авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ISSN 1563 { 0285

75872

25872

{

Y I

{

N 4 (63) 2009

ISSN 1563 - 0285

Индекс 75872

25872

Л-ФАРАБИ атындаы КАЗАХСКИЙ АЗА ЛТТЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТІ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ _ _ АЗУ ВЕСТНИК ХАБАРШЫСЫ КАЗНУ МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, СЕРИЯ МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА СЕРИЯСЫ МЕХАНИКА, ИНФОРМАТИКА АЛМАТЫ № 4(63) Зарегистрирован в Министерстве культуры, информации и общественного согласия Республики Казахст, свидетельство № 956-Ж от 25.11.1999 г.

(Время и номер первичной постановки на учет № 766 от 22.04.1992 г.) Редакционная коллегия:

Калтаев А.Ж. (научный редактор), Данаев Н.Т. (зам. научного редактора), Ай сагалиев С.А., Бадаев С.А., Баймухаметов А.А., Блиев Н.К., Даирбаева Л.М.

(отв. секретарь), Дженалиев М.Ш., Ершин Ш.А., Калимолдаев М.Н., Кангужин Б.Е., Касымов К.А., Отельбаев М.О., Серовайский С.Я., Тукеев У.А.

СОДЕРЖАНИЕ Н.Т. Данаев Предисловие ……………………………………………………….. Геометрия и топология Ж.Х. Жунусова Односолитонное решение уравнения Янга – Миллса – Хигг 1.

са ………………………………………………………………………………….. Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 3(62) Функциональный анализ Г.К. Рзаева, А.Б. Тунгатаров Задача типа Робина для одного класса эллип 2.

тических систем второго порядка на плоскости с сингулярной точкой …….. Н.Т. Тлеуханова, К. Шаукенова Об одном применении системы Лизоркина в 3.

теории квадратурных формул …………………………………………………... Дифференциальные уравнения Д. Аманов, Э.Р. Скоробогатова Краевые задачи для уравнения четвертого 4.

порядка …………………………………………………………………………… С.К. Кыдыралиев, А.Б. Урдалетова Новый метод решения систем линейных 5.

дифференциальных и разностных уравнений …………………….…………… Вычислительная математика Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева Об одном алгоритме нахождения изолиро 6.

ванных решений нелинейной двухточечной краевой задачи ………………… Математическое моделирование А.Г. Коваленко Логика построения систем экстремальных задач для модели 7.

рования многопродуктовых рассредоточенных рынков ……………………..... М.Е. Шлейко Метод оценки эффективности огневого поражения противника 8.

в операции (бою) ……………………………………………………….………... Механика М.А. Бейсенби, А.Т. Турешбаев, А.О. Даутбаева Исследование наблюдающе 9.

го устройства с повышенным потенциалом робастной устойчивости для од номерных линейных систем методом функций А.М. Ляпунова ……………... А.А. Исахов Математическое моделирование турбулентного перемешивания 10.

на основе метода крупных вихрей ….………………………………………..… Информатика Б.Б. Ахметов, У.А. Тукеев Технология ситуационного управления информа 11.

ционной безопасностью учебного процесса КазНУ имени Аль-Фараби......... С. Ш. Кажикенова Теоремы сложения энтропии сложных технологических 12.

систем сигнатуре ……………………………………………...…………………. М.Е. Мансурова, Б.К. Бейсенов Разработка автоматизированной информаци 13.

онной системы по диспетчеризации ……………………...……………………. Тукеев У.А., Алтайбек А.А. Метод проектирования баз данных на основе до 14.

менно-ключевой нормальной формы (ДКНФ) ……………..…………………. Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящем номере журнала публикуются материалы докладов III Конгресса всемирного математического общества тюркоязычных стран, состоявшегося 30 июня - 4 июля 2009 года в Казахском национальном университете им. аль-Фараби.

Встреча ученых-математиков тюркского мира была организована Казахским на циональным университетом им. аль-Фараби при поддержке Министерства образова ния и науки Республики Казахстан, Всемирного математического общества тюркоя зычных стран и математической общественности Казахстана.

В работе Конгресса приняли участие более 600 ведущих ученых и специалистов из Турции, Казахстана, Азербайджана, Кыргызстана, Узбекистана, Ирана, Туркмени стана, Китая, Монголии, России, США и стран Евросоюза.

В соответствии с решением Международного программного комитета, на Кон грессе были рассмотрены современные и актуальные проблемы современной мате матики по следующим направлениям: алгебра и математическая логика, геометрия и топология, теория функции, дифференциальные уравнения и математическая физика, теория вероятностей и математическая статистика, вычислительная математика, тео рия управления и методы оптимизации, математическое моделирование, теоретиче ские основы информационных технологий, история и методика преподавания мате матики у тюркских народов.

Можно с уверенностью сказать, что регулярное проведение Конгресса математиков тюркского мира способствует успешному развитию научно технического и образовательного сотрудничества между учеными тюркоязычных стран, а также других заинтересованных государств.

Труды Конгресса будут полезны специалистам в области математики и ее приложений, а также студентам и аспирантам, специализирующимся в области математики и информационных технологии.

Директор НИИ математики и механики КазНУ им. аль-Фараби Н.Т. Данаев Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ОДНОСОЛИТОННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА-ХИГГСА Ж.Х. Жунусова Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан e-mail: zhzhkh@mail.ru Аннотация Рассмотрено интегрируемое нелинейное дифференциальное уравнение Янга-Миллса-Хиггса в (2+1)-измерений. Для данного уравнения методом преобразования Дарбу получено односолитонное решение в (2+1)-мерном пространстве-времени анти де Ситтера.

Солитонные решения являются важнейшими аспектами многочисленных тео рии полей как в классической, так и в квантовой физике [1-3].

Понятие интегрируемости позволяет провести полезную классификацию соли тонных систем. Солитонные решения этих систем имеют простое поведение при со ударении и являются устойчивыми. Используя такие методы, как метод обратной за дачи рассеяния, можно в явном виде построить многосолитонные решения нелиней ных уравнений [4-5].

Существуют ограниченные примеры нелинейных уравнений интегрируемых систем в (2+1)-измерении, большинство из них являются нерелятивистскими.

В последнее время было показано, что многие хорошо известные интегрируе мые уравнения в (1+1)-измерении являются редукциями самодуального уравнения Янга-Миллса. Аналогично, интегрируемые системы в (2+1)-измерении также можно получить из самодуального уравнения Янга-Миллса как его редукции.

Интересно отметить, что в неинтегрируемых системах существуют примеры многомерных солитонов, таких как скирмионы, монополии, вихры и лампы. Такие теории являются релятивистскими и солитоны имеют топологическую природу.

Важнейшим примером многомерной интегрируемой системы является самоду альное уравнение Янга-Миллса. Изучение такой интегрируемой модели в (2+1) измерении продемонстрировало, что динамика солитона может быть очень нетриви альной в интегрируемых моделях.

В данной работе мы строим солитонное решение интегрируемого релятивист ского уравнения Янга-Миллса-Хиггса. Это уравнение обладает монопольными реше ниями. Хотя уравнение интегрируемое, динамика монополии является очень нетриви альной.

Солитонные решения являются важнейшими аспектами в нелинейной матема тической физике. Следует отметить, что существует два типа искривленного про странства-времени: пространство де Ситтера с положительной скалярной кривизной и пространство анти де Ситтера с отрицательной скалярной кривизной.

Рассмотрим уравнение Янга-Миллса-Хиггса в (2+1)-мерном пространстве времени анти де Ситтера. Это уравнение является редукцией уравнения Гаусса Кодацци-Майнарди в пространстве-времени анти де Ситтера [6-7]. Уравнение Янга Миллса-Хиггса широко исследовано и известно как интегрируемое. Представление Лакса этого уравнения получено Уордом.

Уравнение Янга-Миллса-Хиггса (УЯМХ) широко исследовано и известно как интегрируемое. Пара Лакса для этого уравнения было найдено Уордом. В настоящей статье мы рассмотрим УЯМХ в (2+1)–мерном пространстве-времени анти де Ситтера.

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) В тоже время, это уравнение является редукцией уравнения Гаусса-Майнарди Кодацци в (2+1)-мерном пространстве-времени анти де Ситтера. Здесь мы находим солитонное решение УЯМХ в (2+1)-мерном пространстве-времени анти де Ситтера для простейшей неабелевой группы SU(2).

Напомним, что унитарные матрицы образуют группу, которая обозначается че рез U(n) и называется унитарной группой. В группе U(n) есть подгруппа SU(2) с оп ределителем единица. В случае 2x2 матриц, группа SU(2) состоит из матриц вида [6] a b, | a | 2 + | b | 2 = 1.

b a Пусть M будет трехмерном многообразием Лоренца с метрикой g, Aµ является калибровочным потенциалом, L – скалярное поле Хиггса, последние из которых при нимают значения в алгебре Ли группы G. Положим, что G является матричной груп пой Ли. Обозначим область : {(2+1)-мерное пространство-времени анти де Ситтера, являющееся универсальным пространством вложения гиперболоида U + V X Y = 1 в R с метрикой ds = dU dV + dX + dY 2 }.

2 2 2 2 2, 2 2 2 2 Определим новые координаты с помощью формул 1 Y V r=, x=, t=. (1) U+X U+X U+X Тогда часть (2+1)-мерного пространства-времени анти де Ситтера с U + X представляется координатами Пуанкаре (r,x,t) с r0 и метрика в этом случае есть ds 2 = r 2 (dt 2 + dr 2 + dx 2 ) = r 2 (dt 2 + dudv), (2) где u=x+t, v=x-t. Поля УЯМХ в области удовлетворяют уравнению Янга Миллса-Хиггса [1] D = *F, (3) которое в терминах координат запишется в виде g µ µ F, Dµ = (4) 2 |g| где Dµ = µ + [ Aµ, ], µ =, {Fµ } является кривизной, соответст x µ вующей { Aµ }, Fµ = [ Dµ, D ].

Уравнение (4) является интегрируемой системой (в смысле существования для него представления Лакса), если метрика g имеет постоянную кривизну R=const. В нашем случае кривизна является отрицательной R0. С помощью координат Пуанка ре (1), уравнение (4) примет вид Du = rFur, Dv = rFvr, Dr = 2rFuv. (5) Эта система нелинейных дифференциальных уравнений имеет представление Лакса [8] Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) u u (rDr + 2( u ) Du ) = 0, ) = 0, ( 2 Dv + Dr (6) r r где Dµ = µ + Aµ и является комплексным спектральным параметром. Та ким образом, (6) является условием интегрируемости выше определенной системы (5).

Результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема. Уравнение (6) имеет односолитонное решение в области следую щего вида 1 ( r S ) 2 [ 3, S ], Au(1) = 0, Av(1) = ( v S ) S 1 = (7a) 2r 2r 1 1 Ar(1) = ( r S ) S 1 + ( S 3 S 1 3 ) = ( u S + I ), (7b) 2 2r 2r r (1) = ( r S ) S 1 + ( S 3 S 1 + 3 ) = u S I + 3, (7c) 2 где 0 0 1 1 0 1 | | 2 + 0 u, 3 = 0 1, I = 0 1, S= (8) 1+ | | 2 = ( ) - произвольная голоморфная функция, 0 - произвольное комплексное число, - произвольное действительное число, u – скалярная функция. При =0, решение (Au(1), Av(1), At(1), (1) ) SU (2).

