевых координат путем перехода к новой безразмерной пространственной переменной r 3 R1 (t ) 3 3 x R20 R10.

Таким образом, осуществляется переход на каждом шаге по времени в фиксированную область. В новых координатах уравнение диффузии выглядит следующим образом:

C C, D(t, x) t t x 4/ D(t, x) 9 Ped 1 R20 R 3 3 3 3 R20 R10 x R1 (t ) D(T (t )).

Строится неявная разностная схема второго порядка аппроксимации по пространственной переменной:

Cis Cis Cis 11 Cis Cis Cis Di Di hi 1 hi i Здесь введены обозначения 0,5 D(t n 1, xi 1) D(t n 1, xi ) hi xi xi 1, 0,5(hi hi 1 ), Di i На каждом «внешнем» временном слое вводится итерационный процесс нахождения концентрации газа в оболочке. Используется критерий сходимости вида:

max Cis Cis max Cis, 0.

i i Для нахождения значений внутреннего радиуса оболочки, скорости V(t) (v(t,r) = r 2 V(t)) и плотности газа в пузырьке используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В ходе численных экспериментов были исследованы: зависимость динамики сферической оболочки и процесса диффузии в ней от количества газа в пузырьке (в соответствии рисунком 1.2.2.2), внешнего давления (в соответствии рисунком 1.2.2.3) и температуры внешней среды;

зависимость динамики сферической оболочки от характера граничного теплового режима на внешней границе. Модельные расчеты проведены для жидкого стекла. Отметим некоторые выявленные особенности поведения оболочки. Чем больше начальное значение плотности газа в пузырьке, тем большие размеры сферической оболочки мы получим (в соответствии рисунком 1.2.2.2). При этом предпочтительнее оказывается меньшее внешнее давление. Большие размеры оболочки мы получим при меньшем значении внешнего давления (в соответствии рисунком 1.2.2.3) Рисунок 1.2.2.2 - Зависимость изменения внутреннего радиуса оболочки со временем при различных значениях начальной плотности газа в пузырьке Рисунок 1.2.2.3 - Зависимость изменения внутреннего радиуса оболочки со временем при различных исходных значениях внешнего давления Численное исследование нестационарной задачи о процессе переноса тепла в свободном слое вязкой жидкости под действием термокапиллярных сил и при наличии дополнительных касательных напряжений Исследуются нестационарные течения в плоском свободном слое вязкой несжимаемой жидкости и процессы теплопереноса в нем, осложненные наличием на свободных границах дополнительных касательных напряжений, вызываемых внешней газовой средой. Поведение жидкого слоя исследуется в условиях невесомости. Задача состоит в нахождении компонент скорости, давления и температуры. Данные искомые функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Навье-Стокса и переноса тепла, кинематическому и динамическому условиям на свободных границах, а также начальным условиям. Распределение температуры и дополнительные касательные напряжения предполагаются заданными на свободных границах. Данные функции будут определяться, исходя из вида точных решений уравнений Навье Стокса.


Рассмотрим бесконечный плоскопараллельный слой вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости ={(x,y,z):

-x +,-Z(t)zZ(t)} в условиях невесомости в двумерном случае (в соответствии с рисунком 1.2.2.4). Пусть система координат выбрана таким образом, что ось Ох направлены вдоль свободных поверхностей а ось Oz - перпендикулярно к ним. Свободные границы остаются недеформируемыми и параллельными во все последующие моменты времени.

Рисунок 1.2.2.4 - Геометрия области течения Искомые функции (v – вектор скорости, p – давление, Т - температура) удовлетворяют следующей системе уравнений в безразмерной форме v vt v v p Re div v 0 (1.2.2.1) T Tt v T RePr и условиям на свободных границах вида dZ vn w z Z (t ) dt (1.2.2.2) p n D(v)n Pg z Z (t ) Re Ma 2s D(v)n ( x, t ) Tx z Z (t ) Re Pr Здесь v = (u, w), D(v) – тензор скоростей деформаций, Pg зависит от внешнего давления Pg ( Pg ( x, t ) - касательные напряжения, ), Pg n D(v g )n z Z (t ) Re индуцированные внешней средой. Предполагаем, что именно касательные напряжения со стороны внешней среды являются преобладающими в сравнении с нормальными напряжениями, действиями которых мы пренебрегаем. Re – число Рейнольдса v *l T*l ), Pr - число Прандтля ( Pr ), Ma - число Марангони ( Ma T ( Re ), коэффициент кинематической вязкости, - коэффициент температуропроводности, l – характерный размер (толщина слоя в момент времени t=0), v * - характерная скорость, l - характерное время, T* - характерная температура, v* - характерное t* p* v* давление, - плотность жидкости, - отношения плотностей и коэффициентов, кинематической вязкости газа и жидкости, v g - скорость газа (внешней среды).

