авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 10 ] --

Целевая функция задачи возрастает в направлении градиента grad f ()=(1,1). Оптимальным решением задачи является любая точка линии уровня (прямая перпендикулярная градиенту), лежащая на границе области ограничений в направлении градиента, рис.2. Т.е. это любая точка a(µ3 + µ4 ) a(µ3 + µ4 ) на прямой 1 + 2 =, а максимальное значение целевой функции равно.В 1+a 1+a зависимости от того, какую точку (1 *,2 *) мы выберем в качестве решения, соответствующими будут и вероятности переходов pij, i = 1, n, j = n + 1, n + m. Например, возьмем в качестве a(µ3 + µ4 ) a(µ3 + µ4 ) решения точку (1, 2 ) =, тогда, 2(1 + a) 2(1 + a) Рисунок 2 – Область ограничений задачи оптимизации 1 p13 (1 + a) + 2 p23 (1 + a) aµ3, 1 p14 (1 + a) + 2 p24 (1 + a) aµ4, p13 + p14 = 1, p23 + p24 = 1, или p13 + p23 2µ3, µ3 + µ 2µ p14 + p24 µ + µ, 3 p13 + p14 = 1, p23 + p24 = 1, откуда находим одно из возможных решений:

p13 = 0, p14 = 1, 2µ3 2µ p24 = p23 =,.

µ3 + µ4 µ3 + µ При этом максимальные интенсивности потоков пассажиров к стойкам равны aµ i pi3 =, 1+a i= a(µ3 + µ4 ) µ i pi4 =.

1+a µ3 + µ i= Решение задачи оптимизации в общем случае Рассмотрим теперь общий случай решения задачи (3). Так же как и ранее просуммируем вначале ограничения задачи n+m n n+m n i pij a(µj i pij ), j=n+1 i=1 j=n+1 i= то есть n+m n n+m n+m n pij aµj a i i pij j=n+1 i=1 j=n+1 j=n+1 i= или n+m n n+m pij a (1 + a) i µj j=n+1 i=1 j=n+ и из условия нормировки для вероятностей переходов получаем, что n+m n+m a i µj, 1+a j=n+1 j=n+ n+m a поэтому максимальное значение целевой функции задачи (3) равно µj.

1+a j=n+ Так как число основных ограничений в задаче (3) равно n + m,а число неизвестных – nm + n, то задача (3) имеет бесконечное множество решений. Пусть подобраны интенсивности i, i = 1, n, n+m n+m a таким образом, что µj. В случае, если моделями функционирования стоек i = 1+a j=n+1 j=n+ регистрации являются идентичные по интенсивности обслуживания СМО (т.е. имеют одинаковые интенсивности обслуживания µj = µ, j = n + 1, n + m), то для того, чтобы средние очереди к ним были одинаковыми, входной поток пассажиров необходимо равномерно распределить по стойкам регистрации, т.е.

n n n+m µj i a aµ i pij = = =.

m 1+a m 1+a i=1 i=1 j=n+ С учетом этого предположения могут быть найдены, но, к сожалению, неоднозначно, вероятности переходов pij, i = 1, n, j = n + 1, n + m.

n n n+m Поскольку i pij, то задача оптимизации (3) примет вид i = i=1 i=1 j=n+ n n n+m (4) i pij i = max, i pij, i=1,n, j=n+1, n+m i=1 i=1 j=n+ при ограничениях как в (3). Пусть i pij = xij, тогда задача (4) перепишется в виде n n+m x max, i=1 j=n+1 ij xij, i=1,n, j=n+1, n+m n xij i= a, j = n + 1, n + m.

n µj xij i= n Если ввести обозначения xij = yj, j = n + 1, n + m, то будем иметь i= n+m yj max, j=n+1 yj, j=n+1, n+m yj a, j = n + 1, n + m.

µj yj aµj Очевидно, что решением этой задачи являются yj =, j = n + 1, n + m. Тогда 1+a n n aµj xij = i pij = 1+a i=1 i= – суммарная интенсивность потока пассажиров, который может быть направлен к j-й стойке регистрации, чтобы длина очереди к ней не превышала заданного значения a, j = n + 1, n + m.

Список литературы 1. Толуев, Ю. И. Метод численного моделирования процессов в потоковых системах логистики / Ю. И. Толуев, Т. П. Змановская // Логистика и управление цепями поставок. – 2011. – № 3. – Vol. 44.

– С. 81–90.

2. Косарева, Е. В. О нахождении максимальных входных потоков сообщений, поступающих в систему межбанковских расчетов / Е. В. Косарева, М. А. Маталыцкий // Информационные технологии. Радио электроника. Телекоммуникации (ITRT-2012): сб. ст. II международной заочной научно-технической конференции. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2012. – Ч. 2. – С. 292–300.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометриче ского моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, доктор физико математических наук, профессор m.matalytski@gmail.com.

Копать Дмитрий Я, студент 1 курса факультета математики и информатики Гродненского госу дарственного университета имени Янки Купалы, dk80395@mail.ru.

УДК 336: П. М. ЛАППО О РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМАХ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗОРЕНИЯ ЗА КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ Рассматривается рекуррентный алгоритм нахождения вероятности разорения за конеч ное время в модели динамики фонда страховой компании при дискретном распределении размеров выплат и ее аппроксимация в случае непрерывного распределения сумм исков.

Введение Нахождению вероятности разорения в моделях с непрерывным и дискретным временем посвящена многочисленная литература. Достаточно полный обзор можно найти в монографии Асмуссена и Албречера [1]. В [1] отмечается, что точные решения для вероятности разорения за бесконечное время получены, в частности, для следующих ситуаций: составная пуассоновская модель с экспоненциальным распределением размеров исков, составнаая пуассоновская модель с распределением размеров исков фазового типа, составная пуассоновсая модель с вырожденным распределением размеров исков, также некоторые специальные случаи распределений исков с тяжелыми хвостами. Эти же авторы отмечают, что для вероятности разорения за конечное время точные формулы известны для броуновского движения и составной пуассоновской модели с экспоненциальным распределением исков и в некоторых специфических случаях. В [1, с.16] авторы указывают, что следующей за решениями в замкнутой форме, лучшей альтернативой является получение точных значений вероятностей разорения. В настоящей работе рассматри вается рекуррентный алгоритм вычисления вероятности разорения за конечное время в случае дискретного времени и дискретного распределения размеров исков. Рассматривается несколько конкретных распределений исков. Также предложен подход для аппроксимации вероятности разорения за конечное время в рассматриваемой модели в случае непрерывного распределения размеров исков. Анализируется точность аппроксимации.

Рекуррентные соотношения Предположим, что динамика фонда страховой компании описывается равенствами Un = u + c · n Sn, n = 1, 2,..., (1) где u – начальный фонд компании, c – интенсивность поступления взносов, Sn – размер совокуп ного иска в момент n. Пусть Sn = X1 + X2 +... + Xn, где Xi, i = 1, 2,..., n независимые одинаково распределенные случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (, F, P ) и принимающие целые неотрицательные значения. Обозначим P (Xi = k) = pk, k = 0, 1, 2,...,. Со бытие (Xi = 0) можно интерпретировать как отсутствие иска в i-том периоде. Будем предпола гать, что u и c также целые неотрицательные числа. Обозначим через n вероятность разорения в момент n, то есть n = n (u) = P (U1 0, U2 0,..., Un1 0, Un 0).

n Вероятность разорения до момента n равна n (u) = k (u). Для вычисления n (u) можно k= получить рекуррентные формулы. Действительно, u+c 1 (u) = P (U1 0) = P (u + c X1 0) = P (X1 = k) = 1 pk.

k=u+c+1 k= В силу независимости и одинаковой распределенности случайных величин Xj, j = 1, 2,... по формуле полной вероятности имеем n (u) = P (U1 0, U2 0,..., Un1 0, Un 0) = u+c P (X1 = j) · P (U2 0,..., Un1 0, Un 0/X1 = j) = = j= u+c n P (X1 = j) · P (c j + u X2 0,..., c j + u + (c Xk ) 0/X1 = j) = = j=0 k= u+c n P (X1 = j) · P (c j + u X2 0,..., c j + u + (c Xk ) 0) = = j=0 k= u+c n1 u+c P (X1 = j) · P (c j + u X1 0,..., c j + u + (c Xk ) 0) = pj · n1 (c j + u).

= j=0 j= k= Таким образом мы получили рекуррентную формулу для вычисления вероятности разорения в n-ом периоде u+c pj · n1 (c j + u), n = 2, 3,....

n (u) = j= Она позволяет вычислить вероятность разорения в любом периоде при произвольном дискретном распределении размеров исков. Следует отметить, что на практике в качестве распределения размера иска представляется разумным использовать эмпирическое распределение. Осуществле на программная реализация вычисления вероятностей разорения при произвольном дискретном раcпределении размеров исков.

Геометрическое распределение размеров исков Мы провели численные расчеты для случая, когда распределения исков являются геометри ческими. Тогда P (Xi = k) = p q k, k = 0, 1, 2,..., 0 p 1, q = 1 p.

Результаты при p = 0, 75 и c = 1 представлены в таблице 1.

Таблица n (0) n (1) n (2) n (3) n (4) n (5) 1 0,0625 0,015625 0,003906 0,000977 0,000244 6,1E- 2 0,0234375 0,0087891 0,00293 0,000916 0,000275 8,01E- 3 0,0109863 0,0049438 0,001923 0,000687 0,000232 7,51E- 4 0,0057678 0,0028839 0,001236 0,000483 0,000177 6,2E- 5 0,0032444 0,0017381 0,000797 0,000332 0,000129 4,81E- 6 0,0019119 0,0010754 0,000518 0,000227 9,27E-05 3,6E- 7 0,0011651 0,0006796 0,00034 0,000154 6,56E-05 2,65E- 8 0,0007282 0,0004369 0,000225 0,000106 4,63E-05 1,93E- 9 0,0004642 0,0002849 0,00015 7,23E-05 3,25E-05 1,39E- 10 0,0003007 0,0001879 0,000101 4,97E-05 2,28E-05 9,97E- 11 0,0001973 0,0001252 6,86E-05 3,43E-05 1,6E-05 7,13E- 12 0,0001309 8,416E-05 4,67E-05 2,37E-05 1,13E-05 5,09E- 13 8,766E-05 5,698E-05 3,2E-05 1,65E-05 7,93E-06 3,62E- 14 5,917E-05 3,882E-05 2,21E-05 1,15E-05 5,58E-06 2,57E- 15 4,021E-05 2,659E-05 1,52E-05 8E-06 3,93E-06 1,83E- 16 2,748E-05 1,83E-05 1,06E-05 5,59E-06 2,77E-06 1,3E- 17 1,888E-05 1,265E-05 7,36E-06 3,92E-06 1,95E-06 9,2E- 18 1,303E-05 8,774E-06 5,13E-06 2,75E-06 1,38E-06 6,52E- 19 9,024E-06 6,104E-06 3,59E-06 1,93E-06 9,71E-07 4,62E- 20 6,27E-06 4,257E-06 2,51E-06 1,36E-06 6,86E-07 3,27E- = 20 0,111096 0,0370265 0,012339 0,004111 0,001369 0, Для геометрического распределения при c = 1 известны аналитические выражения для n (u). Они приводятся в работе [2, с. 274] 1 (u) = q u+2, 2 (u) = p q u+3 (u + 2), (u + 2)(u + 2 + n + 1) · · · (u + 2 + 2n 1) n+1 (u) = pn q u+2+n, n 2.

n!

