авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 4 ] --

TRT G =60 мкс – длительность интервала переключения с передачи на прием.

3) Условия формирования одного пакета для n-й ПС i xn xn (i z + 1) xn 0, (4) k,i k,z k,u u=z при (z = 1, M 1;

i = 2, M ;

n = 1, N ;

k = 1, K;

i z);

j xn xn (j r + 1) xn 0, (5) j,m r,m s,m s=r при (r = 1, K 1;

j = 2, K;

n = 1, N ;

m = 1, M ;

j r);

4) Условие формирования пакетов прямоугольной формы M K K M xn xn xn xn (n = 1, N ;

k = 1, K;

m = 1, M ), = (6) k,m k,d k,m g,h g=1 h= d=1 b= 5) Условие резервирования необходимого количества слотов для передачи служебной инфор мации K N xn = 0(m = 1, mслуж ;

Q/K 1);

(7) k,m k=1 n= N xn k,mслуж = 0(k = 1, kслуж ;

Q/K 1);

(8) n= N xn = 0(k = 1, kслуж ;

Q/K 1);

(9) k, n= где mслуж = Q/K – количество слотов, выделенных для передачи служебных сообщений, за нимающих всю ширину частотного канала (располагаются вначале кадра после преамбулы);

kслуж = Q K(mслуж 1) – количество слотов выделенных для передачи служебной инфор мации, занимающих лишь часть ширины частотного канала.

Расчет искомых переменных (1) в соответствии с условиями-ограничениями (2)-(9) целесо образно осуществлять в ходе решения оптимизационной задачи, обеспечивая минимум или мак симум предварительно выбранного критерия качества решения задачи распределения слотов и формирования пакетов передачи данных ПС беспроводной сети стандарта IEEE 802.16.

Задача распределения слотов и формирования пакетов данных ПС может быть решена с использованием критерия оптимальности, направленного на экономию частотного и временно го ресурса, а также уменьшения времени нахождения ПС в активном состоянии, что позволит снизить энергопотребление ПС. Таким образом, критерий оптимальности примет вид:

N K M xn, min (10) k,m n=1 k=1 m= при учете условий-ограничений (2)-(9).

Сформулированная задача с математической точки зрения является задачей смешанного це лочисленного нелинейного программирования – MINLP (Mixed Integer NonLinear Programming).

В модели искомые переменные xn k,m (1) являются булевыми. Переменная, используемая в критерии оптимальности (10), является целочисленной, ограничения на искомые переменные (2), (3), (7)-(9) носят линейный, а ограничения (4)-(6) нелинейный характер.

Результаты моделирования В качестве примера получены решения сформулированной в работе оптимизационной зада чи, для чего была использована система MatLab R2012b, в рамках которой задействована про грамма minlpAssign пакета оптимизации TOMLAB. В результате анализа полученных решений установлено, что использование условий (4) и (5), обеспечивающих формирование одного пакета данных для каждой ПС, позволяет минимизировать количество служебной информации, переда ваемой в нисходящем канале связи, так как формирование каждого дополнительного DL-пакета приводит к формированию дополнительной служебной информации.

Кроме того в результате анализа установлено, что задача совместного распределения ча стотного и временного ресурса имеет более высокую эффективность использования пропускной способности нисходящего канала технологии WiMAX, по сравнению с задачей распределения ча стотного и задачей распределения временного ресурса. На рис. 1 показано, на сколько можно уменьшить количество слотов, выделяемых ПС при решении задачи совместного распределения частотного и временного ресурса, по сравнению с задачей распределения частотного (Bчаст ) и за дачей распределения временного (Bврем ) ресурса, в зависимости от требуемой скорости передачи ПС.

Рисунок 1 – Выигрыш задачи совместного распределения частотного и временного ресурса в эффективности использования пропускной способности нисходящего канала технологии WiMAX Зависимости, представленные на рис. 1, имеют скачки. Наличие скачков объясняется необхо димостью выделения очередного подканала (задача распределения частотного ресурса) или последовательности символов, кратной количеству символов в слоте (задача распределения частотного ресурса), при увеличении требуемой скорости передачи ПС.

Список литературы 1. Гаркуша, С. В. Разработка и анализ масштабируемой модели распределения подканалов в сети стан дарта IEEE 802.16 / С. В. Гаркуша // Збiрник наукових праць Харкiвського унiверситету повiтряних сил. – 2012. – Вип. 4(33). – С. 68-74.

2. Mehrjoo, M. Resource Allocation in OFDM-Based WiMAX / M. Mehrjoo, M. K. Awad, X. S. Shen // CRC Press, Wireless Networks and Mobile Communications: WiMAX network planning and optimization. – 2009. – P. 113-131.

3. Ohseki, T. Burst construction and packet mapping scheme for OFDMA downlinks in IEEE 802.16 systems / T. Ohseki, M. Morita, T. Inoue // IEEE Global Telecommunications Conference (GLOBECOM). – 2007. – P. 4307-4311.

4. Lodi, A. Two-dimensional packing problems: A survey / A. Lodi, S. Martello, M. Monaci // European Journal Operational Research. – 2002. – Vol.141. – Р. 242-252.

5. Ben-Shimol, Y. Two-dimensional mapping for wireless OFDMA systems / Y. Ben-Shimol, I. Kitroser, Y. Dinitz // IEEE Transactions on Broadcasting. – 2006. – Vol. 52, No. 3. – P. 388-396.

Гаркуша Сергей Владимирович, докторант кафедры телекоммуникационных систем Харьковского национального университета радиоэлектроники, кандидат технических наук, доцент, sv.garkusha@mail.ru.

Андрушко Дмитрий Владимирович, доцент кафедры телекоммуникационных систем Харь ковского национального университета радиоэлектроники, кандидат технических наук, доцент, dmytro.andrushko@gmail.com.

УДК 616.125.4-008.314-073. А. В. ГУЛАЙ, В. А. ГУЛАЙ, О. А. КОЗЛОВА, В. М. КОЛЕШКО AB INITIO МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СВОЙСТВ ФТОРИДОВ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Выполнено моделирование электронных свойств сенсорных наноматериалов на основе редкоземельных фторидоа (например, фторида иттрия). В качестве среды моделирования использован программный пакет VASP, в частности, метод присоединенных плоских волн (PAW-метод), который позволяет получить достаточно точные результаты расчета электронной плотности и зонной структуры. Показано, что ширина запрещенной зоны фторида иттрия составляет 6,21 эВ, магнитный момент равен трем магнетонам Бора. Распределение плотности состояний спин вверх не совпадает с распределением плотности состояний спин вниз, что свидетельствует о наличии магнитных свойств исследованной конфигурации фторида иттрия. Полученные результаты позволяют сде лать вывод, что исследованная структура фторида иттрия является диэлектриком с выраженными анизотропными магнитными свойствами.

Введение В последние годы значительно возрос интерес к исследованиям фтористых соединений ред коземельных элементов (РЗЭ). Это объясняется появлением новых областей применения тон ких диэлектрических пленок фторидов РЗЭ, например, в качестве активных элементов микро наносенсоров. Развитие этих областей применения фторидов требует не только усовершенство вания методов получения, но и уточнения их строения, выяснения их структурных особенностей, фундаментальных электронных и магнитных свойств. Для решения задач исследования и созда ния сенсорных наносистем на основе использования тонких диэлектрических пленок (в частности фторидов РЗЭ) требуется применение эффективных методов моделирования физических свойств диэлектриков. Одним из продуктивных методов исследования диэлектриков как активных ма териалов сенсорики является компьютерное моделирование их электронных свойств из первых принципов (ab initio). Ab initio моделирование позволяет прогнозировать характеристики син тезируемых сложных соединений, определять динамику изменения их параметров при введении микродобавок, оптимизировать состав материала для получения приемлемых свойств сенсорных наноструктур.

В качестве среды моделирования использован программный пакет VASP (Vienna Ab-Initio Simulation Package), в котором реализуется ab-initio подход для квантовомеханических расчетов в молекулярной динамике (MD) на основе псевдопотенциалов с наборами базисных элементов плоских волн [1, 2]. Указанный подход, осуществляемый в VASP, базируется на приближении локальной плотности (со свободной энергией в качестве варьируемой величины) и точной оценке мгновенного электронного основного состояния в каждом MD-шаге, а также на использовании эффективных матричных схем диагонализации и эффективного смешивания Пулэя.

Взаимодействие между ионами и электронами в используемом программном пакете описы вается с помощью ультрамягких псевдопотенциалов Вандербильта (US–PP), или метода плоских присоединенных волн (PAW) [2]. Оба метода позволяют осуществлять значительное сокраще ние необходимого числа плоских волн в атомах переходных металлов. Кроме этого, в программе VASP сравнительно просто рассчитываются силы, значения которых используются для релакса ции атомов к их основному состоянию. Использование VASP позволяет проследить за смещением отдельных частиц в изучаемой системе и вычислить коэффициенты их самодиффузии, рассчи тать среднее время смены ближайших соседних частиц, а также определить ряд других фи зических свойств. Особенно привлекательным в исследовании активных сенсорных материалов является возможность использования VASP для расчета зависимостей указанных характеристик от температуры и величины внешних и внутренних упругих деформаций.

Задача моделирования атомно-структурных и электронных свойств редкоземельных соеди нений в наиболее общем виде заключается в выборе оптимальных алгоритмов расчета в про грамме VASP, подборе входных параметров моделируемой системы для достижения требуемой точности расчетов и выборе определенной методики адекватного определения свойств изучаемых сенсорных материалов. Основная методология, используемая в VASP, состоит в решении уравне ния Шредингера для электронно-ядерной подсистемы моделируемой структуры и в вычислении конечной полной энергии, сил и других параметров и величин. В данной работе использован ме тод присоединенных плоских волн (PAW-метод) VASP-программы, который позволяет корректно рассчитывать параметры кристаллической решетки, адекватно оценивать спиновую поляриза цию и физические свойства материалов.

