авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |

«УДК 004 ББК 32.81 М34 Рекомендовано Редакционно-издательским советом ГрГУ им. Я. Купалы. Ред а к ц и он н а я ...»

-- [ Страница 7 ] --

В связи с этим представляют интерес методы обработки персональных данных, которые основаны на предварительном представлении данных в такой форме, когда их нельзя причис лить к персональным данным. Такое представление называется обезличиванием. Обезличенные данные нельзя связать с конкретным субъектом, следовательно, они не являются персональны ми, в смысле, предусмотренном законодательством. Следовательно, для обработки обезличенных данных не требуется создания сложных и дорогостоящих систем безопасности.

Обезличивание персональных данных Как правило обезличивание персональных данных проводится путем устранения связей меж ду идентификационными данными субъекта (первичные персональные данные) и его вторичны ми персональными данными. Устранение связей возможно провести различными методами, среди которых можно выделить разделение первичных и вторичных данных и их хранение в различных хранилищах с сокрытием связей между ними, перемешивание данных по определенному правилу [2, 6].

При разработке процедур обезличивания необходимо обеспечить выполнение следующих тре бований:

- возможность деобезличивания обезличенных данных;

- минимальное количество вспомогательных данных для проведения процедур обезличива ния и деобезличивания;

- возможность обработки персональных данных в обезличенном виде;

- достаточная защищенность от атак по обезличиванию;

- сохранение свойств персональных данных при обезличивании;

- возможность встраивания процедур обезличивания/деобезлтичивания в информационные системы обработки персональных данных.

В качестве примера процедуры обезличивания можно привести процедуру перемешивания данных с применением циклических обобщенных перестановок [7].

Одной из важных задач, возникающих при обработке обезличенных данных, является встра ивание процедуры обезличивания/деобезличивания в существующие системы обработки персо нальных данных. При этом желательно обеспечить выполнение следующих требований:

- процедура работает как приложение для формирования обращений к базе обезличенных данных;

- приложение, реализующее процедуру прозрачно для пользователей;

- приложение запускается при обработке запросов к персональным данным и формировании ответов на запросы;

- приложение формирует адреса обращений к базе данных и передает их приложениям осу ществляющим работу с базой данных.

Выполнение сформулированных требований позволяет обеспечить обработку обезличенных данных при минимальных затратах на модернизацию существующих систем обработки персо нальных данных, сохранить пользовательские интерфейсы.

Выводы Проведенные исследования позволили разработать и обосновать метод обезличивания персональных данных, сохраняющий семантику данных, позволяющий проводить поиск без предварительного деобезличивания. Также разработаны рекомендации по реализации метода и его интеграции в существующие системы обработки персональных данных.

Список литературы 1. Convention for the Protection of Individuals with regard to Automatic Processing of Personal Data. – Strasbourg, 28.I.1981.

2. McCallister, E. Guide to Protecting the Condentiality of Personally Identiable Information (PII) / E. McCallister, T. Grance, K. Scarfone // Recomendations of the National Institute of Standarda and Technology (NIST) U.S. – 2010.

3. О персональных данных: Федеральный закон Российской Федерации от 27 июля metricconverterProductID2006 г2006 г. № 152-ФЗ: с изменениями от 28 марта 2008 г.

4. О персональных данных: Федеральный закон Российской Федерации от 27 июля metricconverterProductID2006 г2006 г. № 152-ФЗ: с изменениями от 28 марта 2008 г.

5. О внесении изменений в Федеральный закон О персональных данных Федеральный закон Россий ской Федерации от 25 июля 2011 г. № 261-ФЗ.

6. Об информации, информатизации и защите информации: Закон Республики Беларусь от 10 ноября 2008 г. № 455-З.

7. Саксонов, Е. А. Анализ проблемы обезличивания персональных данных / Е. А. Саксонов, Р. В. Шере дин// Математическое и программное обеспечение вычислительных систем: Межвузовский сборник научных трудов/ РГРТУ. – Рязань, 2011. – С. 118 – 126.

8. Саксонов, Е. А. Процедура обезличивания персональных данных / Е. А. Саксонов, Р. В. Шередин // Наука и образование: электронное научно-техническое издание.– 2011. – № 3. – Эл № ФС 77 - 30569.

Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0408.

Саксонов Евгений Александрович, профессор кафедры Вычислительные системы и сети, Мос ковского института электроники и математики Национального исследовательского университета Высшая школа экономики (МИЭМ НИУ ВШЭ), доктор технических наук, профессор saksmiem@mail.ru.

Шередин Роман Валериевич, заместитель руководителя Роскомнадзора, кандидат технических наук, saksmiem@mail.ru.

УДК 004.415. В. С. СЛАПИК РАЗРАБОТКА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ О МЕЖПРОЕКТНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ РАБОТНИКА НА IT-ПРЕДПРИЯТИИ В работе рассматриваются вопросы построения системы поддержки принятия решений.

Приводятся отличительные особенности СППР и классификация СППР. Осуществлена содержательная постановка задачи о межпроектном перемещении работника. Построена математическая модель задачи: составлены критриальные функции верхней иерархии целей. Разработан макет базового интерфейса приложения.

Введение Сегодня темпы развития экономики намного опережают темпы развития теории управле ния. Основная причина быстрого развития экономики заключается во вступлении мирового со общества в информационное пространство. Внедрение информационных технологий в процесс производства и управления изменяет традиционные взгляды на иерархические организационно экономические структуры. Проблема управления проектами, с которой сталкиваются все пред приятия, весьма серьезна. Это обусловлено тем, что качеству управления уделяется недоста точное внимание. С одной стороны, иногда по-настоящему не просчитывается эффективность проекта, с другой стороны, очень часто управление проектами не осуществляется на должном уровне [1].

На успех проекта влияют две группы факторов. Внешние факторы (плохо управляемые) наличие финансирования, налоги, законодательство, объем рынка. Внутренние (хорошо управ ляемые) - способ представления, степень доведенности проекта, организация работ. Методология управления проектами позволяет превратить процедуру создания продукта в хорошо органи зованный и управляемый процесс. Освоение методов управления проектами дает возможность менеджеру к любому проекту подходить с единых позиций [2].

Как известно, риски в финансовой сфере в значительной степени зависят от внешних фак торов (например, рыночные риски, возникающие из-за изменений законодательства, валютного курса и пр.). В реальных инвестициях можно влиять на целый ряд факторов: сущность техно логии, производитель продукта, структура предприятия и методы управления производством, квалификация менеджмента [3].

Таким образом, квалификация менеджера, руководителя проекта становится важнейшим фактором минимизации рисков в тех случаях, когда речь идет о сложной многоплановой за даче, каковой является процесс коммерциализации разработки. В этой ситуации от менеджера требуется виртуозное владение всем набором инструментов управления [4].

Очевидно, что труд менеджера очень сложный и трудоемкий, не всегда по силам менеджеру справляться со всеми возложенными на него функциями на 100%. Для облегчения труда менеджера существует множество различных инструментов, один из них - системы поддержки принятия решений (СППР). Они выполняют ту или иную функцию, возложенную на менеджера в полном объеме или же частично (выполняя самую трудоемкую работу). На выходе такая система дает в удобной для восприятия форме решение, которым менеджер может руководство ваться в сложных ситуациях или же разрешить принять решение СППР без изменений.

По взаимодействию с пользователем выделяют три вида СППР:

- пассивные помогают в процессе принятия решений, но не могут выдвинуть конкретного предложения;

- активные непосредственно участвуют в разработке правильного решения;

- кооперативные предполагают взаимодействие СППР с пользователем. Выдвинутое системой предложение пользователь может доработать, усовершенствовать, а затем отправить обратно в систему для проверки. После этого предложение вновь представляется пользователю, и так до тех пор, пока он не одобрит решение;

По способу поддержки различают:

- модельно-ориентированные СППР, используют в работе доступ к статистическим, финансо вым или иным моделям;

- СППР, основанные на коммуникациях, поддерживают работу двух и более пользователей, занимающихся общей задачей;

- СППР, ориентированные на данные, имеют доступ к временным рядам организации. Они используют в работе не только внутренние, но и внешние данные;

- СППР, ориентированные на документы, манипулируют неструктурированной информацией, заключенной в различных электронных форматах;

- СППР, ориентированные на знания, предоставляют специализированные решения проблем, основанные на фактах;

По сфере использования выделяют общесистемные и настольные СППР. Общесистемные ра ботают с большими СХД и применяются многими пользователями. Настольные являются неболь шими системами и подходят для управления с персонального компьютера одного пользователя [4].

Для облегчения работы по определению состава команды проекта, а также перемещения разработчиков между проектами, было принято решение разработать СППР. Ключевыми осо бенностями разрабатываемой СППР являются: автоматическое определение состава команды на проекте, возможность корректировки решения СППР пользователем, использование существу ющих хранилищ данных о работниках, использование математической модели для построения решения.

Задачей данного исследования является построение модели СППР для выработки реко мендаций о рациональном распределении работников по проектам. Объектом исследования выступает система поддержки принятия решений по управлению проектами. Целью является модель программной системы СППР.

Содержательная постановка задачи Дано: n работников предприятия и n проектов, каждый из которых характеризуется сово купностью оценок по N критериям, каждый работник способен выполнять определенное количе ство работы в единицу времени.

Требуется: на основе предпочтений ЛПР сформировать область допустимых решений и найти в этой области эффективное решение с максимально возможным числом наилучших, с точки зрения ЛПР, назначений.

Работа считается неоднородной, ее количество измеряется в часах. Каждый проект имеет сроки выполнения, которые так же учитываются при подборе работников. Предпочтения ЛПР выражаются в виде экспертных оценок и весовых коэффициентов в моделях СППР. Форми рование предпочтений может зависеть от субъективной оценки, личных ощущений, отзывов и оценок самих работников. Под решением, в данной СППР, подразумевается назначение или совокупность назначений работников на конкретные позиции в проекте.