Мы обнаруживаем почти полное совпадение результатов. Расхождения в последних строках таб лиц ничтожны и связаны со способом вычисления соответствующих выражений. При этом веро ятности разорения хотя бы в одном из 20 периодов практически совпадают.

Таблица n (0) n (1) n (2) n (3) n (4) n (5) 1 0,0625 0,015625 0,003906 0,00098 0,0002441 6,1E- 2 0,023438 0,0087891 0,00293 0,00092 0,0002747 8,01E- 3 0,010986 0,0049438 0,001923 0,00069 0,0002317 7,51E- 4 0,005768 0,0028839 0,001236 0,00048 0,000177 6,2E- 5 0,003244 0,0017381 0,000797 0,00033 0,0001295 4,81E- 6 0,001912 0,0010754 0,000518 0,00023 9,267E-05 3,6E- 7 0,001165 0,0006796 0,00034 0,00015 6,564E-05 2,65E- 8 0,000728 0,0004369 0,000225 0,00011 4,626E-05 1,93E- 9 0,000464 0,0002849 0,00015 7,2E-05 3,252E-05 1,39E- 10 0,000301 0,0001879 0,000101 5E-05 2,286E-05 1E- 11 0,000197 0,0001252 6,86E-05 3,4E-05 1,607E-05 7,17E- 12 0,000131 8,416E-05 4,68E-05 2,4E-05 1,131E-05 5,13E- 13 8,77E-05 5,698E-05 3,21E-05 1,6E-05 7,974E-06 3,67E- 14 5,92E-05 3,883E-05 2,21E-05 1,2E-05 5,629E-06 2,63E- 15 4,02E-05 2,662E-05 1,53E-05 8E-06 3,981E-06 1,88E- 16 2,75E-05 1,834E-05 1,06E-05 5,6E-06 2,82E-06 1,35E- 17 1,89E-05 1,269E-05 7,4E-06 4E-06 2,001E-06 9,64E- 18 1,31E-05 8,817E-06 5,18E-06 2,8E-06 1,422E-06 6,91E- 19 9,06E-06 6,149E-06 3,63E-06 2E-06 1,012E-06 4,96E- 20 6,31E-06 4,303E-06 2,56E-06 1,4E-06 7,215E-07 3,56E- = 20 0,111096 0,0370267 0,012339 0,00411 0,0013699 0, Распределение исков с тяжелыми хвостами Пусть распределение исков имеет вид c P (Xk = l) =, l = 0, 1, 2,..., c =, m 2.

(l + 1)m (l + 1)m l= Тогда вероятности разорения приводятся в таблице 3. При этом для того, чтобы средние размеры исков были примерно одинаковы со случаем геометрического распределения и равны 0, 3333... для геометрического и рассматриваемого распределений мы положили m = 3, 17988.

Таблица n n (0) n (1) n (2) n (3) n (4) n (5) 1 0,050956 0,024976 0,014568 0,009449 0,006583 0, 2 0,0261537 0,0161315 0,01063 0,007417 0,005417 0, 3 0,0162548 0,0112866 0,008033 0,005908 0,00448 0, 4 0,0111801 0,0083531 0,00627 0,004796 0,003746 0, 5 0,0081941 0,0064371 0,005024 0,003961 0,003169 0, 6 0,0062748 0,0051138 0,004112 0,003322 0,002711 0, 7 0,0049627 0,0041599 0,003425 0,002822 0,002342 0, 8 0,0040236 0,0034489 0,002895 0,002425 0,002041 0, 9 0,0033273 0,0029043 0,002478 0,002105 0,001793 0, 10 0,0027962 0,002478 0,002143 0,001842 0,001586 0, 11 0,0023817 0,0021378 0,00187 0,001625 0,001412 0, 12 0,0020519 0,0018621 0,001646 0,001443 0,001264 0, 13 0,0017851 0,0016356 0,001458 0,001289 0,001138 0, 14 0,0015663 0,0014472 0,001301 0,001158 0,001029 0, 15 0,0013847 0,0012889 0,001167 0,001046 0,000935 0, 16 0,0012322 0,0011546 0,001052 0,000948 0,000852 0, 17 0,0011031 0,0010398 0,000952 0,000863 0,00078 0, 18 0,0009928 0,0009408 0,000866 0,000789 0,000688 0, 19 0,0008978 0,000855 0,000791 0,0007 0,000588 0, 20 0,0008154 0,00078 0,000704 0,000603 0,000493 0, = 20 0,1483345 0,0984311 0,071385 0,054512 0,043044 0, Влияние тяжелых хвостов на вероятность разорения за первых 20 периодов показана на pис. 1. Если при нулевом начальном капитале разница составляет около 0,037 ( 33%), то при увеличении начального капитала до 5 вероятности разорения отличаются примерно в 76 раз.

Рисунок Аппроксимация вероятности разорения при абсолютно непрерывных распределени ях исков При абсолютно непрерывных распределениях исков предлагается аппроксимировать эти рас пределения дискретными. Если размер иска имеет функцию распределения F (x), то в качестве аппроксимирующего дискретного распределения предагается рассмотреть распределение pk = F (k) F (k 1), p0 = 0, k = 1, 2,..., Заметим, что выбор шага дискретизации равным единице не ограничивает общности рас смотрения. Изменяя масштаб денежной единицы, мы можем достигнуть любой точности ап проксимации непрерывной функции распределения. И при этом аппроксимирующая случайная величина будет принимать целые положительные значения.

Естественно ожидать, что тогда и ве роятности разорения для аппроксимирующего распределения и исходного будут близки. Действи тельно, поскольку непрерывная функция распределения является равномерно непрерывной, то найдется такое целое m 0, что при любых x1 и x2, удовлетворяющих неравенству |x1 x2 | m будет справедливо неравенство |F (x1 ) F (x2 )| для любого наперед заданного 0. Тогда в качестве новой случайной величины описывающей размер иска мы можем рассмотреть X = m X. Очевидно, что при этом денежная единица уменьшится в m раз, и модель (1) примет вид Un = u + c · n Sn, n = 1, 2,..., (2) n где u = mu, c = mc, Sn = Xi, n = 1, 2,.... Однако, нетрудно видеть, что вероятности разо i= рения для модели (2) и (1) совпадают при m 0.

В таблице 4 приводятся вероятности разорения за 20 периодов и их аппроксимации для слу чая показательного распределения размеров исков со средним 1/3 и c = 1. Точность аппрокси мации распределения исков при этом равнялась 0,01. Точные значения вычислены по формулам из [2] (наши обозначения отличаются от обозначений в [2]). Из таблицы мы видим, что истинные значения и их аппроксимации отличаются не более чем на 0,01.

[ · (u + cn)]n1 (u+cn) u + c n (u) = e.

(n 1)! u + cn Таблица u 0 1 2 3 4 = 20(u) 0,049583 0,002951 0,000176 1,05E-05 6,22E-07 3,7E- approximation = 20(u) 0,05952 0,003543 0,000211 1,26E-05 7,47E-07 4,45E- Список литературы 1. Asmussen, S. Ruin Probabilities / S. Asmussen, H. Albrecher // World Scientic. – 2010. – 609p.

2. Chan, W. Direct Derivation on Finite-Time Ruin Probabilities in the Discrete Risk Model with Exponential or Geometric Claims / W. Chan, L. Zhang // North American Actuarial Journal. – Vol. 10. – № 4. – P. 269–279.

Лаппо Петр Михайлович, доцент кафедры теории вероятностей и математической стати стики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент, LappoPM@bsu.by.

УДК 519. В. Д. МОНЬКО, А. В. ПАНЬКОВ О ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОДНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ В статье описан модуль программного комлекса для имитационного моделирования сетей массового обслуживания с однотипными заявками. Оценивается точность имитационного моделирования путем сравнения полученных результатов с точными аналитическими результатами для экспоненциальной сети.

Введение Интенсивно развивающиеся информационные системы требуют качественного анализа мо делей их функционирования. Теория массового обслуживания является гибким и удобным ин струментом для исследования моделей информационных систем, а также различных объектов в экономике, производстве и других областях. Сети массового обслуживания являются адекватны ми вероятностными моделями таких систем и объектов. Математическое моделирование может дать точные результаты, но не всегда представляется возможным провести исследования этим методом. Имитационное моделирование не способно дать абсолютно точного результата, но с помощью него исследовать сеть почти любой топологии.

В настоящее время авторами ведется разработка, модернизация программного комплекса для имитационного моделирования для системы межбанковских рассчетов. В программном ком плексе реализовываются современные методы имитационного моделирования, технологии про граммирования, оптимально использующие новые возможности аппаратного и программного обеспечения. Программный комплекс является кроссплатформенным приложением, имеет веб интерфейс, возможность отложенного и многократного запуска моделирования, обладает гибкой и простой настройкой параметров моделирования, большим количеством базовых функций, ко торые можно расширить пользовательскими. Для реализации программного комплекса исполь зуется современное программное обеспечение и технологии: PHP 5, Kohana 3.1, nginx, MySQL 5.1, Redis, php-resque[1]. Планируется, что данный комплекс для имитационного моделирования может быть использован в рамках предприятия или исследоовательской группы как отдельное приложение, запущенное на отдельном сервере, все клиенты смогут иметь доступ к своим ими тационным моделям и результатам моделирования через сеть Интернет. Также данный подход реализации комплекса позволяет разным исследователям обмениваться своими результатами мо делирования более легким способом, т.к. модели и результаты моделирования будут храниться централизованно.

Основным показателем качества имитационного моделирования сетей массового обслужива ния являтся точность полученых результатов. Для такой оценки рассматрены экспоненциальные сети массового обслуживания, для которых существуют точные формулы рассчета ряда харак теристик в стационарном режиме. Точные сравнены с результатами, полученными с помощью имитационнного моделирования.

Описание разработанной имитационной модели Состояние сети массового обслуживания в момент времени t можно описать вектором k(t) = (k1, k2,..., kn ), где n – число систем массового обслуживания в сети, а ki, i = 1, n – число заявок в i-й системе в момент времени t. Вектор состояния меняет свои значения в дискретные моменты времени, которые соответствуют моментам поступления заявок в системы и окончания их обслуживания.Эти моменты времени называют 0-моментами. Суть имитационного моделиро вания заключается в искусственном получении вектора состояний в 0-моменты времени.