Идея применяемого алгоритма моделирования заключается в том, что расчет начинается с относительно малого числа атомов в модельном кристаллите, а затем на основе полученных результатов производится трансляция структуры до ее требуемых размеров. Так, один из блоков алгоритма VASP предоставляет возможность проводить моделирование структуры с малым числом атомов, в которой не учитывается температурная зависимость движения атомов. В другом блоке алгоритма полученные в результате расчета каждого отдельного слоя данные объединяются в одну систему. Далее выполняется удаление/добавление атомов для получения заданного вида дефекта кристаллической решетки (вакансии, междоузлия или их комплексов).

На следующем этапе реализации алгоритма моделирования производится выбор процедуры по добавлению атомов в моделируемый массив. Например, если рассматривается точечный дефект (представляемый в виде сферы), то усиление его влияния происходит по принципу увеличения размеров сферы. Предварительно выполняется ряд тестов, в частности производится расчет оптимального количества точек, устанавливающих степень разбиения обратного пространства, а также определяется минимальная энергия моделируемой системы. От количества указанных точек зависит точность определения координат атомов кристаллической решетки: для диэлек триков достаточно десяти точек на одну элементарную ячейку.

Кристаллографические свойства фторидов редкоземельных элементов Фториды редкоземельных элементов кристаллизуются в гексагональной или ромбической сингонии (таблица 1 размеры элементарной ячейки гексагональной и ромбической модифика ций LnF3 ). Для фторидов лантана, церия, празеодима и неодима известна только гексагональная модификация, построенная по типу тизонита. Для фторидов более тяжелых элементов в обыч ных условиях характерна ромбическая модификация (структурный тип YF3 ). При температуре выше 555-1100°C ромбические фториды претерпевают структурное изменение и переходят в гек сагональные модификации. При этом высокотемпературная форма фторидов элементов от Sm до Ho имеет структуру тизонитового типа и может быть получена в метастабильном состоянии при температуре ниже полиморфного перехода с помощью закалки. Гексагональные модифика ции фторидов Er, Yb, Lu, Y отличаются от тизонитового типа и при температуре ниже точки фазового перехода неустойчивы. Структура фторидов тизонитового типа характеризуется гекса гональной элементарной ячейкой, пространственная группа C63 /mcm (D6 3 h) [3].

Положения атомов лантана в структуре LaF3 практически соответствуют модели с про странственной группой C63/mcm, а атомы фтора сдвинуты по сравнению с положениями в этой модели. В связи с этим считается более правильным относить кристаллы фторида лантана к три гональной сингонии (пространственная группа P3c1). Координационную сферу вокруг лантана образуют 9 атомов фтора, находящихся от него на расстоянии 2,4-2,6 А, и 2 более удаленных ато ма на расстоянии 3,0 А. Следует отметить, что структурной модели LaF3 может быть поставлена в соответствие также пространственная группа P63 cm. Однако различие между приведенными моделями невелико;

можно считать, что реальная структура LaF3 мало отличается от идеального случая – пространственной группы C63 /mcm.

Таблица 1 – Кристаллографические свойства фторидов РЗЭ Параметры гексагональной Параметры ромбической ячейки, Соединение элементарной ячейки, ангстрем ангстрем a c a c b – – – 7,185 7, LaF – – – 7,112 7, CeF – – – 7,075 7, PrF – – – 7,030 7, NdF – – – 6,970 7, PmF 6,956 7,120 6,669 7,059 4, SmF 6,916 7,091 6,622 7,019 4, EuF 7,060 7,200 6,570 6,984 4, GdF 7,030 7,100 6,513 6,949 4, TbF 7,010 7,050 6,460 6,906 4, DyF 6,833 6,984 6,404 6,875 4, HoF 6,970 8,270 6,354 6,848 4, ErF 6,763 6,927 6,283 6,811 4, TmF 6,990 8,320 6,216 6,786 4, YbF 6,960 8,300 6,151 6,758 4, LuF 7,130 8,450 6,353 6,850 4, YF Ромбические фториды редкоземельных элементов кристаллизуются в структурном типе YF (пространственная группа Pnma). В этом структурном типе фторидов металл окружен шестью атомами фтора по вершинам тригональной призмы и тремя атомами фтора, примыкающими к центрам ее боковых граней. Восемь атомов фтора удалены от металла (иттрия) на расстояние 2,3 А, девятый находится от него на расстоянии 2,6 А. Координационный полиэдр в YF3 связан с соседним общими треугольными плоскостями призмы.

Химические связи в фторидах редкоземельных элементов имеют существенно ионный характер. Данный характер связей Ln-F объясняется значительными размерами ионов Ln3+ и особенностями их электронной структуры. Образование ковалентных связей с участием гибридных орбит затруднено тем, что 4f-электроны экранированы внешними электронными оболочками, и доля их участия в образовании ковалентных связей невелика [4]. Частичное проявление ковалентного характера связей позволяет все-таки в некоторой степени объяснять закономерности кристаллических свойств фторидов редкоземельных элементов.

Ab initio моделирование электронных свойств фторидов РЗЭ Первопринципное моделирование электронных характеристик фторидов РЗЭ осуществля лось с использованием лицензионного программного комплекса VASP (версия 5.2), позволяюще го рассчитывать плотность электронных состояний (с учетом спиновой анизотропии) и зонную структуру исследуемых материалов. Моделирование электронных свойств является основой для целенаправленного поиска оптимального состава соединений на основе РЗЭ, их стехиометрии, типа структуры и других кристаллических характеристик. Результаты изучения электронных свойств фторидов редкоземельных элементов учитываются при разработке композиционных ма териалов с легирующими добавками соединений РЗЭ для получения тонких пленок и микро наносистем.

Выполнялись следующие процедуры моделирования фтористого соединения иттрия как од ного из типичных представителей группы редкоземельных элементов:

формирование входных файлов с заданием на моделирование;

релаксация кристаллографической структуры фторида иттрия;

проведение анализа кристаллографической ячейки YF3 ;

определение электронных, кристаллических и магнитных параметров YF3.

Элементарная кристаллографическая ячейка фторида иттрия до процедуры релаксации представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Элементарная кристаллографическая ячейка фторида иттрия Определены основные параметры фторида иттрия: пространственная группа № 221 Pm 3m [5];

постоянная решетки равна 0,56 нм;

свободная энергия системы составляет 86,32 эВ, что соответствует стабильной конфигурации соединения. После проведения процедуры релаксации выполнен расчет статического самосогласованного потенциала кристаллографической структуры фторида иттрия. Результаты расчета получены в виде электронной плотности (Density Of States, DOS) и зонной диаграммы структуры по k-точкам зоны Бриллюэна: К-Г-М-К (рисунки 2, 3).

Анализ зонной диаграммы показывает, что ширина запрещенной зоны фторида иттрия со ставляет 6,21 эВ, магнитный момент равен трем магнетонам Бора. Распределение плотности состояний спин вверх (DOS up) не совпадает с распределением плотности состояний спин вниз (DOS down), что свидетельствует о наличии магнитных свойств исследованной конфигу рации фторида иттрия. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что исследованная структура фторида иттрия является диэлектриком с выраженными анизотропными магнитными свойствами.

Рисунок 2 – Электронная плотность фторида иттрия Рисунок 3 – Зонная диаграмма фторида иттрия Список литературы 1. Kresse, G. and Joubert, J. From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method / G. Kresse // Phys. Rev. B – 1999. – Vol. 59. – P. 1758 – 1765.

2. Kresse, G. VASP the guide: tutorial / G. Kresse // Austria, University of Vienna. – 2003. – P. 94 – 104.

3. Бацанова, Л. Р. Фториды редкоземельных элементов / Л. Р. Бацанова // Успехи химии. – 1971. – №40. – С. 945 – 979.

4. Ардашникова, Е. И. Неорганические фториды / Е. И. Ардашникова // Соросовский Образовательный журнал. – 2000. – Том 6. – №8. – C. 54 – 60.

5. Villars, P. YF3 / P. Villars [et al.] // Landolt-Brnstein - Group III Condensed Matter Numerical Data and o Functional Relationships in Science and Technology. Berlin. –2004. – Vol. 43A1 – P. 1.

Гулай Анатолий Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, до цент кафедры Интеллектуальные системы Белорусского национального технического университета, altaj@tut.by Гулай Вячеслав Анатольевич, инженер I категории кафедры Интеллектуальные системы Белорус ского национального технического университета, deshko@yahoo.com, altaj@tut.by Козлова Ольга Александровна, магистрантка кафедры Микро- и наноэлектроника Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники, olga.bsuir@gmail.com.

Колешко Владимир Михайлович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Ин теллектуальные системы Белорусского национального технического университета, is@bntu.by УДК 517.977. Ш. А. ДЖОМАРТОВА, Т. Ж. МАЗАКОВ ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ К АНАЛИЗУ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ Статья посвящена актуальной проблеме математической теории управляемости. В ней исследована математическая модель управления, описываемая обыкновенными диф ференциальными уравнениями, учитывающая ограничения на управление. Как известно, проблема нахождения управляемости динамических систем с фазовыми ограничениями и ограничениями на управление до сих пор остается актуальной. Существует множество подходов к решению названной задачи. В ходе исследования управляемости динамической системы авторы применили интервальную математику, которая позволила получить эффективный критерий.

Введение Рассматривается система управления, описываемая линейными обыкновенными дифферен циальными уравнениями x = Ax + Bu (1) где A n n-постоянная матрица, B – n-мерный постоянный вектор, x – n-мерный вектор состо яния системы, u - скалярное управление. На управление накладывается следующее ограничение l1 u(t) l2, t [0, T ]. (2) Ставится задача, определить существует ли управление, удовлетворяющее ограничению (2) и переводящее систему (1) из начального состояния x (0) = x0 (3) в конечное заданное состояние x (T ) = x1 (4) за фиксированное время T. Введем n n-матрицу R R = B, AB, A2 B,..., An1 B. (5) Для поставленной задачи при отсутствии ограничений на управление имеется следующий кри терий управляемости.

Теорема [1]. Стационарная линейная система (1) управляема, если и только если матрица R, определяемая выражением (5), имеет ранг n.

Исследование поставленной задачи при наличии ограничений на управление вида (2) пред ставляет определенный интерес, так как до сих пор не существуют эффективных критериев.

