авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 5 ] --

6) 176 комбинационных каналов приема, центральные частоты каналов задаются в виде () () () n(f () + r1 r2 ) + r () (f () ) =, r = 11, 186, r m где m {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, n {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, |m| + |n| = q – порядок комбинационного канала, причем 3 q 10.

Условия электромагнитной совместимости двух радиосредств При работе первого и второго РС на рабочих частотах f (1) и f (2) соответственно будем учитывать следующие типы электромагнитных помех, вызванные попаданием [6]:

1) основного или внеполосного излучения передатчика в основной канал приемника, УЭМС имеют вид (1,2) (2,1) |f (1) f (2) | u1 (l(1,2) ), |f (2) f (1) | u1 (l(2,1) );

(2) 2) основного или внеполосного излучения передатчика в канал первой промежуточной ча стоты приемника, УЭМС имеют вид (2) (1,2) (1) (2,1) |f (1) r2 | u2 (l(1,2) ), |f (2) r2 | u2 (l(2,1) );

(3) 3) основного или внеполосного излучения передатчика в зеркальный канал приемника, УЭМС имеют вид (2) (2) (1,2) (1) (1) (2,1) |f (1) f (2) 2r1 r2 | u3 (l(1,2) ), |f (2) f (1) 2r1 r2 | u3 (l(2,1) );

(4) 4) основного или внеполосного излучения передатчика в канал гетеродина приемника, УЭМС имеют вид (2) (2) (1,2) (1) (1) (2,1) |f (1) f (2) r1 r2 | u4 (l(1,2) ), |f (2) f (1) r1 r2 | u4 (l(2,1) );

(5) 5) основного или внеполосного излучения передатчика в зеркальный канал гетеродина при емника, УЭМС имеют вид (2) (2) (1,2) (1) (1) (2,1) |f (1) f (2) + r1 r2 | u5 (l(1,2) ), |f (2) f (1) + r1 r2 | u5 (l(2,1) );

(6) 6) излучений на гармониках (до десятой) передатчика в основной канал приемника, УЭМС имеют вид (1,2) (2,1) |(t + 1)f (1) f (2) | u6 (l(1,2) ), |(t + 1)f (2) f (1) | u6 (l(2,1) ), t = 1, 9;

(7) 7) излучения опорного генератора передатчика в основной канал приемника, УЭМС имеют вид (1) (1,2) (2) (2,1) |t1 f (2) | u7 (l(1,2) ), |t1 f (1) | u7 (l(2,1) );

(8) 8) излучения гетеродина приемника в основной канал другого приемника, УЭМС имеют вид (1) (1) (1,2) (2) (2) (2,1) |f (1) + r1 r2 f (2) | u8 (l(1,2) ), |f (2) + r1 r2 f (1) | u8 (l(2,1) );

(9) 9) комбинационных излучений (до десятого порядка) передатчика в основной канал прием ника, УЭМС имеют вид (1) (1,2) (2) (2,1) |m1 f (1) + n1 t1 f (2) | u9 (l(1,2) ), |m1 f (2) + n1 t1 f (1) | u9 (l(2,1) ), (10) где m1 {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, n1 {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, |m1 | + |n1 | 10, из чисел m1 и n1 хотя бы одно положительное;

10) комбинационных излучений (до десятого порядка) передатчика в канал первой проме жуточной частоты приемника, УЭМС имеют вид (1) (2) (1,2) (2) (1) (2,1) |m1 f (1) + n1 t1 r2 | u10 (l(1,2) ), |m1 f (2) + n1 t1 r2 | u10 (l(2,1) ), (11) где числа m1 и n1 принимают такие же значения, как для УЭМС типа 9;

11) комбинационных излучений (до десятого порядка) передатчика в зеркальный канал при емника, УЭМС имеют вид (1) (2) (2) (1,2) (2) (1) (1) (2,1) |m1 f (1) + n1 t1 f (2) 2r1 r2 | u11 (l(1,2) ), |m1 f (2) + n1 t1 f (1) 2r1 r2 | u11 (l(2,1) ), (12) где числа m1 и n1 принимают такие же значения, как для УЭМС типа 9;

12) основного или внеполосного излучения передатчика в комбинационные каналы (до деся того порядка) приемника, УЭМС имеют вид (2) (2) (2) (1,2) |f (1) + [n2 (f (2) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u12 (l(1,2) ), (1) (1) (1) (2,1) |f (2) + [n2 (f (1) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u12 (l(2,1) ), (13) где m2 {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, n2 {9, 8,..., 1, 1, 2,..., 9}, |m2 | + |n2 | = q – порядок комбинационного канала, причем 3 q 10;

13) излучений на гармониках (до десятой) передатчика в комбинационные каналы (до деся того порядка) приемника, УЭМС имеют вид (2) (2) (2) (1,2) |(t + 1)f (1) + [n2 (f (2) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u13 (l(1,2) ), (1) (1) (1) (2,1) |(t + 1)f (2) + [n2 (f (1) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u13 (l(2,1) ), (14) где t = 1, 9, числа m2 и n2 принимают такие же значения, как для УЭМС типа 12;

14) комбинационных излучений (до десятого порядка) передатчика в комбинационные кана лы (до десятого порядка) приемника, УЭМС имеют вид (1) (2) (2) (2) (1,2) |m1 f (1) + n1 t1 + [n2 (f (2) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u14 (l(1,2) ), (2) (1) (1) (1) (2,1) |m1 f (2) + n1 t1 + [n2 (f (1) + r1 r2 ) r1 ]/m2 | u14 (l(2,1) ), (15) где числа m1 и n1 принимают такие же значения, как для УЭМС типа 9, числа m2 и n принимают такие же значения, как для УЭМС типа 12.

Геометрический алгоритм выбора оптимальных рабочих частот (1) (1) Пусть первое РС имеет диапазон возможных рабочих частот fmin f (1) fmax, второе РС – (2) (2) диапазон возможных рабочих частот fmin f (2) fmax. Для рассматриваемых РС в прямоуголь (1) (2) ной системе координат (f (1), f (2) ) построим прямоугольник с граничными точками (fmin, fmin ), (1) (2) (1) (2) (1) (2) (fmin, fmax ), (fmax, fmax ), (fmax, fmin ) и для фиксированных значений величин ослабления мощ (1,2) (2,1) ности электромагнитного поля l0 и l0 закрасим в этом прямоугольнике области, в которых не выполняются условия (2) – (15). На рисунке 2 показан пример прямоугольника с закрашенны (1,2) (2,1) ми областями невыполнения УЭМС для двух конкретных РС при l0 = 20 дБ, причем = l области невыполнения УЭМС различных типов закрашены различными цветами. Очевидно, что если в прямоугольнике остались не закрашенные области, то во всех точках этих областей выпол няются УЭМС для всех видов излучения и всех каналов приема этих РС, т. е. эти области дают (1) решение задачи 2. Пусть первому РС присвоена рабочая частота f0. Если в прямоугольнике (1) остались не закрашенные области, и пересечение прямой f (1) = f0 с не закрашенными областя ми не пусто, то во всех точках этого пересечения выполняются УЭМС для всех видов излучения и всех каналов приема этих РС, т. е. точки пересечения дают решение задачи 1.

Рисунок 2 – Пример прямоугольника с закрашенными областями невыполнения УЭМС Алгоритм решения задачи 1, использующий приведенные геометрические свойства УЭМС и построенный на принципах бинарного поиска, состоит из следующих шагов.

(1) 1. Будем искать решение задачи 1 в виде K отрезков прямой f (1) = f0, каждый отрезок будем задавать координатами по оси ординат (aj, bj ), aj bj, j = 1, K. На первом шаге алгоритма (2) положить K = 1, a1 = 0, b1 = fmax, i = 1.

(1,2) 2. Для величины ослабления мощности электромагнитного поля l0 вычислить значение (1,2) (1,2) функции Волошина ui (l0 ). От каждого из отрезков (aj, bj ), j = 1, K отсечь те части от резка, для которых не выполняется первое из условий (i + 1). В результате каждый из отрезков может остаться без изменения, может разбиться на несколько отрезков или может исчезнуть. По лученное число отрезков обозначить через K, а их координаты записать в виде (aj, bj ), aj bj, j = 1, K.

3. Если K 0 и i 14, то положить i = i + 1 и перейти к шагу 2, иначе перейти к шагу 4.

4. Если K 0, то построенные отрезки описывают подмножество рабочих частот второго РС, для которых первое РС при работе на рабочей частоте не создает электромагнитных помех.

Запомнить в рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K и перейти к шагу 6, иначе перейти к шагу 5.

(1) 5. Если K = 0, то имеем ситуацию, когда для рабочей частоты первого РС f0 отсутствуют рабочие частоты второго РС, которым не создает электромагнитных помех первое РС. Через (1,2) (1,2) обозначим правую границу области определения функции Волошина u1 (l(1,2) ). Тогда L искомая минимальная величина прогнозируемой помехи, создаваемой первым РС второму РС, (1,2) (1,2) лежит в интервале от 0 до (L1 l0 ) дБ, ее значение и соответствующие ей рабочие частоты второго РС можно найти с использованием следующего алгоритма бинарного поиска.

(2) (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) 5.1. Положить K = 1, a1 = 0, b1 = fmax, i = 1, Pmin = l0, Pmax = L1.

(1,2) 5.2. Выполнить действия шага 2, используя в качестве значения l0 величину P (1,2) = (1,2) (1,2) (Pmin + Pmax )/2.

5.3. Если K 0 и i 14, то положить i = i + 1 и перейти к шагу 5.2, иначе перейти к шагу 5.4.

(1,2) (1,2) (1,2) 5.4. Если K 0, то положить Pmax = P (1,2). Если Pmax Pmin 0, 5, то запомнить в рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, (2) (1,2) (1,2) положить K = 1, a1 = 0, b1 = fmax, i = 1 и перейти к шагу 5.2. Если же Pmax Pmin 0, 5, то построенные отрезки описывают подмножество рабочих частот второго РС, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи, создаваемой первым РС второму РС, (1,2) причем этот минимум равен (P (1,2) l0 ) дБ. Запомнить в рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K и перейти к шагу 6.

(1,2) (1,2) (1,2) 5.5. Если K = 0, то положить Pmin = P (1,2). Если Pmax Pmin 0, 5, то положить K = 1, (2) (1,2) (1,2) a1 = 0, b1 = fmax, i = 1 и перейти к шагу 5.2. Если же Pmax Pmin 0, 5, то восстановить из рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, запомненные на шаге 5.4. Полученные отрезки описывают подмножество рабочих частот второго РС, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи, создаваемой первым РС (1,2) (1,2) второму РС, причем этот минимум равен (Pmax l0 ) дБ. Перейти к шагу 6.