Поверхностное натяжение линейно зависит от температуры (T T0 ) 0 T 0. Векторы нормали и касательных вектор к свободной поверхности задается, T как n = (0, 1), s = (1,0). Предполагается, что на свободных границах температура и касательные напряжения есть заданные функции. Условия для температуры должны быть дополнены условиями на бесконечности. Для замыкания постановки задачи начальные условия должны быть также определены.

В случае, когда компоненты скорости продиктованы точными решениями уравнений Навье-Стокса, задача сводится к численному нахождению распределения температуры в прямоугольной области = {-X 0 x X 0,-Z0 z Z0 }.

L На вертикальных торцах данной области должны быть поставлены температурные условия мягкого типа, являющиеся следствием условий на бесконечности и уравнения переноса тепла, например, условия следующего вида:

Txx 0, Txx.

Tt uTx Для численного исследования процесса переноса тепла используется конечно разностная схема второго порядка аппроксимации вида k 12 k T T k k k 12 k T Txx ( K1T ) T Tzz ( K 2T ), 0,5 t (1.2.2.3) k1 k T T k1 k1 k 12 k T Txx ( K1T ) T Tzz ( K 2T ).

0,5 t 1 k k Здесь, T ( x, z ) T (t, x, z ). Конвективный член КТ = uTx + wTz T Re Pr представлен как сумма K1T = 0,5(uTx+(uT)х) и K2T =0,5(wTz+(wT)z. Отметим, что используются различные варианты аппроксимации конвективных слагаемых.

Проведено тестирование численного алгоритма с использованием точного t T e sinx siny.

решения уравнения теплопроводности вида: В соответствии с рисунком 1.2.2.5 представлены результаты тестирования, демонстрирующие хорошее совпадение численного и точного решений.

Рисунок 1.2.2.5 - Сравнение результатов расчета (численное решение) и теоретических расчетов (точное решение). Сравнение приведено для значения x= -7, при t=0,2. Здесь X0=10, Z0=0,5, Re=1, Pr=17, hx=0,002, hz=0,1.

Построен общий алгоритм расчета распределения переноса тепла в области с движущимися границами. Переход на новый временной слой начинается с расчета новой пространственной сетки и проверки возможности использования того же самого значения шага по времени [90].

С помощью интерполяционных формул Ньютона T ( z1 ) T ( z 0 ) T ( z 2 ) 2T ( z1 ) T ( z 0 ) T3 ( z ) T ( z0 ) (z z0 ) (z z 0 )( z z1 ) 2hz hz T ( z 3 ) 3T ( z 2 ) 3T ( z1 ) T ( z 0 ) (z z 0 )( z z1 )( z z2 ) 6hz вычисляем на новой пространственной сетке значения всех искомых функций, известных на предыдущем временном слое.

Расчет температуры проводится по схеме (2.3) при заданных (вычисленных) значениях компонент скорости.

Точные решения уравнений Навье-Стокса позволяют проводить моделирование конвективных течений в бесконечных слоях жидкости в случае, когда на свободных границах требуется учитывать не только действие сил Марангони, но и дополнительных касательных напряжений, отражающих действие внешней газовой среды. Аналитические построения должны быть дополнены численными расчетами.

При этом численно выстраиваются зависимости компонент скорости от поперечной координаты. Задача нахождения распределения температуры в слое сводится к очень сложной задаче о нахождении температуры в прямоугольной области в случае движущихся границ. При этом необходимо не только построить численный алгоритм, обеспечивающий корректную процедуру интерполяции (экстраполяции) функций.