Математическая модель Исходя из содержательной постановки задачи, была сформирована математическая модель СППР. В качестве целей назначений выступают:

Высокая эффективность выполнения проекта Максимально короткое время выполнения проекта Минимальная стоимость работ Исходя из этих целей, критриальные функции верхней иерархии целей можно представить в виде:

q n Vij + QU ALIT Y ij Vij + M OT IV AT ION ij Vij ) Xij max, где s m ij (SEN IORIT Y ij SENIORITY – комплексный показатель, который включает в себя такие показатели как: опыт, знания, навыки;

QUALITY – качество выполняемых работ;

MOTIVATION – мотивация работника к выполнению задач в определенной области;

V – весовой коэффициент;

Xij – переменная которая принимает значение 1 если i-й работник работает на j-й позиции, если условие не выполняется, то = 0;

n t c tc in ij (T IM E ij Vij +COM P LEXIT Y ij Vij +T ECH ij Vij +IN DU ST RY ij Vij )Xij max, где TIME – временные рамки выполнения проекта;

COMPLEXITY – сложность выполнения проекта;

TECH – технологичность проекта, какие технологии применяются для реализации проекта;

INDUSTRY – принадлежность проекта к определенной индустрии;

n s m in ij (SEN IORIT Y ij Vij + M OT IV AT ION ij Vij + IN DU ST RY ij Vij ) Xij max Верхнее подчеркивание находящееся над показателем (SEN IORIT Y ij ) говорит о том, что его значение нормировано. Все показатели нормированные и неотрицательные, 0=X=1,Xij – целые.

Макет базового интерфейса приложения Для программной системы была разработана структура пользовательского интерфейса web приложения. Ниже представлены макеты двух основных страниц приложения.

Рисунок 1 – Главная страница На главной странице (рис. 1) пользователь может просматривать все проекты, создавать новые, видеть состояние текущих проектов, получить общую информацию о проекте. Перейдя по ссылке More, пользователь попадает на страницу сгенерированного СППР решения с детальной информацией по проекту.

Рисунок 2 – Страница редактирования решения На странице редактирования решения (рис. 2) пользователь имеет возможность скорректи ровать решение СППР, увидеть каждое назначение, а также получить детальную информацию о требовании (позиции), для которой произведено назначение.

Заключение Информационные технологии начали претендовать на новую роль в организации: компании открыли для себя, что информационные системы являются стратегическим оружием. Исполь зование СППР в задачах по распределению или перераспределению работников по проектам позволит значительно снизить нагрузку на менеджера и позволит значительно ускорить процесс принятия решения.

Список литературы 1. Кошевой, О.С. Разработка управленческих решений: учебное пособие / О.С. Кошевой – Пенза: Изд-во ПГУ, 2005. – 64 с.

2. Варфоломеев, В.И. Принятие управленческих решений / В.И. Варфоломеев, С.Н. Воробьев. –М. :

Кудиц-образ, 2001. – 288 с.

3. Терелянский, П.В. Системы поддержки принятия решений. Опыт проектирования: монография / П.В.

Терелянский – Волгоград :ВолгГТУ, 2009. – 127 с.

4. Ларичев, О. И. Системы поддержки принятия решений. Современное состояние и перспективы их развития / О. И. Ларичев, А. В. Петровский // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика.

– Т.21. М.: ВИНИТИ, 1987, С. 131 –164.

Слапик Виктор Станиславович, магистрант кафедры математического и информационного обес печения экономических систем Гродненского государственного университета имени Янки Купалы, viktor_slapik@mail.ru.

УДК 621.396. А. С. СОЛОНАР, П. А. ХМАРСКИЙ ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ УСЛОВИЙ НАБЛЮДЕНИЯ НА ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА МОДИФИКАЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ КАЛМАНА ПРИ КОСВЕННОМ ИЗМЕРЕНИИ Представлены результаты исследований по оценке влияния условий наблюдения на пока затели качества различных модификаций дискретных фильтров Калмана при косвенных измерениях на примере наблюдения первичных измерений двухкоординатной радиолокаци онной станции кругового обзора.

Введение При проведении радиолокационных наблюдений движущихся объектов, могут наблю даются нелинейные изменения вектора состояния во времени. Нелинейным, также является переход от вектора состояния к вектору наблюдаемых параметров (или наоборот) линейный.

В этом случае использование уравнений дискретного линейного фильтра Калмана напря мую не возможен. Наиболее распространенное решение данной задачи – это использование модификаций дискретных фильтров Калмана при косвенных измерениях вектора состояния (ФК) [1, 5, 7, 8, 14]. В основе модифицированных дискретных ФК лежит метод линеаризации, заменяющий нелинейные функции экстраполяции и пересчета на линейные в некоторой дельта окрестности либо разовой оценки, либо экстраполированного значения вектора состояния.

Для этого нелинейные функции раскладываются в ряд Тейлора, из которого используется только первый член [10, 11, 12, 13, 15, ]. Однако для некоторых условий наблюдения метод линеаризации не подходит, т.к. могут возникнуть значительные ошибки аппроксимации. Таким образом, важной задачей является выявление условий наблюдения, которые будут оказывать существенное влияние на результаты преобразования методом линеаризации и в свою очередь на результаты работы модификаций ФК, синтезированных на основе метода линеаризации [14].

Постановка задачи Начальные условия. Будем считать, что в вектор наблюдаемых параметров входят разо вые оценки радиальной дальности r и азимута от двухкоординатной радиолокационной станции (РЛС) кругового обзора. Ошибки наблюдения некоррелированные и характеризуются корреля ционной матрицей (КМ) ошибок измерения [10, 16, 17]:

r R = (1) где r, – СКО гауссовских ошибок наблюдения радиальной дальности и азимута.

Интервал обновления данных равен T. Наблюдается аэродинамический летательный аппарат (ЛА), который летит с постоянной скоростью. В вектор состояния входят разовые оценки прямоугольных координат x (направление на север), z (на восток) и скоростей их изменения.

Рассматриваемые модификации ФК [14]: ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат, ФК при наблюдении коррелированных прямоугольных координат;

ФК при наблюдении независимых прямоугольных координат.

Цели исследований: рассмотрение идеи метода линеаризации;

оценка точности аппроксима ции гауссовской плотности вероятности при переходе из прямоугольных координат в полярные координаты;

оценка точности аппроксимации гауссовской плотности вероятности при переходе из полярных координат в прямоугольные координаты;

сопоставительный анализ результатов филь трации модификаций ФК.

Задачи: 1) представить методику анализа влияния условий наблюдения на показатели каче ства различных модификаций ФК;

2) методом математического моделирования оценить точность аппроксимации гауссовской плотности вероятности при переходе из прямоугольных координат в полярные координаты;

3) методом математического моделирования оценить точность аппрокси мации гауссовской плотности вероятности при переходе из прямоугольных координат в полярные координаты;

4) провести сопоставительный анализ результатов фильтрации модификаций ФК.

Структурно статья разбита на две части, в первой рассматриваются ошибки аппроксимации ра зовых оценок методом линеаризации, во второй части оценивается степень влияния этих ошибок на результаты фильтрации в ФК при различных условиях наблюдения.

1. Ошибки аппроксимации разовых оценок методом линеаризации 1.1. Метод линеаризации Задача преобразования информации между полярными и прямоугольными координатами (и наоборот) – это специфический случай общей задачи использования нелинейной проекции случайных переменных [18-34]. Предположим, что - случайный вектор с математическим ожи данием (МО) и корреляционной матрицей (КМ) R. Второй случайный вектор связан с через нелинейную функцию-преобразование:

= h() (2) Требуется вычислить МО и КМ R Статистика вычисляется через – детерминированную плотность вероятности (ПВ) преобразованного распределения и оценкой статистики через это распределение. Для некоторых случаев (например когда h(·) является линейной) существует точное решение. Однако в большинстве случаев должен использоваться метод аппроксимации.

Преобразованная статистика является состоятельной, если выполняется неравенство [12, 28-30, 33]:

R E[( )( )T ] 0 (3) Данное неравенство крайне важно для достоверности метода преобразования [10, 28]. Если ста тистика не состоятельна, то значение R недооценено. Использование в ФК несостоятельной статистики приводит к неправильной оценке ковариации R, что в конченом итоге может при вести к расходимости результатов фильтрации. Использование состоятельного преобразования гарантирует, что фильтр тоже будет состоятельным [1]. Однако состоятельность не подразуме вает достоверность, так как R может быть значительно больше чем реальное значение ошибок оценивания. Чтобы преобразование было эффективным необходимо, чтобы значение левой сто роны было выражения (4) было минимизировано. И наконец, необходимо, чтобы оценка была несмещенной или E(). Задача разработки процедуры состоятельного, эффективного и несме щенного преобразования может быть проверена через рассмотрение разложения в ряд Тейлора уравнения (3) около значения [12]:

1 h 2 2 + h 3 3 +...

h() = h( + ) = h() + h + (4) 2 2!

где - дифференциал, который в данном случае может быть заменен случайной переменной, распределенной по нормальному закону распределения с нулевым МО, h – матрица частных производных Якоби, n h n n – соответствующий n-ый член многомерного ряда Тейлора. Можно показать, что значение преобразованного МО и КМ будут равны [12]:

1 2 h4 E(4 ) +...

= h() + hR + (5) 2 4!

1 hR ( h)T + h(E(4 ) E(2 R ) E(R 2 ))( h)T + R = h +... (6) 2 4! Иными словами, член n-го порядка в ряду для - функция от n-го момента умноженная на производную n-го порядка от h(·) оцененной в =. Если моменты и производные могут быть вычислены точно до n-го порядка, то и значение МО будет корректно до n-го порядка. Точно такие же выводы справедливы и для ковариации, хотя структура каждого члена здесь будет значительно сложнее. Каждый член нормируется членом нормировки, уменьшающимся в гео метрической прогрессии и таким образом, в общем, снижается влияние более высоких порядков.

Процедура точного вычисления наиболее важных членов будет состоятельной, эффективной и несмещенной [12, 18-21].

Аналитический метод вычисляет производные высших порядков от h(·), а также моменты распределения от. При использовании метода линеаризации для аппроксимации МО предпола гается, что влиянием второго и более высоких порядков можно пренебречь;

для аппроксимации КМ предполагается, что все нечетные члены ряда Тейлора будут равны, а влиянием 4-го и более высоких порядков можно пренебречь. Тогда из выражений (6) и (7) получим [12]:

= h(). (7) hR ( h)T R = (8) 1.2. Показатели качества при оценке точности аппроксимации гауссовской плотности вероятности В качестве выбранных показателей качества рассматривались: суммарная ошибка пересчета МО;

ошибки пересчета МО методом линеаризации;

ошибки пересчета элементов КМ экстраполя ции методом линеаризации;

состоятельность преобразования (характеризует сходимость оценки к истинному значению [5]). Взаимосвязь между координатами осуществлялась при помощи нели нейной вектор-функции h(·), которая при преобразовании из прямоугольной системы координат в полярную равнялась [16]:

x x2 + z V = h() = h x = (9) arctan (z/x) + (/2)[2 sgn(x) sgn(x)sgn(z)] z Vz Аналогичное выражение для нелинейной вектор-функции при преобразовании из полярной си стемы координат в прямоугольную (принято, что наблюдаются прямоугольные координаты) [16]:

r r cos() = h() = h =. (10) r sin() 1.3. Устройство сопоставительного моделирования При проведении исследований оценка точности аппроксимации гауссовской ПВ осуществ лялся методом математического моделирования на ЭВМ. Для этого был разработан комплекс моделирования и экспериментальных исследований, позволяющий: устанавливать начальные зна чения;

оценивать выбранные показатели качества для различных условий наблюдений;

усреднять значения показателей качества;

отображать результаты преобразований;

сохранять в файл ре зультаты проведенных модельных экспериментов;

анализировать показатели качества по запи санным смоделированным данным. В составе программного комплекса можно выделить следу ющие логические блоки (рис.1): 1) Устройство установки начальных значений, с его помощью определяются параметр, относительно которых будут вычисляться выбранные показатели каче ства. 2) Устройство оценки параметров плотности вероятности, осуществляющее преобразование сформированной исходной ПВ, и представляющее собой набор различных методов преобразо вания ПВ: классический метод линеаризации, метод Монте-Карло, метод ансцентного преобра зования, метод аппроксимации высших порядков. 3) Устройство анализа показателей качества.