(2,1) 6. Для величины ослабления мощности электромагнитного поля l0 вычислить значение (2,1) (2,1) функции Волошина ui (l0 ). От каждого из отрезков (aj, bj ), j = 1, K отсечь те части от резка, для которых не выполняется второе из условий (i + 1). В результате каждый из отрезков может остаться без изменения, может разбиться на несколько отрезков или может исчезнуть. По лученное число отрезков обозначить через K, а их координаты записать в виде (aj, bj ), aj bj, j = 1, K.

7. Если K 0 и i 14, то положить i = i + 1 и перейти к шагу 6, иначе перейти к шагу 8.

8. Если K 0, то построенные отрезки описывают подмножество рабочих частот второго РС, при работе на которых второе РС не создает электромагнитных помех первому РС, работающему (1) на рабочей частоте f0. Получено решение задачи 1, закончить работу.

(1) 9. Если K = 0, то имеем ситуацию, когда для рабочей частоты первого РС f0 отсутствуют рабочие частоты второго РС, при работе на которых второе РС не создает электромагнитных (2,1) помех первому РС. Через L1 обозначим правую границу области определения функции Во (2,1) (2,1) лошина u1 (l ). Тогда искомая минимальная величина прогнозируемой помехи, создаваемой (2,1) (2,1) вторым РС первому РС, лежит в интервале от 0 до (L1 l0 ) дБ, ее значение и соответству ющие ей рабочие частоты второго РС можно найти с использованием следующего алгоритма бинарного поиска.

(2,1) (2,1) (2,1) (2,1) 9.1. Положить Pmin = l0, Pmax = L1, i = 1. Восстановить из рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, запомненные на шаге или на шаге 5.

(2,1) 9.2. Выполнить действия шага 6, используя в качестве значения l0 величину P (2,1) = (2,1) (2,1) (Pmin + Pmax )/2.

9.3. Если K 0 и i 14, то положить i = i + 1 и перейти к шагу 9.2, иначе перейти к шагу 9.4.

(2,1) (2,1) (2,1) 9.4. Если K 0, то положить Pmax = P (2,1). Если Pmax Pmin 0, 5, то запомнить в рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, положить i = 1, восстановить из рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, запомненные на шаге 4 или на шаге 5, и перейти к шагу 9.2. Если же (2,1) (2,1) Pmax Pmin 0, 5, то построенные отрезки описывают подмножество рабочих частот второго РС, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи, создаваемой вторым (2,1) РС первому РС, причем этот минимум равен (P (2,1) l0 ) дБ. Получено решение задачи 1, закончить работу.

(2,1) (2,1) (2,1) 9.5. Если K = 0, то положить Pmin = P (2,1). Если Pmax Pmin 0, 5, то положить i = 1, вос становить из рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), (2,1) (2,1) j = 1, K, запомненные на шаге 4 или на шаге 5, и перейти к шагу 9.2. Если же Pmax Pmin 0, 5, то восстановить из рабочих переменных текущее значение K и текущие координаты отрезков (aj, bj ), j = 1, K, запомненные на шаге 9.4. Полученные отрезки описывают подмножество ра бочих частот второго РС, для которых достигает минимума величина прогнозируемой помехи, (2,1) (2,1) создаваемой вторым РС первому РС, причем этот минимум равен (Pmax l0 ) дБ. Получено решение задачи 1, закончить работу.

По аналогичной схеме строится геометрический алгоритм решения задачи 2. Решение задачи 2 ищется в виде K выпуклых многоугольников, расположенных внутри прямоугольника с гра (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) ничными точками (fmin, fmin ), (fmin, fmax ), (fmax, fmax ), (fmax, fmin ). Разработанные алгоритмы дают решение задач 1 и 2 при минимизации уровня прогнозируемых помех с точностью до 0,5 дБ.

При необходимости точность можно повысить до требуемой путем изменения соответствующей константы на шагах 5 и 9.

Автор посвящает статью памяти доктора технических наук Владимира Ивановича Воло шина, много лет назад приобщившего автора к тематике математического моделирования сетей радиосвязи и электромагнитной совместимости радиосредств.

Список литературы 1. Владимиров, В. И. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и систем / В. И. Вла димиров [и др.]. – М.: Радио и связь, 1985. – 272 с.

2. Феоктистов, Ю. А. Теория и методы оценки электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств / Ю. А. Феоктистов [и др.]. – М.: Радио и связь, 1988. – 216 с.

3. Азаматов, Н. И. Электромагнитная совместимость радиоэлектронной аппаратуры стационарно– мобильных АСУ / Н. И. Азаматов, В. И. Волошин. – Минск: Лоранж-2, 2002. – 226 с.

4. Азаматов, Н. И. Системы управления и связи: обеспечение электромагнитной совместимости / Н. И. Азаматов, В. И. Волошин. – Минск: Лоранж-2, 2008. – 280 с.

5. Карпук, А. А. Вычисление характеристик распространения радиоволн в тропосфере / А. А. Карпук, Н. В. Евтихина // Инженерный вестник. – 2007. – № 1 (23). – С. 72–76.

6. Карпук, А. А. Задача оптимизации использования радиочастотного ресурса при присвоении частот радиолиниям / А. А. Карпук // Информатика. – 2006. – № 4 (12). – С. 5–13.

7. Карпук, А. А. Алгоритм присвоения частот радиолиниям с учетом электромагнитной совместимости радиосредств / А. А. Карпук // Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе про граммных и телекоммуникационных систем: Сб. трудов. Вып. 16 / Под ред. д.т.н. проф. О. Я. Кравца. – Воронеж: Научная книга, 2011. – С. 324–329.

Карпук Анатолий Алексеевич, ведущий научный сотрудник ОАО АГАТ – системы управления, управляющая компания холдинга Геоинформационные системы управления, кандидат технических наук, доцент, A_Karpuk@yahoo.com УДК 534. Н. Н. КИСЕЛЕВА, Г. Ч. ШУШКЕВИЧ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MATHCAD ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭКРАНИРОВАНИЯ Построено аналитическое решение граничной задачи о проникновении звукового поля через многослойную среду с плоскими границами разделов. Предложен алгоритм вычисления коэффициента экранирования в системе компьютерной математики Mathcad.

Введение Экранирование это защита какого-либо объекта от воздействия внешних полей или ло кализация определенного вида излучения посредством установки соответствующей виду поля (излучения) преграды (экрана) между объектом и источником.

Экранирование используется для защиты узлов аппаратуры и высокочастотных длинных линий от электромагнитных помех, для защиты людей от шума [1] и электромагнитных волн в производственных условиях или в быту с целью обеспечить благоприятную экологическую обста новку вокруг работающих электроустановок и СВЧ-устройств [2, 3, 4], в медицине при облучении с диагностической или лечебной целью, для защиты информации в помещениях и технических каналах [5]. Таким образом, зоны действия задач экранирования широки и разнообразны [6], что сказывается на росте внимания разработчиков экранов к вопросам экранирования в течение последних десятилетий. Вопросы возникают при эмпирическом подходе к проектированию спе циальной техники, а так же в научных исследованиях. Поэтому, на сегодняшний день широкий круг специалистов нуждается в необходимой информации относительно эффективности экрани рования конструкций. Такую информацию можно получить двумя путями: путем практических испытаний (проведения опытов) или путем компьютерного моделирования волновых процессов [7]. Практические испытания требуют больших материальных и временных затрат, что не всегда является возможным. В свою очередь применение компьютерного моделирования для определе ния эффективности экранирования позволяет обойти эти проблемы.

В данной статье рассматривается конкретная задача экранирования, связанная с проник новением звукового поля через плоскую многослойеую среду, и предлагается алгоритм для ее численной реализации в системе компьютерной матматики Mathcad. [8].

Постановка задачи Пусть все пространство R3 разделено плоскостями Sj, j = 1, 2,..., s с центом в точке O на s + 1 области Dj, j = 0, 1,..., s, (рис.1). В области D0 находится идеально тонкая незамкнутая сферическая оболочка 1 с углом раствора 0, расположенная на сфере радиуса a с центром в точке O. Расстояние между точками O и O1. Обозначим через h.

В точке O расположен сферический излучатель с круговой частотой. Области Dj, j = 0, 1..s, заполнены материалом, в котором не распространяются сдвиговые волны. Плотность среды и скорость звука в области Dj, j = 0, 1..s, обозначим соответственно через j, cj.

Для решения задачи свяжем с точкой O сферические координаты {r,, }:

x = r cos · sin, y = r sin · sin, z = r cos, где 0 r, 0, 0 2 и цилиндрические координаты – {,, z}:

x = cos, y = sin, z = z, где 0, 0, z.

Сферическая оболочка 1 и плоскости Sj, j = 1, 2,..., s описываются следующим образом:

1 = {r = a, 0 0, 0 2}, j Sj = {z = h Lj, 0 r, 0 2}, Lj = hk, j = 2, 3,..., s, Lj = 0, j = 1.

k= Рисунок 1 – Геометрия задачи Обозначим через pc давление исходного звукового поля, pj давление рассеянного звукового поля в области Dj, j = 0, 1,..., s.

Решение дифракционной задачи сводится к нахождению давлений pj, j = 0, 1,...s, удовле творяющих [9]:

- уравнению Гельмгольца pj + kj = 0, 2 2 где = + y2 + z 2 – оператор Лапласа;

kj = /cj – волновое число;

x - граничному условию на поверхности сферической оболочки 1 акустически жесткой оболочки:

(0) pc + p0 |1 = 0, (1) n где n – нормаль к поверхности 1 ;

- граничным условиям на проницаемой сфере Sj, j = 1, 2,..., s :

1 pj1 1 pj pj1 |sj = pj |sj, sj = sj, (2) j1 n j n где n– нормаль к поверхности Sj ;

- условию на бесконечности pj (M ) lim r · ik0 pj (M ) = 0, j = 0, 1,..., s, (3) r xM где M – произвольная точка пространства.

Потребуем также выполнения условия непрерывности давлений на открытой части сфери ческой оболочки \ (0) (1) (0) pc + p0 |\1 = p0 + p2 |\1 (4) и нормальной производной на сфере (0) (1) (0) pc + p0 | = p0 + p2 |, (5) n n где n – нормаль к поверхности.

Представление решения Давление исходного звукового поля представим в виде ряда по сферическим волновым функ циям [10] eik0 r (1) fn h(1) (k0 r)Pn (cos ), fn = ik0 0n, pc (r, ) = P = ik0 P h0 (kr) = P (6) n r n= (1) где hn (kr) – сферические функции Ханкеля, Pn (cos ) – полиномы Лежандра, 0n – символ Кронекера, P – const, i – мнимая единица [10].