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с однотипными заявками и многоли нейными системами обслуживания, состоящую из 6 систем Si, i = 1, 6. Время обслуживания заявок в системе Si, i = 1, 6 распределено по показательному закону распределения с интенсив ностью обслуживания µi, где µ1 = 3, µj = 2, j = 2, 6. Число линий обслуживания в первой сети равно 3, в остальных системах по две линиии обслуживания. Ненулевые элементы матрицы ве роятностей переходов P = (pij ), i, j = 1, 6, p1 2 = 1, p1 3 = 1, p1 4 = 1 p2 5 = 1, p3 2 = 1, p3 4 = 1, 3 3 3 2 p4 6 = 1, p5 1 = 1, p6 1 = 1. Начальное состояние сети k0 (t) = (1, 2, 5, 1, 2, 2). Время моделирования 1000.

Описать сеть в программном комплексе можно используя язык разметки XML. Ниже при веден пример конфигурации[2].

qnet params param name="qsys_count"value="6"/ param name="work_time"value="1000"/ /params distribs distrib id="1"type="expo"param_a="0.0"param_b="3.0"/ distrib id="2"type="expo"param_a="0.0"param_b="2.0"/ distrib id="3"type="expo"param_a="0.0"param_b="2.0"/ distrib id="4"type="expo"param_a="0.0"param_b="2.0"/ distrib id="5"type="expo"param_a="0.0"param_b="2.0"/ distrib id="6"type="expo"param_a="0.0"param_b="2.0"/ /distribs nodes node id="1"type="qsys"serve_distrib="1"messages="1"lines_count="3"/ node id="2"type="qsys"serve_distrib="2"messages="2"lines_count="2"/ node id="3"type="qsys"serve_distrib="3"messages="5"lines_count="2"/ node id="4"type="qsys"serve_distrib="4"messages="1"lines_count="2"/ node id="5"type="qsys"serve_distrib="5"messages="2"lines_count="2"/ node id="6"type="qsys"serve_distrib="6"messages="2"lines_count="2"/ /nodes relations relation id="1"start_node="1"nish_node="4"weight="1"/ relation id="2"start_node="1"nish_node="2"weight="1"/ relation id="3"start_node="1"nish_node="3"weight="1"/ relation id="4"start_node="2"nish_node="6"weight="1"/ relation id="5"start_node="3"nish_node="2"weight="1"/ relation id="6"start_node="3"nish_node="4"weight="1"/ relation id="7"start_node="4"nish_node="5"weight="1"/ relation id="8"start_node="5"nish_node="1"weight="1"/ relation id="9"start_node="6"nish_node="1"weight="1"/ /relations /qnet В контейнере params содержится общее параметры моделирования: врямя моделирования, число систем в сети, число типов и классов заявок и т.д. Контейнер distribs содержит описание законов распределений времен обработки заявок. В nodes содержится описание систем, с указа нием числа линий обслуживания и законом распределения времен обслуживания заявок, и число заявок в начальный момент времени. В relations описывается матрица вероятностей переходов.

После задания отработки имитационного моделирования формируются файлы с результа тами расчетов. Пример графического отображения результа рассчета интенсивности входящего потока заявок в первую систему приведен на рисунке 1. Результат показывается в виде графика зависимости интенсивности входящего потока от времени моделирования.

Рисунок 1 – График зависимости интенсивности входящего потока от времени моделирования Некоторые средние хаарктеристики систем массового обслуживания сети в стационарном режи ме, рассчитанные имитационным моделированием, приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Рассчитанные значения характеристик для сети в стационарном режиме СМО 1 СМО 2 СМО 3 СМО 4 СМО 5 СМО Ср. число заявок в СМО 2.3552 2.3643 1.1662 2.3791 2.3618 2. Ср. число заявок в очереди СМО 0.4647 0.9599 0.2263 0.9590 0.9507 0. Ср. число заявок под обслуж. в СМО 1.8905 1.4102 0.9404 1.4104 1.4111 1. Нахождение погрешности вычисления средних характеристик Для определения погрешности будем сравнивать значения ряда средних характеристик, по лученных имитационным моделирование, с точными математическими рассчетами. Для вычис ления точных значений характеристик показательной сети массового обслуживания необходимо воспользоваться уже известными точными формулами[3]. В примере экспоненциальная замкну тая сеть с однотипными заявками, поэтому точные формулы нахождения вероятностей состояний в стационарном режиме для этой сети имеют вид:

n eki 1 i P (k) =, ki G(K, n) l=1 µi (l) i= где K – число заявок в сети, n – число систем обслуживания, G(K, n) – нормированная произ вольная постоянная, которую можно вычислить по следующей реккурентной формуле:

m ei r G(m i, r 1) G(m, r) =, m = 0, K, r = 1, n, i l=1 µr (l) i= с граничными условиями G(0, r) = 1, r = 1, n;

G(m, 0) = m0.

Интенсивность обслуживая c l заявками в i-й системе µi (l) вычисляется следующим образом:

0, l= l mi.

µi (l) = lµi, mi µi l mi По известным вероятностям состояний в стационарном режиме находятся средние характе ристики сети. Точные значения ряда средних характеристик сети описанной выше приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Рассчитанные точные значения характеристик для сети в стационарном режиме СМО 1 СМО 2 СМО 3 СМО 4 СМО 5 СМО Ср. число заявок в СМО 2.3472 2.3711 1.1679 2.3711 2.3711 2. Ср. число заявок в очереди СМО 0.4606 0.9562 0.2246 0.9562 0.9562 0. Ср. число заявок под обслуж. в СМО 1.8866 1.4149 0.9433 1.4149 1.4149 1. Относительные погрешности рассчета, вычесленных характеристик, приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Относительные погрешности рассчета характеристик СМО 1 СМО 2 СМО 3 СМО 4 СМО 5 СМО Ср. число заявок в СМО 0.34% 0.28% 0.11% 0.30% 0.39% 0.42% Ср. число заявок в очереди СМО 0.90% 0.32% 0.75% 0.30% 0.58% 0.46% Ср. число заявок под обслуж. в СМО 0.21% 0.33% 0.31% 0.31% 0.26% 0.40% Как видно из последней таьлицы, относительные погрешности вычислений невелики. При рассчете ряда примеров с помощью имитационного моделирования относительная погрешность расчета характеристик в стационарном режиме составила менее 10%, что позволяет сделать вывод, что разрабатываемый программный комплекс достаточно точно гаходит средние харак теристики сетей обслуживания с однотипными заявками.

Список литературы 1. 3. GitHub.com [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://github.com/blog/542-introducing-resque – Дата доступа: 2.12.2012.

2. Монько, В. Д., Паньков, А. В. Об имитационном моделировании функционирования информацион ной системы межбанковских расчетов / В. Д. Монько, А. В. Паньков // Массовое обслуживание:

потоки, системы и сети. Материалы международной научной конференции Современные вероятност ные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекомуникационных сетей – Минск: БГУ, 2013. – С. 114–121.

3. Маталыцкий, М. А., Тихоненко О. М., Колузаева Е. В. Системы и сети массого обслуживания: анализ и применения / М. А. Маталыцкий, О. М. Тихоненко, Е. В. Колузаева –ГрГУ, 2011. – 817с.

Монько Василий Дмитриевич, магистрант кафедры стохастического анализа и эконо метрического моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, vasilii.manko@gmail.com.

Паньков Андрей Витальевич, доцент кафедры стохастического анализа и эконометрического моде лирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, a.pankov@gmail.com.

УДК 517. В. В. НАУМЕНКО, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОБХОДАМИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ Проводится исследование открытой экспоненциальной сети с обходами систем обслужи вания разнотипными заявками в переходном режиме в случаях, когда поступающие в сеть заявки имеют абсолютный приоритет, и когда на обслуживание они выбираются согласно рандомизированному правилу. В обоих случаях параметры сети: интенсивность входящего потока, интенсивности обслуживания заявок различных типов и условные вероятности переходов заявок между системами зависят от времени. Для каждого случая получена система разностно-дифференциальных уравнений для вероятностей состояний сети. Для их нахождения применена методика, основанная на использовании аппарата многомерных производящих функций.

Введение Ранее было проведено исследование открытой экспоненциальной сети с обходами систем об служивания однотипными заявками в переходном режиме в работе [1]. В [2] найдены нестацио нарные вероятности состояний и средние характеристики такой сети в случае, когда вероятности обходов заявок между системами сети, параметры входящего потока заявок и обслуживания зависят от времени.

В данной статье проведено исследование такой сети, но с разнотипными заявками в переход ном режиме в двух случаях. В первом случае поступающая в систему массового обслуживания (СМО) заявка имеет абсолютный приоритет по отношению к другим заявкам [3]. Это означает, что если такая заявка поступила в CMО, то она сразу начинает обслуживаться, прерывая на время своего обслуживания находящуюся там заявку, при этом прерванная заявка обслужива ется заново или мгновенно обходит систему. Вытесненная таким образом заявка возвращается в начало своей очереди и ожидает дообслуживания, или не присоединяется к очереди и мгновенно обходит систему;

в дальнейшем ее поведение такое, как будто она обслужена этой СМО, либо покидает сеть.

В информационно-телекоммуникационных системах и сетях (ИТСС) заявкам с абсолютным приоритетом соответствуют команды операторов. Кроме того, широко стоит вопрос о справед ливом и полном удовлетворении требований их пользователей. На практике часто возникают си туации, когда пользователь, направляющий запрос в некоторую систему обслуживания ИТСС, оценивает, сколько времени ему придется ожидать или сколько запросов пользователей находит ся перед ним в очереди, и в зависимости от этой оценки остается ожидать либо пересылает свой запрос в другую систему ИТСC. Такая ситуация, например, возникает в сервисных пунктах или пунктах коллективного пользования (ПКП).

Во втором случае заявки на обслуживание в СМО выбираются по рандомизированному правилу.

Описание модели Будем рассматривать открытую экспоненциальную сеть МО произвольной структуры, состо ящую из n СМО S 1, S 2,..., S n. Заявки с некоторой вероятностью присоединяются к очереди СМО, а с дополнительной вероятностью мгновенно переходят в соответствии с матрицей вероят ностей переходов в другую СМО или покидают сеть. Вероятность присоединения к СМО зависит от состояния этой СМО и номера СМО, из которой заявка направляется в эту СМО.