Позволяет оценить точность аппроксимации гауссовской ПВ.

Рисунок 1 – Обобщенная структурная схема программного комплекса При помощи интерфейса пользователь может выбрать требуемые начальные значения, а также используемые для сравнения методы преобразования ПВ. Сравнение производится по вычислен ным показателям качества, значения которых усредняются по выбранному числу реализаций для каждого метода преобразования. При графическом изображении зависимостей показателей качества использовались встроенные функции сглаживания математического аппарата Matchad 14.

1.4. Оценка точности аппроксимации гауссовской плотности вероятности при перехо де из прямоугольных координат в полярные координаты Неискаженная оценка МО и КМ преобразованной ПВ производится методом Монте-Карло [2], для чего генерируется 40000 случайных отсчетов в прямоугольной системе координат, рас пределенных по гауссовскому закону с заданными МО и КМ. После генерации осуществляется нелинейное преобразование (1) над каждым отсчетом. По получившейся выборке случайных от счетов в полярной системе координат оцениваются параметры преобразованной ПВ. Данный подход демонстрируется на рисунке 1 а), где наблюдается явное искажение исходной ПВ при переходе в полярную систему координат. Одновременно с методом Монте-Карло параметры пре образованной ПВ оценивались через метод линеаризации. Для данного метода МО в полярной системе координат определяется прямым преобразованием МО в прямоугольной системе коорди нат через выражение (1). Связь между КМ в прямоугольной системе координат и КМ в полярной системе координат определяется соотношением согласно (9):

z0 x x2 +z 2 2 x0 +z T i i R = HR H ;

H = [h ()/ ] = ;

z x (x2 +z0 ) 2 (x2 +z0 ) 0 i - номер строки вектор-функции h(·), i = (0,..., n ), n - размерность ;

j - номер элемента вектор состояния, j = (0,..., n ), n - размерность ;

x0, z0 - – координаты МО в прямоугольной системе координат. На рисунке 1,б) продемонстрирована работа метода линеаризации. На нем заметно явное отклонение оценки МО и значительное искажение эллипса ошибок экстраполяции (который описывается соответствующей КМ) от истинного значения.

Рисунок 2 – Преобразование плотности вероятности при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат: а) методом Монте-Карло;

б) методом линеаризации.

Выражения для определения показателей качества Суммарная ошибка пересчета МО:

(rm cos(m ) x0 )2 + (rm sin(m ) z0 )2.

= где m, rm - координаты МО в полярной СК, полученные методом Монте-Карло. Ошибки пере счета МО по радиальной дальности и азимуту методом линеаризации:

rl = |rm r0 |, l = |m 0 | где 0, r0 – координаты МО в полярной СК, полученные методом линеаризации. Ошибки пере счета элементов КМ экстраполяции методом линеаризации:

Rl = |Rr m Rrl |, R = |RM Rl |, Rr = |Rr m Rr l | где Rr m, RM, Rr M – элементы КМ, полученной методом Монте-Карло, в полярной СК по радиальной дальности, азимуту и взаимной корреляции радиальной дальности и азимута;

Rrl, Rl, Rr l – элементы КМ, полученной методом линеаризации, в полярной СК по радиальной дальности, азимуту и взаимной корреляции радиальной дальности и азимута;

Состоятельность преобразования [1]:

= tr((m0 mm )(m0 mm )T + R0 )R1.

m где m0 – МО в полярной СК, полученное методом линеаризации;

mm – МО в полярной СК, по лученное методом Монте-Карло;

R0 – КМ в полярной СК, полученная методом линеаризации;

Rm – КМ в полярной СК, полученная методом Монте-Карло. Все значения ошибок аппроксимации усреднялись по 100 реализациям. По условиям проведения модельные эксперименты можно раз бить на 5 группы по исследования влияния изменений: 1) коэффициента взаимной корреляция прямоугольных координат rxz (r=100 км, = 90o, rx z = 0/99 0.99, r = 2540, = 0o );

2) изменения азимута (r=100 км, = 0o 360o, rx z = 0.96, 0.4, r = 2540, = 0o );

3) изменения радиальной дальности (r = 4 200, = 90o, rx z = 0.96, r = 2540, = 0o );

4) изменения угла курса ЛА;

5) эквивалентного углового размера эллипса ошибок экстраполяции в мин.

Результаты проведенных исследований позволили сделать следующие выводы о влиянии условий наблюдения на результаты аппроксимации гауссовской плотности вероятности при переходе из прямоугольной системы координат в полярную систему координат: наиболее сильное влияние на изменение ошибок аппроксимации и состоятельность оценки оказывают: эквивалентный угловой размер эллипса ошибок экстраполяции, радиальная дальность до ЛА, курс ЛА. Эквивалентный линейный размер эллипса ошибок экстраполяции и нормированный коэффициент взаимной корреляции прямоугольных координат оказывают несущественное влияние на ошибки аппрок симации методом линеаризации.

2. Влияние ошибок аппроксимации ПВ наблюдения на качество фильтрации для различных условий наблюдения Методика исследования влияния условий наблюдения на показатели качества фильтрации модификаций дискретных ФК включала в себя следующие этапы: определение показателей качества;

разработка комплекса математического моделирования для анализа выбранных показателей качества;

определение условий моделирования;

математическое моделирование и сопоставительный анализ.

2.1. Выбор показателей качества В качестве основного показателя качества фильтрации модификаций дискретных ФК было выбрано СКО суммарной ошибки измерения местоположения (k), которое на каждом обзоре вычислялось [1, 3-10]:

Nexp ([xT j (k) xj (k)]2 + [zT j (k) zj (k)]2 ).

(k) = Nexp j= где – количество проведенных опытов;

k – номер шага наблюдения;

– истинные (требуемые) значения фазовых координат;

– фактические (фильтрованные) значения фазовых координат.

Значение нормировалось к СКО текущих оценок. В ходе моделирования каждого модельного эксперимента результаты усреднялись по 5000 опытных реализаций.

2.2. Устройство сопоставительного моделирования и условия моделирования Для подтверждения результатов проведенных исследований по влияния условий наблюдения на показатели качества было проведено сопоставление результатов работы различных модифика ций ФК [14]. Сопоставление осуществлялось методом математического моделирования. Для со поставительного моделирования ошибок измерений модификаций ФК был разработан комплекс математического моделирования (рис. 3). Данный комплекс позволяет: сформировать входное воздействие в виде суммы задающего и возмущающего воздействия. Задающее воздействие пред ставлено детерминированной полиномиальной моделью 1-го порядка и моделью случайного уско рения в виде некоррелированного гауссовского шума с нулевым МО и СКО случайного маневра равным 0,001 м/с2. Возмущающее воздействие соответствовало ошибкам первичных измерений в двухкоординатной РЛС кругового обзора с периодом обзора 5 с. Вектор наблюдаемых параметров включал разовые оценки радиальной дальности и азимута ЛА. Скорость ЛА была постоянной и равнялась 720 км/ч.

Рисунок 3 – миня структурная схема программного комплекса для сопоставления показателей качества модификаций ФК Траектории при проведении модельных экспериментов изображены на рисунках 5 а-в. При иссле довании влияния изменения курса ЛА, СКО ошибок измерения азимута, траектории выбирались таким образом, чтобы на 40 шаге обновления данных ЛА пролетал на дальности 100 км от РЛС с азимутом 90o – такой выбор гарантирует завершение всех переходных процессов, происходящих в модификациях ФК.

Рисунок 4 – Условия проведения модельных экспериментов: а) влияние изменения угла курса;

б) влияние изменения СКО ошибки измерения азимута;

в) влияние изменения начальной радиальной дальности Рисунок 5 – Значение нормированной суммарной ошибки измерения местоположения от изменения угла курса - а) =40 мин, б) =60 мин, в) =70 мин.

Рисунок 6 – Значение нормированной суммарной ошибки измерения местоположения а) при изменении СКО ошибки измерения азимута;

б) при изменении радиальной дальности ( = мин);

в) при изменении радиальной дальности ( =40 мин);

г) при изменении радиальной дальности ( =70 мин).

2.3. Результаты математического моделирования Влияние изменения курса ЛА. Траектории ЛА изображены на рисунке 4, а. Скорость ЛА составляла 720 км/ч. На рисунке 5 представлены значения суммарной ошибки измерения местоположения, нормированной в суммарной ошибке разового оценивания, для различных значений СКО ошибки измерения азимута. Учет взаимной корреляции приводит к выигрышу до 12 процентов, что подтверждает проведенные исследования в работе [4]. Для меньшего значения СКО ошибки измерения азимуту, максимальное значение ошибки наблюдается для значений курса равных 90o и 270o. Это поясняется максимальным значением ошибки аппроксимации МО. C увеличением СКО ошибки измерения азимута, для модификации ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат наблюдается минимум значения суммарной ошибки измерения азимута для значений углов курса 60o, 120o, 240o, 300o, при этом данная модификация ФК начинает проигрывать в точности остальным модификация ФК. Это поясняется возрастанием влияния ошибки аппроксимации элемента КМ по радиальной дально сти. Влияние изменения СКО ошибок измерения азимута Траектория для проведения данного модельного эксперимента изображена на рисунке 5, б. Результаты моделирования представлены на рисунке 7, а. Как и в предыдущем модельном эксперименте условия проведения выбраны таким образом, чтобы ЛА пролетал на 40-ом шаге наблюдения радиальную дальность 100 км от РЛС и азимут 90о. Учет взаимной корреляции для таких условий наблюдения приводит к выигрышу до 15 процентов. При некотором значении СКО ошибки измерения азимута для ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат суммарная ошибка становится больше чем у двух других рассматриваемых ФК. Это связано с внесением нелинейных искажений вносимых ошибкой измерения азимута, которые более существенны для ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных. Влияние изменения начальной радиальной дальности до ЛА. Траектории для проведения данного модельного эксперимента изображена на рисунке 5, в. Результаты представлены на рисунках 7, б, в, г для различных значений СКО ошибки измерения азимута – 25 мин, 40 мин и 70 мин. Для меньших значений СКО (25 мин, 40 мин) ошибки измерения азимута ФК при наблюдений полярных координат и фильтрации прямоугольных координат и ФК при наблюдении коррелированных прямоугольных координат имеют примерно равные показатели качества. ФК при наблюдении независимых прямоугольных координат проигрывает лучшим показателям до 15 процентов. Для большого значения СКО ошибки измерения азимута (70 мин), а также с увеличением радиальной дальности до ЛА по причине вносимых нелинейных искажений ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных начинает проигрывать остальным модификациям ФК.