Представим давление pj, j = 0, 1,..., s, рассеянного звукового поля в области Dj, j = 0, 1,..., s, в виде суперпозиции базисных решений уравнения Гельмгольца, принимая во внимание условие на бесконечности (3):

p(0) (r, ) = P cn jn (k0 r)Pn (cos ), r a, 0 n= p0 = (7) p (r, ) + p(2) (, z), (1) 0 (1) xn h(1) (k0 r)Pn (cos ), r a, p0 (r, ) = P n n= (2) y()J0 ()ev0 (z+h) )d, z h, p0 (, z) = P (8) b(j) ()J0 ()evj (z+hj ) dвDj, j = 1, 2,..., s1, (9) a(j) ()J0 ()evj z d+P pj (, z) = P 0 d(j) ()J0 ()evs z d вDs, ps (, z) = P (10) где jn (x) – сферические функции Бесселя первого рода, J0 (x) – функции Бесселя первого рода, vj = 2 kj, j = 0, 1,..., s [10].

Вычисление коэффициента экранирования Выполняя граничные условия (1)-(5) и учитывая представления вторичных давлений (7)-(9) на основании теорем сложения [11] и метода решения парных сумматорных уравнений по поли номам Лежандра, получим бесконечнуюй СЛАУ второго рода с вполне непрерывным оператором [12] Xn (gk Rnk nk ) Xk = fk + fk Rnk, n = 0, 1,..., (11) k=0 k= где 4i 3 d d (1) jk (0 ) hk (0 ), gk = O k 2, gk = 1 + (12) 2k + 1 d d 1 sin(n k)0 sin(n + k + 1)0 sin(n k) |n=k = 0, Rnk =, (13) nk nk pi n+k+ nk = Rnp Skp, (14) p= d fn = 4i0 fn h(1) (0 )/(2n + 1), (15) d n 3d w1 () iv0 iv ev0 h ()d(), fk = 4k0 0 jk (0 ) Pp Pk (16) d w2 ()k0 v0 k0 k d d w1 () iv0 iv ev0 h ()d(), Spk = 4ip+k jp (0 ) jk (0 ) Pp Pk (17) d d w2 ()k0 v0 k0 k W () = E s ()C() = w1 () w2 (), (18) (s) e1 () (s) (s) E s () =, E (s) = e2 () e1 (), (19) (s) e2 () vs vs (hLs ) (s) (s) e1 () = evs1 (hLs ), e2 () = e, s c11 () c12 () C() = A(s1,s) ()P (s2,s1) ()P (s3,s2) () ·... · P (0,1) =, (20) c21 () c22 () P j1,j () = Aj,j () Aj,j (), j = 1, 2..., s 1, (21) (j1,j) (j1,j) (j,j) (j,j) a () a () a11 () a12 () Aj1,j () =, Aj,j () =, (22) (j1,j) (j1,j) (j,j) (j,j) a () a () a21 () a22 () (j1,j) (j1,j) () = evj1 (hLj +hj1 ), () = evj1 (hLj ), a a vj1 evj1 (hLj ) (j1,j) (j1,j) () = vj1 evj1 (hLj +hj ) j1, j = 1, 2,..., s, a () =, a j (j,j) (j,j) a11 () = evj (hLj ), a12 () = evj (hLj +hj ), (j,j) a21 () = vj evj1 (hLj ) j, (j,j) a22 () = vj evj1 (hLj +hj ) j, j = 1, 2,..., s 1, Коэффициент экранирования звукового поля в области Ds вычисляем по формуле ps (, z) K0 =, (23) pc (r, ) где функция d() 1 () iv0 d ip1 Pp ( d() = ) Xp jp (0 ) + fp ), (24) ()k0 v0 k0 d p= (s) (s) 1 () = c12 ()c21 () c11 ()c22 (), () = c12 ()e2 () e1 ()c22 (). (25) Алгоритм решения поставленнной задачи Приведем этапы реализации данной задачи в системе Mathcad.

1. Зададим исходные данные:

ss – количество плоскостей, f – круговая частота, i – мнимая единица, – угол раствора идеально тонкой незамкнутой оболочки, h0 – расстояние между точками O и O1, hj, j = 1, 2,..., s 1 – расстояния межу плоскостями Sj, j = 1, 2,..., s j, j = 0, 1,..., s – плотности различных сред, cj, j = 0, 1,..., s – скорости звука в различных средах, kkj, j = 0, 1,..., s – волновые числа, 2 kj, j = 0, 1,..., s.

vj = 2. Составим подпрограммы функции для вычисления первых производных цилиндрических и сферических функций Бесселя первого рода по рекуррентным формулам [10].

3. Составим подпрограммы функции для вычисления параметра gn и функции Rnk по формулам (12), (13) соответственно.

4. Составим подпрограммы функции для вычисления матриц Aj1,j (), Aj,j (), P j1,j (), C() по формулам (21), (22) и векторов E (s) (), E (s) (), W () по формулам (18), (19) соответственно.

5. Составим подпрограммы функции для вычисления функций fk, fk, fk по формулам (6), (15), (16) соответственно.

6. Составим подпрограммы функции для вычисления функций Skp, nk по формулам (13), (14) соответственно.

7. Решим конечную СЛАУ (11).

8. Составим подпрограммы функции для вычисления d(), (), 1 (), по формулам (24), (25)со ответсвенно.

9. Составим подпрограммы функции для вычисления давления звукового ps поля в области S и исходного звукового поля pc по формулам (10) и (6) соответственно.

10. Составим подпрограммы функции для вычисления коэффициента K0 по формуле (23).

11. Построим графики коэффициентов экранирования.

Список литературы 1. Иванов, Н.И. Инженерная акустика. Теория и практика борьбы с шумом / Н. И. Иванов // М.: Университетская книга, Логос. – 2008. – 424 с.

2. Аполлонский, С. М. Воздействие внешней электромагнитной среды на человека и средства защиты. / С. М. Аполлонский // Монография / С. М. Аполлонский – В 3 Т. Т. 3. – СПб.: СЗТУ.

– 2011. – 286 с.

3. Довгуша, В.В. Влияние естественных и техногенных электромагнитных полей на безопасность жизнедеятельности / В.В. Довгуша, М.Н. Тихонов, Л.В. Довгуша // Экология человека. - 2009.

- № 12. - С.3-9.

4. Шапиро, Д.Н. Электромагнитное экранирование / Д.Н. Шапиро. //Долгопрудный: Из. Дом:

– Интеллект, 2010. – 120 c.

5. Бузов, Г.А. Защита от утечки информации по техническим каналам / Г.А. Бузов, С.В. Калинин, А.В. Кондратьев. // М.: Горячая линия – Телеком, 2005. – 416 c.

6. Шендоров, Е.Л. Волновые задачи гидроакустики / Е.Л. Шендоров // Л.: Судостроение. –1972.

– 349 с.

7. Shushkevich G. Modelling of electromagnetic elds in problems of shielding / G. Shushkevich // Computer Algebra Systems in Teaching and Research: Proc. 4-th Intern. Workshop, CASTR 2007, Siedlce, Poland, January 31 - Febrary 3, 2007 / Univer. Podlasie;

vol. edit.: L. Gadomski. - Siedlce, 2007. - Р.287-296.

8. Шушкевич, Г.Ч. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Ч. 1. / Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич // Мн: Изд-во Гревцова. – 2010. – 287 с.

9. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских // М.: АН СССР. – 1957. – 502 c.

10. Абрамовиц, M. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / М.Абрамовица, И.Стиган. // М.: Наука, 1979. – 205 c.

11. Ерофеенко, В.Т. Теоремы сложения / B.T. Ерофеенко // Мн.: Наука и техника. – 1989. – 240 с.

12. Шушкевич, Г.Ч. Расчет электростатических полей методом парных, тройных уравнений с использованием теорем сложения / Г.Ч. Шушкевич // Гродно: ГрГУ, – 1999. 238 с.

Шушкевич Геннадий Чеславович, заведующий кафедры информатики и компьютерного модели рования Гродненскоко государственного университета, доктор физико-математических наук, доцент, g shu@tut.by.

Киселева Наталья Николаевна, аспирант кафедры информатики и компьютерного моделирования Гродненскоко государственного университета, Nadaliya@mail.ru.

УДК 51. О. А. КОЗЛОВА, В. В. НЕЛАЕВ AB INITIO МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СВОЙСТВ ДВУХМЕРНОЙ СТРУКТУРЫ ДИСУЛЬФИДА МОЛИБДЕНА С ВАКАНСИОННЫМИ КЛАСТЕРАМИ Проведено моделирование первопринципными методами (ab initio) электронных свойств двухмерной структуры дисульфида молибдена (MoS2 ) с вакансионными кластерами серы и молибдена в программном комплексе VASP. Результаты расчетов представлены в виде электронной плотности структуры (density of states, DOS) и зонной диаграммы структуры.

В многообразии новых материалов особое место занимают материалы, имеющие наномас штабную структуру. Исследования последних лет продемонстрировали важную роль нанострук тур в различных областях науки и техники (физика, химия, материаловедение, биология, меди цина и т. д.). Следует отметить, что в связи с углублением знаний о строении и функционирова нии природных объектов и живых организмов на молекулярном уровне исследователи пытаются разработать общий подход к получению и использованию искусственных материалов с нанораз мерной структурой.

Необычные электронные свойства и обусловленные ими аномальные физические явления в наноструктурированных материалах объясняются прежде всего тем, что характерные размеры структурных элементов нанообъектов лежат в диапазонах, соответствующих средним размерам атомов и молекул в обычных материалах. Понимание сущности физических явлений, происхо дящих в наноразмерных объектах, позволяет целенаправленно проводить поиск условий, при которых в наибольшей степени проявляются их новые функциональные характеристики, посред ством, например, управления размерами и формой наноструктур.

Важное место в дальнейшем прогрессе понимания и объяснения физических явлений, про исходящих в наноразмерных объектах, принадлежит использованию ab-initio, первопринципных методов моделирования.

Исследование электронных свойств двухмерной структуры MoS2 с вакансионными класте рами проводилось посредством программного пакета VASP (Vienna Ab initio Simulation Package), предназначенного для моделирования атомно-молекулярных и электронно-ядерных систем ме тодам молекулярной динамики (MD) на основе псевдопотенциалов с наборами базисных элемен тов плоских волн. Указанный подход, осуществляемый в пакете VASP, базируется на конечно температурном приближении локальной плотности (со свободной энергией в качестве варьируе мой величины) и точной оценке электронного основного состояния в каждом MD-шаге, а также на использовании эффективных матричных схем диагонализации и эффективного смешивания Пулэя [1, 2].