Это решение является локализованным решением при 0 = i, = ( 0 ), ( ) =, а след поля Хиггса дается следующей формулой 8r 4 + 32 ( x + t )( x 2 t 2 )r 2 + 16r 2 ( x + t ) ( ) 2 tr (1) = (9) ((r + x t ) + 2 x + 2t + 1) 2 2 22 2 2 Теорема доказывается с помощью метода преобразования Дарбу [8]. Поэтому прежде чем перейти к доказательству теоремы приведем здесь преобразование Дарбу первой степени.

Пусть (1) = ( u ) R T, (10) где R(u, v, r ) и T (u, v, r ) являются 2x2 матрицами, R – обратимая матрица. Тогда пре образование, соответствующее (1), является преобразованием Дарбу первой степени, если существуют (Aµ1), (µ1) ), удовлетворяющие ( u u (rD ) + (1) 2( u ) Du1) (1) = 0, (1) ) (1) = 0, (2 Dv(1) + Dr(1) (1) ( (11) µ r r где Dµ1) = µ + Aµ1). В терминах функции, оба уравнения из (11) являются поли ( ( номами второй степени от. Коэффициенты второго, первого и нулевого порядков в двух уравнениях из (11) приводят к четырем уравнениям.

Итак, Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) 1 Ar(1) = r RR 1 + RAr R 1 + (1) RR 1, (12a) r r r r = (TAr r T )T 1 ( RAr r R) R 1 + (TT 1 RR 1 ), (1) (12b) 2 2 Au R = RAu u R, (1) (12c) 1 = TAv T ( v T )T.

(1) (12d) A v Пусть ( ) ( ) ( ), = ( 0 ), H = ( ) ( ), ( ) = ( ), Z = 0 (13) 0 0 - комплексная постоянная.

Явный вид матрицы S 0 | | 2 + ( 0 u ) I, S= 0 (14) 1+ | | 2 0 (| | ) u u 2 u I.

u S = 0 (15) 1+ | | 2 u u 2 (| | 2 ) u Теперь чтобы применить преобразование Дарбу первой степени (10) для нахождения односолитонного решения мы должны взять решение ( Au, Av, Ar, ) нулевым или три виальным.

Используя (15) получим (| | 2 ) u 2 u u 1 0 + 0 1.

= (1) (16) (| | 2 ) u (1+ | | 2 ) 2 u u Введем параметры r 0 = i, ( ) =, = ( 0 ) = v. (17) 0 u Тогда из (17) имеем r u = (v r 2 ( 0 u ) 1 ) u =, (18a) ( 0 u ) r u = (v r 2 ( 0 u ) 1 ) u =. (18b) ( 0 u ) Из (16) получим 2( 0 0 ) 2 4( 0 0 ) {(| | 2 ) u + ( 2 u u )( 2 u u )} + (| | 2 ) u + 2 2. (19) tr ( ) = (1) 2 (1+ | | ) (1+ | | ) 24 Заметим, что {(| | 2 ) u + ( 2 u u )( 2 u u )} = u u (1+ | | 2 ) 2, (| | 2 ) u = ( ) u = u + u, Тогда 2( 0 0 ) 2 4( 0 0 ) u u (1+ | | 2 ) 2 + ( u + u ) + 2 2.

tr ( (1) ) 2 = (1+ | | ) (1+ | | ) 24 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Учитывая (17) и 2uvr 2 + r 4 2u (2uvr 2 + r 4 ) | | 2 = =| | 2 = v 2 +, (| | 2 ) u =, 1+ u2 (1 + u 2 ) r2 r2 r u u = u u = ( )= (i u ) 2 (i + u ) 2 (i + u 2 ) получим 16iu (2uvr 2 + r 4 ) 8r + 2 2.

tr ( ) = + (1) (20) ((1 + v )(1 + u ) + 2uvr + r ) ((1 + v )(1 + u ) + 2uvr + r ) 2 2 2 42 2 2 2 Заменим на i, где R (8r 4 + 16u (2uvr 2 + r 4 )) 2 2.

tr ( (1) ) 2 = (21) ((1 + v 2 )(1 + u 2 ) + 2uvr 2 + r 4 ) После некоторых преобразовании имеем 8r 4 + 32 ( x + t )( x 2 t 2 )r 2 + 16r 4 ( x + t ) + 2 2.

tr ( (1) ) 2 = (22) ((r 2 + x 2 t 2 ) 2 + 2 x 2 + 2t 2 + 1) Отметим, что при = 0, решение ( Au(1), Av(1), Ar(1), (1) ) SU (2) проверяется определением группы SU(2). Теорема доказана полностью.

ЛИТЕРАТУРА 1. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. - М.: Мир.

1997. -414 с.

2. Косевич А.М. Иванов Б.А. Кoвалев А.С. Нелинейные волны намагниченности.

Динамические и топологические солитоны. -Киев: Наукова Думка, 1983. -190 с.

3. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.:

Наука, 1986. -527 с.

4. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987. 450 с.

5. Мырзакулов Р. Спиновые системы и солитонная геометрия. -Алматы.: Print-S, 2001, -351 с.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. -М.: Нау ка, 1981. -759 с.

7. Zhunussova Zh.Kh., Myrzakulov R. et. all. On the soliton geometry in multidimensions // Proc. of the Int. Conf. on "Differential geometry and Quantum Physics". -Berlin, 2000. Sfb 288 Preprint N481. -P. 44-49.

8. Ward R S, Asian J. Math. 3, 1999. -325 p.

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ЗАДАЧА ТИПА РОБИНА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ Г.К. Рзаева1, А.Б. Тунгатаров КазНУ им. аль-Фараби 2 ЕНУ им. Л. И. Гумилева Аннотация В работе решена задача типа Робина в бесконечной угловой области свободного раствора для одного класса эллиптических систем второго порядка на плоскости с сингулярной точкой.

Пусть 0 1 2, G = {z = re i : 0 r, 0 1 }. В области G рассмотрим урав нение в ( ) 2V 1 V V =0, (1) + zz 2z z 4r где в( ) C[0, ], 0 –действительный параметр, 1 1 + i, z = i.

z = x x y y 2 2 Уравнение (1) при = 0 описывает бесконечно малое изгибание поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения с общей структурой в точке уплоще ния [1, 2] исследовано в [3].

Решение уравнения (1) ищем в классе C (G ) W p2 (G ), 1 p 2 (2) Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1).

Задача С. Требуется найти решение уравнения (1) из класса (2), удовлетворяю щее краевым условиям V V (r,0 ) = 1 r, (r,0) = 2 r, (3) где, 1, 2 –заданные действительные числа.

В работе [4] нами получено многообразие решений уравнения (1) из класса (2) в виде V (r, ) = r (c 1 P,1 ( ) + c1 P,2 ( ) + c 2 Q,1 ( ) + c 2 Q,2 ( )), (4) 1 + где произвольные комплексные числа, 0– = +, = –, c1, c 2 произвольный параметр, P,1 ( ) = J, 2 k 1 ( ), P,2 ( ) = J, 2 k ( ), Q,1 ( ) = I, 2 k 1 ( ), Q,2 ( ) = I, 2 k ( ), k =1 k =0 k =1 k = i J,k ( ) = b(, ) J 0,k 1 ( )d, I,k ( ) = b(, ) I 0,k 1 ( )d, J,0 ( ) = e cos, 0 10 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) i i ( ) sin, b(, ) = b( )e 2 sin ( ) I,0 ( ) = e Из определения функции P,1 ( ), P,2 ( ), Q,1 ( ), Q,2 ( ) вытекают следующие соотно шения P,1 ( ) = b(, ) P, 2 ( )d, P,2 ( ) = J,0 ( ) + b(, ) P, 2 ( )d, 0 Q,1 ( ) = b(, )Q, 2 ( )d, Q,2 ( ) = I,0 ( ) + b(, )Q,1 ( )d, 0 i ( ) i P,1 ( ) b( )e P,1 ( ) = cos ( ) P, 2 ( )d, 2 i ( ) i P, 2 ( ) I, 0 ( ) b( )e P,2 ( ) = cos ( ) P,1 ( )d, 2 i ( ) i Q,1 ( ) b( )e Q,1 ( ) = cos ( )Q, 2 ( )d, 2 i ( ) i Q, 2 ( ) J, 0 ( ) b( )e Q,2 ( ) = cos ( )Q,1 ( )d, 2 Отсюда следует P,1 ( 0 ) = 0, P,2 ( 0 ) = 1, Q,1 ( 0 ) = 0, Q,2 ( 0 ) = 0, i P,1 ( 0 ) = 0, P,2 ( 0 ) =, Q,1 ( 0 ) = 0, Q,2 ( 0 ) =. (5) Подставив (4) в (3), с учетом (5) получаем i c1 = 1, c1 + c 2 = 2. (6) Таким образом, имеет место ) = r 1 P,1 ( ) + 1 P,2 ( ) + 2 + i1 1 Q,1 ( ) + 2 i1 1 Q,2 ( ). (7) V (r, 2 Следовательно, справедлива Теорема. Задача С имеет единственное решение, которое определяется по фор муле (7).

ЛИТЕРАТУРА 1. Усманов З. Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения. // Differential Geometry. Banach Center Publications. Warsaw. 1984. V.12-6.

2. Усманов З. Д. Изометрически сопряженная параметризация поверхностей в окрестности точки уплощения. // Докл. Расширенных заседаний семинара Института прикладной математики им. И. Н. Векуа. Тбилиси. 1985., Т.1., №1.

3. Абдыманопов С. А., Тунгатаров А.Б.Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. - Алматы: ылым, 2005. – 169 с.

4. Тунгатаров А.Б., Рзаева Г.К. О непрерывных решениях одного класса эллиптических систем второго порядка в угле произвольного раствора с полярной особенностью // Вестник КазНУ им Аль-Фараби, сер. мат., мех., инф. 2005., № (45). – С. 12-15;

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ СИСТЕМЫ ЛИЗОРКИНА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ Н.Т. Тлеуханова1, К Шаукенова2.

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева Карагандинский государственный университет имени Е.А.Букетова e-mai: tleukhanova@rambler.ru Аннотация В настоящей работе с помощью применения системы П.И.Лизоркина даны оценки погрешности квадратурных формул с равноотстоящими узлами для элемен тов класса Коробова и Бесова.

Лизоркиным П.И. в работе [1] была введена ортогональная система функций, построенная на базе тригонометрический системы {e 2ikx }=0. Основным достоинст k вом данной системы функций является то, что она образует безусловный базис в про странстве Бесова B, состоит из непрерывных функций и в то же время, имеет pq свойства системы Хаара.

В данной работе мы хотим показать пример применения системы Лизоркина для оценки погрешности квадратурных формул с равностоящими узлами для классов Бесова ([2]) и классов типа Коробова ([3]) по блочной системе.