Кроме того, результаты могут быть использованы при решении практических задач оптимально го управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с закрепленными концами и ограничениями на управляющие воздействия. В частности, уравнени ями вида (1) могут описываться робототехнические, электроэнергетические системы или системы организационного управления, где коэффициенты матрицы A и вектора B определяются через параметры (такие как вес, метрические характеристики, инерционность и т.п.), которые обычно вычисляются с некоторой погрешностью. Кроме того, ошибки проведения арифметических вы числений на ЭВМ также могут привести к несовместности получаемых моделей. Для учета этих особенностей можно использовать новое направление вычислительной математики – интерваль ный анализ, основная идея которого состоит в замене арифметических операций и вещественных функций над вещественными числами интервальными операциями и функциями, преобразую щими интервалы, содержащие эти числа.

Первая публикация, посвященная интервальному анализу, была сделана Р.Е. Муром в 1966 г. Ю.И. Шокиным в 1981 г. систематически были изложены основы и методы интервального анализа. Затем в 1982 г. изданы учебное пособие Т.И. Назаренко, Л.В. Марченко по интерваль ным методам, а в 1986 г. – монография обзорного плана С.А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, З.Х.

Юлдашева. В этих работах были систематически изложены основы и методы интервального анализа, рассмотрены интервальные методы решения задач линейной алгебры, методы прогонки для решения дифференциальных уравнений, методы решения систем нелинейных уравнений.

В данной работе применим результаты интервальной математики [2] к исследуемой задаче управляемости.

Критерий управляемости Пусть (t, ) = (t) · 1 ( ), где (t) = exp (At) - фундаментальная матрица решений системы, описываемой однородным векторным дифференциальным уравнением x = Ax.

(6) Введем обозначения:

l2 l l1 + l u=+,L =.

2 Тогда систему (1) можно представить в виде l1 + l x = Ax + B + + B, (7) где L (t) L, t [t0, t1 ]. (8) Решение уравнения (7) можно представить в виде t t l1 + l (t, ) B ( ) d.

x (t) = (t, t0 ) x (t0 ) + (t, ) Bd + (9) 2 t0 t Введем обозначения T l1 + l y1 = x1 (T, 0) x0 + (T, ) Bd, f ( ) = (T, ) B.

2 Тогда задача управляемости сводится к существованию решения интегрального уравнения T y1 = f1 ( )( )d (10) удовлетворяющего условию (8). Для решения поставленной задачи применим результаты интер вального анализа [2]. Заменим интеграл в правой части (10) рядом n h fi i, i= где T, h 0, L i L, i = 1, n.

n= h Обозначим через fi = (fi, 0) - интервал с центром в fi и радиусом 0, i = (0, L) - интервал от L 1 = (0, f1 L ) - интервал с центром в точке 0 и радиуса |f1 L|, до L. Пусть i = 1. Вычислим f здесь все арифметические операции выполняются по правилам определенных для интервальных вычислений [2]. Очевидно множество {hf1 1 |1 (L, L)} совпадает с интервалом h(0, |f1 L|) для h 0.

Методом математической индукции можно показать, что множество n fi i |i (L, L), i = 1, n h i= совпадает с интервалом n |fi L|) h(0, i= для h 0.

Отсюда видно, что множество T f ( )( )d |(t) (L, L), t [0, T ] совпадает с интервалом T f ( )d, y2 = где все арифметические операции выполняются с помощью интервальных вычислений [2]. Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система (7)-(8) была управляемой необходимо и достаточно, чтобы вектор y1 принадлежал интервальному вектору y2. Для численного моделирования разработано программное обеспечение, реализующее вычисления предложенного критерия и использующее библиотеку интервального вычисления [3].

Лемма (Гронуолла-Белмана) [4]. Пусть скалярные непрерывные функции x(t) и g(t) удовлетворяют неравенству t x(t) (t) + g(s)x(s)ds, t 0, где (t) - некоторая неубывающая функция. Тогда t x(t) (t) exp g(s)ds.

Применяя лемму Гронуолла-Белмана к задаче (1) и (4) получим следующее неравенство t1 t A( ) d x(t1 ) x(t0 ) + B( ) u( )d exp. (11) 0 Выберем в качестве нормы вектора n |xi | x= i= и нормы матрицы n |aij |, j = 1, n A = max i=.

Примеры использования полученного критерия управляемости Пример 1. В качестве примера рассматривается система второго порядка x1 = 3x1 + 2x2 + u, (12) x2 = x1 x2 u при частичных условиях x0 = (1.1), (13) t0 = 0, t1 = 1.

Условия на управление и конечную точку будут варьироваться.

а) пусть 1.5 u(t) 1.0, t [0, 1]. (14) Вычислим значение интервального вектора (39.97, 17.99) y2 =.

(9.33, 7.50) Подставляя значения параметров примера в (11) получим x(t1 ) 4 exp(4) 218, 3.

Следовательно, при x1 = (109, 110) по лемме Гронуолла-Белмана система (12)-(14) не управ ляема, т.е. не существует управление, удовлетворяющее ограничению 1.5 u(t) 1.0 и перево дящее систему за время 1 из точки x0 = (1, 1) в точку x1 = (109, 110). Применяя предложенный критерий, получим, что вектор x1 = (109, 110) не принадлежит интервальному вектору y2, так как 109 39.97 + 17.99 и 110 9.33 + 7.5, т.е. отсутствует управляемость по обеим переменным.

б) в качестве точки x1 возьмем решение задачи Коши (12)-(13) в момент времени t1 при управлении u 0, которая удовлетворяет ограничению (14): x1 = (41.13, 9.43). Применяя пред ложенный критерий, получим, что вектор x1 принадлежит интервальному вектору y2, так как 39.97 17.99 41.13 39.97 + 17.99 и 9.33 7.50 9.43 9.33 + 7.50, т.е. система управляема.

Пример 2. Рассматривается система уравнений третьего порядка вида (15), описывающая состояние цепей электромеханической следящей системы автоматического манипулятора [5], где x = x(t) = (i (t), (t), (t)) - вектор состояния системы,u = u(t) = (0 (t), 0 (t)) - управляющий входной вектор-сигнал системы, с ограничениями 1 2 li ui li, i = 1, 2, t [t0, t1 ], (15) koc ky Rsh k1 ky km k1 ky kn ke + + T L L L L A=, kv Tv J 0 1 k1 ky kg k1 ky kn L L B=.

0 0 Численные значения коэффициентов матриц A и B зависят от параметров и структуры следящей системы. Пусть x0 = (1, 1, 1), (16) T = 1, T = 2, L = 3, koc = 1, ky = 1.5, Rsh = 1.1, ke = 2.1, k1 = 0.1, km = 2, kn = 4, kg = 6, J = 5, Tv = 4.

Тогда система уравнений (1) представляется в виде i = 1.05i 0.8 3.0 3.00 + 2.00, = 0.4i 0.25, = +.

Зададим ограничение на управляющий вектор u = (0 (t), 0 (t)) в виде 0.4 0 0.6, t [0, 1], (17) 0.25 0 1.25, t [0, 1].

Вычислим значение интервального вектора (4.94, 12.29) y2 = (0.14, 1.62).

(4.33, 5.87) Подставляя значения параметров примера в (11) получим x(1) (3 + 3 1.85) exp(4) 466.6.

Тогда при x(1) = (160, 160, 150) система не управляема, т.е. не существует управление пере водящее систему за время T = 1 из точки (1, 1, 1) в точку x(1) = (160, 160, 150). Применяя предложенный критерий, получим, что вектор x(1) = (160, 160, 150) не принадлежит интерваль ному вектору y2, так как 160 4.94 + 12.29, 160 0.14 + 1.62 и 150 4.33 + 5.87, т.е. отсутствует управляемость по трем переменным.

В качестве точки x(1) возьмем решение задачи Коши (1) в момент времени T при управлении u 0, которая удовлетворяет ограничению (17), тогда x(1) = (4.87, 0.12, 4.1). Применяя пред ложенный критерий, получим, что вектор x(1) принадлежит интервальному вектору y2, так как 4.94 12.29 4.87 4.94 + 12.29, 0.14 1.62 0.12 0.14 + 1.62 и 4.33 5.87 4.1 4.33 + 5.87, т.е. система управляема. Результаты численных расчетов показывают эффективность предло женного критерия управляемости и возможность их применения в практических приложениях.

Список литературы 1. Ройтенберг, Я. Н. Автоматическое управление. – M.: Наука, 1971. – 396 c.

2. Шокин, Ю. И. Интервальный анализ. – Новосибирск: Наука, 1986. – 281 c.

3. Джомартова, Ш. А. Практические интервальные вычисления // Вестник НАН РК. – 2002. – №2. – С. 41–46.

4. Колмановский, В. Б., Носов, В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. – М.: Наука, 1981. – 448 c.

5. Черноруцкий, Г. С., Сибрин, А. П., Жабреев, В. С. Следящие системы автоматических манипулято ров. – М.: Наука, 1987. – 272 c.

Джомартова Шолпан Абдразаковна, профессор кафедры информационные системы Казахского национального университета имени аль-Фараби, доктор технических наук, доцент, jomartova@mail.ru.

Мазаков Талгат Жакупович, профессор кафедры информационные системы Казахского националь ного университета имени аль-Фараби, доктор физико-математиченских наук, профессор, mtj61@mail.ru.

УДК 621.396. А. А. ДМИТРЕНКО, С. Ю. СЕДЫШЕВ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ И ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ ИСТОЧНИКОВ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ В данной работе проводится расчет и сравнительный анализ энергетических и точност ных показателей различных способов определения пространственных координат источ ников радиоизлучения: угломерного, разностно–дальномерного и угломерно–разностно– дальномерного. Результаты полученных расчетов могут быть использованы в качестве материалов для дальнейшего расчета параметров и моделирования зон действия комплек сов пассивной локации различного типа. Также результаты сравнительного анализа могут служить одним из критериев для выбора оптимального способа определения координат источников радиоизлучения для его реализации в перспективных комплексах пассивной локации.

Введение Использование для определения пространственных координат воздушных объектов комплек сов пассивной локации (КПЛ) является одним из путей, позволяющих значительно повысить эффективность системы разведки ПВО. То, что данное направление дальнейшего развития ра диолокационных средств является на сегодняшний момент наиболее перспективным, доказывает значительное увеличение интереса большинства армий крупных государств к подобного рода системам [1–3].