Требуется обосновать выбираемое введение торцов (условно назовем их «вертикальными»), чтобы осуществить расчет температуры в прямоугольной области вместо бесконечного слоя. Возникает проблема выбора тех «мягких» граничных условий, которые будут согласованы с уравнением переноса тепла и условиями на бесконечности. Проведено тестирование двух из возможных типов «мягких» условий, а также тестирование построенного численного алгоритма в области с движущимися границами на основе простых точных решений задачи (см. [91]).

Изучение сопряженных задач микроконвекции в жидкости в прямоугольных областях и распределения тепла в окружающих твердых массивах Для исследования конвективных течений жидкости и сопряженных с ними процессов переноса тепла в граничных теплопроводных массивах рассмотрена задача о конвекции в прямоугольной области, вытянутой по направлению силы тяжести, и заключенной между двумя теплопроводными массивами. Данная задача исследована численно в случае теплоизоляции торцов прямоугольника и периодического потока тепла через внешние границы массивов (в соответствии с рисунком 1.2.2.6). При этом соблюдается условие равенства нулю суммарного потока тепла, поскольку аналогичное условие является необходимым при постановке задачи о конвекции жидкости в замкнутой области с твердыми непроницаемыми границами на основе модели микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости. Нестационарные режимы конвекции жидкости моделируются в условиях слабой гравитации. Две математические модели используются для описания конвективных движений в жидкости: классическая модель Обербека-Буссинеска и модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости [92-94]. Обе модели являются следствием дифференциальных законов сохранения массы, импульса и энергии, упрощения которых проведены на основе некоторых гипотез. При этом модель микроконвекции применяется для изучения нестационарных процессов конвекции в условии слабого силового поля, в микромасштабах или в условиях быстропеременных температурных полей. Данная модель характеризуется несоленоидальностью поля скоростей, но может быть переписана в терминах новой функции – модифицированной скорости, дивергенция которой равна нулю. При численном исследовании двумерных задач осуществляется переход к новым искомым функциям: функции тока и вихрю скорости [92-94].

Численные исследования проводятся с использованием методов, разработанных в [94].

Рисунок 1.2.2.6 - Область течения и ее границы;

f - область течения;

- теплопроводные массивы, Пусть жидкость заполняет прямоугольную область «10х1», а граничные массивы имеют одинаковую толщину, равную 1см и 0.2см. Коэффициенты температуропроводности массивов одинаковы и равны 1 см/сек. Численно изучено влияние теплопроводных свойств массивов, их толщины на вид траекторий жидкой частицы.

Основные физические параметры жидкости приняты таковыми:

0.15 см 2 /сек (коэффициент кинематической вязкости жидкости), 1.5 см 2 /сек 0.0006 K 1 (коэффициент (коэффициент температуропроводности), температурного расширения). Исследованы также жидкости с другими теплофизическими свойствами. Параметр микроконвекции [92,93] полагается равным 0.4. Данный параметр равен отношению произведения ускорения силы тяжести g и куба характерного размера l 3 к произведению коэффициентов кинематической вязкости и температуропроводности ( ). Численные исследования проведены также и в случае других значений.

Начальная температура, амплитуда и частота граничного теплового режима, поддерживаемого на внешних границах теплопроводных массивов, полагаются равными, соответственно: T0 2и 0.1 (сек. 1 ). Проводятся 10 K, A 20 K, исследования, связанные с изучением влияния внешнего теплового режима большей интенсивности (A 60 K) и при различных значениях частоты периодического режима: 0.5 и 0.05 (сек. 1 ).

2, Численные исследования подтверждают количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках двух моделей конвекции.

Траектории, рассчитанные с использованием модели Обербека-Буссинеска, заполняют отрезки прямых, параллельных вектору силы тяжести (в соответствии с рисунком 1.2.2.8). Траектории, рассчитанные по модели микроконвекции, имеют спиралеобразную структуру (в соответствии с рисунками 1.2.2.7 и 1.2.2.8).

Приведем некоторые примеры различий, диктуемых различными характеристиками граничных массивов. В случае быстропеременного температурного режима 2 сек. 1 ) траектория жидкой частицы обозначена черным цветом на рисунке ( 1.2.2.7 (при толщине граничных массивов 0.2 см) и на рисунке 1.2.2.8 (при толщине граничных массивов 1 см) представляет собой спиралеобразную траекторию с витком меньшего диаметра. При медленном режиме при 0.1 сек. (в соответствии с рисунком 1.2.2.8) и при 0.5 сек. (красный цвет, рисунок 1.2.2.7), при 0.05 сек. (синий цвет, рисунок 1.2.2.7) имеет место менее интенсивное движение части, которое характеризуется витком большего диаметра.