Под состоянием сети будем понимать вектор размерности n r:

k (t) = ( k, t ) = ( k 11, k 12,..., k 1 r,k,k,..., k,..., k,k,..., k, t ), 21 22 2r n1 n2 nr где k i c – число заявок типа с в системе S i (в очереди и на обслуживании), в момент времени t, k i = r k i c, i = 1, n. В сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью (k, t), т.е.

c= на интервале времени [ t, t+t ) в сеть поступает заявка с вероятностью (k, t) t+o (t). Если в момент t на обслуживании в линии i-й СМО находится заявка типа с, то на интервале [ t, t+t) ее обслуживание закончится с вероятностью µic ( k, t )t + o(t), где µ i c (k, t) – интенсивность обслуживания заявок типа с в каждой линии системы Si в момент времени t, i = 1, n, c = 1, r. В i-ю СМО заявка типа с независимо от других заявок поступает с вероятностью p 0 c i c, i = 1, n, c = 1, r. Заявка, направленная в эту СМО извне в момент времени t и имеющая тип с, когда сеть находится в состоянии (k, t), с вероятностью f ( i c ) ( k, t ), зависящей от состояния i-й СМО и типа данной заявки, мгновенно становится на обслуживание или присоединяется к очереди, если такова есть, а с вероятностью 1 f ( i c ) ( k, t ) не присоединяется к очереди и мгновенно обходит систему;

в дальнейшем ее поведение такое, как будто она обслужена этой СМО и имеет тип с, т.е. у нее время обслуживания с вероятностью 1 равно нулю. Заявка типа с, завершившая обслуживание в i-ой СМО, независимо от других заявок мгновенно направляется в j -ую СМО и становится заявкой типа s с вероятностью p i c j s ;

c вероятностью p i c 0 c она покидает сеть n r s=1 pi c j s + p i c 0 c = 1, i, j = 1, n, c, s = 1, r.

j= Пусть I i c – n r-вектор из нулевых компонент, за исключением компоненты с номером r(i 1) + c, которая равна 1, i c (t) – вероятность того, что в момент времени t на обслуживании 1, x СМО Si находится именно заявка типа c, i, j = 1, n, c, s = 1, r, u(x) = {. – функция 0, x Хевисайда. Введем следующие условные вероятности: i c ( k, t ) – условная вероятность того, что заявка типа c, поступающая в i-ую СМО в момент t, когда сеть находится в состоянии (k, t), не будет обслужена ни одной из СМО;

i c j s ( k, t ) – условная вероятность того, что заявка типа c, поступающая в i-ую СМО извне в момент t, когда сеть находится в состоянии (k, t), впервые получит обслуживание в j -ой СМО, получив при этом тип s;

i c ( k, t ) – условная вероятность того, что заявка типа c, обслуженная в i-ой СМО в момент t, когда сеть находится в состоянии (k, t), не будет больше обслуживаться ни в одной из СМО;

i c j s ( k, t ) – условная вероятность того, что заявка типа c, обслуженная i-ой СМО в момент t, когда сеть находится в состоянии (k, t), впервые после этого получит обслуживание в j -ой СМО, как заявка типа s, i, j = 1, n, c, s = 1, r. Соотношения между данными условными вероятностями приведены в [1].

Доказано, что вероятности состояний рассматриваемой сети с абсолютным приоритетом поступающих в СМО заявок удовлетворяют системе разностно-дифференциальных уравнений (РДУ) n r dP (k, t) = [ ( µ i c (k, t) u (ki c ) i c (k, t)+ dt c= i= + (k, t) p 0 c i c i c (k, t) )+ n r + µ j s (k, t) u (k j s ) j s i c (k, t)]P (k, t)+ i,j=1 c,s= n r n r (k I i c, t) u (k i c ) P (k I i c, t) p 0 s j s j s i c (k I i c, t)+ + i=1 c=1 j=1 s= n r + µ i c (k + I i c, t) i c (k + I i c, t) P (k + I i c, t)+ i=1 c= n r n r (1) i c j s (k + I i c I j s, t) u (k j s ) P (k + I i c I j s, t), + µ i c (k + I i c, t) i=1 c=1 j=1 s= а вероятности состояний сети с рандомизированным выбором заявок на обслуживание удовле творяют системе РДУ n r dP (k, t) =[ ( µ i c (k, t) u (ki c ) i c ( t ) i c (k, t)+ dt c= i= + (k, t) p 0 c i c i c (k, t) )+ n r + µ j s (k, t) u (k j s ) j s ( t ) j s i c (k, t)] P (k, t)+ i,j=1 c,s= n r n r (k I i c, t) u (k i c ) p 0 c i c i c j s (k I i c, t) P (k I i c, t)+ + i=1 c=1 j=1 s= n r + µ i c (k + I i c, t) i c (t) i c (k + I i c, t) P (k + I i c, t)+ i=1 c= n r µ i c (k + I i c, t) i c (t) + i=1 c= n r (2) i c j s (k + I i c I j s, t) u (k j s ) P (k + I i c I j s, t).

j=1 s= Нахождение вероятностей состояний сети Для решения систем РДУ (1) и (2) применена методика, основанная на использовании аппа рата многомерных производящих функций. Доказано, что выражение для производящей функ ции в первом случае имеет вид p l is j s n r n r ··· n (z, t) = a 0 (t)...... ( l i! q i! w i !

ln =0 q1 =0 qn =0 w1 =0 wn =0 i=1 c=1 j=1 s= l1= (1) (1) l [ Aic (t) Aic (0) ] q i [ Y j s i c (t) Y j s i c (0) ] i [ Bicjs (t) Bicjs (0) ] w i z ix i + l i q i + W ), (1) (1) (3) c n r (1) (1) ( Aic (t) Aic (0) + p0cic (ic (t) ic (0) ) ) + a0 (t) = exp{[ i=1 c= n r (1) (1) ( Bjsic (t) Bjsic (0) )]}, + i,j=1 c,s= n где W = i=1 w i, а выражение для производящей функции в случае рандомизированного выбора заявок на обслуживание:

n r n r p q ic i c p l ic 0 c 0 i ··· n (z, t) = a 0 (t)...... ( l i! q i! w i !

q1=0 qn =0 l1 =0 ln =0 w1 =0 wn =0 i=1 c=1 j=1 s= (2) (2) qi li ( Y i c j s( t ) Y i c j s( 0 ) ) ) (Aic (t) Aic (0) (Bicjs (t) Bicjs (0) ) w i z i ci q i + (2) (2) x li +W ), n r (2) (2) ( Aic (t) Aic (0) + p0cic (ic (t) ic (0) ) ) + a0 (t) = exp{[ i=1 c= n r (2) (2) ( Bjsic (t) Bjsic (0) )]}, + i,j=1 c,s= где (t) = (t) dt, M i c (t) = µ i c (t) dt, i c (t) = (t) i c (t) dt, Y i c j s (t) = (t) i c j s (t) dt, (1) Aic (t) = µ i c (t) i c (t) dt, (1) Bicjs (t) = µ i c (t) i c j s (t) dt, (2) Aic (t) = µ i c (t) i c (t) i c (t) dt, (2) Bicjs (t) = µ i c (t) i c j s (t) i c (t) dt.

Для рандомизированного выбора заявок на обслуживание при занятой линии заявка ожи дает обслуживания в очереди, причем заявки различных потоков ожидают обслуживания в раз личных очередях. Пусть pic (t) – вероятность того, что в момент времени t в очереди и на обслу живании в СМО Si находится именно заявка c, c = 1, r, i = 1, n. Как только линия обслуживания освобождается, она занимается немедленно заявкой по следующему правилу: с вероятностью p i c (t) (4) i c (t) = r c=1 p i c (t) на обслуживание поступает заявка из очереди c, c = 1, r, i = 1, n.

На практике, к примеру, в ИТСС, данная ситуация возможна, когда заявкам соответствуют клиентские запросы, обработкой которых, занимаются операторы. При этом команды операторов обслуживают различные потоки заявок. К каждому оператору выстраивается своя очередь из клиентов и ожидает обслуживания именно у этого оператора, либо немедленно переходит в другую очередь (на обслуживание к другому оператору, если клиент изменил свой тип запроса).

Операторы занимаются обслуживанием только одного типа запросов клиентов.

Пример Пусть n = 9, количество типов заявок r = 6. Пусть параметры поступления и обслуживания заявок не зависят от состояний сети и пусть (t) = (t + 1), = 30;

µ i c (t) = µ i c (sin t + 1), µ 1 1 = 10, µ 2 2 = 3, µ 3 3 = 2, µ 4 4 = 1, µ 5 1 = 0.5, µ 6 2 = 1, µ 7 5 = 10, µ 7 6 = 2, µ 8 6 = 3, µ 9 1 = 0.3, µ 9 2 = 6, µ 9 3 = 20, µ 9 4 = 13, остальные интенсивности обслуживания заявок равны нулю. Вероятности переходов заявок между СМО равны: p 0 1 9 1 = 1, p 0 2 9 2 = 1, p 0 3 9 3 = 1, p 0 4 9 4 = 1, p 1 1 5 1 = 0.3, p 1 1 9 1 = 0.2, p 1 1 9 2 = 0.1, p 1 1 9 3 = 0.4, p 1 1 9 4 = 0, p 2 2 6 2 = 0.1, p 2 2 9 1 = 0.2, p 2 2 9 2 = 0.3, p 2 2 9 3 = 0.4, p 2 2 9 4 = 0, p 3 3 7 5 = 0.1, p 3 3 8 6 = 0.1, p 3 3 9 1 = 0.3, p 3 3 9 2 = 0.4, p 3 3 9 3 = 0, p 3 3 9 4 = 0.1, p 4 4 9 1 = 0.7, p 4 4 9 2 = 0.1, p 4 4 9 3 = 0, p 4 4 9 4 = 0.2, p 5 1 1 1 = 1, p 6 2 2 2 = 1, p 7 5 3 3 = 1, p 7 6 3 3 = 1, p 8 6 7 6 = 1, p 9 1 1 1 = 0.5, p 9 2 2 2 = 0.5, p 9 3 3 3 = 0.5, p 9 4 4 4 = 0.5, p 9 3 0 3 = 0.5, p 9 4 0 4 = 0.5, остальные вероятности переходов равны 0.

Предположим, что вероятность присоединения заявки к очереди в момент времени t имеет вид f ( i c ) (t) = 1 e i c t. В качестве вероятностей p i c (t) возьмем функции i c (sin t + 1), где i c некоторые дроби, 0 i c 0.5, i = 1, n, c = 1, r. Пусть 1 1 = 2 2 = 0.3, 3 3 = 4 4 = 0.1, 5 1 = 0.23, 6 2 = 0.4, 7 5 = 0.13, 7 6 = 8 6 = 0.21, 9 1 = 9 2 = 9 3 = 9 4 = 0.45, остальные параметры равны нулю. Пусть также t [0, T ], T = 10.

Выражения для зависящих от времени вероятностей состояний в системах сети получены, используя пакет математических вычислений Mathematica. На рисунке 1 и 2 изображен график одной из них в случае заявок с абсолютным приоритетом (рис. 1) и в случае рандомизированного выбора поступающих заявок (рис. 2).