Взаимодействие между ионами и электронами в пакете VASP описывалось с помощью мето да плоских присоединенных волн (PAW), который позволяет значительно сократить необходимое число плоских волн в атомах переходных металлов. Кроме этого, в программе VASP эффективно (с низкими вычислительными затратами) рассчитываются силы и напряжения, которые исполь зуются для релаксации атомов к их мгновенному основному состоянию, характеризующемуся минимумом потенциальной энергии системы [1].

Расчеты проводились с учетом периодических условий, поэтому для того, чтобы исклю чить влияние вакансий друг на друга, использовалась супер-ячейка, имеющая размеры 44 гек сагональных ячейки MoS2, что соответствует 1.261.26 нм (рис. 1). Разбиение обратного про странства на сетку 15x15x1 осуществлялось посредством использования Gamma схемы (gamma центрированная сетка для гексагональных систем) [2]. С целью физически адекватного представ ления двухмерности структуры (фактически квазидвухмерности структуры, поскольку атомы молибдена и серы не находятся в одной плоскости) использовалась процедура введения ваку умного промежутка - методического приема, предназначенного для исключения межатомного взаимодействия при определенном расстоянии между отдельными слоями кристалла молибдени та. Значение этого промежутка было выбрано 1 нм.

Рисунок 1 – Кристаллографическая структура двухмерного MoS Электронная плотность и зонная диаграмма двухмерной структуры MoS2 без вакансионных кла стеров представлены на рисунках 2 и 3, соответственно. Анализ плотности электронных состо яний (Рис. 4) и зонной диаграммы (Рис. 5) двухмерной структуры дисульфида молибдена с двумя вакансиями серы показывает появление дополнительных энергетических уровней, распо ложенных вблизи середины запрещенной зоны полупроводника, что может быть использовано в качестве ловушечных уровней в лазерной технике. Вместе с тем следует отметить незначительное изменение ширины запрещенной зоны с ростом вакансий серы в кластере - от 1,71 эВ (идеальная двухмерная структура) до 1,64 эВ. Рост вакансионного кластера молибдена приводит к резко му сужению запрещенной зоны до 0,11 эВ и увеличение значения магнитного момента от 0, МБ (магнетон Бора) (идеальная двухмерная структура) до 1,89 МБ. Заметим, что, несмотря на отмеченные изменения электронных характеристик с ростом вакансионного кластера, такие структуры дисульфида молибдена по-прежнему сохраняют прямозонный переход, что отчетливо видно из сравнения рисунков 3 и 5зонной диаграммы.

Рисунок 2 – Плотность электронных состояний двухмерной структуры MoS2 без вакансионного кластера Рисунок 3 – Зонная диаграмма двухмерной структуры MoS2 без вакансионного кластера Рисунок 4 – Плотность электронных состояний двухмерной структуры MoS2 с вакансионным кластером из двух атомов серы Рисунок 5 – Зонная диаграмма двухмерной структуры MoS2 с вакансионным кластером из двух атомов серы Работа выполнялась при поддержке фонда ГПНИ РБ "Функциональные и машиностроительные материалы, наноматериалы задание 2.4.01.

Список литературы 1. Kresse, G. and Joubert, J. From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method / G. Kresse // Phys. Rev. B – 1999. – Vol. 59. – P. 1758–1765.

2. Kresse, G. VASP the guide: tutorial / G. Kresse // Austria, University of Vienna. – 2003. – P. 94–104.

Козлова Ольга Александровна, магистрант кафедры микро- и наноэлектроники Белорусского госу дарственного университета информатики и радиоэлектроники, olga.bsuir@gmail.com.

Нелаев Владислав Викторович, профессор кафедры микро- и наноэлектроники Белорусского госу дарственного университета информатики и радиоэлектроники, д. ф. - м. н., проф., nvv@bsuir.by.

УДК 517. В. И. КОРЗЮК, В. В. ДАЙНЯК, А. А. ПРОТЬКО ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА В статье рассмотрена задача типа Дирихле для составного уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами в главной части, представимого в виде композиции гиперболического оператора первого порядка и эллиптического оператора второго порядка.

Методами функционального анализа с помощью операторов осреднения переменного шага доказано существование и единственность обобщенного решения. Получены достаточные условия разрешимости рассматриваемой задачи.

Введение Данная работа посвящена получению достаточных условий однозначной разрешимости за дачи типа Дирихле для некоторых составных уравнений третьего порядка с постоянными ко эффициентами, которые не принадлежат ни к одному из классических типов и представляют собой композицию гиперболического оператора первого порядка и эллиптического оператора.

Впервые краевые задачи для уравнений составного типа были рассмотрены Адамаром [1], [2] и Ж.Ц. Бароззи [3]. Они рассматривали уравнения вида x1 u =, доказательство фредголь мовости дифференциального оператора которого было выполнено в статье [5]. Оно достигается построением интегрального представления решения соответствующего неоднородного уравнения.

А. А. Керефов, Е. В. Плотникова [6] исследовали для уравнения третьего порядка Lu = uxxt ut + µuxx = f (x, t) методом функции Римана ([7]) разрешимость в классе C 1 (D)C 2 (D), где D = {(x, t)0 x l, t T }, нелокальной по временной переменной и нелокальной по пространственной переменной краевых задач.

Заметим, что в указанных выше работах рассмотренны только уравнения составного или гиперпоболического типа без каких-либо вырождений.

В последнее время опубликован ряд статей, в которых изучаются краевые задачи для уравне ния смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Так, например, в работе Ж. А. Балкизова [8] доказывается однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными харак теристиками uxxx uyy + µu = в неограниченной области D = {(x, y) : 0 x, 0 y b}. Единственность решения дока зывается методом от противного, а существование методом разделения переменных (методом Фурье).

Постановка задачи В настоящей работе изучается однозначначная разрешимость задачи типа Дирихле для урав нений составного типа третьего порядка с постоянными коэффициентами в главной части. Эти неклассические линейные дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции u(x) переменных x = (x0, x1, x2 ) запишем в виде 2 2 (7) + a2 2 + a2 Lu = + b1 + b2 u+ 1 x x0 x1 x2 x1 x +L1 (x, D)u = f (x), где L1 (x, D)u = p0 (x) x0 + p1 (x) x1 + p2 (x) x2 (x)u. Здесь a1, a2, b1, b2 постоянные, коэф u u u фициенты полинома L1 (x, D) и их производные pi (x) (i = 0, 1, 2) измеримы и ограничены. – xi произвольная ограниченная область пространства переменных x с кусочно-гладкой границей. При некоторых еще дополнительных условиях на коэффициенты оператора L, которые будут сформулированы ниже и которые являются достаточными, методами функционального анализа доказывается в обобщенной постановке однозначная разрешимость уравнения (1) в произвольной области при наличии простейших граничных условий (условий типа Дирихле). Суть постанов ки задачи в следующем. Обозначим через произвольную ограниченную область пространства переменных x с кусочно-гладкой границей.

Пусть L0 () = (0 + b1 1 + b2 2 )(0 + a2 1 + a2 2 ), где единичный вектор внешней нормали 2 2 1 к поверхности. В области рассмотрим уравнение (1) относительно функции u(x), которая удовлетворяет однородным граничным условиям u (8) u = 0, = где - часть границы, в точках которой L0 () 0.

Наряду с задачей (1), (2) будем рассматривать сопряженную задачу, т. е.

(9) L+ v = g(x), v (10) = 0, + = {x |L0 () 0}, v = 0, + где L+ - формально сопряженный к L оператор и 2 2 + L+ (x, D), L+ = + a2 2 + a2 + b1 + b2 1 2 x x0 x1 x2 x1 x L+ - оператор первого порядка, формально сопряженный к L1.

Для исследования на разрешимость поставленных задач нам нужны некоторые функци ональные пространства. Обозначим через H l () (l = 0, 1, 2, 3) пространство Соболева функ ций, определенных в с квадратично суммируемыми обобщенными производными до порядка l, H 0 () = L2 (). Пусть H0 () (H l ()), l = 1, 2, 3, - подпространства пространства H l (), элемен l ты которых удовлетворяют условиям (2) ((4)). Здесь H0 () = H 1 (). Пусть H0 () - сопряжен 1 () пространство относительно канонической билинейной формы u, v, u H 1 (), ное к H0 v H0 (), являющейся продолжением по непрерывности билинейной формы (u, v)L2 (), где u L2 (), v H0 (), (·, ·)L2 () скалярное произведение в L2 ().

Задачу (1), (2) будем рассматривать как решение операторного уравнения (11) Lu = f с областью определения D(L) = H 3 (), а задачу (3), (4) - как решение операторного уравнения (12) L+ v = g с D(L+ ) = H 3 ().

Построим расширения L и операторов L и L+.

Будем рассматривать L и из про L+ L+ странства H0 () в H0 (). В качестве расширений L и L+ возьмем сопряженные операторы к операторам L и L+ соответственно, действующие из H0 () в H0 (). Решение уравнения (13) Lu = f, назовем обобщенным решением задачи (1), (2) или уравнения (5), решение уравнения (14) L+ v = g, – обобщенным решением задачи (3), (4) или уравнения (6).

Энергетическое неравенство Докажем энергетические неравенства для операторов L и L+.

Теорема 1. Если выполняются следующие условия 1. a1 = 0, a2 = 0, p0 (x) p1 (x) p2 (x) 2. + + + 2(x) 0, x0 x1 x то для любых u и v из H0 () справедливы неравенства (15) c Lu u H0, H0 () c L+ u (16) v H0, H0 () где постоянные c 0 и c 0 не зависят от функций u и v.

Доказательство. Докажем неравенство (9) сначала для функций u H0 (). В этом случае можем представить правую часть неравенства (9) в виде |(Lu, v)L2 () | (17) Lu|H 1 = sup.

v H0 () 0 vH 1 () В (11) полагаем v(x) = (x)u(x), (x) = 0 x0 + 1 x1 + 2 x2 +. С учетом условий (2), интегрируя по частям, будем иметь (18) (Lu, u)L2 () = (L0 u, u)L2 () + (L1 u, u)L2 () = 1 u 1 u 2 + + a2 (0 + 3b1 1 + b2 2 ) = (30 + b1 1 + b2 2 ) + L2 () L2 () 2 x0 2 x 1 u u u + a2 (0 + b1 1 + 3b2 2 ) + (a2 1 + b1 0 ), + 22 L2 () x2 x0 x1 L2 () u u u u +(a2 2 + b2 0 ) + (a2 b2 1 + a2 b1 2 ),, 2 1 x0 x2 x1 x L2 () L2 () 1 u (x)L0 () ds + (L1 u, u)L2 (), 2 + Выберем константы, 0, 1, 2 таким образом, чтобы форма (L0 u, u)L2 () была положительно определенной. Так как засчет выбора всегда можно сделать (x) 0 для любого x, то u ds 0.