Заключение В ходе проведенных исследований представлена методика анализа влияния условий наблю дения на показатели качества различных модификаций ФК. Методика исследований включала в себя следующие этапы: определение показателей качества;

разработка комплекса математи ческого моделирования для анализа выбранных показателей качества;

определение условий моделирования;

математическое моделирование и сопоставительный анализ. Математическое моделирование было разбито на две составные части (для каждой был разработан свой комплекс математического моделирования и использовались свои показатели качества): оценка точности аппроксимации гауссовской ПВ;

сопоставление показателей качества различных модификаций ФК. Оценка точности аппроксимации гауссовской ПВ проводилась для основных случаев преобразования: при переходе из прямоугольных координат в полярные координаты;

при переходе из прямоугольных координат в полярные координаты. Наиболее сильное влияние на изменение ошибок аппроксимации и состоятельность оценки оказывают: эквивалентный угловой размер эллипса ошибок экстраполяции, радиальная дальность до ЛА, курс ЛА. Эквивалентный линейный размер эллипса ошибок экстраполяции и нормированный коэффициент взаимной корреляции прямоугольных координат оказывают несущественное влияние на ошибки аппрок симации методом линеаризации. Преобразование из полярной СК прямоугольную СК вносит меньшее искажение ПВ чем преобразование из прямоугольной СК в полярную СК. Наиболее сильное влияние на изменение ошибок аппроксимации и состоятельность оценки оказывают:

СКО ошибки измерения азимута, радиальная дальность до ЛА, азимут ЛА. СКО ошибки измерения радиальной дальности оказывает несущественное влияние на ошибки аппроксима ции методом линеаризации. Учет взаимной корреляции прямоугольных координат оказывает влияние только на ошибку аппроксимации элемента КМ ошибок по xz. Для подтверждения результатов проведенных исследований по влияния условий наблюдения на показатели качества было проведено сопоставление результатов работы различных модификаций ФК. Учет взаимной корреляции приводит к выигрышу до 12 процентов. Для меньшего значения СКО ошибки измерения азимуту, максимальное значение ошибки наблюдается для значений курса равных 90o и 270o. Это поясняется максимальным значением ошибки аппроксимации МО. C увеличением СКО ошибки измерения азимута, для модификации ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат наблюдается минимум значения суммарной ошибки из мерения азимута для значений углов курса 60o, 120o, 240o, 300o, при этом данная модификация ФК начинает проигрывать в точности остальным модификация ФК. Это поясняется возраста нием влияния ошибки аппроксимации элемента КМ по радиальной дальности. При некотором значении СКО ошибки измерения азимута для ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных координат суммарная ошибка становится больше чем у двух других рассматриваемых ФК. Это связано с внесением нелинейных искажений вносимых ошибкой измерения азимута, которые более существенны для ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных. Для меньших значений СКО (25 мин, 40 мин) ошибки измерения азимута ФК при наблюдений полярных координат и фильтрации прямоугольных координат и ФК при наблюдении коррелированных прямоугольных координат имеют примерно равные показатели качества. ФК при наблюдении независимых прямоугольных координат проигрывает лучшим показателям до 15 процентов. Для большого значения СКО ошибки измерения азимута (70 мин), а также с увеличением радиальной дальности до ЛА по причине вносимых нелинейных искажений ФК при наблюдении полярных координат и фильтрации прямоугольных начинает проигрывать остальным модификациям ФК.

Список литературы 1. Бар-Шалом Я., Ли Х.-Р. // Траекторная обработка. Принципы, способы и алгоритмы. М.: МГТУ им.

Н.Э. Баумана. 2011.

2. Горшков, С.А. Использование численного метода интегрирования Монте-Карло для аппроксимации плотности вероятности / Горшков С.А., Парахневич А.В., Солонар А.С. – Доклады БГУИР. – 2012. – № 1. – С 22-29.

3. Жданюк, Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений / Б.Ф. Жданюк. – Совет ское Радио. – 1978. – 384 с.

4. Информационные технологии в радиотехнических системах / Под редакцией И.Б. Федорова. – М.:

Изд-во МГТУ им. И.Э. Баумана, 2004. – С. 273-343.

5. Канашенков, А.И. Защита РЛС от помех. Состояние и тенденции развития / А.И. Канашенков, В.И.

Меркулов. – М.: Радиотехника. – 2003. – 415c.

6. Корон, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корон, Т. Корон. – М.: Наука. – 1984. – 521c.

7. Кузьмин, С.З. Цифровая радиолокация. Введение в теорию / С.З. Кузьмин. – Киев: Издательство КвiЦ. – 2000. – 428с.

8. Меркулов, В.И. Авиационные системы управления / В.И. Меркулов, А.И. Канащенков. – М., Радио и связь. – 1997. – 3 ч. – 320с.

9. Налимов, В.В. Логические основания проведения эксперимента. Издание 2, переработанное и допол ненное / В.В. Налимов. – М.: Наука. – 1971. –151с.

10. Охрименко, А.Е. Основы обработки и передачи информации/ А.Е. Охрименко. – Минск: МВИЗРУ ПВО. – 1990. – 179 с.

11. Просов, А.В. Анализ влияния линеаризации результатов радиолокационных измерений на точность оценок вектора состояния цели / А.В. Просов – Харьков Системы обработки информации. – 2008.

– №2(69). – С.95-97.

12. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника/ В.И. Тихонов. – М.: Радио и связь. – 1982. – 624c.

13. Фарина, А. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей: Пер. с англ / Фарина А., Студер Ф.. М.: Радио и связь. 1993.

14. Хмарский, П.А. Влияние выбора моделей входного воздействия на точность измерений вектора со стояния для фильтров Калмана / Хмарский П.А., Солонар А.С. – Доклады БГУИР. – 2012. – №7. – С 47-53.

15. Худсон, Д. Статистика для физиков. Лекции по теории вероятности и элементарной статистики / Д.

Худсон. Пер. с англ. – Москва, Мир. – 1970. – 296c.

16. Ширман Я.Д. Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник. Издание 2-е переработ. и доп. /. Под ред. Ширмана Я.Д. – М.: Радиотехника. – 2007.

17. Ширман, Я.Д.Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех / Я.Д.

Ширман, В.Н. Манжос. М.: Радио и связь. –1981.–416c.

18. Bar-Shaalom, Y. Estimation and Tracking: Principles, Techniques and Software / Y. Bar-Shaalom, Xivo Rong Li.. – YBS Publishing. – 1998.

19. Bar-Shalom, Y. Tracking with debiased consistent converted measurement versus EKF / Y. Bar-Shalom, D. Lerro. - IEEE Transaction on aerospace and electronic systems. – Vol.29. №3. – 1993. – P.1015-1022.

20. Bar-Shalom, Y. Unbiased Kalman Filter Using Converted Measurements: Revisit. / Bar-Shalom Y., Mei W. - Signal and Data Processing of Small Targets. – 2009. – Vol. 7445. – P.74450U-1 – 74450U-9.

21. Blackman, S. Design and analysis of modern tracking systems / Black-man S., Popoli R. – Boston, London:

Artech House, 1999. – 1232 p.

22. Chen, Zhe. Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond / Zhe Chen. – Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada. – 2004. – 69p.

23. Crassidis, J. L., Unscented ltering for spacecraft attitude estimation / J. L. Crassidis, F. L. Markley. – AIAA Journal on Guidance, Control and Dynamics. – 2003. – Vol. 7. – 37p.

24. Daum,F. E. Nonlinear Filters: Beyond the Kalman Filter. / F. E. Daum. – IEEE A&E Systems magazine.

– 2005. –Vol. 20, №. 8., Tutorial Daum. – P. 57-69.

25. Daum, F. E. Bayesian Analysis of Time Series and Dynamic Models. New exact nonlinear lters / F. E.

Daum, J. C. Spall. – New York: Marcel Dekker. – 1988. – Ch.8.

26. Duan, Z. Comments on Unbiased Converted Measurements for Tracking / Z. Duan, C. Han and X. R. Li.

– IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. – 2004. – Vol. 40, No. 4. – P. 1374-1377.

27. С. N. D’Souza, M. A. McClure and J. R. Cloutier. Second-Order Adaptive Spherical Target State Estimation.

In Proceedings of the 1995 American Control Conference, Seattle, Washington, pages 2153 2157, 1995.

28. Julier, S.J. A consistent, debiased method for converting between polar and Cartesian coordinate systems / S.J. Julier, J.K. Uhlmann. – Proc.AeroSense: 11th Int. Symp. Aerosp./Defense Sensing, Simulat. Contr.

– 1997. – 12p.

29. S. J. Julier and J. K. Uhlmann. A New Extension of the К aim an Filter to Nonlinear Systems. In The Proceedings of AeroSense: The 11th International Symposium on Aerospace/Defense Sensing, Simulation and Controls, Orlando, Florida, SPIE. 1997. Multi Sensor Fusion, Tracking and Resource Management II.

30. S. J. Julier, J. K. Uhlmann and H. F. Durrant-Whyte. A New Approach for the Nonlinear Transformation of Means and Covariances in Linear Filters. IEEE Transactions on Automatic Control, 1996.

31. Li Long, X. A survey of maneuvering target tracking – Part III: Measurement models / X. Long Li, Vesselin P. Jilkov. – Proceeding of SPIE Conference on Signal and Data Processing of small targets. – 2001. – 24p.