Разнесенные в пространстве приемные позиции обеспечивают измерение либо пеленгов на излучающую цель, либо задержек прихода сигналов цели относительно каждой позиции. И в том, и в другом случае измерения информативных параметров сигналов на нескольких позици ях позволяют определить все три пространственные координаты излучающего объекта. Расчет и сравнительный анализ энергетических и точностных характеристик КПЛ, реализующих раз личные способы определения пространственных координат источников радиоизлучения (ИРИ) позволит сравнить их и определить наиболее эффективный способ.

С целью проведения сравнительного анализа был осуществлён модельный вычислительный эксперимент применительно к трём типам комплексов пасивной локации, реализованным на основе угломерного (УКПЛ), разностно–дальномерного (РДКПЛ) и угломерно–разностно– дальномерного (УРДКПЛ) способов [4].

Расчет величины отношения сигнал/шум на выходе устройства обработки Расчет величины отношения сигнал–шум производился на выходе линейной части тракта обработки – на входе исполнительного устройства по следующей формуле:

Pper Gpr Gper L2 Ti Y= (1) N0 (4P i)2 (rc )2 Kz где Pper – импульсная мощность передатчика, Gper – коэфициент усиления передающей антенны, Gpr – коэфициент усиления приемной антенны, N0 – спектральноя плотность мощости внутренних шумов приемника, Kz – коэффциент затухания радиоволн в атмосфере, L – длина волны, Ti – длительность импульса, rc – дальность до источника радиоизлучения.

На рисунке 1 представлены графические зависимости отношения сигнал/шум (дБ) на входе исполнительного устройства, осуществляющего измерение угловых координат в триангуляци онном КПЛ, разности хода сигналов в разностно–дальномерном КПЛ и обеих этих величин в угломерно–разностно–дальномерном КПЛ от дальности до источника радиоизлучения.

Рисунок 1 – Зависимость величины отношения сигнал/шум от дальности до источника радиоизлучения применительно к УКПЛ, РДКПЛ и УРДКПЛ Расчет ошибок измерения пространственных координат Расчет флуктуационных ошибок измерения углов проводился по формуле [4]:

d2 (1 + Y ) az Qf l,az = (2) 4P iY где daz – разрешающая способность по азимуту, Y – отношение сигнал/шум.

Расчет флуктуационных ошибок измерения разности хода проводился по формуле [4]:

c2 d2 (1 + Ypp Ycpp ) dr Qf l,dr = (3) 4P i (Ypp Ycpp ) где ddr – разрешающая способность по разности хода, Ypp – отношение сигнал/шум на входе периферийного приемного пункта (ПП), Ycpp – отношение сигнал/шум на входе центрального приемного пункта (ЦПП).

Расчет ошибок измерения линий положения угломерных комплексов пассивной локации про водился по формуле [5]:

Qaz = rc Qf l,az (4) Расчет ошибок измерения линий положения разностно-дальномерных комплексов пассивной локации проводился по формуле [5]:

Qf l,dr Qdr = (5) 2sin B где B – угол между направлениями на приемные пункты комплекса относительно источника радиоизлучения.

Расчет ошибок определения пространственных координат источника радиоизлучения про водился по формуле [5]:

для УКПЛ:

1 (Qazi )2 + Qazj QE = + 2cos (B) Kkor Qazi Qazj (6) sin (B) для РДКПЛ:

1 (Qdri )2 + Qdrj QE = + 2cos (B) Kkor Qdri Qdrj (7) sin (B) для УРДКПЛ:

1 (Qazi )2 + Qdrj QE = + 2cos (B) Kkor Qazi Qdrj (8) sin (B) где Kkor – коэффициент корреляции измерений линий положения.

Для всех рассматриваемых случаев Kkor принимался равным нулю по причине фактического отсутствия корреляции между измеряемыми параметрами.

На рисунке 2 представлены графические зависимости величины ошибки определения про странственных координат ИРИ применительно к рассматриваемым типам реализации комплек сов пассивной локации.

Рисунок 2 – Зависимость величины среднеквадратического отклонения ошибок определения пространственных координат от дальности до источника радиоизлучения применительно к УКПЛ, РДКПЛ и УРДКПЛ Выводы Проведенный анализ графических зависимостей, представленных на рисунках 1 и 2 пока зал следующее: триангуляционный КПЛ, хотя и высокопотенциальный, но является наименее точным.

Гиперболический КПЛ является высокоточным комплексом. Однако при достижении зна чения сигнал/шум менее 16...15 дБ ошибки измерений резко возрастают [4,6–10], что является явно недостаточным для решения целого ряда задач.

Результаты проведенных расчетов свидетельствуют о преимуществах комплексного исполь зования угломерного и разностно-дальномерного способов определения пространственных коор динат в КПЛ, особенностью которого является использование трех слабонаправленных пунк тов приема и центрального пункта с узконаправленной диаграммой направленности антенны, ретрансляции сигналов с периферийных приемных пунктов и корреляционной обработкой на центральном пункте обработки информации.

Использование радиопеленгатора с узкой диаграммой направленности антенны в составе комплекса позволяет устранить недостатки гиперболического комплекса пассивной локации и использовать его особенности для повышения точности определения координат и дальности об наружения радиоизлучающих целей.

Дополнительными преимуществами комплексного использования различных способов являются упрощение приемника обзора по разности хода и решение проблемы неоднозначности оценки пространственных координат ИРИ в сложной многоцелевой обстановке.

Список литературы 1. Westra, A. G., Passive Radar and the Future of U.S. Military Power / A. G. Westra // JFQ / issue 55.

2009. –Marine Corps Air Station Miramar, San Diego, California. –p.133 –146.

2. Ireton, C. T. Filling the Stealth Gap and Enhancing Global Strike Task Force Operations / C. T. Ireton // Air and Space Power Journal. 2006. –Vol. 20, n. 3. –p.69 –76.

3. Special Report: Iran tests passive radar in aerial drill. [Electronic resource]. 2011. –Mode of access:

http://English.news.cn. Date of access: 05.01.2012.

4. Охрименко, А. Е. Основы обработки и передачи информации: Учебник для высших училищ ПВО / А. Е. Охрименко // Минск: МВИЗРУ ПВО, 1990. –181 с.

5. Курлович, В. И. Основы теории радиосистем / В. И. Курлович, С. В. Шаляпин // Минск: Изд.

Академии, 1999 г. –342 с.

6. Перетягин, И. В. Принципы построения комплексов пассивной локации ПВО / И. В. Перетягин, И. Ф. Полюхин // Сб. докладов международной науч.-техн. конф. Радиолокация, навигация, связь. – В. 3. –Ч 2. – Воронеж, 2006. –10 с.

7. Ширман, Я. Д. Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория: Справочник /Под ред.

Я. Д. Ширмана. –Москва: АО МАКВИС, АО РЕАМ –Билдинг, 1998. –800 с.

8. Ширман, Я. Д. Теоретические основы радиолокации: учебное пособие для вузов. /Под ред. Я. Д. Шир мана. –Москва: Сов. радио, 1970. –560 с.

9. Черняк, В. С. Многопозиционная радиолокация /В. С. Черняк// Москва: Радио и связь, 1993. – с.

10. Охрименко, А. Е. Основы радиолокации и радиоэлектронная борьба. Ч.1. Основы радиолокации: Учеб.

для высших училищ ПВО / А. Е. Охрименко // Минск: Воен. издат., 1983. –456 с.

Дмитренко Алесь Александрович, аспирант кафедры радиолокации и приемопередающих устройств учреждения образования Военная академия Республики Беларусь, ales.dmitrenko@mail.ru.

Седышев Сергей Юрьевич, профессор кафедры радиолокации и приемопередающих устройств учре ждения образования Военная академия Республики Беларусь, кандидат технических наук, доцент, sedbox@gmail.com.

УДК 539. Я.В. ДОЛГАЯ, А.С. ЧАШИНСКИЙ, В.В. БАРКАЛИН КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАРМОНИК ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОАТОМНЫХ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В результате решения одноэлектронного уравнения Шрёдингера в многоцентровом кулонов ском поле методом, предложенным Новосадовым, молекулярные орбитали представляются как линейная сумма водородоподобных орбиталей, центрированных на атомных ядрах.

Авторами разработана компьютерная реализацию метода Новосадова в применении к некоторым молекулярным системам. Представлены результаты вычисления электронной плотности молекулы Н2+ и зависимости энергии взаимодействия от расстояния между атомами для систем Н-Н, С-С и бензол-метан.

Введение Для решения уравнения Шрёдингера используются различные приближенные методы, наи более распространенными из которых в современных приложениях являются метод самосогла сованного поля (ССП) в приближении Хартри-Фока и теория функционала плотности (ТФП).

В методе ССП решают набор одноэлектронных уравнений, в которых действие остальных элек тронов заменяют средним полем, эффект которого приближенно равен суммарному действию всех остальных электронов и зависит от координат только одного электрона. В теории функ ционала плотности вычисление состояния системы основано на вычислении электронной плот ности без вычисления сложной волновой функции. Для построения волновой функции исполь зуются наборы базисных функций, основным критерием выбора которых является близость к рассчитанным атомным функциям. Поэтому в вычислительной квантовой химии выбор был сде лан в пользу слэйтеровских функций, которые затем в целях облегчения расчета матричных элементов аппроксимируются линейной комбинацией гауссовских элементов, т.е. функций ти па er, rer, er, yer и т.д. Однако со слейтеровскими орбиталями очень трудно вычислить интегралы, которые входят в фокиан для молекул. Поэтому в качестве базисных АО обычно 2 2 2 берут гауссовы функции для s-орбиталей: er ;

для p-орбиталей: xer, yer, zer ;

для 2 2 2 2 2 d-орбиталей: x2 er, y 2 er, z 2 er, xyer, xzer, yzer. С ними относительно легко вычислять матричные элементы, но, когда их мало, они плохо воспроизводят распределение электронной плотности в атомах и молекулах. В связи с этим гауссовых орбиталей приходится брать намного больше, чем слейтеровских. Обычно используют так называемые сгруппирован ные базисы, в которых каждая базисная орбиталь представляет собой линейную комбинацию из нескольких примитивных гауссовых функций.