(x)L0 () + Таким образом, форма (L0 u, u)L2 () будет положительно определенной тогда и только тогда, когда матрица a2 1 + b1 0 a2 2 + b2 30 + b1 1 + b2 2 1 a2 1 + b1 0 a2 (0 + 3b1 1 + b2 2 ) a2 b2 1 + a2 b1 A= 1 1 1 2 + b 2 b + a2 b 2 ( + b + 3b ) a2 2 a1 2 1 a2 20 212 11 будет положительно определенной, что равносильно выполнению следующих трех неравенств 1 = 30 + b1 1 + b2 2 0, 2 = (3a2 b2 )0 + (a4 + 3a2 b2 )1 + 4a2 b1 b2 1 2 + a2 b2 2 + 0 (8a2 b1 1 + 4a2 b2 2 ) 0, 2 2 1 1 1 11 1 12 1 3 = (3a2 a2 a2 b2 a2 b2 )0 + (a4 a2 b1 + 3a2 a2 b3 a4 b1 b2 )1 + 3 12 21 12 12 121 1 +(a4 a2 b2 + 11a2 a2 b2 b2 a4 b3 )1 2 + (a2 a4 b1 a4 b3 + 11a2 a2 b1 b2 )1 2 + 2 12 121 12 12 21 12 +(a2 a4 b2 a4 b2 b2 + 3a2 a2 b3 )2 + 0 ((11a2 a2 b1 a2 b3 a2 b1 b2 )1 + 3 12 21 122 12 21 1 +(11a2 a2 b2 a2 b2 b2 a2 b3 )2 ) + 0 ((a4 a2 + 11a2 a2 b2 a4 b2 )1 + 12 21 12 12 121 +24a2 a2 b1 b2 1 2 + (a2 a4 a4 b2 + 11a2 a2 b2 )2 ) 0.

12 12 21 Рассмотрим случаи, когда система неравенств допускает решения, в котором две из трех перемеменных 0,1,2 обращаются в нуль.

1) 1 = 0,2 = 0. В этом случае система примет вид 1 = 30 0, 2 = (3a2 b2 )0 0, 1 3 = (3a2 a2 a2 b2 a2 b2 )0 0, 12 21 или 3a2 b2 0, 1 3a2 a2 a2 b2 a2 b2 0.

12 21 Заметим далее, что второе неравенство влечет первое. Действительно, 3a2 a2 a2 b2 a2 b2 = 12 21 (3a2 b2 )a2 a2 b2 0, при 3a2 b2 0.

1 12 12 1 Таким образом, имеем одно неравенство 3a2 a2 a2 b2 a2 b2 0.

12 21 2) 0 = 0,2 = 0. В этом случае система примет вид 1 = b1 1 0, 2 = (a4 + 3a2 b2 )1 0, 1 3 = (a4 a2 b1 + 3a2 a2 b3 a4 b1 b2 )1 0, 12 121 1 или a1 = 0, a2 + 3b2 0, 1 a2 a2 + 3a2 b2 a2 b2 0.

12 21 Аналогично a2 + 3b2 0 следует из (a2 + 3b2 )a2 a2 b2 0. В итоге имеем 1 1 1 12 a1 = 0, a2 a2 + 3a2 b2 a2 b2 0.

12 21 3) 0 = 0,1 = 0. В этом случае система примет вид (по аналогии со вторым случаем) a2 = 0, a2 a2 + 3a2 b2 a2 b2 0.

21 12 Покажем теперь, что при a1 = 0,a2 = 0 и при любых b1,b2 хотя бы одно из условий в пунктах 1 – 3 выполняется. Это равносильно тому, что система 3a1 a2 a2 b2 a2 b2 0, 21 a2 a2 + 3a2 b2 a2 b2 0, 12 21 a2 a2 + 3a2 b2 a2 b2 21 12 несовместна при a1 = 0,a2 = 0. Добавив к удвоенному первому неравенству второе и третье, получим 4a2 a2 0, откуда и следует требуемое утверждение.

Рассмотрим случай, когда один из коэффициентов a1,a2 обращается в нуль.

Если a1 = 0, то условия положительной определенности примут вид 30 + b11 + b2 2 0, b2 0 0, a2 b2 0 a4 b2 0 2 a4 b3 1 2 a4 b2 b2 2 + 0 (a2 b3 1 a2 b2 b2 2 ) 0.

3 2 2 3 21 21 21 21 21 Из второго неравенства видно, что система несовместна. Если a2 = 0, то имеем симметричный случай. Решений нет.

Из положительности формы (L0 u, u)L2 () следует, что u u u 2 2 (19) (L0 u, u)L2 () c2 c3 u + + H0 ().

L2 () L2 () L2 () x0 x1 x Оставшиеся слагаемые соотношения (12) запишем в виде 1 p0 (x) p1 (x) p1 (x) (L1 u, u)L2 () = + + + 2(x) u, u + 2 x0 x1 x2 L2 () + (p0 (x)0 u + p1 (x)1 u + p2 (x)2 u, u))L2 () 0.

Отсюда видно, при выполнении второго условия теоремы всегда можно получить неравенство (20) (L1 u, u)L2 () 0.

Объединяя неравенства (13) и (14), получим оценку снизу вида (21) (Lu, u)L2 () c3 u H0 () Доказательство неравенства (9) в общем случае u H0 () можно осуществить с помощью операторов осреднения с компактным носителем в путем предельного перехода.

Доказательство неравенства (10) стереотипно.

Однозначная разрешимость 1 Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 для любого f H0 () ( g H0 () ) 1 () ( v H 1 () ) задачи (1), (2) ( (3), существует и единственно обобщенное решение u H0 (4) ).

Доказательство. Единственность обобщенных решений задач (1), (2) и (3), (4) следует из энергетических неравенств (9) и (10). Проведем доказательство существования обобщенного ре шения только задачи (1), (2), так как случай сопряженной задачи аналогичен. Для доказатель ства, поскольку множество значений R(L) оператора L замкнуто, достаточно установить плот ность в H0 () множества значениу Lu, если u пробегает множество H0 (). Пусть (22) Lu, v = при некотором v H0 () для любого u H0 (). В равенстве (16) вместо u возьмем Jk u. Тогда 1 будем иметь LJk u, v = (LJk u, v)L2 () = (Jk Lu, v)L2 () + (LJk u Jk Lu, v)L2 () = = (Lu, Jk v)L2 () + (Ku, v)L2 () = 0, где K = LJk Jk L.

Обозначим K(u, v, k) = (Ku, v)L2 (). Тогда получим равенство LJk u, v = (Lu, Jk v)L2 () + K(u, v, k) = 0.

По свойству операторов осреднения, если v H0 (), то и Jk v H0 (). Поэтому в оценке 1 (16) заменим v на Jk v. Будем иметь |(u, L Jk v)L2 () | c L J v Jk v H0 () = c sup = 1 H0 () v H0 () vH 3 () |(Lu, Jk v)L2 () | |K(u, v, k)| c c1 v = c sup sup H0 (), v v H0 () k 1 3 vH 3 () H0 () vH0 () где постоянная c1 0. Отсюда после перехода к пределу при k следует, что Jk v H0 () c1 k v H0 () 0. Следовательно, v = 0 в H0 (). Вторая часть теоремы до 1 1 казывается аналогично.

Список литературы 1. Hadamard, J. R., Proprietes d’une equation lineare aux derives partielles du quatrieme ordre. // The Tohoku Math Journal. – 1933. – V. 37 – P. 133.

2. Hadamard, J. R., Equation aux derives partielles. // L’enseignement mathematique. – 1936. – V. 35. – P.5.

3. Barozzi, G. C. Su alcuni problemmi relative a une equazione lineaire a dirivate parzialli di tipo composito.

// Atti Semin. mat. e. s. Univ. Modena – 1960–1961. –№10. – P.11.

4. Дайняк, В. В. Задача типа Дирихле для линейного дифференциального уравнения третьего порядка.

/ В. В. Дайняк,, В. И. Корзюк //Дифференциальные уравнения. – 1992. – Т. 28 № 6 – С. 1056.

5. Каверина, И. А. Интегральное представление решения уравнения составного типа третьего порядка. // Труды Второй Всероссийской научной конференции (1 3 июня 2005 г.). Часть 3, Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Матем. моделирование и краев. задачи – Самара: СамГТУ, 2005. – С. 114–117.

6. Шхануков, М. Х. Дифференциальные уравнения. – 1982. – Т. 18 № 4 – С. 689–699.

7. Керефов, А. А. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка / А. А. Керефов, Е. В. Плотникова // Владикавк. матем. журн. – 2005. – Т. 7 № 1 – С. 51–60.

8. Балкизов, Ж. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с кратными характери стиками в неограниченной области. // Труды пятой Всероссийской научной конференции с между народным участием (29–31 мая 2008 г.). Часть 3, Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Матем. моделирование и краев. задачи. – Самара: СамГТУ, 2008. – С. 23–28.

Корзюк Виктор Иванович, член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико-математических на ук, профессор, заведующий кафедрой математической физики, korzyuk@bsu.by.

Дайняк Виктор Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры матема тической физики, dainyak@bsu.by.

Протько Артур Александрович, студент 5-го курса факультета прикладной математики и инфор матики Белорусского государственного университета, arthur.protsko@gmail.com.

УДК 504. В. Н. КОРНЕЕВ, Л. Н. ГЕРТМАН, И.А. БУЛАК МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В ВОДОХРАНИЛИЩЕ ПРИ АВАРИЙНОМ СБРОСЕ В статье привидятся результаты математического моделирования водного режима Осиповичского водохранилища и распространения загрязняющих веществ при их аварий ном сбросе, которые могут быть основой для разработки планов водохозяйственных и водоохранных мероприятий, регулирования водопользования, разработки планов управления водными ресурсами в бассейне р. Свислочь.

В бассейне р. Свислочь до плотины Осиповичского водохранилища согласно данным Госу дарственного водного кадастра отведение сточных вод осуществляется 14 предприятиями через 21 выпуск сточных вод. Учитывая концентрации загрязняющих веществ в различных пунктах на блюдений за гидрологическим режимом Национальной системы мониторинга окружающей среды (НСМОС) в пределах Осиповичского водохранилища, поступление загрязняющих веществ сюда связано, в первую очередь, с различными источниками загрязнения, расположенными в переде лах всего водосбора водохранилища. Вторым источником загрязнения могут выступать загряз ненные донные отложения самого водохранилища. Однако степень их влияния на формирование загрязнения поверхностных вод значительно меньше, чем поверхностного стока водосбора.