32. Schlosser, M.S. Limits in tracking with Extended Kalman Filters / M.S. Shlosser, K. Kroshel. – IEEE Transaction on aerospace and electronic systems. – Vol.40, №4. – 2004. P.1351 – 1359.

33. Spitzmiller, J. N. Tracking with Estimate-Conditioned Debiased 2-D converted Measurments / J. N.

Spitzmiller, R.R. Adhami. - Intelligent Information Management. – 2010. – Vol. № 2. – P. 286 - 294.

34. Tian, X. Coordinate conversion and tracking for very long range radars / X. Tian, Y. Bar-Shalom. – IEEE Transaction on aerospace and electronic systems. – Vol.45, №3. – 2009. – P.1073-1088.

Солонар Андрей Серегеевич, доцент кафедры радиолокации и приемопередающих устройств учреждения образования Военная академия Республики Беларусь, кандидат технических наук, до цент,andssnew@yandex.ru Хмарский Петр Александрович, аспирант кафедры радиолокации и приемопередающих устройств учреждения образования Военная академия Республики Беларусь, pierre2009@mail.ru.

УДК 517.951, 536.212. В. И. СОРОГОВЕЦ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ДВУХСЛОЙНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Судя по публикациям, основным методом решения задач теплопроводности для двухслой ных тел являлся операционный метод. Одним из недостатков этого метода является тот факт, что из пространства изображений вернуться в пространство оригиналов элементарными методами можно лишь в случаях, когда функции, определяющие началь ные и граничные условия, являются хорошими : константы, экспоненты, полиномы. В данной работе для решения краевых задач теплопроводности в случае двухслойного шара разработан метод разделения переменных, с помощью которого можно решать задачи теплопроводности при любых выражениях функций, участвующих в начальных и гранич ных условиях. Эти функции должны удовлетворять лишь некоторым условиям гладкости.

Постановка задач Рассматривается шар радиусом R1 (основа), окруженный оболочкой толщиной H = R2 R1.

Теплофизические характеристики (теплоемкость, плотность, теплопроводность) основы и оболоч ки считаем различными: c1, 1, 1 ;

c2, 2, 2. Индекс 1 относится к основе, индекс 2 – к оболочке.

Основа и оболочка находятся в идеальном тепловом контакте. Найти распределение температуры в системе двух сферических тел, которая будет зависеть от начальной температуры системы и от способа взаимодействия системы с окружающей средой. Предполагается, что температурное поле в системе тел радиальное.

В общем случае математическую модель задачи определения температуры двухслойного шара можно задать в виде системы, включающей в себя уравнение теплопроводности, записанное для основы и оболочки, условия сопряжения температур, начальные и граничные условия. Пусть T1 (r, t) и T2 (r, t) температура основы и оболочки соответственно, где r сферический радиус, t время. Для записи модели введем безразмерные величины r 1 2 a2 t a1 R1 x=, a1 =, a2 =, F = 2, Ka =, KR =, K =.

R2 c1 1 c2 2 a2 R2 R Тогда система уравнений для определения этих температур T1 (x, F ) и T2 (x, F ) запишется в виде:

2 T T1 2 T + W1 (x, F ) (F 0, 0 x KR ) ;

= Ka + (1) x F x x 2 T T2 2 T + W2 (x, F ) ( F 0, KR x 1) ;

= + (2) F x x x T1 (KR, F ) T2 (KR, F ) T1 (KR, F ) = T2 (KR, F ), K = ;

(3) x x T1 (x, 0) = f1 (x) (0 x KR ), T2 (x, 0) = f2 (x) ((KR x 1), f1 (KR ) = f2 (KR );

(4) 1 T1 (x, F ) T2 (1, F ), + · T2 (1, F ) = (F ).

lim (5) x x x x В зависимости от значений и получаем три задачи: = 1 и = 0 – 1-я начально-краевая задача, когда на внешней поверхности оболочки поддерживается температура окружающей сре ды, равная (F );

= 0 и = 1 – 2-я начально-краевая задача. В этом случае (F ) = R22 ), где q(F q(F ) – тепловой поток, действующий на внешнюю поверхность оболочки;

= 1 и = Bi = R22 – 3-я начально-краевая задача (в этом случае между внешней поверхностью оболочки и окружаю щей средой происходит теплообмен по закону Ньютона, (F ) = Bi · Tc (F ), где коэффициент теплообмена, Tc (F ) температура окружающей среды).

Построение системы собственных функций методом разделения переменных Предварительно рассмотрим случай, когда в (1)–(5) Wk (x, F ) = 0 (k = 1, 2), (F ) = 0.

Систему (1)-(2) запишем в виде одного уравнения T 1 T x =, (6) F r(x) x x где x T1 (x, F ) (0 x KR ) (0 x KR ) Ka T (x, F ) =, r(x) =.

x T2 (x, F ) (KR x 1) (KR x 1) Решения уравнения (6) будем искать в виде произведения функций, т. е. T (x, F ) = U (F ) · V (x). Подставляя в (6) и разделяя переменные, получаем, что U (F ) и V (x) удовлетво ряют уравнениям d dV (x) U (F ) = µ2 U (F ), x2 = µ2 r(x)V (x).

dx dx Общие решения этих уравнений µx µx A1 B, (0 x KR ) x cos Ka + x sin Ka U (F ) = C0 exp(µ F ), V (x) = {.

A2 B (KR x 1) x cos(µx) + x sin(µx), Для выполнения первого из граничных условий (5) следует положить A1 = 0. Учитывая, что функция U (F ) не влияет на условия сопряжения и на однородные граничные условия, эти условия должны выполняться лишь для функции V (x). С учетом условий сопряжения функцию V (x) можно записать в виде µx, (0 x KR ) x sin Ka V (x) = {. (7) cos(µ(xKR )) sin(µ(xKR )) K K sin µ KR µ KR (KR x 1) + Ka cos Ka x Ka µKR x Второе из граничных условий (5) приводит к уравнению для определения числа µ (харак теристическое уравнение). Решения характеристического уравнения называются собственными значениями, а соответствующие им ненулевые решения – собственными функциями задачи (1) – (5) при Wk (x, F ) = 0 (k = 1, 2), (F ) = 0. Выпишем характеристическое уравнение для каждой из трех задач.


1-я начально-краевая задача:

K KR K KR cos(µ(1 KR )) + sin(µ(1 KR )) = 0.

sin µ cos µ (8) Ka Ka Ka µKR 2-я начально-краевая задача:

K K sin µ KR µsin(µ(1 KR )) + µ KR µcos(µ(1 KR )) Ka cos Ka Ka µKR (9) K K sin µ KR cos(µ(1 KR )) µ KR sin(µ(1 KR )) = 0.

Ka cos Ka Ka µKR 3-я начально-краевая задача:

K K sin µ KR µsin(µ(1 KR )) + KR Ka cos µ Ka µKR µcos(µ(1 KR ))+ Ka (10) + K cos µ KR K 1 sin(µ(1 KR )) +(Bi 1) sin µ KR cos(µ(1 KR )) = 0.

Ka Ka Ka µKR Отметим, что уравнения (8), (9), (10) достаточно громоздкие. Однако их решения можно получить, например, в среде MathCAD. Для примера, в среде MathCAD найдены корни этих уравнений, лежащие на интервале (0;

30) при Ka = 1, 5, K = 2, 5, KR = 0, 8, Bi = 3. Пред варительно строились графики левых частей уравнений (8)–(10) и с их помощью определялись приближенные значения корней. После этого корни уточнялись с помощью встроенной функции “root”. Легко видеть, что µ = 0 удовлетворяет каждому из уравнений (8)-(10). Однако соответ ствующие этому корню решения начально-краевых задач 1 и 3 являются нулевыми и число µ = не следует считать собственным значением для этих задач. Для 2-й начально-краевой задачи число µ = 0 является собственным значением, так как ему соответствует собственная функция T (x, F ) = 1. Приведем значения указанных выше корней.

1-я начально-краевая задача: µ1 = 4, 213;

µ2 = 8, 848;

µ3 = 13, 230;

µ4 = 16, 944;

µ5 = 21, 252;

µ6 = 26, 003;

µ7 = 30, 198.

2-я начально-краевая задача: µ0 = 0;

µ1 = 6, 329;

µ2 = 10, 156;

µ3 = 14, 728;

µ4 = 19, 49;

µ5 = 23, 28;

µ6 = 27, 423.

3-я начально-краевая задача: µ1 = 2, 564;

µ2 = 6, 053;

µ3 = 10, 148;

µ4 = 14, 909;

µ5 = 19, 556;

µ6 = 23, 397;

µ7 = 27, 469.

Таким образом, для каждой из задач получаем систему решений уравнения (6), соответству ющих собственным значениям µn (n = 0, 1, 2,...), для 1-й и 3-й краевых задач (n = 1, 2,...). Эти решения имеют вид Tn (x, F ) = Vn (x) · exp(µ2 ), n где Vn (x) определяется по формуле (7) при µ = µn.

Исследование системы собственных функций Проведенные выше построения можно перефразировать следующим образом. Функции Vn (x) V1,n (x) (0 x KR ), Vn (x) = (11) V2,n (x) (KR x 1), где µn x V1,n (x) = x sin, Ka cos(µn (xKR )) sin(µn (xKR )) K K V2,n (x) = sin µn KR µn K R + Ka cos, Ka x Ka µn KR x являются собственными функциями дифференциального оператора L, порожденного дифферен циальным выражением x (0 x KR ) 1d 2 dV Ka l(V ) = x r(x) = (12) r(x) dx dx 2 (KR x 1) x и условиями dV1,n (KR ) dV2,n (KR ) V1,n (KR ) = V2,n (KR ), K = dx dx (13) 1 dV (x) dV (1) limx0 x 1,n 2,n, + · V2,n (1) = dx dx Для выявления дальнейших свойств функций Vn (x), построим функцию Грина оператора L.

Сначала рассмотрим 1-ю и 3-ю краевые задачи, для которых число нуль не является собственным значением. Для однородного уравнения l(U ) = 0 можно указать два решения, удовлетворяющие условиям сопряжения и только одному из граничных условий.

1-я краевая задача:

K K KR (0 x KR ) + x KR U1 (x) = 1, U2 (x) =. (14) K x K (KR x 1) 3-я краевая задача:

K KR K KR BiBi+K Bi x KR ) + ( x KR Bi U1 (x) = 1, U2 (x) =. (15) K K x K + Bi (KR x 1) Рассмотрим теперь неоднородное уравнение d dU (x) x = f (x) (16) dx dx для 1-й и 3-й краевых задач. Относительно функции f(x) будем предполагать, что она непрерывна на отрезке [0;

1]. Так как число нуль не является собственным значением оператора L, то урав нение (16) имеет единственное решение, которое будем искать методом вариации произвольных постоянных:

U (x) = A(x)U1 (x) + B(x)U2 (x) (17) где U1 (x), U2 (x) определяются формулами (14) или (15). Для нахождения производных A (x) и B (x) получаем систему A (x)U1 (x) + B (x)U2 (x) =. (18) x2 (A (x)U1 (x) + B (x)U2 (x)) = f (x).