Рисунок 1 – График вероятности состояния P (1, 1,..., 1, t) Рисунок 2 – График вероятности состояния P (1, 1,..., 1, t) Рисунок 3 – Графики вероятностей состояния P (1, 1,..., 1, t) в обоих случаях Список литературы 1. Naumenko, V. V. Analysis of the queueing network with messages bypass of systems in transient behavior / V. V. Naumenko, M. A. Matalytski // Scientic Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, Czestochowa University of Technology. – 2012. – Vol. 11, № 2. – P. 71–83.

2. Naumenko, V. V. Analysis of networks with time-dependent transition probabilities and messages bypass between the queueing systems / V. V. Naumenko, M. A. Matalytski // Scientic Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, Czestochowa University of Technology. – 2012. – Vol. 11, № 4. – P. 93–104.

3. Крыленко, А. В. Сети массового обслуживания с несколькими типами заявок, немедленным обслужи ванием и обходами узлов заявками / А. В. Крыленко // Проблемы передачи информации. – 1997. – Вып. 3. – С. 91–101.

Науменко Виктор Викторович, аспирант кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования ГрГУ им. Я.Купалы, victornn86@gmail.com.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, научный руководитель, профессор, доктор физико математических наук заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометрического модели рования ГрГУ им. Я.Купалы, m.matalytski@gmail.com.

УДК 330. Т. В. РУСИЛКО, Н. С. ХОНСКАЯ ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА ДАННЫХ ПО ИМПОРТУ ПРИРОДНОГО ГАЗА В РЕСПУБЛИКУ БЕЛАРУСЬ Статья посвящена эконометрическому моделированию статистических данных по импорту природного газа в Республику Беларусь с января 2006 г. по март 2011 г. Рас смотренные данные представляют собой нестационарный временной ряд с сезонностью и структурным изменением. Описан процесс исследования и моделирования данного ряда.

Получена адекватная модель, остатки которой описываются гауссовским процессом белого шума. Анализ построенной модели позволяет сделать ряд экономических выводов, а также построить прогноз.

Введение Беларусь не имеет своих залежей природного газа, поэтому его приходится импортировать.

Основным поставщиком природного газа является Россия. Рассмотрены статистические данные по импорту газа из России в Беларусь ежемесячно, начиная с января 2006 г. и заканчивая мартом 2011 г. Данные представляют собой временной ряд yt длиной в 63 наблюдения. Для исследова ния использовались методы моделирования нестационарных временных рядов [1–3]. Все расчеты выполнены с помощью эконометрического компьютерного пакета EViews.

Описание исследования Прежде всего, рассмотрим график наблюдений ряда yt, который представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График наблюдений ряда yt Анализируя график, можно предположить, что ряд содержит сезонность периодом в 12 ме сяцев и тенденцию. Анализ автокорреляционной и частной автокорреляционной функций позво ляет сделать такой же результат. Однако, учитывая в модели лишь сезонность и линейный тренд, после оценки получим ряд остатков et, изображенный на рисунке 2.

По графику остатков et, очевидно, что исходный временной ряд имеет структурное измене ние в период времени с декабря 2008 г. по март 2009 г. Для его моделирования используем метод Гуйарати. Включим в модель фиктивную переменную f, которая принимает значение 1 с января 2006 г. по ноябрь 2008 г. и с апреля 2009 г. по март 2011 г., и значение 0 с декабря 2008 г. по март 2009 г.

Рисунок 2 – График ряда остатков et Оценим модель вида:

(1) yt = 1 + 2 t + 3 f + 4 f t + 5 S1 + 6 S2 + · · · + 15 S11 + t, где t = 1, 63 - время;

1, если t соответствует i-му месяцу, i = 1, 11, Sit = 0, в других случаях;

фиктивные переменные для моделирования сезонности, 1, если t = 1, 35 или t = 40, 63, (2) ft = 0, в других случаях;

фиктивная переменная для моделирования структурного изменения ряда. Результат оценки мо дели (1) представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Результаты оценки модели (3) Так как P -значения для коэффициентов при всех переменных, кроме S1, меньше выбранного уровня значимости 0, 05 то делаем вывод, что все коэффициенты за исключением 5 значимы.

Кроме того построенная модель имеет высокий коэффициент детерминации R2 = 0, 88 и значе ние статистики Дарбина – Уотсона близкое к двум: DW = 2, 0372. Следовательно, построенная модель имеет вид:

yt = 6, 632639 0, 143168t 4, 463476f + 0, 143894f t 0, 03815S1 0, 18156S (3) 0, 208303S3 0, 668756S4 0, 809482S5 0, 890207S6 0, 790933S 0, 691659S8 0, 632384S9 0, 29311S10 0, 173836S11 + t и модель (3) хорошо аппроксимирует данный временной ряд.

Проанализируем остатки t полученной модели (3). График остатков представлен на рисунке 4. График остатков, представленный на рисунке 4, соответствует стационарному временному ряду. Коррелограмма ряда t, представленная на рисунке 5, также подтверждает, что остатки стационарны и по Q-статистике Льюинга – Бокса автокорреляция уровней ряда отсутствует. Для дополнительной проверки на стационарность используем расширенный тест Дики – Фуллера, результат теста представлен на рисунке 6. Так как P -значение меньше 0, 05 то делаем вывод, что ряд остатков модели (3) стационарен. Проверим, можно ли считать, что ряд t описывается процессом белого шума, для этого проверим предположение о постоянстве дисперсии ряда t.

Рисунок 4 – График ряда остатков t Исследуем ряд остатков на гомоскедастичность с помощью теста Голдфелда – Квандта. Для этого разделим ряд остатков на три части и найдем отношение суммы квадратов остатков третьей части к сумме квадратов остатков первой части, получим наблюдаемое значение критерия Fn = 1, 208266. Следовательно, случайные отклонения t гомоскедастичны.

Проверим остатки на нормальность с помощью статистики Жака – Бера, результат теста представлен на рисунке 7. Так как P -значение для статистики Жака – Бера равно 0, 0, 05, делаем вывод, что остатки подчиняются нормальному закону распределения.

Рисунок 5 – Коррелограмма ряда t Рисунок 6 – Результаты расширенного теста Дики – Фуллера Рисунок 7 – Результаты статистики Жака – Бера Таким образом, остатки модели (3) представляют собой гауссовский белый шум и, сле довательно, данная модель может использоваться в целях анализа и прогнозирования импорта газа.

Модель (3) содержит фиктивную переменную f, заданную согласно (2). Уравнение (3) может быть представлено в явном виде для каждого из промежутков, постоянства f :

(4) yt = 2, 169163 + 0, 000726t 0, 03815S1 · · · 0, 173836S11 + t при t = 1, 35 и при t = 40, 63;

(5) yt = 6, 632639 0, 143168t 0, 03815S1 · · · 0, 173836S11 + t при t = 36, 39.

Выводы Таким образом, сравнивая уравнения (4) и (5) видим, что в период с декабря 2008 г. по март 2009 г., что соответствует t = 36, 39, произошло как скачкообразное уменьшение уровней ряда на 4,463476 млрд. м3, так и увеличение среднего абсолютного прироста на 0,143894 млрд. м3.

Такое сокращение импорта газа объясняется тем, что с декабря 2008 г. по апрель 2009 г. в целях замещения дорогого импортного газа Беларусь на своих ТЭЦ сжигала в основном резервное топливо – мазут. По решению правительства весь мазут использовался на внутреннем рынке в качестве альтернативы природному газу.

За предыдущие 2011 и 2012 года рост тенденции в объеме импорта природного газа в Рес публику Беларусь снизился. Это связано с проводимой в последнее время политикой экономии расхода природного газа и других энергоносителей, а также модернизацией предприятий. Оцен ки коэффициентов при фиктивных переменных Si, i = 1, 11, иллюстрируют, что импорт газа максимален в январе, феврале, октябре, ноябре и декабре. Минимальное значение импорта соот ветствует июню.

Построенную модель можно использовать для прогноза будущих значений ряда. Сделаем прогноз импорта газа в Республику Беларусь на апрель, май и июнь 2011 г. В результате получим, что согласно модели (3) импорт газа в Республику Беларусь в апреле 2011 г. составит 1,55 млрд. м3, в мае – 1,41 млрд. м3 и в июне – 1,33 млрд. м3. Планируется сравнить полученные значения с действительными, а также построить модель, используя статистические данные за 2012 и начало 2013 года. На сегодняшний день собрать статистические данные за 2012 год не представляется возможным.

Список литературы 1. Айвазян, С. А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1005 с.

2. Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – М.: Дело, 2004. – 576 с.

3. Харин, Ю. С. Эконометричекое моделирование / Ю. С. Харин, В. И. Малюгин, А. Ю. Харин. – Мн.:

БГУ, 2003. – 313 с.

Русилко Татьяна Владимировна, доцент кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, кандидат физико математических наук, доцент, romaniuk@grsu.by.

Хонская Нина Сергеевна, студентка 5 курса факультета математики и информатики Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, honskayanina@mail.ru.

УДК 519. Н. В. СЕМЕНЧУК, И. С. СТЕПАНЕНКО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ДАННЫХ В данной статье рассматривается задача нахождения неизвестных параметров i, в функциональной зависимости yi = f (xi, i ) + i. Данная задача рассматривается при минительно к сбору и анализу производственных данных на оффсетной типографии. В результате было выяснено, что начительную часть статистических методов, использу емых при анализе производственных данных представляют именно методы регрессионного анализа (классической теории наименньших квадратов) или их видоизменения и аналоги.

Общий порядок решения регрессионных задач Самый простой случай регрессионных задач - это исследование связи между одной независи мой переменной x и одной зависимой переменной y. Эта задача носит название простой регрессии.

Исходными данными этой задачи являются два набора наблюдений x1, x2,..., xp - значения x и y1, y2,..., yp - соответствующие значения y.

Первым щагом решения данной задачи является предположение о возможном виде функ циональной связи между x и y. В качестве примеров могут выступать такие зависимости как:

y = a + bx, y = a + bx + cx2, y = a+bx, где a,b,c, - неизвестные параметры, которые необходимо определить исходя из исходных данных.

После выбора конкретного вида функциональной зависимости y = f (x, ) можно по ис ходным данным x1, x2,..., xp и y1, y2,..., yp провести расчет (оценку), то есть входящих в f неизвестных коэффициентов (параметров). Тем самым мы полностью определили подобранную регрессионную функцию:

y = f (x, ), После того как была подборана регрессионная модель необходимо выяснить, насколько точ но выбранная модель описывает исходные данные. На практике, для того что бы отвергнуть неудачно подоранную модель, прибегают к изучению некоторых числовых характеристик, таких как: коэффициент детерминации, F-отношения, доверительные интервалы для оценок и т.д. Для принятия более обоснованного решения обычно сравнивают исходные значения yi с теоретически рассчитанными значениями yi, полученными с помощью подобранной регрессионной функции yi = f (xi, i ). Разность между данными значениями называют остатком:

ri = yi yi = yi f (xi, i ), i = 1, 2, · · ·, p Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама мо дель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предполо жениям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые одинаково распре деленные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нгормальный закон распределения остатков.

Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. Он может показать наличие какой-либо зависимости, не учтенной в модели.


Для проверки нормальности распределения также можно использовать графический метод, или воспользоваться критериями типа Колмогорова-Смирнова, хи-квадрат и т.д.

Для проверки независимости остатков обычно используют критерий серий и критерий Дарбина-Уотсона. В случае выявления сильной корреляции остатков необходимо перейти от регрессионной модели, к моделям типа авторегрессии-скользящего среднего.

Использование статистических методов, при анализе производственных данных Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть нам известно, что функциональная зависимость величины y от величины x имеет вид y = f (x, ), где функция f кроме переменной x содержит некоторые неизвестные параметры. Мы бы хотели на основании опытных данных найти эти параметры.

Все это осложняется ошибками измерений. Поэтому, фиксируя величину x равной, скажем, x1 и измеряя y, мы получим величину y1 = f (x1, 1 ) + 1, 1 - ошибка измерений (или возникающая из-за каких-либо других причин).

Вообще, фиксируя величину x рабной x1, x2,..., xp и измеряя величину y, мы получим зна чения y1, y2, · · ·, yp, равные yi = f (xi, i ) + i, i - ошибки измерений.

Пусть i - некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией равной 2 :

M {i } = 0;

M {i j } = 2 ij.

Нормальность величины i - не предполагается.

Для дальнейшего удобства введем матричные обозначения. Обозначим 1 y1 2 y2 =.,Y =., =.

...

...

p yp p - это вектор-столбец неизвестных параметров, Y - это вектор-столбец неизвестных измерений, - это вектор-столбец ошибок измерений.

Для мы имеем в матричном виде:

M {i } = 0;

M {T } = 2 En, где En - единичная матрица размера n n, а T - транспонированная матрица.

Матрицу X размером n k · · · x1k x11 x · · · x2k x21 x Xt =...

..

...

.

...

· · · xnk xn1 xn называют матрицей планирования эксперимента.

Задача правильного выбора матрицы X является очень важной для прикладной обработ ки данных производственного предприятия. Дальнейшие выкладки в данной статье посвящены решению данной задачи для оффсетной типографии.

Будем обозначать через оценку вектора, предстовляющего собой решение нормального уравнения T xt xT, Ab = C, A= t t= T в котором C = и матрица A предполагается невырожденной (так что T p).

t=1 yt xt В представлении функции регрессии независимые переменные могут быть отнесены к раз личным -координатным системам. При этом некоторые координатные системы могут оказаться предпочтительнее других.

Пусть x = Gxt, t = 1, 2, · · ·, T, где G-произвольная невырожденная матрица, и пусть = i T. Тогда M y можно записать в виде G t T xt = GG1 x = T x.

t t Компоненты векторов x, t = 1, 2, · · ·, T являются координатами векторов xt в новой коорди t натной системе. Оценки для и 2 по наблюдениям y1, y2, · · ·, yT, x1, x2, · · ·, xT выражаются соотношениями T T x yt T xt yt = (GT )1 b, b = = (GAG ) G t t=1 t= T T (T P )S 2 = (yt bT x )2 = (yt bT xt )2 = (T P )S 2.

t t=1 t= Функции, которые взяты в качестве оценок для функции регрессии в обоих координатных систе мах принимают одинаковые значения bT zt = bT zt.

(1)T (2)T Независимые переменные можно разбить на два множества: xT = (xt, xt ) и особо инте t (2) ресоваться мноеством xt.

Если независимые переменные ортогональны, то формулы и вычисления по ним значительно упрощаются.

Поскольку a1 ··· 0 a1 · · · 0 A1 =...

..,...

.

...

· · · a 0 0 pp элементы векторов b некоррелированы и имеют дисперсии равные a, i = 1, 2, · · ·, p. При этом ii нормальные уравнения принимают простой вид T c b = yi x, i = 1, 2, · · ·, p, i = a i it aii ii t= а формула для оценки дисперсии переходит в T P a b2.

(T P )s2 = yt ii i t=1 i= В этом случае F -статистика для проверки гипотезы (2) = (2) равна P a (b ) ii i i = Fpr,T p.

(p r)s i=v+ Иногда независимые переменные сразу выбирают ортогональными.

Значительную часть статистических методов, используемых при анализе производственных данных представляют именно методы регрессионного анализа (классической теории наименнь ших квадратов) или их видоизменения и аналоги. Выше была описана процедура в предполо жении некоррелированности случайных состовляющих. Для определения вида функциональной зависимости можно использовать:

теоретические соображения и опыт предыдущих аналитических исследований;

графический способ - на основе корреляционного поля или эмпирической линии регрессии;

можно также перебрать несколько функций (построить для каждой из них уравнение ре грессии) и выбрать лучшую из них по показателям качества уравнения регрессии.

Практика показывает, что обычно n 12 - выборки малого объема, 13 n 365 - выборки среднего объема, n 366 - выборки большого объема.

Таблица 1 – Примеры данных, которые можно проанализировать с помощью МНК для офсетной типографии y x1 x2 x Объем отгрузки размер премий возможные задержки выплат качество расходных материалов Выработка 1 оборудования зарплата у работника количество расходных материалов изменение плановой выработки Объем брака 1 оборудования размер штрафов работника стоимость ремонта или настройки изменение плановой выработки Список литературы 1. Тюрин, Ю. Н., Макаров, А. А. Анализ данных на компьютере/ Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров // М.: ИНФРА-М, 2000. – 238–239 с.

2. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов / Андерсон, Т. // 1971.

Семенчук Наталья Владимировна, доцент кафедры стохастического анализа и эконометрическо го моделирования гродненского государственного университета имени Янки Купалы, кандидат физико математических наук, доцент, senata155@gmail.com.

Степаненко Игорь Святославович, магистрант кафедры стохастического анализа и эко нометрического моделирования гродненского государственного университета имени Янки Купалы, igorstepanenkos@gmail.com.

УДК 519. О. В. СМОЛЕВСКАЯ, Е. В. КОСАРЕВА О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ ЭЛЕКТРОННЫХ СООБЩЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННОЙ СЕТИ И МЕТОДАХ ИХ РЕШЕНИЯ В статье рассматривается стохастическая модель первого этапа обработки электронных сообщений (ЭС) в системе межбанковских расчетов. Сформулированы оптимизационные задачи, связанные с этим процессом. Предложены способы их решения.

Введение Информационная сеть (ИС) представляет собой множество компонент, каждая из которых обеспечивает определенное обслуживание, которое длится некоторое случайное время. Ожидаю щие того или иного вида обслуживания задания (запросы, сообщения, задачи или программы) обычно называются заявками, а устройства, предназначенные для их обслуживания, например, память, центральный процессор, устройства ввода-вывода – обслуживающими устройствами. Та ким образом, ИС в целом можно рассматривать как совокупность обслуживающих систем, а ее моделью может служить сеть массового обслуживания (МО), состоящая из систем массового обслуживания (СМО), каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав ИС. В статье рассматривается стохастическая модель функционирования ИС межбанковских расчетов (МБР) на первой фазе обработки ЭС, поступающих в систему от банков-отправителей.

Рассмотрим первую фазу функционирования ИС МБР. ЭС от банков – отправителей по ступают на первую фазу ИС МБР, на которой работают m идентичных серверов, в которых ЭC дешифруются и проверяется подлинность электронной цифровой подписи (ЭЦП). Очереди к сер верам формируются из ЭС, поступающих от n разных банков. Стохастической модель обработки ЭС на первом этапе в ИС МБР является открытая сеть МО, рис.1., в которой СМО Bi, i = 1, n со ответствуют банкам – отправителя м, а СМО Cj, j = 1, m – серверам. Заявками в сети являются ЭС. Интенсивность поступления заявок в СМО Bi ровна i. Заявка, поступающая в систему Bi, мгновенно с вероятностью pij перенаправляется на обслуживание в систему Cj, i = 1, n, j = 1, m.

Интенсивность обслуживания заявок в системе Cj равна µj, j = 1, m.

Рисунок 1 – Стохастическая модель обработки ЭС Нахождение оптимальных потоков ЭС в ИС МБР Предположим, что интервалы времени между поступлением заявок в сеть и времена об служивания заявок в системах Cj распределены по экспоненциальному закону, j = 1, m. Все СМО являются однолинейными с неограниченным числом мест для ожидания и дисциплиной обслуживания заявок FIFO.

Представляет интерес следующая задача: определить максимальную интенсивность потоков заявок таких, чтобы число заявок в очередях к серверам не превышала заданного значения.

Математическая модель данной задачи имеет вид n i max, i= (1) q a, j = 1, m, Nj i 0, i = 1, n, q где Nj – среднее число заявок в очереди jой СМО, a – фиксированное значение.

Решение задачи (??), с учетом введенных предположений, рассмотрено в работе [1]. В част ном случае, когда n=2, m=2 решением системы (??) являются a 1 = 2 = (µ1 + µ2 ), 2 (1 + a) a а максимум целевой функции равен f (x) = (µ1 + µ2 ). Вероятности pij находятся из условий 1+a 2µ p12 + p22, pi1 + pi2 = 1, i = 1, 2, µ1 + µ µ1 µ 2µ2 2µ и равны, например, p22 = 0, p21 = 1;

p12 =.

, p11 = 1 = µ1 + µ 2 µ1 + µ2 µ1 + µ В общем случае, когда m и n не определены задача (??) имеет вид (??) n i max, i= n i pij (2) i= a, j = 1, m n µj i pij i= i 0, i = 1, n.

m a Максимум целевой функции равен µi, а оптимальным решением задачи (??) будет лю 1+a j= m n a бая точка, удовлетворяющая условиям µi, i 0, i = 1, n, например, i = 1+a i=1 j= m a (3) i = µl, i = 1, n.

n (1 + a) l= Если обе части j-го ограничения задачи (??) домножить на знаменатель левой части и подставить (??), то при j= 1, получим m n m n a a pi1 a µ µl µl pi1, n (1 + a) n (1 + a) i=1 i= l=1 l= из него следует:

n nµ (4) pi1.

m µl i= l= В общем случае:

n nµj (5) pij, j = 1, m.

m µ i= l= Воспользуемся условием нормировки:

p11 + p12 +... + p1m = 1, p21 + p22 +... + p2m = 1, (6)...

pn1 + pn2 +... + pnm = 1.


nµ Пусть pi1 = 0, i = 2, n, тогда p11 =. Далее из (??), учитывая условие нормировки (??), m µl l= находим значения вероятностей nµ pi2 = 0, i = 1, n, i = 2, p22 =, m µl l= остальные вероятности будем искать аналогично.