Пусть {e 2ikx }= тригонометрическая система. Определим систему Лизор n кина, E = {En ( x)}=.

n Пусть n = 2 m 1 + s, s = 0,..., 2 m 1 1, E0 ( x) = 1, E1 ( x) = e 2ix, En ( x) = E ( s )+1 ( x), E n ( x) = E ( s )1 ( x), 1 m m 2 + + E2 m1 1 ( x t ( s )1 ), t n = 2ns+11 = E ( s )+1 ( x) где s 2 m 2 m ± 2iku ± + 2 m1 e m E2 m1 1 ( x) =, u = ( x 2 s 1 1 ).

1 2 m2 2 m k = Лемма 1. Пусть k N и имеет вид k = 2 +1 + s, где 0 s 2 1, m N. Тогда 0 при k 2 m ;

2 m 1 | d k |= m E (s )± ( m ) 1 r 2 r = 0 2 1 2 m при k 2.

m Доказательство 2 s +1 ) 1 2 1 1 2 1 ± 2il ( 2rm m | d k |= m 1 e = 2 r = 0 2 l = 2 12 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) 2 1 + 2il 2 s 1 2 1 ± 2il m r e e = 2m.

2 m + 1 l = 2 1 r = Известно, что 0 при l 2 m q, q Z ;

2 m 1 ± 2il r e = 2m при l = 2 m q.

2m 2m r = Пусть теперь m, тогда l 2 m 1 и число l не кратно 2 m. Тогда d k = 0 при k 2m.

Пусть m + 1. Тогда 2 1 l 2. В этом промежутке чисел l, кратных равно 2 1 m.

2m Тогда при k 2 m имеем 2 1 2 m 1 ± 2il r 1 2 m 1 2 m = e | d k | m.

2 m + 1 l = 2 1 m + 2m r = Лемма доказана.

f L1[0,1] с рядом Фурье по системе E = {En ( x)}=, Определение 1. Пусть n f k = (k ) Ek ( x), 0.

Будем говорить, что f принадлежит классу Коробова по системе Лизоркина E, если sup rZ r | (r ) |, где r = max(| r |,1).

~ Класс таких функций обозначим через E [0, 1].

Норму в этих пространствах введем следующим образом = sup r Г (r ) f E [ 0,1] ~ r Z + здесь {(r )} последовательность коэффициентов Фурье по системе Лизоркина.

Связь этой последовательности с последовательностью тригонометрических коэффи циентов Фурье определяется через формулу:

2ik 2m+ 2 m 1 s 2 Ck e 2 m1 + s = k = 2 m ~ f E [0,1], то ряд Фурье функции f Лемма 2. Если 1 и по системе {En ( x)}= сходится абсолютно.

n Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Доказательство.

| (k ) | sup | (k ) | k =c f E ~ k = k k Z k = Оценим погрешность квадратурной формулы с равностоящими узлами для класса Коробова.

~ Теорема 1. Пусть 1 и f E [0,1]. Тогда 2 m 1 r c f ( x )dx f( ) f P 0 inf, E ~ 2 m 2m m PG r =0 2m где G2 m - множество полиномов по системе E порядка не выше 2 m.

Доказательство. и. Не уменьшая общности можно считать. Так как ряд Фурье функции сходится абсолютно (см. лемму 2), следующие операции имеют смысл.

1 2 1 1 2 m m r r 1 f ( x)dx m f ( m ) = 0 f ( x)dx m (k ) Ek ( m ) = 2 r =0 k =0 2 r =0 1 2 1 m r = f ( x)dx (k ) m Ek ( m ) = (k )d k 2 r =0 k =0 k = 1 1 | (k ) | f E ~ k 2m k = 2m 2m k =2 m m 2 m(1 ) f c c = f. (1) E E ~ ~ 2m Пусть Pi - произвольный полином из системы G2 m. Из леммы 1 нетрудно видеть, что 1 2 m r P2 m ( m ) = C0 = 0 P2 m ( x)dx.

m 2 r =0 Тогда 1 2 1 1 2 m m r r 1 f ( x)dx m f ( m ) 0 P2 m ( x)dx + m P2 m ( m ) = 2 r =0 2 r =0 1 2 m r r ( x) P2 m ( x))dx m ( f ( m ) P2 m ( m )) = = (f 2 r =0 2 2 m 1 r c ( f P2 m )( = f P2 m )( x)dx ) f P2 m (.

E ~ 0 m m m 2 r = 14 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) В последнем неравенстве применили соотношение (1).

В силу произвольности выбора P2 m теорема доказана.

Теперь покажем оценки погрешности квадратуры для классов Бесова.

Пусть 1 p, 0, 0 Введем пространство B ([0,1]), как множество p тригонометрических рядов (не обязательно сходящихся) f ( x) = ak e 2ikx, k Z для которых конечна величина 1/ k k ( f ) L, при 0, f B ([0, 1]) = k =0 p p f B ([0, 1]) = sup 2 k ( f ) L, при =, rk p p k N где am e 2imx, k ( f ) = 2 k 1 | m| 2 k {ak } - последовательность коэффициентов Фурье функции f по тригонометриче ской системе.

f = k Z k Ek (x) при Теорема 2. (Лизоркин П.И., стр.96) Для того чтобы ряд надлежал пространству B r (E ), r R,1 p,1 необходимо и доста p точно, чтобы коэффициенты k удовлетворяли условию 2ik r p 2 p Г m, p, = r 2 k 1 m 2 k k1 = когда и 2ik r p = sup 2 p Г m, p, r 2 k 1 m 2 k k когда = Теорема 3. Пусть 1 p, 0 q, 1 и f B [0,1]. Тогда pq 2 m 1 r c f ( x )dx f( ) E2 m 1 ( f ) B 2 m 2m m p r = Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) где E 2m 1 ( f ) B - наилучшее приближение функций тригонометрическими полино p мами порядка 2 m 1 в пространстве B.

p Доказательство. Так как 1 ряд Фурье функции сходится абсолютно. Как и в доказательстве теоремы 1, воспользуемся леммой 1.

1 2 1 m r f ( x)dx m f ( m ) = (k )d k 2 r =0 2 k = 1/ p 2 k 1 2 k 1 k 1 2 p 2k 2 k | ( r ) | | (r ) | m m p k = m +1 r = 2 k 1 2 k = m +1 r = 2 k 1/ 1 / p k ( 1 ) 2 k 1 (1 ) k 1 / m 2 p p 1 k =+ | (r ) | 2 k = m +1 r =2 k m c m f S 2 m ( f ).

B p В последнем соотношении воспользовались теоремой Лизоркина. Теорема дока зана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Лизоркин П.И. О базисах и мультипликаторах в пространствах B r (T ) // Труды p математического института АН СССР.-1977.-Т.143.-С.88-104.

2. Бесов О.В.,Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-Москва: Наука.-1975.-480с.

3. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.-Москва:

Физматгиз. - 1963.-240с.

16 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Д. Аманов, Э.Р. Скоробогатова Институт матем. и информ. технологий АНРУз. г. Ташкент, Узбекистан.

e-mail: damanov@yandex.ru 1 Введение Краевые задачи для уравнения четвертого порядка изучены в работах[1-6]. В монографии [2] приведена наиболее полная библиография по уравнениям четвертого порядка.

В настоящей работе для уравнения четвертого порядка 4 Lu 4 3 u = f ( x, t ) (1) x t в области = {(x, t ) : 0 x P, 0 t T } ставятся и исследуются три краевые задачи.

Отметим, что краевые задачи для уравнения (1) исследуются впервые нами.

2 Постановка задач Задача 1. Найти в области решение u (x, t ) уравнения (1) удовлетворяющее условиям u x =0 = u x = P = 0, u x x =0 = u x x = P = 0, 0 t T, (2) u t =0 = u t = ut = 0, 0 x P. (3) t =0 t =T Задача 2. Найти в области решение u (x, t ) уравнения (1) удовлетворяющее условиям (3) и u x =0 = u x = P = 0, u xx x =0 = u xx x = P = 0, 0 t T. (4) Задача 3. Найти в области решение u (x, t ) уравнения (1) удовлетворяющее услови ям (3) и u x x =0 = u x x = P = 0, u xxx x =0 = u xxx x = P = 0, 0 t T. (5) Определение. Функцию u (x, t ) C 1 ( ) C x4,,t3 ( ) назовем регулярным решением задачи 1, если она в удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3).

3 Априорная оценка Справедлива следующая () Лемма. Пусть u (x, t ) регулярное решение уравнения (1) и u C 4. Тогда существует постоянное число C 0 зависящее от области и независящее от функции u (x, t ) такое, что любое регулярное решение задачи 1, принадлежащее классу C 4 ( ) удов летворяет оценке u w ( ) C Lu L ( ). (6) 2 Доказательство. Умножая обе части равенства 4 u 3u = Lu (7) x 4 t Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) на функцию u t (x, t ), учитывая условия (2), (3) и интегрируя по области, получаем u t Ludxdt.

(8) u tt L2 ( ) Далее, используя неравенство t T u t2 (x, t ) = u (x, )d 2 u t u tt dt 0 и (8) находим 4T 2 u t Ludxdt.

ut L2 ( ) Складывая это неравенство с (8) и применяя к правой части полученного неравенства известное неравенство 1 a + b, ab (9) и выбирая =, находим 4T 2 + ( ) + u tt 4T 2 + 1 Lu 2 2 (10) ut ( ) L2 ( ) L2 ( ) L Умножая обе части (7) на u (x, t ), интегрируя это равенство по области {0 t, 0 x P} после несложных преобразований, получаем T u Lu dxdt.

+ ut 2 (11) T u xx L2 ( ) L2 ( ) Используя неравенство [ ] t T u 2 ( x, t ) = u ( x, ) d 2 u u t dt 0 легко получаем TP 4T 3 u Lu dxdt.

(12) u L2 [ ] Складывая (11) и (12), используя (9) и (10), выбирая 1 = имеем ( ) T 4T 2 + + ut + u tt + u xx C12 Lu 2 2 2 2. (13) u L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) Нормы u x легко оцениваются через u, кото, u xt, u xx, u tt L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) L2 ( ) рые в свою очередь оцениваются через Lu. Учитывая эти значения и (13) уста L2 ( ) навливаем (6).

Следствие. Из (6) следует единственность и непрерывная зависимость решения от f (x, t ).

4. Регулярная разрешимость задачи 1.

Теорема. Если f (x, t ) C ( ), f x (x, t ) C ( ), f xx (x, t ) L2 ( ) и f (0, t ) = f (P, t ) = 0, f x (0, t ) = f x (P, t ) = 0, то регулярное решение задачи 1 существует.

Доказательство. Применяя метод разделения переменных получаем формальное решение задачи 1 в виде 18 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) u (x, t ) = u n (t )X n ( x ), (14) n = где [(shn P sin n P )(chn x cos n x ) (chn P cos n P )(shn x sin n x )], X n (x ) = an P a n = (sh n P sin n P )(ch n x cos n x ) (ch n P cos n P )(sh n x sin n x )] dx ) 2, n корни уравнения ch n P cos n P = 1, 4 3 t cos 3 4 3 T 2 + exp 1 4 3 (3T t ) cos 3 n t exp n 2 n 2 n 3 u n (t ) = 2 3 exp n 3 T Pn (t ) 3 n T f n ( ) exp n 3 d + 3 1 4 1 exp n 3 (T + 2t ) 2 exp n 3 (T t ) cos n t 2 2 2 + 3 n exp n 3 T Pn (t ) 3 3 43 14 T T d + 8 f n ( ) exp n 3 ( t ) d + f n ( ) exp n 3 (T ) cos 1 n (T ) 2 2 3 n 3 t 3 43 14 t f n ( ) exp n 3 (t ) cos 2 n (t ) 3 d, + 2 3 83 n 3 43 Pn (t ) = 1 + 2 exp n 3 T cos, n T 2 2 P f n ( ) = f (, ) X n( )d.