Для разработки планов водохозяйственных и водоохранных мероприятий, регулирования во допользования, разработки планов управления водными ресурсами в бассейне р. Свислочь про ведено моделирование распространения загрязняющих веществ в Осиповичском водохранилища, включая их аварийный сброс.

Математическое моделирование позволяет произвести оценку возможности оздоровления во дохранилища, что даст возможность его дальнейшего использования в различных хозяйственных целях.

Математическая модель Осиповичского водохранилища включает в себя координаты харак терных сечений водохранилища, привязанные к абсолютным отметкам и по расстоянию от устья, а также таблицы рассчитанных морфометрических и гидравлических параметров.

Основными морфометрическими и гидравлическими параметрами поперечных сечений яв ляются ширина сечения водотока поверху B, площадь сечения водотока, уклон дна I, расходная характеристика К (или модуль расхода, физический смысл которого – тот расход, который бы прошел в русле при уклоне I =1), приведенный коэффициент шероховатости N, гидравлический радиус R. Данные параметры определяются для 10 характерных уровней для поперечных сечений с использованием методических подходов, представленных в [6].

Математическая модель водного режима Осиповичского водохранилища основана на чис ленном решении уравнения неравномерного движения воды, в результате которого определяются уровни воды и скорости течения [7].

Параметры, К, N, ( – корректив кинетической энергии) определяются из рассчитанных таблиц гидравлических параметров методом интерполяции в зависимости от отметки свободной поверхности воды.

Математическая модель перемещения растворенных загрязняющих веществ в Осиповичском водохранилище основана на выходных данных математической модели водного режима и чис ленном решении уравнения турбулентной диффузии, которое имеет следующий вид [5]:

(C) (QC) C + = (D ) + f, (1) t x x x где – площадь живого сечения;

C – средняя в поперечном сечении концентрация растворенных загрязняющих веществ;

D – коэффициент продольной диффузии;

f – функция, характеризующая процессы самоочищения;

Q – расход воды;

t – время;

x – расстояние по длине водотока.

Для уравнения перемещения загрязняющих веществ задаются начальные и граничные усло вия, которые характеризуют качество воды в водном объекте по его длине до поступления за грязняющих веществ и график поступления загрязняющих веществ по времени в месте отвода сточных вод соответственно.

Процесс самоочищения описывается следующим уравнением [3]:

C = C0 exp(K1 t), (2) где K1 – коэффициент, характеризующий скорость процесса самоочищения (коэффициент некон сервативности вещества – сутки -1 );


C0 – концентрация загрязняющего вещества в начальном створе в начальный момент вре мени;

C – концентрация вещества в заданной в заданном створе в момент времени t.

Коэффициенты, характеризующие самоочищающую способность водных объектов (коэф фициенты скорости самоочищения), определялись с использованием литературных источников с учетом морфометрических характеристик р. Свислочь и Осиповичского водохранилища [4, 8], фондовых данных по качеству воды в р. Свислочь и в Осиповичском водохранилище, результатов экспедиционных исследований, а также исследований, выполненных ранее специалистами РУП ЦНИИКИВР [1, 2].

Для моделирования водного режима выполнены расчеты водного режима Осиповичского водохранилища для расходов воды различной вероятности превышения (обеспеченности) – для трех основных характерных гидрологических режимов: среднегодовых расходов 50 % ВП;

ми нимальных расходов в течение летне-осенней межени 95 % ВП;

максимальных расходов воды весеннего половодья 1 %. При этом использовались данные гидрологического режима в створе гидроузла Осиповичского водохранилища за весь период наблюдений с 1956 по 1987 гг.

Расчетное время добегания при указанных гидрологических режимах от начала водохрани лища (верхнего створа) до створа гидроузла и средние скорости течения составили:

- при среднегодовых расходах воды 50 % ВП – ориентировочно 4 суток при средних скоростях течения 0,005 – 0,145 м/с;

- при минимальных расходах воды 95 % ВП в течение летне-осенней межени – 16,5 суток при средних скоростях течения 0,001 – 0,051 м/с;

- при максимальных расходах воды – 8 часов при средних скоростях течения 0,156 - 0,74 м/с.

Моделирование качества воды в Осиповичском водохранилище выполнялось для случаев аварийных сбросов загрязняющих веществ с целью оценки характеристик их переноса в водохра нилище и его аккумулирующей способности на основе измеренных данные на стационарных пунк тах мониторинга НСМОС по максимальным значениям концентраций загрязняющих веществ в Осиповичском водохранилище за период с 2000 по 2010 гг.

Моделирование проводилось с заданием максимальных концентраций загрязняющих ве ществ в створе, расположенном на 17,49 км выше гидроузла, по трем группам загрязняющих веществ: биогены, тяжелые металлы, нефтепродукты. Интервал времени поступления прини мался в течение суток. Моделирование выполнено с использованием математической модели с соответствующей настройкой (уточнением) модели с учетом измеренных данных и результатов моделирования водного режима для расходов воды, близких к среднегодовым 50 % ВП.

Пример результатов математического моделирования переноса азота аммонийного в водо хранилище приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Результаты математического моделирования переноса азота аммонийного в Осиповичском водохранилище Условные обозначения: 1 – 17,49 км выше гидроузла;

2 – 7,55 км выше гидроузла;

3 – створ гидроузла;

4 – измеренные концентрации.

Визуализация результатов моделирования проведена на основе расчетных данных о кон центрации загрязняющего вещества после его аварийного сброса на 20-ти расчетных участках с помощью модуля Spatial Analyst программного средства ArcGIS 9.3. Всего была разработана серия из 15 карт, на которых отражено изменение концентрации азота аммонийного на различ ных расчетках участках с течением времени – начиная от 5 часов после сброса и заканчивая 12-дневным периодом.

На рисунке 2 приведен пример карты распространеня загрязняющего вещества спустя суток после его аварийного сброса.

Рисунок 2 – Схема распространения азота аммонийного спустя 3 суток после его аварийного сброса Моделирование показало, что Осиповичское водохранилище обладает значительной аккуму лирующей емкостью, которая:

- задерживает загрязняющие вещества: при среднегодовых расходах воды ориентировочно до 4-х суток, при минимальных расходах воды до 17-ти суток, при максимальных расходах воды до 10 часов;

- снижает загрязнение реки: по биогенным загрязняющим веществам концентрация в нижнем бьефе при поступлении загрязняющих веществ может быть в 20 - 60 раз меньше, по металлам в 1-3 раза меньше, по нефтепродуктам в 1,5 - 4 раза меньше.

Кроме мероприятий в бассейне р. Свислочь, направленных на общее снижение поступле ния загрязняющих веществ в поверхностные воды, для улучшения экологической обстановки Осиповичского водохранилища одним из вариантов может стать очистка его от загрязненных донных отложений. Расчеты длины облака мутности, которое может возникнуть при очистке верхней части Осиповичского водохранилища от донных отложений, позволили сделать вывод о принципиальной возможности его очистки гидромеханизированным способом без существенного ухудшения качества воды в водохранилище и в р. Свислочь. В основном все частицы будут оса ждаться на протяжении до 250 м с остающейся небольшой их частью на протяжении до 1750 м (до плотины водохранилища). Лишь очень незначительная часть (менее чем 2%) может распро страняться на расстояние до 16300 м (также практически до плотины водохранилища).

Проведенное математическое моделирование водного режима Осиповичского водохранилища и распространения загрязняющих веществ являются частью работ по разработке Плана поэтап ного оздоровления водной системы р. Свислочь – Осиповичское водохранилище.

Список литературы 1. Апробация для реальных условий и корректировка проекта методики прогнозирования перемещения аварийных загрязнений в водотоках для совершенствования системы предупреждения органов госу дарственного управления об экстремальных ситуациях, связанных с загрязнением природной среды.

Адаптация программного средства, реализующего методику прогнозирования перемещения аварий ных загрязнений в водотоках: отчет от НИР (заключ.) / РУП ЦНИИКИВР ;

рук. темы А.П. Стан кевич – Минск, 2004. – 18 с.

2. Апробация методики и программного средства прогнозирования перемещения аварийных загрязнений в водотоках на примере трансграничных водных объектов бассейна Днепра: отчет от НИР (заключ.) / РУП ЦНИИКИВР ;

рук. темы А.П. Станкевич – Минск, 2004 – 27 с.

3. Методические основы оценки антропогенного влияния на качество поверхностных вод / Под ред. А.В.

Караушева. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981. – 175 с.

4. Пааль, Л.Л. О расчете смешения вещества загрязнения в водотоках / Л.Л. Пааль, А.М. Айтсан, Х.А.

Вальнер // Труды Таллиннского политехнического института, серия А. – Таллинн, – 1967. –№ 244. – С. 57-64.

5. Разработать математические модели функционирования водохозяйственных систем для управления водными ресурсами: отчет от НИР (заключ.) / РУП ЦНИИКИВР ;

рук. темы В.П. Рогунович – Минск – 1980. – №ГР 78005122.

6. Рогунович, В.П. Автоматизация математического моделирования движения воды и примесей в систе мах водотоков. / В.П. Рогунович. – Л.: Гидрометеоиздат – 1989. – 264 с.

7. ТКП 17.06-06-2012 Правила определения прогнозных количественных и качественных характеристик водного режима при создании плотин и водохранилищ на реках.

8. Топников, В.Е. Сравнительная оценка математических моделей самоочищения рек / В.Е. Топников, В.А. Вавилин // Водные ресурсы. – 1992. – №1. – С. 59-76.

Корнеев Владимир Николаевич, начальник отдела водного мониторинга и кадастра РУП Централь ный НИИ комплексного использования водных ресурсов, v_korn@rambler.ru.

Гертман Любовь Николаевна, старший научный сотрудник отдела водного мониторинга и кадастра РУП Центральный НИИ комплексного использования водных ресурсов, lubov.hertman@yandex.ru.

Булак Иван Александрович, научный сотрудник отдела водного мониторинга и кадастра РУП Цен тральный НИИ комплексного использования водных ресурсов, i_bulak@tut.by.