Пример 1. Пусть имеется 22 банка – отправителя, и 8 серверов, µj = 15, j = 1, 8, a = 40.

Подставим µj в (??):

m a i = µj = 120 = 5, 32.

22 (1 + a) 22 (1 + 40) j= Найдем вероятности из (33) – (??):

n 22 · nµ pi1 = = 2, 75.

m mj i= j= Пусть pi1 = 0, 125, i = 1, 22. Так как сервера идентичные, то n 22 · nµj pij = = 2, 75, m mj i= j= следовательно, вероятности, с которыми нужно распределять ЭС по серверам, равны pij = 0, 125, i = 1, 22, j = 1, 8.

Нахождение оптимального количества серверов в ИС МБР Рассмотрим следующую задачу. Пусть известна интенсивность входящего потока ЭС в ИС МБР. Нужно найти оптимальное количество серверов и их производительность, такие, что время ожидания ЭС в очередях не превышало заданного значения.

Математическая модель задачи имеет вид (??) k2 nµ min, (7) tw T, где k2 – коэффициент пропорциональности, зависящий от технического уровня развития вычис лительной техники, n – число серверов, µ – производительность сервера, tw - время ожидания ЭС в очереди, T – фиксированное значение.

Будем предполагать, что сервера идентичны и времена обслуживания заявок в них распре делены экспоненциально с параметром µ. Поток ЭС к серверам является простейшим. Тогда стохастической моделью этих серверов в совокупности может служить СМО типа M/M/n. С учетом этих предположений [2], ограничение задачи (??) имеет вид n p0 1 n (n + 1 n) (8) · T, (1 ) nµn!

где =, =, p0 =.

1 n+ µ nµ Тогда ограничение (??) примет вид:

n n µn ( + µ) 1 1+ +n µ µn µ (9) T.

(2+n µ2+n ) + nn!

µn Целевая функция задачи (??) является квадратичной, а ограничение (??) нелинейное, кроме того параметр n может принимать только целые значения. Для решения задачи (??) может быть использован следующий алгоритм:

Полагаем, что n = 1.

Находим минимальное положительное µ, удовлетворяющее ограничению (??) В виду сложности (??), это можно сделать,например, средствами пакета компьютерной математики Mathematica.

Увеличиваем n на единицу, переходим ко второму пункту.

Если n достигло некоторого предельного значения, так как число линий обслуживания (сер веров) не может быть бесконечным, то выбираем наилучшие n и µ.

Список литературы 1. Косарева, Е. В. О нахождении максимальных входных потоков сообщений, поступающих в систему межбанковских расчетов / Е. В. Косарева, М. А. Маталыцкий // Информационные технологии. Радио электроника. Телекоммуникации (ITRT-2012): сб. ст. II международной заочной научно-технической конференции. / Поволжский гос. ун-т сервиса. – Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2012. – Ч. 2. – С. 292–300.

2. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк [и др.]. – Киев:

Наукова думка, 1985. – 324 с.

Косарева Екатерина Владимировна, доцент кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, кандидат физико математических наук, koluzaeva@gmail.com.

Смолевская Ольга Вацлавовна, студентка 5 курса факультета математики и информатики Гроднен ского государственного университета имени Янки Купалы, olchik.smolevskaya@mail.ru.

УДК 517. С. Э. СТАТКЕВИЧ, М. А. МАТАЛЫЦКИЙ, В. Д. МОНЬКО АНАЛИЗ НМ-СЕТЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДОХОДОВ СИСТЕМ МЕЖБАНКОВСКИХ ПЛАТЕЖЕЙ В работе проведено исследование HM (Howard-Matalytski)-сетей массового обслуживания с ограниченным временем ожидания заявок в очередях и ненадежными системами обслужи вания. Описано использование сетей такого типа при прогнозировании доходов в системах межбанковских платежей.

Введение Различные методы нахождения ожидаемых доходов в системах НМ (Howad-Matalytski)-сетей с дисциплинами обслуживания заявок FIFO представлены в работе [1]. В [2] рассматривались НМ-сети с ограниченными временами ожидания заявок в системах обслуживания (СМО). В работе [3] исследовались сети с доходами и ненадежными системами обслуживания. В данной работе получены системы разностно-дифференциальных уравнений (РДУ) для нахождения ожидаемых доходов систем НМ-сетей с ненадежными СМО и ограниченными временами ожида ния заявок в очередях одновременно. Описывается применение таких сетей при моделировании доходов в системах межбанковских платежей.

Описание сети Рассмотрим открытую экспоненциальную сеть МО с однотипными заявками, состоящую из n СМО S1, S2,..., Sn. В сеть поступает простейший поток заявок из внешней среды системы S0 с интенсивностью. Система Si состоит из mi идентичных линий обслуживания, время обслужи вания заявок в каждой из которых распределено по экспоненциальному закону с параметром µi, i = 1, n. Длительность пребывания заявки в очереди iой СМО является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром i, и не зависит от других факторов, например, от времени пребывания в очереди других заявок.

Допустим, что линии обслуживания системы S0 абсолютно надежны, а в других системах S1, S2,..., Sn линии обслуживания подвергаются случайным поломкам, причем время исправ ной работы каждой линии системы Si имеет показательную функцию распределения (ф.р.) с параметром i, i = 1, n. После поломки линия немедленно начинает восстанавливаться и вре мя восстановления также имеет показательную ф.р. с параметром i, i = 1, n. Будем считать, что времена обслуживания заявок в линиях, пребывания заявки в очереди на обслуживание, длительности исправной работы линий и длительности восстановления неисправных являются независимыми случайными величинами. Под состояниями сети будем понимать вектор Z(t) = (d(t), k(t)) = (d1, d2,..., dn, k1, k2,..., kn, t), где di – количество исправных линий обслуживания в системе Si в момент времени t, 0 di mi, ki – число заявок в системе Si в момент времени t, t [0, +), i = 1, n. Обозначим через p0j – n вероятность поступления заявки из системы S0 в систему Sj, p0j = 1;

pij – вероятность пе j= n рехода заявки в СМО Sj после ее обслуживания в СМО Si, pij = 1, i = 1, n. Заявка, время j= ожидания которой в очереди Si истекло, переходит в очередь системы Sj с вероятностью qij, i = 0, n, j = 1, n. Матрицы P = pij (n+1)(n+1) и Q = qij n(n+1) являются матрицами ве роятностей переходов неприводимых марковских цепей. Будем также предполагать, что если во время обслуживания некоторой заявки линия обслуживания вышла из строя, то после окончания восстановления линии прерванная заявка дообслуживается. Заявка при переходе из СМО Si в СМО Sj приносит ей некоторый доход, а доход СМО Si уменьшается на эту величину, i, j = 0, n.

На обслуживание заявки выбираются в соответствии с дисциплиной FIFO.

Введем ряд обозначений для доходов в системе Si. Пусть:

vi (d, k, t) – полный ожидаемый доход, который получает система Si за время t, если в на чальный момент времени сеть находится в состоянии (d, k, 0);

Ii – n-вектор с нулевыми компонентами, за исключением компоненты с номером i, которая равна 1;

ri (d, k) – доход системы Si в единицу времени в течение времени пребывания сети в состоянии (d, k);

Ris0 (d, kIs, t) – доход системы Si, когда сеть меняет свое состояние из (d, k, t) на состояние (d, k Is, t + t) из-за ухода заявки после обслуживания в системе Ss во внешнюю среду и сохранения состояний остальных СМО;

His0 (d, kIs, t) – доход системы Si, когда сеть меняет свое состояние из (d, k, t) на состояние (d, k Is, t + t) из-за ухода заявки не дождавшейся обслуживания из очереди системы Ss во внешнюю среду и сохранения состояний остальных СМО;

ri0c (d, k + Ic, t) – доход системы Si, когда сеть меняет свое состояние с (d, k, t) на состояние (d, k + Ic, t + t) из-за прихода заявки из внешней среды в систему Sc ;

Risc (d, k + Ic Is, t) – доход системы Si, когда сеть изменяет свое состояние с (d, k, t) на состояние (d, k + Ic Is, t + t) из-за перехода заявки после обслуживания в системе Ss в систему Sc ;

Hisc (d, k + Ic Is, t) доход системы Si, когда сеть изменяет свое состояние с (d, k, t) на состояние (d, k +Ic Is, t+t) из-за перехода заявки, не дождавшейся обслуживания в из очереди системы Ss в очередь системы Sc ;

gij (d Ij, k, t) – доход системы Si, когда сеть меняет свое состояние с (d, k, t) на состояние (d Ij, k, t + t), связанный с выходом из строя (поломкой) линии обслуживания в системе Sj ;

fic (d + Ic, k, t) – доход системы Si, когда сеть изменяет свое состояние с (d, k, t) на состояние (d + Ic, k, t + t) из-за восстановления линии обслуживания в СМО Sc ;

Естественно предположить, что все функции Ris0 (d, k, t), His0 (d, k, t), ri0c (d, k, t), Risc (d, k, t), Hisc (d, k, t), gij (d, k, t), fic (dc, k, t), i, j, c, s = 0, n, ограничены по t.

Вероятности переходов между состояниями сети и доходы от переходов В течение интервала времени [t, t + t] сеть может перейти в одно из следующих состояний:

1) (d, k, t + t);

2) (d, k Is, t + t);

3) (d, k + Ic, t + t);

4) (d, k + Ic Is, t + t);

5) (d Ij, k, t + t);

6) (d Ij, k Is, t + t);

7) (d Ij, k + Ic, t + t);

8) (d Ij, k + Ic Is, t + t);

9) (d + Ic, k, t + t);

10) (d+Ic, kIs, t+t);

11) (d+Il, k+Ic, t+t);

12) (d+Il, k+Ic Is, t+t);

13) (d+Il Ij, k, t+t);

14) (d + Il Ij, k Is, t + t);

15) (d + Il Ij, k + Ic, t + t);

16) (d + Il Ij, k + Ic Is, t + t), i, j, l = 1, n, c, s = 1, n, l = j, c = s.

Рассмотрим некоторые случаи более подробно.

1. Если сеть останется в состоянии (d, k, t + t), то доход системы Si будет равен ri (d, k)t плюс ожидаемый доход vi (d, k, t) за оставшиеся t единиц времени;

поскольку сеть экспоненциаль на, то вероятность этого события равна n 1 [µj min(dj, kj ) + j (kj dj )u(kj dj ) + j dj + j (mj dj )] t + o(t).