В качестве альтернативы указанным методам Новосадовым предложены методы построе ния и алгоритмы вычисления многоцентровых матричных элементов в базисе атомных орби талей с экспоненциальной асимптотикой [1], к которым относятся слэйтеровские водородопо добные функции,а также функции Бесселя. Разработанные методы отличаются компактностью алгоритмов и универсальностью по отношению к виду атомных орбиталей, позволяют вычис лять квантовохимические интегралы с любой заданной степенью точности и являются численно устойчивыми. Данные алгоритмы приспособлены к параллельным вычислениям на компьютере.

Решение одноэлектронного уравнения Шрёдингера Для решения задачи одного электрона в поле ядер атомов, составляющих молекулу, решается уравнение Шрёдингера в виде:

N 12 p Z r = E, = где r = |r R |, r, R - координаты электрона и -го ядра соответственно. В пространстве импульсов электрона это уравнение запишется в виде интегрального уравнения:

N 12 Z exp[i(p p )R ](p p )2 (p )d3 p = E(p) p (p) 2 (1).

2 = Уравнение Шрёдингера для атома водорода в импульсном представлении эквивалентно за даче о четырехмерном квантовом ротаторе:

(p2 + p2 )(p) = Z 2 (p )d3 p, |p p | где p0 = (2|E|)1/2 - среднеквадратичный импульс. После введения четырехмерного импульса p2 = p2 + p 4 c помощью стереографической проекции импульса на риманову сферу получаем :

p0 ()(,, ) = (2 2 )1 Z(p, p )[4sin2 (/2)] (',', )d4, где 1 при E 0, и () = () = cos при E 0.

Введение функции () позволяет одновременно рассматривать задачу и для дискретного, и для непрерывного спектра электрона. Решение уравнения (1) можно найти с помощью били нейного разложения:

n1 l n1 nlm (4 ) (4 ), [4sin (/2)] = nlm n=1 l=0 m= которое в результате приводит к матричному уравнению:

T c p0 Ic = 0, где c - столбец коэффициентов, I – единичная матрица, T – эрмитова матрица. Элементы эрми товой матрицы вычисляются по формуле:

Tnlml m = (2 2 )1 (Z Z (nn )1 )1/2 n l m (4 )exp[ip(R R )]nlm (4 ) 1 ()d4.

n В случае дискретного спектра матрица T с элементами c из уравнения (21) представляет собой произведение диагональной матрицы с элементами на матрицу перекрывания базисных функций S. Обозначим матрицу T дискретного спектра символом A, тогда элементы матрицы A записы ваются в следующем виде:

A n l m = [Z Z (nn )1 ]1/2 Snlmm (R ) nl nlm где 3/ uNLM (Raa )T (n l m ',nlm;

NLM), Snlm m = nl 1/2 p NLM Raa = R R.

Элементы матрицы A зависят лишь от межатомных расстояний и углов между связями мо лекулы. Поскольку порядок матрицы A бесконечен, то вычисление спектра следует проводить методом редукции матрицы, т.е. усечением матрицы до конечного порядка и диагонализацией усеченной матрицы. Другой особенностью уравнения: A(p0 )c p0 Ic = 0 является то, что матри ца A зависит от параметра p0. Фиксируя параметр p0 = p0 в матричных элементах A, можно найти спектр p0(p0). После вычисления параметра p0 и собственного вектора c волновую функ цию можно представить в виде N (4 ) = (2 2 )1 p1 (Z /n)1/2 cnlm (4 ) exp(ipR ) (2).

nlm =1 nlm Из формулы (2) следует, что сумма по nlm есть разложение некоей функции, центриро ванной на ядре. Эту функцию, центрированную на ядре называют атомной орбиталью. Вид атомной орбитали задается коэффициентами разложения, которые являются функциями всех межатомных векторов молекулы. Представление волновой функции в координатном простран стве получается с помощью преобразования Фурье:

N p1 (Z /n)1/2 cnlm u (r Ra ), (r) = nlm =1 nlm unlm (r) = Rnl (r)Ylm (, ), exp(ip R )nlm (4 )(4 )d4, cnlm = (Z /n)1/ bnl = (1)n+1 il 2 1/2 2l l![n(n l 1)!/(n + l)!]1/2.

Вычисление свойств атомных систем На рисунках 1 и 2 представлены спектры p0i (p0), вычисленные для молекул Н2+ и С соответственно. Матрица А усечена до размерности 10х10 принятием максимального значения n=2. Из рисунка 1 следует, что для молекулы Н2+ существует 4 ненулевых решения для р0.

Спектр кривых собственных значений для молекулы С2, представленный на рисунке 2, имеет точек пересечения с прямой p0=p0, что соответствует молекулярным орбиталям, составленным из атомных отрбиталей атомов углерода. Четыре дополнительных решения, соответствующие более высоким энергиям, появились в результате усечения матрицы и не имеют физического смысла.

Рисунок 1 – спектр p0i (p0) молекулы Н2+ Рисунок 2 – спектр p0i (p0) молекулы С На рисунках 3, 4 представлены графики зависимости квадрата модуля волновой функции от расстояния от центра молекулы для двух наиболее низких энергетических уровней системы, состоящей из двух атомов водорода, удаленных друг от друга на расстояние 1.7 а.е. и 5 а.е.

соответсвенно. Связывающая и разрыхляющая орбитали молекулы Н2+ переходят в атомные орбитали, когда расстояние между ядрами увеличивается.

Рисунок 3 – 2 для атомов водорода на расстоянии 1.7. а.е.

Рисунок 4 – 2 для атомов водорода на расстоянии 5 а.е.

Для численного расчета систем с достаточно большой матрицей А использовался тот факт, что, когда параметр p0 больше максимально возможного значения среднеквадратичного импуль са, все собственные значения матрицы А меньше p0. Поэтому число решений, больших некоторо го заданного значения, может быть найдено как число собственных значений матрицы, больших этого значения.

На рисунке 5 представлена зависимость полной одноэлектронной энергии системы, состо ящей из молекулы метана и бензола, вычисленная как сумма энергий занятых орбиталей, от расстояния между молекулами.

Рисунок 5 – Зависимость полной одноэлектронной энергии E для системы из молекул бензола и метана от расстояния между молекулярными центрами Заключение Разработанная авторами компьютерная реализация метода молекулярных гармоник Новоса дова позволяет решать одноэлектронную задачу, которая имеет важное теоретическое значение в квантовой химии, так как позволяет выяснять аналитические особенности решений модель ной задачи о движении невзаимодействующих электронов, получая при этом нижнюю границу энергетического спектра молекулы. Анализ этих решений позволяет понять природу химических связей в молекуле, а полученные молекулярные гармоники могут использоваться в качестве ба зиса в методе ССП либо теории возмущения.

Анализ результатов, полученных в результате вычисленний параметров простых атомных структур, показал, что значения энергий нижних орбиталей и виды волновых функций согласу ются с данными, полученными в результате эксперементальных и теоретических исследований.

При учете влияния электронного взаимодействия, метод молекулярных гармоник может ис пользоваться для вычислений параметров адсорбции газов на нанотрубке, а также других систем, в которых взаимодействие происходит на значительном удалении, на котором волновые функ ции, рассчитанные по методу Новосадова, имеют правильную асимптотику в отличии от функций гауссовского типа.

Наиболее существенной особенностью метода является возможность его обобщения на дви жущиеся ядра, что позволит в будущем исследовать динамические эффекты адсорбции, химиче ских реакций и взаимодействия наночастиц.

Список литературы 1. Новосадов, Б. К. Методы решения уравнений квантовой химии. Основы теории молекулярных орби талей./ Б. К. Новосадов// М.:Наука. – 1988. – 184 с.

Баркалин Вячеслав Владимирович, ведущий научный сотрудник НИЛ "Динамика систем и механи ка материалов доцент кафедры "Интеллектуальные системы"Беларусского национального технического университета, к.ф-м.н., barkaline@bntu.by.

Долгая Яна Викторовна, младший научный сотрудник НИЛ "Динамика систем и механика мате риалов"Беларусского национального технического университета, douhaja_grid@bntu.by.

Чашинский Александр Сергеевич, научный сотрудник НИЛ "Динамика систем и механика матери алов"Беларусского национального технического университета, achashinski@gmail.com.

УДК 621.396.61:621.391. А. А. ЕРЖАН РАСЧЕТ МИНИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ ПЕРЕДАТЧИКА ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТРЕБУЕМОГО ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ-ШУМ В статье приведен расчет отношения сигнал-шум, а также расчет дальности работы беспроводного канала связи.

Введение Отношение сигнал-шум – это отношение энергии сигнала на 1 бит к плотности мощности шумов на 1 герц ( Eb /N0 ).

Отношение Eb /N0 имеет большое практическое значение, поскольку скорость появления ошибочных битов является функцией данного отношения (убывающей). При известном значе нии Eb /N0, необходимом для получения желаемого уровня ошибок, можно выбирать все прочие параметры в приведенном ниже уравнении (4). Следует отметить, что для сохранения требуемого значения Eb /N0 при повышении скорости передачи данных R необходимо увеличивать мощность передаваемого сигнала по отношению к шуму. Довольно часто уровень мощности шума доста точен для изменения значения одного из битов данных. Если же увеличить скорость передачи данных вдвое, биты будут упакованы в два раза плотнее, и тот же посторонний сигнал при ведет к потере двух битов информации. Следовательно, при неизменной мощности сигнала и шума увеличение скорости передачи данных влечет за собой возрастание уровня возникновения ошибок.

Рассмотрим сигнал, содержащий двоичные цифровые данные, передаваемые со скоростью – R бит/с.

Примем во внимание, что 1Вт = 1Дж/с, и вычислим удельную энергию одного бита сигнала:


Eb = STb (1) где S – мощность сигнала;

Tb – время передачи одного бита.

Скорость передачи данных R можно выразить в виде:

R = 1/Tb (2) Тепловой шум, присутствующий в полосе частот шириной 1 Гц, для любого устройства или проводника составляет:

N0 = kT (Вт/Гц) (3) где N0 – плотность мощности шумов в ваттах на 1 Гц полосы;

k – постоянная Больцмана, k = 1.38 1023 Дж/К;

T – температура в Кельвинах (абсолютная температура).