Определитель этой системы (x) = 1 при 0 x KR и (x) = K при KR x 1, а ее решение можно записать в виде 1 U2 (x)f (x), B (x) = A (x) = U1 (x)f (x).

(x) (x) Функции A(x), B(x) определяются интегрированием. При их нахождении пределы интегри рования выбираем так, чтобы A(1) = 0, B(0) = 0 :

1 x 1 A(x) = U2 (y)f (y)dy, B(x) = U1 (y)f (y)dy (y) (y) x Тогда решение (17) уравнения (16) представляется следующим образом:

U (x) = G(x, y) f (y)dy, (19) (y) где U1 (x)U2 (y) (0 x y), G(x, y) = (20) U2 (x)U1 (y) (y x 1).

2-я краевая задача. Освободимся теперь от предположения, что число 0 является собствен ным значением оператора L. Для этого, как и в [2] вместо дифференциального выражения l(V ) будем рассматривать новое выражение l1(V ) = l(V ) + V, для которого число нуль уже не бу дет собственным значением. Для однородного уравнения l1(U ) = 0 можно указать два решения U1 (x), U2 (x), удовлетворяющие условиям сопряжения и лишь одному из граничных условий (13).

1 x A x B x (x (0;

KR )) (x (0;

KR )) x sh x ch Ka x sh Ka Ka U1 (x) =, U2 (x) = (21) C + D sh(x) (x (KR ;

1)) + sh(x) ) (x (KR ;

1)) x (ch(x) x ch(x) x В (21) константы C, D, A, B подбираются так, чтобы были выполнены условия сопряжения. В связи с громоздкостью выражения этих констант не приводятся.

Совершенно аналогично рассматривается неоднородное уравнение для случая 2-й краевой задачи. Разница будет состоять в том, что вместо уравнения (16) следует взять уравнение l1(U ) = f (x). Кроме этого, вместо функций U1 (x), U2 (x) определяемых формулами (14) или (15), берутся функции U1 (x), U2 (x), определяемые формулами (21). При этом определитель си стемы (18) (вронскиан функций U1 (x), U2 (x)) (x) = 2 x (0;

KR ), (x) = 2 K x (KR ;

1), 0 x x Ka (K +KR 1) где 0 = Ka Q sh KR ch KR. В свою очередь P = sh(KR ) + ch(KR ), Q = P.

Ka Ka K KR Решение уравнения l1(U ) = f (x) так же будет представляться в виде (19)–(20).

Таким образом, задача (12) (13) эквивалентна задаче на собственные значения однородного интегрального уравнения r(y) V (x) = µ G(x, y) V (y)dy. (22) (y) r(x) В этом уравнении (x) = x2 p(x), где p(x) – кусочно-постоянная на отрезке [0;

1] функция, т. е.

p(x) = p1 при 0 x KR и p(x) = p2 при KR x 1. Так как для каждой из трех краевых задач функция U2 (x), определяемая формулами (14), (15), (21) имеет полюс 1-го порядка при x 0, то и ядро G(x, y) имеет полюс 1-го порядка в точке (0;

0). Умножим интегральное уравнение (22) на x и представим его в виде x V (x) = µ x y G(x, y)p(y) (y V (y)) dy. (23) В (23) ядро x y G(x, y) вещественно, непрерывно, симметрично и не является тождественным нулем. Поэтому к уравнению (23) применима теория Гильберта–Шмидта [3]. Из нее, в частности, следует:

а) построенная система функций Vn (x), определяемая формулами (11), помноженная на x, т. е. система xVn (x) является полной ортогональной системой функций;

б) истокообразно представимая через ядро функция F (x) = x y G(x, y)p(y)f (y)dy, где f (x) непрерывная функция, разлагается в ряд Фурье по этой системе. Разложение имеет вид 1 1 2 x2 p(x)Vn (x)dx.dx x F (x)p(x)Vn (x)dx, ||Vn || = F (x) = Fn Vn (x), Fn = ||Vn || n=1(0) 0 Построение решений неоднородных краевых задач а) Пусть в (1)–(5) (F ) = 0, f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, W1 (x, F ) = 0, W2 (x, F ) = 0. Решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию, будем искать в виде ряда Cn exp µ2 F Vn (x).

Tf (x, F ) = n n=1(0) Из условия Tf (x, 0) = f (x) следует, что Cn должны быть коэффициентами Фурье функции f (x) по системе функций Vn (x). Предполагается, что f (x) разлагается в ряд Фурье по системе Vn (x).

б) Пусть в (1)–(5) (F ) = 0, f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, W1 (x, F ) = 0, W2 (x, F ) = 0. Предполагая, что W (x, F ) разлагается в ряд Фурье, т. е. W (x, F ) = Wn (F ) Vn (x), решения задач в рас n=1(0) сматриваемом случае будем искать в виде TW (x, F ) = Bn (F ) Vn (x) (Bn (0) = 0). Для Bn (F ) n=1(0) получаем дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием:

F µ2 F exp µ2 t Wn (t)dt.

n Bn (F ) + Wn (F ) (Bn (0) = 0) Bn (F ) = exp Bn (F ) = n n Таким образом, решение TW (x, F ) можно считать построенным.

в) Если в (1)–(5) (F ) = 0, f (x) = 0, W (x, F ) = 0, то решением задач будет сумма Tf (x, F ) TW (x, F ) г) Рассмотрим теперь общий случай, когда varphi(F ) = 0, f (x) = 0, W (x, F ) = 0. Пусть U (x, F ) -– некоторая функция, удовлетворяющая только условиям сопряжения и граничным условиям. Укажем выражения функции U (x, F ) для каждой краевой задачи.

1-я начально-краевая задача: U (x, F ) = varphi(F ).

2-я начально-краевая задача:

1 1 2 2 (0 x KR ) 2 K (F ) x 2 K (F ) KR + 2 (F ) KR U (x, F ) =.

1 2 (F ) x (KR x 1) 3-я начально-краевая задача:

1 1 2 (Bi+2)K (F ) x + KR 1 K Bi+2 (F ) (0 x KR ) U (x, F ) =.

(F ) x2 (KR x 1) Bi+ Тогда решение задач можно найти в виде суммы трех слагаемых: T (x, F ) = T 1(x, F ) + T 2(x, F ) + U (x, F ). Здесь T 1(x, F ) -– решение типа а) в котором f (x) заменено на f (x) U (x, 0);

T 2(x, F ) -– решение типа б) в котором W (x, F ) заменено на W (x, F ) + x x U x ) r(x) UF ).

(x,F (x,F Список литературы 1. Лыков, А. В. Теория т6плопроводности / А. В. Лыков // Издательство: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 1967. – 600 с.

2. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров // Издательство: НАУ КА, 1971. -– 512 с.

3. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев // Издательство: НАУКА, 1966. – 444 с.

Сороговец Василий Иванович, доцент кафкдры технологии конструкционных материалов Полоцкого государственного университета, кандидат технических наук, sorogovets_v@mail.ru.

УДК 517.951, 536.212. В. И. СОРОГОВЕЦ, И. Б. СОРОГОВЕЦ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В данной работе для решения 1-й, 2-й и 3-й краевых задач теплопроводности в случае двухслойного неограниченного цилиндра разработан метод разделения переменных (метод Фурье). Предварительно этим методом найдены собственные значения и построены собственные функции указанных краевых задач. Построением функций Грина каждая из задач на собственные значения сведена к интегральному уравнению с вещественным симметричным ядром, в результате чего доказана разложимость функций в ряды Фурье по собственным функциям однородных краевых задач. Решения неоднородных краевых задач получены в виде рядов Фурье по построенным системам собственных функций.


Постановка задач Бесконечный цилиндр радиусом R1, окруженный оболочкой толщиной H = R2 R1. Тепло физические характеристики (теплоемкость, плотность, теплопроводность) цилиндра и оболочки считаем различными: c1, 1, 1 ;

c2, 2, 2. Индекс 1 относится к цилиндру, индекс 2 – к оболочке.

Цилиндр и оболочка находятся в идеальном тепловом контакте. Найти распределение темпера туры в системе двух цилиндрических тел, которая будет зависеть от начальной температуры системы и от способа взаимодействия системы с окружающей средой. Предполагается, что тем пературное поле в системе тел радиальное, т. е. не зависит от полярного угла.

В общем случае задачу определения температуры двухслойного цилиндрического тела мож но задать в виде системы, включающей в себя уравнение теплопроводности, записанное для ос новного цилиндра и оболочки, условия сопряжения температур, начальные и граничные условия.

Пусть T1 (r, t) и T2 (r, t) температура цилиндра и оболочки соответственно. Тогда система уравне ний для определения этих температур запишется в виде:

2 T1 1 T T1, t 0, 0 r R1 ;

= a1 + + w1 (r, t) a1 = r t r r c1 2 T2 1 T T2, t 0, R1 r R2 ;

= a2 + + w2 (r, t) a2 = r t r r c2 T1 (R1, t) T2 (R1, t) T1 (R1, t) = T2 (R1, t), 1 = 2 ;

r r T1 (r, 0) = f1 (r) (0 r R1 ), T2 (r, 0) = f2 (r) (R1 r R2 ), f1 (R1 ) = f2 (R1 );

1 T1 (r, t) T2 (R2, t), + · T2 (R2, t) = (t).

lim r r r r Для уменьшения числа параметров введем безразмерные координаты r a2 t x=,F= R2 R и отношения a1 R1 Ka =, KR =, K =, a2 R2 определенные в [1, с. 376]. Тогда приведенные выше соотношения перепишутся в виде:

2 T T1 1 T + W1 (x, F ) (F 0, 0 x KR ) ;

= Ka + (1) F x x x 2 T T2 1 T + W2 (x, F ) ( F 0, KR x 1) ;

= + (2) x F x x T1 (KR, F ) T2 (KR, F ) T1 (KR, F ) = T2 (KR, F ), K = ;

(3) x x T1 (x, 0) = f1 (x) (0 x KR ), T2 (x, 0) = f2 (x) ((KR x 1), f1 (KR ) = f2 (KR );

(4) 1 T1 (x, F ) T2 (1, F ), + · T2 (1, F ) = (F ).

lim (5) x0 x x x В зависимости от значений и получаем три задачи: = 1 и = 0 – 1-я начально-краевая задача, когда на внешней поверхности оболочки поддерживается температура окружающей сре ды, равная (F );

= 0 и = 1 – 2-я начально-краевая задача. В этом случае (F ) = R22 ), где q(F q(F ) – тепловой поток, действующий на внешнюю поверхность оболочки;

= 1 и = Bi = R22 – 3-я начально-краевая задача (в этом случае между внешней поверхностью оболочки и окружаю щей средой происходит теплообмен по закону Ньютона, (F ) = Bi · Tc (F ), где коэффициент теплообмена, Tc (F ) температура окружающей среды).