Нам необходимо доказать сходимость рядов (14) и 4u = 4 u n (t ) X n ( x), (15) x 4 n = n 3u = u n'' (t ) X n ( x), ' (16) t n = Если мы покажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (15), то из урав нения (1) следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (16), а также абсолют ная и равномерная сходимость ряда (14).

Чтобы доказать абсолютную и равномерную сходимость ряда (15), предвари тельно оценим u n (t ) :

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) T ( ) exp n 3 d 4 f n u n (t ) + 1 n exp n 3 T 2 3 43 2 14 d exp n 3 T T 2 n (T ) 2 f n ( ) exp n 3 (T ) cos 2 2 3 + + 3 n exp n 3 T 2 T f n ( ) exp n 3 ( t ) d + 1 + 3 n 3 t 3 43 14 t f n ( ) exp n 3 (t ) cos n (t ) d + 2 2 3 n 3 Используя неравенство Коши-Буняковского имеем C fn un. (17) n Интегрированием по частям получаем f n (t ) = f n (t ), (18) n где P f x2 [( shn p sinn p )( chn x + cosn x ) = f n (t ) an ( chn p cosn p )( shn x + sin n x )]dx Теперь покажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (15). Для ряда (15) мажорирующий ряд имеет вид (19) u n (t ) n n = Используя (17), (18) ряд (19) можно представить в виде fn L2 ( ) 1 C 4 = C C1, т. к. f n fn C 0, C1 = C C 0.

L2 ( ) L2 ( ) n 10 4 n n n n =1 n =1 n = 3 n Теорема доказана.

Исследование задач 2, 3 проводится аналогичным образом.

Решения задач 2, 3 даются формулой (14), причем в случае задачи n x, n = 1, 2,..., Xn = sin P P а в случае задачи 20 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) n X 0 (x ) =, X 0 (x ) = 1 cos x P P P и суммирование производится по n = 0, 1,....

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Смирнов М. М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка. Ленинград. : Изд-во ЛГУ, 1972.-123с.

2. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент.: Фан. 2000.-144с.

3. Салахитдинов М. С. Аманов Д.Разрешимость и спектральные свойства самосо пряженной задачи для уравнения четвертого порядка. // Узб.мат. журнал – Ташкент, 2005. N3 c.72-77.

4. Аманов Д. Юлдашева А. В. Разрешимость и спектральные свойства самосопря женной задачи для уравнения четвертого порядка. // Узб. Мат. журнал.-Ташкент, 2007., N4, с. 3-8.

5. Отарова Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства кравевых задач для урав нений смешанного типа четвертого порядка. // Автореф. дисс…. Канд. физ.-мат.

наук. – Ташкент: Национальный университет Узбекистана, 2009. с. 18.

6. Салахитдинов М. С. Аманов Д. Разрешимость и спектральные свойства самосо пряженных задач для уравнений четвертого порядка. // Совр. Пробл. Мат. физ.

и информ. технол. : Труды международной конф. 18-24 апреля 2005. – Ташкент, Т. 1. с. 151-155.

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С.К. Кыдыралиев1, А.Б. Урдалетова Американский Университет в Центральной Азии, Бишкек, Кыргызская Республика e-mail: syrgak@mail.auca.kg Кыргызско-Турецкий Университет «Манас», Бишкек, Кыргызская Республика e-mail: aurdaletova@rambler.ru Жили, были два великих ученых Леонард Эйлер (1707 - 1783) и Жан Лерон Да ламбер (1717 - 1783). Оба отличались великим умом и наблюдательностью, сделали множество открытий, и написали большое количество научных трудов, над которыми нынче корпят студенты всех стран мира.

Однажды, один из них придумал метод решения систем линейных дифферен циальных уравнений. Услышав об этом, другой сказал: «Подумаешь. Я могу приду мать не хуже». И придумал.

Возможно, дело обстояло несколько иначе, и дело в том, что почта тогда была не ахти, а e-mail тогда еще не изобрели. Но как бы там не было, но с тех пор бедным студентам приходится изучать 2 метода: метод Эйлера, основанный на использовании собственных чисел матрицы коэффициентов системы и метод интегрируемых комби наций Даламбера.

Но жизнь не стоит на месте. Неумолимый научно-технический прогресс все увеличивает и увеличивает объем информации, который должен быть усвоен. И как результат, все чаще и чаще приходится сталкиваться с катастрофической нехваткой времени и необходимостью выбора только одного метода. Можно по-разному решать возникшую дилемму, но на наш взгляд, лучший выход из этой ситуации – объединить методы. К счастью, потенциал заложенный в исходных составляющих настолько ве лик, что возникает эффект синергии: объединенный метод проще, чем исходные.

Описанию этого метода посвящено наше дальнейшее изложение.

Будут рассмотрены только линейные системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений 2-го порядка, но следует отметить, что распространение результатов на более высокие порядки не представляет особых сложностей.

Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен тами, это система вида y = ay + bz + f ( x), (1) z = cy + dz + g ( x), где коэффициенты a, b, c, d – постоянные числа, а f и g – функции.

Характеристическое уравнение системы (1) это уравнение () = 0, (2) где функция () определяется коэффициентами системы (1) следующим образом:

22 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) a b () = = (a - )(d - ) – c b.

d c Корни уравнения (2) называются характеристическими числами системы (1).

Пусть p и q характеристические числа системы. Тогда, для того чтобы ре шить систему вычтем функцию py от левой и правой частей 1-го уравнения системы (1) и pz от обеих частей 2-го уравнения:

y py = (a p ) y + bz + f ( x), (3) z py = cy + (d p ) z + g ( x).

a p b Так как число р является характеристическим, определитель ра dp c вен нулю, а это значит, что строчки определителя пропорциональны. Пусть коэффи циент пропорциональности равен k.

Свернем левые части уравнений, умножим 2-ое уравнение на k ( ye px )e px = (a p ) y + bz + f ( x), k ( ze px )e px = kcy + k (d p ) z + kg ( x), и вычтем второе уравнение из первого.

Тогда [( y kz )e px ]e px = f(x) – kg(x). (4) Проинтегрировав уравнение (4), получим y kz = { [ f ( x) kg ( x)]e px dx + C1}e px. (5) Повторим процедуру, взяв q вместо p, и получим y mz = { [ f ( x) mg ( x))]e qx dx + C2 }e qx. (6) Рассмотрим равенства (5) и (6) как систему относительно неизвестных y и z, и решив ее получим решение системы (1).

Пример Решим систему уравнений y = z + 9e x, (7) z = 2y + z.

Характеристические числа системы (-1;

2) получим из уравнения Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) = 2 - - 2 = 0.

2 1) Воспользовавшись первым из них, перепишем систему в виде y ( 1)y = ( 1)y + z + 9e x, z ( 1)z = 2y + z ( 1)z, свернем левые части (ye x )e x = y + z + 9e x, (ze x )e x = 2y + 2z, и отняв от удвоенного 1-го уравнения 2-ое, получим [(2y z)e x ] e x = 18e x.

Проинтегрируем и получим 2y – z = (18x + C1)e -x.

2) Повторим процедуру, взяв второе характеристическое число:

y 2y = 2y + z + 9e x, z 2z = 2y + z 2z, затем (ye 2x )e 2x = 2y + z + 9e x, (ze 2x )e 2x = 2y z.

Прибавим к 1-му уравнению 2-ое [(y + z)e 2x ] e 2x = 9e-x, и проинтегрировав, получим y + z = (-3e –3x + C2)e 2x.

Для того чтобы найти y и z решим систему 2y z = (18x + C1 )e x, y + z = 3e x + C2 e 2x, и получим, что решение системы (7) есть пара функций 24 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) y = (6x 1 + А1 )e x + А2 e 2x, z = ( 2 6x A1 )e x + 2A2 e 2x.

Нам удалось получить 2 интегрируемые комбинации 2y – z и y + z потому что имелись два различных характеристических числа.

А что делать в том случае, когда характеристическое уравнение имеет только один кратный корень?

Наш метод позволяет получить решение системы (1) и в этой ситуации. Пока жем это.

Характеристическое уравнение системы (1) () = 0 имеет только один корень, если () = (a - )(d - ) – c b = (r - )2, где r есть значение характеристического чис ла. Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, полу чим, что r = (a + d)/2.

Следовательно, мы можем переписать систему (1) в виде:

a+d a+d y 2 y = (a 2 ) y + bz + f ( x), a+d a+d z z = cy + (d ) z + g ( x), 2 и затем a+d ad y 2 y = 2 y + bz + f ( x), a+d ad z z = cy z + g ( x).

2 Функция () при =(a + d)/2 имеет вид ad b 2.

ad c (a d )2.

Так как (r) = 0, строки определителя пропорциональны, и поэтому c = 4b Тогда систему (1) можно переписать в виде a+d ad y y= y + bz + f ( x), 2 (8) z a + d z = (a d ) y a d z + g ( x).

2 4b Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ab Умножив 1-ое уравнение системы (8) на, и добавив к нему 2-ое, умно женное на b, получим a+d ad ad ad y + bz y + bz = f(x) + bg(x).

(9) 2 22 Решением уравнения (9) является некоторая функция ad y + bz = F(x).

ad Выражение y + bz имеет место в правой части 1-го уравнения системы (8), и ad в правой части 2-го уравнения системы (8) с коэффициентом.

2b Поэтому, заменив его на F(x), получим линейные дифференциальные уравне ния 1-го порядка для функций y и z, соответственно.

Пример Решим систему уравнений y = 4y z + 4e x, (10) z = y + 2z 9.

Характеристическое уравнение системы 4 = 2 - 6 + 9 = имеет только один корень равный 3.

Используем его, и получим y 3y = y z + 4e x, z 3z = y z 9.

Cвернем левые части уравнений ( ) 3x 3x ye e = y z + 4e x, ( ) (11) ze 3x e 3x = y z 9.

и вычтем из 1-го уравнения 2-ое:

26 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) [(y z)e 3x ] e 3x = 4e x + 9.

Проинтегрируем, и получим y – z = -2e x - 3 + C1e 3x.

Для того чтобы завершить процесс решения системы, подставим значение функции y – z в правую часть любого из уравнений системы (10) (пусть это будет 1 ое) и проинтегрируем полученное уравнение.

( ye 3 x )e 3 x = -2e x - 3 + C1e 3x + 4ex, ( ye 3 x ) = 2e -2x - 3e -3x + C1, ye -3x = -e -2x + e -3x + C1 x + C2, y = -e x + 1+ C1 x e 3x + C2 e 3x.

Для того чтобы определить значение z достаточно проделать элементарную алгебраическую операцию:

z = y – (y - z) = -e x + 1+ C1 x e 3x + C2 e 3x - (-2e x - 3 + C1e 3x) = e x + 4 + (C1 x - C1 + C2 )e 3x.