Следовательно, отношение сигнал-шум равно:

Eb S/R S = = (4) k·T ·R N0 N Расчет минимальной мощности передатчика для обеспечения требуемого отношения сигнал-шум Необходимо, чтобы отношение равнялось 50 дБ при частоте возникновения ошибок Eb N (ошибочным является 1 бит из каждых 10000). Если эффективная температура теплового шума равна 290 К, а скорость передачи данных - 54 Мбит/с.

По формуле (4) находим S:

Eb k·T ·R S= N Для упрощения расчетов переведем это выражение в логарифмы:

Eb Eb k · T · R) = ( )дБ + 10 log10 (k · T · R) SдБВт = 10 log10 ( N0 N Так как 54 Мбит = 54 · 106 бит, то SдБВт = 50 + 10 log10 (1.38 · 1023 · 290 · 54 · 106 = 76.45дБВт или SдБВт = 2.3 · 108 Вт S = 10 Расчет дальности работы беспроводного канала связи Без вывода приведем формулу расчета дальности. Она берется из инженерной формулы расчета потерь в свободном пространстве:

F SL = 33 + 20(lg F + lg D) где F SL (Free Space Loss) – потери в свободном пространстве (дБ);

F - центральная частота канала, на котором работает система связи (МГц);

D – расстояние между двумя точками (км).

F SL определяется суммарным усилением системы. Оно считается следующим образом:

YдБ = Pt,дБмВт + Gt,дБи + Gr,дБи Pmin,дБмВт Lt,дБ LT,дБ LS,дБ, где Pt,дБмВт – мощность передатчика;

Gt,дБи – коэффициент усиления передающей антенны;

Gr,дБи – коэффициент усиления приемной антенны;

Pmin,дБмВт – чувствительность приемника на данной скорости;

Lt,дБ – потери сигнала в коаксиальном кабеле и разъемах передающего тракта;

LT,дБ – потери сигнала в коаксиальном кабеле и разъемах приемного тракта;

LS,дБ – суммарные потери сигнала в среде передачи.

Для каждой скорости приемник имеет определенную чувствительность. Для небольших ско ростей (например, 1-2 Мегабита) чувствительность наименьшая: от -90 дБмВт до -94 дБмВт. Для высоких скоростей чувствительность намного выше.

FSL вычисляется по формуле:

F SL = YдБ SOM где SOM (System Operating Margin) – запас в энергетике радиосвязи (дБ). Учитывает возможные факторы, отрицательно влияющие на дальность связи, такие как температурный дрейф чувствительности приемника и выходной мощности передатчика, всевозможные атмосфер ные явления: туман, снег, дождь, рассогласование антенны, приемника, передатчика с антенно фидерным трактом.

Центральная частота канала F берется из Таблицы 1.

Таблица 1 – Зависимость центральной частоты от канала Канал Центральная частота (МГц) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 В итоге получим формулу дальность связи:

F SL 20 lg F D = 10 (5) В таблице 2 сведены все величины затухания от среды распространения сигнала.

Таблица 2 – Величины затухания сигнала в среде распространения Наименование Ед. изм. Значение Окно в кирпичной стене дБ Стекло в металлической раме дБ Офисная стена дБ Железная дверь в офисной стене дБ Ж/Б стена, перекрытие дБ 9- Железная дверь в кирпичной стене дБ 12, Стекловолокно дБ 0.5- Стекло дБ 3- Дождь и туман дБ/км 0.02-0. Деревья дБ/м 0. Кабельная сборка pigtale дБ 0. Полосовой фильтр NCS F24XXX дБ 1. Коаксиальный кабель дБ/м 0. Разъем N-type дБ 0. Инжектор питания дБ 0. Расчет расстояния, на котором будет стабильно работать связь на скоростях 54 Мбит/с и Мбит/с для точки доступа Cisco Aironet AIR-AP1231G с антенной Cisco AIR-ANT4941. Потерь в антенно-фидерном тракте, т.е. между беспроводными точками и их антеннами, нет. Так как в институте стены достаточно толстые, то параметр SOM возьмем 25 дБ.

Расстояние на скорости 54 Мбит/с. Параметр F SL равен:

F SL = 15 + 2.2(72) 25 = 64.2дБ По формуле (5) находим дальность работы беспроводного оборудования на данной скорости (в качестве примера возьмем шестой канал):

64.2 20 lg D54 = 10 = 0.015км = 15м Расстояние на скорости 6 Мбит/с. Параметр F SL равен:

F SL = 15 + 2.2(82) 25 = 74.2дБ По формуле (5) находим дальность работы беспроводного оборудования на данной скорости (в качестве примера возьмем шестой канал):

74.2 20 lg D6 = 10 = 0.047км = 47м Расчет расстояния, на котором будет стабильно работать связь на скоростях 54 Мбит/с и Мбит/с для точки доступа Cisco AIR-BR1310G-E-K9-R с антенной Cisco AIR-ANT1949. Параметр SOM возьмем 10 дБ.

Так антенна Cisco AIR-ANT1949 является внешней антенной, то необходимо рассчитать по тери в антенно-фидерном тракте, т.е. между беспроводными точками и их антеннами. Данные взяты из Таблицы Y = 0.5 дБ (pigtale) + 0,5 дБ (инжектор) + 6 дБ (15-метровая кабельная сборка (затухание на кабеле 0.3 дБ/м) + 3 разъема по 0.75 дБ) = 7.75 дБ.

Расстояние на скорости 54 Мбит/с. Параметр FSL равен:

F SL = 15+ 13.5 +13.5 – (-72) – 7.75 – 7.75 - 10 = 98.5 дБ По формуле (5) находим дальность работы беспроводного оборудования на данной скорости (в качестве примера возьмем шестой канал):

98.52 20 lg D54 = 10 = 0.773км = 773м Список литературы 1. Станислав Рыбалко. Беспроводные сети: Практическое руководство. М.: CompTek, 2005. – 163 с.

2. Педжман Рошан. Основы построения локальных сетей стандарта 802.11. Cisco System, 2005. – 296 c.

3. Cisco IOS Software Conguration Guide for Cisco Aironet Access Points. Cisco System, Inc., 2006. – 497 p.

4. Cisco IOS Command Reference for Cisco Aironet Access Points and Bridges. Cisco System, Inc., 2006. – 342 p.

5. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003, 512 с.

6. Ватаманюк А. К. Беспроводная сеть своими руками. М.: Питер, 2006. – 193 с.

7. Гейер Д. Б. Беспроводные сети. М.: Вильямс, 2005. – 189 с.

8. Майкл Уэнстром. Организация защиты сетей Cisco. М.: Вильямс, 2003. – 768 с.

9. Рошан П. Основы построения беспроводных локальных сетей стандарта 802. Ержан Асел Ануаруызы, докторант Алматинского университета энергетики и связи, Республика Казахстан, г.Алматы, asely81@mail.ru УДК 519. А. Н. ИСАЧЕНКО, Я. А. ИСАЧЕНКО ОТНОШЕНИЕ СВЯЗНОСТИ В МАТРОИДЕ Рассматривается отношение связности в матроиде. Приводятся необходимые определения и факты из теории матроидов. В частности, эквивалентные определения связности.

Даётся определение гамильтонова матроида. Доказан ряд вспомогательных результатов о связности элементов в матроиде и гамильтоновом матроиде. Основной результат статьи – теорема о связности гамильтонова матроида.

Введение Связность является общесистемной характеристикой, применяемой при синтезе систем лю бой природы. Отношение связности часто вводится в математическом моделировании для отра жения факта наличия взаимодействия между элементами системы, или невозможности разби ения некоторого множества на составные части, или для отражения независимости элементов друг от друга. В сетевых моделях существуют понятия вершинной и рёберной связности. В то пологических моделях понятие связного пространства. В проектировании программных систем связность модулей характеризует степень их независимости друг от друга. Отношение связности присутствует и в теории матроидов как характеризация принадлежности элементов одному и тому же понятию – циклу.

Матроид – математическая модель, которая схватывает сущность понятия независимость, обобщающего линейную независимость в векторных пространствах. Матроиды используются в различных прикладных разделах математики: теории графов, теории игр, криптографии, ком бинаторном анализе, теории алгоритмов. Широкое применение матроидов связано с простотой, удачным сочетанием комбинаторно-математического подхода и алгоритмическими обобщениями результатов дискретной математики.

Матроиды часто используется при исследовании сложности задач комбинаторики и дис кретной математики, для доказательства полиномиальной разрешимости той или иной задачи.

Получение исследуемой задачи в виде задачи на пересечении матроидов даёт возможность клас сификации задачи по сложности в зависимости от количества пересекающихся матроидов. Если задача формулируется на пересечении не более двух матроидов, то она полиномиально разреши ма, на пересечении трёх и более матроидов – относится к классу полиномиально неразрешимых задач.

Интересным также является тот факт, что сложность задачи зависит от понятия, в терми нах которого определяется матроид, и оценивается количеством обращений к определяющему понятию. Учитывая, что в алгоритмическом смысле понятия матроида не равнозначны, можно получить различную сложность для одной и той же задачи при разной форме задания матроида.

Представляет интерес исследование отдельных классов матроидов, возникающих как обоб щение понятия из того или иного раздела дискретной математики. Примером являются линейные матроиды, бинарные матроиды, графические матроиды, матричные матроиды, трансверсальные матроиды, ориентированные матроиды.

В настоящей статье отношение связности рассматривается для гамильтоновых матрои дов, являющихся обобщением понятия гамильтоновых графов – графов, содержащих циклы, включающие все вершины графа. Данное обобщение определяется исходя из важности задач на гамильтоновых графах. В частности задачи распознавания гамильтонова цикла в графе и задачи коммивояжёра. Для доказательства основного результата даётся ряд вспомогательных утверждений, указывающих отдельные свойства гамильтоновых матроидов, и доказывается основной результат – теорема о связности гамильтоновых матроидов.

Основные определения и факты Можно дать несколько эквивалентных определений матроида в терминах различных поня тий [1 – 3]. В терминах независимых множеств матроид определяется как пара M = (S, F ), где S конечное множество, а F 2S – семейство, для которого выполняются следующие условия (аксиомы независимости):


(i1) F ;

(i2) если A B и B F, то A F ;

(i3) если A, B F и |A| = |B| + 1, то найдется a A\B, такое что B a F.