Рисунок 1.2.2.7 - Траектории движения жидкой частицы: спиралеобразные траектории (модель микроконвекции). Сравнение траекторий для разных.

Рисунок 1.2.2.8 - Траектории движения жидкой частицы: спиралеобразные траектории (модель микроконвекции), отрезок прямой (модель Обербека-Буссинеска).

Для модели микроконвекции сравнение траекторий для разных.

Численные исследования подтвердили наличие небуссинесковских эффектов в характеристиках течений жидкостей в условиях микрогравитации. Наличие граничных теплопроводных массивов позволяет изменить интенсивность конвекции, как с помощью внешнего теплового режима, так и с помощью сред с разными теплопроводными свойствами. Требуется изучить топологию течения и количественные характеристики в случае, когда граничные среды имеют различную толщину, различные теплопроводные свойства, а также в случае принципиально другого характера граничного теплового режима.

1.2.3. Построение зависимостей потенциала самополяризации от глубины зоны проникновения при различных предположениях о глинистой корке и электрофизических свойствах грунта При бурении превышение давления в скважине над пластовым давлением приводит к внедрению в пласт жидкости, отличной от пластовой, что сказывается на изменении электрофизических свойств прискважинной зоны. Информация о глубине зоны проникновения является важной как для интерпретации данных электрокаротажа скважин, так и для задач нефтедобычи. Ранее ([95]) авторы проекта показали, что зону проникновения можно определить путем измерения потенциала самополяризации на стенке скважины. Это связано с тем, что на фронте проникновения имеется контраст таких параметров, как удельная электропроводность, электрокинетический потенциал, гидравлическая проницаемость и т. д.

Анализ расчетов позволяет сделать следующие выводы.

1. Сравнение рисунка 1.2.3.1 и рисунка 1.2.3.2 показывает, что при возрастании давления в скважине возрастает значение потенциала самополяризации на стенке скважины, что дает методологическую основу измерения зоны проникновения электромагнитными методами, поскольку при достаточно больших давлениях потенциал самополяризации становится выше диапазона случайных шумов.

2. Даже в случае немонотонной зависимости потенциала самополяризации от зоны проникновения (в соответствии с рисунками 1.2.3.1, 1.2.3.2) остается возможность определения зоны по величине потенциала. Покажем это на примере нижней кривой в соответствии с рисунком 1.2.3.1. Видно, что потенциал величиной 0.25 В может достигаться как при зоне глубиной 30 см, так и при зоне глубиной 120 см. Для выделенния настоящей зоны достаточно провести через некоторый малый промежуток времени еще одно измерения потенциала на стенке скважины. Если потенциал урадет, то истинным будет зона глубиной 30 см, поскольку в районе 120 см потенциал должен возрастать со временем.

В работах [95,96] показано, что при больших давлениях в скважине проницаемость породы вблизи скважины может изменяться, приводя к замедлению переноса зарядов вблизи скважины. Такое замедление может изменить зависимость между глубиной зоны проникновения и потенциалом самополяризации на стенке скважины. Вопрос требует дальнейшего изучения.

В 0. -0. -0. -0. -0. см -0. 50 100 Рисунок 1.2.3.1 - Зависимость потенциала самополяризации на стенке скважины |r = r от глубины зоны проникновения при pw p =2 Бар для разных значений проницаемости глинистой корки. Кривые сверху вниз соответствуют проницаемостям 0.01 мД, 0.1 мД, 1.0 мД, 10.0 мД.

В 0. -0. -1. -1. -2. - см 2. 50 100 Рисунок 1.2.3.2 - Зависимость потенциала самополяризации на стенке скважины |r = r от глубины зоны проникновения при pw p =20 Бар для разных значений проницаемости глинистой корки. Кривые сверху вниз соответствуют проницаемостям 0.01 мД, 0.1 мД, 1.0 мД, 10.0 мД.