+ j= 2. Переход из состояния (d, k, t) в состояние (d, k Is, t + t) за время t сетью может быть осуществлен в двух случаях:

- с вероятностью [µs min(ds, ks )ps0 t + o(t)] n 1 [µr min(dr, kr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=s +µs min(ds, ks 1) + s (ks 1 ds )u(ks 1 ds ) + s ds + s (ms ds ) t + o(t) = = µs min(ds, ks )ps0 t + o(t), при этом доход системы Si составит Ris0 (d, k Is, t) + vi (d, k Is, t);

- с вероятностью [s (ks ds )u(ks ds )qs0 t + o(t)] n 1 [µr min(dr, kr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=s +µs min(ds, ks ) + s (ks 1 ds )u(ks 1 ds ) + s ds + s (ms ds ) t + o(t) = = s (ks ds )u(ks ds )qs0 t + o(t), доход системы Si при этом составит His0 (d, k Is, t) + vi (d, k Is, t).

3. Переход из состояния (d, k, t) в состояние (d, k + Ic, t + t) возможен за время t с веро ятностью [p0c t + o(t)] n n 1 [µr min(dr, kr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )] t + o(t) = p0s + s=1 r= s=c = p0c t + o(t), в этом случае доход системы Si составит ri0c (d, k + Ic, t) + vi (d, k + Ic, t).

4. Переход из состояния (d, k, t) в состояние (d, k + Ic Is, t + t) за время t сетью может быть осуществлен в двух случаях:

- с вероятностью [µs min(ds, ks )psc t + o(t)] n 1 [µr min(kr, dr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=c,s +µs min(ds, ks 1) + s (ks 1 ds )u(ks 1 ds ) + s ds + s (ms ds )+ +µc min(dc, kc + 1) + c (kc + 1 dc )u(kc + 1 dc ) + c dc + c (mc dc )+ t + o(t) = = µs min(ds, ks )psc t + o(t), доход iой СМО при этом составит Risc (d, k + Ic Is, t) + vi (d, k + Ic Is, t);

- с вероятностью [s (ks ds t)u(ks ds )qsc t + o(t)] n 1 [µr min(kr, dr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=c,s +µs min(ds, ks 1) + s (ks 1 ds )u(ks 1 ds ) + s ds + s (ms ds )+ +µc min(dc, kc + 1) + c (kc + 1 dc )u(kc + 1 dc ) + c dc + c (mc dc )+ t + o(t) = = s (ks ds )u(ks ds )qsc t + o(t), доход iой СМО составит Hisc (d, k + Ic Is, t) + vi (d, k + Ic Is, t).

5. Переход из состояния (d, k, t) в состояние (d Ij, k, t + t) возможен за время t с веро ятностью [j dj t + o(t)] n 1 [µr min (dr, kr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=j +µj min(dj 1, kj ) + j (kj dj + 1)u(kj dj + 1) + j (dj 1) + j (mj dj + 1) t + o(t) = = j dj t + o(t), доход СМО Si составит при этом gij (d Ij, k, t) + vi (d Ij, k, t).

9. Переход из состояния (d, k, t) в состояние (d + Ic, k, t + t) за время t возможен с веро ятностью [c (mc dc )t + o(t)] n 1 [µr min(dr, kr ) + r (kr dr )u(kr dr ) + r dr + r (mr dr )]+ + r= r=c +µc min(dc + 1, kc ) + c (kc dc 1)u(kc dc 1) + c (dc + 1) + c (mc dc 1) t + o(t) = = c (mc dc )t + o(t), при этом доход системы Si составит fic (d + Ic, k, t) + vi (d + Ic, k, t).

Вероятности переходов из остальных состояний равны o(t).

Системы РДУ для ожидаемых доходов Используя формулу полной вероятности для условного математического ожидания, можно записать систему разностных уравнений для ожидаемого дохода системы Si, полученного ею за время t + t, из которой путем предельного перехода при t 0 получается система РДУ n dvi (d, k, t) = + [µj min(dj, kj ) + j (kj dj )u(kj dj ) + j dj + j (mj dj )] vi (d, k, t)+ dt j= n [µj min(dj, kj )pj0 + j (kj dj )u(kj dj )qj0 ]vi (d, k Ij, t)+ + j= n [p0j vi (d, k + Ij, t) + j dj vi (d Ij, k, t) + j (mj dj )vi (d + Ij, k, t)]+ + j= n [µs min(ks, ds )psc + s (ks ds )u(ks ds )qsc ]vi (d, k + Ic Is, t) + Gijcs (d, k, t), + (1) s,c= s=c где n [µj min(kj, dj )pj0 Rij0 (d, k Ij, t) j (kj dj )u(kj dj )qj0 Hij0 (d, k Ij, t)+ Gijcs (d, k, t) = j= +p0j ri0j (d, k + Ij, t) j dj gij (d Ij, k, t) + j (mj dj )fij (d + Ij, k, t)]+ n [µs min(ds, ks )psc Risc (d, k + Ic Is, t) + s (ks ds )u(ks ds )qsc Hisc (d, k + Ic Is, t)] + ri (d, k).

s,c= s=c Для замкнутой сети, когда = 0, p0i = pi0 = 0, i = 1, n, система (1) принимает вид n dvi (d, k, t) = [µj min(dj, kj ) + j (kj dj )u(kj dj ) + j dj + j (mj dj )]vi (d, k, t)+ dt j= n [j dj vi (d Ij, k, t) + j (mj dj )vi (d + Ij, k, t)]+ + j= n (1) [µs min(ks, ds )psc + s (ks ds )u(ks ds )qsc ]vi (d, k + Ic Is, t) + Gijcs (d, k, t), + (2) s,c= s=c где n (1) [j (mj dj )fij (d + Ij, k, t) j dj gij (d Ij, k, t)]+ Gijcs (d, k, t) = j= n [µs min(ks, ds )psc + s (ks ds )u(ks ds )qsc ]vi (d, k + Ic Is, t) + ri (d, k).

+ s,c= s=c Обычно выход из строя или восстановление линий обслуживания в системе Si не связаны с их поломками или восстановлением в других СМО сети, поэтому gi (d Ij, k, t), i = j, fi (d + Ij, k, t), i = j, gij (d Ij, k, t) = fij (d + Ij, k, t) = 0, i = j, 0, i = j.

и в этом случае n (1) [j (mj dj )fi (d + Ij, k, t) j dj gi (d Ij, k, t)]+ Gijcs (d, k, t) = j= n [µs min(ks, ds )psc + s (ks ds )u(ks ds )qsc ]vi (d, k + Ic Is, t) + ri (d, k).

+ s,c= s=c Систему уравнений (2) можно свести к системе линейных неоднородных ОДУ, и решить, например, с помощью компьютерного пакета Wolfram Mathematica, используя прямой метод (с использованием матричной экспоненты) или метод преобразований Лапласа.

Полученные результаты могут быть применены при моделировании доходов в системах меж банковских платежей. Платежная система кратко может быть охарактеризована следующим об разом. На верхнем уровне банковской сети находится Национальный банк (НБ), ниже – крупные периферийные банки с их филиалами. Все межбанковские платежи проводятся Расчетным цен тром (РЦ) НБ с помощью компьютерной системы межбанковских платежей через корреспондент ские счета, открытых на балансе каждого банка. Каждый платеж оформляется в виде одного платежного документа (ЭПД). Прием и обработка ЭПД осуществляется по мере их поступления.

За обработку каждого ЭПД РЦ получает от банка-плательщика определенную сумму. Кроме того, каждый банк может запросить и получить сведения из РЦ о сумме всех платежей других банков на этот банк, не проведенных из-за недостатка резервов у банков-плательщиков, и о сумме всех платежей других банков в этот банк, ожидающих начала очередного клирингового сеанса.

За изменение величины каждого из резервов и за выдачу сведений об ожидаемых поступлениях РЦ также берет определенную сумму.

Каждый банк в течение дня видит состояние очередей своих платежей и может в случайный момент времени отозвать ЭПД из очереди ожидания средств по денежным переводам при наличии ошибочных реквизитов в ЭПД, либо в случае, когда для его проведения нет средств [4].

В этом случае с учетом, что отдельные элементы системы межбанковских платежей, отвечающие за обработку ЭПД, могут выходить из строя, при моделировании доходов могут применяться сети МО с доходами рассматриваемого в данной статье типа, с помощью которых можно найти ожидаемые доходы от переходов между ее состояниями, соответствующих поступлению платежей (заявок) между банками, а также оптимальные резервы банков.

Список литературы 1. Маталыцкий, М. А. О некоторых результатах анализа и оптимизации марковских сетей с доходами и их применениеa / М. А. Маталыцкий // Автоматика и телемеханика. – 2009. –№ 10. – С. 97–113.

2. Маталыцкий, М. А. НМ-сети с ограниченным временем ожидания заявок в системах обслуживания / М. А. Маталыцкий, А. В. Паньков, С. Э. Статкевич // Вестник ГрГУ. Сер. 2. – 2009. – № 2. – P. 44–52.

3. Статкевич, C. Э. Анализ НМ-сетей с ненадежными системами обслуживания / С. Э. Статкевич, М. А. Маталыцкий // Вестник ГрГУ. Сер. 2. – 2010. – № 2. – P. 31–40.

4. Колузаева, Е. В. Применение НМ-сетей с ограниченным временем ожидания заявок в очередях при моделировании межбанковских платежей / Е. В. Колузаева, М. А. Маталыцкий, С. Э. Статкевич // Технологии информатизации и управления: сборник научных статей. – Минск: БГУ, 2009. – C. 27–31.

Статкевич Святослав Эдуардович, старший преподаватель кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, кандидат физико-математических наук, sstat@grsu.by.

Маталыцкий Михаил Алексеевич, заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометриче ского моделирования Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, доктор физико математических наук, профессор, m.matalytski@gmail.com.

Монько Василий Дмитриевич, магистрант кафедры стохастического анализа и эконометрическо го моделирования факультета математики и информатики Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, vasilii.manko@gmail.com.

УДК 519. Н. Н. ТРУШ, Т. Н. САКОВИЧ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К АНАЛИЗУ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ВЫРАЖЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ Работа посвящена практическому применению непрерывного вейвлет-преобразования к анализу сложных сигналов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик. Указаны основные преимущества применяемого вейвлет-анализа перед традиционным спектральным анализом Фурье. В качестве примера рассматривается сигнал, у которого наблюдается дрейф частоты во времени. Исследование проводится как с помощью традиционного Фурье-анализа, так и с помощью вейвлет-преобразования.

Сравниваются полученные результаты. При проведении вейвлет–анализа строятся трех мерные и двухмерные вейвлет-портреты исследуемого сигнала, которые достаточно легко поддаются расшифровке.

Введение Понятие вейвлет появилось сравнительно недавно. Принцип вейвлет-преобразования был впервые изложен Гроссманом (A. Grossman) и Морле (J. Morle) и с тех пор стал одним из самых популярных методов математического анализа. В отличие от традиционного преобразования Фурье, вейвлет-анализ обеспечивает двухмерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что позволяет анализировать свойства исследуемого сигнала одновременно и во временной и в частной обла стях.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.