Построение системы собственных функций методом разделения переменных Предварительно рассмотрим случай, когда в (1)–(5) Wk (x, F ) = 0, (F ) = 0. Решения уравнений (1) и (2) будем искать в виде произведения функций, т. е.

Tk (x, F ) = Uk (F ) · Vk (x) (k = 1, 2). (6) Подставляя (6) в (1), (2) и разделяя на произведение Uk (F ) · Vk (x), приходим к соотношению Uk (F ) qk = µ2 = const q1 = Ka, q2 = 1, k = 1, 2, = V (x) + V (x) k Uk (F ) Vk (x) x которое распадается на два обыкновенные дифференциальные уравнения µk Uk (F ) = µk 2 Uk (F ), V (x) + V (x) + Vk (x) = 0 (k = 1, 2).

x qk Общее решение первого из этих уравнений Uk (F ) = Ck exp µ2 F, k а второго – µk x µk x Vk (x) = Ak J0 + B k Y0, qk qk где J0 (x) и Y0 (x) – функции Бесселя порядка 0 первого и второго рода соответственно [1, с. 577], [2, с. 14]. Отметим, что все бесселевы функции, в том числе и J0 (x), Y0 (x) являются встроен ными функциями среды Mathcad и ими можно пользоваться в этой среде как любыми другими элементарными функциями (синус, косинус, логарифм и др.).

Так как функция Y0 (x) имеет логарифмическую особенность при x = 0, то для выполнения первого из граничных условий (5), следует положить B1 = 0. Подставляя в (6), получим T1 (x, F ) = Cexp µ2 F J0 µ1a, x 1 K (7) T2 (x, F ) = exp µ2 F (AJ0 (µ2 x) + BY0 (µ2 x)).

Чтобы 1-е из соотношений (3) выполнялось при любых F 0, в (7) должно быть µ1 = µ2 = µ.

Константы A, B, C, µ выбираем таким образом, чтобы были выполнены условия сопряжения (3) и 2-е из граничных условий (5). По свойствам функций Бесселя J0 (x) = J1 (x), Y0 (x) = Y1 (x), где J1 (x) и Y1 (x) – функции Бесселя 1-го порядка первого и второго рода соответственно. Тогда из условий сопряжения (3) получаем систему линейных уравнений для определения констант A, B через C : J0 (µKR ) · A + Y0 (µKR ) · B = CJ0 µKaR K µKR CK J1 (µKR ) · A + Y1 (µKR ) · B = Ka J1, Ka Определитель этой системы равен = µKR [2, с. 91], а вспомогательные определители µKR µKR K A = C J0 Ka Y1 (µKR ) Ka J1 Ka )Y0 (µKR ), (8) µKR µKR K B = C J0 J1 (µKR ) + Ka J1 Ka )J0 (µKR ).

Ka Так как A = = µKR B, то формулы (7) можно переписать в виде A B = µKR A, B = 2 µx 2F · J T1 (x, F ) = C · exp µ 0 Ka, (9) T2 (x, F ) = C · · µ · KR · exp(µ2 F ) (A J0 (µx) + B Y0 (µx)), где A и B определяются формулами (8) при C = 1.

Второе из граничных условий (5) приводит к уравнению для определения числа µ (характе ристическое уравнение). Корни характеристического уравнения называются собственными зна чениями краевой задачи. Соответствующие им ненулевые решения типа (9) называются соб ственными функциями. Сразу отметим, что характеристические уравнения для каждой из трех начально-краевых задач довольно громоздкие и не предназначены для решения вручную. Их решения можно получить, например, в среде Mathcad. Для этого предварительно строится гра фик левой части уравнения и по графику определяются приближенные значения корней. После этого находятся точные значения корней с помощью встроенной функции root. Для примера найдены первые пять корней каждого характеристического уравнения при следующих исходных данных: Ka = 3, K = 4, KR = 0, 8. Для 3-й начально-краевой задачи значение параметра Bi = R2 = 4, 5. Выпишем характеристическое уравнение для каждой из трех задач.

1-я начально-краевая задача:

Характеристическое уравнение A J0 (µ) + B Y0 (µ) = 0.

С учетом выражений (8) µKR (Y1 (µKR )J0 (µ) J1 (µKR )Y0 (µ)) + Ka J Ka µKR (J0 (µKR )Y0 (µ) Y0 (µKR )J0 (µ)) = 0.

+K J1 (10) Ka Первые пять корней: µ1 = 4, 4039;

µ2 = 12, 0367;

µ3 = 18, 2142;

µ4 = 25, 3515;

µ5 = 31, 9301.

2-я начально-краевая задача:

Характеристическое уравнение (A J1 (µ) + B Y1 (µ)) µ = 0.

Как видно, число 0 является корнем характеристического уравнения. Соответствующая этому корню собственная функция T (x, F ) = 1. Ненулевые собственные значения удовлетворяют урав нению µKR (Y1 (µKR )J1 (µ) J1 (µKR )Y1 (µ)) + Ka J Ka µKR (J0 (µKR )Y1 (µ) Y0 (µKR )J1 (µ)) = 0.

+K J1 (11) Ka Первые пять корней: µ1 = 8, 2559;

µ2 = 14, 8656;

µ3 = 22, 0419;

µ4 = 28, 2457;

µ5 = 35, 5886.

3-я начально-краевая задача:

Характеристическое уравнение (A J1 (µ) + B Y1 (µ)) µ (A J0 (µ) + B Y0 (µ)) Bi = 0.

Пусть P (µ) = µJ1 (µ) Bi J0 (µ), Q(µ) = µY1 (µ) Bi Y0 (µ).

Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде µKR (Y1 (µKR )P (µ) J1 (µKR )Q(µ)) + Ka J Ka µKR (J0 (µKR )Q(µ) Y0 (µKR )P (µ)) = 0.

+K J1 (12).

Ka Первые пять корней: µ1 = 2, 9305;

µ2 = 9, 4254;

µ3 = 15, 4031;

µ4 = 22, 5078;

µ5 = 28, 5698.

Таким образом, для каждой из задач получаем систему собственных функций, соответствую щих собственным значениям µn (n = 1, 2,...) для 1-й и 3-й краевых задач или (n = 0, 1, 2,..., µ0 = 0, T0 (x, F ) = 1) для 2-й краевой задачи:

µn x 2F J T1,n (x, F ) = Cn · exp µn 0 Ka, (13) T2 (x, F ) = Cn · · µn · KR · exp µ2 F (A J0 (µn x) + B Y0 (µn x)), n где Cn – произвольные постоянные, а A и B определяются формулами (8) при C = 1, µ = µn.

Исследование системы собственных функций Предварительно систему уравнений (1), (2) запишем в виде одного уравнения T T r(x) = x + W (x, F ), (14) F x x где x T1 (x, F ) (0 x KR ) (0 x KR ) Ka T (x, F ) = ;

r(x) =.

T2 (x, F ) (KR x 1) x (KR x 1) Аналогично, выражения (13) запишем в виде Tn (x, F ) = Cn exp µ2 F Vn (x), (15) n где µx (0 x KR ) V1,n (x) = J0 Ka Vn (x) =.

V2,n (x) = 2 · µn · KR · (A J0 (µx) + B Y0 (µx)), (KR x 1) Подставляя (15) в (14) при W (x, F ) = 0 и сокращая на Cn exp µ2 F, получим дифферен n циальное уравнение, которому удовлетворяют функции Vn (x) :

d dVn (x) = µ2 r(x)Vn (x).

l (Vn (x)) = x (16) n dx dx Решения V1,n (x) и V2,n (x), из которых составлена функция Vn (x), строились таким образом, чтобы выполнялись условия сопряжения и граничные условия, dV (K ) dV (K ) V1,n (KR ) = V2,n (KR ), K 1,n R = 2,n R dx dx (17) 1 dV (x) dV (1) lim x 1,n, 2,n + · V2,n (1) = dx dx x Проведенные рассуждения можно представить следующим образом: функции Vn (x) явля ются собственными функциями дифференциального оператора L, порожденного дифференци альным выражением l(V) в (16) и условиями (17). Для выявления дальнейших свойств функций Vn (x), построим функцию Грина оператора L. Сначала рассмотрим 1-ю и 3-ю краевые зада чи, для которых число нуль не является собственным значением. Для однородного уравнения l(U ) = 0 можно указать два решения, удовлетворяющие условиям сопряжения и только одному из граничных условий.

1-я краевая задача:

ln(x) + (K 1) ln (KR ) (0 x KR ) U1 (x) = 1, U2 (x) =. (18) K ln(x) (KR x 1) 3-я краевая задача:

K ln(x) + (K 1) ln (KR ) (0 x KR ) Bi U1 (x) = 1, U2 (x) =. (19) K ln(x) (KR x 1) Рассмотрим теперь неоднородное уравнение d dUn (x) x = f (x) (20) dx dx для 1-й и 3-й краевых задач. Относительно функции f(x) будем предполагать, что она непрерывна на отрезке [0;

1]. Так как число нуль не является собственным значением оператора L, то урав нение (20) имеет единственное решение, которое будем искать методом вариации произвольных постоянных:

U (x) = A(x)U1 (x) + B(x)U2 (x) (21) где U1 (x), U2 (x) определяются формулами (18) или (19). Для нахождения производных A (x) и B (x) получаем систему A (x)U1 (x) + B (x)U2 (x) =.

x (A (x)U1 (x) + B (x)U2 (x)) = f (x).

Определитель этой системы (x) = 1 при 0 x KR и (x) = K при KR x 1, а ее решение можно записать в виде 1 U2 (x)f (x), B (x) = A (x) = U1 (x)f (x).