Вышеизложенный метод может быть использован и для решения систем с пе ременными коэффициентами. Довольно простой пример подобного рода изложен да лее.

Пример Рассмотрим систему xy = y 4z + 27x 1/2, (12) xz = 2y + 3z.

Характеристическое уравнение системы 1 = 2 - 4 + 3 - 8 = 2 - 4 - 5 = 2 имеет корни -1 и 5.

1) Для того чтобы использовать первый из них (-1), перепишем систему в виде xy ( 1)y = y ( 1)y 4z + 27x 1/2, xz ( 1)z = 2y + 3z ( 1)z, свернем левые части уравнений Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) (xy) = 2y 4z + 27x 1/2, (xz) = 2y + 4z, и сложим уравнения системы:

[x(y + z)] = 27x 1/2.

Проинтегрируем и получим x(y + z) = 18x3/2 + C1.

2) Повторим процедуру, взяв второе характеристическое число:

xy 5y = 4y + 4z + 27x 1/2, xz 5z = 2y 2z, затем (yx 5 )x 6 = 4y + 4z + 27x 1/2, (zx 5 )x 6 = 2y 2z.

Отнимем от 1-го уравнения удвоенное 2-ое:

[(y 2z)x 5 ] x 6 = 27x 1/2, и проинтегрировав, получим (y - 2z)x -5 = -6x –9/2 + C2.

Для того чтобы найти y и z решим систему y + z = 18x 1/2 + C1 /x, y 2z = 6x 1/2 + C2 x 5, и получим, что решение системы (12) есть пара функций A y = 10x 1/2 + 2 1 + А2 x 5, x A z = 8x 1/2 + А2 x 5.

x Вышеизложенный метод работает и при решении систем линейных разностных уравнений. Следующий пример призван проиллюстрировать это утверждение.

28 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Пример Решим систему линейных разностных уравнений xn+1 = 0,7xn + 0,25y n + 0,1 0,9 n, (14) y n+1 = 0,04xn + 0,9y n 2, С начальными условиями x0 = 3 и y0 = 2.

Характеристическое уравнение системы (14) 0,7 k 0, = 0 (0,7 - k)(0,9 - k) – (-0,04)(0,25) = 0,04 0,9 k k2 – 1,6k + 0,64 = имеет корни k1 = k2 = 0,8.

Используя собственные значения, перепишем систему (14):

xn+1 0,8xn = 0,1xn + 0,25y n + 0,1 0,9 n, (15) y n+1 0,8y n = 0,04xn + 0,1y n 2, Умножим 2-ое уравнение системы (15) на 2,5 и вычтем из 1-го:

(xn+1 – 2,5yn + 1) = 0,8(xn – 2,5yn) + 0,1 0,9n + 5.

В результате получилось линейное разностное уравнение, решение которого есть функция n + 5 1 (0,8 ) + 0,1 (0,9 ) (0,8 ).

n n n xn – 2,5yn = 2(0,8 ) 1 (0,8 ) 0,9 0, Коэффициент (-2) мы получили из начальных условий:

x0 – 2,5y0 = 3 – 2,5 2 = -2.

Собрав подобные члены, получим, что xn – 2,5yn = 25 - 28 (0,8)n + 0,9n. (16) Так как характеристическое уравнение системы (14) имеет только один крат ный корень, мы знаем, что выражение xn – 2,5yn имеет место в правых частях уравне ний системы (15). В частности, в 1-м уравнении оно содержится с множителем (-0,1).

Используя этот факт, мы можем переписать 1-ое уравнение системы в виде xn+1 - 0,8xn = –0,1[25 - 28 (0,8)n + 0,9n] + 0,1 0,9n = xn+1 - 0,8xn = –2,5 + 2,8 (0,8)n. (17) Решением уравнения (17) является функция Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) n 2,5 1 (0,8 ) + 2,8n 0,8 n 1 = n xn = 3(0,8 ) 1 (0,8 ) = 3(0,8 ) 12,5 + 12,5 (0,8 ) + 3,5n(0,8 ) = [15,5 + 3,5n] (0,8 ) 12,5.

n n n n Для того чтобы найти yn можно воспользоваться равенством (16):

xn – 2,5yn = 25 - 28 (0,8)n + 0,9n = 2,5yn = xn – [25 - 28 (0,8)n + 0,9n] = 2,5yn = [15,5 + 3,5n](0,8)n - 12,5 - 25 + 28 (0,8)n - 0,9n = 2,5yn = [43,5 + 3,5n](0,8)n - 37,5 - 0,9n = yn = [17,4 + 1,4n](0,8)n - 15 - 0,4(0,9)n.

ЛИТЕРАТУРА Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных урав 1.

нений. – Минск: Вышэйшая школа, 1974.

2. Kydyraliev S.K., Urdaletova A.B. Solving Linear Differential Equations by Operator Factorization. The College Mathematics Journal, USA, vol. 27, No.3, May, 1996.

3. Boyce W.E., DiPrima, R.C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed., Wiley, New York, 1986.

4. Guterman, M.M., and Nitecki, Z.H., Differential Equations. A Fist Course, Saunders College Publishing, Philadelphia, 1988.

30 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ НАХОЖДЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева Институт математики МОН РК, Алматы, Казахстан e-mail: anar@math.kz, dzhumabaev@list.ru Аннотация На основе разбиения интервала и введения дополнительных параметров предлагается алгоритм на хождения решений нелинейной двухточечной краевой задачи. По исходным данным задачи построе на система уравнений для нахождения начального приближения параметра и получены достаточные условия сходимости алгоритма. Для изолированных решений рассматриваемой задачи установлено существование такого шага разбиения интервала, при котором построенная система имеет решение и алгоритм сходится.

Нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений служат математической моделью различных процессов естествознания и возникают во многих разделах прикладной математики.

Вопросы разрешимости краевых задач и разработка алгоритмов, позволяющих найти решение исследуемой задачи или его приближения рассмотрены многими ав торами. Библиографию и анализ работ по основным группам методов исследования краевых задач можно найти в [1].

В настоящей работе рассматривается нелинейная двухточечная краевая задача dx = f (t, x), t [0, T ], x Rn, (1) dt g ( x(0), x(T )) = 0, (2) где f : [0, T ] R n R n, g : R n R n R n непрерывны.

Часто применяемым методом решения краевых задач является метод стрельбы и его модификации [2-7]. В методе стрельбы предполагается, что задача Коши для уравнения (1) с начальным условием x(0) = s имеет решение x(t, s ) на всем интервале [0, T ] при s R n. Подставляя значения x(t, s ) в точках t = 0 и t = T в краевые условия (2) получим систему уравнений (s ) g (s, x(T, s )) = 0 относительно начального значе ния. Построение функции x(t, s ) эквивалентно нахождению общего решения уравне ния (1), что возможно в исключительных случаях. Для каждого s R n можно указать алгоритм вычисления значения (s ) [5, с. 585]. При этом мы имеем апостериорную информацию о свойствах функции (s ), которой недостаточно для применения из вестных теорем существования решения уравнения (s ) = 0.

Аналогичная ситуация имеет место в модификациях метода стрельбы: в методе параллельной пристрелки, в методе интервальной пристрелки и др.

В связи с этим в работах, где применяется метод стрельбы или его модифика ции, либо не приводятся условия существования решения и сходимости к нему пред лагаемого алгоритма, либо они даются в терминах общего решения рассматриваемого дифференциального уравнения.

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Известные условия сходимости алгоритмов метода стрельбы в терминах ис ходных данных очень жесткие и не выполняются для большинства краевых задач.

Поэтому в [8] задача (1), (2) была исследована методом параметризации, кото рый ранее в [9] был применен к линейной двухточечной краевой задачи.

Было предложено двухпараметрическое семейство алгоритмов нахождения ре шения задачи (1), (2) и в терминах исходных данных установлены достаточные усло вия их сходимости.

Каждый шаг алгоритма состоит из двух пунктов: а) решения систем уравнений относительно вектора параметров, составленной по разбиению отрезка [0, T ] и функциям f, g при известных решениях задач Коши на соответствующих интерва лах;

б) решения задач Коши на интервалах длины h 0 при найденных значениях компонент параметра.

В настоящей работе предлагаются алгоритмы нахождения решения задачи (1), (2), где нет необходимости в решении задачи Коши.

Возьмем число N и разобьем промежуток [0, T ) с шагом h = T N :

N [0, T ) = [(r 1)h, rh).

r = Через C ([0, T ], h, R ) обозначим пространство систем функций x[t ] = (x1 (t ), x2 (t ),, nN xN (t ))' с нормой x[] 2 = max sup xr (t ), где функция xr : [(r 1)h, rh) R n непрерыв r =1: N t [( r 1) h, rh ) на на [(r 1)h, rh) и имеет конечный предел при t rh 0, r = 1 : N.

Сужение функции x(t ) на r -ый интервал [(r 1)h, rh) обозначим через xr (t ) и задачу (1), (2) сведем к многоточечной краевой задаче = f (t, xr ), dxr t [(r 1)h, rh), r = 1: N, (3) ( ) dt g x1 (0), lim xN (t ) = 0, (4) t Nh lim xs (t ) = xs +1 ( sh), s = 1 : ( N 1), (5) t sh где (5) – условия склеивания решения во внутренних точках разбиения интервала.

Решением задачи (3) – (5) является система функций x[t ] = (x1 (t ), x2 (t ),, xN (t ) ) ' C ([0, T ], h, R nN ), где непрерывно дифференцируемая на [(r 1)h, rh) функция xr (t ), r = 1 : N, удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) при всех t [(r 1)h, rh), r = 1 : N и имеют место равенства (4), (5).

Если x* (t ) – решение задачи (1), (2), то система его сужений x* [t ] = (x1* (t ), x2 (t ),, * x* (t ) )' принадлежит пространству C ([0, T ], h, R nN ) и будет решением задачи (3) – (5).

N Наоборот, если система функций ~[t ] = (~1 (t ), ~2 (t ),, ~N (t ) )' – решение задачи (3) – (5), x x x x то функция ~ (t ), определенная равенствами: ~ (t ) = ~r (t ) при t [(r 1)h, r h), r = 1 : N, x x x ~ (T ) = = lim ~ (t ), является решением задачи (1), (2). Отметим, что условия склеи x xN t Nh вания решения (5) и дифференциальные уравнения (3) обеспечивают так же и непре рывность производных в точках разбиения интервала [0, T ].

32 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Обозначим через r значения функции xr (t ) на левых концах интервалов их определения: r := xr ((r 1)h), r = 1 : N. Произведем замену ur (t ) = xr (t ) r, t [(r 1)h, rh), r = 1 : N, и от задачи (3) – (5) перейдем к эквивалентной краевой задаче с параметрами du r = f (t, r + u r ), t [(r 1)h, rh), r = 1: N, (6) dt u r ((r 1)h) = 0, r = 1 : N, (7) ( ) g 1, N + lim u N (t ) = 0, (8) t Nh s + lim u s (t ) s +1 = 0, s = 1 : ( N 1), (9) t sh Если x(t ) – решение задачи (1), (2), то система пар (r = xr ((r 1)h);

ur (t ) = xr (t ) xr ((r 1)h) ), r = 1 : N, где xr (t ) – сужение функции x(t ) на [(r 1)h, rh), r = 1 : N, явля ется решением многоточечной краевой задачи (6) – (9). И, обратно, если система пар (r, ur (t )), r = 1 : N, является решением задачи (6) – (9), то функция ~(t ), определенная ~~ x равенствами:

~ (t ) = + u (t ) при t [(r 1)h, r h), r = 1 : N, ~~ ~ ~ (T ) = + lim u (t ), ~ x x r r N N t Nh будет решением нелинейной двухточечной краевой задачи (1), (2). Однако, задача с параметрами преимущественно отличается от задачи (3) – (5) наличием начальных условий (7).