УДК 621.382.2/.3, 004. В. С. КОТОВ, Н. Ф. ГОЛУБЕВ, В. В. ТОКАРЕВ, В. Е. БОРИСЕНКО МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИОДОВ ШОТТКИ С МОП КАНАВОЧНОЙ СТРУКТУРОЙ Предложена и обоснована модель переноса носителей заряда в мощных кремниевых диодах, состоящих из барьеров Шоттки субмикронных размеров, разделённых канавками с поли кремниевыми затворами на вертикальных боковых стенках. Она учитывает контактную разность потенциалов периферийной – у края канавки, и центральной областей барьера Шоттки вследствие влияния дополнительного электрического поля, обусловленного ка навками с МОП структурой, влияние сил изображения и дипольного эффекта на высоту барьера этих областей, и позволяет рассчитывать прямое напряжение, обратный ток утечки в зависимости от конструктивных особенностей отдельных элементов диодов.

Приведены данные проведенной экспериментальной проверки, которые подтверждают обоснованность предложенной модели.

Введение Известно, что на диодах Шоттки изготовленных на рельефных структурах, состоящих из множества узких полос барьеров Шоттки микронных или субмикронных размеров, разделённых канавками с поликремниевыми затворами на вертикальных боковых стенках (TMBS диоды Trench MOS barrier Schottky diode), достигаются как низкие значения прямого напряжения VF и высокая скорость переключения, так и низкие токи утечки при обратном смещении в сравнении с традиционными планарными диодами Шоттки [1,2]. Экспериментально наблюдаемые зави симости прямого напряжения (VF ) от тока (IF ), обратного тока утечки (IR ) от приложенного напряжения (VR ) и от параметров конструкции TMBS диода [3] не удалось описать с достаточной точностью в рамках известных классических моделей расчёта [4] вольтамперной характеристики (ВАХ) диодов с барьером Шоттки. Сравнение экспериментальных зависимостей VF от IF для TMBS диодов с разными конструктивными вариантами [3] и результатов расчёта по моделям [4] показало, что совпадение расчётных зависимостей с экспериментальными достигается только путём подгонки значения высоты барьера Шоттки B для каждого набора конструктивных параметров. Эти подгоночные значения B несколько отличаются от общеизвестных типовых значений высоты барьера плоскостных стандартных диодов, полученных экспериментальным путём [5]. Цель данной работы состояла в разработке и экспериментальной проверке концепции, позволяющей использовать общеизвестные значения высоты барьера Шоттки для моделирова ния характеристик TMBS диодов c различными конструктивными параметрами. Это позволит выбирать оптимальную геометрию ячейки уже на этапе проектирования.


Модель расчёта TMBS диодов В рамках предложенной модели ток через диод разделяется на две составляющие: ток через центральную область контакта Шоттки и через периферийную область (рис.1). Такое разделе ние обусловлено тем, что электрическое поле в каждом конструктивном элементе диода (ячейке) действует как в зоне формирования барьера Шоттки (перпендикулярно границе раздела металл полупроводник), так и в структуре поликремний – диоксид кремния – кремний, перпендикулярно боковым стенкам канавок. Поэтому распределение электрического поля в области формирования барьера Шоттки будет неоднородным в плоскости, перпендикулярной направлению канавки: в зо нах, примыкающих к канавкам, необходимо учитывать краевые эффекты, связанные с наличием электрического поля МОП структур на боковых стенках. В центральной части области форми рования барьера Шоттки распределение электрического поля можно считать соответствующим классической модели барьера бесконечных размеров. Из-за неоднородности электрического поля высота барьера B будет разной в центральной и периферийной зонах области барьера Шоттки.

Также в силу технологических особенностей изготовления периферийная область представляет собой контакт к верхней части вертикальной канавки с другой ориентацией кристаллографических граней (рис.1,2), высота ба рьера для которых будет отличаться от центральной части [6].

Ширина периферийной контактной области равна глубине затра ва поликремния и, соответственно, подзатворного окисла в канав ке. Так как TMBS диодов изготавливаются на умеренно легиро ванном кремнии (с концентрацией не более 1017 см3 ), то домини рующим механизмом переноса электронов является надбарьерный перенос, хорошо описываемый теорией термоэлектронной эмис сии. Из-за действия сил изображения (эффекта Шоттки) и ди польного эффекта (модель Bardeen) высота барьера B уменьша ется на величину.

qE ± E, = (1) Рисунок 1 – Расположение 4 s центральной и периферийной контактных областей где E – напряженность электрического поля, s – диэлектрическая проницаемость полупроводника, - безразмерный коэффициент, который может быть значительно больше единицы для аномального эффекта Шоттки [7], глубина проникновения электрического поля диполя от поверхности контакта Шоттки. Поло жительное значение дипольной составляющей выражения (1) соответствует прямому смещению, отрицательное – включению TMBS диода в обратном смещении. С учетом вышеизложенного выражение для тока I через TMBS диод в зависимости от приложенного напряжения V имеет следующий вид:

q (B1 1 ) q (B2 2 ) qV I = S1 A T 2 exp + S2 A T 2 exp exp 1, (2) kT kT kT где S1 – площадь периферийной контактной области, S2 – площадь центральной контактной области, B1, B2 и 1, 2 – контактная разность потенциалов идеального барьера и пони жение высоты барьера из-за действия сил изображения и дипольного эффекта соответственно периферийной и центральной областей барьера Шоттки в каждой полосе.

Моделирование характеристик и постановка эксперимента Численное моделирование структуры и электрических параметров исследованных диод ных структур проводилось с использованием пакета программ технологического моделирования TCAD Synopsys. Поперечное сечение ячейки моделируемой структуры расстоянием между ка навками d=0,96 мкм приведено на рис.2. Металл анода, лежащий над периферийной контактной областью, условно был отделен от металла центральной контактной области с одной стороны и металла, контактирующего с поликремниевыми затворами в канавках, с другой стороны, узкими резами (фрагмент Б рисунка 2), что позволило задать различную контактную разность потен циалов для периферийной и центральной контактных областей и электрода поликремниевого затвора.

При расчете вольтамперных характеристик использовались следующие модели и параметры TCAD Synopsys, являющиеся характерными для TMBS диодов:

- модель подвижности FLDMOB. Значение флага модели установлено равным нулю, что от ключает влияние параллельного поля на подвижность для сильных электрических полей, дей ствующих вдоль канавки, и в этом случае используются значения подвижностей электронов и дырок для низкой напряженности электрического поля;

- поверхностная рекомбинация на контакте Шоттки SURF.REC ;

- эффект понижения высоты барьера из-за действия сил изображения и дипольного эффек та BARRIERL. Коэффициенты в выражении (1), равные 1 =1 и 1 =0 для периферийной кон тактной области и 2 =5 и 2 =8,5Е-7 для центральной контактной области, были получены с использованием экспериментальных данных.

Экспериментальные исследования влияния конструктивных параметров структуры TMBS диодов на величину прямого напряжения VF и величину тока утечки IR проводились на специ ально спроектированной матрице кристаллов диодов с рабочим напряжением до 100 В и рабочим током до 10 А, имеющих одинаковую площадь и разный шаг структуры: топологическое рассто яние между канавками 0,56 – 0,76 – 0,96 – 1,56 – 2,16 мкм и топологическую ширину канавки 0,44 мкм. Такой набор кристаллов, изготовленных в едином технологическом процессе, позво лил точно выделить вклад периферийной контактной области в процессе протекания тока через диод в прямом и обратном смещениях и определить изменение контактной разности потенциа лов, обусловленное канавками с МОП структурой. Конструкция охранных колец TMBS диодов и технологический процесс изготовления соответствовали работе [3]. В качестве барьерного метал ла был использован силицид титана, входящий в широко распространенную в настоящее время систему металлизации T iSi2 T iN (T iW ) AlSiCu для ИМС. Диоды всех конструкций были собраны в корпус ТО-220. Измерения VF и IR диодов проводились во время подачи импульса тока в диапазоне от 0,1 до 30 А длительностью 300 мкс. Небольшая длительность одиночного импульса была выбрана с тем расчетом, чтобы во время измерений температура корпуса прибора оставалась практически постоянной.

Рисунок 2 – Структура ячейки и распределение концентрации примеси в сечении А-А моделируемого TMBS диода с d=0,96 мкм Результаты и их обсуждение Результаты измерений в сравнении с результатами моделирования приведены на рисунках 3, 4. В процессе численного моделирования TMBS диодов с титановым барьером и сравнения его результатов с измеренными значениями установлено, что контактная разность потенциалов периферийной области составляет B1 =0,56 эВ, тогда как для центральной области контактная разность потенциалов соответствует типовому значению для барьера на основе T iSi2 B2 =0,6 эВ.

Эта разница объясняется наличием дополнительного электрического поля, обусловленного ка навками, и другой ориентацией кристаллографических граней кремния в месте контакта к вер тикальной границе канавки [6]. Оптимальной из анализируемых является конструкция диода с расстоянием между канавками 0,56 мкм, для которой характерны наименьшее прямое напряже ние и наименьший ток утечки из всей совокупности исследованных в данной работе вариантов.

Очевидно, что при уменьшении расстояния d между канавками сопротивление узкой области кремния в направлении протекания тока может увеличиться настолько, что падение напряже ния на этом сопротивлении станет существенным и тем самым приведет к увеличению прямого напряжения VF. Так как на экспериментальных структурах это ограничение увидеть не удалось, был проведен расчет диодов с расстоянием между канавками 0,46 и 0,36 мкм (рисунок 3). Из рисунка 3 видно, что уже для расстояния между канавками 0,46 мкм прямое напряжение диода начинает увеличиваться, что подтверждает корректность разработанной методики моделирова ния.

Рисунок 3 – Зависимость измеренного прямого напряжения VF измер и расчетного VF расчет от расстояния между канавками d (слева) и от тока через диод с расстоянием между канавками d=0,56 мкм (справа) Рисунок 4 – Зависимость измеренного тока утечки IR измер и расчетного IR расчет от обратного напряжения VR для диодов с расстоянием между канавками 0,56 мкм (слева) и 2,16 мкм (справа) Быстрый рост тока на начальном участке обратной ВАХ ( ступенька при изменении об ратного напряжения в диапазоне от 0 до 1 В (рис.4)) обусловлен сильным понижением высоты потенциального барьера вследствие различных физических факторов, основным из которых яв ляется аномальный эффект Шоттки. Увеличение значения тока ступеньки с ростом расстояния между канавками объясняется увеличением площади контакта с аномальным эффектом Шоттки.

Результаты численных расчётов в рамках единой модели с высокой степенью точности сов падают с экспериментальными данными во всем диапазоне исследованных вольтамперных харак теристик прямого напряжения и обратного тока для разных конструктивных параметров диодов.

Разница между экспериментальными данными и результатами составляет 0–3% для расчета пря мого напряжения и 0–10% для расчета тока утечки.