(x) (x) Функции A(x), B(x) определяются интегрированием. При их нахождении пределы интегри рования выбираем так, чтобы A(1) = 0, B(0) = 0 :

1 x 1 A(x) = U2 (y)f (y)dy, B(x) = U1 (y)f (y)dy (y) (y) x Тогда решение (21) уравнения (20) представляется следующим образом:

1 x 1 U (x) = U1 (x) U2 (y)f (y)dy U2 (x) U1 (y)f (y)dy (y) (y) x или U (x) = G(x, y) f (y)dy, (22) (y) где U1 (x)U2 (y) (0 x y), G(x, y) = (23) U2 (x)U1 (y) (y x 1).

Легко проверяется, что функция (22) удовлетворяет условиям сопряжения.

2-я краевая задача. Как уже отмечалось, число 0 является для 2-й краевой задачи собствен ным значением. Соответствующая собственная функция U0 (x) = 1. Чтобы освободиться от этого условия, поступим как и в [3, с. 344]. Для этого вместо дифференциального выражения l(V ) из (16) будем рассматривать выражение l1 (V ) = l(V ) + r(x)V. Получим новый дифференциаль ный оператор L1, собственными значениями которого будут n + 1 и число нуль уже не будет собственным значением. Уравнение l1 (U ) = 0 можно записать в виде x dUdx 1 (x) d x = 0 (0 x KR ) 2 U (x) Ka dx (24) x dUdx 2 (x) d x U2 (x) = 0 (KR x 1) dx Построим два решения системы (24), удовлетворяющие условиям сопряжения и одному из граничных условий. Так как число 0 не является собственным значением оператора L1, то невоз можно построить решение, удовлетворяющее условиям сопряжения и обоим граничным услови ям. Общее решение уравнения (24) имеет вид x x, (0 x KR ), C1 I0 + D1 K Ka Ka U (x) = (25) C2 I0 (x) + D2 K0 (x), (KR x 1).

где I0 (x) и K0 (x) – модифицированные функции Бесселя порядка 0 первого и второго рода со ответственно [2, с. 13]. Отметим, что I0 (0) а K0 (x) имеет логарифмическую особенность при x = 0. Формулы дифференцирования [1, с. 579] для этих функций: I0 (x) = I1 (x), K0 (x) = K1 (x), где I1 (x), K1 (x) модифицированные функции Бесселя порядка 1.

Чтобы получить решение U1 (x) удовлетворяющее условиям сопряжения и граничному усло вию при x = 0, в (25) следует положить D1 = 0, а C2, D2 должны удовлетворять системе C2 I0 (KR ) + D2 K0 (KR ) = C1 I0 KR, Ka K C2 I0 (KR ) + D2 K0 (KR ) = C1 Ka I0 KR.

Ka Определитель этой системы (вронскиан функций I0 (x) и K0 (x)) равен KR и функцию U1 можно считать построенной.

Аналогично, чтобы получить решение U2 (x) удовлетворяющее условиям сопряжения и гра ничному условию при x = 1, константы C1, C2, D1, D2 в (21) должны удовлетворять условиям C2 I0 (1) + D2 K0 (1) = 0, KR KR C1 I0 Ka + D1 K0 Ka = C2 I0 (KR ) + D2 K0 (KR ), KR K KR K C1 I0 Ka Ka + D1 K0 Ka Ka = C2 I0 (KR ) + D2 K0 (KR ).

Первое из этих условий дает соотношение между C2, D2 : D2 = C2 K00(1). Второе и третье I (1) условия дают систему линейных уравнений для нахождения C2, D2. Определитель этой системы W = KR = 0 [2, с. 91] и решение U2 (x) можно считать построенным.

K Выпишем явные выражения функций U2 (x), U2 (x) :

x I0 Ka (0 x KR ), U1 (x) = (26) C I (x) + D K (x), (K x 1), 20 20 R где KR KR KR C2 = Ka I0 K1 (KR ) + K I1 K0 (KR ), Ka Ka Ka KR KR KR D2 = Ka I0 I1 (KR ) + K I1 I0 (KR ) ;

Ka Ka Ka x x (0 x KR ), C1 I0 + D1 K Ka Ka U2 (x) = (27) K (1)I (x) + I (1)K (x), (K x 1), 0 0 0 0 R KR KR KR C1 = Ka K0 Q + K K1 P, Ka K Ka Ka (28) KR KR KR Ka I D1 = Q + K I1 P, Ka K Ka Ka P = K0 (1)I0 (KR ) I0 (1)K0 (KR ), Q = K0 (1)I1 (KR ) + I0 (1)K1 (KR ).

Совершенно аналогично рассматривается неоднородное уравнение для случая 2-й краевой задачи. Разница будет состоять в том, что вместо уравнения (20) следует взять уравнение d dU (x) x + r(x)U = f (x) (29) dx dx Кроме этого, вместо функций U1, U2 определяемых формулами (18) или (19), берутся функции U1, U2, определяемые формулами (26), (27). Решение уравнения (29) так же будет представляться в виде (22)–(23), где (x) = 0 при 0 x KR и (x) = K 0 при KR x 1. Здесь определяется формулой KR KR KR KR Q 0 = I0 I1 P, K Ka Ka Ka а выражения P и Q определены в (28). Отметим, что для 1-й и 3-й краевых задач 0 = 1.

Таким образом, задача (16) (17) эквивалентна задаче на собственные значения однородного интегрального уравнения r(y) V (x) = µ G(x, y) V (y)dy. (30) (y) r(x) В этом уравнении = x p(x), где p(x) – кусочно-постоянная на отрезке [0;

1] функция, т. е.

(x) p(x) = p1 при 0 x KR и p(x) = p2 при KR x 1. Так как для каждой из трех краевых задач функция U2, определяемая формулами (18), (19), (27) имеет логарифмическую особенность при x 0, то ядро G(x, y) имеет полюс в точке (0;

0). Умножим интегральное уравнение (30) на x и представим его в виде xV (x) = µ x yG(x, y)p(y) ( yV (y)) dy. (31) В (31) ядро x yG(x, y) вещественно, непрерывно, симметрично и не является тождественным нулем. Поэтому к уравнению (31) применима теория Гильберта–Шмидта [4, с. 378]. Из нее, в частности, следует:

а) построенная система функций Vn (x), определяемая формулами (15), помноженная на x, т. е. система xVn (x) является полной ортогональной системой функций;

б) всякая истокообразно представимая через ядро функция F (x), т. е.

F (x) = xyG(x, y)p(y)f (y)dy, где f (x) непрерывная функция, разлается в ряд Фурье по этой системе. Разложение имеет вид F (x) = Fn Vn (x), n=1(0) где 1 1 2 xF (x)p(x)Vn (x)dx, ||Vn || = Fn = xp(x)Vn (x)dx.dx ||Vn || 0 Построение решений неоднородных краевых задач а) Пусть в (1)–(5) (F ) = 0, f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, W1 (x, F ) = 0, W2 (x, F ) = 0. Систему уравнений (1), (2) можно записать в виде одного уравнения (14) при W (x, F ) = 0. Функции (15), т. е.

Tn (x, F ) = Cn exp µ2 F Vn (x) n являются решениями этого уравнения. Решение, удовлетворяющее начальному условию, будем искать в виде ряда Cn exp µ2 F Vn (x).

Tf (x, F ) = (32) n n=1(0) Из условия Tf (x, 0) = f (x) следует, что Cn должны быть коэффициентами Фурье функции f (x) по системе функций Vn (x). Предполагается, что f (x) разлагается в ряд Фурье по системе Vn (x).

В связи с присутствием в (32) множителей exp µ2 F, для вычисления значений Tf (x, F ) с n высокой точностью достаточно взять два–три первых члена ряда (32).

б) Пусть в (1)–(5) (F ) = 0, f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, W1 (x, F ) = 0, W2 (x, F ) = 0. Предполагая, что W (x, F ) разлагается в ряд Фурье, получим:.

W (x, F ) = Wn (F ) Vn (x).

n=1(0) Решения задач в рассматриваемом случае будем искать в виде TW (x, F ) = Bn (F ) Vn (x) (Bn (0) = 0).

n=1(0) Для Bn (F ) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F µ2 F exp µ2 t Wn (t)dt.

n Bn (F ) Bn (F ) = + Wn (F ) (Bn (0) = 0) = Bn (F ) = exp n n Таким образом, решение TW (x, F ) можно считать построенным.

в) Если в (1)–(5) (F ) = 0, f (x) = 0, W (x, F ) = 0, то решением задач будет сумма Tf (x, F ) + TW (x, F ) г) Рассмотрим теперь общий случай, когда (F ) = 0 f (x) = 0, W (x, F ) = 0. Пусть U (x, F ) – функция, удовлетворяющая только условиям сопряжения и граничным условиям:

1-я начально-краевая задача: U (x, F ) = (F ).

2-я начально-краевая задача:

1 1 2 2 (0 x KR ) 2 K (F ) x 2 K (F ) KR + 2 (F ) KR U (x, F ) =.

1 2 (F ) x (KR x 1) 3-я начально-краевая задача:

1 1 2 (Bi+2)K (F ) x + KR 1 K Bi+2 (F ) (0 x KR ) U (x, F ) =.

1 Bi+2 (F ) x (KR x 1) Тогда решение задач можно найти в виде суммы трех слагаемых: T (x, F ) = T 1(x, F ) + T 2(x, F ) + U (x, F ), где T 1(x, F ) – решение типа а) в котором f (x) заменено на f (x) U (x, 0);

T 2(x, F ) – решение типа б) в котором W (x, F ) заменено на W (x, F ) + x x U x ) r(x) UF ).

(x,F (x,F Список литературы 1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков // Издательство: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 1967. – 600 с.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилин дра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Издательство: НАУКА, 1974. – 296 с.

3. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров // Издательство: НАУ КА, 1971. -– 512 с.

4. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев // Издательство: НАУКА, 1966. – 444 с.

Сороговец Василий Иванович, доцент кафедры технологии конструкционных материалов Полоцкого государственного университета, кандидат технических наук, sorogovets_v@mail.ru.

Сороговец Иван Борисович, доцент кафедры высшей математики Полоцкого государственного уни верситета, кандидат физико-математических наук, доцент, sorogovets@tut.by УДК 004.415. Т. В. СТЕПАНОВА АВТОМАТИЗАЦИЯ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ IT-КОМПАНИЙ В работе рассматриваются вопросы управления проектами, так же возможности разра ботки системы поддержки принятия решений по управлению проектами. Осущественна постановка задачи по управленияю проектами, а так же построенна математичекая модель. Для разарботки системы поддержки принятия решения по упралению проектми были созданны модель бизнесс-процесса, диаграмма BPMN, а так же диаграмма вариантов использования. Разработан базовый интерфейс системы.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.