При фиксированном значении r задача Коши (3), (4) эквивалентна интеграль ному уравнению Вольтерра второго рода t ur (t ) = f (, + ur ( ))d, t [(r 1)h, rh), r = 1: N. (10) r ( r 1) h Из (10) определив lim u r (t ), r = 1 : N, подставив их (8), (9), предварительно умножая t rh (8) на h = T N 0, получим систему нелинейных уравнений относительно r R n :

Nh h g 1, N + f (t, N + u N (t ))dt = 0, (11) ( N 1) h sh f (t, + u s (t ))d s +1 = 0, s + s = 1 : ( N 1), (12) s ( s 1) h которую запишем в виде Q1, h (, u ) = 0, R nN. (13) Условие A. При заданном N (h = T N ) уравнение Q1, h (,0) = 0, R nN, (14) Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ( ) ( и система функций u [t ] = u1 (t ), u2 (t ),, (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) имеет решение = 1, 2,, N ' R nN f (, )d, t [(r 1)h, rh), t u N0 ) (t ))' с координатами ur(0 ) (t ) = ( r = 1 : N, принадлежит (0) r ( r 1) h пространству C ([0, T ], h, R ). nN Выберем числа 0, u 0, x 0 и определим множества ){ } ( S (0 ), = (1, 2,, N )' R nN : r (r0 ), ){ } ( ( ) S u (0 ) [t ], u = u[t ] C [0, T ], h, R nN : u[] u (0 ) [] u, ){ ( G1 (0 ), u (0 ) [t ], x = (t, x ) : t [0, T ], x (r0 ) u r(0 ) (t ) x, t [(r 1)h, rh), r = 1 : N ;


} x (N ) lim u N0 ) (t ) x, t = T, ( t Nh { } ( ) G2 (0 ), u (0 ) [t ],, x = (v, w ) : v - 10 ), w - (N ) lim u N0 ) (t ) x.

( ( t Nh соответственно в G1 ((0 ), u (0 ) [t ], x ), Условие B. Функции f, g G2 ((0 ), u (0 ) [t ],, x ) имеют равномерно непрерывные частные производные f x, g, v и выполняются неравенства gw f x (t, x ) L(t ), g (v, w ) L1, g (v, w ) L2, v w где L(t ) - непрерывная на [0, T ] функция, L1, L2 – постоянные.

При выполнении условия B существует равномерно непрерывная в S ((0 ), ) Q1, h (, u ) S (u (0 )[t ], u ) матрица Якоби. Ввиду специальной структуры системы (11), (12), матрица Якоби имеет блочно-ленточный вид:

с11 (1, N, u N ) 0 с1N (1, N, u N ) Q1,h (, u ) c21 (1, u1 ) I =, I cN, N 1 (N 1, u N 1 ) 0 0 Nh c11 (1, N, u N ) = hg 1, N + f (t, N + u N (t ) )dt, где v ( N 1) h Nh Nh c1N (1, N, u N ) = hg 1, N + f (t, N + u N (t ) )dt I + f x(t, N + u N (t ) )dt, w ( N 1) h ( N 1) h rh f (t, + ur (t ) )dt, cr +1,r (r, ur ) = I + r = 1 : ( N 1), x r ( r 1) h 0 – нулевая (n n ) -матрица, I – единичная матрица размерности n.

34 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Q1, h (, u ) Как следует из [9], матрица Якоби обратима тогда и только тогда, когда обратима (n n) -матрица Nh f (t, N + u N (t ))dt + 1, N + M = hg v ( N 1)h 1 Nh rh + hg 1, N + f (t, N + u N (t ))dt I + f x(t, r + ur (t ))dt.

r=N w ( N 1)h ( r 1)h Q1, h (, u ) При этом обратная к матрица имеет вид d1N d11 d12 d d2 N d 21 d 22 d Q1, h (, u ) d3 N, = d d 32 d dN d N1 dN 2 dN где блочные (n n) -матрицы dij, i, j = 1 : n, определяются рекуррентными формулами:

d11 = M 1, j Nh rh d1 j = hM 1 g 1, N + f (t, N + u N (t ))dt I + f x(t, r + ur (t ))dt, j = 2 : N, r = N w ( N 1)h ( r 1)h rh d r +1, j = I + f x(t,r + ur (t ))dt d rj, r = 1 : ( N 1), j = 1 : N, j r + 1, ( r 1)h rh d r +1, r +1 = I + f x(t,r + ur (t ))dt d r, r +1 I, r = 1 : ( N 1).

( r 1)h За начальное приближение решения задачи (6) – (9) возьмем пару ((0 ), u (0 ) [t ]) и найдем последовательность ((k ), u (k ) [t ]), k = 1,2,, по следующему алгоритму:

Шаг 1. а) Из уравнения Q1, h (, u (0 ) ) = 0 найдем (1) = (11), (21),, (N) )' R nN ;

( б) компоненты системы функций u (1)[t ] = (u1(1) (t ), u21) (t ),, u N ) (t ) )' найдем по формулам ( ( f (, ) t ur (t ) = + ur( 0 ) ( ) d, (1) t [(r 1)h, rh), r = 1: N.

(1) r ( r 1) h Шаг 2. а) Из уравнения Q1, h (, u (1) ) = 0 найдем (2 ) = (12 ), (22 ),, (N ) )' R nN ;

( б) компоненты системы функций u (2 )[t ] = (u1(2 ) (t ), u22 ) (t ),, u N2 ) (t ) )' найдем по формулам ( ( Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) f (, ) t ur(2 ) (t ) = + ur(1) ( ) d, t [(r 1)h, rh), r = 1: N.

( 2) r ( r 1) h И т.д.

Шаг k. а) Решая уравнение Q1, h (, u (k 1) ) = 0, найдем (k ) = (1k ), (2k ),, (N ) )' R nN ;

( k б) компоненты системы функций u (k )[t ] = (u1(k ) (t ), u2k ) (t ),, u Nk ) (t ) )' найдем по формулам ( ( f (, ) t ur (t ) = + ur( k 1) ( ) d, (k ) t [(r 1)h, rh), r = 1: N.

(k ) r ( r 1) h И т.д.

Таким образом, получили последовательность пар ((k ), u (k ) [t ]), k = 0,1,2,. Дос таточные условия осуществимости, сходимости предложенного алгоритма, одновре менно обеспечивающие существование изолированного решения многоточечной за дачи с параметрами (6) – (9) устанавливает Теорема 1. Пусть при некоторых N (h = T N ), 0, u 0, x 0 вы полняются условия A, B, (n n) -матрица обратима для всех M (, u[t ]) S (, ) S (u [t ], u ) и имеют место неравенства:

(0 ) (0 ) rh j N L(t )dt, 1) max M 1 1 + hL2 1 + j =2 r = N ( r 1) h i ( r 1) h N 1 j ( r 1) h j 1 + L(t )dt + 1 + L(t )dt + 1 1 (h), rh N 1 + hL max 1 + L(t )dt M 1 j =i r = N i = 2: N r = N ( r 2 ) h ( r 2) h j =2 r = N ( r 1) h rh rh rh 2) q1 (h ) = max L(t )dt + 1 (h )max L(t )dt 1, где 1 (h ) = 1 (h ) max(hL2,1) max L(t )dt, r =1: N r =1: N r =1:N ( r 1) h ( r 1) h ( r 1) h 1 (h ) max M r h, где M r = sup f (t, (r0 ) ), 3) 1 q1 (h ) r =1: N t [( r 1) h, rh ) q (h ) max M r h u, 5) + u x.

4) 1 q1 (h ) r =1: N Тогда определяемая по алгоритму последовательность пар ((k ), u (k ) [t ]), k = 0,1,2,, принадлежит S ((0 ), ) S (u (0 ) [t ], u ) сходится к решению (*, u * [t ]) S ((0 ), ) S (u (0 )[t ], u ) задачи (6) – (9) и справедливы оценки:

(q1 (h ))k +1 max M h, a) u [] u [] * (k ) 1 q1 (h ) r =1: N r 1 (h ) u *[] u ( k ) [].

b) * (k ) Причем любое решение задачи (6) – (9) в S ((0 ), ) S (u (0 ) [t ], u ) изолировано.

Доказательство теоремы проводится по схеме доказательства теоремы 2 из [8, с. 47] c учетом особенностей предложенного алгоритма нахождения решения задачи.

При нахождении параметра на каждом шаге алгоритма мы используем усиление ло кального варианта теоремы Адамара из [8, с.41].

36 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Предложенный алгоритм начинается с нахождения решения системы урав нений (14). В силу нелинейности эта система уравнений относительно R nN может иметь несколько решений. Поэтому и задача (6) – (9) так же может иметь несколько решений в окрестностях соответствующих (0 ) R nN – решений системы уравнений (14).

Функции x (k ) (t ), k = 0,1,, определим равенствами: x (k ) (t ) = (rk ) + ur( k ) (t ) при t [(r 1)h, rh), r = 1 : N, x (k ) (T ) = (rk ) + lim ur( k ) (t ) и через S (x ( 0 ) (t ), x ) обозначим множе t Nh ство кусочно-непрерывно дифференцируемых функций x : [0, T ] R n, удовлетворяю щих неравенствам x(t ) x (0 ) (t ) x, t [(r 1)h, rh), r = 1 : N, x(T ) x (0 ) (T ) x.

Ввиду эквивалентности задач (1), (2) и (6) – (9) из теоремы 1 следует Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то последовательность функ ций x (k ) (t ), k = 0,1,, содержится в S (x ( 0) (t ), x ), сходится к решению x* (t ) S (x ( 0 ) (t ), x ) задачи (1), (2) и справедливы неравенства (q1 (h ))k +1 (1 + (h) )max M h, t [0, T ].

x* (t ) x ( k ) (t ) 1 q1 (h ) 1 r r =1: N Причем любое решение задачи (1), (2) в S (x ( 0) (t ), x ) изолировано.

В теореме 2 изолированность означает, что существует окрестность решения x (t ) задачи (1), (2), в которой нет других решений. Однако известно, что изолиро * ванное в этом смысле решение, вообще говоря, не обладает свойством непрерывной зависимости решений от изменений правой части дифференциального уравнения и граничного условия. В связи с этим рассматривается изолированное в более узком смысле решение задачи (1), (2).

Следующее определение является модификацией определения изолированного решения задачи (1), (2) из [10, с. 792].