Подмножества из F называются независимыми, из 2S \F – зависимыми. Ранг (A) подмно жества A 2S в матроиде M = (S, F ) определяется как мощность максимального независимого множества, содержащегося в A. Максимальное по включению независимое множество называется базой, минимальное по включению зависимое множество – циклом матроида.

В терминах циклов матроид определяется как пара M = (S, ), где S конечное множество, а 2S – семейство, для которого выполняются следующие условия (аксиомы циклов):

(с1) если C1, C2, C1 = C2, то C1 C2 ;

(с2) если C1, C2, C1 = C2, и e C1 \C2, то для любого x C1 C2 существует C такое, что e C3 (C1 C2 )\x.

Элементы a, b S в матроиде M = (S, F ) назовём связными, если существует цикл C такой, что a, b C.

(1) Матроид M = (S, F ) называют связным, если любые два элемента множества S являются связными.

Простейшим примером связного матроида является однородный матроид Uk,n, k n, мат роид определённый на множестве n элементов, базами которого являются все подмножества с k n элементами. Можно дать эквивалентные определения связности, основанные на разложе нии матроида в произведение меньших матроидов и на понятии сепаратора [1,2].

Произведением матроидов Mi = (Si, Fi ), определённых на попарно непересекающихся мно жествах Si, i = 1,..., t, называют матроид M = (S, F ), где S есть объединение множеств Si, а F состоит из множеств, каждое из которых есть объединение ровно t подмножеств, по одному из каждого семейства Fi.

(2) Матроид связен тогда и только тогда, когда он не разлагается в произведение меньших матроидов.

Ограничением матроида M = (S, F ) на множество A S называется матроид M.A = (A, F (A)), где F (A) = {X|X A, X F }. Сепаратор матроида M = (S, F ) – это подмножество T S такое, что M = (S, F ) = M.A M.(S\T ), то есть является произведением ограничений матроида M = (S, F ) на множество T и множество (S\T ).

(3) Матроид M = (S, F ) связен тогда и только тогда, когда он имеет только тривиальные сепараторы и S.

Пусть M = (S, F ) - матроид ранга (S) = k, k |S|. Цикл C матроида M назовём га мильтоновым, если |C| = k + 1. Соответственно базу B матроида назовём гамильтоновой, если существует содержащий её гамильтонов цикл. Матроид, содержащий гамильтонов цикл, так же будем называть гамильтоновым. Примером гамильтонова матроида является, опять-таки, одно родный матроид Uk,n. В Uk,n любое подмножество с k + 1 элементом является гамильтоновым циклом, и любая его база является гамильтоновой.

Понятие гамильтонова цикла, гамильтоновой базы и гамильтонова матроида введено в работах [4,5]. В них же указан ряд свойств, касающихся сложности распознавания гамильто нова цикла матроида. В частности показано, что относительно оракула H-периметр задача распознавания гамильтонова цикла является полиноминально разрешимой. Сведения о двадца ти четырёх матроидных оракулах и их полиномиальной сводимости можно найти в работах [6,7].

Связность элементов гамильтонова матроида Рассмотрим связность в гамильтоновом матроиде. Нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

Для формулировки первого вспомогательного утверждения приведём следующий известный факт [2]:

Утверждение. Если в матроиде M = (S, F ) к его базе B добавить элемент e S\B, то множество B e содержит единственный цикл C такой, что e C.

Лемма 1. Пусть M = (S, F ) –матроид, B его база, e, q S\B, e = q. Пусть C1 B e единственный цикл такой, что e C1, а C2 B q единственный цикл такой, что q C2. Если C1 C2 =, то существует цикл C3 B e q такой, что e, q C3.

Доказательство. Пусть r C1 C2. В соответствии с аксиомой (с2) существует цикл C (C1 C2 )\r, причём e C3. Поскольку C1 единственный цикл, образующийся при присоединении e к B, то множество (B\r) e F. Следовательно, q C3.

Следующие два вспомогательных утверждения связано с гамильтоновым циклом матроида.

Лемма 2. Пусть M = (S, F ) – гамильтонов матроид и C его гамильтонов цикл. Тогда для любого элемента e S\C множество C e = C1 C2, где C1, C2 – циклы, причём e C1 C2.

Доказательство. Пусть C – гамильтонов цикл матроида M = (S, F ). Пусть S = {e1,..., en } и (S, F ) = k, k n. Не нарушая общности положим = {e1,..., ek+1 }. Возьмём элемент принад лежащий S\C, например, ek+2. Bk+1 = {e1,..., ek } является базой матроида и поэтому Bk+1 ek+ содержит единственный цикл C1, причём ek+2 C1. Пусть C1 = {e1,..., ep, ek+2 }, p k. Для лю бой базы Bj = {e1,..., ej1, ej+1,..., ek+1 }, j = p+1,..., k, цикл C1 так же является единственным циклом, возникающим при добавлении к базе Bj элемента ek+2.

Рассмотрим теперь базу B1 = {e2,..., ek+1 }. Множество B1 ek+2 содержит единственный цикл C2. Причём C2 {ep+1,..., ek+1, ek+2 }. В противном случае, если какое-либо ep+i C2, 1 i k p + 1, множество Bp+i ek+2 содержит помимо цикла C1 цикл C2 = C1, что является противоречием. Получим C ek+2 = C1 C2 и ek+2 C1 C2.

Из определения связности элементов, получим следствие.

Следствие. Пусть M = (S, F ) – гамильтонов матроид и C его гамильтонов цикл. Тогда любой элемент e S\C связен с каждым элементом гамильтонова цикла C.

Лемма 3. Пусть M = (S, F ) – гамильтонов матроид и C его гамильтонов цикл. Для любых элементов e, q S\C, e = q, существует элемент v C такой, что для единственного цикла C1 (C\v) e, e C1, и единственного цикла C2 (C\v) q, q C2, выполняется C1 C2 =.

Доказательство. Возьмём произвольный элемент x C. Тогда C\x является базой. Сле довательно, существует единственный цикл C3 (C\x) e, e C3, и единственный цикл C2 (C\x) q, q C2. Предположим, что C2 C3 =. В силу леммы 2 существует цикл C такой, что C e = C1 C3 и e C1 C3. Так как C3 = C, то C\C3 C1. А поскольку C2 C3 =, то C2 \q C\C3 C1. В силу аксиомы (c1) имеем C3 C1. Следовательно, существует элемент v C, v C1, v C2. Множество C\v является базой и поэтому циклы C1, C2 являются един ственными циклами, возникающими при добавлении к C\v соответственно элементов e и q. При этом C1 C2 =.

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема. Гамильтонов матроид является связным.

Доказательство. Пусть M = (S, F ) – гамильтонов матроид и C его гамильтонов цикл. В силу следствия леммы 2 достаточно показать, что любые элементы e, q S\C являются связны ми. Возьмём элемента v C и рассмотрим базу B = C\v. В силу леммы 3 элемент v можно выбрать так, что единственный цикл C1 B e, e C1, и единственный цикл C2 B q, q C2, имеют непустое пересечение. Тогда, согласно лемме 1, существует цикл C3 такой, что e, q C3 и следовательно e и q связны.

Исходя из утверждений (2), (3) предыдущего раздела для связного матроида, из теоремы получим следствия.

Следствие 1. Гамильтонов матроид не разложим в произведение меньших матроидов.

Следствие 2. Гамильтонов матроид имеет только тривиальные сепараторы и S.

Гамильтоновы матроиды и гамильтоновы графы По неориентированному конечному графу G = (V, E) можно построить матроид M (G), взяв в качестве S множество рёбер E, и отнеся к F все подмножества рёбер образующие лес. Очевидно, что если граф G = (V, E) имеет гамильтонов цикл, то матроид M (G) является гамильтоновым.

Однако, если граф имеет петли или изолированные вершины, он не является гамильтоновым, в то время как его матроид может иметь гамильтонов цикл.

Хотя почти все графы являются гамильтоновыми, задача определения наличия гамильто нова цикла в графе является N P -полной [8]. Теорема Бонди-Хватала утверждающая, что граф G с n вершинами является гамильтоновым тогда и только тогда, когда его замыкание – гамильтонов граф, где замыкание определяется добавлением в G ребра (u, v) для каждой пары несмежных вершин u и v, сумма степеней которых не меньше n, имеет в большей степени теоретическое зна чение. Имеются [9] только достаточные условия Дирака, Оре и Поша, которые полиномиально проверяемы. Перенос этих результатов на матроиды не возможен в силу того, что они формули руются в терминах степеней вершин, то есть отношения инцидентности вершин – рёбер, которое отсутствует в матроиде.

Для матроидов проверка гамильтоновости может осуществляться только на основании учёта формы задания матроида с использованием понятия оракула матроида [6].

Список литературы 1. Welsh, D. J. A. Matroid theory / D. J. A. Welsh // London: Acad. Press, 1976. – 443 p.

2. Айгнер, М. Комбинаторная теория / М. Айгнер // М.: Мир, 1982. – 558 с.

3. Oxley, J. G. Matroid theory / J. G. Oxley // N.Y.: Oxford University Press, 2006. – 532 p.

4. Исаченко, А. Н. Приложения теории матроидов и гамильтоновы матроиды / А. Н. Исаченко // Третья международная научная конференция Математическое моделирование и дифференциальные урав нения : тезисы докладов;

Брест, 17–22 сентября 2012 г. / Брест. Гос. Ун-т имени А.С. Пушкина. -– Брест: БрГУ, 2012. С. 29-30.

5. Исаченко, А. Н. Периметр матроида и задача коммивояжера на матроиде / А. Н. Исаченко, Я. А. Ис аченко // XI Белорусская математическая конференция: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, – 10 ноября 2012 г. – Часть 4. – Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2012. -– С. 87–88.

6. Исаченко, А. Н. О сводимости матроидных оракулов / А. Н. Исаченко, А. М. Ревякин // Вестник МГАДА. Серия Философские, социальные и естественные науки. – 2011. – № 3. – С. 117–121.