Разработанная концепция расчета прямого напряжения и тока утечки TMBS диодов, описываемая выражением (2) и учитывающая, что контактная разность потенциалов перифе рийной и центральной контактных областей отличаются вследствие влияния дополнительного электрического поля, обусловленного канавками с МОП структурой, позволяет рассчитывать прямое напряжение VF и ток утечки IR различных конструкций TMBS диодов с достаточной точностью.

Заключение Разработана концепция расчета прямого напряжения и тока утечки TMBS диодов, в которой ток диода разделяется на ток через периферийную часть барьера Шоттки у края канавки и ток через центральную часть барьера, имеющие отличающиеся контактные разности потенциалов металл – полупроводник. Эта концепция подтверждена хорошим соответствием экспериментальных данных с результатами моделирования для ячеек TMBS диода с разными расстояниями между канавками.

Это краткая версия препринта Материалов, принятых для публикации в Журнал Тех нической Физики (ЖТФ), авторское право 2013 год, владелец авторского права указан в ЖТФ.

Список литературы 1. Chen, M. High-Voltage TMBS Diodes Challenge Planar Schottky / M. Chen, H. Kuo, S. Kim // Power Electr. Techn. – Oct. – 2006. – P. 22–32.

2. Голубев, Н. Применение субмикронной технологии – путь к созданию высокоэффективных диодов Шоттки / Н. Голубев, В. Токарев, С. Шпаковский // Силовая электроника – 2005. – №. 3. – С. 30–33.

3. Андреев, П. Конструктивно - технологическое усовершенствование Trench-диодов Шоттки / П. Ан дреев, Н. Голубев, В. Котов, В. Куст, В. Токарев // Силовая Электроника – 2012. – № 2. – С. 14–16.

4. Advanced Power Rectier Concepts / B. J. Baliga // Springer Science+Business Media – LCC – 2009. – 432 p.

5. Физика полупроводниковых приборов: В 2-х книгах. Кн.1. Пер. с англ. – 2-е перерабю и доп.изд. / С. Зи. – М.: Мир, 1984. – С. 304-305.

6. Контакты металл-полупроводник с электрическим полем пятен / Р. К. Мамедов. – Баку, БГУ, 2003. – 231 c.

7. Дмитриев, С. Г. Аномальный эффект Шоттки на границе раздела полупроводник – диэлектрик / С. Г. Дмитриев, Ю. В. Маркин // Физика и техника полупроводников, – 1996. – т. 30. – вып. 6. – с. 1231–1235.

Котов Владимир Семёнович, аспирант кафедры микро– и наноэлектроники Белорусского государ ственного университета информатики и радиоэлектроники, kotau uladzimir@mail.ru.

Голубев Николай Фёдорович, ведущий конструктор филиала Транзистор ОАО ИНТЕГРАЛ, кандидат физико–математическх наук, nfg170648@gmail.com.

Борисенко Виктор Евгеньевич, заведующий кафедрой микро– и наноэлектроники Белорусского го сударственного университета информатики и радиоэлектроники, физико–математическх наук, профессор, borisenko@bsuir.by.

Токарев Владимир Васильевич, главный специалист ВЭД ОАО Интеграл, кандидат физико– математическх наук, vvtokarev55@gmail.com.

УДК 519. Е. А. ЛЕВЧУК, Е. С. ЧЕБ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С помощью метода конечных элементов произведено моделирование распределения элек тростатического потенциала дискообразного затвора в многослойной среде. Проведено обоснование применимости метода конечных элементов для рассматриваемой задачи, а также анализ факторов, влияющих на его погрешность.

Введение В настоящее время является актуальной задача управления волновыми функциями и энерге тическим спектром электрона в поле водородоподобного центра, расположенного вблизи границы раздела двух сред. Данная задача представляет интерес для решения ряда физических проблем.

Особый интерес к ней появился в связи с предложением реализации квантового компьютера на основе доноров фосфора в кремнии, находящихся вблизи границы полупроводник-окисел ([1]).

Определение волновой функции и энергии электрона приводит к задаче для стационарного уравнения Шредингера, коэффициенты которого содержат распределение электростатического потенциала в рассматриваемой многослойной среде. Таким образом, приходим к задаче сопряже ния для уравнения Лапласа. Эта задача не имеет простого аналитического решения, поэтому для определения электростатического потенциала будем использовать метод конечных элементов.

Постановка задачи Рассмотрим следующую задачу: пусть область z 0 заполнена полупроводником с диэлек трической проницаемостью 1, в плоскости z = 0 находится тонкий диск диаметра d, заряженный до потенциала 0. При этом считается, что между полупроводником и диском находится про слойка диэлектрика толщиной tox с диэлектрической проницаемостью 2. Центр диска находится в точке с координтами (0, 0, tox ). В точке с координатами (0, 0, z0 ) расположен донор. Область z 0 заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 3. Необходимо найти энергию и волновую функцию электрона.

Уравнение Шредингера для отыскания волновой функции и энергии E электрона запи шется в виде ((,, z) – цилиндрические координаты):

(23) T + VD + VD + Vim + VG = E, 0, z 0.

Гамильтониан H состоит из следующих слагаемых: T = 2 – оператор кинетической энер гии, VD, VD, Vim – операторы потенциальной энергии взаимодействия электрона и донора, элек трона и изображения донора, электрона и его собственного изображения соответственно, VG – оператор потенциальной энергии электрона в поле, созданном затвором.

Оператор потенциальной энергии взаимодействия электрона и донора имеет вид:

VD =.

(z z0 )2 + Величины VD и Vim представляют собой потенциальную энергию электрона в поле, создан ном зарядами на поверхности раздела сред, которые появляются вследствие влияния донора и электрона соответственно. Вклад потенциала изображения значительно уменьшается с ростом расстояния от донора или электрона до границы раздела, поэтому во многих случаях им можно пренебречь.

Уравнение (23) нужно дополнить граничными условиями. Так как электрон не может про никнуть в область z 0, то на поверхности полупроводника необходимо выполнение граничного условия:

|z=0 = 0, 0.

Для связанных состояний также должны выполняться условия:

0 при, z +, 0 при z, 0 +.

Для определения оператора VG в уравнении (23), необходимо вычислить потенциал поля u(, z), созданного затвором, который удовлетворяет уравнению Лапласа. Введем следующие обо значения: u1, 0 z +, tox z 0, u = u2, u3, z tox.

Тогда задача для уравнения Лапласа будет иметь вид:

2 u 1 u + = 0, 0 +, 0 z +, z 2 u 1 u (24) = 0, 0 +, tox z 0, + z 2 u 1 u = 0, 0 +, z tox.

+ z На бесконечности потенциал полагается равным нулю:

u 0 при z, 0 +, (25) u 0 при +, z +.

На участке границы, примыкающей к затвору, потенциал равен 0 :

d (26) u2 |z=tox = u3 |z=tox = 0, 0.

Решение u обладает осевой симметрией и при этом должно быть гладким на оси = 0. Эти требования обеспечиваются следующим условием:

u (27) z +.

= 0, = На границе раздела сред функция u должна быть непрерывна, а также должны выполняться следующие условия сопряжения:

u1 u 1 = 2, 0 +, z z=0 z z= (28) u2 u3 d 2 = 3, +.

z z=tox z z=tox Метод конечных элементов Задача (24)–(28) решается с помощью метода конечных элементов. Для этого неограничен ная область, в которой задана задача (24) – (28), заменяется конечной областью (0, L )(Lz, Lz ), на границе которой искомая функция полагается равной нулю. Обозначим через = (0, L ) (Lz, Lz ), – объединение границы области и отрезка z = tox, 0 d/2.

Метод конечных элементов использует обобщенную формулировку задачи (24)–(28). Обозна чим через L множество функций, обращающихся в 0 на, через CI () – множество функций, непрерывных на и кусочно неперывно дифференцируемых на, W = CI () L и V – по полнение W по норме · 1 пространства Соболева H 1 (). Пусть функция : R такова, что на границе удовлетворяет граничных условиям первого рода, накадываемым на решение задачи. Обозначим через V = {x + | x V }. Тогда обобщенная задача будет формулироваться следующим образом: найти u V, такое что a(u, v) = (v) v V.

Билинейная форма a(u, v) задается выражением:

Lz L L u1 v u1 v u2 v u2 v a(u, v) = 1 + ddz + 2 + ddz+ z z z z tox 0 tox L u3 v u3 v +3 + ddz.

z z Lz Существование и единственность решения рассматриваемой обобщенной задачи обеспечива ется неравенством:

u 2 a(u, u) max{i } u 2.

min{i } 1 + L i i Пусть U – последовательность пространств типа конечных элементов, h – диаметр раз биения – максимальный диаметр элементов разбиения, относящихся к U, u – приближенное решение, построенное на пространстве U. Полагаем lim h = 0. Тогда lim u u 1 = 0.

Если область можно разбить на непересекающиеся подобласти, на каждой из которых функции u и дважды непрерывно дифференцируемы, то справедлива оценка:

b b (mes())1/2 24 (rq + 1)h u u /u /2 + 1 + //2, c c где полунорма / · /j определяется выражением:

/f /j = max sup |Ds f (x)| |s|=j x и для линейных конечных элементов и рассматриваемой билинейной формы:

b = max{i }, c = min{i }, r = q = 1.

1 + L i i На точность вычисления влияет также величина Lz и L. Понятно, что чем больше эти значения, тем точнее полученное решение, однако с увеличением размера области при фикси рованном количестве элементов растет и диаметр разбиения. Таким образом, для достижения приемлемой точности приходится увеличивать количество элементов, что увеличивает затраты на вычисление.

Результаты численного эксперимента В качестве примера продемонстрируем результат применения метода конечных элементов к задаче (24) – (28) при нулевой толщине оксида, так как в этом случае известно точное решение:

20 d 2 (29) u= arctg.

2 d2 d 2 + z 2 2 + z 2 + z 2 d + 4 Потенциал затвора в сечении по оси = 0 приведен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Потенциал, созданный затвором, при нулевой толщине окисла на оси симметрии, 0 = 20, d = 4. Сплошная линия обозначает потенциал, вычисленный с помощью формулы (29), пунктирная линия – с помощью метода конечных элементов c Lz = L = На рисунке 1 видно, что основной вклад в погрешность метода конечных элементов несет не величина диаметра разбиения, а размеры области, которой заменяется пространство, в котором задана исходная задача: с увеличением z значительно возрастает погрешность.

Список литературы 1. Kane, B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer / B.E. Kane // Nature (London). – 1998. – Vol. 393. – P. 133.

2. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. // М.: Издательство Мир, 1976. – 94 с.

3. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. // М.: Издательство Мир, 1977. – 349 с.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.