Определение. Решение x* (t ) задачи (1), (2) называется "изолированным", если существует число 0 0 при котором функции f и g соответственно в { } { } G1*, 0 = (t, x ) :t [0, T ], x x* (t ) 0, G2, 0 = (v, w ) : v x* (t ) 0, w x* (T ) 0 имеют * равномерно непрерывные производные f x, g, g и линейная однородная двухточеч v w ная краевая задача ( ) dy = f x t, x* (t ) y, t [0, T ], y Rn, dt g (x* (0), x* (T ) )y (0) + g (x* (0), x* (T ) )y (T ) = v w имеет только тривиальное решение y (t ) 0.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 1 любое решение (1), (2) из S (x (t ), x ) является "изолированным".

(0) Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) Следующее утверждение показывает, что условия теоремы 1 не только доста точны, но и необходимы для существования "изолированного" решения.

Теорема 4. Краевая задача (1), (2) имеет "изолированное" решение тогда и T только тогда, когда найдется N h =, при котором имеют место предполо N жения А, В и выполняются условия 1) – 5) теоремы 1.

Доказательства теорем проводятся с использованием схем доказательств соот ветствующих теорем из [8].

Основное отличие теоремы 3 от аналогичного утверждения из [8] заключается в том, что существование изолированного (в смысле определения) решения обеспечи T вает существование такого N h =, что система нелинейных уравнений (14) N имеет решение.

Таким образом, если для задачи (1), (2) существует "изолированное" решение, то T всегда найдется такой N h =, при котором система уравнений (14) имеет ре N шение и предложенный в статье алгоритм сходится к решению задачи (1), (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования ре шений краевых задач. Киев: Наук. думка, 1986.

2. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: На ук. думка, 1963. Ч.1.

3. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary-value problems. Blaisdell:

Walthan, 1968.

4. Roberts S.M., Shipman J.S. Two-point boundary-value problems: Shooting methods.

N.Y.: Elsevier, 1972.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Физматгиз, 1973.

6. Монастырный П.И. О сходимости метода интервальной пристрелки // Ж. вычисл.

матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 6. C. 1139-1145.

7. Монастырный П.И. О связи изолированности решений со сходимостью методов пристрел-ки // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 4. C. 732-740.

8. Джумабаев Д.С., Темешева С.М. Метод параметризации решения нелинейных двухточечных краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 1.

С.39–63.

9. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. - 1989. - Т. 29, № 1. - С. 50-66.

10. Keller H.B., White A.B. Difference methods for boundary value problems in ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1975. Vol.12. No 5. pp. 791-802.


38 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) ЛОГИКА ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОПРОДУКТОВЫХ РАССРЕДОТОЧЕННЫХ РЫНКОВ А.Г. Коваленко Аннотация Одной из непростых задач системного аналитика является задача объединения моделей от дельных активных субъектов, взаимодействующих между собой, в единую систему. Такие объедине ния приводят к новым постановкам задач. В рассматриваемом случае показывается, как на основе рассредоточенного рынка совершенной конкуренции многие субъекты, описываемые задачами нели нейного программирования, сводятся в единую систему. И целью моделирования является отыскание ценового равновесия в этой системе. Для такого объединения автором получены многие интересные результаты [1]. По мнению автора, данное направление работ может оказаться весьма продуктивным с точки зрения развития:

—замена конечномерных задач, которые описывают субъектов, на вариационные задачи;

—включение в систему иных взаимодействий, например, монопольных.

1. Обозначения Для описания моделей воспользуемся основными определениями и обозначе ниями теории графов. Пусть G=E,V,H связный конечный ориентированный граф, Е множество вершин графа, V множество дуг, Н отображение H:V Е Е. Каж дой дуге v V отображение H ставит в соответствие упорядоченную пару (h1(v), h2(v)) вершин из Е: h1(v) начало дуги v, h2(v) конец. Будем говорить, что из вершины i выходит дуга v, если i=h1(v), и входит в вершину j, если j=h2(v). Множест во дуг, входящих в вершину i, обозначим через V + (i), множество дуг, выходящих из вершины i, обозначим через V – (i).

2. Модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как задача потокорас пределения теории гидравлических сетей Вершины iE интерпретируем как пункты локальные рынки куплипродажи некоторого однородного продукта. Субъектами рынков являются:

– конечные потребители этого продукта;

– предприятия, производящие его;

– агенты, осуществляющие экспортно-импортные операции за пределы модели руемой системы;

– арбитражеры, которые покупают продукт в вершинах с меньшей ценой и про дают в вершинах с большей ценой.

Каждой вершине iЕ в соответствие поставим переменные Pi, zi, i, i, интер претируемые соответственно как цена, объем экспортно-импортного сальдо, объем производства и объем потребления этого продукта. Модели поведения субъектов рынка опишем в виде функций предложения предприятий i (Pi ), функций спроса конечных потребителей i (Pi ), кривой экспортно-импортного сальдо zi (Pi ), которые выводятся из соответствующих экстремальных задач при их взаимодействии в усло виях равновесия конкурентного рынка. Описание функционирования арбитражеров приведем далее.

Дуги vV интерпретируем как торгово-транспортные коммуникации (системы), по которым арбитражеры осуществляют транспорт потока. Обозначим через yv вели Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) чину потока, идущего по дуге vV. Направление дуги указывает положительное на правление потока. Объем транспорта yv по дуге v зависит от разности цен между ин цидентными пунктами и в равновесном состоянии описывается зависимостью yv = v (Ph2(v) Ph1(v)), vV, (1) причем, если Ph2(v) Ph1(v), то yv 0, yv возрастает с ростом (Ph2(v) Ph1(v)), если Ph2(v) Ph1(v), то yv 0. Эта зависимость описывает модель арбитражера и фактически отражает конкурентное предложение пункта h1(v ) пункту h2(v ) при разности цен (Ph2(v ) Ph1(v ) ) 0, и, наоборот, предложение пункта h2(v ) пункту h1(v ) при разности цен (Ph2(v ) Ph1(v ) ) 0.

Перепишем зависимость (1) в виде Ph2(v ) =Ph1(v ) + v1 (yv ), vV, (2) т.е. цена Ph2(v ) продукта в конце дуги v равна цене продукта в начале дуги v плюс це на, добавленная при его транспортировке v1 (yv ), где v1 функция, обратная для v. Пользуясь терминологией теории гидравлических сетей, соотношения (1), (2) в дальнейшем будем называть замыкающими соотношениями.

Граничные условия. Разобьем множество вершин Е на три непересекающиеся части Е1, Е2 и Е3. В вершинах из Е1 зафиксированы цены, (вершины с фиксирован ными ценами P*i и свободным (искомым) отбором (внешнеторговым сальдо) Bi):

Pi = P*i, iE1. (3) В вершинах из E2 задана величина внешнеторгового сальдо (вершины с фиксирован ным отбором B *i и свободной (искомой) ценой ):

zi = B*i, iE2. (4) В вершинах из E3 объем внешнеторгового сальдо zi связан с ценой Pi зависимостью iE3, zi = zi (Pi), (5) (вершины с подвижными ценами и отбором ).

Условия продуктового баланса. В условиях равновесия объемы внешнетор гового сальдо, производства и потребления, ввоза–вывоза арбитражерами этого про дукта сбалансированы, поэтому {yv :vV +(i)} { yv : vV (i)} + i i = zi, iE. (6) В теории гидравлических сетей это равенство называют Первым правилом Кирхгофа.

Задача отыскания значений переменных Pi, i, i, zi, i E, yv, vV, удовлетворяющих уравнениями (2) (6), является задачей потокораспределения в гидравлической сети с нефиксированными отборами.

40 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) 3. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как система экстремальных задач Представим функции предложения производителей i(Pi), функции спроса ко нечных потребителей i(Pi), функции (кривые) экспортно–импортного сальдо zi(Pi), которые выводятся из соответствующих экстремальных задач при их взаимодействии в условиях равновесия конкурентного рынка. Теперь будем считать, что каждый из субъектов описан своей экстремальной задачей.

Модель конечного потребления в вершинах iE опишем задачей максимизации по лезности ui(i, i) max, (7) при бюджетных ограничениях Pi i + i i Mi, (8) i 0, i 0, где i – объем потребления продукта исследуемого рынка, Pi – его цена, i – прочие продукты, i – их цена.

Модель производства в вершинах iE опишем задачей максимизации прибыли Fi=i Pi Yi, PYi ri, Pri max, (9) при ограничениях i f i (Yi, ri), (10) 0 i ri ri, (11) где переменные Yi, PYi соответственно означают вектор объемов и вектор цен факто ров производства, которые приобретаются у других отраслей;

ri – вектор объемов факторов производства, имеющихся в наличии (ресурсов производства);

ri – вектор предельных объемов этих факторов;

ri 0i, 0i – нуль–вектор, имеющий такую же раз мерность, что и вектор ri. Факторы производства ri можно интерпретировать, напри мер, как объем фондов, численность трудящихся, сырьевые ресурсы, и т.д., fi произ водственная функция, связывающая выпуск с потреблением.

Модель арбитража. Для дуг vV, интерпретируемые как торгово транспортные коммуникации (системы), по которым арбитражер осуществляет транспорт продукта, соответствующие экстремальные задачи имеют вид Fv= yv (Ph2(v ) – Ph1(v )) rv, Prv max, (12) при ограничениях | yv | fv (rv ), (13) 0v rv rv, (14) где объем перевозок | yv | по дуге v определяется производственной функций fv (rv );

rv – вектор ресурсов производства (объем фондов, численность трудящихся, занятых в производственном процессе,…);

rv – вектор предельных объемов ресурсов;

rv 0v, 0v – ноль–вектор, имеющий такую же размерность, что и вектор rv.

Условия продуктового баланса. В условиях равновесия объемы внешнеторгового сальдо, производства и потребления, ввоза – вывоза арбитражерами этого продукта сбалансированы, поэтому Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) y y + i i zi = i E 2 E 1. (15) v v vV + ( i ) vV ( i ) Все локальные рынки будем считать рынками совершенной конкуренции, по этому субъекты являются ценополучателями. В их экстремальных задачах перемен ные (Pi, Pri : iЕ2Е3), (Ph2(v ), Ph1(v ), Prv : vV), интерпретируемые ценами, являются параметрами.

3 Описание модели многопродуктового рассредоточенного рынка Пусть m – количество отраслей в анализируемой экономической системе. Так же как и в модели межотраслевого баланса В. Леонтьева [2] между отраслями и вы пускаемыми ими продуктами установим взаимно однозначное соответствие. Каждой отрасли s=1,2,3,…,m поставим в соответствие конечный ориентированный граф Gs = Es, Vs, Hs, описывающий структуру рассредоточенного рынка s-го продукта, Еs множество вершин его графа, Vs множество дуг, Нs отображение Hs : Vs Еs Еs, E s E s1=, V s V s1 =, при s s1. Каждой дуге v Vs отображение H s ставит в соот ветствие упорядоченную пару (h1 (v), h2 (v)) вершин из Е s, h1 (v) начало, h2 (v) конец дуги v. Через G=E, V, H обозначим граф, получаемый объединением графов Gs, т.е.

m m m G = Gs, E = Es, V = Vs s =1 s =1 s = Будем говорить, что из вершины iEs графа Gs выходит дуга v Vs, если i=h1 (v), и входит в вершину j Es, если j=h2( v ). Множество дуг, входящих в вершину i графа Gs, обозначим через V + ( i ). Множество дуг, выходящих из вершины i в графе Gs, обозначим через V - ( i ).