7. Исаченко, А. Н. H-периметр и L-окружение матроида / А. Н. Исаченко, Я. А. Исаченко // Материалы XI Международного семинара Дискретная математика и её приложения, посвященного 80-летию со дня рождения академика О. Б. Лупанова (Москва, МГУ, 18 – 23 июня 2012 г.). -– М.: Изд-во механико математического факультета МГУ, 2012. – С. 246 –248.

8. Рейнгольд, Э. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика / Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део // М.: Мир, 1980. –476 p.

9. Оре, О. Теория графов / О. Оре // М.: Наука, 1980. –336 с.

Исаченко Александр Николаевич, доцент кафедры информационных систем управления Белорусско го государственного университета, кандидат физ.-мат наук, доцент, isachen@bsu.by.

Исаченко Ярослав Александрович, ведущий консультатн Микротест ООО, yarais@mail.ru.

УДК 621.391. А. А. КАРПУК ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ РАБОЧИХ ЧАСТОТ ДЛЯ ДВУХ РАДИОСРЕДСТВ ПО КРИТЕРИЮ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ Рассматривается задача выбора оптимальных рабочих частот для двух радиосредств, при работе на которых обеспечивается электромагнитная совместимость радиосредств, либо минимизируется уровень прогнозируемых помех, создаваемых одним радиосредством дру гому радиосредству. Предложен геометрический алгоритм решения задачи для конечных и бесконечных множеств допустимых рабочих частот радиосредств.

Введение В литературе по электромагнитной совместимости (ЭМС) радиосредств (РС) (см., например, [1, 2]) описаны математические модели ЭМС двух РС в виде так называемых условий электромаг нитной совместимости (УЭМС), представляющие собой системы неравенств f = |f (1) f (2) | u(1,2) (R(1), R(2), S (1,2) ), где f (1) – центральная частота основного или побочного излучения пер вого РС;

f (2) – центральная частота основного или побочного канала приема второго РС;

R(1) и R(2) – множества параметров радиосредств;

S (1,2) – множество параметров среды распростра нения радиоволн от первого РС ко второму, включая параметры фидеров и антенн. УЭМС, учитывающие влияние излучений второго РС на каналы приема первого РС, имеют симметрич ный вид f = |f (2) f (1) | u(2,1) (R(2), R(1), S (2,1) ), где S (2,1) – множество параметров среды распространения радиоволн от второго РС к первому, включая параметры фидеров и антенн.

Для упрощения обозначений в дальнейшем будем считать, что оба РС работают в симплекс ном режиме, т. е. центральная частота основного излучения каждого РС совпадает с центральной частотой основного канала приема этого РС. Эту центральную частоту будем называть рабочей частотой данного РС. Кроме того, будем считать, что передатчик каждого РС имеет один опор ный генератор, а приемник каждого РС использует единственную промежуточную частоту, т. е.

имеет один гетеродин. Все результаты статьи можно легко распространить на дуплексные РС, а также на случаи, когда передатчик РС имеет более одного опорного генератора, и приемник имеет несколько промежуточных частот.

В работах В.И. Волошина, результаты которых приведены в монографиях [3, 4], показано, что если среду распространения радиоволн от первого РС к второму описывать единственным параметром, равным величине ослабления мощности электромагнитного поля l(1,2) в дБВт, то для любого излучения первого РС с центральной частотой f (1) и любого канала приема второго РС с центральной частотой f (2) можно построить непрерывную, кусочно-дифференцируемую, (1,2) монотонно убывающую на интервале lmin l(1,2) L(1,2) функцию u(1,2) (l(1,2) ), такую, что условия электромагнитной совместимости РС по данному излучению и каналу приема имеют вид f = |f (1) f (2) | u(1,2) (l(1,2) ). Пример графика функции u(1,2) (l(1,2) ) показан на рисун ке 1. Соответственно, если среду распространения радиоволн от второго РС к первому опи сывать единственным параметром, равным величине ослабления мощности электромагнитного поля l(2,1) в дБВт, то для любого излучения второго РС с центральной частотой f (2) и лю бого канала приема первого РС с центральной частотой f (1) можно построить непрерывную, (2,1) кусочно-дифференцируемую, монотонно убывающую на интервале lmin l(2,1) L(2,1) функцию u(2,1) (l(2,1) ), такую, что условия электромагнитной совместимости РС по данному излучению и каналу приема имеют вид f = |f (2) f (1) | u(2,1) (l(2,1) ).

Рисунок 1 – Пример графика функции u(1,2) (l(1,2) ) Заметим, что функции Волошина u(1,2) (l(1,2) ) и u(2,1) (l(2,1) ) обратимы на интервалах об (1,2) (2,1) ласти определения [lmin, L(1,2) ] и [lmin, L(2,1) ] соответственно. Обратные функции обозначим u1(1,2) (f ) и u1(2,1) (f ). Если для некоторого излучения первого РС и некоторого канала при ема второго РС построены функции u(1,2) (l(1,2) ) и u1(1,2) (f ), и для некоторого излучения вто рого РС и некоторого канала приема первого РС построены функции u(2,1) (l(2,1) ) и u1(2,1) (f ), то прогнозируемые уровни помех в дБ, создаваемых рассматриваемым излучением первого РС по данному каналу приема второго РС и рассматриваемым излучением второго РС по данному каналу приема первого РС, описываются функциями P (1,2) (f (1), f (2), l(1,2) ) = u1(1,2) (f ) l(1,2), P (2,1) (f (2), f (1), l(2,1) ) = u1(2,1) (f ) l(2,1). (1) Для проверки выполнения УЭМС данного типа для некоторого излучения первого РС и некоторого канала приема второго РС достаточно вычислить величину ослабления мощности (1,2) электромагнитного поля l0, используя программные комплексы, описанные в работе [5]. Если (1,2) P (1,2) (f (1), f (2), l0 ) 0, то УЭМС выполняется с запасом по энергетическому потенциалу в (1,2) |P (1,2) (f (1), f (2), l0 )| дБ, в противном случае УЭМС не выполняется с прогнозируемой помехой (1,2) в P (1,2) (f (1), f (2), l0 ) дБ.

Полученные результаты позволяют решать задачи проверки ЭМС двух РС, работающих на известных рабочих частотах, и оценки прогнозируемой мощности электромагнитных помех при несовместимости РС. Однако при решении задачи присвоения частот радиолиниям в информа ционно – аналитических системах для оценки качества и оптимизации сетей радиосвязи [6, 7] требуется решить следующие частные задачи оптимизации выбора рабочих частот.

Задача 1. Для двух РС с заданными параметрами R(1) и R(2), заданными величинами ослаб ления мощности электромагнитного поля l(1,2) и l(2,1) и известной рабочей частотой первого РС (1) f0 найти подмножество рабочих частот второго РС, для каждой рабочей частоты из которо го выполняются УЭМС для всех видов излучения и всех каналов приема этих РС. Если такие рабочие частоты второго РС отсутствуют, то найти подмножество рабочих частот второго РС, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи для любого вида излучения и любого канала приема этих РС.

Задача 2. Для двух РС с заданными параметрами R(1) и R(2) и заданными величинами ослабления мощности электромагнитного поля l(1,2) и l(2,1) найти подмножество пар рабочих частот для которых выполняются УЭМС для всех видов излучения и всех каналов (f (1), f (2) ), приема этих РС. Если такие пары рабочих частот для данных РС отсутствуют, то найти подмно жество пар рабочих частот, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи для любого вида излучения и любого канала приема этих РС.

Если множества допустимых рабочих частот первого и второго РС конечны, то сформули рованные задачи можно решить, построив функции Волошина для всех возможных излучений и каналов приема РС. Однако в этом случае для каждой возможной пары допустимых рабочих частот (f (1), f (2) ) требуется провести значительный объем вычислений по формулам (1). В настоящей статье предложен геометрический алгоритм решения задач 1 и 2, позволяющий значительно сократить объем вычислений при проверке УЭМС и решить задачи нахождения пар допустимых рабочих частот с минимальным уровнем прогнозируемых помех для конечных и бесконечных множеств допустимых рабочих частот РС.

Излучения и каналы приема радиосредств При оценке ЭМС двух РС по формулам (1) требуется знать центральные частоты всех из лучений и всех каналов приема РС, которые определяются по значениям рабочих частот этих РС f (1) и f (2). Центральные частоты всех излучений первого и второго РС представим в виде () функций t (f () ), t = 0, T (), {1, 2} от рабочей частоты f (). Центральные частоты всех ка () налов приема первого и второго РС представим в виде функций r (f () ), r = 0, R(), {1, 2} от рабочей частоты f ().

Будем учитывать следующие излучения РС:

1) излучение на рабочей частоте, центральная частота излучения задается в виде () 0 (f () ) = f () ;

2) 9 излучений на гармониках, центральные частоты излучений задаются в виде () t (f () ) = (t + 1)f (), t = 1, 9;

3) излучение на частоте опорного генератора, центральная частота излучения является по стоянной величиной, принадлежащей множеству параметров РС, () () () 10 (f () ) = t1, t1 R() ;

4) излучение на частоте гетеродина, центральная частота излучения задается в виде () () () 11 (f () ) = f () + r1 r2, () () где r1 R() – признак преобразования частоты в приемнике радиосредства, r1 {1, 1}, () r2 R() – промежуточная частота приемника радиосредства;

5) 135 комбинационных излучений, центральные частоты излучений задаются в виде () () t (f () ) = mf () + nt1, t = 12, 146, где m {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, n {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, |m| + |n| 10, из чисел m и n хотя бы одно положительное.

Будем учитывать следующие каналы приема РС:

1) канал приема на рабочей частоте, центральная частота канала задается в виде () 0 (f () ) = f () ;

2) канал приема на промежуточной частоте, центральная частота канала является постоян ной величиной, принадлежащей множеству параметров РС, и задается в виде () () 1 (f () ) = r2 ;

3) зеркальный канал приема, центральная частота канала задается в виде () () () 2 (f () ) = f () + 2r1 r2 ;

4) канал приема на частоте гетеродина, центральная частота канала задается в виде () () () 3 (f () ) = f () + r1 r2 ;

5) канал приема на зеркальной частоте гетеродина, центральная частота канала задается в виде () () () 4 (f () ) = f () r1 r2 ;



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.