1.2.4. Обратные задачи и задачи управления для системы уравнений, описывающей течение стратифицированной жидкости Пусть – ограниченная область в с границей Г состоящей из 4 частей :

, где – непроницаемые стенки,, :, :, участок втекания, Через обозначим :, декартовы координаты точек.

Стационарное движение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска описываются уравнениями:

(1.2.4.1) (1) где – плотность, – компоненты вектора скорости, – завихренность, – функция тока, – число Фруда, – оператор Лапласса.

Для системы (1.2.4.1) ставятся следующие краевые условия:

если на (1.2.4.2) на на на Требуется решить задачу (1.2.4.1)–( 1.2.4.2) определив так, чтобы функционал (1.2.4.3), где принимал минимальное значение. Это задачи селективного отбора. При заданном задача (1.2.4.1) численно решается методом разработанным в [97]. Для минимизации функционала (1.2.4.3) применяется градиентный метод в варианте метода скорейшего спуска [98].

Для определения градиента функционала (1.2.4.3) рассмотрим его вариацию при изменении на Этому изменённому краевому условию будет соответствовать решение системы (1.2.4.1). Приращение функционала примет вид:

(1.2.4.4) Его главной линейной частью приращения является. (1.2.4.5) Учитывая, что из системы (1.2.4.1) получаем линейную систему для :

,, (1.2.4.6).

Так как, то для приращений получаем следующую систему краевых условий:

(1.2.4.7) Кроме того на где внешняя нормаль, области.

Для задачи (1.2.4.6) - (1.2.4.7) получим сопряжённую задачу. Уравнения системы (1.2.4.6) умножим соответственно на функции и проинтегрируем по области.

Перебрасывая все производные на, получим следующее равенство:

(1.2.4.8) Пусть функции удовлетворяют системе, (1.2.4.9) и краевым условиям:

, (1.2.4.10) тогда равенство (1.2.4.8) примет следующий вид:

(1.2.4.11) Полагая (1.2.4.12) 2( (0, y) ( y)), x y на из равенства (11) получим представление для (1.2.4.13) Следовательно градиент функционала представим в виде:

(1.2.4.12) J( ) (a, y).

x Задача (1.2.4.9), (1.2.4.10), (1.2.4.12) решается методом аналогичным решению задачи (1.2.4.1)-( 1.2.4.2).

Минимизирующая последовательность строится следующим образом.

Задается начальное приближение, решается задача (1.2.4.1)–( 1.2.4.2), затем решается задача (1.2.4.9), Очередное управление (1.2.4.10), (1.2.4.12).

определяется по схеме: где определяется из условия Если найдено приближение, то решая последовательно задачи (1.2.4.1)– с этим управлением находим (1.2.4.2), (1.2.4.9), (1.2.4.10), (1.2.4.12) где параметр определяется способом, аналогичным нахождению.

Данный алгоритм проходил апробацию на тестах в случае прямоуголной области.

Плотность бралась линейно-убывающей: p(y)=1-y. Функция ( y ) строилась по заданному профилю скорости u(y) на входе, т.е. при x=a. Рассматривались линейные и различные параболические профили скорости. При использовании метода скорейшего спуска значительно увеличивается скорость сходимости и уменьшается время расчета.

1.2.5. Микроконвективные движения жидкостей в условиях микрогравитации и переходных процессов в МГД-течениях Устойчивость течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля В работе исследуется устойчивость к малым возмущениям течения электропроводящей жидкости между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля. Рассмотрена полная система уравнений магнитной гидродинамики. Использовался эффективный метод дифференциальной прогонки.

Подробно исследовались зависимости критических чисел Рейнольдса от электропроводности. Обнаружено скачкообразное изменение критических чисел Рейнольдса.

Исследования устойчивости к малым возмущениям МГД-течений электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле имеют долгую историю [99-105] и представляют значительный интерес для построения общей теории ламинарно-турбулентного перехода течений вязкой жидкости в каналах, изучения бифуркаций решений уравнения Навье-Стокса. Данная задача является классической, однако она трудна для исследования: до сих пор отсутствуют простые и эффективные методы исследования неустойчивости Толлмина-Шлихтинга в линейном приближении при больших числах Рейнольдса и немалых магнитных числах Прандтля.

Экспериментальная проверка результатов и положений линейной теории гидродинамической устойчивости также составляет сложную проблему, особенно при больших магнитных числах Прандтля.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.