Вершины i E s будем интерпретировать как пункты – локальные рынки, в ко торых в соответствии с установившейся ценой, осуществляется обмен продукцией отрасли s между различными субъектами. Субъекты поставляют, либо вывозят про дукцию по входящим и выходящим дугам, а также поставляют (либо потребляют) продукцию извне. В некоторых пунктах могут располагаться предприятия, которые потребляют продукцию других отраслей и производят продукцию данной отрасли.

Подробное описание всех субъектов приводится далее.

Пусть v – некоторая дуга из V s V. Субъект, соответствующий этой дуге графа, осуществляет процессы купли-продажи между вершинами h1(v) и h2(v). Обозначим через Pyv и pyv цены продукта соответственно в начале и конце дуги v. Если Pyv pyv, то продукт покупается в вершине h1(v) и продается в вершине h2(v), в противном случае покупается в вершине h2(v) и продается в вершине h1(v). Обозначим через yv величину потока продукта s, идущего по этой дуге, направление дуги указывает его положительное направление.

Поток может идти как в прямом, так и в обратном на правлении, т.е. величина yv может быть как положительной, так и отрицательной, причем sign (yv)=sign (Pyv – pyv ). Объем перевозок | yv | по дуге v определяется произ водственной функций fv (rv ), | yv | fv (rv ), vV, (16) 42 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) где r v – вектор ресурсов (объем фондов, численность трудящихся, занятых в произ водственном процессе,…), 0v rv R v, v V, (17) R v – вектор предельных объемов ресурсов,R v 0v, 0v – ноль-вектор, имеющий такую же размерность, что и вектор rv. Целью субъекта является максимизации прибыли Fv=yv (Pyv – pyv ) rv, Prv max, v V, (18) где Prv вектор цен за использование единицы объема ресурса. Субъекты конкурент ных рынков являются ценополучателями. Поэтому в задаче (16) – (18) разность (Pyv – pyv ) является параметром, определяемым состоянием рынка, и оптимизация прово дится по переменным yv, rv. Заметим, что различие условий перевозок в разных на правлениях может быть учтено видом производственной функции fv (rv ). Экстре мальная задача (16) – (18) определяет функцию yv =v (Pyv –pyv ), являющуюся торго во-транспортной кривой дуги v Vs. Торгово-транспортная кривая описывает предло жение одного пункта другому в зависимости разности цен между ними.

Опишем взаимосвязь отраслей между собой и с конечными потребителями, по зволяющую объединить отдельные рассредоточенные рынки в единую систему. Рас смотрим некоторую вершину i Eso, so=1,2,3,…,m. Будем считать, что в ней распо ложено предприятие, потребляющее продукцию остальных отраслей s =1,2,3,…, m, включая so, т.е. выступающее в роли покупателя, и выпускающее продукцию отрасли so в вершину i, т.е. выступающее в роли продавца. Множество всех таких вершин обозначим через E прso. Дополним граф G дугами v ( {Vs| s=1,2,3,…,m}) следующим образом. Соединим вершину i дугами v с вершинами j E s, s=1,2,3,…,m, от которых это предприятие получает продукцию. Не ограничивая общности, будем считать, что для каждого из этих значений s такая вершина j E s единственная, и что дуги направ лены от j к i, т.е. j=h1(v), i =h2(v). Также будем считать, что движение потока опреде ляется закономерностями, описанными зависимостями (16) - (18). Множество всех дополнительных дуг, входящих в вершину i, обозначим через V +d (i). Множество всех дополнительных дуг, выходящих из вершины j, обозначим через V d ( j ).

Для v V +d ( i ) переменные y v, Py v соответственно означают объем и цену продукции, которая поступает на предприятие вершины i по этим дугам. Если через i обозначить объем продукции, выпускаемой этим предприятием, то i E прso, i =f i (( y v, v V +d (i) ), r i ), (19) пр 0 i r i R i, iE so, (20) где f i производственная функция, связывающая выпуск с потреблением, r i - вектор объемов используемых ресурсов (объем фондов, численность трудящихся, сырьевые ресурсы, и т.д.), R i - вектор предельных объемов ресурсов,R i 0 i, 0 i – ноль-вектор, имеющий такую же размерность, что и вектор r i. Решение об объемах выпуска и по требления, ценах принимается на основе критерия максимизации прибыли F i = i P i { yv Pyv | v V +d ( i ) } r i, Pr i max, i E прso, (21) Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) где P i – цена продаваемой продукции, Pri – вектор стоимостей ресурсов. В условиях конкурентного рынка все субъекты являются ценополучателями, поэтому перемен ные P i, Pyv, v V +d ( i ), являются параметрами, определяемыми состоянием рынка.

Оптимизация проводится по переменным i, y v, v V +d ( i ), ri. Эта задача опре деляет функцию предложения i = i (P i, (Py v, v V +d ( i ))) и функции спроса на по требляемые продукты y v = y v (P i, (Py u, u V +d ( i ))), v V +d ( i ).

Для моделирования конечного потребления дополним граф G множеством вершин Eпот. Соединим вершины i Eпот дугами v с вершинами j Es, от которых ко нечный потребитель получает продукцию, s=1,2,3,…,m. Не ограничивая общности, будем считать, что для этих значений s такая вершина j Es единственная, и что дуги направлены от j к i, т.е. j=h1(v), i =h2(v). Также будем считать, что движение потока определяется закономерностями (16) (18). Множество всех дополнительных дуг, входящих в вершину i, обозначим через V +d ( i ). Для этой вершины V d ( j ) V +( i ) V ( i ) =. Конечный потребитель может быть описан:

1. Задачей максимизации полезности f i ( y v, vV +d (i) ) при бюджетном ограни чении { Pyv yv |vV +d (i)} = M i, M i – величина бюджета;

2. Задачей минимизации затрат { Pyv yv |vV +d (i)} при заданном уровне по лезности i= f i ( y v, vV +d (i) ) ;

3. Задачей (19) – (21), если конечный потребитель является предприятием, вы пускающим продукцию за пределы анализируемой экономической системы.

Для анализируемых далее методов важно, чтобы на основе этих задач было возможно построение функций спроса. Легко заметить, что если в задаче (19) – (21) зафиксиро вать P i, то во всех 3-ех случаях эти функции имеют одинаковый вид yv = yv (Pyv,vV +d (i)). Поэтому конечное потребление будем описывать задачей (19) – (21) с фиксированным P i.

Пусть z i, Pz i соответственно отбор и цена отбора в вершине i E. Отбор и цену отбора можно интерпретировать как объем чистого экспорта (разность между экспор том и импортом), и его цену в вершине. Разобьем множество вершин на 3 непересе кающихся подмножества, E=E 1 E 2 E 3. Подмножество Eпот должно быть помеще но в E 2, т.е. Eпот E 2. Вершины i E 1 будем называть вершинами со свободной це ной и заданным отбором B i.. Для них iE1.

z i =B i, (22) Вершины i E 2 со свободным отбором и заданной ценой PB i iE2, Pz i =PB i, (23) в вершинах i E 3 отбор z i связан с ценой Pz i функциональной зависимостью iE3.

z i = i (Pz i ), (24) Эти вершины будем называть вершинами с подвижными ценой и отбором. В дальнейшем равенство (22) будем записывать также в виде z i = i (Pz i ) B i, Величи ны B i, PB i и зависимости z i = i (Pz i ) (кривые внешнеторгового сальдо) определяют 44 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) связь моделируемой экономической системы с другими (внешними) экономиче скими системами.

В условиях конкурентного рынка цены, по которым продукт вывозится, вво зится, и поступает с предприятия, находящегося в этой вершине, совпадают. Поэтому для i Es, s=1,2,3,…,m можно записать :

pyv = Pz i, v V ( i ) V d ( i ), (25) P i = Pz i, (25) Pyv = Pz i, v V + ( i ). (26) В состоянии равновесия цены Pz i, должны быть таковы, чтобы выполнялись условия продуктового баланса z i = yv y v y v + i (27) vV + ( i ) vV ( i ) vV d ( i ) Если принять соглашение, что сумма по пустому множеству равна нулю, для i Es\ E прs i =0, то (25) – (27) можно записать для всех iE.

Соотношения (16) – (27) являются моделью многопродуктового рассредоточен ного рынка в равновесном состоянии и представляют собой систему оптимиза ционных задач (16)(18) и (19)(21), определяемую граничными условиями (22)(24), которые в свою очередь связанны между собой условиями совпадения цен обмена продукцией (25)(26) и условиями совпадения объемов производства с объемами потребления (27).

В докладе для приведенных моделей будут рассмотрены методы отыскания со стояния равновесия, взаимосвязь этих состояний с централизованным управлением экономической системой, возможность включения монопольных взаимодействий субъектов.

ЛИТЕТАТУРА 1. Коваленко, А.Г. Развитие математических моделей и методов теории гидравличе ских сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка Диссер тация доктора физ.–мат. наук – М., 2006. – 305 с.

2. Леонтьев, В. Межотраслевая экономика. – М.: Экономика», 1997. – 479 с.

Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. 2009 г. № 4(63) МЕТОД ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОГНЕВОГО ПОРАЖЕНИЯ ПРОТИВНИКА В ОПЕРАЦИИ (БОЮ) М.Е. Шлейко Научный центр Национального университета обороны, г. Щучинск e-mail: m_shleiko@list.ru Аннотация В статье предлагается новый метод оценки эффективности огневого поражения противника в обще войсковых операциях и боях, который приемлем для практического использования.

Оценка вариантов боевого применения авиации, ракетных войск и артиллерии (далее – силы поражения) предполагает рациональность применения логических пра вил, соответствующего математического аппарата моделирования результатов вы полнения задач и их сравнение с поставленной целью. Для этого целесообразно цель отображать системой показателей, а её достижимость критериями эффективности.

Учитывая, что силы поражения свои задачи выполняют нанесением ударов и ве дением огня, объективной величиной, отражающей степень реализаций их боевых возможностей в операции (бою), является ущерб, наносимый группировке противни ка. То есть цель боевого применения авиации, ракетных войск и артиллерии совпада ет, по сути дела, с целью основной его составляющей - огневым поражением против ника (ОПП). Поэтому оценку вариантов боевого применения сил поражения можно свести к оценке вариантов огневого поражения и использовать при выборе подхода к формированию критерия эффективности ОПП концепцию адаптивизации.

Таким образом, основой определения целесообразного способа боевого приме нения авиации, ракетных войск и артиллерии является сопоставление (сравнение) по эффективности, в том числе и с эталонным, заданным параметрически или в иной форме, возможных вариантов огневого поражения противника. При этом сравнение по эффективности предполагает использование соответствующих показателей и кри териев огневого поражения противника.

Используя значения боевых потенциалов соединений и частей, метод определе ния которых изложен в [1], можно рассчитать боевые потенциалы противостоящих группировок сил поражения сторон и их соотношение по приведенной схеме (рис.1).

Анализ результатов моделирования операций (боев), ведущихся с применением обычных средств поражения, показывает, что силы поражения, как правило, исполь зуют свой боевой потенциал с большей эффективностью, чем средства ближнего боя, что вызывает необходимость учитывать указанные обстоятельства.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.